El límite de Chandrasekhar

"No estamos simplemente en el universo, sino que además somos parte de él. Estamos hechos de la misma materia de la que están hechas las estrellas. Y somos la facultad que tiene el universo de llegar a conocerse a sí mismo". – Carl Sagan. Abstract White dwarfs, remnants of the most common stars in the universe, mark the end of a highly energetic and luminous stellar life. These stellar corpses emit residual thermal energy, the result of a long life producing energy from the nuclear fusion of light chemical elements. Unable to fuse the heavier chemical elements resulting in the core, they cool over eons, eventually fading out and becoming black dwarfs. However, not all white dwarfs share this same final fate. Observational evidence shows “vampire” white dwarfs that, by gravitationally drawing in the mass of their stellar companion, have increased their own, managing to reach the Chandrasekhar limit, beyond which they explode in a thermonuclear supernova. Chandrasekhar, a 19-year-old Indian youth, managed to give a precise estimate of the maximum mass, approximately 1.4 times the mass of the Sun, that a white dwarf can reach. His work demonstrated that, above 1.4 solar masses, the electron degeneracy pressure cannot counterbalance the gravitational force, which inevitably leads to collapse, detonating a cataclysmic thermonuclear explosion, known as a type Ia supernova. In this project, we will meticulously determine the Chandrasekhar limit, obtaining different results depending on whether or not relativistic effects are considered in a white dwarf, and achieving the precise determination of the limit, thanks to the ordinary differential equation of Lane-Emden. 5 Resumen Las enanas blancas, remanentes de las estrellas más comunes en el universo, marcan el fin de una vida estelar altamente energética y luminosa. Estos cadáveres estelares emiten energía térmica residual, resultado de una larga vida produciendo energía a partir de la fusión nuclear de elementos químicos ligeros. Incapaces de fusionar los elementos químicos más pesados resultantes en el núcleo, se enfrían durante eones, finalmente apagándose y convirtiéndose en enanas negras. Pero, no todas las enanas blancas comparten este mismo destino final. La evidencia observacional muestra enanas blancas “vampiro” que, succionando gravitacionalmente la masa de su compañera estelar, han incrementado la suya propia, logrando alcanzar la masa de Chandrasekhar, a partir de la cual explotan en supernova termonuclear. Chandrasekhar, un joven indio de 19 años, consiguió dar una estimación precisa de la masa máxima, aproximadamente 1.4 veces la masa del Sol, que puede llegar a alcanzar una enana blanca. Su trabajo demostró que, por encima de 1.4 masas solares, la presión de degeneración de los electrones no puede contrarrestar la fuerza gravitatoria, lo que la conduce inevitablemente al colapso, detonándose una explosión termonuclear cataclísmica, conocida como supernova de tipo Ia. En este trabajo determinaremos minuciosamente el límite de Chandrasekhar, llegando a obtener resultados diferentes dependiendo de si se consideran o no los efectos relativistas en una enana blanca, y logrando de manera precisa la determinación del límite, gracias a la ecuación diferencial ordinaria de Lane-Emden. Índice general 1. Introducción 2 1.1. Interés histórico de las estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Inmersión preliminar al tema objeto de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Objetivosdeltrabajo.................................... 4 2. Astrofísica Estelar: Formación, evolución y final estelar 5 2.1. Formación de protoestrellas (embriones estelares) y nacimiento estelar . . . . . . . . 5 2.2. Evolución y final de las subestrellas o estrellas fallidas: enanas marrones . . . . . . . 6 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal . . . . . . . . . . 7 2.3.1. Evolución de las estrellas de masa pequeña: enanas rojas . . . . . . . . . . . . 7 2.3.2. Evolución de las estrellas de masa aproximada a la masa del Sol: enanas naranjasyamarillas ................................ 9 2.3.3. Evolución de las estrellas de masa mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.4. Evolución de las estrellas masivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.5. Evolución de las estrellas exorbitantemente masivas: hipergigantes cercanas allímitedeEddington............................... 14 2.3.6. Esquema ilustrativo general sobre las etapas de vida estelar . . . . . . . . . . 15 2.3.7. Diagrama de Hertzsprung-Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. ¿Cómo puede una enana blanca llegar a alcanzar el límite de Chandrasekhar? ¿Qué ocurre después de alcanzarlo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1. Caso fuera de regla: Enanas blancas de O + Ne + Mg . . . . . . . . . . . . . 19 3. Fundamentos sobre Mecánica Estadística y Mecánica Cuántica en Astrofísica 20 3.1. Fundamentos de la Mecánica Estadística Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.1. Microestados y macroestados posibles para un sistema . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2. Conjuntos o colectividades de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.3. Relación entre el valor de una magnitud en cada uno de los microestados y enelmacroestado ................................. 22 3.1.4. Espaciofásico.................................... 22 3.2. Colectividades microcanónica, canónica y macrocanónica . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.1. Colectividad microcanónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.2. Colectividad canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.3. Colectividad macrocanónica o canónica generalizada . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. Nociones elementales de la Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3.1. Descripción clásica y descripción cuántica de un sistema . . . . . . . . . . . . 25 3.3.2. Operadores y conmutadores. Autofunciones y autovalores de un operador . . 26 3.3.3. El Principio de Correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.4. Medición de magnitudes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.5. Principio fundamental de cuantificación de la energía . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.6. Ecuación de Schrödinguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.7. Soluciones de la ecuación de Schrödinger: estados estacionarios . . . . . . . . 29 9 Capítulo 2 | Astrofísica Estelar: Formación, evolución y final estelar Este capítulo ayudará a entender cómo se forman las estrellas; así como su evolución y el destino final que experimentan, dependiendo de su masa y de las condiciones del entorno que las rodeen. Dicha comprensión es fundamental para, principalmente, llegar a conocer los distintos finales que pueden experimentar las diferentes estrellas, así como qué tipos de estrellas pueden convertirse al final de su vida útil en una enana blanca; y bajo qué circunstancias en su entorno esta enana blanca puede llegar a alcanzar el límite de Chandrasekhar, y el final inevitable al que se enfrenta tras alcanzarlo. 2.1. Formación de protoestrellas (embriones estelares) y nacimiento estelar Todas las estrellas tienen un ciclo de vida: nacen, se desarrollan y mueren, pero estos procesos son muy lentos y requieren miles de millones e incluso billones de años. El nacimiento de una estrella dura cientos de miles de años y tiene lugar principalmente en nubes moleculares, que son nebulosas donde nacen estrellas; es decir, son nubes gigantescas dentro de una galaxia formadas por gases, principalmente hidrógeno y helio, así como por otros elementos químicos más pesados, como carbono, oxígeno e incluso hierro, en forma de polvo cósmico. En las zonas más densas de las nubes moleculares va teniendo lugar, poco a poco, la unión gravitacional de grupos de partículas de polvo y gas. Es por ello que se va formando una especie de grumos de material densificado, en ocasiones miles de ellos, cada uno de los cuales da lugar a la formación de una protoestrella individual. Cada grumo va atrayendo de manera acelerada cada vez más material hacia su centro, formando un gran disco que gira, conocido como disco protoestelar. En el interior del grumo, la temperatura aumenta a medida que el material cae hacia él, y es ahora cuando empieza a tomar forma una protoestrella, que es un embrión estelar. Una protoestrella puede entenderse como un núcleo denso de gas y polvo que, tras decenas de miles de años, sigue ganando masa (produciéndose un estado de contracción gravitacional cada vez mayor) y aumentando su temperatura. Llega un momento en el que el material que cae hacia su superficie empieza a ser expulsado de forma parcial en grandes chorros emitidos a través de su eje de rotación. No obstante, aunque una parte del material que cae hacia la protoestrella es expulsado 5 2.2. Evolución y final de las subestrellas o estrellas fallidas: enanas marrones en dichos chorros, la mayor parte del material sigue cayendo hacia el núcleo de la protoestrella, contribuyendo a su crecimiento y acumulación de masa. Posteriormente, empieza a tener lugar un potente viento estelar (flujo de material expulsado, principalmente partículas cargadas y radiación), de manera que la protoestrella es ahora visible e inicia la fase T Tauri, en la cual muestra una gran actividad, con enormes erupciones y numerosas manchas en su superficie (estas últimas son debidas a las altas concentraciones de flujo magnético en su superficie, relacionadas con la intensidad de la actividad del astro). Finalmente, una protoestrella se convierte en estrella cuando comienza la fusión nuclear en su núcleo. Pero antes de que la fusión nuclear comience, en el astro, a pesar de los potentes vientos estelares, sigue aumentando su estado de contracción gravitacional, que va siendo cada vez mayor. Y es por tanto que, a medida que dicha contracción gravitacional continúa aumentando, la temperatura y la presión en el núcleo aumentan hasta alcanzar un punto en el que se reúnen las condiciones adecuadas para dar inicio a la fusión nuclear de hidrógeno. Una vez se llega aquí, la protoestrella se ha transformado en estrella, manteniéndose estable a pesar de su gran gravedad, debido a que esta se ve contrarrestada por la presión producida (hacia afuera) por la energía liberada en forma de radiación tras la fusión termonuclear de hidrógeno en su núcleo. Como resultado del proceso del nacimiento de una estrella, esta se ve rodeada por un disco protoplanetario, que es una gran cantidad de gas y polvo cósmico que queda a su alrededor pudiendo contener el suficiente material como para formar planetas y otros cuerpos celestes como satélites (lunas), asteroides y cometas que orbitarán alrededor de dicha estrella. Cabe destacar que en el momento en que nace una estrella propiamente dicha, su masa inicial va a ser el factor principal que determine sus características: tamaño, temperatura y luminosidad, así como sus fases evolutivas y posible destino final. 2.2. Evolución y final de las subestrellas o estrellas fallidas: enanas marrones Existe un tipo de cuerpo celeste conocido como enana marrón, que se sitúa entre las estrellas más ligeras (las enanas rojas, que veremos a continuación) y los planetas gigantes gaseosos más pesados (como Júpiter o Saturno). Las enanas marrones se forman como cualquier estrella, pero no recogen o acumulan el suficiente material como para tener la masa necesaria para encender la fusión nuclear de hidrógeno en sus núcleos y brillar como estrellas típicas. Debido a esto se consideran “estrellas fallidas” o “subestrellas”, debido a su baja masa, que es menor que 0.08 veces la masa del Sol (obviamente menor que la de las enanas rojas, que veremos a continuación). Las enanas marrones no llegan a mantener reacciones nucleares continuas de fusión de hidrógeno en 6 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal helio en su núcleo pero, no obstante, fusionan deuterio en helio-3, ya que se necesitan temperaturas menos elevadas para la fusión de este isótopo del hidrógeno. Al principio, la enana marrón se mantiene estable gracias a la presión generada por la fusión del deuterio, que contrarresta la fuerza gravitatoria. Cuando se agota su combustible nuclear, las enanas marrones se contraen gravitacionalmente sin poder alcanzar aún así las altas temperaturas y presiones necesarias para iniciar la fusión nuclear de hidrógeno en helio, que es el proceso que da lugar a la luminosidad y la estabilidad de una estrella. Si la enana marrón es lo suficientemente pesada, puede llegar a fusionar isótopos del hidrógeno aún más pesados que el deuterio, pero jamás llegará a hacerlo con el hidrógeno, como lo haría una estrella propiamente dicha. Llegados a este punto, ya se termina la fusión, pues no se tienen las condiciones necesarias para continuarla. Por tanto, el núcleo se empieza a contraer, como en cualquier estrella que agota su combustible nuclear, y es ahora la fuerza debida a la presión de degeneración de los electrones la que comienza a contrarrestar la gravedad, manteniendo a la enana marrón estable. Posteriormente, lo que ocurre es que empieza a enfriarse gradualmente, emitiendo menos radiación infrarroja, que es prácticamente el tipo de radiación que suele emitir una enana marrón. Además, la poca energía que ya emite se debe a la contracción gravitacional, que libera cierta energía o calor residual. Finalmente, termina convirtiéndose en una enana marrón fría o degenerada, que se habrá apagado por completo, permaneciendo como un objeto frío y oscuro en el cosmos. 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal A partir del momento en que una protoestrella comienza a fusionar hidrógeno en su núcleo, se convierte en una estrella propiamente dicha y entra en la etapa más estable de su vida, conocida como secuencia principal. En esta etapa, se produce la fusión de hidrógeno en helio en su núcleo, produciendo la energía necesaria que genera una presión que contrarresta la gravedad, logrando que la estrella se mantenga estable, sin que se produzca un colapso gravitatorio. Todas las estrellas pasan la mayor parte de su vida en esta etapa, hasta que agotan el combustible de hidrógeno en su núcleo, pudiendo pasar cientos de miles de años o incluso billones en ella, dependiendo de su masa. Siendo las estrellas de menor masa las que más tiempo permanecen en ella, y las estrellas más masivas las que menos tiempo lo hacen, pues agotan su combustible nuclear de hidrógeno más rápido debido a la gran cantidad de energía que deben producir. No obstante, como ninguna estrella permanecerá en esta etapa eternamente, sino hasta que se agote su combustible de hidrógeno en el núcleo, tras esto pasarán a otras nuevas etapas evolutivas que las conducirán a diferentes destinos dependiendo, principalmente, de la masa que posean y de las condiciones del entorno que las rodeen. 2.3.1. Evolución de las estrellas de masa pequeña: enanas rojas Las estrellas menos masivas que se encuentran en la fase de secuencia principal son conocidas como enanas rojas. Estas no solo son, en esta fase, las estrellas más frías y menos luminosas del universo, sino también las más comunes que existen. Además, son las más longevas, pues llegan a 7 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal permanecer billones de años en la secuencia principal. Tienen masas que, aproximadamente, rondan desde 0.08 hasta 0.5 veces la masa del Sol. Cuando una enana roja agota en su núcleo el combustible nuclear de hidrógeno, dicho núcleo se contrae. Esto se debe al hecho de que disminuye la presión hacia afuera, producida por la energía resultante de la fusión nuclear de hidrógeno, que antes contrarrestaba la fuerza gravitatoria y ayudaba a mantener a la estrella estable. Como resultado, la fuerza gravitatoria prevalece y provoca la contracción del núcleo estelar. Cuando todo esto ocurre, aumenta la presión de degeneración de los electrones en el núcleo intentando evitar que se contraiga aún más. Esta presión de degeneración se basa en el principio de exclusión de Pauli, que se verá con detalle en capítulos posteriores, el cual establece que dos fermiones, en este caso electrones, no pueden ocupar simultáneamente el mismo estado cuántico dentro de un sistema de partículas. Por tanto, a medida que el núcleo se contrae y la densidad aumenta, los electrones se ven obligados a ocupar estados cuánticos de energía más altos, por lo cual aumentan su energía cinética. Este es uno de los factores fundamentales que ayudan a hacerse una idea de cómo se va produciendo el aumento de la temperatura del núcleo. La estrella por tanto seguirá manteniéndose estable, debido a la presión de degeneración de los electrones que es capaz de contrarrestar la fuerza gravitatoria, ya que esta última no es lo suficientemente fuerte como para hacerla colapsar, gracias a la baja masa de la estrella. Debido a que pasan billones de años en su secuencia principal, es complicado descubrir enanas rojas en una etapa posterior de su evolución. No obstante, después de que su núcleo se haya contraído debido al agotamiento de su combustible nuclear de hidrógeno, se transforma directamente en una enana blanca. Esto se debe a que no posee suficiente masa y, por lo tanto, no hay la suficiente fuerza gravitatoria para contraer el núcleo aumentando lo suficiente la temperatura, como para dar lugar a las condiciones necesarias para la fusión nuclear del hidrógeno presente en las capas externas al núcleo. Como no tiene lugar la fusión nuclear de hidrógeno en las capas externas, entonces no se genera energía en forma de calor el cual pudiera ser transmitido en cierta medida al núcleo, que junto con el aumento de temperatura dentro de él, debido a la contracción de este, pudiera iniciar la fusión nuclear de helio en carbono en su interior. No obstante, se ha planteado, de manera hipotética y sin evidencia observacional, que algunas enanas rojas, en lugar de convertirse directamente en enanas blancas al contraer su núcleo, podrían aumentar su temperatura hasta tal nivel que pudieran llegar a transformarse en enanas azules (su tono azulado se debería a sus altas temperaturas); y posteriormente, tras fusionar elementos más pesados y agotarlos, se convertirían, ahora sí, en enanas blancas. Sin embargo, se cree que esta etapa no es del todo probable que suceda, por ello, junto a la falta de evidencias observacionales, se cataloga como una etapa hipotética. Luego, las estrellas de baja masa se contraen manteniendo la mayor parte de su masa original y se convierten en enanas blancas compuestas principalmente de helio, el cual no ha podido ser capaz de fusionarse. Estos remanentes estelares ya no producen energía a través de procesos de fusión nuclear. Solo les queda la energía residual que proviene principalmente de la energía térmica que se almacenó en su núcleo durante la fase de fusión nuclear en su etapa como estrella activa. Posteriormente, esa energía residual se va desvaneciendo a medida que la enana blanca se va enfriando gradualmente a lo largo de billones de años y su núcleo se irá contrayendo aún más, hasta 8 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal finalmente apagarse por completo, convirtiéndose en lo que se conoce como enana negra. No obstante, cabe destacar que se cree que ninguna enana blanca ha llegado a convertirse en enana negra aún, ya que el universo no tiene la suficiente edad (13.700 millones de años) como para albergar una estrella en semejante estado. Además, suponiendo que hubiera, encontrar una enana negra sería una tarea complicada, ya que no emite radiación, de modo que tan solo podría ser posible detectarla a través de su campo gravitatorio. 2.3.2. Evolución de las estrellas de masa aproximada a la masa del Sol: enanas naranjas y amarillas Las enanas naranjas son estrellas con masas comprendidas entre 0.5 y 0.8 veces la masa solar, y las enanas amarillas, son aquellas cuya masa va desde 0.8 hasta alrededor de 1.2 veces la masa del Sol. Por ello, se puede decir que nos vamos a centrar en estrellas con la misma evolución estelar que nuestra estrella, el Sol, la cual es una enana amarilla. Cabe destacar que las enanas naranjas son más frías y menos luminosas que las enanas amarillas. Cuando una estrella con una masa próxima a la del Sol agota en su núcleo su combustible nuclear de hidrógeno, dicho núcleo se contrae. El núcleo estará entonces formado por átomos de helio, pero las condiciones de temperatura en él no son lo suficientemente altas como para iniciar la fusión nuclear de helio en carbono. Por tanto, como los átomos de helio en el núcleo estelar no pueden fusionarse, el núcleo se ha contraído debido a la falta de creación de energía cuya presión pudiera contrarrestar la fuerza gravitatoria. Una vez se contrae el núcleo, comienza la fusión nuclear en su capa externa más cercana, ya que dicho núcleo ha alcanzado temperaturas lo suficientemente altas como para iniciar en esa capa exterior la fusión nuclear de hidrógeno en helio. Es ahora que se genera abundante energía, la cual va empujando todas las capas exteriores más externas. De este modo, la expansión de dichas capas exteriores de la estrella, da como resultado la formación de una subgigante de tono anaranjado o rojizo, que posteriormente se convertirá en gigante roja. Así que, aunque el núcleo haya disminuido su tamaño, el resto de la estrella se ha hecho notablemente más grande y luminosa; tanto es así que, las capas más externas de la estrella están tan lejos del centro que se enfrían y cambian a un tono rojizo. Poco a poco, esto hace que la energía que se genera en las capas, se propague en parte hacia el núcleo que, junto con el aumento de temperatura por la contracción de este, ahora sí reúne las condiciones necesarias para que en su interior se fusione helio en carbono. Cabe destacar que la estrella, en comparación con lo que tardó en agotar el hidrógeno de su núcleo, tarda un período muy corto en fusionar en su núcleo todo el helio en carbono; produciendo lo que se conoce como flash de helio, que es una generación extremadamente fuerte de energía producida por la rápida e intensa fusión de helio. Además, esta inmensa cantidad de energía, no alcanza la superficie de la estrella, sino que la mayor parte de ella se invierte en romper la degeneración del núcleo, intentando evitar un colapso gravitacional. Esto permite que el núcleo se expanda, consecuentemente provocando que se enfríe, de modo que se produce una realentización en las reacciones nucleares. Como consecuencia de esta interrupción de las reacciones nucleares, las capas exteriores de la estrella se llegan a contraer, haciendo que esta se “deshinche”. Ahora de nuevo, se sigue fusionando helio en el núcleo estelar de manera normal. Y, del mismo modo que pasó con el hi- 9 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal drógeno, se acaba agotando el helio en el núcleo, provocando la contracción de este, pues la fuerza gravitatoria se hace más predominante, como ya sabemos. Y debido a esta nueva contracción, el núcleo se calienta, dando inicio en su capa exterior más cercana, a la fusión de helio (como vimos, resultante de la fusión del hidrógeno en la antigua capa exterior más cercana), que junto con la fusión del hidrógeno en otra capa algo más lejana, hace que la estrella vuelva a expandir sus capas o “hincharse”. Esta vez se llega a hinchar más que la ocasión anterior, convirtiéndose en gigante roja. Ahora la estrella posee dos capas externas donde se produce fusión nuclear, en la más cercana al núcleo se produce la de helio y en la más lejana la de hidrógeno. Lo que viene a ocurrir es que el combustible de helio se agota antes que el combustible de hidrógeno, cesando entonces la fusión en su capa correspondiente, la cual se contrae. Pero la fusión de hidrógeno en la otra capa, producirá más helio, de manera que este se llegará a fusionar por su proximidad al núcleo y de nuevo se producirá una especie de flash de helio, aunque considerablemente más débil, provocando que las capas se expandan de nuevo. Posteriormente, del mismo modo que antes, la fusión se vuelve a realentizar y el núcleo comienza a contraerse de nuevo, llevando a la estrella a experimentar un proceso similar, haciendo que se reinicie en una nueva capa la fusión y se vuelva consecuentemente a “hinchar” la estrella. A este proceso, se le conoce como pulsaciones estelares o térmicas, que son las continuas expansiones y contracciones que tienen lugar en la estrella, debido a la inestabilidad de las capas por su irregular producción de energía. Estas pulsaciones estelares se repiten varias veces, dando lugar a que la estrella pierda, por cada pulsación estelar, una cantidad considerable de masa, en forma de vientos estelares. Este proceso produce, tras varios cientos de miles de años, la creación de una nebulosa planetaria, que consiste en una estructura formada por las capas externas expulsadas de la gigante roja. Poco a poco, conforme van siendo expulsadas las capas, la presión debida a la energía producida en las capas de la estrella, que antes ayudaba a contrarrestar la fuerza gravitatoria, ahora disminuye, provocando la contracción del núcleo aún más. Es en este momento que la presión de degeneración de los electrones, que se rigen por el principio de exclusión de Pauli, intenta contrarrestar de nuevo la fuerza gravitatoria, ayudando a mantener a la estrella estable. La estrella, una vez llega a este punto, se ha convertido en una enana blanca, la cual está compuesta mayoritariamente por carbono y oxígeno (en el núcleo), por helio (en la envoltura alrededor del núcleo) y por algo de hidrógeno (en su envoltura más externa). La radiación electromagnética que esta estrella emite, debido a la energía térmica residual, hará que el hidrógeno de la nebulosa planetaria emita luz roja; el helio, luz azul; y el oxígeno, luz verde; de tal manera que dicha nebulosa brillará con llamativos colores. Además, cabe destacar que las nebulosas planetarias no reúnen las condiciones ideales para la formación estelar por sí solas. Sin embargo, pueden contribuir indirectamente a la formación estelar al enriquecer el medio interestelar con gas y polvo formado por elementos pesados. Posteriormente, esa energía residual se irá desvaneciendo a medida que la enana blanca se vaya enfriando a lo largo de billones de años y su núcleo se irá contrayendo aún más, llegando a convertirse finalmente, en una enana negra. 10 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal 2.3.3. Evolución de las estrellas de masa mediana En este contexto, se encuentran las estrellas que superan la masa máxima y luminosidad de las enanas amarillas, pero que no alcanzan a tener la masa mínima ni la luminosidad de las estrellas más masivas. Estas estrellas no superan las diez masas solares y siguen, prácticamente, las mismas etapas de evolución estelar que las enanas naranjas y las enanas amarillas. Las únicas posibles diferencias radican en su temperatura y luminosidad, que son más altas, así como en el tiempo que dura cada fase, siendo su vida en la etapa de secuencia principal más corta que la de las enanas amarillas, ya que consumen su combustible nuclear a un ritmo más rápido. Cabe destacar que cuanto más masiva sea la estrella, más masiva será también la enana blanca en la que acabará convirtiéndose al final de su vida. Las estrellas cuya masa inicial se encuentra en el intervalo de 8 a 10 masas solares son un caso singular. Esto se debe a que pueden tener diferente destino final en función de los siguientes factores: Si la estrella evoluciona de manera normal sin pérdida considerable de masa a través de vientos estelares y sin interacciones significativas con otras estrellas compañeras (sin succionarle gravitacionalmente su masa), entonces acabará convirtiéndose en una enana blanca formada principalmente por oxígeno, neón y magnesio. Si, por el contrario, la estrella se encuentra acompañada por otras estrellas relativamente cercanas en un mismo sistema estelar, las interacciones pueden producir que aumente su masa hasta llegar a un punto en el que sea una estrella que evolucionará como las estrellas masivas que a continuación se estudiarán. 2.3.4. Evolución de las estrellas masivas Consideraremos ahora estrellas con masas iniciales que llegan a superar las diez masas solares, siendo las más masivas de estas estrellas las que menos tiempo pasan en su secuencia principal. Las de este tipo suelen ser estrellas en la secuencia principal de tipo O (se puede observar en el diagrama de Hertzsprung-Russell en la figura (2.3)), que generalmente se manifiestan como gigantes azules; pero pueden ser también de tipo B, pudiendo tener tonos más blanquecinos, al ser menos masivas. Las estrellas de estas características agotan su combustible nuclear de hidrógeno mucho más rápido que las ya vistas, provocando de igual modo la contracción de su núcleo. Aquí, las temperaturas y densidades son extremadamente altas en comparación con las que se dan en una estrella de masa media similar a la del Sol. La fusión nuclear continúa en las capas exteriores al núcleo y, del mismo modo que en una estrella de masa media, ahora esta comienza a expandirse pasando de ser una gigante de tonos azulados a ser una supergigante azul y, posteriormente al enfriarse sus capas más externas, se convierte en supergigante roja. Cabe decir que estas estrellas, al igual que las estrellas estudiadas anteriormente, también pueden 11 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal experimentar ciertas pulsaciones estelares, pero colapsan gravitacionalmente en supernova, como veremos más adelante, antes de dar lugar a una nebulosa planetaria como tal. Debido a la masividad de estas estrellas, se llegan a fusionar más elementos (mucho más pesados) que en las estrellas previamente estudiadas. Tanto es así que se llega incluso a la formación de hierro en el núcleo. Una vez se llega a la formación de hierro en el núcleo, la estrella tiene una estructura en capas de distinta composición química, que refleja las reacciones nucleares que han ocurrido en su interior, tal y como se muestra en la siguiente ilustración 2.1: Figura 2.1: Estructura de una estrella masiva en capas de distinta composición química, que refleja las reacciones nucleares que han ocurrido en su interior. El hierro no puede fusionarse en elementos más pesados con liberación neta de energía, pues para fusionar núcleos de hierro en elementos más pesados se requeriría un aporte extra de energía. Por ello no se libera más, marcando el final del proceso de fusión nuclear en este tipo de estrellas. Es entonces que la energía de fusión (que ha cesado) y la presión de degeneración de electrones no pueden contrarrestar una gravedad tan sumamente fuerte, dando lugar a que el núcleo colapse gravitacionalmente de manera violenta. Durante este colapso brusco, las temperaturas y densidades aumentan enormemente, haciendo no solo que el hierro en el núcleo se llegue a fusionar en elementos más pesados, sino que además, los protones interactúen con los electrones, capturándolos en un proceso conocido como captura de electrones. Esta interacción da como resultado una combinación en neutrones, a la vez que genera un flujo enorme de neutrinos, los cuales escapan instantáneamente del núcleo, debido a su capacidad para interactuar muy débilmente con la materia, y llegan a transferir una parte significativa de energía a las capas exteriores de la estrella. Esto provoca un aumento enorme en la luminosidad de la estrella. 12 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal La presión de degeneración de los neutrones, que detiene de manera brusca el colapso gravitatorio y el enorme frente de onda de neutrinos escapando con gran rapidez, en conjunto, se pueden entender como un fenómeno que desencadena un rebote o una onda de choque, que viaja hacia afuera a través de la estrella, llevándola a expulsar sus capas estelares al espacio, lo cual se manifiesta como una explosión supernova. Esta explosión de colapso gravitatorio puede ser una supernova de tipo Ib, si la estrella ha perdido su capa externa de hidrógeno durante su evolución, en forma de vientos estelares; una supernova de tipo Ic, si ha perdido tanto su capa externa de hidrógeno y como su capa de helio; o supernova de tipo II, si no ha perdido, a través de los vientos estelares, ninguna de las anteriores capas mencionadas. Durante la supernova se llega a expulsar una cantidad exorbitante de radiación electromagnética y masa, siendo tan descomunal la intensidad de la explosión, que la supernova puede llegar a brillar más que toda la galaxia entera de la cual formaba parte la estrella. Finalmente, estas supernovas dan lugar al nacimiento de una estrella de neutrones o al de un agujero negro, siendo este último el destino final de las más masivas. Cabe resaltar que, durante la supernova, especialmente en la de tipo II, se libera tal cantidad abrumadora de energía que muchos átomos pesados se fusionan para formar otros aún más pesados que el hierro como, por ejemplo, el uranio. Una cantidad apreciable de los elementos pesados de la tabla periódica se han formado durante el tiempo que dura el colapso gravitacional en una supernova de tipo II. A este proceso nuclear se le conoce como nucleosíntesis estelar. En este contexto, cabe destacar, por último, que las estrellas masivas que al acabar su secuencia principal poseen unas 20 masas solares, gracias a las condiciones de su entorno rico en gas y polvo interestelar, son las que tienen la mayor probabilidad de poder pasar por la fase de estrella Wolf-Rayet antes de colapsar gravitacionalmente como supernovas. Cabe mencionar que las estrellas Wolf-Rayet pueden tener diferentes orígenes, es decir, algunas pueden evolucionar a partir de la fase de supergigante roja, pero otras directamente pueden evolucionar desde que son supergigantes azules. Las estrellas Wolf-Rayet son estrellas masivas, extremadamente luminosas y calientes, que sufren grandes pérdidas de masa debido a intensos vientos estelares. No obstante, este tipo de estrella, tras los fuertes vientos estelares que experimenta, pierde bastante masa pero su núcleo todavía es lo suficientemente masivo como para colapsar en supernova (probablemente en supernova de tipo Ib o Ic; y siendo menos común en supernova de tipo II, debido a los fuentes vientos estelares que experimentan); pudiendo transformarse en este caso en una estrella de neutrones o en un agujero negro. Por el hecho de que ha perdido una cantidad considerable de masa, aquí cabe más la posibilidad de que pueda colapsar en una estrella de neutrones. No todas las estrellas con esta masa inicial pasarán a ser estrellas Wolf-Rayet, ya que el hecho de transformarse o no en estrella Wolf-Rayet depende principalmente del momento angular de la estrella, el cual influye en la generación de vientos estelares. Las estrellas de menor masa, anteriormente estudiadas, no tienen posibilidad de producir semejantes vientos estelares (no poseen masa suficiente) como para convertirse en una estrella Wolf-Rayet. 13 2.3. Evolución y final de las estrellas tras la fase de secuencia principal 2.3.5. Evolución de las estrellas exorbitantemente masivas: hipergigantes cercanas al límite de Eddington Estas estrellas pudieron formarse de manera similar al resto de estrellas estudiadas, pero hay teorías que apuntan a la posibilidad de que su formación fuera fruto de la unión de dos o más estrellas de menor masa [21, 22]. Son estrellas que tienen un comportamiento peculiar y fuera de lo común, por ello su estudio se encuentra actualmente en proceso de investigación y, a diferencia del resto de estrellas ya estudiadas, no se tiene un conocimiento tan consolidado acerca de sus posibles fases de evolución. En este contexto se encuentran las estrellas hipermasivas (poco comunes), que tras su fase de secuencia principal siendo estrellas azules, se han llegado a convertir, debido a condiciones de su entorno (que le ha permitido adquirir suficiente masa), en estrellas hipergigantes azules o incluso hipergigantes rojas posteriormente. No hace mucho tiempo se descubrieron estrellas como Pistola, de aproximadamente 150 masas solares; Eta Carinae A, de más de 100 masas solares también y R136a1, que es una estrella de Wolf-Rayet que se estima que alcanza cerca de las 300 masas solares; entre algunas otras. Estas estrellas ya han abandonado su secuencia principal y, a pesar de su masividad, no han colapsado directamente en agujero negro, a diferencia de lo que inicialmente se creía que le podría ocurrir a estas estrellas. No obstante, se espera que en un futuro colapsen en hipernova, que son explosiones, con altas emisiones de rayos gamma, que se dan en estrellas que superan las cien masas solares; posteriormente convirtiéndose en agujero negro. Ahora se debe conocer que el límite de Eddington es la máxima luminosidad que una estrella puede tener sin ser gravitacionalmente inestable, es decir, cuando hay un equilibrio entre la presión de la radiación electromagnética actuando hacia afuera y la fuerza gravitatoria empujando hacia adentro. El límite de Eddington LEd en términos de la luminosidad solar L⊙, viene dado por LEd ≈3.8×104×M M⊙×L⊙, donde Mes la masa de la estrella en cuestión y M⊙es la masa del Sol. Se cree que las estrellas anteriormente mencionadas se encuentran en condiciones muy cercanas a este límite, incluso pudiendo excederlo, debido a su masa extrema. Cuanto más masiva es una estrella, mayor es el límite de Eddington, y por tanto la estrella llega a tener una luminosidad tan sumamente alta que hace que se vayan perdiendo capas externas de manera considerable, debido a que la presión de la radiación llega a superar a la fuerza gravitatoria que la intenta mantener unida, y esto la conduce a ir expulsando masa. Debido a estas razones, estas son estrellas que han desafiado los modelos teóricos convencionales sobre cómo evolucionan las estrellas hipermasivas, dando a lugar a que el campo del estudio estelar se encuentre aún en desarrollo, llevando a entender y refinar, a través de la observación e 14 3.1. Fundamentos de la Mecánica Estadística Clásica N≡Número de partículas en el sistema. V≡Volumen del espacio en el que se encuentran confinadas las partículas. E≡Energía total del sistema. 3.1.1. Microestados y macroestados posibles para un sistema En el ámbito de los sistemas de partículas, aparece un término muy común, que es el de microestado. Un microestado es la descripción del estado de un sistema, a nivel de cada partícula individual. Si nos enfocamos en estudiar la energía, un microestado describe cómo se distribuyen las energías individuales de todas las partículas dentro del sistema. Por otro lado, aparece el término de macroestado, que es la descripción general del sistema de partículas, en términos de propiedades macroscópicas como N,VyE, que describen su comportamiento global. Cabe decir que para cada macroestado, hay muchos microestados compatibles con él. Para entender esto, podemos imaginar un recipiente con varias partículas. La energía total del recipiente es constante y además es la suma de la energía de todas las partículas que hay en él. Podrían darse una gran cantidad de situaciones posibles (microestados): que haya partículas con cero energía y otras que se repartan la energía de manera equitativa; que todas las partículas posean la misma cantidad de energía; que todas posean una cantidad de energía diferente; etc. Como observamos, todos estas posibilidades son posibles microestados que dan como resultado un mismo macroestado de energía total constante. 3.1.2. Conjuntos o colectividades de Gibbs Dado un macroestado (N, V, E)de un sistema, denotaremos por Ω(N, V, E)al número de microestados compatibles con el macroestado del sistema. A cada uno de esos microestados se les asigna una probabilidad de ser compatibles con el macroestado a través de una función de distribución de probabilidad o densidad de probabilidades. El conjunto de microestados, con su distribución de probabilidad, asociados a un macroestado (N,V,E) de un sistema recibe el nombre de conjunto o colectividad de Gibbs. Para entender dicha función de densidad de probabilidad, consideremos un sistema compuesto por una gran cantidad de partículas, donde vamos a tomar a qicomo las coordenadas generalizadas y a picomo los momentos o ímpetus generalizados. La Mecánica Estadística Clásica establece, para cada sistema macroscópico, una función de densidad de probabilidad para las variables coordenadas e ímpetus generalizados, la cual es de la forma: ρ({qi},{pi};t) = ρ(q, p;t). Y como se trata de una función de densidad de probabilidades, cumple que Zρ(q, p;t)dq dp = 1, 21 3.2. Colectividades microcanónica, canónica y macrocanónica donde dq =dq1dq2. . . dqfydp =dp1dp2. . . dpf, siendo fel número de grados de libertad, es decir, el número de formas diferentes en que el sistema puede variar o evolucionar. Se tiene que ρ(q, p;t) = 0, para aquellos p, q ytque dan lugar a un microestado no compatible con el macroestado en el que se encuentra el sistema en el instante t. 3.1.3. Relación entre el valor de una magnitud en cada uno de los microestados y en el macroestado Consideremos una magnitud A(q, p)en función de las coordenadas e ímpetus generalizados. En cada uno de los microestados esta cantidad tiene un valor. Cabe preguntarse cuál es la relación entre el valor de A(q, p)en cada uno de los microestados y su valor en el macroestado. Para ello existe un postulado que lo responde. Postulado: Los valores de los parámetros macroscópicos que definen el estado de un sistema son iguales a los valores medios de la correspondente magnitud microscópica. Matemáticamente, el valor de A(q, p)en el sistema macroscópico en un instante tes la media o valor medio de una variable aleatoria A(q, p), es decir, A=ZA(q, p)ρ(q, p;t)dqdp . 3.1.4. Espacio fásico Vamos a introducir ahora el concepto de espacio fásico o espacio de fases, que resulta ser un espacio abstracto donde se considera cada uno de sus puntos como una representación de un microestado del sistema en un instante t. Cabe mencionar que en un instante posterior t+dt ese punto ya no representará el microestado del sistema, debido a que las coordenadas e ímpetus generalizados del sistema habrán variado en general, como consecuencia del movimiento de las partículas y de las interacciones entre ellas. Tenemos en primer lugar un espacio de fdimensiones, llamado espacio de configuración, dado por las coordenadas generalizadas {qi}. Por otro lado, también podemos definir otro espacio de f dimensiones, llamado espacio de ímpetus, a partir de los ímpetus o momentos generalizados {pi}. Resultando que el primero nos da la posición del sistema y el segundo sus ímpetus o momentos. De este modo, el espacio de las fases es un espacio de 2fdimensiones, que corresponden a fcoordenadas generalizadas y a fímpetus generalizados. Cabe destacar que, el movimiento de un sistema queda determinado de forma única en todo instante si se fijan unas condiciones iniciales determinadas o si se conocen los valores de la posición y la velocidad de todas las partículas en un cierto instante. En consecuencia, nunca podrán cortarse dos trayectorias de un sistema en el espacio de fases; pues si se cortaran, entonces habría varios posibles movimientos del sistema compatibles con unas condiciones iniciales dadas. 3.2. Colectividades microcanónica, canónica y macrocanónica Vamos a analizar, dentro de la Mecánica Estadística Clásica, los distintos tipos de colectividades que existen: 22 3.2. Colectividades microcanónica, canónica y macrocanónica 3.2.1. Colectividad microcanónica Consideremos un sistema de Npartículas aislado. Al encontrarse aislado, el número de partículas Nno varía y tampoco varía la energía, ya que no puede intercambiarla con sus alrededores. De este modo tenemos que NyEson constantes. A continuación, introducimos un postulado sobre la forma de la función de distribución de probabilidades. Postulado de igualdad de posibilidades a priori en Mecánica Estadística Clásica: A un estado de equilibrio macroscópico de un sistema aislado le corresponde una descripción microscópica en la que todos los microestados accesibles al sistema son igualmente probables. Vamos a construir la función de distribución de probabilidades ρ(q, p). Por tanto, supongamos que sabemos que la energía del sistema está comprendida entre EyE+ ∆E, donde ∆Epuede hacerse tan pequeño como se quiera, esto es, podemos hacer el límite ∆E→0. Resulta entonces que ρ(q, p), según el postulado, ha de ser una distribución o densidad de probabilidades de valor constante para todos los microestados en los que el valor de la función hamiltoniana H(q, p)del sistema esté comprendida entre EyE+ ∆Econ ∆E→0, y de valor nulo fuera de ese intervalo. Este comportamiento lo obtenemos si tomamos la función de densidad: ρ(p, q) = 1 Ω(E)δ[E−H(q, p)] , donde δes la función Delta de Dirac yΩ(E)es un factor de normalización determinado por la condición Zρ(q, p)dqdp = 1 , yH({qi},{pi})es el Hamiltoniano del sistema, que es una función que depende de las coordenadas generalizadas qy de los momentos generalizados pdel sistema, de manera que se encarga de describir la energía total de dicho sistema y viene dado por H= f X i=1 pi˙qi−L , siendo Lla ecuación Lagrangiana del sistema dinámico, dada por L({qi},{˙qi};t) = T−U , donde TyUson la energía cinética y potencial del sistema, respectivamente. De esta forma, integrando ρ(q, p)en todo el espacio fásico, tenemos que Zρ(p, q)dq dp =Z1 Ω(E)δ[E−H(q, p)] dq dp ⇔1 = Z1 Ω(E)δ[E−H(q, p)] dq dp , 23 3.2. Colectividades microcanónica, canónica y macrocanónica es decir, Ω(E) = Zδ[E−H(q, p)] dq dp . Tenemos que ρ(p, q) = 1 Ω(E)δ[E−H(q, p)] es la distribución o densidad de probabilidad microcanónica. Por tanto, la colectividad microcanónica se puede entender como el conjunto de microestados compatibles con el sistema, los cuales llevan asociada la densidad de probabilidades microcanónica. 3.2.2. Colectividad canónica Consideremos, en este caso, un sistema cerrado y en contacto térmico a través de un termoestato o foco térmico a temperatura constante. En este caso, el número de partículas Nsería constante, al igual que en el caso de la colectividad microcanónica. Sin embargo, al permanecer en contacto térmico, puede intercambiar energía que, por este motivo, será fluctuante. En estas circunstancias, la colectividad canónica es el conjunto de microestados compatibles con el sistema, los cuales llevan asociada la densidad de probabilidades canónica que viene dada por ρ(q, p)dq dp =Ce−βH1(q,p)dq dp , (3.1) donde H1(q, p)hace referencia al hamiltoniano de un sistema A1en consideración, que se encuentra en contacto térmico con otro sistema A2(foco térmico). Además, β=1 KT , siendo la constante de Boltzmann y Tes la temperatura del sistema. Para determinar la constante C, se impone la condición de normalización Zρ(q, p)dq dp = 1, ya que toda función de densidad de probabilidades debe cumplir esta condición. Se obtiene directamente que 1 C=Ze−βH1(q,p)dq dp . Por tanto, tenemos que la distribución de probabilidades canónica viene dada por ρ(q, p) = e−βH1(q,p) Re−βH1(q,p)dq dp . Podemos determinar la distribución de probabilidades para la energía del sistema A1, partiendo de (3.1) e integrando para toda la región del espacio fásico que viene definida por E1≤H(q, p)≤E1+dE1. De este modo, tenemos que ω(E1) = Ω(E1)e−βE1 RΩ(E1)e−βE1dE1 , donde E1es la energía del sistema A1en consideración. 24 3.3. Nociones elementales de la Mecánica Cuántica 3.2.3. Colectividad macrocanónica o canónica generalizada En este otro caso, se considera un sistema en contacto con un foco térmico, al igual que el caso de la colectividad canónica, pero esta vez abierto. Debido a esto, no solo la energía va a ser fluctuante, sino que también el número de partículas Nlo será. En este contexto, la colectividad macrocanónica nos indica la probabilidad de que el sistema tenga energía Ey número de partículas N, ya que tanto la energía como el número de partículas fluctúan. Además, la densidad de microestados (número de microestados) no es única, sino que habría una densidad de estados para cada N. Se puede ver que, en este caso, la distribución de probabilidades macrocanónica viene dada por [1, 2]: ρ(N;q, p) = 1 Q 1 N!e−β[HN(q,p)−µN], donde Qes la función de partición generalizada o gran función de partición, dada por Q= ∞ X N=0 eβNµ N!Ze−βHN(q,p)dq dp, βes una variable que define la temperatura del foco y viene dada por β=∂ ∂E ln Ω(E) N! yµes el potencial químico, dado por µ=−1 β ∂ ∂N ln Ω(E) N!. 3.3. Nociones elementales de la Mecánica Cuántica La Mecánica Cuántica es la rama de la Física encargada de estudiar el comportamiento mecánico de las partículas subatómicas como electrones, quarks, fotones, entre otras. Esta rama surgió debido a que el mundo microscópico no está regido por las leyes de la Mecánica Clásica o Newtoniana, que son las responsables de dominar el mundo macroscópico basándose en las leyes de Newton. 3.3.1. Descripción clásica y descripción cuántica de un sistema Como hemos comentado, en Mecánica Clásica, el estado de un sistema con fgrados de libertad se describía mediante el conjunto de sus coordenadas generalizadas q1, q2, . . . , qfy el de sus ímpetus o momentos generalizados p1, p2, . . . , pf. Conociendo estas variables, se puede calcular el valor de variables dinámicas como la energía cinética, el momento cinético, el momento angular, etc. Además es posible calcular el estado del sistema en cualquier instante posterior, mediante las Ecuaciones de Hamilton: ˙pi=−∂H ∂qi y˙qi=∂H ∂pi . 25 3.3. Nociones elementales de la Mecánica Cuántica En Mecánica Cuántica, existe un postulado que indica cómo está descrito el estado de un sistema con fgrados de libertad. Postulado: El estado de un sistema con fgrados de libertad está descrito por una función Ψ(q1, . . . , qf;t), conocida como función de onda, la cual está en función de las coordenadas generalizadas y del tiempo. Vamos a suponer dicha función Ψnormalizada a la unidad, es decir, Z|Ψ(q1, . . . , qf;t)|2dq1. . . dqf= 1, donde |Ψ|2= Ψ∗Ψ, con Ψ∗la función compleja conjugada de Ψ, siendo |Ψ|2la representación de la densidad de probabilidad de que en el instante tlas coordenadas generalizadas del sistema tengan valores comprendidos entre q1yq1+dq1,q2yq2+dq2,. . .,qfyqf+dqf. Es importante destacar que la descripción clásica es determinista, mientras que la cuántica no lo es. Esto significa que, la descripción cuántica no nos asegura una posición única del sistema sino una distribución de probabilidades para las distintas posiciones posibles. Veremos que el conocimiento de Ψen un instante cualquiera permite determinar las propiedades del sistema, así como su estado cuántico en un instante posterior. 3.3.2. Operadores y conmutadores. Autofunciones y autovalores de un operador Vamos a introducir algunas herramientas matemáticas que nos van a permitir describir y comprender las propiedades físicas de los sistemas cuánticos. Un operador ˆ Aes una herramienta matemática que transforma una función f(x)en otra función g(x), es decir, ˆ A(f(x)) = g(x). Veamos algunos ejemplos de operadores: 1.) Derivar respecto de x:ˆ A=∂ ∂x . Por tanto, se obtiene que g(x) = ∂f(x) ∂x . 2.) Multiplicar por x:ˆ A=x. Por tanto, se obtiene que g(x) = xf(x). 3.) Identidad: ˆ A= 1. Por tanto, se obtiene que g(x) = f(x). Las autofunciones y autovalores de un operador ˆ Avienen dadas por ˆ Afn(x) = anfn(x), donde fn(x)son las autofunciones yanson los autovalores del operador ˆ A, respectivamente. Veremos, más adelante, su utilidad a la hora de determinar y entender las soluciones de la ecuación de Schrödinger. Hay un postulado que estipula una correspondencia entre magnitudes físicas medibles en un sistema cuántico y operadores. 26 3.3. Nociones elementales de la Mecánica Cuántica Postulado: A toda magnitud física medible en un sistema cuántico le corresponde un operador. Por tanto, se puede decir que, en este contexto, toda magnitud física se describe mediante un operador. Cabe decir también que las magnitudes físicas de la Mecánica Clásica como la energía, la cantidad de movimiento, etc. siguen teniendo sentido en un sistema cuántico. Pero, no obstante, existen magnitudes físicas en un sistema cuántico que no tienen análogas en uno clásico; como es el caso del espín, que es una propiedad física de las partículas subatómicas, por la cual toda partícula elemental tiene un momento angular intrínseco de valor fijo. Se trata de una propiedad intrínseca de la partícula como lo es la masa o la carga eléctrica. 3.3.3. El Principio de Correspondencia Es natural preguntarse a estas alturas qué operadores son los que se asocian a las magnitudes físicas. Esta pregunta la responde el siguiente postulado, que es una forma de enunciar el Principio de correspondencia. Postulado: Dada una magnitud física clásica A(r, p, t), el operador asociado a la correspondiente magnitud cuántica tiene la forma ˆ A=A(r, −iℏ∇, t) donde ies la unidad imaginaria, ℏ= 1.0545×10−34Js es la constante de Planck y ∇ ≡ ∂ ∂x ,∂ ∂y ,∂ ∂z  es el gradiente. Cabe destacar que el Principio de correspondencia se refiere solo a las magnitudes cuánticas que tienen análoga clásica. No obstante, para aquellas magnitudes que son típicamente cuánticas, como el espín, la Mecánica Cuántica será la que nos diga qué operador se les deberá asociar. 3.3.4. Medición de magnitudes físicas Existen dos postulados importantes en este contexto: Postulado: Los únicos resultados posibles, al medir en un sistema una magnitud física representada por el operador ˆ A, son los autovalores de ˆ A. Postulado: Si la función de onda Ψque representa el estado del sistema es función propia del operador que representa la magnitud física que se mide, el resultado de la media es con toda certeza el autovalor al que corresponde la función de onda Ψ. Supongamos que el estado del sistema está descrito por Ψy que estamos intentando medir el momento cinético, el cual está representado por un operador ˆ L. Si se cumple que ˆ LΨ = lΨ; l∈R 27 3.3. Nociones elementales de la Mecánica Cuántica entonces, al medir el momento cinético en nuestro sistema, nos da con toda seguridad lcomo resultado de la medida. Si, por el contrario, el estado no es función propia del operador que represente a la magnitud física que se mide, tendremos una probabilidad de obtener cada uno de los resultados dados por los autovalores. Postulado: Al medir una variable o magnitud física Arepresentada por un operador ˆ Atenemos que aΨ=ZΨ∗ˆ AΨdq1. . . dqf es el valor medio de la distribución de probabilidades de los resultados de la medida. 3.3.5. Principio fundamental de cuantificación de la energía Lo que se va a establecer ahora es análogo para cualquier magnitud física que se desee medir en el sistema, pero vamos a centrarnos en el caso de la energía. En Mecánica Clásica, un sistema puede tener cualquier energía y por tanto, al medirla en un sistema, cualquier resultado es posible. Por otro lado, en Mecánica Cuántica, esto no ocurre exactamente así. Lo que sucede es que si el operador que representa la energía del sistema tiene un conjunto discreto (numerable) de autovalores, entonces al medir la energía del sistema, solo pueden obtenerse ese conjunto de valores. A este fenómeno se le conoce como cuantificación de la energía. Los autovalores representan los únicos valores compatibles con el sistema en consideración. Cabe destacar que, por todo lo anterior, siempre se puede encontrar un estado del sistema tal que, al medir una magnitud de él, el resultado quede determinado con toda certeza. 3.3.6. Ecuación de Schrödinguer Como ya hemos comentado, en Mecánica Clásica el estado de un sistema se especifica mediante un punto del espacio de las fases, mientras que en Mecánica Cuántica el estado de un sistema se especifica mediante una función de onda Ψ(q, p;t). Postulado: La función de onda Ψ(q, p;t)de un sistema cuántico evoluciona en el tiempo de acuerdo con la ecuación de Schrödinger, dada por iℏ∂Ψ ∂t =ˆ HΨ,(3.2) donde ˆ Hes el operador hamiltoniano, que representa la energía total del sistema. Esta ecuación describe cómo evoluciona la ecuación de onda Ψcon el tiempo, es decir, describe cómo evoluciona el estado cuántico del sistema con el tiempo. 28 3.3. Nociones elementales de la Mecánica Cuántica 3.3.7. Soluciones de la ecuación de Schrödinger: estados estacionarios Vamos ahora a considerar el caso particular en que la energía del sistema, y por lo tanto su hamiltoniano, no depende explícitamente del tiempo. Vamos a buscar soluciones particulares de la forma: Ψ(q1, . . . , qf;t) = φ(q1, . . . , qf)T(t).(3.3) Sustituyendo (3.3) en la ecuación de Schrödinger (3.2), obtenemos: iℏ∂Ψ ∂t =ˆ HΨ⇒iℏ∂ ∂t(φT) = ˆ H(φT)⇒iℏφ∂T ∂t =Tˆ H(φ) ⇒iℏ T ∂T ∂t =ˆ Hφ φ. Llegados a este punto, observamos que la parte de la izquierda de iℏ T dT dt =ˆ Hφ φsolo depende del tiempo, mientras que la parte de la derecha solo depende de las coordenadas qi. Luego, ambas partes de la ecuación iℏ T dT dt =ˆ Hφ φson iguales a una constante que denotamos por E. De esta forma, nos quedaría iℏ T dT dt =Eyˆ Hφ φ=E. Resolviendo la ecuación diferencial de primer orden iℏ T dT dt =E, obtenemos: T(t) = e−iEt ℏ.(3.4) Ahora usamos ˆ Hφ φ=E, de modo que ˆ HΨ = ˆ H(φT) = Tˆ Hφ =TEφ =ETφ =EΨ ⇒ˆ HΨ = EΨ. Como ˆ HΨ = EΨ, se tiene que, al medir la energía del sistema en consideración, descrito por la función de onda Ψ, se obtiene en todo instante el valor de dicha energía con toda certeza. Cabe destacar que la densidad de probabilidad |Ψ(q1, . . . , qf;t)|2de la posición del sistema tampoco varía en el tiempo. Y esto se demuestra como sigue: |Ψ(q1, . . . , qf;t)|2= Ψ∗(q1, . . . , qf;t) Ψ(q1, . . . , qf;t) y sabemos que Ψ(q1, . . . , qf;t) = φ(q1, . . . , qf)T(t). Como hemos demostrado que T(t) = e−i E t ℏ,entonces T∗(t)T(t) = e−i E t ℏei E t ℏ=e−i E t ℏ+i E t ℏ=e0= 1. Luego, |Ψ(q1, . . . , qf;t)|2=φ∗(q1, . . . , qf)φ(q1, . . . , qf) = |φ(q1, . . . , qf)|2 29 3.4. Colectividades en la Mecánica Estadística Cuántica de modo que se llega a que, |Ψ(q1, . . . , qf;t)|2=|φ(q1, . . . , qf)|2. Por tanto, hemos demostrado que la densidad de probabilidad |Ψ(q1, . . . , qf;t)|2de la posición del sistema tampoco varía en el tiempo. Consecuentemente, el valor medio de una magnitud física representada por un operador ˆ A, dado por aΨ=ZΨ∗ˆ AΨdq1. . . dqf=Zφ∗ˆ Aφ dq1. . . dqf, tampoco varía con el tiempo. Ni la densidad de probabilidad de posición del sistema ni los valores medios de las magnitudes del sistema varían con el tiempo. Anteriormente, hemos obtenido que ˆ Hφ =Eφ. Entonces, todo estado estacionario del sistema corresponde a un valor dado de la energía. Ese valor no puede ser cualquiera, sino que debe ser un autovalor del operador cuántico ˆ H. Entonces ahora nos podemos preguntar si sería suficiente, para determinar un estado estacionario en Mecánica Cuántica, decir a qué autovalores de la energía corresponde. La respuesta a esto está en la ecuación ˆ Hφ =Eφ. Entonces: - Si para un valor dado de E, esta ecuación tiene una única solución normalizada, entonces está claro que ese valor Eespecifica totalmente el estado estacionario del sistema. Se dice entonces que el valor considerado de la energía es no degenerado. - Si, por el contrario, hubiera más de una solución, entonces ese valor de Eno sería suficiente para caracterizar dicho estado. Se diría entonces que el valor considerado de la energía es degenerado. Luego, tras este estudio, se llega a la conclusión siguiente: A partir de las soluciones de la ecuación ˆ Hφ =Eφ se obtienen los estados estacionarios (no varían con el tiempo) compatibles con el sistema en consideración. Cabe mencionar que a la ecuación ˆ Hφ =Eφ, se la denomina ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. 3.4. Colectividades en la Mecánica Estadística Cuántica Vamos a ver los distintos tipos de colectividades que ya vimos anteriormente para el caso clásico, pero ahora para el caso cuántico [3]. 30 4.5. Determinación de la presión fermiónica y relación con la densidad de fermiones Se puede definir el momento de Fermi,pF, como el momento que tiene un electrón con energía de Fermi,εF. Sabemos que la Ec=1 2mv2yp=mv, por tanto, se tiene que Ec=p2 2m. De este modo, obtenemos para el caso no relativista: εF=p2 F 2m⇒pF=√2mεF.(4.9) Sustituyendo (4.6), llegamos a que el momento de Fermi viene dado por pF=ℏ3 r3π2N V.(4.10) A pesar de que en el caso relativista la relación entre energía y momento no es la que hemos usado en (4.9), se obtiene la misma expresión (4.10) para el momento de Fermi [2]. 4.5. Determinación de la presión fermiónica y relación con la densidad de fermiones Un resultado que va a ser importante en el desarrollo posterior del trabajo es el valor de la presión que ejerce un gas de fermiones. Consideremos la expresión para dicha presión en función de la energía cinética media del gas, dada por [1]: PV =2 3E . Si en esta ecuación sustituimos la energía cinética media del gas de electrones degenerado (4.8), obtenemos que PV =2 3E=2 5NεF, de manera que al sustituir el valor de εF, dado por (4.6), obtenemos que P=ℏ2(3π2)2 3 5mN V5 3∝N V5 3. Por tanto, en el cero absoluto la presión Pde un gas de Fermi es propocional a la potencia 5/3de la densidad de fermiones N V. En un sistema cuántico altamente degenerado, la presión (fermiónica) aumenta mucho más rápido con la densidad de lo que ocurre en un gas clásico. Este fenómeno se debe a la repulsión fermiónica o presión de degeneración, que es un efecto puramente cuántico. A medida que aumenta la densidad en un gas de Fermi, los fermiones tienden a ocupar estados de momento más altos, lo que resulta en una presión más alta en comparación con un gas clásico. 37 Capítulo 5 | Enanas blancas: Comportamiento bajo condiciones no relativistas y (ultra)-relativistas La degeneración de los electrones es un fenómeno que se produce en condiciones de baja temperatura (en el rango de miles a decenas de miles de grados Kelvin) y alta densidad, como ocurre en el núcleo de las enanas blancas. En este capítulo vamos a centrarnos principalmente en dar una relación entre la masa y el radio de las enanas blancas, la cual ignora los efectos relativistas, y después vamos a entender la importancia de considerar los efectos (ultra)-relativistas en el sistema. 5.1. Ecuación estimadora del radio de equilibrio de las enanas blancas El radio de equilibrio de una enana blanca es el radio aproximado que tiene una enana blanca cuando se alcanza el equilibrio entre la fuerza gravitatoria y la presión de degeneración de los electrones. En este estado de equilibrio, la enana blanca no colapsa ni se expande de manera significativa. Nuestro objetivo va a ser llegar a dar una estimación aproximada del radio de equilibrio que tiene una enana blanca, dependiendo de su masa. La ecuación que vamos a deducir solo servirá para las enanas blancas menos masivas, donde los efectos relativistas no son tan predominantes, como veremos más adelante. Para ello, primero vamos a hallar la expresión de la energía total Edel sistema, que es E=UT+K , (5.1) donde UTes la energía potencial gravitatoria total de la enana blanca y Kes la energía cinética del gas de electrones degenerado. Conocemos que la energía potencial gravitatoria de un objeto de masa ma una distancia rde un objeto de masa Mviene dada por la expresión: U=−GMm r.(5.2) Consideremos una estrella enana blanca de radio Ry de masa M,cuya densidad sea uniforme. Podemos imaginar a la enana blanca como un conjunto de esferas concéntricas de radio r < R y de masa m<M, cuya energía potencial gravitatoria puede ser calculada con (5.2). De este modo, considerando una esfera concéntrica cualquiera de dentro de la estrella, cuyo radio sea r < R y su masa 38 5.1. Ecuación estimadora del radio de equilibrio de las enanas blancas mr< M; tenemos que su densidad viene dada por ρ=mr V, donde su volumen esférico es V=4 3πr3. Por tanto, tras despejar, obtenemos que mr=4 3πr3ρ . (5.3) Ahora derivando (5.3) respecto de r, llegamos a que dmr= 4πρ r2dr, que es la masa en función de la densidad de un trozo de volumen infinitesimal que se encuentra en la frontera de la superficie esférica concéntrica considerada. Como nos gustaría saber cuál es la energía potencial gravitatoria total de la estrella, consideramos las masas, mrydmr, e integramos (5.2) entre 0yR(radio de la enana blanca); y obtenemos: UT=−ZR 0 G4 3πr3ρ(4πr2ρ) rdr =−G16 3π2ρ2ZR 0 r4dr =−G16 15π2ρ2R5. y como la densidad de la enana blanca viene dada por ρ=M 4 3πR3, entonces tenemos que UT=−G16 15π2ρ2R5=−G16 15π2M2 16 9π2R6R5=−G3 5 M2 R. Por tanto, hemos obtenido que la energía potencial gravitatoria total viene dada por la expresión: UT=−3GM2 5R.(5.4) Ahora vamos a hallar la energía cinética del gas de electrones degenerado. Sabemos que la energía cinética de un gas de electrones degerado viene dada por la expresión hallada en (4.8) y usando en ella la expresión de la energía de Fermi (4.6), obtenemos que la energía cinética del gas de electrones degenerado viene dada por K=3 5Nℏ2 2m3π2N V2/3 .(5.5) Vamos a expresar esta energía en función del radio y la masa de una enana blanca. En el Capítulo 2 vimos con detalle que una enana blanca, en función de la masividad de la estrella de la que provenga, poseerá un núcleo que podrá estar formado o bien por helio o bien por carbono y oxígeno (las más comunes) o incluso por oxígeno, neón y magnesio (en aquellas provenientes de estrellas de masa más grande). Sabemos que Nes el número de electrones del sistema, y vamos a considerar átomos de He4, C12,O16 yNe20, los cuales son isótopos estables que tienen el mismo número de protones que de neutrones y también de electrones en sus núcleos. Por tanto, Nes el número de protones y también es el número de neutrones, de manera que hay Nprotones +Nneutrones. Tenemos entonces que 39 5.1. Ecuación estimadora del radio de equilibrio de las enanas blancas hay 2Nnucleones (partículas que componen el núcleo). Cabe destacar el hecho de que no es necesario tener en cuenta los electrones, pues, al ser su masa menor que la de los protones y neutrones, no contribuyen significativamente a la masa total. Luego, considerando la masa nucleónica,mN, tenemos que M≈2NmN.(5.6) Es entonces que de esta expresión despejamos N=M 2mN y como, por otro lado, el volumen esférico es V=4 3πR3, entonces nos queda la expresión (5.5) como: K=3 5 M 2mN ℏ2 2m 3π2 4 3πR3 M 2mN!2/3 =3 20 ℏ2 m 1 R29π 82/3M mN5/3 . Por lo tanto, hemos llegado a la expresión: K=3 20 ℏ2 m 1 R29π 82/3M mN5/3 (5.7) de la energía cinética del gas de electrones degenerado en función del radio y la masa de una enana blanca. Ahora, sustituyendo (5.4) y (5.7) en la expresión (5.1), llegamos a que E=K+UT= 3 20 ℏ2 m9π 82/3M mN5/3 R2− 3GM2 5 R.(5.8) El radio de equilibrio R⋆de una estrella es aquel que minimiza la energía total Ede una enana blanca, dada por (5.8). Por tanto, lo que vamos a hacer ahora es derivar dicha expresión e igualarla a cero, es decir dE(R) dR = 0. Tenemos que dE(R) dR = 3 10 ℏ2 m9π 82/3M mN5/3R R4− 3GM2 5 R2= 3 10 ℏ2 m9π 82/3M mN5/3 R3− 3GM2 5 R2. Igualando a cero, obtenemos el valor de R⋆: R⋆=ℏ2 2mG 3 s9π 821 MmN5,(5.9) que es el radio de equilibrio de una enana blanca. Vamos a expresar, a partir de (5.9), el radio de equilibrio R⋆de una enana blanca en función del radio y la masa del Sol, que vienen dados por R⊙=6.957 ×108myM⊙=1.989 ×1030 Kg, respectivamente. 40 5.2. Efectos relativistas en enanas blancas Para ello dividimos (5.9) entre R⊙, obteniendo: R⋆ R⊙ =ℏ2 2mG 1 R⊙ 3 s9π 821 MmN5=ℏ2 2mG 1 R⊙9π 82/31 mN5/31 M1/3 . Teniendo en cuenta los valores: ℏ=1.055 ×10−34 Js (constante de Planck), G=6.67430 ×10−11 Nm2 Kg2(constante de gravitación univeral), m=9.10938356 ×10−31 Kg (masa de un electrón) y mN=1.6726219 ×10−27 Kg (masa nucleónica), se obtiene que el radio de equilibrio R⋆de una enana blanca puede expresarse como: R⋆≈0.01 R⊙ 3 rM⊙ M.(5.10) 5.1.1. Resultados experimentales y desatención de los efectos relativistas en la ecuación Consideremos el caso de una enana blanca con una masa Migual a la masa del Sol, es decir, M=M⊙. En este caso, se llega al siguiente resultado para R⋆: R⋆≈0.01 R⊙≈6957000 m= 6957 km ≈Radio de la Tierra. No obstante, la evidencia observacional muestra que la ecuación (5.9) no predice de forma adecuada el radio de equilibrio de una enana blanca conforme más masiva es, y aún menos cuanto más proxima se encuentre del límite de Chandrasekhar. Esto se debe a que, conforme se acerca al límite, la enana blanca empieza a alcanzar un punto crítico donde comienzan a predominar los efectos relativistas, los cuales ahora son cruciales, y estos efectos no han sido tenidos en cuenta en el desarrollo realizado. Por tanto, es como si no importara qué tan grande fuese la masa de la enana blanca, ni qué tan poderosos fueran los efectos gravitatorios, ya que los electrones siempre podrían moverse con una rapidez lo suficientemente grande para detener el colapso gravitatorio y conducir a un equilibrio, y esto no es compatible con la teoría de la relatividad especial de Einstein. Por tanto, la ecuación (5.10) es únicamente útil para enanas blancas con masas significativamente por debajo del límite de Chandrasekhar, como son las enanas blancas cuya masa es menor a la masa del Sol, en las cuales los efectos relativistas no llegan a ser notablemente significativos. En el próximo capítulo se deducirá una expresión entre la masa y el radio de una enana blanca, que sí tendrá en cuenta los efectos relativistas. Pero antes vamos a ver los efectos relativistas que se manifiestan en las enanas blancas. 5.2. Efectos relativistas en enanas blancas En las enanas blancas, el gas de electrones es un gas de fermiones degenerado y también relativista, pues los electrones cada vez se ven obligados a moverse más rápido (pudiendo alcanzar 41 5.2. Efectos relativistas en enanas blancas velocidades relativistas) para aumentar su energía cinética y de ese modo ascender en su distribución hacia estados de energía más altos, como establece el principio de exclusión de Pauli. Tenemos entonces que considerar los efectos relativistas, fundamentales a la hora de estimar el radio o tamaño de una enana blanca en función de su masa. Por este motivo, vamos a introducir varios conceptos y a partir de ellos vamos a deducir cuál es la relación que hay entre la energía cinética y el momento de una partícula relativista. Llegando a obtener la velocidad de los electrones degenerados relativistas. Vamos a recurrir a la famosa fórmula de Einstein, la cual relaciona la masa de una partícula con su energía: E=mec2, donde mees la masa relativista de una partícula y ces la velocidad de la luz. El momento relativista viene dado por la expresión p=mev, y como la masa relativista es me=γm, donde mes la masa en reposo de la partícula, ves la velocidad relativa y γes el factor relativista γ=1 q1−v2 c2 , tenemos que el momento relativista viene dado por p=mev=γmv =mv q1−v2 c2 . Ahora, a partir de esta expresión, podemos dar una nueva expresión de la energía relativista: p2c2=m2v2c2 1−v2 c2 =m2v2c4 c2−m2c4+m2c4 1−v2 c2 =−m2c4+E2. De esta forma, la energía total de una partícula relativista en función del momento relativista viene dada por E=pp2c2+m2c4.(5.11) Veamos cuál es la relación energía cinética-momento para una partícula relativista. Para ello lo que se hace es restarle a su energía total (5.11) la energía asociada a su masa en reposo (E=mc2). Esto se debe a que la energía cinética relativista representa el exceso de energía de la partícula sobre su energía de reposo. De esta forma se obtiene que la energía cinética (en función del momento) de una partícula relativista viene dada por la expresión: ε(p) = pp2c2+m2c4−mc2=mc2(r1 + p mc2−1).(5.12) Y con esto, tenemos que la velocidad de los electrones degenerados relativistas será la derivada de ε(p)respecto de p. Por tanto, se obtiene que v=dε(p) dp =p mq1 + p mc 2.(5.13) 42 Capítulo 6 | Aproximación por defecto del límite de Chandrasekhar a partir de la relación relativista masa-radio para enanas blancas En este capítulo vamos a determinar el límite de Chandrasekhar por defecto, utilizando una aproximación estadística basada en la relación relativista masa-radio de una enana blanca. 6.1. Deducción de la presión de degeneración electrónica en enanas blancas Despejando Nde la ecuación (4.10), obtenemos que el número total de electrones relativistas que constituyen el gas fermiónico viene dado por N=V 3π2ℏ3p3 F.(6.1) Por otro lado, se dedujo anteriormente que la energía cinética (en función del momento) de una partícula relativista viene dada por (5.12) y la velocidad de los electrones degenerados relativistas es (5.13). La presión del gas ideal fermiónico se debe principalmente al movimiento aleatorio de los electrones en el plasma, contribuyendo al equilibrio de la estrella ayudando a contrarrestar la fuerza gravitatoria. La expresión para esta presión viene dada por [2]: P0=1 3 N V⟨pv⟩.(6.2) Como el valor promedio ⟨pv⟩viene dado por (desarrollo en apéndice: I): ⟨pv⟩=1 π2ℏ3 V NZpF 0 p2 m q1+( p m c)2p2dp , sustituyendo en (6.2), obtenemos la expresión para la presión de estado mínimo o presión de degeneración del gas fermiónico en el cero absoluto: P0=1 3π2ℏ3ZpF 0 p2 m q1 + p mc 2p2dp . (6.3) 43 6.1. Deducción de la presión de degeneración electrónica en enanas blancas Es conveniente introducir una variable adimensional θ, definida por p mc =sinh(θ).(6.4) Como v=p mq1 + p mc 2, entonces usando el cambio de variable y recordando la bien conocida identidad trigonométrica hiperbólica cosh2(θ)−sinh2(θ)=1, se llega a que v=c sinh(θ) p1 + sinh2(θ)=c sinh(θ) cosh(θ)=c tanh(θ). De esta forma, la ecuación (6.1), se puede reescribir como N=V 3π2ℏ3p3 F=V m3 3π2ℏ3pF m3=V m3c3 3π2ℏ3x3, donde hemos definido x=sinh(θF), habiendo tenido en cuenta el cambio de variable (6.4). De este modo, la ecuación (6.3) puede expresarse como (desarrollo en apéndice: II): P0=m4c5 3π2ℏ3ZθF 0 sinh4(θ)dθ , (6.5) donde θF=arcsinh pF mc. Siendo necesario resolver la integral: ZθF 0 sinh4(θ)dθ . La resolución detallada de esta integral se puede consultar en el apéndice: III. Obteniéndose: ZθF 0 sinh4(θ)dθ =3 8θF+1 32 sinh(4θF)−1 4sinh(2θF). Luego, sustiyendo este resultado en (6.5), finalmente se llega a la siguiente expresión para la presión de degeneración en el cero absoluto: P0=m4c5 3π2ℏ33 8θF+1 32 sinh(4θF)−1 4sinh(2θF).(6.6) Ahora vamos a reescribir la expresión (6.6) de otra forma, la cual nos resultará más fácil a la hora de trabajar, y para ello vamos a desarrollar las funciones trigonométricas y usaremos además la notación x=sinh(θF).Para ver el desarrollo con detalle, se puede consultar el apéndice: IV. Luego, la expresión (6.6) para la presión de degeneración en el cero absoluto queda reescrita de 44 6.2. Relación relativista masa-radio para enanas blancas: límite de Chandrasekhar por defecto la siguiente forma: P0=m4c5 24π2ℏ3hxp1 + x22x2−3+ 3 arcsinh(x)i,(6.7) donde x=sinh(θF) = pF mc =ℏ mc 3 r3π2N V.(6.8) Una vez llegados a este punto, cabe observar que en el caso (ultra)-relativista, la presión de Fermi, pF, aumenta considerablemente, ya que lo hace la energía de Fermi εF, debido a la alta energía cinética de las partículas involucradas. Es ahora que como x=sinh(θF) = pF mc ypFes grande, pF mc sigue siendo considerablemente grande. Por tanto, pF mc =sinh(θF) = x≫1 =⇒pF≫mc . (6.9) Aquí se observa que, en el caso (ultra)-relativista, la energía cinética de las partículas, y por tanto el momento de Fermi, domina sobre su energía de reposo. Por el contrario, en el caso no relativista, sería mc ≫pF, ya que la energía de reposo de las partículas dominaría. Ahora, observando la expresión (6.8), nos damos cuenta de que depende de la densidad N Vde la enana blanca. Y como una estrella se puede entender como una superficie topológicamente homeomorfa a una superficie esférica, debido a la naturaleza simétrica de su gravedad, que actúa sobre ella de forma homogénea, se tiene que V=4 3πR3. Tenemos que la ecuación (6.7) establece una relación funcional entre la presión de degeneración P0y el radio Rde la enana blanca, es decir, a cada valor del radio R, le corresponde un valor de la presión P0. Luego, para una enana blanca de masa M,P0aumenta rápidamente al disminuir el radio R, y esto resulta ser acorde con la expresión (5.10), que dedujimos anteriormente. 6.2. Relación relativista masa-radio para enanas blancas: límite de Chandrasekhar por defecto Al igual que en el anterior capítulo, donde se llegó a la expresión (5.10), vamos a determinar el estado en el que se equilibra la presión de degeneración P0(R)(dependiente del radio R) dada por (6.7) con la fuerza gravitatoria de la enana blanca. 6.2.1. Energía de degeneración y cambio adiabático en el volumen de una enana blanca Es importante, en este contexto, la energía de degeneración, la cual es responsable de mantener la estrella estable contra el colapso gravitatorio. Además, desde una perspectiva termodinámica, se puede describir como el trabajo que debe realizar un agente externo, como la fuerza gravitatoria de la enana blanca, para conseguir comprimir el gas de electrones en una superficie topológicamente homeomorfa a una superficie esférica de radio R. 45 6.2. Relación relativista masa-radio para enanas blancas: límite de Chandrasekhar por defecto Entonces, se puede expresar matemáticamente como [2]: W=−ZR −∞ P0(R) 4πr2dr . (6.10) Ahora debemos introducir el término de cambio adiabático, que es un proceso en el que un sistema físico, como una enana blanca, no pierde ni gana calor. Vamos a considerar un cambio adiabático en el volumen de una enana blanca, que lo vamos a denotar por dV . Este cambio en el volumen da lugar a un cambio en la energía de degeneración de la enana blanca, pues un cambio en el volumen modifica la densidad de partículas en el interior de la enana blanca. El cambio en la energía de degeneración del gas de electrones, como resultado de un cambio en el tamaño y por tanto en el volumen de la enana blanca, viene dado por dW =−P0dV =−P0(R) 4πR2dR . Por otro lado, ese cambio adiabático en el volumen de la enana blanca da lugar también a un cambio dU en su energía potencial gravitatoria, que vamos a determinar. 6.2.2. Principio de equilibrio termodinámico y obtención de una relación relativista masa-radio para enanas blancas Es ahora que, usando la expresión (5.4) para la energía potencial gravitatoria total y derivándola respecto del radio R, obtenemos que dU =3 5 GM2 R2dR . Cabe notar que cuando dedujimos la expresión (5.4), se estaba considerando que la densidad de la estrella era constantemente uniforme. De lo contrario, si no se hubiera considerado la densidad constantemente uniforme, entonces se habría obtenido: U=−αGM2 R, donde α∈Res un número del orden de la unidad, el cual depende de la variación de la densidad dentro de la estrella. Derivando dicha expresión se llega a que dU =αGM2 R2dR . Si la estrella se encuentra en equilibrio, el cambio total de energía dW +dU al producirse un cambio infinitesimal en su tamaño (y por tanto en su volumen) va a ser idénticamente nulo. Esto es una consecuencia del principio de equilibrio termodinámico, que establece que un sistema en equilibrio no experimenta cambios netos en su energía. 46 Capítulo 8 | Determinación del límite de Chandrasekhar a partir de la ecuación diferencial ordinaria de Lane-Emden Finalmente, en este capítulo, tenemos como objetivo determinar el límite de Chandrasekhar de manera precisa. Para ello recurriremos a un método que incluye la ecuación de Lane-Emden (ecuación diferencial ordinaria de segundo orden) en el estado politrópico de una enana blanca, es decir, estudiaremos un modelo teórico en el que se considera que el comportamiento físico de la enana blanca se puede describir mediante una ecuación de estado politrópica. Dicha ecuación de estado politrópica describe la relación entre la presión, la densidad y otras propiedades termodinámicas en un sistema astrofísico como es una estrella enana blanca. 8.1. Dinámica del equilibrio hidrostático estelar Una estrella que se encuentra en equilibrio hidrostático es aquella en la que la fuerza gravitatoria es igual y opuesta a la presión de degeneración de los electrones de su núcleo. En una enana blanca, que es una superficie topológicamente homeomorfa a una superficie esférica, se pueden considerar actuando sobre ella: la presión hacia afuera, P(r), que ejercen los electrones degenerados de dentro de la superficie esférica de radio r; y por otro lado, la fuerza gravitatoria, de modo que denotaremos por g(r)a la aceleración de la fuerza gravitatoria a una distancia rdel centro de la superficie esférica. No obstante, cabe destacar que la presión de degeneración de los electrones puede variar con la densidad de electrones, que a su vez puede variar con la distancia al centro de la enana blanca, siendo la densidad de electrones extremadamente alta en el centro de la enana blanca, disminuyendo significativamente desde el centro hacia la superficie. Por tanto, consideraremos P(r+dr), donde dr es una capa con un grosor infinitesimal que se halla por fuera de la superficie esférica de radio r; ya que de ese modo se estaría teniendo en cuenta cómo la presión de degeneración de los electrones cambia a medida que nos movemos radialmente dentro de la enana blanca. 53 8.1. Dinámica del equilibrio hidrostático estelar Todo esto se puede observar en la siguiente figura 8.1: Figura 8.1: Fuerzas que actúan sobre una enana blanca. Entonces, para que la enana blanca se encuentre en un estado de equilibrio hidrostático, debe ocurrir que la suma de todas las fuerzas sea nula, es decir: XF=P(r)A−P(r+dr)A−dm(r)g(r)=0,(8.1) donde Aes el área sobre la cual actúan las fuerzas involucradas, es decir, A= 4πr2(en el segundo término del sumatorio no haría falta considerar para el área el grosor dr, puesto que al ser considerablemente fina no afecta de manera significativa al área) y dm(r)g(r)representa la fuerza gravitatoria ejercida sobre la capa de masa dm(r). Además, en (8.1), el hecho de que los términos lleven signo positivo o negativo depende de si dichas fuerzas actúan hacia fuera o hacia dentro, respectivamente. Ahora, como por la segunda ley de Newton, se tiene que F=mg(r)yF=Gm m(r) r2, entonces igualándolas, se obtiene la siguiente expresión para la aceleración gravitatoria: mg(r) = Gm m(r) r2=⇒g(r) = Gm(r) r2, siendo g(r)el campo creado por la enana blanca de radio ry masa m(r). 54 8.1. Dinámica del equilibrio hidrostático estelar Además, se puede considerar P(r+dr) = P(r) + dP (r), por lo que sustituyendo esto, junto con la aceleración gravitatoria, en (8.1) se obtiene que P(r)A−P(r)A−dP(r)A−dm(r)G m(r) r2= 0 , de manera que se llega a la expresión: dP(r)A=−G m(r) r2dm(r).(8.2) En general, como ρ(r) = dm(r) dV , entonces dm(r) = ρ(r)dV . Luego, integrando desde 0hasta el radio r, obtenemos la masa total m(r)contenida dentro de la superficie esférica de radio r: m(r) = Zr 0 ρ dV =Zr 0 4πr2ρ(r)dr . (8.3) Por tanto, derivando m(r)respecto del radio r, se llega a: dm(r) dr = 4πr2ρ(r).(8.4) Entonces, usando el área de la superficie esférica de radio rjunto con la expresión (8.4), llegamos a que (8.2) se convierte en: dP(r) 4πr2=−Gm(r)4πr2ρ(r)dr r2. Y por lo tanto, hemos obtenido la siguiente ecuación para el equilibrio hidrostático estelar: r2dP(r) dr =−Gm(r)ρ(r),(8.5) de manera que, si derivamos respecto de r, llegamos a: d dr r2dP(r) dr =−Gdm(r) dr ρ(r)−Gm(r)dρ(r) dr y usando las expresiones (8.4) y (8.5), se llega a que d dr r2dP(r) dr =−4πGr2ρ2(r) + r2dP(r) dr 1 ρ(r) dρ(r) dr y multiplicando a ambos lados por 1 ρ(r), se obtiene una EDO de segundo orden para el equilibrio hidrostático estelar (desarrollo en apéndice: VI): 1 r2 d dr r2 ρ(r) dP(r) dr =−4πGρ(r).(8.6) 55 8.2. Deducción de la ecuación de estado politrópica 8.2. Deducción de la ecuación de estado politrópica La EDO de segundo orden (8.6) depende de la presión P(r)y de la densidad ρ(r). Por lo cual, necesitamos algún tipo de relación entre la presión y la densidad para poder resolver esta EDO. En lo que sigue, vamos a denotar ρ(r) := ρ, para ahorrar en notación. Recordemos que de la expresión (4.10), se podía obtener: N V=1 3π2ℏ3p3 F y usando (5.6) en la expresión básica para la densidad, obtenemos que ρ=M V= 2N VmN. Y a partir de estas dos expresiones obtenidas se llega a que 1 3π2ℏ3p3 F=ρ 2mN =⇒pF=3 s3π2ℏ3 2mN ρ . (8.7) Cabe conocer el concepto de densidad crítica ρc, que es aquella en la que el momento de Fermi llega a ser igual a mc, es decir, aquella que alcanza la enana blanca de manera que los electrones logren alcanzar velocidades relativistas. Por tanto, 3 s3π2ℏ3 2mN ρ=mc =⇒ρ=m3c32mN 3π2ℏ3; de manera que la densidad crítica viene dada por ρc=2mN 3π2mc ℏ3. Entonces, si se diera la situación en que ρ≫ρc, se tendría entonces que ρ≫ρc=⇒2N VmN≫2mN 3π2mc ℏ3=⇒ N V≫1 3π2mc ℏ3=⇒1 3π2ℏ3p3 F≫1 3π2mc ℏ3 =⇒p3 F≫(mc)3=⇒pF≫mc =⇒cpF≫mc2, de modo que los electrones se encontrarían en condiciones (ultra)-relativistas. Recordemos que la presión de degeneración del gas fermiónico en el cero absoluto viene dada por (6.3) y para que nos resulte más sencillo trabajar con ella, podemos multiplicar dentro de la integral por mc2 mc2, de modo que obtenemos: 56 8.3. Deducción de la ecuación de Lane-Emden, a partir de la ecuación de estado politrópica P=1 3π2ℏ3ZpF 0 mc2 p mc 2 q1 + p mc 2 p2dp , de manera que en el caso (ultra)-relativista, donde hemos probado que c pF≫mc2, se tiene que P≈1 3π2ℏ3ZpF 0 cp3dp =c 3π2ℏ3 p4 F 4=c p4 F 12π2ℏ3. Y usando la expresión del momento de Fermi, dada por (8.7), se llega a la siguiente relación presióndensidad en el caso (ultra)-relativista para el gas de electrones degenerados: P=c p4 F 12π2ℏ3=c 12π2ℏ3 3 s3π2ℏ3 2mN ρ4 =cℏ 8 3 √3π23 s1 2m4 N ρ4/3, de manera que hemos llegado a una ecuación (que relaciona la presión y la densidad) de la siguiente forma: P=Kργ,(8.8) donde K=cℏ 8 3 √3π23 s1 2m4 N yγ=4 3. La expresión (8.8) es una ecuación de estado politrópica en el caso (ultra)-relativista para el gas de electrones degenerados, que relaciona principalmente la presión y densidad en un sistema astrofísico como es una enana blanca. 8.3. Deducción de la ecuación de Lane-Emden, a partir de la ecuación de estado politrópica Vamos a modelar la presión Pde acuerdo con la ecuación (8.8), donde K=cte. de proporcionalidad yγ= 1 + 1 n, con el índice politrópico n∈R+\{0}. Definimos la variable radial como: r=α ξ , (8.9) donde α=cte. cumple que α2=1 + n 4π G K ρ1−1 n c yξes una variable adimensional. Dicha variable radial es una forma de medir la distancia radial desde el centro de la estrella, es decir, es una forma (adimensional) de describir la posición relativa dentro de la estrella. También consideramos la siguiente relación para la densidad ρ, en términos de la densidad crítica ρc: ρ=ρcθn,(8.10) 57 8.3. Deducción de la ecuación de Lane-Emden, a partir de la ecuación de estado politrópica con θ=θ(ξ). Se obtiene que P=Kργ=Kρ1+ 1 n=⇒P=Kρ1+ 1 n cθ(ξ)1+n.(8.11) Es entonces que recurriendo a la EDO de segundo orden para el equilibrio hidrostático estelar, dada por (8.6), y usando los cambios de variable definidos en (8.9) y (8.10), y la ecuación (8.11); obtenemos: 1 (αξ)2 d d(αξ)(αξ)2 ρcθn(ξ) d d(αξ)Kρ1+ 1 n cθ1+n(ξ)=−4πGρcθn. Por tanto, hemos llegado a obtener la ecuación de Lane-Emden (desarrollo en apéndice: VII): 1 ξ2 d dξ ξ2dθ(ξ) dξ =−θn(ξ).(8.12) 8.3.1. Condiciones de contorno para la ecuación de Lane-Emden La ecuación de Lane-Emden (8.12) es una EDO de segundo orden para la que existe una familia de soluciones para cada valor del índice politrópico n∈R+\{0}. Al ser una EDO de segundo orden se necesitan dos condiciones de contorno. Como en el centro de la enana blanca, la densidad debe ser igual a la densidad crítica, puesto que el gas de electrones se encuentran en condiciones de degeneración (ultra)-relativista, entonces debemos establecer la condición: ρ(0) = ρc(8.13) y asumiendo que inicialmente la densidad crítica ρcno cambia, entonces podemos establecer también la condición: ρ′(0) = 0 .(8.14) Recordando (8.10) y usando la condición (8.13), tenemos que ρ(0) = ρcθn(0) =⇒ρc=ρcθn(0) =⇒θ(0) = 1 y derivando la expresión (8.10) y usando (8.14), llegamos a ρ′=ρcn θn−1θ′y sustituyendo en el cero, llegamos a que ρ′(0) = ρcn θn−1(0) θ′(0) =⇒0 = ρcn θn−1(0) θ′(0) =⇒θ′(0) = 0 . Por lo tanto, tenemos que las dos condiciones de contorno de la ecuación de Lane-Emden son: θ(0) = 1 y θ′(0) = 1 .(8.15) 58 8.4. Soluciones del problema de contorno para la EDO de Lane-Emden 8.4. Soluciones del problema de contorno para la EDO de Lane-Emden En primer lugar, considerando (8.9), vamos a definir el radio estelar como: R=α ξ1,(8.16) tal que ξ1es el valor de ξdonde θse anula, es decir, θ(ξ1)=0. Usando el valor de la constante α, se tiene que el radio estelar Rse puede expresar como: R=r(1 + n)K 4π G ξ1ρ 1−n 2n c.(8.17) 8.4.1. Soluciones analíticas del problema de contorno El problema de contorno para la ecuación de Lane-Emden tiene soluciones analíticas para los valores del índice politrópico n∈ {0,1,5}. En la ecuación de Lane-Emden, el índice politrópico sí puede tomar el valor cero, ya que a diferencia de la ecuación de estado politrópica, aquí n= 0 no induce a una singularidad. •Para n = 0: Se tiene que 1 ξ2 d dξ ξ2dθ dξ + 1 = 0 . Entonces, obtenemos que 1 ξ2 d dξ ξ2dθ dξ + 1 = 0 =⇒ξ2dθ dξ =C1−1 3ξ3=⇒θ(ξ) = C0−C1 ξ−1 6ξ2. Y las condiciones de contorno θ(0) = 1 yθ′(0) = 0 implican que las constantes de integración sean C0= 1 yC1= 0 .Por tanto, se obtiene: θ0(ξ)=1−1 6ξ2. •Para n = 1: Se tiene que 1 ξ2 d dξ ξ2dθ dξ +θ= 0 . Entonces, del mismo modo, reorganizando, integrando y empleando las condiciones de contorno, se obtiene: θ1(ξ) = sin(ξ) ξ. 59 8.4. Soluciones del problema de contorno para la EDO de Lane-Emden •Para n = 5: Se tiene que 1 ξ2 d dξ ξ2dθ dξ +θ5= 0 . En este caso obtenemos: θ5(ξ) = 1 q1 + 1 3ξ2 . No obstante, para los valores de n∈R+\{0,1,5}, las EDOS de Lane-Emden que se obtengan no pueden ser resueltas analíticamente, por lo que nos vemos obligados a tener que recurrir a métodos numéricos para su resolución. 8.4.2. Soluciones numéricas del problema de contorno mediante el método de Runge-Kutta Por la expresión (8.8), donde γ=4 3, y sabiendo que γ= 1 + 1 n, entonces resulta que el valor del índice politrópico en nuestro caso es n= 3. Por lo que estamos interesados en hallar la solución del problema de contorno para la ecuación de Lane-Emden, en el caso en que n= 3, pero como ya habíamos comentado, hay que resolverlo recurriendo a algún método numérico como puede ser el método numérico de Runge-Kutta, que devuelve las soluciones aproximadas de manera óptima y con gran precisión. Tenemos la ecuación de Lane-Emdem: 1 ξ2 d dξ ξ2dθ dξ +θ3= 0 =⇒1 ξ2 d dξ ξ2θ′(ξ)=−θ3. Recordemos (8.16), donde el valor ξ1era el valor de ξdonde θse anulaba, es decir, θ(ξ1) = 0 . Determinando la solución θ3(ξ)e igualándola a cero, obtenemos el valor aproximado de ξdonde se anula la solución, es decir, ξ1; que resulta ser [4]: ξ1≈6.89685 .(8.18) Ahora lo próximo que vamos a hacer es hallar numéricamente una aproximación precisa de unos resultados que serán de utilidad a la hora de dar la aproximación exacta de la masa límite de Chandrasekhar en la siguiente sección. Vamos a derivar la solución θ3(ξ)obtenida y sustituyendo el valor (8.18), y tomando valor absoluto, nos da como resultado [4]: θ′(ξ1)≈0.0424298257 . Por lo que, ξ2 1θ′(ξ1)≈2.01824 , que será un resultado de gran utilidad, que emplearemos justo al final de la siguiente sección. 60 8.4. Soluciones del problema de contorno para la EDO de Lane-Emden Podemos observar en la siguiente figura 8.2 una gráfica con las soluciones que se obtienen para algunos valores de n: Figura 8.2: Representación de soluciones dependiendo del valor del índice politrópico n. Con la representación gráfica se observa que las soluciones θ(ξ)para cada valor de ntoman el valor cero en valores finitos para n≤4; y para n > 4, las soluciones θ(ξ)son asintóticas y no alcanzan a cortar al eje de abscisas. No obstante, la única solución que nos interesa es la obtenida para n= 3, pues es la única que representa el verdadero comportamiento físico del sistema. En la siguiente tabla 8.3 se recogen los resultados obtenidos (constantes de Lane-Emden) para algunos valores de n, los cuales serán de utilidad. 61 8.4. Soluciones del problema de contorno para la EDO de Lane-Emden Figura 8.3: Tabla de constantes de Lane-Emden. 8.4.3. Obtención exacta de la masa crítica de Chandrasekhar La masa total m(r)contenida dentro de la superficie esférica de radio rvenía dada por (8.3). Queremos determinar la masa de una enana blanca cuando su radio es R, dado por (8.16). Teniendo en cuenta el cambio de variable definido en (8.10), obtenemos que M=ZR 0 4πr2ρ(r)dr =ZR 0 4πr2ρcθndr ="r=α ξ dr =α dξ #= Zξ1 0 4π(α ξ)2ρcθnα dξ =Zξ1 0 4π α3ξ2ρcθndξ y como por la ecuación de Lane-Emden (8.12), despejando se tiene que ξ2θn=−d dξ ξ2dθ dξ =−d dξ ξ2θ′(ξ), podemos sustituir en la integral que estábamos haciendo, obteniendo: M=−4πα3ρcZξ1 0 d dξ ξ2θ′(ξ)dξ =−4πα3ρcξ2 1θ′(ξ1). Se puede observar que θ′(ξ1)<0([4]), por lo que entonces se tiene que M= 4πα3ρcξ2 1θ′(ξ1).(8.19) 62 Capítulo 11 | Conclusiones finales del trabajo En este trabajo se ha determinado el límite de Chandrasekhar, que establece el máximo valor de masa que puede alcanzar una enana blanca, a partir del cual colapsa en una supernova termonuclear de tipo Ia. Una vez llegamos a hallar la expresión de la energía total de una enana blanca (5.8) y considerando que su radio de equilibrio es aquel que minimiza dicha energía, obtenemos la relación masa-radio (5.10) para enanas blancas. Aunque esta relación es útil para enanas blancas con masas menor o igual a la del Sol, donde los efectos relativistas no son tan notables; en enanas blancas con masa mayor a la del Sol esta expresión no se ajusta a la evidencia observacional. La razón por la que la expresión (5.10) no es efectiva es por el hecho de que no se han tenido en cuenta los efectos relativistas. Posteriormente, hallando las expresiones de la presión de degeneración en el cero absoluto (6.7) y (6.11), se llega a obtener la función (6.12). Una vez estudiamos el comportamiento asintótico de (6.12), para el caso no relativista, se llega a obtener una relación masa-radio para enanas blancas que no difiere de la relación obtenida en (5.10). Pero, si por el contrario, se consideran los efectos relativistas, se llega a deducir a partir de la nueva relación masa-radio (6.15) que M0≈0.7972 ×M⊙. La evidencia observacional, indica que se ha llegado a dar una estimación del límite de Chandrasekhar por defecto. No se han considerado al completo todos los posibles efectos físicos involucrados, como pueden ser los efectos de la gravedad, la presión, el transporte de energía, etc. A continuación, lo que hemos hecho ha sido considerar de nuevo los efectos relativistas de una enana blanca, pero de manera más precisa, y hemos realizado una estimación de mínima energía de las enanas blancas, de modo que llegamos a una aproximación por exceso del límite. Es así que, utilizando la expresión hallada para la energía total de una enana blanca degenerada (ultra)-relativista, hemos llegado a Mc≈1.72 ×M⊙. Pero, a la hora de considerar la energía potencial gravitatoria de una enana blanca se toma en ella la densidad de la estrella como uniforme. Esto induce a una falta de precisión en la estimación del límite, dando lugar a una estimación por exceso del límite. 69 Capítulo 11. Conclusiones finales del trabajo Finalmente, para determinar el límite de manera precisa, usamos un método que incluye la ecuación diferencial ordinaria de Lane-Emden en el estado politrópico de una enana blanca, que describe la relación entre la presión, densidad y otras propiedades termodinámicas en ella. Con todo esto, en este caso conseguimos determinar de manera precisa (ajustándose completamente a la evidencia observacional) que la masa máxima a la que una enana blanca puede llegar, a partir de la cual colapsa en supernova de tipo Ia es: MChandrasekhar ≈1.44 ×M⊙. Tras la obtención del límite, hemos explicado cuál es el mecanismo más habitual por el cual una enana blanca en un sistema estelar binario captura el material de su estrella compañera, llegando de ese modo a acrecentar su masa hasta alcanzar el límite de Chandrasekhar. También hemos visto la diferencia entre una nova y una supernova, y qué le sucede a la compañera estelar cuando la enana blanca estalla en supernova. Finalmente, hemos expuesto el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, una analogía del límite de Chandrasekhar para estrellas de neutrones. Al alcanzar este límite, las estrellas de neutrones colapsan y se convierten en agujeros negros. 70 Apéndice I. Deducción del valor promedio ⟨pv⟩ Dado que los electrones pueden tener dos posibles valores diferentes de espín, dos electrones pueden ocupar el mismo estado cuántico siempre y cuando tengan espines opuestos; de ahí que tengamos que poner un 2tanto en el numerador como en el denominador. Tenemos que el valor promedio ⟨pv⟩viene expresado de la forma: ⟨pv⟩=2P|p|<pFpv 2P|p|<pF1. Y como sabemos ([1]) que el número de estados con cantidad de movimiento ρcon un módulo comprendido entre pyp+dp viene dado por p(p)dp =V (2πℏ)34πp2dp , entonces X |p|<pF pv =ZpF 0 pvρ(p)dp =V (2πℏ)3ZpF 0 pv 4πp2dp . Tenemos, por tanto, ⟨pv⟩=2P|p|<pFpv 2P|p|<pF1= 2V (2πℏ)3RpF 0pv 4πp2dp N=1 π2ℏ3 V NZpF 0 vp3dp y haciendo uso de la expresión para la velocidad de los electrones degenerados relativistas (5.13), nos queda finalmente que ⟨pv⟩=1 π2ℏ3 V NZpF 0 vp3dp =1 π2ℏ3 V NZpF 0 p2 m q1+( p m c)2p2dp . 71 II. Cambio de variable en la presión de degeneración del gas de Fermi en el cero absoluto II. Cambio de variable en la presión de degeneración del gas de Fermi en el cero absoluto Es entonces que (6.3), usando el cambio de variable (6.4) se convierte en: P0=1 3π2ℏ3ZpF 0 p2 m q1 + p mc 2p2dp ="p=mc sinh(θ) dp dθ =mc cosh(θ)# =1 3π2ℏ3ZθF 0  csinh(θ) q1 + sinh2(θ) m3c3sinh3(θ)mc cosh(θ) dθ =1 3π2ℏ3ZθF 0 m4c5sinh4(θ) cosh(θ)cosh(θ)dθ =m4c5 3π2ℏ3ZθF 0 sinh4(θ)dθ , donde θFviene dado por la expresión pF=mc sinh(θF);θF=arcsinh pF mc. III. Resolución detallada de la integral Tenemos la integral ZθF 0 sinh4(θ)dθ . Consideremos que cosh2(θ)−sinh2(θ) = 1 −cosh2(θ) + sinh2(θ) = cosh(2θ) −2 sinh2(θ)=1−cosh(2θ) De manera que despejando sinh2(θ)y elevando al cuadrado, se obtiene: sinh4(θ) = cosh(2θ)−1 22 . Por tanto, ahora sin considerar los límites de integración, tenemos que Zsinh4(θ)dθ =Zcosh(2θ)−1 22 dθ =1 4Z(cosh2(2θ)−2 cosh(2θ) + 1) dθ =1 4Zcosh2(2θ)dθ −1 2Zcosh(2θ)dθ +1 4θ . Y como cosh(2θ) = cosh2(θ) + sinh2(θ) + 1 = cosh2(θ)−sinh2(θ) cosh2(θ) = 1 + cosh(2θ) 2 72 III. Resolución detallada de la integral tenemos entonces que cosh2(2θ) = 1 + cosh(4θ) 2. Por tanto, Zcosh2(2θ)dθ =Z1 + cosh(4θ) 2dθ =θ 2+Zcosh(4θ) 2dθ . Luego, sustituyendo lo obtenido, vemos que Zsinh4(θ)dθ =1 4Zcosh2(2θ)dθ −1 2Zcosh(2θ)dθ +θ 4 =θ 8+1 8Zcosh(4θ)dθ −1 2Zcosh(2θ)dθ +θ 4 =3 8θ+1 8Zcosh(4θ)dθ −1 2Zcosh(2θ)dθ . Y como Zcosh(4θ)dθ ="4θ=γ 4dθ =dγ #=Zcosh(γ) 4dγ =1 4sinh(4θ) y del mismo modo Zcosh(2θ)dθ ="2θ=γ 2dθ =dγ #=Zcosh(γ) 2dγ =1 2sinh(2θ), obtenemos que Zsinh4(θ)dθ =θ 2+1 8 1 4sinh(4θ)−1 2 1 2sinh(2θ) =3 8θ+1 32 sinh(4θ)−1 4sinh(2θ) + Cte. Por tanto, llegamos a que: ZθF 0 sinh4(θ)dθ =3 8θF+1 32 sinh(4θF)−1 4sinh(2θF). 73 IV. Reescritura más manejable de la presión de degeneración en el cero absoluto IV. Reescritura más manejable de la presión de degeneración en el cero absoluto Reescribimos (6.6) de otra forma, más fácil a la hora de trabajar; y para ello vamos a desarrollar las funciones trigonométricas y usaremos además la notación x=sinh(θF). Tenemos que sinh(2θF)=2sinh(θF)cosh(θF)=2sinh(θF)p1 + sinh2(θF) y sinh(4θF) = 2 sinh(2θF) cosh(2θF) = 2 sinh(2θF)cosh2(θF) + sinh2(θF) = 2 sinh(2θF)1 + 2 sinh2(θF). Además, tenemos que x=sinh(θF), por tanto: ZθF 0 sinh4(θ)dθ =3 8θF+1 32 sinh(4θF)−1 4sinh(2θF) =3 8arcsinh(x) + 1 32 h2 2xp1 + x2(1 + 2x2)i−1 2xp1 + x2 =1 8xp1 + x22x2−3+3 8arcsinh(x). Luego, la expresión (6.6) para la presión de degeneración en el cero absoluto nos queda como: P0=m4c5 3π2ℏ31 8xp1 + x22x2−3+3 8arcsinh(x) =m4c5 24π2ℏ3hxp1 + x22x2−3+ 3 arcsinh(x)i, donde x=sinh(θF) = pF mc =ℏ mc 3 r3π2N V. V. Deducción de la energía cinética media de los electrones en condiciones relativistas Recordemos que la energía cinética (en función del momento) de una partícula relativista, como puede ser el caso de un electrón con momento pbajo condiciones relativistas, venía dada por la expresión (5.12), es decir, por: ε(p) = mc2(r1 + p mc2−1). Además, sabemos que el número de estados con cantidad de movimiento ρcon un módulo compren- 74 VI. Deducción de la EDO de 2ºorden para el equilibrio hidrostático estelar dido entre pyp+dp venía dado por: ρ(p)dp =V 8π2ℏ34πp2dp =V 2π2ℏ3p2dp . Sabemos que un electrón puede tener dos posibles valores de espín y por tanto dos electrones con espín distinto pueden ocupar el mismo estado cuántico. Es por ello que como hay ρ(p)dp posibles estados y dos electrones (con distinto espín) pueden ocupar cada uno de ellos, entonces el número de electrones que hay con un momento determinado pva a ser: 2ρ(p)dp . Y como nos interesa conocer la energía cinética media de los electrones en condiciones relativistas, tendremos que hacer una media o esperanza, de modo que K=ZpF 0 ε(p) 2ρ(p)dp . Y es de aquí que, sustituyendo, se obtiene: K=V π2ℏ3ZpF 0 p2mc2(1 + p mc21/2 −1)dp . VI. Deducción de la EDO de 2ºorden para el equilibrio hidrostático estelar Partiendo de la expresión: d dr r2dP(r) dr =−4πGr2ρ2(r) + r2dP(r) dr 1 ρ(r) dρ(r) dr y multiplicando a ambos lados por 1 ρ(r), se obtiene: 1 ρ(r) d dr r2dP(r) dr =−4π G r2ρ(r) + r2dP(r) dr 1 ρ2(r) dρ(r) dr =⇒1 ρ(r) d dr r2dP(r) dr −r2dP(r) dr 1 ρ2(r) dρ(r) dr =−4πGr2ρ(r) =⇒d dr r2dP(r) dr 1 ρ(r)=−4πGr2ρ(r) =⇒1 r2 d dr r2 ρ(r) dP(r) dr =−4πGρ(r). 75 VII. Deducción de la ecuación de Lane-Emden VII. Deducción de la ecuación de Lane-Emden Recurriendo a la EDO de segundo orden para el equilibrio hidrostático estelar, dada por (8.6), y usando los cambios de variable definidos en (8.9) y (8.10), junto con la expresión (8.11); obtenemos: 1 (αξ)2 d d(αξ)(αξ)2 ρcθn(ξ) d d(αξ)Kρ1+ 1 n cθ1+n(ξ)=−4πGρcθn =⇒K ρ1/n c α2ξ2 d dξ ξ2 θn(ξ) d dξ θ1+n(ξ)=−4πGρcθn(ξ) =⇒1 ξ2 d dξ ξ2 θn(ξ)(1 + n)θn(ξ)dθ(ξ) dξ =−4πGα2ρ1−1 n c Kθn(ξ) =⇒1 + n ξ2 d dξ ξ2dθ(ξ) dξ =−(1 + n)θn(ξ) =⇒1 ξ2 d dξ ξ2dθ(ξ) dξ =−θn(ξ). 76 Bibliografía [1] De la Rubia Pacheco, Juan; Abalo, José Javier Brey, Introducción a la Mecánica Estadística. Ediciones del Castillo, 1978. [2] Raj Kumar, Pathria, Statistical Mechanics (2nd Edition). Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996. [3] Garzó, Vicente; Gómez González, Rubén, Introducción a la Física Estadística. Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones C/ Caldereros, 2 - Planta 3ª. 10071 Cáceres (España). 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