Algunos aspectos matemáticos de la Teoría Cuántica de Campos
Abstract
El objetivo de este trabajo es dar rigor matemático a algunos de los conceptos y técnicas usadas en la Teoría Cuántica de Campos. En particular se discutirá como construir una teoría cuántica que sea compatible con la teoría de la relatividad, algo que no ocurre con la Mecánica Cuántica “clásica” basada en la ecuación de Schrödinger. También se discutirán varios aspectos relevantes relacionados con la ecuación de Klein-Gordon y con la ecuación de Dirac en el marco de la Mecánica Cuántica Relativista, así como en la Teoría Cuántica de Campos. Entre las técnicas usadas están la teoría de representación de grupos, la teoría de distribuciones, el análisis funcional y el análisis de Fourier.
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Facultad de Matem´aticas Universidad de Sevilla Trabajo Fin de Grado Doble grado en F´ısica y Matem´aticas Algunos aspectos matem´aticos de la Teor´ıa Cu´antica de Campos Presentado por Luis Miguel Motilla Mart´ınez Dirigido por el Dr. Renato ´ Alvarez Nodarse. Sevilla, junio de 2021
´ Indice general 1. Introducci´on 1 1.1. Motivaci´on .................................... 1 1.2. Introducci´on Hist´orica ............................. 2 2. F´ısica Cl´asica Relativista 7 2.1. Relatividad Especial .............................. 7 2.1.1. Notaci´on covariante-contravariante .................. 9 2.1.2. Grupo de Lorentz ............................ 11 2.1.3. Grupos de Lie de Matrices y ´algebras de Lie ............. 15 2.1.4. Representaci´on del grupo de Lorentz so(1,3) ............. 18 2.2. Campos cl´asicos. El campo electromagn´etico ................. 23 3. Teor´ıa Cu´antica de Campos 28 3.1. Mec´anica Cu´antica Relativista ......................... 28 3.1.1. Ecuaci´on de Klein-Gordon y sus problemas .............. 28 3.1.2. Ecuaci´on de Dirac ........................... 31 3.1.3. Invarianza de las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac ........ 34 3.1.4. Resoluci´on de la ecuaci´on de K-G ................... 36 3.1.5. Resoluci´on de la ecuaci´on de Dirac .................. 39 3.1.6. L´ımite no relativista .......................... 42 3.2. Campos cu´anticos ................................ 45 3.2.1. Sistemas de varias part´ıculas ...................... 46 3.2.2. El oscilador cu´antico .......................... 48 3.2.3. Campo escalar, soluci´on de la ecuaci´on libre de Klein-Gordon . . . 50 3.2.4. Soluci´on de la ecuaci´on de Dirac. Campo espinorial ......... 59 Conclusiones 61 Bibliograf´ıa 66
Agradecimientos Gracias a mis padres y amigos por estar ah´ı cuando lo necesitaba, gracias a Renato por ayudarme en la tarea de hacer este trabajo, y gracias a todos los profesores que me han hecho descubrir y entender la belleza de la ciencia.
Resumen El objetivo de este trabajo es dar rigor matem´atico a algunos de los conceptos y t´ecnicas usadas en la Teor´ıa Cu´antica de Campos. En particular se discutir´a como construir una teor´ıa cu´antica que sea compatible con la teor´ıa de la relatividad, algo que no ocurre con la Mec´anica Cu´antica “cl´asica” basada en la ecuaci´on de Schr¨odinger. Tambi´en se discutir´an varios aspectos relevantes relacionados con la ecuaci´on de Klein-Gordon y con la ecuaci´on de Dirac en el marco de la Mec´anica Cu´antica Relativista, as´ı como en la Teor´ıa Cu´antica de Campos. Entre las t´ecnicas usadas est´an la teor´ıa de representaci´on de grupos, la teor´ıa de distribuciones, el an´alisis funcional y el an´alisis de Fourier. Abstract The objective of this work is to provide mathematical rigor to some of the concepts and techniques used in Quantum Field Theory. In particular, it will be discussed how to build a quantum theory which is compatible with the theory of relativity, something that does not happen with the “classical” Quantum Mechanics based on the Schr¨odinger equation. Some relevant aspects related to the Klein-Gordon equation and the Dirac equation will also be discussed within the framework of Relativistic Quantum Mechanics, as well as Quantum Field Theory. Among the techniques used are group representation theory, distribution theory, functional analysis, and Fourier analysis.
Cap´ıtulo 1 Introducci´on 1.1. Motivaci´on A physical law must possess mathematical beauty Paul Dirac Figura 1.1: Paul Dirac. La f´ısica es una ciencia experimental que, partiendo de observaciones de diversos fen´omenos, construye un modelo matem´atico capaz de explicar dichos fen´omenos, as´ı como predecir nuevos fen´omenos. En el camino de formalizar un nuevo modelo se pueden crear concepciones nuevas del universo, como sucedi´o con la relatividad general y especial de Einstein o con la mec´anica cu´antica en tiempos de Planck. En numerosas ocasiones, este nuevo modelo requiere de nuevas t´ecnicas matem´aticas para poder trabajar con ´el. La f´ısica Newtoniana necesit´o del concep- to de derivada, junto a la relatividad se desarroll´o la geometr´ıa no euclidiana y con la mec´anica cu´antica se us´o (entre otras cosas) el an´alisis funcional, y propici´o el desarrollo de diversas teor´ıas matem´aticas. A´un as´ı, en primera instancia, el f´ısico no se suele preocupar por su rigor matem´atico: si el modelo explica y predice fen´omenos entonces el modelo es correcto, y los procedimientos hechos lo son. Citando a Max Born (una de las mayores eminencias durante el nacimiento de la mec´anica cu´antica) sobre la teor´ıa matem´atica para matrices de dimensi´on infinita (o como ´el dice, formas de infinitas variables): Hasta ahora, la teor´ıa de formas cuadr´aticas (o herm´ıticas) de infinitas variables ha sido desarrollada principalmente en el caso especial de “formas acotadas” [...], pero nuestro inter´es se centra en formas no acotadas. Sin embargo, podemos asumir que las reglas principales funcionan de la misma manera. 1
Gracias a los trabajos de von Neumann (Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, 1932), se consigui´o construir un an´alisis funcional para aquellas matrices (que pasar´ıan a llamarse operadores) y as´ı formalizar algunos de los aspectos matem´aticos de la mec´anica cu´antica. Otro ejemplo conocido es el de la delta de Dirac. En f´ısica se utiliza como una “funci´on” generalizada δ(x), la cual vale 0 en cualquier punto menos cuando x= 0, donde (supuestamente) “vale” infinito. La definici´on que se le suele dar es que su integral en todo el espacio vale 1, RRδ(x)dx = 1, aun siendo nula en casi todo1. La delta de Dirac nace de la necesidad en la f´ısica de trabajar con abstracciones, como puede ser una carga o una masa puntual. De esta manera queremos que una carga qno tenga dimensiones, por lo que si trat´asemos de calcular una densidad de carga ρ(como se puede hacer con un objeto real) nos encontrar´ıamos con un problema grave. Por ello, se busc´o una “funci´on” ρ(x) = qδ(x) de tal manera que al integrarla en todo el espacio obtuvi´eramos nuestra carga q. Con esto naci´o la delta de Dirac, que al hacer la integral ZR3 ρ(x)dx =ZR3 qδ(x)dx =qZR3 δ(x)dx =q, obtuvi´esemos la carga q, pero que δ(x) fuese nula en casi todo. Una manera en la que podemos entender la delta de Dirac en una primera aproximaci´on es definiendo una funci´on de la forma h∆(x) = ∆ 2,|x| ≤ 1 ∆, 0,|x|>1 ∆. donde mantenemos un ´area constante a 1 (es decir su integral en todo el espacio vale 1) pero cada vez concentra m´as su peso alrededor de x= 0 al hacer tender ∆ a 0, es decir, l´ım ∆→0h∆(x) = δ(x), por lo que l´ım ∆→0ZR f(x)h∆(x)dx =f(0),∀fcontinua en R. La teor´ıa de distribuciones de Schwartz permiti´o formalizar la delta de Dirac como una distribuci´on, con la que tendr´ıa pleno sentido matem´atico. El objetivo del trabajo ser´a pues dar un soporte matem´atico riguroso a algunos aspectos de la TCC. 1.2. Introducci´on Hist´orica La mec´anica cu´antica naci´o a principios del siglo XX, en un intento de explicar fen´omenos como el efecto fotoel´ectrico o la radiaci´on del cuerpo negro. Explicaremos brevemente el primero de ellos. 1Sabemos que la integral de Lebesgue (o de Riemann) de una funci´on nula en casi todo es nula siempre, por lo que es imposible que exista una funci´on que cumpla con esas condiciones. 2
Figura 1.2: Visualizaci´on del efecto fotoel´ectrico. El efecto fotoel´ectrico ocurre cuando iluminamos un metal (las l´ıneas rojas de la figura 1.2 simbolizan la luz incidente), el cual puede llegar a emitir electrones, dependiendo de que tipo de luz le apliquemos. La particularidad de esto y su mayor dificultad para explicarlo era que no depend´ıa de la intensidad de la luz, sino de su frecuencia (o longitud de onda). Es m´as, hab´ıa una barrera de longitud de onda que hab´ıa que sobrepasar para poder comenzar a “arrancar” electrones, y conforme menor longitud de onda pose´ıa la luz, mayor energ´ıa cin´etica pose´ıan los electrones, y conforme m´as intensidad, m´as cantidad eran emitidos. En 1905 Einstein propuso una soluci´on al problema, similar a la soluci´on que propuso Planck en 1900 para el problema de la radiaci´on del cuerpo negro: que la luz estaba formada por peque˜nos corp´usculos de energ´ıa llamados fotones. Los fotones llevar´ıan una energ´ıa directamente proporcional a su frecuencia, y con la experimentaci´on se comprob´o que dicha constante de proporcionalidad era justamente la misma constante que Planck introdujo en sus trabajos sobre la radiaci´on del cuerpo negro h. Con esto y mediante la experimentaci´on, Einstein propuso la siguiente ley, donde la energ´ıa cin´etica (m´axima) de los electrones ser´ıa K=hν −W0donde W0es una constante que depender´ıa del material yνla frecuencia de la luz. Adem´as, el hecho de que la intensidad conlleva un mayor n´umero de fotones incidentes es consecuente con el hecho de que a mayor intensidad sean desprendidos m´as electrones. Este hecho y muchos otros (el cuerpo negro, la dualidad onda-corp´usculo, la cuantizaci´on de la energ´ıa, la estructura at´omica...) llevaron finalmente al nacimiento de la mec´anica cu´antica, pero para ello se necesitaba una ecuaci´on de evoluci´on, como la que tenemos en la mec´anica cl´asica (Ley de Newton). Schr¨odinger propuso una ecuaci´on de este tipo. No fue la primera de ellas pues Heinsenberg introdujo tambi´en ecuaciones de evoluci´on mediante un formalismo matricial, pero la que se suele usar en mec´anica cu´antica no relativista (debido a su sencillez) es la ecuaci´on de Schr¨odinger. La ecuaci´on de Schr¨odinger se postul´o en 1925, siendo de la forma ˆ Hψ =i~∂ψ ∂t ,(1.2.1) 3
donde ˆ H=−~2∆ + Ves el operador asociado al Hamiltoniano del sistema, donde ∆ denota el laplaciano y Ves un potencial que puede depender de la posici´on y del tiempo. Gracias a esta ecuaci´on se pudieron explicar una gran cantidad de fen´omenos, como por ejemplo el efecto t´unel, el ´atomo de hidr´ogeno, los orbitales at´omicos o las bandas de energ´ıa entre otras cosas. La ecuaci´on y sus soluciones dieron pie a la creaci´on de unos postulados2. Los postulados fueron introducidos por Paul Dirac entre 1925 y 1927 y m´as tarde entre 1927 y 1931 fueron tratados con un mayor rigor matem´atico por John von Neumann3. Ambos se basaron en los trabajos de Schr¨odinger y Heinsenberg, as´ı como en los fen´omenos observados en los laboratorios para construirlos. Haremos una breve introducci´on y discusi´on de ellos: 1. A un sistema f´ısico se le puede asociar un espacio de Hilbert4adecuado, donde cada estado5queda totalmente determinado por un vector del espacio (funci´on de onda) ψnormalizada, que puede ser funci´on de ~r o~p yt, que son respectivamente la posici´on, el momento lineal y el tiempo. En el marco de esta discusi´on, cuando hablemos de una funci´on de onda, supondremos que nuestro espacio de Hilbert es L2(V) con Vuna regi´on arbitraria, a menos que se especifique lo contrario. 2. Cualquier magnitud f´ısica Alleva asociada un operador herm´ıtico del espacio de Hilbert anteriormente descrito, ˆ A. Este operador se llama observable. Al aplicar el operador sobre un estado ψarbitrario, siempre obtenemos como resultado uno de los autovalores αdel observable. Para construir el observable, las variables ~r y~p pasan a ser operadores ~ Ry~ P, los cuales discutiremos m´as tarde c´omo act´uan sobre una funci´on. Esto conlleva a que cualquier magnitud A(~r, ~p, t) cl´asica pase a ser un operador ˆ A(~ R, ~ P, t) (regla de cuantizaci´on). Los observables deber´an ser operadores herm´ıticos, y si al usar la regla de cuantizaci´on no lo son, habr´a que modificarlos para que lo sean. 3. El sistema obedece una ley de evoluci´on, dada por la ecuaci´on de Schr¨odinger: ˆ Hψ =i~∂ψ ∂t . Donde el operador Hamiltoniano sigue la ley de cuantizaci´on dada en el postulado 2, H=T(~r, ~p, t) + U(~r, ~p, t)→ˆ H=ˆ T(~ R, ~ P, t) + ˆ U(~ R, ~ P, t). 2Los postulados son, al fin y al cabo, hip´otesis que tomamos como ciertas a partir de la observaci´on experimental de los sucesos, tomados de la misma manera que por ejemplo los axiomas de los n´umeros reales. Si bien hay un sinf´ın de cosas que se pueden formalizar matem´aticamente, los postulados nacen de la experiencia. Estos tienen validez hasta que se observe lo contrario, pero al igual que con el resto de fen´omenos, las inconsistencias f´ısicas a˜naden conocimiento pero no lo quitan, tal y como la Relatividad General no invalida por completo los resultados de la Ley de Gravitaci´on Universal de Newton. 3Para m´as informaci´on sobre los postulados y su nacimiento, ver The Principles of Quantum Mechanichs, P. Dirac 1930 y Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, von Neumann 1932 y las referencias citadas all´ı. 4Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial Vdotado de un producto escalar (·,·) el cual es completo con la norma inducida por el producto escalar. Para profundizar en los espacios de Hilbert y sus propiedades, ver [4]. 5En f´ısica entendemos estado como un conjunto de magnitudes medibles (en mec´anica cl´asica es la posici´on y la velocidad en un instante) que nos permite obtener toda la informaci´on sobre el sistema (e.g. una part´ıcula) en cualquier instante de tiempo. 4
El primero de los postulados implica que el sistema viene totalmente determinado por un vector de un espacio de Hilbert. Es com´un referirse a este, en vez de como funci´on de onda, como un “ket”. Un “ket” viene escrito como |ψi. Tambi´en podemos definir el “bra” hψ|, el cual es un covector del espacio dual del espacio de Hilbert que al actuar sobre |φile asocia el producto escalar6(ψ, φ). De esta manera podemos reescribir el producto escalar (φ, ψ) como hφ|ψi. Bajo esta notaci´on, el adjunto de un ket |ψies el bra correspondiente |ψi†=hψ|. El tercer postulado junto al primero implica que, al ser la derivada un operador lineal, si dos funciones de onda son soluci´on de la ec. de Schr¨odinger, su suma tambi´en lo ser´a, y que la combinaci´on de dos funciones de onda (debidamente normalizada) forma parte del espacio de Hilbert. A esto se le llama principio de superposici´on. Por otra parte, el segundo postulado implica que, si un operador ˆ Atiene un conjunto completo de autofuciones |φαicon autovalores α, tenemos que cualquier elemento del espacio de Hilbert se puede escribir como |ψi=Pαcα|φαi. La discusi´on de los postulados y sus consecuencias son un tema de gran inter´es, pero no son el objetivo de este trabajo. Para profundizar ver [3,§5]. Una ecuaci´on con la que trabajaremos bastante es la de continuidad. Para obtenerla partiremos de nuestra ecuaci´on de evoluci´on (en este caso la ec. de Schr¨odinger (1.2.1)) y la multiplicaremos por el bra hψ|por la izquierda hψ|i~ˆ H|ψi=hψ|∂|ψi ∂t ,(1.2.2) luego, conjugaremos la ecuaci´on (1.2.1) (recordemos que Hes autoadjunto) −hψ|i~ˆ H=∂hψ| ∂t (1.2.3) y multiplicaremos a la derecha por el ket |ψi −hψ|i~ˆ H|ψi=∂hψ| ∂t |ψi.(1.2.4) Si sumamos ambas ecuaciones llegamos a hψ|∂|ψi ∂t +∂hψ| ∂t |ψi=∂ ∂t hψ|ψi= 0 = ∂ ∂t Zd3x|ψ|2=∂ ∂t Zd3xρ. (1.2.5) La ecuaci´on (1.2.5) implica que la norma de la funci´on de onda ψse conserva a lo largo del tiempo. Definiendo ρ:= |ψ|2, le podemos dar la interpretaci´on f´ısica de la densidad de probabilidad de que la part´ıcula est´e en una posici´on ~r en un instante t, para lo cual se impone la normalizaci´on del estado. 6El teorema de Riesz ([14, Teorema 3.8.1]) da una correspondencia entre las funciones del espacio de Hilbert (es decir, su dual) y el producto escalar por alg´un elemento del espacio de Hilbert. 5
invierten (como una reflexi´on). Adem´as se le llama transformaci´on ort´ocrona a aquellas que tienen el elemento (1,1) no positivo, y no ort´ocrona a los que lo tienen negativo, pues las ort´ocronas mantienen el sentido del tiempo, mientras que las no ort´ocronas lo invierten. Hemos de recordar que en f´ısica, bajo ciertas condiciones, ver a un objeto moverse en sentido positivo del tiempo es indistinguible de verlo en sentido opuesto Se puede demostrar, con las propiedades de los determinantes usadas antes, que las transformaciones propias y ort´ocronas forman un subgrupo. A este grupo se le suele denotar SO+(1,3), aunque por abuso de notaci´on tambi´en se denota SO(1,3). Este grupo se conoce como el grupo propio de Lorentz. Antes de continuar haremos un breve comentario sobre el desarrollo en potencias de una funci´on. Una funci´on f:C→Cse dice anal´ıtica si se puede desarrollar en serie de potencias en torno a cualquier punto x0, es decir: f(x) = ∞ X k=0 ak(x−x0)k,∀x∈C. Entonces definiremos una funci´on de matrices5f: GL(n;C)→Ccomo: f(A) = ∞ X k=0 akAk,(2.1.9) donde se puede demostrar que la serie converge en la norma6k(aij)kM:= m´axi,j |aij|si la funci´on fes anal´ıtica. Estudiemos los generadores del grupo SO(1,3). Comencemos con el caso de un giro tridimensional R(ϕ) respecto a un eje arbitrario que denotaremos por z. Sea R(ϕ): R(ϕ) = cos(ϕ)−sin(ϕ) 0 sin(ϕ) cos(ϕ) 0 0 0 1 , si ϕ1podemos tomar un desarrollo en serie de potencias de R(ϕ): R(ϕ) = I−iX3ϕ+o(ϕ2),−iX3=dR(ϕ) dϕ ϕ=0 ,(2.1.10) donde dR(ϕ) dϕ =dRij(ϕ) dϕ ij. Haciendo un c´alculo directo, vemos que −iX3= 0−1 0 100 000 →X3= 0−i0 i0 0 0 0 0 5Recordemos que GL(n;C) es el grupo de matrices invertibles n×ncon entradas complejas. 6Hay muchas normas matriciales distintas, pero las m´as usadas suelen ser equivalentes entre ellas. 12
De la expresi´on es directo deducir que la matriz X3es herm´ıtica y de traza7nula. Definimos la exponencial mediante la serie de potencias (2.1.9): exp (−iϕX3) = ∞ X n=0 (−iϕX3)n n!=∞ X n=0 (−iϕ)nXn 3 n!.(2.1.11) Por otra parte, usando que X2 3=I, podemos ver como la serie (2.1.11) se divide en dos series convergentes conocidas, la del coseno y la del seno: ∞ X n=0 (−iϕ)2n 2n!I+∞ X n=0 (−iϕ)2n+1 (2n+ 1)! X3= cos(ϕ)I−iX3sin(ϕ) = R(ϕ).(2.1.12) Procediendo de manera an´aloga para los giros alrededor de los ejes xeyobtenemos: X1= 0 0 0 0 0 −i 0i0 X2= 0 0 i 0 0 0 −i0 0 X3= 0−i0 i0 0 0 0 0 .(2.1.13) Estas tres matrices forman los generadores de las rotaciones del espacio tridimensional, con las que podemos comenzar a construir los generadores de las transformaciones del espacio-tiempo dadas por las transformaciones de Lorentz. Primeramente construiremos las rotaciones (puras) del espacio. Por construcci´on, las rotaciones puras dejan invariante el tiempo, por lo que las construiremos a˜nadiendo una fila y columna de ceros en las matrices (2.1.13). Usaremos el mismo nombre para referirnos a estos X1= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 i0 X2= 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0−i0 0 X3= 0 0 0 0 0 0 −i0 0i0 0 0 0 0 0 .(2.1.14) A continuaci´on tendremos que construir el generador de las transformaciones de Lorentz. Para ello primero haremos un cambio de variable. Introduciremos una variable ξtal que8γ= cosh ξ, o equivalentemente, v c= tanh ξ. Con esto, la expresi´on (2.1.7) se puede reescribir como: Λ(ξ) = cosh ξ−sinh ξ0 0 −sinh ξcosh ξ0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 .(2.1.15) Procediendo como en el caso de los giros pero con la transformaci´on Λ(ξ), obtenemos: Λ(ξ) = I−iY1ξ+o(ξ2)→ −iY1=dΛ(ξ) dξ ξ=0 = 0−1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,(2.1.16) 7Recordemos que la traza de una matriz es la suma de los elementos en su diagonal. 8Recordemos que γes el factor de Lorentz introducido al inicio de §2.1 13
donde Y1es el generador buscado para la transformaci´on de Lorentz en el eje x. Repitiendo el proceso para el resto de las transformaciones en los ejes yyz, podemos obtener el resto de generadores: K1=Y1= 0−i0 0 −i0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , J1=X1= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 i0 , K2=Y2= 0 0 −i0 0 0 0 0 −i0 0 0 0 0 0 0 , J2=X2= 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0−i0 0 , K3=Y3= 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 −i0 0 0 , J3=X3= 0 0 0 0 0 0 −i0 0i0 0 0 0 0 0 . (2.1.17) Por tanto, cualquier cambio de coordenadas que sea un giro o una transformaci´on de Lorentz podremos escribirla como Λ = exp −i 3 X i=1 (ξiKi+ϕiJi)!.(2.1.18) El c´alculo de como una transformaci´on de Lorentz arbitraria se pueden escribir como una exponencial exp (−iξK) es an´alogo al caso del giro visto en (2.1.11). Un c´alculo directo muestra que se tienen las siguientes relaciones de conmutaci´on: [Xi, Xj] = iijkXk, [Xi, Yj] = iijkYk, [Yi, Yj] = −iijkXk, XiYi= 0, (2.1.19) donde el operador conmutador (o conmutador) [·,·] est´a definido como: [A, B] = AB −BA, (2.1.20) para dos matrices9A, B, y el t´ermino ijk se conoce como el s´ımbolo de Levi-Civita, el cual vale 1 para una permutaci´on par de los elementos i, j, k,−1 para una permutaci´on impar de estos, y 0 en el caso de que alg´un ´ındice se repita10. 9Nuestra definici´on de conmutador se ha hecho para matrices, pero la podemos extender a dos operadores A, B de una manera sencilla: [A, B] (x) = A(B(x)) −B(A(x)). 10Algunos ejemplos de esto son: 112 = 0, 123 = 1, 132 =−1. Este s´ımbolo es muy usado dentro de la f´ısica por su facilidad para escribir las relaciones de conmutaci´on, as´ı como su estrecho lazo con el producto vectorial. 14
2.1.3. Grupos de Lie de Matrices y ´algebras de Lie Un ´algebra de Lie es por definici´on un espacio vectorial gsobre un cuerpo Kcon una operaci´on [·,·] : g×g→g, la cual satisface la identidad de Jacobi: [X, [Y, Z]]+[Z, [X, Y ]]+ [Y, [Z, X]] = 0. El conmutador (2.1.20) la satisface: [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = = [X, Y Z]−[X, ZY ]+[Z, XY ]−[Z, Y X]+[Y, ZX]−[Y, XZ] = =XY Z −Y ZX −XZY +ZY X +AXY −XY Z −ZY X+ +Y XZ +Y ZX −ZXY −Y XZ +XZY =0. (2.1.21) Bajo esta definici´on, el conjunto de las matrices {Xi, Yi}definidas en (2.1.17) junto al conmutador forman un ´algebra de Lie. Por definici´on, el ´algebra de Lie gasociada a un grupo de Lie de matrices Ges el conjunto de elementos X∈Gtales que etX ∈G, ∀t∈R. Un grupo de Lie de matrices es un subgrupo Gde GL(n;C) tal que si existe una sucesi´on Amde matrices en GyAmconverge a cierto Aen el sentido de las matrices11, entonces o bien A∈Go bien Ano es invertible, o lo que es lo mismo, que Gsea un subgrupo cerrado de GL(n;C). A continuaci´on probaremos una serie de propiedades de las ´algebras de Lie. Los siguientes teoremas, proposiciones y lemas est´an tomados de [11]. Teorema 2.1.2. Sea Gun grupo de Lie de matrices y gsu ´algebra de Lie asociada. Si XeYpertenecen a gentonces: 1. AXA−1∈g∀A∈G. 2. sX ∈g∀s∈R. 3. X+Y∈g. 4. XY −Y X ∈g. Demostraci´on. La propiedad 1 es directa conociendo que dadas matrices A, C con Cinvertible, la exponencial eCAC−1=CeAC−1. Se puede demostrar esto usando series de potencias, pues (CAC−1)n=CAnC−1. Con esto y la definici´on (2.1.9), nos queda que etAXA−1=AetXA−1∈G. (Recordemos que Ges un grupo de Lie de matrices). La propiedad 2 es directa de la propia definici´on, pues el producto de dos n´umeros reales es real y por tanto etsX =erX ∈Gpues r=st ∈R. La propiedad 3 hace uso del siguiente teorema cuya demostraci´on se puede encontrar en [11, Teorema 2.11]: Teorema 2.1.3. Para cualquiera dos matrices XeY n ×nde entradas complejas, tenemos que eX+Y= l´ım m→∞eX meY mm.(2.1.22) 11Es decir, con la norma k·kM. 15
Con esto tenemos que et(X+Y)= l´ım m→∞(etX/metY/m)m. Por las propiedades de la matriz exponencial en un grupo de matrices de Lie, la matriz (etX/metY/m)mpertenece a Gpara cualquier m. Como etX/metY/m es invertible (producto de matrices invertibles), y el l´ımite tambi´en es invertible, pues exA es invertible para todo x∈Cy para toda matriz A∈GL(n;C), por definici´on de grupo de Lie tenemos que et(X+Y)∈G. Finalmente nos queda probar la propiedad 4. Esta hace uso del siguiente lema: Lema 2.1.4. Sea Xuna matriz n×ncompleja. Entonces etX es una curva suave en el espacio de matrices n×ncomplejas y: d dtetX =XetX =etX X, y adem´as d dtetX t=0 =X. Esquema de la prueba. Esta se basa en que una serie de potencias de n´umeros reales puede ser diferenciada en su intervalo de convergencia (teorema conocido del an´alisis real), por lo que teniendo en cuenta que elemento a elemento de la matriz tenemos una serie de potencias en t, (tXij), podemos diferenciar componente a componente, con lo que obtendr´ıamos el resultado. La escritura formal de la prueba es compleja y no aporta nada al desarrollo. Una demostraci´on se puede encontrar en [11, Proposici´on 2.4]. Con el lema en mente basta tomar: d dt(etX Y e−tX )t=0 = (XY )e0+ (e0Y)(−X) = XY −Y X, donde hemos hecho uso de la regla del producto de diferenciaci´on de matrices (AB)0= A0B+AB0. Finalmente queda remarcar que etXY e−tX ∈gpor el punto 1. Luego, teniendo en cuenta la definici´on de la derivada12: XY −Y X = l´ım h→0 ehXY e−hX −Y h, que, por las propiedades 2 y 3, tenemos que ges un subespacio real de las matrices n×n de entradas reales, y por ende cerrado, y por tanto XY −Y X pertenece a g. 12Al igual que en el an´alisis real, definimos la derivada de una funci´on matricial X(x) como X0(x) = l´ım h→0 X(x+h)−X(x) h. 16
De las relaciones de conmutaci´on (2.1.19) podemos sacar varias conclusiones. La primera es que la operaci´on de giros Xicon el conmutador es cerrada, por lo tanto, forman un sub´algebra de Lie. Una sub´algebra de Lie h∈gse define como un ´algebra de Lie tal que dados dos elementos A1, A2∈h,[A1, A2]∈h.Otra conclusi´on directa es que las transformaciones de Lorentz no forman una sub´algebra respecto a la conmutaci´on (como vemos en la pen´ultima ecuaci´on de las relaciones (2.1.19)). Finalmente, si definimos X±=1 2(X±iY ) obtenemos unas nuevas relaciones de conmutaci´on: X+ i, X+ j=iijkX+ k, X− i, X− j=iijkX− k, X+ i, X− j= 0, (2.1.23) que no son ni m´as ni menos que las relaciones de conmutaci´on que definen el ´algebra de Lie su(2) correspondiente al grupo SU(2), grupo de las matrices unitarias de dimensi´on 2×2 y con determinante 1. Los generadores de su(2) son E1=1 2i0 0−i, E2=1 20i i0, E3=1 20−1 1 0 , los cuales satisfacen las relaciones de conmutaci´on (2.1.23). Por tanto, podemos construir un homomorfismo entre el conjunto de las matrices X+ i(X− j) y los generadores de su(2). Como identificamos una base (generadores) con otra, tenemos un isomorfismo de ´algebras de Lie, y por tanto so(1,3) ∼ =su(2)C⊕su(2)C. Se puede demostrar que su(2)Ces isomorfo al ´algebra de Lie sl(2; C), que es el ´algebra de Lie de matrices 2×2 de entradas complejas con traza nula y el conmutador (2.1.20). Entonces, so(1,3) ∼ =sl(2; C)⊕sl(2; C). Por lo tanto, el ´algebra de Lie de las transformaciones de Lorentz y los giros del espacio es el ´algebra de Lie de SL(2; C)⊕SL(2; C), es decir, el de las matrices 2 ×2 con entrada compleja y determinante 1. Cabe destacar que su(2)Ces la complejificaci´on del ´algebra su(2), donde la complejificaci´on consiste en introducir combinaciones lineales de la forma X+iY con XeY elementos de su(2) y extender la operaci´on [ , ]. Una discusi´on en profundidad de la complejificaci´on y sus propiedades se puede encontrar en [11,§3.6]. Otro teorema interesante es el siguiente: Teorema 2.1.5. Sean GyHgrupos de Lie de matrices, cuyas ´algebras de Lie son respectivamente gyh. Sea Φ : G→Hun homomorfismo de grupos de Lie. Entonces, existe una ´unica aplicaci´on real y lineal φ:g→htal que: Φ(eX) = eφ(X),(2.1.24) para cualquier X∈g. La aplicaci´on φcumple con las siguientes propiedades: 1. φ(AXA−1) = Φ(A)φ(X)Φ(A−1)para X∈gyA∈G. 2. φ([X, Y ]) = [φ(X), φ(Y)],∀X, Y ∈g. 3. φ(X) = d dt Φ(etX)|t=0 ∀X∈g. 17
El rec´ıproco tambi´en es cierto, pero bastante m´as complejo de demostrar. La demostraci´on puede verse en [11,§5.7]. Para demostrar el teorema 2.1.5, deberemos de hacer uso del teorema siguiente, cuya demostraci´on se puede encontrar en [11, Teorema 2.14]: Teorema 2.1.6 (Subgrupos uniparam´etricos).Sea A(t) un subgrupo uniparam´etrico de par´ametro tde GL(n;C), entonces existe una ´unica matriz n×nde componentes complejas Xtal que A(t) = etX. Demostraci´on teorema 2.1.5.La prueba es muy similar a la realizada para el teorema 2.1.2. Para ello, debemos de tener en cuenta que, por definici´on, Φ es un homomorfismo continuo de grupos, y como por estar Xen g, tenemos que etX est´a en Gpara cualquier t real, entonces tX forma un subgrupo uniparam´etrico de H. Con esto y usando el teorema 2.1.6, tenemos que, para cada X∈Gexiste una ´unica Z∈Htal que Φ(etX) = etZ. Por lo tanto, basta definir φ(X) = Z. Tomando t= 1 vemos que recuperamos la ecuaci´on (2.1.24). Para demostrar que es lineal volvemos a hacer uso del teorema 2.1.22. Con esto, usando (2.1.24) y la continuidad del homomorfismo de grupos, tenemos que etφ(X+Y)=Φ( l´ım n→∞(etX/netY/n)n) = l´ım n→∞(Φ(etX/n)Φ(etX/n)n = l´ım n→∞(etφ(X)/netφ(Y)/n)n =et(φ(X)+φ(Y)), y, finalmente, haciendo uso del Lema 2.1.4 y diferenciando para t= 0, obtenemos la linealidad. La demostraci´on de la unicidad es directa haciendo uso del Lema 2.1.4. Demostrado esto, basta con usar el teorema 2.1.2 para las matrices φ(X) y φ(Y) para probar las propiedades 1 y 2, y para la tercera hacer uso de lema 2.1.4. 2.1.4. Representaci´on del grupo de Lorentz so(1,3) Para acabar, estudiaremos las representaciones de so(1,3), y para ello veremos las de sl(2; C), pues como ya comentamos, ambas ´algebras son isomorfas. Primero definamos qu´e es una representaci´on de ´algebras de Lie. Dados un grupo de Lie de matrices Gy un espacio vectorial Vcomplejo, definimos una representaci´on compleja finita al homomorfismo de grupos de Lie Π: Π : G→GL(V), 18
donde GL(V) es el grupo de las matrices n×nde entradas en V, siendo n= dim(V). De la misma manera, definimos la representaci´on de un ´algebra de Lie gcomo un homomorfismo πentre gy gl(V), siendo este ´ultimo el espacio de todos los endomorfismos de V, que con el operador conmutador forman un ´algebra de Lie. Una representaci´on de un grupo la podemos entender como una aplicaci´on que a cada g∈Gle asigna una aplicaci´on Π(g)∈GL(V). Por tanto la representaci´on act´ua sobre el espacio vectorial como Π(g)(v), v ∈V, aunque se suele escribir Π(g)v. Un ejemplo de representaci´on es asignarle a cada g∈Gel operador identidad definido en GL(V). Otro ejemplo de representaci´on menos trivial ser´ıa el siguiente: sea g∈GyX∈g, definimos la aplicaci´on Adg:g→gcomo Adg(X) = gXg−1(2.1.25) con la que definimos la representaci´on Π : G→GL(g) como g7→Adg. Una proposici´on importante es la siguiente. Proposici´on 2.1.7. Sea Gun grupo de Lie de matrices y su ´algebra de Lie gy sea Π una representaci´on de Gsobre V. Entonces existe una ´unica representaci´on πde gsobre Vdefinida como Π(eX) = eπ(X), para cualquier X∈g. Tambi´en se puede escribir como π(X) = d dtΠ(etX )t=0 , y cumple con que π(AXA−1) = Π(A)π(X)Π(A)−1. Demostraci´on. La demostraci´on de esta proposici´on es una consecuencia del teorema 2.1.5 y tambi´en se puede probar que πes una representaci´on a partir de la definici´on. Un subespacio Wse dice invariante para una representaci´on πsi la representaci´on act´ua sobre ´el como π(X)w∈w, ∀w∈W. Una representaci´on se dice irreducible si los ´unicos subespacios invariantes son los triviales {0}yV. Proposici´on 2.1.8. Sea gun ´algebra de Lie y gCsu complejifiaci´on. Entonces cualquier representaci´on compleja finito dimensional πde gtiene una ´unica extensi´on a gC, denotada del mismo modo. Adem´as, πser´a irreducible en gCs´ı y solo s´ı lo es para g. La extensi´on viene dada como π(X+iY ) = π(X) + iπ(Y)para XeYen g. Una demostraci´on de la proposici´on se puede encontrar en [11, Proposici´on 4.6]. Gracias la proposici´on 2.1.8, dada una representaci´on de su(2) podremos realizar una exten- si´on a sl(2; C), pues hemos discutido ya que sl(2; C)∼ =su(2)C. En el siguiente teorema veremos que todas las posibles representaciones de la misma dimensi´on de sl(2; C) son isomorfas entre ellas, y construiremos una representaci´on de su(2), con lo que habremos construido todas las representaciones de sl(2; C). 19
Teorema 2.1.9. Para cada entero m≥0, existe una representaci´on irreducible de sl(2; C) de dimensi´on m+1. Cualesquiera dos representaciones de sl(2; C)de la misma dimensi´on son isomorfas. Si πes una representaci´on irreducible de sl(2; C)de dimensi´on m+ 1, entonces es isomorfa a la representaci´on πm, donde πmest´a definida como (πm(X)f)(z) = d dtf(e−tX z)z=0 ,∀X∈su(2),(2.1.26) la cual es una posible representaci´on de su(2). En (2.1.26),fes un polinomio de grado mde dos componentes z= (z1, z2)∈C2. Este teorema adem´as demuestra que las representaciones de su(2) y sl(2; C) son isomorfas. Los generadores de sl(2; C) vienen dados por las matrices: X=0 1 0 0;Y=0 0 1 0;H=1 0 0−1,(2.1.27) que satisfacen las siguientes relaciones de conmutaci´on [H, X] =2X, [H, Y ] = −2Y, [X, Y ] =H. Proposici´on 2.1.10. Sea Vun espacio vectorial finito dimensional complejo, A, B, C tres operadores de V, los cuales satisfacen las relaciones de conmutaci´on [A, B]=2B, [A, C] = −2Cy[B, C] = A, entonces la aplicaci´on πdefinida como π(H) = A, π(X) = B, π(Y) = C, con X, Y, H definidos en (2.1.27)es una representaci´on de sl(2; C)sobre V. Para demostrar el teorema 2.1.9, haremos uso del siguiente lema. Lema 2.1.11. Sean H, X, Y definidos en (2.1.27)yuuna autofunci´on de π(H), con autovalor α∈C. Entonces π(H)π(X)u=(α+ 2)π(X)u, π(H)π(Y)u=(α−2)π(Y)u, y o bien π(X)u(π(Y)u) es 0, o bien π(X)u(π(Y)u) es un autovector de π(H)de autovalor α+ 2 (α−2). Demostraci´on. Sabemos por la linealidad de la representaci´on que [π(H), π(X)] = π([H, X]) = 2π(X). Por ende, π(H)π(X)u=π(X)π(H)u+ 2π(X)u =απ(X)u+ 2π(X) =(α+ 2)π(X)u. La prueba para π(Y) es totalmente an´aloga. 20
Demostraci´on teorema 2.1.9.Sea πuna representaci´on irreducible de sl(2; C) en Vespacio vectorial complejo de dimensi´on finita. Al estar en C, sabemos que π(H) posee por lo menos un autovector. Sea udicho autovector y su correspondiente autovalor α. Usando el lema 2.1.11 sucesivas veces obtenemos: π(H)π(X)ku= (α+ 2k)π(X)ku, pero como en un espacio de dimensi´on finita, un operador no puede tener infinitos autovectores, necesitamos que exista cierto N∈Ntal que π(X)Nu6= 0 y que π(X)N+1u= 0. Por lo tanto, escribiendo u0=π(X)Nuyλ=α+ 2N, entonces π(H)u0=λu0yπ(X)u0= 0. Ahora bien, si definimos uk=π(Y)ku0, para k≥0, por el lema 2.1.11, tenemos que π(H)uk= (λ−2k)uk. Con esto ´ultimo se puede deducir que π(X)uk=k(λ−(k−1))uk−1(k≥1),(2.1.28) y por la misma raz´on de antes, debe de existir un mtal que uk6= 0 para k≤my que um+1 = 0. Por esto y por la ecuaci´on (2.1.28), tenemos que 0 = π(X)um+1 = (m+ 1)(λ−m)um. Como umym+ 1 son distintos de 0, tenemos que λ=m. Por lo tanto, para cualquier representaci´on que tengamos, existir´a un entero mno negativo tal que existir´an u0, ..., um6= 0 que cumplen: π(H)uk=(m−2k)uk, π(Y)uk=(uk+1 si k < m, 0 si k=m, π(X)uk=(k(m−(k−1))uk−1si k > 0, 0 si k= 0. (2.1.29) De (2.1.29) se deduce que existen m+ 1 ukautovectores de π(H) correspondientes a autovalores distintos, que al ser linealmente independientes forman una base del espacio (m+ 1)-dimensional formado por las combinaciones lineales de los {uk}, el cual es invariante ante las acciones de π(X), π(Y) y π(H), y, por tanto, bajo cualquier acci´on π(Z) con Z∈sl(2; C). Como hemos supuesto que πes irreducible, y existen elementos no nulos en el espacio invariante, el espacio creado por los {uk}tiene que ser todo V. Es m´as, si definimos una representaci´on πcomo (2.1.29), con los {uk}la base del espacio vectorial V, se puede probar por c´alculo directo que π(X), π(Y), π(H) satisfacen las relaciones de conmutaci´on de sl(2; C), y por ende son una representaci´on. Por el desarrollo que hemos hecho, hemos visto que cualquier representaci´on irreducible de sl(2; C) es de la forma (2.1.29), luego si tienen la misma dimensi´on, ser´an 21
Cap´ıtulo 3 Teor´ıa Cu´antica de Campos 3.1. Mec´anica Cu´antica Relativista En esta secci´on daremos por conocidas las propiedades y resoluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger. Denotaremos a la ecuaci´on de Klein-Gordon como K-G. 3.1.1. Ecuaci´on de Klein-Gordon y sus problemas Introduciremos primeramente la ecuaci´on de K-G, usando el principio de correspondencia de Bohr. Partamos del problema de una part´ıcula libre en una regi´on V⊂R3: ˆ Hψ =ˆ Eψ =ˆ P2 2Mψdonde ˆ Hes el operador asociado al Hamiltoniano del sistema, ˆ Eel operador asociado a la energ´ıa, Mla masa de la part´ıcula en cuesti´on y ˆ Pes el operador asociado al momento del sistema. Estamos tratando ψcomo un autoestado del Hamiltoniano, cuyos autovalores son la energ´ıa del sistema. Estamos tomando una part´ıcula libre (sin potencial interaccionante) y con una expresi´on de la energ´ıa no relativista. Usando el principio de correspondencia, tomamos ˆ E=i~∂ ∂t yˆ P=−i~∇, con lo que obtenemos la ecuaci´on i~∂ψ ∂t =−~2 2M∇2ψ, que no es ni m´as ni menos que la ecuaci´on de Schr¨odinger para una part´ıcula libre. Ahora bien, sabemos que la energ´ıa de un sistema relativista se puede escribir como E2=p2c2+mM2c4. Por tanto, tomando esta expresi´on de la energ´ıa y aplicando el principio de correspondencia llegamos a la ecuaci´on −~2∂2ψ ∂t2=−~2c2∇2+M2c4ψ. (3.1.1) Por comodidad, debido a que no cambia nada del estudio m´as que las unidades tomaremos las llamadas unidades naturales1como se suele hacer en cu´antica relativista, con lo que tomamos2c=~= 1. Con estos cambios y reordenando los t´erminos, obtenemos la forma 1La elecci´on de un sistema de unidades no cambia la f´ısica del sistema, solo la expresi´on matem´atica de las cosas. 2Con esta imposici´on hacemos que las unidades de longitud y tiempo sean las mismas, que la masa tenga unidades del inverso del tiempo y la energ´ıa tenga unidades de masa. 28
m´as sencilla de la ecuaci´on K-G para una part´ıcula libre: +M2ψ= 0,=∂2 ∂t2−∇2.(3.1.2) Por ahora no le hemos exigido nada a la funci´on de onda ψ. Para poder trabajar adecuadamente, supondremos que es “suficientemente buena”, es decir, no especificaremos de que clase son, sino que haremos exigencias seg´un lo necesitemos. M´as adelante definiremos adecuadamente un espacio donde trabajar con estas funciones. Propondremos una soluci´on para la ecuaci´on de K-G, an´aloga a la onda plana, soluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger. Tomaremos ψ(~r, t) = Ne−i(Et−~p·~x), donde Nes una constante de normalizaci´on. Es sencillo comprobar que es soluci´on de la ecuaci´on (3.1.2). (+M2)Ne−i(Et−~p·~x)=−E2ψ+p2ψ+M2ψ= (M2+p2−E2)ψ= 0.(3.1.3) Ahora bien, de la expresi´on de la energ´ıa obtenemos que E=±pp2+m2. Naturalmente obviar´ıamos los valores negativos de la energ´ıa, pues una part´ıcula libre tiene energ´ıa no negativa, pero no podemos obviarlos en la funci´on de onda. Observaci´on 3.1.1. Hagamos un peque˜no inciso recordando c´omo funcionaban las ondas planas en la ecuaci´on de Schr¨odinger. A pesar de que la funci´on φ=φ0ei(~p·~x−Et)/~es soluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger, esta no puede representar un estado, pues no es normalizable. Para ello se hace una construcci´on en forma de los llamados paquetes de onda, los cuales consisten en desarrollar la funci´on de onda del estado de la part´ıcula como una transformada inversa de Fourier: ψ(x, t) = Zϕ(p)ei(p·x−Et)/~d3p (2π~)3/2,(3.1.4) siendo ψ(x, t)el estado de una part´ıcula libre. En este caso vemos que la transformada de Fourier de ψ(x, 0) es ϕ(p). Si recordamos las propiedades de una base ortonormal de un espacio de Hilbert (ver [14,§3]), dada una base ortonormal {ek}completa podemos escribir cualquier elemento del espacio de Hilbert como x=P∞ k=1(x, ek)ek, donde (·,·) denota el producto escalar del espacio de Hilbert. Como vemos de (3.1.4),ψse puede escribir como el producto escalar ψ(x, t) = (e−i(p·x−Et/~), ϕ(p)) (3.1.5) donde ( , ) denota el producto escalar de L2(R3)con la medida d3p (2π~)3/2. Por esta raz´on, en f´ısica se le suele dar el (incorrecto) nombre de base al conjunto de ondas planas φ= φ0ei(~p·~x−Et)/~. Haremos uso del nombre, pues es el que se da en f´ısica, pero lo entenderemos correctamente como una expansi´on en forma de paquetes de onda como en (3.1.4). Para valores negativos de la energ´ıa, nuestra funci´on de onda sigue siendo soluci´on de la ecuaci´on, y es m´as, el conjunto de todas las funciones ψE(~r, t) = Ne−i(Et−~p·~r)para distintos valores de la energ´ıa forman una “base” del espacio en L2(V) (como paquetes de onda, al igual que la onda plana de Schr¨odinger (3.1.4)), pero tenemos que tener en 29
cuenta los valores positivos y negativos de la energ´ıa, pues si no ya no estar´ıamos tomando en cuenta todas las soluciones y por tanto la “base” estar´ıa incompleta. Este es el problema de la energ´ıa negativa, una de las principales razones por la cual esta ecuaci´on fue descartada en un inicio. Otro problema que trae consigo la ecuaci´on de K-G es la densidad de probabilidad. Operando de la misma manera que hicimos para obtener la ecuaci´on (1.2.5), podemos obtener: ψ†(+M2)ψ=0 ψ(+M2)ψ†=0 ⇒ ⇒ψ†(+M2)ψ−ψ(+M2)ψ†=ψ†ψ−ψψ†. (3.1.6) Ahora bien, con la expresi´on del momento (2.2.13) podemos reescribir (3.1.6) como: ψ†ψ−ψψ†=ψ†∂µ∂µψ−ψ∂µ∂µψ†= 0 ∂µψ†∂µψ−ψ∂µψ†= 0 ⇒∂µJµ= 0.(3.1.7) donde hemos definido i 2M(ψ†∂µψ−ψ∂µψ†) = Jµ. Definiendo J0=i 2M(ψ†∂ψ ∂t −ψ∂ψ† ∂t ) = ρ y a ~ j=i 2M(ψ†∇ψ−ψ∇ψ†), obtenemos la ecuaci´on: ∂µJµ=∂ρ ∂t +∇~ j= 0.(3.1.8) Si integramos la ecuaci´on en una regi´on Varbitraria que contenga al sistema, utilizamos unas condiciones de contorno adecuadas, y aplicamos el teorema de la divergencia: ZV d3x∂ρ ∂t +ZS dS~ j·~n = 0, que, suponiendo que se cumplen las condiciones para sacar la derivada respecto al tiempo de la primera integral y que el volumen sea arbitrariamente grande, tenemos que d dt ZV d3xρ = 0,(3.1.9) pues asumimos que ~ jtiende a 0 cuando |~r|es muy grande (volumen grande). Esto es un argumento muy usado en f´ısica (la corriente tiene que hacerse 0 en el infinito), y se basa en el car´acter localizado de la f´ısica. De aqu´ı llegamos a la misma conclusi´on que en la ecuaci´on (1.2.5), que existe una magnitud ρcuya integral se conserva en el tiempo. Pero aqu´ı tenemos un problema: no es una funci´on de densidad de probabilidad. La magnitud ρtal y como est´a definida puede ser negativa o nula, y por lo tanto su integral tambi´en (por ejemplo, tomando la soluci´on ψpara la energ´ıa negativa obtenemos una densidad negativa), y por lo tanto, perdemos la interpretaci´on probabil´ıstica de la funci´on de onda. 30
Ahora bien, si redefinimos la magnitud Jµcomo ie 2M(ψ†∂µψ−ψ∂µψ†), donde ees una unidad de carga, podemos tomar ρcomo una densidad de carga. Esta nueva interpretaci´on s´ı tiene sentido, pues la carga se conserva, y puede ser positiva, negativa o nula. Por otra parte, ~ jpasa a ser una densidad de corriente. En el contexto de la teor´ıa de campos, veremos que esto es consecuente con las creaci´on y destrucci´on de part´ıculas. Es decir, si partimos de una part´ıcula con carga nula (como un fot´on) y esta se desintegra, deber´a hacerlo en un n´umero de part´ıculas tal que se neutralice la carga total del sistema (como un electr´on y un positr´on). Finalmente, otra de los fallos de la ecuaci´on de K-G es que es una derivada de segundo orden en el tiempo. Esto hace que, no baste con conocer su estado en un instante (como s´ı sucede con la ecuaci´on de Schr¨odinger) para estudiar su evoluci´on, sino que necesitemos de conocer el estado en dos instantes o conocer el estado y su derivada en un instante. Esto hace de la ecuaci´on algo indeseable, pues experimentalmente se observaba que solo con el estado en un instante se pod´ıa conocer la evoluci´on del sistema. 3.1.2. Ecuaci´on de Dirac La ecuaci´on de Schr¨odinger no trata de la misma manera al espacio y al tiempo, mientras que la relatividad especial nos dice que s´ı lo son. Esto se debe a que temporalmente tenemos una derivada de primer orden, mientras que respecto a la posici´on tenemos una derivada de segundo orden. Como ya hemos comentado, la ecuaci´on de K-G crea un problema adicional al introducir las derivadas de segundo orden en el tiempo. Por ello, para estudiar la part´ıcula libre en una regi´on V⊂R3, Dirac busc´o una ecuaci´on del tipo i∂tψ=ˆ Hψ, donde apareciesen solo derivadas en primer orden respecto al tiempo y la posici´on. Comenz´o planteando una ecuaci´on general, con unas magnitudes α1, α2, α3, β cualesquiera: i∂tψ=−iα1 ∂ ∂x1 +α2 ∂ ∂x2 +α3 ∂ ∂x3ψ+Mβψ =ˆ Hψ =Eψ, (3.1.10) donde la energ´ıa ser´a la energ´ıa relativista. De esta manera, tenemos que ~α ·~p +βM = E=pp2+M2. Se puede demostrar que, si suponemos que los αiyβson n´umeros y aplicamos una rotaci´on espacial, la ecuaci´on no es invariante. Por tanto, no nos queda m´as remedio que tratar a αiyβcomo matrices y ψcomo un vector N-dimensional. Tendremos por tanto un vector Ψ = ψ1 ψ2 . . . ψN (3.1.11) 31
y tendremos Necuaciones acopladas de la forma i∂tψk=−i N X j=1 α1 ∂ ∂x1 +α2 ∂ ∂x2 +α3 ∂ ∂x3kj ψj+ N X j=1 βkjMψj= N X j=1 ˆ Hkjψj.(3.1.12) Hemos visto ya que N6= 1, a continuaci´on comprobaremos que la dimensi´on m´as peque˜na en la que podemos trabajar con la ecuaci´on de Dirac es 4. Veamos primero que, para que se satisfaga la igualdad E2=p2+m2, necesitamos que la soluci´on Ψ tambi´en sea soluci´on de la ecuaci´on K-G, i∂Ψ ∂t =−i 3 X j=1 αj ∂Ψ ∂xj +MβΨ⇒ ⇒ −∂2Ψ ∂t2=−1 2 3 X j,k=1 (αjαk+αkαj)∂2Ψ ∂xj∂xk−iM 3 X j=1 (αjβ+βαj)∂Ψ ∂xj +M2β2Ψ. (3.1.13) Si comparamos la ecuaci´on (3.1.13) con la ecuaci´on (3.1.2), obtenemos las siguientes propiedades: αjαk+αkαj=2δjkI, αjβ+βαj=0, α2 j=β2=I. (3.1.14) Por otra parte, tambi´en le exigiremos al hamiltoniano que sea herm´ıtico. La no hermiticidad del hamiltoniano3de K-G (bajo el producto escalar de L2(V)) es la causa de que perdamos la noci´on probabil´ıstica de la densidad ρ. Como ˆ Pes un operador herm´ıtico en el espacio de Hilbert L2(R3), exigiremos que tanto αicomo βsean matrices herm´ıticas. Por tanto los autovalores de estas matrices ser´an reales, y por las relaciones (3.1.14), tendremos que son ±1. De (3.1.14) se deduce que:4 Tr(αi) = −Tr(βαiβ) = −Tr(β2αi) = −Tr(αi)⇒Tr(αi)=0, y de la misma manera que Tr(β) = 0. De este modo, tenemos que las matrices tienen traza nula. Por tanto, concluimos que la dimensi´on en la que trabajaremos deber´a ser par, pues la cantidad de autovalores positivos y negativos debe ser la misma (para la traza nula). Pero en dimensi´on 2, no podemos tener 4 matrices linealmente independientes, pues el espacio de matrices 2 ×2 tiene 3 generadores (descartando a la identidad), por ejemplo, las matrices de Pauli σi. σ1=0 1 1 0, σ2=0−i i0, σ3=1 0 0−1.(3.1.15) 3En §3.1.1 no hemos definido un hamiltoniano de K-G, pero en §3.1.4 s´ı veremos una formulaci´on hamiltoniana de la ecuaci´on de K-G, siendo dicho hamiltoniano el que no es herm´ıtico. 4Tr(A) denota la traza de la matriz A. 32
Por ello, aunque las matrices (3.1.15) cumplan con las relaciones (3.1.14), no podemos construir una cuarta matriz que no sea una combinaci´on lineal de estas que siga cumpliendo (3.1.14). Como la dimensi´on debe ser par y no puede ser 2, la m´as peque˜na en la que podemos trabajar es dimensi´on 4. La elecci´on de dichas matrices no es ´unica, al igual que la representaci´on5de un grupo no lo es. En la literatura se suele usar la llamada representaci´on de Dirac,6de uso extendido pues facilita el c´alculo a la hora de resolver las ecuaciones del electr´on. En esta representaci´on las matrices vienen definidas como: αi=0σi σi0, β =I2×20 0−I2×2.(3.1.16) De aqu´ı en adelante omitiremos el 2 ×2 y lo supondremos por contexto. Para acabar la secci´on realizaremos el mismo an´alisis de la densidad de corriente que hicimos en §1.2 para la ec. de Schr¨odinger y en (3.1.6) para la ec. de K-G pero con la ec. de Dirac. Sea Ψ una soluci´on de la ec. de Dirac iΨ†∂Ψ ∂t =−i 3 X j=1 Ψ†αj ∂Ψ ∂xj +MΨ†βΨ, −i∂Ψ† ∂t Ψ =i 3 X j=1 ∂Ψ† ∂xj α† jΨ + MΨ†β†Ψ, (3.1.17) donde en el primer caso hemos multiplicado por la izquierda en la ec. de Dirac (3.1.10) por el adjunto de la funci´on Ψ en la primera ecuaci´on de (3.1.17) y en el segundo hemos hecho el conjugado de (3.1.10) y multiplicado por la derecha por la funci´on Ψ. Ahora, restando ambas ecuaciones obtenemos i∂ ∂t(Ψ†Ψ) = −i 3 X j=1 ∂ ∂xjΨ†αjΨ,(3.1.18) donde hemos hecho uso de las propiedades (3.1.14) de αiyβ. Por lo tanto, hemos llegado a una ecuaci´on del tipo ∂ ∂t ρ+~ ∇·~ j= 0, con ρ= Ψ†Ψ y ~ j= Ψ†~αΨ. Por lo tanto, si integramos en un volumen lo suficientemente grande como para aplicar un argumento similar al de la ecuaci´on (3.1.9), obtenemos que d dt ZV d3xΨ†Ψ = 0,(3.1.19) 5Cuando hablamos de representaci´on lo hacemos en el mismo sentido que en §2.1.4. 6Otra posible representaci´on (es decir, elecci´on de matrices) es la llamada representaci´on de Weyl. La elecci´on de una representaci´on de grupo u otra, como dijimos en §2.1.4 depender´a del problema que estemos tratando de resolver. El estudio de dichas representaciones es complejo y lo omitiremos. 33
o lo que es lo mismo, ZV d3xΨ†Ψ = cte. Con esto, podemos normalizar los estados. Esto es, exigirles que RVd3xΨ†Ψ = 1. Por tanto, la norma inducida por el producto escalar definido sobre los vectores de 4 componentes en L2(V) definido como (F, G) = ZV d3xf∗ 1f∗ 2f∗ 3f∗ 4 g1 g2 g3 g4 = 4 X j=1 ZV d3xf∗ jgj(3.1.20) es positiva, al contrario de lo que suced´ıa en la ecuaci´on de K-G, con lo que podemos recuperar el car´acter probabil´ıstico de ρ. No es dif´ıcil comprobar, que el espacio que hemos definido, con el producto escalar anterior, es un espacio de Hilbert (de dimensi´on infinita). Claramente, no todas las funciones de onda estar´an en L2(V). Para empezar estas funciones no son en general diferenciables. Este problema lo abordaremos con m´as detenimiento en §3.2. 3.1.3. Invarianza de las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac Veremos qu´e condiciones deben de cumplir las funciones de onda y los operadores para que las soluciones sean invariantes ante una transformaci´on de Lorentz. Veamos primero el caso de la ecuaci´on de K-G. Como ya vimos en §2.2, el operador se define como una contracci´on de cuadrivectores, por lo tanto es un invariante ante transformaciones de Lorentz, al igual que la masa.7As´ı que, si la funci´on de onda fuese un escalar de Lorentz (es decir, que al aplicarle una transformaci´on de Lorentz queda multiplicada por un escalar) tendr´ıamos que: (+M2)ψ0(X0µ)=(+M2)ψ0(ΛµνXν) = (+M2)ˆ S(Λµν)ψ(Xµ)=(+M2)λψ(Xµ) = 0,(3.1.21) donde ˆ S(Λµν) es el operador que aplica la transformaci´on de Lorentz sobre la funci´on de onda. Es sencillo comprobar, aplicando 2 veces la misma transformaci´on, que ese λ debe de ser ±1. Por lo tanto, la funci´on de onda deber´a de no cambiar al aplicarle una transformaci´on y mantener la estructura o cambiar en un signo global (ψ07→ −ψ). Por ejemplo, esto querr´a decir que si tenemos una funci´on del tipo ψ(Xµ) = eiPµXµ, la funci´on transformada ser´a ψ0(X0µ) = ±eiP0µX0 µ=±ψpues la contracci´on PµXµes invariante Lorentz. 7Algunos libros, sobretodo los m´as antiguos, hablan de “masa en reposo” y de “masa inercial”. Estos t´erminos est´an desactualizados, y hoy d´ıa la masa se define como un invariante. 34
Pasemos a analizar ahora la ecuaci´on de Dirac. Pero para ello primero la escribiremos en forma covariante, pues nos facilitar´a el c´alculo. Introduzcamos las matrices γde Dirac. γ0:=β γi:=βαi.(3.1.22) Si tomamos la ecuaci´on de Dirac (3.1.10) y la multiplicamos por βa la izquierda, obtenemos la ecuaci´on i γ0∂ ∂t + 3 X j=1 γj∂ ∂xj!Ψ−MΨ = (iγµ∂µ−M)Ψ = 0.(3.1.23) Como vimos en §2.1, la representaci´on de las transformaciones de Lorentz lo podemos estudiar con una representaci´on 1 2⊕1 2, de matrices 4 ×4. Por lo tanto, dada una transformaci´on de Lorentz, la funci´on de onda de Dirac se transformar´a como Ψ0(X0µ) = ˆ S(Λµν)Ψ(Xµ),(3.1.24) donde ˆ S:=ˆ S(Λµν) es una matriz 4 ×4. Como ya vimos en §2.1, estas transformaciones tienen inversa, por lo que tambi´en podemos escribir Ψ(Xµ) = ˆ S−1Ψ0(X0µ).(3.1.25) Si sustituimos la Ψ de la ecuaci´on (3.1.25) en la ecuaci´on (3.1.23) y multiplicamos por ˆ Spor la izquierda obtenemos la ecuaci´on ˆ S(iγµ∂µ−M)ˆ S−1Ψ0(X0µ) = iˆ Sγµ∂ ∂Xµˆ S−1−MΨ0(X0µ)=0,(3.1.26) escribiendo las derivadas ∂µen las coordenadas X0µ, tenemos ∂µ=∂ ∂Xµ= Λνµ ∂ ∂X0ν.(3.1.27) Si ahora sustituimos la ecuaci´on (3.1.27) en (3.1.26) obtenemos la ecuaci´on iˆ Sγµˆ S−1Λνµ ∂ ∂X0ν−MΨ0(X0µ)=0,(3.1.28) donde hemos podido reordenar los t´erminos pues Λνµes un n´umero y ∂ ∂X0νun operador lineal (las matrices no act´uan sobre ∂ ∂X0ν). Por lo tanto, si imponemos la invarianza de la ecuaci´on de Dirac ante transformaciones de Lorentz (es decir, que (3.1.28) tenga la misma forma que (3.1.23)), obtenemos la siguiente condici´on a cumplir: ˆ Sγµˆ S−1Λνµ=γν,(3.1.29) la cual es una condici´on que obligaremos a ˆ Scumplir, y que nos permite, entre otras cosas, obtener las matrices de transformaci´on para una rotaci´on pura, una transformaci´on pura de Lorentz o una transformaci´on de paridad. Finalmente, analizaremos las soluciones de las ecuaciones de K-G y de Dirac. En esta secci´on las resolveremos de manera formal, para estudiar algunas de sus propiedades (como el esp´ın), pero la resoluci´on rigurosa de las ecuaciones la llevaremos a cabo en §3.2. 35
3.1.4. Resoluci´on de la ecuaci´on de K-G La ecuaci´on que vamos a estudiar es la siguiente +M2ψ= 0,=∂2 ∂t2−∇2, conocida como la ecuaci´on libre de K-G. La resoluci´on de la ecuaci´on libre la realizamos al inicio de la secci´on en la ecuaci´on (3.1.3). Ahora estudiaremos las propiedades de esta soluci´on y el c´omo construir una soluci´on de carga neutra. Comencemos escribiendo la soluci´on para una part´ıcula de momento ~p ψ~p(Xµ) = Ne−iPµXµ=Ne−i(Et−~p·~x),(3.1.30) donde Epuede ser tanto positivo como negativo. Por conveniencia, definiremos E > 0 e introduciremos una variable λque puede ser ±1 para reescribirlo como ψλ ~p (Xµ) = Nλei(~p·~x−λEt).(3.1.31) Si ahora introducimos (3.1.31) en la definici´on de ρobtenemos ρ=ie 2Mψλ† ~p ∂µψλ ~p −ψλ ~p ∂µψλ† ~p =ie 2M(iλE)ψλ† ~p ψλ ~p +ψλ ~p ψλ† ~p =λeE Mψλ† ~p ψλ ~p =λeE M|Nλ|2. (3.1.32) La constante Nλla podemos hallar si usamos el principio de conservaci´on de carga (3.1.9) e imponemos que la integral valga λe (que sea positiva o negativa vendr´a dado por el tipo de soluci´on). Integrando obtenemos, exigiendo que Nλsea real, ZV d3xρλ=λe =λeE M|Nλ|2V⇒Nλ=rM EV .(3.1.33) Por tanto, la ecuaci´on de K-G tiene dos soluciones posibles, para valores positivos y negativos de la energ´ıa, lo que se traducir´a en una soluci´on para una part´ıcula y otra para otra part´ıcula id´entica con carga opuesta. Como la ecuaci´on es lineal, una combinaci´on lineal de las soluciones ser´a soluci´on. Por tanto, si hacemos ψ0 ~p =1 √2ψ+ ~p +ψ− −~pobtenemos una nueva soluci´on ψ0 ~p =rM 2V E ei(~p·~x−Et)+ei(−~p·~x+Et)= 2rM 2V E cos (~p ·~x −Et),(3.1.34) donde se puede comprobar f´acilmente que su densidad de carga es 0. Por lo tanto, la ecuaci´on de K-G puede describir part´ıculas con carga o de carga nula. 36
Ahora bien, como comentamos en §2.1, la ecuaci´on de Klein-Gordon tiene un espacio de representaci´on de transformaciones de dimensi´on 2. Podemos pasar a trabajar en un espacio bidimensional si transformamos la ecuaci´on de segundo orden en 2 ecuaciones acopladas de primer orden. Para ello, haremos un cambio de variable adecuado y transformaremos el operador Hamiltoniano en una matriz. Primeramente construiremos una ecuaci´on del tipo i∂Φ ∂t =ˆ HΦ = 1 2M2M2−∇2−∇2 ∇2−(2M2−∇2)Φ,(3.1.35) donde ˆ Hes un nuevo hamiltoniano escrito como una matriz 2 ×2 y Φ un vector de dos componentes. La escritura de la ecuaci´on de K-G en dos componentes es tremendamente ´util para estudiar la aproximaci´on no relativista y estudiar la conservaci´on de la carga. Sea ψuna soluci´on cualquiera de la ecuaci´on K-G, las componentes de nuestro vector Φ ser´an las siguientes: Φ = φ1 φ2=1 2M(i∂t+M)ψ 1 2M(−i∂t+M)ψ, ψ =φ1+φ2, i∂ψ ∂t =M(φ1−φ2).(3.1.36) Sustituyendo (3.1.36) en la ecuaci´on (3.1.2) obtenemos las siguiente ecuaci´on matricial para Φ i∂tφ1 φ2=ˆ Hφ1 φ2=1 2M2M2−∇2−∇2 ∇2−(2M2−∇2)φ1 φ2,(3.1.37) que tiene soluciones no triviales si el determinante es no nulo. Ahora bien, si suponemos que los estados φ1yφ2tienen la energ´ıa (p0) y el momento (~p) bien determinados, o lo que es lo mismo, que φ1yφ2son autoestados del operador momento y del hamiltoniano respectivamente, podremos reescribirlos como φ1(~x, t) φ2(~x, t)=φ0 1 φ0 2ei(~p·~x−p0t), por lo que la ecuaci´on de K-G se reduce a i∂tΦ = p0Φ = 1 2M2M2+p2p2 −p2−(2M2+p2)φ0 1 φ0 2ei(~p·~x−p0t),(3.1.38) y la condici´on de soluci´on no trivial es que p2 0−p2−M2= 0 →p0=±pp2+M2:=±E. Si ahora estudiamos la ecuaci´on (3.1.38) tomando Epositivo vemos que (E−M)φ0 1=p2 2M(φ0 1+φ0 2)⇒(E−M)φ0 1=−(E+M)φ0 2,(3.1.39) donde si elegimos φ0 2=M−Eobtenemos que φ0 1=M+E. Por lo tanto nuestra soluci´on para energ´ıas positivas es Φ(+) =N(+) M+E M−Eei(~p·~x−Et).(3.1.40) 37
y aplicando la expresi´on dos veces vemos que (ˆ ~p −e~ A)2ψtiene la misma propiedad. Por tanto, si modificamos la ecuaci´on (3.1.64) como i~∂ψ0 ∂t =−i~~ ∇−e~ A2+eφ(x)ψ0,(3.1.68) vemos que la ecuaci´on de Schr¨odinger (3.1.63) queda con la misma forma, es decir, es invariante ante transformaciones gauge locales. Por tanto, de aqu´ı en adelante, tomaremos como un principio v´alido que, al modificar el operador momento ˆ Ppor un nuevo operador ˆ P0como en (3.1.68), esto deja invariante la ecuaci´on de Dirac o de K-G. Por lo tanto, podemos introducir el campo electromagn´etico en la ecuaci´on de Dirac como i∂Ψ ∂t =h~α ·ˆ ~p −e~ A+eA0+βMiΨ,(3.1.69) donde Aµ= (A0,~ A) es el cuadrivector potencial. Al operador ˆ ~p −e~ Alo llamaremos ˆ Π momento generalizado. Si introducimos los espinores de Dirac Ψ = ˜ϕu ˜ϕd=ϕu ϕde−iMt, donde hemos escrito la dependencia temporal con la energ´ıa en reposo (la masa de la part´ıcula) de manera an´aloga a como lo hicimos en (3.1.49) con la dependencia espacial y el momento. Con esto la ecuaci´on (3.1.69) nos queda como i∂ ∂t ϕu ϕd=~σ ·ˆ Πϕu ~σ ·ˆ Πϕd+eA0ϕu ϕd−2M0 ϕd.(3.1.70) El l´ımite no relativista lo obtenemos al imponer que la energ´ıa en reposo sea grande comparada con el t´ermino de la energ´ıa total ki∂ ∂t ϕdk∞ kMϕdk∞, pero tambi´en que la acci´on del potencial sea peque˜na comparada con la energ´ıa en reposo, pues podr´ıa excitar demasiado el sistema, ocasionando efectos no deseados, como la creaci´on de pares part´ıcula-antipart´ıcula. Por tanto, keA0ϕdk∞ kMϕdk∞. Entonces, operando con18 (3.1.70), en el l´ımite tenemos que ϕd≈~σ ·ˆ Π 2Mϕu,(3.1.71) con lo que vemos que las componentes down ser´an peque˜nas en comparaci´on con las componentes up. Una interpretaci´on de esto es que la antipart´ıcula interaccionar´a poco en el sistema. 18Es un c´alculo directo pero tedioso. Basta con despejar ϕdde la ecuaci´on inferior de (3.1.70) usando las desigualdades antes mencionadas. 44
Introduciendo (3.1.71) en (3.1.70) y desarrollando el t´ermino ~σ ·ˆ Π~σ ·ˆ Π=ˆ ~p −e~ A2− e~σ ·~ B, obtenemos la ecuaci´on de Dirac con interacci´on electromagn´etica en el l´ımite no relativista i∂ϕu ∂t =1 2Mˆ ~p −e~ A2−e 2M~σ ·~ B+eA0ϕu.(3.1.72) Esta ecuaci´on es la llamada ecuaci´on de Pauli. Fue introducida por W. Pauli de manera fenomenol´ogica en el desarrollo de la mec´anica cu´antica de Schr¨odinger, para explicar sucesos como la interacci´on del esp´ın con un campo magn´etico aplicado en el experimento de Stern-Gerlach. Este fue, sin duda alguna, uno de los primeros logros de la ecuaci´on de Dirac: Ser capaz de explicar la interacci´on causada por el esp´ın, as´ı como el momen- to giromagn´etico del electr´on (el 2 en el denominador del t´ermino ~σ ·~ B), inicialmente introducido de manera forzada por Pauli. Desarrollando en ´ordenes superiores, se puede demostrar19 que aparecen otros t´erminos, como el acoplamiento esp´ın-´orbita, correcciones relativistas de la energ´ıa, correcciones de localizaci´on (un electr´on no puede estar en el interior del n´ucleo at´omico) entre otros, la llamada estructura fina del hidr´ogeno20. La mec´anica cu´antica relativista desarrollada mediante las ecuaciones de K-G y Dirac fue un gran logro en los a˜nos 30, capaz de explicar numerosos fen´omenos de manera natural, los cuales la formulaci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger no hab´ıa sido capaz de hacer. Pero como ya sabemos, la materia no permanece inalterable en un sistema: puede desintegrarse un neutr´on en un prot´on y un electr´on, puede crearse en el vac´ıo un par electr´on-positr´on etc. La herramienta que nos permitir´a explicar la creaci´on y aniquilaci´on de materia ser´a la teor´ıa cu´antica de campos (TCC). 3.2. Campos cu´anticos Ahora comentaremos en profundidad y con rigor matem´atico las ecuaciones de Klein- Gordon y Dirac en el contexto de “campos”. El campo ser´a una funci´on que a cada punto del espacio le asigne un operador. Esta es la diferencia entre campos cl´asicos y cu´anticos, pues en los campos cl´asicos cada punto tiene asignado un vector o un escalar, mientras que con los campos cu´anticos tendr´a asignado un operador. Para ello, primero introduciremos el formalismo necesario para tratar sistemas de varias part´ıculas. Despu´es, introduciremos la segunda cuantizaci´on con la ayuda del oscilador arm´onico cu´antico, con la cual pasaremos a un contexto de operadores. Esta forma de trabajar fue planteada por Dirac alrededor de 1927, pero fueron V. Fock y P. Jordan (principalmente) quienes la desarrollaron con profundidad. Finalmente, pasaremos a resolver las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac en el caso libre para lo que necesitaremos nociones de la teor´ıa de distribuciones y de Fourier. 19El desarrollo es simple pero bastante largo. Se puede encontrar en [17,§4.4] 20M´as informaci´on sobre la estructura fina y la f´ısica at´omica se puede encontrar en [17,§8]. 45
3.2.1. Sistemas de varias part´ıculas Una consecuencia de los postulados de la mec´anica cu´antica es que, cuando trabajamos con varios sistemas (como puedan ser dos part´ıculas), el espacio de Hilbert en el que se trabaja es el espacio producto de ambos. Sea H1el espacio de Hilbert asociado a la part´ıcula 1 y H2a la part´ıcula 2, el espacio donde trabajaremos ser´a H=H1⊗H2, con un producto escalar hψ1⊗ψ2|φ1⊗φ2i=hψ1|φ1ihψ2|φ2i. A continuaci´on pasaremos a trabajar en espacios de Hilbert proyectivos, y denotaremos por Hal espacio proyectivo de H. Para ello tomaremos el espacio Hy la relaci´on (de equivalencia) x∼ysi y solo si x=λy con λ∈Cun escalar del espacio, y con ella tomamos el espacio cociente H:=H/ ∼. Esto no es ni m´as ni menos que traducir la invarianza gauge local vista en la secci´on anterior en un espacio de Hilbert abstracto. Observaci´on 3.2.1. Esta formulaci´on de espacios productos es muy ´util en mec´anica cu´antica no relativista, pues permite introducir a la ecuaci´on de Schr¨odinger el esp´ın, trabajando en un espacio de Hilbert L2(R3)⊗εdonde εes el espacio de los espinores y matrices de Pauli. En la f´ısica cu´antica nosotros no podemos distinguir entre dos electrones en un mismo estado, ya que est´an totalmente determinados por el estado (n´umeros cu´anticos), es decir, no los podemos “etiquetar”. Como consecuencia, si tenemos un sistema de Nelectrones, el estado se escribir´a |ψ1⊗···⊗ψNi, pero si cambiamos un electr´on por otro, el estado no puede cambiar salvo una constante (para ser el mismo estado en H), pero si volvemos a cambiar los mismos dos electrones deberemos recuperar el estado inicial, por lo que esa constante ser´a ±1. Esto nos da pie a definir dos subespacios correspondientes a dos tipos de part´ıculas: SN={|Ψi ∈ H;σ|Ψi=|Ψi}, ΛN={|Ψi ∈ H;σ|Ψi= sgn(σ)|Ψi},(3.2.1) siendo SNel conjunto de Npart´ıculas cuyo estado no cambia al realizar una permutaci´on σde ellas, llamadas bosones, y ΛNel conjunto de Npart´ıculas cuyo estado cambia de signo si la permutaci´on σes impar o lo mantiene si es impar, llamadas fermiones.21 Definiremos el proyector PS(PΛ) de Hsobre SN(ΛN), siendo un proyector una aplicaci´on de un espacio de Hilbert a otro, autoadjunto y idempotente (P2 S=PS): PS|ψ1⊗···⊗ψNi=1 N!X σ∈SN|ψσ(1) ⊗···⊗ψσ(N)i, PΛ|ψ1⊗···⊗ψNi=1 N!X σ∈SN sgn(σ)|ψσ(1) ⊗···⊗ψσ(N)i. (3.2.2) 21Los fermiones y los bosones se caracterizan por su esp´ın, si es semientero o entero respectivamente. Un teorema (Teorema esp´ın-estad´ıstica) relaciona los espines de las part´ıculas con su comportamiento respecto a las permutaciones, pero es de gran complejidad y hace uso de mec´anica estad´ıstica, por lo que se aleja de los objetivos de este trabajo. Ver [6, p. 121]. 46
Segunda Cuantizaci´on Si tenemos un conjunto de Npart´ıculas y kestados accesibles, podemos construir el vector de estados como |n1, ..., nki, k X j=1 nj=N, (3.2.3) donde el elemento j−´esimo del vector representa el estado j−´esimo accesible22, y nj representa cu´antas part´ıculas est´an en ese estado. Si tenemos un n´umero infinito de estados podemos escribir el vector |n1, n2, ...ipues tenemos un n´umero arbitrario pero finito de part´ıculas. Con los vectores (3.2.3) podemos escribir el producto escalar hn0 1, n0 2, ...|n1, n2, ...i=∞ Y j=1 δnj,n0 j,(3.2.4) y definimos al estado vac´ıo (sin part´ıculas) |0i= 1 ∈C. Finalmente, se definen los operadores destrucci´on (an) y creaci´on (a† n) para el estado n−´esimo como an|n1, n2, ...i=C− n|n1, n2, ..., nn+ 1, ...i, a† n|n1, n2, ...i=C+ n|n1, n2, ..., nn−1, ...i,(3.2.5) definiendo23 a1|0, n2, ...i= 0. Las constantes Cnvendr´an dadas por las relaciones de conmutaci´on de los operadores, que depender´an a su vez del sistema que estemos describiendo. Ahora podemos definir el Espacio de Fock. Sean H± nel espacio de Hilbert asociado a npart´ıculas id´enticas (+ para bosones y − para fermiones), el espacio de Fock se define como F±(H) = ∞ M n=0 H± n,(3.2.6) donde H0=C.F±(H) tendr´a una base formada por {|n1, n2, ...i:nj≥0,Xnj<∞},(3.2.7) siendo |n1, n2, ...iel estado definido como |n1, n2, ...i:=rk! n1!n2!···PS((⊗n1e1)⊗(⊗n2e2)⊗···),∞ X j=1 nj=k, (3.2.8) para bosones y |n1, n2, ...i:=rk! n1!n2!···PΛ((⊗n1e1)⊗(⊗n2e2)⊗···),∞ X j=1 nj=k, (3.2.9) 22Recordemos que los estados son autoestados del Hamiltoniano del sistema, y bajo ciertas hip´otesis existir´a un conjunto numerable y ordenable de estados. Esto es una suposici´on muy usada en f´ısica cu´antica. 23Lo hemos escrito para la primera componente, pero sirve para todas. Si el operador destrucci´on act´ua sobre un estado sin part´ıculas obtendremos siempre 0. 47
para fermiones, con PSyPΛdefinidos en (3.2.2). Los ejser´an elementos de la base del espacio Hk(o lo que es lo mismo, los autoestados del Hamiltoniano del sistema) y ⊗njej no es nada m´as que tener njelementos dentro del ket |ψ1⊗···⊗ψkique sean el propio ej, autoestado j−´esimo del Hamiltoniano.24 El factor qk! n1!n2!··· se introduce por normalizaci´on. Por clarificar veamos el caso de dos part´ıculas id´enticas. Sea |n1, n2, ...inuestro estado con k= 2, y supongamos que est´an los estados 1 y 2 ocupados, lo escribiremos como |1,1,0, ...i=1 √2[|e1⊗e2i±|e2⊗e1i],(3.2.10) para el caso bos´onico por ejemplo podr´ıamos tener el estado |2,0, ...i=|e1⊗e1i, mientras que para los fermiones obtendr´ıamos |2,0, ...i= 0, el cual es principio de exclusi´on de Pauli: 2 fermiones no pueden estar en el mismo estado. 3.2.2. El oscilador cu´antico Ahora tenemos todas las herramientas para tratar el oscilador arm´onico cu´antico, con el que Dirac introdujo la segunda cuantizaci´on y que nos ser´a de gran utilidad para describir el campo escalar (soluci´on de la ecuaci´on de Klein-Gordon). Supongamos que tenemos un sistema con Kosciladores arm´onicos independientes25, entonces el espacio de Hilbert en el que trabajaremos ser´a26 L2(RK) y tendremos un hamiltoniano de la forma H= K X j=1 ωj 2−1 ωj ∂2 ∂x2 j +ωjx2 j,(3.2.11) donde ωjson n´umeros positivos, y haciendo el cambio √ωjxj=yjpodemos reescribirlo como K X j=1 ωj 2−∂2 ∂y2 j +y2 j,(3.2.12) el cual es una suma de Kosciladores arm´onicos monodimensionales cu´anticos desacoplados. Tenemos los operadores XjyPj(posici´on y momento) definidos como Xj=xj, Pj=−i∂ ∂xj ,(3.2.13) y sus asociados YjyQj(posici´on y momento generalizado) Yj=ωjxj, Qj=−i∂ ∂yj .(3.2.14) 24Por ejemplo, si n1= 2, n2= 1 y k= 3, tendr´ıamos el ket |e1⊗e1⊗e2i 25Esta descripci´on es de gran utilidad, pues en muchos casos, un sistema de varios osciladores arm´onicos tridimensionales se pueden desacoplar en los llamados modos normales y trabajar con ellos de manera independiente. V´ease [8, Cap´ıtulo 6] 26No tenemos problemas en los infinitos pues, como veremos, las soluciones son de cuadrado integrable. 48
Con estos ´ultimos operadores definimos Aj=1 √2(Yj+iQj), A† j=1 √2(Yj−iQj),(3.2.15) relacionados con XjyPjcomo Xj=1 p2ωjAj+A† j, Pj=−irωj 2Aj−A† j.(3.2.16) Estos operadores satisfacen las siguientes relaciones de conmutaci´on: [Xj, Pk] =iδjkI,hAj, A† ki=δjkI, [Xj, Xk] = [Pj, Pk] = [Aj, Ak] = hA† j, A† ki= 0. (3.2.17) Con los nuevos operadores AjyA† jpodemos reescribir el Hamiltoniano como H= K X j=1 ωjA† jAj+1 2,(3.2.18) cuyas autofunciones vienen dadas por el producto de osciladores arm´onicos monodimensionales27 de la forma φn1n2...nK(x) = (A† 1)n1···(A† K)nK √n1!···nK!φ0...0,(3.2.19) donde φ0...0=π−1/4exp −1/2Pω2 jx2 jes el estado fundamental. Se puede comprobar que Ajφn1n2...nK=√njφn1n2...nj−1...nK, A† jφn1n2...nK=pnj+ 1φn1n2...nj+1...nK, Hφn1n2...nK=n1+... +nK+1 2Kφn1n2...nK. Comparando lo anterior con (3.2.5), podemos construir una aplicaci´on entre28 L2(RK) yH+ K: φn1n2...nK→ |n1, ..., nKi,(3.2.20) y por consiguiente, tomando K=∞(tomando una colecci´on infinita de osciladores arm´onicos) podemos construir una aplicaci´on de L2(RK) en F+(H). Un problema que hemos obviado hasta ahora es la convergencia de (3.2.18) cuando Ktiende a infinito, pues al tener el t´ermino Pωj/2 puede diverger29. Una soluci´on a 27La resoluci´on del oscilador cu´antico monodimensional no entra dentro de los objetivos de este trabajo. Un estudio de este se puede encontrar en [3,§4.2.2]. 28El porqu´e de usar el espacio para bosones y no para fermiones viene dado por las relaciones de conmutaci´on de los operadores creaci´on y destrucci´on. Lo veremos un poco m´as adelante. 29Las divergencias son un problema bastante usual dentro de la teor´ıa cu´antica de campos, algunas veces pudiendo corregirla f´acilmente como es el caso aqu´ı o necesitando una gran cantidad de trabajo para hacerlo. A´un as´ı, aunque existan divergencias u otros problemas, como la teor´ıa explica los experimentos se dan por cierto y luego m´as tarde se tratan de corregir. 49
esto es tener en cuenta que un Hamiltoniano no cambia si le a˜nadimos o sustraemos una constante30, por lo que podemos extraer todos los t´erminos ωj/2 sin cambiar la soluci´on del Hamiltoniano. En otras palabras, consideraremos el nuevo Hamiltoniano H=∞ X j=1 ωjA† jAj,(3.2.21) con sus autoestados |n1, n2, ...iy autovalores P∞ j=1 ωjnjque convergen porque solo hay un n´umero finito de njno nulos. Estas herramientas y soluciones las usaremos a continuaci´on para resolver la ecuaci´on de Klein-Gordon. 3.2.3. Campo escalar, soluci´on de la ecuaci´on libre de Klein- Gordon Primeramente resolveremos la ecuaci´on de Klein-Gordon de una manera formal e iremos “arreglando” los problemas que surjan. Resolveremos la ecuaci´on de la forma (+m2)φ(t, ~x)=0, con m > 0 para un campo neutro, que vendr´a asociado a una soluci´on φ(t, ~x) real, mientras que la carga aparecer´a cuando nuestra soluci´on est´e definida sobre los complejos. El espacio de Hilbert donde trabajaremos ser´a H= L2(R⊗ B) con B ⊂ R3una regi´on finita del espacio. En este espacio, el operador −∇2es autoadjunto y acotado, por lo que tendr´a un conjunto de autovalores numerable y ordenados {λj}con unos autovectores fj. Si introducimos unas condiciones de contorno reales en B, podemos tomar los autovectores fjreales, que forman una base31 ortonormal y real del espacio H. Con estas autofunciones podemos desarrollar φ(t, ~x) como φ(t, ~x) = ∞ X j=1 qj(t)fj(~x),(3.2.22) con los coeficientes qj(t) escogidos reales. Bajo estas condiciones, φsatisfar´a la ecuaci´on de Klein-Gordon si y solo si q00 j(t) + ω2 jqj(t)=0, ω2 j=λ2 j+m2,∀j∈N,(3.2.23) que un conjunto numerable de ecuaciones para osciladores arm´onicos monodimensionales. Hasta ahora no hemos “cuantizado” nada, esta ecuaci´on y este desarrollo es totalmente v´alido en el sentido cl´asico. Para hablar de una soluci´on cu´antica (o lo que es lo mismo, un campo cu´antico), escribiremos las ecuaciones de los osciladores (3.2.23) como osciladores cu´anticos. Para ello basta sustituir la posici´on Xjy momento Pj, dados por (3.2.16), en 30Esto es un resultado conocido de la mec´anica Hamiltoniana. 31Como consecuencia del teorema espectral para operadores autoadjuntos, acotados y compactos de un espacio de Hilbert separable. 50
la ecuaci´on (3.2.23) (pues qjes lo que act´ua como la posici´on), con lo que obtenemos el campo cu´antico φ(~x) = ∞ X j=1 1 p2ωj fj(~x)Aj+A† j.(3.2.24) Por ahora no nos preocuparemos de la convergencia de la serie. Hemos asumido que las condiciones de contorno son tales que los fjson reales, pero lo podemos extender a autofunciones gjcomplejas, pero debemos tener cuidado, no podemos simplemente sustituir fjpor gj, pues los operadores deben de ser herm´ıticos (recordemos que cuando trabajamos con campos cu´anticos como φen (3.2.24), estos son operadores de cierto espacio de Hilbert Hque act´uan sobre sus elementos (que solemos denotar |nien este contexto), por lo que seg´un los postulados de la mec´anica cu´antica estos deber´an ser herm´ıticos. V´ease 1.2.). Para ello haremos la siguiente construcci´on. Sea U= (ujk) una matriz unitaria tal que gj=Pkujkfk, con ujk = 0 a menos que el autovalor correspondiente a gjsea el mismo que el correspondiente a fj. Con esto y usando que U†=U−1obtenemos X j u∗ jkgj=fk=f∗ k=X j ujkg∗ j, que si lo sustituimos en (3.2.24) nos da φ=∞ X j=1 1 p2ωj fjAj+A† j=∞ X j,k=1 1 √2ωk (gku∗ jkAj+g∗ kujkA∗ j), y reescribiendo los operadores como A0 k=∞ X j=1 ujkAj, obtenemos la expresi´on φ=∞ X k=1 1 √2ωkgkA0 k+g∗ kA0† k.(3.2.25) Con esto vemos que no importa que base {fj}usemos, siempre tendremos el campo escrito de la misma manera φ(~x) = X j 1 p2ωjfj(~x)Aj+f∗ j(~x)A† j, es decir, un cambio de base no afecta a la forma del campo, que siempre es la misma. Por otra parte, parece que la dependencia temporal del campo ha desaparecido, pero podemos recuperarla si pasamos de la representaci´on de Schr¨odinger a la representaci´on de Heinsenberg32 Aj(t) = eitHAje−itH, A† j(t) = eitHA† je−itH.(3.2.26) 32En mec´anica cu´antica no relativista, decimos que trabajamos en la representaci´on de Schr¨odinger si la dependencia temporal la posee expl´ıcitamente las funciones de onda, mientras que en la representaci´on de Heinsenber la dependencia temporal la poseen los operadores. M´as informaci´on se puede encontrar en [16,§7.3]. 51
Durante la prueba del teorema 2.1.2 vimos que la siguiente proposici´on es cierta: Proposici´on 3.2.2. Sean XeYdos matrices de GL(n;C), entonces d dt etXY e−tXt=0 = [X, Y ].(3.2.27) Haciendo uso de esta proposici´on y de las relaciones de conmutaci´on (3.2.17) se puede deducir que [Aj, H] = ωjAj,hA† j, Hi=−ωjA† j, y por lo tanto, d(Aj(t)) dt = [iH, Aj] = −iωjAj,d(Aj(t)) dt =hiH, A† ji=iωjA† j. Estas ecuaciones diferenciales se pueden resolver formalmente como Aj(t) = e−iωjtAj, A† j(t) = eiωjtA† j, con la que el campo se puede escribir finalmente como φ(t, ~x) = ∞ X j=1 1 p2ωjfj(~x)e−iωjtAj+fj(~x)∗eiωjtA† j.(3.2.28) A continuaci´on especificaremos la regi´on Ben la que trabajamos, aunque seguiremos sin preocuparnos por las condiciones de contorno, pues extenderemos nuestra soluci´on a todo R3. Para ello tomaremos B= [−L/2, L/2]3para cierto L > 0. Es conocido que dentro de esta regi´on las autofunciones de33 −∇2tienen la forma fj=1 √L3ei~pj·~x,(3.2.29) con autovalores ~pj=2π L~zj, con ~zj= (z1, z2, z3) n´umeros enteros. Con esto, y escribiendo ωp=p|~p|2+m2podemos escribir el campo (sumando para todos los posibles valores de ~p) como φ(t, ~x) = X ~p 1 p2ωpL3ei(~p·~x−ωpt)Ap+ei(−~p·~x+ωpt)A† p.(3.2.30) Como mencionamos antes, en la teor´ıa cu´antica de campos aparecen infinitos, y esto sucede con este campo. Si hacemos actuar a nuestro campo (3.2.30) sobre el estado vac´ıo |0itenemos φ(t, ~x)|0i=X ~p 1 p2ωpL3ei(−~p·~x+ωpt)|0,0,...,0,1,0, . . .i1 en el hueco p-´esimo. (3.2.31) La norma del vector (3.2.31) es |φ(t, ~x)|0i| =X ~p 1 2p|~p|2+m2L3, que es una serie no convergente. Este problema lo podemos resolver si en vez de tratar al campo como una funci´on lo interpretamos como una distribuci´on. Comenzaremos haciendo una introducci´on a la teor´ıa de distribuciones. 33Un desarrollo se puede encontrar en [3,§4.4]. 52
Teor´ıa de distribuciones y el campo escalar Se define el espacio de funciones de clase kde soporte compacto Ck c(Ω) como aquellas funciones f: Ω →Rmedibles con Ω ⊂RNabierto tales que existe cierto K compacto tal que f≡0 e.c.t. Ω\K. Se le llama soporte de fal compacto m´as peque˜no que verifica esto denotado por sop(f): sop(f) = ∩{K:K⊂Ω compacto, f = 0 e.c.t. Ω\K}.(3.2.32) Observaci´on 3.2.3. Si f∈Lp(Ω) y es de soporte compacto, entonces f∈Lq(Ω) para todo q≤p. Se puede demostrar (la demostraci´on no es compleja pero requiere de diversos resultados sobre convoluciones y sucesiones regularizantes. Todo esto se puede encontrar en [7, §21.3]) el siguiente teorema, de enorme importancia en el an´alisis funcional Teorema 3.2.4. Sea Ω⊂RNun abierto acotado y u∈Lp(Ω),1≤p < ∞, entonces existe una sucesi´on un∈C∞ c(Ω) que converge a uen Lp(Ω), o lo que es lo mismo, C∞ c(Ω) es denso en Lp(Ω) con la norma de Lp(Ω). Gracias a este teorema, en una regi´on acotada del espacio, cualquier funci´on de L2o L1la podemos aproximar por una sucesi´on de funciones de clase infinito y de soporte compacto. Esto aclara en gran medida todos los procedimientos formales que hemos estado realizando: aunque la funci´on sea L2, podemos aproximarla por una funci´on infinitamente derivable y operar con ella como si lo fuese, con lo que podemos resolver las ecuaciones de evoluci´on (como la de Dirac o la de Schr¨odinger) aunque no sepamos a priori si nuestra funci´on no sea en un principio derivable. Definimos D(Ω) para cierto Ω ⊂RNcomo el espacio de las funciones C∞ ccon la siguiente convergencia: Sea una sucesi´on ϕn∈ D se dice que converge en Dhacia una funci´on ϕ∈ D si existe K⊂Ω compacto tal que sop(ϕn) est´e contenido en Kpara todo n∈Ny para todo α∈ {0,1, ...}Nse tiene ∂|α| αϕn→∂|α| αϕuniformemente en Ω. Como la convergencia uniforme implica convergencia puntual, tenemos que ϕtambi´en tiene soporte en K. Ahora definiremos el espacio de las distribuciones. Sea Ω abierto, una distribuci´on34 en Ω es una aplicaci´on T:D → Rlineal tal que si ϕnconverge a ϕen D, entonces T(ϕn) converge a T(ϕ). El espacio de estas aplicaciones se denota por D0y lo llamamos espacio de distribuciones. Tambi´en denotaremos35 T(ϕ):=hT, ϕi.Diremos que Tnconverge a cierta Ten el espacio de distribuciones si hTn, ϕiconverge a hT, ϕipara cualquier ϕ∈ D en R. 34Dependiendo del espacio sobre el que est´e definida la distribuci´on, esta recibe distintos nombres (temperadas, ordinarias, evaluadas sobre operadores...) pero en este caso se denominan ordinarias. 35Hay que diferenciar entre la “aplicaci´on” de una distribuci´on, denotada por h·,·iy el producto escalar, que denotamos h·|·i. 53
Definiremos como espacio de Hilbert para una part´ıcula como H= L2(X+ m∪X− m, λ) de la misma manera que en (3.2.53). Tomamos entonces nuestro espacio de Fock de manera similar a como hicimos en la secci´on anterior para el campo cargado: F=F−(H+)⊗ F−(H+), como dos espacios de fermiones de energ´ıa positiva. En el primero de los espacios trabajaremos con las part´ıculas y en el segundo con las antipart´ıculas, tal y como hicimos en la secci´on anterior. Definimos ahora los operadores aniquilaci´on y creaci´on para los fermiones como A(v) = √N+ 1B(v), A(v)†=PΛ√NB(v)†,(3.2.59) donde v∈ H,PΛest´a definido en (3.2.2) y B(v) est´a definido en (3.2.50). Se puede demostrar (ver [6,§4.5]) que estos operadores satisfacen las siguientes relaciones de anticonmutaci´on {A(v), A(w)†}=hv|wiI,{A(v), A(w)}={A(v)†, A(w)†}= 0,(3.2.60) las cuales son las relaciones de anticonmutaci´on de los fermiones, como adelantamos en la secci´on anterior. Con esto, dada una funci´on h∈ S(R4;C4), definimos el operador R± como en (3.2.56) pero defini´endola de S(R4;C4)→ H±y los operadores de aniquilaci´on de part´ıculas (a) y antipart´ıculas (b) sobre el espacio de Fock Fcomo a(h) = A(h)⊗I, b(h)=(−1) ˆ N⊗A(h),(3.2.61) donde ˆ Nes el operador n´umero (cuenta el n´umero de part´ıculas o antipart´ıculas que hay46) y se introduce para que satisfagan las relaciones de anticonmutaci´on (3.2.60). Por lo tanto ya podemos definir el campo espinorial (y su adjunto): hψ, hi=a(R+h) + b†(CR−h), hψ†, hi=a†(R+h) + b(CR−h),(3.2.62) donde Ces el operador conjugaci´on de carga (3.2.54). El campo (3.2.62) tambi´en satisface las relaciones de anticonmutaci´on (3.2.60) (por linealidad). Con esto habr´ıamos acabado la construcci´on, pues la hemos realizado por analog´ıa a la construcci´on formal del campo escalar. El campo ψ†crear´ıa una part´ıcula y destruir´ıa una antipart´ıcula, ambas con energ´ıa positiva, y al provenir de la ecuaci´on de Dirac estas deben de tener esp´ın 1/2 y masa m, pues vimos en §3.1.5 que esta funci´on describe part´ıculas de ese tipo. N´otese que hay varias cosas que hemos introducido porque sabemos el tipo de soluciones que esperamos: fermiones descritos por 4 componentes (ver 3.1.2). Esto lo hemos podido hacer gracias a haber estudiado la mec´anica cu´antica relativista con anterioridad, para saber qu´e tipo de part´ıculas describen las soluciones de la ecuaci´on de Dirac y c´omo lo hacen (en 4 componentes) y as´ı luego construir el campo con rigor matem´atico, sin cuestionarnos por qu´e la soluci´on es como es. 46M´as informaci´on sobre el operador n´umero se puede encontrar en [18,§22.2] 60
Conclusiones Hemos visto a lo largo de este trabajo los numerosos problemas matem´aticos que aparecen al realizar nuevos modelos f´ısicos como las ecuaciones relativistas de Klein-Gordon o Dirac y la teor´ıa cu´antica de campos. Hemos mostrado c´omo solventar estos problemas o a dar argumentos de por qu´e, aunque a priori algo pueda parecer “problem´atico” (matem´aticamente hablando), tiene unos fundamentos matem´aticos que lo respaldan. Primero, en §2.1, estudiamos la relatividad especial, el marco en el que existe la mec´anica cu´antica relativista y la teor´ıa cu´antica de campos, y como al hacer una transformaci´on de Lorentz (las transformaciones del espacio tiempo que identifican un sistema de referencia inercial con otro) la f´ısica debe permanecer invariante. Vimos como las transformaciones de Lorentz poseen una estructura de grupo (de matrices de Lie, §2.1.2) y estudiamos la teor´ıa de grupos de matrices de Lie y ´algebras de Lie (§2.1.3), as´ı como las representaciones de ´algebras de Lie (§2.1.4). Esto nos permiti´o estudiar la representaci´on del ´algebra de Lie del grupo de Lorentz. Dicha ´algebra de Lie es isomorfa al ´algebra de SL(2; C), que posee diversas propiedades importantes, pudiendo as´ı tomar la representaci´on m´as adecuada al problema que estemos tratando. Despu´es, en §2.2, estudiamos el campo electromagn´etico, para introducir la invarianza gauge y dar un ejemplo m´as conocido y sencillo de qu´e es un campo (cl´asico), como es el campo electromagn´etico Fµ ν. Aunque en este trabajo no hayamos usado la invarianza gauge electromagn´etica, es de gran importancia a la hora de definir el campo vectorial, es decir, el campo electromagn´etico cu´antico. Luego introdujimos y estudiamos la mec´anica cu´antica relativista en §3.1, con las ecuaciones de Klein-Gordon (§3.1.1) y Dirac (§3.1.2). Primero estudiamos algunas de sus propiedades (como que la ecuaci´on de Dirac posee 4 componentes o la aparici´on de una densidad de carga en la ecuaci´on de Klein-Gordon), as´ı como sus problemas (como violar uno de los postulados de la mec´anica cu´antica, energ´ıa negativa, perder el car´acter probabil´ıstico del estado, etc.) y las soluciones a estos (introducir una formulaci´on en dos componentes de la ecuaci´on de Klein-Gordon o la propia ecuaci´on de Dirac, introducir la noci´on de antipart´ıculas, entender la densidad como una densidad de carga y no de probabilidad). Posteriormente, en §3.1.3, estudiamos la invarianza frente a transformaciones de Lorentz de las ecuaciones y las propiedades que deb´ıan de cumplir las soluciones para mantener dicha invarianza. Esto, al igual que la representaci´on de ´algebras de Lie es algo que hemos estudiado pero no aplicado a un ejemplo concreto. A´un as´ı son conceptos de vital importancia, pues gracias a ellos podemos saber c´omo se transformar´a una soluci´on si aplicamos una transformaci´on de Lorentz, y podemos “elegir” (tomar una representa- 61
ci´on) de las matrices adecuada al problema, pues aunque todas las representaciones sean isomorfas, existir´an algunas m´as sencillas y otras m´as complejas a la hora de trabajar. Finalmente, estudiamos las propiedades de las soluciones de las ecuaciones de Klein- Gordon y Dirac (§3.1.4 y§3.1.5), as´ı como la formulaci´on en 2 componentes de Klein- Gordon, la cual nos permite introducir el espacio de Krein, un marco matem´atico donde recuperar el producto escalar (pues el espacio de soluciones de la ecuaci´on de Klein- Gordon no forman un espacio de Hilbert). Con esto vimos cu´ales eran los objetos de estudio (part´ıculas masivas, cargadas o neutras y sin esp´ın para la ecuaci´on de Klein- Gordon y part´ıculas masivas, cargadas y de esp´ın 1/2 para la ecuaci´on de Dirac), as´ı como sus propiedades (la conservaci´on de carga o norma y la existencia de antipart´ıculas). Para finalizar mostramos el l´ımite no relativista en §3.1.6. En §3.1.6 estudiamos el l´ımite no relativista (vcoTM) de las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac, en el que no solo recuperamos la mec´anica cu´antica no relativista (mec´anica cu´antica con la formulaci´on de Schr¨odinger), sino que obtenemos, para el caso de la ecuaci´on Klein-Gordon, correcciones relativistas al operador energ´ıa cin´etica (ver ecuaci´on (3.1.62)), o recuperamos la ecuaci´on de Pauli (3.1.72) a partir de la ecuaci´on de Dirac. En este ´ultimo caso fue necesario introducir la teor´ıa gauge local, de enorme importancia para la teor´ıa cu´antica de campos, pues tambi´en nos permite introducir el campo electromagn´etico interaccionante, de la misma manera que hicimos para introducir la interacci´on en la ecuaci´on de Dirac. Figura 3.1: Vladimir Fock, uno de los padres de la teor´ıa cu´antica de campos. Finalmente, en §3.2, introdujimos los campos cu´anticos. Para ello comenzamos con una introducci´on a sistemas de varias part´ıculas (§3.2.1) y los espacios de Fock, as´ı como la distinci´on entre bosones y fermiones. En los espacios de Fock ser´an los espacios donde estar´an definidos los campos, que ser´an a su vez operadores correctamente definidos, a esto se le denomina segunda cuantizaci´on. Con la segunda cuantizaci´on hecha pasamos a estudiar el oscilador arm´onico cu´antico (§3.2.2) con este formalismo, que no solo nos da una cierta intuici´on (pues es un problema simple y conocido de la mec´anica cu´antica de Schr¨odinger), sino que nos ayuda a construir el campo escalar. Mediante un procedimiento constructivo partiendo tan- to del oscilador cu´antico como de los resultados conocidos de la mec´anica cu´antica relativista, nos dispusimos a construir el campo escalar (§3.2.3), soluci´on de la ecuaci´on libre de Klein-Gordon, que crease y destruyese part´ıculas (o antipart´ıculas) con masa y esp´ın nulo. Durante el proceso nos encontramos con un problema grave: la convergencia. Para solventarlo tuvimos que hacer 62
uso de dos teor´ıas matem´aticas: la teor´ıa de distribuciones y el an´alisis de Fourier. Al entender los campos como distribuciones que al actuar sobre “funciones test” nos devolv´ıan un operador y apoy´andonos en el an´alisis de Fourier, pudimos solventar el problema de la convergencia. Finalmente definimos el campo escalar y el espinorial (§3.2.4) (por analog´ıa al campo escalar) con total rigor matem´atico. Por tanto, aunque en f´ısica sigamos operando con el campo escalar y espinorial como en la ecuaci´on (3.2.43), sabemos que existe una formulaci´on matem´aticamente rigurosa de estos campos que nos asegura el buen funcionamiento de los mismos. En la actualidad la derivaci´on de los campos escalares o espinoriales (entre otros) se realiza mediante el lagrangiano y el hamiltoniano del sistema, el proceso que nosotros hemos seguido es algo similar al estudio fenomenol´ogico que pudieron seguir f´ısicos como Fock, Jordan o Wigner entre otros. La construcci´on lagrangiana de los campos se puede encontrar en muchos libros de teor´ıa cu´antica de campos, como en [18]. Figura 3.2: Richard Feynman, f´ısico de gran importancia en el desarrollo de la electrodin´amica cu´antica. Gracias a este trabajo hemos podido dar una base matem´atica sobre la que parte de la f´ısica cu´antica se sostiene, aunque a la hora de trabajar se ignoren (como por ejemplo, la teor´ıa de distribuciones). A´un as´ı hay diversas nociones f´ısicas que siguen requiriendo trabajo, como los campos interaccionantes. Recordemos que las soluciones (3.2.62) y (3.2.57) son soluciones para el campo libre, es decir, las part´ıculas no interaccionan entre ellas o con el medio. Esto es una simplificaci´on excesiva, pues en la naturaleza no existe ninguna part´ıcula libre. Es m´as, existen fen´omenos como la polarizaci´on del vac´ıo, donde el campo electromagn´etico en el vac´ıo (sin part´ıculas), genera un electr´on y un positr´on, que interaccionan electromagn´eticamente y se aniquilan, generando dos fotones, por lo que las interacciones son de gran importancia para describir el universo. Por otra parte, no solo basta con estudiar la interacci´on electromagn´etica (y por consiguiente el campo electromagn´etico cu´antico), sino que habr´ıa que introducir un campo fuerte y otro d´ebil, para las interacciones fuertes y d´ebiles, siendo un desarrollo bastante complejo que tambi´en conlleva otros problemas matem´aticos (la extrema localizaci´on del campo d´ebil por ejemplo). Adem´as, todas las interacciones comparten un problema que hemos comentado ligeramente, los “infinitos”. A la hora de calcular interacciones entre part´ıculas nos ayudamos de m´etodos perturbativos de la mec´anica lagrangiana. El problema de este m´etodo es que a la hora de calcular ciertas interacciones (como la del electr´on con el vac´ıo, conocido como autoenerg´ıa del electr´on) aparecen divergencias o integrales infinitas. 63
Figura 3.3: Autoenerg´ıa del electr´on en un diagrama de Feynman. La renormalizaci´on es un proceso por el cual se trata de “ocultar” la divergencia. Este proceso es extremadamente complejo (requiere de un gran entendimiento de la teor´ıa sobre diagramas de Feynman y electrodin´amica cu´antica), pero de una manera burda se puede decir que “tomamos un factor com´un” infinito, y lo introducimos en una constante, de tal manera que no afecte al desarrollo ni a los c´alculos. Un trabajo interesante ser´ıa por ejemplo, estudiar la electrodin´amica cu´antica y la renormalizaci´on desde un marco matem´atico formal. No por ello debemos desmerecer la teor´ıa sobre campos cu´anticos que hemos construido. El campo espinorial por ejemplo resuelve un problema de la mec´anica cu´antica relativista, el mar de Dirac. El mar de Dirac consiste en describir los estados energ´eticos del electr´on como un conjunto de estados accesibles de energ´ıa positiva y negativa, sim´etricos en torno al cero. Cuando decimos que tenemos un estado “vac´ıo” (sin part´ıculas o antipart´ıculas) y por tanto de 0 energ´ıa, en la teor´ıa del mar de Dirac decimos que tenemos todos los niveles negativos ocupados. Figura 3.4: Interpretaci´on del mar de Dirac. Las part´ıculas est´an descritas como energ´ıas positivas ocupadas (amarillo) y las antipart´ıculas como huecos en energ´ıas negativas (azul). Esto, que puede parecer disparatado (pues tendr´ıamos una energ´ıa infinita), lo “compensamos” diciendo (correctamente) que en f´ısica lo medible no es la energ´ıa, sino la diferencia de energ´ıa. Por tanto, tendremos una part´ıcula cuando un nivel de energ´ıa positiva sea ocupado, y tendremos una antipart´ıcula cuando un nivel de energ´ıa negativa sea desocupado. Esto tambi´en explicar´ıa la generaci´on de pares electr´on positr´on, pues consistir´ıa en promocionar una part´ıcula de energ´ıa negativa a un estado de energ´ıa positiva, creando un hueco en la energ´ıa negativa. Esto se solventa f´acilmente con la teor´ıa de campos, pues podemos entender el espacio de part´ıculas y antipart´ıculas como un espacio de Fock sobre el que act´uan unos operadores que crean y aniquilan part´ıculas o antipart´ıculas. 64
Con la construcci´on de los campos que hemos realizado es posible explicar la creaci´on y aniquilaci´on de part´ıculas, y si desarroll´asemos una teor´ıa interaccionante (es decir, unos campos que rijan las interacciones) podr´ıamos explicar, por ejemplo, la desintegraci´on de un neutr´on en un prot´on, un electr´on y un antineutrino, las interacciones entre part´ıculas cargadas o la interacci´on entre quarks. 65
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