El juego que llaman azar del libro de los dados de Alfonso X el Sabio

1 CAPÍTULO 1 El juego que llaman azar del libro de los dados de Alfonso X el Sabio JESÚS BASULTO SANTOS JOSÉ ANTONIO CAMÚÑEZ RUIZ FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Universidad de Sevilla Introducción Alfonso X el Sabio nació en Toledo, el 23 de noviembre de 1221. Fue rey de Castilla, de León y “del Andalucía”, como él mismo gustaba de llamarse en ocasiones especialmente solemnes (González, 2004). El cuatro de abril de 1284, en el Alcázar de Sevilla, donde treinta y dos años antes falleciera su padre Fernando III, moría Alfonso X el Sabio (González, 2004). Alfonso X aprovechó la tradición centenaria de la prestigiosa “Escuela de Traductores de Toledo”, ahora bien, las traducciones realizadas por el rey Sabio fueron, sobre todo, al romance. En Sevilla creó en 1254 unos Estudios e Escuelas Generales de latín e de arábigo. La última de las grandes traducciones ordenadas por Alfonso X fue El libro del acedrex, dados e tablas, cuya lectura y práctica debieron contribuir a aliviar la melancolía de los últimos meses de su reinado. Este libro fue completado en 1283, en Sevilla. El libro consta de tres partes, la primera que abarca desde el folio 1 al 64 contiene la introducción y el Libro del Ajedrez. La elección de 64 folios está relacionada con las 64 casillas de una tabla de ajedrez. La segunda parte, que abarca del folio 65 al 71, 2 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) contiene el Libro de los Dados y, por último, se recoge el Libro de las Tablas entre los folios 72 a 80. El libro de los Dados recoge los siguientes 11 juegos de dados: Tanto en uno como en dos; Triga; Otra manera de Triga; el Juego de Azar; el Juego de Marlota; el de Riffa; el juego de Par con As; el Juego de Panquist; el de Medio Azar; el Azar Pujado y el Juego de Guirguiesca. Todos estos juegos son acompañados por miniaturas, donde se muestran distintos personajes en situaciones muy variadas. La importancia de los libros de juegos en el desarrollo del Cálculo de Probabilidades está siendo investigada especialmente por Bellhouse (1993, 2004). En la presente comunicación nos hemos centrado en el Juego denominado Juego de Azar, que comienza en el folio 67r. A partir de aquí el trabajo proporciona una interpretación del Juego de Azar en la sección 2; en la sección 3 relacionamos este juego con el juego denominado Hazard, que encontramos en las obras de Montmor (1723), De Moivre (1718), y otros, Hald (1990). En la sección 4 relacionamos el Juego de Azar con el Juego de Craps, que es muy jugado actualmente. Concluimos el trabajo en la sección 5. Recogemos en el apéndice I el Juego de Azar. En el apéndice II recogemos la miniatura que acompaña al juego y, por último, en el apéndice III aportamos una solución del Juego de Azar. El Juego que llaman Azar En este juego, llamado Azar (al zahr, en árabe; hasard, en francés; azzardo, en italiano y hazard, en inglés), intervienen dos jugadores y tres dados. Como ayuda a la exposición, vamos a denominar a los jugadores por G1 y G2. Antes de comenzar el juego, se ha de decidir quién es el jugador que lanza, en primer lugar, los tres dados. En otros juegos que recoge el Libro de los Dados, por ejemplo, en el Juego de Media Azar, se dice que: “Los que quisieren iogar an de lançar primeramientre batalla”; es decir se trataría de lanzar un dado, por cada uno de los jugadores, y el que sacase la puntuación más alta sería el que entonces lanzase los tres dados. Otras veces la “batalla” sería ganada por el jugador que sacase la mínima puntuación. En este juego de azar no se dice nada de quién debe lanzar los dados. Si ahora suponemos que es el jugador G1 el que primero lanza los tres dados, el juego de Azar considera dos tipos de eventos: 1. Los eventos tales que la suma de las puntuaciones de los tres dados pertenecen al conjunto { } 15,16,17,18 ,=A es decir, si al lanzar los tres dados sale el evento {4,6,5}, entonces diremos que ha ocurrido el evento A. Igualmente se consideran los eventos tales que la suma de las puntuaciones de los tres dados pertenecen al conjunto { } 6,5,4,3 .=B Las puntuaciones recogidas por el conjunto B son las “soçobra” de las puntuaciones del conjunto A. La palabra soçobra significa, por ejemplo, que la puntuación 15 del conjunto A tiene como soçobra la EL JUEGO QUE LLAMAN AZAR DEL LIBRO DE LOS DADOS DE ALFONSO X EL SABIO 3 puntuación 6 porque ambas puntuaciones suman los 21, que son los puntos que corresponden a la suma de las seis caras del dado. Ahora, cuando ocurre el evento ∪AB se dice que ha ocurrido Azar. 2. El conjunto complementario de ∪AB contiene los eventos que al sumar los puntos de los tres dados, dicha suma pertenece al conjunto { } 7,8,9,10,11,12,13,14 .C= A un elemento del conjunto A se le llama Reazar. Recordemos que, suponiendo que los dados son simétricos, las puntuaciones del conjunto ∪AB tienen menores probabilidades que las puntuaciones del conjunto C y, también, que el conjunto A es simétrico con respecto del conjunto B, en el sentido, por ejemplo, que la puntuación 3 tiene igual probabilidad que la puntuación 18. En resumen: sacar un Azar es un evento con menor probabilidad que sacar un Reazar. Veamos ahora las reglas de este juego de Azar. En el primer lanzamiento del jugador G1, éste puede sacar un evento Azar o un evento Reazar. Si saca un evento Azar gana el juego. Pero si saca un evento Reazar, por ejemplo, saca 9 puntos, entonces este evento, “Reazar”, será la suerte (la chance) que puede hacer ganar el juego al jugador G2, en condiciones que veremos a continuación. Si el primer jugador ha sacado un evento Reazar en el primer lanzamiento, debe entonces lanzar de nuevo los tres dados, es decir, hacer un segundo lanzamiento. En este segundo lanzamiento del jugador G1, éste puede sacar un evento Azar, lo que le hará perder el juego. Pero si saca un evento Reazar, por ejemplo, saca 11 puntos, entonces este evento, “Reazar”, será la suerte que puede hacer ganar el juego al jugador G1, en condiciones que veremos a continuación. Si el jugador G1 ha sacado en el segundo lanzamiento un evento de tipo Reazar, la regla del juego afirma que el jugador G1 debe lanzar sucesivamente los tres dados hasta que saque su suerte, por ejemplo el evento 11, que hace ganar el juego al jugador G1, o la suerte del jugador G2, por ejemplo el evento 9, que hace ganar el juego al jugador G2. Si en los sucesivos lanzamientos que hace el jugador G1 salen eventos distintos de las suertes, por ejemplo {9,11}, entonces los jugadores no ganan ni pierden. En el caso de que las suertes, los eventos denominados “Reazar”, de cada uno de los jugadores coincidieran, es decir, que ocurra “encuentro”; la regla del juego nos dice que “E conuerna que tornassen a alançar como de cabo”, es decir, comenzar de nuevo el juego. En el Apéndice III, hemos calculado la probabilidad de que gane el juego el primer jugador, es decir, G1, suponiendo que comienza dicho jugador, resultando un valor de 0,5187.Vemos que el jugador que lanza los dados tiene un ventaja de 0,0187 (1,87%) sobre el otro jugador. Si ambos jugadores tienen la misma probabilidad de lanzar los 4 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) dados, es entonces claro que el juego de azar sería justo, es decir, ambos jugadores tendrían la misma esperanza sobre el total apostado por los dos jugadores. En la edad media se jugaba en Italia un juego de tres dados, denominado Zara (gioco d’azardo, azzardum,zardum, zarrum, zara). Este nombre de Zara es citado en el primer verso del canto VI, del cántico II, Purgatorio, de La Divina Comedia de Dante Alighieri. También este juego de Zara es citado al final del escrito “Sopra le scorpete dei dadi” de Galileo. El juego de Zara consistía en que el jugador de turno, elegía una puntuación del conjunto {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}, y si al lanzar los tres dados salía la puntuación anunciada por dicho jugador, entonces éste ganaba el juego. Se eliminaban las puntuaciones {3, 4, 17, 18}, que se denominaban “azari”, por ser “muy poco probables”, en nuestro lenguaje actual. Relación con el Juego Hazard Un juego que hemos encontrado próximo al juego de Azar es el llamado juego de Hazard. El juego de Harzard es recogido en la segunda parte del libro de Montmort (1713), como “Problême sur le Jeu du Hazard” (página 177). En este juego se lanzan dos dados y, para simplificar, se consideran dos jugadores, que Montmort llama Pierre y Paul. En este juego, suponiendo que lo comienza Pierre, éste lanza los dos dados hasta que saque puntos del conjunto {5, 6, 7, 8, 9}, por ejemplo, 6 puntos. Entonces el evento 6 será la chance del jugador Paul. A continuación Pierre lanza de nuevo los dos dados. Si Pierre en este segundo lanzamiento saca una puntuación del conjunto {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, por ejemplo, 5, entonces esta puntuación es la chance para Pierre. A continuación Montmort nos describe las reglas de este juego: 1. Si la chance (suerte) que Pierre da a Paul es {6, 8}, y si en la partida que busca sacar su chance saca {6, 8, 12}, entonces gana; pero si saca {2, 3, 11}, entonces pierde. 2. Si la chance que Pierre da a Paul es {5, 9}, y si en la partida que busca su chance saca {5, 9}, entonces gana; pero si saca {2, 3, 11, 12}, entonces pierde. 3. Si la chance que Pierre da a Paul es {7}, y si en la partida que busca sacar su chance saca {7, 11}, entonces gana; pero si saca {2, 3, 12}, entonces pierde. 4. Si la chance que Pierre se da es diferente que la que dio a Paul, entonces ganará si al lanzar sucesivamente los dos dados ocurre antes su chance que la de Paul, y perderá si ocurre antes la chance de Paul que la de Pierre. 5. En todos los demás eventos, donde no se gana ni se pierde, se comenzará de nuevo el juego. 6. Si frente a Pierre hay varios jugadores, estos tendrán la misma chance. EL JUEGO QUE LLAMAN AZAR DEL LIBRO DE LOS DADOS DE ALFONSO X EL SABIO 5 Comparando este juego de Hazard con el juego de Azar, vemos que el de dos dados ha complicado el juego, al considerar más eventos que hacen terminarlo. Los eventos “chances” son los eventos”Reazar”, viendo que en el juego de Hazard el evento chance de Pierre se puede obtener de un conjunto más amplio que el correspondiente evento de Paul, lo que ayuda a sacar chances distintas. Vemos que en el juego de Hazard, el jugador que busca dar al otro su chance (suerte en el juego de Azar), no gana, como ocurre en el juego de Azar. También, vemos que el jugador que lanza los dados puede ganar o perder en el lanzamiento “segundo”, es decir, una vez ha dado al otro jugador su chance que, como sabemos, para el juego de Azar, el jugador que hemos llamado G1 puede perder o seguir lanzando. Una vez ambos jugadores tienen sus chances (sus suertes en el juego de Azar), ambos juegos siguen reglas semejantes. Vemos igualmente que en los casos de empate se debe comenzar de nuevo o, en el juego de Hazard, en los casos donde nadie gana ni pierde se debe empezar de nuevo el juego. En la página 167, Montmort resuelve el juego de Hazard, dando como probabilidad de que gane el jugador Pierre igual a 0,4908, y la de Paul, 0,5091. La desventaja de Pierre es de 0,0091, que es de 0,91%. Las reglas de este juego de Hazard pueden verse en la Enciclopedia Británica (2003). Vemos que el juego de Hazard favorece al jugador Paul, mientras que el juego de Azar favorece al jugador que lanza los tres dados. De Moivre (1756) recoge en su obra, como problema 46 un juego de Hazard para dos jugadores. De Moivre no aporta las reglas del juego. De la solución que De Moivre da al juego, proponemos un juego de hazard que tiene la misma solución que la calculada por De Moivre. Uno de los jugadores, que llamaremos Setter, tiene como suerte la puntuación 7. El otro jugador, que llamaremos Caster, tiene como suertes las puntuaciones del conjunto {4, 5, 6, 8, 9, 10}. El setter sería la banca y el caster el jugador. El juego comienza lanzando los dos dados, y las reglas son: (a) Si en este lanzamiento sale el evento {6, 8}, entonces diremos que ha salido la suerte {6, 8} del jugador Caster; a continuación se lanzarán repetidamente los dos dados hasta que salga la puntuación 7, que hace ganar el juego al jugador Setter, o la puntuación del conjunto {6, 8}, que hace perder al jugador Setter. (b) Si en este lanzamiento sale el evento {5, 9}, entonces diremos que ha salido la suerte {5,9} del jugador Caster; a continuación se lanzarán repetidamente los dos dados hasta que salga la puntuación 7, que hace ganar el juego al jugador Setter, o la puntuación del conjunto {5,9}, que le hace perder. (c) Si en este lanzamiento sale el evento {4, 10}, entonces diremos que ha salido la suerte {4,10} del jugador Caster; a continuación se lanzará repetidamente los dos dados hasta que salga la puntuación 7, que hace ganar el juego al jugador Setter, o la puntuación del conjunto {4, 10}, que le hace perder. 6 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) (d) Si en este lanzamiento sale el evento {2, 3, 12}, entonces gana el juego Setter. (e) Si en este lanzamiento sale el evento {7, 11}, entonces pierde el juego Setter. Con estas reglas del juego, la probabilidad de que el jugador Setter gane este juego es igual a 0,5071. La solución De Moivre puede verse en las páginas 160-161 de la edición de 2000. Comparando este juego con el juego de Azar, vemos que la suerte del jugador Setter es la puntuación 7, que no depende de lanzar los dados, frente a la suerte del jugador G1, del juego de Azar, que se determina al lanzar los dados de entre el conjunto llamado Reazar. Las suertes del Caster son {4, 5, 6, 8, 9, 10}. En el juego de Azar, la suerte del jugador G2 son {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. También hemos visto que el jugador Setter puede ganar el juego cuando sale la puntuación {2, 3, 12}, que son las puntuaciones con mayor riesgo, suertes de azar, mientras que en el caso del juego de Azar, el jugador G1 gana el juego si en el primer lanzamiento saca un evento azar. Recordemos que las puntuaciones extremas son menos probables que las situadas en el centro. Así, en ambos juegos, los jugadores, G1 o Setter, pueden ganar el juego con puntuaciones poco probables. Relación con el Juego de Craps Un juego muy popular es el denominado juego de Craps. Holy, que revolucionó la literatura sobre los Libros de los Juegos, como nos dice Bellhouse (1993), afirma que el juego de Harzard es una variante del juego del Craps. Ahora bien, la situación es la contraria, ya que el juego de Craps es una simplificación del juego de Harzard. La descripción de las reglas de un tipo de juego de Craps, con dos dados, puede verse en el libro de R. Isaac (1995). Siguiendo a Isaac, vamos a dar un resumen de las reglas de este tipo de Craps. Comienza el jugador G1. Si en la primera partida saca los puntos {7, 11}, gana el juego, mientras si saca los puntos {2, 3, 12}, entonces pierde. Si G1 saca otro tipo de puntos, por ejemplo, 9, entonces lo toma como su “suerte”. Si el jugador ha sacado su “suerte”, entonces debe lanzar los dos dados hasta que ocurra los eventos siguientes: (1) si sale antes 7 puntos que su suerte, entonces G1 pierde; (2) si sale antes su “suerte”, entonces G1 gana. Cualquier otro tipo de evento no hace ganar ni perder al jugador G1. Isaac (1995), prueba que la probabilidad de ganar, el jugador G1, en este tipo de juego de Craps es igual a 244/495 = 0,492929…, que está muy próximo a un juego justo. Observando las reglas de este juego de Craps, vemos que al compararlo con el juego de hazard analizado por De Moivre, si al jugador G1 le llamamos Caster y al G2 Setter, ambos juegos son idénticos. En conclusión, De Moivre ha resuelto un caso particular de juego de Hazard denominado Craps. EL JUEGO QUE LLAMAN AZAR DEL LIBRO DE LOS DADOS DE ALFONSO X EL SABIO 7 Bellhouse (1993), cita en su artículo un libro, de un autor anónimo de 1726, donde, a partir de aplicar el cálculo de probabilidades, el autor calcula el valor esperado para un juego de tipo Harzard, cuando las apuestas son de 100 libras, concluyendo que el segundo jugador, que llama Setter, es favorecido en este juego frente al otro jugador, que llama Caster. De esta cita que recoge Bellhouse nos inclinamos a pensar que el autor anónimo resolvió probablemente el juego de craps de De Moivre. Todhunter (1865), compara el juego de Hazard de Montmort con el juego de De Moivre, concluyendo que “los resultados son iguales”. A la vista de nuestros resultados, sabemos que (a) los resultados son distintos y (b) se trata de juegos distintos. Conclusiones En este trabajo aportamos una interpretación del juego denominado Azar, que viene recogido en el Libro de los Dados, dentro de la obra de El Libro de Ajedrez, Dados y Tablas del Alfonso X el Sabio. El contenido de los juegos que recoge el Libro de los Dados presenta la dificultad de tener que conjeturar las reglas de los juegos. Este hecho podría explicarse a partir de que el mismo Alfonso X el Sabio contribuyó con su obra sobre “Las Tafurerías” y sus Leyes a regular y prohibir los juegos. Un ejemplo es afirmar, en sus leyes, que los prelados “no deben jugar a los dados”, y en una de las miniaturas del Libro de Ajedrez, se ve a una novicia que recibe de una monja profesa la enseñanza del más noble de los juegos, durante el asueto de su recoleto convento. También, hemos relacionado el juego de Azar con otros juegos, como el de Hazard (que se juega con dos dados), el Craps, una versión del Hazard, y un juego medieval italiano llamado Zara. Este trabajo ha pretendido indagar en una dirección que ha abierto Bellhouse (1993), su primera ruta, acerca de buscar en los juegos y los jugadores, que siempre han existido, relaciones con el cálculo de probabilidades, anterior a la obra de Pacal y Fermat. Recordemos aquí, que el Problema de los Puntos, clave en el trabajo de Pascal y Fermat, no respondía a un juego “real”, ya que todos los juegos deben concluir con lo apostado para el ganador. APÉNDICE I Este texto está tomado inicialmente del libro de Vicent García (1987) y de un manuscrito del Libro de Ajedrez, dados y tablas, que se conserva en la Biblioteca General de la Universidad de Sevilla. Nos hemos ayudado del Diccionario de la Prosa Castellana del Rey Alfonso X, tres tomos, donde hemos encontrado, como ilustración, frases enteras de esta obra. 8 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) [fol. 67r]. El iuego que llaman azar Otra manera ay de iuego de dados que llaman azar que se iuega en esta guisa. El qui primero ouiere de lançar los dados. si lançare XV. puntos o dizeseys. o dizesiete, o dizeocho. o las soçobras destas suertes. que son seys o cinco o quatro o tres; ganan. E qual quiere destas suertes en qual quier manera que uenga segundo los otros juegos que desuso dixiemos es llamado azar. E si por auentura no lança ninguno destos azares primeramientre. & da all otro por suerte una daquellas que son de seys puntos a arriba o de quinze ayuso; en qual quiere manera que pueda uenir. segundo en los otros iuegos dixiemos que uinien. E despues destas lançare alguna de las suertes que aqui dixiemos que son azar; esta suerte sera llamada; reazar. & perdera aquel que primero lançare. E otrossi si por auentura no lançare esta suerte. que se torna en reazar. & tomare pora sí una delas otras suertes que son de seys puntos a arriba o de quinze ayuso en qual quiere manera que uenga. Conuerna que lance tantas uegadas fasta que uenga una destas suertes o la suya por que gana. o la dell otro por que pierde. saluo ende si tomare aquella misma suerte que dio all otro; que serie llamada encuentro. E conuernie que tornassen a alançar como de cabo. E como quier que uiniesse alguna delas suertes que son llamadas azar o reazar, & entre tanto que uinie una daquellas que amos auian tomado pora ssi; non ganarie ninguno dellos por ella nin perderie fasta que se partiesse por las suertes; assí como desuso; dize. Diccionario de la Prosa Castellana del rey Alfonso X Soçobra. Se trata, por ejemplo, de que la puntuación 15 y la 6 suman 21, que es el total de las puntuaciones de las seis caras del dado. Segundo. Conforme. [las formas encontradas son: segond, segont, según, segund, segunde, segundo, segunt] Ayuso. abajo Otrossi. también. Ende. De ello. Encuentro. En el juego de dados y algunos de naipes, concurrencia de dos cartas o puntos iguales. De cabo. Nuevamente. Amos. ambos Partiesse. definición indeterminada. Aquí se refiere a que se debe desempatar. Desuso. Antes EL JUEGO QUE LLAMAN AZAR DEL LIBRO DE LOS DADOS DE ALFONSO X EL SABIO 9 APÉNDICE II APÉNDICE III El árbol de decisión de los dos primeros lanzamientos es el que recogemos a continuación: