Estimación y Control Distribuidos de Sistemas sobre Redes de Comunicación

Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 11 (2014) 377–388 © 2014 CEA. Publicado po Else ie España, S.L.U. Todos los de echos ese ados h p://dx.doi.o g/10.1016/j. iai.2014.08.001 Es imaci´ on y Con ol Dis ibuidos de Sis emas sob e Redes de Comunicaci´ on F ancisco R. Rubioa,∗, Pablo Mill´ anb, Luis O ihuelab, Ca los Vi asa aDp o. Ingenie ´ ıa de Sis emas y Au om´ a ica, Escuela T´ ecnica Supe io de Ingenie os. Uni e sidad de Se illa. Camino Descub imien os, s/n., 41092 Se illa, Espa˜ na. bDp o. Ma em´ a icas e Ingenie ´ ıa, Escuela T´ ecnica Supe io de Ingenie os. Uni e sidad Loyola Andaluc´ ıa. Calle Ene g´ ıa Sola , 1, 41014 Se illa, Espa˜ na. Resumen Es e abajo p esen a una ´ ecnica de dise˜ no no edosa pa a la es imaci´ on y con ol dis ibuido de sis emas en ed. Se conside a un p oceso disc e o de g an escala con olado po una ed de agen es que pueden ecopila in o maci´ on ace ca de la e oluci´ on de la plan a y aplica las acciones de con ol pa a mejo a su compo amien o. El dise˜ no p opues o es de especial in e ´ es cuando no se iene obse abilidad/con olabilidad local, de o ma que es necesa io u iliza la comunicaci´ on en e agen es pa a ene suficien e in o maci´ on din´ amica del sis ema. El obje i o global es dise˜ na un esquema de con ol y es imaci´ on dis ibuida, de o ma que se ob engan es imaciones fiables po pa e de los agen es as´ ı como un desempe˜ no de con ol adecuado. El abajo analiza dos esquemas di e en es de comunicaci´ on en e agen es, mues eo pe i´ odico y basado en e en os, p opo cionando p uebas de es abilidad u ilizando el c i e io de Lyapuno y m´ e odos de dise˜ no en ´ e minos de desigualdades ma iciales lineales LMIs (del ingl´ es, Linea Ma ix Inequali ies). Se mues an esul ados expe imen ales sob e un sis ema de cua o anques pa a demos a la eficacia de las me odolog´ ıas p opues as. Copy igh c 2014 CEA. Publicado po Else ie Espa˜ na, S.L. Todos los de echos ese ados. Palab as Cla e: Con ol a a ´ es de edes, Es imaci´ on dis ibuida, Con ol dis ibuido. 1. In oducci´ on Un campo que ha mo i ado muchas in es igaciones en los ´ ul imos a˜ nos es el de los Sis emas de Con ol Basados en Red (SCBR, o NCS del ingl´ es Ne wo ked Con ol Sys ems), que han ido a ayendo p og esi amen e el in e ´ es de la comunidad de con ol au om´ a ico debido al g an n´ ume o de aplicaciones y el aho o de cos es de au oma izaci´ on que suponen es os sis emas ( e , po ejemplo, Sal e al. (2008)). Los SCBR es ´ an o ma- dos po senso es, ac uado es y con olado es cuya ope aci´ on es coo dinada a a ´ es de una ed de comunicaciones. Se a a de sis emas que, de o ma ´ ıpica, es ´ an espacialmen e dis ibuidos ypueden ope a de o ma as´ ınc ona; pe o que equie en coo - dinaci´ on pa a alcanza obje i os globales. Den o del campo de la Ingenie ´ ıa de Con ol, un sis ema de con ol au om´ a ico cons a al menos de los siguien es elemen os: sis ema din´ amico o plan a que se p e ende con ola ; conjun o de senso es que miden las salidas de esa plan a y las ansmi en; con olado es que oman decisiones en unci´ on de la in o ma- ci´ on ecibida de los senso es; y ac uado es, que eciben se˜ nales ∗Au o en co espondencia. Co eos elec ´ onicos: [email p o ec ed] (F ancisco R. Rubio), [email p o ec ed] (Pablo Mill´ an), [email p o ec ed] (Luis O ihuela), [email p o ec ed] (Ca los Vi as) URL: www.esi.us.es/%7E ubio (F ancisco R. Rubio) de con ol p oceden es del con olado y las aplican a la plan a median e los elemen os de ac uaci´ on co espondien es (mo o- es, ´ al ulas ac uadas, e c). Desde el pun o de is a del ingenie o de con ol, el pa adig- ma cl´ asico de comunicaci´ on en e los dis in os elemen os an- e io men e mencionados ha pe mi ido ob ia los aspec os co- espondien es alacomunicaci´ on ycen a se exclusi amen e en los aspec os elacionados con el con ol del sis ema. La az´ on es sencilla, la a qui ec u a cl´ asica de comunicaci´ on cableada pun- o a pun o ha pe mi ido asumi impl´ ıci amen e la hip´ o esis de canal pe ec o de comunicaciones.Es o implica: Pe iodos de mues eo cons an es. Ausencia de e asos de ansmisi´ on. La in o maci´ on se en ega siemp e de o ma co ec a y a iempo, no se pie den da os en las comunicaciones. Ancho de banda ilimi ado. Resoluci´ on ilimi ada en los da os que se ansmi en. En los SCBR, los lazos de con ol se cie an median e edes de comunicaci´ on en iempo eal, edes en gene al compa idas po dis in os p ocesos o lazos de con ol. Las soluciones ec- nol´ ogicas a es e espec o comp enden un buen n´ ume o de edes, ScienceDi ec 378 F.R. Rubio e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 11 (2014) 377–388 Lee e al. (2007). Po un lado, en lo ela i o a edes de comuni- caci´ on cableadas exis en dis in os ipos en e los que des acan CAN, P ofibus yModbus.En cuan o a edes inal´ amb icas, los p o ocolos de aplicaci´ on son Blue oo h, UWB, ZigBee,yWi- Fi, que co esponden a los es ´ anda es IEEE 802.15.1, 802.15.3, 802.15.4, and 802.11a/b/g espec i amen e. De es a o ma, a medida que la ecnolog´ ıa es capaz de p o- po ciona an o disposi i os de p ocesado emo o como edes fiables de comunicaci´ on digi al, esul a cada ez m´ as ecuen e encon a soluciones de con ol que in oluc an el cie e de los lazos median e edes de comunicaci´ on compa idas. Las edes de senso es inal´ amb icas (WSN del ingl´ es Wi- eless Senso Ne wo ks) son una ecnolog´ ıa eme gen e que ha ecibido una g an a enci´ on en la ´ ul ima d´ ecada debido p in- cipalmen e a las aplicaciones desa olladas y po enciales, en campos como el con ol de p ocesos indus iales, igilancia, de ecci´ on de allos, e c, Akyildiz e al. (2002); B i˜ n´ on A anz e al. (2009); Co ´ es e al. (2004); Es in e al. (1999); Lu e al. (2011); Xiao e al. (2005). Una ed de senso es se compone de un g an n´ ume o de no- dos (agen es en un sen ido amplio) que es ´ an espacialmen e dis- ibuidos y cuen an con cie a capacidad de p ocesado y comu- nicaci´ on. Las edes de senso es p esen an una se ie de en ajas sob e las a qui ec u as cen alizadas: despliegue sencillo sob e g andes egiones p opo cionando di e sas medidas del sis ema obse ado; obus ez an e allos; meno es cos os de implemen- aci´ on y man enimien o, e c. Debido a di e sas conside aciones de dise˜ no, ales como el ama˜ no limi ado de las ba e ´ ıas, an- cho de banda y cos e, las edes inal´ amb icas de senso es p e- sen an es icciones de au onom´ ıa que imponen limi aciones de c´ alculo y comunicaciones. A pesa de es as limi aciones, la al- a conec i idad y las capacidades de coope aci´ on de las edes inal´ amb icas de senso es p opo cionan un g an po encial pa a cons ui edes que ealizan a eas complejas de al o ni el que son di ´ ıciles o incluso imposible de lle a a cabo con el en oque cl´ asico cen alizado o je ´ a quico. En es e abajo, la es imaci´ on y con ol dis ibuido su gen na u almen e en el con ex o de los sis emas geog ´ aficamen e es- paciados donde se plan ea sa is ace un obje i o global de odo el sis ema. En ´ e minos gene ales, el obje i o es induci un com- po amien o global a pa i de las acciones emp endidas po los agen es indi iduales de una mane a dis ibuida. La ca ac e ´ ıs i- ca p incipal de es e en oque es la dis ibuci´ on de in o maci´ on. A di e encia de las soluciones cen alizadas, cada agen e iene acceso s´ olo a la in o maci´ on ecogida po un n´ ume o limi ado de agen es ecinos. Dado que las edes de senso es son sis emas de escala gene almen e g andes, no es aconsejable emplea un p ocesado cen alizado pa a ecopila odos los da os del sis e- ma y ejecu a las ´ ecnicas cl´ asicas de es imaci´ on cen alizados, Ol a i-Sabe (2005). El es ado del a e en cuan o a las es a egias de con ol dis ibuido (An onelli (2013)) comp ende un g an n´ ume o de ´ ecnicas, con di e en es en oques dependiendo de la na u aleza del p oblema. Los p ime os in en os pa a o mula el p oblema son de finales de los a˜ nos 70, con los abajos sob e con ol de- cen alizado de Da ison and Chang (1990); Da ison and Wang (1973) y Ande son and Moo e (1981). El con ol p edic i o y sus nume osas aplicaciones pa a la indus ia de p oceso, ha de- mos ado se muy p ol´ ıfico en es e campo, Maes e and Negen- bo n (2013); Camponoga a e al. (2002); Dunba (2007); Al a- ado e al. (2011); Negembo n e al. (2008); Roshany-Yamchi e al. (2013); Sca olini (2009); Venka e al. (2005). O as con ibuciones no ables a es e p oblema se pueden en- con a en Lynch e al. (2002), donde se aplica el con ol semi- ac i o pa a es uc u as ci iles de g an ama˜ no, y en D’And ea and Dulle ud (2003), que aplican una idea no edosa que con- sis e en descompone la plan a y con olado en m´ odulos que se comunican en e s´ ı. Es os m´ odulos se pueden uni pa a cons- ui g andes sis emas dis ibuidos. La mayo pa e de los abajos mencionados an e io men- e descomponen la plan a en subsis emas desacoplados o aco- plados d´ ebilmen e con olados po nodos independien es. Una l´ ınea a ´ ın de in es igaci´ on es el denominado con ol descen a- lizado con solapamien o, donde a di e en es con olado es se les pe mi e compa i las en adas de con ol de la plan a, I a (1991, 1993); Siljak and Zece ic (2005). En es e a ´ ıculo, se conside a un p oceso disc e o LTI (Mill´ an e al. (2012) y Mill´ an (2012)), que es ´ a con olado po una ed de agen es que, usando in o maci´ on di ec a de la plan a y eci- bida de o os nodos, gene an las acciones de con ol adecuadas pa a log a un obje i o de e minado. Los agen es p esen an las siguien es ca ac e ´ ıs icas: obse aci´ on, ac uaci´ on, compu aci´ on y comunicaci´ on. Cada uno de ellos implemen a una es uc u a obse ado &con olado basado en obse ado es de Luenbe - ge locales en combinaci´ on con es a egias de consenso. La p i- me a pa e es esponsable de ac ualiza la es imaci´ on del agen e apa i de in o maci´ on local, mien as que la segunda iene en cuen a los da os ansmi idos desde los agen es ecinos. Po o o lado, se p oponen dos o mas de implemen a la comunicaci´ on en e agen es. En p ime luga , un en oque pe- i´ odico donde se asume que los agen es se comunican cada iempo de mues eo. En segundo luga , un esquema de comuni- caci´ on m´ as eficien e basado en e en os, que dispa a las comu- nicaciones de los agen es solo cuando exis e in o maci´ on e- le an e que ansmi i , ( e Do mido e al. (2008); Lunze and Lehmann (2010); Tabuada (2007); Guinaldo e al. (2013); Don- ke s and Heemels (2012). En Heemels e al. (2013), se p esen a una es a egia descen alizada en la que los nodos ienen in o - maci´ on pa cial de la salida de la plan a. Las ´ ecnicas o ien adas a e en os son especialmen e beneficiosas en el con ex o de e- des inal´ amb icas de senso es ya que pe mi en amplia la ida de las ba e ´ ıas y educi la ecuencia de ansmisi´ on, el uso de ancho de banda, los e asos de ansmisi´ on medios y las coli- siones en e paque es. Como se mos a ´ a, una ca ac e ´ ıs ica ele an e del esquema plan eado, que a˜ nade complejidad al dise˜ no del sis ema, es que no se cumple el P incipio de Sepa aci´ on, de o ma que el di- se˜ no de los obse ado es y los con olado es ha de ealiza se de o ma conjun a. Po ello, en una p ime a ap oximaci´ on al p o- blema, se conside a s´ olo el caso en el que no exis en e a dos ni p´ e dida de in o maci´ on en la ed que conec a a los agen es. De es a o ma, se abo da el p oblema de limi aci´ on de la in o - maci´ on disponible y de ancho de banda limi ado, igualmen e impo an es en los SCBR. La es abilidad del sis ema dise˜ nado F.R. Rubio e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 11 (2014) 377–388 379 se ga an iza median e el plan eamien o de unciones de Lyapu- no . El abajo es ´ a o ganizado de la siguien e mane a: en p i- me luga se desc ibe el p oblema de con ol dis ibuido en la secci´ on 2 y en la secci´ on 3 se o mula el p oblema sub´ op imo de es imaci´ on y de con ol. Pos e io men e en las secciones 4 y5 se desc iben la soluci´ on p opues a pa a los escena ios de sis emas mues eados po iempo y po e en os. La secci´ on 6 desc ibe la aplicaci´ on a un sis ema de con ol de ni el en una plan a de cua o anques, pa a demos a el desempe˜ no del es- quema p esen ado. El a ´ ıculo e mina con las conclusiones en la secci´ on 7. 2. Desc ipci´ on del sis ema. Consid´ e ese el sis ema de es imaci´ on y con ol dis ibuido ep esen ado en la figu a 1. El p oceso se moni o iza y con ola a a ´ es de una ed de agen es. P oceso a g an escala obse ado & con olado con olado obse ado conexión al sis ema conexión de ed Figu a 1: Esquema dis ibuido de una plan a A con inuaci´ on, se desc iben los di e en es elemen os que componen el sis ema dis ibuido. Plan a Consid´ e ese un sis ema disc e o LTI en su ep esen aci´ on en espacio de es ados. En la figu a 1 se ilus a que la plan a es ´ a siendo con olada po un conjun o de agen es que pueden ges iona dis in os ac uado es. La din´ amica del sis ema puede se desc i a como x(k+1) =Ax(k)+ p  i=1 Biui(k),(1) donde x∈Rnes el es ado de la plan a y ui∈Rdi(i=1,...,p) es la se˜ nal de con ol que el agen e iaplica al sis ema. Las ma- ices A∈Rn×nyBi∈Rn×dison conocidas. Definiendo una ma iz de con ol aumen ada BB1B2... Bp y un ec o de con ol aumen ado U(k)uT 1(k)uT 2(k)... uT p(k)T,(2) la ecuaci´ on (1) puede esc ibi se de o ma compac a como x(k+1) =Ax(k)+BU(k),(3) donde U(k)∈Rd, con d=p i=1di. Red La ed de la figu a 1 se define opol´ ogicamen e po su g a o de comunicaciones G=(V,E)con nodos V={1,2,...,p}y enlaces E⊂V×V.El conjun o de agen es que en ´ ıan in o - maci´ on al nodo ise denomina la ecindad de i y se ep esen a po Ni≡{j:(j,i)∈E}. El enlace ( j,i) implica que el agen e i ecibe in o maci´ on del agen e j. Agen es El en oque adop ado se co esponde con un esquema de con ol dis ibuido, en el que los agen es es iman el es ado de la plan a bas´ andose an o en la in o maci´ on ecopilada a ni el lo- cal como en aquella en iada po sus ecinos. U ilizando dicha es imaci´ on, aquellos agen es con capacidades de con ol calcu- lan la se˜ nal de en ada que aplica ´ an al sis ema. Cada agen e imide una salida espec´ ıfica de la plan a yi, que iene dada po yi(k)=Cix(k)∈R i,(4) donde las ma ices Ci∈R i×nson conocidas. Se define aho a la ma iz Ccomo la apilaci´ on de odas las ma ices de salida: CCT 1CT 2...CT pT. Se asume en el es o del a ´ ıculo que el pa (A,B) en (3) es es abilizable yelpa (A,C) es de ec able. Si el nodo i iene capacidades de con ol, gene a una acci´ on ui(k), en la o ma ui(k)=Kiˆxi(k)∈Rdi,(5) donde ˆxi∈Rndeno a la es imaci´ on del agen e i,yKi∈Rdi×n (i∈V) son los con olado es locales que deben dise˜ na se. La es imaci´ on del es ado de la plan a se ob iene en cada agen e i∈Vu ilizando la siguien e es uc u a: ˆxi(k+1) =Aˆxi(k)+Bˆ Ui(k)+Mi(yi(k)−Ciˆxi(k)) + j∈Ni Nji(ˆxj(k)−ˆxi(k)),(6) donde ˆ Ui(k)∈Rdes la es imaci´ on que hace el agen e ide odas las se˜ nales de con ol aplicadas y se define como ˆ Ui(k)ˆuT 1(k)... uT i(k)... ˆuT p(k)T, 380 F.R. Rubio e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 11 (2014) 377–388 donde ˆuj(k)=Kjˆxi(k),∀ji. Como puede e se en la ecuaci´ on (6), cada agen e iene dos uen es di e en es de in o maci´ on pa a co egi sus es imacio- nes. En p ime luga , u iliza la salida de la plan a yi(k) de ma- ne a simila a un obse ado cl´ asico de Luenbe ge , Mi(yi(k)− ˆyi(k)), siendo Mi,i∈V,la ganancia del obse ado a dise˜ na . Po o a pa e, a˜ nade un ´ e mino de co ecci´ on po cada es ima- ci´ on ecibida de los nodos ecinos, Nji(ˆxj(k)−ˆxi(k)),∀j∈N i, donde Nji,(j,i)∈E, son ma ices de consenso a dise˜ na . El e o de obse aci´ on de cada nodo se define como ei(k)x(k)−ˆxi(k),i∈V.(7) Vale la pena eco da que los nodos indi iduales no ienen in o maci´ on ace ca de la se˜ nal de con ol exac a que se aplica a la plan a, ya que cada nodo ac uado aplica una se˜ nal de con ol di e en e en unci´ on de su es imaci´ on pa icula del es ado (5). Idealmen e, la ecuaci´ on (6) debe se implemen ada u ilizando el U(k), es deci , las se˜ nales de con ol que el conjun o de agen es aplica a la plan a. Sin emba go, es a in o maci´ on no es ´ a dis- ponible pa a los agen es. Pa a so ea es a dificul ad y hace la ecuaci´ on (6) ealizable, la soluci´ on p opues a consis e en deja que cada nodo ejecu e su obse ado con el ec o de con ol ob enido a pa i de su es imaci´ on pa icula . Es deci Bˆ Ui(k)= p  j=1 BjKjˆxi(k)=BK ˆxi(k), donde la ma iz de con ol aumen ada sa is ace KT=KT 1KT 2... KT p El ec o de con ol eal aplicado a la plan a es ´ a o mado po las es imaciones de cada nodo BU(k)= p  j=1 BjKjˆxj(k). En gene al, la se˜ nal de con ol eal y la es imada son di e- en es, pe o si las es imaciones de los nodos con e gen a los es ados de la plan a, es as di e encias desapa ecen p og esi a- men e. 3. Desc ipci´ on del p oblema Consid´ e ese un sis ema disc e o LTI con din´ amica dada po (1). La plan a es obse ada y con olada po un conjun o de nodos pen una ed cuya opolog´ ıa puede se ep esen ada po el g a o G=(V,E). La din´ amica de los nodos es ´ a dada po (6), cada uno de ellos ecibe una medida de la plan a definida po (4), y aplica una se˜ nal de con ol definida po (5). En onces, dada la unci´ on de cos e J=∞  j=k0 xT(j)Qxx(j)+ +∞  j=k0 i∈V eT i(j)Qiei(j)+uT i(j)Riui(j),(8) el p oblema sub´ op imo de con ol y obse aci´ on dis ibuidos consis e en encon a los obse ado es Mi,i∈VyNji,(j,i)∈ Ey los con olado es Ki,i∈V, al que: El es ado del sis ema x(k) sea asin ´ o icamen e es able. Los e o es de obse aci´ on ei(k) sean asin ´ o icamen e es- ables. El dise˜ no ob enido minimice la co a supe io de la un- ci´ on de cos e (8). En la unci´ on de cos e (8), se ponde an los es ados en e a la se˜ nal de con ol de o ma simila al bien conocido con olado LQR. 4. Caso de mues eo pe i´ odico En es e apa ado se esuel e el p oblema plan eado pa a el caso en el que la comunicaci´ on en e los agen es enga luga de o ma pe i´ odica, ecibiendo in o maci´ on de los ecinos cada ins an e de mues eo k. 4.1. Din´ amica del es ado de la plan a y del e o de obse a- ci´ on Se define aho a el ec o de e o eT(k)=[eT 1(k), ..., eT p(k)] ∈ Rnp, el ec o de es ado aumen ado ξT(k)=xT(k)eT(k)∈ Rn(p+1), y los conjun os M,N,Kcomo M={Mi,i∈V}, N={Nji,(j,i)∈E}, K={Ki,i∈V}. Las siguien es p oposiciones es udian la din´ amica de los di- e en es p ocesos. Las demos aciones son inmedia as a pa i de las ecuaciones (3)-(7). P oposici´ on 1. La din´ amica del es ado de la plan a x(k) es ´ a dada po x(k+1) =(A+BK)x(k)+Υ(K)e(k),(9) donde Υ(K)=−B1K1−B2K2··· −BpKp. P oposici´ on 2. La din´ amica del ec o de e o e(k)puede esc ibi se de la siguien e o ma e(k+1) =(Φ(M)+Ψ(K)+Λ(N))e(k),(10) donde Φ(M)=diag{(A−M1C1),...,(A−MpCp)}, Ψ(K)=diag{BK,..., BK}+⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ −B1K1... −BpKp . . ..... . . −B1K1... −BpKp ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ Λ(N)= (j,i)∈E Θ(Nji), F.R. Rubio e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 11 (2014) 377–388 381 siendo Θ(Nji)= col.ij ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 0··· 0··· 0··· 0 . . .. . .. . .. . . 0··· −Nji ··· Nji ··· 0 . . .. . .. . .. . . 0··· 0··· 0··· 0 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ilai P oposici´ on 3. La e oluci´ on del ec o de e o aumen ado ξ(k)se puede exp esa de la siguien e o ma ξ(k+1) =Ω(M,N,K)ξ(k),(11) donde Ω(M,N,K)=A+BK Υ(K) 0Φ(M)+Ψ(K)+Λ(N). La es uc u a de (11) e ela que el p incipio cl´ asico de se- pa aci´ on obse aci´ on/con ol no se cumple en el p oblema que nos ocupa, ya que la ma ix Ψ(K)depende de los con olado- es. La az´ on es e iden e si enemos en cuen a que los agen es desconocen la se˜ nal de con ol eal que se aplica a la plan a y ecu en a las es imaciones. No obs an e, en la siguien e secci´ on se p opond ´ aunm ´ e odo que pe mi e dise˜ na de o ma unifica- da odos los con olado es y obse ado es dis ibuidos de o ma que se ga an ice la es abilidad global del sis ema. P oposici´ on 4. La unci´ on de cos e (8) puede esc ibi se co- mo J=∞  j=k0 ξT(j)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(j),(12) donde Q=diag{Qx,Q1,Q2,...,Qp}, R=diag{R1,R2,...,Rp}, ¯ K=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ K1−K10... 0 K20−K2... 0 . . .. . .. . ..... . . Kp00... −Kp ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . Es e esul ado se puede p oba ´ acilmen e sus i uyendo las ma ices Q,R,¯ Ky el ec o aumen ado ξ(k) en la ecuaci´ on (12). 4.2. Dise˜ no conjun o de obse ado es y con olado es En es a secci´ on, se desa olla un m´ e odo de dise˜ no conjun- o basado en la eo ´ ıa de Lyapuno que asegu a la es abilidad asin ´ o ica de la plan a y los e o es de obse aci´ on. El siguien e eo ema es ablece el m´ e odo de dise˜ no basado en LMIs y las p opiedades de es abilidad y endimien o del sis ema. Teo ema 1. Dado un uncional de cos e (12), el p oblema sub´ op imo de obse aci´ on y con ol dis ibuido se esuel e en- con ando los conjun os M,N,Kque den soluci´ on al siguien e p oblema de op imizaci´ on: m´ ın P,M,N,Kα, (13) suje o a α>0y P<αI,(14) ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ −PΩTI¯ KT ∗−P−100 ∗∗−Q−10 ∗∗ ∗−R−1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ <0.(15) Demos aci´ on: Consid´ e ese la siguien e unci´ on de Lyapu- no : ΔV(k)=ξT(k)Pξ(k),(16) donde Pes una ma ix definida posi i a. El inc emen o de la unci´ on de Lyapuno iene dado po la siguien e ecuaci´ on ΔV(k)=ξT(k+1)Pξ(k+1) −ξT(k)Pξ(k). Teniendo en cuen a la P oposici´ on 3, la ecuaci´ on an e io puede eesc ibi se como sigue: ΔV(k)=ξT(k)ΩTPΩξ(k)−ξT(k)Pξ(k), =ξT(k)ΩTPΩ−Pξ(k). Teniendo en cuen a los esul ados de es abilidad de Lya- puno , el es ado del sis ema y los e o es de es imaci´ on son asin ´ o icamen e es ables s´ ıys ´ olo s´ ı exis e una ma iz P>0 al que ΩTPΩ−Pes definida nega i a. U ilizando el comple- men o de Schu , las siguien es desigualdades son equi alen es: ΩTPΩ−P<0↔−PΩT ∗−P−1<0. La condici´ on an e io se ga an iza dado que la ma iz an e io es exac amen e el meno p incipal de o den 2 de la ma iz in o- luc ada en la desigualdad ma icial (15), que debe se definido nega i o pa a que dicha desigualdad se cumpla. De es a o ma, queda demos ada la es abilidad del esquema descen alizado seg´ un el dise˜ no p opues o. Acon inuaci´ on, se es udia la minimizaci´ on de la co a supe- io de la unci´ on de cos e. N´ o ese que la condici´ on (15) implica que ΩTPΩ−P+Q+¯ KTR¯ K<0. Po lo an o, debe ´ a e ifica se ξT(k)ΩTPΩ−Pξ(k)<−ξT(k)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(k). Teniendo en cuen a la ecuaci´ on an e io y el inc emen o de la unci´ on de Lyapuno , se ob iene que ΔV(k)=ξT(k)ΩTPΩ−Pξ(k) <−ξT(k)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(k).(17) Si aho a se halla el suma o io a ambos lados de (17) desde k0ak, esul a k  j=k0 ΔV(j)<− k  j=k0 ξT(j)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(j). 382 F.R. Rubio e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 11 (2014) 377–388 Se puede obse a que k j=k0 ΔV(j)=k j=k0(V(j+1) − V(j)) =V(k+1)−V(k0). Cuando k→∞, la es abilidad asin ´ o i- ca del sis ema implica que V(k)→0, de mane a que, −V(k0)<−∞  j=k0 ξT(j)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(j). Finalmen e, a pa i de la P oposici´ on 4, se ob iene J<V(k0)=ξ(k0)TPξ(k0)≤λm´ ax(P)ξ(k0)2. El alo de V(k0) depende de las condiciones iniciales del sis ema y los agen es. De es a o ma, la minimizaci´ on de λm´ ax(P) minimiza ´ ıa a su ez la co a supe io de la unci´ on de cos e J independien emen e de las condiciones iniciales. La condici´ on (14) asegu a que el m´ aximo au o alo de P es ´ e aco ado po α. Po an o, op imizando (13) se minimiza la co a supe io de la unci´ on de cos e.  La p incipal dificul ad que p esen a el eo ema no adica en la minimizaci´ on de α, que puede hace se median e un algo i mo de bisecci´ on, sino la p esencia de la condici´ on no lineal (15). A con inuaci´ on, se p oponen dos soluciones pa a hace en e a es a no linealidad. Res icci´ on en P−1:La condici´ on (14) es equi alen e a −P−1<−1 αI. Teniendo es o en cuen a, la es icci´ on no lineal (15) del Teo ema 1 puede se eemplazada po : ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ −PΩTI¯ KT ∗− 1 αI00 ∗∗−Q−10 ∗∗ ∗−R−1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ <0.(18) En compa aci´ on con el m´ e odo in oducido en Yue e al. (2005) en el cual PαI, el que aqu´ ı se p opone aba ca un conjun o m´ as amplio de soluciones posibles en el espacio de las ma ices definidas posi i as. Algo i mo del cono complemen a io: Tambi´ en se puede adap a el p ocedimien o ( e El Ghaoui e al. (1997)), en el que se abo da la no linealidad P−1in oduciendo nue as a iables y es icciones. La adap aci´ on del algo i mo al p oblema que nos ocupa es i ial y se ha omi ido en es e abajo. Su uso pe mi e esol e el p oblema p opues o en el Teo ema 1 sin a˜ nadi con- se adu ismo, al cos e de inc emen a el cos e compu acional. Obse aci´ on 1. El m´ e odo de dise˜ no que se de i a del Teo- ema 1 puede esol e se ue a de l´ ınea de o ma cen alizada. Pa a ello p ecisa de in o maci´ on global del sis ema: opolog´ ıa de la ed, ma ices de salida Ciy en ada Bide cada agen e, e c. Sin emba go, una ez que los obse ado es y los con olado es se dise˜ nen, su implemen aci´ on es comple amen e dis ibuida y s´ olo equie e in o maci´ on disponible localmen e en cada nodo. Obse aci´ on 2. El plan eamien o que se hace en es e aba- jo conlle a la esoluci´ on de un p oblema de op imizaci´ on suje o aLMIs. Es o p opo ciona un m´ e odo de dise˜ no num´ e icamen- e eficien e y pe mi e explo a odos los g ados de libe ad en el dise˜ no. Es a flexibilidad se consigue, sin emba go, a cos a de aumen a la ca ga de c´ alculo, que aumen a con el n´ ume o de nodos y la dimensi´ on del sis ema. Los m´ e odos de dise˜ no descen alizados o dis ibuidos cons i uyen oda ´ ıa un p oble- ma abie o pa a es e ipo de sis emas de g an escala. Obse aci´ on 3. El caso de di e en es iempos de mues eo de los agen es, es un abajo en desa ollo ac ual po los au o- es y que implica una mayo complejidad. El caso de mues eos m´ ul iplos exac os de un mues eo com´ un a odos es di ec amen- e abo dable con la soluci´ on p opues a, ya que se ´ ıa modifica la ma ices A,ByCide la ecuaci´ on (6) pa a adap a las al caso. 5. Caso de mues eo basado en e en os En la a qui ec u a de con ol p opues a en el apa ado an e- io , los agen es pe i´ odicamen e in e cambian las es imaciones del es ado de la plan a con sus ecinos. En es a secci´ on se ex- iende el esul ado an e io a un esquema de comunicaci´ on po e en os, pe siguiendo un aho o de ene g´ ıa y de ancho de ban- da median e la ac i aci´ on de las ansmisiones s´ olo en ins an es de iempo espec´ ıficos, cuando exis e in o maci´ on ele an e que ansmi i , Do mido e al. (2008), Heemels e al. (2008). Se define el ´ ındice empo al lj(k) como el ins an e de iempo m´ as ecien e (m´ as p ´ oximo ak) en el que el agen e jen i´ o sus es imaciones a sus ecinos. La egla que ac i a los e en os de comunicaci´ on se de alla a con inuaci´ on. Regla de ac i aci´ on: Dado un umb al δω>0, en el ins an e k, el agen e jdi unde sus es imaciones a odos sus ecinos i: j∈N i,s ´ ıys ´ olo s´ ı ˆxj(lj(k)) −ˆxj(k)≥δω,pa a k>lj(k),(19) es deci , en ´ ıa la in o maci´ on cuando la di e encia en e el es- ado ac ual yel´ ul imo en iado supe a cie o umb al. Desde el pun o de is a de modelado, la p incipal di e en- cia en e el sis ema pe i´ odicamen e mues eado y el pa adigma o ien ado a e en os es el pa ´ on no uni o me de ansmisi´ on de la in o maci´ on. Es o modifica el compo amien o de los agen- es, cuya din´ amica iene aho a de e minada po : ˆxi(k+1) =Aˆxi(k)+Bˆ Ui(k)+Mi(yi(k)−Ciˆxi(k)) + j∈Ni Nji(ˆxj(lj(k)) −ˆxi(k)).(20) La ecuaci´ on (20) iene en cuen a la comunicaci´ on no pe- i´ odica a a ´ es del ´ ındice empo al lj(k), que puede se di e en- e pa a cada agen e j∈V. El e ec o que es e ipo de comunicaci´ on p oduce sob e la din´ amica puede asimila se al e ec o de unas pe u baciones. Pa- a mos a es o, consid´ e ese la siguien e ecuaci´ on, que eesc ibe la din´ amica de los obse ado es dada en (20) pa a es a si ua- ci´ on: ˆxi(k+1) =Aˆxi(k)+BUi(k)+Mi(yi(k)−Ciˆxi(k)) + j∈Ni Nji(ˆxj(k)−ˆxi(k)) + j∈Ni Njiωj(k),(21) donde ωj(k)=ˆxj(lj(k)) −ˆxj(k).(22) Compa ando (21) con (6), puede obse a se que la din´ amica de los agen es en el caso de la comunicaci´ on basada en e en- os s´ olo difie e de aquella con comunicaci´ on pe i´ odica en los F.R. Rubio e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 11 (2014) 377–388 383 ´ e minos ωj(k). El ´ e mino ωj(k) puede se in e p e ado como una pe u baci´ on ex e na debida al flujo discon inuo de in o - maci´ on en e los ecinos, que se pone a ce o en cada ins an e de ansmisi´ on. De es a mane a, cada ez que el agen e j ans- mi e su es ado a sus ecinos, se iene que ωj(k)=0. Vale la pena des aca que la pe u baci´ on que cada agen e j induce a sus ecinos es desconocida po ellos, pe o puede se moni o izada localmen e po el agen e j. La e oluci´ on del es ado del sis ema y del ec o de e o se p esen an en el siguien e esul ado, que es equi alen e a la P o- posici´ on 2 pa a el caso de comunicaci´ on po e en os. Debido a sus simili udes, se omi e su demos aci´ on. P oposici´ on 5. Sea ωT(k)=ωT 1(k)... ω T p(k). Pa a el caso de mues eo basado en e en os la e oluci´ on del es ado x(k) iene dado po la P oposici´ on 1, y la din´ amica del e o de es imaci´ on e(k) iene dada po e(k+1) =(Φ(M)+Ψ(K)+Λ(N))e(k)−Γ(N)ω(k),(23) donde las unciones Φ(M),Ψ(K),Λ(N)es ´ an definidas igual que en la P oposici´ on 2, y Γ(N)= (j,i)∈E Ψ(Nji), siendo Ψ(Nji)= col.ij ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 0··· 0··· 0··· 0 . . .. . .. . .. . . 0··· 0··· Nji ··· 0 . . .. . .. . .. . . 0··· 0··· 0··· 0 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ilai 5.1. P opiedades de es abilidad En ´ e minos de es abilidad, el mues eo basado en e en- os que se p opone impide alcanza la es abilidad asin ´ o ica. Pi´ ensese que pod ´ ıa da se el caso de que hubiese un e o en ´ egimen pe manen e peque˜ no que, debido a que no p oduce e en os, nunca llega ´ ıa a anula se. O os au o es han p opues o di e en es eglas de ejecuci´ on de e en os que consiguen es abilidad asin ´ o ica. Po ejemplo, en Yue e al. (2013) se in oduce un egla que ac i a e en os cuando la di e encia po cen ual con espec o al alo medido supe a cie o umb al. El compo amien o asin ´ o ico se consi- gue a base de en ia mues as a´ un es ando ce ca del pun o de equilib io, lo que aumen a el ´ afico po la ed compa ado con al soluci´ on aqu´ ı p opues a. A con inuaci´ on se mues a que el en oque p esen ado p e- sen a es abilidad p ´ ac ica, quedando el es ado de la plan a y los e o es de obse aci´ on aco ados. U ilizando no aci´ on in e - nacional, el sis ema es GUUB (Globally Uni o mly Ul ima ely Bounded), es deci , el sis ema es a a´ ıdo y queda confinado den- o de una egi´ on a bi a iamen e peque˜ na al ededo del pun o de equilib io. Escogiendo la misma unci´ on de Lyapuno , el inc emen o ΔV(k) incluye aho a ´ e minos adicionales debido a la p esencia del ec o ω(k): ΔV(k)=ξT(k)ΩTPΩ−Pξ(k)+2ξT(k)ΩTP¯ Γω(k) +ωT(k)¯ ΓTP¯ Γω(k), donde ¯ Γ0 Γ(N). U ilizando un conjun o de con olado es y obse ado es que sa is agan el p oblema p opues o en el Teo ema 1, se consigue que el p ime ´ e mino sea nega i o. El es o de los elemen os pueden no se nega i os, debido a la p esencia de ω(k). Sin em- ba go, es ´ acil mos a 1que el inc emen o es nega i o pa a a- lo es del ec o de es ado aumen ado cuya no ma supe e cie o umb al: ΔV(k)<0,si ξ(k)>a, donde a oma el alo a=ΩTP¯ Γ+ΩTP¯ Γ2+λm´ ın(Ω)¯ ΓTP¯ Γ1/2 λm´ ın(Ω) Una ez se iene aco ada la no ma de ξ(k), es inmedia o demos a que el es ado del sis ema x(k) ambi´ en pe manece aco ado. Pa a ello hay que ene en cuen a que, pa a aquellos ec o es pa a los que el inc emen o de la unci´ on de Lyapuno pueda se posi i o (los que ya es ´ an ce ca del equilib io), la e oluci´ on a un paso no los puede lle a a bi a iamen e lejos de la egi´ on, debido a que las pe u baciones ω(k) es ´ an aco adas po definici´ on. Pa a un sis ema comple amen e disc e o, en el que no ie- ne sen ido habla del iempo en e ins an es de mues eo, ω(k) siemp e es ´ a aco ada po δω. Si la plan a p o iene de la disc e i- zaci´ on de un sis ema con inuo, en onces hay que ene p ecau- ci´ on. Aunque en kse cumpla que es ´ a aco ado y en k+1 alga ce o, pod ´ ıa ocu i que en un ins an e in e medio supe e dicho alo . Sin emba go, es e incon enien e es ´ acil de sal a si se incluye alg´ un ipo de es icci´ on al sis ema, como condiciones de ipo Lipschi z, de o ma que no pueda c ece sin l´ ımi es en e iempos de mues eo. Es de supone que al disc e iza la plan- a, el pe iodo de mues eo se ha escogido con enien emen e. Adem´ as, pa a sis emas lineales con se˜ nales de con ol p o e- nien es de un ZOH, exis e siemp e dicha cons an e de Lipschi z. Si el lec o quie e encon a una p ueba comple a pa a el caso de comunicaci´ on en e s´ olo dos agen es, se ecomienda el a ´ ıculo de los mismos au o es O ihuela e al. (2013). 6. Ejemplo de aplicaci´ on En es a secci´ on se p esen an una se ie de esul ados ex- pe imen ales al obje o de ilus a la aplicaci´ on y demos a el 1Al oma no mas, se ob iene una ecuaci´ on cuad ´ a ica en ξ(k), con coefi- cien e nega i o del ´ e mino de segundo g ado. De las dos soluciones, s´ olo una es posi i a. Pa a alo es mayo es de dicha soluci´ on, el inc emen o de la unci´ on de Lyapuno es nega i o. 384 F.R. Rubio e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 11 (2014) 377–388 Tabla 1: No aci´ on ela i a a la plan a Desc ipci´ on hiNi el de agua del anque i iVol aje de en ada a la bomba i h0 iNi el de e e encia del anque i 0 iVol aje de e e encia a la bomba i ΔhiInc emen o de ni el hicon espec o a h0 i Δ iInc emen o de ol aje icon espec o a 0 i sSalida del sis ema Re e encia a segui Δh Ni el de e e encia con espec o a h0 Δ Vol aje de e e encia con espec o a 0 uncionamien o del m´ e odo p opues o en es e a ´ ıculo. Se apli- ca ´ a el dise˜ no del sis ema de con ol y obse aci´ on dis ibuido aun equipo consis en e en cua o anques acoplados, conc e a- men e el equipo 33-041 de Feedback, ( e Ins umen s (2012)). 6.1. Desc ipci´ on de la plan a La plan a, una a ian e del p oceso de anques que se p o- puso o iginalmen e en Johansson (2000), es un modelo de un agmen o de una plan a qu´ ımica. Se compone de cua o an- ques, cada uno equipado con un senso de p esi´ on pa a medi el ni el de agua. Los acoplamien os en e los anques se pue- den cambia u ilizando sie e ´ al ulas manuales pa a modifica la din´ amica del sis ema. El agua se suminis a a los anques po dos bombas sume gidas con oladas de o ma independien e. La no aci´ on elacionada con la plan a se da en el Cuad o 1. La plan a se con ola u ilizando Simulink y una a je a de in- e az PCI1711. Pa a los expe imen os se ha elegido la siguien e configu aci´ on: El agua de en ada se suminis a a los dep´ osi os supe io- es. La bomba 1 alimen a el dep´ osi o 1 y la bomba 2 el dep´ osi o 3. Los dep´ osi os 1y3es ´ an acoplados median e la ape u a de la ´ al ula co espondien e. Aunque la plan a es una pla a o ma educa i a, ep esen a de o ma ealis a algunos de los elemen os ele an es de una plan a con olada de o ma dis ibuida. El esquema de con ol dis ibuido p opues o en es e abajo se aplica a la plan a conside ando una ed con cua o agen es, dos de los cuales aplican se˜ nales de con ol ( e figu a 2). Cada agen e ha sido e ique ado de 1 a 4 de acue do con el n´ ume o de dep´ osi o cuyo ni el es ´ a midiendo. El agen e 1 ( espec i amen e 3) aplica la se˜ nal de con ol a la bomba 1 (2). La opolog´ ıa del g a o es: 2 ⇔1⇔3⇔4. El obje i o de los expe imen os es doble. En p ime luga , los cua o es ados de la plan a deben se es imados po cada agen e. En segundo luga , el ni el de agua de los dos dep´ osi- os in e io es debe se con olado. Con es a configu aci´ on, los agen es de con ol (agen es 1 y 3) no ienen medici´ on di ec a de las a iables que se con olan (los ni eles en los anques 2 y 4). La egla de ac i aci´ on de los e en os elegida (ecuaci´ on 19), dispa a el e en o cuando se iene una di e encia en e la es ima- ci´ on ac ual y la an e io en iada a los ecinos. En el caso de los 4 3 2 1 Figu a 2: Esquema de con ol dis ibuido con 4 agen es. anques implica que se ac i an los e en os cuando la es imaci´ on de ni el difie en en una can idad. 6.2. Modelado de la plan a El sis ema de anques acoplados admi e el siguien e modelo no lineal: dh1( ) d =−a1 S2gh1( )+η 1( )−a13 S2g(h1( )−h3( )), dh2( ) d =a1 S2gh1( )−a2 S2gh2( ), dh3( ) d =−a3 S2gh3( )+η 2( )+a13 S2g(h1( )−h3( )), dh4( ) d =a3 S2gh3( )−a4 S2gh4( ), donde hi( )(i=1,...,4) indica el ni el de agua en el dep´ osi- o co espondien e y i(i=1,2) es la ensi´ on aplicada a la bomba i.ai(i=1,...,4)esel´ a ea de salida de cada anque, a13 es el ´ a ea de la ube ´ ıa de in e conexi´ on en e los anques 1 y3;ηes una cons an e que elaciona la ensi´ on de con ol de la bomba y el flujo de agua, Ses el ´ a ea de la secci´ on ans e sal de los anques, y ges la cons an e g a i acional. Es e sis ema se linealiza al ededo del pun o de equilib io dado po h0 iyu0 i, ob eni´ endose Δ˙ h( )=AΔh( )+BΔ ( ),(24) donde Δh( )=h1( )−h0 1... h4( )−h0 4T yΔ ( )= 1( )− 0 1 2( )− 0 2T. Las ma ices AyBen (25) (p´ agina siguien e), se han ob enido median e un desa ollo de Taylo de las ecuaciones no lineales del modelo en el pun o de equilib io. Disc e izando es e modelo con pe iodo de mues o T, se iene Δh(k+1) =ADΔh(k)+BDΔ (k),(26) donde Δh(k)=h1(k)−h0 1... h4(k)−h0 4T yΔ (k)= 1(k)− 0 1 2(k)− 0 2T. Las ma ices ADyBDson las ma ices disc e as co espondien es de AyB. F.R. Rubio e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 11 (2014) 377–388 385 A= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ −a1g S√2gh0 1−a13g S√2g(h0 1−h0 3)0a13g S√2g(h0 1−h0 3)0 a1g S√2gh0 1−a2g S√2gh0 2 00 a13g S√2g(h0 1−h0 3)0−a3g S√2gh0 3−a13g S√2g(h0 1−h0 3)0 00 a3g S√2gh0 3−a4g S√2gh0 4 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ,B=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ η0 00 0η 00 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (25) Tabla 2: Pa ´ ame os de la plan a. Valo Unidades Desc ipci´ on hi0-25 cm Ni el en el anque i i0-5 V Vol aje en al bomba i S 0.01389 m2´ A ea de la secci´ on ai50.265e-6 m2´ A ea de salida del anque i a13 50.265e-6 m2´ A ea de salida en e los anques 1 y 3 η2.2e-3 m V.sCons an e que elaciona ol aje y caudal h0 19.8 cm Ni el de equilib io en el anque 1 h0 217.4 cm Ni el de equilib io en el anque 2 h0 37.5 cm Ni el de equilib io en el anque 3 h0 413.6 cm Ni el de equilib io en el anque 4 0 13.3 cm Vol aje de equilib io en la bomba 1 0 22.6 cm Vol aje de equilib io en la bomba 2 T2.0 segundos Tiempo de mues eo El obje i o no es s´ olo es abiliza la plan a al ededo del pun- o de ope aci´ on o pun o de linealizaci´ on, sino ambi´ en segui e e encias. Pa a ello, la salida del sis ema es ´ a es ablecida co- mo, s(k)C Δh(k), donde C es una ma iz que selecciona el ni el de agua de los anques 2 y 4. Las e e encias es ´ an dadas po el ec o (k). En los pun os de equilib io, se debe e ifica s(k)≃ (k)yΔh(k+1) ≃Δh(k)≃Δh (k). Pa a lle a a cabo la a ea de seguimien o, los pun os de equilib io inc emen ales (Δh (k),Δ (k)) asociados con la e e encia (k) se elacionan como sigue. Δh (k)=ADΔh (k)+BDΔ (k), (k)=CzΔh (k). Reesc ibiendo la ecuaci´ on en o ma de bloques se iene, 0 (k)=AD−IB D Cz0Δh (k) Δ (k), de modo que el pun o de equilib io inc emen al asociado con (k) puede ob ene se como Δh (k) Δ (k)=AD−IB D Cz0−10 (k). Se asume que las e e encias son alcanzables po el sis ema, es deci , la in e sa an e io exis e. Finalmen e, pa a el segui- mien o de e e encias, se debe es abiliza el sis ema siguien e: x(k+1) =ADx(k)+BDu(k),(27) donde x(k)Δh(k)−Δh yu(k)Δ (k)−Δ . Obs´ e ese que es e sis ema iene la misma es uc u a que el desc i o en (3). 6.3. Resul ados expe imen ales El endimien o del m´ e odo de con ol dis ibuido p opues o ha sido p obado expe imen almen e en el sis ema de con ol de 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 5 10 15 20 iempo (s) ni el (cm) h1 h2 h3 h4 h4 h2 h1 h3 Figu a 3: Seguimien o de e e encias con mues eo pe i´ odico. Las e e encias es ´ an con l´ ıneas de azos. ni el de cua o anques, con los pa ´ ame os iden ificados de la plan a que se mues an en el Cuad o 2. Se ha ealizado una compa aci´ on de los dos esquemas de comunicaci´ on en e los agen es, comunicaci´ on pe i´ odica y co- municaci´ on po e en os. En p ime luga , se lle ´ o a cabo el di- se˜ no de los con olado es y obse ado es dis ibuidos de acue - do al Teo ema 1, eligiendo las siguien es ma ices de ponde a- ci´ on (8) como Qx=diag(0,1 100 0,1 100) Q1=diag(1 10 1 0,1) Q2=10−2·diag(1111) Q3=diag(1 0,1 1 10) Q4=10−2·diag(1111) R=10−6·I2 La figu a 3 mues a el compo amien o del sis ema p opues- o de con ol dis ibuido. Puede obse a se un seguimien o sa- is ac o io de las e e encias en los anques2y4.Lose ec os de las ma ices de ponde aci´ on elegidas se e idencian en la sob e- oscilaci´ on de los anques 1 y 3, cuya finalidad es la de ealiza un seguimien o ´ apido de las e e encias en los dep´ osi os in e- io es. El iempo de espues a p omedio es de al ededo de 100 segundos, ap oximadamen e un e cio de la cons an e de iempo na u al del sis ema de bucle abie o. Los ni eles de agua se mues an en la figu a 4, jun o con las es imaciones de es os ni eles po pa e del agen e 1. Vale la pena se˜ nala que el agen e no iene acceso di ec o a las medicio-