Fundamentos de la relatividad especial

FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Carmen Gómez Reguera Trabajo de Fin de Grado FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Carmen Gómez Reguera Trabajo de Fin de Grado Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por María Isabel García de Soria Lucena Índice general English Abstract 1 Resumen 3 1. Antecedentes a la teoría especial de la relatividad 5 1.1. Transformaciones Galileanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Relatividad Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. El electromagnetismo y la relatividad newtoniana . . . . . . . . . . . 9 1.4. El experimento de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Fundamentos de la teoría especial de la relatividad 15 2.1. Los postulados de la teoría de la relatividad especial . . . . . . . . . . 15 2.2. Las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Simultaneidad ............................... 20 2.4. Efecto Doppler relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5. La paradoja de los gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6. Transformación de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7. Cantidad de movimiento relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ii fundamentos de la relatividad especial 2.8. Energíarelativista............................. 30 2.8.1. Energía en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8.2. Transformaciones de la cantidad de movimiento, la energía y lamasa............................... 36 2.8.3. Transformaciones de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.9. Electromagnetismo ............................ 38 2.9.1. Transformación de los campos eléctrico y magnético . . . . . 41 2.9.2. Invarianza de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . 43 3. Los diagramas de Minkowski 47 3.1. Dilatación del tiempo y contracción de las longitudes . . . . . . . . . 54 3.2. Paradoja de los gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4. Conclusiones 63 Bibliografía 65 Abstract Newton’s classical mechanics proved to be incompatible with Maxwell’s equations of electromagnetism, so it had to be modified. Throughout this paper, we will see how the shortcomings of the traditional theories of relativity prompted the need for innovative concepts that give rise to the theory of special relativity, developed by Albert Einstein in 1905, after which the idea of absolute time and space is abandoned. His theory was based on the postulation that the speed of light is constant for all observers, which required the adaptation of the classical laws of physics. Thus, we will derive the scientist’s famous equation, 𝐸=𝑚𝑐2, which shows a deep connection between energy and mass, providing further insight into atomic and nuclear reactions. In addition, we will develop the Minkowski diagrams, which are the fundamental tool to visualize the effects of this new theory. Resumen La mecánica clásica de Newton demostró ser incompatible con las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell, por lo que debía ser modificada. A lo largo de este trabajo, veremos cómo las deficiencias de las teorías tradicionales de la relatividad impulsaron la necesidad de conceptos innovadores que dan lugar a la teoría de la relatividad especial, desarrollada por Albert Einstein en 1905, tras la que se abandona la idea de tiempo y espacio absolutos. Su teoría se basó en la postulación de que la velocidad de la luz es constante para todos los observadores, lo que requirió la adaptación de las leyes clásicas de la física. Así, deduciremos la famosa ecuación del científico, 𝐸=𝑚𝑐2, que muestra una profunda conexión entre la energía y la masa, proporcionando una mayor comprensión de las reacciones atómicas y nucleares. Además, desarrollaremos los diagramas de Minkowski, que son la herramienta fundamental para visualizar los efectos de esta nueva teoría. 10 fundamentos de la relatividad especial magnética en el vacío. Desde otro sistema inercial 𝑆′, que se desplaza a una velocidad constante, 𝑣, con respecto al primero, un observador mediría una velocidad diferente: 𝑐+𝑣o𝑐-𝑣, dependiendo de la dirección del movimiento relativo. Pero las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell contienen la constante 𝑐, que se identifica como la velocidad de propagación de una onda plana en el vacío, por lo que, al cambiar de sistema de referencia, la ecuación de la onda cambia, ya que esta velocidad de propagación deja de ser constante en todos los sistemas de referencia inerciales, lo cual es incompatible con las observaciones experimentales. Ahora, la velocidad de propagación de la onda que parece medirse en el sistema de referencia 𝑆′es (𝑐+𝑣), en lugar de 𝑐. Es decir, el principio de relatividad newtoniano no se aplica a las leyes del electromagnetismo, pero sí a las de la mecánica. Esto nos hace pensar en tres posibilidades: La primera es que exista un principio de relatividad para la mecánica, pero no para la electrodinámica. En la electrodinámica, existe un sistema inercial preferido al que los científicos llamaron éter, que está totalmente en reposo. Analizaremos esta posibilidad en la siguiente sección. La segunda es que exista un principio de relatividad para ambas, pero que las leyes de Maxwell no sean correctas. La tercera es que exista un principio de la relatividad para ambas, pero que las leyes de la mecánica dadas por Newton no sean correctas. En este caso, las leyes de transformación correctas no serían las galileanas, ya que son incompatibles con la invarianza de las ecuaciones de Maxwell; es decir, tendría que haber alguna otra transformación que concordase con el electromagnetismo clásico y con la nueva mecánica. Veremos cómo la tercera posibilidad es la que se considerará correcta. 1.4 El experimento de Michelson-Morley En el siglo XIX los físicos no podían aceptar el hecho de que una onda electromagnética se propagase en el vacío, por lo que postularon la existencia del “éter”, un medio indetectable que llenaba todo el espacio y en el que se podía medir la velocidad 1. antecedentes a la teoría especial de la relatividad 11 de la luz. Para explicar la imposibilidad de su detección, le dieron propiedades como densidad nula y total transparencia. Dos científicos estadounidenses, Albert A. Michelson y Edward W. Morley, planearon un experimento en 1887 con el objetivo de detectar al éter. Este consistía en tratar al éter como un sistema de referencia fijo con respecto al Sol, y considerar un rayo de luz medido por un observador en la Tierra, la cual se mueve a una velocidad 𝑣= 30𝑘𝑚∕𝑠respecto al éter. Al finalizar el experimento, se acabó descartando la posiblidad de que existiese este medio que se consideraría el sistema inercial preferido para la electrodinámica. El experimento se basa en la interferencia de dos haces de luz, que se dividen de una fuente de luz mediante un divisor de haz 𝑀, en un laboratorio 𝑆(fijo con respecto al instrumento fuente). Los dos haces viajan a lo largo de dos caminos perpendiculares, reflejados por espejos en los extremos de cada camino, antes de volver a unirse en el divisor de haz, desde donde son captados por el telescopio 𝑇, como vemos en la Figura 1.2. Si el éter existe y se mueve a través del espacio, se esperaba que uno de los haces de luz viajara a través del éter en la misma dirección que su movimiento, y el otro viajara perpendicularmente al movimiento del éter. Por lo tanto, se esperaba que los dos haces de luz tuvieran diferentes velocidades, lo que se reflejaría en una diferencia de fase detectable entre ellos en un patrón de interferencias. El tiempo que tarda el haz 1 en ir de 𝑀a𝑀1y regresar a 𝑀es: 𝑡1=𝑙1 𝑐−𝑣+𝑙1 𝑐+𝑣=𝑙1(2𝑐 𝑐2−𝑣2)=2𝑙1 𝑐⎛⎜⎜⎝ 1 1 − 𝑣2 𝑐2⎞⎟⎟⎠ .(1.13) Ya que viaja a una velocidad 𝑐−𝑣con respecto al aparato cuando es emitido, y a una velocidad 𝑐+𝑣cuando es reflejado por el espejo. Para el haz 2, medimos el tiempo de recorrido esta vez con respecto al éter (podemos hacerlo pues en física clásica el tiempo es absoluto). 2√𝑙2 2+(𝑣𝑡2 2)=𝑐𝑡2,(1.14) 𝑡2=2𝑙2 √𝑐2−𝑣2 =2𝑙2 𝑐 1 √1 − 𝑣2 𝑐2 .(1.15) 12 fundamentos de la relatividad especial Figura 1.2: Esbozo del interferómetro de Michelson donde 𝑣es la velocidad del éter con respecto a la Tierra. El haz luminoso que proviene de la fuente 𝑆se divide en dos haces al llegar al espejo semirreflector 𝑀. Estos dos haces se reflejan en los espejos 𝑀1y𝑀2y finalmente llegan al telescopio 𝑇donde interfieren dando lugar a un patrón de interferencias. 1. antecedentes a la teoría especial de la relatividad 13 De este modo, la diferencia de tiempos es Δ𝑡=𝑡2−𝑡1=2 𝑐[𝑙2 √1 − 𝑣2∕𝑐2 −𝑙1 1 − 𝑣2∕𝑐2].(1.16) Para descartar que pudiera deberse a una diferencia en las longitudes recorridas por los haces, ya que era difícil obtener la precisión requerida, se repitió el experimento girando el instrumento 90º, de forma que 𝑙1fuese la longitud perpendicular a 𝑣 y𝑙2paralela a 𝑣, obteniéndose el mismo resultado que anteriormente, una diferencia de tiempos. Δ𝑡′=𝑡′ 2−𝑡′ 1=2 𝑐[𝑙2 1 − 𝑣2∕𝑐2−𝑙1 √1 − 𝑣2∕𝑐2].(1.17) La rotación cambia las interferencias en Δ𝑡′− Δ𝑡≅2 𝑐[𝑙2+𝑙1 1 − 𝑣2∕𝑐2−𝑙2+𝑙1 √1 − 𝑣2∕𝑐2].(1.18) Según el resultado, la rotación debería ocasionar un corrimiento en el patrón de interferencias, ya que cambia la relación de fase entre los dos haces, pero esto no ocurrió en ninguno de los experimentos realizados. Por lo tanto, la conclusión fue que no había ningún corrimiento. Una manera de interpretar esto es llegar a la conclusión de que la velocidad de la luz es igual a 𝑐en todas las direcciones y en todos los sistemas inerciales, pero esto es incompatible con las transformaciones galileanas de velocidad. 2 Fundamentos de la teoría especial de la relatividad Como se ha visto en el capítulo anterior, el experimento de Michelson-Morley mostró que la velocidad de la luz era igual en todos los sistemas inerciales. Las transformaciones galileanas no eran compatibles con este hecho, en este capítulo, haciendo uso de las referencias [2] y [3], introduciremos la teoría de la relatividad especial que nos llevará a unas nuevas transformaciones, las transformaciones de Lorentz, que preservan la velocidad de la luz. 2.1 Los postulados de la teoría de la relatividad especial Desde una edad temprana, Einstein demostró una gran habilidad para las matemáticas y la física. Después de completar la educación secundaria en Suiza, ingresó en la Escuela Politécnica Federal de Zúrich, donde obtuvo su diploma en 1900. Después de graduarse, tuvo dificultades para encontrar trabajo en la industria, por lo que comenzó a trabajar como tutor privado y a publicar artículos sobre física teórica. En 1905, Albert Einstein publicó el artículo titulado "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento) [4], donde presentó su teoría de la relatividad especial, la cual revolucionó nuestra comprensión del tiempo y del espacio. Para desarrollar su teoría y resolver el problema de que la electrodinámica no se ajustase a la relatividad clásica, Einstein trabajó a partir de dos suposiciones: La primera fue que para todos los sistemas de coordenadas en los que se cumplen las ecuaciones de la mecánica, las ecuaciones equivalentes de la electrodinámica de Maxwell 16 fundamentos de la relatividad especial también se cumplen. La segunda, que a primera vista es incompatible con la primera, es que la velocidad de la luz en el vacío es una constante 𝑐(deducida por Maxwell) independiente del sistema de referencia. En su artículo, Einstein estableció estos postulados fundamentales: Postulado 1: No puede detectarse el movimiento absoluto, uniforme, debido a que las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas inerciales. No hay sistema inercial preferido. Postulado 2: La velocidad de la luz es independiente del movimiento de la fuente. Todo observador inercial mide el mismo valor c para la velocidad de la luz. Es decir, Einstein desarrolló la tercera de las posibilidades mencionadas anteriormente. Se basó en el estudio de la naturaleza del tiempo, rechazando la idea del tiempo absoluto para llegar a una modificación de la teoría de relatividad newtoniana existente dando lugar a una con validez universal en todos las áreas de la física. 2.2 Las transformaciones de Lorentz Como vimos anteriormente, la transformación galileana no es consistente con los postulados de Einstein de la relatividad especial, ya que la velocidad de la luz no sería la misma en todos los sistemas de referencia. Por este motivo, las ecuaciones de transformación clásicas deben modificarse para hacerlas consistentes con los postulados de Einstein. Estas nuevas transformaciones, llamadas transformaciones de Lorentz, fueron postuladas originalmente por el científico Hendrik A. Lorentz en la década de 1890, derivándose como parte de su teoría electrodinámica, la cual tenía como consecuencia la constancia de la velocidad de la luz en el vacío. Einstein probó que estas ecuaciones se deducían naturalmente de sus postulados, y las reinterpretó dando lugar a un nuevo concepto de espacio-tiempo. Vamos a deducir las transformaciones que nos relacionan las coordenadas en dos sistemas de referencia en movimiento relativo de traslación uniforme. Utilizaremos nuevamente un sistema de referencia 𝑆, de coordenadas rectangulares 𝑥, 𝑦, 𝑧 con origen 𝑂, y otro sistema 𝑆′, de coordenadas 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′con origen 𝑂′, 2. fundamentos de la teoría especial de la relatividad 17 que se desplaza a una velocidad constante 𝑣con respecto a 𝑆, a lo largo del eje 𝑥. Utilizaremos los postulados de Einstein para encontrar la relación entre las coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 y el tiempo 𝑡de un suceso visto en el sistema de referencia 𝑆y las coordenadas 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′y el tiempo 𝑡′del mismo suceso visto en el sistema de referencia 𝑆′, de manera que los orígenes coinciden en 𝑡=0=𝑡′. Supongamos que la ecuación de la transformación relativista difiere de la clásica en un multiplicador constante en el segundo miembro: 𝑥=𝛾(𝑥′+𝑣𝑡′),(2.1) 𝑥′=𝛾(𝑥−𝑣𝑡).(2.2) donde 𝛾es una constante que puede depender de 𝑣y𝑐pero no de las coordenadas. Consideramos un rayo de luz que parte del origen 𝑆en 𝑡= 0. Según Einstein, la ecuación correspondiente a la componente 𝑥del movimiento de la luz sea 𝑥=𝑐𝑡 en el sistema 𝑆y𝑥′=𝑐𝑡′en 𝑆′. Sustituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos: 𝑐𝑡 =𝛾(𝑐𝑡′+𝑣𝑡′) = 𝛾(𝑐+𝑣)𝑡′,(2.3) 𝑐𝑡′=𝛾(𝑐𝑡 −𝑣𝑡) = 𝛾(𝑐−𝑣)𝑡. (2.4) Resolviendo el sistema se obtiene: 𝛾2= (1 − 𝑣2∕𝑐2)−1,(2.5) 𝛾=1 √1 − 𝑣2∕𝑐2 .(2.6) Si además sustituimos 𝑥en la ecuación para 𝑥′, podemos despejar el tiempo 𝑡en función de 𝑥′y𝑡′: 𝑥=𝛾(𝑥′+𝑣𝑡′), 𝑦 =𝑦′, 𝑧 =𝑧′,(2.7) 𝑡=𝛾(𝑡′+𝑣𝑥′ 𝑐2).(2.8) De la misma forma: 𝑥′=𝛾(𝑥−𝑣𝑡), 𝑦′=𝑦, 𝑧′=𝑧, (2.9) 𝑡′=𝛾(𝑡−𝑣𝑥 𝑐2).(2.10) 18 fundamentos de la relatividad especial Obtenemos así la transformación de Lorentz para cambios de sistemas de referencia. Las transformaciones galileanas siguen siendo ciertas para velocidades mucho menores que 𝑐, ya que en este caso 𝛾es aproximadamente 1. El intervalo espaciotemporal [5], definido como (𝑥2+𝑦2+𝑧2) − 𝑐2𝑡2= (𝑥′2 +𝑦′2 +𝑧′2) − 𝑐2𝑡′2,(2.11) es invariante ante las transformaciones de Lorentz, es decir, no depende del observador, puesto que 𝑐𝑡′=𝛾(𝑐𝑡 −𝛽𝑥)y𝑥′=𝛾(𝑥−𝑐𝛽𝑡), donde 𝛽=𝑣∕𝑐. Luego, 𝑥′2 −𝑐2𝑡′2 =𝛾2(𝑥2(1−𝛽2)−𝑐2𝑡2(1−𝛽2)) = 1 1 − 𝛽2(1−𝛽2)(𝑥2−𝑐2𝑡2) = 𝑥2−𝑐2𝑡2.(2.12) Veamos a continuación dos importantes consecuencias de las transformaciones de Lorentz: Dilatación del tiempo La primera consecuencia es la dilatación del tiempo. En la mecánica clásica se tenía que el tiempo transcurrido entre dos eventos era el mismo independientemente del sistema inercial en el que se medía. Sin embargo, con las nuevas transformaciones, este razonamiento cambia. Consideramos dos sucesos que se producen en la misma posición 𝑥′ 0en los instantes 𝑡′ 1y𝑡′ 2en el sistema 𝑆′y aplicamos las ecuaciones (2.7) para obtener 𝑡1y𝑡2, esto es, los instantes de tiempo medidos por 𝑂: 𝑡1=𝛾(𝑡′ 1+𝑣𝑥′ 0 𝑐2),(2.13) 𝑡2=𝛾(𝑡′ 2+𝑣𝑥′ 0 𝑐2),(2.14) 𝑡2−𝑡1=𝛾(𝑡′ 2−𝑡′ 1).(2.15) Como vemos, el intervalo de tiempo medido en cualquier otro sistema de referencia 𝑆es siempre más largo que el tiempo propio 𝑡𝑝(tiempo entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar en un sistema de referencia concreto) medido en 𝑆′. Intuitivamente, consideremos un observador 𝑂′que lanza un rayo de luz hacia un espejo situado a una distancia 𝐷′dentro de una nave espacial que está en reposo en un sistema 𝑆′y mide el tiempo que tarda en recibir el reflejo, que será 𝑡𝑝= Δ𝑡′=2𝐷′ 𝑐. Para otro observador 𝑂situado en la Tierra, que llamaremos 2. fundamentos de la teoría especial de la relatividad 19 Figura 2.1: El observador 𝑂′y el espejo están dentro de una nave en el sistema 𝑆′. El tiempo que tarda el rayo en reflejarse en el espejo y volver al punto de partida es de 2𝐷′∕𝑐según se mide en 𝑆′. En 𝑆, la nave se mueve hacia la derecha con velocidad 𝑣. El triángulo rectángulo sirve para calcular el tiempo transcurrido en el sistema 𝑆. sistema 𝑆, la distancia 𝐷recorrida por el rayo será mayor, pero, sin embargo, según los postulados de Einstein, este debe medir la misma velocidad del rayo, por lo tanto, el tiempo Δ𝑡transcurrido para él debe ser mayor, ya que el rayo recorre más distancia que la que midió el observador de la nave, pero a la misma velocidad. Si la nave se mueve con velocidad 𝑣, durante el intervalo de tiempo Δ𝑡, el observador 𝑂′y su nave espacial han recorrido una distancia horizontal 𝑣Δ𝑡. Por lo tanto, como indica el triángulo de la Figura 2.1, se tiene que (𝑐Δ𝑡 2)2 =𝐷′2 +(𝑣Δ𝑡 2)2 ,(2.16) luego Δ𝑡=2𝐷′ √𝑐2−𝑣2 =2𝐷′ 𝑐 1 √𝑐2−𝑣2 =𝛾Δ𝑡′.(2.17) 26 fundamentos de la relatividad especial Figura 2.3: Paradoja de los gemelos. La Tierra y 𝑃están fijos en el sistema 𝑆, en el que se encuentra Pedro. Mateo viaja en el sistema 𝑆′para llegar a 𝑃, y en el sistema 𝑆′′ para volver a la Tierra. el que se mueve en dos sistemas de referencia 𝑆′y𝑆′′ para alejarse y volver, respectivamente, mientras Mateo está fijo en un sistema 𝑆. Luego, para Pedro habrán pasado Δ𝑡′=𝑡𝑝(3∕5) = 3(3∕5) = 1′8años.(2.31) Es decir, Mateo envejecería 6 años y Pedro tan solo 3’6 años, obteniéndose así la paradoja. 2. fundamentos de la teoría especial de la relatividad 27 2.6 Transformación de la velocidad Al igual que en el caso de las transformaciones galileanas, podemos, derivando las transformaciones de Lorentz, ecuaciones (2.7), obtener la transformación de la velocidad de un sistema de referencia a otro según la relatividad especial. Tenemos que: 𝑑𝑥 =𝛾(𝑑𝑥′+𝑣𝑑𝑡′),(2.32) 𝑑𝑡 =𝛾(𝑑𝑡′+𝑣𝑑𝑥′ 𝑐2).(2.33) De esta forma, la componente 𝑥de la velocidad medida por el observador 𝑂será: 𝑢𝑥=𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝛾(𝑑𝑥′+𝑣𝑑𝑡′) 𝛾(𝑑𝑡′+𝑣𝑑𝑥′ 𝑐2)= 𝑑𝑥′ 𝑑𝑡′+𝑣 1 + 𝑣 𝑐2 𝑑𝑥′ 𝑑𝑡′ =𝑢′ 𝑥+𝑣 1 + 𝑣𝑢′ 𝑥∕𝑐2.(2.34) A diferencia de las transformaciones galileanas, donde se obtenía 𝑢′ 𝑦=𝑢𝑦y𝑢′ 𝑧= 𝑢𝑧, en la transformación relativista de la velocidad esto no ocurre, puesto que el tiempo no es absoluto. En este caso, teniendo en cuenta la relación entre 𝑑𝑡 y𝑑𝑡′obtenemos 𝑢𝑦= 𝑢′ 𝑦 𝛾(1 + 𝑣𝑢′ 𝑥∕𝑐2),(2.35) 𝑢𝑧=𝑢′ 𝑧 𝛾(1 + 𝑣𝑢′ 𝑥∕𝑐2).(2.36) De la misma forma obtenemos las ecuaciones inversas: 𝑢′ 𝑥=𝑢𝑥−𝑣 1 − 𝑣𝑢𝑥∕𝑐2,(2.37) 𝑢′ 𝑦=𝑢𝑦 𝛾(1 − 𝑣𝑢𝑥∕𝑐2),(2.38) 𝑢′ 𝑧=𝑢𝑧 𝛾(1 − 𝑣𝑢𝑥∕𝑐2).(2.39) Observamos que, cuando 𝑣y𝑢′ 𝑥son pequeñas en comparación con 𝑐, las expresiones relativista y clásica coinciden. 28 fundamentos de la relatividad especial 2.7 Cantidad de movimiento relativista En la mecánica clásica se define la cantidad de movimiento de una partícula como 𝑝 =𝑚𝑢, donde 𝑢 es la velocidad de la partícula. En un sistema aislado de partículas, sin ninguna fuerza neta que actúe sobre el mismo, esta cantidad se conserva, es decir, siempre permanece constante, aunque haya interacciones entre las partículas. Sin embargo, veremos que en mecánica relativista, esta cantidad no es la que se conserva, y la redefiniremos para encontrar aquella que si permanece constante. Consideremos un observador 𝐴que posee una bola de masa 𝑚en el sistema de referencia 𝑆, y otro observador 𝐵en el sistema 𝑆′, con una bola idéntica. El sistema 𝑆′, cuyo origen se encuentra por encima del origen de 𝑆, se mueve respecto al sistema 𝑆a velocidad 𝑣, en el sentido positivo del eje 𝑥. Ambos observadores lanzan sus bolas verticalmente con una velocidad 𝑢0de forma que recorren una distancia 𝐿, realizan un choque elástico y regresan. La Figura 2.4 muestra el aspecto que presentan amFigura 2.4: Se muestra un choque elástico de dos pelotas en dos sistemas de referencia que se mueven el uno respecto al otro con velocidad 𝑣. A la izquierda, se considera el punto de vista del observador 𝑂; en este caso, la pelota naranja realiza un movimiento vertical mientras que la velocidad de la pelota azul tiene componente en el eje 𝑥. A la derecha, se considera el punto de vista del observador 𝑂′; ahora, es la pelota azul la que realiza movimiento vertical y la velocidad de la naranja tiene componente negativa en el eje 𝑥. 2. fundamentos de la teoría especial de la relatividad 29 bas colisiones en cada sistema de referencia. Según la mecánica clásica, ambas bolas tienen cantidades de movimiento opuestas de valor 𝑚𝑢0, por lo tanto la cantidad de movimiento vertical total es 0 antes del choque y se conserva después del choque. Sin embargo, aplicando las ecuaciones de Lorentz, vemos que desde el punto de vista del observador 𝐴, la velocidad de su bola es 𝑢𝐴𝑦=𝑢0y la de la bola B es 𝑢𝐵𝑦= −𝑢0∕𝛾, por lo que la cantidad de movimiento total vertical antes del choque no es nula y cuando el movmiento se invierte tras el choque, se observa que la cantidad no se ha conservado. Como siempre, en el límite clásico, cuando 𝛾se aproxima a 1, el momento lineal, se conserva para ambos observadores. Se plantearon entonces una redefinición de 𝑝 que tendiese a 𝑚𝑢 cuando 𝑢 << 𝑐 y se conservase en las colisiones. Así, se establece la cantidad de movimiento relativista como 𝑝 =𝑚𝑢 √1 − 𝑢2∕𝑐2 .(2.40) Veamos que esta cantidad si se conserva en la situación anterior: La velocidad de la bola 𝐴en 𝑆solo tiene componente vertical y su valor es 𝑢𝐴=𝑢𝐴𝑦=𝑢0, de modo que la componente 𝑦de su cantidad de movimiento relativista es 𝑝𝐴𝑦=𝑚𝑢0 √1 − 𝑢2 0∕𝑐2 .(2.41) La velocidad de 𝐵en 𝑆tiene componente horizontal 𝑢𝐵𝑥=𝑣y componente vertical 𝑢𝐵𝑦= −𝑢0∕𝛾, es decir, 𝑢2 𝐵=𝑢2 𝐵𝑥+𝑢2 𝐵𝑦=𝑣2+ (−𝑢0√1 − 𝑣2∕𝑐2)2=𝑣2+𝑢2 0−𝑢2 0𝑣2 𝑐2.(2.42) Por lo tanto 1 − 𝑢2 𝐵 𝑐2= 1 − 𝑣2 𝑐2−𝑢2 0 𝑐2+𝑢2 0𝑣2 𝑐4= (1 − 𝑣2∕𝑐2)(1 − 𝑢2 0∕𝑐2)(2.43) y√1 − 𝑢2 𝐵∕𝑐2=1 𝛾√1 − 𝑢2 0∕𝑐2.(2.44) Por ello, la componente 𝑦de la cantidad de movimiento relativista de la bola 𝑦vista en 𝑆es 𝑝𝐵𝑦= 𝑚𝑢𝐵𝑦 √1 − 𝑢2 𝐵∕𝑐2 =−𝑚𝑢0∕𝛾 (1∕𝛾)√1 − 𝑢2 0∕𝑐2 =−𝑚𝑢0 √1 − 𝑢2 0∕𝑐2 .(2.45) 30 fundamentos de la relatividad especial Se tiene que 𝑝𝐵𝑦= −𝑝𝐴𝑦, luego la componente 𝑦de la cantidad de movimiento total de las dos bolas es 0. Si se invierte la velocidad de cada bola en el choque, la cantidad de movimiento total seguirá siendo 0, y por tanto, se conservará la cantidad de movimiento. De esta forma se obtiene una magnitud que sí se conserva en sistemas de partículas aislados donde actúa una fuerza neta de valor 0. La cantidad de movimiento relativista de una partícula tiene así dos componentes, una que es su velocidad, que es constante ya que no actúan fuerzas, y otra que es la que corresponde a la masa, que no es constante, si no que depende de la velocidad de la partícula. Es por eso que se define la masa relativista de una partícula como 𝑚=𝑚0 √1 − 𝑢2∕𝑐2 ,(2.46) donde 𝑚0es la masa en reposo de la partícula. Está claro que la masa relativista aumenta a medida que 𝑢se acerca a 𝑐. 2.8 Energía relativista En mecánica newtoniana se define la energía cinética, 𝐸𝑐, de una partícula como el trabajo realizado por una fuerza externa para aumentar su velocidad desde cero hasta algún valor 𝑢. Según el teorema de las Fuerzas Vivas, considerando el movimiento de la partícula en una sola dirección (eje 𝑥), se tiene: 𝐹 𝑑𝑥 = Δ𝐸𝑐, por lo tanto: 𝐸𝑐=∫𝑙 0 𝐹d𝑥. (2.47) en la cual 𝐹d𝑥es el trabajo realizado por la fuerza 𝐹al desplazar en d𝑥a la partícula y𝑙es la longitud recorrida por la partícula. Usando la ecuación (2.46) para la masa relativista obtenemos 𝐸𝑐=∫𝑙 0 𝑑 𝑑𝑡(𝑚𝑢)⋅d𝑥=∫𝑢 0 𝑑(𝑚𝑢)⋅𝑑𝑥 𝑑𝑡 =∫𝑢 0 (𝑚𝑑𝑢 +𝑢𝑑𝑚)𝑢=∫𝑢 0 (𝑚𝑢𝑑𝑢 +𝑢2𝑑𝑚). (2.48) Reordenando la expresión de la masa relativista, esta puede escribirse como 𝑚2𝑐2−𝑚2𝑢2=𝑚2 0𝑐2.(2.49) Tomando diferenciales obtenemos 2𝑚𝑐2𝑑𝑚 −𝑚22𝑢 𝑑𝑢 −𝑢22𝑚 𝑑𝑚 = 0,(2.50) 𝑐2𝑑𝑚 =𝑚𝑢 𝑑𝑢 +𝑢2𝑑𝑚. (2.51) 2. fundamentos de la teoría especial de la relatividad 31 Volviendo a la ecuación de la energía cinética 𝐸𝑐=∫𝑚 𝑚0 𝑐2⋅d𝑚=𝑚𝑐2−𝑚0𝑐2=𝑚0𝑐2(1 √1 − 𝑢2∕𝑐2 − 1).(2.52) Como vemos, hay un factor en la energía cinética, 𝑚0𝑐2, que no depende de la velocidad de la partícula. Esta cantidad se define como energía de reposo y profundizaremos en ella más adelante. La energía total de la partícula es igual a su energía en reposo más su energía cinética 𝐸=𝑚0𝑐2+𝐸𝑐=𝑚0𝑐2 √1 − 𝑢2∕𝑐2 .(2.53) Veamos como esta expresión de la energía cinética se reduce a la expresión clásica cuando 𝑢es mucho menor que 𝑐. Desarrollando el binomio de la ecuación de la energía total, se tiene 1 √1 − 𝑢2∕𝑐2 =(1 − 𝑢2 𝑐2)−1∕2 = 1 + 1 2 𝑢2 𝑐2+1∕2(1∕2 + 1) 2(𝑢2 𝑐2)2 +... (2.54) Cuando 𝑢es mucho menor que 𝑐, lo anterior puede simplificarse como 1 √1 − 𝑢2∕𝑐2 =(1 − 𝑢2 𝑐2)−1∕2 = 1 + 1 2 𝑢2 𝑐2.(2.55) Así, 𝐸𝑐=𝑚0𝑐2(1 √1 − 𝑢2∕𝑐2 − 1)(2.56) =𝑚0𝑐2(1 + 1 2 𝑢2 𝑐2− 1)(2.57) =1 2𝑚0𝑢2.(2.58) Notar que, a medida que 𝑢tiende a 𝑐, la energía cinética tiende a infinito, es decir, se necesita una energía infinita para aumentar la velocidad de una partícula hasta la velocidad de la luz, o, visto de otra forma, según la ecuación de la masa relativista, esta aumentaría infinitamente a dicha velocidad. Al igual que ocurría con la cantidad definida en la ecuación (2.11) podemos definir otra cantidad que es invariante ante cambios de sistemas de referencia [6] 𝑐2𝑚2− (𝑝2 𝑥+𝑝2 𝑦+𝑝2 𝑧) = 𝑐2𝑚2−𝑝2=𝑐2𝑚2 0.(2.59) 32 fundamentos de la relatividad especial Multiplicando la igualdad anterior por 𝑐2se tiene 𝐸2−𝑝2𝑐2=𝑐4𝑚2 0,(2.60) y sustituyendo las ecuaciones (2.40 y (2.53) obtenemos el resultado directamente 𝑚2 0𝑐4 1 − 𝑣2∕𝑐2−𝑚2 0𝑣2𝑐2 1 − 𝑣2∕𝑐2=𝑚2 0(𝑐4−𝑣2𝑐2) 1 − 𝑣2∕𝑐2=𝑚2 0𝑐4.(2.61) 2.8.1 Energía en reposo Para entender mejor la energía en reposo, consideremos una colisión inelástica de dos cuerpos idénticos de masa en reposo 𝑚0, cada uno con energía cinética 𝐸𝑐, que chocan y se quedan unidos formando un nuevo cuerpo 𝐶de masa en reposo 𝑀0, visto por un observador particular 𝑆′(Figura 2.5). Como las velocidades de ambos cuerpos se anulan al sumarse, ya que son del mismo valor 𝑢′pero en sentidos contrarios en la dirección 𝑥′, se tiene que el nuevo cuerpo estará en reposo en 𝑆′, según la conservación de la cantidad de movimiento. Consideremos el punto de vista de un observador 𝑆que se mueve a velocidad 𝑣=𝑢′en el sentido negativo del eje 𝑥′, es decir, un sistema de referencia situado en la bola 𝐴(Figura 2.6). Para él, el cuerpo combinado 𝐶se moverá a velocidad 𝑣hacia la derecha. Apliquemos la conservación de la cantidad de movimiento de la colisión según lo ve este segundo observador 𝑚𝐴𝑢𝐴+𝑚𝐵𝑢𝐵=𝑚𝐶𝑢𝐶.(2.62) La velocidad de 𝐴será 0, ya que 𝑆se mueve en el mismo sentido y a la misma velocidad que el observador que lo mide. La velocidad de 𝐵será 𝑢𝐵=𝑢′+𝑣 1 + 𝑢′𝑣∕𝑐2= 2𝑢′∕(1 + 𝑢′2∕𝑐2).(2.63) Calculemos ahora la masa relativista de 𝐵: 𝑚𝐵=𝑚0 √1 − 𝑢2 𝐵∕𝑐2 =𝑚0(1 + 𝑢′2∕𝑐2) 1 − 𝑢′2∕𝑐2,(2.64) 2. fundamentos de la teoría especial de la relatividad 33 Figura 2.5: Colisión inelástica vista por el observador S’. 34 fundamentos de la relatividad especial Figura 2.6: Colisión inelástica vista por el observador S. 2. fundamentos de la teoría especial de la relatividad 35 y la de 𝐶será 𝑚𝐶=𝑀0 √1 − 𝑣2∕𝑐2 .(2.65) Como 𝑢𝐶=𝑣=𝑢′tenemos que 𝑚0(1 + 𝑢′2∕𝑐2) 1 − 𝑢′2∕𝑐2𝑢𝐵+ 0 = 𝑀0 √1 − 𝑣2∕𝑐2 𝑣, (2.66) 𝑚0(1 + 𝑢′2∕𝑐2) (1 − 𝑢′2∕𝑐2) 2𝑢′ (1 + 𝑢′2∕𝑐2)=𝑀0𝑢′ √1 − 𝑢′2∕𝑐2 ,(2.67) 𝑀0=2𝑚0 √1 − 𝑢′2∕𝑐2 .(2.68) La nueva masa es mayor que 2𝑚0con una diferencia de 𝑀0− 2𝑚0= 2𝑚0(1 √1 − 𝑢′2∕𝑐2 − 1).(2.69) Como la masa en reposo tras el choque es la misma para ambos observadores, esta cantidad también será la que mida 𝑆′y observamos también que su energía asociada (que se obtiene al multipicarla por 𝑐2) coincide justo con la cantidad total de energía cinética en S’ antes del choque , la cual se calcula: 𝐸𝑐𝐴+𝐸𝑐𝐵= 2𝐸𝑐= 2𝑚0𝑐2(1 √1 − 𝑢′2∕𝑐2 − 1).(2.70) Tras el choque, toda la energía cinética se ha transformado en masa en reposo, es decir, ambas son equivalentes. Por lo tanto, aunque en una colisión inelástica la energía cinética no se conserva, sí se conserva la energía total, que incluye a la masa en reposo y a la energía cinética. Si volvemos a observar las ecuaciones para una sola partícula, cuya energía total es 𝐸=𝑚𝑐2donde 𝑚es la masa relativista, vemos que un cambio en la energía cinética origina un cambio proporcional en 𝑚, ya que: 𝑑𝑚∕𝑑𝑡 = (1∕𝑐2)(𝑑𝐸𝑐∕𝑑𝑡), es decir, 𝑑𝐸𝑐∕𝑑𝑡 =𝑐2𝑑𝑚∕𝑑𝑡. Llegamos así a la misma conclusión que en la colisión inelástica: la masa y la energía son equivalentes, difiriendo sus unidades en un factor 𝑐2. Si se considera a la energía cinética como la energía externa de un cuerpo, la masa en reposo puede considerarse como la energía interna, y consiste mayoritariamente en 42 fundamentos de la relatividad especial Podemos generalizar estas ecuaciones considerando que la dirección del eje 𝑥es simplemente la dirección paralela a la velocidad de 𝑆′con respecto a 𝑆, y el resto son las perpendiculares a esta: 𝐸′ ∥=𝐸∥,(2.114) 𝐸′ ⟂=𝛾[𝐸⟂+ (𝑣 × 𝐵)⟂].(2.115) Para la transformación de  𝐵, se considera un sistema de referencia 𝑆′que se desplaza respecto a otro sistema 𝑆a velocidad 𝑣, a lo largo del eje común 𝑥−𝑥′y una partícula de carga 𝑞que se desplaza en 𝑆′en la dirección 𝑦′a velocidad 𝑢′=𝑢′ 𝑦. En 𝑆′, la fuerza que actúa sobre 𝑞será:  𝐹′=𝑞( 𝐸′+ 𝑢′× 𝐵′), cuyas componenetes son: 𝐹′ 𝑥=𝑞(𝐸′ 𝑋+𝑢′ 𝑦𝐵′ 𝑧), 𝐹 ′ 𝑦=𝑞𝐸′ 𝑦y𝐹′ 𝑧=𝑞(𝐸′ 𝑧−𝑢′ 𝑦𝐵′ 𝑥).(2.116) En 𝑆, la fuerza será  𝐹=𝑞( 𝐸+𝑢 × 𝐵), donde 𝑢 es la velocidad de la carga en 𝑆, que se calcula con las ecuaciones de transformación de la velocidad (2.34) y (2.35) ya conocidas: 𝑢𝑥=𝑣, 𝑢𝑦=𝑢′ 𝑦∕𝛾y𝑢𝑧= 0.(2.117) Por lo que 𝐹𝑥=𝑞(𝐸𝑥+𝑢𝑦𝐵𝑧), 𝐹𝑦=𝑞(𝐸𝑦−𝑣𝐵𝑧)y𝐹𝑧=𝑞(𝐸𝑧+𝑣𝐵𝑦−𝑢𝑦𝐵𝑥).(2.118) Sustituyendo al igual que antes, en las ecuaciones de transformación de la fuerza, y utilizando las transformaciones de las componentes de  𝐸, llegamos a 𝐵′ 𝑥=𝐵𝑥,(2.119) 𝐵′ 𝑦=𝛾(𝐵𝑦+𝑣 𝑐2𝐸𝑧),(2.120) 𝐵′ 𝑧=𝛾(𝐵𝑧−𝑣 𝑐2𝐸𝑦).(2.121) Y sus inversas son: 𝐵𝑥=𝐵′ 𝑥,(2.122) 𝐵𝑦=𝛾(𝐵′ 𝑦+𝑣 𝑐2𝐸′ 𝑧),(2.123) 𝐵𝑧=𝛾(𝐵′ 𝑧−𝑣 𝑐2𝐸′ 𝑦).(2.124) 2. fundamentos de la teoría especial de la relatividad 43 Generalizando las direcciones: 𝐵′ ∥=𝐵∥,(2.125) 𝐵′ ⟂=𝛾[𝐵⟂−1 𝑐2(𝑣 × 𝐸)⟂].(2.126) Hemos finalizado así la transformación completa relativista del campo electromagnético. 2.9.2 Invarianza de las ecuaciones de Maxwell Vamos a comprobar ahora que si las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz, se obtienen las ecuaciones que hemos deducido en la sección (2.9) para transformar  𝐸y 𝐵. Para ello usaremos las referencias [1] y [7]. Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son:  ▽ ⋅  𝐸=𝜌 𝜖0 ,(2.127)  ▽ ⋅  𝐵= 0,(2.128)  ▽× 𝐵=𝜇0( 𝑗+𝜖0 𝜕𝐸 𝜕𝑡 ),(2.129)  ▽× 𝐸= −𝜕𝐵 𝜕𝑡 .(2.130) Donde 𝜇0es la constante de permeabilidad magnética en el vacío y 𝜖0es la constante de permitividad eléctrica en el vacío. Restringiremos en primer lugar el razonamiento por simplicidad a las ecuaciones (2.128) y (2.130), que solo dependen de  𝐵y 𝐸. Escribiendo las ecuaciones (2.128) y (2.130) por componentes tenemos: 𝜕 𝜕𝑥𝐵𝑥+𝜕 𝜕𝑦𝐵𝑦+𝜕 𝜕𝑧𝐵𝑧= 0,(2.131) 𝜕 𝜕𝑦𝐸𝑧−𝜕 𝜕𝑧𝐸𝑦= −𝜕𝐵𝑥 𝜕𝑡 ,(2.132) 𝜕 𝜕𝑧𝐸𝑥−𝜕 𝜕𝑥𝐸𝑧= −𝜕𝐵𝑦 𝜕𝑡 ,(2.133) 𝜕 𝜕𝑥𝐸𝑦−𝜕 𝜕𝑦𝐸𝑥= −𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑡 .(2.134) 44 fundamentos de la relatividad especial Imponemos que tengan la misma forma en 𝑆′, que se desplaza a velocidad 𝑣respecto a 𝑆a lo largo del eje 𝑥−𝑥′. Para ello hemos de calcular la diferenciación parcial respecto a las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 y𝑡en función de la diferenciación parcial respecto al conjunto de variables 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′y𝑡′. Tenemos que 𝜕 𝜕𝑥 =𝜕𝑥′ 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑥′+𝜕𝑦′ 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦′+𝜕𝑧′ 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑧′+𝜕𝑡′ 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑡′.(2.135) Y similarmente se obtienen 𝜕 𝜕𝑦 ,𝜕 𝜕𝑧 y𝜕 𝜕𝑡 . Teniendo las transformaciones de Lorentz, ecuaciones (2.7) y (2.8) tenemos que 𝜕𝑥′ 𝜕𝑥 =𝛾, 𝜕𝑦′ 𝜕𝑥 = 0,𝜕𝑧′ 𝜕𝑥 = 0,𝜕𝑡′ 𝜕𝑥 = −𝛾𝑣 𝑐2.(2.136) Obtenemos entonces que 𝜕 𝜕𝑥 =𝛾(𝜕 𝜕𝑥′−𝑣 𝑐2 𝜕 𝜕𝑡′),(2.137) 𝜕 𝜕𝑦 =𝜕 𝜕𝑦′,(2.138) 𝜕 𝜕𝑧 =𝜕 𝜕𝑧′,(2.139) 𝜕 𝜕𝑡 =𝛾(𝜕 𝜕𝑡′−𝑣𝜕 𝜕𝑥′).(2.140) Ahora podemos sustituir en las ecuaciones (2.131)-(2.134). Por ejemplo, en la ecuación (2.133), quedaría 𝜕 𝜕𝑧′𝐸𝑥−𝜕 𝜕𝑥′[𝛾(𝐸𝑧+𝑣𝐵𝑦)] = − 𝜕 𝜕𝑡′[𝛾(𝐵𝑦+𝑣𝐸𝑧 𝑐2)].(2.141) Tomando 𝐸′ 𝑥=𝐸𝑥,(2.142) 𝐸′ 𝑧=𝛾(𝐸𝑧+𝑣𝐵𝑦),(2.143) 𝐵′ 𝑦=𝛾(𝐵𝑦+𝑣𝐸𝑧 𝑐2),(2.144) 2. fundamentos de la teoría especial de la relatividad 45 conseguimos que dicha ecuación sea invariante ante el cambio de sistema de referencia de 𝑆a𝑆′. Haciendo lo mismo para la ecuación (2.134), se obtiene 𝐸′ 𝑥=𝐸𝑥,(2.145) 𝐸′ 𝑦=𝛾(𝐸𝑦−𝑣𝐵𝑧),(2.146) 𝐵′ 𝑧=𝛾(𝐵𝑧−𝑣𝐸𝑦 𝑐2).(2.147) Similarmente, utilizando ahora las ecuaciones (2.131) y (2.132), obtenemos 𝐵′ 𝑥=𝐵𝑥.(2.148) Como predecíamos, las ecuaciones obtenidas son idénticas a las transformaciones para las componentes del campo electromagnético desarrolladas en la sección anterior. Comprobemos ahora la invarianza de las ecuaciones (2.127) y (2.129). Primero, las escribimos en por componentes: 𝜌=𝜖0(𝜕𝐸𝑥 𝜕𝑥 +𝜕𝐸𝑦 𝜕𝑦 +𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑧 ),(2.149) 𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑦 −𝜕𝐵𝑦 𝜕𝑧 =𝜇0𝜌𝑢𝑥+1 𝑐2 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝑡 ,(2.150) 𝜕𝐵𝑥 𝜕𝑧 −𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑥 =𝜇0𝜌𝑢𝑦+1 𝑐2 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝑡 ,(2.151) 𝜕𝐵𝑦 𝜕𝑥 −𝜕𝐵𝑥 𝜕𝑦 =𝜇0𝜌𝑢𝑧+1 𝑐2 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑡 .(2.152) Donde (𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑢𝑧)son las componenetes de la velocidad de la carga. Para que estas ecuaciones sean válidas es necesario que satisfagan la siguiente ecuación de continuidad: 𝜕(𝜌𝑢𝑥) 𝜕𝑥 +𝜕(𝜌𝑢𝑦) 𝜕𝑦 +𝜕(𝜌𝑢𝑧) 𝜕𝑧 +𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0.(2.153) Comenzamos por la ecucación (2.149). Sustituyendo las componenetes de  𝐸por las que tendría  𝐸′según las ecuaciones (2.107), (2.109), (2.110) y usando (2.137), se tiene 𝜌′=𝛾[𝜌−𝜖0𝑣(𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑦 −𝜕𝐵𝑦 𝜕𝑧 −1 𝑐2 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝑡 )],(2.154) de donde, usando las ecuaciones (2.149) y (2.150) se obtiene 𝜌′=𝛾(𝜌−𝑣 𝑐2𝜌𝑢𝑥).(2.155) 46 fundamentos de la relatividad especial Ahora, usando las ecuaciones de transformación de la velocidad, ecuaciones (2.34) y (2.35) y sus inversas, se tiene 𝜌=𝛾(𝜌′+𝑣 𝑐2𝜌′𝑢′ 𝑥),(2.156) que tiene la misma expresión que obtuvimos en la ecuación (2.99). Ahora, la invarianza de las ecuaciones (2.150)-(2.152) se obtiene fácilmente. Tomamos la ecuación (2.150) y sustituimos las componentes del campo magnético por sus transformadas usando las ecuaciones (2.119)-(2.121), obteniendo 𝜕𝐵′ 𝑧 𝜕𝑦′− 𝜕𝐵′ 𝑦 𝜕𝑧′=𝜇0(𝜌𝑢𝑥 𝛾−𝜌′𝑣)+1 𝑐2 𝜕𝐸′ 𝑥 𝜕𝑡′,(2.157) y utilizando (2.156) y (2.34) queda 𝜕𝐵′ 𝑧 𝜕𝑦′− 𝜕𝐵′ 𝑦 𝜕𝑧′=𝜇0[𝛾(𝜌−𝑣 𝑐2𝜌𝑢𝑥)]𝑢′ 𝑥+1 𝑐2 𝜕𝐸′ 𝑥 𝜕𝑡′.(2.158) Es decir, se obtiene 𝜕𝐵′ 𝑧 𝜕𝑦′− 𝜕𝐵′ 𝑦 𝜕𝑧′=𝜇0𝜌′𝑢′ 𝑥+1 𝑐2 𝜕𝐸′ 𝑥 𝜕𝑡′,(2.159) que tiene la misma forma que la ecuación (2.150). Transformando las ecuaciones restantes, ecuaciones (2.151) y (2.152), de la misma forma se obtienen 𝜕𝐵′ 𝑥 𝜕𝑧′−𝜕𝐵′ 𝑧 𝜕𝑥′=𝜇0𝜌′𝑢′ 𝑦+1 𝑐2 𝜕𝐸′ 𝑦 𝜕𝑡′,(2.160) 𝜕𝐵′ 𝑦 𝜕𝑥′−𝜕𝐵′ 𝑥 𝜕𝑦′=𝜇0𝜌′𝑢′ 𝑧+1 𝑐2 𝜕𝐸′ 𝑧 𝜕𝑡′(2.161) De esta forma, comprobamos que las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial. 3 Los diagramas de Minkowski Analizaremos en esta sección los diagramas de Minkowski, apoyándonos en [2], [5], [8] y [6]. Estos diagramas nos proporcionan una herramienta matemática muy útil para comprender las consecuencias de la relatividad especial. El espacio de Minkowski es un espacio cuatridimensional donde puede representarse cualquier evento. En él, cada evento está caracterizado por sus coordenadas de posición 𝑥, 𝑦, 𝑧 y del momento 𝑡en el que ocurre. En el espacio-tiempo de Minkowski en cuatro dimensiones, la ecuación 𝑐2𝑡2−𝑥2−𝑦2−𝑧2=0=𝑠2,(3.1) representa la trayectoria (llamada en el caso bidimensional línea de mundo) de una señal de luz esférica emitida desde el origen 𝑥=𝑦=𝑧= 0 en el instante 𝑡= 0. En cada momento la señal consiste en una esfera de radio 𝑐𝑡. Consideraremos en adelante por simplicidad el caso bidimensional. La dilatación del tiempo y la relatividad de la simultaneidad vistas anteriormente, pueden visualizarse haciendo uso del diagrama de Minkowsi. Dicho diagrama es una representación gráfica del espacio-tiempo que solo considera una dimensión espacial 𝑥y el tiempo 𝑡. El eje horizontal corresponde al espacio 𝑥, mientras que el vertical corresponde al tiempo, 𝑤=𝑐𝑡. Utilizamos 𝑐𝑡 en lugar de 𝑡, para mantener la consistencia entre la medición del tiempo y la distancia en la geometría del espacio-tiempo. Así, la medida 1𝑚en el eje vertical indica el tiempo que tarda la luz en recorrer un metro según el observador 𝑂. Las ecuaciones de Lorentz para pasar de un sistema 𝑆a otro 𝑆′que se mueve con 48 fundamentos de la relatividad especial velocidad constante 𝑣respecto al primero, en función de 𝑤son: 𝑥′=𝑥− (𝑣∕𝑐)𝑤 √1 − 𝑣2∕𝑐2 ,(3.2) 𝑥=𝑥′+ (𝑣∕𝑐)𝑤′ √1 − 𝑣2∕𝑐2 ,(3.3) 𝑤′=𝑤− (𝑣∕𝑐)𝑥 √1 − 𝑣2∕𝑐2 ,(3.4) 𝑤=𝑤′+ (𝑣∕𝑐)𝑥′ √1 − 𝑣2∕𝑐2 .(3.5) Comenzamos trazando los ejes 𝑥y𝑤del sistema 𝑆, ortogonales entre sí. Para representar el movimiento de una partícula en este sistema, se traza una curva llamada línea de mundo. Las líneas de mundo de la luz son las rectas 𝑐𝑡 =𝑥y𝑐𝑡 = −𝑥, que forman un ángulo de 45ºcon el eje del tiempo, como vemos en la Figura 3.1. La tangente a la línea de mundo de cualquier objeto, está dada por: 𝑑𝑥∕𝑑𝑤 = 1 𝑐(𝑑𝑥∕𝑑𝑡)y está inclinada respecto al eje del tiempo en un ángulo de 𝜙=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑑𝑥∕𝑑𝑤) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑢∕𝑐)donde 𝑢es la velocidad del objeto. Este ángulo 𝜙es siempre menor a 45º, ya que de lo contrario significaría que el objeto tiene velocidad igual o superior a la de la luz en ese punto. Vamos a trazar ahora los ejes 𝑥′y𝑤′, correspondientes al sistema de referencia 𝑆′. Para trazar el eje 𝑤′, imponemos 𝑥′= 0 , obteniendo 𝑥= (𝑣∕𝑐)𝑤. De la misma forma, el eje 𝑥′se obtiene imponiendo 𝑤′= 0. Tenemos en ese caso la recta 𝑤= (𝑣∕𝑐)𝑥. Observamos que el ángulo entre los ejes espaciales 𝑥y𝑥′es el mismo que entre los ejes temporales, 𝑤y𝑤′, como puede verse en la Figura 3.2. Procedemos ahora a la calibración de los ejes. Para ello usaremos la cantidad 𝑥2−𝑤2, que como vimos en la ecuación (2.12), es un invariante. Es importante la calibración de los ejes, ya que las distancias entre las marcas de referencia de los ejes de cada observador no miden lo mismo. Para encontrar la relación entre las marcas de los ejes temporales, notamos que la rama superior de la hipérbola 𝑥2−𝑤2= −1 corta al eje 𝑤en 𝑤= 1 y al eje 𝑤′en 𝑤′= 1. Similarmente, la rama derecha de la hipérbola 𝑥2−𝑤2= 1 corta al eje 𝑥en 𝑥= 1 y a cualquier eje 𝑥′en 𝑥′= 1, como se muestra en la Figura 3.2. A estas hipérbolas se las llama curvas de calibración. Como ya sabíamos, el intervalo de unidad de tiempo a lo a lo largo de 𝑤′es mayor que el de la unidad de tiempo a lo largo de 𝑤y el intervalo de longitud a lo largo de 3. los diagramas de minkowski 49 Figura 3.1: Lugar geométrico de los puntos espacio-tiempo del movimiento de una partícula. 50 fundamentos de la relatividad especial Figura 3.2: Calibrado de los ejes del observador 𝑂′. 3. los diagramas de minkowski 51 𝑥′mayor que el de la unidad de longitud a lo largo de 𝑥. Supongamos que ocurren dos eventos 𝐴y𝐵dentro del espacio delimitado por las líneas de mundo de la luz, como se muestra en la Figura 3.3. El orden causal en que ocurren dichos eventos es el mismo para ambos observadores, es decir, están conectados causalmente, está claro que 𝐴ocurre en el presente de ambos observadores, y 𝐵, en el futuro de los mismos. Sin embargo si nos fijamos en dos eventos que están fuera de este espacio, como lo son 𝐴y𝐷, vemos que en el sistema 𝑆, estos eventos ocurren simultaneamente, pero en 𝑆′, el evento 𝐴ocurrió antes que 𝐷, quedando así visualizada la relatividad de la simulatenidad. Asimismo, los eventos 𝐴y𝐶invierten su orden al cambiar de observador. Supongamos ahora un espacio tridimensional para verlo mejor (Figura 3.4). En este caso, en cada instante la señal consiste en una circunferencia de radio 𝑐𝑡. Dibujando las coordenadas de posición 𝑥(𝑡)e𝑦(𝑡), la trayectoria de la luz que parte del origen en 𝑡= 0 corresponde a un cono con el vértice en el origen, llamado cono de luz del futuro. Asimismo, la trayectoria de la luz que llega al origen en 𝑡= 0 corresponde a un cono invertido con vértice en el origen, el cono de luz del pasado. Los puntos dentro del cono de luz satisfacen 𝑠2=𝑐2𝑡2−𝑥2−𝑦2>0, mientras que los puntos fuera del cono de luz satisfacen 𝑠2=𝑐2𝑡2−𝑥2−𝑦2<0. Cualquier evento que ocurra dentro del cono de luz está en contacto causal con el origen de coordenadas, que representa al observador en el presente y situado en 𝑥=𝑦= 0. Es decir, este observador puede recibir señales de eventos que ocurrieron en el cono pasado, así como enviar señales a puntos en el cono futuro, pero nunca podrá percibir ni enviar señales a eventos fuera de los conos. Veamos qué significa esto para un observador en el universo. Por ejemplo, pensemos en enviar una señal luminosa a una persona que se encuentra en la Luna (suceso), como muestra la Figura 3.5. Esta persona verá aparecer la luz un segundo después de encenderla, en 𝑡= 1, ya que la Luna se encuentra aproximadamente a 300.000𝑘𝑚, que es la constante 𝑐, y en ese momento habrá entrado en el cono de luz futuro del suceso. Para que la persona en la Luna recibiese la señal en el presente (𝑡= 0) deberíamos haber encedido la luz un segundo antes. Dos sucesos (𝑐𝑡1, 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)y(𝑐𝑡2, 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)en el diagrama tridimensional de Minkowski están separados por la cantidad Δ𝑠2=𝑐2(𝑡2−𝑡1)2− (𝑥2−𝑥1)2− (𝑦2−𝑦1)2− (𝑧2−𝑧1)2.(3.6) 58 fundamentos de la relatividad especial Figura 3.8: Se coloca un reloj en el punto 𝑥= 2.3, donde ocurren dos eventos 𝑇1y𝑇2separados en un intervalo de tiempo de 1 unidad según lo mide el reloj. En 𝑆′utilizamos dos relojes para medir el anterior intervalo de tiempo, siendo este la distancia entre las intersecciones de las líneas paralelas al eje 𝑥′que pasan por cada evento con el eje 𝑤′. Se coloca otro reloj en 𝑆′ en el punto 𝑥′= 3 donde ocurren los eventos 𝑈1y𝑈2, que en el sistema 𝑆están separados por un intervalo de tiempo mayor. 3. los diagramas de minkowski 59 al eje 𝑥que pasan por el punto de cada evento con el eje 𝑤y midiendo la diferencia entre ambos puntos de intersección, obteniendo una diferencia mayor a 1. Al igual que antes, para 𝑆, el reloj que se mueve marcha más lentamente. 3.2 Paradoja de los gemelos Como vimos anteriormente, debido a la dilatación del tiempo, un reloj en movimiento a una velocidad constante 𝑣relativa a un sistema inercial que contiene relojes sincronizados registra un tiempo menor por el factor √1 − 𝑣2∕𝑐2cuando se le registra por dichos relojes, siendo esta situación recíproca. Volvamos ahora a la situación planteada en la sección 2.4 sobre la paradoja de los gemelos. En este caso tenemos un único reloj en movimiento y queremos compararlo con el reloj en reposo, lo cual podemos hacer porque coinciden dos veces, en la salida y en la llegada de Mateo. Sin embargo, la situación ahora no es recíproca, puesto que, para dar la vuelta, Mateo ha debido frenar y volver a acelerar, lo cual produce cambios en su cuerpo que le hacen notar que de hecho es él el que se está moviendo. Pensemos en el ejemplo numérico estudiado anteriormente, en el que el planeta 𝑃se encuentra a 4 años luz de la Tierra. El tiempo transcurrido para Pedro es de 10 años en total. Su línea de mundo en el diagrama de Minkowski será el mismo eje 𝑐𝑡. La línea de mundo de Mateo se dibuja teniendo en cuenta que se desplaza a 0.8𝑐respecto a Pedro, obteniendo así el eje 𝑐𝑡′que está inclinado respecto al eje 𝑐𝑡 como muestra la Figura 3.9. Obtuvimos que se registran 3 años en el eje 𝑐𝑡′, correspondiendo cada punto a la señal anual de año nuevo del reloj de Mateo. Pasado este tiempo, Mateo llega al planeta 𝑃y se traslada al sistema 𝑆′′, trazando una nueva línea de mundo, el eje 𝑐𝑡′′, el cual registra otros 3 años para la vuelta. Cada vez que Mateo registre un año con su reloj, le enviará una señal a Pedro, quién lo anotará en su sistema. Para representar esto en nuestro diagrama, trazamos de cada punto sobre la línea de mundo de Mateo una recta inclinada 45ºcon respecto a sus ejes, correspondiendo a la señal luminosa, y la intersectamos con la línea de mundo de Pedro. De igual manera, las señales del reloj de Pedro son rectas, parten de cada punto situado en la línea de mundo de Pedro, inclinadas 45ºcon respecto a los ejes del sistema 𝑆, que intersectan con las líneas de mundo de los sistemas 𝑆′y𝑆′′ en los que se mueve Mateo. Observamos que cada vez que Pedro registra 3 años, le 60 fundamentos de la relatividad especial Figura 3.9: Gráfica espacio-tiempo de la paradoja de los gemelos. Se muestra la línea de mundo de Pedro, quien está fijo, así como las líneas de mundo de Mateo al alejarse (la cual es muy cercana a la línea de mundo de la luz puesto que la velocidad es 0.8𝑐) y al regresar a la Tierra. Pedro envía a Mateo 10 señales, mientras que Mateo a Pedro envía solo 6 señales. Además, la frecuencia de las señales aumenta en el último año para Pedro y en los últimos tres años para Mateo, que coinciden con su regreso, debido al efecto Doppler. 3. los diagramas de minkowski 61 llega la señal indicándole que Mateo solo ha registrado 1 año. Este diagrama espacio-tiempo se puede comprobar numéricamente por el efecto Doppler. A medida que los gemelos se alejan uno del otro, la frecuencia de sus señales se reducen, en este caso, en el factor Doppler siguiente según la ecuación (2.25): √𝑐−𝑣 𝑐+𝑣=√𝑐− 0.8𝑐 𝑐+ 0.8𝑐=√0.2 1.8=√1 9=1 3.(3.8) Luego, la frecuencia de las señales recibidas por Mateo a medida que se aleja es de una señal cada tres de sus años. Recíprocamente, Pedro rebirá señales de Mateo a medida que se aleja una vez cada 3 de sus años, recibiendo 3 señales en 9 años. A medida que se aproximan, la frecuencia de sus señales aumenta, ya que en este caso, según la ecuación (2.24) el factor Doppler será: √𝑐+𝑣 𝑐−𝑣=√1.8 0.2=9 1= 3.(3.9) Es decir, Mateo recibe 9 señales de Pedro mientras regresa en 3 de sus años, al igual que Pedro recibe 3 señales de Mateo en el último año antes de que este regrese. Los registros de Pedro demuestran que recibió señales a frecuencia retardada durante 9 años y a frecuencia rápida durante 1 año, es decir, que Mateo se alejó durante 9 años y volvió en 1 solo año. Igualmente, Mateo registra que él recibió señales a una frecuencia retardada durante 3 años, y a una frecuencia rápida en los 3 años del regreso. A pesar de esto, ambos gemelos están de acuerdo en que han pasado 10 años para Pedro y solo 6 para Mateo. Estos hechos reflejan la asimetría esencial que resuelve la supuesta paradoja. 4 Conclusiones Hemos comenzado estudiando la teoría clásica de la relatividad, en la cual las transformaciones galileanas postulaban la naturaleza absoluta del espacio y del tiempo. Sin embargo, a través del experimento de Michelson-Morley, obtuvimos un resultado contradictorio. Teóricamente, aparecía una diferencia de fase entre ambos rayos, pero experimentalmente esto no ocurría. A partir de este resultado, nos adentramos en el desarrollo de la teoría de la relatividad especial de Einstein, estableciendo sus dos postulados: la constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales y la uniformidad de las leyes de la física en todos los sistemas inerciales. Para mantener la invarianza de la velocidad de la luz, se introdujeron las transformaciones de Lorentz. De las transformaciones de Lorenz hemos deducido directamente que el tiempo transcurrido para un observador en reposo se dilata respecto al tiempo medido por otro observador que se mueve respecto a él a una velocidad cercana a la de la luz. De la misma forma, las longitudes medidas por un observador en movimiento relativo se contraen respecto a las longitudes medidas por otro observador en reposo respecto a él. Como consecuencia de estas observaciones, concluimos que el concepto de simultaneidad es relativo gracias a un sencillo experimento mental. Seguidamente, presentamos una famosa paradoja, la Paradoja de los Gemelos, que ilustra la asimetría en la dilatación del tiempo y se resuelve al tener en cuenta que el gemelo que viajó experimentó aceleraciones y cambios en su velocidad. Una vez analizadas las transformaciones de Lorentz del tiempo y del espacio, pasamos a transformar la velocidad, y con ella, la cantidad de movimiento, la energía y la fuerza. La transformación de la cantidad de movimiento nos llevó a definir el concepto de masa relativista. A diferencia de la masa en reposo, la masa relativista no es constante, sino que aumenta a medida que la velocidad de la partícula se acerca a la velocidad de la luz (𝑐). De manera similar, al deducir la expresión relativista de la energía total, se reveló el concepto de energía 64 fundamentos de la relatividad especial en reposo. A través de esta noción, comprendimos que la energía cinética de una partícula se convierte en masa, tal como se expresa la famosa ecuación de Einstein 𝐸=𝑚𝑐2. Necesitábamos comprobar que nuestra nueva teoría, con todos los ajustes relativistas realizados, era realmente consistente con el electromagnetismo de Maxwell. Con este fin, impusimos la invarianza de las ecuaciones de Maxwell para demostrar que esto requería que los campos eléctrico y magnético se transformaran exactamente de la forma en que lo hacen según la relatividad especial. De esta forma, quedó estudiada la forma en que Einstein reconcilió las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo con las leyes de la mecánica para cuerpos moviéndose a velocidades próximas a la de la luz. Para finalizar, discutimos la estructura del espacio de Minkowski, que describe el espacio-tiempo en la relatividad especial. Con el objetivo de visualizar los efectos relativistas desarrollamos los diagramas de Minkowski, los cuales se restringen a dos dimensiones: el tiempo y el espacio unidimensional. Al analizar los diagramas, encontramos que cada evento posee un cono de luz futuro y un cono de luz pasado, de manera que ninguna señal procedente de fuera del cono puede alcanzar dicho evento. Por último, retomamos el estudio de la Paradoja de los Gemelos y representamos la situación en nuestros diagramas. La relatividad especial desafía nuestra intuición clásica y nos brinda una comprensión profunda de la natrualeza del espacio y el tiempo. Bibliografía [1] Resnick, R. Introduction to Special Relativity. John Wiley & Sons, Inc., 1968. [2] Tipler, P,A. y Mosca, G. Física para la ciencia y la tecnología. Volumen 2. Tercera edición. Reverté, S.A, 2010. [3] Einstein, A. Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General, 1916. [4] Einstein, A. ”Zur Elektrodynamik bewegter Körper” (Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento).Annalen der Physik. 17 (10): 891–921, 1905. [5] Mezzera, C. Geometría Lorentziana y Singularidades. Monografía de Licenciatura. Facultad de Ciencias Universidad de la República Montevideo. Uruguay, 2014. [6] Janssen, B. Breve repaso de la Relatividad Especial, Departamento de Física Teórica y del Cosmos. Universidad de Granada, 2005. [7] Redzic, D, V. Are Maxwell’s equations Lorentz-covariant?, Facultad de Física. Universidad de Belgrado. Serbia, 2023. [8] Illana, J, I. Descubre la Relatividad, Departamento de Física Teórica y del Cosmos.Universidad de Granada, 2013.