Cohomología de haces

Cohomología de haces Alfonso Márquez Martínez Cohomología de haces Alfonso Márquez Martínez Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Máster Universitario en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Prof. Tutor Alberto Castaño Domínguez Prof. Tutor Antonio Rojas León Índice general Abstract 1 Introducción 3 1. Preliminares 5 1.1. Categorías ................................. 5 1.2. Hacesyesquemas............................. 7 1.3. Álgebrahomológica............................ 16 2. Construyendo la cohomología de haces 23 2.1. Resoluciones inyectivas y funtores derivados . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Definición y primeros resultados de cohomología de haces . . . . . . 33 3. Computación de la cohomología de haces 47 3.1. Cohomología de Čech y equivalencia con la cohomología de haces . . 47 3.2. Cohomología de los esquemas afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3. Cohomología del espacio proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4. Teorema de dualidad de Serre 73 ii cohomología de haces 4.1. Haces de diferenciales y grupos Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2. DualidaddeSerre ............................. 83 Bibliografía 95 Abstract This dissertation seeks to be an introduction to sheaf cohomology, defining this concept through derived functors in order to prove some of the main results in this area, such as two vanishing theorems by Grothendieck and Serre’s duality theorem for projective schemes, which is our goal. We will also introduce Čech cohomology and show its equivalence with sheaf cohomology in certain spaces, in order to simplify some computations. This will lead us to obtain the cohomology of the sheaves 𝑋(𝑛) on projective space, and the fact that quasicoherent sheaves over a noetherian affine scheme are acyclic for sheaf cohomology. Resumen A través de esta memoria, buscamos adentrarnos en la cohomología de haces, definiendo esta a través de los funtores derivados, para probar algunos de los resultados de este ámbito, como varios teoremas de anulación debidos a Grothendieck o el teorema de dualidad de Serre para los esquemas proyectivos, que será nuestra meta. En el proceso introduciremos la cohomología de Čech, demostrando su equivalencia con la cohomología de haces en ciertos espacios, para poder simplifar algunos cálculos. Como aplicación obtendremos la cohomología de los haces 𝑋(𝑛)en el espacio proyectivo, o que los haces cuasicoherentes sobre esquemas noetherianos afines son acíclicos para la cohomología de haces. Introducción El desarrollo de la teoría de categorías por Eilenberg y MacLane, junto con el de la teoría de haces y esquemas por Cartan, Leray y Grothendieck revolucionó la geometría algebraica, reformulándola completamente, y teniendo importantes aplicaciones en el ámbito de la cohomología. Gran parte del interés en emplear cohomología junto con los haces se lo debemos a Leray, al buscar una aproximación cohomológica a las EDPs, pero el verdadero salto y desarrollo del área fue gracias a Grothendieck, y específicamente su artículo "Sur quelques points d’algèbre homologique" de 1957, sin el cual este trabajo seguramente no existiría. A lo largo del primer capítulo enunciaremos sin demostración distintos resultados que nos permitirán completar nuestro objetivo, tanto de categorías, como haces, esquemas y álgebra homológica. Este trabajo no pretende ser autocontenido, sino que sirve como continuación del Trabajo Fin de Grado [11] de introducción a la teoría de esquemas, no repitiendo por lo general lo ya tratado en este. En el segundo capítulo definiremos la cohomología de haces, para lo que necesitaremos introducir los funtores derivados y probar que podemos construir resoluciones inyectivas en las categorías en las que nos moveremos. Finalmente, conseguiremos un resultado de anulación debido a Grothendieck. El objetivo del tercer capítulo es introducir la Cohomología de Čech, que nos permitirá simplificar algunos cálculos, probando que en ciertos espacios ambas cohomologías son equivalentes, lo que se empleará para obtener la cohomología de los haces 𝑋(𝑛), así como otro teorema de anulación de Grothendieck. Además veremos también que los haces cuasicoherentes sobre los esquemas afines noetherianos son acíclicos para la cohomología de haces. El capítulo final queda reservado para la meta del trabajo, que es probar el teorema 10 cohomología de haces abierto 𝑈 ⊆ 𝑋, el grupo de secciones ℱ(𝑈)tenga estructura de 𝑋(𝑈)-módulo, siendo compatible con las restricciones. Definición 1.21. Un morfismo de 𝑋-módulos ℱ→𝒢es un morfismo de haces, el cual para cada abierto 𝑈 ⊆ 𝑋 da lugar a un morfismo de 𝑋(𝑈)-módulos. Proposición 1.22.Dado un haz de 𝑋-módulos ℱ, hay una biyección Hom(𝑋,ℱ)→ ℱ(𝑋). Proposición 1.23.Dado un haz de 𝑋-módulos ℱ, para cada 𝑥∈𝑋los tallos ℱ𝑥 tienen estructura de 𝑋,𝑥módulo. Esto nos permite, como en el caso de los haces, hablar de submódulos, cocientes, núcleos, conúcleos e imágenes y en general llevar a cabo las técnicas del álgebra homológica, además estas nociones coinciden con las correspondientes en la categoría 𝐒𝐡(𝐗), de haces de grupos abelianos. También podemos hacer la suma directa, producto directo, límites directos o inversos de 𝑋-módulos y obtener a su vez un 𝑋módulo. La categoría de 𝑋-módulos, 𝐌𝐨𝐝(𝐗), es muy amplia y rica, y si bien tenemos estas nociones, nos interesará en ocasiones restringirnos a tipos específicos de 𝑋módulos con mayor relación con los esquemas o propiedades que nos serán de utilidad, como los haces cuasicoherentes que definiremos y de los que daremos varios resultados cohomológicos a lo largo del trabajo. Definición 1.24. Decimos que un 𝑋módulo ℱes libre si es isomorfo a una suma directa de una cantidad finita o infinita de copias del haz de estructura 𝑋. Esta noción no es local, luego diremos que es localmente libre si el espacio 𝑋se puede recubrir por abiertos 𝑈para los cuales ℱ|𝑈sea un 𝑋(𝑈)-módulo libre. Diremos entonces que el rango de ℱen 𝑈es el número de copias del haz de estructura de la suma directa en 𝑈. Definición 1.25. Podemos definir el producto tensorial de 𝑋-módulos ℱy𝒢como la hacificación de 𝑈→ℱ(𝑈)⊗𝑋(𝑈)𝒢(𝑈). De forma similar a la definición que dimos para haces, podemos construir la imagen directa e inversa de 𝑋-módulos. Definición 1.26. Sea 𝑓∶ (𝑋, 𝑋)→(𝑌 , 𝑌)un morfismo de espacios anillados. Si ℱes un 𝑋-módulo, entonces 𝑓∗ℱes un 𝑓∗𝑋-módulo. Empleando el morfismo 𝑓#∶𝑌→𝑓∗𝑋de haces de anillos en 𝑌,𝑓∗ℱtiene estructura de 𝑌-módulo y por ello lo llamamos la imagen directa de ℱpor el morfismo 𝑓. 1. preliminares 11 Sea un haz de 𝑌módulos, si consideramos 𝑓−1, será un 𝑓−1𝑌módulo, y empleando la propiedad de adjunción entre la imagen directa e inversa de haces obtenemos un morfismo 𝑓−1𝑌→𝑋de haces de anillos en 𝑋, y por ello podemos definir 𝑓∗ como el producto tensorial 𝑓−1⊗𝑓−1𝑌𝑋, el cual es un 𝑋módulo que llamaremos la imagen inversa de 𝒢por el morfismo 𝑓. Dado un módulo 𝑀sobre un anillo 𝑅, vamos a poder asociarle un haz en Spec𝑅. Para que esta asociación nos dé lugar en el caso afín a una equivalencia de categorías, entrarán en juego los haces cuasicoherentes. Definición 1.27. Dados 𝑅un anillo y 𝑀un 𝑅-módulo, denotaremos por  𝑀el haz asociado a 𝑀en Spec𝑅, el cual definimos a través de la siguiente construcción, prácticamente idéntica a la del haz de estructura de un esquema: Para cada ideal primo 𝔭⊆ 𝑅, consideremos la localización 𝑀𝔭. Entonces, dado un abierto 𝑈 ⊆ Spec𝑅, definimos el grupo  𝑀(𝑈)como el conjunto de funciones 𝑠∶𝑈→ ∐𝔭∈𝑈𝑀𝔭, de forma que para cada 𝔭∈𝑈se tenga que 𝑠(𝔭) ∈ 𝑀𝔭, y a su vez 𝑠sea localmente una fracción 𝑚∕𝑓con 𝑚∈𝑀y𝑓∈𝑅. Es decir, que para cada 𝔭∈𝑈haya un entorno 𝑉de 𝔭en 𝑈y elementos 𝑚∈𝑀y𝑓∈𝐴, tales que para cada 𝔮∈𝑉,𝑓∉𝔮 y𝑠(𝔮) = 𝑚∕𝑓en 𝑀𝔮. Las restricciones para que forme un haz son las restricciones estándares de funciones. Proposición 1.28.Sea 𝑅un anillo, 𝑀un 𝑅-módulo y  𝑀el haz asociado a 𝑀en 𝑋= Spec𝑅. Se cumple entonces lo siguiente: a)  𝑀es un 𝑋-módulo. b) Para cada 𝔭∈𝑋tenemos que  (𝑀)𝔭≅𝑀𝔭. c) Dado 𝑓∈𝑅, se cumple que  𝑀(𝐷(𝑓)) ≅ 𝑀𝑓. d) Γ(𝑋,  𝑀) = 𝑀. Demostración. La prueba se basa en la de las propiedades análogas para el haz de estructura [5, Ch. II, Proposition 2.2]. La asociación 𝑀→ 𝑀cumple efectivamente las propiedades que buscábamos: Proposición 1.29.Sea 𝑅un anillo y 𝑋= Spec𝑅. Consideremos un homomorfismo de anillos 𝑅→𝑆y𝑓∶ Spec𝑆→Spec𝑅el morfismo inducido en los espectros. Entonces: 12 cohomología de haces a) 𝑀→ 𝑀es un funtor plenamente fiel de la categoría de los 𝑅-módulos, 𝐑−𝐦𝐨𝐝, a la categoría de los 𝑋módulos. b) Dados 𝑅-módulos 𝑀y𝑁entonces  (𝑀 ⊗𝑅𝑁) ≅  𝑀 ⊗𝑋  𝑁. c) Dada una familia de 𝑅-módulos 𝑀𝑖, se cumple que  (⊕𝑀𝑖) ≅ ⊕ 𝑀𝑖. d) Para cualquier 𝑆-módulo 𝑁se tiene que 𝑓∗( 𝑁)≅(𝑅𝑁), donde con 𝑅𝑁nos referimos a 𝑁considerado como 𝑅-módulo. e) Para cualquier 𝑅-módulo 𝑀,𝑓∗( 𝑀) ≅  (𝑀 ⊗𝑅𝑆). Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch. II Proposition 5.2]. Sin embargo, este funtor no será esencialmente sobreyectivo y por ende no nos dará lugar a una equivalencia de categorías, que es donde entran en juego los haces cuasicoherentes. La forma de definirlos será quedarnos únicamente con los haces que provengan localmente de módulos sobre un anillo. En el caso de los esquemas esto se traduce en la siguiente definición: Definición 1.30. Sea (𝑋, 𝑋)un esquema. Diremos que un haz ℱde 𝑋módulos es cuasicoherente si podemos recubrir 𝑋por abiertos afines 𝑈𝑖= Spec𝑅𝑖, de forma que para cada 𝑖haya un 𝑅𝑖-módulo 𝑀𝑖, tal que ℱ|𝑈𝑖≅ 𝑀𝑖. Diremos que ℱes coherente si podemos tomar cada 𝑀𝑖como un 𝑅-módulo finitamente generado. Para llegar a la equivalencia entre ambas categorías necesitaremos un par de resultados: Lema 1.31.Sea 𝑋= Spec𝑅un esquema afín, consideremos 𝑓∈𝑅y sea 𝐷(𝑓)⊆ 𝑋 el correspondiente abierto de la base distinguida, y sea ℱun haz cuasicoherente sobre 𝑋. Se tiene entonces lo siguiente: a) Si 𝑠∈ Γ(𝑋, ℱ)es una sección global de ℱcuya restricción a 𝐷(𝑓)es 0, entonces hay algún 𝑛 > 0tal que 𝑓𝑛𝑠= 0. b) Dada una sección 𝑡∈ℱ(𝐷(𝑓)), para algún 𝑛 > 0,𝑓𝑛𝑡se extiende a una sección global de ℱsobre 𝑋. Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch. II, Lemma 5.3]. 1. preliminares 13 Proposición 1.32.Sea 𝑋un esquema. Un 𝑋-módulo ℱes cuasicoherente si y solo si para cualquier abierto afín 𝑈= Spec𝑅de 𝑋, hay un 𝑅-módulo 𝑀de forma que ℱ|𝑈≅ 𝑀. En el caso de que 𝑋sea noetheriano, ℱserá coherente si y solo si se cumple lo anterior y además 𝑀es un 𝑅-módulo finitamente generado. Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch. II, Proposition 5.4] Con todo ello tenemos como corolario la equivalencia de categorías que buscábamos: Teorema 1.33. Sea 𝑅un anillo y sea 𝑋= Spec𝑅. Entonces el funtor 𝑀→ 𝑀da lugar a una equivalencia de categorías entre la de los 𝑅-módulos y la de los haces cuasicoherentes de 𝑋-módulos, siendo su inverso el funtor de secciones globales Γ(𝑋, ℱ). Además, si 𝑅es noetheriano, este mismo funtor nos da una equivalencia de categorías entre los 𝑅-módulos finitamente generados y los 𝑋-módulos coherentes. En general el funtor de tomar secciones globales no es exacto, pero asumiendo la cuasicoherencia obtendremos casos en los que sí, lo cual nos será de utilidad cuando trabajemos con la cohomología: Lema 1.34.Sea 𝑋= Spec𝑅un esquema afín y consideremos una sucesión exacta corta de 𝑋-módulos: 0→ℱ→𝒢→ℋ→0. Si asumimos que ℱes cuasicoherente, entonces el funtor que toma secciones globales es exacto, obteniendo por tanto que la siguiente sucesión es exacta: 0→Γ(𝑋, ℱ)→Γ(𝑋, 𝒢)→Γ(𝑋, ℋ)→0. Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch II. Proposition 5.6]. No nos saldremos de la categoría de la categoría de los haces cuasicoherentes, 𝐐𝐜𝐨𝐡(𝐗), al tomar núcleos, conúcleos, imágenes, así como hacer la imagen directa e inversa, lo que nos permitirá operar con ellos con tranquilidad. Proposición 1.35.Sea 𝑋un esquema. Entonces el núcleo, conúcleo y la imagen de cualquier morfismo de haces cuasicoherentes serán a su vez haces cuasicoherentes. Si además 𝑋es noetheriano lo mismo será cierto para los haces coherentes. A su vez, cualquier extensión de haces cuasicoherentes será también cuasicoherente. 14 cohomología de haces Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch. II, Proposition 5.7]. Nota 1.36.Dada cualquier sucesión exacta de haces de 𝑋-módulos 0→ℱ→𝒢→ ℋ→0, si dos de los haces son coherentes, también lo será el tercero. Proposición 1.37.Sea 𝑓∶𝑋→𝑌un morfismo de esquemas. Entonces se cumple lo siguiente: a) Si 𝒢es un haz cuasicoherente de 𝑌-módulos, entonces 𝑓∗𝒢es un haz cuasicoherente de 𝑋-módulos. b) Si 𝑋e𝑌son espacios noetherianos, y 𝒢es un haz coherente de 𝑌-módulos, entonces 𝑓∗𝒢es coherente. c) Supongamos que 𝑋es noetheriano, entonces si ℱes un haz cuasicoherente de 𝑋módulos, 𝑓∗ℱes un haz cuasicoherente de 𝑌-módulos. Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch. II, Proposition 5.8] Definición 1.38. Sea 𝑌un subesquema cerrado de un esquema 𝑋y sea 𝑖∶𝑌→𝑋 la inclusión. Definimos el haz ideal de 𝑌, el cual denotaremos 𝒥𝑌, como el núcleo del morfismo 𝑖#∶𝑋→𝑖∗𝑌. Podemos hacer la construcción del haz asociado también en el espacio Proj de un anillo graduado, lo que será fundamental para poder definir en el capítulo 3 los haces 𝑋(𝑛)sobre el espacio proyectivo y calcular la cohomología de los mismos. Definición 1.39. Sea 𝑆un anillo graduado y sea 𝑀un 𝑆-módulo graduado. Definimos el haz asociado a 𝑀en Proj𝑆, el cual denotaremos  𝑀, mediante la siguiente construcción: Para cada 𝔭∈ Proj𝑆, sea 𝑀(𝔭)el subgrupo de elementos de grado 0en la localización 𝑀𝔭. En cada abierto 𝑈 ⊆ Proj𝑆, definimos  𝑀(𝑈)como el conjunto de funciones 𝑠∶ 𝑈→⨆∈𝑈𝑀(𝔭)las cuales son localmente fracciones. Es decir, que para cada 𝔭∈𝑈 haya un entorno 𝑉de 𝔭en 𝑈y elementos homogéneos 𝑚∈𝑀y𝑓∈𝑆del mismo grado, de forma que para cada 𝔮∈𝑉tengamos que 𝑓∉𝔮y𝑠(𝔮) = 𝑚∕𝑓∈𝑀𝔮. Proposición 1.40.Sean 𝑆un anillo graduado, 𝑀un 𝑆-módulo graduado y 𝑋= Proj𝑆. Entonces se cumple que: a) Para cualquier 𝔭∈𝑋tenemos la equivalencia en los gérmenes ( 𝑀)𝔭=𝑀(𝔭). 1. preliminares 15 b) Para cualquier elemento homogéneo 𝑓∈𝑆+se tiene que  𝑀|𝐷+(𝑓)≅ (𝑀𝑓)a través del isomorfismo de 𝐷+(𝑓)con Spec𝑆(𝑓). c)  𝑀es un 𝑋-módulo cuasicoherente. Además, si 𝑆es noetheriano y 𝑀es finitamente generado, entonces  𝑀es coherente. Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch. II, Proposition 5.11] Finalmente incluimos algunas definiciones y propiedades de los esquemas que emplearemos en varios resultados: Definición 1.41. Dado un morfismo de esquemas 𝑓∶𝑋→𝑌, el morfismo diagonal es el único morfismo 𝛿∶𝑋→𝑋×𝑌𝑋cuya composición con las proyecciones 𝑝1, 𝑝2∶ 𝑋×𝑌𝑋→𝑋es el morfismo identidad 𝑋→𝑋. Diremos que el morfismo 𝑓es separado si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada, y en tal caso diremos que 𝑋es separado sobre 𝑌, siendo un esquema separado si lo es sobre Specℤ. Proposición 1.42.Si 𝑓∶𝑋→𝑌es un morfismo de esquemas afines, entonces 𝑓es separado. Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch. II, Proposition 4.1]. Corolario 1.43.Un morfismo de esquemas 𝑓∶𝑋→𝑌es separado si y solo si la imagen del morfismo diagonal es un subespacio cerrado de 𝑋×𝑌𝑋. Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch. II, Corollary 4.2]. Definición 1.44. Diremos que un morfismo de esquemas 𝑓∶𝑋→𝑌es finito si 𝑌tiene un recubrimiento por abiertos afines 𝑉𝑖= Spec𝑆𝑖, de forma que para cada 𝑖,𝑓−1(𝑉𝑖) = 𝑈𝑖es un abierto afín Spec𝑅𝑖, y la restricción de 𝑓a𝑈𝑖, que induce un morfismo 𝑆𝑖→𝑅𝑖, hace que 𝑅𝑖sea un 𝑆𝑖-módulo finitamente generado. Definición 1.45. Diremos que un esquema 𝑋sobre un cuerpo 𝑘es de tipo finito si existe un recubrimiento afín {𝑈𝑖}𝑖∈𝐼de 𝑋, de forma que las 𝑘-álgebras Γ(𝑋𝑖,𝑋)son finitamente generadas. 16 cohomología de haces 1.3 Álgebra homológica Para poder desarrollar la cohomología de haces y llegar a algunos resultados necesitaremos manejar algunas cuestiones de álgebra homológica. Esta sección se basa en [22, Ch. I] y [5, Ch. III, § 1]. Empezaremos definiendo y dando las propiedades básicas de las categorías abelianas. Dichas categorías tendrán propiedades similares a la de los grupos abelianos y nos permitirán aplicar las principales técnicas y resultados de álgebra homológica. Para ello primero definiremos las categorías aditivas, a las que añadiremos posteriormente otros axiomas para definir las abelianas. Definición 1.46. Diremos que una categoría es aditiva si satisface las siguientes condiciones: 1) Para cada 𝐴, 𝐵 ∈tenemos que Hom(𝐴, 𝐵)es un grupo abeliano, de forma que la composición de morfismos se distribuye sobre la adición. 2) tiene un objeto nulo, que denotaremos 0. 3) Para cualesquiera dos objetos 𝐴, 𝐵 ∈su producto 𝐴×𝐵existe en la categoría. 4) Para cualesquiera dos objetos 𝐴, 𝐵 ∈su coproducto 𝐴∐𝐵existe en la categoría y coincide con su producto. Observación 1.47.Exigir que cualquier producto o coproducto de dos objetos exista en la categoría implica por inducción que cualquier producto o coproducto finito estará. Realmente la última condición de las categorías aditivas, aunque es habitual en la literatura definirlas así, es superflua, pues se puede probar mediante seguimiento de diagramas que si existen los productos finitos existirán a su vez los coproductos finitos y coincidirán entre ellos. Lema 1.48.Si una categoría es aditiva, también lo es su opuesta 𝑜𝑝, y al ser (𝑜𝑝)𝑜𝑝 =entonces es aditiva si y solo si 𝑜𝑝 lo es. Demostración. Se deduce de la definición de categoría aditiva al tener que coincidir los productos con los coproductos. Nota 1.49.De estas propiedades no podemos asegurar la existencia de los productos o coproductos infinitos. 1. preliminares 17 Definición 1.50. Una categoría abeliana es una categoría aditiva que además tiene las siguientes propiedades: 1) Todo morfismo tiene un núcleo y un conúcleo. 2) Todo monomorfismo es el núcleo de su conúcleo. 3) Todo epimorfismo es el conúcleo de su núcleo. Proposición 1.51.Una categoría es abeliana si y solo si 𝐴𝑜𝑝 lo es. Demostración. Es inmediato al ser (2) y(3) duales y (1) dual consigo misma. Ejemplo 1.52.Algunas categorías abelianas, en cada caso con sus respectivos (homo)morfismos son: 𝐀𝐛(𝐗), la categoría de los grupos abelianos sobre 𝑋. 𝐑−𝐌𝐨𝐝, la categoría de los módulos sobre un anillo 𝑅. 𝐒𝐡(𝐗), la categoría de los haces de grupos abelianos. Por defecto consideraremos los anillos con los que trabajemos conmutativos y unitarios, aunque no lo expresemos explícitamente. En lo que resta del trabajo cuando hablemos de una categoría en abstracto, sobreentenderemos que es abeliana salvo que digamos lo contrario. Vamos a introducir el concepto de complejo de cocadenas, que es la base que nos permite definir la cohomología: Definición 1.53. Un complejo de cocadenas 𝐴∙en una categoría abeliana está formado por una colección de objetos 𝐴𝑖,𝑖∈ℤy unos morfismos 𝑑𝑖∶𝐴𝑖→𝐴𝑖+1 cumpliendo que 𝑑𝑖+1◦𝑑𝑖= 0 para cualquier índice 𝑖. A los morfismos 𝑑𝑖se les suele llamar diferenciales o morfismos coborde. Nota 1.54.Durante el resto del trabajo, en ocasiones abreviaremos complejo de cocadenas como complejo, refiriéndonos a los de este tipo salvo que digamos lo contrario. A veces tomaremos los índices de los complejos en cierto subconjunto de ℤ, por ejemplo los enteros no negativos, entendiendo como 0el resto de objetos. Definición 1.55. Un morfismo de complejos de cocadenas 𝑓∶𝐴∙→𝐵∙es un conjunto de morfismos 𝑓𝑖∶𝐴𝑖→𝐵𝑖, que conmuten con las aplicaciones coborde 𝑑𝑖. Es 18 cohomología de haces decir, que los siguientes subdiagramas conmuten: 𝐴𝑖𝐴𝑖+1 𝐵𝑖𝐵𝑖+1 𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝐴 𝑓𝑖+1 𝑑𝑖 𝐵 Nota 1.56.Los complejos de cocadenas forman una categoría. Definición 1.57. Decimos que un complejo 𝐴∙sobre una categoría abeliana escinde si hay morfismos 𝑠𝑖∶𝐴𝑖+1 →𝐴𝑖, de forma que 𝑑𝑖◦𝑠𝑖◦𝑑𝑖=𝑑𝑖. Dado un complejo podemos definir los objetos de cohomología, que necesitaremos para llegar al concepto de los funtores derivados y definir la cohomología de haces. Definición 1.58. Se define el i-ésimo objeto de cohomología, que notaremos ℎ𝑖(𝐴∙), como el cociente Ker 𝑑𝑖∕ Im 𝑑𝑖−1. Nota 1.59.Dicho cociente está bien definido por la condición que le hemos impuesto al morfismo coborde. Al ser 𝑑𝑖+1◦𝑑𝑖= 0 para cualquier 𝑖se satisface que Im 𝑑𝑖−1 es un subobjeto de Ker𝑑𝑖. Una interpretación de lo que miden los objetos de cohomología es lo que dista la sucesión dada por el complejo de ser exacta, ya que son 0si y solo si Ker 𝑑𝑖= Im 𝑑𝑖−1 para todo 𝑖. Es común llamar a los elementos (en las categorías en las que podamos hablar de elementos) de Ker 𝑑𝑖cociclos y a los de Im 𝑑𝑖−1 cobordes, siendo por ello la cohomología el cociente de los cociclos por los cobordes. Nota 1.60.Las proposiciones que damos a continuación y durante el resto de la sección son por lo general ciertas para cualquier categoría abeliana, sin embargo, resulta difícil dar pruebas generales pues estas se suelen realizar mediante seguimiento de diagramas, lo cual solo se puede llevar a cabo en una categoría concreta. Para solventar este problema, podríamos realizar las demostraciones partiendo de los axiomas de una categoría abeliana y no mencionando en ningún momento un elemento, como por ejemplo se realiza en [1], o también es posible recurrir al teorema de incrustación de Freyd-Mitchell, que nos viene a decir que cualquier categoría abeliana se puede ver como una subcategoría de 𝐑−𝐦𝐨𝐝. Teorema 1.61 (Teorema de incrustación de Freyd-Mitchell). Toda categoría abeliana pequeña admite un funtor exacto y plenamente fiel a la categoría de 𝑅módulos 𝐹∶→𝐑−𝐦𝐨𝐝 para algún anillo, no necesariamente conmutativo, 𝑅. 1. preliminares 19 Empleando este teorema, podremos realizar en general los seguimientos en diagramas finitos en la categoría 𝐑−𝐦𝐨𝐝 (o en 𝐒𝐡(𝐗)) y nos servirán para cualquier categoría abeliana, y es como procederemos. Demostración. Se puede encontrar en [1, Ch. VII, Theorem 7.34]. Proposición 1.62.Dado un morfismo de complejos: 𝑓∶𝐴∙→𝐵∙, entonces 𝑓induce un morfismo entre los objetos de cohomología ℎ𝑖(𝑓) ∶ ℎ𝑖(𝐴∙)→ℎ𝑖(𝐵∙). Proposición 1.63 (Sucesión exacta larga en cohomología).Dada una sucesión exacta corta de complejos 0→𝐴∙→𝐵∙→𝐶∙→0, es decir, un diagrama de la siguiente forma: 0𝐴𝑖𝐵𝑖𝐶𝑖0 0𝐴𝑖+1 𝐵𝑖+1 𝐶𝑖+1 0 0𝐴𝑖+2 𝐵𝑖+2 𝐶𝑖+2 0 0𝐴𝑖+3 𝐵𝑖+3 𝐶𝑖+3 0 𝑑𝑖𝑑𝑖𝑑𝑖 𝑑𝑖+1 𝑑𝑖+1 𝑑𝑖+1 𝑑𝑖+2 𝑑𝑖+2 𝑑𝑖+2 Donde las columnas son los complejos de cocadenas y las filas son exactas, entonces existen morfismos 𝛿𝑖∶ℎ𝑖(𝐶∙)→ℎ𝑖+1(𝐴∙), dando lugar a la siguiente sucesión exacta larga: ⋯ℎ𝑖(𝐴∙)ℎ𝑖(𝐵∙)ℎ𝑖(𝐶∙)ℎ𝑖+1(𝐴∙)⋯ 𝛿𝑖 A los 𝛿𝑖se les suele llamar morfismos de conexión. Demostración. La prueba se puede encontrar en [22, Ch.I, Theorem 1.3.1]. Es común obtener los morfismos de conexión a través de un resultado estánadar de álgebra homológica que es el lema de la serpiente: 26 cohomología de haces 𝐼𝑛−1 𝐼𝑛𝐼𝑛∕Im 𝑑𝑛−1 𝐼 𝐽𝑛−1 𝐽𝑛𝐽𝑛∕Im 𝑑𝑛−1 𝐽𝐽𝑛+1 𝑓𝑛−1 𝑑𝑛−1 𝐼 𝑓𝑛 𝑓𝑛𝑑𝑛 𝐽◦ 𝑓𝑛 𝑑𝑛−1 𝐽 𝑑𝑛 𝐽 Pero a su vez, al ser la sucesión 𝐼∙exacta entonces 𝐼𝑛∕Im(𝑑𝑛−1 𝐼) = 𝐼𝑛∕Ker(𝑑𝑛 𝐼)y podemos representarlo mediante el siguiente diagrama: 𝐼𝑛∕Im(𝑑𝑛−1 𝐼) = 𝐼𝑛∕Ker(𝑑𝑛 𝐼)𝐼𝑛+1 𝐽𝑛+1 𝑑𝑛 𝐽◦ 𝑓𝑛 𝑓𝑛+1 Considerando el morfismo superior como monomorfismo al ser 𝐽𝑛+1 un objeto inyectivo obtenemos el morfismo 𝑓𝑛+1. Luego hemos probado por inducción la existencia de los morfismos 𝑓𝑖, quedando demostrar la unicidad. Sean 𝑓∙y𝑔∙dos morfismos que extiendan 𝑓∶𝐴→𝐴′, buscamos probar que son homotópicos. Entonces la diferencia 𝑓−𝑔extenderá el morfismo nulo 0 ∶ 𝐴→𝐴′ y por ello nos bastará con probar que si 𝑓∙extiende al morfismo nulo, entonces es homotópico al morfismo nulo. Construiremos para ello un operador de homotopía 𝑘𝑛∶𝐼𝑛→𝐽𝑛−1 de forma que 𝑓∙=𝑑◦𝑘+𝑘◦𝑑. El caso 𝑛= 0 sería 𝑘0∶𝐼0→𝐽−1 =𝐴′luego definimos 𝑘0∶= 0. Supongamos que hemos construido {𝑘𝑖∶𝑖∈ 0 … 𝑛}: 0𝐴 𝐼0𝐼1... 𝐼𝑛 0𝐴′𝐽0𝐽1... 𝐽𝑛 𝑓−1 𝑘0𝑓0 𝑘1𝑓1 𝑘𝑛 𝑓𝑛 Por hipótesis 𝑓𝑛=𝑑𝑖−1 𝐽◦𝑘𝑖+𝑘𝑖+1◦𝑑𝑖 𝐼. Consideremos entonces la siguiente parte del diagrama: 2. construyendo la cohomología de haces 27 𝐼𝑛−1 𝐼𝑛𝐼𝑛+1 𝐽𝑛−2 𝐽𝑛−1 𝐽𝑛 𝑑𝑛−1 𝐼 𝑓𝑛−1 𝑘𝑛−1 𝑑𝑛 𝐼 𝑓𝑛 𝑘𝑛 𝑑𝑛−2 𝐽𝑑𝑛−1 𝐽 Establezcamos 𝑔=𝑓𝑛−𝑑𝑛−1 𝐽𝑘𝑛, morfismo de 𝐼𝑛en 𝐽𝑛. Entonces 𝑔◦𝑑𝑛−1 𝐼=𝑓𝑛◦𝑑𝑛−1 𝐼− 𝑑𝑛−1 𝐽◦𝑘𝑛◦𝑑𝑛−1 𝐼=𝑑𝑛−1 𝐽◦(𝑓𝑛−1 −𝑘𝑛◦𝑑𝑛−1 𝐼) = 𝑑𝑛−1 𝐽◦𝑑𝑛−2 𝐽◦𝑘𝑛−1 = 0. Luego podemos factorizar 𝑔de la siguiente forma y construir 𝑘𝑛+1 al ser 𝐽𝑛inyectivo, finalizando la prueba: 𝐼𝑛∕ Im 𝑑𝑛−1 =𝐼𝑛∕ Ker 𝑑𝑛𝐼𝑛+1 𝐽𝑛 𝑔 𝑘𝑛+1 Corolario 2.7.Las resoluciones inyectivas de un objeto son únicas salvo equivalencia de homotopía. Demostración. Sean 𝐼∙y𝐽∙dos resoluciones inyectivas de 𝐴. Entonces podemos tomar como morfismo 𝑓= Id𝐴en el teorema anterior y obtener morfismos 𝑓∙∶𝐼∙→𝐽∙ y𝑔∙∶𝐽∙→𝐼∙. Con lo cual 𝑔∙◦𝑓∙∶𝐼∙→𝐼∙extiende el morfismo identidad Id𝐴∶𝐴→𝐴, es decir: 0𝐴 𝐼0𝐼1𝐼2⋯ 0𝐴 𝐼0𝐼1𝐼2⋯ =𝑓0◦𝑔0𝑓1◦𝑔1𝑓2◦𝑔2 Entonces como Id𝐼∙también extiende la identidad 𝑓= Id𝐴tenemos por la proposición anterior que 𝑔◦𝑓≃ Id𝐼∙y análogamente 𝑓◦𝑔≃ Id𝐽∙, luego ambas resoluciones son homotópicas. Ahora ya estamos en condiciones de construir los funtores derivados. Para ello consideremos una categoría abeliana con suficientes inyectivos y sea 𝐹∶→ 28 cohomología de haces un funtor covariante exacto a la izquierda, siendo también una categoría abeliana. Para cada objeto 𝐴de escogemos una resolución inyectiva 𝐼∙, y definimos los funtores derivados a la derecha como 𝑅𝑖𝐹(𝐴) = ℎ𝑖(𝐹(𝐼∙)), donde 𝐹(𝐼∙)es 0𝐹(𝐼0)𝐹(𝐼1)𝐹(𝐼2)⋯. Los funtores derivados tienen muchas propiedades que serán de gran relevancia y utilidad: Teorema 2.8. Sea una categoría abeliana con suficientes inyectivos, y sea 𝐹∶ ←→ un funtor covariante exacto a la izquierda, siendo a su vez otra categoría abeliana. Entonces se tiene lo siguiente: a) Para cualquier 𝑖≥0, los 𝑅𝑖𝐹son funtores aditivos de a. Además, salvo isomorfismo de funtores, no dependen de las resoluciones inyectivas escogidas. b) Hay un isomorfismo natural 𝐹≅𝑅0𝐹. c) Para cada sucesión exacta corta 0→𝐴→𝐵→𝐶→0y para cada 𝑖≥0hay un morfismo 𝛿𝑖∶𝑅𝑖𝐹(𝐶)→𝑅𝑖+1𝐹(𝐴)de forma que obtenemos una sucesión exacta larga: ⋯𝑅𝑖−1𝐹(𝐶)𝑅𝑖𝐹(𝐴)𝑅𝑖𝐹(𝐵)𝑅𝑖𝐹(𝐶)𝑅𝑖+1𝐹(𝐴)⋯ 𝛿𝑖−1 𝛿𝑖 d) Para cada morfismo de una sucesión exacta corta 0→𝐴→𝐵→𝐶→0en otra 0→𝐴′ →𝐵′ →𝐶′ →0los morfismos de conexión 𝛿𝑖nos dan lugar al siguiente diagrama conmutativo: 𝑅𝑖𝐹(𝐶)𝑅𝑖+1𝐹(𝐴) 𝑅𝑖𝐹(𝐶′)𝑅𝑖+1𝐹(𝐴′) 𝛿𝑖 𝛿𝑖′ e) Para cada objeto inyectivo 𝐼de y cada 𝑖 > 0se cumple que 𝑅𝑖𝐹(𝐼)=0. Demostración. Vamos a dar la prueba o la idea de la misma según el caso: a) Los funtores 𝐹a través de los que construimos los funtores derivados son exactos a la izquierda, luego en particular son aditivos. Además, la resolución del coproducto de dos objetos, es, salvo equivalencia de homotopía, la resolución 2. construyendo la cohomología de haces 29 del coproducto de los mismos, lo cual, sumado a que la cohomología es también un funtor aditivo, nos garantiza que los 𝑅𝑖𝐹son funtores aditivos de a. 𝑅𝑖𝐹(𝐴⊕𝐵) ≅ ℎ𝑖𝐹(𝐼∙)⊕ ℎ𝑖𝐹(𝐽) = 𝑅𝑖𝐹(𝐴)⊕ 𝑅𝑖𝐹(𝐵). Si tenemos dos resoluciones inyectivas 𝐼∙y𝐽∙de un objeto 𝐴, estas son homotópicas por la proposición 2.5, luego podemos aplicar 𝐹a los morfismos 𝑓𝑖,𝑔𝑖, 𝑘𝑖de la homotopía entre 𝐼∙y𝐽∙, así como a las diferenciales, y la igualdad de la homotopía se mantendrá al ser 𝐹exacto a la izquierda. b) Al ser el funtor 𝐹exacto a la izquierda entonces la siguiente sucesión es exacta: 0𝐹𝐴 𝐹𝐼0𝐹𝐼1. 𝜀 𝑑0 Luego 𝐻0(𝐹(𝐼∙)) = Im𝜀y al ser 𝜀un monomorfismo tenemos que Im𝜀≅𝐹(𝐴). c) La prueba se basa en emplear la sucesión exacta larga en cohomología. Al ser el funtor 𝐹exacto a la izquierda la dificultad radica en encontrar el morfismo de conexión, pues entre los objetos de cohomología tendremos los morfismos inducidos y se mantendrá la exactitud por las propiedades de 𝐹. La construcción es similar a la de la sucesión exacta larga, teniendo que demostrar que está bien definida al no depender de la resolución ni de las clases que escojamos para definirla. Se puede encontrar en [22, Ch. II, Theorem 2.4.6]. d) Tenemos los morfismos de conexión por el apartado anterior, y el resto vendrán inducidos por el morfismo entre ambas sucesiones exactas, la dificultad radica en probar que conmutan, lo cual se puede encontrar en [22, Ch. II, Theorem 2.4.6]. e) Dado un objeto inyectivo 𝐼, podemos considerar como resolución inyectiva del mismo la sucesión 0→𝐼→𝐼→0, es decir, 𝐼0=𝐼e𝐼𝑛= 0 para cualquier 𝑛 > 0. Se trata efectivamente de una resolución inyectiva y obtenemos de aquí, ya que los funtores derivados no dependen de la resolución escogida, que 𝑅𝑖𝐹(𝐼) = 0al ser todos los objetos de cohomología nulos para 𝑖 > 0. Una clase fundamental de objetos serán los que llamaremos acíclicos, que nos permitirán más adelante calcular la cohomología. Definición 2.9. Consideremos un funtor covariante exacto entre categorías abelianas 𝐹∶→, diremos que un objeto 𝐽∈es acíclico para 𝐹si 𝑅𝑖𝐹(𝐽) = 0 para todo 𝑖 > 0. 30 cohomología de haces Ejemplo 2.10.Hemos probado que los objetos inyectivos son acíclicos. Proposición 2.11.Sean dos categorías abelianas y un funtor covariante exacto a la izquierda entre ellas 𝐹∶→, junto a una sucesión exacta de objetos de  0→𝐴→𝐽0→𝐽1→𝐽2→⋯ siendo cada 𝐽𝑖acíclico para 𝐹para todo 𝑖 > 0. Decimos entonces que 𝐽∙es una resolución acíclica de 𝐴por 𝐹, y se tiene que para todo 𝑖 > 0hay un isomorfismo 𝑅𝑖𝐹(𝐴) ≅ ℎ𝑖(𝐹(𝐽∙)). Demostración. En la proposición 2.6 probamos que dos resoluciones inyectivas cualesquiera son homotópicas, y esto nos sirve para demostrar el resultado, ya que en dicha demostración en ningún momento empleamos que los objetos de la primera resolución fueran inyectivos, solo que se trataba de una sucesión exacta, entonces la resolución 𝐽∙será homotópica a cualquier resolución inyectiva. Empleando esta proposición, vamos a poder obtener los funtores derivados a través de resoluciones acíclicas de nuestros objetos, lo que nos permitirá calcular la cohomología de forma más sencilla. Podemos repetir todo este desarrollo con los funtores exactos a derecha usando objetos proyectivos, y también construir los funtores derivados a izquierda 𝐿𝑖𝐹. Definición 2.12. Decimos que un objeto 𝑃de una categoría abeliana es proyectivo si dado un epimorfismo 𝑔∶𝐵→𝐴y un morfismo 𝛼∶𝑃→𝐴entonces existe un morfismo 𝛽∶𝑃→𝐵de forma que 𝛼=𝛽◦𝑓. 0𝐴 𝐵 𝑃 𝑓 𝛼𝛽 Nota 2.13.Una definición equivalente es que un objeto 𝑃de una categoría abeliana es proyectivo si el funtor Hom(𝑃 , ⋅)es exacto. Nota 2.14.La de objeto proyectivo es la noción dual de objeto inyectivo, de la misma manera podemos dar la noción de que una categoría tenga suficientes proyectivos, lo que de nuevo por dualidad ocurrirá si y solo si la categoría opuesta tiene suficientes inyectivos. 2. construyendo la cohomología de haces 31 Definición 2.15. Una categoría abeliana tiene suficientes proyectivos si para cualquier objeto 𝐴de hay un epimorfismo 𝑃→𝐴siendo 𝑃un objeto proyectivo. Definición 2.16. Una resolución proyectiva de un objeto 𝐴de la categoría abeliana es un complejo 𝑃∙, definido en grados 𝑖≤0, junto con un morfismo 𝜀∶𝑃0→𝐴, de forma que 𝑃𝑖sea un objeto proyectivo de para todo 𝑖 > 0y la siguiente sucesión sea exacta: ⋯𝑃−2 𝑃−1 𝑃0𝐴0 𝜀 Nota 2.17.En muchos libros de Álgebra Homológica es común definir los funtores Ext yTor los cuales históricamente se desarrollaron antes, para posteriormente construir los funtores derivados como generalización de los mismos. Podemos obtener dichos funtores como casos particulares de la construcción anterior de la siguiente manera: Dada la categoría de 𝑅-módulos a la izquierda 𝐑−𝐦𝐨𝐝, consideremos un objeto fijo de la misma, 𝐴, entonces Ext𝑖 𝑅(𝐴, 𝐵) = (𝑅𝑖𝑇)(𝐵)siendo 𝑇el funtor 𝑇(𝐵) = Hom𝑅(𝐴, 𝐵). Se puede definir de la misma forma para los 𝑅-módulos a la derecha. Consideremos 𝑅un anillo conmutativo y sea 𝐵un objeto de 𝐑−𝐌𝐨𝐝. Entonces Tor𝑖 𝑅(𝐴, 𝐵)=(𝐿𝑖𝑇)(𝐴)siendo 𝑇el funtor 𝑇(𝐴) = 𝐴⊗𝑅𝐵, donde 𝐴es un objeto de 𝐑−𝐌𝐨𝐝. Los grupos Ext y su versión harán su aparición en el capítulo 4 y nos permitirán probar la dualidad de Serre. Vamos a quedarnos con las propiedades que nos interesan de los funtores derivados, para definir una noción más general que será la de funtores cohomológicos. Del teorema 2.8 tendremos que los funtores derivados son funtores cohomológicos. Definición 2.18. Un 𝛿-funtor entre dos categorías abelianas yes una sucesión de funtores 𝑇𝑖∶←→ de forma que: 1. Cada sucesión exacta corta 0→𝐴→𝐵→𝐶→0nos da lugar a una sucesión 32 cohomología de haces exacta larga: 0𝑇0(𝐴)𝑇0(𝐵)𝑇0(𝐶) 𝑇1(𝐴)𝑇1(𝐵)𝑇1(𝐶) 𝑇2(𝐴)𝑇2(𝐵)𝑇2(𝐶)⋯ 𝛿0 𝛿1 2. Para cada morfismo de una sucesión exacta corta 0→𝐴→𝐵→𝐶→0en otra 0→𝐴′ →𝐵′ →𝐶′ →0, los morfismos de conexión 𝛿𝑖nos dan lugar al siguiente diagrama conmutativo: 𝑇𝑖(𝐶)𝑇𝑖+1(𝐴) 𝑇𝑖(𝐶′)𝑇𝑖+1(𝐴′) 𝛿𝑖 𝛿𝑖′ Definición 2.19. Decimos que un 𝛿-funtor 𝑇= (𝑇𝑖) ∶ →es universal si, dados cualquier otro 𝛿-funtor 𝑈= (𝑈𝑖) ∶ →, y cualquier morfismo de funtores 𝑓0∶𝑇0→𝑈0, existe una única transformación natural 𝑓𝑖∶𝑇𝑖→𝑈𝑖para cada 𝑖≥0, comenzando por el 𝑓0dado, que conmutan con los 𝛿𝑖para cada sucesión exacta corta: 𝑇𝑖(𝐶)𝑇𝑖+1(𝐴) 𝑈𝑖(𝐶)𝑈𝑖+1(𝐴) 𝑓𝑖 𝛿𝑖 𝑓𝑖+1 Nota 2.20.Si 𝐹∶→es un funtor covariante aditivo, entonces por definición, salvo isomorfismo único, a lo sumo puede existir un 𝛿-funtor universal 𝑇con 𝑇0=𝐹. A los 𝑇𝑖también se les llama los funtores satélite a la derecha de 𝐹. Esta definición es abstracta y complicada de comprobar en la práctica, por lo que usaremos la siguiente condición suficiente para que un funtor 𝑇sea universal, además de dar propiedades de los mismos: Definición 2.21. Diremos que un funtor aditivo 𝐹∶→es borrable, si para cada objeto 𝐴∈, hay un monomorfismo 𝑢∶𝐴→𝑀para algún 𝑀, de forma que 𝐹(𝑢)=0. 2. construyendo la cohomología de haces 33 Dualmente, si para cada objeto 𝐴∈existe un epimorfismo 𝑢∶𝑃→𝐴para algún 𝑃, tal que 𝐹(𝑢)=0, diremos que el funtor es coborrable. Teorema 2.22. Sea 𝑇= (𝑇𝑖)𝑖≥0un 𝛿-funtor covariante de a. Si 𝑇𝑖es borrable para cualquier 𝑖 > 0, entonces 𝑇es universal. Demostración. La prueba se basa en utilizar inducción fuerte para construir una transformación natural entre 𝑇𝑖y𝑈𝑖mediante seguimiento de diagramas. Esta se puede encontrar en [3, Proposition 2.2.1]. Este teorema nos será de gran utilidad para probar isomorfismos entre funtores. Corolario 2.23.Supongamos que tiene suficientes inyectivos. Entonces, para cualquier funtor exacto a la izquierda 𝐹∶→, los funtores derivados (𝑅𝑖𝐹)𝑖≥0forman un 𝛿-funtor universal con 𝐹≅𝑅0𝐹. Recíprocamente, si 𝑇= (𝑇𝑖)𝑖≥0es cualquier 𝛿funtor universal, entonces 𝑇0es exacto a la izquierda y los 𝑇𝑖son isomorfos a 𝑅𝑖𝑇0 para cada 𝑖≥0. Demostración. Sabemos que 𝐹es un funtor exacto a la izquierda, luego por el teorema 2.8 de propiedades de los funtores derivados, los (𝑅𝑖𝐹)𝑖≥0forman un 𝛿-funtor. Ahora, como la categoría tiene suficientes inyectivos, para cada objeto 𝐴∈tendremos un monomorfismo 𝑢∶𝐴→𝐼a un objeto inyectivo, y 𝑅𝑖𝐹(𝐼) = 0 para todo 𝑖 > 0, luego 𝑅𝑖𝐹(𝑢) = 0. Entonces 𝑅𝑖𝐹es borrable para cada 𝑖 > 0y por el teorema concluimos que 𝑅𝑖𝐹es universal. Para el recíproco, dado un 𝛿-funtor universal 𝑇, de la definición de 𝛿-funtor se sigue que 𝑇0es exacto a la izquierda. El hecho de que la categoría tenga suficientes inyectivos nos garantiza que los funtores derivados 𝑅𝑖𝑇0existen, al poder tomar una resolución inyectiva para cada objeto. Entonces (𝑅𝑖𝑇0)es a su vez un 𝛿-funtor universal, y como 𝑅0𝑇0=𝑇0se tiene que 𝑅𝑖𝑇0≅𝑇𝑖para todo 𝑖por la propiedad universal. 2.2 Definición y primeros resultados de cohomología de haces Una vez asentadas las bases homológicas que necesitamos para dar la noción de cohomología de haces, nos vamos a basar en que podemos aplicar la teoría de funtores 34 cohomología de haces derivados a los haces mediante el funtor de las secciones globales. Vimos en la sección anterior que las resoluciones inyectivas eran una herramienta fundamental para poder definir los funtores derivados, luego demostraremos también que las categorías en las que trabajamos tienen suficientes inyectivos, para poder obtener tales resoluciones. Necesitamos un resultado técnico para ello: Proposición 2.24.Si 𝑅es un anillo, entonces cada 𝑅-módulo es isomorfo a un submódulo de un 𝑅-módulo inyectivo. Demostración. La prueba se puede encontrar en [2, Ch. I, Proposition 1.22]. Proposición 2.25.Sea (𝑋, 𝑋)un espacio anillado. Entonces la categoría 𝐌𝐨𝐝(𝐗)de haces de 𝑋−módulos tiene suficientes inyectivos. Demostración. Sea ℱun haz de 𝑋-módulos. Para cada punto 𝑥∈𝑋podemos considerar su tallo ℱ𝑥, que es un 𝑋,𝑥módulo. Empleando la proposición 2.24, hay un homomorfismo inyectivo ℱ𝑥→𝑥, siendo 𝑥un 𝑋,𝑥módulo inyectivo. Para cada punto 𝑥, llamaremos 𝑗𝑥a la inclusión del conjunto unitario {𝑥}en 𝑋. Definimos ahora 𝒥=∏ 𝑥∈𝑋 𝑗𝑥,∗(𝑥), donde estamos considerando 𝑥en dicho conjunto unitario. Teniendo en cuenta todo ello, dado otro haz 𝒢y por definición del producto directo obtenemos que: Hom𝑋(𝒢,𝒥) = ∏ 𝑥∈𝑋 Hom𝑋(𝒢, 𝑗𝑥,∗(𝑥)). A su vez, para cada punto 𝑥∈𝑋, si pasamos a los tallos tenemos un isomorfismo: Hom𝑋(𝒢, 𝑗𝑥,∗(𝑥)) ≅ Hom𝑋,𝑥 (𝒢𝑥,𝑥). Con lo cual los morfismos locales ℱ𝑥→𝑥nos inducen un morfismo ℱ→𝒥de haces de 𝒪𝑋módulos. También, cada uno de los 𝑗𝑥,∗(𝑥)es un 𝑋,𝑥 módulo inyectivo al serlo los 𝑥, y el producto directo de estos será a su vez inyectivo, ya que el producto de inyectivos es inyectivo, teniendo por tanto que 𝒥es un 𝑋-módulo inyectivo. 2. construyendo la cohomología de haces 35 Corolario 2.26.Dado un espacio topológico 𝑋, la categoría 𝐒𝐡(𝐗)de haces de grupos abelianos sobre 𝑋tiene suficientes inyectivos. Demostración. Considerando 𝑋como el haz localmente constante ℤ𝑋,(𝑋, 𝑋)es un espacio anillado, y 𝐌𝐨𝐝(𝐗) = 𝐀𝐛(𝐗), ya que los ℤ-módulos son los grupos abelianos. Definición 2.27. Sea 𝑋un espacio topológico y sea Γ(𝑋, ∙) el funtor de secciones globales, que va de 𝐒𝐡(𝐗)en 𝐀𝐛. Definimos los funtores cohomológicos 𝐻𝑖(𝑋, ∙) como los funtores derivados a la derecha de Γ(𝑋, ∙), y los llamaremos grupos de cohomología de ℱ. Dado un morfismo entre dos sucesiones exactas cortas de haces 0→ℱ→𝒢→ ℋ→0y0→ℱ′ →𝒢′ →ℋ′ →0, obtenemos el siguiente diagrama conmutativo entre los objetos de cohomología como consecuencia del apartado (d) del teorema 2.8: 𝐻𝑖(𝑋, ℋ)𝐻𝑖+1(𝑋, ℱ) 𝐻𝑖(𝑋, ℋ′)𝐻𝑖+1(𝑋, ℱ′) Nota 2.28.Trabajaremos principalmente con haces de grupos abelianos, de ahí definir los grupos de cohomología, pero realmente es aplicable a los haces sobre otras categorías abelianas. Nota 2.29.A efectos de la cohomología estamos considerando ℱcomo un haz de grupos abelianos sobre el espacio topológico, sin importarnos si 𝑋oℱtienen alguna estructura o propiedades adicionales. Aplicando la proposición 2.11 si tenemos una resolución por objetos acíclicos de un objeto, podremos obtener la cohomología. Para ello vamos a introducir los haces flácidos. Probaremos que son acíclicos, y podremos obtener resoluciones a través de los mismos. Pero antes hablaremos de la extensión por cero de un haz y sus propiedades, que aparecerá en distintas pruebas: Lema 2.30.Sean 𝑋un espacio topológico, 𝑍un subespacio cerrado de 𝑋e𝑖∶𝑍→ 𝑋la inclusión. Sean 𝑈=𝑋∖𝑍su complementario y 𝑗∶𝑈→𝑍la correspondiente inclusión. Entonces se cumple lo siguiente: 42 cohomología de haces Lema 2.43.Sea 𝑌un subespacio cerrado de 𝑋y consideremos un haz ℱde grupos abelianos sobre 𝑌. Llamemos 𝑗∶𝑌→𝑋a la inclusión del subespacio. Entonces 𝐻𝑖(𝑌 , ℱ) = 𝐻𝑖(𝑋, 𝑗∗ℱ). Demostración. Si tenemos una resolución por haces flácidos 𝒥∙de ℱen el espacio 𝑌, podemos considerar 𝑗∗𝒥∙, que será a su vez una resolución flácida de 𝑗∗ℱen 𝑋, pues lo que hemos hecho es extender los haces de la resolución por 0fuera de 𝑌al ser 𝑌 un cerrado, luego siguen siendo flácidos y la sucesión sigue siendo exacta. Por ello, para cada 𝑖, las secciones globales coinciden, Γ(𝑌 , 𝒥𝑖) = Γ(𝑋, 𝑗∗𝒥𝑖). Luego tendrán los mismos grupos de cohomología. Nota 2.44.Gracias a este resultado, podemos abusar de notación y escribir ℱen lugar de 𝑗∗ℱ, pues a efectos cohomológicos serán iguales. Con todo ello podemos proceder a la prueba del teorema de anulación 2.37: Demostración. Dados un subespacio cerrado 𝑌 ⊆ 𝑋 y un haz ℱsobre 𝑋, denotaremos ℱ𝑌=𝑗∗(ℱ|𝑌), siendo 𝑗∶𝑌→𝑋la inclusión. A su vez, si 𝑈es un subconjunto abierto 𝑈 ⊆ 𝑋, denotaremos ℱ𝑈=𝑖!(ℱ|𝑈) siendo 𝑖∶𝑈→𝑋la inclusión. Aplicando el lema 2.30, si establecemos 𝑈=𝑋−𝑌obtenemos una sucesión exacta: 0→ℱ𝑈→ℱ→ℱ𝑌→0. La idea de la demostración es realizarla por inducción en la dimensión 𝑛= dim 𝑋, e iremos siguiendo una serie de pasos. 1) Reducción al caso en el que 𝑋es un espacio topológico irreducible. Supongamos que 𝑋no es irreducible, entonces podemos considerar una de sus componentes irreducibles, a la que llamaremos 𝑌, y establecer 𝑈=𝑋−𝑌. Tenemos la sucesión exacta: 0→ℱ𝑈→ℱ→ℱ𝑌→0. Considerando la correspondiente sucesión exacta larga, para probar el resultado nos bastará con demostrar que para 𝑖 > 𝑛 tanto 𝐻𝑖(𝑋, ℱ𝑌) = 0 como 2. construyendo la cohomología de haces 43 𝐻𝑖(𝑋, ℱ𝑈) = 0, pues entonces 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)estará entre dos grupos nulos y por ello será nulo por exactitud. A su vez sabemos que 𝑌es un subespacio cerrado e irreducible, luego podemos considerar ℱ𝑈como un haz en la clausura 𝑈tomando 𝑘!(ℱ𝑈), siendo 𝑘la inmersión de 𝑈en 𝑈. Además, 𝑈tiene una componente irreducible menos que 𝑋, ya que definimos 𝑈=𝑋−𝑌con 𝑌una componente irreducible. Inductivamente, podemos repetir este procedimiento para obtener un subespacio con una única componente irreducible, y los grupos de cohomología no se ven afectados aplicando el lema 2.43, luego efectivamente podemos suponer que 𝑋es irreducible. 2) Demostración en el caso 0-dimensional. Si 𝑋es irreducible y 0-dimensional los únicos subespacios abiertos de 𝑋son el total y el vacío, ya que en caso contrario, tomando complementario, 𝑋tendría un subespacio irreducible propio, con lo cual la dimensión topológica de 𝑋sería al menos 1. Luego el funtor de secciones globales Γ(𝑋, ∙) induce una equivalencia de categorías 𝐒𝐡(𝐗)→𝐀𝐛. En particular obtenemos que Γ(𝑋, ∙) es un funtor exacto y por ello 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)=0para todo 𝑖 > 0y cualquier haz ℱ∈𝐒𝐡(𝐗). 3) Supongamos 𝑋irreducible de dimensión 𝑛. Sea ℱ∈𝐒𝐡(𝐗). Consideremos 𝐵=⋃𝑈⊆𝑋 ℱ(𝑈), siendo 𝑈abierto, y sea 𝐴el conjunto de todas los uniones finitas de 𝐵. Para cada 𝛼∈𝐴denotaremos por ℱ𝛼el subhaz de ℱgenerado por las secciones en 𝛼, las cuales pueden venir de varios subespacios abiertos. Con la construcción anterior 𝐴es un conjunto dirigido con respecto a la inclusión y ℱ= lim ←←←←←←←←←←→ ℱ𝛼. Por el isomorfismo de la proposición 2.41 nos basta con probar la anulación de los grupos de cohomología para cada uno de los ℱ𝛼. Si 𝛼′es un subconjunto de 𝛼entonces obtenemos una sucesión exacta corta 0→ℱ𝛼′→ℱ𝛼→𝒢→0, siendo 𝒢un haz generado por (#(𝛼) −#(𝛼′)) secciones sobre los distintos abiertos. Luego, empleando la sucesión exacta larga en cohomología, así como procediendo por inducción en el cardinal de 𝛼, podemos reducirnos al caso en el que ℱestá generado por una única sección sobre algún abierto 𝑈. En dicha situación y por lo anterior, ℱes un cociente del haz constante ℤ𝑈. 44 cohomología de haces Llamaremos ℛa su núcleo para poder formar la sucesión exacta corta 0→ℛ→ℤ𝑈→ℱ→0. Podemos volver a emplear la sucesión exacta larga en cohomología y entonces para probar el teorema nos bastará demostrar la anulación para ℛyℤ𝑈. 4) Anulación para ℛ. Sea 𝑈un abierto de 𝑋y sea ℛun subhaz de ℤ𝑈. Para cada punto 𝑥∈𝑈, los gérmenes ℛ𝑥forman un subgrupo de ℤ. Si tuviéramos que ℛ= 0 ya habríamos acabado. Supongamos que ℛes distinto de cero, y sea 𝑑el menor entero positivo que aparece en alguno de los grupos ℛ𝑥. Entonces debe haber un subespacio abierto no vacío 𝑉 ⊆ 𝑈, tal que ℛ|𝑉≅𝑑⋅ℤ𝑉como subhaz de ℤ𝑈|𝑉. Con lo cual obtenemos que ℛ𝑉≅ℤ𝑉y tenemos una sucesión exacta: 0→ℤ𝑉→ℛ→ℛ∕ℤ𝑉→0. El haz ℛ∕ℤ𝑉tiene como soporte el subespacio cerrado (𝑈−𝑉)de 𝑋, el cual tiene dimensión menor que 𝑛, ya que 𝑋es irreducible. Con lo cual, aplicando el lema 2.43 y por inducción en la dimensión, obtenemos que 𝐻𝑖(𝑋, ℛ∕ℤ𝑉) = 0 para todo 𝑖 > 𝑛. Luego por la sucesión exacta larga en cohomología, solo nos resta probar que se anulan los grupos de cohomología superiores de ℤ𝑉. 5) Anulación para ℤ𝑉. Lo único que nos queda por demostrar es que para cualquier abierto 𝑈 ⊆ 𝑋, los grupos de cohomología superiores se anulan, es decir, 𝐻𝑖(𝑋, ℤ𝑈)=0para todo 𝑖 > 𝑛. Consideremos 𝑌=𝑋−𝑈. De nuevo, aplicando el lema 2.30 obtenemos una sucesión exacta corta: 0→ℤ𝑈→ℤ→ℤ𝑌→0. La clave está en que dim𝑌 < dim𝑋, ya que 𝑋es irreducible, luego aplicando el lema 2.43 y reduciendo inductivamente la dimensión al haberlo probado en el paso 3, tenemos que 𝐻𝑖(𝑋, ℤ𝑌)=0para todo 𝑖>𝑛. Ahora por otro lado, el haz constante ℤes flácido por ser un haz constante en un espacio irreducible, por lo que en particular es acíclico y 𝐻𝑖(𝑋, ℤ)=0para todo 𝑖>𝑛. Con lo cual por la sucesión exacta larga en cohomología obtenemos que 𝐻𝑖(𝑋, ℤ𝑈)=0para todo 𝑖>𝑛, finalizando la prueba. 2. construyendo la cohomología de haces 45 3 Computación de la cohomología de haces Si bien la definición de los funtores derivados es de gran generalidad y nos da una forma teórica de realizar cálculos, en la práctica resulta inabordable para muchos ejemplos. Por ello introduciremos la cohomología de Čech, probaremos que en muchos espacios coincide con la cohomología de haces definida en el capítulo anterior y como aplicación obtendremos la cohomología de los haces (𝑛)en el espacio proyectivo. 3.1 Cohomología de Čech y equivalencia con la cohomología de haces La cohomología de Čech se basa en emplear un recubrimiento afín por abiertos del espacio topológico, y luego tomar límite para que el resultado no dependa del recubrimiento. Veamos esta construcción en detalle. Sea 𝑋un espacio topológico y sea 𝔘= (𝑈𝑖)𝑖∈𝐼un recubrimiento por abiertos de 𝑋. Consideraremos una ordenación total del conjunto 𝐼. Para cada conjunto finito de índices 𝑖0, 𝑖1,…, 𝑖𝑝∈𝐼denotaremos por 𝑈𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝la intersección 𝑈𝑖0∩𝑈𝑖1∩... ∩𝑈𝑖𝑝. Sea un haz ℱsobre un espacio topológico 𝑋, vamos a definir un complejo de grupos abelianos 𝐶∙(𝔘,ℱ), que será nulo para los índices negativos, y para cada 𝑝≥0 vendrá dado como: 48 cohomología de haces 𝐶𝑝(𝔘,ℱ) = ∏ 𝑖0<𝑖1<⋯<𝑖𝑝 ℱ(𝑈𝑖0,𝑖1…,𝑖𝑝) Con esta construcción, tenemos determinado un elemento 𝛼∈𝐶𝑝(𝔘,ℱ)dando 𝛼𝑖0,𝑖1...𝑖𝑝∈ℱ(𝑈𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝)para cada (𝑝+ 1)-upla ordenada 𝑖0< 𝑖1< ... < 𝑖𝑝de elementos de 𝐼. Definimos la aplicación coborde 𝑑∶𝐶𝑝(𝔘,ℱ)→𝐶𝑝+1(𝔘,ℱ)de la siguiente manera: (𝑑𝛼)𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝+1 = 𝑝+1 ∑ 𝑘=0 (−1)𝑘𝛼𝑖0,...,𝑖𝑘−1, 𝑖𝑘,𝑖𝑘+1,…,𝑖𝑝+1|𝑈𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝+1 . Aquí la notación  𝑖𝑘significa que omitimos dicho índice. Si cogemos un elemento 𝛼𝑖0,𝑖1,…, 𝑖𝑘,…,𝑖𝑝+1 de ℱ(𝑈𝑖0,𝑖1,…, 𝑖𝑘,…,𝑖𝑝+1 ), al restringirlo a la intersección 𝑈𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝+1 obtenemos un elemento de ℱ(𝑈𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝+1 ), luego efectivamente es una aplicación 𝑑∶𝐶𝑝(𝔘,ℱ)→𝐶𝑝+1(𝔘,ℱ). Lo único que resta para ver que es una aplicación coborde es comprobar que 𝑑2= 0. Consideremos 𝑑2∶𝐶𝑝−1(𝑈, ℱ)→𝐶𝑝+1(𝑈, ℱ). Sea 𝑠∈𝐶𝑝−1(𝑈, ℱ)y sea 𝛼∶= 𝑑𝑝−1𝑠=∑𝑝 𝑚=0(−1)𝑚𝑠𝑖0,…,𝑖𝑘−1, 𝑖𝑚,𝑖𝑚+1,…,𝑖𝑝|𝑈𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑚 . Tenemos que probar que 𝑑𝑝𝛼= 0: 𝑑𝑝𝛼=∑𝑝+1 𝑘=0(−1)𝑘𝛼𝑖0,…, 𝑖𝑘…,𝑖𝑝+1 |𝑈𝑖0,…,𝑖𝑝+1 = ∑𝑝+1 𝑘=0(−1)𝑘(∑𝑘−1 𝑚=0(−1)𝑚𝑠𝑖0,…, 𝑖𝑚,…, 𝑖𝑘,…,𝑖𝑝+1 |𝑈𝑖0,…,𝑖𝑝+1 +∑𝑝+1 𝑚=𝑘+1(−1)𝑚+1𝑠𝑖0,…, 𝑖𝑘,…, 𝑖𝑚,…,𝑖𝑝+1 |𝑈𝑖0,…,𝑖𝑝+1 ) Al aplicar la diferencial de 𝑠los signos nos quedan cambiados en función de si el índice 𝑚que quitamos está antes del 𝑘o después, de lo que obtenemos la suma del mismo término pero cambiado de signo, por lo cual la suma será nula. Nota 3.1.Muchas veces es útil, si 𝛼∈𝐶𝑝(𝔘,ℱ), tener definido 𝛼𝑖0,𝑖1...𝑖𝑝para cualquier (𝑝+ 1)-tupla de elementos de 𝐼. Para ello definimos 𝛼𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝= 0 si alguno de los 𝑖𝑖 está repetido. Aunque no tengamos elementos repetidos, necesitamos tener los 𝑖𝑖ordenados de menor a mayor, y por ello puede ser que le tengamos que aplicar una permutación 𝜎 para conseguirlo 𝛼𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝= (−1)𝜎(𝛼𝜎(𝑖𝑘)). 3. computación de la cohomología de haces 49 Mediante esta generalización, la fórmula que hemos dado para la diferencial entre complejos de Čech sirve para cualquier (𝑝+ 2)-tupla de elementos de 𝐼. Hemos visto que se cumplen las condiciones para que el complejo de Čech sea efectivamente sea un complejo de cocadenas, luego parece natural definir los grupos de cohomología de Čech como los de dicho complejo: Definición 3.2. Sea 𝑋un espacio topológico y sea 𝔘un recubrimiento por abiertos del mismo. Para cada haz de grupos abelianos ℱsobre 𝑋, definimos el p-ésimo grupo de cohomología de Čech de ℱcon respecto al recubrimiento 𝔘como:  𝐻𝑝(𝔘,ℱ) = ℎ𝑝(𝐶∙(𝔘,ℱ)). Una de las principales propiedades que vimos en el capítulo anterior es que el 0ésimo grupo de cohomología de haces coincide con las secciones globales, lo que se mantendrá con la cohomología de Čech. Proposición 3.3.Sea 𝑋un espacio topológico, junto con un recubrimiento por abiertos 𝔘del mismo, y sea ℱun haz en 𝑋. Entonces  𝐻0(𝔘,ℱ) ≅ Γ(𝑋, ℱ). Demostración. Por definición  𝐻0(𝔘,ℱ) = ker(𝑑∶𝐶0(𝔘,ℱ)→𝐶1(𝔘,ℱ)). Consideremos 𝛼∈𝐶0(𝔘,ℱ), que viene dado por {𝛼𝑖∈ℱ(𝑈𝑖) ∶ 𝑖∈𝐼}. Entonces, para cada 𝑖<𝑗tenemos que (𝑑𝛼)𝑖𝑗 = (𝛼𝑗−𝛼𝑖)|𝑈𝑖,𝑗 , de aplicar la fórmula de la diferencial en el caso 𝑝= 0. Ahora, si 𝑑𝛼 = 0 significaría que las secciones 𝛼𝑖y𝛼𝑗son iguales en la intersección 𝑈𝑖∩𝑈𝑗, por lo cual las 𝛼𝑖habrán de ser restricciones de una misma sección global, luego efectivamente Ker 𝑑= Γ(𝑋, ℱ). ¿Se mantendrán el resto de propiedades estudiadas? Algunas de las preguntas que podemos hacernos son las siguientes: 1. ¿En qué casos coincide la cohomología de Čech con la cohomología como funtor derivado? 2. Hemos empleado un recubrimiento por abiertos arbitrario del espacio 𝑋. ¿Depende la cohomología de Čech del recubrimiento que escojamos? 3. ¿Dada una sucesión exacta corta de haces, obtendremos también una sucesión exacta larga en la cohomología de Čech? 50 cohomología de haces Para las tres preguntas la respuesta no es la que desearíamos de entrada, si bien tendremos parcialmente las dos primeras. La cohomología como funtor derivado no coincide con la de Čech siempre, si bien probaremos en una clase suficientemente amplia de espacios que sí son iguales, lo que nos facilitará los cálculos. El recubrimiento por abiertos nos afectará a los grupos de cohomología de un haz ℱsobre 𝑋, sin embargo, esto lo podremos arreglar tomando cierto límite directo en los distintos recubrimientos o bien viendo si el recubrimiento es lo "suficientemente fino", de forma que los abiertos tengan cohomología nula. Y la respuesta en general a la última será negativa: Nota 3.4.Para un espacio topológico 𝑋y un recubrimiento por abiertos 𝔘, dada una sucesión exacta corta de haces 0→ℱ→𝒢→ℋ→0, no obtenemos necesariamente una sucesión exacta larga de grupos de cohomología de Čech, luego en particular los funtores  𝐻𝑝(𝔘,ℱ) = ℎ𝑝(𝐶∙(𝔘,ℱ)) no forman un 𝛿-funtor. Demostración. Los grupos  𝐻0(𝔘,∙) vienen dados por las secciones globales, con lo cual, si consideramos un espacio topológico 𝑋, y el recubrimiento trivial 𝑋lo tenemos probado ya que sabemos que el funtor de secciones globales Γ(𝑋, ∙) no es exacto. Vamos a ver un ejemplo de cálculo de la cohomología de Čech: Ejemplo 3.5.Consideremos 𝑆1, la circunferencia con la topología euclídea, y sea ℤ𝑆1 el haz constante dado por ℤ. Para recubrir la circunferencia tomaremos dos abiertos 𝑈y𝑉dados por semicircunferencias extendidas, de forma que su intersección 𝑈∩𝑉 sean dos pequeños intervalos. Ahora, empleando la definición de los complejos de Čech: 𝐶0(𝔘,ℤ) = Γ(𝑈, ℤ) × Γ(𝑉 , ℤ) = ℤ×ℤ. 𝐶1(𝔘,ℤ) = Γ(𝑈∩𝑉 , ℤ) ≅ ℤ×ℤ. Teniendo en cuenta que la aplicación 𝑑∶𝐶0→𝐶1lleva el elemento (𝑎, 𝑏)al (𝑏− 𝑎, 𝑏 −𝑎), obtenemos que  𝐻0(𝔘,ℤ) = ℤy 𝐻1(𝔘,ℤ)=(ℤ×ℤ)∕ℤ=ℤ. Dicha cohomología coincide con la que obtendríamos de calcularla mediante la definición por funtores derivados, y con la cohomología singular. La clave está en que 3. computación de la cohomología de haces 51 el recubrimiento por abiertos que hemos tomado es suficientemente fino, de forma que la cohomología de los abiertos es nula y por ello se cumplirá la condición que veremos para que coincidan ambas cohomologías. Vamos a generalizar ligeramente la construcción del complejo de Čech para obtener un complejo de haces, que emplearemos para probar algunas propiedades de los grupos de cohomología de Čech. Definición 3.6. Sea 𝑋un espacio topológico, y para cualquier abierto 𝑉 ⊆ 𝑋, denotemos, abusando de notación, por 𝑓∶𝑉→𝑋la inclusión. Entonces, dado un recubrimiento 𝔘de 𝑋y un haz ℱsobre 𝑋, vamos a construir para cada 𝑝≥0un complejo de haces 𝒞∙(𝔘,ℱ)de la siguiente manera: 𝒞𝑝(𝔘,ℱ) = ∏ 𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝 𝑓∗(ℱ|𝑈𝑖0,𝑖1,…,𝑖𝑝). La diferencial se define análogamente a 𝑑∶𝐶𝑝(𝔘,ℱ)→𝐶𝑝+1(𝔘,ℱ). Por la construcción anterior, en particular se da la igualdad Γ(𝑋, 𝒞𝑝(𝔘,ℱ)) = 𝐶𝑝(𝔘,ℱ). Con estos complejos vamos a tener una resolución del haz ℱ, lo que nos permitirá comparar los grupos de cohomología. Lema 3.7.Dado un haz de grupos abelianos ℱen 𝑋, el complejo 𝒞∙(𝔘,ℱ)es una resolución de ℱ, es decir, hay un morfismo de haces 𝜀∶ℱ→𝒞0(𝑈, ℱ)de forma que la siguiente sucesión es exacta: 0ℱ 𝒞 0(𝔘,ℱ)𝒞1(𝔘,ℱ)𝒞2(𝔘,ℱ)⋯ 𝜀 Demostración. Para cada 𝑖∈𝐼, la imagen del haz en el abierto 𝑈𝑖viene dada por ℱ→𝑓∗(ℱ|𝑈𝑖). Luego definimos 𝜀∶ℱ→𝒞0como el producto de estos morfismos naturales ℱ→∏𝑖∈𝐼𝑓∗(ℱ|𝑈𝑖). Para ver la exactitud en 𝒞0(𝔘,ℱ)hemos de comprobar que Im(0 →ℱ) = Ker (ℱ→𝒞0(𝔘,ℱ)). En efecto, la imagen del primer morfismo es 0al ser la imagen del 0en ℱ. A su vez, el núcleo de 𝜀es 0ya que es nulo en todos los abiertos 𝑈𝑖. Nos resta probar la exactitud en 𝒞𝑝(𝔘,ℱ)para todo 𝑝≥1. Equivalentemente, probaremos la exactitud en los tallos. Sea 𝑥∈𝑋, y sea 𝑈𝑗un abierto del recubrimiento que contenga al punto. Para cada 𝑝≥1vamos a definir un morfismo entre los 58 cohomología de haces que además también se tiene si tomamos el límite sobre cualquier recubrimiento por abiertos, pues siempre podemos refinar un recubrimiento por abiertos a uno finito por abiertos de la base distinguida al ser 𝑋cuasicompacto. Luego  𝐻0(𝑋,  𝑀) = 𝑀y  𝐻𝑖(𝑋,  𝑀)=0para todo 𝑖 > 0. El problema radica en que al no ser necesariamente 𝑋Hausdorff, no podemos aplicar los resultados que nos indican que coincide la cohomología de haces con la de Čech, por lo tendremos que recurrir al teorema de Cartan. Teorema 3.17 (Teorema de Cartan). Sea 𝑋un espacio topológico y sea 𝐵una base del mismo, que sea cerrada bajo intersecciones dos a dos. Consideremos un haz ℱ de grupos abelianos en 𝑋tal que  𝐻𝑖(𝑈, ℱ) = 0 para todo abierto 𝑈de 𝐵. Entonces  𝐻𝑖(𝑋, ℱ)es isomorfo a 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)para todo 𝑖≥0. Para la prueba del teorema de Cartan necesitaremos el siguiente lema auxiliar, que generaliza un resultado que ya conocemos para los haces flácidos: Lema 3.18.Sea 𝑋un espacio topológico y consideremos un haz de grupos abelianos ℱsobre 𝑋tal que  𝐻1(𝑋, ℱ)=0. Entonces para cualquier sucesión exacta corta de haces 0→ℱ→𝒢→ℋ→0, la sucesión dada por las secciones globales es exacta: 0 Γ(𝑋, ℱ) Γ(𝑋, 𝒢) Γ(𝑋, ℋ) 0. Demostración. Al ser el funtor de secciones globales exacto a la izquierda, solo tenemos que comprobar la sobreyectividad del segundo morfismo. Consideremos una sección 𝑠∈ Γ(𝑋, ℋ), y sea {𝑈𝑖}𝑖∈𝐼un recubrimiento por abiertos de 𝑋de forma que para cada 𝑖∈𝐼,𝑠|𝑈𝑖sea la imagen de una sección 𝑡𝑖∈ Γ(𝑈𝑖,𝒢). Para cada 𝑖, 𝑗 ∈𝐼establecemos: 𝑢𝑖𝑗 =𝑡𝑖|𝑈𝑖𝑗 −𝑡𝑗|𝑈𝑖𝑗 ∈ Γ(𝑈𝑖𝑗,𝒢). 𝑢𝑖𝑗 tendrá el 0como imagen en Γ(𝑈𝑖𝑗,ℋ), luego a su vez lo podemos ver como un elemento de Γ(𝑈𝑖𝑗,ℱ)y entonces los 𝑢𝑖𝑗 formarán un cociclo para la cohomología de Čech de orden uno de ℱpara el recubrimiento 𝔘. Ahora, podemos realizar este mismo proceso si pasamos del recubrimiento 𝔘a otro más fino 𝔅= {𝑉𝑗}𝑗∈𝐽, ya que en tal caso tenemos una aplicación 𝜆∶𝐽→𝐼tal que 𝑉𝑖⊆ 𝑈𝜆(𝑖). Luego podemos proceder de la siguiente manera: Sustituimos los 𝑡𝑖, 𝑖 ∈𝐼por los 𝑡𝜆(𝑖)|𝑉𝑖para 𝑗∈𝐼. 3. computación de la cohomología de haces 59 Sustituimos los 𝑡𝑖𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈𝐼por los 𝑢𝜆(𝑖)𝜆(𝑗)|𝑉𝑖𝑗 con 𝑖, 𝑗 ∈𝐼. Seguiremos llamando 𝔘al recubrimiento por abiertos tras el refinamiento. Usando la hipótesis de que  𝐻1(𝑋, ℱ) = 0, podemos refinar el recubrimiento 𝔘 de forma que los 𝑢𝑖𝑗 sean un 1-coborde para la cohomología de Čech. Luego habrá secciones 𝑣𝑖∈ Γ(𝑈𝑖,ℱ)de forma que 𝑣𝑖|𝑈𝑖∩𝑈𝑗−𝑣𝑗|𝑈𝑖∩𝑈𝑗=𝑢𝑖𝑗 para todo 𝑖, 𝑗 ∈𝐼. Para cada 𝑖∈𝐼formamos las secciones 𝑤𝑖=𝑡𝑖−𝑣𝑖∈ Γ(𝑈𝑖,𝒢). Por un lado estas secciones cumplen que la imagen de 𝑤𝑖en Γ(𝑈𝑖,ℋ)es igual a 𝑠|𝑈𝑖ya que 𝑣𝑖proviene de ℱ, y por ello su imagen en ℋha de ser cero al tratarse de un complejo y haber aplicado la diferencial dos veces. Pero además: 𝑤𝑖|𝑈𝑖𝑗 −𝑤𝑗|𝑈𝑖𝑗 = (𝑡𝑖|𝑈𝑖𝑗 −𝑣𝑖|𝑈𝑖𝑗 ) − (𝑡𝑗|𝑈𝑖𝑗 −𝑣𝑗|𝑈𝑖𝑗 )=(𝑡𝑖|𝑈𝑖𝑗 −𝑡𝑗|𝑈𝑖𝑗 ) − (𝑣𝑖|𝑈𝑖𝑗 −𝑣𝑗|𝑈𝑖𝑗 ) = 𝑢𝑖𝑗 −𝑢𝑖𝑗 = 0. Luego podemos pegar los 𝑤𝑖en una sección global 𝑤∈ Γ(𝑋, 𝒢)de donde proviene 𝑠, probando por tanto que el morfismo es sobreyectivo y concluyendo la prueba. Ya podemos proceder a probar el teorema 3.17. Demostración. En el caso 𝑖= 0 la cohomología de haces y la de Čech coinciden, tratándose en ambos casos de las secciones globales. Probaremos el resto por inducción, supongamos que es cierto para todos los valores menores que un 𝑖dado y consideremos una sucesión exacta corta de haces con 𝒢flácido: 0→ℱ→𝒢→ℋ→0. Empleando el lema 3.18, para cada abierto 𝑈en la base 𝐵la sucesión de dichas secciones es exacta: 0→Γ(𝑈, ℱ)→Γ(𝑈, 𝒢)→Γ(𝑈, ℋ)→0. Consideremos un recubrimiento de 𝑋por abiertos de la base 𝔘= {𝑈𝑖}𝑖∈𝐼. Como la base 𝐵es cerrada bajo intersecciones dos a dos, la sucesión de los complejos de Čech es a su vez exacta: 0→𝒞∙(𝔘,ℱ)→𝒞∙(𝔘,𝒢)→𝒞∙(𝔘,ℋ)→0. 60 cohomología de haces Ahora, como podemos refinar cualquier recubrimiento por abiertos a un recubrimiento por abiertos de la base, tomar límite directo sobre todos los recubrimientos es equivalente a tomar límite sobre los abiertos de la base, con lo cual de nuevo 0→𝒞∙(𝑋, ℱ)→𝒞∙(𝑋, 𝒢)→𝒞∙(𝑋, ℋ)→0 es una sucesión exacta corta de complejos, y lo mismo ocurre si en lugar del espacio 𝑋ponemos cualquier abierto 𝑈empleando el mismo razonamiento. Ahora lo que vamos a hacer es considerar la sucesión exacta larga en cohomología de Čech asociada a esta sucesión exacta corta, y la vamos a comparar con la sucesión exacta larga que obtenemos de la cohomología de haces. Aplicando el lema 3.10 sabemos que hay morfismos entre ambas sucesiones, obteniendo el diagrama:  𝐻𝑖−1(𝑋, 𝒢) 𝐻𝑖−1(𝑋, ℋ) 𝐻𝑖(𝑋, ℱ) 𝐻𝑖(𝑋, 𝒢) 𝐻𝑖−1(𝑋, 𝒢)𝐻𝑖−1(𝑋, ℋ)𝐻𝑖(𝑋, ℱ)𝐻𝑖(𝑋, 𝒢) Por un lado tenemos que  𝐻𝑖(𝑋, 𝒢) = 𝐻𝑖(𝑋, 𝒢)=0al ser 𝒢un haz flácido. Además, si en lugar de 𝑋consideramos un abierto básico que denotaremos 𝑈y nos fijamos en la sucesión superior, para 𝑖 > 0tenemos que  𝐻𝑖−1(𝑈, ℋ)está entre dos grupos nulos luego es a su vez nulo, con lo cual ℋtambién cumple las hipótesis del teorema. Ahora podemos argumentar por cambio de dimensión de la siguiente manera. La primera flecha vertical es un isomorfismo, entre los grupos nulos para 𝑖 > 0y entre las secciones globales para 𝑖= 0. La segunda vertical es un isomorfismo por lo que acabamos de ver y la cuarta es el morfismo nulo entre los grupos nulos, lo que nos permite aplicar el lema de los cinco y tener que la tercera vertical es un isomorfismo. Nota 3.19.El recíproco de este teorema es también cierto, es decir, si tenemos que los grupos de cohomología 𝑖 > 0son todos nulos para cualquier haz cuasicoherente el esquema será afín, y de hecho podemos dar un resultado similar para los haces de ideales coherentes: Teorema 3.20. Sea 𝑋un esquema noetheriano. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. 𝑋es un esquema afín. 3. computación de la cohomología de haces 61 2. 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)=0para cualquier haz ℱcuasicoherente y todo 𝑖≥0. 3. 𝐻1(𝑋, 𝒥)) = 0 para cualquier haz 𝒥de ideales coherente. Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch. III Th 3.7]. 3.3 Cohomología del espacio proyectivo El objetivo de esta sección es definir los haces 𝑋(𝑛)sobre el espacio proyectivo, dar algunas de sus propiedades y calcular su cohomología. Obtendremos también otro teorema de anulación debido a Serre. Estos resultados serán fundamentales para poder abordar la dualidad de Serre, además de como ejemplo de cálculo que podemos llevar a cabo con lo desarrollado sobre la cohomología de Čech. Para esta sección hemos seguido principalmente las referencias [5, Ch II, §§ 5–7, Ch III, § 5] y [9, Lectures 27–29]. Definición 3.21. Consideremos un anillo graduado 𝑆, un entero positivo 𝑛y un 𝑆módulo graduado 𝑀. Denotaremos por 𝑀(𝑛)al módulo trasladado 𝑀(𝑛)𝑖=𝑀𝑛+𝑖, es decir, hemos desplazado la gradución por 𝑛. Definición 3.22. Sea 𝑆un anillo graduado y sea 𝑋= Proj 𝑆. Para cualquier 𝑛∈ℤ definimos el haz 𝑋(𝑛)como  𝑆(𝑛). A 𝑋(1) lo llamaremos el haz de Serre. A su vez, para cualquier haz de 𝑋-módulos ℱ, denotaremos por ℱ(𝑛)el haz ℱ⊗𝑋 𝑋(𝑛). Veamos algunas de sus propiedades: Proposición 3.23.Sea 𝑆un anillo graduado y sea 𝑋= Proj 𝑆. Supongamos que 𝑆está generado por 𝑆1como una 𝑆0-álgebra. Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: a) Los haces 𝑋(𝑛)son invertibles en 𝑋. b) Dado un 𝑆-módulo graduado cualquiera M, se cumple que  𝑀(𝑛) ≅  (𝑀(𝑛)). c) 𝑋(𝑛)⊗𝑋(𝑚) ≅ 𝑋(𝑛+𝑚). 62 cohomología de haces d) Dado otro anillo graduado 𝑇, generado por 𝑇1como una 𝑇0álgebra, y sean 𝜑∶𝑆→𝑇un homomorfismo graduado, 𝑈 ⊆ 𝑌 = Proj𝑇y𝑓∶𝑈→𝑋el morfismo determinado por 𝜑. Entonces 𝑓∗(𝑋(𝑛)) ≅ 𝑌(𝑛)|𝑈y𝑓∗(𝑌(𝑛)|𝑈) ≅ (𝑓∗𝑈)(𝑛). Demostración. a) Probar que el haz sea invertible es por definición demostrar que es localmente libre de rango 1. Consideremos 𝑓∈𝑆1y la restricción 𝑋(𝑛)|𝐷+(𝑓). Por el apartado (b) de la proposición 1.40 tendremos que será isomorfo a  𝑆(𝑛)(𝑓) en Spec𝑆𝑓. Veamos que esta restricción es libre de rango 1. Tenemos que 𝑆(𝑓)es el grupo de elementos de grado 0en 𝑆𝑓y el módulo trasladado 𝑆(𝑛)(𝑓)es el grupo de elementos de grado 𝑛en 𝑆𝑓. Podemos obtener un isomorfismo entre 𝑆(𝑓)y𝑆(𝑛)(𝑓)mediante el morfismo dado por el producto 𝑠→𝑓𝑛𝑠, el cual tiene sentido para cualquier 𝑛∈ℤal ser 𝑓invertible en 𝑆(𝑓). Ahora, como por hipótesis 𝑆está generado por 𝑆1como una 𝑆0-álgebra, podemos recubrir 𝑋con los abiertos 𝐷+(𝑓)para 𝑓∈𝑆1, con lo cual efectivamente 𝑋(𝑛)es invertible. b) La prueba se basa en que, dados 𝑆-módulos graduados 𝑀y𝑁cualesquiera, con 𝑆generado por 𝑆1como una 𝑆0-álgebra, entonces  (𝑀 ⊗𝑆𝑁) ≅  𝑀 ⊗𝑋  𝑁. c) Se trata de un caso particular del apartado anterior. d) La prueba se basa en que para cualquier 𝑆-módulo graduado 𝑀, se tiene que 𝑓∗( 𝑀) ≅  (𝑀 ⊗𝑆𝑇)|𝑈, lo cual se demuestra buscando reducirse al caso afín que probamos en 1.28. Análogamente, para la imagen directa usando también la proposición 1.28 se puede probar que para cualquier 𝑇-módulo graduado 𝑁 se tiene que 𝑓∗( 𝑁|𝑈) ≅  (𝑆𝑁)mediante el caso afín y a través de ello es posible llegar al resultado. Vamos a poder definir, usando estos haces, un 𝑆-módulo graduado asociado a un haz de módulos en 𝑋= Proj 𝑆, y entrarán en juego distintos resultados cohomológicos. Definición 3.24. Sean 𝑆un anillo graduado, 𝑋= Proj 𝑆yℱun haz de 𝑋módulos. Definimos el 𝑆-módulo graduado asociado a ℱcomo grupo de la siguiente manera: Γ∗(ℱ) = ⨁ 𝑛∈ℤ Γ(𝑋, ℱ(𝑛)). 3. computación de la cohomología de haces 63 Vamos a darle estructura de 𝑆-módulo graduado para que el objeto esté bien definido. Dado 𝑠∈𝑆𝑑, este determina una sección global 𝑠∈ Γ(𝑋, 𝑋(𝑑)). Luego para cualquier 𝑡∈ Γ(𝑋, ℱ(𝑛)) podemos definir el producto 𝑠⋅𝑡en Γ(𝑋, ℱ(𝑛+𝑑)) tomando el producto tensorial y empleando que ℱ(𝑛)⊗𝑋𝑋(𝑑) ≅ ℱ(𝑛+𝑑)por la proposición 3.23. Proposición 3.25.Sea 𝑅un anillo, sea 𝑆=𝑅[𝑥0, 𝑥1, ..., 𝑥𝑟]con 𝑟≥1y sea 𝑋= Proj 𝑆. Entonces Γ∗(𝑋) ≅ 𝑆. Demostración. Para demostrar el resultado primero recubrimos 𝑋mediante los abiertos afines 𝐷+(𝑥𝑖). Ahora, dar una sección 𝑡∈ Γ(𝑋, 𝑋(𝑛)) es equivalente a dar secciones 𝑡𝑖∈𝑋(𝑛)(𝐷+(𝑥𝑖)) para cada 𝑖, de forma que coincidan en las intersecciones 𝐷+(𝑥𝑖𝑥𝑗)para poder pegarlas en una sección global. A su vez, por el apartado (b) de la proposición 1.40, 𝑡𝑖es un elemento homogéneo de grado 𝑛en la localización 𝑆𝑥𝑖, y su restricción a 𝐷+(𝑥𝑖𝑥𝑗)será la imagen del mismo en 𝑆𝑥𝑖𝑥𝑗. Haciendo ahora la suma directa sobre los distintos 𝑛∈ℤ, podemos identificar Γ∗(𝑋)con el conjunto de 𝑟+ 1-uplas (𝑡0, 𝑡1,…, 𝑡𝑟)tales que para cada 𝑖esté 𝑡𝑖en 𝑆𝑥𝑖 y para cada par 𝑖, 𝑗, las imágenes de 𝑡𝑖y𝑡𝑗coincidan en la localización 𝑆𝑥𝑖𝑥𝑗, para que sean compatibles. Sabemos que los 𝑥𝑖no son divisores de cero en 𝑆, luego los morfismos de localización 𝑆→𝑆𝑥𝑖y𝑆𝑥𝑖 →𝑆𝑥𝑖𝑥𝑗son inyectivos para cualesquiera 𝑖, 𝑗, siendo los anillos de localización todos subanillos de 𝑆′∶= 𝑆𝑥0𝑥1…𝑥𝑟. Con lo cual obtenemos que Γ∗(𝑋) se puede identificar con la intersección ⋂𝑆𝑥𝑖, tomando dicha intersección dentro de 𝑆′. A su vez, podemos escribir cualquier elemento homogéneo de 𝑆′de forma única como un producto 𝑥𝑖0 0𝑥𝑖1 1…𝑥𝑖𝑟 𝑟𝑓(𝑥0, 𝑥1,…, 𝑥𝑟), donde los 𝑖𝑗∈ℤ, y 𝑓es un polinomio homogéneo no divisible por ninguno de los 𝑥𝑖. Este elemento estará en 𝑆𝑥𝑖si y solo si 𝑖𝑗≥0para todos los 𝑗≠𝑖, luego de aquí tenemos que la intersección de todos los 𝑆𝑥𝑖es exactamente 𝑆. Tras estas definiciones y resultados previos, ya podemos enunciar y demostrar el principal resultado, sobre la cohomología de los haces 𝑋(𝑛)en el espacio proyectivo. Teorema 3.26 (Cohomología del espacio proyectivo). Sea 𝑅un anillo, consideremos un entero 𝑟≥1, y establezcamos 𝑋=ℙ𝑟 𝑅y𝑆=𝑅[𝑥0, 𝑥1, ..., 𝑥𝑟]. Se cumple entonces que: a) Hay un isomorfismo de 𝑅-módulos graduados: 𝑆→⨁𝑛∈ℤ𝐻0(𝑋, 𝑋(𝑛)). b) Para 0< 𝑖 < 𝑟 y𝑛∈ℤse tiene que 𝐻𝑖(𝑋, 𝑋(𝑛)) = 0. 64 cohomología de haces c) 𝐻𝑟(𝑋, 𝑋(−𝑟− 1)) ≅ 𝑅. d) Hay una aplicación 𝑅-lineal: 𝐻0(𝑋, 𝑋(𝑛)) × 𝐻𝑟(𝑋, 𝑋(−𝑛−𝑟− 1)) →𝐻𝑟(𝑋, 𝑋(−𝑟− 1)) ≅ 𝑅 que es un emparejamiento perfecto de 𝑅-módulos libres para cada 𝑛∈ℤ. e) Para 𝑖>𝑟, tenemos que 𝐻𝑖(𝑋, 𝑋(𝑛)) = 0. Demostración. El apartado (a) es directamente la proposición 3.25, que hemos incluido para dar el teorema de forma más completa. Vamos a probar el resto usando los resultados que conocemos de la cohomología de Čech. Sea ℱel haz cuasicoherente ⨁𝑛∈ℤ𝑋(𝑛). En un espacio noetheriano, como es el caso, la cohomología conmuta con las sumas directas, por la nota 2.42, luego la cohomología de ℱserá la suma directa de la cohomología de los haces 𝑋(𝑛). Lo que haremos será calcular la cohomología de ℱy tener en cuenta en el proceso la graduación de los 𝑋(𝑛)para poder llegar al resultado final. Todos los grupos de cohomología con los que estamos trabajando tienen una estructura de 𝑅-módulo. Dados 𝑖= 0,…, 𝑟, denotemos por 𝑈𝑖al abierto 𝐷+(𝑥𝑖). Los abiertos 𝑈𝑖son afines, y recubren 𝑋, luego podemos calcular la cohomología aplicando Čech a este recubrimiento 𝔘= (𝑈𝑖)𝑖∈0,…,𝑟 por el corolario 3.15. Al tener un recubrimiento por 𝑟+ 1 abiertos, en particular se tiene que 𝐻𝑖(𝑋, 𝑋(𝑛)) = 0 para todo 𝑖>𝑟, probando (e). Realmente también lo podríamos haber obtenido como consecuencia del teorema de anulación 2.37. Para cualquier conjunto de índices 𝑖0,…, 𝑖𝑝, el abierto 𝑈𝑖0...𝑖𝑝será 𝐷+(𝑥𝑖0⋯𝑥𝑖𝑝), luego aplicando el apartado (b) de la proposición 1.40 y la proposición 3.25 tendremos que: ℱ(𝑈𝑖0,…, 𝑖𝑝) ≅ 𝑆𝑥𝑖0…𝑥𝑖𝑝. Es decir, coincide con la localización de 𝑆respecto al elemento 𝑥𝑖0…𝑥𝑖𝑝. Además, la graduación en ℱse corresponde con la graduación de 𝑆𝑥𝑖0⋯𝑥𝑖𝑝bajo este isomorfismo, pues se tiene con los elementos de grado 0. Luego el complejo de Čech de ℱvendrá dado por: 𝐶∙(𝔘,ℱ) ∶ ∏ 𝑖0 𝑆𝑥𝑖0 →∏ 𝑖0<𝑖1 𝑆𝑥𝑖0𝑥𝑖1 →⋯→𝑆𝑥0𝑥1...𝑥𝑟. Además, todos los módulos tienen una graduación natural compatible con la graduación de ℱ.𝐻0(𝑋, ℱ)es el núcleo del primer morfismo, el cual es 𝑆por la proposición 3.25. 3. computación de la cohomología de haces 65 Vamos a estudiar ahora 𝐻𝑟(𝑋, ℱ). Se trata del conúcleo de la última aplicación en el complejo de Čech, la cual viene dada por: 𝑑𝑟−1 ∶∏ 𝑘 𝑆𝑥0…𝑥𝑘…𝑥𝑟 →𝑆𝑥0…𝑥𝑟. Podemos ver 𝑆𝑥0𝑥1…𝑥𝑟como un 𝑅-módulo libre con base 𝑥𝑙0 0𝑥𝑙1 1…𝑥𝑙𝑟 𝑟, con 𝑙𝑖∈ℤ. La imagen de 𝑑𝑟−1 es el submódulo libre generado por esta base, siendo alguno de los 𝑙𝑖≥ 0. Luego al cocientar, 𝐻𝑟(𝑋, ℱ)será un 𝑅-módulo libre cuya base podemos ver como los monomios con todos los términos de exponentes negativos: {𝑥𝑙0 0𝑥𝑙1 1…𝑥𝑙𝑟 𝑟|𝑙𝑖< 0para cada 𝑖}. La graduación vendrá dada por ∑𝑙𝑖. En el caso de grado −𝑟− 1 hay único monomio de este tipo, que será 𝑥−1 0…𝑥−1 𝑟, luego de aquí obtenemos que 𝐻𝑟(𝑋, 𝑋(−𝑟− 1)) es un 𝑅-módulo libre de grado 1, y por tanto es isomorfo a 𝑅, probando (c). Para proceder con (d), hay que tomar en consideración que si 𝑛 < 0entonces 𝐻0(𝑋, 𝑋(𝑛)) = 0 por (a), y 𝐻𝑟(𝑋, 𝑋(−𝑛−𝑟− 1)) = 0 por lo anterior, ya que en tal caso −𝑛−𝑟− 1 >−𝑟− 1, luego no hay monomios de dicho grado, teniendo todos sus términos grado negativo. Por tanto el resultado es cierto para 𝑛 < 0y nos podemos centrar en el caso 𝑛≥0.𝐻0(𝑋, 𝑋(𝑛)) tiene una base formada por los monomios de grado 𝑛, es decir: {𝑥𝑚0 0𝑥𝑚1 1⋯𝑥𝑚𝑟 𝑟|𝑚𝑖≥0,∑𝑚𝑖=𝑛}. El emparejamiento con 𝐻𝑟(𝑋, 𝑋(−𝑛−𝑟− 1)) en 𝐻𝑟(𝑋, 𝑋(−𝑟− 1)) vendrá dado a través del producto de los monomios, que es de donde obtenemos el morfismo: (𝑥𝑚0 0…𝑥𝑚𝑟 𝑟) (𝑥𝑙0 0…𝑥𝑙𝑟 𝑟)=(𝑥𝑚0+𝑙0 0…𝑥𝑚𝑟+𝑙𝑟 𝑟), siendo ∑𝑙𝑖= −𝑛−𝑟− 1. Entonces ∑(𝑚𝑖+𝑙𝑖)=−𝑟− 1. Además, el término derecho será 0si algún 𝑚𝑖+𝑙𝑖≥0, con lo cual tenemos un emparejamiento perfecto, bajo el cual 𝑥−𝑚0−1 0…𝑥−𝑚𝑟−1 𝑟será el dual del elemento 𝑥𝑚0 0…𝑥𝑚𝑟 𝑟. Ya solo nos queda por probar (b), para lo que procederemos por inducción en 𝑟. En el caso 𝑟≤1no hay nada que probar, luego supongamos que 𝑟 > 1. Podemos localizar el complejo 𝐶∙(𝔘,ℱ)con respecto a 𝑥𝑟como 𝑆-módulos graduados, y obtendremos el complejo de Čech para el haz ℱ|𝑈𝑟en el espacio 𝑈𝑟, con respecto al recubrimiento dado por las intersecciones {𝑈𝑖∩𝑈𝑟|𝑖= 0,…, 𝑟}. Este complejo nos dará la cohomología de ℱ|𝑈𝑟en el espacio 𝑈𝑟, la cual es 0para todo 𝑖 > 0por el teorema 3.14. Ahora, como la localización es un funtor exacto, podemos concluir que 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)𝑥𝑟= 0para todo 𝑖 > 0. Es decir, todo elemento de 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)para 𝑖 > 0se anula para alguna potencia de 𝑥𝑟. Para completar la prueba, demostraremos que para 0< 𝑖 < 𝑟 66 cohomología de haces la multiplicación por 𝑥𝑟induce una aplicación biyectiva de 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)en si mismo, luego este módulo habrá de ser 0. Consideremos para ello la sucesión exacta de 𝑆-módulos graduados: 0𝑆(−1) 𝑆 𝑆∕(𝑥𝑟) 0. 𝑥𝑟 La multiplicación por 𝑥𝑟aumenta en uno la graduación, y después hemos tomado el conúcleo para que la sucesión sea exacta. Si denotamos por 𝐻al hiperplano 𝑥𝑟= 0, esto nos da lugar a la siguiente sucesión exacta de haces: 0𝑋(−1) 𝑋𝐻0. Ahora, si realizamos la suma directa con la que está definido ℱaplicada a cada término podemos obtener la siguiente sucesión exacta: 0ℱ(−1) ℱ ℱ𝐻0, donde ℱ𝐻=⨁𝑛∈ℤ𝐻(𝑛). Podemos ahora tomar la cohomología, y obtener de aquí una sucesión exacta larga: ⋯𝐻𝑖(𝑋, ℱ(−1)) 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)𝐻𝑖(𝑋, ℱ𝐻)⋯ Si lo consideramos como 𝑆-módulos graduados, 𝐻𝑖(𝑋, ℱ(−1)) es 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)trasladando una unidad la graduación, y siendo el morfismo 𝐻𝑖(𝑋, ℱ(−1)) →𝐻𝑖(𝑋, ℱ)de nuevo la multiplicación por 𝑥𝑟. Ahora, el hiperplano 𝐻es isomorfo a ℙ𝑟−1 𝑅y aplicando el lema 2.43 se cumple que 𝐻𝑖(𝑋, ℱ𝐻) = 𝐻𝑖(𝐻, ⊕𝐻(𝑛)). Luego podemos aplicar la hipótesis de inducción a ℱ𝐻y deducir que 𝐻𝑖(𝑋, ℱ𝐻) = 0para 1< 𝑖 < 𝑟 − 1. Entonces 𝑥𝑟induce un isomorfismo entre 𝐻𝑖(𝑋, ℱ(−1)) y 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)para cualquier índice 0< 𝑖 < 𝑟 − 1, finalizando la prueba en estos casos. Si tomamos 𝑖= 0 obtenemos una sucesión exacta: 0𝐻0(𝑋, ℱ(−1)) 𝐻0(𝑋, ℱ)𝐻0(𝑋, ℱ𝐻) 0, que se debe a que 𝐻0(𝑋, ℱ𝐻)es 𝑆∕(𝑥𝑟), siendo este el conúcleo de la multiplicación por 𝑥𝑟. Con ello, podemos obtener en grado 1la sucesión exacta 0←→ 𝐻1(𝑋, ℱ(−1)) ←→ 𝐻1(𝑋, ℱ)←→ 0, 3. computación de la cohomología de haces 67 de donde obtenemos el isomorfismo que buscábamos para 𝑖= 0. Por otro lado, en el extremo contrario de la sucesión exacta larga tenemos: 0𝐻𝑟−1(𝑋, ℱ(−1)) 𝐻𝑟−1(𝑋, ℱ)𝐻𝑟−1(𝑋, ℱ𝐻) 0𝐻𝑟(𝑋, ℱ)𝐻𝑟(𝑋, ℱ(−1)) 𝛿 𝑥𝑟 Esto viene de que hemos descrito 𝐻𝑟(𝑋, ℱ)como el 𝑅-módulo libre estando la base formada por los monomios de grado con componentes 𝑥0…𝑥𝑟de grado negativo. Luego la multiplicación 𝑥𝑟habrá de ser sobreyectiva, de ahí el 0final de la sucesión. A su vez, el núcleo es el submódulo libre generado por los monomios con componentes de grado negativo 𝑥𝑙0 0…𝑥𝑙𝑟 𝑟, con 𝑙𝑟= −1, al anularse entonces al multiplicar por 𝑥𝑟. Como 𝐻𝑟−1(𝑋, ℱ𝐻)es el 𝑅-módulo libre cuya base son los monomios en 𝑥0…𝑥𝑟−1 y𝛿es la división por 𝑥𝑟, entonces la sucesión es exacta y en particular tenemos que 𝛿 es una aplicación inyectiva. Juntando todo lo anterior, el morfismo de multiplicación 𝑥𝑟∶𝐻𝑖(𝑋, ℱ(−1)) → 𝐻𝑖(𝑋, ℱ)es biyectivo para 0< 𝑖 < 𝑟 luego el módulo habrá de ser nulo. Nuestro siguiente objetivo será dar un teorema de anulación para la cohomología en los espacios proyectivos, similar al que vimos en el capítulo anterior, para lo cual necesitaremos una serie de resultados previos y definir el concepto de haz muy amplio respecto a un esquema. Lema 3.27.Sean 𝑋un esquema, ℒun haz invertible sobre 𝑋, y sean 𝑓∈ Γ(𝑋, ℒ), 𝑋𝑓el conjunto abierto de puntos 𝑥∈𝑋tales que 𝑓𝑥∉𝔪𝑥ℒ𝑥yℱun haz cuasicoherente en 𝑋. Entonces se tiene lo siguiente: a) Si 𝑋es cuasicompacto, y 𝑠∈ Γ(𝑋, ℱ)es una sección global de ℱcuya restricción a 𝑋𝑓es 0, para algún 𝑛 > 0se cumple que 𝑓𝑛𝑠= 0, donde estamos considerando 𝑓𝑛𝑠como una sección global de ℱ⊗ℒ⊗𝑛. b) Consideremos que 𝑋tiene además un recubrimiento por abiertos afines 𝑈𝑖, de forma que ℒ𝑈𝑖sea libre para cada 𝑖, y tal que 𝑈𝑖∩𝑈𝑗sea cuasicompacto para cada 𝑖, 𝑗. Entonces dada una sección 𝑡∈ Γ(𝑋𝑓,ℱ), habrá algún 𝑛 > 0, de forma que la sección 𝑓𝑛𝑡∈ Γ(𝑋𝑓,ℱ⊗ℒ⊗𝑛)se extienda a una sección global de ℱ⊗ℒ⊗𝑛. 74 cohomología de haces punto 𝑥si el anillo 𝑋,𝑥 es regular, y que 𝑋es regular, o no singular, si lo es en todos sus puntos. Definición 4.4. Dados 𝑅un anillo, 𝑆una 𝑅-álgebra, y 𝑀un 𝑆-módulo, llamamos 𝑅-derivación de 𝑆sobre 𝑀a una aplicación 𝑑∶𝑆→𝑀de forma que: 1) 𝑑sea aditiva. 2) 𝑑(𝑥𝑦) = 𝑥𝑑𝑦 +𝑦𝑑𝑥 para cualesquiera 𝑥, 𝑦 ∈𝑆. (Regla de Leibniz) 3) 𝑑(𝑐) = 0 ∀𝑐∈𝑅. Definición 4.5. Consideremos una 𝑅-álgebra 𝑆. El módulo de formas diferenciales relativas de 𝑆sobre 𝑅, también llamado módulo de diferenciales de Kähler de 𝑆sobre 𝑅, es un 𝑆-módulo, que denotaremos Ω𝑆∕𝑅, junto con una 𝑅-derivación 𝑑∶𝑆→Ω𝑆∕𝑅, con la propiedad universal de que para cualquier 𝑆-módulo 𝑀y cualquier 𝑅-derivación 𝑑′∶𝑆→𝑀, haya un único homomorfismo de 𝑆-módulos 𝑓∶ Ω𝑆∕𝑅→𝑀de forma que 𝑑′=𝑓◦𝑑. Observación 4.6.La existencia de dicho módulo está garantizada, pues podríamos considerar el 𝑆-módulo libre generado por los símbolos {𝑑𝑠|𝑠∈𝑆}y después cocientar por las relaciones correspondientes a (1),(2) y(3) de la definición 4.4, estando definida por la aplicación 𝑠→𝑑𝑠. Por la propiedad universal será única salvo isomorfismo. También es posible describir dicho módulo algebraicamente de forma más directa. Proposición 4.7.En las condiciones de la definición 4.5, consideremos el homomorfismo 𝑓∶𝑆⊗𝑅𝑆→𝑆definido como 𝑓(𝑠⊗𝑠′) = 𝑠𝑠′. Denotemos 𝐼= ker𝑓. Podemos considerar 𝑆 ⊗𝑅𝑆→𝑆como un 𝑆-módulo con la multiplicación por la izquierda. Entonces 𝐼∕𝐼2tiene estructura de 𝑆-módulo, y podemos definir un homomorfismo 𝑑∶𝑆→𝐼∕𝐼2como 𝑑𝑠 = 1 ⊗ 𝑠 −𝑠 ⊗ 1módulo 𝐼2. En tal caso (𝐼∕𝐼2, 𝑑)es isomorfo al módulo de diferenciales de Kähler para 𝑆∕𝑅. Demostración. Se puede ver en [12, Ch. X, 26.C ]. Buscamos dar una construcción equivalente en haces de este módulo de diferenciales. Consideremos para ello un morfismo de esquemas 𝑓∶𝑋→𝑌. Una primera idea podría ser emplear abiertos afines en los que podemos utilizar la definición anterior para construir el correspondiente módulo de diferenciales, buscando que fueran las secciones de un haz, pero es bastante pesado comprobar que se cumple la condición de pegado. 4. teorema de dualidad de serre 75 En su lugar consideraremos el morfismo diagonal Δ ∶ 𝑋→𝑋×𝑌𝑋. De la prueba del corolario 1.43 se puede deducir que Δda lugar a un isomorfismo de 𝑋con su imagen, que localmente es un subesquema cerrado de un esquema abierto 𝑊de 𝑋×𝑌 𝑋. Definición 4.8. Sea 𝒥el haz de ideales Δ(𝑋)en 𝑊. Definimos el haz de diferenciales relativos de 𝑋sobre 𝑌como el haz Ω𝑋∕𝑌= Δ∗(𝒥∕𝒥2). Nota 4.9.Esta definición coincide con la que se obtendría como el haz asociado al módulo 𝐼∕𝐼2definido previamente, teniéndose que para abiertos afines 𝑈= Spec𝑅 de 𝑋y𝑉= Spec𝑆de 𝑌, de forma que 𝑓(𝑈)⊆ 𝑉 , entonces Ω𝑈∕𝑉≅ (Ω𝑆∕𝑅). Ejemplo 4.10.En el caso del espacio afín 𝑋=𝔸𝑛 𝑌, tenemos que Ω𝑋∕𝑌es un 𝑋módulo libre de rango 𝑛, estando generado por las secciones globales 𝑑𝑥1,…, 𝑑𝑥𝑛, donde 𝑥1,…, 𝑥𝑛son coordenadas afines de 𝔸𝑛 𝑌. Proposición 4.11.Sea 𝑅un anillo, y sean 𝑌= Spec𝑅y𝑋=ℙ𝑛 𝑅. Entonces hay una sucesión exacta de haces en 𝑋: 0→Ω𝑋∕𝑌→𝑋(−1)𝑛+1 →𝑋→0. Demostración. Consideremos el anillo de coordenadas homogéneo 𝑆=𝑅[𝑥0,…, 𝑥𝑛]. Sea 𝐸el 𝑆-módulo graduado dado por 𝑆(−1)𝑛+1, que tiene como base en grado 1a 𝑒0,…, 𝑒𝑛al estar desplazado una unidad. Podemos definir un homomorfismo 𝐸→𝑆 a través de la aplicación 𝑒𝑖→𝑥𝑖. Si denotamos por 𝑀a su núcleo podemos formar la sucesión exacta 0→𝑀→𝐸→𝑆. Tomando los haces asociados obtenemos una sucesión exacta de haces en 𝑋: 0→ 𝑀→𝑋(−1)𝑛+1 →𝑋→0. El morfismo de haces 𝑋(−1)𝑛+1 →𝑋es sobreyectivo, lo que justifica que coloquemos el 0a la derecha, ya que 𝐸→𝑆es sobreyectivo para cualquier grado mayor o igual que 1. Buscamos ahora demostrar que  𝑀≅ Ω𝑋∕𝑌, con lo que tendríamos el resultado. Si localizamos en 𝑥𝑖, tendríamos que 𝐸𝑥𝑖 →𝑆𝑥𝑖es un homomorfismo sobreyectivo de 𝑆𝑥𝑖-módulos libres, luego 𝑀𝑥𝑖será libre de rango 𝑛, y estará generado por {𝑒𝑗− (𝑥𝑗∕𝑥𝑖)𝑒𝑖|𝑗≠𝑖}. Si consideramos el abierto 𝑈𝑖, dado por 𝑥𝑖≠0, entonces  𝑀|𝑈𝑖será un 𝑈𝑖-módulo libre, y estará generado por las secciones {(1∕𝑥𝑖)𝑒𝑗− (𝑥𝑗∕𝑥2 𝑖)𝑒𝑖|𝑗≠𝑖}, que hemos 76 cohomología de haces obtenido dividiendo por 𝑥𝑖en las secciones 𝑀𝑥𝑖para obtener los elementos de grado 0del módulo 𝑀𝑥𝑖. Vamos ahora a definir un morfismo 𝜑𝑖∶ Ω𝑋∕𝑌|𝑈𝑖 → 𝑀|𝑈𝑖. Debido a que 𝑈𝑖≅ Spec𝑅[𝑥0∕𝑥𝑖,…, 𝑥𝑛∕𝑥𝑖], tenemos que Ω𝑋∕𝑌 𝑈𝑖es un 𝑈𝑖-móduo libre generado por 𝑑(𝑥0∕𝑥𝑖),…, 𝑑(𝑥𝑛∕𝑥𝑖). Podemos entonces definir 𝜑𝑖(𝑑(𝑥𝑗∕𝑥𝑖)) = (1∕𝑥2 𝑖)(𝑥𝑖𝑒𝑗−𝑥𝑗𝑒𝑖), siendo un isomorfismo. La cuestión es ver que podemos pegar los 𝜑𝑖en un isomorfismo 𝜑∶ Ω𝑋∕𝑌→ 𝑀. Para ello, si consideramos el abierto 𝑈𝑖∩𝑈𝑗, tendremos que para la componente 𝑘ésima se cumple que (𝑥𝑘∕𝑥𝑖)=(𝑥𝑘∕𝑥𝑗)⋅(𝑥𝑗∕𝑥𝑖), y por ello en Ω𝑈𝑖∩𝑈𝑗se tiene que 𝑑(𝑥𝑘∕𝑥𝑖) − 𝑥𝑘∕𝑥𝑗𝑑(𝑥𝑗∕𝑥𝑖) = 𝑥𝑗∕𝑥𝑖𝑑(𝑥𝑘∕𝑥𝑗). Si aplicamos 𝜑𝑖en el lado izquierdo y 𝜑𝑗en el derecho, obtenemos en ambos casos (1∕𝑥𝑖𝑥𝑗)(𝑥𝑗𝑒𝑘−𝑥𝑘𝑒𝑗), luego efectivamente podemos pegar los 𝜑𝑖, finalizando con ello la prueba. Dada la definición de las variedades a través de esquemas, proposición [5, Ch II, Prop 4.10 & Remark 4.10.1], definiremos el haz canónico sobre estas, como es habitual en la literatura. Hay una estrecha relación entre los haces de diferenciales y las variedades no singulares. Teorema 4.12. Sea 𝑋un esquema separado, irreducible y de tipo finito sobre un cuerpo algebraicamente cerrado 𝑘. Entonces Ω𝑋∕𝑘es un haz localmente libre de rango 𝑛= dim𝑋si y solo si 𝑋es una variedad no singular sobre 𝑘. Demostración. Se puede encontrar en [5, Ch III. Theorem 8.15]. Definición 4.13 (Haz tangente y haz canónico). Sea 𝑋una variedad no singular sobre 𝑘. Definimos el haz tangente de 𝑋como 𝒯𝑋=ℋom𝑋(Ω𝑋∕𝑘,𝑋). Se trata de un haz localmente libre de rango 𝑛= dim𝑋. Definimos el haz canónico de 𝑋como 𝜔𝑋=⋀𝑛Ω𝑋∕𝑘, siendo ⋀la potencia exterior, es decir, se trata de la mayor potencia exterior de Ω𝑋∕𝑘. Es un haz invertible en 𝑋. Este haz jugará un gran papel en el teorema de dualidad de Serre, y es fundamental en distintas áreas de la Geometría Algebraica. Por ejemplo, también aparece en el teorema de Riemann-Roch [5, Ch. IV, Theorem 1.3]. 4. teorema de dualidad de serre 77 Proposición 4.14.Si 𝑋=ℙ𝑛 𝑘entonces 𝜔𝑋≅𝑋(−𝑛− 1). Para demostrarlo necesitaremos el siguiente resultado de álgebra homológica: Lema 4.15.Dada una sucesión exacta de módulos libres 0→𝑀→𝑁→𝑃→0de rangos respectivos 𝑎, 𝑎 +𝑏, 𝑏, se tiene que ⋀𝑎+𝑏𝑁≅⋀𝑎𝑀 ⊗ ⋀𝑏𝑃. Vamos con la prueba de la proposición 4.14 Demostración. Podemos adaptar a nuestro caso la sucesión exacta dada en 4.11, que sería: 0→Ωℙ𝑛→ℙ𝑛(−1)𝑛+1 →ℙ𝑛→0. Podemos considerar el lema, que también aplica para haces localmente libres y entonces 𝜔ℙ𝑛≅ℙ𝑛−1 (−𝑛− 1) ⊗ℙ𝑛. Pero tensorizar con ℙ𝑛es la identidad, luego 𝜔𝑃𝑛≅ℙ𝑛(−𝑛− 1). Vamos a proceder ahora a definir y dar distintas propiedades de los grupos Ext y su versión con ℋom, que nos darán los haces ℰxt. A través de ellos podremos enunciar la dualidad de Serre, además de ser fundamentales en su prueba. Definición 4.16. Sea (𝑋, 𝑋)un espacio anillado, y consideremos un 𝑋-módulo ℱ sobre él mismo. Definimos los funtores Ext𝑖(ℱ,∙) como los funtores derivados a la derecha de Hom(ℱ,∙) yℰ𝑥𝑡𝑖(ℱ,∙) como los funtores derivados a la derecha de ℋom(ℱ,∙). Observación 4.17.Esta noción está bien definida, ya que fijado un ℱ∈𝐌𝐨𝐝(𝐗), se cumple que Hom(ℱ,∙) es un funtor covariante exacto a la izquierda de 𝐌𝐨𝐝(𝐗)en 𝐀𝐛, mientras que ℋom(ℱ,∙) es un funtor covariante exacto a la izquierda de 𝐌𝐨𝐝(𝐗) en 𝐌𝐨𝐝(𝐗), y al tener esta categoría suficientes inyectivos, podemos construir efectivamente los funtores derivados. Nota 4.18.Más generalmente, se define Ext sobre un anillo Ext𝑅, considerándolo como el funtor derivado a derecha de Hom𝑅(𝑀, ∙) para cualquier 𝑅-módulo 𝑀, viéndolo como un funtor de 𝐌𝐨𝐝(𝐑)en si mismo. Lema 4.19.Dado un objeto inyectivo de 𝐌𝐨𝐝(𝐗), y cualquier abierto 𝑈 ⊆ 𝑋, se tiene que |𝑈es un objeto inyectivo de 𝐌𝐨𝐝(𝐔). Demostración. Consideremos la inclusión 𝑗∶𝑈→𝑋. Dada una inclusión de haces ℱ⊆𝒢en 𝐌𝐨𝐝(𝐔), y un morfismo ℱ→|𝑈, de la extensión por 0obtenemos una inclusión 𝑗!ℱ⊆ 𝑗!𝒢, junto con un morfismo 𝑗!ℱ→𝑗!(|𝑈). 78 cohomología de haces A su vez, 𝑗!(|𝑈)es un subhaz de , con lo cual hay un morfismo 𝑗!ℱ→. Al ser por hipótesis inyectivo, podemos extenderlo a un morfismo 𝑗!𝒢→, el cual podemos restringir a su vez al abierto 𝑈para obtener un morfismo 𝒢→|𝑈, y por tanto |𝑈es inyectivo. Proposición 4.20.Para cualquier abierto 𝑈 ⊆ 𝑋 hay un isomorfismo: ℰxti X(ℱ,𝒢)|𝑈≅ℰxti U(ℱ|𝑈,𝒢|𝑈). Demostración. Probaremos que ambos funtores son 𝛿-funtores universales, y por ello habrán de ser isomorfos aplicando el teorema 2.22. El hecho de que ambos sean 𝛿-funtores en 𝒢yendo de 𝐌𝐨𝐝(𝐗)a𝐌𝐨𝐝(𝐔)proviene de estar definidos como funtores derivados. Además la restricción a 𝑈es un funtor exacto. En el caso 𝑖= 0 coinciden, ya que los haces de cohomología de orden 0son los propios funtores ℋom, y entonces (ℋom𝑋(ℱ,𝒢))|𝑈≅ℋom𝑈(ℱ|𝑈,𝒢|𝑈). Para 𝑖 > 0 tenemos la anulación de los haces por el lema 4.19 si tomamos 𝒢inyectivo, luego ambos funtores son borrables para 𝑖 > 0y entonces son universales, y por ello isomorfos. Corolario 4.21.Dado un 𝑋-módulo inyectivo , los funtores Hom(∙,)yℋom(∙,) son exactos. Demostración. Para Hom(∙, 𝐼)es por definición. Para el funtor ℋom, aplicando el lema 4.19 sabemos que 𝑈es un objeto inyectivo de 𝐌𝐨𝐝(𝐔). Dada la sucesión exacta corta de haces 0→ℱ→𝒢→ℋ→0, podemos obtener la correspondiente sucesión exacta larga asociada a ℋom. Ahora, como ℰxt𝑖(𝒥,)=0para todo 𝑖 > 0y para cualquier haz 𝒥y objeto inyectivo , entonces dicha sucesión será a su vez una sucesión exacta corta al anularse en grado 1y superiores: 0→ℋom(ℋ,)→ℋom(𝒢,)→ℋom(ℱ,)→0. Luego el funtor es exacto. Proposición 4.22.Consideremos 𝑋un espacio proyectivo, y sea 𝒢∈𝐌𝐨𝐝(𝐗), se tiene lo siguiente: 4. teorema de dualidad de serre 79 a) ℰxt0(𝑋,𝒢) = 𝒢. b) ℰxti(𝑋,𝒢)=0para todo 𝑖 > 0 c) Exti(𝑋(−𝑞),𝒢) ≅ 𝐻𝑖(𝑋, 𝒢(𝑞)) para todo 𝑖 > 0y𝑞∈ℤ. Demostración. El funtor ℋom(𝑋,∙) es la identidad, luego de aquí tenemos (a) y que sus funtores derivados son 0para todo 𝑖 > 0, con lo que probamos (b). Para el apartado (c) y 𝑞= 0 hemos de darnos cuenta de que los funtores Hom(𝑋,∙) yΓ(𝑋, ∙) coinciden, ya que Hom(𝑋,∙) = Γ(ℋom(𝑋,∙)), luego sus correspondientes funtores derivados de 𝐌𝐨𝐝(𝐗)a𝐀𝐛 serán iguales, y por tanto Ext𝑖(𝑋,ℱ)también computa la cohomología de haces 𝐻𝑖(𝑋, 𝒢). El caso 𝑞≠0lo tenemos de la cadena de isomorfismos: Hom𝑋(𝑋(−𝑞),𝒢) ≅ Hom𝑋(𝑋,𝒢(𝑞)) ≅ 𝐻0(𝑋, 𝒢(𝑞)), donde el primer isomorfismo proviene de que el producto tensorial con 𝑋(𝑞)es una autoequivalencia de categorías, y el segundo de que el 𝐻0coincide con el Hom. Con los funtores Ext yHom, obtendremos también sucesiones exactas largas asociadas a sucesiones exactas cortas: Proposición 4.23.Consideremos una sucesión exacta corta 0→ℱ→𝒢→ℋ→0 en 𝐌𝐨𝐝(𝐗)y sea otro haz cualquiera 𝒥. Entonces obtenemos las siguientes sucesiones exactas largas asociadas: 0 Hom(ℋ,𝒥) Hom(𝒢,𝒥) Hom(ℱ,𝒥) Ext1(ℋ,𝒥) Ext1(𝒢,𝒥) Ext1(ℱ,𝒥)⋯ 0ℋom(ℋ,𝒥)ℋom(𝒢,𝒥)ℋom(ℱ,𝒥) ℰxt1(ℋ,𝒥)ℰxt1(𝒢,𝒥)ℰxt1(ℱ,𝒥)⋯ Asimismo, para un objeto inyectivo de 𝐌𝐨𝐝(𝐗), tendremos que tanto Ext𝑖(∙,) como ℰxt𝑖(∙,)son nulos para 𝑖 > 0. 80 cohomología de haces Demostración. Es consecuencia del teorema 2.8 de propiedades de los funtores derivados, teniendo en cuenta que los funtores son contravariantes. Definición 4.24. Sea ℱun haz y supongamos que tenemos una sucesión exacta en 𝐌𝐨𝐝(𝐗)de la forma ⋯→ℒ2→ℒ1→ℒ0→ℱ→0 siendo los ℒ𝑖localmente libres de rango finito. Entonces decimos que los ℒ∙forman una resolución localmente libre de ℱ. Proposición 4.25.Supongamos dada una resolución localmente libre ℒ∙de ℱ, y sea 𝒢∈𝐌𝐨𝐝(𝐗)cualquiera. En tal caso hay un isomorfismo: ℰxti(ℱ,𝒢) ≅ ℎ𝑖(ℋom(ℒ∙,𝒢)). Demostraremos que ambos son universales usando la condición suficiente y entonces ambos serán isomorfos por el teorema 2.22. Al ser los ℒ𝑖localmente libres ℋom(ℒ𝑖,∙) será un funtor exacto. Con lo cual el término derecho es un funtor cohomológico, dada una sucesión exacta 0→ℰ→ ℱ→ℋ→0, la sucesión 0→ℋom(ℒ∙,ℰ)→ℋom(ℒ∙,ℱ)→ℋom(ℒ∙,ℋ)→0 es también exacta, luego podemos tomar la correspondiente sucesión exacta larga, y los dos términos serán entonces funtores cohomológicos borrables para 𝑖 > 0, al anularse al tomar inyectivo. Nota 4.26.Dado un esquema cuasiproyectivo 𝑋sobre Spec𝑅, siendo 𝑅noetheriano, entonces por el corolario 3.35 cualquier haz coherente ℱen 𝑋es el cociente de un haz localmente libre de rango finito. Luego cualquier haz coherente en 𝑋tiene una resolución localmente libre, y podremos calcular ℰxt mediante las mismas. Observación 4.27.No podemos deducir de aquí que podamos expresar ℰxt como un funtor derivado en la primera variable, y de hecho no podemos obtener los funtores derivados a la derecha ni de Hom ni de ℋom en la primera variable ya que la categoría 𝐌𝐨𝐝(𝐗)no tiene suficientes proyectivos. Corolario 4.28.Dados dos haces coherentes ℱy𝒢en el espacio proyectivo ℙ𝑛 𝑘, siendo 𝑘un cuerpo, entonces ℰxt𝑖(ℱ,𝒢)es un haz coherente. 4. teorema de dualidad de serre 81 Demostración. Por el resultado anterior podemos obtener una resolución localmente libre ℒ∙de ℱ. Además, gracias al isomorfismo obtenido, nos basta probar que para cada 𝑖los ℎ𝑖(ℋom(ℒ∙,𝒢)) son coherentes, y esto es cierto ya que los haces ℒ∙y𝒢 lo son, luego ℋom(ℒ∙,𝒢)lo será a su vez. Para los siguientes resultados necesitaremos emplear el siguiente lema: Lema 4.29.Consideremos un espacio anillado (𝑋, 𝑋), y sea ℰun 𝑋-módulo localmente libre de rango finito. Denotamos a su dual por ℰ∨=ℋom𝑋(ℰ,𝑋). Entonces se tiene lo siguiente: a) (ℰ∨)∨≅ℰ. b) Para cualquier 𝑋-módulo ℱse cumple que ℋom𝑋(ℰ,ℱ) ≅ ℰ∨⊗𝑋ℱ. c) Sea (𝑋, 𝑋)un espacio anillado, y consideremos 𝑋-módulos ℱ,𝒢yℋ. Hay un isomorfismo canónico ℋom𝑋(ℱ⊗𝑋𝒢,ℋ) ≅ ℋom𝑋(ℱ,ℋom𝑋(𝒢,ℋ)). Demostración. a) Al ser ℰlocalmente libre, podemos considerar un recubrimiento {𝑈𝑖∶𝑖∈𝐼}de forma que ℰ|𝑈𝑖sea libre de rango 𝑛𝑖. Considerando 𝑋=𝑈𝑖, tendremos que HomX(𝑛𝑖 𝑋,𝑋) = 𝑛𝑖 𝑋, pues un morfismo está determinado por dónde envía los elementos de la base de 𝑛𝑖 𝑋. Si volvemos a tomar el dual tendremos que sigue siendo 𝑛𝑖 𝑋. Pero tenemos un morfismo canónico de 𝑛𝑖 𝑋 con su bidual en dicho abierto. Entonces podemos pegar los isomorfismos de los distintos abiertos y obtener el resultado. b) Sea 𝑈un abierto de forma que ℰsea libre, vamos a definir con ello un morfismo Hom𝑈(ℰ|𝑈,𝑋|𝑈)⊗𝑋ℱ(𝑈)→Hom𝑈(ℰ|𝑈,ℱ|𝑈). Este será el que lleva 𝑒𝑖⊗𝑎𝑖al morfismo que lleva 𝑒𝑖a𝑎𝑖de ℰ|𝑈aℱ|𝑈. Esto define todo el morfismo al haberlo expresado en elementos de la base en cada caso, donde estamos usando que por la prueba del apartado (a) tenemos en particular que el dual de un módulo localmente libre es a su vez localmente libre y del mismo rango. Además es un morfismo biyectivo, luego es un isomorfismo. A su vez, es posible pegar los morfismos y hacificar para obtener finalmente el resultado. c) La prueba se basa en que para cualesquiera 𝑅-módulos 𝑀,𝑁y𝑃se tiene que Hom𝑅(𝑀 ⊗𝑅𝑁, 𝑃 ) ≅ Hom𝑅(𝑀, Hom𝑅(𝑁, 𝑃 )), siendo este el correspondiente resultado en haces. Proposición 4.30.Si ℒ∈𝐌𝐨𝐝(𝐗)es un haz localmente libre de rango finito, e ∈ 𝐌𝐨𝐝(𝐗)es inyectivo, entonces ℒ⊗es también inyectivo. 82 cohomología de haces Demostración. Probaremos que Hom(∙,ℒ⊗)es exacto. Podemos emplear el lema 4.29 para ver que Hom(∙,ℒ⊗) ≅ Hom(∙ ⊗ℒ∨,)mediante la siguiente cadena de isomorfismos: Hom𝑋(∙ ⊗ℒ∨,) ≅ Hom𝑋(∙,ℋom(ℒ∨,)) ≅ ≅ HomX(∙,ℒ∨∨ ⊗𝑋) ≅ HomX(∙,ℒ⊗𝑋). El primer isomorfismo viene de aplicar la versión con secciones globales del apartado (c), el segundo del apartado (b) y finalmente el apartado (a) para poder cancelar el bidual. Ahora, dicho funtor es exacto pues (∙ ⊗ℒ∨)es un funtor exacto al ser ℒ∨localmente libre y por tanto plano, e inyectivo. Proposición 4.31.Dados ℱ,𝒢,ℒ∈𝐌𝐨𝐝(𝐗), siendo ℒlocalmente libre y de rango finito, se tienen los siguientes isomorfismos: Ext𝑖(ℱ⊗ℒ,𝒢) ≅ Ext𝑖(ℱ,ℒ∨⊗𝒢). ℰxt𝑖(ℱ⊗ℒ,𝒢) ≅ ℰxt𝑖(ℱ,ℒ∨⊗𝒢) ≅ ℰxt𝑖(ℱ,𝒢)⊗ℒ∨. Demostración. Tenemos que probar en ambos casos que los funtores son iguales, para lo que emplearemos el teorema 2.22. En el caso 𝑖= 0 hemos de comprobar por un lado que Hom(ℱ⊗ℒ,𝒢) ≅ Hom(ℱ,ℒ∨⊗𝒢), lo cual se tiene tomando secciones globales en el apartado (c) del lema 2.43 y sustituyendo la igualdad de (b) de dicho lema. Para los ℰxt tenemos que comprobar que ℋom𝑖(ℱ⊗ℒ,𝒢) ≅ ℋom(ℱ,ℒ∨⊗ 𝒢) ≅ ℋom𝑖(ℱ,𝒢)⊗ℒ∨. El primer isomorfismo se tiene aplicando el apartado (c), y después el (b) del lema 2.43, al ser el análogo en haces del isomorfismo anterior. Para el segundo, al ser ℒlocalmente libre, habrá un recubrimiento por abiertos 𝑈𝑖de forma que ℒ𝑈𝑖sea libre, es decir, de la forma 𝑛𝑖 𝑋. Teniendo en cuenta que Hom𝑈𝑖(𝑛𝑖 𝑋,𝑋) = 𝑛𝑖 𝑋, lo que tenemos que probar en cada abierto se reduce a: Hom𝑈𝑖(ℱ,𝑛𝑖 𝑋⊗𝒢) ≅ Hom𝑈𝑖(ℱ,𝒢)⊗𝑛𝑖 𝑋. Y esto es cierto porque el funtor Hom conmuta con los productos en el segundo factor. Entonces podemos pegar el isomorfismo de los distintos abiertos para probar que en 𝑖= 0 coinciden. 4. teorema de dualidad de serre 83 Por otro lado, ambos son 𝛿-funtores en 𝒢, que van desde 𝐌𝐨𝐝(𝐗)a𝐀𝐛 (a 𝐌𝐨𝐝(𝐗) para ℰxt), ya que tensorizar con ℒ∨es un funtor exacto al ser ℒ∨localmente libre y por tanto plano. Además, para 𝑖 > 0y𝒢un haz inyectivo tendremos que dichos grupos (haces) son nulos, aplicando la proposición 4.30, luego son borrables y por ello isomorfos. Proposición 4.32.Sea 𝑋un esquema noetheriano, y sean ℱun haz coherente sobre 𝑋,𝒢un 𝑋-módulo cualquiera y 𝑥∈𝑋. Entonces hay un isomorfismo ℰxt𝑖(ℱ,𝒢)𝑥≅ Ext𝑖 𝑋,𝑥 (ℱ𝑥,𝒢𝑥)para cada 𝑖≥0. El término derecho es tomar Ext sobre el anillo local 𝑋,𝑥, aplicando la nota 4.18. Demostración. Aplicando la proposición 4.20 nuestra cuestión es local, luego podemos suponer sin pérdida de generalidad que 𝑋es un esquema afín. Aplicando la nota 4.26, ℱtiene una resolución localmente libre ℒ∙→ℱ→0, luego podemos calcular ambos grupos mediante estas resoluciones. Pero para un haz localmente libre ℋom𝑋(ℒ,𝒢)𝑥= Hom𝑋,𝑥 (ℒ𝑥,𝒢𝑥)ya que localmente son una suma directa de haces estructurales, y el funtor que nos lleva a los gérmenes es exacto, luego tendremos que ℰxt𝑖(ℱ,𝒢)𝑥≅ Ext𝑖 𝑋,𝑥 (ℱ𝑥,𝒢𝑥)como queríamos probar. 4.2 Dualidad de Serre Estudiaremos primero la dualidad para el espacio proyectivo, que será un caso más sencillo, para luego dar y probar la versión más general con un esquema proyectivo cualquiera, para lo que necesitaremos introducir algunos resultados de Álgebra Conmutativa. Para esta sección hemos seguido principalmente en las referencias [5, Ch III, Section 3.6 & 3.7] y [12]. Teorema 4.33 (Dualidad de Serre en el espacio proyectivo). Sea 𝑋=ℙ𝑛 𝑘sobre un cuerpo 𝑘. Se tiene entonces lo siguiente: a) 𝐻𝑛(𝑋, 𝜔𝑋) ≅ 𝑘. b) Para cualquier haz coherente ℱen 𝑋, obtenemos un emparejamiento perfecto de espacios vectoriales sobre 𝑘: Hom(ℱ, 𝜔𝑋) × 𝐻𝑛(𝑋, ℱ)→𝐻𝑛(𝑋, 𝜔𝑋) ≅ 𝑘. 90 cohomología de haces Para poder dar el resultado de dualidad para esquemas proyectivos necesitamos introducir el concepto de anillos Cohen-Macaulay. Definición 4.41. Sea 𝑅un anillo y sea 𝑀un 𝑅-módulo, una resolución proyectiva de 𝑀es un complejo 𝑃∙de 𝑅-módulos proyectivos, de forma que la sucesión ⋯→𝑃2→𝑃1→𝑃0→𝑀→0 sea exacta. Si 𝑃𝑖= 0 para 𝑖>𝑛, y 𝑃𝑛≠0decimos que la resolución tiene longitud 𝑛. Llamaremos dimensión proyectiva de 𝑀, y lo notaremos pd(𝑀), al mínimo de las longitudes de las distintas resoluciones proyectivas de 𝑀. Definición 4.42. Dado un 𝑅-módulo 𝑀, una sucesión regular 𝑥1,…, 𝑥𝑛, es una sucesión de elementos de 𝑅, de forma que para cada 𝑖∈ {1,…, 𝑛}tengamos que 𝑥𝑖no es un divisor de cero en 𝑀∕(𝑥1,…, 𝑥𝑖−1)𝑀. Dado un anillo local 𝑅, llamaremos profundidad (depth) de 𝑀, la cual denotaremos por depth(𝑀), a la longitud máxima de una sucesión regular en 𝑀siendo todos los 𝑥𝑖 elementos del ideal maximal de 𝑅. Definición 4.43. Decimos que un anillo local noetheriano 𝑅es Cohen-Macaulay si se cumple que depth𝑅= dim𝑅, donde estamos tomando el propio 𝑅como 𝑅-módulo. Definición 4.44. Diremos que un esquema es Cohen-Macauly si todos sus anillos locales son Cohen-Macauly. Nota 4.45.Introducir la hipótesis de que un anillo sea Cohen-Macaulay puede parecer muy restrictiva y arbitraria, pero por ejemplo cualquier anillo local regular lo es, al poder usar generadores del espacio cotangente como sucesión regular. Asimismo, una clase muy importante de esquemas que son Cohen-Macaulay son los de intersección completa. Veamos algunas propiedades que necesitaremos para la prueba de la dualidad. Proposición 4.46.Consideremos un anillo 𝑅y sea 𝑀un 𝑅-módulo. Entonces se tiene lo siguiente: a) 𝑀es proyectivo si y solo si Ext1(𝑀, 𝑁)=0para cualquier 𝑅-módulo 𝑁. b) pd(𝑀)≤𝑛si y solo si Ext𝑖(𝑀, 𝑁)=0para todo 𝑖>𝑛y para cualquier 𝑅módulo 𝑁. Demostración. El apartado (a) se puede encontrar en [12, Ch. V, § 18, Lemma 1] y el (b) en [13, Appendix B, Pág 280]. 4. teorema de dualidad de serre 91 Proposición 4.47.Sea 𝑅un anillo local regular, de dimensión 𝑛, y consideremos un 𝑅-módulo finitamente generado 𝑀. Se cumple entonces que pd𝑀+ depth𝑀=𝑛. Demostración. Se puede encontrar en [13, Ch. VII, § 19, Theorem 19.1]. Con ello ya estamos en condiciones de enunciar el teorema de dualidad de Serre para los esquemas proyectivos: Teorema 4.48 (Dualidad de Serre para los esquemas proyectivos). Sea 𝑋un esquema proyectivo de dimensión 𝑛, definido sobre un cuerpo 𝑘algebraicamente cerrado. Sea 𝜔◦ 𝑋el haz dualizante de 𝑋, y 𝑋(1) un haz muy amplio en 𝑋, respecto de una inmersión sobre el espacio proyectivo. Entonces se tiene lo siguiente: a) Para cada 𝑖≥0y cualquier haz coherente ℱsobre 𝑋hay morfismos naturales: 𝜃𝑖∶ Ext𝑖(ℱ, 𝜔◦ 𝑋)→𝐻𝑛−𝑖(𝑋, ℱ)′. b) Si 𝑋es un esquema Cohen-Macaulay y equidimensional, es decir, tal que todas sus componentes irreducibles tienen la misma dimensión, entonces los morfismos 𝜃𝑖de (a) son isomorfismos para cualesquiera 𝑖≥0y haz coherente ℱ. Demostración. a) Siguiendo el mismo argumento que en la prueba del teorema de dualidad para el espacio proyectivo 4.33, podemos aplicar el corolario 3.35 y expresar ℱcomo el cociente de un haz de la forma ℰ=⊕𝑖=𝑁 𝑖=1 𝑋(−𝑞)para un 𝑞 ≫ 0. Entonces, como la cohomología conmuta con las sumas directas tendremos aplicando el apartado (c) de la proposición 4.22 que Ext𝑖(ℰ, 𝜔◦ 𝑋) ≅ ⊕𝐻𝑖(𝑋, 𝜔◦ 𝑋(𝑞)). Además, por el apartado (b) del teorema de anulación 3.36, estos grupos serán nulos para 𝑖 > 0si 𝑞 ≫ 0, luego el funtor Ext𝑖(∙, 𝜔◦ 𝑋(𝑞)) será coborrable para 𝑖 > 0, y se trata entonces de un 𝛿-funtor universal contravariante aplicando el teorema 2.22. Por otro lado, 𝐻𝑛−𝑖(𝑋, ℱ)es un 𝛿-funtor contravariante para 𝑖≥0, luego hay un único morfismo de funtores 𝜃dado un 𝜃0fijo. Podemos tomar para 𝑖= 0 el morfismo Ext0(ℱ, 𝜔◦ 𝑋) = Hom(ℱ, 𝜔◦ X)→𝐻𝑛(𝑋, ℱ)′que obtuvimos en la demostración de la proposición 4.40, y de ahí tenemos el resultado. b) Podemos incrustar 𝑋como un subesquema cerrado de 𝑃=ℙ𝑁 𝑘. Entonces tenemos que para cualesquiera haz localmente libre ℱ, y punto cerrado 𝑥∈𝑋, depthℱ𝑥=𝑛al ser equidimensional de dimensión 𝑛y Cohen-Macaulay. Denotemos por 𝑅al anillo local 𝑃 ,𝑥. Entonces 𝑅es un anillo local regular de 92 cohomología de haces dimensión 𝑁, ya que la variedad 𝑃es no singular sobre 𝑘. A su vez, la profundidad de ℱ𝑥será la misma aunque la calculemos sobre 𝑋,𝑥 o sobre 𝑅. Luego podemos aplicar la proposición 4.47 y obtener que pd𝑅ℱ𝑥=𝑁−𝑛. Aplicando el apartado (b) de la proposición 4.46 tenemos que Ext𝑖(ℱ𝑥,∙) = 0 para cualquier 𝑖>𝑁−𝑛, y aplicando la relación entre Ext yℰxt dada en la proposición 4.32, entonces ℰxti P(ℱ,∙) = 0 para 𝑖>𝑁−𝑛. Por otro lado, podemos emplear el teorema de dualidad para el espacio proyectivo 4.33, cambiando 𝑖por 𝑁−𝑖, para obtener que 𝐻𝑖(𝑋, ℱ(−𝑞)) es isomorfo a Ext𝑁−𝑖 𝑃(ℱ, 𝜔𝑃(𝑞)). A su vez, aplicando la proposición 4.36 se cumple que Ext𝑁−𝑖 𝑃(ℱ, 𝜔𝑃(𝑞)) ≅ Γ(𝑃 , ℰxt𝑁−𝑖 𝑃(ℱ, 𝜔𝑃(𝑞))) para 𝑞 ≫ 0, pero esto es 0si 𝑁−𝑖>𝑁−𝑛por lo probado, luego 𝐻𝑖(𝑋, ℱ(−𝑞)) = 0 si 𝑖<𝑛y𝑞 ≫ 0. Ya hemos visto que Ext𝑖(∙, 𝜔𝑋)es un 𝛿-funtor contravariante, luego para probar que los 𝛿𝑖son isomorfismos nos bastará con demostrar que el 𝛿-funtor 𝐻𝑛−𝑖(𝑋, ∙)′es universal, teniendo entonces por la propiedad universal que serían isomorfos. A su vez, es suficiente con probar que los 𝐻𝑛−𝑖(𝑋, ∙)′son coborrables para 𝑖 > 0aplicando el teorema 2.22. Dado un haz coherente ℱ, por el corolario 3.35, lo podemos escribir como el cociente de una suma directa finita de haces ℰ=⊕(−𝑞)siendo 𝑞 ≫ 0. A cada uno de estos haces, le podremos aplicar lo probado y tendremos que 𝐻𝑖(𝑋, ℱ(−𝑞)) = 0 si 𝑖 < 𝑛 y𝑞 ≫ 0. A su vez, como la cohomología conmuta con las sumas directas, entonces 𝐻𝑛−𝑖(𝑋, ℰ)′= 0, luego el funtor es efectivamente coborrable, probando el teorema. Nota 4.49.El recíproco del apartado (b) también es cierto, y se puede ver la prueba en [5, Ch. III, Theorem 7.5]. La primera versión de la dualidad se debe a Serre [17], demostrándolo para haces localmente libres en una variedad diferenciable compleja y después en esta versión más general, si bien la prueba que hemos dado se debe principalmente a Grothendieck. Este resultado ha sido generalizado para el caso de un morfismo propio de espacios analíticos complejos por Ramis, Ruget y Verdier [15]. La dualidad de Serre es fundamental para poder demostrar el teorema de RiemannRoch [5], que es uno de los resultados principales tanto de geometría algebraica como 4. teorema de dualidad de serre 93 del análisis complejo, asimismo, se puede aplicar también a la teoría de residuos [6], entre otras muchas utilidades. 94 cohomología de haces Conclusiones y otras aplicaciones A lo largo del trabajo hemos visto la potencia de la cohomología de haces, dando lugar a una gran cantidad de resultados, y si bien no hemos podido entrar en ello, también es fundamental en geometría analítica compleja, dando lugar a las versiones que se conocen actualmente del teorema de Riemann-Roch, el teorema sobre funciones formales [5, Ch. III, Theorem 11.1], o cuestiones en teoría de Hodge [21], entre muchos ejemplos. Una técnica que no hemos tratado son las sucesiones espectrales, siendo una herramienta fundamental en topología algebraica y geometría algebraica que permite llegar a algunos resultados de cohomología más allá de los introducidos en este texto (y de hecho se esconden algunas aquí, por ejemplo en la prueba de la proposición 4.39). Existen generalizaciones de la cohomología de haces, como la cohomología étale, introducida por Grothendieck, que requiere trabajar con lo que se conoce como topologías de Grothendieck y, entre otras utilidades, han sido empleadas para demostrar las conjeturas de Weil, de lo que se puede ver más en [5, Appendix C]. Bibliografía [1] Freyd, Peter. Abelian categories. An introduction to the theory of functors. Harper’s Series in Modern Mathematics. Harper & Row, Publishers, New York, 1964. [2] Godement, Roger. Topologie algébrique et théorie des faisceaux. (French) Publications de l’Institut de Mathématiques de l’Université de Strasbourg, 1958. [3] Grothendieck, Alexander. Sur quelques points d’algèbre homologique. (French) Tohoku Math. J. (1957). [4] Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1965. [5] Hartshorne, Robin. Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. [6] Hartshorne, Robin Residues and duality. Lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64. With an appendix by P. Deligne. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1966. [7] Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. [8] Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre Categories and sheaves. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 332. Springer-Verlag, Berlin, 2006. [9] Kedlaya, Kiran. Algebraic Geometry 18.726 MIT Lecture Notes. Massachusetts Institute of Technology, 2009. [10] Mac Lane, Saunders Categories for the working mathematician. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 5. Springer-Verlag, New York, 1998. 96 cohomología de haces [11] Márquez, Alfonso. Introducción a la teoría de esquemas. Trabajo Fin de Grado, Universidad de Sevilla, 2022. [12] Matsumura, Hideyuki. Commutative algebra. W. A. Benjamin, Inc., New York, 1970. [13] Matsumura, Hideyuki. Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. [14] Osborne, M. Scott. Basic homological algebra. Graduate Texts in Mathematics, 196. Springer-Verlag, New York, 2000. [15] Ramis, Jean-Pierre; Ruget, Gabriel Complexe dualisant et théorèmes de dualité en géométrie analytique complexe. (French) Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1970). [16] Riehl, Emily. Category theory in context. Aurora Dover Modern Math Originals. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2016. [17] Serre, Jean-Pierre Un théorème de dualité. (French) Comment. Math. Helv. 29 (1955). [18] Spanier, Edwin H. Algebraic topology. McGraw-Hill Book Co., New YorkToronto-London, 1966. [19] Tennison, B. R. Sheaf theory. London Mathematical Society Lecture Note Series, No. 20. Cambridge University Press, Cambridge, England-New York-Melbourne, 1975. [20] Vakil, Ravi. The rising sea: Foundations of algebraic geometry. Preprint (2017). [21] Voisin, Claire Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe. Cours Spécialisés Société Mathématique de France, Paris, 2002. [22] Weibel, Charles A. An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.