Teoría de la aproximación para funciones matriciales
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Teor´ ıa de la aproximaci´ on para funciones matriciales Manuel Dom´ınguez de la Iglesia Instituto de Matem´aticas C.U., UNAM Instituto Tecnol´ogico Aut´onomo de M´exico (ITAM) Ciudad de M´exico, 7 de octubre de 2016
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial ´ Indice 1Ortogonalidad escalar Propiedades b´asicas Familias cl´asicas Aplicaciones 2Ortogonalidad matricial Definiciones b´asicas Propiedades diferenciales Aplicaciones
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial ´ Indice 1Ortogonalidad escalar Propiedades b´asicas Familias cl´asicas Aplicaciones 2Ortogonalidad matricial Definiciones b´asicas Propiedades diferenciales Aplicaciones
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales Sea ωuna medida positiva sobre S ⊂ R. Asociado a ωse considera el espacio de funciones ponderado L2 ω(S) = f:S → R:ZS f2(x)dω(x)<∞ L2 ω(S) es un espacio de Hilbert con el producto interno ponderado y norma (f,g)ω=ZS f(x)g(x)dω(x),kfk2 ω= (f,f)ω Siempre va a ser posible construir una sucesi´on (pn)nde polinomios tal que deg pn=ny que sean ortogonales con respecto al producto escalar (·,·)ω (Gram-Schmidt, momentos, etc) (pn,pm)ω=ZS pn(x)pm(x)dω(x) = kpnk2 ωδnm,n,m≥0 Toda f∈L2 ω(S) se puede aproximar mediante la llamada serie generalizada de Fourier de f (Sf )(x) = ∞ X k=0 ˆ fkpk(x),ˆ fk=(f,pk)ω kpkk2 ω
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales Sea ωuna medida positiva sobre S ⊂ R. Asociado a ωse considera el espacio de funciones ponderado L2 ω(S) = f:S → R:ZS f2(x)dω(x)<∞ L2 ω(S) es un espacio de Hilbert con el producto interno ponderado y norma (f,g)ω=ZS f(x)g(x)dω(x),kfk2 ω= (f,f)ω Siempre va a ser posible construir una sucesi´on (pn)nde polinomios tal que deg pn=ny que sean ortogonales con respecto al producto escalar (·,·)ω (Gram-Schmidt, momentos, etc) (pn,pm)ω=ZS pn(x)pm(x)dω(x) = kpnk2 ωδnm,n,m≥0 Toda f∈L2 ω(S) se puede aproximar mediante la llamada serie generalizada de Fourier de f (Sf )(x) = ∞ X k=0 ˆ fkpk(x),ˆ fk=(f,pk)ω kpkk2 ω
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales Sea ωuna medida positiva sobre S ⊂ R. Asociado a ωse considera el espacio de funciones ponderado L2 ω(S) = f:S → R:ZS f2(x)dω(x)<∞ L2 ω(S) es un espacio de Hilbert con el producto interno ponderado y norma (f,g)ω=ZS f(x)g(x)dω(x),kfk2 ω= (f,f)ω Siempre va a ser posible construir una sucesi´on (pn)nde polinomios tal que deg pn=ny que sean ortogonales con respecto al producto escalar (·,·)ω (Gram-Schmidt, momentos, etc) (pn,pm)ω=ZS pn(x)pm(x)dω(x) = kpnk2 ωδnm,n,m≥0 Toda f∈L2 ω(S) se puede aproximar mediante la llamada serie generalizada de Fourier de f (Sf )(x) = ∞ X k=0 ˆ fkpk(x),ˆ fk=(f,pk)ω kpkk2 ω
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales El polinomio fn(x) = n X k=0 ˆ fkpk(x) converge en norma a f, i.e. lim n→∞ kf−fnkω= 0 Adem´as el polinomio fn(x) verifica la propiedad de minimizaci´on kf−fnkω= min q∈Pn kf−qkω Es importante entonces calcular los coeficientes ˆ fk. Una manera de hacerlo es usar cuadraturas Gaussianas para aproximar integrales de la forma ZS f(x)dω(x)≈ N X k=0 λkf(xk) Es bien sabido que los nodos xkque mejor aproximan la integral anterior son los ceros del polinomio ortogonal pN+1(x).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales El polinomio fn(x) = n X k=0 ˆ fkpk(x) converge en norma a f, i.e. lim n→∞ kf−fnkω= 0 Adem´as el polinomio fn(x) verifica la propiedad de minimizaci´on kf−fnkω= min q∈Pn kf−qkω Es importante entonces calcular los coeficientes ˆ fk. Una manera de hacerlo es usar cuadraturas Gaussianas para aproximar integrales de la forma ZS f(x)dω(x)≈ N X k=0 λkf(xk) Es bien sabido que los nodos xkque mejor aproximan la integral anterior son los ceros del polinomio ortogonal pN+1(x).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales Entre las propiedades m´as importantes de polinomios ortogonales es que siempre verifican una ecuaci´on en diferencias de segundo orden o relaci´on de recurrencia a tres t´erminos de la forma (p−1= 0) xpn(x) = anpn+1(x) + bnpn(x) + cnpn−1(x),n≥0 donde an=(xpn,pn+1)ω (pn+1,pn+1)ω ,bn=(xpn,pn)ω (pn,pn)ω ,cn=(xpn,pn−1)ω (pn−1,pn−1)ω Esta relaci´on de recurrencia es equivalente a que los PO (pn)nson autofunciones de un operador de Jacobi (tridiagonal) en el espacio `2 π(N) Jp = b0a0 c1b1a1 c2b2a2 ......... p0(x) p1(x) p2(x) . . . =x p0(x) p1(x) p2(x) . . . =xp,x∈ S El resultado contrario tambi´en es cierto (Teorema de Favard o espectral) ya que Jes un operador autoadjunto en `2 π(N), donde πes el vector de las normas inversas de los polinomios pn.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Familias cl´ asicas Hermite:f2(x)=1,dω(x)=e−x2dx,x∈R: Hn(x)00 −2xHn(x)0=−2nHn(x) Laguerre:f2(x) = x,dω(x) = xαe−xdx,α > −1, x∈[0,∞): xLα n(x)00 + (α+ 1 −x)Lα n(x)0=−nLα n(x) Jacobi:f2(x)=1−x2,dω(x) = (1 −x)α(1 −x)βdx,x∈[−1,1]: (1 −x2)P(α,β) n(x)00 + (β−α−(α+β+ 2)x)P(α,β) n(x)0= −n(n+α+β+ 1)P(α,β) n(x), α, β > −1 Entre los polinomios de Jacobi est´an los conocidos Polinomios de Chebychev: cuando α=β=−1/2. Polinomios de Legendre o esf´ericos: cuando α=β= 0. Polinomios de Gegenbauer o ultraesf´ericos: cuando α=β=λ−1/2.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Familias cl´ asicas Hermite:f2(x)=1,dω(x)=e−x2dx,x∈R: Hn(x)00 −2xHn(x)0=−2nHn(x) Laguerre:f2(x) = x,dω(x) = xαe−xdx,α > −1, x∈[0,∞): xLα n(x)00 + (α+ 1 −x)Lα n(x)0=−nLα n(x) Jacobi:f2(x)=1−x2,dω(x) = (1 −x)α(1 −x)βdx,x∈[−1,1]: (1 −x2)P(α,β) n(x)00 + (β−α−(α+β+ 2)x)P(α,β) n(x)0= −n(n+α+β+ 1)P(α,β) n(x), α, β > −1 Entre los polinomios de Jacobi est´an los conocidos Polinomios de Chebychev: cuando α=β=−1/2. Polinomios de Legendre o esf´ericos: cuando α=β= 0. Polinomios de Gegenbauer o ultraesf´ericos: cuando α=β=λ−1/2.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Familias cl´ asicas Hermite:f2(x)=1,dω(x)=e−x2dx,x∈R: Hn(x)00 −2xHn(x)0=−2nHn(x) Laguerre:f2(x) = x,dω(x) = xαe−xdx,α > −1, x∈[0,∞): xLα n(x)00 + (α+ 1 −x)Lα n(x)0=−nLα n(x) Jacobi:f2(x)=1−x2,dω(x) = (1 −x)α(1 −x)βdx,x∈[−1,1]: (1 −x2)P(α,β) n(x)00 + (β−α−(α+β+ 2)x)P(α,β) n(x)0= −n(n+α+β+ 1)P(α,β) n(x), α, β > −1 Entre los polinomios de Jacobi est´an los conocidos Polinomios de Chebychev: cuando α=β=−1/2. Polinomios de Legendre o esf´ericos: cuando α=β= 0. Polinomios de Gegenbauer o ultraesf´ericos: cuando α=β=λ−1/2.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Familias cl´ asicas Hermite:f2(x)=1,dω(x)=e−x2dx,x∈R: Hn(x)00 −2xHn(x)0=−2nHn(x) Laguerre:f2(x) = x,dω(x) = xαe−xdx,α > −1, x∈[0,∞): xLα n(x)00 + (α+ 1 −x)Lα n(x)0=−nLα n(x) Jacobi:f2(x)=1−x2,dω(x) = (1 −x)α(1 −x)βdx,x∈[−1,1]: (1 −x2)P(α,β) n(x)00 + (β−α−(α+β+ 2)x)P(α,β) n(x)0= −n(n+α+β+ 1)P(α,β) n(x), α, β > −1 Entre los polinomios de Jacobi est´an los conocidos Polinomios de Chebychev: cuando α=β=−1/2. Polinomios de Legendre o esf´ericos: cuando α=β= 0. Polinomios de Gegenbauer o ultraesf´ericos: cuando α=β=λ−1/2.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Aplicaciones Teor´ıa de operadores: operadores de Jacobi, Hankel, Toeplitz. Fracciones continuas. An´alisis num´erico: f´ormulas de cuadratura, aproximaci´on de m´ınimos cuadrados. Teor´ıa de representaci´on grupos: funciones esf´ericas. Equilibrio electrost´atico con potencial logar´ıtmico: ceros de PO. Mec´anica cu´antica: oscilador arm´onico cu´antico, ´atomo de hidr´ogeno, etc. An´alisis arm´onico: funciones de Hermite. Procesos estoc´asticos: cadenas de Markov de nacimiento y muerte y procesos de difusi´on. · · ·
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial An´ alisis arm´ onico Funciones de onda o de Hermite ψn(x) = 1 √2nn!√πe−x2/2Hn(x) donde Hn(x) = (−1)nex2(e−x2)(n), son los polinomios de Hermite. (ψn)nes un conjunto ortonormal completo de L2(R), i.e (ψn, ψm) = δnm,n,m≥0. (ψn)nson autofunciones de un operador de Schr¨odinger ψ00 n(x)−x2ψn(x) = −(2n+ 1)ψn(x),x∈R y a la vez de la transformada de Fourier ˆ ψn(x) = 1 √2πZ∞ −∞ ψn(t)eixt dt = (i)nψn(x),x∈R Por lo tanto, definiendo los subespacios de L2(R) Hk=(f∈L2(R) : f=X n∈N (f, ψ4n+k)ψ4n+k) toda funci´on f∈L2(R) se puede descomponer como una suma de 4 funciones ortogonales, cada una perteneciente al espacio Hk. Por lo tanto L2(R) = H1⊕H2⊕H3⊕H4
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial An´ alisis arm´ onico Funciones de onda o de Hermite ψn(x) = 1 √2nn!√πe−x2/2Hn(x) donde Hn(x) = (−1)nex2(e−x2)(n), son los polinomios de Hermite. (ψn)nes un conjunto ortonormal completo de L2(R), i.e (ψn, ψm) = δnm,n,m≥0. (ψn)nson autofunciones de un operador de Schr¨odinger ψ00 n(x)−x2ψn(x) = −(2n+ 1)ψn(x),x∈R y a la vez de la transformada de Fourier ˆ ψn(x) = 1 √2πZ∞ −∞ ψn(t)eixt dt = (i)nψn(x),x∈R Por lo tanto, definiendo los subespacios de L2(R) Hk=(f∈L2(R) : f=X n∈N (f, ψ4n+k)ψ4n+k) toda funci´on f∈L2(R) se puede descomponer como una suma de 4 funciones ortogonales, cada una perteneciente al espacio Hk. Por lo tanto L2(R) = H1⊕H2⊕H3⊕H4
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial An´ alisis arm´ onico Funciones de onda o de Hermite ψn(x) = 1 √2nn!√πe−x2/2Hn(x) donde Hn(x) = (−1)nex2(e−x2)(n), son los polinomios de Hermite. (ψn)nes un conjunto ortonormal completo de L2(R), i.e (ψn, ψm) = δnm,n,m≥0. (ψn)nson autofunciones de un operador de Schr¨odinger ψ00 n(x)−x2ψn(x) = −(2n+ 1)ψn(x),x∈R y a la vez de la transformada de Fourier ˆ ψn(x) = 1 √2πZ∞ −∞ ψn(t)eixt dt = (i)nψn(x),x∈R Por lo tanto, definiendo los subespacios de L2(R) Hk=(f∈L2(R) : f=X n∈N (f, ψ4n+k)ψ4n+k) toda funci´on f∈L2(R) se puede descomponer como una suma de 4 funciones ortogonales, cada una perteneciente al espacio Hk. Por lo tanto L2(R) = H1⊕H2⊕H3⊕H4
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Cadenas de nacimiento y muerte en N La matriz de transici´on de probabilidades P(tiempo discreto) y el operador infinitesimal A(tiempo continuo) son matrices de Jacobi (tridiagonales) P= r0p00 q1r1p10 0q2r2p2 ......... ,A= −λ0λ00 µ1−(λ1+µ1)λ10 0µ2−(λ2+µ2)λ2 ......... El objetivo es describir las transiciones de probabilidades a cualquier paso de tiempo (discreto) Pn´o P(t), que verifica P0(t) = AP(t). Para x∈CoR(autovalor) construimos un vector dependiente de x (autovector) Q= (Q0(x),Q1(x), . . .)Ttal que PQ =xQ,AQ=−xQ Normalizando a Q0(x) = 1 se observa que Qn(x) es un polinomio en xde grado exactamente ny que verifican una relaci´on de recurrencia a tres t´erminos: xQn(x) = pnQn+1(x) + rnQn(x) + qnQn−1(x) −xQn(x) = λnQn+1(x)−(λn+µn)Qn(x) + µnQn−1(x)
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Cadenas de nacimiento y muerte en N La matriz de transici´on de probabilidades P(tiempo discreto) y el operador infinitesimal A(tiempo continuo) son matrices de Jacobi (tridiagonales) P= r0p00 q1r1p10 0q2r2p2 ......... ,A= −λ0λ00 µ1−(λ1+µ1)λ10 0µ2−(λ2+µ2)λ2 ......... El objetivo es describir las transiciones de probabilidades a cualquier paso de tiempo (discreto) Pn´o P(t), que verifica P0(t) = AP(t). Para x∈CoR(autovalor) construimos un vector dependiente de x (autovector) Q= (Q0(x),Q1(x), . . .)Ttal que PQ =xQ,AQ=−xQ Normalizando a Q0(x) = 1 se observa que Qn(x) es un polinomio en xde grado exactamente ny que verifican una relaci´on de recurrencia a tres t´erminos: xQn(x) = pnQn+1(x) + rnQn(x) + qnQn−1(x) −xQn(x) = λnQn+1(x)−(λn+µn)Qn(x) + µnQn−1(x)
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Procesos de difusi´ on La densidad de transici´on de probabilidades p(t;x,y) verifica la ecuaci´on de retroceso de Kolmogorov ∂p ∂t=Ap=1 2σ2(x)∂2p ∂x2+µ(x)∂p ∂x Se hace separaci´on de variables y se escribe el operador infinitesimal Acomo A=1 m(x) d dx 1 2σ2(x)m(x)d dx ,m(x) = 2 σ2(x)exp Zx2µ(z) σ2(z)dz El problema de encontrar autovalores y autofunciones de A(i.e. Aφ=λφ) es un problema de Sturm-Liouville con ciertos valores frontera. Si existe una sucesi´on de autofunciones ortogonales (φn)ncompleta en L2 m(S) con sus correspondientes autovalores (λn)n, la densidad de transici´on de probabilidades p(t;x,y) admite la siguiente representaci´on espectral p(t;x,y) = m(y)∞ X n=0 eλntφn(x)φn(y) Ejemplos: Hermite (proceso de Orstein-Uhlenbeck), Laguerre (proceso cuadr´atico de Bessel), Jacobi (modelo de Wright-Fisher).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial ´ Indice 1Ortogonalidad escalar Propiedades b´asicas Familias cl´asicas Aplicaciones 2Ortogonalidad matricial Definiciones b´asicas Propiedades diferenciales Aplicaciones
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales matriciales Polinomios matriciales sobre la recta real: P(x) = Knxn+Kn−1xn−1+···+K0,Ki∈CN×N,x∈R Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM). Ortogonalidad: matriz peso Wsoportada en R(semi-definida positiva con momentos finitos) y un producto interno matricial. Sea (Pn)nuna sucesi´on de polinomios matriciales con deg Pny coeficiente l´ıder no singular tal que son ortogonales en el siguiente sentido hPn,PmiW=ZR Pn(x)dW(x)P∗ m(x) = 0N,n6=m Esto es una forma sesquilinear y no un producto escalar usual, pero tiene propiedades parecidas a la de espacio de Hilbert Ahora tenemos un espacio de funciones matriciales ponderado L2 W(R;CN×N) = F:R→CN×N:ZR F(x)dW(x)F∗(x)<∞ que es un espacio de Hilbert con la norma kFk2 W= TrhF,FiW.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales matriciales Polinomios matriciales sobre la recta real: P(x) = Knxn+Kn−1xn−1+···+K0,Ki∈CN×N,x∈R Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM). Ortogonalidad: matriz peso Wsoportada en R(semi-definida positiva con momentos finitos) y un producto interno matricial. Sea (Pn)nuna sucesi´on de polinomios matriciales con deg Pny coeficiente l´ıder no singular tal que son ortogonales en el siguiente sentido hPn,PmiW=ZR Pn(x)dW(x)P∗ m(x) = 0N,n6=m Esto es una forma sesquilinear y no un producto escalar usual, pero tiene propiedades parecidas a la de espacio de Hilbert Ahora tenemos un espacio de funciones matriciales ponderado L2 W(R;CN×N) = F:R→CN×N:ZR F(x)dW(x)F∗(x)<∞ que es un espacio de Hilbert con la norma kFk2 W= TrhF,FiW.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales matriciales Polinomios matriciales sobre la recta real: P(x) = Knxn+Kn−1xn−1+···+K0,Ki∈CN×N,x∈R Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM). Ortogonalidad: matriz peso Wsoportada en R(semi-definida positiva con momentos finitos) y un producto interno matricial. Sea (Pn)nuna sucesi´on de polinomios matriciales con deg Pny coeficiente l´ıder no singular tal que son ortogonales en el siguiente sentido hPn,PmiW=ZR Pn(x)dW(x)P∗ m(x) = 0N,n6=m Esto es una forma sesquilinear y no un producto escalar usual, pero tiene propiedades parecidas a la de espacio de Hilbert Ahora tenemos un espacio de funciones matriciales ponderado L2 W(R;CN×N) = F:R→CN×N:ZR F(x)dW(x)F∗(x)<∞ que es un espacio de Hilbert con la norma kFk2 W= TrhF,FiW.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales matriciales Polinomios matriciales sobre la recta real: P(x) = Knxn+Kn−1xn−1+···+K0,Ki∈CN×N,x∈R Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM). Ortogonalidad: matriz peso Wsoportada en R(semi-definida positiva con momentos finitos) y un producto interno matricial. Sea (Pn)nuna sucesi´on de polinomios matriciales con deg Pny coeficiente l´ıder no singular tal que son ortogonales en el siguiente sentido hPn,PmiW=ZR Pn(x)dW(x)P∗ m(x) = 0N,n6=m Esto es una forma sesquilinear y no un producto escalar usual, pero tiene propiedades parecidas a la de espacio de Hilbert Ahora tenemos un espacio de funciones matriciales ponderado L2 W(R;CN×N) = F:R→CN×N:ZR F(x)dW(x)F∗(x)<∞ que es un espacio de Hilbert con la norma kFk2 W= TrhF,FiW.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales matriciales Polinomios matriciales sobre la recta real: P(x) = Knxn+Kn−1xn−1+···+K0,Ki∈CN×N,x∈R Krein (1949): Polinomios ortogonales matriciales (POM). Ortogonalidad: matriz peso Wsoportada en R(semi-definida positiva con momentos finitos) y un producto interno matricial. Sea (Pn)nuna sucesi´on de polinomios matriciales con deg Pny coeficiente l´ıder no singular tal que son ortogonales en el siguiente sentido hPn,PmiW=ZR Pn(x)dW(x)P∗ m(x) = 0N,n6=m Esto es una forma sesquilinear y no un producto escalar usual, pero tiene propiedades parecidas a la de espacio de Hilbert Ahora tenemos un espacio de funciones matriciales ponderado L2 W(R;CN×N) = F:R→CN×N:ZR F(x)dW(x)F∗(x)<∞ que es un espacio de Hilbert con la norma kFk2 W= TrhF,FiW.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales matriciales De manera similar, para F∈L2 W(R;CN×N), la serie matricial (SF)(x) = ∞ X k=0 ˆ FkPk(x),ˆ Fk=hF,PkiWhPk,Pki−1 W es la serie matricial generalizada de Fourier de F. La ortogonalidad de (Pn)ncon respecto a la matriz peso Wes equivalente ahora a una relaci´on de recurrencia a tres t´erminos xPn(x) = AnPn+1(x) + BnPn(x) + CnPn−1(x),P−1=0N donde Anand Cnson matrices no singulares y Bn=B∗ n. Los POM son entonces autofunciones de un operador de Jacobi tridiagonal por bloques: xP=x P0(x) P1(x) P2(x) . . . = B0A0 C1B1A1 C2B2A2 ......... P0(x) P1(x) P2(x) . . . =JP Al contrario tambi´en es cierto (Teorema de Favard o espectral**)
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales matriciales De manera similar, para F∈L2 W(R;CN×N), la serie matricial (SF)(x) = ∞ X k=0 ˆ FkPk(x),ˆ Fk=hF,PkiWhPk,Pki−1 W es la serie matricial generalizada de Fourier de F. La ortogonalidad de (Pn)ncon respecto a la matriz peso Wes equivalente ahora a una relaci´on de recurrencia a tres t´erminos xPn(x) = AnPn+1(x) + BnPn(x) + CnPn−1(x),P−1=0N donde Anand Cnson matrices no singulares y Bn=B∗ n. Los POM son entonces autofunciones de un operador de Jacobi tridiagonal por bloques: xP=x P0(x) P1(x) P2(x) . . . = B0A0 C1B1A1 C2B2A2 ......... P0(x) P1(x) P2(x) . . . =JP Al contrario tambi´en es cierto (Teorema de Favard o espectral**)
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Polinomios ortogonales matriciales De manera similar, para F∈L2 W(R;CN×N), la serie matricial (SF)(x) = ∞ X k=0 ˆ FkPk(x),ˆ Fk=hF,PkiWhPk,Pki−1 W es la serie matricial generalizada de Fourier de F. La ortogonalidad de (Pn)ncon respecto a la matriz peso Wes equivalente ahora a una relaci´on de recurrencia a tres t´erminos xPn(x) = AnPn+1(x) + BnPn(x) + CnPn−1(x),P−1=0N donde Anand Cnson matrices no singulares y Bn=B∗ n. Los POM son entonces autofunciones de un operador de Jacobi tridiagonal por bloques: xP=x P0(x) P1(x) P2(x) . . . = B0A0 C1B1A1 C2B2A2 ......... P0(x) P1(x) P2(x) . . . =JP Al contrario tambi´en es cierto (Teorema de Favard o espectral**)
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial C´ omo generar ejemplos Teor´ıa de representaci´on de grupos: b´usqueda de funciones esf´ericas matriciales asociadas a diferentes grupos (Gr¨unbaum, Pacharoni, Tirao, Rom´an, Zurri´an, Koelink). Ecuaciones de momentos: a partir de las ecuaciones de simetr´ıa resolver las correspondientes ecuaciones (Dur´an, Gr¨unbaum, MdI). Usado en Dur´an-MdI (2008) para generar ejemplos de POM ortogonales con respecto a un peso matricial m´as una delta de Dirac en un punto. Problema biespectral matricial: resolviendo las llamadas ad-conditions (adk+1 J(Γ) = 0) donde kes el orden del operador diferencial (Castro, Gr¨unbaum, Tirao). Usado para generar ejemplos de orden k= 1 en Castro-Gr¨unbaum (2005, 2008).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Dur´an-Gr¨unbaum (2004): resolviendo las ecuaciones de simetr´ıa (ecuaciones de Pearson matriciales): F∗ 2(x)W(x) = W(x)F2(x) F∗ 1(x)W(x) = 2(W(x)F2(x))0−W(x)F1(x) F∗ 0(x)W(x) = (W(x)F2(x))00 −(W(x)F1(x))0+W(x)F0(x) lim x→t W(x)F2(x) = 0= lim x→t(W(x)F1(x)−F∗ 1(x)W(x)),t=a,b A continuaci´on describimos un m´etodo general para resolverlas en el caso en el que el coeficiente l´ıder F2(x) = f2(x)I. Para ello factorizamos W(x) = ω(x)T(x)T∗(x), donde ωes un peso escalar (Hermite, Laguerre o Jacobi) y Tes una funci´on matricial soluci´on de T0(x) = G(x)T(x),T(c) = I,c∈(a,b)
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Dur´an-Gr¨unbaum (2004): resolviendo las ecuaciones de simetr´ıa (ecuaciones de Pearson matriciales): F∗ 2(x)W(x) = W(x)F2(x) F∗ 1(x)W(x) = 2(W(x)F2(x))0−W(x)F1(x) F∗ 0(x)W(x) = (W(x)F2(x))00 −(W(x)F1(x))0+W(x)F0(x) lim x→t W(x)F2(x) = 0= lim x→t(W(x)F1(x)−F∗ 1(x)W(x)),t=a,b A continuaci´on describimos un m´etodo general para resolverlas en el caso en el que el coeficiente l´ıder F2(x) = f2(x)I. Para ello factorizamos W(x) = ω(x)T(x)T∗(x), donde ωes un peso escalar (Hermite, Laguerre o Jacobi) y Tes una funci´on matricial soluci´on de T0(x) = G(x)T(x),T(c) = I,c∈(a,b)
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial 1La primera ecuaci´on de simetr´ıa es trivial. 2Definiendo F1(x)=2f2(x)G(x) + (f2(x)ω(x))0 ω(x)I la segunda de las ecuaciones de simetr´ıa tambi´en se verifica. 3Por ´ultimo, la tercera de las ecuaciones de simetr´ıa es equivalente a (W(x)F1(x)−F∗ 1(x)W(x))0= 2(W(x)F0−F∗ 0W(x)) Por lo tanto, es suficiente encontrar F0tal que χ(x) = T−1(x)f2(x)G(x)+f2(x)G(x)2+(f2(x)ω(x))0 ω(x)G(x)−F0T(x) es herm´ıtica para todo x. El m´etodo se ha generalizado cuando F2no es necesariamente escalar (Dur´an, 2008).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial 1La primera ecuaci´on de simetr´ıa es trivial. 2Definiendo F1(x)=2f2(x)G(x) + (f2(x)ω(x))0 ω(x)I la segunda de las ecuaciones de simetr´ıa tambi´en se verifica. 3Por ´ultimo, la tercera de las ecuaciones de simetr´ıa es equivalente a (W(x)F1(x)−F∗ 1(x)W(x))0= 2(W(x)F0−F∗ 0W(x)) Por lo tanto, es suficiente encontrar F0tal que χ(x) = T−1(x)f2(x)G(x)+f2(x)G(x)2+(f2(x)ω(x))0 ω(x)G(x)−F0T(x) es herm´ıtica para todo x. El m´etodo se ha generalizado cuando F2no es necesariamente escalar (Dur´an, 2008).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial 1La primera ecuaci´on de simetr´ıa es trivial. 2Definiendo F1(x)=2f2(x)G(x) + (f2(x)ω(x))0 ω(x)I la segunda de las ecuaciones de simetr´ıa tambi´en se verifica. 3Por ´ultimo, la tercera de las ecuaciones de simetr´ıa es equivalente a (W(x)F1(x)−F∗ 1(x)W(x))0= 2(W(x)F0−F∗ 0W(x)) Por lo tanto, es suficiente encontrar F0tal que χ(x) = T−1(x)f2(x)G(x)+f2(x)G(x)2+(f2(x)ω(x))0 ω(x)G(x)−F0T(x) es herm´ıtica para todo x. El m´etodo se ha generalizado cuando F2no es necesariamente escalar (Dur´an, 2008).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial 1La primera ecuaci´on de simetr´ıa es trivial. 2Definiendo F1(x)=2f2(x)G(x) + (f2(x)ω(x))0 ω(x)I la segunda de las ecuaciones de simetr´ıa tambi´en se verifica. 3Por ´ultimo, la tercera de las ecuaciones de simetr´ıa es equivalente a (W(x)F1(x)−F∗ 1(x)W(x))0= 2(W(x)F0−F∗ 0W(x)) Por lo tanto, es suficiente encontrar F0tal que χ(x) = T−1(x)f2(x)G(x)+f2(x)G(x)2+(f2(x)ω(x))0 ω(x)G(x)−F0T(x) es herm´ıtica para todo x. El m´etodo se ha generalizado cuando F2no es necesariamente escalar (Dur´an, 2008).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Ejemplos con F2=I Sea f2= 1 y ω=e−x2⇒G(x) = A+ 2Bx,F1(x) = 2(A+ (2B−I)x) (Si B=0⇒W(x) = e−x2eAxeA∗x Si A=0⇒W(x) = e−x2eBx2eB∗x2 Para el primer caso, una soluci´on para que χ(x) = A2−2Ax−e−AxF0eAx sea herm´ıtica es eligiendo F0=A2−2J, con A= 0ν10· · · 0 0 0 ν2· · · 0 . . .. . .. . ..... . . 0 0 0 · · · νN−1 0 0 0 · · · 0 ,J= N−1 0 · · · 0 0 0N−2· · · 0 0 . . .. . ..... . .. . . 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 0 Para el segundo caso una soluci´on para que χ(x) = 2B+ (4B2−4B)x2−e−Bx2F0eBx2 sea herm´ıtica tiene es eligiendo F0= 2B−4Jcon B=PN−1 j=1 (−1)j+1Aj
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Ejemplos con F2=I Sea f2= 1 y ω=e−x2⇒G(x) = A+ 2Bx,F1(x) = 2(A+ (2B−I)x) (Si B=0⇒W(x) = e−x2eAxeA∗x Si A=0⇒W(x) = e−x2eBx2eB∗x2 Para el primer caso, una soluci´on para que χ(x) = A2−2Ax−e−AxF0eAx sea herm´ıtica es eligiendo F0=A2−2J, con A= 0ν10· · · 0 0 0 ν2· · · 0 . . .. . .. . ..... . . 0 0 0 · · · νN−1 0 0 0 · · · 0 ,J= N−1 0 · · · 0 0 0N−2· · · 0 0 . . .. . ..... . .. . . 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 0 Para el segundo caso una soluci´on para que χ(x) = 2B+ (4B2−4B)x2−e−Bx2F0eBx2 sea herm´ıtica tiene es eligiendo F0= 2B−4Jcon B=PN−1 j=1 (−1)j+1Aj
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Ejemplos con F2=I Sea f2= 1 y ω=e−x2⇒G(x) = A+ 2Bx,F1(x) = 2(A+ (2B−I)x) (Si B=0⇒W(x) = e−x2eAxeA∗x Si A=0⇒W(x) = e−x2eBx2eB∗x2 Para el primer caso, una soluci´on para que χ(x) = A2−2Ax−e−AxF0eAx sea herm´ıtica es eligiendo F0=A2−2J, con A= 0ν10· · · 0 0 0 ν2· · · 0 . . .. . .. . ..... . . 0 0 0 · · · νN−1 0 0 0 · · · 0 ,J= N−1 0 · · · 0 0 0N−2· · · 0 0 . . .. . ..... . .. . . 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 0 Para el segundo caso una soluci´on para que χ(x) = 2B+ (4B2−4B)x2−e−Bx2F0eBx2 sea herm´ıtica tiene es eligiendo F0= 2B−4Jcon B=PN−1 j=1 (−1)j+1Aj
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial An´ alisis arm´ onico matricial Sea W(x) = e−x2eAxeA∗x(Anilpotente). Los POM verifican P00 n(x)−2(xI−A)P0 n(x) + (A2−2J)Pn(x) = Pn(x)(−2nI−2J) La familia Φn(x) = e−x2/2eA∗xPn(x) es ortogonal en L2(R,CN×N) (Φn)nes autofunci´on de un operador diferencial de tipo Schr¨odinger matricial Φ00 n(x)−(x2I+ 2J)Φn(x) + Φn(x)((2n+ 1)I+ 2J) = 0,x∈R y un operador integral de tipo Fourier matricial 1 √2πZ∞ −∞ eixt eiπ 2JΦn(t)dt =Φn(x)(i)neiπ 2J,x∈R De nuevo hay 4 posible autovalores (matriciales), con lo que L2(R,CN×N) = H1⊕H2⊕H3⊕H4, donde Hk=(F∈L2(R,CN×N) : F(x) = X n∈N Φ4n+k(x)(F,Φ4n+k)) Existen otros ejemplos pero con diferentes autovalores y autofunciones, con lo que no es la ´unica manera de hacer an´alisis arm´onico en L2(R,CN×N).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial An´ alisis arm´ onico matricial Sea W(x) = e−x2eAxeA∗x(Anilpotente). Los POM verifican P00 n(x)−2(xI−A)P0 n(x) + (A2−2J)Pn(x) = Pn(x)(−2nI−2J) La familia Φn(x) = e−x2/2eA∗xPn(x) es ortogonal en L2(R,CN×N) (Φn)nes autofunci´on de un operador diferencial de tipo Schr¨odinger matricial Φ00 n(x)−(x2I+ 2J)Φn(x) + Φn(x)((2n+ 1)I+ 2J) = 0,x∈R y un operador integral de tipo Fourier matricial 1 √2πZ∞ −∞ eixt eiπ 2JΦn(t)dt =Φn(x)(i)neiπ 2J,x∈R De nuevo hay 4 posible autovalores (matriciales), con lo que L2(R,CN×N) = H1⊕H2⊕H3⊕H4, donde Hk=(F∈L2(R,CN×N) : F(x) = X n∈N Φ4n+k(x)(F,Φ4n+k)) Existen otros ejemplos pero con diferentes autovalores y autofunciones, con lo que no es la ´unica manera de hacer an´alisis arm´onico en L2(R,CN×N).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial An´ alisis arm´ onico matricial Sea W(x) = e−x2eAxeA∗x(Anilpotente). Los POM verifican P00 n(x)−2(xI−A)P0 n(x) + (A2−2J)Pn(x) = Pn(x)(−2nI−2J) La familia Φn(x) = e−x2/2eA∗xPn(x) es ortogonal en L2(R,CN×N) (Φn)nes autofunci´on de un operador diferencial de tipo Schr¨odinger matricial Φ00 n(x)−(x2I+ 2J)Φn(x) + Φn(x)((2n+ 1)I+ 2J) = 0,x∈R y un operador integral de tipo Fourier matricial 1 √2πZ∞ −∞ eixt eiπ 2JΦn(t)dt =Φn(x)(i)neiπ 2J,x∈R De nuevo hay 4 posible autovalores (matriciales), con lo que L2(R,CN×N) = H1⊕H2⊕H3⊕H4, donde Hk=(F∈L2(R,CN×N) : F(x) = X n∈N Φ4n+k(x)(F,Φ4n+k)) Existen otros ejemplos pero con diferentes autovalores y autofunciones, con lo que no es la ´unica manera de hacer an´alisis arm´onico en L2(R,CN×N).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial An´ alisis arm´ onico matricial Sea W(x) = e−x2eAxeA∗x(Anilpotente). Los POM verifican P00 n(x)−2(xI−A)P0 n(x) + (A2−2J)Pn(x) = Pn(x)(−2nI−2J) La familia Φn(x) = e−x2/2eA∗xPn(x) es ortogonal en L2(R,CN×N) (Φn)nes autofunci´on de un operador diferencial de tipo Schr¨odinger matricial Φ00 n(x)−(x2I+ 2J)Φn(x) + Φn(x)((2n+ 1)I+ 2J) = 0,x∈R y un operador integral de tipo Fourier matricial 1 √2πZ∞ −∞ eixt eiπ 2JΦn(t)dt =Φn(x)(i)neiπ 2J,x∈R De nuevo hay 4 posible autovalores (matriciales), con lo que L2(R,CN×N) = H1⊕H2⊕H3⊕H4, donde Hk=(F∈L2(R,CN×N) : F(x) = X n∈N Φ4n+k(x)(F,Φ4n+k)) Existen otros ejemplos pero con diferentes autovalores y autofunciones, con lo que no es la ´unica manera de hacer an´alisis arm´onico en L2(R,CN×N).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial An´ alisis arm´ onico matricial Sea W(x) = e−x2eAxeA∗x(Anilpotente). Los POM verifican P00 n(x)−2(xI−A)P0 n(x) + (A2−2J)Pn(x) = Pn(x)(−2nI−2J) La familia Φn(x) = e−x2/2eA∗xPn(x) es ortogonal en L2(R,CN×N) (Φn)nes autofunci´on de un operador diferencial de tipo Schr¨odinger matricial Φ00 n(x)−(x2I+ 2J)Φn(x) + Φn(x)((2n+ 1)I+ 2J) = 0,x∈R y un operador integral de tipo Fourier matricial 1 √2πZ∞ −∞ eixt eiπ 2JΦn(t)dt =Φn(x)(i)neiπ 2J,x∈R De nuevo hay 4 posible autovalores (matriciales), con lo que L2(R,CN×N) = H1⊕H2⊕H3⊕H4, donde Hk=(F∈L2(R,CN×N) : F(x) = X n∈N Φ4n+k(x)(F,Φ4n+k)) Existen otros ejemplos pero con diferentes autovalores y autofunciones, con lo que no es la ´unica manera de hacer an´alisis arm´onico en L2(R,CN×N).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial An´ alisis arm´ onico matricial Sea W(x) = e−x2eAxeA∗x(Anilpotente). Los POM verifican P00 n(x)−2(xI−A)P0 n(x) + (A2−2J)Pn(x) = Pn(x)(−2nI−2J) La familia Φn(x) = e−x2/2eA∗xPn(x) es ortogonal en L2(R,CN×N) (Φn)nes autofunci´on de un operador diferencial de tipo Schr¨odinger matricial Φ00 n(x)−(x2I+ 2J)Φn(x) + Φn(x)((2n+ 1)I+ 2J) = 0,x∈R y un operador integral de tipo Fourier matricial 1 √2πZ∞ −∞ eixt eiπ 2JΦn(t)dt =Φn(x)(i)neiπ 2J,x∈R De nuevo hay 4 posible autovalores (matriciales), con lo que L2(R,CN×N) = H1⊕H2⊕H3⊕H4, donde Hk=(F∈L2(R,CN×N) : F(x) = X n∈N Φ4n+k(x)(F,Φ4n+k)) Existen otros ejemplos pero con diferentes autovalores y autofunciones, con lo que no es la ´unica manera de hacer an´alisis arm´onico en L2(R,CN×N).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Cuasi-procesos de nacimiento y muerte Las transiciones de probabilidades son (a tiempo continuo) (Pi0j0)ij (t) = P(Xt=j0,Yt=j|X0=i0,Y0=i),i0,j0∈ S ⊂ Z,1≤i,j≤N El operador infinitesimal A=P0(0) viene dado por A= B0A0 C1B1A1 C2B2A2 ......... donde An,Cn+1,n≥0 son matrices no singulares, Atiene todas sus entradas no negativas fuera de la diagonal principal (escalar!) y (A0+B0)eN≤0N,(An+Bn+Cn)eN≤0N,eN= (1,...,1)T Se construye, para x∈R, un vector Q= (QT 0(x),QT 1(x), . . .)Ttal que AQ=−xQ, i.e. los polinomios matriciales (Qn)nverifican −xQn(x) = AnQn+1(x) + BnQn(x) + CnQn−1(x) El an´alisis espectral ser´a posible si se puede “simetrizar” A. Para ello debe existir una sucesi´on de matrices no singulares (Rn)ntal que RnBnR−1 n= (RnBnR−1 n)T,RnAnR−1 n+1 = (Rn+1Cn+1Rn)T,n≥0
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Cuasi-procesos de nacimiento y muerte Las transiciones de probabilidades son (a tiempo continuo) (Pi0j0)ij (t) = P(Xt=j0,Yt=j|X0=i0,Y0=i),i0,j0∈ S ⊂ Z,1≤i,j≤N El operador infinitesimal A=P0(0) viene dado por A= B0A0 C1B1A1 C2B2A2 ......... donde An,Cn+1,n≥0 son matrices no singulares, Atiene todas sus entradas no negativas fuera de la diagonal principal (escalar!) y (A0+B0)eN≤0N,(An+Bn+Cn)eN≤0N,eN= (1,...,1)T Se construye, para x∈R, un vector Q= (QT 0(x),QT 1(x), . . .)Ttal que AQ=−xQ, i.e. los polinomios matriciales (Qn)nverifican −xQn(x) = AnQn+1(x) + BnQn(x) + CnQn−1(x) El an´alisis espectral ser´a posible si se puede “simetrizar” A. Para ello debe existir una sucesi´on de matrices no singulares (Rn)ntal que RnBnR−1 n= (RnBnR−1 n)T,RnAnR−1 n+1 = (Rn+1Cn+1Rn)T,n≥0
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Cuasi-procesos de nacimiento y muerte Las transiciones de probabilidades son (a tiempo continuo) (Pi0j0)ij (t) = P(Xt=j0,Yt=j|X0=i0,Y0=i),i0,j0∈ S ⊂ Z,1≤i,j≤N El operador infinitesimal A=P0(0) viene dado por A= B0A0 C1B1A1 C2B2A2 ......... donde An,Cn+1,n≥0 son matrices no singulares, Atiene todas sus entradas no negativas fuera de la diagonal principal (escalar!) y (A0+B0)eN≤0N,(An+Bn+Cn)eN≤0N,eN= (1,...,1)T Se construye, para x∈R, un vector Q= (QT 0(x),QT 1(x), . . .)Ttal que AQ=−xQ, i.e. los polinomios matriciales (Qn)nverifican −xQn(x) = AnQn+1(x) + BnQn(x) + CnQn−1(x) El an´alisis espectral ser´a posible si se puede “simetrizar” A. Para ello debe existir una sucesi´on de matrices no singulares (Rn)ntal que RnBnR−1 n= (RnBnR−1 n)T,RnAnR−1 n+1 = (Rn+1Cn+1Rn)T,n≥0
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial El espacio de aplicaci´on del Teorema espectral viene dado ahora por `2 Π(N;CN×N) = (Xn)n: (X,X)Π=X n≥0 XnΠnX∗ n<∞ donde Πn=RT nRn= (CT 1CT 2···CT n)−1RT 0R0(A0A1···An−1),n≥1 Gr¨unbaum y Dette-Reuther-Studden-Zygmunt en 2007 llegaron al siguiente Theorem (Representaci´ on integral de Karlin-McGregor) Existe una matriz peso Wasociada a Acon soporte en [0,∞)tal que se tiene la siguiente representaci´on integral de P(t) Pij (t) = Z∞ 0 e−xt Qi(x)dW(x)QT j(x)Z∞ 0 Qj(x)dW(x)QT j(x)−1 Adem´as Π−1 j=kQjk2 Wy la familia de polinomios matriciales (Qn)nes ortogonal con respecto a Wen el espacio L2 W([0,∞); CN×N). Ejemplos: Tiempo discreto: Gr¨unbaum-MdI (2008), Dette-Reuther-Studden-Zymunt (2007), Clayton (2010). Tiempo continuo: Dette-Reuther (2010), MdI-Rom´an (2016).
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial El peso matricial es de tipo Gegenbauer (ultraesf´erico) y viene dado por W(x) = 4ν+1/2(ν+2) [x(1 −x)]ν−1/2 1−2(1+ν) ν+1/2y(1 −x) 1 −2x 1−2x1−2ν ν+1/2x(1 −x)! Cada entrada por bloques (i,j) de P(t) admite una representaci´on de Karlin-McGregor Pij (t) = Z1 0 e−xt Qi(x)W(x)Q∗ j(x)dxΠj Π0=kQ0k−2 W,Πn=kQnk−2 W=2Γ(ν+ 2)(2ν+ 3)n−1 √πn!(ν+ 2)Γ(ν+ 1/2) ν+1 ν+n+1 0 0ν(ν+n+1) (ν+n)(ν+n+2) ! Podemos computar tambi´en expl´ıcitamente la medida invariante del proceso π=(Π0e2)T; (Π1e2)T; (Π2e2)T;···,eT 2= (1,1), =Γ(ν+ 1) √πΓ(ν+ 1/2)(ν+ 2) 1,ν+ 1 ν+ 2;2(ν+ 1)2 ν+ 2 ,2ν(ν+ 2) ν+ 3 ;··· Interpretaci´on: El proceso con dos fases se puede interpretar como una variaci´on racional de un par de colas con un servidor, donde la interacci´on entre ellas es significativa en los primeros estados de la cola.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial El peso matricial es de tipo Gegenbauer (ultraesf´erico) y viene dado por W(x) = 4ν+1/2(ν+2) [x(1 −x)]ν−1/2 1−2(1+ν) ν+1/2y(1 −x) 1 −2x 1−2x1−2ν ν+1/2x(1 −x)! Cada entrada por bloques (i,j) de P(t) admite una representaci´on de Karlin-McGregor Pij (t) = Z1 0 e−xt Qi(x)W(x)Q∗ j(x)dxΠj Π0=kQ0k−2 W,Πn=kQnk−2 W=2Γ(ν+ 2)(2ν+ 3)n−1 √πn!(ν+ 2)Γ(ν+ 1/2) ν+1 ν+n+1 0 0ν(ν+n+1) (ν+n)(ν+n+2) ! Podemos computar tambi´en expl´ıcitamente la medida invariante del proceso π=(Π0e2)T; (Π1e2)T; (Π2e2)T;···,eT 2= (1,1), =Γ(ν+ 1) √πΓ(ν+ 1/2)(ν+ 2) 1,ν+ 1 ν+ 2;2(ν+ 1)2 ν+ 2 ,2ν(ν+ 2) ν+ 3 ;··· Interpretaci´on: El proceso con dos fases se puede interpretar como una variaci´on racional de un par de colas con un servidor, donde la interacci´on entre ellas es significativa en los primeros estados de la cola.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial El peso matricial es de tipo Gegenbauer (ultraesf´erico) y viene dado por W(x) = 4ν+1/2(ν+2) [x(1 −x)]ν−1/2 1−2(1+ν) ν+1/2y(1 −x) 1 −2x 1−2x1−2ν ν+1/2x(1 −x)! Cada entrada por bloques (i,j) de P(t) admite una representaci´on de Karlin-McGregor Pij (t) = Z1 0 e−xt Qi(x)W(x)Q∗ j(x)dxΠj Π0=kQ0k−2 W,Πn=kQnk−2 W=2Γ(ν+ 2)(2ν+ 3)n−1 √πn!(ν+ 2)Γ(ν+ 1/2) ν+1 ν+n+1 0 0ν(ν+n+1) (ν+n)(ν+n+2) ! Podemos computar tambi´en expl´ıcitamente la medida invariante del proceso π=(Π0e2)T; (Π1e2)T; (Π2e2)T;···,eT 2= (1,1), =Γ(ν+ 1) √πΓ(ν+ 1/2)(ν+ 2) 1,ν+ 1 ν+ 2;2(ν+ 1)2 ν+ 2 ,2ν(ν+ 2) ν+ 3 ;··· Interpretaci´on: El proceso con dos fases se puede interpretar como una variaci´on racional de un par de colas con un servidor, donde la interacci´on entre ellas es significativa en los primeros estados de la cola.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial El mismo ejemplo se puede usar para generar un proceso de difusi´on cambiante de dos fases con operador infinitesimal D=x(1 −x)∂2 x+ (ν+ 1/2)(1 −2x) 0 0 (ν+ 3/2)(1 −2x)−1 1−2x!∂x +1 2x(1 −x)−ν(1 −2x)2ν(1 −2x)2 1 + ν−(1 + ν) Se pueden calcular expl´ıcitamente las autofunciones Φn(x) de D, con autovalor Λn=−1−n(n+ 2ν+ 2) 0 0−n(n+ 2ν+ 2) ,n≥0 Φn(no son polinomios) son ortogonales con respecto a la matriz peso W(x) = 4ν−1(2 + ν)[x(1 −x)]ν−1/2 ν+ 1/21 + ν0 0ν(1 −2x)2 Interpretaci´on: El proceso puede ser visto como una variante del modelo de Wright-Fisher model con s´olo efectos de mutaci´on y con dos fases. Mientras que el proceso est´e en la fase 2, empezando en un punto de [0,1/2), hay una fuerza bloqueando el paso a trav´es del umbral localizado en 1/2 (igual si el punto interior est´a en (1/2,1]). Si el proceso est´a en la fase 1 no hay ninguna restricci´on en el punto 1/2.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial El mismo ejemplo se puede usar para generar un proceso de difusi´on cambiante de dos fases con operador infinitesimal D=x(1 −x)∂2 x+ (ν+ 1/2)(1 −2x) 0 0 (ν+ 3/2)(1 −2x)−1 1−2x!∂x +1 2x(1 −x)−ν(1 −2x)2ν(1 −2x)2 1 + ν−(1 + ν) Se pueden calcular expl´ıcitamente las autofunciones Φn(x) de D, con autovalor Λn=−1−n(n+ 2ν+ 2) 0 0−n(n+ 2ν+ 2) ,n≥0 Φn(no son polinomios) son ortogonales con respecto a la matriz peso W(x) = 4ν−1(2 + ν)[x(1 −x)]ν−1/2 ν+ 1/21 + ν0 0ν(1 −2x)2 Interpretaci´on: El proceso puede ser visto como una variante del modelo de Wright-Fisher model con s´olo efectos de mutaci´on y con dos fases. Mientras que el proceso est´e en la fase 2, empezando en un punto de [0,1/2), hay una fuerza bloqueando el paso a trav´es del umbral localizado en 1/2 (igual si el punto interior est´a en (1/2,1]). Si el proceso est´a en la fase 1 no hay ninguna restricci´on en el punto 1/2.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial El mismo ejemplo se puede usar para generar un proceso de difusi´on cambiante de dos fases con operador infinitesimal D=x(1 −x)∂2 x+ (ν+ 1/2)(1 −2x) 0 0 (ν+ 3/2)(1 −2x)−1 1−2x!∂x +1 2x(1 −x)−ν(1 −2x)2ν(1 −2x)2 1 + ν−(1 + ν) Se pueden calcular expl´ıcitamente las autofunciones Φn(x) de D, con autovalor Λn=−1−n(n+ 2ν+ 2) 0 0−n(n+ 2ν+ 2) ,n≥0 Φn(no son polinomios) son ortogonales con respecto a la matriz peso W(x) = 4ν−1(2 + ν)[x(1 −x)]ν−1/2 ν+ 1/21 + ν0 0ν(1 −2x)2 Interpretaci´on: El proceso puede ser visto como una variante del modelo de Wright-Fisher model con s´olo efectos de mutaci´on y con dos fases. Mientras que el proceso est´e en la fase 2, empezando en un punto de [0,1/2), hay una fuerza bloqueando el paso a trav´es del umbral localizado en 1/2 (igual si el punto interior est´a en (1/2,1]). Si el proceso est´a en la fase 1 no hay ninguna restricci´on en el punto 1/2.
Ortogonalidad escalar Ortogonalidad matricial Dette, H., Reuther, B., Studden, W. y Zygmunt, M., Matrix measures and random walks with a block tridiagonal transition matrix, SIAM J. Matrix Anal. Applic. 29, No. 1 (2006) 117–142. Dur´an, A. J. y Gr¨unbaum, F. A., Orthogonal matrix polynomials satisfying second order differential equations, Internat. Math. Research Notices, 2004: 10 (2004), 461–484. de la Iglesia, M. D., Some examples of matrix-valued orthogonal functions having a differential and an integral operator as eigenfunctions, J. Approx. Theory 163, No. 5, (2011), 663–687. de la Iglesia, M. D., Spectral methods for bivariate Markov processes with diffusion and discrete components and a variant of the Wright-Fisher model, J. Math. Anal. Appl. 393 (2012), 239–255. de la Iglesia, M. D. y Rom´an, P., Some bivariate stochastic models arising from group representation theory, preprint (2016). ArXiv:1610.01253. Karlin, S. y McGregor, J., The classification of birth and death processes, Trans. Amer. Math. Soc., 86 (1957), 366–400. Karlin, S. y McGregor, J., Random walks, IIlinois J. Math., 3(1959), 66–81.