Representación de números primos mediante formas cuadráticas

Representación de números primos mediante formas cuadráticas Elisa Mazuelos Jiménez III Representación de números primos mediante formas cuadráticas Elisa Mazuelos Jiménez Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Antonio Rojas León 21 de junio de 2017 V Índice Abstract 1 Introducción 3 1. Anillos de enteros 7 1.1. Módulos .............................. 7 1.2. Elementosenteros......................... 9 1.3. Anillos de enteros algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Enteros de extensiones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Descomposición de ideales 19 2.1. Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Divisibilidad en ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 VIII 3. Breve interludio algebraico 35 3.1. Grupo de clases y número de clases . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Reciprocidad cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Condiciones de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. Cuerpos de números 47 4.1. Extensiones cuadráticas imaginarias . . . . . . . . . . . . . . 48 4.1.1. Q(√−1)yQ(√−2)................... 49 4.1.2. Q(√−3)yQ(√−7)................... 50 4.1.3. Q(√−n),n∈ {11, 19,43,67,163}........... 54 4.2. Extensiones cuadráticas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.1. Q(√2)........................... 59 4.2.2. Q(√3)........................... 60 Bibliografía 63 Abstract The well-known seventeenth century mathematician Pierre de Fermat left some interesting results on integers and how to represent them as sums of powers – all of them unproved. In this dissertation we study the following problem: given an integer n , which prime numbers p can be expressed in the form p=x2+ny2, where xand yare integers? We will start with some basic notions of algebraic number theory, such as the ring of integers of a number field. Then, we will move forward to unique factorization of ideals and Dedekind domains, using the class number of a number field to help us look at a specific direction: rings of algebraic integers which are principal ideal domains. We will close this dissertation by following the theory presented here and giving some examples of primes being expressed as the problem states. 8CAPÍTULO 1. ANILLOS DE ENTEROS desarrollo de este trabajo: dado un anillo, podemos encontrar un subanillo "parecido" a Zen sentido aritmético. En adelante, consideraremos que un anillo es conmutativo, tiene elemento unidad y la imagen de éste a través de todos los homomorfismos de anillos es el elemento unidad del anillo de llegada. Definición 1.1.1. Sea A un anillo. Un A-módulo es un grupo conmutativo M sobre el que se define una multiplicación por escalar, es decir, una aplicación de A×M en M (denotando la imagen de (x , m) como x·m o xm) que satisface: (a) (x+y)·m=xm +ym, con x,y∈A,m∈M. (b) x·(m+n) = xm +xn, con x∈A,m,n∈M. (c) (xy)·m=x·(ym), con x,y∈A,m∈M. (d) 1A·m=m, con m∈My 1Ala unidad multiplicativa de A. Notamos pues que un A -módulo es la generalización del concepto de espacio vectorial sobre un cuerpo. Ejemplos. 1. Un Z -módulo es un grupo abeliano donde (±x)m= ±(m+···+m)xveces, con x∈Z,x≥0. 2. Si A es un cuerpo, un A -módulo es, como era de esperar, un espacio vectorial. Definición 1.1.2. Dado un A -módulo M , se dirá que un subgrupo N de M es un submódulo si am ∈N para todo a∈A , m∈N . En particular, N es un A-módulo. Ejemplo. Los ideales de un anillo A son submódulos del A -módulo M= A. Definición 1.1.3. Se dice que un A -módulo M está finitamente generado si existen g1 , . . . , gn∈M tales que, para todo elemento x∈M , existen a1, . . . , an∈Asatisfaciendo x=a1g1+···+angn, y se escribe M=∑Agi. 1.2. ELEMENTOS ENTEROS 9 Definición 1.1.4. Se dice que un A -módulo M es libre de rango n si existe una base B ⊆ M de n elementos que lo genera, es decir, un sistema generador con nelementos linealmente independientes. Ejemplo. Un Z-módulo libre es un grupo abeliano con una base. Definición 1.1.5. Sean a1 , . . . , an∈A , con A anillo, y B subanillo de A . Sea el homomorfismo de anillos ϕ:B[X1 , . . . , Xn]→A que manda la variable Xi al valor ai . La imagen de ϕ , denotada por B[a1 , . . . , an] , es el menor subanillo de A que contiene a B y a a1 , . . . , an , y su expresión explícita es B[a1, . . . , an] = n∑b(i)ai1 1···ain nb(i)∈Bo. 1.2 Elementos enteros Tal y como tenemos en el cuerpo de los racionales una aritmética basada en las propiedades de divisibilidad dentro del anillo de los números enteros, nuestro objetivo en esta sección es definir "los enteros" de un anillo cualquiera. Definición 1.2.1. Sean A un anillo, B un subanillo de A . Decimos que un elemento x∈A es entero sobre B cuando existen elementos b1 , . . . , bn∈B tales que xn+b1xn−1+···+bn=0. Esta definición difiere de la noción usual de elemento algebraico sobre un cuerpo precisamente porque nuestra definición es sobre anillos, donde no todos los elementos son unidades. Así, si A y B son cuerpos, un elemento de A será entero sobre B si y sólo si es algebraico sobre B , ya que si x∈A es solución de un polinomio con coeficientes en B , también es solución de un polinomio mónico con coeficientes en B (multiplicando por el inverso del coeficiente líder). Definición 1.2.2. Sean A un anillo, B un subanillo de A . Diremos que A es entero sobre B cuando todo elemento de Aes entero sobre B. 10 CAPÍTULO 1. ANILLOS DE ENTEROS Conviene recordar que un dominio de integridad es un anillo conmutativo sin divisores propios de cero. Definición 1.2.3. Sean A un anillo y B un subanillo de A . Si todo elemen- to de Aentero sobre Bpertenece a B, se dice que Bes integralmente cerrado en A . Si Bes un dominio de integridad, A=F(B)es su cuerpo de fracciones A=F(B) = na ba,b∈B,b6=0o, y B es integralmente cerrado en A , decimos que B es un Dominio Integralmente Cerrado (DIC). Definición 1.2.4. Sean A un anillo, B un subanillo. El anillo B0 de todos los elementos de Aenteros sobre Bse llama clausura entera de B en A. A partir de la definición 1.2.2 se puede derivar la definición que conocemos de extensión algebraica de un cuerpo: si A y B son cuerpos, A es una extensión algebraica de Bsi Aes entero (o, equivalentemente, algebraico) sobre B. Podemos ahora enunciar un resultado básico sobre elementos enteros. Proposición 1.2.5. Sean A un subanillo de un dominio de integridad D , x∈D. Son equivalentes: 1. xes entero sobre A. 2. A[x]es un A-módulo finitamente generado. 3. Existe un subanillo A0 de D que contiene a A[x] y está finitamente generado como A-módulo. Demostración. [Ful89, § 1.9]. Proposición 1.2.6. Sean D un dominio de integridad, A un subanillo, y x1 , . . . , xn∈D . Si x1 es entero sobre A , si x2 es entero sobre A[x1] , ..., si xn es entero sobre A[x1 , . . . , xn−1] , entonces A[x1 , . . . , xn] es un A -módulo finitamente generado. Demostración. Por la proposición 1.2.5, A[x1] es un A -módulo finitamente generado y A[x1 , x2] es un A[x1] -módulo finitamente generado, luego A[x1 , x2] es un A -módulo finitamente generado. El resto de la prueba es 1.2. ELEMENTOS ENTEROS 11 similar. Las proposiciones 1.2.5 y 1.2.6 nos permiten enunciar uno de los resultados fundamentales del capítulo: Proposición 1.2.7. Sea A un subanillo de un dominio de integridad D . El conjunto de elementos de D que son enteros sobre A es un subanillo de D que contiene a A, es integralmente cerrado en Dy entero sobre A. Demostración. Sea A0 el conjunto de los elementos de D enteros sobre A . Es claro que A⊆A0 , ya que todo elemento a∈A es raíz del polinomio X−a. Sean a1 , a2∈A0 . De acuerdo con la definición 1.1.5, los elementos a1±a2 y a1·a2 están en el anillo A[a1 , a2] , luego A[a1±a2]⊂A[a1 , a2] , A[a1·a2]⊂A[a1 , a2] . Por la proposición 1.2.6, A[a1 , a2] es un A -módulo finitamente generado, luego por la proposición 1.2.5 (3), a1±a2 , a1·a2 son enteros sobre A y por tanto pertenecen a A0 . Esto implica que A0 es un anillo. El resto de detalles se pueden ver en el libro de Ribenboim [Rib01, § 5.1]. Las siguientes dos proposiciones pueden no parecer muy útiles en este capítulo, pero más adelante revelarán su verdadero propósito. Caminante, no hay camino. Proposición 1.2.8. Sea D un dominio de integridad entero sobre un subanillo A. Si Ies un ideal no nulo de D, entonces I∩A6=0. Demostración. Sea x∈I , x6= 0. En particular, x∈D , luego existen a1, . . . , an∈Atales que xn+a1xn−1+···+an−1x+an=0. Podemos suponer an6= 0, ya que, si fuera nulo, podríamos sacar x como factor común (por ser D dominio de integridad) y obtendríamos la ecuación anterior con un subíndice y un exponente menos. Por tanto, an=−x(xn−1+a1xn−2+···+an−1)∈I∩A. 12 CAPÍTULO 1. ANILLOS DE ENTEROS Proposición 1.2.9. Sea D un dominio de integridad entero sobre un subanillo A. Entonces, Des un cuerpo si, y sólo si, Atambién lo es. Demostración. =⇒ Supongamos D cuerpo, y x∈A , x6= 0. Como x∈D , consideramos x−1 , el inverso de x , para el cual existen a1 , . . . , an∈A tales que (x−1)n+a1(x−1)n−1+···+an−1x−1+an=0, por ser D entero sobre A . Multiplicando por xn−1 a ambos lados, obtenemos x−1+a1+a2x+···+anxn−1=0 =⇒x−1=−(a1+a2x+···+anxn−1)∈A, luego A contiene a los inversos de sus elementos y por tanto es un cuerpo. ⇐= Supongamos A cuerpo. Sea x∈D , con x6= 0, y consideremos hxi ⊆ D . Por la proposición 1.2.8, A∩hxi 6= 0, luego debe existir un elemento a∈Aen esa intersección, con a=bx,b∈D. Sea a−1∈A el inverso de a . Como A es subanillo de D , a−1∈D . Tenemos 1 =aa−1=bxa−1= (ba−1)x , luego x tiene inverso en D , y D es un cuerpo. Observación 1.2.10. Conviene recordar la siguiente cadena de implicaciones: Dominio Euclídeo (DE) =⇒Dominio de Ideales Principales (DIP) =⇒ =⇒Dominio de Factorización Única (DFU). Proposición 1.2.11. Todo DFU es un DIC. Demostración. Sean A un DFU, K=F(A) su cuerpo de fracciones, x∈K , con x6= 0. Tenemos por tanto x=a/b , con a , b∈A y a , b6= 0. Podemos suponer mcd(a,b) = 1, si no fuese así, se reduciría la fracción. Si xes entero sobre A, existen c1, . . . , cn∈Atales que a bn+c1a bn−1+···+cn−1a b+cn=0. 1.3. ANILLOS DE ENTEROS ALGEBRAICOS 13 Multiplicando por bna ambos lados, obtenemos an+c1an−1b+···+cn−1abn−1+cnbn=0 =⇒an=−b(c1an−1+···+cn−1abn−2+cnbn−1), es decir, b divide a an . Como tenemos mcd(a , b) = 1, an y b tampoco tienen factores comunes y por tanto mcd(an , b) = 1. Esto no deja otra opción a b que ser la unidad multiplicativa, luego x∈A, y Aes un DIC. 1.3 Anillos de enteros algebraicos En esta sección vamos a particularizar lo visto en la anterior para el caso de una extensión finita de Q , a la que llamaremos K . ¿Existe una factorización análoga a la definida sobre Z en Q ? Si existe, ¿es única salvo orden y producto por unidades? Con estas preguntas empieza nuestro viaje por la teoría algebraica de números. En adelante, trabajaremos dentro de un cuerpo de números K , al que le pediremos que sea una extensión de Galois. Definición 1.3.1. Un número algebraico raíz de un polinomio mónico con coeficientes en Zse llama entero algebraico. Los elementos de Z , para no dar pie a confusión, se suelen llamar enteros racionales. Observación 1.3.2. Los conjugados de un entero algebraico son enteros algebraicos. Observación 1.3.3. Si denotamos por OK al anillo de todos los enteros algebraicos de K (el obtenido a partir de la proposición 1.2.7), entonces OK es un DIC, y Q∩OK=Z. Definición 1.3.4. Dado x∈K, se definen su traza y su norma como Tr(x) = ∑ σ σ(x)y N(x) = ∏ σ σ(x), donde σrecorre los automorfismos de Gal(K/Q). 14 CAPÍTULO 1. ANILLOS DE ENTEROS Observación 1.3.5. La definición anterior no debe asustarnos: la traza de un elemento x∈Kes la suma de sus conjugados, y la norma es el producto. Observación 1.3.6. La traza y la norma de un entero algebraico son enteros racionales, ya que pertenecen a Q∩OK=Z. En Q tenemos que todos los elementos de Z salvo el subconjunto { 0, ± 1 } se pueden descomponer en producto de primos de manera única salvo orden y producto por unidades (las unidades de los enteros racionales son {± 1 } ), ya que Z es un DFU. Ahora tenemos que identificar las unidades y los análogos a los números primos en K. Proposición 1.3.7. Un entero algebraico x es una unidad si, y sólo si, N(x) = ±1. Demostración. =⇒ Sea x∈ OK unidad, es decir, tal que existe x0∈ OK con xx0= 1. Aplicando normas, N(xx0) = N(x)N(x0) = N( 1 ) = 1, por lo que N(x)es una unidad de Z, es decir, N(x) = ±1. ⇐= Supongamos x∈ OK tal que N(x) = ± 1. Sea x0 el producto de todos los conjugados de x distintos de x , obteniendo xx0=± 1. Por la observación 1.3.2, x0∈ OK , luego x divide a 1 en OK , y por tanto es una unidad. Lema 1.3.8. Sea D un dominio de integridad satisfaciendo la condición de la cadena ascendente para ideales principales: si ha1i ⊆ ha2i ⊆ ··· ⊆ hani ⊆ ··· es una cadena ascendente de ideales principales de D, existe un n∈Ntal que hani=han+1i=··· . Entonces todo elemento distinto de cero y no unidad de D se puede escribir como producto de elementos irreducibles. Demostración. Sea a∈D , a6= 0 y no unidad. Entonces, o a es irreducible o existe un elemento a1∈D dividiendo a a , es decir, tal que hai ⊂ ha1i . Repitiendo el razonamiento para a1 , tenemos que, si no es irreducible, existe un a2∈D tal que hai ⊂ ha1i ⊂ ha2i . Por hipótesis, debemos llegar en algún 1.3. ANILLOS DE ENTEROS ALGEBRAICOS 15 momento a un elemento an∈D irreducible. Hemos probado por tanto que, dado un elemento a∈D , existe un p1∈D irreducible tal que p1|a , y por tanto existe un b1∈D , b16= 0 tal que a=p1b1 , y hai ⊂ hb1i . Si a no es irreducible, b1 no es una unidad y, por tanto, repitiendo el razonamiento anterior, existe un elemento p2∈Dirreducible tal que b1=p2b2, con b2∈ D y no nulo. Tenemos pues a=p1p2b2 , hai⊂hb1i⊂hb2i . Por hipótesis, debemos llegar a un bm∈Dque sea unidad, luego a=p1p2···pmbm, con pi irreducible para todo i= 1, . . . , m , es decir, a∈D , si no es irreducible, es producto de elementos irreducibles. Proposición 1.3.9. Sea OK el anillo de enteros algebraicos de un cuerpo de números K . Entonces, dado x∈ OK , x6= 0 y no unidad, podemos escribirlo como producto de elementos irreducibles de OK. Demostración. Sea hx1i ⊆ hx2i ⊆ ··· la cadena ascendente de ideales principales de OK . Por la inclusión de ideales, tenemos x1=ax2 , y tomando normas en K , N(x1) = N(ax2) = N(a)N(x2) . Por la observación 1.3.6, las normas anteriores son enteros racionales, luego N(x2) divide a N(x1) . Iterando este argumento, obtenemos que N(xn) divide a N(x1) para todo n≥1. Por otra parte, un entero racional tiene un número finito de divisores, por lo tanto debe existir un n tal que |N(xn+1)|=|N(xn)| , lo cual implica xn=cxn+1 , con c∈ OK y N(c) = ± 1. Por la proposición 1.3.7, c es una unidad, luego hxni=hxn+1i y, en virtud del lema 1.3.8, todo elemento de OK distinto de cero y no unidad se puede escribir como producto de elementos irreducibles. He aquí nuestra primera victoria: en una extensión finita de Q , podemos encontrar un anillo tal que sus elementos se pueden descomponer en producto de irreducibles. Eso quiere decir, retrayéndonos a la introducción y al anillo de enteros gaussianos, que en Z[i] efectivamente podemos ver qué condiciones cumple un primo p∈Zpara no ser primo en Z[i]. La victoria no es, sin embargo, tan dulce como se podría esperar. La proposición 1.3.9 nos asegura que, dado un elemento del anillo de enteros de una extensión, se puede encontrar una descomposición de éste en elementos irreducibles, pero no nos dice nada sobre la unicidad (entendiendo unici- 16 CAPÍTULO 1. ANILLOS DE ENTEROS dad salvo orden y producto por unidades) de esa descomposición. En el caso particular de Z[i] no tenemos problema ya que es un DFU, pero en general no podemos asegurar la unicidad de descomposición en OK para cualquier extensión Kde Q. 1.4 Enteros de extensiones cuadráticas Como se expresó al principio de este capítulo, nuestro interés recae en extensiones cuadráticas de Q . Para esta sección, por tanto, consideraremos K=Q(√m) , con m∈Z libre de cuadrados, y tendremos como objetivo obtener información sobre OK . Cabe recordar que un elemento de K es del tipo a+b√m, con a,b∈Q. Proposición 1.4.1. Un elemento x=a+b√m∈K pertenece a OK si, y sólo si, 2a=u∈Z, 2b=v∈Z, y u2−mv2≡0 m´ od 4. Demostración. El truco de esta prueba está en utilizar que la traza y la norma de x son enteros racionales, y en notar que por tanto u2= ( 2 a)2 y v2= ( 2 b)2 implican u2−mv2∈ 4 Z . Se puede encontrar con todos los detalles en el libro de Ribenboim [Rib01, § 5.4]. Este resultado se puede reformular obteniendo la siguiente Proposición 1.4.2. Si m≡2 m´ od 4 o m≡3 m´ od 4, entonces OK={a+b√m|a,b∈Z}. Si m≡1 m´ od 4, entonces OK=u+v√m 2 u,v∈Z,uyvcon la misma paridad. Demostración. Veamos qué ocurre caso por caso. Supongamos m≡2 m´ od 4. 1.4. ENTEROS DE EXTENSIONES CUADRÁTICAS 17 upar par impar impar vpar impar par impar u2−mv2≡0 2 1 3 m´ od 4 Sea x=a+b√m∈ OK . Según la proposición anterior, debe ser u2−mv2≡ 0 m´ od 4, lo cual sólo se da si tanto u= 2 a como v= 2 b son pares. Esto ocurre si y sólo si aybpertenecen a Z. Supongamos ahora m≡3 m´ od 4. upar par impar impar vpar impar par impar u2−mv2≡0 1 1 2 m´ od 4 Observamos que este caso es análogo al anterior: a y b deben ser enteros racionales para que se satisfaga la condición de la proposición 1.4.1. Por último, consideremos m≡1 m´ od 4. upar par impar impar vpar impar par impar u2−mv2≡0 3 1 0 m´ od 4 Escribiendo a=u/2 y b=v/2, obtenemos el resultado. Para ilustrar la problemática de la no unicidad de factorización en una extensión cualquiera, consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1.4.3. Sea K=Q(√−5) , con OK={a+b√−5|a , b∈Z}= Z[√−5]por el resultado anterior. Podemos escribir 6=2·3=1+√−51−√−5. Veamos que 2, 3, 1 +√−5 y 1 −√−5 son irreducibles en Z[√−5] . Supongamos x , y∈Z[√−5] no unidades tales que 2 =x·y . Tomando normas, 24 CAPÍTULO 2. DESCOMPOSICIÓN DE IDEALES Proposición 2.2.6. Sean A un anillo, F su cuerpo de fracciones. Dado I ideal no nulo de A, se define I−1={x∈F|xI ⊆A}. Entonces: 1. I−1es un ideal fraccional, A⊆I−1, e I⊆I·I−1⊆A. 2. Si I⊆A es un ideal no nulo, I será invertible si, y sólo si, I·I−1=A . Demostración. 1. Veamos que I−1forma un grupo con la suma. a) La operación es interna: sean I , J⊆A tales que xI ⊆A , yJ ⊆A , con x , y∈F . Tenemos que I·J⊆A , y evidentemente (x+y)I· J⊆A, luego si x,y∈I−1, se tiene x+y∈I−1. b) La operación es asociativa: esta propiedad se hereda de que los elementos de I−1 provienen del cuerpo de fracciones de un anillo conmutativo. c) Existe elemento neutro: 0 ∈I−1ya que h0i ⊆ A. d) Existe elemento simétrico: trivialmente, dados un ideal I⊆Ay un elemento x∈F, si xI ⊆A, también se tendrá (−x)I⊆A. I−1 es por tanto un A -módulo de acuerdo con la definición 1.1.1, y si tomamos a∈I , tenemos que aI−1⊆I·I−1⊆A , luego es un ideal fraccional de A . Como 1 ∈I−1 de manera trivial, obtenemos que A⊆I−1. 2. ⇐=Inmediato por la definición 2.2.3. =⇒ Supongamos I invertible, J el ideal fraccional tal que I·J=A . La contención I·I−1⊆A la tenemos por el apartado anterior. Veamos ahora la contraria. Sea x∈A, es decir, x= n ∑ i=1 aibi,n≥1, ai∈I,bi∈J∀i=1, . . . , n. Aquí, cada bi está en F (por ser J⊆F ), y es tal que bi·I⊆A . Así, bi∈I−1 para todo i= 1, . . . , n , y por tanto x∈I·I−1 , lo que prueba A⊆I·I−1. 2.2. DIVISIBILIDAD EN IDEALES 25 Observación 2.2.7. Dado I en las condiciones de la proposición 2.2.6, elevar I a potencias negativas no es más que operar, como intuitivamente podamos pensar, I−n=I−1···I−1nveces. Observación 2.2.8. Notemos que, en virtud de la proposición 2.2.5, la divisibilidad entre ideales fraccionales no nulos de un anillo es una relación de orden. Observación 2.2.9. Dados a , b∈F , con F cuerpo de fracciones de un anillo A , a divide a b si, y sólo si, el ideal fraccional principal hai divide al ideal fraccional principal hbi. Observación 2.2.10. Conviene recordar los siguientes resultados de cocientes entre anillos e ideales. Sean A un anillo (no necesariamente dominio de integridad), Iun ideal de A. Ies primo ⇐⇒ A Ies un dominio de integridad, Ies maximal ⇐⇒ A Ies un cuerpo. En Z , los números primos juegan un papel básico no sólo en la divisibilidad numérica, sino también en la de ideales. Recordemos que los ideales primos de Z son de la forma hpi , con p número primo. Además, Z/pZ es cuerpo si p es primo, luego en particular hpi es maximal. En general, en un DIP, ser ideal primo no nulo es equivalente a ser maximal. Veamos qué ocurre en una extensión finita K. Proposición 2.2.11. Sea OK el anillo de enteros algebraicos de un cuerpo de números K . Todo ideal primo no nulo p⊂ OK es maximal, y contiene exactamente un número primo p∈Z . Más aún, OK/p es un cuerpo finito conteniendo a Z/pZ=Fp. Demostración. Sea p un ideal primo no nulo de OK . Como OK es entero sobre Z , p∩Z es un ideal no nulo de Z por la proposición 1.2.8, el cual es evidentemente primo. Por tanto, p∩Z=hpi , para algún primo p∈Z . El ideal p no puede contener ningún otro primo p0 ; de ser así, por la identidad de Bézout, tendríamos α , β∈Z tales que 1 =αp+βp0 y por tanto 1 ∈p , lo cual no puede ser ya que p(OK. 26 CAPÍTULO 2. DESCOMPOSICIÓN DE IDEALES Como OK es entero sobre Z y hpi ⊂ p , OK/p es entero sobre Z/hpi=Fp , el cual es un cuerpo. Por la proposición 1.2.9, OK/p es un cuerpo, y por tanto pes maximal. Para ver ahora que es finito, nos retrotraemos a la prueba de la proposición 2.1.10 hasta llegar a que OK es un Z -módulo noetheriano. Escribámoslo en virtud de la definición 1.1.3 como OK=∑Zgi , con gi los generadores de OK,i=1, . . . , n. Al tener hpi ⊂ p, obtenemos OK  p⊂OK  hpi=∑Zgi  hpi, donde en el último cociente hay una cantidad finita de elementos (exactamente pn ). Concluimos así que OK/p es un cuerpo finito conteniendo a Fp. Observación 2.2.12. La proposición 2.2.11 nos da una reformulación de la observación 2.1.7: todo ideal propio no nulo de OK está contenido en un ideal primo p⊂ OK. 2.3 Dominios de Dedekind Hasta ahora hemos probado que el anillo de enteros de un cuerpo de números es noetheriano y tal que todo ideal primo no nulo del anillo es maximal. En esta sección vamos a ver cómo esas características hacen que podamos encontrar en él la descomposición que tantas carencias presenta la divisibilidad numérica usual. Veamos algunos resultados necesarios para probar el teorema fundamental de esta sección. Recordamos que un anillo será dominio de integridad salvo que se especifique lo contrario. Proposición 2.3.1. Sean A un anillo, p1 , . . . , pr ideales primos invertibles de A , I=p1···pr . Entonces, si I=p0 1···p0 s , con p0 i ideal primo para todo i= 1, . . . , s , se tiene s=r y, tras cierta permutación de subíndices, p0 i=pi para todo i=1, . . . , r. 2.3. DOMINIOS DE DEDEKIND 27 Demostración. Sea p1 el ideal minimal (con respecto a la inclusión) entre p1 , p2 , . . . , pr . Por la proposición 2.2.5, p1⊇I=p0 1···p0 s , por lo que debe existir un subíndice, por ejemplo i= 1, tal que p1⊇p0 1 . De la misma forma, p0 1⊇I=p1···pr , por lo que p0 1⊇pi para algún i= 1, . . . , r , y por la minimalidad de p1, tal subíndice es i=1, luego p1=p0 1. Como p1 es invertible, multiplicando por p−1 1 , obtenemos p2···pr=p−1 1· I=p0 2···p0 s , por lo que p−1 1·I es un ideal entero y podemos seguir aplicando el procedimiento de manera inductiva hasta llegar al resultado deseado. Proposición 2.3.2. Si A es un anillo noetheriano e I es un ideal propio de A , existen ideales primos p1 , . . . , pr de A tales que pi⊇I para todo i=1, . . . , r, pero I⊇p1···pr. Demostración. Si I es primo, se obtiene el resultado de manera inmediata. Sea S el conjunto de todos los ideales propios de A para los que no se cumple el resultado. Si S 6=∅ , por ser A un anillo noetheriano, la proposición 2.1.5 nos dice que existe un ideal I∈ S maximal en S con respecto a la inclusión, el cual no es primo ya que el resultado no se cumple para él. Existen por tanto elementos a , a0∈A tales que a , a06∈ I , y aa0∈I . Sean J=I+hai , J0=I+ha0i . Se tiene I⊂J , J0 , por lo que J , J06∈ S , y J·J0⊆I . Como el resultado se cumple para J y J0 , existen ideales primos de A p1 , . . . , pr , p0 1 , . . . , p0 s tales que pi⊇J⊇p1···pr y p0j⊇J0⊇p0 1···p0 s para todo i= 1, . . . , r , j= 1, . . . , s . Por lo tanto, pi , p0j⊇I⊇J·J0⊇p1···prp0 1···p0 s para todo i , j recorriendo los valores anteriores, luego I6∈ S , lo que contradice la suposición inicial y concluye la prueba. Enunciamos ahora un teorema muy potente que abre el camino de la teoría algebraica de números. Teorema 2.3.3 (Teorema de Dedekind). Sea A un anillo. Son equivalentes: 1. A es noetheriano, integralmente cerrado y todo ideal primo no nulo de A es maximal. 2. Todo ideal entero no nulo de A se puede expresar de manera única como producto de ideales primos. 28 CAPÍTULO 2. DESCOMPOSICIÓN DE IDEALES 3. Todo ideal entero no nulo de A es igual al producto de ideales primos. 4. El conjunto de los ideales fraccionales no nulos de A forma un grupo multiplicativo. Demostración. 1=⇒2 Será esta implicación la que utilicemos más adelante, por tanto la que vamos a demostrar. En las condiciones de (1), vamos a probar el siguiente Lema 2.3.4. Todo ideal primo no nulo de Aes invertible. Sea p ideal primo no nulo de A . Sabemos, por la proposición 2.2.6, p⊆ p·p−1⊆A, y A⊆p−1. Veamos primero que p−16=A. Sea c∈p no nulo. Por la proposición 2.3.2, existen p1 , . . . , pr⊆A ideales primos tales que hci ⊆ pi para todo i= 1, . . . , r , y p1···pr⊆ hci . Por ser c∈p , se tiene p1···pr⊆ hci ⊆ p . Vamos a fijar r como el mínimo que cumple la proposición 2.3.2. Si p1···pr⊆p , por ser p primo, al menos algún pi debe estar contenido en p, digamos p1⊆p. Por (1), pyp1son maximales, luego p=p1. Como r es mínimo, tenemos p2···pr*hci , por lo que existe a∈p2···pr tal que a6∈ hci , luego, al no ser a múltiplo de c , a/c6∈ A . Este elemento a/c está en p−1, ya que p2···pr*py a cp⊆1 cp1···pr⊆A, por lo que A⊂p−1. Veamos ahora que p es efectivamente invertible, es decir, p·p−1=A . Tenemos p=p·A⊆p·p−1⊆A, por lo que p·p−1 es un ideal entero de A que contiene a p . Las únicas opciones son p·p−1=A, o p·p−1=p. Supongamos p·p−1=p . Esto implica que p·p−2= (p·p−1)p−1=p . Repitiendo el procedimiento, obtenemos p·p−n=p , para todo n≥ 1. 2.3. DOMINIOS DE DEDEKIND 29 Sean a∈p , b∈p−1 , a·bn∈p·p−n=p , para todo n≥ 1. El ideal I=∑∞ n=0habni está finitamente generado por ser A un anillo noetheriano, por lo que existen c0 , . . . , cn−1∈A tales que abn=∑n−1 i=0ciabi , y por tanto bn−∑n−1 i=0cibi= 0 y b es entero sobre A . Como A es un DIC por (1), b∈A y concluimos que p−1⊆A , lo cual es absurdo. Debe ser por tanto p·p−1=A , y queda probado que todo ideal primo de Aes invertible. Pasamos de lleno a la prueba que nos concierne. Si I=A , la condición (2) se cumple de manera trivial. Supongamos pues I ideal propio de A , y sean p1 , . . . , pr ideales primos de A tales que, para todo i= 1, . . . , r , pi⊇ I⊇p1···pr (dichos ideales existen por la proposición 2.3.2). Supongamos r≥ 1 como el mínimo posible, y probemos por inducción en r que I puede expresarse como producto de ideales primos. Para r= 1, p1⊇I⊇p1 , luego I=p1 y tenemos lo deseado. Supongamos que el resultado se da para ideales que contienen un producto de a lo sumo r− 1 ideales primos. Sea p⊂A ideal primo tal que p⊇I . De p⊇I⊇p1···pr , se tiene que p contiene algunos ideales pi : supongamos p⊇pr . Por ser ideal primo, p es maximal, luego p=pr . Por el lema 2.3.4, tenemos A=p·p−1⊇I·p−1 r⊇p1···pr−1 . Por hipótesis de inducción, I·p−1 r=p0 1···p0 s tal que cada p0j es un ideal primo, y por tanto I=I·p−1 r· pr=p0 1···p0 s·pr , y se tiene el resultado. La unicidad de descomposición la da la proposición 2.3.1. 2=⇒3 Esta implicación es inmediata. 3=⇒1 [Rib01, § 7.1]. En la sección anterior hemos probado que OK , el anillo de enteros algebraicos de un cuerpo de números K , satisface la condición (1) del teorema 2.3.3. Enunciamos por tanto el siguiente teorema. Teorema 2.3.5. Sea OK el anillo de enteros algebraicos de un cuerpo de números de grado finito K . Entonces, todo ideal fraccional M de K es de la forma M=∏r i=1pei i , donde p1 , . . . , pr son ideales primos distintos entre sí de OK y e1 , . . . , er∈Z∗ . Más aún, M es un ideal entero de OK si, y sólo si, ei> 0para todo i =1, . . . , r. 30 CAPÍTULO 2. DESCOMPOSICIÓN DE IDEALES Demostración. Por definición de ideal fraccional, existe a∈ OK tal que a·M⊆ OK , por tanto hai·M es un ideal entero de OK . Por el teorema 2.3.3 (2), hai y hai· M se pueden escribir de manera única como producto de ideales primos de OK, digamos hai=pc1 1···pcs s,ci≥0∀i∈ {1, . . . , s}, hai·M=pd1 1···pds s,di>0∀i∈ {1, . . . , s}. Notemos que hemos fijado los ideales primos en ambas descomposiciones, por lo que consideramos que algún cipuede ser 0. Por el teorema 2.3.3 (4), hai pertenece al grupo multiplicativo de los ideales fraccionales de OK , por lo que existe hai−1 tal que hai−1·hai=OK , el elemento neutro del producto de ideales. Nos preguntamos qué expresión tiene hai−1. pc1 1···pcs s·hai−1=OK =⇒pc2 2···pcs s·hai−1=p−c1 1, ya que p1 pertenece también al grupo multiplicativo de los ideales fraccionales, y en virtud de la observación 2.2.7, el inverso de pc1 1 es p−c1 1 . Procediendo con el resto de factores de hai, llegamos a hai−1=p−c1 1···p−cs s, y usando que hai· M·hai−1=M por la conmutatividad de la operación (véase observación 2.2.2), M=pd1−c1 1···pds−cs s, de donde se concluye, eliminando exponentes iguales a 0 y renombrando los subíndices, M= r ∏ i=1 pei i,ei∈Z∗∀i∈ {1, . . . ,r}. Trivialmente, obtendremos que M es entero si en su descomposición no aparecen potencias negativas de ideales primos de OK. 2.3. DOMINIOS DE DEDEKIND 31 Definición 2.3.6. Se dice que un anillo A es un dominio de Dedekind (DD) si satisface las propiedades equivalentes del teorema de Dedekind. La gran conclusión de esta sección, y de este capítulo, es que el anillo de enteros algebraicos de un cuerpo de números de grado finito Kes un DD. Vamos ahora a ver algo sobre la aritmética de los DD, conocimiento que nos será útil a la hora de buscar descomposiciones de ideales. Definición 2.3.7. Un ideal entero I de un anillo A se dirá irreducible si I6=J·J0, con J,J0ideales enteros de Adistintos de I. Proposición 2.3.8. En un DD, un ideal es irreducible si, y sólo si, es primo. Demostración. =⇒ Supongamos I irreducible. Al estar en un DD, tenemos dos opciones: I puede ser el ideal nulo (el cual es primo), o es producto de ideales primos. Como es irreducible, debe ser igual a un ideal primo. ⇐= Procederemos por modus tollens. Supongamos I no irreducible, I=J1·J2 . Por ser la divisibilidad de ideales una relación de orden (véase observación 2.2.8), I⊂J1 e I⊂J2 , y por tanto existen a1∈J1 , a2∈J2 tales que a16∈ I , a26∈ I . Tenemos a1·a2∈J1·J2=I , por lo tanto, I no puede ser primo. Proposición 2.3.9. Si p es un ideal primo de un DD A , I , I0 son ideales de Ayp|I·I0, entonces p|Iop|I0. Demostración. Como p|I·I0 , por definición, I·I0=p·J , con J ideal entero de A . Ambos miembros de la igualdad tienen una única descomposición en ideales primos, luego r ∏ i=1 pi=p· s ∏ j=1 p0j, de lo que inmediatamente se deduce, por unicidad de descomposición, que p debe estar entre los pi que descomponen a I·I0 . Debe ser, por tanto, p|I op|I0. Proposición 2.3.10. Sean M , M0 ideales fraccionales no nulos de un DD A.Mdividirá a M0si, y sólo si, M⊇M0. 32 CAPÍTULO 2. DESCOMPOSICIÓN DE IDEALES Demostración. =⇒ Esta implicación la hemos cubierto por ser la divisibilidad de ideales una relación de orden (véase observación 2.2.8). ⇐= Supongamos M0⊆M . Por el teorema 2.3.3, (4), M0 y M pertenecen a un grupo multiplicativo y por tanto existe M−1 ideal fraccional con M0·M−1⊆M·M−1=A . Esto implica que M0·M−1 es un ideal entero de Atal que (M0·M−1)M=M0, luego Mdivide a M0por definición. Proposición 2.3.11. Sea A un DD. Entonces, A será un DFU si, y sólo si, es un DIP. Demostración. ⇐= Esta dirección es bien conocida, ya que todo DIP es un DFU (véase observación 1.2.10). =⇒ Supongamos un anillo A que es DD y DFU. Por ser un DD, todo ideal propio de A se puede escribir de manera única como producto de ideales primos, luego bastará con probar que los ideales primos (maximales) de Ason principales. Sea p⊂A ideal primo, y sea a∈p . Tenemos pues hai ⊆ p , lo que implica, por la proposición 2.3.10, hai=p·I , con I ideal de A . Sea la descomposición de Ien ideales primos I= r ∏ i=1 pαi i,αi∈Z+∀i∈ {1, . . . ,r} =⇒ hai=p r ∏ i=1 pαi i. Como A es un DFU, a=x1···xs , con xj elemento irreducible de A para todo j∈ { 1, . . . , s} . Esto es, hai=hx1i···hxsi . Los ideales hxji son, de nuevo, irreducibles para todo j∈ { 1, . . . , s} , ya que A es un DFU. Por la proposición 2.3.8, estos ideales irreducibles son primos, y además, la igualdad hx1i···hxsi=p r ∏ i=1 pαi i implica, por unicidad de descomposición en un DD, que la descomposición en irreducibles del miembro izquierdo de la igualdad debe coincidir con la 2.3. DOMINIOS DE DEDEKIND 33 del miembro derecho, por lo que los ideales primos de A son principales. Resumen 1. El anillo de enteros OK de un cuerpo de números K es un dominio de Dedekind. 2. En K podemos encontrar una estructura llamada ideal fraccional que tiene una descomposición única en ideales primos de OK. 3. OK sólo podrá ser dominio de factorización única si es dominio de ideales principales. 40 CAPÍTULO 3. BREVE INTERLUDIO ALGEBRAICO uno? A pesar de los avances llevados a cabo en esta rama, aún sigue sin demostración la siguiente Conjetura 3.1.11. Existen infinitas extensiones cuadráticas reales con número de clases uno. Esta intuición se remonta a Gauss, a quien la autora de este trabajo no se atrevería nunca a contradecir. Es por esto que, en el siguiente capítulo, sólo veremos algunos ejemplos de descomposición de ideales en el anillo de enteros de extensiones cuadráticas reales con número de clases uno. 3.2 Reciprocidad cuadrática Una vez vista la idiosincrasia teórica de este trabajo, debemos pasar a cuestiones más técnicas. En esta sección hablaremos del theorema aureum enunciado por Leonhard Euler, demostrado erróneamente por Adrien-Marie Legendre y demostrado ocho veces (correctamente) por Karl F. Gauss. Con este fascinante teorema nos convertiremos en Oompa Loompas y procederemos a mancharnos las manos atacando la factorización de primos en los cuerpos de números que nos esperan. En adelante denotaremos como p a un número primo impar. La problemática que pretendemos resolver es la siguiente: dado a∈Z , determinar qué condiciones debe darse a ppara que la ecuación en congruencias x2≡am´ od p tenga solución. Definición 3.2.1. Se dirá que a∈Z es un residuo cuadrático módulo p si existe x∈Z/pZsatisfaciendo la ecuación anterior. Vamos a definir ahora un objeto tremendamente útil a la hora de tratar con residuos cuadráticos. 3.2. RECIPROCIDAD CUADRÁTICA 41 Definición 3.2.2. Definimos el símbolo de Legendre de a y p como a p=     1 si aes un residuo cuadrático mód p, −1 si ano es un residuo cuadrático mód p, 0 si p|a. La siguiente proposición nos da unas cuantas propiedades del símbolo de Legendre que nos serán de ayuda a la hora de calcularlo. Proposición 3.2.3. Sea a∈Z. (a) a(p−1)/2 ≡(a/p)m´ od p. (b) (ab/p) = (a/p)(b/p). (c) Si a≡bm´ od p,(a/p) = (b/p). Demostración. [IR90, § 5.1]. Corolario 3.2.4. Hay tantos residuos cuadráticos no nulos módulo p como no residuos cuadráticos, exactamente (p−1)/2. Demostración. [IR90, § 5.1]. Enunciaremos ahora el ya mencionado theorema aureum, bautizado así por Gauss por ser uno de los resultados más profundos y bonitos de la teoría de números, el primero de varios teoremas de reciprocidad. Teorema 3.2.5 (Ley de reciprocidad cuadrática). Sean p y q primos impares de Z. Entonces (a) (−1/p) = (−1)(p−1)/2. (b) (2/p) = (−1)(p2−1)/8. (c) (p/q)(q/p) = (−1)(p−1)(q−1)/4. Demostración. [IR90, § 5.3]. Observación 3.2.6. La ley de reciprocidad cuadrática puede enunciarse de manera equivalente de la siguiente forma: dados p y q primos impares, las 42 CAPÍTULO 3. BREVE INTERLUDIO ALGEBRAICO congruencias x2≡qm´ od p x2≡pm´ od q son ambas resolubles o ambas irresolubles excepto si p y q son congruentes con 3 módulo 4, caso en el cual una de ellas tiene solución y la otra no. Tras esta reformulación, podemos apreciar lo impresionante del resultado y cómo el símbolo de Legendre es un objeto tremendamente útil y profundo. Ilustremos la potencia del teorema 3.2.5 con el siguiente Ejemplo. Sean p=9907, a=1001. Por la proposición 3.2.3 (b), 1001 9907=7 9907 11 9907 13 9907. Por el teorema 3.2.5 (c), 7 99079907 7= (−1)(6·9906)/4 =−1 Por la proposición 3.2.3 (c), 9907 7=2 7, y, por el teorema 3.2.5 (b), 2 7= (−1)6=1=⇒7 9907=−1. Notemos que podemos simplificar la escritura al aplicar la ley de reciprocidad cuadrática. En el caso anterior, como ( 7 / 9907 )( 9907 / 7 ) = − 1, multiplicando en ambos lados por ( 9907 / 7 ) obtenemos ( 7 / 9907 ) = −( 9907 / 7 ) , ya que un símbolo de Legendre distinto de cero al cuadrado siempre es 1. Así, 11 9907=−9907 11 =−7 11 3.3. CONDICIONES DE DESCOMPOSICIÓN 43 7 11=−11 7=−4 7, y, como 22≡4 m´ od 7, (4/7) = 1 y por tanto (7/11) = −1, luego 11 9907=1. Por último, 13 9907=9907 13 =1 13=1. Obtenemos así 1001 9907=−1, y 1001 no es un residuo cuadrático módulo 9907. 3.3 Condiciones de descomposición Ya sabemos a dónde vamos a restringirnos para estudiar el problema enunciado en la introducción de este trabajo. En esta sección vamos a dar un resultado muy interesante que nos proporcionará una condición necesaria para que, dado un primo p∈Z , éste pueda escribirse como x2+ny2 , con n,x,y∈Z, con npreviamente fijado. Antes de hablar de él, sin embargo, haremos unas cuantas observaciones acerca de la acción de automorfismos de Galois sobre ideales en una extensión. Sean L una extensión de Galois de grado finito de un cuerpo de números K , OL y OK sus respectivos anillos de enteros. Los automorfismos de Gal(L/K) dejan fijos a los elementos de K y transforman en sus conjugados a los de L . En particular, σ(OL)⊆ OL para todo σ∈Gal(L/K) , y, a su vez, OL=σ(σ−1(OL)) ⊆σ(OL), luego OL=σ(OL). Se deriva la siguiente Observación 3.3.1. Sean I ideal de OL , σ∈Gal(L/K) . Entonces, σ(I)⊆ OL es un ideal, y σ(I)∩OK=I∩OK. 44 CAPÍTULO 3. BREVE INTERLUDIO ALGEBRAICO Tras estas puntualizaciones, enunciamos un resultado interesante que usaremos más adelante. Proposición 3.3.2. Sean L una extensión de Galois de grado n de un cuerpo de números K , y OL , OK sus respectivos anillos de enteros. Si p , p0 son ideales primos de OL tales que p∩OK=p0∩OK6= 0, existe un automorfismo σ∈Gal(L/K)tal que σ(p) = p0. Demostración. [Rib01, § 11.1]. Damos ahora el teorema anunciado al principio de la sección sobre descomposición de ideales primos en extensiones de Galois, el cual es, cuanto menos, impresionante. Teorema 3.3.3. Sean K un cuerpo de números, L una extensión de Galois de K , OK y OL sus respectivos anillos de enteros, p⊂ OK ideal primo no nulo. Supongamos que existe un elemento primitivo t∈L tal que OL=OK[t] , y llamemos F al polinomio mínimo de t sobre K . Sea F la proyección natural de F en OK/p , F=∏r i=1Gi ei su descomposición en polinomios irreducibles sobre OK/p , Gi∈ OK[X] , ei∈N para todo i= 1, . . . , r . Entonces, OLp=∏r i=1qei i , con qi⊂ OLideales primos no nulos distintos para todo i =1, . . . , r. Demostración. [Rib01, § 11.1]. El resultado anterior se puede enunciar de manera aún más potente relacionando la descomposición de F con la de OLp , pero no nos interesa llegar tan lejos. Nos es suficiente con lo que tenemos para enunciar la siguiente Proposición 3.3.4. Sean K=Q(√m) , m∈Z libre de cuadrados, p∈Z primo impar. Entonces, Si (m/p) = 1, entonces hpi=p·q , con p y q ideales primos distintos de OK, y se dice que p se descompone totalmente en K. Si (m/p) = − 1, entonces hpi es un ideal primo, y decimos que p es inerte en K. Si (m/p) = 0, entonces hpi=p2 , con p ideal primo de OK , y se dice que p ramifica en K. 3.3. CONDICIONES DE DESCOMPOSICIÓN 45 Demostración. Tomamos, en el teorema 3.3.3, K=Q(√m) extensión de Galois de Q , Z y OK los anillos de enteros de Q y K respectivamente, t=√m si m≡ 2,3 m´ od 4, t= ( 1 +√m)/ 2 si m≡ 1 m´ od 4, hpi ideal primo de Z,Fdefinido como F=(X2−msi m≡2,3 m´ od 4, X2−X+1−m 4si m≡1 m´ od 4. Vayamos primero al caso en el que m≡ 2,3 m´ od 4, y veamos cómo se descompone Fen Z/pZ. X2−mm´ od p=                (X+√m)(X−√m)si m p=1, X2−msi m p=−1, X2si m p=0. Si m≡1 m´ od 4, las raíces de Fson X1=1+√m 2,X2=1−√m 2, a partir de lo cual se obtiene X2−X+1−m 4m´ od p=                (X−X1)(X−X2)si m p=1, X2−X+1−m 4si m p=−1, (X−1 2)2si m p=0. En ambos casos, por el teorema 3.3.3, se obtiene la descomposición deseada. 46 CAPÍTULO 3. BREVE INTERLUDIO ALGEBRAICO Resumen El objetivo de este trabajo, que es dar condiciones a un número primo p para que se pueda escribir como x2+ny2 , con n , x , y∈Z y n fijado, va a restringirse sólo a ciertos n dentro de la lista de los que cumplen que Q(√n)tiene número de clases uno. 4 Cuerpos de números In an ideal world, primes would start at 3. (En un mundo ideal, los primos empezarían en el 3.) — Number theory professor En este capítulo final vamos a ver cómo todo lo visto hasta ahora ayuda de manera contundente a responder a la pregunta inicial restringida a algunos casos motivados por el capítulo anterior. La proposición 3.3.4 nos indica que nos interesará, dados una extensión cuadrática K con hK= 1 y un primo p∈Z , delimitar las condiciones sobre las que p se descompone totalmente en K . Por ser hK= 1, OK es un DIP, y con esto vamos a sacar unas cuantas conclusiones. Observación 4.0.1. Sean p primo tal que éste se descompone totalmente en K , extensión cuadrática de Q , hpi=p·q su descomposición en ideales primos. Trivialmente, tenemos hpi ⊆ p∩Z, hpi ⊆ q∩Z. Notemos que estamos cometiendo un abuso de notación: en las contenciones que hemos expresado, estamos considerando hpi como ideal primo de Z , no como ideal de OK . Al ser hpi un ideal primo de Z , éste es maximal, y por ser p∩Zyq∩Zideales primos, debe ser p∩Z=q∩Z=hpi. 48 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE NÚMEROS Observación 4.0.2. Sea K=Q(√m) extensión de Galois de Q , m∈Z y libre de cuadrados. Es claro que, por ser K una extensión cuadrática, Gal(K/Q) tendrá dos elementos: el automorfismo identidad, al que denotaremos id , y el automorfismo que manda un elemento de K a su conjugado, al que denotaremos σ. Las observaciones 4.0.1 y 4.0.2 nos indican que estamos en las condiciones de aplicar la proposición 3.3.2, que nos lleva al fantástico resultado hpi=p·q=⇒p=hαi,q=hαi, con α∈ OK , α=σ(α)∈ OK . Ahora bien, como OK es un DIP, se tiene la igualdad p=u·αα,u∈ O× K, y, como pyαα son enteros racionales, p=±αα. (4.1) Este producto de elementos de OK nos dará una forma cuadrática, lo que concluye el porqué del interés en este caso. Cuando p ramifique en K , estudiaremos su expresión en cada extensión de forma particular. 4.1 Extensiones cuadráticas imaginarias Vimos en el capítulo anterior que el conjunto de extensiones de este tipo con número de clases uno era bastante reducido (véase proposición 3.1.10). Es por esto que las vamos a estudiar una a una, no sin antes hacer la siguiente Observación 4.1.1. Si α∈ OK , con OK anillo de enteros de una extensión cuadrática imaginaria Kcon número de clases uno, αα ≥0, por lo que la igualdad (4.1) se traduce por p=αα, ya que suponemos p>0. 4.1. EXTENSIONES CUADRÁTICAS IMAGINARIAS 49 4.1.1 Q(√−1)yQ(√−2) En estos cuerpos de números tenemos que los radicandos son congruentes con 3 y 2 módulo 4, respectivamente. La proposición 1.4.2 nos dice que OQ(√−1)=Z[√−1] = Z[i]yOQ(√−2)=Z[√−2]. Veamos primero la casuística de los primos que ramifican. En el caso de K−1=Q(√−1) , no hay primos impares que ramifiquen ya que deberían dividir a 1. Estudiemos el caso del primo que nos falta por separado. Sea p= 2. Por el teorema 3.3.3, 2 ramificará en K−2 si F=X2+ 1 se descompone como un polinomio irreducible al cuadrado módulo 2; y obtenemos que, efectivamente, ese es el caso, ya que X2+1= (X+1)2m´ od 2, por lo que 2 ramifica en K−1, y podemos escribir 2=12+12. En el caso de K−2=Q(√−2) , el polinomio mínimo de √−2 es F=X2+ 2, y por ser F≡X2m´ od 2, obtenemos de nuevo que p=2 ramifica, y además podemos escribir 2=02+2·12. Ahora, busquemos primos impares que descompongan totalmente en las extensiones en cuestión. Por la proposición 3.3.4, en K−1, tenemos pse descompone totalmente en K−1⇐⇒ −1 p=1. ¿Qué condiciones debe cumplir un primo p para que se dé la igualdad anterior? Aplicando lo visto en la sección 3.2, −1 p= (−1)(p−1)/2, 56 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE NÚMEROS −11 p=1⇐⇒ p≡1,3, 4,5, 9 m´ od 11. −19 p=1⇐⇒ p≡1,4, 5,6, 7,9, 11,16,17 m´ od 19. Se puede apreciar que la lista de congruencias aumentará considerablemente para los casos restantes; de hecho, por el corolario 3.2.4, para n= 43 tendremos una lista de veintiún números con los que puede ser congruente p , para n= 67 la lista será de treinta y tres, y para n= 163, de ochenta y uno. Escribir estas listas de congruencias carece de interés matemático, por lo que hablaremos de los casos n= 11 y n= 19 ya expuestos y trasladaremos las conclusiones al resto. Intentemos, pues, hacer en K−11 algo parecido a lo que hicimos en los casos de K−3 y K−7 . Sea p primo tal que p≡ 1,3,4,5,9 m´ od 11, α= a+b( 1 +√−11)/ 2 ∈ OK−11 el generador de uno de los ideales primos en los que se descompone hpi. Entonces, p= a+b 1+√−11 2!! a+b 1−√−11 2!!=a2+ab +3b2. (4.4) La expresión como forma cuadrática de p dada por (4.4), como pasaba con la de (4.2), sólo nos asegura que a y b no pueden ser pares a la vez. En este caso, sin embargo, no tenemos una forma sencilla de buscar enteros que satisfagan p=x2+ 11 y2 de la misma forma en la que lo hicimos en K−3 , ya que las unidades de OK−11 son únicamente 1 y -1 (véase proposición 3.1.6). Lo mismo ocurre en K−19 , donde O× K−19 ={± 1 } y, si p se descompone totalmente, satisface la forma cuadrática p= a+b 1+√−19 2!! a+b 1−√−19 2!!=a2+ab +5b2, (4.5) por lo que de nuevo sólo sabemos que aybno son pares a la vez. 4.1. EXTENSIONES CUADRÁTICAS IMAGINARIAS 57 Para el resto de casos, p=a2+ab +11b2si pse descompone totalmente en K−43, p=a2+ab +17b2si pse descompone totalmente en K−67, p=a2+ab +41b2si pse descompone totalmente en K−163, tenemos las mismas dificultades que en los dos casos previos. Lamentablemente, no tenemos las herramientas teóricas necesarias para seguir avanzando; para ver más lejos hay que subirse a hombros de gigantes como David Hilbert. Teorema 4.1.4. Sean n> 0un entero racional, h(−n) el número de clases del cuerpo de números K=Q(√−n) . Entonces, existe un polinomio mónico irreducible fn(x)∈Z[x] de grado h(− 4 n) tal que, si un primo impar p no divide a n ni al discriminante de fn(x), entonces p=x2+ny2⇐⇒ ((−n/p) = 1y fn(x)≡0 m´ od p posee una solución entera. Demostración. [Cox13, § 2.9]. Este teorema se engloba en la teoría de los cuerpos de clases de Hilbert, caso concreto a su vez de la teoría de cuerpos de clases, donde se tiene como objetivo clasificar las extensiones abelianas de un cuerpo. La expresión del polinomio fn(x) mencionado en el teorema se obtiene del polinomio mínimo de una extensión particular del cuerpo de números K=Q(√−n) . La potencia de este teorema es tal, que las condiciones expuestas son suficientes para cualquier n> 0, por lo que, como es natural, no es tarea fácil encontrar el polinomio fn(x) y por tanto dar unas condiciones necesarias y suficientes para que un primo impar p se pueda escribir como x2+ny2 , con x,y∈Z,n∈N. 58 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE NÚMEROS Nosotros, por tanto, nos quedamos con los resultados p=x2+xy +3y2,x,y∈Z⇐⇒ p≡1,3,4,5,9 m´ od 11, p=x2+xy +5y2,x,y∈Z⇐⇒ p≡1,4,5,6,7,9,11,16,17 m´ od 19, p=x2+xy +11y2x,y∈Z⇐⇒ p 43=1, p=x2+xy +17y2x,y∈Z⇐⇒ p 67=1, p=x2+xy +41y2x,y∈Z⇐⇒ p 163=1. 4.2 Extensiones cuadráticas reales Sea K=Q(√m),m∈Z,m>0 y libre de cuadrados. Las extensiones cuadráticas tienen una particularidad que las distingue notablemente de las imaginarias. Sea x2−ny2=1 (4.6) la ecuación de Pell, con n∈N y distinto de un cuadrado perfecto. En estas condiciones, Joseph Louis Lagrange demostró que dicha ecuación tiene infinitas soluciones para x , y∈Z (véase [Wei07, § II.XIV]). De este resultado se puede inferir que el anillo de enteros de Q(√n) tiene infinitas unidades. Esto hace que, si encontramos una solución a la ecuación p=±(x2−ny2) , se puedan construir infinitas expresiones para dicha igualdad. La conjetura 3.1.11 nos obliga, para tristeza de todos, a dar sólo algunos ejemplos de descomposición de primos de Z en extensiones cuadráticas reales. Para m= 2,3, se tiene hK= 1, así que veamos cómo se procede en Q(√2)y en Q(√3). 4.2. EXTENSIONES CUADRÁTICAS REALES 59 4.2.1 Q(√2) Sea K2=Q(√2). Por la proposición 1.4.2, OK2=Z[√2]. Como en el caso imaginario, empecemos por p=2, el primo especial. Sea F=X2−2 el polinomio mínimo de √2 en K2. F≡X2m´ od 2, luego 2 ramifica en K2por el teorema 3.3.3, y podemos escribir 2=22−2·12, y 2 =2·32−42 Veamos ahora qué condiciones debe cumplir un primo impar p para descomponerse totalmente en K2 , es decir, qué debe cumplir p para que se dé (2/p) = 1. 2 p= (−1)(p2−1)/8. Aprovechamos el calculote hecho en el caso de Q(√−2)para concluir 2 p=1⇐⇒ p≡1,7 m´ od 8. Concluimos por tanto p=     x2−2y2 o 2y2−x2 x,y∈Z⇐⇒ p=2 o p≡1,7 m´ od 8. Veamos la construcción de las infinitas expresiones de p como ±(x2−2y2) a partir de soluciones de la ecuación de Pell (4.6), con n= 2. Sea a2− 2 b2 una expresión de p , con a , b∈Z . Entonces, si (x , y) es una solución entera racional de (4.6) con n=2, p= (a2−2b2)(x2−2y2) = (ax +2by)2−2(ay +bx)2, (4.7) 60 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE NÚMEROS y mediante esa construcción se obtienen infinitas expresiones de p , una por solución de (4.6) con n=2. Comprobemos que, efectivamente, la fórmula del miembro derecho de la igualdad en (4.7) genera expresiones de p. Hemos visto 2=22−2·12, luego sean a= 2, b= 1. Una solución para n= 2 de (4.6) es x= 3, y= 2. Sustituimos en (4.7) y obtenemos (6+4)2−2(4+3)2=102−2·72=2, y hemos generado otra expresión de p= 2 como un entero racional al cuadrado menos dos veces el cuadrado de otro entero racional. Sea ahora 2 b2−a2 una expresión de p , con a , b∈Z . Aplicando el mismo razonamiento, p= (2b2−a2)(x2−2y2) = 2(bx +ay)2−(2by +ax)2, (4.8) y el miembro derecho de (4.8) genera infinitas expresiones de p a partir de soluciones de (4.6) con n=2 una vez que encontramos una. 4.2.2 Q(√3) Sean K3=Q(√3),OK3=Z[√3]por la proposición 1.4.2. Veamos qué se trama p= 2 en esta extensión. Sea F=X2− 3 el polinomio mínimo de √3 en K3. Tenemos F≡X2+1≡(X+1)2m´ od 2, por lo que 2 ramifica en K3por el teorema 3.3.3, y podemos escribir 2=3·32−52. Pasemos a los primos impares. En K3 , p= 3 ramifica, y podemos expresarlo como 3=3·12−02. 4.2. EXTENSIONES CUADRÁTICAS REALES 61 Veamos para finalizar qué primos se descomponen totalmente. 3 p= (−1)(p−1)/2p 3. Combinamos la paridad del exponente (p− 1 )/ 2 con el signo de (p/ 3 ) , y obtenemos p−1 2par =⇒p≡1 m´ od 4, p 3=1=⇒p≡1 m´ od 3, p−1 2impar =⇒p≡3 m´ od 4, p 3=−1=⇒p≡2 m´ od 3. Aplicando el teorema chino del resto, obtenemos que la condición para que pse descomponga totalmente en K3es p≡1, 11 m´ od 12. Así, concluimos p=     x2−3y2 o 3y2−x2 x,y∈Z⇐⇒ p=2, p=3 o p≡1,11 m´ od 12. Vamos a dar una expresión explícita, como hicimos en K2 , de las infinitas expresiones de un primo si se puede escribir como x2− 3 y2 o como 3 y2−x2 a partir de soluciones de la ecuación de Pell (4.6) para n=3. Si p=a2− 3 b2 es una expresión de p , con a , b∈Z , y (x , y) es una solución entera racional de (4.6) para n=3, p= (a2−3b2)(x2−3y2) = (ax +3by)2−3(ay +bx)2. Si p=b2−3a2, en las mismas condiciones, p= (b2−3a2)(x2−3y2) = 3(bx +ay)2−(3by +ax)2. 62 CAPÍTULO 4. CUERPOS DE NÚMEROS Conclusiones El problema que hemos abordado en este trabajo, por simple que pudiere parecer, nos ha hecho sumergirnos en sitios muy concretos de la teoría algebraica de números. Hemos visto cómo, por intentar resolver lo que aquí hemos tocado sin el cuidado que merece, se han creado nuevas herramientas y hecho descubrimientos tan fascinantes como el teorema de Dedekind, la ley de reciprocidad cuadrática o el teorema de descomposición de ideales primos en extensiones de Galois. A partir de una idea escrita en los márgenes de un libro, una intuición que pudiera parecer anecdótica, se ha abierto paso una rama de estudio que de tan majestuosa puede incluso antojarse terrorífica. Mi viaje por la teoría algebraica de números ha estado lleno de asombro y frustraciones, siendo sin duda una profunda fascinación por el misterio de los números primos lo que ha acabado primando. Así, la verdadera conclusión es que siempre hay un paso más allá que dar, porque, caminante, no hay camino, se hace camino al andar. Bibliografía [AM69] MICHAEL F. ATIYAH y IAN G. MACDONALD.Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969. [Bos11] JOHAN BOSMAN.Algebraic Number Theory. Free Software Foundation, 2011. [Cox13] DAVID A. COX.Primes of the Form x2+ny2 . Second. Pure and Applied Mathematics (Hoboken). John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2013 (vid. págs. 4, 57). [DF04] DAVID S. DUMMIT y RICHARD M. FOOTE.Abstract Algebra. Third. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2004. [Ful89] WILLIAM FULTON.Algebraic Curves. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989 (vid. pág. 10). [IR90] KENNETH IRELAND y MICHAEL ROSEN.A Classical Introduction to Modern Number Theory. Second. Vol. 84. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1990 (vid. pág. 41). [KKS00] KAZUYA KATO, NOBUSHIGE KUROKAWA y TAKESHI SAITO. Number Theory 1: Fermat’s Dream. Vol. 186. Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000 (vid. pág. 39). [KKS11] KAZUYA KATO, NOBUSHIGE KUROKAWA y TAKESHI SAITO. Number Theory 2: Introduction to Class Field Theory. Vol. 240. Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. 64 BIBLIOGRAFÍA [MW92] RICHARD A. MOLLIN y HUGH C. WILLIAMS. «Computation of the class number of a real quadratic field». En: Utilitas Math. 41 (1992) (vid. pág. 39). [Neu99] JÜRGEN NEUKIRCH.Algebraic Number Theory. Vol. 322. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1999 (vid. pág. 39). [Rib01] PAULO RIBENBOIM.Classical Theory of Algebraic Numbers. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2001 (vid. págs. 11, 16, 21, 22, 29, 44). [Sta67] HAROLD M. STARK. «A complete determination of the complex quadratic fields of class-number one». En: Michigan Math. J. 14 (1967) (vid. pág. 39). [Ste12] PETER STEVENHAGEN.Number Rings. 2012. [Wei07] ANDRÉ WEIL.Number Theory. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2007 (vid. pág. 58). [Zag90] DON B. ZAGIER. «A one-sentence proof that every prime p≡ 1 (m´ od 4 ) is a sum of two squares». En: Amer. Math. Monthly 97.2 (1990) (vid. pág. 5).