Negociación en ambiente de incertidumbre. Una solución conservadora

Negociaci´on en ambiente de incertidumbre. Una soluci´on conservadora. Negociaci´on en ambiente de incertidumbre. Una soluci´on conservadora Rubiales Caballero, Victoriana ([email protected]) Departamento de Econom´ıa Aplicada III Universidad de Sevilla Monroy Berjillos, Luisa (lmonro[email protected]) Departamento de Econom´ıa aplicada III Universidad de Sevilla M´armol Conde, Amparo Ma([email protected]) Departamento de Econom´ıa aplicada III Universidad de Sevilla RESUMEN En este trabajo analizamos un problema de negociaci´on bipersonal en ambiente de incertidumbre, para lo cual consideramos varios estados de la naturaleza o futuros escenarios posibles. Proponemos un concepto de soluci´on bajo la hip´otesis de que los jugadores son adversos al riesgo y negocian sobre aquellos resultados que minimizan la distancia entre las utilidades que obtienen en cada escenario y un vector de utilidades m´ınimas ut´opico. Esta soluci´on conservadora se obtiene como la soluci´on de un problema de programaci´on minmax. Cuando el conjunto de negociaci´on verifica determinadas propiedades, obtenemos una caracterizaci´on axiom´atica del concepto de soluci´on propuesto. En este contexto, analizamos una extensi´on del modelo cl´asico de negociaci´on empresa-sindicato en el que existe incertidumbre sobre las consecuencias de los posibles acuerdos alcanzables por los agentes. Palabras clave: Negociaci´on. Incertidumbre. Optimizaci´on minmax. ´ Area tem´atica: Optimizaci´on XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 1 Rubiales Caballero, Victoriana; Monroy Berjillos, Luisa; M´armol Conde,Amparo Ma ABSTRACT In this paper we address a general two-person bargaining problem under uncertainty. To this end, several states of nature or future scenarios are considered. Under the assumption that agents are risk averse, we propose a solution concept based on the distance to a utopian minimum outcome vector, which guarantees conservative levels of achievement for the agents. This conservative solution is obtained as the solution of a minimax programming problem. When some requirementS on the bargaining set are assumed, an axiomatic characterization of the conservative solution is provided. An extension of the classic model of firm-union negotiation, which includes situations where uncertainty about the consequences of the agreements has to be taken into account, is analyzed in this framework. 1. INTRODUCCI ´ ON La mayor´ıa de los modelos de negociaci´on analizan situaciones en las que el resultado para cada agente s´olo depende del acuerdo que se alcance. No obstante, una descripci´on m´as realista de las posibilidades de la negociaci´on es considerar que los resultados dependen tambi´en de factores externos o eventos futuros y por tanto, inciertos. La manera usual de modelar tales situaciones de negociaci´on en ambiente de incertidumbre es considerar que hay varios estados de la naturaleza posibles o escenarios futuros y que cada uno de ellos se identifica con un problema de negociaci´on. En la literatura se han planteado dos tipos de modelos para analizar estas situaciones. El primero de ellos resuelve la incertidumbre asignando probabilidades a los diferentes estados de la naturaleza y posteriormente aplica los conceptos de soluci´on cl´asicos para resolver el problema de negociaci´on (v´ease Riddel (1981), Peters (1986)). En el segundo grupo de modelos se supone que los agentes no disponen de informaci´on sobre la probabilidad de ocurrencia de los distintos estados. En este caso se resuelve el problema aplicando modelos de elecci´on bajo incertidumbre no probabil´ısticos (v´ease Bossert et al. (1996), Bossert y Peters (2001), M´armol y Ponsat´ı (2008)). Este trabajo se encuadra dentro de este segundo tipo de modelos y en ´el analizamos juegos de negociaci´on que describen estas situaciones de incertidumbre bajo la hip´otesis de que los agentes son adversos al riesgo. Proponemos un concepto de soluci´on basado en una generalizaci´on del criterio minmax, que consiste en minimizar la distancia a un vector de utilidades m´ınimas ut´opico. Los resultados que genera son conservadores en el sentido de que los agentes llegan a acuerdos para obtener resultados cuyos niveles m´ınimos no puedan ser mejorados simult´aneamente XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 2 Negociaci´on en ambiente de incertidumbre. Una soluci´on conservadora. en todos los escenarios. En este contexto analizamos una extensi´on del modelo cl´asico de negociaci´on entre empresa y sindicato propuesto por McDonald y Solow (1981). Estos autores analizan la soluci´on de Nash (Nash, 1950) y la de Kalai-Smorodinsky (Kalai y Smorodinsky, 1975) cuando empresa y sindicato negocian sobre salarios y nivel de empleo. Posteriormente, Alexander (1992) caracteriza la soluci´on de Kalai-Smorodinsky cuando la negociaci´on concierne s´olo a los salarios, y la empresa determina unilateralmente el nivel de empleo de forma que maximice su beneficio. Alexander y Ledermann (1996) analizan la forma del conjunto de negociaci´on cuando la negociaci´on entre empresa y sindicato se realiza en salarios y niveles de empleo, o s´olo en salarios. El objetivo de nuestro an´alisis es incorporar incertidumbre en este modelo considerando que los beneficios de la empresa dependen del estado de la naturaleza y no existe informaci´on sobre la probabilidad de ocurrencia de los diferentes estados. El trabajo est´a organizado como sigue: en la secci´on 2 describimos el modelo de negociaci´on en ambiente de incertidumbre y definimos y caracterizamos la soluci´on conservadora. En la secci´on 3 analizamos una extensi´on del modelo cl´asico de negociaci´on entre empresa y sindicato. Por ´ultimo, la secci´on 4 est´a dedicada a las conclusiones. 2. EL MODELO Consideramos un problema de negociaci´on con dos agentes y mescenarios posibles o estados de la naturaleza futuros. Un problema de negociaci´on bipersonal bajo incertidumbre se describe por el par (S, q), donde S⊆IR 2mes el conjunto de resultados que obtienen los jugadores a trav´es de un acuerdo y q∈IR 2mes el resultado si el proceso de negociaci´on no termina en acuerdo, llamado punto de desacuerdo o status quo. Un punto x∈S, se representa por x= (x1, x2) donde xi∈IR m, i = 1,2, es el vector de resultados para el agente i, cuyas componentes, xj i,j= 1, . . . , m, son los resultados obtenidos en cada escenario. Inicialmente solo requerimos que Ssea un conjunto comprensivo1. Para cada problema de negociaci´on (S, q), una soluci´on, ϕ, es una aplicaci´on que selecciona un subconjunto no vac´ıo de resultados factibles, ϕ(S)⊂S. Por simplicidad, suponemos que el punto de desacuerdo es el origen, q=θ, y S⊂IR 2m +. Analizamos este problema bajo la hip´otesis de que los agentes son adversos al 1Dados x, y ∈IR ndiremos que x≥ysi xi≥yii= 1, . . . , n yx6=y.Ses comprensivo cuando ∀x∈Ssi x≥y≥qentonces y∈S. XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 3 Rubiales Caballero, Victoriana; Monroy Berjillos, Luisa; M´armol Conde,Amparo Ma riesgo, por lo que s´olo valoran el peor resultado, y no disponen de informaci´on sobre la probabilidad de ocurrencia de los diferentes escenarios posibles. En este contex- to proponemos una soluci´on ex ante que garantiza niveles de utilidad m´ınima que no son mejorables simult´aneamente para ambos agentes. Este concepto de soluci´on, que denominamos conservadora, se basa en la idea de que los agentes conjuntamente negociar´an sobre aquellos resultados que minimicen la distancia entre las utilidades que obtienen en cada escenario y un vector de utilidades m´ınimas ut´opico. Para definir este concepto de soluci´on valoramos cada resultado factible por un vector cuyas componentes son los peores resultados que obtienen los agentes en cada escenario y que denominamos vector de resultados m´ınimos. Definici´on 2.1 Para cada resultado factible x∈S, el vector de resultados m´ınimos es z(x)=(z1(x), z2(x)),donde z1(x) = m´ın1≤j≤m{xj 1}yz2(x) = m´ın1≤j≤m{xj 2}. Para S∈IR 2m,z(S) denota el conjunto de vectores de resultados m´ınimos: z(S) = {(z1, z2)∈R2/ z1= m´ın 1≤j≤m{xj 1}, z2= m´ın 1≤j≤m{xj 2}, x ∈S} A continuaci´on introducimos el concepto de vector de resultados m´ınimos ut´opico como aquel vector cuyas componentes son los mejores niveles m´ınimos que los agentes pueden alcanzar en cada escenario. Definici´on 2.2 El vector de resultados m´ınimos ut´opico para el problema de negociaci´on es zu= (zu 1, zu 2)donde zu i=Maxx∈Szi(x), para i= 1,2. Las componentes del vector de resultados m´ınimos ut´opico zuse corresponden con los valores ´optimos de sendos problemas de optimizaci´on escalar. Definici´on 2.3 Para cada resultado factible x∈S, el vector de desviaciones d(x) con respecto al vector de resultados m´ınimos ut´opico, zu, es el vector d(x) = (zu 1−z1(x) zu 1 ,zu 2−z2(x) zu 2 ). Este vector representa la diferencia entre el resultado m´ınimo ut´opico y el resultado m´ınimo normalizado por la correspondiente componente del resultado ut´opico. Para comparar las desviaciones asociadas a los diferentes resultados del problema de negociaci´on utilizamos el criterio minmax. XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 4 Negociaci´on en ambiente de incertidumbre. Una soluci´on conservadora. Definici´on 2.4 ¯ d∈IR 2es un vector de desviaciones minmax en Ssi existe ¯x∈S con d(¯x) = ¯ dtal que m´ax{d1(¯x), d2(¯x)} ≤ m´ax{d1(x), d2(x)},∀x∈S. A partir de esta definici´on establecemos el concepto de soluci´on conservadora para un problema de negociaci´on en ambiente de incertidumbre. Definici´on 2.5 La soluci´on conservadora, ϕC, asocia a cada problema de negociaci´on el subconjunto ϕC(S)⊂Scuyos vectores de desviaciones son minmax en S. El siguiente resultado muestra un procedimiento para obtener los resultados que proporciona la soluci´on conservadora ϕC. Proposici´on 2.1 x∗∈ϕC(S)yz∗es el vector de resultados m´ınimos asociado s´ı y s´olo si existe t∗∈IR tal que (t∗, z∗, x∗)es una soluci´on ´optima del problema min t s.t. :t≥zu 1−z1 zu 1 t≥zu 2−z2 zu 2 xj 1≥z1, j = 1, ..., m xj 2≥z2, j = 1, ..., m x∈S La idea en la que se sustenta esta soluci´on es la misma que subyace en la soluci´on cl´asica de Kalai-Smorodinsky. Bas´andonos en este hecho, extendemos a este contexto las propiedades de eficiencia, simetr´ıa, invarianza de escala y monotonicidad individual que caracterizan a dicha soluci´on cl´asica. Eficiencia conservadora (EC). Una soluci´on de negociaci´on ϕes eficiente conservadora si para cada Sy para cada x∈ϕ(S) no existe y∈Stal que z(y)≥z(x). Simetr´ıa conservadora (SC). Una soluci´on de negociaci´on ϕes sim´etrica conservadora si para cada Ssim´etrico conservador2el conjunto ϕ(S) es sim´etrico conservador. 2El conjunto S⊂IR 2mes sim´etrico conservador si para x= (x1, x2)∈Sexiste y= (y1, y2)∈S tal que z1(x) = z2(y) y z2(x) = z1(y). XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 5 Rubiales Caballero, Victoriana; Monroy Berjillos, Luisa; M´armol Conde,Amparo Ma Invarianza ante transformaciones de escala en los agentes (ITEA). Una soluci´on de negociaci´on ϕes invariante ante transformaciones de escala en los agentes si para cualquier transformaci´on de escala λ3,z(y) = λ(z(x)),4∀y∈ϕ(λ(S)) con y=λ(x). Monoton´ıa individual conservadora (MC). Una soluci´on de negociaci´on ϕverifica monoton´ıa individual conservadora si ∀S, S0tal que S⊆S0yzu 1(S) = zu 1(S0) entonces z2(x)≤z2(x0),∀x∈ϕ(S) y ∀x0∈ϕ(S0). Las cuatro propiedades enunciadas caracterizan a la soluci´on conservadora en aquellos problemas de negociaci´on en los que el conjunto S∈IR 2mes tal que z(S) es convexo y compacto. Denotamos esta clase de problemas de negociaci´on en ambiente de incertidumbre por B0. Teorema 2.1 Una soluci´on de negociaci´on ϕen B0satisface EC, SC, ITEA y MC s´ı y s´olo s´ı ϕ=ϕC. Un caso particular interesante de la clase de problemas B0es el modelo de negociaci´on global. En estos modelos el conjunto Scoincide con el producto cartesiano de los conjuntos de resultados factibles en cada escenario, S=S1×. . . ×Sm, con Sj⊆IR 2, convexos y comprensivos para j= 1, . . . , m. En esta situaci´on se pueden plantear tantos problemas de negociaci´on como escenarios haya y resolver ´estos de forma independiente. Sin embargo, es posible que los resultados que se obtengan mediante la negociaci´on separada no sean apropiados para aquellas situaciones en las que los agentes son adversos al riesgo, por lo que, en tales situaciones, la soluci´on conservadora proporciona resultados m´as satisfactorios para ambos agentes. Adem´as, la comprensividad de los conjuntos Sj, j = 1, . . . , m implica que z(S) = ∩j=1,...,mSj y, por tanto, la soluci´on conservadora en el modelo de negociaci´on global est´a caracterizada por las cuatro propiedades enunciadas. Los resultados que proporciona la soluci´on conservadora se corresponden con los resultados que se obtendr´ıan aplicando el concepto de soluci´on de Kalai-Smorodinsky en el conjunto z(S). A continuaci´on presentamos un ejemplo que nos permite ilustrar este hecho. Ejemplo 2.1 Consideremos una situaci´on en la que un mayorista y un fabricante est´an negociando el precio de un ´unico producto en tres escenarios distintos. Aunque negocian el precio del producto en los distintos escenarios valoran los acuerdos posibles en funci´on de los beneficios que obtienen en cada uno de ellos. Supondremos que los beneficios de los agentes son lineales con respecto al precio del producto, 3λes una transformaci´on de escala en Ssi existe a∈IR 2, a > 0, tal que ∀x= (x1, x2)∈S, λ(x) = (a1x1, a2x2) y λ(S) = {y= (y1, y2)∈IR 2m/y =λ(x),con x= (x1, x2)∈S}. 4Abusamos de notaci´on, escribiendo λ(z(x)) para representar el vector (a1z1(x), a2z2(x)) XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 6 Negociaci´on en ambiente de incertidumbre. Una soluci´on conservadora. como se muestra en las gr´aficas de la Figura 1, donde la l´ınea creciente representa el beneficio del fabricante y la l´ınea decreciente el del mayorista. Negociaci´on en ambiente de incertidumbre. Soluciones conservadoras. 0.15 1.35 0.75 p1 B1 1- 4- B3 p2 B2 2 - 0.4 2 1.2 p3 3 - 1 - 2 04 Figure 1: Beneficios de los agentes en los tres escenarios Los conjuntos de negociaci´on asociados a los diferentes escenarios representan los beneficios que puede obtener cada agente mediante un acuerdo sobre el precio del producto en cada escenario. Denotamos por xj∈IR 2,x j=(xj 1,x j 2),j=1,2,3 los beneficios que obtienen los dos agentes en el escenario j-´esimo y por Sjlos correspondientes conjuntos de negociaci´on: S1={x1∈IR 2:x1 1+4x2 1≤4,x 1≥0} S2={x2∈IR 2:x1 2+x2 2≤2,x 2≥0} S3={x3∈IR 2:3x1 3+x2 3≤3,x 3≥0} En esta situaci´on un resultado global consistir´a en la especificaci´on de los niveles de beneficios alcanzados por cada agente en cada escenario. Es posible representar la situaci´on en el espacio de beneficios de los agentes asociadas a los tres escenarios en un ´unico gr´afico. En la Figura 2 se representan los conjuntos de negociaci´on de los agentes y un resultado del conjunto de negociaci´on global. S1 S2 S3 agente 1 agente 2 Figure 2: Conjuntos de negociaci´on de los agentes XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 7 Figura 1: Beneficios de los agentes en los tres escenarios Los conjuntos de negociaci´on asociados a los diferentes escenarios representan los beneficios que puede obtener cada agente mediante un acuerdo sobre el precio del producto en cada escenario. Denotamos por xj∈IR 2, xj= (xj 1, xj 2), j = 1,2,3 los beneficios que obtienen los dos agentes en el escenario j-´esimo y por Sjlos correspondientes conjuntos de negociaci´on: S1={x1∈IR 2:x1 1+ 4x1 2≤4, x1≥0} S2={x2∈IR 2:x2 1+x2 2≤2, x2≥0} S3={x3∈IR 2: 3x3 1+x3 2≤3, x3≥0} En esta situaci´on un resultado global consistir´a en la especificaci´on de los niveles de beneficios alcanzados por cada agente en cada escenario. Es posible representar la situaci´on en el espacio de beneficios de los agentes asociadas a los tres escenarios en un ´unico gr´afico. En la Figura 2 se representan los conjuntos de negociaci´on de los agentes y un resultado del conjunto de negociaci´on global. X=    4 0 0,5 0,5 1 0     Como consecuencia de un determinado acuerdo sobre el precio en cada escenario, los beneficios que obtiene el mayorista son respectivamente 4, 0.5 y 1 u.m. El fabricante obtiene con este acuerdo unos beneficios de 0, 0.5 y 0 u.m., respectivamente. Los conjuntos de negociaci´on asociados a cada escenario son convexos, compactos y comprensivos por lo que el conjunto de beneficios m´ınimos, z(S), es la intersecci´on de los tres como muestra la Figura 3. XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 7 Rubiales Caballero, Victoriana; Monroy Berjillos, Luisa; M´armol Conde,Amparo Ma S2S1 S3 Agente 1 Agente 2 Figura 2: Conjuntos de negociaci´on de los agentes z(S) S2S1 S3 zu Agente 1 Agente 2 Figura 3: Beneficios de los agentes en los tres escenarios En esta situaci´on se podr´ıa plantear una negociaci´on independiente en cada escenario y obtener una soluci´on para cada problema. Sin embargo, bajo la hip´otesis de agentes adversos al riesgo, el resultado que proporciona la soluci´on conservadora garantiza unos beneficios m´ınimos mayores para cada agente. La siguiente tabla muestra el resultado que proporciona la soluci´on de Kalai- Smorodinsky calculada de forma independiente en cada escenario y la soluci´on conservadora. Notemos que el vector de resultados m´ınimos que proporcionan la soluciones de Kalai-Smorodinsky en la negociaci´on separada est´a dominado por el vector de resultados m´ınimos de la soluci´on conservadora. XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 8 Negociaci´on en ambiente de incertidumbre. Una soluci´on conservadora. Soluci´on Soluci´on K-S conservadora Escenario 1 (2,0,5) (0,75,0,75) Escenario 2 (1,1) (0,75 + a, 0,75 + b), a, b ∈[0,5/4] Escenario 3 (0,3,1) (0,75,0,75) z= (0,3,0,5) z= (0,75,0,75) 3. NEGOCIACI ´ ON EMPRESA-SINDICATO En esta secci´on analizamos una extensi´on del modelo cl´asico de negociaci´on empresa-sindicato en ambiente de incertidumbre. El punto de partida es el modelo cl´asico establecido por McDonald y Solow (1981), en el que los dos agentes, empresa y sindicato, negocian sobre el salario y el empleo. La utilidad del sindicato depende de los niveles de salario (w) y empleo (L), y se representa por la funci´on V(w, L) = Lu(w), donde u(w) es una funci´on de utilidad dos veces diferenciable con u0(w)>0, u00(w)<0. La utilidad de la empresa viene dada por sus beneficios Π(w, L) = R(L)−wL, donde R(L) es la funci´on de ingresos. Ambas funciones verifican la habitual hip´otesis de diferenciabilidad. En este modelo, la empresa y el sindicato negocian sobre los salarios y el empleo hasta alcanzar un resultado eficiente para ambos. Los diversos conceptos de soluci´on propuestos en la literatura para abordar este problema proporcionan resultados factibles que son aceptados por los agentes sobre la base de diferentes principios de racionalidad (Kalai-Smorodinsky (1975), Kalai (1977), Nash (1950)). Introducimos incertidumbre en este modelo suponiendo, para simplificar, que hay dos posibles escenarios o estados futuros de la naturaleza. Suponemos que los ingresos de la empresa y, por tanto, sus beneficios dependen del estado de la naturaleza, mientras que la utilidad del sindicato es la misma en ambos escenarios. Para j= 1,2, Rj(L) representa el ingreso obtenido por la empresa cuando el nivel de empleo es Ly el estado final es j. La funci´on Rj(L) es estrictamente c´oncava y estrictamente creciente, con Rj(0) = 0. El beneficio de la empresa en cada uno de los posibles estados de la naturaleza es Πj(w, L) = Rj(L)−wL,j= 1,2. Suponemos que la empresa no considera la posibilidad de obtener beneficios negativos en los distintos estados, por lo que, Rj(L)−wL ≥0, ∀j= 1,2. La utilidad del sindicato en ambos escenarios es V(w, L) = Lu(w). XXI Jornadas de ASEPUMA y IX Encuentro Internacional Anales de ASEPUMA n 21:115 9