Esquema de linealización con arquitectura de aprendizaje directo y regularización de Ridge

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías de Telecomunicación Esquema de linealización con arquitectura de aprendizaje directo y regularización de Ridge Autor: Elías Marqués Valderrama Tutores: Juan Antonio Becerra González y María José Madero Ayora Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías de Telecomunicación Esquema de linealización con arquitectura de aprendizaje directo y regularización de Ridge Autor: Elías Marqués Valderrama Tutor: Juan Antonio Becerra González Profesor Ayudante Doctor de Universidad María José Madero Ayora Profesora Titular de Universidad Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 Trabajo Fin de Grado: Esquema de linealización con arquitectura de aprendizaje directo y regularización de Ridge Autor: Elías Marqués Valderrama Tutores: Juan Antonio Becerra González y María José Madero Ayora El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Agradecimientos Este trabajo es el cúlmen de una etapa que ha estado llena de momentos que recordaré para siempre, donde he estado rodeado de personas que lo han hecho más especial aún, y es por esto que quiero dedicarles estas lineas. En primer lugar, quiero agradecer a mis padres, Antonio y Rosa, toda la ilusión y dedicación que han puesto en mí; a pesar de los esfuerzos que cada día ha supuesto el estudio siempre me habéis apoyado por encima de todo. Gracias por haberme entregado la Fé por encima de cualquier cosa. Gracias a mis hermanos, Abraham, Israel y Samuel, sois la mejor familia que Dios me podía regalar. Gracias a mi gran familia y a mis hermanos de comunidad, que siempre han creido en mí. Gracias a mis compañeros y amigos que me han acompañado en esta etapa, en especial a Miguel, Iván y Rubén, por todos los momentos que hemos compartido y que espero que sean muchos más. Quiero agradecer también con un cariño especial a Juan Antonio Becerra y a María José Madero, por vuestra ilusión, vuestras ganas de enseñar, la disponibilidad, el apoyo y la alegría que plasmáis en lo que hacéis. Ha sido un disfrute ser vuestro alumno. Hago especial mención a Gloria, que ha sido mi apoyo en estos cuatro años. Contigo los momentos dificiles han sido más llevaderos y las alegrías más alegres. Elías Marqués Valderrama Sevilla, 2021 I Resumen En este trabajo se pone a prueba una de las herramientas que brinda la estadística para conseguir estabilidad en las soluciones de un sistema de ecuaciones. Los modelos de doble banda requeridos en múltiples ocasiones para linealizar los sistemas de comunicaciones móviles 5G, suelen ser un problema mal condicionado algebraicamente, presentando problemas en el cálculo de la matriz inversa. Así pues, se aplica regularización de Ridge como método para la obtención de soluciones fiables y alcanzar una arquitectura de aprendizaje estable. Los resultados experimentales se han logrado para un amplificador de potencia de clase AB, cuya tarea ha sido amplificar dos señales concurrentes 5G-NR de 10 MHz de ancho de banda. Este tipo de investigaciones toma importancia debido a la complejidad que va adquiriendo progresivamente la capa física, provocando que la linealización sea un reto cada vez mayor. III XÍndice 5 Diseño experimental y resultados 31 5.1 Descripción del banco de medidas 31 5.2 Caracterización inicial 33 5.3 Aplicación de DPD-DLA 34 5.4 Aplicación de regularización de Ridge a DPD-DLA 35 5.5 Aplicación de regularización de Ridge a DPD-DLA con selección de coeficientes RC-DOMP 38 6 Conclusiones y líneas futuras 41 Apéndice A Código de MATLAB®empleado en el trabajo 43 Apéndice B Artículo de investigación 53 Índice de Figuras 59 Índice de Tablas 61 Índice de Códigos 63 Bibliografía 65 Glosario 67 Notación RCuerpo de los números reales CCuerpo de los números complejos kvkNorma del vector v kAkNorma de orden rde la matriz A A−1Inversa de la matriz A A†Matriz pseudoinversa de la matriz A AHTranspuesto y conjugado de A sen Función seno cos Función coseno sinnxFunción seno de xelevado a n cosnxFunción coseno de xelevado a n δ(t)Función Delta de Dirac F −→ Aplicación de la Transformada de Fourier dy dxDerivada de yrespecto de x n!Factorial de n I(MxM)Matriz identidad de dimensión M 0(MxL)Matriz de ceros de dimensión MxL diag(A)Vector diagonal de la matriz A kxkNorma-2 del vector x xi,i=1,2,...,nElementos i,de1an, del vector x ≤Menor o igual ≥Mayor o igual Mucho mayor que ≈Aproximadamente igual E[x]Esperanza matemática de x RxMatriz de correlación de x ˆxValor estimado de x tr[A]Traza de la matriz A A←BAsignación A⊗BProducto tensor Kronecker de las matrices A y B Col(A)Espacio columna de la matriz A PXOperación de proyección sobre el conjunto X ∅Conjunto vacío i/∈S i no pertenece a S A∪BUnión de los conjuntos A y B XI 1 Introducción La vida es como montar en bicicleta. Para mantener el equilibrio debes seguir moviéndote. Albert Einstein, 1930 Desde el comienzo de los tiempos el ser humano ha tenido la necesidad de comunicarse. En cuanto a las comunicaciones a distancia se han ido reinventando distintos métodos para hacer llegar un mensaje al destino deseado. Así pues las telecomunicaciones constituyen el arte del modelado de las ondas electromagnéticas con fin de conseguir que las comunicaciones a distancia sean sencillas y universales. Desde las primeras generaciones de comunicaciones móviles hasta nuestros días esta necesidad ha ido transformándose, desde un servicio dedicado al envío de voz, hasta la irrupción de las app, video in streaming, etc, donde la tasa de datos es fundamental. Además, con el paso del tiempo, el servicio móvil ha ido instaurándose en la sociedad, convirtiéndose en una herramienta fundamental e indispensable. Estas nuevas necesidades han supuesto un desafío tecnológico con una evolución sin precedentes. Desde el paso a las comunicaciones digitales con la segunda generación móvil se empieza a ofrecer servicios de mensajería móvil como el SMS, que poco a poco fue derivando en un mayor consumo debido a su popularidad. El aumento del mercado ha ido propiciando la evolución de las generaciones móviles, que por lo general han centrado sus esfuerzos en satisfacer la creciente demanda en velocidad de datos, conectividad, y cantidad de equipos conectados. La llegada de 5G supone un punto de inflexión en cuanto al enfoque. Si bien 4G con LTE-A pretende alcanzar una solución a largo plazo, el abanico de servicios demandados es cada vez más amplio gracias a la evolución tecnológica. En este escenario se lanza 5G, que además de mejorar la tasa de datos, ofrece soluciones específicas de alta tasa, conectividad ultrafiable y conectividad en áreas de alta demanda. Destaca el empleo de la técnica de agregación de portadora (CA) para aumentar la tasa de transmisión proporcionada al usuario, que da lugar a bandas de transmisión concurrentes. Uno de los compromisos de 5G es la eficiencia energética, con el fin de ir evolucionando a unas comunicaciones más sostenibles. Es por esto que se dedican grandes esfuerzos en el diseño de los transceptores, y más concretamente en el amplificador de potencia (PA), que constituye el subsistema más crítico en cuanto a eficiencia en potencia. A simple vista parece un problema irremediable, ya que gran parte de la potencia que se suministra al PA se disipa en forma de calor, siendo este comportamiento inherente al dispositivo. Además se debe refrigerar convenientemente para que no se sobrecaliente, hecho que supone un aumento mayor en el consumo eléctrico de los transceptores. Pero no se trata del único factor que contribuye en la ineficiencia del amplificador, sino que existe otro fenómeno relacionado con su comportamiento. Este es debido al punto de funcionamiento al que se somete el amplificador, ya que, dado que es costoso hacer que funcione, se busca aprovechar al máximo su capacidad de generar una potencia elevada a la salida. Así pues, se trabaja con potencias de entrada muy cercanas al punto de saturación del PA, y debido a las características de la señal modulada, el amplificador termina por saturar. De manera que al conjunto de los problemas térmicos que degradan la eficiencia, se suman la saturación y los efecos no lineales, que convierten al PA en un sistema que introduce una fuerte componente de distorsión en la señal, además de provocar recrecimiento espectral. Es por esto que se invierte tanto esfuerzo en desarrollar técnicas que permitan linealizar el sistema, para que además de conseguir una amplificación lineal, la señal enviada tenga las prestaciones adecuadas. En concreto la técnica de predistorsión digital consiste en diseñar un bloque no lineal cuyo comportamiento 1 2Capítulo 1. Introducción sea el inverso al que produce el PA. Para ello se requiere modelar correctamente el comportamiento del amplificador, donde destacan las series de Volterra ampliamente utilizadas en la literatura. La exigencia en cuanto a la precisión de los modelos y el empleo de señales en doble banda, provoca que a menudo se empleen modelos de Volterra excesivamente grandes, que derivan en ocasiones en problemas numéricos. Es por esto que se hace uso de distintas técnicas para la reducción de la complejidad y la estabilización de las soluciones como la regularización de Ridge, que será ampliamente estudiada en este trabajo. Así pues, el objetivo de este trabajo consiste en el estudio de la regularización de Ridge, como técnica principal, en combinación con otros métodos de reducción de complejidad, para así alcanzar la estabilidad, manteniendo al máximo las prestaciones del sistema. Dado que se trata de un problema ampliamente estudiado, presenta multitud de soluciones posibles, cada cual enfocada en un matiz distinto. Es por esto por lo que se profundizará en la naturaleza de la inestabilidad, para así asociar el método con la causa, pudiendo establecer comparaciones que ahonden en los veneficios de emplear dichas técnicas. De manera que este documento comenzará con una introducción teórica a los sistemas no lineales en el Capítulo 2, con fin de motivar y caracterizar el problema. Seguidamente, en el Capítulo 3, se presentarán las técnicas de modelado, en las que se fundamenta la predistorsión digital y las arquitecturas de implementación para la identificación de sus coeficientes. En el Capítulo 4 se presentarán distintos métodos para abordar los problemas numéricos, y finalmente se pondrán a prueba experimentalmente en el Capítulo 5. 2 Amplificador de potencia como sistema no lineal La visión sin acción es un sueño. Acción sin visión es simplemente pasar el tiempo. Acción con visión es hacer una diferencia positiva. Jack Welch En telecomunicaciones, clasicamente se entiende un sistema como una caja negra que recibe una serie de entradas y devuelve un conjunto de salidas. El sistema estará definido en función de la relación que guarden las entradas con las salidas, por lo que este apartado tratará de definir el dispositivo a partir de dichas relaciones. Dado que el dispositivo con el que se va a trabajar es de una entrada y una salida la explicación se centrará en este caso. Así pues, sea x(t) una señal continua, se define un sistema como aquel dispositivo capaz de transformar la señal x(t) en otra señal y(t) , denominada señal transformada, siendo T[·] una operación de transformación a definir. x(t)→Sistema →y(t) y(t) = T[x(t)] x(t)→y(t) Figura 2.1 Representación de un sistema. De modo que los sistemas se clasificarán en función de las características de la transformación T[·]. 2.1 Definición de sistemas lineales e invariantes en el tiempo Debido a sus propiedades, los sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI) son los más interesantes en cuanto a la integridad de una señal, y es por esto que son preferibles siempre que se puedan emplear. Se define un sistema lineal como aquel que cumple el principio de superposición. Sean las salidas y1(t), ..., yN(t) correspondientes a las entradas x1(t), ..., xN(t)se cumple el principio de superposición si y solo si N ∑ n=1 αnxn(t)→ N ∑ n=1 αnyn(t),(2.1) donde αn∈C e yn(t) representa la n-ésima salida correspondiente a la entrada xn(t) . Cabe destacar que esta relación depende únicamente del tipo de transformación que defina el sistema, es decir, de T[·]. Del mismo modo, se define un sistema invariante en el tiempo como aquel que cumple la relación mostrada en la Figura 2.2. Esto quiere decir que el sistema responde de la misma forma independientemente del instante de tiempo en el que se introduzca la señal x(t). 3 4Capítulo 2. Amplificador de potencia como sistema no lineal x(t)→y(t) x(t−t0)→y(t−t0) Figura 2.2 Sistema invariante en el tiempo. En sistemas lineales e invariantes en el tiempo se trabaja con la respuesta impulsiva del sistema, que se define como la salida cuando x(t) = δ(t) , pudiendo expresar la relación entre la entrada y la salida como una convolución. Se trata de una característica distintiva de los sistemas LTI, por ende, si se identifica que un sistema cumple esta operación puede decirse que es LTI. δ(t)→Sistema →h(t) x(t)→h(t) →y(t) y(t) = h(t)∗x(t) = Z∞ −∞h(τ)x(t−τ)dτ Figura 2.3 Respuesta impulsiva de un sistema. Particularmente, el tipo de comportamiento que se desea que cumpla el PA es el de un escalado en magnitud, es decir, h(t) = gvδ(t) , siendo gv la ganancia en amplitud. En otras palabras, la relación entre la potencia de entrada y la potencia de salida debe ser una dependencia lineal, cuya pendiente sea la ganancia del amplificador g. 0 5 10 15 20 25 30 Potencia de entrada [W] 0 10 20 30 40 50 60 Potencia de salida [W] g = 1 g = 2 g = 3 Figura 2.4 Potencia de salida frente a potencia de entrada con tres ganancias diferentes. Para evaluar la invariabilidad en el tiempo sería necesaria una tercera dimensión en la Figura 2.4 con la que se observaría un plano. 2.2 Amplificador de potencia como sistema no lineal con memoria Los sistemas comentados en la sección anterior son ideales y se alejan bastante de la realidad. El primer motivo es la conservación de la energía. Dado que el dispositivo tiene una capacidad de generación de potencia 2.2 Amplificador de potencia como sistema no lineal con memoria 5 limitada, existe un potencia de entrada a partir de la cual el PA no es capaz de mantener una dependencia lineal. En segundo motivo es el hecho de que se trata de un dispositivo electrónico, que cambiará sus prestaciones en función de la temperatura, y debido a que en general el punto de polarización es elevado, el dispositivo tiende a calentarse. De manera que a priori es posible predecir que el comportamiento del amplificador no va a ser el de un sistema LTI. Comenzando por el dominio de la señal, según [ 1 ] se define un sistema no lineal como se muestra en la Figura 2.5. x(t)→SNL →yNL(t) = a1x(t−τ1)+ a2x(t−τ2)2+...+anx(t−τn)n Figura 2.5 Sistema no lineal. En consecuencia, aparecen nuevos términos retrasados y no lineales. En los casos en los que x(t) tuviese una magnitud pequeña podrían despreciarse los términos polinómicos. Esto sería deseable, pero no es compatible con la idea de conseguir una potencia de salida elevada, debido a que el amplificador no siempre tiene una ganancia alta. Esta circunstancia suele forzar a que la amplitud de la señal de entrada sea la mayor posible. Así pues, si se emplea la señal x(t) = A(t)cos[ωct+θ(t)],(2.2) donde se permite una modulación en amplitud o en fase indistintamente, y se cuenta únicamente con los tres primeros términos por simplicidad, la señal de salida del sistema no lineal será: yNL(t) = a1A(t−τ1)cos[ωct+θ(t−τ1)−φ1] +a2A(t−τ2)2cos[ωct+θ(t−τ2)−φ2]2 +a3A(t−τ3)3cos[ωct+θ(t−τ3)−φ3]3, (2.3) donde φj=ωcτj es un desplazamiento en la fase. Desarrollando las potencias de los cosenos se obtiene finalmente: yNL(t) = a1A(t)cos[ωct+θ(t)−φ1] +1 2a2A(t)2+1 2a2A(t)2cos[2ωct+2θ(t)−2φ2] +3 4a3A(t)3cos[ωct+θ(t)−φ3] +1 4a3A(t)3cos[3ωct+3θ(t)−3φ3] (2.4) donde se ha despreciado el retardo τk por la diferencia en la velocidad de variación entre la señal envolvente o la fase moduladora en relación con la portadora. Cada uno de los términos con frecuencia angular kωcse denomina armónico, donde la frecuencia fundamental se corresponde con el coseno con frecuencia angular ωc. Tal y como puede verse en la Figura 2.6, la forma de la señal a la entrada del sistema se ha visto fuertemente alterada. A la diferencia entre la señal de entrada escalada y la salida se le denomina distorsión. La primera implicación que puede extraerse de este análisis se intuye por conservación de la energía, es decir, la energía que entra al sistema tiene que salir de él. Teniendo esto presente puede interpretarse el fenómeno de la distorsión como un reparto de energías. Esto quiere decir que, idealmente se espera que el sistema asigne toda la energía al primer término de (2.4) . Sin embargo, el amplificador invierte parte de su capacidad en generar términos no deseados y aplicando así menos potencia al término de señal. Por otro lado se debe analizar el espectro. Para ello es conveniente aplicar la transformada de Fourier a la expresión de la Figura 2.5. Considerando φj≃0 , modulación en amplitud, y agrupando las amplitudes de los distintos cosenos en los términos vjse reescribe la ecuación (2.4) como: yNL(t) = v0+v1cos[ωct]+ v2cos[2ωct]+...+vncos[nωct],(2.5) cuya transformada sería: yNL(t)F −→ YNL(f) = v0δ(f) +v1δ(f−fc)+ v2δ(f−2fc)+... +vnδ(f−nfc).(2.6) 6Capítulo 2. Amplificador de potencia como sistema no lineal 0 0.5 1 1.5 2 t [ms] -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Amplitud de señal [V] Señal de entrada x(t) Primer armónico Tercer armónico Quinto armónico Señal de salida yNL(t) Figura 2.6 Descomposición de la salida yNL en tres de sus armónicos. Como la señal de entrada sólo tenía la frecuencia fc , se deduce que el sistema ha generado frecuencias nuevas cada kfc . A estas frecuencias se les da el nombre de frecuencias espurias, que son los armónicos ya mencionados. En definitiva, este fenómeno presenta la problemática de que distribuye la potencia de salida en armónicos que estropean la señal. 2.3 Caracterización de un sistema no lineal Aunque los sistemas LTI presentan grandes ventajas, son sistemas ficticios, ya que lo habitual es que lo dispositivos reales presenten un comportamiento no lineal. No obstante, sería posible marcar un umbral a partir del cual considerar que un dispositivo es lineal. La forma de comprobar cuán no lineal es un dispositivo es mediante una caracterización experimental, realizando medidas que sean capaces de cuantificar los efectos de la no linealidad. Por consiguiente, el sistema se puede caracterizar en base a las medidas que se exponen a continuación. 2.3.1 Prueba de un tono Esta prueba consiste simplemente en poner en práctica la teoría del Apartado 2.2. Si un sistema lineal cumple que dada la entrada x(t) = Ain cos(2πfct),(2.7) su salida debe ser y(t) = Aout(f)cos[2πfct+φout(f)].(2.8) Por lo tanto, si el dispositivo bajo prueba (DUT) es no lineal, su salida será: y(t) = ∞ ∑ k=1 Aoutk(f,Ain)cos[2πkfct+φoutk(f,Ain)].(2.9) Este efecto puede verse fácilmente en un analizador de espectro. Como ya se ha mencionado anteriormente, la aparición de los armónicos se debe a un reparto en la potencia que suministra el amplificador. De tal forma que si se hace una comparativa entre la potencia asignada al armónico fundamental y la potencia entregada al 2.3 Caracterización de un sistema no lineal 7 resto de armónicos se puede obtener un valor numérico relativo a la no linealidad del dispositivo THD = v u u t1 TZT 0"∞ ∑ j=2 Aoutk(f,Ain)cos[2πkft +φoutk(f,Ain)]#2 dt s1 TZT 0Aout1(f,Ain)cos[2πkft +φout1(f,Ain)]2dt ,(2.10) donde THD significa distorsión armónica total. Por otro lado, la amplitud del armónico fundamental en la salida depende también de Ain , como puede verse en (2.9) y (2.10) . Esto es lo que provoca el fenómeno de compresión, que será comentado en 2.3.3. 2.3.2 Prueba de dos tonos Si bien la prueba de un tono es capaz de determinar si un sistema es lineal o no, aporta poca información. Concretamente la prueba de un tono no es capaz de determinar cómo afecta una señal en un canal adyacente al canal de interés. Es por esto que se repite el mismo experimento pero incluyendo otro tono a otra frecuencia distinta x(t) = A1,in cos(2πf1t)+A2,in cos(2πf2t).(2.11) Por lo tanto, ahora el sistema distorsionará ambas señales, en la forma y(t) = ∞ ∑ n=1 Aoutn(f,A1,in,A2,in)cos2πfnt+φoutn(f,A1,in,A2,in)con fn=mf1+kf2para m,k∈Z, (2.12) donde además se define el orden de intermodulación como n=|m|+|k| . Es necesario prestar especial atención a la intermodulación de orden tres, ya que, como se muestra en la Figura 2.7, provoca productos de mezcla a frecuencias muy cercanas a la señal de interés. Destaca como figura de mérito de esta medida el punto de intercepto de tercer orden [2]. |Y(f)| f f2- f1 f1f2 f1+ f2 2f2 2f1 2f2- f1 2f1- f23f13f2 Figura 2.7 Resultado de la prueba de dos tonos. En azul se presentan las frecuencias de interés f1 y f2 , en rojo el segundo y tercer armónico y en discontinuo los productos de intermodulación de segundo y tercer orden. 14 Capítulo 3. Modelado y linealización En este caso existe un matiz que hace que modelar el PA no sea abordable empleando esta aproximación, y es el hecho de que, si bien se trata de un sistema no lineal, también presenta memoria. Esto quiere decir que la respuesta que tenga el dispositivo ante una entrada en un instante t1 depende de las entradas en instantes anteriores. Por otro lado, hay que tener en cuenta que se conoce parte del sistema que se va a modelar, ya que un amplificador al fin y al cabo sigue un diseño electrónico cuyos componentes son conocidos. Ya en el siglo XIX Vito Volterra formuló una serie capaz de aproximar una función con efectos de memoria, y no fue hasta 1942 cuando Norbert Wiener comenzase a aplicar esta herramienta tan potente con un enfoque circuital. Esta estimación se conoce como serie de Volterra y fue capaz de revolucionar el análisis de sistemas, tratándose de un objeto de estudio que sigue vigente en la actualidad. Así pues, siguiendo el estilo de las series de Taylor se puede expresar la serie de Volterra como y(t) = ∞ ∑ p=1 yp(t),(3.4) según [5], donde cada término denominado funcional sigue la forma yp(t) = Z∞ −∞Z∞ −∞...Z∞ −∞hp(τ1,τ2,...,τp)x(t−τ1)x(t−τ2)...x(t−τp)dτ1dτ2... dτp.(3.5) De manera que los efectos de memoria están contenidos en los sucesivos retrasos τ1,...,τP . La expresión (3.5) contiene infinitas combinaciones entre los retrasos de la señal x(t) , denominados regresores. No se puede perder de vista que la serie de Volterra se genera teniendo en cuenta el comportamiento de distintas entidades circuitales, de modo que cada regresor representa una aportación de la respuesta del circuito. Por otro lado, las ponderaciones h(τ1,τ2,...,τP)representan el kernel de la serie. Para que (3.5) sea manejable y útil, requiere ser discretizada y truncada. Así pues, definiendo P como el órden máximo y Qcomo la profundidad de memoria, es decir, la cantidad de retrasos de la señal a tener en cuenta, se reescribe la serie de Volterra como y[k] = ∞ ∑ p=1 yp[k]≈ P ∑ p=1 Q ∑ q1=0 ... Q ∑ qP=0 hp[q1,...,qp] p ∏ j=1 x[k−qj].(3.6) Nótese que la p en el productorio está en minúsculas, lo que significa que este límite variará en función del índice del funcional. También cabe destacar que a partir de ahora los retrasos qp ya no indican tiempo, sino que son números enteros, ya que la señal ahora es discreta y la memoria se indica en muestras, no en tiempo. Además a partir de ahora se empleará = en lugar de ≈ , por simplicidad en la notación, ya que se entiende que al haber truncado la serie se trata de una aproximación. Debe tenerse en cuenta que la ecuación (3.6) está escrita para señales reales, por lo que se denomina comúnmente serie de Volterra en RF (radiofrecuencia). Teniendo en cuenta que puede ser deseable trabajar con muestras de la envolvente compleja de la señal en banda base, sería conveniente reescribir (3.6) de la siguiente forma según [7]: y[k] = M ∑ m=0 Q ∑ q1=0 ... Q ∑ q2M+1=0 h2m+1[q1,...,q2m+1] m+1 ∏ j=1 x[k−qj] 2m+1 ∏ j=m+2 x∗[k−qj],(3.7) donde p=2m+1 es el orden impar p-ésimo de no linealidad. Es importante no perder de vista que las señales ahora están en banda base y con el fin de no llegar confusión en cuanto al significado de x[k] e y[k] se hace la siguiente aclaración: siempre que se mencione que el modelo es en banda base, o se encuentren términos del estilo |x[k−qj]|p se debe entender que se están empleando las muestras de la envolvente compleja, en lugar de la señal en RF. Por último, en [8] se justifica que es posible emplear también los órdenes ppares. Llegados a este punto sería necesaria una modificación en la expresión (3.6) para acercar el modelo a una interpretación circuital. Con esto se quiere decir que, si bien el modelo surge por sí solo de la intención de modelar un sistema no lineal con memoria, la interpretación de cómo afecta cada término a la integridad de la señal es un tanto ardua. Es por esto que se propone una modificación en la realización de los sumatorios con fin de alcanzar una cierta semejanza con la teoría de sistemas. Así pues, siguiendo el razonamiento de [9], si se emplea una representación con coordenadas diagonales donde nl=ql+1−q1,l=1,2,...,p−1,(3.8) 3.1 Modelos basados en series de Volterra 15 puede reescribirse cada funcional de serie de Volterra como: yp[k] = Q ∑ n1=−Q ... Q ∑ np−1=−Q gp n1,...,np−1[k]∗vn1,...,np−1[k],(3.9) donde se define la nueva señal vn1,...,np−1[k] = x[k] p−1 ∏ l=1 x[n−nl].(3.10) Además ∗denota convolución unidimensional y gp n1,...,np−1[k] = hp[k,k+n1,...,k+np−1].(3.11) es un filtro lineal determinado por hp . De manera que el funcional yp[k] está compuesto por la superposición del filtrado lineal de las señales vn1,...,np−1[k], tal y como se muestra en la Figura 3.1. Figura 3.1 Descomposición del funcional yp[k] como superposición de filtrados lineales. En la figura u(k) representa x[k] , y m−1 es equivalente a Q . Gn1,...,np−1(ω) es la transformada de Fourier en tiempo discreto de gp n1,...,np−1[k][9]. Así pues, la expresión (3.9) permite entender el sistema como una no linealidad seguida de un conjunto de filtros lineales. Este enfoque, entre otras cosas, permite no perder de vista el hecho de que la señal de entrada se convoluciona con el sistema para obtener la señal de salida. De manera que tal y como muestra la Figura 3.1, la expresión (3.6) es equivalente a un conjunto de convoluciones unidimensionales, constituyendo por tanto, una convolución p-dimensional. Por último se debe incidir en que se ha llegado a la expresión (3.6) por necesidad, para así poder trabajar con el modelo en software o implementarlo en placas programables como las Field-programmable gate array (FPGA). Este modelo se conoce como Full Volterra (FV), y aun tratándose de una operación digital, la serie de Volterra obtenida es demasiado extensa, por lo que la carga computacional sería excesiva. De manera que este modelo requiere de simplificaciones que lo hagan más funcional. 3.1.1 Memory Polynomial (MP) Cabe destacar que, de la ecuación (3.3) (memoryless) a (3.6) (FV), se pasa de una aproximación pobre a una con demasiados términos. Así pues, una consideración que se efectúa sobre el modelo completo es plantear la hipótesis de que los regresores de mayor interés son aquellos que tienen el mismo retraso en todos sus factores. Este resultado es fruto de suponer banda estrecha sobre el modelo generalizado de Hammerstein [ 5 ]: yGH[k] = P ∑ p=1 Q ∑ q=0 hp[q]x[k−q]p,(3.12) donde el hecho de suponer banda estrecha permite afirmar que las combinaciones de interés son aquellas en las que los factores reales y complejos se diferencian en uno, es decir, tienen la forma x[k]|x[k−q]|p−1 para 16 Capítulo 3. Modelado y linealización p impar, llegando así a la aproximación en banda base similar según [ 10 ] a la de Kim y Konstantinou [ 11 ]: yMP[k] = P ∑ p=1 Q ∑ q=0 hp[q]x[k−q]|x[k−q]|p−1,(3.13) donde el vector de memorias [q1,...,qp] ha quedado reducido a una sola componente [q] . Obsérvese que según [8] puede usarse ppar. 3.1.2 Generalized Memory Polynomial (GMP) Aunque el modelo MP ha sido ampliamente utilizado a principios de siglo, se trata de un modelo demasiado restringido. El hecho de suponer que sólo existen componentes no lineales con un retraso común se aleja en cierta medida de la realidad. Así pues, en [ 5 ] se propone la inclusión de términos cruzados, definiendo el modelo GMP como yGMP[n] = ∑ k∈Ka ∑ l∈La aklx[n−l]|x[n−l]|k +∑ k∈Kb ∑ l∈Lb ∑ m∈Mb bklmx[n−l]|x[n−l−m]|k +∑ k∈Kc ∑ l∈Lc ∑ m∈Mc cklmx[n−l]|x[n−l+m]|k, (3.14) donde se ha cambiado la notación, siendo en este momento n el índice de muestra. Las letras K,L y M representan conjuntos, dejando a libre elección la eliminación de aquellos términos de la serie que se consideren menos relevantes. Así pues, los términos que forman parte del conjunto Ka∪La representan justamente el modelo MP, el conjunto Kb∪Lb∪Mb son regresores compuestos por la combinación de la envolvente actual con la envolvente retrasada y el conjunto Kc∪Lc∪Mcla combina con su adelanto. 3.1.3 Modelos bidimensionales Si bien los modelos anteriores están formulados para estudiar el comportamiento del amplificador ante una entrada con una frecuencia concreta, no siempre es el escenario de funcionamiento. Además, con la irrupción de CA es habitual tener modulación en más de una banda, de modo que en esta sección se plantea un modelado para una amplificación en doble banda concurrente. Este escenario se puede asemejar a una prueba de dos tonos en la que las señales presentan un ancho de banda y están más distanciadas en frecuencia, tal y como se presenta en la Figura 3.2. (a) (b) Figura 3.2 Espectro de la señal en: (a) la entrada y (b) la salida de un transmisor dual. [12]. 3.1 Modelos basados en series de Volterra 17 Así pues, Bassam [ 12 ] desarrolla un modelo a partir del MP que tiene en cuenta dos señales de entrada separadas en frecuencia un cierto offset, llegando a la expresión y1[n] = Q ∑ p=0 P ∑ p=0 R ∑ r=0 h(1) prqx1[k−q]|x1[k−q]|p−r|x2[k−q]|r y2[n] = Q ∑ p=0 P ∑ p=0 R ∑ r=0 h(2) prqx2[k−q]|x2[k−q]|p−r|x1[k−q]|r. (3.15) Este modelo se denominará 2D-MP o MP bidimensional. Como ya se ha comentado en la Sección 3.1.2, el modelo MP es un tanto pobre. Es por esto que se puede hacer la misma extensión de regresores sobre el modelo bidimensional, formulando así el 2D-GMP [13] como: y1[n] = ∑ k∈KIB a ∑ l∈LIB a aIB kl x1[n−l]|x1[n−l]|k +∑ k∈KIB b ∑ l∈LIB b ∑ m∈MIB b bIB klmx1[n−l]|x1[n−l−m]|k +∑ k∈KIB c ∑ l∈LIB c ∑ m∈MIB c cIB klmx1[n−l]|x1[n−l+m]|k +∑ k∈KCB a ∑ l∈LCB a aCB kl x1[n−l]|x2[n−l]|k +∑ k∈KCB b ∑ l∈LCB b ∑ m∈MCB b bCB klmx1[n−l]|x2[n−l−m]|k +∑ k∈KCB c ∑ l∈LCB c ∑ m∈MCB c cCB klmx1[n−l]|x2[n−l+m]|k +∑ k1∈KMX1 a ∑ k2∈KMX2 a ∑ l∈LMX a aMX k1k2lx1[n−l]|x1[n−l]|k1|x2[n−l]|k2 y2[n] = ∑ k∈KIB a ∑ l∈LIB a aIB kl x2[n−l]|x2[n−l]|k +∑ k∈KIB b ∑ l∈LIB b ∑ m∈MIB b bIB klmx2[n−l]|x2[n−l−m]|k +∑ k∈KIB c ∑ l∈LIB c ∑ m∈MIB c cIB klmx2[n−l]|x2[n−l+m]|k +∑ k∈KCB a ∑ l∈LCB a aCB kl x2[n−l]|x1[n−l]|k +∑ k∈KCB b ∑ l∈LCB b ∑ m∈MCB b bCB klmx2[n−l]|x1[n−l−m]|k +∑ k∈KCB c ∑ l∈LCB c ∑ m∈MCB c cCB klmx2[n−l]|x1[n−l+m]|k +∑ k2∈KMX2 a ∑ k1∈KMX1 a ∑ l∈LMX a aMX k2k1lx2[n−l]|x2[n−l]|k2|x1[n−l]|k1, (3.16) donde IB denota intra-band y recoje distorsión de la señal consigo misma, CB significa cross-band referido a los términos de una banda que afectan a la otra y MX mixed-band que es una mezcla entre el efecto IB y CB. Por lo tanto el modelo 2D-GMP sería la versión generalizada del 2D-MP, ya que tiene en cuenta todos los aspectos que recoge el 2D-MP y además contempla desfases en el índice de memoria. De manera que el modelo de cada banda queda resumido en 18 conjuntos que siguen el mismo razonamiento que en el GMP. 3.1.4 Expresión en forma matricial Es de gran utilidad a nivel de software e implementación poder definir el modelo de forma compacta mediante una matriz, ya que las operaciones matriciales han sido ampliamente desarrolladas y la mayoría de ellas 18 Capítulo 3. Modelado y linealización tienen una electrónica optimizada. Además, tomar este tipo de notación para expresar las series anteriormente mencionadas permite aplicar sobre ellas toda la teoría del algebra. Para no perder generalidad se comenzará reescribiendo el modelo FV, el cual se recupera a continuación: y[k] = ∞ ∑ p=1 yp[k]≈ P ∑ p=1 Q ∑ q1=0 ... Q ∑ qp=0 hp[q1,...,qp] p ∏ j=1 x[k−qj].(3.17) De partida, el argumento del conjunto de sumatorios presenta una problemática, y es que su dimensión va aumentando conforme lo hace p . Esto puede apreciarse observando algunas realizaciones, por ejemplo suponiendo P=2yQ=2: 2 ∑ p=1 yp[k] = 2 ∑ q1=0 hp[q1,...,qp] p ∏ j=1 x[k−qj]+ 2 ∑ q1=0 2 ∑ q2=0 hp[q1,...,qp] p ∏ j=1 x[k−qj] =h1[0]x[k]+h1[1]x[k−1]+h1[2]x[k−2] +h2[0,0]x[k]2+h2[0,1]x[k]x[k−1]+h2[0,2]x[k]x[k−2] +h2[1,0]x[k−1]x[k]+h2[1,1]x[k−1]2+h2[1,2]x[k−1]x[k−2] +h2[2,0]x[k−2]x[k]+h2[2,1]x[k−2]x[k−1]+ h2[2,2]x[k−2]2, (3.18) donde puede verse que existen regresores repetidos que en general podrían estar ponderados por coeficientes diferentes. Como ya se comentaba anteriormente, tanto hp[q1,...,qp] como ∏p j=1x[k−qj] , aumentan su dimensión con p . Pero la ventaja que presenta la serie es que, como puede verse en el ejemplo, la operación tiene forma de producto escalar. De manera que puede definirse el vector hpcomo: hp= [h1[0],...,h1[Q],h2[0,0],h2[0,1],...,h2[Q,Q]...,hP[0,0,...,0],...,hP[Q,Q,...,Q]] (3.19) definiendo la matriz de regresores en función de sus columnas como: X=[x[k],x[k−1],...,x[k−Q],x[k]x[k],x[k]x[k−1],...,x[k−Q]x[k−Q],..., x[k](P) ···x[k],...,x[k−Q](P) ···x[k−Q]]. (3.20) Extrapolando este desarrollo al GMP el resultado sería: h= [a[Ka,La],b[Kb,Lb,Mb],c[Kc,Lc,Mc]],(3.21) donde se efectúa la indexación de los conjuntos en su respectivo orden. Por otro lado, Xserá de la forma: X=              x[0]x[−1]... x[−Q]x[0]|x[0]|2... x[−Q]|x[−Q]|2... x[1]x[0]... . . .x[1]|x[1]|2... . . . x[2]x[1]... x[−1]x[2]|x[2]|2... x[−1]|x[−1]|2... x[3]x[2]... x[0]x[3]|x[3]|2... x[0]|x[0]|2... . . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . . x[N]x[N−1]... x[N−Q]x[N]|x[N]|2... x[N−Q]|x[N−Q]|2...              ,(3.22) siendo este un extracto de la matriz. Es importante destacar que, las muestras indicadas con un índice negativo son aquellas tomadas en los instantes previos a la muestra que se ha tomado como referencia de inicio, para así poder contemplar los efectos de la memoria. Por último, si se denomina a la cantidad de muestras como N , y al número de regresores como M , se tiene que y∈CNx1 , X∈CNxM y que h∈CMx1 , quedando dimensionadas las entidades de interés. Desde este momento, Xse denominará matriz de regresores. 3.2 Identificación de coeficientes del modelo: Regresión 19 3.2 Identificación de coeficientes del modelo: Regresión La regresión es el mecanismo mediante el cual se puede estimar la relación entre distintas variables. Si bien los modelos propuestos se ciñen bastante bien al comportamiento del amplificador, se debe asumir con total certeza que éstos nunca serán capaces de imitarlos a la perfección. Esta presunción se traduce en expresar el resultado del modelo como una estimación, es decir, teniendo presente que se comete un cierto error: y=Xh+e,(3.23) donde e∈CNx1 representa el vector de error muestral, y el resto de entidades han sido definidas en la sección anterior. Esta aproximación tiene unas implicaciones muy fuertes sobre el modelo elegido, que pueden ser comprendidas desde un punto de vista algebráico. Así pues, la ecuación (3.23) debe entenderse como la proyección del vector y en una base del subespacio Col(X) donde las coordenadas de las componentes de dicha base están representadas en h . Este enfoque será desarrollado en profundidad en el siguiente capítulo. El motivo de que se asuma un error e viene impuesto por la elección del modelo, ya que no es posible modelar todas las componentes del vector y y la predicción sobre cada componente también puede albergar un cierto error. De modo que, como se trata de una estimación, se emplea la siguente notación: ˆ y=Xˆ h,(3.24) donde ˆ y=y+e . El vector e será por tanto una combinación entre las componentes de error dentro del espacio CNxM y las proyecciones de las componentes de error que quedan fuera del modelo sobre dicho subespacio, por lo que es deseable incluir una gran cantidad de regresores. Así pues, el objetivo principal de la regresión consiste en encontrar el vector de coeficientes ˆ h que haga mínimo el error cuadrático medio. La aproximación más intuitiva para abordar este problema es aplicar mínimos cuadrados (LS), es decir, minimizar la suma residual de cuadrados RSS. El resultado sería, ˆ hLS =X†y,(3.25) donde el subíndice LS denota que se ha empleado el estimador de mínimos cuadrados y X† representa la pseudo-inversa de Moore-Penrose, que se obtiene como: X†= (XHX)−1XH= (R)−1XH,(3.26) y donde Res la matriz de autocorrelaciones muestrales. 3.3 Predistorsión digital Una vez desarollado todo el modelado se presenta esta sección como nexo de unión entre los conceptos de modelado y linealización. Concretamente se trata de uno de los métodos capaces de conseguir linealizar un sistema, que no es más que contrarestar la no linealidad del sistema. Así pues, la predistorsión digital, por sus siglas en inglés DPD (Digital Predistortion), es la técnica mediante la cual se emplea el modelo para actuar sobre la señal de entrada de manera que la respuesta conjunta sea equivalente a la de un sistema lineal. Dicha actuación tiene una representación directa en forma de sistema, tal y como se muestra en la Figura 3.3. Así pues, cuanto más preciso sea el modelo, mejor será la compensación de la no linealidad. Se puede incidir en que históricamente se han ido desarrollando técnicas capaces de compensar los efectos de la no linealidad en los sistemas. Concretamente la ecualización fue el más extendido para mitigar los efectos de la propagación multicamino en el canal móvil. Pero este escenario es distinto, ya que, si bien el amplificador hace las veces de canal en cuanto a la distorsión se refiere, esta etapa se encuentra en el propio transmisor.En consecuencia, si se plantea realizar la ecualización en el receptor, se estaría enviando al canal una señal afectada por el recrecimiento espectral, pudiendo provocar interferencias en los canales adyacentes. Además la ecualización es un concepto aplicado en general a una señal independientemente de su modulación. Es aquí donde se diferencia DPD, dando una solución específica y aprovechando al máximo las cualidades de la señal a transmitir, evitando además, que la señal transmitida perjudique a los canales adyacentes. Así pues, puede decirse que DPD es una de las posibles soluciones al problema de la linealización. De modo que existen distintas formas de implementar dicha solución en función del momento en el que se calculen los coeficientes del modelo. 20 Capítulo 3. Modelado y linealización Potencia de entrada Potencia de salida DPD PA gc (a) DPD PA uxy (b) Figura 3.3 Esquema conceptual de aplicación del DPD. Como nota aclaratoria el autor advierte de un cambio de notación en la explicación de las arquitecturas. El motivo es el hecho de que tradicionalmente se emplea la variable x como entrada al amplificador, por lo que la señal generada pasará a llamarse u . Así se puede decir que x será la señal predistorsionada, es decir, x=u−d, siendo dla señal de distorsión. Por otro lado, la matriz de regresores se indicará con la letra que proceda en mayúsculas. Por último, el vector de coeficientes h pasa a denotarse por w porque en la literatura es común emplear la palabra weights (pesos) en lugar de coeficientes dentro de este ámbito. 3.3.1 Arquitectura de aprendizaje indirecto Una de las formas posibles de realizar DPD es mediante una Arquitectura de Aprendizaje Indirecto (ILA), empleado en [ 14 ]y[ 10 ], entre otros. La idea consiste en emplear en la regresión las señales de entrada y salida del amplificador. La regresión simplemente establece la relación entre las variables x e y , siendo transparente en cuanto a la dirección de la relación. Es decir se puede estimar y→f(x) , esto es, el amplificador; o su inversa, es decir, x→f−1(y) , empleandose esta última implicación en la etapa de entrenamiento. De manera que los coeficientes que se obtienen en la etapa de entrenamiento son ciertamente los de un sistema postdistorsionador, los cuales se copian en el bloque DPD, tal y como se muestra en la Figura 3.4. Se advierte de que go representa la ganancia objetivo, que puede ser cualquier ganancia comprendida entre la ganancia lineal y gc . Se elige una u otra en función de las prestaciones deseadas, de modo que si se requiere de una fuerte amplificación a la salida se usará una go próxima a la ganancia lineal, mientras que si se requiere una respuesta muy lineal se empleará una gocercana a gc. Camino Directo Camino de Observaci´on DPD x=Uw PA 1 go Entrenamiento w=Y†x u[k]x[k]y[k] Figura 3.4 Implementación de DPD con arquitectura de aprendizaje indirecto. Se debe tener en cuenta que en la primera etapa del apendizaje el bloque DPD no tiene cargados los coeficientes del modelo, de modo que el primer entrenamiento se realiza con la señal x[k] = u[k] . Cabe apreciar que el hecho de que esta arquitectura sea indirecta reside en el orden a la hora de hacer las operaciones, es decir, primero se obtienen unos coeficientes diseñados para estimar la entrada del amplificador en función de su salida y después se dan como válidos para predistorsionar la señal de entrada. Así pues, si bien esta arquitectura funciona y ha sido ampliamente utilizada, no es óptima en cuanto a la obtención de un predistorsionador se refiere. 3.3 Predistorsión digital 21 3.3.2 Arquitectura de aprendizaje directo La Arquitectura de Aprendizaje Directo (DLA) vista en [ 15 ] nace en contraposición a ILA, de manera que si ILA centraba sus esfuierzos en conseguir una función que estimase x[k] a partir de y[k] , DLA pretende obtener una relación en el camino directo. La forma que se plantea para conseguirlo es mediante la minimización del vector error, imponiendo que, si un sistema es puramente lineal, la única diferencia entre la señal de entrada y salida debe ser la ganancia del amplificador. La función de costes que rige la regresión consistirá justamente en eliminar el error mediante descenso del gradiente. Así pues, los pesos obtenidos en la regresión sirven para estimar el error. Dicha estimación, ˆ e=Uwi , se resta a la señal de entrada como se ve en la Figura 3.5. Camino Directo Camino de Observaci´on DPD x=u−UwiPA Adaptaci´on DPD wi+1 =wi+µU†e 1 go e=y/go−u u[k]x[k]y[k] Figura 3.5 Implementación de DPD con arquitectura de aprendizaje directo. En la figura puede apreciarse cómo el bucle de control va actualizando los pesos a cada iteración. La velocidad de aprendizaje viene regulada por la variable µ , cuyo valor mínimo es 0 y el máximo 1, siendo deseable que sea lo más cercano a 1 posible para obtener la convergencia más rápidamente. Dado que la corrección del error es progresiva, la actualización de los coeficientes se hace mediante la adición de los nuevos pesos a los antiguos, llamándose a esta etapa Adaptación DPD en la Figura 3.5. Por último cabe destacar que, en DLA, está estandarizado el uso de una ganancia objetivo igual a gavg. 3.3.3 Arquitectura de aprendizaje directo para doble banda concurrente Para conseguir que el esquema sea compatible con una transmisión en doble banda concurrente es necesario incluir un par de bloques. Hay que tener en cuenta que la regresión para este caso está planteada siguiendo el modelo de Enzinger [ 13 ], de modo que es conveniente adaptar la estructura para que admita dos entradas y sea capaz de evaluar dos salidas. Así pues, se muestra la arquitectura en la Figura 3.6. Camino Directo Camino de Observaci´on DPD x1=u1−U1w1,i x2=u2−U2w2,i Etapa de S´ıntesis Etapa de An´alisis PA Adaptaci´on DPD w1,i+1 =w1,i +µU† 1e1 w2,i+1 =w2,i +µU† 2e2 1 go e1=y1/go−u1 e2=y2/go−u2 u2[k] u1[k] x2[k] x1[k]x[k]y[k] Figura 3.6 Implementación de DPD con arquitectura de aprendizaje directo para doble banda concurrente. Véase que las señales x1[k] y x2[k] son muestras de la envolvente compleja de cada banda centradas en 22 Capítulo 3. Modelado y linealización banda base, y que la entrada al amplificador debe ser una señal x[k] de doble banda y en RF. De modo que, en la etapa de síntesis, cada señal pasa por un modulador que convierte las muestras de la envolvente compleja de cada banda en dos señales en RF a frecuencias centrales diferentes y después las combina. Por otro lado, en la etapa de análisis se realiza un filtrado paso banda de cada banda, para después pasar estas señales que aún están en RF por un demodulador, cuya salida es la envolvente compleja de cada banda por separado. El orden de estas operaciones dependerá del hardware instalado. 4 Técnicas de reducción de complejidad y estabilización del modelo Comprender que hay otros puntos de vista es el principio de la sabiduría. Thomas Campbell, 1948 Como se ha comentado en el Capítulo 3, la regresión es el método a seguir para poder cuantificar la importancia de cada regresor. El gran número de componentes que se requieren para poder abordar este tipo de modelos, puede provocar que el estimador de LS no sea único. Esto es debido a la existencia de regresores muy correlados, o, lo que es lo mismo: columnas de X muy parecidas entre sí, que provocan que la matriz de autocorrelaciones muestrales sea singular o cercana a serlo. Esta característica puede observarse en la Figura 4.1, donde los valores cercanos a 1 indican correlación alta. En otras palabras, el sistema presenta un número de condición muy elevado, de manera que ligeros cambios en X desembocarían en grandes cambios en (R)−1 . Esto se traduce en que puede obtenerse una buena estimación de los coeficientes del modelo con buenas prestaciones en test pero malos para validación. 4.1 Identificación de problemas numéricos Generalmente, es común el uso del número de condición para conocer si un sistema de ecuaciones es o no estable frente a las perturbaciones en el vector de entrada. Es posible relacionar el concepto de columnas correlacionadas con el número de condición. Se define el número de condición de una matriz A invertible como [16]: cond(A) =  A−1  A ,(4.1) donde el operador k·k representa la norma de orden r . Realmente esta expresión no sirve para evaluar el condicionamiento de la matriz de regresores, ya que X∈CNxM , donde además en general NM . En consecuencia es preciso abordar esta evaluación desde la matriz de autocorrelaciones muestrales R . De modo que, como R=XHX es cuadrada, simétrica, y semidefinida positiva se cumple que kRk≥ρ(R) = m´ ax|λi(R)|, i=1,...,r, donde ρ(R)es el radio espectral de la matriz R. Así pues: cond(R) =  R  R−1 ≥ρ(R)ρ(R−1) = m´ ax 1≥i≥r|λi(R)| m´ ın 1≥i≥r|λi(R)|,(4.2) Este cálculo sólo sería cierto si R es regular, ya que si no lo fuese contendría autovalores nulos, lo que provocaría que la expresión (4.2) quedase indeterminada, tendiendo a infinito. Llegados a este punto, hay que tener presente que cuanto mayor es el número de condición, peor condicionado está el sistema. Existe una relación directa entre los autovalores de la matriz XHX y los valores singulares de la matriz X que se indicará más adelante. Como análisis preliminar cabe preguntarse qué le sucede al número de condición cuando existen en X dos columnas muy parecidas entre sí o qué sucede si una de las columnas es cercana a ser nula. En el primero de estos casos es razonable pensar que si dos columnas 23 30 Capítulo 4. Técnicas de reducción de complejidad y estabilización del modelo De modo que, si se regulariza y se multiplican ambos lados de la igualdad por Zse obtiene: Zˆ hDOMP Ridge =Z(ZHZ+λI)−1ZHy,(4.18) y teniendo en cuenta que por ortogonalidad ZHZ=Ise llega finalmente a: Zˆ hDOMP Ridge =Z(I+λI)−1ZHy= M ∑ j=1 φj1 1+λφH jy,(4.19) donde φi representa la columna j-ésima de Z . La ecuación (4.19) se ha representado para comprender cómo se procede con las coordenadas en la base Z , ya que no se puede olvidar que el algoritmo RC-DOMP evita la realización de la pseudo-inversa. La ecuación (4.19) se traduce en: ˆ hDOMP Ridge =1 1+λˆ hDOMP LS .(4.20) Por lo tanto, la mejor forma de aprovechar los beneficios computacionales de RC-DOMP sin perder la referencia del espacio de Volterra es empleando la matriz de ortogonalización T , tal y como se presenta en el Algoritmo 4. Algoritmo 4 Aplicación de Ridge en el espacio ortogonal de las correlaciones Input: X,T,y Output: ˆ hVolterra Ridge 1: Ortogonalización :Z=XT 2: Cálculo de coeficientes en el espacio ortogonal de correlaciones :ˆ hDOMP LS =ZHy 3: Aplicación de Ridge como penalización en los coeficientes :ˆ hDOMP Ridge =1 1+λˆ hDOMP LS 4: Traducción de los coeficientes al espacio de Volterra :ˆ hVolterra Ridge =Tˆ hDOMP Ridge Por último es importante incidir en que la base DOMP es útil a la hora de actuar contra el efecto de las columnas correladas de X , pero es preferible seguir entendiendo la matriz de regresores como funcionales de la serie de Volterra. Es por esto que en el último paso del algoritmo se vuelve a emplear la matriz de ortogonalización para traducir los coeficientes a la base PC. 5 Diseño experimental y resultados Hay una gran diferencia entre conocer el camino y andar el camino. Morfeo, en Matrix, 1999 Para poner a prueba la potencia de la teoría desarrollada es oportuno integrarla en un escenario real. Así pues, este capítulo comenzará con una descripción del entorno de trabajo, seguido de las especificaciones que definen el marco de calidad de la señal transmitida en el estándar 5G, que servirán de referencia para saber si los resultados son adecuados. Por último, se irán aplicando progresivamente las distintas técnicas presentadas, midiendo sus prestaciones. 5.1 Descripción del banco de medidas Se ha empleado el laboratorio de Teoría de la Señal y Comunicaciones situado en la primera planta del bloque L-3 de los laboratorios de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ETSI). El banco de medidas está compuesto por un generador vectorial de señal (VSG) SMU200A de Rohde & Schwarz, dos pre-amplificadores TVA-4W-422A+ de Minicircuits en cascada, un analizador vectorial de señal (VSA) PXA-N9030A de Keysight Technologies y una fuente de alimentación. El amplificador es de clase AB, se apoya en una placa de evaluación, y está basado en el HEMT de GaN CGH40010 de Cree, con una frecuencia de trabajo de 3.6 GHz. El generador dispone de una serie de instrucciones que pueden ser ejecutadas a través de MATLAB ® , desde donde se configura la señal que pone a prueba al amplificador. Figura 5.1 Monitor del analizador de espectros. 31 32 Capítulo 5. Diseño experimental y resultados La combinación de las bandas de la señal se hace en MATLAB ® , y es por esto que solo se emplea un canal de VSG. Estas señales se han visto pre-amplificadas antes del DUT, ya que el generador no es capaz de suministrar la potencia suficiente como para llevar al amplificador a la zona de saturación. Téngase en cuenta que los pre-amplificadores trabajan en zona muy lineal para no distorsionar la señal. Por último es importante hacer la extracción de la señal convenientemente, ya que no deben introducirse en el VSA señales demasiado potentes. Es por esto que el acoplador direccional disgrega en dos la salida del PA, empleándose el puerto adaptado para el analizador consumiendo la potencia del puerto de salida en el atenuador. A su vez (a) Digital RF VSG PRE PRE PA Acoplador direccional Atenuador Carga adaptada VSA (b) Figura 5.2 Banco de pruebas (a) foto del montaje, (b) esquemático por bloques. 5.2 Caracterización inicial 33 el atenuador debe terminarse con una carga adaptada, de lo contrario se producirían reflexiones indeseadas, falseando así la medida del VSA. Finalmente, el VSA aplica un filtrado paso banda centrado en 3.6 GHz en el que entran las dos bandas de la señal. Tras la demodulación, una vez se han obtenido las muestras de la envolvente compleja paso de baja de la señal de doble banda, se separan en software empleando MATLAB ® . La señal de doble banda ha sido generada de acuerdo con el estandar 5G-NR, empleando modulación OFDM en cada banda. Se ha empleando un ancho de banda de 10 MHz en sendas bandas y una numerología de 1, esto es, 30 kHz de separación entre subportadoras. Así pues primero se generó cada banda en banda base, empleando una secuencia de bits aleatoria y una frecuencia de muestreo fs=96.16 MHz. Para conseguir una separación entre las bandas de 40 MHz se aplicó un desplazamiento en frecuencia de −20 MHz a la banda inferior y +20 MHz a la banda superior cuando estas estaban en banda base. La semilla empleada para la secuencia de bits provocó una PAPR en torno a 11 dB. Con fin de proteger al amplificador se aplicó un hard clipping, que impidió que la PAPR superase los 12 dB. Por último, en el analizador se adquirieron muestras de la envolvente compleja de la señal en el puerto acoplado, considerando las portadoras de cada una de las bandas y aplicando una tasa de muestreo fs/2 , esto es, un factor de sobremuestreo de 3. Además se redujo el ruido de medida promediando 10 realizaciones de la señal adquirida, habiendo tenido que sincronizar posteriormente la entrada y la salida. En la Figura 5.1 se muestra la pantalla de control del VSA, donde se establecen las bandas para la medida del ACPR. Una vez obtenidas las muestras son cargadas de nuevo en MATLAB ® para poder medir así los parámetros de interés. El montaje junto con su esquemático se muestran en la Figura 5.2. 5.2 Caracterización inicial Esta sección brindará ciertos resultados que servirán como punto de partida. Así pues, como se trata de una caracterización, la idea consiste en poner a prueba el PA sin realizar ningún cambio en la señal de entrada. De modo que la comparación entre el espectro a la entrada y a la salida se muestra en la Figura 5.3 3560 3580 3600 3620 3640 f [MHz] -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 PSD [dBm/Hz] Figura 5.3 Densidad espectral de potencia de la señal de entrada multiplicada por la ganancia lineal y la salida sin aplicar DPD. 34 Capítulo 5. Diseño experimental y resultados Puede verse claramente cómo la distorsión provocada por el amplificador deriva en un recrecimiento espectral de los canales adyacentes. Los efectos de esta distorsión quedan cuantificados en la Tabla 5.1. Tabla 5.1 Parámetros medidos sin DPD. NMSE1NMSE2ACPR1,−1/1,+1ACPR2,−1/2,+1EVM1EVM2PAE (dB) (dBc) (%) (%) −30.3 −29.8 −39.1/−39.0 −38.5/−38.6 2.8 2.8 16.9 5.3 Aplicación de DPD-DLA Con el fin de eliminar el recrecimiento espectral se acude a la técnica de DPD, ya desarrollada en el Capítulo 3. Concretamente se aplica el modelo 2D-GMP de Enzinger [ 13 ], cuyos conjuntos K,L y M se muestran en la Tabla 5.2 Tabla 5.2 Configuración del modelo 2D-GMP. Conjunto Intra-banda Banda cruzada Banda mezclada Ka[012345678910111213] [12345678910111213] [12345678910111213] La[53331111111111] [3331111111111] [3331111111111] Kb[12345] [12345] [123456789] Lb[22111] [22111] [222222222] Mb[11111] [11111] [111111111] Kc[12345] [12345] [23456789] Lc[22111] [22111] [22222222] Mc[11111] [11111] [11111111] Este modelo produce en total 534 regresores, siendo tan elevado que resulta inestable en su regresión. En la Figura 5.4 se muestra cómo el bucle de control tiende a la divergencia provocando que los coeficientes calculados empeoren el ACPR. Tabla 5.3 Parámetros medidos con DPD en 5 iteraciones. Caso inestable. Iter NMSE1NMSE2ACPR1,−1/1,+1ACPR2,−1/2,+1EVM1EVM2PAE (dB) (dBc) (%) (%) 1−30.4 −30.0 −39.3/−39.1 −38.6/−38.7 2.7 2.8 17.7 2−33.6 −33.1 −42.2/−42.3 −41.9/−41.3 2.0 2.1 17.7 3−36.3 −35.0 −44.8/−45.0 −44.2/−43.0 1.6 1.7 17.6 4−38.4 −34.7 −47.1/−47.5 −43.9/−42.9 1.4 1.7 17.7 5−34.2 −26.7 −48.6/−49.0 −34.1/−34.1 1.8 3.9 17.8 Este experimento fue realizado con una factor de aprendizaje µ=1/3 , que en principio se podría afirmar que es relativamente bajo. Esta divergencia es debida a los problemas numéricos que presenta la matriz de regresores, tal y como se comentaba en el capítulo anterior. La inestabilidad además de empeorar el resto de parámetros como se recoge en la Tabla 5.3, se manifestó en un aumento desmesurado de la PAPR, que fue aplacado con el hard clipping. También merece la pena comentar el hecho de que la divergencia se alcanzó antes en la banda superior que en la inferior, auque puede verse cómo la banda inferior había comenzado a diverger. 5.4 Aplicación de regularización de Ridge a DPD-DLA 35 Por último, se puede comentar que el hecho de que la zona de separación entre los efectos de cada banda en la Figura 5.4 no sea la frecuencia de 3600 MHz se debe que la separación aplicada es inferior a la frecuencia de muestreo, produciendose un pequeño efecto de aliasing únicamente en la zona central. 3560 3580 3600 3620 3640 f [MHz] -40 -30 -20 -10 0 10 20 PSD [dBm/Hz] Iter: 1 Iter: 2 Iter: 3 Iter: 4 Iter: 5 Figura 5.4 Densidad espectral de potencia de la señal de salida para cada iteración del DPD. 5.4 Aplicación de regularización de Ridge a DPD-DLA Así pues, llegados a este punto se puede decir que este es el escenario idóneo para plantear la regularización de Ridge. La situación lo requiere, ya que no se desea bajar en número de coeficientes del modelo porque se empeorarían las prestaciones del resultado y tampoco puede transmitirse la señal sin hacer DPD. Por consiguiente, la aplicación de Ridge plantea un pequeño cambio en la arquitectura de DLA, ya que presenta dos etapas. La primera consistiría en optimizar la regularización con un λopt respecto a un criterio y la segunda aplicarlo en el DPD. El criterio de optimización será la minimización del NMSE de validación, empleando un set de muestras de u[k] para identificar la afectación de λ sobre el NMSE en regresión y otro Camino Directo Camino de Observaci´on Precarga DPD x1=u1−U1w1,i x2=u2−U2w2,i Etapa de S´ıntesis Etapa de An´alisis PA Adaptaci´on DPD w1,i+1 =w1,i +µ(UH 1U1+λopt,1I)−1UH 1e1 w2,i+1 =w2,i +µ(UH 2U2+λopt,2I)−1UH 2e2 B´usqueda del λopt 1 go e1=y1/go−u1 e2=y2/go−u2 u2[k] u1[k] λopt,1 λopt,2 x2[k] x1[k]x[k]y[k] Figura 5.5 Esquema de implementación de la regularización de Ridge en un escenario de DPD en DLA con doble banda. 36 Capítulo 5. Diseño experimental y resultados set para la validación. Concretamente se han empleado el 10 % de las muestras para identificar, tomando como criterio de elección que sean máximas en amplitud. Existen otros criterios como el mostrado en [ 28 ] que podrían emplearse para la elección del set de muestras de identificación, pero se ha escogido este por simplicidad. De modo que toda esta operación se concentra en el bloque “Búsqueda del λopt ” que se presenta en el esquema de la Figura 5.5. Si bien el λopt depende de la realización, está igualmente relacionado con el estadístico de la señal, por lo que a priori se espera que el óptimo no cambie demasiado. De todas formas, dado que el esquema DLA contempla recalcular sus coeficientes en función del comportamiento, volver a obtener λopt es recomendable. El bloque “Búsqueda del λopt ” calcula progresivamente modelos regularizados variando λ y evaluando el NMSE con sus respectivos sets de muestras, declarando λopt aquel λ que consigue un menor NMSE en validación. Cada banda se calcula por separado, mostrándose la realización del cálculo para la banda 1 en la Figura 5.6. 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100101 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 NMSE [dB] NMSEid,1 NMSEval,1 NMSE opt,1 Figura 5.6 Cálculo del λopt de la banda inferior en función del NMSE de validación. Así pues, se consigue asegurar la estabilidad del modelo perjudicando lo mínimo posible las prestaciones de la señal obtenida. Existen un par de matices a destacar en cuanto a la obtención del λopt . El primero de ellos es que no se debe confundir el NMSE que se obtiene en este paso previo con el que resulta de aplicar DLA, ya que en este caso se están evaluando los coeficientes como modelo de amplificador, mientras que en la arquitectura DLA se van a encargar de modelar el error. Es por esto que la Figura 5.6 no coincidirá con los resultados de NMSE que se obtendrán al validar con el sistema completo. El segundo matiz reside en la forma de la gráfica del NMSE de validación. El hecho de que haya mínimos locales se traduce en que, por alguna razón, al aumentar la regularización se induce a aumentar el error en ciertas zonas. La interpretación que esto puede tener es el hecho de que las componentes en la base PC no están ordenadas en función de la correlación, sino de su amplitud. Esto provocaría que, conforme la regularización va afectando a las componentes comiencen a penalizarse direcciones de la base PC que se correspondan con direcciones de importancia en la base DOMP. En otras palabras, parece que a primera vista el criterio a tener en cuenta es la correlación antes que la amplitud. En cualquier caso, aunque aplicar Ridge en PC no parezca óptimo, es efectivo, consiguiendo que el DPD sea estable. En la Figura 5.7 se muestra el espectro con una señal de 5.4 Aplicación de regularización de Ridge a DPD-DLA 37 validación tras aplicar el modelo de la Tabla 5.2 regularizado y un factor de aprendizaje µ=1/3 , quedando reflejadas sus prestaciones en la Tabla 5.4. Cabe destacar que, además de haber mitigado la aparición de recrecimiento espectral en las bandas adyacentes ha disminuido la distorsión en banda, que se traduce en un descenso del EVM. Además la PAE no se ha visto alterada, por lo que a efectos numéricos no empeora la eficiencia del amplificador. Es más, puede decirse que mejora, ya que gracias al DPD está empleando toda su potencia en la banda de interés. Tabla 5.4 Parámetros medidos aplicando DPD y Ridge, con λopt,1=1.69·10−5 , λopt,2=2.28·10−5 tras 15 iteraciones con µ=1/3. Caso NMSE1NMSE2ACPR1,−1/1,+1ACPR2,−1/2,+1EVM1EVM2PAE (dB) (dBc) (%) (%) Sin DPD −30.3 −29.8 −39.1/−39.0 −38.5/−38.6 2.8 2.8 16.9 DPD-DLA −49.3 −50.7 −63.0/−63.5 −63.0/−62.5 1.2 1.3 16.9 3560 3580 3600 3620 3640 f [MHz] -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 PSD [dBm/Hz] DPD-DLA sin DPD Figura 5.7 Comparativa entre el espectro a la salida del PA sin aplicar DPD y habiendo aplicado DPD. Dado que el hecho de regularizar ha estabilizado el modelo, cabe plantear un aumento en el factor de aprendizaje con el fin de obtener la convergencia más rápidamente. Así pues, en la Figura 5.8 se muestra la evolución del NMSE y el ACPR para factores de aprendizaje µ=1/3 y µ=1 , siendo llamativo el hecho de que, a pesar de que el modelo resultaba inestable por sí solo con un factor µ=1/3 , regularizando es posible forzar al máximo la velocidad de aprendizaje. Además los resultados convergen entre la 5ªy la 6ªiteración, aproximadamente tres veces más rápido y obteniendo prácticamente el mismo resultado que en la última iteración de µ=1/3, por lo que es preferible fijar µ=1. Por último existe un indicativo más de que el sistema ha sido linealizado, y es la relación de potencia de entrada frente a la ganancia, equivalente a la respuesta AM-AM. En este caso si el dispositivo es lineal debe observarse una constante que indica la ganancia del dispositivo. En cambio la ganancia de una amplificador 38 Capítulo 5. Diseño experimental y resultados 1 3 5 7 9 11 13 15 Iteración -50 -45 -40 -35 -30 NMSE de linealización (dB) = 1/3 = 1 (a) 1 3 5 7 9 11 13 15 Iteración -65 -60 -55 -50 -45 -40 ACPR de linealización (dBc) 1,-1 = 1/3 1,+1 = 1/3 1,-1 = 1 1,+1 = 1 (b) Figura 5.8 Evolución del (a) NMSE de linealización y (b) ACPR de la banda 1 para valores de µ= 1/3 y 1 frente al número de iteraciones. Figura 5.9 Linealización de la ganancia instantánea al emplear DPD. no lineal disminuye cuando llega a la saturación. Además, los efectos de la memoria hacen que no se vea una sola línea, sino que constituyen una nube de puntos, de modo que, cuanto mejor sea la linealización, más se parecerá esta característica a una constante. Este resultado se muestra en la Figura 5.9, donde se ve cómo el DPD ha conseguido estabilizar la ganancia instantánea con respecto a la potencia de entrada. Nótese el pequeño descenso que se advierte en la ganancia cuando se alcanzan las potencias de entrada más elevadas. Esto es debido al empleo de la ganancia promedio en DLA. 5.5 Aplicación de regularización de Ridge a DPD-DLA con selección de coeficientes RC-DOMP Esta sección trata de justificar el comportamiento observado en la Figura 5.6 mediante resultados en simulación. Así pues, como se comentó en el Capítulo 3, es posible trazar una estrategia para que la regularización se centre en penalizar las componentes correladas. Concretamente consistiría en aplicar primero el algoritmo de RC-DOMP (Algoritmo 3) en el bloque “Búsqueda del λopt ”, obteniendo así la matriz T e integrar posteriormente la penalización en la base DOMP aplicando el Algoritmo 4, seleccionando las columnas óptimas de la matriz de regresores. Procediendo de esta forma se obtiene la Figura 5.10 de la que pueden hacerse un par de comentarios. En primer lugar, no presenta máximos locales, es decir, es siempre decreciente 5.5 Aplicación de regularización de Ridge a DPD-DLA con selección de coeficientes RC-DOMP 39 hasta que cambia la tendencia en torno a λ=10−3 . Relacionando este comportamiento con el concepto de los grados de libertad efectivos, si bien al aumentar λ la restricción es la misma en todas las direcciones de una base ortogonal, aquellas con menor varianza se extinguen antes. De manera que este resultado corrobora el hecho de que el descenso del NMSE va en consonancia con la penalización de las direcciones más correladas. Es preciso incidir en que, dado que el modelo completo era inestable es necesario seleccionar componentes, ya que la ortogonalización de la matriz de regresores es también una operación con problemas numéricos debido a que las componentes muy correladas derivan en columnas muy cercanas a cero en la matriz de autocorrelaciones muestrales. Además, en la Figura 5.10 se ha calculado NMSE desde λ=10−16 ≈0 , para así incluir en la gráfica la solución en mínimos cuadrados. De manera que esta diferencia se debe a la respuesta en validación del modelo con las columnas óptimas. Por otro lado, hay que tener en cuenta que la aplicación 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 -50 -40 -30 -20 -10 NMSE [dB] NMSEespacio-DOMP-id NMSEespacio-DOMP-val Figura 5.10 Curvas de NMSE para identificación y validación en función de λ. 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 -50 -40 -30 -20 -10 NMSE [dB] NMSEid Ridge en PC NMSEval Ridge en PC Figura 5.11 Curvas de NMSE para identificación y validación en función de λ. 46 Appendix A. Código de MATLAB®empleado en el trabajo %Etapa de Síntesis x = unite_bands(xLs,xRs,fsint,fsmed,Foff); PAPR(x) dBm(x) PAPRx = 20*log10(max(abs(x))/rms(x)); disp(sprintf('PAPR antes de clipping: %4.2f dB\n', PAPRx)); PAPRd = 12; clip = (10^((PAPRd-PAPRx)/20))*max(abs(x)); x(abs(x)>clip) = clip*exp(1i*angle(x(abs(x)>clip))); disp(sprintf('PAPR después de clipping: %4.2f dB\n', PAPR(x))); [y, x, data] = myPA(x, dBm(x), Nmeas, Nave); espectro(y - mean(y),fsgen,30); %Etapa de Análisis [xLs, xRs] = separate_bands(x,fsmed,fsint,Foff); [yLs, yRs] = separate_bands(y,fsmed,fsint,Foff); eL = yLs/GL-uLs; eR = yRs/GR-uRs; %Adaptación DPD: dwL = diag(uL_pot_col.^(-1))*UL_inv*eL; wL = wL + mu * dwL; dwR = diag(uR_pot_col.^(-1))*UR_inv*eR; wR = wR + mu * dwR; figure(10); plot(dBminst(u), dBminst(y)- dBminst(u),'.'); hold on; [PerformanceL]=analiza_medidas_OFDM_B_MIG(uLs,yLs,datau,0,fsint,fsgen,99); [PerformanceR]=analiza_medidas_OFDM_B_MIG(uRs,yRs,datau,0,fsint,fsgen,101); medida.descr = ['Itera : ' num2str(iter)]; medida.PerformanceL = PerformanceL; medida.PerformanceR = PerformanceR; medida.x = x; medida.y = y; medida.data = data; medida_out = [medida_out medida]; medida2figure_MIG(medida_out) end %% Validación for iter = 1:Nval [uVal,~,~,datau] = genera_5GNR_multicarrier_v4([NRB,NRB], [30e3,30e3],... [10e6,10e6], Foff, fsgen, [8,8], [2*iter+101,2*iter+100]); uVal = scale_dBm(uVal,RMSin); [uLs, uRs] = separate_bands(uVal,fsmed,fsint,Foff); [UL, RmatL] = buildW_2GMP(uLs, uRs, [N-Qpmax1+1:N , 1:N , 1:Qnmax1],... Qpmax1, Qnmax1, x1_limits); [UR, RmatR] = buildW_2GMP(uRs, uLs, [N-Qpmax2+1:N , 1:N , 1:Qnmax2],... Qpmax2, Qnmax2, x2_limits); 47 xLs = uLs-UL(:,sL)*wL; xRs = uRs-UR(:,sR)*wR; x = unite_bands(xLs,xRs,fsint,fsmed,Foff); dBm(x) PAPRx = 20*log10(max(abs(x))/rms(x)); disp(sprintf('PAPR antes de clipping: %4.2f dB\n', PAPRx)); PAPRd = 12; clip = (10^((PAPRd-PAPRx)/20))*max(abs(x)); x(abs(x)>clip) = clip*exp(1i*angle(x(abs(x)>clip))); disp(sprintf('PAPR después de clipping: %4.2f dB\n', PAPR(x))); [y, x, data] = myPA(x, dBm(x), Nmeas, Nave); espectro(y - mean(y),fsgen,31); [yLs, yRs] = separate_bands(y,fsmed,fsint,Foff); figure(11); plot(dBminst(uVal), dBminst(y)- dBminst(uVal),'.'); hold on; [PerformanceL]=analiza_medidas_OFDM_B_MIG(uLs,yLs,datau,0,fsint,fsgen,99); [PerformanceR]=analiza_medidas_OFDM_B_MIG(uRs,yRs,datau,0,fsint,fsgen,101); medida.descr = ['Itera_val : ' num2str(iter)]; medida.PerformanceL = PerformanceL; medida.PerformanceR = PerformanceR; medida.x = x; medida.y = y; medida.data = data; medida_out = [medida_out medida]; medida2figure_MIG(medida_out) end save(filename,'medida_out','RMSin','model_id','sL','sR','mu',... 'lambda_opt_L','lambda_opt_R'); Código A.2 Construcción de la matriz de regresores para el modelo 2D-GMP. function [Xmat, Rmat] = buildW_2GMP(x1, x2, n, Qpmax, Qnmax, x1_limits) % This function builds the measurement matrix of the 2-D GMP-modified model. % Only one side %% Linear and intra-band block Regr_a_intra = []; Regr_b_intra = []; Regr_c_intra = []; Xa_intra = []; Xb_intra = []; Xc_intra = []; % x1 Linear and intra-band block indk = 0; for k = 1:length(x1_limits.intra.Ka) for l = 0:x1_limits.intra.La(k) indk = indk + 1; Xa_intra(:,indk) = x1(n(1+Qpmax-l:end-Qnmax-l)).*(abs(x1(n(1+Qpmax-l: end-Qnmax-l))).^(x1_limits.intra.Ka(k))); if(x1_limits.intra.Ka(k)~=0) 48 Appendix A. Código de MATLAB®empleado en el trabajo Regr_a_intra{indk} = sprintf('x1(n-%d)*|x1(n-%d)|^{%d}',l,l, x1_limits.intra.Ka(k)); else Regr_a_intra{indk} = sprintf('x1(n-%d)',l); end end end indk = 0; for k = 1:length(x1_limits.intra.Kb) for l = 0:x1_limits.intra.Lb(k) for m = 1:x1_limits.intra.Mb(k) indk = indk + 1; Xb_intra(:,indk) = x1(n(1+Qpmax-l:end-Qnmax-l)).*(abs(x1(n(1+Qpmax-l -m:end-Qnmax-l-m))).^(x1_limits.intra.Kb(k))); Regr_b_intra{indk} = sprintf('x1(n-%d)|x1(n-%d)|^{%d}',l,l+m, x1_limits.intra.Kb(k)); end end end indk = 0; for k = 1:length(x1_limits.intra.Kc) for l = 0:x1_limits.intra.Lc(k) for m = 1:x1_limits.intra.Mc(k) indk = indk + 1; Xc_intra(:,indk) = x1(n(1+Qpmax-l:end-Qnmax-l)).*(abs(x1(n(1+Qpmax-l +m:end-Qnmax-l+m))).^(x1_limits.intra.Kc(k))); Regr_c_intra{indk} = sprintf('x1(n-%d)|x1(n-%d)|^{%d}',l,l-m, x1_limits.intra.Kc(k)); end end end %% Cross-band block Regr_a_cross = []; Regr_b_cross = []; Regr_c_cross = []; Xa_cross = []; Xb_cross = []; Xc_cross = []; % x1 cross-band block indk = 0; for k = 1:length(x1_limits.cross.Ka) for l = 0:x1_limits.cross.La(k) indk = indk + 1; Xa_cross(:,indk) = x1(n(1+Qpmax-l:end-Qnmax-l)).*(abs(x2(n(1+Qpmax-l: end-Qnmax-l))).^(x1_limits.cross.Ka(k))); Regr_a_cross{indk} = sprintf('x1(n-%d)*|x2(n-%d)|^{%d}',l,l,x1_limits. cross.Ka(k)); end end indk = 0; for k = 1:length(x1_limits.cross.Kb) for l = 0:x1_limits.cross.Lb(k) for m = 1:x1_limits.cross.Mb(k) indk = indk + 1; Xb_cross(:,indk) = x1(n(1+Qpmax-l:end-Qnmax-l)).*(abs(x2(n(1+Qpmax-l -m:end-Qnmax-l-m))).^(x1_limits.cross.Kb(k))); 49 Regr_b_cross{indk} = sprintf('x1(n-%d)|x2(n-%d)|^{%d}',l,l+m, x1_limits.cross.Kb(k)); end end end indk = 0; for k = 1:length(x1_limits.cross.Kc) for l = 0:x1_limits.cross.Lc(k) for m = 1:x1_limits.cross.Mc(k) indk = indk + 1; Xc_cross(:,indk) = x1(n(1+Qpmax-l:end-Qnmax-l)).*(abs(x2(n(1+Qpmax-l +m:end-Qnmax-l+m))).^(x1_limits.cross.Kc(k))); Regr_c_cross{indk} = sprintf('x1(n-%d)|x2(n-%d)|^{%d}',l,l-m, x1_limits.cross.Kc(k)); end end end %% Mixed block Regr_mixed = []; X_mixed = []; % x1 mixed block indk = 0; for k1 = 1:length(x1_limits.mixed.Ka) for k2 = 1:length(x1_limits.mixed.Ka) for l = 0:x1_limits.mixed.La(k1) indk = indk + 1; X_mixed(:,indk) = x1(n(1+Qpmax-l:end-Qnmax-l)).*(abs(x1(n(1+Qpmax-l: end-Qnmax-l))).^(x1_limits.mixed.Ka(k1))).*(abs(x2(n(1+Qpmax-l: end-Qnmax-l))).^(x1_limits.mixed.Ka(k2))); Regr_mixed{indk} = sprintf('x1(n-%d)*|x1(n-%d)|^{%d}*|x2(n-%d)|^{%d }',l,l,x1_limits.mixed.Ka(k1),l,x1_limits.mixed.Ka(k2)); end end end Xmat = [Xa_intra, Xb_intra, Xc_intra, Xa_cross, Xb_cross, Xc_cross, X_mixed]; Rmat = [Regr_a_intra, Regr_b_intra, Regr_c_intra, Regr_a_cross, Regr_b_cross, Regr_c_cross, Regr_mixed]'; end Código A.3 Aplicación de la regularización de Ridge en la base PC. function [nmse_val, nmse_id, ncond] = ridge_function(X,y,lambda) indices_id = sel_indices(y,y,0.1); %Normalización: x_norm = vecnorm(X(indices_id,:)); %Potencia de cada colum X_id = X(indices_id,:); X_id_n = X_id*diag(x_norm.^(-1)); X_val = X; 50 Appendix A. Código de MATLAB®empleado en el trabajo %Aplicación de Ridge con las matrices aumentadas: [~,p] = size(X_id); X_id_gorro = [X_id_n;sqrt(lambda)*eye(p)]; R_ridge_gorro = X_id_gorro'*X_id_gorro; y_gorro = [y(indices_id);zeros(p,1)]; h_vec = diag(x_norm.^(-1))*((inv(R_ridge_gorro)*X_id_gorro')*y_gorro); % y en identificación y su nmse: ymod_id = X_id* h_vec; ncond = cond(R_ridge_gorro); nmse_id = 20*log10(norm(ymod_id-y(indices_id))/norm(y(indices_id))); % y en validación y su nmse: ymod_val = X_val* h_vec; nmse_val = 20*log10(norm(ymod_val-y)/norm(y)); end Código A.4 Aplicación de la regularización de Ridge en la base DOMP. function [nmse_Domp_Ridge_id, nmse_Domp_Ridge_val] = ridge_RCDOMP(X,T,y,lambda) nmse = @(ymod,y) 20*log10(norm(ymod-y)/norm(y)); indices_id = sel_indices(y,y,0.1); %Normalización: x_norm = vecnorm(X(indices_id,:)); %Potencia de cada columna X_id = X(indices_id,:); X_id_n = X_id*diag(x_norm.^(-1)); X_val = X; %Ortogonalización: Z = X_id_n*T; %Proyección en la base DOMP: h_orth = Z'*y(indices_id); %Regularización: h_orth = h_orth/(1+lambda); %Cambio de la base DOMP a la base PC: h_volterra = diag(vecnorm(X_id).^(-1))*T*h_orth; % y en identificación y su nmse: yest = X_id*h_volterra; nmse_Domp_Ridge_id = nmse(yest,y(indices_id)); % y en validación y su nmse: yest_val = X_val*h_volterra; nmse_Domp_Ridge_val = nmse(yest_val,y); end 51 Código A.5 Generación de las gráficas de NMSE de identificación y validación. modo = 'Ridge_en_PC'; %'Ridge_en_DOMP', 'SelectRCDOMP+Ridge' lambda = logspace(-16, 1, 100); switch modo case 'Ridge_en_PC' for i = 1:length(lambda) [nmse_val_L(i),nmse_id_L(i),~]=ridge_function(UL,yLs,0.1,lambda(i)); [nmse_val_R(i),nmse_id_R(i),~]=ridge_function(UR,yRs,0.1,lambda(i)); end case 'Ridge_en_DOMP' for i = 1:length(lambda) [nmse_Domp_Ridge_L_id(i),nmse_Domp_Ridge_L_val(i)] = ridge_RCDOMP(UL (:,sL(1:noptL)), TL(sL(1:noptL),sL(1:noptL)), yLs, lambda(i)); [nmse_Domp_Ridge_R_id(i),nmse_Domp_Ridge_R_val(i)] = ridge_RCDOMP(UR (:,sR(1:noptR)), TR(sR(1:noptR),sR(1:noptR)), yRs, lambda(i)); end case 'SelectRCDOMP+Ridge' for i = 1:length(lambda) [nmse_val_L(i),nmse_id_L(i),~]=ridge_function(UL(:,sL(1:noptL)),yLs ,0.1,lambda(i)); [nmse_val_R(i),nmse_id_R(i),~]=ridge_function(UR(:,sR(1:noptR)),yRs ,0.1,lambda(i)); end end figure(400) title('Banda L') switch modo case 'Ridge_en_PC' semilogx(lambda, nmse_id_L); hold on semilogx(lambda, nmse_val_L); legend('NMSE_{id}','NMSE_{val}'); case 'Ridge_en_DOMP' semilogx(lambda, nmse_Domp_Ridge_L_id); hold on semilogx(lambda, nmse_Domp_Ridge_L_val); legend('NMSE_{espacio-DOMP-id}','NMSE_{espacio-DOMP-val}'); case 'SelectRCDOMP+Ridge' semilogx(lambda, nmse_id_L); hold on semilogx(lambda, nmse_val_L); legend('NMSE_{id} Ridge en PC','NMSE_{val} Ridge en PC'); end figure(401) title('Banda R') switch modo case 'Ridge_en_PC' semilogx(lambda, nmse_id_R); hold on semilogx(lambda, nmse_val_R); legend('NMSE_{id}','NMSE_{val}'); case 'Ridge_en_DOMP' semilogx(lambda, nmse_Domp_Ridge_R_id); 52 Apéndice A. Código de MATLAB®empleado en el trabajo hold on semilogx(lambda, nmse_Domp_Ridge_R_val); legend('NMSE_{espacio-DOMP-id}','NMSE_{espacio-DOMP-val}'); case 'SelectRCDOMP+Ridge' semilogx(lambda, nmse_id_R); hold on semilogx(lambda, nmse_val_R); legend('NMSE_{id} Ridge en PC','NMSE_{val} Ridge en PC'); end Apéndice B Artículo de investigación La realización de este trabajo me ha permitido ser coautor, junto con mi compañero Miguel Nogales, del artículo que se muestra a continuación. Todo ha sido gracias a la iniciativa del Grupo de Sistemas de Radiocomunicación. Este artículo ha sido aceptado en la XXXVI edición del Simposio Nacional de la URSI. 53 54 Apéndice B. Artículo de investigación Arquitectura de aprendizaje directo en DPD de doble banda con regularizaci´ on de Ridge Miguel Nogales, El´ ıas Marqu´ es-Valderrama, Juan A. Becerra, Mar´ ıa J. Madero-Ayora, Carlos Crespo-Cadenas [email protected], elimarv[email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Dpto. de Teor´ ıa de la Se˜ nal y Comunicaciones. Universidad de Sevilla. Camino de los descubrimientos s/n. 41092. Sevilla. Resumen—In this paper, a direct learning architecture is employed for the digital predistortion of a power amplifier with a concurrent dual-band input signal. Conventional dualband behavioral models need to cope with a large number of regressors, being prone to algebraic issues that arise in the computation of the inverse of the covariance matrix. Ridge regularization is applied to the modelling equation in order to improve the stability of the learning process and the precision of the estimated coefficients in validation. Experimental results for the linearization performance achieved with the proposed approach are provided for a class AB power amplifier driven by two concurrent 10-MHz 5G New Radio signals. I. INTRODUCCI´ ON A medida que las generaciones de comunicaciones m´ oviles han evolucionado se han establecido requerimientos de cada vez mayores tasas de datos. Con este fin, el uso de esquemas de modulaci´ on eficientes como OFDM permiten un aprovechamiento ´ optimo del espectro radioel´ ectrico. La se˜ nales basadas en este esquema de modulaci´ on se caracterizan por tener una alta relaci´ on potencia promedio a potencia de pico (PAPR), lo que obliga al amplificador de potencia a trabajar en r´ egimen no lineal. T´ ecnicas como la predistorsi´ on digital (DPD) permiten mitigar la distorsi´ on generada por la no linealidad, evitando as´ ı emisiones fuera de banda no deseadas [1]. Otra estrategia ampliamente utilizada en arquitectura de comunicaciones inal´ ambricas es la multiplexaci´ on en el dominio de la frecuencia. La combinaci´ on de esta t´ ecnica con el acceso m´ ultiple por divisi´ on en frecuencia FDMA permite una gran flexibilidad de asignaci´ on de recursos, como ocurre en la capa f´ ısica de la quinta generaci´ on de comunicaciones m´ oviles (5G- NR). El uso de DPD con este tipo de esquemas multibanda presenta un gran reto, ya que el n´ umero de coeficientes del modelo se dispara y aparecen problemas num´ ericos que traen inestabilidad a la regresi´ on. En el caso de modelos multibanda, los regresores de Volterra tienen la forma de productos de los equivalentes paso bajo de cada banda y sus envolventes con distintas combinaciones de retrasos [2], [3]. Dicha combinatoria es muy rica, y adem´ as de generar un n´ umero ingente de coeficientes crea un conjunto de regresores del modelo muy parecidos entre s´ ı, lo que lleva a un mal condicionamiento de la matriz de medida en la regresi´ on [4]. El enfoque principal a la hora de abordar una regresi´ on con una matriz mal condicionada consiste en la regularizaci´ on, que se basa en modificar ligeramente la funci´ on de coste que se pretende minimizar para que la dependencia de los coeficientes con las se˜ nales de entrada disminuya. La regularizaci´ on de Ridge es una de las t´ ecnicas cl´ asicas de este tipo [5], [6]. En este trabajo exploramos el uso de regularizaci´ on de Ridge en un esquema de aprendizaje directo (DLA) multibanda. Para ello, en la Secci´ on II se introducen los conceptos b´ asicos de la DLA y c´ omo se extienden en un contexto multibanda. A continuaci´ on, en la Secci´ on III se establece el marco de trabajo de regresi´ on de Ridge. La Secci´ on IV presenta resultados experimentales de predistorsi´ on de un amplificador de potencia comercial. Finalmente, la Secci´ on V cubre las conclusiones y finaliza el presente trabajo. II. ARQUITECTURA DE APRENDIZAJE DIRECTO EN DOBLE BANDA El esquema tradicional de DLA consta principalmente de un bucle cuya tarea es predistorsionar cierta se˜ nal de entrada u, x=ud,(1) de modo que se le restar´ a la se˜ nal llamada de distorsi´ on, d, y dar´ a como resultado la envolvente compleja de la se˜ nal que se emplear´ a como entrada al amplificador, x. La se˜ nal dse define como d=Uw,(2) donde la informaci´ on adquirida por el sistema ser´ a almacenada en el vector de pesos wmientras que la matriz U contendr´ a los regresores, que ser´ an generados siguiendo la estructura del modelo adoptado, entre los que el modelo generalized memory polynomial (GMP) [7] es uno de los m´ as ampliamente utilizados. En cuanto al c´ alculo de los coeficientes wen cada iteraci´ on, wi+1 =wi+µU†e,(3) este ser´ a realizado mediante la pseudoinversa de Moore- Penrose U†=(UHU)1UH=R1UH,(4) donde Res la matriz de correlaci´ on y la actualizaci´ on estar´ a regulada por un coeficiente que determinar´ a la velocidad del aprendizaje, µ, cuyo valor pertenecer´ a al intervalo (0,1). El lazo se cierra obteniendo el error, e=y g0u,(5) siendo yla envolvente compleja a la salida del amplificador de potencia en esa iteraci´ on, mientras que g0es la ganancia est´ atica, obtenida del cociente entre las normas de yyu. Una vez definido el sistema DLA de una sola banda, el sistema dual surge del primero duplicando sus bloques de procesamiento de se˜ nal, dedicando uno a cada banda. Esta separaci´ on de los sistemas en bandas da lugar a varias implicaciones, como la necesidad de trabajar con el doble de variables 55 Forward Path Feedback Path DPD x1=u1U1w1,i x2=u2U2w2,i Synthesis Stage Analysis Stage PA DPD Adaptation w1,i+1 =w1,i+µ(UH 1U1+1I)1UH 1e1 w2,i+1 =w2,i+µ(UH 2U2+2I)1UH 2e2 1 g0 e1=y1/g0u1 e2=y2/g0u2 u2 u1 x2 x1xy Fig. 1: Esquema de linealizaci´ on con aprendizaje directo y regularizaci´ on de Ridge para una se˜ nal de doble banda concurrente. o generar los regresores con modelos de dos bandas, que de forma general contemplan t´ erminos mezclados y cruzados. Un ejemplo de este tipo de modelos es el GMP bidimensional (2D-GMP) [8]. Este cambio aportar´ a importantes mejoras en rendimiento para el sistema debido a las interacciones entre las dos bandas. Un ejemplo del esquema final se muestra en la Fig. 1, donde se puede apreciar la similitud con el sistema adaptado a una sola banda, pero con los a˜ nadidos propios del modelo dual. As´ ı pues, siguiendo dicho esquema, se denota con el sub´ ındice 1 a la banda con frecuencia central inferior y con el sub´ ındice 2 a la banda con la frecuencia central superior. III. REGULARIZACI´ ON DE RIDGE En esta secci´ on se introduce la t´ ecnica de regularizaci´ on con caracter general, para ser aplicada posteriormente en la arquitectura DLA. Un problema de modelado tiene la siguiente forma: y=Xh+e,(6) donde Xes la matriz de regresores, hlos coeficientes del modelo y eel error. El objetivo de este problema ser´ a encontrar los coeficientes que hagan que el error sea nulo. Dado que se trata de una estimaci´ on es aconsejable emplear la notaci´ on ˆ y=Xˆ h, dondeˆdenota estimaci´ on. El gran n´ umero de regresores que se requieren para poder abordar un modelo de doble banda, puede provocar que el estimador de m´ ınimos cuadrados (LS) no sea ´ unico. Adem´ as la existencia de regresores muy correlados conduce a que la matriz de correlaci´ on generalmente sea singular o cercana a serlo, es decir, presenta un n´ umero de condici´ on muy elevado. Esto quiere decir que, en el caso en el que sea invertible, ligeros cambios en Xdesembocar´ ıan en grandes cambios en (R)1. Esto se traduce en que puede obtenerse una buena estimaci´ on de los coeficientes del modelo en test pero malos para validaci´ on. As´ ı pues, la soluci´ on que se presenta es la regularizaci´ on de Ridge, que si bien abandona la idea de conseguir un estimador insesgado, es capaz de llegar a un compromiso entre el sesgo y varianza en la estimaci´ on. A continuaci´ on se muestra la deducci´ on de la expresi´ on del nuevo modelo a partir de una penalizaci´ on en la suma residual de cuadrados (PRSS), PRSS =kyˆ yk2 2+kˆ hk2 2,(7) donde es el coeficiente de regularizaci´ on. Como el objetivo es encontrar el m´ ınimo de la funci´ on PRSS, a continuaci´ on, se deriva respecto de hy se iguala a 0, dPRSS dh=2XHy+2XHXˆ h+2ˆ h=0,(8) y finalmente se despeja el modelo regularizado ˆ h: ˆ h=(XHX+I)1XHy,(9) donde Ies la matriz identidad. De manera que, observando la ecuaci´ on (7), se extraen varios an´ alisis. El primero de ellos es que la minimizaci´ on ya no consiste en aumentar los coeficientes ˆ hj, ya que ahora aparece un termino de penalizaci´ on regulado por que aumenta con kˆ hk2. Esto puede interpretarse como una restricci´ on en la norma `2del vector de coeficientes. El segundo an´ alisis se induce del primero, y es que el hecho de restringir kˆ hk2est´ a sesgando la estimaci´ on, y esto asegura la invertibilidad de la matriz de regresores regularizada. La implicaci´ on que esto tiene en el modelado se comprende sobre el espacio de componentes principales (PC) de X. La regresi´ on consiste en proyectar yen el subespacio que contiene a X, cuya base en este desarrollo se considera el espacio de PC de X. Dado que ˆ hrepresenta las coordenadas de la proyecci´ on en dicha base, el hecho de introducir la misma penalizaci´ on en todas las componentes de la diagonal de la matriz de correlaci´ on provoca una restricci´ on mayor en aquellas componentes con menor variabilidad en ˆ y. De modo que adem´ as de conseguir mayor estabilidad y fiabilidad en la regresi´ on sirve como m´ etodo de simplificaci´ on en cuanto a su complejidad. A. Aplicaci´ on de la regularizaci´ on de Ridge en DLA Generalmente la matriz de regresores se denota como X, hecho que motiva la notaci´ on empleada en este apartado. En cambio la arquitectura DLA representada en la Fig. 1 entiende que la entrada al sistema es uen lugar de x. Esto es debido a que tradicionalmente se emplea xpara indicar la entrada en el amplificador. Para no llevar a confusi´ on se ha decidido que urepresente la se˜ nal generada, cuya matriz de regresores es U, de modo que xes la se˜ nal predistorsionada seg´ un (1). IV. RESULTADOS EXPERIMENTALES En esta secci´ on se pondr´ a a prueba experimentalmente la soluci´ on te´ orica propuesta en las Secciones II y III. En primera instancia se hace una breve explicaci´ on del experimento realizado para proceder posteriormente a la explicaci´ on de los resultados obtenidos. A. Descripci´ on del banco de medidas Para confirmar la validez de la propuesta presentada en este trabajo, se evaluaron sus prestaciones para linealizaci´ on mediante un banco de medidas compuesto por un generador de se˜ nal SMU200A de Rohde & Schwarz, dos pre-amplificadores TVA-4W-422A+ de Minicircuits en cascada, un analizador de se˜ nal PXA-N9030A de Keysight Technologies y una fuente de alimentaci´ on. Como amplificador bajo prueba se emple´ o la placa de evaluaci´ on de un amplificador de clase AB basado en el HEMT de GaN CGH40010 de Cree, con una frecuencia de trabajo de 3.6 GHz. Índice de Códigos A.1 Código principal, donde se realiza la generación de la señal 5G-NR, cálculo del modelo, empleo de la arquitectura DLA con las respectivas medidas sobre el amplificador y aplicación de la regularización de Ridge a la matriz de regresores 43 A.2 Construcción de la matriz de regresores para el modelo 2D-GMP 47 A.3 Aplicación de la regularización de Ridge en la base PC 49 A.4 Aplicación de la regularización de Ridge en la base DOMP 50 A.5 Generación de las gráficas de NMSE de identificación y validación 51 63 Bibliografía [1] J. Pedro and N. Carvalho, Intermodulation distortion in microwave and wireless circuits. Boston: Artech House, Jun. 2003. [2] Apuntes de la asignatura Sistemas de Infraestructura de Telecomunicación. Grado en Ingeniería de las Tecnologías de Telecomunicación (ETSI). 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Glosario 2D-GMP Bidimensional Generalized Memory Polynomial. 17, 34 2D-MP Bidimensional Memory Polynomial. 17 ACPR Relación de potencia con el canal adyacente. 9, 10, 33, 34, 37 BIC Bayesian Information Criterion. 26 CA Agregación de portadora. 1, 12, 16 CoSaMP Compressive Sampling Matching Pursuit. 27 CP Prefijo cíclico. 12 DLA Arquitectura de Aprendizaje Directo. 21, 35, 36, 38 DOMP Doubly Orthogonal Matching Pursuit. 27, 28, 29, 30, 36, 38, 40 DPD Digital Predistortion. 19, 20, 21, 34, 35, 36, 37, 38 DUT Dispositivo Bajo Prueba. 6, 32 ETSI Escuela Técnica Superior de Ingeniería. 31 EVM Magnitud del vector error. 9, 10, 37 FPGA Field-programmable gate array. 15 FV Full Volterra. 15, 18 GMP Generalized Memory Polynomial. 16, 17, 18 IFFT Transformada rápida de Fourier Inversa. 11 ILA Arquitectura de Aprendizaje Indirecto. 20, 21 LS Mínimos cuadrados. 19, 23, 29 LTI Lineal e Invariante en el Tiempo. 3, 4, 5, 6 MP Memory Polynomial. 16, 17 NMSE Error cuadrático medio normalizado. 10, 35, 36, 37, 39 OFDM Multiplexación por división de frecuencias ortogonales. 10, 11, 12, 33 OMP Orthogonal Matching Pursuit. 26, 27, 28 67 68 Glosario PA Amplificador de potencia. 1, 2, 4, 5, 14, 32, 33 PAE Eficiencia de potencia añadida. 8, 37 PAPR Relación potencia pico a potencia promedio. 12, 33, 34 PC Componentes principales. 25, 26, 29, 30, 36, 40 PRSS Suma residual de cuadrados penalizada. 24, 25 RB Bloque de recursos. 12 RC-DOMP Reduced Complexity DOMP. 28, 30, 38, 40 RF Radiofrecuencia. 14, 22 RSS Suma residual de cuadrados. 19 SP Subespace Pursuit. 27 SVD Descomposición en valores singulares. 25 THD Distorsión Armónica Total. 7, 9 VSA Analizador Vectorial de Señal. 31, 32, 33 VSG Generador Vectorial de Señal. 31