El Polinomio de Bernstein-Sato de una singularidad

EL POLINOMIO DE BERNSTEIN-SATO DE UNA SINGULARIDAD Adolfo Rendón Rodríguez de Molina EL POLINOMIO DE BERNSTEIN-SATO DE UNA SINGULARIDAD FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA Adolfo Rendón Rodríguez de Molina Trabajo Fin de Grado presentado como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Dirigido por: Luis Narváez Macarro 18 Junio, 2020 Índice general English Abstract 1 Introducción 3 1. El álgebra de Weyl 7 1.1. El álgebra de Weyl como anillo de operadores. . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Generadores y relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. El grado de un operador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. 𝐾[𝑋]como 𝐴𝑛-módulo........................... 12 1.5. El 𝐴𝑛-módulo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. . . . 13 2. Módulos graduados y filtraciones 15 2.1. Módulosgraduados ............................ 15 2.2. Filtraciones inducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Filtracionesbuenas ............................ 22 3. Dimensión de un 𝐴𝑛-módulo 27 3.1. El polinomio de Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Dimensión y Multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ii el polinomio de bernstein-sato de una singularidad 3.3. Desigualdad de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4. Módulosholónomos............................ 34 3.5. Variedades características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4. El polinomio de Bernstein-Sato 39 5. Cálculo de la b-función global 45 5.1. Teorema de la división en el álgebra de Weyl . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2. Bases de Groebner en el álgebra de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3. Algoritmo de Buchberger en el álgebra de Weyl . . . . . . . . . . . . 50 5.4. 𝑏-funciónglobal.............................. 52 5.5. Teoría de eliminación en el álgebra de Weyl . . . . . . . . . . . . . . 54 6. Programas para el cálculo del polinomio de Bernstein Sato y ejemplos 57 6.1. Paquetes y comandos principales para computar el polinomio de Bernstein- Sato..................................... 57 6.1.1. Singular/plural .......................... 57 6.1.2. Macaulay2/Dmodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.2. Ejemplos del cálculo del polinomio Bernstein . . . . . . . . . . . . . . 61 Abstract The Bernstein-Sato polynomial or the 𝑏-function is an important invariant in singular theory. It is closely related to differentials operators. This polynomial has very useful properties and applications in differents fields of mathematics. It was introduced in the early 1970s simultaneously by Joseph Bernstein and Mikio Sato. In this Final Degree Project we study the proof of the existence of the Bernstein- Sato polynomial over the Weyl Algebra, in addition, we study some of the libraries and commands in the computational algebra systems Macaulay2 and Singular related to D-modules and some of the algorithms on which these commands are based on. Finally we conclude the work adding a series of examples of computations of the Bernstein-Sato polynomial and making a small comparison of effectiveness between both programs. Introducción La teoría de 𝐷-módulos, Módulos sobre anillos de operadores diferenciales, sobre una variedad algebraica lisa sobre un cuerpo de característica cero o sobre una variedad analítica compleja lisa ha sido un área de investigación activa durante los últimos cincuenta años. Sirve como una herramienta poderosa para resolver problemas que surgen en muchas disciplinas matemáticas, desde Análisis hasta Geometría Algebraica, la Topología de Variedades, la teoría de Representaciones y Álgebra Conmutativa. En este texto nos centraremos principalmente en el estudio del polinomio de Bernstein-Sato dentro de esta teoría de 𝐷-módulos. El polinomio de Bernstein-Sato es un polinomio que está estrechamente relacionado con operadores diferenciales. Debe su nombre y origen a dos razones simultáneas a principio de 1970. Por un lado Mikio Sato introdujo las 𝑎−, 𝑏−y𝑐−funciones asociadas a los espacios vectoriales prehomogéneos. Los cuales tienen muchas aplicaciones en la Geometría, Teoría de Números y Análisis, así como Teoría de Representaciones [28]. Por otro lado, de forma simultánea, Joseph Bernstein definió el polinomio de Bernstein como parte de la construcción de prolongaciones meromorfas de distribuciones [5,6]. J. Bernstein probó que todo polinomio tiene un polinomio de Bernstein no nulo asociado. El polinomio de Bernstein-Sato de una función holomorfa o regular 𝑓sobre ℂes el polinomio mónico 𝑏𝑓(𝑠)en ℂ[𝑠]de menor grado para la cual existe un operador diferencial 𝑃(𝑠)en el parámetro 𝑠que satisface la ecuación funcional 𝑏𝑓(𝑠)𝑓𝑠=𝑃(𝑠)𝑓𝑓𝑠. La existencia de un polinomio no nulo satisfaciendo la ecuación funcional anterior, como ya hemos dicho, fue probada por Bernstein sobre el anillo de polinomios, y fue extendida por Björk [7,8] a anillos de series formales y por Kashiwara a anillos de series convergentes [16]. Una prueba unificada se encuentra en [31](ver también [21]). Hoy en día este polinomio también se llama la 𝑏-función asociada a 𝑓. El primer algoritmo para computar el polinomio de Bernstein-Sato para un polinomio arbitrario fué 10 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad entonces en particular no se satisface la relación 𝛽 < 𝛽′y por tanto 𝜕𝛽(𝑥𝛽′)=0. Por la elección de 𝛽′existe un 𝛼tal que 𝑝𝛼𝛽′≠0y por tanto 𝑃(𝑥𝛽′)es no nulo. En particular el operador 𝑃∈𝐴𝑛es no nulo. 1.2 Generadores y relaciones. Otra manera de definir el álgebra de Weyl es mediante generadores y las relaciones que estos mantienen. Podemos describir el álgebra de Weyl como un cociente de un álgebra libre en 2𝑛generadores. El ideal por el cual se hace cociente es el generado por las relaciones que definimos por los conmutadores de la anterior sección. El álgebra libre 𝐾{𝑧1, ..., 𝑧2𝑛}en 2𝑛generadores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las palabras en los símbolos 𝑧1, ..., 𝑧2𝑛, donde el producto de dos palabras es simplemente la yuxtaposición de ambas. Podemos definir el homomorfismo: 𝜙∶𝐾{𝑧1, ..., 𝑧2𝑛}→𝐴𝑛definido por: 𝜙(𝑧𝑖) = 𝑥𝑖y𝜙(𝑧𝑖+𝑛) = 𝜕𝑖, para 𝑖= 1, ..., 𝑛. El cual es claramente sobreyectivo, ya que hemos visto que una base de 𝐴𝑛como 𝐾- espacio vectorial viene dada por el conjunto de monomios = {𝑥𝛼𝜕𝛽|𝛼, 𝛽 ∈ℕ𝑛}. Entonces si tomamos el ideal bilátero 𝐽generado por las relaciones [𝑧𝑖+𝑛, 𝑧𝑖] − 1 para 𝑖= 1, ..., 𝑛 y[𝑧𝑖, 𝑧𝑗]para 𝑗≠𝑖+𝑛y1≤𝑖, 𝑗 ≤2𝑛. Obtenemos, de las relaciones por los operadores que vimos anteriormente, que 𝐽 ⊆ 𝐊𝐞𝐫 𝜙. Por lo que 𝜙induce un homomorfismo de 𝐾-álgebras 𝜙′∶𝐾{𝑧1, ..., 𝑧2𝑛}∕𝐽→𝐴𝑛. Teorema 1.1. 𝜙′es un isomorfismo. Demostración. Haciendo algo similar a la prueba de la porposición 1.1, podemos usar las relaciones entre las clases 𝑧𝑖+𝐽para probar que todo elemento de 𝐾{𝑧1, ..., 𝑧2𝑛}∕𝐽 se puede escribir como combinación lineal de monomios de la forma 𝑧𝑚1 1...𝑧𝑚2𝑛 2𝑛+𝐽. Y usando la porposición 1.1, las imágenes de estos monomios bajo la aplicación 𝜙′ forman una base de 𝐴𝑛como 𝐾-espacio vectorial. En particular, los monomios deben ser linealmente independientes en 𝐾{𝑧1, ..., 𝑧2𝑛}∕𝐽. Luego 𝜙′es un isomorfismo de espacios vectoriales. 1. el álgebra de weyl 11 1.3 El grado de un operador. Definición 1.1. Para un operador no nulo 𝑃=∑ 𝛼,𝛽 𝑝𝛼𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽=∑ 𝛽 𝑝𝛽(𝑥)𝜕𝛽el índice máximo de 𝛽para el cual 𝑝𝛽(𝑥)≠0, se llama el grado de 𝑃, que denotaremos por 𝑔𝑟(𝑃). El índice máximo de 𝛼+𝛽para el cual 𝑝𝛼𝛽 ≠0se llama el grado total de 𝑃y se denota por 𝑔𝑟𝑡𝑜𝑡(𝑃). Usaremos por convenio que el grado y el grado total del polinomio nulo es −∞. Esta definición nos permitirá en futuras secciones facilitar las definiciones de los módulos graduados y las filtraciones inducidas. Estos últimos elementos algebráicos son muy importantes en el estudio de 𝐷-módulos ya que los anillos simples son muy dificiles de estudiar debido a que la mayoría de las técnicas en la teoría de anillos se basan en la existencia de ideales no triviales. En nuestro caso, en el álgebra de Weyl, es un anillo simple. Es decir, no nulo y no tiene ideales biláteros propios no triviales. Pero podremos construir a partir de las filtraciones anillos conmutativos los cuales actúan de manera muy parecida a 𝐴𝑛. De esta forma podremos entender y estudiar la estructura de 𝐴𝑛y de sus módulos. Además gracias a la definición anterior, al igual que se demuestra en el caso del anillo de polinomios con la definición natural de grado de un polinomio, se prueba que 𝐴𝑛es un dominio. Uno se puede preguntar por qué se ha definido anteriormente el álgebra de Weyl de dos maneras diferentes. Esto se debe a un pequeño problema que tiene el álgebra de Weyl cuando el cuerpo 𝐾no tiene característica cero. En el caso en el que el cuerpo no tenga característica cero ambas definiciones construyen anillos que no son isomorfos. El álgebra de Weyl sobre un cuerpo de característica positiva se estudia con detalle en la referencia [29]. Por ejemplo veamos que ocurre en el cuerpo ℤ𝑝, cuando 𝑝es primo, en el caso de una variable. Consideremos primero la primera definición, el álgebra de operadores 𝑅1generada por ℤ𝑝[𝑥]y su derivación 𝜕=𝑑𝑥. Calculemos 𝜕𝑝(𝑥𝑘). Si 𝑘 < 𝑝 se anula por lo visto en (2). Lo mismo ocurre para 𝑘≥𝑝ya que al hacer el cálculo tenemos que 𝜕𝑝(𝑥𝑘) = 𝑝!(𝑘 𝑝)𝑥𝑘−𝑝, que se anula ya que el coeficiente es divisible por 𝑝. Luego 𝜕𝑝= 0 como operador sobre ℤ𝑝[𝑥]. De donde concluimos que el anillo 𝑅1tiene elementos nilpotentes. En particular, no es un dominio. Por otra parte, consideramos el anillo 𝑅2generado sobre ℤ∕(𝑝)por 𝑧1, 𝑧2sujetos a la relación [𝑧2, 𝑧1] = 1. Este anillo es un dominio. Sin embargo no es un anillo simple. Para ver que no es un anillo simple basta encontrar un ideal bilátero propio. Por ejemplo, si tomamos 𝑓∈ℤ∕(𝑝)[𝑧1]tenemos que [𝑧2, 𝑓] = 𝜕𝑓∕𝜕𝑧1. En particular, 12 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad [𝑧2, 𝑧𝑝 1] = 𝑝𝑧𝑝−1 1= 0. De donde concluimos que 𝑧𝑝 1conmuta con cada elemento de 𝑅2 y por tanto el ideal a la izquierda generado por 𝑧𝑝 1en 𝑅2es un ideal bilátero propio. 1.4 𝐾[𝑋]como 𝐴𝑛-módulo. Uno de los ejemplos más importantes de módulo sobre el álgebra de Weyl es el del anillo de polinomios. Este es un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda, simple y de torsión. En esta sección vamos a demostrar las afirmaciones anteriores. En la sección anterior hemos construido el álgebra de Weyl como un subanillo de un anillo de endomorfismos. Si 𝐾[𝑋]es el anillo de polinomios, tenemos que 𝐴𝑛(𝐾)es un subanillo de 𝐸𝑛𝑑𝐾𝐾[𝑋]. De aquí se deduce que 𝐾[𝑋]es un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda. Es decir, existe una acción natural de 𝐴𝑛sobre sobre el anillo de polinomios 𝐾[𝑋]ya que cada elemento 𝑃∈𝐴𝑛es un endomorfismo del 𝐾-espacio vectorial 𝐾[𝑋]. Esta acción natural es la que induce sobre 𝐾[𝑋]una estructura de 𝐴𝑛-módulo. La acción de los 𝑥𝑖sobre 𝐾[𝑋]es simplemente el producto por la variable 𝑥𝑖. Mientras que 𝜕𝑖 actua como la derivada parcial con respecto de la variable 𝑥𝑖. Antes de probar que es 𝐾[𝑋]es un 𝐴𝑛-módulo de torsión vamos a recordar qué es un elemento de torsión de un módulo. Sea 𝑀un 𝑅-módulo a la izquierda, donde 𝑅es un anillo arbitrario. Un elemento 𝑢∈𝑀es un elemento de torsión si 𝐚𝐧𝐧𝑅(𝑢)es un ideal a la izquierda no nulo. Donde 𝐚𝐧𝐧𝑅(𝑢)es el conjunto de elementos de 𝑀que anulan a 𝑢. Es decir, que su producto por la izquierda es nulo. Para probar que 𝐾[𝑋]es un 𝐴𝑛-módulo de torsión simple, vamos a usar los siguientes lemas. Lema 1.1.Sea 𝑅un anillo, 𝑀un 𝑅-módulo a la izquierda irreducible (simple). Y sea 𝑢∈𝑀, con 𝑢≠0, entonces 𝑀≅𝑅∕𝐚𝐧𝐧𝑅(𝑢) Demostración. Sea la función 𝜙∶𝑅→𝑀definida por 𝜙(1) = 𝑢. Es un homomorfismo de 𝑅-módulos y además como 𝑢≠0y𝑀es irreducible (simple), entonces es un homomorfismo de 𝑅-módulos sobreyectivo. Además tenemos que 𝐾𝑒𝑟(𝜙) = 𝐚𝐧𝐧𝑅(𝑢), de donde se concluye el isomorfismo anterior. Lema 1.2.Si 𝑅no es un anillo de división, (Un anillo de división es un anillo unitario, en el que cualquier elemento no nulo tiene su inverso multiplicativo), entonces 𝑀es un módulo de torsión. Demostración. Supongamos que 𝐚𝐧𝐧𝑅(𝑢) = 0 para algún 0≠𝑢∈𝑀. Se sigue del lema 1.1 que 𝑀≅𝑅. Como 𝑀es irreducible, esto es posible sólo si los ideales a la izquierda de 𝑅son triviales. Pero en este caso 𝑅sería un anillo de división y llegaríamos a contradicción. Luego 𝐚𝐧𝐧𝑅(𝑢)≠0para cada 0≠𝑢∈𝑀. 1. el álgebra de weyl 13 Teorema 1.2. 𝐾[𝑋]es un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda simple de torsión. Además se tiene que 𝐾[𝑋] ≅ 𝐴𝑛∕𝐴𝑛(𝜕1, ..., 𝜕𝑛) Donde 𝐴𝑛(𝜕1, ..., 𝜕𝑛)denota el ideal a la izquierda generado por 𝜕1, ..., 𝜕𝑛. Demostración. Antes que nada, es claro que 1 es un generador de 𝐾[𝑋]. Supongamos que 𝑓≠0es un polinomio y consideramos el submódulo de 𝐾[𝑋]dado por: 𝐴𝑛⋅𝑓=𝐴𝑛(𝑓) = {𝑃(𝑓)|𝑃∈𝐴𝑛}. Tomamos ahora 𝑥𝑖1 1 ⋯𝑥𝑖𝑛 𝑛el monomio de mayor grado de entre los monomios de 𝑓que tenga coeficiente no nulo. Sea 𝑎su coeficiente. Entonces aplicando el operador 𝐷=𝜕𝑖=𝜕𝑖1 1 ⋯𝜕𝑖𝑛 𝑛a𝑓obtenemos 𝐷(𝑓) = 𝜕𝑖𝑓=𝑖1!⋯𝑖𝑛!⋅𝑎 que es una constante no nula en el submódulo generado por 𝑓. Por lo tanto 𝐴𝑛⋅𝑓=𝐾[𝑋]. Luego 𝐾[𝑋]es simple. Como 𝐴𝑛no es un anillo de división, (ya que se puede probar facilmente que los operadores diferenciales no constantes no son invertibles), se sigue del lema 1.2 que 𝐾[𝑋]es un módulo de torsión. Ahora bien, 1 es un elemento de 𝐾[𝑋]el cual es anulado por cada 𝜕1, ..., 𝜕𝑛. Por lo que el ideal a la izquierda 𝐽generado por 𝜕1, ..., 𝜕𝑛está contenido en 𝐚𝐧𝐧𝐴𝑛(1). Para la otra inclusión, sea 𝑃∈𝐚𝐧𝐧𝐴𝑛(1). Entonces 𝑃puede ser escrito de la forma 𝑓+𝑄, donde 𝑄∈𝐽y𝑓∈𝐾[𝑋]. Así que 0 = 𝑃⋅1 = 𝑓⋅1 + 𝑄⋅1 = 𝑓, lo cual implica que 𝑓= 0. Por lo que 𝑃=𝑄∈𝐽y concluimos que 𝐽=𝐚𝐧𝐧𝐴𝑛(1). El isomorfismo se sigue del lema 1.1. 1.5 El 𝐴𝑛-módulo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. En esta sección asociaremos un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda, finitamente generado, a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de 𝐴𝑛. Donde cada ecuación va a venir dada por un operador diferencial de 𝐴𝑛. Esto nos permite dar una descripción puramente algebraica de las soluciones de cada uno de estos sistemas. Supongamos entonces que tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales lineal dado por 𝑃1(𝑓) = ... =𝑃𝑚(𝑓)=0, donde cada 𝑃𝑖, para 𝑖= 1, ..., 𝑚, es un operador diferencial 𝑃𝑖∈𝐴𝑛y𝑓puede ser un polinomio o si 𝐾=ℝ, una función en las variables 𝑥1, ..., 𝑥𝑛de clase ∞. 14 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad El 𝐴𝑛-módulo asociado al sistema de ecuaciones diferenciales anterior es 𝑀=𝐴𝑛∕𝐴𝑛(𝑃1, ..., 𝑃𝑚). Justificaremos esta definición con el teorema que veremos a continuación. Una solución polinómica del sistema puede definirse como un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑋] que verifique 𝑃𝑖(𝑓)=0para cada 𝑖= 1, ..., 𝑚. El conjunto de soluciones polinómicas del sistema de ecuaciones diferenciales lineales anterior forma un 𝐾-espacio vectorial. Teorema 1.3. Sea 𝑀el 𝐴𝑛-módulo asociado al sistema 𝑃1(𝑢) = ... =𝑃𝑚(𝑢) = 0.El espacio vectorial de soluciones polinomiales del sistema anterior es isomorfo a 𝐻𝑜𝑚𝐴𝑛(𝑀, 𝐾[𝑋]). Demostración. Sea 𝑓∈𝐾[𝑋]una solucion polinomial del sistema. Consideremos el homomorfismo 𝜓𝑓∶𝐴𝑛→𝐾[𝑋], definido por 𝜓𝑓(1) = 𝑓. Entonces si 𝑄∈𝐽=𝐴𝑛(𝑃1, ..., 𝑃𝑛), se tiene que 𝑄(𝑓) = 0. Es decir, 𝐽 ⊂ Ker(𝜓𝑓). Luego 𝜓𝑓 define un homomorfismo 𝜓𝑓∶𝑀=𝐴𝑛∕𝐽→𝐾[𝑋] definido por 𝜓𝑓(𝑃) = 𝑃(𝑓). Por lo tanto a un polinomio 𝑓que sea solución del sistema, le asociamos 𝜓𝑓∈ 𝐻𝑜𝑚𝐴𝑛(𝑀, 𝐾[𝑋]). Además esta aplicación, 𝑓←→ 𝜓𝑓, es una transformación lineal. Sean 𝑓, 𝑔 ∈𝐾[𝑋],𝜆∈𝐾. Entonces: 𝜓𝑓+𝜆𝑔(𝑃+𝐽) = 𝑃(𝑓+𝜆𝑔) = 𝑃(𝑓) + 𝜆𝑃 (𝑔)=(𝜓𝑓+𝜆𝜓𝑔)(𝑃) Para la aplicación inversa, si tomamos 𝜏∈𝐻𝑜𝑚𝐴𝑛(𝑀, 𝐾[𝑋]), entonces 𝜏lleva la clase del 1 en 𝑀a un polinomio ℎ. Además se puede demostrar con un pequeño cálculo que ℎes solución del sistema y que 𝜏=𝜓ℎ. Luego la regla 𝜏←→ 𝜏(1) define la transformación lineal inversa. Si notamos 𝜏(1) = ℎ≡ℎ𝜏y a como el conjunto de soluciones polinómicas del sistema. Hemos demostrado que las aplicaciones 𝑓∈→𝐻𝑜𝑚𝐴𝑛(𝑀, 𝐾[𝑋]) 𝜏∈𝐻𝑜𝑚𝐴𝑛(𝑀, 𝐾[𝑋]) →ℎ𝜏∈ Son aplicaciones 𝐾-lineales y son una la inversa de la otra. 2 Módulos graduados y filtraciones 2.1 Módulos graduados Como mencionábamos en la sección 1.3 los anillos simples son muy difíciles de tratar, es por eso que para trabajar con este tipo de anillos hay que usar anillos conmutativos especiales, los cuales tienen un comportamiento similar a 𝐴𝑛. Las graduaciones y las filtraciones nos permitirán estudiar la estructura de 𝐴𝑛y de sus módulos de forma más sencilla. Una característica importante del anillo de polinomios es que este admite una función de grado. El objetivo de este capítulo es generalizar y formalizar qué significa para un álgebra tener una función de grado. Esto nos permitirá definir los anillos graduados. Estos anillos tienen una gran importancia en la Geometría Algebraica, más precisamente en la Geometría Algebraica Proyectiva, para detalles ver [15], Capítulo 1. En primer lugar para llegar a donde queremos, tenemos que empezar describiendo qué es un álgebra graduada. Definición 2.1. Sea 𝑅una 𝐾-álgebra. Decimos que 𝑅es graduada si existen unos 𝐾-subespacios vectoriales 𝑅𝑖,𝑖≥0, tales que (1) 1 ∈ 𝑅0. Donde 1 es el elemento neutro de 𝑅. Por lo que 𝑅0es un subanillo de 𝑅. (2) 𝑅=⊕𝑖≥0𝑅𝑖, (3) 𝑅𝑖⋅𝑅𝑗⊆ 𝑅𝑖+𝑗. Llamamos componentes homogéneas de 𝑅a los 𝑅𝑖. Los elementos de 𝑅𝑖son los elementos homogéneos de grado 𝑖. Un ejemplo muy importante de álgebra graduada es el anillo de polinomios 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛], donde los monomios de la forma 𝑥𝑘1 1...𝑥𝑘𝑛 𝑛con 𝑘1+... +𝑘𝑛=𝑚forman una base de las componentes homogéneas de grado 𝑚. 16 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad Definición 2.2. Sea 𝑅un 𝐾-álgebra graduada. Se dice que un ideal bilátero 𝐼de 𝑅 es un ideal graduado si está generado por elementos homogéneos, lo cual es equivalente a que 𝐼=⊕𝑖≥0(𝐼∩𝑅𝑖). Definición 2.3. Sea ahora 𝑆=⊕𝑖≥0𝑆𝑖otra 𝐾-álgebra graduada. Un homomorfismo de 𝐾-álgebras 𝜙∶𝑅→𝑆es graduado si 𝜙(𝑅𝑖)⊆ 𝑆𝑖para cada 𝑖. Es decir, un homomorfismo graduado es aquel que respeta el grado. Proposición 2.1.Sean 𝑅=⊕𝑖≥0𝑅𝑖y𝑆=⊕𝑖≥0𝑆𝑖dos álgebras graduadas sobre 𝐾, entonces tenemos los siguientes resultados. (1) Si 𝐼es un ideal bilátero graduado de 𝑅entonces 𝑅∕𝐼es un álgebra graduada sobre 𝐾. (2) El núcleo de un homomorfismo graduado de 𝐾-álgebras 𝜙∶𝑅→𝑆es un ideal bilátero graduado de 𝑅. Demostración. En primer lugar tenemos que 𝑅∕𝐼se puede descomponer como suma directa de 𝐾-espacios vectoriales como sigue, 𝑅∕𝐼≃⊕𝑖≥0(𝑅𝑖∕(𝐼∩𝑅𝑖)) Sean 𝑎𝑖∈𝑅𝑖y𝑎𝑗∈𝑅𝑗entonces (𝑎𝑖+𝐼)(𝑎𝑗+𝐼) = 𝑎𝑖𝑎𝑗+𝐼, que corresponde a un elemento de 𝑅𝑖+𝑗∕(𝐼∩𝑅𝑖+𝑗)bajo este homomorfismo. Concluimos entonces que se cumplen fácilmente las tres propiedades de 𝐾-álgebra graduada, (la (1) es trivial) y por tanto 𝑅∕𝐼es una 𝐾-álgebra graduada. Por otra parte si 𝜙es un homomorfismo graduado. Sea 𝑎=𝑎0⊕ ... ⊕ 𝑎𝑚un elemento del núcleo de 𝜙. Entonces se tiene que 𝜙(𝑎) = 𝜙(𝑎0) + ... +𝜙(𝑎𝑚). Ahora bien como 𝜙es graduado, esta suma es una suma directa. Y por tanto cada 𝑎𝑖 es un elemento del núcleo de 𝜙, es decir que el 𝐾𝑒𝑟(𝜙)está formado por elementos homogéneos y por tanto es un ideal graduado. Esto nos proporciona una manera de generar ejemplos de anillos graduados, los cuales tienen una gran importancia en la Geometría Algebraica. Por ejemplo, cocientes del anillo de polinomios. Sean 𝑓1, ..., 𝑓𝑘polinomios homogéneos en 𝐾[𝑥1, ..., .𝑥𝑛]. Entonces el cociente 𝐾[𝑥1, ..., .𝑥𝑛]∕(𝑓1, ..., 𝑓𝑘)es un anillo graduado. Ya que el ideal generado por 𝑓1, ..., 𝑓𝑘es un ideal bilátero graduado por estar generado por elementos homogéneos y por tanto usando la proposición 2.1(1) tenemos que el cociente anterior es un un anillo graduado. 2. módulos graduados y filtraciones 17 Definición 2.4. Sea 𝑅=⨁𝑖≥0𝑅𝑖una 𝐾-álgebra graduada. Un 𝑅-módulo a la izquierda 𝑀es graduado si existen 𝐾-espacios vectoriales 𝑀𝑖, para 𝑖≥0. tales que: (1) 𝑀=⨁𝑖≥0𝑀𝑖, (2) 𝑅𝑖⋅𝑀𝑗⊆ 𝑀𝑖+𝑗. Donde como antes, los 𝑀𝑖son las componentes homogéneas de grado 𝑖de 𝑀. De la misma forma que antes se pueden definir los submódulos graduados y los homomorfismos graduados de módulos. Tendríamos pues, los mismos resultados que en el caso de anillos graduados las demostraciones se harían de manera análoga. En la sección 1.3 estudiamos el grado total de un operador en 𝐴𝑛. Pero esta función de grado no sirve para hacer de 𝐴𝑛un anillo graduado. Ya que los elementos como 𝜕𝑡𝑥𝑡deberían de ser homogéneos de grado total 2, pero es igual a 𝑥𝑡𝜕𝑡+ 1 que no es homogéneo. Para poder usar esta función de grado debemos generalizar los anillos graduados, para obtener anillos filtrados. Definición 2.5. Sea 𝑅una 𝐾-álgebra. Una familia = {𝐹𝑖}𝑖≥0de 𝐾-espacios vectoriales es una filtración de 𝑅si: (1) 1 ∈ 𝐹0. (2) 𝐹0⊆ 𝐹1⊆ ...𝑅, (3) 𝑅=⋃𝑖≥0𝐹𝑖, (4) 𝐹𝑖⋅𝐹𝑗⊆ 𝐹𝑖+𝑗. Observamos que de los dos primeros puntos y del último que obtenemos que 𝐹0es un subanillo de 𝑅. Por convenio 𝐹𝑗= {0}, para 𝑗 < 0por lo que en estas definiciones hemos tomado 𝑗≥0. Si un álgebra tiene alguna filtración, entonces se dice que es un álgebra filtrada Se puede probar que toda álgebra graduada es un álgebra filtrada, pero que el recíproco no es cierto en general. Supongamos que 𝐺=⨁𝑖≥0𝐺𝑖es un álgebra graduada. Consideramos los espacios vectoriales 𝐹𝑘=⨁𝑘 0𝐺𝑖. Claramente 𝐹𝑘⊆ 𝐹𝑘+1 y la unión de todos ellos es el total 𝐺. Además 𝐹𝑘⋅𝐹𝑚=⨁𝑖+𝑗≤𝑘+𝑚𝐺𝑖𝐺𝑗 Y sabemos que 𝐺𝑖𝐺𝑗⊆ 𝐺𝑖+𝑗, de donde concluimos que 𝐹𝑘𝐹𝑚⊆ 𝐹𝑘+𝑚. Luego {𝐹𝑖}𝑖≥0 es una filtración de 𝐺. Por otra parte hay álgebras filtradas las cuales no provienen de una graduación. Esto ocurre con el álgebra de Weyl, la cual tiene muchas filtraciones distintas. La filtración que trataremos sobretodo en este texto es la filtración de Bernstein. = {𝐵𝑘}𝑘∈ℕ. Es la filtración definida usando el grado total que definimos de los 18 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad operadores de 𝐴𝑛. Donde 𝐵𝑘el conjunto de todos los operadores de 𝐴𝑛de grado total menor o igual a 𝑘. La primera, la segunda y la tercera condición de filtración se satisfacen para los 𝐵𝑘y la cuarta condición se tiene de que el grado total del producto de dos operadores de 𝐴𝑛es la suma de los grados totales de ambos operadores. Por lo tanto 𝐵𝑖𝐵𝑗⊆ 𝐵𝑖+𝑗. Luego = {𝐵𝑘}𝑘∈ℕes una filtración de 𝐴𝑛. La filtración de Bernstein tiene una característica especial, cada 𝐵𝑘es un espacio vectorial de dimensión finita. Una base de 𝐵𝑘está determinada por las combinaciones lineales de monomios 𝑥𝛼𝜕𝛽con |𝛼|+|𝛽|≤𝑘. En particular 𝐵0=𝐾y{1, 𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝜕1, ..., 𝜕𝑛} es una base de 𝐵1. Para el caso genérico, si tomamos 𝐵𝑘sabemos que su base está generada por los monomios 𝑥𝛼𝜕𝛽para los cuales |𝛼|+|𝛽|≤𝑘, por tanto el número de elementos de su base está determinado por el número de soluciones no negativas de 𝛼1+...+𝛼𝑛+𝜕1+...+𝜕𝑛≤𝑘, el cual viene dado por (2𝑛+𝑘 𝑘). Este número combinatorio cogerá importancia en la siguiente sección cuando definamos la dimensión de un 𝐴𝑛-módulo. ∙Nuestro objetivo ahora, es usar una filtración en un álgebra para construir un álgebra graduada de la siguiente forma. Sea 𝑅un 𝐾-álgebra. Supongamos que = {𝐹𝑖}𝑖∈ℕes una filtración de 𝑅. Denotamos por 𝑔𝑟 𝑘𝑅=𝐹𝑘∕𝐹𝑘−1 y sea 𝜎𝑘∶𝐹𝑘→𝐹𝑘∕𝐹𝑘−1. la proyección canónica a la cual llamaremos función símbolo de orden 𝑘. Donde 𝜎𝑘(𝑑) = 𝑑+𝐹𝑘−1 para 𝑑∈𝐹𝑘. Es decir, si 𝑑es un operador de 𝐹𝑘, se tiene que 𝜎𝑘(𝑑)no es nulo si y solo si 𝑑∉𝐹𝑘−1. Definimos ahora el 𝐾-espacio vectorial 𝑔𝑟𝑅=⨁𝑖≥0𝑔𝑟 𝑖𝑅=⨁𝑖≥0(𝐹𝑖∕𝐹𝑖−1). Podemos definir el producto de dos elementos homogéneos en este 𝐾-espacio vectorial. De esta forma obtendremos que con esta función de producto este 𝐾-espacio vectorial verificará las propiedades de un anillo graduado. En primer lugar tenemos que los elementos homogéneos de 𝑔𝑟𝑅son de la forma 𝜎𝑘(𝑑)para algún 𝑑∈𝐹𝑘, definimos pues el producto de dos elementos de 𝑔𝑟𝑅de la siguiente forma 𝜎𝑘(𝑑)𝜎𝑚(𝑐)=𝜎𝑘+𝑚(𝑑𝑐). Para 𝑑∈𝐹𝑘y𝑐∈𝐹𝑚. El cual está bien definido ya que 𝐹𝑘⋅𝐹𝑚⊆ 𝐹𝑘+𝑚y por tanto 𝜎𝑘+𝑚(𝑑𝑐) ∈ 𝐹𝑘+𝑚∕𝐹𝑘+𝑚−1. Con este producto podemos probar que 𝑔𝑟𝑅es una 𝐾- álgebra graduada. Ya que la propiedad (3) de la definición se tiene directamente de la 2. módulos graduados y filtraciones 19 definición de este producto y las primeras dos propiedades se tienen directamente de las propiedades de la filtración . Los elementos homogéneos son los 𝐹𝑖∕𝐹𝑖−1. A esta 𝐾-álgebra se la denomina la álgebra graduada asociada a la filtración de 𝑅. Notaremos al álgebra graduada asociada a la filtración de Bernstein del álgebra de Weyl como 𝑆𝑛=𝑔𝑟𝐴𝑛, para la cual tenemos el siguiente resultado el cual es muy importante ya que nos facilita en gran medida el estudio de estos elementos. Teorema 2.1. El álgebra graduada 𝑆𝑛es isomorfa al anillo de polinomios en 2n variables. Demostración. Para 𝑖= 1, ..., 𝑛. Sean 𝑦𝑖=𝜎1(𝑥𝑖),𝑦𝑖+𝑛=𝜎1(𝜕𝑖)y sea 𝐾[𝑧1, ..., 𝑧2𝑛]el anillo de polinomios en 2𝑛variables. Definimos el homomorfismo de anillos 𝜙∶𝐾[𝑧1, ..., 𝑧2𝑛]→𝑆𝑛 Por 𝜙(𝑧𝑖) = 𝑦𝑖.𝜙es un homomorfismo graduado de 𝐾-álgebras ya que los elementos 𝑧𝑖son de grado 1 sobre 𝐾[𝑧1, ..., 𝑧𝑛]y los elementos 𝑦𝑖tienen también grado igual a 1 sobre 𝑆𝑛. Para probar este resultado debemos probar en primer lugar que 𝑆𝑛está generado por los elementos 𝑦1, ..., 𝑦2𝑛como 𝐾-álgebra y que la aplicación anterior es un isomorfismo graduado de 𝐾-álgebras. Para probar que 𝑆𝑛está generado por esos elementos como 𝐾-álgebra basta probar que los elementos 𝑦1, ..., 𝑦2𝑛generan a los elementos homogéneos de 𝑆𝑛. Ahora bien, los elementos homogéneos de 𝑆𝑛son de la forma 𝜎𝑘(𝑑), para algún 𝑑∈ 𝐴𝑛de grado 𝑘. Sabemos que 𝑑es una combinación lineal de monomios 𝑥𝛼𝜕𝛽, con |𝛼|+|𝛽|≤𝑘. Al aplicar la función símbolo 𝑘buscamos |𝛼|+|𝛽|=𝑘, entonces 𝜎𝑘(𝑥𝛼𝜕𝛽)=(𝑦𝛼1 1, ..., 𝑦𝛼𝑛 𝑛)(𝑦𝛽1 𝑛+1, ..., 𝑦𝛽𝑛 2𝑛) Luego 𝜎𝑘(𝑑)es combinación lineal de monomios en 𝑦1, ..., 𝑦2𝑛de grado 𝑘. ∙𝑆𝑛es un anillo conmutativo. Para probar esto basta probar que 𝑦1, ..., 𝑦2𝑛son conmutativos. Ya que estos generan 𝑆𝑛. Para 𝑖= 1, ..., 𝑛 tenemos que 𝑦𝑖𝑦𝑖+𝑛=𝜎2(𝑥𝑖𝜕𝑖)y por otro lado 𝑦𝑖+𝑛𝑦𝑖=𝜎2(𝜕𝑖𝑥𝑖). Ahora bien, tenemos que 𝜕𝑖𝑥𝑖=𝑥𝑖𝜕𝑖+ 1 y por tanto se tiene la igualdad 𝜎2(𝑥𝑖𝜕𝑖) = 𝜎2(𝜕𝑖𝑥𝑖). De la misma forma usando los conmutadores que vimos al principio del texto podemos probar que 𝑦𝑖conmuta con 𝑦𝑗para 𝑗≠𝑖+𝑛. Luego 𝑆𝑛es un anillo conmutativo. Usando que 𝑆𝑛es generado por 𝑦1, ..., 𝑦2𝑛y que además estos elementos conmutan, se tiene fácilmente que 𝜙es un homomorfismo sobreyectivo. ∙Veamos ahora que 𝜙es inyectivo, lo cual concluirá el resultado. Sea 𝐹∈𝐾[𝑧1, ..., 𝑧2𝑛] y supongamos que 𝜙(𝐹)=0. Sin pérdida de generalidad podemos asumir que 𝐹es un polinomio homogéneo ya que 𝜙es un homomorfismo graduado. Entonces sea 3 Dimensión de un 𝐴𝑛-módulo 3.1 El polinomio de Hilbert-Samuel Definición 3.1. Sea un polinomio 𝑝(𝑡) ∈ ℚ[𝑡]. Se dice que 𝑝(𝑡)es un polinomio numérico si 𝑝(𝑛) ∈ ℤpara todos los enteros 𝑛 >> 0. Definición 3.2. Sea 𝑓∶ℂ→ℂuna función. Definimos la función diferencia como Δ𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧+ 1) − 𝑓(𝑧). Proposición 3.1.Sea 𝑝(𝑡) ∈ ℚ[𝑡]un polinomio numérico de grado 𝑘. Entonces existen unos enteros 𝑐0, ..., 𝑐𝑘tales que 𝑝(𝑡) = 𝑘 ∑ 𝑖=0 𝑐𝑘−𝑖(𝑡 𝑖). En particular tenemos que 𝑝(𝑛) ∈ ℤ, para todo 𝑛∈ℤ. Demostración. Probaremos este resultado por inducción en el grado de 𝑝(𝑡). Si 𝑝(𝑡) tiene grado 0, entonces por la definición de polinomio numérico debe ser un entero. Supongamos que el resultado se mantiene para todos los polinomios numéricos de grado ≤𝑘− 1. Sea 𝑝(𝑡)un polinomio numérico de grado 𝑘. Como el término líder de (𝑡 𝑟)es 𝑡𝑟∕𝑟!, existen números racionales 𝑐0, ..., 𝑐𝑘tales que 𝑝(𝑡) = ∑𝑘 0𝑐𝑘−𝑖(𝑡 𝑖),ver [25] (pág. 320). Hay que probar que 𝑐𝑖∈ℤpara cada 𝑖. Para ello vamos a usar que Δ(𝑡 𝑟)=(𝑡 𝑟−1). Lo cual se puede probar fácilmente con un sencillo cálculo que dejamos para el final de la prueba. Usando la igualdad anterior tenemos que Δ𝑝(𝑡) = ∑𝑘 1𝑐𝑘−𝑖(𝑡 𝑖−1). Como Δ𝑝(𝑡)tiene grado 𝑘− 1, por inducción tenemos que 𝑐𝑘−1, ..., 𝑐0∈ℤ. Luego 𝑝(𝑡) − 𝑐𝑘=∑𝑘 1𝑐𝑘−𝑖(𝑡 𝑖)es entero. Como 𝑝(𝑡)es un polinomio numérico, se tiene que para 𝑟 >> 0ambos 𝑝(𝑟)y𝑝(𝑟) − 𝑐𝑘son enteros. Luego 𝑐𝑘∈ℤ. Por último si tomamos 𝑓(𝑡) = (𝑡 𝑟)tenemos que Δ𝑓(𝑡)viene dado por: (𝑡+1)! (𝑡+1−𝑟)!𝑟!−𝑡! (𝑡−𝑟)!𝑟!= ((𝑡+ 1) − (𝑡−𝑟+ 1))(𝑡(𝑡− 1) ⋯(𝑡−𝑟+ 2)) = 𝑡(𝑡−1)⋯(𝑡−𝑟+2) (𝑟−1)! =(𝑡 𝑟−1). 28 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad Con este resultado hemos probado que cualquier polinomio numérico se puede escribir como una combinación lineal entera de binomios. Lo cual nos va a simplificar bastante la definición de dimensión de un 𝐴𝑛-módulo. Ya que esta definición la daremos usando el polinomio de Hilbert, el cual es un polinomio numérico. Además se puede probar que esta combinación lineal es única. Es decir, que los enteros 𝑐0, ..., 𝑐𝑘 del resultado anterior son únicos. La prueba de esto se puede encontrar en [25], en la solución del problema 85 en la página 320. Lema 3.1.Sea 𝑓∶ℤ→ℤuna función. Supongamos que existe un polinomio numérico 𝑞(𝑡) ∈ ℚ[𝑡]tal que Δ𝑓(𝑛) = 𝑞(𝑛), para todo 𝑛 >> 0. Entonces existe un polinomio numérico 𝑝(𝑡) ∈ ℚ[𝑡]tal que 𝑓(𝑛) = 𝑝(𝑛), para todo 𝑛 >> 0. Demostración. Usando la proposición 3.1 tenemos que existen unos enteros 𝑐0, ..., 𝑐𝑘 para los cuales podemos escribir 𝑞(𝑡)de la forma: 𝑞(𝑡) = ∑𝑘 0𝑐𝑘−𝑖(𝑡 𝑖), Sea 𝑝(𝑡) = ∑𝑘 0𝑐𝑘−𝑖(𝑡 𝑖+1). Entonces tenemos que Δ𝑝(𝑡) = 𝑞(𝑡). Para esta igualdad hemos usado que Δ(𝑡 𝑖)=(𝑡 𝑖−1). Tenemos por lo tanto que Δ(𝑓−𝑝)(𝑛)=0para cada 𝑛 >> 0. Pero esto sólo es posible si (𝑓−𝑝)(𝑛)es una constante en ℤ,la cual llamaremos 𝑐𝑘+1, para todo 𝑛 >> 0. Por lo que 𝑓(𝑛) = 𝑝(𝑛) + 𝑐𝑘+1, para cada 𝑛 >> 0como se quería demostrar. Teorema 3.1. Sea 𝑀=⊕𝑖≥0𝑀𝑖un módulo graduado finitamente generado sobre el anillo de polinomios 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. Existe un polinomio numérico (𝑡) ∈ ℚ[𝑡]y un entero positivo 𝑁tales que ∑𝑠 𝑖=0 dim𝐾(𝑀𝑖) = (𝑠)para todo 𝑠≥𝑁. Demostración. La prueba es por inducción en el número 𝑛de variables. Si 𝑛= 0, nos reducimos al cuerpo base 𝐾. En este caso el módulo finitamente generado 𝑀es un espacio vectorial de dimensión finita. Luego está generado por un número finito de componentes homogéneas. Así ∑𝑠 𝑖=0 dim𝐾(𝑀𝑖) = dim𝐾𝑀 para 𝑠 >> 0, y podemos elegir (𝑡) = dim𝐾𝑀, como una constante. suponemos, por inducción, que el teorema se mantiene para los módulos graduados finitamente generados sobre el anillo de polinomios 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛−1]. Sea ahora 𝑀=⊕𝑖≥0𝑀𝑖un módulo graduado finitamente generado sobre el anillo de polinomios 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. Y definimos la función 𝑓∶ℤ→ℤdada por 𝑓(𝑠) = ∑𝑠 𝑖=−∞ dim𝐾(𝑀𝑖) 3. dimensión de un 𝑎𝑛-módulo 29 donde 𝑀𝑖= 0 si 𝑖 < 0. Sea 𝜙𝑖∶𝑀𝑖→𝑀𝑖+1 la función lineal de espacios vectoriales definida por el producto por 𝑥𝑛. Los conjuntos 𝑄𝑖=𝐾𝑒𝑟(𝜙𝑖)y𝐿𝑖=𝐶𝑜𝐾𝑒𝑟(𝜙𝑖) forman la siguiente sucesión exacta de espacios vectoriales: 0→𝑄𝑖−1 →𝑀𝑖−1 𝜙𝑖−1 ←→ 𝑀𝑖→𝐿𝑖→0. Ahora bien, tenemos que 𝑄=⊕𝑖≥0𝑄𝑖y𝐿=⊕𝑖≥0𝐿𝑖son dos módulos graduados finitamente generados sobre 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. Ya que son respectivamente el Kernel y el CoKernel del endomorfismo de 𝑀definido por el producto de 𝑥𝑛. Como los elementos de 𝐿y𝑄son anulados por 𝑥𝑛, entonces son de hecho 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛−1]-módulos graduados finitamente generados. Así, por inducción, existen polinomios 1(𝑡),2(𝑡) ∈ ℚ[𝑡] tales que 1(𝑠) = ∑𝑠 𝑖=0 dim𝐾(𝑄𝑖)y2(𝑠) = ∑𝑠 𝑖=0 dim𝐾(𝐿𝑖), para 𝑠 >> 0. Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad debido a que la sucesión anterior es exacta. dim𝐾𝑄𝑖−1 − dim𝐾𝑀𝑖−1 + dim𝐾𝑀𝑖− dim𝐾𝐿𝑖= 0 Sumando entonces para 0≤𝑖≤𝑠y𝑠 >> 0, se obtiene que 1(𝑠− 1) + Δ𝑓(𝑠) − 2(𝑠)=0. Entonces tenemos que Δ𝑓(𝑠)es un polinomio numérico para 𝑠 >> 0ya que es diferencia de dos polinomios numéricos. Podemos concluir pues que por el lema anterior 𝑓(𝑠)es un polinomio numérico para todo 𝑠 >> 0, como se requería. Este polinomio es conocido como el polinomio de Hilbert del módulo graduado finitamente generado 𝑀. 3.2 Dimensión y Multiplicidad Ahora estamos preparados para definir la dimensión de un módulo sobre 𝐴𝑛usando el polinomio de Hilbert que acabamos de ver. Sea M un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda finitamente generado. Supongamos que Γes una buena filtración de M con respecto a la filtración de Bernstein , que además sabemos que cualquier 𝐴𝑛-módulo admite una buena filtración. Denotamos por (𝑡, Γ, 𝑀)el polinomio de Hilbert del 𝑆𝑛módulo graduado 𝑔𝑟Γ𝑀=⊕𝑖≥0(Γ𝑖∕Γ𝑖−1)sobre el anillo de polinomios 𝑆𝑛, el cual es finitamente generado debido a que Γes una filtración buena. Por el teorema anterior, tenemos que, para 𝑡 >> 0, 30 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad (𝑡, Γ, 𝑀) = ∑𝑡 𝑖=0 dim𝐾(Γ𝑖∕Γ𝑖−1) = dim𝐾(Γ𝑡). Esta última igualdad se tiene de que la sucesión de espacios vectoriales 0→Γ𝑘−1 𝑖𝑘 →Γ𝑘 𝜋𝑘 →Γ𝑘∕Γ𝑘−1 →0 donde 𝑖𝑘y𝜋𝑘son las aplicaciones inclusión y proyección canónica respectivamente, es una sucesión exacta. Y por tanto se tiene que dim𝐾(Γ𝑘)−dim𝐾(Γ𝑘−1) = dim𝐾(Γ𝑘∕Γ𝑘−1). Por tanto en el sumatorio anterior se cancelan todos los términos excepto 𝑑𝑖𝑚𝐾(Γ𝑡). Definición 3.3. Sea M un 𝐴𝑛-módulo cumpliendo lo anterior, entonces La dimensión de M es el grado del polinomio (𝑡, Γ, 𝑀)denotado por 𝑑=𝑑(𝑀). Sea 𝑎𝑑(𝑀)el coeficiente líder de (𝑡, Γ, 𝑀)como polinomio en la variable 𝑡. Definimos la multiplicidad de M como 𝑚(𝑀)=𝑑!𝑎𝑑(𝑀). Aparentemente estas definiciones de dimensión y multiplicidad pueden depender de la filtración buena que tomemos para la construcción del polinomio de Hilbert, pero esto no es así. Sean ΓyΩdos filtraciones buenas para M. Usando la proposición 2.7 que vimos en la sección de filtraciones buenas, con la cual podíamos relacionar dos filtraciones buenas. Tenemos que existe un entero 𝑘tal que Ω𝑗−𝑘⊆Γ𝑗⊆Ω𝑗+𝑘. En particular se tiene que, dim𝐾Ω𝑗−𝑘≤dim𝐾Γ𝑗≤dim𝐾Ω𝑗+𝑘. Usando el teorema 3.1 del polinomio de Hilbert tenemos que para 𝑗 >> 0 (𝑗−𝑘, Ω, 𝑀)≤ (𝑗, Γ, 𝑀)≤ (𝑗+𝑘, Ω, 𝑀). como el comportamiento de un polinomio en valores muy grandes viene determinado por su término líder y podemos tomar 𝑗 >> 0suficientemente grande, podemos concluir de las desigualdades anteriores que (𝑗, Γ, 𝑀)y(𝑗, Ω, 𝑀)tienen mismo grado y coeficiente líder. Y por tanto 𝑑(𝑀)y𝑚(𝑀)son independientes de la filtración buena tomada para M. ∙Estudiemos estas definiciones con varios ejemplos. El primero es la filtración de Bernstein la cual hemos visto que es una buena filtración para un 𝐴𝑛-módulo. Tomemos 𝑀=𝐴𝑛que obviamente es un 𝐴𝑛-módulo. Calculemos (𝑡, , 𝑀) = dim𝐾(𝐵𝑡). Los monomios 𝑥𝛼𝜕𝛽para |𝛼|+|𝛽|≤𝑡forman una base como 𝐾-espacio vectorial de las componentes homogéneas , de grado menor o igual que 𝑡,𝐵𝑡de la filtración de Bernstein. Por tanto, es suficiente calcular el número de elementos de esta base para saber su dimensión y para ello es suficiente contar las soluciones no negativas de la ecuación 𝛼1+... +𝛼𝑛+𝛽1+... +𝛽𝑛≤𝑡, por un cálculo rápido de combinatoria, obtenemos que el número de soluciones es (𝑡+2𝑛 2𝑛). Luego obtenemos que el polinomio de Hilbert correspondiente es (𝑡, , 𝑀)=(𝑡+2𝑛 2𝑛)=(𝑡+2𝑛)(𝑡+2𝑛−1)⋯(𝑡+1) (2𝑛)! . Visto como un 3. dimensión de un 𝑎𝑛-módulo 31 polinomio en la variable 𝑡, tiene grado 2𝑛y coeficiente líder 1∕(2𝑛)!, luego 𝑑(𝐴𝑛)=2𝑛 y𝑚(𝐴𝑛)=1. Como mencionábamos en la anterior sección, estos números combinatorios empiezan a tener importancia, ya que nos dan la información necesaria de la dimensión y multiplicidad de un 𝐴𝑛-módulo. ∙Otro buen ejemplo para visualizar esto es el 𝐴𝑛-módulo, 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]con la filtración {Γ𝑘}𝑘≥0, donde Γ𝑡es el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual que 𝑡. Es fácil comprobar que es una buena filtración de este 𝐴𝑛-módulo. De la misma forma que antes tenemos que dim𝐾Γ𝑡=(𝑛+𝑡 𝑛), ya que en este caso buscamos las soluciones no negativas de 𝛼1+... +𝛼𝑛≤𝑡. Y por tanto el polinomio de Hilbert viene dado por (𝑡, Γ, 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]) =(𝑛+𝑡 𝑛)el cual es un polinomio de grado 𝑛y coeficiente líder 1∕𝑛!. Luego 𝑑(𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]) = 𝑛y𝑚(𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]) = 1. ∙Sea 𝑀un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda y Γuna buena filtración de 𝑀respecto de Sea 𝑁un submódulo de 𝑀. Y sean Γ′yΓ′′ las filtraciones inducidas por Γen 𝑁 y en 𝑀∕𝑁, respectivamente. Vimos en el apartado de filtraciones inducidas que la sucesión de 𝑆𝑛-módulos 0→𝑔𝑟Γ′𝑁→𝑔𝑟Γ𝑀→𝑔𝑟Γ′′ 𝑀∕𝑁→0 es exacta, además Γes una filtración buena, por lo que 𝑔𝑟Γ𝑀es finitamente generado. Y se tiene que 𝑆𝑛es un anillo Noetheriano. Luego 𝑔𝑟Γ′𝑁y𝑔𝑟Γ′′ 𝑀∕𝑁son finitamente generados y por lo tanto las filtraciones inducidas son filtraciones buenas de 𝑀respecto de . ∙Por otra parte tenemos que la sucesión de espacios vectoriales 0→Γ′ 𝑘∕Γ′ 𝑘−1 →Γ𝑘∕Γ𝑘−1 →Γ′′ 𝑘∕Γ′′ 𝑘−1 →0 es exacta, (ver prop. 2.3). Luego las dimensiones verifican dim𝐾Γ′ 𝑘∕Γ′ 𝑘−1 + dim𝐾Γ′′ 𝑘∕Γ′′ 𝑘−1 = dim𝐾Γ𝑘∕Γ𝑘−1. Sumando estos términos en 𝑘=0,1,2, ..., 𝑠 y asumiendo que 𝑠 >> se obtiene que (𝑠, Γ′, 𝑁) + (𝑠, Γ′′, 𝑀∕𝑁) = (𝑠, Γ, 𝑀). Este punto nos proporciona dos resultados que van a ser muy útiles a la hora de calcular la dimensión de algunos módulos. Teorema 3.2. Sea 𝑀un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda finitamente generado y 𝑁un submódulo de 𝑀, entonces se verifica. 32 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad (1) 𝑑(𝑀)= max{𝑑(𝑁), 𝑑(𝑀∕𝑁)}. (2) si 𝑑(𝑁) = 𝑑(𝑀∕𝑁)entonces 𝑚(𝑀) = 𝑚(𝑁) + 𝑚(𝑀∕𝑁). La prueba se obtiene trivialmente usando la igualdad entre polinomios de Hilbert anterior (𝑠, Γ′, 𝑁) + (𝑠, Γ′′, 𝑀∕𝑁) = (𝑠, Γ, 𝑀). por una parte 𝑑(𝑀)corresponde al grado del polinomio de la derecha de la igualdad, y como estamos sumando polinomios de coeficientes líderes positivos, ya que estos son polinomios numéricos, entonces se tiene que 𝑑(𝑀)= max{𝑑(𝑁), 𝑑(𝑀∕𝑁)}.(1) Por otra parte si 𝑑(𝑁) = 𝑑(𝑀∕𝑁)entonces todos los polinomios de la igualdad anterior tienen el mismo grado por (1), luego de la igualdad obtenemos que el coeficiente líder de (𝑠, Γ, 𝑀)es la suma de los coeficientes líderes de los otros dos polinomios y de ahí se concluye (2). Corolario 3.1.Sean 𝑀1, .., 𝑀𝑘unos 𝐴𝑛-módulos a la izquierda finitamente generados, y 𝑀=𝑀1⊕ ... ⊕ 𝑀𝑘, entonces se verifican. (1) 𝑑(𝑀)= max{𝑑(𝑀1), ..., 𝑑(𝑀𝑘)}. (2) si 𝑑(𝑀)=𝑑(𝑀𝑖)para 1≤𝑖≤𝑘, entonces 𝑚(𝑀) = ∑𝑘 𝑖=1 𝑚(𝑀𝑖). La demostración de este resultado se sigue por inducción aplicando el teorema anterior en la sucesión exacta 0→𝑀𝑘→𝑀→𝑀1⊕ ... ⊕ 𝑀𝑘−1 →0. Gracias a este corolario podemos acotar superiormente la dimensión de un 𝐴𝑛-módulo finitamente generado por 2𝑛. Corolario 3.2.Sea 𝑀un 𝐴𝑛-módulo finitamente generado. Entonces 𝑑(𝑀)≤2𝑛. Demostración. Supongamos que 𝑀es finitamente generado por un conjunto 𝑆que consta de 𝑟elementos, entonces existe un homomorfismo sobreyectivo 𝜙𝑆∶𝐴𝑟 𝑛→𝑀. Se sigue del teorema anterior que como 𝐊𝐞𝐫(𝜙𝑆)es un submódulo de 𝐴𝑟 𝑛, entonces 𝑑(𝐴𝑟 𝑛)= max{𝑑(𝐴𝑟 𝑛∕𝐊𝐞𝐫 𝜙𝑆), 𝑑(𝐊𝐞𝐫 𝜙𝑆)}. Donde por el primer teorema de isomorfia tenemos que 𝐴𝑟 𝑛∕𝐊𝐞𝐫 𝜙𝑆≃𝑀y además como 𝑑(𝐴𝑟 𝑛)=2𝑛, concluimos que 𝑑(𝑀) = 𝑑(𝐴𝑟 𝑛∕𝐊𝐞𝐫 𝜙𝑆)≤2𝑛. Hemos obtenido una cota superior para la dimensión de un 𝐴𝑛-módulo finitamente generado. Pero la dimensión de un 𝐴𝑛-módulo se puede afinar todavía un poco más. A continuación veremos que la dimensión de un 𝐴𝑛-módulo tiene también una cota inferior. 3. dimensión de un 𝑎𝑛-módulo 33 3.3 Desigualdad de Bernstein Para determina la cota inferior de un 𝐴𝑛-módulo vamos a comenzar con un resultado de álgebra lineal. Lema 3.2.Sea 𝑀un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda finitamente generado con una filtración Γrespecto de . Supongamos que Γ0≠0. Entonces la transformación 𝐾-lineal 𝜙∶𝐵𝑖→𝐻𝑜𝑚𝐾(Γ𝑖,Γ2𝑖) que lleva cada elemento 𝑎∈𝐵𝑖a la transofrmación lineal 𝜙𝑎(𝑢) = 𝑎𝑢 es inyectiva. La demostración de este lema técnico se puede encontrar en [10], pág. 82. Teorema 3.3. Sea 𝑀un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda finitamente generado y no nulo, entonces 𝑑(𝑀)≥𝑛. Demostración. Sea 𝑆= {𝑢1, ..., 𝑢𝑟}un conjunto de generadores de 𝑀y sea Γla filtración definida por Γ𝑘=∑𝑟 𝑖=1 𝐵𝑘𝑢𝑖. Ya vimos que esta filtración era buena respecto de la filtración de Bernstein ya que el módulo graduado 𝑔𝑟Γ𝑀es generado sobre 𝑆𝑛 por los símbolos 𝑢1, ..., 𝑢𝑟. Como 𝐵0=𝐾entonces Γ0≠0. Sea (𝑡) = (𝑡, Γ, 𝑀)el polinomio de Hilbert correspondiente. Usando el lema anterior tenemos que la transformación 𝐾-lineal 𝜙∶𝐵𝑖→𝐻𝑜𝑚𝐾(Γ𝑖,Γ2𝑖)es inyectiva, en particular dim𝐾𝐵𝑖≤dim𝐾(𝐻𝑜𝑚𝐾(Γ𝑖,Γ2𝑖)) Donde el espacio 𝐻𝑜𝑚𝐾(Γ𝑖,Γ2𝑖)tiene dimensión dim𝐾Γ𝑖⋅dim𝐾Γ2𝑖. De aquí, tomando 𝑖 >> 0tenemos que dim𝐾𝐵𝑖≤ (𝑖)(2𝑖). Por otra parte tenemos que dim𝐾𝐵𝑖= (𝑖+2𝑛 2𝑛)que es un polinomio de grado 2𝑛. Entonces como polinomio en 𝑖,(𝑖)(2𝑖), debe tener grado ≥2𝑛. Pero el grado del polinomio (𝑖)(2𝑖)es 2𝑑(𝑀). Por tanto 𝑑(𝑀)≥𝑛. Esta desigualdad fue probada en primer lugar por I. N.Bernstein en [4] y se le llama desigualdad de Bernstein. Hemos visto con dos ejemplos claros como el de 𝐴𝑛y el de 𝐾[𝑋]que ambas cotas inferior y superior se alcanzan. De hecho se puede probar que existen 𝐴𝑛-módulos de dimensión 𝑘, para cada 𝑘un entero cualquiera entre estas dos cotas. Si tomamos el ideal 𝐽=𝐴𝑛(𝜕𝑘+1, ..., 𝜕𝑛)para un 𝑘≥1tenemos que el 𝐴𝑛-módulo 𝐴𝑛∕𝐽tiene dimensión 𝑛+𝑘. Para probar esto basta tomar la filtración inducida por la filtración de Bernstein Γ′′ dada por Γ′′ 𝑗=𝐵𝑗∕(𝐵𝑗∩𝐴𝑛(𝜕𝑘+1, ..., 𝜕𝑛)). De esta forma tenemos que 𝑑𝑖𝑚𝐾(𝐴𝑛∕𝐽) = (𝑡, Γ′′, 𝐴𝑛∕𝐽)donde el polinomio de hilbert asociado viene dado por el número combinatorio que se obtiene al contar las soluciones no negativas de la desigualdad 𝛼1+... +𝛼𝑛+𝛽1+... +𝛽𝑘≤𝑡que es (𝑛+𝑘+𝑡 𝑛+𝑘). Que visto como polinomio en la variable 𝑡tiene dimensión 𝑛+𝑘. De esta forma podemos alcanzar ambas cotas. 34 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad 3.4 Módulos holónomos Un 𝐴𝑛-módulo es holónomo si es cero o si tiene dimensión 𝑛. Hemos visto ya un ejemplo de este tipo de 𝐴𝑛-módulos como es el de 𝐾[𝑋]. Existen algoritmos que son capaces de decirnos si un 𝐴𝑛-módulo es o no es holónomo. Hablaremos de ello en la última sección. En esta sección vamos a ver diferentes ejemplos de construcción de módulos holónomo y propiedades básicas de estos, en particular, vamos a probar que los 𝐴𝑛-módulos holónomos son de torsión, Artinianos y son cíclicos. Tres grandes propiedades que hacen muy interesante el estudio de estos módulos y a su vez hacen que estos sean más manejables algorítmicamente. Proposición 3.2.Sea 𝑛un entero positivo. (1) Submódulos y cocientes de un 𝐴𝑛-módulo holónomo son también 𝐴𝑛-módulos holónomos. (2) Las sumas finitas de 𝐴𝑛-módulos holónomos son holónomos. Para la demostración de esta proposición basta usar primero que si 𝑁es un submódulo de M, entonces la dimensión de 𝑁y de 𝑀∕𝑁es menor o igual que la de 𝑀y por tanto usando la desigualdad de Bernstein, como la dimensión de 𝑀es 𝑛, la menor posible, entonces 𝑑(𝑁) = 𝑑(𝑀∕𝑁) = 𝑛. Esto demuestra (1). Por otro lado usando que si 𝑀=𝑀1⊕...⊕𝑀𝑛entonces 𝑑(𝑀)= max{𝑑(𝑀1), ..., 𝑑(𝑀𝑛)} donde cada 𝑀𝑖es holónomo, entonces 𝑑(𝑀) = 𝑛y por tanto 𝑀es holónomo.(2). Proposición 3.3.Los 𝐴𝑛-módulos holónomos son módulos de torsión. Demostración. Tomamos 𝑀un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda holónomo y tomamos un elemento 𝑢∈𝑀no nulo cualquiera. definimos la función 𝜙∶𝐴𝑛→𝑀definida por 𝜙(𝑎) = 𝑎𝑢, de esta forma 𝐊𝐞𝐫(𝜙) = 𝐚𝐧𝐧𝐴𝑛(𝑢). Por el teorema 3.2 tenemos que 2𝑛=𝑑(𝐴𝑛)= max{𝑑(𝐊𝐞𝐫 𝜙), 𝑑(𝐈𝐦 𝜙)}. Por otra parte 𝐈𝐦 𝜙⊆𝑀y este último es holónomo por tanto 𝑑(𝐈𝐦 𝜙) = 𝑛. Luego de la igualdad anterior se tiene que 𝑑(𝐊𝐞𝐫 𝜙) = 2𝑛, en particular 𝐊𝐞𝐫 𝜙≠∅y por tanto 𝑢es un elemento de torsión de 𝑀. Luego 𝑀es de torsión. Además cuando tratamos 𝐴1-módulos se tiene el recíproco de lo anterior, es decir, que sea holónomo es equivalente a que sea de torsión. El hecho de que un 𝐴1-módulo de torsión finitamente generado es holónomo está demostrado en la página 87 de [10]. En cambio para 𝑛entero mayor que 1, esta equivalencia no es cierta para todos los 𝐴𝑛-módulos de torsión. Como por ejemplo si tomamos el operador diferencial 𝜕𝑛y tomamos el 𝐴𝑛-módulo dado por 𝑀=𝐴𝑛∕𝐴𝑛(𝜕𝑛). Tenemos que la filtración de Bernstein induce en 𝑀una filtración definida por 3. dimensión de un 𝑎𝑛-módulo 35 Γ𝑖=𝐵𝑖∕(𝐵𝑖∩𝐴𝑛(𝜕𝑛)) donde tenemos que Γ𝑖es isomorfo al espacio vectorial generado por los monomios en 𝑥1, ..., 𝑥𝑛y𝜕1, ..., 𝜕𝑛−1 de grado ≤𝑖. Que como ya vimos anteriormente su dimensión, la cual viene dada por el polinomio de Hilbert asociado, se puede calcular directamente por combinatoria, ya que buscamos las posibles soluciones de 𝛼1+... +𝛼𝑛+𝛽1+... +𝛽𝑛−1 ≤𝑖 y por tanto el polinomio de Hilbert de 𝑀viene dado por (2𝑛+𝑖−1 2𝑛−1 ), el cual como polinomio en 𝑖, tiene grado 2𝑛− 1. De aquí concluimos que si 𝑛≥2entonces es claro que 𝑑(𝑀)=2𝑛− 1 > 𝑛 y por tanto no es holónomo. Teorema 3.4. Los 𝐴𝑛-Módulos holónomos son artinianos. Es decir, los submódulos a la izquierda de 𝑀verifican la propiedad de cadena descendente. Demostración. Sea 𝑀un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda, no nulo, holónomo y supongamos que existe una cadena descendente de submódulos de 𝑀. 𝑀=𝑁0⊇ 𝑁1⊇ 𝑁2⊇ ... Supondremos por reducción al absurdo que esta cadena no es estacionaria. Por la porposición 3.2(1) se puede concluir que, Como cada 𝑁𝑖es un submódulo de 𝑀entonces son a su vez holónomos. Tenemos que existe una sucesión exacta 0→𝑁𝑖+1 →𝑁𝑖→𝑁𝑖∕𝑁𝑖+1 →0 por lo que 𝑚(𝑁𝑖) = 𝑚(𝑁𝑖+1) + 𝑚(𝑁𝑖∕𝑁𝑖+1). Luego uniendo cada término tenemos 𝑚(𝑀) = ∑𝑟 𝑖=0 𝑚(𝑁𝑖∕𝑁𝑖+1) + 𝑚(𝑁𝑟+1)≥𝑟+ 1. Para cada 𝑟≥0. Lo cual es absurdo. Esta última desigualdad se debe a que la multiplicidad de un 𝐴𝑛-módulo es un entero estrictamente positivo, (ver [9], pág. 83). Luego la cadena anterior debe ser estacionaria y por tanto 𝑀es artiniano. Un corolario inmediato de de la prueba anterior es que un 𝐴𝑛-módulo holónomo de multiplicidad 1 es irreducible. Para la prueba simplemente usamos que si 𝑀es un módulo a la izquierda holónomo de multiplicidad 1, entonces como 𝑁y𝑀∕𝑁son también holónomos por ser submódulo y cociente de 𝑀, se tiene que 𝑚(𝑀) = 𝑚(𝑁) + 𝑚(𝑀∕𝑁). Ahora bien, como 𝑚(𝑀)=1y𝑁≠∅entonces 𝑀∕𝑁= ∅. Y por tanto 𝑀=𝑁y𝑀es irreducible. Un dato interesante es que hasta 1985, se creía que todo 𝐴𝑛-módulo simple tenía que ser holónomo. Pero entonces Stafford ( [30]) probó que si 𝑛 > 2y𝜆2, ..., 𝜆𝑛∈ℂson algebraicamente independientes sobre ℚ, entonces el operador 42 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad Sea 𝑓un polinomio no nulo en 𝐾[𝑋],𝑠una nueva variable y 𝐾(𝑠)el cuerpo de funciones racionales en 𝑠. Tomamos 𝐴𝑛(𝑠)el álgebra de Weyl sobre el anillo 𝐾(𝑠)y sea el anillo de polinomios en la variable 𝑠con coeficientes en 𝐴𝑛, que se puede expresar como 𝐴𝑛[𝑠] ∶= 𝐴𝑛⨂𝐾𝐾[𝑠]el producto tensorial de 𝐴𝑛con 𝐾[𝑠]sobre el cuerpo 𝐾. Tomamos el anillo de funciones racionales 𝐾(𝑠)[𝑋]𝑓y sea 𝐾(𝑠)[𝑥]𝑓𝑓𝑠el 𝐾(𝑠)[𝑥]𝑓módulo libre de rango 1 generado por el símbolo formal 𝑓𝑠. Además 𝐾(𝑠)[𝑥]𝑓𝑓𝑠es un 𝐴𝑛(𝑠)-módulo a la izquierda, ya que la acción de 𝜕𝑖sobre el símbolo formal 𝑓𝑠viene dada por 𝜕𝑖𝑓𝑠= (𝑠𝜕𝑖(𝑓)𝑓−1)𝑓𝑠 De esta operación se sigue que 𝐴𝑛(𝑠)𝑓𝑠es un 𝐴𝑛(𝑠)-submódulo de 𝐾(𝑠)[𝑋]𝑓𝑓𝑠. Proposición 4.2.El 𝐴𝑛(𝑠)-módulo 𝐾(𝑠)[𝑋]𝑓𝑓𝑠es holónomo. Demostración. Tomamos 𝑁=𝐾(𝑠)[𝑋]𝑓𝑓𝑠y supongamos que deg(𝑓) = 𝑑≥0. Definimos para cada 𝑘∈ℕ 𝑁𝑘= {𝑔(𝑠,𝑥) 𝑓𝑘∈𝑁|deg(𝑔)≤(𝑑+ 1)𝑘} De la misma forma que probamos el resultado anterior, se puede probar que la familia Γ=(𝑁𝑘)𝑘es una filtración sobre 𝑁respecto de la filtración de Bernstein. Vamos a probar ahora que para esta filtración existen 𝑐1, 𝑐2satisfaciendo la proposición que vimos al principio de esta sección.(Proposición 4.1). La dimensión del 𝐾(𝑠)-espacio vectorial 𝑁𝑘está acotada por el número de monomios 𝑥𝛼∈𝐾(𝑠)[𝑋]de grado |𝛼|≤(𝑑+ 1)𝑘. Como ya vimos antes este número es ((𝑑+1)𝑘+𝑛 𝑛)=1 𝑛!(𝑑+ 1)𝑛𝑘𝑛+𝑝(𝑘) donde 𝑝(𝑡)es un polinomio con coeficientes racionales de grado ≤𝑛− 1. Por lo tanto existe un entero positivo 𝑐2tal que dim𝐾(𝑠)(𝑁𝑘)≤((𝑑+1)𝑘+𝑛 𝑛)=1 𝑛!(𝑑+ 1)𝑛𝑘𝑛+𝑝(𝑘)≤1 𝑛!(𝑑+ 1)𝑛𝑘𝑛+𝑐2(𝑘+ 1)𝑛−1 para 𝑘lo suficientemente grande. Por tanto concluimos de la proposición que mencionábamos antes que, el 𝐴𝑛(𝑠)-módulo 𝑁=𝐾(𝑠)[𝑋]𝑓𝑓𝑠es holónomo. Estamos preparados para demostrar la existencia del polinomio de Bernstein-Sato asociado a un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. 4. el polinomio de bernstein-sato 43 Sea el automorfismo 𝑡de 𝐾(𝑠)que envía "𝑠" en "𝑠+ 1". Y sea 𝑃un elemento de 𝐾(𝑠)[𝑋]𝑓𝑓𝑠, que se podría escribir de la forma 𝑃= (∑𝛼𝑎𝛼(𝑠)𝑋𝛼)𝑓−𝑘𝑓𝑠, con 𝑎𝛼(𝑠) ∈ 𝐾(𝑠)y con 𝑘≥0. Entonces podemos extender el automorfismo anterior a𝐾(𝑠)[𝑋]𝑓𝑓𝑠de la forma: 𝑡((∑𝛼𝑎𝛼(𝑠)𝑋𝛼)𝑓−𝑘𝑓𝑠)=(∑𝛼𝑡(𝑎𝛼(𝑠))𝑋𝛼)𝑓−𝑘𝑓𝑓𝑠 Que en particular tiene inversa que viene definida por 𝑡−1(𝑠) = 𝑠− 1, donde 𝑡−1(𝑓𝑠) = 𝑓−1𝑓𝑠está bien definido debido a que 𝑓−1 lo está sobre 𝐾(𝑠)[𝑋]𝑓𝑓𝑠. Se puede probar que 𝑡es 𝐴𝑛-lineal, pero que no es 𝐴𝑛(𝑠)-lineal, ( [10],pág. 96, ej. 4.8). Teorema 4.2. Sea 𝑓∈𝐾[𝑋], un polinomio no nulo. Entonces existe un polinomio no nulo 𝑏(𝑠) ∈ 𝐾[𝑋]y un operador diferencial 𝑃(𝑠) ∈ 𝐴𝑛[𝑠]tal que la igualdad 𝑃(𝑠)𝑓𝑓𝑠=𝑏(𝑠)𝑓𝑠 se da en el 𝐴𝑛(𝑠)-módulo a la izquierda 𝐾(𝑠)[𝑥]𝑓𝑓𝑠. Demostración. En primer lugar de la proposición 4.2 tenemos que 𝑁=𝐾(𝑠)[𝑋]𝑓𝑓𝑠 es holónomo. Como 𝐴𝑛(𝑠)𝑓𝑠⊂ 𝑁 como 𝐴𝑛(𝑠)-módulo, entonces también es holónomo (prop. 3.2(1)). Por tanto es finitamente generado sobre 𝐴𝑛(𝑠)(teor. 3.4). Entonces la cadena descendente 𝐴𝑛(𝑠)𝑓𝑠⊃ 𝐴𝑛(𝑠)𝑓𝑓𝑠⊃ ... ⊃ 𝐴𝑛(𝑠)𝑓𝑘𝑓𝑠⊃ ... debe ser estacionaria. Es decir, existe un 𝑙 > 0para el cual 𝑓𝑙𝑓𝑠∈𝐴𝑛(𝑠)𝑓𝑙+1𝑓𝑠 Y por tanto existe un operador 𝑄(𝑠) ∈ 𝐴𝑛(𝑠)para el cual se tiene la igualdad 𝑓𝑙𝑓𝑠=𝑄(𝑠)𝑓𝑙+1𝑓𝑠 Aquí podemos aplicar 𝑡−𝑙en ambos lados de la igualdad, de esta forma obtenemos que 𝑓𝑠=𝑄(𝑠−𝑙)𝑓𝑓𝑠.Tomando 𝑏(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠]un polinomio no nulo tal que 𝑃(𝑠) ∶= 𝑏(𝑠)𝑄(𝑠−𝑙) ∈ 𝐴𝑛[𝑠], tenemos que 𝑏(𝑠)𝑓𝑠=𝑃(𝑠)𝑓𝑓𝑠. La familia de polinomios 𝑏(𝑠)satisfaciendo la ecuación 𝑏(𝑠)𝑓𝑠=𝑃(𝑠)𝑓𝑓𝑠para algún 𝑃(𝑠) ∈ 𝐴𝑛[𝑠]es un ideal no nulo en 𝐾[𝑠]. Además como 𝐾[𝑠]es un dominio de ideales principales, tenemos que el ideal anterior tiene un único generador mónico que denotaremos por 𝑏𝑓(𝑠). Llamaremos a este generador 𝑏𝑓(𝑠)el polinomio de Bernstein-Sato asociado a 𝑓. 5 Cálculo de la b-función global T. Oaku ha usado la teoría de las bases de Groebner para desarrollar e implementar el primer algoritmo para la computación del polinomio de Bernstein-Sato para un polinomio arbitrario en 1997, ver [22–24] . Hoy en día, programas como Macaulay2 o Singular tienen paquetes y comandos que permiten la computación del polinomio de Bernstein-Sato. A lo largo de este capítulo abordaremos las herramientas necesarias para poder estudiar algunos algoritmos para el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato y veremos más adelante varios ejemplos del cálculo de dichos polinomios. 5.1 Teorema de la división en el álgebra de Weyl En esta sección estudiaremos cómo se dividen los operadores diferenciales en 𝐴𝑛. En particular, veremos el correspondiente teorema de la división, el cual es muy parecido al del caso conmutativo que podemos encontar en [11]. Definición 5.1. Sea 𝑀un conjunto. (1). Un orden ≺sobre 𝑀se dice orden total, si 𝑚 ≺ 𝑚′o𝑚′≺ 𝑚 se mantiene para cada 𝑚, 𝑚′∈𝑀, para 𝑚≠𝑚′ (2). Un orden total ≺sobre 𝑀se llama un buen orden si todo subconjunto no vacío de 𝑀tiene un elemento menor con respecto a ≺. (3). Sean 𝑛variables 𝑥1, ..., 𝑥𝑛y sea el conjunto de monomios = {𝑥𝛼1 𝑖1𝑥𝛼2 𝑖2 ⋯𝑥𝛼𝑚 𝑖𝑚 |1≤ 𝑖1, ..., 𝑖𝑚≤𝑛, 𝑚,con 𝛼𝑗∈ℕpara cada 𝑗}. Entonces decimos que un orden total ≺sobre el conjunto anterior se llama orden monomial si es compatible con el producto en el siguiente sentido. Para todo 𝑓, 𝑔 ∈se mantiene lo siguiente (i). 𝑓 ≺ 𝑔 implica 𝑝⋅𝑓⋅𝑝′≺ 𝑝 ⋅𝑔⋅𝑝′para cualesquiera 𝑝, 𝑝′∈. (ii). Si 𝑓=𝑝⋅𝑔⋅𝑝′y𝑓≠𝑔, entonces 𝑔 ≺ 𝑓. En nuestro caso, en el álgebra de Weyl 𝐴𝑛podemos dar una definición más específica de orden monomial. 46 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad Definición 5.2. Diremos que un orden ≺sobre el conjunto de monomios que forma una base del álgebra de Weyl, es un orden monomial si satisface las siguientes condiciones: (1). 1≺ 𝑥𝑖𝜕𝑖para 𝑖= 1, .., 𝑛. (2). 𝑥𝛼𝜕𝛽≺ 𝑥𝑎𝜕𝑏implica que 𝑥𝛼+𝑠𝜕𝛽+𝑡≺ 𝑥𝑎+𝑠𝜕𝑏+𝑡. también usaremos la notación (𝛼, 𝛽)≺(𝑎, 𝑏),con (𝛼, 𝛽),(𝑎, 𝑏) ∈ ℕ2𝑛,para referirnos a que el monomio 𝑥𝛼𝜕𝛽es menor que el monomio 𝑥𝑎𝜕𝑏respecto al orden monomial ≺si no hay confusión. A partir de ahora para los resultados y definiciones que siguen usaremos un orden monomial fijado ≺. Por ejemplo, el orden lexicográfico y el orden inverso lexicográfico sobre el anillo de polinomios 𝐾[𝑋]vienen dados por: ∙𝑋𝑎es menor que 𝑋𝑏respecto al orden lexicográfico, 𝑋𝑎≺𝑙𝑒𝑥 𝑋𝑏, si y sólo si la primera componente no nula de 𝑏−𝑎, (de izquierda a derecha), es no nula. ∙𝑋𝑎es menor que 𝑋𝑏respecto al orden inverso lexicográfico graduado, 𝑋𝑎≺≺ 𝑋𝑏, si y sólo si ∑𝑖𝑎𝑖<∑𝑖𝑏𝑖ó si son iguales, la primera coordenada no nula de 𝑏−𝑎, (de derecha a izquierda), es positiva. Los resultados que prosiguen en esta sección y en la sección 5.2 se pueden encontrar en la referencia [9]. Definición 5.3. Sea 𝑃=∑𝛼,𝛽 𝑝𝛼𝛽𝑥𝛼𝜕𝛽un operador de 𝐴𝑛. Definimos por diagrama de Newton de 𝑃al conjunto (𝑃) ∶= {(𝛼, 𝛽) ∈ ℕ2𝑛|𝑝𝛼𝛽 ≠0}. Definición 5.4. Llamamos exponente líder con respecto a ≺de un operador no nulo 𝑃, denotado por 𝑒𝑥𝑝≺(𝑃), al máximo de (𝛼, 𝛽) ∈ ℕ2𝑛, con respecto a ≺, tal que 𝑝𝛼𝛽 ≠0. Es decir 𝑒𝑥𝑝≺(𝑃)=m ax≺(𝑃) Escribiremos por simplificación 𝑒𝑥𝑝(𝑃)si no hay confusión. Proposición 5.1.Sean 𝑃 , 𝑄 ∈𝐴𝑛. Tenemos que: (1). 𝑒𝑥𝑝(𝑃 𝑄) = 𝑒𝑥𝑝(𝑃) + 𝑒𝑥𝑝(𝑄). (2). Si 𝑒𝑥𝑝(𝑃)≠𝑒𝑥𝑝(𝑄)entonces 𝑒𝑥𝑝(𝑃+𝑄)=m ax≺{𝑒𝑥𝑝(𝑃), 𝑒𝑥𝑝(𝑄)}. La demostración es trivial usando que el grado total del producto de dos operadores es la suma de los grados totales de los operadores. En general para 𝑃1, ..., 𝑃𝑚∈𝐴𝑛tal que 𝑒𝑥𝑝(𝑃𝑖)≠𝑒𝑥𝑝(𝑃𝑗)para todo 𝑖≠𝑗tenemos 5. cálculo de la b-función global 47 que 𝑒𝑥𝑝(∑𝑚 𝑖𝑃𝑖)=m ax≺{𝑒𝑥𝑝(𝑃𝑖)|𝑖= 1, ..., 𝑚}. ∙Para cada 𝑚-upla ((𝛼1, 𝛽1), ..., (𝛼𝑚, 𝛽𝑚)) de elementos de ℕ2𝑛, asociamos la partición {Δ0,Δ1, ..., Δ𝑚} de ℕ2𝑛de la siguiente forma. Δ1= (𝛼1, 𝛽1) + ℕ2𝑛 Δ𝑖+1 = ((𝛼𝑖+1, 𝛽𝑖+1) + ℕ2𝑛)⧵(Δ1∪... ∪ Δ𝑖)si 𝑖≥1. Δ0=ℕ2𝑛⧵(∪𝑚 𝑖=1Δ𝑖) El siguiente teorema generaliza el teorema de la división que tenemos en 𝐾[𝑋]. Teorema 5.1. (Teorema de la división en 𝐴𝑛). Sea (𝑃1, ..., 𝑃𝑚)elementos no nulos de 𝐴𝑛y sea {Δ0, ..., Δ𝑚}una partición de ℕ2𝑛asociada con la 𝑚-upla (𝑒𝑥𝑝(𝑃1), ..., 𝑒𝑥𝑝(𝑃𝑚)) construida como acabamos de ver. Entonces, para cualquier 𝑃∈𝐴𝑛, existe una única (𝑚+ 1)-upla (𝑄1, ..., 𝑄𝑚, 𝑅)de operadores en 𝐴𝑛, tales que (1). 𝑃=𝑄1𝑃1+... +𝑄𝑚𝑃𝑚+𝑅. (2). 𝑒𝑥𝑝(𝑃𝑖) + (𝑄𝑖)⊂Δ𝑖,𝑖= 1, ..., 𝑚. (3). (𝑅)⊂Δ0. Demostración. ∙Para la unicidad, supongamos que existen dos (𝑚+ 1)-uplas que satisfacen las condiciones del teorema (𝑄1, ..., 𝑄𝑚, 𝑅)y(𝑄′ 1, ..., 𝑄′ 𝑚, 𝑅′). De (1) tenemos que ∑𝑚 𝑖=1(𝑄𝑖−𝑄′ 𝑖)𝑃𝑖=𝑅′−𝑅 Si 𝑄𝑖≠𝑄′ 𝑖entonces 𝑒𝑥𝑝((𝑄𝑖−𝑄′ 𝑖)𝑃𝑖)∈Δ𝑖. Por otro lado si 𝑅≠𝑅′entonces 𝑒𝑥𝑝(𝑅′−𝑅) ∈ Δ0. Ahora bien, como Δ0, ..., Δ𝑚es una partición de ℕ2𝑛, la igualdad anterior se tiene únicamente si 𝑄𝑖=𝑄′ 𝑖para cualquier 𝑖= 1, ..., 𝑚 y si 𝑅=𝑅′. ya que en caso contrario tenemos que existe un 𝑗en el conjunto de índices {1, ..., 𝑚} tal que 𝑒𝑥𝑝((𝑄𝑗−𝑄′ 𝑗)𝑃𝑗) = 𝑒𝑥𝑝(𝑅′−𝑅), (ver proposición 5.1). Lo cual es una contradicción con la condición de partición en ℕ2𝑛. De donde concluimos la unicidad. ∙Para probar la existencia basta probarla para los monomios 𝑥𝛼𝜕𝛽∈𝐴𝑛ya que sabemos que forman una base de 𝐴𝑛como 𝐾-espacio vectorial. Lo probaremos por inducción sobre (𝛼, 𝛽)respecto al orden monomial que estemos usando. Si tomamos (𝛼, 𝛽) = (0, ..., 0), tenemos que 𝑥𝛼𝜕𝛽= 1. Entonces o bien, 𝑒𝑥𝑝(𝑃𝑖)≠0 ∈ ℕ2𝑛para cada 𝑖, por lo cual es suficiente escribir 1 = ∑𝑚 𝑖=1 0𝑃𝑖+ 1. O bien, existe algún entero 𝑗para el cual 𝑒𝑥𝑝(𝑃𝑗)=0∈ℕ2𝑛. En este caso 𝑃𝑗es una constante no nula, ya que 0 es el primer elemento de ℕ2𝑛con respecto al buen ordenamiento ≺y, además, Δ0= ∅. Por lo que bastaría escribir 48 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad 1 = ∑𝑖≠𝑗0⋅𝑃𝑖+ (1∕𝑃𝑗)𝑃𝑗 De esta forma queda probada la existencia para el primer caso de inducción. Supongamos que el resultado está probado para cualquier (𝛼′, 𝛽′)estrictamente menor que algún (𝛼, 𝛽) ∈ ℕ2𝑛respecto al orden monomial usado. Sea 𝑗∈ {0,1, ..., 𝑚}tal que (𝛼, 𝛽)∈Δ𝑗.Si 𝑗= 0 entonces escribimos 𝑥𝛼𝜕𝛽=∑𝑚 𝑖=1 0⋅𝑃𝑖+𝑥𝛼𝜕𝛽 Si 𝑗≥1entonces existe un (𝛾, 𝛿) ∈ ℕ2𝑛para el cual (𝛾, 𝛿) + 𝑒𝑥𝑝(𝑃𝑗)=(𝛼, 𝛽). Es decir, (𝛾, 𝛿)=(𝛼, 𝛽) − 𝑒𝑥𝑝(𝑃𝑗) ∈ ℕ2𝑛. Podemos escribir 𝑥𝛼𝜕𝛽=1 𝑐𝑗 𝑥𝛾𝜕𝛿𝑃𝑗+𝐺𝑗 donde 𝑐𝑗es el coeficiente del monomio de 𝑃𝑗cuyo exponente es el exponente líder de 𝑃𝑗y todos los monomios de 𝐺𝑗son menores (con respecto de ≺) que (𝛼, 𝛽). Por hipótesis de inducción existe (𝑄′ 1, ..., 𝑄′ 𝑚, 𝑅′)satisfaciendo las condiciones del teorema para 𝑃=𝐺𝑗. En particular tenemos: 𝑥𝛼𝜕𝛽=∑𝑖≠𝑗𝑄′ 𝑖𝑃𝑖+ ( 1 𝑐𝑗 𝑥𝛾𝜕𝛿+𝑄′ 𝑗)𝑃𝑗+𝑅′. Esto prueba el resultado para (𝛼, 𝛽)y por tanto queda probada la existencia para cualquier 𝑃∈𝐴𝑛. Definición 5.5. Llamamos al operador diferencial 𝑄𝑖del teorema anterior el 𝑖-ésimo cociente y 𝑅es el resto de la división de 𝑃por (𝑃1, ..., 𝑃𝑚). A este resto también se le llama "residuo"y lo denotaremos por 𝑅(𝑃;𝑃1, ..., 𝑃𝑚). ∙Al igual que ocurre en los anillos de polinomios, tenemos que al hacer esta división, los cocientes y el resto tienen menor "grado" que el operador que se divida. En particular, obtenemos de la prueba del teorema anterior que para cualquier división 𝑃=𝑄1𝑃1+... +𝑄𝑚𝑃𝑚+𝑅se tiene m ax{m ax𝑖{𝑒𝑥𝑝≺(𝑄𝑖𝑃𝑖)}, 𝑒𝑥𝑝≺(𝑅)} =𝑒𝑥𝑝≺(𝑃). Como mencionamos antes, el teorema 5.1 es una generalización del resultado del teorema de división en 𝐾[𝑋]. (Th. 1.5.9 de [1]). 5.2 Bases de Groebner en el álgebra de Weyl La teoría de las bases de Groebner sobre el anillo de polinomios en varias variables ℂ[𝑋]se puede extender al álgebra de Weyl 𝐴𝑛. Además esta teoría es muy importante ya que hay muchas aplicaciones y algoritmos que utilizan bases de Groebner. 5. cálculo de la b-función global 49 Definición 5.6. Fijado un orden monomial ≺. Para cada ideal no nulo 𝐼de 𝐴𝑛definimos 𝐸𝑥𝑝≺(𝐼)el conjunto 𝐸𝑥𝑝≺(𝐼)={𝑒𝑥𝑝≺(𝑃)|𝑃∈𝐼∖{0}} Y escribiremos en caso de que no haya confusión 𝐸𝑥𝑝(𝐼). Proposición 5.2.Sea 𝑚 > 0un entero y 𝐸 ⊂ ℕ𝑚tal que 𝐸+ℕ𝑚=𝐸. Entonces existe un subconjunto finito 𝐹 ⊂ 𝐸 tal que 𝐸=⋃ 𝛼∈𝐹 (𝛼+ℕ𝑚). Demostración. La prueba es por inducción en 𝑚. Para el caso base de 𝑚= 1, sea 𝛼𝑚𝑖𝑛 el menor elemento de 𝐸(con respecto del orden usual en ℕ). Es claro que si 𝐸=𝐸+ℕ entonces 𝐸está generado por 𝛼𝑚𝑖𝑛. Suponiendo que 𝑚 > 1y que se tiene el resultado anterior para 𝑚− 1. Sea 𝐸 ⊂ ℕ𝑚tal que 𝐸+ℕ𝑚=𝐸. Podemos suponer que 𝐸es no vacío. Sea 𝛼∈𝐸. Para cada 𝑖= 1, ..., 𝑚 y𝑗= 0, ..., 𝛼𝑖consideramos la aplicación biyectiva 𝜙𝑖,𝑗 ∶ℕ𝑖−1 × {𝑗} × ℕ𝑚−𝑖→ℕ𝑚−1 Definida por (𝛽1, ..., 𝛽𝑖−1, 𝑗, 𝛽𝑖+1, ..., 𝛽𝑚)→ (𝛽1, ..., 𝛽𝑖−1, 𝛽𝑖+1, ..., 𝛽𝑚). Y denotamos 𝐸𝑖𝑗 =𝜙𝑖𝑗(𝐸∩ (ℕ𝑖−1 × {𝑗} × ℕ𝑚−𝑖)). Es claro que 𝐸𝑖𝑗 +ℕ𝑚−1 =𝐸𝑖𝑗 y que por la hipótesis de inducción existe un subconjubnto finito 𝐹𝑖𝑗 ⊂ 𝐸𝑖𝑗 que genera 𝐸𝑖𝑗. El conjunto finito 𝐹= {𝛼}⋃(⋃𝑖,𝑗(𝜙𝑖𝑗)−1(𝐹𝑖𝑗)) genera 𝐸. Esta prueba se puede encontrar en [9] y en [12], lema 1.1.8. La proposición anterior nos quiere decir que cualquier ideal monomial 𝐼en ℂ[𝑋] es finitamente generado. Más generalmente, cualquier ideal monomial 𝐼en un anillo de polinomios 𝐾[𝑋]con coeficientes en 𝐾es finitamente generado. Es un caso particular del teorema de la base de Hilbert ( [11], pág. 77, Th. 4). En particular este resultado nos sirve para afirmar que 𝐸𝑥𝑝≺(𝐼)es finitamente generado para cualquier ideal 𝐼∈𝐴𝑛. De donde la siguiente definición cobra sentido. Definición 5.7. Sea 𝐼un ideal no nulo de 𝐴𝑛. llamaremos a cualquier familia 𝑃1, ..., 𝑃𝑚 de elementos de 𝐼tales que 𝐸𝑥𝑝≺(𝐼) = 𝑚 ⋃ 𝑖=1 (𝑒𝑥𝑝≺(𝑃𝑖) + ℕ2𝑛) 50 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad una base de Groebner del ideal 𝐼, con respecto a ≺. (o una ≺-base de Groebner). Esta definición viene a decir casi lo mismo que la definición de base de Groebner en el caso conmutativo ( [11], pág. 78, def. 5). Donde se define por base de Groebner de un ideal no nulo 𝐼∈𝐾[𝑥1, .., 𝑥𝑛]como el conjunto finito de polinomios 𝐺= {𝑔1, ..., 𝑔𝑚} tales que verifican < 𝐿𝑇 (𝑔1), ..., 𝐿𝑇 (𝑔𝑚)>=< 𝐿𝑇 (𝐼)>. Donde 𝐿𝑇 (𝑔)es el término líder del polinomio 𝑔de 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]y𝐿𝑇 (𝐼)={𝐿𝑇 (𝑓)|𝑓∈𝐼}. Por la propia definición de 𝐸𝑥𝑝≺(𝐼)tenemos que 𝐸𝑥𝑝≺(𝐼) = 𝐸𝑥𝑝≺(𝐼) + ℕ2𝑛. Por lo que debido a la proposición 5.2, tenemos que para cualquier ideal 𝐼∈𝐴𝑛existe una base de Groebner. Corolario 5.1.Sea 𝐼un ideal no nulo de 𝐴𝑛y sean 𝑃1, ..., 𝑃𝑚una familia de elementos de 𝐼. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1). 𝑃1, ..., 𝑃𝑚es una base de Groebner de 𝐼. (2). Para cualquier 𝑃∈𝐴𝑛, tenemos que 𝑃∈𝐼si y sólo si 𝑅(𝑃;𝑃1, ..., 𝑃𝑚)=0. Corolario 5.2.Sea 𝐼un ideal no nulo a la izquierda de 𝐴𝑛y sea 𝑃1, ..., 𝑃𝑚una base de Groebner de 𝐼. Enonces 𝑃1, ..., 𝑃𝑚es un sistema de generadores de 𝐼. Las pruebas de estos corolarios son similares a las que se tienen para el caso conmutativo que se pueden encontrar en [11]. 5.3 Algoritmo de Buchberger en el álgebra de Weyl Definición 5.8. Sea ≺un orden monomial. Y sea 𝑃∈𝐴𝑛un operador diferencial, 𝑃=∑𝛼,𝛽 𝑝𝛼𝛽𝑥𝛼𝜕𝛽. Definimos el monomio líder de 𝑃con respecto al orden ≺, denotado por 𝑖𝑛≺(𝑃), al monomio 𝑥𝛼𝜕𝛽de 𝑃con (𝛼, 𝛽) = 𝑒𝑥𝑝≺(𝑃). Es decir, el monomio de 𝑃 cuyo exponente sea el exponente líder respecto de ≺. Definición 5.9. Sea ≺un orden monomial y sean 𝑓, 𝑔 ∈𝐴𝑛. Podemos escribir 𝑓=𝑓𝛼𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽+ términos de menor orden respecto de ≺. 𝑔=𝑔𝑎𝑏𝑥𝑎𝜕𝑏+ términos de menor orden respecto de ≺. Donde a los 𝑓𝛼𝛽 , 𝑔𝑎𝑏 ≠0se les llama los coeficientes líderes de 𝑓y de 𝑔respectivamente. Definimos el 𝑆-polinomio de 𝑓y𝑔por: Sp(𝑓, 𝑔) = 𝑥𝛼′𝜕𝛽′𝑓− (𝑓𝛼𝛽 𝑔𝑎𝑏 )𝑥𝑎′𝜕𝑏′𝑔 Con 𝛼′ 𝑖= m ax(𝛼𝑖, 𝑎𝑖)−𝛼𝑖,𝛽′ 𝑖= m ax(𝛽𝑖, 𝑏𝑖)−𝛽𝑖,𝑎′ 𝑖= m ax(𝛼𝑖, 𝑎𝑖)−𝑎𝑖,𝑏′ 𝑖= m ax(𝛽𝑖, 𝑏𝑖)−𝑏𝑖. 5. cálculo de la b-función global 51 Al igual que en el caso conmutativo, hacemos los productos de tal forma que usando la regla de Leibniz los términos iniciales de 𝑓y de 𝑔respecto del orden monomial ≺se anulen. El siguiente algoritmo nos va a servir para dar un algoritmo con el que poder calcular una base de Groebner. Este algoritmo se puede encontrar en la referencia [27]. 𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡 :𝑓∈𝐴𝑛,{𝑔1, ..., 𝑔𝑚}⊂ 𝐴𝑛. 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 :𝑟, "forma normal" de 𝑓respecto del conjunto 𝐺= {𝑔1, ..., 𝑔𝑚}. normalForm≺(𝑓, {𝑔1, ..., 𝑔𝑚}) ∶= 𝑟∶= 𝑓 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 (𝑖𝑛≺(𝑟)sea divisible por algún 𝑖𝑛≺(𝑔𝑖)) 𝑑𝑜 {𝑟∶=Sp(𝑟, 𝑔𝑖)} 𝑟∶= 𝑖𝑛≺(𝑟) + 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝐹 𝑜𝑟𝑚≺(𝑟−𝑖𝑛≺(𝑟),{𝑔1, ..., 𝑔𝑚}) 𝑟𝑒𝑡𝑢𝑟𝑛(𝑟) Donde diremos que 𝑥𝛼𝜕𝛽es divisible por 𝑥𝑎𝜕𝑏si 𝛼𝑖≥𝑎𝑖y𝛽𝑖≥𝑏𝑖para todo 𝑖. La función de salida 𝑓′, de este algoritmo se llama la forma normal de 𝑓respecto de 𝐺= {𝑔1, ..., 𝑔𝑚}. la forma normal de 𝑓por lo general no es única sobre un conjunto 𝐺cualquiera. En cambio, si 𝐺es una base de Groebner con respecto al orden monomial ≺, entonces la forma normal es única. En particular tenemos que si 𝑓∈𝐼, con 𝐼un ideal de 𝐴𝑛y sea 𝐺una base de Groebner de 𝐼, entonces la forma normal de 𝑓 respecto de 𝐺es 0. Esto ocurre para cualquier base de Groebner de 𝐼. El algoritmo de Buchberger para obtener una base de Groebner en el álgebra de Weyl puede describirse como sigue cuando ≺es un orden monomial. 𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡 ∶𝐹= {𝑓1, ..., 𝑓𝑚}: un subconjunto de 𝐴𝑛,≺un orden monomial. 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 ∶𝐺∶una base de Groebner para 𝐴𝑛(𝐹)con respecto a ≺. 𝑝𝑎𝑖𝑟 ∶= {(𝑓𝑖, 𝑓𝑗)|1≤𝑖<𝑗≤𝑚} 𝐺∶= 𝐹 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 (𝑝𝑎𝑖𝑟 ≠∅) 𝑑𝑜 {coge un elemento (𝑓, 𝑓′)del conjunto 𝑝𝑎𝑖𝑟. 𝑝𝑎𝑖𝑟 ∶= 𝑝𝑎𝑖𝑟 ⧵{(𝑓, 𝑓′)} ℎ∶=Sp(𝑓, 𝑓′) 𝑟∶=normalForm≺(ℎ, 𝐺) 𝑖𝑓 (𝑟≠0) 𝑑𝑜 {𝑝𝑎𝑖𝑟 ∶= 𝑝𝑎𝑖𝑟 ∪ {(𝑔, 𝑟)|𝑔∈𝐺} 𝐺∶= 𝐺∪ {𝑟} }};𝑟𝑒𝑡𝑢𝑟𝑛(𝐺) 58 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad ría tenemos varios algoritmos para el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato de un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. En particular, obtendremos las raíces del polinomio de Bernstein-Sato 𝑏𝑓(𝑠)y las multiplicidades de las mismas. Hay principalmente tres comandos para el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato de un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. - "bfctIdeal". Computa la 𝑏-función global de un ideal holónomo con respecto a un vector de peso, 0≠𝑤∈ℝ𝑛 >0. Este comando sigue el siguiente algoritmo: bfctIdeal(𝐼, 𝑤). Input:𝐼 ⊆ 𝐴𝑛un ideal holónomo, 0 ≠𝑤∈ℝ𝑛 >0un vector de peso. Output: La 𝑏-función global 𝑏𝐼,𝑤(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠]de 𝐼respecto del vector de pesos 𝑤. 𝐽∶= 𝑖𝑛𝑤(𝐼)(algoritmo 2.3.2 de la referencia [2]) 𝑠∶= 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝑥𝑖𝜕𝑖 return 𝑏𝐼,𝑤(𝑠) ∶= PrincipalIntersect(𝑠, 𝐽). - "bfct". Computa el polinomio de Bernstein-Sato de 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛],𝑏𝑓(𝑠), como ya hemos visto, aplicando el concepto de 𝑏-función global en ideales sobre el ideal de Malgrange de 𝑓y una elección específica del vector de peso. Este comando se basa en el siguiente algoritmo: bfct(𝑓). Input ∶𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. Output ∶El polinomio de Bernstein-Sato 𝑏𝑓(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠]de 𝑓. 𝐼𝑓∶=< 𝑡 −𝑓, 𝜕1+𝜕𝑓 𝜕𝑥1 𝜕𝑡, ..., 𝜕𝑛+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑡>⊆ 𝐴𝑛< 𝑡, 𝜕𝑡>el ideal de Malgrange de 𝑓. 𝑤∶= (1,0, ..., 0) ∈ ℝ𝑛+1 de forma que el peso de 𝜕𝑡sea 1. 𝑏𝐼,𝑤(𝑠) ∶= bfctIdeal(𝐼𝑓, 𝑤). return 𝑏𝑓(𝑠) ∶= 𝑏𝐼,𝑤(−𝑠− 1). - "bfctOneGB". Computa el polinomio de Bernstein-Sato de 𝑓usando una única base de Groebner. dmod.lib. Escrita por Jorge Martin Morales y Viktor Levandovskyy, ref. [18]. En esta librería podemos encontrar ciertos algoritmos para el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato de un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛], pero en estos casos, para la compu- 6. programas para el cálculo del polinomio de bernstein sato y ejemplos 59 tación de dicho polinomio se usa prioritariamente el anulador de 𝑓𝑠en 𝐴𝑛< 𝑡, 𝜕𝑡>el cual hemos mencionado anteriormente que se puede probar que coincide con el ideal de Malgrange del polinomio 𝑓. En la referencia de D. Andres [2] se puede encontrar el algoritmo que calcula el polinomio de Bernstein-Sato de un polinomio 𝑓usando el conjunto 𝐴𝑛𝑛𝐴𝑛<𝑡,𝜕𝑡>(𝑓𝑠)y varios algoritmos para la computación del ideal anulador anterior. Por otra parte en la misma librería podemos encontrar el comando "isHolonomic", el cual nos confirma si un módulo del Álgebra de Weyl es o no es holónomo, que como hemos visto durante el texto es una propiedad muy importante entre los 𝐴𝑛-módulos. dmodapp.lib. Escrita por Daniel Andres y por Viktor Levandovskyy, ref. [17]. De esta librería podemos sacar varios comandos los cuales nos sirven mucho en nuestro estudio, tales como: - "GBWeight". Computa una base de Groebner de un ideal 𝐼respecto de unos vectores de peso. - "initialIdealW". Computa el ideal inicial de un ideal 𝐼respecto de unos vectores de peso. - "charVariety". Computa la variedad característica de un ideal 𝐼. - "fourier" y "inverseFourier". Aplican el automorfismo de Fourier y el inverso del automorfismo de Fourier respectivamente a un ideal 𝐼. (El automorfismo de Fourier está definido por 𝑥𝑖→ −𝜕𝑖,𝜕𝑖→ 𝑥𝑖). - "initialMalgrange". Computa una base de Groebner del ideal inicial de Malgrange. A parte de estos comandos hay muchos otros y entre ellos podemos encontrar varios relacionados con lo que hablamos anteriormente del conjunto anulador de un polinomio 𝑓. Dentro de PLURAL hay una gran cantidad de librerías que no hemos mencionado, debido a que nuestro objetivo principal es computar el polinomio de Bernstein-Sato y por lo tanto nos hemos reducido a comentar aquellas librerias y aquellos comandos que podamos usar con las herramientas previamente definidas. Todas las librerías se pueden encontrar en el manual online de PLURAL donde también se puede encontrar una gran cantidad de referencias muy útiles para comprender los algoritmos en los que se basan estos comandos. 60 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad 6.1.2 Macaulay2/Dmodules Macaulay2 es otro sistema de software dedicado a apoyar la investigación en Geometría Algebraica y Álgebra Conmutativa. Creado principalmente por Daniel R. Grayson y Michael E. Stillman. Macaulay2 incluye comandos para calcular entre otras muchas cosas el polinomio de Bernstein-Sato de un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛], que es nuestro objetivo en esta sección. Para poder aplicar dichos comandos en Macaulay2 podemos cargar el paquete "Dmodules", cuyos autores son Anton Leykin y Harrison Tsai. Este paquete contiene una gran variedad de comandos relacionados con los objetos matemáticos que hemos estado estudiando a lo largo del texto. Daremos y explicaremos brevemente alguno de ellos y los compararemos con los del programa Singular. - Para computar el ideal anulador de 𝑓𝑠o de una lista de polinomios 𝑓𝑠1 1...𝑓𝑠𝑟 𝑟sobre 𝐴𝑛< 𝑡, 𝜕𝑡>usaremos el comando "AnnFs". - Para computar la 𝑏-función global de un ideal 𝐼con respecto a un vector de pesos podemos usar el comando "bFunction(𝐼,𝑤)". - El cálculo de las variedades características ya sea para un ideal 𝐼o para un 𝐷- módulo se puede hacer con los comandos "charIdeal". Cuando aplicamos este comano a un ideal 𝐼, nos devuelve la variedad característica correspondiente al módulo 𝐷∕𝐼 donde 𝐷es, en nuestro caso, el álgebra de Weyl con la que estemos trabajando. - De la misma forma funciona el comando "Ddim" que calcula la dimensión de un módulo sobre el álgebra de Weyl y podemos aplicarselo directamente a un módulo o a un ideal 𝐼, en este segundo caso calculará la dimensión del módulo 𝐷∕𝐼. - Al igual que en Singular el comando "Fourier" computa la transformación por el automorfismo de Fourier de un ideal o de un anillo y "FourierInverse" calcula la inversa de este automorfismo. - Para computar una base de Groebner de un ideal podemos usar el comando "gbw" de la forma "gbw(𝐼, 𝑤)" donde 𝑤es un vector de pesos. - Para el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato en Macaulay2 hay varios comandos pero el que usaremos principalmente es el comando ."globalBFunction(𝑓)" calcula el polinomio de Bernstein-Sato de 𝑓siguiendo un algoritmo muy similar al del comando bfct en Singular. Primero calcula el ideal de Malgrange de 𝑓, después toma el vector de pesos 𝑤= (1,0, ..., 0) de forma que el peso de 𝜕𝑡sea 1. Después hace 𝐵(𝑠) = bFunction(𝐼, 𝑤)y por último hace 𝑏𝑓(𝑠) = 𝐵(−𝑠− 1). Donde el comando "bFunction" es el que mencionamos anteriormente que calcula la 𝑏-función global de un ideal 𝐼 respecto de un vector de pesos 𝑤. - "inw(𝐼, 𝑤)" computa el ideal inicial de un ideal 𝐼del álgebra de Weyl con respecto al vector de pesos 𝑤. 6. programas para el cálculo del polinomio de bernstein sato y ejemplos 61 - De la misma forma que en Singular el comando "isHolonomic" sobre un módulo 𝑀 o sobre un ideal 𝐼nos verifica si es holónomo. En el caso de aplicarlo sobre un ideal 𝐼, nos verifica si el módulo 𝐴𝑛∕𝐼es holónomo. El algoritmo en el que se basa este comando se puede encontrar en la página 8 de la referencia [14]. En la misma referencia podemos encontrar otro algoritmo para caluclar el polinomio de Bernstein-Sato mediante el cálculo del conjunto anulador de 𝑓𝑠en 𝐴𝑛< 𝑡, 𝜕𝑡>. 6.2 Ejemplos del cálculo del polinomio Bernstein El cálculo del polinomio de Bernstein-Sato de un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]es muy complicado de hacer a mano, hasta cuando tratamos un número considerablemente pequeño de variables. Es por ello que se utilizan estos programas para su cálculo. Incluso usando programas especialmente enfocados en estos cálculos veremos en esta sección que el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato de ciertos polinomios requiere una gran cantidad de tiempo debido al enorme coste computacional que tiene. Por otra parte hay ciertos polinomios, de los cuales hablaremos muy brevemente, en los que podemos obtener directamente su polinomio de Bernstein-Sato debido a ciertos resultados que comentaremos posteriormente. Por último antes de empezar a escribir ejemplos y representarlos en tablas vamos a implementar dos scripts correspondientes a los cálculos de un polinomio de Bernstein- Sato de un polinomio 𝑓fijado, para mostrar como hemos realizado los ejemplos y las tablas que daremos a continuación. 62 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad La imagen de la izquierda corresponde al cálculo del polinomio de Bernstein-Sato del polinomio 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦+𝑦2𝑧+𝑧2𝑥en el programa Singular usando el comando bfct, que es el que usaremos en este programa. Para poder usar este comando debemos de cargar la libreria bfun.lib. Por otro lado la segunda imagen corresponde al cálculo del polinomio de Bernstein- Sato del mismo polinomio 𝑓en Macaulay2 usando el comando globalBFunction. Para poder usar ese comando debemos cargar la librería correspondiente, Dmodules. Podemos factorizar el polinomio obtenido por el comando globalBFunction, sobre el polinomio 𝑓, usando el comando factor. De esta forma obtendremos el polinomio de Bernstein-Sato asociado a 𝑓de forma factorizada y por tanto podremos obtener las raíces del polinomio tal y como se obtiene directamente en Singular y así poder compararlos con más eficacia. 6. programas para el cálculo del polinomio de bernstein sato y ejemplos 63 Ejemplo1. El siguiente resultado se puede encontrar en [20]. Sea 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛], de la forma 𝑓(𝑥1, ..., 𝑥𝑛) = 𝑥𝑚1 1 ⋯𝑥𝑚𝑘 𝑘. Entonces tenemos que el operador diferencial 𝑃(𝑠) ∈ 𝐴𝑛[𝑠]que satisface 𝑃(𝑠)⋅𝑓𝑠+1 =𝑏(𝑠)⋅𝑓𝑠, con 𝑏(𝑠)el polinomio de Bernstein-Sato de 𝑓. viene dado por 𝑃(𝑠) = 𝑐⋅𝜕𝑚1 1 ⋯𝜕𝑚𝑘 𝑘, con 𝑐constante. Y el polinomio de Bernstein-Sato de 𝑓viene dado por 𝑏𝑓(𝑠) = 𝑚1 ∏ 𝑖1=1 (𝑠+𝑖1 𝑚1 )⋯ 𝑚𝑘 ∏ 𝑖𝑘=1 (𝑠+𝑖𝑘 𝑚𝑘 ) Representaremos los cálculos que se obtengan en este ejemplo en una tabla de dos columnas, la primera de ellas con el polinomio 𝑓del cual queramos calcular el polinomio de Bernstein-Sato y la otra columna con las ráices de este polinomio, multiplicadas por (−1) ya que sabemos que las raíces del polinomio de Bernstein-Sato asociado a un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑋]arbitrario son siempre números racionales negativos (ver [16]). Con respecto a las raíces usaremos la expresión (𝑎)𝑚para expresar que 𝑎es una raíz de multiplicidad 𝑚del polinomio de Bernstein-Sato asociado al polinomio 𝑓. Por otra parte notar que en estos ejemplos no haremos una comparativa de los tiempos transcurridos en los dos programas al ejecutar los comandos correspondientes, ya que el tiempo que han necesitado ambos programas para realizar los cálculos ha sido insignificante. Input Negativo de las raíces 𝑥𝑦𝑧 (1)3 𝑥4𝑦4𝑧4𝑢4(1)4,(1 2)4,(1 4)4,(3 4)4 𝑥5𝑦𝑧5(1)3,(4 5)2,(3 5)2,(2 5)2,(1 5)2 𝑥5𝑦10𝑧15 (1)3,14 15 ,9 10 ,13 15 ,(4 5)3,11 15 ,7 10 ,2 3,(3 5)3,8 15 ,1 2,7 15 ,(2 5)3,1 3,3 10 ,4 15 ,(1 5)3,2 15 ,1 10 ,1 15 𝑥2𝑦4𝑧6𝑢8(1)4,7 8,5 6,(3 4)2,2 3,5 8,(1 2)4,3 8,1 3,(1 4)2,1 6,1 8 𝑥3𝑦5𝑧7𝑢11 (1)4,10 11 ,6 7,9 11 ,4 5,8 11 ,5 7,2 3,7 11 ,3 5,4 7,6 11 ,5 11 ,3 7,2 5,4 11 ,1 3,2 7,3 11 ,1 5,2 11 ,1 7,1 11 Como podemos observar en este último polinomio 𝑓=𝑥3𝑦5𝑧7𝑢11 obtenemos que en el polinomio de Bernstein-Sato asociado a 𝑓,𝑏(𝑠), sólo se repite la raíz 𝑠= 1. Esto es obvio cuando observamos el resultado anterior ya que todos los exponentes del polinomio 𝑓son primos y por tanto en cada uno de los productos el único 𝑖𝑗que divide a𝑚𝑗es el propio 𝑖𝑗=𝑚𝑗. 64 el polinomio de bernstein-sato de una singularidad Ejemplo 2. Aquí vamos a tomar diferentes tipos de polinomios con los que poder obtener una pequeña comparación de los tiempos necesarios para la obtención del polinomio de Bernstein-asociado. Primero representaremos en una primera tabla los polinomios que vamos a tratar en ambos programas y las raíces del polinomio de Bernstein-Sato asociado, al igual que antes, multiplicadas por (-1). Después en una segunda tabla daremos la comparación de tiempos necesarios. Se pueden encontrar más ejemplos en las referencias [2,26]. Input Negativo de las raíces 𝑥4+𝑦6+𝑥𝑦57 16 ,9 16 ,5 8,11 16 ,13 16 ,7 8,15 16 ,(1)2,17 16 ,9 8,19 16 ,21 16 ,11 8 𝑥8+𝑦8+𝑥𝑦71 4,3 8,1 2,5 8,3 4,7 8,(1)2,9 8,5 4,11 8,3 2,13 8,7 4 𝑥11 +𝑦11 +𝑥𝑦10 2 11 ,3 11 ,4 11 ,5 11 ,6 11 ,7 11 ,8 11 ,9 11 ,10 11 ,(1)2,12 11 ,13 11 ,14 11 ,15 11 ,16 11 ,17 11 ,18 11 ,19 11 ,20 11 𝑥4+𝑦4+𝑧4− (𝑥𝑦𝑧)23 4,(1)2,5 4,3 2,7 4,2,9 4 𝑥5+𝑦9+𝑥𝑦814 45 ,19 45 ,22 45 ,23 45 ,8 15 ,26 45 ,28 45 ,29 45 ,31 45 ,32 45 ,11 15 ,34 45 ,37 45 ,38 45 ,13 15 ,41 45 ,14 15 ,43 45 ,44 45 ,1,46 45 , 47 45 ,16 15 ,49 45 ,17 15 ,52 45 ,53 45 ,56 45 ,19 15 ,58 45 ,61 45 ,62 45 ,22 15 𝑥4+𝑦4− (𝑥𝑦𝑧)23 4,(1)2,5 4,3 2,7 4,2 𝑥+𝑦3+𝑧10 1 𝑥2+𝑦3+𝑧10 1,11 10 ,6 5,13 10 ,7 5,3 2,8 5,17 10 ,9 5,19 10 , 𝑥3+𝑦3+𝑧10 23 30 ,13 15 ,29 30 ,1,16 15 ,11 10 ,7 6,6 5,19 15 ,13 10 ,41 30 ,7 5,43 30 ,22 15 ,3 2,23 15 ,47 30 ,8 5,49 30 ,17 10 ,26 15 ,9 5, 11 6,19 10 ,29 15 ,61 30 ,32 15 ,67 30 La siguiente tabla es la tabla de tiempos correspondientes a los polinomios anteriores en ambos programas. Los tiempos vienen dado con el formato "miutos:segundos". Input Singular Macaulay2 𝑥4+𝑦6+𝑥𝑦50:03 0:17 𝑥8+𝑦8+𝑥𝑦70:02 0:12 𝑥11 +𝑦11 +𝑥𝑦10 0:10 3:43 𝑥4+𝑦4+𝑧4− (𝑥𝑦𝑧)20:07 0:22 𝑥5+𝑦9+𝑥𝑦80:59 26:17 𝑥4+𝑦4− (𝑥𝑦𝑧)20:02 0:01 𝑥+𝑦3+𝑧10 0:01 0:01 𝑥2+𝑦3+𝑧10 0:02 0:01 𝑥3+𝑦3+𝑧10 0:04 0:01 Algunos de los ejemplos que se han probado no se han podido implementar ya que en 6. programas para el cálculo del polinomio de bernstein sato y ejemplos 65 alguno de los dos porgramas la operación no finalizaba. Esto nos indica como ya se venía diciendo que este polinomio es difícil de calcular incluso computacionalmente con unos programas algebraicos fuertes. De los ejemplos que he hecho en general se pueden sacar varias conclusiones. El tiempo del cálculo claramente depende del algoritmo. Por otra parte se puede observar que cuando el polinomio es homogéneo el tiempo del cálculo es mucho menor que cuando no lo es, en la mayoría de los casos. Por ejemplo tomando el polinomio 𝑓=𝑥8+𝑦8+𝑥𝑦7hemos observado que el polinomio de Bernstein-Sato asociado a 𝑓no tiene un gran número de raíces y además ninguno de los programas que hemos usado requiere de mucho tiempo para calcularlo (2 segundos en Singular y 12 segundos en Macaulay). En cambio, si cambiamos algún exponente con tal de que no sea homogéneo, el resultado varía muchísimo. Por ejemplo tomando ahora 𝑔=𝑥8+𝑦8+𝑥𝑦6obtenemos que el polinomio de Bernstein- Sato asociado a 𝑔tiene 42 raíces, en cambio el de 𝑓tenía unas 14 raíces. No sólo eso, el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato asociado a 𝑔tardó aproximadamente 1:35 minutos en Singular, mientras que en Macaulay2 acabé cancelando la operación. Podemos observar también que en la mayoría de los ejemplos Singular realiza la operación considerablemente más rápido que Macaulay2. Es más, la mayoría de ejemplos que no he implementado es debido a que en el programa Macaulay2 no finalizaba la operación pasada media hora. Por lo que yo diría que el programa Singular es mejor a la hora de calcular el polinomio de Bernstein-Sato que el programa de Macaulay2. Dejando en un segundo lugar qué programa sea mejor que el otro, la principal conclusión que saco es que el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato para un polinomio arbitrario 𝑓tiene un enorme coste computacional incluso para un número considerablemente pequeño de variables. Aunque estoy seguro de que estos algoritmos tienen variables las cuales pueden mejorar considerablemente el cálculo de estos polinomios en casos particulares. Es decir, creo que la dificultad de obtener un algoritmo con el que se obtenga un resultado en un tiempo pequeño para el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato sobre cualquier polinomio 𝑓es muy difícil. No obstante algunos de estos algoritmos pueden modificarse para agilizar el cálculo en determinados casos, (ver [2]). De todas formas no es para nada raro que el cálculo de 𝑏-funciones sea muy costoso computacionalmente, pues la 𝑏-función de una singularidad es un invariante muy fino que contiene una gran información. Hoy en día se dista mucho de conocerse bien el comportamiento de la 𝑏-función por deformaciones y otras operaciones geométricas. Se trata de un aspecto de la Teoría de Singularidades muy activo en la actualidad y para el que este trabajo debe considerarse simplemente como un "aperitivo". Bibliografía [1] Adams, W. W., and Loustaunau, P. An introduction to Gröbner bases, Graduate Studies in Mathematics, 3. American Mathematical Society (1994). [2] Andres, D. Algorithms for the computation of Sato’s b-functions in algebraic D- module theory. [3] Andres, D., and Levandowskyy, V. bfun.lib.A Singular 3-1-1 library for computations of applications of algebraic D-modules (2010). [4] Bernstein, I. N. Modules over a ring of differential operators: study of the fundamental solutions of equations with constant coefficients, Funct. Anal. Appl. 5,89- 101 (1971). [5] Bernstein, J. Modules over a ring of differential operators. An investigation of the fundamental solutions of equations with constant coefficients., Functional Anal. Appl., 5(2):89–101 (1971). [6] Bernstein, J. The analytic continuation of generalized functions with respect to a parameter., Funct. Anal. appl., 6(4):26–40 (October 1972). [7] Björk, J. Dimensions of modules over algebras of differential operators. In Fonctions analytiques de plusieurs variables et analyse complexe., (Colloq. Internat. CNRS, No. 208, Paris, 1972), pages 6–11. “Agora Mathematica”, No. 1. Gauthier-Villars, Paris (1974). [8] Björk, J. Rings of differential operators., volume 21 of North-Holland Mathematical Library. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York (1979). [9] Castro Jiménez, F. Modules over the weyl algebra. In Algebraic approach to differential equations. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2010, pp. 52–118. [10] Coutinho, S. C. A Primer of Algebraic D-modules, London Mathematical Society Student Text 33, Cambridge Univ. Press. (1995).