Análisis modal experimental en un vehículo de competición

I ––––– Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Autor: Rafael Prieto Álamos Tutor: Daniel García Vallejo Análisis modal experimental en un vehículo de competición Dep. Ingeniería Mecánica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 II III Proyecto Fin de Grado de Ingeniería de Tecnologías Industriales Análisis modal experimental en un vehículo de competición Autor: Rafael Prieto Álamos Tutor: Daniel García Vallejo Profesor titular Dep. de Ingeniería Mecánica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 IV V Proyecto Fin de Carrera: Análisis modal experimental en un vehículo de competición Autor: Rafael Prieto Álamos Tutor: Daniel García Vallejo El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El Secretario del Tribunal VI VII A todo aquel que sabe que lo merece. VIII IX AGRADECIMIENTOS Tras cuatro intensos años de esfuerzo y sacrificio son muchas las personas con las que estoy en deuda por haberme facilitado o, por el contrario, por no haberle facilitado yo uno de los más preciados recursos con los que cuenta un ser humano, el tiempo. Es por esto por lo que agradezco enormemente a mi familia y amigos la paciencia y tesón con el que han soportado el trascurso de esta andadura estudiantil. No estaría escribiendo estas palabras si no fuese por el apoyo que me brindan día tras día. De igual forma han sido muchos los profesores que, además de la formación académica, me han guiado para llegar a ser un gran ingeniero. Espero que así sea. A todos vosotros, gracias. Así también he de agradecer al ARUS Andalucía Racing Team por confiarme su monoplaza para la realización de estos ensayos, con la responsabilidad que esto conlleva, al igual que la ayuda proporcionada para la realización de los mismos. Rafael Prieto Álamos Sevilla, 2018 XVI Aplicación del método a los datos del ensayo ......................................................................................... 70 6.4.1 Análisis de resultados ........................................................................................................................ 73 7 Conclusiones ........................................................................................................................................ 75 Conclusiones .............................................................................................................................................. 75 8 Referencias .......................................................................................................................................... 77 9 Anexo ................................................................................................................................................... 79 Planos ......................................................................................................................................................... 79 9.1.1 Apoyo ................................................................................................................................................. 80 9.1.2 Base del Actuador ............................................................................................................................. 81 XVII ÍNDICE DE TABLAS Tabla 5-1. Frecuencias naturales amortiguadas aproximadas con FRF. 41 Tabla 6-1. Autovalores Sist. 3 gdl en desplazamiento sin ruido. 51 Tabla 6-2. Autovalores Sist. 3 gdl en desplazamiento con ruido. 53 Tabla 6-3. MCF del 1º autovalor, sist. 3 gdl, desplaz. con ruido. 54 Tabla 6-4. MCF del 2º autovalor, sist. 3 gdl, desplaz. con ruido. 54 Tabla 6-5. Autovalores Sist. 3 gdl en desplazamiento con ruido y otras c.i. 54 Tabla 6-6. MCF del 2º autovalor, sist. 3 gdl, desplaz. con ruido y otras c.i. 55 Tabla 6-7. Modo 2 Sist. 3 gdl en desplazamiento con ruido y otras c.i. 55 Tabla 6-8. Autovalores Sist. 3 gdl en aceleración con ruido. 56 Tabla 6-9. MCF del 2º autovalor, sist. 3 gdl, acel. con ruido. 56 Tabla 6-10. MCF del 3º autovalor, sist. 3 gdl, acel. con ruido. 57 Tabla 6-11. Modo 2 Sist. 3 gdl en aceleración con ruido. 57 Tabla 6-12. Modo 3 Sist. 3 gdl en aceleración con ruido. 57 Tabla 6-13. Modos Sist. 7 gdl. 62 Tabla 6-14. Modos en forma exponencial Sist. 7 gdl. 62 Tabla 6-15. Autovalores Sist. 7 gdl en aceleración con ruido. 64 Tabla 6-16. MCFs sist. 7 gdl, acel. con ruido. 64 Tabla 6-17. Modo 5 Sist. 7 gdl en aceleración con ruido. 65 Tabla 6-18. Modo 7 Sist. 7 gdl en aceleración con ruido. 65 Tabla 6-19. Autovalores Sist. 7 gdl en aceleración con ruido filtrado. 68 Tabla 6-20. Modo 5 Sist. 7 gdl en aceleración con ruido filtrado. 68 Tabla 6-21. Modo 7 Sist. 7 gdl en aceleración con ruido. 69 Tabla 6-22. Resultados finales sist. 7 gdl. 69 Tabla 6-23. Resultados finales ART-17. 72 Tabla 6-24. Resultados finales ART-17 en forma exponencial. 72 XVIII XIX ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1. ART 17 [3]. 2 Figura 2.1. Banco de ensayo. 5 Figura 2.2. Elementos auxiliares. 6 Figura 2.3. Modelo 3D del apoyo. 7 Figura 2.4. Puntos sometidos a mayores tensiones (ensayo 1). 8 Figura 2.5. Puntos sometidos a mayores tensiones (ensayo 1) (Detalle). 8 Figura 2.6. Puntos sometidos a mayores tensiones (ensayo 2). 9 Figura 2.7. Puntos sometidos a mayores tensiones (Detalle) (ensayo 2). 9 Figura 2.8. Base para actuador. 10 Figura 2.9. Pieza de unión entre el actuador y la base. 10 Figura 2.10. Puntos sometidos a mayores tensiones en la base del actuador. 11 Figura 2.11. Puntos sometidos a mayores tensiones en la base del actuador (Detalle). 11 Figura 3.1. Esquema de la colocación de los tornillos en las guías. 13 Figura 3.2. Esquema 3D de un apoyo colocado. 14 Figura 3.3. Montaje del actuador. 14 Figura 3.4. Montaje del actuador (Detalle). 15 Figura 3.5. Montaje completo. 15 Figura 3.6. Montaje real para el ensayo. 16 Figura 3.7. Montaje real para el ensayo (2). 16 Figura 3.8. Rueda con actuador Figura 3.9. Rueda con apoyo. 17 Figura 3.10. Detalle anclaje de apoyos y actuador. 17 Figura 4.1. Perforación de las placas de circuito impreso. 19 Figura 4.2. Placa de acelerómetro económico soldada. 20 Figura 4.3. Esquema de pines de la Mbed [6]. 21 Figura 4.4. Cable de seis filamentos. 21 Figura 4.5. Protoboard con todas las conexiones y el microcontrolador. 22 Figura 4.6. Esquema del posicionamiento de los acelerómetros. 22 Figura 4.7. Acelerómetros de las ruedas traseras. 23 Figura 4.8. Acelerómetros de las ruedas delanteras (por la cara interna). 23 Figura 4.9. Acelerómetro del chasis (zona del asiento del piloto). 23 Figura 4.10. Acel. de bajo coste en ruedas delanteras. 24 XX Figura 4.11. Acel. de bajo coste en ruedas traseras (parte interna). 24 Figura 5.1. Fragmento de un registro en vibración libre. 27 Figura 5.2. Vibración forzada acelerómetro 1 a 2.5 Hz. 28 Figura 5.3. Fragmento de un registro de vibración libre con duplicación de datos. 29 Figura 5.4. Vibración forzada, 1 Hz, acelerómetro 3. 30 Figura 5.5. Vibración forzada, 2.5 Hz, acelerómetro 3. 30 Figura 5.6. Vibración forzada, 5 Hz, acelerómetro 3. 30 Figura 5.7. Vibración forzada, 7.5 Hz, acelerómetro 3. 31 Figura 5.8. Vibración forzada, 10 Hz, acelerómetro 3. 31 Figura 5.9. Vibración forzada, 16 Hz, acelerómetro 3. 31 Figura 5.10. Vibración forzada, 20 Hz, acelerómetro 3. 32 Figura 5.11. Vibración forzada, 25 Hz, acelerómetro 3. 32 Figura 5.12. Vibración forzada, 2.5 Hz, acelerómetro 2. 33 Figura 5.13. Vibración forzada, 5 Hz, acelerómetro 2. 33 Figura 5.14. Vibración forzada, 10 Hz, acelerómetro 4. 34 Figura 5.15. Vibración forzada, 20 Hz, acelerómetro 2. 34 Figura 5.16. Vibración forzada, 25 Hz, acelerómetro 4. 34 Figura 5.17. FRF de la posición 2. 35 Figura 5.18. FRF de la posición 3. 35 Figura 5.19. FRF de la posición 4. 35 Figura 5.20. FRF de la posición 5. 36 Figura 5.21. FRF de la posición 1, acel. alta calidad. 36 Figura 5.22. FRF económicos normalizadas con máximos=1, superpuestas. 37 Figura 5.23. FRF alta calidad normalizadas con máximos=1, superpuestas. 37 Figura 5.24. Vibración libre del acel. 3. 38 Figura 5.25. Detalle de la Figura 5.24. 38 Figura 5.26. FRF Libre 1 mm, Acel. 3. 39 Figura 5.27. FRF Libre 2 mm, Acel. 4. 39 Figura 5.28. FRF Libre 3 mm, Acel. 1. 39 Figura 5.29. FRF de Vib. Libre acel. 1. 40 Figura 5.30. FRF de Vib. Libre acel. 2. 40 Figura 5.31. FRF de Vib. Libre acel. 3. 40 Figura 5.32. FRF de Vib. Libre acel. 4. 41 Figura 5.33. FRF de Vib. Libre acel. 5. 41 Figura 6.1. Sistema de masas con 3 gdl [7]. 47 Figura 6.2. Respuesta en desplazamiento del sistema de 3 gdl. 49 Figura 6.3. Respuesta en desplazamiento del sistema de 3 gdl con ruido. 49 Figura 6.4. Respuesta en aceleración del sistema de 3 gdl. 49 Figura 6.5. Respuesta en aceleración del sistema de 3 gdl con ruido. 50 XXI Figura 6.6. Barrido para 𝛥𝑡 en desplazamiento sin ruido. 50 Figura 6.7. Barrido para 𝛥𝜏 en desplazamiento sin ruido. 51 Figura 6.8. Barrido para 𝛥𝜏 en desplazamiento sin ruido. 51 Figura 6.9. Barrido para 𝛥𝑡 en desplazamiento con ruido. 52 Figura 6.10. Barrido para 𝛥𝜏 en desplazamiento con ruido. 53 Figura 6.11. Barrido para 𝛥𝜏2 en desplazamiento con ruido. 53 Figura 6.12. Modelo de un vehículo (7 gdl). 58 Figura 6.13. Esquema de simplificación de desplazamientos. 58 Figura 6.14. Desplazamientos Modelo Coche 7 gdl. 60 Figura 6.15. Aceleraciones Modelo Coche 7 gdl. 61 Figura 6.16. Aceleraciones Modelo Coche 7 gdl (Detalle componentes de pequeña amplitud). 61 Figura 6.17. Detalle aceleraciones (𝑚/𝑠2) Modelo Coche 7 gdl con ruido. 66 Figura 6.18. Detalle aceleraciones (𝑚/𝑠2) Modelo Coche 7 gdl con ruido filtrado. 66 Figura 6.19. Barrido del MCF en 𝛥𝜏 sin filtrar. 67 Figura 6.20. Barrido del MCF en 𝛥𝜏 filtrado. 67 Figura 6.21. Aceleraciones del ART-17 filtradas con A=3 mm. 71 Figura 6.22. Barrido de frecuencias para 𝛥𝜏 71 Figura 6.23. Barrido del MCF en 𝛥𝜏 71 XXII XXIII NOTACIÓN A* Conjugado e Número e sen Función seno Cos Función coseno tg Función tangente MEF Método de los Elementos Finitos FRF Función de Respuesta en Frecuencia ITD Ibrahim Time Domain Method MCF Modal Confidence Factor gdl Grado(s) de libertad c.d.g. Centro de gravedad g Gravedad p Número de estaciones N Número de gdl ℝ2N Espacio vectorial de tamaño 2N m Matriz de masa k Matriz de rigidez c Matriz de amortiguamiento 𝐼𝛼 Momento de inercia con giro α 𝐼𝛽 Momento de inercia con giro β 𝝐 Pertenece a x Matriz del historial de desplazamientos x Vector de coordenadas normales N y Vector de coordenadas modales 2N 𝒙󰇗,𝒙󰇘 Primera y segunda derivada temporal XXIV A Matriz cuadrada del método de superposición modal tamaño 2N B Matriz cuadrada del método de superposición modal tamaño 2N 𝜆 Autovalor 𝝍 Autovector 𝛼 Ángulo de alabeo o roll del modelo de 7 gdl 𝛽 Ángulo de cabeceo o pitch del modelo de 7 gdl z Desplazamiento vertical del c.d.g. del modelo de 7 gdl 𝑥𝑠𝑖 Desp. vertical de la masa semisuspendida de la rueda i 𝑥𝑖 Desp. vertical de la esquina i del chasis del modelo de 7 gdl q Vector de coordenadas generalizadas. h Paso temporal de captación de datos s Número de registros de tiempo tomados para el ITD Δ𝑡 Desplazamiento temporal para la aplicación del ITD Δτ Desplazamiento temporal para duplicar p (ITD) Δτ2 Desplazamiento temporal para triplicar p (ITD) 𝒙(𝑡) Vector de respuesta en vibración libre en 𝑡 (ITD) 𝒙’(𝑡) Vector de respuesta en vibración libre en 𝑡+Δτ (ITD) 𝑿,𝑿𝚫𝒕,𝑿𝟐𝜟𝒕 Matrices de respuesta en vibración libre (ITD) Nxs { }     Matriz con retraso Δ𝑡 (ITD) { }     Matriz con retraso 2Δ𝑡 (ITD) 𝒁,𝒁 ,𝒁  Matrices del ITD Nx2N 𝚲 Matriz de exponenciales (ITD) 2Nx2N 𝝌,𝝌  Matrices de respuesta en vibración libre (ITD) 2Nxs 𝚯,𝚯  Matrices del problema de autovalores y autovectores 2Nx2N (ITD) 𝜽𝒓,𝜽 𝒓 Columna r de las matrices 𝚯 y 𝚯  (ITD) 𝒛𝑒𝑥𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 Vector del modo esperado para el MCF 𝜔 Frecuencia natural, módulo del autovalor 𝜔𝑑 Parte imaginaria del autovalor, frecuencia natural amortiguada 𝜎 Parte real del autovalor 1 1 INTRODUCCIÓN Reseña histórica Existen evidencias de las primeras estructuras artificiales que datan de hace miles de años (13 000 a.C.). A lo largo del tiempo estas estructuras han evolucionado a la vez que lo hacía el propio ser humano, dando cobertura a las necesidades de cada momento de la historia. Comenzando con pequeñas cabañas construidas con palos de madera y pieles, hasta los rascacielos y puentes de la actualidad. Conforme iba aumentando la complejidad de estas estructuras además de realizar funciones de mayor importancia, fue necesario conocer de qué forma se iban a comportar en ciertas situaciones. La forma en la que el viento excita un edificio, el perfil de una carretera bajo las ruedas de un vehículo, incluso el ritmo con el que caminan las personas sobre un puente, pueden acarrear situaciones críticas para esas estructuras. Una de las situaciones más crítica que puede darse en una estructura es su excitación con unas fuerzas cuya intermitencia se produzca a una frecuencia de valor cercano a alguna de las frecuencias características (naturales) del sistema. Estas frecuencias provocan un aumento desproporcionado de las amplitudes de vibración del sistema, entrando en resonancia y consiguiendo unos desplazamientos que pueden llevar incluso al colapso de la estructura si esta no cuenta con los elementos de amortiguamiento adecuados. Para evitar estas situaciones, la gran mayoría de los ejércitos rompen su paso cuando atraviesen puentes o viaductos. La frecuencia del paso de los soldados puede excitar el puente en un rango de frecuencias próximo a una de sus frecuencias naturales. Un claro ejemplo de una situación imprevista obligó a cerrar el Millenium Bridge de Londres dos días después de su inauguración. Un excesivo tránsito de personas sobre su tablero y una coordinación azarosa del ritmo al que caminaban provocó que el puente oscilase horizontalmente de manera considerable. De tal forma, estas oscilaciones incitaron una coordinación todavía mayor de la forma de caminar de los viandantes, lo que aumentó la amplitud de las oscilaciones. Afortunadamente este puente no llegó a colapsar por esta excitación, pero debió ser remodelado para aumentar el amortiguamiento de sus componentes y reducir la posibilidad de que volviese a ocurrir. Por todo esto, conocer las características que rigen el comportamiento de las estructuras se ha convertido en un requisito indispensable a la hora de realizar diseños y construcciones. Para obtener estas características dinámicas en estructuras de gran complejidad que ya ha sido construidas, de sistemas de los cuales no pueden realizarse un modelo analítico o de modelos a escala de estas, puede hacerse uso del análisis modal experimental. Introducción al Análisis Modal Para ubicar la necesidad de realización de este análisis cabe comenzar definiendo qué es el análisis modal. Un análisis modal es un tipo de análisis a partir del cual se pueden conseguir las características que describen el comportamiento dinámico de un sistema. Con estas se puede llegar a definir el modelo dinámico lineal de la estructura. Los parámetros modales que se analizan generalmente son: las frecuencias de resonancia, la amortiguación y el patrón de vibración o forma modal de la resonancia (modos de vibración) [1]. Una vez conocidos estos parámetros, cabe la posibilidad de simular el comportamiento de nuestra estructura ante una excitación vibratoria que, predeciblemente, pueda sufrir durante su vida útil y analizar la respuesta. Esta es la utilidad principal de este tipo de análisis. Por otro lado, también es posible realizar modificaciones en el Diseño del Utillaje 8 𝑔 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎=𝑃∗𝐴𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑚=70 𝑘𝑃𝑎∗(0.32∗0.32) 𝑚2 230 𝑘𝑔 =3.12 𝑔 Teniendo en cuenta que, contando con el g correspondiente al propio peso, la máxima aceleración que se puede inducir en el vehículo sin que este despegue del apoyo son 2g, con esto se garantiza que nuestro diseño cumple holgadamente en este aspecto. Una vez que se tiene la aproximación de la carga a soportar por el apoyo y sabiendo que se ha mayorado lo suficiente como para contar con un margen de seguridad adecuado, se puede proceder a realizar el análisis mediante el método de los elementos finitos (MEF). Se han aplicado como condiciones de contorno la imposibilidad de movimiento de las bases inferiores. Haciendo uso del programa Catia® se obtienen los siguientes resultados (Las deformaciones que aparecen se encuentran sobredimensionadas para que pudiesen ser apreciables): Figura 2.4. Puntos sometidos a mayores tensiones (ensayo 1). Figura 2.5. Puntos sometidos a mayores tensiones (ensayo 1) (Detalle). Análisis modal experimental en un vehículo de competición 9 Donde se puede comprobar que no se está superando el límite elástico del acero (200 MPa) en ningún punto de la estructura, lo que nos indica que los perfiles y espesores son adecuados (Planos en el Anexo). El segundo estudio que se ha realizado es aplicando una carga distribuida lateral sobre el filo de la base superior con valor 5.000 N y que puede simular 5 veces la fuerza que puede ejercer una persona empujando la estructura o el caso de que la vibración produzca algún desplazamiento horizontal. Los resultados son los mostrados en las Figura 2.6. y Figura 2.7. Figura 2.6. Puntos sometidos a mayores tensiones (ensayo 2). Figura 2.7. Puntos sometidos a mayores tensiones (Detalle) (ensayo 2). Lo más importante, tanto de estas pruebas como de las anteriores, es observar con detenimiento el comportamiento de las zonas más críticas de los apoyos, como pueden ser la propia placa de apoyo de la rueda Diseño del Utillaje 10 o las vigas transversales. Teniendo en cuenta que no se incluían radios de acuerdo en el diseño ensayado y que en el modelo real las uniones se realizarán mediante soldaduras, los concentradores de tensión se verán reducidos por los radios de acuerdo que estas crean. Además, viendo que las zonas más críticas se encuentran en las partes con mayores concentradores (como las esquinas) y que aun así cumplen con las limitaciones de nuestro material, no nos cabe duda de que no existirá problema alguno durante el uso de los soportes. Diseño de la base del actuador La segunda parte del proceso de diseño consiste en la creación de un elemento cuya función es hacer de pieza de unión entre el actuador y la rueda de que está siendo excitada. Los requisitos de diseño son similares a los descritos previamente en el diseño de los apoyos. En este caso se habla de una pieza de mayor simplicidad que la anterior: Figura 2.8. Base para actuador. En la parte inferior cuenta con un agujero roscado (1/2 - 20 UNF-2B) de manera que sea posible la unión entre el pistón del actuador y la base haciendo uso de una pieza que se encontraba en el laboratorio (Figura 2.9). Figura 2.9. Pieza de unión entre el actuador y la base. Análisis modal experimental en un vehículo de competición 11 2.3.1 Ensayo con MEF Realizando un ensayo por el MEF de la base del actuador con una presión sobre la cara superior del mismo valor que el comentado anteriormente se obtiene: Figura 2.10. Puntos sometidos a mayores tensiones en la base del actuador. Figura 2.11. Puntos sometidos a mayores tensiones en la base del actuador (Detalle). Comprobándose que el diseño es adecuado para la finalidad que se requiere. En este caso puede hacerse el mismo comentario acerca de los concentradores de tensión que el del Apartado 2.2.1. Con esto concluye la fase de diseño de los elementos auxiliares que se utilizarán para el desarrollo de los ensayos. Diseño del Utillaje 12 13 3 MONTAJE En el presente apartado se pretende describir cómo se ha llevado a cabo el montaje de los elementos para la realización del ensayo. En primer lugar se aborda la idea de partida, la cual sirvió de base para el diseño de todos los elementos y posteriormente se incluyen imágenes de como ha quedado finalmente esta disposición en la realidad. Esquema del montaje Como se ha descrito anteriormente, el banco de ensayos cuenta con una serie de guías que servirán de puntos de anclaje de todos los elementos. Los apoyos cuentan con una serie de orificios en sus bases en los que se introducirán unos tornillos que a su vez pasarán a través de las guías hasta alcanzar unas pequeñas piezas de hierro que cumplirán la función de tuercas (Figura 3.1.). Tras apretar los tornillos, todo el montaje debería quedar unido rígidamente a la mesa. Figura 3.1. Esquema de la colocación de los tornillos en las guías. Montaje 14 Figura 3.2. Esquema 3D de un apoyo colocado. En el caso del actuador se hará uso de las columnas auxiliares (Figura 2.2) para conseguir, así, colocar el actuador en su posición vertical. La unión también se realizará mediante tornillos y placas haciendo de mordazas. Figura 3.3. Montaje del actuador. ACTUADOR Análisis modal experimental en un vehículo de competición 15 Figura 3.4. Montaje del actuador (Detalle). La posición del actuador irá variando, colocándose en cada una de las ruedas para conseguir así una amplia gama de registros de cara al análisis del comportamiento del monoplaza. El montaje se llevará a cabo de manera equivalente para cada configuración, algo que se ve enormemente facilitado gracias a la premisa de diseño con la que se contaba, por la cual, la forma de los apoyos debía permitir su colocación en cualquiera de las esquinas del banco indistintamente. Montaje completo Con todo esto se puede realizar un previsualizado de cómo quedaría todo el conjunto. Esto se puede ver en la Figura 3.5 en la que se ha incluido también un esquema de las ruedas (con dimensiones reales) de manera que pueda apreciarse con claridad cómo sería el resultado. Figura 3.5. Montaje completo. Montaje 16 En cuanto a la realidad se refiere, el montaje quedó de la siguiente forma: Figura 3.6. Montaje real para el ensayo. Figura 3.7. Montaje real para el ensayo (2). Se puede observar que las ruedas están sujetas mediante unas eslingas y esto puede llevar a pensar que se está introduciendo una rigidez extra que falsee los resultados de la medición. Se ha de comentar que estas estaban colocadas únicamente a modo de prevención en caso de accidente y que su apriete no era lo suficientemente alto como para influir en las mediciones. En las Figuras siguiente se pueden ver algunos detalles más del montaje en los que se aprecia cómo este se realizó acorde a la idea inicial de diseño. Análisis modal experimental en un vehículo de competición 17 Figura 3.8. Rueda con actuador Figura 3.9. Rueda con apoyo. Figura 3.10. Detalle anclaje de apoyos y actuador. Es muy importante destacar en este punto que la disponibilidad del monoplaza se limitó a una única jornada, en la que debía realizarse todo el montaje junto con los ensayos. Por esto, finalmente los ensayos quedaron restringidos únicamente a la excitación de la rueda trasera derecha, realizando un barrido en frecuencia desde 0.5 Hz hasta 25 Hz en vibración forzada y tres ensayos en vibración libre con distintas amplitudes de desplazamiento del actuador. Haber contado con una mayor disponibilidad del vehículo nos habría permitido efectuar de un número muy Sistema de Captación 24 Figura 4.10. Acel. de bajo coste en ruedas delanteras. Figura 4.11. Acel. de bajo coste en ruedas traseras (parte interna). Como se puede apreciar, exceptuando el acelerómetro del bastidor, el resto de las parejas de estos no pudieron ser colocados en la misma posición debido a las limitaciones físicas que esto suponía a la hora de cumplir con los requisitos de instalación. Por tanto, habrá que tener esto en cuenta de cara al análisis de resultados, puesto que esta diferencia puede conllevar variaciones en los datos medidos. La diferencia entre la colocación en la zona exterior (en la llanta) o en la zona interna (mangueta) implica que el juego existente en los rodamientos de esta segunda conlleve una diferencia entre ambas medidas. Aunque se considera que debe ser depreciable, se creía necesario tener constancia de ello. En lo que respecta al acelerómetro instalado en el bastidor (Figura 4.9), el cumplimiento de las premisas anteriormente comentadas en su colocación acarreaba una importante dificultad debido a la geometría de la zona en la que se quería colocar. Por esto, fue necesario añadir piezas de neopreno alrededor del acelerómetro de Análisis modal experimental en un vehículo de competición 25 manera que quedase instalado de la manera correcta y aislado de las vibraciones de las piezas de fibra de carbono adyacentes. Se colocó la base (la placa de circuito impreso en este caso) horizontal sobre el tubo. El acelerómetro de alta calidad se colocó sobre uno de los lados del circuito. En cada caso, los acelerómetros estaban conectados a su sistema de captación. Los de alta gama ya cuentan con un sistema propio de procesamiento junto con programa para el registro adecuado de los datos. En cuanto a los económicos, se conectaban haciendo uso del sistema que se había fabricado para tal efecto y que se ha explicado en el subapartado anterior. Para el registro de datos, se utilizó un programa en Pyton® mediante el cual se grababa la información emitida por el microcontrolador, conectado al ordenador mediante un puerto USB. Sistema de Captación 26 27 5 DATOS OBTENIDOS En el siguiente apartado se describe el proceso seguido durante la lectura de información, así como dilucidar algunas peculiaridades que se fueron encontrando durante la realización de esta. También se analizará la información obtenida y se justificarán ciertas decisiones que se han tomado de cara a la ejecución del análisis modal experimental propiamente dicho. Ensayos Aunque la idea inicial contaba con la realización de los ensayos modificando el punto de excitación (cambiado de rueda el actuador) esto no pudo realizarse por falta de tiempo, viéndonos en la obligación de realizar los registros excitando exclusivamente la rueda trasera derecha. Se realizaron dos tipos de mediciones, con vibración libre y forzada. En el primer caso se tomaron tres registros de 60 segundos variando la amplitud del escalón que realizaba el actuador, tomando como referencia la posición de equilibrio del vehículo y haciéndolo elevarse hasta una medida 𝐴 y posteriormente descendiendo hasta −𝐴 con 𝐴=1,2 𝑦 3 𝑚𝑚. Se repetía esta secuencia con cierta frecuencia durante los 60 segundos. Por esto, habrá que tener en cuenta que se cuenta con dos tipos de excitación distintos (Figura 5.1), el desplazamiento ascendente del pistón y el descendente. Para cualquier análisis comparativo se deberá tomar el mismo tipo en todos los casos. Para los ensayos en vibración forzada se realizaron intervalos de muestreo de 20 segundos, habiéndonos cerciorado previamente de que había concluido el transitorio debido al cambio de frecuencia y amplitud. Figura 5.1. Fragmento de un registro en vibración libre. En vibración forzada se registraron 50 ensayos distintos, para diferentes frecuencias desde 0.5 Hz hasta 25 Hz con variaciones de 0.5 Hz de una a otra. La amplitud de la oscilación se modificaba en función de la frecuencia de manera que se garantizase que las aceleraciones máximas (y mínimas) quedasen dentro del rango de lectura del sistema de los acelerómetros económicos comentado anteriormente. Datos Obtenidos 28 Captación de los datos Como se ha comentado anteriormente, el registro de los datos se vio limitado temporalmente debido al estrecho margen con el que se contaba para la realización de los ensayos. Por tanto, los errores o irregularidades que surgían a la hora del desarrollo de las mediciones debían ser subsanadas en el momento y con la mayor brevedad posible. En primer lugar, se encontró un problema de gravedad debido a que el sistema de registro de datos de los sensores de calidad recibía información únicamente de cuatro acelerómetros, lo que nos llevó a tener que revisar toda la instalación hasta detectar que el cable que unía el sensor con el controlador estaba dañado. Tras conseguir un nuevo cable e instalarlo se pudo comprobar que se había solucionado el problema. En cuanto a la recogida de los datos proporcionados por los acelerómetros económicos sucedieron una gran variedad de errores debido a que el programa de captación no se comportaba adecuadamente o el microcontrolador no cargaba el programa de manera correcta. Tras muchas modificaciones y con la colaboración de Pedro Urda [5], se consiguieron subsanar. Una vez iniciados los ensayos propiamente dichos y tras realizar varias pruebas, se encontró el segundo fallo de importancia. Este se debía al mal funcionamiento del acelerómetro de baja calidad colocado en la rueda trasera derecha, la cual se estaba excitando. Este error fue fácilmente identificable puesto que, al graficar las aceleraciones captadas por este en algunos de los ensayos, se pudo observar que en algunos de los registros se producían picos al fondo de escala en las mediciones. Se realizaron varias pruebas más y algunos cambios hasta que se consideró que dicho sensor se encontraba en mal estado, por lo que sus registros no serían válidos. Por esto, se descartará la información de este acelerómetro en cualquier análisis que se realice en próximos apartados de este proyecto. La Figura 5.2 ilustra todo lo comentado en este párrafo, donde se representa la información captada por el acelerómetro 1 en el ensayo de vibración forzada a 2.5 Hz y con ± 5 𝑚𝑚 de amplitud en el desplazamiento. Obviamente esta se encuentra centrada en cero puesto que se ha restado el valor de la gravedad a todo el registro de manera que únicamente se observen las variaciones propias de la vibración. Figura 5.2. Vibración forzada acelerómetro 1 a 2.5 Hz. Como puede verse, cuando se superponen las medidas de los dos acelerómetros colocados en la rueda excitada, en los registros del que tiene menor coste se pueden observar los picos comentados con anterioridad. Cuando se hablaba de que la medida alcanzaba el fondo de escala se debe al tratamiento informático que el programa hace de los datos. En el programa se había estipulado unos valores máximos del registro de ± 2𝑔 (siendo 𝑔 el valor de la gravedad) por lo que se adecuaba la amplitud de la vibración y la frecuencia de modo que no se superasen los extremos de este rango. Los 16 bits con los que contaba permitían 216 valores distintos de registro. Si se observa la gráfica, teniendo en cuenta el desplazamiento que se ha impuesto para descontar el valor de la gravedad, se puede observar cómo los picos rondan los valores de +𝑔 y −3𝑔, es decir, el fondo de escala. Es apreciable que el comportamiento de ambos acelerómetros, en este caso, es prácticamente idéntico lo que nos aporta cierta seguridad en la información. Análisis modal experimental en un vehículo de competición 29 Postproceso Partiendo de los archivos generados el día de los ensayos ha sido necesario realizar un leve postproceso de los mismos para adecuarlos a nuestros intereses. En el caso de los acelerómetros de bajo costo fue necesario adecuar la distribución que realizaba el programa con respecto a los bits de memoria y el rango seleccionado de medición. Esta conversión únicamente constaba de la multiplicación de todos los registros por una constante 𝐶𝑡𝑒=4𝑔216 ⁄, donde se está teniendo en cuenta la amplitud del rango (4𝑔) y el número de registros que era capaz de interpretar el sensor. Para los acelerómetros profesionales sólo es necesario reordenar las columnas que contienen la información de manera que se adecuen al orden en el que están colocados los económicos. Al graficar los ensayos realizados en vibración libre se encontró un nuevo error debido a un cambio de frecuencia de muestreo que se realizó el día de los ensayos, por el cual se duplicaba esta de 100 a 200 Hz en los acelerómetros de menos calidad. Sin embargo, debido a que esto se modificó en el programa, pero no en el sistema de captación, este siguió registrando la información a 100 Hz y el programa duplicó todas las medidas para conseguir registros del doble de frecuencia. Por ello, en el postproceso de estos archivos ha sido necesario eliminar la información duplicada, quedando el paso entre registro y registro, del mismo tamaño que el que se tenía previamente al cambio de frecuencia. Esto se puede observar en la Figura 5.3. Figura 5.3. Fragmento de un registro de vibración libre con duplicación de datos. Diferencia entre acelerómetros Comparando la información obtenida por los acelerómetros colocados en la misma zona y para que sea independiente de la diferencia de posicionamiento comentada anteriormente de los sensores de las ruedas, se va a empezar este análisis con la información recogida por el acelerómetro del bastidor. En este caso, el acelerómetro de alta calidad se fijó sobre la placa de circuito impreso del acelerómetro económico por lo que las medidas de ambos deberían ser prácticamente idénticas. De esta comparación se han podido obtener distintas conclusiones que se comentarán a continuación. En primer lugar, al comparar la información recogida en vibración forzada a bajas frecuencias se puede observar lo siguiente: Datos Obtenidos 30 Figura 5.4. Vibración forzada, 1 Hz, acelerómetro 3. Aunque la tónica general es similar, se puede ver como existen diferencias apreciables entre ambas representaciones. Debido al pequeño orden de magnitud del que se habla, se podría acarrear estos errores a la precisión de los dispositivos en las mediciones. Conforme se aumenta la frecuencia: Figura 5.5. Vibración forzada, 2.5 Hz, acelerómetro 3. Figura 5.6. Vibración forzada, 5 Hz, acelerómetro 3. Análisis modal experimental en un vehículo de competición 31 Figura 5.7. Vibración forzada, 7.5 Hz, acelerómetro 3. En esta ocasión las dos gráficas se solapan en un amplio rango de tiempo, lo que nos confirma que las medidas de ambos acelerómetros son coherentes y se ajustan a lo que se podía esperar. Sin embargo, conforme la frecuencia de excitación crece por encima de 9 Hz: Figura 5.8. Vibración forzada, 10 Hz, acelerómetro 3. Figura 5.9. Vibración forzada, 16 Hz, acelerómetro 3. Datos Obtenidos 32 Figura 5.10. Vibración forzada, 20 Hz, acelerómetro 3. Figura 5.11. Vibración forzada, 25 Hz, acelerómetro 3. Como ha quedado demostrado, al aumentar la frecuencia, los datos registrados tienden a distanciarse. Tanto es así que estos llegan a no poder ser identificables uno al otro. Esto puede deberse a un filtro de paso bajo incluido, por defecto, en el procesador de los acelerómetros, por lo que existe una pérdida de información debido a que no registran altas frecuencias de vibración que sí pueden observarse en el caso de los sensores de calidad. Previamente a la presentación de cualquier conclusión se va a comprobar el comportamiento para registros de otras posiciones de manera que se compruebe si esta pérdida de información es generalizada. Para evitar que este documento se convierta en una sucesión infinita de gráficas similares, únicamente se van a mostrar algunas que se consideren más significativas para la explicación, aunque el análisis real se haya realizado con mucho más detalle para cada combinación de parámetros y posiciones. Representando la respuesta del segundo sensor para unas frecuencias bajas se puede apreciar más claramente la pérdida de información que se detectaba anteriormente: Análisis modal experimental en un vehículo de competición 33 Figura 5.12. Vibración forzada, 2.5 Hz, acelerómetro 2. Figura 5.13. Vibración forzada, 5 Hz, acelerómetro 2. Como es evidente, la información aportada por los acelerómetros económicos dista considerablemente de la proporcionada por el otro tipo de sensores. Se puede observar que la tendencia sí es buena puesto que, en cierto modo, el perfil seguido persigue las variaciones de baja frecuencia. Por este motivo y sabiendo que la pérdida de información comienza a ser apreciable al superar los 9 Hz de frecuencia, tras realizar algunas comparaciones, se ha llegado a la conclusión de que los datos de estos sensores no son lo suficientemente adecuados como para basar nuestro análisis en ellos y por ello se descartan como parte de este proyecto. Este es el motivo por el cual conforme se aumentaba la frecuencia de excitación en los test, los datos capturados por los económicos distan en gran medida de los de calidad. Lo que se ha observado en la Figura 5.10, también se produce para el resto de estos. A modo representativo se incluyen algunos ejemplos de otras posiciones: Datos Obtenidos 40 de partida la información proporcionada por el filtro en cada caso. Sería interesante la representación conjunta de todas las FRF, tanto de los ensayos en vibración forzada como libre, correspondientes a un mismo acelerómetro de manera que se pueda deducir con sencillez si existen similitudes entre ellas. Esto se ve en las Figura 5.29. FRF de Vib. Libre acel. 1. Figura 5.30. FRF de Vib. Libre acel. 2. Figura 5.31. FRF de Vib. Libre acel. 3. Análisis modal experimental en un vehículo de competición 41 Figura 5.32. FRF de Vib. Libre acel. 4. Figura 5.33. FRF de Vib. Libre acel. 5. Aunque, como es evidente, no hay solapamiento entre las distintas funciones, sí que se pueden identificar ciertas frecuencias o rangos pequeños de frecuencias en las que se producen picos apreciables en prácticamente todos los ensayos, así como otras que, además, se repiten en varias de las figuras. En principio, serán estas las frecuencias que se pretenden encontrar cuando se realice el análisis modal experimental en el siguiente apartado. Si se recoge esta información se consigue la siguiente relación de frecuencias de interés: Tabla 5-1. Frecuencias naturales amortiguadas aproximadas con FRF. Acelerómetro Frecuencia aproximada (Hz) 1 6 8 13.5 19.5 22 24 2 6.5 8.5 13.5 16.5 19.5 22 24 3 8.5 18.5 19.5 4 8.5 13.5 17 22 24 5 7 9.5 14 18 22 24 Datos Obtenidos 42 43 6 ANÁLISIS MODAL EXPERIMENTAL Todo el procesado y estudio que se realiza en este proyecto de los datos obtenidos tras los ensayos se basa en la teoría de análisis modal. El análisis modal es un tipo de análisis muy utilizado en los últimos años para el estudio del comportamiento dinámico de sistema o estructuras de cierta complejidad. Aplicando algunos de los métodos característicos de este tipo de análisis se pretende conseguir una estimación de las propiedades del sistema, tales como frecuencias naturales o modos de vibración, etc. El modelo matemático fundamentado en los parámetros obtenidos es un modelo lineal que describe completamente el comportamiento del sistema o estructura. Con este, se puede simular la respuesta del sistema ante la acción de diferentes fuerzas y prever su comportamiento ante excitaciones típicas del funcionamiento, así como plantear distintas variaciones para adecuar el funcionamiento a lo deseado. Introducción al Análisis Modal Tras la primera puesta en conocimiento realizada en el Apartado 1.2 hay que distinguir entre: 6.1.1 Análisis modal teórico Para el planteamiento de este tipo de análisis es necesario obtener las ecuaciones de movimiento del sistema bajo estudio y calcular la respuesta analítica de este bajo unas condiciones iniciales previamente establecidas o resolver el modelo por el método de los elementos finitos (muy usual) en caso de que su dificultad sea alta. Si se cuenta con las ecuaciones, se pueden calcular los parámetros del sistema resolviendo el problema de autovalores y autovectores correspondiente. 6.1.2 Análisis modal experimental En este caso el análisis se basa fundamenta en cuatro pasos principalmente: - Excitación del sistema. - Medición mediante acelerómetros. - Tratamiento digital. - Análisis de las señales. Es decir, una vez adquiridos y tratados los datos tras los ensayos se procede al análisis haciendo uso, en este proyecto, del método de Ibrahim, uno de los métodos más utilizados en análisis modal experimental. La diferencia principal entre el modelo teórico y el experimental radica en la forma de obtener la respuesta del sistema bajo estudio. En el primero de los casos es una respuesta ideal obtenida de un cálculo analítico partiendo de las ecuaciones de movimiento del sistema o un modelo. En la variante experimental, la respuesta es registrada haciendo uso de acelerómetros colocados estratégicamente a lo largo del sistema que captan el comportamiento de este acorde a la excitación introducida. En este caso se puede incurrir a errores que se magnificarán cuanta menor calidad tengan los equipos de medida y el sistema de captación. Análisis Modal Experimental 44 Método de Ibrahim (ITD) El método de Ibrahim [8, 9, 10, 11, 12] es un método en el dominio del tiempo mediante el cual se pueden identificar los parámetros modales estructurales partiendo de cierta información experimental, resolviendo un problema de autovalores y autovectores complejos. Se pueden calcular los modos y polos de un sistema partiendo de la respuesta de este en vibración libre. Sus características son: - Tiene la capacidad de obtener modos y polos en un solo análisis. - Se puede aplicar el método a las respuestas tanto en aceleración, velocidad como posición. - No es necesario conocer las ecuaciones que definen el sistema. - La excitación no tiene que ser conocida, funciona para comportamiento en vibración libre. Por ello sólo es necesario contar con la respuesta del sistema unos instantes después de la eliminación de la fuerza excitadora. - No requiere el uso de la transformada de Fourier (evitando leakage, aliasing, etc.) A groso modo, la aplicación del método consiste en el montaje de una serie de matrices bloque de Hankel (matrices cuyos valores en cada antidiagonal son constantes) haciendo uso de los datos registrados de la vibración libre del sistema en varios instantes de tiempo. Repitiendo el proceso con un cierto desfase y posteriormente realizando operaciones con estas matrices finalmente se consigue un problema de autovalores y autovectores que se resuelve fácilmente y que nos proporciona los parámetros modales que se necesitan. 6.2.1 Procedimiento En primer lugar, es necesario introducir una serie de conceptos básicos sobre vibraciones. Sabiendo que la respuesta de un sistema de N grados de libertad vibrando libremente puede obtenerse si se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 𝒎𝒙󰇘+𝒄𝒙󰇗+𝒌𝒙=𝟎, 𝒙 𝝐 ℝ𝐍 (6.1) Este puede transformarse en uno de primer orden añadiendo la ecuación: 𝒎𝒙󰇗−𝒎𝒙󰇗=𝟎 (6.2) que colocado de forma matricial y aplicando el cambio de coordenadas 𝒚=( 𝒙󰇗𝒙 ) queda: ( 𝟎 𝒎 𝒎 𝒄 ) ⏟ 𝑨 ( 𝒙󰇘𝒙󰇗 ) ⏟ 𝒚󰇗+( −𝒎 𝟎 𝟎 𝒌 ) ⏟ 𝑩 ( 𝒙󰇗𝒙 ) ⏟ 𝒚 = ( 𝟎 𝟎 ) (6.3) Es decir, las ecuaciones de movimiento (2𝑁 ecuaciones) quedan en un sistema de primer orden: 𝑨𝒚󰇗+𝑩𝒚=𝟎, 𝒚 𝜖 ℝ2N (6.4) Para el cual existen soluciones de la forma: 𝒚=𝝍𝒆𝝀𝒕 (6.5) Una vez resuelto el problema de autovectores (modos), el sistema puede diagonalizarse y resolverse para cada una de las coordenadas modales: 𝒛󰇗− 𝜆𝑟𝒛𝒓=0 → 𝒛𝒓(𝑡)=𝒛𝒓(0)𝑒𝜆𝑟𝑡, (𝑟=1,2,…,2𝑁) (6.6) Deshaciendo el cambio de coordenadas aplicado en (6.3) se obtiene la solución en coordenadas originales: Análisis modal experimental en un vehículo de competición 45 𝒙(𝑡)=∑𝝍2𝑟𝒛𝒓(𝑡)=∑𝝍2𝑟𝒛𝒓(0)𝑒𝜆𝑟𝑡=∑𝒛𝒓𝑒𝜆𝑟𝑡 2𝑁 𝑟=1 2𝑁 𝑟=1 2𝑁 𝑟=1 (6.7) Siendo 𝒛𝒓 el modo r (𝝍𝟐𝒓) multiplicado por una constante (el valor inicial de la coordenada modal, 𝑧𝑟(0)), entonces 𝑧𝑟 es también un modo de vibración. Consiguiendo así ensamblar el sistema matricial: [ 𝒙(𝑡1)… 𝒙(𝑡2𝑁) ]=[ 𝒛1… 𝒛2𝑁 ](𝑒𝜆1𝑡1⋯ 𝑒𝜆1𝑡2𝑁 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝜆2𝑁𝑡1⋯ 𝑒𝜆2𝑁𝑡2𝑁) (6.8) Que de forma compacta se escribe: 𝑿=𝒁𝚲 (6.9) Si se repite la misma operación con la respuesta desfasada temporalmente una cantidad Δ𝑡: 𝒙(𝑡+Δ𝑡)=∑𝝍𝟐𝒓𝒛𝒓(𝑡+Δ𝑡)=∑𝝍𝟐𝒓𝒛𝒓(0)𝑒𝜆𝑟(𝑡+Δ𝑡) =∑𝒛𝒓𝑒𝜆𝑟(𝑡+Δ𝑡) 2𝑁 𝑟=1 2𝑁 𝑟=1 2𝑁 𝑟=1 Que de forma matricial: (6.10) [ 𝒙(𝑡1+Δ𝑡) … 𝒙(𝑡2𝑁+Δ𝑡) ]=[ 𝒛𝟏… 𝒛𝟐𝑵 ](𝑒𝜆1(𝑡1+Δ𝑡) ⋯ 𝑒𝜆1(𝑡2𝑁+Δ𝑡) ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝜆2𝑁(𝑡1+Δ𝑡) ⋯ 𝑒𝜆2𝑁(𝑡2𝑁+Δ𝑡)) (6.11) Siendo igual a: [ 𝒙(𝑡1+Δ𝑡) … 𝒙(𝑡2𝑁+Δ𝑡) ] =[ 𝒛𝟏𝑒𝜆1Δ𝑡 … 𝒛𝟐𝑵𝑒𝜆2𝑁Δ𝑡 ]( 𝑒𝜆1𝑡1⋯ 𝑒𝜆1𝑡2𝑁 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝜆2𝑁𝑡1⋯ 𝑒𝜆2𝑁𝑡2𝑁) (6.12) De forma resumida se puede escribir: 𝑿𝚫𝒕 =𝒁 𝚲 (6.13) De forma equivalente se puede plantear otro sistema para un desfase de 2Δ𝑡: 𝒙(𝑡+2Δ𝑡)=∑𝝍𝟐𝒓𝒛𝒓(𝑡+2Δ𝑡)=∑𝝍𝟐𝒓𝒛𝒓(0)𝑒𝜆𝑟(𝑡+2Δ𝑡)=∑𝒛𝒓𝑒𝜆𝑟(𝑡+2Δ𝑡) 2𝑁 𝑟=1 2𝑁 𝑟=1 2𝑁 𝑟=1 (6.14) [𝒙(𝑡1+2Δ𝑡) … 𝒙(𝑡2𝑁+2Δ𝑡)] =[ 𝒛𝟏… 𝒛𝟐𝑵 ]( 𝑒𝜆1(𝑡1+2Δ𝑡) ⋯ 𝑒𝜆1(𝑡2𝑁+2Δ𝑡) ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝜆2𝑁(𝑡1+2Δ𝑡) ⋯ 𝑒𝜆2𝑁(𝑡2𝑁+2Δ𝑡)) (6.15) Igual a: [ 𝒙(𝑡1+2Δ𝑡) … 𝒙(𝑡2𝑁+2Δ𝑡) ] =[ 𝒛1𝑒𝜆12Δ𝑡 … 𝒛𝟐𝑵𝑒𝜆2𝑁2Δ𝑡 ]( 𝑒𝜆1𝑡1⋯ 𝑒𝜆1𝑡2𝑁 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝜆2𝑁𝑡1⋯ 𝑒𝜆2𝑁𝑡2𝑁) (6.16) Y que también puede escribirse: Análisis Modal Experimental 46 𝑿𝟐𝚫𝒕 =𝒁  𝚲 (6.17) A continuación se ensamblan las siguientes matrices: [ 𝑿 𝑿𝚫𝒕 ]=[ 𝒁 𝒁  ]𝚲 → 𝝌=𝚯𝚲 (6.18) [ 𝑿𝚫𝒕 𝑿𝟐𝚫𝒕 ]=[ 𝒁  𝒁   ]𝚲 → 𝝌 =𝚯 𝚲 (6.19) Si se elimina Λ de las expresiones de arriba se consigue el problema de autovalores y autovectores que se había comentado anteriormente: 𝝌 𝝌−𝟏𝚯=𝚯  → 𝝌 𝝌−𝟏𝛉𝐫=𝛉 𝒓 → 𝝌 𝝌−𝟏𝛉𝐫=𝒆𝝀𝒓𝚫𝒕𝛉𝐫 (6.20) Donde las 𝑁 primeras componentes de cada 𝛉𝐫 coinciden con el modo 𝑟, es decir, con 𝐳𝐫 . Para el caso que nos ocupa, sería preferible no limitar la lectura de datos a 2N instantes de tiempo. Si se toman los registros de tiempo de los ensayos y se sigue el procedimiento, se llega a unas matrices 𝝌 𝑦 𝚲 que no serían cuadradas. Para solucionar este problema se multiplica por 𝜒𝑇 como sigue: 𝝌𝝌𝑻=𝚯𝚲𝛘𝐓 𝝌 𝝌𝑻=𝚯 𝚲𝛘𝐓 → (𝝌 𝝌𝑻)(𝝌𝝌𝑻)−𝟏𝜽𝒓=𝒆𝝀𝒓𝚫𝒕𝜽𝒓 (6.21) Resolviendo este problema de autovalores y autovectores, despejando 𝝀𝒓 de los autovalores obtenidos y tomando las N primeras componentes de los autovectores se consiguen los parámetros deseados de nuestro sistema. 6.2.2 Factor de Confianza Modal (MCF) Para los casos en los que no se cuenta con un gran número de acelerómetro con los que captar la información, puede darse el caso de que, tras aplicar el ITD, no se consiga el número de modos esperado. Para aumentar la cantidad de información con la que trabajar y aprovechando las características que tienen los ensayos en vibración libre, se pueden incluir una serie de posiciones de medición que se denominarán “ficticias”, de manera que se pueda multiplicar el número de registros y con ello obtener una mejor calidad y cantidad de resultados (modos en este caso). Para ello, tomando la información proporcionada por nuestros sensores y aplicando un retraso en el tiempo ∆τ, distinto al desfase tomado en la aplicación del ITD como tal, se crean estos puntos de medición ficticios mostrados a continuación: 𝒙′(t)=𝒙(t+Δτ) =∑𝒛𝐫eλ𝑟(t+Δτ)=∑𝒛𝒓 𝑒𝜆𝑟Δ𝜏𝑒𝜆𝑟𝑡= 2𝑁 𝑟=1 ∑𝒛′𝑟 𝑒𝜆𝑟𝑡 2𝑁 𝑟=1 2N r=1 (6.22) Si se redefine el vector 𝑿 como: 𝑿=[𝒙(𝑡) 𝒙′(𝑡)] (6.23) Se está duplicando el vector de partida por lo que se estaría calculando una respuesta para un sistema transformado con 𝑝 posiciones reales y 𝑝 posiciones ficticias. El sistema ha duplicado su tamaño, siendo relativamente equivalente a un ensayo realizado con el doble de sensores. Este procedimiento se puede repetir de manera que se extienda el sistema al triple, cuádruple, etc. de su tamaño original. Dado que el orden de la nueva matriz 𝝌 𝝌−𝟏 o (𝝌 𝝌𝑻)(𝝌𝝌𝑻)−𝟏excederá el número de modos excitados en la respuesta medida, el método tiende a separar los modos estructurales de los modos numéricos relacionados con el ruido. Para cuantificar este efecto y descartar los modos que no tienen relación con nuestro análisis se calcula Análisis modal experimental en un vehículo de competición 47 el factor de confianza modal (Modal Confidence Factor, MCF) [10]. Si 𝑧𝑖(𝑟) es la componente i-ésima del modo 𝑟 en una posición real, entonces, del desarrollo anterior, la componente i-ésima del modo 𝑟 en la posición ficticia esperada desplazada en el tiempo Δ𝜏 es: 𝑧𝑖(𝑟),𝑒𝑥𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 =𝑧𝑖(𝑟)𝑒𝜆𝑟Δ𝜏 (6.24) Si el modo identificado es un modo estructural, entonces 𝑧𝑖(𝑟),𝑒𝑥𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 debe ser igual a 𝑧𝑖(𝑟) ′, con lo que el coeficiente de confianza modal (MCF) [13] tomará un valor prácticamente como la unidad para cumplir: 𝑧𝑖(𝑟),𝑒𝑥𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 =𝑧𝑖(𝑟) ′∗𝑀𝐶𝐹 (6.25) De la que se obtiene la ecuación para el cálculo del MCF (número complejo [12]): 𝑀𝐶𝐹=𝑧𝑖(𝑟),𝑒𝑥𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝑧𝑖(𝑟) ′ ó 𝑀𝐶𝐹= 𝑧𝑖(𝑟) ′ 𝑧𝑖(𝑟),𝑒𝑥𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 (6.26) De manera que el valor absoluto del MCF sea inferior a la unidad. La parte real del MCF será 1 y su fase 0º para modos estructurales precisamente identificados. Aplicación del método en modelos analíticos La aplicación del método comenzó desconociendo la variante del MCF, por lo que la veracidad de los resultados no podía ser comprobada. Tras encontrar el análisis realizado en [14], se pudieron realizar ciertas comprobaciones duplicando y triplicando el número de estaciones, pero los resultados no llegaban a ser suficientemente convincentes. Sabiendo la gran influencia que tenía el ruido en el método según [7], era importante tener esto muy en cuenta puesto que nuestros datos, como ya se ha visto, estaban altamente contaminados por este. Para poder realizar algunas pruebas y saber con certeza cómo se comportaba el método se realizaron dos simulaciones. 6.3.1 Sistema 3 gdl En primer lugar, se implementó un sistema simple de tres grados de libertad formados por tres masas deslizantes unidas dos a dos mediante sistemas muelle-amortiguador que, a su vez, las de los extremos se conectaban de la misma forma al sistema de referencia como se muestra en la Figura 6.1. Figura 6.1. Sistema de masas con 3 gdl [7]. Las ecuaciones que caracterizan este sistema son (por simplicidad se omite incluir la referencia a la dependencia temporal de las variables 𝑥(𝑡)): 𝑚2𝑥󰇘2+(𝑐1+𝑐2)𝑥󰇗1−𝑐2𝑥󰇗2+(𝑘1+𝑘2)𝑥1−𝑘2𝑥2=0 (6.27) 𝑚2𝑥󰇘2−𝑐2𝑥󰇗1+(𝑐2+𝑐3)𝑥󰇗2−𝑐3𝑥󰇗3−𝑘2𝑥1+(𝑘2+𝑘3)𝑥2−𝑘3𝑥3=0 (6.28) 𝑚3𝑥󰇘3+(𝑐3+𝑐4)𝑥󰇗3−𝑐3𝑥󰇗2+(𝑘3+𝑘4)𝑥3−𝑘3𝑥2=0 (6.29) Análisis Modal Experimental 48 Componiendo las siguientes matrices según [15]: 𝒎=[𝑚10 0 0 𝑚20 0 0 𝑚3] (6.30) 𝒌=[𝑘1+𝑘2−𝑘20 −𝑘2𝑘2+𝑘3−𝑘3 0 −𝑘3𝑘3+𝑘4] (6.31) 𝒄=[𝑐1+𝑐2−𝑐20 −𝑐2𝑐2+𝑐3−𝑐3 0 −𝑐3𝑐3+𝑐4] (6.32) Con: 𝑚1=1200 𝑘𝑔, 𝑚2=3400 𝑘𝑔, 𝑚3=1100 𝑘𝑔, 𝑐1=3500𝑁𝑠 𝑚, 𝑐2=2200𝑁𝑠 𝑚, 𝑐3=2500𝑁𝑠 𝑚, 𝑐4=3500𝑁𝑠 𝑠, 𝑘1=50000𝑁 𝑚, 𝑘2=100000𝑁 𝑚, 𝑘3= 100000𝑁 𝑚, 𝑘4=350000𝑁 𝑚. Transformando el sistema de 3 ecuaciones (N ecuaciones, tantas como gdl) de segundo orden en un sistema de 2𝑁 ecuaciones de primer orden [15] se puede resolverlo fácilmente: [𝟎 𝒎 𝒎 𝒄][𝒙󰇘𝒙󰇗]+[−𝒎 𝟎 𝟎 𝒌][𝒙󰇗𝒙]=[𝟎 𝟎] (6.33) donde se sustituye: 𝒚=[𝒙󰇗𝒙] , 𝒚󰇗=[𝒙󰇘𝒙󰇗] → 𝑨𝒚󰇗+𝑩𝒚=𝟎 (6.34) La solución de este sistema es de la forma: 𝒚=𝝍 𝑒𝜆𝑡 (6.35) Que al ser sustituida en (6.34) representa un problema típico de autovalores. Puesto que se está trabajando con sistemas subamortiguados, los autovalores (𝜆𝑖=𝜎𝑖±𝑗𝜔𝑑𝑖) son complejos, resultando siempre por pares de conjugados. Los autovectores asociados (𝝍𝒊) corresponden en parte con los modos de vibración. La principal ventaja del uso de un sistema analítico como este es la posibilidad de conocer exactamente las frecuencias y modos que lo caracterizan, pudiendo compararlos con los obtenidos aplicando el ITD [10] a la respuesta del sistema en vibración libre obtenida analíticamente. A esta respuesta se le puede incluir una componente de ruido de manera sencilla con la que observar el comportamiento del método en este caso. Si se resuelven las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento del sistema en vibración libre para unas condiciones iniciales arbitrarias. Existen dos resultados distintos a los que se le puede aplicar el ITD, la respuesta en posición y en aceleración. Se analizarán ambos casos, además del factor ruido. Todo esto se puede ver en las Figura 6.2 a la Figura 6.5. Análisis modal experimental en un vehículo de competición 49 Figura 6.2. Respuesta en desplazamiento del sistema de 3 gdl. Figura 6.3. Respuesta en desplazamiento del sistema de 3 gdl con ruido. Respuesta en aceleración: Figura 6.4. Respuesta en aceleración del sistema de 3 gdl. Análisis Modal Experimental 56 suficientemente adecuados como para obtener un MCF alto. 6.3.1.2 Resultados en aceleración Un análisis idéntico al anterior puede realizarse para la respuesta en aceleración. Nuestro interés en esta respuesta es evidente puesto que los datos captados por nuestros sensores son aceleraciones. En principio, el uso el método ITD no debe verse condicionado por esta diferencia puesto que es aplicable tanto a los desplazamientos, velocidades como aceleraciones, pero se va a comprobar esto para nuestro sistema de 3 gdl. Haciendo uso de las primeras condiciones iniciales, incluyendo el factor ruido, realizando los barridos oportunos y tomando como parámetros Δt=0.028, Δτ=0.072 y Δτ2=0.083 los resultados quedan: Tabla 6-8. Autovalores Sist. 3 gdl en aceleración con ruido. Teóricos ITD ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones −𝟎.𝟒𝟖𝟖𝟕±𝟓.𝟏𝟕𝟔𝒊 −1.0846 −0.96546 −0.68794 −𝟐.𝟒𝟑𝟏𝟐±𝟏𝟏.𝟗𝟒𝟓𝒊 −𝟐.𝟖𝟒𝟗𝟖±𝟏𝟐.𝟐𝟕𝟑𝒊 −𝟐.𝟔𝟒𝟐±𝟏𝟐.𝟎𝟏𝟑𝒊 −𝟐.𝟔𝟏𝟗𝟕±𝟏𝟏.𝟗𝟖𝟐𝒊 −𝟐.𝟖𝟕𝟑𝟓±𝟐𝟎.𝟏𝟗𝟔𝒊 −5.6016±21.268𝑖 −𝟔.𝟗𝟑𝟕𝟔±𝟏𝟗.𝟑𝟖𝟕𝒊 −𝟓.𝟕𝟔𝟕𝟏±𝟏𝟗.𝟐𝟗𝟏𝒊 −𝟏𝟑.𝟏𝟔𝟓+𝟓𝟐.𝟑𝟔𝒊 −66.645 −79.604 −27.771±81.987𝑖 −64.064±48.814𝑖 −24.8±90.176𝑖 −74.578±39.7𝑖 −25.035+104.72𝑖 −27.421±82.438𝑖 −70.375+104.72𝑖 −66.817±63.407𝑖 −25.084±89.535𝑖 −24.978+104.72𝑖 −81.976+104.72 Queda comprobado el correcto funcionamiento del método para las aceleraciones. Para esta combinación de parámetros no existe rastro alguno del primer autovalor teórico, pero en cambio, los otros dos sí que son fácilmente identificables. Según el MCF, el autovalor de confianza sería también el segundo, al igual que en el análisis en desplazamiento con un factor: Tabla 6-9. MCF del 2º autovalor, sist. 3 gdl, acel. con ruido. ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones 0.98304∓0.0041648𝑖 0.98868∓0.0021266𝑖 0.97724±0.066338𝑖 0.98067±0.047𝑖 0.95882±0.09182𝑖 0.96857∓0.08599𝑖 Análisis modal experimental en un vehículo de competición 57 Frente a: Tabla 6-10. MCF del 3º autovalor, sist. 3 gdl, acel. con ruido. ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones 0.53596±0.1051𝑖 0.59888±0.030673𝑖 0.3851∓0.30325𝑖 0.50191±0.28339𝑖 0.71842±0.023393𝑖 0.82658∓0.0091979𝑖 De mucha menor calidad. Sus correspondientes modos se pueden observar a continuación: Tabla 6-11. Modo 2 Sist. 3 gdl en aceleración con ruido. Teóricos ITD ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones −0.95734𝑖 −0.95231 −0.94692 −0.95025 0.26692∓0.0578𝑖 0.27081∓0.066551𝑖 0.27893∓0.063064𝑖 0.27728∓0.063897𝑖 0.09420±0.00635𝑖 0.11857±0.035841𝑖 0.1441±0.028175𝑖 0.12658±0.0065283𝑖 Tabla 6-12. Modo 3 Sist. 3 gdl en aceleración con ruido. Teóricos ITD ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones 0.02139±0.01576𝑖 −0.035788±0.040636𝑖 −0.0014424±0.046773𝑖 −0.019144±0.038498𝑖 −0.08583∓0.02301𝑖 −0.1502∓0.07285𝑖 −0.08292∓0.11208𝑖 −0.078324∓0.080856𝑖 0.99569 0.98448 0.98913 0.99271 En este tercer modo es más apreciable que la proximidad del autovalor es peor, aunque se sigue produciendo la mejora de los resultados conforme incrementa el número de estaciones. 6.3.2 Sistema 7 gdl Una vez realizado el análisis para un sistema simple de tres grados de libertad como el visto en el apartado anterior, cabe proceder a aumentar la complejidad del sistema teórico, aproximándonos lo máximo posible al sistema real bajo estudio. Este sistema al que se hace referencia es un modelo dinámico de un vehículo con siete grados de libertad basado en [16] como el mostrado en la imagen: Análisis Modal Experimental 58 Figura 6.12. Modelo de un vehículo (7 gdl). Los siete grados de libertad corresponden con: 𝐴𝑙𝑎𝑏𝑒𝑜 𝑜 𝑅𝑜𝑙𝑙−𝛼 𝐶𝑎𝑏𝑒𝑐𝑒𝑜 𝑜 𝑃𝑖𝑡𝑐ℎ−𝛽 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑑𝑔 𝑑𝑒𝑙 𝑐ℎ𝑎𝑠𝑖𝑠−𝑧 𝐷𝑒𝑠𝑝.𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎−𝑥𝑠1 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎−𝑥𝑠2 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎−𝑥𝑠3 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎−𝑥𝑠4 Quedando: 𝒒=[𝛼 𝛽 𝑧 𝑥𝑠1 𝑥𝑠2 𝑥𝑠3 𝑥𝑠4]′ (6.36) A la hora de obtener las ecuaciones de movimiento que rigen el sistema, se han supuesto pequeños desplazamientos de manera que, al calcular los desplazamientos de los puntos de unión de la suspensión con el chasis, no se tuviesen en cuenta los movimientos horizontales debidos a los giros. De tal manera, el cálculo de estos desplazamientos se ha realizado siguiendo el esquema de la Figura 6.13. Figura 6.13. Esquema de simplificación de desplazamientos. Análisis modal experimental en un vehículo de competición 59 Quedando, ya linealizadas: 𝑥1=𝑧+𝑤 2𝛼+𝑙𝑡𝛽 (6.37) 𝑥2=𝑧−𝑤 2𝛼+𝑙𝑡𝛽 (6.38) 𝑥3=𝑧−𝑤 2𝛼−𝑙𝑑𝛽 (6.39) 𝑥4=𝑧+𝑤 2𝛼−𝑙𝑑𝛽 (6.40) Así, las ecuaciones diferenciales ya linealizadas que caracterizan el vehículo quedan: −𝑚𝑐𝑧󰇘+𝑘𝑠𝑡(𝑥𝑠1−𝑧−𝑤 2𝛼−𝑙𝑡𝛽) +𝑐𝑠𝑡(𝑥󰇗𝑠1−𝑧󰇗−𝑤 2𝛼󰇗−𝑙𝑡𝛽󰇗) + 𝑘𝑠𝑡(𝑥𝑠2−𝑧+𝑤 2𝛼−𝑙𝑡𝛽) +𝑐𝑠𝑡(𝑥󰇗𝑠2−𝑧󰇗+𝑤 2𝛼󰇗−𝑙𝑡𝛽󰇗) + 𝑘𝑠𝑑(𝑥𝑠3−𝑧+𝑤 2𝛼+𝑙𝑑𝛽) +𝑐𝑠𝑑(𝑥󰇗𝑠3−𝑧󰇗+𝑤 2𝛼󰇗+𝑙𝑑𝛽󰇗)+ 𝑘𝑠𝑑(𝑥𝑠4−𝑧−𝑤 2𝛼+𝑙𝑑𝛽) +𝑐𝑠𝑑(𝑥󰇗𝑠4−𝑧󰇗−𝑤 2𝛼󰇗+𝑙𝑑𝛽󰇗)=0 (6.41) −𝐼𝛼𝛼󰇘+[𝑘𝑠𝑡(𝑥𝑠1−𝑧−𝑤 2𝛼−𝑙𝑡𝛽) +𝑐𝑠𝑡(𝑥󰇗𝑠1−𝑧󰇗−𝑤 2𝛼󰇗−𝑙𝑡𝛽󰇗)− 𝑘𝑠𝑡(𝑥𝑠2−𝑧+𝑤 2𝛼−𝑙𝑡𝛽) −𝑐𝑠𝑡(𝑥󰇗𝑠2−𝑧󰇗+𝑤 2𝛼󰇗−𝑙𝑡𝛽󰇗)− 𝑘𝑠𝑑(𝑥𝑠3−𝑧+𝑤 2𝛼+𝑙𝑑𝛽) −𝑐𝑠𝑑(𝑥󰇗𝑠3−𝑧󰇗+𝑤 2𝛼󰇗+𝑙𝑑𝛽󰇗)+ 𝑘𝑠𝑑(𝑥𝑠4−𝑧−𝑤 2𝛼+𝑙𝑑𝛽) +𝑐𝑠𝑑(𝑥󰇗𝑠4−𝑧󰇗−𝑤 2𝛼󰇗+𝑙𝑑𝛽󰇗)]𝑤 2=0 (6.42) −𝐼𝛽𝛽󰇘+[𝑘𝑠𝑡(𝑥𝑠1−𝑧−𝑤 2𝛼−𝑙𝑡𝛽) +𝑐𝑠𝑡(𝑥󰇗𝑠1−𝑧󰇗−𝑤 2𝛼󰇗−𝑙𝑡𝛽󰇗)+ 𝑘𝑠𝑡(𝑥𝑠2−𝑧+𝑤 2𝛼−𝑙𝑡𝛽) +𝑐𝑠𝑡(𝑥󰇗𝑠2−𝑧󰇗+𝑤 2𝛼󰇗−𝑙𝑡𝛽󰇗)]𝑙𝑡 −[𝑘𝑠𝑑(𝑥𝑠3−𝑧+𝑤 2𝛼+𝑙𝑑𝛽) +𝑐𝑠𝑑(𝑥󰇗𝑠3−𝑧󰇗+𝑤 2𝛼󰇗+𝑙𝑑𝛽󰇗)+ 𝑘𝑠𝑑(𝑥𝑠4−𝑧−𝑤 2𝛼+𝑙𝑑𝛽) +𝑐𝑠𝑑(𝑥󰇗𝑠4−𝑧󰇗−𝑤 2𝛼󰇗+𝑙𝑑𝛽󰇗)]𝑙𝑑=0 (6.43) −𝑚𝑠𝑡𝑥󰇘𝑠1+𝑘𝑠𝑡(𝑧+𝑤 2𝛼+𝑙𝑡𝛽−𝑥𝑠1)+𝑐𝑠𝑡(𝑧󰇗+𝑤 2𝛼󰇗+𝑙𝑡𝛽󰇗−𝑥󰇗𝑠1) +𝑘𝑛𝑡(𝑦1−𝑥𝑠1)+𝑐𝑛𝑡(𝑦󰇗1−𝑥󰇗𝑠1)=0 (6.44) −𝑚𝑠𝑡𝑥󰇘𝑠2+𝑘𝑠𝑡(𝑧−𝑤 2𝛼+𝑙𝑡𝛽−𝑥𝑠2)+𝑐𝑠𝑡(𝑧󰇗−𝑤 2𝛼󰇗+𝑙𝑡𝛽󰇗−𝑥󰇗𝑠2) +𝑘𝑛𝑡(𝑦2−𝑥𝑠2)+𝑐𝑛𝑡(𝑦󰇗2−𝑥󰇗𝑠2)=0 (6.45) Análisis Modal Experimental 60 −𝑚𝑠𝑑𝑥󰇘𝑠3+𝑘𝑠𝑑(𝑧−𝑤 2𝛼−𝑙𝑑𝛽−𝑥𝑠3)+𝑐𝑠𝑑(𝑧󰇗−𝑤 2𝛼󰇗−𝑙𝑑𝛽󰇗−𝑥󰇗𝑠3) +𝑘𝑛𝑑(𝑦3−𝑥𝑠3)+𝑐𝑛𝑑(𝑦󰇗3−𝑥󰇗𝑠3)=0 (6.46) −𝑚𝑠𝑑𝑥󰇘𝑠4+𝑘𝑠𝑑(𝑧+𝑤 2𝛼−𝑙𝑑𝛽−𝑥𝑠4)+𝑐𝑠𝑑(𝑧󰇗+𝑤 2𝛼󰇗−𝑙𝑑𝛽󰇗−𝑥󰇗𝑠4) +𝑘𝑛𝑑(𝑦4−𝑥𝑠4)+𝑐𝑛𝑑(𝑦󰇗4−𝑥󰇗𝑠4)=0 (6.47) Como se puede observar, no se han incluido los términos del peso puesto que se considera que nos encontramos en el punto de equilibrio estático y ya se han eliminado todos estos términos constantes. Partiendo de estas ecuaciones se ensamblan las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento [15] con las que proceder de igual forma que en el apartado anterior. Para no alargar en exceso la muestra de los resultados y teniendo en cuenta el gran tamaño de los sistemas que van a ser resueltos en esta ocasión, únicamente se expondrán los autovalores y modos de importancia, justificadamente. Las propiedades del vehículo se han seleccionado de un libro de referencia [17], aunque se ha visto conveniente modificar algunos parámetros puesto que el comportamiento tendía a ser muy poco subamortiguado, debido a unos valores de amortiguamiento altos. Aunque es obvio que esto es conveniente para el correcto funcionamiento del vehículo, para nuestro análisis es contraproducente. Con estos cambios se consigue una información de mejor calidad de cara al análisis que se quiere desarrollar. Estas propiedades son: 𝑚𝑐=1000 𝑘𝑔, 𝑚𝑠𝑠𝑑 =45 𝑘𝑔, 𝑚𝑠𝑠𝑡 =55 𝑘𝑔, 𝑘𝑠𝑑 =10700 𝑁 𝑚, 𝑘𝑠𝑡 =11000 𝑁 𝑚, 𝑘𝑛𝑑 = 𝑘𝑛𝑡 =44000 𝑁 𝑚 , 𝑐𝑠𝑑 =300 𝑁𝑠 𝑚, 𝑐𝑠𝑡 =360 𝑁𝑠 𝑚, 𝑐𝑛𝑑 =𝑐𝑛𝑑 =0, 𝐼𝛼=560 𝑘𝑔 𝑚2, 𝐼𝛽=1875 𝑘𝑔 𝑚2, 𝑤=1.51 𝑚, 𝑙𝑑=1.2 𝑚 y 𝑙𝑡=1.4 𝑚. Se va a mostrar la respuesta en desplazamiento y aceleración, aunque el estudio se realizará partiendo de esta segunda únicamente puesto que, como se ha demostrado en el apartado anterior, los resultados son similares y así se aproximan en mayor medida al ensayo real. Para unas condiciones iniciales en forma de escalón que introducen un desplazamiento en la base de las cuatro ruedas (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 𝑦4) con distinta amplitud y sentido, el modelo responde (antes de incluir el ruido, por claridad): Figura 6.14. Desplazamientos Modelo Coche 7 gdl. Análisis modal experimental en un vehículo de competición 61 Figura 6.15. Aceleraciones Modelo Coche 7 gdl. Figura 6.16. Aceleraciones Modelo Coche 7 gdl (Detalle componentes de pequeña amplitud). 6.3.2.1 Resultados teóricos El sistema teórico de siete gdl definido anteriormente, sustituido en la ecuación (6.33) nos proporciona los siguientes resultados del problema de autovalores complejos conjugados, es decir, las frecuencias: 𝜆1= −0.34289±5.4546𝑖 𝜆2=−0.48116±5.9314𝑖 𝜆3= −0.57211±6.0171𝑖 𝜆4=−4.4341±31.29𝑖 𝜆5=−4.2634±31.33𝑖 𝜆6= −3.4431±34.71𝑖 𝜆7=−3.5259±34.725𝑖 Que cumplen con la forma 𝜆𝑖=𝜎𝑖±𝑗𝜔𝑑𝑖. Por tanto, estos serían los autovalores que se quieren conseguir cuando se realice el análisis modal experimental al modelo del vehículo. Cada autovalor tiene asociado su autovector correspondiente: Análisis Modal Experimental 62 Tabla 6-13. Modos Sist. 7 gdl. Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 0 0.9549 0 0 0.6884 0 0.3772±0.0603𝑖 −0.0133∓0.0129𝑖 −0.5861∓0.0858𝑖 0 0.8250 −0.0180∓0.0173𝑖 0.0808∓0.0035𝑖 0.1484±0.0298𝑖 0.2744±0.0745𝑖 0.7068 0.0808∓0.0035𝑖 −0.1484∓0.0298𝑖 0.2744±0.0745𝑖 0.7068 −0.2798∓0.0528𝑖 −0.1442±0.0201𝑖 0.0765∓ 0.0038𝑖 0.0008∓0.0033𝑖 −0.2798∓0.0528𝑖 0.1442±0.0201𝑖 0.0765∓0.0038𝑖 0.0008∓0.0033𝑖 Modo 5 Modo 6 Modo 7 0.0250±0.0224𝑖 0.0173 + 0.0146𝑖 0 0 0 0.0088±0.0065𝑖 0 0 −0.0135∓0.0103𝑖 −0.7060 0.0088∓0.0235𝑖 −0.0010± 0.0024𝑖 0.7060 −0.0088±0.0235𝑖 −0.0010±0.0024𝑖 0.0064∓0.0318𝑖 0.7065 0.7070 −0.0064±0.0318𝑖 −0.7065 0.7070 Para analizar mejor la forma de estos modos se propone convertir los complejos a su forma exponencial y normalizar, quedando: Tabla 6-14. Modos en forma exponencial Sist. 7 gdl. Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 0 1 0 0 1 0 0.4630 𝑒0.1584𝑖 0.0263 𝑒−2.3718𝑖 0.8605 𝑒−2.9962𝑖 0 1 0.0353 𝑒−2.3760𝑖 0.1174 𝑒−0.0432𝑖 0.1585 𝑒0.1981𝑖 0.3446 𝑒0.2651𝑖 1 0.1174 𝑒−0.0432𝑖 0.1585 𝑒−2.9435𝑖 0.3446 𝑒0.2651𝑖 1 0.4136 𝑒−2.9552𝑖 0.1525 𝑒−3.0033𝑖 0.0928 𝑒−0.0502𝑖 0.0048 𝑒−1.3296𝑖 0.4136 𝑒−2.9552𝑖 0.1525 𝑒0.1383𝑖 0.0928 𝑒−0.0502𝑖 0.0048 𝑒−1.3296𝑖 Análisis modal experimental en un vehículo de competición 63 Modo 5 Modo 6 Modo 7 0.0475 0.0320 0 0 0 0.0154 𝑒0.6391𝑖 0 0. 0.0241 𝑒−2.4888𝑖 1 𝑒2.4121𝑖 0.0355 𝑒−1.9143𝑖 0.0037 𝑒1.9752𝑖 1 𝑒−0.7295𝑖 0.0355 𝑒1.2273𝑖 0.0037 𝑒1.9752𝑖 0.0459 𝑒−2.1025𝑖 1 𝑒−0.7023𝑖 1 0.0459 𝑒1.0391𝑖 1 𝑒2.4393𝑖 1 Si se estudia la estructura de los modos, se pueden observar ciertos aspectos que caracterizan a cada uno de ellos. - El primero de ellos corresponde a un cabeceo puro debido al desplazamiento en sentido contrario de la zona trasera frente a la delantera, en el cual las masas semisuspendidas delanteras realizan un desplazamiento de mucha mayor amplitud frente a las traseras. Además, el desplazamiento de las masas semisuspendidas acompaña al del chasis en el cabeceo. - El segundo se identifica con un alabeo puro sin desplazamiento vertical del c.d.g. Se observa como las dos masas semisuspendidas de la parte derecha se desplazan con sentido distinto a las izquierdas, acompañando el giro del chasis. - En tercer lugar se encuentra otro cabeceo similar al del modo 1 pero en este caso la mayor amplitud se produce en la zona trasera. Los desplazamientos se producen todos en el mismo sentido. En este caso el cabeceo se produce por esta diferencia de alturas entre la zona trasera y la delantera y no por que se desplacen en sentidos contrarios. - El modo número cuatro corresponde al desplazamiento simultaneo de las masas semisuspendidas traseras sin apenas movimiento del resto de los gdl - El quinto se produce de igual forma que el cuarto, pero con desplazamientos en sentido inverso de las masas semisuspendidas traseras. - En sexto y séptimo lugar se encuentra la misma forma del quinto y cuarto modo, respectivamente, actuando ahora sobre el eje delantero. Estos modos representados en una simulación con movimientos senoidales de cada grado de libertad [18], proporcionales a su componente del modo elegido, pueden verse habilitando la sección correspondiente dentro del programa de cálculo analítico del modelo. 6.3.2.2 Resultados en aceleración con ruido Una vez incluida la componente aleatoria correspondiente al ruido en las aceleraciones, se puede proceder a completar el análisis modal experimental partiendo de estos datos. Como ya se ha analizado, las limitaciones del método se encuentran principalmente en el factor ruido y en la variación de los resultados en función de las condiciones iniciales (o la excitación). Para las c.i. descritas anteriormente y tras un prolongado trabajo de análisis de los barridos, se han podido obtener combinaciones de parámetros que arrojan resultados de cierta calidad. Aun así, hay que destacar que en este caso ha sido una ardua labor, puesto que, en general, los resultados no contaban con valores del MCF que aportasen confianza suficiente. Para aplicar el ITD original se toma Δt=0.05, para el sistema duplicado: Δt=0.018 y Δτ=0.012 y para el que cuenta con 3𝑝 estaciones: Δt= 0.018, Δτ=0.032 y Δτ2=0.013. Así: Análisis Modal Experimental 64 Tabla 6-15. Autovalores Sist. 7 gdl en aceleración con ruido. Teóricos ITD ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones −0.34289±5.4546𝑖 −2.5594±4.7932𝑖 −3.0724±4.1505𝑖 −2.2721±4.444𝑖 −0.48116±5.9314𝑖 −𝟒.𝟑𝟏𝟗𝟑±𝟑𝟏.𝟑𝟑𝟔𝒊 −𝟒.𝟓𝟎𝟏𝟏±𝟑𝟏.𝟑𝟒𝟒𝒊 −𝟒.𝟑𝟔𝟎𝟏±𝟑𝟏.𝟑𝟑𝟓𝒊 −0.57211±6.0171𝑖 −34.022 −𝟑.𝟔𝟒𝟓𝟓±𝟑𝟒.𝟕𝟕𝟏𝒊 −𝟑.𝟓𝟕𝟎𝟐±𝟑𝟒.𝟕𝟓𝟒𝒊 −𝟒.𝟒𝟑𝟒𝟏±𝟑𝟏.𝟐𝟗𝒊 −𝟑.𝟓𝟓𝟒𝟗±𝟑𝟒.𝟕𝟓𝟑𝒊 −70.034 −44.986 −𝟒.𝟐𝟔𝟑𝟒±𝟑𝟏.𝟑𝟑𝒊 −40.072±35.084𝑖 −92.205 −74.431±11.101𝑖 −𝟑.𝟒𝟒𝟑𝟏±𝟑𝟒.𝟕𝟏𝒊 −45.157±30.165𝑖 −83.671±53.989𝑖 −78.384±29.541𝑖 −𝟑.𝟓𝟐𝟓𝟗±𝟑𝟒.𝟕𝟐𝟓𝒊 −19.893+62.832𝑖 −94.168±34.942𝑖 −88.641 ⋯ ⋯ ⋯ Como se ha comentado anteriormente, la obtención de resultados relativamente buenos ha sido una tarea de mayor complejidad en esta ocasión con respecto al sistema de 3 gdl. Aun así, y tras varios tipos de barrido para optimizar la elección de los parámetros se han podido conseguir autovalores muy próximos a los teóricos. En este sentido hay que destacar que encontrar unos autovalores adecuados no es lo que conlleva un mayor esfuerzo, sino que los modos asociados a estos tengan una cierta similitud en su forma a los analíticos. Para comenzar, se van a analizar los MCF de cada sistema. Para los autovalores destacados en negrita en la tabla anterior se han obtenido unos coeficientes de confianza: Tabla 6-16. MCFs sist. 7 gdl, acel. con ruido. 𝛌=−𝟒.𝟐𝟔𝟑𝟒±𝟑𝟏.𝟑𝟑𝒊 𝝀=−𝟑.𝟓𝟐𝟓𝟗±𝟑𝟒.𝟕𝟐𝟓𝒊 ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones 0.9849∓0.0056𝑖 0.9884∓ 0.0054𝑖 0.9681± 0.0242𝑖 0.9803± 0.0171𝑖 0.9816∓ 0.0947𝑖 0.9320∓ 0.0377𝑖 0.9894∓ 0.0041𝑖 0.9916± 0.0027𝑖 0.9621∓ 0.0679𝑖 0.9621± 0.0216𝑖 0.9900∓ 0.0025𝑖 0.9981± 0.0069𝑖 0.9981∓0.0023𝑖 0.9998∓ 0.0002𝑖 0.9530± 0.0293𝑖 0.9809∓ 0.0104𝑖 0.9986∓0.0021𝑖 0.9997∓ 0.0002𝑖 0.9425± 0.0274𝑖 0.9833∓ 0.0176𝑖 0.9534±0.0819𝑖 0.9572∓ 0.0210𝑖 0.9987∓ 0.0013𝑖 0.9997∓ 0.0003𝑖 0.9917±0.0120𝑖 0.9767± 0.0134𝑖 0.9987± 0.0006𝑖 0.9984± 0.0001𝑖 Como se puede apreciar, el factor de confianza es lo suficientemente adecuado como para tener garantías de que este modo es estructural y no se debe al ruido (como ya sabíamos). Los modos calculados por el método para estos autovalores son: Análisis modal experimental en un vehículo de competición 65 Tabla 6-17. Modo 5 Sist. 7 gdl en aceleración con ruido. 𝛌=−𝟒.𝟐𝟔𝟑𝟒±𝟑𝟏.𝟑𝟑𝒊 Teóricos ITD ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones 0.0250±0.0224𝑖 0.0293± 0.0189𝑖 0.0277± 0.0227𝑖 0.0286± 0.0214𝑖 0 0.0015∓0.0027𝑖 −0.0027∓ 0.0012𝑖 −0.0021∓ 0.0014𝑖 0 −0.0063∓ 0.0011𝑖 −0.0038∓ 0.0035𝑖 −0.0049∓ 0.0029𝑖 −0.7060 −0.5844∓ 0.0116𝑖 −0.5839∓ 0.0110𝑖 −0.5843∓ 0.0112𝑖 0.7060 0.8098 0.8095 0.8100 0.0064∓0.0318𝑖 −0.0044∓ 0.0141𝑖 −0.0193±0.0176𝑖 −0.0058∓ 0.0101𝑖 −0.0064±0.0318𝑖 0.0061± 0.0313𝑖 0.0005± 0.0404𝑖 0.0036± 0.0308𝑖 Tabla 6-18. Modo 7 Sist. 7 gdl en aceleración con ruido. 𝝀=−𝟑.𝟓𝟐𝟓𝟗±𝟑𝟒.𝟕𝟐𝟓𝒊 Teóricos ITD ITD con 2p estaciones ITD con 3p estaciones 0 0.0069±0.0095𝑖 0.0062±0.0069𝑖 0.0061±0.0084𝑖 0.0088±0.0065𝑖 0.0072±0.0085𝑖 0.0076±0.0062𝑖 0.0076±0.0063𝑖 −0.0135∓0.0103𝑖 −0.0119∓0.0113𝑖 −0.0115∓0.0095𝑖 −0.0115∓0.0100𝑖 −0.0010±0.0024𝑖 0.0066∓0.0015𝑖 0.0082±0.0178𝑖 0.0064±0.0026𝑖 −0.0010±0.0024𝑖 −0.0058±0.0092𝑖 −0.0093∓0.0174𝑖 −0.0062±0.0037𝑖 0.7070 0.9495 0.9484 0.9490 0.7070 0.3121∓0.0203𝑖 0.3146∓0.0212𝑖 0.3138∓0.0208𝑖 Aunque hay que reconocer que la concordancia entre los modos teóricos y los calculados dista mucho de ser la deseable, tras haber podido observar un gran número de modos calculados con otros parámetros, se puede asegurar que estos, al menos, son identificables. Como se puede apreciar en ambos, las dos componentes de mayor valor corresponden con la versión analítica, guardando además las relaciones de signos. Aunque no se ha comentado anteriormente, el primer autovalor calculado en las tres aplicaciones del ITD también cuenta con un MCF de gran calidad, lo que nos indica que esta frecuencia también corresponde con una frecuencia natural del sistema (𝜆1 𝑜 𝜆2). Sin embargo, debido a que su valor no ha sido calculado con precisión por el método, al menos con el número de estaciones que se ha trabajado en este proyecto, el modo correspondiente a esta no guarda relación, a priori, con el analítico. Es por esto por lo que no se ha incluido en el análisis anterior. Muy posiblemente, modificando las condiciones iniciales sea posible obtener el resto de frecuencias y modos pues, como ya se ha justificado, las condiciones iniciales suponen uno de los factores que mayor influencia tiene Análisis Modal Experimental 72 Tras el escrutinio realizado a toda la información obtenida, las frecuencias y modos representativos de nuestro monoplaza son: Tabla 6-23. Resultados finales ART-17. Autovalores 𝝀= −12.1796±40.8078𝑖 −4.7981±51.8190𝑖 −10.882±82.309𝑖 −6.823±105.48𝑖 𝝎𝒅= 𝟔.𝟒𝟗𝟒𝟕 Hz 𝟖.𝟐𝟒𝟕𝟐 𝑯𝒛 𝟏𝟑.𝟎𝟗𝟗𝟗 𝑯𝒛 𝟏𝟔.𝟕𝟖𝟕𝟔 𝑯𝒛 Modos 0.8240 0.3936±0.1017𝑖 −0.6242±0.0392𝑖 0.5002±0.0272𝑖 0.2394∓0.0086𝑖 −0.1068±0.0883𝑖 −0.2326±0.0543𝑖 0.4250∓0.0716𝑖 0.2085±0.1037𝑖 −0.5825 −0.0417±0.0074𝑖 0.0297∓0.0285𝑖 −0.1966±0.1141𝑖 −0.5500∓0.0923𝑖 0.2562∓0.0727𝑖 −0.4888∓0.0114𝑖 −0.1842±0.3518𝑖 −0.3567∓0.1948𝑖 0.6922 −0.5680 Autovalores 𝝀= −4.0782±120.58𝑖 −13.98±133.73𝑖 𝝎𝒅= 𝟏𝟗.𝟏𝟗𝟎𝟗 𝑯𝒛 𝟐𝟏.𝟐𝟖𝟑𝟖 𝑯𝒛 Modos 0.7658 −0.5914∓0.0348𝑖 0.2399∓0.1255𝑖 −0.2477±0.0565𝑖 0.1148∓0.0528𝑖 0.0569±0.0143𝑖 −0.1844±0.0478𝑖 0.4745∓0.0050𝑖 −0.5333±0.0594𝑖 0.5966 Se ha podido observar que los resultados provenientes de los ensayos de amplitud 1 y 2 mm tienden, en general, a tener menos concordancia entre ellos que los proporcionados por el de amplitud 3 mm. Este hecho es algo que se considera esperable puesto que un desplazamiento de ±1 mm en la base de una de las ruedas puede no ser suficiente para excitar el vehículo de la manera apropiada. Para poder ver con mayor claridad la forma de los modos se propone su paso a forma exponencial de manera que se podrá observar mejor la amplitud y el ángulo de desfase. Tabla 6-24. Resultados finales ART-17 en forma exponencial. Frecuencias (Hz) 𝝎𝒅= 𝟔.𝟒𝟗𝟒𝟕 𝟖.𝟐𝟒𝟕𝟐 𝟏𝟑.𝟎𝟗𝟗𝟗 𝟏𝟔.𝟕𝟖𝟕𝟔 Modos 1 0.6978 0.9036 0.8819 0.2907 𝑒−0.0359𝑖 0.2379 𝑒2.1982𝑖 0.3450 𝑒−0.1666𝑖 0.7588 𝑒−0.2213𝑖 Análisis modal experimental en un vehículo de competición 73 0.2826 𝑒0.4615𝑖 1 𝑒2.8888𝑖 0.0612 𝑒−0.1130𝑖 0.0724 𝑒−0.8185𝑖 0.2759 𝑒2.6157𝑖 0.9574 𝑒3.0551𝑖 0.3848 𝑒2.9280𝑖 0.8607 𝑒3.1105𝑖 0.4819 𝑒2.0531𝑖 0.6976 𝑒−2.8944𝑖 1 𝑒−3.0789𝑖 1 𝑒3.0873𝑖 Frecuencias (Hz) 𝝎𝒅= 𝟏𝟗.𝟏𝟗𝟎𝟗 𝟐𝟏.𝟐𝟖𝟑𝟖 Modos 1 0.9930 0.3535 𝑒−0.4818𝑖 0.4260 𝑒−0.2831𝑖 0.1650 𝑒−0.4313𝑖 0.0983 𝑒−2.9544𝑖 0.2487 𝑒2.8879𝑖 0.7955 𝑒3.0723𝑖 0.7007 𝑒3.0308𝑖 1 𝑒3.0829𝑖 6.4.1 Análisis de resultados Si se analizan las frecuencias y modos obtenidos se puede realizar varios comentarios: En primer lugar se confirma que las frecuencias naturales amortiguadas conseguidas con el análisis modal experimental coinciden con las estimaciones provenientes de las FRF. Esto refuerza la veracidad de los resultados. Además, si se observan las fases de cada modo (exceptuando la segunda columna) tiene cierta tendencia a desfasar valores cercanos a 𝜋 de las dos primeras componentes (ruedas del lado derecho) con respecto a las dos últimas (ruedas del lado izquierdo), lo que podría identificarse con un movimiento de alabeo. En cuanto a los modos 4 y 6 se aprecia que tienen una forma similar, lo que podría indicarnos que se refiere a un mismo modo siendo captado en un rango de frecuencias relativamente alto. Los casos con una amplitud de menor orden en la tercera componente del modo (acelerómetro del bastidor) junto con el desfase arriba comentado pueden estar indicando que se está produciendo un alabeo prácticamente puro y que apenas desplaza verticalmente el eje longitudinal del vehículo. De igual forma se podría interpretar como un movimiento alternativo de las masas semisuspendidas de cada eje sin apenas movimiento del chasis. 75 7 CONCLUSIONES En este capítulo se exponen las conclusiones procedentes del apartado anterior, así como una serie de consejos que pueden implementarse de cara a futuros ensayos de la misma índole que los aquí realizados con la intención de conseguir unos resultados de mayor calidad. Conclusiones Del estudio llevado a cabo en el apartado anterior se puede concluir que el ITD es un método eficaz para la obtención de los parámetros modales que caracterizan una estructura. Sin embargo, no todo es favorable a la hora de utilizar el método. El tipo de ensayos realizados, así como la calidad de los mismos es algo fundamental para la obtención de unos resultados veraces y consistentes. Posiblemente sean las condiciones iniciales del ensayo el punto más crítico para el método, puesto que, como se ha demostrado, una única combinación de estas no es suficiente para alcanzar el total de las frecuencias y modos. Así también, un mayor número de ensayos nos permitiría comparar los resultados obtenidos en cada uno de ellos para cerciorarnos de que se estaban tomando los resultados más adecuados. En el Apartado 6.3.2.3 se comprobó que se pueden conseguir resultados considerablemente leales al modelo analítico cuando se cuenta con una variedad lo suficientemente abundante de ensayos. Otro aspecto destacable es la necesidad de filtrado de los registros. Ha sido esencial la aplicación del filtro de paso bajo para que este proyecto consiga unos resultados adecuados, reduciendo las limitaciones que se encontraban inicialmente para la elección de los parámetros del ITD. Aunque no se han podido conseguir los objetivos iniciales fijados para este trabajo y han tenido que ser modificados conforme avanzaba el desarrollo de este, esto nos ha permitido descubrir algunos aspectos acerca del ITD que desconocíamos hasta el momento como puede ser la gran influencia de las condiciones iniciales. Por tanto, se considera que el estudio realizado en el presente es de gran utilidad para futuros proyectos de análisis modal experimental, así como para próximos usos de los acelerómetros de bajo coste. Para no alargar en exceso este documento se obvia incluir los programas creados para el cálculo numérico. Conclusiones 76 77 8 REFERENCIAS [1] Brüel & Kjaer, «An introduction to modal testing,» [En línea]. Available: http://www.bksv.com/doc/bo0172. [2] M. Rodríguez Súnico, Análisis modal operacional: Teoría y Práctica, Escuela Superior de Ingenieros: Universidad de Sevilla, 2005. [3] ARUS Andalucía Racing Team. [En línea]. Available: http://arusteam.com/. [4] MTS Systems Corporation, «Web oficial,» [En línea]. Available: www.mts.com. [5] P. Urda Gómez, Comunicación personal, Predoctoral, Dep. Ingeniería Mecánica, ETSI, Universidad de Sevilla, Abril 2018. [6] A. Limited, «Arm Mbed,» [En línea]. Available: https://www.mbed.com/en/. [7] A. Collín Morales, Estudio del funcionamiento de los metodos ITD y LSCEM para estimación de parámetros dinámicos y aplicación a una viga en voladizo, Universidad de Sevilla: Escuela Técnica Superior de Ingeniería, 2017. [8] Z.-F. Fu y J. He, Modal Analysis, Oxford: Butterworth-Heinemann, 2001. [9] D. García Vallejo y J. Domínguez Abascal, Dinámica de Sólidos, Apuntes del Máster en Diseño Avanzado en Ingeniería Mecánica, Escuela Técnica Superior de Ingeniería: Universidad de Sevilla, 2018. [10] G. Kerschen y J.-C. Golinval, «Experimental Modal Analysis,» Structural Dynamics Research Group, University of Liege, [En línea]. Available: http://www.ltas-vis.ulg.ac.be/cmsms/. [11] V. Meruane, Dinámica Estructural, Apuntes para el curso ME706, Universidad de Chile, 2017. [12] S. R. Ibrahim y R. S. Pappa, «Large Modal Survey Testing Using the Ibrahim Time Domain Identification Technique,» Journal of Spacecraft and Rockets, vol. 19, nº 5, pp. 459-465, 1982. [13] R. D. Nayeri, F. Tasbihgoo, M. Wahbeh, J. P. Caffrey, S. F. Masri, J. P. Conte y A. Elgamal, «Study of Time-Domain Techniques for Modal Parameter Identifiction of a Long Suspension Bridge with Dense Sensor Arrays,» ASCE Journal of engineering mechanics, vol. 135, nº 7, pp. 669-683, 2009. [14] S. R. Ibrahim, «Modal Confidence Factor in Vibration Testing,» Journal of Spacecraft and Rockets, vol. 15, nº 5, pp. 313-316, 1978. [15] J. Domínguez Abascal y E. Reina Romo, Introducción a los Sistemas de N Grados de Libertad, Apuntes de la asignatura ACDM, Escuela Técnica Superior de Ingeniería: Universidad de Sevilla, 2017. Referencias 78 [16] J. Wideberg, «Modelo de Medio Coche,» de Apuntes de la asignatura Automóviles, Escuela Técnica Superior de Ingeniería, Universidad de Sevilla, 2018. [17] K. Popp y W. Schiehlen, Ground Vehicle Dynamics, Berlín: Springer, 2010. [18] J. L. Escalona Franco, Material de Prácticas, asignatura Cinemática y Dinámica de Máquinas, Escuela Técnica Superior de Ingeniería: Universidad de Sevilla, 2017. 79 9 ANEXO Planos 9.1.1 Apoyo 9.1.2 Base del Actuador Rafael Prieto Dibujado Comprobado Aprobado 1 Aprobado 2 Salvo indicación contraria cotas en milímetros y ángulos en grados Nombre Fecha Universidad de Sevilla Título Apoyo para ensayo de vehículo de competición A3 Plano 1 Archivo: PlanoApoyo.dft Escala 1:10 28/11/17 ETS de Ingeniería 10 320 10 250 250 45° 10320 250 40 658 10 10 170 10 AA CORTE A-A 250 250 40 115115 100 150 Todos los agujeros tienen diámetro de 13 mm y son pasantes. Las dos bases laterales tienen idénticas características Todas las uniones soldadas • • • 500 500 500 150 165 85 75 150 150 75 75 Rafael Prieto Dibujado Comprobado Aprobado 1 Aprobado 2 Salvo indicación contraria cotas en milímetros y ángulos en grados Nombre Fecha Universidad de Sevilla Título Base para actuador A4 Plano 2 Archivo: PlanoBaseActuador.dft Escala 1:5 28/11/17 ETS de Ingeniería 40 10 125 15 340 340 10 125 62,5107,5 107,5 62,5 Todas las uniones soldadas• 1/2 - 20 UNF-2B A DETALLE A 45° 1