Sobre los coeficientes de Taylor de una función univalente: de Bieberbach a De Branges

Sobre los coeficientes de Taylor de una funci´on univalente: de Bieberbach a De Branges About the Taylor coefficients of a univalent function: from Bieberbach to De Branges Paula P´erez Pacheco Trabajo Fin de M´aster M´aster en Matem´aticas Sevilla, 14 de febrero de 2022 Dirigido por Manuel Domingo Contreras M´arquez Manuel Domingo Contreras M´arquez Departamento de Matem´atica Aplicada II Universidad de Sevilla 41012 Sevilla, Sevilla Resumen ·Abstract Resumen El estudio de las funciones univalentes (holomorfas e inyectivas) en el disco unidad D, es un ´area de investigaci´on ya cl´asica en An´alisis Matem´atico que continua muy viva a d´ıa de hoy. El estudio de este tipo de funciones fue impulsado por la famosa conjetura de Bieberbach de 1916 (demostrada por De Branges en 1984) en la que se centra el presente trabajo. Recordemos que esta conjetura afirma que si f(z) = z+a2z2+a3z3+... es una funci´on anal´ıtica e inyectiva en el disco unidad, entonces |an| ≤ n para todo n´umero natural n, alcanz´andose la igualdad para alg´un n(o equivalentemente para todo n) solamente para una rotaci´on de la funci´on de Koebe k(z) = z (1 −z)2=∞ X n=1 nzn, z ∈D. Tras un breve repaso de las propiedades elementales de funciones univalentes, dedicamos un cap´ıtulo al desarrollo de la teor´ıa de Loewner, de gran relevancia en esta ´area y una parte muy fundamental en la demostraci´on de De Branges de la Conjetura de Bieberbach. A continuaci´on, se revisan los polinomios de Jacobi as´ı como numerosas propiedades de los mismos para poder llegar a la demostraci´on del Teorema de Askey-Gasper, un teorema esencial para la prueba de la Conjetura de Bieberbach. Por ´ultimo, en el cuarto cap´ıtulo mostramos que la Conjetura de Milin implica la de Bieberbach y, haciendo uso de las funciones especiales de De Branges, mostramos la veracidad de la Conjetura de Milin. Palabras clave: Funciones univalentes – Conjetura de Bieberbach – Teor´ıa de Loewner – Teorema de Askey-Gasper. iv Resumen ·Abstract Abstract The study of univalent functions (holomorphic and injective) in the unit disk D, is a classic area of research in Mathematical Analysis that is still very much alive today. The study of this type of functions was driven by the famous Bieberbach conjecture of 1916 (proved by De Branges in 1984) on which the present work is focused. Recall that this conjecture states that if f(z) = z+a2z2+a3z3+... is an analytic and injective function on the unit disk, then |an| ≤ nfor every number natural n, equality being achieved for some n(or equivalently for all n) only for a rotation of the Koebe function k(z) = z (1 −z)2=∞ X n=1 nzn, z ∈D. After a brief review of the elementary properties of univalent functions, we dedicate a chapter to the development of Loewner’s theory, of great relevance in this area and a very fundamental part of De Branges’ proof of the Bieberbach Conjecture. Next, the Jacobi polynomials are reviewed, as well as numerous properties of them, in order to arrive at the proof of the Askey-Gasper Theorem, an essential theorem for the proof of the Bieberbach Conjecture. Finally, in the fourth chapter we show that the Milin Conjecture implies the Bieberbach Conjecture and, making use of the special De Branges functions, we show the truth of the Milin Conjecture. Keywords: Univalent functions – Bieberbach’s Conjecture – Loewner’s Theory – Askey-Gasper’s Theorem. Contenido Resumen/Abstract.................................................. iii Introducci´on ........................................................ vii 1. Algunas propiedades elementales de las funciones univalentes en el plano complejo y en el disco unidad ........................... 1 1.1. La clase S: resultados y ejemplos ................................. 1 1.1.1. Ejemplos de funciones en la clase S......................... 1 1.1.2. Transformaciones que preservan la clase S.................... 2 1.2. La clase Σy su relaci´on con la clase S............................ 4 1.3. Teorema del ´area y Teorema de Bieberbach ........................ 5 1.4. Aplicaciones del Teorema del Bieberbach .......................... 6 1.4.1. Teorema de recubrimiento.................................. 6 1.4.2. Teorema de distorsi´on ..................................... 7 1.4.3. Teorema de crecimiento .................................... 7 1.5. Funciones convexas y estrelladas ................................. 8 2. Teor´ıa de Loewner ............................................... 11 2.1. Convergencia del n´ucleo ........................................ 11 2.2. Densidad de las aplicaciones con un corte simple ................... 16 2.3. Cadenas de subordinaci´on y covergencia del n´ucleo ................. 17 2.4. Teoremas de extensi´on .......................................... 23 2.5. El Teorema de Loewner ......................................... 24 3. Los polinomios de Jacobi y el Teorema de Askey-Gasper ......... 29 3.1. Los polinomios de Jacobi........................................ 29 3.2. El Teorema de Askey-Gasper .................................... 44 4. El Teorema de De Branges ...................................... 51 4.1. La Conjetura de Milin implica la Conjetura de Bieberbach........... 51 4.2. El sistema de funciones especiales de De Branges ................... 58 4.3. Prueba del Teorema de De Branges ............................... 60 Bibliograf´ıa ......................................................... 69 Introducci´on En el a˜no 1916, Ludwig Bieberbach propuso su famosa conjetura [3]: si f(z) = z+a2z2+a3z3+... es una funci´on anal´ıtica e inyectiva en el disco unidad, entonces |an| ≤ npara todo n´umero natural n, alcanz´andose la igualdad para alg´un n(o equivalentemente para todo n) solamente para una rotaci´on de la funci´on de Koebe k(z) = z (1 −z)2=∞ X n=1 nzn, z ∈D. En el art´ıculo [3], Bieberbach usa la notaci´on knpara denotar al supremo de |an|en S(ve´ase la definici´on de la clase Sen la p´agina 1), probando que k2= 2. En una nota a pie de p´agina escribi´o: “Vielleicht ist ¨uberhaupt kn=n” ( “Quiz´a, en general, kn=n”). Esta es su famosa conjetura, conocida actualmente como Teorema de De Branges, teorema en que se centra el presente trabajo. La simple elegancia de este enunciado atrajo el esfuerzo de un n´umero considerable de matem´aticos durante gran parte del siglo XX. La Conjetura de Bieberbach pronto se convirti´o en uno de los m´as famosos problemas matem´aticos sin resolver. Este problema se enmarca dentro de la teor´ıa geom´etrica de funciones, un ´area que fund´o Riemann alrededor de 1850 con su conocido teorema sobre dominios simplemente conexos en el plano complejo. Como ya hemos indicado, el propio Bieberbach prob´o su conjetura para n= 2, usando el Teorema del ´area debido a Gronwall (v´ease el Teorema 1.5). La desigualdad |a2| ≤ 2 pronto se observ´o que era equivalente a los teoremas de distorsi´on de Koebe y al Teorema 1/4 de Koebe. Charles Loewner [12] introdujo en 1923 una nueva herramienta mucho m´as sofisticada que la usada hasta entonces para atacar la Conjetura de Bieberbach, representando las funciones univalentes de corte simple (v´ease la p´agina 16 para la definici´on de estas funciones) en t´erminos de ciertas ecuaciones diferenciales. Mostr´o adem´as que estas funciones son densas (en la topolog´ıa de la convergencia uniforme en compactos) en el conjunto de las aplicaciones univalentes (anal´ıticas e inyectivas), por lo que cualquier cota para los coeficientes de Taylor para esta subclase de funciones univalentes se puede extender al total. Con esta herramienta, Loewner prob´o la Conjetura de Bieberbach para el tercer coeficiente. Desde ese a˜no 1923 hasta los a˜nos 80, un amplio abanico de matem´aticos aportaron nuevos progresos parciales sobre la Conjetura de Bieberbach. Poner aqu´ı la lista viii Introducci´on completa ser´ıa muy aventurado pero destacamos a algunos de ellos: Littlewood (que obtuvo que |an|< en para todo n), Hayman (que prob´o que existe α= l´ımn|an|/n, que α≤1 y con igualdad a 1 solamente para las rotaciones de la funci´on de Koebe), Garabedian and Schiffer (probaron que |a4| ≤ 4), Paley, Fekete, Szeg¨o, Jenkins, ... Otra l´ınea de investigaci´on se centr´o en buscar otras conjeturas que de ser ciertas implicar´ıan la de Bieberbach. En esta l´ınea trabajaron Robertson, Grunsky o Milin. De hecho, el esquema final de la demostraci´on consisti´o en probar la Conjetura de Milin que ya era conocido que implicaba la validez de la Conjetura de Roterson, la que a su vez implicaba de la Bieberbach. Pueden verse los detalles de todas estas implicaciones en la secci´on 4.1. Finalmente, en un seminario sobre teor´ıa gem´etrica de funciones celebrado en Leningrado (actual San Petersburgo) en la primavera del a˜no 1984 Louis de Branges anunci´o que la conjetura de Bieberbach pasar´ıa a ser el Teorema de De Branges. En ese momento se distribuy´o una s´ıntesis de su argumento por E. G. Emel’anov, G. V. Kuz’mina e I. M. Milin. El camino de su demostraci´on fue completamente inesperado: usaba resultados de teor´ıa de operadores y ciertas funciones especiales. Sin duda, la prueba de De Branges era sorprendentemente corta en relaci´on con el gran esfuerzo que se hab´ıa hecho para intentar probar la Conjetura de Bieberbach. R´apidamente se organizaron jornadas y congresos para el an´alisis de la demostraci´on celebrados tanto en Europa como en Estados Unidos (destacando en este ´ultimo el organizado en Purdue University en marzo de 1985 organizado por Baertstein II, Drasin, Duren y Marden). Tras ciertos retoques en la demostraci´on de De Branges, ´esta fue sometida a publicaci´on en septiembre de 1984 y publicada en 1985 en Acta Matem´atica [6]. En octubre de 1984, Carl H. FitzGerald y Christian Pommerenke enviaron una nueva demostraci´on a la revista Transactions of the American Mathematical Society que tambi´en sali´o publicada en 1985 [8]. Esta nueva demostraci´on era sensiblemente m´as simple que la de De Branges y usaba exclusivamente la teor´ıa de Loewner y ciertas propiedades de los polinomios de Jacobi. El objetivo de esta memoria es presentar una exposici´on detallada de esta segunda demostraci´on del Teorema de De Branges. Hemos dividido el trabajo en cuatro cap´ıtulos. En el primero de ellos enunciamos resultados preliminares de la teor´ıa geom´etrica de funciones necesarios para poder seguir sin dificultad la construcci´on de la teor´ıa de Loewner y la demostraci´on del teorema central de nuestro trabajo. Queremos mencionar que todos los resultados que mostramos en este cap´ıtulo han sido estudiados por la autora en la asignatura Variable Compleja y Operadores en el M´aster en Matem´aticas de la Universidad de Sevilla y, por ello, omitimos sus demostraciones. En los dos siguientes cap´ıtulos desarrollamos las herramientas necesarias para entender la demostraci´on del Teorema de De Branges: la teor´ıa de Loewner y los polinomios de Jacobi. Concretamente, en el cap´ıtulo 2 presentamos la teor´ıa de convergencia del n´ucleo que relaciona la convergencia de una sucesi´on de funciones univalentes en la topolog´ıa de convergencia uniforme en compactos con la geometr´ıa de sus im´agenes. Estos resultados son fundamentales para el desarrolllo de la teor´ıa de Loewner y concluir el cap´ıtulo con los resultados que relacionan las cadenas de Loewner con la teor´ıa de ecuaciones en derivadas parciales (v´ease el Teorema 2.16). Introducci´on ix En el cap´ıtulo 3, introducimos los polinimios de Jacobi y mostramos las propiedades necesarias para concluir con el Teorema de Askey-Gasper. En este cap´ıtulo se concentran los c´alculos m´as tediosos del trabajo. Finalmente, en el cap´ıtulo 4 demostramos el Teorema de De Branges. De hecho, probamos que se verifica la Conjetura de Milin, que a su vez implica la de Roberston y que r´apidamente permite concluir que es cierta la Conjetura de Bieberbach. Los detalles de estas relaciones pueden verse en la secci´on 4.1. Para concluir, las dos ´ultimas secciones del cap´ıtulo 4 contienen la demostraci´on de la validez de la Conjetura de Milin haciendo uso de las dos herramientas desarrolladas con anterioridad. Notaci´on. Como es habitual denotamos por Cal plano complejo. Si z0un elemento en Cyrun n´umero positivo, denotamos por D(z0, r) = {z∈C:|z−z0|< r}al disco abierto de radio rcentrado en z0. La clausura de D(z0, r) la denotaremos por D(z0, r). El disco abiero de centro 0 y radio 1 (disco unidad) lo denotaremos por D. Por otro lado, si Ges un subconjunto abierto de C, denotamos por H(G) al conjunto de las funciones holomorfas en Gcon valores en C. Sea Dun dominio en C. Una funci´on funivalente es una funci´on f∈H(D) que es inyectiva en D. Una funci´on f∈H(D) es localmente univalente si para cada punto z∈Dtiene un entorno Vtal que frestringida a Ves univalente. Si fes holomorfa, la univalencia local es equivalente a la condici´on f0(z)6= 0, para todo z∈D. Por lo tanto, una funci´on localmente univalente preserva ´angulos y orientaci´on. Por esta raz´on es costumbre llamar a las funciones univalentes como aplicaciones conformes oequivalencias conformes. Uno de los resultados b´asicos en la teor´ıa de las funciones univalentes en una variable es, sin duda, el Teorema de Representaci´on de Riemann que establece la existencia, para cada dominio Ωsimplemente conexo estr´ıctamente contenido en el plano complejo C, de una funci´on f, holomorfa e inyectiva en el disco unidad Dque verifica f(D) = Ω. M´as a´un, esta aplicaci´on de Dsobre Ωest´a un´ıvocamente determinada, para cada w0∈Ω, por las condiciones f(0) = w0yf0(0) >0 (entendiendo que esta segunda condici´on significa que f0(0) es un n´umero real positivo). A tal funci´on se la conoce como la transformaci´on de Riemann sobre el dominio Ω(centrada en w0). Recordemos que el plano complejo entero no puede ser conformemente equivalente al disco unidad Dpor el Teorema de Liouville, aunque estos dominios son homeomorfos. 6 1 Algunas propiedades elementales de las funciones univalentes en el plano complejo y en el disco unidad La principal consecuencia del Teorema del ´area (y su Corolario 1.7), en relaci´on con el estudio de las funciones en la clase Ses el siguiente teorema, probado por Bieberbach en 1916. Teorema 1.8 (Teorema de Bieberbach). Sea f(z) = z+∞ X n=2 anzn, z ∈D, una funci´on de la clase S. Entonces, |a2| ≤ 2. La igualdad |a2|= 2 se tiene si y solo si fes una rotaci´on de la funci´on de Koebe kdefinida en (1.1). De hecho, la ´unica funci´on en la clase Scon a2= 2 es k. 1.4. Aplicaciones del Teorema del Bieberbach El Teorema de Bieberbach (Teorema 1.8) adem´as de darnos una cota para el m´odulo del segundo coeficiente de Taylor de las funciones de la clase S, tiene m´ultiples e importantes aplicaciones como por ejemplo el Teorema de recubrimiento, el Teorema de crecimiento y el Teorema de distorsi´on. 1.4.1. Teorema de recubrimiento Como primera aplicaci´on del Teorema de Bieberbach, mostraremos un famoso teorema de cobertura debido a Koebe. Cada funci´on f∈Ses una aplicaci´on abierta con f(0) = 0 por lo que su rango contiene un disco centrado en el origen. Ya en 1907, Koebe [11] descubri´o que los rangos de todas las funciones en Scontienen un disco com´un |w|< ρ, donde ρes una constante absoluta. La “funci´on de Koebe” muestra que ρ≤1 4. Fue Bieberbach [3] quien, como consecuencia de su Teorema 1.8, prob´o que, de hecho, se tiene que el disco abierto D(0,1/4), centrado en el origen y con radio 1 4, est´a contenido en f(D) para toda f∈S. Teorema 1.9 (Teorema de un cuarto de Koebe.). Si f∈S, entonces D(0,1 4)⊂ f(D). N´otese que la funci´on de Koebe y sus rotaciones son las ´unicas funciones en Sque omiten un valor de m´odulo 1 4. Por lo tanto, el rango de cualquier otra funci´on en S contiene a un disco de mayor radio. Debe observarse tambi´en que la univalencia en la demostraci´on del Teorema de un cuarto de Koebe es fundamental. Por ejemplo, las funciones anal´ıticas fn(z) = 1 n(enz −1), n = 1,2, ..., tienen las propiedades de que fn(0) = 0 y f0 n(0) = 1, pero omiten el valor −1 n, que puede elegirse arbitrariamente cerca del origen. 1.4 Aplicaciones del Teorema del Bieberbach 7 1.4.2. Teorema de distorsi´on Una consecuencia importante de la desigualdad de Bieberbach |a2| ≤ 2 es el Teorema de distorsi´on de Koebe, que proporciona cotas superior e inferior para |f0(z)|cuando f∈S. Teorema 1.10. Para toda funci´on f∈Sy todo z∈D, se cumple  zf00(z) f0(z)−2|z|2 1−|z|2≤4|z| 1−|z|2.(1.4) Teorema 1.11 (Teorema de distorsi´on). Para toda f∈S, 1−r (1 + r)3≤ |f0(z)| ≤ 1 + r (1 −r)3,|z|=r < 1.(1.5) Para cada z∈D,z6= 0, la igualdad se da si y solo si fes una rotaci´on adecuada de la funci´on de Koebe. 1.4.3. Teorema de crecimiento El Teorema de distorsi´on se aplicar´a ahora para obtener cotas superior e inferior para |f(z)|. Teorema 1.12 (Teorema de crecimiento). Para toda f∈S, r (1 + r)2≤ |f(z)| ≤ r (1 −r)2,|z|=r < 1.(1.6) Para cada z∈D,z6= 0, la igualdad se da si y solo si fes una rotaci´on de la funci´on de Koebe. Teorema 1.13. Para cada f∈S 1−r 1 + r≤ zf0(z) f(z)≤1 + r 1−r,|z|=r < 1.(1.7) Para cada z∈D,z6= 0, la igualdad se da si y solo si fes una rotaci´on de la funci´on de Koebe. 8 1 Algunas propiedades elementales de las funciones univalentes en el plano complejo y en el disco unidad 1.5. Funciones convexas y estrelladas Un conjunto E⊂Cse dice estrellado con respecto a un punto w0∈Esi el segmento lineal que une w0con cualquier otro punto w∈Equeda dentro de E. Una funci´on estrellada es una aplicaci´on conforme que lleva el disco unidad en un dominio estrellado con respecto al origen. El conjunto Ese dice convexo si es estrellado con respecto a cada uno de sus puntos; esto es, si el segmento lineal que une dos puntos cualesquiera de Equeda totalmente dentro de E. Una funci´on convexa es aquella que lleva el disco unidad conformemente en un dominio convexo. La subclase de Scompuesta por las funciones convexas la denotaremos por C, mientras que la subclase de Sformada por las funciones estrelladas la denotaremos por S∗. As´ı, C⊂S∗⊂S. N´otese que la funci´on de Koebe es estrellada pero no es convexa, pues esta lleva el disco unidad en el plano complejo menos la semirrecta −∞,−1 4. Estrechamente relacionada con las clases CyS∗, encontramos la clase Pde todas las funciones ϕanal´ıticas con parte real positiva en Dy cumpliendo ϕ(0) = 1. De acuerdo con la f´ormula de Herglotz, toda ϕ∈Ppuede ser representada con una integral de Poisson-Stieltjes: ϕ(z) = Z2π 0 eit +z eit −zdµ(t),(1.8) donde dµ(t)≥0 y R2π 0dµ(t) = 1. Una consecuencia inmediata de la anterior f´ormula es la siguente estimaci´on del crecimiento de las funciones con parte real no negativa: |ϕ(z)| ≤ Z2π 0 eit +z eit −z dµ(t)≤1 + |z| 1−|z|Z2π 0 dµ(t) = 1 + |z| 1−|z|.(1.9) Haremos uso de esta desigualdad en el desarrollo de la teor´ıa de Loewner. Igualmente, se prueba sin dificultad el siguiente resultado. Lema 1.14 (Lema de Carath´eodory). Si ϕ∈Py ϕ(z) = 1 + ∞ X n=1 cnzn, entonces |cn| ≤ 2,n= 1,2, .... Esta desigualdad es ´optima para cada n. El siguiente teorema da una descripci´on anal´ıtica de las funciones estrelladas. Teorema 1.15. Sea funa funci´on anal´ıtica en D, con f(0) = 0 yf0(0) = 1. Entonces f∈S∗si y solo si zf0(z)/f(z)∈H(D)yRe {zf0(z)/f(z)}>0. 1.5 Funciones convexas y estrelladas 9 Teorema 1.16. Sea f∈H(D)con f0(0) 6= 0. Entonces, f∈Csi y solo si 1 + zf00 (z) f0(z)∈H(D)yRe n1 + zf00 (z) f0(z)o>0,z∈D. Los dos siguientes teoremas nos dan una conexi´on entre las aplicaciones convexas y estrelladas. Teorema 1.17 (Teorema de Alexander). Sea funa funci´on anal´ıtica en D, con f(0) = 0 yf0(0) = 1. Entonces f∈Csi y solo si zf0(z)∈S∗. Cerca del origen cada funci´on f∈Sest´a cerca de la aplicaci´on identidad. Es de esperar que flleve c´ırculos peque˜nos |z|=ρa curvas con dominios conexos acotados. El siguiente teorema expresa esta noci´on en t´erminos cuantitativos. Teorema 1.18. Para todo n´umero positivo ρ≤2−√3, cada funci´on f∈Stransforma el disco |z|< ρ en un dominio convexo. Esto es falso para todo ρ > 2−√3. Ahora volvemos a la Conjetura de Bieberbach para la clase S∗. Teorema 1.19. Los coeficientes de cada funci´on f∈S∗satisfacen |an| ≤ npara n= 2,3, .... La desigualdad estricta se da para todos los nsalvo que fsea una rotaci´on de la funci´on de Koebe. Corolario 1.20. Si f∈C, entonces |an| ≤ 1para n= 2,3, .... La desigualdad estricta se da para todo na menos que fsea una rotaci´on de la funci´on ldefinida por l(z) = z(1 −z)−1. Teorema 1.21. El rango de toda funci´on f∈Ccontiene el disco |ω|<1 2. 2 Teor´ıa de Loewner Una de las t´ecnicas m´as poderosas en la teor´ıa de las funciones univalentes es la teor´ıa de Loewner [12], desarrollada a principios de la d´ecada de 1920. Loewner fue influenciado por el trabajo de S. Lie en semigrupos asociados a ecuaciones diferenciales. Desde el principio, una de las principales aplicaciones del m´etodo de Loewner fue el estudio de la Conjetura de Bieberbach. A continuaci´on vamos a presentar algunos de los resultados b´asicos de la teor´ıa de Loewner. La mayor´ıa de las demostraciones est´an basadas en los textos [5,7]. 2.1. Convergencia del n´ucleo Comenzamos esta secci´on con algunas ideas b´asicas sobre la convergencia del n´ucleo, un concepto fundamental en el desarrollo de la teor´ıa de Loewner. Definici´on 2.1. Sea {Dn}n∈Nuna sucesi´on de dominios simplemente conexos en el plano, ninguno de ellos igual a Cy tales que 0∈Dnpara todo n∈N. Denotemos por Int({Dn})al interior de T∞ n=1 Dn. •Si 0∈Int({Dn}), el n´ucleo,D, de esta sucesi´on de dominios se define como el mayor dominio simplemente conexo (con respecto a la inclusi´on) que contiene a 0 y cumple que si Kes un subconjunto compacto de D, entonces existe un n´umero natural, n0, tal que K⊆Dnpara n≥n0. •Si 06∈ Int({Dn}), el n´ucleo D={0}. Veamos que el n´ucleo est´a bien definido. Sea ςel conjunto de dominios Dtales que 0∈Dy todo subconjunto compacto Kde Dest´a contenido en todos menos un n´umero finito de conjuntos Gn. Afirmamos que G=SD∈ςDpertenece a ς. Podemos suponer que G6={0}. Ciertamente, Ges un dominio que contiene al 0. Por las definiciones de ςyG, sabemos que para cada z∈Ghay un dominio Dz∈ςtal que z∈Dz, y hay un disco D(z, ρz) centrado en zy de radio ρzcuya clausura est´a contenida en Dz. Si Kes un subconjunto compacto de G, podemos cubrir Kpor un n´umero finito de discos D(zj, ρzj), j= 1, ..., k, tal que D(zj, ρzj)⊂Djpara algunos Dj∈ς. De nuevo 12 2 Teor´ıa de Loewner usando la definici´on de ς, tenemos para j= 1, ..., k,D(zj, ρzj)⊂Dn, para todos menos un n´umero finito de enteros n. Por lo tanto, K⊂Dnpara todos menos un n´umero finito de conjuntos Dn. As´ı, hemos demostrado que G∈ς, y es evidente que ning´un dominio m´as grande puede pertenecer a ς. El Teorema 2.4 permitir´a calcular el n´ucleo Dde una sucesi´on de dominios simplemente conexos con relativa facilidad. Antes de pasar a enunciarlo y demostrarlo, es recesario introducir la siguiente noci´on de convergencia. Definici´on 2.2. Decimos que la sucesi´on de dominios simplemente conexos distintos del plano {Dn}n∈N, con {0} ∈ Tn∈NDny n´ucleo Dconverge (en la convergencia de n´ucleo) aDsi cada subsucesi´on de {Dn}n∈Ntiene tambi´en n´ucleo D. En este caso, utilizamos la notaci´on Dn→ND. Un ejemplo particularmente sencillo y que nos ser´a de utilidad m´as adelante es el siguiente: Ejemplo 2.3. Sea {Dn}una sucesi´on de dominios simplemente conexos en el plano complejo tal que 0 ∈DnyDn⊂Dn+1 para todo n. Entonces Dn→N∪nDn. Otra noci´on de convergencia necesaria para el desarrollo de los contenidos en esta secci´on es la de la convergencia uniforme en subconjuntos compactos de funciones anal´ıticas en el disco unidad. Para simplificar la notaci´on escribiremos fn⇒KbΩf para indicar que {fn}es una sucesi´on de funciones anal´ıticas en Ωque converge uniformemente a fen cada compacto de Ω. Recordemos que esta convergencia implica la convergencia uniforme en subconjuntos compactos de las derivadas de las funciones a la derivada de la funci´on l´ımite. Ambas nociones de convergencia quedan relacionadas por el siguiente teorema. Teorema 2.4 (Teorema del n´ucleo de Carath´eodory). Sean {Dn}n∈Nuna sucesi´on de dominios simplemente conexos distintos de Cque cumplen {0} ∈ T∞ n=1 Dn. Sea Dsu n´ucleo. Denotemos por fna la aplicaci´on de Riemann del disco sobre Dn con fn(0) = 0 yf0 n(0) >0. Entonces, fn⇒KbDfsi y solo si Dn→ND6=C. En este caso, D=f(D). Observemos que, en el caso de convergencia fn⇒KbDf, se tiene, por el Teorema de Hurwitz (v´ease la secci´on 5.1 de [1]), que o bien f≡0 (en cuyo caso, D={0}), o bien fes una aplicaci´on univalente de Dsobre D, por lo que D6={0}es un dominio simplemente conexo. Demostraci´on. Supongamos que fn⇒KbDf. Tenemos entonces dos posibilidades. •La funci´on f≡0. En este caso, hemos de probar Dn→N{0}. Observemos que cualquier subsucesi´on de {fn}tambi´en converge uniformemente en subconjuntos compactos del disco a f. Por lo tanto, basta comprobar que el n´ucleo de Dnes {0}. 2.1 Convergencia del n´ucleo 13 Supongamos por contradicci´on que D6={0}. Entonces, existe un disco cerrado D(0, r) centrado en el origen y con radio 0 < r < 1 contenido en D. Pero, en este caso, se tiene que existe n0∈Ntal que para todo n≥n0, se cumple D(0, r)⊂Dn. As´ı, podemos considerar las funciones gn(z) = f−1 n(rz), z∈D, que resultan ser holomorfas en D, fijan el origen y cumplen gn(D)⊂D. Una aplicaci´on directa del Lema de Schwarz da lugar a la desigualdad |g0 n(0)|= r/|f0 n(0)| ≤ 1, por lo tanto, |f0 n(0)| ≥ rpara todo n≥n0. Pero esto implica que f0(0) 6= 0, lo que es una contradicci´on puesto que f≡0 y, por lo tanto, f0≡0. El mismo argumento prueba que cualquier subsucesi´on de {Dn}tiene n´ucleo {0}, luego Dn→N{0}. •La funci´on f6≡ 0. Sea Ω=f(D). Siendo funa funci´on holomorfa e inyectiva, se tiene que Ωes un dominio simplemente conexo en el plano distinto de C(por el Teorema de Liouville aplicado a f−1). Tenemos que demostrar que D=Ωy que Dn→NΩ. Dividimos esta demostraci´on en cinco pasos. Primer paso. Veamos que Ω⊆D. Para este fin, tenemos que demostrar que si Kes un subconjunto compacto arbitrario de Ω, entonces existe n0∈Ntal que si n≥n0, se cumple K⊂Dn. Para hacerlo, encerramos Kdentro de una curva suave cerrada y simple γcontenida en Ω\K. Dicha curva γexiste pues como f−1(K) es compacto en Dbasta tomar R= max {|w|:w∈f−1(K)}<1 y γ=fC0,R+1 2. Sea η > 0 la distancia entre γyK, de manera que se tiene que si w∈Ky si z∈f−1(γ), entonces |f(z)−w| ≥ η . Usando que f−1(γ) es un compacto en Dy que fn⇒KbDf, concluimos que existe n0∈Ntal que, si n≥n0, entonces, para todo z∈f−1(γ), |fn(z)−f(z)|< η . Consecuentemente, se obtiene que, para n≥n0y para todo z∈f−1(γ), |fn(z)−f(z)|=|[f(z)−w]−[fn(z)−w]|< η ≤ |f(z)−w|.(2.1) Observemos que, para w∈K, el n´umero de ceros de la funci´on f(z)−wes 1, por ser funivalente. Entonces, usando (2.1) y el Teorema de Rouch´e (v´ease la secci´on 5.2 de [1]), se sigue que el n´umero de ceros de fn(z)−wes tambi´en 1 para todo n≥n0. As´ı, para estos valores de n, se tiene que K⊂Dn. Por lo tanto, Ω⊂D. Segundo paso. Como Ω⊂D, se tiene que dado cualquier compacto Kcontenido en Ω, se cumple que K⊂fn(D) para n≥nK, donde nKdepende solo del compacto K. As´ı, si nes suficientemente grande, la sucesi´on {f−1 n}est´a bien definida en subconjuntos compactos de Ωy cumple |f−1 n| ≤ 1 en el conjunto compacto K. Observemos que Ω=S∞ n=1 Kn, donde Kn=f(D(0,n−1 n)) son subconjuntos compactos de Ωque cumplen Kn⊂Kn+1,n∈N. 14 2 Teor´ıa de Loewner Por lo tanto, si Kes un subconjunto compacto de Ω, entonces existe N∈Ntal que K⊂SN n=1 Kn. Usando un argumento diagonal, se sigue que existe una subsucesi´on {f−1 nk}de {f−1 n}bien definida en Ky una funci´on anal´ıtica g∈Ωtales que f−1 nk converge a guniformemente en cada conjunto compacto de Ω. Es claro que g(0) = 0. Adem´as, g0(0) >0 ya que 0<1 f0(0) = l´ım k→∞ 1 f0 nk(0) = l´ım k→∞g0 nk(0) = g0(0). As´ı gno es constante, y por tanto, usando de nuevo el Teorema de Hurwitz se tiene que ges univalente. Tercer paso. Ahora probaremos que g=f−1. Para este fin, sea z0∈Dyw0=f(z0). Sea δ > 0 suficientemente peque˜no para que el disco cerrado D(z0, δ) est´e contenido en D. Sean γ=∂D(z0, δ) y Γ=f(γ). Si ηdenota la distancia entre w0yΓ, entonces, claramente, |f(z)−w0| ≥ ηpara todo z∈γ. Dado que fn⇒KbDf, un argumento similar al usado en el primer paso muestra que existe n0∈Ntal que ambas ecuaciones fn(z)−w0= 0 y f(z)−w0= 0 tienen el mismo n´umero de soluciones (que resulta ser 1) en D(z0, δ). Concluimos entonces que para cada nk≥n0, existe un punto zk∈D(z0, δ) tal que fnk(zk) = w0. Por lo tanto, usando la sucesi´on {gnk}={f−1 nk}en el segundo paso, y el hecho de que gnkconverge a gunifoememente en compactos, se tiene que |gnk(w0)−g(w0)|< δ. Consecuentemente, obtenemos |g(w0)−z0|≤|g(w0)−gnk(w0)|+|zk−z0|<2δ. Dado que δpuede tomarse arbitrariamente peque˜no, g(w0) = z0. Puesto z0es arbitrario, se deduce que g=f−1. N´otese que los argumentos utilizados pueden aplicarse a cualquier subsucesi´on de f−1 n, por lo tanto, se tiene que f−1 n⇒KbΩf−1. Cuarto paso. Veamos que f(D) = D. Exactamente el mismo argumento que el utilizado en los pasos segundo y tercero, muestra que existe una funci´on anal´ıtica y univalente ψen Dcon |ψ(z)| ≤ 1 para todo z∈Dy tal que f−1 n⇒KbDψ. Pero, entonces, ψ|Ω=f−1. El principio de unicidad de funciones anal´ıticas muestra que, entonces, f−1puede extenderse de forma anal´ıtica a Dyf−1=ψen D. Supongamos, para llegar a contradicci´on, que existe w0∈D\Ω. Entonces, existe z0∈Dtal que ψ(w0) = z0. Pero, entonces, f(z0) = w0, luego w0∈f(D) = Ω. Esto es una contradicci´on que muestra que Ω=D. Quinto paso. Podemos repetir los argumentos presentados en los pasos anteriores aplic´andolos a cualquier subsucesi´on {fnk}de {fn}y obtener que el n´ucleo de cualquier subsucesi´on de {Dn}es D=f(D), lo que prueba que Dn→ND. 2.1 Convergencia del n´ucleo 15 Esto concluye la demostraci´on de que si fn⇒KbDf, entonces Dn→ND6=C. Supongamos, ahora, que Dn→ND6=C. De nuevo, surgen dos posibilidades. •Si D={0}, entonces es sencillo demostrar que f0 n(0) →0. En efecto, si no fuese el caso, existir´ıan ρ > 0 y una subsucesi´on {fnk}k∈Ntal que f0 nk(0) →ρ,k→ ∞. Aplicando el Teorema 1/4 de Koebe (Teorema 1.9) a las funciones Fk=fnk/f0 nk(0), que pertenecen a la clase S, se seguir´ıa que cada dominio Dnkcontiene el disco D(0, f0 nk(0)/4), con radio mayor o igual que ρ/2 si kes suficientemente grande. Por lo tanto, existir´ıa un disco abierto contenido en D, lo que es una contradicci´on. Por otro lado, usando el Teorema de crecimiento (Teorema 1.12) para las funciones Fn=fn/f0 n(0) y teniendo en cuenta que si Kes un compacto del disco unidad, entonces existe 0 < R < 1 tal que |z| ≤ Rpara todo z∈K, obtenemos que, para todo z∈K |fn(z)|≤|f0 n(0)||z| (1 −|z|)2≤ |f0 n(0)|R (1 −R)2→0, n → ∞. Por lo tanto, se sigue que fn⇒KbD0. •Supongamos, ahora, que Des un dominio simplemente conexo distinto de C. Veamos, en primer lugar, que la sucesi´on {f0 n(0)}n∈Nes una sucesi´on acotada. Para ello, argumentamos por contradicci´on suponiendo que existe una subsucesi´on para la que se verifica que f0 nk(0) ≥kpara k≥1. De nuevo, una aplicaci´on del Teorema 1/4 de Koebe, implica que D(0, k/4) ⊂Dnk. Por lo tanto, la sucesi´on {Dnk}k∈Ntiene n´ucleo igual a C, lo que contradice nuestra hip´otesis. Por lo tanto, existe una constante M > 0 tal que f0 n(0) ≤Mpara todo n´umero natural n. Considerando las funciones Fn=fn/f0 n(0) ∈Sy aplicando el Teorema de crecimiento, se sigue, como antes, que para todo subconjunto compacto Kdel disco unidad y todo z∈K |fn(z)| ≤ M|z| (1 −|z|)2≤MR (1 −R)2, siendo R= m´ax{|z|:z∈K}. Aplicando el Teorema de Montel, se sigue que existen una subsucesi´on {fnk}k∈Nde {fn}n∈Ny una funci´on anal´ıtica fen el disco unidad que cumplen que fnk⇒KbDf. Basta aplicar la primera parte de la demostraci´on para concluir que Dnktiene n´ucleo D=f(D). El mismo razonamiento puede aplicarse a cualquier otra subsucesi´on convergente de {fn}. Si ocurriese que, para otra subsucesi´on {fnj}tal que fnj⇒KbDg, donde g6=f, se tendr´ıa que D=f(D) = g(D). Pero ambas funciones fygson las inversas de las transformaciones de Riemann de Dsobre D(f(0) = g(0) = 0 y f0(0), g0(0) >0). Luego f=gy, por tanto, fn⇒KbDf, donde f(D) = D. 22 2 Teor´ıa de Loewner Este ejemplo muestra que cualquier aplicaci´on con un corte simple es el elemento inicial de una cadena Loewner. Por ejemplo, f(z, t) = etz (1−z)2es una cadena de Loewner cuyo elemento inicial es la funci´on de Koebe. (Est´a claro geom´etricamente que f(z, t) = etf(z) es una cadena de Loewner si fes estrellada). De hecho, tenemos el siguiente resultado, que afirma que cualquier funci´on en Spuede ser el elemento inicial de una cadena Loewner. Necesitamos previamente el siguiente teorema. Teorema 2.10. Cualquier sucesi´on de cadenas normalizadas de Loewner {fn(z, t)}n∈N contiene un subsucesi´on que converge localmente uniformemente en Dpara cada t≥0fijo a una cadena de Loewner. Demostraci´on. Usando la relaci´on (2.9), deducimos que para cada r∈(0,1) y ztal que |z|< r, |fn(z, t)−fn(z, s)| ≤ 8r (1 −r)4(et−es), n ∈N,0≤s≤t < ∞. La desigualdad superior en (2.8) implica que |fn(z, t)−fn(w, t)|≤|z−w|Z1 0|f0((1 −τ)z+rw, t))|dτ ≤et1 + r (1 −r)3|z−w|,|z| ≤ r, |w| ≤ r, t ≥0, n ∈N. Las estimaciones anteriores implican que las funciones fn(z, t), n∈N, son equicontinuas en {(z, t) : |z| ≤ 1−1/k, 0≤t≤k}, k = 2,3, .... Aplicando el Teorema de Arzel`a-Ascoli en el espacio compacto D1−1/k ×[0, k], se concluye que para kfijo, hay una subsucesi´on {fnk p(z, t)}p∈Nque converge uniformemente en ∆k={(z, t) : |z| ≤ 1−1/k, 0≤t≤k}a un l´ımite ˜ fk(z, t) y adem´as fnk p(z, t)−˜ fk(z, t)≤1 k, para todo (z, t) en ∆k. Tomando en el paso k+ 1 una subsucesi´on de la obtenida en el paso kobtenemos la subsucesi´on {fnp}p={fnp p}p, que converge puntualmente en {|z|<1,0≤t < ∞}, y adem´as la convergencia es localmente uniforme en este espacio. En particular, la convergencia es localmente uniforme en Dpara cada t≥ 0 fijo. Dado que la funci´on l´ımite f(z, t) satisface las condiciones f(0, t) = 0 y f0(0, t) = et, se sigue que f(z, t) no puede ser constante, y por lo tanto es univalente en D, para cada t≥0. Tambi´en dado que fnp(z, s)≺fnp(z, t) para p= 1,2, ..., 0, 0≤s≤t < ∞, deducimos que fnp(z, s) = fnp(vnp(z, s, t), t), p = 1,2, ..., donde vnp(z, s, t) son funciones de Schwarz univalentes. Dado que el conjunto 2.4 Teoremas de extensi´on 23 vnp(·, s, t)p∈N es localmente uniforme acotado en D, hay una subsucesi´on de {np}p∈N, que denotamos de nuevo por {np}p∈N, tal que vnp(z, s, t)p∈Nconverge localmente uniforme en Da una funci´on anal´ıtica v(z, s, t) que se ve f´acilmente como una funci´on de Schwartz. Adem´as, tomando l´ımites para esta subsucesi´on, deducimos que f(z, s) = f(v(z, s, t), t), que es f(z, s)≺f(z, t). Hemos probado por lo tanto que f(z, t) es una cadena de Loewner.  Teorema 2.11. Para cada funci´on fen Shay una cadena de Loewner f(z, t)tal que f(z, 0) = f(z)en D. Demostraci´on. Primero asumimos que fes holomorfa e inyectiva en un abierto que contiene a D. Entonces la imagen del c´ırculo unidad es una curva de Jordan cerrada C. Sea Gel dominio interno de Cy sea Hel dominio externo de C. Sea ˆ Cel plano complejo extendido y guna aplicaci´on conforme de ˆ C\Den Htal que g(∞) = ∞. Para t≥0 consideramos la curva de Jordan cerrada Ct={g(eteiθ) : 0 ≤θ≤2π}y su dominio interno G(t). Entonces G(0) = Gy la familia {G(t)}t≥0satisface (2.5) y (2.6). Sea h(z, t) la aplicaci´on conforme de Den G(t) con h(0, t) = 0, h0(0, t) = α(t)>0. La unicidad en el Teorema de la aplicaci´on de Riemann implica que h(z, 0) = f(z). Por lo tanto, tomando β(t) = log[α(t)], deducimos del Teorema 2.8(i)(b) que f(z, t) = h(z, β−1(t)) es una cadena de Loewner satisfaciendo f(z, 0) = f(z), z∈D. En el caso general sea f∈Sy sea fn(z) = f(rnz)/rn, donde rn= 1 −1/n y n∈N\{1}. Entonces fn∈Sy es anal´ıtica e inyectiva en un abierto que contiene a D. Usando el argumento anterior concluimos que fnpuede integrarse como el elemento inicial de una cadena Loewner fn(z, t). El resultado es ahora una consecuencia del Teorema 2.10.  2.4. Teoremas de extensi´on Una familia de resultados cl´asicos en teor´ıa geom´etrica de funciones analizan la posibilidad de extender funciones anal´ıticas a la frontera del dominio donde est´an definidas. En esta l´ınea destaca el siguiente resultado de Carath´eodory. No incluimos las demostraciones de los resultados de esta secci´on porque har´ıa demasiado extenso este trabajo. Damos referencias concretas para cada una de las afirmaciones que mencionamos y que necesitamos con posterioridad. Teorema 2.12 (Teorema de extensi´on Carath´eodory). [4, Theorem 4.3.1] Sea Ωun dominio acotado y simplemente conexo y sea f:D→Ωla apliaci´on de Riemann de Ωcon f(0) = 0 yf0(0) >0. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 24 2 Teor´ıa de Loewner (1) la frontera de Ωen la esfera de Riemann, ∂∞Ω, es un conjunto localmente conexo; (2) ∂∞Ωes un camino continuo, es decir, existe una funci´on continua y sobreyectiva g:∂D→∂Ω; (3) ftiene una extensi´on continua en la clausura de D; (4) C∞\Ωes localmente conexo. En cuanto a la continudad de la inversa de una apliaci´on de Riemann nos har´a falta el siguiente resultado: Proposici´on 2.13. Sea γ: [0,∞)→Cun arco de Jordan tal que γ(t)→ ∞ cuando t→ ∞ y sea Ω=C\γ. Sea f:D→Ωla aplicaci´on de Riemann de Ωcon f(0) = α yf0(0) >0. Entonces 1. [4, Proposition 4.3.5] Si seguimos denotando como fa la extensi´on continua de fal disco unidad cerrado, entonces existe un ´unico punto ζ∈∂Dtal que f(ζ) = γ(0). 2. [5, Proposition 15.3.8] La funci´on g=f−1:Ω→Dpuede extenderse continuamente a Ω∪{γ(0)}. 2.5. El Teorema de Loewner En esta secci´on se estudia la ecuaci´on diferencial de Loewner y la caracterizaci´on asociada a las cadenas de Loewner en t´erminos de una cierta ecuaci´on en derivadas parciales. Existe una versi´on de la ecuaci´on diferencial de Loewner v´alida para todas las cadenas de Loewner, pero aqu´ı solo veremos la versi´on para una cadena como en el Ejemplo 2.9. Esto es todo lo que se necesita para demostrar el Teorema de De Branges. Sea entonces γ: [0,∞)→Cun arco de Jordan que no contiene al origen, tal que γ(t)→ ∞ cuando t→ ∞. Para 0 ≤t < ∞, sea γtla restricci´on de γa [t, ∞) y consideremos Ω(t) = C\γt. Como vimos en el Ejemplo 2.9 existe una cadena de Loewner ftal que ft(C) = Ω(t) para todo t≥0. En general esta cadena de Loewner no est´a normalizada. Sea vs,t la funci´on de transici´on para la cadena fy sea gt=f−1 t:Ω(t)→Dcon g(ζ, t) = gt(ζ). Recordemos que vs,t(z) = f−1 t◦fs. Las funciones fsyfttienen extensiones continuas en Dpor el Teorema 2.12. Adem´as, por la Proposici´on 2.13,gttiene una extensi´on continua a Ω(t)∪ {γ(t)}. Sea λ(t) el ´unico punto en el c´ırculo unidad tal que ft(λ(t)) = γ(t) (apl´ıquese ahora el primer apartado de la Proposici´on 2.13). Sea Cs,t el arco cerrado en ∂Ddefinido por Cs,t ={z∈∂D:fs(z)∈γ([s, t])}y sea Js,t =gt(γ([s, t])). Entonces Js,t es un arco de Jordan que se encuentra en Dexcepto su punto final λ(t). As´ı vs,t lleva Dconformemente en D\Js,t. Adem´as, por el Teorema de extensi´on de Carath´eodory 2.12 vs,t tiene una extensi´on continua a Dque lleva Cs,t en Js,t y el complementario de Cs,t en el c´ıculo en ∂D\{λ(t)}. Observemos que λ(s) es un punto interior del arco Cs,t yCs,t decrece a λ(s) cuando t→s. Similarmente, si tes fijo y s→t, entonces Js,t decrece a λ(t). 2.5 El Teorema de Loewner 25 Proposici´on 2.14. Con la notaci´on anterior, la funci´on λ: [0,∞)→∂Des continua. Demostraci´on. Por el principio de reflexi´on de Schwarz, la funci´on vs,t tiene una continuaci´on anal´ıtica a C\Cs,t. Esta continuaci´on, tambi´en denotada por vs,t, es una equivalencia conforme de C\Cs,t en C\Js,t ∪J∗ s,t, donde J∗ s,t es la reflecci´on de Js,t a trav´es del c´ırculo unidad. Observemos que l´ım z→∞ vs,t(z) z= l´ım z→0 z vs,t(z)=1 v0 s,t(0) =et−s. El Teorema 1/4 de Koebe implica que dado que Js,t est´a contenido en el complementario de vs,t(D), Js,t ⊆C\ {ζ:|ζ|< es−t/4}. As´ı J∗ s,t ⊆ {ζ:|ζ|<4et−s}. Por tanto, aplicando el principio del m´odulo m´aximo |z−1φst(z)| ≤ 4et−spara todo zen C\Cs,t. Por consiguiente, para cualquier T≥s,{z−1vs,t :s≤t≤T}es una familia normal. Si tk→sy{vs,tk}converge a una funci´on anal´ıtica v, entonces vest´a acotada en C\ {λ(s)}. Por eso, λ(s) es una singularidad evitable y ves constante. Pero v(0) = l´ımt→sv0(0, s, t) = 1. Dado que toda ssucesi´on convergente de esta familia normal debe converger a la funci´on constante 1, tenemos que z−1vs,t(z)→1 en C\{λ(s)}cuando t→s. As´ı vs,t(z)→zen C\{λ(s)}cuando t→s. Fijemos s≥0. Ahora mostraremos que λes continua por la derecha a s. Si ε > 0, tomemos δ > 0 tal que para s<t<s+δ,Cs,t ⊆D(λ(s); ). Sea Cel c´ırculo ∂D(λ(s); ε) y sea χ=vs,t(C), una curva de Jordan. Notemos que el interior de χcontiene los arcos Js,t yJ∗ s,t; en particular λ(t) se encuentra en el interior de χ. Ahora δse puede elegir lo suficientemente peque˜no tal que para s<t<s+δ, |vs,t(z)−z|< ε para todo zen C. De aqu´ı se sigue que el di´ametro de χes menor que 3ε. Entonces si tomamos un punto zen C,|λ(s)−λ(t)|≤|λ(s)−z|+|z−vs,t(z)|+ |vs,t(z)−λ(t)|< ε +ε+ 3ε= 5ε. Esto prueba la continuidad por la derecha. La prueba de que λes continua por la izquierda es similar.  Teorema 2.15. Con la notaci´on anterior, la funci´on gtiene derivadas parciales continuas y, para t≥0yζen Ω(t), satisface ∂g(ζ, t) ∂t =−g(ζ, t)1 + κ(t)g(ζ, t) 1−κ(t)g(ζ, t),(2.11) donde κ(t) = λ(t). Demostraci´on. Veamos en primer lugar que g0existe y es continua. Dado que fes una cadena de Loewner, g0(ζ, t) existe y es igual a [f0(g(ζ, t), t)]−1. Dado que la convergencia de una sucesi´on de funciones anal´ıticas implica la convergencia de sus derivadas, f0:D×[0,∞)→Ces continua. Por tanto g0es continua. 26 2 Teor´ıa de Loewner Manteniendo la notaci´on introducida a lo largo de la secci´on, recordemos que para s≤t,vs,t tiene una extensi´on continua a Dyvs,t(Cs,t) = Js,t. Por otro lado, z−1vs,t no se anula en Dy esto permite probar que existe una rama del logaritmo tal que la funci´on Φ(z) = log vs,t(z) z, es anal´ıtica y Φ(0) = s−t. As´ı Φes continua en Dy anal´ıtica en D. Si z∈∂D\Cs,t, entonces vs,t(z)∈∂D\{λ(t)} y entonces Re Φ(z) = log |z−1vs,t(z)|= 0. As´ı la f´ormula de Poisson nos da que Re Φ(z) = 1 2πZβ αRe Φ(eiθ)Pz(eiθ)dθ, donde αyβson elegidos para que eiα yeiβ sean los puntos finales de Cs,t. Por la elecci´on de la rama del logaritmo, Φ(z) = 1 2πZβ αRe Φ(eiθ)eiθ +z eiθ −zdθ. (2.12) Tenemos tambi´en que s−t=Φ(0) = 1 2πZβ α Re Φ(eiθ)dθ. Ahora ft◦vs,t =fsy entonces gt=vs,t ◦gs. Tomando z=gs(ζ) en (2.12) tenemos que log gt(ζ) gs(ζ)=1 2πZβ α Re Φ(eiθ)eiθ +gs(ζ) eiθ −gs(ζ)dθ. Ahora aplicamos el Teorema del valor medio para integrales a las partes real e imaginaria de este integrando para obtener n´umeros uyvcon α≤u,v≤βy tal que log gt(ζ) gs(ζ)=1 2πZβ α Re Φ(eiθ)dθRe eiu +gs(ζ) eiu −gs(ζ)+iIm eiv +gs(ζ) eiv −gs(ζ) = (s−t)Re eiu +gs(ζ) eiu −gs(ζ)+iIm eiv +gs(ζ) eiv −gs(ζ). Dividamos ambos lados de la ecuaci´on anterior por t−sy hagamos tender tas. Observemos que eiu yeiv convergen ambas a λ(s). As´ı l´ım t→s 1 t−slog gt(ζ) gs(ζ)=−λ(s) + gs(ζ) λ(s)−gs(ζ) =−1 + κ(s)gs(ζ) 1−κ(s)gs(ζ). 2.5 El Teorema de Loewner 27 Pero el lado izquierdo es precisamente la derivada por la derecha de log [gt(ζ)/gs(ζ)] con respecto a t, evaluada con t=s. Tomando exponenciales y multiplicando por gs(ζ), se sigue que t→ft(ζ) tiene derivada por la derecha en t=s. Luego, por operaciones del c´alculo elemental, tenemos que ∂g ∂t =−g1 + κg 1−κg, donde en la anterior expresi´on la derivada se entiende que es la derivada por la derecha. La prueba de que la derivada por la izquierda tambi´en existe y satisface la anterior ecuaci´on es similar.  Finalizamos la secci´on con el Teorema de Loewner: Teorema 2.16 (Teorema de Loewner). Si fes una cadena de Loewner tal que f0es una aplicaci´on en una regi´on con un corte simple, entonces existe una funci´on continua κ: [0,∞)→∂Dtal que ∂f(z, t) ∂t =1 + κ(t)z 1−κ(t)zzf0(z, t).(2.13) La ecuaci´on (2.13)se conoce como la ecuaci´on diferencial de Loewner. Demostraci´on. La existencia y continuidad de f0la tenemos porque dado que fes una cadena de Loewner y dado que la convergencia de una sucesi´on de funciones anal´ıticas implica la convergencia de sus derivadas, f0es continua. Ahora, como ft ygtson inversas una de la otra, la diferenciabilidad de frespecto de tse tiene por el Teorema de la funci´on inversa. Veam´oslo. Definamos F:D×[0,∞)→C×Rpor F(z, t) = (f(z, t), t). Es f´acil ver que F(D×(0,∞)) es el conjunto abierto Λ=St>0(C\γt)×(t, ∞) y que Fes una aplicaci´on inyectiva con inversa dada por F−1(ζ, t)=(g(ζ, t), t). As´ı F−1es una funci´on continuamente diferenciable y su Jacobiano es det    g0(ζ, t) 0 ∂g(ζ, t) ∂t 1  =g0(ζ, t), que nunca se anula. Por tanto, Fes continuamente diferenciable, de lo que se sigue que ∂f(z,t) ∂t existe y es continua. Ahora sea κcomo en el Teorema 2.15 anterior. N´otese que ζ=f(gt(ζ), t), luego diferenciando con respecto a ttenemos que 0 = f0(gt(ζ), t)∂g(ζ,t) ∂t +∂f(gt(ζ),t) ∂t . Tomando z=gt(ζ), tenemos que 0 = f0(z, t)∂g(ζ,t) ∂t +∂f(z,t) ∂t para todo zen D. Por lo tanto, aplicando (2.11), 28 2 Teor´ıa de Loewner ∂f(z, t) ∂t =−f0(z, t)∂g(ζ, t) ∂t =f0(z, t)g(ζ, t)1 + κ(t)g(ζ, t) 1−κ(t)g(ζ, t) =f0(z, t)z1 + κ(t)z 1−κ(t)z.  3 Los polinomios de Jacobi y el Teorema de Askey-Gasper 3.1. Los polinomios de Jacobi En esta secci´on mostraremos los resultados preliminares para poder demostrar el Teorema de Askey-Gasper, del cual se obtiene la positividad de las sumas de los polinomios de Jacobi, resultado que se utiliza en la prueba del Teorema de De Branges. Incorporar adecuadamente esta propiedad de los polinomios de Jacobi a la teor´ıa de Loewner fue la clave para desbloquear los intentos fallidos hasta los a˜nos 80 para obtener una prueba de la Conjetura de Bieberbach. Un texto cl´asico de consulta sobre esta familia de polinomios ortogonales es el libro de Szeg¨o [14]. No obstante, el contenido de esta secci´on lo hemos extra´ıdo esencialmente de [9]. Para tratar el teorema en el que se centra esta secci´on antes debemos incluir la definici´on de polinomios de Jacobi y algunos resultados relacionados con ellos. Sean fygdos funciones medibles definidas en el intervalo (−1,1), definamos el producto interno de fygpor (f, g) = Z1 −1 f(x)g(x)(1 −x)α(1 + x)βdx. Si (f, g) = 0, decimos que fygson ortogonales, y lo denotaremos por f⊥g. Para α > −1 y β > −1, nP(α,β) n(x)on≥0denota la familia de los polinomios de Jacobi. Recoerdemos que cada P(α,β) nes un polinomio de grado nsatisfaciendo la siguiente condici´on de ortogonalidad Z1 −1 P(α,β) n(x)P(α,β) m(x)(1 −x)α(1 + x)βdx =δn,m.(3.1) y la condici´on de normalidad P(α,β) n(1) = n+α n, donde δn,m es la delta de Kronecker. 30 3 Los polinomios de Jacobi y el Teorema de Askey-Gasper Fijados αyβ, un argumento est´andar de inducci´on muestra que tales polinomios existen y que son ´unicos. Tal construcci´on proporciona adem´as que la familia {P(α,β) j: j= 0, ..., n}forman una base de los polinimios de grado menor o igual que n. Los polinomios de Jacobi tienen las siguientes propiedades: Proposici´on 3.1. Fijemos α > −1yβ > −1. (1) Si πn(x) = Pn k=0 akxkes un polinomio arbitrario ortogonal a 1, x, x2, ..., xn−1, entonces πn=c·P(α,β) n, donde ces una constante. (2) P(α,β) nsatisface la siguiente ecuaci´on diferencial 1−x2y00 + [(β−α)−(α+β+ 2) x]y0+n(n+α+β+ 1) y= 0.(3.2) (3) La soluci´on de la ecuaci´on (3.2)es ´unica en el siguiente sentido: Si yyzson dos soluciones linealmente independientes de (3.2), entonces al menos una de ellas no es regular en x=−1(o en x= 1). En partiuclar, si yyzson soluciones polinomiales, entonces son linealmente dependientes. Demostraci´on. (1) Si reescribimos πn(x) = Pn k=0 akxkcomo Pn k=0 ckP(α,β) k(x), entonces πn⊥P(α,β) 0, ..., P(α,β) n−1, ya que πn⊥1, x, ..., xn−1. As´ı, (πn, Pj) = cj= 0, donde 0≤j≤n−1, y πn=c·P(α,β) n. (2) La ecuaci´on (3.2) es equivalente a y0(1 −x)α+1 (1 + x)β+10=−n(n+α+β+ 1)y(1 −x)α(1 + x)β(3.3) ya que y0(1 −x)α+1 (1 + x)β+10 = (1 −x)α(1 + x)βy00 1−x2+y0((β−α)−(α+β+ 2) x). Sustiyuyendo y=P(α,β) n(x) en el lado izquierdo de (3.3) tenemos una expresi´on de la forma (1 −x)α(1 + x)βz. Es f´acil ver que zes un polinomio de grado n. Si probamos que z=−n(n+α+β+ 1) P(α,β) n(x), entonces habremos probado que P(α,β) n(x) satisface (3.2). Primero, probemos que z⊥P(α,β) j(x), 0 ≤j≤n−1. Tenemos que Z1 −1 (1 −x)α(1 + x)βxjz(x)dx =Z1 −1y0(1 −x)α+1(1 + x)β+10xjdx. Usando integraci´on por partes en el lado derecho de la igualdad, tenemos 3.1 Los polinomios de Jacobi 31 −Z1 −1 y0(1 −x)α+1(1 + x)β+1jxj−1dx, e integrando por partes de nuevo, obtenemos jZ1 −1 yd dx((1 −x)α+1(1 + x)β+1xj−1)dx =Z1 −1 y(1 −x)α(1 + x)βπj(x)dx donde πj(x) es un polinomio de grado j. Dado que P(α,β) n(x) es ortogonal a 1, x, ..., xn−1, la integral en el lado derecho de la ecuaci´on previa es igual a 0 cuando 0≤j≤n−1, esto es, z⊥xj,0≤j≤n−1. Por la propiedad (1) tenemos que z(x) = cP(α,β) n(x), donde ces una constante. Ahora determinemos la constante c. Dado que d dxP(α,β) n(x)(1 −x)α+1(1 + x)β+10= (1 −x)α(1 + x)βz = (1 −x)α(1 + x)βcP(α,β) n(x), tenemos que cP(α,β) n(x) = d2 dx2P(α,β) n(x)(1 −x2) + [(β−α)−(α+β+ 2) x]d dxP(α,β) n(x). Tomando P(α,β) n(x) = Pn k=0 akxken la ecuaci´on anterior, tenemos que can=−n(n− 1)an−(α+β+ 2)nancuando comparamos los coeficientes de xnen ambos lados de la ecuaci´on. Es decir, c=−n(n+α+β+ 1). As´ı, z=−n(n+α+β+ 1)P(α,β) n(x). (3) En general, si P2y00 +P1y0+P0y= 0, P2z00 +P1z0+P0z= 0 entonces P2(y00z−z00y) + P1(y0z−z0y) = 0, esto es, P2(y0z−z0y)0+P1(y0z−z0y)=0. Tenemos, por tanto, que y0z−z0y=cexp −Zx 0 P1 P2 dt, 38 3 Los polinomios de Jacobi y el Teorema de Askey-Gasper Teorema 3.5. Para c<e, se tiene que 3F2(a, b, c;d, e;t) = Γ(e)t1−e Γ(c)Γ(e−c)Zt 0 2F1(a, b;d;y)(t−y)e−c−1ye−1dy. (3.14) Demostraci´on. Fijemos t. Sea y=tY , entonces Zt 0 2F1(a, b;d;y)(t−y)e−c−1yc−1dy =Z1 0 2F1(a, b;d;tY )(t−tY )e−c−1(tY )c−1t dY =te−c−1+c−1+1 Z1 0 (1 −Y)e−c−1Yc−1∞ X k=0 (a)k(b)k (d)k (tY )k k!dY =te−1∞ X k=0 (a)k(b)k k!(d)k tkZ1 0 (1 −Y)e−c−1Yc+k−1dY =te−1∞ X k=0 (a)k(b)k k!(d)k tkΓ(e−c)Γ(c+k) Γ(e+k), donde hemos usado la siguiente relaci´on entre las funciones βyΓ: β(x, y) := Z1 0 tx−1(1 −t)y−1dt =Γ(x)Γ(y) Γ(x+y). Multiplicando por Γ(e)t1−e Γ(c)Γ(e−c)tenemos Γ(e)t1−e Γ(c)Γ(e−c)Zt 0 2F1(a, b;d;y)(t−y)e−c−1ye−1dy =Γ(e)t1−e Γ(c)Γ(e−c)te−1∞ X k=0 Γ(e−c)Γ(c+k) Γ(e+k) (a)k(b)k (d)kk!tk =∞ X k=0 (a)k(b)k(c)k (d)k(e)k tk=3F2(a, b, c;d, e;t). As´ı hemos probado el teorema.  En cierto momento de la demostraci´on del Teorema de Askey y Gasper necesitaremos usar que la funci´on 3F2toma valores no negativos para ciertos par´ametros. Esto vendr´a garantizado por la F´ormula de Clausen: Teorema 3.6 (F´ormula de Clausen). 2F1α, β;α+β+1 2;t2 =3F22α, 2β, α +β; 2α+ 2β, α +β+1 2;t. 3.1 Los polinomios de Jacobi 39 Demostraci´on. Para simplificar la exposici´on notaremos γ=α+β,y=2F1(α, β;γ+ 1/2; t) y z=3F2(2α, 2β, γ; 2γ, γ + 1/2; t). Por otro lado, consideremos los funcionales L[f] = t(1 −t)f00 + [γ−(α+β+ 1)t]f0−αβf y M[f] = t2(1 −t)f000 + 3 (1 + γ)t2−(γ+ 1/2)tf00 +γ(2γ+ 1) −(1 + 3γ+ 2γ2+ 4αβ)tf0−4αβγf. (3.15) Por (3.9), M[z] = 0 y, de hecho, es la ´unica soluci´on de esta ecuaci´on diferencial de tercer orden que es regular en cero y tal que z(0) = 1. Por otro lado, sabemos que L[y] = 0 (v´ease (3.8)) y, por tanto, (tL[y])0= 0. Un c´alculo sencillo, aunque largo y cuyos detalles dejamos sin hacer, muestra que dada una funci´on fde clase C3se verifica M[f2] = (2(2γ−1)f+ 6tf0)L[f]+2f(tL[f])0. Por tanto, M[y2] = 0. Puesto que y(0) = 1, concluimos que z=y2.  Teorema 3.7 (F´ormula de Gegenbauer-Hua). 1 P(ν) n(x) = [n 2] X k=0 ckP(λ) n−2k(x) donde ν > λ > −1 2,λ∈N,n 2es el mayor entero menor o igual que n 2, y ck=ck(ν, λ) = (n−2k+λ)Γ(λ)(ν−λ)kΓ(n+ν−k) k!Γ(ν)Γ(n+λ−k+ 1) . Demostraci´on. Cuando tes suficientemente peque˜no, tal que |2xt −t2|<1, tenemos que (1 −2xt +t2)−ν=∞ X n=0 (ν)n n!(2xt −t2)n =∞ X n=0 n X k=0 (−1)k(ν)n(2x)n−k k!(n−k)! tn+k. (3.16) 1Este resultado es cierto con el ´unico requerimiento de que ν > λ > − 1 2sin necesidad de ser un n´umero natural. No obstante su prueba es algo m´as larga y nos restringimos a los valores de λque nos har´an falta posteriormente. La dificultad para obtener el resultado para λreal y no natural radica en obtener la validez de (3.23) para esos valores. 40 3 Los polinomios de Jacobi y el Teorema de Askey-Gasper En una expresi´on como la anterior P∞ n=0 Pn k=0 dn,ktn+kpodemos agrupar todos los sumandos con una misma potencia para obtener una expresi´on de la forma ∞ X n=0 n X k=0 dn,ktn+k=∞ X m=0 bmtm. Observemos que b0=d0,0, b1=d1,0, b2=d2,0+d1,1, b3=d3,0+d2,1, b4=d4,0+d3,1+d2,2, b5=d5,0+d4,1+d3,2, . . . Puede verse que al agrupar todas los sumandos con potencia tmlos coeficientes dn,k que sumamos son aquellos cuyos dos sub´ındices suman exactamente my con la particularidad de que el segundo sub´ındice es menor o igual que el primero. Esto hace que si empezamos sumando por dm,0continuamos con dm−1,1,dm−2,2, ... llegamos hasta que k≤m−k. Es decir, hasta que k≤m/2 o lo que es lo mismo k≤[m/2]. Por tanto, ∞ X n=0 n X k=0 dn,ktn+k=∞ X m=0 tm [m/2] X k=0 dm−k,k. Aplicando esto a nuestra expresi´on (3.16) queda (1 −2xt +t2)−ν=∞ X n=0 tn [n 2] X k=0 (−1)k(ν)n−k(2x)n−2k k!(n−2k)! As´ı P(ν) n(x) = [n 2] X k=0 (−1)k(ν)n−k(2x)n−2k k!(n−2k)! .(3.17) De esta expresi´on, se obtiene por inducci´on que, fijado ν > −1/2, la funci´on xnes una combinaci´on lineal de P(ν) m(x) con m= 0,1, ..., [n/2]. Diferenciando ambos lados de la siguiente igualdad (1 −2xt +t2)−λ=∞ X n=0 P(λ) n(x)tn con respecto a x, donde ν > λ > −1 2, obtenemos 3.1 Los polinomios de Jacobi 41 2tλ (1 −2xt +t2)λ+1 =∞ X n=1 d dxP(λ) n(x)tn. Por otro lado, 2tλ (1 −2xt +t2)λ+1 = 2λ∞ X n=0 P(λ+1) n(x)tn+1. Comparando los correspodientes coeficientes de los t´erminos tn, tenemos que d dxP(λ) n(x) = 2λP(λ+1) n−1(x).(3.18) Por (3.17), podemos expresar (2x)n n!como (2x)n n!= [n 2] X k=0 ak,n(λ)P(λ) n−2k(x).(3.19) Diferenciando ambos lados de la igualdad (2x)n+1 (n+ 1)! = [n+1 2] X k=0 ak,n+1(λ)P(λ) n+1−2k(x) con respecto a x, tenemos 2(2x)n (n)! = [n+1 2] X k=0 ak,n+1(λ)d dxP(λ) n+1−2k(x) = [n 2] X k=0 ak,n+1(λ)d dxP(λ) n+1−2k(x), donde hemos usado que si k= (n+ 1)/2 es entero, entonces P(λ) n+1−2kes constante y su derivada es cero. Por (3.19), aplicado a λ+ 1, el t´ermino izquierdo de la igualdad previa es igual a 2 [n 2] X k=0 ak,n(λ+ 1)P(λ+1) n−2k(x) Usando (3.18), el t´ermino derecho es igual a [n 2] X k=0 ak,n+1(λ)2λP(λ+1) n−2k(x) As´ı tenemos ak,n(λ+ 1) = λak,n+1(λ) (3.20) 42 3 Los polinomios de Jacobi y el Teorema de Askey-Gasper Considerando 1 1−2 cos θ·t+t2=∞ X n=0 P(1) n(cos θ)tn. Sabemos que ∞ X n=0 sin((n+ 1)θ)tn=Im "∞ X n=0 e(n+1)θitn#=Im "eθi ∞ X n=0 enθitn# Im eiθ 1−eiθt=Im eiθ(1 −e−iθt |1−eiθt|2=sin θ 1−2 cos θ·t+t2. Por tanto, 1 1−2 cos θ·t+t2=∞ X n=0 sin((n+ 1)θ) sin θtn. Identificando coeficientes de Taylor, tenemos que P1 n(cos θ) = sin((n+1)θ) sin θ. Por el Teorema 3.4,P(λ) n(x) es el polinomio de Jacobi P(λ−1 2,λ−1 2) n(x) multiplicado por una constante. Por tanto, {P(λ) n(x)}es un sistema ortogonal con las funci´on de peso (1 −x2)λ−1 2. Es f´acil evaluar Z1 −1 P(1) n(x)P(1) m(x)(1 −x2)1 2dx =Zπ 2 −π 2 sin[(n+ 1)θ] sin[(m+ 1)θ]dθ =π 2δn,m (3.21) y Z1 −1 (2x)n n!P(1) n−2k(x)(1 −x2)1 2dx =Zπ 2 −π 2 (2 cos θ)n n!sin[(n−2k+ 1)θ] sin θdθ =π 2 n−2k+ 1 k!(n−k+ 1). (3.22) De (3.19) y (3.21), tenemos Z1 −1 (2x)n n!P(1) n−2k(x)(1−x2)1 2dx = [n 2] X p=0 ap,n(1) Z1 −1 P(1) n−2k(x)P(1) n−2p(x)(1−x2)1 2dx =ak,n π 2. Uniendo esta informaci´on a (3.22), tenemos 3.1 Los polinomios de Jacobi 43 ak,n(1) = n−2k+ 1 k!(n−k+ 1)!. Veamos por induci´on que ak,n(λ) = n−2k+λ k!(λ)n−k+1 (3.23) Ya sabemos que es cierto para λ= 1 y supongamos que se verifica (3.23) para λ∈N. Por (3.20), tenemos ak,n(λ+ 1) = λak,n+1(λ) =λn+ 1 −2k+λ k!(λ)n+1−k+1 =λn+ 1 −2k+λ k!Γ(λ+n1−k+1) Γ(λ) =n+ 1 −2k+λ k!(λ)n+1−k+1 =λn+ 1 −2k+λ k!Γ(λ+n1−k+1) Γ(λ+1) =n−2k+ (λ+ 1) k!(λ+ 1)n+1−k . Por consiguiente, se verifica (3.23) para todo natural λ. Sustituyendo (3.23) en (3.19), tenemos (2x)n n!= [n 2] X k=0 n−2k+λ k!(λ)n−k+1 P(λ) n−2k(x).(3.24) Sustituyendo lo anterior en (3.17), obtenemos que P(ν) n(x) = [n 2] X k=0 (−1)k(ν)n−k(2x)n−2k k!(n−2k)! = [n 2] X k=0 (−1)k(ν)n−k k! [n 2]−k X j=0 n−2k−2j+λ j!(λ)n−2k−j+1 P(λ) n−2k−2j(x) = [n 2] X k=0 [n 2] X p=k (−1)k(ν)n−k k! n−2p+λ (p−k)!(λ)n−k−p+1 P(λ) n−2p(x) = [n 2] X p=0 n−2p+λ p! p X k=0 (−1)k(ν)n−k (λ)n−k−p+1 p k!P(λ) n−2p(x) = [n 2] X p=0 cpP(λ) n−2p(x), donde 44 3 Los polinomios de Jacobi y el Teorema de Askey-Gasper cp=n−2p+λ p! p X k=0 (−1)k(ν)n−k (λ)n−k−p+1 p k. Por tanto, Γ(ν) Γ(λ)ck=λ+n−2k k! k X p=0 (−1)pk pΓ(ν+n−p) Γ(λ+n−p+k+ 1). Sea ∆f(x) = f(x+ 1) −f(x), entonces ∆kf(a+k) f(b+k)= k X p=0 (−1)pk pf(a+x+k−p) f(b+x+k−p). Sea x=n,a=ν−kyb=λ−2k+ 1, tenemos Γ(ν) Γ(λ)ck=λ+n−2k k!∆kΓ(ν−k+n) Γ(λ−2k+1+n). Adem´as, ∆hΓ(a+n) Γ(b+n)i=(a−b)Γ(a+n) Γ(b+n+1) y ∆kΓ(a+n) Γ(b+n)=Γ(a−b+ 1)Γ(a+n) Γ(a−b−k+ 1)Γ(b+n+k). As´ı obtenemos finalmente que Γ(ν) Γ(λ)ck=λ+n−2k k! Γ(ν−λ+k)Γ(ν−k+n) Γ(ν−λ)Γ(λ−k+n+ 1).  3.2. El Teorema de Askey-Gasper Estamos ya en condiciones de probar el resultado sobre los polinomios de Jacobi que se usa en el Teorema de De Branges: el Teorema de Askey y Gasper [2]. Necesitamos previamente el siguiente lema. Lema 3.8. (2a)2j= 22j(a)ja+1 2j ,(3.25) n X k=0 (a)k k!=(a+ 1)n n!.(3.26) 3.2 El Teorema de Askey-Gasper 45 Demostraci´on. La f´ormula (3.25) es obvia teniendo en cuenta que (a)j=Γ(a+j) Γ(a) y usando la propiedad de la funci´on Γque nos dice que si j∈N,Γ(a+j) = a·(a+ 1) ···(a+j−1)Γ(a). Luego solo tenemos que probar (3.26). Obviamente, es cierta cuando n= 0. Si n−1 X k=0 (a)k k!=(a+ 1)n−1 (n−1)! . se tiene, entonces n−1 X k=0 (a)k k!+(a)n n!=(a+ 1)n−1 (n−1)! +(a)n n!=(a+ 1)n−1 (n−1)! 1 + a n=(a+ 1)n n!. Luego (3.26) es cierta por inducci´on.  Teorema 3.9 (Askey y Gasper (1976)). 2Si αes un n´umero natural par y −1≤x≤1, entonces n X k=0 P(α,0) k(x)≥0,(3.27) Demostraci´on. Por el Teorema 3.2, sabemos que P(α,0) k(x) = (α+ 1)k k!2F1−k, k +α+ 1; α+ 1; 1−x 2. Observemos que 2F1−n, n +α+ 1; α+ 1; 1−x 2=∞ X j=0 (−n)j(n+α+ 1)j (α+ 1)jj!1−x 2j = n X j=0 (−n)j(n+α+ 1)j (α+ 1)jj!1−x 2j . Sea ak=(α+1)k k!y sea bk,j =((−k)j(k+α+1)j(1−x 2)j j!(α+1)j,0≤j≤k; 0, j > k. 2Este resultado es cierto para todo α > −1. Su prueba es literalmente la misma pero se requiere la versi´on general la F´ormula de Gegenbauer-Hua (Teorema 3.7), que no hemos incluido. En cualquier caso, la versi´on que damos aqu´ı es suficiente para nuestro objetivo. 46 3 Los polinomios de Jacobi y el Teorema de Askey-Gasper Entonces n X k=0 P(α,0) k(x) = n X k=0 ak n X j=0 bk,j = n X j=0 n X k=0 akbk,j = n X j=0 n X k=j akbk,j!= n X j=0 n−j X k=0 ak+jbk+j,j = n X j=0 n−j X k=0 (α+ 1)k+j (k+j)! (−k−j)j(k+j+α+ 1)j j!(α+ 1)j1−x 2j = n X j=0 x−1 2j(α+ 1)2j j!(α+ 1)j n−j X k=0 1 k! (α+ 1)k+j(k+j+α+ 1)j (α+ 1)2j . (3.28) Es f´acil verificar que (α+ 1)k+j(α+1+k+j)j k! (α+ 1)2j =(α+ 1 + 2j)k k!.(3.29) Usando esta ecuaci´on y (3.26), tenemos que n X k=0 P(α,0) k(x) = n X j=0 x−1 2j(α+ 1)2j j!(α+ 1)j n−j X k=0 (α+ 1 + 2j)k k! = n X j=0 x−1 2j(α+ 1)2j(α+ 2j+ 2)n−j j!(α+ 1)j(n−j)! . Tomando a=α+1 2en (3.25), (α+ 1)2j= 22jα+ 1 2jα+ 2 2j . Sustituyendo esta ´ultima igualdad en la ecuaci´on previa a ella, tenemos que n X k=0 P(α,0) k(x) = n X j=0 x−1 2j22jα+1 2jα+2 2j(α+ 2j+ 2)n−j j!(α+ 1)j(n−j)! = n X j=0 [2(x−1)]jα+1 2jα+2 2j(α+ 2j+ 2)n−j j!(α+ 1)j(n−j)! (3.30) El siguiente paso es relacionar la suma de los polinomios de Jacobi con la funci´on hipergeom´etrica 3F2. Concretamente vamos a probar que 3.2 El Teorema de Askey-Gasper 47 n X k=0 P(α,0) k(x) = (α+ 2)n n! 3F2−n, n +α+ 2,α+ 1 2;α+ 1,α+ 3 2;1−x 2. (3.31) Obtener esta igualdad equivale a probar que (2(x−1))jα+1 2jα+2 2j(α+ 2j+ 2)n−j j!(α+ 1)j(n−j)! =(α+ 2)n n! (−n)j(n+α+ 2)jα+1 2j (α+ 1)jα+3 2j1−x 2j . Equivalentemente, necesitamos probar la igualdad 1 (n−j)!22j(−1)jα+ 2 2j (α+ 2j+ 2)n−j=(α+ 2)n(−n)j(n+α+ 2)j n!α+3 2j . Tomando a=α+2 2en (3.25). Tenemos (α+ 2)2j= 22jα+ 2 2jα+ 3 2j , as´ı la ecuaci´on previa es equivalente a 1 (n−j)!(−1)j(α+ 2)2j(α+ 2j+ 2)n−j=(α+ 2)n(−n)j(n+α+ 2)j n!. Obviamente, las igualdades (a)2j(a+ 2j)n−j= (a)n(a+n)jy (−1)j(−n)j=n! (n−j)! se dan. Usando estas igualdades para a=α+ 2, podemos verificar que la ecuaci´on previa se verifica. Esto prueba (3.31). Antes de continuar merece la pena observar que no podemos aplicar directamente la F´ormula de Clausen (Teorema 3.6) para deducir que 3F2−n, n +α+ 2,α+ 1 2;α+ 1,α+ 3 2;1−x 2 es no negativa. Necesitamos a´un reescribir este valor de otra forma. Sean c=α+1 2ye= 2c=α+ 1. Entonces Γ(e)t1−e Γ(c)Γ(e−c)=Γ(2c)t1−e (Γ(c))2=Γ(α+ 1)t−α Γα+1 22,(3.32) e−c=α+1 2, y (3.14) queda de la forma 54 4 El Teorema de De Branges Antes de comenzar la prueba observemos que ψ=eφ,ψ0=φ0eφ=φ0ψy as´ı se tiene que ∞ X k=1 kβkzk−1= ∞ X k=1 kαkzk−1! ∞ X k=1 βkzk! =α1β0+ (α1β1+ 2α2β0)z+ (α1β2+ 2α2β1+ 3α3β0)z2 +···+ (α1βm+···+mαmβ0)zm+··· . (4.7) Igualando los coeficientes correspondientes tenemos que mβm= m X k=1 kαkβm−k.(4.8) Demostraci´on (de la Segunda desigualdadd de Lebedev-Milin). Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a (4.8) obtenemos m2|βm|2≤ m X k=1 k2|αk|2! m X k=1 |βm−k|2! = m X k=1 k2|αk|2! m−1 X k=0 |βk|2!. (4.9) Sean Am= m X k=1 k2|αk|2, Bm= m X k=0 |βk|2.(4.10) Puesto que β0= 1, tenemos que B0= 1. Con esta notaci´on (4.9) se convierte en m2|βm|2≤AmBm−1para todo m≥1. Ahora fijemos n≥1. As´ı Bn=Bn−1+|βn|2 ≤Bn−11 + 1 n2An =n+ 1 n1 + An−n n(n+ 1)Bn−1 ≤n+ 1 nexp An−n n(n+ 1)Bn−1, (4.11) donde hemos usado la desigualdad elemental 1 + x≤ex. Veamos por inducci´on que Bn≤(n+ 1)exp (n X k=1 Ak k(k+ 1) + 1 − n+1 X k=1 1 k).(4.12) Para n= 1, usando (4.11), es claro pues 4.1 La Conjetura de Milin implica la Conjetura de Bieberbach 55 B1≤2exp A1−1 2= 2exp A1 2+ 1 −1−1 2. Luego (4.12) es cierto para n= 1. Supongamos que (4.12) es cierto para ny veamos que se cumple para n+ 1. Usando (4.11), Bn+1 ≤n+ 2 n+ 1exp An+1 −(n+ 1) (n+ 1)(n+ 2) Bn ≤n+ 2 n+ 1exp An+1 −(n+ 1) (n+ 1)(n+ 2) (n+ 1)exp (n X k=1 Ak k(k+ 1) + 1 − n+1 X k=1 1 k) ≤(n+ 2)exp (n+1 X k=1 Ak k(k+ 1) + 1 − n+2 X k=1 1 k). Esto justifica que (4.12) es cierto. Tomando ahora Xn=Pn k=1 [k(k+ 1)]−1=Pn k=1 1 k−1 k+1= 1−(n+1)−1, tenemos que n−1 X k=1 Xk(Ak−Ak+1) + XnAn= n−1 X k=1 1−1 k+ 1(Ak−Ak+1) + 1−1 n+ 1An = n−1 X k=1 k k+ 1Ak− n−1 X k=1 k k+ 1Ak+1 +n n+ 1An =1 2A1+ n X k=2 k k+ 1Ak− n−1 X k=1 k k+ 1Ak+1 =1 2A1+ n X k=2 k k+ 1Ak− n X k=2 k−1 kAk =1 2A1+ n X k=2 k2−k2+ 1 k(k+ 1) Ak= n X k=1 Ak k(k+ 1) Esto nos da n X k=1 Ak k(k+ 1) = n−1 X k=1 Xk(Ak−Ak+1) + XnAn = n−1 X k=1 1−1 k+ 1(−(k+ 1)2α2 k+1) + 1−1 n+ 1n X k=1 k2|αk|2 = n X k=1 k|αk|2−1 n+ 1 n X k=1 k2|αk|2. 56 4 El Teorema de De Branges As´ı, n X k=1 Ak k(k+ 1) + 1 − n+1 X k=1 1 k= n X k=1 k|αk|2−1 n+ 1 n X k=1 k2|αk|2+ 1 − n+1 X k=1 1 k =1 n+ 1 (n X k=1 (n+ 1)k|αk|2− n X k=1 k2|αk|2+n+ 1 − n+1 X k=1 n+ 1 k) =1 n+ 1 n X k=1 (n+ 1)k|αk|2−k2|αk|2+ 1 −n+ 1 k =1 n+ 1 n X k=1 (n+ 1 −k)k|αk|2−1 k =1 n+ 1 n X m=1 m X k=1 k|αk|2−1 k. (4.13) Combinando esto con (4.12), obtenemos (4.6). Es decir, concluimos la desigualdad buscada. Analicemos la igualdad en (4.6). Dos factores contribuyeron a la desigualdad en el argumento anterior: la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad 1 + x≤ex. Entonces, si ocurre la igualdad, debe ser que la igualdad se dio siempre que se usaron estos dos hechos. El primero de esos casos fue cuando se aplic´o la desigualdad de Cauchy-Schwarz a (4.8) para obtener (4.9). Recordemos que para la igualdad en la segunda desigualdad de Lebedev-Milin para un n´umero entero n, necesitamos igualdad en (4.9) para 1 ≤m≤n. As´ı deben existir constantes λ1, ..., λntales que para cada m, 1 ≤m≤n, βm−k=λmkαk(4.14) para 1 ≤k≤m. Dado que 1 + x=exsolo cuando x= 0, se tiene que Am=mpara 1≤m≤n. Sustituyendo (4.14) en (4.8) tenemos que mβm=λmPm k=1 k2|αk|2=λmAm=mλm. As´ı βm=λmpara 1 ≤m≤n. Dado que β0= 1, la ecuaci´on (4.14) para k=mnos dice que λmmαm= 1 para 1 ≤m≤n. As´ı para m≥2, λ1=β1=λm(m−1)αm−1= λm/λm−1. De hecho λm=λ1λm−1, de donde obtenemos que βm=λm=λm 1=γm, con γ=λ1. La ecuaci´on (4.14) para k=mimplica que mαm=γm. Pero para 1 ≤ k≤n,k=Ak=Pk m=1 m2|αm|2=Pk m=1 |γ|2m. En particular se da para k= 1 por lo que |γ|= 1. De hecho (4.14) implica que para 1 ≤k≤n,γn−k=βn−k=γnkαk, por lo tanto αk=γk/k para 1 ≤k≤n.  Veamos ahora entonces que la Conjetura de Milin implica la Conjetura de Robertson. 4.1 La Conjetura de Milin implica la Conjetura de Bieberbach 57 Teorema 4.2. La Conjetura de Milin implica la Conjetura de Robertson. Demostraci´on. Sean f∈Syg∈S−tal que g(z)2=f(z2). Sea h(z) = (1/2)log[z−1f(z)] con h(0) = 0 y con la notaci´on introducida en (4.5). Tengamos en cuenta que si z∈D\(−1,0], [g(√z)/√z]2=f(z)/z, siendo √z= exp 1 2Log(z) con Log(z) el logaritmo principal. Por otro lado, g(√z)/√z= 1 + c3z+c5z2+···, por eso g(√z)/√zes anal´ıtica en D. As´ı hes una rama del log[g(√z)/√z] y notando c1= 1 tenemos que ∞ X n=0 c2n+1zn= exp (∞ X n=1 γnzn). De acuerdo con la Segunda desigualdad de Lebedev-Milin, para cada n≥1 n X k=0 |c2k+1|2≤(n+ 1)exp (1 n+ 1 n X m=1 m X k=1 k|γk|2−1 k). As´ı si la Conjetura de Milin es cierta, se tiene, n X m=1 m X k=1 k|γk|2−1 k≤0. Esto implica que para todo n≥1 n X k=0 |c2k+1|2≤(n+ 1), esto ´ultimo es lo que reconocemos como Conjetura de Robertson. Supongamos que n≥1 y que la igualdad se da en la Conjetura de Robertson. De nuevo asumiento cierta la Conjetura de Milin, esto implica que n+ 1 = n X k=0 |c2k+1|2 ≤(n+ 1)exp (1 n+ 1 n X m=1 m X k=1 k|γk|2−1 k) ≤n+ 1 Pero esto implica la igualdad en la Conjetura de Milin y entonces fdebe ser una rotaci´on de la funci´on de Koebe.  Para esta secci´on hemos seguido la l´ınea expositiva de [5]. 58 4 El Teorema de De Branges 4.2. El sistema de funciones especiales de De Branges Fijemos un n´umero entero positivo n. Para k= 1,2, ..., n, sea τk(t) = k n−k X ν=0 (−1)ν(2k+ν+ 1)ν(2k+ 2ν+ 2)n−k−ν (k+ν)ν! (n−k−ν)! e−(ν+k)t.(4.15) En particular, se tiene que τn(t) = e−nt. Obs´ervese que τkdepende de n, aunque para no complicar excesivamente la notaci´on no lo ponemos expl´ıcitamente. Recordemos que en (3.30) se mostr´o que n X k=0 P(α,0) k(x) = n X j=0 α+1 2jα+2 2j(2j+α+ 2)n−j j!(n−j)!(α+ 1)j2(x−1)j.(4.16) Se deduce f´acilmente de (4.15) que τ0 k(t) k=− n−k X v=0 (−1)v(2k+v+ 1)v(2k+ 2v+ 2)n−k−v v!(n−k−v)e−(k+v)t. De hecho −τ0 k(t) kekt = n−k X v=0 (−1)v(2k+v+ 1)v(2k+ 2v+ 2)n−k−v v!(n−k−v)e−vt. Ahora usando (4.16) con α= 2kobtenemos n−k X v=0 P(2k,0) v(1 −2e−t) = n−k X v=0 2k+1 2v2k+2 2v(2k+ 2v+ 2)n−k−v v!(2k+ 1)v(n−k−v)! 2(−2e−t)v. Pero 22vk+1 2v(k+ 1)v= (2k+ 1)2vy (2k+ 1)2v/(2k+ 1)v= (2k+v+ 1)v. Por lo tanto, n−k X v=0 P(2k,0) v(1 −2e−t) = n−k X v=0 (−1)v(2k+v+ 1)v(2k+ 2v+ 2)n−k−v v!(n−k−v)! e−vt =−τ0 k(t) kekt. Y finalmente obtenemos, τ0 k(t) = −ke−kt n−k X j=0 P(2k,0) j(1 −2e−t).(4.17) 4.2 El sistema de funciones especiales de De Branges 59 Teorema 4.3. Para las funcione τ1, ..., τndefinidas en (4.15)y denotando τn+1 ≡0, se tiene (a) τk−τk+1 =−hτ0 k k+τ0 k+1 k+1 i; (b) τk(0) = n+ 1 −k; (c) τk(t)→0cuando t→ ∞; (d) τ0 k<0. Demostraci´on. (a) Puesto que τn(t) = e−nt yτn+1 ≡0, si tiene claramente (a) para k=n. Para facilitar la prueba, definamos gk(t) = k−1τk(t)ekt yhk(t) = k−1τk(t)e−kt para 1 ≤k≤n. Observemos que g0 k(t) = τ0 k k+τkekt, h0 k(t) = τ0 k k−τke−kt. Luego para probar (a) es suficiente probar que g0 k(t)e−kt =−h0 k+1(t)e(k+1)t(4.18) para 1 ≤k≤n. De las definiciones de τk,gkyhktenemos que gk(t) = n−k X v=0 (−1)v(2k+v+ 1)v(2k+ 2v+ 2)n−k−v (k+v)v!(n−k−v)! e−vt, hk(t) = n−k X v=0 (−1)v(2k+v+ 1)v(2k+ 2v+ 2)n−k−v (k+v)v!(n−k−v)! e−vt−2kt. As´ı e−ktg0 k(t) = n−k X v=1 (−1)v+1 (2k+v+ 1)v(2k+ 2v+ 2)n−k−v (k+v)(v−1)!(n−k−v)! e−(k+v)t, ekth0 k(t) = n−k X v=0 (−1)v+1 (v+ 2k)(2k+v+ 1)v(2k+ 2v+ 2)n−k−v (k+v)v!(n−k−v)! e−(k+v)t. Como (2k+v)(2k+v+1)v= (2k+v)v+1, reemplazando adecuadamente kpor k+1, la ´ultima ecuaci´on queda de la forma e(k+1)th0 k+1(t) = n−k−1 X v=0 (−1)v+1 (2k+2+v)v+1(2k+ 2v+ 4)n−k−v−1 (k+v+ 1)v!(n−k−v−1)! e−(k+v+1)t = n−k X v=1 (−1)v(2k+v)v(2k+ 2v+ 4)n−k−v (k+v)(v−1)!(n−k−v)! e−(k+v)t =e−ktg0 k(t). 60 4 El Teorema de De Branges Esto demuestra (4.18) y, por tanto, (a). (b) Recordemos que P(α,0) j(−1) = (−1)j(v´ease (3.5)). De esto se sigue que τ0 k(0) = −k n−k X j=0 P(2k,0) j(−1) = −k n−k X j=0 (−1)j, entonces −τ0 k(0) k=1,si n−kpar, 0,si n−kimpar. Sustituyendo esto en la ecuaci´on de (a) tenemos que τk(0)−τk+1(0) = 1. Puesto que τn(0) = 1, (b) se deduce de la anyterior ecuaci´on. (c) Esta propiedad es clara por la propia definici´on de τk. (d) Esta propiedad se obtiene de (4.17) y del Teorema 3.9 de Askey y Gasper.  4.3. Prueba del Teorema de De Branges Teorema 4.4. La Conjetura de Milin es cierta. Esto es, si f∈S,hes la rama de (1/2) log[z−1f(z)] con h(0) = 0, y h(z) = ∞ X n=1 γnzn(4.19) entonces para todo n≥2 n X m=1 m X k=1 k|γk|2−1 k≤0.(4.20) Si se da la igualdad para alg´un n´umero entero n, entonces fes una rotaci´on de la funci´on de Koebe. Antes de comenzar la prueba del Teorema de De Branges establezcamos la siguiente notaci´on: para el resto de la secci´on, fes una aplicaci´on con un corte simple en Sy Fes la cadena de Loewner con F0=f. As´ı la ecuaci´on diferencial de Loewner (2.13) se da para F. Observemos que e−tFt∈Spara todo t≥0. As´ı podemos definir ht(z) = 1 2log Ft(z) etz =∞ X k=1 γk(t)zk, (4.21) donde la rama del logaritmo es elegida con ht(0) = 0. 4.3 Prueba del Teorema de De Branges 61 La estrategia de la prueba es introducir la funci´on φ(t) = n X k=1 k|γk(t)|2−1 kτk(t) (4.22) para t≥0, donde τ1, ..., τnson la funciones especiales introducidas en la secci´on anterior. La dificultad en la demostraci´on del Teorema de De Branges se centra esencialmente en probar el siguiente resultado sobre la funci´on φ. Lema 4.5. Si φes la funci´on definida en (4.22), entonces φ0(t)≥0para todo t≥0. Antes de entrar de lleno en la demostraci´on de este lema, mostramos algunos resultados preliminares. Lema 4.6. Sea T < ∞. (a) Si 0< r < 1, entonces sup {|ht(z)|:|z| ≤ ry0≤t≤T}<∞. (b) Para cada k≥1,sup {|γk(t)|: 0 ≤t≤T}<∞. Demostraci´on. (a) Es suficiente obtener la acotaci´on para |z|< r. Usando (2.7) y que el argumento de Ft(z) zetdepende continuamente de tyz, tenemos que para alg´un n´umero Nindependiente de r |ht(z)|=1 2log  Ft(z) zet + 2πN =1 22πN −log r+ log  Ft(z) et ≤1 22πN −log r+ log r (1 −r)2 =Mr. Luego (a) se tiene. (b) Si 0 < r < 1, entonces γk(t) = 1 2πi Z|z|=r ht(z) zk+1 dz =1 2πrkZ2π 0 ht(reiθ)eikθdθ. As´ı |γk(t)| ≤ r−kMrpor (a).  Lema 4.7. Para cada K≥1la funci´on γk: [0,∞)→Ces continuamente diferenciable y γ0 k(t) = 1 2πrkZ2π 0 h0 t(reiθ)e−ikθdθ. (4.23) 62 4 El Teorema de De Branges Demostraci´on. De hecho, esto es una consecuencia inmediata de la f´ormula para γk(t) obtenida en la demostraci´on anterior y la regla de Leibniz para la diferenciaci´on bajo el signo integral.  Lema 4.8. Si T < ∞y0< r < 1, entonces la serie P∞ k=1 γ0 k(t)zkconverge absolutamente y uniformemente para |z| ≤ ry0≤t≤T. Demostraci´on. Sea ρ=1+r 2. Existe un n´umero Mtal que |h0 t(w)| ≤ Mpara 0 ≤r≤ ρ,|w| ≤ rya que usando la f´ormula integral de Cauchy tenemos que |h0 t(w)|= 1 2πZC(0,ρ) ht(ξ) ξ−wdξ≤M1ρ ρ−r=M, siendo M1la cota proporcionada en el apartado (a) del lema anterior. La ecuaci´on (4.23) implica que si |h0 t(w)| ≤ Mpara 0 ≤t≤T,|w|=pentonces para todo |z| ≤ r,γ0 k(t)zk≤M(r/ρ)k. Por el Criterio mayorante de Weierstrass se sigue lo que quer´ıamos probar.  Veamos ahora la prueba del Lema 4.5. Demostraci´on. (Lema 4.5). El lema anterior nos permite diferenciar la serie (4.21) para ht(z) t´ermino por t´ermino con respecto a t. Por tanto, utilizando la ecuaci´on diferencial de Loewner (2.13), ∞ X k=1 γ0 k(t)zk=1 2 ∂ ∂tlog Ft(z) zet =1 2F0 t(z) Ft(z)−1 =1 2"z1 + x(t)z 1−x(t)z ∂Ft(z) ∂z Ft(z)−1#. (4.24) Pero |x(t)z|=|z|<1 y entonces 1 + x(t)z 1−x(t)z= 1 + 2 ∞ X k=1 x(t)kzk. Ahora tenemos tambi´en que ∞ X k=1 kγk(t)zk−1=∂ht(z) ∂z =1 2"∂Ft(z,) ∂z Ft(z)−1 z#. As´ı 4.3 Prueba del Teorema de De Branges 63 ∂Ft(z) ∂z Ft(z)=1 z+ 2 ∞ X k=1 kγk(t)zk−1. Sustituyendo esto en (4.24) tenemos que ∞ X k=1 γ0 k(t)zk=1 2(z"1+2 ∞ X k=1 x(t)kzk#"1 z+ 2 ∞ X k=1 kγk(t)zk−1#−1). Por lo tanto 1+2 ∞ X k=1 γ0 k(t)zk="1+2 ∞ X k=1 x(t)kzk#"1+2 ∞ X k=1 kγk(t)zk#. Igualando coeficientes tenemos γ0 k(t) = kγk(t) + x(t)k+ 2 k−1 X j=1 jx(t)k−jγj(t). Omitiendo la dependencia de t, esto implica que γ0 k=xk−kγk+ 2 k X j=1 jxk−jγj=xk−kγk+ 2xkbk, donde bk(t) = Pk j=1 jx−j(t)γj(t) para k≥1 (y b0≡0). Ahora el hecho de que kγkx−k=bk−bk−1implica γ0 k=xk[1 + bk+bk−1].(4.25) Adem´as tenemos que d dtk|γk(t)|2=d dtkγk(t)γk(t) = 2Re kγ0 kγk = 2Re kxk[1 + bk+bk−1]γk. Usando el hecho de que bk−bk−1=kx−kγktenemos que kxkγk= (bk−bk−1). Por tanto, podemos expresar la derivada enteramente en t´erminos de las funciones bk por d dtk|γk(t)|2= 2Re [(bk−kk−1)(1 + bk+bk−1)].(4.26) Ahora consideremos la funci´on φdefinida en (4.22). Omitiendo la dependencia de t, φ0= n X k=1 τk d dt k|γk|2+ n X k=1 τ0 kk|γk|2−1 k.(4.27)