Posibilidades de operación óptima de la red de baja tensión mediante el uso de transformadores con cambiador de toma automático bajo carga

Escuela Superior de Ingeniería Departamento de Ingeniería Eléctrica Álvaro Rodríguez del Nozal Posibilidades de operación óptima de la red de baja tensión mediante el uso de transformadores con cambiador de toma automático bajo carga Tutor: Esther Romero Ramos Índice Índice 1. Objeto del proyecto 4 2. Introducción 4 3. Notación y preliminares 6 4. Modelado del problema 9 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3. Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3.1. Software utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3.2. Recogida de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3.3. Ecuaciones del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.4. Dinámica de ejecución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5. Validación del modelo 22 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2. Descripción del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.3. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.4. Pruebas de validación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.4.1. Ensayo en vacío del transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.4.2. Sistema equilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.4.3. Red desequilibrada con cargas equilibradas . . . . . . . . . . . . . . 27 5.4.4. Red y cargas desequilibradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.4.5. Red desequilibrada con generación distribuida . . . . . . . . . . . . . 42 5.4.6. Red y cargas desequilibradas con toma libre . . . . . . . . . . . . . . 48 5.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6. Análisis de una red real 53 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2.1. Descripción del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2.2. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.3. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3.1. Descripción del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3.2. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Álvaro Rodríguez del Nozal 1 Índice de figuras Índice de figuras 1. Esquemático de la notación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Definición de la topología de la red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Definición de las matrices de impedancia de linea a considerar. . . . . . . . 12 4. Definición de las cargas de la red y el reparto de éstas. . . . . . . . . . . . . 12 5. Red diseñada para la validación del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6. Tensiones y corrientes para el sistema equilibrado. . . . . . . . . . . . . . . 28 7. Tensiones y corrientes para red desequilibrada . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8. Tensiones y corrientes para red y cargas desequilibradas . . . . . . . . . . . 43 9. Tensiones y corrientes para red desequilibrada . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 10. Tensiones y corrientes con generación distribuida . . . . . . . . . . . . . . . 49 11. Red a considerar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 12. Comparativa para el Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 13. Comparativa para el Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 14. Tensiones y corrientes para el Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 15. Definición de la topología de la red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 16. Definición de los tipo de línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 17. Definición de los tipo de línea, límites de tensión, cargas y puestas a tierra. 64 Álvaro Rodríguez del Nozal 2 Objeto del proyecto e Introducción 1. Objeto del proyecto En este proyecto se plantea el problema de flujo de potencia óptimo para una red de distribución de baja tensión en la que existen varios nodos de generación y consumo. La finalidad, es obtener un modelo capaz de analizar cualquier tipo de red radial de distribución en baja tensión con una interfaz amigable que permita un rápido análisis de los resultados. Para optimizar el flujo de potencia en la red, plantearemos un problema de optimización en el cual se fijará una función objetivo a minimizar que serán las pérdidas del sistema. Este problema, estará sujeto a varias restricciones que vendrán dadas por el modelo de la red de distribución en baja tensión. Como se verá más adelante contaremos con varios modelos de lineas según el tipo a considerar. Por último, contaremos también con una variable de control que será la toma del transformador de media a baja tensión. El principal objetivo es generar un modelo capaz de adaptarse a cualquier cambio en la formulación del problema como puedan ser nuevas variables de control como por ejemplo la activación de baterías de condensadores para el control de tensiones. 2. Introducción Hoy en día, el uso de energías renovables en nuestro planeta ha experimentado un gran crecimiento. Poco a poco, estas tecnologías han sido instaladas creando nuevas centrales de generación cuyo tamaño va desde plantas industriales de varios MW de potencia hasta pequeños núcleos de generación domésticos para abastecer a comunidades o incluso casas independientes. Quizás la tecnología más implantada en éstos núcleos de generación es la energía fotovoltaica. El abaratamiento de los materiales que la componen y su bajo y fácil mantenimiento hacen de ella una candidata idónea para alimentar pequeños núcleos de población. Por ejemplo, en Reino Unido, hay instalados unos 5GW de energía fotovoltaica de los cuales más de la mitad corresponden a conexiones de escala residencial. En los próximos años esta previsto que esta tendencia siga cumpliéndose alcanzando entre 10 y 20GW en el año 2020. Del mismo modo, también existen otros dispositivos de micro generación distribuida como puedan ser micro centrales eólicas o micro turbinas Pelton para conversión de corrientes de agua en energía mecánica. En Francia, en 2016 se ha aprobado una ley por la cual todos los nuevos edificios comerciales que se construyan deberán cubrir sus azoteas, al menos parcialmente, con paneles solares y plantas fotovoltaicas. Esta nueva ley es un ejemplo del crecimiento de la generación distribuida en nuestro planeta. De igual manera, varios estados de Estados Unidos como California, exigen que todos los nueves edificios de diez pisos o menos destinen a los paneles solares al menos el 15 % de la superficie de la azotea. Álvaro Rodríguez del Nozal 4 Objeto del proyecto e Introducción Los pequeños generadores fotovoltaicos se conectan directamente a las redes de distribución eléctricas operadas a 400Ven Europa. Ésto, está suponiendo un serio problema para el control de tensiones ya que son redes que hasta el momento habían sido menos monitorizadas y en las que el control de tensión no contaba un papel determinante. De hecho, el control de tensiones se limitaba a tener una tensión de operación más elevada en MT para prever la caída de la misma debido a la demanda. Esto es claramente insuficiente debido a la irrupción de la generación distribuida. Sin embargo, con el nacimiento y crecimiento de la generación distribuida es un factor a tener en cuenta. Al incluir altas cantidades de generación en una red de distribución, se producen crecimientos de tensiones no favorables para la estabilidad del sistema. Para cubrir este problema, hace unos años se empezaron a introducir nuevos elementos capaces de lidiar con inestabilidades en la tensión y regularla. Uno de los elementos introducidos, son los transformadores cambiadores de tomas bajo carga. Dichos transformadores están ampliamente instalados en centros de transformación de alta a media tensión o en la conexión de grandes centrales al sistema. Gracias a su uso, es posible regular la tensión en el punto de consumo gracias a su propiedad de conmutar bajo carga sin la interrupción del servicio. Cuando se realiza una maniobra de cambio de toma, el transformador debe ser capaz de seleccionar la nueva toma deseada y por otro lado de interrumpir la corriente de carga al pasar de un punto de la toma a otro. Este tipo de máquinas mejora ampliamente a los cambiadores de toma en vacío en los que es necesario interrumpir la carga para realizar el cambio de toma repercutiendo en la continuidad del servicio y con ello en su calidad. De esta forma, cuando la inyección de potencia por parte de generadores distribuidos es alta, la relación de transformación se reduce para otorgar una tensión en el punto de consumo adecuada. Del mismo modo, si la generación disminuye y la demanda aumenta, el transformador es capaz de aumentar la relación de transformación para fijar el valor de la tensión entre unos márgenes de seguridad. Otro de los principales elementos introducidos en este tipo de redes son baterías de condensadores. Estas baterías se conectan directamente a la red de distribución mediante un interruptor automático o varios si las baterías están particionadas. Ante caídas en la tensión de distribución se conectan particiones de las baterías contrarrestando este efecto. Del mismo modo, existen dispositivos capaces de disminuir la tensión de la linea mediante cargas de carácter inductivo. Todo esto, sirve de motivación para la realización de este proyecto en el cual se realizará un análisis más a fondo de las redes radiales de distribución buscando soluciones óptimas para el control de tensiones que permita minimizar las pérdidas estableciendo los valores de dichas tensiones dentro de los márgenes de operación. Álvaro Rodríguez del Nozal 5 Objeto del proyecto e Introducción 3. Notación y preliminares A continuación se presentan una serie de notaciones a tener en cuenta para la correcta interpretación del documento. Los nodos se representarán mediante números (p= 0,1,2, ..., n) siendo siempre 0el correspondiente al nodo de media tensión aguas arriba del transformador (slack). Los ramales se representarán mediante los números de nodos adyacentes al ramal separados por un guión (b= 0 −1,1−2, ...). Al tratarse de una red radial, siempre existirán m=n−1ramales en la red. Se definen dos subconjuntos de ramales para cada nodo pen el que se denominarán bi(p)obo(p)a los ramales entrantes o salientes a éste respectivamente. Las fases y el neutro se representarán mediante las letras f={a, b, c, n}. Las tensiones se representarán mediante la letra uindicando con el subíndice el nodo y con superíndice la fase. Las corrientes se representarán mediante la letra iindicando el ramal con el subíndice y la fase con el superíndice. El sentido de las corrientes será siempre en sentido decreciente, es decir, fluyendo desde aguas arriba (nodo 0) hasta aguas abajo. La corriente i0−1se considera en el devanado de media tensión a no ser que se indique lo contrario. Las potencias consumidas o generadas en los nudos tendrán signo negativo o positivo respectivamente y serán expresadas con superínidce indicando la fase y un subíndice para indicar el nodo o el ramal correspondiente. Consecuentemente, las corrientes inyectadas a los nudos se denotarán por i(n)con superínidce indicando la fase y un subíndice para indicar el ramal correspondiente. Por último, en el caso de una puesta a tierra mediante una resistencia de valor finito la corriente circulante por ella se denominará con un superíndice g. Por ejemplo, la corriente circulante por la puesta a tierra del nodo 1será ig 1. Esta notación será utilizada en todos los epígrafes de este documento. Un esquemático de la misma puede observarse en la Figura 1. Álvaro Rodríguez del Nozal 6 Objeto del proyecto e Introducción p 12 ig p if p−2 if 1−p bo(p) bi(p) i(n)f p Figura 1: Esquemático de la notación. Álvaro Rodríguez del Nozal 7 Modelado del problema •r: Toma del transformador en por unidad. Su valor es discreto pero en la resolución se tomará como una variable continua. •u: Tensión de cada uno de los nodos. Es un vector con ocho componentes por cada nodo en baja tensión de la red considerada más seis componentes correspondientes al lado de media. u=hRe(uA 0)Im(uA 0)Re(uB 0)Im(uB 0)Re(uC 0)Im(uC 0)Re(ua 1)Im(ua 1)···i •c: Corriente de cada una de las ramas. Es un vector con ocho componentes por cada rama en baja tensión de la red considerada más seis componentes correspondientes al lado de media. c=hRe(iA 0)Im(iA 0)Re(iB 0)Im(iB 0)Re(iC 0)Im(iC 0)Re(ia 1)Im(ia 1)···i •In: Corrientes inyectadas o demandadas en cada uno de los nudos de baja tensión de la red. Solo incluye fases ya que este parámetro se obtiene a partir de la potencia inyectada o demandada en los nudos y se realiza entre fases y neutro. •F1, F2, F3y F4: Variables auxiliares para resolver el problema de S=uI∗. Se explica más detalladamente en posteriores secciones del documento. •MAdmTi: Matriz de admitancias del transformador obtenida a partir de las tres matrices de admitancias referentes a cada una de las potencias de la variable toma del transformador en por unidad multiplicadas por las correspondientes toma. •Smt: Array que contiene el valor de las potencias activa y reactiva de cada una de las fases inyectadas desde aguas arriba del transformador. •z: Valor de la función objetivo a minimizar. Ecuaciones Las ecuaciones con las que contará el problema son las siguientes: •Tensión en nudo referencia: Correspondencia entre los valores de tensión fijados para el nudos slack, uref y las variables de tensión correspondientes. hRe(ua 0)Im(ua 0)Re(ub 0)Im(ub 0)Re(uc 0)Im(uc 0)i= =h20000 0 20000cos(−120) 20000sen(−120) 20000cos(120) 20000sen(120)i •Admitancia del transformador: Construcción de la matriz de admitancias del transformador a partir de los datos MAdmTi1,MAdmTi2yMAdmT i3. Álvaro Rodríguez del Nozal 15 Modelado del problema La matriz original viene dada por la siguiente expresión:             ia 0−1 ib 0−1 ic 0−1 ia 1−2 ib 1−2 ic 1−2 ig 1−2             =Yt             2−1−1−a0a0 −1 2 −1a−a0 0 −1−1 2 0 a−a0 a−a0−a20 0 a2 0a−a0−a20a2 −a0a0 0 −a2a2 0 0 0 0 0 0 1/Rg                         ua 0 ub 0 uc 0 ua 1 ub 1 uc 1 un 1             , dónde: Yt=1 Zcc , a =20000 400/√3rp.u. Dado que esta matriz debe multiplicar a valores de tensiones para obtener valores de corrientes ambos complejos es necesario utilizar la siguiente propiedad según como se han definido las variables del sistema: (a+bi)(c+di) = (ac −bd) + (ad +bc)i⇒"a−b b a #"c d#="ac −bd bc +ad# De tal manera la matriz anteriormente definida tendrá el doble de filas y columnas y se obtendrá de la siguiente forma: MAdmTi =MAdmTi1 + MAdmTi2×rp.u. +MAdmT i3×r2 p.u. •Caida de tensión en el transformador: Igualdad entre corrientes y tensiones de los nudos adyacentes al transformador una vez construida la matriz de admitancias del mismo. •Primera Ley de Kirchhoff: Primera ley de Kirchhoff por la cual se realiza un balance de corrientes en cada uno de los nudos de la red considerada:                   Re(Ina 1) Im(Ina 1) Re(Inb 1) Im(Inb 1) Re(Inc 1) Im(Inc 1) Re(Inn 1) Im(Inn 1) . . .                   =Ac                   Re(ia 1) Im(ia 1) Re(ib 1) Im(ib 1) Re(ic 1) Im(ic 1) Re(in 1) Im(in 1) . . .                   . Al igual que ocurría en el caso de la matriz de admitancias del transformador, la matriz Ac ha sido modificada de tal manera que permita la multiplicación de números complejos expresados en formato array duplicando así tanto su número de filas como el de columnas. Álvaro Rodríguez del Nozal 16 Modelado del problema •Segunda Ley de Kirchhoff: Segunda ley de Kirchhoff por la cual la caída de tensión experimentada por cada linea debe coincidir con la diferencia de tensión entre los nudos adyacentes a ésta: Zxc                   Re(ia 1) Im(ia 1) Re(ib 1) Im(ib 1) Re(ic 1) Im(ic 1) Re(in 1) Im(in 1) . . .                   =AcT                   Re(ua 1) Im(ua 1) Re(ub 1) Im(ub 1) Re(uc 1) Im(uc 1) Re(un 1) Im(un 1) . . .                   . •Corriente inyectada en los nudos: Según los datos de potencia demandada o generada en los nudos sean positivos o negativos la corriente tomará signo negativo o positivo respectivamente. La resolución de este problema viene dada por S=uI∗. Esta igualdad es necesario introducirla en GAMS en varias ecuaciones apoyándose en varias variables intermedias así como matrices de transformación. Todo esto es debido a la problemática de trabajar con número complejos en GAMS. Anteriormente, el problema se ha podido soluciona modificando una matriz de admitancia dada como dato. El problema surge cuando se intenta abordar la ecuación anteriormente expuesta en la que la variable tensión multiplica a la variable corriente inyectada en los nudos. A continuación se describe el proceso llevado a cabo paso a paso. Obtención de diferencia de tensiones entre fases y neutros de cada uno de los nodos: F1 =         1 0 0 0 0 0 −1 0 ··· 0 1 0 0 0 0 0 −1··· 0 0 1 0 0 0 −1 0 ··· 0 1 0 0 0 0 0 −1··· . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ....                           Re(ua 1) Im(ua 1) Re(ub 1) Im(ub 1) Re(uc 1) Im(uc 1) Re(un 1) Im(un 1) . . .                   =              Re(ua 1)−Re(un 1) Im(ua 1)−Im(un 1) Re(ub 1)−Re(un 1) Im(ub 1)−Im(un 1) Re(uc 1)−Re(un 1) Im(uc 1)−Im(un 1) . . .              Álvaro Rodríguez del Nozal 17 Modelado del problema Se invierte el orden dos a dos del array y la parte real se pone negativa: F2 =              010000··· −1 0 0 0 0 0 ··· 000100··· 0 0 −1 0 0 0 ··· 000001··· 0 0 0 0 −1 0 ··· . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...                           Re(ua 1)−Re(un 1) Im(ua 1)−Im(un 1) Re(ub 1)−Re(un 1) Im(ub 1)−Im(un 1) Re(uc 1)−Re(un 1) Im(uc 1)−Im(un 1) . . .              =              Im(ua 1)−Im(un 1) −(Re(ua 1)−Re(un 1)) Im(ub 1)−Im(un 1) −(Re(ub 1)−Re(un 1)) Im(uc 1)−Im(un 1) −(Re(uc 1)−Re(un 1)) . . .              Se multiplica el resultado por el valor de la corriente inyectada en los nudos:              Im(ua 1)−Im(un 1) −(Re(ua 1)−Re(un 1)) Im(ub 1)−Im(un 1) −(Re(ub 1)−Re(un 1)) Im(uc 1)−Im(un 1) −(Re(uc 1)−Re(un 1)) . . .              ⇒F3 =              (Im(ua 1)−Im(un 1))Re(Ina 1) −(Re(ua 1)−Re(un 1))Im(Ina 1) (Im(ub 1)−Im(un 1))Re(Inb 1) −(Re(ub 1)−Re(un 1))Im(Inb 1) (Im(uc 1)−Im(un 1))Re(Inc 1) −(Re(uc 1)−Re(un 1))Im(Inc 1) . . .              Se suman las componentes dos a dos y se sitúa en la posición de potencia reactiva:              0 0 0 0 0 0 ··· 1 1 0 0 0 0 ··· 0 0 0 0 0 0 ··· 0 0 1 1 0 0 ··· 0 0 0 0 0 0 ··· 0 0 0 0 1 1 ··· . . .. . .. . .. . .. . .. . ....                           (Im(ua 1)−Im(un 1))Re(Ina 1) −(Re(ua 1)−Re(un 1))Im(Ina 1) (Im(ub 1)−Im(un 1))Re(Inb 1) −(Re(ub 1)−Re(un 1))Im(Inb 1) (Im(uc 1)−Im(un 1))Re(Inc 1) −(Re(uc 1)−Re(un 1))Im(Inc 1) . . .              = =              0 (Im(ua 1)−Im(un 1))Re(Ina 1)−(Re(ua 1)−Re(un 1))Im(Ina 1) 0 (Im(ub 1)−Im(un 1))Re(Inb 1)−(Re(ub 1)−Re(un 1))Im(Inb 1) 0 (Im(uc 1)−Im(un 1))Re(Inc 1)−(Re(uc 1)−Re(un 1))Im(Inc 1) . . .              Por otro lado se suman dos a dos las componentes del vector diferencia de tensiones fase neutro multiplicado por la corriente inyectada para obtener el Álvaro Rodríguez del Nozal 18 Modelado del problema valor de la potencia activa inyectada en los nudos: F4 =              1 1 0 0 0 0 ··· 0 0 0 0 0 0 ··· 0 0 1 1 0 0 ··· 0 0 0 0 0 0 ··· 0 0 0 0 1 1 ··· 0 0 0 0 0 0 ··· . . .. . .. . .. . .. . .. . ....                           (Re(ua 1)−Re(un 1))Re(Ina 1) (Im(ua 1)−Im(un 1))Im(Ina 1) (Re(ub 1)−Re(un 1))Re(Inb 1) (Im(ub 1)−Im(un 1))Im(Inb 1) (Re(uc 1)−Re(un 1))Re(Inc 1) (Im(uc 1)−Im(un 1))Im(Inc 1) . . .              = =              (Re(ua 1)−Re(un 1))Re(Ina 1) + (Im(ua 1)−Im(un 1))Im(Ina 1) 0 (Re(ub 1)−Re(un 1))Re(Inb 1) + (Im(ub 1)−Im(un 1))Im(Inb 1) 0 (Re(uc 1)−Re(un 1))Re(Inc 1) + (Im(uc 1)−Im(un 1))Im(Inc 1) 0 . . .              De tal manera que sumando las últimas expresiones obtenemos lo siguiente:              Pa 1 Qa 1 Pb 1 Qb 1 Pc 1 Qc 1 . . .              =              (Re(ua 1)−Re(un 1))Re(Ina 1) + (Im(ua 1)−Im(un 1))Im(Ina 1) (Im(ua 1)−Im(un 1))Re(Ina 1)−(Re(ua 1)−Re(un 1))Im(Ina 1) (Re(ub 1)−Re(un 1))Re(Inb 1) + (Im(ub 1)−Im(un 1))Im(Inb 1) (Im(ub 1)−Im(un 1))Re(Inb 1)−(Re(ub 1)−Re(un 1))Im(Inb 1) (Re(uc 1)−Re(un 1))Re(Inc 1) + (Im(uc 1)−Im(un 1))Im(Inc 1) (Im(uc 1)−Im(un 1))Re(Inc 1)−(Re(uc 1)−Re(un 1))Im(Inc 1) . . .              •Puesta a tierra de los neutros del sistema. Este término afectara directamente a la primera Ley de Kirchhoff, modificandola según la topología de puesta a tierra considerada. La corriente circulante por el neutro de una rama vendrá dada por las corrientes circulantes por el neutro de las ramas adyacentes a éstas y la suma de corrientes de fases de potencia inyectada o demandada en ese nodo con signo negativo. En el caso de existir una puesta a tierra con una resistencia de valor finito deberá añadirse además la corriente generada por la caída de tensión por esta. Por otro lado, en caso de existir una conexión rígida a tierra, la ecuación correspondiente al neutro de la primera Ley de Kirchhoff desaparece y se fija la tensión de ese neutro igual a cero. Con el fin de comprender el procedimiento considérese un nodo con una potencia inyectada de valor in al cual llega un ramal r−s. Entonces la primera Ley de Kirchhoff según la notación definida se puede escribir como: Álvaro Rodríguez del Nozal 19 Modelado del problema      ia r−s ib r−s ic r−s in r−s      +     i(n)a s i(n)b s i(n)c s −i(n)a s−i(n)b s−i(n)c s+i(g)s      = 0, con i(g)s=(0si R = 0 −Un s Rgsi 0< R < ∞ Por otro lado, si la puesta a tierra fuera rígida tendríamos:    ia r−s ib r−s ic r−s   +   i(n)a s i(n)b s i(n)c s   = 0, un s= 0 •Función objetivo: La función objetivo pretende minimizar las pérdidas en el sistema. Es decir: min z = n X p=1 Pp+Ptransformador, y considerando la potencia inyectada o demandada en los nodos fijas la función objetivo anterior equivale a: min z =Ptransformador =real(u0i∗ 0−1). Quedan por tanto definidas las ecuaciones definidas en el modelo. 4.4. Dinámica de ejecución La dinámica de ejecución del problema será la siguiente: El programa principal desarrollado en Matlab lee de una hoja de cálculo los parámetros que definen el problema de optimización a resolver. Una vez obtenidos dichos valores, los transformará al formato deseado por GAMS al cual le llegarán los datos a través de un archivo de extensión .gdx. Téngase en cuenta que desde Matlab se definirán tanto los parámetros del problema como los conjuntos con los que trabaja GAMS fijando de esta manera la dimensión del problema. Después de generar el archivo .gdx,Matlab hace una llamada a GAMS el cual conoce la ubicación del archivo de transferencia de datos y lo carga al inicializar el programa. Una vez resuleto el problema de optimización, GAMS generará un segundo archivo de tranferencia de datos que será leido por el programa principal en Matlab el cual trata los resultados para su posterior análisis de una forma rápida y cómoda. Álvaro Rodríguez del Nozal 20 Validación del modelo 5. Validación del modelo 5.1. Introducción En este documento se recogen los resultados obtenidos para la validación del modelo eléctrico generado en Matlab y su resolución. Se introducirán una serie de notaciones y preliminares necesarias para comprender el resto del documento. Posteriormente se describirá el sistema eléctrico modelado que se utilizará para validar dicho modelo. Se analizarán diferentes casos y se interpretarán los resultados obtenidos con la finalidad de validar el modelo y poder aplicarlo a redes eléctricas reales de mayores dimensiones y con potencia más significativa. Por último se concluirá recogiendo los aspectos más determinantes del desarrollo del coumento y resultados obtenidos. 5.2. Descripción del sistema La red eléctrica a simular será la expuesta en la Figura 5. Se fija la tensión del nudo referencia con valor: uslack =u0=    20000 √3 20000 √3cos(−120) + 20000 √3sen(−120)i 20000 √3cos(120) + 20000 √3sen(120)i     . Utilizaremos un modelo simplificado del transformador en el que será posible variar la toma de este desde un valor 0,95 a1,05 en por unidad. La matriz de admitancias del transformador vendrá dada por la siguiente expresión:             ia 0−1 ib 0−1 ic 0−1 ia 1−2 ib 1−2 ic 1−2 ig 1−2             =Yt             2−1−1−a0a0 −1 2 −1a−a0 0 −1−1 2 0 a−a0 a−a0−a20 0 a2 0a−a0−a20a2 −a0a0 0 −a2a2 0 0 0 0 0 0 1/Rg                         ua 0 ub 0 uc 0 ua 1 ub 1 uc 1 un 1             , dónde: Yt=1 Zcc =1 21,164 + 69,616i, a =20000 400/√3rp.u. El resto de parámetros de la red variarán según el caso considerado y serán expuestos en los siguientes epígrafes. 5.3. Modelo En este apartado se presentan las ecuaciones que modelan el sistema. La implementación de dichas ecuaciones en el modelo se pueden encontrar en el documento correspondiente. A continuación se describen las ecuaciones introducidas. Álvaro Rodríguez del Nozal 22 Validación del modelo 0 1 2 3 4 P3+Q3iP4+Q4i Figura 5: Red diseñada para la validación del modelo. Se fija la tensión del nodo referencia al valor anteriormente definido (uslack). Ecuación que relaciona las corrientes de la rama 0−1tanto en media como baja tensión y las tensiones de ambos nodos a través de la matriz de admitancias del transformador. Téngase en cuenta que dicha expresión contiene implícitamente el valor de la toma del transformador en por unidad, rp.u. cuyos límites irán ente 0,95 y1,05. Primera Ley de Kirchhoff aplicada a cada nodo de la red: X ∀bo(p) if bo(p)−X ∀bi(p) if bi(p)=i(n)f p. Segunda Ley de Kirchhoff aplicada a cada rama de la red. Considérese un rama cuya corriente esta definida desde un nodo thasta un nodo s. Entonces: uf t−uf s=Zt−sit−s. Corriente inyectada en los nudos. Pf p+jQf p=upi(n)f p∗. Límite de tensión en los nodos. Cada nodo tendrá un margen de ±7 % respecto a su valor nominal de tensión (400/√3). Esta restricción no se considerará en los casos estudiados a no ser que se especifique. Función objetivo en la que se pretende minimizar las pérdidas del sistema que vendrá dada por: min real(u0i∗ 0−1). Álvaro Rodríguez del Nozal 23 Validación del modelo 5.4. Pruebas de validación A continuación se presentan los diferentes casos considerados para la validación del modelo realizado. En cada uno de los casos considerados se mostrarán una serie de resultados: Valor de la función objetivo. Dicha función otorgará el valor de la potencia activa aportada por el transformador. Caídas de tensión experimentadas por las lineas en tanto por ciento. Para una linea que circula desde un nodo thasta un nodo sse calcula como: ∆uf=uf t−uf s uf t 100 Pérdidas experimentadas por cada linea incluido el transformador. Se calcula tanto la pérdida de potencia activa como la de reactiva expresadas en Wyvar respectivamente. Supongamos una linea que conecta un nodo tcon un nodo s. Entonces: St−Ss=uti∗ t−s−usi∗ t−s= (ut−us)i∗ t−s Pérdidas de puesta a tierra para cada topología considerada expresada en W: P1=|un 1|2 R1 , P2=|un 2|2 R2 , P3=|un 3|2 R3 , P4=|un 4|2 R4 . Tensión máxima y mínima experimentada en el sistema así como la corriente nodal máxima. Se toma el nodo para el cual una de las fases experimenta el valor máximo y no el promedio de las tres. Corrientes circulantes por todas las ramas de la red. Relación entre las componentes simétricas para representar el grado de desequilibrio. Se hará uso del teorema de Fortescue por el cual un sistema desequilibrado puede descomponerse en tres sistemas equilibrados (uno de secuencia homopolar, uno de secuencia directa y uno de secuencia inversa). Se obtendrán dichas componentes tanto para corrientes como para tensiones.    Ia Ib Ic   =   1 1 1 1a2a 1a a2     I0 I1 I2   ,   1 1 1 1a2a 1a a2   −1   Ia Ib Ic   =   I0 I1 I2    Álvaro Rodríguez del Nozal 24 Validación del modelo Componentes simétricas Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 I0/I1−0,000000 0,003461 0,003743 0,002603 I2/I1−0,001366 0,005130 0,005544 0,003868 U0/U10,000000 −0,002276 −0,003095 −0,005532 U2/U1−0,000000 0,000019 −0,002070 −0,003736 por último, los resultados obtenidos para el caso de una desconexión a tierra de los neutros son: Factor de transformación: rp.u. = 1 Función objetivo: real(u0i∗ 0−1) = 397,8706 kW Decrementos de tensión en las lineas en tanto por ciento: Línea 1−2 2 −3 2 −4 Fase a 2,6804 2,0726 0,6808 Fase b 2,3752 1,8302 0,6024 Fase c 2,1535 1,6530 0,5460 Pérdidas de potencia en líneas y transformadores: Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 P(W) 3150,9692 9045,0162 5119,9183 554,6878 Q(var) 10364,6697 4535,4218 2566,9800 278,2299 Pérdidas en la puesta a tierra: Nodo 1 2 3 4 P(W) 0,0000 0,0516 0,1593 0,0799 Tensión máxima y mínima alcanzada en la red: umax =u1=     227,4481 ∠28,7897 227,4380 ∠−91,1947 227,4881 ∠148,8156 0,0000 ∠−67,1043      , umin =u3=     216,7638 ∠28,4518 217,9722 ∠−91,4484 218,9097 ∠148,3272 1,2622 ∠−16,9884      i(n)max =i(n)3=   463,2201 ∠−169,5043 459,4797 ∠70,0366 454,2751 ∠−49,7844    Álvaro Rodríguez del Nozal 31 Validación del modelo Corrientes circulantes por las ramas de la red: i0−1=   12,1796 ∠−19,3260 12,2857 ∠−139,8320 12,1393 ∠99,9865   , i1−2=     615,2732 ∠10,5028 610,6806 ∠−109,9212 604,2631 ∠130,2447 6,5466 ∠173,3757      i2−3=     463,2201 ∠10,4957 459,4797 ∠−109,9634 454,2751 ∠130,2156 5,3179 ∠173,5697      , i2−4=     152,0531 ∠10,5247 151,2014 ∠−109,7928 149,9882 ∠130,3330 1,2288 ∠172,5363      Componentes simétricas Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 I0/I1−0,000000 0,003422 0,003700 0,002581 I2/I1−0,001807 0,005099 0,005509 0,003852 U0/U10,000000 −0,000074 −0,000829 −0,001432 U2/U1−0,000000 0,000030 −0,002056 −0,003699 Debido al desequilibrio, existe circulación de corriente por el neutro de las líneas, lo que repercute en que el valor de las pérdidas en las puestas a tierra dejan de ser nulas. Del mismo modo, las componentes simétricas permiten cuantificar el desequilibrio que en este caso es mayor que en el caso equilibrado pero que veremos que se incrementará aún más cuando se produzca un desequilibrio en la conexión de las cargas. En la Figura 7 se muestra el valor de tensiones para cada uno de los casos y las corrientes circulantes por los ramales. Téngase en cuenta que las tensiones de cada fase toman diferentes valores debido acoplamiento simétrico, produciéndose diferentes bajadas de tensión entre ellas y subidas inducidas por el resto de fases (como puede observarse en el neutro). Respecto a la corriente circulante por el neutro para cada una de las tres configuraciones de puesta a tierra considerada se puede observar que los valores que toma en el caso de una puesta a tierra con una resistencia de valor finito se asemeja bastante a la desconexión del neutro a tierra (Caso 3). Ésto se hace más notable conforme más alto sea el valor de la resistencia introducida. Para el Caso 2 se observa que las lineas finales que conducen a las cargas se producen altas corrientes debidas a su derivación a tierra. 5.4.4. Red y cargas desequilibradas En este caso se incluirá además un desequilibrio en las cargas, es decir, las cargas no se encuentran conectadas equilibradamente entre cada una de las fases y el neutro, si no que Álvaro Rodríguez del Nozal 32 Validación del modelo 210 220 230 Tension (V) 0 0.5 Fase a Fase b Fase c Neutro 1 1 2 34 Nodo (a) Caso 1: R= 10Ω 100 200 300 400 500 600 700 Corriente (A) 4 5 6 7 Fase a Fase b Fase c Neutro 1-2 1-2 2-3 2-3 2-4 2-4 Ramal 214 216 218 220 222 224 226 228 230 Tension (V) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Fase a Fase b Fase c Neutro 1234 Nodo (c) Caso 2: R= 0Ω 100 200 300 400 500 600 700 Corriente (A) 4 6 8 10 12 14 16 Fase a Fase b Fase c Neutro 1-2 2-3 2-4 Ramal 215 220 225 230 Tension (V) 0 0.5 Fase a Fase b Fase c Neutro 1 1 2 34 Nodo (e) Caso 3: R=∞Ω 100 200 300 400 500 600 700 Corriente (A) 4 5 6 7 Fase a Fase b Fase c Neutro 1-2 1-2 2-3 2-3 2-4 2-4 Ramal Figura 7: Tensiones del sistema y corrientes por el neutro en cada uno de los ramales para el caso en el que las impedancias de linea presentan desequilibrio pero las cargas están uniformemente repartidas entre las tres fases y el neutro. Álvaro Rodríguez del Nozal 33 Validación del modelo algunas fases tendrán que lidiar con un valor de la carga más alto que otras. Por otro lado, se considerarán dos casos de puesta a tierra. Por un lado una conexión a tierra mediante una resistencia de valor 10Ω y por otro lado una conexión rígida como refleja la siguiente tabla. Nodo:fase 3:a3:b3:c4:a4:b4:cPuesta a tierra Caso 1.1 70 % 20 % 10 % 70 % 20 % 10 % R= 10 Ω Caso 1.2 70 % 20 % 10 % 70 % 20 % 10 % R= 0 Ω Caso 2.1 50 % 25 % 25 % 50 % 25 % 25 % R= 10 Ω Caso 2.2 50 % 25 % 25 % 50 % 25 % 25 % R= 0 Ω Caso 3.1 70 % 20 % 10 % 10 % 20 % 70 % R= 10 Ω Caso 3.2 70 % 20 % 10 % 10 % 20 % 70 % R= 0 Ω Las cargas tendrán un valor: S3=−300kV A, cosϕ3= 0,95, S4=−100kV A, cosϕ4= 0,95 Las lineas consideradas para este caso al igual que en el epígrafe anterior serán las expuestas en [1] del tipo UG1. Los resultados obtenidos tras la simulación son los siguientes: Los resultados obtenidos para el Caso 1.1 son los siguientes: Factor de transformación: rp.u. = 1 Función objetivo: real(u0i∗ 0−1) = 443,6202 kW Decrementos de tensión en las lineas en tanto por ciento: Línea 1−2 2 −3 2 −4 Fase a 6,7817 5,5509 1,7195 Fase b 0,6778 0,4945 0,1831 Fase c 0,1955 0,1422 0,0544 Pérdidas de potencia en líneas y transformadores: Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 P(W) 7261,2016 34382,1238 20054,4976 1918,1075 Q(var)23884,7008 15643,3936 9121,9809 873,5809 Pérdidas en la puesta a tierra: Nodo 1 2 3 4 P(W) 24,4556 1,5044 2,6195 0,1258 Álvaro Rodríguez del Nozal 34 Validación del modelo Tensión máxima y mínima alcanzada en la red: umax =u1=     206,1795 ∠27,1010 236,0031 ∠−94,0602 239,3362 ∠152,7394 15,6383 ∠−155,0646      , umin =u3=     181,5282 ∠26,3007 233,2444 ∠−94,1229 238,5287 ∠152,0809 5,1181 ∠23,0136      i(n)max =i(n)3=   1190,3496 ∠−171,7989 254,6443 ∠66,5746 124,0762 ∠−45,1723    Corrientes circulantes por las ramas de la red: i0−1=   19,1972 ∠3,6328 20,3219 ∠−162,2444 4,9848 ∠87,7550   , i1−2=     1558,7525 ∠8,2481 340,3486 ∠−113,0883 166,0572 ∠134,5802 1292,8979 ∠−178,7218      i2−3=     1190,3496 ∠8,2011 254,6443 ∠−113,4254 124,0762 ∠134,8277 989,2892 ∠−178,6132      , i2−4=     368,4046 ∠8,3999 85,7218 ∠−112,0869 41,9856 ∠133,8487 303,2662 ∠−179,1074      Componentes simétricas Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 I0/I1−0,000000 0,621373 0,626377 0,605523 I2/I10,263387 0,644141 0,650830 0,622998 U0/U10,000000 −0,081663 −0,101253 −0,116884 U2/U1−0,000000 −0,009829 −0,031568 −0,048944 Los resultados obtenidos para el caso 1.2 son los siguientes: Factor de transformación: rp.u. = 1 Función objetivo: real(u0i∗ 0−1) = 440,7824 kW Decrementos de tensión en las lineas en tanto por ciento: Línea 1−2 2 −3 2 −4 Fase a 6,6087 9,2936 2,8856 Fase b 0,6863 −1,5525 −0,4424 Fase c 0,1992 −1,3185 −0,3927 Álvaro Rodríguez del Nozal 35 Validación del modelo Pérdidas de potencia en líneas y transformadores: Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 P(W) 7157,9681 33898,1041 17984,9003 1741,4424 Q(var) 23545,1290 15439,9546 9852,0852 950,9359 Pérdidas en la puesta a tierra: Nodo 1 2 3 4 P(W) 13,6543 0,0000 0,0000 0,0000 Tensión máxima y mínima alcanzada en la red: umax =u3=     178,0149 ∠26,0218 235,9771 ∠−94,7272 239,7157 ∠152,9614 0,0000 ∠0,0000      , umin =u3=     178,0149 ∠26,0218 235,9771 ∠−94,7272 239,7157 ∠152,9614 0,0000 ∠0,0000      i(n)max =i(n)3=   1179,6766 ∠−172,1731 254,2620 ∠67,0780 125,1483 ∠−45,2335    Corrientes circulantes por las ramas de la red: i0−1=   19,0765 ∠3,2862 20,1472 ∠−162,3988 5,0013 ∠88,1799   , i1−2=     1546,9443 ∠7,9492 339,9432 ∠−112,6724 167,2447 ∠134,5266 1283,8934 ∠−179,1289      i2−3=     1179,6766 ∠7,8269 254,2620 ∠−112,9220 125,1483 ∠134,7665 855,8024 ∠−167,0428      , i2−4=     367,2791 ∠8,3420 85,6907 ∠−111,9317 42,1008 ∠133,8133 263,5485 ∠−167,0991      Componentes simétricas Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 I0/I1−0,000000 0,619998 0,624789 0,604884 I2/I10,264144 0,640375 0,646385 0,621481 U0/U10,000000 −0,064219 −0,083255 −0,133458 U2/U1−0,000000 −0,009827 −0,031348 −0,048658 Los resultados obtenidos para el caso 2.1 son los siguientes: Álvaro Rodríguez del Nozal 36 Validación del modelo Factor de transformación: rp.u. = 1 Función objetivo: real(u0i∗ 0−1) = 405,6457 kW Decrementos de tensión en las lineas en tanto por ciento: Línea 1−2 2 −3 2 −4 Fase a 4,2280 3,3376 1,0750 Fase b 1,4358 1,0880 0,3665 Fase c 1,3806 1,0487 0,3507 Pérdidas de potencia en líneas y transformadores: Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 P(W) 3860,0110 13358,9159 7628,7787 797,2593 Q(var) 12696,9630 6369,8297 3636,7609 380,4410 Pérdidas en la puesta a tierra: Nodo 1 2 3 4 P(W) 4,4641 0,2746 0,4658 0,0202 Tensión máxima y mínima alcanzada en la red: umax =u1=     218,5354 ∠28,0386 231,7209 ∠−92,2827 231,9820 ∠150,5467 6,6814 ∠−151,2040      , umin =u3=     202,3102 ∠27,5285 225,9089 ∠−92,4117 226,3802 ∠149,9837 2,1583 ∠26,6098      i(n)max =i(n)3=   749,4300 ∠−170,6564 330,4491 ∠68,9170 329,5622 ∠−47,7574    Corrientes circulantes por las ramas de la red: i0−1=   14,8090 ∠−7,3581 14,6755 ∠−153,2096 8,6579 ∠100,5609   , i1−2=     990,4031 ∠9,3833 440,4400 ∠−110,9334 439,3113 ∠132,1455 530,4421 ∠−171,7797      i2−3=     749,4300 ∠9,3436 330,4491 ∠−111,0830 329,5622 ∠132,2426 402,9532 ∠−171,8357      , i2−4=     240,9738 ∠9,5070 109,9954 ∠−110,4837 109,7509 ∠131,8537 127,3359 ∠−171,6304      Álvaro Rodríguez del Nozal 37 Validación del modelo Componentes simétricas Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 I0/I1−0,000000 0,283575 0,285981 0,276217 I2/I10,159063 0,305456 0,309509 0,293058 U0/U10,000000 −0,033978 −0,042303 −0,048884 U2/U1−0,000000 −0,004902 −0,015474 −0,023856 Los resultados obtenidos para el Caso 2.2 son los siguientes: Factor de transformación: rp.u. = 1 Función objetivo: real(u0i∗ 0−1) = 405,2515 kW Decrementos de tensión en las lineas en tanto por ciento: Línea 1−2 2 −3 2 −4 Fase a 4,1874 4,8341 1,5522 Fase b 1,4412 0,1543 0,0693 Fase c 1,3894 0,5518 0,1947 Pérdidas de potencia en líneas y transformadores: Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 P(W) 3848,3325 13310,2964 7323,9884 768,8543 Q(var) 12658,5484 6352,9012 3783,2143 395,8534 Pérdidas en la puesta a tierra: Nodo 1 2 3 4 P(W) 2,5114 0,0000 0,0000 0,0000 Tensión máxima y mínima alcanzada en la red: umax =u1=     220,2019 ∠28,0671 230,8292 ∠−91,9360 231,1435 ∠150,1851 5,0114 ∠−151,8248      , umin =u3=     200,7820 ∠27,3786 227,1516 ∠−92,6668 226,6745 ∠150,3966 0,0000 ∠0,0000      i(n)max =i(n)3=   747,0790 ∠−170,8163 330,1760 ∠69,1384 330,8709 ∠−47,7982    Álvaro Rodríguez del Nozal 38 Validación del modelo Corrientes circulantes por las ramas de la red: i0−1=   14,7985 ∠−7,5391 14,6255 ∠−153,2334 8,6793 ∠100,7051   , i1−2=     987,8013 ∠9,2532 440,1386 ∠−110,7501 440,7649 ∠132,1106 528,6770 ∠−171,9277      i2−3=     747,0790 ∠9,1837 330,1760 ∠−110,8616 330,8709 ∠132,2018 353,0896 ∠−159,0227      , i2−4=     240,7246 ∠9,4686 109,9651 ∠−110,4153 109,8957 ∠131,8362 111,8455 ∠−158,6077      Componentes simétricas Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 I0/I1−0,000000 0,282831 0,285089 0,275929 I2/I10,159815 0,303222 0,306839 0,292171 U0/U10,000000 −0,026631 −0,034762 −0,055894 U2/U1−0,000000 −0,004914 −0,015426 −0,023798 Los resultados obtenidos para el caso 3.1 son los siguientes: Factor de transformación: rp.u. = 1 Función objetivo: real(u0i∗ 0−1) = 421,7293 kW Decrementos de tensión en las lineas en tanto por ciento: Línea 1−2 2 −3 2 −4 Fase a 5,0108 4,9013 0,3699 Fase b 0,9625 0,5401 0,4292 Fase c 1,3493 0,1732 1,1944 Pérdidas de potencia en líneas y transformadores: Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 P(W) 4709,6003 18068,5936 17572,5943 1372,6611 Q(var) 15491,5675 8550,8551 7999,8237 629,0224 Pérdidas en la puesta a tierra: Nodo 1 2 3 4 P(W) 8,3429 0,5132 3,8141 1,5350 Álvaro Rodríguez del Nozal 39 Validación del modelo Tensión máxima y mínima alcanzada en la red: umax =u1=     215,1089 ∠27,3620 234,5054 ∠−92,4350 232,2098 ∠151,1940 9,1339 ∠−143,5621      , umin =u3=     194,3154 ∠26,6905 230,9938 ∠−92,4795 228,6797 ∠150,5667 6,1758 ∠19,6033      i(n)max =i(n)3=   1115,9034 ∠−171,2724 257,0851 ∠67,9206 128,8797 ∠−46,4802    Corrientes circulantes por las ramas de la red: i0−1=   16,8173 ∠−5,9190 15,8160 ∠−158,7483 7,7269 ∠104,9025   , i1−2=     1164,1271 ∠8,7191 343,8753 ∠−111,4750 442,1544 ∠132,3716 749,4984 ∠−165,8565      i2−3=     1115,9034 ∠8,7276 257,0851 ∠−112,0794 128,8797 ∠133,5198 917,3401 ∠−178,4796      , i2−4=     48,2240 ∠8,5226 86,8468 ∠−109,6855 313,3112 ∠131,8993 247,8557 ∠−39,8022      Componentes simétricas Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 I0/I10,000000 0,383222 0,606191 −0,348579 I2/I10,252405 0,408082 0,623495 −0,329065 U0/U10,000000 −0,045421 −0,056710 −0,070458 U2/U1−0,000000 −0,007930 −0,022318 −0,038163 Los resultados obtenidos para el Caso 3.2 son los siguientes: Factor de transformación: rp.u. = 1 Función objetivo: real(u0i∗ 0−1) = 419,5974 kW Decrementos de tensión en las lineas en tanto por ciento: Línea 1−2 2 −3 2 −4 Fase a 4,9297 8,2696 −0,3974 Fase b 0,9697 −1,3312 0,4030 Fase c 1,3556 −1,1687 1,9185 Álvaro Rodríguez del Nozal 40 Validación del modelo Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 I0/I1−0,000000 0,081556 0,001514 −0,001206 I2/I1−0,072875 0,090333 0,002283 −0,001432 U0/U10,000000 −0,000271 −0,000329 −0,000843 U2/U1−0,000000 0,000023 −0,000081 −0,001513 Los resultados obtenidos para el tercer caso tras la simulación son los siguientes: Factor de transformación: rp.u. = 1 Función objetivo: real(u0i∗ 0−1) = −182,7387 kW Decrementos de tensión en las lineas en tanto por ciento: Línea 1−2 2 −3 2 −4 Fase a −1,1723 0,6014 −1,7605 Fase b −1,0507 0,5370 −1,5769 Fase c −0,9741 0,4948 −1,4603 Pérdidas de potencia en líneas y transformadores: Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 P(W) 646,2765 1855,1456 494,5467 4265,3003 Q(var) 2125,8358 932,7727 248,3591 2143,7356 Pérdidas en la puesta a tierra: Nodo 1 2 3 4 P(W) 0,0147 0,0009 0,0063 0,0122 Tensión máxima y mínima alcanzada en la red: umax =u4=     239,5758 ∠30,6744 238,7344 ∠−89,1921 237,7717 ∠150,8461 0,3493 ∠160,0046      , umin =u1=     235,4310 ∠30,5518 235,0283 ∠−89,2941 234,3494 ∠150,6612 0,0952 ∠−18,2728      i(n)max =i(n)4=   417,0187 ∠12,4150 418,6575 ∠−107,3087 421,1824 ∠132,6378    Álvaro Rodríguez del Nozal 47 Validación del modelo Corrientes circulantes por las ramas de la red: i0−1=   5,5373 ∠162,3649 5,4941 ∠42,7309 5,5463 ∠−77,0666   , i1−2=     274,4773 ∠−167,5569 276,0176 ∠72,8322 278,3899 ∠−47,2480 2,4257 ∠−176,3285      i2−3=     142,5415 ∠12,3608 142,6424 ∠−107,5812 142,7941 ∠132,4153 0,1910 ∠11,0789      , i2−4=     417,0187 ∠−167,5850 418,6575 ∠72,6913 421,1824 ∠−47,3622 2,6240 ∠−175,8686      Componentes simétricas Línea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 I0/I10,000000 −0,002891 −0,000396 −0,002042 I2/I10,002053 −0,003692 −0,000430 −0,002577 U0/U10,000000 0,001032 0,001278 0,001136 U2/U1−0,000000 0,000018 0,000827 0,000395 Se puede observar que existe desequilibrio en el sistema pero es menor que en el casod e cargas desequilibradas. Por otro lado, se observa que gracias a la generación en el nodo 4, la tensión en eéste aumenta, manteniendo un nivel de tensión en los nodos adyacentes mayor que en el caso en el que únicamente existen cargas. En la Figura 10 se muestran los valores de tensión para los diferentes casos considerando una puesta a tierra mediante una resistencia de valor 10Ω. Se puede observar el aumento de tensión originado en el nodo de generación. 5.4.6. Red y cargas desequilibradas con toma libre Para este caso se introduce en el modelo el cambio de toma del transformador entre los límites establecidos así como los límites en las tensiones. Las cargas contempladas han sido las siguientes: S3=−300kV A, cosϕ3= 0,95, S4=−100kV A, cosϕ4= 0,95, con un reparto: Fase a b c Carga en 3 40 % 35 % 25 % Carga en 4 30 % 40 % 30 % Las longitudes de las lineas del sistema considerado son iguales a las utilizadas en los epígrafes anteriores. Resolviendo el problema de optimización, la solución que minimiza Álvaro Rodríguez del Nozal 48 Validación del modelo 220 230 Tension (V) 0 0.5 Fase a Fase b Fase c Neutro 1 2 34 Nodo (a) Caso 1.1 0 100 200 300 400 500 Corriente (A) 3.5 4 Fase a Fase b Fase c Neutro 1-2 2-3 2-3 2-4 2-4 Ramal 226 228 230 232 234 236 Tension (V) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Fase a Fase b Fase c Neutro 1 2 34 Nodo (c) Caso 2.1 0 100 200 300 400 500 Corriente (A) 3.5 4 Fase a Fase b Fase c Neutro 1-2 2-3 2-3 2-4 2-4 Ramal 232 234 236 238 240 Tension (V) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Fase a Fase b Fase c Neutro 1 2 34 Nodo (e) Caso 3.1 0 200 400 600 Corriente (A) 0 Fase a Fase b Fase c Neutro 1-2 1-2 2-3 2-3 2-4 2-4 Ramal Figura 10: Tensiones de cada fase del sistema para una conexión a tierra con una resistencia de valor 10Ω. Se consideran las tres combinaciones de generación-carga expuestas en el epígrafe. Álvaro Rodríguez del Nozal 49 Validación del modelo las pérdidas sitúa al transformador en la toma rp.u. = 0,95. A continuación se mostrarán los resultados para ambos valores de las tomas y se compararán ambos con la finalidad de mostrar las mejoras introducidas en el control de tensiones para rp.u. = 0,95. Función objetivo: P0,95 = 397,5649kW, P1= 399,3189kW Decremento de tensión en las lineas: rp.u. = 0,95 rp.u. = 1 Lnea 1−2 2 −3 2 −4 1 −2 2 −3 2 −4 Fase a 2,6894 2,2033 0,5604 3,0037 2,4702 0,6264 Fase b 2,2845 1,6704 0,6656 2,5447 1,8661 0,7429 Fase c 1,3983 0,9941 0,4228 1,5462 1,1005 0,4686 Pérdidas de potencia en líneas y transformadores: rp.u. = 0,95 Lnea 0−1 1 −2 2 −3 2 −4 P0,95(W) 3240,8829 8706,1697 5091,8827 525,6675 Q0,95(var) 10660,4283 4401,3385 2539,6040 275,2284 P1,00(W) 3274,0455 9748,7473 5709,2153 586,5672 Q1,00(var) 10769,5120 4925,5403 2845,4176 307,1008 Pérdidas en la puesta a tierra (W): rp.u. 1234 0,95 1,0511 0,0647 0,1724 0,0345 1,00 1,1844 0,0729 0,1944 0,0390 Tensión máxima y mínima alcanzada en la red: umax 0,95 =     236,7589 ∠29,1887 238,0607 ∠−92,0358 243,5055 ∠149,2530 3,2421 ∠161,4036      , umax 1,00 =     224,6482 ∠29,2449 226,0293 ∠−92,1282 231,6800 ∠149,2732 3,4415 ∠161,5197      umax 0,95 =     225,3152 ∠28,8521 228,7366 ∠−92,3411 237,7139 ∠148,8449 1,3128 ∠−4,4248      , umax 1,00 =     212,5177 ∠28,8680 216,1670 ∠−92,4669 225,5875 ∠148,8194 1,3943 ∠−4,3360      Álvaro Rodríguez del Nozal 50 Validación del modelo Como se puede observar, gracias al cambio de tomas se consigue reducir el valor de la función objetivo en 1,7540kW que son algo menos del 10 % del valor total de pérdidas de potencia activa en la red. Además, se consigue elevar el valor de la tensión existiendo un menor decremento de estas en las lineas eléctricas y por tanto pudiendo suministrar una tensión más adecuada para los nodos de consumo. 5.5. Conclusiones Este documento ha mostrado el comportamiento del modelo ante diferentes condiciones de operación. Se ha podido observar la similitud del modelo con la realidad y por tanto ha quedado validado. Posteriormente se llevarán a cabo una serie de simulaciones de sistemas eléctricos más significativos en los que el transformador trabajará a potencia nominal con un mayor número de tramos de linea y más puntos de demanda y generación. Álvaro Rodríguez del Nozal 51 Análisis de una red real 6. Análisis de una red real 6.1. Introducción Este documento introduce un caso en el que se analizará una red de distribución realista propuesta por CIGRE. Se resolverá el problema de flujo óptimo para dicha red y se compararán los resultados ante un transformador sin cambiador de tomas. Se llevarán a cabo dos casos de estudios. En el primero de ellos se tomarán los datos provenientes de 11 aplicando algunas modificaciones. En el segundo caso se introduce generación distribuida en algunos de los nudos. 6.2. Caso 1 6.2.1. Descripción del sistema La red a ensayar será la expuesta por el CIGRE. Dicha red, contará con tres zonas principales: una zona residencia; una zona industrial; y una zona comercial. En esta red hemos introducido una modificación principal introduciendo un único transformador en lugar de tres. Además, se han retirado las cargas correspondientes a los nodos adyacentes al transformador. De esta manera la red queda como la expuesta en la Figura 11. El tipo de línea considerada según el tramo y su longitud viene dado por: Ramal Origen Destino Tipo Long (m) Origen Destino Tipo Long (m) 1 1 R2 UG1 35 C1 C2 OH1 30 2 R2 R3 UG1 35 C2 C3 OH1 30 3 R3 R4 UG1 35 C3 C4 OH1 30 4 R4 R5 UG1 35 C4 C5 OH1 30 5 R5 R6 UG1 35 C5 C6 OH1 30 6 R6 R7 UG1 35 C6 C7 OH1 30 7 R7 R8 UG1 35 C7 C8 OH1 30 8 R8 R9 UG1 35 C8 C9 OH1 30 9 R9 R10 UG1 35 C3 C10 OH2 30 10 R3 R11 UG3 30 C10 C11 OH2 30 11 R4 R12 UG3 35 C11 C12 OH3 30 12 R12 R13 UG3 35 C11 C13 OH3 30 13 R13 R14 UG3 35 C10 C14 OH3 30 14 R14 R15 UG3 30 C5 C15 OH2 30 15 R6 R16 UG3 30 C15 C16 OH2 30 16 R9 R17 UG3 30 C15 C17 OH3 30 17 R10 R18 UG3 I1 I2 UG2 200 El modelo de linea viene dado por las siguientes matrices: Álvaro Rodríguez del Nozal 53 Análisis de una red real Figura 11: Red a considerar. Tipo Valor de impedancia (Ω/km) OH1 0.540 + j0.777 0.049 + j0.505 0.049 + j0.462 0.049 + j0.436 0.049 + j0.505 0.540 + j0.777 0.049 + j0.505 0.049 + j0.462 0.049 + j0.462 0.049 + j0.505 0.540 + j0.777 0.049 + j0.505 0.049 + j0.436 0.049 + j0.462 0.049 + j0.505 0.540 + j0.777 OH2 1.369 + j0.812 0.049 + j0.505 0.049 + j0.462 0.049 + j0.436 0.049 + j0.505 1.369 + j0.812 0.049 + j0.505 0.049 + j0.462 0.049 + j0.462 0.049 + j0.505 1.369 + j0.812 0.049 + j0.505 0.049 + j0.436 0.049 + j0.462 0.049 + j0.505 1.369 + j0.812 OH3 2.065 + j0.825 0.049 + j0.505 0.049 + j0.462 0.049 + j0.436 0.049 + j0.505 2.065 + j0.825 0.049 + j0.505 0.049 + j0.462 0.049 + j0.462 0.049 + j0.505 2.065 + j0.825 0.049 + j0.505 0.049 + j0.436 0.049 + j0.462 0.049 + j0.505 2.065 + j0.825 Álvaro Rodríguez del Nozal 54 Análisis de una red real Tipo Valor de impedancia (Ω/km) UG1 0.211 + j0.747 0.049 + j0.673 0.049 + j0.651 0.049 + j0.673 0.049 + j0.673 0.211 + j0.747 0.049 + j0.673 0.049 + j0.651 0.049 + j0.651 0.049 + j0.673 0.211 + j0.747 0.049 + j0.673 0.049 + j0.673 0.049 + j0.651 0.049 + j0.673 0.211 + j0.747 UG2 0.314 + j0.762 0.049 + j0.687 0.049 + j0.665 0.049 + j0.687 0.049 + j0.687 0.314 + j0.762 0.049 + j0.687 0.049 + j0.665 0.049 + j0.665 0.049 + j0.687 0.314 + j0.762 0.049 + j0.687 0.049 + j0.687 0.049 + j0.665 0.049 + j0.687 0.314 + j0.762 UG3 0.871 + j0.797 0.049 + j0.719 0.049 + j0.697 0.049 + j0.719 0.049 + j0.719 0.871 + j0.797 0.049 + j0.719 0.049 + j0.697 0.049 + j0.697 0.049 + j0.719 0.871 + j0.797 0.049 + j0.719 0.049 + j0.719 0.049 + j0.697 0.049 + j0.719 0.871 + j0.797 Por último, las cargas existente en los nodos son las siguientes: Nodo S (kV A)cosϕ R11 15 0.95 R15 52 0.95 R16 55 0.95 R17 35 0.95 R18 47 0.95 I2 100 0.85 C12 20 0.90 C13 20 0.90 C14 25 0.90 C17 25 0.90 C18 8 0.90 C19 16 0.90 C20 8 0.90 Analizando las cargas en los nodos, la potencia total demandada por los nodos de consumo serán: S=P+jQ = 388,60 + j169,56kV A. Por tanto, el transformador deberá de proveer al sistema de esa potencia más de las pérdidas originadas por el transporte de ésta hasta los diferentes nodos de consumo. La matriz de admitancias del transformador vendrá dada por la impedancia de cortocircuito del mismo que en este caso tendrá un valor de: Zcc = 21,164 + 69,616i 6.2.2. Resultados obtenidos Una vez llevado a cabo la resolución del problema de flujo de potencia óptimo obtenemos que el posicionamiento óptimo para la toma del transformador es de rp.u. = 0,95. De hecho, si considerásemos el mismo transformador modelado como uno sin cambiador de Álvaro Rodríguez del Nozal 55 Análisis de una red real tomas obtendríamos tensiones en algunos nodos de la red por debajo del valor que hemos fijado como permitido (7 % respecto a la tensión nominal). En las Figuras 14 y 13 se muestra el valor de las tensiones y corrientes para cada nodo y fase considerada incluido el neutro separados para las tres redes consideradas: Red residencial, Red Industrial y Red comercial. A continuación se presentan los resultados obtenidos realizando una comparativa para el caso óptimo y el caso en el que rp.u. = 1. Los resultados obtenidos para la red residencial son los siguientes: Valor de la función objetivo: Z1,00 = 413,74330kW, Z0,95 = 411,37576kW. Pérdidas en las lineas y transformador: rp.u. = 1 rp.u. = 0,95 Transformador Líneas Transformador Líneas P(W)3654.97505 21488.02552 3613.59472 19161.90001 Q(var)12022.52613 8274.99943 11886.41136 7379.80052 Pérdidas de puesta a tierra: rp.u. = 1 rp.u. = 0,95 P(W)0.412310 0.387285 Téngase en cuenta que la pérdida por puesta a tierra del nodo adyacente al transformador se ha considerado pérdidas de éste dada la matriz de admitancias del mismo. Tensiones máximas alcanzadas: u1(rp.u. = 1) =      225,81862 ∠28,80505 227,13462 ∠−91,41435 227,33420 ∠148,99330 0,92632 ∠−156,85671      u1(rp.u. = 0,95) =      237,84315 ∠28,81101 239,06766 ∠−91,38316 239,25281 ∠148,97740 0,86225 ∠−156,84378      Álvaro Rodríguez del Nozal 56 Anexo Anexo 1 En este epígrafe se presenta el formato que debe tener un archivo Excel para la correcta interpretación por parte de GAMS yMatlab con el fin de resolver el problema. Para ello, se introduce el archivo utilizado para resolver la red de validación del problema expuesta en la Figura 5. Figura 15: Definición de la topología de la red. Figura 16: Definición de los tipo de línea. Figura 17: Definición de los tipo de línea, límites de tensión, cargas y puestas a tierra. En las Figuras 15, 16 y 17 se muestran los parámetros introducidos. Álvaro Rodríguez del Nozal 64 Anexo Anexo 2 En este Anexo se pretende introducir un breve manual de usuario del programa desarrollado. 1. Introducir los datos de la red a resolver en el archivo Excel tal y como se ha definido en el Anexo 1. El archivo Excel debe tener el nombre Data.xlsx. 2. Con el archivo Excel generado en la misma carpeta raíz del resto de archivos, llamar desde Matlab al archivo main.m. Dicho archivo contiene toda la dinámica para la resolución del problema. 1close a l l 2clc 3format long g 4 5%Toma de datos de la hoja excel 6f p r i n t f (’Tomando datos de la hoja Excel . . . \ n ’ ) ; 7[NUM,TXT,~] = xlsread ( ’Data . xlsx ’ ,’ Hoja1 ’ ,’A1: BB100 ’ ) ; 8 9% Tratamiento de datos 10 f p r i n t f (’ Tratando los datos . . . \ n ’ ) ; 11 [ n ,m, links , linktipo , Ground ,GroundT , ltype , limpedance , LoadGen , Tap , Ulim , Uref , Us ] = x ls pr oc es s ing (NUM,TXT) ; 12 [Ac, Acf , Acx ] = topology ( l ink s ) ; 13 [ Zf , Zx ] = impedances ( links , ltype , limpedance , linktipo ) ; 14 [LGc,M1c,M2c,M3c,M4c,Mtc , invRtierra , Grig ] = cargageneracion ( LoadGen , Ground ) ; 15 [MAdmT,MAdmTi1,MAdmTi2,MAdmTi3] = trafo (GroundT , toma ) ; 16 17 % Generacion de archivo . gdx y solucion del problema 18 f p r i n t f (’Llamando a GAMS y resolviendo el problema . . . \ n ’ ) ; 19 GAMS_driver(n ,m, Acx ,Zx ,M1c,M2c,M3c,M4c, Mtc ,MAdmTi,LGc, invRtierra , Grig ) ; 20 21 % Tratameinto datos salucion de GAMS 22 f p r i n t f (’ Leyendo GDX y obteniendo resultados . . . \ n ’ ) ; 23 [ u , ui , uip , uipd , c , ci , cip , cipd , In , Ini , Inip , Inipd , F1 , F1i , F1ip , F1ipd , F2 , F2i , F2ip , F2ipd ,F3 , F3i , F3ip , F3ipd , F4 , F4i , F4ip , F4ipd , r , z , Smt] = GAMS_read(n ,m) ; 24 25 Results_LaTeX Álvaro Rodríguez del Nozal 65 Anexo 26 test 27 str El script de Matlab toma los datos del archivo Excel declarado anteriormente (líneas 5- 7), posteriormente procesa los datos obtenidos y los adapta a la sintaxis que utilizará GAMS (líneas 9-15). En las líneas de código 17-18 se genera un archivo .gdx y se llama a GAMS para la resolución del problema. Finalmente, en las líneas 21-27 se obtienen los resultados tratados para su fácil interpretación así como un string de LaTeX para poder representar directamente los resultados en texto. El archivo test.m comprueba el balance de potencias y las ecuaciones introducidas en el sistema para asegurar el correcto funcionamiento del algoritmo de resolución. Anexo 3 A continuación se presenta el programa desarrollado en GAMS. Symbols Sets Name Domains Description ig ig para tensiones nodales Re(a)Im(a)Re(b)Im(b)Re(c) Im(c)Re(n)Im(n) incluyendo nodo MT i ig para tensiones nodales Re(a)Im(a)Re(b)Im(b)Re(c) Im(c)Re(n)Im(n) BT i1 i para tensiones nodales Re(a)Im(a)Re(b)Im(b)Re(c) Im(c)Re(n)Im(n) BT sin nodo 1 i_n i para tensiones nodales Re(a)Im(a)Re(b)Im(b)Re(c) Im(c) BT i_nn i1 para tensiones nodales Re(n)Im(n) BT sin nodo 1 i_n_3 i_n para tensiones nodales Re(a)Im(a)Re(b)Im(b)Re(c) Im(c) BT sin nodo 1 Álvaro Rodríguez del Nozal 66 Anexo Name Domains Description i_n_3a i1 para tensiones nodales Re(a)Im(a)Re(b)Im(b)Re(c) Im(c) BT sin nodo 1 im im para tensiones sin diferencia real e imag iaux i_n copia de i_n islack ig para tension nodo 0 de MT y 1 de BT MTu ig MATLAB data from GDXMRW MTuRe MTu MATLAB data from GDXMRW itr ig para tensiones del trafo jg jg para corrientes en ramas Re(a)Im(a)Re(b)Im(b)Re(c) Im(c)Re(n)Im(n) incluyendo corriente trafo j jg para corrientes en ramas Re(a)Im(a)Re(b)Im(b)Re(c) Im(c)Re(n)Im(n) j2 j copia de j jtr jg corrientes trafo jtrBTr jg MATLAB data from GDXMRW jtrBTi jg MATLAB data from GDXMRW MTi jg MATLAB data from GDXMRW Parameters Name Domains Description uref islack Tension en nudo slack Ac i, j Matriz de topología de la red Zxc j2, j Matriz de impedancias LG i_n potencias activas y reactivas Álvaro Rodríguez del Nozal 67 Anexo Name Domains Description Mt i_n, i corriente inyectada en nudos 0 M1 i_n, iaux corriente inyectada en nudos 1 M2 i_n, i corriente inyectada en nudos 2 M3 i_n, iaux corriente inyectada en nudos 3 M4 i_nn, i_n_3 corriente inyectada en nudos 4 URFO MTu, MTi MATLAB data from GDXMRW eye i_n_3a, i_n_3 MATLAB data from GDXMRW invRtierra i_nn MATLAB data from GDXMRW MLT im, i_n MATLAB data from GDXMRW uls MATLAB data from GDXMRW uli MATLAB data from GDXMRW MAdmTi1 jtr, itr Matriz de admitancias del trafo MAdmTi2 jtr, itr Matriz de admitancias del trafo r MAdmTi3 jtr, itr Matriz de admitancias del trafo r2 Grig i_nn Indica si los neutros de un nodo están conectados rígidamente a tierra (1 ó 0). Variables Name Domains Description r toma del trafo u ig tension en los nudos i uC i_n tensión al cuadrado de las fases a b c Álvaro Rodríguez del Nozal 68 Anexo Name Domains Description c jg corrientes en las ramas j In i corriente inyectada en los nudos i InA i1 corriente inyectada en los nudos i contando neutros BT F1 i_n corriente inyectadas en los nudos (variable intermedia) F2 i_n corriente inyectadas en los nudos (variable intermedia) F3 i_n corriente inyectadas en los nudos (variable intermedia) F4 i_n corriente inyectadas en los nudos (variable intermedia) Smt MTu Potencia aparente desde el trafo MAdmTi *, * Matriz admitancias trafo z valor de la funcion objetivo Equations Name Domains Description slack islack tension de referencia ulims im limite en tensiones superior (sin neutro) ulimi im limite en tensiones inferior (sin neutro) cuadrado i_n tensiones al cuadrado Formatrafo jtr, itr creacion matriz admitancias trafo jtr admitancias transformador MTBT NeutroTrafor Corrientes por el neutro del trafo NeutroTrafoi Corrientes por el neutro del trafo IAmpliada1 i_n_3a Corriente inyectada en los nudos neutros a cero (fases) Álvaro Rodríguez del Nozal 69 Anexo Name Domains Description IAmpliada2 i_nn Corriente inyectada en los nudos neutros a cero (neutros) LKp1 i_n_3a primera ley LKp2 i_nn primera ley LKs j2 segunda ley LGcurrent1 iaux corrientes inyectadas en nudos LGcurrent2 i_n corrientes inyectadas en nudos LGcurrent3 i_n corrientes inyectadas en nudos LGcurrent4 iaux corrientes inyectadas en nudos LGcurrent5 i_n_3 corrientes inyectadas en nudos PdesdeT MTu Potencia aparente desde el trafo Uneutro i_nn tensiones nodales nulas cuando puesta a tierra con R = 0. FO funcion objetivo Equation Definitions slackislack urefislack −uislack = 0 ∀islack ulimsim X i_n (MLTim,i_n·uCi_n)−uls ≤0∀im ulimiim X i_n (MLTim,i_n·uCi_n)−uli ≥0∀im cuadradoi_n uCi_n=power(ui_n,2) ∀i_n Formatrafojtr,itr MAdmTijtr,itr =MAdmTi1jtr,itr +MAdmTi2jtr,itr ·r+MAdmTi3jtr,itr ·power(r,2) ∀jtr, itr trafojtr cjtr =X itr (MAdmTijtr,itr ·uitr)∀jtr Álvaro Rodríguez del Nozal 70 Anexo NeutroTrafor X jtrBT r (cjtrBT r) = 0 NeutroTrafoi X jtrBT i (cjtrBT i) = 0 IAmpliada1i_n_3a InAi_n_3a=X i_n_3 (eyei_n_3a,i_n_3·Ini_n_3)∀i_n_3a IAmpliada2i_nn InAi_nn =X i_n_3 (M4i_nn,i_n_3·Ini_n_3)−ui_nn ·invRtierrai_nn ∀i_nn LKp1i_n_3a X j (Aci_n_3a,j ·cj) = InAi_n_3a∀i_n_3a LKp2i_nn X j (Aci_nn,j ·cj)·(1 −Grigi_nn) = InAi_nn ·(1 −Grigi_nn)∀i_nn LKsj2 X i (Aci,j2·ui) = X j (Zxcj2,j ·cj)∀j2 LGcurrent1iaux F1iaux =X i (Mtiaux,i ·ui)∀iaux LGcurrent2i_n F2i_n=X iaux (M2i_n,iaux ·F1iaux)∀i_n LGcurrent3i_n F3i_n=F2i_n·Ini_n∀i_n LGcurrent4iaux F4iaux =X i (Mtiaux,i ·ui)·Iniaux ∀iaux LGcurrent5i_n_3 X iaux (M1i_n_3,iaux ·F4iaux) + X iaux (M3i_n_3,iaux ·F3iaux) = LGi_n_3∀i_n_3 PdesdeTMT u SmtMT u =X MT i (URFOMT u,MT i ·cMT i)∀MTu Uneutroi_nn ui_nn ·Grigi_nn = 0 ∀i_nn FO z=X MT uRe (SmtM T uRe) Álvaro Rodríguez del Nozal 71