Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte

Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Carrera Grado en Ingeniería de Organización Industrial Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Autor: Eva Moro Barroso Tutor: Antonio Sánchez Herguedas Dpto. Organización Industrial y Gestión de Empresas I Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 iii Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Proyecto Fin de Grado Grado en Ingeniería de Organización Industrial Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Autor: Eva Moro Barroso Tutor: Antonio Sánchez Herguedas Profesor titular Dpto. de Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 v Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Proyecto Fin de Carrera: Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Autor: Eva Moro Barroso Tutor: Antonio Sánchez Herguedas El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2020 El Secretario del Tribunal vii Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte A mi familia A mis docentes ix Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Agradecimientos Agradecer a todos los que me apoyaron durante mi carrera. A mis padres, que siempre intentaron ofrecerme la mejor educación. A mis compañeros, que no dudaron en ayudarme cuando más lo necesitaba y me alegraban incluso los días más difíciles. A los docentes que enseñaban con ilusión consiguiendo que quisiera trabajar en campos que nunca me habría planteado de no ser por ellos. xvii Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Índice de figuras Ilustración 1. Mapa conceptual de la clasificación general 21 Ilustración 2. Curva de la bañera [Fuente: (Kamaruddin, 2012)] 22 Ilustración 3. Marco del modelo de optimización del mantenimiento de Pintelon & Muchiri (2010) 24 Ilustración 4. Clasificación propuesta por Alaswad & Xiang (2017) para el modelado del MBC 25 Ilustración 5. Clasificación de Kamaruddin (2015) de los modelos de optimización de las políticas de mantenimiento 25 Ilustración 6. Mapa conceptual Apartado 2 27 Ilustración 7. Política de sustitución con garantía unidimensional [Fuente: G. C. Chen & Chen (2005)] 28 Ilustración 8.Gráfico garantía bidimensional y efecto de los distintos usuarios. [Fuente: T. Chen & Popova (2002)] 29 Ilustración 9. Esquema del modelo de tiempo de retardo. [Fuente: H.-Z. Huang (2010)] 31 Ilustración 10. Estado del sistema sin mantenimiento [Fuente: Liao et al. (2006)] 35 Ilustración 11. Modelo de evolución híbrido para la tasa de riesgo del sistema [Fuente: Zhou et al. (2007)] 35 Ilustración 12. Mantenimiento secuencial centrado en la fiabilidad [Fuente: Zhou et al. (2007)] 35 Ilustración 13. Evolución de la fiabilidad del sistema en un ciclo. [Fuente: Yimin & Minqiang (2012] 36 Ilustración 14. Trayectoria de degradación del sistema y sus zonas operativas [Fuente: Khatab et al. (2019)] 37 Ilustración 15. de mantenimiento con inspecciones periódicas perfectas [Fuente: Grall et al. (2002)] 37 Ilustración 16. Proceso de mantenimento e inspección basado en el POMDP [Fuente: Nguyen et al. (2019)] 38 Ilustración 17. Fechas de inspección en función del estado actual del sistema [Fuente: Dieulle et al. (2003)] 39 Ilustración 18. Mapa conceptual Apartado 3 40 Ilustración 19. Ciclos de PM óptimos según diferentes suposiciones [Fuente: Do & Barros (2018)] 42 Ilustración 20. Tasa de fallos de los componentes antes y despúes de la redistribución [Fuente:Yuan & Zhu (2019)] 43 Ilustración 21. Estructura general de un sistema serie-paralelo [Fuente: Bris et al. (2003)] 43 Ilustración 22. Costes mínimos del MP en función de las diferentes hibridaciones del GA [Fuente: Jarkass et al. (2019)] 44 Ilustración 23. Estados del componente influenciado por los shocks externos clasificados en varios escenarios [Fuente: Zhao et al. (2019)] 45 Ilustración 24. Sistema con múltiples niveles jerárquicos [Fuente: Pan (2017)] 46 Ilustración 25. Esquema del proceso de deterioro discreto de un componente genérico [Fuente: Marseguerra et al. (2002)] 47 Ilustración 26. Proceso de deterioro estocástico de un sistema no reparable [Fuente: Barata et al. (2002)] 48 Ilustración 27. Evolución del deterioro de un sistema de dos unidades sujeto a una política de umbral límite [Fuente: Castanier et al. (2005)] 48 Ilustración 28. Política de mantenimiento propuesta por J. Wang et al. (2019) 49 Ilustración 29. Proceso de deterioro de los componentes y política de mantenimiento propuesta por Do et al. (2019) 50 Ilustración 30. Aerogenerador 52 Ilustración 31. Máquina herramienta] 52 Ilustración 32. Diferentes escenarios de mantenimiento con y sin impacto de desmontaje [Fuente: Dinh et al. (2020)] 55 Ilustración 33. A) Caja de cambios B) su gráfico directo c) su matriz de conexión [Fuente: Dinh et al. (2020)] 55 xix Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Notación MP MC MBC MBT MO Mantenimiento preventivo Mantenimiento correctivo Mantenimiento basado en condición Mantenimiento basado en tiempo Mantenimiento oportunista MCDM SME BN GA Toma de decisiones con criterios múltiples Sistemas con múltiples estados Red Bayesiana Algoritmo genético 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Presentación y objeto del proyecto El mantenimiento es definido por la RAE como “Conjunto de operaciones y cuidados necesarios para que instalaciones, edificios, industrias, etc., puedan seguir funcionando adecuadamente”. Este estudio se centra en el mantenimiento de sistemas industriales sujetos a un deterioro, pero sin aplicarse a ningún bien en concreto. A lo largo de la historia del mantenimiento se han propuesto numerosos modelos con el objetivo de encontrar la política de mantenimiento óptima para un sistema sujeto a unas condiciones concretas. Estos modelos han ido evolucionando y adaptándose a las herramientas disponibles y a los requisitos que se exigían en cada momento. Actualmente es tal la cantidad de información de la que disponemos que, cuando buscamos algo específico, nos resulta muy dificultoso de encontrar. En el campo del mantenimiento ocurre lo mismo, por ello este trabajo tiene como objetivo proporcionar al interesado una idea general, organizada y clara de los modelos matemáticos que han sido aplicados al mantenimiento en cada circunstancia, junto a los autores que lo han propuesto. Puesto que son muchos los artículos escritos sobre este tema, en este proyecto se investigan las publicaciones hechas desde 2001 hasta ahora y, de estas, son priorizadas las más importantes, ya sea porque son las que más han sido citadas, o bien porque proponen una novedad importante. En pocas palabras, este trabajo es un estado del arte de los modelos matemáticos más relevantes aplicados al mantenimiento. Los artículos presentes en este trabajo se clasifican según varios criterios. En un primer nivel, se dividen los escritos en función de si sus modelos matemáticos hacen referencia a sistemas con un único componente o con varios. Dentro de cada una de estas divisiones, se clasificarán en función del espacio de estados de deterioro del sistema, es decir, espacios de estados discretos (distinguiendo entre dos, tres o varios estados de deterioro) o continuos. Por último, se hacen otras subdivisiones las cuáles dependen de cada apartado. Ilustración 1. Mapa conceptual de la clasificación general 1 Introducción 22 22 1.2 Fundamentos teóricos Para poder comprender las metodologías expuestas por los autores en este estado del arte, previamente es importante explicar algunos conceptos. Las acciones de mantenimiento más comunes son el mantenimiento preventivo y correctivo, las reparaciones, las sustituciones, las inspecciones y la monitorización continua. Sin embargo, por norma general, dichas acciones se clasifican en mantenimiento correctivo (MC), que realiza el mantenimiento tras la avería del sistema, o mantenimiento preventivo (MP), el cual realiza el mantenimiento antes de la ocurrencia de la avería y reduce o elimina el deterioro acumulado del sistema. El MP puede ser basado en el tiempo 1 (MBT) o basado en la condición 2 (MBC). El mantenimiento basado en el tiempo (Kamaruddin, 2012) asume que el comportamiento de fallo del sistema es previsible. Esa previsión se basa en la tendencia de las tasas de fallos o riesgo, conocida como la curva de la bañera. En dicha curva se puede apreciar tres etapas: mortalidad infantil (con tasa de fallos decreciente), vida útil (con tasa de fallos constante) y envejecimiento o desgaste (con tasa de fallos creciente). El mantenimiento basado en el tiempo se lleva a cabo con una planificación predeterminada con antelación y realiza las acciones de mantenimiento en intervalos regulares de tiempo, cuando el sistema alcanza una edad determinada (mantenimiento basado en la edad) o cuando ha sido utilizado una serie de horas, km, etc. (mantenimiento basado en el uso). El mantenimiento basado en condición o predictivo realiza las acciones de mantenimiento basándose en la información disponible sobre la condición actual del sistema, la cual conoce gracias a la monitorización de la condición. Puesto que el MC no necesita ningún tipo de planificación, aunque se tiene en cuenta su coste, los modelos matemáticos expuestos a continuación se centran en optimizar el MP. Cada autor presenta en sus artículos una política de mantenimiento preventivo, entendiendo como política de mantenimiento a la estrategia seguida para conseguir un objetivo concreto, aun así, todas tienen como base alguno de estos tipos de MP. Por otro lado, como explican Y. B. Lin & Liao (2005), el MP puede ser perfecto o imperfecto. El MP perfecto, o sustituciones, devuelve al sistema al estado tan-bien-como-nuevo 3 , mientras que el imperfecto o mantenimiento mínimo deja el sistema en el estado tan-mal-como-viejo 4 , es decir, la tasa de fallos permanece sin alterar después de la acción de mantenimiento. También declara que las reparaciones son un tipo acciones de mantenimiento en el que el sistema en estado de avería es restaurado a un estado de funcionamiento. Puede 1 Time-based maintenance 2 Condition-based maintenance 3 As-good-as-new 4 As-bad-as-old Ilustración 2. Curva de la bañera [Fuente: (Kamaruddin, 2012)] 23 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte hacerse una reparación mayor, que devuelve al sistema al estado tan-bien-como-nuevo, o mínima, que devuelve al sistema al estado que presentaba justo antes de la avería, pero no mejora la salud del sistema. En referencia a la monitorización continua y las inspecciones hay que aclarar que son instrumentos para conocer el estado de deterioro del sistema y son la base de los modelos de MBC. Los modos de fallo del sistema pueden ser fallos fuertes 5 , ocurren sin previo aviso, o fallos suaves 6 , que emiten una señal de advertencia y pueden ser detectados. Un sistema puede tener más de un modo de fallo. El espacio de estado es un sistema de coordenadas en cuyos ejes se encuentra los posibles estados respecto a alguna variable, normalmente el tiempo. El espacio de estado del proceso de deterioro de un sistema puede ser clasificado como espacios de estados continuos o discretos (Philip A Scarf, 2020). El espacio de estado discreto cuenta con un número finito de estados de deterioro, mientras en el continuo, el proceso de deterioro puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo. En los procesos de deterioro discretos se distingue si está condicionado a dos estados (p.e. en buen estado o fallido), tres estados (p.e en buen estado, defectuoso o fallido) o múltiples estados de deterioro. En términos generales, los sistemas pueden estar compuestos por un único componente o por varias unidades. Los sistemas multicomponente son sistemas paralelos, en serie, K-out-of-n, etc. y, tal y como expone Werbinka (2009), pueden estar sujeto a interacciones entre sus unidades. Estas interacciones se denominan dependencia estocástica, dependencia estructural y dependencia económica. La dependencia estocástica ocurre cuando el estado de un componente influencia las distribuciones de la vida 7 de otros. La dependencia económica implica que el coste de realizar un mantenimiento a varias unidades a la vez es menor que haciéndolo por separado. Por último, la dependencia estructural se aplica cuando el fallo de un componente implica el mantenimiento de otro también. Dichas dependencias no son exclusivas, es decir, un sistema puede presentar más de un tipo de dependencia, o no presentarla, en cuyo caso se clasificará como si fuera un sistema de un único componente, pero no son fieles a la realidad. Por otro lado, es necesario explicar la teoría relacionada con los procesos estocásticos, los cuales se mencionan repetidamente en el trabajo ya que rigen el deterioro del sistema o su entorno. Según la explicación proporcionada por Tarazón Acuña & Vega Amaya (2004), los procesos de conteo, que son procesos que registran el número de repeticiones de cierto evento, son procesos estocásticos. Encontramos, por ejemplo, la cadena de Markov o el proceso de Poisson. La cadena de Markov se caracteriza por la propiedad de pérdida de memoria, es decir, los estados pasados no influyen en la evolución futura del deterioro sistema, mientras el proceso de Poisson consiste en registrar el número de repeticiones de un evento de interés, considerando los tiempos de ocurrencia entre dos eventos consecutivos una variable aleatoria. Una generalización de estos procesos son los procesos de Renovación, que son procesos de conteo, pero siguen una función de distribución arbitraria. Estos procesos de conteo son estudiados en la Teoría de Renovación 5 Hard failures 6 Soft failures 7 Lifetime distribution 1 Introducción 24 24 También encontramos que el problema de optimización puede tener uno o múltiples objetivos (Pintelon & Muchiri, 2010). Los objetivos de optimización más comunes son; maximizar la disponibilidad, minimizar el coste esperado a largo o corto plazo, aumentar el beneficio y aumentar la fiabilidad. Un modelo matemático se define como “uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables de las operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad” (Modelo Matemático - Wikipedia, La Enciclopedia Libre, n.d.). Los modelos matemáticos aplicados al mantenimiento que se muestran en este trabajo se utilizan como herramientas para modelar matemáticamente el deterioro del sistema y su entorno y/o para optimizar el mismo. Los modelos pueden ser simultáneamente cualitativos y cuantitativos. 1.3 Antecedentes Anteriormente se han escrito otros artículos sobre el estado del arte en el mantenimiento, las cuales se presentan a continuación por orden cronológico. Pintelon & Muchiri (2010) desarrollan una clasificación de los modelos de optimización del mantenimiento centrada en los criterios y objetivos de optimización existentes. Yadava & Deshmukh (2011) clasifican la literatura existente desde 1992 hasta 2010 conforme a los diferentes modelos y técnicas de optimización en dos grupos: modelos cuantitativos (modelo de decisión de Markov, modelo bayesiano, etc.) o cualitativos (técnicas TPM, RCM, etc.). Kamaruddin (2012) hace un repaso de los Ilustración 3. Marco del modelo de optimización del mantenimiento de Pintelon & Muchiri (2010) 25 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte artículos que aplican las propiedades de las técnicas de MBT y MBC, destacando su importancia en la toma de decisiones del mantenimiento. Van Horenbeek et al. (2013) hacen una revisión y clasificación de los modelos que integran el mantenimiento y la optimización del inventario para piezas no reparables. Alaswad & Xiang (2017) se centran en los modelos de MBC para sistemas de un único componente, aunque también abarcan algunos modelos para sistemas multicomponentes. Diferencian entre sistemas modelados con espacios de estados de deterioro discretos y continuos, aunque también incluyen algunos modelos de riesgo proporcional 8 . Alrabghi & Tiwari (2015) investigan el estado del arte en optimización del mantenimiento basado en la simulación. Declaran que el algoritmo genético es el más usado como método de optimización y la simulación de eventos discretos es la técnica más común para modelar sistemas de mantenimiento. Samat (2019) hace una revisión de los modelos de optimización conjunta del mantenimiento con la planificación de la producción y piezas de repuesto de sistemas de fabricación. Clasifica las publicaciones diferenciando entre las que exploran el modelo integrado de política de mantenimiento y planificación de la producción y las que integran la política mantenimiento y el inventario de piezas de repuesto. Sin embargo, aclara que la optimización de modelos con más de dos funciones objetivos está aún por explorar. W. Wang (2012) supervisa los avances recientes de los modelos matemáticos aplicados al modelo de tiempo de retardo 9 , clasificándolos primero y, seguidamente, haciendo un repaso del modelo aplicado a la industria. Afirma que el principal objetivo de estos modelos matemáticos es optimizar los intervalos de inspección, pero también se aplica en otros muchos campos. Kamaruddin (2015) hace una revisión de las políticas de mantenimiento óptimas existentes clasificándolas según el grado de certeza de la política de optimización, que depende de la información disponible sobre el sistema y su entorno (cuanta más información más certeza) en tres categorías: certeza, riesgo e incerteza. El 8 Proportional Hazard Model 9 Delay-time model Ilustración 5. Clasificación de Kamaruddin (2015) de los modelos de optimización de las políticas de mantenimiento Ilustración 4. Clasificación propuesta por Alaswad & Xiang (2017) para el modelado del MBC Sistemas de un único componente 32 32 el tiempo y desarrollan una estrategia de mantenimiento no periódica de acuerdo con el grado de deterioro del sistema. Resuelven este problema de objetivos múltiples con el algoritmo de optimización por enjambre de partículas 24 combinado con reglas heurísticas diseñadas para reducir el tiempo de computación. El algoritmo de optimización por enjambre de partículas (Rodrigo Amat, 2019) es un método de optimización heurística orientado a encontrar mínimos o máximos globales. En este algoritmo, el comportamiento de cada individuo es el resultado de combinar las decisiones individuales de cada uno con el comportamiento del resto. Un problema común en el mantenimiento es la conciliación entre producción y mantenimiento. Wu et al. (2019) proponen que las ventanas de mantenimiento en las que el sistema es detenido coincidan con las esperas de producción aleatorias, reduciendo el tiempo de inactividad de producción y evitando el mantenimiento excesivo. Utilizan el algoritmo genético para obtener la política óptima que minimiza los costes mantenimiento. Khatab (2015) propone un modelo de optimización del mantenimiento preventivo para un sistema sujeto a degradación estocástica. Las acciones de mantenimiento correctivo y preventivo que se realizan son imperfectas. El efecto imperfecto de las acciones de mantenimiento y la degradación del sistema se modelan basándose en el modelo de tasa de riesgo híbrido. Resuelve el modelo propuesto utilizando un algoritmo con el objetivo de hallar el umbral óptimo de fiabilidad y el número óptimo de acciones de mantenimiento preventivo que minimiza los costes totales de mantenimiento y sustitución por unidad de tiempo en un horizonte de tiempo infinito. Peng et al. (2019) consideran una política de mantenimiento en el que el sistema está sujeto a dos modos de fallo. El modo de fallo 1 consiste en un proceso de fallo modelado según el modelo de tiempo de retardo. Se hacen inspecciones periódicas para detectar una posible avería. Por otro lado, el modo de fallo 2 se corresponde con el fallo fuerte y la tasa de fallos aumenta con la edad del sistema. Se hacen mantenimientos preventivos para renovar el sistema y disminuir la tasa de fallos y evitar así una avería potencial debido al modo de fallo 2. El objetivo es determinar el periodo de inspección e intervalo de sustitución preventivo óptimos minimizando la tasa de coste esperado a largo plazo. Por último, Sánchez Herguedas (2019) desarrolla una herramienta matemática que permite calcular el intervalo de mantenimiento preventivo en un horizonte finito. Para ello primero define el comportamiento ante el fallo mediante una distribución Weibull. Simultáneamente utilizan un proceso semi-Markoviano de tres estados para construir el modelo en un periodo de tiempo finito y utilizan la técnica de la z-transformada para determinar el intervalo de mantenimiento preventivo que maximiza el retorno medio acumulado. 2.1.3 Varios estados de deterioro En esta sección se presentan algunos modelos aplicados a sistemas con más de tres estados de deterioro pero que presentan un número finito de estados. 24 Particle swarm optimization 33 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte En el modelo propuesto por de F. Zhao et al. (2020) establecen que el sistema se deteriora siguiendo un proceso discreto de deterioro con tres escenarios: el escenario normal, el de defecto menor y el de defecto mayor. Se realizan inspecciones perfectas periódicas para revelar el estado del sistema (normal, defecto menor, defecto mayor y avería). Buscan optimizar las inspecciones y los repuestos conjuntamente, minimizando el coste esperado a largo plazo por unidad de tiempo. Si el sistema se encuentra en un estado de defecto mayor se realiza una sustitución preventiva y si falla se hace realiza una sustitución correctiva. Por otra parte, también introducen un umbral límite para decidir si es mejor llevar a cabo un pedido de repuestos de emergencia o esperar al pedido normal cuando éste último no ha sido entregado. Sin embargo, la mayoría de los sistemas cuentan con numerosos estados discretos y utilizan la cadena de Markov, semi Markov o algunas de sus variantes como herramienta para modelar su proceso de deterioro, indiferentemente del objetivo que cada autor busca optimizar. Liu et al. (2019) proponen un modelo de programación dinámica del mantenimiento que integra el mantenimiento predictivo y la planificación de recursos. Para ello clasifican los múltiples estados de fallo del sistema y generan las probabilidades de transición entre ellos usando el modelo oculto de semi-Markov. La estrategia de mantenimiento se desarrolla considerando la información de pronóstico y diagnóstico. D. Chen & Trivedi (2005) también proponen aplicar el modelo de decisión semi Markoviano para buscar una política de MBC óptima y una optimización conjunta de la tasa de inspección y su correspondiente política de mantenimiento. El costo para cada estado se elige de tal manera que el costo total represente la disponibilidad del sistema en estado estable. En un caso especial, cuando el objetivo de optimización es la disponibilidad en estado estable y la tasa de deterioro en cada escenario de fallo es el misma, encontramos que la política óptima es una política de mantenimiento basada en umbrales. Por otra parte, Z. Chen et al. (2019) desarrollan una política de mantenimiento que se basa en los valores previstos de vida útil restante 25 de los sistemas de fabricación. El objetivo es encontrar el umbral de PM óptimo para iniciar una sustitución preventiva con el costo de mantenimiento esperado mínimo por unidad de tiempo. Para tratar el modelo de degradación de los sistemas de fabricación, desarrollan un modelo oculto de Markov con observaciones auto correlacionadas. Se realizan inspecciones periódicas con el fin de localizar la avería. Si la vida útil restante prevista del sistema alcanza un umbral de mantenimiento preventivo prefijado, el sistema se sustituiría preventivamente mientras que, si no fuera superior al umbral, la decisión se pospone hasta la próxima inspección. Raphael & Chateauneuf (2011) proponen un proceso de decisión de Markov parcialmente observable combinado con análisis de decisión y programación dinámica y lo aplican a un problema de optimización del mantenimiento. Este modelo permite un modelado matemático fácil. Demuestran su modelo derivando las ecuaciones matemáticas de análisis de decisión para las acciones de mantenimiento, mantenimiento-inspección y mantenimiento-inspección-inspección. Por último, Kurt & Kharoufeh (2010) proponen una política de sustitución basada en la de límites de control. El sistema está sometido a un proceso de deterioro de Markov que incorpora los efectos de diversos factores ambientales y es inspeccionado periódicamente. El modelo proporciona condiciones suficientes para establecer la optimización de una política 25 Remaining useful life Sistemas de un único componente 34 34 de límite de control. Formulan el problema de mantenimiento como un proceso de decisión de Markov. 2.2 Espacio de estados de deterioro continuo El proceso de deterioro de los sistemas de este apartado sigue un modelo continuo. Los modelos que se presentan a continuación son problemas de optimización del MBC. Se distinguen dos secciones que clasifican los modelos según la herramienta utilizada para conocer la condición del sistema; monitorización continua o inspecciones. 2.2.1 Monitorización continua La monitorización continua nos garantiza una información actualizada y exacta sobre el sistema, lo que permite detectar rápidamente las anomalías. Por ello, hay muchos artículos que basan su política de mantenimiento en la utilización de esta herramienta. Hay autores que utilizan el algoritmo genético para optimizar el problema de mantenimiento. Liu, Dong, Chen, et al. (2019) presentan un nuevo modelo de decisión que incorpora las decisiones de mantenimiento predictivo, basadas en información de pronóstico y diagnóstico, a las decisiones de planificación de la producción con el objetivo de minimizar el coste total esperado. La planificación del modelo de mantenimiento tiene múltiples fases y se utiliza el algoritmo genético para buscar el plan de mantenimiento óptimo. Para ello, primero se incluye la información de degradación del sistema en el modelo de mantenimiento predictivo propuesto. Esta información de degradación y la tasa de fallos se modelan mediante la distribución de Weibull. Posteriormente, se desarrollan diferentes acciones de mantenimiento para cada estado de avería y cada estado del sistema se optimizará para un objetivo diferente. Zhang & Jiang (2016) también utilizan el algoritmo genético para hallar la solución que optimiza el tiempo total de producción y el coste de mantenimiento de un modelo que integra la programación de la producción y el mantenimiento preventivo bajo producción en grupo. Para ello, investigan una estrategia de mantenimiento híbrida en la que se desempeña la operación de MBC considerando el umbral de la tasa de fallos, y las reparaciones mínimas basadas en la edad de la máquina se realizan considerando averías inesperadas. En esta parte también encontramos autores que modelan el proceso de deterioro mediante un proceso de Markov. Entre ellos, de Jonge (2019) presenta un método para discretizar procesos de deterioro no decrecientes continuos estacionarios y convertirlos en cadenas de Markov de tiempos discretos con incrementos estacionarios para, posteriormente, utilizar esta discretización junto al álgebra matricial para optimizar el MBC. Es un sistema especialmente útil cuando se consideran muchos estados de deterioro. 35 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Sin embargo, es más frecuente encontrar sistemas cuya degradación está modelada mediante una distribución Gamma. Liao et al. (2006) proponen un modelo de mantenimiento basado en condición que tiene en cuenta las acciones de mantenimiento imperfectas y las restricciones de disponibilidad a corto plazo de un sistema con degradación continua y monitoreado de forma continua. Utilizan un proceso Gamma para modelar el deterioro del sistema. Se realizarán mantenimientos preventivos cuando el estado de deterioro del sistema alcance el umbral de mantenimiento preventivo y se sustituirá el sistema después de la avería. Los intervalos entre sustituciones se denominan ciclos y, al ser los mantenimientos imperfectos, los intervalos entre mantenimientos preventivos van a ser cada vez más cortos, en otras palabras, va disminuyendo la disponibilidad del sistema. Gong et al. (2018) proponen una política de mantenimiento imperfecto basado en el deterioro del sistema que considera tanto los efectos positivos del mantenimiento imperfecto como los negativos. El objetivo de esta política es determinar el umbral de mantenimiento y el coste mínimo que maximiza la disponibilidad del sistema. Asumen que el proceso de degradación del sistema es un proceso Gamma estocástico y el sistema falla al superar el umbral de fallo. Grall et al. (2003) también estudian los sistemas con degradación monitoreados de forma continua pero las acciones de mantenimiento que proponen son perfectas. Shen et al. (2019) utiliza la cadena de Markov continua para modelar la evolución de los entornos mientras que la degradación del sistema en los entornos es modelada mediante una distribución Gamma. Proponen un algoritmo cuyo objetivo es encontrar el número óptimo de mantenimientos imperfectos entre sustituciones para sistemas en entornos dinámicos. El problema de la política de mantenimiento óptima se formula considerando restricciones de disponibilidad y tiempos de operación y el número óptimos de mantenimientos imperfectos es el que minimiza la tasa de coste esperado a largo plazo considerando esas restricciones. Asimismo, se proponen modelos basados en la fiabilidad del sistema. Zhou et al. (2007) proponen una política de mantenimiento predictivo secuencial centrado en la fiabilidad para un sistema sujeto a degradación debido al efecto del Ilustración 11. Estado del sistema sin mantenimiento [Fuente: Liao et al. (2006)] Ilustración 10. Modelo de evolución híbrido para la tasa de riesgo del sistema [Fuente: Zhou et al. (2007)] Ilustración 12. Mantenimiento secuencial centrado en la fiabilidad [Fuente: Zhou et al. (2007)] Sistemas de un único componente 36 36 mantenimiento imperfecto. Solo se realiza un mantenimiento preventivo por ciclo y, bajo la política de mantenimiento secuencial, los tiempos de los ciclos van reduciéndose. Asumen que la función de tasa de riesgo, en el ciclo de mantenimiento actual, puede derivarse directamente a través del mantenimiento predictivo basado en condición. Para predecir la evolución de la fiabilidad del sistema en diferentes ciclos de mantenimiento, se adopta una regla de recurrencia de la tasa de riesgo híbrida con el objetivo de combinar el método del factor de reducción de edad y el método del factor de aumento de la tasa de riesgo. Cuando la fiabilidad del sistema alcanza el umbral de fiabilidad se lleva a cabo una acción de mantenimiento preventivo imperfecto. El objetivo es obtener el umbral óptimo de fiabilidad que se halla minimizando los costes acumulados de mantenimiento por unidad de tiempo en la vida residual del sistema, la cual es deducida mediante simulación. Ait-Kadi & Rezg (2014) también utilizan el modelo de tasa de riesgo híbrida como técnica para modelar el MP imperfecto y el MC de un sistema sujeto a monitorización continua y que se degrada según un proceso estocástico. En el modelo propuesto, el MP imperfecto se realiza cuando se alcanza un umbral crítico de fiabilidad y, tras un número predeterminado de ciclos de mantenimiento, se lleva a cabo el MC. La política de mantenimiento óptima es la que permite obtener el umbral crítico de fiabilidad junto al número de ciclos de mantenimiento que maximiza la disponibilidad media del sistema. Para encontrarla, resuelven numéricamente el modelo mediante un algoritmo. Yimin & Minqiang (2012), del mismo modo, proponen un modelo de optimización del mantenimiento basado en la fiabilidad. La fiabilidad del sistema se evalúa y cuantifica gracias a un modelo de tasa de riesgo híbrido. Se realizan mantenimientos predictivos imperfectos cada vez que el nivel de fiabilidad del sistema alcanza el umbral de fiabilidad. El mantenimiento predictivo aumenta de nuevo el nivel de fiabilidad, pero no lo devuelve a 1, ese valor sólo se alcanza si el sistema es sustituido, ya sea debido a una avería inesperada o a que ya se han hecho los n mantenimientos planeados en cada ciclo. El objetivo es minimizar el coste de operación a largo plazo hallando el umbral de fiabilidad de mantenimiento predictivo y el número de mantenimientos a realizar. Por otro lado, Lin & Wu, (2012) utilizan el método de programación física para resolver un problema con objetivos de optimización múltiples del MBC. Estos objetivos son dos, maximizar la fiabilidad y reducir los costes de mantenimiento, y son calculados basándose en el modelo de riesgo proporcional. Ilustración 13. Evolución de la fiabilidad del sistema en un ciclo. [Fuente: Yimin & Minqiang (2012] 37 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte 2.2.2 Inspecciones Las inspecciones son otro instrumento utilizado para conocer el estado del sistema. Se hace una distinción entre si los sistemas son inspeccionados de forma periódica o no periódica. Primero se describen los sistemas evaluados mediante inspecciones periódicas. Khatab et al. (2019) estudian el problema de integrar de manera óptima la calidad y el mantenimiento basado en condición de una producción con deterioro estocástico. Dicho deterioro es continuo y se considera que evoluciona de acuerdo con un proceso Gamma estacionario. El sistema está en modo de avería cuando el nivel de deterioro supera el umbral de fallo (Xf) y se realiza el MP cuando supera el umbral de MP (Xp). El objetivo se alcanza determinando el ciclo de inspección y el umbral de MP óptimos. Se desarrolla una expresión para la tasa de coste esperada sobre un horizonte de tiempo infinito. Mercier & Castro (2019) comparan estocásticamente dos modelos de reparación imperfecta periódica para un sistema cuyo deterioro sigue una distribución Gamma. En el primer modelo la estrategia consiste en sustituir el sistema en la última reparación programada mientras el segundo considera la regla de límite de control, con sustitución cuando el nivel de degradación excede un umbral preventivo. El objetivo de ambas estrategias es maximizar la tasa de beneficio esperado, que tiene en cuenta una recompensa unitaria (o coste) por unidad de tiempo, que depende del nivel de degradación del sistema. L. Wang et al. (2008) proponen una política de mantenimiento pedidosustitución para un sistema sujeto a inspecciones periódicas. El objetivo es optimizar conjuntamente la planificación de las inspecciones, los pedidos de las piezas de repuesto y las sustituciones preventivas, basándose en el nivel de deterioro del sistema, minimizando el coste medio a largo plazo por unidad de tiempo. Para ello desarrollan unos modelos matemáticos de costes, tasa de sustitución preventiva y la disponibilidad media que evalúan el desempeño de la política. Al igual que todas las acciones de mantenimiento preventivo, las inspecciones pueden ser perfectas o imperfectas. Por citar un caso, Grall et al. (2002) realizan inspecciones perfectas para conocer el estado del sistema. Proponen una política de inspección y mantenimiento preventivo basado en la condición para un sistema con deterioro continuo y estocástico. Cuando, Ilustración 14. Trayectoria de degradación del sistema y sus zonas operativas [Fuente: Khatab et al. (2019)] Ilustración 15. Modelo de mantenimiento con inspecciones periódicas perfectas [Fuente: Grall et al. (2002)] Sistemas de un único componente 38 38 tras una inspección, se descubre que el sistema ha superado un umbral crítico se lleva a cabo una sustitución preventiva. El objetivo es optimizar el número de inspecciones y los valores de los umbrales críticos. Como ejemplo de inspecciones imperfectas se encuentra la política de Nguyen et al. (2019). En su investigación se centran en ajustar la calidad de la monitorización de la condición para la optimización del mantenimiento basado en la condición de un sistema sujeto a procesos de deterioro continuo e inspecciones periódicas imperfectas. En la política de monitorización propuesta se consideran e investigan diferentes niveles de calidad de las inspecciones y se describen los impactos de las inspecciones imperfectas con la distribución Gaussiana. Con esta información, proponen un marco de gestión de mantenimiento dinámico aplicando un Proceso de Decisión de Markov Parcialmente Observable (POMDP). Hay políticas de mantenimiento que consideran que el sistema se deteriora por la influencia de shocks externos, como la propuesta por Sanchez-Silva (2013). Los shocks se modelan como un proceso de Poisson compuesto. La estrategia de mantenimiento se basa en los modelos de control de impulso que requieren monitorización del estado del sistema, por ejemplo, mediante inspecciones periódicas, ya que, en función del estado en el momento de inspección, se decide si es el momento óptimo de intervenir y, si es así, se obtiene el alcance de la reparación óptima y el tamaño de las inspecciones a realizar. El estado del sistema es normalizado y evaluado pudiendo tomar valores de un intervalo entre [0,1]. Por último, Zheng & Makis (2020) proponen una política de MBC sin umbrales ni límites de control. El sistema está sujeto a fallos fuertes y suaves dependientes y es inspeccionado periódicamente. El fallo suave está relacionado con un proceso de deterioro que se modela mediante un proceso gamma, mientras que el fallo fuerte depende de la edad y del deterioro y se describe mediante un modelo de riesgo proporcional. Se realizan varios tipos de acciones de mantenimiento. El objetivo es determinar la política de mantenimiento óptima que minimiza el coste esperado medio a largo plazo por unidad de tiempo. Resuelven el problema de optimización utilizando un algoritmo de proceso de decisión semi Markoviano. Y. Chen et al. (2011) presentan un método basado en la simulación para encontrar la política de MBC de un sistema cuyo proceso de degradación también es descrito mediante un modelo de riesgos proporcionales. La salud del sistema se conoce mediante inspecciones periódicas. Para resolver el problema, desarrollan un modelo de simulación que evalúa las políticas de mantenimiento y usa los métodos de optimización basados en la simulación para encontrar la política de MP que minimiza los costes medios de mantenimiento y el coste de la variabilidad. A continuación, se exponen las políticas que consideran las inspecciones no periódicas en sus modelos. Xiujie Ilustración 16. Proceso de mantenimento e inspección basado en el POMDP [Fuente: Nguyen et al. (2019)] 39 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Zhao et al. (2019) presentan un modelo en el cual la degradación del sistema está influenciada por las inspecciones, tanto positiva como negativamente, y por la política de sustitución. Después de cada inspección, la degradación del sistema decrece instantáneamente según un valor aleatorio y, simultáneamente, la tasa de degradación se eleva debido a la inspección. Respecto a la política de sustitución es basada en condición y bidimensional, tiene en cuenta el nivel de degradación y el número de inspecciones. La sustitución preventiva se llevará a cabo cuando el nivel de degradación observado excede el umbral de sustitución preventiva o el número de inspecciones alcanza el número máximo permitido. Dieulle et al. (2003) y Dieulle et al. (2002) se basan en el estado actual del sistema para elegir la próxima fecha de ejecución de una inspección, es decir, proponen un modelo que permite investigar el impacto de la influencia conjunta del valor del umbral de sustitución preventiva crítica y la elección de las fechas de inspección. El proceso de deterioro estocástico es considerado un proceso Gamma. Se diferencian en que Dieulle et al., (2003) consideran que las fechas de inspección son secuenciales y calculan el coste esperado a largo plazo por unidad de tiempo usando técnicas semi renovativas en vez de las técnicas renovativas que se suelen utilizar, lo que permite calcular el criterio de coste como una relación a lo largo de un ciclo de semi-renovación en estado estacionario, ya sea que el ciclo de semi-renovación finalice con una sustitución o no, mientras que Dieulle et al. (2002) desarrollan un modelo matemático para el coste del sistema usando ambas teorías, la de renovación y la semi renovación, las cuales tienen que ser optimizadas a la vez para minimizar el coste total a largo plazo. La estructura propuesta puede ser adaptada a otras estrategias de mantenimiento de sistemas de componente único. Ilustración 17. Fechas de inspección en función del estado actual del sistema [Fuente: Dieulle et al. (2003)] Sistemas multicomponente 40 40 3 SISTEMAS MULTICOMPONENTE En este capítulo se introducen algunos de los modelos propuestos para sistemas compuestos por varias unidades. Al igual que en el capítulo anterior, en éste se clasifican según el espacio de estados de deterioro de los componentes del sistema pero, tal y como hicieron Kobbacy & Murthy (2008), se tiene en consideración el tipo de dependencia entre los componentes para organizarlos. Ilustración 18. Mapa conceptual Apartado 3 3.1 Espacio de estados de deterioro discreto De nuevo, se clasifican las políticas según el número de estados a los que está sujeto el proceso de deterioro de las unidades que componen el sistema: dos estados, tres estados o múltiples estados de deterioro. 3.1.1 Deterioro condicionado a dos estados Los modelos propuestos para encontrar la política de mantenimiento óptima se organizan según el tipo de dependencia entre los componentes de los sistemas. 41 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte 3.1.1.1 Dependencia económica Varios estudios utilizan el algoritmo genético como método de optimización para encontrar la política de mantenimiento óptima, a pesar de que se aplica en políticas de mantenimiento muy diferentes. Lapa et al. (2006) presentan una metodología para la evaluación de la política de MP basada en un modelo costefiabilidad que no solo ajusta continuamente las planificaciones de MP a las tasas de fallos, sino que también optimiza automáticamente las políticas de MP. H.-Z. Huang (2010) estudia una política de mantenimiento selectivo para sistemas con múltiples estados (SME) cuyos componentes están condicionados a dos estados de deterioro, utilizando el algoritmo genético para optimizar los resultados. El mantenimiento selectivo es un tipo de mantenimiento centrado en la fiabilidad en el que la acción de mantenimiento se realiza entre dos misiones secuenciales. Proponen un modelo de mantenimiento imperfecto, investigando la relación de la calidad del mantenimiento con el coste. En este modelo, los estados del sistema (no del componente) se dividen de acuerdo con sus posibles tasas de rendimiento. Evalúan la probabilidad de que el SME reparado complete con éxito la próxima misión bajo demanda aleatoria, esto es la probabilidad de que la tasa de rendimiento del sistema no sea menos que el nivel de demanda, mediante el método de la función de generación universal 26 . Tsai et al. (2001), del mismo modo, utilizan el algoritmo genético para programar una política periódica de MP que maximiza la vida del sistema en cada escenario de MP. En cada escenario de mantenimiento se consideran dos tipos de acciones, mantenimiento preventivo simple y sustituciones preventivas. En esta política primero se seleccionan los componentes a mantener. Luego se modela el deterioro de los componentes con una ecuación dinámica de fiabilidad, y el efecto de las actividades de mantenimiento en la fiabilidad y la tasa de fallos se basa en el modelo de reducción de edad 27 . La programación de MP avanza al siguiente escenario hasta que el costo unitario de la vida del sistema con mantenimiento sea menor que la vida sin llevar a cabo MP. Sin embargo, también se consideran otros algoritmos. Entre ellos, Kalam et al. (2020) en su trabajo desarrollan un algoritmo heurístico de búsqueda local “greedy” que proporciona una programación del mantenimiento coordinado para sistemas multicomponentes. El objetivo es minimizar el coste total de mantenimiento sobre un horizonte de planificación finito. Los resultados de los experimentos llevados a cabo demuestran que este algoritmo supera tanto al algoritmo genético como al algoritmo de recocido simulado 28 en calidad de la solución y es similar en términos de eficiencia. El objetivo de muchos investigadores es encontrar el intervalo de mantenimiento preventivo que optimiza el modelo propuesto. Noman et al. (2019) formulan un modelo integrado para sistemas multicomponentes en serie que busca unir las acciones de mantenimiento y la política de control de la calidad del proceso usando un gráfico de media móvil ponderada exponencialmente 29 para controlar la calidad de los productos. Consideran dos tipos de fallo: fallo tipo I que provoca el estado de avería inmediata del sistema, y fallo tipo II en el que el sistema de producción pasa de un estado de control a otro estado fuera de control en el que aumentan las unidades 26 universal generating function method 27 Age-reduction model 28 Simulated annealing 29 EWMA chart Sistemas multicomponente 48 48 Buscan determinar los grupos de oportunidad y reemplazo definiendo una función de tasa de costo a plazo actual. Barata et al. (2002) usan la simulación de Monte Carlo para modelar un sistema reparable monitoreado de forma continua en el que cada componente está sujeto a degradación estocástica. Una vez obtenido el modelo se incluye dentro de un esquema de optimización del mantenimiento condicionado que minimiza el costo total esperado del sistema durante un tiempo dado. El procedimiento de optimización de costes se limita a una búsqueda sistemática que abarca puntos en el espacio de umbrales de mantenimiento para encontrar los umbrales de degradación óptimos para la intervención de mantenimiento. Lu & Zhou, (2019) proponen una nueva política de mantenimiento basado en la condición orientado a la calidad y fiabilidad para un sistema de fabricación en serie de múltiples etapas. En este modelo, los componentes relacionados con la calidad son inspeccionados periódicamente y los estados de deterioro obtenidos se usan para evaluar la pérdida de calidad de los productos finales y la tasa de fallos del sistema, con el fin de decidir si se activa el mantenimiento preventivo. Una vez el mantenimiento preventivo es activado, se introduce un factor de mejora basado en el coste para determinar el grupo de máquinas con más importancia para hacer el mantenimiento preventivo. Este factor considera conjuntamente la mejora de la calidad y la fiabilidad y la reducción de los costes del mantenimiento preventivo. Castanier et al. (2005) proponen una estructura paramétrica de reglas de decisión simples para el mantenimiento basado en condición de un sistema de dos unidades sujetas a deterioro estocástico e independiente y desarrollan el modelo de coste asociado. Se realizan inspecciones no periódicas y sustituciones, cuyos costes son mayores si se ejecutan por separado. La estructura propuesta permite coordinar estas acciones y reducir los costes. La metodología propuesta se basa en las propiedades semi renovativas del proceso de deterioro del sistema. J.-P. Wu et al. (2019) presentan un nuevo modelo de optimización MBC para sistemas de varios componentes con reparaciones imperfectas. Los procesos de degradación de los componentes se describen mediante la degradación difusa acelerada aleatoria (RFAD), y los parámetros en el modelo RFAD se actualizan continuamente basándose en las pruebas de degradación acelerada (ADT) y los datos monitoreados en tiempo Ilustración 26. Proceso de deterioro estocástico de un sistema no reparable [Fuente: Barata et al. (2002)] Ilustración 27. Evolución del deterioro de un sistema de dos unidades sujeto a una política de umbral límite [Fuente: Castanier et al. (2005)] 49 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte real. Para resolver el modelo de programación se desarrolla un nuevo algoritmo genético con operación con cruce automático 34 y operación de mutación basada en el turno 35 . Por último, J. Wang et al. (2019) consideran una política de mantenimiento oportunista basada en la monitorización de la condición y en la edad para un sistema de dos componentes en serie. El primer com00ponente está sujeto a un fallo suave por lo que sólo puede ser detectado mediante inspecciones y su deterioro se define como una función gamma. Por otro lado, el segundo componente está sujeto a fallo fuerte y su vida útil sigue una distribución general en la que el tiempo de fallo es una variable aleatoria. El mantenimiento preventivo de lleva a cabo en las unidades si el nivel de deterioro de la unidad 1 o el uso de la unidad 2 excedan los umbrales de mantenimiento preventivo de esa unidad, pero el mantenimiento de una unidad es una oportunidad para realizar el de la otra. Se utiliza el proceso de decisión de semi-Markov para formular y resolver el problema. 3.2.1.2 Dependencia estocástica De nuevo, son pocos los modelos con sistemas que tengan en cuenta la dependencia estocástica. Por un lado, Wang et al. (2019) presentan un método de optimización de mantenimiento grupal orientado a tareas para sistemas de niveles múltiples, tomando los costes y la fiabilidad del sistema como funciones objetivo. El mantenimiento grupal se desarrolla con la información de vida útil de las unidades. Examinan la degradación de las unidades a través de la monitorización de la condición. La fiabilidad del sistema se predice usando el modelo BN combinado con el algoritmo de árbol de unión (JTA). La optimización se resuelve mediante la programación de objetivos múltiples. Y, por otra parte, Coit et al. (2019) presentan y resuelven un modelo de optimización de mantenimiento condicionado para un sistema multicomponente en el que cada componente experimenta procesos de fallos múltiples y dependientes a otros componentes, debido a la exposición simultánea a la degradación y a “shocks”. Realizan reparaciones o sustituciones los componentes o sistemas antes de que se produzca la avería y para ello determinan los umbrales de fallo condicionados y los intervalos de inspecciones óptimos que reducen los costes de mantenimiento. Se considera que la degradación de los componentes se modela siguiendo un proceso Gamma y los shocks aleatorios se modelan siguiendo un proceso Poisson. Es un modelo eficaz para sistemas con costes de avería altos. 34 Self-crossover operation 35 Shift-mutation operation Ilustración 28. Política de mantenimiento propuesta por J. Wang et al. (2019) Sistemas multicomponente 50 50 3.2.1.3 Varias dependencias Hay estudios que señalan que los sistemas pueden estar sometidos a más de un tipo de dependencia. Do et al. (2019) proponen una política de mantenimiento basado en condición para un sistema de dos componentes con dependencia tanto económica como estocástica. Se identifica el estado de cada componente mediante inspecciones periódicas y se considera que un componente falla cuando alcanza el umbral de fallo. El sistema falla cuando falla uno o ambos componentes. Desarrollan un modelo de costes que usa el coste esperado a largo plazo por unidad de tiempo para encontrar los valores óptimos de las variables de decisión. Por el contrario, Liu & Lv (2015) proponen un modelo de mantenimiento multifase que abarca toda la vida útil de un sistema multicomponente con dependencia económica y estructural, cuya información de degradación se basa en la distribución de Weibull. El modelo integra las decisiones de optimización del mantenimiento y la planificación de los recursos. Utilizan el algoritmo genético para resolverlo. Ilustración 29. Proceso de deterioro de los componentes y política de mantenimiento propuesta por Do et al. (2019) 51 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte 4 MODELOS GENERALES, TENDENCIAS Y FUTURAS INVESTIGACIONES Como se ha podido comprobar, existen infinitos modelos matemáticos de mantenimiento diferentes, tantos como variables posibles hay en los sistemas y su entorno. En este capítulo, primero se resumen los modelos que se suelen aplicarse para optimizar el mantenimiento en cada caso, señalando las características más habituales que podemos encontrar en ellos y poniendo un ejemplo del modelo aplicado a un problema de mantenimiento real. Se han dividido los modelos en 8 grupos en función de dos características: número de componentes del sistema (un componente o multicomponentes), y espacio de estado de deterioro (discreto condicionado a dos estados, discreto condicionado a tres estados, varios estados discretos o espacio de estados continuo). Posteriormente se explicará la tendencia que llevan los modelos de mantenimiento y, por último, se propondrán algunas extensiones posibles para futuros estudios. 4.1 Modelos generales y ejemplos de aplicación Comenzamos con los 4 grupos de modelos de mantenimiento para sistemas compuestos por una unidad y, posteriormente, se presentan los otros 4 de sistemas multicomponente. 4.1.1 Sistemas de un componente El orden es el mismo que en capítulo previo. Primero se exponen los modelos condicionado a dos estados discretos, luego tres, varios estados discretos y se finaliza con los modelos de espacio de estado de deterioro continuo. Los modelos para sistemas condicionados a dos estados son modelos de mantenimiento basado en el tiempo. Los modelos de este apartado son propuestos para formular la política de sustitución. La política de sustitución puede considerar que un sistema es reparable o no y puede estar basada en el uso, edad del sistema, o incluso en el número de reparaciones a las que se ha sometido. Son pocos los modelos que se centran únicamente en encontrar el intervalo de reemplazo preventivo del sistema y cada vez son más los que incluyen las reparaciones, las cuales mantienen el sistema en un estado operativo. El objetivo es encontrar el intervalo óptimo de sustitución y de reparación. Normalmente, las reparaciones que se realizan son mínimas y formulan la función de costes con la teoría de renovación. También es común incluir en este modelo que el sistema está condicionado por una garantía ya sea unidimensional o bidimensional. Pham & Sgarbossa (2010) aplican la política de sustitución por edad a una máquina de empaquetado automático para la producción de cerveza. En su modelo consideran las condiciones del entorno en las que opera el sistema usando un concepto, la capacidad de sistematización, que definen como la probabilidad del que el sistema desarrolle su función para un tiempo de misión especificado bajo un entorno operativo aleatorio. Cada entorno operativo es caracterizado por los parámetros de la capacidad de sistematización, calculados previamente usando Modelos generales, tendencias y futuras investigaciones 52 52 como datos iniciales los recogidos del análisis de la máquina. Estos parámetros ayudan a estimar la fiabilidad de cada sistema operando en esas condiciones del entorno usando la función de capacidad de sistematización que luego aplican a la política de sustitución por edad para obtener su modelo. El objetivo es optimizar el coste total y para ello introducen un algoritmo numérico. En los sistemas condicionados a tres estados de deterioro predomina el modelo de tiempo de retardo. En este modelo encontramos que la avería se revela inmediatamente pero el defecto no. Las reparaciones normalmente son imperfectas y se realizan cuando el sistema está en estado de defecto. Suele utilizarse algún proceso de conteo, comúnmente la teoría de renovación o el proceso de Poisson. La herramienta más utilizada para conocer el estado del sistema son las inspecciones. Se busca minimizar el coste, por lo que el número o el intervalo de inspecciones es una variable que optimizar. Un ejemplo de este modelo es el caso propuesto por Watson & Kishk (2007) que pretenden aplicar el modelo de tiempo de retardo y la simulación de Monte Carlo para optimizar el mantenimiento de un aerogenerador, el cual consideran que es un sistema de un componente. La simulación de Monte Carlo es utilizada para modelar los fallos del sistema y el modelo de tiempo de retardo busca el periodo de inspección óptimo que reduce los costes. Los modelos de sistemas con varios estados de deterioro suelen ser modelos de mantenimiento basado en condición. Dividen el proceso de deterioro del sistema en múltiples estados discretos, la mayoría de los modelos mediante un proceso de Markov. También hay modelos que se basan en los procesos de decisión de Markov, los cuales son una extensión de la cadena de Markov. Los problemas de optimización de estos modelos a menudo se resuelven usando la programación dinámica. Una posible aplicación de este modelo es la propuesta por Cao (2019) para reducir el consumo de energía de una máquina herramienta. Una máquina herramienta es un tipo de máquina que se utiliza para dar forma a piezas sólidas, principalmente metales. El deterioro de la máquina provoca que se aumente el consumo de energía y la producción de piezas defectuosas y es modelado mediante un proceso de Markov de estados discretos. Desarrolla el modelo toma de decisiones de mantenimiento basándose en el proceso de decisión de Markov parcialmente observable. El estado de la máquina no es directamente observable ya que se conoce a través del consumo de energía y de la calidad de la pieza fabricada, de Ilustración 31. Máquina herramienta] Ilustración 30. Aerogenerador 53 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte forma que se considera que el deterioro del sistema aumenta si se supera un umbral de energía consumida o si se fabrica una pieza defectuosa. El objetivo es maximizar la recompensa energética esperada en un horizonte finito. Todos los modelos para sistemas con espacio de estados de deterioro continuo son de mantenimiento basado en condición. Se distinguen dos modelos de mantenimiento en función de la herramienta utilizada para saber el estado del sistema, el modelo de mantenimiento basado en la monitorización continua y el basado en la inspección. En el modelo de mantenimiento basado en la inspección, las inspecciones pueden considerarse perfectas o imperfectas y realizarse periódicamente o de manera no periódica. En este modelo, además de las acciones de MP, también se busca optimizar el intervalo, fecha o número de inspecciones. En el caso de los modelos con inspecciones no periódicas, estas se programan en función del estado actual del sistema. En ambos modelos predomina una política de mantenimiento por umbrales límite. Bajo esta política, se realizan las acciones de mantenimiento cuando la tasa de fallos, el estado de deterioro del sistema, o la fiabilidad alcanzan un umbral límite. Son especialmente relevantes los modelos de mantenimiento centrados en la fiabilidad. Estos modelos realizan el mantenimiento cuando la fiabilidad del sistema alcanza un umbral de fiabilidad. Normalmente la fiabilidad se modela mediante un modelo de tasa de riesgo híbrido mientras que el proceso deterioro del sistema es modelado con alguna distribución continua, generalmente una distribución Gamma. Como ejemplo, Q. Wang & Gao (2012) diseñan un sistema de tomas de decisiones basado en indicadores de riesgo y condición y lo aplican a una estación de transferencia de aceite de PetroChina. Dichos indicadores integran el mantenimiento centrado en la fiabilidad, el sistema de monitorización de la condición, el módulo de gestión de rendimiento clave, el módulo de gestión de archivos, el módulo de gestión de fallos y defectos y el módulo de gestión de mantenimiento. La evaluación del mantenimiento centrado en fiabilidad identifica y clasifica los equipos críticos y el indicador dinámico de riesgo del equipo determina la estrategia de mantenimiento y la selección de tareas de los equipos con mayor riesgo. Utilizan la distribución de Weibull para aproximar el proceso de fallo del equipo. 4.1.2 Sistemas multicomponentes Algunos de los modelos presentes son una extensión de los modelos expuestos para los sistemas de un componente. Se añade una propiedad más a estos modelos, la dependencia entre los componentes. Estas dependencias provocan que aumente la complejidad del modelo, el cual puede estar condicionado por una y, a veces, dos tipos de dependencias. Al igual que el apartado anterior, a continuación se exponen los modelos según el espacio de estado de deterioro de sus componentes. En los modelos para sistemas cuyos componentes presentan solo dos estados en su proceso de deterioro algunos modelos de mantenimiento que podemos encontrar son; el modelo basado en la política de mantenimiento selectivo, el modelo de mantenimiento coordinado, el modelo basado en la política de mantenimiento por bloques, el modelo de mantenimiento grupal y el modelo de mantenimiento oportunista entre otros. La mayoría considera una dependencia económica, otros estructural y unos pocos estocástica. En sistemas con dependencia estructural también encontramos un modelo basado en la redistribución de los componentes. Estos modelos Modelos generales, tendencias y futuras investigaciones 54 54 normalmente son optimizados mediante el algoritmo genético, la simulación de Monte Carlo, un algoritmo de búsqueda local o cadenas de Markov. Fouladirad & Barros (2016) presentan un caso de estudio de un sistema de cables de acero utilizados para cargar el mineral. Dicho sistema está compuesto por dos cables en paralelo idénticos que presentan dependencia estocástica. El deterioro de ambos cables es supuesto que sigue una distribución de Weibull. Si uno de los cables falla, el otro toma toda la carga y continua la elevación. El sistema está sujeto a reparaciones imperfectas periódicas y sustituciones preventivas periódicas o cuando ocurre el fallo del primer componente. El objetivo es encontrar el intervalo d sustituciones preventivas que minimiza el coste que consiguen mediante un algoritmo implementado en MATLAB. Los modelos de sistemas multicomponente con unidades condicionadas a tres estados no son muy habituales. El modelo predominante que modela el proceso de deterioro de los componentes, de nuevo, es el modelo de tiempo de retardo y normalmente se utiliza la teoría de renovación para evaluarlo. Suelen se modelos de mantenimiento basado en condición. de Souza & de Almeida Filho (2020) proponen aplicar el modelo de tiempo de retardo para hallar el intervalo óptimo de inspección de una pista de aterrizaje (o despegue) de un aeropuerto de Brasil. Las pistas de aterrizaje se consideran sistemas multicomponente en serie ya que pueden realizarse acciones de mantenimiento por secciones. El mal estado de una pista de aterrizaje de un aeropuerto implica costes de demora de los vuelos, costes por avería de los aviones e incluso accidentes. Esto podría prevenirse detectando los defectos de la pista a tiempo y, para ello, se hacen inspecciones periódicas. Buscan optimizar los costes de mantenimiento de la pista. La mayoría de los modelos de sistemas multicomponente de varios estados discretos consideran que el sistema presenta una dependencia estructural, pero también encontramos, en menor medida, sistemas con dependencia económica y estocástica. Normalmente los sistemas que presentan una dependencia estructural son sistemas en serie o serie-paralelo. Al igual que en los sistemas de un componente, los modelos que se presentan son modelos de MBC. Encontramos modelos de shock, modelos de mantenimiento oportunista, modelos de programación no lineal, modelo de riesgo proporcional, etc. La mayoría modelan el deterioro del sistema mediante cadenas de Markov, pero algunos estudios lo hacen con simulación de Monte Carlo o como un proceso Wiener. La herramienta de monitorización utilizada generalmente son las inspecciones. Hay modelos que buscan el óptimo con procesos de decisión de Markov, otros mediante el algoritmo genético. Al igual que Watson & Kishk (2007) habían propuesto un modelo para optimizar el mantenimiento de un aerogenerador, Abdollahzadeh et al. (2016) exponen un modelo de mantenimiento para una planta eólica que tienen varios tipos diferentes de aerogeneradores con varias unidades de cada tipo. En su modelo, los aerogeneradores pueden presentar 4 estados; trabajando, fallido, bajo reparación y “stanby”. Asimismo, cada aerogenerador tiene varios componentes conectados en serie que se deterioran de forma independiente pero que presentan dependencia económica y, cada uno de ellos, pueden tener cuatro estados. A estos componentes se le realiza un mantenimiento por reparaciones imperfectas basándose en un proceso generalizado de la teoría de 55 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte Renovación. Definen una política de mantenimiento oportunista basándose en los valores de cinco umbrales de fiabilidad para cada componente. Suponen un comportamiento estocástico del viento, así como un número limitado de grupos de mantenimiento. Buscan optimizar dos objetivos; maximizar la tasa esperada de energía y minimizar los costes totales esperados de mantenimiento. Utilizan una aproximación a una simulación de tres fases de tiempos discretos para calcular los costes totales de las actividades de mantenimiento y la energía producida por el parque eólico y un algoritmo de optimización de enjambre de partículas para obtener los valores óptimos de los umbrales de fiabilidad. Por último, los sistemas multicomponente con espacio de estados continuo presentan dependencia económica o estocástica. Se modela el deterioro con alguna distribución continua (Gamma, Weibull) o con la simulación de Monte Carlo. De nuevo, hay muchos modelos basados en umbrales límites, pero también encontramos modelos de mantenimiento grupal, modelos de mantenimiento oportunista o modelos de mantenimiento centrado en la fiabilidad. Para resolver el modelo usan algoritmo genético. Dinh et al. (2020) presentan un modelo de mantenimiento preventivo aplicado a una caja de cambios en que que las piezas están conectadas en serie y presentan dependencia estructural. Una caja de cambios está compuesta por varios rodamientos y engranajes. Declaran que las operaciones de desmontaje de los rodamientos de la caja de cambio afectan a la degradación y a la fiabilidad de los componentes. Por ello, modelan la dependencia estructural de los componentes usando la matriz de conexión el gráfico directo y con este modelo, cuantifican el impacto de las operaciones de desmontaje. También proponen un modelo que integra el proceso de deterioro intrínseco de los componentes y el daño causado por las operaciones de desmontaje. El impacto de las operaciones de desmontaje se integra luego en el modelo de evaluación de fiabilidad para un sistema de múltiples componentes sujeto a una política de mantenimiento selectivo. Si el nivel de fiabilidad está por debajo del umbral de fiabilidad, algunos componentes son elegidos para su mantenimiento. Se realizan inspecciones periódicas para revelar el estado de deterioro de los componentes y se consideran que éstos fallan cuando superan un Ilustración 32. A) Caja de cambios B) su gráfico directo c) su matriz de conexión [Fuente: Dinh et al. (2020)] Ilustración 33. Diferentes escenarios de mantenimiento con y sin impacto de desmontaje [Fuente: Dinh et al. (2020)] Modelos generales, tendencias y futuras investigaciones 56 56 umbral crítico. 4.2 Tendencias Revisando los últimos estudios podemos deducir las tendencias de los modelos de mantenimiento. Por ejemplo, hay una clara inclinación por el estudio de los modelos de mantenimiento basado en condición frente a los modelos de mantenimiento basado en el tiempo. Los modelos pretenden ser un reflejo de la realidad y para ello cada vez añaden más variables que ajustan mejor el problema a las características del sistema real y su entorno. Por ejemplo, los últimos modelos proponen que el sistema pueda presentar dos tipos de fallo y que estas puedan ser dependientes. O que el sistema puede estar sometido a “shocks” externos y, por lo tanto, no solo se deteriora por la propia condición del sistema sino también por su entorno. También se empieza a considerar el tiempo de ejecución de las acciones de mantenimiento ya que mientras el sistema está en mantenimiento no está funcionando, por lo cual se reduce la disponibilidad y, por consiguiente, el beneficio. En los modelos en los que se proponen los procesos de Markov, cada vez son más los que modelan mediante un modelo oculto de Markov, ya que lo normal es que el estado del sistema no sea directamente observable. Por otro lado, tienden a estudiar la integración de las políticas mantenimiento, la planificación de la producción y el inventario de piezas de repuesto y la aplicación del control de calidad para la toma de decisiones de mantenimiento. Las acciones de mantenimiento e inspección en los últimos modelos se consideran imperfectas, y se realizan de manera oportunista. En los sistemas multicomponente además se empieza a tener más en consideración la dependencia estocástica de los componentes. También se propone una nueva estrategia para los sistemas con dependencia estructural, que consiste en la redistribución de los componentes. El modelo de mantenimiento selectivo empieza a cobrar importancia, sobre todo en los modelos de sistemas con espacio de estados de deterioro discretos. 4.1 Futuras investigaciones Para terminar, se proponen algunas líneas de investigación para mejorar los grupos de modelos de mantenimiento presentados previamente, tanto para sistemas de un componente como multicomponente. Para los modelos de sistemas condicionados a dos estados de deterioro, los cuales son de mantenimiento basado en el tiempo, se puede integrar el mantenimiento basado en el uso el mantenimiento basado en la edad con el mantenimiento oportuno, de tal manera que se realice el mantenimiento cuando se alcance un uso o una edad pero si se presenta la oportunidad, por ejemplo por paradas en la producción, se realicen el acciones de mantenimiento necesarias y que esas acciones aumentasen el intervalo para el mantenimiento siguiente, es decir, en lugar de realizar el próximo mantenimiento a la edad o uso X que estaba planeado, después del mantenimiento 57 Modelos matemáticos aplicados al mantenimiento: Estado del arte oportuno el siguiente se haría en el intervalo X+Y siendo Y la vida “extra” que proporciona el mantenimiento oportuno y que habría que calcular. Para implementar este modelo sería necesario saber la probabilidad que hay de que ocurra una parada del sistema. Como futuras investigaciones para el modelo de tiempo de retardo, el más común de los modelos para sistemas de tres estados de deterioro, puede considerarse que los efectos de las reparaciones imperfectas de los defectos sean inciertos. Otra opción sería utilizar la monitorización continua como herramienta para conocer el estado del sistema en vez de las inspecciones. Esto reduciría la probabilidad de que se produzca un falso positivo, es decir, que se declare un componente en estado de defecto cuando no es así. En cuanto a los sistemas con varios estados de deterioro discretos, si se realiza la monitorización de la condición mediante monitorización continua podría ser más apropiado modelar el proceso de deterioro como un proceso continuo, mientras que si se hace mediante inspecciones estas podrían considerarse imperfectas y considerar también el efecto que tienen sobre el proceso de deterioro del sistema cuando se modela. También podría aplicarse a sistemas multicomponentes en el que el defecto de un componente influya en la tasa de fallos de otro. También propondría modelar el deterioro del sistema con un proceso no Markoviano. En los sistemas con espacio de deterioro continuo distinguíamos dos tipos de modelos; los que usaban la monitorización continua y los que hacen uso de las inspecciones para la monitorización de la condición. Para ambos se puede hacer una extensión considerando que la monitorización continua y las inspecciones pueden no revelar el estado exacto del sistema, por lo que habría una incertidumbre que se tendría que considerar para modelar el proceso de deterioro. También se podría comprobar si mejora la eficiencia de los modelos presentados por los autores modelando el deterioro de los sistemas con otros procesos continuos diferentes a los que proponen, por ejemplo, con Weibull, cadenas de Markov de tiempos continuos o Gaussiano en lugar de Gamma. Además, el modelo de tiempo de retardo no es el único que podría aplicarse a los sistemas multicomponente. Por ejemplo, los modelos con política de mantenimiento o inspección oportunas que se han presentado también serían muy útiles en sistemas multicomponente, de forma que el mantenimiento de un componente en modo de fallo sea una oportunidad para realizar la inspección de un segundo. Los problemas de sistemas multicomponentes, debido a su complejidad, presentan muchas posibilidades a la hora de modelarlos matemáticamente y ofrecen muchas probabilidades para su extensión, por ejemplo, utilizando muchos de los enfoques ya propuestos para los sistemas de un componente. Además de estas posibilidades, una futura investigación podría ser añadir una dependencia estocástica además de las dependencias económicas y estructurales que ya presentan, de forma que los fallos de unos componentes afecten a otros. También se puede comprobar si los modelos propuestos para un tipo de sistemas concreto (en serie, paralelo, serie-paralelo, etc) podría aplicarse a otros tipos y se obtienen buenos resultados. Bibliografía 64 64 Systems, 115(8), 1412–1434. https://doi.org/http://dx.doi.org/10.1108/IMDS-04-2015- 0150 Lu, B., & Zhou, X. (2019). Quality and reliability oriented maintenance for multistage manufacturing systems subject to condition monitoring. Journal of Manufacturing Systems, 52, 76–85. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.jmsy.2019.04.003 Marseguerra, M., Zio, E., & Podofillini, L. (2002). Condition-based maintenance optimization by means of genetic algorithms and Monte Carlo simulation. Reliability Engineering & System Safety, 77(2), 151–165. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/S0951-8320(02)00043- 1 MERCIER, S., & CASTRO, I. T. (2019). Stochastic comparisons of imperfect maintenance models for a gamma deteriorating system. 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