El ataque polaco al protocolo Enigma

UNIVERSIDAD DE SEVILLA FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS TRABAJO FIN DE GRADO El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA PRESENTADO POR: Roc´ıo Galla do G´omez DIRIGIDO POR: Jos´e Ma ´ıa To ne o S´anchez Se illa, 2016 ´ Indice gene al Resumen 5 Abs ac 7 1. In oducci´on his ´o ica 9 1.1. E oluci´on de la c ip olog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. El o igen de Enigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. El o igen del a aque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. El p incipio del in de Enigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Unos h´e oes ol idados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Desc ipci´on del modelo Enigma a acado po los polacos 19 2.1. Es uc u a ´ısica de la m´aquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. El uncionamien o de Enigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. El p ocedimien o de ci ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque 33 3.1. P ime in en o de b´usqueda de la desenc ip aci´on del c´odigo Enigma ............................... 33 3.2. El m´e odo de las pe mu aciones. Fundamen aci´on e´o ica . . . . 35 3.3. El conjun o de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4. El a aque, p opiamen e dicho 59 4.1. La ca ac e ´ıs ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2. M´e odos c ip ol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3. Bomba c ip ol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ´ Indice de igu as 73 A. Re e encias de igu as 75 B. Re e encias po cap´ı ulos 77 Re e encias gene ales 79 3 Resumen El p incipal obje i o de nues o abajo se ´a des ela las cla es del exi oso a aque polaco al p o ocolo Enigma p o agonizado po Ma ian Rejewski. Pa- a ello, de alla emos el con ex o his ´o ico en el que se p odujo dicho a aque, as´ı como i emos desa ollando los di e en es m´e odos y ´ecnicas que esul a on cla es pa a la consecuci´on de al hi o ma em´a ico. Comenza emos desc ibiendo el modelo Enigma a acado po los polacos, dando odo ipo de de alles an o de la es uc u a ´ısica de la m´aquina, como del uncionamien o de la misma y el p ocedimien o de ci ado. Pos e io men e, lle a emos a cabo una esc u- pulosa explicaci´on sob e los esul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque, basados en la eo ´ıa de pe mu aciones. Seguidamen e, ilus a emos el p oce- dimien o que sigui´o Rejewski pa a e ec ua la desenc ip aci´on. Y, po ´ul imo, desa olla emos el a aque, p opiamen e dicho, exponiendo odos los m´e odos c ip ol´ogicos, an o manuales como mec´anicos, que in en a on los polacos. Palab as cla e: c ip og a ´ıa, Enigma, Rejewski, pe mu aciones. Abs ac The aim o ou wo k will be o un eil he keys o he success ul Polish a ack o he Enigma p o ocol led by Ma ian Rejewski. In o de o do so, we a e going o in oduce he his o ical con ex in which ha a ack was pe o med, while we de elop he di e en me hods and echniques ha we e i al o he success o such a ma hema ical miles one. A e ha , we will p oceed o a de ailed explana ion o he ma hema ical esul s needed o he a ack, based on pe mu a ion heo y. Then, we a e going o depic he p ocedu e ollowed by Rejewski o ca y ou he decyphe ing. And, inally, we will desc ibe he a ack i sel , expounding e e y c yp ological me hod, manual and mechanical ones, ha we e c ea ed by he Polish c yp og aphe s. Keywo ds: c yp og aphy, Enigma, Rejewski, pe mu a ions. Cap´ı ulo 1 In oducci´on his ´o ica El o igen de la c ip og a ´ıa1se emon a a miles de a˜nos. His ´o icamen e ha es ado inculada a la p o ecci´on de la con idencialidad de in o maciones mili- a es y pol´ı icas, lo que conlle a la necesidad de busca m´e odos que ompan dicha p o ecci´on, di ´ıcil a ea, m´as a´un sin conocimien os ma em´a icos. A p incipios del siglo XX, la in enci´on de m´aquinas mec´anicas y elec o- mec´anicas complejas, como la m´aquina de o o es Enigma, p opo ciona on m´e odos de ci ado m´as so is icados y e icien es. As´ı nace la c ip olog´ıa2cien ´ı i- ca, iniciada en 1949. En ´epoca de gue a se hace indispensable que en el caso de que el enemigo in e cep e nues os mensajes, no enga mane a de sabe qu´e signi ican. Con el paso del iempo, la c ip og a ´ıa se con i i´o en una pieza cla e den o de los ej´e ci os de odo el mundo. 1.1. E oluci´on de la c ip olog´ıa Desde las m´as sencillas ´ecnicas de enc ip aci´on, como el Ci ado de C´esa , has a las m´as mode nas basadas en so is icados algo i mos ma em´a icos mane- jados po po en es o denado es, un sin ´ın de m´e odos de ci ado se han sucedido en la his o ia. Algunos ejemplos de ello son3: Esc´ı ala espa ana:Bas ´on en el cual se en ollaba en espi al una i a de cue o donde se esc ib´ıa el mensaje en columnas pa alelas al eje del palo. Pod´ıa lee se ol iendo a en olla la i a sob e un palo del mismo 1A e y ´ecnica de esc ibi con p ocedimien os o cla es sec e as o de un modo enigm´a ico, de al o ma que lo esc i o solamen e sea in eligible pa a quien sepa desci a lo. P o iene del g iego k yp os que signi ica ocul o, y g aphia, que signi ica esc i u a. 2Disciplina cien ´ı ica que se dedica al es udio de la esc i u a sec e a, es deci , es udia los mensajes que, p ocesados de cie a mane a, se con ie en en di ´ıciles o imposibles de lee po en idades no au o izadas. P o iene del g iego k yp o, y logos, que signi ica palab a. 3Podemos encon a m´as de alles y ejemplos en [3]. 9 In oducci´on his ´o ica Unos h´e oes ol idados Alan Tu ing La c ip og a ´ıa de ese iempo descon iaba de los ma em´a icos y, ec´ıp o- camen e, es os la conside aban un a e meno , pe o Tu ing, despu´es de habe isi ado los m´as ´a idos al iplanos de la eo ´ıa ma em´a ica, bien pod´ıa ebaja se un poco po Ingla e a. As´ı que decidi´o acep a la opo unidad de ayuda a su pa´ıs y con ello dio un paso que le o o ga ´ıa una inespe ada glo ia mili a , pe o ambi´en le lle a ´ıa al in ie no pe sonal m´as e ible. Su ´ecnica consis i´o en busca lo que en c ip olog´ıa se denominan pun ales9. Adem´as, ue capaz de cons ui un modelo mejo ado de la bomba polaca, al que denomin´o bombe. La combinaci´on de los es udios polacos jun o con las ´ecnicas halladas po los aliados esul ´o se inalmen e una es a egia ex ao dina ia de c ip oan´ali- sis, capaz ´unicamen e de se plani icada po una men e p i ilegiada como la de Tu ing. 1.5. Unos h´e oes ol idados T as la in asi´on ge mana de Polonia, una g an can idad del BS4 ue on cap u ados, o u ados y asesinados. A o unadamen e, Rejewski, Zygalski y R`o˙zycki pudie on abandona el pa´ıs a iempo y pusie on umbo a Ruman´ıa. No obs an e, lejos de que e abandona su ca e a, es os decidie on segui con su gue a c ip ol´ogica en el cen o de in eligencia anco-polaca10. La unidad B uno se io obligada a e acua as la amenaza de in asi´on de Alemania, po lo que nues os p o agonis as u ie on que ol e a hui , poniendo umbo a A gel. Sin emba go, as la endici´on ancesa, los in eg an- es de es a unidad decidie on c ea una nue a unidad encubie a denominada Cadix. Debido al c´umulo de amenazas y con el in de e i a sospechas, Rejewski decidi´o emplea se como p o eso de ma em´a icas en Nan es. Va ios p oblemas su gie on de nue o. Va ios c ip ol´ogos pe enecien es a Cadix u ie on que ealiza un iaje a A gel. Cuando ol ´ıan de es e, el ba co donde iajaban nau ag´o. En e los 301 pasaje os que pe die on la ida se encon a on a ios c ip ´ologos undamen ales en el abajo con a el c´odigo Enigma, desg aciadamen e uno de ellos ue Je zy R`o˙zycki. Los alemanes ol ie on a descub i las ope aciones sec e as de los c ip o- analis as, po lo que los miemb os de Cadix u ie on que hui de nue o. As´ı, 9C ibs en ingl´es. 10A es e cen o se le denomin´o B uno. T abajo Fin de G ado 16 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Rejewski y Zygalski pusie on umbo a Espa˜na, con el in o unio de se des- cubie os as c uza los Pi ineos. T as es o, ue on a es ados y enca celados. Sin emba go, p on o ue on libe ados y en iados a Mad id. Cuando pa ec´ıa que hab´ıa llegado la anquilidad a nues os pe sonajes, es os se ie on sucumbidos po la aici´on de un o icial de la in eligencia mili a ancesa. De es e modo, ue on nue amen e cap u ados y en iados a un campo de concen aci´on alem´an. T as el in de la gue a, Rejewski eg es´o a Polonia y comenz´o a abaja como con able, Zygalski pe maneci´o exiliado en el Reino Unido donde abaj´o como p o eso de es ad´ıs ica ma em´a ica en la Uni e sidad de Su ey, y Tu ing, as se some ido a la cas aci´on qu´ımica po se homosexual, decidi´o qui a se la ida. Es e ue el indecen e, inmo al y deshones o econocimien o ecibido po es os ma em´a icos que, con e idos p ´ac icamen e en soldados, decidie on con- sag a su ida en la lucha con a Enigma. Cap´ı ulo 2 Desc ipci´on del modelo Enigma a acado po los polacos Como hemos is o en el cap´ı ulo an e io , la m´aquina Enigma ue el c´odigo sec e o u ilizado po el ej´e ci o alem´an pa a sus comunicaciones en la Segunda Gue a Mundial. Dicha m´aquina dispon´ıa de un mecanismo de ci ado o- a o io, que pe mi ´ıa usa la an o pa a ci a como pa a desci a mensajes. Realmen e e a una e oluci´on de o os modelos elec omec´anicos que in en aba hace m´as sencilla y au oma izada la ediosa a ea de enc ip a y desenc ip a mensajes. Su amplio uso se debe a su acilidad de manejo y supues a in iola- bilidad. 2.1. Es uc u a ´ısica de la m´aquina Enigma e a muy simila a una m´aquina de esc ibi 1, con la sal edad de que se alimen aba de una ba e ´ıa y no empleaba papel. Aunque la m´aquina dispon´ıa de dicha ba e ´ıa, ambi´en pod´ıa usa la ene g´ıa el´ec ica si es aba disponible. Al igual que las m´aquinas de esc ibi , se anspo aba en la caja en la que es aba incluida. Dicha caja, de dimensiones 34cm×28cm×15cm, pesaba ap oximadamen e 12kg. La m´aquina Enigma ue un disposi i o elec omec´anico, lo que signi ica que usaba una combinaci´on de pa es mec´anicas y el´ec icas. El mecanismo es aba basado en una se ie de eclas que accionaban los disposi i os el´ec i- cos y p o ocaban el mo imien o de unos cilind os o a o ios. Dichas eclas, compues as po las le as del al abe o, e an ealmen e in e up o es el´ec icos. Podemos deci que Enigma es aba o mada b´asicamen e po es componen- es conec ados po cables que, combinados, cons i u´ıan una compleja m´aquina pa a ci a : un eclado pa a esc ibi cada le a del ex o en cla o; una unidad 1Es e hecho p o oc´o la con usi´on de muchos soldados cuando a inales de la gue a se encon aban con uno de es os apa a os. 19 Desc ipci´on del modelo Enigma a acado po los polacos Es uc u a ´ısica de la m´aquina modi icado a o mada po es o o es, un cla ije o y un e lec o ; y un able o donde quedaba iluminada la le a ci ada. La supues a in iolabilidad de la m´aquina se debe a la que hemos llamado unidad modi icado a. En es a unidad se encuen an, como hemos dicho, los es o o es, un cla ije o y un e lec o . Los componen es de es a unidad pod´ıan se modi icados manualmen e cuando se quisie a an o po el enc ip ado como po el desenc ip ado , de modo que, el hecho de que cualquie c ip oanalis a encon ase la m´aquina no e a de g an impo ancia, pues o que lo ealmen e im- po an e se ´ıa conoce dichas modi icaciones de las que m´as adelan e da emos de alles. Los componen es de la m´aquina Pa a pode en ende el uncionamien o de Enigma, el cual explica emos m´as adelan e, p ime o necesi amos e de alladamen e cada una de las pa es de las que se compone la m´aquina. G acias a la Figu a 2.1 podemos hace nos una idea de la apa iencia ´ısica de Enigma. Adem´as, nos o ece la posibilidad obse a cla amen e cada uno de los componen es de la m´aquina de los que, a con inuaci´on, da emos una esc upulosa desc ipci´on. Figu a 2.1: Diag ama de las pa es de Enigma. T abajo Fin de G ado 20 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Desc ipci´on del modelo Enigma a acado po los polacos Es uc u a ´ısica de la m´aquina Teclado: Es aba compues o po 26 eclas, las co espondien es a cada una de las le as del al abe o. La m´aquina solamen e usaba 26 ca ac e es ya que la pun uaci´on ue eemplazada po combinaciones de di e en es le as. Algunos ejemplos de dichas combinaciones son: el espacio se sus- i uye con una X, la coma con ZZ y el signo de in e ogaci´on con FRAGE oFRAQ2. Panel luminoso: Si uado jus o en en e del eclado. Al igual que es e, es aba compues o po 26 eclas (una po cada le a del al abe o), aunque ninguna de ellas pod´ıa se pulsada. Debajo de cada una de es as eclas hab´ıa una bombilla que pe mi ´ıa, al inal del p ocedimien o de ci ado, que la le a codi icada se iluminase. La le a iluminada e a siemp e di e- en e de la ecla pulsada. Ro o es: Fue on el p incipal componen e de ci ado. Es e conjun o es- aba o mado po es o o es3que no e an sino pe mu aciones de las le as que ac uaban consecu i amen e. Cada uno de ellos e a un disco de ap oximadamen e 10cm de di´ame o y es aban ma cados con los n´ume- os omanos pa a dis ingui los: I, II, III, ya que apa en emen e e an iguales. Todos en´ıan las le as del al abe o si uadas sob e sus bo des, aunque solo e a posible ap ecia algunas de ellas. Las que pod´ıan e - se, si uadas en el luga que sob esale un poco, e an discos den ados que pe mi ´ıan la manipulaci´on de los o o es. As´ı, en es os o o es e a donde el ope ado lle aba a cabo los ajus es de la m´aquina. Cada uno de ellos en´ıa, en una ca a, 26 con ac os ijos dispues os de o ma conc´en ica y, po el o o, los 26 con ac os de eso e. Los con ac os ijos se conec aban con los de eso e de mane a i egula po cables aislados que pasaban a a ´es del co az´on del o o . Cada uno de los o o es se encajaba en la anu a co espondien e de o ma que sus con ac os de salida se conec a- ban con los con ac os de en ada del o o siguien e y el e ce y ´ul imo o o se conec aba al e lec o que, a su ez, un´ıa el con ac o de salida del e ce o o con o o con ac o del mismo o o pa a ealiza el mismo p oceso pe o en sen ido con a io y po una u a di e en e. El impulso el´ec ico pasaba de de echa a izquie da a a ´es de los cables de cada o o . Pa a hace nos una idea de la apa iencia ´ısica de ´es os podemos obse a la Figu a 2.2. 2Algunos signos de pun uaci´on ue on di e en es en o as pa es de las ue zas a madas. As´ı, la K iegsma ine (Ma ina alemana), po ejemplo, sus i u´ıa la coma con la Yy el signo de in e ogaci´on con UD. 3Dependiendo de la e si´on, Enigma pod ´ıa ene m´as o o es. Tambi´en e a posible a˜nadi los, lo que supuso un g an ali io pa a los alemanes, que con el a ance de la gue- a ie on pelig a la segu idad de Enigma, po lo que incluye on 2 o o es m´as. La e si´on con m´as o o es y, po lo an o, la m´as segu a e a la u ilizada po la K iegsma ine, que lleg´o a ene has a 8 o o es. La que noso os es udia emos, como hemos dicho, se compone solamen e de 3. T abajo Fin de G ado 21 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Desc ipci´on del modelo Enigma a acado po los polacos Es uc u a ´ısica de la m´aquina Figu a 2.2: Ro o es de Enigma. Ba e ´ıa: Se encon aba a la de echa de los o o es y e a el componen e que hac´ıa unciona la m´aquina. La po encia de dicha ba e ´ıa e a de 4,5 ol ios. Re lec o : E a un elemen o es ablecido en un ´unico eje que pod´ıa se mo ido con una palanca. No e a sino un p oduc o de asposiciones dis- jun as. Es o es, empa ejaba las le as dos a dos y cambiaba cada le a po su pa eja. El impulso el´ec ico e a de uel o po el e lec o de izquie da a de echa, en sen ido con a io al que pasaba a a ´es de los cables de cada o o . Es e elemen o consegu´ıa que al codi ica un mensaje ci ado, usando las mismas posiciones iniciales de los o o es y los mismos pa es de le as in e conec adas en el cla ije o, se ob u iese el mensaje en cla o. Aunque apa en emen e el e lec o pa ece muy en ajoso y un elemen o cla e en la m´aquina, dio a Enigma la p opiedad de que ninguna le a se ´ıa ci ada como ella misma. Es o ue un allo concep ual g a e y un e o c ip og ´a ico que pos e io men e se ´ıa explo ado po los c ip oanalis as. Cla ije o: Tambi´en llamado conmu ado o panel S ecke 4. Si uado en la pa e delan e a de la m´aquina, debajo de las eclas, en e el eclado y el p ime o o . E a un able o de cla ijas, cada una asociada a una le a del al abe o. Dichas cla ijas es aban conec adas median e cables que pod´ıan conmu a se. De es a o ma, daban luga a una pe mu aci´on que ac uaba doblemen e, en e el eclado y el banco de o o es y en e es e y el panel de l´ampa as. As´ı, cada ez que se pulsa una ecla se o igina una co ien e el´ec ica que ci cula p ime o po el S ecke an es de aden a se en el banco de o o es. T as abandona el banco de o o es, la co ien e el´ec ica pasa de nue o po el S ecke an es de conclui su iaje en el panel luminoso, p oduciendo el mismo e ec o que an es. Si se conec aban dos de las cla ijas, las dos le as conec adas e an in e cambiadas en el p oceso de ci ado. El sis ema de enc ip aci´on que es amos es udiando 4Ab e ia u a de S ecke b e que en alem´an signi ica “panel de conexiones de cla ija”. La e si´on come cial de Enigma no es aba do ada con es e disposi i o, que ue incluido en la e si´on mili a con la in enci´on de aumen a la segu idad, ya que es e panel con ibu´ıa con m´as ue za c ip og ´a ica que un o o adicional. T abajo Fin de G ado 22 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Desc ipci´on del modelo Enigma a acado po los polacos El uncionamien o de Enigma es aba o mado po 6 pa es de cla ijas5os ecke pai s, haciendo posible el in e cambio de 12 le as. 2.2. El uncionamien o de Enigma El uncionamien o de la m´aquina, apa en emen e, e a bas an e sencillo. El ope ado deb´ıa eclea las le as de su mensaje e i ano ando una a una las le as que le de ol ´ıa la m´aquina iluminadas en el panel de luces. Cada ez que el ope ado pulsaba una ecla se en iaba un impulso el´ec ico que eco ´ıa el in e io de la m´aquina. Dicho impulso hac´ıa que la co ien e ci cula a a a ´es del cla ije o, luego los o o es de echo, cen al e izquie do, se e leja en el e lec o y deshace su camino de nue o a a ´es de los o o es y una ez m´as a a ´es del cla ije o. Al e mina es e p oceso, la co ien e el´ec ica concluye su iaje en el panel de l´ampa as, donde una luz se encend´ıa bajo una de las le as. Aunque m´as adelan e da emos m´as de alles sob e el ci cui o el´ec ico de Enigma, eamos an es un peque˜no esquema: Figu a 2.3: Ci cui o el´ec ico de Enigma. Como hemos dicho an e io men e, los o o es ue on el p incipal compo- nen e de ci ado. Es o se debe a que la complejidad de la m´aquina eside, en g an pa e, en es os elemen os. Una de las azones es el hecho de que la pul- saci´on de una ecla p o ocaba que el p ime o o a anzase una le a en el al abe o6. Podemos imagina el e ec o de un o o como el de una pe mu aci´on en las posiciones de las le as del al abe o, con la ca ac e ´ıs ica de que cada ez que se codi ica una le a, el o o se desplaza una posici´on y, po an o, la pe mu aci´on sob e el al abe o es dis in a. Sin emba go, al codi ica 26 eces una le a ob end ´ıamos su codi icaci´on inicial. Se quiso e i a p ecisamen e esa epe ici´on, nunca deseada en c ip og a ´ıa, az´on po la cual la m´aquina cons- aba de es o o es, de mane a que al codi ica una le a sal aba una posici´on el o o m´as ´apido, el que es aba si uado m´as a la de echa. Una ez el o o 5En sucesi as ans o maciones de la m´aquina, con el in de aumen a su segu idad, el n´ume o de pa es de cla ijas u ilizado lleg´o a se de has a 10. 6El p incipio o iginal de es a idea da a del siglo IV a.C. Fue un in en o del omano Aeneas Taci us. T abajo Fin de G ado 23 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Desc ipci´on del modelo Enigma a acado po los polacos El uncionamien o de Enigma de echo die a oda una uel a, en onces gi aba una posici´on el o o cen al has a llega al menos ´apido que e a el de la izquie da. Los o o es cen al e izquie do gi aban de o ma di e en e al o o de echo, ya que adem´as de la o aci´on ya desc i a, o aban ambi´en cuando llegaban has a la posici´on de su p opia muesca, eniendo en cuen a ambi´en que pa a cada nue o mo imien o del o o cen al hab´ıa que espe a los 26 mo imien os del o o ´apido7. Veamos con un ejemplo lo que ocu e al p esiona una ecla en el able o. Conside emos que s´olo enemos un o o . Cuando se p esiona, po ejemplo, la le a Bla co ien e pasa a a ´es del o o y en el panel de luz se enciende la le a A. Ve´amoslo en la siguien e imagen: Como hemos dicho an e io men e, al p esiona una ecla el o o gi aba una ue ca. Po lo an o, despu´es de p esiona , la imagen que ilus a ´ıa nues o ejemplo se ´ıa la siguien e: Una ez obse ado es o, eamos un ejemplo8con el abeceda io al comple o del camino que segui ´ıa una le a desde su ecleado has a su ci ado. En dicho ejemplo apa ece ´an cua o bloques de dos ilas cada uno. La p ime a ila de cada bloque se co esponde con el abeceda io o denado (pues o pa a e el 7Es os mo imien os pod ´ıan complica se pa a hace la m´aquina a´un m´as segu a incluyen- do en es a un con olado pa a el mo imien o del segundo y e ce o o . Es o es, en luga de que cada o o gi ase cuando el an e io hubie a dado una uel a comple a, se pod´ıa hace que el segundo o o gi a a, po ejemplo, cuando Npasa a po la p ime a posici´on en el p ime o o (y an´alogamen e, escoge una posici´on conc e a pa a el gi o del e ce o o ). 8La si uaci´on plan eada en el ejemplo o ece una au ´en ica con igu aci´on de un modelo de Enigma. Ex a´ıda de: [10]. T abajo Fin de G ado 24 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Desc ipci´on del modelo Enigma a acado po los polacos El uncionamien o de Enigma ejemplo con mayo cla idad), la segunda ila de los es p ime os bloques se co esponde con cada uno de los o o es y la ´ul ima ila es la co espondien e al e lec o . P ime o e emos el caso en el que supond emos que no hay mo imien o del p ime o o : ABCDEFGHIJKLMNOPQRS T U V W X Y Z EKMFLGDOVZNTOWYHXUS P A I B R C J ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW X Y Z AJDKSIRUXBLHWTMCQGZNPYF V O E ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ BDFHJLCPRTXVZNYEIWGAKMUSQO A B C D EFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ Y R U H QSLDPXNGOKMIEBFZCWVJAT No a: Las le as de colo magen a ep esen an el camino de ida a a ´es de los o o es has a llega al e lec o y las azules ep esen an el camino de uel a una ez ha ac uado ´es e. As´ı, emos que si pulsamos, po ejemplo R, el camino que sigue la le a es: R7−→ U7−→ P7−→ E La le a Ellegaba inalmen e al e lec o , donde se p oduce un nue o cam- bio, en es e caso, cambia Epo Q, y luego Q ealiza el camino in e so po los es o o es: E7−→ Q7−→ Y7−→ V7−→ I De es a o ma, Rse ci aba como I. Veamos aho a lo que ocu i ´ıa al p oduci se el mo imien o del o o : T abajo Fin de G ado 25 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA R´ıgida disciplina alemana: Se empeza on a gene a mensajes con o - ma os de ex o cons an emen e epe idos y que iden i icaban ´acilmen e la p ocedencia de los mismos. Un ejemplo de ello es la emisi´on odos los d´ıas a las 00:00 ho as epo ando indica i os de es aciones, ecuencias, ho a ios de ansmisi´on, e c. Los e o es an es mencionados ue on debidos a la con ianza, en exceso, que los alemanes deposi a on en la m´aquina. Cie o es que Enigma ue muy segu a, po lo que pa ece l´ogico con ia en ella. Sin emba go, jam´as debie on baja la gua dia, ya que eso supuso el p incipio del in de Enigma. Cap´ı ulo 3 Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El abajo de los polacos se bas´o undamen almen e en el es udio de la epe ici´on de pa ones. Teniendo en cuen a lo expues o al inal del cap´ı ulo an e io , podemos obse a que el pa ´on m´as ob io de la enc ip aci´on de Enigma e a la epe ici´on de la cla e del mensaje. Es e hecho les p opo cion´o una ´ıa pa a comenza el a aque. 3.1. P ime in en o de b´usqueda de la desen- c ip aci´on del c´odigo Enigma Los polacos ealiza on un g an a ance en el es udio del uncionamien o de Enigma median e el an´alisis de los pa ones de epe ici´on. Con es e m´e odo llega on a descub i que las cadenas de ca ac e es ci ados es aban di ec amen- e elacionados con la posici´on de los o o es de la m´aquina1. Sin emba go, se encon a on con nue as di icul ades: el desconocimien o de la dis ibuci´on del cableado in e no de la m´aquina y las sucesi as modi icaciones de dicho cablea- do, p oducidas po los alemanes con el in de conse a la in eg idad de sus comunicaciones. El pun o de pa ida pa a es e p ime in en o de a aque ue la in e cepci´on de algunos mensajes po pa e de las es aciones polacas de adiomoni o eo. Es os mensajes ue on usados pa a la econs ucci´on de las cla es de Enigma. As´ı, el obje i o e a comple a lo que se denomin´o abla de elaciones que no buscaba o a cosa que elaciona odas las le as del al abe o. Como la cla e del mensaje se ecleaba dos eces, se deduc´ıa que la 1ay la 4ale a de la codi icaci´on co espond´ıan a la misma le a del mensaje o iginal. Al igual que con la 2ay la 5ay con la 3ay la 6a. De es a o ma, si du an e un d´ıa 1Es e descub imien o lo lle ´o a cabo Ma ian Rejewski, ma em´a ico del que dimos de alles en el p ime cap´ı ulo y cuyas haza˜nas ue on cla es pa a el pos e io a aque a Enigma. 33 Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque P ime in en o de b´usqueda de la desenc ip aci´on del c´odigo Enigma se consegu´ıan su icien es mensajes, odas las le as del al abe o apa ece ´ıan al p incipio de dichos mensajes. Veamos c´omo se cons u´ıa dicha abla2. El p ime paso a segui e a obse a las seis p ime as le as de cada mensaje in e cep ado y es udia su elaci´on. Si po ejemplo e´ıamos QWERTY, que se co esponde con la codi icaci´on de la cla e del mensaje usando la cla e del d´ıa, pod´ıamos obse a que QyRe an codi icaciones de la misma le a. De es a o ma, si enemos, po ejemplo3, los siguien es 4 mensajes: Mensaje 1: L O K R G M Mensaje 2: M V T X Z E Mensaje 3: J K T M P E Mensaje 4: D V Y P Z X emos que en el p ime mensaje LyRes ´an elacionadas, as´ı como MyX,Jy M, y DyPen los o os es mensajes. Po lo an o, ob end ´ıamos las siguien es elaciones: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ PMRX El siguien e paso a segui pa a la cons ucci´on de la abla es in e cep a el mayo n´ume o de mensajes posible y, as´ı, pode comple a la segunda l´ınea del ejemplo an e io , co espondien e a las elaciones de cada le a del al abe o con su codi icada. De es e modo, despu´es de in e cep a un g an n´ume o de mensajes, la abla de elaciones pa a un d´ıa de e minado se comple a ´ıa del siguien e modo: 1ale a ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 4ale a FQHPLWOGBMVRXUYCZITNJEASDK Cuad o 3.1: Ejemplo de abla de elaciones. Una ez cons uida la abla, el obje i o e a encon a alg´un pa ´on que se pudie a deduci de ella. Es aba cla o que dicha abla e a el e lejo de la disposi- ci´on inicial de Enigma con la cla e del d´ıa, po lo que e a de i al impo ancia cen a se en es udia esas elaciones pa a, as´ı, pode ob ene alguna es uc u- a que le indica a la cla e del d´ıa, el anhelado obje i o. Despu´es de in en a encauza el es udio desde di e en es pun os de is a, Rejewski se cen ´o en lo que pos e io men e se llama ´ıa cadenas de le as. Es as cadenas se cons uyen 2Pa a pode en ende mejo el p ocedimien o, solo end emos en cuen a la elaci´on de la 1ale a con la 4a. Pa a las dem´as el p oceso es an´alogo. 3Ex a´ıdo de h p://po ie ama yai e.com/a s/enigma 1.php. T abajo Fin de G ado 34 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El m´e odo de las pe mu aciones. Fundamen aci´on e´o ica de la siguien e o ma: eniendo en cuen a el Cuad o 3.1, se a a de o ma una cadena ce ada empezando con una le a de la ila supe io , buscando su elaci´on en la ila in e io y, a su ez, ol iendo a busca es a ´ul ima le a en la ila supe io y su elaci´on con la ila in e io , y as´ı has a llega a la le a con la que comenzamos. Veamos, en nues o caso, como queda ´ıa o mada dicha cadena. Vemos en el Cuad o 3.1 que la Ade la ila supe io es ´a elacionada con la Fde la in e io ; la Fde la supe io es ´a elacionada con la Wde la in e io ; la Wde la supe io es ´a elacionada con la Ade la in e io , que es la le a con la que comenzamos la cadena, quedando, as´ı, ce ada. Po ´ul imo, Rejewski desa oll´o odas las cadenas de la abla4, apun ando en cada una de ellas el n´ume o de conexiones que en´ıan, ob eniendo lo siguien e: A - F - W - A 3 conexiones B-Q-Z-K-V-E-L-R-I-B 9 conexiones C-H-G-O-Y-D-P-C 7 conexiones J-M-X-S-T-N-U-J 7 conexiones Una ez cons uidas las cadenas, Rejewski obse ´o que es as cambiaban cuando lo hac´ıa la cla e del d´ıa, llegando a la conclusi´on de que es as cadenas e an el e lejo de la disposici´on de los o o es y que el cla ije o no in lu´ıa en ellas ni en sus longi udes. De es a o ma, obse ando (2.1) emos que aho a solo debe ´ıamos p eocupa nos de las 105456 cla es debidas a la disposici´on de los o o es y no de los billones de cla es posibles de las que nos en´ıamos que ocupa an es. Tediosa a ea, pe o ya suscep ible de se ealizada manualmen e. G acias a esos es udios y a nume osas obse aciones, Rejewski p on o se dio cuen a de que pod´ıa esol e su p oblema con eo ´ıa de g upos y pe mu aciones. 3.2. El m´e odo de las pe mu aciones. Funda- men aci´on e´o ica Como a anz´abamos con el ´ı ulo de es e cap´ı ulo, pa a pode lle a a cabo el a aque se necesi a on a ios esul ados ma em´a icos, los cuales expond emos a con inuaci´on. Sea Γn={x1, x2, ..., xn}un conjun o ini o de nelemen os, el ejemplo de g upo ini o m´as usado en la eo ´ıa de g upos es el g upo de las pe mu aciones de Γn. 4Es as cadenas se o man sin epe i le as, es deci , comenzamos con la le a Ay o - mamos su cadena, si la Bapa ece en la cadena de A, se omi e, si no o mamos su cadena co espondien e, y as´ı sucesi amen e. T abajo Fin de G ado 35 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El m´e odo de las pe mu aciones. Fundamen aci´on e´o ica Pe mu aciones In ui i amen e, decimos que una pe mu aci´on es la a iaci´on del o den o de la disposici´on de los elemen os de un conjun o. Es deci , podemos conside a que una pe mu aci´on es una eo denaci´on de elemen os. De inici´on 3.2.1 Si X es un conjun o no ac´ıo, una pe mu aci´on de X es una unci´on biyec i a α:X→X. De inici´on 3.2.2 Si X es un conjun o no ac´ıo, el g upo sim´e ico de X, deno ado po SX, es el g upo cuyos elemen os son las pe mu aciones de X y cuya ope aci´on bina ia es la composici´on de unciones. Como adelan ´abamos an e io men e, es de pa icula in e ´es el caso especial en el que Xes ini o. En dicho caso, siendo X={x1, x2, ..., xn}, noso os esc ibi emos Snen luga de SX, y llama emos Snal g upo sim´e ico de g ado n, o al g upo sim´e ico de nle as, eniendo en cuen a que |Sn|=n!, donde |Y|deno a el n´ume o de elemen os de un conjun o Y. Sea Xel conjun o {1,2, ..., n}. Una o ma de deno a una pe mu aci´on α de Xes median e su ep esen aci´on en una ma iz de co espondencias de la o ma: α=1 2 · · · n α1α2· · · αn lo cual signi ica que α(k) = αk. Po lo an o, si deno amos: α=1 2 3 3 2 1  es o quie e deci que α(1) = 3, α(2) = 2 y α(3) = 1. Si, adem´as, de inimos o a ma iz de la siguien e o ma: β=1 2 3 2 3 1  enemos que αyβson pe mu aciones de {1,2,3}. Adem´as, la composici´on de pe mu aciones es, cla amen e, una pe mu aci´on y cumple las siguien es p opiedades: Asocia i a: α◦(β◦τ) = (α◦β)◦τ∀α, β, τ. T abajo Fin de G ado 36 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El m´e odo de las pe mu aciones. Fundamen aci´on e´o ica Exis e una pe mu aci´on I al que: α◦I=α=I◦α∀α. Dicha pe mu a- ci´on Ies la aplicaci´on iden idad, po lo an o cumple: I(x) = x∀x∈X. Exis e una pe mu aci´on α−1 al que α◦α−1=I=α−1◦α∀α. Dicha pe mu aci´on α−1es la aplicaci´on in e sa de α. As´ı, el conjun o Snde las pe mu aciones de Xcon la composici´on es, pues, un g upo. El p oduc o de dos pe mu aciones se in e p e a como composici´on de apli- caciones, po lo que esc ibi emos, a eces, αβ en luga de α◦β. De es a o ma, el p oduc o de dos pe mu aciones cumpli ´ıa lo siguien e: αβ(k) = α(β(k)),∀k∈ {1,2, ..., n}. Aunque algunos au o es ealizan el p oduc o en el o den con a io, es deci , aplicando p ime o βy despu´es α. Los p oduc os de es as pe mu acio- nes son5: αβ =123 321·123 231=123 213 βα =123 231·123 321=123 132 As´ı, podemos obse a que αβ 6=βα. De ello se deduce que S3no es conmu a i o y, po lo an o, no es abeliano. De es a o ma, podemos enuncia la siguien e p oposici´on. P oposici´on 3.2.1 Si n≥3,Snno es es conmu a i o. Demos aci´on. Se sigue del ejemplo an e io .  De inici´on 3.2.3 Un elemen o k se denomina ijo po una pe mu aci´on αsi α(k) = k. De inici´on 3.2.4 Se denomina sopo e de la pe mu aci´on al conjun o de elemen os {1,2, ..., n}que no son ijos po una pe mu aci´on α, y se deno a Aα. De inici´on 3.2.5 Sean αyβdos pe mu aciones, se dice que es as son dis- jun as si Aα∩Aβ=∅. 5Hemos ealizado es os p oduc os de acue do a la de inici´on an e io . As´ı, en el p ime caso, po ejemplo, el p oduc o se ealiza ´ıa del siguien e modo: αβ(1) = α(β(1)) = α(2) = 2; αβ(2) = α(β(2)) = α(3) = 1; αβ(3) = α(β(3)) = α(1) = 3. T abajo Fin de G ado 37 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El m´e odo de las pe mu aciones. Fundamen aci´on e´o ica En el caso de nues as pe mu aciones an e io men e de inidas, αyβ, po- demos obse a : Elemen os ijos: en αs´olo apa ece un elemen o ijo: 2, y en βno apa ece ninguno. Sopo e: Aα={1,3}yAβ={1,2,3}. En onces, Aα∩Aβ={1,3} ∩ {1,2,3}={1,3} 6=∅. Po lo an o, αyβno son disjun as. Veamos aho a un ejemplo en el que se cumpla que dos pe mu aciones sean disjun as. Sean σyτlas siguien es pe mu aciones: σ=12345 13425;τ=12345 52341 En onces, en es e caso enemos: Elemen os ijos: en σapa ecen dos elemen os ijos: {1,5}, y en τapa ecen es: {2,3,4}. Sopo e: Aσ={2,3,4}yAτ={1,5}. En onces, Aσ∩Aτ={2,3,4}∩{1,5}=∅. Po lo an o, σyτson disjun as. Como hemos is o el p oduc o de pe mu aciones no es conmu a i o, en gene al. Sin emba go, el concep o de disyunci´on de pe mu aciones nos pe mi e enuncia esul ados como el siguien e. Teo ema 3.2.1 Dos pe mu aciones disjun as conmu an en e s´ı. Es deci , si αyβson dos pe mu aciones disjun as, en onces αβ =βα. Demos aci´on. Sea k∈ {1,2, ..., n}, conside amos los siguien es casos: 1. kes un elemen o ijo en αyβ. En es e caso se iene: αβ(k) = α(k) = k βα(k) = β(k) = k)=⇒αβ(k) = βα(k) En onces, αyβconmu an pa a k. T abajo Fin de G ado 38 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El m´e odo de las pe mu aciones. Fundamen aci´on e´o ica 2. kes un elemen o ijo en βy no en α. Como kes un elemen o ijo en β, enemos que β(k) = k. Supongamos que α(k) = l, con l6=k. Como lno es ijo en α, y αyβson disjun as, en onces lse ´a ijo en β. Po lo an o, enemos que β(l) = l. En onces, enemos: αβ(k) = α(k) = l βα(k) = β(l) = l)=⇒αβ(k) = βα(k) Po lo an o, αyβconmu an pa a k. 3. kes un elemen o ijo en αy no en β. An´alogo al an e io . En onces, queda demos ado que αβ =βα. Uno de los p oblemas undamen ales cuando se es udian es uc u as al- geb aicas es pode ac o iza los elemen os de la es uc u a en ´e minos de elemen os m´as simples. En el caso de las pe mu aciones se pudo sol en a es e p oblema con el concep o de ciclo. Ciclos Un ciclo es un ipo especial de pe mu aci´on que ija cie o n´ume o de elemen os (quiz´as ninguno) mien as que mue e c´ıclicamen e el es o. De inici´on 3.2.6 Una pe mu aci´on α∈Snse denomina ciclo, si exis e I= {a1, a2, ..., am}∈{1,2, ..., n} al que: Se ienen las elaciones α(ak) = α(ak+1),∀i= 1,2, ..., m−1, y α(am) = a1. Todos los elemen os de {1,2, ..., n}dis in os de los akson ijos pa a la pe mu aci´on α. Es deci , α(j) = j, ∀j /∈I. De inici´on 3.2.7 Sea m∈Nel n´ume o usado en la de inici´on an e io . Se denomina longi ud del ciclo a dicho n´ume o m. De inici´on 3.2.8 Sea α∈Snuna pe mu aci´on. Se de ine el o den de αcomo m´ın{k≥1 : αk=id}. T abajo Fin de G ado 39 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El m´e odo de las pe mu aciones. Fundamen aci´on e´o ica No a: En el caso de los ciclos los concep os de longi ud yo den coinciden. No aci´on: Sea αun ciclo y msu o den. Dicho o den lo deno a emos como o(α) = m. De es a o ma, di emos que αes un m−ciclo. Ejemplo. En S5un ciclo de longi ud 5 es 12345 23514 En S5un ciclo de longi ud 2 es 12345 14325 No aci´on: Pa a ep esen a pe mu aciones de acue do con las de inicio- nes an e io es usa emos una no aci´on c´ıclica. As´ı, deno a emos al ciclo αde longi ud mpo (a1a2... am). Con esa no aci´on se iene: (a1a2... am) = (a2... ama1) = · · · = (ama1... am−1). Ejemplo. La pe mu aci´on α∈S8dada po 12345678 31527486es un ciclo, se deno a po α= (1 3 5 7 8 6 4 2) y su longi ud es 8. La pe mu aci´on β∈S7dada po 1234567 5134762es un ciclo, se deno a po β= (1 5 7 2) y su longi ud es 4. Como adelan amos, el concep o de ciclo se u iliza, en e o as cosas, pa a ac o iza las pe mu aciones. Cons ancia de ello se iene g acias a un eo ema que enuncia emos a con inuaci´on. Teo ema 3.2.2 Toda pe mu aci´on α∈Sn, con α6=I, se puede exp esa de mane a ´unica, sal o o den de los ac o es, como p oduc o de ciclos disjun os de longi ud ≥2. Demos aci´on. La p ueba consis e en dos e apas. Exis encia: Sea α=1 2 · · · n α1α2· · · αn una pe mu aci´on a bi a ia de Sn. Se nos p esen an dos casos: T abajo Fin de G ado 40 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El m´e odo de las pe mu aciones. Fundamen aci´on e´o ica 1. α= 1. 2. α6= 1. Sea kun n´ume o al que α(k)6=k, cons uimos en onces α2(k), α3(k), α4(k), ... has a que, siguiendo es e p ocedimien o, ol amos a ob ene k. Al n´ume o de pasos que debamos ealiza has a ol e a ob- ene klo deno a emos i+ 1. De es a o ma, hemos cons uido el ciclo (k α(k)α2(k)· · · αi(k)), el cual desc ibe pa e de la pe mu aci´on α. De nue o enemos dos casos: a) El es o de la pe mu aci´on no con iene n´ume os o los n´ume os que con iene son ijos. b) El es o de la pe mu aci´on con iene n´ume os que no son ijos. En es e caso, end ´ıamos que epe i el p ocedimien o an e io con ese es o y, as´ı, sucesi amen e. T as ealiza un n´ume o ini o de pasos se ob end ´ıa la descomposici´on. Unicidad: Supongamos que (α=a · · · a2·a1 α=bs· · · b2·b1 son dos descomposiciones de αen p oduc o de ciclos disjun os. Sea k1un n´ume- o que es mo ido po α. En onces, es e iden e que k1debe es a en un ciclo y s´olo uno de {a , ..., a2, a1}, y de igual o ma, en s´olo uno de {bs, ..., b2, b1}. Como es os ciclos son disjun os, en onces conmu an. Po an o, podemos su- pone que k1es ´a en a1y en b1. Po o a pa e, sabemos que los n´ume os que apa ecen en a1( espec i amen e b1) son ijos po el es o de los ciclos ai ( espec i amen e bi), en onces el elemen o k1ha de ans o ma se en un mismo elemen o k2median e a1( espec i amen e b1). Po la misma az´on, k2debe ans o ma se en un mismo elemen o k3median e a1yb1, y as´ı sucesi amen e. Po lo an o, ai=bi. De es a o ma, epi iendo el p ocedimien o, se deduce que =sy que los ciclos aiybison iguales.  Ejemplo. Sea αla pe mu aci´on dada en S8 α=12345678 52763418 su descomposici´on en ciclos disjun os se ´ıa α= (1 5 3 7) (2) (4 6) (8). Sin emba go, los ciclos de longi ud 1 suelen omi i se, sob een endi´endose que los n´ume os que no apa ecen co esponden a ciclos de longi ud 1. Teniendo en cuen a es o, esc ibi ´ıamos α= (1 5 3 7) (4 6). Hemos is o que la o ma de descompone una pe mu aci´on como p oduc o de ciclos disjun os es ´unica. Es a descomposici´on no es ´unica sin la es icci´on de la disyunci´on. Sin emba go, una puede ans o ma se en la o a. T abajo Fin de G ado 41 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones Π2: pe mu aci´on que indica c´omo cambian las le as cuando se pulsa una ecla po segunda ez. . . . Π6: pe mu aci´on que indica c´omo cambian las le as cuando se pulsa una ecla po sex a ez. De es a o ma, obse amos que desconocemos las pe mu aciones7de la Π1 a la Π6, pe o s´ı pod ´ıamos conoce las pe mu aciones Π4·Π1, Π5·Π2y Π6·Π3. Supongamos que enemos como p ime a cabece a pa a un d´ıa de e minado ARWSJN. Reco demos que las cabece as son el esul ado de ci a dos eces es le as desconocidas pa a el c ip oanalis a. Rep esen emos con la le a Xla p ime a de ellas. Deducimos, en onces, que Π1 ans o ma Xen Amien as que Π4sus i uye Xpo S. Es o lo pod ´ıamos exp esa del siguien e modo: Π1(X) = A Π4(X) = S Reco demos aho a que el ci ado de Enigma iene una p opiedad denomi- nada ecip ocidad, es deci , se cumple que A−1=A,B−1=B, e c. En nues o caso es o signi ica que si al pulsa Xob enemos T, en onces al pulsa Tob en- d emos X. Po lo an o, enemos Π1(A) = X. Sus i uyendo Xen la o a igualdad: Π4(Π1(A)) = S. Es o es, el p oduc o Π4·Π1 ans o ma la le a Aen S, es deci , Π4·Π1(A) = S. De la misma o ma ocu i ´a con las dem´as pe mu aciones. As´ı, ob enemos lo siguien e:      Π4·Π1(A) = S Π5·Π2(R) = J Π6·Π3(W) = N (3.5) Po lo an o, con solo el p incipio de los mensajes es posible ob ene g andes a ances pa a la desenc ip aci´on del c´odigo. As´ı, debido a la impo ancia de es e hecho, Rejewski le p es ´o especial a enci´on. Sus ajo las cabece as de odos los mensajes de un mismo d´ıa y ob u o lis as como la que igu a a con inuaci´on8. Los pasos a lle a acabo pa a ob ene las cabece as son los siguien es: 7Dichas pe mu aciones deben se ep esen adas como p oduc o de ciclos disjun os. 8Es e conjun o se ha ob enido median e el simulado de Enigma de la p´agina h p://enigmaco.de/enigma/enigma es.h ml. La con igu aci´on inicial de la m´aquina ha sido la p opues a en el Cuad o 2.1 que se encuen a en la secci´on 3 del cap´ı ulo 2. Se p opone pa a dis u e del lec o a e igua el pe sonaje mencionado en la lis a de cabece as. Pa a ello es necesa io usa el simulado (con la con igu aci´on mencionada) y desci a las es p ime as le as de cada cabece a. T abajo Fin de G ado 48 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones 1. Con igu a Enigma de acue do al Cuad o 2.1. 2. Esc ibi es le as al aza dos eces. 3. Vol e a pone la m´aquina en la posici´on inicial9y epe i el p ocedi- mien o. De es a o ma, ob enemos el siguien e conjun o: ARW SJN JRL ZJR MSM REG AAH SIQ IZR BDZ ZPT MTM TFH NXQ BVA KCI MOH RKQ ARI SJV JGC ZNP WGW LNN JKI ZGV CCW EPN MUC RQP HTN WZD MGC RNP VFH XXQ ZTN MZD BGT KNM CVC ECP XRA YJI MWQ RFF JVM ZCG DVT OCM KIM DSG DXK OWL JDJ ZMO CDT EMM FMS CRT CSH EEQ OMZ TRU NRK AJL CKW EGN JVO ZCB JKM ZGG XFV YXY MSC REP HTW WZN MXH RWQ ARL SJR JRH ZJQ RXM FWG ZZX MDA BVK KCL MCQ RPF DAW OIN MIQ RSF RST FEM MXG RWK FJH CYQ OAB TIS FTN CZD CCT EPM ORO TJB PMH VRQ QZA HDI DVI OCV ZTZ MZV NZP ADH YDD PMX DRL OJR EGC GNP XXH YWQ MCQ RPF DDP OMH DAF OIW WAC LIP SBO IHB GMG URK NZP ADH MLB RUS GQG ULK LBF QHW SND IBX PEI VOV QBD HHX KOE DKJ UAU JIE GHQ UAF YYY PVC UAI JIV XXN YWD OGO TNB EQQ GLF IJR BYZ WPS LTT ZMX MRA DVO OCB JRM ZJG CHQ EAF DSQ OEF XXN YWD CPM ETG TEE NOJ NRN AJD OGO TNB AZL SDR Cuad o 3.2: Lis a de cabece as. Teniendo en cuen a las ´o mulas de 3.5 y la abla 3.2, podemos obse a que disponemos de las su icien es cabece as como pa a ob ene comple amen e los p oduc os de 3.5 ( ep esen ados en el cuad o 3.3). ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ Π4·Π1SKEOGCUWBZDQRATVHFINJXLYPM Π5·Π2IHPMOXNASYGURBKTLJEZQCFWVD Π6·Π3ISPXJWKQVOLRGDBHFZTMEYNACU Cuad o 3.3: Los p oduc os Π4·Π1, Π5·Π2y Π6·Π3. P ocedemos aho a a ac o iza los p oduc os an e io es en ciclos disjun os, eco dando que el o den de los ciclos es indi e en e debido a la conmu a i idad de los ciclos disjun os. 9Es necesa io ealiza es e paso debido al gi o del o o de echo, el cual modi ica la posici´on de dicho o o con cada pulsaci´on. T abajo Fin de G ado 49 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones Π4·Π1= (asibkdo n)(cegujzm )(h w l q)(p x y) Π5·Π2= (a i s e o k g n b h)(c p z d m j y )(l u q)(w x) Π6·Π3= (ai ycphq wndx)(jobs mgkl zue) En las es ac o izaciones an e io es apa ecen pa es de ciclos de igual lon- gi ud. Es o ya se sab´ıa g acias al Teo ema 3.2.7, po lo que deducimos que los es p oduc os consis en en ece ansposiciones disjun as. Adem´as, Rejews- ki, con su demos aci´on, indic´o la o ma de encon a dichas ansposiciones. Explicamos el p ocedimien o a segui ij´andonos, po ejemplo, en el p oduc o Π6·Π3. Obse amos que hay dos ciclos de la misma longi ud. Elegimos una le a en cada ciclo y esc ibimos los ciclos uno debajo del o o, empezando po las le as elegidas y o denando las le as de uno de ellos en modo in e so. Seleccionamos, po ejemplo, las le as HyK, enemos en onces: (hq wndxai ycp) (kgm sbojeuz l) Aho a, las dos le as de cada columna de e minan ansposiciones del se- gundo ac o y las diagonales ascenden es p opo cionan ansposiciones del p ime ac o . Es o es: Π3: (h k),(q g),( m),(w ), ..., (p l) Π6: (k q),(g ),(m w),( n), ..., (l h) Al ealiza la descomposici´on emos que exis en a ias soluciones pa a cada uno de los ac o es buscados, ya que, a iando las le as elegidas ob end emos esul ados di e en es. ¿C´omo esol e el p oblema? Rejewski obse ´o que, en e las decenas de mensajes que los alemanes se ansmi ´ıan dia iamen e, e a ecuen e encon a cabece as epe idas. Es e he- cho le p o oc´o con usi´on. Teniendo en cuen a que hay 263= 17576 ´ıos de le as pa a escoge es inusual que alg´un ´ıo se epi a en un mismo d´ıa. Po an o, Rejewski pens´o que eso se deb´ıa al hecho de que algunos ope ado es eleg´ıan e nas con las es le as iguales10. Obse ando el cuad o 3.2 podemos encon a agmen os que se epi en. Ellos son: XXNYWD yOGOTNB. Suponiendo que hemos seguido ielmen e el modo de p ocede de los ope ado es alemanes, podemos sospecha que es os ag- men os p o ienen de ´ıos de le as iguales. Veamos, en onces, el m´e odo pa a halla dichas le as. 10Como solo hay 26 dis in as, es ´acil que se p oduzcan epe iciones. T abajo Fin de G ado 50 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones 1. Conside emos p ime o XXNYWD. Una le a que median e Π1se ans o me en Xdebe es a en el ciclo de Π4·Π1que se empa eja con el que con- iene dicha X. Ese ciclo es (h w l q). De la misma o ma, una le a que median e Π2se ans o me en Xdebe es a en el ciclo (l u q). An´aloga- men e, una le a que median e Π3se ans o me en Ndebe es a en el ciclo (jobs mgkl zue). Es os es ciclos ienen ´unicamen e una le a en com´un: L. Po lo an o, XXNYWD ha sido o iginada po la e na LLL. 2. Conside emos aho a OGOTNB. P ocediendo del mismo modo que en el caso an e io , los es ciclos que ob end ´ıamos son: (cegujzm ), (c p z d m j y )y(ai ycphq wndx). La ´unica le a que ie- nen en com´un es la C. Po lo an o, OGOTNB ha sido o iginada po la e na CCC. Pa a aplica el m´e odo que desc ibimos pa a ob ene las ece ansposicio- nes disjun as y pa a que es a descomposici´on sea ´unica, necesi amos comenza con un p oduc o que es ´e ´unicamen e compues o po dos ciclos de longi ud ece11. Pa a comenza , cen a emos nues a a enci´on en el p oduc o Π6·Π3, el cual cumple dichas condiciones. Tenemos en onces: Π3(C) = O. Es e da o pe mi e ya de e mina an o Π3 como Π6. Pa a ob ene sus ece ansposiciones disjun as, p ocedemos seg´un explicamos an e io men e: asociamos aho a la Ocon la Cy esc ibimos de nue o los dos ciclos de longi ud ece de Π6·Π3, uno debajo del o o y con las le as del segundo en o den in e so: (obs mgkl zuej) (cy iaxdnw qhp) En onces: Π3= (o c)(b y)(s )( i)(m a)(g x)(k d)(l n)( w)(z )(u q)(e h)(j p) Π6= (c b)(y s)( )(i m)(a g)(x k)(d l)(n )(w z)( u)(q e)(h j)(p o) Empa ejamos aho a la Ocon la Ccon el in de ob ene Π4·Π1. Obse amos que, de es a o ma, solo podemos ob ene 9 ansposiciones12. Pa a calcula las o as cua o, necesi a ´ıamos empa eja le as de los o os dos ciclos. Consi- de emos o a ez la cabece a epe ida XXNYWD. De aqu´ı se deduce: Π1(L) = X. 11Tambi´en se pod ´ıa ealiza si u i´esemos dos ciclos de igual longi ud y los dem´as ciclos de longi ud 1. 129 es la longi ud de los dos ciclos que con ienen a OyC. T abajo Fin de G ado 51 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones Po lo an o, ya enemos el empa ejamien o que nos al aba: Lcon X. Solo nos al a esc ibi con enien emen e los ciclos de Π4·Π1y, de ah´ı, ob ene Π1y Π4. (o nasibkd) (l q h w) (c mzjuge) (x p y) En onces: Π1= (o c)( )(n )(a m)(s z)(i j)(b u)(k g)(d e)(l x)(q )(h p)(w y) Π4= (c )( n)( a)(m s)(z i)(j b)(u k)(g d)(e o)(x q)( h)(p w)(y l) En el caso del p oduc o Π5·Π2ocu e algo pa ecido a lo an e io . Aho a solo pod emos ob ene 10 ansposiciones empa ejando gcon c. Pa a calcula las o as es, necesi a ´ıamos empa eja le as de los o os dos ciclos. Conside emos nue amen e la cabece a epe ida XXNYWD. De aqu´ı se deduce: Π2(L) = X. Po lo an o, ya enemos el empa ejamien o que nos al aba: lcon x. Solo nos al a esc ibi con enien emen e los ciclos de Π5·Π2y, de ah´ı, ob ene Π2y Π5. (g n b h a i s e o k) (l u q) (c y j m d z p) (x w) En onces: Π2= (g c)(n )(b y)(h j)(a )(i m)(s d)(e z)(o )(k p)(l x)(u )(q w) Π5= (c n)( b)(y h)(j a)( i)(m s)(d e)(z o)( k)(p g)(x u)( q)(w l) Una ez calculadas las pe mu aciones Πide un cie o d´ıa, es posible ecu- pe a odas las cla es de ese d´ıa. Veamos, po ejemplo, cu´al es la e na que dio luga a la p ime a cabece a de nues a lis a: ARWSJN. Tenemos que Π1(A) = M, Π2(R) = Ay Π3(W) = R. Po lo an o, dicha e na es MAR. As´ı, el p ime paso hacia el c ip oan´alisis de Enigma ya es aba dado, g acias al doble ci ado de las cla es. Sin emba go, el hecho de conoce las cla es no si e ela i amen e de nada, ya que pa a pode desci a los mensajes se necesi aba un ejempla de la m´aquina con las mismas conexiones in e nas que las que usaban los alemanes. No obs an e, a Rejewski no le hizo al a dispone de dicha m´aquina, pues o que supo c´omo deduci las conexiones de los o o es. T abajo Fin de G ado 52 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones La econs ucci´on del cableado Como podemos obse a , con el azonamien o an e io , solo es amos enien- do en cuen a en nues o es udio la pa e co espondien e a los o o es. Sin em- ba go, Rejewski supo islumb a que odo el mecanismo de Enigma pod´ıa se ep esen ado con pe mu aciones. Reco demos el uncionamien o de la m´aqui- na: el ope a io pulsaba una ecla, en onces la se˜nal el´ec ica pasaba p ime o po el cla ije o, donde algunas le as e an in e cambiadas, p oduci´endose as´ı la p ime a pe mu aci´on; despu´es segu´ıa su camino has a el cilind o de en ada, donde se p oduc´ıa la segunda; a con inuaci´on, la se˜nal el´ec ica llegaba a los o o es, pasando po ellos de de echa a izquie da y, po ´ul imo, dicha se˜nal ebo aba en el e lec o e in e ´ıa el o den de su camino, ilumin´andose la co- espondien e le a ci ada en el panel de luces. As´ı, podemos ep esen a el eco ido de la se˜nal el´ec ica como el p oduc o de las siguien es pe mu aciones: S: pe mu aci´on causada po el cla ije o. E: pe mu aci´on causada po el cilind o de en ada. N: pe mu aci´on causada po el o o de echo. M: pe mu aci´on causada po el o o cen al. L: pe mu aci´on causada po el o o izquie do. R: pe mu aci´on causada po el e lec o . De es a o ma, podemos exp esa el eco ido de la se˜nal el´ec ica an o en su camino de ida como de uel a. Camino de ida: SENMLR Camino de uel a: (S E N M L)−1=L−1M−1N−1E−1S−1 Cabe se˜nala que el camino de uel a es casi la in e sa del eco ido de ida, con la excepci´on de la pe mu aci´on debida al e lec o , que es donde se conec- an los dos caminos. Po lo an o, el e ec o de pulsa una ecla se ep esen a median e la pe mu aci´on: SENMLRL−1M−1N−1E−1S−1= (S E N M L)R(S E N M L)−1 Debido a que los alemanes u iliza on el mismo ipo de e lec o pa a odos los modelos de Enigma, se pudo conoce el esul ado de la pe mu aci´on causada po es e: R= (a e)(b j)(c m)(d z)( l)(g y)(h x)(i )(k w)(n )(o p)(p u)(s ) T abajo Fin de G ado 53 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones O o hecho a ene en cuen a es el gi o del o o de echo. ´ Unicamen e as el gi o de dicho o o se ce aba el ci cui o el´ec ico. Pa a oma en cuen a es e mo imien o debemos in oduci una nue a pe mu aci´on especial de un ciclo que ans o ma cada le a del al abe o en la siguien e; la designa emos con la le a P: P= (abcde ghijklmnopq s u wxyz) De es a o ma, podemos deci que cuando el o o de echo gi a, se p oduce la pe mu aci´on P, luego la Ny despu´es la in e sa de P, es deci , PNP−1. En el camino de uel a, la pe mu aci´on se ´a la in e sa de la an e io , es deci , P−1N−1P. Al pulsa po segunda ez una ecla, con el co espondien e gi o del o o , se p oduce la pe mu aci´on P2NP−2=PPNP−1P−1a la ida y P−2N−1P2a la uel a. La siguien e igu a13 nos pe mi e segui el eco ido de la co ien e el´ec ica an es y despu´es del mo imien o del o o N. Figu a 3.1: Reco ido de la co ien e el´ec ica a a ´es de los componen es de Enigma. Obse ando la Figu a 3.1, pa ece e iden e que las pe mu aciones descono- cidas Π1has a Π6puedan se ep esen adas de la siguien e o ma: 13Acla aciones: •Ro o s: Ro o es (en es e conjun o se incluyen el e lec o , los es o o es y el cilind o de en ada; •Commu a o : Cla ije o; •Glowlamps: Panel de luces; • Sou ce o cu en : Fuen e de co ien e; •Keyboa d: Teclado. T abajo Fin de G ado 54 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones Π1=SEPNP−1MLRL−1M−1PN−1P−1E−1S−1 = (S E P N P−1M L)R(S E P N P−1M L)−1 Π2=SEP2NP−2MLRL−1M−1P2N−1P−2E−1S−1 = (SEP2N P−2M L)R(SEP2N P−2M L)−1 Π3=SEP3NP−3MLRL−1M−1P3N−1P−3E−1S−1 = (SEP3N P−3M L)R(SEP3N P−3M L)−1 Π4=SEP4NP−4MLRL−1M−1P4N−1P−4E−1S−1 = (SEP4N P−4M L)R(SEP4N P−4M L)−1 Π5=SEP5NP−5MLRL−1M−1P5N−1P−5E−1S−1 = (SEP5N P−5M L)R(SEP5N P−5M L)−1 Π6=SEP6NP−6MLRL−1M−1P6N−1P−6E−1S−1 = (SEP6N P−6M L)R(SEP6N P−6M L)−1 La p ime a pa e de nues a a ea consis e esencialmen e en esol e es e conjun o de ecuaciones. Pa a ello, debemos conoce S,E,N,M,LyR, ya que de es e modo pod ´ıamos a e igua la con igu aci´on del cableado de los o o es y el e lec o . Al se es as pe mu aciones desconocidas, el conjun o es sin duda i esoluble. Po lo an o, busca emos simpli ica lo. El p ime paso es pu amen e o mal y consis e en eemplaza el p oduc o epe ido MLRL−1M−1 po una sola le a Q; de es e modo quedan educidas empo almen e el n´ume o de inc´ogni as a 4, las denominadas E,S,NyQ. As´ı, enemos: Π1=SEPNP−1QPN−1P−1E−1S−1 Π2=SEP2NP−2QP2N−1P−2E−1S−1 Π3=SEP3NP−3QP3N−1P−3E−1S−1 Π4=SEP4NP−4QP4N−1P−4E−1S−1 Π5=SEP5NP−5QP5N−1P−5E−1S−1 Π6=SEP6NP−6QP6N−1P−6E−1S−1                    =⇒ =⇒     Π4·Π1=SEPNP−1QPN−1P3NP−4QP4N−1P−4E−1S−1 Π5·Π2=SEP2NP−2QP2N−1P3NP−5QP5N−1P−5E−1S−1 Π6·Π3=SEP3NP−3QP3N−1P3NP−6QP6N−1P−6E−1S−1 T abajo Fin de G ado 55 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones Llegado a es e pun o, Rejewski no conoc´ıa a´un siquie a si la ecuaciones que dan Π1, Π2, Π3, Π4, Π5y Π6 esul aban se despejables pa a ob ene S,E,N yQ. Dichas ecuaciones pod ´ıan se esuel as si dispusi´e amos de mensajes de dos d´ıas di e en es, en los cuales las conexiones del cla ije o uesen di e en es, pe o los o o es es u ie an en las mismas posiciones. Algo que e a muy poco p obable que ocu iese. Es aqu´ı cuando u o impo ancia la apa ici´on del esp´ıa alem´an Hans Thilo Schmid , del que hablamos en el p ime cap´ı ulo. Fue en es e momen o cuando Rejewski se apoy´o en los documen os p opo cionados po Hans. As´ı, adem´as de las pe mu aciones Π4·Π1, Π5·Π2y Π6·Π3(ob enidas median e adioescucha) y las Π1, Π2, Π3, Π4, Π5y Π6(deducidas po los c ip oanalis as polacos), aho a se conoc´ıan ambi´en las pe mu aciones SyE(es a ´ul ima se dio po supues a). De es a o ma enemos aho a14:                    E−1S−1ASE =PNP−1QPN−1P−1 E−1S−1BSE =P2NP−2QP2N−1P−2 E−1S−1CSE =P3NP−3QP3N−1P−3 E−1S−1DSE =P4NP−4QP4N−1P−4 E−1S−1ESE =P5NP−5QP5N−1P−5 E−1S−1FSE =P6NP−6QP6N−1P−6 Aho a solo enemos las inc´ogni as NyQ. Po lo an o, de inimos aho a nue as pe mu aciones, denominadas U,V,W,W,YyZ, del siguien e modo:                    U=P−1E−1S−1ASEP =NP−1QPN−1 V=P−1E−1S−1BSEP =NP−2QP2N−1 W=P−1E−1S−1CSEP =NP−3QP3N−1 X=P−1E−1S−1DSEP =NP−4QP4N−1 Y=P−1E−1S−1ESEP =NP−5QP5N−1 Z=P−1E−1S−1FSEP =NP−6QP6N−1 Una ez ob enidas es as pe mu aciones, Rejewski calcul´o las pe mu aciones compues as UV ,V W,WX,XY eY Z, esul ando: 14Mul iplicando Π1, Π2, Π3, Π4, Π5y Π6po : E−1S−1po la izquie da. SE po la de echa. T abajo Fin de G ado 56 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA Resul ados ma em´a icos necesa ios pa a el a aque El conjun o de ecuaciones                UV =NP−1(QP−1QP)PN−1 V W =NP−2(QP−1QP)P2N−1 WX =NP−3(QP−1QP)P3N−1 XY =NP−4(QP−1QP)P4N−1 Y Z =NP−5(QP−1QP)P5N−1 Aho a, despejando (QP−1QP) de una de las ecuaciones an e io es e in o- duci´endolo en las o as, ob enemos:          V W =NP−1N−1UV NPN−1 WX =NP−1N−1V WNPN−1 XY =NP−1N−1WXNPN−1 Y Z =NP−1N−1WY NPN−1 donde la ´unica inc´ogni a es la pe mu aci´on NPN−1. As´ı, pa a un mismo d´ıa se pod ´ıan ob ene decenas de soluciones pa a V W,WX,XY eY Z, odas con una es uc u a com´un. Adem´as, empleando el m´e odo usado pa a ob ene Π1, Π2, Π3, Π4, Π5y Π6pa iendo de los p oduc os Π4·Π1, Π5·Π2y Π6·Π3, podemos de e mina NPN−1pa iendo de WX, ob eniendo ambi´en dis in as soluciones. Tambi´en podemos ob ene a ias soluciones a pa i de WX, y ´unicamen e exis e soluci´on id´en ica pa a V W yWX. Del mismo modo, se puede ob ene Na pa i de NPN−1. Pa a ello bas a con aplica una de las 26 pe mu aciones Pque exis en pa a ob ene N15. Todo es e es udio ue un log o. Sin emba go, Rejewski u o un e o al p incipio de su es udio, el hecho de conside a la pe mu aci´on Econocida, es deci , la suposici´on de que dicha pe mu aci´on e a la misma que la de la Enigma come cial. No obs an e, una ez m´as, Rejewski supo esol e es e p oblema. Conside ´o Ecomo la pe mu aci´on al ab´e ica. Es o es, supuso que las eclas se uni ´ıan median e cables al cilind o de en ada siguiendo el o den ABCDE.... Una ez supues o es o, Rejewski lo p ob´o, ob eniendo g an ´exi o al esul a co ec a dicha hip´o esis. A odo es e es udio debemos a˜nadi dos complicaciones m´as. Rejewski no hab´ıa enido en cuen a has a aho a que no solo el o o de echo gi aba con cada pulsaci´on, sino que ambi´en lo hac´ıan, en in e alos menos ecuen es, los o o es cen al e izquie do. Adem´as, hay que suma el hecho de que el o den de es os o o es pod´ıa se cambiado. 15Pa ece ap opiado mos a c´omo los esul ados e´o icos an e io es se aplican en la p ´ac ica pa a ob ene las conexiones in e nas del o o N. Un ejemplo de ello lo podemos encon a en [6]. T abajo Fin de G ado 57 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA El a aque, p opiamen e dicho M´e odos c ip ol´ogicos 1. La pe mu aci´on Ses la iden idad. 2. La dis ibuci´on inicial de los anillos de los o o es es la misma. 3. Conocemos el o den en el que se es ablen los o o es. en onces bas a ´ıa con es ablece los o o es en la posici´on RTJ y, a con inuaci´on, pulsa es eces seguidas la ecla W. As´ı, la misma luz se encende ´ıa. Lo mismo ocu i ´ıa con las posiciones DQY yHPN. De es a o ma, podemos e que el ajus e de los anillos hace que las posiciones de los o o es pasen a se desconocidas. Sin emba go, las di e encias en las posiciones se man end ´an y, po an o, pasa ´an a se conocidas. G acias a lo deducido an e io men e, podemos conclui que, como la lon- gi ud de los ciclos en las pe mu aciones Π4·Π1, Π5·Π2, Π6·Π3es in a iable espec o a las ans o maciones p oducidas po la pe mu aci´on S, la apa i- ci´on o no apa ici´on de emale en los p oduc os e a in a iable espec o a es as ans o maciones. Reco demos que el obje i o undamen al del abajo c ip ol´ogico consis ´ıa p incipalmen e en iden i ica co ec amen e el o den de cada uno de los o o es y la con igu aci´on del anillo en e las 105456 posibles con igu aciones. Dado que el 40 % de las pe mu aciones Π4·Π1, Π5·Π2, Π6·Π3con iene ciclos de longi ud uno, el n´ume o an e io se educ´ıa en un ac o de 0,4 cada ez que apa ec´ıa uno de es os ciclos. Po an o, como 105456·0,412 = 1,7 es muy posible que doce o ece emales de e minen de mane a un´ı oca el o den de los o o es y el Rings ellung. Usando la eo ´ıa de p obabilidades se deduce que, si las pe mu aciones Πi y el G unds ellung se eligen alea o iamen e, el 11,5 % de las cabece as p e- sen a ´an emales. Es o implica que se equie e de poco m´as de un cen ena de mensajes pa a ob ene una docena de ellas, can idad ac ible de se alcanzada en algunas de las edes de comunicaciones del Ej´e ci o alem´an. Po an o, es posible de e mina el o den de los o o es y el Rings ellung a pa i de las emales. En consecuencia, aho a se ´ıa necesa io c ea un ca ´alogo de emales pa a los 17576 p oduc os posibles y compa a los con las emales p esen es en las cla es del mensaje du an e un de e minado d´ıa. 4.2. M´e odos c ip ol´ogicos La di icul ad de la an e io a ea adica en la ealizaci´on de las compa a- ciones. Es a labo , a menos que se disponga de ecnolog´ıa, engloba muchas di icul ades. Sin emba go, a Zygalski se le ocu i´o un ingenioso m´e odo pa a lle a la a cabo. T abajo Fin de G ado 64 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA El a aque, p opiamen e dicho M´e odos c ip ol´ogicos Hojas de Zygalski El m´e odo de las hojas de Zygalski, basado en la epe ici´on de emales, e- sul ´o se bas an e e ec i o, aunque udimen a io. Pa a cada uno de los ´o denes posibles de los o o es y pa a cada una de las posiciones del o o izquie do, se con ecciona on unas hojas como las que podemos e en la Figu a 4.3. Dichas hojas, de ma e ial bas an e g ueso, se clasi ica on en paque es, donde cada uno de ellos ep esen aba una posible con igu aci´on de los o o es. Po an o, hizo al a cons ui 6 ×26 = 156 hojas. Figu a 4.3: Hoja de Zygalski. En cada una de las hojas se dibuj´o un peculia sis ema de coo denadas en el que los ejes ma caban las sucesi as posibles posiciones de los o o es cen al y de echo. As´ı, an o en las abcisas como en las o denadas se o ula on odas las le as del al abe o, comenzando po la esquina supe io izquie da. Las le as ho izon ales ep esen aban las posiciones del o o cen al y las e icales las del de echo. Es e sis ema de coo denadas, que delimi aba un ecuad o en la hoja, se di idi´o en 51 ×51 cuad ados peque˜nos. Cada uno de ellos ep esen aba una pe mu aci´on pa a esa de e minada posici´on de los o o es. Si en dicha posici´on se hallaba una 1,4− emale11, el ecuad o co espondien e se ´ıa pe o ado. 11Reco demos que las hojas se cons uye on en base a las posiciones del o o izquie do. T abajo Fin de G ado 65 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA El a aque, p opiamen e dicho M´e odos c ip ol´ogicos An es de emplea las hojas es p eciso ealiza un p oceso de “no maliza- ci´on” a las 2,5−y 3,6− emales. Es e p oceso consis e en adelan a una posici´on el G unds ellung de las 2,5− emale y dos posiciones el de las 3,6− emale. Ejemplo. Usando el ejemplo de la secci´on 4.1.2, la no malizaci´on consis i ´ıa en lo siguien e: DQY DWJMWR=⇒DRY DWJMWR HPNRAWKTW=⇒HPPRAWKTW Realizada la no malizaci´on, el siguien e paso a ealiza se ´ıa epe i el p o- ceso an e io pa a cada o den de los o o es y cada posici´on del Rings ellung co espondien e al o o izquie do. A con inuaci´on, una ez ijado el o den de los o o es, se p ocede a no maliza de nue o aquellas emales cuyo G unds e- llung indique un a ance del o o cen al. Ejemplo. Supongamos lo siguien e: El o den de los o o es es III I II. El G unds ellung es REJ. Dicho G unds ellung debe se no malizado a RFJ, ya que la Jes la le a que p o oca en el o o III un a ance del o o si uado inmedia amen e a su iz- quie da, en es e caso el o o cen al, donde se encuen a el I. Seguidamen e, se seleccionan las 26 hojas asociadas al o den de los o o es es ablecido y se apa a el es o. Aho a, ijada una le a del Rings ellung del o o izquie do, se conside a el G unds ellung de una p ime a emale. Ejemplo. Conside amos lo siguien e: Fijamos la le a Ren el Rings ellung del o o izquie do. Tenemos, en e o as, las 1,4− emales TUR yZYG. Tenemos que T - R = C, po lo an o, usa emos la le a Ccomo pa ´on b´asico sob e el que comenza a abaja . Escogemos la hoja co espondien e a dicha le a y la colocamos encima de una mesa anspa en e iluminada po debajo. Seguidamen e, omamos la o a 1,4− emale:ZYG. Como Z - R = I, seleccionamos la hoja co espondien e a I y la colocamos sob e el pa ´on b´asico ep esen ado po la le a C, desplaz´andola 22 cuad os hacia la de echa12 y 11 cuad os hacia abajo13. Una ez ealizado el p oceso desc i o en el ejemplo an e io , epe imos la ope aci´on con el es o de emales. T as coloca odas las hojas, se hace ac ua 12De la Ya la U an 22 le as. 13De la Ga la R an 11 le as. T abajo Fin de G ado 66 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA El a aque, p opiamen e dicho M´e odos c ip ol´ogicos un oco de luz sob e ellas y se obse a si la luz aspasa alg´un aguje o com´un a odas ellas. Si se consigue una can idad su icien e de emales, el haz de luz a a esa ´a un ´unico aguje o. Dicho aguje o p opo ciona ´a de mane a inmedia a el o den de los o o es y el Rings ellung del o o izquie do. Llegados a es e pun o, el abajo se cen a ´ıa en consegui el Rings ellung de los o os dos o o es. Pa a ello, se obse ´o que, ijada una de las emales (no malizada p e iamen e si e a necesa io), las le as del aguje o de la hoja co espondien e de e minaban la posici´on de los o o es que hab´ıan p oducido dicha emale. Dicha posici´on e a p ecisamen e la di e encia en e el G unds- ellung de la emale y el Rings ellung que se p e end´ıa ob ene , e go pa a ob ene el Rings ellung de los o o es cen al y de echo bas aba con es a al G unds ellung de una emale las le as del aguje o. El abajo an e io men e expues o, apa e de consumi much´ısimo iempo, esul ´o se bas an e edioso, ya que, en e o as cosas, cada emale deb´ıa se pe o ada has a cua o eces. Sin emba go, los c ip oanalis as u ie on una obse aci´on que educi ´ıa en g an medida dicho abajo. Es a obse aci´on se ecoge en el siguien e comen a io ealizado po Rejewski14: “Cuando las hojas de papel es aban si uadas una sob e la o a de acue - do a un p og ama p ecisamen e de inido, en el o den adecuado y desplazadas p opiamen e una espec o a la o a, el n´ume o de pe o aciones disminu´ıa g a- dualmen e. Si dispon´ıamos de un n´ume o adecuado de cla es con ciclos de longi ud uno, al inal una misma pe o aci´on apa ece ´ıa en odas las hojas de papel, p obablemen e co espondiendo a un buen caso”. As´ı, se puede deduci que, eniendo un can idad su icien e de da os, inal- men e ob end ´ıamos la soluci´on. Adem´as, a pa i de la posici´on de la pe o aci´on mencionada en el comen- a io, se pod ´ıa calcula el o den de los o o es y la disposici´on de sus anillos. Y, compa ando las le as del ci ado de la cla e con las le as de la m´aquina, pod ´ıamos deduci , de la misma o ma, la pe mu aci´on S. En o as palab as, ob end ´ıamos la cla e comple a del ci ado. Finalmen e, al a ´ıa ob ene las conexiones del S ecke . Reco demos que es e no cambiaba la es uc u a de los ciclos, sino que ´unicamen e al e aba las le as de los mismos. Po consiguien e, en es e caso, el S ecke cambiaba las le as de los ciclos de longi ud uno del ca ´alogo de ca ac e ´ıs icas po las le as epe idas de las emales. As´ı, la le a epe ida de una emale es a ´ıa conec ada con una de las le as de los ciclos de longi ud uno de la co espondien e pe - mu aci´on Π4·Π1del ca ´alogo. De es e modo, con emplando odas las emales al mismo iempo, no se ´ıa di ´ıcil a e igua de qu´e le a se a aba. 14Ex a´ıdo de: [5]. T abajo Fin de G ado 67 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA El a aque, p opiamen e dicho M´e odos c ip ol´ogicos Adem´as de la di icul ad del abajo enemos que conside a una di icul ad a˜nadida. Se pod ´ıa da el caso de que el haz de luz a a esase m´as de un aguje o. Si es e hecho se daba, se p oced´ıa a ealiza las an e io es ope aciones con cada uno de ellos, y las con adicciones desca a ´ıan casi odos los casos. Si, a´un as´ı, seguimos eniendo m´as de uno, elegi ´ıamos como soluci´on co ec a aquella que pe mi iese desci a los mensajes. De o ma adicional al abajo ealizado po Zygalski, R`o˙zycki dise˜n´o un m´e odo pa a iden i ica el o o de echo. M´e odo del eloj El m´e odo del eloj desa ollado po Je zy R`o˙zycki hac´ıa posible de e - mina , en ocasiones, cu´al de los o o es ocupaba la posici´on del o o de e- cho15, bas´andose undamen almen e en las ca ac e ´ıs icas p opias del lenguaje alem´an, es deci , en la ecuencia de apa ici´on de las le as de su al abe o. Veamos un ejemplo pa a obse a en qu´e consis ´ıa dicho m´e odo. Ejemplo. Supongamos que enemos los siguien es ex os16 en alem´an: BEGINNDESUNEINGESCHR¨ ANKTEN... SIEWERDENDENPR¨ ASIDENTENSOG... Obse ando las le as ma cadas, podemos deduci que de media exis i ´a una p obabilidad de coincidencia de le as en ambos ex os de 2/26. Debemos es- pe a que es a ca ac e ´ıs ica se epi a con ex os ci ados median e una cla e id´en ica. Sin emba go, si se enc ip a cada ex o u ilizando una cla e dis in a17, esul a ´ıa: NWTDTYBXYFTTAAARJEPJPEUPOY... SIEWERDENDENPRASIDENTENSOG... En es e caso apa ecen 3 le as ma cadas, po lo que de media la p obabilidad de coincidencia se ´a 3/26. El hecho de la di e encia de p obabilidad en e el ex o en cla o y el ci ado se debe a la dis in a ecuencia de apa ici´on de las le as en idioma alem´an. En un lapso de 26 le as es e hecho no ocu i ´a demasiadas eces. Si po el con a io se dispusie a de dos mensajes de 260 le as, con es e m´e odo se pod ´ıa di e encia , no malmen e, si dos mensajes hab´ıan sido ci ados con la misma cla e o con di e en e. Po an o, si se dispon´ıa de una can idad su icien e 15Es e m´e odo cob ´o i al impo ancia en el momen o en el que los alemanes decidie on comenza a cambia el o den de los o o es cada d´ıa. 16Co esponden al eleg ama Zimme mann. Ex a´ıdo de [11]. 17Han sido enc ip ados, median e el simulado , con las cla es TUR yREJ y las conexiones AT DS IJ MO WZ XY del S ecke . T abajo Fin de G ado 68 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA El a aque, p opiamen e dicho M´e odos c ip ol´ogicos de ma e ial ci ado, en gene al, se pod ´ıa encon a una docena de pa es de mensajes ales que en cada pa eja las p ime as dos le as de las cla es e an id´en icas y las e ce as di e en es. En onces se p oced´ıa a esc ibi el mensaje uno encima del o o. Exis ´ıan dos o mas de esc ibi los mensajes uno sob e el o o, dependiendo de la posici´on que ocupa a el o o de echo as p oduci se el desplazamien o del cen al. Dichas posiciones e an conocidas y di e en es pa a cada uno de los o o es. Ejemplo. Supongamos que enemos las Sp uchschl¨ussels TFG yTFP, las cua- les coindicen en sus dos p ime as le as. Di e enciemos casos pa a e lo que ocu i ´ıa pa a cada posici´on del o o de echo. 1. El o o de la de echa es el I. El o o Ihace a anza al de su de echa en el momen o en el que la Tde su anillo se hace isible en la en anilla del o o . En onces de TFT se pasa a TFU. Po an o, pa iendo de TFG nunca se llega a TFP. 2. El o o de la de echa es el II. An´alogo al an e io , ya que de TFG se pasa ´ıa a TGH. 3. El o o de la de echa es el III. En es e caso de TFG se llega a TFP al cabo de 9 pasos. Ya que pa a que se p oduzca el a ance del o o ecino, el o o de echo debe llega has a la posici´on O. Po an o, en es e caso: a) La d´ecima le a del mensaje que a anca con TFG se ci a con la misma pe mu aci´on que la p ime a le a del mensaje que pa e con TFP. b) An´alogamen e, la und´ecima se ci a ´a con la misma que la segunda. c) Lo mismo ocu i ´ıa con el es o. Po an o, colocando los c ip og amas uno debajo del o o y desplazando el segundo 9 luga es18, el n´ume o de le as coinciden es se ´a el mismo que el de los ex os en cla o. En el idioma alem´an el po cen aje de coincidencias es de 7,6. Luego, si el po cen aje de coincidencias se ap oxima a ese n´ume o, muy p obablemen e es emos en el caso en el que el o o de echo es el III. Si, en cambio, el po cen aje ni se ace ca a ese alo , el o o de echo se ´a el Io el II. En ese caso, p oba ´ıamos el mismo p ocedimien o con o o pa de Sp uchschl¨ussels con las dos p ime as le as iguales. Pa a cub i la necesidad de calcula las posiciones de los o o es cen al y de echo a pa i del m´e odo del eloj, se desa oll´o o o, el denominado m´e odo ANX. 18Pa a que su p ime a le a quede debajo de la d´ecima del p ime o. T abajo Fin de G ado 69 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA El a aque, p opiamen e dicho Bomba c ip ol´ogica M´e odo ANX El m´e odo ANX su gi´o a pa i de la obse aci´on de los mensajes en cla o de los que dispon´ıan los polacos. Reco demos que dichos mensajes ue on desci a- dos g acias a las Tageschl¨ussels p opo cionadas po Asch´e. Los c ip oanalis as descub ie on que el ex o en cla o de muchos mensajes alemanes empezaba po ANX19. Po an o, una ez de e minada la posici´on del o o de echo en un mensaje que comience con ese ig ama, la de los o os dos o o es se puede ob ene median e la u ilizaci´on del ca ´alogo de ca ac e ´ıs icas. Adem´as de los m´e odos an e io men e desc i os pa a la econs ucci´on de las cla es, ue on usados o os disposi i os mecanizados pa a cub i la necesi- dad que iba su giendo en dis in as ocasiones. En e ellos se encuen a la bomba c ip ol´ogica, la ´ul ima apo aci´on de Rejewski. 4.3. Bomba c ip ol´ogica El m´e odo de la “bomba c ip ol´ogica”20 consis e mayo men e en la au o- ma izaci´on y acele aci´on del p oceso de econs ucci´on de las cla es dia ias. Su apa iencia ´ısica la podemos e en la Figu a 4.421. Figu a 4.4: Bomba c ip ol´ogica. 19En alem´an AN signi ica pa a y la Xe a usada pa a sepa a palab as. 20Se dice que a Rejewski se le ocu i´o la idea de es e m´e odo mien as com´ıa un ´ıpico helado en o ma de es e a llamado bomba, de ah´ı ese nomb e. 211. Ro o es; 2. Mo o el´ec ico; 3. In e up o es. T abajo Fin de G ado 70 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA El a aque, p opiamen e dicho Bomba c ip ol´ogica Esencialmen e, la bomba de Rejewski es un apa a o elec o-mec´anico ba- sado en la combinaci´on de es cicl´ome os conec ados con enien emen e y un mo o el´ec ico que hace gi a de o ma sinc onizada los seis bancos de o o- es eco iendo las 17576 posibles posiciones. Dado que los o o es pod´ıan se colocados de seis o mas di e en es, ue necesa io cons ui seis bombas, una pa a cada o den. De es a o ma, con cada mensaje in e cep ado, se desa ollaba una abla de elaciones (como la que apa ece en el cuad o 3.1) pa a encon a las cadenas esul an es, y con es as se acud´ıa al ca ´alogo, encon ando, as´ı, la disposici´on de los o o es de la cla e del d´ıa. Po an o, el ´unico p oblema es an e e a el de conoce las conexiones del S ecke . Pa a esol e el p oblema del cla ije o, Rejewski ac u´o de la siguien e o - ma: una ez conocida la disposici´on de los o o es, qui aba odos los cables y comenzaba a eclea el ex o del mensaje. F ecuen emen e el esul ado ob e- nido e a un galima ´ıas, pues o que se desconoc´ıa las conexiones del cla ije o. Sin emba go, cuando se consegu´ıan ex os muy pa ecidos a algo azonable, se deduc´ıa ´acilmen e qu´e le as es aban in e cambiadas. As´ı, con una can i- dad su icien e de ma e ial ci ado, e a posible deduci odas las posiciones del cla ije o. Ejemplo. Supongamos que ob enemos el mensaje INVADIT PELENIA. De aqu´ı se deduce ´acilmen e que el mensaje o iginal se ´ıa INVADIR POLONIA. Po lo an o, en es e caso, se e´ıa cla amen e que RyThab´ıan sido in e cambiadas, as´ı como OyE. P e iamen e a la u ilizaci´on de es os apa a os, e a necesa io ajus a adecua- damen e las posiciones de los o o es co espondien es a los cicl´ome os. Pa a ello, p ime o se debe ´ıa no maliza las emales a a ´es del m´e odo explicado en la secci´on 4.2.1. Hecho es o, se asociaba cada uno de los es cicl´ome os a una emale y se colocaban sus o o es en la posici´on indicada en el G unds- ellung, con el o o de echo del segundo conjun o desplazado es posiciones espec o a su co espondien e del p ime conjun o. Veamos el p ocedimien o que segu´ıa la bomba median e el siguien e ejemplo. Ejemplo. Supongamos que disponemos de es emales pa a un d´ıa de e mi- nado en las que se p esen an las mismas le as epe idas22. RTJ WAHWIK DQY DWJMWR HPN RAWKTW La p ime a de es as emales indica que el ciclo Wes ´a p esen e en la pe mu a- ci´on Π4·Π1. Supongamos que la Wno se e al e ada po el S ecke , es deci , 22Tomamos las mismas que usamos en el ejemplo de la secci´on 4.1.2. T abajo Fin de G ado 71 El a aque polaco al p o ocolo ENIGMA que no es ´a in e cambiada con ninguna o a le a. En onces, ambi´en el ciclo Wapa ece en la pe mu aci´on Π4·Π1que se ob end ´ıa sin ninguna conexi´on del S ecke . Como ya sabemos, el n´ume o de ales p oduc os Π4·Π1es 105456, an os como con igu aciones posibles de los o o es (o den y posiciones inicia- les). Aho a bien, desconocemos cu´an os de es os p oduc os con ienen al ciclo W. No obs an e, eco demos que la eo ´ıa de p obabilidades mues a que, ijado un ciclo de longi ud 1, si Π1y Π4se eligen alea o iamen e en e las de su cla- se, en onces el 4 % de los p oduc os Π4·Π1con ienen dicho ciclo. Admi amos es a egla pa a las sus i uciones de Enigma. En onces, el an e io n´ume o se educe en un ac o de 0,04 cada ez que se obse e una emale con la le a W epe ida. Como 105456 ·0,043= 6,75, esul a que muy p obablemen e an solo seis o sie e con igu aciones de los o o es pueden ocasiona las es emales an e io es. El obje i o de la bomba e a, po an o, au oma iza la iden i icaci´on de las con igu aciones de las que habl´abamos en el ejemplo del siguien e modo: en el momen o en el que los es cicl´ome os que componen la bomba econocen el ciclo W, el mecanismo se de iene mos ando posici´on. En nues o ejemplo, los o o es del cicl´ome o asociado a la p ime a emale deben coloca se del siguien e modo: el p ime conjun o en la posici´on RTJ y el segundo en la RTN. T as si ua los o o es se ac i a la palanca de la le a W y se pone en ma cha la bomba. Las seis bombas encon a ´ıan las seis o sie e posiciones posibles que ocasionaban las es emales y, en e ellas, se halla ´ıa la que p opo cionaba la cla e. Pa a pode conoce la e a necesa io aplica el m´e odo de las hojas de Zygalski. Es e m´e odo, aunque p o oc´o que una g an can idad de pe sonas se dedi- ca an a ´el, cong egando a al ededo de 100 abajado es, hizo que se aco a a el iempo pa a la ob enci´on de la cla e a ap oximadamen e dos ho as. Cuando pa ec´ıa que los polacos ya hab´ıan log ado desci a la m´aquina y que no les supond ´ıa ning´un impedimen o desenc ip a los mensajes que los alemanes se en iaban, su gie on nue os p oblemas. Los alemanes in oduje on dos o o es m´as, inc emen a on las conexiones del cla ije o de seis a ece pa es y el n´ume o de edes de comunicaciones de adio alemanas ambi´en c eci´o. Debido a odo ello, los m´e odos an e io men e desc i os queda on inse ibles, ya uese po la al a de p esupues o, pe sonal o la inope ancia de es os. Pa a m´as a˜nadidu a, al y como mencion´abamos en el cap´ı ulo 1, Polonia lleg´o a encon a se du amen e amenazada po los alemanes. Es e c´umulo de acon ecimien os p o oc´o la b´usqueda de aliados ( anceses y b i ´anicos) que pudie an ap o echa los abajos ealizados po los polacos. ´ Indice de igu as 1.1. Pa en e ame icana de Enigma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Diag ama de las pa es de Enigma. . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Ro o esdeEnigma.......................... 22 2.3. Ci cui o el´ec ico de Enigma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Diag ama de uncionamien o de Enigma. . . . . . . . . . . . . . 26 3.1. Reco ido de la co ien e el´ec ica a a ´es de los componen es deEnigma. ............................. 54 4.1. Cicl´ome o. ............................. 61 4.2. Diag ama del cicl´ome o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3. HojadeZygalski........................... 65 4.4. Bomba c ip ol´ogica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 73