Descripción experimental del impacto de gotas sobre una capa líquida de altura variable

i Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable Autor: Alejandro Zurita Van Dinter Tutor: Guillaume Riboux Acher Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Uni Sevilla, 2016 iii Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable Autor: Alejandro Zurita Van Dinter Tutor: Guillaume Riboux Acher Profesor Contratado Doctor Interino Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 v Trabajo Fin de Grado: Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable Autor: Alejandro Zurita Van Dinter Tutor: Guillaume Riboux Acher El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2016 El Secretario del Tribunal vii Resumen El presente trabajo se basa en el estudio experimental del impacto de gotas de agua de tamaño milimétrico contra capas de pequeño espesor del mismo líquido. A lo largo del mismo se detallarán el diseño y los componentes del montaje que se empleará para la realización de los experimentos. Se mostrará también el procedimiento correspondiente a la propia toma de medidas: desde los pasos previos hasta la realización de los experimentos y las acciones posteriores a la ejecución de los mismos. La parte central de nuestro trabajo, sin embargo, será la interpretación de los resultados obtenidos de forma experimental. Se obtendrán las evoluciones con el número de Weber de ciertas variables correspondientes tanto a la caída de la gota como a la evolución de la entrefase tras producirse el impacto, y se compararán los resultados obtenidos para las distintas alturas de líquido. ix Índice Resumen vii Índice ix Índice de Figuras xi Notación xiii 1 Introducción 1 2 Análisis del problema 5 2.1. Presentación del problema. Parámetros de interés 5 2.2. Diseño del procedimiento experimental 2.2.1 Opciones descartadas 6 2.2.2 Solución adoptada 7 2.2.3 Influencia de las dimensiones del tanque en los experimentos 9 2.2.4 Dimensiones elegidas para el tanque 10 3 Realización del montaje 13 3.1. Descripción del montaje 13 3.1.1. Mesa de trabajo 13 3.1.2. Tanque o depósito 13 3.1.3. Escala vertical 15 3.1.4. Sistema de inyección de gotas 15 3.1.5. Cámara de alta velocidad 16 3.1.6. Iluminación 18 3.2. Layout general y conexiones entre componentes 20 3.3. Software empleado 20 4 Realización de los experimentos 23 4.1. Preparación previa 23 4.2. Toma de medidas 24 4.3. Acciones posteriores 26 5 Estudio de la caída de la gota 27 5.1. Punto de partida 27 5.1.1. Funcionamiento del programa 27 5.2. Análisis de la caída de la gota 30 5.2.1. Determinación del diámetro medio 31 5.2.2. Determinación de la velocidad de impacto de la gota 31 5.2.3. Determinación del número de Weber 32 5.2.4. Determinación del número de Weber crítico 32 5.3. Presentación e interpretación de los resultados 33 2 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable a estudiar su impacto contra la superficie y las características de la entrefase que se genera ante este impacto, en lo que probablemente sea la parte más significativa de nuestro estudio. Se analizarán aspectos como la evolución temporal de la altura y el radio de la entrefase, así como alturas y radios máximos alcanzados por la misma y velocidades horizontales y verticales. 1.1 Estudios anteriores de interés Antes de pasar al análisis de nuestro problema, comentaremos brevemente una serie de estudios que guardan relación con el mismo, y que se centran en el impacto de gotas tanto sobre superficies sólidas como sobre capas líquidas. Mucho se ha escrito acerca del impacto de gotas sobre una superficie sólida. Lee et al. [1] midieron la máxima extensión de gotas de diferentes líquidos al impactar contra superficies sólidas lisas y rugosas, para un determinado rango de velocidades. El resultado fue un escalado universal que relacionaba la extensión máxima de la gota con la velocidad de impacto, y que era válido tanto para velocidades de impacto bajas como para aquellas consideradas altas. Las características del líquido y de la superficie de impacto se tenían en cuenta mediante un reescalado de la curva anterior. Los profesores Riboux y Gordillo encontraron en un reciente artículo [2] (2014) un criterio para determinar la velocidad crítica por encima de la cual se eyectan tras el impacto, de forma violenta, minúsculas partículas de la gota hacia el exterior, en lo que se conoce como un splash. Por debajo de esta velocidad, la gota simplemente se extiende sobre la superficie. Para llegar a esta conclusión realizaron un experimento consistente en formar gotas milimétricas de distintos líquidos, de radio R, y dejarlas caer sobre una placa de cristal. El comportamiento de las gotas tras el impacto se registraba mediante una cámara de alta velocidad. La velocidad de impacto V se modificaba mediante la variación de la distancia existente entre el extremo de la aguja inyectora y la placa. Este trabajo se basará en una serie de experimentos realizados con una metodología muy similar a la que fue usada en [2], lo que hace especialmente importante su mención. En nuestro diseño, sin embargo, se tendrán en cuenta las particularidades que conlleva el impacto sobre una superficie líquida. En cuanto al estudio del impacto de gotas sobre capas de líquido de pequeño espesor, podemos distinguir entre aquellas investigaciones orientadas al impacto sobre capas finas y aquellas orientadas al impacto sobre capas muy finas. En relación con el primer caso tenemos que destacar el trabajo realizado por Lagubeau et al. [3], enfocado al estudio de los patrones geométricos que surgían en el líquido ante el impacto de una gota, que según encontraron tenían forma de flor, con un cráter o depresión, en torno al cual surgía una corola. En relación con el segundo caso son de gran interés los experimentos realizados por Wang y Chen [4] en el que, mediante un novedoso método llamado curtain coating se conseguían espesores extremadamente pequeños de líquido sobre placas, que se extendían de forma totalmente uniforme. Este experimento se usó para determinar que el número de Weber crítico para el que se producía el fenómeno de splash no dependía del cociente adimensional entre el espesor de la capa de líquido y el diámetro de la gota por debajo de un valor muy pequeño de dicho cociente. Otro estudio de interés relacionado con nuestro trabajo, realizado por Bergmann et al. [5], se Introducción 3 centró en espesores de líquido mucho mayores: consistió en el impacto controlado de un disco sobre la superficie de un tanque de agua. Se analizó la forma de la cavidad transitoria que se generaba y se compararon imágenes tomadas en los experimentos con simulaciones numéricas. Se observó que el modelo numérico aproximaba con gran exactitud el comportamiento dinámico de la cavidad. 4 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable 2 ANÁLISIS DEL PROBLEMA n este capítulo se realizará un estudio físico de nuestro problema. Este estudio se hace imprescindible para una adecuada comprensión del mismo. Comenzaremos presentando el propio problema y los parámetros que en él intervienen. Posteriormente se realizará un análisis de distintas alternativas a la hora de realizar el montaje experimental en el que se justifique la elección final y se expliquen las razones por las que se descartan las demás opciones: el adecuado diseño y montaje del experimento es de una importancia vital en el desarrollo de este trabajo. Por último, se mostrarán los resultados de la optimización del diseño elegido, dotando a éste de unas dimensiones concretas. 2.1 Presentación del problema. Parámetros de interés Los experimentos que se van a realizar en este trabajo van a consistir en hacer impactar una serie de gotas de agua, que serán generadas por una jeringa y cuyo diámetro resulta ser fijo como se comprobará posteriormente, contra una capa de agua de un cierto espesor 𝐻, que será variable. La otra variable de nuestro problema será el número de Weber, que mide la importancia relativa de las fuerzas de inercia y las de tensión superficial como un cociente entre las mismas: 𝑊𝑒=𝜌𝑉2𝑅 𝜎 (2.1) Donde 𝜌=1000 𝑘𝑔/𝑚3 es la densidad del agua, 𝑅 es el radio de la gota, 𝑉 es la velocidad de impacto de la gota sobre la superficie y 𝜎=70·10−3 𝑁/𝑚 es la tensión superficial que hemos considerado para el agua. Nuestro objetivo con esta serie de experimentos es determinar el número de Weber crítico o de splash, así como las evoluciones con el propio número de Weber de una serie de parámetros, que se enumeran a continuación: - Radio máximo alcanzado por la entrefase tras el impacto. - Altura máxima alcanzada por la entrefase tras el impacto. - Velocidad media alcanzada en dirección horizontal por la entrefase. - Velocidad media alcanzada en dirección vertical por la entrefase. La variación del número de Weber se conseguirá modificando la altura desde la cual la jeringa expulsa la gota, lo cual influirá en su velocidad de caída. La variación de la altura 𝐻 será algo que requerirá una explicación más en detalle y que estará muy relacionado con la forma en la que llevaremos a cabo el experimento. En la realización de los experimentos se usará siempre agua. Por otro lado, el diámetro de la gota que impacta se mantendrá también constante al utilizarse la misma aguja para realizar todos los experimentos. Se profundizará en este tema en un apartado posterior. E 6 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable 2.2 Diseño del procedimiento experimental En esta sección se detallará el diseño del experimento en el que se basará nuestro estudio. La principal dificultad de este diseño radica en determinar la forma en la que se variará la altura 𝐻 de agua sobre la superficie lisa. Se presentarán, a continuación, en primer lugar las alternativas descartadas, y después la solución elegida. Se justificarán en cada caso las decisiones adoptadas. 2.2.1 Opciones descartadas En primer lugar hay que tener en cuenta que tanto los medios como el tiempo del que disponemos nos impiden realizar costosos montajes como el llevado a cabo en [4]. Por lo tanto, nuestra solución deberá ser simple pero a la vez adecuada, teniendo en cuenta las características físicas del problema que vamos a analizar. La primera alternativa que se barajó consistía en una placa metálica cuadrada que tuviera unos bordes con una altura suficiente, y de la cual conociéramos el lado de la base 𝐿. Esto significa que para lograr la altura de líquido deseada 𝐻𝑑 sólo tendríamos que inyectar mediante una jeringa el volumen de agua correspondiente, que sería: 𝑉𝑑=𝐻𝑑·𝐿2 (2.2) Una vez finalizado el experimento se limpiaría la placa cuidadosamente para evitar que restos del líquido pudieran afectar a posteriores experimentos. En la figura 2-1 se muestra un esquema del montaje, en el que se aprecian los grados de libertad que tendría el sistema, así como los componentes del mismo. Figura 2-1. Esquema del montaje correspondiente a la principal solución descartada. Al ser necesaria la introducción de una jeringa para la inyección de agua, tendríamos que disponer de un sistema que permitiera que tanto la aguja como esa jeringa fueran móviles en sentido horizontal, para poder coordinar adecuadamente la expulsión del líquido: en principio, para que el experimento fuera válido, la aguja y la jeringa deberían estar una encima de la otra. Una vez que hubiéramos expulsado el volumen de líquido correspondiente con la jeringa, que queda debajo, la desplazaríamos y dejaríamos caer las gotas mediante la segunda Análisis del Problema 7 aguja. Los dispositivos que mantienen a ambas en la posición adecuada son soportes que permiten una serie de desplazamientos. La pequeña dificultad técnica comentada en el párrafo anterior no es el motivo por el que hemos descartado esta alternativa. Existe una limitación física que nos impide realizar el experimento de forma satisfactoria. La inyección de un volumen determinado de agua no nos garantiza que la altura alcanzada sea la deseada. Esto se debe a la tensión superficial del agua, que va a determinar la altura que alcanza el líquido sobre la superficie independientemente del volumen que hayamos vertido sobre la placa. Esta altura va a venir dada por el equilibrio entre las fuerzas de cohesión molecular del líquido, causantes de la tensión superficial y que dependen únicamente de la naturaleza de dicho líquido, y las fuerzas de adhesión entre el líquido y el sólido con el que está en contacto, que dependen de la naturaleza de ambos. La altura de líquido alcanzada puede ser estimada mediante su longitud capilar, que adopta la siguiente expresión: 𝑙=√𝜎 𝜌𝑔 (2.3) Donde 𝜌=1000 𝑘𝑔/𝑚3 es la densidad del agua, 𝑙 es la longitud capilar del fluido, 𝑔= 9.81 𝑚/𝑠2 es la aceleración de la gravedad y 𝜎=70·10−3 𝑁/𝑚 es la tensión superficial que hemos considerado para el agua a la temperatura de trabajo. Para el agua en las condiciones en las que estamos trabajando obtenemos una longitud capilar de 𝑙=2.67×10−3 𝑚=2.67 𝑚𝑚. De modo que por mucho que aumentemos el volumen de agua vertido sobre la placa, lo único que conseguiremos modificar es la superficie sobre la que se extiende este volumen, obteniendo siempre la misma altura de líquido. En todo caso, para cambiar esta altura sería necesario usar distintos tipos de líquido, quedando aun así condicionada por la tensión superficial de los mismos, sin que nosotros tengamos ningún control directo sobre el espesor. Incluso usando distintos líquidos, la repetibilidad y exactitud del experimento se verían comprometidas, y no sería posible usar la aproximación de capa líquida infinita debido a la pequeña extensión que se alcanzaría sobre nuestra placa. Como posible solución a estos problemas se planteó la posibilidad de extender, mediante una cuchilla vertical que se regularía a la altura deseada, el fluido sobre la placa metálica. Por desgracia, aunque en primera instancia lográramos artificialmente extender el líquido de forma uniforme, se acabaría tendiendo hacia una situación de equilibrio en la que los efectos de tensión superficial terminarían por romper esta uniformidad, invalidando nuestros experimentos. 2.2.2 Solución adoptada A continuación se detalla la solución elegida para realizar nuestro montaje. Se trata de un tanque de base cuadrada y con una altura suficiente, en cuyo interior hay una placa también cuadrada colocada de forma horizontal a una cierta altura. Entre las paredes laterales del tanque y los bordes de la placa cuadrada debe existir una cierta holgura, para evitar que nuestros experimentos se vean afectados por el contacto entre el líquido y la pared, que se producirá con un ángulo que vendrá determinado por la tensión superficial. La forma de la superficie libre del líquido en las proximidades de una pared sólida viene 8 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable determinada por la relación entre las fuerzas de adhesión líquido-sólido y las fuerzas de cohesión entre las moléculas del líquido, ya comentada anteriormente. Hay casos en los que predominan las fuerzas adhesivas, como en el caso del contacto agua-vidrio, y otros en los que predominan las fuerzas cohesivas, como en el caso del contacto mercurio-vidrio. Esto se observa con claridad en la figura 2-2: Figura 2-2. Contactos entre distintos líquidos y superficies (para gotas y recipientes). Se denomina ángulo de contacto (𝜃) al ángulo que forma la superficie sólida con la tangente a la superficie líquida en el punto de contacto (pasando por el líquido). En la figura 2-3 se muestran las características del ángulo de contacto en función del predominio de las fuerzas de adhesión o cohesión. Figura 2-3. Ángulo de contacto en función del predominio de la adhesión o la cohesión. En nuestro caso son las fuerzas adhesivas las que predominan, formándose un menisco cóncavo en la zona de contacto entre el agua y el vidrio o plexiglás (posteriormente se aclarará la elección de material). Volviendo al diseño del tanque, para fijar la placa a la altura deseada se barajan distintas alternativas. La más evidente es colocar la placa sobre un soporte que a su vez se atornillaría a la base del tanque. Esto tiene el principal inconveniente de que si dicha base fuera de vidrio no sería posible realizar la operación de taladrado. Otra opción es suspender la placa de una serie de hilos que se colocarían en los vértices del cuadrado, y que se tensarían mediante una pesa que colgaría de la cara opuesta. Esta opción es de construcción más compleja, puesto que necesitaríamos otro dispositivo en altura que soportara los hilos de forma adecuada, y la pesa debe ser tal que garantice que estos hilos estén perfectamente tensos. Finalmente nos Análisis del Problema 9 decantamos, debido a la facilidad de montaje, por unir el soporte y la placa a una base cuadrada de plexiglás, que a su vez se unirá al fondo del tanque mediante un pegamento adecuado. Conocidos el lado de la base y la altura a la que está fija la placa, y teniendo en cuenta el volumen ocupado por el soporte, conocemos el volumen de agua que hay que añadir para tener una altura 𝐻=𝑥 𝑚𝑚 sobre la placa. Para obtener la altura deseada 𝐻𝑑 , teóricamente sólo habría que añadir el volumen que resulta de multiplicar dicha altura por el cuadrado del lado de la base. Aun así, en la práctica, la determinación de la altura de agua no se realizará de esta forma, como se verá en posteriores apartados. Nuestra solución elimina los problemas que presentaban las alternativas descartadas: en primer lugar, la entrefase aire-agua será recta. Además, al estar toda la superficie de la placa cubierta de líquido, evitaremos los problemas de tensión superficial anteriormente comentados y seremos capaces de fijar la altura. Por otro lado conseguimos el efecto de capa líquida infinita al cubrirse por completo la placa. Otra ventaja es que si no conseguimos colocar la placa de forma perfectamente horizontal, basta con inclinar ligeramente el tanque para lograr nuestro objetivo de enrasar la superficie del agua con la superficie de la placa. El único inconveniente que presenta es que no podremos obtener capas de líquido tan finas como las que se consiguen, por ejemplo, en [4]: el mínimo espesor que vamos a poder conseguir será del orden de la longitud capilar del líquido, que ya se determinó anteriormente. Es decir, será del orden de milímetros. Esta limitación viene impuesta nuevamente por los efectos de la tensión superficial. Aun así, esto no supone un gran problema ya que la obtención de capas de líquido más finas requeriría unos medios muy complejos que no estarían justificados en el contexto de este trabajo. 2.2.3 Influencia de las dimensiones del tanque en los experimentos A la hora de elegir las dimensiones de nuestro depósito, es necesario tener en cuenta el aumento que se va a producir en el volumen y en la altura del agua sobre la placa con cada gota que impacte sobre el líquido. El volumen del depósito debe ser lo suficientemente grande como para que incluso la adición de un número considerable de gotas de agua no tenga un efecto apreciable en la corrección y exactitud de los experimentos. Por lo tanto, se procede a la realización en Matlab de un programa que nos permita conocer la influencia que tiene la elección de la altura 𝐻𝑃 de la placa sobre la base y el lado L de dicha base en la variación del volumen y la altura sobre la superficie tras el impacto de un número considerable de gotas. En nuestro caso, hemos tomado 𝑁=100. Nuestro programa nos proporciona una serie de resultados que mostraremos de forma gráfica. En primer lugar, vamos a estudiar la influencia que tiene el lado de la base del depósito en el incremento de la altura del agua tras la caída de 100 gotas. Para ello representamos dicha variación de altura adimensionalizada con el diámetro 𝑑 de nuestras gotas frente a la mitad del lado de la base adimensionalizado con el mismo diámetro. Se elige la mitad del lado de la base porque lo que realmente nos interesa es la distancia que existe desde el punto en el que cae la gota hasta las paredes del depósito. 10 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable Figura 2-4. Variación adimensional de la altura en función del lado del depósito. En la figura anterior se puede observar que la disminución del incremento adimensional de altura se va haciendo menos acusada conforme aumentamos el lado de la base 𝐿, por lo que no conviene usar valores muy grandes de la misma. Tampoco conviene usar valores demasiado pequeños porque con un ligero aumento podríamos reducir mucho la variación de altura ante la caída de las gotas que hemos considerado. En cualquier caso, dicha variación va a ser del orden de la centésima parte del diámetro de la gota. A continuación se va a estudiar la influencia que tiene la altura a la que está situada la placa sobre la base del depósito en el incremento relativo de la propia altura. En este caso representamos la variación relativa de la altura tras la caída de cien gotas frente a dicha altura. No se adimensionaliza con d porque en este caso no tiene interés conocer la proporción entre las alturas y el diámetro de la gota, algo que sí ocurría con 𝐿 por la posible aparición de efectos de tensión superficial en las paredes del depósito. Análisis del Problema 11 Figura 2-5. Incremento relativo de la altura de agua en función de la altura de la placa. Observamos una variación similar a la que se da con la longitud, en la que la disminución del incremento relativo de altura se hace menor conforme aumentamos 𝐻𝑃. De modo que, nuevamente, no se deben coger valores demasiado grandes o demasiado pequeños de dicha altura. En cualquier caso estas variaciones son extremadamente pequeñas, del orden de 10-4. 2.2.4 Dimensiones elegidas para el tanque Finalmente, por cuestiones de facilidad de montaje y disponibilidad de materiales, se elige un tanque en el que las dos paredes laterales, la pared posterior, la base y placa (con su soporte y su propia base) son de plexiglás, mientras que la pared delantera o frontal es de vidrio, como se aprecia en la figura 2-6. Nótese la presencia de la base de plexiglás que tiene el propio soporte, y que se ha empleado para fijarlo, junto a la placa, con firmeza a la base del tanque. Las dimensiones escogidas para el tanque son las siguientes: - 𝐿=10.35 𝑐𝑚 - 𝐻𝑃=11.4 𝑐𝑚 - Lado de la placa:𝐿𝑃=8.75 𝑐𝑚 18 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable Es imprescindible que el plano de caída de nuestras gotas coincida con el plano de enfoque del objetivo. Por plano de enfoque se entiende aquel plano, normalmente perpendicular al eje óptico, en el que la lente forma una imagen nítida. La calibración y el ajuste de nuestra cámara adquieren una gran importancia para la correcta realización de los experimentos. De modo que es necesaria la inclusión de un soporte que permita tres grados de libertad: - El desplazamiento horizontal nos ayudará a corregir los desplazamientos del punto de impacto de la gota al aumentar la altura desde la que ésta cae. Dichos desplazamientos se deben al hecho de que la escala o soporte sobre la que vamos subiendo el carro en el que va montada nuestra aguja no es perfectamente vertical. - El desplazamiento hacia delante o hacia atrás nos permitirá hacer coincidir el plano de enfoque del objetivo con el plano de caída de las gotas, como se comentó anteriormente. - El desplazamiento en altura nos permitirá colocar la lente a la altura deseada, es decir, aquella en la que se capten la superficie del agua y la caída de la gota hasta su impacto. Figura 3-9. Detalle del soporte de la cámara. 3.1.6 Iluminación Para captar adecuadamente el impacto de las gotas es necesario que el fondo de la imagen sea uniforme y que en el plano de enfoque haya una correcta iluminación. Lo primero se consigue mediante la colocación de un cristal translúcido ligeramente por detrás del tanque, elevado hasta la altura adecuada por un soporte. Realización del Montaje 19 Figura 3-10. Detalle de la placa translúcida y la fuente de luz halógena. Este cristal cumple también la función de homogeneizar la luz que proviene de una fuente de luz halógena SCHOTT KL 2500 LCD, cuya intensidad se puede regular y que se coloca también en altura mediante otro soporte, como se aprecia en la imagen de la derecha de la figura 3-10. Figura 3-11. Fuente de luz halógena. 20 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable 3.2 Layout general y conexiones entre componentes En la figura 3-12 se muestra una vista general de nuestro experimento en la que puede apreciarse la distribución de cada uno de los componentes: Figura 3-12. Vista global del montaje. Es necesario destacar que la cámara debe ir conectada a un ordenador equipado con un software adecuado. La fuente de luz, por su parte, debe ir conectada a una toma de corriente. 3.3 Software empleado Como ya se mencionó anteriormente, para registrar correctamente los experimentos y poder interpretar los resultados es necesario conectar nuestra cámara de alta velocidad a un ordenador equipado con el software específico de la cámara. El software Photron FASTCAM Viewer constituye una herramienta muy potente de edición de vídeo. En la figura 3-13 se muestra una captura de la pantalla principal del programa. A la derecha de la imagen se aprecian tres pestañas (Camera, Data Save y File Viewer). La función de cada una de estas pestañas es la siguiente: - Camera: desde esta pestaña controlamos las características de la grabación de vídeo, como la resolución o el frame rate. Podemos elegir entre visualizar o bien la imagen en tiempo real o bien la última de las grabaciones que hayamos realizado. - Data Save: nos permite gestionar el guardado de los vídeos (formato de guardado, nombre y carpeta de destino…) Además nos permite recortar y editar las grabaciones para quedarnos con las partes de interés. - File Viewer: usaremos esta pestaña para visualizar vídeos que ya hayamos guardado con anterioridad. En la figura 3-13 se puede observar también la imagen que visualiza la cámara en cada instante, que queda en el centro de la pantalla. Realización del Montaje 21 Figura 3-13. Pantalla principal del software Photron FASTCAM Viewer. 22 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable 4 REALIZACIÓN DE LOS EXPERIMENTOS continuación se va a describir el procedimiento sistemático que empleamos para tomar las medidas experimentales. Hablaremos en primer lugar de la preparación previa y después de la toma de medidas propiamente dicha. Concluiremos mostrando las acciones posteriores a realizar tras la ejecución de los experimentos. 4.1 Preparación previa En primer lugar se realiza una limpieza con etanol de los conductos que forman el sistema de inyección, para evitar que cualquier impureza pudiera alterar nuestros resultados. Después se efectúa un primer llenado con agua de los mismos mediante una jeringa que se deja conectada y que nos servirá para evitar el escape del líquido mientras preparamos la que realmente vamos a utilizar. Es necesario asegurarnos de que no quedan burbujas de aire, pues podrían alterar el diámetro de las gotas a la salida de la aguja, que queremos que se mantenga constante. Una vez comprobado esto se desconecta la jeringa auxiliar y se conecta la de precisión, teniendo cuidado de mantener siempre el extremo que queda libre por encima del nivel de la aguja para evitar el vaciado por gravedad del tubo. Acto seguido colocamos la jeringa sobre el soporte. Llenamos el tanque hasta la altura deseada, ayudándonos de otra jeringa para añadir líquido o quitar el que sobra cuando sea necesario, y comprobamos que no existen efectos de capilaridad sobre la superficie y que la entrefase está alineada con la superficie de la placa. A continuación será necesario asegurarnos de que la cámara se encuentra correctamente enfocada y la imagen correctamente encuadrada. Esto lo haremos bajando la aguja hasta una altura en la que sea visible por la cámara e intentando que quede lo más cerca posible del centro de la imagen y que se vea con la mayor nitidez posible. Figura 4-1. Correcto enfoque de la lente y encuadre de la aguja. A 24 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable El resultado debe ser como el de la figura 4-1, en la que se aprecia con nitidez la aguja e incluso las irregularidades de la placa translúcida de cristal, que se filtrarán posteriormente mediante el procesamiento de imagen en Matlab. Llegados a este punto nos encontramos ante una de las fases más importantes del proceso experimental, que es la medición de la altura de la capa de líquido sobre la placa. Sabemos que el diámetro de la aguja de inyección es de 0.71 mm. Como se explicará con más detalle posteriormente, mediante un código Matlab detectamos el número de píxeles que constituyen el ancho de esta aguja, obteniendo así un factor de conversión que nos permitirá convertir los píxeles, con los que trabajan las funciones de procesamiento de imágenes de Matlab, en milímetros, con los que trabajaremos nosotros. Lo siguiente que haremos será colocar la aguja justo sobre el fondo pero sin llegar a tocarlo para no dañarla, como se muestra en la figura 4-2., ya que se trata de un instrumento muy delicado. Hacemos esto con objeto de delimitar claramente la altura de la capa líquida. Una vez obtenido el número de píxeles que constituyen dicha altura, mediante el factor de conversión podremos determinar con precisión su valor en mm. Figura 4-2. Determinación de la altura de la capa de agua. Tras la realización de todo lo anterior estamos en condiciones de comenzar nuestras mediciones para una determinada altura de líquido. 4.2 Toma de medidas Para cada altura, comenzaremos colocando la aguja en una posición tal que su extremo sea visible en la parte superior de la imagen, tal y como se observa en la figura 4-3. Realización de los Experimentos 25 Figura 4-3. Posición de la aguja para la realización del primer experimento. En el software Photron FASTCAM viewer seleccionamos la opción Camera -> Display -> Live con el objetivo de pasar a la vista en tiempo real de la cámara. Una vez hecho esto comenzamos la grabación mediante Camera -> Record. Para que se produzca la caída de la gota, roscamos poco a poco la jeringa de precisión, de forma que inyectamos agua en el tubo. Debemos estar muy pendientes del extremo de la aguja, ya que en el momento que se forme la gota y observemos que comienza a caer deberemos seleccionar Camera -> Endless Record para detener la grabación en un punto que nos permita captar los frames que nos interesan, es decir, aquellos que corresponden a la caída de la gota y la evolución de la superficie el agua tras el impacto de la misma. Véase la imagen izquierda de la figura 4-4. Figura 4-4. Pestañas Camera y Data Save. 26 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable El siguiente paso es recortar el vídeo para eliminar todos aquellos frames que no son de utilidad. Para ello nos vamos a Data Save -> Memory (véase la imagen de la derecha en la figura 4-4) y observamos nuestra grabación. Tras identificar los frames en los que queremos que comience y termine nuestro vídeo final, los escribimos en el recuadro correspondiente y pulsamos la tecla Enter para recortar el vídeo. Finalmente, en Save lo guardamos con el nombre y formato deseados. Ahora tendremos que modificar la altura desde la que cae la gota. Para ello giramos la manivela que hace que el carrito con la aguja ascienda por el soporte vertical de forma que quede en las posiciones 12:00 – 3:00 – 6:00 – 9:00, es decir, la giramos 90º para cada nueva altura, y repetimos los pasos explicados en los párrafos anteriores. Por cada vuelta completa de la manivela se registrarán, por lo tanto, cuatro alturas distintas de caída de la gota. 4.3 Acciones posteriores Una vez realizados todos los experimentos para una altura determinada de agua, procederemos a limpiar nuevamente todas las jeringas, la aguja y los conductos con agua y posteriormente metanol. Acto seguido desmontamos los instrumentos de precisión como la jeringa y la aguja y los colocamos en sus correspondientes cajas. 5 ESTUDIO DE LA CAÍDA DE LA GOTA edicamos los dos capítulos siguientes de nuestro trabajo al análisis e interpretación de los resultados de los experimentos descritos en el capítulo anterior. Como ya se ha comentado anteriormente, estos dos capítulos constituyen la pieza central de nuestro trabajo. La interpretación de resultados se va a llevar a cabo mediante el software matemático Matlab, que constituye también una potente herramienta de procesamiento de imágenes como se comprobará a continuación. Dividiremos las grabaciones obtenidas de la realización de los experimentos en dos partes que se estudiarán por separado: en primer lugar la caída de la gota, que se analizará en este capítulo y en segundo lugar el impacto de la gota y el comportamiento de la entrefase, que serán analizados en el Capítulo 6. Los experimentos se han realizado para dos alturas distintas de líquido. La primera tanda de experimentos corresponde a una altura de líquido 𝐻1=3.5 𝑚𝑚, mientras que la segunda corresponde a una altura de agua 𝐻2=2.3 𝑚𝑚. 5.1 Punto de partida Es necesario destacar que, para la elaboración de todos los programas que hemos utilizado para estudiar las dos partes en las que dividimos el experimento, se ha partido de un programa realizado en Matlab por el profesor Guillaume Riboux en el año 2010, titulado Detection of the Jet Radius. La principal función de este programa es la de detectar la gota en su caída, y la forma de la entrefase una vez que ésta impacta sobre la superficie. Aquí aclaramos que por detección se entiende el reconocimiento de la gota y la entrefase variable que se genera posteriormente frente al fondo uniforme (he aquí uno de los motivos por los que es necesaria la presencia del cristal translúcido al fondo de la imagen). El programa también guarda un vídeo en el que se superpone la detección a la imagen real. Posteriormente se ahondará en este aspecto, puesto que el funcionamiento de la detección va a suponer uno de los principales escollos a los que nos vamos a enfrentar a lo largo del trabajo. El programa también guarda un vídeo en el que se superpone la detección a la imagen real. 5.1.1 Funcionamiento del programa Comenzaremos mostrando a grandes rasgos cómo es capaz el programa de realizar la detección de la gota y la entrefase. Para ello es necesario entender en primer lugar que los vídeos que hemos obtenido mediante el uso de la cámara de alta velocidad, y recortado mediante el uso de su software específico, están formados por una secuencia de frames o imágenes que se toman a una frecuencia de 2000 Hz. Esto quiere decir que en un segundo nuestra cámara es capaz de registrar 2000 imágenes. Para cada uno de los experimentos realizados para cada altura, el programa calcula el número de imágenes del que consta el vídeo. A continuación se realiza la diferencia entre cada una de esas imágenes y la primera imagen de la grabación, en la que no hay gota ni perturbación alguna y sólo se observan el fondo y la superficie líquida en reposo. La diferencia entre dichas imágenes será obviamente la gota o la perturbación de la entrefase, dependiendo de si la gota ha impactado o no contra la capa líquida. De modo que ya hemos realizado el primer paso en D 34 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable líquido, obteniéndose los mismos resultados para las dos alturas. A continuación se explica el mecanismo físico por el que la aguja genera siempre gotas del mismo diámetro. La caída o no de la gota está gobernada por un equilibrio entre las fuerzas gravitatorias y las fuerzas de tensión superficial. El número de Bond, también conocido como número de Eötvös, mide precisamente la importancia relativa de las fuerzas gravitatorias frente a las de tensión superficial, y adopta la siguiente expresión: 𝐵𝑜=𝜌𝑔𝑅2 𝜎 (5.5) Donde 𝜌 y 𝜎 son respectivamente los valores de la densidad y la tensión superficial del agua, que ya se concretaron con anterioridad y son constantes, y 𝑔=9.81 𝑚/𝑠2 es la aceleración de la gravedad, que obviamente se mantiene también constante. Al principio, cuando aún se ha inyectado poca agua mediante el roscado de la jeringa, el radio de la gota que se está formando en la punta de la aguja es pequeño, las fuerzas de tensión superficial dominan frente a las gravitatorias, por lo que tenemos 𝐵𝑜≪1 y la gota no cae. Conforme seguimos inyectando agua el radio de la gota aumenta, y la importancia relativa de las fuerzas gravitatorias aumenta rápidamente (el numerador del número de Bond depende de 𝑅2). Cuando este número adimensional alcance un cierto valor (que será superior a uno) se producirá la caída de la gota. Este número de Bond crítico dependerá de multitud de factores relacionados con las propiedades de la aguja, pero será siempre el mismo si no cambiamos de aguja, por lo que el radio de caída será siempre el mismo. Figura 5-7. Evolución del diámetro medio con el número de Weber para ℎ1 y ℎ2. En la figura 5-7 se representan también en forma de líneas verticales los números de Weber críticos para cada una de las alturas, ya calculados en el apartado 5.2.4. La gran diferencia Estudio de la Caída de la Gota 35 entre el rango de Weber recorridos en los dos experimentos se debe a que, en los experimentos realizados para la primera altura, se montó la escala vertical de la figura 3-4 sobre un soporte, con el objetivo de disponer de un mayor rango de alturas de caída de la gota (y por tanto de números de Weber). Nótese que esto ha resultado ser beneficioso, ya que con el rango de alturas de caída que permite la escala vertical, que es el que se ha usado para hacer los experimentos con la segunda altura de líquido, no hubiéramos podido alcanzar siquiera el número de Weber crítico para la primera altura, que se sitúa en torno a 50. 5.3.2 Evolución de la velocidad de impacto con el número de Weber En este apartado se presenta, para las dos alturas consideradas, la variación de la velocidad de impacto de la gota contra la superficie líquida con el número de Weber. En la figura 5-8 se presenta esta evolución superponiendo los resultados obtenidos para las dos alturas. Los puntos correspondientes a ℎ1 se representan en color azul, mientras que los que corresponden a ℎ2 se representan en color rojo. También se representan mediante líneas verticales los números de Weber a los que se produce el splash en cada caso, de forma que se aprecie claramente la gran diferencia existente entre ellos. A simple vista se aprecia que tanto para ℎ1 como para ℎ2 los distintos puntos se ajustan a una especie de parábola con vértice en el origen y cuyo eje de simetría es el eje OX. Esta distribución no es casual, como se verá a continuación. Ahora que conocemos que el radio de la gota es constante con el número de Weber, no tenemos más que escribir la expresión de éste último para darnos cuenta de la relación que guarda con la velocidad de caída. En efecto: 𝑊𝑒=𝜌𝑉2𝑅 𝜎 → 𝑉=√𝜎 𝑅𝜌·𝑊𝑒=𝐶·√𝑊𝑒 (5.6) Donde 𝐶 es una constante. Sustituyendo los datos conocidos obtenemos que 𝐶=0.2366. La relación obtenida nos permitiría calcular la velocidad de caída de una gota para cualquier valor del número de Weber. En la figura 5-8 se ha representado junto a la distribución de puntos correspondientes a las dos alturas la función (5.6), observándose que dicha distribución se ajusta perfectamente a la función obtenida. 36 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable Figura 5-8. Evolución de la velocidad de impacto con el número de Weber para ℎ1 y ℎ2. 6 ANÁLISIS DE LA ENTREFASE bordamos en este capítulo la segunda parte del análisis de los resultados, en la que nos centramos en el estudio de la evolución de la entrefase agua-aire tras producirse el impacto. Nuestro objetivo es obtener una relación entre el número de Weber de impacto y varias variables entre las que se encuentran la altura y el radio máximos alcanzados por la entrefase, así como las velocidades verticales y horizontales de la misma. Se detallará el procedimiento seguido para la obtención de estas variables, que se basa en el uso de programas diseñados específicamente para el experimento. Estos programas forman una especie de cadena que transforma los resultados obtenidos de la ejecución del programa Detection of the Jet Radius del profesor Riboux para cada una de las tomas de vídeo; cuando analicemos el conjunto de las tomas realizadas para una misma altura de agua obtendremos, para dicha altura la evolución de los parámetros anteriormente comentados con el número de Weber. Comenzaremos mostrando las transformaciones que tendremos que realizar a las variables del problema para poder usarlas de forma adecuada. Posteriormente estableceremos el sistema de referencia con el que vamos a trabajar durante el estudio de nuestra entrefase, así como la adimensionalización de las variables implicadas en el problema. Por último, se mostrará el cálculo de las evoluciones temporales del radio y la altura alcanzadas por la entrefase, y se presentarán los resultados. 6.1 Manipulación de las variables del problema Para comenzar este análisis vamos a comentar los resultados proporcionados por el programa del profesor Riboux, y las modificaciones que tendremos que realizarles para poder trabajar de forma cómoda con ellos. En primer lugar, es necesario saber que la ejecución del programa nos permite conocer el número de imágenes del que consta una toma concreta de vídeo, que llamaremos 𝑁. Además de las propiedades de la gota que ya se analizaron en el capítulo 4, también nos proporciona para cada imagen 𝑗 una matriz de dos columnas que llamaremos 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑𝑗, cuyo empleo no fue necesario en el estudio de la caída de dicha gota. Esta matriz nos proporciona las coordenadas en píxeles, siguiendo el sistema de referencia mostrado en la figura 4-1, de todos los puntos que forman la frontera de la región detectada en la imagen 𝑗. La matriz tendrá obviamente tantas filas como puntos se hayan detectado; la primera columna nos dará la coordenada Y de dichos puntos, mientras que la segunda columna nos da la coordenada X. Cabe destacar que los puntos que ocuparán las primeras filas de la matriz serán aquellos que tengan el valor más pequeño de la coordenada Y, mientras que para un mismo valor de Y, aparecerán primero los que tengan un menor valor de la coordenada X. La matriz tiene por tanto, para una imagen cualquiera 𝑗, la forma siguiente, donde 𝑃 es el número de puntos que forman la frontera: A 38 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑𝑗=[𝑌1 𝑌2 ⋮𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑌𝑃𝑋𝑃] (6.1) Es conveniente que separemos las dos columnas de esta matriz, de forma que obtengamos dos vectores: 𝑋𝑗=[𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑃] 𝑌 󰇍  𝑗= [𝑌1 𝑌2 ⋮𝑌𝑃] (6.2) A continuación construiremos dos matrices 𝑋 e 𝑌 a partir de los vectores 𝑋𝑗 e 𝑌 󰇍  𝑗 correspondientes a cada una de las imágenes de las que consta el vídeo. Es decir, obtendremos dos matrices en las que cada columna 𝑗 representa el valor de la coordenada correspondiente para todos los puntos detectados como frontera en la imagen 𝑗. Evidentemente el número de puntos que conforman la frontera va a ser distinto para cada imagen, por lo que las dimensiones de las matrices que formemos no serán coherentes. Para resolver este problema, aprovecharemos las características de Matlab: identificaremos en primer lugar cuál es la imagen en la que existe un mayor número de puntos frontera, que será la que lleve asociada la pareja de vectores 𝑋𝑗 e 𝑌 󰇍  𝑗 con mayor número de filas, y haremos que nuestras matrices tengan ese número de filas, rellenando los valores correspondientes al resto de imágenes que pudieran quedar vacíos con valores 𝑁𝑎𝑁. De modo que las matrices 𝑋 e 𝑌 tendrán la forma siguiente: 𝑋=[𝑋11 𝑋12 ⋯ 𝑋21 𝑋22 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑋1𝑗𝑃𝑚á𝑥 ⋯ 𝑋1𝑁 𝑋2𝑗𝑃𝑚á𝑥 ⋯ 𝑋2𝑁 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑁𝑎𝑁 𝑁𝑎𝑁 ⋯ 𝑋𝑃𝑚á𝑥𝑗𝑃𝑚á𝑥 ⋯ 𝑁𝑎𝑁] (6.3) 𝑌=[ 𝑌11 𝑌12 ⋯ 𝑌21 𝑌22 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑌1𝑗𝑃𝑚á𝑥 ⋯ 𝑌1𝑁 𝑌2𝑗𝑃𝑚á𝑥 ⋯ 𝑌2𝑁 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑁𝑎𝑁 𝑁𝑎𝑁 ⋯ 𝑌𝑃𝑚á𝑥𝑗𝑃𝑚á𝑥 ⋯ 𝑁𝑎𝑁] (6.4) Se trata de dos matrices de dimensiones 𝑃𝑚á𝑥× 𝑁. Por aclarar la notación de los subíndices de los elementos de la matriz, el subíndice 𝑖𝑗 representa al punto 𝑖 de la frontera en la imagen 𝑗, donde 𝑖=1,…,𝑃𝑚á𝑥 y 𝑗=1,…,𝑁. Además, definiremos el siguiente vector columna, que contiene el número correspondiente a cada frame o imagen del vídeo: Análisis de la Entrefase 39 𝐹𝑟 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  =[12⋮𝑁] (6.5) Y conociendo también la tasa de imágenes a la que estamos trabajando, que es de 𝑓= 2000 𝑓𝑝𝑠, podemos obtener otro vector que contenga el instante de tiempo correspondiente a cada una de esas imágenes: 𝑇 󰇍  =𝐹𝑟 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  𝑓=[𝑇1 𝑇2 ⋮ 𝑇𝑁] (6.6) Como ya sabemos, Matlab mide la coordenada 𝑌 en píxeles desde arriba hacia abajo, justo al contrario de como nosotros estamos acostumbrados. Será necesario, por tanto, realizar un cambio de variable para obtener un sistema de referencia como el de la figura 6-1. Nuestras imágenes tienen una resolución vertical de 512 píxeles, lo que significa que para cambiar de sentido el eje 𝑌 bastará con hacer: 𝑌′=512−𝑌 (6.7) A partir de este punto, por comodidad y claridad en la notación, seguiremos llamando 𝑌 a la coordenada 𝑌′ que resulta del sencillo cambio de variable anterior. Figura 6-1. Situación de los ejes tras el cambio de variable. A continuación determinaremos, para las dos alturas de agua, la coordenada 𝑌 en píxeles de la entrefase agua-aire sin perturbar, y realizaremos un nuevo cambio de variable para hacer coincidir el origen de nuestro eje 𝑌 con dicha entrefase libre. Llamando 𝑌𝑒 al valor comentado anteriormente tenemos que: 40 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable 𝑍=𝑌−𝑌𝑒 (6.8) Donde ahora, para remarcar que lo que estamos midiendo es la altura que alcanzan los puntos de la frontera de la entrefase al impactar la gota, pasamos a llamar 𝑍 a la coordenada vertical de estos puntos. El siguiente paso consistirá en la determinación del eje de simetría del problema, de forma que podamos hacer que el origen de nuestro sistema de referencia coincida con la intersección entre la entrefase agua-aire sin perturbar y dicho eje de simetría. En efecto, en primera aproximación vamos a considerar que nuestro problema es axilsimétrico, aunque posteriormente se comprobará que esto no es exactamente así. La posición del eje de simetría de nuestro problema será determinada haciendo la media aritmética de las coordenadas X del centro de gravedad de la gota durante su caída en todos aquellas imágenes en las que la medición es válida. A este valor lo llamaremos 𝑥𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛: 𝑥𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛=∑𝑥𝑐𝑔𝑖 𝑁𝑣 𝑖=1 𝑁𝑣 (6.9) Donde 𝑁𝑣 es el número de frames en los que la medida del centro de gravedad de la gota no está alterada. Para posicionar el origen de coordenadas en el punto deseado no tenemos más que realizar el siguiente cambio de variable: 𝑅=𝑋−𝑥𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 (6.10) Donde ahora llamamos 𝑅 a la coordenada horizontal de los puntos de la entrefase para denotar que lo que estamos midiendo es el radio entre esos puntos y el eje de simetría. Llegados a este punto estamos en condiciones de comentar uno de los inconvenientes más importantes que nos hemos encontrado a la hora de realizar este trabajo, así como su solución. Además de las funciones comentadas en anteriores apartados, el programa Detection of the Jet Radius del profesor Riboux tiene la capacidad de generar un vídeo en el que se superpone la detección realizada por el propio programa a la imagen real obtenida mediante nuestra cámara de alta velocidad. Como se comprobará a continuación, esta detección no se ajusta a las necesidades de nuestro estudio, por lo que será necesaria la realización de una serie de modificaciones. En efecto, en la figura 6-2, que corresponde a un experimento realizado a 𝑊𝑒=21, para la altura ℎ2, en un instante de tiempo posterior al impacto de la gota, observamos que la detección no se realiza de forma adecuada por dos motivos. El primero de ellos es que en lugar de detectarse la frontera de la entrefase al completo, se detectan varios elementos inconexos que forman parte de dicha entrefase, y cuyo número varía según la imagen que estemos observando. Esto afecta a las variables que se han presentado con anterioridad, ya que la frontera de la entrefase en una imagen determinada, 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑𝑗, que sirve como base de nuestro desarrollo, ya no será una matriz sino una célula. Una célula es un elemento con el que trabaja Matlab que funciona como un conjunto de matrices; en nuestro caso, cada una de esas matrices representará las coordenadas espaciales en píxeles de los puntos frontera de los elementos detectados. En efecto, en la célula 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑𝑗 habrá tantas matrices como elementos se hayan detectado en ese frame: 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑𝑗=[[𝑌1 𝑌2 ⋮𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑌𝑃𝑋𝑃]1 [𝑌1 𝑌2 ⋮𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑌𝑃𝑋𝑃]2⋯ [𝑌1 𝑌2 ⋮𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑌𝑃𝑋𝑃]𝐾] (6.11) Análisis de la Entrefase 41 Donde K representa el número de objetos inconexos detectados. Este fallo está relacionado con uno de los pasos que conforman la detección de la gota y la entrefase, que es la conversión de la imagen obtenida de realizar la diferencia entre la imagen inalterada y aquella con la que estamos trabajando (como se comentó anteriormente) en una imagen binaria. Mediante la función graythresh se establece un límite comprendido entre 0 y 1, que se emplea posteriormente como argumento de la función im2bw. Esta función asignará un 1 (color blanco) a todos aquellos píxeles que estén por encima del límite establecido mediante graythresh, asignando un 0 (color negro) a los que queden por debajo. Es este paso a imagen binaria el que se produce de forma incorrecta. La segunda causa de fallo en la detección es que el programa detecta el reflejo de la perturbación en el agua como si fuera también parte de la entrefase. Figura 6-2. Detección de la entrefase proporcionada por el programa original. Para solucionar la detección de partes inconexas de la entrefase seguiremos una serie de pasos. En primer lugar, convertimos la célula 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑𝑗 en dos vectores columna, 𝑋𝑃𝑗 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  e 𝑌𝑃𝑗 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  , que contienen las coordenadas 𝑋 e 𝑌 de todos los puntos detectados en una imagen, pertenezcan al elemento que pertenezcan. Es decir: 𝑋𝑃𝑗 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  = [ (𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑃)1 ⋮ (𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑃)𝐾 ] 𝑌𝑃𝑗 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  = [ (𝑌1 𝑌2 ⋮𝑌𝑃)1 ⋮ (𝑌1 𝑌2 ⋮𝑌𝑃)𝐾 ] (6.12) Ahora tenemos un conjunto de puntos dispersos en el plano 𝑋𝑌. Nuestra misión será calcular la frontera de este conjunto de puntos, lo que en la práctica significará unir los distintos 42 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable elementos inconexos que resultan de la detección original. La función de Matlab boundary calcula precisamente la frontera de un conjunto de puntos dados por dos vectores, en este caso 𝑋𝑃𝑗 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  e 𝑌𝑃𝑗 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  . Tras una serie de operaciones obtenemos una pareja de vectores que llamaremos 𝑋𝑗 󰇍 󰇍 󰇍  𝑒 𝑌𝑗 󰇍 󰇍  siguiendo con la notación empleada anteriormente, y que contendrán las coordenadas de los puntos frontera del conjunto completo. De modo que hemos conseguido cerrar correctamente el contorno de la entrefase aunque aún nos queda eliminar la parte correspondiente al reflejo sobre la superficie del agua. Anteriormente se mostró el procedimiento seguido para obtener un sistema de ejes con origen en la interseción entre la entrefase sin perturbar y el eje de simetría del problema. La solución a la aparición del reflejo ha consistido en la eliminación de los puntos considerados por la detección como parte de la frontera que tuvieran un valor negativo de su coordenada 𝑍. En Matlab, esto se hace fácilmente recorriendo las matrices 𝑅 y 𝑍 y convirtiendo en valores 𝑁𝑎𝑁 todos aquellos elementos asociados a valores de 𝑍 negativos. 6.2 Adimensionalización de las variables del problema A partir de este punto trabajaremos siempre con variables adimensionales, que nos permitirán comparar los resultados de los experimentos realizados para distintas alturas de líquido. Las variables con las que trabajaremos son las dos coordenadas espaciales (radio y altura), el espesor de la capa de líquido y el tiempo. La adimensionalización realizada tiene la forma siguiente: 𝑟=𝑅 𝑅0; 𝑧=𝑍 𝑅0; ℎ=𝐻 𝑅0; 𝑡=𝑇 𝑅0 𝑉0; (6.13) Donde 𝑅0 es el radio de la gota, y 𝑉0 es la velocidad de caída de la misma. 𝑅, 𝑍 y 𝑇 son las matrices obtenidas en el apartado anterior. Recordemos que el bloque de procesamiento de imagen de Matlab trabaja en píxeles, lo que significa que un paso previo a la adimensionalización será la conversión a metros de todas las variables espaciales mediante los factores cuya obtención se explica en el apartado 5.1.1. 6.3 Sistema de referencia empleado en el estudio Una vez que hemos manipulado los resultados de la detección para trabajar con ellos de forma cómoda y hemos realizado la adimensionalización de las variables de trabajo, sólo nos queda presentar el sistema de referencia que vamos a emplear a lo largo del estudio del comportamiento de la entrefase. Éste se muestra en la figura 6-3. Como se ha comentado anteriormente, en primera aproximación hemos considerado que nuestro problema es axilsimétrico, lo que haría que, teóricamente, sólo tuviéramos que trabajar con la mitad del mismo. Pero, como se observa en la propia figura 6-3, el problema no es perfectamente axilsimétrico, por lo que la consideración de sólo la mitad nos haría perder una cierta precisión en la obtención de resultados. Análisis de la Entrefase 43 Figura 6-3. Situación del sistema de referencia empleado. 6.4 Procedimiento de cálculo de las alturas y radios alcanzados por la entrefase En esta sección vamos a mostrar el procedimiento seguido para determinar las alturas y radios alcanzados por la entrefase en cada instante de tiempo. Para ilustrar este procedimiento vamos a usar un ejemplo, correspondiente a un número de Weber 𝑊𝑒=21. El primer paso es comprobar la validez de la detección para ese número de Weber. Partimos de las matrices adimensionales 𝑟, 𝑧 y 𝑡 correspondientes a la toma de vídeo en la que el Weber de impacto es el indicado. De nuevo a modo de ejemplo, representamos en Matlab, para un frame que corresponde a un tiempo adimensional 𝑡=16.81, la columna correspondiente de 𝑟 frente a la misma columna del vector 𝑧, obteniendo una gráfica como la de la figura 6-4: Figura 6-4. Situación de la entrefase en variables adimensionales para 𝑡=16.81. 50 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable 6.5 Estimación de las velocidades medias verticales y horizontales La determinación de las velocidades alcanzadas por la entrefase en las direcciones horizontal y vertical resulta especialmente complicada, debido a que como se observa en las figuras 6-8 y 6-9, éstas varían con el tiempo. Por lo tanto, será necesario recurrir al cálculo de las velocidades medias. La velocidad horizontal media se estimará como el cociente entre el máximo radio alcanzado y el tiempo que se tarda en alcanzar dicho radio máximo. A ese radio máximo habrá que restarle el radio que nuestro programa detecta en la primera de las imágenes de interés, que corresponde al que tiene la gota en el momento del impacto: 𝑣𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖=𝑟𝑚𝑎𝑥𝑖−𝑟0 𝑡𝑚𝑎𝑥𝑖 (6.27) Por su parte, la velocidad vertical media se estimará como el cociente entre la altura máxima alcanzada y el tiempo que se tarda en alcanzar dicha altura: 𝑣𝑧𝑚𝑒𝑑𝑖=𝑧𝑚𝑎𝑥𝑖 𝑡𝑚𝑎𝑥𝑖 (6.28) Se obtendrán, por lo tanto, dos vectores de una longitud igual al número de experimentos que se hayan realizado para una altura determinada de líquido, y que posteriormente se representarán frente al vector que contiene los números de Weber correspondientes. 6.6 Presentación de resultados Tras desarrollar todo el procedimiento seguido para la obtención de las evoluciones temporales del radio medio y la altura media, así como de las velocidades medias horizontales y verticales, llega el momento de presentar los resultados obtenidos en forma de evolución de estas variables con el número de Weber. 6.6.1 Evolución del radio máximo alcanzado con el número de Weber. En la figura 6-11 se ha representado la evolución con el número de Weber, para las dos alturas de líquido consideradas en este trabajo, del radio medio que alcanza la perturbación que se produce en la entrefase tras el impacto de una gota. Observamos que las dos distribuciones de puntos se ajustan de forma bastante aproximada a una recta, que es de mayor pendiente para la altura de líquido más grande, ℎ1. Las rectas de mejor ajuste se muestran también en la figura 6-11. El hecho de que las rectas no pasen por el origen se debe a que en el instante inicial el radio detectado es el radio de la propia gota que impacta. 6.6.2 Evolución de la altura máxima alcanzada con el número de Weber. A continuación mostramos, para las dos alturas de líquido, la distribución de alturas máximas de la entrefase obtenidas en función del número de Weber. En la figura 6-12 observamos que de nuevo la función que mejor se ajusta a esta distribución de puntos es una recta. La pendiente de la recta es mayor para ℎ2, que es la más pequeña de las alturas. Por lo tanto, deducimos que, si hacemos impactar una gota a un número de Weber fijo contra una capa de líquido, la altura máxima que alcanzará la entrefase será mayor cuanto menor sea el espesor de dicha capa líquida. Análisis de la Entrefase 51 Figura 6-11. Evolución del radio adimensional máximo con el número de Weber. Figura 6-12. Altura adimensional máxima en función del número de Weber. 52 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable 6.6.3 Evolución de la velocidad horizontal media con el número de Weber. La tendencia que sigue la velocidad horizontal media con el número de Weber es lineal y decreciente, como se aprecia en la figura 6-13. Esto se explica atendiendo a la definición que hemos hecho de la velocidad media en (6.27): el radio máximo alcanzado aumenta al aumentar el número de Weber, como se observa en la figura 6-11, pero el instante de tiempo en el que se produce ese máximo, que llamaremos 𝑡𝑟𝑚𝑎𝑥, se retrasa cada vez más. El retraso del instante de tiempo en el que se produce el máximo es mayor que el aumento del propio máximo, lo que implica una reducción de la velocidad tal y como la hemos definido. En la figura 6-15 se ha representado la evolución de 𝑡𝑟𝑚𝑎𝑥 con el número de Weber para las dos alturas de líquido. Nótese que la pendiente aumenta conforme disminuye la altura de líquido, por lo que, a un mismo número de Weber, se tardará más tiempo en alcanzar el máximo cuanto menor sea el espesor de la capa líquida. 6.6.4 Evolución de la velocidad vertical media con el número de Weber. Nos centramos por último en el estudio de la velocidad vertical media, que como se observa en la figura 6-14 se puede aproximar por una distribución constante. También se puede comprobar que el valor de esta constante es prácticamente el mismo (aproximadamente 0.14) para las dos alturas, siendo ligeramente mayor para la altura de líquido más pequeña. En la figura 6-16 se ha representado la evolución del instante de tiempo en el que se alcanza el máximo de la altura sobre la entrefase, que llamaremos 𝑡𝑧𝑚𝑎𝑥, con el número de Weber. Nuevamente observamos que la distribución es lineal y de mayor pendiente para el caso correspondiente a la altura de líquido más fina, ℎ2. Análisis de la Entrefase 53 Figura 6-13. Velocidad horizontal media en función del número de Weber. Figura 6-14. Evolución de la velocidad vertical media de la entrefase con el Weber. 54 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable Figura 6-15. Evolución de 𝑡𝑟𝑚𝑎𝑥 con el número de Weber. Figura 6-16. Evolución de 𝑡𝑧𝑚𝑎𝑥 con el número de Weber. 7 CONCLUSIONES inalizaremos nuestro estudio presentando las conclusiones que se han extraído de la realización del mismo. Se tratarán aspectos relacionados tanto con la parte puramente experimental como con la interpretación de resultados. En primer lugar, cabe mencionar que el tanque diseñado para la realización de los experimentos ha cumplido adecuadamente su función. Por un lado nos ha permitido trabajar con capas de líquido de pequeño espesor lo suficientemente uniformes y que alcanzan la suficiente extensión. Además, su diseño nos ha permitido minimizar el incremento que se produce en la altura de agua al producirse el impacto de un cierto número de gotas, que en caso de ser grande llevaría asociado errores en las medidas. Por supuesto, el empleo de este tanque para la obtención de finas capas líquidas tiene una limitación que vendrá impuesta por la longitud capilar del propio líquido de trabajo. Otro aspecto clave en el desarrollo de nuestros experimentos ha sido el uso de una avanzada cámara de alta velocidad, que nos ha proporcionado la resolución temporal suficiente como para poder captar de forma adecuada la evolución de las distintas variables del problema, y también la resolución espacial suficiente como para permitir una correcta detección por parte del bloque de procesamiento de imágenes de Matlab. Centrándonos ahora en los métodos empleados para la interpretación de los resultados, podemos destacar que la detección de imágenes mediante Matlab ha sido suficiente para la obtención de unos resultados adecuados, aunque tiene importantes limitaciones. Estas limitaciones se centran sobre todo en la detección de la entrefase, en la que surgen problemas asociados al contraste con el fondo de la imagen y al reflejo sobre la superficie del agua. Estos problemas se pueden solucionar sin excesivas complicaciones, pero a costa de perder una cierta precisión en la obtención de resultados. Todo lo contrario ocurre en la fase de la detección correspondiente a la caída de la gota, que no tiene asociada ningún tipo de problema y en la que la precisión conseguida es enorme. Esto nos lleva a concluir, por lo tanto, que el estudio de los resultados con este método de detección conlleva mayores dificultades en el caso del impacto sobre capas líquidas que en el caso de superficies sólidas, en las que, en principio, no tendríamos problemas relacionados con reflejos o detecciones inconexas. La combinación de un procedimiento experimental y un método de detección adecuados nos han permitido obtener la evolución de una serie de parámetros con el número de Weber de impacto. Estos resultados son en todo caso lógicos y coherentes, sorprendiendo la gran linealidad del problema estudiado. Distintas variables como las alturas y radios máximos alcanzados por la entrefase, o el tiempo que se tarda en alcanzar estos máximos, siguen una evolución lineal con el número de Weber. Otras, como la velocidades media alcanzada por la entrefase en dirección vertical, se mantienen prácticamente constantes al variar este número adimensional. Mediante este estudio hemos logrado, por tanto, comprender con una cierta profundidad un problema complejo y de gran interés en la actualidad, como es el impacto de gotas sobre finas capas líquidas. F 56 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable Referencias 57 REFERENCIAS [1] J.B. Lee, N. Laan, K.G. de Bruin, G.Skantzaris, N.Shahidzadeh, D.Derome, J. Carmeliet and D.Bonn. Universal rescaling of drop impact on smooth and rough surfaces. Journal of Fluid Mechanics, vol. 786, 2016. [2] Guillaume Riboux y José Manuel Gordillo. Experiments of Drops Impacting a Smooth Solid Surface: A Model of the Critical Impact Speed for Drop Splashing. Physical Review Letters, 113, 024507 (2014). [3] G. Lagubeau, M.A. Fontelos, C. Josserand, A. Maurel, V. Pagneux and P. Petitjeans. Flower Patterns in Drop Impact on Thin Liquid Films. Physical Review Letters, 105, 184503 (2010). [4] An-Bang Wang and Chi-Chang Chen. Splashing impact of a single drop onto very thin liquid films. Physics of Fluids, vol. 12, nº9 [5] R. Bergmann, D. van der Meer, S. Gekle, A. van der Bos and D.Lohse. Controlled impact of a disk on a water surface: cavity dynamics. Journal of Fluid Mechanics, vol. 633, pp. 381-409 (2009) 58 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable ANEXO A: CÓDIGOS MATLAB EMPLEADOS resentamos a continuación, a modo de referencia, los códigos Matlab de los programas más destacados que hemos empleado para la obtención de resultados . Detection of the Jet Radius. Programa que usamos como base de nuestro estudio. %===================================================================== ==== % DETECTION OF THE JET RADIUS % G. Riboux. 15.07.10 %===================================================================== ==== close all; %--------------------------------------------------------------------- ---- % PARAMETERS %--------------------------------------------------------------------- ---- dir2=''; dir3=''; dir1=''; Ess=[19]; Visu=2; e.dyo=50; e.dy=150 e.seuil=0.5; e.xf=512; e.yf=512; e.dmin=20; %--------------------------------------------------------------------- ---- % CALCUL %--------------------------------------------------------------------- ---- [a b]=size(Ess); for p=1:b if Ess(p)<10 filename=['test0',num2str(Ess(p))]; else filename=['test',num2str(Ess(p))]; end %mov = aviread([dir1,filename0,'/',filename,'.avi']); %vidObj = VideoReader('test15.avi','CurrentTime'); vidObj = VideoReader([dir1,filename,'.avi'],'CurrentTime'); k = 1; while hasFrame(vidObj) mov(k).cdata = readFrame(vidObj); k = k+1; P 66 Descripción Experimental del Impacto de Gotas sobre una Capa Líquida de Altura Variable w=find(z<zi(i) & r<ri(i)); if length(w)~=0 for j=1:length(w) Vect_r_i(j)=r(w(j)); end ri0=abs(mean(Vect_r_i)); else ri0=NaN; end r_max_mean(i)=(ri0+rd0)/2; plot(Mat_r(:,i),Mat_z(:,i)); hold on plot(rd(i),zd(i),'or'); hold on plot(ri(i),zi(i),'or'); plot(r_max_mean(i)*[1 1],[0 3],'-k'); plot([-4 4],z_max_mean(i)*[1 1],'-k'); hold off % axis([-origen_x 512-origen_x 0 200]*1/(D_med(Ess)/2)) axis([-origen_x origen_x 0 3]) title ('Evolución temporal de la entrefase') video1(i)=getframe(gca); clear r z u v w Vect_z Vect_r_d Vect_r_i rd0 ri0 end i=0; flag=1; while flag==1 i=i+1; if z_max_mean(i+1)>z_max_mean(i) & z_max_mean(i)<0.8 & ~isnan(z_max_mean(i+1)) & ~isnan(z_max_mean(i)) flag=0; end end i tiempo_origen=Mat_t(i); t=Mat_t-tiempo_origen; flag=1; frame_separation=0; while flag==1 i=i+1; frame_separation=frame_separation+1; Referencias 67 if z_max_mean(i+1)<z_max_mean(i) & z_max_mean(i)<0.5 & ~isnan(z_max_mean(i+1)) & ~isnan(z_max_mean(i)) & frame_separation>10 flag=0; end end i_corte=i t_corte=t(i_corte); for i=1:length(t) if t(i)<0 || i>i_corte z_max_mean(i)=NaN; r_max_mean(i)=NaN; t(i)=NaN; end end save([dir,filename,'_corners.mat'],'r_max_mean','z_max_mean','zi','ri' ,'zd','rd','t','t_corte');