Generación y trazados de esquemas adimensionales de distribución de edificios en planta

Revista internacional de métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería, Vol. 1,3,3 7-55 (1985) GENERACION Y TRAZADO DE ESQUEMAS ADIMENSIONALES DE DISTREBUCION DE EDIFICIOS EN PLANTA JUAN JOSE SENDRA SALAS Profesor de Técnicas de Acondicionamiento de la E.T.S.A. de Sevilla RESUMEN El presente trabajo pretende ser una contribución al campo de la organización espacial del proyec- to de Arquitectura. Se propone un método de generación de trazados adimensionales, completo y coherente, que utiliza la técnica de representación mediante el grafo dual, y se aplica a un ejemplo concreto. SUMMARY This paper is a contribution to the field of spatial organisation of Architectural projects. A consistent method of generation of nondimensional layouts is presented. The method uses dual grapb technics and it is applied to a particular example. INTRODUCCION La utilización de los ordenadores para transformar radicalmente los modos de proyectar en Arquitectura ha fracasado hasta el momento. Este hecho está en contradicción con las predicciones que muchos teóricos formulaban, hace ya más de una década, sobre lo que supondría para la Arquitectura la adopción de técnicas informáticas. Sin embargo, es obvio que la asunción de estas técnicas por las ciencias físicas y hu'manas ha contribuido a un mayor desarrollo de las mismas. La causa de esta notable diferencia entre Ciencias y. Arquitectura quizás estribe en no haber resuelto esta última una cuestión previa, consistente en aclarar qué operaciones se podrían encomendar a un ordenador y cuáles otras sería imposible o inadecuado hacerlo. Nosotros, aunque escépticos ante una posible automatización global del diseño, aceptamos la posibilidad de que se creen los instrumentos que ayuden a tomar las decisiones que el diseño comporta. En esta línea situamos nuestro trabajo que pretende ser una contribución al campo de la organización espacial del proyecto de Arquitectura. Se centrará 'en la generación automática de esquemas'adimensionales de distribución del espacio en las dos dimensiones de la planta de un edificio a partir de condiciones de diversa índole impuestas por el diseñador. Recibido : Febrero 1985 @ Universitat Polithcnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 38 J. J. SENDRA SALAS GENERACION AUTOMATICA DE TRAZADOS PLANOS ADIMENSIONALES: DESCRIPCION DEL PROBLEMA Trabajos e investigaciones realizados hasta la fecha Esencialmente, existen dos planteamientos para abordar el problema de generación de esquemas adimensionales de distribución de edificios en planta: el primero lo enfoca como un problema de optimización, buscando la mejor distribución de los espacios que .van a componer la planta. El segundo planteamiento lo entiende como un problema combinatorial, generando todas las disposiciones posibles que cumplan unas condiciones determinadas. Dentro del primer grupo podríamos citar entre otros los trabajos de LevinlO, Eastman3 y Shaviv y Gali13. Todos ellos definen la disposición óptima mediante una función+bjetiivo que expresa factores tales como los recorridos que se producen entre dos actividades cualesquiera o la adyacencia entre dos espacios determinados. En el segundo grupo mencionado destacan los trabajos del LUBFS de la Escuela de Arquitectura de Cambridge y de la Escuela de Arquitectura y Planeamiento Urbano de la Universidad de California en los Estados Unidos. El número de soluciones posibles, grande en un problema con un planteamiento combinatorial, se restringe por la introducción de una serie de requisitos que tienen que cumplir cada una de ellas. La mayoría de los trabajos, realizados con uno u otro planteamiento, generan esquemas adimensionales rectangulares, aunque ha habido intentos de superar esta limitación con la introducción de rectángulos ficticios, en los trabajos de Shaviv y Gali13, o con formulaciones teóricas más complejas, como propone ~orf', mediante la utilización de diagramas de bolas. La teoría de grafos ha sido el instrumento matemático en el que se ha basado gran parte de los métodos propuestos. Ya desde los primeros trabajos sobre estas cuestiones, se parte de la idea de que las condiciones de adyacencia de los espacios que se van a ordenar pueden expresarse mediante un grafo, cuyo grafo dual será precisamente un esquema en planta que cumple las condiciones fijadas. Será la técnica de representación mediante el grafo dual. En cuanto a los métodos de resolución del problema de generación, hay una primera clasificación debida a Nugent que distingue entre "técnicas de construcción" y "técnicas de mejora". Usando las primeras se parte de un estado nulo y se obtiene una solución introduciendo razones de conveniencia de localización de los espacios. El empleo de las segundas técnicas citadas obliga a partir de una solución inicial que en sucesivas evaluaciones se optimiza. No obstante, Mitchell12 entiende que son tres los métodos de resolución que se pueden aplicar: "procedimientos de generación y comprobación", "procedimientos cie mejora" y "procedimientos heurísticos". Los dos primeros están en correspondencia con los citados por Nugent. Con los procedimientos heurísticos se trabaja sobre un cierto conocimiento de la estructura del problema. En cada operación de cambio se incorporan nuevos conocimientos que servirán para indicar las nuevas operaciones que hay que realizar. Hipótesis de trabajo y alternativas a dichas investigaciones Nuestra investigación tiene como punto de partida los trabajos de Mitchell12 y, más concretamente, el procedimiento que este autor propone para la generación automática de esquemas adimensionales de distribución de edificios. Dicho procedimiento utiliza la técnica de representación mediante el grafo dual. GENERACION Y TRAZADO DE ESQUEMAS ADIMENSIONALES El enfoque de nuestro procedimiento, no obstante, es bien distinto al de Mitchell. La formulación que este autor propone es de tipo combinatorial: dada una serie de espacios, se van a generar todas las localizaciones posibles de los mismos, siempre que cumplan con los requisitos de adyacencia inicialmente impuestos. La naturaleza de este planteamiento limitará enormemente el número de espacios componentes. Por el contrario, nuestro trabajo pretende llegar a definir las condiciones necesarias para que esa solución sea única; por ello el problema no podrá abordarse desde un planteamiento combinatorial. Para obtener esa solución única necesitamos imponer al problema unas determinadas limitaciones. Si éstas se introducen desde un principio indiscriminadamente no podrá garantizarse una solución posible. Por ello, y para que el proceso de generación no sea cerrado e inflexible, hemos optado por la adición gradual de restricciones, introduciendo en primer lugar aquéllas que son imprescindibles o más importantes, para progresivamente ir añadiendo otras que son deseables para obtener esa solución única buscada. El procedimiento que nosotros ponemos para la generación de esquemas adimensionales, alternativo al de Mithcell, comprende las siguientes etapas: 1. Fijación de condiciones iniciales: definición de las adyacencias y orientaciones de los espacios componentes. Construcción del grafo inicial. 2. Test de conectividad: si el grafo inicial no es conexo se introducen nuevas condiciones de adyacencia para lograr que lo sea. 3. Primer test de planaridad : si el grafo no es planar se sustituyen o eliminan las condiciones .que lo impiden. 4. Test de triconectividad: si el grafo no es triconexo se trazan en el plano sus componentes triconexas y se añaden nuevas relaciones que las enlacen suficientemente. 5. Segundo test de planaridad. 6. Test de rectangularidad. 7. Triangulación del grafo . 8. Transformación de coordenadas de los vértices del grafo como paso previo a la construcción del grafo dual. 9. Construcción del grafo dual: esquema de distribución buscado que cumplirá todas las condiciones impuestas. Este proceso no es lineal, permite un "feed back" si la solución obtenida no es satisfactoria, Se pueden realizar entonces cuantas modificaciones se quiera de los requisitos impuestos, incluso de los iniciales, con tal de no variar sustancialmente la estructura del grafo. Bastaría repetir las etapas 7,8 y 9 para obtener una nueva solución. Podemos realizar una somera exposición que justifique la utilidad de cada una de las etapas propuestas: El grafo, que representa las condiciones iniciales de adyacencia y orientación impuestas a los espacios componentes, ha de ser conexo y planar. La comprobación de estas dos propiedades del grafo garantizarán, en el esquema adimensional a que da lugar, que todos los elementos -locales- formen un único conjunto de espacios interconectados (conectividad) y además se podrá representar en las dos dimensiones de una planta (planaridad). Pero en general, y dependiendo del número y naturaleza de las condiciones impuestas, habrá más de una solución que cumpla todas elias. Para restringir paulatinamente el campo de soluciones hasta lograr un sólo esquema, se necesita imponer nuevas restricciones. El teorema de Whitney nos dice: "Un grafo triconexo tiene una representación única en el plano para cada una de sus caras o regiones': El test de triconectividad será pues la nueva operación que hay que realizar. Se puede haber errado en la introducción de algunas relaciones a lo largo del proceso 40 J. J. SENDRA SALAS y ese error se arrastraría hasta el final si no se efectúa previamente un nuevo test de planaridad. El grafo tiriconexo y planar puede dar lugar a esquemas donde alguno de los espacios componentes o el contorno no pueda ser rectangular. Como perseguimos la consecución de un esquema dimensional con esas características, hemos de someter al gafo al test de rectangularidad. Para que a un grafo le corresponda una solución única ha de ser grafo planar máximo y su representación será una triangulación. A ella le corresponde una disposición arquitectónica fundamental. Triangular un grafo supone introducir nuevos requisitos. Después de una transformación de las coordenadas de los vértices del grafo geométrico, para facilitar la extracción del dual y para que éste se ajuste a las condiciones señaladas sobre la forma de los locales y del contorno, se obtiene una representación en planta que cumple todas las condiciones impuestas. El procedimiento completo queda recogido en un programa en lenguaje FORTRAN IV para un ordenador Hewlett Packard de la serie 1000-M con un sistema operativo RTE-IVB. El programa, operando de forma interactiva, resuelve el trazado de esquemas adimensionales de distribución de edificios en planta. Para ello, permite la realización automática de cada una de las operaciones necesarias para cumplimentar todas las etapas señaladas en dicho procedimiento, y dirige los intercambios de información entre ordenador y usuario, de forma que éste sólo interviene en el proceso cuando aquél se lo requiere. ALGORITMOS PARA LA GENERACION AUTOMATICA DE TRAZADOS PLANOS Y ADIMENSIONALES En al apartado anterior queda someramente descrito el procedimiento a seguir para la generación de trazados, y su subdivisión en distintas etapas. A continuación, vamos a entrar a detallar las operaciones y algoritmos que se desarrollan en cada una de ellas. Fijación de condiciones iniciales Las condiciones iniciales del problema, es decir, el conjunto de espacios o locales que intervienen en el esquema y sus relaciones de adyacencia y orientación, van a constituir un grafo simple (sin bucles ni aristas múltiples): los locales serán sus vértices y las relaciones entre ellos sus aristas. Este grafo abstracto, G,, queda definido mediante la matriz de incidencia, B (bij), cuyas dimensiones son el número de aristas IAl y el de vértices IVI. Sus términos serán: bij = 1 cuando la arista i incide sobre el vértice j, y bij = O en caso contrario. De la matriz de incidencia se obtiene la de adyacencia, A(aij), de dimensión (IVI, NI), cuyos términos son: a9 = 1 cuando los vértices i y j son adyacentes, y aij =O si no son adyacentes. Comprobación de conectividad Con este test garantizamos que el trazado plano a que va a dar lugar el grafo estará formado por un único conjunto de espacios interconectados. El algoritmo elaborado para comprobar si el grafo es conexo se basa en los estudios de Hopcroft y ~arjan~. Se utiliza la técnica "depth first search" para transformar e1 grafo en una "palmera", partiendo de la matriz de incidencia del mismo. Bastará que la palmera incluya a todos los vértices del grafo para declararlo conexo. Figura 1. GENERACION Y TRAZADO DE ESQUEMAS ADIMENSIONALES 4 1 Figura 1 En caso contrario, habrá que relacionar todas las componentes conexas mediante aristas hasta lograr una sóla. Con esta intervención, el prafo de partida G1, es ahora un grafo conexo Gp . En esta etapa se puede producir, pues, una primera4ición de nuevos requisitos. Cualquier adición o alteración de las condiciones lleva aparejada modificaciones en las matrices de adyacencia y de incidencia del grafo. Hay que hacer notar que el número de vértices permanece en todo momento inalterable, pudiendo aumentar, sin embargo, el número de aristas del grafo. Primera comprobación de planaridad El grafo ha de ser planar para que el futuro esquema en planta pueda ser representado en el plano. La comprobación de planaridad se realiza mediante algoritmos desarrollados a partir de los trabajos de Hopcroft y ~arjan~, que son una versión de un método originalmente propuesto por Auslander y Parter y formulado posteriormente por Goldstein, El procedimiento completo que se propone para comprobar la planaridad del grafo comprende las siguientes operaciones: - Aplicación de la fórmula de Euler. - Descomposición del grafo en sus componentes biconexas. - Comprobación de la planaridad de cada una de las componentes biconexas. Euler estableció que para que un grafo sea planar es condición necesaria que se cumpla la siguiente expresión (para IV I 2 3) : IA l = 3 IV 1-6 ; test muy sencillo y cómodo de realizar. Al no ser la condición suficiente, hemos de realizar otra operación distinta. Bergel establece en un teorema que "un grafo es planar si y sólo si sus componentes biconexas son planares". Así pues, la comprobación de la planaridad de un grafo conexo, queda reducida a la verificación de esta propiedad para cada una de las componentes biconexas. Las componentes biconexas se identifican con comodidad en la palmera obtenida del grafo conexo Gp. LOS vértices de separación de componentes serán comunes a dos subpalmeras no unidas entre sí por ramas. Figura 2. 42 J. J. SENDRA SALAS Figura 2 Antes de aplicar el procedimiento general para comprobar la planaridad de cada una de las componentes biconexas, podemos aplicarles un control, rápido y cómodo, que posibilita el teorema de Kuratowski9 : "Un grafo es planar si no contiene subgrafos isomorfos a Ka3 y K5 ". Figura 3. Figura 3 Cualquier componente biconexa que tenga menor número de vértices o aristas que estos dos subgrafos será, por consiguiente, planar y no hará falta aplicarle el método general. Este podemos describirlo mediante las siguientes operaciones -Figura 4-: 1. Aplicación de una "depth first search" sobre la componente biconexa que se analiza transformándola en una palmera. Figura 4.a. 2. Utilización de esta misma técnica para obtener todos los caminos disjuntos sobre esta palmera. Identificación del primer circuito generado: un circuito que empieza y termina en el vértice inicial; lo llamaremos circuito original. Figura 4.b. GENER ACION Y TRAZADO DE ESQUEMAS ADIMENSIONALES 43 Fig. 4a. 1 I-r :1 Figura 4 Fig. 4.b. Fig. 4.c. Fig. 4.d. Después de esta etapa el grafo G3, será conexo y planar. 44 J. J. SENDRA SALAS 3. Supresión del circuito original e identificación de los segmentos resultantes sobre la palmera. Figura 4.c. 4. Análisis de cada uno de los segmentos en el orden inverso a como se han obtenido. Por el teorema de la curva de Jordan un segmento puede ser representado en el plano bien por el exterior o por el interior del circuito original, sin que se produzca cruce de sus aristas. Figura 4.d. Si se han podido ubicar todos y cada uno de los segmentos la componente biconexa es planar; En caso contrario, será "no planar" y tendremos que sustituir una arista del segmento que no se puede "empotrar" por otra que permita esta operación. Análisis de la triconectividad El teorema de Whitney, que ya hemos enunciado, nos dice que un grafo triconexo tiene una única representación en el plano del conjunto de sus caras o regiones. Esta propiedad, pues, es importante que se cumpla para poder efectuar una adecuada introducción de nuevos requisitos. Así pues, si el grafo no es triconexo, le añadiremos una serie de aristas para que tenga esta propiedad. El análisis de la triconectividad se realiza distinguiendo las componentes triconexas de cada una de las componentes biconexas que se han obtenido en la etapa anterior, previo al estudio de la planaridad. El procedimiento que se ha seguido se basa, igualmente, en las investigaciones de Hopcroft y ~arjan~. Comprendería las siguientes operaciones --Figura 5 -: 1. Aplicación de una "depth first search" sobre la componente biconexa analizada para transformarla en una palmera. 2. Utilización de esta misma técnica para obtener todos los caminos disjuntos sobre esta palmera. 3. Determinación del circuito original y de cada uno de los segmentos. 4. Obtención de los pares de separación, explorando los segmentos en el orden inverso a como han sido generados. 5. Elaboración de las componentes escindidas. 6. Determinación de las componentes triconexas a partir de las escindidas. Una vez obtenidas las componentes triconexas de cada componente biconexa podemos fijar un método de adición progresiva de restricciones para lograr que el grafo sea triconexo, impuestas en dos estadios sucesivos: l. Adición de las aristas necesarias para convertir cada componente biconexa en un subgrafo triconexo. 2. Inclusión de aristas para pasar de varios subgrafos triconexos articulados a un sólo grafo triconexo. La agregación de aristas, en uno y otro estadio, se hará conforme a las posibilidades que ofrece la aplicación del teorema de la curva de Jordan. Para que el método resulte eficaz, dicha agregación ha de hacerse sobre trazados planos de las distintas componentes o subgrafos que sean de fácil lectura e interpretación. Formulamos, para elio, un algoritmo basado en otro que propone Tutte14 para la representación de grafos planos triconexos. Se basa en los teoremas de Whitney, ya enunciado anteriormente, y de Fary : "Un grafo planar puede ser trazado en el plano de forma que sus aristas sean segmentos de línea recta y no se crucen". El algoritmo realiza las siguientes operaciones sobre una componente (grafo o subgrafo) triconexa -Figura 6 - : GENERACION Y TRAZADO DE ESQUEMAS ADIMENSIONALES 45 (1,18) ; (11,14) ; (12,14) ; (9,141 ; (1,ll) ; (3,ll) Figura 5 1. Generación de un circuito de forma que dos vértices del mismo, no contiguos, no estén enlazados por ninguna arista. 2. Disposición de los vértices de dicho circuito según los vértices de un polígono regular, con el mismo número de lados que aristas tiene el circuito, 3. Elaboración de las ecuaciones lineales que permiten obtener las coordenadas de los demás vértices. Para ello, se impone que cada vértice ha de localizarse en el centroide de sus vértices adyacentes. Para un vértice Vi: IvI piXi = .Z aijXj 1=1 Ivl piYi = .Z aijYj 1=1 alatenc16. rlrculto e•t•riarl ISubrut Ina ( t MOO AP AL rld CCM, olitCONA n A 7 leubautle• 0PC/ (1 13 Obtdneldn circuits; .• •r ler IsserstIn• CIA) TMAI.ACO  •l. .lithe EPA10 WOCCIA1010 ( " 1:;: • tIn•"1.171) Arleta. ntelltuldoe) .-0./CRAVO T•TIMMLIWO/ TX TrIA:1/1.70:0/ IIAMPORPACIOP conarsoussx elm t 'MUM nrc CRAM CaloteGtron ISubrutin:Le ":1"1 M y , n! do yirticee. •th ii l secri. de Ideld•ncle. Rat n • di arletn. af•„).•e. Mewl e • de =spod•.. dseindlles. • s '  *I.s.ssntss MM. 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SENDRA SALAS mE#Sa,E s%SI82 SI SE DESEO SE *DEBE VUS7lIUln Q#ISl@S LOS OllOs 11 0a11W E1 EL SICUlEMTE DmDEIi - YUlEIO 9li La OIlflQ - YElrlCE VRlMlllYD - YEPTICT *Rl"lIlVO - VERIICE ACIYOL - ?ERtlCl IClUPL $L FllPL JE Le Ll'SlD IM110DUCEt O 0 ,, VI VP v. . . - . . - . . . 1 2 3 lrMI@1í ::Sl:: II lllFD IS IILDHEXI IThSO1E ::$O:: EL EIIíO EU PL18hl "EYSillE isssi: EL CRPFO E1 111COUEX1 11M1111 ::Se': SE DISUJl IY CL 'LOlIil I-;NIU)S ::is:: <1 LI IIYI* UÍL EllFO TllrOXEllO IIIU1<1DO. IMTYOOOCE LlPS IiUIllliS "ECíS,Pl*S aoaa IPII*L"L:P E: ;leía 11NSB11 ::FP:: 'L YUIElD IL 8Ql>l@i QC11DLES ES: 12 #?HSQdE ::ED:' <4;EODUCE .4S :4UEVQS 9elS7>9 .L rlul~ YE L(I ilsI)i IXIPODUCE( 0 "VV . - - 11 1 Y 14 6 10 11 b 11 lbr7 1 17 7 11 11 10 31 19 10 16 .a ,a 1 .I 14 1 4 3 IE1111E ::>Ili CIlFO IIIIYSULIDO #EMSa>E 88S*%c SE OIIUJ* E1 EL *LOllE# IEUSI1E ::$ti: +OX EL 011CEW DE LI *LYIO 3ONUE QElIEl LI DlIE111DW Del COMllRYO El 14 00 X IO.Oe . IEISP>E iistii SI Btrm rrnnr~m~ IITRDDUCE~ O E* ClSO C0*Ill1IO I"1ROOUCEi 1 CONCLUSIONES La posibilidad teórica de generar esquemas de distribución de espacios ha sido el punto de partida de nuestro estudio, posibilidad formulada con anterioridad por iliversos autores. Tras el análisis riguroso de los procesos sugeridos por las investigaciones sobre el tema y su crítica en función de los objetivos, el trabajo que presentamos consiste, c:sencialmente, en la propuesta de un nuevo procedimiento de generación de trazados adimensionales, completo y coherente. El método que proponemos utiliza la técnica clásica de representación mediante el grafo dual. La elaboración de este método lleva consigo el desarrollo de algunos algoritmos completamente originales, así como la adaptación de otros tradicionalmente aplicados. El conjunto de todos ellos ofrece una serie de ventajas: no limita el número de espacios componentes; es un proceso dinámico en el que las condiciones pueden introducirse (le modo progresivo; es, además un método flexible que permite en todo momento la revisión de las condiciones impuestas; y por último, es aplicable de un modo general --cualquiera que sea la estructura del grafo de partida-. La comprobación de la planaridad y K-conectividad del grafo se basa en los estudios de Hopcroft y Tarjan. Los algoritmos mencionados permiten analizar de modo progre- . GENERACION Y TRAZADO DE ESQUEMAS ADIMENSIONALES 55 sivo cada una de estas propiedades. Se ha utilizado el algoritmo que desarrolla Tutte paia el trazado de grafos triconexos, con las adaptaciones pertinentes para una adecuada acción integrada usuario-ordenador. El trabajo desarrollado pretende, en suma, servir de aportación a las formulaciones teóricas necesarias para la revisión de la utilidad del ordenador en el diseno arquitectónico. Con ello, contribuimos, tal vez, a la incorporación de este poderoso instrumento a una disciplina que hasta ahora se ha mantenido apartada de su inexorable influencia. BIBLIOGRAFIA 1. C. Berge. Graphes, Bordas (1983) (3B ed.), 1 ed.Dunod (1970). 2. C. F. Earl y L. J. March. "Architectural applications of graph theory". En Applications ofgraph theoty, (R. J. Wilson y L. W. Beineke ed.), Academic Press, Londres, pp. 327-355 (1979). 3. C. M. Eastman. "Representations for space planning". En Communications of the ACM, Vol. 13, n? 4,pp. 242-250, Abril (1970). 4. J. Hopcroft y R. Tajan. "Efficient algonthms for graph manipulation': En Communications of the ACIM, Vol. 16,nP 6,pp.372-378,Junio (1973). 5. J. Hopcroft y R. Tajan. "Dividing a graph into triconnected components". En Siam J. 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Para lograr estos objetivos, la Asociación realizará las siguientes actividades: e Coordinación de reuniones y encuentros científicos. * Intercambio de información y de trabajos científicos y tecnológicos entre sus socios. e Organización de un Congreso auspiciado por la Asociación a intervalos regulares de tiempo. * Edición de un boletín informativo sobre las actividades generales de la AMCA. La Asociación será provisoriamente conducida por un Comité Organizador constituido por: F. BASOMBRiO (CNEA, CONICET) A. FERRANTE (ISC) J. C. FERRERI (CNEA, CONICET) S. IDELSOHN (INTEC, CONICET, UNL) G. MARSHALL (CNEA, CONICET) C. PRATO (UNC) G. SANCHEZ SARMIENTO (ENACE) Para información diri@rse a: ASOCIACION ARGENTINA DE MECANICA COMPUTACIONAL (AMCA) Guemes 34-50 - 3000 Santa Fe - ARGENTINA Tel.: (042) 20023124 - 31602 - 36379 -Telex: 48186 INTEC AR