Aplicación del modelo de Ichimura-Austern-Vincent a la interpretación de medidas inclusivas de 197Au( 9Be,8Be)
Abstract
El estudio de reacciones nucleares de ruptura de un núcleo débilmente ligado en dos o más fragmentos es un proceso de gran interés en la rama de la Física Nuclear. En este trabajo, consideraremos una reacción nuclear que puede describirse como: a(b+x)+A → b + B∗, donde B∗ representa todos los canales de salida posibles que puede formar el sistema x + A. En un experimento, cuando los estados finales no están completamente determinados, es decir, no se detectan todas las partículas salientes, se dice que la reacción es inclusiva. La interpretación teórica de este tipo de reacciones es complicada, puesto que existen muchos procesos que pueden contribuir a la producción del fragmento b. Los procesos de ruptura inclusiva los separaremos en tres contribuciones: la ruptura elástica (EBU), la ruptura no elástica (NEB) (que incluye los procesos de INBU, Transferencia y ICF) y la fusión completa (CF). Para el estudio teórico de reacciones nucleares de este tipo, nos valemos del formalismo de Ichimura-Austern-Vincent (IAV) [Phys. Rev. C 32, 431 (1985)] en su versión prior. Dicho formalismo está implementado en el código computacional “Smoothie”, desarrollado por el Dr. Jin Lei junto con el tutor de este trabajo D. Antonio M. Moro, que por lo tanto, utilizaremos para encontrar la sección eficaz total de transferencia para la reacción objeto de estudio. La motivación para la realización de este trabajo reside en extender el método de IAV a situaciones en las que el eyectil b es un sistema no ligado, que por lo tanto puede formarse en varias configuraciones de energía y momento relativos, y además decaerá tras la colisión en sus constituyentes. Precisamente por esto y porque disponemos de datos experimentales [Phys. Rev. C 104, 024609 (2021)] con los que comparar los datos teóricos que obtengamos, escogemos la reacción 197Au(9Be,8Be) en las que el proyectil a es el 9Be, que es un núcleo borromeo formado por dos partículas alfa y un neutrón, y el eyectil b es el 8Be (α + α), que efectivamente es un núcleo que no forma estados ligados. Incluiremos esto en nuestros cálculos teóricos mediante los solapamientos de 9Be en su estado fundamental, con 8Be en cada uno de sus estados representativos. Estos solapamientos se calculan dentro del formalismo de armónicos hiperesféricos, que permite construir la función de onda de tres cuerpos para el núcleo de 9Be. De esta forma, se incorpora la estructura del proyectil de tres cuerpos dentro del formalismo IAV, desarrollo que resulta novedoso. El cálculo de los solapamientos ha sido realizado por el tutor D. Jesús Casal. El objetivo final del trabajo será comparar los cálculos de sección eficaz total de transferencia obtenidos para diferentes valores de energía incidente de 9Be cercanas a la barrera de Coulomb, con los datos experimentales que disponemos, además de con los cálculos teóricos siguiendo el método CRC desarrollados por F. Gollan et al. para la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be)198Au [Phys. Rev. C 104, 024609 (2021)].
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Universidad de Sevilla Máster interuniversitario en Física Nuclear Aplicación del modelo de Ichimura-Austern-Vincent a la interpretación de medidas inclusivas de 197Au(9Be,8Be) Trabajo de Fin de Máster Guadalupe Villanueva Cosme Tutores: Antonio M. Moro Muñoz Jesús Casal Berbel 3 de noviembre de 2023
Resumen El estudio de reacciones nucleares de ruptura de un núcleo débilmente ligado en dos o más fragmentos es un proceso de gran interés en la rama de la Física Nuclear. En este trabajo, consideraremos una reacción nuclear que puede describirse como: a(b+x) +A→ b+B∗, donde B∗representa todos los canales de salida posibles que puede formar el sistema x+A. En un experimento, cuando los estados finales no están completamente determinados, es decir, no se detectan todas las partículas salientes, se dice que la reacción es inclusiva. La interpretación teórica de este tipo de reacciones es complicada, puesto que existen muchos procesos que pueden contribuir a la producción del fragmento b. Los procesos de ruptura inclusiva los separaremos en tres contribuciones: la ruptura elástica (EBU), la ruptura no elástica (NEB) (que incluye los procesos de INBU, Transferencia y ICF) y la fusión completa (CF). Para el estudio teórico de reacciones nucleares de este tipo, nos valemos del formalismo de Ichimura-Austern-Vincent (IAV) [Phys. Rev. C 32, 431 (1985)] en su versión prior. Dicho formalismo está implementado en el código computacional “Smoothie”, desarrollado por el Dr. Jin Lei junto con el tutor de este trabajo D. Antonio M. Moro, que por lo tanto, utilizaremos para encontrar la sección eficaz total de transferencia para la reacción objeto de estudio. La motivación para la realización de este trabajo reside en extender el método de IAV a situaciones en las que el eyectil bes un sistema no ligado, que por lo tanto puede formarse en varias configuraciones de energía y momento relativos, y además decaerá tras la colisión en sus constituyentes. Precisamente por esto y porque disponemos de datos experimentales [Phys. Rev. C 104, 024609 (2021)] con los que comparar los datos teóricos que obtengamos, escogemos la reacción 197Au(9Be,8Be) en las que el proyectil aes el 9Be, que es un núcleo borromeo formado por dos partículas alfa y un neutrón, y el eyectil bes el 8Be (α+α), que efectivamente es un núcleo que no forma estados ligados. Incluiremos esto en nuestros cálculos teóricos mediante los solapamientos de 9Be en su estado fundamental, con 8Be en cada uno de sus estados representativos. Estos solapamientos se calculan dentro del formalismo de armónicos hiperesféricos, que permite construir la función de onda de tres cuerpos para el núcleo de 9Be. De esta forma, se incorpora la estructura del proyectil de tres cuerpos dentro del formalismo IAV, desarrollo que resulta novedoso. El cálculo de los solapamientos ha sido realizado por el tutor D. Jesús Casal. El objetivo final del trabajo será comparar los cálculos de sección eficaz total de transferencia obtenidos para diferentes valores de energía incidente de 9Be cercanas a la barrera de Coulomb, con los datos experimentales que disponemos, además de con los cálculos teóricos siguiendo el método CRC desarrollados por F. Gollan et al. para la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be)198Au [Phys. Rev. C 104, 024609 (2021)]. i
Abstract Nuclear reactions, in which a weakly bound nucleus breaks into two or more fragments, are relevant process to study in nuclear physics. In this work, we will consider a nuclear reaction that can be described as: a(b+x) + A→b+B∗, where B∗is any possible configuration of the x+Asystem. In an experiment, if the final states are not completely determined, that is, not all outgoing particles are detected, the reaction is called inclusive. The theoretical interpretation of these reactions is complicated due to the fact that there are many processes that can contribute to the production of the fragment b. Inclusive breakup processes are divided into three contributions: elastic breakup (EBU), non-elastic breakup (NEB) (the INBU, transfer, and ICF processes are included) and complete fusion (CF). For the theoretical study of this type of nuclear reactions, we use the Ichimura-Austern- Vincent (IAV) formalism [Phys. Rev. C 32, 431 (1985)] in its prior version. This formalism is implemented in the computational code “Smoothie”, developed by Dr. Jin Lei in collaboration with the supervisor Antonio M. Moro. We use this code to determine the total transfer cross section for the reaction we are working on. The aim of this work is to extend the IAV method to situations where the projectile bis an unbound system that can be formed in different energy and relative momentum configurations, and decays into its constituent parts after the collision. To do this, and because experimental data are available [Phys. Rev. C 104, 024609 (2021)] to compare with the theoretical calculations, we choose the reaction 197Au(9Be,8Be) where the projectile ais 9Be, which is a borromean nucleus composed of two alpha particles and one neutron, and the ejectile bis 8Be (α+α), which is indeed a system that does not form bound states. We will account for this in our theoretical calculations by means of the overlaps of 9Be in its ground state with 8Be in each of its representative states. These the overlaps are computed in the hyperspherical harmonics framework, which allows us to construct the three-body wave function for the 9Be nucleus. In this way, the three-body projectile structure is integrated into the IAV formalism, which is the innovative approach of this work. The calculation of the overlaps was carried out by the supervisor D. Jesús Casal. The ultimate goal of this work is to compare the calculated total transfer cross sections for different incident energies of 9Be near the Coulomb barrier, with the experimental data available, and with theoretical calculations using the CRC method, both acquired from Gollan et al. for the nuclear reaction 197Au(9Be,8Be)198Au [Phys. Rev. C 104, 024609 (2021)]. ii
Índice general 1. Introducción 1 2. Formalismo Teórico 10 2.1. Modelo de Ichimura-Austern-Vincent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Relación entre la forma post yprior ...................... 17 2.2.1. Modelo de Udagawa y Tamura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2. Modelo de Hussein y McVoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3. Relación entre teorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Modelo de tres cuerpos para 9Be........................ 19 2.4. Modelo de dos cuerpos para 8Be........................ 22 2.5. Solapamiento entre 9Be y 8Be ......................... 24 3. Estudio de la reacción nuclear inclusiva 197Au(9Be,8Be) 26 3.1. Cálculos de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2. Cálculosdereacción .............................. 33 4. Conclusiones 41 Apéndices 44 A. Potencial Double Folding São Paulo 44 B. Potencial Koning-Delaroche 46 C. Métodos de interpolación para el cálculo de la sección eficaz total de transferencia inclusiva 48 Bibliografía 57 iii
Índice de figuras 1.1. Esquema de niveles de 9Be. Las líneas punteadas marcan la energía umbral de ruptura para las diferentes fragmentaciones posibles [9]. . . . . . . . . . 3 1.2. Espectro energético del protón resultante en la reacción nuclear A(d, p)X. . 5 1.3. Mecanismos de dispersión de la reacción nuclear 9Be +197Au. ....... 6 1.4. Esquema de niveles energéticos para el 8Be[9]................. 9 2.1. Coordenadas utilizadas en la reacción de ruptura. . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Los tres conjuntos de coordenadas de Jacobi escaladas. . . . . . . . . . . . 20 2.3. Coordenadas de Jacobi tipo Tdel sistema a tres cuerpos para el 9Be. . . . 21 2.4. Coordenadas utilizadas para describir el 8Be.................. 23 3.1. Esquema de la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be). ............... 26 3.2. Esquema de desintegración del 198Au[6]. ................... 27 3.3. Representación de los solapamientos en función de rbx. Entre el estado fundamental de 9Be con el estado fundamental 0+de 8Be (energía nominal de la resonancia a Eαα ≈0.1MeV) y entre el estado fundamental de 9Be y el estado excitado 2+de 8Be (energía nominal de la resonancia a E≈3 MeV). ...................................... 30 3.4. Intensidad de cada pseudoestado para el 8Be. Los valores redondeados representan los pseudoestados para los cuales hemos realizado los cálculos de la sección eficaz de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5. Comparación entre los solapamientos radiales de 9Be con el 8Be, ambos en su estado fundamental, con la función radial solución de un potencial de WSfenomenológico. .............................. 32 3.6. Sección eficaz elástica relativa a la sección eficaz de Rutherford para diferentes valores de Elab del proyectil 9Be cuando el blanco es 197Au. Comparación de los datos experimentales de la Ref. [69] con lo obtenido mediante el código de canales acoplados FRESCO utilizando el potencial SPP. . . . 34 3.7. Secciones eficaces diferenciales de transferencia inclusiva en función de la energía cinética final total, con el 8Be en diferentes configuraciones, para las energías incidentes de 9Be Ei cm(9Be) = 36 y48 MeV. . . . . . . . . . . 36 3.8. Representación esquemática de las energías relevantes para la reacción nuclear inclusiva 197Au(9Be,8Be).......................... 37 3.9. Sección eficaz de transferencia inclusiva en función de la energía del sistema α-αpara una energía cinética incidente de 9Be igual a 36 MeV. . . . . . . . 38 iv
3.10. Representación gráfica de la sección eficaz diferencial de transferencia, en función de la energía del sistema α-αpara una energía cinética incidente de 9Be igual a 36 MeV. Obtenido mediante el Método 2. El área sombreada en gris bajo la curva 2+representa de forma aproximada la anchura de la resonancia de 8Be en el estado Jπ= 2+.................... 39 3.11. Representación de la sección eficaz de tranferencia para la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be)198Au, para diferentes valores de energía incidente de 9Be. Comparamos los datos teóricos obtenidos con los datos experimentales del artículodelaRef.[4]............................... 40 3.12. Representación de la sección eficaz de transferencia para la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be)198Au, para diferentes valores de energía incidente de 9Be escalando por los factores espectroscópicos del cálculo VMC de la Ref. [72]. Comparamos los cálculos teóricos obtenidos mediante el modelo de IAV, con los datos experimentales y los cálculos teóricos obtenidos mediante el método CRC de la Ref. [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 A.1. Coordenadas necesarias para definir la interacción entre dos núcleos mediante un potencial de tipo “Double Folding” [73]. . . . . . . . . . . . . . . 44 C.1. Representación esquemática de ∆εi....................... 49 C.2. Divisiones en intervalos para llevar a cabo el Método 2 para Ei c.m.(9Be) = 36 MeV para Jπ= 2+................................ 49 C.3. Representación gráfica de la las secciones eficaces de transferencia (Método 1) y secciones eficaces diferenciales de transferencia (Método 2) para la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be), en función de la energía Eαα para diferentes valores de energía incidente de 9Be. .................... 51 v
Índice de tablas 1.1. Energía de enlace por nucleón, energía de separación de un protón y un neutrón, posibles formas de ruptura del núcleo y valores de Q correspondientes para diferentes tipos de núcleos. (drepresenta al deuterón, núcleo del átomo de deuterio, que está formado por un protón y un neutrón. t representa al tritón, núcleo del átomo de tritio, que está formado por un protón y dos neutrones.) [6, 7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3.1. Características relevantes del canal de reacción (9Be,8Be)que surge de la reacción de transferencia de un neutrón del sistema 9Be +197Au. [4, 6] . . 27 3.2. Norma de los solapamientos entre el estado fundamental de 9Be con cada pseudoestado de 8Be seleccionado para calcular la sección eficaz de transferencia. Los valores resaltados son los relativos a los solapamientos radiales representativos que se muestran en la figura 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3. Potenciales utilizados para el cálculo de la sección eficaz diferencial de transferencia inclusiva siguiendo el formalismo de IAV en su forma prior para la reacción nuclear inclusiva 197Au(9Be,8Be). (SPP representa el potencial tipo “Double Folding: São Paulo” y KD representa el potencial tipo “Koning-Delaroche”.) [66, 67, 68] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 vi
Capítulo 1 Introducción El núcleo atómico es un sistema compacto formado por protones y neutrones, conocidos genéricamente como nucleones, ya que se comportan de forma similar bajo la acción de la fuerza nuclear fuerte. El estudio de reacciones nucleares de ruptura de un núcleo en dos o más fragmentos es un proceso de gran interés en la rama de la Física Nuclear. En concreto, una reacción de este tipo de especial interés es aquella en la que alguno de los núcleos que interviene es un núcleo débilmente ligado, ya sean núcleos débilmente ligados estables (6,7Li,9Be), como inestables (6,8He,7,10,11 Be) [1, 2, 3]. Son de especial interés ya que presentan propiedades particulares que permiten utilizarlos como núcleos “prueba” para desarrollar modelos teóricos capaces de describir su estructura singular y sus mecanismos de reacción complejos. Además, juegan un papel importante en la rama de la astrofísica nuclear debido a que intervienen en la nucleosíntesis primordial, en las cadenas de reacciones de captura en estrellas masivas y en la síntesis de elementos pesados [4]. Núcleos de tipo ligeros, estables y débilmente ligados son los que nos interesa estudiar en este trabajo, y se definen como aquellos que no sufren ningún tipo de decaimiento radiactivo, su número másico es relativamente pequeño (del orden de la decena), su energía de ligadura por nucleón es menor que la de sus vecinos en la tabla periódica, por lo que presentan un umbral de ruptura bajo, y poseen una estructura de racimo (en inglés, de cluster) [5]. Una de las propiedades distintivas que hace que este tipo de núcleos sean objeto de estudio es la alta probabilidad de ruptura que presentan al interaccionar con otros núcleos. Esto es debido a que poseen un primer umbral de ruptura a una energía relativamente pequeña. La influencia de este proceso en otros canales de reacción como la dispersión elástica, la transferencia o la fusión, modifica la dinámica general de la reacción en comparación con proyectiles fuertemente ligados [4]. Ya que existe una alta probabilidad de que se produzca una reacción nuclear de ruptura cuando un núcleo débilmente ligado interaccione con otro, podremos obtener información acerca de la estructura de los núcleos que se han fragmentado, así como su energía de enlace, factores espectroscópicos y momentos angulares, entre otras propiedades, lo que nos permitirá entender mejor la dinámica de las reacciones entre sistemas compuestos [5]. Es precisamente por esto, por lo que anteriormente dijimos que suelen escogerse como núcleos “prueba” en desarrollos teóricos en este ámbito científico. Ejemplos de este tipo de núcleos son, como ya apuntamos anteriormente, el 6Li, 7Li y 9Be, entre otros. Algunas de sus propiedades se muestran en la tabla 1.1. En este contexto, nos centraremos concretamente en el núcleo 9Be, ya que es el pro- 1
Núcleo BE/A (MeV) Sp(MeV) Sn(MeV) Clúster Q (MeV) 6Li 5.33 4.43 5.66 α+d-1.47 7Li 5.61 9.97 7.25 α+t-2.47 9Be 6.46 16.89 1.66 α+α+n-1.57 Tabla 1.1: Energía de enlace por nucleón, energía de separación de un protón y un neutrón, posibles formas de ruptura del núcleo y valores de Q correspondientes para diferentes tipos de núcleos. (drepresenta al deuterón, núcleo del átomo de deuterio, que está formado por un protón y un neutrón. trepresenta al tritón, núcleo del átomo de tritio, que está formado por un protón y dos neutrones.) [6, 7]. yectil utilizado en la reacción nuclear que estudiaremos en este trabajo. La estructura de este núcleo se puede representar mediante una estructura tipo borromeo de tres cuerpos, compuesto por dos partículas αy un neutrón débilmente ligado, tal y como podemos observar en la tabla 1.1. Si atendemos a dicha tabla nuevamente vemos que, aunque se trata de un núcleo estable, la energía de separación es muy pequeña y, por lo tanto, como ya advertimos anteriormente, cuando colisione con un núcleo blanco podemos esperar que los efectos de ruptura sean muy relevantes [4, 5, 2]. En el caso concreto de nuestro trabajo el núcleo blanco será el 197Au. A diferencia de otros casos como el 6Li y el 7Li, que se fragmentan en dos cuerpos predominantemente(1) (tabla 1.1), en el caso de 9Be, al ser un modelo de tres cuerpos, hay diversos procesos de ruptura que pueden darse simultáneamente durante la reacción. Hay tres opciones más probables en las que el núcleo 9Be puede dividirse en fragmentos diferentes [8, 9, 7]: 1. Fragmentación rápida (“prompt”) en α+n+n. Este mecanismo presenta una energía umbral de ruptura EBU = 1.57 MeV. 2. Ruptura resonante en 8Be +n.EBU = 1.66 MeV. 3. Ruptura resonante en 5He +α.EBU = 2.47 MeV. Los núcleos 8Be y 5He son núcleos no ligados con tiempo de vida media de ≈10−17 s y≈10−21 s, respectivamente. En ambos casos, debido a que se trata de núcleos que no llegan a formar estados ligados, se ha observado que resultan igualmente en la emisión de dos partículas αy un neutrón [8]. En reacciones en las que está presente el 9Be, a energías alrededor de la barrera de Coulomb, se ha observado que la configuración del cluster 8Be +nes predominante en comparación con la configuración 5He +α[10, 4]. Podemos observar el esquema de niveles de 9Be, así como el valor de las distintas energías umbrales para cada posible fragmentación en la figura 1.1. Los diferentes mecanismos genéricos en los que un núcleo de este tipo puede fragmentarse cuando interacciona con otro núcleo son varios. El caso más simple es aquel en el que uno de los fragmentos interactuantes se rompe en otros dos, permaneciendo el núcleo blanco en su estado original. Podemos verlo de una forma más intuitiva como (1) El 6Li realmente también presenta una estructura de tres cuerpos, pero generalmente se rompen en α+d, tal y como apuntamos en la tabla 1.1. 2
Figura 1.4: Esquema de niveles energéticos para el 8Be [9]. desarrollado por el Dr. Jin Lei junto con el tutor de este trabajo D. Antonio M. Moro [53]. Este código está basado en el código desarrollado por el Dr. Jin Lei en su tesis doctoral [1], en la que utiliza el formalismo IAV para describir diferentes reacciones nucleares de NEB en las que intervienen núcleos débilmente ligados. Además, compararemos los cálculos teóricos que obtengamos para la reacción nuclear objeto de estudio en este trabajo, con los datos experimentales que obtuvieron F. Gollan et al. en el artículo de la Ref. [4] para dicha reacción. La motivación de este trabajo reside en extender el método de IAV a situaciones en las que el sistema bes no ligado. Precisamente por esto, y porque disponemos de datos experimentales [4] con los que comparar los datos teóricos que obtengamos, escogemos la reacción 197Au(9Be,8Be), en la que b=8Be, que efectivamente es un núcleo que no forma estados ligados. Podemos describir su estructura interna (figura 1.4) mediante un conjunto de estados representativos para cada Jπ= 0+,2+,4+, de forma que, dependiendo de en qué estado se encuentre el 8Be una vez ocurra la reacción, obtendremos un valor de sección eficaz diferente. Incluiremos esto en nuestros cálculos teóricos mediante los solapamientos de 9Be en su estado fundamental, con el 8Be en cada estado concreto. Estos solapamientos se calculan dentro del formalismo de armónicos hiperesféricos [54, 55], que permite construir la función de onda de tres cuerpos para el núcleo de 9Be. De esta forma, se incorpora la estructura del proyectil de tres cuerpos dentro del formalismo IAV, desarrollo que resulta novedoso. El cálculo de los solapamientos ha sido realizado por el tutor D. Jesús Casal. En el capítulo 2 desarrollaremos el formalismo de IAV, y mostraremos brevemente los resultados principales de los modelos de UT y HM necesarios para encontrar la relación entre el formalismo DWBA en forma prior y el formalismo DWBA en forma post, puesto que para realizar los cálculos de la sección eficaz de NEB, utilizaremos el formalismo de IAV en la forma prior equivalente. También desarrollaremos el formalismo teórico seguido para encontrar los solapamientos entre el 9Be y el 8Be. En el capítulo 3 nos centramos en la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be), desarrollando la metodología seguida para obtener la sección eficaz de transferencia (que representa una porción de la sección eficaz de NEB), centrándonos tanto en los cálculos de estructura, como en los cálculos de reacción. Finalmente, compararemos los resultados obtenidos con los datos experimentales y los cálculos teóricos (método CRC) presentados en la Ref. [4] para la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be)198Au. 9
Capítulo 2 Formalismo Teórico Antes de proseguir con el análisis de los datos obtenidos mediante el código computacional “Smoothie” [53] para la reacción nuclear inclusiva 197Au(9Be,8Be), es importante entender el formalismo de IAV de forma general, ya que es el que utiliza dicho código para calcular la sección eficaz de NEB. También, describiremos brevemente los formalismo de UT y de HM para encontrar la relación existente entre la forma post yprior del formalismo DWBA, puesto que realmente los cálculos se realizarán con el modelo de IAV en su forma prior equivalente. Para poder obtener la sección eficaz de NEB para esta reacción, necesitaremos las funciones de solapamiento entre el estado fundamental de 9Be y los estados de 8Be considerados en los cálculos de reacción. Para ello, describiremos la estructura interna de 9Be siguiendo el modelo de tres cuerpos en coordenadas hiperesféricas y de 8Be en el modelo de dos cuerpos. Este último paso es la parte novedosa de este trabajo. 2.1. Modelo de Ichimura-Austern-Vincent Pasamos ahora a desarrollar el modelo propuesto por Ichimura, Austern y Vincent [45]. Estos autores consideran una reacción nuclear que puede describirse de la forma, a+A−→ b+B∗,(2.1) donde a=b+x, siendo bun fragmento bien definido del proyectil incidente, que en nuestro caso, no será una partícula como ocurre en el desarrollo original del modelo de IAV [43, 45, 48], sino que es un núcleo que presenta una estructura interna. Por otro lado, B∗representa todos los canales de salida posibles que puede formar el sistema x+A (EBU, INBU, Transferencia o ICF). En este modelo, el proceso se puede describir mediante el Hamiltoniano, H=Kb+Kx+Vbx(ξb,rbx) + HA(ξA) + Hb(ξb) + VxA(ξA,rx) + UbA(ξb,rbA),(2.2) donde, KbyKxrepresentan los operadores de energía cinética entre byBy entre xy A, respectivamente, Vbx(ξb,rbx)representa la interacción que une los fragmentos byxen el proyectil a(con ξblas coordenadas internas del núcleo b), HA(ξA)es el Hamiltoniano 10
Figura 2.1: Coordenadas utilizadas en la reacción de ruptura. Nótese que la coordenada rbconecta a bcon el centro de masas del sistema x+A. representativo del núcleo blanco cuyas coordenadas internas vienen dadas por ξA,Hb(ξb) es el Hamiltoniano representativo del núcleo bcuyas coordenadas internas vienen dadas por ξb,VxA(ξA,rx)es la interacción entre el fragmento xy el blanco Aque, como podemos observar, conserva la dependencia con los grados de libertad internos, ξA, y por último, UbA(ξb,rbA)es el potencial óptico que describe la interacción entre el núcleo b, y el blanco, A, que conserva la dependencia con las coordenadas internas del núcleo b,ξb. Las coordenadas relevantes se encuentran en la figura 2.1. Tal y como se ha descrito el Hamiltoniano del sistema en la ecuación (2.2), se puede apreciar una clara distinción entre los dos fragmentos que constituyen a a. Se considerará al núcleo bcomo un espectador respecto al sistema x+A, lo que significa que el proceso de ruptura se producirá debido a cualquier dispersión no elástica de la partícula xcon el blanco A, y por lo tanto, bno participará en dicho proceso directamente. Las interacciones de bcon el núcleo blanco que provocan excitaciones de este último, se contemplarán en la parte imaginaria del potencial óptico UbA. Teniendo esto en cuenta, asumimos que un experimento de este tipo será inclusivo respecto a la partícula x, de forma que, solo se detectará a b. Además, se considera el núcleo blanco lo suficientemente masivo como para de que sea posible ignorar efectos de retroceso o recoil y así suponer que la coordenada rb conecta simplemente bcon A[45, 1]. Asumiendo un modelo de tres cuerpos en el que la función de onda total deberá satisfacer la ecuación de Lippman-Schwinger, y utilizando la representación del formalismo en su forma post, se puede escribir dicha función de onda como Ψ(ξA, ξb,rx,rb)=[E+−Kb−UbB −Hb−HB]−1Vpost Ψ(ξA, ξb,rx,rb),(2.3) donde E+=E+iη con η→0, siendo Ela energía total del sistema [43], y UbB es un potencial óptico auxiliar, y en principio arbitrario, entre by el sistema compuesto B (x+A). Incluir este potencial óptico en el desarrollo provoca una reducción de los grados de libertad, es decir, pasamos de describir la interacción entre estos dos sistemas como VbB(rb,rx, ξA, ξb)a describirla como UbB(rb). Se incluye como 11
VFinal =UbB |{z} Potencial Auxiliar + [Vbx +UbA −UbB] | {z } Vpost =UbB +Vpost,(2.4) con HBel Hamiltoniano del par formado por x+A, que se describe como HB(ξA,rx)≡HA(ξA) + Kx+VxA(ξA, rx).(2.5) Los autoestados del Hamiltoniano del núcleo blanco se denotarán como ϕc A(ξA), de forma que, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para este caso puede describirse como HAϕc A=Ec Aϕc A,(2.6) donde c= 0 representa el estado fundamental del núcleo blanco, para el cual se asume una energía Ec A= 0. También, denominaremos a los autoestados del Hamiltoniano del sistema compues- to Bcomo ϕB(ξA,rx). La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para los autoestados del Hamiltoniano HBpuede describirse como HBϕB=EBϕB.(2.7) De manera análoga, llamaremos ϕb(ξb)a los autoestados del Hamiltoniano de b. En este caso, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede describir como Hbϕb=Eααϕb.(2.8) En este punto, se considera un estado concreto para el núcleo bde todos los posibles, que estará caracterizado por un momento final kby un cierto estado interno. El movimiento de brelativo a Bse podrá describir mediante una onda distorsionada con momento igual a kb, obtenida como solución a la ecuación monocanal [Kb+U† bB −Eb]χ(−) b( kb,rb) = 0,(2.9) donde Eb=E−EB−Eαα. La proyección de la función de onda total, dada en la ecuación (2.3), sobre el estado concreto de la partícula b, da como resultado la función de onda que describe el movimiento de xuna vez se produzca la ruptura de a(1) Zx( kb, ξA,rx)≡(χ(−) bϕbΨ= [E+−HB−Eb]−1(χ(−) bϕbVpostΨ,(2.10) El paréntesis (en la ecuación representa que la integración se da únicamente sobre la coordenada rby los grados internos de b,ξb. (1) Nótese que esta función también dependerá de ka, que indica la dirección del haz incidente. Pero, puesto que dicha dirección es fija, esta dependencia se ha omitido por simplicidad en la notación. 12
La ecuación anterior se puede reescribir a su forma diferencial, [E+−HB−Eb]Zx( kb, ξA,rx) = (χ(−) bϕbVpostΨ.(2.11) El término fuente de esta ecuación involucra la función de onda exacta, Ψ(ξA, ξb,rx,rb), la cual es desconocida. Por lo tanto, para avanzar con el desarrollo, necesitamos encontrar una forma de describirla. Una manera de lograrlo es a través del formalismo DWBA, donde se aproxima la función de onda total como el producto de las funciones de onda de los canales de entrada. Es decir, Ψ(ξA, ξb,rx,rb)≈ϕ0 A(ξA)φa(rbx, ξb)χ+ a( ka, ra),(2.12) donde φa(rbx, ξb)representa la función de onda del estado fundamental del proyectil a,(2) yχ+ a( ka,ra)representa una onda distorsionada que describe el movimiento del sistema inicial formado por a+Aen el canal incidente y se describe como [43] [Ka+Ua(ra)−E+EA+Ea]χ(+) a( ka,ra)=0,(2.13) donde Uarepresenta el potencial óptico que describe la dispersión elástica del sistema a+A. Además, puesto que en nuestro caso inicialmente ayAse encuentran en su estado fundamental, suponemos que Ea= 0 yEA= 0. Una posible forma de proceder a resolver la ecuación (2.11) es desarrollar la función Zxen un conjunto completo que incluya todos los estados en los que se puede encontrar el sistema x+A, es decir Zx( kb, ξA,rx) = X c ψc x( kb,rx)ϕc A(ξA),(2.14) donde ψc x( kb,rx)describe el movimiento relativo entre xyAcuando el núcleo blanco está en el estado c. De forma que, incluyendo el desarrollo (2.14) en la ecuación (2.11), se obtendrán una serie de ecuaciones acopladas para las funciones desconocidas ψc x( kb,rx). Este procedimiento, aparte de tedioso, es impracticable en general ya que el desarrollo (2.14) incluye una gran cantidad de estados finales. Puesto que lo que se busca es la contribución total de todos los estados en los que puede encontrarse el sistema x+A, y no interesa la descripción específica de cada uno de ellos, otra opción a seguir para resolver la ecuación (2.11) es descomponer Zx( kb, ξA,rx)mediante el formalismo de Feshbach [56, 57], como Zx( kb, ξA,rx) = PZx+QZx,(2.15) donde P=ϕ0 Aϕ0 A, es el operador de proyección sobre el estado fundamental del núcleo blanco y Q= 1 − P, es decir, PZxincluye los procesos elásticos, mientras que QZx incluye los no elásticos. Atendiendo a la ecuación (2.14) y a la ecuación (2.15) se cumplirá que PZx=ψ0 x( kb,rx), donde ψ0 x( kb,rx), representa el movimiento relativo entre el sistema x+Acuando el núcleo blanco se encuentra en el estado fundamental y verifica la ecuación (2) Podemos observar qué representa rbx en la figura 2.1, es decir, se cumplirá que rbx =rb−rx. 13
(E+ x−Kx− Ux)ψ0 x( kb,rx) = ρ( kb,rx),(2.16) con Ex=E−Eb,ρ( kb,rx)≡(χ(−) bϕbVbxχ+ aφaes el conocido como término fuente, y Uxes el potencial formal del modelo óptico que describe la dispersión elástica del sistema x+A. Explícitamente se define como Ux=ϕ0 AVxA +VxAQ[E+−Eb−HQQ]−1VxAϕ0 A,(2.17) donde HQQ ≡ QHBQ. El potencial formal descrito en la ecuación (2.17) es un potencial no local dependiente de la energía y del momento angular que, por lo tanto, es complicado de tratar. Sin embargo, tal y como se trabaja en los problemas de dispersión de dos cuerpos, puede ser aproximado a potenciales promediados en energía o mediante potenciales fenomenológicos (se denotará como Uxde ahora en adelante) con parámetros que pueden ajustarse para describir correctamente la dispersión elástica de x+A. Una vez descrito esto, para encontrar la sección eficaz total inclusiva, seguiremos el desarrollo realizado por el Dr. Jin Lei en su tesis doctoral [1]. En dicha tesis, se presenta una derivación alternativa a la propuesta por Kasano e Ichimura [44] para separar la sección eficaz correspondiente a la ruptura elástica (EBU) y a la correspondiente a la ruptura no elástica (NEB), en la que aprovecha la analogía existente entre la ecuación (2.16) y la ecuación inhomogénea que surge al desarrollar los formalismos DWBA y CCBA entre estados ligados. Para resolver la ecuación (2.16), el primer paso a seguir es incluir en dicha ecuación las condiciones de contorno de la onda saliente (ya que el canal x−Ano presenta ondas incidentes), ψ0 x( kb,rx)→f( kb,brx)eikxrx rx ,(2.18) donde f( kb,brx)depende, de la dirección de kby de la parte angular de rx. Asintóticamente, cuando rxes grande, el vector de posición rxy el momento kxse vuelven paralelos y, por lo tanto, se cumple que f( kb,brx)→f( kb, kx). Por consiguiente, podemos identificar a f( kb, kx)como la amplitud de dispersión para los procesos de ruptura elástica, de forma que su cuadrado será proporcional a la sección eficaz diferencial para la detección de la partícula xen la dirección de kx, y de ben la dirección kb. Para encontrar la sección eficaz diferencial, por lo tanto, primero necesitamos obtener esta amplitud. Para encontrar el valor de f( kb, kx), se puede proceder de dos formas diferentes. Por un lado, integrando la ecuación diferencial (2.16) e igualando la solución a la forma asintótica, ecuación (2.18). Esto puede hacerse siempre y cuando se haga a una distancia lo suficientemente grande, más allá del rango de los potenciales de corto alcance. Por otro lado, también se puede resolver la ecuación (2.16) usando métodos integrales, como por ejemplo, el método de las funciones de Green. Mediante este último procedimiento se obtiene la expresión siguiente para la amplitud de dispersión f( kb, kx) = −µx 2πℏ2χ(−) xχ(−) bϕbVpostΨ,(2.19) 14
donde µxes la masa reducida del sistema x+Ayχ(−) xes la onda distorsionada, χ(−) x( kx,rx), que es solución de la parte homogénea de la ecuación (2.16), [Kx+U† x−Ex]χ(−) x( kx,rx)=0,(2.20) cuya solución consiste en una onda plana de momento kxmás una onda esférica entrante. La sección eficaz diferencial correspondiente, para un volumen diferencial final dado en el espacio de momentos, se define como (ecuación (5.36) de Ref. [58]) dσ =(2π)−5 ℏvaZd kxd kbd kAδ(Ef−Ei)δ( Pf− Pi)Tfi2,(2.21) donde vaes la velocidad relativa entre el proyectil y el blanco y Tfi es la amplitud de transición, también conocida como matriz T, que está relacionada con la amplitud de dispersión como f=−(µx/2πℏ2)Tfi (3). En el sistema de referencia del centro de masas se cumple que Pi= 0. Además, el momento del núcleo blanco, kA, no se ha medido, por lo tanto, se puede integrar respecto a él haciendo uso del hecho de que la función delta se conserva sobre el momento, dσ =(2π)−5 ℏvaZd kxd kbδ(Ef−Ei)Tfi2.(2.22) El elemento d kbse puede expresar en términos de energía y ángulo sólido como d kb= (2π)3ρb(Eb)dΩbdEb, donde ρb(Eb) = kbµb/((2π)3ℏ2), es la densidad de estados. (4) Si incluimos esto en la ecuación (2.22), se obtiene dσ =(2π)−2 ℏvaZδ(Ef−Ei)Tfi2ρb(Eb)dΩbdEbd kx.(2.23) La sección eficaz diferencial con respecto a la energía y el ángulo de dispersión de bse define, por lo tanto, como d2σ dΩbdEbEBU =(2π)−2 ℏva ρb(Eb)Zδ(Ef−Ei)Tfi2d kx,(2.24) que coincide con el resultado obtenido por Austern et al. (ecuación (8.15) de Ref. [18]), si tenemos en cuenta que Rd kx→(2π)3P kx. Se observa, además, que la expresión anterior puede utilizarse para calcular la sección eficaz de EBU con respecto a los ángulos y energías de byx. Para ello, se tiene en cuenta (3) Nótese que si comparamos la ecuación (5.36) de la Ref [58] con la ecuación (2.21) del desarrollo seguido, no concuerdan, se ha sustituido un factor (2π)4por (2π)−5. Esto se ha hecho para que haya consistencia con la definición de amplitud para las ondas planas utilizada, ei kr . (4) Estas expresiones son resultado de N(k)d kb=ρb(Eb)dΩbdEb, donde N(k)representa el número de estados en el volumen diferencial d kb, que se define como k k′=δ( k− k′)/N(k). En este caso, k k′= (2π)3δ( k− k′), por lo tanto N(k) = (2π)3. 15
nuevamente que se puede expresar d kx= (2π)3ρx(Ex)dΩxdEx, y que la función delta asegura la conservación de la energía. Se obtiene (5) d2σ dΩbdEbdΩxEBU =2π ℏva ρb(Eb)ρx(Eb)Tfi2,(2.25) Por otro lado, para obtener la expresión de la sección eficaz diferencial de NEB, se utiliza el Teorema óptico de canales acoplados (coupled-channels optical theorem) formulado por Cotanch [59], generalizándolo al caso multicanal. Si llamamos χia la función de onda del canal y Wia la parte diagonal imaginaria de dicho canal, la contribución a la absorción en este canal particular vendrá dada por [59] σi abs =−2 ℏvel χiWiχi,(2.26) donde vel es la velocidad relativa entre el proyectil y el blanco en el canal incidente, que en este caso, es el canal elástico. Se puede utilizar este resultado para calcular la contribución de NEB a la sección eficaz, ya que no representa otra cosa que la absorción que se da en el canal x+A. La función de onda del canal es ψ0 x( kb,rx), que es una solución de la ecuación (2.16). Recordemos que la ecuación (2.16) estaba dada para una energía y dirección concretas del núcleo b, por lo tanto, se considerará la ecuación (2.26) para una sección eficaz diferencial correspondiente a un rango de kb, es decir, d2σ=−2 ℏvaψ0 xWxψ0 xN(kb)d kb,(2.27) donde Wxrepresenta la parte imaginaria del potencial Ux. Transformando el elemento de momento a elementos de energías y ángulo sólido, obtenemos la sección eficaz diferencial doble de NEB d2σ dΩbdEbNEB =−2 ℏva ρb(Eb)ψ0 xWxψ0 x.(2.28) Esta última expresión constituye el resultado central del modelo de IAV. Este mismo resultado se obtiene siguiendo un desarrollo diferente por Ichimura-Austern-Vincent en [45, 43, 48] y por Kasano e Ichimura [44]. Se obtiene, también, un resultado similar por Hussein y McVoy [46]. El desarrollo seguido en este trabajo, tal y como ya apuntamos, fue realizado por el Dr. Jin Lei en su tesis doctoral [1] y nos proporciona una interpretación muy intuitiva de la obtención de la sección eficaz de NEB, entendiendo los canales de NEB como parte del flujo que abandona los canales de EBU hacia configuraciones más complejas del sistema x+A. Podemos escribir la ecuación (2.30) para que concuerde exactamente con la notación empleada en el modelo de IAV (ecuación (2.21) Ref. [45]). Para ello, debemos tener en cuenta la definición de la función de Green de onda distorsionada, (5) El desarrollo en ondas parciales que se ha realizado para obtener este resultado se puede encontrar en el Apéndice B de la Tesis del Dr. Jin Lei (Ref. [1]). 16
Gx≡(ϕ0 A(E+−HB−Eb)−1ϕ0 A)=(E+ x−Kx−Ux)−1,(2.29) de forma que se obtiene, d2σ dΩbdEb IAV NEB =−2 ℏva ρb(Eb)ψIAV xWxψIAV x,(2.30) con ψIAV x( kb,rx) = Gx(χ(−) bϕbVpostχ(+) aφa.(2.31) En los trabajos previos a este suponen que bpuede ser una partícula (un protón o un neutrón, por ejemplo) o un núcleo (una partícula α, por ejemplo), entendiéndolo como un sistema ligado que no decae tras la colisión, mientras que en este trabajo bes un sistema no ligado, que por tanto podrá formarse en varias configuraciones de energía y momento relativos, y además decaerá tras la colisión en sus constituyentes. Por esta razón, en nuestro desarrollo, a diferencia de en los desarrollos seguidos por IAV [43, 45] y el Dr. Jin Lei en su tesis doctoral [1], aparece la función de onda de b,ϕb, en la ecuación que describe la función de onda de la partícula x(ecuación (2.31)). Teniendo esto presente, para encontrar el valor de la sección eficaz de NEB (ecuación (2.30)) necesitaremos la función de solapamiento entre la función de onda del proyectil ay del eyectil b, que vienen dada por fEαα (rbx)≡Zdξbϕb(ξb)φa(rbx, ξb).(2.32) Volveremos a estos solapamientos una vez hayamos descrito los modelos de estructura empleados en este trabajo. 2.2. Relación entre la forma post yprior Debido a que para poder calcular la sección eficaz de NEB vamos a necesitar trabajar con el formalismo de IAV en su forma prior equivalente, es importante encontrar la relación entre la sección eficaz de NEB en formalismo DWBA en su forma post y en su forma prior. Explicaremos más a fondo el motivo de esta elección en este capítulo 3.2. Para encontrar dicha relación procederemos a describir muy brevemente los resultados obtenidos por Udagawa y Tamura [39, 40] y por Hussein y McVoy [47] en sus modelos. 2.2.1. Modelo de Udagawa y Tamura En este modelo, Udagawa y Tamura encontraron la expresión para la sección eficaz diferencial doble no elástica de forma similar a como fue desarrollada en el formalismo de IAV, pero en este caso valiéndose de la descripción DWBA en su forma prior. En este contexto, la expresión para la sección eficaz de NEB se describe como 17
d2σ dΩbdEb UT NEB =−2 ℏva ρ(Eb)ΨUT xWxΨUT x,(2.33) donde ΨUT xes la solución de la ecuación inhomogénea para el sistema x−Asimilar a la ecuación (2.31), pero reemplazando en el desarrollo, Vpost por Vprior, es decir ψUT x( kb,rx) = Gx(χ(−) bϕbVpriorχ(+) aφa.(2.34) con Vprior =Ux+UbA −Ua.(2.35) Recordemos que en esta descripción, Uarepresenta el potencial óptico que describe la dispersión elástica del sistema a+AyUbA representa el potencial óptico del sistema b+A. Además, si observamos la ecuación (2.34) podemos ver que también necesitamos obtener los solapamientos descritos en la ecuación (2.32) para encontrar el valor de la sección eficaz de NEB siguiendo este formalismo. 2.2.2. Modelo de Hussein y McVoy En el modelo desarrollado por Hussein y McVoy, se hace uso de la hipótesis del espectador para la partícula detectada b. Es decir, consideran que dicha partícula no participa directamente en la ruptura y, por lo tanto, la ruptura se produce debido a cualquier dispersión no elástica de la partícula xcon el blanco A, de forma que los estados del sistema x+Aque se incluyen en la suma serán aquellos que dejen a Aen un estado excitado. Obtienen la siguiente expresión para la sección eficaz de NEB: d2σ dΩbdEb HM NEB =−2 ℏva ρ(Eb)ΨHM xWxΨHM x,(2.36) donde ΨHM xse conocen como los solapamientos de no ortogonalidad, que se definen como ΨHM x( kb,rx) = (χ(−) bϕbχ(+) aφa.(2.37) Podemos observar que nuevamente necesitaremos obtener los solapamientos descritos en la ecuación (2.32) para encontrar el valor de la sección eficaz de NEB siguiendo este formalismo. 2.2.3. Relación entre teorías Una vez hemos definido estos formalismos, pasamos a relacionar el modelo UT con el de IAV, es decir, la descripción en forma prior con la post. Como ya apuntamos en el capítulo introductorio, aunque en ambos casos se trabaja siguiendo la misma estructura formal, no se obtiene el mismo resultado para la sección eficaz de NEB en la ecuación (2.30) y en la ecuación (2.33). Para encontrar la relación entre la forma prior y la forma post del formalismo DWBA debemos transformar la ecuación (2.28) en su forma prior 18
dados en la ecuación (2.32), identificando ψjµ 9Be( x′, y′) = φa(rbx, ξb)y a ΦLEαα 8Be ( x′) = ϕb(ξb). En la reacción objeto de estudio, 197Au(9Be,8Be), el proyectil 9Be se encuentra inicialmente en su estado fundamental, mientras que el 8Be se puede producir en cualquiera de los diferentes estados del continuo accesibles (representados mediante pseudoestados, como ya se ha mencionado anteriormente). Se nos proporcionará, por parte del tutor D. Jesús Casal, la función de solapamiento para cada uno de estos estados, que introduciremos en el formalismo de IAV en su forma prior equivalente. Así, determinaremos el valor de la sección eficaz diferencial de NEB para cada escenario, y a partir de estos resultados, calcularemos la sección eficaz de NEB total. 25
Capítulo 3 Estudio de la reacción nuclear inclusiva 197Au(9Be,8Be) En este trabajo nos centramos en el estudio de la reacción nuclear inclusiva 197Au(9Be,8Be). Si atendemos a la notación utilizada en el capítulo 2, para este caso concreto tenemos, el proyectil a=9Be, el núcleo blanco A=197Au, el eyectil b=8Be y B∗, que representa todas las posibles configuraciones en las que puede encontrarse el sistema formado por la partícula x=ny el núcleo blanco una vez se produzca la reacción. Podemos observar un esquema de dicha reacción en la figura 3.1. Como apuntamos en la sección introductoria 1, esta reacción se ha estudiado de forma experimental recientemente por F. Gollan et al. en la Ref. [4]. Por ende, podemos comparar las secciones eficaces obtenidas experimentalmente presentadas en este artículo, con cálculos teóricos basados en los modelos desarrollados en este trabajo. En dicho artículo, obtuvieron valores de la sección eficaz de NEB para la transferencia de un neutrón, la CF y la ICF, para el sistema 197Au+9Be. El motivo por el cual escogieron el 197Au como núcleo blanco es que presenta características relevantes para el estudio de los mecanismos de transferencia y de fusión, es decir, se cumple que la semivida de los productos de evaporación resultantes son del orden de las horas y presenta un número atómico alto (Z=79), lo que restringe los canales de evaporación a la emisión casi exclusiva de neutrones y facilita el análisis de los datos. Estudian dicho sistema en un rango de energía incidente de 9Be comprendido entre 21.9≤Elab ≤50.6MeV, correspondiente a valores entre 0.54 y1.25 veces la energía de la barrera de Coulomb (VC), estimada como Vlab C= 40.5MeV (Vc.m. C= 38.7MeV) [4]. Figura 3.1: Esquema de la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be). 26
De este artículo nos interesan los datos relativos a la reacción de transferencia de un neutrón. Las reacciones de transferencia de un neutrón para el sistema 197Au+9Be puede producir tanto 198Au (neutron stripping) como 196Au (neutron pickup). Cuando se produce 198Au, éste decae mediante emisiones β−al 198Hg. Mientras que, por otro lado, cuando se produce 196Au, éste decae mediante emisiones β−al 196Pt. La reacción de transferencia que nos interesa es la primera, ya que es el proceso que da como resultado la reacción nuclear que estudiamos, 197Au(9Be,8Be), en la que aparece el 8Be. Es importante destacar que cuando se produce la ruptura del proyectil 9Be, seguido de la captura de un neutrón por parte del blanco, también se contribuye a la formación de 198Au. Para el caso que nos atañe en la Ref. [4], realizan mediciones de los rayos γresultado del decaimiento β−del 198Au en 198Hg. El esquema de decaimiento del 198Au y las características importantes del canal de reacción que nos interesa los podemos observar en la figura 3.2 y en la tabla 3.1, respectivamente. Figura 3.2: Esquema de desintegración del 198Au [6]. Channel Q (MeV) Decay T1/2(d) Eγ(keV) I ( %) (9Be,8Be)4.8 198Au −→ 198Hg 2.69 411.8 95.6 Tabla 3.1: Características relevantes del canal de reacción (9Be,8Be)que surge de la reacción de transferencia de un neutrón del sistema 9Be +197Au. [4, 6] 27
Una vez miden los rayos γ, que en nuestro caso es el rayo γresultado del decaimiento del 198Hg a su estado fundamental, calculan la sección eficaz total mediante la relación (1) σ=ND I εf(ϵ) σRuth (e−λti−e−λtf) 1 Rtirr 0e−λt′NM(t′)dt′,(3.1) donde σRuth agrupa la sección eficaz diferencial de Rutherford, además de una serie de términos tales como el ángulo sólido relevante en el montaje experimental concreto utilizado en la Ref. [4], λ=ln(2)/T1/2,NDes el número de eventos γen cada fotopico, NM(t′)es el número de núcleos de 9Be dispersados por unidad de tiempo, Irepresenta la intensidad relativa del γconcreto, εf(ϵ)es la eficiencia del detector utilizado en el experimento para una energía dada, tirr es el tiempo de irradiación y tiytfson los tiempos iniciales y finales de medida, respectivamente. Después de una serie de consideraciones relacionadas con el montaje experimental [4], obtienen los datos para la reacción 197Au(9Be,8Be)198Au, que son los que utilizaremos para comparar con los cálculos teóricos que obtengamos. De forma que, para realizar nuestros cálculos, de cara a comparar satisfactoriamente estos con los datos experimentales, debemos tener en cuenta las consideraciones que han tomado para obtenerlos. Pasamos ahora a desarrollar las consideraciones llevadas a cabo para el cálculo teórico de la sección eficaz de transferencia (que representa una porción de la sección eficaz de NEB) para la reacción a estudiar. Distinguiremos entre los cálculos de estructura y de reacción y finalmente mostraremos los resultados obtenidos en comparación con los datos experimentales de la Ref. [4]. 3.1. Cálculos de estructura En esta sección profundizamos en los pasos seguidos para obtener los solapamientos entre el 8Be y el 9Be que detallamos en la sección 2.5. En primer lugar, describiremos los potenciales necesarios para obtener las funciones de onda de tres y dos cuerpos para el 9Be y el 8Be, respectivamente. Después, mostraremos como ejemplo dos de las funciones de solapamiento relevantes, discutiremos acerca de la norma que presenta cada uno de ellos y, por último, compararemos la función radial resultado del solapamiento que se obtiene si describimos el 9Be como 8Be+nmediante un potencial de Woods-Saxon fenomenológico. Para detallar los potenciales necesarios para describir el 9Be y el 8Be seguimos el modelo empleado en la Ref. [54]. Para tratar la interacción α-nse utiliza el potencial de la Ref. [65]. Se trata de un potencial de Woods-Saxon (WS) más un término de espínórbita, cuya dependencia radial se parametriza mediante la derivada de un potencial de WS. Este potencial es: Vαn =V0 1 + exp[(r−Rα−n)/a]+ l·s r d dr VSO 1 + exp[(r−RSO)/aSO],(3.2) donde V0=−43.0MeV, VSO = 40.0MeV·fm2,Rα−n= 2.0fm, RSO = 1.5fm, a= 0.7 fm, y aSO = 0.35 fm. Esta elección particular de valores resulta demasiado atractiva para (1) No buscamos entrar en detalle acerca de la obtención de las secciones eficaces en la Ref. [4], ya que se aleja del objetivo de este trabajo. 28
las ondas d, por lo tanto, se utiliza el valor −21.5MeV para la parte central de las ondas dy cero para las ondas parciales l≥3. Para describir esta interacción, además, se introduce un término repulsivo para tener en cuenta el principio de exclusión de Pauli [54]. Por otro lado, para tratar la interacción nuclear α-αse incluye el potencial: Vαα = (125 b Pl=0 + 20 b Pl=2)e−(r/1.53)2−30e−(r/2.85)2.(3.3) En esta expresión, al igual que ocurre para la interacción α−n, se incluyen términos repulsivos para describir de forma aproximada los estados de Pauli. Este potencial, junto con la interacción coulombiana con rCoul = 2.94 fm, VCoul αα (r) = Z2e2×(3 2−r2 2r2 Coul 1 rCoul , r ≤rCoul, 1 rr > rCoul,(3.4) reproduce la posición exacta de la resonancia de la onda sy de la onda ddel sistema de dos cuerpos 8Be, a unas energías Eαα ≈0.1MeV y Eαα ≈3MeV, respectivamente [54]. Estas interacciones binarias (Vαn yVαα) se ajustan para reproducir los comportamientos de los sistemas de dos cuerpos, es decir, reproducen en buena aproximación los estados de baja energía para 8Be =α+αy5He =α+n. Sin embargo, ya que los modelos de tres cuerpos son una aproximación al sistema completo de muchos cuerpos, limitarse a considerar únicamente interacciones de dos cuerpos puede llevar a resultados que se desvían de las energías obtenidas experimentalmente para este tipo de sistemas. Por lo tanto, para describir correctamente el núcleo de 9Be es común incluir un potencial a tres cuerpos hiperradial (V3b) que puede ajustarse para modificar la energía del sistema sin distorsionar su estructura. Su descripción puede encontrarse en las Refs. [54, 63]. Una vez se han descrito los potenciales Vαα,Vαn yV3b, se pueden obtener los solapamientos entre 8Be y 9Be. Recordemos que dichos solapamientos entre el estado fundamental de 9Be y los pseudoestados de 8Be han sido proporcionados por el tutor D. Jesús Casal. Como ejemplo, podemos observar la representación de los solapamientos radiales entre el estado fundamental de 9Be con el estado fundamental 0+de 8Be (energía nominal de la resonancia a Eαα ≈0.1MeV) y con el estado excitado 2+de 8Be (energía nominal de la resonancia a Eαα ≈3MeV) en la figura 3.3 (2). Si comparamos ambas gráficas, observamos que el solapamiento con el estado 0+presenta valores mayores que el solapamiento con el estado 2+, indicando que el primero representa un peso mayor dentro de la función de tres cuerpos. Además, el solapamiento con el estado 0+es más extenso, es decir, explora distancias mayores. Esto es de esperar ya que la energía relativa entre las dos partículas alfa es menor para el estado 0+. (2) Recordemos que podría haber expresado las gráficas de la figura 3.3 en función de y′en vez de rbx, ya que representan la misma variable. 29
Figura 3.3: Representación de los solapamientos en función de rbx. Entre el estado fundamental de 9Be con el estado fundamental 0+de 8Be (energía nominal de la resonancia aEαα ≈0.1MeV) y entre el estado fundamental de 9Be y el estado excitado 2+de 8Be (energía nominal de la resonancia a E≈3MeV). Se nos proporcionan tantos solapamientos como pseudoestados se calculen de 8Be para cada momento angular (Jπ= 0+,2+,4+)(3), y cada uno de ellos presentará una intensidad (en inglés strength) diferente. En este contexto, la intensidad representa la norma del solapamiento radial, es decir, la integral del cuadrado de cada solapamiento. Observamos la norma de estos solapamientos en función de la energía relativa α-αen la figura 3.4. Vemos que concuerda con el esquema de niveles energéticos del núcleo de 8Be dado en la figura 1.4. En la figura 3.4 los valores señalados con un círculo son los solapamientos que hemos utilizado para calcular las secciones eficaces de transferencia, como veremos en la siguiente sección. Los rodeados con un círculo en azul oscuro representan los solapamientos entre el estado fundamental de 9Be con 8Be en los pseudoestados característicos de las resonancias 0+y2+, que son los representados en la figura 3.3. Atendiendo a la figura 3.4, si nos fijamos en el caso Jπ= 0+, podemos observar que la distribución de intensidad favorece configuraciones en las que el núcleo de 8Be se encuentra a la energía Eαα ≈0.1MeV, y el resto de pseudoestados para este momento angular presentan una norma muy pequeña. Para el caso Jπ= 2+, sin embargo, se observa que la distribución reparte la intensidad entre varios pseudoestados alrededor de Eαα ≈3MeV. Por último, para el caso Jπ= 4+observamos una distribución que presenta un máximo en torno a Eαα ≈11 MeV. De manera similar al caso 2+, la intensidad se distribuye entre varios pseudoestados cercanos a dicho máximo, aunque en comparación esta intensidad es mucho menor que la obtenida para Jπ= 0+,2+. Las distribuciones obtenidas para cada (3) La base de pseudoestados que consideramos consta de 40 estados. 30
Figura 3.4: Intensidad de cada pseudoestado para el 8Be. Los valores redondeados representan los pseudoestados para los cuales hemos realizado los cálculos de la sección eficaz de transferencia. valor de momento angular reflejan en buena aproximación la anchura de las resonancias de 8Be que se muestran en la figura 1.4. En este contexto, los solapamientos entre 9Be con 8Be con Jπ= 0+representan un 53 % de la norma total, para Jπ= 2+un 46 % y para Jπ= 4+un 1 %. Si volvemos a observar la figura 3.4, podemos advertir que no vamos a calcular la sección eficaz de transferencia para ningún solapamiento con 8Be con Jπ= 4+, ya que representa sólo un 1 % de la norma total, por lo tanto, su contribución será despreciable. Escogemos los valores seleccionados ya que pensamos que representan adecuadamente la distribución de todo el sistema. Las normas correspondientes al solapamiento con cada pseudoestado escogido se reflejan en la tabla 3.2.(4) Instructivamente, podemos comparar la función radial dada por el solapamiento entre 9Be con 8Be en su estado 0+de resonancia, con la función radial que se obtendrá si generamos esta función con un potencial de WS fenomenológico con parámetros r0= 1.25 fm y a= 0.65 fm (5) y profundidad ajustada para dar la energía de separación experimental para el estado considerado de 8Be. Lo vemos en la figura 3.5. Para poder comparar estas funciones radiales, debemos tener en cuenta la intensidad de cada uno. La función fenomenológica está normalizada a 1, mientras que el solapamiento radial obtenido con el modelo de tres cuerpos tiene una norma menor, ≈0.38 (tabla 3.2). Para poder realizar la comparación debemos igualarlos en peso. Si reescalamos la función de solapamiento radial para que represente el total de la norma, vemos que ambas funciones (4) Estos valores también se reflejan en la figura 3.4. (5) Escogemos estos valores ya que son los adoptados de forma estándar en muchos cálculos de reacción. 31
0+2+ Eαα (MeV) Norma ( %)Eαα (MeV) Norma ( %) 0.10 37.68 0.11 ≈0.00 0.14 0.03 1.01 0.03 1.01 0.56 2.05 1.48 2.17 0.77 3.06 6.76 2.98 0.84 4.10 4.69 4.18 0.87 5.74 2.88 6.06 0.85 6.91 2.32 7.42 0.81 8.42 1.86 9.24 0.73 10.43 1.43 11.76 0.62 13.17 1.00 15.35 0.47 17.03 0.60 Tabla 3.2: Norma de los solapamientos entre el estado fundamental de 9Be con cada pseudoestado de 8Be seleccionado para calcular la sección eficaz de transferencia. Los valores resaltados son los relativos a los solapamientos radiales representativos que se muestran en la figura 3.3. radiales son razonablemente similares, por lo que nos darían resultados parecidos para la sección eficaz. El interés en realizar los cálculos considerando los estados de 8Be con diferente energía relativa radica en que la fragmentación en intensidad tiene un efecto sobre la sección eficaz de transferencia, tal y como veremos en la siguiente sección. Figura 3.5: Comparación entre los solapamientos radiales de 9Be con el 8Be, ambos en su estado fundamental, con la función radial solución de un potencial de WS fenomenológico. 32
3.2. Cálculos de reacción En esta sección detallaremos los pasos seguidos para obtener la sección eficaz de transferencia (que representa una porción de la sección eficaz de NEB) a estados ligados de 198Au para la reacción nuclear inclusiva que estudiamos, 197Au(9Be,8Be). Una forma de obtener dicha sección eficaz, es considerando todos los estados físicos de 198Au. Para realizar los cálculos de esta forma se debe tener mucha información sobre dichos estados (energías de los estados, factores espectroscópicos, momentos angulares, etc), además, en este caso resulta inviable debido a su gran cantidad. En lugar de proseguir de esta forma, en este trabajo utilizamos el formalismo de IAV, que permite describir dichas contribuciones mediante un potencial óptico que da cuenta de la interacción n-198Au. Además de este potencial, describiremos el resto de potenciales ópticos necesarios para realizar los cálculos de las secciones eficaces diferenciales de transferencia. Una vez definidos, obtendremos dichas secciones eficaces para cada solapamiento entre el estado fundamental de 9Be y los estados representativos de 8Be seleccionados. Para ello, utilizamos del código computacional “Smoothie” [53]. Por último, a partir de las secciones eficaces diferenciales calculadas, podemos obtener la sección eficaz total para cada valor de energía incidente de 9Be. Compararemos los resultados obtenidos con los datos experimentales de la Ref. [4]. Rara encontrar el valor de la sección eficaz de transferencia trabajaremos en el formalismo IAV en su forma prior equivalente. El motivo por el cual realizamos los cálculos en la forma prior y no en la forma post se puede apreciar claramente si detallamos Vpost para la reacción que estudiamos. En nuestro caso, la ecuación (2.4) implica: Vpost =V8Be -n+U8Be -197Au −U8Be -198Au.(3.5) El problema es que el término V8Be-nno lo tenemos. En el modelo teórico de tres cuerpos que utilizamos para describir la estructura de 9Be, aparecen las interacciones de dos cuerpos α-αyα-n, pero no la interacción n-8Be. Esta última interacción es difícil de describir, ya que, recordemos, que el 8Be es un núcleo que no forma estados ligados y que puede entenderse como dos partículas alfa. (6) Este término que nos da problemas no aparece el potencial en la forma prior y es por ello por lo que trabajaremos con esta descripción. Podemos definir Vprior teniendo presente la ecuación (2.35) como: Vprior =Vn-197Au +U8Be -197Au −U9Be -197Au.(3.6) Para trabajar con el código computacional “Smoothie” el primer paso a seguir es, aparte de describir el proyectil, el blanco y los productos resultantes de la reacción, detallar cada potencial descrito en la ecuación (3.6). Para cada interacción se escogerá un tipo de potencial apropiado que nos permitirá describir el problema correctamente. El tipo de potencial que hemos utilizado en cada caso se especifica en la tabla 3.3. Las descripciones detalladas del potencial tipo “Double Folding: São Paulo” y del potencial tipo “Koning- Delaroche” se encuentran en el Apéndice A y el Apéndice B, respectivamente (7). (6) Si estudiásemos esta reacción experimentalmente podríamos medir dichas partículas αy por cinemática reconstruir el momento de 8Be. (7) Destacar que el potencial tipo “Double Folding: São Paulo” en sí sólo incluye la parte real del potencial. Para la parte imaginaria hemos tomado la misma geometría de la parte real, escalada por un cierto factor (Ni= 0.78). Todo esto está explicado a fondo en el Apéndice A. 33
Figura 3.6: Sección eficaz elástica relativa a la sección eficaz de Rutherford para diferentes valores de Elab del proyectil 9Be cuando el blanco es 197Au. Comparación de los datos experimentales de la Ref. [69] con lo obtenido mediante el código de canales acoplados FRESCO utilizando el potencial SPP. 34
Capítulo 4 Conclusiones En este trabajo, abordamos el problema del cálculo de secciones eficaces de ruptura inclusiva en reacciones inducidas por proyectiles débilmente ligados, dentro del marco de la teoría propuesta por Ichimura, Austern y Vincent en la década de 1980 [43, 45, 18]. Hemos presentado una derivación alternativa de la fórmula de IAV desarrollada por el Dr. Jin Lei en su tesis doctoral [1], que combina la derivación original de Austern y Vincent [43] con el Teorema óptico de canales acoplados [59]. Dicha derivación alternativa nos ha permitido obtener las contribuciones de EBU y de NEB de la sección eficaz inclusiva total de una manera muy directa, diferente a la propuesta por Kasano e Ichimura [44]. Además, presentamos las expresiones obtenidas para la sección eficaz de NEB siguiendo los modelos de UT y HM para encontrar la equivalencia entre los formalismos desarrollados en forma post y en forma prior, puesto que los cálculos presentados en este trabajo siguen el formalismo de IAV en su forma prior equivalente. La novedad de este trabajo respecto a los anteriores es que hemos extendido estos desarrollos teóricos a situaciones en las que el eyectil resultante de la reacción es un núcleo que no presenta estados ligados, y por lo tanto puede formarse en varias configuraciones de energía y momento relativos. Al incorporar esto en el formalismo de IAV, aparece en el desarrollo una función de solapamiento entre la función de onda del proyectil y la función de onda del eyectil resultante. Dichos solapamientos han sido, por lo tanto, un ingrediente fundamental para el cálculo de la sección eficaz de NEB. Aplicamos este formalismo a la reacción nuclear inclusiva 197Au(9Be,8Be) mediante el código computacional “Smoothie” desarrollado por el Dr. Jin Lei [53]. En esta reacción el proyectil es el núcleo de 9Be y el eyectil es 8Be, núcleo que efectivamente no forma estados ligados. Para describir la estructura interna de 9Be, hemos tenido en consideración que es un núcleo de tipo borromeo formado por dos partículas alfa y un neutrón (α+α+n) que, por lo tanto, puede estudiarse mediante un modelo de tres cuerpos en el formalismo de armónicos hiperesféricos [54, 63, 55]. Por otro lado, para describir el núcleo de 8Be (α+α) optamos por un modelo de dos cuerpos. Para obtener la sección eficaz de NEB para la reacción objeto de estudio, necesitamos los solapamientos entre el núcleo de 9Be en su estado fundamental y 8Be, que se puede producir en cualquiera de los diferentes estados del continuo accesibles (representados mediante pseudoestados). El cálculo de estos solapamientos fue realizado por el tutor D. Jesús Casal. La reacción considerada ha sido estudiada recientemente en el trabajo experimental de F. Gollan et al. [4], por lo que disponemos de datos experimentales con los que comparar nuestros resultados teóricos. Los datos que se presentan en este artículo son para la reacción de transferencia a estados ligados de 198Au, es decir, la reacción 197Au(9Be,8Be)198Au 41
(que representa una porción de la sección eficaz de NEB), para energías cinéticas incidentes próximas a la barrera de Coulomb (Vc.m. C= 38.7MeV). En este artículo se presenta un cálculo para la sección eficaz de transferencia utilizando el método CRC considerando todos los estados físicos disponibles del 198Au (hasta una cierta energía de excitación, ya que el rápido aumento en la densidad de estados con la energía de excitación impide incluir todos los estados físicos), que no se ajusta satisfactoriamente con los datos experimentales que obtienen. Este hecho nos motivó a emplear el formalismo de IAV, en el cual el conjunto de estados físicos se sustituye por un potencial complejo promedio y no require por tanto de una descripción detallada de dichos estados físicos. Para encontrar la sección eficaz de transferencia inclusiva para una energía cinética incidente dada, primero obtuvimos la sección eficaz correspondiente al solapamiento con los diferentes estados representativos en los que puede encontrarse el núcleo de 8Be para Jπ= 0+,2+y4+. Cada uno de estos estados presenta una norma diferente, de forma que la suma de las contribuciones de todos ellos está normalizada a 1. En este trabajo, no calculamos las secciones eficaces diferenciales correspondientes a todos los solapamientos que se nos proporcionan. Esto es debido a que resulta un trabajo computacionalmente muy exigente, ya que el cálculo implica obtener la sección eficaz diferencial para cada estado final de 8Be y para cada energía incidente de 9Be. Una vez definimos los potenciales ópticos necesarios llevar a cabo el formalismo de IAV en su forma prior, obtuvimos las secciones eficaces diferenciales de transferencia correspondientes al solapamiento con cada estado representativo de 8Be, para diferentes valores de energía cinética incidente comprendidos entre 20 y50 MeV (en torno a la barrera de Coulomb). Tuvimos presente que, cara a comparar los resultados con los datos experimentales de la Ref. [4], debíamos incluir únicamente la contribución de la sección eficaz a partir del valor de la energía umbral (“Threshold”), que representa el valor de energía cinética final total a partir del cual aparecen los estados ligados del sistema n+197Au. Además, la sección eficaz diferencial se extiende hasta un valor máximo de energía físicamente accesible. Teniendo esto presente, integramos la distribución obtenida para encontrar la contribución de la sección eficaz de transferencia para cada estado representativo de 8Be. Observamos que la fragmentación en intensidad que presentan los pseudoestados de 8Be tiene un efecto sobre la sección eficaz de transferencia, de forma que, para encontrar el valor de la sección eficaz de transferencia total correspondiente a cada energía incidente, tuvimos en cuenta que no incluimos las contribuciones de todos los estados representativos de 8Be. Para ello, utilizamos dos métodos de interpolación que tienen en cuenta la contribución de todos los pseudoestados consideramos en la descripción de 8Be y que nos devolvieron resultados similares. Obtuvimos dichos valores de sección eficaz y los comparamos con los datos experimentales. Observamos una concordancia bastante buena de nuestros resultados con los datos experimentales para energías cinéticas incidentes por debajo de la barrera de Coulomb, aunque también una subestimación para energías por encima de ese valor. Esto puede ser debido a varios motivos. Por un lado, a diferencia de en la Ref. [4], donde utilizan el método CRC considerando todos los estados físicos disponibles del 198Au hasta energías de 703 keV para encontrar el valor de la sección eficaz de transferencia, nosotros utilizamos el formalismo de IAV, que permite describir dichas contribuciones mediante un potencial óptico que da cuenta de la interacción n-198Au. Hemos escogido para este caso un potencial tipo Koning-Dekaroche, que es un potencial no dispersivo y, por tanto, puede que no contenga la dependencia con la energía adecuada, que haría que su parte imaginaria se fuera a cero para valores de la energía relativa n-198Au que no sean físicamente accesibles. Este potencial desempeña 42
un papel crucial en la descripción de nuestro problema, ya que, como hemos señalado, describe la distribución de estados en el núcleo residual. Por lo tanto, si escogemos este tipo de potencial para este sistema, es posible que la distribución de estados ligados que forman el 198Au no esté descrita satisfactoriamente. Por otro lado, para realizar los cálculos necesitamos definir el potencial óptico para el sistema 8Be -197Au. Este potencial no se habrá definido correctamente puesto que interviene el 8Be y, como ya apuntamos, éste es un sistema no ligado. En general, la elección de los potenciales ópticos que hemos hecho puede provocar variaciones en la sección eficaz obtenida. Otro motivo que puede provocar la discrepancia que obtenemos respecto a los datos experimentales es el hecho de que el formalismo estricto de tres cuerpos que hemos utilizado para describir la función de onda de 9Be (α+α+n) no tiene en cuenta efectos de antisimetrización entre el neutrón considerado de valencia y los neutrones de 8Be, por lo tanto puede subestimar la norma (en este contexto, análoga a factores espectroscópicos) de cada solapamiento. Esto puede hacerse más notable a medida que la energía incidente aumenta, que es precisamente la región de energías en las que obtenemos discrepancia respecto a los datos experimentales. Para estimar este efecto, hemos considerado los factores espectroscópicos extraídos de un cálculo microscópico, concretamente el método ab-initio denominado Cálculo Variacional de Monte Carlo (VMC) [72]. Escalando con estos factores espectroscópicos, obtuvimos un acuerdo mucho mejor con los datos experimentales [4] para energías incidentes por encima de la barrera de Coulomb. En esta zona es precisamente donde la contribución de los estados 2+de 8Be es más relevante. Además, también comparamos con los resultados teóricos obtenidos en el artículo de la Ref. [4], que recordemos los realizaban mediante el método CRC considerando todos los estados físicos disponibles del 198Au. La comparación entre ambos modelos teóricos con los datos experimentales nos indica que los desarrollos realizados en este trabajo presentan un mejor acuerdo, tanto para energías por encima de la barrera de Coulomb, como para energías por debajo de ésta. Atendiendo a los resultados obtenidos, podemos afirmar que los desarrollos teóricos llevados a cabo en este trabajo (siguiendo el formalismo de IAV, que incluye la descripción de tres cuerpos del proyectil 9Be) nos ofrecen un método fiable para estudiar las secciones eficaces de transferencia para reacciones nucleares inducidas por un proyectil débilmente ligado cuyo eyectil resultante es un núcleo que no forma estados ligados. Se pueden implementar posibles mejoras con el fin de perfeccionar los resultados obtenidos de cara a próximos trabajos. Por un lado, una mejora significativa de los resultados podría darse si cambiamos el potencial que describe el sistema n-197Au por un potencial dispersivo, dependiente por lo tanto de la energía, que describa adecuadamente la distribución de energía negativa (zona que presenta estados ligados 198Au). Así, esperaremos lograr una mejor coincidencia con los datos experimentales proporcionados para energías incidentes por encima de la barrera de Coulomb. Además, también podemos probar diferentes potenciales para el sistema 8Be -197Au, que no está bien definido. Incluso probar con diferentes potenciales ópticos que definan el resto de sistemas para perfeccionar los resultados o, al menos, cuantificar la incerdidumbre de los cálculos asociada a la elección de estos potenciales. Por otro lado, es importante destacar que mediante el código computacional “Smoothie” no solo obtenemos los resultados mostrados en este trabajo, sino que también nos devuelve, por ejemplo, las distribuciones angulares de 8Be, que pueden ser objeto de estudio para próximos trabajos. Además, un posible estudio que podría llevarse a cabo es comparar los cálculos teóricos obtenidos para la energía relativa Eαα, con datos experimentales resultado de medir estas dos partículas en el laboratorio. 43
Apéndice A Potencial Double Folding São Paulo Para describir la interacción nuclear nos valemos de diferentes tipos de potenciales, entre ellos el potencial tipo: “Double Folding potential: São Paulo”. El término en inglés “Double” se refiere a que son potenciales que presentan doble convolución de las densidades de materia. Dichos potenciales se definen a partir de interacciones microscópicas nucleónnucleón y poseen mayor sentido físico que los potenciales fenomenológicos. Para describir este tipo de potencial, antes de nada, es importante definir el concepto de densidad de materia ya que están asociados con la distribución de los nucleones dentro del núcleo atómico. Para un núcleo dado, la distribución de protones para cierto radio multiplicado por el término de volumen ρp(r)×dr, nos da la probabilidad de encontrar a un protón dentro de dicho volumen. Análogamente, podremos encontrar la probabilidad de que un neutrón se encuentre dentro de un cierto volumen, relativo a la distribución del neutrón, ρn(r). De forma que, para encontrar la distribución de nucleones total sumamos ambas contribuciones, ρN(r) = ρp(r)+ρn(r). Por lo tanto, tal y como se dijo anteriormente, para encontrar la probabilidad de que un nucleón se encuentre dentro de cierto volumen debemos multiplicar la distribución de nucleón, ρN(r), por dr [67]. Para describir las densidades de materia podemos asumir una función de Fermi de dos parámetros descrita como ρN(r) = ρ0 1 + er−R0 a ,(A.1) donde ρ0es la densidad central del núcleo, R0es el radio de la distribución de densidad de materia y arepresenta la difusividad de la densidad de materia en el núcleo. La distribución de nucleones se normaliza como Figura A.1: Coordenadas necesarias para definir la interacción entre dos núcleos mediante un potencial de tipo “Double Folding” [73]. 44
ZρN(r)dr =A, (A.2) siendo Ael número másico del núcleo con el que trabajemos. Teniendo en cuenta esto, podemos describir potenciales de doble convolución VF( R) = Z Z ρN1(r1)ρN2(r2)vNN ( R−r1+r2)dr1dr2,(A.3) donde las coordenadas se han definido en la figura A.1 y vNN representa la interacción efectiva nucleón-nucleón. Es precisamente debido al hecho de que la integración se realiza sobre dos densidades por lo que este modelo es comúnmente conocido como el modelo de doble convolución (en inglés, Double Folding model). A la hora de elegir la interacción nucleón-nucleón, debemos tener en cuenta el fenómeno de no localidad de Pauli, que consiste en un efecto cuántico no local asociado al intercambio de nucleones entre ambos núcleos debido a la naturaleza fermiónica de los primeros [68]. Para incluir este fenómeno se define lo que se conoce como un potencial local equivalente, que en este caso, es el potencial de São Paulo (SPP) de la forma VSP P ( R) = VF( R)e−4v4/c2,(A.4) donde ces la velocidad de la luz en el vacío y ves la velocidad relativa local entre los dos núcleos. Por lo tanto, la expresión completa para el potencial tipo SPP es VSP P ( R) = Z Z ρN1(r1)ρN2(r2)V0δ( R−r1+r2)dr1dr2e−4v4/c2,(A.5) donde V0δ( R−r1+r2)es la interacción efectiva de rango cero nucleón-nucleón descrita como una interacción de contacto. El valor de V0es V0=−456 MeV·fm3, valor que se ha obtenido a través de un amplio estudio sistemático que involucra potenciales de tipo fenomenológicos derivados del análisis de datos de dispersión elástica para muchos sistemas. Para diferenciar el valor de este potencial para un núcleo específico u otro, nos valemos de la densidad de materia concreta de cada uno [7]. Teniendo en cuenta esto, si quisiésemos describir un potencial óptico lo haremos como UN( R) = NrVSP P ( R) + i NiVSP P ( R),(A.6) donde, NryNison números reales que desempeñan el papel de coeficientes multiplicativos que determinan la magnitud, tanto de la parte real como de la imaginaria, del potencial óptico. Además, simulan de forma simplificada los efectos del potencial de polarización. Donde, dicha polarización se origina a partir de acoplamientos no elásticos, es dependiente de la energía y es de naturaleza compleja. Por un lado, la parte imaginaria del potencial proviene de transiciones hacia canales no elásticos disponibles que absorben flujo del canal elástico, mientras que la parte real proviene de transiciones virtuales a estados intermedios como son las excitaciones inelásticas o la transferencia de nucleones entre otros. Los valores estándar de estos parámetros son Nr= 1.00 yNi= 0.78 [7]. Este valor para la parte imaginaria proviene de una sistemática realizada por los autores de este potencial sobre muchos sistemas. 45
Apéndice B Potencial Koning-Delaroche Para describir la interacción neutrón-núcleo podemos utilizar un potencial de tipo Koning-Delaroche (KD). Este tipo de potencial es un potencial óptico fenomenológico que es válido para neutrones y para protones para energías entre 1keV hasta 200 MeV para núcleos cuyo número de protones o de neutrones están muy cerca de capas cerradas, por lo tanto son esféricos, y cuyo número másico se encuentra entre 24 ≤A≤209 [66]. Este potencial está descrito mediante un funcional suave y de carácter único, que representa la dependencia energética de las profundidades del potencial, además de mediante parámetros geométricos físicamente restringidos [66]. Es un potencial de tipo no dispersivo. A partir de parametrizaciones obtenidas mediante una técnicas computacionales, se han conseguido desarrollar potenciales ópticos globales dependientes de la asimetría para el caso de neutrones y de protones que se consideran superiores a todos los demás modelos fenomenológicos existentes hasta entonces, no solo en lo que respecta a la descripción de observables, sino también porque abarcan un mayor rango de masas y energías. En nuestro caso concreto, necesitamos este tipo de potencial únicamente para el caso de neutrones, es por ello por lo que desarrollaremos brevemente únicamente este caso. El potencial fenomenológico para la interacción nucleón-núcleo se define genéricamente como U(r, E) = −VV(E)f(r, RV, aV)−iWV(E)f(r, RV, aV) +i4aDWD(E)d drf(r, RD, aD)+ VSO(E)ℏ mπc21 r d drf(r, RSO, aSO) l·σ+ iWSO(E)ℏ mπc21 r d drf(r, RSO, aSO) l·σ+VC(r), (B.1) donde los términos que contienen VV,SO yWV,D,SO representan las componentes del potencial reales e imaginarias, respectivamente, de los términos de volumen central (V), superficie central (D) y spin-órbita (SO). El último término, VCrepresenta el término de Coulomb, que se define como 46
VC(r) = Zze2 2RC3−r2 R2 Cpara r≤RC Zze2 rpara r≥RC, (B.2) con Zla carga del blanco, zla carga del proyectil, RC=rCA1/3. Como en nuestro caso nos centramos en el caso de interacción neutrón-núcleo este término no interviene al presentar el neutrón una carga igual a cero. Además, f(r, Ri, ai)es el factor de forma que se definimos como f(r, Ri, ai) = (1 + exp[r−Ri/ai])−1,(B.3) siendo Ael número másico, Ri=riA1/3yaies el parámetro de difusividad. En este punto, antes de definir la expresión para dicho potencial concretamente necesitamos definir la energía de Fermi, en MeV, para los neutrones incidentes en nuestro caso, es decir, En f.(1) Necesitamos tener en cuenta este término ya que la forma funcional para la profundidad del potencial depende del parámetro E−En f(En general para cualquiera de los dos nucleones E−Ef). Por lo que, definimos En f=−1 2[Sn(Z, N) + Sn(Z, N + 1)],(B.4) donde Snrepresenta la energía de separación de un neutrón del núcleo con un número atómico, Zy número de neutrones igual a N. El potencial global de este tipo para neutrones se define como VV(E) = vn 1[1 −vn 2(E−En f) + vn 3(E−En f)2−vn 4(E−En f)3], WV(E) = wn 1 (E−En f)2 (E−En f)2+ (wn 2)2, rV= 1.3039 −0.4054 A−1/3, aV= 0.6778 −1.487x10−4, WD(E) = dn 1 (E−En f)2 (E−En f)2+ (dn 3)2exp[−dn 2(E−En f)], rD= 1.3424 −0.01585 A1/3, aD= 0.5446 −1.656x10−4A, VSO(E) = vn SO1exp[−vn SO2(E−En f)], WSO(E) = wn SO1 (E−En f)2 (E−En f)2+ (wn SO2)2, rSO = 1.1854 −0.647 A−1/3, aSO = 0.59, (B.5) donde las unidades son MeV y fm y los parámetros no definidos se encuentran en la Ref. [66]. (1) La energía de Fermi se define como la energía que se encuentra a medio camino entre la ultima capa ocupada y la primera desocupada en un núcleo. 47
Apéndice C Métodos de interpolación para el cálculo de la sección eficaz total de transferencia inclusiva Para encontrar el valor total de la sección eficaz de transferencia inclusiva para la reacción 197Au(9Be,8Be), para cada energía incidente de 9Be, debemos tener en cuenta la norma de cada estado representativo del continuo de 8Be (descrito mediante pseudoestados). Debido a que no realizamos el cálculo para todos los pseudoestados proporcionados, es necesario recurrir a un método de interpolación de la sección eficaz. Aquí presentamos dos posibilidades que devuelven resultados similares. Por un lado, mediante el Método 1, interpolamos los valores obtenidos de sección eficaz de transferencia correspondiente al solapamiento con cada estado representativo de 8Be escogido, para una energía incidente específica. No obstante, interpolaremos concretamente en los valores exactos de energía de los estados representativos de 8Be que nos proporciona el tutor D. Jesús Casal (figura 3.4). De esta forma, estamos teniendo en cuenta la norma total de los solapamientos (que deben sumar 1 resultado de la normalización de la función de onda de tres cuerpos), por lo tanto, si sumamos la contribución de cada pseudoestado de 8Be, encontraremos el valor de la sección eficaz de transferencia total. Repetiremos los mismos pasos para cada energía incidente de 9Be. Por otro lado, el Método 2 consiste en pasar de los valores discretos que obtenemos de la sección eficaz de transferencia para cada pseudoestado representativo de 8Be a una distribución continua, teniendo en cuenta la relación dσ dE ≈σi ∆εi .(C.1) Por lo tanto, para obtener la distribución continua, dividimos el valor de la sección eficaz de transferencia que obtenemos para cada caso por los intervalos energéticos ∆εi, que se definen teniendo en cuenta la figura C.1, como: ∆εi=εi+1 −εi 2+εi−εi−1 2=εi+1 −εi−1 2,(C.2) siendo εila energía de cierto pseudoestado representativo ide 8Be. 48
Figura C.1: Representación esquemática de ∆εi. Figura C.2: Divisiones en intervalos para llevar a cabo el Método 2 para Ei c.m.(9Be) = 36 MeV para Jπ= 2+. 49
Como ejemplo, podemos observar en la figura C.2 los intervalos que se generan para la energía incidente de 9Be igual a 36 MeV, cuando el núcleo de 8Be se encuentra en un estado Jπ= 2+. Una vez dividimos los valores de la sección eficaz entre los intervalos, ∆εi, interpolamos los nuevos valores obtenidos e integramos. De esta forma, al igual que ocurre en el Método 1, también estamos considerando la norma completa. Podemos comparar lo obtenido mediante ambos métodos en la figura C.3. En dicha figura representamos lo obtenido antes de sumar (Método 1) o integrar (Método 2) las contribuciones de Jπ= 0+yJπ= 2+, para tres energías incidentes de 9Be representativas. En las gráficas del Método 1 (figura C.3) hemos representado todos los valores discretos que sumamos para encontrar el valor de la sección eficaz total. Para ciertas energías incidentes (sobre todo inferiores a 24 MeV) las curvas para Jπ= 0+yJπ= 2+no siguen una distribución decreciente. Este último hecho puede ser debido a deficiencias numéricas en la interpolación, que pueden provocar que ocurran este tipo de comportamientos. Destacar que el área sombreada en gris bajo las curvas para el 8Be en el estado excitado Jπ= 2+representa de forma aproximada la anchura de la resonancia de 8Be en Jπ= 2+, en concordancia con la representación de estas mostrada en la figura 1.4. Al comparar los valores de sección eficaz de transferencia total que obtenemos llevando ambos métodos, obtenemos resultados muy similares. En la sección 3.2 exponemos los obtenidos mediante el Método 1, aunque es importante destacar que ambos son igual de válidos. 50
[64] J.A. Lay Valera. “Descripción de la estructura y reacciones de núcleos exóticos en una base de oscilador armónico transformado”. Tesis doct. Universidad de Sevilla, 2012. [65] I. J. Thompson et al. “Pauli blocking in three-body models of halo nuclei”. En: Phys. Rev. C 61 (2 2000), pág. 024318. doi:10.1103/PhysRevC.61.024318.url: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevC.61.024318. [66] A.J. Koning y J.P. Delaroche. “Local and global nucleon optical models from 1 keV to 200 MeV”. En: Nuclear Physics A 713.3 (2003), págs. 231-310. issn: 0375- 9474. doi:https://doi.org/10.1016/S0375-9474(02)01321-0.url:https: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375947402013210. [67] L.C. Chamon, B.V. Carlson y L.R. Gasques. “São Paulo potential version 2 (SPP2) and Brazilian nuclear potential (BNP)”. En: Computer Physics Communications 267 (2021), pág. 108061. issn: 0010-4655. doi:https://doi.org/10.1016/j.cpc. 2021.108061.url:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0010465521001739. [68] Alessia Di Pietro. “Phenomenological optical potentials”. En: The European Physical Journal Plus 133.10 (2018), pág. 404. [69] F. Gollan et al. “Energy dependence of the optical potential of the weakly bound 9Be projectile on the 197Au target”. En: Nuclear Physics A 1000 (2020), pág. 121789. issn: 0375-9474. doi:https://doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2020.121789. url:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375947420300993. [70] Ian J. Thompson. “Coupled reaction channels calculations in nuclear physics”. En: Computer Physics Reports 7.4 (1988), págs. 167-212. issn: 0167-7977. doi:https: //doi.org/10.1016/0167-7977(88)90005-6.url:https://www.sciencedirect .com/science/article/pii/0167797788900056. [71] Web EXFOR. (Visitada 03 de Septiembre de 2023). url:https://www-nds.iaea. org/exfor/. [72] S. Pastore, R. B. Wiringa, Steven C. Pieper y R. Schiavilla. “Quantum Monte Carlo calculations of electromagnetic transitions in 8Be with meson-exchange currents derived from chiral effective field theory”. En: Phys. Rev. C 90 (2 2014), pág. 024321. doi:10.1103/PhysRevC.90.024321.url:https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevC.90.024321. [73] V. Durant, P. Capel, L. Huth, A.B. Balantekin y A. Schwenk. “Double-folding potentials from chiral effective field theory”. En: Physics Letters B 782 (2018), págs. 668-674. issn: 0370-2693. doi:https://doi.org/10.1016/j.physletb. 2018.05.084.url:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0370269318304556. 57