Análisis de estrategias para el cálculo de estructuras laminares de material compuesto

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Análisis de estrategias para el cálculo de estructuras laminares de material compuesto Autor: Manuel Rodríguez Rodríguez Tutor: Antonio Manuel Blázquez Gámez Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Análisis de estrategias para el cálculo de estructuras laminares de material compuesto Autor: Manuel Rodríguez Rodríguez Tutor: Antonio Manuel Blázquez Gámez Catedrático de Universidad Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 Trabajo Fin de Grado: Análisis de estrategias para el cálculo de estructuras laminares de material compuesto Autor: Manuel Rodríguez Rodríguez Tutor: Antonio Manuel Blázquez Gámez El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: A mi familia, A mis amigos, gracias por todo. Agradecimientos El presente proyecto no habría sido posible, a nivel técnico, sin la colaboración y supervisión de mi tutor, Antonio Blázquez Gámez. A lo largo de estos meses que he trabajado con él, ha demostrado su profesionalidad y competencia, así como su compromiso con su labor educativa, estando siempre dispuesto a reunirnos y transmitir sus conocimientos con pasión, sin importar si las reuniones duraban varias horas. También destacar su iniciativa de hablar con Dassault Systems para conseguir una versión gratuita provisional y así permitirme desarrollar este proyecto, empresa gracias a la cuál este proyecto también ha podido ser desarrollado con éxito. Por otro lado, a nivel personal y hablando desde el corazón, agradecer a mi familia su amor incondicional, su confianza en mis capacidades, y en concreto a mi padre, por ser un ejemplo único de esfuerzo, sacrificio y trabajo incansable. Siempre estuvieron dispuestos a escucharme y a apoyarme en mis momentos duros. Por último, agradecer a mis amigos todos los buenos momentos que hemos pasado, ellos han hecho que estos 4 años hayan sido inolvidables. Manuel Rodríguez Rodríguez Sevilla, 2020 III XÍndice Índice de Tablas 75 1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS 1.1 Antecedentes El presente proyecto se enmarca en la normativa de Trabajo Fin de Grado de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sevilla, incluida dentro del plan de estudios del Grado en Ingeniería Aeroespacial del año 2010. Se realiza con el objetivo de obtener los 12 créditos ECTS referidos a la asignatura “Trabajo Fin de Grado”, y así completar los 240 créditos ECTS para la obtención del título de Graduado en Ingeniería Aeroespacial. Este documento se desarrolla en el Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sevilla, más concretamente con el Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales (GERM). El tutor encargado de su dirección ha sido el Dr. Antonio Blázquez Gámez. 1.2 Introducción En la industria aeronáutica una de las principales filosofías de trabajo es la reducción del peso de la aeronave manteniendo o mejorando la resistencia estructural y la seguridad de la misma. Este enfoque es fundamental ya que reduce los costes asociados a la operación del avión, mejorando la competitividad del mismo y haciéndolo un medio de transporte más accesible, económico y seguro para la población. A lo largo de la historia de la aviación se ha ido diseñando y mejorando la estructura de las aeronaves, que es fundamental tanto para transmitir y soportar cargas como para mantener la forma externa y la aerodinámica. La estructura del avión está formada por el fuselaje, las alas y las superficies de control. En un comienzo se optó por estructuras reticuladas, cuyo fuselaje está formado por un conjunto de barras que soportan toda la carga, y sobre éste se instala un revestimiento fabricado con tela. Este tipo de estructuras se sigue utilizando para aviones ligeros como el Piper PA-18, cuyo cuerpo del fuselaje y estabilizador vertical se muestra en la figura 1.1. Figura 1.1 Estructura reticular para formar el fuselaje y el estabilizador vertical del Piper PA-18. Fuente: https://sky4buy.com/Piper-PA-18-150-Super-Cub-Fuselage-PA-11292339446638/013066 obtenida el 09/08/2020. 1 2Capítulo 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS Sin embargo, con el transcurso de los años las exigencias operacionales y por tanto estructurales del avión fueron en aumento. Así, se investigaron y diseñaron nuevos tipos de estructuras para las aeronaves, entre las que destacan la monocasco y la semimonocasco. En la estructura monocasco, el revestimiento del fuselaje es muy grueso y soporta las cargas del avión. Al estar construido con láminas, estas no soportan eficientemente los esfuerzos de compresión, por lo que para evitar el fallo por pandeo se debe utilizar un revestimiento de gran espesor, penalizando el peso de la aeronave. Por ello, para reducir dicho espesor el revestimiento del fuselaje se suele refuerzar con cuadernas, obteniéndose el llamado fuselaje monocasco reforzado, cuya estructura se aprecia en la figura 1.2. Figura 1.2 Esquema de avión con fuselaje monocasco reforzado, fuente: obtenida el 09/08/2020 en https://docplayer.es/40121961-Area-estructuras-y-materiales.html . Por otro lado, en el fuselaje semimonocasco, presentado en la figura 1.3, se utiliza un revestimiento (skin) de láminas de bajo espesor, con refuerzos longitudinales (largueros y larguerillos) y transversales (cuadernas). Se puede ver como una evolución natural del fuselaje monocasco reforzado, y sus distintas partes se caracterizan por su forma y por su función: Figura 1.3 Interior del fuselaje de un B787, fuente: dominio público. •Piel (skin): Revestimiento que determina la geometría externa del fuselaje. Se encarga de absorber las cargas aerodinámicas y transmitirlas a los larguerillos y las cuadernas. •Larguerillo (stiffener): Barra rigidizadora que se coloca en la dirección longitudinal del fuselaje. Se diferencian de los largueros únicamente en su tamaño. No solo contribuyen a la transmisión de cargas de tracción y compresión, sino que subdivide el revestimiento en paneles más pequeños, incrementando la carga de pandeo de los paneles. Perfiles típicos son en forma de L (figura 1.4) y en forma de T (figura 1.5). Figura 1.4 Perfil rigidizador en L. Figura 1.5 Perfil rigidizador en T. 1.3 Preliminares 3 •Cuaderna (frame): Elemento estructural curvo que se coloca de forma transversal al fuselaje. Se une a la skin y a los larguerillos, da forma a la sección y, al igual que los larguerillos, contribuye a dividir la skin para aumentar la carga de pandeo. En cuanto a los materiales empleados para construir la estructura, mientras que en los inicios se utilizaba madera, más tarde se empezó a emplear materiales ligeros como el aluminio. Un avance fundamental ocurrido en las últimas décadas que ha permitido revolucionar la aeronáutica es el desarrollo de los materiales compuestos. Un material compuesto se puede definir como la combinación a escala macroscópica de dos o más materiales con interfases de separación entre ellos para formar un nuevo material 1 . Entre las ventajas de este nuevo concepto se destaca lo siguiente: • Gran versatilidad en el diseño, tanto en la elección de materiales como en la forma de combinarlos para formar una lámina, ya sea añadiendo el refuerzo en forma de fibra o partículas. También se fabrican laminados a partir de la unión de varias láminas, pudiéndose elegir en cada una la orientación de la fibra o combinar láminas reforzadas con fibras y láminas reforzadas con partículas. • Propiedades fisicoquímicas únicas que no tienen sus componentes por separado. En concreto, es frecuente conseguir una reducción significativa del peso específico del material, consiguiéndose cocientes de resistencia/peso y rigidez/peso mucho mayores a los materiales convencionales. Estas características hacen que su aplicación sea atractiva para la industria aeronáutica y para otras como puede ser la aeroespacial, la náutica, la automovilística, en la Fórmula 1 o en la construcción. Así pues, uno de los rigidizadores empleados hoy en día en los aviones con estructura semimonocasco son los larguerillos de material compuesto en forma de T. Además, conforme se va reduciendo la sección del fuselaje desde la parte central a la cola la cantidad de larguerillos debe disminuir para así mantener la distancia óptima estipulada entre ellos. Es por ello por lo que resulta necesario rematar algunos larguerillos en sus extremos sin unirlos a una cuaderna, siendo habitual hacerlo mediante runout. Un ejemplo de runout puede verse en la figura 1.6. Figura 1.6 Esquema de un larguerillo en forma de T con runout que está adherido a una placa, fuente: artículo en https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S026382230100006X . 1.3 Preliminares ABAQUS es un software de simulación que aplica el Método de los Elementos Finitos (MEF) 2 para realizar cálculos estructurales. En su versión 2019 existen tres tipos de elementos shell que se estudian en este documento, estos son, los standard shell, los continuum shell y los continuum solid shell. 1F. París, J.Cañas, J.C.Marín, A. Barroso, «Introducción al análisis y diseño con materiales compuestos» Libro 2 Método numérico para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. Existen diversos manuales para la aplicación del MEF a los problemas de análisis estructural, como el de H. Friedel, «Structural Analysis with Finite Elements» Libro 4Capítulo 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS A continuación se procede a hacer una descripción básica de estos 3 elementos, realizándose antes una introducción de las dos estrategias que utiliza ABAQUS para calcular la matriz de rigidez del elemento; la integración reducida y la integración completa. IIntegración reducida e integración completa Para resolver el teorema de los trabajos virtuales y calcular los desplazamientos en los nodos a través del sistema de ecuaciones F=k·u es necesario calcular de forma numérica expresiones que involucran integrales, ya que estas aparecen en la expresión de la matriz de rigidez total k del problema, que está íntimamente relacionada con la matriz de rigidez del elemento. Para esto último, ABAQUS puede usar la integración completa o la integración reducida. En la integración reducida se tiene un punto menos de integración en cada dirección que los elementos de integración completa. Por ejemplo, en el caso de un elemento shell con 4 nodos, en la integración completa (figura 1.7) se tiene 4 puntos de integración, 2 coordenadas en la dirección x y 2 en la dirección y , sin embargo, en la integración reducida (figura 1.8) se tiene una sola coordenada x e y , es decir, un solo punto. Por tanto, al reducir el número de puntos de integración en el caso de la integración reducida se tienen menores tiempos de computación y se requiere menor almacenamiento en memoria debido a que ABAQUS sólo determina las deformaciones y las tensiones en dichos puntos. Figura 1.7 Integración completa. Figura 1.8 Integración reducida. Por contra, al aplicar integración reducida existen deformadas en el elemento que no producen deformación en los puntos de integración, fenómeno conocido como “hourglassing” debido a la forma de reloj de arena de los elementos bajo este efecto. Un ejemplo de esta deformada se produce cuando se aplica flexión pura sobre el elemento, situación que se presenta en la figura 1.9. Figura 1.9 Ejemplo de estado de flexión pura ante un momento aplicado M3. En dicha figura se presenta un estado de cargas de flexión pura, en el que se aplica un momento M3 sobre un elemento con 4 nodos (A,B,C y D). En el caso de querer modelar una placa los únicos movimientos permitidos dentro del plano son los desplazamientos u1 y u2 , debido a que en los problemas de flexión de placas los giros en los nodos no se definen como grados de libertad. Así, en la parte derecha de esa misma figura se representa el estado de cargas que se tendría en el elemento. 1.3 Preliminares 5 Ahora bien, diferenciando para el caso de integración reducida e integración completa, si el problema se resuelve con integración reducida se tendría la deformada de la figura 1.10, donde se ha obviado en la deformada el efecto Poisson para claridad en los resultados. Figura 1.10 Deformación en el punto de integración de un elemento con integración reducida ante las cargas equivalentes de la flexión pura (situación indeformada en negro, y situación deformada en azul). Como el punto de integración no se ha deformado la energía de deformación es 0, y por conservación de la energía el trabajo externo al elemento debe ser 0, luego las fuerzas son 0, es decir, hay desplazamientos y deformaciones pero sin cargas aplicadas. Este sería un ejemplo en el que se produce una deformada con hourglassing. ABAQUS posee el llamado “hourglass control”, que implementa estrategias para controlar la aparición de este fenómeno. Aún así, es necesario cercionarse de que no aparece hourglassing en el modelo, y para ello el propio usuario debe revisar los desplazamientos en las zonas propensas a dicho fenómeno. Por otro lado, ante el mismo caso de carga descrito en la figura 1.9, si el problema se resuelve con integración completa se tendría la deformada de la figura 1.11. Figura 1.11 Deformación en los puntos de integración de un elemento con integración completa ante las cargas equivalentes de la flexión pura (situación indeformada en negro, situación deformada en azul). En esta figura se observa como hay deformación tangencial en los puntos de integración (la línea vertical del punto de integración ha girado). Dado que una parte de la energía se almacena en las deformaciones tangenciales, la energía de flexión tiene que ser inferior, por lo que para las mismas cargas el elemento con integración completa se deforma menos por flexión, es decir, es más rígido. A este fenómeno se le conoce como “bloqueo por cortante”, y ABAQUS también implementa estrategias para hacerle frente, como el empleo de funciones de forma incompatibles, o “modos incompatibles”, que por defecto son las funciones de forma utilizadas siempre que se emplee integración completa. Si bien tanto la integración reducida como la integración completa presenta fenómenos problemáticos, ABAQUS implementa estrategias para paliarlos, por lo que a nivel de usuario cualquiera de las dos opciones pueden ser utilizadas. Sólo se debe tener en cuenta que, caso de usar la integración reducida se tendrán tiempos de computación menores pero sería recomendable revisar la deformada en busca de hourglassing, problema que no existe al usar integración completa. 6Capítulo 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS Una vez vista a nivel general las diferencias entre la integración completa y la integración reducida, se procede a hacer una descripción básica de los tres tipos de shell estudiados en este documento. IStandard Shell: S4 y S4R Los standard/conventional shell, o simplemente shell, son elementos que modelan el cuerpo discretizándolo con una superficie de referencia que representa su geometría, pero sin tener en cuenta el espesor. De esta manera, los vértices de dicha superficie son los nodos del elemento shell. En ABAQUS los shell pueden definirse con 3 nodos (elemento S3) o con 4 nodos, siendo estos últimos los que se usarán en la memoria ya que suelen generar mallas más regulares y por tanto mejores resultados, y los S3 sólo se utilizan para ajustar la malla. A su vez, los de 4 nodos pueden ser de dos tipos, los que se resuelven con integración reducida (elemento S4R) o con integración completa (elemento S4). En cuanto a los grados de libertad, en los shell se utilizan los desplazamientos y los giros de los nodos, y tras resolverse el problema se emplean dichos valores para calcular de manera geométrica los desplazamientos a lo largo del espesor de la shell. En la figura 1.12 se muestra la estructura de un shell de 4 nodos. Figura 1.12 Estructura básica de un standard shell. Se observa que la dirección de la normal del elemento se define con la regla de la mano derecha teniendo en cuenta la numeración de los nodos, y es esta dirección la que define en el elemento la cara positiva (face SPOS) y la cara negativa (face SNEG). Por otro lado, en dicha figura se representa con línea discontinua el sólido modelado con la shell, estando la superficie de referencia localizada en la middle surface. Es importante analizar los efectos de la posición de esta superficie. En efecto, siguiendo con la figura 1.12, al aplicar una tie constraint entre dos shell colocadas una encima de otra es fundamental que la shell del inferior tenga la superficie de referencia en la top surface, y la shell de arriba la tenga en la bottom surface. De esta manera, los nodos de ambas shell estarían localizados en la misma superficie, y es una manera más cómoda de trabajar al disponer los resultados en el top y en el bottom de manera predeterminada. IContinuum Shell: SC8R A diferencia de los shell, los continuum shell discretizan el cuerpo mediante un elemento tridimensional, con una estructura como la de la figura 1.13, en vez de a través de una superficie de referencia. Existen dos tipos de continuum shell, los “Quadrilateral Continuum Shell element” (SC8R), y la versión degradada del mismo, los “Triangular in-plane Continuum Shell element” (SC6R), donde en ambos casos SC denota Continuum Shell, y R denota Reduced, ya que ambos tipos de elementos se resuelven utilizando integración reducida con control de hourglassing. 1.4 Objetivo 7 Desde el punto de vista del modelado, los continuum shell son similares en apariencia a los sólidos 3D, solo que utilizan la ley cinemática y las ecuaciones de comportamiento del modelo de láminas de Resistencia de Materiales. Por tanto, se calculan los esfuerzos con las ecuaciones de dicho modelo, y a partir de ellos se calculan las tensiones. Además, los elementos SC8R incluyen cambios en las magnitudes y el efecto de la deformación transversal ε12 a lo largo del espesor. Los grados de libertad de este elemento son los desplazamientos de los nodos. Figura 1.13 Estructura básica de un continuum shell con 8 nodos, y de un continuum solid shell. IContinuum Solid Shell: CSS8 Los continuum solid shell son una evolución de los sólidos, a diferencia del continuum shell que es una evolución del elemento shell. Así pues, utiliza las ecuaciones de comportamiento de un sólido pero incorpora las funciones de forma de las shell. Además, a diferencia de las continuum shell, los continuum solid shell siempre utilizan integración completa. Por otro lado, los continuum solid shell tienen la misma estructura que los continuum shell (figura 1.13), y sus grados de libertad también son exclusivamente los desplazamientos de los nodos. 1.4 Objetivo El objetivo de este trabajo es analizar y comparar los elementos shell, continuum shell y continuum solid shell implementados en el software ABAQUS , modelando una panel rigidizado monostringer con runout, construido en su totalidad con material compuesto. Así, se presentan diversas estrategias, ventajas, inconvenientes y posibilidades de cada elemento, corroborándose a su vez los resultados obtenidos de manera numérica con los obtenidos en laboratorio en un ensayo de tracción realizado sobre la probeta modelada. 1.5 Metodología Para alcanzar el objetivo de esta memoria se emplea la versión 2019 de ABAQUS . Por otro lado, en todo el documento se trabaja con la fuerza en kilonewton (KN) y la longitud en milímetros (mm), por lo que las unidades del módulo de elasticidad y las tensiones se introducen y se obtienen en GPa, respectivamente. En cuanto a la probeta modelada, como ya se ha mencionado se trata de una panel rigidizado monostringer con runout. Está compuesta por una piel, que en este documento se llama “skin”, y un rigidizador en forma de T, siendo el ala llamada “foot stringer” y el alma llamada “web stringer”. En la figura 1.14 se presenta 8Capítulo 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS la probeta de manera esquemática, donde se aprecia en azul la skin, en verde el foot stringer y en un tono grisáceo el web stringer. Además, también se observan algunas bandas extensométricas que se utilizaron en el ensayo experimental, siendo las de la skin presentadas en naranja, las del foot stringer en morado y las del web stringer en rojo. Figura 1.14 Vista en perspectiva de la probeta modelada en ABAQUS . Tras conocer de manera cualitativa la geometría de la probeta, se está en disposición de describir el ensayo experimental que se realizó sobre la misma. El ensayo de tracción fue efectuado por el GERM, grupo que dispone de una experiencia consolidada en el análisis de runouts tanto desde el punto de vista experimental como numérico, y se realizó con las mordazas situadas en los extremos de menor longitud de la piel, sin entrar en contacto con el foot stringer. Así, se fue aplicando y aumentando cuasiestáticamente la carga, registrando las deformaciones en 16 bandas extensométricas y la curva carga desplazamiento, hasta llegar al fallo de la probeta, alcanzado con una carga total F=330 KN. Continuando la descripción de la probeta de manera cuantitativa, en las figuras 1.15 y 1.16 se presentan la vista en planta y de perfil de la probeta. En dichas figuras se aprecia la posición de las 16 bandas extensométricas, siendo 8 colocadas en la parte superior de la probeta (en la skin, en el foot stringer y en el web stringer), que son las bandas de número impar, y las otras 8 fueron colocadas en la parte inferior, es decir, en la skin, siendo estas las de número par y denotadas en la figura 1.15 con una flecha que rodea al número de la banda. Mencionar que, si bien la geometría de la probeta que se define en el modelo de ABAQUS es simétrica, la ensayada no lo es por los defectos derivados de la fabricación, pero al ser prácticamente simétrica se supone como tal en el modelo. Figura 1.15 Vista en planta con dimensiones de la probeta. 1.5 Metodología 9 Figura 1.16 Vista de perfil con dimensiones de la probeta. Además, viendo la geometría de las 3 partes que componen la probeta se observa que todas ellas cumplen que el espesor es mucho menor que las otras dos dimensiones, pudiéndose considerar que se trata de un problema de láminas y por tanto los elementos tipo shell son adecuados para modelar las distintas partes de la probeta. Entrando en las propiedades mecánicas de la probeta, todas sus partes son de material compuesto “IMA/M21EV”, cuyas propiedades de rigidez nominales son las mostradas en la tabla 1.1. Tabla 1.1 Propiedades de rigidez. E11 E22 ν12 G12 150 GPa 8 GPa 0.35 4 GPa Al no disponerse de los valores del resto de propiedades de rigidez que definen un material ortótropo, se asumen las siguientes hipótesis para concretarlos: •E3=E2 , ya que teniendo en cuenta como se definen los ejes 1, 2 y 3 para un material ortótropo, E2 y E3 son las rigideces en la dirección perpendicular a la fibra, por lo que es razonable suponer que son equivalentes. • De manera similar se puede hacer el mismo razonamiento anterior para concluir que G13 =G12 y para ν13 =ν12. • Para ν23 el tutor del trabajo ha elegido un valor razonable, y para obtener G23 simplemente se aplica la definición dada en la ecuación 1.1 (laminado cuasi-isótropo). G23 =E3 2(1+ν23)(1.1) Por tanto, se obtienen las propiedades de rigidez restantes, que se muestran en la tabla 1.2 Tabla 1.2 Propiedades de rigidez obtenidos por hipótesis. E3G13 G23 ν13 ν23 8 GPa 4 GPa 3 GPa 0.35 0.33 En cuanto al laminado de la skin, del foot stringer y del web stringer se tiene las secuencias presentadas en la tabla 1.3. Tabla 1.3 Secuencias de apilado para las distintas partes del modelo. Secuencia NºLáminas Espesor total Skin [45/0/-45/0/0/90/-45/0/45/0/0/45/0/-45/90/0/0/-45/0/45] 20 3.84 mm Foot Stringer Left [45/-45/90/-45/45] 5 0.96 mm Right [-45/45/90/45/-45] 5 0.96 mm Web Stringer [-45/45/90/45/-45/0/0/0/-45/0/0/0/45/0/0]s 30 5.76 mm 16 Capítulo 2. MODELOS CON STANDARD SHELL Figura 2.9 Evolución del tiempo de computación en función del número de elementos de la malla. En esta figura se observa que el tiempo de computación para la malla de 80420 es el 360% del tiempo de la malla de 27308, obteniéndose una variación máxima de las deformaciones en las bandas de 0.16%. Esta reducción del tiempo de computación es fundamental en un modelo no lineal, ya que el sistema de ecuaciones F=k·use deberá resolver muchas veces, al menos una por cada step. En resumen, tras quedar de manifiesto la importancia de realizar este estudio en cuanto a rapidez en la obtención de resultados, se decide utilizar una malla de 27308 elementos para el caso de la shell, que se asocia a un tamaño de elemento de 1.8 mm en la zona refinada y a un tamaño máximo de 6 mm. Todos los modelos realizados tendrán estos tamaños de elemento y la misma distribución de los mismos en las distintas partes del modelo, solo que en función de la naturaleza del elemento se tendrán distintos número de nodos y de elementos. Nota: La convergencia del mallado se ha hecho con un laminado de [45/-45/90/-45/45/0/0/0/-45/0/0/0/45/0/0]s para el web stringer. Sin embargo, esta diferencia no afecta a la convergencia de la malla, por lo que el resultado que se presenta es válido. 2.3 Resultados Tras la descripción de la elaboración de los modelos S4 y S4R y dejar constancia del proceso de convergencia de malla realizado, se procede a presentar los resultados obtenidos en el análisis no lineal para ambos modelos. En el apartado 2.3.1 se presenta la deformada, el campo de desplazamientos y la curva carga desplazamiento, en el apartado 2.3.2 se presentan los campos de deformaciones en las láminas top y bottom de la probeta, así como las deformaciones en las bandas, y en el apartado 2.3.3 se muestran las tensiones máximas en el modelo así como los campos tensionales de algunas láminas donde se dan dichas tensiones. 2.3.1 Desplazamientos En las figuras 2.10 y 2.11 se presenta respectivamente el campo de desplazamientos uX y uZ de los modelos S4 y S4R en el sistema de referencia ASSEMBLY__T-Datum csys-1, estando la deformada con un factor de escala de 10 para visualizar con claridad el resultado de la aplicación de la carga sobre la probeta. 2.3 Resultados 17 Figura 2.10 Desplazamientos uX y deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y elemenos S4R. Figura 2.11 Desplazamientos uZ y deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y elementos S4R. De las dos figuras mencionadas con anterioridad se concluye que los campos de desplazamientos de ambos modelos son prácticamente iguales. Además, destacar que no se observa hourglassing en el web stringer, que es el único sitio del modelo propenso a que ocurra dicho fenómeno debido a que se produce flexión en el plano del elemento. Además, de dichas figuras es interesante destacar que a pesar de que la carga es en la dirección x se produce una flexión en la probeta. En efecto, la carga se aplica sobre la lámina gracias a las MPC constraint de los extremos, por lo que estudiando la figura 2.12 se puede observar que la fuerza aplicada Fx produce un momento sobre la línea de centro de gravedad de la zona central de la probeta. Esto provoca un flector My sobre la misma, que produce en los primeros pasos de carga tracciones en la parte inferior y compresiones en la parte superior, al menos en la parte central de la probeta. En cuanto a los extremos, el hecho de que los ambos tengan todos los desplazamientos y los giros impedidos, salvo el desplazamiento ux en el extremo donde se aplica la carga, produce un momento de flexión que origina una flexión inicial de la placa hacia arriba en los dos extremos, que provocará tracciones en la parte superior de la probeta y compresiones en la parte inferior. Así pues, a pesar de que se esperaría que la carga aplicada produzca tracción sobre el conjunto de la probeta desde el inicio del ensayo, esto no es así. Sin embargo, conforme va aumentando la carga en el ensayo esta situación cambia, ya que a pesar de que en los instantes iniciales la flexión domina al axil, como la probeta está curvada la distancia entre la línea de centros de gravedad y la línea de aplicación de las cargas disminuye. Por tanto, la distancia d será pequeña, y los incrementos de carga aumentan el axil, y caso de que el flector aumente en la zona del centro de gravedad lo hace en menor proporción que el axil (M = F · d, F crece, pero d disminuye). Se concluye que si la carga es suficientemente grande, la tracción dominará en todo la probeta. 18 Capítulo 2. MODELOS CON STANDARD SHELL Figura 2.12 Vista de perfil de la probeta (vista en plano xz ), donde se observa en negro la configuración indeformada de la probeta y su línea de centro de gravedad a una distancia d de la piel, y en azul la skin y la posición de la línea de centro de gravedad en una situación deformada genérica del ensayo. La evolución de la deformación descrita se puede corroborar observando las εxx asociadas a la banda JS15 y JS16 (figura 2.22). Por otro lado, en la figura 2.13 se observa la evolución de los desplazamientos en el extremo de la probeta frente a la carga aplicada. Figura 2.13 Curva carga desplazamiento de los modelos shell frente a los resultados experimentales. De la curva carga desplazamiento se observa una mayor rigidez del modelo numérico con respecto al real. Esto no tiene por que restar confianza sobre los modelos elaborados, ya que esta diferencia podría deberse a muchos factores que afectan a las medidas experimentales, como puede ser la rigidez de la máquina de ensayo, y sobre todo como se fija la probeta a las mordazas y la rigidez de las mismas. Otro aspecto que también podría contribuir a esta diferencia son los pequeños deslizamientos producidos entre las mordazas y la probeta durante el ensayo, ya que en laboratorio nunca se pueden llevar a cabo a la perfección las condiciones de contorno. 2.3.2 Deformaciones A continuación se presentan las deformaciones sobre las láminas en el top y en el bottom de la probeta para tener una perspectiva global de los resultados del problema, ya que las deformaciones evolucionan linealmente a lo largo del espesor. Se ha renderizado el espesor de la shell a escala 1:1 con el fin de clarificar los resultados cuando se muestran de manera simultánea la skin y el foot stringer. En la figura 2.14 se muestra el campo de deformaciones εxx en las láminas en el top de la probeta. Se observa que los campos εxx presentados para los dos modelos son prácticamente equivalentes. Por otro lado, se observa como en la skin se tiene la máxima deformación en la zona de unión con el extremo del runout, y también que existe simetría en las deformaciones tanto respecto al web stringer como respecto a un plano yz situado en el centro de la probeta. 2.3 Resultados 19 Figura 2.14 Campo de deformaciones εxx en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo). En la figura 2.15 se muestra el campo de deformaciones εxx en las láminas en el bottom de la probeta. Además de ser ambos campos iguales y presentar simetría, al compararlas con la figura 2.14 se observa que las deformaciones máximas en el caso de las láminas en el top son mayores que las de las láminas en el bottom debido a que dichos máximos se dan en los extremos del runout en la zona de la skin y del foot stringer, por lo que es razonable teniendo en cuenta que la deformada de la probeta presentada en la figura 2.11 y el razonamiento asociado a la figura 2.12. Figura 2.15 Campo de deformaciones εxx en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo). 20 Capítulo 2. MODELOS CON STANDARD SHELL En las figuras 2.16 y 2.17 se muestran el campo de deformaciones εyy en las láminas en el top y bottom de la probeta respectivamente, donde la zona gris se corresponde con una zona fuera del intervalo de valores elegidos. Se observa como las deformaciones, además de ser muy similares para ambas figuras, son εyy <0 debido al efecto Poisson por la tracción de la probeta en dirección x. Figura 2.16 Campo de deformaciones εyy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo). Figura 2.17 Campo de deformaciones εyy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo). 2.3 Resultados 21 Por último, en las figuras 2.18 y 2.19 se muestran el campo de deformaciones εxy en las láminas en el top y bottom de la probeta respectivamente. Se concluye que las deformaciones son muy similares. Además, presentan una antisimetría con respecto al web stringer y con respecto al centro de la probeta. Figura 2.18 Campo de deformaciones εxy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo). Figura 2.19 Campo de deformaciones εxy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo). 22 Capítulo 2. MODELOS CON STANDARD SHELL Por otro lado, se presentan las deformaciones en las bandas extensométricas de los modelos con elementos S4 y S4R obtenidas en el centroide del elemento, comparándose a su vez con los resultados experimentales. Tomando como referencia la figura 1.15, en primer lugar se representan las deformaciones de las bandas en la parte derecha de la probeta (de la JS01 a la JS06). Posteriormente, se presentan las de la parte izquierda (de la JS07 a la JS12) y por último las de la parte central (de la JS13 a la JS16). Además, se presentan dos columnas en cada figura, siendo las de la izquierda las bandas colocadas en el top de la probeta y las de la derecha las colocadas en el bottom. Así pues, en la figura 2.20 se presentan las deformaciones de las bandas JS01, JS02, JS03, JS04, JS05 y JS06. Figura 2.20 Deformaciones εxx de la bandas de la parte derecha de la probeta (considerando figura 1.15). Desde el punto de vista de la elección de la estrategia a utilizar para el modelado de la probeta, en esta figura se observa que las deformaciones εxx del modelo con integración completa y integración reducida son idénticas para todas las bandas presentadas, hecho que se repite para el resto de bandas del modelo, como se demuestra en las figuras 2.21 y 2.22. Por otro lado, se tiene que las deformaciones de los modelos numéricos en las bandas JS01, JS02, JS03 y JS04 son prácticamente idénticas a las obtenidas de manera experimental. Sin embargo, en el resultado del ensayo de la banda JS05 se observa que, aunque hasta 130 kN las deformaciones son equivalentes, a partir de ahí difieren, y además se tiene una evolución errática a partir de los 250 kN. Esto puede deberse a un fallo de la banda, o puede que haya fallado el material en la zona y por eso se transfiere menos carga. Por último, en la banda JS06 se obtiene unos resultados experimentales que difieren levemente de los numéricos en un valor que cuando se estabiliza alcanza unos 1000 µm/m. 2.3 Resultados 23 Continuando con la figura 2.21, en esta se presentan las deformaciones de las bandas JS07, JS08, JS09, JS10, JS11 y JS12. Figura 2.21 Deformaciones εxx de la bandas de la parte izquierda de la probeta (considerando figura 1.15). De esta figura se deducen unas conclusiones equivalentes a la de la figura 2.20, ya que se tienen resultados similares para el modelo con integración completa e integración reducida y deformaciones casi idénticas entre los modelos numéricos y los resultados experimentales, salvo para la banda JS12 en la que los resultados difieren levemente en un valor que cuando se estabiliza alcanza unos 1000 µ m/m. La única diferencia remarcable es la de la banda JS11, donde la pendiente de los resultados numéricos y experimentales es similar menos cuando se tiene una carga de 220 kN, que se alcanza una pendiente muy grande. De hecho, es razonable pensar que en las bandas JS05 y JS11 son las que tienen mayor diferencias en las deformaciones de los modelos numéricos y del ensayo experimental, ya que se sitúan en una zona crítica de la banda al estar en el foot stringer y cerca del runout, siendo por tanto una zona donde se tendrán grandes tensiones y por ello es más propensa al fallo del laminado. Por último, en la figura 2.22 se presentan las deformaciones en las bandas JS13, JS14, JS15 y JS16. En esta figura se termina de demostrar que las deformaciones en las bandas de los modelos con elementos S4 y S4R son equivalentes. Además, de la evolución de las bandas JS13 y JS15 se deduce que en la parte superior de la probeta hay compresión en la parte inicial del ensayo, hecho que se explica en el comentario asociado a la figura 2.12. Posteriormente, en la evolución de dichas bandas a partir de los 100 kN se tiene tracción, y se concluye que la evolución es parecida solo que con menor pendiente en el caso experimental hasta llegar a la carga donde se produce el fallo de la probeta, 330 kN. En cuanto a las bandas JS14 y JS16, la 24 Capítulo 2. MODELOS CON STANDARD SHELL Figura 2.22 Deformaciones εxx de la bandas de la parte central de la probeta (considerando figura 1.15). evolución de las deformaciones experimentales es similar a la numérica, siendo los resultados prácticamente iguales en el caso de la banda JS16, y en dicho par de bandas se observa el cambio de tendencia en las deformaciones que puede deberse al fallo de la probeta a los 330 kN de carga. En resumen, se concluye que ambos modelos proporcionan deformaciones casi idénticas y razonablemente ajustadas a las medidas experimentales, ya que los resultados numéricos y experimentales difieren al ocurrir en el ensayo efectos no lineales que no se han tenido en cuenta en los modelos numéricos, como podría ser el fallo de una banda o el fallo del material en una zona. Por tanto, tras quedar corroborados los resultados de los modelos numéricos, la diferencia entre los resultados numéricos y experimentales de la figura 2.13 puede deberse a los comentarios asociados a esa figura. 2.3.3 Tensiones A continuación se presentan para ambos modelos la máxima tensión σ11 , σ22 y σ12 para la skin, el foot stringer y el web stringer, así como la lámina donde estas se producen. Para ello, se emplea el sistema de coordenadas Default para que así la dirección 1 sea la dirección de la fibra y la dirección 2 sea la transversal a la misma, y se obtienen las tensiones en los puntos de integración. Comparar estos resultados en ambos modelos resulta de interés ya que si bien las deformaciones son prácticamente similares y por tanto también lo son las tensiones sin más que aplicar la ley de comportamiento para calcularlas, obtener las tensiones máximas y dónde se producen puede aportar información extra sobre las diferencias entre los elementos S4 y S4R. Dicho esto, para el caso de la shell con integración completa tenemos: 2.3 Resultados 25 Tabla 2.1 Máximas tensiones en el modelo con elementos S4. Máxima σ11 Skin Foot Stringer Web Stringer Lámina 19 5 1 Orientación 0º45ºy -45º-45º Valor 3.411 GPa 2.148 GPa 2.775 GPa Máxima σ22 Skin Foot Stringer Web Stringer Lámina 15 3 2 Orientación 90º90º45º Valor 0.1387 GPa 0.1270 GPa 0.1330 GPa Máxima σ12 Skin Foot Stringer Web Stringer Lámina 20 5 3 Orientación 45º45ºy -45º90º Valor -0.1144 GPa 0.1013 GPa 0.09644 GPa Analizando los resultados presentados se concluye que las tensiones en dirección de la fibra son un orden o dos superior a la dirección transversal o tangencial a la misma, y si se estudian los resultados lámina a lámina se observa un aumento progresivo de las tensiones σ11 desde la lámina 1 hasta la última lámina tanto de la skin como del foot stringer, hecho que es razonable teniendo en cuenta que la explicación asociada a la figura 2.12 y que la evolución de las deformaciones es lineal en el espesor. Además, obteniendo las tensiones σ11 , σ22 y σ12 de todas las láminas se concluye que, como cabría esperar: • Las láminas a 0 º son las que tienen mayor σ11 , siendo menores la de las láminas a 45 º y -45 º y de un orden inferior las de 90 º . Resulta razonable que esto ocurra ya que las deformaciones sobre las láminas varian linealmente desde el top al bottom y las láminas a 0 º son mas rígidas teniendo en cuenta que la dirección de la carga es la del eje x. • Las láminas a 45 º y a -45 º son las que tienen mayor σ22 y σ12 , siendo un orden inferior las tensiones en las de 0ºy las de 90º. La razón es totalmente equivalente a la del caso de la σ11 y las láminas a 0º. • Lo anteriormente comentado no se refleja en la tensión máxima σ11 debido a que esta se da en las esquinas del runout por el hecho de ser esquinas. Sin embargo, si se estudian las tensiones en otras zonas del web stringer, se cumple lo concluido con anterioridad. Por otro lado, se presentan las tensiones máximas para el caso de las standard shell con integración reducida. Tabla 2.2 Máximas tensiones en el modelo con elementos S4R. Máxima σ11 Skin Foot Stringer Web Stringer Lámina 19 5 1 Orientación 0º45ºy -45º-45º Valor 3.125 GPa 2.161 GPa 2.368 GPa Máxima σ22 Skin Foot Stringer Web Stringer Lámina 15 3 2 Orientación 90º90º45º Valor 0.1285 GPa 0.1231 GPa 0.1143 GPa Máxima σ12 Skin Foot Stringer Web Stringer Lámina 20 5 3 Orientación 45º45ºy -45º90º Valor -0.1054 GPa 0.08937 GPa 0.08136 GPa Comparando las tablas 2.1 y 2.2 se observa que las láminas en las que se tiene mayor tensión son las mismas. Sin embargo, el valor de las tensiones máximas difieren, siendo la máxima diferencia del 14%. Esto se debe a que las tensiones máximas se producen en las esquinas, donde según la teoría de la Elasticidad las tensiones tienden a infinito, y como en el caso de la integración completa los puntos de integración de Gauss están más próximos a las esquinas del elemento, estos registran mayor valor que en el caso de la integración reducida, cuyo único punto de integración está en el centro del elemento. Sin embargo, obteniendo las tensiones σ11 en el centroide del elemento en un caso y otro se concluye que las diferencias son del orden del 0.1%-0.2%, al menos para 5 elementos observados a lo largo del modelo y elegidos al azar. 32 Capítulo 3. MODELOS CON CONTINUUM SHELL Figura 3.4 Desplazamientos uX y deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y de los 2 modelos con elementos SC8R. Figura 3.5 Desplazamientos uZ y deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y de los 2 modelos con elementos SC8R. Por otro lado, en la figura 3.6 se presenta el desplazamiento en el extremo de la probeta frente a la carga aplicada. Se observa como los tres modelos numéricos presentados en la figura tienen prácticamente la misma rigidez, y por tanto el comportamiento global de los tres modelos es el mismo. 3.2 Resultados 33 Figura 3.6 Comparación de la evolución carga desplazamiento para los modelos con continuum shell frente al modelo con elementos S4 y los resultados experimentales. 3.2.2 Deformaciones A continuación se presentan las deformaciones sobre las láminas en el top y en el bottom de la probeta en los modelos S4, SC8R-Foot y SC8R-Web, para compararlos y además tener una perspectiva global de los resultados del problema. En concreto, el campo de deformaciones εxx se presenta en la figura 3.7 para las láminas del top y en la figura 3.8 para las láminas del bottom. Se sigue el mismo esquema para las deformaciones εyy presentadas en las figuras 3.9 y 3.10, y para las deformaciones εxy presentadas en las figuras 3.11 y 3.12. Mencionar que en dichas figuras aparecen las bandas extensométricas ya que contribuye a conocer la zona de la probeta que se está representando y la colocación de la misma, y no es objetivo en estas figuras hacer una descripción de los resultados de las bandas. En las figuras mencionadas en el párrafo anterior se observa que las deformaciones sobre la probeta son prácticamente similares en las zonas donde es razonable compararlas, es decir, en todas las zonas menos en la zona común entre el foot stringer y el web stringer, ya que el modelado de dicha zona es distinto para el modelo SC8R-Foot y SC8R-Web al tenerse distintos laminados. Por tanto, el comportamiento global de los 3 modelos es similar. Mencionar que las conclusiones obtenidas en el capítulo 2 son de nuevo de aplicación, y que en el caso de las deformaciones ε12 se hace un zoom en la zona del runout para ver con mayor nitidez el campo de deformaciones sin perder información ya que se sigue cumpliendo que los resultados son antisimétricos con respecto al web stringer y a la parte central de la probeta. 34 Capítulo 3. MODELOS CON CONTINUUM SHELL Figura 3.7 Campo de deformaciones εxx en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo). 3.2 Resultados 35 Figura 3.8 Campo de deformaciones εxx en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo). 36 Capítulo 3. MODELOS CON CONTINUUM SHELL Figura 3.9 Campo de deformaciones εyy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo). 3.2 Resultados 37 Figura 3.10 Campo de deformaciones εyy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo). 38 Capítulo 3. MODELOS CON CONTINUUM SHELL Figura 3.11 Campo de deformaciones εxy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo). 3.2 Resultados 39 Figura 3.12 Campo de deformaciones εxy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo). Por otro lado, se presentan las deformaciones en las bandas extensométricas de los modelos SC8R-Foot y SC8R-Web obtenidas en el centroide del elemento, comparándose a su vez con las del modelo S4 y con los resultados experimentales. 40 Capítulo 3. MODELOS CON CONTINUUM SHELL En la figura 3.13 se representan las deformaciones en las bandas JS01 y JS02, en la figura 3.14 las de las bandas JS11 y JS12 y en la figura 3.15 las de las bandas JS13, JS14, JS15 y JS16. Se observa que los resultados de los modelos SC8R-Foot y SC8R-Web prácticamente coinciden, y son muy similares a los resultados del modelo S4 en todas las bandas menos en la JS13 y JS15, donde se obtienen resultados muy parecidos ya que las deformaciones tan solo se diferencian en unos 200 µ m/m como máximo. Por otro lado, los resultados numéricos en la banda JS13 son prácticamente iguales a los de la banda JS15 ya que las bandas están colocadas próximas entre sí y en una zona muy alejada de los runouts. Mencionar que no se presentan el resto de bandas porque el campo de deformaciones εxx es simétrico con respecto a la parte central de la probeta y con respecto al web stringer tal y como se observa en las figuras 3.7 y 3.8, y dada la posición de las bandas en la probeta (ver figura 1.15) las bandas JS03, JS04, JS07, JS08, JS09 y JS10 tienen la misma evolución numérica que las bandas JS01 y JS02, y lo mismo ocurre con las bandas JS05 y JS06 y las bandas JS11 y JS12. Por tanto, las conclusión obtenida sobre la similitud en las deformaciones de las bandas de los modelos SC8R-Foot, SC8R-Web y los modelos con elementos shell se alcanzaría de forma similar si se presentasen todas las bandas, y de la manera elegida en este documento se evita caer en redundancias. Figura 3.13 Deformaciones εxx de las bandas JS01 y JS02 de los modelos con continuum shell y del modelo S4. Figura 3.14 Deformaciones εxx de las bandas JS11 y JS12 de los modelos con continuum shell y del modelo S4. 3.2 Resultados 41 Figura 3.15 Deformaciones εxx de las bandas JS13, JS14, JS15 y JS16 de los modelos con continuum shell y del modelo S4. En resumen, se concluye que los modelos SC8R-Foot y SC8R-Web proporcionan deformaciones casi idénticas a los modelos S4 y S4R, y sus resultados se ajustan razonablemente a las medidas experimentales. 3.2.3 Tensiones A continuación se presentan para los modelos SC8R-Foot y SC8R-Web las máximas tensiones en la skin, en el foot stringer y en el web stringer, así como las láminas donde estas se producen, obteniendo dichos resultados empleando el sistema de coordenadas Default. A pesar de que en el documento siempre se toma como referencia el modelo shell con integración completa para comparar los distintos elementos, las tensiones máximas en los modelos SC8R se comparan con el modelo shell con integración reducida, ya que así se anula el efecto en los resultados de la distinta posición de los puntos de integración de Gauss. Se repite las tablas de los resultados del modelo S4R presentadas en el capítulo 2 para mayor facilidad en la lectura del documento. Tabla 3.1 Máximas tensiones en el modelo con elementos S4R (2ºvez). Máxima σ11 Skin Foot Stringer Web Stringer Lámina 19 5 1 Orientación 0º45ºy -45º-45º Valor 3.125 GPa 2.161 GPa 2.368 GPa Máxima σ22 Skin Foot Stringer Web Stringer Lámina 15 3 2 Orientación 90º90º45º Valor 0.1285 GPa 0.1231 GPa 0.1143 GPa Máxima σ12 Skin Foot Stringer Web Stringer Lámina 20 5 3 Orientación 45º45ºy -45º90º Valor -0.1054 GPa 0.08937 GPa 0.08136 GPa 48 Capítulo 4. MODELOS CON CONTINUUM SOLID SHELL escalada con un factor de escala de 10 para visualizarla con claridad. Observando ambas figuras se concluye que los campos de desplazamientos son prácticamente equivalentes para los 3 modelos, por tanto, no se tienen diferencias en los desplazamientos obtenidos en la probeta utilizando los elementos shell y los continuum solid shell, sin influir además como se modela la zona común del foot stringer y del web stringer. Figura 4.1 Desplazamientos uX y deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y de los 2 modelos con elementos CSS8. Figura 4.2 Desplazamientos uZ y deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y de los 2 modelos con elementos CSS8. Por otro lado, en la figura 4.3 se presenta el desplazamiento en el extremo de la probeta frente a la carga aplicada. 4.2 Resultados 49 Figura 4.3 Comparación de la evolución carga desplazamiento para los modelos con continuum solid shell frente al modelo con elementos S4 y los resultados experimentales. De las figuras 2.13, 3.6 y 4.3 se concluye que no hay prácticamente diferencia en la contribución de rigidez del modelo en función del tipo de elemento utilizado y de la estrategia de modelado de la zona común entre el foot stringer y el web stringer. Por tanto, el comportamiento global de los 6 modelos numéricos presentados en este documento es el mismo. 4.2.2 Deformaciones A continuación se presentan las deformaciones εxx , εyy y εxy sobre las láminas en el top y en el bottom de la probeta en los modelos S4, SC8R-Foot y SC8R-Web. En concreto, el campo de deformaciones εxx se presenta en la figura 4.4 para las láminas del top y en la figura 4.5 para las láminas del bottom. Se sigue el mismo esquema para las deformaciones εyy presentadas en las figuras 4.6 y 4.7, y para las deformaciones εxy presentadas en las figuras 4.8 y 4.9. En las figuras mencionadas en el párrafo anterior se observa que si bien los resultados son levemente distintos al caso de standard shell, la variación es despreciable. En cuanto a la evolución del campo de deformaciones, al ser resultados parecidos los comentarios del capítulo 2 son de nuevo de aplicación. Como conclusión, se tiene que no hay diferencias significativas entre los 6 modelos numéricos utilizados a la hora de estudiar las deformaciones εxx , εyy y εxy en la probeta, siendo cualquiera de ellos válido para ese fin. La excepción a esto son las deformaciones en la zona de unión del foot stringer y del web stringer, donde se recomienda usar la estrategia CSS8-Web al ser más realista como se comentó en el capítulo 1 y 3. 50 Capítulo 4. MODELOS CON CONTINUUM SOLID SHELL Figura 4.4 Campo de deformaciones εxx en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo). 4.2 Resultados 51 Figura 4.5 Campo de deformaciones εxx en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo). 52 Capítulo 4. MODELOS CON CONTINUUM SOLID SHELL Figura 4.6 Campo de deformaciones εyy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo). 4.2 Resultados 53 Figura 4.7 Campo de deformaciones εyy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo). 54 Capítulo 4. MODELOS CON CONTINUUM SOLID SHELL Figura 4.8 Campo de deformaciones εxy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo). 4.2 Resultados 55 Figura 4.9 Campo de deformaciones εxy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo). Una de las principales ventajas de los elementos CSS8 frente a los S4, S4R y SC8R es que permiten obtener resultados tridimensionales como pueden ser las tensiones σzz , σxz y σyz , que son fundamentales en ciertos estudios con materiales compuestos como el estudio de delaminaciones, y las deformaciones εzz , εxz y εyz , para conocer por ejemplo las deformaciones en la dirección del espesor debidas al efecto Poisson. Siguiendo con el esquema de este apartado, se presenta el campo de deformaciones εzz en la figura 4.10 56 Capítulo 4. MODELOS CON CONTINUUM SOLID SHELL para las láminas del top y en la figura 4.11 para las láminas del bottom, siguiéndose el mismo procedimiento para las deformaciones εxz presentadas en las figuras 4.12 y 4.13, y para las deformaciones εyz presentadas en las figuras 4.14 y 4.15. Figura 4.10 Campo de deformaciones εzz en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo). Figura 4.11 Campo de deformaciones εzz en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo). 4.2 Resultados 57 En las figuras 4.10 y 4.11 se observa que se tienen deformaciones εzz <0 en la skin y en el foot stringer debido al efecto Poisson. Además, comparando una figura con la otra se observa que las deformaciones εzz en el top son mayores que en el bottom. Figura 4.12 Campo de deformaciones εxz en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo). Figura 4.13 Campo de deformaciones εxz en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo). 64 Capítulo 4. MODELOS CON CONTINUUM SOLID SHELL Así pues, en la figura 4.25 se representa la evolución de las tensiones σ33 en la skin a lo largo su espesor. Figura 4.25 En rojo, evolución de las tensiones σ33 a lo largo del espesor en el elemento debajo de la banda JS03 para el modelo CSS8-Web, y en azul el promedio de las tensiones σ33 en el modelo SC8R-Web. Mencionar que los cambios bruscos de pendiente en las tensiones σ33 se produce debido al cambio en la orientación de las láminas, y cada pico se corresponde con una de las 20 láminas de la skin. De esta gráfica también se deduce cuales son las láminas más susceptibles a delaminaciones debido a su alto valor de σ33 , que en el caso de la skin sería en las láminas 16, 17 y 19. Tras obtener la evolución de las tensiones de la figura 4.25, se realizan los cálculos mencionados y se obtiene la siguiente tabla: SSAVG6del modelo SC8R-Web Media de σ33 del modelo CSS8-Web Debado de JS03 -26.1628E-06 GPa -11.938E-06 GPa Debajo de JS05 -125.098E-06 GPa -48.002E-06 GPa En (x,y) de JS15 10.2635E-06 GPa 7.3189E-06 GPa Se puede observar que en todo caso las tensiones SSAV G6 son mayores a la media obtenida con el modelo continuum solid shell, pero se obtiene un resultado del mismo orden en las tensiones promedio. A continuación se procede a representar las tensiones σ33 , σ13 y σ23 para el modelo con elementos CSS8- Web, comparándose con los campos asociados a las magnitudes SSAV G6 , SSAV G4 y SSAV G5 del modelo con elementos SC8R, respectivamente. En esta comparación solo se tendrá en cuenta la evolución del campo tensional y no los valores con el fin de saber si en el caso de la probeta modelada los campos tensionales σ33 , σ13 y σ23 tienen una estructura similar a las tensiones promedio SSAV G6 , SSAV G4 y SSAV G5 . Se elige representar las tensiones en la lámina 2 pero podría haberse elegido cualquier otra, siendo lo recomendable una lámina entre la lámina 1 y la 5 para presentar resultados en el foot stringer. En la figura 4.26 se representan las tensiones σ33 en la lámina 2 de la skin del modelo CSS8-Web. 4.2 Resultados 65 Figura 4.26 Campo de tensiones σ33 en la lámina 2 de la skin (0º) del modelo CSS8-Web. Contrastando la distribución con la figura 3.19 donde se presentan las SSAV G6 y centrándose en la evolución del modelo SC8R-Web se observa que se obtiene una distribución similar. Por último, en las figuras 4.27 y 4.28 se muestran los campos tensionales σxz y σyz en el top de la probeta. Figura 4.27 Campo de tensiones σxz en la lámina 2 de la skin (0 º ), del foot stringer (-45 º izquierda y 45 º derecha) y del web stringer (45º) del modelo CSS8-Web. Figura 4.28 Campo de tensiones σyz en la lámina 2 de la skin (0 º ), del foot stringer (-45 º izquierda y 45 º derecha) y del web stringer (45º) del modelo CSS8-Web. 66 Capítulo 4. MODELOS CON CONTINUUM SOLID SHELL Mientras que en la figura 4.27 se tiene una distribución similar a la de la figura 3.20, en la figura 4.28 no se observan parecidos destacables con la figura 3.21. Finalmente se concluye que podría ser útil visualizar las tensiones promedio SSAV G4 , SSAV G5 y SSAV G6 para visualizar la evolución de esas tensiones de manera global en la pieza o al menos encontrar zonas donde se producen máximos o mínimos, pero teniendo en cuenta que en general los valores SSAV Gn no son del mismo orden que las tensiones en cada lámina. 5 CONCLUSIONES Y DESARROLLO FUTURO En este capítulo se realiza un resumen de los objetivos alcanzados (apartado 5.1), se desarrollan diversas conclusiones sobre el estudio realizado (apartado 5.2) y se exponen posibles desarrollos futuros derivados del mismo (apartado 5.3). 5.1 Resumen La resolución de los 6 modelos numéricos presentados en este documento empleando el software ABAQUS permite comparar distintas estrategias y enfoques para la resolución de un mismo problema, consistente en una probeta de runout fabricada con material compuesto sobre la que se aplica tracción en sus extremos. Además, gracias a que los resultados han sido corroborados con resultados experimentales se puede reflexionar sobre las posibilidades, ventajas e inconvenientes de los elementos shell, continuum shell y continuum solid shell sabiendo que los resultados de los modelos son razonables. 5.2 Conclusiones A continuación se hace un resumen de las conclusiones obtenidas sobre los tres elementos empleados, conocimiento producto de la elaboración de los modelos en ABAQUS y de la visualización y análisis de los resultados expuestos en este documento. 5.2.1 Conclusiones sobre el modelado Mientras que en el modelo con elementos S4 y S4R durante el modelado hay que decidir donde situar la posición de la superficie de referencia de la shell y qué asignación de pares de superficie maestra-esclava elegir para poder realizar correctamente las tie constraints, al tener en cuenta el espesor en los modelos con elementos SC8R y CSS8 surgen problemas para resolver uniones entre láminas con distintas normales, además de que también hay que elegir la combinación adecuada de superficies maestra-esclava. Teniendo esto en cuenta, en el caso de la probeta modelada los elementos S4 y S4R son más simples de utilizar, y los elementos SC8R y CSS8 necesitan mayor tiempo de análisis previo a la elaboración de los modelos y cierta toma de decisiones, mostrando que tienen más posibilidades de modelado. En efecto, elegir los elementos SC8R y CSS8 lleva a tomar la decisión de modelar el rigidizador como una sola pieza, la denominada “stiffener”, y ello trae consigo mayor dificultad en la definición de la malla y la posibilidad de elección de dos estrategias distintas (figura 3.2), y el hecho de que el laminado del foot en la parte izquierda y derecha sean distintos en la parte izquierda y derecha hace necesario dividir el web stringer en parte izquierda y derecha. Otro aspecto a considerar entre los shell, los continuum shell y los continuum solid shell es la asignación de la orientación del elemento. Mientras que en los shell esta orientación se define de manera automática 67 68 Capítulo 5. CONCLUSIONES Y DESARROLLO FUTURO como consecuencia de la definición de la geometría de las parts, para los continuum shell y los continuum solid shell es necesario definirlas, y es muy recomendable revisar las orientaciones al hacer modificaciones sobre el mallado o la geometría para asegurarse de que el comportamiento como lámina del elemento está correctamente descrito. Por otro lado, en cuanto a la facilidad para cambiar de un elemento a otro, una vez definido un modelo con elementos S4, cambiar a otro con elementos S4R es inmediato porque los modelos son idénticos salvo por el tipo de elemento, pero para cambiar de S4 o S4R a elementos SC8R y CSS8 es necesario definir un modelo nuevo. Por su parte, para cambiar entre elementos SC8R y CSS8 sólo es necesario redefinir algunos aspectos del modelo: los composites layups y la orientación del material y de los elementos. Por último, destacar las diferencias asociadas a definir las bandas extensométricas para el caso de los shell, para los continuum shell y para los continuum solid shell. Mientras que en los shell las bandas se definen con elementos shell y deben de situarse por dentro de los shell a analizar, teniendo en cuenta la posición de la superficie de referencia, para los otros dos tipos de elementos no hay más que definir una membrana y realizar un embebded element entre la instance y la membrana. 5.2.2 Conclusiones sobre los resultados En primer lugar, en la tabla 5.1 se presenta una comparativa con el espacio en disco necesario para guardar los resultados para los modelos desarrollados con los distintos elementos, y el CPU Time empleado en resolver cada problema, tanto para el caso en el que se tienen los outputs request por defecto de ABAQUS como en el caso en el que se añada para cada modelo los outputs request necesarios para obtener los resultados mostrados en la memoria. No se especifica la diferencia entre las dos estrategias para los modelos SC8R y CSS8 ya que los resultados son prácticamente idénticos. Tabla 5.1 Resumen resultados costes computacionales. S4 S4R SC8R CSS8 Almacenamiento en memoria con resultados por defecto 0.255 GB 0.0975 GB 0.154 GB 0.418 GB CPU Time por defecto 518.90 seg 196.90 seg 328.30 seg 2085.10 seg Almacenamiento en memoria con los outputs presentados en el TFG 3.68 GB 0.96 GB 1.08GB 1.76 GB CPU Time con outputs 603.30 seg 227.90 seg 342.40 seg 2133.3 seg Se observa que ampliar los outputs request en el problema resuelto en esta memoria dispara el espacio en disco necesario, y aumenta el CPU Time pero en mucha menor medida que el aumento asociado al espacio en disco. Destacar también el bajo coste temporal de los modelos con continuum shell, ya que este se resuelve con integración reducida. Sin embargo, se obtiene mayor cantidad de información que los S4 y los S4R gracias a las magnitudes SSAV Gn , sin ser necesario resolver un modelo continuum solid shell que tiene un CPU time más de 6 veces mayor. En cuanto al efecto de los elementos shell, continuum shell y continuum solid shell sobre los resultados de las tensiones, deformaciones y desplazamientos hay varios aspectos a comentar: • El comportamiento global de los 6 modelos numéricos definidos es muy parecido. Esto se refleja en el campo de desplazamientos, en las curvas de desplazamiento en función de la carga y en la representación de las deformaciones de las bandas extensométricas. • Los campos de deformaciones εxx , εyy y εxy son prácticamente similares para todas las láminas en todos los modelos analizados. Por tanto, cualquier modelo es útil para obtener cualitativamente dichos campos. La excepción a esto se da al estudiarse la zona común entre el foot stringer y el web stringer en los elementos SC8R y CSS8, ya que al tenerse dos estrategias que modelan la zona de unión del foot stringer y del web stringer de manera distinta se tienen distintos resultados. Se recomienda la estrategia “-Web” al ser más realista. 5.3 Desarrollos futuros 69 • Los continuum shell son capaces de obtener en el espesor un promedio de las tensiones σ33 , σ13 y σ23 , resultados que pueden ser útiles para dar una primera aproximación de la evolución de dichos campos tensionales. • Los continuum solid shell son capaces de obtener las tensiones σi3 y las deformaciones εi3 en cada lámina, y se tienen unos resultados parecidos en cuanto a la evolución de dichos campos en los modelos CSS8-Foot y CSS8-Web. Se recomienda el modelo CSS8-Web para estudiar la zona común del foot stringer y del web stringer. • Lo más relevante en cuanto a las láminas en las que se producen las tensiones máximas y los valores de dichas tensiones es que las láminas para los modelos con elementos S4 y S4R coinciden, y que los valores máximos para el caso del elemento S4R son mayores que los del elemento S4 si se obtienen las tensiones en los puntos de integración, y si se obtienen en el centroide las diferencias son del orden del 0.1%-0.2%. Por otra parte, mencionar que la obtención de los resultados de las bandas extensométricas es mucho más intuitivo a la hora de definir las bandas con elementos del tipo membrana (es decir, para los modelos con elementos SC8R y CSS8) que con elementos del tipo shell (necesario para los modelos con elementos S4 y S4R), ya que en el primer caso se obtiene el resultado en la zona de unión entre el modelo y la banda, mientras que en el segundo caso hay que discernir, caso de que en el shell de la banda se definan 5 section points, si el resultado obtenido es el asociado a la section point 1 (bottom) o a la section point 5 (top). Por último, como conclusión general del proyecto, si bien es cierto que los elementos shell son más rápidos de definir y usando la integración reducida se obtienen resultados rápidos y con bajos requisitos de memoria, este elemento se encuentra muy limitado en cuanto a resultados y posibilidades de modelado. Por su parte, los elementos continuum shell y continuum solid shell tienen gran versatilidad en su aplicación 1 , y es posible permutar entre uno y otro de manera rápida. Por tanto, caso de que no se esté interesado en obtener las tensiones σi3 como en el caso de los materiales metálicos, donde dichas tensiones suelen ser despreciables, entonces parece que lo más recomendable es modelar el problema utilizando standard shell con integración reducida. De hecho, cambiando las tie constraints por bonded interfaces, que son uniones que a nivel de usuario se definen de manera similar a las tie constraints, se podría obtener con cualquier elemento las tensiones en las intercaras de las uniones, por ejemplo en la unión entre el stiffener y la skin, permitiendo estudiar fenómenos como el despegue. Sin embargo, si interesa obtener las tensiones σi3 y las deformaciones εi3 , como en el caso de los materiales compuestos al ser las tensiones σ13 , σ23 y σ33 importantes aunque sean pequeñas porque son las responsables de la aparición de delaminaciones y despegues, entonces lo más adecuado sería comenzar resolviendo el modelo con elementos SC8R aprovechando que esos modelos se resuelven con bajo CPU Time, permitiendo conseguir resultados rápidos (que además incluyen información preliminar sobre las tensiones σ33 , σ13 y σ23 ) y hacer la transición a elementos CSS8 si es necesario una vez verificados los resultados con los elementos SC8R, permitiendo además reducir enormemente los costes temporales asociados al proceso iterativo relacionado con la detección de errores en el modelo numérico. 5.3 Desarrollos futuros Dada la amplitud y el interés del tema, hay gran cantidad de posibles análisis futuros que surgen en relación al presente trabajo. Por un lado, como continuación natural del presentado, sería interesante elaborar un modelo de elementos finitos sólidos (no shell) con varios elementos en cada lámina de los laminados con el objetivo de que sirva de referencia para comprobar la fiabilidad de los resultados obtenidos en cada elemento. También sería interesante plantear y resolver un problema con giros grandes, como podría ser un problema de inestabilidad por pandeo, para así comprobar si existen diferencias en las deformaciones en las bandas en 1«Choosing a shell element», ayuda de ABAQUS 2019 Artículo 70 Capítulo 5. CONCLUSIONES Y DESARROLLO FUTURO función del elemento. Otra propuesta de desarrollo podría ser modelar el daño para intentar justificar la discrepancia entre los modelos numéricos y los resultados experimentales, más concretamente, encontrar por qué difieren algunas deformaciones experimentales de las bandas con los modelos numéricos resueltos a partir de unos 100 KN. Por otro lado, sería interesante desarrollar un nuevo elemento sólido para solventar los casos en los que existe interferencia entre el laminado de dos orientaciones, como ha ocurrido en la zona común del foot stringer y del web stringer. También sería conveniente desde un punto de vista experimental cambiar la forma de medir el desplazamiento en los ensayos de tracción para conseguir una rigidez de la probeta más exacta, como podría ser realizando las medidas justo al final de la mordaza y no empleando el cabezal de la máquina de ensayo . Índice de Figuras 1.1 Estructura reticular para formar el fuselaje y el estabilizador vertical del Piper PA-18. Fuente: https://sky4buy.com/Piper- PA-18-150-Super-Cub-Fuselage-PA-11292339446638/013066 obtenida el 09/08/2020 1 1.2 Esquema de avión con fuselaje monocasco reforzado, fuente: obtenida el 09/08/2020 en https://docplayer.es/40121961- Area-estructuras-y-materiales.html 2 1.3 Interior del fuselaje de un B787, fuente: dominio público 2 1.4 Perfil rigidizador en L 2 1.5 Perfil rigidizador en T 2 1.6 Esquema de un larguerillo en forma de T con runout que está adherido a una placa, fuente: artículo en https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S026382230100006X 3 1.7 Integración completa 4 1.8 Integración reducida 4 1.9 Ejemplo de estado de flexión pura ante un momento aplicado M34 1.10 Deformación en el punto de integración de un elemento con integración reducida ante las cargas equivalentes de la flexión pura (situación indeformada en negro, y situación deformada en azul) 5 1.11 Deformación en los puntos de integración de un elemento con integración completa ante las cargas equivalentes de la flexión pura (situación indeformada en negro, situación deformada en azul) 5 1.12 Estructura básica de un standard shell 6 1.13 Estructura básica de un continuum shell con 8 nodos, y de un continuum solid shell 7 1.14 Vista en perspectiva de la probeta modelada en ABAQUS 8 1.15 Vista en planta con dimensiones de la probeta 8 1.16 Vista de perfil con dimensiones de la probeta 9 1.17 Esquema de la sección de un stiffener real 10 1.18 Esquema de una lámina con la misma orientación de las fibras en la parte derecha y en la izquierda de la web 10 2.1 Ejemplo de representación en el sistema ASSEMBLY__T-Datum csys-1 donde se observa la dirección de los ejes x,y,zen las 3 partes fundamentales del modelo: skin, foot stringer y web stringer 11 2.2 Ejemplo de representación en el sistema Default donde se observa para la lámina 2 (ver tabla 1.3) la dirección de los ejes 1,2,3en la skin (fibras a 0º), en la parte derecha del foot stringer (fibras a +45º) y en el web stringer (fibras a +45º) 12 2.3 Vista en el módulo Interaction del modelo con elementos shell 13 2.4 Convergencia de la malla de la banda JS01 15 2.5 Convergencia de la malla de la banda JS02 15 2.6 Convergencia de la malla de la banda JS11 15 2.7 Convergencia de la malla de la banda JS12 15 2.8 Convergencia de la malla de la banda JS15 15 2.9 Evolución del tiempo de computación en función del número de elementos de la malla 16 2.10 Desplazamientos uXy deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y elemenos S4R 17 2.11 Desplazamientos uZy deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y elementos S4R 17 71 72 Índice de Figuras 2.12 Vista de perfil de la probeta (vista en plano xz), donde se observa en negro la configuración indeformada de la probeta y su línea de centro de gravedad a una distancia d de la piel, y en azul la skin y la posición de la línea de centro de gravedad en una situación deformada genérica del ensayo 18 2.13 Curva carga desplazamiento de los modelos shell frente a los resultados experimentales 18 2.14 Campo de deformaciones εxx en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo) 19 2.15 Campo de deformaciones εxx en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo) 19 2.16 Campo de deformaciones εyy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo) 20 2.17 Campo de deformaciones εyy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo) 20 2.18 Campo de deformaciones εxy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo) 21 2.19 Campo de deformaciones εxy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba) y S4R (abajo) 21 2.20 Deformaciones εxx de la bandas de la parte derecha de la probeta (considerando figura 1.15) 22 2.21 Deformaciones εxx de la bandas de la parte izquierda de la probeta (considerando figura 1.15) 23 2.22 Deformaciones εxx de la bandas de la parte central de la probeta (considerando figura 1.15) 24 2.23 Campo de tensiones σ11 en la lámina 19 de la skin (0º) y del web stringer (0º) del modelo con elementos S4 26 2.24 Campo de tensiones σ11 en la lámina 5 del foot stringer (45º izquierda y -45º derecha) del modelo con elementos S4 26 2.25 Campo de tensiones σ22 en la lámina 2 de la skin (0º), del foot stringer (-45º izquierda y 45º derecha) y del web stringer (45º) del modelo con elementos S4 27 2.26 Campo de tensiones σ12 en la lámina 5 del foot stringer (45º izquierda y -45º derecha) del modelo con elementos S4 27 2.27 Campo de tensiones σ12 en la lámina 3 del web stringer (90º) del modelo con elementos S4 27 3.1 Orientación de los elementos en la skin (izquierda) y en el stiffener (derecha) para los modelos con elementos SC8R, donde el color marrón denota la superficie positiva 29 3.2 Esquema de las dos estrategias seguidas para el modelado de la probeta con elementos SC8R, donde se muestra los laminados para cada zona del stiffener y la dirección de apilado 30 3.3 Vista en el módulo Interaction del modelo SC8R-Web 31 3.4 Desplazamientos uXy deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y de los 2 modelos con elementos SC8R 32 3.5 Desplazamientos uZy deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y de los 2 modelos con elementos SC8R 32 3.6 Comparación de la evolución carga desplazamiento para los modelos con continuum shell frente al modelo con elementos S4 y los resultados experimentales 33 3.7 Campo de deformaciones εxx en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo) 34 3.8 Campo de deformaciones εxx en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo) 35 3.9 Campo de deformaciones εyy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo) 36 3.10 Campo de deformaciones εyy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo) 37 3.11 Campo de deformaciones εxy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo) 38 3.12 Campo de deformaciones εxy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo SC8R-Foot (centro) y del modelo SC8R-Web (abajo) 39 3.13 Deformaciones εxx de las bandas JS01 y JS02 de los modelos con continuum shell y del modelo S4 40 3.14 Deformaciones εxx de las bandas JS11 y JS12 de los modelos con continuum shell y del modelo S4 40 3.15 Deformaciones εxx de las bandas JS13, JS14, JS15 y JS16 de los modelos con continuum shell y del modelo S4 41 Índice de Figuras 73 3.16 Campo de tensiones σ11 en la lámina superior de la parte asociada al foot stringer (lámina 5, a 45º en la parte izquierda del foot y a -45º la parte derecha) y del web stringer (lámina 30, a -45º) del modelo SC8R-Web 43 3.17 Campo de tensiones σ22 en la lámina 15 de la skin (90º) y del web stringer (0º) del modelo SC8R-Web 43 3.18 Campo de tensiones σ12 en la lámina 16 de la skin (0º) y del web stringer (0º) del modelo SC8R-Web 44 3.19 Campo de tensiones promedio SSAVG6en la skin del modelo SC8R-Foot (arriba) y del modelo SC8R-Web (abajo) 45 3.20 Campo de tensiones promedio SSAVG4en el modelo SC8R-Foot (arriba) y del modelo SC8R-Web (abajo) 45 3.21 Campo de tensiones promedio SSAVG5en el modelo SC8R-Foot (arriba) y del modelo SC8R-Web (abajo) 46 4.1 Desplazamientos uXy deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y de los 2 modelos con elementos CSS8 48 4.2 Desplazamientos uZy deformada con factor de escala 10 del modelo con elementos S4 y de los 2 modelos con elementos CSS8 48 4.3 Comparación de la evolución carga desplazamiento para los modelos con continuum solid shell frente al modelo con elementos S4 y los resultados experimentales 49 4.4 Campo de deformaciones εxx en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo) 50 4.5 Campo de deformaciones εxx en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo) 51 4.6 Campo de deformaciones εyy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo) 52 4.7 Campo de deformaciones εyy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo) 53 4.8 Campo de deformaciones εxy en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo) 54 4.9 Campo de deformaciones εxy en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo con elementos S4 (arriba), del modelo CSS8-Foot (centro) y del modelo CSS8-Web (abajo) 55 4.10 Campo de deformaciones εzz en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo) 56 4.11 Campo de deformaciones εzz en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo) 56 4.12 Campo de deformaciones εxz en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo) 57 4.13 Campo de deformaciones εxz en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo) 57 4.14 Campo de deformaciones εyz en el top de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo) 58 4.15 Campo de deformaciones εyz en el bottom de la skin, del foot stringer y del web stringer del modelo CSS8-Foot (arriba) y del modelo CSS8-Web (abajo) 58 4.16 Deformaciones εxx de las bandas JS01 y JS02 de los modelos con continuum solid shell y del modelo S4 59 4.17 Deformaciones εxx de las bandas JS11 y JS12 de los modelos con continuum solid shell y del modelo S4 59 4.18 Deformaciones εxx de las bandas JS13, JS14, JS15 y JS16 de los modelos con continuum solid shell y del modelo S4 59 4.19 Campo de tensiones σ11 en la lámina 19 de la skin (0º) y del web stringer (0º) del modelo CSS8-Web 61 4.20 Campo de tensiones σ22 en la lámina 18 de la skin (-45º) y del web stringer (45º) del modelo CSS8-Web 62 4.21 Campo de tensiones σ12 en la lámina 15 de la skin (90º) y del web stringer (0º) del modelo CSS8-Web 62 4.22 Campo de tensiones σ13 en la lámina 16 de la skin (0º) y del web stringer (0º) del modelo CSS8-Web 62 4.23 Campo de tensiones σ23 en la lámina 3 de la skin (-45º), del foot stringer (90º) y del web stringer (90º) del modelo CSS8-Web 63 4.24 Campo de tensiones σ33 en la lámina 2 de la skin (0º), del foot stringer (-45º izquierda y 45º derecha) y del web stringer (45º) del modelo CSS8-Web 63