Geometría global de curvas planas

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA GEOMETR´ IA GLOBAL DE CURVAS PLANAS Memoria realizada por Daniel Garc´ıa Cano Dirigido por: VoBo Dr. Alfonso Carriazo Rubio Abstract In this work we can clearly distinguish two parts. Firstly, we study and prove some classical theorems about the Global Theory of plane curves, namely the Isoperimetric Inequality, the Four-Vertex Theorem and the Cauchy- Crofton Formula. Secondly, we focus on B´ezier plane curves. We establish some global properties for them and we introduce a new method, inspired by the Isoperimetric Inequality, to produce the approximation of a circular arc by a B´ezier curve. We include several interesting examples. 3 4 ´ Indice general Introducci´on 7 1. Teoremas cl´asicos 11 1.1. Preliminares sobre curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Desigualdad Isoperim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. El Teorema de los Cuatro V´ertices . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. La F´ormula de Cauchy-Crofton . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2. Geometr´ıa Global de Curvas de B´ezier 41 2.1. Preliminares sobre curvas de B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2. Curvas de B´ezier cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3. Aproximaci´on de arcos circulares . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Ap´endice Digital 69 Bibliograf´ıa 71 5 6´ INDICE GENERAL Introducci´on El primer acercamiento que tenemos los estudiantes del Grado en Matem´aticas de la Universidad de Sevilla al ´area de la Geometr´ıa Diferencial se produce mediante la asignatura Geometr´ıa Local de Curvas y Superficies, de tercer curso. Tal y como su nombre indica, en ella el estudio de las curvas (que es lo que nos interesa para este trabajo) se lleva a cabo de manera local, es decir, en un entorno de cada punto. Sin embargo, tambi´en hay resultados destacados que cumplen las curvas en su totalidad, y que conforman lo que se conoce como la Geometr´ıa Global de Curvas. En ese marco podemos encuadrar nuestro estudio, que centraremos en las curvas planas. Realmente, tal y como resulta evidente sin m´as que ojear el ´ındice, este trabajo consta de dos bloques bien diferenciados. En el primero de ellos, se presentan algunos de los resultados globales m´as cl´asicos sobre curvas planas. A cada uno de ellos dedicamos su propia secci´on. El primero de estos resultados es la conocida Desigualdad Isoperim´etrica, que establece que la longitud lde una curva regular, cerrada y simple y el ´area que encierra A, satisfacen la desigualdad l2−4πA ≥0, d´andose el caso de la igualdad si y s´olo si la curva es una circunferencia. Esto quiere decir que, de todas las curvas de longitud fijada, la que mayor ´area encierra es la circunferencia. La primera demostraci´on rigurosa de este hecho se debi´o a K. Weierstrass, aunque la que nosotros detallaremos fue realizada por E. Schmidt en 1939. No obstante, esta propiedad de la circunferencia era ya conocida por los matem´aticos de la Grecia cl´asica. Es m´as, podemos relatar una curiosa historia, protagonizada por la reina Dido, fundadora m´ıtica de Cartago. Seg´un las fuentes griegas y romanas, nuestra protagonista, llamada realmente Elisa de Tiro, huy´o de esa ciudad fenicia, buscando refugio en las costas del norte de ´ Africa, donde viv´ıan los 7 8INTRODUCCI ´ ON g´etulos, una tribu de libios cuyo rey se llamaba Jarbas. Elisa le pidi´o hospitalidad y un terreno en el que poder instalarse con su s´equito y fundar una nueva ciudad (la futura Cartago). Jarbas le concedi´o el territorio que pudiera cubrir con una piel de buey. Elisa y sus seguidores decidieron recortar esa piel en tiras muy finas, que ataron entre s´ı formando una larga cuerda de piel. Entonces, para encerrar la mayor superficie posible, la dispusieron en forma de arco de circunferencia, con principio y final en puntos de la costa. De ah´ı que se afirme que Dido, nombre que recibir´ıa Elisa al ser nombrada reina, ya conoc´ıa la Desigualdad Isoperim´etrica. Una curiosidad m´as al respecto: seg´un relata Virgilio en la Eneida, el h´eroe romano Eneas lleg´o a la costa de Cartago y Dido se enamor´o perdidamente de ´el, siendo correspondida. Pero Eneas recibi´o el encargo de J´upiter de fundar una nueva ciudad en el Lacio (la futura Roma) y la abandon´o tras un tiempo juntos. Dido decidi´o suicidarse por amor, clav´andose en el pecho la espada de Eneas. Precisamente por ello, aparecer´a siglos m´as tarde en otra obra cumbre de la literatura universal: la Divina Comedia de Dante Alighieri. Cuando ´este visita el infierno (descrito como una serie de c´ırculos conc´entricos), acompa˜nado precisamente de Virgilio, encuentra a Dido en el segundo c´ırculo, el de los lujuriosos. Resulta curioso que fuera ubicada all´ı, al haber muerto por amor, cuando tambi´en podr´ıa haber acabado en el s´eptimo c´ırculo, donde se encontraban los suicidas. El siguiente resultado cl´asico de este cap´ıtulo es el llamado Teorema de los Cuatro V´ertices, que viene a decir que una curva regular, simple, cerrada y convexa tiene al menos cuatro puntos en los que se anula la derivada de su curvatura (estos puntos se llamar´an v´ertices). Para enunciarlo y demostrarlo correctamente, tendremos que estudiar y caracterizar las curvas convexas. Este teorema fue demostrado por S. Mukhopadhyaya en 1909 y A. Kneser en 1912. La prueba que nosotros incluimos aparece en una carta de G. Herglotz a W. Blaschke en 1930. El ´ultimo de estos resultados cl´asicos que presentaremos ser´a la F´ormula de Cauchy-Crofton, que relaciona la longitud de una curva plana con el valor esperado del n´umero de cortes con una recta cualquiera. Se trata de un teorema del ´area conocida como Geometr´ıa Integral. Podemos se˜nalar que uno de los pioneros en ese campo de estudio fue el espa˜nol Luis A. Santal´o, que tuvo que exiliarse a Argentina en 1939 por sus ideas republicanas. Trabaj´o en distintas universidades argentinas, llegando a ser Profesor Em´erito de la Universidad de Buenos Aires, y public´o m´as de cien art´ıculos de investigaci´on y trabajos de divulgaci´on, as´ı como varios libros. INTRODUCCI ´ ON 9 Para la realizaci´on de este primer cap´ıtulo hemos consultado fundamentalmente los libros [2] y [6]. El segundo cap´ıtulo tiene una naturaleza muy distinta y mucho m´as pr´actica, puesto que se centra en el estudio de las llamadas curvas de B´ezier, definidas por el matem´atico (e ingeniero de la empresa Renault) Pierre B´ezier como una herramienta para el dise˜no de las carrocer´ıas de los coches. Nosotros hemos tenido ya un contacto con ellas gracias a la asignatura Geometr´ıa Aplicada, de cuarto curso del Grado en Matem´aticas. En este segundo bloque, concretaremos algunos aspectos de la geometr´ıa global para este tipo de curvas (planas), con resultados de elaboraci´on propia. Tambi´en nos inspiraremos precisamente en la Desigualdad Isoperim´etrica para establecer un nuevo m´etodo que nos permita aproximar arcos de circunferencia mediante curvas de B´ezier. Previamente, detallaremos un m´etodo reciente, llamado aproximaci´on normal, que ha sido creado por dos profesores del Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa de la Universidad de Sevilla, Alfonso Carriazo (tutor de este trabajo) y M. Carmen M´arquez, junto con Hassan Ugail de la Universidad de Bradford, en el art´ıculo [3]. No s´olo explicamos el m´etodo, sino que tambi´en elaboramos ejemplos distintos a los de dicho art´ıculo. Nuestro m´etodo ser´a una variaci´on de ´este, con resultados muy similares. Dada que en los dos bloques de este trabajo se manejan herramientas distintas, hemos optado por no incluir un primer cap´ıtulo de preliminares, sino que hemos repartido ´estos en sendas secciones al principio de cada uno de los cap´ıtulos, de manera que el lector tenga m´as a mano los resultados que se aplican en cada uno de ellos. Incluimos tambi´en en esta memoria un Ap´endice Digital, en el que se encuentran dos ficheros de Maple VI, de elaboraci´on propia, con el detalle de los c´alculos (as´ı como im´agenes y animaciones) del segundo cap´ıtulo. Y la finalizamos con una lista de las referencias que hemos utilizado para su redacci´on. No quisiera acabar esta introducci´on sin expresar mi agradecimiento a D. Alfonso Carriazo Rubio por su paciencia, atenci´on e innumerables ayudas prestadas. 16 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS Teorema 1.1.21 (Teorema Fundamental de Curvas Planas) Sea k: (a, b)−→ R:s−→ k(s)una funci´on continua. Entonces, existe una c.p.r. α: (a, b)−→ R2que tiene como par´ametro natural sy curvatura k(s). Adem´as, dicha curva es ´unica salvo movimientos r´ıgidos. Nuestro siguiente objetivo es definir un producto escalar sobre el plano. Puede parecer que no tiene relaci´on alguna con el contenido de este trabajo ni con los resultados que hemos definido hasta ahora, pero nos resultar´a totalmente esencial para las demostraciones de las siguientes secciones. Definici´on 1.1.22 Sea el espacio eucl´ıdeo R2.Un producto escalar es una funci´on h,i:R2×R2−→ Rtal que para todos u, v, w ∈R2yc, d ∈R: 1. hu, vi=hv, ui(sim´etrica), 2. hu, cv +dwi=chu, vi+dhu, wi(bilineal), 3. hu, ui ≥ 0,y se cumple la igualdad si y s´olo si u=0 (definida positiva). Definici´on 1.1.23 Sean el espacio eucl´ıdeo R2,un producto escalar h,iy u∈R2cualquiera. Entonces, se define la norma de u como: kuk=phu, ui. Lema 1.1.24 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean u, v ∈R2.Entonces: |hu, vi| ≤ kukkvk.(1.1.4) La igualdad se tiene si y s´olo si los vectores son linealmente dependientes. Vamos a tomar como producto escalar en R2a: hu, vi=utv=u1v1+u2v2,(1.1.5) donde u= (u1, u2) , v= (v1, v2)∈R2. Con este resultado hemos terminado los preliminares de este cap´ıtulo. 1.2. DESIGUALDAD ISOPERIM ´ ETRICA 17 1.2. Desigualdad Isoperim´etrica En este apartado trabajaremos el primer, y m´as simple, resultado global en la teor´ıa de curvas planas: la Desigualdad Isoperim´etrica. Para comenzar, vamos a exponer el teorema de Green. Este resultado, que en principio no parecer´ıa tener sentido en este trabajo, es esencial para la demostraci´on de la desigualdad que da nombre al cap´ıtulo. Definici´on 1.2.1 Un campo vectorial sobre un subconjunto X⊆R2es una aplicaci´on que a puntos de Xle asocia vectores, o lo que es lo mismo: F:X−→ R2. Definici´on 1.2.2 Sea Cuna curva cerrada y simple. Se llama interior de C al ´area delimitada por dicha curva, y se denota como intC. Sean Cuna curva cerrada y simple, y una parametrizaci´on de la misma. Se dice que Cest´a orientada positivamente si el sentido de recorrido deja a intC a la izquierda. En caso contrario, reparametrizaremos para orientarla positivamente. Teorema 1.2.3 (Teorema de Green) Sean Cuna curva cerrada en R2 yF= (P, Q)un campo vectorial 1-diferenciable. Supongamos que Cest´a orientada positivamente. Entonces: ZZintC ∂Q ∂x −∂P ∂y dA =ZC (Pdx +Qdy).(1.2.1) Centr´emonos ahora en calcular el ´area de intC, para Cuna curva cerrada simple. Proposici´on 1.2.4 Sean α: [a, b]−→ R2una c.p.r. cerrada y simple, y A el ´area que encierra dicha curva. Si α(t)=(x(t), y(t)),entonces: A=−Zb a x0(t)y(t)dt =Zb a x(t)y0(t)dt. (1.2.2) Demostraci´on: Para la demostraci´on vamos a usar el Teorema 1.2.3. Denotamos por Ca la curva regular que tiene como parametrizaci´on a α. 18 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS Comenzamos la demostraci´on recordando que el ´area de un recinto plano cualquiera Rviene dado por A=ZZR dA, (1.2.3) donde dA =dxdy. Aplicando el Teorema de Green aintC y a un campo vectorial F= (P(x, y), Q(x, y)) nos quedar´ıa: ZZintC ∂Q ∂x −∂P ∂y dA =ZC (Pdx +Qdy).(1.2.4) Si tomamos Fde modo que cumpla la ecuaci´on diferencial ∂Q ∂x −∂P ∂y = 1,(1.2.5) tendremos una integral equivalente a la del ´area encerrada por la curva C. Nos quedar´ıa lo siguiente: ZZintC dA =ZC (Pdx +Qdy).(1.2.6) Como podemos comprobar f´acilmente, las dos siguientes funciones son soluci´on de (1.2.5) F= (0, x) y F= (−y, 0). Si tomamos la primera, nos quedar´ıa lo siguiente: ZZintC dA =ZC (0dx +xdy).(1.2.7) Por otro lado, sea α(t) = (x(t), y(t)) la parametrizaci´on regular de Ccon dominio en [a, b] que estamos considerando. Podemos definir la integral sobre la curva para un campo vectorial de dimensi´on 2 cualquiera Fcomo: Zb a F(x(t), y(t))(x0(t), y0(t))tdt. (1.2.8) Vamos a utilizar lo anterior en (1.2.7): ZC (0dx +xdy) = Zb a (0, x(t))(x0(t), y0(t))tdt =Zb a x(t)y0(t)dt. 1.2. DESIGUALDAD ISOPERIM ´ ETRICA 19 An´alogamente, si consideramos la segunda de las soluciones anteriores, resulta: ZZC (−ydx + 0dy) = Zb a (−y(t),0)(x0(t), y0(t))tdt =−Zb a x0(t)y(t)dt. Queda as´ı demostrada la proposici´on.  Pasamos a probar la desigualdad que da t´ıtulo a esta secci´on. Cabe decir que nos basaremos en la demostraci´on del libro [6]. Teorema 1.2.5 (Desigualdad Isoperim´etrica) Sean Cuna curva cerrada y simple de longitud l, y A el ´area de intC. Entonces: l2−4πA ≥0.(1.2.9) La igualdad se da si y s´olo si Ces una circunferencia. Demostraci´on: Primero vamos a tomar como parametrizaci´on natural de Caα: [0, l]−→ R2de la forma α(s) = (x(s), y(s)). Para dar comienzo a la demostraci´on, tomamos el m´ınimo y m´aximo de x(s),que sabemos que existen por continuidad en un compacto. Supongamos que se encuentran en A=α(0) y B=α(s1) respectivamente. En caso contrario, simplemente reparametrizamos la curva para que A coincida con α(0). Entonces, la curva Cest´a delimitada por las rectas tangentes que pasan por AyB, denotadas por L1yL2. Consideramos la circunferencia de radio r, tangente a L1yL2,y que no se corta con C. Tomaremos βcomo parametrizaci´on de la circunferencia y posteriormente daremos esta parametrizaci´on de manera expl´ıcita. Obviamente, esta circunferencia no es ´unica. Por tanto, vamos a tomar la que est´a sobre el eje OX. No s´olo eso: vamos a suponer que est´a centrada en el origen. Si no fuera as´ı, s´olo tendr´ıamos que aplicarle un movimiento r´ıgido a α. V´ease la Figura 1.1. 20 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS Figura 1.1: Ejemplo gr´afico del desarrollo te´orico. El siguiente paso ser´a dar una parametrizaci´on expl´ıcita de β. Teniendo en cuenta lo que hemos dicho de la circunferencia anteriormente, tendr´ıamos lo siguiente. Supongamos que β(s)=(z(s), w(s)).Entonces z(s) = x(s). Esto es trivial a causa de lo que hemos asumido respecto a la posici´on de la circunferencia con respecto al origen de coordenadas. Por otro lado: w(s) = −pr2−x(s)2si 0 ≤s≤s1, pr2−x(s)2si s1≤s≤l. (1.2.10) Sabemos por la Proposici´on 1.2.4 que el ´area encerrada por α, A, coincide con la siguiente integral: A=−Zl 0 yx0ds =Zl 0 xy0ds. (1.2.11) Aplicando el mismo resultado al ´area de la circunferencia β, tenemos que πr2=−Zl 0 wz0ds. 1.2. DESIGUALDAD ISOPERIM ´ ETRICA 21 Dado que x=zquedar´ıa πr2=−Zl 0 wx0ds. (1.2.12) Por tanto, sumando (1.2.11) y (1.2.12), resulta: A+πr2=Zl 0 (xy0−wx0)ds ≤Zl 0|xy0−wx0|ds. (1.2.13) Podemos, gracias a la definici´on de producto escalar dada en los preliminares, escribir xy0−wx0como h(x0, y0),(−w, x)i.Aplicando esto a (1.2.13) tenemos que: A+πr2≤Zl 0|h(x0, y0),(−w, x)i|ds. Nuestro siguiente paso ser´a aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.1.4) a h(x0, y0),(−w, x)i. Tenemos entonces que |h(x0, y0),(−w, x)i| ≤ k(x0, y0)kk(−w, x)k.Y por tanto: A+πr2≤Zl 0|h(x0, y0),(−w, x)i|ds ≤Zl 0k(x0, y0)kk(−w, x)kds. (1.2.14) Por otro lado, sabemos que k(x0, y0)k=px02+y02.Pero como αest´a parametrizada por s, su par´ametro natural, la ecuaci´on anterior es igual a 1. Para k(−w, x)knos quedar´ıa √w2+x2. Como s no es el par´ametro natural de β, no podemos decir que valga 1 como en el caso anterior. Pero sabemos que wyxparametrizan una circunferencia de radio r centrada en el origen de coordenadas, y por tanto la distancia de cualquier punto de la circunferencia al origen es r, o lo que es lo mismo pw(s)2+x(s)2=r, para todo s. Esto se aprecia tambi´en claramente a partir de la expresi´on de w(s) dada en (1.2.10). Aplicando lo anterior a (1.2.14), obtenemos que: A+πr2≤Zl 0 rds =rl. (1.2.15) 22 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS Sabemos que para cualquier par de escalares a y b, se cumple que a2+b2≥ 2ab, dado que (a−b)2≥0. Lo que vamos a hacer es tomar a=pA/2 y b=pπr2/2. Aplicando esta desigualdad a la obtenida en (1.2.15), resulta: rl 2≥A+πr2 2≥√Aπr2.(1.2.16) Tomamos los miembros que est´an en los extremos de la inecuaci´on y los elevamos al cuadrado. Nos queda: r2l2 4≥Aπr2. Despejando l2y simplificando el t´ermino r2,obtenemos la desigualdad que hemos estado buscando: l2≥4πA. (1.2.17) Pasemos a probar la segunda parte del teorema. Para el caso de la circunferencia, la igualdad es trivial, pues l= 2πr yA=πr2. De esto obtenemos que: l2= 4π2r2y 4πA = 4π2r2. Por tanto, l2= 4πA. Supongamos ahora que se da la igualdad en (1.2.17). Vamos a demostrar que Ces una circunferencia. En dicho caso tambi´en se deber´a de dar tanto en (1.2.16) como en (1.2.14). De la igualdad entre las integrales de (1.2.14) tenemos que |h(x0, y0),(−w, x)i| =k(x0, y0)kk(−w, x)k. Esto tiene una justificaci´on muy simple: si tomamos ambos miembros de la igualdad como dos funciones, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz la funci´on de la izquierda es siempre menor o igual que la otra. Por otro lado sabemos que el ´area que encierran ambas son iguales. Pero la ´unica opci´on 1.2. DESIGUALDAD ISOPERIM ´ ETRICA 23 para que dos funciones tengan la misma ´area y una sea menor o igual que otra es que sean iguales. Pero sabemos por el Lema 1.1.24 que la igualdad, en el caso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, se cumple si y s´olo si los vectores son linealmente dependientes. Esto quiere decir que existe c∈Rtal que: c(x0, y0) = (−w, x).(1.2.18) Como bien sabemos, wyxparametrizaban a una circunferencia de radio r. Por tanto: r=√w2+x2=|c|px02+y02=|c|. Y por tanto c=±r. No se puede dar el caso cnegativo ya que si esto fuera as´ı el producto escalar entre (x0, y0) y (−w, x) ser´ıa negativo. Para ver esto basta despejar cde (1.2.18) aplicando: h(x0, y0),(−w, x)i=ch(x0, y0),(x0, y0)i=c. Por tanto, tendr´ıamos que h(x0, y0),(−w, x)iser´ıa tambi´en negativa. Si aplicamos esto a (1.2.13), tendr´ıamos que A+πr2ser´ıa negativo lo cual es imposibles dado que todos los t´erminos son positivos. Tenemos pues que ces igual ar. A partir de lo anterior y de la ecuaci´on (1.2.18) se tiene que x=ry0. Dado que A=πr2,deducimos que r no depende de las l´ıneas tangentes L1 yL2.Por tanto, si tomamos L3yL4dos l´ıneas paralelas entre s´ı y tangentes aα, obtendremos los mismos resultados. Vamos a aplicarle a la componente yde αel mismo razonamiento que para la componente x, obteniendo L3yL4paralelas entre s´ı, tangentes a α y perpendiculares al eje OY. Y an´alogamente al caso anterior tomamos una circunferencia de radio r( como hemos visto, debe tener el mismo radio que β) tangente a L3yL4,y que no se corta con α. Vamos a suponer que el centro de la circunferencia se encuentra en el punto (c, d).Tomamos ahora un sistema de referencia en (c, d) como se muestra en el dibujo. V´ease la Figura 1.2. 24 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS Figura 1.2: Ejemplo gr´afico del desarrollo te´orico. Por un lado tendremos un eje OY paralelo a L3,lo que implica que es paralelo al eje OX. Por tanto, y=c−x. An´alogamente, tendremos lo mismo para x, es decir: x=y−d. Como hemos dicho anteriormente, si desarrollamos toda la demostraci´on en este nuevo sistema de referencia llegar´ıamos a las mismas conclusiones, y por tanto: x=ry0. De aqu´ı se deduce lo siguiente: y−d=x=ry0=−rx0. Y por tanto: x2+ (y−d)2= (ry0)2+ (−rx0)2=r2((x0)2+ (y0)2) = r2. Esto demuestra que αes una circunferencia en caso de que se d´e la igualdad.  1.3. EL TEOREMA DE LOS CUATRO V ´ ERTICES 25 1.3. El Teorema de los Cuatro V´ertices Para comenzar esta secci´on vamos a definir una serie de conceptos esenciales, destinados a profundizar m´as en las caracter´ısticas de las curvas. Un ejemplo de ello es la convexidad, la cual ser´a nuestra primera definici´on. Definici´on 1.3.1 Sea la c.p.r. α: [a, b]−→ R2. Si para todo t0∈[a, b] se cumple que la traza de αest´a contenida totalmente en uno de los semiplanos delimitados por la recta tangente en α(t0),se dice que αes convexa. Ejemplo 1.3.2 En la Figura 1.3 se muestran una curva convexa (la circunferencia) y otra que no lo es (la gr´afica del seno). Figura 1.3: La circunferencia es una curva convexa y el seno no. Definici´on 1.3.3 Sea Cuna curva regular, cerrada y simple. Si para alguna parametrizaci´on de Cla curvatura es k > 0 en todo punto del dominio, se dice que es un ´ovalo. Ejemplo 1.3.4 Veamos dos ejemplos de ´ovalos. Por un lado, la elipse dada por γ(t) = (acos(t), b sen(t)) (V´ease la Figura 1.4) tiene la siguiente curvatura: k=ab (a2sen2(t) + b2cos2(t))3/2>0. Para el caso de la esfera de radio r, su curvatura es k= 1/r2>0 (v´ease la figura 1.4). 32 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS Por tanto, hay al menos dos rectas que coinciden. Vamos a denotar como A, B los punto de αen los que las rectas tangentes anteriores coinciden. Estos puntos pueden ser α(s0) y α(s3) o α(s2) y α(s3), dependen de cu´ales sean las dos rectas tangentes que coincidan. Para entenderlo mejor v´ease la Figura 1.10. Figura 1.10: Ejemplo gr´afico del desarrollo te´orico. Por otro lado, denotamos como AB al segmento que une AyB. Tomamos Dun punto de AB que no est´e en α. El siguiente paso consiste en trazar la recta perpendicular a AB que pasa por D. La denotamos como L0. Obviamente L0no es tangente a αdado que es convexa. Por tanto, existen al menos dos puntos EyFque pertenecen a la intersecci´on de αyL0,y que se encuentran en el mismo lado de L. Supongamos que Ees de los dos puntos el m´as cercano a D. Entonces, la recta tangente en Edeja a los puntos A, B yFen lados diferentes (V´ease 1.10). Esto supone una contradicci´on con la hip´otesis de convexidad de la que partimos. As´ı, la ´unica opci´on es que tanto Dcomo el segmento AB pertenezcan a α. Lo anterior implica que la direcci´on del vector tangente en cada punto es la misma. Por tanto, usando (1.3.1), AyBcoinciden con α(s0) y α(s2). Hemos demostrado que αes una recta en [s0, s2] lo que implica que θes constante en dicho intervalo y mon´otona en [0, l]. Daremos ahora un corolario del teorema que nos relacionan curvas convexas con ´ovalos. 1.3. EL TEOREMA DE LOS CUATRO V ´ ERTICES 33 Corolario 1.3.11 Sea Cuna curva regular, cerrada y simple con k6= 0. Entonces, Ces un ´ovalo si y s´olo si es convexa. Demostraci´on: Supongamos que Ces un ´ovalo. Tenemos que k > 0 y, por tanto, tiene signo constante. As´ı, aplicando el Teorema 1.3.10 la curva es convexa. Supongamos que Ces convexa. Entonces, hay dos opciones: la curvatura de Ces positiva o la curvatura de Ces negativa. En el primer caso, por la Definici´on 1.3.3, Ces un ´ovalo. Supongamos ahora que la curvatura de Ces negativa. Tomemos una parametrizaci´on α(t):(a, b)−→ R2tal que k(t)<0 para todo t∈(a, b). Por otro lada, sea la reparametrizaci´on r: (−b, −a)−→ (a, b) dada por t7→ r(t) = −t. Aplicando la reparametrizaci´on a kobtenemos que: k(r) = dθ dr =dt dr dθ dt =−dθ dt =−k(t). Por tanto, k(r)>0.Aplicando la Definici´on 1.3.3, Ces un ´ovalo.  Vamos a dar un ´ultimo corolario sobre curvas convexas antes de pasar a un nuevo lema. Corolario 1.3.12 Sean Cuna curva regular, cerrada y convexa, y Luna recta no tangente a Cy que se corta con esta. Entonces, o Lse corta con C en exactamente 2 puntos o existe un arco en Cque est´a contenido en L. Demostraci´on: Dado que Lno es tangente, se debe de cortar con Cen al menos dos puntos. Vamos a suponer que se corta en tres. Denotemos a dichos puntos como A, B yD. En esta situaci´on, debe ocurrir que la recta tangente del punto que est´a en medio, supongamos que B, coincida con L. En caso contrario, cualquiera recta que pase por Bsepara en semiplanos diferentes a AyD. V´ease la Figura 1.11 Centr´emonos en el segmento que une AyB. Denotamos como L0la recta que se corta con dicho segmento en un punto aleatorio y es perpendicular a L. Dicha recta no puede ser tangente ya que dejar´ıa en distintos semiplanos aAyB. Por tanto, se corta con Cal menos en 2 puntos que llamaremos EyF. Dado que Les tangente, EyFdeben estar en el mismo semiplano que delimita L. V´ease la Figura 1.11 34 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS Figura 1.11: Cualquier recta que pase por Esepara Fdel resto. Supongamos que el punto que est´a m´as cercano a Les E. Entonces, cualquiera recta que pase por E, incluida la tangente, deja en diferentes semiplanos a Fcon respecto a A,BoD(v´ease la Figura 1.11). Esto es una contradicci´on dado que Ces convexa. Por tanto, las ´unicas opciones son o que Lse corte con Cen dos puntos o que uno de los arcos que delimitan los puntos AyBest´e contenido en el segmento BA.  Una vez que hemos hablado sobre curvas convexas pasamos a hablar sobre otro concepto esencial: v´ertices de una curva. Definici´on 1.3.13 Sea α: [a, b]−→ R2una c.p.r. Se dice que αposee un v´ertice en el punto α(t0) con t0∈[a, b] si k0(t0)=0,donde k0es la derivada de la curvatura. Proposici´on 1.3.14 Sea α: [a, b]−→ R2una c.p.r. Entonces, αposee al menos 2 v´ertices. Demostraci´on: Dado que kes una funci´on continua sobre un compacto (en este caso [a, b]), existe un m´ınimo y un m´aximo; supongamos que en los puntos t0yt1∈[a, b]. Por tanto, k0(t0) = k0(t1) = 0. Por lo que αposee v´ertices en t0yt1. 1.3. EL TEOREMA DE LOS CUATRO V ´ ERTICES 35 De hecho, en el caso de que αsea cerrada, simple y convexa, tiene 4 v´ertices. Pero, ante de demostrarlo debemos ver un lema m´as. Lema 1.3.15 Sea luna recta en el plano. Entonces, existen a= (a1, a2) yc= (c1, c2), con c6= 0,tales que un punto z pertenece a lsi y s´olo si hz−a, ci= 0. Demostraci´on: Para la prueba basta con tomar a una parametrizaci´on α(t) de l. Al ser una recta ser´a de la forma: α(t) = A+tB, con B6= 0,donde B es el vector director de la recta y Aun punto cualquiera de ´esta. Si tomamos como aaAy como cal vector normal a B, ya tenemos el resultado que est´abamos buscando.  Para la prueba del Teorema de los Cuatro V´ertices nos basaremos en la demostraci´on del libro [6]. Teorema 1.3.16 (Teorema de los Cuatro V´ertices) Una curva Ccerrada, simple y convexa tiene al menos cuatro v´ertices. Demostraci´on: Para comenzar la demostraci´on sabemos, gracias a la Proposici´on 1.3.14, que existen AyBv´ertices de α. Recordemos que estos v´ertices coinciden con el m´ınimo y el m´aximo de k. Vamos a tomar α: [0, l]−→ R2 una parametrizaci´on natural de C. Suponemos que A=α(0). Si no fuera as´ı simplemente tendr´ıamos que reparametrizar α. Vamos a suponer tambi´en que la curvatura es diferente de 0 en toda la curva. Es decir, no hay segmentos rectos dentro de α, dado que de ser cierto habr´ıa infinitos puntos donde se anular´ıa k0. Nuestro objetivo ser´a llegar a la conclusi´on de que deben existir m´as v´ertices; para ello vamos a suponer que s´olo existen AyB. Denotamos por La la recta que une Acon B. Dado que hemos asumido que s´olo existen dos v´ertices, k0deber´a tener signo positivo en un segmento de αy negativo en el otro. Por el Corolario 1.3.12, Lse corta con αexactamente en dos puntos. 36 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS Figura 1.12: Aqu´ı se observa un ejemplo del caso anterior. Por el Lema 1.3.15 existen ayc6= 0 tales que z∈Lsi y s´olo si hz−a, ci= 0.Por tanto, hα(s)−a, cies positivo en un segmento y negativo en otro. Antes de seguir es conveniente decir que hα(s)−a, cies una funci´on continua. Esto es trivial dado que si α(s) = (x(s), y(s)), el resultado del producto escalar es (x(s)−a1)c1+ (y(s)−a2)c2, lo que se trata de una combinaci´on de funciones continuas y, por tanto, continua. Si estudiamos caso por caso, llegamos a la conclusi´on de que k0(s)hα(s)−a, ci no cambia de signo a lo largo de α. De esto concluimos que: Zl 0 k0(s)hα(s)−a, cids 6= 0. Vamos a derivar por partes para llegar a una contradicci´on. 1.3. EL TEOREMA DE LOS CUATRO V ´ ERTICES 37 Zl 0 k0(s)hα(s)−a, cids =k(L)hα(L)−a, ci−k(0)hα(0) −a, ci −Zl 0 k(s)hα0(s), cids. Por un lado, los primeros t´erminos se anulan dado que αes una curva cerrada. Por otro, como la curva est´a parametrizada naturalmente podemos aplicar el Teorema 1.1.17 obteniendo que: −Zl 0 k(s)hα0(s), cids =Zl 0h−k(s)t(s), ci =Zl 0hn0(s), cids =hn(l), ci−hn(0), ci= 0. Hemos llegado a una contradicci´on y, por tanto, concluimos que hay m´as de dos v´ertices. Dado que k0cambia de signo en cada v´ertices, el n´umero de v´ertices debe ser par.  38 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS 1.4. La F´ormula de Cauchy-Crofton Pasamos a la ´ultima secci´on de este cap´ıtulo. Nuestro objetivo, al igual que en secciones anteriores, ser´a dar una nueva propiedad global pero en esta ocasi´on vamos a cambiar nuestro modo de procedimiento e interpretaci´on. Para entender esto mejor planteemos el problema con el que nos encontramos: tenemos una curva Cen el plano y consideramos el conjunto de rectas que se cortan con C. No solo eso, sino que asignamos a cada recta una multiplicidad que coincide con el n´umero de veces que se corta con la curva. El objetivo es darle una medida al conjunto de rectas en cuesti´on. Para esto vamos a reinterpretar el concepto de recta. Sea Luna recta cualquiera del plano. Entonces, se puede identificar L con un solo punto de R2. Por un lado, se tiene el vector vunitario, perpendicular a Ly que parte del origen. Si el ´angulo entre Lyves θ, se puede definir vcomo (cos θ, sin θ). Por tanto, la primera componente del punto con el que se puede determinar Les θ. Se define como Lva la recta con direcci´on vy que pasa por el origen de coordenadas. Se denota como (x0, y0) al punto de intersecci´on de la recta L y la recta Lv. Entonces, la distancia entre (x0, y0) y el origen de coordenadas es igual a x0cos θ+y0sin θ. Se denota a dicha distancia como ρ. Figura 1.13: En esta gr´afica se ven representados el ´angulo θy la distancia ρ. 1.4. LA F ´ ORMULA DE CAUCHY-CROFTON 39 Por tanto, con θyρtenemos totalmente determinada la recta L. Se puede entonces considerar a las rectas como puntos de la forma (ρ, θ) en lugar de curvas param´etricas regulares. Cabe decir lo siguiente: ρ≥0 siempre; (ρ, θ)∼(ρ, θ + 2kπ),para todo kentero. Los dominios de las variables son: ρ∈[0,∞), θ∈[0,2π). Se denota como n(ρ,θ)a la multiplicidad de la recta (ρ, θ),es decir, el n´umero de veces que se corta dicha recta con la curva C. Ya estamos en condiciones de calcular el ´area del conjunto de rectas que cortan a C. Vamos a seguir la demostraci´on del libro [2]. Teorema 1.4.1 (F´ormula de Cauchy-Crofton) Sean Cuna c.p.r. y lsu longitud. Entonces, la medida del conjunto de rectas que cortan a Ces 2l. Demostraci´on: Sea ΓCel conjunto de rectas que cortan a la curva C. Nuestro objetivo ser´a encontrar una expresi´on expl´ıcita de ZZΓC n(ρ,θ)dρdθ, (1.4.1) para cualquier C. En primer lugar vamos a suponer que Ces un segmento de longitud l. Se puede suponer que el segmento est´a en el eje OX y dividido en dos partes iguales, en caso contrario bastar´ıa con realizar un movimiento r´ıgido. No hay problema con este movimiento puesto que la integral es invariante frente a un movimiento. Adem´as, dado que dos rectas s´olo se pueden cortar en un punto, n(ρ,θ)= 1 para todo ρy toda θ. Es f´acil de comprobar que para todo valor de θexiste una recta que corta aC. Por tanto, la integral (1.4.1) es igual a: Z2π 0Zb a dρdθ. (1.4.2) Los valores por lo que se mueve dρ, a y b, est´an a´un por determinar. Se puede comprobar que el l´ımite inferior de la integral es 0, es decir, para ρ= 0 existe una recta que corta a C. Veamos el l´ımite superior. Denotamos como L0∼(ρ0, θ0) a la recta que corta a Cy cuyo ρes el m´as grande posible, es decir, para ρ0> ρ0la recta (ρ0, θ0) no se corta con C. 40 CAP´ ITULO 1. TEOREMAS CL ´ ASICOS Recordemos que si v0= (cos θ0,sin θ0), hemos denotado como Lv0a la recta con direcci´on v0y que pasa por el origen. Por construcci´on, Lv0es perpendicular a L0. Por tanto, se forma un tri´angulo rect´angulo entre L0,Lv0y el trozo de C con longitud l/2 de ese lado del eje OX De esto obtenemos que ρ0=l/2 cos θ0.Como ρ≥0, ρ0=l/2|cos θ0|. Por tanto, la integral de (1.4.2) es igual a: Z2π 0Zl/2|cos θ0| 0 dρdθ =Z2π 0 l/2|cos θ0|dθ = 2l. (1.4.3) Hemos obtenido el ´area del conjunto ΓCpara el caso de que Csea una recta. El siguiente paso es suponer que Ces una curva poligonal de longitud otra vez l. Se denota como Sicada segmento de C, y como lia sus respectivas longitudes. Se recuerda que l=Pm i=0 li. En este caso, podemos calcular el ´area en cada segmento, por lo que: ZZ n(ρ,θ)dρdθ = m X i=0 ZZSi dρdθ. (1.4.4) Aplicando (1.4.3) se tiene que (1.4.4) es igual a: m X i=0 2li= 2 m X i=0 li= 2l. (1.4.5) Solo queda demostrarlo para Cuna c.p.r. cualquiera. Para esto nos vamos a ayudar del caso anterior. Suponemos que efectivamente Ces una c.p.r. Entonces, mediante un proceso de paso al l´ımite se tiene que: ZZΓC n(ρ,θ)dρdθ = l´ım m→∞ m X i=0 ZZSi dρdθ. Si a esto se le aplica (1.4.5) se obtiene lo buscado: l´ım m→∞ m X i=0 ZZSi dρdθ = l´ım m→∞ 2 m X i=0 li= l´ım m→∞ 2l= 2l. (1.4.6) Es decir ZZΓC n(ρ,θ)dρdθ = 2l, (1.4.7) para todo c.p.r. C, con lo que queda demostrado el teorema.  Cap´ıtulo 2 Geometr´ıa Global de Curvas de B´ezier En este ´ultimo cap´ıtulo del trabajo vamos a centrarnos en hablar sobre curvas de B´ezier. Estas curvas se caracterizan por estar definidas como una combinaci´on lineal de puntos del plano y unas funciones llamadas polinomios de Bernstein. El cap´ıtulo lo estructuraremos con una primera parte donde veremos una serie de conceptos y resultados fundamentales sobre dichas curvas, conceptos tan b´asicos como es la propia definici´on de curva de B´ezier. Lo siguiente ser´a hablar de las curvas de B´ezier cerradas. En la ´ultima secci´on estudiaremos la aproximaci´on de arcos circulares utilizando resultados vistos en el cap´ıtulo anterior. 2.1. Preliminares sobre curvas de B´ezier Comenzaremos recordando algunos conceptos sobre las curvas de B´ezier, as´ı como sus principales propiedades. Aunque estas curvas se pueden definir en cualquier dimensi´on, nos limitaremos a las curvas planas. Para m´as detalles, se recomienda consultar el libro [4]. Definici´on 2.1.1 Sea n∈N.Se definen los polinomios de Bernstein de grado ncomo: Bn k(t) = n ktk(1 −t)n−k,0≤k≤n. 41 48 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA GLOBAL DE CURVAS DE B ´ EZIER dependiendo de los puntos de control de una curva de B´ezier, ¿se obtendr´ıa una circunferencia al minimizar Isop? Dar una respuesta completa a esta pregunta queda fuera del prop´osito de este trabajo, pero s´ı que podemos ofrecer un par de ejemplos: Ejemplo 2.2.5 Podemos utilizar la idea anterior para intentar redondear la curva de la Figura 2.3. Para ello, fijamos los puntos P0=P4,P1yP3(de modo que P0sea el punto medio entre P1yP3), y dejamos que el punto P2se mueva en la vertical, dependiendo de un par´ametro λ. Definimos entonces la curva de B´ezier B(λ, t), con puntos de control P0, P1, P2(λ), P3, P4y consideramos la funci´on Isop(λ). Al minimizarla, obtenemos la Figura 2.4. Desde luego, no Figura 2.4: Curva de B´ezier redondeada resulta una circunferencia perfecta, pero es lo m´as que podemos conseguir al mover el punto P2. Se puede comprobar gr´aficamente que, si lo alejamos o lo acercamos, la curva de B´ezier se diferencia m´as de una circunfererencia. Todos los c´alculos se detallan en el correspondiente fichero del Ap´endice Digital. 2.2. CURVAS DE B ´ EZIER CERRADAS 49 Ejemplo 2.2.6 Podemos intentar mejorar el dibujo anterior, eligiendo con m´as libertad los puntos P1, P2, P3. Para ello, fijamos P0=P4= (0,0) y tomamos P1= (λ1 1, λ2 1), P2= (λ1 2, λ2 2) y P3= (−λ1 1,−λ2 1) (por lo que P0 seguir´a siendo el punto medio entre P1yP3). En este caso, consideramos la curva de B´ezier B(λj i, t), que depender´a de todos los par´ametros anteriores, y la funci´on Isop(λj i). Al minimizarla, obtenemos la Figura 2.5. De nuevo, todos los c´alculos se detallan en el correspondiente fichero del Ap´endice Digital. Figura 2.5: Curva de B´ezier redondeada con m´as grados de libertad Inspirados por la desigualdad isoperim´etrica, en la siguiente secci´on abordaremos con m´as detalle un par de m´etodos para la aproximaci´on de arcos circulares mediante curvas de B´ezier. Por lo que respecta a la convexidad de una curva de B´ezier, ´esta se encuentra muy relacionada, obviamente, con la posici´on de sus puntos de control. De hecho, parece intuirse gr´aficamente que la curva ser´a convexa cuando todos los puntos de control se encuentren a un mismo lado de la curva, mientras que no lo ser´a cuando haya puntos a ambos lados. Podemos ver un par de ejemplos en la Figura 2.6. 50 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA GLOBAL DE CURVAS DE B ´ EZIER Figura 2.6: Curvas de B´ezier convexa y no convexa Para aplicar los resultados obtenidos en el Cap´ıtulo 1 sobre convexidad, necesitar´ıamos conocer la curvatura de una curva de B´ezier. ´ Esta puede obtenerse f´acilmente, tal y como mostramos a continuaci´on: Proposici´on 2.2.7 Sean B(t) = Pn k=0 PkBn k(t),t∈[0,1], una curva de B´ezier regular y k(t)su curvatura. Entonces: k(t) = n2(n−1) n−1 X k=0 n−2 X l=0 (∆Px k∆2Py l−∆2Px l∆Py k)Bn−1 k(t)Bn−2 l(t)! n3 v u u t n−1 X k=0 ∆Px kBn−1 k(t)!2 + n−1 X k=0 ∆Py kBn−1 k(t)!2  3. (2.2.7) Demostraci´on: Vamos a usar la expresi´on de la curvatura (1.1.3). Las componentes de la curva B(t) y sus primeras derivadas vienen dadas por (2.2.4) y (2.2.5). Podemos obtener las segundas derivadas sin m´as que escribir (2.1.3) 2.3. APROXIMACI ´ ON DE ARCOS CIRCULARES 51 con r= 2: x00(t) = n(n−1) n−2 X k=0 ∆2Px kBn−2 k(t), y00(t) = n(n−1) n−2 X k=0 ∆2Py kBn−2 k(t). (2.2.8) Sustituyendo (2.2.5) y (2.2.8) en (1.1.3), obtenemos (2.2.7).  A pesar de su apariencia, el c´alculo de la f´ormula (2.2.7) no reviste dificultad, al igual que dijimos de (2.2.6). Podemos deducir la siguiente consecuencia, intuitivamente clara: Corolario 2.2.8 La curvatura de cualquier curva de B´ezier regular cuadr´atica tiene signo constante. Demostraci´on: Sea B(t) = P0B2 0(t) + P1B2 1(t) + P2B2 2(t) una curva de B´ezier regular cuadr´atica. Al ser regular, el denominador de (2.2.7) es siempre positivo. Por lo tanto, s´olo tenemos que comprobar que el signo del numerador es constante para n= 2. Un simple c´alculo muestra que dicho numerador puede escribirse de la forma 4(Px 0Py 1−Px 0Py 2−Px 1Py 0+Px 1Py 2+Px 2Py 0−Px 2Py 1),(2.2.9) que es constante.  Un caso particularmente f´acil de ver es el de la recta, que aparece cuando todos los puntos de control est´an alineados. En el caso del corolario anterior, si P1est´a alineado con P0yP2, podemos escribir P1= (1 −µ)P0+µP2, para un cierto µ∈R. Es inmediato comprobar que, entonces, (2.2.9) se anula y, por tanto, la curvatura vale cero (como deb´ıa ocurrir, al ser una recta). 2.3. Aproximaci´on de arcos circulares El problema de la aproximaci´on de arcos circulares mediante curvas de B´ezier es de gran inter´es y presenta importantes aplicaciones pr´acticas. Existen diversos m´etodos para llevarla a cabo, como el ofrecido por Y. J. Ahn, Y. 52 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA GLOBAL DE CURVAS DE B ´ EZIER S. Kim y Y. Shin en [1], recientemente desarrollado con abundantes ejemplos en [5]. En este ´ultimo trabajo, se hace menci´on tambi´en al m´etodo introducido por A. Carriazo, M. C. M´arquez y H. Ugail en [3] para aproximar curvas regulares mediante curvas de B´ezier, denominado por los autores m´etodo de aproximaci´on normal, que presenta dos ventajas: su marcado car´acter geom´etrico y su versatilidad, al poder aplicarse a cualquier curva regular. A continuaci´on vamos a describirlo, presentando como ejemplo la aproximaci´on de un arco de circunferencia. Posteriormente, ofreceremos una variante del m´etodo, inspirada por la Desigualdad Isoperim´etrica. El problema con el que nos encontramos es el siguiente: dada una c.p.r α: [0,1] −→ R2, nuestro objetivos es aproximar dicha c.p.r. por una curva de B´ezier, la cual ser´a determinada por n+1 puntos de control P0, P1, . . . , Pn en R2. Pasamos a describir el m´etodo de elecci´on de dichos puntos: 2.3. APROXIMACI ´ ON DE ARCOS CIRCULARES 53 Paso 1: Se divide el intervalo [0,1] en nsubintervalos. Los puntos de divisi´on ser´an t0, . . . , tnde la forma t0= 0 < t1< . . . < tn−1< tn= 1. A continuaci´on, se impone la condici´on P0=α(0), Pn=α(1). Para todo i= 1, . . . , n −1, se considera el punto Pi(λi) = α(ti) + λin(ti),(2.3.1) donde λies un par´ametro y n(ti) es el vector normal a αen α(ti). Esto significa que Pi(λi) pertenece a la recta con direcci´on n(ti) en α(ti) (v´ease la Figura 2.7). α(ti) α(0) α(1) Pi(λi) n(ti) t(ti) Figura 2.7: Punto Pi(λi) en la recta normal a αen α(ti). Paso 2: El siguiente paso es construir la curva de B´ezier en funci´on de λ1, . . . , λn−1.Queda de la siguiente forma: B(λ1, . . . , λn−1, t) = Bn 0(t)P0+ n−1 X i=1 Bn i(t)Pi(λi) + Bn n(t)Pn.(2.3.2) Se observa que B es una curva de B´ezier seg´un la Definici´on 2.1.2. Paso 3: Definimos la siguiente funci´on: F(λ1, . . . , λn−1) = Z1 0|α(t)−B(λ1, . . . , λn−1, t)|2dt. (2.3.3) Esta funci´on es la semim´etrica (al cuadrado) de L2([0,1]) y representa el ´area (al cuadrado) que hay entre α(t) y B(λ1, . . . , λn−1, t). Se puede considerar como una medida del error de la aproximaci´on. 54 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA GLOBAL DE CURVAS DE B ´ EZIER Paso 4: Es l´ogico pensar que cuanto menor sea el error, mejor es la aproximaci´on B(λ1, . . . , λn−1, t) de α(t).Por tanto, el objetivo es encontrar unos valores λ0 1, . . . , λ0 n−1que minimicen F. Hecho esto, nuestra curva de B´ezier ser´a B(λ0 1, . . . , λ0 n−1, t) con los puntos de control P0, P1(λ0 1), . . . , Pn−1(λ0 n−1), Pn. El problema anterior se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales dado por ∂F/∂λj= 0, para cada j= 1, . . . , n−1. Para comenzar, se aplica el criterio de derivabilidad bajo signo integral a (2.3.3), dando como resultado ∂F ∂λj =Z1 0 ∂G ∂λj dt, donde G(λ1, . . . , λn−1, t) =|α(t)−B(λ1, . . . , λn−1, t)|2 = 2 X k=1 (αk(t)−Bk(λ1, . . . , λn−1, t))2, siendo αk(t) (resp. Bk(λ1, . . . , λn−1, t)) la k-´esima componente de α(t) (resp. B(λ1, . . . , λn−1, t)). En nuestro caso s´olo hay 2 componentes, dado que se trabaja con curvas planas. Aplicando la derivada a la anterior definici´on de G, se tiene: ∂G ∂λj = 2 2 X k=1 (αk(t)−Bk(λ1, . . . , λn−1, t))∂(αk(t)−Bk(λ1, . . . , λn−1, t)) ∂λj . De (2.3.1) y (2.3.2) se sigue que ∂(αk(t)−Bk(λ1, . . . , λn−1, t)) ∂λj =−Bn j(t)nk(tj), donde nk(tj) es la k-´esima componente de n(tj). Por lo tanto, usando 2.3. APROXIMACI ´ ON DE ARCOS CIRCULARES 55 otra vez (2.3.1) y (2.3.2) se obtiene: ∂F ∂λj =−2 2 X k=1 nk(tj)Z1 0 (αk(t)−Bk(λ1, . . . , λn−1, t))Bn j(t)dt =−2 2 X k=1 nk(tj)Z1 0 αk(t)Bn j(t)dt −Pk 0Z1 0 Bn 0(t)Bn j(t)dt − n−1 X i=1 αk(ti)Z1 0 Bn i(t)Bn j(t)dt −Pk nZ1 0 Bn n(t)Bn j(t)dt! + 2 n−1 X i=1 2 X k=1 nk(ti)nk(tj)Z1 0 Bn i(t)Bn j(t)dt!λi. A partir de esta expresi´on, est´a claro que el sistema de ecuaciones ∂F ∂λj = 0, para todo j= 1, . . . , n −1, es lineal en λ1, . . . , λn−1. Vamos a calcular la aproximaci´on por curvas de B´ezier de un arco de circunferencia. Ejemplo 2.3.1 M´etodo de la aproximaci´on normal. Sea α: [0,1] −→ R2el arco de circunferencia dado por α(t) = cos π 2(t−1),1 + sen π 2(t−1). Como hemos visto en el apartado anterior, el primer paso para aproximar αes dividir el intervalo. En este caso lo dividiremos en dos trozos y, por tanto, tomaremos n= 2 y t0= 0, t1= 1/2, t2= 1. Pasamos a imponer las condiciones P0=α(0) = (0,0) y P2=α(1) = (1,1). Construimos el punto intermedio en funci´on del par´ametro λ: P1(λ) = α(1/2)+λn(1/2) = 1 2√2−λcos(−1 4π),1−1 2√2−λsen(−1 4π)). Por tanto, la curva de B´ezier dependiente del parametro λes: B(λ, t) = B2 0(t)P0+B2 1(t)P1(λ) + B2 2(t)P2 =2(1 −t)t(1 2√2−λcos(−1 4π)) + t2,2(1 −t)t(1 −1 2√2−λsen(−1 4π)) + t2. 56 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA GLOBAL DE CURVAS DE B ´ EZIER El siguiente paso es el c´alculo de F: F(λ) = Z1 0|α(t)−B(λ, t)|2dt Por el Paso 4 sabemos que para minimizar Fdebemos imponer la siguiente ecuaci´on: ∂F ∂λ = 0. Obtenemos la ecuaci´on lineal −1 15 −960√2 + 240sqrt2π+ 4π3−4λπ3+ 3√2π3 π3= 0, cuya soluci´on es λ0=1 4 240√2π−960√2+4π3+ 3√2π3 π3. Entonces, el punto de control es P1(λ0) y el error producido por este m´etodo es F(λ0) = 0,0004608086983. En la Figura 2.8 se pueden apreciar la curva original α(t) (en azul) y su aproximaci´on B(λ0 1, t) (en rojo). Representamos en verde los puntos de control P0, P1(λ0 1), P2. Figura 2.8: Arco de circunferencia y su aproximaci´on. Todos los c´alculos, tanto de este ejemplo como de los posteriores, se encuentran detallados en el correspondiente fichero del Ap´endice Digital. 2.3. APROXIMACI ´ ON DE ARCOS CIRCULARES 57 Se puede mejorar el m´etodo normal si tenemos en cuenta la tangencia al pol´ıgono de control en los extremos, expresada por (2.1.1). En nuestro caso: B0(λ1, . . . , λn−1,0) = n(α(t1) + λ1n(t1)−α(0)), B0(λ1, . . . , λn−1,1) = n(α(1) −α(tn−1)−λn−1n(tn−1)). Si imponemos que la direcci´on de la tangente de la curva de B´ezier B(λ1, . . . , λn−1, t) en los puntos P0yPnsea igual a la de la curva α(t), i.e., B0(λ1, . . . , λn−1,0) ·n(0) = 0, B0(λ1, . . . , λn−1,1) ·n(1) = 0,(2.3.4) entonces obtenemos dos ecuaciones lineales cuyas soluciones son muy f´aciles de obtener. Supongamos que dichas soluciones son λ0 1, λ0 n−1. Para obtener el resto de par´ametros λ0 2, . . . , λ0 n−2, aplicamos el m´etodo anterior. Se dice que la curva de B´ezier B(λ0 1, . . . , λ0 n−1, t) est´a clavada en los puntos P0, Pn. Vamos a aplicar el procedimiento que acabamos de describir a un arco de circunferencia. Ejemplo 2.3.2 M´etodo de la aproximaci´on normal clavada. Para este ejemplo vamos a tomar 5 puntos de control es decir, tomamos n= 4. El motivo es que necesitaremos dos puntos que estar´an en los extremos y ser´an identificados con el valor de αen 0 y 1, otros dos que ser´an clavados, y un quinto punto intermedio al resto que ser´a al que le apliquemos el m´etodo de aproximaci´on usado en el Ejemplo 2.3.1. Sea α: [0,1] −→ R2el arco de circunferencia dado por α(t) = cos(1 2πt),sen(1 2πt). Imponemos que P10 =α(0) = (1,0) y P14 =α(1) = (0,1). Lo siguiente es calcular el punto P11, que definimos como: P11(λ11) = α(1/4) + λ11n(1/4). Si imponemos que B0(0) = 4(P11(λ11)−P10) 64 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA GLOBAL DE CURVAS DE B ´ EZIER Un hecho curioso que se va repitiendo a lo largo de todo el desarrollo del Ejemplo 2.3.2 es la repetici´on de datos. Como ejemplo de lo anterior podr´ıamos dar el error, que en todos los arcos es exactamente el mismo: 0,000026. Otra muestra de esto es que λ0 11 es igual a λ0 12,λ0 13 y a λ0 14. Para comprobar el caso de esta ´ultima v´ease el Ap´endice Digital dado que hemos prescindido de ella como se ha explicado anteriormente. La respuesta a este hecho est´a en la simetr´ıa de la circunferencia. Esto quiere decir que podemos aplicar un movimiento r´ıgido al primer arco de circunferencia, correspondiente al primer cuadrante, y llevar un punto de dicho arco a otro punto de cualquiera de los otros arcos. Podemos entonces aplicar la propiedad de invarianza af´ın de las curvas de B´ezier. Esto se traduce en que basta calcular la aproximaci´on de uno de los arcos; el resto es determinado gracias a esta propiedad. Ve´amoslo en el ejemplo anterior. Ejemplo 2.3.3 M´etodo de la Invarianza Af´ın. Supongamos que partimos del primer arco, es decir, el arco que est´a en el primer cuadrante. Ya hemos calculado la aproximaci´on y, por tanto, poseemos todos los puntos de control de la curva de B´ezier. En concreto: {P10 = (1,0), P11 = (0,99,0,41),P12 = (0,77,0,77), P13 = (0,41,0,99), P14 = (0,1)}. Lo que nos dice el principio de invarianza af´ın en este caso es lo siguiente: sea A la matriz del movimiento r´ıgido, en este caso un giro de π/2 centrado en el origen, que lleva puntos del primer arco en el segundo (seguimos el mismo orden que en el ejemplo anterior). Al aplicarle el movimiento a los puntos de control se obtienen los puntos de control que determinan la aproximaci´on del segundo arco. Para este caso la matriz del movimiento r´ıgido es: M=  1 0 0 0 0 1 0−1 0.  Como la circunferencia est´a centrada en el origen la primera columno y la primera fila no influyen en nada. Por tanto, podemos prescindir de dicha fila y dicha columna. Entonces, tenemos como matriz del movimiento r´ıgido a: 2.3. APROXIMACI ´ ON DE ARCOS CIRCULARES 65 M1=0 1 −1 0 . A continuaci´on calculamos lo que llamaremos puntos de control proyectados por M1, es decir:            P20 =P10M1= (0,1), P21 =P11M1= (−0,41,0,99), P22 =P12M1= (−0,77,0,77), P23 =P13M1= (−0,99,0,41), P24 =P14M1= (−1,0). Se puede comprobar f´acilmente con el Ejemplo 2.3.2 que efectivamente son los puntos de control correspondientes. Hag´amoslo para el resto de arcos. Para el tercer arco, es decir, el que est´a en el tercer cuadrante. Podemos aplicar el mismo argumento que en el caso anterior. Por tanto, la matriz del movimiento r´ıgido es: M2=−1 0 0−1. Entonces los puntos de control del tercer arco son:            P30 =P10M2= (−1,0), P31 =P11M2= (−0,99,−0,41), P32 =P12M2= (−0,77,−0,77), P33 =P13M2= (−0,41,−0,99), P34 =P14M2= (0,−1). Pasamos a calcular el ´ultimo trozo. Para este caso, la matriz del movimiento es M3=0−1 1 0 , y por tanto:            P40 =P10M3= (0,−1), P41 =P11M3= (0,41,−0,99), P42 =P12M3= (0,77,−0,77), P43 =P13M3= (0,99,−0,41), P44 =P14M3= (1,0). 66 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA GLOBAL DE CURVAS DE B ´ EZIER Finalmente, tenemos todos los puntos de control necesarios para aproximar la circunferencia mediante curvas de B´ezier. Este m´etodo es mucho m´as r´apido que el anterior y simplifica enormemente los c´alculos. Pero, s´olo es aplicable a curvas para las que, divididas a trozos, existan afinidades entre diferentes trozos y, obviamente, esto no se cumple siempre. Lo siguiente que haremos ser´a dar otro m´etodo de aproximaci´on de la circunferencia bas´andonos en el resultado dado en el Teorema 1.2.5, es decir, la Desigualdad Isoperim´etrica. Lo denominaremos M´etodo de la Longitud. Para comenzar, recordemos la desigualdad en cuesti´on: l2≥4πA. Por el mismo teorema sabemos que s´olo se da la igualdad si la curva con la que estamos trabajando es una circunferencia. Ahora vayamos al ejemplo en concreto de una circunferencia centrada en el origen, de radio 1 y dividida en cuatro trozos iguales. En dicho caso, A= 4A0donde A0es el ´area que encierran los arcos que en todos los casos es la misma: A0=π/4. El mismo razonamiento podemos aplicar a la longitud, l= 4l0, siendo l0=π/2, y por tanto: l2 0=π2 4.(2.3.5) Obviamente l2 0=πA0.(2.3.6) Ahora, dejando lo anterior de lado durante un momento, pensemos que hemos aproximado uno de los arcos de circunferencia por una curva de B´ezier dependiendo de un par´ametro λ. Denotemos a dicha curva de B´ezier por B(λ, t).Podemos sin problema calcular la longitud de la curva, la cual quedar´a en funci´on del par´ametro λ. Denot´emosla por l(λ). Podemos aplicar la desigualdad isoperim´etrica a B(λ, t),obteniendo: l(λ)2≥4πA(λ), donde A(λ) es el ´area que encierra B(λ, t). Aplicando (2.3.6), si encontramos un λ0tal que l(λ0)2= 4πA(λ0),habremos encontrado la mejor aproximaci´on posible para un arco de circunferencia. 2.3. APROXIMACI ´ ON DE ARCOS CIRCULARES 67 Esto es equivalente, usando (2.3.5), a resolver la ecuaci´on: l(λ)2=π2 4, o lo que es lo mismo: l(λ) = π 2. Dado que la longitud y el ´area es igual para todos los arcos, el λobtenido se puede usar para el resto de trozos. Vamos entonces a aplicar esto procedimiento al ejemplo anterior. Ejemplo 2.3.4 M´etodo de la Longitud. Vamos a volver a usar el caso del arco de circunferencia ya calculado en el Ejemplo 2.3.2. En concreto el arco dado por la aplicaci´on α1(t) = cos(1 2πt),sen(1 2πt). Supongamos que ya hemos calculado los dos primeros puntos por el m´etodo de la aproximaci´on normal clavada, es decir, poseemos cuatro puntos de control: P10 = (1,0), P11 = (0,99,0,41), P13 = (0,41,0,99) y P14 = (0,1). Construimos el ´ultimo punto en funci´on del par´ametro λ12 y, posteriormente, la curva de B´ezier dependiente del mismo par´ametro. Expl´ıcitamente: B(λ12, t) = ((1 −t)4+ 3,99(1 −t)3t+ 6(1 −t)2t2(0,7−0,7λ12)+1,65(1 −t)t3, 1,65(1 −t)3t+ 6(1 −t)2t2(0,7−0,7λ12)+3,99(1 −t)t3+t4). El siguiente paso es calcular la longitud de B(λ12, t).Recordemos que la longitud de la curva est´a definida por: l(λ12) = Z1 0 ∂B(λ12, t) ∂t  dt. Vamos a prescindir de dar la forma expl´ıcita de l(λ12), que puede consultarse en el Ap´endice Digital. El siguiente paso es resolver la ecuaci´on l(λ12) = π/2.Usando el programa Maple VI obtenemos el siguiente resultado: l(λ0 12) = −0,0969. 68 CAP´ ITULO 2. GEOMETR´ IA GLOBAL DE CURVAS DE B ´ EZIER Y por tanto: P12(λ0 12) = (0,77,0,77). El resultado es igual al obtenido en el Ejemplo 2.3.2; tenemos que tomar m´as decimales para poder ver ciertas diferencias. Tendr´ıamos 0,7756167729 de este m´etodo en comparaci´on con 0,7725020048 del m´etodo normal. Recordemos que todos estos c´alculos est´an expl´ıcitos en el Ap´endice Digital. Vamos a calcular el error de este caso y compararlo con el del otro m´etodo. El error que se tiene para este m´etodo es de 0,0000271767798. Si lo comparamos con el error del m´etodo de la aproximaci´on normal clavada, vemos que el nuevo m´etodo es algo menos efectivo. En concreto, el error del Ejemplo 2.3.2 era 0,0000260680049. Esto tiene sentido dado que el proceso en ambos m´etodos es id´entico excepto en el punto final, donde en el Ejemplo 2.3.2 se minimiza el error. Por tanto, es l´ogico que ´ese sea el m´etodo que obtenga el menor error. De todas formas, observamos en la Figura 2.13 c´omo la curva original, la aproximaci´on por el m´etodo de la aproximaci´on normal clavada y la aproximaci´on por el m´etodo de la longitud son pr´acticamente indistinguibles, dado lo peque˜no de los errores. Figura 2.13: El arco original (en azul), la aproximaci´on normal clavada (en rojo) y la aproximaci´on por longitud (en verde). Podemos seguir aplicando este M´etodo de la Longitud para aproximar los restantes arcos de la circunferencia, obteniendo resultados muy similares a los anteriores. Ap´endice Digital Esta memoria se acompa˜na de un CD, que incluye los siguientes archivos, a modo de Ap´endice Digital: curvas bezier cerradas.mws En este archivo de Maple VI se encuentran todos los c´alculos, im´agenes y animaciones correspondientes a los Ejemplos 2.2.5 y 2.2.6. aproximacion arcos circulares.mws En este archivo de Maple VI se encuentran todos los c´alculos, im´agenes y animaciones correspondientes a la Secci´on 2.3. 69 70 AP ´ ENDICE DIGITAL Bibliograf´ıa [1] Young Joon Ahn, Yeon Soo Kim, Youngsuk Shin. Approximation of circular arcs and offset curves by B´ezier curves of high degree. Journal of Computational and Applied Mathematics 167 (2004), 405-416. [2] Manfredo P. do Carmo. 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