Sur l’irréductibilité d’une induite parabolique

J. reine angew. Math. 629 (2009), 107—131 DOI 10.1515/CRELLE.2009.028 Journal fu ¨r die reine und angewandte Mathematik (Walter de Gruyter Berlin New York 2009 Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Par Alberto Mı ´nguez a `Orsay Abstract. Let Fbe a non-Archimedean locally compact field and let Dbe a central division algebra over F. Let p1and p2be respectively two smooth irreducible representations of GLðn1;DÞand GLðn2;DÞ,n1;n2f0. In this article, we give some su‰cient conditions on p1and p2so that the parabolically induced representation of p1np2to GLðn1þn2;DÞhas a unique irreducible quotient. In the case where p1is a cuspidal representation, we compute the Zelevinsky’s parameters of such a quotient in terms of the parameters of p2. This is the key point for making explicit Howe correspondence for dual pairs of type II (cf. [Mi1]). Introduction Dans l’e ´tude des repre ´sentations irre ´ductibles d’un groupe re ´ductif sur un corps local non archime ´dien F, on est amene ´a `conside ´rer aussi des repre ´sentations re ´ductibles. En ge ´ne ´ral, elles ne sont pas semi-simples et il est tre `s inte ´ressant de construire de telles repre ´- sentations ayant un unique quotient (ou un sous-module) irre ´ductible. C’est dans cette ligne ´e, par exemple, que l’on trouve les classifications de Langlands et de Zelevinsky du type : ‘‘l’unique quotient irre ´ductible de . . .’’ ou ‘‘l’unique sous-module irre ´ductible de . . .’’. Cet article est motive ´par la question suivante : Soit D une alge `bre a `division de centre F de dimension finie sur F. Si p1et p2sont deux repre ´sentations lisses irre ´ductibles de GLðn1;DÞet GLðn2;DÞrespectivement,est-ce que l’induite parabolique,note ´ep1p2,de p1np2a `GLðn1þn2;DÞposse `de un unique quotient irre ´ductible? Nous utilisons des techniques des foncteurs de Jacquet, avec des conside ´rations de combinatoire, pour donner des conditions su‰santes pour que la re ´ponse soit positive. Donnons quelques premie `res applications de ce re ´sultat ge ´ne ´ral : la repre ´sentation p1p2admet, en particulier, un unique quotient irre ´ductible si : (1) La repre ´sentation p1est un caracte `re de GLðn1;DÞ. C’est une question qui apparaı ˆt naturellement dans la correspondance de Howe. Ceci prouve une ancienne conjecture de M.-F. Vigne ´ras, cf. [MVW], Conjecture 3.III.6. Partially supported by MTM2004-07203-C02-01 and FEDER. Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM (2) La repre ´sentation p1est une repre ´sentation cuspidale. Ceci permet, dans [Mi1], de rendre explicite la correspondance de Howe pour les paires duales de type II. (3) Les repre ´sentations p1et p2sont essentiellement de carre ´inte ´grable. Ceci permet de donner dans la section 4 une preuve simple, comple `tement combinatoire, de la classification des repre ´sentations irre ´ductibles de GLðn;DÞa `la Zelevinsky en termes des segments (voir [Ze1] quand D¼F). Remarquons, pour comprendre l’importance de la question qui motive cet article, que parmi d’autres applications, l’unicite ´du quotient irre ´ductible impliquerait, en particulier, la conjecture (U0) de Tadic ´(qui vient d’e ˆtre prouve ´e dans [Se]) qui permet de de ´terminer le dual unitaire de GLðn;DÞ. Donnons maintenant plus de de ´tails concernant les di¤e ´rentes sections de l’article : Dans la section 1, on introduit les notations. Dans la section 2, on utilise le lemme ge ´ome ´trique combinatoire de [Ze1], pour donner une condition su‰sante pour que l’induite parabolique du produit tensoriel de plusieurs repre ´sentations irre ´ductibles n’ait qu’un seul quotient irre ´ductible. En section 3, on introduit les foncteurs de Jacquet et, en section 4, on rappelle la classification de Tadic ´des repre ´sentations irre ´ductibles de GLðn;DÞ. On donne aussi un parame ´trage a `la Zelevinsky de cet ensemble. Dans la section 5, on combine ces re ´sultats pour montrer le the ´ore `me principal de cet article (The ´ore `me 5.1). Dans la section 6, on calcule, avec la classification de la section 4, les parame `tres de l’unique quotient irre ´ductible de p1p2, quand la repre ´sentation p1est cuspidale, en termes des parame `tres de p2. On utilise ce calcul, dans la section 7, pour tirer quelques conse ´quences : d’une part, on donne une condition combinatoire ne ´cessaire et su‰sante d’irre ´ductibilite ´de p1p2, quand p1est cuspidale (The ´ore `me 7.4). D’un autre co ˆte ´, Zelevinsky, dans [Ze1] construit une involution, note ´eD, du groupe de Grothendieck associe ´a `la cate ´gorie des repre ´sentations lisses et longueur finie de GLðn;FÞ. Aubert montre en [Aub] que cette involution permute les classes des repre ´sentations irre ´ductibles. Dans [Ze2], Zelevinsky propose une formule pour de ´crire Da `l’aide des objets ge ´ome ´triques parame ´trisant les repre ´sentations irre ´ductibles de GLðn;FÞ. Dans [MW] on montre cette conjecture et on donne une description combinatoire de l’involution. Dans [Ta1] on ge ´ne ´ralise cette involution pour les formes inte ´rieures de GLðn;FÞet on conjecture que la description combinatoire et ge ´ome ´trique de Ddoit rester valable dans ce cadre, avec quelques petites modifications (cf. [Ta1], Conjecture 3.6). On montre cette conjecture dans le The ´ore `me 7.7. Ceci facilite les calculs de [Ta2]. Dans l’appendice, on montre (Corollaire A.3) un lemme jouant un ro ˆle cle ´dans le calcul de [Mi1] de la correspondance the ˆta explicite dans le cas des paires duales de type II. Il serait tre `s inte ´ressant de trouver une preuve plus simple, sans devoir utiliser tous les calculs des sections pre ´ce ´dentes, pour, peut-e ˆtre, ge ´ne ´raliser les re ´sultats de [Mi1] aux paires duales de type I. Remarquons que dans le cas des repre ´sentations des groupes orthogonaux, la repre ´sentation induite parabolique a `partir du produit tensoriel de deux repre ´sentations cuspidales peut avoir deux sous-modules irre ´ductibles (cf. [Moe]). 108 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Je voudrais particulie `rement remercier Guy Henniart et Colette Mœglin pour leurs nombreux conseils et ide ´es. Je remercie aussi Florent Benaych-Georges, Goran Muic ´, Hiroshi Saito et Vincent Se ´cherre ainsi que le re ´fe ´re ´pour les remarques et corrections inte ´ressantes qu’ils m’ont faites a `propos de cet article. 1. Pre ´liminaires Soient Fun corps commutatif localement compact non archime ´dien de caracte ´- ristique re ´siduelle p>0, Dune alge `bre a `division de centre Fde dimension finie d2 sur F. On note Mnl’ensemble de matrices nna `coe‰cients dans Det Nrd :Mn!F la norme re ´duite. Le groupe GLðn;DÞdes matrices inversibles dans Mnsera note ´Gn. Le groupe trivial sera note ´G0. On note n¼jNrdjF, la valeur absolue de la norme re ´- duite (par abus de notation on ne fera pas distinction entre nagissant sur Gnpour di¤e ´rent n). A toute partition (ordonne ´e) a¼ðn1;...;nrÞ,nif0, de l’entier n, correspond une de ´- composition en blocs des matrices carre ´es d’ordre n. On notera Gale sous-groupe de Gn forme ´des matrices inversibles diagonales par blocs de taille ni,Pa(resp. Pa) le sous-groupe forme ´des matrices triangulaires supe ´rieures (resp. infe ´rieures) par blocs, et Uale sousgroupe de Paforme ´des e ´le ´ments dont les blocs diagonaux sont des matrices unite ´.Le sous-groupe Paest conjugue ´a `Padans Gnavec a¼ðnr;...;n1Þ. Dans cet article on ne conside ´rera que des repre ´sentations lisses complexes et le mot repre ´sentation voudra toujours dire repre ´sentation lisse complexe. On notera IrrðGnÞl’ensemble des classes d’e ´quivalence des repre ´sentations irre ´ductibles de Gn. On note Irr l’union disjointe Irr ¼S nf0 IrrðGnÞ; et Cle sous-ensemble de Irr forme ´de repre ´sentations cuspidales. Le support cuspidal de pAIrr sera note ´suppðpÞ. On note ra;n(resp. ra;n) le foncteur de Jacquet normalise ´associe ´au parabolique standard Pa(resp. Pa). Soient riAIrrðGniÞ,1eier. On note r1rrla repre ´sentation indGn Paðr1nnrrn1UaÞ induite parabolique normalise ´e. Soit pune repre ´sentation de Gn; on a un isomorphisme canonique (re ´ciprocite ´de Frobenius) : HomGnðp;r1rrÞFHomGara;nðpÞ;r1nnrr:ð1:1Þ 109 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM On dispose aussi d’un isomorphisme de re ´ciprocite ´a `la Casselman (cf. [Ber], Theorem 20, ou bien [Bus]) : HomGnðr1rr;pÞFHomGar1nnrr;ra;nðpÞ:ð1:2Þ On notera Rnle groupe de Grothendieck de la cate ´gorie des Gn-modules de longueur finie identifie ´au Z-module libre qui a pour base ðpÞpAIrrðGnÞ. Le sous-semigroupe de Rnqui consiste en des sommes finies p1þþpkou `piAIrrðGnÞ,kf0 sera note ´Rþ n. Posons R¼L nf0 Rn; Rþ¼L nf0 Rþ n: Si p1;p2ARon note p1ep2si p2p1ARþ. On note s:s:ðpÞ(ou JHðpÞ) l’image de pdans Rpour toute repre ´sentation de longueur finie p.Onde ´finit une loi de multiplication dans Rpar mðp;p0Þ¼s:s:ðpp0Þ. L’ope ´ration mest aussi note ´eet ðR;þ;Þ devient un anneau gradue ´(associatif et commutatif). Si pest une repre ´sentation de Gnon notera grðpÞ¼net ~ pp la contragre ´diente de p. Si pest une repre ´sentation de longueur finie, alors s:s:ðpÞ¼ L tiAIrr;1eier miti;o` u les tisont distincts: On dit que les tiforment une suite de composition de pet que miest la multiplicite ´de ti dans p. 2. Lemme ge ´ome ´trique combinatoire On rappelle ici les re ´sultats de [Ze1], 1.6, et on de ´duit quelques premiers lemmes simples qui seront utilise ´s dans la suite. Soient b,gdeux partitions de n,b¼ðn1;...;nrÞ,g¼ðm1;...;msÞet pour iAf1;...;rg soit riune repre ´sentation de Gni. On veut calculer une suite de composition de rg;nðr1rrÞ. Notons Mb;gl’ensemble des matrices b¼ðbi;jÞrstelles que : (1) Les bi;jsont des entiers positifs. (2) P s j¼1 bi;j¼nipour tout i¼1;...;r;P r i¼1 bi;j¼mjpour tout j¼1;...;s. Fixons bAMb;get notons bila partition ðbi;1;...;bi;sÞde niet gjla partition ðb1;j;...;br;jÞde mj. 110 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Les rbi;niðriÞsont de longueur finie. Supposons alors JHrbi;niðriÞ¼fsð1Þ i;sð2Þ i;...;sðriÞ ig ou ` sðkÞ i¼sðkÞ i1nnsðkÞ is ;sðkÞ ij AIrrðGbi;jÞ;k¼1;...;ri: Pour tout jAf1;...;sg, et pour toute famille d’entiers k1;...;krtels que 1 ekjerj, on de ´finit la repre ´sentation sjde Gmjpar sj¼sðk1Þ 1jsðk2Þ 2jsðkrÞ rj ; et la repre ´sentation sðk1;...;krÞde Ggpar sðk1;...;krÞ¼s1ns2nnss: Alors, d’apre `s [Ze1], 1.6, les sðk1;...;krÞquand on fait varier les ðk1;...;krÞet bAMb;gforment une suite de composition de la repre ´sentation rðm1;...;msÞ;nðr1rrÞ. Une premie `re conse ´quence imme ´diate est la proposition ci-dessous : Proposition 2.1. Avec les notations pre ´ce ´dentes,supposons que pour tout i,1eier, toute partition bi¼ðbi;1;bi;2Þde niet tout sðkÞ i¼sðkÞ i1nsðkÞ i2AJHrbi;niðriÞon ait : (1) Ou bien suppðsðkÞ i1ÞjLS 1ejei1 suppðrjÞ. (2) Ou bien suppðsðkÞ i2ÞjLS iþ1ejer suppðrjÞ. Alors la repre ´sentation r1nnrrapparaı ˆt avec multiplicite ´1dans JHrb;nðr1rrÞ: De ´monstration. D’apre `s ce qui pre ´ce `de, les sðk1;...;krÞ, quand on fait varier ðk1;...;krÞet bAMb;b, forment une suite de composition de rb;nðr1rrÞ. Si best la matrice diagonale dans Mb;bd’e ´le ´ments diagonaux n1;n2;...;nr, alors sðk1;...;krÞ¼r1nnrret ki¼1 pour tout i. Il su‰t donc de montrer que pour tout bAMb;b,bnon diagonale, et tout ðk1;...;krÞ, r1nnrrn’est pas un sous-quotient de sðk1;...;krÞ. Or, si bn’est pas diagonale (par la condition (2) de la de ´finition des matrices ðbi;jÞ), il existe j<iet j0>i0tels que bi;jet bi0;j0 soient non nuls. Soient i0¼minfi:bj<i;bi;j30g;j0¼minfj:bi0;j30g; i0 0¼maxfi0:bj0>i0;bi0;j030g;j0 0¼maxfj0:bi0 0;j030g: 111 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Par l’hypothe `se (1), puisque j0<i0, pour tout ki0, suppðsðki0Þ i0j0ÞjLsuppðrj0Þet donc, rj0 ne peut pas e ˆtre un sous-quotient de sj0. Ainsi, r1nnrrn’est pas un sous-quotient de sðk1;...;krÞ. Par l’hypothe `se (2), puisque j0 0>i0 0, pour tout ki0 0, suppðs ðki0 0Þ i0 0j0 0ÞjLsuppðrj0 0Þet donc, rj0 0 ne peut pas e ˆtre un sous-quotient de sj0 0. Ainsi, r1nnrrn’est pas un sous-quotient de sðk1;...;krÞ.r Corollaire 2.2. Avec les notations pre ´ce ´dentes,supposons que pour tout i,1eier, toute partition bi¼ðbi1;bi2Þde niet tout sðkÞ i¼sðkÞ i1nsðkÞ i2AJHrbi;niðriÞ,on ait : (1) Ou bien suppðsðkÞ i1ÞjLS 1ejei1 suppðrjÞ. (2) Ou bien suppðsðkÞ i2ÞjLS iþ1ejer suppðrjÞ. Alors r1rra un seul sous-module irre ´ductible et sa multiplicite ´dans JHðr1rrÞ est e ´gale a `1. De ´monstration. C’est une conse ´quence du lemme qui suit et de la proposition pre ´ce ´- dente. r Lemme 2.3. Supposons que r1nnrrapparaisse avec multiplicite ´1dans JHrb;nðr1rrÞ ðresp:JHrb;nðr1rrÞÞ: Alors r1rra un seul sous-module (resp. quotient)irre ´ductible et sa multiplicite ´dans l’induite est e ´gale a `1. De ´monstration. Supposons qu’il existe p1et p2deux sous-modules irre ´ductibles de r1rret posons p¼p1lp2. Ainsi dimHomGnðp;r1rrÞf2: Par (1.1), on trouve dimHomGbrb;nðpÞ;r1nnrrf2: Or, par l’exactitude du foncteur de Jacquet, JHrb;nðpÞeJHrb;nðr1rrÞ: On trouve donc que r1nnrrapparaı ˆt avec multiplicite ´au moins 2 dans JHrb;nðr1rrÞce qui est absurde, par hypothe `se. Si r1nnrrapparaı ˆt avec multiplicite ´1 dans JHrb;nðr1rrÞ, la preuve est la me ˆme mais on utilise (1.2) a `la place de (1.1). r 112 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM 3. Les blocs dans Fin(Gn) Pour un ensemble X,MðXÞsera l’ensemble de tous les multi-ensembles dans X, i.e., des fonctions m:X!Na `support fini. On de ´finit la somme de multi-ensembles de fac¸on naturelle. Si WAMðCÞ, on pose jWj¼ P rAC WðrÞgrðrÞ: Soit Wun multi-ensemble de repre ´sentations cuspidales, avec jWj¼n. On note FinðGnÞla sous-cate ´gorie pleine de AlgðGnÞdes repre ´sentations de longueur finie et FinðWÞ la sous-cate ´gorie pleine de FinðGnÞtelle que pour tout sous-quotient irre ´ductible pde tout e ´le ´ment dans FinðWÞ, suppðpÞ¼W. Alors (cf. [Cas], Theorem 7.3.2) la cate ´gorie FinðGnÞest produit direct des blocs FinðWÞquand Wparcourt tous les multi-ensembles de repre ´sentations cuspidales de Gn avec jWj¼n. On veut dire par cela : (1) Tout pAFinðGnÞest une somme directe de repre ´sentations piAFinðWiÞ,ou ` Wi3Wjsi i3j. (2) HomGnðpi;pjÞ¼0sipiAFinðWiÞet Wi3Wj. Soient n,tdeux entiers positifs, t<net soit pune repre ´sentation de longueur finie de Gn. La repre ´sentation rðt;ntÞ;nðpÞ,e ´tant de longueur finie, se de ´compose alors : rðt;ntÞ;nðpÞ¼L r i¼1L s j¼1 Pi;j ou `, pour tous 1 eieret 1 ejes,Pi;jest une repre ´sentation de longueur finie de GtGnttelle que tout sous-quotient irre ´ductible de Pi;jest la forme pinp0 javec piAWi et p0 jAW0 jou `fWig1eieret fW0 ig1ejessont deux sous-ensembles de MðCÞtels que jWij¼t, jW0 jj¼nt, pour tous 1 eieret 1 ejes,etWi3Wi0si i3i0,etW0 j3W0 j0si j3j0. Si rune repre ´sentation irre ´ductible de Gt, avec suppðrÞ¼Wi, on pose JacrðpÞ¼ L 1ejes Pi;j; et si r0une repre ´sentation irre ´ductible de Gntavec suppðr0Þ¼W0 j, on pose Jacr0ðpÞ¼ L 1eier Pi;j: Remarquons que JacrðpÞet Jacr0ðpÞne de ´pendent que du support cuspidal de ret r0, respectivement. Remarquons aussi que l’on obtient le foncteur Jacra `partir du foncteur 113 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Jacren changeant dans la de ´finition de Jacrle foncteur de Jacquet par son foncteur oppose ´ (d’ou `la notation). Proposition 3.1. Supposons qu’il existe rAIrrðGtÞ,VAIrrðGntÞtelles que rnV soit un sous-quotient de rðt;ntÞ;nðpÞ. Il existe alors r0une repre ´sentation irre ´ductible avec suppðr0Þ¼suppðrÞet une repre ´sentation V 0AIrrðGntÞtelles que psoit un sous-module de r0V0. De ´monstration. Par hypothe `se, JacrðpÞ30. Soit r0nV0un quotient irre ´ductible de JacrðpÞ. Alors r0est une repre ´sentation irre ´ductible avec suppðr0Þ¼suppðrÞet, la compose ´e du morphisme non nul dans HomGðt;ntÞJacrðpÞ;r0nV030 avec le morphisme surjectif canonique de rðt;ntÞ;nðpÞvers JacrðpÞmontre que HomGðt;ntÞrðt;ntÞ;nðpÞ;r0nV030; et, par re ´ciprocite ´de Frobenius on trouve le re ´sultat cherche ´.r 4. Repre ´sentations de GL(n,D) On va rappeler ici quelques re ´sultats de [Ta1] et [Mi2]. Dans [Ta1], §2 (voir aussi [Se], Theorem 3.4, pour une preuve di¤e ´rente valable en toute caracte ´ristique), on montre qu’il existe une fonction qui, a `chaque repre ´sentation cuspidale rassocie un entier strictement positif srtel que, si r1et r2sont deux repre ´sentations cuspidales de GLðn1;DÞet GLðn2;DÞ, n1;n2f1 alors r1r2est re ´ductible si, et seulement si r1¼nsr1r2ou r1¼nsr1r2: Cet entier sr1est aussi caracte ´rise ´de la fac¸on suivante (cf. [Ta1], §2) : par la correspondance de Jacquet-Langlands r1se corresponde a `une se ´rie discre `te pde GLðn1d;FÞ. D’apre `sla classification des se ´ries discre `tes (cf. [Ze1]), il existe un unique entier positif qdivisant n1d et une repre ´sentation cuspidale tde GLðn1d=q;FÞtels que pest l’unique quotient irre ´ductible de tnt nq1t: Alors sr1¼q. Pour toute repre ´sentation rcuspidale on pose nr¼nsr. Soient rune repre ´sentation cuspidale de Gn,b;eAZ,bee. On pose D¼fnb rr;nbþ1 rr;...;ne rrg: On appelle Dun segment et on le notera souvent D¼fb;egr. L’ensemble de tous les segments sera note ´S. On notera lðDÞ¼ðebþ1Þnla longueur de Det bðDÞ¼nb rret eðDÞ¼ne rrles extre ´mite ´sdeD. 114 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM On dit que fb;egr,fb0;e0gr0sont lie ´ssifb;egrWfb0;e0gr0est encore un segment et fb;egrjLfb0;e0gr0et fb0;e0gr0jLfb;egr. On dit que fb;egrpre ´ce `de fb0;e0gr0s’ils sont lie ´s et il existe tAfb;egrtelle que r0nb01 r0Ft. Un multisegment est un multi-ensemble de segments de la forme ci-dessus. On dira qu’un multisegment est ordonne ´si l’on peut l’identifier a `l’ensemble indexe ´ðD1;...;DrÞ, tel que, si i<j,Dine pre ´ce `de pas Dj. Soit m¼ðD1;...;DrÞun multisegment. On notera lðmÞ¼ P 1eier lðDiÞ la longueur de met cðmÞAMðCÞson support, i.e. le multiensemble de repre ´sentations cuspidales de ´fini par cðmÞðrÞ¼ P rAD mðDÞ; pour toute repre ´sentation cuspidale r. On identifiera tre `s souvent cðmÞa `un ensemble de repre ´sentations cuspidales fr1;...;rtgcompte ´es avec multiplicite ´s. On dira que le support de mest connexe si S 1eier Di(sans multiplicite ´s) est encore un segment. Dans ce cas on dira que mest a `support connexe. Proposition 4.1. A chaque segment D¼fnb rr;nbþ1 rr;...;ne rrg,re ´tant une repre ´sentation cuspidale de Gn,on peut associer des repre ´sentations irre ´ductibles hDiet hDittelles que : (1) hDi(resp. hDit)est l’unique sous-module (resp. quotient)irre ´ductible de nb rrnbþ1 rrne rr. (2) rðn;...;nÞ;nðebþ1ÞðhDiÞ¼nb rrnnbþ1 rrnnne rr (resp. rðn;...;nÞ;nðebþ1ÞðhDitÞ¼ne rrnnnbþ1 rrnnb rr). Les repre ´sentations hDiet hDitsont aussi caracte ´rise ´es par la proprie ´te ´(2). L’ensemble de repre ´sentations de la forme hDitest l’ensemble des repre ´sentations essentiellement de carre ´ inte ´grable. De ´monstration. Cf. [Ta1], 2.7. r Si D¼fb;egrest un segment on note ~ DD le segment fe;bg~ rr de sorte que g hDihDi¼h~ DDiet g hDit hDit¼h~ DDit: Notons Dl’endomorphisme involutif de Rde ´fini en [Aub], Definition 2.1. La preuve du the ´ore `me 2.3 de [Aub], en changeant npar nr, montre que DðhDiÞ¼hDit. Ainsi cette involution ge ´ne ´ralise l’involution de Zelevinsky [Ze1], 9.12, au cas D3F(voir [Ta1], §3). Par [Aub], Corollaire 3.9, si pest une repre ´sentation irre ´ductible de Gnalors DðpÞest aussi une repre ´sentation irre ´ductible de Gn. 115 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM d’apre `s la Proposition 3.1, il existerait t1AIrrðGniÞet t2AIrrðGiÞ, avec suppðt2Þ¼suppðt0 2ÞHsuppðrÞ et HomGnðp;t1t2Þ30. Cette remarque nous permet de de ´finir l’entier lsuppðrÞ ppour pune repre ´sentation de longueur finie (non ne ´cessairement irre ´ductible). De ´monstration du The ´ore `me 5.1. Posons pour simplifier l¼lsuppðrÞ p. Soient t1AIrrðGnlÞ,t2AIrrðGlÞ, avec HomGnðp;t1t2Þ30, et suppðt2ÞHsuppðrÞ. Alors : (1) La condition (5.1) nous dit que les segments de rne sont pas lie ´s avec ceux de t2 dans le parame ´trage a `la Langlands (resp. a `la Zelevinsky). La repre ´sentation t¼t2rest donc irre ´ductible d’apre `s [Ta1], Prop. 2.2 (resp. [Mi2], 2.3.8). (2) Par maximalite ´de lsuppðrÞ pet la remarque pre ´ce ´dente, pour tout if1 et tous r1nr2AJHrðnli;iÞ;nlðt1Þ; r1AIrrðGnliÞet r2AIrrðGiÞ,ona suppðr2ÞjLsuppðtÞ: Le the ´ore `me de ´coule du fait que tet t1sont alors deux repre ´sentations irre ´ductibles qui satisfont aux conditions du Corollaire 2.2. Leur induite n’a alors qu’un seul sous-module irre ´ductible et donc, pr, sous-module non nul de t1t, n’a, lui aussi, qu’un seul sousmodule irre ´ductible. r Remarque 5.4. Si Vest l’unique sous-module irre ´ductible de pr, alors lsuppðrÞ V¼lsuppðrÞ pþt,ou `t¼grðrÞ. En e¤et, l’ine ´galite ´lsuppðrÞ VflsuppðrÞ pþtest claire. Pour l’autre, on remarque que, puisque le foncteur de Jacquet est exact, pour tout r0AIrr, si Jacr0ðVÞ30, alors Jacr0ðprÞ30 et donc lsuppðrÞ VelsuppðrÞ pr. Ce dernier entier, par le lemme ge ´ome ´trique, vaut lsuppðrÞ pþt. En passant a `la contragre ´diente on trouve : Corollaire 5.5. Avec les me ˆmes hypothe `ses,pra un unique quotient irre ´ductible et il apparaı ˆt avec multiplicite ´1dans JHðprÞ(resp. JHðrpÞ). De la me ˆme fac¸on, en utilisant le foncteur de Jacquet oppose ´et en rede ´finissant de fac¸on approprie ´e l’entier l, on montre le the ´ore `me ci-dessous. The ´ore `me 5.6. Avec les hypothe `ses de 5.1, rpa un seul sous-module (resp. quotient) irre ´ductible et il apparaı ˆt avec multiplicite ´1dans JHðprÞ(resp. JHðrpÞ). On conside `re pourtant que les conditions ne sont pas ne ´cessaires et on se pose la question suivante : 122 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Question 5.7. Est-ce que l’induite parabolique du produit tensoriel de deux repre ´sentations irre ´ductibles a toujours un seul sous-module irre ´ductible? Remarquons que l’induite du produit tensoriel de trois repre ´sentations irre ´ductibles peut avoir deux sous-modules irre ´ductibles (par exemple, cf. [Ze1], 11.2, la repre ´sentation 1j j1deGLð3;FÞ). 6. Calcul explicite Dans cette section on se propose de calculer les parame `tres de Langlands de l’unique sous-module irre ´ductible de pr. Le premier lemme est une transcription du Lemme II.9 de [MW] dans nos notations. Nous introduisons quelques autres notations dont nous aurons besoin. On fixe une repre ´sentation cuspidale tde GLðn;DÞ. D’apre `s la Remarque 4.10, il su‰t de calculer les parame `tres de Langlands de l’unique sous-module de ptpour pune repre ´sentation irre ´ductible dans RðtÞ. Ainsi on peut identifier un segment D¼fnt tt;ntþ1 tt;...;nr ttga `une suite ft;tþ1;...;rg. Dore ´navant, s’il n’y a pas d’ambiguı ¨te ´, quand on a fixe ´une repre ´sentation cuspidale, on utilisera indi¤e ´remment les deux notations. On notera aussi bðDÞ¼t, eðDÞ¼ret þD(resp. D) le segment þD¼fnt1 tt;...;nr ttg(resp. D¼fntþ1 tt;...;nr ttg). De me ˆme, s’il n’y a pas d’ambiguı ¨te ´, on notera Jactau lieu de Jacnt tt. On notera aussi hjitla repre ´sentation triviale de G0et pour toute repre ´sentation V, ^ VV ¼hjit(ce qui signifie, en pratique, qu’on o ˆte la pre ´sence de Vdans la notation). Le lemme ci-dessous est une adaptation du lemme II.9 de [MW] dans nos notations, la preuve e ´tant la me ˆme : Lemme 6.1. Soient c un entier,r¼nc ttla repre ´sentation associe ´edeGLðn;DÞ,et p une repre ´sentation irre ´ductible de GLðNn;DÞ,pARðtÞ,parame ´tre ´e,a `la Langlands,par le multisegment range ´m¼fD1;...;Drg. Alors l’ensemble des repre ´sentations irre ´ductibles de GLðN;DÞqui sont isomorphes a ` des sous-modules de pr(resp. a `des quotients de rp)est inclus dans l’ensemble des repre ´sentations irre ´ductibles suivantes : hfcg;D1;...;Drit;hD1;...;þDs;...;Drit ou `Dsest un segment de m de ´butant a `cþ1, et ou `s parcourt les entiers ve ´rifiant la proprie ´te ´ suivante :notons Djð1Þ;...;DjðtpÞles segments de m (dans l’ordre de ´croissant)commenc¸ant par c;pour tout entier v compris entre 1et r,on de ´finit,inductivement sur v,l’entier iðvÞcomme e ´tant soit le plus grand entier di¤e ´rent de ið1Þ;...;iðv1Þ,tel que DiðvÞcommence par c þ1 et soit pre ´ce ´de ´par DjðvÞ,soit iðvÞ¼rþ1si un tel entier n’existe pas ;alors s ne doit pas e ˆtre l’un des entiers iðvÞqui viennent d’e ˆtre de ´finis. On note kð1Þ;...;kðwpÞ, ceux des entiers jðvÞ, pour vAf1;...;tpg, pour lesquels iðvÞ est infe ´rieur ou e ´gal a `r,kð1Þ;...;kðwpÞe ´tant e ´crits dans l’ordre croissant. Remarquons qu’on a wpetp. On note aussi hð1Þ;...;hðwpÞles iðvÞcorrespondants ; lð1Þ;...;lðupÞles iðvÞdi¤e ´rents de ceux qui viennent d’e ˆtre de ´finis. On pose l0 p¼ðtpwpÞet l’on note sð1Þ;...;sðl0 pÞles iðvÞdi¤e ´rents de ceux qui viennent d’e ˆtre de ´finis. 123 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Remarquons que les entiers tp,wp,up,l0 pne de ´pendent que des segments fD1;...;Drg. On garde pourtant les sous-indices ppour simplifier la notation. Le lemme suivant est la cle ´de tout ce qui suit : Lemme 6.2. Soient D¼fb;...;eg,D0¼fb0;...;e0gdeux segments tels que Dpre ´- ce `de D0. Alors JacbðhD;D0itÞ3j,b03bþ1. De ´monstration. On a une suite exacte 0!hDWD0ithDXD0it!hDithD0it!hD;D0it!0: Par le lemme ge ´ome ´trique on a : (1) La repre ´sentation rððe0bÞn;nÞ;ðe0bþ1ÞnðhDithD0itÞest compose ´e des repre ´sentations ðhDithD0itÞnbet ðhDithD0itÞnb0. (2) La repre ´sentation rððe0bÞn;nÞ;ðe0bþ1ÞnðhDWD0ithDXD0itÞest compose ´e des repre ´sentations hðDWD0ÞithDXD0itnbet hðDWD0ÞithðDXD0Þitnb0(si DXD03j). Et donc JacbðhDithD0itÞ¼ðhDithD0itÞnb; JacbðhDWD0ithDXD0itÞ¼hðDWD0ÞithDXD0itnb: Ainsi, par exactitude du foncteur de Jacquet, on a JacbðhD;D0itÞ¼hD;D0itnbsi, et seulement si, hDithD0it3h ðDWD0ÞithDXD0it, i.e., si b03bþ1. r Cela implique le Corollaire 6.3. Avec les notations de 5.1 et 6.1, re ´tant toujours une repre ´sentation cuspidale de Gn,on a lfrg penl0 p. De ´monstration. Pour tout entier icompris entre 1 et r, on pose Vi¼ hDii;si iBfhðvÞ:1evewpgWfkðvÞ:1evewpg; hDhðvÞ;DkðvÞit;si i¼hðvÞ;1evewp; hjit;si i¼kðvÞ;1evewp: 8 > < > : D’apre `s [MW], Preuve du Lemme II.9, pest un quotient de V1Vr, et donc, par exactitude du foncteur de Jacquet lfrg pelfrg V1Vr. D’un autre co ˆte ´, par le Lemme 6.2, les seuls Vitels que JacrðViÞ3jsont les VsðiÞavec 1eiel0 pet donc, par le lemme ge ´ome ´trique lfrg V1Vr¼nl0 p; qui prouve le lemme. r 124 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM On de ´finit deux ope ´rateurs : Qc:MðSÞ!MðSÞ; Sc:MðSÞ!MðSÞ; par les formules ci-dessous. Notons p¼hD1;...;Drit; on rappelle qu’on a de ´fini en 6.1 des entiers up,l0 p. Alors : QcðfD1;...;DrgÞ ¼ fD1;...;þDlð1Þ;...;Drgsi upf1; ffcg;D1;...;Drgsi up¼0;  ScðfD1;...;DrgÞ ¼ fD1;...;Dsðl0 pÞ;...;Drgsi l0 pf1; jsi l0 p¼0;  ou `le multisegment fD1;...;Drgest suppose ´range ´. Le lemme ci-dessous explicite, en termes des segments, l’action de Scsur un multisegment : Lemme 6.4. Soit fD1;...;Drgun multisegment. Notons fD0 1;...;D0 r0gle multisegment ScðfD1;...;DrgÞ,et p¼hD1;...;DritAlors : (1) D0 hðvÞ¼DhðvÞet D0 kðvÞ¼DkðvÞpour tout v ¼1;...;tp. (2) D0 lðvÞ¼ D0 sðl0 pÞsi v ¼1; D0 lðv1Þsi v ¼2;...;wpþ1: ( De ´monstration. On a D0 jðvÞ¼ D0 jðvÞsi v<j1sðl0 pÞ; D0 jðvþ1Þsi vfj1sðl0 pÞ: ( Montrons (1) par re ´currence sur v: Par construction de k, il n’y a pas de segment Dtcommenc¸ant par cþ1 qui pre ´ce `de DjðtÞpour jðtÞ<kð1Þ. Par minimalite ´dans l’ensemble des DsðtÞ,Dsðl0 pÞne pre ´ce `de aucun des DjðtÞpour jðtÞ<kð1Þ. D’ou ` D0 kð1Þ¼Dkð1Þ: Dhð1Þest un segment dans fD0 1;...;D0 rgcommenc¸ant par cþ1, pre ´ce ´dant D0 kð1Þet minimal parmi les Dtve ´rifiant ces deux proprie ´te ´s. —Sikð1Þ<sðl0 pÞ, alors Dsðl0 pÞne pre ´ce `de pas D0 kð1Þ. —Sikð1Þ>sðl0 pÞ, puisque Dhð1Þne pre ´ce `de pas Dsðl0 pÞ(par construction de hð1Þ), alors Dhð1ÞeDsðl0 pÞ, d’ou ` D0 hð1Þ¼Dhð1Þ: 125 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Supposons maintenant que D0 hðiÞ¼DhðiÞet D0 kðiÞ¼DkðiÞpour tout iAf1;...;vg,et montrons que D0 hðvþ1Þ¼Dhðvþ1Þet D0 kðvþ1Þ¼Dkðvþ1Þ. Il n’y a pas de segment Dtcommenc¸ant par cþ1 qui pre ´ce `de DjðtÞpour jðtÞ<kðvþ1Þet jðtÞBfkð1Þ;...;kðvÞg. Par minimalite ´dans l’ensemble des DsðtÞ, le segment Dsðl0 pÞne pre ´ce `de aucun des DjðtÞpour jðtÞ<kðvþ1Þet jðtÞBfkð1Þ;...;kðvÞg (ce sont des ‘‘DsðbÞ’’ . . .). D’ou ` D0 kðvþ1Þ¼Dkðvþ1Þ: Dhðvþ1Þest un segment dans fD0 1;...;D0 rgcommenc¸ant par cþ1, pre ´ce ´dant D0 kðvþ1Þdi¤e `rent des DhðbÞ, pour bevet minimal parmi les Dtve ´rifiant ces trois proprie ´te ´s. —Sikðvþ1Þ<sðl0 pÞ, alors Dsðl0 pÞne pre ´ce `de pas D0 kðvþ1Þ. —Sikðvþ1Þ>sðl0 pÞ, puisque Dhðvþ1Þne pre ´ce `de pas Dsðl0 pÞ(par construction de hðvþ1Þ), alors Dhðvþ1ÞeDsðl0 pÞ, d’ou ` D0 hðvþ1Þ¼Dhðvþ1Þ: Pour montrer (2) il su‰t, d’apre `s ce qui pre ´ce `de, de remarquer que Dlð1ÞeDsðl0 pÞ. r Le corollaire suivant est une conse ´quence imme ´diate : Corollaire 6.5. (1) Si l0 pf1, alors QcSc¼IdMðSÞ. (2) Si l0 pf1, alors l0 hScðfD1;...;DrgÞit¼l0 hD1;...;Drit1. (3) l0 hQcðfD1;...;DrgÞit¼l0 hD1;...;Dritþ1. (4) Si oiest l’un des sous-modules de ´crits dans le Lemme 6.1 et oiYhQcðfD1;...;DrgÞit; alors l0 oi¼l0 hD1;...;Drit. Le the ´ore `me suivant est la conclusion de notre e ´tude soigneuse : The ´ore `me 6.6. Soient r¼nc ttune repre ´sentation cuspidale de Gn,p¼hD1;...;Drit. Avec les notations pre ´ce ´dentes,on a : (1) lfrg p¼nl0 p. (2) L’unique sous-module irre ´ductible de hD1;...;Dritrest hQcðfD1;...;DrgÞit. 126 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM (3) Si l0 pf1, hD1;...;Dritest un sous-module irre ´ductible de hScðfD1;...;DrgÞir: (4) L’unique quotient irre ´ductible de rhD1;...;Dritest hQcðfD1;...;DrgÞit: De ´monstration. (3) est une conse ´quence de (2) et 6.5(1). Montrons (1) et (2) par re ´currence sur l0 p. Si l0 p¼0, d’apre `s 6.3 on a lfrg p¼0. Si pravait pour sous-module l’un des oi3hQcðfD1;...;DrgÞit, on aurait, par 6.5(4), l’e ´galite ´l0 oi¼0, donc lfrg oi¼0 ce qui est absurde par 5.4. Supposons l0 p¼k>0. Alors, par 6.5(2), l0 hScðfD1;...;DrgÞit¼l0 hD1;...;Drit1 donc, par hypothe `se de re ´currence, le the ´ore `me est vrai pour la repre ´sentation hScðfD1;...;DrgÞit, i.e. (1) hQcScðfD1;...;DrgÞitest l’unique sous-module de pr. Or, hQcScðfD1;...;DrgÞit¼p par 6.5(1). (2) lfrg hScðfD1;...;DrgÞit¼nðk1Þ. Par 5.4, on a que lfrg p¼nðk1Þþn¼kn. Finalement supposons que pra pour sous-module l’un des oi3hQcðfD1;...;DrgÞit: Alors, par 6.5(4) on aurait l0 oi¼l0 hD1;...;Drit¼k. On vient de montrer que, si l0 oi¼k,on trouve par hypothe `se de re ´currence lfrg oi¼kn ¼lfrg pce qui est absurde, par 5.4. (4) est une conse ´quence de (1), de 6.5(4) et de 5.6 ce qui ache `ve la de ´monstration du the ´ore `me. r 7. Applications La proposition suivante est due a `[GK] dans le cas ou `D¼F, mais leur preuve n’est pas valable quand Dn’est pas commutatif car la transpose ´e d’une matrice inversible n’est plus force ´ment inversible. Elle de ´coule imme ´diatement des parties (2) et (4) du the ´ore `me pre ´ce ´dent. 127 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Proposition 7.1. Soient p;p0AIrr, rAC. Les conditions suivantes sont e ´quivalentes : (1) Homðp0;prÞ30. (2) Homðrp;p0Þ30. Remarque 7.2. On pense, bien su ˆr, que l’hypothe `se rcuspidale n’est pas ne ´cessaire. Notons Dj0ð1Þ;...;Dj0ðt0 pÞles segments de m(dans l’ordre de ´croissant) se terminant par c; pour tout entier vcompris entre 1 et t0 p,onde ´finit inductivement sur v, l’entier i0ðvÞ comme e ´tant soit le plus petit entier di¤e ´rent de i0ð1Þ;...;i0ðv1Þ, tel que Di0ðvÞtermine par c1 et pre ´ce `de Dj0ðt0 pvþ1Þ, soit i0ðvÞ¼rþ1 si un tel entier n’existe pas. On note l0ð1Þ;...;l0ðu0 pÞles i0ðvÞdi¤e ´rents de ceux qui viennent d’e ˆtre de ´finis. o0 0¼hfcg;D1;...;Drit; o0 i¼hD1;...;Dþ l0ðiÞ;...;Drit;o uu iA1;...;u0 p: On a de ´fini les entiers j0ðvÞ,i0ðvÞpour que, en appliquant la contragre ´diente a `partir du The ´ore `me 6.6(2), on trouve : Corollaire 7.3. L’unique quotient irre ´ductible de prest o0 1,si u0 p>0ou o0 0,si u0 p¼0. Si prest irre ´ductible, alors il est clair que u0 p¼up¼0. Re ´ciproquement, si u0 p¼up¼0 on a que o0¼o0 0est le seul quotient et sous-module irre ´ductible de pr. Or, d’apre `s 5.1, o0apparaı ˆt avec multiplicite ´1 dans JHðprÞ, d’ou ` The ´ore `me 7.4. prest irre ´ductible si,et seulement si,u0 p¼up¼0. Maintenant il est clair que tout ce qui pre ´ce `de dans cette section est aussi vrai pour les parame ´trages a `la Zelevinsky. Il su‰t de remplacer, dans les e ´nonce ´s et les preuves : (1) le mot quotient par sous-module, (2) le mot sous-module par quotient, (3) le sens de toutes les fle `ches, (4) le symbole hi tpar hi, (5) le foncteur r(resp. r) par le foncteur r(resp. r). Ainsi, on montre un the ´ore `me similaire au The ´ore `me 6.6 : The ´ore `me 7.5. (1) L’unique quotient irre ´ductible de la repre ´sentation hD1;...;Drirest hQcðfD1;...;DrgÞi: (2) L’unique sous-module irre ´ductible de rhD1;...;Driest hQcðfD1;...;DrgÞi. 128 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Corollaire 7.6. Soient rune repre ´sentation cuspidale et pune repre ´sentation irre ´ductible. On rappelle qu’on a note ´D l’involution de Zelevinsky. Les conditions suivantes sont e ´quivalentes : (1) V est un sous-module irre ´ductible de rp. (2) DðVÞest un sous-module irre ´ductible de DðpÞDðrÞ. De ´monstration. C’est une conse ´quence de 7.5(2), 6.6(2) et 4.10. r La conse ´quence de ce corollaire est que les re ´sultats du papier [MW] sont valables pour des repre ´sentations complexes de GLðr;DÞcomme c’e ´tait conjecture ´dans [Ta1], Conjecture 3.6. En e¤et, toute la partie I de [MW] e ´tait consacre ´ea `la preuve du Corollaire 7.6 pour pet rdes repre ´sentations irre ´ductibles d’une certaine alge `bre de Hecke mais pour la preuve du the ´ore `me qui suit, ils n’utilisaient que le corollaire pre ´ce ´dent. The ´ore `me 7.7. L’involution D ve ´rifie la description ge ´ome ´trique de [Ze2] et la description combinatoire de [MW]. De ´monstration. Il su‰t de changer la Proposition I.7.3 et le Corollaire I.7.2 de [MW] par le corollaire pre ´ce ´dent. r Annexe A. La correspondance the ˆta Ici on montre un lemme qui nous aidera a `calculer explicitement la correspondance the ˆta dans [Mi1]. On continue avec les notations de la section 6. Soient a,b,cdes entiers. Lemme A.1. Soit fD0 1;...;D0 r0gun multisegment et notons ple sous-module irre ´ductible de hD0 1;...;D0 r0ithciet p0le sous-module irre ´ductible de hb;...;ba;D0 1;...;D0 r0ithci: Si c Bfb;ba1get p¼hD1;...;Drit,alors p0¼hb;...;ba;D1;...;Drit: De ´monstration. La condition cBfb;ba1ge ´quivaut au fait que cet cþ1 appartiennent tous les deux a `fb;b1;...;ba;ba1gou aucun des deux. Ainsi, si l’on note fd1;...;dng(resp. fd0 1;...;d0 n0g) le sous-ensemble de fD0 1;...;D0 r0g(resp. fb;...;ba;D0 1;...;D0 r0gdes segments commenc¸ant par cou cþ1 on a que : (1) Si cAfb;b1;...;ba;ba1g, alors fc;cþ1;d1;...;dng¼fd0 1;...;d0 n0g: (2) Si cBfb;b1;...;ba;ba1g, alors fd1;...;dng¼fd0 1;...;d0 n0g. 129 Mı ´nguez,Sur l’irre ´ductibilite ´d’une induite parabolique Brought to you by | Biblioteca de la Universidad de Sevilla Authenticated Download Date | 10/17/16 10:13 AM Dans le deuxie `me cas le lemme est une conse ´quence imme ´diate de 6.6. Dans le premier cas, il est e ´vident, par re ´currence comme dans 6.4, que d0 lðvÞ¼dlðvÞpour v¼1;...;ohd0 1;...;d0 n0itet ohd1;...;dnit¼ohd0 1;...;d0 n0it. On ache `ve la de ´monstration avec le The ´ore `me 6.6. r On re ´e ´crit le lemme dans les notations qu’on utilisera dans [Mi1]. On rappelle qu’on a de ´fini, pour gAD,nðgÞ¼jNrdDðgÞjF. De ´finition A.2. Soit pAIrrðGnÞ, quotient de Langlands de t1tr,ou `t1;...;tr sont des repre ´sentations essentiellement de carre ´inte ´grable. Notons alors y mðpÞle quotient de Langlands de nm2n1 2nmþ1 2nmn 2e t1 t1nmn 2e tr tr: Corollaire A.3. Soient rune repre ´sentation cuspidale de Gk,r3nnþ1 2 n2mnþ1 2 , p1AIrrðGnkÞ,et pl’unique sous-module irre ´ductible de rp1. Notons p0l’unique sousmodule irre ´ductible de nk 2y mkðnk 2p1Þnmn 2~ rr. Alors p0¼y mðpÞ: De ´monstration. En e¤et, par 4.10, on peut supposer que pour tout ier, suppðtiÞHRðnnþ1 2Þ.Deme ˆme rARðnnþ1 2Þ, sinon le re ´sultat est trivial. Soit cARtel que r¼ncet soient D0 1;...;D0 rdes segments tels que p1¼hD0 1;...;D0 r0it. Alors pest, par 7.1, l’unique sous-module irre ´ductible de hf D0 1 D0 1;...;f D0 r0 D0 r0ithnci. Le corollaire de ´coule maintenant du Lemme A.1, avec b¼n1 2et a¼mn.r Est-il possible de montrer ce corollaire sans utiliser tous les calculs de la section pre ´- ce ´dente ? Re ´fe ´rences [Aub] A.-M. Aubert, Dualite ´dans le groupe de Grothendieck de la cate ´gorie des repre ´sentations lisses de longueur finie d’un groupe re ´ductif p-adique, Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), 2179–2189, Erratum, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1995), 4687–4690. [Ber] I. N. Bernstein, Representations of p-adic groups, Notes by K.E. Rumelhart, Harvard Univ., 1992. [Bus] C. J. Bushnell, Representations of reductive p-adic groups : Localization of Hecke algebras and applications, J. London Math Soc. (II) 63, No. 2 (2001), 364–386. [Cas] W. 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