Estudio de la bifurcación de ciclos límite a partir de un gráfico mediante el inverso de factor integrante

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Estudio de la bifurcaci´on de ciclos l´ımite a partir de un gr´afico mediante el inverso de factor integrante. Isaac A. Garc´ ıa1, H´ ector Giacomini2y Maite Grau1 1Departament de Matem`atica. Universitat de Lleida. Avda. Jaume II, 69. 25001 Lleida. E-mails: [email protected], [email protected]. 2Laboratoire de Math´ematiques et Physique Th´eorique. C.N.R.S. UMR 6083. Facult´e des Sciences et Techniques. Universit´e de Tours. Parc de Grandmont 37200 Tours (Francia) E-mail: [email protected]. Palabras clave: inverso de factor integrante, ciclo l´ımite, gr´afico monodr´omico, bifurcaciones. Resumen El objetivo de este trabajo consiste en estudiar el n´umero m´aximo de ciclos l´ımite que pueden bifurcar a partir de un gr´afico monodr´omico de un sistema diferencial aut´onomo en el plano con inverso de factor integrante. Demostramos que la multiplicidad de anulaci´on del inverso de factor integrante en el gr´afico da una cota superior para el n´umero m´aximo de ciclos l´ımite que pueden bifurcar del gr´afico dentro de las perturbaciones uniparam´etricas y anal´ıticas que poseen un inverso de factor integrante. Adem´as, definimos la noci´on de inverso de factor integrante hasta orden `que nos permte seguir los ciclos l´ımite bifurcados. Estudiamos varios ejemplos de sistemas en el plano que ilustran este resultado. 1. Resultados principales Consideramos un sistema diferencial aut´onomo de la forma: ˙x=P0(x, y),˙y=Q0(x, y),(1) donde P0(x, y) y Q0(x, y) son funciones anal´ıticas definidas en un abierto U ⊆ R2. El punto denota la derivaci´on de las variables dependientes xeyrespecto de la variable real independiente t. Recordemos que un gr´afico del sistema (1) est´a formado por un n´umero finito de puntos singulares conectados por ´orbitas regulares (es decir, separatrices sin puntos singulares) del sistema. Por ejemplo, un gr´afico puede estar formado por un s´olo punto singular con una ´orbita homocl´ınica; este gr´afico se llama lazo homocl´ınico. 1 I.A. Garc´ıa, H. Giacomini, M. Grau Los gr´aficos pueden tener asociada una aplicaci´on de retorno de Poincar´e, es decir, puede existir un entorno del gr´afico, quiz´a s´olo en su interior o s´olo en su exterior, en el que dada una secci´on transversal cualquiera en este entorno, toda ´orbita con punto inicial en esta secci´on vuelva a cortarla tras un tiempo finito t, positivo o negativo. Los gr´aficos monodr´omicos son aquellos que tienen una aplicaci´on de retorno de Poincar´e asociada. En este trabajo siempre consideramos gr´aficos monodr´omicos cuya aplicaci´on de retorno de Poincar´e no es la identidad. Adem´as, en este trabajo s´olo consideramos gr´aficos compactos. De hecho los mismos resultados se pueden considerar para gr´aficos con alg´un punto en el ecuador de la compactificaci´on de Poincar´e, pero siempre supondremos que la carta af´ın en la que trabajamos contiene completamente el gr´afico considerado. Consideremos un sistema (1) con un gr´afico monodr´omico y compacto, que denotaremos por Γ0, y consideremos una perturbaci´on uniparam´etrica y anal´ıtica de (1). Decimos que un ciclo l´ımite del sistema perturbado bifurca de Γ0si ´este tiende a Γ0al hacer tender el par´ametro al valor correspondiente a (1). Nos interesa estudiar el n´umero m´aximo de ciclos l´ımite que bifurcan de Γ0, para una perturbaci´on uniparam´etrica y anal´ıtica cualquiera de (1). Este problema ha sido abordado mediante distintas t´ecnicas que, en general, consisten en estudiar la aplicaci´on de retorno de Poincar´e del sistema (1) y la del perturbado y determinar c´omo estas aplicaciones se relacionan en funci´on del par´ametro de perturbaci´on. Los siguientes trabajos y libros describen y resumen muchas de estas t´ecnicas [1, 2, 7, 8]. Nuestra forma de abordar el problema consiste en usar la funci´on inverso de factor integrante y su conjunto de anulaci´on. Una funci´on V0:U → Rno id´enticamente nula y de clase C1que satisface la ecuaci´on en derivadas parciales siguiente: P0(x, y)∂V0 ∂x +Q0(x, y)∂V0 ∂y =µ∂P0 ∂x +∂Q0 ∂y ¶V0(x, y), es un inverso de factor integrante del sistema (1). En nuestro trabajo siempre suponemos que el campo (1) tiene un inverso de factor integrante anal´ıtico definido en un entorno de Γ0. Un primer resultado es el siguiente: Proposici´on 1 Consideremos el sistema anal´ıtico (1) con un gr´afico monodr´omico Γ0 cuya aplicaci´on de retorno de Poincar´e asociada no es la identidad y sea V0un inverso de factor integrante definido en un entorno de Γ0. Entonces V0es ´unico, m´odulo una constante multiplicativa. La demostraci´on de este resultado se basa en que no puede existir una integral primera del sistema (1) bien definida en un entorno del gr´afico Γ0considerado, dado su caracter monodr´omico, y en que el cociente de dos funciones inverso de factor integrante distintas da lugar a una integral primera para el sistema (1) El conjunto de anulaci´on de un inverso de factor integrante asociado a un sistema (1), que denotamos por V−1 0(0) := {p∈ U | V0(p)=0}, est´a formado por ´orbitas del 2 Bifurcaci´on de ciclos l´ımite a partir de un gr´afico . . . sistema (1) y suele contener aquellas ´orbitas que determinan la din´amica del sistema: puntos singulares, ciclos l´ımite y gr´aficos. En [5] se demuestra que si existe un inverso de factor integrante definido en un entorno de un ciclo l´ımite, entonces ´este est´a contenido en V−1 0(0). En [3] se demuestra que si p0es un punto de silla hiperb´olico del sistema (1), V0es un inverso de factor integrante definido en un entorno de p0yV0(p0) = 0, entonces V0se anula en las cuatro separatrices de p0. Notamos que este resultado no es cierto, en general, para puntos singulares no hiperb´olicos. En cuanto a gr´aficos, el resultado m´as general hasta el momento aparece en [4] donde se demuestra que si el sistema (1) tiene un inverso de factor integrante anal´ıtico definido en un entorno de un gr´afico Γ0monodr´omico, compacto y cuya aplicaci´on de retorno no es la identidad, entonces Γ0⊆V−1 0(0). En el trabajo [4] tambi´en se establece el resultado anterior suavizando la regularidad de la funci´on inverso de factor integrante. Bajo las hip´otesis de este trabajo, deducimos que el inverso de factor integrante se anula en el gr´afico considerado y nos preguntamos sobre la informaci´on que nos aporta la multiplicidad de anulaci´on, que definimos formalmente como sigue. Sean (φi(s), ψi(s)), con s∈ Ii⊆Rei= 1,2, . . . , k, parametrizaciones de cada una de las ´orbitas regulares que forman el gr´afico Γ0. Dado un punto (x, y) en un entorno suficientemente peque˜no de una ´orbita (φi(s), ψi(s)), siempre podemos encontrar valores de synque realicen el siguiente cambio de variables: x=φi(s)+nψ0 i(s), y=ψi(s)−nφ0 i(s). Notemos que la variable nconsiderada mide la distancia perpendicular a Γ0. Si se satisface que V0¡φi(s) + nψ0 i(s), ψi(s)−nφ0 i(s)¢=nmivi(s) + O(nm+1), donde mies un entero, mi≥1, y la funci´on vi(s) no es id´enticamente nula para ning´un i= 1,2, . . . , k, decimos que V0tiene multiplicidad m= m´ıni=1,...,k(mi) en el gr´afico Γ0. Como consecuencia de la Proposici´on 1, tenemos que la multiplicidad de anulaci´on del inverso de factor integrante en Γ0est´a bien definida. Consideremos una perturbaci´on uniparam´etrica y anal´ıtica de (1): ˙x=P(x, y, ε) = X i≥0 Pi(x, y)εi,˙y=Q(x, y, ε) = X i≥0 Qi(x, y)εi(2) donde P(x, y, ε) y Q(x, y, ε) son funciones anal´ıticas en el mismo entorno Ude Γ0que el sistema (1), y son anal´ıticas en el par´ametro real εpara valores de |ε|suficientemente peque˜nos. Denotamos por Iel intervalo real entorno de 0 donde toma valores el par´ametro ε. Nuestro objetivo es determinar el n´umero m´aximo de ciclos l´ımite Γεdel sistema (2) que bifurcan de Γ0, es decir, los ciclos l´ımite Γεque tienden a Γ0cuando ε→0+o bien ε→0−. Bajo la hip´otesis que el sistema (2) tambi´en posee un inverso de factor integrante, demostramos el siguiente resultado: Teorema 2 Consideremos el sistema anal´ıtico (1) con un gr´afico monodr´omico y compacto Γ0cuya aplicaci´on de retorno de Poincar´e asociada no es la identidad y sea V0un 3 I.A. Garc´ıa, H. Giacomini, M. Grau inverso de factor integrante definido en un entorno de Γ0y cuya multiplicidad de anulaci´on en Γ0es m. Consideremos una perturbaci´on uniparam´etrica y anal´ıtica de la forma (2) y sea Mel n´umero de ciclos l´ımite Γεde (2) que bifurcan de Γ0. Supongamos que existe un inverso de factor integrante Vε(x, y)para el sistema (2) definido en un entorno de Γ0para |ε|suficientemente peque˜no. Entonces, M≤m. La demostraci´on de este teorema se basa en que la funci´on Vεdebe anularse sobre cualquier ciclo l´ımite Γεde (2), como se demostr´o en [5]. Como V0es ´unico, por la Proposici´on 1, tenemos que Vεcoincide con V0cuando εtiende a 0 y aplicando el Teorema de Preparaci´on de Weierstrass se consigue la demostraci´on del resultado. Como consecuencia de este teorema, sabemos que la multiplicidad de anulaci´on mdel inverso de factor integrante V0en Γ0, da una cota superior para el n´umero m´aximo de ciclos l´ımite que pueden bifurcar de un gr´afico Γ0, es decir para la ciclicidad de Γ0, dentro de la familia de los sistemas anal´ıticos de la forma (2) y que poseen inversos de factor integrante. Sin embargo la existencia de Vεno est´a garantizada. Consideremos, por ejemplo, un sistema (1) con un lazo homocl´ınico Γ0cuyo punto singular es una silla hiperb´olica p0. Supongamos que perturbamos el sistema de forma que este punto singular deviene un punto singular pεdel tipo silla hiperb´olica fuerte (es decir, con autovalores asociados λ2<0< λ1yλ1+λ26= 0) y ademas el lazo homocl´ınico Γ0se rompe y bifurca un ciclo l´ımite. Este fen´omeno de bifurcaci´on se describe, por ejemplo, en [1, 7]. En este caso, no puede existir un inverso de factor integrante Vεanal´ıtico definido en un entorno de Γ0que contenga a pεpara el sistema perturbado. Si existiera, por ser pεun punto singular fuerte tendriamos que Vε(pε) = 0 y por el resultado de [3], Vεse anularia tambi´en en sus cuatro separatrices. Sin embargo, al menos una de estas separatrices espirala hacia el ciclo l´ımite generado, en contradicci´on con que Vεes una funci´on anal´ıtica. Si bien la existencia de la Vεpara el sistema (2) en un entorno del gr´afico Γ0implica limitaciones sobre el tipo de sistemas que se pueden tratar, nuestros resultados nos permiten tratar casos muy dif´ıciles sobre los cuales los m´etodos habituales no dan respuesta. En lugar de suponer que el sistema perturbado (2) tiene un inverso de factor integrante Vε, vamos a considerar sistemas (2) que tengan un inverso de factor integrante hasta orden `en ε. S´olo consideramos valores de `enteros y tales que `≥0. Decimos que la funci´on V:U × I → Res un inverso de factor integrante hasta orden `in εsi Ves una funci´on anal´ıtica en U × I,V(p, 0) no es localmente nula para ningun p∈ U y P∂V ∂x +Q∂V ∂y −µ∂P ∂x +∂Q ∂y ¶V=O(ε`+1). Siguiendo la idea de la demostraci´on descrita en [5], podemos demostrar el siguiente resultado. Teorema 3 Consideremos el sistema anal´ıtico (1) con un gr´afico monodr´omico y compacto Γ0cuya aplicaci´on de retorno de Poincar´e asociada no es la identidad. Consideremos una perturbaci´on uniparam´etrica y anal´ıtica de la forma (2) y sea Γε, con ε6= 0, una familia de ciclos l´ımite asociada al sistema (2), contenida en Uy que bifurcan de Γ0. 4 Bifurcaci´on de ciclos l´ımite a partir de un gr´afico . . . Supongamos que el sistema (2) tiene un inverso de factor integrante hasta orden `en ε definido en U, que denotamos por V(p, ε). Entonces, para cualquier punto qε∈Γεse tiene que V(qε, ε) = O(ε`+1). La demostraci´on de este teorema es por contradicci´on. Si la anulaci´on de V(qε, ε) fuera de orden menor que `+ 1 en εpodriamos construir una integral primera hasta orden `para el sistema (2) en un entorno de Γ0. El l´ımite de esta funci´on cuando ε→0 dar´ıa lugar a una integral primera para el sistema no perturbado (1) definida en un entorno de Γ0. Pero no puede existir una integral primera definida en un entorno de un gr´afico monodr´omico cuya aplicaci´on de Poincar´e asociada no es la identidad. Este resultado nos permite seguir los ciclos l´ımite que bifurcan de Γ0cuando el sistema perturbado posee un inverso de factor integrante hasta orden `, con `≥1. 2. Ejemplos En esta secci´on describimos algunos ejemplos que ilustran nuestros resultados. Ejemplo 1. Consideremos una funci´on anal´ıtica f(x, y) definida en un entorno del origen tal que f(0,0) 6= 0, y sea mun entero positivo cualquiera. El sistema dado por ˙x=a1(x2+y2)∂f ∂y −fm−1(x, y)³(a4x+a2y)f(x, y) + a3(x2+y2)∂f ∂y ´, ˙y=−a1(x2+y2)∂f ∂x +fm−1(x, y)³(a2x−a4y)f(x, y) + a3(x2+y2)∂f ∂x ´,(3) con ai∈R,i= 1,2,3,4, admite un inverso de factor integrante de la forma V0(x, y) = (x2+y2)fm(x, y). Notemos que f(x, y) = 0 es una curva invariante del sistema (3) con cofactor asociado K(x, y) = fm−1(x, y) ((a2x−a4y)∂f(x, y)/∂y −(a4x+a2y)∂f(x, y)/∂x). Si f(x, y) es un polinomio, tenemos un inverso de factor integrante anal´ıtico en todo R2. Observamos que el sistema (3) siempre tiene el origen como punto singular con valores propios λ±= (−a4±ia2)fm(0,0) donde i2=−1. Suponemos que a2a46= 0 de forma que el origen sea un foco fuerte. Vamos a suponer que la funci´on anal´ıtica fes tal que el sistema (3) no tiene un continuo de puntos cr´ıticos en la curva invariante f= 0. Sea p6= (0,0) un punto singular del sistema tal que f(p) = 0. Si m > 1 y a16= 0 o bien m= 1 y a16=a3se tiene que ∂f(x, y)/∂x|p=∂f(x, y)/∂y|p= 0 por lo que pes tambi´en un punto cr´ıtico de la curva invariante f= 0. En el caso que la matriz Hessiana associada a fen ptenga determinante distinto de cero, se puede demostrar que pes una silla hiperb´olica del sistema. Lazo homocl´ınico: Si tomamos f(x, y) = −1 + x+x2−x3+y2ya1=a2=a4= 1, la familia 1–param´etrica de sistemas (3) tiene un lazo homocl´ınico Γ0⊂ {f= 0}que pasa por la silla hiperb´olica d´ebil (1,0) cuando m > 1 o bien m= 1 y a36= 1. Bajo estas hip´otesis tenemos que Γ0no contiene ning´un punto singular del sistema excepto la silla hiperb´olica, luego es un gr´afico monodr´omico y compacto. Notamos que Γ0 rodea al origen, que es un foco, y por el resultado demostrado en [4], la frontera de la regi´on focal est´a contenida en V−1 0(0). Luego, esta frontera es Γ0y tenemos que la aplicaci´on de Poincar´e asociada Γ0no es la identidad. Tenemos un ejemplo al que aplicar nuestros resultados. 5 I.A. Garc´ıa, H. Giacomini, M. Grau Gr´afico monodr´omico con dos sillas: De la misma forma, si tomamos f(x, y) = (y− x2+1)(y+x2−1), a1=a2=a4= 1 y a3= 2, el sistema (3) muestra un gr´afico Γ0⊂ {f= 0}que pasa por las dos sillas hiperb´olicas d´ebiles (±1,0), que es monodr´omico, compacto y cuya aplicaci´on de Poincar´e asociada no sea la identidad. Gr´afico monodr´omico con tres sillas: Tomando f(x, y) = (y−x+1)(y+x+1)(y−1) ya1=a2=a4= 1, la familia 1–param´etrica (3) tiene un gr´afico Γ0⊂ {f= 0}que pasa por las sillas hiperb´olicas d´ebiles (±2,1) y (0,−1) para m > 1 o bien m= 1 y a36= 1. Tenemos un ejemplo de gr´afico monodr´omico y compacto con tres sillas. De forma an´aloga y para distintas elecciones de f(x, y) se pueden construir ejemplos de gr´aficos monodr´omicos y compactos con un n´umero cualquiera de sillas y a los que podemos aplicar nuestros resultados. Ejemplo 2. El siguiente ejemplo de sistema en el plano: ˙x=−2y, ˙y=−2x+ 3x2,(4) muestra el lazo homocl´ınico Γ0contenido en la curva algebraica invariante f= 0 con f(x, y) := y2−x2+x3. Este lazo homocl´ınico es un gr´afico monodr´omico y compacto, pero cuya aplicaci´on de Poincar´e asociada es la identidad, puesto que el sistema es Hamiltoniano con H=f. Adem´as de la silla hiperb´olica en el origen, este sistema posee un punto singular tipo centro en el punto de coordenadas (2/3,0) y ning´un otro punto singular en el plano af´ın. Notamos que cualquier funci´on de la forma V0=f(x, y)m, con m∈R, es un inverso de factor integrante. Luego, no podemos definir de manera un´ıvoca la multiplicidad de anulaci´on de V0en el gr´afico homocl´ınico y no podemos aplicar nuestros resultados. Notamos que para cualquier valor de m∈Zcon m≥0, existen perturbaciones del sistema (4) con al menos mciclos l´ımite que bifurcan del lazo homocl´ınico considerado. Por ejemplo, fijemos un valor de mnatural cualquiera y sea εun real no nulo con |ε| suficientemente peque˜no. Tomamos ai∈R,i= 1,2, . . . , m, distintos dos a dos y tales que 0< aiε < 4/27. Para cada ise tiene que la curva fi= 0 con fi:= f+aiεtiene un ´ovalo tal que el punto (2/3,0) est´a en la regi´on interior definida por el ´ovalo y el punto (0,0) est´a en la regi´on exterior. Adem´as, si aiε<ajε, el ´ovalo definido por la curva fi= 0 contiene al ´ovalo fj= 0 en la regi´on interior. El siguiente sistema: ˙x=−2y, ˙y=−2x+ 3x2+εy m Y i=1 (f+aiε), es una perturbaci´on del sistema (4) y tiene cada uno de los ´ovalos descritos por las curvas fi= 0 como ´orbita peri´odica. Tras c´alculos simples y suponiendo que |ε|es suficientemente peque˜no y no nulo, se muestra que los ´unicos puntos singulares del sistema perturbado son el (0,0), que es una silla hiperb´olica, y el (2/3,0) que deviene un foco fuerte. Se puede comprobar tambi´en que cada ´ovalo dado por fi= 0 es un ciclo l´ımite hiperb´olico del sistema perturbado que bifurca del lazo homocl´ınico Γ0. Tenemos, de esta forma, que el sistema perturbado considerado tiene al menos mciclos l´ımite que bifurcan de Γ0. Este ejemplo muestra que en sistemas con gr´aficos monodr´omicos y compactos cuya aplicaci´on de Poincar´e es la identidad, no hay una cota del n´umero m´aximo de ciclos l´ımite que bifurcan del gr´afico. Es por este motivo que, con el objetivo de hallar una cota del 6 Bifurcaci´on de ciclos l´ımite a partir de un gr´afico . . . n´umero m´aximo de ciclos l´ımite que bifurcan de un gr´afico monodr´omico, no es restrictivo suponer que su aplicaci´on de Poincar´e asociada no es la identidad. S´olo cuando la aplicaci´on de Poincar´e asociada no es la identidad, se puede definir de manera un´ıvoca la multiplicidad del inverso de factor integrante en el gr´afico, en caso de que exista. Ejemplo 3. En este ejemplo pretendemos mostrar la existencia de un ciclo l´ımite para un perturbaci´on del sistema inicial si conocemos un inverso de factor integrante a orden uno para el sistema perturbado. Consideremos la curva algebraica dada por f(x, y) = 0 con f(x, y) := 27y2−(1 − x)(8 + x)2. Definimos V0(x, y) := (x2+y2)f(x, y) y tenemos que el sistema: ˙x=∂V0 ∂y +xf(x, y),˙y=−∂V0 ∂x +yf(x, y) (5) posee un lazo homocl´ınico en la silla de coordenadas (−8,0). Este lazo homocl´ınico, que denotamos por Γ0, est´a contenido en la curva algebraica f(x, y) = 0. Se puede demostrar que este lazo homocl´ınico es repulsor en su regi´on interior, luego su aplicaci´on de retorno asociada no es la identidad. Tambi´en se puede probar que en la regi´on interior hay otros tres puntos singulares: un foco fuerte asint´oticamente estable en el origen de coordenadas, un punto tipo centro y un punto tipo silla que posee un lazo homocl´ınico que rodea el anillo de periodo del centro mencionado. Sin embargo, nos interesamos solamente en las propiedades de bifurcaci´on del lazo homocl´ınico Γ0. Notamos que V0(x, y) es un inverso de factor integrante para el sistema (5), luego la multiplicidad de anulaci´on en Γ0es 1. Tenemos, de esta forma, acotado el n´umero m´aximo de ciclos l´ımite que pueden bifurcar de Γ0bajo una perturbaci´on anal´ıtica y 1–param´etrica de (5) que tenga un inverso de factor integrante hasta orden 1 en ε. De hecho, usando los resultados descritos en [6], se puede comprobar que el n´umero m´aximo de ciclos l´ımite que bifurcan de Γ0para una perturbaci´on anal´ıtica y multiparam´etrica del sistema (5) es 2 y que esta cota es alcanzable. Consideremos la siguiente perturbaci´on uniparam´etrica y polinomial del sistema (5): ˙x=∂V0 ∂y +xf(x, y) + ε P1(x, y),˙y=−∂V0 ∂x +yf(x, y) + ε Q1(x, y),(6) con P1(x, y)=1−3x/4 + 39x2/64 −x3/64 −8y/15 + 2xy/5 + x2y/8 + x3y/120 − 27y2/64 + 9y3/40, Q1(x, y) = −2 + 53x/15 −61x2/40 −x4/120 + 27xy/32 −9xy2/40. Es f´acil comprobar que la funci´on V(x, y, ε) := V0(x, y) + ε V1(x, y), con V1(x, y) := 2x−3x2/2 + 3x3/8−x4/32, es un inverso de factor integrante hasta orden 1 en εpara el sistema perturbado (6). Debido al resultado descrito en el Teorema 3, fijado un valor de εcon |ε|suficientemente peque˜no, tenemos que los ´ovalos de la curva V(x, y, ε)=0 que bifurquen del ´ovalo de f(x, y) = 0, son los ciclos l´ımite del sistema (6) que bifurcan de Γ0a orden O(ε2). Todos los puntos del ´ovalo f(x, y) = 0 son regulares excepto el (−8,0), luego cualquier perturbaci´on de este ´ovalo, y en particular la curva V(x, y, ε) = 0, puede dejar de ser una curva cerrada s´olo cerca de este punto. Notamos que cerca de este punto la curva V(x, y, ε) = 0 se comporta como la hip´erbola −432ε+ 162ε(x+ 8) −(576 + 45ε/2)(x+ 8)2+ 1728y2= 0 y comprobamos que esta hip´erbola corta el eje y= 0 en dos puntos cuando ε < 0 y no lo corta cuando ε > 0. Este an´alisis algebraico nos demuestra que el sistema (6) posee un ciclo l´ımite que bifurca de 7 I.A. Garc´ıa, H. Giacomini, M. Grau Γ0cuando ε < 0 y ninguno cuando ε > 0, para valores de |ε|suficientemente peque˜nos. Ejemplo 4. Consideremos la familia uniparam´etrica de curvas algebraicas fε(x, y) = 0 con fε(x, y) := y2+x3−x2−εy definimos Vε(x, y) := ¡(x−2/3)2+y2¢fε(x, y). La funci´on Vε(x, y) es, para todo ε∈R, un inverso de factor integrante del sistema: ˙x= 9 ∂Vε ∂y −6(2 −3x)fε(x, y),˙y=−9∂Vε ∂x + 18y fε(x, y).(7) Se puede comprobar que para ε= 0, el sistema posee un lazo homocl´ınico en la silla de coordenadas (0,0). Denotamos por Γ0este gr´afico y se puede ver que es repulsor en la regi´on interior y est´a contenido en la curva algebraica f0(x, y) = 0. Tenemos que V0(x, y) es un inverso de factor integrante del sistema con ε= 0 cuya multiplicidad de anulaci´on en Γ0es 1. Tenemos as´ı acotado el n´umero m´aximo de ciclos l´ımite que pueden bifurcar de Γ0en una perturbaci´on del sistema (7)ε=0 uniparam´etrica, anal´ıtica y con inverso de factor integrante. Como en el ejemplo anterior, la funci´on Vε(x, y) nos permite seguir los ciclos l´ımite del sistema (7) que bifurcan de Γ0. Es f´acil ver que el sistema (7) s´olo posee un ciclo l´ımite que bifurca de Γ0para valores de εnegativos y con |ε|suficientemente peque˜no. De hecho, el resultado de [5] nos permite comprobar que el ciclo l´ımite bifurca de Γ0con ε < 0, decrece al decrecer εrodeando el punto singular foco (2/3,0), hasta que el par´ametro alcanza el valor ε=−4/27, en el que (2/3,0) deviene un punto singular degenerado. Agradecimientos Los tres autores est´an parcialmente financiados por un proyecto del DGICYT con n´umero de refer´encia MTM2005-06098-C02-02. Referencias [1] A.A. Andronov, et al. Theory of bifurcations of dynamic systems on a plane, John Wiley & Sons, New York, 1973. [2] L.A. 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