Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada

i Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Organización Industrial Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Autor: Ana Rodríguez Muniz Tutor: Sebastián Lozano Segura Dpto. Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 ii iii Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Organización Industrial Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Autor: Ana Rodríguez Muniz Tutor: Sebastián Lozano Segura Dpto. de Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 iv v Proyecto Fin de Grado: Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Autor: Ana Rodríguez Muniz Tutor: Sebastián Lozano Segura El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2020 El Secretario del Tribunal vi vii A mi abuelo Luis, por ser la mayor inspiración de mi vida. viii ix Agradecimientos En estos días en que veo como esta etapa va llegando a su fin, recuerdo una frase que dice “enamórate de la lucha, no de la victoria”. Ha sido un camino duro, y al echar la vista atrás, si algo tengo claro, es que no tendría sentido sin las personas que han estado a mi lado en cada paso. A mis padres, por no perder nunca la Fe. Agradecerles el ser siempre un apoyo incondicional. A mi hermano, por ser el mejor regalo que mis padres me han hecho en esta vida. A Manu, por ser faro en los días de tormenta. A mis compañeros y amigos, en especial a María y Alfonso, sin vosotros esta etapa no hubiese sido tan feliz. A mi tutor, Sebastián, por transmitirnos y contagiarnos siempre su pasión y sus ganas de aprender. Y por los valores del trabajo bien hecho. Y por la infinita paciencia. Simplemente, GRACIAS. Dice un poema de Walt Whitman: “No te dejes vencer por el desaliento, no abandones las ansias de hacer de tu vida algo extraordinario. Somos seres llenos de pasión. La vida es desierto y oasis. Nos derriba, nos lastima, nos enseña y nos convierte en protagonistas de nuestra propia historia.” Ana Rodríguez Muniz Sevilla, 2020 xvi 2.6.3 Modelo CCR-OUTPUT 16 2.7 Modelos DEA con retorno de escala variable 17 3 Eficiencia Cruzada 19 3.1 Modelos clásicos de Eficiencia Cruzada 19 3.2 Enfoque agresivo y benevolente 22 3.3 Modelos de tipo Blanket y Targeted 22 3.3.1 Modelo Blanket Aggression 23 3.3.2 Modelo Blanket Benevolent 23 3.3.3 Modelo Targeted Aggression 24 3.3.4 Modelo Targeted Benevolent 25 4 Otros Modelos XE 27 4.1 Estado del arte: TOPSIS 28 4.2 IDMU, ADMU y RC 30 4.3 Modelos XE basados en la distancia 32 4.3.1 Modelo I – Minimización de la distancia a IDMU 32 4.3.2 Modelo II – Maximización de la distancia hasta ADMU 32 4.3.3 Modelo III – Maximización de la distancia entre IDMU-ADMU 33 4.3.4 Modelo IV – Maximización del ratio de proximidad RCJ 34 5 Experimentos Computacionales 35 5.1 Experimento 1: Juego de datos simple 37 5.2 Experimento 2: Rendimiento de departamentos universitarios 39 5.3 Experimento 3: Caso práctico 41 6 Conclusiones 51 Referencias 53 Anexo A 55 Modelos LINGO 55 Anexo B 63 Resultados detallados de Excel asociados a los modelos resueltos en LINGO 63 Experimento 1: Juego de datos simple 63 Experimento 2: Rendimiento de departamentos universitarios 68 Experimento 3: Caso práctico 73 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1 - Cálculo de la XE para cada DMUj 35 Tabla 2 - Juego de datos experimento 1 37 Tabla 3 - Rankings de XE Blanket y Targeted experimento 1 37 Tabla 4 - Rankings de otros modelos de XE experimento 1 37 Tabla 5 - Overall Ranking experimento 1 38 Tabla 6 - Pearson correlation coefficient experimento 1 38 Tabla 7 - Spearman´s rank correlation coefficient experimento 1 38 Tabla 8 - Juego de datos experimento 2 39 Tabla 9 - Rankings de XE Blanket y Targeted experimento 2 40 Tabla 10 - Rankings de otros modelos de XE experimento 2 40 Tabla 11 - Overall Ranking experimento 2 40 Tabla 12 - Pearson correlation coefficient experimento 2 41 Tabla 13 - Spearman´s rank correlation coefficient experimento 2 41 Tabla 14 - Juego de datos caso práctico 43 Tabla 15- Rankings de XE Blanket caso práctico 44 Tabla 16 - Rankings de XE Targeted caso práctico 45 Tabla 17 - Rankings de otros modelos de XE caso práctico 46 Tabla 18 - Overall Ranking caso práctico 47 Tabla 19 - Pearson correlation coefficient caso práctico 48 Tabla 20 - Spearman´s rank correlation coefficient caso práctico 48 xviii xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1 Métodos de estimación 2 Figura 2.1 Representación gráfica de la tecnología CRS 8 Figura 2.2 Frontera eficiente VRS vs. CRS 9 Figura 2.3 Orientaciones en DEA 11 Figura 2.4 Modelo CCR orientado a entrada 16 Figura 2.5 Modelo CCR-I de dos entradas y una salida 16 Figura 2.6 Modelo CCR orientado a salida 17 Figura 3.1 Matriz de eficiencias cruzadas 19 Figura 3.2 Evaluación de las diferentes DMUs cuando la DMUJ elige los pesos 20 Figura 3.3 Self-appraisal 20 Figura 3.4 Peer-appraisal DMUj 21 Figura 3.5 Múltiples soluciones alternativas para los pesos de DMUD 21 Figura 4.1 Representación gráfica del método TOPSIS 30 Figura 5.2 Esquema experimento 2 39 Figura 5.3 Esquema caso práctico 42 xx xxi Notación DEA Análisis por Envoltura de Datos (Data Envelopment Analysis) DMU Unidad Productiva con capacidad de Decisión (Decision Making Unit) CRS Retornos de escala constante (Constant Returns to Scale) VRS Retornos de escala variable (Variable Returns to Scale) MPSS Tamaño de escala más productivo (Most Productive Scale Size) CCR Charnes, Cooper y Rhodes BCC Banker, Charnes y Cooper XE Eficiencia Cruzada (Cross Efficiency) TOPSIS Técnica de Ordenación de Preferencias por Similitud a la Solución Ideal (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) IDMU Unidad ideal (Ideal Decision Making Unit) ADMU Unidad anti-ideal (Anti-ideal Decision Making Unit) RC Ratio de Proximidad (Relative Closeness) PIS Solución Ideal Positiva NIS Solución Anti-Ideal Negativa s.a. Sujeto a xxii 1 1 INTRODUCCIÓN menudo, en nuestra cotidianidad del día a día, buscamos la eficiencia y la optimización de nuestros recursos. Es frecuente, por ejemplo, argumentar durante el transcurso de una conversación “en relación calidad/precio es la mejor opción” . De forma prácticamente intuitiva, comparamos en base a nuestro presupuesto las diferentes opciones valorando una serie de características o requisitos y buscando obtener el mejor producto/servicio posible. ¡Ojo! He dicho la mejor opción, que no el óptimo, puesto que no siempre el óptimo será la opción que nos interese alcanzar. Este proceso que realizamos en multitud de ocasiones y de forma incluso podría decirse, inconsciente, es a muy grosso modo la problemática que aborda y la temática sobre la que versa el presente documento. El fin último del mismo es proporcionar un método que nos permita estudiar, medir y comparar la eficiencia de distintas unidades productivas o de servicios. Suele ser ahora cuando se nos plantea la siguiente cuestión: ¿y cómo podemos medir la eficiencia? En el transcurso de este proyecto espero dar luz y aportar diversas alternativas para dar respuesta a dicha pregunta. Por ello me dispongo, sin más preámbulo ni dilación, a presentar el grueso de este documento: la evaluación de la eficiencia mediante la metodología del Análisis Envolvente de Datos (Data Envelopment Analysis), también mundialmente conocido como DEA. El concepto de eficiencia se encuentra íntimamente relacionado con la economía de recursos. Resulta habitual definir la eficiencia como la relación existente entre los resultados obtenidos (outputs) y los recursos utilizados (inputs). Es por ello que la eficiencia es una magnitud de carácter multidimensional. Los orígenes de la metodología DEA aparecen como una extensión del trabajo de Farrell (1957) [1] donde proporcionó el método de optimización de la programación matemática para obtener una “medida satisfactoria de la eficiencia técnica” entre una entrada simple y una salida. Farrell ilustró su método mediante una aplicación a la producción agrícola de Estados Unidos. Sin embargo, fue en 1978 cuando Cooper, Charnes y Rhodes [2], haciendo uso de la programación lineal, publicaron el artículo conocido como el origen del Data Envelopment Analysis (DEA): “Measuring the efficiency of decisión making units”. En dicha publicación en el European Journal of Operational Research, consiguieron medir la eficiencia técnica para el caso de múltiples entradas y salidas. Posteriormente la metodología DEA fue mejorada y ampliada por Banker, Charnes y Cooper [3] en 1984. A Lo que se mide mejora. - Peter Drucker - Introducción 2 2 Farrel supuso que la frontera de producción de las empresas completamente eficientes era conocida pero en la práctica es necesario estimarlo. A continuación se presenta un esquema que recoge los principales métodos para estimar la frontera eficiente [4]. Figura 1.1 Métodos de estimación Siguiendo el esquema, DEA es un método no paramétrico, de programación matemática y determinista que permite la construcción de una superficie envolvente o frontera eficiente a partir de los datos disponibles sobre los inputs y los outputs del conjunto de unidades estudiadas. A la hora de evaluar la eficiencia de este conjunto de unidades, y como veremos en capítulos posteriores, es de vital importancia la correcta elección de las variables de entrada y salida. Las unidades que determinarán dicha envolvente serán las unidades eficientes y las que no se encuentran sobre la misma son las llamadas ineficientes. DEA evalúa la eficiencia relativa de cada una de dichas unidades. Debido a la naturaleza interdisciplinar de esta metodología encontramos innumerables trabajos en ámbitos de diversa índole: sector bancario, seguros, educación, hospitales, policía, software, industria, sector inmobiliario, agricultura…etc. 1.1 Motivación Antes de sumergirnos en esta apasionante metodología me gustaría compartir el por qué de este trabajo. Una de las primeras cosas que quiero plantear es una duda que con frecuencia me atañe y es diferenciar los conceptos de ciencia, ingeniería y tecnología. Pues a pesar de estar estrechamente relacionados, significan cosas diferentes. 3 3 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. De forma breve y concisa podemos afirmar que [5]: “la ciencia es el estudio del mundo natural tal como es; la ingeniería está creando nuevas herramientas, dispositivos y procesos basados en el conocimiento científico; la tecnología es la suma total de todas las herramientas, dispositivos y procesos de ingeniería disponibles”. “El ingeniero debe remediar con el arte los defectos de la naturaleza”, Ordenanzas del Real Cuerpo de Ingenieros Militares (1739). Del estudio de los métodos de optimización aprendí algo muy valioso a aplicar en la mayoría de los aspectos de mi vida, y es que aunque el óptimo es la mejor solución del problema no siempre nos interesará alcanzarlo. Y es que a veces una buena solución puede ser más deseable (por ejemplo porque consumamos menos recursos para alcanzarla). No debemos perder de vista de ahora en adelante la definición de optimizar que dice así [6]: “optimizar es usar eficientemente un conjunto de elementos para realizar una serie de actividades”. En estos tiempos en los que tanto se habla sobre Machine Learning, Inteligencia Artificial y Big Data, me resultó realmente interesante el amplio espectro que ofrece la metodología DEA. Pues los datos dejan de ser un puro registro y almacenamiento sistemático para interrelacionarse e interconectarse a través de los modelos que iremos presentando en el presente documento. También cabe resaltar que hoy día el tiempo es una variable fundamental, pues prima la inmediatez en la toma de decisiones. Este método nos permite manejar un volumen de datos de magnitud relevante en un reducido tiempo de computación. Lo cual me pareció que podía ser una forma muy racional para tomar ciertas decisiones en el futuro, pues daba respuesta a la pregunta sobre ¿cómo pensamos, evaluamos y actuamos los ingenieros? RACIONALIDAD, es decir tenemos una estrategia para optimizar la consecución de unos objetivos. Y aunque de forma breve, pues este corresponde más a un enfoque podría decirse filosófico, me gustaría introducir el Método de la Racionalidad Acotada de Simon [7], quién distinguía entre una racionalidad sustantiva u objetiva y una racionalidad procedimental o acotada. La racionalidad objetiva, según Simon, es la racionalidad ideal que requiere de un conocimiento exhaustivo, global y muy integrado. Estableciendo un paralelismo de cuando se da un comportamiento sustantivamente racional según el método de Simon y extrapolándolo a la metodología DEA:  Existe un conjunto de alternativas perfectamente establecidas  unidades de decisión (DMUs).  El agente decisor posee conocimiento objetivo para predecir las consecuencias de las alternativas (conocimiento científico)  Inputs/Outputs.  Existe un criterio con el que evaluar las consecuencias que se presenten  función objetivo.  Se procesa la información disponible en un tiempo razonable  software de optimización (LINGO). Pero en la ingeniería, la decisión racional está limitada por la información disponible, tanto del proceso como de los objetivos. Esto es lo que Simon llama racionalidad procedimental o acotada. Sus principales premisas son:  Las posibilidades reales de decisión racional están acotadas por limitaciones en la información disponible (también “esclavizada” por el principio de utilidad y eficiencia).  El comportamiento real proyectado se puede distanciar mucho del óptimo.  Se recurre a encontrar procedimientos eficientes para calcular soluciones efectivas a problemas concretos. Simon propone los términos de optimización y satisfacción para diferenciar entre los dos conceptos de racionalidad que se han expuesto. Análisis por Envoltura de Datos 10 10 Esta tecnología puede no ser muy útil, pues según ella casi todas las observaciones son eficientes, y esto hace complicada la detección de ineficiencias.   1 ( , ): 0, ; ; 1, 0,1 n FDH j j j T x y X x Y y                  (16) 2.3 Características modelos DEA En este epígrafe se exponen los conceptos que, a mi entender, son la clave para la comprensión y definición de cualquier modelo perteneciente a esta metodología. Podemos clasificar los modelos DEA en función de:  El tipo de medida de eficiencia que proporcionan (métricas): modelos radiales y no radiales.  La orientación del modelo: Input orientado, Output orientado y No orientado.  Los rendimientos a escala: constantes o variables. 2.3.1 Según la métrica del modelo  Radial: disminuye las entradas o aumenta las salidas de forma proporcional, con el mismo valor multiplicador. Necesita utilizar el concepto de holgura para lograr ser un punto eficiente.  No radial: consta de un factor multiplicador para cada entrada y/o salida. Se “acomoda” directamente a la frontera eficiente. 2.3.2 Según la orientación del modelo  Orientación de entrada (Input Orientation): en este caso una unidad alcanza la productividad de la unidad de referencia a costa de reducir la cantidad de los recursos que consume. Es decir, de reducir las entradas. Una unidad no es eficiente si es posible disminuir cualquiera de sus Inputs sin alterar sus Outputs.  Orientación de salida (Output Orientation): una unidad alcanza la productividad de la unidad de referencia mediante el aumento de la cantidad de salidas que produce. Es decir, de aumentar las salidas. Una unidad no es eficiente si es posible incrementar cualquier Output sin incrementar ningún Input y sin disminuir ningún otro Output. También existe la posibilidad de que sea No Orientado ( Input-Output orientado) , en cuyo caso se busca aumentar la eficiencia alterando indistintamente entradas y salidas. En la siguiente figura se ilustra el supuesto de rendimientos a escala constantes para el caso de un único Input y un único Output. Podemos observar cómo la DMUA es ineficiente técnicamente, se sitúa por debajo de la frontera. 11 11 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Figura 2.3 Orientaciones en DEA 2.3.3 Según los rendimientos a escala Para evaluar la eficiencia de un conjunto de DMUs es necesario identificar el tipo de retorno de escala que caracteriza a la tecnología en cuestión. Distinguiremos entre: retorno de escala constante y retorno de escala variable.  Retorno de escala constante (CRS): considera que cualquier unidad puede alcanzar la productividad de las eficientes, es decir de mayor productividad, independientemente de su tamaño. La eficiencia calculada será la global, pues todas las DMUs tienen como unidades de referencia a las de mayor productividad. Se utiliza cuando las unidades estudiadas pueden llegar a obtener la máxima productividad observada. Los modelos que se presentan en el siguiente capítulo pertenecen a este tipo: Modelo RATIO, modelo CCR-INPUT y modelo CCR-OUTPUT.  Retorno de escala variable (VRS): considera que algunas unidades de distinto tamaño al de las eficientes pueden no ser capaces de conseguir la productividad de éstas. En este caso la eficiencia calculada será la eficiencia técnica, que consiste en referir cada DMU a la de mayor productividad de entre las de su tamaño. Se utiliza este enfoque cuando las unidades, debido a su tamaño, son incapaces de conseguir la máxima productividad observada. Los retornos de escala constantes o variables se fijan en función de la naturaleza del problema. En caso de duda, conviene optar por VRS. Análisis por Envoltura de Datos 12 12 2.4 Puntos fuertes y débiles de DEA Fortalezas: - Es una metodología no paramétrica y, por tanto, no supone ninguna forma funcional de la relación entre los Inputs y los Outputs, ni supone una distribución de la ineficiencia. - Destaca por su capacidad de manejar situaciones de múltiples Inputs y Outputs expresados en distintas unidades de medida. - Permite identificar cuáles son las unidades eficientes (best practice). DEA es muy útil para comparar DMUs entre sí, teniendo como referencias a las unidades eficientes (benchmark). - Proporciona medidas de eficiencia relativas, es decir, cómo de bien está haciendo las cosas una unidad en comparación con su conjunto de referencia. Caracterizando a cada una de las unidades mediante una única puntuación. Sirve para saber dónde se encuentra cada unidad y si necesita mejorar mucho o está cerca de la eficiencia. - DEA no ofrece una medida de eficiencia absoluta, es decir, no compara la unidad con un máximo teórico. - Targets: objetivos numéricos concretos que alcanzar. - Los modelos DEA son invariantes en la traslación, si se hace una traslación del vector de entradas y salidas originales, resulta un nuevo problema que tiene la misma solución óptima en la forma envolvente. - Aplicación general: puede aplicarse a infinidad de sectores: campo sanitario (hospitales, doctores…), educación (colegios, universidades…), bancos, manufacturas, evaluación de gestión, restaurantes, etc. Limitaciones del modelo: - En ocasiones presenta un problema de adimensionalidad. Podemos encontrarnos con una gran cantidad de datos para muy pocas unidades productivas. Para que el estudio llegue a conclusiones de interés, necesitamos disponer de un número considerable de DMUs, en torno a tres veces la suma de las entradas y salidas. - Sensibilidad a observaciones atípicas (outliers). DEA es sensible a la existencia de observaciones extremas y toda desviación respecto de la frontera es tratada como ineficiencia, lo que puede derivar en una sobreestimación de la misma; la precisión de los resultados alcanzados (puntuaciones de eficiencia relativa) dependerá de la exactitud de las medidas de los Inputs y Outputs considerados. Si la incertidumbre está presente, los resultados pueden ser erróneos y conducir a que una unidad aparezca, falsamente, como eficiente. Es decir, la frontera puede cambiar de forma y/o posición y consecuentemente, puede estar mostrando unidades ineficientes cuando realmente no lo son. Es una buena práctica examinar relaciones entrada-salida básicos para eliminar los valores atípicos en los datos. - Sólo pueden emplearse datos cuantitativos. - Los datos faltantes dan problemas. Puede que alguna matriz no esté completa, si son pocos datos y aislados los que faltan podemos hacer caso omiso. Si se concentran en alguna DMU, entrada o salida, estudiaremos si prescindir de ella. - Invarianza en los modelos. Hay modelos DEA a los que les afectan los cambios de medidas. Hay que tener precaución en la elección. - La identificación de entradas y salidas es subjetivo. Es un asunto de gran importancia, complejo y discrecional. Existen algunas “reglas” de determinación: o Salidas: cuantas más, mejor. o Entradas: cuantas menos, mejor. o Al aumentar las entradas, aumentan las salidas. 13 13 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. 2.5 Pasos de la metodología DEA En este apartado se resumen de forma sintetizada los pasos a seguir para aplicar la metodología DEA a cualquier problema que queramos abordar: 1) Identificar las DMUs. Las unidades que queremos comparar. 2) Definir los inputs y los outputs. Identificar las entradas (recursos) y salidas (producciones) que se orientan del modelo. 3) Recoger datos: obtenerlos y calcularlos. 4) Suponer una tecnología y definirla: hay que determinar si los extremos de escala son constantes o variables. A partir de ahí se elegirá la tecnología que se va a utilizar. 5) Adoptar una orientación y una métrica: esto nos permite seleccionar los modelos eficientes. 6) Resolver los correspondientes modelos. 7) Analizar los resultados (eficiencia y targets) para determinar si se es eficiente o ineficiente. 2.6 Modelos DEA con retorno de escala constante En los modelos que se exponen en este subapartado, las unidades toman como DMUs de referencia las de mayor productividad de entre las observadas a la hora de calcular su eficiencia relativa. A continuación, se exponen algunos de los modelos tradicionales: el modelo RATIO, el modelo CCRINPUT y el modelo CCR-OUTPUT. 2.6.1 Modelo RATIO La característica elemental de este modelo es que para el cálculo de la eficiencia de cada unidad, les concede la libertad de elegir los pesos que convierten la salida y la entrada agregadas en valores adimensionales. Por lo tanto, cada unidad escogerá los valores de los pesos que optimicen su eficiencia, teniendo en cuenta que, una vez elegidos, serán utilizados por las restantes unidades. Cada unidad va a comparar su productividad con el resto de las unidades estudiadas empleando para dicha comparación los pesos con los que su eficiencia es la mejor. Modelo Ratio expresado en forma analítica: 1 1 1 1 . : 1 1,2,..., 1,2,..., 1,2,..., s kJ kJ k Jm iJ iJ i s kJ kj km iJ ij i kJ iJ vy MAX ux sa vy jn ux v k s u i m                      (17) Análisis por Envoltura de Datos 14 14 Donde:  : número real estrictamente positivo y muy cercano a cero 1,2,...,jn subíndice para las DMUs 1,2,...,im subíndice para las entradas 1,2,...,ks subíndice para las salidas ij x : cantidad de la entrada ‘i’ consumida por la DMUj kj y : cantidad de la salida ‘k’ producida por la DMUj El modelo consiste en resolver tantos problemas de maximización como unidades a estudiar tengamos en el problema. Es decir, vamos a resolver n problemas de maximización. La función objetivo será la encargada de elegir los pesos que maximizan la eficiencia  de la DMU para la cual se está resolviendo el modelo. La primera restricción obliga a que ninguna DMU pueda tener una eficiencia mayor a la unidad. Esto evita que durante el proceso de la elección de los pesos, ninguna DMU tenga una eficiencia inadmisible (esto es que sea mayor que uno). Una vez resueltos los n problemas tendremos un subconjunto E, formado por las unidades DMUr que han resultado eficientes ( 1 J   ) tras la resolución del modelo. Este conjunto de unidades eficientes cumple la primera restricción del modelo con signo de igualdad: * 1 * 1 1 r s kr kr km ir ir i vy E ux      (18) Como inconveniente de este modelo podemos decir que su función objetivo es un cociente, incurriendo por tanto en una función objetivo no lineal. Este hecho complica su resolución. Para solucionar este problema, se realizará una transformación de dicha función objetivo y obtendremos como resultado otros modelos equivalentes, todos ellos lineales, que se verán a continuación. 2.6.2 Modelo CCR-INPUT Debe sus siglas a sus autores: Charnes, Cooper y Rhodes. En este modelo vamos a sustituir la función objetivo del modelo Ratio por una equivalente que convierta nuestro problema en un problema lineal. Es sabido por todos que si queremos maximizar un cociente manteniendo constante su denominador, debemos maximizar el numerador. A su vez sabemos que si el numerador es menor que el denominador el cociente dará un resultado menor que la unidad. Por tanto, impondremos la restricción que iguala el denominador a la unidad resultando el siguiente modelo: 15 15 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. 1 11 1 . : - 0 1,2,..., 1 1,2,..., 1,2,..., s kJ kJ k sm kJ kj iJ ij ki m iJ iJ i kJ iJ MAX v y sa v y u x j n ux v k s u i m             (19) Conocida como FORMA MULTIPLICADORA. Me gustaría hacer un inciso en este concepto, puesto que existen dos tipos de modelos DEA: de tipo multiplicador y de tipo envolvente.  Modelos tipo multiplicador: como el descrito en el modelo (19), en el que las variables son unos pesos o precios sombra de las entradas y las salidas. Y la función objetivo a maximizar es la eficiencia mediada como el ratio del valor de los outputs dividido por el valor de los inputs.  Modelos tipo envolvente: en los que las variables son las lambda que sirven para formar un target ( , )xy como combinación lineal de las DMUs observadas. Por supuesto, cada modelo envolvente tiene su dual de tipo multiplicador y viceversa. Volvamos al modelo anterior, donde tenemos el problema lineal buscado con n+1 restricciones y s+m cotas. Las primeras n restricciones se obtienen al linealizar la condición de que todas las DMUs deben tener una eficiencia admisible, es decir menor o igual a la unidad. La restricción adicional establece una medida de referencia a la entrada virtual, asegurando así que se maximiza la eficiencia cuando se hacen máximas las salidas. De esta forma, la salida virtual coincide con la eficiencia de la unidad, y por tanto será igual a uno si la unidad es eficiente y menor que uno en caso de ser ineficiente. Es decir, el valor de la función objetivo tras resolver el problema es el valor de la eficiencia de la DMUJ. Además se reduce el número de soluciones alternativas de los pesos, aunque este problema no desaparece y profundizaremos en él en el próximo capítulo. El problema de retorno de escala se ilustra gráficamente a continuación para el caso de una entrada y una salida en la figura 3.4 y para el caso de dos entradas y una salida en la figura 3.5. Análisis por Envoltura de Datos 16 16 Figura 2.4 Modelo CCR orientado a entrada Observamos que la DMUA es eficiente, mientras que el resto no lo son. Estas unidades ineficientes se proyectan sobre la frontera tecnológica con el objetivo de conseguir alcanzar la eficiencia. Para ello se orientan disminuyendo el valor de la entrada. Figura 2.5 Modelo CCR-I de dos entradas y una salida En la figura anterior podemos observar las dos fases del modelo (en su forma envolvente), primero se produce la reducción hacia la frontera eficiente (D a D’) y a continuación se realiza el ajuste hasta un punto mejor (D’ a D’’). 2.6.3 Modelo CCR-OUTPUT En este caso se opta por la minimización de la función objetivo del modelo RATIO, minimizando el denominador de la expresión y manteniendo constante el numerador. De esta forma obtenemos el siguiente modelo lineal que es muy similar al anterior: 17 17 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. 1 11 1 . : - 0 1,2,..., 1 1,2,..., 1,2,..., m iJ iJ i sm kJ kj iJ ij ki s kJ kJ k kJ iJ MIN u x sa v y u x j n vy v k s u i m             (20) Ahora la función objetivo representa el inverso de la eficiencia relativa de la DMUJ, y siempre será mayor o igual que uno. Las condiciones de este modelo son análogas a las que se impusieron en el CCR-INPUT (19). En el caso de una única entrada y una única salida, el modelo podría ilustrarse tal que así: Figura 2.6 Modelo CCR orientado a salida Observamos que la DMUA es eficiente, mientras que el resto no lo son. Estas unidades ineficientes se proyectan sobre la frontera tecnológica con el objetivo de conseguir alcanzar la eficiencia. Para ello se orientan aumentando el valor de la salida. 2.7 Modelos DEA con retorno de escala variable Para los casos en los que el problema se plantee con retornos de escala variable, dispondremos de los modelos BCC-INPUT y BCC-OUTPUT. Deben su nombre a sus autores: Banker, Charnes y Cooper. Estos modelos emplean unas variables libres que representan la ordenada en el origen de los hiperplanos que envuelven los datos. Dichos planos ya no tienen que pasar por el origen como pasaba en el caso CRS. Análisis por Envoltura de Datos 18 18 Son modelos radiales, es decir, que buscan la dirección de mejora a través de radios trazados desde la DMU a la frontera eficiente. No es necesario para el objeto de este proyecto profundizar más en dichos modelos, puesto que tomaremos como nuestro modelo primitivo el ya expuesto CCR-INPUT. 19 3 EFICIENCIA CRUZADA urante este capítulo abordaremos los modelos de la eficiencia cruzada clásica. Estos modelos surgen para solucionar diferentes casuísticas que los modelos primitivos no contemplaban. Presentaremos los modelos en función de sus enfoques agresivo y benevolente y posteriormente distinguiremos entre los modelos de tipo Blanket y de tipo Targeted. 3.1 Modelos clásicos de Eficiencia Cruzada Una vez resuelto el problema por cualquiera de los modelos tradicionales (aplicaremos el modelo CCR-I en los casos prácticos que se van a presentar) se nos plantea la siguiente disyuntiva: El modelo CCR-I tiene soluciones alternativas, es decir, múltiples conjuntos de pesos que dan la misma eficiencia para la DMUJ evaluada. Sin embargo, que desde el punto de vista de la DMUJ esos conjuntos de pesos sean equivalentes no significa que lo sean para las otras DMUs, puesto que cada una de ellas podría preferir unos pesos u otros. Y es entonces cuando aparecen los modelos que vamos a estudiar y que dan solución a este problema, son los llamados modelos de eficiencia cruzada. También mundialmente conocidos por su denominación anglosajona Cross-Efficiency (XE). Los modelos de eficiencia cruzada son en su inmensa mayoría de tipo multiplicador y se derivan de los modelos CCR-I y BCC-I en su formulación multiplicadora. Hemos visto en los modelos CCR presentados anteriormente que cuando una unidad es analizada se le permite elegir los pesos que maximizan su eficiencia. De tal forma que las eficiencias de las restantes unidades son calculadas a partir de estos pesos. En los modelos de XE la única DMU que tiene su * CCR I   fijada es la que está eligiendo los pesos. La  del resto de DMUs dependerá de los valores de los pesos, que son las variables de decisión de estos modelos. A continuación se muestra la estructura de la denominada MATRIZ DE EFICIENCIAS CRUZADAS: 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 Jn Jn J J JJ Jn n n nJ nn                           Figura 3.1 Matriz de eficiencias cruzadas En la columna J se hallan las eficiencias de las unidades del problema cuando ha sido dicha unidad J quien ha escogido los pesos. A cada uno de los elementos de la matriz se le denomina eficiencia cruzada y podemos expresarla en función D 26 27 4 OTROS MODELOS XE n este capítulo vamos a estudiar, analizar y modelar en el software de optimización LINGO, algunas variantes de los modelos de eficiencia cruzada tradicionales que introducen “secondary goals”. Dichas metas u objetivos secundarios serán la principal variación con respecto a los modelos tradicionales ya presentados en los apartados anteriores. Además, para la correcta comprensión de los modelos que presentamos en esta sección, haremos una introducción al inicio de la misma del método de decisión multicriterio TOPSIS, ya que podemos decir que están inspirados en dicho método. Posteriormente en el siguiente capítulo se procederá al desarrollo de diferentes experimentos con distintos juegos de datos para comparar las eficiencias obtenidas mediante estos nuevos modelos respecto a los convencionales. Nos basaremos fundamentalmente en el artículo de Ying-Ming Wang et al. (2011) [11]. Cuyo trabajo propone una reevaluación de la eficiencia cruzada introduciendo dos DMUs agregadas ficticias, una ideal y otra antiideal. Los autores parten de un modelo neutral, lo cual implica no tener en cuenta la actitud del decisor. Esto se refiere a no dotar al modelo de enfoque benevolente o agresivo. Esta variante resulta muy interesante pues confiere al modelo un carácter imparcial. A continuación se proponen varios modelos nuevos para la evaluación de la eficiencia cruzada mediante la introducción, como se mencionó algunas líneas más arriba, de una DMU virtual ideal que denotaremos por IDMU y una DMU virtual anti-ideal que denominaremos ADMU. Estos nuevos modelos determinan los pesos de entrada y de salida desde el punto de vista de la distancia de las unidades a la IDMU o a la ADMU, sin la necesidad de ser agresivo o benevolente con ninguna de dichas DMUs. Vamos a ir desgranando dichos modelos para poder ofrecer esta visión de forma clara y concisa. Para ello, estableceremos como base los modelos de eficiencia cruzada tradicionales de tipo Blanket (vistos en el capítulo anterior). En dichos modelos se le ofrece a cada DMU elegir un conjunto único de pesos de entrada y salida y en función de si se trata de la versión agresiva o benevolente, el decisor elegirá un conjunto de pesos u otro. Pero aquí viene el quid de la cuestión, pues realmente a cada unidad lo único que debería importarle es elegir los pesos más favorables para sí misma, sin importarle ser agresivo o benevolente con las otras DMUs. Bajo este supuesto de imparcialidad, Wang y Chin (2010) [12] construyeron el siguiente modelo neutral para la evaluación de la eficiencia cruzada. El objetivo de dicho modelo es hacer que cada salida produzca la mayor eficiencia posible. El modelo analítico que propusieron es el siguiente: E Otros Modelos XE 28 28   1,... 1 *1 1 1 1 . : 1 j = 1,...,n 0, i = 1,.. kJ kJ m ks iJ iJ i s kJ kJ k JJ m iJ iJ i s kJ kj k jJ m iJ ij i iJ vy Max Min ux vy sa ux vy ux u                         .,m 0, k = 1,...,s kJ v (29) Este modelo neutral (29) no utiliza información de las otras DMUs para establecer su secundary goal. Y como resultado, las eficiencias cruzadas obtenidas por este nuevo modelo son neutrales y más lógicas. Sin embargo, para el caso de una única salida este modelo puede resultar insuficiente para determinar un único conjunto de pesos de entrada y salida. Es por eso que surgieron las variantes que se enuncian a continuación. 4.1 Estado del arte: TOPSIS Como se mencionó al principio del capítulo, vamos a presentar brevemente el método TOPSIS (de decisión multicriterio) en el cuál están inspirados los modelos que estudiaremos a posteriori. Pues dichos modelos XE de tipo Neutral emplean conceptos similares a los de TOPSIS. Pero cuidado, TOPSIS y DEA son herramientas diferentes que se emplean con fines distintos. No debemos perder esto de vista en ningún momento, puesto que son métodos diferentes y sería un error de conceptos básicos. Realizada esta aclaración, vamos a introducirnos en esta metodología de decisión multicriterio. TOPSIS [13] (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) o técnica de ordenación de preferencias por similitud a la solución ideal, es un método de análisis de decisión multicriterio. Fue desarrollado originalmente por Hwang y Yoon en 1981 [14]. Este método se basa en los conceptos de ideal y anti-ideal para la elección entre varias alternativas, pues persigue que las alternativas seleccionadas tengan la menor distancia geométrica respecto a la solución ideal positiva (ideal) y la mayor distancia geométrica respecto a la solución ideal negativa (anti-ideal). Definiendo como solución ideal a un conjunto de niveles (o puntuaciones) ideal respecto a todos los atributos considerados de un determinado problema (inclusive cuando la solución ideal sea imposible o no sea factible obtenerla). Por mera RACIONALIDAD, podríamos incluso decir por puro instinto o intuición, intentaremos ubicarnos lo más cerca posible de la solución ideal y lo más lejos posible de la solución anti-ideal. Se define para ello un índice de proximidad relativa que combina los valores de la proximidad a la solución ideal positiva y la lejanía respecto a la solución ideal negativa. La idea es seleccionar la alternativa que tenga la máxima similitud respecto a la solución ideal positiva. 29 29 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Los puntos fuertes de este método son su facilidad de uso y su representación gráfica. Vamos a introducir algunos conceptos de manera formal con el fin de establecer un nexo comparativo con los modelos que presentaremos en el último apartado de esta sección. Para la aplicación de esta metodología partiremos de una matriz de decisión sin normalizar [X] e iremos aplicando los siguientes pasos. Dados: o Un conjunto {Ai} de m alternativas de decisión. o Un conjunto {Cj} de n criterios (básicamente en su componente atributo). o Una matriz [X], cuyos elementos xij son las evaluaciones de cada una de las alternativas respecto a cada criterio de decisión sin normalizar, es decir las evaluaciones brutas. 1) Calculamos la matriz de decisión normalizada [R] con el objetivo de expresar todos los términos en una misma escala. De tal forma que cada componente se puede obtener aplicando la siguiente fórmula: 2 ´ ´ () ij ij ij i x rx  (30) Esta matriz se caracteriza porque sus columnas suman la unidad. 2) Calculamos la matriz de decisión normalizada ponderada [V] y aplicamos los pesos (dichos pesos pueden ser calculados por cualquier método válido). Siempre priorizando que los criterios importantes tomen valores superiores. Los elementos de esta matriz se calculan con la siguiente expresión: ij ij j v r w (31) 3) Calcular los ideales positivos y negativos. max min min max si j criterio "positivo" ideal positivo (PIS) v si j criterio "negativo" si j criterio "positivo" ideal negativo (NIS) v si j criterio "negativo" j j j j j j v v v v             (32) 4) Calcular las distancias a los ideales positivos y negativos. 2 2 ( ) distancia a ideal positivo ( ) distancia a ideal negativo ij j ij j d vij v d vij v       (33) 5) Calcular el ratio de proximidad/lejanía de cada alternativa a la solución ideal positiva y negativa. Otros Modelos XE 30 30 con 0 1 i ii ii d TT dd       (34) 6) Ordenar por ratio de proximidad/lejanía. No debemos perder de vista que el ratio de proximidad/lejanía sirve para ordenar las alternativas. Las alternativas se ordenan según el orden decreciente del ratio, esto es, la mejor alternativa es la que tiene mayor ratio y la peor alternativa es la que tiene menor ratio. Por lo tanto, un valor alto del ratio indica que la alternativa (no confundir con los criterios) está más próxima a PIS (Solución Ideal Positiva) que a NIS (Solución Anti-Ideal Negativa) y viceversa. Al fin y al cabo, PIS y NIS son alternativas ficticias (no suelen existir en la realidad) y se caracterizan por tener valores excelentes o pésimos respectivamente de cada uno de los atributos. Figura 4.1 Representación gráfica del método TOPSIS Deng et al. (2000) [15] presentan una variante del método TOPSIS original denominado Modified TOPSIS, cuyas principales diferencias son: - Los pesos de los criterios se determinan de forma objetiva (p.e. basándose en la entropía de las evaluaciones de las alternativas). - La normalización de las evaluaciones correspondientes a cada criterio no se hace usando norma euclídea sino de forma que sumen uno. - En lugar de ponderar la matriz de decisión normalizada lo que se hace es utilizar norma euclídea ponderada. 4.2 IDMU, ADMU y RC Volviendo a los modelos de XE que nos ocupan basados en la distancia, y antes de presentarlos, necesitamos introducir y definir dos “nuevos” conceptos:  IDMU: DMU virtual IDEAL que consume las mínimas entradas para producir las máximas salidas. En términos prácticos, esta IDMU tomará los mínimos valores para cada una de las entradas, y 31 31 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. obtendrá los máximos valores para cada una de las salidas, considerando siempre el conjunto total de las unidades.  ADMU: DMU virtual ANTI-IDEAL que consume las máximas entradas para producir las mínimas salidas. En términos prácticos, esta ADMU tomará los máximos valores para cada una de las entradas, y obtendrá los mínimos valores para cada una de las salidas, considerando siempre el conjunto total de las unidades. Matemáticamente podemos expresarlo de la siguiente forma:         min max max min Entradas: x min , i=1,...,m Salidas: y max , k=1,...,s Entradas: x max , i=1,...,m Salidas: y min , k=1,...,s i ij j k kj j i ij j k kj j x IDMU y x ADMU y               (35) A su vez, la distancia entre la DMU virtual ideal IDMU y cualquier DMUJ queda definida por la siguiente expresión: max min 11 ( ) ( ), J=1,...,n sm IDMU J kJ k kJ iJ iJ i ki D v y y u x x       (36) La distancia entre la DMU virtual anti-ideal ADMU y cualquier DMUJ queda definida por la siguiente expresión: min max 11 ( ) ( ), J=1,...,n sm ADMU J kJ kJ k iJ i iJ ki D v y y u x x       (37) Y por tanto, la distancia entre las DMUs virtuales ideal y anti-ideal es: max min max min 11 ( ) ( ) sm IDMU ADMU kJ k k iJ i i ki D v y y u x x       (38) Y es fácil comprobar que: IDMU IDMU ADMU ADMU J J D D D (39) El último concepto que necesitamos introducir para definir los modelos es el ratio de proximidad o relative closeness (RCJ) de cualquier DMUJ con respecto a las DMUs ficticias virtuales ideal y anti-ideal. Dicho ratio queda definido en la siguiente expresión: min max 11 max min max min 11 ( ) ( ) , J=1,...,n ( ) ( ) sm ADMU kJ kJ k iJ i iJ J k i Jsm IDMU ADMU JJ kJ k k iJ i i ki v y y u x x D RC DD v y y u x x            (40) Otros Modelos XE 32 32 4.3 Modelos XE basados en la distancia Basándonos en los conceptos anteriores vamos a introducir cuatro nuevos modelos. En los cuales, el decisor puede elegir un único conjunto de pesos de entrada y salida para hacer su distancia a la DMU ideal lo más pequeña posible, o bien maximizar la distancia a la DMU anti-ideal todo lo que pueda, o ambos. También puede elegir un único conjunto de pesos para hacer la distancia entre IDMU y ADMU lo mayor posible. 4.3.1 Modelo I – Minimización de la distancia a IDMU Cada DMU busca un conjunto de pesos de entrada y salida para minimizar su distancia hasta la DMU virtual ideal (IDMU) mientras se mantiene optimista. Cuanto menor es la distancia desde la DMUJ hasta la IDMU, mejor es el rendimiento. max min 11 1 * 1 11 MIN ( ) ( ) . : 1 - 0 1,2,..., 0 sm IDMU J kJ k kJ iJ iJ i ki m iJ iJ i s kJ kJ JJ k sm kJ kj iJ ij ki kJ D v y y u x x sa ux vy v y u x j n v                  k 1,2,..., 0 1,2,..., iJ s u i m   (41) 4.3.2 Modelo II – Maximización de la distancia hasta ADMU Este modelo me resulta particularmente interesante, pues a menudo no valoramos lo importante que es saber lo que no quieres. A mi entender tienes un gran camino adelantado en la toma de cualquier decisión si eres conocedor de hacia dónde debes alejarte todo cuanto sea posible. En resumen, en este modelo buscamos alejarnos del anti-ideal lo máximo que podamos. Cada DMU busca un conjunto de pesos de entrada y salida para maximizar su distancia hasta la ADMU. Cuanto mayor es la distancia desde DMUJ hasta la ADMU mejor es el rendimiento. 33 33 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. min max 11 1 * 1 11 MAX ( ) ( ) . : 1 - 0 1,2,..., 0 sm ADMU J kJ kJ k iJ i iJ ki m iJ iJ i s kJ kJ JJ k sm kJ kj iJ ij ki kJ D v y y u x x sa ux vy v y u x j n v                  k 1,2,..., 0 1,2,..., iJ s u i m   (42) 4.3.3 Modelo III – Maximización de la distancia entre IDMU-ADMU Este modelo es particularmente útil cuando se necesita establecer un criterio de optimización unificado para todas las DMUs. Queremos que las DMUs ideales estén tan alejadas entre ellas como sea posible. Cada DMU busca un conjunto único de pesos de entrada y salida para maximizar la distancia entre IDMU y ADMU. El uso de la maximización de esta distancia entre ideales no tiene la necesidad de tomar en consideración los impactos del criterio sobre la eficiencia de las otras DMUs. max min max min 11 1 * 1 11 MAX ( ) ( ) . : 1 - 0 1,2,..., 0 sm IDMU ADMU kJ k k kJ i i ki m iJ iJ i s kJ kJ JJ k sm kJ kj iJ ij ki kJ D v y y u x x sa ux vy v y u x j n v                  k 1,2,..., 0 1,2,..., iJ s u i m   (43) Otros Modelos XE 34 34 4.3.4 Modelo IV – Maximización del ratio de proximidad RCJ En este último modelo que presentamos, las distancias desde IDMU y ADMU se optimizan simultáneamente. Esto equivale a optimizar RCJ de cada DMUJ con respecto a IDMU y ADMU. Cuanto mayor sea el ratio RCJ, mejor será el rendimiento de la DMUJ. min max 11 max min max min 11 11 1 * 11 MAX ( ) ( ) . : ( ) ( ) 1 - 0 1 sm J kJ kJ k iJ i iJ ki sm kJ k k iJ i i ki sm kJ kj iJ ij ki m iJ iJ i sm kJ kJ JJ iJ iJ ki RC v y y u x x sa v y y u x x v y u x ux v y u x                       11 0 - 0 1,2,..., 0 k 1,2,..., 0 1,2,..., sm kJ kj iJ ij ki kJ iJ v y u x j n vs u i m        (44) Los cuatro nuevos modelos DEA aquí presentados son neutrales y podrían producir resultados racionales. En el siguiente capítulo procederemos a realizar diversos experimentos con varios juegos de datos para mostrar una comparativa real y fidedigna entre los modelos de Cross Efficiency tradicionales y los modelos XE neutrales. 35 5 EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES n esta sección vamos a demostrar con diferentes juegos de datos reales obtenidos de la literatura, cómo de eficientes son cada uno de los modelos presentados y estudiados a lo largo del presente documento. Dichos experimentos los realizaremos interactuando con el software de optimización LINGO y la hoja de cálculo Excel. Comenzaremos de menor a mayor complejidad, con un par de ejemplos sencillos, para finalizar con el estudio de un caso práctico de mayor dimensión y por ende complejidad. El objetivo del presente capítulo es mostrar al lector el potencial que tienen los modelos de XE y sus variantes. El procedimiento de resolución que vamos a seguir en los tres experimentos es el siguiente: a) En primer lugar, resolveremos el problema en LINGO mediante el modelo simple CCR-I (19) para obtener el valor de la eficiencia J  para cada DMUJ. Esta eficiencia será la que utilizaremos en cada uno de los ocho modelos que se estudiarán a continuación. b) Después resolveremos los modelos (24), (25), (27), (28), (41), (42), (43) y (44) con LINGO. Cada modelo nos proporcionará unos pesos, que serán nuestras variables de decisión, y que sustituiremos en la matriz de eficiencia cruzada para obtener los valores peer-appraisal y self-appraisal para cada DMU. De dicha matriz obtendremos el valor average cross-efficiency, que será el valor que nos permitirá jerarquizar las unidades estudiadas de mayor a menor valor. El primer subíndice (es decir, las filas de la matriz) se corresponde con las DMUs cuya eficiencia se calcula (DMUj). El segundo subíndice (es decir, las columnas de la matriz) se corresponde con la DMU que elige los pesos (DMUJ). La eficiencia cruzada es la media de cada fila j. E Matriz de Cross-efficiency para n DMUs DMU Target DMU Average cross-efficiency 1 2 … n 1 Ɵ11 Ɵ12 … Ɵ1n 2 Ɵ21 Ɵ22 … Ɵ2n … … … … … … n Ɵn 1 Ɵn 2 … Ɵnn 1 𝑛∑Ɵ1𝐽 𝑛 𝐽=1 1 𝑛∑Ɵ2𝐽 𝑛 𝐽=1 1 𝑛∑Ɵ𝑛𝐽 𝑛 𝐽=1 Tabla 1 - Cálculo de la XE para cada DMUj Experimentos Computacionales 42 42 Hemos considerado tres entradas que se relacionan con las variables convencionales de la teoría económica pero agregan un énfasis especial en los procesos de I+D: - x1: número de empleados (en miles) - x2: gastos de capital (M€) - x3: inversión en I+D (M€) Y dos salidas/resultados que se relacionan adecuadamente con el desempeño del negocio: - y1: ventas netas (M€) - y2: capitalización de mercado (M€) A continuación presentamos la tabla con los valores de los datos estudiados para los distintos inputs/outputs y el valor obtenido para la eficiencia CCR-I para cada una de las DMUs. - Ventas netas - Capitalización de mercado - Nº de empleados - Gastos de capital - Inversión I+D EMPRESA I+D Figura 5.3 Esquema caso práctico 43 43 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Empresa I+D (DMU) Input 1 Input 2 Input 3 Output 1 Output 2 CCR Efficiency ABBOTT LABORATORIES (US) 75,000 1063,500 1344,300 19782,800 58599,000 1,000 ABBVIE (US) 30,000 454,400 3902,900 24322,200 99031,900 1,000 ALLERGAN (IRL) 16,700 314,400 2675,800 13822,800 88100,400 1,000 AMGEN (US) 19,200 794,000 3613,500 21811,000 120734,500 1,000 ASTELLAS PHARMA (JPN) 17,200 235,600 1690,500 10653,600 27649,000 0,954 ASTRAZENECA (UK) 59,700 1371,800 5358,100 21821,500 72472,300 0,513 BAYER (DE) 115,200 2578,000 4774,000 47537,000 79504,400 0,925 BIOGEN (US) 7,400 690,400 1834,700 10861,200 63532,800 1,000 BRISTOL-MYERS SQUIBB (US) 25,000 1152,600 4595,400 18429,900 90969,100 0,632 CELGENE (US) 7,100 224,100 4240,700 10652,900 78489,500 1,000 DAIICHI SANKYO (JPN) 14,700 201,200 1741,000 7757,700 13674,200 0,720 ELI LILLY (US) 42,000 1036,000 4183,900 20132,900 81419,100 0,657 GILEAD SCIENCIES (US) 9,000 709,600 4426,500 28830,300 98126,200 1,000 GLAXOSMITHKLINE (UK) 99,300 1800,800 3952,800 32548,200 93259,800 0,770 JOHNSON & JOHNSON (US) 126,400 3060,400 8628,200 68200,400 309742,500 1,000 MERCK DE (DE) 50,400 716,000 1972,000 15024,000 12132,600 0,746 MERCK US (US) 68,000 1531,200 6483,300 37764,000 164716,300 0,822 NOVARTIS (CHE) 118,400 1766,400 8539,000 46898,800 189529,000 0,756 NOVO NORDISK (DK) 42,000 950,700 1996,400 15035,600 84651,400 1,000 OTSUKA (JPN) 31,800 360,500 1371,200 9710,500 20311,900 0,824 PFIZER (US) 96,500 1896,400 7376,900 50112,900 200251,100 0,890 ROCHE (CHE) 94,100 3862,600 9241,600 47141,200 157032,700 0,646 SANOFI (FR) 121,800 2083,000 5156,000 36529,000 89025,000 0,664 SHIRE (UK) 23,900 615,400 1333,600 10811,700 50119,900 0,997 TEVA PHARMACEUTICAL IND (ISR) 57,000 854,800 1601,400 20778,900 47977,300 1,000 VERTEX PHARMACEUTICALS (US) 2,200 53,700 1009,000 1614,800 22215,700 1,000 Tabla 14 - Juego de datos caso práctico Observamos cómo mediante CCR-I consideraríamos once empresas eficientes. Lo cual pone de manifiesto una vez más la falta de discriminación de los resultados por parte de los modelos tradicionales. Sin embargo, tras resolver el problema mediante los modelos de eficiencia cruzada, lograremos discriminar y clasificar las empresas según su desempeño. Los resultados de la eficiencia cruzada promedio calculados con los modelos presentados en este proyecto se adjuntan en las siguientes tablas. Las celdas sombreadas representan los casos de empate que serán estudiados mediante la correlación de los rangos de Spearman. Experimentos Computacionales 44 44 BLANKET AGGRESSION BENEVOLENT Average XE DMU Ranking Average XE DMU Ranking 0,8721 13 1º 0,9644 13 1º 0,7966 3 2º 0,9409 2 2º 0,7900 4 3º 0,9266 25 3º 0,7862 2 4º 0,9264 4 4º 0,7415 25 5º 0,9256 3 5º 0,7368 8 6º 0,9024 15 6º 0,7288 15 7º 0,8612 1 7º 0,7067 1 8º 0,8402 24 8º 0,6791 24 9º 0,8328 8 9º 0,6603 21 10º 0,8187 21 10º 0,6518 19 11º 0,8035 19 11º 0,6489 5 12º 0,7989 5 12º 0,6162 17 13º 0,7572 17 13º 0,6042 10 14º 0,7351 7 14º 0,5821 7 15º 0,7004 14 15º 0,5586 14 16º 0,6892 18 16º 0,5576 18 17º 0,6606 20 17º 0,5272 26 18º 0,6092 23 18º 0,5257 20 19º 0,6084 12 19º 0,4944 12 20º 0,5857 10 20º 0,4850 9 21º 0,5732 9 21,5º 0,4839 23 22º 0,5732 16 21,5º 0,4533 11 23º 0,5579 11 23º 0,4501 16 24º 0,5363 22 24º 0,4347 22 25º 0,5017 26 25º 0,3845 6 26º 0,4777 6 26º Tabla 15- Rankings de XE Blanket caso práctico 45 45 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. TARGETED AGGRESSION BENEVOLENT Average XE DMU Ranking Average XE DMU Ranking 0,7860 6 2,5º 0,8571 13 1º 0,7860 12 2,5º 0,8371 2 2º 0,7860 17 2,5º 0,8367 3 3,5º 0,7860 21 2,5º 0,8367 4 3,5º 0,7746 14 5º 0,8316 25 5º 0,7740 9 6º 0,8266 8 6º 0,7657 22 7º 0,8035 15 7º 0,7573 18 8º 0,7987 1 8º 0,7352 24 9º 0,7860 6 10,5º 0,7180 7 10,5º 0,7860 12 10,5º 0,7180 23 10,5º 0,7860 17 10,5º 0,7083 5 13º 0,7860 21 10,5º 0,7083 16 13º 0,7746 14 13º 0,7083 20 13º 0,7740 9 14º 0,7049 15 15º 0,7657 22 15º 0,5528 19 16º 0,7630 19 16º 0,5478 25 17º 0,7573 18 17º 0,4918 11 18º 0,7352 24 18º 0,4661 4 19º 0,7180 7 19,5º 0,4443 2 20º 0,7180 23 19,5º 0,4002 1 21º 0,7083 5 22º 0,3893 3 22º 0,7083 16 22º 0,3276 8 23º 0,7083 20 22º 0,2473 26 24º 0,6156 10 24º 0,2376 10 25º 0,5860 26 25º 0,1959 13 26º 0,4918 11 26º Tabla 16 - Rankings de XE Targeted caso práctico Experimentos Computacionales 46 46 IDMU ADMU AI-DMU RC Average XE DMU Ranking Average XE DMU Ranking Average XE DMU Ranking Average XE DMU Ranking 0,8837 13 1º 0,8839 13 1º 0,8839 13 1º 0,8954 13 1º 0,8256 3 2º 0,8634 3 2,5º 0,8515 3 2º 0,8665 4 2º 0,8231 4 3º 0,8634 4 2,5º 0,8440 2 3º 0,8601 3 3º 0,8163 2 4º 0,8624 2 4º 0,8365 4 4º 0,8472 2 4º 0,7853 25 5º 0,8425 25 5º 0,7802 15 5º 0,8151 15 5º 0,7737 15 6º 0,8390 15 6º 0,7752 25 6º 0,8035 25 6º 0,7541 8 7º 0,7954 1 7º 0,7654 8 7º 0,7985 8 7º 0,7457 1 8º 0,7905 8 8º 0,7308 1 8º 0,7614 24 8º 0,7218 24 9º 0,7875 24 9º 0,7252 24 9º 0,7566 1 9º 0,6992 21 10º 0,7580 19 10º 0,7078 21 10º 0,7317 19 10,5º 0,6935 19 11º 0,7524 21 11º 0,6979 19 11º 0,7317 21 10,5º 0,6777 5 12º 0,7208 5 12º 0,6962 5 12º 0,7009 5 12º 0,6513 17 13º 0,6981 17 13º 0,6609 17 13º 0,6835 17 13º 0,6176 7 14º 0,6682 7 14º 0,6099 7 14º 0,6380 7 14º 0,5931 14 15º 0,6414 14 15º 0,5988 18 15º 0,6143 14 15º 0,5884 18 16º 0,6311 18 16º 0,5925 10 16º 0,6126 18 16º 0,5826 10 17º 0,5918 20 17º 0,5905 14 17º 0,5717 10 17º 0,5547 20 18º 0,5603 12 18º 0,5571 20 18º 0,5677 20 18º 0,5227 12 19º 0,5573 10 19º 0,5295 12 19º 0,5486 12 19º 0,5134 23 20º 0,5534 23 20º 0,5235 26 20º 0,5334 9 20º 0,5118 26 21º 0,5336 9 21º 0,5135 9 21º 0,5302 23 21º 0,5063 9 22º 0,5070 16 22º 0,5113 23 22º 0,5079 26 22º 0,4760 16 23º 0,4987 22 23º 0,4860 11 23º 0,4859 22 23º 0,4702 11 24º 0,4985 11 24º 0,4707 16 24º 0,4848 11 24º 0,4602 22 25º 0,4931 26 25º 0,4624 22 25º 0,4844 16 25º 0,4070 6 26º 0,4370 6 26º 0,4113 6 26º 0,4256 6 26º Tabla 17 - Rankings de otros modelos de XE caso práctico 47 47 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. BLANKET TARGETED OTROS MODELOS XE DM U Aggression Benevolent Aggression Benevolent IDMU ADMU AIDMU RC SUM Overall Ranking 1 8 7 21 8 8 7 8 9 76 9 2 4 2 20 2 4 4 3 4 43 4 3 2 5 22 3,5 2 2,5 2 3 42 3 4 3 4 19 3,5 3 2,5 4 2 41 2 5 12 12 13 22 12 12 12 12 107 13 6 26 26 2,5 10,5 26 26 26 26 169 23 7 15 14 10,5 19,5 14 14 14 14 115 15 8 6 9 23 6 7 8 7 7 73 7 9 21 21,5 6 14 22 21 21 20 146,5 19 10 14 20 25 24 17 19 16 17 152 20 11 23 23 18 26 24 24 23 24 185 26 12 20 19 2,5 10,5 19 18 19 19 127 17 13 1 1 26 1 1 1 1 1 33 1 14 16 15 5 13 15 15 17 15 111 14 15 7 6 15 7 6 6 5 5 57 6 16 24 21,5 13 22 23 22 24 25 174,5 24 17 13 13 2,5 10,5 13 13 13 13 91 11 18 17 16 8 17 16 16 15 16 121 16 19 11 11 16 16 11 10 11 10,5 96,5 12 20 19 17 13 22 18 17 18 18 142 18 21 10 10 2,5 10,5 10 11 10 10,5 74,5 8 22 25 24 7 15 25 23 25 23 167 22 23 22 18 10,5 19,5 20 20 22 21 153 21 24 9 8 9 18 9 9 9 8 79 10 25 5 3 17 5 5 5 6 6 52 5 26 18 25 24 25 21 25 20 22 180 25 Tabla 18 - Overall Ranking caso práctico Se identifican las empresas Gilead, Amgen y Allergan como las tres mejores del sector, información que puede ser debidamente explotada por competidores e inversores. Experimentos Computacionales 48 48 BLANKET TARGETED PEARSON Aggression Benevolent Aggression Benevolent IDMU ADMU AI-DMU RC B.AGGRESSION 1,00 0,95 -0,54 0,57 0,99 0,97 0,99 0,98 B. BENEVOLENT 0,95 1,00 -0,30 0,65 0,98 1,00 0,97 0,98 T. AGGRESSION -0,54 -0,30 1,00 0,08 -0,45 -0,34 -0,46 0,40 T. BENEVOLENT 0,57 0,65 0,08 1,00 0,61 0,65 0,60 0,64 IDMU 0,99 0,98 -0,45 0,61 1,00 0,99 1,00 1,00 ADMU 0,97 1,00 -0,34 0,65 0,99 1,00 0,98 0,99 AI-DMU 0,99 0,97 -0,46 0,60 1,00 0,98 1,00 1,00 RC 0,98 0,98 -0,40 0,64 1,00 0,99 1,00 1,00 Tabla 19 - Pearson correlation coefficient caso práctico BLANKET TARGETED IDMU ADMU AI-DMU RC SPEARMAN Aggression Benevolent Aggression Benevolent B. Aggression 1,00 0,95 -0,54 0,69 0,99 0,96 0,99 0,98 B. Benevolent 0,95 1,00 -0,38 0,73 0,98 0,99 0,97 0,97 T. Aggression -0,54 -0,38 1,00 -0,12 -0,46 -0,40 -0,49 -0,43 T. Benevolent 0,69 -0,35 -1,12 1,00 0,72 0,75 0,71 0,73 IDMU 0,99 0,98 -0,46 0,72 1,00 0,99 0,99 0,99 ADMU 0,96 0,99 -0,40 0,75 0,99 1,00 0,98 0,99 AI-DMU 0,99 0,97 -0,49 0,71 0,99 0,98 1,00 0,99 RC 0,98 0,97 -0,43 0,73 0,99 0,99 0,99 1,00 Tabla 20 - Spearman´s rank correlation coefficient caso práctico A continuación se muestra un breve análisis entre el valor de los coeficientes de correlación de Pearson y Spearman, que pueden variar en el rango de valores de [-1, 1]. Para que el coeficiente de correlación de Pearson sea 1, cuando una variable aumenta, la otra variable aumentará también en una cantidad consistente. Esta relación forma una línea perfecta. El coeficiente de correlación de Spearman también es 1 en este caso. Si la relación es que una variable aumenta cuando la otra aumenta, pero la cantidad no es consistente, el coeficiente de correlación de Pearson es positivo pero menor que 1. El coeficiente de Spearman sigue siendo igual a 1 en este caso. Cuando una relación es aleatoria o no existe, entonces ambos coeficientes de correlación son casi cero. Si la relación es una línea perfecta para una relación decreciente, entonces ambos coeficientes de correlación son −1. Si la relación es que una variable disminuye cuando la otra aumenta, pero la cantidad no es consistente, entonces el coeficiente de correlación de Pearson es negativo, pero mayor que −1. El coeficiente de Spearman sigue siendo igual a −1 en este caso. Los valores de correlación de −1 o 1 implican una relación lineal exacta. Sin embargo, el valor real de los valores de correlación está en cuantificar las relaciones que son menos perfectas. Los coeficientes de correlación de Pearson solo miden relaciones lineales. Los coeficientes de correlación de Spearman solo miden relaciones monótonas. 49 49 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Observando las tablas obtenidas para los coeficientes de correlación de Pearson y de Spearman podemos afirmar en rasgos generales que ambas correlaciones son similares en signo (salvo contadas excepciones). Pearson mide si los valores numéricos de eficiencia cruzada están correlacionados, mientras que Spearman mide si están correlacionados los rangos que se derivan de dichas eficiencias cruzadas. El modelo Targeted Aggression mantiene una relación de correlación negativa con el resto de los modelos. Por lo que este modelo es bastante peculiar en la elección de los pesos y podemos afirmar que es el que se mantiene menos neutral respecto a los demás. El resto de modelos (particularmente los nuevos modelos neutrales) mantienen coeficientes de correlación positivos y altos. Por lo que podemos decir que los modelos son fiables en cuanto a la ordenación por rangos facilitada. Los experimentos numéricos realizados validan la efectividad de los enfoques propuestos para obtener clasificaciones consistentes que se correlacionen bien con los métodos clásicos de XE. Los cuatro nuevos modelos de XE presentados nos otorgan una clasificación para las DMUs estudiadas. Resultan especialmente útiles los modelos (43) y (44), correspondientes a la distancia entre IDMU-ADMU y al ratio de proximidad RCJ respectivamente. Ambos resultan eficientes cuando necesitamos establecer un criterio de optimización unificado para todas las DMUs, pues desde el punto de análisis de decisión de atributos múltiples considerando puntos ideales positivos y negativos simultáneamente, podemos obtener resultados más fiables que si tan solo tenemos en cuenta uno de ellos. 50 51 6 CONCLUSIONES e igual forma que comenzaba este proyecto enunciando el Método de la Racionalidad Acotada de Simon, me gustaría concluir en la misma sintonía enlazando con el Método de la Ingeniería según Vaughn Koen. La forma de hacer de los ingenieros según Vaughn Koen consiste en que “la estrategia para producir el mejor cambio en una situación dada de la que se tiene un conocimiento incompleto a partir de los recursos disponibles”. Y afirma que las heurísticas junto al estado del arte son la base para la solución de los problemas en ingeniería. Lo cual me lleva a establecer un paralelismo entre dichas heurísticas y los modelos estudiados junto con el estado del arte empleado para mejorar la solución hasta el momento (de modelos clásicos a modelos de eficiencia cruzada, de eficiencia cruzada + TOPSIS a otros modelos de XE). Entendiendo como heurística “todo lo que suministra una ayuda efectiva para la solución de un problema, pero cuya fundamentación no está necesariamente del todo justificada, por lo que la confianza en ella es limitada y no hay que descartar un posible fallo”. Características de los heurísticos según Vaughn Koen e interconexión con la metodología DEA: o Un heurístico no garantiza una solución: se ha demostrado que no todos los modelos DEA son adecuados para resolver el mismo tipo de problemas. o Puede contradecir otros heurísticos: observamos como el orden de las DMUs se ve alterado en función del método empleado. Es más, apreciamos como a veces el mismo modelo resuelto con diferentes enfoques (p.e. agresivo/benevolente) ofrece resultados distintos. o Reduce el tiempo de búsqueda en la solución de un problema: el tiempo de computación para obtener una solución en LINGO suele ser reducido (en el caso de problemas no lineales se complica). o Su aceptación depende del contexto inmediato y no de un estándar absoluto: efectivamente nos referimos siempre a Eficiencia Relativa. Pues DEA no ofrece una medida de eficiencia absoluta, es decir, no compara la unidad con un máximo teórico. Y nos ofrece lo que define como la PRINCIPAL REGLA DEL INGENIERO, que consiste en elegir en cada instante la mejor heurística dentro del estado del arte del ingeniero, y que ese estado del arte represente la mejor práctica de la ingeniería en el tiempo requerido para la solución del problema. Tras la realización de este proyecto hemos podido comprobar que la evaluación de la eficiencia cruzada es un método muy práctico a la hora de comparar y clasificar las DMUs. Dicha evaluación es un enfoque efectivo para cuantificar el desempeño de las unidades y posee un fuerte poder de discriminación. Al evaluar la eficiencia cruzada, los pesos óptimos para una DMU dada también se utilizan para evaluar al resto de sus compañeras. En ese sentido los enfoques de cross efficiency disfrutan de una interesante interpretación colectiva, donde todas las DMUs están de acuerdo para ser evaluadas bajo la perspectiva preferida del resto. D Debemos marcarnos objetivos ambiciosos pero alcanzables. - Luis Galindo - Anexo A 58 58 @SUM(INPUT(I):U(I,JJ,J)*X(J,I))=1; @SUM(OUTPUT(K):V(K,JJ,J)*Y(JJ,K))- THETA(JJ)*@SUM(INPUT(I):U(I,JJ,J)*X(JJ,I))=0; @FOR(DMU(L): @SUM(OUTPUT(K):V(K,JJ,J)*Y(L,K))- @SUM(INPUT(I):U(I,JJ,J)*X(L,I))<=0; ); ); ); Modelo Targeted Benevolent SETS: DMU: THETA; INPUT; OUTPUT; INPUTDMU2 (INPUT, DMU,DMU):U; OUTPUTDMU2 (OUTPUT, DMU,DMU):V; DMUINPUT (DMU, INPUT): X; DMUOUTPUT (DMU, OUTPUT): Y; DMU2 (DMU, DMU): THETAXE; ENDSETS DATA: DMU = 1..5; INPUT=1..2; OUTPUT=1; X,Y,THETA=@OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelosANA\JuegoDatos1.xlsx'); @OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelos ANA\JuegoDatos1.xlsx')=THETAXE; ENDDATA MAX= FO; FO=@SUM(DMU2(JJ,K):THETAXE(JJ,K)); @FOR(DMU(JJ): THETAXE(JJ,JJ)=THETA(JJ); @FOR(DMU(J)|J #NE# JJ: THETAXE(JJ,J)=@SUM(OUTPUT(K):V(K,JJ,J)*Y(J,K)); @SUM(INPUT(I):U(I,JJ,J)*X(J,I))=1; @SUM(OUTPUT(K):V(K,JJ,J)*Y(JJ,K))- THETA(JJ)*@SUM(INPUT(I):U(I,JJ,J)*X(JJ,I))=0; @FOR(DMU(L): 59 59 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. @SUM(OUTPUT(K):V(K,JJ,J)*Y(L,K))- @SUM(INPUT(I):U(I,JJ,J)*X(L,I))<=0; ); ); ); Modelo IDMU SETS: DMU: THETA, DIST; INPUT; OUTPUT; DMUINPUT (DMU, INPUT): X,U; DMUOUTPUT (DMU, OUTPUT): Y,V; IDMUINPUT (INPUT):T; IDMUOUTPUT (OUTPUT):W; ENDSETS DATA: DMU = 1..5; INPUT=1..2; OUTPUT=1; X,Y,THETA,T,W=@OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelosANA\JuegoDatos1.xls x'); @OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelos ANA\JuegoDatos1.xlsx')=U,V; ENDDATA MIN= FO; FO=@MIN(DMU(JJ):DIST(JJ)); @FOR(DMU(JJ): DIST(JJ)=@SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*(W(K)- Y(JJ,K)))+@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*(X(JJ,I)-T(I)))); @FOR(DMU(JJ): @SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*X(JJ,I))=1; THETA(JJ)=@SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*Y(JJ,K)); @FOR(DMU(J): @SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*Y(J,K))-@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*X(J,I))<=0; ); ); Anexo A 60 60 Modelo ADMU SETS: DMU: THETA, DIST; INPUT; OUTPUT; DMUINPUT (DMU, INPUT): X,U; DMUOUTPUT (DMU, OUTPUT): Y,V; IDMUINPUT (INPUT):G; IDMUOUTPUT (OUTPUT):H; ENDSETS DATA: DMU = 1..26; INPUT=1..3; OUTPUT=1..2; X,Y,THETA,G,H=@OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelosANA\casopractico.xl sx'); @OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelos ANA\casopractico.xlsx')=U,V; ENDDATA MAX= FO; FO=@MAX(DMU(JJ):DIST(JJ)); @FOR(DMU(JJ): DIST(JJ)=@SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*(Y(JJ,K)- H(K)))+@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*(G(I)-X(JJ,I)))); @FOR(DMU(JJ): @SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*X(JJ,I))=1; THETA(JJ)=@SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*Y(JJ,K)); @FOR(DMU(J): @SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*Y(J,K))-@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*X(J,I))<=0; ); ); Modelo IDMU – ADMU SETS: DMU: THETA, DIST; INPUT; OUTPUT; DMUINPUT (DMU, INPUT): X,U; DMUOUTPUT (DMU, OUTPUT): Y,V; AIDMUINPUT (INPUT):T,G; 61 61 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. AIDMUOUTPUT (OUTPUT):W,H; ENDSETS DATA: DMU = 1..5; INPUT=1..2; OUTPUT=1; X,Y,THETA,T,W,G,H=@OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelosANA\JuegoDatos1 .xlsx'); @OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelos ANA\JuegoDatos1.xlsx')=U,V; ENDDATA MAX= FO; FO=@MAX(DMU(JJ):DIST(JJ)); @FOR(DMU(JJ): DIST(JJ)=@SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*(W(K)- H(K)))+@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*(G(I)- T(I)))); @FOR(DMU(JJ): @SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*X(JJ,I))=1; THETA(JJ)=@SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*Y(JJ,K)); @FOR(DMU(J): @SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*Y(J,K))-@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*X(J,I))<=0; ); ); Modelo RC SETS: DMU: THETA, RC; INPUT; OUTPUT; DMUINPUT (DMU, INPUT): X,U; DMUOUTPUT (DMU, OUTPUT): Y,V; AIDMUINPUT (INPUT): T,G; AIDMUOUTPUT (OUTPUT):W,H; ENDSETS DATA: DMU = 1..26; INPUT=1..3; OUTPUT=1..2; X,Y,THETA,T,W,G,H=@OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelosANA\casopractic o.xlsx'); @OLE('C:\Users\Usuario\Desktop\modelos ANA\casopractico.xlsx')=U,V; ENDDATA Anexo A 62 62 MAX= FO; FO=@MAX(DMU(JJ):RC(JJ)); @FOR(DMU(JJ): RC(JJ)=@SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*(Y(JJ,K)- H(K)))+@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*(G(I)- X(JJ,I)))); @FOR(DMU(JJ): @SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*(W(K)-H(K)))+@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*(G(I)- T(I)))=1; @SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*Y(JJ,K))=THETA(JJ)*@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*X(JJ,I) ); @FOR(DMU(J): @SUM(OUTPUT(K):V(JJ,K)*Y(J,K))-@SUM(INPUT(I):U(JJ,I)*X(J,I))<=0; ); ); 63 ANEXO B Resultados detallados de Excel asociados a los modelos resueltos en LINGO En este anexo se muestran los resultados detallados de las hojas Excel empleadas para resolver los modelos de XE a través de LINGO. Se presentan todos los cáculos realizados para los experimentos, tanto los dos ejemplos (realizados con los juegos de datos 1 y 2 respectivamente) como para el caso práctico. Dichos cálculos se encuentran organizados por experimento, y para cada uno de dichos experimentos se muestran todos los cálculos realizados para cada uno de los modelos estudiados en este proyecto. Una aclaración importante y de carácter general, es que en primer lugar se han marcado los rangos de celdas de los cuales el modelo LINGO extrae los datos y a continuación se han marcado los rangos de las celdas en los cuales el modelo LINGO vuelca los resultados obtenidos tras la resolución de dicho modelo. Se presentan las matrices de eficiencia cruzada para los juegos de datos 1 y 2. Para el caso práctico la obviamos y se muestra directamente la media de las eficiencias debido a la magnitud de dicha matriz (26 filas x 26 columnas). Se adjuntan las tablas con los pesos elegidos en cada modelo estudiado y para cada experimento. Experimento 1: Juego de datos simple Modelo CCR DMU Input 1 Input 2 Output 1 CCR efficiency 1 2 12 1 1 2 2 8 1 1 3 5 5 1 1 4 10 4 1 1 5 10 6 1 0,75 Modelo Blanket Aggression DMU U1 U2 V1 CCR efficiency 1 0,0370 0,0000 0,0741 1 2 0,0370 0,0000 0,0741 1 3 0,0057 0,0287 0,1724 1 4 0,0000 0,0323 0,1290 1 5 0,0061 0,0305 0,1829 0,75 Anexo B 64 64 XE AGGRESSION DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 Average XE DMU1 1,0000 1,0000 0,4839 0,3333 0,4839 0,6602 DMU2 1,0000 1,0000 0,7143 0,5000 0,7143 0,7857 DMU3 0,4000 0,4000 1,0000 0,8000 1,0000 0,7200 DMU4 0,2000 0,2000 1,0000 1,0000 1,0000 0,6800 DMU5 0,2000 0,2000 0,7500 0,6667 0,7500 0,5133 Modelo Blanket Benevolent DMU U1 U2 V1 CCR efficiency 1 0,0370 0,0000 0,0741 1 2 0,0185 0,0185 0,1852 1 3 0,0185 0,0185 0,1852 1 4 0,0057 0,0287 0,1724 1 5 0,0061 0,0305 0,1829 0,75 XE BENEVOLENT DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 Average XE DMU1 1,0000 0,7143 0,7143 0,4839 0,4839 0,6793 DMU2 1,0000 1,0000 1,0000 0,7143 0,7143 0,8857 DMU3 0,4000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,8800 DMU4 0,2000 0,7143 0,7143 1,0000 1,0000 0,7257 DMU5 0,2000 0,6250 0,6250 0,7500 0,7500 0,5900 65 65 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Modelo Targeted Aggression XE TARGETED AGGRESSION DMU DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 Average XE DMU1 1,0000 1,0000 0,4000 0,2000 0,2000 0,5600 DMU2 0,7143 1,0000 0,4000 0,2000 0,2000 0,5029 DMU3 0,4839 0,7143 1,0000 0,7143 0,6250 0,7075 DMU4 0,3333 0,5000 0,8000 1,0000 0,6667 0,6600 DMU5 0,4839 0,7143 1,0000 1,0000 0,7500 0,7896 Modelo Targeted Benevolent XE TARGETED BENEVOLENT DMU DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 Average XE DMU1 1,0000 1,0000 0,4000 0,2000 0,2000 0,5600 DMU2 1,0000 1,0000 1,0000 0,7143 0,6250 0,8679 DMU3 0,7143 1,0000 1,0000 1,0000 0,7500 0,8929 DMU4 0,4839 0,7143 1,0000 1,0000 0,7500 0,7896 DMU5 0,4839 0,7143 1,0000 1,0000 0,7500 0,7896 Modelo IDMU IDMU Input 1 Input 2 IDMU Output 1 U1 U2 V1 T(MIN) 2 4 W(MAX) 1 0,5000 0,0000 1,0000 0,5000 0,0000 1,0000 0,0333 0,1667 1,0000 0,0000 0,2500 1,0000 0,0250 0,1250 0,7500 XE IDMU DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 Average XE DMU1 1,0000 1,0000 0,4839 0,3333 0,4839 0,6602 DMU2 1,0000 1,0000 0,7143 0,5000 0,7143 0,7857 DMU3 0,4000 0,4000 1,0000 0,8000 1,0000 0,7200 DMU4 0,2000 0,2000 1,0000 1,0000 1,0000 0,6800 DMU5 0,2000 0,2000 0,7500 0,6667 0,7500 0,5133 Anexo B 66 66 Modelo ADMU ADMU Input 1 Input 2 ADMU Output 1 U1 U2 V1 G(MAX) 10 12 H(MIN) 1 0,5000 0,0000 1,0000 0,1000 0,1000 1,0000 0,1000 0,1000 1,0000 0,0333 0,1667 1,0000 0,0250 0,1250 0,7500 XE ADMU DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 Average XE DMU1 1,0000 0,7143 0,7143 0,4839 0,4839 0,6793 DMU2 1,0000 1,0000 1,0000 0,7143 0,7143 0,8857 DMU3 0,4000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,8800 DMU4 0,2000 0,7143 0,7143 1,0000 1,0000 0,7257 DMU5 0,2000 0,6250 0,6250 0,7500 0,7500 0,5900 Modelo IDMU-ADMU IDMU Input 1 Input 2 IDMU Output 1 U1 U2 V1 T(MIN) 2 4 W(MAX) 1 0,5000 0,0000 1,0000 0,1000 0,1000 1,0000 ADMU Input 1 Input 2 ADMU Output 1 0,1000 0,1000 1,0000 G(MAX) 10 12 H(MIN) 1 0,0333 0,1667 1,0000 0,0250 0,1250 0,7500 XE AIDMU DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 Average XE DMU1 1,0000 0,7143 0,7143 0,4839 0,4839 0,6793 DMU2 1,0000 1,0000 1,0000 0,7143 0,7143 0,8857 DMU3 0,4000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,8800 DMU4 0,2000 0,7143 0,7143 1,0000 1,0000 0,7257 DMU5 0,2000 0,6250 0,6250 0,7500 0,7500 0,5900 Modelo RC IDMU Input 1 Input 2 IDMU Output 1 U1 U2 V1 T(MIN) 2 4 W(MAX) 1 0,1250 0,0000 0,2500 0,0625 0,0625 0,6250 ADMU Input 1 Input 2 ADMU Output 1 0,0625 0,0625 0,6250 G(MAX) 10 12 H(MIN) 1 0,0208 0,1042 0,6250 0,0208 0,1042 0,6250 67 67 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. XE RC DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 Average XE DMU1 1,0000 0,7143 0,7143 0,4839 0,4839 0,6793 DMU2 1,0000 1,0000 1,0000 0,7143 0,7143 0,8857 DMU3 0,4000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,8800 DMU4 0,2000 0,7143 0,7143 1,0000 1,0000 0,7257 DMU5 0,2000 0,6250 0,6250 0,7500 0,7500 0,5900 Anexo B 74 74 Modelo Blanket Aggression DMU Average XE U1 U2 U3 V1 V2 1 0,7067 0,00000000 0,00000000 0,00000983 0,00000067 0,00000000 2 0,7862 0,00000000 0,00003342 0,00000000 0,00000053 0,00000002 3 0,7966 0,00000000 0,00002649 0,00000203 0,00000000 0,00000016 4 0,7900 0,00045265 0,00000489 0,00000245 0,00000009 0,00000016 5 0,6489 0,00000000 0,00001741 0,00000469 0,00000108 0,00000000 6 0,3845 0,00009373 0,00000865 0,00000641 0,00000085 0,00000011 7 0,5821 0,00022837 0,00000000 0,00000726 0,00000119 0,00000000 8 0,7368 0,00065921 0,00000000 0,00000101 0,00000000 0,00000011 9 0,4850 0,00017858 0,00000157 0,00000725 0,00000088 0,00000010 10 0,6042 0,00073373 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000007 11 0,4533 0,00000000 0,00003314 0,00000000 0,00000062 0,00000000 12 0,4944 0,00009261 0,00000854 0,00000634 0,00000084 0,00000011 13 0,8721 0,00073475 0,00000000 0,00000000 0,00000023 0,00000000 14 0,5586 0,00018298 0,00000118 0,00000740 0,00000091 0,00000009 15 0,7288 0,00012354 0,00000211 0,00000836 0,00000052 0,00000019 16 0,4501 0,00000000 0,00001758 0,00000473 0,00000109 0,00000000 17 0,6162 0,00009462 0,00000873 0,00000647 0,00000086 0,00000011 18 0,5576 0,00000000 0,00001424 0,00000627 0,00000080 0,00000012 19 0,6518 0,00000803 0,00000000 0,00000979 0,00000000 0,00000023 20 0,5257 0,00000000 0,00001742 0,00000469 0,00000108 0,00000000 21 0,6603 0,00009574 0,00000883 0,00000655 0,00000087 0,00000011 22 0,4347 0,00020939 0,00000000 0,00000781 0,00000099 0,00000008 23 0,4839 0,00022935 0,00000000 0,00000729 0,00000119 0,00000000 24 0,6791 0,00012292 0,00000000 0,00000821 0,00000057 0,00000015 25 0,7415 0,00000000 0,00000588 0,00000815 0,00000087 0,00000000 26 0,5272 0,00050987 0,00000998 0,00000000 0,00000000 0,00000007 75 75 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Modelo Blanket Benevolent DMU Average XE U1 U2 U3 V1 V2 1 0,8612 0,00000000 0,00000000 0,00000983 0,00000067 0,00000000 2 0,9409 0,00000000 0,00003342 0,00000000 0,00000053 0,00000002 3 0,9256 0,00000000 0,00002649 0,00000203 0,00000000 0,00000016 4 0,9264 0,00045265 0,00000489 0,00000245 0,00000009 0,00000016 5 0,7989 0,00000000 0,00001741 0,00000469 0,00000108 0,00000000 6 0,4777 0,00009373 0,00000865 0,00000641 0,00000085 0,00000011 7 0,7351 0,00022837 0,00000000 0,00000726 0,00000119 0,00000000 8 0,8328 0,00065921 0,00000000 0,00000101 0,00000000 0,00000011 9 0,5732 0,00017858 0,00000157 0,00000725 0,00000088 0,00000010 10 0,5857 0,00073373 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000007 11 0,5579 0,00000000 0,00003314 0,00000000 0,00000062 0,00000000 12 0,6084 0,00009261 0,00000854 0,00000634 0,00000084 0,00000011 13 0,9644 0,00073475 0,00000000 0,00000000 0,00000023 0,00000000 14 0,7004 0,00018298 0,00000118 0,00000740 0,00000091 0,00000009 15 0,9024 0,00012354 0,00000211 0,00000836 0,00000052 0,00000019 16 0,5732 0,00000000 0,00001758 0,00000473 0,00000109 0,00000000 17 0,7572 0,00009462 0,00000873 0,00000647 0,00000086 0,00000011 18 0,6892 0,00000000 0,00001424 0,00000627 0,00000080 0,00000012 19 0,8035 0,00000803 0,00000000 0,00000979 0,00000000 0,00000023 20 0,6606 0,00000000 0,00001742 0,00000469 0,00000108 0,00000000 21 0,8187 0,00009574 0,00000883 0,00000655 0,00000087 0,00000011 22 0,5363 0,00020939 0,00000000 0,00000781 0,00000099 0,00000008 23 0,6092 0,00022935 0,00000000 0,00000729 0,00000119 0,00000000 24 0,8402 0,00012292 0,00000000 0,00000821 0,00000057 0,00000015 25 0,9266 0,00000000 0,00000588 0,00000815 0,00000087 0,00000000 26 0,5017 0,00050987 0,00000998 0,00000000 0,00000000 0,00000007 Anexo B 76 76 Modelos Targeted Aggression and Benevolent Targeted Aggression Targeted Benevolent DMU Average XE DMU Average XE 1 0,4002 1 0,7987 2 0,4443 2 0,8371 3 0,3893 3 0,8367 4 0,4661 4 0,8367 5 0,7083 5 0,7083 6 0,7860 6 0,7860 7 0,7180 7 0,7180 8 0,3276 8 0,8266 9 0,7740 9 0,7740 10 0,2376 10 0,6156 11 0,4918 11 0,4918 12 0,7860 12 0,7860 13 0,1959 13 0,8571 14 0,7746 14 0,7746 15 0,7049 15 0,8035 16 0,7083 16 0,7083 17 0,7860 17 0,7860 18 0,7573 18 0,7573 19 0,5528 19 0,7630 20 0,7083 20 0,7083 21 0,7860 21 0,7860 22 0,7657 22 0,7657 23 0,7180 23 0,7180 24 0,7352 24 0,7352 25 0,5478 25 0,8316 26 0,2473 26 0,5860 77 77 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Modelo IDMU IDMU Input 1 Input 2 Input 3 IDMU Output 1 Output 2 T(MIN) 2,20 53,70 1009,00 W(MAX) 68200,40 309742,50 DMU Average XE U1 U2 U3 V1 V2 1 0,7457 0,00014622 0,00001660 0,00072259 0,00003115 0,00000655 2 0,8163 0,00139272 0,00176647 0,00003985 0,00003393 0,00000176 3 0,8256 0,00598185 0,00154728 0,00015458 0,00001269 0,00000936 4 0,8231 0,01710904 0,00021394 0,00013882 0,00000726 0,00000697 5 0,6777 0,00000033 0,00143316 0,00039180 0,00008561 0,00000154 6 0,4070 0,00180898 0,00016685 0,00012376 0,00001649 0,00000211 7 0,6176 0,00355416 0,00000043 0,00012347 0,00002040 0,00000000 8 0,7541 0,06520069 0,00002564 0,00027242 0,00000959 0,00001410 9 0,5063 0,00450968 0,00003961 0,00018314 0,00002212 0,00000246 10 0,5826 0,08197568 0,00181794 0,00000249 0,00004296 0,00000691 11 0,4702 0,00000000 0,00152305 0,00039837 0,00009336 0,00000000 12 0,5227 0,00235964 0,00021763 0,00016143 0,00002151 0,00000275 13 0,8837 0,10213709 0,00005175 0,00000995 0,00002856 0,00000180 14 0,5931 0,00369150 0,00002386 0,00014938 0,00001829 0,00000188 15 0,7737 0,00142380 0,00000000 0,00009504 0,00000659 0,00000178 16 0,4760 0,00000000 0,00080194 0,00021593 0,00004963 0,00000000 17 0,6513 0,00153191 0,00014129 0,00010481 0,00001397 0,00000179 18 0,5884 0,00000000 0,00018091 0,00007969 0,00001020 0,00000147 19 0,6935 0,00169384 0,00004314 0,00044472 0,00000418 0,00001107 20 0,5547 0,00000006 0,00134882 0,00037467 0,00008251 0,00000110 21 0,6992 0,00128850 0,00011884 0,00008815 0,00001175 0,00000150 22 0,4602 0,00227840 0,00000000 0,00008501 0,00001077 0,00000088 23 0,5134 0,00320771 0,00000014 0,00011812 0,00001923 0,00000000 24 0,7218 0,00885586 0,00000000 0,00059114 0,00004101 0,00001105 25 0,7853 0,00180434 0,00027444 0,00041374 0,00004433 0,00000165 26 0,5118 0,17114947 0,01086687 0,00003956 0,00000000 0,00004501 Anexo B 78 78 Modelo ADMU ADMU Input 1 Input 2 Input 3 ADMU Output 1 Output 2 G(MAX) 126,40 3862,60 9241,60 H(MIN) 1614,80 12132,60 DMU Average XE U1 U2 U3 V1 V2 1 0,7954 0,00393811 0,00005735 0,00047880 0,00004203 0,00000287 2 0,8624 0,00264909 0,00055094 0,00017171 0,00003071 0,00000256 3 0,8634 0,00510926 0,00025729 0,00031160 0,00000452 0,00001064 4 0,8634 0,00829268 0,00011724 0,00020692 0,00001804 0,00000502 5 0,7208 0,00000000 0,00144765 0,00038979 0,00008959 0,00000000 6 0,4370 0,00180898 0,00016685 0,00012376 0,00001649 0,00000211 7 0,6682 0,00374573 0,00000000 0,00011908 0,00001945 0,00000000 8 0,7905 0,00952401 0,00002069 0,00049885 0,00000603 0,00001471 9 0,5336 0,00450967 0,00003961 0,00018314 0,00002212 0,00000246 10 0,5573 0,02870054 0,00115435 0,00012676 0,00002250 0,00000969 11 0,4985 0,00000000 0,00497018 0,00000000 0,00009286 0,00000000 12 0,5603 0,00235964 0,00021763 0,00016143 0,00002151 0,00000275 13 0,8839 0,01446124 0,00006014 0,00018687 0,00003378 0,00000027 14 0,6414 0,00369149 0,00002386 0,00014938 0,00001829 0,00000188 15 0,8390 0,00112818 0,00003514 0,00008691 0,00000650 0,00000180 16 0,5070 0,00000000 0,00080194 0,00021593 0,00004963 0,00000000 17 0,6981 0,00153190 0,00014129 0,00010481 0,00001397 0,00000179 18 0,6311 0,00000004 0,00018090 0,00007969 0,00001020 0,00000147 19 0,7580 0,00354398 0,00003245 0,00041089 0,00001004 0,00001003 20 0,5918 0,00000000 0,00137042 0,00036899 0,00008481 0,00000000 21 0,7524 0,00128846 0,00011884 0,00008815 0,00001175 0,00000150 22 0,4987 0,00227834 0,00000000 0,00008501 0,00001077 0,00000088 23 0,5534 0,00349999 0,00000000 0,00011127 0,00001818 0,00000000 24 0,7875 0,00885581 0,00000000 0,00059114 0,00004101 0,00001105 25 0,8425 0,00557984 0,00006595 0,00039064 0,00004553 0,00000113 26 0,4931 0,00000000 0,01862197 0,00000000 0,00000000 0,00004501 79 79 Estudio e implementación de diferentes métodos de eficiencia cruzada. Modelo IDMU-AIDMU IDMU Input 1 Input 2 Input 3 IDMU Output 1 Output 2 T(MIN) 2,20 53,70 1009,00 W(MAX) 68200,40 309742,50 ADMU Input 1 Input 2 Input 3 ADMU Output 1 Output 2 G(MAX) 126,40 3862,60 9241,60 H(MIN) 1614,80 12132,60 DMU Average XE U1 U2 U3 V1 V2 1 0,7308 0,00028328 0,00006799 0,00067429 0,00001829 0,00001089 2 0,8440 0,00031349 0,00153332 0,00007529 0,00003415 0,00000171 3 0,8515 0,00472469 0,00142907 0,00017632 0,00001961 0,00000827 4 0,8365 0,01249587 0,00017356 0,00017221 0,00000635 0,00000714 5 0,6962 0,00000000 0,00144765 0,00038979 0,00008959 0,00000000 6 0,4113 0,00180898 0,00016685 0,00012376 0,00001649 0,00000211 7 0,6099 0,00374573 0,00000000 0,00011908 0,00001945 0,00000000 8 0,7654 0,05607009 0,00004239 0,00030295 0,00000834 0,00001431 9 0,5135 0,00450968 0,00003961 0,00018314 0,00002212 0,00000246 10 0,5925 0,06449325 0,00072090 0,00008974 0,00001167 0,00001116 11 0,4860 0,00000000 0,00497010 0,00000001 0,00009286 0,00000000 12 0,5295 0,00235964 0,00021763 0,00016143 0,00002151 0,00000275 13 0,8839 0,04941925 0,00000113 0,00012525 0,00002499 0,00000285 14 0,5905 0,00369150 0,00002386 0,00014938 0,00001829 0,00000188 15 0,7802 0,00123684 0,00003681 0,00008472 0,00000734 0,00000161 16 0,4707 0,00000000 0,00080194 0,00021593 0,00004963 0,00000000 17 0,6609 0,00153191 0,00014129 0,00010481 0,00001397 0,00000179 18 0,5988 0,00000000 0,00018091 0,00007969 0,00001020 0,00000147 19 0,6979 0,00246738 0,00006767 0,00041677 0,00000276 0,00001132 20 0,5571 0,00000000 0,00137042 0,00036899 0,00008481 0,00000000 21 0,7078 0,00128850 0,00011884 0,00008815 0,00001175 0,00000150 22 0,4624 0,00227834 0,00000000 0,00008501 0,00001077 0,00000088 23 0,5113 0,00349999 0,00000000 0,00011127 0,00001818 0,00000000 24 0,7252 0,00885581 0,00000000 0,00059114 0,00004101 0,00001105 25 0,7752 0,00403510 0,00022234 0,00036215 0,00004668 0,00000063 26 0,5235 0,00000000 0,01862197 0,00000000 0,00012938 0,00003561 Anexo B 80 80 Modelo RC IDMU Input 1 Input 2 Input 3 IDMU Output 1 Output 2 T(MIN) 2,20 53,70 1009,00 W(MAX) 68200,40 309742,50 ADMU Input 1 Input 2 Input 3 ADMU Output 1 Output 2 G(MAX) 126,40 3862,60 9241,60 H(MIN) 1614,80 12132,60 DMU Average XE U1 U2 U3 V1 V2 1 0,7566 0,00035937 0,00000455 0,00006101 0,00000420 0,00000053 2 0,8472 0,00044146 0,00010895 0,00001852 0,00000431 0,00000031 3 0,8601 0,00103189 0,00005667 0,00002974 0,00000120 0,00000111 4 0,8665 0,00170101 0,00002531 0,00003130 0,00000201 0,00000101 5 0,7009 0,00000000 0,00009856 0,00002654 0,00000610 0,00000000 6 0,4256 0,00050179 0,00004628 0,00003433 0,00000458 0,00000059 7 0,6380 0,00136664 0,00000000 0,00004345 0,00000710 0,00000000 8 0,7985 0,00235027 0,00000429 0,00003523 0,00000023 0,00000130 9 0,5334 0,00101925 0,00000895 0,00004139 0,00000500 0,00000056 10 0,5717 0,00364807 0,00004923 0,00000801 0,00000094 0,00000078 11 0,4848 0,00000000 0,00019791 0,00000000 0,00000370 0,00000000 12 0,5486 0,00050179 0,00004628 0,00003433 0,00000458 0,00000059 13 0,8954 0,00301039 0,00001302 0,00002542 0,00000404 0,00000033 14 0,6143 0,00103830 0,00000671 0,00004202 0,00000514 0,00000053 15 0,8151 0,00071890 0,00001155 0,00004488 0,00000374 0,00000083 16 0,4844 0,00000000 0,00009856 0,00002654 0,00000610 0,00000000 17 0,6835 0,00050179 0,00004628 0,00003433 0,00000458 0,00000059 18 0,6126 0,00000000 0,00007353 0,00003239 0,00000415 0,00000060 19 0,7317 0,00034565 0,00000578 0,00005656 0,00000015 0,00000154 20 0,5677 0,00000000 0,00009856 0,00002654 0,00000610 0,00000000 21 0,7317 0,00050179 0,00004628 0,00003433 0,00000458 0,00000059 22 0,4859 0,00116148 0,00000000 0,00004334 0,00000549 0,00000045 23 0,5302 0,00136664 0,00000000 0,00004345 0,00000710 0,00000000 24 0,7614 0,00073884 0,00000000 0,00004932 0,00000342 0,00000092 25 0,8035 0,00055280 0,00001211 0,00005520 0,00000605 0,00000009 26 0,5079 0,00260988 0,00009021 0,00000809 0,00000032 0,00000082