Clasificación de conexiones meromorfas formales en una variable

UNIVERSIDAD DE SEVILLA FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS Trabajo de Fin de M´aster CLASIFICACI ´ ON DE CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN UNA VARIABLE Por: Luis Francisco Curquejo Otero Dirigido por: Luis Narv´aez Macarro M´aster Universitario en Matem´atica Avanzada Sevilla - Curso 2016-2017 ´ Indice Abstract III Resumen V 1. Introducci´on 1 Breve introducci´on hist´orica y posible continuaci´on . . . . . . . . . . . . . 1 Sobre la bibliograf´ıa y la estructura del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Elementos b´asicos de la teor´ıa de D-m´odulos 7 2.1. El ´algebra D.................................. 7 2.1.1. Definici´on del ´algebra D........................ 8 2.1.2. Propiedades como anillo de D..................... 9 2.1.3. Ideales a la izquierda de D. Divisi´on en D............... 12 2.2. D-m´odulos hol´onomos y conexiones meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1. Sistemas diferenciales, filtraciones y holonom´ıa . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2. Conexiones meromorfas y el pol´ıgono de Newton . . . . . . . . . . . 18 3. Clasificaci´on de las conexiones meromorfas formales en una variable 27 3.1. Conexiones meromorfas formales regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Conexiones meromorfas formales en general . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1. Descomposici´on en suma de conexiones meromorfas formales de pendiente´unica............................. 36 3.2.2. Descomposici´on en suma de conexiones meromorfas formales elementales................................. 43 3.3. El teorema cl´asico de Levelt-Turrittin y su utilidad . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1. La aproximaci´on cl´asica al teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.2. El teorema de Levelt-Turrittin y su relaci´on con el teorema de Malgrange.................................. 56 3.4. Posible profundizaci´on en la teor´ıa algebraica de las ecuaciones diferenciales 57 i ii ´ INDICE Bibliograf´ıa 59 Abstract The study of systems of linear differential equations is, since its inception during the XV IIth century, a core and rich area in mathematics. It is not only fruitful by itself, but it also provides a wonderful tool for modelling a plethora of situations in applied fields, such as physics, chemistry, engineering or epidemiology. Thus, mathematicians have constantly tried to attack the problems in this field using different techniques. During the XXth century algebraic tools started to be used with the purpose of studying singularities of differential equations and to obtain a more profound knowledge of the so-called Stokes phenomenon. In this work, an introduction to this algebraic viewpoint will be developed, with emphasis in the classification of formal meromorphic connections, the so-called Hukuhara-Levelt-Turrittin, Levelt-Turrittin or Levelt-Turrittin-Malgrange decomposition. The first chapter contains a short introduction to the subject, explaining the general structure of this work, previous results, some historic remarks and a brief bibliographic discussion. The second chapter deals with some basics about D−modules and related notions, such as the Newton polygon of an operator, which will be instrumental in the proof of the main theorems. Finally, in the third and last chapter, the abstract algebraic approach of Malgrange to the Hukuhara-Levelt-Turrittin decomposition will be studied. Also, a short, nonexhaustive study of the classical approach to the decomposition of a formal differential operator — which is a differential analogue of the Jordan-Chevalley decomposition — will be included. A few remarks about the more in-depth studies will be covered as well. iii Resumen El estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales es un ´area de las matem´aticas fruct´ıfera y que ha motivado numerosos desarrollos te´oricos ya desde su concepci´on en el siglo XVII. Adem´as del inter´es puramente matem´atico de las ecuaciones diferenciales su versatilidad a la hora de modelizar problemas en otras ´areas del conocimiento (f´ısica, qu´ımica, ingenier´ıa, epidemolog´ıa...) ha propiciado que sean un campo de permanente actualidad en el cu´al se buscan continuamente nuevas t´ecnicas de estudio. En particular, a mediados del siglo XX se comenz´o a afrontar el estudio de las singularidades de las ecuaciones diferenciales utilizando herramientas de ´algebra abstracta. Asimismo, en la misma ´epoca, se comenz´o a estudiar desde el punto de vista algebraico el fen´omeno de Stokes, un fen´omeno cl´asico del ´area. En el presente trabajo se pretende realizar una introducci´on a esta ´area desde el punto de vista algebraico tratando la clasificaci´on de las conexiones meromorfas formales en una variable, lo que se conoce como descomposici´on de Hukuhara-Levelt-Turritin, Levelt-Turritin o Levelt-Turritin-Malgrange. El primer cap´ıtulo contiene una breve introducci´on al tema, en la que se explicar´a la estructura general del trabajo, resultados previos, algunas notas hist´oricas y una breve discusi´on bibliogr´afica. El segundo cap´ıtulo consiste en un repaso de algunos aspectos b´asicos de la teor´ıa de D−m´odulos y aspectos relacionados, como el pol´ıgono de Newton. Estos conceptos ser´an fundamentales a la hora de probar los resultados principales. Finalmente en el tercer cap´ıtulo se comentar´a la aproximaci´on abstracta, debida a Malgrange, a la descomposici´on de Hukuhara-Levelt-Turrittin. Tambi´en se incluir´a un breve estudio no exhaustivo sobre la aproximaci´on cl´asica a la descomposici´on, que es un an´alogo diferencial de la descomposici´on de Jordan-Chevalley. Asimismo se presentar´an algunas pinceladas sobre las l´ıneas de profundizaci´on en el ´area de estudio. v Cap´ıtulo 1 Introducci´on Breve introducci´on hist´orica, objetivo del trabajo y posible continuaci´on Las ecuaciones diferenciales y su estudio han sido un elemento central de las matem´aticas desde su nacimiento, de la mano de Newton y Leibniz, a mediados del siglo XVII. Esta preeminencia se observa tanto en un nivel puramente te´orico, con la gran cantidad de avances matem´aticos que ha impulsado la b´usqueda de una mayor comprensi´on de las ecuaciones diferenciales, como en un plano pr´actico, debido a la versatilidad de las ecuaciones diferenciales para modelizar gran cantidad de situaciones en m´ultiples ´areas de la ciencia: desde las aplicaciones m´as elementales asociadas a la mec´anica cl´asica hasta algunos de los aspectos m´as punteros y con m´as inter´es presente como las ecuaciones de Navier-Stokes, pasando por multitud de ´areas dentro de la biolog´ıa, la epidemolog´ıa, la ingenier´ıa, la f´ısica y la qu´ımica, entre otros campos. De entre todos los tipos de ecuaciones diferenciales existentes podemos destacar uno: las ecuaciones diferenciales lineales. Son ecuaciones de la forma n X i=0 ai dif dxi= 0, donde los aison funciones complejas de variable compleja (en la variable x), posiblemente meromorfas. Por supuesto, este es el caso 1−dimensional: tambi´en existen ecuaciones diferenciales n−dimensionales, pero por fijar ideas y restringirnos al ´ambito que vamos a estudiar en el cuerpo principal del trabajo nos quedaremos siempre en el caso 1−dimensional. Solucionar esta ecuaci´on equivale a encontrar una funci´on de una variable compleja fde forma que verifique la igualdad anterior. En tanto estas ecuaciones aparecen con frecuencia tanto en las matem´aticas te´oricas como aplicadas (por ejemplo, en f´ısica) 1 8CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS dada por el producto de series habitual. Este operador es trivialmente lineal, caracter´ıstica que comparte con la derivaci´on habitual. Con esto en mente podemos crear, como veremos en esta secci´on, ciertas ´algebras de operadores. Adem´as, los ideales de estas ´algebras tendr´an ciertas propiedades interesantes. 2.1.1. Definici´on del ´algebra D Consideraremos en todo momento los anillos C{x}de series de potencias convergentes yCJxKde series formales de potencias. Obviamente, se verifica la relaci´on de inclusi´on C{x} ⊂ CJxK. Dotamos a estos conjuntos de estructura de anillo de la forma habitual: la suma es la suma t´ermino a t´ermino y el producto es el producto de Cauchy dado por ( ∞ X i=0 aixi)·( ∞ X i=0 bixi) = ∞ X i=0 cixi siendo ci= i P j=0 ajbi−j. Adem´as, en estos anillos nos encontramos una derivaci´on ∂ ∂x (a la cual denotaremos, por comodidad, ∂x) que act´ua de la manera habitual. N´otese adem´as que la derivaci´on habitual es un operador C-lineal y que cada elemento del anillo tiene asociado un operador dado por la multiplicaci´on1. Por tanto, podemos utilizar el operador conmutador [·,·] sobre ∂xy un elemento cualquiera fde nuestro anillo, obteni´endose la relaci´on [∂x, f] = ∂x◦f−f◦∂x=∂f ∂x siendo el elemento de la derecha el operador multiplicar por ∂f ∂x . Esta relaci´on no es m´as que una manera alternativa de escribir la regla de Leibniz cl´asica. Con estos elementos estamos en condiciones de definir las ´algebras Dyˆ D. Definici´on 2.1.1. El ´algebra Dse define como el ´algebra generada de la siguiente forma: D:= C{x}< ∂x>  {[∂x, f]−∂xf}. Asimismo el ´algebra ˆ Dviene dada como el ´algebra generada de la siguiente forma: D:= CJxK< ∂x>  {[∂x, f]−∂xf}. 1Sea Run anillo, f∈R. Entonces existe un operador ˜ f:R→Rde forma que para cada g∈Res ˜ f(g) = f·g. Es trivial comprobar que se trata de un endomorfismo de anillos. 2.1. EL ´ ALGEBRA D9 Conviene detenerse un momento en estas definiciones: en el cociente C{x}< ∂x>  {[∂x, f]−∂xf} el numerador es un anillo libre respecto a ∂x, que no conmuta con los objetos de C{x}. Adem´as, el ideal del denominador ha de ser un ideal bil´atero (i.e, tanto a izquierda como a derecha), pues si no lo fuese, no se heredar´ıa la estructura de anillo. Es f´acil comprobar que dicha propiedad se verifica. En este razonamiento podemos sustituir sin problemas C{x} por CJxK, y cuando m´as adelante nombremos el ´algebra de Weyl tambi´en ser´a v´alido. Un hecho interesante sobre estas ´algebras es el siguiente: Proposici´on 2.1.2. Cada elemento de D(resp. ˆ D) se puede escribir de una ´unica forma como n P i=0 fi∂i xcon fi∈C{x}(resp., en CJxK) para cada i. Prueba. Se puede encontrar una prueba en [Sab93, Chapter 1, Proposition 1.2.3.] 2.1.2. Propiedades como anillo de D Para estudiar adecuadamente los ideales de Dyˆ Dhemos de definir previamente algunos conceptos: Definici´on 2.1.3. Tanto el anillo Dcomo el anillo ˆ Dse pueden equipar con una filtraci´on, a la cual notaremos FD(resp. Fˆ D) de la siguiente manera: un operador Pest´a en FkD(resp. Fkˆ D) si la mayor potencia de ∂xque aparece en cualquier monomio de Pes menor o igual que k. El grado de P(denotado deg P) respecto a la filtraci´on FD(resp. Fˆ D) es el ´unico entero kde forma que Pest´a en FkD\Fk−1D(resp. Fkˆ D\Fk−1ˆ D) N´otese que esta definici´on del grado es independiente de como escribamos P. Tambi´en tendremos que FkD(resp. Fkˆ D) es 0 cuando kes negativa2y que F0D(resp. F0ˆ D) es igual al anillo base C{x}(resp. CJxK). A partir de ahora, salvo que se haga referencia expl´ıcita a otra filtraci´on, al hacer referencia al grado de un operador lo haremos respecto a la filtraci´on Fque acabamos de definir. N´otese que en el caso particular de escribir nuestros operadores de acuerdo al lema 2.1.2 tendremos que si P= n P i=0 ai∂i x(expresi´on en la cual podemos considerar anno nulo), entonces el grado de Pes n. Adem´as, tenemos las siguientes propiedades: Lema 2.1.4. Para todo iyjse tiene que FiD·FjD=Fi+jD(y an´alogo para ˆ D). 2Recordemos que consideramos s´olo las potencias positivas de ∂xy, caso de aparecer alguna en una f´ormula, se la considera 0. 10 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS Prueba. La prueba no es m´as que una comprobaci´on directa, como se indica en [Cou95, Chapter 7, Section 2] Lema 2.1.5. Sean P, Q ∈Doperadores de grado kyl, respectivamente. Entonces, el grado del conmutador [P, Q]es menor o igual que k+l−1. Prueba. Basta considerar de manera expl´ıcita tanto el producto P Q como QP. Ya que el grado no depende de la forma de escribir los polinomios podemos considerar expresiones de la forma P= k X i=0 ai∂i xQ= l X j=0 bj∂j x Haciendo las operaciones pertinentes se llega a PQ =akbl∂k+l x+R1QP =akbl∂k+l x+R2 donde R1yR2son operadores de grado, a lo sumo, k+l−1. Por tanto, tendremos que [P, Q] = PQ −QP =R1−R2, con lo que se tiene el resultado.  Como consecuencia, tenemos el siguiente hecho: Proposici´on 2.1.6. El anillo D(resp. ˆ D) es simple, es decir, sus ´unicos ideales bil´ateros son el 0y el total. Prueba. Una prueba se puede consultar en [Sab93, Chapter 1, Proposition 1.3.3.].  A partir de la definici´on de grado tenemos de manera natural el siguiente resultado, que enunciamos para Dsiendo an´alogo para ˆ D: Proposici´on 2.1.7. El anillo graduado grFD:= ∞ M k=0 FkD  Fk−1D es isomorfo como anillo graduado al anillo de polinomios en una variable ξcon coeficientes en C{x}, con la graduaci´on dada por el grado de ξy siendo ξla clase de ∂x. 2.1. EL ´ ALGEBRA D11 Prueba. La demostraci´on consiste en ver que la aplicaci´on ϕ: grFD→C{x}[ξ] a∂k x7→ aξk es, en efecto, un isomorfismo de anillos graduados. Esta es una comprobaci´on trivial que omitimos.  Este isomorfismo es ´util, entre otras razones, a la hora de probar el siguiente teorema. Como antes, lo enunciamos para Dsiendo an´alogo para ˆ D: Proposici´on 2.1.8. El anillo Des noetheriano a izquierda y a derecha. Prueba. Se puede encontrar una prueba detallada en [Sab93, Chapter 1, Corolary 1.3.5.].  Del isomorfismo podemos obtener tambi´en una buena definici´on del F-s´ımbolo de un operador. Realmente (y como veremos m´as adelante) esta es una definici´on totalmente general relativa a filtraciones, pero explicitamos el caso particular: Definici´on 2.1.9. Sea Pun operador diferencial y sea Fla filtraci´on anterior. El Fs´ımbolo de un operador, notado σF(P), es la clase de equivalencia de Pen el conjunto Fdeg(P)D  Fdeg(P)−1D. Nota. Se tiene la definici´on an´aloga para D. El ´algebra de Weyl Recordemos que lo largo de la secci´on hemos considerado las ´algebras Dyˆ Dconforme a la definici´on 2.1.1. De manera an´aloga podemos definir el ´algebra de Weyl: en lugar de considerar como coeficientes de los operadores las series (ya sea formales o convergentes) consideramos el anillo de los polinomios C[x]. Definici´on 2.1.10. El ´algebra de Weyl, denotada A1(C)se define como el ´algebra generada de la siguiente forma: A1(C) := C[x]< ∂x>  {[∂x, f]−∂xf}. Esta ´algebra verifica todos y cada uno de los teoremas indicados en la secci´on anterior: el ´algebra de Weyl es simple y noetheriana tanto a derecha como a izquierda. En puridad, podr´ıamos definir de manera sencilla el ´algebra de Weyl (y el resto de ´algebras) en dimensiones superiores de manera totalmente an´aloga e incluso con otros anillos de coeficientes (como podr´ıan ser los polinomios o series con coeficientes en un cuerpo arbitrario 12 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS k) pero omitiremos estos casos del presente estudio debido a lo extenso y complejo de la generalizaci´on, pues no todas las propiedades se preservan. El principal problema reside en el paso a caracter´ıstica positiva. Se pueden encontrar detalles sobre este particular en [Cou95, Chapter 2, Section 3], que a su vez remite, para un tratamiento en profundidad, a [Smi86]. Conviene tambi´en destacar en este punto que las definiciones dadas antes no son las ´unicas v´alidas. Por ejemplo, en [Cou95] encontramos una definici´on en t´erminos del ´algebra de endomorfismos de un anillo, y en [HTT08] una similar pero m´as general y usando el lenguaje de los haces, lo cual permite pasar con mayor facilidad al estudio en varias variables. Aunque el libro de Coutinho est´a dedicado al caso del ´algebra de Weyl, buena parte de los razonamientos tambi´en valen para Dyˆ D, o se pueden adaptar f´acilmente. 2.1.3. Ideales a la izquierda de D. Divisi´on en D. Los ideales izquierdos de Dyˆ Dtienen un inter´es especial pues est´an´ıntimamente relacionados con la descripci´on algebraica de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, como veremos m´as adelante. Estos ideales, adem´as, tienen algunas buenas propiedades: a partir de una cierta divisi´on razonable en Doˆ Dse puede probar que los ideales izquierdos est´an generados por, a lo sumo, dos elementos. Aunque los resultados que vamos a presentar a continuaci´on los enunciamos para Dtodo el desarrollo es an´alogo para ˆ D. Definici´on 2.1.11. Sea Pun operador de D. Consider´emoslo expresado como P= n P i=0 ai∂i xcon anno nulo. Entonces, el exponente de P, notado exp(P)se define como el par de enteros no negativos dado por exp(P) = (v(an), n) donde nes el grado de Pyv(an)es la valoraci´on de an. Este exponente verifica la siguiente propiedad: Lema 2.1.12. El exponente es aditivo bajo el producto, es decir, dados dos operadores P yQde Dse verifica exp(PQ) = exp(P) + exp(Q). Prueba. Este resultado se obtiene de manera directa calculando expl´ıcitamente el producto PQ: si P=an∂n x+R1yQ=bm∂m x+R2, con deg R1< n y deg R2< m se tiene que PQ =anbm∂n+m x+Rcon deg R < n +m. Claramente, deg PQ = deg P+ deg Q. Asimismo, si antiene orden de anulaci´on k1, tendremos que an=xkf, con funa unidad. An´alogamente, si el de bmes k2tendremos que bm=xk2gcon guna unidad. Por tanto, anbm=xk1+k2fg, con lo que v(anbm) = v(an) + v(bm), lo cual prueba el resultado.  2.1. EL ´ ALGEBRA D13 La demostraci´on anterior motiva el considerar una “divisi´on” en Dde la siguiente manera: Proposici´on 2.1.13. Sean AyPelementos de Dde forma que exp(P) = (v, d). Entonces, existe un ´unico par (Q, R)de elementos de Dde forma que 1. A=PQ +R 2. R= v−1 P k=0 deg A P l=d uk,lxk∂k x+Scon deg S < d yuk,l unidades para cada ky cada l. Prueba. La prueba es por inducci´on en el grado de A. Es una prueba sencilla aunque un tanto laboriosa que omitimos por ser esencialmente t´ecnica. Se pueden encontrar detalles en [BM84]. Conviene destacar que el teorema de Brian¸con y Maisonobe fue generalizado a varias variables por F. Castro ([Cas84])  Esta divisi´on por un ´unico operador puede ser extendida a la divisi´on por varios operadores. Para ello, establecemos las siguientes definiciones: Definici´on 2.1.14. Sea Iun ideal de D. Definimos el conjunto de exponentes de I, Exp(I)como Exp(I) = {exp(P)|P∈I}. Ya que Ies un ideal, y gracias al lema 2.1.12, se tiene trivialmente que Exp(I) +N2= Exp(I). N´otese que Exp(I) tendr´a una forma similar a la que se puede ver en la siguiente figura: v d La interpretaci´on de esta gr´afica es sencilla. Recordemos que los pares que conforman Exp(I) son de la forma (v, d), donde ves una valoraci´on y des un grado. Ya que ambas cantidades son naturales, en un ideal Ihabr´a tanto grados m´ınimos como valoraciones 14 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS m´ınimas. La gr´afica anterior expresa la idea de la “frontera” de Exp(I), en tanto grados y valoraciones m´ınimas del ideal o, m´as concretamente, para valoraci´on m´ınima fijada, todos los grados que toman los elementos con esa valoraci´on (y viceversa). Con estas ideas en mente podemos definir la siguiente colecci´on de conceptos: Definici´on 2.1.15. Sea Iun ideal de D. Sea Exp(I). Sea p=min P∈Ideg P. Sea q=min {deg P|P∈Iyv(P) = min Q∈Iv(Q)}. Entonces, se definen las escaleras de I, denotado ES(I), como el conjunto ES(I) = {(αp, p),(αp+1, p + 1),...,(αq, q)} donde αjes la menor valoraci´on de un elemento de grado j. N´otese que a partir de la definici´on tanto de pcomo de qes inmediato probar que q es mayor o igual que p. A partir de la definici´on de las escaleras del ideal obtenemos la de base de Gr¨obnner, o base de divisi´on. Esta nomenclatura se justifica por el teorema 2.1.17 que enunciamos m´as adelante y que resulta an´alogo a los teoremas de divisi´on en anillos de polinomios. Definici´on 2.1.16. Sea Iun ideal de D. Entonces, una base de Gr¨obner de Ies una colecci´on de elementos de I,{Pp, Pp+1, . . . , Pq}, de forma que para cada (αj, j)de ES(I) se verifica exp(Pj) = (αj, j). Con esta terminolog´ıa resulta sencillo enunciar y probar el siguiente hecho: Proposici´on 2.1.17. Sea Iun ideal propio de D, y sea Pp,··· , Pquna base de divisi´on de I. Entonces se tiene: 1. Para cada Ade Dexisten unos ´unicos Qp, Qp+1,··· , Qq−1∈C{x}yQq, R ∈Dde forma que A=QpPp+···+QqPq+R verificando Rque R= degA X l=p αl−1 X k=0 uk,lxk∂l x+S con deg S < p. 2. Con esta notaci´on Apertenece al ideal Isi, y s´olo si, R= 0. 2.1. EL ´ ALGEBRA D15 Prueba. Como en el caso de la proposici´on 2.1.17, la demostraci´on de este resultado es esencialmente t´ecnica. Una referencia con los puntos claves de la prueba se encuentra en [Sab93], y una referencia completa en [BM84].  Como consecuencia inmediata de este teorema se tiene lo siguiente: Corolario 2.1.18. Sean I0⊂Idos ideales de Dcon ES(I) = ES(I0). Entonces, I0=I. Prueba. Debido a que las escaleras coinciden, una base de Gr¨obner de I0ser´a tambi´en base de Gr¨obner de Iy por tanto si un elemento pertenece a I, pertenecer´a tambi´en a I0 lo cual prueba el resultado.  Generadores de un ideal De la proposici´on 2.1.17 se deduce directamente que una base de Gr¨obner de un ideal Ies un sistema de generadores de I. Pero podemos conseguir un resultado a´un m´as fuerte: bastan dos elementos concretos de dicha base para generar I. Proposici´on 2.1.19. Sea Iun ideal a izquierda de D. Sea Pp,··· , Pquna base de Gr¨obner de I. Entonces, I=< Pp, Pq>. Para probar esta proposici´on siguiendo el argumento presentado en [Sab93, Chapter 1, Section 2.3]algunos lemas que, adem´as, son interesantes por si mismos. Lema 2.1.20. Sea Iun ideal izquierdo con base de Gr¨obner Pp,··· , Pq. Para cada ientre pyqel D-m´odulo izquierdo I  < Pi>es un m´odulo de torsi´on3 Corolario 2.1.21. Sea Iun ideal izquierdo con base de Gr¨obner Pp,··· , Pq. El D-m´odulo izquierdo I  < Pp, Pq>es de torsi´on. Lema 2.1.22. Sea Mun D−m´odulo izquierdo de tipo finito que tambi´en sea de tipo finito sobre C{x}. Entonces, Mes libre como C{x}−m´odulo. Prueba (De todos los resultados anteriores).Se puede encontrar un desarrollo detallado en [Sab93, Chapter 1, Section 2.3].  3Sea Run anillo y Mun R−m´odulo. Un elemento mde Mse dice de torsi´on si existe un ren Rde forma que rm = 0. Un m´odulo se dice de torsi´on si todos sus elementos son de torsi´on. A su vez, se dice libre de torsi´on si ninguno de sus elementos no nulos es de torsi´on. 16 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS 2.2. D-m´odulos hol´onomos y conexiones meromorfas 2.2.1. Sistemas diferenciales, filtraciones y holonom´ıa Nota. Todo lo dicho aqu´ı es v´alido tambi´en para ˆ D. Sea Pun operador diferencial de D. Asociada tiene la ecuaci´on diferencial lineal Pu = 0. Si ues soluci´on de P(upuede ser una funci´on anal´ıtica, una distribuci´on o cualquier otro objeto razonable que queramos considerar) tambi´en lo ser´a de QP para cualquier Q en D. Es decir, se tiene que dado un espacio de objetos sobre los que actua D(es decir, un D-m´odulo a la izquierda) F, un operador Py una soluci´on ude Pse define un morfismo D  D·P→ F Q7→ Q(u). Este morfismo es D−lineal a izquierda. Es decir, a una ecuaci´on diferencial lineal le asociamos el D−m´odulo D  D·P. An´alogamente, a un sistema de ecuaciones diferenciales {P1,··· , Pn}le asociaremos el D−m´odulo D  < P1,··· , Pn>. La justificaci´on de esta asignaci´on la podemos encontrar en [Cou95, Chapter 6, Theorem 1.2], que reza lo siguiente: Teorema 2.2.1. Sea {P1,··· , Pn}un sistema de ecuaciones diferenciales actuando sobre un D-m´odulo a la izquierda F. Entonces, el espacio de soluciones del sistema es isomorfo (como espacio vectorial) a HomD(D  D·P,F). Prueba. Viene detallada en [Cou95, Chapter 6, Theorem 1.2].  Surge pues la siguiente definici´on algebraica de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Definici´on 2.2.2. Un sistema diferencial lineal es un D−m´odulo a izquierda de tipo finito. Recordando la filtraci´on Fque definimos anteriormente, y que filtraba Dpor grado, tendremos que si Mes un sistema diferencial, es decir, M ≃ D  < P1,··· , Pr>. Entonces ([Sab93, Chapter 1, Lemma 3.2.7]) se tiene el grFD−m´odulo graduado grFM=grFD  < σF(P1),··· , σF(Pr)>. Se tiene tambi´en el concepto de buena filtraci´on: 2.2. D-M ´ ODULOS HOL ´ ONOMOS Y CONEXIONES MEROMORFAS 17 Definici´on 2.2.3. Sea Mun D−m´odulo. Sea FMuna filtraci´on del m´odulo con ´ındices en Z. Diremos que el par (M, FM)es un m´odulo filtrado sobre (D, F D)si verifica M=[ k∈Z FkM y existe un lde forma que para cualquier kmenor o igual que el les FkM= 0. Adem´as, exigimos que se verifique que FkM · FlM ⊂ Fk+lM. Si adem´as esta ´ultima contenci´on es una igualdad y cada FkMes un C{x}−m´odulo de tipo finito diremos que la filtraci´on es una buena filtraci´on. En [Sab93, Chapter 1, Section 3.2] podemos encontrar un teorema de caracterizaci´on de buenas filtraciones, as´ı como algunos resultados complementarios interesantes. A efectos de nuestro desarrollo, lo relevante es contar con el concepto y poder afirmar que la filtraci´on Fantes presentada es una buena filtraci´on. Una prueba de este hecho la encontramos en la referencia anterior de Sabbah. A partir del concepto de buena filtraci´on podemos obtener el de variedad caracter´ıstica Definici´on 2.2.4. Sea Mun sistema diferencial lineal y FMuna buena filtraci´on de M. El soporte de Mes el conjunto de ideales primos de C{x}[ξ]asociados al anulador de M, es decir, los pide forma que √Ann M=\pi. La variedad caracter´ıstica de M, denotada Car M, es el soporte de grF(M). La justificaci´on de esta definici´on reside en el teorema 2.1.7. Adem´as, se puede probar ([Sab93]) que la variedad caracter´ıstica no depende de la filtraci´on elegida. Definida la variedad caracter´ıstica se puede definir asimismo el concepto de D−m´odulo hol´onomo: Definici´on 2.2.5. Un sistema diferencial lineal se dice hol´onomo si M= 0 o Car M ⊂ {x= 0}∪{ξ= 0}. En la pr´actica, la gran mayor´ıa de sistemas en una variable son hol´onomos. Intuitivamente, los sistemas hol´onomos ser´an aquellos cuyo espacio de soluciones sea un espacio vectorial de dimensi´on finita. No entraremos en mayores detalles acerca de ellos (remitimos a [Sab93], [Cou95, Chapter 10] y a [HTT08]), pues lo que nos interesa de los D−m´odulos hol´onomos en el presente trabajo es su relaci´on con las conexiones meromorfas. La conexi´on ser´a, concretamente, que toda conexi´on meromorfa es isomorfa a un D−m´odulo holonomo localizado. Los principales resultados para este trabajo son los que siguen: 24 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS B ´ ASICOS DE LA TEOR´ IA DE D-M ´ ODULOS Figura 2.2: Fronteras de los conjuntos (i, i −v(ai)) −N2para P. La envolvente convexa de la uni´on de esos conjuntos es i i−v(ai) Figura 2.3: Pol´ıgono de Newton de x5∂2 x+x5∂x+ 1. Marcamos el punto asociado al monomio x5∂xcomo referencia. Ejemplo 2.2.3.En este ´ultimo ejemplo veremos como, salvo traslaci´on, el pol´ıgono de Newton depende de la conexi´on meromorfa formal y no del operador. Por ejemplo, sea P=1 x2∂2 x+x∂x+1 x. Sea Mˆ Kla conexi´on meromorfa formal asociada a P. Obviamente, es la misma conexi´on meromorfa forma que la asociada a Q=∂2 x+x3∂x+x, es decir, Q=x2P. Ya que x2es una unidad en ˆ Kesto no afecta a la conexi´on meromorfa. El pol´ıgono de Newton de P, obtenido por cualquier m´etodo de los antes comentados, es 2.2. D-M ´ ODULOS HOL ´ ONOMOS Y CONEXIONES MEROMORFAS 25 i i−v(ai) Figura 2.4: Pol´ıgono de Newton de P=1 x2∂2 x+x∂x+1 x. Es decir, el pol´ıgono es uno con una ´unica pendiente horizontal. Si estudiamos el pol´ıgono de Newton de Qobtenemos i i−v(ai) Figura 2.5: Pol´ıgono de Newton de Q=∂2 x+x3∂x+x. Es decir, el pol´ıgono de Newton de Qes el de Ptrasladado dos unidades hacia abajo en el eje vertical. N´otese que Q=x2P. Si estudiasemos el pol´ıgono de Qi=xiP, con i un n´umero entero, el pol´ıgono de Newton de Qiser´ıa el de Ptrasladado iunidades en el eje vertical. Cap´ıtulo 3 Clasificaci´on de las conexiones meromorfas formales en una variable En este cap´ıtulo afrontaremos la clasificaci´on de las conexiones meromorfas formales en una variable desde una perspectiva menos cl´asica que la seguida por Hukuhara-LeveltTurrittin. Dada una conexi´on meromorfa formal (Mˆ K,∇) en lugar de descomponer el operador ∇descompondremos Mˆ K. La descomposici´on de Mˆ Kpermitir´a adem´as clasificar, salvo isomorfismo, todas las conexiones meromorfas formales. Esta aproximaci´on se debe, originalmente, a Malgrange [Mal79]. Veremos, adem´as, que esta descomposici´on es equivalente a la cl´asica de Hukuhara-Levelt-Turrittin, y nos asomaremos a teor´ıas relacionadas directamente con la de las conexiones meromorfas. A lo largo de todo el cap´ıtulo denotaremos por (Mˆ K,∇) a una conexi´on meromorfa formal. En ocasiones haremos referencia s´olo a Mˆ K, debiendo sobreentenderse la presencia de ∇. De hecho, aunque el desarrollo de las demostraciones se puede hacer para una conexi´on ∇arbitraria, vamos a particularizarlo al caso en el que la derivaci´on subyacente es la dada por x∂x. Siguiendo esta idea, notaremos a la conexi´on, en lugar de ∇, como x∂x. Se sobreentender´a en cada caso si estamos hablando de la conexi´on o de la derivaci´on subyacente. Asimismo, de manera general y salvo que indiquemos lo contrario, dser´a la dimensi´on de Mˆ Kcomo ˆ K−espacio vectorial. 3.1. Conexiones meromorfas formales regulares Antes de estudiar las conexiones meromorfas formales de manera totalmente general conviene que estudiemos el caso concreto de las conexiones meromorfas formales regulares. Veamos, en primer lugar, que entendemos por una conexi´on meromorfa formal regular: 27 28 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE Definici´on 3.1.1. Una conexi´on meromorfa formal Mˆ Kse dir´a regular si verifica que su ´unica pendiente es la horizontal, L1. La idea subyacente es que dado un operador Pde forma que Mˆ K=Dˆ K  Dˆ K·Pel monomio de mayor orden de P“se comporta bien” en el origen, i.e., el monomio de mayor orden tiene polos en el 0 de orden igual al del t´ermino independiente, y todos los otros monomios tienen orden del polo mayor que el del t´ermino independiente. N´otese que esto equivale a la condici´on de regularidad de Fuchs que nombr´abamos en la introducci´on (ver [Sab10, Th´eor`eme 1.4.9] para m´as detalles). Un operador diferencial Pse dir´a regular si la conexi´on meromorfa formal asociada es regular. Las conexiones meromorfas formales regulares verifican algunas propiedades interesantes. Se puede probar lo siguiente: Lema 3.1.2. Sea Mˆ Kuna conexi´on meromorfa regular. Existe una base de Mˆ Kde forma que la matriz de x∂xtiene coeficientes en CJxK. Prueba. Probemos en primer lugar el siguiente lema: Lema 3.1.3. Sea ∂x:Mˆ K→ Mˆ K una conexi´on meromorfa. Sea el operador diferencial x∂x:Mˆ K→ Mˆ K. Entonces, este operador verifica (x∂x)n= n X i=1 S(n, i)xi∂i x, donde S(n, i)denota al n´umero de Stirling de segunda especie.1 Prueba. La prueba es sencilla por inducci´on. El caso n= 1 es una igualdad trivial. Supongamos cierta la propiedad para ny lo probamos para n+ 1. Tendremos (x∂x)n+1 = (x∂x)( n X i=1 S(n, j)xj∂j x) = x n X j=1 S(n, j)(jxj−1∂j x+xj∂j+1 x) = n X j=1 jS(n, j)xj∂j x+ n X j=1 S(n, j)xj+1∂j+1 x= n X j=1 jS(n, j)xj∂j x+ n+1 X j=2 S(n+ 1, j −1)xj∂j x =S(n, 1)x∂x+S(n, n)xn+1∂n+1 x+ n X j=2 (jS(n, j) + S(n, j −1))xj∂j x. 1El n´umero de Stirling de segunda clase S(n, k) indica el n´umero de maneras de dividir un conjunto de nelementos en ksubconjuntos. Claramente, S(n, 1) = S(n, n) = 1 para cualquier n. 3.1. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES REGULARES 29 Ya que S(n, 1) = S(n, n) = 1 para cualquier n, en la identidad anterior podemos sustituir S(n, 1) y S(n, n) por S(n+ 1,1) y S(n+ 1, n + 1) respectivamente. Asimismo, se puede probar (ver [Big89]) que los n´umeros de Stirling de segunda especie verifican la relaci´on de recurrencia S(n+ 1, j) = jS(n, j) + S(n, j −1). Utilizando esto y sustituyendo en la anterior identidad quedar´ıa probado el resultado.  Sea ahora mun vector c´ıclico de Mˆ K, es decir, m, ∂xm, ··· , ∂d−1 xmes una base de Mˆ K. Vamos a probar que m, x∂xm, ··· ,(x∂x)d−1mes asimismo una base de Mˆ K. En efecto, supongamos constantes a0,··· , ad−1de forma que a0m+a1x∂xm+···+ad−1(x∂x)d−1m= 0. Si desarrollamos expl´ıcitamente cada t´ermino de acuerdo al lema 3.1.3 tendremos la igualdad d−1 X i=0 bi∂i xm, donde bi=xi d−1 X j=i S(j, i)ai, siendo S(j, i) el n´umero de Stirling de segunda especie. Ya que sabemos que los ∂i xm (con ivariando entre 0 y d−1) forman una base de Mˆ Ktendremos que para cada ies bi= 0. Si comenzamos razonando por el caso i=d−1, llegamos a que bd−1=xd−1S(d−1, d −1)ad−1 de donde deducimos que ad−1= 0. Estudiando los valores de ide forma ordenada y descendente llegamos a que ai= 0 para cada i, con lo que {m, x∂xm, (x∂x)2m, ··· ,(x∂x)d−1m} es una base de Mˆ K. Veamos ahora que, respecto de esta base, la derivaci´on x∂xtiene matriz con entradas en CJxK. Es trivial ver, de entrada, que la matriz ser´a de la forma 30 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE            0 0 0 ··· 0 0 c0 1 0 0 ··· 0 0 c1 0 1 0 ··· 0 0 c2 . . .. . .. . ..... . .. . .. . . 0 0 0 ··· 1 0 cd−2 0 0 0 ··· 0 1 cd−1            con ci∈ˆ Kpara cada ientre 0 y d−1. Concretamente, los cison coeficientes de forma que (x∂x)dm= d−1 X i=0 ai(x∂x)im. Ya que Mˆ Kes regular, podemos suponer que estos ciest´an en CJxK. En efecto: ya que Mˆ Kes regular, tendremos que Mˆ K≃Dˆ K  Dˆ K·Pcon Pregular. La regularidad de P, como vimos en el 3.1.1 equivale a que si escribimos Pde la forma P= d P i=0 ci(x∂x)icon cada cien CJxKtendremos que cdes una unidad. Dicha escritura, como se razon´o anteriormente, siempre es posible (basta multiplicar por la potencia adecuada de x). Debido a la relaci´on entre conexiones meromorfas y D−m´odulos hol´onomos localizados tendremos que para el vector c´ıclico mes Pm = 0. En particular, se deduce que cd(x∂x)d= d−1 X i=0 (−ci)(x∂x)im. Ya que cdes una unidad en CJxKpodemos escribir (x∂x)d= d−1 X i=0 (˜ci)(x∂x)im, donde ˜ci= (cd)−1(−ci). Por supuesto, cada ˜cisigue estando en CJxK. Ya que los (x∂x)imforman una base del espacio Mˆ Kha de ser ai= ˜cipara cada i, con lo cual llegamos a que la matriz de x∂xrespecto de la base (x∂x)imtiene coeficientes en CJxK, como quer´ıamos probar.  Cabe destacar que aunque hemos ofrecido una base de forma expl´ıcita, no tiene porqu´e ser la ´unica base que verifique que la matriz de x∂xrespecto de ella tenga como entradas elementos de CJxK. Como consecuencia de este teorema tenemos un resultado a´un m´as potente: 3.1. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES REGULARES 31 Proposici´on 3.1.4. Sea Mˆ Kuna conexi´on meromorfa formal regular. Entonces, existe una base de este espacio de forma que la matriz de x∂xes constante, i.e., tiene coeficientes en C. Prueba. Sea una base de Mˆ Kde forma que x∂xtenga una matriz con entradas en CJxK. Sea Aesta matriz. Sea A0la parte constante de A. Sean asimismo λ1,··· , λrlos autovalores de A0. Supongamos, en primer lugar, que estos autovalores verifican que λi−λjno es un entero para cualesquiera iyjdistintos entre s´ı. Sea B∈Gl(d, CJxK) una matriz de cambio de base. Respecto a la base asociada a B, tendremos que la matriz de x∂xpasa a ser BAB−1+x(∂B ∂x )B−1. Exijamos que el cambio de base verifique la siguiente igualdad BAB−1+x(∂B ∂x )B−1=A0. Es decir, respecto de la base asociada a Bla matrix de x∂xes constante. Operando adecuadamente, llegamos a la igualdad x∂B ∂x =A0B−BA. Ya que las entradas de todas las matrices est´an en CJxKtendremos que podemos escribir B= +∞ X k=0 xkBkA= +∞ X k=0 xkAkx∂B ∂x = +∞ X k=1 kxkBk Para resolver esto, podemos razonar en el grado de xy estudiando los coeficientes. Para k= 0, se deduce de la igualdad anterior que A0B0−B0A0= 0. Basta tomar B0= Id para que se verifique la ecuaci´on. Sea ahora grado kmayor que 0. Tendremos que se ha de verificar la ecuaci´on kBk=A0Bk− k X i=0 BiAk−i, o, equivalentemente, 32 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE (kId −A0)Bk+BkA0= k−1 X i=0 BiAk−i. N´otese que cada Aiy cada Bjson la matriz de operadores lineales de Cden s´ı mismo. Por tanto, su producto y su suma son tambi´en endomorfismos de Cd. En estas condiciones, podemos usar el siguiente lema t´ecnico: Lema. Sean P∈End(Cn)yQ∈End(Cm). Entonces, la ecuaci´on XP −QX =Y tiene una soluci´on ´unica X∈Hom(Cn,Cm)para cada Y∈Hom(Cn,Cm)si y s´olo s´ı PyQno tienen autovalores comunes. Prueba (Del lema anterior).En primer lugar, conviene razonar lo siguiente: el espacio Hom(Cn,Cm) es de dimensi´on finita. Por tanto, ya que por el primer teorema de isomorf´ıa se verifica que el espacio de origen es isomorfo a la suma directa de el n´ucleo y la imagen, ϕser´a inyectivo si, y s´olo si, es biyectivo. Sea ϕ: Hom(Cn,Cm)→Hom(Cn,Cm) dada por ϕ(X) = XP −QX. El que la anterior ecuaci´on tenga una soluci´on ´unica equivale a probar que ϕes biyectiva: la sobreyectividad indica la existencia de soluci´on para cada Y, y la inyectividad la unicidad. Veamos en primer lugar la inyectividad: sea Xen el n´ucleo de ϕ. Entonces, ϕ(X) = 0. Por tanto, el operador XP es igual al operador QX. Sea vun autovector de Pasociado a alg´un autovalor λde P. Entonces, se tiene que XPv =λ(Xv) = Q(Xv). Por tanto, Xv es un autovector de Qasociado al autovalor λ. Si PyQno tienen autovalores comunes, la ´unica posibilidad es que sea Xv = 0. Como el ves arbitrario entre los autovectores de P, ha de ser X= 0. El razonamiento contrario es similar: si PyQ tienen alg´un autovalor com´un, entonces los elementos de la forma Xv con vun autovector de Pasociado al autovalor com´un est´an en el n´ucleo y no se tiene la inyectividad. Por tanto, ϕsera biyectiva si y s´olo si PyQno tienen autovalores comunes, como quer´ıamos probar.  En nuestro caso, tomamos P=kId −A0yQ=−A0, y n=m=d. Es f´acil probar que los autovalores de −A0son los autovalores de A0cambiados de signo. Por otro lado, para calcular los autovalores de kId −A0hagamos |λId −(kId −A0)|=|(λ−k)Id + A0|= 0. 3.1. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES REGULARES 33 Es decir, los autovalores de kId −A0son de la forma −λ1+k, ··· ,−λr+k. Ya que los autovalores distintos de A0, por hip´otesis, no difieren un entero entre s´ı, en particular no tendremos −λi+k=−λjpara ning´un i, j, k. Es decir, estamos en condiciones de aplicar el lema anterior y para cada ktendremos soluci´on, es decir, tenemos totalmente caracterizado el cambio de base B. Supongamos ahora que no tenemos la hip´otesis sobre los autovalores de A0. Recurrimos en este caso al siguiente lema t´ecnico: Lema 3.1.5. Sea Ala matriz de x∂xrespecto de una cierta base. Sea A0su parte constante. Entonces, existe una base B0de Mˆ Kde forma que la matriz de x∂xrespecto de esta nueva base, notada A0, tiene coeficientes en C{x}y los autovalores de A0 0son λ1+ 1, λ2,··· , λr, donde losλison los autovalores de A0. Prueba (del lema 3.1.5).Sea B∈Gl(d, ˆ K) la matriz de cambio de base. Supongamos que tenemos expresada A0en forma de Jordan2. Tendremos pues que A= P0 0Q!+A(1), donde A(1) es la parte no constante de AyPyQson bloques de forma que Pcontiene exclusivamente los bloques de Jordan asociados a λ1. Sea B= xId 0 0 Id !. Estudiemos el cambio de base respecto de esta matriz. Tendremos que A0=BAB−1+x∂B ∂x B−1=BA0B−1+BA1B−1+x∂B ∂x B−1. Pero se tiene que B−1= x−1Id 0 0 Id !. x∂B = xId 0 0 0 !.BA0B−1=A0 Como consecuencia, tendremos que x∂B B −1 = Id 0 0 0 !. 2Sea Bun cambio de base constante. Entonces, A0=BAB−1+x∂B ∂x B−1=BAB−1. En particular, esto se verifica para un cambio de base Bde forma que BA0B−1est´a en forma de Jordan. 40 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE Dˆ K  Dˆ K·P1, con lo cual tenemos la inyectividad y, por ende, que multiplicar a derecha por P2es un isomorfismo.  A partir de este lema, por el isomorfismo, obtenemos la sucesi´on exacta equivalente a la anterior 0Dˆ K  Dˆ K·P1 Dˆ K  Dˆ K·PDˆ K  Dˆ K·P20. Si probamos que esta sucesi´on escinde, tendremos, a efectos pr´acticos, la prueba del resultado principal de esta secci´on. En efecto, se tiene el siguiente resultado: Lema 3.2.4. La sucesi´on 0Dˆ K  Dˆ K·P1 Dˆ K  Dˆ K·PDˆ K  Dˆ K·P20 escinde, esto es, se tiene Dˆ K  Dˆ K·P≃Dˆ K  Dˆ K·P1MDˆ K  Dˆ K·P2. Prueba. Para probar este teorema usaremos el lema de escisi´on de ´algebra homol´ogica. Para aplicar este resultado es necesario encontrarnos en el marco de una categor´ıa abeliana, lo cual, como probamos en el lema 2.2.10, es nuestro caso. Necesitaremos adem´as el siguiente lema auxiliar: Lema 3.2.5. Con P1yP2de forma que P=P1P2conforme a los resultados y la notaci´on anteriores, existen Q, R ∈Dˆ Kde forma que QP1+P2R= 1. Prueba. Omitimos los detalles de la prueba por tratarse en esencia del mismo argumento que en la demostraci´on del lema 3.2.2. Consideremos Lla pendiente usada para obtener P1yP2. Recordemos que P1tiene L−orden a−1 y P2tiene L−orden 0. Exijamos QyR de forma que Qtiene L−orden 0 y Rtiene L−orden −a−1. Podemos escribir pues Q= 1 + Q(−1) +Q(−2) +··· R=R(−a−1) +R(−a−2) +··· , donde los exponentes indican el L−orden. Como en la otra prueba, se han de verificar unas ecuaciones del tipo {0 = X i+j=−h Q(i)P(j) 1+X i+j=−h P(i) 2R(j)}h∈Z>0. Como en la otra prueba, operando por inducci´on y de manera escalonada se pueden encontrar soluciones a estas ecuaciones.  3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 41 Probado esto, consideremos la aplicaci´on Dˆ K−lineal dada por ϕ:Dˆ K→Dˆ K  Dˆ K·P T7→ T(1 −RP2) + Dˆ K·P, donde Res de forma que 1 = QP1+P2Rconforme al lema 3.2.5. Veamos que el n´ucleo de esta aplicaci´on es Dˆ K·P2. Sea, en primer lugar, un elemento de este ´ultimo ideal, esto es, es de la forma TP2. Entonces, la imagen por ϕes ϕ(TP2) = T P2(1 −RP2) + Dˆ K·P=T(P2−P2RP2) + Dˆ K·P= T(1 −P2R)P2+Dˆ K·P=TQP1P2+Dˆ K·P=TQP +Dˆ K·P= 0, con lo cual tenemos que Dˆ K⊂ker(ϕ). Sea ahora un elemento Tdel n´ucleo. Verifica por tanto que T(1 −RP2) + Dˆ K·P= 0, esto es, T(1 −RP2) = AP =AP1P2para alg´un A. Operando, llegamos a que T= (TR +AP1)P2, es decir, Test´a en Dˆ K·P2, con lo cual llegamos a que ker(ϕ) = Dˆ K·P2. Notemos por πa la aplicaci´on que va de Dˆ K  Dˆ K·Pen Dˆ K  Dˆ K·P2en nuestra sucesi´on exacta corta. Esta aplicaci´on πno es m´as que la proyecci´on habitual. Usando el primer teorema de isomorf´ıa para Dˆ K−m´odulos tendremos el diagrama Dˆ K Dˆ K  Dˆ K·PDˆ K  Dˆ K·P2 Dˆ K  Dˆ K·P2Im(ϕ) ϕ ˜π π θ ψ donde se tiene que ψθ˜π=ϕ. Si conseguimos probar que πψθ = 1, en virtud del lema de escisi´on tendremos probado el resultado. Sea T+Dˆ K·P2. Ya que ψθ˜π=ϕtendremos que ψθ(T+Dˆ K·P2) = ϕ(T) = T(1 −RP2) + Dˆ K·P. Pero si aplicamos π, tendremos que π(T(1 −RP2) + Dˆ K·P) = T+Dˆ K·P2, es decir, πθ˜π= 1. Por tanto, por el lema de escisi´on, ya que tenemos una secci´on de π, la sucesi´on escinde y tenemos el resultado querido.  Con todos estos resultados estamos en condiciones de probar que podemos descomponer una conexi´on meromorfa formal como suma directa de conexiones meromorfas de pendiente ´unica. Proposici´on 3.2.6. Sea Mˆ Kuna conexi´on meromorfa formal. Sea P(Mˆ K) = {L(1),··· , L(r) 42 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE el conjunto de sus pendientes. Entonces, existe, salvo isomorfismo y permutaci´on, una ´unica descomposici´on Mˆ K= r M i=1 M(i) ˆ K de forma que para cada ies P(M(i) ˆ K) = {L(i)}. Prueba. Tanto la existencia como la unicidad son triviales cuando r= 1, con lo que supondremos que res mayor o igual que 2, es decir, si Mˆ K=Dˆ K  Dˆ K·Ppara cierto polinomio P∈Dˆ K, el pol´ıgono de Newton de Ptiene al menos dos lados no verticales. Basta descomponer P=P1P2conforme al lema 3.2.2 y reiterar el proceso con P1y P2hasta que obtengamos P=Q1Q2···Qs. Por el lema 3.2.4 acabaremos teniendo la descomposici´on deseada. La unicidad es consecuencia de la unicidad de los polinomios en la descomposici´on de P. A partir de este resultado podemos probar el siguiente lema, que adem´as de su inter´es intr´ınseco ser´a ´util a la hora de definir las conexiones meromorfas elementales. Lema 3.2.7. Sean Mˆ K,M0ˆ Kconexiones meromorfas formales. Entonces, si M0ˆ Kes regular y no nula, el conjunto de las pendientes de Mˆ K⊗ˆ KM0ˆ Kes el conjunto de las pendientes de Mˆ K. Prueba. Sea {L(1),··· , L(r)el conjunto de las pendientes de Mˆ K. Sea Mˆ K= r L i=1 M(i) ˆ Kla descomposici´on de Mˆ Kconforme a la proposici´on 3.2.6. Recordemos que, ya que M0ˆ Kes regular, su ´unica pendiente es {L0}, es decir, la pendiente horizontal. Tendremos que Mˆ K⊗ˆ KM0ˆ K= r M i=1 M(i) ˆ K⊗M0ˆ K. Por esta f´ormula basta probar el teorema para uno s´olo de los t´erminos de la f´ormula. Sea pues M(i) ˆ K⊗M0ˆ Kcon iarbitrario. Si esta conexi´on tuviese pendientes {L(i,1), L(i,2),··· , L(i,r)} tendr´ıamos, de acuerdo a la proposici´on 3.2.6, que M(i) ˆ K⊗M0ˆ K= r M j=1 A(i,j) con cada A(i,j)teniendo a L(i,j)como pendiente ´unica. Asimismo, por el corolario 3.1.6 tendremos que M0≃LGα,d para una cantidad finita de conexiones meromorfas regulares elementales Gα,d. Pero es trivial que Gα,d ≃dGα,1. As´ı, tendremos que M(i) ˆ K⊗M0ˆ K=MM(i)⊗Gα,1. 3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 43 Pero ha de ser que las pendientes de M(i)⊗Gα,1sean, para cualquier α, las de M(i), pues M(i)⊗Gα,1≃ M(i)ya que Gα,1tiene dimensi´on 1. Por tanto, las pendientes de M(i) ˆ K⊗M0ˆ Kson tambi´en las de M(i) ˆ K. De aqu´ı se deduce directamente el resultado.  3.2.2. Descomposici´on en suma de conexiones meromorfas formales elementales Estudiamos a continuaci´on otra descomposici´on de una conexi´on meromorfa formal. Veamos un ejemplo motivante: Ejemplo 3.2.1.Sea el polinomio diferencial P=x5∂2 x+x5∂x+ 1. El pol´ıgono de Newton de este polinomio lo podemos ver en rojo en la siguiente figura, tal y como calculamos en la secci´on anterior: i v(ai) Figura 3.1: Pol´ıgono de Newton de x5∂2 x+x5∂x+ 1. Se puede probar, estudiando el L-s´ımbolo de P, que la ´unica pendiente de este pol´ıgono es L(s0, s1) = 3s0+2s1. Si calculamos el valor num´erico de la pendiente (al cual llamamos tambi´en, como indicamos antes, pendiente) vemos que es −3 2. Conforme al teorema 3.2.6, ya que la pendiente es ´unica, no podremos descomponer la conexi´on meromorfa asociada al polinomio del ejemplo. ¿Ser´a posible realizar alg´un tipo de transformaci´on de forma que la pendiente sea “lo m´as simple posible”, es decir, un entero?. La respuesta ser´a afirmativa, y la conseguiremos, como anunci´abamos, mediante el uso de ramificaciones yconexiones meromorfas formales elementales. Definici´on 3.2.8. Sea π:C→Cla funci´on dada por t7→ tqpara alg´un n´umero entero positivo q. Tomando x=tqesta funci´on induce la siguiente aplicaci´on: 44 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE π∗:CJxK,→CJxK f7→ π∗(f) = f◦π. Donde, si f=Panxn,f◦πquiere decir π∗(f) = f◦π=Pantqn. Esta aplicaci´on, por supuesto, induce la an´aloga entre C{x}yC{t}. Tambi´en induce las an´alogas entre KyL, y entre ˆ Kyˆ L, donde L=C{t}[t−1]yˆ L=CJtK[t−1]. Como consecuencia de la definici´on, L(respectivamente, ˆ L) es una extensi´on de K(resp. ˆ K). A cada una de las aplicaciones π∗se le llama ramificaci´on. N´otese que una ramificaci´on es, en esencia, una transformaci´on que introduce ra´ıces q−´esimas. Asimismo, para aclarar en qu´e situaci´on nos encontramos, diremos que qes el entero positivo asociado a una cierta ramificaci´on3. Veamos ahora como extender la acci´on de una ramificaci´on a una conexi´on meromorfa formal: Definici´on 3.2.9. Sea Mˆ Kuna conexi´on meromorfa formal. Sea πuna ramificaci´on asociada al entero positivo q. Definimos π∗Mˆ Kcomo el ˆ L−espacio vectorial π∗Mˆ K=ˆ L⊗ˆ KMˆ K. La acci´on de t∂tdar´a estructura de conexi´on meromorfa sobre ˆ La este producto tensorial, y viene dada por t∂t(ϕ⊗m) = q(ϕ⊗(x∂xm)) + ((t∂ϕ ∂t )⊗m). Nota. Por supuesto, en lugar de t∂tpodemos considerar cualquier otra derivaci´on ajustando convenientemente la definici´on, pero por simplicidad, s´olo incluimos expl´ıcitamente la anterior. Lema 3.2.10. Conforme a la definici´on 3.2.9 se tiene que π∗Mˆ Kes una conexi´on meromorfa sobre ˆ L. Prueba. En efecto: por definici´on, es un ˆ L−espacio vectorial de dimensi´on finita. M´as concretamente, tiene la dimensi´on de Mˆ K. Asimismo, por definici´on, es Clineal, y veamos que para cada f, g ∈ˆ Ly cada men Mˆ Kse tiene que t∂t(g·(f⊗m)) = (t∂g ∂t )(f⊗m) + g(t∂t(f⊗m)). En efecto: t∂t(g·(f⊗m)) = t∂t((gf)⊗m) = q((gf)⊗(x∂xm)) + ((t∂gf ∂t )⊗m) = 3Esta nomenclatura no es est´andar. En la literatura, en general, se sobreentiende el papel de q. 3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 45 g(q(f⊗(x∂xm))) + (t∂g ∂t )(f⊗m) + g((t∂f ∂t )⊗m)=(t∂g ∂t )(f⊗m) + g(t∂t(f⊗m)). Por tanto, tenemos el resultado querido.  El resultado de una ramificaci´on se puede ofrecer de forma m´as concreta: Lema 3.2.11. Sea Mˆ Kuna conexi´on meromorfa formal de forma que, para cierto polinomio P= d−1 P i=0 ai(x)(xi∂i x)es Mˆ K=Dˆ K  Dˆ K·P. Sea πuna ramificaci´on asociada a q. Entonces, se verifica que π∗Mˆ K=Dˆ L  Dˆ L·P0 con P0= d−1 P i=0 qiai(tq)(ti∂i t). En esta ´ultima conexi´on t∂tact´ua de la manera obvia. Prueba. Sea Mˆ L=Dˆ L  Dˆ L·P0. Sea {m, x∂xm, ··· ,(x∂x)d−1m}una base de Mˆ K. Es trivial que una base de π∗Mˆ Kser´a {1⊗(x∂x)im}i=0,··· ,d−1. Asimismo, si P0= d−1 P i=0 qiai(t∂t)ies trivial que {m, t∂tm, ··· ,(x∂x)d−1m}es una base de Mˆ L, ya que la an´aloga lo es de Mˆ K. Establezcamos el morfismo, claramente ˆ L−lineal, dado por ϕ:ˆ LNˆ KMˆ K→ Mˆ L 1⊕(x∂x)im7→ q(t∂t)im. Claramente es un isomorfismo de espacios vectoriales. Veamos que tambi´en es un isomorfismo de conexiones meromorfas viendo que preserva la acci´on de la derivaci´on, es decir, que el diagrama siguiente conmuta: ˆ LNˆ KMˆ KMˆ L ˆ LNˆ KMˆ KMˆ L ϕ t∂tt∂t ϕ . Basta ver que conmuta para los elementos de la base. En efecto: sea 1 ⊗(x∂x)imun vector arbitrario de la base de π∗Mˆ K. Entonces se tiene que t∂t(ϕ(1 ⊗(x∂x)im)) = t∂t((t∂t)im) = q(t∂t)i+1m. Por otro lado, 46 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE ϕ(t∂t(1 ⊗(x∂x)im)) = ϕ(1 ⊗(x∂x)i+1m) = q(t∂t)i+1m. Por tanto el diagrama conmuta, como quer´ıamos probar.  Veamos como afecta una ramificaci´on a las pendientes de una conexi´on: Lema 3.2.12. Sea Mˆ Kuna conexi´on meromorfa. Sea Mˆ Lsu ramificaci´on, asociada a un cierto entero positivo q. Entonces, si {L(1),··· , L(r)}son las pendientes de Mˆ K, las pendientes de Mˆ Lson {L0(1),··· , L0(r)}, donde si L(i)(s0, s1) = λ0s0+λ1s1 entonces L0(i)(s0, s1) = λ(i) 0s0+λ(i) 1 qs1 para cada i. Prueba. Sea Mˆ K=Dˆ K  Dˆ K·P. Sea una ramificaci´on de Mˆ K, denotada Mˆ L, que por el lema 3.2.11, es Mˆ L=Dˆ L  Dˆ L·P0 con P0de acuerdo al lema 3.2.11. Para cada i, si se tiene que v(ai(x)) = n, entonces v(ai(tq)) = qn. Por tanto, el pol´ıgono de Newton de P0no ser´a m´as que una dilataci´on en el eje vertical del pol´ıgono de Newton de P. Si L(i)(s0, s1) = λ(i) 0s0+λ(i) 1s1es una pendiente de Pdistinta de la horizontal, tendremos que λ16= 0. La pendiente num´erica asociada a esa forma lineal es −λ(i) 0 λ(i) 1 pero, debido a que la ramificaci´on dilata multiplicando por qla pendiente, tendremos que la pendiente correspondiente de P0es −qλ(i) 0 λ(i) 1 , es decir, que la forma lineal es L0(i)(s0, s1) = λ(i) 0s0+λ(i) 1 qs1. Nota. Cabe destacar que, en la prueba anterior, no para todo qvamos a tener que λ(i) 1 qsea entero, con lo que no entrar´ıa en nuestra definici´on anterior de pendiente. No obstante, podemos ampliarla sin problemas para este caso. Asimismo, es una consecuencia trivial del lema que siempre va a existir una ramificaci´on de forma que todas las pendientes num´ericas sean enteras: basta tomar q= lcm i(λ(i) 1), con lcm el m´ınimo com´un m´ultiplo. Presentamos ahora el concepto de conexi´on meromorfa (formal) elemental. Este concepto ser´a b´asico a la hora de establecer la descomposici´on de Levelt-Turritin-Malgrange, pues nos indica cu´ales son las conexiones meromorfas m´as “simples” posibles. Como paso previo, hemos de definir cierto tipo especial de conexi´on meromorfa: 3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 47 Definici´on 3.2.13. Sea R(z) = k P i=1 aiziun polinomio de grado ksin t´ermino independiente y coeficientes en C. Denotamos por FR ˆ Kal ˆ K−espacio vectorial de dimensi´on 1con base e(R)y dotado de una derivaci´on x∂xcon su acci´on dada por x∂x(ϕ·e(R)) = (x∂ϕ ∂x +ϕx∂R(x−1) ∂x )·e(R). Nota. En la definici´on anterior podemos sustituir directamente el polinomio R(z) por un polinomio de Laurent, ajustando convenientemente la definici´on de la derivaci´on. La idea que subyace a la definici´on es la de que el elemento de la base, e(R), act´ue como la exponencial de R(x−1). De la definici´on se sigue, trivialmente, que es una conexi´on meromorfa. Definici´on 3.2.14. Sea R(z)un polinomio con coeficientes en Cy sin t´ermino independiente. Una conexi´on meromorfa (formal) elemental sobre ˆ Kes una conexi´on meromorfa isomorfa a FR ˆ K⊗ˆ KGˆ K, donde Gˆ Kes una conexi´on meromorfa elemental regular, es decir, Gˆ K=Dˆ K  Dˆ K·(x∂x+α)d. Por el corolario 2.1.21 tendremos que la pendiente de una conexi´on meromorfa elemental ser´a ´unica, y ser´a la pendiente de FR ˆ K. Veamos cu´al es esta pendiente: Lema 3.2.15. Sea R(z) = k P i=1 aiziun polinomio sin t´ermino independiente y con coeficientes complejos de grado k. Entonces, se tiene el isomorfismo de conexiones meromorfas FR ˆ K≃Dˆ K  Dˆ K·P donde P= (xk)x∂x+ ( k P i=1 iaixk−i). Prueba. Si mes un generador de la conexi´on Dˆ K  Dˆ K·P, entonces la acci´on de x∂xsobre esa conexi´on viene dada por x∂xm=− k P i=1 iai xim. Pero − k P i=1 iai xi=x∂R(x−1) ∂x , de donde se sigue directamente que el isomorfismo de espacios vectoriales que al generador e(R) de FR ˆ Kle asigna mes tambi´en un isomorfismo de conexiones meromorfas.  Corolario 3.2.16. La pendiente de FR ˆ Kes L(s0, s1) = ks0+s1, con kel grado del polinomio R. Prueba. Num´ericamente es trivial que la pendiente de FR ˆ Kes −k: basta observar el pol´ıgono de Newton del polinomio Pindicado en el lema 3.2.15. Este pol´ıgono no ser´a m´as que el segmento uniendo el punto (0,0) con el punto (1,−k). De aqu´ı se deduce que la pendiente es la antes dicha. . 48 CAP´ ITULO 3. “TEOREMA DE ESTRUCTURA” DE MALGRANGE Como consecuencia directa de este resultado en conjunci´on con el corolario 2.1.21 tendremos que la pendiente de FR ˆ Kes tambi´en la de cualquier conexi´on meromorfa elemental de la que forme parte. Estamos ahora en condiciones de enunciar y probar el resultado principal: el teorema de descomposici´on de Levelt-Turritin desde el punto de vista de Malgrange: Teorema 3.2.17 (Levelt-Turritin-Malgrange).Sea Mˆ Kuna conexi´on meromorfa formal. Entonces existe un entero qde forma que la conexi´on π∗Mˆ Kes isomorfa a una suma directa de conexiones meromorfas formales elementales. Prueba. Para comenzar, supongamos que nuestra conexi´on Mˆ Ktiene una ´unica pendiente L. Si no, podr´ıamos descomponer la conexi´on en conexiones de pendiente ´unica mediante el teorema 3.2.6 y trabajar sobre cada uno de ellos. Si la pendiente es la horizontal, ya tenemos el resultado: basta tomar la descomposici´on obtenida en el corolario 3.1.6. Cada conexi´on meromorfa formal regular Gˆ Kes elemental, pues es isomorfa a F0 ˆ K⊗Gˆ K. Supongamos pues que Les una pendiente no horizontal, es decir, L(s0, s1) = λ0s0+λ1s1 con λ1no nulo y λ0, λ1enteros positivos y coprimos. Tenemos que se verifica Mˆ K≃Dˆ K  Dˆ K·P con P= d−1 P i=0 ai(x∂x)icon los aien CJxKy al menos uno de ellos una unidad. Ya que estamos suponiendo que no hay pendiente horizontal, la ´unica unidad ha de ser a0. Asimismo, ha de ser ordL(P) = 0, pues la pendiente es ´unica y el m´aximo se alcanza en los dos puntos que aparecen en el pol´ıgono de Newton, que en este caso es el segmento que une (0,0) y (d, −v(ad). Consideremos pues el L−signo de P, que ser´a de la forma σL(P) = X L(i,−j)=0 ai,jxj(x∂x)i donde los ai,j son n´umeros complejos. Al L-s´ımbolo de Plo llamaremos ecuaci´on caracter´ıstica de P. Ya que la pendiente no es horizontal, habr´a al menos dos monomios en esa expresi´on. Si escribimos θ=xλ0(x∂x)λ1tendremos que podemos poner σL(P) = X k≥0 akθk, siendo esta suma finita, con los akcomplejos y con a0no nulo, pues el origen es un v´ertice del pol´ıgono de Newton: si fuese a0nulo tendr´ıamos en particular que L(0,0) no es 0, lo cual ya hemos indicado que es falso. 3.2. CONEXIONES MEROMORFAS FORMALES EN GENERAL 49 Inciso. Realizamos un peque˜no inciso para explicar detalladamente el proceso seguido a la hora de calcular la ecuaci´on caracter´ıstica de py hacer el cambio de variable θ. Ya que la pendiente, num´ericamente, es −λ0 λ1tendremos que todos los puntos de la forma (i, −v(ai)) (esto es, los posibles v´ertices del pol´ıgono de Newton de P) verifican que v(ai)≥iλ0 λ1para cada i. Esto se debe a que el ´unico segmento que conforma el pol´ıgono de Newton de P es el segmento que une (0,0) con (d, −v(ad)), es decir, parte de la recta y=−λ0 λ1x. En otro caso, tendr´ıamos dos pendientes, lo cu´al no es nuestro caso. Esta elecci´on, adem´as, nos permite asegurar que cada coeficiente aide Pse puede expresar como ai=cxdλ0 λ1ie+ (t´erminos de orden superior a dλ0 λ1 ie), donde ces una constante que puede ser nula y d·e denota al operador parte entera por arriba, esto es, dae= min{b∈Z|b≥a}. Ya que ordL(P) = 0, tendremos que para cada ai(x∂x)iel L-s´ımbolo del monomio viene determinado por v(ai). Si v(ai)> iλ0 λ1se tiene que L(i, −v(ai)) <0 y por tanto la clase del monomio es 0. Si v(ai) = λ0ientonces el monomio no se anula, pues L(i, −v(ai)) = 0. Asimismo, tengamos en cuenta que si L(λ1+r, λ0+s) = 0 entonces L(λ1−r, λ0−s) = 0, con lo que queda justificada la expresi´on de θ, pues podemos agrupar t´erminos de la forma deseada. Volviendo al teorema, consideremos ahora la cantidad κ, dada por λ0 λ1si este cociente es un entero (los λison los que aparecen en la pendiente de la conexi´on), y +∞en caso contrario4. Ya que hemos descartado el caso horizontal y λ1nunca es 0 (pues no consideramos los lados verticales del pol´ıgono) tendremos que o bien λ1es 1 o es mayor que 1. Como adem´as podemos suponer que λ0yλ1son coprimos, en el primer caso κ=λ0 y en el segundo κ= +∞. Estudiemos pues estos dos casos, procediendo por inducci´on en κ. El caso base es κ= 0, que ya esta probado. Podemos pues suponer que para toda pendiente menor que un cierto κtenemos probado el resultado. Primer caso: λ1= 1.Como dec´ıamos, en este caso κ=λ0<+∞. Recordemos que ten´ıamos σL(P) = P k≥0 akθk. Ya que esta suma es finita, podemos suponer sin p´erdida de generalidad que llega al grado k=n. Por el primer teorema fundamental del ´algebra podremos factorizar, y tendremos 4En general, para una conexi´on meromorfa con varias pendientes, κser´ıa el m´aximo de todos los cocientes obtenidos a partir de las pendientes, bajo el criterio de que es el propio cociente si es un entero, e infinito en caso contrario. 56 CAP´ ITULO 3. EL TEOREMA CL ´ ASICO DE LEVELT-TURRITTIN y los grupos de Galois diferenciales. Otras referencias sobre la utilidad de esta descomposici´on se pueden encontrar en [KW17], as´ı como en el texto de Malgrange [Mal91], donde, al desarrollar la teor´ıa completamente, establece en un contexto cu´al es la relevancia de la descomposici´on. Otras consecuencias, relacionadas con el paso al caso convergente, las comentaremos superficialmente en la siguiente secci´on. 3.3.2. El teorema de Levelt-Turrittin y su relaci´on con el teorema de Malgrange Como hemos anunciado, tanto el enunciado de Levelt como el que hemos probado en el presente texto, debido a Malgrange, son equivalentes. Aunque intuitivamente es claro que existe una relaci´on, en un primer momento puede escaparse la equivalencia y, aunque en la literatura se usan ambos enunciados indistintamente, puede resultar chocante encontrar dicha afirmaci´on, principalmente debido al cambio del lenguaje usado. A tal efecto, vamos a probarla formalmente. La descomposici´on de Malgrange implica la descomposici´on de Levelt-Turritin En efecto, supongamos una conexi´on meromorfa formal Mˆ Ky supongamos, en virtud del teorema de Malgrange, que podemos expresarla como suma de conexiones meromorfas formales elementales. Sin perdida de generalidad podemos suponer que hay una ´unica conexi´on en la suma: si hubiese m´as, podemos proceder una a una. Como en el caso de la prueba del teorema principal, por simplicidad, supondremos que nuestro operador es x∂x. Sea pues FR ˆ K⊗Gˆ Kuna conexi´on meromorfa elemental. La dimensi´on de dicha conexi´on vendr´a dada por la dimensi´on de Gˆ K. Sea esta dimensi´on d. Sea e(R) la base de FR ˆ Kym un vector c´ıclico de Gˆ K. La matriz del operador x∂xactuando sobre esta conexi´on respecto de la base {e(R)⊗(x∂x)im}i=0,··· ,d−1vendr´a dada por x∂x=      ϕ0··· a0 1ϕ··· a1 . . .. . ..... . . 0 0 ··· ϕ+ad−1       , donde ϕ=x∂R(x−1) ∂x y los aison los coeficientes de (x∂x)dmrespecto de la base anterior. Esta matriz puede expresarse como x∂x=ϕId + A, 3.4. POSIBLE PROFUNDIZACI ´ ON EN LA TEOR´ IA ALGEBRAICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 57 donde Aes la matriz de la acci´on de x∂xsobre Gˆ K. Pero la acci´on de x∂xsobre conexiones constantes ya la hemos estudiado (v´ease la secci´on 1 del presente cap´ıtulo) y podemos suponer sin p´erdida de generalidad que Aes una matriz de autovalor ´unico α en forma de Jordan. Por tanto, podemos expresar x∂x= (ϕ+α)Id + J, donde Jes una matriz con 0 y 1 en la superdiagonal. Por la clasificaci´on de las matrices nilpotentes, sabemos que Jser´a nilpotente, y la otra, por definici´on, es diagonal, con lo que tenemos la descomposici´on de Levelt. La descomposici´on de Levelt implica la descomposici´on de Malgrange Supongamos un operador Dexpresado, de acuerdo a la nomenclatura de Levelt, como D=S+N. De acuerdo a la clasificaci´on de las matrices nilpotentes podemos expresar este operador en forma de Jordan, es decir, elementos en la diagonal y 0 y 1 en la superdiagonal, siendo el resto de la matriz nula. Adem´as, podemos expresarla por bloques. Por simplicidad, consideremos que Dtiene un ´unico bloque, a saber, el bloque con ϕ∈ˆ K en la diagonal y 1 en la superdiagonal. El operador ϕser´a de la forma ϕ=a+ ˜ϕcon aconstante y ˜ϕsin t´ermino independiente. ˜ϕ, a su vez, puede ser expresado como un polinomio R(x−1) multiplicado por una unidad de CJxK. De aqu´ı se deduce directamente el resultado de Malgrange: podemos expresar D= ( ˜ϕ+a)Id + J, y razonar de manera inversa a como hemos hecho en la otra implicaci´on. 3.4. Posible profundizaci´on en la teor´ıa algebraica de las ecuaciones diferenciales Como indic´abamos en la introducci´on el estudio de la clasificaci´on de las conexiones meromorfas formales no es m´as que el primer paso a la hora de introducirse en el campo del estudio algebraico de las ecuaciones diferenciales. Un primer objetivo razonable es pasar del caso formal al caso convergente. La motivaci´on de esto es sencilla: es un hecho cl´asico bien conocido en el campo de las ecuaciones diferenciales que, dado un sistema de ecuaciones diferenciales y una soluci´on formal de este, dicha soluci´on induce soluciones convergentes (o anal´ıticas) del sistema. Con esto queremos decir que las soluciones formales se pueden extender, asint´oticamente, a soluciones formales. Conviene recalcar el soluciones: si el sistema tiene una singularidad irregular, seg´un como nos aproximemos a 58 CAP´ ITULO 3. EL TEOREMA CL ´ ASICO DE LEVELT-TURRITTIN dicha singularidad, obtendremos distintas soluciones, y la extensi´on anal´ıtica puede variar. Este hecho es lo que se conoce desde el siglo XIX como fen´omeno de Stokes. Hasta la ofrecida por Hukuhara ([Var96]) ya bien entrados en el siglo XX no apareci´o una descripci´on totalmente adecuada del fen´omeno, y es en los a˜nos 70, gracias a Malgrange y Shibuya, cuando se obtiene una aproximaci´on algebraica al fen´omeno de Stokes. Sin entrar en detalles, a cada ecuaci´on diferencial se le puede asociar un haz, el haz de Stokes, que determina completamente las soluciones anal´ıticas de la ecuaci´on. As´ı, una comprensi´on completa de las soluciones anal´ıticas es una motivaci´on a la hora de continuar con el estudio. La l´ınea a seguir, en concreto, es la siguiente: en primer lugar, por completitud, conviene realizar un estudio de la estructura de los ˆ D-m´odulos hol´onomos. El resultado al que se llega para los ˆ D-m´odulos hol´onomos es que todo ˆ D-m´odulo hol´onomo Mse puede expresar como suma directa de un ˆ D-m´odulo hol´onomo regular (i.e, uno cuyo localizado es una conexi´on meromorfa formal regular) y un ˆ D-m´odulo hol´onomo isomorfo a la parte irregular del localizado de M. A continuaci´on conviene abordar el caso convergente (o anal´ıtico). El estudio de las conexiones meromorfas regulares da como resultado una descomposici´on totalmente an´aloga al caso formal, y una caracterizaci´on sencilla de los D-m´odulos hol´onomos regulares ([Sab93]). En este punto entra en juego la correspondencia de Riemann-Hilbert para el caso regular. Sin entrar en detalles, esta correspondencia establece una equivalencia de categor´ıas entre los D-m´odulos hol´onomos regulares y cierta categor´ıa de haces. Conviene destacar que, hist´oricamente, la correspondencia de Riemann-Hilbert motiv´o el descubrimiento de los haces perversos, una herramienta fundamental en los D-m´odulos. Resulta interesante tambi´en plantearse que sucede en el caso irregular: el reciente resultado de D’Agnolo y Kashiwara ([DK16]) generaliza la correspondencia de Riemann-Hilbert al caso irregular. Se puede observar, por tanto, que el panorama a la hora de continuar un estudio del tema presentado en el trabajo es interesante: lo reciente de los avances de D’Agnolo y Kashiwara ponen de manifiesto que el campo de la teor´ıa algebraica de las ecuaciones diferenciales, especialmente en el caso irregular, goza de buena salud y un amplio horizonte de desarrollo. Tambi´en es interesante el caso de cuerpos de caracter´ıstica positiva, que es radicalmente distinto al de caracter´ıstica cero. Asimismo conviene destacar que, aunque no se conoce con profundidad, parece existir un v´ınculo entre los D-m´odulos y la cohomolog´ıa l-´adica, lo cual deja abierta otra linea de profundizaci´on m´as. Bibliograf´ıa [Big89] Norman L. Biggs. Discrete Mathematics. Oxford Science Publ., revised edition edition, 1989. [BM84] J. Brian¸con and Ph. Maisonobe. Id´eaux de germes d’op´erateurs diff´erentiels `a une variable. Enseign. Math. (2), 30(1-2):7–38, 1984. [Cas84] F. Castro. 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