Caracterización del estado tensional en el entorno de esquinas con varios materiales anisótropos

MATERIAL ES COMPUESTOS 01 CARACTERIZACIÓN DEL ESTADO TENSIONAL EN EL ENTORNO DE ESQUINAS CON V ARIOS MATERIALES ANISÓTROPOS. A. Barroso, V. Mantic y F. París Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Ca mino de los Descubrimientos s/n, 41092 Sevilla e-mail: [email protected]. es 297 Palabras Clave: Esquinas mu/timaterial es, Tensiones singulares, Ela st icidad all isótropa, Formalismo de Sil-oh, Materiales Conzpuestos. Resumen: En el presente trabajo se presenta la ge 11 era/ización e implementación del procedimiento de cálculo, basado en el enfoque de Ting1, para la caracterización del estado tensional singular en las proximidades de una esquina a la que concurren varios materiales anisótropos elásticos. Con base en el formalismo de Stroh y haciendo uso del concepto de la matriz de transferencia se ha implementado un programa en el que se obtienen los órdenes de singularid ad de 1ensiones, así como la distribución espacial de los desplazamientos y tensiones de una manera eJiciente. Suponiendo adhesión perfecta en la intercara entre los materiales, se co nt emplan todas las combinaciones de condiciones de contorno libre y empotrado. asi como todos los materiales unidos. El procedimiento incluye la posibilidad de introducir materiales matemáticamente degenerados, dentro del marco de/fo rm alismo, entre los cuales se pu eden cons id erar a los materiales isótropos. Independientemente del número de materiales, para el caso de todos unidos, se resuelve un sistema de autova/ores de tamaiio 6x6 para la obtención de los órdenes de singularidad. mientras que para todas las combinaciones libre/empotrado, el sistema es de 3x3. Se presentan resultados numéricos. Ahstract: The generaliza/ion o.f a procedure, developed by Ting1, for the stress characterization at the neighhourlwod o.f an anisotropic elastic multimateria/ corner is presented. Us ing Stroh's fo rmalism and the concept of lhe tramfer matrix, a computer program has been imp!emented in arder to obtain the arder o.f the stress singularities and the behaviour ofdisplacements and stressesJie!ds in a very efflcient way. Assuming petjixt bonding between materials, a/1 combinalions of boundmy conditions including ji-ee and clamped are cons id ered, as wel/ as al! of th em bonded. The procedure includes the possibility of taking into acount mathematically degenerated materials. ,,vith isotropic materials as an examp/e. A 6x6 eigenvalue system is so/ved .for a/1-bonded configurations. no maller how many materials are included. In the case o.f comb in ations offree/clamped the size is reduced to 3 x3. Numerical resu/ts ar e presented. 298 MA TERIALES COMPUESTOS O! 1.- INTRODUCCIÓN L a. presencia d ~ esquinas con mate ri ales de dis ti nta naturaleza es habitual en la ejecución de uniones adhesivas, en las que los a dh erentes son metales y materiales compuestos. La predicción del i ni cio del fal lo en es ta s unione s, re qu iere del co nocimie nt o ex hausti vo d el estado singular de ten siones que se inducen en la s mi smas. El comportamie nt o más o men os a ni sótropo de los mate ri al es compuestos de sde un pun to de vis t ~ ma ~roscó pico , hace .del formalismo de Stroh de la e la sticidad a ni sótropa, un a herra mi enta utll para la so lu c10 n del proble ma , siempre que sea po sible asumir un estado de deformación plana ge neralizada, en el cuál el campo de desplazamientos depende sólo de la s coo r~ e n adas ~e un plano (u ;~ u , (xi r..: 2) , i=! ,2 ,3 ). Por lo general basta que las cargas y la geometna no va n en en la dire cciO n x3, para que un es tado ta l pueda ser as um ido. Entre lo s numerosos criterios de fa ll o que hi s tó ricamente se han propues to , aq ue ll os b asa d o~ en. _la Mecá ni ca de la Fractura, nece si tan para cada configuración a estudio, la determmaC IOn de lo s Órdenes de S in g ul aridad y los fa ctores de intensi fi cación de te nsiones a soc. ia dos a cada un o de lo s modos pre se nt es en la esquin a. Los órdenes de s in gu la rid ad de tensiones, dependen de. ~a geometría local de la esquina, de las propiedades de l os ma te nales y de l as co ndi Ciones de con to rn o, mi entras que los fac tores de i nt ens ifi cación de tensiones depe nd en de la geometría global y del estado de cargas. Ex isten numerosos tra bajos que han abo rd ado el cá !culo de los órden es de si n nu la rid ad de . . ~ tens iOn es. en esq uma s, con un o o va rio s mate ri ales, isó tropos o con cualquier grado de amsotropia. En un resumen, que no pr etende ser ex haus ti vo, n os podemos remo nt ar al trabajo de Williams2 como referencia clásica, que obtu vo m ed iante el u so de la función de Airy lo s ó rd enes de singula rid ad para un sector de mate ri al isótropo, Bo gy 3 u sa ndo la tran sf ormada de Mellin, hizo lo propio para un bimaterial isót ro po , Dempsey y S in cl ai r 4·5, en un completo trabajo an al izaron esquinas multimatc ri a lc s isótropas y múl tiples condiciones de contorno ( in c lu ye nd o fri cció n) . Ting y Ch ou 6 usando el forma lismo de Stro.h da~ la represe nt ación de tensiones en el e nt o rn o de un a esquina a ni sótropa, particulanza nd o ad emás para el caso de g ri etas, De lal e7 co n la formulación de Lekhnitskii, obtien ~ res ul tados para bimateriales a ni sótropo s, Somara tn a y Ting x presentan un procednniento numénco para la obtenc ión de órdenes de singularidad en esquinas 3D anisótropa s. Chen y Ni sitani9 resolvieron el ca so de un bimaterial isótropo co n ambos extremos uni dos. ' um erosos resultados de esquinas trimate ri ales i só tr o~as fu eron obtenidas por Pageau et ai.IO .II para los mo do s plano y anti pl an o. Pageau et a l. '- también analizaron numéricamente el caso de singularidades de borde libre en materiales ani sótropos mediante una formulación del Método de los E lem entos Finitos (ME F). Desmorat 13 analizando bimateriales a ni só tr opos obtu vo un interesante resultado por el c ual la ecuac ión caracterís ti ca de la que se obtienen los ó rd enes de s in g ul a rid ad, puede quedar ex pre sa da como suma de dos t é nnino ~, en la ~~e cada ~no depende ex clusivamente de l as pro pi edades de ca~a matena l. Mantic et a l. re s ol vieron para un a esquina ortótropa todas la s con dJ ctones .de co ~tomo mcluidas la fricción. s im etría y antisimetría, Chen y Huang 15 analizaron smg ul andades produc id as por delaminación en ap il ados "cross -pl y" y "angleply" presentando res ultados numéricos. En un intcrc a nt e trabajo, Ting 1 propuso un MATERIALES COMPUESTOS 01 299 pr oc~di mi e nto a lt an ~cnt c eficient e. p ~ r a el cálculo de las s in g ul aridades en esq uin as mu lt1ma tenal es am so tropas, pro ce d1mtcnt o que se ha seg uid o en este trabajo y que se rá anal izado con detalle m ás adelante, Lin y S un g 16 , con base en el formalismo de Stroh obt ~vie ro~ l a~ . ecuaciones c~racte r ís ti cas 17 de una e s qui~a bimate rial a ni sót ro pa con parttcular mteies en el caso ortotropo. Chen prese nt a multttud de re sultados num érico de esquinas tri materiales ani só tropas utilizando también el fo rma lismo de Stroh. Li et a l. 18 proponen un pr ocedimiento alternativo mediante el uso de variables dua le s, que conduce a un sistema de ecuaciones dif erenciales de pri me r orden y que es resuelto numéricame nt e para el caso de es quinas multimate ri ales a ni só tropas, Poonsawat el al. 19 u sa nd o el formalismo ele Stroh han obtenido r ec ientemente lo s ó rd enes de s in oula rid ad de ?i material es ~o t~ . es pecial aten c ió~1 a mate ri ales monoclínicos y api l ados~ "angle -pl y" mcluyendo fnccion entre lo s matcnales y casos de ma teriales ortótropos matem át icamente degenerados, seg ún el fom1alismo. Haciendo uso del f o . rma l ~smo de Stroh, lo s materiales matemá tic amente degenerados, entre l os cua le s pu ede m ci Uir se a lo s mate ri ales isótropos o s impl emente los mate ri ales anisótr~~os cuyas co n s tant~s el.á sticas co rr es pondan a una situación de degeneración matema tt ca,. no suelen estar mclutdos en estos trabajos anteriormente mencionados. Es más, para matenal es transversalmente isótropos, simpleme nt e la orientación del mi smo ind ependienteme nt e del va lor de sus constantes elásticas, pu eden h acer que se trate de u~ material degenerado en un sistema de coordenadas concreto (Tanuma 20) . En d~fini ti va, se ha cons id era do , y es ésta la motivac ión prin ci p al del prese nt e trabajo. la necesidad de desa rr o ll ar un a ap li cación en la qu e poder obtener los órde ne s de s in nu laridad de unaesq~1 in a N -m ater ial , en la que tengan cab id a materiales de di stinta naturale;a, y c on cualqlller t tpo de degenerac ión (se ha usado el formalismo de Stt·oh). Este obje ti vo se ha pl asmado en la po sibilidad práctica de in cluir en e l cálculo de los ó rd enes de s in a ul ar id ad m ater~a l es isótropos y tt :a nsversalmente isótropos con cualquier tipo de dege ~ e r ac ión , adema~ de los ya menctonados materiales matemáticame nt e no degenerados, seg ún el fonna . ltsm~ de Stroh. La s condiciones de co nt orno que se contemplan son cualqui er combmac 10n de libre-empotrado así como todos los materiales unidos. Ad ic ion a lm ente e pr esen ta la di stribuc ión de desplaza mi e nt os y ten siones para cada mo do singula r. Para el desarro llo de la herramienta de cálculo, se ha hec ho uso del proced imi e nt o propuesto por Tm g1 ( 199 7) donde de una manera eficiente, independientemente del número de material es la ~c uación ca ra c ~ c rí s ti ca ,que se .res uel ve para cualquier combinación libre -empotrado, s~ obt1ene ~e un ststema _, x3, mtentr as que para el caso de to do s unidos, y tambi én m clepe ndtentemnete del núm ero de mate ri ales presentes en la es quin a, el sistema a resolver e~ 6x6. La posibilidad de incorporación de materiales degenera do s al pr oc edimie nt o de calculo se hace a través del uso de las matrices de t ra nsfe re ncia para materiales de~ enera dos, Barroso et al. 21 , obtenida por lo s mi smos a ut ores que susc rib en el presente arttcu lo . Se prese nt an co. mparaciones con trabajos pr ev i os, así como nu evos r es ultados con esquinas con rr~atenales t s~t r o pos y transversalmente i só tropos y ortótropos que suelen aparecer en l as umoncs ad he st vas metalco mposit e. 300 MATERIALES COMPUES TOS 01 2.- ECUACIONES BÁSICAS Haciendo uso del formalismo de Stroh, el tamai'io del siste ma a resolver gene rado en los enfoques convencionales para la obtención de los órdenes de singularidad, depende del número de materiales y de las cond i cio nes de contorno. Este h ec ho puede s er ob servado con es pecial claridad en Chen 17 donde un bimat eria l con condiciones libr elibre, genera un sistema t2 x 12 , mientras que para tres mat eriales, se alcanza J 8x 18. Para los casos en los que todos l os mat eriales están unidos entre sí, los tamaños de los problemas anteriormente mencionados, alcanzan respectivamente l os tamaños J 8x 18 y 24x2 4. Se puede deducir qu e esqu inas de N materiales con adhesión perfecta entre ellos y borde s extremos con condiciones de contorno libre o empotrado, generan siste ma s de tamaño 6N x6N, mientras que si todos lo s materiales están unidos, el tamaño es 6(N+ 1 )x6(N + 1 ). La so lución en desplaz ami entos y el vector de la función de tension es en el entorno de una esquina , se pueden expr esa r se gún el formalismo de Stroh (v er Ting 6·22, para una información comp leta) de la siguie nt e manera: (1) dond e se ha hecho uso de un sistema de referencia polar ( r. fJ) , centrado en el vértice. En ( 1) u es el vector de d esp la zam ientos, j es el de la función de tensiones, d-1 es el orden de la singularidad, q y q vectores de con stantes arbitrarias, ~ ;~ ¡ = diag[cos tJ + Pasin tJ 1 a=l.2.3. Los valores pa so n l as raíces de la ecuación caracte rí stica Lekhnitskii -Stroh ( Ting 22 ) y A = [a1,a2, aJ y B = [b ~>b 2 ,b 3 ] matrices(3 x3). Las condiciones de adhesión perfecta entre materiales, establecen las igual dades (2a) que suponen 6 ecuaciones por c ada intercara. La co ndición libre supone (2b) y la condición de empo tr ado supone (2c) dond e se imponen 3 ecuacion es en cada ca so. De este modo con N materiales (ver figura 1) t enemos N -1 intercaras y do s bordes extremos , con un total de 6x(N-I )+2x (3)=6XN ecuaciones que se igualan a las 6xN incógnitas ( q y q ). Fig. J. Esquema de esquina multimaterial. Co ndición en la intercara i ( ~): u, (r, tJ¡) = u ,+ 1 (r, tJ¡) <p , (r, tJ ,) = <¡> ,+ 1 (r,B¡) Con dición libre en e o: q> 1 (r ,e0 )= 0 Condición de empotram iento en ~: u ,v (r,e ,v ) =o (2a) (2b) (2c) MATERIALES COMPUESTOS 01 301 3. -IMPLEMENTACIÓN DEL CÓDIGO El procedimiento descrito por Ting 1, tiene base en el formali smo de Stroh y hace uso del con ce pto de matriz de transferencia, que relaciona los valores de l os desplazamientos y el de la función de tensiones entre los extremos ( r(, e; ) de cada material. Con la matriz de tran sf erencia y las relaciones (2a) se pueden relacionar los va lores de desplazamientos y el de la función de tensiones entre la cara extrema de l material 1 y el material N, tal y como se muestra a continuación. (3) donde K ,v= E.v· ... ·E2 ·E 1, siendo E; la matriz de transferencia del material i. La matriz el e transferencia E, para un material no degenerado tiene la expresión 1 ·21: (4) Al establecer l as condiciones de contorno en (3) so bre las car as extremas ( e; , e , ~ ), surgen lo s siguientes casos de las ecuaciones características como det erminantes de matrices 3 x3 (5 ) y (6) ó 6X6 (7) (L =Iibre, E=empotrado): IL-EI: Uv (e , :. ) = q> 1 (g1 - ) = o ~ K ~~ / = o, l E-El: u N (e~ )=u 1 (e 1· ) = o ~ K\ 7) =o ~: q> N (e , ~ ) = q> 1 (e;)= o ~ K ~ > = o ,~: q> A' CtJ. : ) = q> 1 (e 1 -) = o ~ K ~ :) =o Todos unidos: q> ,v (e , ~ ) = q> 1 (e 1 · ) y u N (e ,~ )=q> 1 (e;) ~ K N -l =o (5) (6) (7) donde en (7), 1 es la matriz identidad (6x6). Así pues, para plantear la ecuación característica de la que obtener Jos órdenes de singularidad, debemo s estab l ecer previamente las matrices de transferencia de cada material. En el trabajo de Ting 1 se detalla la estructura de t' , en ( 4) , para materiales anisótropos no degenerados, es decir, para aquellos materiales que según el formalismo poseen una matriz N (ver 22 ) simple o semisimple, con tres autovectores linealmente independientes. Conociendo las matrices A y B del material, se conoce la expresión de la matriz de transferencia. Lo s material es isótropos pueden ser considerados materiales anisótropos degenerados, co n un autovalor triple ( f.i = i = - 1 ) y dos autovectores linealmente independientes. Para el estudio de esquinas con presencia conjunta de materiales isótropos y anisótr opos no degenerados, se debe disponer de la expresión de la matriz de tran sfe rencia para ambos tipos de material. Los autores del presente trabajo han obtenido 21 las matrices de transferencia para materiales matemáticamente degenerados (matriz N con un autovector 302 MA TERIAL ES CO MP UE STOS 01 general iz ad o) y ex traordina ri ame nt e degenerados (matriz N con dos a ut ovector es genera li za dos). Se describen a continuación los tres bloques del programa elaborado con Mathematica 23 , de sc ribiendo somerame nt e, lo s pasos de cada un o. Bloque 1: Ob tención de las ma tri ces A, By F. Para materiales con cualqui er grado de anisot ro p ía y no degenerados, se utilizan las ex presiones de Lekhnitskii (ver 22 ) para A y B, y la generada por Ting 1 para la matriz F. Para mate ri al es isótropos, A y B son conocidas22 y la ma tri z F se obtiene de Barroso et a l. 21 , mi e nt r as qu e para los materiales transver sa lm e nt e isótro po s A y B se pueden to ma r de Ta num a20 teniendo la precaución de norma li zar A y B, y tr an sforma rl as al siste ma de referencia de fin i do por los ejes q ue definen la geometr ía de defo rm ac ión pl ana genera li z ad a ya q ue en el traba jo de Tanuma se prese nt an re fer id as a un os ej es solidarios al material, t se p ued en tomar de Barroso et a l. 21 si existe degener ac ión. Bl oque 2: Pl anteamiento del sistema y resolución. En este bloque se impleme nt a el procedimie nt o descri to por Ting 1 y seg ún la condic ión de contorno, se r es uel ve la ec ua ción car ac terís ti ca correspondiente (5) -(7). Para la bú squeda de los ceros de la ec uación caracte rí s ti ca, se ha hecho uso del e fi ciente Método de M ull er 24 , ya que los ór de nes de si ngular id ad pu eden ser complejos (p.c. un a g ri eta de int erfase). Bloque 3: Re pr esentación de despl aza mientos y tensiones. Los desplaza mi entos y tensiones se evalúan a través de la ex presión ( 1) y sabie nd o que 0' ,¡ =- (/) ,,2 y 0' ,2 = rp,_, . 4.- RESULTA DO S A efectos de verificar la i mpl ement ac ión del program a, se compararon resultados de órdenes de si ngular id ad de tensiones ( d-1 ) de distintos casos de esqu in as multimateri al es recog id os en la literatur a. Para proceder a la comparación de resultados y en lo que sigue, se es tablece el siste ma de referencia ligado a los ejes que definen la defo rm ación pl an a ge nera li z ad a, de ma ne ra que los des pla zamicnt os (u ,, i= 1 ,2,3) so n in de pe ndi entes de la co ordenada se g ún el ej e x3 (u;= u; (x 1,x2 )) . De mp sey & Siuc/a i/· 5 Se ha analizado el caso de dos materiales is ótropos con co ndi cion es de con tomo li bre - li b re y áng ul os B1= 1 65 °, 8.! =55° (ver Tabla J ). El aj uste es ex acto h as ta el sexto d ec im al en tre la so lu ción analítica de Dempsey y Sin el air (en Defo rm ación Plana) y la numéri ca ob te n id a, notando la aparición del modo no pla no (una 3" raíz). ~ ~ E1=280 GPa, 11 1=0.26 E/ E1=2 1.4 2, n2=0.30 Dem ps cy & Sin clair: -0 .41 60 0 8, -0.2489 89 Barro so ct a l. 21 : -0 .4 2730 5, - 0.41 6008, -0 .2 48989 Tab la J. Comparación de resultados en es quina bimate ri al i só trop a. Del al e7: Se prese nta n dos co nfi guraciones de materiales reforzados con fibra (Tab la 2), esta nd o la fibra or ie nt ada en el pl ano x2-x3 y fo rman do un áng ul o B (cada material un o MATERIAL ES COMPUESTOS O 1 303 di stinto) con el eje x2• Las propiedades del mate ria l en ejes de o rt otropía s on : E 11 = 163.4 GPa, E22 = E3 3= 11 .9 G Pa , G,2= G, 3 = 6. 5 GPa, G 23 =3.5 GPa, n 12 = n 13 = n 23 =0 .3 . Las condiciones de co nt o rno son libr eli br e. Se añaden lo s resul ta dos obte nid os por Chen 17 para la comparación de las raíces menores, pu es Delale só lo prese nt a la de mayor va lor. a=l79° Dclalc7: -0.4229 -0.4995 o,- y, ¡---C"'-'-he'-"n,17 :'-: t---'0.;_.4-=2-=-28::_8 '-" 6 "-, -=- 0 :..;_:. 3:...:8:...:.0..:c82=-:8:..!., -= - 0:..:... 0 =-4:...:.7 ..::.3=-3 7'--+ - __, 0:.:....4:....::9-<-94..:...7 '-' 9:.:.... _,- 0 :..:...4.:...:9"'-'R....:.; 4 R:.:...I:..::±~O.:..::. 0:.!. 1 ~96~0~9..!.-i O" B ar roso el a l. 21 : -0.422886, -0.380827. -0.047336 -0.4994 79. -0 .4 9R 4R 1±0.0 19609 ¡ Tab la 2. Comparación de resultados en esquina bim ate ri al a ni sótrop a. Pa ge au - Citen: En un i on es tri materia le co n todos Jos matcri a les unidos, se ha analizado la configuración de la tabla 3 (resultados de Pa geau y Chen. obtenidos de Chcn 17 , con la or ientación de las fibras iguales al ca o a nt erior ). Pagcau -0.084240 -0.01 92 18 Chcn -0.082543 -0 .0 18759 B atToso ct al. 1 -0.08753 -0.01807 Tab la 3. Comparación de res ul tados en esquina tri ma terial a ni sótrop a. C it en & Ht umg 15 : En apilados cross-ply y angle-ply de ma teriales reforza do s co n fi bra que presentan dc la min ación (g ri e ta i nt er laminar) y que se di sponen con la fi b ra en el pl ano x1-x3 fom1an do la fi bra un án gulo O con el e je x3 ( ve r tabla 4). con l as sig ui entes propiedades: E 11 = E22 =14.5 GPa, E 33 = 138 GPa, G1 2= G13=G 23 =5.9 GP a, 11 21 = 11 31 =n 32 =0. 21. C-H denota el resu lt ado el e Chcn y Huang y 8 21 el r es ultado obtenido en es te trab aj o. 0 1= 45 " C- 11 : -0.5±0.0343365 i 821 : -0.5±0.0343398 i 8, =60° C- H: -0.5±0.0294152 i 821 : -0.5 ±0. 02 94 173 i B1= 7SO C- H: -0.5±0.0 15 7990 i 8 11 : -0.5±0.0 15 8000 i Tabla 4. Comparación de r es ul tados en apilado angle-p/y. U na vez comprobada la precisión de los r es ultados del programa se ha proc e dict o al estu di o de esqu in as con presencia de mate ri ales de ge nerados, para lo cual se ha hecho uso el e las m at rices de tran sf erencia 21 desarro ll adas a tal efecto. Concretame nt e, se han es tud ia do configur ac iones entre una o varias láminas un idirecccionales de fibra de carbono (se ha considerado ortót ro pa) y un a dh esi vo base epoxy (mater ial i ótropo). Las propiedades de ambos mate ri ales son: Fibra de Ca rb on o: E 11 =141.3 GPa, E 22 =E 33 =9.58 GPa, G12=G 13 =5 GPa , G 23 =3.5 GP a, 11 12= n 13 = 0.3, n 23 =0.32. Ad hesi vo: E=3 GPa, n=0.35. En la fi gura 2 se pre se nta un a esquina entre la fi b ra de car bo no (con la fibra en la dirección del eje x1 t/J= 0°) y el adh es ivo, en la que se ha variado el ángulo a que forma el adh es iv o con la fibra de ca rb o no y que pretende repr ese nt ar la co nfi gu rac ión que se produce en l as uniones a dh esi vas en la zona de contacto ent re ambos. En l as proxi mid ad es de a = 160° dos de las raíces (r ea les) se trans fom1 an en compleja conju ga da y se alcanz an las ra íces: -0.5 y 304 MATERIALES COMPUESTOS O 1 dos complejas conjugadas con parte real -0.5, en la configuración de grieta (a = 180 ° ). La lin ea discontinua representa la pa11e imaginaria de ( d-1 ). En la figura 3 se muestra una esquina trimaterial (dos ortótropos y uno isótropo) que re sponde a la terminación de un laminado en contacto con adhesivo. Se ha mantenido la orientación de una de l as láminas va riando la orientación de la otra. Cuando ambas forman el mi s mo ángulo ( if¡=45°) , desaparecen los modos si ngulares al no existir "esqu in a". Por último, en la figura 4 se muest ra la distribución angular cualitativa (con la abcisa en radianes) de las tensiones s qq , s ,q y s ,T , para el caso (a =70°) de la figura 2, (para la primera raíz -0.266941 ). Se cumplen las condiciones de contorno (libre -libre) para l as componentes s qq y s rq , así como la discontinuidad de la componente s rr en la intercara entre ambos materiales, mientras que s qq y s ,q siguen siendo continuas pero no así su derivada en ese mismo punto (2P), lo que se aprecia en la figura 4(b). -0.5 0 0 .10 -0 .4 5 ~ 0.09 -0 .40 0.0 8 ' - 0.35 0.0 7 - -0.30 )v;, 0.06 3 - :;:_ - 0.25 t"' ~ 0. 05 Q. " J - "' -0.20 1 0.04 x3 1 -0. 15 1 0.03 1 0. 02 - 0.1 o 1 - 0.05 0.0 1 0. 00 0. 00 o 20 40 60 80 10 0 120 1 40 1 60 1 80 ángulo (a) Fig. 2. Esquina bimaterial (librelib re). -0 .15 0.10 -0. 13 Cl 0.08 k -0.1 o o 0.06 ::: x, 3 :::. -0.08 x3 0.04 Q: ' .) - r:::: - -0.05 0.02 -0 . 03 0. 00 0.00 -0 . 02 -90 -75 - 60 -45 -3 0 -15 o 15 30 45 60 75 90 lingulo (~) Fig. 3. Esquina trimaterial in terna. MATERIALES COMPUESTOS 01 305 1 /-r\ "-;-+¡ _..__..:.,..\-J-----l--- "1----i'-1. --'--~\.+-----!- 1 1 '--- ~----l-- 1/ '\.__L_ 1 1/ _, 1\ 1 ~ 1 i : .s :o 1 1 ! 1/ \ 1 ¡j 1 \ ¡, > 1 1 \ / 1:\ b' ' - '~.__ 1 10 / 1 ~· =+= 1 10 (a) (b) (e) Fig. 4. Evolución angular de s qq (a), s rq (b ), s ,., (e) para el caso a =70° de la Fig. 2. 5.- CONCLUSI ONES Con base en el trabajo de Ting 1 se ha generalizado el procedimiento de ca racterización del estado si ngular de tensiones en esquinas multimateriales anisótropas, con la posibilidad de inclusión de materiales matemáticamente degenerados. La inclusión de materiales degenerados se ha hecho posible tras el establecimiento de la s matrices de transferencia de sarrolladas para los mismos 21. El programa implementado muestra una prec1ston excele nt e en relación con trabajos previos existentes para distintos tipos de materiales y condiciones de contorno. Se presentan nuevos resultados ele esquinas con materiales degenerados y no degenerados, que re sponden a configuraciones realis ta s ele esquinas que se producen en las uniones adhesivas metal-composite y composite-composi te habituales en la industria aeronaútica. 6.- AGRADECIMIENTOS Este trabajo se ha realizado con la financiación PROFIT 2001 del Ministerio de Ciencia y Tecnología (proyecto EUREKA S! 1882) y de l Ministerio de Educación y Cultura (proyecto PB9 8-I 1 18). 7.- REFERENCIAS l. T.C.T. Ting ( t 997), "Stress singularities at the tip of interfaces in polycrystals", Damage and Failure of Interfaces, Ro ssmanith (ed.) Balkema, Rotterdam, ISBN 90 541 o 8991, pp. 75 -82. 2. M. L. Williams ( 195 2), "Stress singularities resulting from va rious boundary concl itions in angular corners ofplates in extcnsion", J. 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