Perturbación y decaimiento en ecuaciones parabólicas no autónomas

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Perturbaci´on y decaimiento en ecuaciones parab´olicas no aut´onomas A.Rodr ´ ıguez–Bernal Dpto. de Matem´atica Aplicada, Univ. Complutense de Madrid E-mail [email protected] Palabras clave: Estabilidad asint´otica, perturbaci´on, comportamiento asint´otico, ecuaciones no lineales Resumen Damos condiciones finas sobre el tama˜no y la forma de una perturbaci´on que consigue que un problema lineal no aut´onomo pase de ser neutralmente estable a exponencialmente estable. Estos resultados se aplican al estudio del comportamiento asint´otico de ecuaciones log´ısticas no aut´onomas. 1. El problema y resultados preliminares Sea Ωun abierto acotado de IRN,N≥1, con frontera regular ∂Ω. Consideremos la ecuaci´on lineal no aut´onoma    ut−∆u=C(t, x)uen Ω, t > s Bu= 0 en ∂Ω u(s) = u0 (1) con condiciones de contorno Bu=u, caso Dirichlet, o Bu=∂u ∂"n, caso Neumann, o Bu= ∂u ∂"n+b(x)ucaso Robin, donde "nes la normal exterior a ∂Ωyb(x) es una funci´on C1. Si C∈Cθ(IR, Lp(Ω)), con 0 <θ≤1 y p > N/2, entonces (1) define un operador de evoluci´on que conserva el orden en Lq(Ω), 1 ≤q≤ ∞,UC(t, s), de manera que u(t, s;u0) = UC(t, s)u0. Adem´as la soluci´on se regulariza de manera que para cada u0∈Lq(Ω) y t > s se tiene que (s, ∞)&t'−→ u(t, s;u0) := UC(t, s)u0∈$Cν B(Ω) si p > N/2 C1,ν B(Ω) si p > N 1 A.Rodr´ıguez–Bernal es continuo para cierto ν>0, donde Cj,ν B(Ω) = $Cj,ν 0(Ω) caso Dirichlet Cj,ν(Ω) caso Neumann o Robin, [4]. Motivado por las aplicaciones a ecuaciones no lineales y por simplicidad, supondremos que UC(t, s) est´a en el l´ımite de estabilidad (o es neutralmente estable) en el sentido de que existen M0, M1>0 tales que 0< M0≤ )UC(t, s))L(Lq(Ω)) ≤M1para todos t > s (2) (una condici´on que es independiente de la elecci´on de q, [3, 5]). Queremos entonces analizar la cuesti´on del m´ınimo tama˜no necesario en una perturbaci´on (y su forma) P(t, x) de manera que a˜nadida a C(t, x) haga a UC+P(t, s)exponencialmente estable es decir )UC+P(t, s))L(Lq(Ω)) ≤Me−β(t−s)para todos t > s con β>0. En algunos casos buscaremos esta propiedad para sgrande y positivo o para tmuy negativo. Estas situaciones se denotan por “exponencialmente estable en ±∞” respectivamente. Observemos que en el caso aut´onomo, C=C(x), con C∈Lp(Ω), y p > N/2, entonces (2) es equivalente a que el primer autovalor del operador −∆+C(x)Icon condiciones de contorno Bu= 0, sea nulo. En ese caso, usando los cocientes de Rayleigh, es f´acil ver que cualquier perturbaci´on no trivial no negativa P(x) convierte el problema en asint´oticamente estable. Como veremos, para ecuaciones no aut´onomas, nuestros resultados dicen que para conseguir la estabilidad exponencial necesitamos que la parte favorable de la perturbaci´on sea positiva y “sostenida” en infinito, y la parte desfavorable no sea demasiado grande. Estos resultados ser´an utilizados tambi´en para ecuaciones no lineales. En lo que sigue haremos uso del siguiente lema, [3, 5]. Lema 1.1 Si (2) se verifica, entonces dados 1≤q≤r≤ ∞, para cada ε>0 )UC(t, s))L(Lq(Ω),Lr(Ω)) ≤M(ε)eε(t−s) (t−s) N 2“1 q−1 r”, t > s (3) con M(ε) = K$%α e&αε−αsi 0<ε<ε0=α e 1si ε≥ε0=α e para cierta constante Kyα=N 2'1 q−1 r(. 2. Soluciones positivas no degeneradas Observemos que una soluci´on completa de (1) (y despu´es para (9)) es una soluci´on u, definida para todo t∈IR en el sentido de que para cada s∈IR la soluci´on de (1) con dato inicial u0=u(s, ·) es u(t, x) para cada t > s. Como veremos aqu´ı la propiedad (2) viene garantizada por la existencia de ciertas soluciones positivas especiales de (1). Para ello recordamos la siguiente definici´on de [6]. Definici´on 2.1 Una funci´on positiva con valores en X=C(Ω)(que se anula en ∂Ωen el caso Dirichlet), es “no degenerada” (ND) en ∞(respectivamente en −∞) si existe t0∈IR 2 Decaimiento en ecuaciones parabolicas no aut´onomas tal que uest´a definida en [t0,∞)(respectivamente en (−∞, t0]) y existe una funci´on C1(Ω), ϕ0(x)>0en Ω, (que se anula en ∂Ωen el caso Dirichlet), tal que u(t, x)≥ϕ0(x)para todo t≥t0(4) (respectivamente, para todo t≤t0). Observemos que en el caso Neumann o Robin, ϕ0se puede tomar constante en Ω. As´ı, tenemos Proposici´on 2.2 Sea UC(t, s)el operador de evoluci´on asociado a (1). i) Supongamos que para cierto t0∈IR,z(t, x)es una soluci´on positiva acotada y no degenerada (PAND) en ∞, de (1), para t > t0. Entonces para todo t≥s≥t0tenemos 0< M0≤ )UC(t, s))L(Y)≤M1(5) con Y=Lr(Ω),1≤r < ∞oY=C(Ω). ii) Si z(t, x)es una soluci´on completa de (1) positiva acotada y no degenerada (CPAND) en −∞ para t≤t0, entonces para s≤t≤t0tenemos (5). Demostraci´on Supongamos que u0∈C1(Ω) (que se anula en la frontera en el caso Dirichlet). Entonces, existe λ=λ(u0) tal que |u0(x)|≤λϕ0(x) en Ω, donde ϕ0es como en la Definici´on 2.1. Entonces, por comparaci´on, para cada s≤t |UC(t, s)u0(x)|≤λUC(t, s)ϕ0(x)≤λUC(t, s)z(s)(x) = λz(t, x) y entonces )UC(t, s)u0)Y≤λsupt)z(t))Y. As´ı, UC(t, s) est´a puntualmente acotado sobre un conjunto denso de Yy por el Principio de Acotaci´on Uniforme obtenemos la cota superior de )UC(t, s))L(Y). por otro lado, para s≤t, tenemos 0 <ϕ0(x)≤z(t, x) = UC(t, s)z(s)(x) y entonces )ϕ0)Y≤ )UC(t, s))L(Y))z(s))Y y obtenemos la cota inferior para )UC(t, s))L(Y). 3. El resultado de perturbaci´on Teorema 3.1 Supongamos que U=UCes el operador de evoluci´on asociado a (1) y que verifica (5). Supongamos que P∈Cθ(IR, Lp(Ω)) con 0<θ≤1yp > N/2, es una perturbaci´on de C. Supongamos que existe una descomposici´on P(t, x) = P1(t, x)−P2(t, x), Pi∈Cθ(IR, Lp(Ω)), i = 1,2 tal que para todo x∈Ωy|t|grande, P2(t, x)≥a(t)>0con l´ım inf |t|→∞ a(t)> a0>0. Tambi´en supongamos que P1∈Lσ(IR, Lp(Ω)) para σ, p, tales que o bien σ= 1 yp=∞, o1<σ<∞yp > Nσ! 2, o σ=∞yp > N/2. 3 A.Rodr´ıguez–Bernal Entonces UC+P(t, s)es exponencialmente estable siempre que i) a0>0si σ= 1 yp=∞o1<σ<∞yp > Nσ! 2. ii) a0> ac 0(P1)>0si σ=∞yp > N 2, donde la funci´on continua ac 0(P1)viene dada por ac 0(P1) =    c0l´ım sup|t|→∞ )P1(t))Lp(Ω),si 0≤l´ım sup|t|→∞ )P1(t))Lp(Ω)≤s∗ c1+c2l´ım sup|t|→∞ )P1(t)) 1 1−α Lp(Ω),si l´ım sup|t|→∞ )P1(t))Lp(Ω)≥s∗ (6) donde α=N 2p<1y las constantes c0, c1, c2, s∗dependen de N, p. Demostraci´on. Observemos primero que podemos trabajar con t > s con tmuy negativo osmuy grande. Consideramos soluciones de (1) en Lq(Ω), 1 ≤q≤ ∞ a elegir. En primer lugar, para cada u0∈Lq(Ω) la soluci´on u(t, s, u0) = UC+P1(t, s)u0verifica, para t≥s, u(t, s;u0) = UC(t, s)u0+)t s UC(t, τ)P1(τ)u(τ, s;u0)dτ. Usando esto, elegimos qtal que p≥q%y entonces el t´ermino P1(τ)u(τ, s;u0) se puede estimar, usando la desigualdad de H¨older, en Lr(Ω) con 1 r=1 p+1 q. As´ı, denotando z(t) = e−ε(t−s))u(t, s, u0))Lq(Ω), y a(τ) = M(ε))P1(τ))Lp(Ω), con M(ε) como en (3) (o M(0) = M1si ε= 0), obtenemos para t≥s, z(t)≤M1)u0)Lq(Ω)+)t s a(τ) (t−τ)N 2p z(τ)dτ. Usando el lema de Gronwall singular, [1, 3, 5], obtenemos )u(t, s, u0))Lq(Ω)≤M2eµ(ε)(t−s))u0)Lq(Ω), t ≥s(7) donde µ(ε) = 0 si σ= 1 y p=∞, o µ(ε) = ε, si 1 <σ<∞yp > Nσ! 2, o µ(ε) = ε+%M(ε)Γ(1 −α)LS(P1)&1 1−α, si σ=∞yp > N 2, con α=N 2p<1, donde LS(P1) = l´ım sup|t|→∞ )P1(t))Lp(Ω). Ahora, probamos que para t≥s, se tiene )UC+P(t, s))L(Lq(Ω)) ≤e−a0(t−s))UC+P1(t, s))L(Lq(Ω)) (8) y de aqu´ı se sigue el resultado. Para esto observemos que si u0≥0 entonces UC+P(t, s)u0≥ 0 lo cual implica que |UC+P(t, s)u0|≤UC+P(t, s)|u0|. Por tanto basta probar la afirmaci´on para datos no negativos. En tal caso, sea u(t, s;u0) = UC+P(t, s)u0≥0 y entonces como P2(t, x)≥a0, para |t|grande, tenemos ut−∆u=C(t, x)u+P1(t, x)u−P2(t, x)u≤C(t, x)u+P1(t, x)u−a0u Sea ahora 0 ≤v(t, x) = u(t, s;u0)ea0(t−s), que verifica vt−∆v≤C(t, x)v+P1(t, x)v. Entonces, [4], 0 ≤v(t, x)≤UC+P1(t, s)u0y as´ı se tiene (8). 4 Decaimiento en ecuaciones parabolicas no aut´onomas Con (7) y (8) el caso i) es claro. Para el caso ii), observemos que de las expresiones de µ(ε) y M(ε) como en (3), tenemos que µ(0) = µ(∞) = ∞y para ciertas constantes A0, A1 que dependen de N, p, µ(ε) = $ε+A0LS(P1) 1 1−αε −α 1−αsi 0 <ε<ε0 ε+A1LS(P1) 1 1−αsi ε>ε0. Como la funci´on h(ε) = ε+A0LS(P1) 1 1−αε −α 1−αtiene un ´unico m´ınimo en ε1=B0LS(P1), yh(ε1) = B1LS(P1) (donde B0, B1dependen de N, p), entonces comparando ε0yε1, minimizando µ(ε) e imponiendo a0>´ınf{ε>0}µ(ε) llegamos a (6). A continuaci´on ilustramos el alcance de los resultados con los siguientes dos ejemplos. Proposici´on 3.2 Con las notaciones e hip´otesis del Teorema 3.1, supongamos que para |t|grande P(t, x)≤ −ϕ(x),0≤ϕ∈Lp(Ω), p > N/2 y supongamos que para 0< a suficientemente peque˜no µ({x∈Ω,0≤ϕ(x)≤a})≤Kaν con ν>0yK > 0. Entonces UC+P(t, s)es exponencialmente estable. Demostraci´on. Observemos primero que tenemos, [4], |UC+P(t, s)u0|≤UC+P(t, s)|u0|≤UC−ϕ(t, s)|u0|. As´ı basta probar que UC−ϕ(t, s) es exponencialmente estable. Ahora tomamos ϕ(x) = ϕa 2(x)−ϕa 1(x) con ϕa 2(x) = m´ax{ϕ(x), a}≥ay entonces 0≤ϕa 1(x)≤acon )ϕa 1)Lp(Ω)≤Ka(1+ ν p). El resultado se sigue tomando P1(t, x) = ϕa 1(x) y P2(t, x) = ϕa 2(x) y a0=a > 0 peque˜no, ya que (1 + ν p)>1. Por ejemplo, si 0 ≤ϕ∈C1(Ω) y su gradiente es no nulo donde se anula ϕ, lo anterior se verifica con ν= 1. M´as en general, si 0 ≤ϕ∈Cθ(Ω), “sin partes planas” donde se anula, entonces t´ıpicamente ν=1 θ. En cualquier caso se necesita ϕ(x)>0 a.e. en Ω. El siguiente ejemplo es una variante dependiente del tiempo del anterior en el que eliminamos la condici´on de signo en la perturbaci´on y permitimos perturbaciones muy grandes en regiones peque˜nas que se mueven por Ω. Proposici´on 3.3 Supongamos que para |t|grande tenemos µ({x∈Ω, P(t, x)≥ −a(t)})≤K0a(t)ν0 con ν0>0,K0>0y sup Ω P(t, x)≤K1a(t)−ν1 5 A.Rodr´ıguez–Bernal con ν1≥0. M´as a´un, supongamos que si K1= 0 entonces ν0>0, mientras que si K1>0 entonces ν0 p>1 + ν1. Entonces UC+P(t, s)es exponencialmente estable si l´ım|t|→∞ a(t) = a0>0es suficientemente peque˜no. Demostraci´on. Descomponemos P=P1−P2, con −P2(t, x) = m´ın{P(t, x),−a(t)}. Entonces P2(t, x)≥a(t) y )P1(t))Lp(Ω)≤%K1a(t)−ν1+a(t)&%K0a(t)ν0&1 p con C1≥0. De aqu´ı se sigue el resultado ya que en cualquier caso para K1el t´ermino principal en la estimaci´on anterior tiene exponente mayor que 1 y a(t) es peque˜no. 4. El problema no lineal: ecuaci´on log´ıstica Consideramos ahora la ecuaci´on log´ıstica    ut−∆u=f(t, x, u) = m(t, x)u−n(t, x)uρen Ω, t > s Bu= 0 en ∂Ω u(s) = u0≥0 (9) con ρ≥2 y m∈Cθ(IR, Lp(Ω)) para p > N/2 y 0 <θ≤1 y n(t, x)≥0 es continua y localmente H¨older en t, no id´enticamente nula y l´ım inf t→∞ n(t, x)>0 a.e en Ω. Bajo ciertas condiciones sobre m(t, x) y n(t, x), se ha probado en [6] que existe una ´unica soluci´on de (9) completa positiva acotada y no degenerada (CPAND), ϕ(t, x), que describe el comportamiento asint´otico de las soluciones de (9) en sentido “pullback” y que tambi´en verifica que para cualquier otra soluci´on de (9) PAND en ∞se tiene, con t→ ∞, u(t, x)−ϕ(t, x)→0 en X=C(Ω).(10) A continuaci´on damos condiciones que prueban que la convergencia anterior es de hecho exponencial. De hecho, primero probamos Proposici´on 4.1 i) Sea u(t, x), para t > s, una soluci´on de (9) PAND en ∞. Supongamos que P(t, x) = (1 −ρ)n(t, x)uρ−1(t, x)≤(1 −ρ)n(t, x)ϕρ−1 0(x)≤0 verifica las condiciones de las Proposiciones 3.2 o 3.3, con t→ ∞. Entonces la ecuaci´on linealizada entorno a u(t, x), es decir, (1), con C(t, x) = ∂ ∂uf(t, x, u(t, x)), es exponencialmente estable en +∞. ii) Sea u(t, x)una soluci´on de (9) CPAND en −∞. Supongamos que para t << −1,P(t, x) como en i) verifica las condiciones de las Proposiciones 3.2 o 3.3. Entonces la ecuaci´on linealizada entorno a u(t, x), es exponencialmente estable en −∞. 6 Decaimiento en ecuaciones parabolicas no aut´onomas Demostraci´on. De hecho la ecuaci´on linealizada se puede escribir como ηt−∆η=∂ ∂uf(t, x, u(t, x))η='P(t, x) + C0(t, x)(η con condiciones de contorno Bη= 0, P(t, x) como en el enunciado y C0(t, x) = f(t,x,u(t,x)) u(t,x). Pero como u(t, x) es soluci´on de (9) PAND en +∞, por la Proposici´on 2.2 tenemos que UC0(t, s) verifica (5). Por las hip´otesis sobre P(t, x) y el Teorema 3.1 tenemos que UC0+P(t, s) es exponencialmente estable. El caso ii) se sigue de manera similar. Ahora podemos trasladar este comportamiento a la ecuaci´on no lineal. En particular mejoramos (10). Proposici´on 4.2 Supongamos que 0≤u(t, x)es una soluci´on de (9) PAND en ∞y se verifican las condiciones de la Proposici´on 4.1 i). Entonces toda otra soluci´on, v(t, x), de (9) no trivial y no negativa es PAND en ∞y con t→ ∞, u(t, x)−v(t, x)→0,exponencialmente en C(Ω). Demostraci´on. En [6] se prob´o que cualquier otra soluci´on no trivial no negativa de (9) es PAND en ∞. Sea v(t, x) tal soluci´on y observemos que basta probar el resultado en los casos v(t, x)≤u(t, x) o u(t, x)≤v(t, x). Supongamos primero que v(t, x)≤u(t, x) y sea w(t, x) = u(t, x)−v(t, x)≥0, que verifica wt−∆w=f(t, x, u(t, x)) −f(t, x, v(t, x)) = C(t, x)w con C(t, x) = ∂ ∂uf(t, x, ξ(t, x)), y v(t, x)≤ξ(t, x)≤u(t, x). Entonces C(t, x) = C0(t, x) + P(t, x), C0(t, x) = ∂ ∂uf(t, x, u(t, x)) y por [6], ver (10), tenemos P(t, x)→0 en L∞(Ω) con t→ ∞. Por la Proposici´on 4.1, UC0(t, s) es exponencialmente estable, y por la hip´otesis sobre P(t, x) y el Teorema 3.1 obtenemos que UC0+P(t, s) tambi´en lo es. Por tanto w(t, x) converge a cero exponencialmente. Por otro lado, si u(t, x)≤v(t, x) entonces C1(t, x) = ∂ ∂uf(t, x, v(t, x)) ≤C0(t, x) = ∂ ∂uf(t, x, u(t, x)) lo cual implica que UC1(t, s) tambi´en es exponencialmente estable. Repitiendo el argumento anterior, intercambiando los papeles de uyv, concluimos. 7 A.Rodr´ıguez–Bernal Agradecimientos Trabajo parcialmente financiado por el proyecto MTM 2006–08262, DGES y el Programa de Financiaci´on de Grupos de Investigaci´on UCM-Comunidad de Madrid GR69/06. Grupo 920894 CADEDIF. Referencias [1] D. Henry. Geometric theory of semilinear parabolic equations, volumen 840 en Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1981. [2] J. A. Langa, J. C. 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