Evaluación estructural de edificaciones históricas mediante análisis modal operacional (OMA)

EVALUACIÓN ESTRUCTURAL DE EDIFICACIONES HISTÓRICAS MEDIANTE ANÁLISIS MODAL OPERACIONAL (OMA). Structural assessment of historical buildings by using the Operational Modal Analysis (OMA) technique. Doctorando: Pablo Pachón García Director/es: Cat. Andrés Sáez Pérez Dr. Víctor Compán Cardiel Dra. M. Esperanza Rodríguez Mayorga Programa: Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería del Terreno Línea de Investigación: Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras AGRADECIMIENTOS La consecución de la presente Tesis Doctoral, desarrollada durante los últimos cuatro años, no habría sido posible sin el apoyo de muchas personas. En las siguientes líneas se presenta el agradecimiento a todas ellas. En primer lugar a los profesores, Andrés Sáez Pérez, Víctor Compán Cardiel y M. Esperanza Rodríguez Mayorga, directores de la presente tesis doctoral e inspiradores de muchas de las ideas contenidas en el documento. A Esperanza y Andrés, por su inestimable ayuda para iniciarme en el ámbito del análisis modal operacional. Me proporcionaron una gran cantidad de información para la introducción del autor en el mundo del cálculo modal y de la calibración de modelos de cálculo a partir de medidas experimentales. A Víctor, gran amigo y compañero de viajes, por sus innumerables horas de apoyo, dedicación y disponibilidad a lo largo del desarrollo del presente trabajo. A mis compañeros del Departamento de Estructuras de Edificación e Ingeniería del Terreno de la Universidad de Sevilla, por el apoyo recibido durante este tiempo. A Jose Sánchez, Margarita Cámara, Manuel Romero, Antonio Delgado, Marta Molina, María Teresa Rodríguez, Enrique Vázquez y Jaime Aguilar, con los que he compartido en los últimos años numerosas vivencias. Especialmente al profesor, Javier Fernando Jiménez Alonso, con quien el doctorando se inició en el trabajo de campo. Su ayuda fue inestimable tanto para el aprendizaje, como para la realización de las campañas experimentales. A todos los miembros del Departamento de Engenharia Civil de la Universidade do Minho, por haberme acogido allí como un miembro más durante mi estancia. Especialmente a Paulo Lourenço, cuya ayuda para mejorar la calidad de los resultados obtenidos en el trabajo resultó imprescindible. A los arquitectos Emilio Yanes, Alejandro Cobos y Francisco Pinto, autores de los proyectos de intervención estructural estudiados en el presente documento, por el interés mostrado durante el desarrollo de todas las campañas experimentales. A mi pareja, Marta León, cuyo apoyo incondicional y esfuerzo por entender el número de horas dedicadas al presente trabajo han resultado esenciales para la consecución del mismo. A mi familia y amigos, especialmente a mis padres, Natividad García y Manuel Pachón, a los que quiero y admiro, que tanto han confiado en mí, y que han sabido transmitirme los valores de esfuerzo y superación ante cualquier situación adversa. Este trabajo es vuestro. RESUMEN El análisis modal operacional (OMA) se ha consolidado en las últimas décadas como un método de gran interés para caracterizar los parámetros dinámicos (frecuencias naturales, modos de vibración y coeficientes de amortiguamiento modal) de todo tipo de estructuras. Los buenos resultados obtenidos, la simplicidad de aplicación y el bajo coste de su ejecución, hacen de esta técnica una herramienta muy atractiva. Presenta un especial interés la asociación de OMA al mundo de la arquitectura histórica, donde el uso de técnicas no destructivas resulta fundamental para su evaluación estructural. La aplicación de OMA, antes y durante el desarrollo de un programa de rehabilitación sobre una edificación histórica, proporciona una serie de datos sobre los efectos que dicha intervención ha tenido sobre la estructura de la misma. Por un lado, permite observar los cambios en los parámetros dinámicos de la estructura, haciendo estimaciones de éstos en diferentes fases de la rehabilitación, realizándose así un control de la intervención. Por otro lado, los datos obtenidos pueden usarse para calibrar modelos numéricos, reduciéndose así el elevado nivel de incertidumbre que presentan los modelos de elementos finitos (EF) de este tipo de edificaciones. La calibración del modelo se refiere a la corrección de las deficiencias inherentes en el modelo de EF, haciendo coincidir los resultados de éste con los datos obtenidos experimentalmente a través de la técnica OMA. En el presente documento de investigación, tras repasar los fundamentos teóricos y el estado del arte de la aplicación de OMA en relación a estructuras históricas de fábrica, se presenta la doble vertiente que ofrece dicha técnica a través de su aplicación práctica sobre una serie de casos de estudio. El Teatro Romano de Cádiz (Cádiz, España), la Capilla de la Jura (Jerez de la Frontera, España), la Iglesia de Santiago (Jerez de la Frontera, España), el Monasterio de San Jerónimo de Buenavista (Sevilla, España) y la Capilla del Palacio de Würzburg (Würzburg, Alemania) son las edificaciones históricas analizadas en esta tesis doctoral. El objetivo fundamental de la presente tesis es avanzar en la aplicación del Análisis Modal Operacional (OMA), como técnica no destructiva, para evaluar la seguridad estructural sobre estructuras históricas de fábrica. Se propone sistematizar y extender el método como una herramienta fundamental para el diseño y el control de proyectos de rehabilitación sobre este tipo de edificaciones, utilizando esta técnica tanto para la evaluación y control de las mismas, como para la calibración de modelos numéricos de cálculo estructural. En resumen, el Análisis Modal Operacional (OMA) ha alcanzado un grado de madurez significativo en su aplicación al mundo de la arquitectura histórica. El uso de dicha técnica se consolida como una herramienta de gran utilidad en construcciones históricas de fábrica, tanto para llevar a cabo el control y evaluación de intervenciones estructurales, como para calibrar los complejos modelos numéricos que definen este tipo de estructuras. ABSTRACT Operational Modal Analysis has been widely used in the last decades for determining dynamic parameters (natural frequencies, vibration modes and damping ratios) in structures. Different factors make this evaluation technique interesting when analysing buildings. The high quality of the obtained results and the fact of being an easy-to-apply and economic methodology are some examples of these factors. OMA is especially suitable for historical arquitecture for being a non-destructive technique. The application of OMA before and during a rehabilitation process provides important data about the effects of the works in the structural behaviour. On one hand, the changes measured in the dynamic parameters of the structure are an important tool to control the impact of the rehabilitation. On the other hand, this data can be also used to calibrate numerical models in order to diminish the uncertainties of the model in terms of material properties, geometry of sections, etc. This thesis is divided into two parts. In the first one, theoretical basis and state-of-the-art of Operational Modal Analysis when applied to historical structures is analysed and outlined. In the second part, OMA as a calibration tool for Finite Element Models and OMA as a Non- Destructive Technique for buildings are presented and applied in some historical buildings: the Roman Theatre of Cadiz (Cádiz, Spain), the Chapel of La Jura (Jerez de la Frontera, Spain), the church of Santiago (Jerez de la Frontera, Spain), the Monastery of San Jerónimo de Buenavista (Sevilla, Spain) and the Chapel of the Würzburg Palace (Würzburg, Germany). The main goal of this thesis is to research in the application of Operational Modal Analysis (OMA) as a non-destructive evaluation technique for historical masonry structures. This methodology is proposed as a tool for the design and control of repair of structures and to calibrate numerical models. Introducción Página | 14 a) Ensayo de vib. forzada, Banjaluka center [7]. b) Ensayo de vib. ambiental, puente los Molinos [8]. Figura 1. Ensayo de vibración forzada/ Ensayo de vibración ambiental. Las pruebas de vibración forzada sobre estructuras de edificación se enfrentan a dos dificultades principales. En primer lugar, el tema económico, puesto que la movilización y almacenamiento de la maquinaria pesada, necesaria para provocar las vibraciones, presentan un elevado coste. Y por otro lado, la interrupción del servicio del edificio que supone la realización de este tipo de ensayos. Los ensayos basados en vibraciones ambientales, en cambio, no requieren de excitación artificial. Son procedimientos que permiten la identificación de las características dinámicas de la estructura a través únicamente de su respuesta. Se aprovechan de las acciones naturales a las que está sujeta la estructura, tales como el viento o el tráfico. Por lo tanto, parecen constituir la solución más adecuada para lograr la caracterización dinámica de las estructuras históricas de fábrica. Por las razones expuestas anteriormente, esta tesis doctoral se centra en el estudio del proceso de identificación modal denominado Análisis Modal Operacional, u OMA (Operational Modal Analysis) por sus siglas en inglés, y en su utilidad como método para caracterizar dinámicamente estructuras históricas de fábrica. En el presente trabajo de investigación se desarrollará la aplicación de dicha técnica sobre el área del Teatro Romano de Cádiz (Cádiz, España), el Monasterio de San Jerónimo (Sevilla, España), la Iglesia de Santiago (Jerez de la Frontera, España), la Capilla de la Jura (Jerez de la Frontera, España) y la Capilla del Palacio de Würzburg (Würzburg, Alemania), cuyas circunstancias y singularidades ofrecieron las condiciones propicias para avanzar en la aplicación de OMA sobre construcciones históricas de fábrica. Capítulo 1 Página | 15 1.2 Objetivos y Justificación El objetivo fundamental de esta Tesis Doctoral es avanzar en la aplicación del Análisis Modal Operacional (OMA) sobre estructuras históricas de fábrica, utilizando esta técnica tanto para el control y evaluación de intervenciones estructurales, como para la calibración de modelos numéricos de cálculo estructural. Se destaca un especial interés en el desarrollo de la técnica OMA sobre edificaciones históricas de carácter masivo, donde los casos de estudio no son muy numerosos en la actualidad. En la Fig. 2 se recopilan las construcciones históricas de fábrica que conforman los casos de estudio del presente documento de investigación. Figura 2. Objetos de estudio. 1. Área del Teatro Romano (Cádiz). 2. Capilla de la Jura (Jerez de la Frontera). 3. Iglesia de Santiago (Jerez de la Frontera). 4. Monasterio de San Jerónimo (Sevilla). 5. Capilla del Palacio (Würzburg). El desarrollo de la aplicación de OMA sobre los distintos casos de estudio requirió fijar una serie de pasos a seguir, que se presentan a continuación: - Estudio de los principales aspectos teóricos de OMA [9], englobando desde el análisis de los conceptos básicos que caracterizan el proceso de identificación modal, hasta el conocimiento de los métodos de identificación más extendidos: métodos de descomposición en el dominio de la frecuencia y métodos de descomposición en el dominio del tiempo. - Estudio del estado del arte de OMA, en relación a su aplicación práctica sobre estructuras históricas de fábrica caracterizadas por ser elementos masivos. - Análisis histórico, contextual y geométrico de cada uno de los casos de estudio, así como el estudio de las distintas intervenciones estructurales que se han desarrollado o se están desarrollando sobre algunos de ellos. Se destacan cada una de las circunstancias y singularidades que hacen de ellos objetos de estudio relevantes para el avance de la aplicación de la técnica OMA sobre este tipo de construcciones históricas. Introducción Página | 16 - Desarrollo de modelos de elementos finitos (EF) que permitan analizar la respuesta teórica dinámica de las estructuras estudiadas. Se afronta el reto de desarrollar estos complejos modelos numéricos de gran escala, con el coste humano y computacional que ellos conllevan. - Desarrollo de campañas experimentales de medición de las características dinámicas de tales estructuras, que permitan tanto evaluar las intervenciones estructurales previstas en algunos de los casos, como ajustar los parámetros de los modelos de EF establecidos en el punto anterior. - Sistematización de procedimientos para la correlación entre los parámetros dinámicos calculados del modelo de EF e identificados experimentalmente. Entre ellos, la implementación de algoritmos genéticos de optimización para la calibración de modelos numéricos. - Estudio estructural de los modelos calibrados con distintos fines. Desde cálculos modales, hasta análisis no lineales que permitan analizar el comportamiento hasta alcanzar la carga de colapso de la estructura. En función del caso de estudio, el objetivo final abarca desde la caracterización dinámica de la estructura como registro inicial para afrontar futuras intervenciones, hasta el uso de las características dinámicas para la evaluación de dichas intervenciones, pasando por el análisis estructural de un modelo final numérico de elementos finitos (EF), calibrado a partir de las distintas mediciones experimentales. En definitiva, se trata de validar el modelo teórico para estimar el comportamiento estructural del conjunto antes y después de la intervención, garantizando que dicho modelo de EF representa fielmente el comportamiento estructural de la edificación. Capítulo 1 Página | 17 1.3 Organización de la Tesis Doctoral El documento que conforma la presente tesis doctoral se estructura en cuatro capítulos de la siguiente manera: En el capítulo 1 se ha realizado la introducción del trabajo. Para ello, además de realizarse la presentación del interés por el tema, se han definido los objetivos que se persiguen y su justificación. En el capítulo 2 se presentan los fundamentos teóricos y el estado del arte del análisis modal operacional (OMA) en relación a estructuras históricas de fábrica. Se lleva a cabo una breve introducción sobre los principales desarrollos en las técnicas de identificación modal. Los temas tratados incluyen también la selección de sensores, sistemas de adquisición de datos, planificación de pruebas y técnicas de calibración del modelo de EF, empleados para el desarrollo del presente trabajo de investigación. Seguidamente se realiza un análisis del estado del arte de la aplicación de OMA sobre estructuras históricas de fábrica. En definitiva, se definen los conceptos teóricos que sirven de base para el trabajo presentado. En el capítulo 3, además de realizarse una breve introducción que engloba todos los casos de estudio, se desarrollan los trabajos de investigación realizados en cada uno de ellos de la forma que sigue: En primer lugar, tras una breve introducción histórica de la edificación, se presentan una serie de estudios previos que hacen de la construcción un caso de estudio óptimo para avanzar en la aplicación de la técnica OMA sobre estructuras históricas de fábrica. A continuación se genera un primer modelo de EF del objeto, modelo fundamental en el proceso de aplicación de OMA. Tras ello, se presenta el trabajo de campo realizado, consistente en la toma y tratamiento de datos. A partir de la extracción de resultados, apoyándonos en el software ARTEMIS [10], y comparando distintos métodos de identificación modal, se presenta el modelo experimental, que se utilizará como referencia para la evaluación de la intervención estructural o para la calibración del modelo teórico. En función del objetivo anterior, se presentará el proceso de calibración del modelo y su consiguiente análisis estructural. En resumen, se sigue toda la sistemática estudiada, para la aplicación de OMA y la posterior utilización de los datos obtenidos, ya sea como elemento de comparación a la hora de evaluar una intervención estructural o como referencia para la calibración de un modelo final de cálculo. Finalmente, se lleva a cabo un resumen de los resultados obtenidos. Por último, en el capítulo 4 se presenta una interpretación crítica y reflexión personal sobre el aprendizaje profesional que ha supuesto la realización del trabajo, así como propuestas de futuras líneas de investigación o actuación. Introducción Página | 18 Capítulo 1 Página | 19 INTRODUCTION 1.1 Personal Motivation Heritage conservation has been a relevant concern for society in the last decades. Not only are historical buildings important from the cultural point of view, but also from the economical, since they attract tourist from all around the world. This way, heritage conservation is a cultural and economic requirement. In this context, evaluation of safety in historical constructions plays a key role for their conservation. In the last decades, the huge advances in computer science has made possible to afford the calculations of detailed Finite Element Models in order to assess the safety of buildings. This has been especially useful to plan restoration works. But creating a mathematical model that exactly reflects the behaviour of such a complex structure presents many difficulties, as replicate the geometry, characterize the properties of materials or introduce the boundary conditions, among others [1]. The identification of modal parameters of a structure (natural frequencies, vibration modes and damping ratios) by means of non-destructive dynamic techniques presents great interest in the field of building numerical models: the models can be calibrated by the experimental data. To this end, some mathematical algorithms are needed. The calibration of the model implies the comparison of the theoretical results and the experimental data, minimising this way the differences between them. The result will be a calibrated and validated mathematical model that presents a dynamic behaviour similar to the observed in situ. This process has been developed for years when referred to historical masonry buildings [2]. The dynamic behaviour of structures can be characterised by two kind of tests. Both are based in measuring the response of the structure under excitation. The difference between them is in the control of the excitation: while traditional methods propose a controlled and artificial excitation, the last methods just register the response of the structure under ambient noise (Fig. 1). a) Forced vibration test Banjaluka center [3]. b) Ambient vibration test, Molinos Bridge [4]. Figure 1. Forced vibration test / Ambient vibration test. Introducción Página | 20 Forced vibration tests present two main difficulties. The first one is that they are expensive tests since shakers and other heavy machinery for is required. Secondly, the execution of this tests influence in the usual functioning of the building, being necessary in many times its evacuation. On the contrary, ambient vibration tests do not present any of these issues. Dynamic characteristics of structures can be identified by measuring only the response of the structure under standard conditions. By this reason, are very suitable to identify the dynamic parameters of historical masonry structures. This thesis is about Operational Modal Analysis (OMA) and its application to historical masonry structures. The application of this methodology to the Roman Theatre of Cadiz (Cádiz, Spain), the Monastery of San Jeronimo de Buenavista (Sevilla, Spain), the church of Santiago (Jerez de la Frontera, Spain), the chapel of la Jura (Jerez de la Frontera, Spain) and the chapel of Würzburg Palace (Würzburg, Germany) is exposed and analysed in detail in this document. Capítulo 1 Página | 21 1.2 Objectives and Justification This thesis advance in the application of Operational Modal Analysis (OMA) to historical masonry buildings. In this document, the application of OMA to control and evaluate repair works and to calibrate numerical models is described and analysed in detail. This document is especially targeted to research non-slender rigid masonry structures using OMA. It is notable that the case studies of this kind of structures are scarce. Fig. 2 shows the historical buildings analysed in this thesis. Figure 2. Case studies: 1. Roman Theatre of Cadiz (Cádiz, Spain), 2. Chapel of la Jura (Jerez de la Frontera, Spain), 3. Church of Santiago (Jerez de la Frontera, Spain), 4. Monastery of San Jeronimo de Buenavista (Sevilla, Spain), 5. Chapel of Würzburg Palace (Würzburg, Germany). The steps followed in this thesis to analyse the cases studies were: - Study of the main theoretical aspects of OMA, beginning with the basic concepts of the modal identification. The more common identification methods, frequency domain decomposition and time domain decomposition methods were studied in detail. - State of the art of OMA when applied to non-slender rigid masonry structure. - Historical and geometrical analysis of the case studies, and, when applicable, study of the structural repair that have occurred in the past or that were running in the moment of the analysis. In each case, the noticeable aspects that made the case studies interesting for the advance and develop of OMA are highlighted. - Finite Element Models of the case studies to analyse the theoretical dynamic response of each structure. They all are expensive models from the computational point of view. - Experimental campaigns to measure the dynamic characteristics of the buildings to check the behaviour of the structures, to assess the effectiveness of a repair or to calibrate the mathematical model. Introducción Página | 22 - To stablish a procedure to correlate dynamic parameters theoretically obtained by the FE model and those got in-situ. This problem of optimisation, called calibration, was solved by genetic algorithms. - The calibrated models were analysed from different points of view, such as modal analysis of non-linear collapse analysis. Depending on the case study, the target of the analysis was (i) the dynamic characterization of the structure, in order to know the initial condition of a restoration, (ii) the use of the dynamic properties to assess the effectiveness of a restoration or (iii) to calibrate a FE model with the aim of learning the behaviour of a structure. Capítulo 1 Página | 23 1.3 Thesis Organization This thesis is divided into four parts: In the chapter 1 this work has been introduced. The target of the research has been set. In the chapter 2, theoretical basis and state-of-the-art of Operational Modal Analysis of historical masonry structure are presented. This chapter deals with modal identification techniques, sensor selection, data acquisition system, tests planning and FE calibration techniques. The chapter 3 is about the case studies. All them are analysed following the pattern: (i) Historical analysis of the building and description of the suitability of the building to be analysed by OMA, as well as the novelty that implies the application of OMA in such a structure, (ii) generation of the Finite Element model, (iii) description of the experimental campaign, (iv) results obtained by the software ARTEMIS [10] using different modal identification methods and (v) presentation of the experimental model. At the end, the calibration of the model or the assessment of the structural behaviour are presented together with a draft of the obtained results. The chapter 4 are the conclusions of this work. A personal reflexion about the learning that this work supposes for the researcher is included and some possibilities to continue with this research are proposed. Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 30 las distintas alternativas a la hora de adquirir y tratar la respuesta modal de una estructura se remite a bibliografía concreta [20, 21, 24]. EQUIPO DE MEDIDA (Punto 2, Fig. 4) El equipo de medida es el encargado de adquirir y almacenar los datos de cada una de las campañas experimentales realizadas. De forma general, este equipo está formado por una serie de transductores, un acondicionador de señal, un convertidor de analógico a digital (ADC) incorporado en el hardware de adquisición de datos y un ordenador para procesar toda la información de la señal digital. Transductores de respuesta Un transductor de respuesta es un equipo capaz de transformar una magnitud física (desplazamientos, velocidades, aceleraciones, deformaciones, fuerzas, etc.,) que define la respuesta estructural, en una señal eléctrica proporcional. Esta señal será procesada posteriormente por el sistema de adquisición de datos. En teoría, la medida de la respuesta dinámica de la estructura puede conseguirse a partir de cualquiera de las magnitudes anteriores. Sin embargo, las mediciones de aceleración son más adecuadas para rangos de frecuencias propios de estructuras arquitectónicas [25]. El dispositivo utilizado para medir aceleraciones es el acelerómetro. En el mercado existen varios tipos de acelerómetros, englobados fundamentalmente en tres grandes grupos descritos en el trabajo de J.L. Ramos [20], los piezoresistivos y capacitivos, los piezoeléctricos y los de fuerza balanceada. Los principales parámetros a los que se atiende a la hora de seleccionar el tipo de acelerómetro a emplear son: los rangos de temperaturas a los que están sometidos y el rango de frecuencias que se quiere medir. Otros parámetros importantes son el tamaño, la resistencia a los golpes y por supuesto, el precio. En relación a estructuras históricas de fábrica interesa conocer el funcionamiento de los acelerómetros de fuerza balanceada, ya que éstos resultan más adecuados para la identificación de parámetros modales asociados a bajos rangos de frecuencias, que generalmente caracterizan este tipo de edificaciones. Los acelerómetros de fuerza balanceada son transductores pasivos y están compuestos por un sistema de masa-resorte, de modo que, bajo excitación, transforman la aceleración en una señal diferencial eléctrica proporcional. La masa, que se fija a través de cuatro vigas de suspensión, tiene un apéndice situado entre dos placas capacitivas (Fig. 5). Cuando se excita, la masa se mueve fuera de la posición de equilibrio. El voltaje diferencial requerido para forzar el movimiento de la placa trasera a su posición de equilibrio es proporcional a la aceleración. El equipo de investigación cuenta con un equipo formado por ocho acelerómetros uniaxiales de fuerza balanceada, EpiSensor modelo ES-U2 de la casa Kinemetrics, con un ancho de banda de 0,01 a 200 Hz, un rango dinámico de 140 dB, una sensibilidad de 10 V/g y 0.35 kg de peso cada uno de ellos (Fig. 5). Capítulo 2 Página | 31 Figura 5. Acelerómetro uniaxial de f. balanceada EpiSensor de la casa comercial KINEMETRICS. Sistema de Adquisición de Datos El sistema de adquisición de datos (DAQ) es el encargado de registrar las señales de respuesta. A veces, es imposible procesar directamente la información proporcionada por un transductor, lo que hace necesario el acondicionamiento de la señal para procesar la información. Son numerosas las funciones que un acondicionador de señal debe englobar. Entre ellas, amplificar la señal para aumentar la resolución y disminuir el ruido, aislar las señales del transductor de la computadora, filtrar las señales no deseadas a partir de las señales medidas (función de antialiasing), excitar los transductores que necesitan alimentación externa o excitación (traductores pasivos)… [20]. El equipo utilizado para el desarrollo de la tesis doctoral es el modelo Granite de la casa Kinemetrics. Se trata de un sistema de 12 canales de adquisición de datos con un ADC de 24 bits, provisto de filtros de suavizado (Fig. 6). Figura 6. Unidad de Adquisición de Datos tipo Granite de la casa comercial KINEMETRICS. MÉTODOS ESTOCÁSTICOS DE IDENTIFICACIÓN MODAL (Punto 3, Fig. 4) En el presente punto se realiza una breve introducción de los conceptos más importantes de los métodos de identificación modal utilizados en el desarrollo del trabajo, remitiendo nuevamente a la bibliografía consultada para mayor conocimiento de todos los métodos [20, 21]. Los métodos estocásticos de identificación modal fundamentalmente se describen como métodos que, analizando sólo la respuesta de la estructura, procesan la información Aceleración Aplicada Placas Fijas MASA Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 32 experimental obtenida de las mediciones efectuadas sobre ella. De este modo se determinan los parámetros modales del sistema estructural, en forma de sus frecuencias naturales, formas modales y coeficientes de amortiguamiento. Los métodos presentados en este capítulo se denominan estocásticos, por el hecho de que la excitación ambiental es caracterizada como un proceso estocástico. Debido a la naturaleza de los datos de medida, la respuesta incluye la contribución modal de las fuerzas ambientales, la contribución del sistema estructural y la contribución del ruido de la señal procedente de fuentes indeseadas. En este sentido, las técnicas de identificación modal se presentan como una herramienta capaz de separar la contribución modal procedente de cada una de las fuentes. La clasificación de los métodos estocásticos de identificación se establece en paramétricos y no-paramétricos. Por un lado, los métodos no-paramétricos son aquellos que esencialmente se desarrollan en el dominio de la frecuencia, y por otro, los métodos paramétricos, desarrollados en el dominio del tiempo. En general, todos los métodos proporcionan buenos resultados en lo que se refiere a la identificación de las frecuencias naturales de la estructura. Sin embargo, a la hora de identificar coeficientes de amortiguamiento modal y formas modales, el método de descomposición mejorada en el dominio de la frecuencia (EFDD) y el método de identificación en el subespacio estocástico (SSI), son dos de los numerosos métodos que actualmente presentan una mayor confianza en los resultados. Generalmente, los métodos en el dominio de la frecuencia requieren un menor tiempo de procesado y son más amigables para el usuario en comparación con los métodos en el dominio del tiempo. A continuación se expondrán los principios básicos del método no paramétrico EFDD y del método paramétrico SSI, ambos implementados en el software ARTEMIS [10] que será utilizado en el desarrollo del trabajo. Descomposición mejorada en el Dominio de la frecuencia (EFDD) [26, 27] Al tratarse de un método de identificación en el dominio de la frecuencia está fundamentado en la determinación del auto-espectro de respuesta de la estructura (Frecuencia vs. Respuesta) a partir de sus series temporales de respuesta (Tiempo vs. Respuesta). El procedimiento consiste en la segmentación de la serie temporal de respuesta y el cálculo de la transformada de Fourier (FFT) de cada segmento, obteniendo así el auto-espectro de respuesta de la estructura. El método de descomposición mejorada en el dominio de la frecuencia se establece como una mejora del método FDD (descomposición en el dominio de la frecuencia). Permite estimar los coeficientes de amortiguamiento modal con una mayor fiabilidad e identificar con más precisión las frecuencias naturales y modos de vibración de la estructura. La base teórica para la mejora introducida viene del hecho de que la función de auto-correlación [26] de la respuesta de un oscilador de un grado de libertad sometido a una excitación de ruido blanco, es proporcional a su respuesta a la vibración libre*1. En primer lugar se procede a la elección de los puntos, próximos a las frecuencias naturales, en donde se comparan los vectores singulares*2 asociados a cada uno de ellos con los vectores singulares asociados a las *2 Los vectores singulares son aquellos que extraídos de la matriz de densidad espectral [16] caracterizan el movimiento de cada uno de los puntos seleccionados. *1 La vibración libre es la oscilación continua de una estructura, una vez que se para la fuerza de excitación. Capítulo 2 Página | 33 frecuencias naturales (puntos 1, 2 y 3 de la Fig. 7). Esta comparación entre vectores se realiza por medio de un índice escalar denominado MAC (Modal Assurance Criterion), cuyos valores cercanos a la unidad indican que los modos son coincidentes. La descripción del parámetro MAC se llevará a cabo en el punto 2.1.3.2, pág. 32. Figura 7. Valores singulares de la matriz de los espectros de respuesta y variación del índice MAC. (w= frecuencia, I= intensidad de señal, SV= auto-espectros correspondientes a osciladores de un grado de libertad). Una vez seleccionados estos puntos, regresando al dominio del tiempo, por la aplicación de la inversa de la transformada de Fourier, se obtendría la función de auto-correlación asociada a cada uno de ellos (Fig. 8). Como las funciones de auto-correlación son proporcionales a la respuesta en vibración libre, a partir de las primeras el método EFDD es capaz de identificar los coeficientes de amortiguamiento y las frecuencias naturales asociadas a cada modo de vibración usando conceptos de dinámica clásica [28]. Figura 8. Funciones de auto-correlación de los osciladores de un grado de libertad. Identificación en el Subespacio Estocástico (SSI) [29] El método de identificación en el Subespacio estocástico es un método paramétrico de identificación en el dominio del tiempo. La entrada de datos se lleva a cabo a partir de las series temporales medidas directamente con los acelerómetros. A diferencia de los métodos desarrollados en el dominio de la frecuencia, no precisa del cálculo de las funciones de correlación cruzada. Al igual que el EFDD, permite la estimación de las frecuencias naturales, formas modales y coeficientes de amortiguamiento modal con un elevado nivel de exactitud. Sin embargo, el SSI presenta como gran desventaja que su aplicación no es tan directa como en los métodos no-paramétricos en lo que se refiere a tiempo de procesamiento. Dada su complejidad y el relativo interés que presenta el proceso matemático para el desarrollo del presente trabajo, se remite a bibliografía para su seguimiento [29]. Función de auto-correlación 1 Función de auto-correlación 2 Función de auto-correlación 3 Tiempo (s) Tiempo (s) Tiempo (s) Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 34 2.1.2 Planificación de los Ensayos Un importante paso a la hora de afrontar las campañas experimentales es la planificación de las mismas. Las seis fases fundamentales en las que debe dividirse el ensayo son [20, 21]: 1. En primer lugar, se debe realizar un modelo de elementos finitos (EF) de la estructura a estudiar, a partir del cual se realiza un análisis modal previo con el objetivo de tener una primera estimación de las frecuencias naturales y los modos de vibración. Complementariamente, en estructuras de fábrica histórica, donde las propiedades mecánicas de los materiales pueden ser muy variables, es recomendable la realización de ensayos de laboratorio para estimar dichas propiedades. 2. Una vez realizado el análisis preliminar, hay que decidir los puntos donde se van a medir las aceleraciones (Fig. 9). Dicha decisión depende directamente de las propiedades dinámicas que se quieran medir y de los resultados obtenidos en el análisis modal previo de elementos finitos. Los puntos de referencia son situados en aquellos puntos del modelo de elementos finitos con mayor desplazamiento modal. Es habitual que el número de puntos que se quieren medir sea mayor que el número de sensores disponibles, por lo que en este caso un punto o un grupo de puntos deben ser elegidos como puntos fijos de referencia, y el resto de los sensores deberán moverse alrededor de la estructura. Es importante matizar en este sentido que ninguno de los puntos de referencia debe coincidir con ningún nodo de los modos de vibración de la estructura, ya que de esta forma podrían estimarse resultados inadecuados. Figura 9. Ejemplos de sensores de referencia y de movimiento. Capilla del Palacio de Würzburg. 3. Antes de comenzar la campaña experimental es importante monitorizar algún punto de medida para caracterizar la ratio entre la señal y el ruido, con el fin de tener una idea sobre las frecuencias resonantes implicadas. Esto se puede realizar mediante la aplicación de la Transformada de Fourier, para algunas de las respuestas medidas en algunos de los puntos de referencia. Tras llevar a cabo dicho proceso, es posible que sean necesarios realizar algunos cambios antes de comenzar con el ensayo, los cuales pueden englobar desde cambiar el tipo de sensores, hasta simplemente reconsiderar sus posiciones. 4. La cuarta fase se presenta como un punto fundamental para el éxito de nuestra campaña experimental y consiste en el desarrollo de las mediciones. Un primer punto Capítulo 2 Página | 35 importante a considerar es la duración de las mismas, y para establecer dicho parámetro son muchos los autores que proponen sus propias reglas empíricas. A continuación repasamos, en orden cronológico, las de mayor aceptación: - Una primera regla empírica, establecida por J. Bendat y A. Piersol [30], basada en el error de la varianza, establece que el número de promedios en el análisis de la señal del pre-proceso debe ser igual a 100 para tener un error en la varianza del 10%. Por tanto, si la resolución de la frecuencia es de 0,10 Hz, cada segmento grabado debe tener una longitud de 10 segundos. - Otra regla preestablecida, en este caso por E. Caetano en el año 2000 [25], basada en su experiencia práctica y en el caso de estructuras flexibles, recomienda una duración de la medida comprendida entre el producto de 30 y 40 veces un factor promedio por el máximo periodo de interés. Siendo dicho factor el número de promedios, variando entre 8 y 32, la longitud del ensayo, considerando un rango de bajo de frecuencias propio de estructuras flexibles (0-8 Hz), varía entre 2 y 11 minutos. - Una de las de mayor aceptación, establecida por J. Rodrigues [21], es considerar 2000 veces el periodo natural de mayor interés (la frecuencia más baja). Así por ejemplo, para una estructura con una primera frecuencia natural de 3 Hz se debería realizar un ensayo de al menos 11 minutos. - Para concluir, de acuerdo con la experiencia de J. F. Jiménez [31], la regla de 1000 veces el periodo más grande (con un mínimo de 15 minutos para cada serie) puede ser usada si la estructura ha sido adecuadamente excitada. Finalmente, para el presente trabajo de investigación, y considerando que el rango de frecuencias propia de estructuras históricas de fábrica generalmente oscila entre 0 y 12 Hz, se estima una duración mínima de 12 minutos para cada una de las medidas experimentales realizadas. 5. La quinta fase consiste en realizar un chequeo de los datos obtenidos. Es importante verificar la señal medida por cada sensor para evitar perdida de datos o señales de mala calidad. Se trata de una fase fundamental para que los posteriores procesos de identificación tengan el éxito esperado. 6. Para finalizar, es recomendable estudiar el comportamiento dinámico utilizando dos o más métodos de identificación modal, consiguiendo de esta forma un análisis de los resultados más fiable gracias a esta comprobación cruzada de los resultados. Este hecho además no supone ningún coste adicional, puesto que el software ARTEMIS [10], utilizado para el desarrollo del presente trabajo, tiene implementadas varias técnicas de identificación modal. La planificación presentada es la que se sigue en cada uno de los ejemplos que componen el presente documento de investigación. Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 36 2.1.3 OMA como herramienta aplicada a construcciones históricas Una vez llevada a cabo la estimación de los parámetros modales tal y como se describe en el apartado anterior, el uso de los mismos presenta numerosas aplicaciones prácticas [20]. En relación al mundo de la rehabilitación de construcciones históricas, objeto principal del presente trabajo, se destacan dos aplicaciones dirigidas tanto al control y verificación de un proyecto de rehabilitación estructural, como al análisis estructural de dichas edificaciones históricas a partir de la calibración de modelos numéricos. 2.1.3.1 Control y verificación de intervenciones estructurales A partir de la realización de varias campañas experimentales en distintas fases de la obra es posible realizar dicho control, puesto que comparando las estimaciones modales se pueden detectar cambios en la rigidez estructural. En este sentido es propio recordar que las frecuencias naturales (wn) dependen directamente de las rigideces (Kn) y de la masa estructural (m), según la expresión: 𝑤𝑛=√𝐾𝑛 𝑚 (1) Por tanto, el valor de la frecuencia natural es directamente proporcional al de la rigidez. De esta forma, los cambios en el valor de la frecuencia natural, medida en distintas fases, indican cambios de la rigidez estructural del sistema, puesto que la masa generalmente no se modifica. En este punto, es igualmente importante señalar que las condiciones de humedad y temperatura deben ser consideradas. En este sentido, cambios importantes de humedad podrían significar modificaciones en los valores de las frecuencias naturales de hasta un 5% de su valor [32]. En definitiva, se caracteriza la estructura existente de forma que los datos obtenidos puedan ser utilizados en fases futuras como referencia para el chequeo de la evolución de sus características dinámicas. En próximos apartados podremos observar la utilidad del Análisis Modal Operacional como técnica para controlar intervenciones estructurales. Se analizarán las intervenciones llevadas a cabo sobre el área del Teatro Romano de Cádiz y la Capilla de la Jura de Jerez de la Frontera. De igual forma los datos recogidos, sirven como una referencia para analizar el estado actual y futuras intervenciones, como en el caso de la Iglesia de Santiago (Jérez de la Frontera, España) y el Monasterio de San Jerónimo (Sevilla, España). 2.1.3.2 Calibración de modelos numéricos Los datos obtenidos a partir de la aplicación de OMA presentan otra utilidad en relación a la validación de modelos de elementos finitos (MEF). El método de elementos finitos es una de las herramientas matemáticas más potentes y utilizadas por los especialistas, tanto en el análisis y diseño de nuevas estructuras, como en la evaluación de estructuras ya existentes. En la actualidad, los programas de cálculo de elementos finitos permiten la construcción de modelos con un gran nivel de detalle. Sin embargo, en el caso de estructuras históricas, la incertidumbre puede surgir por la dificultad de estimar parámetros, como por ejemplo, el valor Capítulo 2 Página | 37 del módulo de elasticidad de los materiales constituyentes, la rigidez de los elementos tipo muelle o la rigidez de las conexiones [2]. Las pruebas de vibración ambiental surgen como una herramienta complementaria para el ajuste de estos modelos numéricos. Por lo tanto, un posible procedimiento para la mejora de los modelos numéricos desarrollados, es calibrar los mismos de forma que, a la hora de su cálculo modal, los resultados se aproximen a los obtenidos por medios experimentales. El proceso, conocido con el nombre de “updating”, consiste en comparar las propiedades dinámicas medidas y las calculadas, cuantificándose las diferencias entre ambas series de datos. Se localizan posteriormente las fuentes de discrepancias y, por último, se ajusta el modelo numérico para que se aproxime de forma más precisa al comportamiento real de la estructura mediante un proceso de optimización. Teoría básica de actualización de Modelos de Elementos Finitos La actualización de los modelos de elementos finitos basados en los resultados de los parámetros dinámicos de la estructura (frecuencias naturales y modos de vibración) puede desarrollarse desde dos perspectivas distintas: los métodos directos y los métodos indirectos [33]. Durante los primeros años de aplicación del método, el ajuste del modelo se realizaba, de forma directa, a través de la introducción de alteraciones en las matrices de rigidez y/o de masa de la estructura, lo que presentaba la ventaja de permitir un ajuste del modelo con datos experimentales a través de un algoritmo directo sin necesidad de realizar iteración alguna. Dicha metodología presentaba numerosos inconvenientes, destacándose que el proceso de actualización de las matrices se desarrolla sin significado físico alguno. Estos inconvenientes provocan la aparición de otra familia de métodos, denominados indirectos, donde la actualización del modelo [34], en base a los parámetros modales, se plantea a través de la introducción de cambios en algunos parámetros estructurales elegidos por el usuario y con un significado físico bien definido. En este caso, los parámetros modificados no están linealmente relacionados con los parámetros modales, por lo que el proceso de ajuste necesita el uso de algoritmos de optimización para problemas no lineales, siendo necesario aplicar un proceso iterativo. La forma más sencilla de realizar la actualización de los modelos de elementos finitos es minimizar las diferencias entre los resultados numéricos y experimentales [24]. La función objetivo es usualmente definida a partir de la formulación de un problema de mínimos cuadrados.              m jj m jjj rrzzf 1 2 2 2 12 1 2 1 ~ 2 1  (2) donde:    j z son m magnitudes resultantes del modelo numérico, que están relacionadas con las variables del modelo  (parámetros físicos de la estructura, tales como el módulo de elasticidad de los materiales constituyentes, la rigidez del suelo, la rigidez de los muelles…), que serán objeto del ajuste; las variables j z ~ representan las mismas magnitudes obtenidas de forma experimental. Las diferencias entre los parámetros experimentales y numéricos conforman los Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 38 residuos    j r . Se aconseja que el número m de residuos sea al menos el mismo que el número de variables  a ajustar. De forma genérica, en algunos casos, puede resultar interesante establecer diferentes variables peso para cada uno de los residuos, modificando, de esta forma, la forma de la función objetivo. Estos residuos se definen generalmente en términos de frecuencias naturales rf (  ) y desplazamientos modales rs (  ), siendo ambos aplicados en la ecuación anterior (2) según la siguiente formulación:     f j jj fmjr ,...,2,1, ~ ~       (3) donde    j y j  ~ son los valores de las frecuencias naturales del modo de vibración j de la estructura, obtenidas de forma numérica y experimental.       s r j l j r j l j smjr ,...,2,1, ~ ~       (4) donde l j  y r j  son las componentes relativas al desplazamiento modal del modo de vibración j del modelo numérico de la estructura y l j  ~ y r j  ~ son las correspondientes componentes obtenidas experimentalmente. La anterior función objetivo debe minimizarse mediante la aplicación de un algoritmo de optimización. Dentro de los dos grupos de algoritmos existentes, locales y globales, los segundos presentan mayor robustez en la solución final, puesto que ésta no depende del punto inicial seleccionado en el proceso, sino de los intervalos de búsqueda definidos para cada una de las variables de actualización. Dichos intervalos son seleccionados por el usuario, quien a partir de su propia experiencia establece una serie de rangos de búsqueda, manteniendo siempre así el sentido físico del problema [3]. Dentro de los métodos de optimización global, uno de los más frecuentemente utilizados son los algoritmos genéticos, los cuales serán empleados en el desarrollo del estudio de los casos del teatro Romano de Cádiz y la capilla del Palacio de Würzburg. Dichos algoritmos se basan en la analogía con la evolución natural, donde los miembros de una población compiten entre sí para sobrevivir y reproducirse, presentando los mejores individuos un código genético que los ponen en ventaja respecto al resto de la población. No se pretende hacer una descripción exhaustiva de la metodología seguida, remitiendo a bibliografía específica para un mayor conocimiento [24, 35]. En relación a estructuras históricas de fábrica, cabe destacar que el número de casos de calibración de modelos numéricos donde se utilizan los desplazamientos modales obtenidos experimentalmente es realmente reducido [32, 36, 37, 38, 39], produciéndose la mayoría de ellos en elementos esbeltos como torres. Este hecho se debe fundamentalmente a la mayor claridad que ofrecen las formas modales en este tipo de edificaciones, frente a otras construcciones históricas más masivas. Por lo expuesto anteriormente, se decide utilizar únicamente los valores de las frecuencias naturales para llevar a cabo los procesos de Capítulo 2 Página | 39 calibración de los modelos de EF de las estructuras históricas analizadas en el presente documento de investigación. Aun así, una vez realizado el proceso de calibración, y con la finalidad de considerar la comparación entre las formas modales, se lleva a cabo dicha comparación a partir del parámetro MAC, el cual será presentado en el siguiente apartado. Validación del proceso de actualización. Se comprueba la bondad del proceso de calibración a través de la comparación entre los resultados experimentales y los del modelo de EF, en términos de frecuencias naturales y formas modales. El modo más sencillo de realizar la comparación entre las frecuencias naturales medidas experimental y numéricamente es estableciendo el porcentaje de diferencia existentes entre ellas. Se determina de esta forma el grado de correlación entre las dos series de resultados. Con respecto a las formas modales, nos apoyamos en el valor MAC (Modal Assurance Criterion) [22], que cuantifica la desviación de la comparación gráfica obtenida mediante la siguiente expresión:       k T kj T j k T j Kj MAC     ~ 2 , (5) donde j  es el primer modo comparado, k  es el segundo modo comparado y T indica traspuesta. Los valores de MAC varían entre 0.00 y 1.00. Un valor 1.00 implica una correlación perfecta entre los dos modos, mientras que un valor 0, indica modos no correlacionados (ortogonales). En el caso de varias series de modos, se suele establecer como criterio que si el valor de MAC supera el valor de 0.85 dichos modos están correlacionados y si el valor de MAC es inferior a 0.10 no lo están. Es el método más utilizado actualmente. Una vez desarrollada brevemente la teoría del proceso de calibración utilizado y centrándonos en el estudio de obras de rehabilitación, se ha de destacar la gran utilidad que presenta la calibración del modelo de EF. Dicho proceso permite obtener un modelo numérico que caracteriza el comportamiento estructural de la estructura en un momento concreto. De esta forma, antes de comenzar con posibles obras de rehabilitación, se presenta la oportunidad de probar diferentes combinaciones de soluciones, estimando así, a partir de su comportamiento estructural, cuál de las soluciones presenta una mayor idoneidad. De igual forma, a lo largo de la vida útil de la estructura, el modelo ajustado puede ser comparado con resultados de nuevas pruebas dinámicas realizadas, estimando de esta forma como está siendo el comportamiento estructural a lo largo del tiempo [13]. Por lo tanto, el ajuste de modelos de elementos finitos se presenta también como un procedimiento que permite la identificación de daños estructurales. El proceso de calibración de modelos de elementos finitos queda recogida en el presente documento en los casos del área del Teatro Romano de Cádiz, el Monasterio de San Jerónimo y la Capilla del Palacio de Würzburg. Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 46 obtuvieron valores MAC cercanos a la unidad (0.99), mientras que para el resto de modos estos valores fueron próximos a 0.60. Modelo de elementos finitos Se desarrolló un modelo de EF (Fig. 18) para ser utilizado en posteriores análisis no lineales de integración en el tiempo. Debido al alto nivel de complejidad de la estructura se llevó a cabo un modelo de EF constituido por elementos tipo barra (beam). Para un análisis más completo hubiese sido necesario un modelo de EF elaborado a partir de elementos superficiales o volumétricos, a partir de los cuales reproducir con mayor precisión la respuesta dinámica. Para la validación del modelo de EF, los parámetros de actualización utilizados fueron el módulo de elasticidad (E) de las columnas y las bóvedas, y las condiciones de contorno de las columnas. Estableciendo la comparación de los modelos en término de frecuencias naturales, se observa que los dos primeros modos pudieron ser ajustados (diferencias inferiores al 5%), mientras que para el resto de los modos, los valores de frecuencias presentaron diferencias de hasta el 51% (Tabla 2). Tabla 2. Comparación del Modelo de EF y el Modelo experimental: Frecuencias naturales. (B2) Frecuencia Natural [Hz] % Diferencia M. experimental SSI MEF calibrado Modo 1 3.68 3.79 + 2.90 Modo 2 5.04 5.06 + 0.99 Modo 3 6.30 5.20 - 17.46 Modo 4 7.29 5.34 - 26.74 Modo 5 9.65 5.76 - 40.31 Modo 6 12.51 6.13 - 50.99 Figura 18. Modelo de EF. Elementos tipo barra. Capítulo 2 Página | 47 B3. Iglesia de San Torcato en Guimaraes. Portugal. L.F. Ramos et al [36]. 2009. En el caso de la Iglesia de san Torcato (Fig. 19), se aplicó OMA como parte de actividades de monitorización estructural que aún a día de hoy se siguen llevando a cabo. Se trata de una iglesia construida entre los siglos XIX y XX, de estilo “neo-manuelino”, de planta en forma de cruz latina con nave central de 57.5 m de longitud, 17.5 m de ancho, y una altura media de 26,5 m. El crucero es de 37 m de longitud y 11.5 m de ancho, y las torres laterales presentan una longitud de 7.5 m, 6.5 m de ancho y 50 m de altura. Debido al largo proceso de construcción, los materiales que se utilizaron fueron diferentes. Los muros de las naves y torres son de fábrica de piedra, mientras que el ábside y el altar mayor fueron construidos con muros de hormigón armado. Toma y tratamiento de datos El equipo de medida estaba compuesto por 10 acelerómetros uniaxiales piezoeléctricos, conectados por cables al sistema de adquisición de datos. Los sensores de medición se colocaron en un total de 35 puntos (Fig. 20). Debido al número de acelerómetros utilizados y las largas distancias entre ellos, las mediciones se tomaron en nueve configuraciones de prueba. Se colocaron cuatro acelerómetros de referencia en la parte superior de las torres (dos acelerómetros en cada torre en direcciones perpendiculares (puntos 12, 13, 20 y 21 de la Fig. 20)), debido a la alta contribución modal de esos puntos. El tiempo de muestreo de cada una de las medidas fue de 10 min. Figura 20. a) Situación de los acelerómetros. b) Central de adquisición de datos. c) Acelerómetro piezoeléctrico. Las propiedades modales de la estructura se determinaron utilizando técnicas paramétricas (FDD y EFDD) y no paramétricas (SSI). Se consiguió identificar con precisión los primeros cuatro modos en un rango de frecuencias de 0-10 Hz. Las primeras cuatro frecuencias se identificaron con errores relativos de frecuencias inferiores a 1.4% (tomando como referencia los resultados del método de SSI). Los resultados en relación a las amortiguaciones presentaron una mayor variabilidad (hasta un 50%). Figura 19. I. de San Torcato. Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 48 Modelo de elementos finitos A partir de los datos obtenidos tras la aplicación de OMA, se ajustó un modelo de EF que permitió evaluar el éxito de una posible intervención futura. Debido a la complejidad de la estructura, sólo se modelaron la parte delantera de la nave y la fachada (incluyendo las torres). Con estas consideraciones, el modelo final de EF se constituye por 3044 elementos sólidos, con un total 18016 nodos. La calibración del modelo de EF se llevó a cabo teniendo en cuenta cuatro parámetros de actualización. Los parámetros fueron el módulo de elasticidad de la fábrica, la rigidez normal del suelo en la zona de las torres, y la rigidez normal y de cizallamiento de los elementos no modelados del edificio. Se logró una alta correspondencia entre los resultados del modelo calibrado y del experimental, en términos de frecuencias naturales (Tabla 3). En lo que se refiere a la comparación de las formas modales (Fig. 21) los valores MAC oscilan entre 0.93 y 0.77. Tabla 3. Comparación del Modelo de EF y experimental: Frecuencias naturales y valores MAC. (B3) Frecuencia Natural [Hz] % Diferencia MAC M. experimental SSI MEF calibrado Modo 1 2.14 2.14 + 0.00 0.93 Modo 2 2.63 2.55 - 3.04 0.86 Modo 3 2.85 2.93 + 2.73 0.83 Modo 4 2.93 2.94 + 0.34 0.77 Figura 21. Comparación del Modelo experimental y el Modelo de EF. Formas modales de la estructura. Capítulo 2 Página | 49 B4. Catedral de San Nicolás en Famagusta. Chipre. R.A. Votsis et al [48]. 2010. Se llevaron a cabo pruebas de vibración ambiental para realizar un estudio de la vulnerabilidad sísmica de la Catedral de San Nicolás (Fig. 22), a partir del ajuste de un modelo de EF. La catedral de Famagusta es una edificación del siglo XIV de estilo gótico, con nave principal de siete tramos que finaliza en un ábside poligonal flanqueado por naves que terminan en capillas absidales de forma similar. La estructura es de fábrica de piedra, con dimensiones generales de 50 m de largo, 24 m de ancho y altura máxima de 29 m. Toma y tratamiento de datos El equipo de toma de datos utilizado estaba compuesto por 5 acelerómetros triaxiales de fuerza balanceada, que se conectan por cables coaxiales a la central de adquisición de datos (modelo VSS-3000 de la marca Kinemetrics). Se midió un total de 13 puntos (Fig. 23), por lo que fue necesaria la realización de tres medidas, manteniendo siempre un acelerómetro como unidad de referencia y moviendo los otros cuatros para cada medida. Para el tratamiento de los datos se empleó el software ARTEMIS [10], utilizando el FDD y el SSI como técnicas de identificación modal. Se identificaron 3 modos de vibración, uno longitudinal y dos laterales, en un rango de frecuencias de 0-5 Hz. Los resultados obtenidos con ambos métodos fueron muy similares, presentando siempre un valor MAC superior a 0.96. Figura 22. Catedral de San Nicolás Figura 23. Equipo de Medida. Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 50 Modelo de elementos finitos El modelo de elementos finitos se desarrolló utilizando el software SAP2000 [51]. Se trata de un modelo compuesto únicamente por elementos superficiales, cuyos espesores se asignaron en base a detalladas mediciones in situ. (Fig. 24). Para validar el modelo de EF, se estableció el módulo de elasticidad (E) de la piedra como única variable. Tras la calibración del modelo, las frecuencias naturales fueron ajustadas con diferencias relativamente bajas, mientras que en lo que se refiere a formas modales se lograron unos valores MAC entre 0.82 y 0.89 (Tabla 4). Tabla 4. Comparación del Modelo de EF y experimental: Frecuencias naturales y valores MAC. (B4) Frecuencia Natural [Hz] % Diferencia MAC M. experimental SSI MEF calibrado Modo 1 0.98 0.98 + 0.00 0.82 Modo 2 1.04 0.99 - 4.80 0.85 Modo 3 1.40 1.54 + 9.09 0.89 Figura 24. Modelo de EF de la Catedral de San Nicolás. Capítulo 2 Página | 51 B5. Iglesia de St. Mamas en Morphou. Chipre. R.A. Votsis et al [48]. 2010. En la Iglesia St. Mamas (Fig. 25) se aplicó OMA con la finalidad de realizar un estudio de la vulnerabilidad sísmica de la estructura. El estudio se realizó a partir del ajuste de un modelo EF. La iglesia es de principios del siglo XVI, de tipo franco-bizantino, configurada por tres naves que están separadas por dos columnatas de cuatro columnas cada una. La estructura es de fábrica de piedra, de 19 m de largo y 8 m de ancho. Su altura es de 9 m en la clave de las bóvedas y de 19 m en la cúpula. Toma y tratamiento de datos El equipo utilizado para la toma de datos estaba compuesto por 5 acelerómetros triaxiales de fuerza balanceada, que se conectan por cables coaxiales a la central de adquisición de datos. Se decidió únicamente instrumentar 5 puntos que se midieron de una única vez. Se dispusieron cuatro acelerómetros en la parte superior de las columnas (Fig. 26) y uno en el suelo, fuera de la iglesia. Se utilizaron las técnicas de identificación modal FDD y SSI, implementadas en el software ARTEMIS [10], para realizar el tratamiento de datos. Se identificaron 3 modos de vibración, dos laterales y uno de torsión, en un rango de frecuencias de 0-5 Hz. El valor MAC entre las formas de los modos, calculados por ambos métodos, fue siempre superior a 0.95. Figura 25. Iglesia de St. Mamas. Figura 26. Situación de los acelerómetros y equipo de medida. Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 52 Modelo de elementos finitos Se desarrolló un modelo de elementos finitos con el software SAP2000 [51]. El modelo fue elaborado mediante elementos superficiales (Fig. 27). El parámetro utilizado como única variable para la validación del modelo de EF fue el módulo de elasticidad (E) de la piedra. Una vez ajustado, para la correlación de las formas modales, se aplicó el criterio de fiabilidad modal (MAC), obteniéndose valores en este caso que oscilan entre 0.83 y 0.96. Las diferencias de frecuencias fueron menores del 5% en los dos primeros modos y del 7.3% en el tercero, mientras que los valores MAC oscilaron entre 0.83 y 0.96 (Tabla 5). Tabla 5. Comparación del Modelo de EF y experimental: Frecuencias naturales y valores MAC. (B5) Frecuencia Natural [Hz] % Diferencia MAC M. experimental SSI MEF calibrado Modo 1 1.95 1.95 + 0.00 0.93 Modo 2 2.57 2.47 - 3.89 0.83 Modo 3 4.30 4.64 + 7.32 0.86 Figura 27. Modelo de EF. Capítulo 2 Página | 53 B6. Mezquita Hafsa Sultan de Manisa. Turquía. H. Nohutcu et al [49]. 2015. Se presenta la aplicación de OMA sobre la Mezquita Hafsa Sultan (Fig. 28), uno de los hitos más importantes de la arquitectura otomana del siglo XVI. La finalidad principal del estudió fue obtener un modelo de elementos finitos calibrado, para lo cual se utilizaron los datos obtenidos con OMA. La mezquita presenta una planta rectangular de 29.25 x 21.33 m, constituida por muros de piedra andesita, columnas de granito, una gran cúpula y otras cuatro de menor tamaño anexas a la anterior. Figura 28. Vistas exteriores de la Mezquita Hafsa Sultan. Toma y tratamiento de datos En el estudio experimental, se utilizaron 16 acelerómetros uniaxiales SENSEBOX-7021, conectados de forma inalámbrica a la central de adquisición de datos TEXTBOX-6501. Dichos sensores de medición se colocaron en un total de 15 puntos según la Fig. 29, midiendo cada una de las tres direcciones principales. Figura 29. Situación de los acelerómetros. En azul los 3 acelerómetros de referencia. Las propiedades modales de la estructura se determinaron utilizando nuevamente las técnicas EFDD y SSI. Se consiguió identificar con precisión los primeros cinco modos de vibración en un rango de frecuencias de 0-7 Hz. Los errores relativos entre las frecuencias localizadas con ambos métodos fueron siempre menores al 2 %. Análisis Modal Operacional (OMA) aplicado a construcciones históricas Página | 54 Modelo de elementos finitos El modelo de elementos finitos desarrollado fue calibrado a partir de los datos experimentales recopilados. Se trata de un modelo generado mediante el software Abaqus/CAE 6.13 [52], y constituido por 673527 elementos tetraédricos (C3D4) y 145442 nodos (Fig. 30). Para llevar a cabo la calibración del modelo se utilizó como parámetro de actualización el módulo de elasticidad de los elementos estructurales. Una vez llevada a cabo dicha calibración, realizada manualmente, se redujeron las diferencias entre el modelo numérico y el experimental (Tabla 6). Figura 30. Modelo de Elementos Finitos de la Mezquita Hafsa Sultan. Tabla 6. Comparación del Modelo de EF y el Modelo experimental: Frecuencias naturales. (B6) Frecuencia Natural [Hz] % Diferencia M. experimental SSI MEF calibrado Modo 1 2.90 2.90 + 0.00 Modo 2 4.58 4.63 + 1.20 Modo 3 4.67 4.66 + 0.40 Modo 4 5.49 5.46 - 0.90 Modo 5 6.13 6.07 - 1.80 Capítulo 2 Página | 55 2.2.3 Conclusiones del estado del arte Antes de establecer las conclusiones sobre el estado del arte de la aplicación de OMA, sintetizamos la información presentada en la Tabla 7: Tabla 7. Resumen de los datos extraídos a partir del estudio del estado del arte de OMA en relación a estructuras históricas de fábrica. ANÁLISIS MODAL OPERACIONAL CASO Nº acel. Tipo acel. Nº puntos med. Nº acel. refer. Nº med. T. cada medida (min) Met. idi. modal Nº modo loc. Rango de f. (Hz) Dif max. f. (%) Rango MAC A1 4 Piezoel. 24 2 11 10.40 SSI 7 0-10 - - A2 15 Piezoel. 15 0 1 30 EFDD 5 0-30 - - B1 14 Piezoel. 14 0 1 43 PP, SSI 6 0-10 5 - B2 2 Piezoel. 30 1 29 10 EFDD,SSI 6 0-12.5 2 0.96-0.99 B3 10 Piezoel. 35 4 9 10 EFDD,SSI 4 0-10 1.4 - B4 5 Fuerza B. 13 1 13 - FDD,SSI 3 0-5 - 0.98-0.99 B5 5 Fuerza B. 5 0 1 - FDD,SSI 3 0-5 - 0.96-0.99 B6 16 Piezoel. 16 3 3 10 EFDD,SSI 5 0-7 2 - MODELO DE ELEMENTOS FINITOS CASO Tipos de elementos Nº de elementos Nº de nodos Parámetros de ajuste Diferencia máxima frecuencias (%) Rango MAC B1 Solido 808 1443 M. de elast. (E) 14 - B2 Beam - - M. de elast. (E) 51 - B3 Solido 3044 18016 M. de elast. (E) y Rigideces (K) 3 0.77-0.93 B4 Shell - - M. de elast. (E) 15 0.82-0.89 B5 Shell - - M. de elast. (E) 10 0.83-0.96 B6 Sólido 673527 145442 M. de elast. (E) 2 - A1. Torre del reloj de Mogadouro. Portugal. L.F. Ramos et al. 2005. A2. Bóveda de la Mezquita Kucuk Fatih. Turquía. I. Calık et al. 2014. B1. Templo de Yechheswor. Nepal. Bijaya Jaishi et al. 2002. B2. Iglesia del Monasterio de Los Jerónimos. Portugal. L.F. Ramos et al. 2005. B3. Iglesia de San Torcato en Guimaraes. Portugal. L.F. Ramos et al. 2009. B4. Catedral de San Nicolás en Famagusta. Chipre. R.A. Votsis et al. 2010. B5. Iglesia de St. Mamas en Morphou. Chipre. R.A. Votsis et al. 2010. B6. Mezquita Hafsa Sultan de Manisa. Turquía. H. Nohutcu et al. 2015. Casos de Estudio Página | 62 - En función de cada caso de estudio, la caracterización dinámica obtenida tras la aplicación de la técnica modal será utilizada para alcanzar los objetivos de cada uno de ellos. Dichos objetivos varían desde el análisis estructural de la edificación histórica, para lo que sería necesario la calibración del modelo numérico, hasta el control y evaluación de intervenciones estructurales, a partir de la comparación de los parámetros modales recopilados en distintas fases de las mismas. - A continuación se recopilarán los resultados obtenidos en cada caso, atendiendo a las distintas peculiaridades que ofrecen cada uno de ellos. - Finalmente, y atendiendo a los resultados descritos en el punto anterior, se presentarán las conclusiones y futuras líneas de trabajo que ofrecen cada caso de estudio. Una vez analizado independientemente cada caso de estudio, en el último punto del presente capítulo se desarrollará un resumen global de los datos obtenidos. Capítulo 3 Página | 63 3.2 Caracterización dinámica, validación de modelos numéricos y control de intervenciones estructurales: casos de estudio. 3.2.1 Área del Teatro Romano de Cádiz (España) (CASO C1) (Ver anejos A y B) En el presente punto se expone la caracterización dinámica de un grupo de edificios situados sobre el Teatro Romano de Cádiz, parte de la herencia romana que ha permanecido oculta durante siglos bajo el casco histórico de la ciudad de Cádiz. En el año 2010, se inició una intervención con el fin de descubrirlo, consistente en la construcción de una serie de bóvedas de hormigón mediante la ejecución de paraguas de inyección bajo dicho grupo de edificios. Debido a la complejidad que presentaba el desarrollo de la mencionada intervención, se decidió llevar a cabo el control de la misma a través de pruebas de vibración ambiental. A su vez, con los datos obtenidos se calibraron los modelos de elementos finitos para predecir el efecto final de la intervención sobre el conjunto estructural. Descripción del Teatro Romano de Cádiz El Teatro Romano de Cádiz se localiza en el barrio del Pópulo (Fig. 31), junto a la Catedral Vieja (actual Iglesia de Santa Cruz). Es el más antiguo de la Península Ibérica, datando su construcción de finales del siglo I a.C. El diámetro de su cávea es de 120 m, lo que lo hace ser el edificio de mayores dimensiones de su clase en España. Su aforo sería alrededor de unos 20.000 espectadores, un elevado número si tenemos en cuenta que la población de Gades rondaría los 50.000 habitantes. Los materiales utilizados en la estructura fueron piedra y opus caementicium [53]. La gran resistencia de éstos hizo que el teatro fuera utilizado como base de otros edificios construidos posteriormente. En el siglo III d.C. el área del teatro comenzó a usarse para diversos fines, siendo uno de ellos un castillo. En el siglo XIII, después de la conquista de la ciudad por parte de las tropas cristianas, el castillo fue reconstruido y su uso cambió, desapareciendo toda referencia al teatro primitivo [54]. En ese momento, el barrio que actualmente es conocido como “El Pópulo”, comenzó a construirse, asentándose parte de él sobre los restos del teatro. Figura 31. Localización del Teatro Romano de Cádiz. Casos de Estudio Página | 64 El teatro fue descubierto de forma accidental en el año 1980 (Fig. 32), momento desde el cual se ha seguido un proceso sistemático hacia su recuperación. Son numerosas las labores de demolición, excavación y consolidación realizadas desde entonces [55], que han dado como resultado la recuperación de una parte significativa de la cávea (Fig. 33). Figura 32. Estado del parcelario superpuesto a las trazas del Teatro. Año 1980. En rojo edificios derruidos. Figura 33. Estado del parcelario superpuesto a las trazas del Teatro. Año 2010. En azul área analizada. Capítulo 3 Página | 65 La forma de afrontar el problema debía dar solución al dilema de compatibilizar la seguridad y pervivencia de los edificios existentes sobre el teatro, con la recuperación de los restos arqueológicos existentes, de modo que tales zonas de interés cultural quedaran a la luz y pudieran visitarse (Fig. 34). La importancia no radicaba solo en la puesta en valor del teatro, sino también en la correcta conservación de las edificaciones construidas sobre él, puesto que éstas, al formar parte del barrio del “Pópulo”, son parte del patrimonio histórico de la ciudad. Figura 34. Área del Teatro Romano de Cádiz. En 2010 se inició una importante intervención que, de forma general, consiste en la generación de una serie de bóvedas bajo las edificaciones. Estas bóvedas son las encargadas de transmitir las cargas a un sustrato de terreno suficientemente resistente (Fig. 35.a) [56]. Para su ejecución se recurrió a la técnica de inyección armada, consistente en la realización de una serie de paraguas de inyecciones bajo los muros de los edificios. La posición exacta de cada una de las bóvedas se define por arcos de acero (Fig. 35.b). Todas las inyecciones se realizan con mezclas estables de cemento-bentonita [57, 58, 59]. El resultado final será la creación de un nuevo espacio abovedado debajo de los edificios desde el cual se podrán contemplar los restos del teatro (Fig. 36). Figura 35. a) Alzado esquemático tras la extracción de tierras. b) Arcos de acero. Figura 36. Perspectiva esquemática del revestimiento interior de las bóvedas una vez finalizados los trabajos. Casos de Estudio Página | 66 Debido a la gran complejidad que presenta la intervención presentada anteriormente, se decidió llevar a cabo su control por medio de dos técnicas. Éstas son el control topográfico de precisión y el Análisis Modal Operacional. El presente estudio se centrará en la aplicación de OMA realizada a través de pruebas de vibración ambiental. Modelo de elementos finitos Como primer punto en el proceso de aplicación de OMA se generó un modelo previo para decidir la situación de los acelerómetros. Este modelo consta de tres partes fundamentales, los edificios, las bóvedas y el terreno (vaciado del teatro), y fue modelado utilizando el programa informático Abaqus/CAE 6.13 [52]. Los edificios fueron mallados con elementos superficiales, mientras que para las bóvedas y el terreno se utilizaron elementos sólidos, obteniendo un modelo final de 975370 elementos, 189585 nodos y 666177 grados de libertad (Fig. 37). Las propiedades de los materiales se estimaron a partir del estudio geotécnico del suelo y de la bibliografía consultada [60, 61]. Figura 37. Modelo de elementos finitos previo. Con la ayuda del modelo de elementos finitos se localizaron los puntos más adecuados para la colocación de los acelerómetros de referencia, que fueron aquellos con mayor desplazamiento modal (Fig. 38). Figura 38. Desplazamientos modales del 1º Modo de vibración en direcciones X, Y y Z. Capítulo 3 Página | 67 Pruebas de vibración ambiental y Análisis Modal Operacional Se realizaron tres campañas de vibración ambiental: antes del comienzo de las obras (15 de abril de 2011), una vez finalizada la primera fase de ejecución de paraguas de inyección (20 de abril de 2012) y después de extraer los dos primeros metros de suelo situado bajo las bóvedas (6 de abril de 2013). Para llevar a cabo la monitorización de la estructura y la toma de datos se utilizó el equipo presentado en el apartado 2.1.1, compuesto por ocho acelerómetros uniaxiales de fuerza balanceada Episensor de la casa comercial KINEMETRICS, con ancho de banda de 0- 200 Hz, y una central de adquisición de datos tipo GRANITE de la misma casa (Fig. 39). Figura 39. Central de Adquisición de datos, equipo informático y acelerómetro de fuerza balanceada. En la Fig. 40 se muestra una representación esquemática de la disposición de sensores. Podemos observar que en total fueron 20 los puntos medidos en cada una de las pruebas de vibración ambiental realizadas. Cuatro de los sensores se situaron, como acelerómetros de referencia (puntos 1-4, Fig. 40), en la planta superior, mientras los otros cuatro se colocaron siguiendo la vertical de los anteriores en cada una de las plantas, de forma que se realizaron un total de cuatro series de medidas, siendo la duración de cada una de ellas de doce minutos. Figura 40. Situación y dirección de los acelerómetros. 1º Set-up 2º Set-up 4º Set-up 3º Set-up Casos de Estudio Página | 68 En las tres campañas anteriormente descritas se llevó a cabo la misma planificación, utilizando los mismos parámetros y puntos de medición. Las medidas se realizaron bajo condiciones similares de temperatura y humedad. En este sentido, como se señaló en el capítulo anterior, es importante señalar que cambios importantes de humedad, podrían modificar las frecuencias hasta un valor del 5% [32]. Las mediciones se llevaron a cabo exclusivamente bajo excitación ambiental (Fig. 41). Figura 41. Ejemplo de excitación ambiental (acelerómetro número 4 en el segundo set-up). Los datos obtenidos in situ fueron procesados con el software ARTEMIS [10], el cual tiene implementadas las dos técnicas de identificación modal presentadas en el apartado 1.2.1: el método de Descomposición mejorada en el dominio de la frecuencia (EFFD) (Fig. 42) y el método de Identificación en el Subespacio Estocástico (SSI). Figura 42. Espectro de respuesta. Identificación de los parámetros modales mediante el método EFDD. De la forma presentada anteriormente fueron extraídos los parámetros modales (frecuencias naturales, coeficientes de amortiguamiento modal y formas modales) del conjunto, para cada una de las fases de intervención. Para la validación de dichos parámetros se compararon ambos métodos de identificación modal en términos de porcentajes de diferencia entre las frecuencias Capítulo 3 Página | 69 Frecuencias naturales (f), amortiguamiento modal () y desviación estándar (Std). Frecuencias naturales (f), amortiguamiento modal () y desviación estándar (Std). Frecuencias naturales (f), amortiguamiento modal () y desviación estándar (Std). naturales y de valores MAC entre las formas modales. Los resultados obtenidos quedan recogidos en las Tablas 8, 9 y 10. Tabla 8. Resultados de OMA antes de los trabajos de rehabilitación (15 de abril, 2011). SSI EFDD MAC f (Hz) Std. f  Std.  f (Hz) Std. f  Std.  Modo 1 4.83 0.03 3.43 0.50 4.77 (1.2%) 0.08 2.2 (35%) 0.59 0.95 Modo 2 6.88 0.01 2.36 0.28 6.78 (1.4%) 0.10 1.1 (53%) 0.24 0.94 Modo 3 8.25 0.02 3.21 0.18 8.26 (0.1%) 0.13 1.2 (63%) 0.21 0.94 El porcentaje entre paréntesis indica el error relativo teniendo como referencia los resultados del método SSI. Tabla 9. Resultados tras la primera fase de trabajo: paraguas de inyección (20 de abril, 2012). SSI EFDD MAC f (Hz) Std. f  Std.  f (Hz) Std. f  Std.  Modo 1 4.86 0.02 3.74 0.71 4.86 (0.1%) 0.05 2.2 (41%) 1.30 0.99 Modo 2 6.92 0.05 2.16 0.21 6.86 (0.8%) 0.03 0.8 (62%) 0.44 0.99 Modo 3 8.30 0.06 2.81 0.55 8.27 (0.4%) 0.08 1.8 (36%) 0.11 0.98 El porcentaje entre paréntesis indica el error relativo teniendo como referencia los resultados del método SSI. Tabla 10. Resultados tras la segunda fase de trabajo: vaciado parcial del terreno (6 de abril, 2013). SSI EFDD MAC f (Hz) Std. f  Std.  f (Hz) Std. f  Std.  Modo 1 4.85 0.04 3.70 0.61 4.85 (0.1%) 0.06 2 (45%) 1.10 0.97 Modo 2 6.90 0.02 2.66 0.22 6.86 (0.5%) 0.05 1.7 (62%) 0.24 0.98 Modo 3 8.26 0.08 3.12 0.45 8.23 (0.4%) 0.10 1.6 (36%) 0.21 0.95 El porcentaje entre paréntesis indica el error relativo teniendo como referencia los resultados del método SSI. A partir de los datos recopilados en las tablas anteriores, podemos observar que las pruebas de vibración ambiental permiten identificar con precisión los tres primeros modos en un rango de frecuencias de 0 a 10 Hz. Las frecuencias se identificaron con errores relativos inferiores al 1.5%, tomando como referencia los resultados del método de SSI. Los resultados del coeficiente de amortiguamiento tienen mayor variabilidad (hasta 63%). Con respecto a las formas de los modos, los valores MAC fueron siempre mayores a 0.94, lo cual nos indica una alta correspondencia entre las formas modales. En las tres campañas experimentales, los dos Casos de Estudio Página | 70 primeros modos corresponden a movimientos de translación de los edificios, mientras que el tercero corresponde a un movimiento de rotación (Fig. 43). Figura 43. Formas modales del modelo experimental. Comparación de los parámetros modales Como se ha expuesto anteriormente, el control de la intervención estructural llevada a cabo sobre el teatro fue realizado a través de pruebas de vibración ambiental. Por tanto, una vez hechas dichas pruebas y obtenidos los parámetros modales del conjunto mediante la aplicación de OMA, se procedió a su comparación. Como se puede observar en la Tabla 11, las diferencias entre las frecuencias naturales fueron siempre inferiores al 1%. Por lo tanto, se puede concluir que la rigidez estructural de los edificios no se está viendo afectada por las obras llevadas a cabo hasta la fecha. Tabla 11. Comparación de frecuencias naturales (Hz) asociadas a cada campaña experimental. f (antes de los trabajos)*1 f (tras 1º fase)*2 f (tras 2º fase)*3 Max. % de diferencia Modo 1 4.83 4.86 4.85 0.61 Modo 2 6.88 6.92 6.90 0.57 Modo 3 8.25 8.30 8.26 0.60 Resultados de las frecuencias obtenidos por el método SSI. *1 15 de abril, 2011. *2 20 de abril, 2012. *3 6 de abril, 2013. Calibración del modelo de elementos finitos Con el fin de anticipar el comportamiento estructural del conjunto en las posteriores fases de los trabajos a realizar sobre el área del Teatro Romano de Cádiz, el equipo de investigación decidió llevar a cabo una predicción del comportamiento final del conjunto una vez las obras hubiesen finalizado. Para ello se presentaba como paso fundamental la disposición de un modelo numérico que ofreciera la confianza suficiente para realizar ese tipo de estimaciones. Para estudiar la fiabilidad del modelo de elementos finitos, inicialmente se llevó a cabo un primer análisis numérico modal para estimar las frecuencias naturales del conjunto. En la Tabla 12 se puede observar la comparación inicial entre las frecuencias naturales del modelo numérico con respecto al experimental. Capítulo 3 Página | 71 Tabla 12. Comparación de frec. naturales obtenidas experimentalmente (SSI) y analíticamente (MEF). Modos fSSI (tras 1º fase) f (MEF Inicial) % de Diferencia Valor MAC Modo 1 4.86 5.59 15 0.91 Modo 2 6.92 7.88 13.9 0.89 Modo 3 8.30 9.36 12.8 0.78 Como puede observarse en la Tabla 12, los errores entre los parámetros modales experimentales y numéricos son elevados, a pesar del empleo de un modelo de elementos finitos muy detallado, siendo por tanto necesario realizar un ajuste del modelo de elementos finitos de la estructura con el objeto de que el mismo sea capaz de representar de forma adecuada el comportamiento de la estructura. Es por ello que se llevó a cabo la calibración del modelo numérico partiendo de los parámetros modales recopilados experimentalmente. El proceso de calibración del modelo de elementos finitos seguido es el presentado en el apartado 2.2.2 del presente documento. De forma resumida, y con el fin de no repetir información, se adoptó como técnica de actualización un método iterativo basado en algoritmos genéticos. En primer lugar, fueron determinados los parámetros físicos de la estructura que presenten mayor incertidumbre o sensibilidad con su comportamiento modal estructural. Para ello se realizó un estudio de sensibilidad entre los diferentes parámetros posibles. Una vez llevado a cabo dicho estudio de sensibilidad, tres parámetros de calibración (módulos de elasticidad de la fábrica (Em), del terreno (Es) y de las bóvedas (Ev)) fueron seleccionados como aquellos que presentan mayor sensibilidad con el comportamiento dinámico de la estructura (Tabla 13). En este caso, la selección de un número mayor de parámetros dificultaría en exceso la compresión física del fenómeno de ajuste. Finalmente, se realizó la calibración del modelo de elementos finitos mediante la implementación del algoritmo genético en el programa MATLAB [62]. Tabla 13. Resumen de los resultados del proceso de calibración: Propiedades mecánicas. Parámetro de actualización Valor Inicial Intervalo de optimización Valores actualizados Límite inferior Límite superior Em (MPa) 2800 1500 3000 2100 Es (MPa) 1300 500 1500 780 Ev (MPa) 13000 7000 18000 10100 La función objetivo del proceso fue definida a partir de los residuos generados por la diferencia entre las frecuencias naturales de vibración correspondientes a los tres primeros modos de vibración. Se declinó el uso de los desplazamientos modales debido a la irregularidad que presentan, hecho que generalmente ocurre en este tipo de edificaciones. Bajo dicho criterio la Casos de Estudio Página | 78 Modelo de elementos finitos: Fotogrametría El uso de la técnica fotogramétrica [65, 66] se presenta en el objeto de estudio como una herramienta fundamental para poder llevar a cabo el levantamiento geométrico, debido a la imposibilidad de llevar a cabo dicho levantamiento de forma teórica por los motivos expuestos en el apartado anterior. El software usado para tal fin fue PhotoScan [67] (Fig. 53). Figura 53. Levantamiento fotogramétrico del trasdós de la bóveda. PhotoScan es un software diseñado para procesar imágenes digitales y, mediante la combinación de técnicas de fotogrametría digital y visión por computador, generar una reconstrucción 3D del objeto, todo ello con un error máximo de 2 píxeles. Funciona generando nubes de puntos editables a partir de múltiples imágenes, utilizando siempre sistemas de referencia cartográficos estándar (Fig. 54). En este caso de estudio, dichas nubes de puntos fueron tratadas con el módulo Quik Surface Recostrution del software Catia V5 [68], con el fin de obtener las superficies resultantes (Fig. 54). Posteriormente, y a través de una estación total, se definieron tres puntos que sirvieron de base para situar y escalar el modelo. Figura 54. Levantamiento fotogramétrico del intradós y posterior tratamiento en CATIA V5. Son numerosas las ventajas que ha presentado la utilización de esta técnica en este caso de estudio. Entre ellas, su bajo coste económico en comparación con el coste que suponía hacer un escaneado tridimensional, el hecho de simplificar el levantamiento topográfico permitiendo la medición rápida de entornos complejos cuando se dispone de un punto de vista adecuado, minimizar los tiempos de medición y reducir los riesgos laborales. Por último, señalar la ventaja que supone el modelar fielmente la geometría del conjunto, puesto que a la hora de actualizar el modelo numérico (Fig. 55) los parámetros de actualización no tendrán que absorber los Capítulo 3 Página | 79 errores provocados por una inexacta definición geométrica. Por otro lado, algunos de los inconvenientes detectados son la necesidad de utilizar dianas para barridos en diferentes días y el elevado coste computacional en lo relativo al tamaño del archivo generado, compuesto por millones de puntos para poder así conseguir un alto nivel de precisión local. Figura 55. Modelo de elementos finitos generado a partir de técnicas fotogramétricas. Pruebas de vibración ambiental y Análisis Modal Operacional A continuación, se presentan las pruebas de vibración ambiental y la aplicación del análisis modal operacional como técnica para identificar experimentalmente las propiedades dinámicas de la cubierta de la capilla de la Jura, antes y después de la intervención. Al igual que el caso anterior, como primer punto en el proceso de aplicación del análisis modal operacional se utilizó el modelo numérico inicial para decidir la posición de los acelerómetros de referencia. Como podemos ver en la Fig. 56, en los puntos con mayor desplazamiento modal se situaron los dos acelerómetros de referencia. El resto de los acelerómetros se fueron moviendo a lo largo de los 15 puntos restantes situándose en las tres direcciones principales. Esta configuración sería la misma en las pruebas de vibración ambiental realizadas después de la intervención. Figura 56. Situación de los puntos de medida. Acelerómetros de referencia en los puntos 2 y 12. En lo que se refiere a la planificación de los ensayos, se llevaron a cabo dos campañas experimentales, antes (abril de 2015) y después (septiembre de 2015) de las obras, siguiendo Casos de Estudio Página | 80 en ambos la misma configuración. Fue necesario llevar a cabo un total de 9 medidas, de 12 minutos cada una de ellas, para poder cubrir con los 8 acelerómetros uniaxiales disponibles los 17 puntos de medida definidos en la figura 56. El equipo empleado para llevar a cabo el proceso de toma y tratamiento de datos fue el utilizado en el caso del Teatro Romano de Cádiz. Recordamos que los métodos de identificación modal utilizados fueron el EFDD (Fig. 57), en el dominio de la frecuencia, y el SSI (Fig. 58), en el dominio del tiempo. Figura 57. Tratamiento de datos con el método EFDD antes (A) y después de los trabajos (A’). Figura 58. Tratamiento de datos con el método SSI antes (B) y después de los trabajos (B’). A’ B B’ Capítulo 3 Página | 81 Frecuencias naturales (f), amortiguamiento modal () y desviación estándar (Std). Frecuencias naturales (f), amortiguamiento modal () y desviación estándar (Std). Una vez tratados todos los datos recopilados, los parámetros modales obtenidos antes y después de la intervención quedan recogidos en las Tablas 16 y 17: Tabla 16. Resultados de OMA antes de los trabajos (12 de abril, 2015): SSI EFDD MAC f (Hz) Std. f  Std.  f (Hz) Std. f  Std.  Modo 1 0.20 0.02 4.62 7.50 0.19 (1.5%) 0.00 3.6 (21%) 0.24 0.88 Modo 2 2.99 0.02 3.00 0.4 2.97 (0.7%) 0.02 2.75 (8%) 0.57 0.98 Modo 3 4.41 0.01 2.40 0.45 4.59 (3.9%) 0.60 1.2 (50%) 1.10 0.91 Modo 4 6.00 0.09 4.16 1.28 6.01 (0.1%) 0.07 1.8 (55%) 1.19 0.89 Modo 5 7.82 0.02 2.84 0.34 8.03 (2.5%) 0.36 0.7 (74%) 0.82 0.85 Modo 6 10.4 0.04 0.95 0.97 10.4 (0.0%) 0.03 0.3 (71%) 0.34 0.98 El porcentaje entre paréntesis indica el error relativo teniendo como referencia los resultados del método SSI. Tabla 17. Resultados de OMA una vez finalizados los trabajos (10 de septiembre, 2015). SSI EFDD MAC f (Hz) Std. f  Std.  f (Hz) Std. f  Std.  Modo 1 - - - - - - - - - Modo 2 3.24 0.01 3.33 0.29 3.23 (0.1%) 0.01 2.0 (40%) 0.67 0.99 Modo 3 4.77 0.02 2.58 0.20 4.77 (0.1%) 0.04 0.9 (65%) 0.61 0.87 Modo 4 7.25 0.03 4.82 0.57 7.20 (0.5%) 0.09 0.8 (83%) 0.18 0.85 Modo 5 8.97 0.08 3.82 0.74 9.01 (0.5%) 0.07 1.8 (52%) 0.34 0.81 Modo 6 10.4 0.02 0.40 0.22 10.4 (0.0%) 0.01 0.1 (75%) 0.01 0.99 El porcentaje entre paréntesis indica el error relativo teniendo como referencia los resultados del método SSI. En primer lugar, cabe destacar la bondad de los resultados obtenidos en las dos campañas experimentales. Seis y cinco modos de vibración fueron identificados respectivamente en un rango de frecuencia de 0 a 12 Hz. Los porcentajes de diferencia entre los dos métodos de identificación modal utilizados (EFDD y SSI) siempre fueron menores al 4%, y el valor MAC de comparación entre ellos superior a 0.8. Es de resaltar, que el primer modo de vibración localizado antes de la intervención (0.2 Hz), se trata de un modo de vibración con una frecuencia realmente baja para este tipo de estructuras. La explicación a la existencia de dicho modo es la grieta existente en uno de los nervios que Casos de Estudio Página | 82 podemos observar en la Fig. 51, la cual provoca el movimiento libre de tal nervio bajo esa frecuencia de excitación, dando así lugar a un modo local de la estructura. Una vez llevadas a cabo las labores de reparación, este modo de vibración desaparece. En la Tabla 18 se comparan las frecuencias naturales asociadas a los modos de vibración antes y después de las labores de rehabilitación de la capilla. Tabla 18. Comparación de frecuencias (Hz) obtenidas antes (f SSI) y después de la intervención (f FINAL MEF). Modos f EFDD (antes de los trabajos) *1 f EFDD (después de los trabajos) *2 Max. % de diferencia Modo 1 0.19 - - Modo 2 2.97 3.24 + 8.76 Modo 3 4.59 4.77 + 3.85 Modo 4 6.01 7.20 + 19.94 Modo 5 8.03 9.01 + 12.21 Modo 6 10.4 10.4 + 0.00 Resultados de las frecuencias obtenidos por el método EFDD. *1 12 de abril, 2015. *2 10 de septiembre, 2015. En la Fig. 59 se comparan las formas modales obtenidas antes y después de la intervención, donde se plasma tanto la desaparición del primero modo local comentado anteriormente, como las diferencias apreciadas en el resto de ellos. Figura 59. Formas modales obtenidas con el método SSI antes (verde) y después de los trabajos (rojo). Capítulo 3 Página | 83 Obviando el caso del primer modo comentado anteriormente, de la comparación de los datos experimentales medidos antes y después cabe destacar el significativo aumento de las frecuencias naturales asociadas a cada uno de los modos de vibración (con la excepción del sexto modo de vibración, el cual no ve variada su frecuencia natural asociada). Este hecho lleva a constatar el aumento de rigidez que ha tenido la estructura de la capilla de la Jura tras las labores realizadas, según lo expuesto en el punto 2.1.3.1 (pág. 30) del presente trabajo de investigación. Conclusiones En el presente caso de aplicación se ha llevado a cabo la evaluación de una intervención estructural mediante pruebas de vibración ambiental sobre la capilla de la Jura, en Jerez de la Frontera. El objetivo marcado fue caracterizar dinámicamente el objeto de estudio, antes y después de dichas intervenciones, para analizar los posibles efectos sufridos en la estructura por la intervención realizada. Por un lado, una de las principales premisas del trabajo era avanzar en la eficiencia de OMA como técnica para caracterizar dinámicamente elementos concretos de una estructura histórica. Una vez realizadas las campañas experimentales y el tratamiento de los datos, seis y cinco modos de vibración fueron identificados respectivamente en un rango de frecuencia de 0 a 12 Hz. Los porcentajes de diferencia entre los dos métodos de identificación modal utilizados (EFDD y SSI) siempre fueron menores al 4%, y el valor MAC de comparación entre ellos superior a 0.8. Basándonos en los resultados expuestos se puede llegar a concluir la eficiencia del Análisis Modal Operacional para identificar experimentalmente propiedades dinámicas de este tipo de elementos caracterizados por su marcado carácter local. Por otro lado, se concluye que las obras de reparación llevadas a cabo sobre la capilla de la Jura producen un aumento de su rigidez estructural, puesto que los valores de las frecuencias naturales asociadas a cada uno de los modos se ven significativamente aumentadas (entre el 3 y 20%). Como futuro trabajo, en la actualidad se están utilizando las propiedades dinámicas identificadas para llevar a cabo la calibración del modelo tridimensional de elementos finitos, generado con la técnica fotogramétrica. Se ha introducido el uso de dicha técnica con el objetivo cumplido de minimizar en gran medida el nivel de incertidumbre inicial que existía en la geometría de la estructura. Una vez el modelo de EF haya sido calibrado se llevará a cabo un análisis estructural exhaustivo de la capilla de la Jura. Casos de Estudio Página | 84 Capítulo 3 Página | 85 3.2.3 Iglesia de Santiago (Jerez de la Frontera, España) (CASO C3) (Ver anejo E) En el tercer caso de estudio de esta tesis doctoral se presenta la aplicación de la técnica OMA sobre la Iglesia de Santiago, que al igual que en el caso anterior, se localiza en la ciudad de Jerez de la Frontera. Se trata de un edificio de marcado carácter gótico que se comenzó a construir tal y como se conoce hoy en día a finales del siglo XV. Nuevamente, surge la oportunidad de aplicar la técnica modal para llevar a cabo la evaluación de una intervención estructural sobre el objeto de estudio. La peculiaridad que ofrece este caso en concreto es la gran envergadura que presenta la intervención estructural que actualmente sigue desarrollándose sobre la Iglesia. Es por ello que, por el momento, solo se cuenta con la caracterización dinámica de la Iglesia de Santiago antes de que comenzaran las obras. Una vez éstas hayan finalizado se procederá a la evaluación de las mismas caracterizando nuevamente el objeto de estudio. Descripción de la Iglesia de Santiago La Iglesia de Santiago (Fig. 60) de Jerez de la Frontera se encuentra situada fuera del recinto amurallado de la histórica ciudad medieval. Se comienza su construcción a finales del siglo XV y continúa la primera mitad del siglo XVI. Se trata de una notable construcción gótica a la que se le han añadido posteriormente, en estilo barroco, la torre, la espadaña y la Capilla del Sagrario. Se podría inscribir como una construcción inscrita en el gótico final, donde el purismo y la desnudez de sus formas son las notas dominantes en las que se sigue en gran medida la pauta marcada por la catedral de Sevilla. Figura 60. Iglesia de Santiago (Jerez de la Frontera). Casos de Estudio Página | 86 Las trazas de la actual iglesia de Santiago (Fig. 61), son atribuidas a Alonso Rodríguez, maestro mayor de la Catedral hispalense entre los años 1496 y 1513. La similitud entre las trazas de los dos templos es importante, hasta el punto de que Teodoro Falcón Márquez afirma que la Iglesia de Santiago es la herencia más directa de la Catedral de Sevilla [69]. Figura 61. Planta actual de la Iglesia de Santiago. La iglesia, de planta rectangular, consta de tres naves, la central de mayor altura, cubiertas con bóvedas de crucería sustentadas por seis pilares exentos decorados con baquetones sobre basas bulbosas. El ábside, pentagonal, presenta ventanas a gran altura sobre la línea de imposta. El resultado es una estructura de dimensiones 43x25 m2 en planta y una altura máxima aproximada de 20 m en la nave central. Las tres portadas del edificio son góticas. La puerta de la epístola se sitúa entre dos contrafuertes, y está decorada profusamente con motivos vegetales y antropomórficos. La del evangelio, en cambio, carece de la rica decoración de la anterior resultando una versión simplificada de la misma. La fachada principal, desarrollada entre dos contrafuertes, se divide en dos cuerpos. La parte inferior, que corresponde a la puerta de ingreso, se resuelve mediante un arco apuntado y abocinado coronado por un gablete, mientras que la superior lleva otro arco apuntado en el que se inscribe una hornacina. Tanto ésta como la torre que remata la fachada se deben a las trazas de Diego Moreno Meléndez y se construyeron entre 1663 y 1673. N Capítulo 3 Página | 87 Son numerosos los acontecimientos sufridos por la iglesia a lo largo de la historia que hicieron cambiar su configuración hasta la geometría que presenta actualmente [69]. Para mayor información se remite al anejo E. Tras numerosas obras de reparación y reconstrucción documentadas desde el s. XVII, en 2003 la iglesia volvió a mostrar signos de inestabilidad, manifestados a través de grietas en prácticamente todos los pilares salvo el pilar 1 y de forma más aguda en el pilar 2 y en el muro de la capilla Bautismal (Fig. 62). Poco tiempo después, a principios del año 2005, se llevó a cabo un análisis detallado de la estructura a partir del cual se concluyó el cierre del templo por peligros de derrumbe. Desde entonces la iglesia permaneció cerrada, hasta que en febrero del año 2014 diera comienzo una gran intervención de rehabilitación que tenía como premisa fundamental la consolidación de la estructura. Para ello, se está utilizando la técnica de inyección armada a partir de la ejecución de abanicos de inyecciones verticales y subhorizontales bajo los elementos indicados en la Fig. 62. Todas las inyecciones se realizan con mezclas estables de cemento-bentonita [58, 59]. Figura 62. Planta de los elementos a consolidar mediante inyección (en rojo). N Casos de Estudio Página | 94 Descripción del Monasterio de San Jerónimo de Buenavista (Sevilla, España) El monasterio de San Jerónimo de Buenavista empezó a construirse a principios del siglo XV, terminando su construcción a mediados del siglo XVII [70, 71]. Desde entonces ha sufrido grandes daños, manteniéndose en la actualidad solamente el claustro principal y la torre. El Monasterio llegó a estar constituido por cinco edificaciones principales: la iglesia, el claustro de levante, el claustro principal, la torre y la imprenta (Fig. 69). Para más información sobre el desarrollo histórico del monasterio se remite al anejo G. Figura 69. Planta de la configuración inicial del Monasterio de San Jerónimo. El claustro (Fig. 70) se desarrolla en dos plantas, presentando arcos de medio punto en planta baja y arcos escarzanos en segunda. Tres de las cuatro fachadas no mantienen en segunda planta las bóvedas correspondientes de la segunda planta. La arquería y las bóvedas están ejecutadas en fábrica de piedra y el muro trasero mediante fábrica de ladrillo y tapial. Figura 70. Vistas de las fachadas sureste y suroeste del claustro principal. 8 0 20 m N Capítulo 3 Página | 95 Hoy en día, el claustro del Monasterio de San Jerónimo presenta numerosas lesiones, razón principal por la que se decidió llevar a cabo la evaluación estructural del mismo. Los daños detectados tienen relación con los siguientes aspectos: fisuración de elementos estructurales, fisuración en elementos auxiliares, deformaciones excesivas, fallos en las cimentaciones, concentración de humedades, corrosiones de elementos metálicos propios de intervenciones previas, disgregación, agrietamientos, hinchamientos, etc. La galería norte es la parte más afectada del claustro, presentado en tres de sus columnas (Fig. 71) importantes grietas y perdida de material en sus bases. Figura 71. Situación de los elementos más afectados. Grieta vertical_C1. Pérdida de material_C2. Algunos de los daños listados anteriormente se han agudizado con la ejecución del Proyecto de recuperación y puesta en valor del Monasterio de San Jerónimo de Buenavista. Dicho proyecto básicamente consiste en la reconstrucción de las crujías sur y este del complejo, y su acondicionamiento para su utilización como centro cívico. Desde un punto de vista estructural, la nueva edificación se construye mediante vigas de canto de hormigón armado que apoyan en los muros de fábrica de ladrillo y tapial del monasterio y en un pórtico de pilares de hormigón armado de nueva construcción (Fig. 72). Figura 72. Nueva edificación anexa al claustro. 8 0 20 m N Casos de Estudio Página | 96 Pruebas de vibración ambiental y análisis modal operacional Teniendo como objetivo final la consecución de un modelo de elementos finitos para evaluar la estabilidad estructural del conjunto, y sabiendo las dificultades que supone su desarrollo debido a numerosas incertidumbres, se decidió llevar a cabo la caracterización dinámica del conjunto a partir de pruebas de vibración ambiental. Entre las numerosas incertidumbres que presentan este tipo de edificaciones históricas, en este caso destaca la dificultad para identificar de forma precisa las propiedades mecánicas de los materiales constituyentes. Otra complejidad que encontramos son los distintos niveles de humedad que presentan los elementos estructurales principales, en función de sus distintas situaciones. Como bien es sabido, dicha variación de humedad modifica el módulo de elasticidad de manera significativa en el tipo de piedra que constituye la fábrica de San Jerónimo (Calcarenitas de la Cantera de San Cristóbal, El puerto de Santa María (Cádiz)). Debido a estos aspectos, la determinación de las propiedades mecánicas y la rigidez del conjunto resulta difícil de ajustar a la realidad. Por ello, se decidió identificar experimentalmente los parámetros modales de la estructura, utilizándolos posteriormente para llevar a cabo la calibración del modelo numérico. A diferencia de los casos anteriores, la gran peculiaridad que ofrece el Monasterio, debido a su gran escala, es la imposibilidad de llevar a cabo todas las medidas en un mismo día. Fue necesario llevar a cabo seis campañas experimentales, cuatro de ellas en el claustro (galerías 1, 2, 3 y 4, Fig. 73), y las otras dos en la nueva edificación (galerías 3B y 4B, Fig. 73). Finalmente, se realizó una última campaña general con la finalidad de validar y agrupar los datos recopilados en las campañas previas. Figura 73. Planta del monasterio en la actualidad. Situación de los acelerómetros de referencia en cada una de las campañas experimentales. Verde: +6.8 m. (1º planta). Rojo: +12.2 m. (2º planta). N Capítulo 3 Página | 97 Para la realización de cada una de las campañas, desarrolladas entre noviembre de 2012 y abril de 2013, la planificación seguida fue la misma. El equipo utilizado para llevar a cabo el proceso experimental fue el utilizado en los casos anteriores (punto 2.2.1), por lo que se contaba con ocho acelerómetros uniaxiales de fuerza balanceada, ocho cables coaxiales y la central de adquisición de 12 canales de la casa KINEMETRICS. En cada una de las campañas se midieron un total de 32 puntos en las dos direcciones ortogonales, 16 a la altura de las cornisas de planta baja y los otros 16 de la primera. Se decidió utilizar siempre cuatro acelerómetros de referencia situados según la Fig. 73, mientras los otros cuatro se fueron moviendo a lo largo de la galería correspondiente, siendo por tanto necesario realizar un total de 16 medidas de 12 minutos de duración para la realización de cada una de las campañas experimentales. Es de destacar que para llevar a cabo la caracterización modal del objeto de estudio se midió un total de 192 puntos, con la gran cantidad de datos que ello supone. Al igual que en los casos anteriores, el tratamiento de los datos se llevó a cabo con los métodos EFDD y SSI, implementados ambos en el software ARTEMIS [10]. Debido a la gran cantidad de datos procesados, se remite al anejo G para el conocimiento de los resultados de cada una de las campañas experimentales. La Tabla 20 resume los datos recopilados en términos de frecuencias naturales asociados a cada uno de los métodos, señalando tanto los modos generales donde se movilizan varias galerías, como los modos locales que afectan exclusivamente a una de ellas. Tabla 20. Resultados globales y locales tras la aplicación de OMA. Modos Globales Galerías f SSI [Hz] f EFDD [Hz] % Diferencia MAC Modo 1 1, 3 2.01 2.01 + 0.00 0.99 Modo 2 1, 3, 3B, 4, 4B 3.00 3.04 + 1.32 0.97 Modo 3 1, 2, 3, 3B, 4, 4B 3.51 3.57 + 1.68 0.99 Modo 4 2, 3, 3B 4.36 4.34 - 0.46 0.98 Modo 5 2, 4, 4B 4.75 4.71 - 0.85 0.96 Modo 6 3, 4 6.25 6.35 + 1.57 0.85 Modos Locales Modo 1b 2 2.32 2.33 + 0.43 0.99 Modo 2b 2 3.34 3.35 + 0.30 0.98 Modo 3b 4 5.15 5.08 - 1.38 0.86 Modo 4b 3 7.22 7.17 - 0.70 0.85 En términos generales, se identificaron un total de diez modos de vibración en un rango de frecuencias de 0 a 10 Hz, seis de ellos globales y los otros cuatro locales (afectan solo a una de las galerías). Los resultados obtenidos se consideran fiables debido a las bajas diferencias entre frecuencias naturales (diferencias menores al 2%) y a los elevados valores MAC (por encima de 0.85). Los datos recopilados fueron empleados para llevar a cabo la calibración del modelo numérico que se presenta a continuación. Casos de Estudio Página | 98 Modelo de elementos finitos del Monasterio de San Jerónimo Con la finalidad de evaluar la estabilidad estructural del conjunto, se realizó un modelo numérico aplicando el Método de los Elementos Finitos mediante el software Abaqus/CAE 6.13 [52]. La envergadura de dicho modelo es tal que se constituye por un total de 1213161 elementos, 1967637 nodos y 6113772 grados de libertad (Fig. 74). El claustro fue modelado con elementos volumétricos (tetraedros de 4 nodos) mientras que la nueva edificación con elementos tipo shell y beam. Figura 74. Modelo de elementos finitos. En rojo elementos shell y en blanco sólidos. Inicialmente las propiedades de los materiales del modelo numérico se definieron según la Tabla 21, basándonos en datos de estudios previos realizados sobre el conjunto. Una vez analizado modalmente dicho modelo, las diferencias con los parámetros identificados experimentales fueron importantes (Tabla 23), por lo que fue necesario llevar a cabo el proceso de calibración. Debido a la gran escala del modelo, se optó por llevar a cabo un proceso de calibración manual basado en el conocimiento físico de la estructura. En definitiva, se sustituye el uso del algoritmo de optimización empleado en los casos previos, por el ajuste manual de los parámetros. Tabla 21. Propiedades de los materiales del modelo de elementos finitos inicial. Modelos de elementos finitos inicial Fábrica Relleno Bóv. Relleno Mur. Hormigón Armado Acero Densidad (kg/m3) 1800 500 1500 2500 7850 M. de elasticidad (MPa) 1000 20 500 21000 210000 Coeficiente de Poisson 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 Capítulo 3 Página | 99 A la hora de afrontar el proceso de calibración del modelo de elementos finitos se introdujeron dos factores fundamentales. En primer lugar, se diferenciaron en el modelo numérico las partes del claustro constituidas por ladrillo o por piedra. Tras ello, y teniendo en cuenta las distintas condiciones de humedad en la que se encuentran los elementos estructurales de cada una de las galerías del claustro, se decidió tomar en consideración distintos módulos de elasticidad para la fábrica, ya fuera de fábrica de piedra o fábrica de ladrillo, en función de su ubicación. Este hecho, se debe a la cercanía existente entre el paso del rio Guadalquivir y la galería 2 (oeste) del monasterio. Finalmente, se seleccionaron ocho parámetros de actualización, los cuales fueron los módulos de elasticidad que presenta tanto la fábrica de piedra como la fábrica de ladrillo en cada una de las cuatro galerías del claustro. Una vez llevado a cabo un arduo trabajo de calibración, las propiedades finales de los materiales constituyentes del modelo numérico se resumen en la Tabla 22. Tabla 22. Resumen de los resultados del proceso de actualización: Propiedades mecánicas. Parámetro de actualización Valor Inicial Intervalo de optimización Valores actualizados Límite inferior Límite superior EL (GALERÍA 1) (MPa) 1000 500 1500 1000 EP (GALERÍA 1) (MPa) 1000 500 1500 1100 EL (GALERÍA 2) (MPa) 1000 500 1500 950 EP (GALERÍA 2) (MPa) 1000 500 1500 1200 EL (GALERÍA 3) (MPa) 1000 500 1500 1100 EP (GALERÍA 3) (MPa) 1000 500 1500 1300 EL (GALERÍA 4) (MPa) 1000 500 1500 1200 EP (GALERÍA 4) (MPa) 1000 500 1500 1450 Con los nuevos datos, contamos con un nuevo modelo de elementos finitos (Fig. 75), que aunque geométricamente es el mismo que el anterior, presenta una mayor variabilidad con respecto a la diferenciación de materiales. Casos de Estudio Página | 100 Figura 75. Modelo de elementos finitos. Diferenciación de materiales según color. Una vez llevado a cabo el proceso de calibración del modelo de EF, en la Tabla 23 se muestra la comparación de los parámetros modales propios del modelo experimental con los de dicho modelo, antes y después de calibrar. Tabla 23. Comparación del Modelo experimental y los modelos de EF: Frecuencias naturales y valor MAC. Modos Globales Galerías f SSI [Hz] f MEF INICIAL [Hz] f MEF CALIBRADO [Hz] MAC (SSI-MEF cal) Modo 1 1, 3 2.01 2.20 (9.45 %) 1.93 (3.98 %) 0.99 Modo 2 1, 3, 3B, 4, 4B 3.00 3.50 (16.7 %) 3.13 (4.33 %) 0.88 Modo 3 1, 2, 3, 3B, 4, 4B 3.51 4.42 (25.9 %) 3.54 (0.85 %) 0.93 Modo 4 2, 3, 3B 4.36 5.29 (21.3 %) 4.60 (5.50 %) 0.88 Modo 5 2, 4, 4B 4.75 5.73 (20.6 %) 4.74 (0.21 %) 0.90 Modo 6 3, 4 6.25 7.70 (23.2 %) 6.39 (2.24 %) 0.85 Modos Locales Modo 1b 2 2.32 2.54 (9.48 %) 2.27 (2.16 %) 0.99 Modo 2b 2 3.34 3.55 (6.29 %) 3.33 (0.30 %) 0.88 Modo 3b 4 5.15 6.40 (24.3 %) 5.10 (0.97 %) 0.94 Modo 4b 3 7.22 8.80 (21.9 %) 6.81 (5.68 %) 0.85 Analizando la Tabla 23, queda clara la bondad de los resultados obtenidos. Anteriormente al proceso de calibración, las diferencias entre las frecuencias naturales asociadas al modelo experimental y al numérico oscilaban entre un 10 y un 25 %. Tras el proceso de calibración, dichos valores se ven reducidos de forma significativa, situándose el porcentaje medio de diferencia entorno al 2.5 %, tanto en los modos globales, como en los locales. En lo que se refiere a la comparación de las formas modales, los valores MAC de comparación presentan también valores aceptables, siendo el menor de ellos 0.85. Para visualizar el ajuste de las formas modales nos apoyamos en las siguientes imágenes (Fig. 76, Fig. 77 y Fig. 78). Capítulo 3 Página | 101 Figura 76. Validación del MEF. 1er Modo de vibración global (2.01 Hz). Valor MAC = 0.99. Figura 77. Validación del MEF. 3er Modo de vibración global (3.51 Hz). Valor MAC = 0.93. Figura 78. Validación del MEF. 1er Modo de vibración local (2.32 Hz). Valor MAC = 0.99. Casos de Estudio Página | 102 Resultados: Análisis estructural del Monasterio de San Jerónimo Una vez el modelo de elementos finitos fue calibrado, se llevó a cabo un análisis estructural, con la finalidad de evaluar el estado actual del Monasterio. Aunque no es el objeto principal del presente documento de investigación, a continuación se presentan algunas de los resultados obtenidos en el mencionado análisis estructural. Al relacionar los resultados obtenidos con las principales patologías descritas anteriormente, se puede afirmar que las grietas se producen bajo un esfuerzo de compresión. Existe una estrecha correspondencia entre el modelo numérico y la realidad. Tras llevar a cabo un cálculo lineal a peso propio, podemos observar que los elementos que presentan un mayor esfuerzo de compresión son los señalados en la Fig. 71. Es de resaltar, que no solo existe correspondencia con el elemento, sino también entre la deformación y la forma con la que aparecen las patologías. El nivel de compresión en las zonas donde se sitúan es de aproximadamente 0.8 MPa, valor que supera ligeramente la resistencia a compresión de la piedra ensayada en laboratorio (Fig. 79). Figura 79. Análisis estructural del MEF. Tensiones máximas de compresión en los elementos agrietados. Conclusiones En el presente apartado se ha desarrollado la calibración del modelo de elementos finitos del Monasterio de San Jerónimo, a través de pruebas de vibración ambiental. Este caso de estudio presenta dos factores fundamentales que hacen de él un claro ejemplo de avance en la aplicación de la técnica OMA sobre estructuras históricas de fábrica. Por un lado, se resalta la compleja configuración arquitectónica del modelo, debido a su geometría en forma de claustro rectangular, tipología aún no estudiada en relación a la técnica OMA. Por otro lado, el otro factor de gran interés, nuevamente ligado a la geometría del modelo, es la gran escala que presenta el monasterio de San Jerónimo. Dicho hecho se afronta con la elaboración de un modelo numérico de gran escala con más de seis millones de grados de libertad, que ha demostrado ser suficientemente representativo para afrontar con garantías su proceso de calibración y el consiguiente análisis estructural del mismo. Atendiendo a conclusiones numéricas del caso de estudio, a partir de la aplicación de la técnica OMA, se han identificado un total de diez modos de vibración, seis globales y cuatro locales. Las Capítulo 3 Página | 103 bajas diferencias entre las frecuencias naturales y los altos valores MAC avalan la bondad de los resultados obtenidos. Dichos resultados, fueron utilizados para llevar a cabo la calibración de un gran modelo numérico constituido por más de un millón de elementos. Tras la realización de dicho proceso, el modelo quedó validado ofreciendo un comportamiento modal realmente similar al obtenido experimentalmente. El objetivo final del presente estudio, y por tanto un futuro trabajo, es llevar a cabo un profundo análisis del modelo de EF para evaluar el estado estructural del conjunto. En el punto anterior, se han señalado brevemente algunas conclusiones en relación a la existencia de grietas en aquellos elementos con mayores solicitaciones de esfuerzos de compresión. Casos de Estudio Página | 110 Con ambos métodos se identificaron un total de cinco modos de vibración en un rango de frecuencias de 0 a 10 Hz. Los resultados obtenidos, así como la comparación del valor MAC entre ellos, se ilustran en la Tabla 24. Tabla 24. Resultados de OMA: frecuencias naturales (f), amortiguamiento modal () y desviación estándar (Std) SSI EFDD MAC f (Hz) Std. f  Std.  f (Hz) Std. f  Std.  Modo 1 2.77 0.01 1.12 0.40 2.77 (0.0%) 0.01 0.89 (26%) 0.28 0.99 Modo 2 3.28 0.05 1.50 0.68 3.30 (0.6%) 0.37 0.92 (63%) 1.24 0.87 Modo 3 4.52 0.05 2.36 0.66 4.46 (1.4%) 0.20 1.79 (32%) 0.91 0.88 Modo 4 5.26 0.03 1.24 0.48 5.25 (0.2%) 0.02 0.88 (61%) 0.28 0.90 Modo 5 6.48 0.04 2.04 0.95 6.48 (0.0%) 0.03 1.11 (84%) 0.46 0.82 El porcentaje entre paréntesis indica el error relativo teniendo como referencia los resultados del método SSI. Partiendo de los resultados recopilados en la Tabla 24, se identificaron las frecuencias naturales con errores relativos inferiores al 1.5%, teniendo los resultados del método SSI como referencia. Los resultados para el coeficiente de amortiguamiento presentan una mayor variabilidad (hasta un 84%), siendo la amortiguación media del edificio de 1.65% y 1.18%, para las técnicas de SSI y EFDD, respectivamente. Dicha variabilidad no resulta sorprendente, ya que para una estimación de mayor fiabilidad sería necesaria una mayor excitación de la estructura. Aun así, la estimación de dichos amortiguamientos no resulta necesaria para la realización del análisis estático, que se desarrollará más adelante. Con respecto a las formas modales, los valores MAC fueron generalmente mayores que 0.85, lo que supone una buena correlación entre ambos métodos. La forma modal del segundo modo muestra un movimiento de traslación longitudinal, mientras que el resto de los modos corresponden a modos de flexión de las bóvedas (Fig. 89). Figura 89. Formas modales asociadas a los resultados experimentales (SSI). Geometría sin deformar 1er modo 2º modo 3er modo 4º modo 5º modo Capítulo 3 Página | 111 Calibración del modelo de elementos finitos Una vez identificados los parámetros modales de la estructura, retomamos el modelo inicial de elementos finitos. En primer lugar, se determinaron los parámetros físicos de la estructura que presenten mayor incertidumbre o sensibilidad con su comportamiento estructural. Para ello se realizó un estudio de sensibilidad entre los diferentes parámetros posibles. Una vez llevado a cabo dicho estudio de sensibilidad, se seleccionaron cuatro parámetros de actualización como aquellos que presentaban mayor sensibilidad con el comportamiento dinámico de la estructura. Los parámetros seleccionados fueron los módulos de elasticidad de la fábrica de ladrillo (EL) y de piedra (EP), la rigidez que simula la conexión con el Palacio (SP), y la masa inercial transmitida también por el Palacio (IP) (Fig. 90). Este último parámetro aparece tras la imposibilidad de llevar a cabo el proceso de calibración considerando únicamente la rigidez como única variable que simule el efecto modal que presenta el resto del Palacio sobre la capilla. La selección de un número mayor de parámetros dificultaría en exceso la compresión física del fenómeno de ajuste. Figura 90. Modelo de elementos finitos y grupos de materiales/elementos considerados. La actualización del modelo de EF se llevó a cabo mediante la implementación de algoritmos genéticos (descrito en el punto 2.2.2.1) en el programa MATLAB [62], utilizando los datos obtenidos de las cuatro primeras frecuencias naturales identificadas. Al igual que en el caso del Teatro Romano de Cádiz, se declinó el uso de las formas modales debido a la irregularidad que éstas presentan. Partiendo de dichas consideraciones, la función objetivo del proceso fue definida a partir de los residuos generados por la diferencia entre las frecuencias naturales de vibración correspondientes a los cuatro primeros modos de vibración. Por tanto, la función objetivo quedó definida por cuatro residuos, lo cuales resultaron suficientes para la calibración de los cuatro parámetros señalados. Finalmente, la función objetivo quedó optimizada mediante el empleo de algoritmos genéticos, usando una población de 1000 vectores, y alcanzándose el mínimo tras 35 iteraciones. La Tabla 25 muestra los mencionados parámetros de calibración con sus correspondientes valores iniciales (del modelo inicial de EF), intervalos de optimización y valores finales. Como puede observarse, los valores actualizados varían hasta un 30% con respecto a los valores definidos en el modelo inicial. Casos de Estudio Página | 112 Tabla 25. Resumen de los resultados del proceso de calibración: Propiedades mecánicas. Parámetro de actualización Valor Inicial Intervalo de optimización Valores actualizados Límite inferior Límite superior EL (MPa) 1100 700 2000 921 EP (MPa) 2200 1500 3500 2710 SP (kN/m) 9000 6000 12000 10800 IP (kg) 4000 2000 6000 4680 Una vez llevada a cabo la implementación del proceso, se puede ver en la Tabla 26 como se mejora claramente la correlación entre las frecuencias naturales experimentales y numéricas, reduciendo la diferencia relativa entre frecuencias naturales y obteniendo, posteriormente, valores de comparación MAC cercanos a la unidad (Fig. 91). Al igual que en los caso anteriores se le da validez a los resultados obtenidos, puesto que éstos están dentro de su rango físico aceptable. Tabla 26. Comparación de frec. naturales obtenidas experimentalmente (SSI) y analíticamente (MEF) Modos fEFDD f (MEF inicial) f (MEF actualizado) Valor MAC Modo 1 2.77 2.59 (6.5%) 2.79 (0.71 %) 0.99 Modo 2 3.30 3.04 (7.9%) 3.29 (0.30%) 0.96 Modo 3 4.46 4.15 (6.9%) 4.43 (0.67%) 0.93 Modo 4 5.25 4.65 (11.4%) 5.15 (1.90%) 0.88 Capítulo 3 Página | 113 Figura 91. Ejemplo de correlación entre los modos de vibración experimentales y numéricos. (A) Primer modo de vibración. (B) Tercer modo de vibración. Resultados: Análisis no lineal de la Capilla del Palacio de Würzburg. Al igual que en el caso del Monasterio de San Jerónimo, el objeto de la presente tesis no es el desarrollo del análisis estructural del objeto de estudio. Aun así, a continuación se presentaran una serie de resultados obtenidos en el análisis no lineal llevado a cabo sobre el modelo calibrado de la Capilla del Palacio de Würzburg (Fig. 90). Los materiales estructurales se modelaron utilizando un modelo constitutivo no lineal. Dicho modelo se caracteriza por su comportamiento lineal en régimen elástico y por su comportamiento elastoplástico en el rango no lineal, teniendo en cuenta diferentes comportamientos bajo esfuerzos de compresión y tracción. Para mayor información sobre el modelo constitutivo se remite al Anejo I. Las propiedades mecánicas consideradas para cada uno de los materiales se resumen en la Tabla 27, manteniéndose en el nuevo modelo los valores calibrados referentes a la rigidez y a la masa inercial transmitidos por el resto del Palacio. Casos de Estudio Página | 114 Tabla 27. Propiedades de los materiales considerados en el análisis Material Densidad (kg/m3) E0(MPa)  fc (MPa) ft (MPa) Gf (N/m2/m) Brick masonry 1981 921 0.20 1.00 0.10 18 Stone masonry 2100 2710 0.25 2.80 0.28 18 E0: M. de deformación elástico, C. de Poisson, fc: Res. máxima a compresión, ft: Res. máxima a tracción, Gf: Energía de fractura. El análisis se realizó exclusivamente bajo cargas verticales. Se realizaron dos cálculos. El primero consideró únicamente el peso propio de la estructura con la finalidad de estudiar el comportamiento actual de la misma. Es de destacar que, en la actualidad, no se observan lesiones de importancia en la Capilla, por lo que nuestro modelo debe recoger dicha situación. En un segundo cálculo, se consideró el aumento de las cargas verticales por medio de un factor de gravedad, que se incrementó hasta el colapso de la estructura. De esta forma se identificó, tanto el factor de seguridad de la estructura frente a cargas verticales, como el patrón de grietas de la misma hasta el colapso estructural. Análisis de los resultados Para llevar a cabo el análisis numérico se utilizó el software Abaqus/CAE 6.13 [52]. CONDICIONES DE SERVICIO En lo que se refiere a la primera configuración planteada, el peso total de la capilla es aproximadamente de 63700 kN. La tensión media de compresión en la base es de 0,5 MPa, siendo la máxima cercana a 1,0 MPa en la esquina inferior suroeste del edificio. En lo que se refiere a los esfuerzos de compresión, los materiales permanecerían en el rango elástico teniendo en cuenta que las tensiones máximas en la base de la capilla son alrededor del 34% de la resistencia a compresión de la fábrica. Sin embargo, aunque sigue manteniéndose dentro del régimen elástico, hay algunas zonas donde las tensiones máximas de tracción son muy próximas a 0,09 MPa (en rojo, imagen 1, Fig. 92), que es el valor límite fijado. Estos valores se encuentran en áreas muy específicas de la superficie superior de las bóvedas y de las aberturas de los muros (Fig. 92). Aunque el factor de seguridad es bajo, estos resultados confirman la ausencia de lesiones en la Capilla del Palacio de Würzburg. Capítulo 3 Página | 115 Figura 92. Resultado a nivel de tensiones del cálculo a peso propio. EVALUACIÓN DE LA SEGURIDAD ESTRUCTURAL Por otro lado, se realizó el análisis no lineal aumentando el valor de la gravedad hasta el colapso de la estructura. El máximo factor obtenido fue de 4.84g. La Fig. 93 muestra la evolución de las grietas hasta el mencionado colapso, presentando principalmente dos comportamientos diferentes. El primero de ellos es causado por la acción horizontal de las propias bóvedas, mientras que el segundo se debe a la deformación que experimentan los muros en la esquina suroeste de la capilla. El patrón de grietas debido a la acción horizontal de las bóvedas se hace visible para un factor de gravedad de 2g. Las grietas se desarrollan transversalmente en la parte superior de las bóvedas siguiendo la dirección Y (Fig. 93. Carga: 2g). (Pa) (Pa) (Pa) (Pa) Casos de Estudio Página | 116 Las grietas causadas por la deformación que experimenta la esquina suroeste pueden ser detectadas a partir de un factor de gravedad de 3.7g. La evolución de dichas grietas es muy rápida a lo largo de la bóveda más cercana a esta esquina (Fig. 95. Carga: 4.84g). Figura 93. Patrón de grietas en diferentes pasos de carga. 1g, 2g, 3g, 4g y 4.84g. Capítulo 3 Página | 117 A partir de los resultados obtenidos, se confirma que el colapso de la estructura se produciría debido a la baja capacidad de tracción de la mampostería. Por otro lado, los niveles de compresión son bajos tanto en las bóvedas como en los muros perimetrales, oscilando sus valores máximos entre 1.5 y 2.8 MPa, valores mucho más bajo que el valor límite considerado. Las tensiones máximas de compresión se encuentran en las zonas más próximas a las intersecciones de las bóvedas. Finalmente, la seguridad estructural del edificio se verifica frente a una carga vertical adicional cuyo valor no es superior a 3.84 veces el peso de la propia estructura. La Fig. 94 muestra la respuesta estructural de dos puntos representativos de las bóvedas por medio de sus curvas de carga-desplazamiento. Es de resaltar que la respuesta no lineal de dichos puntos comienza con un factor de carga muy cercano a la unidad. Figure 94. Análisis no lineal. Curva de capacidad. Conclusiones Este apartado se centra en la caracterización dinámica de la Capilla del Palacio de Würzburg. Para ello, se presenta el desarrollo tanto de las pruebas de vibración ambiental realizadas, como la utilización de la técnica OMA para identificar los parámetros modales de la estructura. Una vez identificados dichos parámetros, se presenta el proceso de calibración del modelo de EF de la Capilla. Finalmente, se desarrolla un breve análisis estructural con el fin de evaluar el estado actual de la Capilla. Por un lado, y al igual que en el caso de la Capilla de la Jura, se concluye la eficacia que presenta el Análisis Modal Operacional como técnica para identificar experimentalmente propiedades dinámicas en elementos concretos y singulares. Se ha certificado la utilidad de la técnica para identificar los parámetros modales de una cubierta ligera de fábrica. Cinco modos de vibración Casos de Estudio Página | 118 fueron identificados en un rango de frecuencia de 0 a 10 Hz con diferencias entre los EFDD y SSI siempre menores al 3%, y valor MAC superior a 0.8. Por otro lado, los datos modales identificados a partir de la aplicación de la técnica OMA se han utilizado para obtener un modelo numérico validado de la capilla del Palacio de Würzburg. Para ello, en lo que se refiere al proceso de calibración, se ha de resaltar que se han tenido en cuenta nuevos parámetros de calibración como son la masa inercial y la rigidez transmitida por el resto del Palacio. La correlación entre las frecuencias naturales, experimentales y numéricas, y los valores del M.A.C. de los cuatro modos de vibración estudiados se ha incrementado de forma notable. Todos los cambios en los parámetros están dentro de sus límites físicos aceptables, lo que facilita su interpretación técnica y valida el éxito global del proceso de actualización. En definitiva, se utiliza la técnica OMA como herramienta para poder llevar a cabo un análisis estructural de una construcción histórica realmente singular. Finalmente, tras la realización del análisis estructural, se concluye que la respuesta no lineal de la estructura comienza bajo una carga vertical cuyo valor es realmente cercano al peso propio de la Capilla. El colapso final de la estructura es causado principalmente por dos factores. El primero de ellos es la baja rigidez que presentan las bóvedas secundarias en comparación con la rigidez de las principales. Dicho efecto se ve amplificado por el segundo factor señalado, la baja rigidez que presentan los muros por sus elevadas esbelteces y gran porcentaje de huecos. Esta baja rigidez acaba provocando el colapso local de la estructura en la esquina suroeste del edificio, al fragmentarse el muro en el dintel de los huecos. Capítulo 3 Página | 119 3.3 Resumen global de los resultados El tercer apartado, y cuerpo central de la tesis, se ha centrado en la exposición de todos los casos de estudio desarrollados. Se ha presentado la aplicación de OMA en el área del Teatro Romano de Cádiz, la Capilla de la Jura (Jerez de la Frontera), la Iglesia de Santiago (Jerez de la Frontera), el Monasterio de San Jerónimo (Sevilla) y la Capilla del Palacio de Würzburg (Alemania). En este punto se llevará a cabo una puesta en común de los resultados obtenidos en cada uno de los casos de estudio, centrándonos tanto en la aplicación de la técnica OMA, como en el uso de los datos recopilados para calibrar modelos numéricos de cálculo (Tabla 28). Para ello, recuperamos la tabla utilizada en el desarrollo del punto 2.2.3, donde se sintetizaron los datos extraídos del estudio del estado del arte de la técnica OMA sobre edificaciones históricas de fábrica. Tabla 28. Resumen de los resultados. ANÁLISIS MODAL OPERACIONAL CASO Acel. Nº puntos med. Direc. Medidas en cada punto Nº acel. refer. Nº med. T. cada medida (min) Met. idi. modal Nº modo loc. Rango de f. (Hz) Dif max. f. (%) Rango MAC C1 8 de F.B. 20 1 4 4 12 EFDD, SSI 3 0-10 1.5 0.94-0.99 C2 8 de F.B. 17 3 2 9 12 EFDD, SSI 6 0-12 4 0.81-0.99 C3 8 de F.B. 36 3 2 17 12 EFDD, SSI 7 0-10 4.5 0.75-0.95 C4 8 de F.B. 192 (6 camp) 2 4 96 (6 camp) 12 EFDD, SSI 10 0-10 1.7 0.85-0.99 C5 8 de F.B. 51 3 2 17 12 EFDD,SSI 5 0-10 1.5 0.82-0.99 MODELO DE ELEMENTOS FINITOS CASO Tipos de elementos Nº de elementos Nº de nodos Grados de libertad Parámetros de ajuste Diferencia máxima frecuencias (%) Rango MAC C1 Superficiales y Solidos 975370 189585 666177 Módulo de E. 0.97 0.88-0.99 C2 Sólidos 894807 177617 532851 - - - C3 Superficiales 50000 40000 240000 - Módulo de E. - - C4 Superficiales y Sólidos 10213161 1967637 6113772 4.33 0.84-0.99 C5 Sólidos 1606908 329472 988416 Módulo de E, masa inercial (IP) y rigidez (Rp) 0.71 0.93-0.99 C1: Área del Teatro Romano de Cádiz, C2: Capilla de la Jura, C3: Iglesia de Santiago, C4: Monasterio de San Jerónimo, C5: Capilla del Palacio de Würzburg. Conclusiones y Futuras Líneas de Investigación Página | 126 4.2 Futuros trabajos y líneas de investigación Tras el desarrollo del presente trabajo de investigación son numerosos los posibles futuros trabajos y líneas de investigación que se pueden seguir. 4.2.1 Futuros Trabajos  En el caso del Teatro Romano de Cádiz, una vez que se finalicen las labores de vaciado del terreno bajo los paraguas de inyección, se pretende validar la predicción realizada a partir del modelo calibrado de EF. Para ello se desarrollaría una nueva medición in-situ, la cual nos proporcionaría una serie de datos experimentales que serían comparados con los resultados modales del modelo final de cálculo para corroborar que ambos presentan un comportamiento dinámico similar.  Se pretende realizar un estudio de mayor profundidad de la Capilla de la Jura, para lo cual se desarrollará la calibración del modelo de EF. Para ello se seguirá el proceso de calibración presentado en los demás casos incluyendo, al igual que en la Capilla del Palacio de Würzburg, nuevos parámetros de calibración adicionales que consideren el efecto que la Iglesia de San Juan de los Caballeros sobre la propia capilla.  En lo que se refiere a la Iglesia de Santiago, una vez finalizadas las obras que se están llevando a cabo, se pretende realizar una nueva campaña experimental para analizar los efectos de la misma sobre la edificación y evaluar las mejoras conseguidas.  En referencia al Monasterio de San Jerónimo, se está llevando a cabo un análisis estructural más exhaustivo del modelo numérico, con la finalidad de evaluar su estado actual y las causas que han provocado su deterioro. 4.2.2 Líneas de Investigación  Como primera línea de investigación planteada, se están desarrollando estudios para mejorar la limpieza de las formas modales asociadas a este tipo de edificaciones históricas tan masivas. En particular, se plantea analizar el posicionamiento óptimo de sensores.  En relación a la calibración de modelos de EF, se plantea el estudio de métodos de optimización con multiobjetivos como técnica para mejorar dicho proceso en modelos numéricos de edificaciones históricas tan masivas, donde, como se ha señalado anteriormente, las formas modales no son particularmente claras. De esta forma, se introducirían independientemente los valores de las frecuencias naturales y desplazamientos modales, lo cual podría suponer una clara mejora en los resultados de dicho proceso de calibración.  Existe otra posible línea de investigación orientada a mejorar la estimación de los amortiguamientos modales mediante el uso de la técnica OMA, superando así las actuales limitaciones. Capítulo 4 Página | 127  Para finalizar, como futura labor general a desarrollar, se destaca el interés de seguir aplicando esta técnica de identificación modal en relación a construcciones históricas de fábrica. Se propone sistematizar y extender el método como una herramienta fundamental para el diseño y el control de proyectos de rehabilitación sobre este tipo de edificaciones. Conclusiones y Futuras Líneas de Investigación Página | 128 Capítulo 4 Página | 129 CONCLUSIONS AND FUTURE RESEARCH In this chapter are presented the conclusions of this work. Some possibilities in terms of future works and future research are also proposed. 4.1 Conclusions Operational Modal Analysis (OMA) has demonstrated to be a good tool for modal identification. However, the state-of-the-art analysis has revealed just a scarce number of cases of application of OMA in historical masonry buildings. Mostly of them are slender buildings as towers. This research focuses on the application of OMA to non-slender masonry buildings to control and assess restorations and to calibrate Finite Element models of them. To this end, some case studies are presented in this work. All the buildings analysed in this thesis presented some characteristics that made them appropriated to make the application of OMA to historical masonry buildings advance. To set an example, the unique structural intervention that was running in the area of the Roman Theatre of Cadiz during the fulfilment of this thesis, allowed to demonstrate the utility of OMA to assess the safety of the process. The use of OMA has been widely justified by the good, fast and economical results obtained. Finally, this thesis confirms the suitability of OMA as a design and control tool for repairing historical masonry structures. In this sense, is especially interesting the possibility of calibrating FE models. Once calibrated, the models give the possibility of a more exact knowledge of the behaviour of the building. This makes possible the estimation of the final result of a future intervention, reducing this way the assumptions done when a restoration is planned. Another conclusions are:  Test planning is relevant for the success of the analysis. Aspects that are decided in this phase, sucha as the number of transducers, the number of points to measure, the number of reference sensors, number and length of set-ups, which identification method will be used plays a key role in the quality of the results that will be obtained. The main conclusions of the test planning proposed in this thesis are:  Force balanced accelerometers are suitable to identify vibration modes of historical masonry buildings, usually presenting frequencies ranging from 0 to 10 Hz. The main advantage of force balanced accelerometers is the capacity of detecting frequencies under 2 Hz that may imply the presence of structural damage. The cases study of the Chapel of la Jura (Jerez de la Frontera, Spain) and the Church of Santiago (Jerez de la Frontera, Spain) demonstrates this assumption.  Twelve minutes was enough for set-ups in all the cases study to identify the vibration modes with frequencies ranging from 0 to 10 Hz. To identify higher frequencies in an ambient vibration test, a longer set-up is necessary. Conclusiones y Futuras Líneas de Investigación Página | 130  SSI and EFDD methods are reliable techniques to identify natural frequencies in historical masonry structures. This conclusion can be extracted since the values obtained by them are almost coincident. On the contrary, the modal shapes are not shown clearly in non-slender structures although high MAC values have been found. To improve the quality of these data, the vibrations should be higher than just the produced by natural agents. This present the disadvantage of this shakers would be necessary to supply the low intensity of the ambient vibrations. The main difficulty lie in the fact that shakers and other heavy machinery are not suitable for historical heritage, and sometimes, it is even forbidden.  The geometry of the structure to analyse must be exhaustively defined to get a quality Finite Element Model. This can be a difficult task when the object to analyse presents singularities, what is the case of the historical masonry structures. Photogrammetry has been used as a tool to this end obtaining quality results.  The use of 3D solid elements in the Finite Element model positively contributes to the calibration of the model. This fact has been demonstrated in the cases study of the Roman Theatre of Cadiz (Cádiz, Spain), the Monastery of San Jerónimo of Buenavista (Sevilla, Spain) and the chapel of the Würzburg Palace (Würzburg, Germany). As a negative aspect, not only does the use of these elements require longer time of dedication to generate the model, but also longer computational time to solve it. This issue is related to the development of computers and software, so is being continuously minimised.  In general, the obtained results reflect the suitability of indirect methods based on optimisation genetic algorithms to calibrate Finite Element models. More concise conclusions are:  The methodology is suitable only if the physical sense of the problem is observed. The adjusting parameters must range between values reasonable from the experimental point of view.  The calibration of the model taking as the starting point the natural frequencies of the structure supplies better results than doing it also with the modal displacement values. In this cases study, the convergence ratios using modal shapes has been ineffective. This is due to the unclear mode shapes obtained in non-slender structures and, subsequently, the uncertainty of its importance inside the calibration process. Anyway, to take into account the mode shapes, once finished the calibration of the model the MAC value is checked. This way, the calibrated model and the experimental data are compared in terms of mode shapes. Capítulo 4 Página | 131  Finally, the calibrated models can be used with diferent scopes: to have a better knowledge of the structural behaviour, to assess the effectiveness of a repair or to have a starting point to identify a possible damage in the future. Conclusiones y Futuras Líneas de Investigación Página | 132 4.2 Future Works and Research The research developed in this thesis can be continued following different lines. They had been divided into works and lines of research. 4.2.1 Future Works  In the Roman Theatre of Cadiz (Cádiz, Spain), a new experimental campaign is planned. It will happen when the excavation under the grout umbrellas is finished. It will be used to confirm the veracity of the results obtained by the calibrated Finite Element Model. The new measurements will be compared with the modal results obtained by the calibrated model to check their coincidence.  The Chapel of la Jura is going to be studied in dept. To this end, the model presented in this thesis will be calibrated. The same process shown in this document will be followed, and new calibration parameters to take into account the effect of the church attached to the Chapel will be considered. This has been introduced in the case study of the Chapel of the Würzburg Palace demonstrating its effectiveness.  The Church of Santiago will be analysed again once finished the structural consolidation that is nowadays still running. The new data will assess the global improvement of the structural behaviour.  A new and deeper structural analysis of the calibrated model of the Monastery of San Jerónimo is now being done. This analysis is targeted to assess its structural behaviour and to find the causes of the structural damage that currently shows. 4.2.2 Lines of Research  The first line of research is targeted to improve the mode shapes making them clearer. This line is intended to find the relation between this fact and the position of accelerometers.  The study of multiobjetives optimisation methods to improve the calibration of nonslender structures is proposed. This methodology implies the introduction of natural frequencies and modal displacements separately. This fact is supposed to be positive for the calibration of the model and, subsequently, in the clarity of the mode shapes.  Another line of research is targeted to improve the estimation of damping ratios by OMA.  Finally, a global line consists of continuing with the application of OMA in non-slender masonry structures. The proposal is to systematize the methodology in order to generate a tool to design and control repair works of historical masonry structures. ABREVIATURAS, ÍNDICE DE TABLAS Y FIGURAS, BIBLIOGRAFÍA. Abreviaturas Página | 135 Índice de Abreviaturas AVT Pruebas de vibración ambiental. DAQ Sistema de adquisición de datos. EF Elementos finitos. EFDD Método de descomposición mejorada en el dominio de la frecuencia. EMA Análisis Modal Experimental. FDD Método Descomposición en el Dominio de la Frecuencia. FFT Transformada de Fourier. FRF Función de respuesta en frecuencia. FVT Pruebas de vibración forzada. IOMAC Conferencia Internacional de Análisis Modal Operacional. MAC Criterio de garantía modal. MEF Método de elementos finitos. OMA Análisis Modal Operacional. PP Método Peak – Picking. SSI Método de Identificación en el Subespacio Estocástico. SVD Descomposición en valores singulares. Índice de tablas y figuras Página | 142 73 Planta del monasterio en la actualidad. Situación de los acelerómetros de referencia en cada una de las campañas experimentales. Verde: +6.8 m. (1º planta). Rojo: +12.2 m. (2º planta). 74 Modelo de elementos finitos. En rojo elementos superficiales y en blanco volumétricos. 75 Modelo de elementos finitos. Diferenciación de materiales según color. 76 Validación del MEF. 1º Modo de vibración global (2.01 Hz). Valor MAC = 0.99. 77 Validación del MEF. 3º Modo de vibración global (3.51 Hz). Valor MAC = 0.93. 78 Validación del MEF. 1º Modo de vibración local (3.51 Hz). Valor MAC = 0.99. 79 Análisis estructural del MEF. Tensiones máx. en los elem. agrietados. 80 Palacio de Würzburg. 81 Planta del Palacio de Würzburg. Situación de la Capilla en la esquina suroeste. 82 Estudio de la traza de la planta y de la sección de la capilla del palacio de Würzburg. 83 Vistas interiores de la Capilla del Palacio de Würzburg. 84 Vistas del trasdós de las bóvedas. 85 Modelo inicial de elementos finitos. 86 Formas modales de los tres primeros modos de vibración (2.59, 3.04 y 4.15 Hz). 87 Situación de los acelerómetros. En rojo acelerómetros de referencia. 88 Tratamiento de datos con el método EFDD (A) y SSI (B). 89 Formas modales asociadas a los resultados experimentales (SSI). 90 Modelo de elementos finitos y grupos de materiales/elementos considerados. 91 Ejemplo de correlación entre los modos de vibración experimentales y numéricos. (A) Primer modo de vibración. (B) Tercer modo de vibración. 92 Resultado a nivel de tensiones del cálculo a peso propio. 93 Patrón de grietas en diferentes pasos de carga. 1g, 2g, 3g, 4g y 4.84g. 94 Análisis no lineal. Curva de capacidad. 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Control of structural intervention in the area of the Roman Theatre of Cadiz (Spain) by using non-destructive techniques. The original version of this paper can be found in: doi: 0.1016/j.conbuildmat.2015.10.141 Autors: Pablo Pachón, Víctor Compán, Esperanza Rodríguez-Mayorga, Andrés Sáez. Journal name: Construction and Building Materials Volume 101, Part 1, 30 December 2015, Pages 572–583 Impact factor 2014: 1,486. Classification: 24/215 (Q1, Civil Engineering) Source: SCIMAGO Research Group, Data Source: Scopus® ISSN: 0950-0618 Anejos Página | 151 C. Definition and Characterization of a historical building by using Digital Photogrammetry and Operational Modal Analysis. San Juan de los Caballeros Church (Cádiz, Spain) Authors: Pablo Pachón, Víctor Compán, Esperanza Rodríguez, Jav. Fdo. Jiménez, Francisco Pinto. Conference name: Third International Conference on Mechanical Models in Structural Engineering. Location and date: University of Seville, Spain. 24-26 June 2015. ISBN: 978-84-606-9356-7 D. Investigation of restoration effects on the dynamic characteristics of a masonry vault. San Juan de los Caballeros (Jerez de la Frontera, Spain). Authors: Víctor Compán, Pablo Pachón, Margarita Cámara, Francisco Pinto Journal name: Informes de la construcción This paper is currently under review. Impact factor 2014: 0,345. Classification: 121/215 (Q3, Civil Engineering) Source: ©SCIMAGO Research Group, Data Source: Scopus® ISSN: 0020-0883 E. Caracterización dinámica de edificaciones históricas mediante análisis modal operacional. Aplicación sobre la iglesia de Santiago (Jerez de la Frontera). Authors: Pablo Pachón, Víctor Compán, Esperanza Rodríguez-Mayorga. Conference name: Congreso Euro - Americano Rehabend 2016 Location and date: University of Burgos, Spain. 24-27 May 2016. ISBN: 978-84-608-7941-1 4 2. CHAPEL OF THE WÜRZBURG RESIDENCE 83 2.1 Historical Aspects 84 The construction of the Würzburg Residence [10, 11] dates from the early eighteenth century when the 85 Schönborn family decided to build a palace to relocate the Episcopate. Balthasar Neumann [12, 13] was 86 the main work master for over thirty years. The Chapel exhibits an impressive Baroque decoration, see Fig. 87 2. 88 89 Figure 2. Chapel of the Würzburg Residence. Altar views. 90 91 During the building design process, the chapel was positioned at different places within the whole complex, 92 until Balthasar Neumann, finally, located it at the south-west corner of the Residence (Fig. 3). Johann 93 Dientzenhofer was involved in the design of the chapel [14]. He was a German architect with a wide 94 experience on the design and construction of geometrically complex brick masonry vaults. 95 5 96 Figure 3. Würzburg Residence. Location of the chapel at the SW corner. 97 2.2 Architectural configuration and construction 98 The architectural configuration of the chapel presents a spatial view with a clear longitudinal character, 99 composed by three main spatial cells connected by two other cells, as illustrates Fig. 4. The walls are 100 particularly slender (15.2 m high with a variable thickness, between 1.20 and 2.00 m) and with a high 101 percentage of voids, greater than 50 % of the façade surface. 102 103 Figure 4. Study of the trace of the Chapel of the Würzburg Residence. 104 105 There are two main reasons why the chapel vaults are unique in their complexity. A first feature, from a 106 geometrical point of view, is that the ceiling is made by five in-plan oval vaults with warped intersections 107 6 among them (Fig. 4). Each one of these intersections was geometrically determined by the intersection 108 between two cylinders with orthogonal axis and different diameters. These cylindrical shape was essential 109 in the construction process, because intersections were defined first as edges of the vaults boundaries, and 110 then the surface of the vaults was built according to the intersections. A second feature is that the 111 construction technique used was quite refined. Vaults surfaces are made of only one layer of brick masonry 112 (30 cm thick), with neither ribs nor any sort of local reinforcement at warped intersections [11]. For 113 constructive reasons, vaults only increase 15 cm their thickness at their base and at small radial ribs located 114 on selected locations of the three main vaults (Fig.4 and Fig. 5). 115 116 117 Figure 5. Chapel of the Würzburg Residence. Vaults extrados. 118 119 3. AMBIENT VIBRATION TESTS AND OPERATIONAL MODAL ANALYSIS METHOD 120 The dynamic characterization of the Chapel of the Würzburg Residence has been performed by means of 121 ambient vibration tests. These tests were carried out between 14 and 17 of July 2014, with the aim of 122 identifying the natural frequencies, mode shapes and damping ratios of the vaults. 123 124 3.1 Initial Finite Element Model 125 The application of the Operational Modal Analysis usually requires the creation of an initial model (Fig. 6) 126 in order to estimate the natural frequencies and mode shapes and thus determine adequate positions of the 127 7 accelerometers [7]. This initial FE model was built using Abaqus/CAE 6.13 Software [15]. The model 128 consists mainly of two components, namely walls and vaults, modelled using solid elements. The final 129 model comprises 1,606,908 elements, 329,472 nodes and 988,416 degrees of freedom. Material properties 130 were initially estimated from bibliography [13, 16]. For brick masonry of the vaults, the adopted properties 131 were: density, 1980 kg/m3; Young’s Modulus, 1100 MPa; Poisson’s ratio, 0.2. Similarly, the following 132 values were considered for the stone masonry: density, 2100 kg/m3; Young’s Modulus, 2200 MPa; 133 Poisson’s ratio, 0.2. Furthermore, the weight of the roof over the vaults was taken into account in the FE 134 model, as well as the connections between the chapel and the rest of the Residence Building, by means of 135 spring elements. 136 137 Figure 6. Initial FE model. 138 139 Based on the largest modal displacements obtained from this initial model, the appropriate position for the 140 reference accelerometers is set. Fig. 7 illustrates the first three vibration modes together with their 141 corresponding natural frequencies. 142 143 Figure 7. Initial FE model. Modal displacements of the first three vibration modes (f1=2.59, f2=3.04 and 144 f3=4.15 Hz). 145 8 146 Following the results obtained from the initial model, Figure 8 shows a schematic representation of the 147 sensors arrangement. The set-up consists of a total of 51 measuring points, which is a rather dense mesh. It 148 is also noted that, due to the boundary conditions imposed by its integration into a large complex, the 149 structure is not symmetrical. All of the measuring points were set in the three principal directions, in order 150 to capture the global vibration modes in the longitudinal, lateral and vertical direction of the vaults. Since 151 only eight accelerometers were available for the testing process and two of them (placed at points 17-19, 152 Fig.8) were kept fixed for reference, a series of twenty-five set-ups were necessary to cover all measuring 153 points. In each one of these set-ups, accelerations were recorded with a sampling rate of 100 Hz and a 154 sampling time of 12 min. These assumptions ensure that natural frequencies in the range from 1 to 50 Hz 155 could be properly recorded. 156 157 Figure 8. Accelerometer locations and directions (plan view of the chapel). Ref. accelerometers in red. 158 159 3.2 Ambient Vibration Tests 160 Excitations during ambient vibration tests were associated with environmental loads. The equipment used 161 for these tests was composed by eight uniaxial force balance accelerometers with a bandwidth ranging from 162 0.01 to 200 Hz, a dynamic range of 140 dB, a sensitivity of 10 V/g and 0.35 kg of weight (model ES-U2). 163 These accelerometers were connected via eight 40m long cables to a twelve-channel data acquisition system 164 with a 24-bit ADC, provided with anti-alias filters (model GRANITE). The equipment is manufactured by 165 the company KINEMETRICS (Fig. 9). 166 9 167 Figure 9. Measurement equipment. 168 169 3.3 Operational Modal Analysis 170 In situ obtained data were processed using two different identification methods: one of them in frequency 171 domain, the Enhanced Frequency Domain Decomposition (EFDD) technique [17]; and the other in the time 172 domain, the Stochastic Subspace Identification (SSI) method [18]. Both methods are implemented in the 173 software Artemis [19] (Fig. 10). 174 175 176 Figure 10. Ambient tests set up (EFDD and SSI). 177 In this way, modal frequencies, damping ratios and mode shapes were determined by applying both 178 methods and were later correlated using the Modal Assurance Criterion (MAC) [20] between the EFDD 179 10 and SSI results in order to assess the accuracy of the obtained. Data processing results are presented in 180 Table 1. 181       . transpose thedenotes T and compared be tomodes two theare and where 2 , jk k T kj T j k T j kj MAC       (1) 182 Table 1. Results OMA: natural frequencies (f), damping ratios () and standard deviation (Std). 183 SSI EFDD MAC f (Hz) Std. f  Std.  f (Hz) Std. f  Std. Mode 1 2.77 0.01 1.12 0.40 2.77 (0,0%) 0.01 0.89 (26%) 0.28 0.99 Mode 2 3.28 0.05 1.50 0.68 3.30 (0,6%) 0.37 0.92 (63%) 1.24 0.87 Mode 3 4.52 0.05 2.36 0.66 4.46 (1,4%) 0.20 1.79 (32%) 0.91 0.88 Mode 4 5.26 0.03 1.24 0.48 5.25 (0,2%) 0.02 0.88 (61%) 0.28 0.90 Mode 5 6.48 0.04 2.04 0.95 6.48 (0,0%) 0.03 1.11 (84%) 0.46 0.82 The percentage within parenthesis indicates the relative difference between SSI and EFDD results, adopting the results of the SSI 184 method as reference. 185 As Table 1 shows, the ambient vibration tests allowed to accurately identify the first five vibration modes 186 in a frequency range up to 10 Hz. The frequencies were identified with relative differences lower than 1.5%, 187 taking the results of the SSI method as reference. The results for the damping ratio show as higher variability 188 (up to 84%), with average modal damping ratios of the building being 1.65% and 1.18% for SSI and EFDD 189 techniques, respectively. This result is not surprising and higher excitation seems to be required in order to 190 obtain reliable measures of damping, which is not needed for static structural analyses, as done later in this 191 paper. With respect to mode shapes, MAC values were always higher than 0.80, which indicate a good 192 correlation between both methods. The second mode shows a longitudinal translation mode, while the other 193 modes correspond to bending modes of the vaults (Fig.11). 194 11 195 Figure 11. Mode shapes associated with the experimental results (SSI). 196 197 4. MODEL UPDATING 198 Standard FE models of historical buildings usually include uncertainties because of parameters such as 199 unknown material properties, poorly known boundary conditions, existing damage, complex internal 200 composition of structural elements and modelling approximations. Therefore, calibrating the model with 201 the aid of experimental information becomes necessary in order to appropriately model the actual structural 202 behaviour. For our purposes, results obtained from ambient vibration tests will be used to update and 203 improve the initial FE model. 204 205 In this case, the FE model updating based on the obtained experimental dynamic properties of The Chapel 206 was performed by means of iterative methods [21, 22]; that is, model updating arises from changes applied 207 on some well-defined structural physical parameters selected by the users. For this purpose, a sensitive 208 study was carried out in order to identify the physical parameters of the structure that have a stronger 209 influence on its dynamic behaviour. These parameters were the Young’s modulus of the masonry brick (Eb) 210 and the stone (Es), the springs stiffness that simulate the connection with the palace (Sp) and the inertial 211 mass associated to the rest of the building (Ip) (Fig. 12). The selection of these last two parameters was 212 essential to perform the calibration process. It is important to remember that the Chapel modeled is included 213 within a larger complex, whose influence on the modal behaviour of the chapel has to be considered. The 214 12 selection of more parameters would unnecessarily complicate the physical interpretation of the updating 215 process. 216 217 Figure 12. Finite element model and group of material / element types considered. 218 219 Given the high quality of the experimentally detected first four vibration modes, they have been chosen to 220 carry out the updating process. Only natural frequencies values were selected, due to the lower reliability 221 of the identified mode shapes in comparison with the measured natural frequencies. Therefore, considering 222 four identified natural frequencies, four residual components were adjusted and minimised during model 223 updating. The updating process has been performed through the implementation of an optimization 224 algorithm (genetic algorithms) in Matlab software [23], according to the following fitness value l(  ): 225            m jjj m jjEXPjNUMj rwzzwl 1 2 2 1,, 2 1 2 1  (2) 226 where: 227 )( ,  jNUM z are the frequencies obtained from the numerical model, which are related to the physical 228 parameters of the model,  (elastic moduli of masonry brick and stone, springs stiffness and inertial mass), 229 which are the object of the adjustment. The variables jEXP z, represent the same frequencies obtained from 230 experimental data, specifically, the values obtained from the EFDD method. The differences between the 231 experimental and numerical parameters are denoted as residues,    j r . A weight variable j w could be 232 established for each residue to take into account the different reliability of the identified modal parameters. 233 In our case, j w = 1 (j=1-4) is adopted. 234 13 235 Figure 13 illustrates the summary of the updating process and shows its importance for obtaining reliable 236 models that replicate the actual response of the structures. Based on the properties of the initial finite 237 element model, and establishing a range of values for each updating parameter (Table 2), the calibration 238 process started. Such calibration process terminated when the difference between the mean value (blue 239 points, Fig. 13) and the best value (black points, Fig. 13) was less than 1x10-4. Table 2 shows the considered 240 lower and upper bounds for the updating parameters and their corresponding initial and updated values. As 241 it can be seen, updated values differ up to 30% with respect to values defined in the initial model. 242 243 Figure 13. Genetic algorithm. Fitness value    l versus Generation. Blue point: Mean values of the 244 objective function of all the population of the corresponding generation. Black point: Best values result of 245 an individual of the population. 246 247 Table 2. Summary of the results of the FE model updating process: parameters. 248 Updating Parameter Initial Value Optimizing interval of values Updated Value  Lower bound Upper bound  Eb (MPa) 1100 700 2000 921 Es (MPa) 2200 1500 3500 2710 Sp (kN/m) 9000 6000 12000 10800 Ip (kg) 4000 2000 6000 4680 249 20 of two representative points of the vaults by means of their load-displacement curves. It should be noted 338 that the non-linear response starts with a load factor really close to the unity. 339 340 Figure 19. Non - linear-analysis. Capacity curves. 341 342 6. CONCLUSIONS 343 The aim of this research is to estimate the structural safety factor of the vaults of the Chapel of the Residence 344 of Würzburg (Germany). This chapel presents singularities and a level of geometrical complexity that make 345 it unique. The vaults are made of a thin brick masonry (only one 30cm thick layer) and have been generated 346 by intersecting a series of oval in plant vaults. Their geometrical complexity is mainly due to the warped 347 intersections among the main vaults and the secondary ones, generated as the result of intersecting two 348 cylinders with different diameters. These intersections were built demonstrating a high technical ability in 349 the development of brick masonry vaults. 350 351 The use of advanced techniques of structural analysis has been essential to study this construction and to 352 accurately assess its structural behaviour and its structural safety factor. In particular, Operational Modal 353 Analysis has been used to experimentally determine The Chapel modal properties from ambient vibration 354 tests, in order to calibrate the FE model using genetic algorithms. The resulting updated FE model has been 355 subsequently used to perform a non-linear analysis to estimate the ultimate load-carrying capacity of the 356 structure. Five natural frequencies and their associated vibration modes have been successfully identified, 357 with MAC values ranging between 0.82 and 0.99 for the EFDD and SSI results (see Table 1). 358 359 21 Thanks to the identified natural frequencies, the FEM could be updated using four updating parameters, 360 two of them being material properties and the two others defined with the aim of including the connection 361 with the rest of the palace. The adjustment was carried out using in the FE model of The Chapel the effect 362 of genetic algorithms as optimization technique. The dynamic response of the numerical model has been 363 successfully adjusted to the experimental results, with the frequency differences below 2% for the first four 364 vibration modes and obtaining MAC values between 0.88 and 0.99 (see table 3). 365 366 The updated FE model was then first used to analyze the structural behavior of The Chapel under self- 367 weight service conditions, confirming –as expectedthat the vaults have an adequate structural response. 368 The current structural state does not present evident cracks, as predicted by the non-linear FE model. 369 370 Subsequently, the FE model was employed to estimate the collapse load of the structure: as the load 1g is 371 increased until 2g, 3g, etc., it can be observed how the two transversal vaults are the weakest elements, 372 presenting greater stress concentrations, mainly due to their geometrical configuration, with a lower rise to 373 span ratio of about 0.35 compared with the rest of the vaults, with a ratio of about 0.50. In this way, tensile 374 stresses are observed at the keystone and the base of the vaults. Furthermore, there are compressive stresses 375 concentrations along the intersections between the vaults, due to their geometrical configuration which 376 implies greater stiffness. 377 378 On the other hand, after analysing the results obtained for the ultimate load (load: 4,84g), the weakness of 379 the façade walls can be clearly identified as the main cause of collapse. Because of their slenderness 380 (between 7 and 11), their large void to surface ratio (about 50%) and their great thickness variability, at 381 collapse there are disconnections of the wall at lintel level of all the windows of the south-west corner. This 382 disconnections imply that the wall structural behaviour is more similar to that found in separated pilasters. 383 This behaviour of the façade walls cause the greatest level of cracking on the vaults. 384 385 Last but not least, the stress distribution does not follow the typical pattern for vaulted constructions, due 386 mainly to both complexity of the vaults and the flexibility of the walls. This confirms that using advanced 387 techniques based on non-destructive testing techniques and finite element modelling is necessary to 388 properly assess the actual structural behaviour of complex historical constructions. 389 22 390 Acknowledgements 391 - Thanks to the Bavarian Palace Department, especially to Dr.-Ing. Alexander Wiesneth for the 392 support and the availability during the ambient vibration tests that were carried out. 393 - Special thanks to the Institute of Building Design and Construction of the University of Stuttgart 394 and particularly to Professor Matthias Rottner. This work would not have been possible without 395 their support. 396 - This work has been financially supported by Research Project P12-TEP-2068, “Tratamiento y 397 Recuperación del Patrimonio Edificado. La Inyección como Método de Consolidación de 398 Estructuras de Fábrica”, funded by the Regional Government of Andalusia, Spain. 399 400 References 401 [1] Víctor Compán, Margarita Cámara, Francisco González de Canales. The Geometric Principles of Warped Rib Vaults in Central 402 European Baroque Architecture from Guarini to the Dientzenhofer Family and Balthasar Neumann. Nexus Network Journal 403 2015; 17:183-206. 404 [2] Atamturktur S. & Laman J. 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