Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto

i Grupo Elasticidad y Resistencia de Materiales. Dep. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Autor: Isabel Quirós Molina Tutores: Alberto Barroso Caro Federico París Carballo Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales iii Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Autor: Isabel Quirós Molina Tutores: Alberto Barroso Caro Profesor contratado doctor Federico París Carballo Catedrático de Universidad Grupo Elasticidad y Resistencia de Materiales. Dep. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 v Trabajo Fin de Grado: Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Autor: Isabel Quirós Molina Tutores: Alberto Barroso Caro Federico París Carballo El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2016 El Secretario del Tribunal vii A mis padres, por su motivación constante y apoyo incansable ix Agradecimientos En primer lugar, tengo que agradecer a mis tutores su labor realizada. A Alberto, por toda su dedicación a lo largo de estos meses y su implicación con el proyecto. Ha sido una grandísima ayuda a la hora de realizar este proyecto, siempre dispuesto a explicármelo todo desde cero para que yo lo comprendiese a la perfección. A Federico, por su atención prestada y su interés por el desarrollo del proyecto, así como por sus constantes comunicaciones con el Imperial College para resolver dudas del problema en cuestión, que fueron imprescindibles sobre todo al principio del proyecto. También agradecer a todo el Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales su ayuda prestada. Porque cada persona ha contribuido algo a este proyecto, cada uno en su parcela aportando su conocimiento y buena voluntad. A mi “pequeña” familia, mis padres y mis hermanos, por apoyarme y animarme siempre a lo largo de estos cuatro años, y a mi gran familia, por estar siempre pendientes de mi progreso, e interesándose por el proyecto, aunque no entendiesen nada de lo que les contase. A mis amigos, mis inseparables Triviales, por estar ahí siempre desde el primer año de carrera. Por haberme acompañado en cada pasito que he dado, en cada éxito o fracaso, y no dudar nunca de mí. En especial a Antonio, mi apoyo incondicional, por resolverme problemas informáticos, cada pequeña duda que me surgía, leer y darle el visto bueno a ciertas partes del trabajo y sentir este proyecto tanto suyo como mío. Isabel Quirós Molina Sevilla, 2016 Figura 3.6.-Detalles de la malla en la esquna de la Config 1 ........................................................................ 28 Figura 3.7.-Sistema de coordenadas local 14 situado en la esquina y nodos seleccionados a R1.............. 29 Figura 3.8.-Keypoints que forman el arco de curvatura ................................................................................ 31 Figura 3.9.-Líneas modelo Config 1 con radio de curvatura en la esquina ................................................. 32 Figura 3.10.-Detalle malla en la zona de curvatura ....................................................................................... 32 Figura 3.11.-Definición ángulos α y β en la Config 2 ................................................................................... 35 Figura 3.12.-Parámetros modelo Config 2 ..................................................................................................... 35 Figura 3.13.-Keypoints que definen el área del adhesivo ............................................................................. 36 Figura 3.14.-Líneas zona adhesivo Config 2 ................................................................................................. 36 Figura 3.15.-Mallado modelo Configuración 2 ............................................................................................. 37 Figura 3.16.-Detalle malla en la esquina trimaterial ..................................................................................... 37 Figura 3.17.-Detalle de la malla en las dos esquinas ..................................................................................... 37 Figura 4.1.-Componentes tensionales en el entorno de la esquina para Modelo 1, α =15º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ................................................................................................... 42 Figura 4.2.-Representaciones de las tensiones mediante Contour Plot: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c) tensión tangencial ..................................................................................................................... 43 Figura 4.3.- Componentes tensionales en el entorno de la esquina para Modelos 1,2, y 3 :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ................................................................................................... 44 Figura 4.4.- Componentes tensionales en el entorno de la esquina trimaterial para Modelos 4 y 6 :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ......................................................................................... 45 Figura 4.5.-Componentes tensionales en el entorno de la esquina trimaterial para Modelos 4 y 5:(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ......................................................................................... 46 Figura 4.6.-Componentes tensionales en el entorno de la esquina bimaterial para β =45º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial: .................................................................................................. 47 Figura 4.7.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina bimaterial, para β=45º y trimaterial, para α =45º y 100º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ............... 48 Figura 4.8.-Comparación de las componentes tensionales nominales en el entorno de la esquina con los modelos 7 y 8, con α =90º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ........................ 48 Figura 4.9.- Comparación de las componentes tensionales nominales en el entorno de la esquina con las de los modelos 9 y 10, todos con α =45º:(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ....... 49 Figura 4.10.- Comparación de las componentes tensionales nominales en el entorno de la esquina con las del modelo 9, ambos con β =45º:(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ............... 50 Figura 4.11.- Comparación de las componentes tensionales nominales en el entorno de la esquina con las del modelo 10, ambos con β =45º:(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ............. 51 Figura 4.12.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =15º al modificar la rigidez del taco: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ..................... 52 Figura 4.13.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =40º al modificar la rigidez del taco: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ..................... 53 Figura 4.14.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =90º al modificar la rigidez del taco: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ..................... 54 Figura 4.15.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =15,40 y 90º con la rigidez modificada: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial.......................... 55 Figura 4.16.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =45º al xvii modificarla rigidez del taco: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ...................... 55 Figura 4.17.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =100º al modificarla rigidez del taco: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ...................... 56 Figura 4.18.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =150º al modificarla rigidez del taco: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ...................... 57 Figura 4.19.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =45 y 150º con la rigidez modificada: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial .......................... 58 Figura 4.20.-Ángulo θ eje horizontal .............................................................................................................. 58 Figura 4.21.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r4=0,75r ..................................................................................................................... 59 Figura 4.22.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r1=r ............................................................................................................................ 59 Figura 4.23.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r2=1,5·r ...................................................................................................................... 59 Figura 4.24.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r3=3r .......................................................................................................................... 61 Figura 4.25.-Comparación de los puntos situados a una distancia r de la esquina en el modelo con y sin curvatura .................................................................................................................................................................... 60 Figura 4.26.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r1=r ........................................................................................................................... 61 Figura 4.27.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r2=1,5·r ...................................................................................................................... 61 Figura 4.28.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r3=3r .......................................................................................................................... 61 Figura 4.29.- Configuración en la que realizamos la comprobación, con taco a 90º .................................. 62 Figura 4.30.-Ajuste de los resultados obtenidos mediante MEF y desarrollo en serie ................................ 63 Figura 5.1.-Componentes tensionales en coordenadas polares ..................................................................... 65 Figura 5.2.-Esquina trimaterial Configuración 2, esquema y orden de singularidad, destacado para α =45º ………………………………………………………………………………………………….…….66 Figura 5.3.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina trimaterial de la Config. 2, para α =45º y de la esquina de la Config. 1, para α =15º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c) tensión tangencial ................................................................................................................................................ 67 Figura 5.4.-Situaciones más óptimas comparadas en la Figura 5.3 .............................................................. 68 Figura 5.5.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina bimaterial, para β=45º y trimaterial, para α =150º con la rigidez modificada a la mitad :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial ................................................................................................................................................. 69 xix ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2.1.-Parámetros geométricos de la Configuración 1 ........................................................................ 10 Tabla 2.2.-Propiedades de los materiales Configuración 1 ........................................................................ 10 Tabla 2.3.- Parámetros geométricos configuración 2 ................................................................................. 12 Tabla 2.4.- Propiedades de los materiales Configuración 2 ....................................................................... 12 Tabla 2.5.-Modelos1,2 y 3. Variación del ángulo α en la Configuración 1. ............................................. 19 Tabla 2.6.- Modelos 4,5 y 6. Variación de los ángulos α y β en la Configuración 2 ................................ 21 Tabla 2.7.-Modelos 7,8,9 y 10. Variación espesor taco.............................................................................. 22 Tabla 2.8.-Modelos 11 y 12. Radio de curvatura esquina Config 1 .......................................................... 24 1 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Antecedentes La idea y motivación de este proyecto surgió en el Euro-Japan Symposium on Composite Materials que tuvo lugar en Japón en septiembre de 2015. Es una reunión a la que se asiste por invitación, y a esta fue invitado Federico París, tutor de este proyecto, y catedrático de la Universidad de Sevilla perteneciente al departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras. Él realizó allí una presentación acerca de una aplicación del método analítico de singularidades desarrollado por Alberto Barroso, compañero del mismo departamento y tutor también de este proyecto. Este método analítico es un programa desarrollado en Mathematica que sirve para estudiar las singularidades que aparecen en las esquinas multimateriales, siendo capaz de proporcionar los órdenes de singularidad y funciones características de cualquier esquina, sean cuales sean los materiales en contacto y las condiciones de contorno. Continuando con el Euro-Japan Symposium, entre los asistentes se hallaban representantes del Imperial College de Londres, que vieron la presentación de F. París y se sintieron interesados por este método analítico. Ellos habían presentado previamente en la Decimosexta Conferencia Internacional de Materiales Compuestos que tuvo lugar en 2007 un problema de un ensayo de compresión para laminados gruesos [1] en el que existían varias esquinas multimateriales, habiéndolo estudiado simplemente de forma numérica. La posibilidad de poder estudiar este problema de una forma más compleja y precisa les resultó interesante, ya que con este método analítico existía la posibilidad de eliminar las singularidades del problema, por lo que a F. París se le ocurrió la idea de estudiar ese problema en Sevilla con la herramienta desarrollada por Alberto. Para ensayar a compresión laminados gruesos existen varios métodos de fijación de la probeta. Pero según podemos leer en el artículo presentado por el Imperial College [1], ninguno es ideal, todos fallan en algún aspecto. Ellos se centraron en el sistema ICSTM desarrollado por ellos mismos (Imperial College Standard Test Method) para llevar a cabo el ensayo en los laminados, sistema de fijación que aplica una compresión lateral por medio de unos tornillos a la vez que una compresión directa al final de la probeta. Lo que hay contactando con la probeta es simplemente una mordaza o taco con forma de paralelepípedo, cuya terminación es entonces a 90º. El problema con el que ellos se encontraban aquí era que el fallo en la probeta se producía en la zona del final del taco, y no en la sección central de la probeta, como debería ocurrir si el fallo fuese provocado por la compresión uniforme. En la zona del final del taco lo que había era una esquina multimaterial taco-probeta que creaba un estado singular de tensiones, provocando el fallo en ese punto. Este fallo se producía entonces a una carga mucho menor que la real, que sería la que debería causar el fallo por la compresión propiamente dicha, y no les permitía conocer la resistencia real a compresión del laminado. Por ello decidieron hacer una modificación a la zona del final del taco, haciéndole un chaflán inverso de 45º y añadiendo adhesivo a un ángulo de 45º también con la probeta, pretendiendo con esto evitar el fallo en la zona cercana al final del taco y obtener la resistencia real del laminado. Esta modificación era el objetivo de la presentación de la Conferencia, descrita en el correspondiente artículo [1]. La representación del ensayo modificado, obtenida de [1] también, la podemos ver en la siguiente figura: Figura 1.1-Representación del ensayo de compresión ICSTM modificado con el adhesivo 2 Introducción El resultado que obtuvieron con esta modificación fue que la carga de fallo aumentó, y por lo tanto también la resistencia a compresión del laminado. Pero el fallo seguía produciéndose en la zona final del taco, ya que no habían eliminado la singularidad, y por lo tanto no consiguieron obtener la resistencia real del laminado como pretendían. Con esta nueva configuración había dos esquinas multimateriales, a la izquierda una esquina cerrada trimaterial taco-adhesivo-probeta y a la derecha una esquina bimaterial adhesivo-probeta., con lo que existían dos focos de singularidad. El más importante es el de la esquina cerrada de la izquierda pues era ahí donde ocurría el fallo una vez hecha la modificación. Ellos estudiaron con elementos finitos las configuraciones sin adhesivo y con adhesivo, una vez hecha la modificación, y vieron efectivamente que las tensiones disminuían al añadir adhesivo, pero no encontraban el fundamento teórico que justificase esto. Con el método desarrollado por A. Barroso podíamos encontrar una explicación a esta disminución, y, una vez que la tuviésemos, intentar aumentar aún más la carga de rotura con nuevas configuraciones y estudiar si fuese posible eliminar la singularidad del todo, obteniendo así la resistencia real a compresión del laminado. La obtención de la resistencia real es algo muy importante, pues si el ensayo da una carga de rotura concreta, menor que la real debido a las singularidades que aparecen, ese laminado no puede somterse en servicio a una carga mayor que la que resulta del ensayo, aunque sepamos que su resistencia real es mayor que ésta. Esto es entonces un grave problema para todas las empresas que necesitan someter laminados a compresión en una determinada aplicación, pues les limita la carga a aplicar. Como ejemplo, todas las empresas afectadas serían aquellas del sector aeronáutico, las cuales utilizan materiales compuestos en su día a día. Además, el uso de los materiales compuestos está experimentando un aumento considerable en los últimos años en diversas aplicaciones por los beneficios que éstos aportan, principalmente una alta resistencia en comparación a su bajo peso. Por lo tanto, mejorar este ensayo sería algo importante, de lo que mucha gente saldría beneficiada. Y esto, esencialmente, es lo que vamos a tratar de hacer en este proyecto. Estudiaremos las esquinas singulares con el programa desarrollado por A. Barroso desde un punto de vista analítico, viendo las diferentes configuraciones posibles, y si alguna de ellas consigue reducir o elmininar la singularidad. 1.2 Revisión bibliográfica En esta sección vamos a tratar de exponer todo lo que hay escrito acerca del método del ensayo de compresión desarrollado por el Imperial College (ICSTM) y sus aplicaciones para laminados gruesos, así comodel método analítico desarrollado por A. Barroso para estudiar singularidades. 1.2.1 Ensayo de compresión Imperial College (ICSTM) Empezando por el método de compresión ICSTM, fue desarrollado por F. L. Matthews en la década de los 80, y aparece descrito por ese mismo autor en el capítulo 5 de un libro escrito por J.M. Hodgkinson títulado “Mechanical testing of advanced fibre composites” [2]. Primeramente, el autor comienza describiendo los tipos de ensayo de compresión que existen, según la forma de aplicar la carga en el espécimen a ensayar: directamente en el extremo de la probeta, mediante cortante, o una forma mixta que combina ambas. Figura 1.2.-Formas de aplicar la carga en un ensayo de compresión 3 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Los primeros métodos de ensayo de compresión desarrollados aplicaban la carga mediante cortante, como el Celanese, descrito en [2]. En este tipo de ensayos la geometría, material y precisión de las mordazas influyen en la manera en que la probeta falla, y por tanto en su resistencia a compresión, por lo que es necesario hacer un montaje y diseño preciso de las mordazas. Después de este primer sistema de fijación desarrollado se fueron haciendo distintas modificaciones, que dieron lugar a otros sistemas como el IITRI, ASTM D 695, RAE, Birmingham...Algunos de ellos aparecen representados en la Figura 1.4, junto con el desarrollado por el Imperial College (ICSTM) del que hemos hablado anteriormente, que fue una modificación del Birmingham, sistema que aplicaba ya la carga de forma mixta. En la Figura 1.5 aparece representado con más detalle el sistema de fijación ICSTM, sistema mixto, en el que las cargas laterales son aplicadas por medio de tornillos a un bloque que ejerce presión sobre la probeta, a la vez que se aplica una compresión directa sobre el extremo de ésta. Muchos de los métodos expuestos anteriormente se han convertido hoy día en estándares de ciertas organizaciones, como por ejemplo el Celanese ligeramente modificado, que se ha convertido en el estandar alemán DIN 29971 y en el del CRAG (Composites Research Advisory Group). Todo ello está descrito con exactitud en [2].También en esa misma fuente podemos encontrar información acerca de la forma y dimensiones Figura 1.3.-Método de fijación Celanese Figura 1.4.-Varios modelos de fijación en la misma escala, completamente montados: (a) IITRI, (b) ASTM D 695 (modificado), (c) ICSTM, (d) Celanese Figura 1.5.-Método ICSTM 4 Introducción recomendadas de los especímenes y sus mordazas. Este mismo autor, F.L. Matthews, escribió anteriormente al capítulo de este libro, en 1993, un artículo junto con J.G. Haberle acerca de la influencia de los métodos de ensayo de compresión en la resistencia a compresión de plásticos reforzados con fibra [3], en el que ya se hablaba acerca del método ICSTM. Por último, el artículo que es de obligatoria mención aquí es el que presentaron varios investigadores del Imperial College en la conferencia que tuvo lugar en Japón en 2007, del que hemos hablado en la motivación del proyecto [1]. En este artículo se propuso una mejora del ensayo de compresión utilizando el sistema ICSTM, añadiendo adhesivo al final del taco, para intentar así aumentar la resistencia a compresión de laminados gruesos. En él se hace un estudio con elementos finitos de las tensiones en la probeta antes y después de la modificación, viendo que efectivamente mejoran al añadir el adhesivo. 1.2.2 Método analítico para el estudio de las singularidades En 2003, Barroso et al. publican el primer artículo acerca de este tema [4], en el que se detallan todos los fundamentos y teoría de esta herramienta del cálculo de singularidades para esquinas multimateriales anisótropas. Esta herramienta es capaz de proporcionar el orden de singularidad de cualquier esquina, así como las funciones características de tensiones y desplazamientos, dependiendo ambas únicamente del problema local de la esquina: materiales, geometría y condiciones de contorno.También se exponen comparaciones de los resultados arrojados por este método con los obtenidos anteriormente por otros autores para unos problemas de esquinas concretos, y podemos observar que son exactamente iguales, quedando pues el método validado. Posteriormente, en 2007 Barroso publica su Tesis Doctoral [5]. Esta Tesis ha tenido especial importancia en este proyecto, pues ha sido necesario leerla y comprenderla en profundidad antes de empezar a realizar el proyecto. Pues en ella se exponen de nuevo los fundamentos analíticos de esta herramienta y los resultados que es capaz de obtener, así como su implementación en un código en Mathematica. También está desarrollado el trabajo numérico necesario para obtener el factor de intensificación de tensiones generalizado, que a diferencia del orden de singularidad y las funciones características, no depende del problema local sino del problema global: condiciones de contorno y geometría del problema completo. Con los órdenes de singularidad (1-λ k), funciones características (fijk y g ik), y factores de instensificación de tensiones (Kk) ya tenemos la caracterización tensional y en desplazamientos de la esquina a través de la representación asintótica: En esta Tesis se aplica esta caracterización tensional a uniones adhesivas con materiales compuestos, como el que se muestra en la Figura 1.6., estudiando las singularidades de todas las esquinas que aparecen en este problema. Se halla también la solución mediante elementos finitos y se comprueba que coincide exactamente con la obtenida mediante la expresión analítica, validando de esta forma los resultados obtenidos. Otra publicación en la que podemos encontrar descrito el procedimiento para la obtención de los factores de intensificación de tensiones es la de Barroso et Al. en 2012 [6]. Se basa en minimizar el error cuadrático (función Π) entre la solución numérica (obtenida mediante elementos de contorno en esta publicación) y la solución analítica, que está en función de las Ki, factores de intensificación de tensiones. Al derivar entonces e Figura 1.6.-Unión adhesiva a doble solape, problema de estudio en la Tesis de Barroso 5 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto igualar a cero, las únicas incógnitas son los factores de intensificación de tensiones, con lo que es directa su obtención. En este artículo se analiza también la influencia en la solución de los nodos escogidos para realizar el análisis con elementos de contorno, llegando a la conclusión de que si seleccionamos nodos que se encuentran demasiado cerca o lejos de la esquina el resultado no es muy exacto. Se comparan de nuevo en esta publicación los resultados analíticos obtenidos mediante el desarrollo en serie con los obtenidos con elementos de contorno y con trabajos anteriores de otros autores, validando el método utilizado. También podemos encontrar en publicaciones de ese mismo año, 2012, ejemplos de aplicación de este método analítico para calcular la rigidez a fractura de esquinas cerradas multimateriales con material compuesto, Barroso et al. [7]. Y en Vicentini et al. [8] podemos encontrar una descripción del procedimiento seguido para obtener esta rigidez a fractura experimentalmente. Un artículo bastante interesante es el publicado por Barroso et al. en 2016 [9], en el se trata la eliminación de singularidades en esquinas bimateriales. Las esquinas en estudio son las del problema que se muestra en la Figura 1.. Para estas distintas esquinas, tenemos en el artículo los órdenes de singularidad, que se muestran en la Figura 1. Figura 1.7.-Distintas probetas sometidas a tracción: a) adhesivo b) configuración bimaterial con la fibra perpendicular a la interfase c) configuración bimaterial con la fibra paralela a la interfase d) configuración bimaterial con la fibra paralela a la interfase y perpendicular al plano de la probeta Figura 1.8.-Órdenes de singularidad de las tres esquinas bimateriales 12 Análisis paramétrico α Ángulo izquierdo adhesivo-probeta 45º β Ángulo derecho adhesivo-probeta 45º Tabla 2.3.- Parámetros geométricos configuración 2 Al igual que antes, los parámetros geométricos de la probeta son fijos, no modificables, y la longitud l1 la vamos a considerar también fija, por lo que los parámetros que admiten alguna modificación son t1, α y β. En relación a los materiales, son los mismos ya definidos anteriormente más el adhesivo, material isótropo, cuyas propiedades se encuentran en la misma fuente [1], y son las que aparecen en la siguiente tabla: Material E11, Gpa E22, Gpa E33, Gpa G12, Gpa G23, GPa G31, GPa ν21 ν31 ν32 Adhesivo 2.87 - - - - - 0,37 - - Tabla 2.4.- Propiedades de los materiales Configuración 2 En esta configuración vamos a llevar a cabo las mismas modificaciones que en la anterior configuración en cuanto a los materiales: sólo cambiaremos las rigideces E11, E22 y E33 del taco, reduciéndolas a la mitad. El sistema de coordenadas global considerado es el mismo que en el caso anterior, correspondiéndose de nuevo 1 con X, 2 con Y y 3 con Z. Todas las modificaciones detalladas, de los materiales y geometría, se encuentran en el 2.4 de este mismo capítulo. 2.3 Estudio analítico de las singularidades En nuestro problema nos encontramos con varias esquinas multimateriales, y en ellas el estado de tensiones es singular, pues las tensiones no están acotadas a medida que nos acercamos a la esquina (r0). Es la misma situación que se da en una grieta, caso más conocido de singularidad. De la Tesis Doctoral de Barroso, [5], sacamos la expresión de las tensiones asintóticas en un sistema de coordenadas polar centrado en el vértice de la esquina: 𝜎𝑖𝑗(𝑟,𝜃)=∑𝐾𝑘 (𝑟 𝐿)1−𝜆 𝑘 𝑓𝑖𝑗𝑘(𝜃)+𝜎𝑖𝑗0(𝜃) 𝑛 𝑘=1 (2.1) donde: r es la distancia al vértice, L una distancia característica del problema, Kk son los coeficientes del Figura 2.3.-Sistema de coordenadas global Configuración 2 X Y Z 13 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto desarrollo en serie denominados factores de intensificación de tensiones generalizados (FITGs), λ k son los exponentes característicos (y 1- λ k los órdenes de singularidad en tensiones), fijk(θ) las funciones características y σ ij0 (θ) es el término no singular independiente de la coordenada r. Con el programa desarrollado en Mathematica por A. Barroso puedo obtener los órdenes de singularidad de cada una de las esquinas de mi problema, así como las funciones características. Ambos dependen únicamente del problema local en el entorno del vértice de la esquina multimaterial, es decir, de los materiales en contacto y de la geometría del problema: la posición y el ángulo que barre cada uno de los materiales. Como podemos observar en la ecuación (2.1), σ ij ≈r-δ, siendo δ=1-λ el orden de singularidad, que está acotado superiormente por 1 para que la densidad de energía de deformación permanezca acotada. Además, si δ <0 las tensiones en r0 son finitas, y desaparece la singularidad, por lo que también estaría acotado inferormente por cero. Conociendo el orden de singularidad de una esquina, podemos estimar los niveles de tensión a una distancia r determinada de ésta, aunque es cierto que para conocer con más exactitud las tensiones deberíamos conocer también los FITG. Estudiaremos entonces en esta sección el orden de singularidad de cada esquina, y veremos su variación conforme modificamos los parámetros geométricos o de material anteriormente citados. Obtendremos estos órdenes de singularidad mediante el programa de A. Barroso, como hemos comentado. El fichero de texto de entrada al programa tiene siempre la misma estructura: contiene tantos bloques como materiales, en los que se definen las propiedades de estos y los ángulos que abarcan, más un bloque de caracterización general de la esquina. -1er bloque caracterización: -Bloques definición materiales ortótropos: 2.3.1 Configuración 1 En esta primera configuración nos encontramos con una esquina abierta con dos materiales en contacto, el taco y la probeta: Figura 2.4.-Esquina Configuración 1 a b c d e -a: número de materiales que forman la esquina -b : tipo de condiciones de contorno (3-esquina abierta con ambos bordes libres, 5-esquina cerrada) -c, d, e : tipo de material (1-isótropo, 2-ortótropo). Tantos parámetros como el nº definido en a. α 1 α 2 E11 E22 E33 G12 G13 G23 ν12 ν13 ν23 0 0 0 Las últimas tres cifras se refieren a la orientación de la fibra en el espacio. En nuestro caso va a ser siempre cero porque consideramos las fibras orientadas en dirección x. Si el material fuera isótropo, tendría sólo dos líneas: la primera línea sería idéntica y la segunda sería simplemente E y ν. 14 Análisis paramétrico Para obtener el orden de singularidad de esta esquina para diferentes ángulos, lo que hacemos es ir variando el ángulo inicial α1 del taco en el fichero de entrada, es decir α en nuestro esquema de la esquina (α 1=180-α), dejando constantes las propiedades del material, y obtenemos los siguientes resultados: Estos órdenes de singularidad que aparecen en la Figura 2.5 son los correspondientes a la geometría y materiales de esta esquina para cualquier configuración de cargas. El problema que aquí estamos tratando es un problema plano, geometría y cargas son coplanarias, por lo que la raíz antiplana no se va a manifestar. Tendremos pues, un único orden de singularidad hasta α =90º, donde ya aparecerá el tercer orden de singularidad que observamos en la figura de pequeño valor. El resultado obtenido de los órdenes de singularidad es lógico, tal y como podíamos haber sospechado antes de realizar el análisis. Conforme el ángulo α es menor, el orden de singularidad va disminuyendo, pues nos vamos acercando a la situación de α =0º, situación en la que no existe esquina alguna y la singularidad desaparece. El mayor orden de singularidad se da entonces para α= 90º, como podemos observar. Para este ángulo tenemos una singularidad muy alta, cercana a δ =0.5, singularidad que se da en la configuración de grieta. Sólo con esta gráfica podemos explicar por qué el valor de resistencia que obtenían en el Imperial College con su primer ensayo era tan bajo, debido a esta alta singularidad en la esquina. Posteriormente lo verificaremos con un análisis tensional en elementos finitos. Una vez obtenidos estos resultados, podemos variar las propiedades del taco y observar el cambio que se produce en los órdenes de singularidad. Lo que haremos será dividir las rigideces E11, E22 y E33 por la mitad como comentamos en la sección anterior, simplemente cambiándolo en el fichero de entrada. Como podemos observar en la Figura 2.6.-Órdenes de singularidad esquina Configuración 1 con Eii/2 y fichero de entrada, se produce una variación brusca de los órdenes de singularidad al modificar las propiedades del taco. Al disminuir la rigidez, δ también disminuye. Esto también es algo esperado, pues si llegásemos al caso extremo de rigidez del material nula, significaría que no habría material, con lo que tampoco existiría ni esquina ni singularidad. Por lo que al disminuir la rigidez obligatoriamente debe disminuir el orden de singularidad. Si nos fijamos sólo en la primera raíz, que es la más importante de las que se manifiestan en nuestro caso, la variación de δ es mayor para valores de ángulos pequeños, siendo pequeña la variación para ángulos grandes. La tercera raíz desaparece con Eii/2. Figura 2.5.-Órdenes de singularidad esquina Configuración 1 y fichero de entrada 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 015 30 45 60 75 90 δ alfa Órdenes de singularidad raíz 1 raíz 2 (antiplana) raíz 3 2 3 2 2 180-α 180 27.0 29.0 7.0 7.4 4.0 4.0 0.1862 1.157 1.243 0 0 0 180 360 129.0 8.4 8.4 4.2 4.2 3.0 0.307 0.307 0.4 0 0 0 15 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Figura 2.6.-Órdenes de singularidad esquina Configuración 1 con Eii/2 y fichero de entrada 2.3.2 Configuración 2 En esta configuración tengo dos esquinas distintas. A la izquierda se encuentra una esquina cerrada trimaterial y a la derecha una esquina abierta bimaterial como la de la configuración 1, pero con diferentes materiales en contacto, y, por tanto, diferente orden de singularidad. A continuación, estudiaré cada una de estas esquinas por separado, analizando los órdenes de singularidad de cada una de forma independiente, pues son problemas distintos. 2.3.2.1 Esquina trimaterial Los órdenes de singularidad de esta esquina los obtenemos al igual que antes con el programa de A. Barroso. Dejando las propiedades del material fijas, variamos el ángulo α, y obtenemos la evolución del orden de singularidad que aparece en la Figura 2.7.-Órdenes de singularidad esquina trimaterial Configuración 2 y fichero de entrada La figura nos revela que en esta configuración existen dos raíces distintas, una de ellas antiplana, que no se manifiesta en nuestro problema debido a las razones comentadas anteriormente. Por lo tanto, nos quedamos sólo con una raíz. Pero esta raíz, como podemos ver en la figura, no es sencilla, pues para valores pequeños del ángulo es una raíz doble, que pasa a ser una única raíz con parte imaginaria poco antes de los 45º, y luego se convierte en doble de nuevo alrededor de los 60º. Es de especial importancia destacar este ángulo de 45º, el que escogieron en el Imperial College al modificar el ensayo, ya que justamente ahí es donde se da el menor orden Figura 2.11.-Esquina trimaterial Configuración 2 Figura 2.12.-Esquina bimaterial Configuración 2 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 015 30 45 60 75 90 δ alfa Órdenes de singularidad raíz 1 raíz 1 (Eii/2) raíz 2 (antiplana) raíz 2 (Eii/2) raíz 3 2 3 2 2 180-α 180 27.0/2 29.0/2 7.0/2 7.4 4.0 4.0 0.1862 1.157 1.243 0 0 0 180 360 129.0 8.4 8.4 4.2 4.2 3.0 0.307 0.307 0.4 0 0 0 16 Análisis paramétrico de singularidad (δ ≈0.22) en un entorno bastante grande de ángulos, gracias a que la raíz doble se ha convertido en imaginaria. Sólo alcanzamos órdenes de singularidad menores al irnos ya ángulos muy grandes, mayores de 140º. El orden de singularidad máximo se da aquí para α = 100º, δ ≈0.35, menor que el máximo de la Configuración 1. Esta vez el resultado de los órdenes de singularidad ya no era predecible, pues nos enfrentamos a una configuración mucho más compleja. Una vez que tenemos estos resultados, modificamos las propiedades del taco igual que en la Configuración 1, dividiendo todas las rigideces por la mitad, y observamos el efecto que esto tiene en los órdenes de singularidad: 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 δ alfa Órdenes de singularidad Re (raíz 1) raíz 2 (antiplana) Im (Raíz 1) Figura 2.7.-Órdenes de singularidad esquina trimaterial Configuración 2 y fichero de entrada Figura 2.8.-Órdenes de singularidad esquina trimaterial Configuración 2 con Eii/2 y fichero de entrada 3 5 1 2 2 0 alfa 2.87 0.37 alfa 180 27.0 29.0 7.0 7.4 4.0 4.0 0.1862 1.157 1.243 0 0 0 180 360 129.0 8.4 8.4 4.2 4.2 3.0 0.307 0.307 0.4 0 0 0 3 5 1 2 2 0 alfa 2.87 0.37 alfa 180 27.0/2 29.0/2 7.0/2 7.4 4.0 4.0 0.1862 1.157 1.243 0 0 0 180 360 129.0 8.4 8.4 4.2 4.2 3.0 0.307 0.307 0.4 0 0 0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 δ α Órdenes de singularidad Re (raíz 1) Re (raíz 1) (Eii/2) raíz 2 (antiplana) raíz 2 (Eii/2) Im (Raíz 1) Im (raíz 1) (Eii/2) 17 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Podemos observar en la Figura 2.8 cómo, al igual que antes, al disminuir la rigidez del taco disminuye δ. Aunque es cierto que las variaciones de δ no son aquí tan notables como en la esquina de la Configuración 1. Toda esta información que tenemos respecto a los órdenes de singularidad será esencial a la hora de analizar las diferentes modificaciones paramétricas en la siguiente sección (2.4). 2.3.2.2 Esquina bimaterial Para obtener los órdenes de singularidad de esta esquina en las diferentes configuraciones geométricas, lo único que hay que variar es el ángulo inicial α 1 del adhesivo en el fichero de entrada, lo que equivaldría a modificar β según nuestro esquema de esta esquina (β=180-α 1). Los resultados obtenidos, junto con el fichero de entrada al programa utilizado, se muestran en la siguiente figura: El resultado obtenido en este caso es parecido al de la única esquina de la Configuración 1, ya que la geometría es la misma, pero cambian los materiales. Tenemos dos raíces, y una de ellas antiplana, que no se manifiesta. La diferencia con el otro caso es la pequeña raíz que antes aparecía para valores de ángulos relativamente grandes, que aquí no aparece. El orden de singularidad parte de cero para β=0º y va aumentando conforme aumenta el ángulo. Como lo que pretendemos con esta nueva Configuración 2 es disminuir el orden tan alto de singularidad con el que nos encontrábamos en la primera configuración con α =90º, no tiene sentido que el ángulo β sea muy grande, pues nos iríamos a valores muy altos de singularidad. Por acotar nuestro problema, consideraremos que el ángulo β como máximo será de 45º, valor que adopta en el ensayo del Imperial y el cual podemos ver en la figura de la derecha. Siendo esto así, podemos afirmar según la Figura 2.9 que δ<0,1 en esta esquina. Los órdenes de singularidad en la otra esquina de esta configuración, la trimaterial, son siempre bastante mayores a 0,1, por lo que podemos deducir que esta esquina no será decisiva en el fallo de la probeta. De todos modos, comprobaremos luego con las tensiones si esto es cierto. El orden de singularidad de esta esquina no se ve influenciado por una modificación de la rigidez del taco, ya que el taco no es uno de los materiales que forman esta esquina. La K tampoco se verá modificada por la rigidez, ya que principalmente lo que influye en la K son cargas y geometría, por lo que las tensiones en esta esquina no se verán modificadas cuando cambiemos la rigidez del taco. Figura 2.9.-Órdenes de singularidad esquina bimaterial Configuración 2 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 015 30 45 60 75 90 δ beta Órdenes de singularidad raíz 1 raíz 2 (antiplana) 2 3 1 2 α1 180 2.87 0.37 180 360 129.0 8.4 8.4 4.2 4.2 3.0 0.307 0.307 0.4 0 0 0 Figura 2.10.-Esquinas Config 2 18 Análisis paramétrico 2.4 Modificaciones paramétricas En esta sección vamos a explicar detalladamente las diferentes modificaciones paramétricas que vamos a realizar y las configuraciones resultantes, que son las que luego vamos a analizar con elementos finitos. Hay muchos parámetros que admiten modificación, y éstos pueden adoptar muchos valores distintos. Por lo tanto, hay infinitas combinaciones. Para acotar este gran espectro lo que haremos primero será concretar los parámetros a modificar, que ya hemos comentado brevemente en secciones anteriores:  Configuración 1: alfa, espesor taco, rigidez taco.  Configuración 2: alfa y beta, espesor taco, rigidez taco. Los únicos parámetros distintos entre ambas configuraciones son los ángulos, por lo que serán parámetros que habrá que estudiar aparte. Pero en cuanto al resto, espesor y rigidez, los modificaremos de igual manera en ambas configuraciones y veremos qué efecto tiene esa modificación en cada una de ellas. Todas las modificaciones paramétricas, menos la del espesor del taco, afectan al orden de singularidad de las esquinas como ya hemos visto, por lo que escogeremos los diferentes valores de estos parámetros basándonos en los resultados analíticos anteriores. Seleccionaremos valores de parámetros que den lugar a un orden de singularidad bastante distinto en la esquina para corroborar que existe esa diferencia también en las tensiones, y a la vez escogeremos valores de parámetros que den lugar a un orden de singularidad similar, para ver que realmente no hay apenas diferencia en las tensiones. Comprobaremos que dos valores iguales de singularidad, algo analítico, dan iguales tensiones según métodos numéricos. Si esto se cumple, estaremos confirmando que sólo conociendo el orden de singularidad de una esquina podemos caracterizar el nivel tensional de ésta, y saber, entre varias configuraciones, cuál de ellas fallará antes o después. Cada vez que modifiquemos un parámetro, el resto los dejaremos constantes e iguales a un valor predeterminado, para ver así aisladamente la influencia del parámetro en cuestión. Este valor predeterminado que adoptarán los parámetros será el valor que tenían en los ensayos originales del Imperial College. Además de estas modificaciones paramétricas, trataremos el caso de añadir un radio de curvatura en la esquina. Esto hará que desaparezca la singularidad, pues desaparece la esquina propiamente dicha, pero no implica que las tensiones vayan a ser muy bajas. Las tensiones no serán infinitas en r0, pero sí muy altas. Estudiaremos las tensiones a distancias constantes con y sin curvatura, y veremos hasta qué distancia se nota la influencia de la curvatura, y disminuyen las tensiones. 2.4.1 Modificación de α en la Configuración 1 Al variar el ángulo que forma el taco con la probeta hay que dejar un punto fijo, el de arriba o el de abajo, que sería el que correspondería con la esquina. Como ya dijimos antes, hemos decidido dejar fijo el de arriba, esto es, fijar la longitud l1 desde el extremo de la probeta hasta ese punto, pues es una longitud que los del 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 015 30 45 60 75 90 δ alfa Órdenes de singularidad raíz 1 raíz 3 Figura 2.11.-Órdenes de singularidad Configuración 1 19 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Imperial College dejaron constante en sus dos modelos con y sin adhesivo. Modificar α significaría entonces “oscilar” respecto a ese punto, con lo que iría cambiando la coordenada longitudinal de la esquina. Algo que hay que destacar a la hora de modificar α es que las configuraciones resultantes deben ser factibles a la hora de fabricar. Por tanto, no podemos irnos a ángulos muy pequeños de 5º o 10º, pues sería imposible que nos encontrásemos con un caso como ese en la realidad, y por tanto no tiene sentido siquiera estudiarlo. Fijaremos como ángulo mínimo 15º. Para este ángulo no podemos dejar fija la coordenada l1 porque saldría una configuración imposible geométricamente, por ello usaremos l1’=l1-4, para que nos quede una longitud libre total de 6 mm, unas dimensiones razonables. A la vista de los resultados analíticos que se muestran en la figura, una vez eliminada la raíz antiplana que no tenía influencia en nuestro problema, hemos decidido analizar tres valores de ángulos, lo que da lugar a tres modelos distintos: Tabla 2.5.-Modelos1,2 y 3. Variación del ángulo α en la Configuración 1. MODELO 1: α =15º MODELO 2: α =40º MODELO 3: α=90º Es un ángulo que, como podemos observar en la Figura 2.11.- Órdenes de singularidad Configuración 1Figura 2.11, da un orden de singularidad bastante bajo, alrededor de 0,15 y es el ángulo límite que hemos fijado. Ángulo que nos da un orden de singularidad intermedio entre 15º y 90º, y por tanto las tensiones también deberían ser intermedias entre las de ambos modelos. Es el ángulo para el que se da la mayor singularidad en esta esquina, δ ≈0,5, y ángulo del ensayo original del Imperial College. 20 Análisis paramétrico 2.4.2 Modificación de α y β en la Configuración 2 En las figuras anteriores podemos observar las dos esquinas de este modelo con sus correspondientes órdenes de singularidad, donde hemos eliminado ya la raíz antiplana que no se manifiesta en el problema. En esta Configuración deberíamos estudiar en principio las dos esquinas por separado: variando α estudiamos la esquina trimaterial y variando β estudiamos la bimaterial A la hora de modificar el ángulo α de la esquina trimaterial, dejamos el resto de parámetros constantes como dijimos antes, e igual a su valor predeterminado, pero hay que tener cuidado con el ángulo β, ya que ambos ángulos no son independientes entre sí. β debe ser siempre menor que 180-α por cuestiones geométricas, lo que no causa ningún inconveniente en valores de ángulo α pequeños, pero sí en los grandes, donde hay que tener esto en cuenta. Entonces, cuando trabajemos con ángulos α >135º no podremos mantener β =45º. Para estos casos fijaremos un ángulo β = (180-α) /2, lo que nos deja una configuración lógica y factible de fabricación. En cuanto al parámetro l1, también habrá que modificarlo para β =15º, como l1’=l1-4 igual que antes. 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 15 45 75 105 135 165 δ alfa Órdenes de singularidad esquina trimaterial Re (raíz 1) Im (Raíz 1) 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 015 30 45 60 75 90 δ beta Órdenes de singularidad esquina bimaterial raíz 1 Figura 2.12.-Órdenes de singularidad esquinas Configuración 2 21 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Como α y β no son independientes, y cuando varíe α tendré que variar también β, vamos a estudiar ambas esquinas a la vez, la trimaterial y la bimaterial, con los mismos modelos. Analizaremos en principio tres ángulos α, basándonos en los resultados analíticos que se muestran en la Figura 2.12., y el ángulo β será 45º cuando α sea menor de 135º y β = (180-α) /2 cuando α sea mayor de 135º. Los ángulos escogidos y los modelos resultantes son los que se muestran en la Tabla 2.6 Tabla 2.6.- Modelos 4,5 y 6. Variación de los ángulos α y β en la Configuración 2 2.4.3 Modificación del espesor del taco A la hora de modificar el espesor del taco, las mismas modificaciones nos sirven tanto para una configuración como para otra, ya que es un parámetro común a ambas. Además, una variación de este parámetro no modifica el orden de singularidad de la esquina. Los que pueden variar son los factores de intensificación de tensiones generalizados (K) al cambiar la geometría del problema, y, por tanto, estos también pueden influir en las tensiones. Más tarde, en el análisis de elementos finitos compararemos los resultados tensionales obtenidos con el espesor nominal con los obtenidos con el espesor modificado, y sabremos si realmente los FITG han variado de una situación a otra y si su influencia en el estado tensional es tan grande como la de los órdenes de singularidad o no. El espesor nominal del taco es de 1,6 mm. Consideraremos modelos con la mitad de espesor y el doble, y siempre el resto de valores iguales a los predeterminados. Por lo tanto, los ángulos son los de las Configuraciones originales de los ensayos del Imperial College. MODELO 4: α =45º, β=45º MODELO 5: α =100º, β=45º MODELO 6: α=150º, β=15º Configuración 2 original del Imperial College, y que tiene un orden de singularidad bastante bajo en la esquina trimaterial, que es la más importante, δ ≈0,22 Ángulo α para el que tenemos el mayor orden de singularidad en la esquina trimaterial, δ≈0,35. En la esquina bimaterial no ha cambiado nada del Modelo 4 al 5, mismo orden singularidad. Las tensiones deberían ser las mismas Ángulo α con el mismo orden de singularidad que α =45º, debería dar lugar a las mismas tensiones en la esquina triple. En la esquina doble, el orden de singularidad es muy pequeño al ser menor β 28 Modelo de elementos finitos amesh,1 MAT,3 amesh,5 !***DEFINICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO !Con la orden DL definimos condiciones de contorno en líneas. En este caso impongo simetría DL,1,,symm DL,6,,symm DL,13,,symm !Definimos las cargas de compresión que soporta la probeta, lo aplicamos como cargas en líneas (comando SFL) SFL,4,pres,+1 !Aplicamos cargas de compresión de valor 1 en el extremo de la probeta SFL,16,pres,+1 SFL,10,pres,+0.2 !Aplicamos una carga de compresión lateral, del 20% del valor de la compresión longitudinal !***************RESOLVER************* /SOL /STATUS,SOLU SOLVE !*************POSTPROCESADO**************** Figura 3.5.-Malla modelo Config 1 Figura 3.6.-Detalles de la malla en la esquna de la Config 1 29 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto !*** OBTENCIÓN DE RESULTADOS DE UNOS NODOS SITUADOS A UNA DISTANCIA R DE LA ESQUINA allsel,all !Definimos sistema polar en la esquina con el comando LOCAL: LOCAL,número del sistema,tipo de sistema(1):cilíndrico, coordenada x, coordenada y, coordenada z LOCAL,14,1,l2,t2/2,0 csys,14 !Con el comando CSYS activamos el sistema local 14 !Nosotros lo que queremos es seleccionar nodos a unas distancias concretas R1,R2 y R3, pero al no encontrarse los nodos en la malla en una circunferencia perfecta alrededor de la esquina, necesito tener un intervalo de distancias, cuyo valor medio será R1, R2 o R3, para coger así suficientes nodos y obtener un mejor resultado !Seleccionamos nodos a un radio que se encuentre entre los dos últimos valores con la orden NSEL,s,loc,x,r1,r2: NSEL,s,loc,x,t1/100-t1/350,t1/100+t1/350 !R1=t1/100 NSEL,s,loc,x,t1/10-t1/80,t1/10+t1/80 !R2=t1/10 NSEL,s,loc,x,t1/3-t1/100,t1/3+t1/100 !R3=t1/3 !En la distancia R1 estamos demasiado cerca de la esquina, con lo que la longitud del arco en la que estoy seleccionando nodos es muy pequeña y hay muy pocos nodos, muy distantes entre sí. Por ello necesito un intervalo relativamente grande, para coger nodos que estén más cerca angularmente unos de otros. Conforme nos alejamos de la esquina, la longitud del arco en la que selecciono nodos es mucho mayor, con lo que me hace falta un intervalo más pequeño para tener nodos que estén cerca unos de otros. !Debido al amplio intervalo que necesitamos en R1, va a haber una gran dispersión en los resultados, ya que para un mismo ángulo quizás tengamos dos puntos con distintos valores de tensión. La solución a esto sería trazar un arco de circunferencia de radio R1 en la geometría, y crear áreas delimitadas por este Figura 3.7.-Sistema de coordenadas local 14 situado en la esquina y nodos seleccionados a R1 30 Modelo de elementos finitos arco. Así podría controlar exactamente el número de nodos del arco, y tener de esta forma unos resultados más exactos. !Estos intervalos pueden variar un poco dependiendo del caso, ya que al cambiar un ángulo o espesor la malla cambia,y por tanto la localización de los nodos. Por ello el intervalo será más o menos amplio dependiendo del caso. !Con el comando RSYS activamos el sistema de coordenadas polar 14 para dar los resultados RSYS,14 !Con el comando PRNSOL, S, sacamos las tensiones de los nodos seleccionados en el sistema local activo (14) PRNSOL,S,COMP !s,comp, para hallar las tensiones en 'x','y' y 'z'. Como las da en polares, estas tensiones serían: sigma r, sigma teta, sigma z. !Con el comando DSYS activamos el sistema de coordenadas polar 14 para mostrar las coordenadas de los nodos: r y teta DSYS,14 !Con el comando NLIST sacamos el listado de las coordenadas de esos nodos en el sistema activo (14) NLIST 3.1.1 Modelo Configuración 1 con radio de curvatura en la esquina Este modelo es muy parecido al que acabamos describir, simplemente cambia algo la geometría y las distintas distancias a las que seleccionamos los nodos. Al cambiar la geometría cambia la numeración de las líneas y por tanto la parte del refinamiento, por lo que exponemos aquí este modelo. No estará tan detallado como el anterior, simplemente explicaremos las partes en las que se diferencia de este. El radio utilizado en este modelo será igual al primero de los que vamos a analizar, r1=t1/5. !Modelo de la Configuración 1 con redondeo en la esquina !UDS: fuerza en N, longitudes en mm, y presiones en MPa (=E) !*************PREPROCESADO**************** /PREP7 ET,1,PLANE182 KEYOPT,1,3,2 !***DEFINICIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES !Material 2, probeta, ortótropo, T300/914 MP,EX,2,129e3 MP,EY,2,8.4e3 MP,EZ,2,8.4e3 MP,gxy,2,4.2e3 MP,gxz,2,4.2e3 MP,gyz,2,3e3 MP,PRXY,2,0.307 31 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto MP,PRYZ,2,0.4 MP,PRXZ,2,0.307 !Material 3, tacos, ortótropo ,woven EGlass MP,EX,3,27e3 MP,EY,3,29e3 MP,EZ,3,7e3 MP,gxy,3,7.4e3 MP,gxz,3,4e3 MP,gyz,3,4e3 MP,PRXY,3,0.186 MP,PRYZ,3,1.2428 MP,PRXZ,3,1.157 !***DEFINICIÓN PARÁMETROS l1=40 l3=45 t1=1.6 t2=10 alfa=90*3.14159/180 r=t1/5 !Radio de curvatura cx=l1+r !Coordenada x del centro de curvatura cy=t2/2+r !Coordenada y del centro de curvatura !*** CONSTRUCCIÓN DE LA GEOMETRÍA EN FUNCIÓN DE LOS PARÁMETROS ANTERIORES RECTNG,0,l1,0,t2/2 !área 1, probeta RECTNG,l1,l3,0,t2/2 !área 2, probeta K,11,0,t2/2 K,12,0,t2/2+t1 K,13,l1,t2/2+t1 K,14,l1,t2/2+r !14 y 15 son los dos puntos que forman el arco K,15,l1+r,t2/2 K,16,l1+r,t2/2+r !Este keypoint se define como PC, ayuda a ANSYS a saber en qué plano dibujar el arco y en qué lado se encuentra el centro de curvatura !Defino las líneas que van a formar el área del taco !La orden a utilizar es L,K1,K2 para trazar una línea entre dos puntos !La orden LARC sirve para definir una línea que sea un arco de circunferencia entre dos puntos: LARC, K1,K2,PC,RAD L,11,12 !L9 L,12,13 !L10 L,13,14 !L11 LARC,14,15,16,r !L12 L,11,15 !L13 AL,9,10,11,12,13 !área 3, taco aglue,1,2,3 !Se renumeran las áreas: !Tacos A5 !Probeta A1y A4 Figura 3.8.-Keypoints que forman el arco de curvatura 32 Modelo de elementos finitos !***DEFINICIÓN EL NÚMERO DE DIVISIONES DE CADA LÍNEA A MALLAR nel=300 lesize,3,,,nel,500 lesize,11,,,nel/3,0.1 lesize,16,,,nel/2,0.025 lesize,1,,,nel/2,0.1 lesize,10,,,nel/2,0.02 lesize,6,,,nel/10 lesize,4,,,4 lesize,17,,,2 lesize,12,,,nel/3 ¡Esta es la línea que forma el arco, que tiene muchos elementos, sin refinamiento lesize,2,,,nel/3,0.02 lesize,15,,,nel/5 lesize,14,,,nel/10 !***MALLADO DE CADA UNA DE LAS ÁREAS CON EL CORRESPONDIENTE MATERIAL MAT,2 amesh,4 MAT,2 amesh,1 MAT,3 amesh,5 Figura 3.9.-Líneas modelo Config 1 con radio de curvatura en la esquina Figura 3.10.-Detalle malla en la zona de curvatura 33 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto !***DEFINICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO DL,1,,symm DL,6,,symm DL,14,,symm SFL,4,pres,+1 SFL,17,pres,+1 SFL,10,pres,+0.2 !***************RESOLVER************* /SOL /STATUS,SOLU SOLVE !*************POSTPROCESADO**************** !*** OBTENCIÓN DE RESULTADOS DE UNOS NODOS SITUADOS A UNA DISTANCIA R DE LA ESQUINA /POST1 allsel,all !Definimos sistema polar en el lugar donde se encontraría la esquina para seleccionar los nodos a distintas distancias desde ese punto. De esta forma podemos comparar posteriormente los resultados con los del modelo sin curvatura LOCAL,14,1,l1,t2/2 csys,14 !Seleccionamos nodos a un radio que se encuentre entre los dos últimos valores con la orden NSEL,s,loc,x,r1,r2: NSEL,s,loc,x,r-r/30,r+r/30 !R1=r NSEL,s,loc,x,1.5*r-r/20,1.5*r+r/20 !R2=1.5r NSEL,s,loc,x,3*r-r/10,3*r+r/10 !R3=3r NSEL,s,loc,x,0.75*r-r/40,0.75*r+r/40 !R4=0.75*r !Las distancias, como habíamos adelantado, son distintas en este modelo con curvatura, pues vamos a coger distancias más pequeñas que el radio de curvatura y más grandes que éste. Sacaremos resultados también del modelo sin curvatura a estas mismas distancias para hacer la comparación tensional ¡Al igual que antes los nodos no están situados en un círculo perfecto y por eso he tenido que escoger los nodos en un intervalo de radios, cuyo radio medio en cada uno de ellos es R1,R2,R3 o R4 RSYS,14 PRNSOL,S,COMP DSYS,14 NLIST !Esta última parte es exactamente igual que en el otro modelo. Primero activamos el sistema de coordenadas local 14 para dar los resultados, luego pedimos los resultados con la orden PRNSOL, posteriormente activamos el sistema 14 para mostrar las coordenadas de los puntos, y por último pedimos estas coordenadas con NLIST 34 Modelo de elementos finitos 3.2 Modelo Configuración 2 Este modelo es muy similar al de la Configuración 1, por lo que muchos bloques de órdenes serán iguales a los ya desarrollados. Pero cambia la geometría del problema, y por tanto cambiarán los números de líneas y áreas. Además, en este modelo hay dos esquinas, por lo que habrá que tenerlo en cuenta a la hora de refinar las líneas. !Modelo de la configuración 2 !UDS: fuerza en N, longitudes en mm, y presiones en MPa (=E) !*************PREPROCESADO**************** /PREP7 !***ELECCIÓN DEL TIPO DE ELEMENTO !Elegimos un tipo de elemento, PLANE 182, elemento plano que tiene 2 gdl en cada nodo: desplazamientos en la dirección x e y ET,1,PLANE182 !Suponemos deformación plana: keyopt(3)-->2 !Si hubiésemos querido trabajar con tensión plana: kopt(3)=0, tensión plana generalizada: kopt(3)=5 KEYOPT,1,3,2 !***DEFINICIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES !Material 1, adhesivo, isótropo MP,EX,1,2.87e3 MP,PRXY,1,0.37 !Coeficiente de Poisson xy ,nuxy=nuyx !Material 2, probeta, ortótropo, T300/914 MP,EX,2,129e3 MP,EY,2,8.4e3 MP,EZ,2,8.4e3 MP,gxy,2,4.2e3 MP,gxz,2,4.2e3 MP,gyz,2,3e3 MP,PRXY,2,0.307 MP,PRYZ,2,0.4 MP,PRXZ,2,0.307 !Material 3, tacos, ortótropo ,woven EGlass MP,EX,3,27e3 MP,EY,3,29e3 MP,EZ,3,7e3 MP,gxy,3,7.4e3 MP,gxz,3,4e3 MP,gyz,3,4e3 MP,PRXY,3,0.186 MP,PRYZ,3,1.2428 MP,PRXZ,3,1.157 ! !***DEFINICIÓN PARÁMETROS 35 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto l1=40 l3=45 !Mitad de la longitud total de la probeta t1=1.6 !Espesor del taco o mordaza t2=10 !Espesor de la probeta alfa=45*3.14159/180 beta=45*3.14159/180 l2=l1+t1/tan(beta) !Coordenada x de la esquina doble l4=l1-t1/tan(alfa) !Coordenada x de la esquina triple !** CONSTRUCCIÓN DE LA GEOMETRÍA EN FUNCIÓN DE LOS PARÁMETROS ANTERIORES !Vamos a modelar sólo un cuarto de la geometría !Geometría de la probeta RECTNG,0,l3,0,t2/2 !área 1 !Geometría del taco !Definimos los keypoints: K, num.ref.keypoint, coordenada x, coordenada y K,11,0,t2/2 K,12,0,t2/2+t1 K,13,l1,t2/2+t1 K,14,l1-t1/tan(alfa),t2/2 !Keypoint que está en la esquina triple A,11,12,13,14 !Con esta orden creamos un área. Sólo tengo que poner el número de los keypoints, área 2 !Geometría del adhesivo !Vamos a crear dos áreas en lugar de una, para así poder refinar la línea horizontal que une ambas esquinas, que no será ahora una sino dos líneas, y hacer que los elementos vayan siendo más pequeños conforme nos acercamos a cada una de las esquinas, pero sean medianamente grandes en la parte central de la línea, donde no interesan elementos pequeños Figura 3.11.-Definición ángulos α y β en la Config 2 Figura 3.12.-Parámetros modelo Config 2 36 Modelo de elementos finitos !Si hubiéramos dejado sólo un área, esta línea debería contener un número de elementos mucho mayor para un mismo nivel de refinamiento en la esquina !Keypoint 15, que está en la esquina doble K,15,l1+t1/tan(beta),t2/2 !Keypoint 16, situado en la mitad de la línea que une la esquina doble con la triple K,16,l1+t1/(2*tan(beta))-t1/(2*tan(alfa)),t2/2 A,13,15,16 !área 3, área derecha del adhesivo A,13,14,16 !área 4, área izquierda del adhesivo aglue,1,2,3,4 !Usamos la orden AGLUE para que las áreas compartan líneas. Antes de esta operación se superponen varias líneas en la intersección de las áreas ¡Hay que prestar especial atención con esta orden a la renumeración de las áreas !-Adhesivo: áreas 3 y 4 !-Taco: área 5 !-Probeta: área 6 !**DEFINO EL NÚMERO DE DIVISIONES DE CADA LÍNEA A MALLAR !Toda la malla nos queda en función de un sólo parámetro nel. Si aumentamos este parámetro, aumenta el número de elementos y la malla se hace más fina nel=200 !Comando LESIZE: 1er parámetro: número de la línea, 4º parámetro: número divisiones, 5º parámetro: spacing ratio. !El spacing ratio es el tamaño de la última división entre la primera. Va del keypoint inicial al final con los que he trazado la línea !Si quisiera haber especificado el tamaño de cada división en vez del número de divisiones, debería haberlo especificado en el segundo parámetro. lesize,7,,,nel/2,0.05 lesize,10,,,nel,10 lesize,12,,,nel,10 lesize,14,,,nel*2,0.003 lesize,15,,,nel,0.01 lesize,9,,,nel/2,0.03 lesize,1,,,nel,0.2 lesize,6,,,nel,0.1 lesize,11,,,nel/5 lesize,2,,,nel/10 Figura 3.13.-Keypoints que definen el área del adhesivo Figura 3.14.-Líneas zona adhesivo Config 2 37 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto !***MALLADO DE CADA UNA DE LAS ÁREAS CON EL CORRESPONDIENTE MATERIAL MAT,2 amesh,6 MAT,1 amesh,3 MAT,1 amesh,4 MAT,3 amesh,5 !***DEFINIMOS LAS CONDICIONES DE CONTORNO !Definimos condiciones de contorno en líneas (comando DL), imponemos la doble simetría de la que hablamos antes en las líneas 1 y 2 DL,1,,symm DL,2,,symm !Definimos las cargas de compresión que soporta la probeta, lo aplicamos como cargas en líneas (comando SFL) Figura 3.15.-Mallado modelo Configuración 2 Figura 3.176.-Detalle de la malla en las dos esquinas Figura 3.167.-Detalle malla en la esquina trimaterial 44 Resultados Como podemos apreciar en las imágenes, a una distancia de la esquina igual a el espesor del taco entre 3 (r3), ya no se nota la influencia de la modificación del ángulo. De hecho, no podemos apreciar las tres curvas porque están superpuestas. Donde sí que se nota es en r1, a una distancia de la esquina igual al espesor entre 100. En esta distancia, las tensiones se reducen conforme disminuye el ángulo α, lo que se corresponde con la evolución del orden de singularidad en esta esquina que vimos en la Figura 2.5.-Órdenes de singularidad esquina Configuración 1 y fichero de entrada , que también disminuía al disminuir α. Podemos comparar las tres gráficas a partir de 165º, que es cuando hay ya material en los tres modelos, por eso aparecen representadas a partir de ese ángulo. Podemos observar en esta figura la gran dispersión de la que hablábamos en el modelo de elementos finitos al definir el intervalo de r1. Al encontrarse tan cerca de la esquina tenemos que coger nodos en un intervalo relativamente grande para tener suficientes puntos que definan la curva. Las líneas continuas denominadas como Path en la leyenda de las gráficas son las tensiones obtenidas con Path Operations en ANSYS para la distancia r1. Lo que hemos hecho es definir un camino circular alrededor de la esquina de radio r1 con el comando Define Path, y hallar las tensiones a lo largo de este camino. Primero con el comando Map onto Path especificamos qué queremos representar, que en este caso son las tres componentes tensionales, y posteriormente con Plot Path Item las representamos. Aunque no haya nodos exactamente en este camino, ANSYS hace una interpolación entre los nodos cercanos y saca un valor de las tensiones. No es un resultado tan exacto como el otro, los puntos, que me dan realmente las tensiones en cada nodo, pero da una mayor visibilidad de las tensiones a esa distancia. Lo hemos puesto en esta gráfica a modo de ejemplo, pero no aparecerá en gráficas sucesivas. 4.2 Modificación de α y β en la Configuración 2 Aquí habíamos definido otros tres modelos: Modelo 4: α =45º, β=45º; Modelo 5: α =100º, β=45º, Modelo 6: α=150º, β=15º, que se mostraron en la Tabla 2.6. Pero a diferencia de la Configuración 1, ahora tengo dos esquinas distintas, por lo que tendré que hacer comparaciones entre los diferentes modelos para cada una de las esquinas. 4.2.1 Esquina trimaterial En este apartado voy a estudiar las variaciones de α en la esquina trimaterial, empezando por comparar el Modelo 4 con el 6, ya que ambos tenían el mismo orden de singularidad para esta esquina, y es curioso ver si las tensiones salen iguales o no. Además, compararé el Modelo 4 con el 5, pues el orden de singularidad en el 5 era bastante mayor que en el 4, por lo que suponemos que las tensiones van a salir también mayores. Figura 4.3.- Componentes tensionales en el entorno de la esquina para Modelos 1,2, y 3 :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 165 204 243 282 321 360 ángulo (ϴ) σϴ(MPa) -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 165 204 243 282 321 360 ángulo (ϴ) σrϴ (MPa) (b) (c) 45 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 060 120 180 240 300 360 ángulo (ϴ) σr (MPa) r1_45º r3_45º r1_150º r3_150º (a) -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 060 120 180 240 300 360 ángulo (ϴ) σϴ(MPa) -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 060 120 180 240 300 360 ángulo (ϴ) σrϴ(MPa) (b) (c) Figura 4.4.- Componentes tensionales en el entorno de la esquina trimaterial para Modelos 4 y 6 :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial -6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 060 120 180 240 300 360 σr (MPa) r1_45º r3_45º r1_100º r3_100º (a) 46 Resultados Los ángulos que aparecen en las leyendas de estas gráficas son siempre referidos a α, que es el ángulo influyente en esta esquina y el que estamos modificando. Como podemos ver en la Figura 4.4.- Componentes tensionales en el entorno de la esquina trimaterial para Modelos 4 y 6 :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial, las tensiones son prácticamente iguales entre α=45º y α=150º, donde el orden de singularidad era también prácticamente igual. No podemos comparar estas dos gráficas en el tramo 45<θ <150º, ya que en cada caso hay un material distinto. En cuanto a la Figura 4.5, al igual que pasaba en la Configuración 1, las diferencias entre los dos modelos sólo son apreciables a una distancia r1. La curva de α =100º siempre está por debajo de la de α =45º, dando mayores tensiones, lo mismo que pasaba con el orden de singularidad en α =100º, que era mayor (Figura 2.7). Para θ entre 45 y 100º no podemos comparar las curvas, pues ocurre lo mismo anteriormente comentado con 150º, que en cada caso hay un material distinto en esa franja. 4.2.2 Esquina bimaterial En este apartado voy a comparar las tensiones en la esquina bimaterial para los modelos 4 y 5. El ángulo β no varía entre estos dos, es 45º en ambos casos, pero varía el α de 45º a 100º.Al no variar β, el orden de singularidad en esta esquina no varía, pero al cambiar la geometría del problema podría modificarse algo la K, el FITG. Aun así, las tensiones de esta esquina en ambos modelos deben ser prácticamente iguales y está comprobado en las siguientes gráficas: Figura 4.5.-Componentes tensionales en el entorno de la esquina trimaterial para Modelos 4 y 5:(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 060 120 180 240 300 360 ángulo (θ) σθ(MPa) -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 060 120 180 240 300 360 ángulo (θ) σrθ(MPa) (b) (c) -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σr_β=45º (MPa) r1_alfa 100º r3_alfa 100º r1_alfa 45º r3_alfa 45º (a) 47 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Cuando estudiamos los órdenes de singularidad, vimos que los de esta esquina eran menores que los que se daban en la esquina trimaterial. Vamos a hacer una comparación de las tensiones de esta esquina con las de la esquina trimaterial para α=45º y para α =100º, que era donde se daban las mayores tensiones. -6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σr(MPa) trimat r1_alfa 100º trimat r1_alfa 45º bimat r1_beta 45º -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 135 195 255 315 ángulo (θ) σθ(MPa) -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 135 185 235 285 335 ángulo (θ) σrθ(MPa) (a) -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σθ_β=45º (MPa) -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σrθ_β=45º (MPa) (b) (c) Figura 4.6.-Componentes tensionales en el entorno de la esquina bimaterial para β =45º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial: (b) (c) 48 Resultados Como podemos ver en la figura anterior, siempre las tensiones en la esquina bimaterial están por debajo de la trimaterial. Con α =45º son un poco más iguales, pero con α =100º hay bastante diferencia. No vamos a estudiar por tanto el caso de β =30º, pues esto no haría sino disminuir las tensiones en esta esquina bimaterial según la Figura 2.9, acentuando la diferencia con la otra esquina. 4.3 Modificación del espesor 4.3.1 Configuración 1 En la Tabla 2.7 definimos los modelos 7 y 8 de la Configuración 1 con el espesor modificado, el 7 con doble espesor y el 8 con la mitad de espesor. Vamos a comparar las tensiones obtenidas en estos dos con las del modelo 1, que era la configuración original del Imperial College con α=90º. Nos referiremos a la mitad del espesor con “e/2” y al doble con “2e” Figura 4.7.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina bimaterial, para β=45º y trimaterial, para α =45º y 100º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial -10,0 -9,0 -8,0 -7,0 -6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 ángulo (θ) σr (MPa) r1_e r3_e r1_e/2 r3_e/2 r1_2e r3_2e -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 ángulo (θ) σθ(MPa) -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 ángulo (θ) σrϴ(MPa) (a) (b) (c) Figura 4.8.-Comparación de las componentes tensionales nominales en el entorno de la esquina con los modelos 7 y 8, con α =90º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial 49 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Según las gráficas anteriores, es mínima la influencia sobre las tensiones de dividir o multiplicar el espesor del taco por dos. El único sitio donde podemos notar algo de diferencia es en σ θ, donde las tensiones de 2e son algo mayores que las del espesor nominal. Como de una situación a otra lo único que cambiaba era el factor de intensificación de tensiones generalizado, la K, al no intervenir el espesor en el orden de singularidad, podemos deducir que la K es prácticamente la misma de una situación a otra. 4.3.2 Configuración 2 En la misma tabla anteriorTabla 2.7 tenemos los modelos 9 y 10 de la Configuración 2 con el espesor modificado. El 9 con el doble de espesor y el 10 con la mitad de espesor, ambos con los ángulos predeterminados α= 45º y β =45º. Compararemos igual que antes las tensiones cerca de las esquinas de estos dos modelos, con las tensiones del modelo nominal, modelo 4. Estudio de nuevo las dos esquinas en esta configuración. 4.3.2.1 Esquina trimaterial Los resultados numéricos obtenidos de ANSYS son los siguientes: -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 060 120 180 240 300 360 ángulo (θ) σr(MPa) r1_e r3_e r1_e/2 r3_e/2 r1_2e r3_2e -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 060 120 180 240 300 360 ángulo (θ) σθ(MPa) -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 060 120 180 240 300 360 ángulo (θ) σrθ(MPa) (a) (b) (c) Figura 4.9.- Comparación de las componentes tensionales nominales en el entorno de la esquina con las de los modelos 9 y 10, todos con α =45º:(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial 50 Resultados Como podemos ver en las gráficas anteriores, no hay mucha diferencia en los niveles tensionales al modificar el espesor. En todo caso podríamos resaltar un leve incremento de las tensiones al doblar el espesor, pero es mínimo, con lo que podemos deducir de nuevo en esta situación que el factor de intensificación de tensiones generalizado no habrá cambiado mucho de una situación a otra, al tener el mismo orden de singularidad. 4.3.2.2 Esquina bimaterial En esta esquina sí se nota algo más la influencia de la modificación del espesor, y para que los gráficos sean más claros vamos a representar por separado la comparación del espesor nominal con el doble espesor y la comparación del espesor nominal con la mitad del espesor, empezando por el doble espesor. Como podemos observar aquí sí influye más la modificación del espesor, y las gráficas originales (amarillo y verde) se desplazan bastante (azul y roja) hacia tensiones mayores, hasta el punto de que las tensiones a r1 con el espesor nominal son las mismas que a r3 con el doble de espesor. -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σr(MPa) r1_e r3_e r1_2e r3_2e -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σθ(MPa) -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σrθ(MPa) (a) (b) (c) Figura 4.10.- Comparación de las componentes tensionales nominales en el entorno de la esquina con las del modelo 9, ambos con β =45º:(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial 51 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Con la mitad del espesor las variaciones en tensión son menores, notando únicamente una leve disminución de las tensiones a las dos distancias escogidas: r1 y r3. 4.4 Modificación de la rigidez del taco En esta sección vamos a comparar los resultados de las componentes tensionales en el entorno de las esquinas ya obtenidos para los distintos ángulos, con los obtenidos para las mismas geometrías con la mitad de las rigideces: E11/2, E22/2 y E33/2. Ya vimos la evolución del orden de singularidad en las diferentes esquinas con la rigidez modificiada en la subsección 2.4.4., con lo que vamos a comprobar en este apartado si esa misma evolución es observable en las tensiones. 4.4.1 Configuración 1 Primeramente, compararemos para cada uno de los ángulos (15,40 y 90º) las tensiones en los modelos nominales y en los modelos con la rigidez modificada, y posteriormente haremos una comparativa de los tres modelos con la rigidez modificada, para ver si la evolución de las tensiones en los tres se corresponde con la -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σr(MPa) r1_e r3_e r1_e/2 r3_e/2 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σθ(MPa) -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σrθ(MPa) (a) (b) (c) Figura 4.11.- Comparación de las componentes tensionales nominales en el entorno de la esquina con las del modelo 10, ambos con β =45º:(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial 52 Resultados Figura 2.13, en la que se muestra la evolución del orden de singularidad para Eii/2 conforme modificamos α. Nos referiremos a los resultados con las rigideces nominales como “E”, y a los resultados con las rigideces a la mitad como “E/2”. Como ya explicábamos y veíamos en la Figura 2.13, para este ángulo de α =15º se producía la mayor disminución del orden de singularidad, y aquí podemos observar también una gran disminución de los niveles tensionales para una distancia igual a r1=t1/100. Para r3=t1/3 ya la variación es muy leve. -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 165 204 243 282 321 360 ángulo (θ) σr_α=15º (MPa) r1_E r3_E r1_E/2 r3_E/2 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 165 204 243 282 321 360 ángulo (θ) σθ_α=15º (MPa) (a) -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 165 204 243 282 321 360 ángulo (θ) σrθ_α=15º (MPa) (b) (c) Figura 4.12.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =15º al modificar la rigidez del taco: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial 53 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Como podíamos ver también en la Figura 2.13, para este ángulo era importante la disminución del orden de singularidad, aunque menor que en el caso de 15º, y esto mismo es lo que podemos observar en los resultados tensionales. Sólo observamos esta variación de las tensiones a r1, a r3 no se ven modificadas. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 140 184 228 272 316 360 ángulo (θ) σr_α=40º (MPa) r1_E r3_E r1_E/2 r3_E/2 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 140 184 228 272 316 360 ángulo (θ) σθ_α=40º (MPa) -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 140 184 228 272 316 360 ángulo (θ) σrθ_α=40º (MPa) (a) (b) (c) Figura 4.13.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina para α =40º al modificar la rigidez del taco: (a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial (a) -10,0 -8,0 -6,0 -4,0 -2,0 0,0 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 ángulo (θ) σr_α=90º (MPa) r1_E r3_E r1_E/2 r3_E/2 60 Resultados Como podemos observar en las gráficas anteriores, conforme nos alejamos de la esquina la influencia del radio de curvatura es menor, y las tensiones no se ven modificadas por este. Donde notamos más diferencia es a una distancia r1 igual al radio de curvatura y a una distancia r4 menor al radio de curvatura, y en ambos casos las diferencias antre las dos curvas se dan principalmente en los extremos. Esto es debido a que en el modelo sin curvatura a 90 y 180º tengo las superficies libres, pero en el modelo con curvatura a distancias menores que el radio de curvatura estos dos ángulos no son superficies libres, pues hay material para ángulos menores. Esto causa sin duda diferencia en las tensiones para esos ángulos, 90 y 180º, y ángulos cercanos a estos, pues por ejemplo la tensión circunferencial y tangencial en esos ángulos será cero para el modelo sin curvatura y distinto de cero para el modelo con curvatura cuando la distancia sea menor que el radio (en r4). Lo que hemos estado comentando aparece representado de forma gráfica en las siguientes figuras: Entonces, si obviamos las diferencias debido a las superficies libres en las gráficas de r1 y r4, en el resto del espectro de ángulos las curvas son prácticamente iguales. 4.5.2 Radio 2 El segundo radio de curvatura es igual al espesor del taco entre diez. Representamos los resultados igual que hicimos antes con el primer radio. En todas las gráficas las tensiones representadas en el eje vertical se encuentran en MPa, y en el eje horizontal aparece representado el ángulo θ en grados, ángulo medido desde la horizontal a 0º. -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 90 144 198 252 306 360 σr_r3 r3_Curv_t/5 r3_sin curv -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 90 144 198 252 306 360 σrθ_r3 r3_Curv_t/5 r3_sin curv -1,5 -1,0 -0,5 0,0 90 144 198 252 306 360 σθ_r3 r3_Curv_t/5 r3_sin curv Figura 4.24.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r3=3r Figura 4.225.-Comparación de los puntos situados a una distancia r de la esquina en el modelo con y sin curvatura 61 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Aquí observamos exactamente lo mismo que en el caso anterior. A r2 ya no hay prácticamente influencia del radio de curvatura, y en r1 y r4 las principales diferencias son en las superficies de 90º y 180º por lo ya comentado anteriormente. Con lo que podemos llegar a la conclusión de que un radio de curvatura en la esquina no tiene apenas influencia en el estado tensional. Es por ello por lo que no lo hemos estudiado en el modelo con -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 90 144 198 252 306 360 σθ_r1 r1_Curv _t/10 r1_sin curv -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 90 144 198 252 306 360 σrθ_r1 r1_Curv _t/10 r1_sin curv -6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 90 144 198 252 306 360 σr_r1 r1_Curv _t/10 r1_sin curv Figura 4.256.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r1=r -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 90 144 198 252 306 360 σθ_r2 r2_Curv_t/10 r2_sin curv -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 90 144 198 252 306 360 σrθ_r2 r2_Curv_t/10 r2_sin curv -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 90 144 198 252 306 360 σr_r2 r2_Curv_t/10 r2_sin curv Figura 4.247.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r2=1,5·r -1,5 -1,0 -0,5 0,0 90 144 198 252 306 360 σθ_r3 r3_Curv_t/10 r3_sin curv -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 90 144 198 252 306 360 σrθ_r3 r3_Curv_t/10 r3_sin curv -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 90 144 198 252 306 360 σr_r3 r3_Curv_t/10 r3_sin curv Figura 4.238.-Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina con y sin radio de curvatura para una distancia r3=3r 62 Resultados adhesivo, ya que hemos corroborado lo que pensábamos a priori, que a distancias mayores del radio de curvatura las tensiones no se ven alteradas por incluir un radio de curvatura en la esquina. 4.6 Verificación de los resultados obtenidos En la expresión asintótica de las tensiones que introducíamos en el segundo capítulo aparecen infinitos términos, es un desarrollo en serie. Pero de todos estos términos hay algunos que son singulares, los que tienen el orden de singularidad δ =1-λ >0, y otros que no. A distancias muy pequeñas de la esquina serán predominantes los términos singulares, ya que estos se irán a infinito. Por lo tanto, lo que vamos a hacer en este apartado es demostrar que quedándonos sólo con los términos singulares del desarrollo en serie podemos aproximar de una manera bastante exacta la solución del problema, la numérica que hemos hallado ya previamente. Para ello, vamos a calcular las tensiones mediante la expresión asintótica, quedándonos sólo con los términos singulares, y vamos a comprobar que las tensiones calculadas de esta manera coinciden con las halladas mediante elementos finitos. 𝜎𝑖𝑗(𝑟,𝜃)= ∑ 𝐾𝑘 (𝑟 𝐿)1−𝜆 𝑘 𝑓𝑖𝑗𝑘(𝜃)+𝜎𝑖𝑗0(𝜃) 𝑛 𝑘=1 Ecuación 4.1.-Expresión asintótica de las tensiones Para hacer esta comprobación nos centraremos en un caso sencillo, la configuración original del ensayo del Imperial College, con el taco a 90º. Para esta configuración ya tenemos calculadas las tensiones mediante elementos finitos, lo que nos queda es calcular las tensiones mediante el desarrollo en serie. Escogeremos como distancia “r” a la que calculamos las tensiones la distancia r1=espesor taco/100=0,016. Ya hablamos anteriormente de que el orden de singularidad está representado por δ=1-λ, y este dato nos lo proporciona el programa desarrollado en Mathematica al meter el fichero de entrada que explicamos en el capítulo segundo, el cual debe contener toda la información relativa a los materiales en contacto y la geometría local de la esquina. Para este caso, nos encontramos con dos órdenes de singularidad reales: δ1=0,488341 y δ2=0,126882, por lo que el desarrollo en serie contaría con dos términos singulares. Otro término que aparece en la ecuación es fijk(θ), que son las funciones características, que dependen únicamente del ángulo sólido θ. Estas funciones también nos las proporciona el programa de Mathematica, y me las da, al igual que los órdenes de singularidad, con una alta precisión, tan alta como la precisión de la máquina. Por último, quedaría la obtención de los factores de intensificación de tensiones Kk. Estos se calculan minimizando la función de error cuadrático π, que ya nombramos en la revisión bibliográfica del primer capítulo. Esta función me evalúa el error entre las tensiones obtenidas mediante elementos finitos y las tensiones obtenidas mediante el desarrollo en serie, que sólo están en función de las Kk, al ser ya el resto de los términos conocidos. Derivando e igualando a cero hallamos las únicas dos incógnitas: K1 y K2. En este caso K1=-0,49 y K2=0,0895. Por último, representamos las tensiones obtenidas de forma numérica y analítica en la siguiente gráfica: Figura 4.269.-Configuración en la que realizamos la comprobación, con taco a 90º 63 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Como podemos observar en esta figura, los resultados numéricos y analíticos se ajustan perfectamente, verificando con esto que la representación del estado tensional con los dos términos singulares es representativa de la solución del problema. Esto significa que conociendo λ y K puedo ajustar bien la solución del problema, sin necesidad de hacer un modelo de elementos finitos. Figura 4.30.-Ajuste de los resultados obtenidos mediante MEF y desarrollo en serie -10,00 -8,00 -6,00 -4,00 -2,00 0,00 2,00 4,00 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 Tensiones (MPa) ángulo (θ) sigma r_MEF sigma theta_MEF sigma rtheta_MEF sigma r_series sigma theta_series sigma rtheta_series 64 Resultados 65 5 ANÁLISIS DE RESULTADOS En este capítulo comentaremos globalmente los resultados obtenidos y mostrados en el capítulo anterior, a la vez que hacemos un análisis de las distintas configuraciones más favorables. Empezaremos interpretando la forma de las componentes tensionales (5.1), posteriormente pasaremos a dar una visión general de los resultados incluyendo algunas conclusiones obtenidas (5.2) y por último hablaremos de las configuraciones óptimas, haciendo alguna comparación entre diferentes configuraciones (5.3). 5.1 Interpretación componentes tensionales Las componentes tensionales que hemos obtenido en los resultados están en coordenadas polares, σ r, σ θ y σ rθ, y en la figura de la derecha podemos ver estas mismas tensiones representadas en un punto material cualquiera de coordenadas (r, θ). Estas, como hemos podido ver en el capítulo anterior, tienen siempre la misma forma, y a ésta podemos darle una breve interpretación. La tensión circunferencial y la tangencial deben ser cero en las superficies libres para cumplir con las condiciones de contorno, y así lo son en todas las gráficas que hemos obtenido de la Configuración 1 y la esquina bimaterial de la Configuración 2, que es donde tenemos esquinas abiertas. También hemos podido observar en las gráficas que la tensión radial σ r es discontinua en ciertos ángulos. Esto es debido a las interfases de los materiales que forman la esquina, ya que tenemos dos valores de la tensión radial en ese punto, uno para cada material, por lo que la gráfica tendrá una discontinuidad. Por último, hablar de los valores máximos y mínimos de estas gráficas. Como hemos podido observar en las gráficas obtenidas, la tensión circunferencial es siempre máxima en 270º. Si nos fijamos en la Figura 5.1.- Componentes tensionales en coordenadas polares a θ =270º esta componente tiene la dirección longitudinal de la probeta x, la dirección en la que estamos aplicando la compresión, por lo que es completamente esperado que ahí la tensión σ θ sea máxima. Y en cuanto a la tensión radial, los valores más altos de tensión se dan siempre para θ =180º y θ =360º, que es cuando la tensión radial lleva la dirección longitudinal x, igual que lo que pasaba con la circunferencial. La componente radial vale cero en 270º, cuando la circunferencial era máxima, pues en ese ángulo toda la compresión la absorbe la tensión circunferencial, siendo cero también la tensión tangencial en valores de θ cercanos a ese ángulo. Algo importante a la hora de analizar los resultados obtenidos es remarcar que estamos trabajando con un material compuesto, cuya resistencia no es la misma en todas las direcciones. Por lo tanto, el valor máximo de la curva tensional no es el parámetro que marca el fallo de la probeta, ya que en ese punto las tensiones llevan la dirección longitudinal, dirección de las fibras en la que la resistencia es muy grande. Que el valor máximo de la tensión sea menor a la tensión de rotura del material en esa dirección, dirección de la fibra, no implica que en otra dirección un valor mucho más bajo de la tensión cause el fallo, debido a la baja resistencia que tiene el material en cualquier otra dirección que no sea la de la fibra, especialmente en la transversal. Una tensión importante a la hora del fallo en nuestro caso sería la tensión circunferencial en las interfases de 0º y 180º, pues tiende a separar los materiales, que están unidos con adhesivo, o la tensión circunferencial en la probeta para ángulos cercanos a 0º y 180º, donde la resistencia del tejido es muy baja. Pero por todo lo comentado es muy difícil saber si la probeta falla o no y por qué punto. 5.2 Visión general del conjunto de resultados A lo largo de este trabajo hemos realizado muchas modificaciones paramétricas, de las cuales algunas cambiaban el orden de singularidad y otras no. Lo que hemos podido observar en los resultados es que Figura 5.1.-Componentes tensionales en coordenadas polares 66 Análisis de resultados conociendo la variación que experimentaba el orden de singularidad con la modificación de un cierto parámetro, en aquellos casos en los que la había, es decir, rigidez del material y ángulos, hemos podido predecir la variación que iban a experimentar las tensiones. En todos los casos si el orden de singularidad aumentaba, las tensiones lo hacían, y si éste disminuía, las tensiones disminuían. Además, el valor del orden de singularidad en la esquina de cada configuración nos ha permitido también saber a priori cuál configuración iba a ser más favorable, la que tenía un menor orden de singularidad, cosa que hemos contrastado con los resultados. El factor de intensificación de tensiones no ha jugado un papel muy importante en estas modificaciones geométricas de ángulos, porque la geometría que hemos modificado ha sido siempre en una zona local muy pequeña respecto al problema global, con lo que la K, afectada por la geometría y condiciones de contorno del problema completo, no ha cambiado mucho de una situación a otra. Esto lo hemos podido comprobar en configuraciones que tenían igual orden de singularidad a pesar de ser distinta la geometría. A la hora de sacar los resultados numéricos hemos visto que las tensiones eran prácticamente las mismas en ambas situaciones, dejando claro que el factor de intensificación de tensiones es el mismo en ambas. En las modificaciones que no afectaban al orden de singularidad como la del espesor del taco, hemos visto que las tensiones tampoco se veían apenas modificadas, con lo que podemos deducir de esto que de nuevo el factor de intensificación de tensiones no ha variado de una situación a otra. En cuanto a la última modificación que hemos realizado, la del radio de curvatura en la esquina, como ya hemos comentado, no tiene apenas influencia. Las tensiones siguen siendo igualmente muy altas, y sólo a distancias menores que el radio de curvatura podríamos notar alguna disminución, pero es igualmente muy leve. 5.3 Configuración más óptima Con todos los resultados obtenidos en el capítulo anterior, podemos analizarlos y ver cuál es la configuración de la que resultan menores tensiones en el entorno de la esquina, esto es, la optimizada. Nos fijaremos en principio sólo en las modificaciones geométricas, ya que sabemos que al reducir la rigidez del taco a la mitad las tensiones siempre van a disminuir, con lo que esto sería una modificación a realizar a posteriori, una vez optimizada la configuración geométricamente. De las modificaciones geométricas realizadas, espesor del taco, ángulos y radio de curvatura en la esquina, hemos visto que las que más influyen en el nivel tensional son las modificaciones relativas a los ángulos, pues modifican el orden de singularidad de la esquina. Entonces, en la Configuración 1, sin adhesivo, tenemos que las menores tensiones se consiguen con el menor ángulo α posible, esto es, 15º. Y en la Configuración 2, fijándonos en la esquina trimaterial que es la más importante, se consiguen para α =45º y α =150º, ambos con el mismo orden de singularidad y con niveles tensionales prácticamente iguales. Es importante destacar en este momento el acierto que tuvieron en el Imperial College al escoger el ángulo del adhesivo-probeta 45º en la segunda configuración. Es un valor de ángulo típico, ángulo que escogeríamos la 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 15 45 75 105 135 165 δ alfa Órdenes de singularidad esquina trimaterial Re (raíz 1) Im (Raíz 1) Figura 5.2.-Esquina trimaterial Configuración 2, esquema y orden de singularidad, destacado para α =45º 67 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto mayoría para diseñar una nueva configuración, pero da la casualidad de que para este valor de α hay un mínimo local en los órdenes de singularidad como podemos observar en la Figura 5.2, y sólo tenemos menores valores de δ para ángulos ya muy grandes, mayores de 150º. Es por ello que consiguieron esta brusca reducción de las tensiones al pasar de la Configuración 1 con α =90º a la Configuración 2 con α =45º, pues pasaron de una situación con un orden de singularidad altísimo en la esquina, cercano a 0,5, a un orden bastante bajo, cercano a 0,2. Es muy difícil, entonces, conseguir una situación en la que tengamos menores tensiones que en la Configuración 2 con α =45º. La única opción sería con el ángulo α =15º en la Configuración 1, que ya hemos comentado que es una situación en la que tengo unas tensiones muy bajas. El orden de singularidad ahí es incluso algo menor que para α =45º en la esquina trimaterial. Vamos a hacer, pues, una comparación de estas dos situaciones. Hemos comparado dos situaciones completamente distintas, una con un adhesivo formando un ángulo de 45º con la probeta, y otra simplemente con el taco formando 15º con la probeta, y podemos ver en la Figura 5.3 que las tensiones son prácticamente iguales en el entorno de las dos esquinas. Hay rangos de ángulos en los que -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 165 204 243 282 321 360 ángulo (θ) σr(MPa) Config 1_alfa 15º_r1 Config 1_alfa 15º_r3 Config 2_alfa 45º_r1 Config2_alfa 45º_r3 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 165 204 243 282 321 360 ángulo (θ) σrθ (MPa) -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 165 204 243 282 321 360 ángulo (θ) σθ(MPa) (b) (a) (c) Figura 5.3.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina trimaterial de la Config. 2, para α =45º y de la esquina de la Config. 1, para α =15º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c) tensión tangencial 68 Análisis de resultados las tensiones son algo menores para la Configuración 1, lo que se corresponde con su orden de singularidad algo más bajo, pero a grandes rasgos podemos decir que tenemos el mismo nivel tensional en ambas situaciones. Y esto lo podíamos sospechar a priori simplemente viendo que tenían un orden de singularidad aproximado. Por lo tanto, podemos deducir que cualquiera de estas dos situaciones sería la más óptima geométricamente. Acabamos de obtener la configuración más óptima geométricamente con las rigideces nominales, dejando de lado en todo momento la esquina bimaterial de la Configuración 2 porque la trimaterial dijimos que era más importante. Pero al disminuir la rigidez del taco, que disminuye las tensiones como hemos visto, puede que cambie el papel de esta esquina, por ello vamos a dedicarle un apartado a analizar su importancia dentro de la Configuración 2. 5.3.1 Importancia esquina bimaterial En el capítulo 2, cuando hablamos de las singularidades, razonamos que las tensiones de esta esquina no se veían modificadas al cambiar la rigidez del taco. También tenemos en la Figura 4.7.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina bimaterial, para β=45º y trimaterial, para α =45º y 100º :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial la comparación de las tensiones en la esquina bimaterial para β =45º con las tensiones en la esquina trimaterial para α =45º y 100º, y veíamos como para α =45º había zonas de la gráfica en la que las tensiones en la esquina trimaterial y bimaterial eran muy cercanas, casi iguales. Como al modificar la rigidez del taco las tensiones de la esquina trimaterial disminuyen y las de la esquina bimaterial se quedan igual, puede que las de las trimaterial se acerquen aún más a las de la esquina bimaterial, con lo que la esquina bimaterial iría ganando importancia en el fallo de la probeta. Para α =45º las tensiones disminuyen muy poco al modificar la rigidez; la variación es mayor para 150º, ángulo que con la rigidez original vimos que tenía unas tensiones muy similares al modelo de 45º, pues tenían el mismo orden de singularidad. Vamos a comparar entonces en este apartado las tensiones en la esquina bimaterial para β =45º, que son las mismas que ya obtuve en la subsección 4.2.2., con las tensiones en la esquina trimaterial para α =150º con las rigideces a la mitad, ya que al experimentar las tensiones para en este ángulo una variación mayor que para 45º al cambiar la rigidez, las tensiones para α =150º con E/2 se acercarán más a las de la esquina bimaterial que si las comparase con las de α =45º. Figura 5.4.-Situaciones más óptimas comparadas en la Figura 5.3 69 Revisión de la determinación de la resistencia a compresión en laminados gruesos de material compuesto Como vemos en esta figura, las tensiones de la esquina trimaterial y bimaterial se han igualado, siendo entonces ya las dos esquinas iguales de importantes en el fallo de la probeta. Teniendo ambas esquinas el mismo nivel tensional, cualquiera nueva modificación a realizar sobre este modelo debería de perseguir la disminución del nivel tensional en ambas esquinas, ya que si sólo disminuye una de ellas no habremos mejorado nada. -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σθ(MPa) Figura 5.5.- Comparación de las componentes tensionales en el entorno de la esquina bimaterial, para β=45º y trimaterial, para α =150º con la rigidez modificada a la mitad :(a) tensión radial (b) tensión circunferencial (c)tensión tangencial -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σrθ(MPa) -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 135 160 185 210 235 260 285 310 335 360 ángulo (θ) σr (MPa) bimat_r1_beta 45º bimat_r3_beta 45º trimat_r1_alfa 150º trimat_r3_alfa 150º (a) (c) (b)