Atractores en dominios tipo dumbbell

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Atractores en dominios tipo dumbbell Jos´ e M. Arrieta1, Alexandre N. Carvalho2, Germ´ an Lozada-Cruz3 1Dpto. de Matem´atica Aplicada, Universidad Complutense de Madrid, 28040, Madrid, Espa˜na. E-mail: [email protected]. 2Dpto. de Matem´atica, Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e de Computa¸c˜ao, Universidade de S˜ao Paulo-Campus de S˜ao Carlos, Caixa Postal 668, 13560-970 S˜ao Carlos, SP, Brasil. E-mail: [email protected]. 3Dpto. de Matem´atica, IBILCE, UNESP-Universidade Estadual Paulista, 15054-000 S˜ao Jos´e do Rio Preto, SP, Brasil. E-mail: [email protected] Palabras clave: reacci´on-difusi´on; atractores; semicontinuidad superior; perturbaci´on de dominio; dominios dumbbell Resumen En este trabajo, analizamos el comportamiento de la din´amica asint´otica de una ecuaci´on de reacci´on-difusi´on con condiciones de contorno Neumann homog´eneas cuando el dominio se perturba de una forma singular, como en el caso de los dominios de tipo “dumbbell”. Proporcionaremos un marco funcional adecuado para tratar este problema y probaremos que los atractores son semicont´ınuos superiormente. 1. Introducci´on Consideremos una ecuaci´on de reacci´on y difusi´on del tipo    ut−∆u+u=f(u)x∈Ω² ∂u ∂n = 0, x ∈∂Ω² (1) donde Ω²⊂RN,N⩾2, es un dominio de tipo dumbbell, que consiste en dos dominios disjuntos fijos, que denotaremos por Ω, unidos por un canal fino, R², el cual se contrae a un segmento de recta cuando el par´ametro ²tiende a cero, ver Figura 1. Ver la referencia [2] Seci´on 2, para una completa y rigurosa definici´on del dominio dumbbell que estamos considerando. Los canales R²que estamos considerando son bien generales. 1 J. Arrieta, A. Carvalho, G. Lozada-Cruz ΩΩ Ω Rε ε Figura 1: Dominio Dumbbell. Pasando al l´ımite cuando ²→0, el “dominio l´ımite” consistir´a del dominio Ω y el segmento de recta R0, que sin perdidad de generalidad podemos suponer que R0= {(x, 0, . . . , 0) : 0 < x < 1}, ver la Figura 2. La ecuaci´on l´ımite viene dada por            wt−∆w+w=f(w), x ∈Ω, t > 0 ∂w ∂n = 0, x ∈∂Ω vt−1 g(gvx)x+v=f(v), x ∈(0,1) v(0) = w(P0), v(1) = w(P1) (2) donde wes una funci´on definida en Ω, vest´a definida en el segmento R0yP0,P1son los puntos de ∂Ω donde se junta el segmento R0. La funci´on gesta relacionada con la geometr´ıa del canal R², mas ex´actamente, en la forma como el canal R²se contrae en el segmento de recta R0. Por ejemplo, en R2, si el canal R²viene dado por R²={(x, y),0< x < 1,0< y < ²g(x)}, entonces la funci´on gque aparece en la ecuaci´on l´ımite (2) es la que aparece en la definici´on de R². En general, si R²={(x1, ²x0) : (x1, x0)∈R1}, entonces, g(s) = |Γs|N−1donde Γs={x0∈RN−1; (s, x0)∈R1}, y |·|N−1es la medida de Lebesgue en RN−1, ver [2] para los detalles. ΩΩ R0 Figura 2: “Dominio limite” Sobre la nolinealidad f, asumiremos que es suficientemente regular, globalmente Lipschitz (i.e. ∃L > 0,|f(u)−f(v)| ≤ L|u−v|,∀u, v ∈R) y satisface la condici´on de disipatividad l´ım sup |s|→+∞ f(s) s≤0. 2 Atractores en dominios tipo dumbbell Bajo estas condiciones, se puede probar que el problema (1) tiene para cada ² > 0 un atractor A²⊂H1(Ω²) y que el problema l´ımite (2) tiene un atractor A0⊂H1(Ω) LH1(R0). En este trabajo analizaremos la relaci´on entre A²yA0cuando ²→0. Obviamente, los conjuntos A²yA0est´an en distintos espacios y por lo tanto ser´a necesario en primer lugar aclarar el significado de “cercan´ıa” o “convergencia” para elementos de distintos espacios. Una vez aclarado este concepto, mostraremos la semicontinuidad superior de los atractores. En la secci´on 2 nos detendremos en plantear, de forma adecuada, el problema, definir los espacios en los que vamos a trabajar. Luego, en la secci´on 3, recogeremos los resultados de [4] sobre el comportamiento de los operadores lineales, resolventes y los puntos de equilibrio bajo esta perturbaci´on. En la secci´on 4 probaremos tomando como punto de partida los resultados obtenidos para el operador resolvente, la continuidad de los semigrupos lineales. En la secci´on 5, utilizaremos la f´ormula de variaci´on de las constantes para probar la convergencia de los semigrupos no lineales y con esto probaremos la semicontinuidad superior de los atractores. 2. Planteamiento del problema Para comparar dos funciones u²yu0= (w, v) definidas en Ω²y Ω∪R0respectivamente, extendemos las funciones de Ω ∪R0a todo Ω²con el operador de extensi´on, E²(w, v)(x) = (w(x), x ∈Ω, v(s), x ∈R² y fijamos una norma en el espacio de funciones definidas en Ω², donde compararemos u²y E²(u0). La elecci´on de esta norma es fundamental y tiene que ser realizada de forma adecuada para que el comportamiento de las funciones en el canal R²sea relevante. Por esto, resulta natural considerar los siguientes espacios de Banach con sus respectivas normas Up ²=Lp(Ω²),kukUp ²=kukLp(Ω) +² −N+1 pkukLp(R²) Up 0=Lp(Ω) ⊕Lp g(0,1), Lp g(0,1) = Lp(0,1),kukp Lp g(0,1) =³ 1 Z 0 g(s)|u(s)|pds¢1 p. De esta forma, la norma de Up ²amplifica el comportamiento de una funci´on en el canal R². Facilmente podemos ver que se verifica kE²(w, v)kUp ²=k(u, v)kUp 0. En relaci´on a la convergencia de funciones de Up ²a funciones de Up 0, consideramos la siguiente definici´on, Definici´on 2.1 Decimos que la sucesi´on {u²}²∈(0,1],u²∈Up ²,E²−converge a u0∈Up 0si se tiene ku²−E²u0kUp ² ²→0 −→ 0. En relaci´on a los operadores lineales, sea 0 < ² ⩽1 y consideremos el operador lineal A²:D(A²)⊂Up ²→Up ², 1 ⩽p < ∞definido por D(A²) = ©u∈W2,p(Ω²) : ∂u/∂n = 0 in ∂Ω²ª A²u=−∆u+u, u ∈ D(A²)(3) 3 J. Arrieta, A. Carvalho, G. Lozada-Cruz Para p > N 2, definamos el operador A0:D(A0)⊂Up 0→Up 0por D(A0) = n(w, v)∈Up 0:w∈D(∆Ω N),¡gv0¢0∈Lp(0,1), v(0) = w(P0), v(1) = w(P1)o(4) A0(w, v) = ³−∆w+w, −1 g¡gv0¢0+v´,(w, v)∈D(¯ A0),(5) donde ∆Ω Nes el operador de Laplace con condiciones de Neumann homogeneas en Lp(Ω) com D(∆Ω N) = {u∈W2,p(Ω) : ∂u ∂n = 0 in ∂Ω}. Para p > N 2tenemos la inmersi´on continua D(∆Ω N),→C(¯ Ω). Esto garantiza que las funciones de D(∆Ω N) tienen traza en P0and P1, y por tanto el operador est´a bien definido. El operador A²genera un semigrupo anal´ıtico {eA²t:t⩾0}en Up ²mientras (de los resultados de [3]) A0genera un semigrupo singular en Up 0que lo denotaremos por {eA0t:t⩾0}. Las ecuaciones (1) y (2) las podemos escribir de forma abstracta (P²)(˙u²+A²u²=f²(u²) u²(0) = u² 0∈Up ² (P0)(˙u+A0u=f(u) u(0) = u0∈Up 0 (6) Asociados a estos dos problemas tenemos los semigrupos no lineales {T²(t) : t⩾0}, {T0(t) : t⩾0}. Utilizando ahora las propiedades de disipaci´on y compacidad de los semigrupos T²yT0, se prueba facilmente que estos tienen atractores globales compactos A²⊂Up ²yA0⊂Up 0respectivamente, ver [6] para una referencia general sobre atractores y [3] para este problema en particular. Utilizando las propiedades de regularidad del semigrupo se puede obtener que los atractores tienen estimaciones en la norma C(¯ Ω²) uniformemente en ². Probaremos la semicontinuidad de los atractores, es decir, Definici´on 2.2 Sea A²⊂Up ²,²∈[0,1] yA0⊂Up 0. Denotemos por dist(·,·)la m´etrica inducida por la norma en Up ²,²∈[0,1],es decir dist(u², v²) = ku²−v²kUp ².Decimos que la familia de conjuntos {A²}²∈[0,1] es E²semicontinua superiormente en ²= 0 si sup u²∈A² dist(u², E²A0)²→0 −→ 0. 3. Algunas resultados sobre los operadores resolvente La semicontinuidad superior de los atractores se obtendr´a de un an´alisis exhaustivo de la parte lineal del operador. Para ²∈(0,1] fijo, el operador A²es sectorial y verifica la siguiente desigualdad k(λ+A²)−1kL(Lp(Ω²)) ⩽C |λ|,para λ∈Σθ,(7) donde Σθ={λ∈C:θ < |arg(λ)|⩽π}, 0 < θ < π 2y C es una constante que no depende de ², aunque s´ı depende de py explota quando p→ ∞. Tambien vale el siguiente resultado 4 Atractores en dominios tipo dumbbell Lema 3.1 Para todo λ∈Σθtenemos que k(λ+A²)−1kL(Up ²)⩽k(λ+A²)−1kL(Lp(Ω²),Up ²)⩽C² −N+1 p |λ|,para λ∈Σθ.(8) Para el problema limite, de la Proposici´on 2.1 in [3], tenemos el siguinte resultado. Proposici´on 3.2 El operador A0definido por (4) tiene las siguientes propiedades i)A0es densamente definido, cerrado y tiene resolvente compacto ii)A0es tal que, ρ(A0)⊃Σθpara todo 0< θ < π 2donde Σθ={λ∈C:θ < |arg(λ)|⩽ π}, y para p⩾q > N 2se tiene k(λ+A0)−1kL(Uq 0,Up 0)⩽C |λ|α(9) con 0< α < 1−N 2q−1 2(1 q−1 p)<1. Tambi´en se tiene, k(λ+A0)−1kL(U∞ 0)⩽C |λ|,k(λ+A0)−1kL(U∞ 0,Up 0)⩽C |λ|.(10) Para poder comparar operadores definidos en Up ²y en Up 0vamos a necesitar tambi´en el operador M²:Up ²→Up 0definido por (Mψε)(z) =      ψε(z), z ∈Ω 1 |Γz ε|R Γz ε ψ(z, y)dy, z ∈(0,1),(11) donde Γz ε={y: (z, y)∈Rε}. Podemos ver facilmente, usando el Teorema de FubiniTonelli y la desigualdad de H¨older que M²es un operador bien definido y limitado com kM²kL(Up ²,Up 0)= 1. Tambi´en se tiene que M²◦E²=I, el operador identidad en Up 0. Por tanto, podemos probar el siguiente resultado sobre la convergencia de los operadores resolventes, Teorema 3.3 Para p > N, existe una constante Cindependiente de ²tal que, para todo λ∈Σθ, k(λ+A²)−1−E²(λ+A0)−1M²kL(C(¯ Ω²),Up ²)⩽C²1 p(12) Demostraci´on. Observemos que mediante la siguiente descomposici´on (λ+A²)−1−E²(λ+A0)−1M²=Aε(λ+A²)−1(A−1 ε−E²A−1 0M²)[I−E²λ(λ+A0)−1M²], y utilizando las estimaciones (8), (9), (10), reducimos el problema a obtener una buena estimaci´on de A−1 ε−E²A−1 0M², que fue obtenida en [2]. 5 J. Arrieta, A. Carvalho, G. Lozada-Cruz 4. Convergencia de los semigrupos lineales Del Lemma 3.1 se deduce que el operador −A²genera un semigrupo anal´ıtico ©e−A²t:t⩾0ª en Up ²dado por e−A²t=1 2πi ZΓ eλt (λ+A²)−1dλ, t > 0,(13) donde Γ ⊂ρ(−A²) es la frontera de Σθorientada tal que la parte imaginaria quando λ recorre Γ, y Σθes el sector definido en la Proposici´on 3.2 (ii). Por otra parte, en [3], se prueba que el operador A0no genera un semigrupo fuertemente cont´ınuo. Sin embargo es generador de un semigrupo singular como veremos brevemente. Sea Σθel sector definido en la Proposici´on 3.2 (ii) y sea Γ la frontera de −Σθorientada de tal forma que la parte imaginaria crezca quando λrecorre Γ. Observese que la integral 1 2πi ZΓ eλt (λ+A0)−1dλ, converge en la Topologia uniforme de operadores de L(Up 0) para todo t > 0. Siguiendo como en [3] definimos e−A0t=1 2πi ZΓ eλt (λ+A0)−1dλ, t > 0.(14) Entonces, e−A0tsatisface todas las propiedades de semigrupo excepto por la continuidad fuerte en t= 0 para datos iniciales que no sean suficientemente regulares. Sin embargo, varias de las propiedades de semigrupo anal´ıtico se verifican para datos suficientemente regulares. Diremos que {e−A0t:t⩾0}es un semigrupo generador por A0e no haremos menci´on alguna sobre la continuidad. El semigrupo {e−A0t:t⩾0}es la soluici´on para el siguiente problema lineal d dt(w, v) + A0(w, v) = 0 (w(0), v(0)) = (w0, v0)∈Up 0. Con las estimaciones de la convergencia de los operadores resolventes de la secci´on anterior y la expresi´on de los semigrupos dada en (13) y (14) se puede probar el siguiente resultado Teorema 4.1 Para cada β∈[0,1], existe una constante C, independiente de ²yt, tal que ke−A²t−E²e−A0tM²kL(C(¯ Ω²),Up ²)⩽C²β pt−β,∀t > 0.(15) 5. Convergencia de los semigrupos nolineales y semicontinuidad superior de atractores Ahora que ya tenemos la continuidad de los semigrupos lineales dada por el Teorema 4.1, vamos a obtener la continuidad de los semigrupos no lineales usando la F´ormula de Variaci´on de las Constantes. Despu´es de obtener la continuidad de los semigroups no 6 Atractores en dominios tipo dumbbell lineales podremos obtener la continuidad superior de la familia de attractors {A²:²∈ [0,1]}. Para ²∈[0,1], sea {T²(t) : t⩾0}el semigrupo no lineal definido en Up ²por la formula de variaci´on de las constantes T²(t, u²) = e−A²tu²+Zt 0 e−A²(t−s)f²(T²(s, u²))ds. (16) Mostraremos el siguiente resultado Proposici´on 5.1 Existe 0⩽γ < 1y una funci´on c(²)con c(²)²→0 −→ 0tal que, para cada τ > 0tenemos kT²(t, u²)−E²T0(t, M²u²)kUp ²⩽M(τ)c(²)t−γ, t ∈(0, τ], u²∈ A², ² ∈(0, ²0].(17) Adem´as, la familia de atractores {A²:²∈[0, ²0]}es semicontinua superiormente en ²= 0 en el espacio Up ², en el sentido que sup u²∈A²h´ınf u0∈A0 {ku²−E²u0kUp ²}i→0,quando ²→0 (18) Tambi´en, se E²denota el conjunto de puntos de equilibrio de (6),²∈[0, ²0], entonces {E²:²∈[0, ²0]}es semicontinuo superiormente en ²= 0 en el espacio Up ²; es decir, sup u²∈E²h´ınf u0∈E0 {ku²−E²u0kUp ²}i→0,quando ²→0 (19) Demostraci´on: Seguiremos las ideas contenidas en [1, 5] para probar este resultado. Obs´ervese que los semigrupos no lineales T²(t) vienen dados por (16). Por lo tanto, estimando T²(t, u²)−E²T0(t, M²u²) y con algunos calculos elementales obtenemos kT²(t, u²)−E²T0(t, M²u²)kUp ²⩽ke−A²tu²−E²e−A0tM²u²kUp ²+ Zt 0 k¡e−A²t−E²e−A0tM²¢f²(T²(s, u²))kUp ² +Zt 0 kE²e−A0t(M²f²(T²(s, u²)) −f0(T0(s, M²u²)))kUp ² ⩽M²θ pt−θku²kC(¯ Ω²)+M²θ pZt 0 (t−s)−θkf²(T²(s, u²))kC(¯ Ω²) +MC Zt 0 (t−s)α−1kT²(s, u²)−E²T0(s, M²u²)kUp ² Como tenemos cotas de los atractores A²en C(¯ Ω²) que son uniformes en el par´ametro ², los dos primeros terminos en la desigualdad anterior pueden ser acotados por M(τ)²θ pt−θ. El resultado se obtiene aplicando el Lema de Gronwall singular (ver [7]). Para obtener la semicontinuidad superior de los atractores lo hacemos de la siguiente forma. Si consideramos el conjunto B={M²ψ², ψ²∈ A²,0< ² ⩽1}, que es un conjunto acotado en Up 0y por las propiedades de atractividad de A0, fijado un par´ametro η > 0 suficientemente peque˜no, tendremos que existe un t0>0 tal que sup φ∈B distUp 0(T0(t0, φ),A0) = sup u²∈A²,0<²⩽1 distUp 0(T0(t0, M²u²),A0)⩽η. 7 J. Arrieta, A. Carvalho, G. Lozada-Cruz Utilizando ahora la estimaci´on (17) y las propiedades del operador de extensi´on E², eligiendo un ²0=²0(η)>0 suficientemente peque˜no tendremos distUp ²(T²(t0, u²), E²A0)≤2η, u²∈ A²,0< ² ⩽²0(η) Utilizando ahora la invarianza del atractor A²bajo el semigrupo no lineal T²probamos que distUp ²(u², E²A0)≤2η, u²∈ A²,0< ² ⩽²0(η) lo que demuestra la semicontinuidad superior de los atractores. La semicontinuidad superior de los puntos de equilibrio, (19) se obtiene de (18) y del hecho de que si u²∈ E²entonces T²(t, u²) = u², for all t. Agradecimientos J. M. Arrieta ha sido parcialmente financiado por el “Programa de Financiaci´on de Grupos de Investigaci´on UCM-Comunidad de Madrid GR69/06. Grupo 920894”, el proyecto PHB2006-0003-PC de ayudas de Cooperaci´on Hispano-Brasile˜no del MEC y por el proyecto MTM2006-08262 del MEC. A. N. Carvalho ha sido financiado parcialmente por el CNPq # 305447/2005-0 y de la FAPESP # 03/10042-0, Brasil. G. Lozada-Cruz, ha sido financiado parcialmente por FAPESP # 06/04781-3, Brasil. Referencias [1] J.M. Arrieta, Spectral Behavior and Uppersemicontinuity of Attractors, International Conference on Differential Equations (EQUADIFF’99) Berlin, World Scientific, 615-621 (2000). [2] J.M. Arrieta, A.N. Carvalho, A.N. and G. Lozada-Cruz, Dynamics in dumbbell domains I. Continuity of the set of equilibria, Journal of Differential Equations,231, 551-597 (2006). [3] J.M. Arrieta, A. N. Carvalho and G. Lozada-Cruz, Dynamics in Dumbbell Domains II: The Limiting Problem. In preparation [4] J.M. Arrieta, A. N. Carvalho and G. Lozada-Cruz, Dynamics in dummbell domains III. Continuity of attractors, In preparation [5] A.N. Carvalho and S. Piskarev, A general approximation scheme for attractors of abstract parabolic problems’, Numerical Functional Analysis and Optimization, 27(7-8), 785–829 (2006). [6] J.K. Hale, Asymptotic behavior of dissipative systems Mathematical Surveys and Monographs 25 American Mathematical Society, Providence 1988. [7] D.B. Henry, Geometric theory of semilinear parabolic equations, 2 ed., Lecture Notes in Mathematics, vol. 840, Springer Verlag, New York, 1981. 8