Los orígenes del conocimiento geométrico: una aproximación cognitiva, epistemológica y arqueo-histórica orientada al continente Euroasiático

UNIVERSIDAD DE SEVILLA FACULTAD DE FILOSOFÍA DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA Y LÓGICA Y FILOSOFÍA DE LA CIENCIA TESIS DOCTORAL Los orígenes del conocimiento geométrico: una aproximación cognitiva, epistemológica y arqueo-histórica orientada al continente Euroasiático MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Manuel Jesús García Pérez Director José Ferreirós Domínguez Sevilla, 2023 A mis abuelos, Manuel Pérez Lorenzo y Carlota Galán Martín, ellos fueron la “luz de mi vida, fuego de mis entrañas” “Detrás de un cerro siempre viene una cañada” Dicho popular chipionero “Levántate sus pitisniqui, que estás en el potestate, ponte los pirrimiri y también los tarabitate, que casa la blanca y casa la negra están llenas de experiencia, y si no acudes con paciencia, se te quemará el bitoque, que yo me he llevado aquí, asiricrí y asiricroque” Canción popular de la que mi abuela nunca se olvidó Índice Agradecimientos vii Índice de Abreviaturas xi Resumen xiii Summary xix Introducción 1 Parte I - Fundamentos Teóricos 11 Capítulo 1 - Estudios cognitivos acerca del espacio y la geometría: una breve introducción histórica 13 1. Caracterización y problematización del espacio desde la geometría 14 1.1 Geometría y espacio 14 1.2 El surgimiento de las geometrías no-euclidianas 18 2. Estudios pioneros acerca de las relaciones entre espacio, geometría y cognición 24 2.1 El empirismo neokantiano de Helmholtz 24 2.2 El convencionalismo de Poincaré 28 3. Surgimiento de las ciencias cognitivas y su impacto en los estudios sobre cognición matemática 34 3.1 Primacía de los estudios en cognición numérica o aritmética 36 3.2 Presentación general de la teoría CKS 38 3.2.1 Teoría CKS y cognición matemática 40 3.2.2 Evidencia experimental de la teoría CKS 44 Capítulo 2 - Las bases cognitivas y culturales del conocimiento geométrico: un programa interdisciplinar de investigación 47 1. Teoría CKS y el innatismo del conocimiento geométrico 48 1.1 La universalidad de las intuiciones geométricas 48 1.2 La ʽgeometría naturalʼ como geometría euclidiana 51 2. Críticas al CKS geométrico y la caracterización innatista del conocimiento geométrico 53 3. Propuestas alternativas acerca de la emergencia del conocimiento matemático y su relación con nuestras habilidades cognitivas básicas 60 3.1 Algunas aproximaciones actuales en torno a la cognición visoespacial y cuántica 60 3.2 De la cognición visoespacial básica a la posesión de conocimiento geométrico: una caracterización en tres niveles de competencia 66 4. Los orígenes arqueo-históricos de la protogeometría y geometría 72 4.1 Algunos elementos clave de la filosofía de las prácticas matemáticas y la arqueología e historia cognitiva 73 4.2 Construcción de nichos cognitivos e instituciones 76 4.3 Herramientas cognitivas para la práctica matemática 78 Parte II - Casos de Estudio 81 Capítulo 3 - Una posible sistematización de los estudios en prehistoria de las matemáticas 83 1. La primacía de la “concepción helenofílica” en los trabajos en historia de las matemáticas 83 2. Algunas aproximaciones contrarias a la concepción helenofílica 85 3. Estudios en prehistoria de las matemáticas I: historias generales de las matemáticas y primeras aproximaciones arqueo-históricas 89 4. Estudios en prehistoria de las matemáticas II: estudios actuales en arqueología 94 4.1 Prehistoria del concepto de número 94 4.2 Prehistoria de la geometría 98 5. Una posible sistematización de los estudios en prehistoria de las matemáticas 112 Capítulo 4 - El surgimiento del conocimiento protogeométrico en Mesopotamia 121 1. Consideraciones generales sobre las matemáticas mesopotámicas y su lugar en la historia 121 2. La emergencia del conocimiento protomatemático en Mesopotamia 122 2.1 El Neolítico en Oriente Próximo (10.000-4000 a.e.c.) 123 2.1.1 Contexto socio-cultural y político 123 2.1.2 Las bases cognitivo-culturales del conocimiento protomatemático 124 2.2 La emergencia de la proto-matemática en Mesopotamia (4000–2000 a.e.c.) 127 2.2.1 Contexto socio-cultural y político 127 2.2.2 La emergencia de las proto-matemáticas 130 2.3 Período Paleobabilónico (2000-1600 a.e.c.) 137 2.3.1 Contexto socio-cultural y político 137 2.3.2 Desarrollos protomatemáticos Paleobabilónicos 140 Capítulo 5 - El surgimiento del conocimiento protogeométrico y geométrico en la Grecia antigua 161 1. Consideraciones generales sobre las matemáticas griegas y su lugar en la historia 161 2. Neolítico en Grecia (6500–4000 a.e.c.) 166 2.1 Contexto socio-cultural y político 166 2.2 Las bases cognitivo-culturales del conocimiento protomatemático 169 3. Historia plural de las matemáticas griegas 169 3.1 Tales de Mileto: el surgimiento de la protogeometría 170 3.2 Euclides: la emergencia del conocimiento geométrico deductivamente organizado 174 3.3 Herón de Alejandría: la pluralidad de la práctica matemática griega 184 Capítulo 6 - El surgimiento del conocimiento protogeométrico y geométrico en la Antigua civilización china 193 1. Consideraciones generales sobre las matemáticas chinas y su lugar en la historia 193 2. La emergencia del conocimiento protogeométrico en China 194 2.1 El Neolítico en China (6500-2000 a.e.c.) 195 2.1.1 Contexto socio–cultural y político 195 2.1.2 Las bases cognitivo–culturales del conocimiento protogeométrico 197 2.2 La emergencia de la protogeometría durante el período dinástico 209 2.2.1 Contexto socio–cultural y político 209 2.2.2 Las bases cognitivo-culturales del conocimiento protogeométrico 215 2.2.3 El surgimiento del conocimiento protogeométrico 220 3. El surgimiento del conocimiento protogeométrico y geométrico durante el período Imperial 228 3.1 Contexto socio–cultural y político 229 3.2 Las bases cognitivo–culturales del conocimiento protogeométrico 233 3.3 Emergencia y evolución de las (proto)matemáticas en China 242 3.3.1 Una caracterización general del campo de las matemáticas en China 242 3.3.2 Evolución del conocimiento (proto)geométrico desde los manuscritos hasta el desarrollo de los textos matemáticos 248 Parte III - Análisis comparativo 271 Capítulo 7 - Los orígenes del conocimiento protogeométrico y geométrico: un análisis arqueo-histórico comparativo 273 1. Los orígenes del conocimiento protogeométrico y geométrico: un análisis diacrónico 274 1.1 La prehistoria del conocimiento protogeométrico 274 1.2 Los orígenes del conocimiento protogeométrico y geométrico en el seno de tres grandes civilizaciones 281 1.2.1 La emergencia del conocimiento protogeométrico en Mesopotamia 281 1.2.2 La emergencia del conocimiento protogeométrico y geométrico en China 288 1.2.3 Un análisis comparativo con el caso griego 297 2. La pluralidad de prácticas matemáticas de la antigüedad 302 2.1 La “regla de la diagonal” en Mesopotamia 302 2.2 El procedimiento gou gu en los Nueve capítulos 304 2.3 El teorema de Pitágoras en los Elementos de Euclides 309 2.4 Un análisis comparativo de la diversidad de prácticas matemáticas 312 3. Consecuencias para los estudios actuales en “cognición matemática” 322 Consideraciones finales 327 Final considerations 335 Glosario de términos en chino 343 Apéndices 353 Referencias bibliográficas 369 vii Agradecimientos Hace siete años decidí embarcarme en la aventura de hacer una tesis doctoral sin financiación asegurada, pero con motivación de sobra. La financiación nunca llegó –salvo un contrato de un año como técnico de investigación con el programa de garantía juvenil de la Junta de Andalucía–; y la motivación fue menguándose hasta el punto de que, a fecha de 24 de mayo de 2022, he estado a punto de escribir a mi director para decirle que iba a abandonar. No hago ningún spoiler si os digo que esto no ocurrió, ya que estáis leyendo los agradecimientos a mi tesis, la cual nunca abandoné. El contexto en el que he desarrollado mi labor investigadora ha estado lleno de sorpresas. Algunas han sido duras, como la pandemia global y actual emergencia climática y bélica en la que vivimos. Otras, muy amargas, como largas enfermedades y muertes de familiares. Por último, también he tenido sorpresas esperanzadoras, como el nacimiento de mis dos sobrinas, Lola y Thalia. El impacto que estas y otras sorpresas han tenido en mi vida ha sido, en ocasiones, devastador. Y en esos momentos, la investigación en filosofía parecía que era la última de mis prioridades en la realidad precaria en la que ahora habitaba. Sin embargo, como bien dice mi madre, «aunque tú no quieras o no puedas, la vida continúa». Y la vida continuó. Y tengo que agradecer enormemente a todas las personas y redes de apoyo con las que he contado para llegar hasta aquí. Quiero agradecer, en primer lugar, a todas las instituciones y personas particulares sin las cuales esta investigación no podría haberse llevado a cabo. Entre ellas, mi especial agradecimiento a Alexandra Elbakyan por haber creado Sci-Hub, y por defender y promover la accesibilidad de la investigación a todo el mundo. También un agradecimiento especial a todas las personas involucradas en Internet Archive, que con el mismo espíritu que Alexandra se dedican incansablemente a poner miles de libros a disposición de todos de manera gratuita. Por último, un agradecimiento a todo el PAS de la Facultad de Filosofía de la US, y especialmente al personal de biblioteca que es con quién más he interactuado. Sin vosotros y vosotras la universidad no funcionaría, y más de un alumno y profesor seguiría perdido por el nuevo catálogo fama. Por otro lado, agradecer a todas las personas dentro del mundo de la filosofía que he ido conociendo a lo largo de estos años, y que de alguna manera han influido en mi manera de pensar y de hacer filosofía. Especialmente, gracias a Valeria Giardino, Lino viii Campubrí, Karine Chemla, Abel Lassalle Casanave y Christopher Cullen. Gracias también a todo el equipo investigador, técnico y administrativo del Laboratoire D’Histoire des Sciences et de Philosophie – Archies Henri-Poincaré, en el que estuve tres meses de estancia, e hicieron que me sintiera lo más cómodo y bienvenido posible. Gracias a Matheus Valente y Tamires Dal Magro (Tami). Fue muy bonito haber coincidido en Sevilla con vosotros, y haber continuado esta amistad en otros lugares como Bruselas, Barcelona o a través de nuestras pantallas. Ha sido un enorme placer trabajar contigo entre cervezas y cigarros, mensajes interminables de whatsapp discutiendo cuestiones sobre diagramas, o hablando de la variedad de prácticas matemáticas mientras probábamos seis tipos diferentes de queso. Sé que existe el dicho popular de que es mejor no mezclar el trabajo con el placer, pero he de decir que haberlo hecho contigo fue una experiencia muy bonita y enriquecedora. Millones de gracias a José Ferreirós. Sobra decir que esta tesis es fruto de haberte conocido. Cuando te propuse trabajar sobre el “Nacimiento de la física matemática”, aún recuerdo cómo me dijiste que no era buena idea –aunque me dijiste que, si yo quería, nos embarcaríamos en ello–, y por qué era una mejor decisión trabajar sobre “La génesis de la geometría”. Me has descubierto un mundo que ahora siento como mío, el de las matemáticas durante el período prehistórico y mundo antiguo. Siempre me has ayudado a comprender mejor estos temas, y a veces con una sola palabra ya lograbas que entendiera algo con lo que llevaba semanas liado sin conseguir entenderlo. Gracias también por haber tenido la paciencia que has tenido en mis innumerables retrasos en la entrega de capítulos, y de esta tesis, y por haber estado también presente cuando mi vida personal no estaba en su mejor momento. Recuerdo que en un congreso se me acercó un estudiante de doctorado a decirme: «se me hace raro veros a José y a ti reíros y estar charlando con tanta confianza, no conozco a ningún director de tesis que se comporte así con su doctorando». Gracias por haber sido así. Gracias infinitas a María de Paz. Aunque con tu llegada tuviera que marcharme del despacho en el que estaba, me alegro enormemente de que esto ocurriera. Eres el ejemplo de persona con el que la academia sí que es un lugar agradable en el que me gusta trabajar, y en muy poco tiempo te has convertido en el modelo de investigadora al que yo aspiro a convertirme. Me has ayudado tanto a nivel personal como académico, siempre con una paciencia, cariño y rigurosidad envidiables. Has aceptado mis silencios y espacio personal extra, y además me has dado consejos que, aunque no te lo haya dicho, sigo xv de crearlas, usarlas y enseñarlas. De esta manera, no solo son importantes sus capacidades y habilidades cognitivas, sino también el tipo de herramientas que usaron para hacerlo, así como el contexto socio-histórico, político e institucional particular en el que lo hicieron. Una vez establecido nuestro marco teórico general, presentaremos en la segunda parte algunos casos de estudio, los cuales tratarán sobre dos períodos principalmente. El primero de ellos será el de la Prehistoria, debido a que en las últimas décadas un mayor número de investigadores sitúa en este período los inicios u orígenes del pensamiento matemático. Estas propuestas se apoyan en la interpretación de algunos elementos arqueológicos como los primeros casos en los que se puede observar que el ser humano tuvo que usar algún tipo de conocimiento geométrico para tareas de construcción –p. ej. de monumentos megalíticos–, o empleó herramientas cuya forma particular pudo propiciar el desarrollo del conocimiento geométrico –p. ej. herramientas líticas–. Sin embargo, y apoyándonos fundamentalmente en nuestra distinción en tres niveles, defenderemos que ninguno de los materiales ni actividades de la Prehistoria ejemplifica los comienzos del desarrollo de este tipo de conocimiento. Bajo nuestro punto de vista, no tenemos indicios suficientes que nos indiquen que las formas particulares de estos elementos materiales fueron utilizadas para obtener algún tipo de conocimiento básico sobre las propias formas espaciales o sus características, ni tenemos datos suficientes para asegurar que fue necesaria la posesión de conocimiento geométrico para elaborar el tipo de construcciones que encontramos en este período. Lo que sí consideramos que existen, sobre todo a partir del Neolítico, son una serie de elementos que pueden ser considerados como las bases cognitivo-culturales para el posterior desarrollo del conocimiento protogeométrico. Entre estas, fue fundamental la construcción de lugares con un marcado carácter ritual por dos cuestiones principalmente: por un lado, porque en ellas se pudo acumular y mejorar progresivamente el material con contenido simbólico; y por otro, este tipo de construcciones favoreció la división y especialización del trabajo, de tal manera que las cuestiones rituales quedaron en manos de un grupo reducido de la población. El segundo período de interés es el de la Historia Antigua, y nos centraremos principalmente en los casos de tres grandes civilizaciones del continente Euroasiático, que son Mesopotamia, la Grecia antigua y la Antigua civilización china. Mostraremos detalladamente cómo en cada una de estas civilizaciones se fue dando forma, desde el Neolítico hasta el final de la Historia Antigua, a este tipo de conocimiento. Encontraremos xvi de hecho contribuciones culturales que atestiguan la aparición de formas de protogeometría, pero también veremos –en alguno de los casos– el paso a consideraciones no utilitarias y la aparición de formas de geometría, en sentido estricto. Finalmente, en la tercera parte, llevaremos a cabo un análisis comparativo de los anteriores casos de estudio. De esta manera, pretendemos mostrar y analizar las similitudes y diferencias que existen tanto en el desarrollo arqueo-histórico del conocimiento (proto)geométrico, como en el propio contenido de estas prácticas matemáticas. Es decir, que analizaremos de qué manera se configuran y relacionan los elementos teóricos que establecimos en la primera parte de esta tesis en cada uno de los casos particulares que hemos presentado. A partir de este análisis comparativo estableceremos las siguientes conclusiones. Primero, nuestro análisis pone en evidencia que en cada una de estas civilizaciones los agentes encargados de dar forma a este tipo de conocimiento usaron para ello toda una serie de herramientas cognitivas –p. ej. diagramas o lenguaje técnico– y herramientas técnicas. Además, estos agentes elaboraron este tipo de conocimiento siguiendo unas metas particulares, como poder resolver problemas prácticos, o desarrollar métodos o procedimientos matemáticos generales. Por lo tanto, y en contra de las conclusiones principales de la teoría CKS, estos casos de estudio muestran que el desarrollo de este tipo de conocimiento siempre se encuentra culturalmente influenciado. Segundo, y en relación con la conclusión anterior, nuestro análisis muestra que existieron diversas maneras de dar forma a este tipo de conocimiento en el pasado. Sin embargo, y esta vez contra la asunción helenofílica, la preferencia por una u otra de estas formas lo que estaría poniendo en evidencia son nuestros propios sesgos a la hora de acercarnos a la historia antigua de las matemáticas. Es decir, consideramos que es metodológicamente erróneo analizar las prácticas matemáticas del pasado asumiendo que estas tienen que asemejarse a nuestras prácticas actuales, o a un tipo de matemáticas que hoy día consideramos como las únicas correctas o paradigmáticas. Lo que nuestra aproximación plural y contextual revela es que existieron diversas maneras de desarrollar este tipo de conocimiento, y lo interesante es observar cómo en cada una de estas civilizaciones se comenzaron a estudiar y analizar las formas y figuras espaciales, y cómo se desarrollaron marcos simbólicos en los que conectar y seguir desarrollando este conocimiento. Por lo tanto, este trabajo muestra que existe una rica y variada historia del desarrollo del conocimiento protogeométrico y geométrico en la antigüedad. Para entender dicho desarrollo es necesario analizar con detalle la manera en la que toda una xvii serie de elementos –agentes, herramientas, instituciones y contexto socio-histórico y político– fueron dando forma a este conocimiento. Estaríamos considerando, de esta manera, que no existe una única manera correcta de hacer matemáticas en la antigüedad que tenga que asemejarse a los desarrollos griegos, ni que nuestras capacidades cognitivas innatas sean el único motor de la cognición matemática o del desarrollo cultural. Defendemos, de esta manera, que no existe un único origen común de las matemáticas, sino múltiples orígenes que tendrán que ser analizados y considerados comparativamente a la hora de reescribir, alejados de concepciones helenofílicas, la historia antigua de las matemáticas. Palabras clave: cognición geométrica, protogeometría, herramientas matemáticas, evolución del conocimiento geométrico, arqueología e historia comparativa, historia de la geometría. xviii xix Summary There is an extensive and intense debate around the issue of how mathematical knowledge emerged and was developed in our species. This kind of question has been approached from a wide variety of disciplines, including philosophy, throughout the history of human thought. Nowadays, several of these disciplines approach this debate from a “universalist” position. That is, they consider that there is a unique origin of mathematical knowledge that is universal for the whole human race, or at least one origin that fits the type of mathematics that we have today. We can see this kind of universalist characterization in the following example. The CKS theory is one of the most active proposals, with great academic impact in current mathematical cognition studies. Researchers within this theory consider that there exists a kind of geometric intuitions, that are innate in the human being –they even speak of a natural geometry. This is precisely due to how our modules related to the development of this kind of knowledge are combined; the modules or “cognitive knowledge systems” are innate in our species. Therefore, human beings will develop a similar kind of geometric knowledge, which these researchers equate with the basic elements of Euclidean geometry, independently of both their physical and cultural environment. On the other hand, in much of the work on the history of mathematics there has been a “hellenophilic conception” about the development of mathematics. What this means is that for many historians there is a single origin of mathematics, properly speaking, which is situated in ancient Greece, more specifically in the mathematics developed by Euclid. Therefore, developments from other ancient traditions are not considered mathematical because they elaborated a type of knowledge that is not similar to that of the Greeks. It is often considered that these other cultures possessed perhaps a kind of ‘mathematical’ art, but not knowledge in the proper sense. Although these examples are related to the study of geometric knowledge, much of the current work dealing with the origin and development of mathematical knowledge is devoted to the study of the possible cognitive and cultural foundations of arithmetic. Therefore, a gap exists in current research, and this work aims to fill this gap by focusing specifically on the analysis and study of the archaeo-historical origins of geometric knowledge. To accomplish this, we have divided this work into three parts. In the first part, we will first discuss how the possible relations between space, the perception of space, xx and their possible geometrization, have been shaped throughout history. This presentation is important to us for two main reasons. On the one hand, to understand the development and historical inheritance of current work in mathematical cognition; on the other hand, because it allows us to observe that the object of study of geometry has not always been the same, but has been varying throughout history. This second question tends to be ignored precisely by the CKS theory, for which human beings will always develop a similar basic geometric knowledge influenced by how they perceive and encode the environment thanks to innate cognitive modules. Afterwards, in relation to current work in mathematical cognition, we will present in detail the CKS theory, as well as some criticisms that have been made of this innatist and universalist proposal from disciplines such as psychology, mathematical education, or philosophy. This is useful to establish the general framework in which our own work is situated, where we will develop a new research program about the archaeo-historical origins of geometric knowledge. This program is based on two main ideas or points. First, we establish a distinction of three levels of competence in relation to geometric cognition. At the first level, named of visuospatial cognition, we would be considering how agents relate perceptually to space on both the small and large scale. In the second and third levels we would have the development of protogeometric and geometric knowledge, respectively. At these levels we are not considering how agents immediately perceive and encode the medium thanks to their cognitive system, but how they make active use of external representations, and other tools, to reflect and obtain some knowledge about the characteristics and relationships of spatial figures or forms. On the other hand, and relying mainly on some developments in the philosophy of mathematical practices, as well as cognitive archaeology and cognitive history, we consider that there are a number of key elements to analyze the origins of this kind of knowledge. Particularly, we consider that in order to understand how mathematics arose in antiquity it is crucial to analyze who were the agents in charge of creating, using and teaching it. In this way, not only are their cognitive abilities and capacities important, but also the type of tools they employed, as well as the particular socio-historical, political and institutional contexts in which they did so. Once our general theoretical framework has been established, we will present in the second part some case studies, which deal mainly with two periods. The first of these will be that of Prehistory, because in recent decades a great number of researchers place in this period the beginnings or origins of mathematical thought. These proposals are xxi based on the interpretation of some archaeological elements as the first cases in which it can be observed that human beings used some kind of geometric knowledge for construction tasks –e.g. megalithic monuments–, or used tools whose particular shape could foster the development of geometric notions –e.g. lithic tools. However, and relying fundamentally on our distinction in three levels, we will defend that none of the prehistorical materials or activities exemplifies the beginnings of the development of geometric or protogeometric knowledge. In our view, we do not have enough evidence to state that the particular shapes of these material elements implied the availability of some basic knowledge about the spatial forms or their characteristics –nor do we have enough data to claim that the possession of geometric knowledge was necessary to elaborate the type of constructions we find in this period. We rather consider that, from the Neolithic period on, there is a series of elements that could be considered as the cognitive and cultural bases for the development of protogeometric knowledge. Among these, the construction of places with a marked ritual nature was fundamental, for two main reasons: on the one hand, because it was possible to accumulate in them, and progressively improve, materials with symbolic content; on the other, because this kind of construction favored the division and specialization of labor, so that the rituals remained in the hands of a small group of the population. The second period of interest is that of Ancient History, and we will focus mainly on the cases of three great civilizations in the Eurasian continent, which are Mesopotamia, ancient Greece and Early China. We will show in detail how in each of these civilizations this kind of knowledge was given shape, from the Neolithic to the end of Ancient History. We will find in fact cultural contributions that testify to the appearance of forms of protogeometry, but we will also see –in some of these cases– the transition to nonutilitarian considerations and the emergence of forms of geometry, in the strict sense. Finally, in the third part, we will carry out a comparative analysis of the previous case studies. In this way, we intend to show and analyze the similarities and differences that exist both in the archaeo-historical development of (proto)geometric knowledge, and in the very content of these mathematical practices. That is, we will analyze how the theoretical elements established in the first part of this dissertation are configured and related in each of the particular cases we have presented. From this comparative analysis we will draw the following conclusions. First, our analysis shows that in each of these civilizations the agents responsible for shaping this kind of knowledge used a whole series of cognitive tools –e.g. diagrams or technical xxii language– and technical tools. In addition, these agents developed their knowledge following particular goals, such as solving practical problems, or developing general mathematical methods or procedures. Therefore, and contrary to the main conclusions of the CKS theory, these case studies show that the development of this kind of knowledge is always culturally influenced. Second, and related to the above conclusion, our analysis shows that there were various ways of shaping (proto)geometric knowledge in the past. However, and this time against the hellenophilic conception, the preference for one or another of these forms would, for the most part, be evidence of our own biases when we approach the ancient history of mathematics. That is, we consider that it is methodologically wrong to analyze the mathematical practices of the past assuming that they have to resemble our current practices, or a type of mathematics that we consider nowadays as the only correct or paradigmatic one. Our approach is plural and contextual, and it reveals that there were different ways of developing (proto)geometric knowledge. What is interesting is to observe how in each of these civilizations spatial forms and figures were studied and analyzed, and how symbolic frameworks were established to connect and further develop this knowledge. Thus, this work shows that there exists a rich and varied history of the development of protogeometric and geometric knowledge in Antiquity. To understand this development, it is necessary to analyze in detail the way in which a whole series of elements –agents, tools, institutions and socio-historical contexts– contributed to give shape to such knowledge. We would consider, in this way, that there is no single correct way of doing mathematics in ancient times that has to resemble Greek developments, but also that our innate cognitive abilities are not the only motor of mathematical cognition and cultural development. We argue, in this way, that there is not a unique common origin of mathematics, but multiple origins that will have to be analyzed and considered comparatively when rewriting, far from hellenophilic conceptions, the ancient history of mathematics. Keywords: geometric cognition, protogeometry, mathematical tools, evolution of geometric knowledge, comparative archaeology and history, history of geometry. 1 Introducción Una de las preguntas centrales para la historia y filosofía de las matemáticas se relaciona con la propia definición de aquello que llamamos matemáticas o conocimiento matemático. Esta pregunta, lejos de ser trivial, es una cuestión compleja que puede abordarse desde diferentes perspectivas. Por un lado, desde un punto de vista comparativo y general, podríamos preguntarnos cuáles son aquellas características que nos servirían para diferenciar el conocimiento matemático del de otras áreas del saber, como podría ser el conocimiento científico o filosófico. Por otro lado, cabría preguntarse si existe, o incluso si es necesaria, una definición de conocimiento matemático que se adecúe a los desarrollos que tuvieron lugar en períodos tan distintos y distantes como son la Historia Antigua y la Edad Contemporánea. Finalmente, y dentro de un período concreto, también podríamos preguntarnos si los desarrollos matemáticos de distintas culturas o civilizaciones tendrían que ajustarse a una definición “universal” de qué son las matemáticas. En la actualidad estas preguntas están generando un importante y rico debate que no compete únicamente a la historia y filosofía de las matemáticas, sino a diversas disciplinas como la antropología, la arqueología, las ciencias cognitivas, la educación matemática, las etnomatemáticas o la psicología, por nombrar algunas de las más importantes para el presente trabajo. Además, como veremos a lo largo de los próximos capítulos, el trabajo interdisciplinar entre estas y otras áreas afines es crucial para obtener una imagen lo más completa e informada posible acerca de qué es aquello que denominamos matemáticas (cf. Ferreirós 2016; Adams et al. 2017; Everett 2017). Este sería el contexto general en el que se sitúa el presente trabajo de investigación. Sin embargo, no es la propia pregunta “¿Qué son las matemáticas?” la que hemos tratado de responder, sino algunas de las ramificaciones que se derivan de la misma. Una primera ramificación de esta pregunta general estaría relacionada con la división del campo de las matemáticas en sus distintas áreas. Esta pregunta, al igual que planteamos al inicio de esta introducción, es una cuestión compleja que podría analizarse desde distintos ángulos. En primer lugar, se podría analizar desde las ciencias cognitivas y áreas afines si los seres humanos usan las mismas capacidades cognitivas y biológicas en relación con los números, por un lado, y con las formas geométricas, por otro –por nombrar dos casos clave para nuestro trabajo, y que veremos con más detalle en los 2 capítulos primero y segundo–. En segundo lugar, se podría investigar desde áreas como la psicología del desarrollo si los infantes tienen mayores dificultades a la hora de comprender y usar números y las operaciones que podemos realizar con ellos, que a la hora de hacerlo con figuras geométricas y sus operaciones (cf. Campbell 2005; Robinson et al. 2019). En último lugar, desde la arqueología e historia se puede analizar si distintas áreas de las matemáticas como la aritmética y la geometría se desarrollaron en paralelo, conjuntamente, si se consideraban dos campos del conocimiento plenamente independientes, etc. (cf. Struik 1987; Joseph 2011). De hecho, mostraremos posteriormente que en los estudios actuales en ciencias cognitivas y prehistoria de las matemáticas existe un mayor énfasis y preocupación por las cuestiones relativas a números y aritmética que por las cuestiones relativas a la geometría; incluso en algunas ocasiones se usa el apelativo matemáticas o matemático como sinónimo de aritmética. La segunda ramificación se relaciona con los orígenes de este tipo de conocimiento. De nuevo, esta pregunta podría considerarse desde distintos ángulos. En primer lugar, podríamos preguntarnos por los orígenes filogenéticos de las capacidades biológicas y cognitivas que se relacionan con nuestra comprensión, elaboración y enseñanza de las matemáticas; es decir, la cuestión principal que esta aproximación trata de responder se relaciona con el momento de la evolución en el que estas capacidades y habilidades surgieron. En segundo lugar, nuestro interés podría estar en los orígenes ontogenéticos de las matemáticas; esto es, el momento durante nuestro desarrollo psicológico en el que comenzamos a comprender y manejar cuestiones de carácter matemático (cf. Dehaene & Brannon 2011; Schemmel 2016a; Hohol 2020). En último lugar, también podríamos investigar los orígenes arqueo-históricos de las matemáticas, relacionados con el estudio del momento o momentos en la historia en que los seres humanos comenzaron a desarrollar y enseñar a futuras generaciones este tipo de conocimiento (Keller 2004a; 2006; Campos Almeida 2009; 2011). El objeto de la presente tesis se relaciona principalmente con la segunda de estas ramificaciones. Como su propio título indica, nuestro interés está en los orígenes del conocimiento geométrico. Por supuesto, para tratar este tema necesitamos abordar algunas de las cuestiones de la primera de las ramificaciones; es decir, responder al menos tentativamente a la pregunta sobre qué es aquello que denominamos ʽgeometríaʼ, o al menos ofrecer algunas de sus características principales que nos permitan analizar y comprender cómo y por qué surgió este tipo de conocimiento en el pasado. 9 a éste; y, menos aún, considerar que el apelativo de “matemáticas” se aplique únicamente a aquél conocimiento que sea equiparable al griego. Lo crucial para la historia de la matemática antigua, y su análisis comparativo, será precisamente ver en qué contexto socio-cultural y político específico surgió este conocimiento geométrico, en manos de qué grupo o comunidad, qué tipo de problemas tanto prácticos como teóricos viene a resolver, así como la manera en la que cada cultura le dio forma. Y es precisamente por esta cuestión por la que preferimos hablar de orígenes, de nuevo en plural, de las matemáticas. Antes de terminar esta introducción, queremos señalar muy brevemente que los estudios históricos comparativos y contextuales de las matemáticas antiguas se han revitalizado, y como señalan algunos autores, están revolucionando este campo de conocimiento en los últimos años (cf. Cullen 1995; Cuomo 2001; Netz 2003; Robson & Stedall 2009). Estos autores, al igual que haremos nosotros en el presente trabajo, tratan de entender y analizar el surgimiento y desarrollo de cada práctica o cultura matemática dentro de su propio contexto socio-cultural y político, con su propio lenguaje y procedimientos, y no analizándolas a la luz de nuestras matemáticas actuales o en comparación con un supuesto ideal matemático deductivo al estilo euclidiano. Para terminar, conviene señalar que durante los años en los que este trabajo ha sido desarrollado he publicado una serie de artículos y capítulos de libro en los que algunos de estos temas han sido presentados. Consideramos que es importante reflejarlos en esta introducción por el aval que puede representar la publicación en revistas con arbitraje, y puesto que esta obra se ha beneficiado indudablemente del trabajo e ideas de mis co-autores, así como de los comentarios de los revisores. Estos son: - García-Pérez, M. J. 2023. “Los orígenes prehistóricos del conocimiento geométrico”, en J. Ferreirós & M. de Paz (eds.), La génesis de la geometría. Madrid: Plaza y Valdés. - Dal Magro, T. & García-Pérez, M. J. 2023. “Demostrar es diagramar: la práctica euclídea”, en J. Ferreirós & M. de Paz (eds.), La génesis de la geometría. Madrid: Plaza y Valdés. - Ferreirós, J. & García-Pérez, M. J. 2020. “Beyond natural geometry: on the nature of proto-geometry.” Philosophical Psychology, 33(2): 181-205. - Dal Magro, T. & García-Pérez, M. J. 2019. “On Euclidean diagrams and geometrical knowledge.” Theoria, 34(2): 255-276. 10 - García-Pérez, M. J. & Dal Magro, T. 2019. “Un análisis comparativo del uso de diagramas en dos prácticas matemáticas de la antigüedad.” Crítica, Revista Hispanoamericana de Filosofía, 51(152): 5-31. - Ferreirós, J. & García-Pérez, M. J. 2018. “¿“Natural” y “euclidiana”? Reflexiones sobre la geometría práctica y sus raíces cognitivas.” Theoria, 33(2): 325-344. 11 PARTE I FUNDAMENTOS TEÓRICOS 12 13 Capítulo 1 Estudios cognitivos acerca del espacio y la geometría: una breve introducción histórica En este capítulo vamos a presentar una serie de temas clave para la historia del pensamiento humano, como ha sido la cuestión de la naturaleza de nuestro espacio físico, nuestra manera de percibirlo, así como el desarrollo del conocimiento geométrico y su posible uso para caracterizar este espacio y nuestra percepción del mismo. Cada uno de estos temas ha tenido un amplio desarrollo histórico y han sido fundamentales para diversos campos de conocimiento como la filosofía, la matemática o la psicología. Por un lado, los estudios sobre percepción espacial han disfrutado de un “largo y prestigioso pedigrí” en la historia general de la psicología (Wagner 2006, 1-29); por otro lado, la geometría ha sido considerada desde la antigüedad hasta finales del siglo XVIII como paradigma y fundamento de certeza (Houzel 1992), y ha estado siempre presente en las discusiones filosóficas. De hecho, como señala Magnani (2001), precisamente por su consideración como fundamento de certeza, el conocimiento geométrico “ha interpretado a menudo el papel de laboratorio para los experimentos conceptuales de los filósofos dedicados a la ideación de teorías del conocimiento poderosas” (p. vii). Tratar cada uno de estos temas en detalle, así como las distintas relaciones que se han establecido entre estos en diferentes períodos históricos, nos llevaría demasiado lejos de nuestro objetivo. Por esta razón, hemos decidido analizar estas cuestiones de la siguiente manera. En primer lugar, haremos una breve presentación histórica acerca de cómo la geometría fue vinculándose con el espacio físico, presentando con algo más de detalle el surgimiento de las geometrías no-euclidianas y de qué manera estas tuvieron un impacto en nuestra propia concepción del espacio físico y cómo es percibido (sec. 1). En segundo lugar, centraremos nuestra atención en dos investigadores interdisciplinares del siglo XIX y principios del XX que trataron de manera extensa las cuestiones de ʽEspacio, Geometría y Cogniciónʼ. Estos son Hermann von Helmholtz, por un lado, y Henri Poincaré, por otro (sec. 2). En último lugar, veremos de qué manera se han investigado las bases cognitivas del conocimiento matemático en los trabajos actuales sobre cognición matemática; 14 particularmente, nos centraremos en una propuesta innatista que ha tenido un importante impacto en esta área de conocimiento, que es la propuesta CKS –Core Knowledge Systems o Sistemas Nucleares de Conocimiento–. 1. Caracterización y problematización del espacio desde la geometría En esta sección vamos a ver de qué manera el conocimiento geométrico ha ido vinculándose históricamente con cuestiones espaciales desde finales del Renacimiento hasta el surgimiento y establecimiento de las geometrías no-euclidianas. Esta será una presentación y revisión muy general de algunos de los momentos y pensadores clave de la historia de la geometría en el mundo occidental. 1.1 Geometría y espacio En primer lugar, tenemos que señalar que el objeto de estudio de la geometría en la Grecia antigua no fue el espacio, ni siquiera cuestiones espaciales generales, sino las características de figuras geométricas, como círculos o cuadrados, polígonos o sólidos regulares, y su relación con otras figuras o elementos geométricos, como puntos o líneas. 1 Los matemáticos y pensadores griegos no necesitaron explicitar ni considerar el espacio en el que estas figuras y elementos geométricos se situaban. 2 Este tipo de geometría se ha denominado en la literatura como ʽciencia de las magnitudesʼ, la cual dominará la práctica geométrica occidental hasta el siglo XVI (cf. Mueller 1981, 14-16; Torretti 1984, 24-27; De Risi 2015; 2016a). 3 Para Mueller (1981, 15-16) este interés por las figuras geométricas particulares se relaciona con la limitación de usar solo regla y compás impuesta en esta práctica diagramática, señalando que “la demostración de que se puede realizar toda una serie de 1 Lo veremos con más detalle en el capítulo 5. 2 Gray (1989, 26-38) considera que tuvo que existir un espacio plano subyacente a estas figuras, denominado por Mendell (2015) ʽespacio ingenuoʼ, ya que para llevar a cabo las operaciones geométricas es preciso que estas existieran o se situaran en un mismo espacio plano. Sin embargo, no existen datos matemáticos ni filológicos que apoyen esta interpretación (cf. Mendell 2015). 3 En la edición de los seis primeros libros de los Elementos de Playfair (1846) se define geometría como “ciencia que tiene por objeto la medición de magnitudes. Las magnitudes se pueden considerar en tres dimensiones, –longitud, anchura, altura o grosor– (p. 5). 15 construcciones con regla y compás es claramente uno de los propósitos de los primeros libros de los Elementos” (p. 16). Proclo también enfatizó esta naturaleza constructiva de la geometría euclidiana en relación con los tres primeros postulados, los cuales nos enseñan precisamente a construir u operar con los diagramas. Por ejemplo, el postulado 1 nos dice que podemos “trazar una línea desde un punto a otro punto cualquiera” (cf. Morrow 1992; Ferreirós 2016, 127-137). Pasamos al siglo XVI, en el que se usará por primera vez el término spatium en un tratado geométrico; particularmente, en la obra del filósofo neoplatónico Patrizi de Cherso (1529-1597), quién afirmará en su obra Sobre una Nueva Geometría (1586) que “el tema general de las matemáticas es el espacio” (De Risi 2015, 8). La novedad de esta obra es epistemológica más que matemática. Por un lado, porque sus habilidades como matemático fueron escasas, y trató en su obra solo algunos resultados más bien básicos de la obra de Euclides; por otro lado, porque la gran novedad que introdujo fue la de considerar al espacio tridimensional de manera autónoma, ontológicamente hablando, a los cuerpos y materia que en él se sitúan, y sustituyendo así las magnitudes cuantificadas por el espacio cuantificado como objeto de estudio de la geometría (cf. De Risi 2015, 2016b). 4 Esta caracterización del espacio como extensión cuantitativa sitúa a Patrizi a medio camino entre las consideraciones geométricas de la antigüedad y las de la modernidad, en las que el espacio se concebirá como una estructura y la geometría como su ciencia, siendo Leibniz (1646-1716) el primer autor que así lo concibe (cf. Torretti 1984, 28-29; De Risi 2007; 2018). 5 Para entender esta concepción del espacio como estructura es interesante presentar, brevemente, la discusión que Leibniz mantuvo con los newtonianos acerca de 4 Otros filósofos o matemáticos de este período trataron estas cuestiones en términos similares, como Bernardino Telesio, Tommaso Campanella o Giordano Bruno (cf. Torretti 1984, 28; De Risi 2015; 2016b). Estas ideas tienen un antecedente en el judío mallorquín Hasdai Cresques, cuya obra de 1410 insiste en la idea de un espacio vacío tridimensional que es el receptáculo de los cuerpos (cf. Torretti 1984, 28). 5 Houzel (1992, 4-5) señala que durante este período tiene lugar otro hecho clave para esta historia, que es la aplicación de la geometría al estudio físico, ya fuera por ingenieros y matemáticos como Carnot o Poncelet, o por físicos como Kepler o Newton. Por citar un ejemplo, Kepler consideraba que la astronomía formaba parte de la física, y su estudio tenía que llevarse a cabo mediante la aplicación de conceptos geométricos; como afirma el propio Kepler, “vemos que los movimientos [de los planetas] ocurren en el tiempo y el espacio y que la fuerza [que los une al sol] emana de su fuente y se difunde a través de los espacios del mundo. Todas estas son cosas geométricas” (Kepler 1609 apud Torretti 1984, 23). 16 la naturaleza del espacio. Esta polémica la encontramos en la correspondencia que Leibniz y Clarke mantuvieron en los años 1715-1716, este último en defensa de la concepción newtoniana (Alexander 1956; Rada 1980). Newton sostuvo la existencia del espacio absoluto, el cual es independiente a los objetos, existió antes que la materia y seguirá existiendo aún si esta es eliminada. Para Leibniz, sin embargo, el espacio es relativo a la coexistencia de los cuerpos y materia en él situados (Pooley 2013). Por ejemplo, en su cuarta respuesta a Clarke afirma que “si no hubiera criaturas, el espacio y el tiempo no existirían más que en las ideas de Dios” (Rada 1980, 84); o en la quinta, donde dice que “el espacio no es otra cosa más que un orden de existencia de las cosas que se manifiesta en su simultaneidad” (Rada 1980, 106). 6 En relación con esta concepción del espacio cabría hablar del Analysis Situs, término con el que se hace referencia al conjunto de investigaciones filosóficas y matemáticas de Leibniz sobre el desarrollo, formalización y fundamentos de la geometría (De Risi 2007, 127-295; 2018). El objeto de estudio principal del Analysis Situs no son las figuras o elementos geométricos, sino las relaciones de posición entre figuras o puntos. De esta manera, el espacio se podría definir como el sistema de todas las relaciones posibles entre las posiciones de los objetos. Como resume De Risi (2018), “aquí, por primera vez en la historia de las matemáticas, encontramos definiciones geométricas sobre el espacio, seguidas de axiomas y teoremas sobre él y la primera demostración teniendo como objeto las propiedades del espacio mismo” (p. 253). 7 En último lugar, vamos a presentar al filósofo Immanuel Kant (1724-1804), quien representa la culminación de los intentos de autores anteriores, como Descartes, Newton o Leibniz, de establecer las relaciones entre espacio físico, geométrico y perceptual (Friedman 2015). 8 Además, su postura fue muy influyente en los siglos posteriores, donde 6 McDonough (2021) ejemplifica esta concepción relativa del espacio con un árbol genealógico, el cual no existe de manera independiente a los miembros de la familia que conforman dicho árbol; sin embargo, los miembros de la familia no son el árbol genealógico, sino que este es un sistema abstracto de relaciones que existe entre estos miembros familiares. El espacio relativo de Leibniz es precisamente esta estructura abstracta de relaciones de coexistencia entre los cuerpos en él situados. 7 En años posteriores habrá una extensa discusión entre los defensores de la geometría como estudio de las figuras en el espacio y los que la consideran como estudio del espacio en sí mismo, esta última en línea con las ideas de Leibniz (cf. De Risi 2018). 8 No hemos podido presentar por cuestiones de espacio los trabajos acerca de nuestra percepción espacial y visual. Esta historia también se remonta a la antigüedad, con Euclides y Aristóteles, y tendrá un desarrollo muy importante en el mundo árabe medieval (Meyering 1989, 21-69). A partir del siglo XVII esta área 17 filósofos, fisiólogos, matemáticos o psicólogos tratarán de argumentar tanto a favor como en contra de esta concepción kantiana (cf. Hatfield 1990; 2006; Friedman 2015). 9 En primer lugar, Kant defendió al comienzo de sus investigaciones una postura relacionista cercana a Leibniz. Sin embargo, a partir de 1768 elaborará una propuesta novedosa en la que defenderá la anterioridad del espacio respecto a las cosas espaciales, vinculada esta sobre todo con nuestra percepción (Hatfield 1990, 67-108; 2006). En su disertación de 1770, Sobre la forma y los principios del mundo sensible y el mundo inteligible, presentada al asumir la cátedra de la Universidad de Königsberg (cf. Torretti 1967, 146-179; 1984, 29-33), afirmará que “el espacio no es algo objetivo y real, tampoco una sustancia, ni un accidente, ni una relación; es, más bien, subjetivo e ideal” (Kant 1770 apud Hatfield 2006, 74). Sin embargo, para este trabajo nos vamos a centrar en la exposición que hace de estas cuestiones en la Crítica de la razón pura –1ª ed. de 1781 y 2ª ed. de 1787–; particularmente, es en la Estética Trascendental donde Kant expone dos cuestiones clave que vamos a presentar (cf. Torretti 1967, 146-221; Allison 2004, 99-132). En primer lugar, Kant afirma que el espacio no es un concepto empírico ni tiene existencia por sí mismo, sino que es una representación necesaria, a priori y universal que sirve de base para nuestras intuiciones externas, tal y como ya hizo en su disertación de 1770 (cf. Hatfield 1990, 87-98; 2006). Como resume Torretti (1967), tendrá un desarrollo notable, con autores como Descartes y su noción de geometría natural (cf. Hatfield 2015), Berkeley, Hume, etc. (cf. Hatfield 1990, 21-66; 2015). Por otro lado, creemos que es importante remarcar el hecho de que Thomas Reid (1710-1796) publicó en 1764 Investigación sobre la mente humana según los principios del sentido común, en la que trató, entre otros temas, la ʽgeometría de los visiblesʼ. En este trabajo consideró que nuestra percepción se caracterizaba por un tipo de geometría esférica, en la cual no se sostenía, por ejemplo, el axioma de las paralelas. Este autor defendió, así mismo, que esta geometría del espacio perceptual era tan válida como la euclidiana (cf. Gray 1989, 71; Hatfield 1990). Sin embargo, la aceptación de la geometría no-euclidiana en el ámbito matemático no fue general hasta los años 1860-1870, y en el ámbito filosófico incluso en este período seguía considerándose sospechosa y contraintuitiva. Lo que queremos remarcar es que, aunque en este trabajo estemos subrayando las posibles relaciones entre espacio, geometría y cognición o percepción, estas áreas no siempre se comunicaron efectivamente o trabajaron estrechamente. 9 De hecho, algunos investigadores siguen identificando nuestra percepción del espacio visual con la geometría euclidiana (cf. Wagner 2006, 44-47). Por otro lado, en la sección 3 presentaremos una serie de propuestas actuales en las que se identifica nuestra ʽcognición geométricaʼ con la geometría euclidiana, tomando a pensadores como Platón, Descartes o Kant como sus referentes filosóficos –ver nota 42–. 18 espacio y tiempo no son entes –a la manera de enormes receptáculos– que tengan existencia por sí mismos, ni tampoco sistemas de relaciones meramente abstraídos de las cosas espaciales y temporales; sino que son «formas de nuestra sensibilidad», condiciones propias de nuestra facultad de conocer (p. 62) 10 En segundo lugar, Kant considera que la geometría euclidiana se basa en esa representación intuitiva y a priori del espacio, de modo que sus proposiciones son sintéticas y a priori. Con esto, lo que se está equiparando es precisamente el espacio físico con la geometría euclidiana y con nuestra percepción del mismo, afirmando de hecho que no es posible que existan otras geometrías distintas a la euclidiana, ya que estas no podrían representar este espacio intuitivo y a priori (Torretti 1967, 179-214; Allison 2004, 116-118). No podemos decir mucho más de esta concepción kantiana del espacio y la geometría, ya que como señala Torretti (1967), por desgracia Kant no nos explica nunca cómo la «intuición pura» del espacio «guía» las demostraciones de la geometría, ni siquiera de qué modo nos constriñe a adoptar unos axiomas en vez de otros. Se limita a dar uno que otro ejemplo elegido con bastante cautela, de verdades que conocemos por intuición pura: que el espacio tiene tres dimensiones, que la recta es la distancia más corta entre dos puntos, que dos rectas no pueden determinar una figura; 11 entre estos ejemplos no aparece nunca el quinto postulado de Euclides. Se dirá que la explicación que pedimos no hace falta, pues estas verdades no pueden tener otra fuente (p. 192) Esta será una propuesta ampliamente debatida en los años posteriores, sobre todo en relación con el surgimiento y demostración de la consistencia de las geométricas noeuclidianas, tal y como veremos en nuestra exposición de Helmholtz y Poincaré. 1.2 El surgimiento de las geometrías no-euclidianas 10 Allison (2004, 104-106) caracteriza esta propuesta kantiana como psicológica y epistemológica. Psicológica ya que hace referencia a nuestras capacidades cognitivas en relación a cómo nos representarnos las apariencias externas en el espacio; y epistemológica ya que afirma que el espacio es necesario para la representación de las apariencias externas. 11 Este último aparecía como un axioma en muchas ediciones de los Elementos. 25 En primer lugar, queremos señalar que Helmholtz desarrolló estas ideas en cinco artículos escritos entre 1868-1878, como El origen y significado de los axiomas geométricos (1876/1996) o Los hechos en la percepción (1878/1996) (cf. Heinzmann 2001). El propio Helmholtz consideraba que con sus trabajos lo que estaba haciendo era actualizar a Kant gracias a los desarrollos y sus amplios conocimientos en fisiología y geometrías no-euclidianas (Hatfield 1990; Lenoir 2006). Antes del surgimiento y desarrollo experimental de la fisiología y psicología, el debate empirismo-racionalismo trataba sobre la posibilidad de alcanzar ciertas verdades de manera independiente a nuestros sentidos; esto es, era una cuestión eminentemente epistemológica. Sin embargo, Helmholtz se acercará a este debate de una manera novedosa, basándose para ello en los resultados de sus investigaciones empíricas con las que tratará de determinar si algunas de nuestras habilidades cognitivas son innatas, o si las adquirimos durante nuestro desarrollo gracias al aprendizaje (Hatfield 1990, 8-11). 21 En particular, existía una corriente innatista que defendía que nuestra percepción espacial podía explicarse atendiendo únicamente a nuestras características anatómicas o cerebrales. Por ejemplo, el director de tesis de Helmholtz, Johannes Müller, propuso en 1835 la ʻley de las energías nerviosas específicasʼ, con la que pretendía mostrar que el tratamiento de la información sensorial dependía únicamente de la configuración de nuestro sistema nervioso innato; en este sentido, Müller defiende que el ser humano ya nace con visión tridimensional (Hatfield 1990, 152-158; Lenoir 1993). Helmholtz llevó a cabo una serie de experimentos con los que mostró que estas interpretaciones y aproximaciones innatistas eran inadecuadas. Por nombrar uno de ellos, comprobó en relación a la respuesta de nuestros dedos a descargas eléctricas que la velocidad de transmisión de esta información por los nervios es menor a la requerida por las explicaciones innatistas. Ante esta situación, Helmholtz introduce en su explicación los procesos psicológicos o juicios sobre nuestro razonamiento práctico. Por ejemplo, contrariamente a Müller defendió que nuestra visión al nacer es bidimensional, y que gracias a nuestra experiencia con el medio podemos crear una serie de asociaciones e inferencias inconscientes que nos guiarán en futuras actuaciones, creando en base a nuestra experiencia el espacio visual. De esta manera, para entender el desarrollo y 21 Algunos autores como Mandler (2007, 17) hablan en este sentido del paso del estudio de nuestros pensamientos o mente de las bibliotecas de los filósofos a los laboratorios de los psicólogos. 26 fundamento de nuestra percepción espacial y visual es clave tomar en cuenta cómo actuamos; esto es, cómo nos movemos por el mundo con nuestros sentidos visual, motor y táctil (cf. DiSalle 1993; 2006; Lenoir 1993; 2006). Es decir, que la percepción espacial y visual no dependen únicamente de nuestros mecanismos fisiológicos, sino de cómo usamos nuestros órganos sensoriales al movernos y actuar en el mundo. En este sentido, defiende este autor que usamos nuestro ojo no como órgano pasivo que recibe únicamente imágenes, sino como un aparato con el que medimos y experimentamos con el mundo, creando así un mapa de nuestro entorno para poder actuar en él. Además, es importante tener en cuenta que este espacio visoperceptual es construido gracias a nuestra experiencia, a nuestro aprendizaje acerca de las regularidades que gobiernan el mundo (Hatfield 1990, 208-210; DiSalle 1993; 2006; Lenoir 1993; 2006). En relación con el segundo de los debates, Helmholtz defendió que el espacio es una forma subjetiva y a priori de nuestra intuición, en la medida en que nuestra fisiología predetermina la percepción espacial: subjetiva ya que depende de nuestro propio sistema nervioso, y a priori puesto que nuestro aparato motor y perceptual nos es dado con anterioridad a que tengamos ninguna intuición espacial. Sin embargo, influenciado por los resultados de Beltrami de los que hablamos anteriormente, Helmholtz defenderá que la geometría euclidiana es solo una de las posibles geometrías de las que disponemos para llevar a cabo mediciones físicas. La caracterización de este autor como empirista neokantiano se relaciona con el hecho de que para Helmholtz los axiomas de la geometría expresan los resultados de experiencias físicas con cuerpos sólidos y rayos de luz; 22 de ahí que saber qué geometría usar en determinados contextos sea una tarea eminentemente empírica (DiSalle 1993; Heinzmann 2001; de Paz 2011). Sin embargo, esta postura fue criticada por algunos neokantianos que defendían que las geometrías no-euclidianas eran posibilidades conceptuales que no afectaban al carácter universal y necesario de la geometría euclidiana. Para responder a estas críticas, Helmholtz modificó el concepto de intuición, subrayando que lo importante para tener 22 Este es el modo científico, y no como teoría matemática del espacio, que Helmholtz defiende de la geometría. En este sentido, el objeto de estudio de esta geometría será el espacio físico, cuyas propiedades se estudiarán principalmente a través del comportamiento mecánico de los cuerpos físicos. Queda así más claro el componente empirista de la posición de Helmholtz (cf. de Paz 2011). 27 una intuición es la posibilidad de representarnos la serie de impresiones que sentiríamos si habitáramos en un espacio no-euclidiano (Helmholtz 1876/1996; 1878/1996). En torno a esta última cuestión, Helmholtz subraya que la geometría euclidiana se encuentra fundamentada en la existencia de regularidades físicas, relacionadas sobre todo con la posibilidad de llevar a cabo mediciones espaciales gracias a la existencia de cuerpos lo suficientemente rígidos y rayos de luz. Al realizar estas mediciones espaciales en repetidas ocasiones, y por nuestra experiencia en el mundo, habríamos reforzado un tipo de impresiones espaciales más cercanas a la geometría euclidiana, y de ahí que se haya pensado que esta sea universal y a priori. Para ilustrar esta cuestión, nos propone dos experimentos mentales: 1) si existieran seres bidimensionales –este experimento mental también lo propusieron Gauss y posteriormente Poincaré–, la geometría que desarrollarían sería diferente a la nuestra, y estaría acorde a su propia experiencia y percepción espacial en su mundo bidimensional (Helmholtz 1876/1996); 2) si de repente cambiaran nuestras dimensiones a la vez que las de los objetos y cuerpos del mundo, entre ellos nuestros aparatos de medición, nos sería imposible percibir dicho cambio, ya que todos nuestros instrumentos físicos también habrían cambiado, así como nuestros órganos sensoriales, como ojos y brazos (Helmholtz 1876/1996). La postura de Helmholtz en torno a esta cuestión podría resumirse como: que sintamos como necesario que el espacio es euclidiano se vincula con nuestra facilidad de intuirlo o visualizarlo como euclidiano, ya que el comportamiento de los cuerpos es aproximadamente euclidiano, y nosotros nos hemos adaptado a sus leyes. Pero, no es necesariamente euclidiano, ya que no nos es imposible representarnos el conjunto de sensaciones que podríamos tener si estuviéramos en un mundo no-euclidiano; esto es, podemos tener intuiciones acerca del espacio no-euclidiano (DiSalle 1993; 2006). A fin de cuentas, la geometría de Euclides no es una necesidad racional o un producto a priori de la intuición, sino la expresión de hechos acerca del mundo, hechos fisiológicos, mecánicos y ópticos, y podemos imaginar perfectamente cómo cambiaría la geometría si las cosas se comportaran de forma diferente. 28 2.2 El convencionalismo de Poincaré Poincaré (1854-1912) es uno de los matemáticos más importantes del siglo XIX, y al igual que Helmholtz también contribuyó a otros campos como la física y la filosofía (cf. de Paz & DiSalle 2014 ). Para presentar la perspectiva de Poincaré nos vamos a centrar específicamente en los considerados como sus cuatro ensayos filosóficos: Ciencia e Hipótesis (1902/1929), El valor de la ciencia (1905/1929), Ciencia y Método (1908/1929) y Últimos pensamientos (1913/1963). Particularmente, algunos capítulos de estas obras tratan sobre geometría y su posible relación con nuestra percepción espacial. 23 Vamos a dividir las cuestiones tratadas por Poincaré en tres grandes apartados que, como vamos a ver, están íntimamente interconectados: su idea general de convencionalismo, la simplicidad y estrecha relación de la geometría euclidiana con nuestros hábitos, y por último, la idealidad de la geometría y su distinción de nuestra percepción espacial. En primer lugar, Poincaré argumenta al igual que Helmholtz que los axiomas de la geometría euclidiana no son juicios sintéticos a priori, puesto que si lo fueran se habrían impuesto con tanta fuerza en nosotros que nos sería imposible intuir otra geometría que no fuera la euclidiana. Sin embargo, a diferencia de Helmholtz, estos juicios tampoco son puramente empíricos –aunque se basen en hechos experimentales–, ya que los objetos de la geometría, como líneas o puntos, son ideales, a diferencia de los objetos empíricos que son imperfectos; además, si la geometría euclidiana fuera una ciencia experimental estaría sujeta a constantes revisiones, lo cual no se corresponde con lo que podemos comprobar históricamente de este campo (Poincaré 1902/1929, 63-65). 23 En Ciencia e hipótesis dedica la segunda parte del libro al ʻEspacioʼ, con el capítulo 3, Las geometrías no-euclidianas, el 4, Espacio y geometría, y el 5, Experiencia y geometría; en El valor de la ciencia dedica el capítulo 3 a La noción de espacio, y el 4 a Espacio y sus tres dimensiones; en Ciencia y método dedica el libro II a Razonamiento matemático, con el capítulo I, La relatividad del espacio, el cual fue publicado originalmente en 1907 en la revista de psicología L’année Psychologique. Por último, en Últimos pensamientos, tenemos el capítulo 2 Espacio y tiempo, y el 3, Por qué el espacio tiene tres dimensiones. Como el propio Poincaré afirma en estas obras, y podemos ver en la selección de estos capítulos, este fue un tema que estuvo presente durante toda su carrera. 29 ¿Qué son entonces los axiomas de la geometría? Son, precisamente, convenciones; 24 esto es, podemos decidir qué axiomas de la geometría aceptar, o qué tipo de geometría usar –por ejemplo, euclidiana o hiperbólica– dependiendo de en qué contexto la queramos aplicar, o a qué estemos haciendo referencia, evitando siempre que haya contradicciones en los axiomas de la geometría que elijamos o aceptemos. En este sentido, nos dice Poincaré (1902/1929), los axiomas geométricos no son juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales. Son convenciones; nuestra elección entre todas las convenciones posibles está guiada por hechos experimentales; pero permanece libre y está limitada únicamente por la necesidad de evitar toda contradicción (p. 65, énfasis en el original) En otras palabras, los axiomas o proposiciones de la geometría no serían empíricos, ni tampoco a priori, así como tampoco serían verdaderos ni falsos. Las proposiciones de la geometría se corresponderían con una decisión conveniente, la cual está basada en criterios como la simplicidad y comodidad para aplicar la geometría a la experiencia. De esta manera tendríamos libertad –que no arbitrariedad– a la hora de elegir las proposiciones de la geometría en base a los criterios que hemos mencionado anteriormente. Esta sería, en resumen, la propuesta convencionalista de Poincaré. En segundo lugar, aunque tengamos libertad para elegir estos axiomas geométricos, el pensador francés reconoce que la geometría euclidiana es la más simple y cercana a nuestra experiencia cotidiana del espacio, sobre todo en relación con el comportamiento de cuerpos lo suficientemente rígidos y rayos de luz. En relación con esta simplicidad afirma que, La geometría euclidiana es y permanecerá la más cómoda: 1º Porque es la más simple, y no lo es solamente como consecuencia de nuestros hábitos o de no sé qué intuición directa que tuviéramos del espacio euclidiano; es en sí la más simple, de la misma manera que un polinomio de primer grado es más simple que un polinomio de segundo grado […]. 24 Para Disalle (2006) “los argumentos de Poincaré para el convencionalismo comienzan, de hecho, precisamente donde el argumento empirista de Helmholtz termina” (p. 124). Como podemos observar, Poincaré argumentará contra las ideas de Kant, o en respuesta a las ideas de Kant, así como a las de Helmholtz que acabamos de presentar. 30 2º Porque concuerda bastante bien con las propiedades de los sólidos naturales; esos cuerpos a los cuales se aproximan nuestros miembros y nuestro ojo, y con los que hacemos nuestros instrumentos de medida (Poincaré 1902/1929, 65) Llega a decir que ha sido por selección natural por lo que nos hemos adaptado a considerar la geometría euclidiana como la más ventajosa, en relación sobre todo a los hábitos que hemos generado según cómo percibimos y actuamos en el mundo (Poincaré 1902/1929, 89; 1908/1929, 420-421). Al igual que vimos con Helmholtz, son estos hechos los que han influido en nuestra consideración de la geometría euclidiana como la más ʻnaturalʼ o intuitiva a la hora de estudiar matemáticamente el espacio que nos rodea, así como nuestras propias percepciones espaciales. Sin embargo, esta simplicidad y cercanía a nuestras experiencias no la hacen a priori, ni la única geometría posible para caracterizar el espacio físico y nuestras percepciones del mismo (Poincaré 1902/1929, 65). De hecho, señala Poincaré que lo que nosotros consideramos intuitivamente como ʽlínea rectaʼ está relacionado con nuestra manera de percibir el mundo, sobre todo en relación con los cuerpos rígidos y los rayos de luz. Sin embargo, si viviéramos en otro tipo de espacio, lo que consideraríamos como ʽlínea rectaʼ se correspondería con una geodésica, 25 debido principalmente a cómo sean nuestras percepciones en ese mundo (Poincaré 1905/1929, 235-237). Poincaré también empleará diversos experimentos mentales para ilustrar sus argumentos, los dos primeros casi idénticos a los que presenta Helmholtz: 1) si existieran seres sin grosor, el tipo de geometría que estos crearían sería diferente a la nuestra, principalmente bidimensional, y relacionada con cómo estos seres perciben su mundo; según el comportamiento de las figuras en ese mundo, su geometría puede desviarse de la euclidiana (Poincaré 1902/1929, 57-58); 25 Una geodésica es la línea de distancia más corta entre dos puntos. Pensemos en el espacio euclidiano: sobre una superficie plana, las geodésicas son rectas, pero sobre una superficie curva no lo son. 31 2) si creciéramos en proporción y simultáneamente tanto nosotros como nuestros instrumentos de medición no seríamos capaces de darnos cuenta de que este cambio ha tenido lugar (Poincaré 1905/1929, 237-239); 3) si existieran dos mundos diferentes, A y B, y cada uno de ellos originara un tipo de geometría diferente a la del otro mundo, los habitantes de A pensarían que la geometría de B es errónea, y viceversa. Sin embargo, este tipo de consideración no se relacionaría con la verdad o falsedad de estas geometrías, sino con la percepción de los habitantes de cada uno de estos mundos y la geometría más adecuada para representar su entorno (Poincaré 1908/1929, 417). En tercer y último lugar, queremos llamar la atención sobre la distinción que Poincaré propone entre geometría del espacio, esto es, cómo percibimos el espacio, y geometría en un sentido matemático. 26 El espacio perceptual dependerá de nuestra percepción visual, táctil y motora, y está construido de acuerdo a la asociación de ideas que obtenemos de nuestra experiencia en el mundo. De ahí que, si viviéramos en otro mundo diferente al nuestro y si tuviéramos unas características físicas diferentes, nuestro espacio perceptual sería otro, y la geometría más conveniente para interpretarlo también (Poincaré 1902/1929, 29; 66-69). De hecho, Poincaré enfatiza la importancia de nuestra actividad motora para la construcción del espacio, relacionada con las asociaciones psicológicas que hacemos de nuestro espacio restricto –eje de coordenadas de nuestro cuerpo– y el extendido – movimiento de los miembros del cuerpo–. De esta manera, afirma Poincaré que localizar un objeto o punto en el espacio se equipara con representarnos los movimientos a realizar para alcanzarlo, por lo que la noción de espacio, esta vez a diferencia de Helmholtz, no es preexistente a nosotros (Poincaré 1905/1929, 247-248). Afirma que sin nuestro cuerpo no podríamos haber construido la noción de espacio, ya que lo usamos como nuestro propio instrumento de medida para reconstruir, precisamente, el movimiento de los 26 Sin entrar en detalles –ver capítulo cuarto de Ciencia e Hipótesis–, el espacio geométrico es continuo, infinito, tridimensional, homogéneo e isotrópico, mientras que el visual no es homogéneo, solo tiene dos dimensiones, no es isotrópico, etc. De hecho, el espacio táctil y motor –como el mismo Helmholtz mantuvo– están aún más lejos del espacio geométrico. 32 cuerpos sólidos rígidos (Poincaré 1902/1929, 73; Poincaré 1908/1929, 418). O como dice en otro de sus escritos, “nuestro cuerpo es nuestro primer instrumento de medida” (Poincaré 1913/1963, 17); de hecho, es el instrumento fundamental para construir nuestra noción de espacio. Entonces, ¿cuál sería la relación entre este espacio perceptual y la geometría? Por un lado, tenemos que tener en cuenta que la geometría trata acerca de sólidos ideales a los que no se puede acceder perceptualmente, como señalamos anteriormente. En relación a esta diferencia, dice Poincaré (1902/1929), ¿Qué es un punto en el espacio? Todo el mundo piensa que lo sabe, pero esto es una ilusión. Lo que vemos cuando tratamos de representarnos a nosotros mismos un punto en el espacio es una mancha negra en un papel blanco, una mancha de tiza en una pizarra, siempre un objeto (pp. 89-90) Pero, aunque sean radicalmente diferentes, es precisamente la experiencia la que nos induce a crear este tipo de concepciones ideales. Esto es, la experiencia o percepciones visoespaciales nos guían a considerar qué geometría es la más conveniente, pero no cuál es la verdadera, ya que nuestra experiencia siempre será con objetos materiales. La conexión entre los objetos materiales e ideales es estipulada, no empírica (Poincaré 1902/1929, 79-81; 1905/1929, 212-214); afirmando por lo tanto que “la experiencia juega un papel indispensable en la génesis de la geometría; pero sería un error concluir de ahí que la geometría es, incluso en parte, una ciencia experimental” (Poincaré 1902/1929, 79). En este sentido, defiende la idea de una geometría primitiva, relacionada sobre todo con nuestra percepción espacial, la cual sería un tipo de geometría ingenua, tosca y aproximada. Por otro lado, la geometría en un sentido matemático sería precisa, y nacerá de esta geometría primitiva y de nuestra capacidad para construir conceptos matemáticos. Los postulados geométricos han de ser precisos para evitar contradicciones, pero los postulados no serán verdaderos o falsos, sino convenientes para la tarea que queramos realizar (Poincaré 1908/1929, 428). 27 Por lo tanto, concluye Poincaré que “la geometría 27 Esta idea de una geometría primitiva está estrechamente vinculada con nuestra distinción de los tres niveles de competencia cognitiva en relación con la cognición geométrica, la cual presentaremos en el próximo capítulo. En nuestro caso, hablaremos de la distinción entre protogeometría y geometría en sentido matemático, con distinciones similares a las que vemos aquí defendidas por Poincaré. 33 es una convención, una especie de arreglo entre nuestro amor a la simplicidad y nuestro deseo de no apartarnos demasiado de los que nos enseñan los instrumentos” (Poincaré 1913/1963, 17-18). Para terminar esta sección, y antes de pasar a los estudios actuales en cognición matemática, vamos a resaltar los puntos clave para nuestro trabajo de las posturas de estos investigadores: 1) Ambos establecen una clara diferencia entre lo que es el espacio –ya sea preexistente o innato, como propone Helmholtz, o íntimamente relacionado con nuestro cuerpo y acción motora, como defiende Poincaré– y la matematización de ese espacio, que se correspondería con lo que denominamos Geometría en un sentido propiamente matemático; 2) Poincaré vinculará de manera explícita un tipo de geometría primitiva, o protogeometría en nuestra propia terminología, con nuestra percepción espacial de los objetos que nos rodean. Para pasar, precisamente, de este tipo de conocimiento tosco, ingenuo e imperfecto al tratamiento teórico e ideal de la geometría en sentido matemático será necesaria la participación de nuestra capacidad para construir conceptos matemáticos; 3) para la construcción de esta protogeometría es vital considerar no solo nuestra percepción visual y espacial, sino también nuestra experiencia con el medio, introduciendo nuestras experiencias táctiles y motoras – Helmholtz lo hará sobre todo en relación con el conocimiento geométrico, y Poincaré con el protogeométrico–; 4) además de incluir el conjunto de percepciones visoespaciales, táctiles y motoras, para ambos pensadores el uso de herramientas, ya sean físicas como las reglas, o nuestros propios órganos sensoriales como nuestro ojo o el propio cuerpo, son vitales para el desarrollo de los axiomas de la 34 geometría. Aunque Helmholtz presentará una visión empirista de los mismos, y Poincaré convencionalista; 28 5) por último, ambos autores señalan que la geometría euclidiana es solo una de las posibles geometrías de las que disponemos para geometrizar nuestro espacio perceptual. El que nos parezca más intuitiva está relacionado con el hecho de que es la que mejor se adapta a nuestras propias experiencias y manera de percibir el espacio, así como con su simplicidad matemática. Sin embargo, ambos autores optan por una caracterización no universal ni innatista de la misma, sino íntimamente vinculada con nuestro desarrollo y con las prácticas que llevamos a cabo en el mundo. Estas son algunas de las características más importantes del pensamiento de estos dos autores que, como decíamos, son de los primeros que de una manera precisa, sistemática y explícita investigan las relaciones que pueden existir entre nuestras capacidades cognitivas y la generación de un cuerpo sofisticado de conocimiento matemático, que sería la geometría. Como hemos mostrado, estos autores surgieron en un contexto histórico determinado, en el que precisamente la aceptación de las geometrías no-euclidianas, así como el desarrollo y establecimiento de métodos empíricos en fisiología y psicología, permitieron que se llevaran a cabo nuevos planteamientos teóricos y experimentales para caracterizar la noción de espacio, nuestra percepción de este, así como su posible matematización. 3. Surgimiento de las ciencias cognitivas y su impacto en los estudios sobre cognición matemática En esta última sección pasamos de dos autores enmarcados en el contexto en el que la psicología emerge como ciencia, a un área que surge a raíz de la ʻrevolución cognitivaʼ a mediados del siglo XX en este campo de conocimiento. A partir de dicha revolución 28 Veremos en los capítulos de la parte II de este trabajo que las herramientas de medición y la creación y estandarización de unidades de medición serán fundamentales para el desarrollo de este tipo de conocimiento en distintas civilizaciones de la antigüedad. 41 se ha comprobado experimentalmente que el NCS representa sobre todo distancias – próximo o distante– y relaciones direccionales o sentidos –izquierda o derecha, por ejemplo– cuando nos orientamos por el medio, y obvia la información angular; por otro lado, el OCS representa sobre todo los ángulos y distancias de los objetos y formas a pequeña escala, y obvia la información acerca del sentido (Spelke et al. 2010; Spelke & Lee 2012; Dillon et al. 2013; Dillon & Spelke 2015; Hohol 2020, 53-78). CKS Numérico El CKS numérico también se compone de dos módulos menores: 1) el Sistema de Individuación Paralela –PIS, por sus siglas en inglés Parallel Individuation System–, también llamado Sistema de Seguimiento de Objetos –OTS, Object Tracking System–; y 2) el Sistema Numérico Aproximativo –ANS, Approximate Number System–. El OTS se relaciona con una capacidad innata bautizada en la literatura cognitiva como ʽsubitizarʼ, que es nuestra capacidad para determinar rápidamente y de manera precisa la cantidad de objetos que tenemos frente a nosotros sin tener que contar de forma consciente. Esta capacidad está restringida a numerosidades discretas, y se limita a dos objetos en recién nacidos, tres en bebés lactantes, y hasta cuatro en adultos. Por otro lado, el ANS se relaciona con nuestra capacidad para estimar la numerosidad de un conjunto de objetos o elementos sin tener que contar conscientemente, y poder distinguir rápida y espontáneamente entre dos grupos cuál de los dos tiene el mayor tamaño o número de elementos respecto al otro. Como vemos, se relaciona con estimaciones no discretas y nos permite representar aproximadamente el valor cardinal de un conjunto (Xu 2003; Feigenson et al. 2004; Dehaene 2011; Coubart et al. 2014). Cuestión 2 Identificar los cambios que han tenido lugar durante nuestro desarrollo; esto es, determinar qué información puede codificar un humano adulto que, sin embargo, no puede un bebé CKS Geométrico Cada uno de los módulos menores estaría limitado, como ya indicamos brevemente, en cuanto a su poder de representación. Por un lado, ninguno de estos módulos menores es capaz de representar la información a pequeña y gran escala a la vez, sino que cada uno es usado en uno de estos ámbitos específicos; por otro lado, ninguno de los dos módulos 42 menores puede codificar a la vez las tres propiedades fundamentales de la geometría euclidiana, que son la de ángulo, distancia y sentido o relaciones direccionales. 38 Como vimos, el NCS no codifica la información angular del medio cuando tenemos que orientarnos o reorientarnos por este, y el OCS obvia la información acerca de la distancia a la hora de reconocer y categorizar objetos y formas espaciales. Por otro lado, los humanos adultos sí que son capaces de codificar estas tres propiedades, de ahí que podamos afirmar que en algún momento de nuestro desarrollo – cuestión tres– estos módulos se combinan y nos permiten, precisamente, codificar y percibir estas tres propiedades fundamentales del espacio (Spelke et al. 2010; Spelke & Lee 2012; Dillon et al. 2013; Dillon & Spelke 2015; Hohol 2020, 53-78). CKS Numérico El OTS está limitado en cuanto a que, por un lado, no nos permite representarnos valores cardinales distintos a uno 39 , y por otro, puesto que su poder de representación se limita a tres o cuatro elementos como máximo. Se ha comprobado experimentalmente que, a la hora de elegir entre 1 vs. 2, o 2 vs. 3 galletas, los infantes elegirán la mayor cantidad de las mismas. Sin embargo, si la elección está entre 3 vs. 4 o 2 vs. 4, las elegirán de manera azarosa, precisamente por esta limitación. Por otro lado, el ANS está limitado por una imprecisión en nuestra estimación de las cantidades que se ha podido comprobar que obedece la ley de Weber y Fechner; esto es, “que la discriminación exitosa está determinada por la proporción entre dos números, y no por su diferencia absoluta” (Xu 2003, B23); pongamos un ejemplo para que este último punto quede claro. En experimentos llevados a cabo y analizados tanto por Xu (2003) como por Feigenson et al. (2004), entre otras, se ha comprobado que un bebé de seis meses puede discriminar con éxito entre un conjunto de 8 y otro de 16 elementos, pero no entre uno de 8 y otro de 12. Además, los bebés suelen fallar en su estimación cuando las numerosidades son muy pequeñas. Por último, decir que el límite en la 38 Este es uno de los puntos que presentaremos con mayor detalle en el próximo capítulo, y es que estas autoras afirman que la geometría euclidiana es “un sistema formal para la caracterización de formas bidimensionales (2D) de acuerdo a distancia, ángulo, y relaciones direccionales entre sus partes” (Spelke et al. 2010, 864, énfasis en el original). 39 Tal y como explica Xu (2003), que con el OTS no podamos representarnos valores cardinales distintos a uno significa que este sistema se representaría una colección de dos objetos o elementos como “un objeto, otro objeto”, y no como “un objeto, dos objetos”. 43 proporción entre ambas numerosidades aumenta a medida que crecemos (Xu 2003; Feigenson et al. 2004; Dehaene 2011; Coubart et al., 2014); señalando Spelke y colaboradoras (2010, 875) que esta proporción aumenta de .33 en recién nacidos a .88 en adultos; es decir, que la capacidad de discriminación mejora sustancialmente. Cuestión 3 Caracterizar los procesos de cambio conceptual que han llevado a la formación de los sistemas conceptuales durante nuestro desarrollo CKS Geométrico Existen en la actualidad dos hipótesis principales para explicar la unión durante nuestro desarrollo de los dos módulos menores. La primera de las hipótesis afirma que, mediante el uso de herramientas cognitivas como mapas o modelos a escala, esta combinación se produce. Por ejemplo, señalan Spelke y colaboradoras (2010) que “sugerimos que este proceso productivo y combinatorio depende en parte de artefactos exclusivamente humanos y culturalmente variables: imágenes, modelos y mapas” (p. 865). La segunda de las hipótesis sostiene que gracias al lenguaje se produce la unión entre estos dos módulos menores –en la línea de Carey (2009a)–. Esto es, cuando los niños son capaces de producir sistemáticamente expresiones relativas al espacio, tales como distinguir entre izquierda y derecha (Shusterman & Spelke 2005; Pyers et al. 2010). O incluso se combinan ambas hipótesis, y se afirma que la unión de ambos módulos se producirá cuando los niños consigan dominar sistemas simbólicos generales como serían el lenguaje y el uso de mapas (Landau & Lakusta 2009; Spelke & Lee 2012). No existe en la actualidad consenso científico en relación a estas hipótesis. CKS Numérico Algunos investigadores ponen en duda en la actualidad si el OTS es usado a la hora de desarrollar nuestras capacidades numéricas o aritméticas a un nivel simbólico. Por ejemplo, tras llevar a cabo una revisión general de los resultados experimentales, Feigenson et al. (2004) señalan que, “en la actualidad, por lo tanto, no se sabe si el segundo sistema nuclear [OTS] es reclutado en tareas numéricas simbólicas” (p. 311); por otro lado, en la revisión general de la teoría CKS que llevan a cabo Spelke y Lee (2012), señalan que “al menos uno de ellos –el sistema numérico aproximado– contribuye a la maestría de la aritmética simbólica en niños de edad escolar” (p. 2790). 44 Otros investigadores, sin embargo, consideran que no está tan clara la primacía del ANS y que el OTS no tenga relación con el posterior desarrollo de nuestras habilidades aritméticas a un nivel simbólico. Carey y colaboradores (2017) señalan que “si bien es sin duda importante para el razonamiento matemático, concluimos que el ANS no es la base de los significados de los primeros símbolos explícitos para los enteros positivos” (p. 254). Por otro lado, Cheung y Le Corre (2018) argumentan que podrían ser dos las rutas que nos lleven al conocimiento de las relaciones numéricas, “la operaciones de correspondencia uno-a-uno definidas sobre representaciones de objetos creadas con la individuación paralela, y las comparaciones de los tamaños de las magnitudes mentales creadas con el ANS” (p. 403). 40 3.2.2 Evidencia experimental de la teoría CKS A continuación, vamos a presentar los tres tipos principales de experimentos que se han llevado a cabo a la hora de analizar y caracterizar los dos módulos geométricos menores y el tipo de información espacial que cada uno de ellos prioriza. El primer tipo de experimento se basa en lo que podemos denominar ʽParadigma de la Desorientaciónʼ. Consiste en situar al sujeto experimental –que pueden ser niños de entre 18 y 24 meses, así como animales no-humanos como peces, ratas, etc.– en un cuarto con una forma geométrica determinada. A continuación, se le presenta en una de las esquinas de la habitación un premio –ya sea comida o un muñeco, dependiendo del sujeto experimental–. Posteriormente se le saca de la habitación, se le desorienta, y se le vuelve a introducir para ver hacia donde se dirige a la hora de buscar el premio o recompensa que se le había mostrado (Cheng 1986; Lee et al. 2013). 41 Lo que se pudo comprobar fue que, a la hora de orientarse por la habitación, todos los sujetos experimentales usaron de manera automática y rápida la información “geométrica”, como la forma de la habitación, e ignoraron la información de las pistas representacionales de las que disponían, como el uso de figuras o colores diferentes en cada una de las paredes de la habitación. Además, la información usada para la 40 Ver las revisiones generales de Sinaceur (2016) y Pantsar (2019). 41 Como la mayoría de experimentos en psicología y ciencias cognitivas, se requiere cierto entrenamiento del sujeto experimental para llevar a cabo este tipo de experimentos, sobre todo en relación con los animales no-humanos. En el capítulo 2 veremos que una de las críticas a los experimentos en los que se dice probar la capacidad cognitiva matemática en animales no-humanos es el entrenamiento excesivo de estos. 45 reorientación fue tanto la medida como dirección de las paredes –como corresponde al NCS–, y se obvió la información angular de las mismas. Por último, es a partir de los 5 años cuando los infantes comienzan a usar o confiar más en la información no geométrica, como las pistas representacionales situadas en las distintas paredes de la habitación. Esto pone de manifiesto que los bebés humanos usan la información relativa a formas, y no la representacional, al igual que hacen los animales no-humanos testados en este primer tipo de experimento. Por lo tanto, como animales nohumanos y bebés humanos usaron de manera automática este tipo de información a la hora de reorientarse, quedaría probado su carácter innato y antigüedad filogenética (Cheng 1986; Lee & Spelke 2010; Spelke & Lee 2012). El segundo tipo de experimento consiste en comprobar si niños y niñas pueden interpretar correctamente un mapa. Particularmente, en estos mapas se representará de manera esquemática y lo más abstracta posible un cuarto con una forma geométrica determinada, representando únicamente figuras en dos dimensiones y evitando los elementos icónicos. Entonces, se les enseña estos mapas a los sujetos experimentales, y se les pide que coloquen el objeto, como un muñeco, en el lugar de la habitación que creen que está representando el mapa. Se pudo comprobar en este segundo tipo de experimento que los niños y niñas menores de cinco o seis años no consiguieron extraer adecuadamente la información angular del mapa. Es precisamente a partir de esta edad cuando comienzan a extraer de manera fiable la información acerca de direcciones, distancias y ángulos –es decir, que consiguen integrar adecuadamente toda la información geométrica codificada por ambos módulos menores–. Por otro lado, para interpretar estos mapas los niños usan sobre todo la información de dirección y distancia tal y como hacen a la hora de orientarse – correspondiente al NCS– (Dillon et al. 2013; Winkler-Rhoades et al. 2013; Dillon & Spelke 2015; Huang & Spelke 2015). Otro tipo de experimento relacionado con este consiste en mostrar una imagen de un objeto, más que un mapa de un medio abierto, para ver cómo lo interpretan los sujetos experimentales. Se pudo comprobar que para interpretarlos los sujetos se basaron principalmente en su longitud o distancia e información angular. Esto es, el tipo de información espacial que codificamos con el OCS (Dillon et al. 2013; Dillon & Spelke 2015). El tercer tipo de experimento está relacionado con una serie de pruebas espaciales dentro del ʽParadigma de detección del Desviado/Diferenteʼ, pruebas que se realizan con 46 dos poblaciones con las siguientes características: por un lado, poblaciones con educación formal en matemáticas, habituadas al uso de mapas y otros instrumentos matemáticos como regla y compás, y cuya lengua posee un vocabulario espacial suficientemente rico; por otro lado, grupos sin educación formal en matemáticas, no habituadas al uso de este tipo de instrumentos matemáticos y con un vocabulario espacial pobre, como poblaciones indígenas o de zonas en vías de desarrollo, como los MundUrukú del amazonas brasileño o parte de la población de Senegal (Dehaene et al. 2006; Izard et al. 2011; Van der Ham et al. 2017). Este tercer tipo de experimento lo vamos a analizar y presentar detalladamente en el capítulo siguiente, ya que a partir de éste se infiere la posibilidad de hablar de la universalidad de las intuiciones geométricas. Muy brevemente, lo que se trata de comprobar es si ambas poblaciones pueden resolver estas tareas espaciales adecuadamente de manera independiente a la educación, uso de instrumentos matemáticos y posesión de suficiente vocabulario en relación con la organización espacial. Por otro lado, Spelke et al. (2010) hablan de la existencia de una ʽGeometría Naturalʼ 42 , fundamentada precisamente en estos dos módulos menores geométricos, y equiparada a la geometría euclidiana, ya que el módulo geométrico codifica las relaciones de distancia, ángulos y relaciones direccionales, que son las relaciones espaciales caracterizadas formalmente por la geometría euclidiana –ver nota 38–. Estas caracterizaciones cognitivas de carácter innatista del conocimiento geométrico serán objeto de crítica, para ofrecer una caracterización alternativa, en el próximo capítulo. 42 Término que vinculan explícitamente con la concepción de geometría natural de Descartes, y con la tradición innatista del conocimiento matemático en la historia de la filosofía por autores como Platón o Kant (cf. Spelke et al. 2010). 47 Capítulo 2 Las bases cognitivas y culturales del conocimiento geométrico: un programa interdisciplinar de investigación Como hemos mostrado anteriormente, la teoría CKS es una de las aproximaciones más influyentes dentro de los estudios actuales sobre cognición geométrica. Sin embargo, esto no quiere decir que sea la única que haya elaborado una caracterización de cómo surge y se desarrolla el conocimiento geométrico y su posible relación con nuestra cognición visoespacial. En este capítulo, vamos a elaborar un programa de investigación alternativo a la teoría CKS, enfatizando el carácter interdisciplinar de este tipo de estudios, y centrándonos en el desarrollo arqueo-histórico del conocimiento geométrico. Para ello, presentaremos en primer lugar dos propuestas dentro de la teoría CKS que comparten una concepción innatista del conocimiento geométrico: por un lado, la tesis de la universalidad de las intuiciones geométricas; por otro, la propuesta acerca de la ʽGeometría Naturalʼ (sec. 1). A continuación, mostraremos algunas de las críticas que se han elaborado en torno a estas propuestas, así como sobre la teoría CKS, desde diversas áreas de estudio (sec. 2). Tras presentar estas críticas, mostraremos una serie de aproximaciones alternativas a la teoría CKS, las cuales establecen una distinción clara entre nuestras capacidades cognitivas básicas, como la cognición cuántica o visoespacial, y el posterior desarrollo del conocimiento matemático y la cognición numérica y geométrica. Dentro de este marco general desarrollaremos nuestra propuesta acerca de los ʽTres Niveles de Competenciaʼ en relación con la cognición visoespacial y geométrica (sec. 3). 1 Finalmente, tras caracterizar estos tres niveles, presentaremos cómo se puede llevar a cabo una investigación interdisciplinar de los orígenes arqueo-históricos del conocimiento protogeométrico y geométrico, incluyendo algunos elementos de la filosofía de las prácticas matemáticas y la arqueología e historia cognitiva (sec. 4). 1 Esta propuesta la hemos elaborado José Ferreirós y yo mismo en una serie de artículos (Ferreirós & García-Pérez 2018; 2020), y también han sido importante las ideas y propuestas desarrolladas por Valeria Giardino (2016), con la que hemos colaborado estrechamente durante estos años. 48 1. Teoría CKS y el innatismo del conocimiento geométrico En esta primera sección vamos a presentar dos de las principales hipótesis que se han elaborado acerca de la relación entre nuestras capacidades cognitivas innatas, relacionadas principalmente con la existencia y caracterización del CKS geométrico, y el posterior desarrollo del conocimiento geométrico en un sentido matemático. 1.1 La universalidad de las intuiciones geométricas Vamos a presentar en primer lugar dos de los principales trabajos en los que se basan los científicos cognitivos para concluir que el ser humano, independientemente de su cultura o formación académica, posee intuiciones geométricas universales. El primero es el trabajo de Dehaene y colaboradores (2006), en el que comparan cómo resuelven ciertas tareas espaciales los MundUrukú, población indígena de la región amazónica sin educación formal en matemáticas, no habituada al uso de instrumentos matemáticos, y con un vocabulario aritmético y geométrico pobre, con un grupo de control, que son niñas y adultos de Estados Unidos. La pregunta principal que guía este estudio es “si los principios conceptuales de la geometría son inherentes a la mente humana, estudiando [para comprobarlo] el conocimiento geométrico espontáneo de los MundUrukú” (Dehaene et al. 2006, 381, énfasis añadido). Para probar esta hipótesis llevan a cabo dos experimentos, de los que vamos a presentar el primero, basado en el paradigma de detección del desviado/diferente. 2 Particularmente, querían probar con este primer experimento “la comprensión intuitiva de los MundUrukú de los conceptos básicos de la geometría, incluyendo puntos, líneas, paralelismo, figuras, congruencia y simetría” (Dehaene et al. 2006, 381, énfasis añadido). En particular, diseñaron un total de 45 pruebas, de las que vamos a presentar cuatro a continuación (Img. 2.1). La prueba consistía en elegir cuál de las seis imágenes era la desviada o diferente al resto, y por lo tanto, no instanciaba el concepto geométrico 2 En el segundo experimento se observa cómo la población MundUrukú usa o entiende la información geométrica de un mapa abstracto –segundo tipo de experimentos–. Tanto niños como adultos MundUrukú resolvieron adecuadamente los ejercicios en relación con estos mapas, con un porcentaje de aciertos similar al de niños estadounidenses, y observándose una mejora significativa en el desempeño en esta tarea solo en los adultos estadounidenses (Dehaene et al. 2006). 49 representado en las otra cinco imágenes. Los MundUrukú respondieron correctamente, por encima de las posibilidades de hacerlo por azar, en 39 de las 45 pruebas. 3 Imagen 2.1 Cuatro de las 45 pruebas realizadas a los MundUrukú y población estadounidense en relación con la geometría euclidiana (A y B), figuras geométricas (C) y topología (D). Se midió tanto el tiempo de respuesta como la proporción de aciertos, que en estos casos es: A, 93% y 17s; B, 66% y 30s; C, 73% y 31s; y D, 77% y 22s (Dehaene et al. 2006, 382). Estos científicos cognitivos comprobaron que las respuestas de niñas y adultos Mundurkú fueron similares a las de niños estadounidenses, observándose un incremento en los aciertos solo en los adultos estadounidenses. Según estos investigadores, para elegir qué figura es diferente al resto es necesario poseer el concepto representado –líneas paralelas, ángulo recto, etc.–; por otro lado, como la población MundUrukú no posee los recursos culturales para poder responder correctamente a estas pruebas, como educación, 3 Se incluyeron las siguientes categorías en estas pruebas: topología, geometría euclidiana, figuras geométricas, figuras simétricas, figuras quirales, propiedades métricas, y transformaciones geométricas (Dehaene et al. 2006, 382). Por otro lado, las mayores dificultades tuvieron lugar en las pruebas sobre simetría y propiedades métricas. A B C D 50 vocabulario o herramientas matemáticas, estos resultados pondrían de manifiesto que esta población indígena posee ciertas intuiciones geométricas primitivas de manera innata. En el segundo trabajo (Izard et al. 2011), realizado también con los MundUrukú, se llevaron a cabo dos experimentos acerca del carácter idealizado y no perceptible de ciertos conceptos geométricos, como líneas que nunca se cruzan, o la suma de los ángulos de los triángulos, complementando así el trabajo de Dehaene y colaboradores (2006). En el primero de los experimentos, se representaron diversas situaciones ʽgeométricasʼ en un mundo plano, así como esférico, con líneas, puntos, o ambos. En relación con estas situaciones se hicieron una serie de preguntas acerca del comportamiento de los distintos elementos geométricos (Img. 2.2). Con este primer experimento lo que se quiso comprobar fue el conocimiento intuitivo que posee esta población sobre líneas rectas. Imagen 2.2 Tres de las 10 situaciones presentadas a los MundUrukú. Para que pudieran comprender mejor lo que se estaba representando con estos dibujos, se comparó el mundo plano con una superficie plana como una mesa, y el mundo esférico se representó con ilustraciones en una pantalla de ordenador. En el segundo experimento se presentaron triángulos incompletos, con dos vértices y la base, y se pidió a los sujetos experimentales que los completaran en un mundo plano y esférico, tanto con sus propias manos como con un goniómetro. Los triángulos 57 De hecho, en el material de apoyo de estos trabajos (Dehaene et al. 2006; Izard et al. 2011) se presenta una lista de palabras que podrían considerarse como vocabulario protomatemático adaptado a las circunstancias socioculturales de esta población. Por ejemplo, usan iroyruy’at para hablar de objetos esféricos o círculos; ibucug, para hablar de curva o línea –remarcan que literalmente hace referencia a su dedo recto–; o ipidase, con el que hacen referencia a centro o mitad, y que está relacionado con algunas concepciones cosmológicas de dicha población. 8 Como veremos, este es un punto importante de nuestras críticas y caracterización de nuestra competencia geométrica en tres niveles, donde consideraremos que es más adecuado diferenciar entre el vocabulario protomatemático de esta población y el propiamente matemático que podemos encontrar en las sociedades industrializadas con las que esta población indígena es comparada –ver secciones 3 y 4 a continuación–. También nos llama la atención que Izard y colaboradores (2011) afirmen que esta población lleva a cabo diversas tareas en las que la orientación es clave, pero que aun así los MundUrukú “no lexicalizan conceptos esenciales de la geometría euclidiana tales como ángulos rectos o paralelismo” (p. 9782). A lo que podríamos responder preguntando, ¿por qué la población MundUrukú tendría que hacerlo?, ¿es necesario para la orientación y organización espacial de su medio este tipo de conceptos que son clave para nuestro propio sistema geométrico?, ¿es una condición necesaria la posesión de este tipo de conceptos euclidianos para la adscripción de conocimiento protomatemático o matemático a una población determinada? Como quedará claro en este capítulo, y sobre todo tras la presentación y análisis de nuestros casos de estudio, nuestra respuesta a estas preguntas es negativa. En último lugar, vamos a presentar una serie de críticas que hemos denominado ʽimprecisiones conceptualesʼ. 9 Enfatizaremos principalmente dos críticas relacionadas con estas imprecisiones conceptuales o termológicas, que son la de las retroproyecciones y la fusión de conceptos. 8 En el material suplementario de estos trabajos los autores también presentan algunos conceptos que esta población usa para hacer referencia a “figuras”, “puntos, líneas y ángulos”, “proporciones” y “direcciones y ejes”. 9 Núñez (2021) señala que dentro del campo de la cognición cuántica y numérica ya se hablaba desde hace tres décadas de “caos terminológico” y “aplicación errónea de los términos” (pp. 4-7). Sin embargo, tal y como muestra este autor en su revisión y presentación del problema, “desgraciadamente, la situación no es mejor hoy día. De hecho, hasta cierto punto es incluso peor” (p. 4). 58 Por un lado, con retroproyecciones hacemos referencia al hecho de que estos investigadores están proyectando conceptos y conocimiento geométrico de nuestra cultura sobre la población MundUrukú –que está en estrecha relación con la crítica postcolonial anteriormente presentada–. Por ejemplo, en los experimentos presentados anteriormente se usan términos pertenecientes a cuerpos teóricos y sofisticados de conocimiento, como ʽinteriorʼ en un sentido topológico, o ʽlíneas paralelasʼ y ʽángulo rectoʼ tal y como se entienden en la geometría euclidiana. Por otro lado, Izard y colaboradores (2011) afirman que, dado que el 87% de los sujetos experimentales respondió correctamente a la pregunta de si es posible dibujar una tercera línea paralela a otras dos líneas paralelas entre sí, estos sujetos “conceptualizan el plano como infinito” (p. 9785). Sin embargo, en estas pruebas en las que tenemos que decidir qué figura entre seis posibles percibimos como “no cerrada”, “no formando un ángulo recto”, o poder dibujar una tercera línea “paralela a otras dos”, estamos tratando sobre cuestiones perceptivas y manipulativas en relación con figuras básicas como puntos o líneas con las que interactuamos de manera práctica. Es decir, para resolver este tipo de pruebas los sujetos experimentales no necesitan pensar acerca de la noción de curva cerrada en topología o de paralelismo en geometría euclidiana, que son cuestiones abstractas y sofisticadas incluidas en cuerpos teóricos de conocimiento, sino cómo perciben y manipulan estas representaciones físicas. En relación con esta retroproyección se da también el fenómeno de la confusión de conceptos. Esto es, las pruebas realizadas a los MundUrukú podrían probar que estos poseen intuiciones aproximadas sobre paralelismo, ángulos rectos o la forma habitual que poseen figuras básicas como triángulos o cuadrados. 10 Sin embargo, estas son intuiciones perceptivas que podrían servir de base para la construcción de un tipo de conocimiento protogeométrico, que no geométrico, y menos un tipo de conocimiento geométrico equiparable al euclidiano. Esto es, percibir o dibujar líneas paralelas a otras no es 10 Ver por ejemplo de qué manera esta población usa el término ibucug para hablar de curva o línea haciendo referencia a su dedo recto. Esto es, esta población posee algún tipo de conocimiento ingenuo y tosco sobre líneas, su rectitud o curvatura, dirección, etc. Pero este tipo de aproximación protogeométrica no pone de manifiesto que posean intuiciones geométricas en un sentido euclidiano sobre paralelismo ni sobre un supuesto plano infinito, los cuales son conceptos y problemas geométricos de interés para nuestra propia cultura y práctica matemática. 59 igualable a poseer conocimiento geométrico acerca de paralelismo dentro de la geometría euclidiana. En resumen, estos científicos cognitivos están usando de manera poco sistemática e imprecisa los conceptos relacionados con nuestra cognición visoespacial básica y la posesión de conocimiento geométrico. Como hemos mostrado, tienden a usar de manera intercambiable conceptos propios de nuestra cognición básica con conceptos pertenecientes a la geometría en un sentido propiamente matemático, confundiendo o fusionando por lo tanto el nivel relacionado con nuestra cognición visoespacial básica con el nivel en el que se desarrolla el conocimiento matemático en sentido abstracto, exacto y sofisticado. 11 Este tipo de cuestiones son tratadas detalladamente en estudios de educación matemática (Duval 1998; Battista 2007; Battista et al. 2018; Sinclair et al. 2018), en los que se distingue claramente entre ʽrazonamiento espacialʼ y ʽrazonamiento geométricoʼ, así como los objetos tratados en cada tipo de razonamiento, que serían: 1) objeto físico, como una puerta; 2) sensorial, las activaciones sensoriales al ver la puerta; 3) perceptual, entidad mental percibida al ver la puerta; 4) conceptual, el significado consciente que le damos al objeto perceptual; y 5) definición del concepto, que es la especificación explícita y simbólica del objeto conceptual, como establecer que la puerta es un rectángulo, por qué es un rectángulo, y sus medidas particulares (cf. Battista 2007, 844). El punto clave de estas distinciones es que estos investigadores han comprobado que el paso de un razonamiento espacial a uno geométrico es más problemático de lo que parece a primera vista. Por ejemplo, los alumnos son incapaces de reconocer si un triángulo es rectángulo si este se orienta de una manera no estándar, o son incapaces de generalizar las características de una figura determinada a todas las figuras de la misma clase (cf. Duval 1998; Battista 2007; Battista et al. 2018). De esta manera, remarcan que una de las mayores dificultades se da en relación con el salto cognitivo que hay entre el razonamiento visual y el geométrico, señalando que “uno de los problemas de enseñar geometría es la incapacidad de la mayoría de alumnos para superar este hueco” (Duval 1998, 46). Esto es, incluso con la asistencia de profesores, enseñanza de un lenguaje 11 Investigadores como Núñez (2017; 2021) y Pantsar (2019) argumentan que en los trabajos de cognición numérica se suelen usar intercambiablemente conceptos como ʽnumerosidadʼ y ʽnúmeroʼ, o ʽsistema numérico aproximadoʼ y ʽcompetencia aritméticaʼ. Critican, al igual que acabamos de hacer nosotros, que se están fusionando o igualando el nivel de cognición básica relacionado con la distinción de cantidades con el nivel sofisticado de posesión de conocimiento matemático. 60 espacial teórico, y el uso de herramientas en las aulas, los alumnos son incapaces a veces de pasar de este razonamiento espacial al geométrico en un sentido teórico e ideal. Por lo tanto, es problemático que los científicos cognitivos de la teoría CKS asuman la existencia de un tipo de conocimiento o intuiciones geométricas transculturales por el hecho de que ciertas poblaciones indígenas puedan resolver problemas espaciales perceptuales y prácticos, que estarían más bien relacionados con lo que estos investigadores denominan razonamiento espacial, así como con objetos sensoriales y perceptuales más que con definiciones de conceptos. De hecho, sería más interesante preguntar a los propios MundUrukú qué consideran ellos mismos que están construyendo cuando cierran con sus manos una figura triangular, o cuando eligen una figura como distinta a las demás, para saber qué tipo de razonamiento y conocimiento poseen más que adscribirle nuestros propios conceptos y conocimiento geométrico. 3. Propuestas alternativas acerca de la emergencia del conocimiento matemático y su relación con nuestras habilidades cognitivas básicas En esta sección vamos a presentar, en primer lugar, una serie de propuestas teóricas y resultados experimentales que llevan a cabo análisis más cuidadosos acerca del desarrollo del conocimiento matemático y sus posibles bases cognitivas que la teoría CKS. En segundo lugar, desarrollaremos nuestra propia aproximación, en la que distinguiremos tres niveles de competencia en relación con el desarrollo, en nuestro caso arqueohistórico, del conocimiento protogeométrico y geométrico. 3.1 Algunas aproximaciones actuales en torno a la cognición visoespacial y cuántica En primer lugar, vamos a exponer un experimento llevado a cabo por un grupo interdisciplinar de trabajo conformado tanto por filósofos como por científicas cognitivas (Hamami & Mumma 2013; van der Ham et al. 2017; Hamami et al. 2020). Estos investigadores introducen en sus investigaciones cognitivas cuestiones filosóficas actuales sobre la práctica diagramática y euclidiana. En el experimento que vamos a presentar, van der Ham y colaboradores (2017) usan el paradigma de detección del desviado/diferente en relación con la distinción entre 61 información exacta y co-exacta (Img. 2.4) con dos poblaciones: la holandesa, que es la población de control, y la senegalesa, similar a la MundUrukú, aunque en esta ocasión la dividieron en dos subgrupos, aquella que había recibido varios años de educación y la que no. 12 Imagen 2.4 Dos de las 18 pruebas acerca de la información co-exacta (A) y exacta (B) realizadas en el experimento de van der Ham y colaboradores (2017). Comprobaron que todos los participantes resolvieron estas tareas adecuadamente, aunque la población holandesa lo hizo con mayor eficacia. Además, los participantes resolvieron significativamente mejor los problemas en relación con la información co-exacta que la exacta. 13 Esto podría mostrar que los aspectos co-exactos son más fiables, perceptivamente hablando, que los exactos, pudiendo ofrecer así una explicación cognitiva de por qué en la práctica euclidiana la única información que puede extraerse del diagrama es la co-exacta (cf. van der Ham et al. 2017). Aparte de la introducción de cuestiones filosóficas actuales en la investigación cognitiva, el punto que queremos resaltar de este trabajo es que estos investigadores introducen un matiz importante respecto a los trabajos anteriormente presentados, y es que para van der Ham y colaboradores (2017) estos resultados “proveen evidencia empírica de que las intuiciones de las relaciones espaciales prominentes en la teoría de 12 Llevaron a cabo 26 pruebas tomando como base la distinción entre información exacta y co-exacta, que es la que vamos a presentar, y la distinción entre información coordinada y categórica. Por otro lado, en el quinto capítulo veremos con más detalles la diferencia entre estos dos tipos de información. En pocas palabras, información co-exacta es aquella que podemos extraer directamente del diagrama, y exacta es la información prescrita textualmente (cf. Manders 2008a). 13 Pruebas co-exactas: 80% de los senegaleses y 95% de los holandeses las resolvieron adecuadamente; exactas: 50% de los senegaleses y 70% de los holandeses. A B 62 la geometría de Euclides son universales” (p. 276, énfasis añadido). Vemos, de esta manera, que estos autores dicen probar la universalidad de las relaciones espaciales y no del conocimiento geométrico, distinción que como veremos es clave para nuestra propia propuesta. Por otro lado, algunos investigadores en educación matemática establecen una distinción similar entre razonamiento espacial y geométrico. De hecho, el razonamiento espacial servirá como base para el posterior desarrollo del geométrico, y lo definen como “la habilidad de reconocer, generar, inspeccionar, operar y reflexionar sobre objetos espaciales, imágenes, relaciones, movimientos y transformaciones” (Battista et al. 2018, 196). En el razonamiento geométrico, por otro lado, realizamos las acciones y habilidades mencionadas en relación con el razonamiento espacial sobre conceptos formales o teóricos, como medición de longitud, ángulo, área, volumen, paralelismo, etc. (Battista 2007; Battista et al. 2018; Sinclair et al. 2018). 14 Proponen definir la geometría como una actividad compleja que no solo involucra formas o el uso y creación de imágenes visuales, sino que en su lugar involucra centralmente la conjunción entre ver y decir; esto es, entre visualización y el lenguaje para afirmar y deducir propiedades (Sinclair et al. 2018, 234) De esta manera, hay que tener en cuenta cómo hablamos de estas figuras u objetos geométricos mediante sistemas simbólicos de representación con los que los conceptualizamos y tratamos idealmente (cf. Battista 2007). Para ver de manera más clara esta diferencia, señalan Battista y colaboradores (2018) definir un cuadrado como un polígono de cuatro lados que tiene cuatro ángulos rectos y todos los lados de la misma longitud y paralelos crea un concepto basado en una propiedad ideal que precisamente describe las relaciones espaciales críticas que existen entre los lados y ángulos en la clase de formas que etiquetamos como cuadrados (p. 198) Además, no solo es importante la definición de las propiedades ideales de los objetos geométricos mediante un lenguaje simbólico, sino también su construcción. Esta 14 Estos dos tipos de razonamiento no son excluyentes, sino que pueden usarse simultánea o secuencialmente. Además, pueden operar sobre las características intrínsecas –un objeto particular o sus partes– o extrínsecas –relaciones entre objetos, u objetos con el medio o marco general en el que están situados–, teniendo propiedades dinámicas o estáticas (Battista 2007; Battista et al. 2018; Uttal et al. 2013). 63 actividad nos permite descomponer las diversas figuras geométricas en sus elementos básicos, como líneas y puntos, y razonar acerca de las relaciones que pueden existir entre las diversas figuras y elementos geométricos (cf. Sinclair et al. 2018). Enfatizan tres elementos clave del pensamiento geométrico: 1) visualización; 2) construcción con herramientas matemáticas; y 3) razonamiento matemático en torno a las propiedades ideales (cf. Duval 1998; Battista 2007); estos tres elementos “están estrechamente conectados y su sinergia es cognitivamente necesaria para la competencia en geometría” (Duval 1998, 38). Otro punto interesante de este tipo de trabajos es que en estos se realizan entrevistas en las que se pide a los sujetos experimentales, principalmente niños y niñas, no solo que dibujen o muevan estas figuras geométricas, sino que se les pregunta explícitamente qué les motiva a realizar una acción y qué piensan acerca de las figuras sobre las que trabajan. Veámoslo con uno de los ejemplos citados en el trabajo de Battista (2007) –RE es el niño que está llevando a cabo las acciones e Int el investigador– RE: El rectángulo es como el cuadrado, excepto porque los cuadrados no son tan grandes. Sin embargo, los rectángulos son grandes. Int: ¿Qué necesita una forma para ser un rectángulo? RE: Todos los lados no son iguales. Estos dos [lados opuestos] y estos dos lados [los otros lados opuestos] tienen que ser iguales. Int: ¿Qué te parece 10 en dos lados y 9 en los otros dos?, ¿haría esto un cuadrado? RE: Algo así como un rectángulo. Int: ¿Sería también un cuadrado? RE: [moviendo la cabeza en señal negativa] No es un cuadrado. Porque si haces un cuadrado, no irías 10 hacia arriba, luego girarías y harías 9 en este sentido, y girarías y harías 10 en este sentido (está haciendo referencia a acciones que hay que hacer con el programa LOGO para construir esta figura). Eso no es un cuadrado (p. 870) Nos interesan dos cuestiones en relación con esta entrevista. En primer lugar, la primera de las afirmaciones pone de manifiesto el razonamiento espacial de este niño – incluso protogeométrico podríamos decir en nuestra terminología–, ya que nos está hablando de cómo un rectángulo y un cuadrado, perceptivamente, son muy similares, excepto por el mayor tamaño del rectángulo –haciendo referencia seguramente al hecho de que tenga los lados iguales dos a dos, y no todos, pudiendo dar así la sensación de que es más grande que un cuadrado–. Este tipo de razonamiento espacial podría ser el mismo 64 que es usado por los MundUrukú a la hora de resolver las tares espaciales. Es decir, deciden qué figura es perceptiblemente diferente al resto, pero sin poseer explícitamente ni haber construido necesariamente un concepto geométrico de dicha figura. En segundo lugar, vemos de qué manera el niño sí que muestra la posesión de cierto conocimiento geométrico básico cuando el investigador le hace preguntas acerca de por qué la figura que hay en la pantalla es un rectángulo y no un cuadrado, por muy pequeña que sea la diferencia entre los lados. Como vemos, para argumentar su respuesta este niño hace referencia a la definición conceptual de qué es un cuadrado y un rectángulo, así como a las acciones que puede llevar a cabo en LOGO. Como habíamos señalado, es importante preguntar al sujeto experimental por qué decide que una figura espacial es diferente, o no instancia un concepto geométrico determinado, para poder comprobar con más seguridad si posee conocimiento protogeométrico o geométrico, o si está haciendo uso de su razonamiento visoespacial. Por otro lado, la filósofa Valeria Giardino (2016) distingue tres niveles de competencia en el campo tanto de la aritmética como de la geometría. En el primero de los casos tendríamos: 1) distinguir numerosidades; 2) contar; y 3) comprender la aritmética formal. Por otro lado, en el caso de la geometría distingue entre: 1) extracción de invariantes espaciales; 2) uso de mapas u otras herramientas cognitivas; y 3) comprensión de la geometría abstracta. Como veremos a continuación, nuestra propuesta es comparable a la de Giardino, siendo la mayor diferencia entre ambas que la nuestra está orientada al estudio del desarrollo arqueo-histórico del conocimiento protogeométrico y geométrico, mientras que la de esta filósofa se vincula con los resultados de las ciencias cognitivas en un sentido más bien ontogénico o filogenético. En el campo de la cognición numérica nos vamos a centrar en la propuesta de Núñez (2017; 2021), quién llama la atención sobre el caos terminológico que existe actualmente en el campo de los estudios en cognición matemática. Particularmente, este autor distingue nuestras precondiciones biológicas evolutivas, como serían el ANS o el OTS, y nuestra cognición numérica, la cual se desarrolla gracias a la influencia de ciertas prácticas y herramientas culturales. 15 De esta manera, distingue entre ʽCognición 15 Este autor muestra una analogía con el caso del snowboarding. Señala que existen algunas precondiciones biológicas evolutivas, como la regulación del equilibrio motor, que nos permiten hacer este deporte. Sin embargo, nadie diría que esta precondición biológica surgió para hacer snowboarding ni puede explicar ella sola su emergencia. De la misma manera, el ANS y OTS son precondiciones biológicas evolutivas importantes para el posterior desarrollo de conocimiento matemático, pero no se puede afirmar que el ANS 65 Cuánticaʼ 16 , que serían las habilidades cognitivas involucradas en la percepción y codificación de cantidades, y que da lugar a caracterizaciones imprecisas, poco rigurosas y aproximadas del concepto de número. Por otro lado, tendríamos la ʽCognición Numérica y Aritméticaʼ, donde se codifica propiamente el concepto de número; esto es, un concepto riguroso, preciso y sofisticado. Por lo tanto, los experimentos con niños humanos y multitud de animales no-humanos estarían probando la posesión de cognición cuántica, que no numérica. Para evitar este tipo de confusiones, Núñez (2017; 2021) presenta, por un lado, siete características con las que establece de manera general y no exhaustiva lo que considera un criterio mínimo de ʽnúmeroʼ: 1) se cuantifica de manera exacta y discreta; 2) es abstracto, alejado de la cuantificación de estímulos específicos; 3) tiene un sentido cardinal; 4) tiene un sentido ordinal; 5) es relacional; 6) es combinatorio, operable; y 7) nos referimos a él de manera simbólica. De esta manera podremos distinguir si los resultados experimentales son acerca de la cognición numérica y la posesión del concepto de número, o acerca de la cognición cuántica y la percepción de cantidades. Por otro lado, Núñez (2017; 2021) afirma que el desarrollo del lenguaje y otros sistemas simbólicos son necesarios, pero no suficientes, para el desarrollo de la cognición numérica y el concepto de número. Este tipo de sistemas simbólicos tendrán que acompañarse de una preocupación y prácticas culturales que apoyen que este tipo de conocimiento se desarrolle; esta es, por lo tanto, una aproximación enculturada a nuestra cognición matemática. 17 No vamos a entrar en más detalles acerca de estas caracterizaciones o alternativas críticas a la teoría CKS. Lo que hemos querido presentar es una especie de marco de trabajo general que, en los últimos años, está tratando de sistematizar los conceptos y el OTS traten sobre conceptos numéricos o aritmética, ya que al igual que el snowboarding, precisan de ciertos elementos culturales para su desarrollo. 16 Núñez (2017, 419) propone cognición cuántica en lugar de cuantitativa ya que esta podría confundirse con la capacidad de realizar mediciones y tratamientos matemáticos del medio. Por otro lado, en psicología del desarrollo también se han propuesto diferencias similares entre nuestras ʽHabilidades Simbólicas Aproximadasʼ y ʽHabilidades Numéricas Exactasʼ (Newcombe et al. 2019). 17 Esta aproximación mantiene que el surgimiento de nuestra cognición matemática está culturalmente mediada. Es decir, es necesario que el agente o comunidad de agentes desarrollen cierto tipo de herramientas y prácticas culturales que sirvan como andamiaje de este tipo de cognición. De esta manera, se consigue superar la discontinuidad conceptual entre nuestras capacidades cognitivas básicas y la cognición matemática (Núñez 2017; 2021; Fabry 2019; Pantsar 2019). 66 involucrados en los estudios de nuestra cognición cuántica o visoespacial y su relación con la cognición matemática. 3.2 De la cognición visoespacial básica a la posesión de conocimiento geométrico: una caracterización en tres niveles de competencia En esta sección vamos a presentar nuestra propia propuesta, la cual toma como base e influencia teórica las aproximaciones que acabamos de presentar. Además, tenemos que enfatizar que nuestra aproximación está centrada, principalmente, en el estudio arqueohistórico y cognitivo del desarrollo del conocimiento protogeométrico y geométrico. Veamos con detalle nuestra caracterización de los tres niveles. Nivel 1, Cognición visoespacial En este nivel consideramos de qué manera los agentes perciben y codifican de manera rápida y espontánea la información visoespacial –equiparable a la ʽextracción de invariantes espacialesʼ propuesta por Giardino (2016)–, dando lugar a la posesión de intuiciones vagas e imprecisas sobre esta información. Este tipo de capacidades cognitivas sí podrían ser consideradas universales. Por lo tanto, este nivel se relaciona principalmente con los procesos y habilidades cognitivas que están relacionadas con nuestra percepción y codificación de la información visual y espacial. En revisiones generales sobre cognición espacial (cf. Uttal et al. 2013; Newcombe 2018) se muestra que en la actualidad existe cierto consenso científico en cuanto a la distinción de dos dominios principales de nuestra cognición visoespacial: 1) a pequeña escala, vinculada principalmente con el reconocimiento de objetos y su categorización, donde es importante también tener en cuenta la manipulabilidad de estos; 2) a gran escala, relacionada con cómo nos orientamos por el medio. 18 Además, se incluye como un elemento clave para comprender y caracterizar este tipo de cognición nuestro aparato motor, usado tanto para manipular estos objetos como para movernos por el medio. Por ejemplo, en la actualidad se ha comprobado que nuestro sistema visual y 18 Newcombe (2018) distingue particularmente tres tipos de cognición espacial: a pequeña y gran escala, y una tercera en la que incluye el uso de herramientas simbólicas con las que representamos el espacio. 73 análisis y propuestas teóricas de las humanidades y ciencias sociales sean tomadas en cuenta por los científicos cognitivos (Nersessian 1995; Sutton & Keene 2017). 24 4.1 Algunos elementos clave de la filosofía de las prácticas matemáticas y la arqueología e historia cognitiva En esta sección vamos a mostrar de qué manera algunas de las propuestas dentro de la filosofía de las prácticas matemáticas y la arqueología e historia cognitiva pueden complementarse y aportar algunas ideas clave para nuestro trabajo. Además, en las próximas secciones presentaremos con más detalle algunos de estos elementos, como la construcción de nichos e instituciones (sec. 4.2) y el uso de herramientas cognitivas (sec. 4.3). La filosofía de las prácticas matemáticas es un área reciente dentro de la filosofía de las matemáticas cuya principal asunción teórica es que para entender qué es la matemática tenemos que analizar y caracterizar qué hace un matemático cuando hace matemáticas. Para ver una presentación general de las diversas cuestiones y aproximaciones dentro de esta área se puede consultar el libro editado por Mancosu (2008), o las monografías publicadas por Ferreirós (2016) o Wagner (2017). Recientemente, la filósofa Carter (2019) ha elaborado una clasificación de las diferentes facetas, o posibles intereses, entre los filósofos y filósofas de la filosofía de las prácticas matemáticas. Tendríamos: 1) centrada en los agentes, esto es, qué se hace cuando se hace, se aprende o se enseña matemáticas; 2) focalizada en la historia del conocimiento matemático, donde el interés principal está en analizar de qué manera se ha ido formando y evolucionando este tipo de conocimiento a lo largo de su desarrollo; 25 y 3) centrada en cuestiones epistemológicas acerca de las propias prácticas matemáticas. A la hora de definir qué es una práctica matemática, cuál es el método de trabajo más apropiado para el análisis de los casos de estudio, o qué cuestiones epistemológicas son clave para la filósofa de las prácticas matemáticas, cada filósofo o grupo de 24 Esto es lo que Nersessian (1995) denomina como el ʽcírculo virtuosoʼ que debe darse cuando la comunicación es efectiva entre estas dos áreas de conocimiento (p. 196). 25 Para Carter (2019, 13-14) la diferencia entre un historiador y un filósofo de las prácticas matemáticas es que los primeros se interesan por lo particular, mientras que los segundos se interesan por extraer lecciones generales a partir del estudio de casos históricos particulares. 74 investigación lo puede llevar a cabo de una manera diferente. De esta manera, algunas autoras (Giardino 2017; Carter 2019) han llamado la atención sobre la pluralidad existente en la propia práctica filosófica de los investigadores dedicados a estos temas, subrayando incluso la propia desconexión que existen entre las distintas áreas. Sin embargo, nos llevaría muy lejos presentar detalladamente estas distintas aproximaciones al estudio de las prácticas matemáticas. Por eso, lo que vamos a presentar a continuación son algunos de los elementos teóricos relevantes para nuestro trabajo basándonos principalmente en dos autores dentro de la filosofía de las prácticas matemáticas. Por un lado, la historiadora y filósofa Karine Chemla (2014a; 2014b) defiende una concepción centrada en las ʽCulturas Matemáticasʼ. 26 Lo interesante de su propuesta es que los agentes, las técnicas y herramientas que estos usan para el desarrollo del conocimiento matemático, y sus preocupaciones epistemológicas, son clave para entender cada cultura matemática. Chemla y colaboradores (2016) lo expresan de manera más concisa subrayando la importancia de dos elementos principales: 1) elementos materiales, como textos o herramientas matemáticas; y 2) elementos inmateriales, como valores epistemológicos. En el centro estarían los agentes, que son quienes dan forma a estas culturas a lo largo de los diferentes períodos históricos. Por otro lado, el filósofo e historiador José Ferreirós defiende que el conocimiento matemático proviene de las interacciones que se producen entre nuestros recursos cognitivos y prácticas culturales, enfatizando el papel principal que tiene el agente, que es el que hace tales interacciones posibles (Ferreirós 2016, 3). Ferreirós (2016) afirma explícitamente que su aproximación a las prácticas matemáticas está basada en tres elementos principales: 1) el agente está en el centro de sus consideraciones filosóficas, tomando seriamente sus capacidades cognitivas; 2) la práctica matemática propia de este agente cuando hace matemáticas, y la relación de esta con las prácticas culturales generales en las que se encuentra; y 3) el hecho de que este tipo de conocimiento ha evolucionado a lo largo de la historia. En segundo lugar, la arqueología e historia cognitiva es un área reciente cuyo interés principal es analizar la relación que los agentes pudieron tener en el pasado con diversos medios o artefactos, así como las instituciones a las que pertenecieron. Estudiando dichas relaciones se podría llegar a comprender cómo se desarrollaron en el 26 Para una discusión acerca de la procedencia y características de esta noción, ver nota 5 de Chemla y colaboradores (2016, 3). 75 pasado diferentes capacidades y prácticas cognitivas (Abramiuk 2012; Sutton & Keene 2017). Algunos investigadores las consideran como las últimas en añadirse al conjunto de disciplinas que conforman las ciencias cognitivas (Xygalatas 2014). Su objeto de estudio puede ser muy variado, como la historia cognitiva de las matemáticas (Netz 1999) o de las ciencias (Nersessian 1995), por nombrar dos casos; 27 así como su aproximación dependiendo precisamente de este objeto de estudio. Tenemos: 1) análisis de las capacidades cognitivas del pasado mediante el estudio de los restos materiales y en comparación con nuestras capacidades cognitivas actuales (cf. Abramiuk 2012, 141-152); 2) análisis experimental con sujetos actuales para ver qué regiones del cerebro utilizan en la elaboración de herramientas o realización de prácticas culturales del pasado, infiriendo de estos resultados empíricos las capacidades cognitivas que plausiblemente estuvieron presentes en nuestros antepasados (cf. Stout et al. 2015); y 3) análisis cuantitativo del registro arqueológico e histórico; por ejemplo, analizando la evolución de cómo se usó o usaron ciertos términos a lo largo de diferentes períodos históricos (cf. Netz 1999). Presentaremos a continuación los elementos principales que diversos arqueólogos e historiadores cognitivos han caracterizado como los más relevantes a la hora de estudiar la emergencia y evolución del conocimiento matemático en el pasado. Por un lado, Overmann (2013; 2016a; 2016b ) ha investigado extensamente la aparición y evolución del concepto de número y las prácticas cognitivas asociadas a este en la Prehistoria –ver capítulo 3–. Esta autora considera que no puede entenderse la aparición del concepto de número en el pasado sin analizar de qué manera ciertas herramientas y prácticas culturales le sirvieron de andamiaje cultural. De hecho, tras analizar los datos y trabajos etnográficos en relación con 33 poblaciones de cazadores-recolectores, Overmann (2013) muestra cómo en las culturas con un nivel bajo de cultura material no se llegaron a desarrollar sistemas numéricos para contar más allá de cinco. 28 Por otro lado, Netz (1999) analiza desde la historia cognitiva el desarrollo de las matemáticas en la Grecia antigua. Su análisis se sustenta en dos elementos principales: 1) 27 Abramiuk (2012, 1-20) y Wynn (2016) hacen una breve historia de la arqueología cognitiva, y Eidinow & Martin (2014) de la historia cognitiva. 28 Los indicadores de nivel de la cultura material son los del trabajo de Hayden y Villeneuve (2011): densidad de población, movilidad, posesión de propiedades, almacenamiento de comida, estratificación socio-económica, intercambios, excedentes y actividades sociales asociadas, e indicadores de estratificación social y religión (cf. Overmann 2013, 23). 76 cómo se usaron ciertos recursos cognitivos, tales como diagramas o un lenguaje técnico por ciertos agentes; y 2) considerar que estos primeros elementos no son universales ni históricamente neutros; es decir, las considera herramientas y prácticas que se han ido construyendo de manera histórica, contextual, y donde ciertas instituciones pudieron influir en su desarrollo (pp. 6-7). Estos son los elementos más importantes dentro de las diversas propuestas y aproximaciones teóricas que existen en estas dos áreas. De esta manera, consideramos que para investigar arqueo-históricamente los orígenes del conocimiento geométrico, serán importantes los siguientes elementos: 1) considerar que la geometría, o el conocimiento geométrico, es un tipo de conocimiento creado y utilizado por el agente o agentes encargados precisamente de hacer y usar las matemáticas; 2) el marco sociocultural y político, así como institucional, en el que las diversas prácticas o culturas matemáticas surgieron, no asumiendo a priori que existe un tipo de conocimiento geométrico universal de acuerdo a una serie de capacidades cognitivas innatas, sino más bien diversas prácticas matemáticas socio-culturalmente situadas; y 3) las herramientas que usan estos agentes a la hora de crear, usar, y enseñar este conocimiento geométrico, tales como diagramas, textos, tipo de lenguaje específico, lugares dedicados a desarrollar y enseñar este tipo de conocimiento, etc. Con vistas a unificar y estructurar estos elementos con aquellos que son discutidos actualmente por los científicos cognitivos y otros investigadores interesados en la cognición matemática, como arqueólogos e historiadores cognitivos, vamos a presentar con más detalle estos elementos, que hemos enmarcado dentro de las nociones de ʽconstrucción de nichos cognitivos e institucionesʼ y ʽherramientas cognitivasʼ. 4.2 Construcción de nichos cognitivos e instituciones La teoría de construcción de nichos niega que todos los procesos evolutivos dependan exclusivamente de la evolución genética. Un hecho fundamental considerado por estos investigadores es que todos los organismos, en mayor o menor medida, pueden afectar a su propia evolución y a la de otros organismos a través de la modificación de sus nichos. Por lo tanto, algunos seres vivos, y en especial el ser humano, pueden llegar a ser corresponsables de su propia evolución a través de esta modificación activa del medio (Odling-Smee et al. 2003). 77 El punto clave para nuestro trabajo es la consideración de que existe una compleja coevolución en la que nuestras capacidades cognitivas y logros culturales se afectan y determinan unos a otros (Colagè & d’Errico 2020). Como afirma Laland (2017) “las mentes humanas no están construidas simplemente para la cultura; están construidas por la cultura” (p. 30; énfasis en el original). En este trabajo nos interesa una propuesta particular dentro de la teoría de construcción de nichos, que es la de la ʽconstrucción de nichos cognitivosʼ (Clark 2006; Sterelny 2012). Con esta idea a lo que se está haciendo referencia es al conjunto de transformaciones, tanto físicas como epistémicas, que se pueden llevar a cabo en el medio de tal manera que nos ayuden, o sirvan de andamiaje cultural, para razonar y crear nuevos espacios de razonamiento. Un ejemplo clásico es la de la modificación del medio para la enseñanza en época prehistórica. Lo que se analiza es de qué manera nuestros antepasados modificaron activamente el medio para organizarlo para la enseñanza de actividades cruciales para la supervivencia, como la manufactura de herramientas líticas. De esta manera, el “tutor” colocaba herramientas en las diferentes etapas de la construcción para hacer más fácil y evidente el aprendizaje a los “alumnos” (cf. Sterelny 2003; 2012). Este nicho cognitivo, tal y como las herramientas y prácticas culturales, puede pasar a la siguiente generación. Por lo tanto, los cambios realizados en el medio se irán acumulando y, plausiblemente, mejorando a lo largo de las generaciones (Sterelny 2003; 2012; Clark 2006; Odling-Smee & Laland 2011; Fabry 2017). Así mismo, los nichos cognitivos que más nos interesan en este trabajo son aquellos relacionados con la enseñanza y aprendizaje de prácticas culturales (Sterelny 2012, 35-43; d’Errico & Banks 2015; Gärdenfors & Högberg 2017). Lo veremos con más detalle con los casos de estudio. Muy ligada a los nichos cognitivos está la noción de institución, que se puede definir como “las restricciones creadas por los humanos para estructurar las interacciones políticas, económicas y sociales. Estas consisten en restricciones informales (sanciones, tabúes, costumbres, tradiciones y códigos de conducta) así como reglas formales (constituciones, leyes, derechos de propiedad)” (North 1991, 97). Esta noción de institución ha sido aplicada al estudio de los cambios que tuvieron lugar en la Prehistoria, tales como el paso de sociedades igualitarias de cazadoresrecolectores a la emergencia de sociedades jerarquizadas durante el Neolítico (Powers et 78 al. 2016). 29 Por otro lado, se cree que las instituciones fueron creadas en el momento en el que ciertos agentes o grupos de estos comenzaron a acumular capital gracias a los excedentes alimenticios derivados del paso de una economía cazadora-recolectora a una de producción agrícola y ganadera. Esta acumulación de capital vino acompañada, como se puede ver en el registro arqueológico, de un incremento de la violencia intragrupal y con otros grupos humanos, lo que empujó al ser humano a establecer una serie de reglas con las que estructurar todas las interacciones y comportamiento social, que son precisamente las instituciones, así como la emergencia de la figura del líder (Sterelny 2014; 2016). Este fenómeno se relaciona así mismo con la división y especialización del trabajo, así como con la aparición de los edificios y especialistas rituales. Estos dos elementos, como veremos a lo largo de los próximos capítulos, son importantes a la hora de estudiar los orígenes del conocimiento matemático. 4.3 Herramientas cognitivas para la práctica matemática En esta sección vamos a presentar con detalle una de las modificaciones del nicho cognitivo que lleva a cabo el ser humano y que ya mostramos que era clave para el surgimiento y desarrollo del conocimiento protogeométrico: las herramientas cognitivas. Son dos las propiedades fundamentas de las herramientas cognitivas según Heersmink (2013): 1) son objetos físicos fabricados por el ser humano; y 2) son usadas para contribuir de manera funcional a realizar alguna tarea cognitiva. Estas herramientas cognitivas, por lo tanto, serán construidas de tal manera que su estructura informacional nos pueda servir a la hora de llevar a cabo diversas tareas cognitivas. Por otro lado, una herramienta pragmática o con funciones pragmáticas es aquella que no contribuye, o su función o utilidad principal no se orienta, a llevar a cabo tareas cognitivas, como por ejemplo una silla, un hacha o una botella (Kirsh and Maglio 1994; Heersmink 2013; Sinha 2015). Algunas herramientas pueden tener ambas funciones dependiendo del uso que le demos. Por ejemplo, si usamos una cuerda para atar dos tablas de madera, la cuerda tendrá una función pragmática. Sin embargo, si hacemos nudos a 29 Este es un patrón general en el registro arqueológico y etnográfico, aunque no universal. Johnson y Earle (2000) muestran diversos ejemplos, como los Machiguenga, del área amazónica de Perú, o los Nganasan, del norte de Siberia. Estas culturas han desarrollado la domesticación u horticultura, pero no han evolucionado a sociedades más grandes ni complejas, sino que continuaron con un estilo similar al del nivel familiar de los cazadores-recolectores (pp. 90-120). 79 esta cuerda a una misma distancia, y es usada para la construcción, entonces su función puede ser cognitiva, ya que la importante es la estructura informacional –unidades de medición– de la cuerda. En relación con este tipo de herramientas, Donald (1991) fue uno de los primeros investigadores que enfatizó la importancia del uso de lo que él denominó ʽexogramasʼ, que son herramientas con las que almacenar la información externamente. Para este autor, el hecho de elaborar y desarrollar herramientas con contenido simbólico es clave para el surgimiento de las teorías, ya que nos permiten reflexionar más allá del medio inmediatamente percibido. En la actualidad, algunos arqueólogos han retomado este tipo de análisis, y señalan la importancia de los ʽSistemas Artificiales de Memoriaʼ – AMS en adelante–, los cuales pueden servir como andamiaje cultural para la emergencia del pensamiento simbólico en el pasado (d’Errico 1998). Además, será importante tener en cuenta en nuestros casos de estudio de qué manera se puede modificar el medio epistémico, simplificar ciertas demandas cognitivas, así como mejorar nuestras propias capacidades biológicas con estas herramientas. Por ejemplo, nuestra memoria individual y limitada puede convertirse, mediante el uso de algunas herramientas cognitivas, en un tipo de memoria externa, colectiva, y heredable a futuras generaciones (Sterelny 2003, 150-153; 2012, 26-45). Por otro lado, algunos autores han incluido en la categoría de herramientas cognitivas el lenguaje. Es decir, de qué manera pueden usarse las palabras como cualquier otra herramienta cognitiva para estructurar nuestros pensamientos de manera más eficiente, manipular la información que poseemos, etc. Son consideradas así mismo como puentes entre el agente y el medio (Clark 2006; Borghi et al. 2013; Sinha 2015). Este tipo de aproximaciones al lenguaje son interesantes para nuestro trabajo ya que, como veremos, el lenguaje sirvió para la estabilización y regularización de los términos geométricos, así como para crear un marco simbólico de trabajo. Para finalizar, vamos a remarcar tres propiedades fundamentales del uso de herramientas cognitivas para entender la emergencia del conocimiento protogeométrico, y posteriormente geométrico, en nuestros casos de estudio. En primer lugar, estas herramientas permiten la creación de cierta memoria colectiva. Esto es, los contenidos simbólicos expresados con estas herramientas podrán ser comunicados a otros agentes de la misma población, así como a otras alejadas geográficamente, gracias a que estas herramientas pueden transportarse fácilmente. Esta creación de una memoria colectiva externa a nuestra memoria biológica individual es importante, ya que permite que el 80 conocimiento protogeométrico y geométrico sea elaborado, controlado y mejorado colectivamente. En segundo lugar, estos pueden acumularse y transmitirse de generación en generación con mayor facilidad, ya que son objetos externos, físicos. De esta manera, puede darse el fenómeno de la acumulación cultural (Fabry 2017; Legare 2017), que es clave para entender los orígenes y, sobre todo, desarrollo de este tipo de conocimiento. Como veremos en los próximos capítulos, será sobre todo a partir del Neolítico cuando los AMS se irán refinando e incluirán cierto contenido simbólico, y se crearán también las estructuras sociales donde acumular y mejorar este conocimiento, como los centros rituales. Acumulamos así no solo un tipo de conocimiento, sino todo el repertorio cultural asociado a este conocimiento, como habilidades matemáticas, uso de herramientas específicas, normas para saber qué es correcto y qué no, formas eficientes de enseñar este tipo de conocimiento, etc. (cf. Sterelny 2012; Fabry 2019). En tercer lugar, mejoran nuestras capacidades cognitivas. Esto es, nos permiten ahorrar ciertos costes cognitivos. Un ejemplo es el uso de los diagramas en la práctica matemática, los cuales nos permiten estructurar los problemas a resolver, manipular su contenido matemático, comunicarlo con facilidad a otros agentes, controlar la veracidad de este tipo de conocimiento intersubjetivamente, etc. (Giardino 2014). Además, estas herramientas cognitivas son importantes para la estabilización de la práctica protogeométrica y geométrica, ya que nos permiten razonar con y sobre las propiedades espaciales de manera más directa y manipulable, siendo esenciales para la articulación de los propios conceptos geométricos, así como desarrollarlos de manera más precisa y sistemática. Consideramos de esta manera que el uso de diversas herramientas cognitivas, como diagramas o cierto lenguaje protomatemático y matemático limitado, ayudaron a formar este nicho cognitivo en el que se creó toda una nueva forma de razonar y pensar acerca de las formas espaciales, con especial interés en la elaboración de un nuevo marco simbólico. Lo veremos a continuación de manera detallada con los casos de estudio que presentaremos en la segunda parte de este trabajo. 81 PARTE II CASOS DE ESTUDIO 82 89 más probable para explicar tal coincidencia es que existiera un origen único y común a todas estas tradiciones matemáticas. Como veremos a continuación, cada uno de estos autores propone un lugar y período diferente en el que situar tal origen. En segundo lugar, Seidenberg (1961; 1962; 1981) argumenta en una serie de artículos que el origen tanto de la geometría como de la práctica de contar están vinculados con ciertas prácticas rituales de la India. Por un lado, la geometría nace en relación con una serie de reglas usadas para la construcción de altares para la celebración de rituales, las cuales encontramos en los Śulbasūtras; por otro lado, la práctica de contar se vincula tanto con las asociaciones realizadas entre deidades y números, como con las palabras usadas para numerar a los participantes de estos rituales. En tercer lugar, van der Waerden (1983) remonta los inicios de la matemática a la Prehistoria, particularmente al Neolítico y la Cultura del vaso Campaniforme. Van der Waerden llega a esta conclusión tras analizar la construcción de algunos de los monumentos más importantes de esta cultura, tales como Stonehenge o Woodhenge, argumentando que para su construcción hizo falta el uso de ternas pitagóricas y el Teorema de Pitágoras. 4 Lo veremos con más detalle en la próxima sección. Por lo tanto, estas dos propuestas elaboran una aproximación alternativa acerca de la emergencia del conocimiento matemático. Por un lado, la etnomatemática muestra que ampliar el concepto de aquello que puede ser considerado como matemáticas podría enriquecer y ampliar nuestras concepciones históricas y culturales sobre la emergencia y evolución de este tipo de conocimiento; por otro, la tesis van der Waerden-Seidenberg pone en duda que la matemática griega fuera la precursora del desarrollo del conocimiento geométrico, desplazando tal origen a otras civilizaciones o culturas anteriores. No vamos a presentar nuestras críticas a estas dos propuestas ya que las elaboraremos a lo largo de las siguientes secciones. 3. Estudios en prehistoria de las matemáticas I: historias generales de las matemáticas y primeras aproximaciones arqueo-históricas En esta sección mostraremos de qué manera se han definido las características generales para considerar como genuinamente matemáticas ciertas herramientas o prácticas de 4 Basándose en los descubrimientos anteriores de Thom y Thom (1978), Hawkins (1973) y, principalmente, los de Wood (1978) (apud van der Waerden 1983, 16-17). 90 sociedades prehistóricas en dos tipos de obras. Por un lado, en historias generales de la matemática; por otro, en trabajos arqueológicos que tratan directamente acerca de la existencia de prácticas matemáticas en este período de mediados y finales del siglo XX. Expondremos en primer lugar las ideas presentadas en los capítulos introductorios de historias generales de la matemática como los de Struik (1987), Boyer (1991), Cooke (2013), o Scriba & Schreiber (2015), en los que se suele tratar el tema general de la ʽPrehistoriaʼ, ʽComienzosʼ u ʽOrígenesʼ de las matemáticas. 5 En estos capítulos introductorios se suelen presentar dos fuentes en relación con el conocimiento matemático en la Prehistoria. En primer lugar, exponen una serie de resultados de la psicología que demuestran la antigüedad filogenética y pronto desarrollo ontogenético del pensamiento matemático en nuestra especie. Ya criticamos en el capítulo anterior este tipo de concepción innatista y universal del conocimiento matemático, la cual es presentada en estas obras como válida y científicamente probada. 6 La segunda fuente de conocimiento que sirve como base para estos capítulos introductorios son, precisamente, las segundas obras que vamos a presentar en esta sección. Esto es, los trabajos de algunos arqueólogos que comenzaron a interpretar matemáticamente ciertas herramientas y construcciones monumentales prehistóricas. En estos trabajos se suelen establecer dos categorías de conocimiento matemático en la Prehistoria. En primer lugar, aquellos elementos que nos permiten constatar la utilización de números para contar, lo que ha llevado a algunos investigadores a afirmar que en la prehistoria se desarrollaron la aritmética y el concepto de número. Habitualmente fue el hueso de Dolní Věstonice el que se consideró como el primer objeto en el que se ve reflejado el uso de números en la Prehistoria. 7 En segundo lugar, se argumenta que el uso y elaboración de “patrones geométricos” en prácticas de tejer, decoraciones cerámicas, o 5 Cooke (2013) titula a esta sección introductoria como ʽprotomatemáticasʼ en un sentido cercano al de ʽideas matemáticasʼ propuesto por Ascher (1991). 6 Por ejemplo, Boyer (1991, 1-2) cita algunos experimentos realizados con cuervos a partir de los cuales se concluye que estos pueden distinguir conjuntos de hasta cuatro elementos –esto es, el OTS–; o Cooke (2013, 14-16), que muestra los experimentos con los que Pávlov consiguió que un perro distinguiera una elipse de un círculo. 7 Por ejemplo, Ifrah (2000) argumenta respecto a este hueso que “el propósito de estas muescas sigue siendo un misterio, pero este hueso (cuyas marcas son sistemáticas, y no están motivadas artísticamente) es uno de los documentos aritméticos más antiguos que nos ha llegado” (p. 62). 91 construcción de monumentos megalíticos y prácticas arqueoastronómicas pondrían de manifiesto la emergencia del pensamiento geométrico. A continuación, vamos a presentar y analizar con cierto detalle algunos de los casos de estudio más representativos de cada una de estas categorías. En primer lugar, vamos a presentar un artefacto arqueológico que ha suscitado un mayor debate en la literatura especializada que el hueso de Dolní Věstonice, y es en términos generales análogo a este. 8 Estamos hablando del hueso de Ishango (Img. 3.3), un hueso de babuino descubierto por el investigador belga Jean de Heinzelin en 1960 en el área africana de Ishango (de Heinzelin 1962) y datado en el 20.000 a.e.c. Este hueso tiene un total de 167-168 muescas distribuidas en tres columnas. Imagen 3.3 A la izquierda, fotografía del hueso de Ishango (licencia cc del usuario Matemáticamente.it, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Osso_di_Ishango.jpg). A la derecha, distribución de las marcas en las columnas M, G y D. Algunos autores afirman que este artefacto podría ser considerado como el primer objeto de la humanidad en el que encontramos la prueba de que nuestros antepasados llevaban a cabo algún tipo de práctica de contar. Aunque este tipo de interpretación es plausible, en la actualidad se sigue debatiendo la posibilidad de que las marcas fueran realizadas con otra intención que no fuera la de contar (cf. Keller 2015). Por otro lado, Bogoshi et al. 8 El citado hueso de Dolní Věstonice posee 55 marcas en total, y en un primer momento se sugirió que estaban agrupadas en dos conjuntos de 30 y 25 marcas cada uno –ver González Redondo et al. (2010)–. 92 (1987) afirman que este hueso podría ser el primer artefacto matemático de la humanidad, e incluso se han mantenido posiciones más radicales. Por ejmplo, Plester y Huylebrouck (1999) dicen que las columnas G y D suman 60 marcas, o lo que es lo mismo, 5×12, mientras que la columna M sumaría 48 marcas, que sería 4×12; por lo tanto, concluyen que este hueso pondría de manifiesto que esta población desarrolló un tipo de sistema numeral con base 12. Finalmente, el propio de Heinzelin (1962) afirma que los números de la columna D representan los números primos entre 10 y 20, lo que manifestaría que esta población tuvo algún tipo de conocimiento sobre estos números. 9 En segundo lugar, tenemos el análisis del uso de ciertas relaciones o “patrones geométricos” en la construcción de monumentos megalíticos. Hawkins (1964) o van der Waerden (1983), entre otros, se han centrado específicamente en el caso de Inglaterra, siendo los casos más estudiados los de sitios tan emblemáticos como Stonehenge (3100- 2000 a.e.c.) o Woodhenge (2500-2000 a.e.c.). Además de afirmar que estos monumentos megalíticos tienen una clara función arqueoastronómica 10 , estos autores concluyen tras analizar su plano arquitectónico que para su construcción fue necesario el conocimiento de ciertos conceptos y relaciones geométricas, como el uso de ternas pitagóricas, triángulos equiláteros, o el conocimiento explícito del teorema de Pitágoras. Van der Waerden (1983), uno de los defensores de la hipótesis acerca del origen del conocimiento geométrico en la Cultura del vaso Campaniforme, afirma explícitamente que “en los anillos de piedras megalíticas hemos encontrado claras indicaciones de actividades astronómicas así como matemáticas” (p. 31). Particularmente, este autor argumenta que en los planos arquitectónicos de monumentos megalíticos europeos encontramos triángulos rectángulos que cumplen con la relación establecida en el teorema de Pitágoras (van der Waerden 1983, 17-22). De esta manera, dice que queda probada la existencia de una ʽmatemática neolíticaʼ originada en sociedades Indoeuropeas que posteriormente se extenderá a toda Europa, China e India. 9 Ver Huylebrouck (2019) para una presentación general de las diferentes interpretaciones que se han hecho de este objeto, así como una defensa postcolonial similar a la de los etnomatemáticos presentados anteriormente. Por otro lado, tanto Joseph (2011, 30-35) como Keller (2015) muestran una visión crítica sobre las interpretaciones aritméticas que se han realizado de este objeto. 10 Lo cual ha sido criticado por diversos arqueoastrónomos, ya que estos autores ignoran el contexto sociohistórico, así como la posible relación con el paisaje, de este tipo de monumentos (cf. Ruggles 2015). 93 Por ejemplo, argumenta en relación al sitio de Woodhenge que al medir y doblar los lados de los triángulos ABC y ABD (Img. 3.4) estos medirán 12, 35 y 37 yardas megalíticas –una medida estándar que este autor cree que fue usada por diversas sociedades prehistóricas–. Esto es, medidas que se corresponderían con una terna pitagórica. Imagen 3.4 Plano de Woodhenge presentado por van der Waerden (1983, 21), que toma de Wood (1980). Vamos a presentar a continuación dos de las críticas principales a este tipo de propuestas. La primera concierne específicamente a las historias generales de las matemáticas, en las que encontramos una ʽasunción ingenuaʼ de los resultados en psicología. Es decir, que los historiadores citados anteriormente suelen asumir como demostrados y aceptados por la comunidad científica resultados acerca de nuestra “cognición matemática” que, como hemos mostrado, siguen siendo objeto de intensos debates en ciencias cognitivas, así como en otras áreas de conocimiento como la filosofía o la antropología. La segunda de las críticas que queremos exponer es común a ambas fuentes, y coincide además con una de las críticas que ya presentamos en el capítulo anterior: las retroproyecciones. Con esta crítica nos referimos a cómo estos autores estarían imponiendo o proyectando sobre poblaciones prehistóricas el conocimiento y prácticas matemáticas que poseemos en la actualidad, o que fueron desarrolladas posteriormente por otras civilizaciones como la griega o la china. Yardas megalíticas Metros Amanecer en verano 94 En relación al hueso de Ishango podemos observar de qué manera al contar el número de marcas en cada columna, así como en cada colección de marcas, estos autores afirman que esta población usó un sistema numérico con base duodecimal, o incluso que poseían conocimiento acerca de los números primos. De esta manera, estamos imponiendo o interpretando este tipo de herramientas con nuestro propio conocimiento teórico y sofisticado acerca de los números naturales. En el segundo de los casos nos encontramos con el mismo fenómeno. Dibujar triángulos rectángulos que cumplan con la relación establecida en el teorema de Pitágoras dice más de nuestro propio conocimiento geométrico que el de estas civilizaciones del pasado. 11 Lo que estamos haciendo es buscar, con nuestra concepción matemática contemporánea, o incluso de civilizaciones antiguas como la griega, relaciones geométricas que nos son familiares, y así poder concluir que estas ya fueron descubiertas o desarrolladas por estas poblaciones. 4. Estudios en prehistoria de las matemáticas II: estudios actuales en arqueología Esta sección se dividirá en dos partes. En primer lugar, analizaremos los trabajos sobre prehistoria del concepto de número; en segundo lugar, mostraremos los que tratan acerca de la prehistoria de la geometría. Como mostramos en los capítulos anteriores, existe una tendencia general en las ciencias cognitivas de investigar con mayor énfasis nuestra cognición numérica frente a la geométrica. Este mismo fenómeno también tiene lugar en los trabajos actuales en prehistoria de las matemáticas. 4.1 Prehistoria del concepto de número Los investigadores interesados en el estudio de las raíces prehistóricas del concepto de número han presentado tres posibles fuentes o conjuntos de materiales arqueológicos que 11 Knorr (1985) realiza una revisión crítica a la obra de van der Waerden, argumentando que tanto Thom como van der Waerden tuvieron que seleccionar qué elementos del plano considerar para poder formar las figuras geométricas tan habituales para nosotros. El propio Knorr muestra que, considerando otros elementos alternativos nos encontraríamos con otro tipo de relaciones geométricas, y además los triángulos rectángulos desaparecerían. Es decir, la existencia de este tipo de configuraciones o figuras geométricas no es algo que surgiera o fuera usado de manera natural por los constructores del pasado, sino que depende más de nuestra propia concepción y práctica matemática. 95 podrían constatar la emergencia y evolución del pensamiento aritmético en la Prehistoria. Tenemos: 1) material etnográfico y arqueológico que muestra el uso de dedos para contar; 2) artefactos con marcas usados presumiblemente para contar; y 3) uso de ornamentación personal. En primer lugar, que los humanos usen sus dedos y otras partes de su cuerpo para contar es un hecho bien documentado y estudiado tanto etnográfica como cognitivamente (cf. Bender & Beller 2012; Overmann 2014). A partir de estos datos, algunas arqueólogas y antropólogos han argumentado que en el pasado el uso de los dedos seguramente precediera al uso de herramientas para contar. Por un lado, el antropólogo Caleb Everett (2017, 39-44) señala que en todo el mundo se han encontrado cuevas con huellas de manos pintadas sobre las paredes. Las primeras pinturas de este tipo son de Indonesia, de hace 40.000 años, y existen otros casos en Sudamérica y Europa. Este uso extensivo de manos y dedos como elementos pictóricos refleja la importancia que pudieron tener para nuestros antepasados. Por otro lado, la arqueóloga cognitiva Karenleigh Overmann (2014) analiza las huellas de manos realizadas en las grutas de Cosquer y Gragas (Francia), constatando que la mayoría se pueden considerar como signos de dedos –esto es, dibujos de las manos en las que encontramos uno o varios dedos erguidos–, y algunas pueden incluso interpretarse como posibles representaciones de números enteros (Img. 3.5). El argumento principal de esta autora es que la forma en la que se representaron estos signos de dedos recuerda a la manera en la que usamos generalmente los dedos para contar; por otro lado, dado el amplio material etnográfico y cognitivo acerca de la primacía del uso de nuestros dedos a la hora de contar, no es de extrañar que fueran usados de esta manera por nuestros antepasados. 12 En segundo lugar, tenemos los artefactos con marcas que pueden ser interpretadas como incisiones hechas para contar o representar cantidades. En esta categoría se incluirían los huesos de Ishango y Dolní Věstonice. Además, en los últimos años se han estudiado algunos casos anteriores como los artefactos de Abri Blanchard y Abri Cellier, de hace 28.000 años, la placa de Taï de hace unos 14.000 años (Overmann 2013; 2016a; 12 Sin embargo, se ha argumentado que las pinturas de dedos correspondientes con los números del 1 al 5 no suelen aparecer en este orden, y ni siquiera hay una combinación clara entre las huellas que estarían representando cantidades frente al conjunto total de huellas de manos. Por lo tanto, estos datos son débiles para afirmar que estas pinturas rupestres representen el uso de los dedos para contar (cf. Overmann 2014). 96 2016b), o un hueso con 29 incisiones encontrado en la cueva Border (Sudáfrica) de 44.000–42.000 años (d’Errico et al. 2012). Estos datos han llevado a algunos investigadores a establecer en el Paleolítico Superior Europeo –hace 42.000 años– el momento en el que estos instrumentos pudieron comenzar a ser usados para contar o representar cantidades (d’Errico et al. 2017). Imagen 3.5 Huellas de manos de las grutas de Cosquer y Gragas, de unos 27,000 años de antigüedad. A: aquéllas que se han considerado que podrían representar los números del 1 al 5; B: otras huellas consideradas como signos de dedos. Imagen ligeramente modificada de (Overmann 2014). Sin embargo, existen dudas en la investigación arqueológica actual acerca del uso exacto de estos instrumentos, que no solo pudieron usarse para representar cantidades, sino también para la decoración, la adivinación, como instrumentos musicales, protocalendarios, etc. (d’Errico & Cacho 1994; Reese 2002; De Smedt & De Cruz 2011). 13 Una de las diferencias principales de estos estudios en relación con los realizados en períodos anteriores es que en los últimos años algunos investigadores han elaborado una serie de criterios para poder distinguir de manera más sistemática qué tipo de artefactos podrían representar cantidades o posibles notaciones. En primer lugar, tenemos el criterio de la intencionalidad. Esto es, que algún sujeto de manera intencional realizara estas incisiones o marcas y no que surgieran por acciones naturales o como consecuencia de trabajar sobre estas rocas con otras 13 Everett (2017, 34-38) señala que en diversas partes del mundo parece haber una fijación con el conjunto de 29-31 marcas. Esto podría constatar, como algunos autores han defendido, que lo que se contara fueran precisamente algunos patrones celestes -ciclos lunares-, lo que les sería útil para controlar la migración de animales, así como saber qué días serían los más visibles por la noche (cf. De Cruz 2006). A B 97 herramientas (Overmann 2016b; d’Errico et al. 2017). En segundo lugar, el criterio experimental. Este criterio hace referencia a los estudios experimentales que tienen que realizarse para determinar si estas marcas fueron realizadas por el mismo sujeto o por más de uno, si fueron realizadas con la misma herramienta, en el mismo período de tiempo, la dirección y espacio entre estas, etc. (d’Errico & Cacho 1994; d’Errico et al. 2017). En tercer lugar, más que un criterio vamos a presentar la ʽTeoría del Compromiso Materialʼ (Malafouris 2013), que defiende que aunque estas marcas no se realizaran para representar cantidades, pudieron aun así servir para desencadenar un tipo de interacción material que sirviera como fundamento para un desarrollo posterior de conceptos numéricos. 14 En tercer y último lugar tenemos el uso de ornamentación personal, específicamente el uso de cuentas de collar (Img. 3.6). 15 Estas han sido relacionadas con el surgimiento del pensamiento simbólico en nuestra especie y lo que en prehistoria y estudios en evolución humana se conoce como los inicios del comportamiento humano moderno (d’Errico et al. 2005; Bouzouggar et al., 2007). El argumento principal es que estos artefactos se pudieron usar para representar algo más allá del propio objeto, como distinguir el estatus social dentro de las poblaciones, o qué miembros pertenecían a un grupo concreto (Kuhn & Stiner 2007). Stiner (2014) señala que en un primer momento estas cuentas no se modificaron de manera intencional –criterio 1– sino que se usaban tal y como se encontraban en el entorno. Posteriormente se empezaron a seleccionar activamente qué conchas cumplían con ciertos criterios –tales como color o forma– para ser usados como marcadores sociales y se comenzaron a modificar activamente. Lo interesante para nuestro trabajo es que algunos investigadores (Wynn et al. 2016a) han considerado que estas cuentas se pudieron unir con una cuerda y ser usadas para medir el tiempo y desarrollar algún tipo de pensamiento ordinal. Particularmente, pudieron instanciar una línea numérica y así mostrar un orden estable de los numerales, relación acumulativa entre los numerales, así como ofrecer la posibilidad de aplicar fácilmente la operación ʽmás 1ʼ. De esta manera, Overmann (2019) afirma que el uso de 14 Según Overmann (2016a) da igual si estamos hablando de marcas hechas con propósitos decorativos o para representar cantidades, puesto que ambas servirían para que interactuáramos con ciertas propiedades de los conceptos numéricos. 15 Estas aparecen para algunos autores entre el 100.000-70.000 a.e.c. (d’Errico et al. 2009), o entre el 90.000-45.000 a.e.c. (Stiner 2014). 98 números al menos de una manera restrictiva –esto es, hasta 20– ya estaba presente hace 75.000 años, coincidiendo con el uso de estas cuentas de collar de la cueva de Blombos. Concluyendo, por lo tanto, que estos podrían ser uno de los artefactos de la Prehistoria que más ha influido en el surgimiento de la “cognición numérica” (Overmann 2013; 2016a; 2016b). Imagen 3.6 Cuentas hechas a partir de los caparazones de Nassarius kraussianus encontradas en la cueva de Blombos (Sudáfrica) (d’Errico et al. 2005). Por otro lado, Everett (2017, 240-247) señala que en algunos yacimientos arqueológicos se han encontrado grandes cantidades de cuentas, lo que indicaría que se les concedía un importante valor cultural, e hipotetiza que su acumulación y valor cultural pudo conducir a sus pobladores a contarlas para tener cierto control sobre ellas, y establecer una conexión entre número de conchas y número de dedos de la mano. Concluimos esta primera parte en la que, al igual que haremos con la siguiente, nos limitamos a hacer una breve presentación del tipo de material que se considera que podría dar cuenta de la emergencia del conocimiento matemático en la Prehistoria. En la próxima sección llevaremos a cabo un análisis crítico de estos estudios, y presentaremos una posible sistematización de los mismos. 4.2 Prehistoria de la geometría Como hemos mencionado en diversas ocasiones, los estudios en cognición matemática han puesto un mayor foco en nuestra cognición cuántica y emergencia de la cognición numérica frente a la visoespacial y su relación con la emergencia de la cognición 105 ¿Cuál sería la conclusión que podríamos elaborar tomando en cuenta la aproximación de Keller? Que este tipo de material arqueológico pone de manifiesto el despertar del pensamiento geométrico en nuestra mente. Podríamos afirmar que las figuras que vemos en estas tablas, así como las relaciones geométricas de simetría o congruencia, pueden ser consideradas como plenamente geométricas en un sentido práctico. Esto es, aunque estos triángulos estén imperfectamente dibujados, son triángulos 23 , ya que la figura está compuesta por tres lados; además, también vemos representadas las relaciones de congruencia y simetría. Por lo tanto, al menos de manera práctica, estaríamos hablando de “pensamiento geométrico”. En tercer y último lugar, y en esta ocasión dentro de la cognición visoespacial a gran escala, vamos a presentar algunas investigaciones en relación con la ʽArqueología del Paisajeʼ (Anschuetz et al. 2001; Thomas 2001). En este contexto el término ʽpaisajeʼ no hace referencia únicamente al medio natural en el que vive el ser humano, sino que también puede ser entendido de acuerdo a otros cuatro posibles significados interconectados, tales como: 1) cómo este medio natural es estructurado y organizado por los humanos que lo habitan; 2) cómo este medio es percibido de acuerdo a creencias, valores culturales y diversas actividades que lo transforman desde un medio físico-natural a un medio con sentido para tal población; 3) el lugar donde llevar a cabo las diversas actividades para la supervivencia; y 4) como una construcción dinámica, esto es, una población recibe un paisaje construido o modificado por sus ancestros, el cual podrán modificar y dejar así un nuevo paisaje a sus descendientes (Anschuetz et al. 2001, 160- 161). Este tipo de consideraciones acerca del paisaje conecta de cierta manera con la tesis del compromiso material. Un paisaje no es un tipo de hábitat natural ajeno a sus pobladores, sino que es importante tomar en cuenta cómo este es percibido, cómo afecta a nuestra propia percepción del mismo, y cómo puede ser modificado activamente por el sujeto que lo habita. Lo más relevante para nuestro trabajo es cómo los pobladores del pasado modificaron este paisaje a través sobre todo de la construcción de monumentos megalíticos. Dentro de esta aproximación a la arqueología del paisaje queremos presentar 23 Como veremos en la próxima sección y a lo largo de los próximos capítulos, esta conclusión nos parece infundada arqueo-históricamente. Por ejemplo, en la antigua civilización china se desarrolló un tipo de conocimiento geométrico en un sentido matemático, y sin embargo no desarrollaron el concepto de triángulo, y ni siquiera de ángulo. Afirmar que estas poblaciones poseyeron los “conceptos geométricos” de triángulo o círculo por ser capaces de dibujar y manipular estas formas espaciales nos parece infundado. 106 dos categorías complementarias del estudio de este tipo de construcciones. Por un lado, se pueden estudiar o analizar las formas espaciales de estos edificios. Por otro, la posible orientación de estos monumentos, la cual puede haberse llevado a cabo en relación al paisaje circundante, a las ideas cosmológicas de la población que los construyó, así como a ciertos patrones astronómicos. Este último fenómeno se estudia en el campo de la arqueoastronomía –que definiremos posteriormente–. En el primero de los casos, autores como Bradley (1998) o Thomas (2001) argumentan que los monumentos megalíticos pudieron haberse construido como un elemento que permitiera dominar el paisaje, construyéndolos por lo tanto en lugares centrales para la población. 24 No tenemos constancia de ningún trabajo que haya analizado de manera sistemática si existe una forma preferente a la hora de llevar a cabo este tipo de construcciones de manera transcultural. Sin embargo, Bradley (1998; 2012) ha analizado a lo largo de los años de qué manera el círculo, o una forma más o menos circular, ha sido la composición arquitectónica básica de gran parte de monumentos prehistóricos en Gran Bretaña entre el 3000 y el 1500 a.e.c. Entre estos monumentos tenemos construcciones tales como crómlech, tumbas de corredor o círculos de piedra. Para ello, se siguieron tanto la imitación del paisaje circundante, de los accidentes geográficos, así como un esquema simbólico o cosmológico común. Por lo tanto, al menos en el caso de la Prehistoria de Gran Bretaña, podemos ver que hubo una fijación de sus pobladores por representar este tipo de forma espacial básica de acuerdo a diferentes criterios. Por otro lado, investigadores como Keller (2006) o Groenewoudt (2011) señalan que se puede apreciar el paso de estas formas circulares a rectangulares o cuadradas en la Edad de Bronce –lo que Groenewoudt (2011) denomina “paisajes rectilíneos” (p. 12)–, llamando la atención sobre el hecho de que “en un período de tiempo relativamente corto, el paisaje se volvió mucho más ʽculturalʼ y planificado, y su estructura principal cambió drásticamente” (Groenewoudt 2011, 7). Aunque no se sabe exactamente por qué tuvo lugar este cambio, algunos investigadores creen que este estuvo impulsado por el paso a un modo de subsistencia sedentario y basado en la economía agrícola, por lo que tuvieron que ocupar extensiones más grandes y mejor estructuradas de terreno que en períodos anteriores (cf. Groenewoudt 2011). 24 No es nuestra intención discutir las posibles funciones de estos monumentos. Para una discusión de este tema ver Bradley (1998), Anschuetz et al. (2001) o Jones (2007). 107 La segunda de las categorías trata acerca de la posible orientación de monumentos, edificios, e incluso enterramientos o prácticas funerarias (Bradley 1998; 2012). En relación a este fenómeno surgió a partir de los años 70’ del siglo pasado la arqueoastronomía, cuyo interés principal es el estudio de cómo nuestros antepasados percibían y estudiaban el cielo. Esto es investigado principalmente a través del análisis de la orientación con patrones astronómicos de ciertos edificios y monumentos prehistóricos (Ruggles 2005; 2015). 25 La arqueoastronomía surgió, en parte, como una reacción crítica a los estudios que se estaban llevando a cabo desde una perspectiva o corriente estadística acerca de la orientación arqueoastronómica de monumentos megalíticos en Gran Bretaña. Esto es, autores como Hawkins o Thom, cuyas obras ya hemos criticado anteriormente, realizaron análisis estadísticos para ver si existía alguna correlación entre la orientación de diversos monumentos megalíticos y los patrones astronómicos visibles para sus constructores. Tras sus investigaciones, estos autores concluyen que sus constructores poseyeron indudablemente conocimiento astronómico –y matemático–. Este tipo de conclusiones se consideran por lo general infundadas o erróneas desde un punto de vista arqueológico y arqueoastronómico. Una de las cuestiones principales que han criticado de este tipo de estudios ha sido que los investigadores de esta corriente estadística ignoran por completo el contexto socio-cultural en el que estos monumentos megalíticos fueron construidos (Ruggles 2005; 2015). Sin embargo, esto no quiere decir que no exista una posible orientación astronómica de este tipo de construcciones. Por ejemplo, algunos investigadores han realizado recientemente un estudio sistemático acerca de la orientación arqueoastronómica de gran parte de los monumentos megalíticos del mediterráneo (Hoskin 2001; Hoskin & Belmonte 2002). A continuación, vamos a presentar dos casos de estudio representativos que nos sirven para ilustrar las características de este tipo de construcciones que podrían ser 25 Como podemos ver en la obra editada por Selin (2000), muchas culturas de todo el mundo, tanto prehistóricas como de la antigüedad, y poblaciones de cazadores-recolectores de hoy día, hacen uso de cierto conocimiento astronómico para cuestiones de vital importancia como la elaboración de calendarios, la celebración de rituales, la caza, etc. Por otro lado, Robbins (2000) revisa el material arqueológico que puede constatar la relación del ser humano con el cielo en el pasado, y concluye que no están claras las relaciones entre material arqueológico o modificación del paisaje y astronomía en el Paleolítico, siendo en el Neolítico cuando este tipo de prácticas comienzan a aparecer de manera más clara y general. 108 relevantes para nuestro trabajo. Con este fin, presentaremos los casos de Göbekli Tepe (Sanliurfa, Turquía) y el dolmen de Menga (Antequera, España). En primer lugar, tenemos el conjunto monumental de Göbekli Tepe, construido sobre un túmulo de 300 m de diámetro entre los milenios X-XI a.e.c. y que consta principalmente de dos tipos de construcciones o edificios bien diferenciados. Por un lado, edificios redondos u ovalados, de unos 10-20 m de diámetro interior y paredes que miden hasta 2.5 m, con pilares con forma de ʽTʼ que pueden medir hasta 4 m; y por otro, edificios rectangulares de entre 29 m2 los más grandes y 5 m2 los más pequeños, y que poseen los mismos pilares con forma de ʽTʼ de hasta 2 m (Img. 3.10). 26 En todo el recinto monumental hay diversos motivos simbólicos, lo que ha llevado a algunos investigadores a argumentar que Göbekli Tepe fue un centro ritual (Schmidt 2010; Dietrich et al. 2012). Por otro lado, Dietrich y colaboradores (2019) sostienen, tras 26 Hasta 69 son los pilares hallados en todo el conjunto arqueológico, mayormente con motivos de animales, aunque también con formas antropomórficas con manos y brazos, así como algunos motivos abstractos (Dietrich et al. 2019). Imagen 3.10 Excavación de Göbekli Tepe, con los edificios monumentales circulares rodeados de los edificios cuadrados o rectangulares. Foto del instituto arqueológico alemán (Dietrich et al. 2019). 109 analizar los instrumentos y restos de alimentos encontrados en los edificios circulares, que es posible que en estos edificios se llevaran a cabo festines para el fortalecimiento de lazos intragrupales entre distintos grupos de cazadores-recolectores de la zona. Sin embargo, hace falta desarrollar más líneas de investigación que integren los diferentes aspectos del monumento megalítico para poder llegar a conclusiones más firmes acerca de la función y uso de este conjunto monumental. 27 Vamos a presentar brevemente una hipótesis que defiende que este conjunto monumental puede ser considerado como el primer observatorio astronómico de la historia, siendo los motivos simbólicos de las columnas (Img. 3.11) representaciones de los asterismos visibles desde el lugar en el que estas fueron erigidas (Sweatman & Tsikritsis 2017). Estos autores basan sus conclusiones en una serie de análisis estadísticos que emparejan los diversos elementos arquitectónicos de Göbekli Tepe, especialmente las columnas, con patrones astronómicos, ignorando así el contexto socio-cultural y material de este edificio. Por citar una de las críticas a esta concepción estadística, Notroff y colaboradores (2017) señalan que muchos de los pilares que estos autores consideran para su estudio arqueoastronómico no se encuentran en su posición original, por lo que la posible correspondencia pilar-asterismo no tiene fundamento arqueológico. Por otro lado, también es posible que todo el conjunto megalítico poseyera techo, siendo entonces improbable su funcionamiento como observatorio astronómico (Notroff et al. 2017). 27 Investigadores como Banning (2011) han defendido, sin embargo, que los edificios circulares eran casas o habitaciones decoradas, y todo el conjunto sería un lugar para vivir, y no un centro ritual monumental. Imagen 3.11 Pilares con forma de ʽTʼ excavados en Göbekli Tepe. Izquierda: jabalí y zorro con paisaje sobre estos. Derecha: representación de un zorro (Peters & Schmidt 2004). 110 En segundo lugar, vamos a presentar el Dolmen de Menga (Img. 3.12), monumento megalítico construido en torno al 3800–3600 a.e.c. en el sur de la península ibérica (García Sanjuán & Lozano Rodríguez 2016). Lo interesante de este monumento es que está orientado hacia el noroeste, acimut 45º, lo cual representa una anomalía respecto al conjunto de monumentos arqueoastronómicos del mediterráneo, de los cuales el 95% están orientados entre 55º–125º (Hoskin 2001). Esta anomalía respecto a su orientación puede explicarse analizando el contexto paisajístico en el que fue construido, ya que se puede constatar que este está orientado hacia la “Peña de los enamorados” (Img. 3.13), formación rocosa que recuerda al rostro de un ser gigantesco acostado (Hoskin & Belmonte 2002, 94). 28 28 No es necesario conferirle a este accidente geográfico ninguna connotación ritualística, como su forma de rostro de gigante, para constatar su prominencia respecto al paisaje que rodea este monumento megalítico. Imagen 3.12 Dolmen de Menga visto desde el exterior. Fotografía del usuario Grez (Wikipedia: Wikipedia commons), https://commons.wikimedia.org /wiki/File:Dolmen_de_Menga_ Antequera.JPG consultado el 24/04/2020. Imagen 3.13 Peña de los enamorados vista desde el interior del dolmen. Fotografía del usuario Malopez21, https://commons.wikimedia.org /wiki/File:Dolmen_de_Menga,_ Pe%C3%B1a_de_los_enamora dos_desde_el_interior_del_dol men.jpg, consultado el 24/04/2020. 111 La hipótesis acerca de la importancia de dicha peña respecto a su orientación ha sido reforzada posteriormente, al encontrar en esta formación rocosa una intensa actividad de poblaciones neolíticas y de la Edad de Bronce. Una de las más importantes son las pinturas rupestres encontradas en el abrigo de Matacabras, que coincide con el eje axial del dolmen (García Sanjuan & Wheatley 2009; 2010; Rogerio-Candelera et al. 2018). Esto ha llevado a algunos autores a concluir que “la inusual orientación de Menga podría explicarse como una referencia simbólica a un foco de actividad ritual previamente existente que, en el momento en el que se inició la construcción de Menga, todavía era de gran importancia ideológica” (García Sanjuan & Wheatley 2010, 30). Sin embargo, con los datos actuales no se puede confirmar esta hipótesis, aunque permanece como una explicación plausible de su inusual orientación (Rogerio-Candelera et al. 2018). Keller (2006) considera que este tipo de construcciones son relevantes para el estudio de los orígenes prehistóricos del “pensamiento geométrico” en dos sentidos. Por un lado, en cuanto al estudio de su plano arquitectónico. Por otro, habla de la importancia de tomar en cuenta que a comienzos del Neolítico las poblaciones humanas empiezan a construir campamentos, dando paso así a poblaciones sedentarias. Este fenómeno posibilitará el estudio y establecimiento de ciertos ciclos –estudio del movimiento de los astros, sucesión de las estaciones durante el año, etc.– los cuales también quedarán plasmados en la manera en que ciertos edificios se orientan respecto a algunos patrones astronómicos. Respecto a estos casos de estudio, este autor establece una diferencia principal con los “elementos geométricos” del Paleolítico, y es que en esos casos estábamos considerando el trabajo local del espacio, lo que daba lugar principalmente a la elaboración de una geometría plana. Sin embargo, con este tipo de construcciones neolíticas lo que surge es una verticalización de las consideraciones espaciales 29 , sobre todo en relación a cómo se construyen estos monumentos megalíticos y lugares para habitar. Se abre camino, en palabras de Keller, para la creación de una geometría tridimensional estándar. Para mostrar a qué hace referencia con esta idea del nacimiento de la geometría tridimensional, presenta un análisis en relación con la planta arquitectónica de diversos yacimientos arqueológicos de Oriente Próximo (Keller 2006, 16-17; 26-47). La 29 Con verticalización del espacio hace referencia al levantamiento de los muros para la construcción de estos edificios. 112 conclusión principal a la que llega es que a través de las diversas “figuras geométricas” usadas en este tipo de construcciones podemos constatar el surgimiento de ciertos “elementos geométricos” como el paralelepípedo –vinculado especialmente con la elaboración de ladrillos y el uso de plantas cuadradas–, las pirámides, conos, cilindros, esferas, etc. Esto es, se usan elementos arquitectónicos cuya forma es la de una figura geométrica tridimensional, a diferencia de las figuras planas usadas en el Paleolítico. De la misma manera, la monumentalidad de estos edificios es un elemento importante a tener en cuenta por la siguiente razón. Al estudiar la planta arquitectónica de estos conjuntos monumentales, el autor muestra de qué manera los edificios circulares y con planta rectangular o cuadrangular tienen una forma geométrica casi perfecta. Sería posible dibujar un círculo casi perfecto sin mayores herramientas que una cuerda atada a un palo, y la hacemos girar sobre este cuando se trata de un dibujo a pequeña escala. Sin embargo, es prácticamente imposible hacerlo con los círculos, cuadrados y rectángulos de grandes dimensiones. Por lo tanto, si no fue posible hacerlo de manera práctica, con ningún tipo de herramienta que conozcamos de estos períodos, es claro para este autor que fue necesario que sus constructores poseyeran otro tipo de conocimiento; particularmente, acerca de las propiedades geométricas de las figuras usadas para su construcción. Por otro lado, Haklay y Gopher (2015; 2019; 2020) han investigado mediante el análisis formal arquitectónico la estructura de diversos monumentos megalíticos también de Oriente Próximo. La conclusión a la que llegan estos autores es que en estos monumentos megalíticos encontramos una alta precisión en la construcción y planeamiento de estos edificios, para la cual es necesaria la conceptualización de ideas geométricas en relación sobre todo con el concepto de círculo, semicírculo, y centro del círculo, así como diversos métodos para su realización. Por mencionar un ejemplo, afirman que la simetría que encontramos en Göbekli Tepe pone de relieve que sus constructores y planificadores tenían conocimiento acerca de ciertos principios geométricos. 5. Una posible sistematización de los estudios en prehistoria de las matemáticas Tras la revisión general que hemos presentado en las secciones anteriores sobre los trabajos en prehistoria de las matemáticas, tenemos ahora un objetivo doble. Por un lado, mostrar una serie de críticas acerca del estado actual de este campo; por otro, elaborar un 113 conjunto de criterios generales que podrían servir para establecer cierta sistematización en esta área de conocimiento. En primer lugar, queremos señalar que en la mayoría de trabajos acutales en prehistoria del concepto de número se ha asumido y puesto en práctica un tipo de investigación interdisciplinar. En este sentido, estos autores defienden que para entender la emergencia y desarrollo del conocimiento matemático en el pasado, el registro arqueológico tiene que ser analizado junto a toda una serie de presupuestos antropológicos, cognitivos y evolutivos en relación al desarrollo y evolución de nuestra especie. Sin embargo, en estos trabajos se siguen confundiendo los niveles relacionados con nuestras habilidades cognitivas cuánticas con los niveles relacionados con el desarrollo de conocimiento matemático. En el caso de la prehistoria del concepto de número, tenemos por un lado los huesos en los que se habían realizado un número determinado de marcas, los cuales han sido considerados como “los primeros casos de notación numérica” (d’Errico et al. 2017); por otro lado, se afirma que el uso de cuentas de collar unidas mediante una cuerda sirvieron para “comprender el concepto de número” (Overmann 2016a). En el caso de la prehistoria de la geometría, diversos elementos como la elaboración de herramientas líticas simétricas o la construcción de plantas arquitectónicas circulares o rectangulares son considerados para afirmar que en estos períodos emergió el “pensamiento geométrico”, así como “conceptos geométricos”. Si tenemos en cuenta la clasificación en tres niveles propuesta en el capítulo anterior, podemos aclarar las siguientes cuestiones: - Acumular y usar marcas realizadas sobre diversos materiales estaría relacionado con la percepción y codificación de cantidades (nivel I) y posiblemente con el desarrollo de prácticas básicas de contar (nivel II); - usar cuentas de collar para contar estaría también relacionado con la percepción y codificación de cantidades (nivel I), y de nuevo, posiblemente con el desarrollo de prácticas de contar en un sentido básico (nivel II); - percibir la simetría, o elaborar una herramienta con forma simétrica, estaría relacionado con nuestra cognición visoespacial a pequeña escala (nivel I); 114 - dibujar figuras que nosotros reconocemos y denominamos como ʽtriánguloʼ o ʽcírculoʼ tanto en el arte prehistórico como en las plantas arquitectónicas de monumentos megalíticos está relacionado con nuestra cognición visoespacial a pequeña y gran escala (nivel I); En este mismo sentido, el antropólogo Everett (2017, 29-44) ha propuesto hablar de ʽNumerales Prehistóricosʼ en lugar del concepto de número o sistemas de notación numérica en la prehistoria. De esta manera, estaríamos hablando de un tipo de numerales que son usados de manera manipulativa en situaciones simples (nivel II), una práctica distinta y bastante alejada del posterior desarrollo del concepto de número, e incluso diferente al uso de numerales en un sentido abstracto o simbólico. En la misma línea, el filósofo Peter Damerow (1999) sostiene que todos los elementos culturales desde el Paleolítico hasta el final del Mesolítico solo ponen de manifiesto la existencia de una “cuantificación pre-aritmética”, o protoaritmética. En este sentido, la información cuántica del registro arqueológico está relacionada con comparaciones directas de cantidades y tamaños, lo cual estaría también bastante alejado de un uso teórico de los números propio del nivel III de nuestra cognición numérica. Por otro lado, en la literatura especializada existe un conjunto de trabajos que se ha dedicado a investigar arqueológica y paleoantropológicamente la ʽintegración visoespacialʼ (Bruner & Iriki, 2016; Bruner et al. 2016; Bruner et al. 2018). Esto es, de qué manera diversas actividades de nuestros antepasados, tales como la manufactura de herramientas líticas o la manera de moverse y modificar el espacio, pudieron afectar tanto a nuestra cognición visual y espacial, así como a su integración. Hemos querido presentar brevemente estas tres formas de aproximarse al estudio del pasado para mostrar de qué manera se pueden investigar elementos relacionados con las bases cognitivas de la cognición matemática, tales como la percepción y codificación de cantidades, o prácticas relacionadas con la percepción y modificación del medio, sin tener que hablar de elementos correspondientes al nivel III de nuestra cognición matemática. Esto es, considerar el impacto de estas herramientas materiales o prácticas sobre nuestra cognición cuántica o visoespacial (nivel I), o su uso en prácticas simples de contar, organizar espacialmente el medio, representar formas simples de manera externa y posibilitar la manipulación de las mismas (nivel I y II), sin asumir que estas impliquen la posesión del concepto de número o de conocimiento geométrico (nivel III). 121 Capítulo 4 El surgimiento del conocimiento protogeométrico en Mesopotamia 1. Consideraciones generales sobre las matemáticas mesopotámicas y su lugar en la historia En esta primera sección nos queremos centrar en el impacto que las posturas helenofílicas han tenido en la consideración general de las matemáticas mesopotámicas y el lugar que estas han ocupado en la historia general de las matemáticas. Particularmente, resaltaremos tres de las asunciones principales en relación con esta civilización. En primer lugar, en historias generales de las matemáticas o historiadores no expertos en Mesopotamia –ver p. ej. la obra de Scriba & Schreiber (2015)–, se suelen confundir los desarrollos matemáticos mesopotámicos con los babilónicos. Sin embargo, Mesopotamia hace referencia a la región geográfica en la cual este tipo de conocimiento fue desarrollándose durante los varios milenios que duró el período cuneiforme (cf. Radner & Robson 2011) 1 y con matemáticas babilónicas [o paleobabilónicas] nos referimos a un período específico de las matemáticas Mesopotámicas, del 2000 al 1600 a.e.c. Es cierto que la mayoría de tablas protomatemáticas de la civilización mesopotámica, y algunas de las más citadas por historiadores y filósofos de las matemáticas, provienen del período Paleobabilónico. Sin embargo, es importante comprender la conexión de estas tablas protomatemáticas con el conocimiento que fue acumulándose en períodos anteriores, y cómo influenció en desarrollos posteriores. En segundo lugar, es común que se argumente que estas matemáticas fueron creadas principalmente para resolver problemas prácticos tales como la construcción, la agrimensura o la contabilidad. Se especula, por lo tanto, que este tipo de conocimiento pudo surgir por acumulación de conocimiento empírico, o que fue fruto de una metodología basada en el ensayo y error. De esta manera, este conocimiento no posee el estatus abstracto y teórico, ni el nivel de autonomía necesario para ser considerado como 1 Oriente Próximo es la región geográfica que abarca desde Turquía a Pakistán, mientras que Mesopotamia es una subregión que ocuparía su centro, correspondiéndose a rasgos generales con Iraq, parte del Noroeste de Siria, y parte del Sureste de Turquía. 122 propiamente matemático, sobre todo en comparación con lo que encontramos en la civilización griega (Russo 2004, 31-33). En tercer y último lugar, a pesar del carácter eminentemente práctico y nomatemático de estos desarrollos, algunos historiadores subrayan la importancia de una serie de resultados ʽsorprendentesʼ. Dos de los más citados o comentados son, por un lado, la tabla Plimpton 322, de la cual se ha especulado que podría ser un ejemplo de matemáticas ʽpurasʼ y que ejemplifica el desarrollo de una teoría de números, series trigonométricas, u otros resultados matemáticos “avanzados”. Por otro lado, en la tabla YBC 7289 tenemos un diagrama con una aproximación bastante precisa a √2. Sin embargo, los investigadores que proponen este tipo de interpretación suelen obviar el contexto socio-cultural, así como matemático, en el que estos resultados o procedimientos son elaborados. La interpretación de estos investigadores suele ser históricamente pobre y sesgada, aislando ciertos resultados matemáticos del contexto general en el que estos se desarrollaron y usaron –ver Robson (2001; 2007; 2008, 268- 290)–. Estas son las asunciones principales que han llevado a diversos historiadores a considerar los desarrollos mesopotámicos como no matemáticos. Además, es habitual que se considere que los resultados y procedimientos de estas matemáticas son triviales, o incluso poco relevantes para la historia general de las matemáticas. 2. La emergencia del conocimiento protomatemático en Mesopotamia A lo largo de esta primera parte presentaremos algunos de los principales desarrollos protomatemáticos de Mesopotamia, así como el contexto socio-cultural y político en el que estos emergieron. Para ello, vamos a dividir la amplia historia de Mesopotamia en tres períodos clave. En primer lugar, presentaremos algunos elementos del período Neolítico de Oriente Próximo; en segundo lugar, mostraremos de qué manera se vinculan los orígenes de las protomatemáticas mesopotámicas con la fundación de las primeras ciudades; y en último lugar, analizaremos detalladamente cómo se desarrolló este tipo de conocimiento en el período en el que las tablas matemáticas florecieron, que es el período Paleobabilónico. 123 2.1 El Neolítico en Oriente Próximo (10.000-4000 a.e.c.) 2.1.1 Contexto socio-cultural y político En la literatura especializada se suele distinguir el período Neolítico de períodos anteriores en base a dos características fundamentales: nuevas formas de subsistir y de habitar el medio. Vamos a mostrar a continuación por qué estas características podrían ser de interés para el estudio de la historia de las matemáticas en Mesopotamia. A partir del 10.000 a.e.c. algunos grupos humanos en Oriente Próximo comenzaron a producir sus propios alimentos mediante la agricultura y, posteriormente, la ganadería. Este nuevo modelo de subsistencia se vincula estrechamente con la aparición de los primeros asentamientos sedentarios, precisamente la segunda de las características. 2 Como consecuencia de estas nuevas prácticas y forma de vida, el terreno necesario para la supervivencia de las poblaciones disminuyó considerablemente respecto a períodos anteriores, y se comenzó a construir casas de mayor tamaño y más cercanas entre sí (Nissen 1988; van de Mieroop 2016; 10-18). En este contexto encontramos algunas actividades y herramientas relacionadas con la cultura visual mesopotámica, las cuales podrían considerarse como las bases prehistóricas del conocimiento protogeométrico que surgirá en períodos posteriores. Por un lado, en relación a las viviendas queremos subrayar dos elementos de interés. En primer lugar, se pasa de la construcción de paredes apilando barro a la fabricación de bloques o ladrillos de arcilla rectangulares; en segundo lugar, sobre todo a partir del Neolítico Cerámico, la forma habitual de estas casas pasa de ser circular a ser rectangular. Este cambio pudo estar vinculado con la necesidad de diferenciar las funciones de cada habitación, relacionado principalmente con el requerimiento de almacenar víveres o útiles para el trabajo agrícola en una de estas. Por otro lado, también fue habitual en la mayoría de asentamientos de Oriente Próximo que se construyeran edificios ʽpúblicosʼ, los cuales solían tener un papel o función ritual, religiosa o política (McMahon 2005; Gates 2011, 17-22; van de Mieroop 2016, 10-14). Como consecuencia de la acumulación de excedentes agrícolas, ganaderos, así como bienes generales, surge la necesidad de protección de los mismos –sobre todo a 2 Estos fueron cambios que se desarrollaron de manera gradual. Por ejemplo, se ha comprobado que la agricultura, recolección y caza coexistieron como formas complementarias de subsistencia en algunos asentamientos neolíticos (Nissen & Heinen 2009, 7-13; McMahon 2005). 124 partir del período Cerámico–. Esto condujo, presumiblemente, al acercamiento de los asentamientos más pequeños a los más grandes en busca de protección, a la creación de instituciones para la vigilancia del cumplimiento de las reglas comunes, así como a la aplicación de castigos cuando fuera necesario. Este fenómeno dará lugar a las sociedades de jefatura, en la que los asentamientos más pequeños se situaban alrededor de un asentamiento más grande (Nissen 1988, 39-43; McMahon 2005; Nissen & Heinen 2009, 15-20;). 3 En consecuencia, la población comenzó a crecer, y la división del trabajo y la producción especializada de herramientas se acentuó. Finalmente, la manufactura de cerámica surgirá a partir del VII milenio a.e.c. para almacenar víveres de manera segura, o como utensilio de cocina y alimentación (Nissen & Heinen 2009, 7-13). Lo interesante para nuestro trabajo es el hecho de que su superficie sirvió para plasmar la identidad social, familiar o étnica de los diversos asentamientos (McMahon 2005). Podemos ver, por ejemplo, las diferencias notorias entre los períodos Samarra (5500 a.e.c.), Halaf (5000 a.e.c.) y El Ubaid (4500 a.e.c.) (Img. 4.1). Imagen 4.1 A: cuenco abierto del período Samarra con patrones circulares y cruz central; B: cerámica de Halaf con líneas concéntricas; C: “patrones geométricos” que siguen la curvatura del objeto en el período El Ubaid, consecuencia de la introducción de la mesa giratoria para su elaboración (Nissen & Heinen 2009, 16-18). 2.1.2 Las bases cognitivo-culturales del conocimiento protomatemático Ya vimos en el capítulo anterior las razones por las que consideramos que este tipo de actividades y herramientas no ponen de manifiesto la emergencia del conocimiento protogeométrico, aunque sí son importantes para analizar sus bases cognitivas y 3 En el sur de Mesopotamia, por ejemplo, los asentamientos centrales podían tener unas 10-15 hectáreas, mientras que los pequeños tenían entre 0.5-2 hectáreas (van de Mieroop 2016, 17). 125 culturales. Entre ellas, es crucial tener en cuenta que durante el Neolítico florecen los lugares de culto o centros rituales (Rollefson 2005), los cuales fueron usados en algunas ocasiones como representación simbólica del poder de las instituciones, y fueron clave para la elaboración y acumulación de material con contenido simbólico (Verhoeven 2002; Watkins 2004; 2006). De esta manera, se crea un nuevo nicho socio-cognitivo más rico simbólicamente que el que encontramos en el Paleolítico (Sterelny & Watkins 2015), y en el cual el ser humano desarrolla un control mítico y cargado simbólicamente del espacio (Schemmel 2016a). Por lo que, aunque las herramientas y actividades hasta ahora presentadas no pongan de manifiesto la emergencia de la protogeometría en Oriente Próximo, creemos que es importante investigarlas en relación con el surgimiento de nuevos nichos sociocognitivos en los que los seres humanos dotan de sentido simbólico a su manera de relacionarse, entender y ʽconstruirʼ el espacio. A continuación, vamos a presentar un tipo de herramientas denominadas de diversas maneras, tales como calculi, piezas o fichas de arcilla, las cuales han sido citadas y analizadas extensamente en la historia de las matemáticas mesopotámicas en relación con la emergencia del conocimiento protoaritmético (Hoyrup 2007; Robson 2008, 28-40; Roque 2012, 35-49; Yuste 2013, 29-32). En este trabajo vamos a seguir la definición de Bennison-Chapman (2019) de estas herramientas como “piezas o fichas de arcilla” por razones que veremos a continuación. 4 Una de las mayores expertas en el estudio de estas piezas es Denise Schmandt- Besserat (1992a; 1992b; 2010). Esta autora afirma que existen cuatro etapas bien diferenciadas en la elaboración y desarrollo de estas piezas –ver apéndice 1–. En esta sección solo trataremos la primera de las etapas (ca. 7500-3100 a.e.c.), en la cual existieron seis tipos principales de piezas planas –discos, tetraedros, cilindros, conos, esferas y ovoides–. Estas fueron usadas sin apenas sufrir cambios en gran parte de Oriente Próximo durante esta etapa (Img. 4.2). 5 En su análisis, Schmandt-Besserat argumenta que no existe evidencia acerca del uso de estas piezas para el comercio, pero sí para el control de los bienes comunales y su 4 Las define como artefactos pequeños que han sido elaborados manualmente con una forma claramente geométrica, y que pueden ser planas o tener algunas marcas decorativas o perforaciones –ver apéndice 1–. 5 En investigaciones recientes se ha constatado su uso en algunos lugares a partir del Neolítico Temprano (X milenio a.e.c.) (Bennison-Chapman 2019). 126 redistribución. Es decir, estas piezas se usaron para contar la cantidad de alimentos producidos, los que se iban acumulando, así como los que entraban y salían en los lugares en los que estos se almacenaban (Schmandt-Besserat 1992a; 1992b; 2010). 6 Imagen 4.2 Piezas de arcilla simples de Iraq, 5000 a.e.c. Imagen de (Schmandt-Besserat 2010, 29). Estas piezas fueron usadas para contar de manera concreta un tipo específico de bien u objeto mediante una correspondencia uno-a-uno entre las piezas que se usaban y los objetos a contar. Schmandt-Besserat (2010, 28-29) pone el ejemplo del uso de la pieza con forma de ovoide para contar jarras de aceite. Si tenemos tres piezas con esta forma, serán tres las jarras de aceite contadas. Por lo tanto, no se representaron números más allá de la conexión física que se establecía entre las piezas y los objetos a contar; o, como señala Damerow (1999), no se desarrolló o emergió aquí una noción abstracta de número. Diversos investigadores en arqueología cognitiva han analizado de qué manera este tipo de objetos puede atestiguar la emergencia del “concepto de número” en el Neolítico (Malafouris 2010; 2013, 106-118; Overmann 2016a; 2016b; 2019). Estos trabajos analizan la interacción entre nuestras habilidades cognitivas numéricas y un elemento material, que serían estas piezas de arcilla. De esta manera, se visualizan y manipulan conceptos y propiedades numéricas. Como señala la propia Schmandt- Besserat (2010), “puesto que estos eran objetos pequeños, fáciles de manipular, las piezas 6 Sin embargo, Bennison-Chapman (2019) ha llevado a cabo recientemente una serie de estudios en los que muestra que no hay correlación entre la aparición de estas piezas y el lugar en el que se encuentran. Esto es, se han encontrado en asentamientos pequeños y grandes, en sociedades igualitarias o estratificadas, o en sociedades agrícolas y cazadoras-recolectoras. Por lo tanto, no puede afirmarse que este tipo de objetos fueran un componente esencial de los primeros asentamientos sedentarios del Neolítico de Oriente Próximo. 127 facilitaron el contar. Con estas piezas era fácil añadir, restar, multiplicar y dividir moviendo y removiendo contadores manualmente” (p. 33). Sin embargo, Benison-Chapman (2019) muestra que diversos trabajos recientes en arqueología ponen de manifiesto que, incluso en el III milenio a.e.c. no había un uso uniforme de estas piezas –ver también Robson (2008, 33-35)–. Es decir, aunque a finales del Neolítico existiera un uso generalizado de las mismas, el significado que se les daba a cada una de ellas se restringía a un ámbito local. No existía, por lo tanto, un uso uniforme de las cantidades o mercancías que cada pieza podía representar. Además, en el registro arqueológico no ha podido constatarse que existiera un conjunto idéntico de piezas común a la mayoría de asentamientos, lo que refuerza las dudas de esta investigadora acerca de su uso generalizado para contar. Por otro lado, estas piezas se han encontrado en una variedad de contextos, tales como hogares, vertederos, lugares administrativos, y en algunos edificios con claro uso ritual como santuarios o enterramientos (cf. Bennison-Chapman 2019; Palka 2021). Por lo tanto, es posible que algunas piezas se usaran para otras actividades no relacionadas con prácticas de contar, como por ejemplo para jugar, en rituales, como ofrendas ceremoniales, marcadores de estatus social, etc. Por lo que podemos ver que no existen evidencias claras de que estas piezas fueran usadas exclusivamente para contar en relación a la administración agrícola, sino que pudieron usarse para multitud de actividades. Además, no poseían un significado uniforme, sino que este dependía del contexto tanto local como temporal. Por lo tanto, llegamos a la misma conclusión que alcanzamos anteriormente: el concepto de número o la aritmética no emerge en el Neolítico de Oriente Próximo. Lo que sí podría poner de relieve esta práctica cultural es el desarrollo de una cuantificación pre-aritmética –como afirma Damerow (1999)–; esto es, el desarrollo de nuestras capacidades cognitivas cuánticas, no numéricas, en relación a esta práctica concreta de contar (nivel II). 2.2 La emergencia de la proto-matemática en Mesopotamia (4000–2000 a.e.c.) 2.2.1 Contexto socio-cultural y político Analizar detalladamente los cambios socio-culturales y políticos que tuvieron lugar en los 2000 años que comprenden desde el comienzo del período Uruk hasta el colapso de 128 Ur III es una tarea que excede los límites de este trabajo. Por esa razón, nos centraremos en los principales cambios y desarrollos que tuvieron lugar en el período Uruk, en el que podemos constatar la emergencia del conocimiento protomatemático en Mesopotamia. 7 El período Uruk (4000–3000 a.e.c.) se denomina así por Uruk, ciudad del sur de Mesopotamia. 8 Los principales cambios que marcan el comienzo de este nuevo periodo se relacionan con el desarrollo, por primera vez en la historia, de las ciudades. En particular, esta ciudad tenía un tamaño de 250 ha, esto es, diez veces el tamaño del mayor de los asentamientos del período de El Ubaid. Además, esta no ejercía poder sobre uno o varios asentamientos menores de su alrededor, sino que mantuvo una relación jerárquica de poder con todo un conjunto de aldeas y pueblos, algunos de ellos formando el área rural que, posiblemente, abastecía con productos agrícolas y ganaderos a esta ciudad (Nissen 1988; Nissen & Heinen 2009). Del conjunto de desarrollos socio-culturales y políticos que llevan a arqueólogos e historiadores a hablar de un nuevo período nosotros nos centraremos en aquellos que podrían vincularse con la emergencia y evolución del conocimiento protomatemático. En primer lugar, hay un cambio radical en la producción artística a partir del 3200 a.e.c., donde el gobernante o rey pasó a ocupar un lugar central en estas obras, representándolo realizando algún tipo de hazaña como cazar leones o alimentar animales. Lo que estas obras tratan de poner de relieve es la importancia de esta nueva figura política en la organización social de las ciudades (Nissen & Heinen 2009, 30-33). En segundo lugar, tenemos el desarrollo de la arquitectura monumental. Los templos, y la religión en general, eran una parte central del estado directamente involucrados en las actividades administrativas y económicas. El templo de Eanna –la casa del cielo– asociado a la diosa Inanna disponía por ejemplo de diversas áreas destinadas a labores diferentes a las de culto, como a la producción de artesanía; además, el 80% de las tablas encontradas en este templo trataban sobre temas administrativos y 7 En el capítulo 7 sí hemos tratado los elementos más importantes del resto de períodos. Además, en el apéndice 2 mostramos los cambios socio-culturales y desarrollos protomatemáticos más importantes del resto de períodos que no hemos podido tratar en esta sección. Por otro lado, Robson (2008) presenta en la tabla 1.1 de su libro un resumen de los principales desarrollos matemáticos mesopotámicos entre los milenios IV-II a.e.c. (p. 5). 8 Aunque apenas hay datos arqueológicos de los 700-800 años que transcurren desde el final del período El Ubaid hasta el final del período Uruk tardío, sí se dispone de un abundante registro arqueológico e histórico de la ciudad de Uruk a partir del 3200 a.e.c. (Nissen & Heine 2009, 21-22). 129 económicos (Nissen 1988, 95-103; Nissen & Heinen 2009, 23-33; van de Mieroop 2016, 24-29). Por otro lado, la monumentalidad de estos edificios ha sido interpretada como un tipo de manifestación arquitectónica con la que se legitimaban las funciones centrales tanto de reyes como de los propios templos. Es decir, su gran tamaño pudo haber sido usado como muestra de poder de la autoridad religiosa y política sobre el pueblo (Trigger 1990, apud McMahon 2005, 29-30). 9 En períodos anteriores, la elaboración y uso de representaciones simbólicas estuvo generalmente en posesión del conjunto de la sociedad –uso de cuentas de collar en el Paleolítico, o decoración cerámica en el Neolítico–. Sin embargo, en este período la nueva clase política o religiosa comienza a usar y limitar el acceso a las nuevas formas de representación simbólica con las que dar forma a la identidad de esta nueva sociedad. Como señala Yoffee (2005) ciertos individuos, la élite emergente, comenzaron a restringir el acceso a la tecnología de la manufactura de los símbolos y también a los medios y significados de comunicación como festines y ceremonias. El control de estos símbolos y el conocimiento esotérico se convierte en dominio de poder en estas aldeas tempranas (p. 229) Esta jerarquía social también se refleja en uno de los primeros textos producidos en Uruk tardío, conocido como la Lista Estándar de las Profesiones. En este texto se describe en el nivel más alto al “rey-sacerdote” (van de Mieroop 2016, 30), y por debajo del mismo se establecían, ordenadas jerárquicamente, toda una serie de profesiones y rangos que van desde altos oficiales, oficiales o especialistas, hasta el último lugar ocupado por trabajos simples (Nissen 1988, 80-81; van de Mieroop 2016, 29-30). En relación a los últimos puestos de esta lista de profesiones tenemos el próximo elemento que vamos a presentar, la producción en masa de los cuencos con borde biselado. Estos útiles no poseían ningún elemento decorativo o simbólico sobre su superficie puesto que eran objetos puramente utilitarios, producidos de esta manera para 9 Yoffee (2005) muestra que la planta arquitectónica de los templos del conjunto arquitectónico de Eanna y los templos del período El Ubaid son similares, siendo la diferencia más notable entre ambos la monumentalidad que poseían los templos del período Uruk (p. 211). 130 alimentar al numeroso grupo de trabajadores encargados de diversas labores en esta sociedad, como la construcción de edificios monumentales. 10 Todos estos elementos muestran que en este período surge y se instaura una sociedad altamente jerarquizada, con el rey y los templos acumulando el capital simbólico, y una especialización del trabajo claramente definida. En este contexto general surge una figura clave para analizar y entender la emergencia y desarrollo de las protomatemáticas, que es la del administrador o escriba. Estos administradores trabajaban en los templos de Uruk, lugar en el que recibían y posteriormente redistribuían los alimentos procedentes del entorno rural. La economía se comenzó a complejizar, y para lidiar con cuestiones administrativas y económicas este grupo social comenzó a crear diversas herramientas y mecanismos con los que registrar y controlar la entrada y salida de estos bienes. En este trabajo centraremos nuestra atención en dos de estas herramientas, que serían la escritura, por un lado, y la elaboración y posterior estandarización del sistema metrológico. 2.2.2 La emergencia de las proto-matemáticas En primer lugar, y continuando la exposición de la sección anterior, vamos a mostrar las siguientes tres etapas en el proceso de invención de la escritura según la hipótesis de Schmandt-Besserat (1992a, 1992b, 2010), cuya primera etapa ya explicamos –invención de las piezas de arcilla simples y su posible uso en tareas contables–. En la segunda etapa, con el surgimiento de las ciudades se incrementaron las actividades y productos económicos que controlar, elaborándose para ello durante el IV milenio a.e.c. alrededor de 300 piezas de arcilla complejas, algunas de las cuales tenían marcas o perforaciones en su superficie. En la tercera etapa, a partir del 3500 a.e.c., se crean los sobres de arcilla huecos con forma de esfera (bullae), usados para almacenar las piezas de arcilla simples y complejas, y en cuya superficie se comenzó a imprimir tanto el sello del administrativo involucrado en las transacciones, como las piezas que el propio sobre contenía en su interior –ver apéndice 1–. Para ello, se presionaban las piezas de 10 Algunos autores creen que la capacidad de estos cuencos era la correspondiente a una jornada de trabajo, y por ello mismo, el signo que se usó posteriormente para “asignación” o “distribución” fue el de este mismo cuenco junto a una boca comiendo (Nissen and Heinen 2009, 33-34; van de Mieroop 2016, 21-22). Esta interpretación, sin embargo, no es compartida por todos los investigadores (cf. McMahon 2005, 32). 233 Cada uno de los emperadores fundamentó su posición como emperador de distintas maneras. Cao Cao se llevó consigo al emperador Xian bajo su protección, mostrando de esta manera ser un defensor de la anterior dinastía Han. Su hijo Cao Pi ascendió al trono al abdicar Xian, y fundó la dinastía Wei (de Crespigny 1991; 2019a; Lewis 2009, 225–233). Por otro lado, Liu Bei fundó la dinastía Shu–Han en base a sus lazos con la anterior dinastía Han, y Suan Quan argumentó que Cao Cao era un usurpador, y que como la anterior dinastía Han había desaparecido él había recibido el Mandato del cielo para ser emperador, fundando la dinastía Wu (de Crespigny 1991; 2019a; 2019b; Farmer 2019). Estos imperios fueron fundados por señores de la guerra que defendieron con sus armadas privadas sus territorios de las amenazas del bandidaje, grupos religiosos, guerras con otros territorios, etc. Por lo tanto, los imperios que formaron estuvieron gobernados por personas entrenadas e interesadas en cuestiones sobre todo militares, lo que les llevó a mantener en los puestos gubernamentales más importantes a militares –aunque promovieran la cultura o cuestiones académicas, pero los académicos no podían alcanzar puestos altos de poder–, lo que llevó a un manejo deficiente de los recursos estatales. Además, la lealtad de los ciudadanos estaba depositaba sobre todo en los primeros emperadores o su sucesor inmediato, por lo que al morir estos las élites aprovecharon para llevar a cabo complots o golpes de estado contra el gobierno (de Crespigny 1991; Lewis 2009, 31–37). Por ejemplo, en el estado Wei la familia Sima aprovechó la muerte prematura de los sucesores de Cao Cao para dar un golpe de estado en el 249 e.c., fundando en el 266 e.c. la dinastía Jin, la cual conseguirá unificar China de nuevo en el 280 e.c., finalizando así este período (Lewis 2009, 31–37; de Crespigny 2019a). 3.2 Las bases cognitivo–culturales del conocimiento protogeométrico En esta sección vamos a presentar algunos elementos de la cultura visual y espacial que, de alguna manera, pudieron estar vinculados con la emergencia y desarrollo del conocimiento protogeométrico. Para ello, dividiremos la sección en tres apartados. En el primero y segundo nos centraremos en los desarrollos, más a nivel teórico o intelectual, de los elementos cosmológicos y relacionados con el establecimiento y estandarización de las unidades de medición. En el tercero presentaremos de qué manera en algunas construcciones, materiales o manuscritos se encarnaron estas ideas. 234 En primer lugar, las dinastías Qin y Han Occidental fundamentaron su poder dinástico en su fuerza militar, la aplicación de castigos por medio de leyes, así como la unificación cultural forzosa de sus territorios (cf. Pines 2014; Pines et al. 2014). A partir del interregno de Wang Mang, y durante la dinastía Han Oriental y período de los Tres Reinos, se retoman nociones cosmológicas como el Mandato y Voluntad del Cielo, se rescata a la deidad propia de la dinastía Zhou, y se considera al emperador como Hijo del Cielo (de Crespigny 1991; Wang 2000, 129–216; Lewis 2007, 185–189). Esto se ve reflejado en las estelas erigidas por el Primer Emperador, cuyo texto trataba sobre cómo había conseguido unificar el territorio y traer paz y prosperidad a ʽtodo bajo el cieloʼ, sin mencionar a ninguna deidad en las mismas (Pines 2012, 19–24; 2014). Además, los ritos y cultos celebrados durante su mandato, celebrados a deidades naturales como ríos o montañas, o los sacrificios feng y shan celebrados en la montaña sagrada Tai, estuvieron desprovistos de su carácter u obligación moral para el emperador, el cual tras sus conquistas e imposición de una ley universal se consideró a sí mismo como un dios ( Wang 2000, 141–143; Lewis 2007, 52–57). Por otro lado, no existieron templos ancestrales ni en la capital Qin, en Xianyang, ni en la capital Han Occidental en Chang’an 65 , caracterizadas por Lewis (2006) como “ritualmente vacías” (p. 170). 66 La dinastía Han Oriental, por su parte, construyó su capital en Luoyang –ciudad vinculada con la dinastía Zhou– siguiendo las prescripciones del Registro de los Artesanos, posteriormente incluido en el los Ritos de Zhou. Por ejemplo, la ciudad tenía que tener forma rectangular y 12 puertas, se alinearon diversos edificios y la propia planificación de la ciudad con elementos cosmológicos, y se construyó un templo ancestral. Además, se reestablece el culto al Cielo, y se prohíben los templos ancestrales en otras regiones que no fueran la capital, ya que solo el Hijo del Cielo era digno de ofrecer sacrificios a su padre celestial, el Cielo, o a sus ancestros imperiales (Lewis 2006, 169–186; 2007, 88–101). A partir de Wang Mang y la dinastía Han Oriental la teoría de los cinco elementos se usó para justificar el cambio de dinastía mediante la idea del cambio de Mandato del Cielo y cuestiones morales relacionadas con la Voluntad del Cielo. Por ejemplo, Wang 65 Esta capital fue elegida por cuestiones estratégicas, tales como mejores defensas naturales o mejor acceso a suministros (Loewe 1986a). 66 En este sentido, Lewis (2006) señala que en las crónicas de Zuo ʽcapitalʼ se definía como “ciudad con un templo ancestral”, mientras que en el diccionario Shi ming de la dinastía Han se define como “donde está el asiento del emperador” (p. 177). 235 Mang justificó su ascenso al trono estableciendo, por un lado, un vínculo genealógico con el emperador mitológico Huang Di, y por otro, comenzó a interpretar diversos fenómenos como presagios auspiciosos que mostraban la voluntad del Cielo para que él recibiera el Mandato para gobernar (Wang 2000, 143–171). En segundo lugar, existen tres fuentes para estudiar la estandarización de las unidades de medición: 1) textos incluidos en las historias estándares (cf. Loewe 2016, 168–197); 2) textos inscritos en vasijas o instrumentos para medir, que veremos posteriormente con más detalle (cf. Loewe 2016, 153–154); y 3) textos matemáticos o legales en los que este tipo de mediciones se usaron (Loewe 2016, 147–150). Por ejemplo, se dice en una inscripción del Primer Emperador que este estableció su propio título como Huangdi e inmediatamente después decretó una orden a los cancilleres [Wei] Zhuang y [Wang] Wan para que estandarizaran las medidas de longitud y capacidad, regular las que no eran uniformes, o eran defectuosas o susceptibles de duda; en todos los casos debían de ser claramente uniformes (traducción de Loewe 2016, 181) 67 Han surgido diversas interpretaciones en relación a por qué esta estandarización fue tan importante como para incluirla en estelas, edictos e historias estándares. Entre estas, se ha propuesto la de cobrar los impuestos de manera uniforme en todo el imperio, que fuera una forma más de unificación cultural, una muestra del control del gobierno central sobre sus súbditos, o una forma de comunicar un tipo de conocimiento común, el de las propias unidades, a todo el territorio (cf. Sanft 2014, 72–76). Para llevarlo a cabo, se siguieron los siguientes pasos. En primer lugar, se establecieron unidades de medición precisas. 68 En segundo lugar, se fabricaban los objetos con esas unidades, en los cuales se incluía el carácter lü –estatutos–, con el que se certificaba que este objeto se había fabricado según las regulaciones impuestas por el gobierno central. En tercer lugar, estas unidades eran enviadas a todas las oficinas del 67 Se han encontrado unos 58 objetos en los que este edicto fue inscrito (cf. Sanft 2014, 57–65). Por otro lado, en las Memorias Históricas hay una inscripción del año vigésimo octavo en el que se afirma que tales unificaciones han sido llevadas a cabo de manera exitosa (cf. Loewe 2016, 181). 68 Estas se establecieron, según Loewe (2016), de la siguiente manera: “la longitud seguía la de la flauta cuyas propiedades musicales eran identificables en una escala de doce unidades; el espacio en la flauta que era requerido para albergar un número dado de granos de mijo determinaba la unidad de volumen; el peso de esos granos formaba el estándar del peso” (p. 168). 236 imperio para que se impusieran; además, se revisaban anualmente, y se castigaba al que no usara las establecidas por el gobierno central (Sanft 2014, 48–68; Loewe 2016, 155– 179). 69 Sin embargo, durante el período Han Oriental y de los Tres Reinos no siempre se usaron o invirtieron tantos esfuerzos en mantener estas unidades de medición estandarizadas (cf. Loewe 2016, 162–167). Pasamos entonces a la última parte de esta sección, en la que nos vamos a centrar en cómo se reflejaron algunos conceptos cosmológicos o prácticas de medición y actividades afines en diversos elementos materiales y textuales. Tenemos por un lado la Sala Luminosa, edificio que encarnaba algunos conceptos cosmológicos por su propia forma, los cuales “demuestran el trabajo del Universo” (Hung 2007, 192). Por un lado, se alternaba el uso de la planta circular y cuadrada, simbolizando al Cielo y la Tierra; por otro, se usaron también relaciones numerológicas para su construcción, tales como el número de puertas, ventanas o salas, las medidas de las mismas, etc. (Hung 2007; Loewe 2016, 109–114). 70 Además, las acciones que el emperador llevaba a cabo en este edificio ayudaban o simbolizaban el correcto funcionamiento del cosmos, como al moverse por las diferentes salas imitando el paso de los meses y estaciones. Por lo tanto, aparte de representar conceptos cosmológicos con la forma de sus elementos arquitectónicos, también servía para que los aspectos cosmológicos, rituales y políticos se combinaran o realizaran mediante las acciones del emperador en este edificio (Lewis 2006, 260–273). Para hablar de los próximos elementos –representaciones pictóricas, diagramas, herramientas, etc.– nos vamos a centrar en aquellos que han sido hallados en tumbas en recientes investigaciones arqueológicas. En primer lugar, tenemos que señalar que durante este período tuvieron lugar dos cambios fundamentales en las prácticas funerarias: 1) en los sarcófagos o paredes de las tumbas se realizaron en algunas ocasiones 69 De hecho, en el Estatuto Qin dieciocho –ʽEstatuto sobre comprobacionesʼ–, se establece por ley el máximo desvío permitido de cada medición (Peng 2020 137–138); o en las tiras de bambú pre-Qin Xiaolü, de Shuihudi, también tenemos regulaciones sobre el máximo de desviación, y los diferentes castigos de acuerdo a cuánto se desviaban del estándar (cf. Zou 2007). 70 En el texto del siglo I a.e.c. Los Registros Históricos del Anciano Dai sobre los Rituales, particularmente en el capítulo “Sala Luminosa”, se establece la correspondencia entre planta cuadrada y Tierra, y techo circular y Cielo (Lewis 2006, 267–268). 237 representaciones de la relación entre Cielo–Tierra–Humanos; 71 y 2) en estos períodos tanto la tumba como los bienes depositados se relacionaban con la vida de la persona enterrada. En particular, nos interesan sobre todo las tumbas de gobernantes regionales a los cuales se les enterró con los textos y materiales que usaron para sus tareas burocráticas, legales, etc. (Pirazzoli–T’Serstevens 2009; Thote 2017). 72 El primero de los casos se compone de representaciones pictóricas de deidades, regiones geográficas, y las relaciones o resonancia entre Cielo, tierra y hombres (Bray 2007; Hung 2007). De este conjunto de representaciones nos gustaría llamar la atención sobre la aparición de Fuxi y Nüwa, representados desde el período Han Occidental hasta el de los Tres Reinos en diferentes materiales, como en sarcófagos, manuscritos, paredes de tumbas, etc. (Zhao 2019). Fuxi es considerado el inventor de los trigramas, la escritura, los números y la tecnología. Además, estas deidades solían ser representadas de la siguiente manera: Fuxi sosteniendo una regla con forma de T o regla de carpintero, usada para trazar un cuadrado y por lo tanto vinculado con la Tierra, y Nüwa con un compás, instrumento usado para trazar círculos, y por lo tanto vinculada con el Cielo (Img. 6.12) (Lewis 1999, 197–209; Pankenier 2013, 384–403; Zhao 2019). 73 En el segundo de los casos, nos vamos a centrar sobre todo en las representaciones gráficas denominadas tu, que puede traducirse como diagramas –incluso diagramas matemáticos, como veremos a continuación–, con dos posibles usos según Bray (2007): 1) para explicar procesos cósmicos, poseyendo poder simbólico o ritual; y 2) para representar u organizar conocimiento secular, con funciones principalmente didácticas. Dentro de la primera categoría podemos destacar los diagramas shi 74 y los diagramas encontrados en los Libros sobre Días. Los shi fueron usados sobre todo en la dinastía Han en contextos astrológicos y calendáricos, aunque también se pudieron usar 71 Un tema que no vamos a tratar por falta de espacio es, precisamente, el de la importancia que se dio en estos períodos a la consonancia entre el ámbito celeste, terrenal y humano. Por ejemplo, diversas construcciones se realizaron imitando patrones celestes, se intentaba interpretar cómo se desarrollarían guerras o cosechas de acuerdo al movimiento de astros, etc. (cf. Sivin 1995; Pankenier 2013). 72 De entre los seis tipos de textos que se suelen hallar en estas tumbas, nos interesan dos: 1) textos técnicos, incluyendo textos protomatemáticos, que analizaremos en la próxima sección; y 2) mapas (cf. Thote 2017). 73 Además, en los prefacios de obras matemáticas clásicas de esta civilización, como el Zhou bi o los Nueve capítulos, los comentaristas del siglo III también hablaron sobre la relación, sobre todo de Fu Xi, con los hexagramas y las matemáticas. 74 Traducido en la literatura de diversas maneras, tales como astrolabio, tablero cósmico, artefacto mantico, modelo cósmico y cosmógrafo, etc. (cf. Kalinowski 2012/2013; Li 2017, 271). 238 para adivinación, interpretación de sueños, etc. Con estos diagramas se podían establecer conexiones entre aspectos temporales –meses, estaciones, etc.– y espaciales –los cinco sectores del mundo, la posición de las 28 casas estelares, etc.– (cf. Kalinowski 2012/2013) –ver imagen 6.11 y 6.13 –. Imagen 6.12 Fuxi y Nüwa sosteniendo el compás (izq.) y la regla de carpintero (drcha.), proveniente del período Han Oriental (II siglo e.c.). Imagen de (Gao 2001, apud Zhao 2019, 20). Por otro lado, en la actualidad se conocen seis Libros sobre Días, definidos como colecciones de información hemerológica y alguna no hemerológica acerca de rituales o magia, y relacionados con cuestiones numerológicas, astrológicas y calendáricas (Harper & Kalinowski 2017; Li 2017). Además del día para llevar a cabo una actividad o celebración, también se podía preguntar sobre orientaciones espaciales y si estas eran auspiciosas o no (cf. Kalinowski 2017). En estas obras se han encontrado 30 diagramas, siendo el libro Kongjiapo el que más tiene, con 13 diagramas, y el más importante es el manuscrito Zhoujiatai 1, que cuenta con ocho diagramas bien elaborados y de gran tamaño (cf. Kalinowski 2017, 179–180). De entre estos podemos ver el diagrama “Veintiocho casas horarias” que se encuentra en el manuscrito ZJTA.8, usado para determinar la orientación de la osa mayor en cada una de las veintiocho horas del día para los 12 meses (Img. 6.13); 75 o el diagrama de difícil clasificación “Emplazamiento de puertas en el compuesto–casa” hallado en el manuscrito SHDA.39 en Shuihudi. Con este diagrama se representan los muros de una vivienda con un cuadrado, y se indica por 75 Ver el suplemento 4.5 de Kalinowski (2017, 200–206) en el que se listan todos los diagramas de acuerdo a su clasificación por tipos. 239 ejemplo la localización de los animales, y debajo del diagrama hay predicciones acerca del destino de la familia (Img. 6.14). Imagen 6.13 Diagrama “Veintiocho casas horarias”, con un círculo rodeando al diagrama de la Corte del día central, y el círculo exterior dividido en 28 segmentos con las 28 casas estelares y sus periodos horarios (Kalinowski 2017, 182). Imagen 6.14 Diagrama “Emplazamiento de puertas en el compuesto–casa” del manuscrito shda.39 (Kalinowski 2017, 179). De estos diagramas podemos destacar su elaboración mediante figuras simples como círculos, cuadrados, ángulos rectos y líneas que dividían generalmente al diagrama en un número determinado de partes según su uso. Además, ninguno de estos diagramas era considerado o percibido por sus características estáticas, sino por cómo eran usados de manera dinámica y activa para conectar las cuestiones espaciales y temporales de interés 240 para estos especialistas técnicos, y poder determinar así los días auspiciosos para diversas actividades, las direcciones importantes, etc. (cf. Lewis 2006, 273–281; Kalinowski 2017). Pasamos a la segunda de las categorías, que son los tu usados para representar información secular. De estos, los que nos interesan presentar aquí son los mapas. En primer lugar, tenemos que señalar que en obras como Los ritos de Zhou se afirma que los mapas eran instrumentos cruciales para el control de los recursos, asuntos legales, división del terreno, etc. De hecho, desde la dinastía Han se establecieron oficinas para documentar y cartografiar los territorios tanto celestes como terrestres (cf. Hsu 1993; Wang 2014, 199–204; Thote 2017). En segundo lugar, en hallazgos arqueológicos recientes se han encontrado diversos mapas. Por ejemplo, en la tumba Fangmatan 1 –siglo III a.e.c. – se han hallado, aparte de varillas para contar usadas presumiblemente para la adivinación y una regla chi de madera, cuatro tablas de pino rectangulares en las que hay siete mapas, uno al frente de una de las tablas, y el resto por delante y por detrás de las otras tres. Cada mapa ofrece información sobre cuestiones administrativas, económicas, topográficas y militares del territorio Qin. Se usaron diferentes símbolos para representar la información, como cuadrados para los asentamientos importantes, un símbolo parecido a un pabellón para pueblos, líneas para carreteras y ríos, etc. (Hsu 1993; Thote 2017). Por otro lado, en la tumba nº 3 de Mawangdui (168 a.e.c.) se han hallado tres mapas elaborados en seda, un mapa topográfico, uno militar y la planificación de los fundamentos de una prefectura. Al igual que en los anteriores, se usaron diferentes símbolos para representar diversos accidentes geográficos, carreteras, asentamientos o templos (Hsu 1978; Wang 2014, 199–204). Además de usar diferentes símbolos, como círculos para los asentamientos, triángulos para los cuarteles generales, etc. –ver la tabla 3 con todos los símbolos en (Hsu 1978, 53)–, algunos de estos símbolos se acompañaron de algún tipo de información, como distancia de un asentamiento a otro lugar, número de casas y si estas estaban habitadas o no, etc. (Img. 6.15). El uso de estos mapas se conecta directamente con el desarrollo de campos protocientíficos como la cartografía y geografía, áreas que estaban íntimamente relacionadas con el uso de figuras y símbolos para hacer representaciones abstractas del territorio y sus características. De hecho, algunos autores vinculan el desarrollo de estos mapas con otros desarrollos técnicos, como el uso del procedimiento gou gu –que veremos en el capítulo 7– o el uso del gnomon (cf. Hsu 1978). 241 Imagen 6.15 Mapa militar hallado en la tumba nº 3 de Mawangdui, tomado de (Hsu 1978). En último lugar, en relación con las herramientas usadas para las mediciones, algunas de estas se hallaron en las mismas tumbas en las que encontraron los libros de días, como en la tumba nº 168 de Fenghuangshan, en cuyo inventario figuraba una “cesta para cálculos”, la cual contenía monedas, 30 varillas para contar y una escala de pesos de bronce (cf. Thote 2017). En otras tumbas se han encontrado bolas o discos de hierro o bronce atados a cuerdas que servirían de pesos o reglas de pie con marcas para la división de pulgadas y subdivisiones en décimas (cf. Loewe 2016, 185-216). 76 En algunos de estos instrumentos se incluyeron inscripciones, ya fueran sobre la capacidad o unidad de medición que encarnaban, decretos para la estandarización de las unidades de medición, etc. De entre estos objetos, uno de los más famosos es el Jialiang (Img. 6.16), el cual poseía cinco cámaras que coincidían con las mediciones estándares determinadas por Wang Mang (Loewe 2016, 145–146). Posee varias inscripciones, y en una de ellas se habla de cómo Wang Mang llevó a cabo la estandarización de estas unidades de medición de acuerdo a la tradición antigua (cf. Loewe 2016, 217–236). 76 En algunas inscripciones se nombra a las personas involucradas en su elaboración, como artesanos o supervisores (cf. Loewe 2016, 188–189). 242 3.3 Emergencia y evolución de las (proto)matemáticas en China En esta sección vamos a presentar en primer lugar una caracterización general del conocimiento (proto)matemático en esta civilización. En segundo lugar, expondremos cómo se desarrollaron las matemáticas en dos tipos de fuentes: por un lado, en los manuscritos hallados recientemente en contextos arqueológicos; por otro, en algunos de los textos matemáticos clásicos que nos han llegado hasta nuestros días, centrándonos principalmente en los comentarios de Liu Hui a los Nueve capítulos sobre los procedimientos matemáticos –Nueve capítulos–. 3.3.1 Una caracterización general del campo de las matemáticas en China Son pocos los datos arqueológicos o textuales que nos informen de cómo el conocimiento matemático era considerado socialmente en este período, o del contexto general en el que se desarrolló o enseñó. Por ejemplo, en ninguna fuente se menciona a autores que desarrollaran algún método matemático ni que se dedicara exclusivamente al campo de las matemáticas. Por otro lado, en el capítulo 30 del Libro de Han se clasificaron todos los libros de la colección imperial por temas, y no existe ningún apartado dedicado exclusivamente a las ʽmatemáticasʼ (cf. Cullen 2009; Volkov 2018a). Lo que sí poseemos en algunas historias estándares son breves menciones sobre la importancia de saber leer y hacer cálculos para ser un buen gobernador. Esto no es de extrañar, ya que como hemos mostrado a lo largo de este capítulo algunos gobernadores regionales y del gobierno central estuvieron involucrados en tareas como la construcción, cobro de impuestos, desarrollo de estadísticas en relación con la población y recursos, Imagen 6.16 Jialiang en el Museo Nacional del Palacio de Taipei, imagen del usuario Jason22 en Wikipedia, https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi le:Xinmang_jialiang.JPG, consultada el 7/08/2021. 249 Estos manuscritos se escribieron en tiras de bambú que se ataban entre sí con una cuerda, apareciendo el título en el reverso de una de las tiras, el cual pudo ser su título o una etiqueta usada para describir su contenido general –interpretación principalmente de Cullen (2004; 2007)–. En las tumbas en las que se hallaron se encontraron también otros manuscritos, relacionados con las distintas labores de los ocupantes de estas tumbas, que seguramente fueron gobernadores regionales. Por ejemplo, se encontraron textos sobre estatutos y leyes o regulaciones administrativas (cf. Morgan & Chemla 2018). En primer lugar y muy brevemente, el manuscrito Shu se compone de 231 tiras, con 73 problemas y 60 métodos. Sus problemas han sido ordenados de acuerdo a 10 categorías, entre las que podemos destacar: 1) problemas sobre producción de campos de arroz y cálculo de impuestos; 2) problemas sobre calcular el área de la tierra agrícola; 6) problemas sobre anchos pequeños –ver capítulo 4 de los Nueve capítulos a continuación– ; 7) problemas sobre calcular volúmenes; 8) un problema sobre gou gu –“triángulos rectángulos”–; 10) estándares de medición (Dauben 2014, 29). De este manuscrito vamos a presentar únicamente el problema de las tiras [0304] y [0457], que dice así: Supongamos que hay una [pieza de] madera circular enterrada en el suelo, cuyo tamaño es desconocido, pero cortándola a una profundidad de 1 cun da una cuerda de 1 chi; se pregunta, ¿cómo de grande es la circunferencia de la [pieza circular de] madera? Dice: la mitad de la cuerda es 5 cun, multiplícala por sí misma y usa la profundidad de 1 cun como el divisor, dividiéndolo da el resultado en cun, añádelo de nuevo a la profundidad [del corte] da el diámetro de la madera (traducción de Dauben 2014, 29) Este es el único problema que Dauben (2014) categoriza como “problema sobre gou gu”. Si lo leemos, nada nos muestra por qué, pero si analizamos el problema 9.9 de los Nueve capítulos vemos que es prácticamente idéntico, y este se resuelve explícitamente aplicando el procedimiento gou gu (Dauben 2014, 29–30; Chemla & Zou 2018, 99–100). 85 85 En los Nueve capítulos la situación es la de un tronco de madera de sección circular y dimensiones desconocidas incrustado en un muro. Si lo serramos a 1 cun de profundidad, la sierra recorre 1 chi –mismos datos–, y se pregunta: ¿cuánto valdrá el diámetro? Liu Hui comenta que él toma el trayecto de la sierra como base (gou), el diámetro como hipotenusa (xian), y la profundidad de la sierra como la mitad de la 250 En segundo lugar, el Libro sobre procedimientos está escrito en 190 tiras de bambú, compuesto por unas 69 secciones independientes según Cullen (2004; 2007), de las cuales 16 tienen contenido relacionado con figuras geométricas. Este manuscrito parece ser una colección de resultados de diversas fuentes y autores, no muy sistematizado y con un lenguaje técnico poco avanzado (Cullen 2004, 9–15; Dauben 2008, 94). 86 Se cree que perteneció a un gobernador local, en cuya tumba se hallaron otros 7 manuscritos –sobre leyes, calendarios, medicina, deportes, etc.– (cf. Morgan & Chemla 2018, 154). Se usó presumiblemente como guía para burócratas, con sus resultados y procedimientos estrechamente relacionados con cuestiones prácticas, aunque algunos de sus resultados eran generales y en ciertos procedimientos se puede ver un interés por la propia estructura matemática del procedimiento. 87 Para hacer una presentación general de esta obra, vamos a seguir la división en 14 grupos 88 de Cullen (2004), de los cuales 3 tienen como tema principal cuestiones geométricas: - Grupo 12 Formas y Volúmenes: cálculo de los volúmenes de varias formas tridimensionales, como rampas para túneles, muros, conos, conos truncados o cilindros. Su contenido es, en cierta manera, paralelo al del capítulo 5 de los Nueve capítulos (Cullen 2004, 89–102; Dauben 2008, 153–159); - Grupo 13 Círculo y Cuadrado: cálculos sobre la relación entre círculo y cuadrado. Este contenido no aparece en los Nueve capítulos, sí en cierta manera diferencia entre altura e hipotenusa (Chemla & Guo 2004, 715). Ver los comentarios y representación geométrica de este problema en (Chemla & Guo 2004, 882–883). 86 Por ejemplo, se usó una variedad de términos para hablar de fracciones, o se proponen dos fórmulas para hallar el volumen de un cono cada una presentada con un lenguaje diferente, lo que podría poner de manifiesto que fueron escritas por personas diferentes (Cullen 2007; Dauben 2008, 103–104). Además, hay una variedad de formas de referirse a la operación de la división, que no hacen referencia a un procedimiento específico, sino a una concepción general de la misma (Chemla en preparación). 87 Ante esta situación señala Cullen (2004) que “la pregunta intrigante y no contestada que se presenta entonces es quién podría haber sido la audiencia para ese virtuosismo matemático, qué criterios utilizó la audiencia para decidir qué contaba como buenas matemáticas, y qué recompensas tenía el tener una buena reputación para la habilidad matemática más allá de la llamada del deber oficial” (p. 13). 88 Por dar una idea general del resto, podemos mencionar el Grupo 1, Operaciones Elementales, 5, Cambio en Impuestos, 9, Conversión de granos u 11, Regla de la falsa posición (Cullen 2004, 3–7; 2007). 251 en el Zhou bi. Se toma 7/5 como aproximación a √2, y 3 como valor de π (Cullen 2004, 103–105; Dauben 2008, 160–161); - Grupo 14 Lados y áreas con números mixtos: cálculos en relación con los lados o áreas de rectángulos mediante la división y no por medio de raíces cuadradas, conversión de las unidades de área. Contenido relacionado con el capítulo 1 y 4 de los Nueve capítulos (Cullen 2004, 105–111; Dauben 2008, 161–167). Como resumen general, tenemos que decir que en esta obra hay poca variedad de figuras geométricas planas de las que se calcula el área, sobre todo círculos y cuadrados, a diferencia de otros manuscritos como Shu u obras posteriores como los Nueve capítulos; por otro lado, tampoco existe un procedimiento general para la extracción de raíces cuadradas, cúbicas, cálculo del volumen de la esfera, etc. (cf. Cullen 2004; 2007; Dauben 2008). 89 Esta obra puede ser considerada como una obra de transición entre el conocimiento protogeométrico y geométrico, ya que sus resultados siguen siendo aproximados, y no están incorporados en un cuerpo sofisticado de resultados y conocimiento; sin embargo, tal y como hemos visto anteriormente, es cierto que en algunos de sus resultados y problemas se pueden ver los comienzos del interés, todavía tímidos, por las cuestiones teóricas y propiamente matemáticas de estos procedimientos. A continuación, vamos a presentar dos de los textos clásicos de las matemáticas chinas. En primer lugar, no vamos a tratar en detalle el Zhou bi suanjing –traducido como El canon del gnomon de la dinastía Zhou (Cullen 1996)–, ya que las matemáticas de esta obra están mejor ejemplificadas y presentadas de manera más sistemática en los Nueve capítulos, en la que están todos los procedimientos del Zhou bi excepto el denominado “principio de la sombra” (Cullen 1996, 74). Escrito en parte en prosa –como vimos anteriormente con la conversación entre Cheng Zi y Shan Gao–, y en parte técnica. En esta obra se exponía la teoría cosmográfica gaitian, definida como aquella en la cual “un cielo como un paraguas rota en un eje vertical sobre una tierra esencialmente plana” (Cullen 1996, xi). Se puede ver en la sección #A6[22p] del Zhou bi, que dice “el cuadrado 89 Tres nombres de problemas individuales de este manuscrito –fang tian, su mi, y shao guang– son los nombres de los capítulos 1, 2 y 4 de los Nueve capítulos, respectivamente (cf. Dauben 2008). 252 pertenece a la tierra, y el círculo pertenece al cielo. El cielo es un círculo, y la tierra es un cuadrado” (Cullen 1996, 174). 90 Esta obra se componía de textos escritos entre los siglos I a.e.c. al I e.c; además, lo escribieron distintos autores con distintos propósitos, y algunas partes del texto no están conectadas con las demás, como la sección #C, donde se trata brevemente sobre las relaciones entre círculo y cuadrado (Cullen 1996, 181–182; Cullen 2007). Es posible que en esta obra apareciera por primera vez el procedimiento gou gu – análogo al teorema de Pitágoras 91 – de manera explícita. Este aparece en la sección #A, a la cual añadirá Zhao Shuang en el siglo III e.c. el “diagrama de la hipotenusa” (Img 6.18), con el que va a explicar por qué este procedimiento es correcto, y hacerlo entendible a los lectores. 92 Dice, de acuerdo con el diagrama de la hipotenusa, debes multiplicar la base y altura juntos para hacer dos de las áreas rojas. Dóblalo para hacer cuatro de las áreas rojas. Multiplica la diferencia de la base y la altura por sí misma para hacer el área central amarilla. Si se añade [tal] diferencia [a las cuatro áreas rojas], se completa el área de la hipotenusa (traducción de Cullen 1996, 208) En segundo lugar, vamos a presentar los Nueve capítulos sobre procedimientos matemáticos 93 . Existen diversas propuestas acerca de su fecha de composición, algunas 90 En estos períodos existieron tres escuelas principales que discutieron estas cuestiones cosmológicas o cosmográficas, tales como la gaitian ejemplificada en el Zhou bi, la huntian o esfera celestial, y la xuan ye, que sostenía que el cielo era ilimitado. La teoría huntian acabó reemplazando a la gaitian, ya que esta última no podía explicar los movimientos del sol, la luna y las estrellas (Fengxian 2018). 91 Cullen (1996, 77–80) señala que en la matemática china nunca se usa el término ʽtriánguloʼ, sino que se habla sobre las relaciones entre un “gancho horizontal” –lado pequeño, gou–, una “pierna” –lado largo, gu–, y uniendo sus finales una “cuerda de arco” –hipotenusa, xian–. Tampoco se usa el concepto de ángulo (Cullen 1996, 92). Por otro lado, el historiador de las matemáticas Qian Baocong señala que “[los chinos de la antigüedad] no sabían cómo usar ángulos. . . pero podrían haber tenido una noción general de ellos” (Lih 1991 apud Volkov 2007, 425). 92 Se cree que las obras originales no contenían diagramas –tu–, sino que fueron añadidos por los comentaristas. Según Chemla (2010) “son usados para hacer explícito el “significado yi 意” de operaciones” (p. 314, nota 21). Hablaremos algo más de los diagramas y sus características en el próximo capítulo. 93 Otras traducciones al título de esta obra son Procedimientos matemáticos bajo nueve títulos (Cullen 2004), Procedimientos computacionales en nueve categorías (Volkov 2007), o Nueve capítulos sobre el arte de las matemáticas (Dauben 2013). 253 de ellas de carácter más bien mitológico. La hipótesis más probable es que se compusiera durante el interregno de Wang Mang, ya que este emprador restauró los ritos de Zhou, los cuales se conectan con la composición en 9 capítulos de esta obra (cf. Dauben 2013, 206-211; Chemla & Zou 2018, 98); por otro lado, este emperador introdujo el cambio de la unidad de medición dan por la hu –que aparece en la vasija de medición presentada anteriormente, ver imagen 6.16–, que es la usada en los Nueve capítulos. 94 Imagen 6.18 Reconstrucción del diagrama xian presentada por Cullen (1996, 209). Esta obra contiene 246 problemas tratados en 9 capítulos 95 , los cuales siguen, generalmente, una misma estructura, que es la de presentar primero el problema, se da la solución a continuación, y por último se expone el procedimiento 96 para llegar a esa solución. Vamos a presentar una visión general de los capítulos en los que se trata de manera directa cuestiones en relación con figuras geométricas. 94 Las ediciones más antiguas de las que se dispone de esta obra y sus comentarios son del siglo XIII y XV (Chemla & Guo 2004, 71–79; Dauben 2013). 95 El nombre del capítulo generalmente coincide con el nombre de la primera operación que aparece en el capítulo, exceptuando el caso del capítulo 2, que coincide con el nombre de la tabla que se adjunta al comienzo de la misma, y el capítulo 5, cuyo título parece hablar más bien del tema general de todo el capítulo (cf. Chemla & Zou 2018). 96 Chemla y Guo (2004, 21–26) señalan que usan indistintamente 'procedimiento' y 'algoritmo' entendiéndose ambos como “listas de operaciones” (Chemla & Guo 2004, 21). 254 - Capítulo 1: Campos rectangulares (fang tian 方田). Con el subtítulo “para tratar los territorios de tierras cultivadas” En este capítulo se calcula el área 97 de diversas figuras planas, las cuales se dividen en dos grupos: 1) figuras planas rectilíneas, tales como el campo rectangular (1.1–1.2), triangular (1.25–1.26), oblicuo (1.27–1.28) y trapezoidal (1.29–1.30); y 2) figuras planas con lados curvilíneos, que incluirían el campo circular (1.31–1.32), con forma de bóveda circular (1.33–1.34), segmento circular (1.35–1.36) y con forma de anillo (1.37–1.38) (cf. Chemla &Guo 2004, 131–197). 98 - Capítulo 4: Ancho pequeño (shaoguang 少廣). Con el subtítulo “para tratar los números–productos (ji) y las áreas (mi), del cuadrado y el círculo” En este capítulo se trata de determinar una dimensión de una figura geométrica, como el lado de un cuadrado o cubo, o la circunferencia de un círculo o esfera, sabiendo su área o volumen. Este es, según Chemla & Guo (2004, 313) uno de los capítulos más homogéneos y abstractos. En este capítulo se aplica lo que conocemos como mínimo común múltiplo (jifen) (4.1–4.11), extracción de raíces cuadradas (4.12–4.16), raíces circulares (4.17– 4.18), raíces cúbicas (4.19–4.22) y raíces esféricas (4.23–4.24). A diferencia del texto clásico, Liu Hui calcula la parte decimal al extraer las raíces (cf. Chemla & Guo 2004, 313–385). 99 - Capítulo 5: Evaluar los trabajos (shanggong 商功). Con el subtítulo “para tratar las reglas concernientes a los trabajos de excavación y los volúmenes (ji shi)” 97 Liu Hui no fue el primero en usar el término de área, pero sí en dar una definición de la misma. Esta la presenta tras el procedimiento del campo rectangular, que dice “las cantidades (shu) de bu de la anchura y la longitud están multiplicadas la una por la otra, obtenemos los bu del producto (ji)” (Chemla & Guo 2004, 153); y añade Liu Hui, “este producto (ji) es llamado el área (mi) del campo. Cada vez que el ancho y la longitud son multiplicados el uno por el otro, lo llamamos su área (mi)” (Chemla & Guo 2004, 153). 98 Li y Du (1987, 40–45) presentan un diagrama de todas las figuras geométricas cuya área o volumen es calculado en los Nueve Capítulos, presentando un total de 22. 99 Parte de este capítulo también aparece en el Libro de los procedimientos, pero en esta obra se usan términos técnicos para diversas operaciones como “comunicar” o “igualar” (cf. Chemla & Guo 2004, 321– 322). Ver el procedimiento de la extracción de raíces cuadradas en el apéndice 6. 255 En este capítulo se ofrecen 14 fórmulas para calcular el volumen de diversos sólidos (Tabla 6.2). Según Chemla y Guo (2004, 391–394) fue en este contexto en el que se introdujo el método de verificación por bloques estándares –qi, ver nota 103–, con tres categorías principales: el cubo, el qiandu y el yangma, todos con su longitud, anchura y altura iguales a 1 chi (Chemla & Guo 2004, 391–407) –ver la figura que presentan en la página 405, donde se muestra cómo todas las figuras tratadas en este capítulo se pueden obtener mediante distintas divisiones o cortes del cubo, lo mostraremos también a continuación–. 100 En este capítulo se usan procedimientos presentados en capítulos anteriores (cf. Chemla & Guo 2004, 387–457). - Capítulo 9: Base (gou) y altura (gu) (gougu 勾股). 101 Con el subtítulo “para tratar lo alto y lo profundo, lo ancho y lo lejano” Este capítulo se compone de 24 problemas, cinco de los cuales están escritos con terminología abstracta en relación con la base y altura de un “triángulo rectángulo” (9.1– 9.3; 9.14–9.15). Por otro lado, el conjunto de problemas se puede dividir en dos categorías generales: 1) aquéllos en los que se usa la relación gou gu, que serían los problemas 9.1– 9.12, y 9.24; y 2) aquéllos en los que se hace uso del concepto de lü en el dominio de “triángulos rectángulos” (9.13–9.23) (cf. Chemla & Guo 2004, 661–745). Además, se incluyen diversas configuraciones geométricas en relación con este procedimiento, entre las que podemos mencionar un rectángulo inscrito en un círculo (9.4), un cuadrado y un círculo inscritos en un “triángulo rectángulo” (9.14–9.15) o triángulos similares y cuadrados (9.16–9.18). Por otro lado, también hará una lectura geométrica del procedimiento de “supongamos” 102 . 100 Comenta Liu Hui respecto al problema 5.14 que si cortamos de manera oblicua un cubo obtenemos dos qiandu, y respecto a 5.15 afirma que si lo hacemos a un qiandu una de las partes hace un yangma, y la otra un bienao (Chemla & Guo 2004, 429–431). 101 Particularmente, gou se usará para designar el lado más corto, y gu el más largo, tal y como señala Liu Hui en su comentario a los problemas 9.1–9.3 (Chemla & Guo 2004, 705). 102 Este procedimiento es introducido en el capítulo 2, “Mijo pequeño y granos pelados”, que sería a grandes rasgos equivalente a la que conocemos como ʽregla de tresʼ. Merece la pena llamar la atención que Liu Hui afirmó acerca de este procedimiento que “este es un procedimiento universal” (Chemla & Guo 2004, 223). 256 Nombre Figura geométrica Nombre Figura geométrica Muralla (cheng), pared baja (yuan), dique (ti), fosa (gou), foso (qian) y canal (qu) (5.2–5.7; 5.26) Todas se corresponderían con un prisma con base trapezoidal Bienao (5.16) Tetraedro con una longitud menor y mayor, pero no anchura superior Baodao (5.8) Cilindro o prisma recto con base cuadrada Yanchu (5.17) Pentaedro con base trapezoidal con la anchura superior, inferior y extrema diferente Paralelepípedo rectángulo (5.27) Proceso inverso al propuesto en el problema 5.8 Chumeng (5.18) Prisma triangular Fangting (5.10) Pirámide o cono truncado con base cuadrada Chutong, foso curvo, foso con forma de pan y barranco oscuro (5.19–5.22) Chuntog diferenciado del chumeng en la anchura superior. Estas cuatro formas son análogas y se resuelven con el mismo procedimiento Fangzhui (5.12) Cono con base cuadrada o pirámide Yuanqun (5.9; 5.28) Se corresponde con un baodao de base circular Qiandu (5.14) Prisma recto triangular obtenido al cortar un paralelepípedo rectángulo Yuanting (5.11) Cono truncado con base circular Yangma (5.15) Pirámide cuadrangular con un ángulo recto Yuanzhui (5.13; 5.23–5.25) Cono con base circular. En el 5.24 se trata la mitad de un cono y en el 5.25 un cuarto de cono Tabla 6.2 Todas las formas geométricas que aparecen en el capítulo 5. Como ya señalamos anteriormente –ver nota 92–, ni el Zhou bi ni los Nueve capítulos contenían diagramas, sino que fueron introducidos por los comentaristas con fines 257 pedagógicos y explicativos (Cullen 1996, 171; Chemla & Guo 2004, 127). Pedagógicos porque con ellos se quería hacer el contenido matemático de los procedimientos más sencillo a los lectores, y explicativos porque se quería rellenar el vacío explicativo de las obras originales, en las que tras presentar el procedimiento no se explicaba nada, y a veces era complicado saber las razones de por qué el procedimiento era correcto o su fundamentación matemática. Volkov (2007) habla de 'diagramas conceptuales', ya que “su función principal era la de proveer descripciones de las transformaciones geométricas a realizar para justificar los algoritmos matemáticos” (p. 457). Estos diagramas son designados como tu; sin embargo, Liu Hui introduce un segundo tipo de diagramas, o más bien bloques, que serán los qi 103 (cf. Chemla 2010). La diferencia es que los primeros se usaron en geometría plana, y los segundos en geometría del espacio, como hemos mostrado en relación con el capítulo 5. Además, para hablar de las operaciones a realizar con los mismos se usaron expresiones que hacían referencia explícita a su manipulación, como “cortar” las figuras, “unirlas”, “romper los rectángulos”, “colorear”, etc. (Chemla 2010). Este tipo de lenguaje ha llevado a autores como Chemla (2010) a considerar que estos diagramas fueran objetos físicos manipulados por los matemáticos al mismo tiempo que llevaban a cabo los procedimientos; por otro lado, Volkov (2007) cree que pudo ser una práctica común en esta tradición la de publicar libros por separado en los que se incluyeran solo los diagramas. A continuación, vamos a presentar algunos problemas en relación con los capítulos 1 y 5, para dar una idea general de cómo era esta práctica matemática –los del capítulo 9 los veremos con más detalle en el próximo capítulo–. Vamos a comenzar con los problemas 1.25–1.26, en los que se muestra de qué manera calcular el área de un campo triangular. Tenemos los siguientes datos (Tabla 6.3). Problema Anchura Altura (longitud recta) 104 Solución 1.25 12 bu 21 bu 126 bu 1.26 5 bu 1/2 de bu 8 bu 2/3 de bu 23 bu 5/6 de bu Tabla 6.3 Datos y soluciones de los problemas 1.25–1.26. 103 Según Chemla & Guo (2004), tu es definido como “el asistente de razonamiento, instrumento de visualización, para la geometría plana” (Chemla & Guo 2004, p. 999); mientras que qi es definido como “el asistente de razonamiento, el instrumento de visualización para la geometría del espacio” (p. 967). 104 Altura denominada como zheng zong (正從); esto es, longitud recta. 258 El procedimiento dice: “cogemos la mitad del ancho y lo multiplicamos por la altura” (Chemla & Guo 2004, 175). Liu Hui comenta que “si cogemos la mitad del ancho” lo que estamos haciendo es rellenar lo que está vacío con lo que excede o sobra para hacer un campo rectangular. Por otro lado, sigue comentando, también podemos coger la mitad de la altura y multiplicarla por la anchura, con lo que estaríamos tomando su valor medio (Chemla & Guo 2004, 175). Estos comentarios podrían estar haciendo referencia a un diagrama particular (Img. 6.19) con el que Liu Hui mostraría la corrección de este procedimiento, vinculando así la medición del área de terrenos triangulares con la de terrenos rectangulares –siendo la del primero la mitad que la del segundo–. 105 A B Imagen 6.19 Diagramas a los que puede estar haciendo referencia Liu Hui cuando afirma “rellenar lo que está vacío con lo que excede” (A) y “coger la mitad de la altura y multiplicarla por la anchura para tomar su valor medio” (B). Diagramas propuestos por Chemla y Guo (2004, 768). Con los siguientes datos (Tabla 6.4), Liu Hui presenta cuatro procedimientos para calcular el área de campos circuales, de los cuales vamos a presentar solo dos ya que los otros dos no volverán a aparecer en el resto de la obra (Lam & Ang 1986; Chemla & Guo 2004, 177-189). El primero de los procedimientos dice: “la mitad de la circunferencia y la mitad del diámetro se multiplican el uno por el otro, obtenemos los bu del producto (ji)” (Chemla & Guo 2004, 177). Liu Hui comenta que, si inscribimos un hexágono en el círculo, podemos comprobar que el lado del hexágono y el radio del círculo –o mitad-del- diámetro– son iguales (Img. 6.20). Esto se debe, continúa comentando, a que el lü de la 105 Posteriormente también relacionará las áreas del campo trapezoidal con el oblicuo, afirmando que un campo trapezoidal dividido por dos hace dos campos oblicuos, y por eso los procedimientos de ambas formas geométricas son similares (cf. Chemla & Guo 2004, 136–138). 265 se multiplican el uno por el otro, luego cada uno se multiplica por sí mismo, sumamos estos (resultados); multiplicamos esto por la altura y lo dividimos por 3” (Chemla & Guo 2004, 423). A este procedimiento añadirá Liu Hui su comentario, en el cual dirá que en este capítulo se hace referencia al qiandu y yangma, los cuales pueden generar un cubo al unirse (Img. 6.27). Entonces, para mostrar la corrección del procedimiento, Liu Hui hará uso de 1 cubo en el centro, cuatro qiandu a los lados, y cuatro yangma en las esquinas (Img. 6.28) para formar un fang ting o pirámide truncada de base cuadrada de 1 chi de lado superior, 3 chi de lado inferior y una altura de 1 chi. Con esta disposición de los qi se dispone Liu Hui a mostrar qué estamos calculando en cada paso del procedimiento. Imagen 6.27 Izquierda: pirámide rectangular truncada o fang ting; derecha: las dos piezas fundamentales mencionadas por Liu Hui en su comentario, y su relación con el cubo. Por un lado, nos dice que con la operación de “multiplicar los cuadrados inferior y superior los unos por los otros” obtendríamos 3 chi, ya que el lado superior valía 1 chi y el inferior 3 chi, y al multiplicar esto por la altura, obtendríamos un volumen de 3 chi, correspondiente al cubo central y un ejemplar de cada uno de los cuatro qiandu. Por otro lado, si “multiplicamos el lado inferior por sí mismo” son 9, y al multiplicarlo por la altura obtenemos un volumen de 9 chi, correspondiente a un cubo central, 2 ejemplares de cada uno de los qiandu, y 3 ejemplares de cada uno de los yangma; si hacemos lo mismo con el lado superior, obtendríamos un volumen de 1 chi, correspondiente a un cubo central. Entonces, cada categoría estaría representada por 3 ejemplares, por lo que si dividimos por 3, obtenemos los ji del volumen. Finalizando Liu Hui afirmando que “por lo tanto, se 266 verifica” –y continúa con una segunda demostración que no vamos a presentar en este trabajo–. 109 Imagen 6.28 Verificación del procedimiento 5.10 mediante el uso de las figuras –qi–. Reconstrucción de Chemla & Guo (2004, 392) modificada ligeramente. Para finalizar, vamos a presentar brevemente algunas cuestiones en relación con el uso de términos técnicos en China. Lo haremos, como hemos hecho en los capítulos anteriores, en relación sobre todo a cómo se conceptualizaron algunas figuras geométricas fundamentales en esta civilización, así como la manera en la que se prescribieron algunas operaciones geométricas. Nos vamos a basar fundamentalmente en la obra de Chemla y Guo (2004), con especial atención al glosario de términos que estos autores presentan al final de su traducción y comentarios críticos a los Nueve capítulos (pp. 897-1035), por lo que tenemos que tener en cuenta que nos estamos refiriendo principalmente a la manera en que estos términos se usaron en el siglo III e.c. En primer lugar, en relación con las figuras geométricas vamos a ver que estas se definen en relación con sus “dimensiones fundamentales”; esto es, aquellas dimensiones 109 Si contamos el total de piezas usadas son 27, que son las que dice Liu Hui que ha usado en esta prueba, así como 13 bloques –esto es, 13 cubos que formamos si unimos todas las piezas de qiandu, 12 qiandu serían 4 cubos, y yangma, 12 yangma serían 4 cubos–. Por otro lado, se puede observar que Liu Hui no usará los valores del clásico, sino que usa números sencillos para no entorpecer su explicación. Esto podría manifestar que no estaba mostrando la corrección de este problema particular, sino del procedimiento general para calcular el volumen de pirámides truncadas de base cuadrada. 267 que al ser multiplicadas determinan el área de la figura que estamos considerando (Chemla 2005, 128, n. 14). - Rectángulo o cuadrado (fang). 110 Las dimensiones fundamentales que definen a esta figura son su anchura, guang, y su longitud, zong. 111 Por ejemplo, en los problemas 1.1-1.4 se calcula el área del campo rectangular multiplicando su anchura por su longitud. Este término fang también se usa para lado del cuadrado, cubo (lifang), lado del cubo, o paralelepípedo rectángulo de base cuadrada (cf. Chemla & Guo 2004, 136-138; 921-922). Por otro lado, si se pone el término fang antes de otra figura sólida, como un cilindro (baodao), lo que estaríamos designando sería que esta figura tiene una base cuadrada. En este caso, fang baodao sería un cilindro de base cuadrada – ver más ejemplos en la tabla 6.2 presentada anteriormente–. También se usó el término ju, usado para escuadra y gnomon (Chemla & Guo 2004, 943). En el comentario de Zhao Shuang al Zhou bi este dice “ju, es un ancho (guang) y una longitud (chang)” (cf. Chemla & Guo 2004, 943). Aunque no todos los investigadores están de acuerdo en esta traducción (cf. Chemla 2005, 127-128, n. 13). - Círculo (yuan). 112 Aparece en el capítulo 1, donde habrá que calcular el área de campos circulares (1.31-1.32), con forma de segmento circular (1.35-1.36), y de anillo (1.37-1.38). En el capítulo 5 se trata la figura del círculo en relación con cuerpos sólidos, al igual que señalamos en relación con el rectángulo, como por ejemplo yuanqun, cilindro con base circular (Chemla & Guo 2004, 110 Término usado también para región, tal y como vimos en la sección 2.2.2 en relación con las cuatro regiones, sifang. Allan (1991) señala que la primera vez que se atestigua el uso de fang como cuadrado aparece en las inscripciones en bronce del período Zhou Occidental, las vasijas-ding cuadradas (pp. 76-77). 111 Guang se usa para designar la dirección este-oeste, y en relación con los diagramas matemáticos, la dimensión horizontal de la figura; por otro lado, zong se usa para designar la orientación norte-sur, y en relación con diagramas matemáticos, la dimensión vertical de la figura (cf. Chemla 2005; Volkov 2007). También se puede distinguir si estas caras son rectas (zheng) u oblicuas (xie) (Chemla & Guo 2004, 1031- 1032). 112 Ni en los Nueve capítulos ni en los comentarios de Liu Hui se define esta forma. 268 1028). 113 El diámetro del círculo se denomina jing, usado para diámetro de una esfera, o diámetro transversal en relación con el anillo circular. Zhao Shuang también usará este término para hablar del diámetro de un cuadrado (fang jing) (cf. Chemla y Guo 2004, 942). Y su circunferencia sería zhou – término también usado para perímetro (Chemla & Guo 2004, 1034)–. 114 - Triángulo. En China no existió un concepto o término para la figura de triángulo. En el caso del capítulo 1, en los problemas I.25-I.26 se usa el término gui para hablar de campos triangulares (gui tian) (Chemla & Guo 2004, 925-929). Para calcular el área de estos campos, se multiplica la mitad del ancho por la altura. Por otro lado, con el procedimiento gougu, como señalan Chemla y Guo (2004), los lados gou y gu “definen el triángulo rectángulo” (p. 926), ya que con la operación se toman los valores de los dos lados del triángulo rectángulo, y se produce el tercero, la hipotenusa (xian). - Diversidad de términos. El término li se puede traducir como “erigir” en relación a cómo se erigen los cuerpos sólidos a medida que avanza el razonamiento geométrico. Entonces, lifang y liyuan se usan para cubo y esfera, respectivamente. Por otro lado, con ping hablaríamos de superficies planas en contraposición a las sólidas. Entonces, pingfang se usa para hablar de cuadrado, y pingmi para hablar de área plana (Chemla & Guo 2004, 951-953; 966-967). Además, tenemos los extremos, zhi, como los descritos en el problema I.32 en relación con los sucesivos polígonos inscritos en el círculo (Chemla & Guo 2004, 1033); o zhong, como centro o intermedio, diferente a 113 Como vimos anteriormente, en el Zhou bi los términos de círculo y cuadrado aparecen relacionados en la sección #C, titulada precisamente “Círculo y cuadrado” (Cullen 1996, 181-182), y en relación con la teoría gaitian, “tian yuan di fang”; esto es, el cielo es un círculo y la tierra un cuadrado (cf. Cullen 1996). 114 El diámetro se relaciona con los valores asignados a las figuras de círculo y cuadrado en las obras clásicas, valores que son “mejorados” o analizados teóricamente por Liu Hui como hemos mostrado. Por otro lado, Zhao Shuang afirma que “cuando el diámetro del círculo es 1, su circunferencia es 3; cuando el transversal del cuadrado es 1, su perímetro es 4” (Cullen 1996, 83). Además, si el lado del cuadrado es 5, su diagonal 7. Estos valores, o más bien, relación entre diámetro y circunferencia, o diagonal y lado del cuadrado, se denominan como la constitución interna de estos objetos geométricos (li) (Chemla & Guo 2004, 950-951). 269 zhongping, que es la media de las longitudes de una superficie o sección de un sólido, como en el problema I.26 en relación con el campo triangular (Chemla & Guo 2004, 1034). También se distingue exterior (biao) e interior (li) de una figura. A continuación, vamos a presentar algunos de los términos usados para llevar a cabo las diferentes operaciones geométricas en esta obra. - Extracción de raíces (kai). La principal para este trabajo, explicada en el apéndice 6, es la extracción de raíces cuadradas (kai fang, traducido literalmente como “abrir el cuadrado”). 115 En el Libro de los procedimientos esta operación se determina como “abrir la longitud”, y es una operación que nos permite obtener el valor de dicha longitud si conocemos el área y anchura del rectángulo. - Tomar la mitad de algo, disminuir la mitad de algo, la mitad de algo (ban). Con esta operación lo que haríamos sería tomar la mitad de algo, como en I.26, donde se “toma la mitad de la longitud” o I.32, donde “multiplicamos la mitad del diámetro por la mitad de la circunferencia”. También hace referencia a la fracción ½ cuando se da como resultado o se formula en el problema en relación a un entero –cuando tenemos la fracción sola se expresa como se expresan todas las fracciones en esta tradición matemática– (Chemla & Guo 2004, 899). - Progresar (bu) y retroceder (zhe) o disminuir retrocediendo (zhexia). El primero de ellos hace referencia al movimiento horizontal hacia la derecha de las varillas sobre la superficie de cálculo. El segundo de ellos sería el caso contrario, movimiento horizontal hacia la izquierda sobre la superficie de 115 Para prescribir la operación de extraer raíces cuadradas, Liu Hui usará kai fang, mientras que en el clásico se usaba kai fang chu, traduciéndose chu como dividir, y será además una de las operaciones que se introducen de manera novedosa respecto a obras anteriores (Chemla en preparación). Otros tipos de extracción de raíces serían kai lifang, extracción de raíz cúbica, kai liyuan, extracción de raíz esférica, o kai yuan, extracción de raíz circular (Chemla & Guo 2004, 945-946). 270 cálculo. También se podría saltar (chao); esto es, saltar una o dos columnas con la varilla de contar, usado por ejemplo para la extracción de raíces. - Se distingue entre el sustantivo, o resultado de una operación, y la propia operación o acción de llevar a cabo esa operación. Por ejemplo, tenemos el sustantivo bing, suma, y verbo jia, agregar. Así mismo, tenemos el sustantivo cha, que es la diferencia, opuesto a la acción de sustraer, que sería jian (cf. Chemla & Guo 2004, 936). Estos serían algunos de los términos técnicos que se usaron en China tanto para designar o conceptualizar las diversas figuras geométricas, tanto planas como sólidas, sus elementos, relaciones, así como distintas operaciones en relación a estas, o en relación a otros procedimientos matemáticos como los vinculados con el uso de las varillas para contar y la superficie sobre las que se realizaban los cálculos –ver apéndice 6–. No hemos querido llevar a cabo una discusión o presentación exhaustiva de todos los términos técnicos de esta práctica matemática, lo cual sería una tarea que excedería los limites de este trabajo. Lo que hemos querido subrayar, principalmente, es la manera en la que estos diversos términos comenzaron a adquirir, sobre todo en relación a los comentarios de Liu Hui, un sentido técnico y preciso –para más detalles acerca de la evolución de parte de este vocabulario, se puede consultar el extenso trabajo de Karine Chemla (2010; 2014; 2015; en preparación)–. 271 Parte III Análisis Comparativo 272 273 Capítulo 7 Los orígenes del conocimiento protogeométrico y geométrico: un análisis arqueo-histórico comparativo En este capítulo, mostraremos qué puede aportar nuestro análisis arqueo-histórico comparativo a los estudios acerca de los orígenes del conocimiento protogeométrico y geométrico. Particularmente, veremos cómo nuestra propia aproximación basada en tres niveles de competencia puede ayudarnos a entender estos orígenes desde dos perspectivas. Por un lado, desde una perspectiva cognitiva nuestro trabajo puede servir para fundamentar nuestras críticas a las aproximaciones universalistas acerca del conocimiento geométrico. Como señalamos en la introducción, los investigadores dentro de esta postura suelen argumentar que las similitudes que podemos encontrar entre las diversas culturas humanas pueden ser explicadas en base a la similitud que existe en nuestro sistema biológico o cognitivo. En este trabajo hemos presentado con cierto detalle, y criticado, una de estas posturas universalistas dentro de las ciencias cognitivas, como es la teoría CKS. Precisamente, mostramos en la primera parte de esta tesis que los trabajos actuales en cognición matemática tienden a centrarse únicamente en las similitudes que encuentran en cómo el ser humano percibe y codifica su medio –lo que les lleva a conclusiones acerca de la universalidad de nuestra cognición “aritmética” y “geométrica”–. Sin embargo, nuestra exposición detallada de estos orígenes arqueohistóricos del conocimiento geométrico durante la Prehistoria e Historia Antigua nos ha permitido ver también las grandes diferencias que existen en cómo entendió y configuró cada una de estas civilizaciones este tipo de conocimiento. Por lo tanto, argumentamos que no existe ningún tipo de conocimiento geométrico universal a todas las culturas humanas. Por otro lado, desde una perspectiva arqueo-histórica y cognitiva, veremos que las similitudes que encontramos entre estas tres tradiciones nos llevan a concluir que la cultura tuvo un papel decisivo en cómo el ser humano percibió su medio, lo conceptualizó, y creó posteriormente un tipo de conocimiento simbólico y teórico acerca de las figuras espaciales, sus elementos y relaciones. 274 En particular, vamos a llevar a cabo dos análisis comparativos. En primer lugar, realizaremos un análisis diacrónico desde el período Paleolítico hasta el final de la Historia Antigua. De esta manera, veremos cómo el conocimiento protogeométrico y geométrico surgió y se desarrolló en un contexto socio-cultural y político concreto, y en relación con un conjunto de herramientas y metas en cada una de estas civilizaciones (sec. 1). En segundo lugar, nos centraremos en un caso concreto, aunque no corresponda al mismo período de tiempo en las tres civilizaciones. En particular, nos centraremos en cómo se conceptualizó y usó el ʽTeorema de Pitágorasʼ 1 en cada una de estas prácticas matemáticas, para así poder entender las características particulares de cada una de ellas (sec. 2). En tercer y último lugar, inferiremos a partir de estos análisis comparativos una serie de consecuencias para los estudios actuales en cognición matemática (sec. 3). Como ya hemos adelantado, nuestras conclusiones servirán como crítica a las caracterizaciones universalistas acerca del conocimiento geométrico, así como en defensa de un análisis contextual y enculturado en relación con estos orígenes. 1. Los orígenes del conocimiento protogeométrico y geométrico: un análisis diacrónico 1.1 La prehistoria del conocimiento protogeométrico Hemos argumentado anteriormente –ver especialmente capítulo 3– que no encontramos ningún elemento material del período Paleolítico que evidencie los orígenes de la elaboración o posesión de conocimiento geométrico. Vamos a tomar como hilo conductor de nuestras consideraciones respecto a este período la caracterización que Dirk J. Struik (1987) presenta sobre el mismo. Nuestras primeras concepciones de número y forma se remontan a tiempos tan remotos como la Edad de Piedra Antigua, el Paleolítico. […] 1 En cada una de estas civilizaciones recibirá un nombre diferente de acuerdo a cómo se conceptualizaron las figuras y relaciones geométricas dentro de cada práctica matemática, así como de acuerdo al análisis histórico y epistemológico que hoy día realizamos de las mismas. Sin embargo, usamos aquí ʽTeorema de Pitágorasʼ como una etiqueta general para que sepamos rápidamente de qué estamos hablando. 281 Por lo tanto, concluimos que el tipo de evidencia que se ha utilizado en los trabajos en prehistoria de la geometría lo que evidenciarían sería el desarrollo y evolución hacia un tipo de habilidades técnicas, culturales y cognición visoespacial más compleja, sin llegar al segundo nivel de desarrollo del conocimiento protogeométrico. 1.2 Los orígenes del conocimiento protogeométrico y geométrico en el seno de tres grandes civilizaciones Continuando con nuestro análisis diacrónico, presentaremos en esta sección una caracterización general del contexto socio-cultural, político e institucional en el que el conocimiento protogeométrico y geométrico emergió a lo largo de la Historia Antigua. Para ello, nos centraremos principalmente en los casos de Mesopotamia y China, los cuales analizaremos comparativamente con el caso griego. 4 Nuestra decisión de analizar con mayor detenimiento estos casos frente al griego se relaciona con la concepción helenofílica que hemos mostrado que existe en parte de la investigación en historia de las matemáticas. Esto es, la consideración de que las matemáticas griegas desarrolladas por Euclides representan el ideal de aquello que deberían de ser las matemáticas en el pasado. Este tipo de interpretación suele venir acompañado de la consideración de que las matemáticas mesopotámicas y chinas fueron sobre todo de carácter práctico dada su estrecha vinculación con las labores desarrolladas por burócratas o funcionarios estatales. Por lo tanto, creemos que es importante analizar en detalle estos casos para mostrar por qué este tipo de interpretación helenofílica es incorrecta, además de imprecisa arqueo-históricamente. 1.2.1 La emergencia del conocimiento protogeométrico en Mesopotamia En primer lugar, un fenómeno importante para entender la formación de los primeros estados o unidades socio-políticas más complejas se relaciona con el crecimiento demográfico, así como el mayor número y tamaño de los asentamientos –ver tabla 7.1–. 4 En el apéndice 8 se pueden ver comparativamente los períodos que hemos analizado en este trabajo de estas tres civilizaciones. 282 Período Tamaño aproximado Población estimada - Período El Ubaid (6500–4000 a.e.c.) - Período Uruk (4000–3000 a.e.c.) - Período Dinástico Temprano (2900– 2350 a.e.c.) - Los asentamientos de mayor tamaño tenían, generalmente, entre 9-10 ha. Ejemplo de un asentamiento de gran tamaño, Tel al-Hawa, de unas 15-20 ha - Ciudad Uruk, 250 ha; recinto del templo Eanna, 9 ha - En torno al año 2500 a.e.c., el 80% de la población vivía en ciudades de más de 40 ha. La ciudad de Shuruppak pasa de 70 ha a 100 ha desde el periodo Dinástico Temprano I al III - No existen muchos datos, se estima que en Tel al-Hawa habitaron entre 1.500–4.000 personas - 20.000 habitantes - La ciudad de Shuruppak tuvo una población estimada de 15.000 a 30.000 habitantes Tabla 7.1 Datos demográficos y de tamaño de asentamientos en Mesopotamia. Fuentes consultadas: Kuhrt (2000); Yoffee (2005); Carter & Philip (2010), y base de datos para la historia global Seshat, ver http://seshatdatabank.info/databrowser/, visitada el 11/07/2022. En el caso mesopotámico, en el período Uruk (4000–3000 a.e.c.) surgió por primera vez la figura de un líder que gobernó políticamente al resto de la población. 5 Este fenómeno suele vincularse con el hecho de que los grupos humanos cada vez más numerosos necesitaron de protección tanto interna como externa, así como de una mayor organización social para poder convivir conjuntamente. Es decir, los ciudadanos necesitaban protección frente a otros ciudadanos con los que cada vez estaban menos emparentados por lazos sanguíneos, y frente a otros grupos humanos que pudieran 5 En el anterior período El Ubaid (6500–4000 a.e.c.) existen “antecedentes” de la figura de líder. Sin embargo, no hay datos arqueológicos que evidencien que durante el mismo emergiera claramente este líder político que gobernara él solo a un asentamiento o grupo de asentamientos, ni se ha documentado que un ciudadano o grupo de ciudadanos acumulara riquezas (cf. Carter & Philip 2010). 283 invadirlos. Para ello, acudieron a la figura de un líder político, quién los gobernaría y lideraría a cambio de un pequeño pago de sus propias producciones. Por lo tanto, estos reyes o líderes comenzaron a ejercer y retener en ellos mismos, y en algunos casos extendido a sus propias familias, todo el poder. En el período Uruk y Dinástico Temprano (2900–2350 a.e.c.) estuvieron estrechamente vinculados con el poder ritual o religioso, sobre el que fundamentaron la necesidad de su propia figura como vínculo entre los dioses y los ciudadanos –en la tabla Lu A que presentaremos a continuación se usó un término que hacía referencia al rey-sacerdote– (cf. Kuhrt 2000, 38-74; van de Mieroop 2016, 21-43). 6 En relación con este líder, queremos destacar dos cuestiones de interés. Por un lado, junto a esta figura del rey emergió toda una compleja jerarquía social, en la que el rey ocupaba la cúspide de la sociedad, y el grueso de la población dedicada a labores agrícolas y de construcción formaban sus últimos escalafones. Esto puede verse reflejado en uno de los primeros textos escritos de esta civilización, la tabla Lu A o Lista Estándar de las Profesiones, escrita en el período Uruk Tardío (3500-3100 a.e.c.) y que contenía unas 140 entradas. 7 Esta lista pone de manifiesto las relaciones jerárquicas entre las distintas profesiones que surgieron y se consolidaron en este período, con figuras como el “líder de la ciudad”, “líder del arado”, “líder de los corderos” “cocineros”, “sacerdotes”, “joyeros”, “ceramistas”, etc. (Woods 2010, 74; Veldhuis 2011, 74-80). Además, durante estos períodos los templos ocuparon un lugar central en este nuevo sistema de gobierno. Por un lado, siguieron construyéndose estos edificios con carácter monumental, como muestra y representación del propio poder central del emperador en estos estados. De hecho, la figura de este emperador estaba estrechamente vinculada al dios o diosa de cada ciudad, como señala Kuhrt, “todos los aspectos de la vida estaban entrelazados y a la cabeza del ordenamiento político-religioso estaba el propio rey, creado y formado físicamente por los dioses” (p. 50). El punto más interesante para nuestro trabajo se relaciona con la función económica o administrativa que estos templos comenzaron a realizar, ya que era 6 Como señala Trigger (2003, 661-666), el equilibro de poder de estos primeros líderes era muy delicado, y por eso tuvieron que elaborar este tipo de justificación religiosa de su necesidad como líder, así como invertir grandes esfuerzos en difundir su ideología y poder sobre sus súbditos. 7 Este tipo de texto se incluye dentro de las “listas léxicas”; esto es, largas listas de palabras que pertenecían a una misma categoría, como listas de profesiones, animales, plantas, objetos, ciudades, etc. (Woods 2010, 40-42; van de Mieroop 2016, 34). 284 habitual que los ciudadanos ofrecieran alimentos y todo tipo de objetos materiales a los dioses, quienes se encargaban de redistribuirlos a la sociedad. Esto queda bien ejemplificado en el Vaso de Uruk, una vasija ceremonial en la que se representa a una comunidad entregando sus cosechas a la diosa Inanna (van de Mieroop 2016, 27-30). Sin embargo, sabemos que no fueron los dioses quienes se encargaban de este almacenamiento, registro y distribución de los bienes, sino que surgió una nueva clase social para encargarse de tales labores: los escribas o administradores (van de Mieroop 2016, 60-63). En los posteriores períodos Acadio Antiguo (2350–2200 a.e.c.) y Ur III (2110– 2003 a.e.c.) se consigue por primera vez dominar políticamente bajo un solo gobierno grandes extensiones de tierra. Una de las formas de conseguir dominar casi toda Mesopotamia fue a través de la cesión o regalo de tierras a soberanos locales a cambio de su lealtad al rey. De esta manera, el rey buscaba la centralización del poder en su figura y capital, al que el resto de ciudadanos y ciudades tenían que rendir cuentas. Otra de las herramientas clave para esta nueva forma de gobierno fue la instauración de una burocracia centralizada bien desarrollada que controlara todos los procesos del estado. De hecho, como señala van de Mieroop (2016) en relación con Ur III, Durante unos setenta años, esta dinastía gobernó Babilonia y regiones adyacentes al este, usando una elaborada burocracia que produjo un gran número de documentos escritos. Virtualmente ningún período de la historia de Oriente Próximo presenta al historiador con tal abundancia y variedad de documentación. De hecho, incluso en toda la Historia Antigua de Grecia y Roma, hay pocos períodos donde encontremos una profusión de material textual similar (p. 79) Parte de esta centralización estuvo vinculada con los escribas y la educación de los mismos; esto es, esta nueva comunidad de escribas era precisamente la que se encargaba de administrar y supervisar cada una de las tareas de construcción o gestión de los recursos de este reino. De hecho, el rey daba importancia no solo a la educación de esta nueva clase, sino a la suya propia. En el prólogo a un “código de leyes” del rey Šulgi –período Ur III–, este señala que “en el lugar en el que la gente aprende las artes de la escritura, sumando, restando, contando y haciendo cuentas; terminé todos (los cursos)” (Klein 1981 apud Kuhrt 2000, 90). Vemos de esta manera que el rey daba importancia y valor a esta educación y a las herramientas y labores de esta nueva clase. 285 Además, un punto crucial de esta educación escriba es el momento en el que esta se institucionaliza, y por lo tanto ocurren dos fenómenos que a primera vista parecerían contradictorios. Por un lado, el rey se asegura que esta clase esté bien formada y preparada para servirle; por otro lado, esta clase comenzará a separarse cada vez más de las aspiraciones impuestas desde el gobierno central, y a adquirir mayor orgullo por su propia labor, creándose así una especie de “identidad escriba”. 8 Esta institucionalización comenzó tímidamente en el período Dinástico Temprano y tendrá su máximo esplendor en el período Paleobabilónico (2000–1600 a.e.c.) (cf. Hoyrup 2009). Como decimos, esta nueva clase que podríamos denominar como “expertos” o “especialistas técnicos” comenzaron a separarse paulatinamente de las labores desarrolladas en los templos. Su tarea principal fue la de estandarizar, simplificar y uniformizar la realidad socio-cultural con sus herramientas, para así tener un control más férreo por parte del rey de los recursos y población disponible (Kuhrt 2000, 72; Yoffee 2005, 100-102). De entre estas herramientas, las más importantes para entender la emergencia y desarrollo de la protogeometría son las siguientes: - Mapas: los primeros mapas que se conocen datan del período Ur III (2110–2003 a.e.c.). El terreno se solía representar con triángulos y cuadriláteros, en relación con la fórmula del agrimensor, priorizando además la representación cualitativa de la superficie a representar para así tener una idea general y rápida de la información relevante (Robson 2008; Baker 2011). - Fórmula del agrimensor: hay una figura fundamental dentro del cuerpo de especialistas técnicos que es la de los agrimensores. Estos se encargaban de medir los terrenos, para lo que crearon alrededor del III milenio a.e.c. la ʽfórmula del agrimensorʼ. Como dijimos, desde el período Dinástico Temprano era habitual el pago con terrenos a oficiales o militares por parte del rey, y el control de los 8 Por ejemplo, un proverbio de este período dice, “¿es el corazón que no sabe cálculo un corazón que posee sabiduría?” (Alster 1999, 54, 116 apud Muroi 2011, 149); lo que pondría de relieve el orgullo e importancia que se daba a la posesión de este tipo de conocimiento en esta civilización. 286 productos agrícolas era vital para el correcto funcionamiento del gobierno, para lo cual esta fórmula y figura de los agrimensores eran cruciales (Baker 2011). 9 - Unidades de medición: desde el período Uruk III (3100–3000 a.e.c.) los sistemas metrológicos se expandieron, añadiendo a las unidades existentes nuevas unidades tanto mayores como menores. Al comienzo, estas unidades y los símbolos usados para representarlas se vincularon con cuestiones prácticas. 10 Posteriormente, en el período Ur III el rey Šulgi impuso por mandato real el uso del sistema sexagesimal y posicional, de tal manera que estos sistemas metrológicos quedaron unificados (Hoyrup 2009; Damerow 2016; Schemmel 2016a). Todas estas cuestiones, tanto políticas –imposición gubernamental del sistema sexagesimal– como socio-culturales –separación de los escribas de las cuestiones religiosas, o desarrollo de la identidad y orgullo escriba–, son las que nos sirven para entender el desarrollo del conocimiento protogeométrico en esta civilización. Como se puede observar, no puede entenderse la emergencia y desarrollo de este tipo de conocimiento como algo abrupto, sino que es un proceso de acumulación y mejora tanto de este tipo de conocimiento, como de las bases institucionales que permitieron su desarrollo e instauración. En el período Paleobabilónico, tras haberse separado la función de estos escribas de los templos, cuando se ha institucionalizado la educación 11 , y al haberse impuesto un sistema sexagesimal y posicional a todas las matemáticas, irrumpen con fuerza las matemáticas supra-utilitarias. Esto es, matemáticas que en apariencia se vinculaban con cuestiones prácticas, pero que realmente trataban sobre cuestiones propiamente matemáticas. Este tipo de desarrollos pudieron ser el resultado de una muestra de 9 En este sentido, Baker (2011) señala que las tablas en las que se inscribieron estas mediciones representan “una faceta de la expresión de la ideología real, enfatizando la beneficencia del rey al transferir terrenos reales a manos privadas, o al confirmar derechos de propiedad otorgados previamente” (p. 320). 10 Por ejemplo, del período Uruk Tardío tenemos la lista léxica Lista de Palabras D (comida/grano), en la que se escribieron signos para números que están asociados a cuestiones como el tamaño de las vasijas o barras de pan (cf. Robson 2008, 32-33). 11 Tinney (2011) señala que hay tanto continuidad como discontinuidad cuando analizamos el corpus de textos curriculares, aunque para este autor el currículo escolar sumerio tomó su forma sobre todo en los períodos Ur III y Paleobabilónico. 287 virtuosismo y correcto manejo de las herramientas por parte de los escribas (Robson 2001, 171; 2008). Veamos, por lo tanto, la importancia de los elementos que habíamos señalado en el capítulo dos en relación con el tipo de trabajo que aquí hemos desarrollado. En relación con los agentes que elaboraron este tipo de conocimiento, podemos ver que a partir del período Uruk los escribas comenzaron a desarrollar toda una serie de herramientas con las que las formas o figuras espaciales comenzaron a ser matematizadas en vinculación con la administración y redistribución de los bienes de los templos. A partir del período Dinástico Temprano y Acadio Antiguo, esta protogeometría sigue desarrollándose impulsada por la burocratización que el gobierno central llevó a cabo de todos los aspectos de la vida de esta civilización, saliendo de esta manera de la esfera de la religión. De hecho, a partir del Período Acadio Antiguo incluso se puede observar que no todas las labores en las que esta clase trabajó estuvieron vinculadas con labores estatales. Por otro lado, este tipo de conocimiento surge dentro de un nicho socio-cognitivo e institucional concreto, en relación con el contexto socio-cultural y político que hemos presentado. Lo más interesante para nuestro trabajo es la jerarquización de la sociedad que comenzó en el período Uruk. Se puede ver una mayor división y especialización del trabajo que en períodos anteriores, y una acumulación del capital simbólico y su tratamiento por un grupo reducido de la sociedad, que serán precisamente los escribas. Como hemos señalado, estos escribas comenzarán primero a separarse de la esfera religiosa, y posteriormente no tendrán que dedicar todos sus esfuerzos a cuestiones necesariamente estatales. Además, en el período Dinástico Temprano, la educación escriba comienza a institucionalizarse, y esta clase comenzará a tener orgullo por su propia identidad escriba. En este contexto, los escribas comenzaron a crear toda una serie de herramientas para su labor, tal como diagramas, mapas, sistemas metrológicos, lenguaje protogeométrico para tratar técnicamente las figuras espaciales, uso extendido de la fórmula del agrimensor, etc. Todas estas herramientas fueron uniformizándose, sistematizándose y mejorándose a lo largo de los períodos que hemos presentado en este trabajo, y se fueron englobando o agrupando dentro de un marco simbólico común que permitía que este conocimiento fuera público –al menos para los ciudadanos que acceden a la educación– y transgeneracional. 288 Además, tenemos que decir que este conocimiento protogeométrico, sobre todo a partir del período Paleobabilónico, era un conocimiento complejo, coherente y conectado, aunque aproximado. Es decir, no es un tipo de conocimiento que emerja por ensayo y error o por acumulación de datos empíricos, sino que surge a partir de la elaboración concienzuda de problemas protomatemáticos por parte de los maestros, la búsqueda por mejorar las herramientas de la profesión, la comprobación de por qué un procedimiento es correcto –ver Db2-146 a continuación–, el desarrollo de una identidad escriba ligada a las cuestiones protomatemáticas clave para esta civilización, etc. 1.2.2 La emergencia del conocimiento protogeométrico y geométrico en China En esta civilización también se observa al comenzar el período Dinástico el crecimiento demográfico, así como del número y tamaño de los asentamientos (Tabla 7.2). Es precisamente a partir de la dinastía Shang cuando se instauró la figura del rey o líder. Este rey será, además, el centro y cúspide del poder ritual o religioso del estado Shang, siendo la única persona capaz de comunicarse con los espíritus, y ocupando una vez que muriera un lugar junto a la mayor deidad de esta civilización, Di o Shangdi. Período Tamaño aproximado Población estimada - Cultura Erlitou (1900–1500 a.e.c.) - Dinastía Shang (1554–1046 a.e.c.) - Ciudad Erlitou, 300-400 ha, con un complejo palacial de unas 11 ha - Zhengzhou, 2.500 ha, con un área palacial de 300 ha - Entre 18.000-30.000 habitantes - En Zhengzhou, 100.000 habitantes Tabla 7.2 Datos demográficos y de tamaño de asentamientos en China. Fuentes consultadas: Xu (2013), Yuan (2013), Shelach-Lavi (2015), y la base de datos para la historia global Seshat, ver http://seshatdatabank.info/databrowser/, visitada el 11/07/2022. Por otro lado, son diversos los factores que evidencian la mayor jerarquización social: 1) la separación con murallas de los recintos palaciales de carácter monumental de la élite 289 de la zona de vivienda y trabajo del resto de la sociedad; 2) la diferencia abismal en los patrones de enterramiento de las distintas clases sociales en número y calidad de los útiles con los que se enterraban; y 3) la exclusividad de los reyes de formar parte del paisaje divino de esta sociedad y comunicarse con los dioses y ancestros. Esta jerarquización social se vincula, así mismo, con una mayor división y especialización del trabajo. En este período la adivinación con fuego o piromancia será una herramienta ritual fundamental para el desarrollo del estado, para lo cual hizo falta el trabajo de diversos especialistas que se encargaron de diferentes tareas de este procedimiento. Por otro lado, en algunos de estos huesos oraculares o incluso algunas vasijas de bronce se pueden ver los comienzos, tímidos y poco sofisticados, de una protoburocracia estatal. Entre estos, tenemos la administración de algunos bienes, como los enemigos capturados o los huesos mandados a otras regiones, o incluso en algunas aparecen posibles puestos oficiales, como el “encargado de hacer los documentos” o los comisarios (Li 2008; Wang 2014). 12 Esta proto-burocracia no llegó a desarrollarse por dos cuestiones principales: por un lado, aunque comenzara a surgir este tipo de trabajo especialista, el rey seguía considerándose el centro del poder y actividad gubernamental. Por otro lado, durante esta dinastía este rey ejerció poder político sobre la región central de su reino, y el resto de territorios eran gobernados de manera independiente a este gobierno central. Por lo tanto, no llegaron a instaurar oficinas ni estructuras gubernamentales en estos territorios. Lo que mantuvo unidas a las regiones durante este período fue el poder ritual central de la dinastía Shang, de tal manera que los reyes difuntos se convertían en ancestros de todas las regiones (cf. Thorp 2006; Eno 2009). En esta dinastía prevaleció una concepción mítica del espacio, de tal manera que diversas tumbas y edificios relevantes se orientaron siguiendo patrones astronómicos, y se conceptualizó incluso el lugar central de esta dinastía en relación con las cuatro regiones que la rodeaban –concepto sifang–. El tiempo también comenzó a ordenarse y conceptualizarse por cuestiones rituales, creándose para ello el calendario de 60 días que 12 Li (2008, 26-29) señala que en esta civilización encontramos grupos de personas que se dedicaban a tareas específicas en relación a cuestiones administrativas, agrícolas, militares o religiosas. Sin embargo, no podemos hablar aún de oficiales con funciones burocráticas bien definidas. 290 presentamos en el capítulo anterior, el cual era usado sobre todo para cuestiones rituales más que civiles (cf. Keightley 2000; Wang 2000). En el posterior período Zhou Occidental (1046–771 a.e.c.) esta situación cambia. Por un lado, los reyes Zhou justificaron de manera ritual su conquista, afirmando que habían recibido el mandato del cielo –su divinidad– para convertirse ellos mismos en los Hijos del Cielo que gobernarían todo el territorio. Sin embargo, estos reyes nombraron a sus familiares como gobernadores del resto de regiones, creando así una red de vínculos de parentesco con la que poder ejercer poder político sobre todas las regiones bajo su dominio. Para poder gobernar todas estas regiones, se tuvieron que crear toda una serie de estructuras institucionales con las que controlarlas burocráticamente, creciendo así el número de oficiales y las funciones que estos tenían que desempeñar. 13 Además, se ha podido comprobar que los mismos puestos gubernamentales se encontraban a distintos niveles y regiones de la administración política –esto es, tanto en el gobierno central dominado por el rey Zhou, como en los gobiernos locales más alejados de esta región central– (cf. Li 2008). 14 Por otro lado, Li (2008, 305-314) ha llevado a cabo un análisis de los títulos que aparecen en las inscripciones de este período, y distingue hasta 29 puestos gubernamentales, que pueden agruparse por sus funciones a desempeñar: - Administración de los terrenos y recursos naturales del estado - Supervisión de los trabajos públicos, como las construcciones - Cuestiones relacionadas con asuntos militares 13 Es el duque de Zhou –tercer rey de esta dinastía– quien crea las primeras instituciones gubernamentales, dejando la antigua capital Zhou como base administrativa, y situando su nueva capital cerca de la actual Luoyang, en Chengzhou. 14 Por ejemplo, el puesto de “supervisor de la tierra” aparece en inscripciones en relación con el gobierno central, en inscripciones de la capital oriental de Chengzhou, en relación con un oficial administrativo en la fuerza militar Zhou, como un administrador local en ciudades grandes, como administrador local de asentamientos, como oficial de estados regionales, etc; además, se llevaron a cabo divisiones jerárquicas en estos puestos según el grado o alcance de sus responsabilidades. Por ejemplo, existió la figura del “Supervisor de los caballos”, el “Supervisor de los caballos de la armada” y el “Gran supervisor de los caballos” (cf. Li 2008, 306-308). 297 protogeométricos 15 , lo que evidencia que se usa un lenguaje técnico para tratar las diversas figuras y sus relaciones, creándose así un marco simbólico común en el que este tipo de conocimiento fuera público y transgeneracional. Tenemos así un tipo de conocimiento complejo, coherente y conectado, aunque durante este período aproximado, con poca unicidad temática, y en el que los diversos métodos protomatemáticos estaban todavía muy vinculados con las prácticas burocráticas y gubernamentales. Por último, en los comentarios del tercer siglo tanto de Zhao Shuang como Liu Hui se puede observar que existió un desarrollo geométrico pleno. En este caso, sobre todo en relación con los Nueve capítulos y los comentarios de Liu Hui, hemos visto la diversidad de figuras y situaciones geométricamente interpretadas, la relación entre figuras y procedimientos matemáticos de capítulos que a primera vista no estarían relacionados –cálculo del área de un campo circular y procedimiento gou gu–, unidad temática de los capítulos, búsqueda de resultados más precisos, generalización de los métodos, uso de paradigmas y procedimientos generales no vinculados a ningún valor numérico determinado por la práctica, etc. 1.2.3 Un análisis comparativo con el caso griego Para llevar a cabo este análisis comparativo, vamos a presentar a continuación la manera en la que el matemático e historiador de la ciencia español Francisco Vera (1970) caracteriza, dentro de una concepción helenofílica, el desarrollo de la ciencia en Grecia. Las observaciones astronómicas de los caldeos, la metrología sumeria y las pirámides de Egipto suponen un pensamiento que es científico, aunque carece del rigor lógico que defina al trabajo mental griego, idéntico al nuestro y diferente, por tanto, del oriental, que, al no someter la experimentación a un proceso de abstracción, se detuvo en la puerta de la Ciencia propiamente dicha, cuya historia empieza en Grecia, país privilegiado en el que se verificó la génesis de la Ciencia occidental […]. […] los intelectuales helénicos se vieron favorecidos por el régimen político de la polis, que, a diferencia de las tecnocracias orientales, los dejó en libertad de acción, pues que, exentos de tareas manuales, que se confiaban a los esclavos, dispusieron del ocio necesario para meditar (p. 13) 15 De entre estos, hemos visto los textos recientemente excavados Shu, Suan shu, o Suan shu shu. Ver especialmente la sección 3.3.2 del capítulo 6. [Document text truncated for crawler view.]