Conexiones globales en sistemas tridimensionales lineales a trozos

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Conexiones Globales en Sistemas Tridimensionales Lineales a Trozos Victoriano Carmona1, Fernando Fern´ andez-S´ anchez1, Elisabeth Garc´ ıa1, Antonio E. Teruel2 1Dpto. de Matem´atica Aplicada II, Universidad de Sevilla, Escuela Superior de Ingenieros, E-41092 Sevilla. E-mails: vcarm[email protected], fefes[email protected], [email protected]. 2Dpto. de Matem´aticas e Inform´atica, Universidad de las Islas Baleares, E-07122 Palma de Mallorca. E-mail: [email protected]. Palabras clave: Sistemas lineales a trozos, homoclina, heteroclina, punto-T Resumen Presentamos en esta comunicaci´on una t´ecnica para probar de forma anal´ıtica la existencia de conexiones globales en sistemas din´amicos continuos lineales a trozos. M´as concretamente, utilizamos esta t´ecnica para demostrar la existencia de dos conexiones homoclinas directas (aquellas que cortan al plano de separaci´on exactamente dos veces) y un ciclo heteroclino directo tipo punto-T (cuya conexi´on por las variedades unidimensionales corta exactamente tres veces al plano de separaci´on mientras que su conexi´on por las variedades bidimensionales s´olo lo har´a en un punto) en una familia uniparam´etrica de sistemas tridimensionales continuos lineales a trozos con dos zonas, reversibles y con trazas nulas. 1. Introducci´on. En el an´alisis del comportamiento din´amico de un sistema tridimensional de ecuaciones diferenciales resulta interesante la determinaci´on de sus posibles conexiones homoclinas y heteroclinas ya que, como es bien sabido, organizan una estructura din´amica rica y complicada, v´ease [10]. No obstante, suele ser una tarea ardua y dif´ıcil probar que un determinado sistema din´amico posee una conexi´on global y, por ello, se suele recurrir frecuentemente a t´ecnicas num´ericas para mostrar su existencia. Por otra parte, los sistemas lineales a trozos est´an siendo extensivamente estudiados en la actualidad porque modelan fielmente determinados procesos f´ısicos, v´ease por ejemplo [7]. Adem´as, estos sistemas son capaces de reproducir comportamientos din´amicos 1 V. Carmona, F. Fern´andez-S´anchez, E. Garc´ıa, A. E. Teruel an´alogos a los de los sistemas diferenciables, ver [2], incluyendo, entre otros, los fen´omenos relacionados con las conexiones homoclinas y heteroclinas, ver [7]. A pesar de la linealidad en cada zona, la prueba de la existencia de estas conexiones globales queda muy lejos de ser trivial y, en consecuencia, tambi´en es frecuente usar, como se hace en [8], herramientas num´ericas para su determinaci´on. En este trabajo probamos anal´ıticamente la existencia de dos conexiones homoclinas y un punto-T en una familia uniparam´etrica de sistemas tridimensionales continuos y lineales a trozos, con dos zonas de linealidad separadas por un plano, que posee reversibilidad y trazas nulas. Un representante de esta familia es el sistema ˙x=y, ˙y=z, ˙z= 1 −y−λ(1 + λ2)|x|,con λ > 0,(1) que tambi´en puede entenderse como una versi´on lineal a trozos del sistema de Michelson, ver [9]. Nuestra principal aportaci´on, en relaci´on al sistema (1), la enunciamos a continuaci´on. Teorema. Existen dos valores λ1, λ2>1 2de forma que el sistema (1) para λ=λ1posee dos homoclinas y para λ=λ2un ciclo heteroclino tipo punto-T. En la presente comunicaci´on analizaremos, en primer lugar, los elementos geom´etricos del sistema lineal a trozos (1). A continuaci´on, en la secci´on 3, se detallar´an las condiciones que han de darse para que exista una homoclina directa asociada a los puntos de equilibrio del sistema (1) y probaremos la existencia de dicha homoclina. Concluimos el trabajo especificando las condiciones necesarias para que exista un ciclo heteroclino de tipo puntoT en el sistema lineal a trozos y probando su existencia. 2. Versi´on lineal a trozos del sistema de Michelson. Elementos geom´etricos. El sistema diferenciable de Michelson surge al estudiar soluciones de ondas viajeras en la ecuaci´on de Kuramoto-Sivashinsky unidimensional, v´ease [9]. Por otro lado, tambi´en aparece de forma natural cuando se realiza un blow-up en una forma normal para el triple cero truncada a tercer orden, ver [4]. Tras realizar un cambio de variable adecuado en el sistema de Michelson y sustituir el t´ermino cuadr´atico por un valor absoluto obtenemos (1). Tomando x= (x, y, z)T, el sistema obtenido se escribe matricialmente como ˙ x=A−x+e3si x < 0, A+x+e3si x≥0,(2) con A−=  0 1 0 0 0 1 λ(1 + λ2)−1 0  , A+=  0 1 0 0 0 1 −λ(1 + λ2)−1 0  ye3=  0 0 1 . El sistema anterior posee una ´unica frontera, el plano {x= 0}; y, por tanto, dos semiespacios de linealidad, R−={x∈IR3:x < 0}yR+={x∈IR3:x > 0}. El sistema (2) tiene dos puntos de equilibrio: p−= (−1/λ(1+λ2),0,0) ∈R−yp+= (1/λ(1+λ2),0,0) ∈R+. 2 Conexiones globales en Sistemas Tridimensionales Lineales a Trozos Estos puntos son de tipo silla-foco y poseen configuraciones de estabilidad intercambiadas. Es decir, la matriz A−tiene un ´unico autovalor real λ > 0 y dos autovalores complejos, α+βi = −λ 2+p4 + 3λ2 2i y α−βi = −λ 2−p4 + 3λ2 2i y los autovalores asociados a la matriz A+son −λ,−α±βi. Obs´ervese que los autovalores asociados a A−son los sim´etricos de los asociados a A+debido a que el sistema (2) pertenece a la clase de sistemas reversibles. Dado p= (xp, yp, zp)T∈IR3denotaremos por xp(t, λ) = (xp(t, λ), yp(t, λ), zp(t, λ))T a la soluci´on del problema de valores iniciales asociado al sistema lineal a trozos (2) junto con la condici´on inicial xp(0, λ) = p. Para analizar el comportamiento din´amico del sistema (2) usaremos la extensi´on natural de la aplicaci´on de Poincar´e asociada a este sistema en cada uno de los semiespacios, ver [5]. Mediante el campo del sistema ˙ x=A−x+bcon x≤0 alg´un punto p, perteneciente al plano de separaci´on, puede ser transformado en otro punto qde ese plano, entonces la semiaplicaci´on de Poincar´e izquierda Π−puede definirse como q= Π−(p). An´alogamente, podemos definir la semiaplicaci´on de Poincar´e derecha Π+. De este modo, una aplicaci´on de Poincar´e asociada a (2) se define como Π = Π+◦Π−. El punto de equilibrio p−tiene asociado una variedad estable bidimensional y una inestable unidimensional, que denotaremos por Ws(p−) y Wu(p−) respectivamente. La variedad Wu(p−) es lineal en el semiespacio R−y contiene a la semirrecta dada por la expresi´on L−=p−−µ(1, λ, λ2)T:−1 λ(1 + λ2)≤µ < ∞, la cual interseca al plano de separaci´on en el punto m−=0,1/(1 + λ2), λ/(1 + λ2)T.Por otra parte, la variedad estable de p−,Ws(p−), est´a contenida localmente en el semiplano focal P−=λ(1 + λ2)x+λ2y+λz =−1, x ≤0, que pasa por p−y que est´a generado por los autovectores asociados a los autovalores complejos de A−. La intersecci´on de P−con el plano de separaci´on es la recta dada por D−={λ2y+λz =−1; x= 0}.Destaquemos que no todos los puntos de D−pertenecen a la variedad estable de p−, la zona correspondiente aWs(p−) est´a marcada por un segmento S−delimitado por el punto de P−que interseca al eje z, y por su imagen por (Π−)−1. Es f´acil comprobar que los extremos de S−son q−= (0,0,−1/λ)Ty (Π−)−1(q−). A partir de la ecuaciones de las variedades invariantes en el subespacio izquierdo podemos determinar, aplicando reversibilidad, las ecuaciones para el caso del semiespacio R+. De ese modo, la variedad estable de p+,Ws(p+), est´a contenida localmente en la semirrecta L+=x=p++µ(1, λ, λ2)T:1 λ(1 + λ2)≤µ < ∞, que interseca al plano de separaci´on en el punto m+=0,1/(1 + λ2),−λ/(1 + λ2)T.La variedad inestable de p+,Wu(p+), est´a contenida localmente en el semiplano focal P+=λ(1 + λ2)x−λ2y+λz = 1, x ≥0, que interseca al plano de separaci´on en la recta D+={−λ2y+λz = 1; x= 0}. An´alogamente, no todos los puntos de D+pertenecen a la variedad inestable de p+. La zona 3 V. Carmona, F. Fern´andez-S´anchez, E. Garc´ıa, A. E. Teruel correspondiente a Wu(p+) est´a determinada por el segmento S+delimitado por los extremos q+= (0,0,1/λ)Ty Π+(q+). Observemos que las rectas D+yD−se cortan en el punto q=0,−1/λ2,0T,cuya importancia se pondr´a de manifiesto en las siguientes secciones. 3. Existencia de conexiones homoclinas. En esta secci´on probamos la existencia de una conexi´on homoclina en el sistema (2) para un cierto valor del par´ametro λ. M´as a´un, la reversibilidad del sistema asegura la existencia de otra homoclina para el mismo valor del par´ametro. El tipo de homoclinas que consideramos se puede entender como el m´as simple en un sistema lineal a trozos con dos zonas, ya que corta s´olo dos veces al plano de separaci´on. Denominamos homoclina directa a una ´orbita de este tipo. La condici´on de existencia de una homoclina directa asociada al punto p−en el sistema (2) es Π+(m−)∈ S−. Ahora bien, para la demostraci´on de la existencia de dicha homoclina para un cierto valor de λhemos de dividir esta condici´on en tres: C1 Existe t > 0 tal que xm−(t, λ)∈ D−(la ´orbita ha de cruzar al plano de separaci´on {x= 0}a trav´es de la recta D−). C2 xm−(τ, λ)>0∀τ∈(0, t) (las ´unicas intersecciones de la ´orbita con el plano {x= 0} corresponden a los puntos m−y un punto perteneciente a D−). C3 xm−(t, λ)∈ S−(la ´orbita homoclina ha de entrar al semiplano P−a trav´es de S−). xy z p+ p− q+ q−m+ m− q Π+(q+) (Π−)−1(q−) P+ P− x= 0 Figura 1: Conexiones homoclinas directas en el sistema lineal a trozos. 4 Conexiones globales en Sistemas Tridimensionales Lineales a Trozos Integrando el sistema (2) con condici´on inicial m−y realizando algunas manipulaciones algebraicas, la condici´on C1 se puede escribir como (E1(t, λ) = 2λ2e3λ 2t[2βcos βt −3λsenβt] + 2β(1 + λ2)−(1 + 3λ2)eλt= 0, E2(t, λ) = 2λ2e3λ 2t[2βcos βt +λsenβt] + eλt(1 + λ2)2β= 0.(3) Realizando diversas transformaciones al sistema (3) se obtienen las siguientes condiciones equivalentes      E(t, λ) = −2β2eλt(1 + 2λ2)−(1 + λ2)cos βt +λ2eλt + (1 + λ2)senβt = 0, p(t, λ) = −16λ6e3λt + (1 + λ2)24(1 + 3λ2)e2λt −2(2 + 3λ2)eλt + 1 + λ2= 0, senβt < 0, (4) donde la expresi´on de p(t, λ) se ha obtenido utilizando la f´ormula trigonom´etrica fundamental. Con el objetivo de demostrar que el sistema (4) posee soluci´on se utilizar´a el teorema de Poincar´e-Miranda, v´ease [6], que puede considerarse como una generalizaci´on del teorema de Bolzano en dimensi´on dos. Para poder aplicar este teorema al sistema ser´a necesario analizar previamente el comportamiento de las funciones que lo componen. Es inmediato comprobar que la funci´on E(t, λ) es positiva en el caso donde βt =kπ y negativa cuando βt = 2kπ, para cualquier kperteneciente a los n´umeros naturales. En relaci´on a la funci´on p(t, λ) podemos deducir, tras realizar un estudio adecuado, que p(t, √3) es negativo para todo t≥0 y que p(t, 1/2) es positivo para t∈[π/β, 2π/β]. Por tanto, aplicando el teorema de Poincar´e-Miranda deducimos que el sistema (4) tiene, al menos, una soluci´on (t1, λ1) en el interior de la regi´on Ω1= [π/β, 2π/β]×1/2,√3,adem´as se verifica que senβt < 0 en el interior de esta regi´on. Por otro lado, tenemos que probar que la variedad unidimensional Wu(p−) ha de cortar ´unicamente en dos puntos al plano de separaci´on. De ese modo, es necesario imponer que xm−(t, λ)>0 cuando tpertenece (0, t1). Es f´acil ver que ˙xm−(t, λ) = ym−(t1, λ1)<0 y, por tanto, se verifica trivialmente que xm−(t, λ1)>0 para todo t∈(0, t1). Por ´ultimo para asegurar la existencia de una ´orbita homoclina quedar´a verificar que se cumple la condici´on C3. Veremos, en la siguiente secci´on que la existencia de una ´orbita heteroclina bidimensional directa es suficiente para que se verifique la condici´on C3. De este modo, estamos en condiciones de enunciar el siguiente teorema: Teorema 1 Existe un valor λ1>1 2de forma que el sistema (1) para λ=λ1posee dos homoclinas directas. 4. Existencia de un ciclo heteroclino tipo punto-T. Consideraremos uno de los ciclos heteroclinos tipo punto-T m´as simples que puede aparecer en el sistema (2). Como se puede observar en la figura 2, la ´orbita heteroclina correspondiente a las variedades unidimensionales ha de cortar exactamente tres veces al plano de separaci´on mientras que la correspondiente a las variedades bidimensionales s´olo lo har´a en un punto. Las condiciones necesarias para que exista un ciclo heteroclino tipo punto-T se detallan en las siguientes secciones. 5 V. Carmona, F. Fern´andez-S´anchez, E. Garc´ıa, A. E. Teruel xy z p+ p− q+ q−m+ m− q Π+(q+) (Π−)−1(q−) P+ P− x= 0 Π+(m−) = Π−(m+) Figura 2: Esquema gr´afico de un ciclo heteroclino tipo punto-T. 4.1. Heteroclina bidimensional. En esta secci´on probaremos la existencia de una ´orbita heteroclina bidimensional, ρ±, en el sistema (2). Una condici´on necesaria y suficiente para la existencia de una ´orbita heteroclina bidimensional con un ´unico intersecci´on con el plano de separaci´on es que el punto de dicha intersecci´on, q, pertenezca a S−∩ S+. Esta condici´on es equivalente a i) q ∈ D−∩D+yii) q ∈ S−. La intersecci´on de las rectas D−yD+es q= (0,−1/λ2,0)T, y los extremos del segmento S−son q−y (Π−)−1(q−). Por tanto, que se verifique las condiciones i) yii) es equivalente a que se verifique que (Π−)−1(q−)∈ {x= 0}∪{z≥0}. De ese modo, el sistema (2) tiene una ´orbita heteroclina bidimensional directa ρ±si y s´olo si existe una soluci´on (t∗, λ∗), con t∗>0 y λ∗>0, de xq−(−t, λ) = 0, zq−(−t, λ)≥0.(5) satisfaciendo xq−(−t, λ∗)<0 para todo t∈(0, t∗). Las condiciones dadas en (5) lleva, despu´es de integrar el sistema (2) en tiempo reversible con condici´on inicial x(0, λ) = q−, a que exista alg´un par de valores (t∗, λ∗) para los que se verifique el sistema          −1 λ(1 + λ2)1−eλ 2tcos βt −2λ βsenβt= 0, −1 λeλ 2tcos βt +2λ βsenβt≥0, (6) junto a la condici´on xq−(−t, λ∗)<0 si t∈(0, t∗). Utilizando la funci´on auxiliar de Andronov ϕ(τ, γ) = 1 −eγτ (cos τ−γsenτ), definida en [1], podemos deducir que la existencia de una soluci´on (t∗, λ∗) de (6) satisfaciendo la desigualdad xq−(−t, λ∗)<0 es equivalente 6 Conexiones globales en Sistemas Tridimensionales Lineales a Trozos a la existencia de una soluci´on del sistema      ϕ−βt, −2λ β= 0, ϕβt, −2λ β≥1. (7) tal que ϕ(−βt, −2λ/β)>0 en el intervalo (0, t∗). Un an´alisis de las ecuaciones (7), nos permite probar el siguiente teorema (para m´as detalles ver el preprint [3]). Teorema 2 Existe un ´unico valor λ∗en (0,1/2) tal que: 1. si λ≥λ∗el sistema (2) tiene una ´orbita heteroclina bidimensional con un ´unica intersecci´on con el plano de separaci´on. 2. si 0< λ < λ∗el sistema (2) no tiene ´orbitas heteroclinas bidimensionales con una ´unica intersecci´on con el plano de separaci´on. Este teorema nos asegura que se verifique la condici´on C3 para la existencia de homoclina directa en el sistema (2). 4.2. Heteroclina unidimensional. En esta secci´on probaremos la existencia una ´orbita heteroclina unidimensional en el sistema (2). Dicha conexi´on por las variedades unidimensionales ha de cortar exactamente tres veces al plano de separaci´on {x= 0}. Las primeras intersecciones de la heteroclina unidimensional con el plano de separaci´on corresponden a los puntos m−ym+. De ese modo, para que exista una ´orbita heteroclina unidimensional asociada al sistema (2) s´olo necesitamos imponer que Π+(m−) = Π−(m+) o, m´as a´un, debido a la reversibilidad del sistema, esto ocurre si el punto Π+(m−) pertenece al eje de reversibilidad. Por tanto, la primera y tercera componente de Π+(m−) deben ser nulas. De ese modo, el sistema (2) tiene una ´orbita heteroclina unidimensional con exactamente tres puntos de corte con el plano de separaci´on {x= 0}si, y s´olo si, existe una soluci´on (t2, λ2), con t2>0 y λ2>0, de xm−(t, λ) = 0, zm−(t, λ) = 0,(8) satisfaciendo la desigualdad xm−(t, λ1)>0 para todo t∈(0, t2). Integrando el sistema (2) con condici´on inicial inicial x(0, λ) = m−, el sistema (8) puede escribirse como          e−λt 1 + 3λ2(1 λ+e3λ 2t 1 + λ22λcos βt −6λ2 √4 + 3λ2senβt)=1 λ(1 + λ2) e−λt 1 + 3λ2−λ+2λ 1 + λ2e3λ 2t(1 + 2λ2) cos βt −λ √4 + 3λ2senβt= 0, (9) Tras un laborioso an´alisis del sistema (9), an´alogo al caso de la conexi´on homoclina directa, se puede probar el siguiente lema: 7 V. Carmona, F. Fern´andez-S´anchez, E. Garc´ıa, A. E. Teruel Lema 3 El sistema (9) tiene al menos una soluci´on (t2, λ2)en la regi´on Ω2=π β,2π β×1 2,1. Adem´as, como se hace para la homoclina directa, se tiene que en el interior de la regi´on Ω2se verifica que xm−(t, λ2)>0 para todo t∈(0, t2). Este lema nos permite probar el siguiente teorema. Teorema 4 Para λ=λ2, el sistema (2) tiene una ´orbita heteroclina por las variedades unidimesionales con tres puntos de intersecci´on con el plano de separaci´on. Uniendo los tres teoremas tenemos el resultado principal de nuestra comunicaci´on, el cual enunciamos a continuaci´on. Teorema 5 Existen dos valores λ1, λ2>1 2de forma que el sistema (1) para λ=λ1posee dos homoclinas directas y para λ=λ2un ciclo heteroclino tipo punto-T. Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado por los proyectos EXC/2005/FQM-872 del Proyecto de Excelencia de la Junta de Andaluc´ıa, MTM2006-00847 del Plan Nacional del 2.006 y MTM2004-04066 del Ministerio de Ciencia y T´enolog´ıa, Plan Nacional I+D+I. Referencias [1] A. Andronov, A. Vit & S. Khaikin, Theory of oscillators, Dover, 1987. [2] V. Carmona E. 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