Estimación y Control Distribuidos de Sistemas sobre Redes de Comunicación

Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377–388 © 2014 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L.U. Todos los derechos reservados http://dx.doi.org/10.1016/j.riai.2014.08.001 Estimaci´ on y Control Distribuidos de Sistemas sobre Redes de Comunicaci´ on Francisco R. Rubioa,∗, Pablo Mill´ anb, Luis Orihuelab, Carlos Vivasa aDpto. Ingenier´ ıa de Sistemas y Autom´ atica, Escuela T´ ecnica Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Camino Descubrimientos, s/n., 41092 Sevilla, Espa˜ na. bDpto. Matem´ aticas e Ingenier´ ıa, Escuela T´ ecnica Superior de Ingenieros. Universidad Loyola Andaluc´ ıa. Calle Energ´ ıa Solar, 1, 41014 Sevilla, Espa˜ na. Resumen Este trabajo presenta una t´ ecnica de dise˜ no novedosa para la estimaci´ on y control distribuido de sistemas en red. Se considera un proceso discreto de gran escala controlado por una red de agentes que pueden recopilar informaci´ on acerca de la evoluci´ on de la planta y aplicar las acciones de control para mejorar su comportamiento. El dise˜ no propuesto es de especial inter´ es cuando no se tiene observabilidad/controlabilidad local, de forma que es necesario utilizar la comunicaci´ on entre agentes para tener suficiente informaci´ on din´ amica del sistema. El objetivo global es dise˜ nar un esquema de control y estimaci´ on distribuida, de forma que se obtengan estimaciones fiables por parte de los agentes as´ ı como un desempe˜ no de control adecuado. El trabajo analiza dos esquemas diferentes de comunicaci´ on entre agentes, muestreo peri´ odico y basado en eventos, proporcionando pruebas de estabilidad utilizando el criterio de Lyapunov y m´ etodos de dise˜ no en t´ erminos de desigualdades matriciales lineales LMIs (del ingl´ es, Linear Matrix Inequalities). Se muestran resultados experimentales sobre un sistema de cuatro tanques para demostrar la eficacia de las metodolog´ ıas propuestas. Copyright c 2014 CEA. Publicado por Elsevier Espa˜ na, S.L. Todos los derechos reservados. Palabras Clave: Control a trav´ es de redes, Estimaci´ on distribuida, Control distribuido. 1. Introducci´ on Un campo que ha motivado muchas investigaciones en los ´ ultimos a˜ nos es el de los Sistemas de Control Basados en Red (SCBR, o NCS del ingl´ es Networked Control Systems), que han ido atrayendo progresivamente el inter´ es de la comunidad de control autom´ atico debido al gran n´ umero de aplicaciones y el ahorro de costes de automatizaci´ on que suponen estos sistemas (ver, por ejemplo, Salt et al. (2008)). Los SCBR est´ an formados por sensores, actuadores y controladores cuya operaci´ on es coordinada a trav´ es de una red de comunicaciones. Se trata de sistemas que, de forma t´ ıpica, est´ an espacialmente distribuidos ypueden operar de forma as´ ıncrona; pero que requieren coordinaci´ on para alcanzar objetivos globales. Dentro del campo de la Ingenier´ ıa de Control, un sistema de control autom´ atico consta al menos de los siguientes elementos: sistema din´ amico o planta que se pretende controlar; conjunto de sensores que miden las salidas de esa planta y las transmiten; controladores que toman decisiones en funci´ on de la informaci´ on recibida de los sensores; y actuadores, que reciben se˜ nales ∗Autor en correspondencia. Correos electr´ onicos: [email protected] (Francisco R. Rubio), [email protected] (Pablo Mill´ an), [email protected] (Luis Orihuela), [email protected] (Carlos Vivas) URL: www.esi.us.es/%7Erubio (Francisco R. Rubio) de control procedentes del controlador y las aplican a la planta mediante los elementos de actuaci´ on correspondientes (motores, v´ alvulas actuadas, etc). Desde el punto de vista del ingeniero de control, el paradigma cl´ asico de comunicaci´ on entre los distintos elementos anteriormente mencionados ha permitido obviar los aspectos correspondientes alacomunicaci´ on ycentrarse exclusivamente en los aspectos relacionados con el control del sistema. La raz´ on es sencilla, la arquitectura cl´ asica de comunicaci´ on cableada pun- to a punto ha permitido asumir impl´ ıcitamente la hip´ otesis de canal perfecto de comunicaciones.Esto implica: Periodos de muestreo constantes. Ausencia de retrasos de transmisi´ on. La informaci´ on se entrega siempre de forma correcta y a tiempo, no se pierden datos en las comunicaciones. Ancho de banda ilimitado. Resoluci´ on ilimitada en los datos que se transmiten. En los SCBR, los lazos de control se cierran mediante redes de comunicaci´ on en tiempo real, redes en general compartidas por distintos procesos o lazos de control. Las soluciones tecnol´ ogicas a este respecto comprenden un buen n´ umero de redes, ScienceDirect 378 F.R. Rubio et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377–388 Lee et al. (2007). Por un lado, en lo relativo a redes de comunicaci´ on cableadas existen distintos tipos entre los que destacan CAN, Profibus yModbus.En cuanto a redes inal´ ambricas, los protocolos de aplicaci´ on son Bluetooth, UWB, ZigBee,yWi- Fi, que corresponden a los est´ andares IEEE 802.15.1, 802.15.3, 802.15.4, and 802.11a/b/g respectivamente. De esta forma, a medida que la tecnolog´ ıa es capaz de proporcionar tanto dispositivos de procesado remoto como redes fiables de comunicaci´ on digital, resulta cada vez m´ as frecuente encontrar soluciones de control que involucran el cierre de los lazos mediante redes de comunicaci´ on compartidas. Las redes de sensores inal´ ambricas (WSN del ingl´ es Wireless Sensor Networks) son una tecnolog´ ıa emergente que ha recibido una gran atenci´ on en la ´ ultima d´ ecada debido principalmente a las aplicaciones desarrolladas y potenciales, en campos como el control de procesos industriales, vigilancia, detecci´ on de fallos, etc, Akyildiz et al. (2002); Bri˜ n´ on Arranz et al. (2009); Cort´ es et al. (2004); Estrin et al. (1999); Lu et al. (2011); Xiao et al. (2005). Una red de sensores se compone de un gran n´ umero de nodos (agentes en un sentido amplio) que est´ an espacialmente distribuidos y cuentan con cierta capacidad de procesado y comunicaci´ on. Las redes de sensores presentan una serie de ventajas sobre las arquitecturas centralizadas: despliegue sencillo sobre grandes regiones proporcionando diversas medidas del sistema observado; robustez ante fallos; menores costos de implementaci´ on y mantenimiento, etc. Debido a diversas consideraciones de dise˜ no, tales como el tama˜ no limitado de las bater´ ıas, ancho de banda y coste, las redes inal´ ambricas de sensores presentan restricciones de autonom´ ıa que imponen limitaciones de c´ alculo y comunicaciones. A pesar de estas limitaciones, la alta conectividad y las capacidades de cooperaci´ on de las redes inal´ ambricas de sensores proporcionan un gran potencial para construir redes que realizan tareas complejas de alto nivel que son dif´ ıciles o incluso imposible de llevar a cabo con el enfoque cl´ asico centralizado o jer´ arquico. En este trabajo, la estimaci´ on y control distribuido surgen naturalmente en el contexto de los sistemas geogr´ aficamente espaciados donde se plantea satisfacer un objetivo global de todo el sistema. En t´ erminos generales, el objetivo es inducir un comportamiento global a partir de las acciones emprendidas por los agentes individuales de una manera distribuida. La caracter´ ıstica principal de este enfoque es la distribuci´ on de informaci´ on. A diferencia de las soluciones centralizadas, cada agente tiene acceso s´ olo a la informaci´ on recogida por un n´ umero limitado de agentes vecinos. Dado que las redes de sensores son sistemas de escala generalmente grandes, no es aconsejable emplear un procesado centralizado para recopilar todos los datos del sistema y ejecutar las t´ ecnicas cl´ asicas de estimaci´ on centralizados, Olfati-Saber (2005). El estado del arte en cuanto a las estrategias de control distribuido (Antonelli (2013)) comprende un gran n´ umero de t´ ecnicas, con diferentes enfoques dependiendo de la naturaleza del problema. Los primeros intentos para formular el problema son de finales de los a˜ nos 70, con los trabajos sobre control decentralizado de Davison and Chang (1990); Davison and Wang (1973) y Anderson and Moore (1981). El control predictivo y sus numerosas aplicaciones para la industria de proceso, ha demostrado ser muy prol´ ıfico en este campo, Maestre and Negenborn (2013); Camponogara et al. (2002); Dunbar (2007); Alvarado et al. (2011); Negemborn et al. (2008); Roshany-Yamchi et al. (2013); Scattolini (2009); Venkat et al. (2005). Otras contribuciones notables a este problema se pueden encontrar en Lynch et al. (2002), donde se aplica el control semiactivo para estructuras civiles de gran tama˜ no, y en D’Andrea and Dullerud (2003), que aplican una idea novedosa que consiste en descomponer la planta y controlador en m´ odulos que se comunican entre s´ ı. Estos m´ odulos se pueden unir para construir grandes sistemas distribuidos. La mayor parte de los trabajos mencionados anteriormente descomponen la planta en subsistemas desacoplados o acoplados d´ ebilmente controlados por nodos independientes. Una l´ ınea af´ ın de investigaci´ on es el denominado control descentralizado con solapamiento, donde a diferentes controladores se les permite compartir las entradas de control de la planta, Iftar (1991, 1993); Siljak and Zecevic (2005). En este art´ ıculo, se considera un proceso discreto LTI (Mill´ an et al. (2012) y Mill´ an (2012)), que est´ a controlado por una red de agentes que, usando informaci´ on directa de la planta y recibida de otros nodos, generan las acciones de control adecuadas para lograr un objetivo determinado. Los agentes presentan las siguientes caracter´ ısticas: observaci´ on, actuaci´ on, computaci´ on y comunicaci´ on. Cada uno de ellos implementa una estructura observador&controlador basado en observadores de Luenberger locales en combinaci´ on con estrategias de consenso. La primera parte es responsable de actualizar la estimaci´ on del agente apartir de informaci´ on local, mientras que la segunda tiene en cuenta los datos transmitidos desde los agentes vecinos. Por otro lado, se proponen dos formas de implementar la comunicaci´ on entre agentes. En primer lugar, un enfoque peri´ odico donde se asume que los agentes se comunican cada tiempo de muestreo. En segundo lugar, un esquema de comunicaci´ on m´ as eficiente basado en eventos, que dispara las comunicaciones de los agentes solo cuando existe informaci´ on relevante que transmitir, (ver Dormido et al. (2008); Lunze and Lehmann (2010); Tabuada (2007); Guinaldo et al. (2013); Donkers and Heemels (2012). En Heemels et al. (2013), se presenta una estrategia descentralizada en la que los nodos tienen informaci´ on parcial de la salida de la planta. Las t´ ecnicas orientadas a eventos son especialmente beneficiosas en el contexto de redes inal´ ambricas de sensores ya que permiten ampliar la vida de las bater´ ıas y reducir la frecuencia de transmisi´ on, el uso de ancho de banda, los retrasos de transmisi´ on medios y las colisiones entre paquetes. Como se mostrar´ a, una caracter´ ıstica relevante del esquema planteado, que a˜ nade complejidad al dise˜ no del sistema, es que no se cumple el Principio de Separaci´ on, de forma que el dise˜ no de los observadores y los controladores ha de realizarse de forma conjunta. Por ello, en una primera aproximaci´ on al problema, se considera s´ olo el caso en el que no existen retardos ni p´ erdida de informaci´ on en la red que conecta a los agentes. De esta forma, se aborda el problema de limitaci´ on de la informaci´ on disponible y de ancho de banda limitado, igualmente importantes en los SCBR. La estabilidad del sistema dise˜ nado F.R. Rubio et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377–388 379 se garantiza mediante el planteamiento de funciones de Lyapunov. El trabajo est´ a organizado de la siguiente manera: en primer lugar se describe el problema de control distribuido en la secci´ on 2 y en la secci´ on 3 se formula el problema sub´ optimo de estimaci´ on y de control. Posteriormente en las secciones 4 y5 se describen la soluci´ on propuesta para los escenarios de sistemas muestreados por tiempo y por eventos. La secci´ on 6 describe la aplicaci´ on a un sistema de control de nivel en una planta de cuatro tanques, para demostrar el desempe˜ no del esquema presentado. El art´ ıculo termina con las conclusiones en la secci´ on 7. 2. Descripci´ on del sistema. Consid´ erese el sistema de estimaci´ on y control distribuido representado en la figura 1. El proceso se monitoriza y controla atrav´ es de una red de agentes. Proceso a gran escala observador & controlador controlador observador conexión al sistema conexión de red Figura 1: Esquema distribuido de una planta A continuaci´ on, se describen los diferentes elementos que componen el sistema distribuido. Planta Consid´ erese un sistema discreto LTI en su representaci´ on en espacio de estados. En la figura 1 se ilustra que la planta est´ a siendo controlada por un conjunto de agentes que pueden gestionar distintos actuadores. La din´ amica del sistema puede ser descrita como x(k+1) =Ax(k)+ p  i=1 Biui(k),(1) donde x∈Rnes el estado de la planta y ui∈Rdi(i=1,...,p) es la se˜ nal de control que el agente iaplica al sistema. Las matrices A∈Rn×nyBi∈Rn×dison conocidas. Definiendo una matriz de control aumentada BB1B2... Bp y un vector de control aumentado U(k)uT 1(k)uT 2(k)... uT p(k)T,(2) la ecuaci´ on (1) puede escribirse de forma compacta como x(k+1) =Ax(k)+BU(k),(3) donde U(k)∈Rd, con d=p i=1di. Red La red de la figura 1 se define topol´ ogicamente por su grafo de comunicaciones G=(V,E)con nodos V={1,2,...,p}y enlaces E⊂V×V.El conjunto de agentes que env´ ıan informaci´ on al nodo ise denomina la vecindad de i y se representa por Ni≡{j:(j,i)∈E}. El enlace ( j,i) implica que el agente i recibe informaci´ on del agente j. Agentes El enfoque adoptado se corresponde con un esquema de control distribuido, en el que los agentes estiman el estado de la planta bas´ andose tanto en la informaci´ on recopilada a nivel local como en aquella enviada por sus vecinos. Utilizando dicha estimaci´ on, aquellos agentes con capacidades de control calculan la se˜ nal de entrada que aplicar´ an al sistema. Cada agente imide una salida espec´ ıfica de la planta yi, que viene dada por yi(k)=Cix(k)∈Rri,(4) donde las matrices Ci∈Rri×nson conocidas. Se define ahora la matriz Ccomo la apilaci´ on de todas las matrices de salida: CCT 1CT 2...CT pT. Se asume en el resto del art´ ıculo que el par (A,B) en (3) es estabilizable yelpar(A,C) es detectable. Si el nodo itiene capacidades de control, genera una acci´ on ui(k), en la forma ui(k)=Kiˆxi(k)∈Rdi,(5) donde ˆxi∈Rndenota la estimaci´ on del agente i,yKi∈Rdi×n (i∈V) son los controladores locales que deben dise˜ narse. La estimaci´ on del estado de la planta se obtiene en cada agente i∈Vutilizando la siguiente estructura: ˆxi(k+1) =Aˆxi(k)+Bˆ Ui(k)+Mi(yi(k)−Ciˆxi(k)) + j∈Ni Nji(ˆxj(k)−ˆxi(k)),(6) donde ˆ Ui(k)∈Rdes la estimaci´ on que hace el agente ide todas las se˜ nales de control aplicadas y se define como ˆ Ui(k)ˆuT 1(k)... uT i(k)... ˆuT p(k)T, 380 F.R. Rubio et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377–388 donde ˆuj(k)=Kjˆxi(k),∀ji. Como puede verse en la ecuaci´ on (6), cada agente tiene dos fuentes diferentes de informaci´ on para corregir sus estimaciones. En primer lugar, utiliza la salida de la planta yi(k) de manera similar a un observador cl´ asico de Luenberger, Mi(yi(k)− ˆyi(k)), siendo Mi,i∈V,la ganancia del observador a dise˜ nar. Por otra parte, a˜ nade un t´ ermino de correcci´ on por cada estimaci´ on recibida de los nodos vecinos, Nji(ˆxj(k)−ˆxi(k)),∀j∈N i, donde Nji,(j,i)∈E, son matrices de consenso a dise˜ nar. El error de observaci´ on de cada nodo se define como ei(k)x(k)−ˆxi(k),i∈V.(7) Vale la pena recordar que los nodos individuales no tienen informaci´ on acerca de la se˜ nal de control exacta que se aplica a la planta, ya que cada nodo actuador aplica una se˜ nal de control diferente en funci´ on de su estimaci´ on particular del estado (5). Idealmente, la ecuaci´ on (6) debe ser implementada utilizando el U(k), es decir, las se˜ nales de control que el conjunto de agentes aplica a la planta. Sin embargo, esta informaci´ on no est´ a disponible para los agentes. Para sortear esta dificultad y hacer la ecuaci´ on (6) realizable, la soluci´ on propuesta consiste en dejar que cada nodo ejecute su observador con el vector de control obtenido a partir de su estimaci´ on particular. Es decir Bˆ Ui(k)= p  j=1 BjKjˆxi(k)=BK ˆxi(k), donde la matriz de control aumentada satisface KT=KT 1KT 2... KT p El vector de control real aplicado a la planta est´ a formado por las estimaciones de cada nodo BU(k)= p  j=1 BjKjˆxj(k). En general, la se˜ nal de control real y la estimada son diferentes, pero si las estimaciones de los nodos convergen a los estados de la planta, estas diferencias desaparecen progresivamente. 3. Descripci´ on del problema Consid´ erese un sistema discreto LTI con din´ amica dada por (1). La planta es observada y controlada por un conjunto de nodos pen una red cuya topolog´ ıa puede ser representada por el grafo G=(V,E). La din´ amica de los nodos est´ a dada por (6), cada uno de ellos recibe una medida de la planta definida por (4), y aplica una se˜ nal de control definida por (5). Entonces, dada la funci´ on de coste J=∞  j=k0 xT(j)Qxx(j)+ +∞  j=k0 i∈V eT i(j)Qiei(j)+uT i(j)Riui(j),(8) el problema sub´ optimo de control y observaci´ on distribuidos consiste en encontrar los observadores Mi,i∈VyNji,(j,i)∈ Ey los controladores Ki,i∈V, tal que: El estado del sistema x(k) sea asint´ oticamente estable. Los errores de observaci´ on ei(k) sean asint´ oticamente estables. El dise˜ no obtenido minimice la cota superior de la funci´ on de coste (8). En la funci´ on de coste (8), se ponderan los estados frente a la se˜ nal de control de forma similar al bien conocido controlador LQR. 4. Caso de muestreo peri´ odico En este apartado se resuelve el problema planteado para el caso en el que la comunicaci´ on entre los agentes tenga lugar de forma peri´ odica, recibiendo informaci´ on de los vecinos cada instante de muestreo k. 4.1. Din´ amica del estado de la planta y del error de observaci´ on Se define ahora el vector de error eT(k)=[eT 1(k), ..., eT p(k)] ∈ Rnp, el vector de estado aumentado ξT(k)=xT(k)eT(k)∈ Rn(p+1), y los conjuntos M,N,Kcomo M={Mi,i∈V}, N={Nji,(j,i)∈E}, K={Ki,i∈V}. Las siguientes proposiciones estudian la din´ amica de los diferentes procesos. Las demostraciones son inmediatas a partir de las ecuaciones (3)-(7). Proposici´ on 1. La din´ amica del estado de la planta x(k) est´ a dada por x(k+1) =(A+BK)x(k)+Υ(K)e(k),(9) donde Υ(K)=−B1K1−B2K2··· −BpKp. Proposici´ on 2. La din´ amica del vector de error e(k)puede escribirse de la siguiente forma e(k+1) =(Φ(M)+Ψ(K)+Λ(N))e(k),(10) donde Φ(M)=diag{(A−M1C1),...,(A−MpCp)}, Ψ(K)=diag{BK,..., BK}+⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ −B1K1... −BpKp . . ..... . . −B1K1... −BpKp ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ Λ(N)= (j,i)∈E Θ(Nji), F.R. Rubio et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377–388 381 siendo Θ(Nji)= col.ij ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 0··· 0··· 0··· 0 . . .. . .. . .. . . 0··· −Nji ··· Nji ··· 0 . . .. . .. . .. . . 0··· 0··· 0··· 0 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ filai Proposici´ on 3. La evoluci´ on del vector de error aumentado ξ(k)se puede expresar de la siguiente forma ξ(k+1) =Ω(M,N,K)ξ(k),(11) donde Ω(M,N,K)=A+BK Υ(K) 0Φ(M)+Ψ(K)+Λ(N). La estructura de (11) revela que el principio cl´ asico de separaci´ on observaci´ on/control no se cumple en el problema que nos ocupa, ya que la matrix Ψ(K)depende de los controladores. La raz´ on es evidente si tenemos en cuenta que los agentes desconocen la se˜ nal de control real que se aplica a la planta y recurren a las estimaciones. No obstante, en la siguiente secci´ on se propondr´ aunm ´ etodo que permite dise˜ nar de forma unificada todos los controladores y observadores distribuidos de forma que se garantice la estabilidad global del sistema. Proposici´ on 4. La funci´ on de coste (8) puede escribirse como J=∞  j=k0 ξT(j)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(j),(12) donde Q=diag{Qx,Q1,Q2,...,Qp}, R=diag{R1,R2,...,Rp}, ¯ K=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ K1−K10... 0 K20−K2... 0 . . .. . .. . ..... . . Kp00... −Kp ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . Este resultado se puede probar f´ acilmente sustituyendo las matrices Q,R,¯ Ky el vector aumentado ξ(k) en la ecuaci´ on (12). 4.2. Dise˜ no conjunto de observadores y controladores En esta secci´ on, se desarrolla un m´ etodo de dise˜ no conjun- to basado en la teor´ ıa de Lyapunov que asegura la estabilidad asint´ otica de la planta y los errores de observaci´ on. El siguiente teorema establece el m´ etodo de dise˜ no basado en LMIs y las propiedades de estabilidad y rendimiento del sistema. Teorema 1. Dado un funcional de coste (12), el problema sub´ optimo de observaci´ on y control distribuido se resuelve encontrando los conjuntos M,N,Kque den soluci´ on al siguiente problema de optimizaci´ on: m´ ın P,M,N,Kα, (13) sujeto a α>0y P<αI,(14) ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ −PΩTI¯ KT ∗−P−100 ∗∗−Q−10 ∗∗ ∗−R−1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ <0.(15) Demostraci´ on: Consid´ erese la siguiente funci´ on de Lyapunov: ΔV(k)=ξT(k)Pξ(k),(16) donde Pes una matrix definida positiva. El incremento de la funci´ on de Lyapunov viene dado por la siguiente ecuaci´ on ΔV(k)=ξT(k+1)Pξ(k+1) −ξT(k)Pξ(k). Teniendo en cuenta la Proposici´ on 3, la ecuaci´ on anterior puede reescribirse como sigue: ΔV(k)=ξT(k)ΩTPΩξ(k)−ξT(k)Pξ(k), =ξT(k)ΩTPΩ−Pξ(k). Teniendo en cuenta los resultados de estabilidad de Lyapunov, el estado del sistema y los errores de estimaci´ on son asint´ oticamente estables s´ ıys ´ olo s´ ı existe una matriz P>0 tal que ΩTPΩ−Pes definida negativa. Utilizando el complemento de Schur, las siguientes desigualdades son equivalentes: ΩTPΩ−P<0↔−PΩT ∗−P−1<0. La condici´ on anterior se garantiza dado que la matriz anterior es exactamente el menor principal de orden 2 de la matriz involucrada en la desigualdad matricial (15), que debe ser definido negativo para que dicha desigualdad se cumpla. De esta forma, queda demostrada la estabilidad del esquema descentralizado seg´ un el dise˜ no propuesto. Acontinuaci´ on, se estudia la minimizaci´ on de la cota superior de la funci´ on de coste. N´ otese que la condici´ on (15) implica que ΩTPΩ−P+Q+¯ KTR¯ K<0. Por lo tanto, deber´ a verificarse ξT(k)ΩTPΩ−Pξ(k)<−ξT(k)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(k). Teniendo en cuenta la ecuaci´ on anterior y el incremento de la funci´ on de Lyapunov, se obtiene que ΔV(k)=ξT(k)ΩTPΩ−Pξ(k) <−ξT(k)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(k).(17) Si ahora se halla el sumatorio a ambos lados de (17) desde k0ak, resulta k  j=k0 ΔV(j)<− k  j=k0 ξT(j)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(j). 382 F.R. Rubio et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377–388 Se puede observar que k j=k0 ΔV(j)=k j=k0(V(j+1) − V(j)) =V(k+1)−V(k0). Cuando k→∞, la estabilidad asint´ otica del sistema implica que V(k)→0, de manera que, −V(k0)<−∞  j=k0 ξT(j)(Q+¯ KTR¯ K)ξ(j). Finalmente, a partir de la Proposici´ on 4, se obtiene J<V(k0)=ξ(k0)TPξ(k0)≤λm´ ax(P)ξ(k0)2. El valor de V(k0) depende de las condiciones iniciales del sistema y los agentes. De esta forma, la minimizaci´ on de λm´ ax(P) minimizar´ ıa a su vez la cota superior de la funci´ on de coste J independientemente de las condiciones iniciales. La condici´ on (14) asegura que el m´ aximo autovalor de P est´ e acotado por α. Por tanto, optimizando (13) se minimiza la cota superior de la funci´ on de coste.  La principal dificultad que presenta el teorema no radica en la minimizaci´ on de α, que puede hacerse mediante un algoritmo de bisecci´ on, sino la presencia de la condici´ on no lineal (15). A continuaci´ on, se proponen dos soluciones para hacer frente a esta no linealidad. Restricci´ on en P−1:La condici´ on (14) es equivalente a −P−1<−1 αI. Teniendo esto en cuenta, la restricci´ on no lineal (15) del Teorema 1 puede ser reemplazada por: ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ −PΩTI¯ KT ∗− 1 αI00 ∗∗−Q−10 ∗∗ ∗−R−1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ <0.(18) En comparaci´ on con el m´ etodo introducido en Yue et al. (2005) en el cual PαI, el que aqu´ ı se propone abarca un conjunto m´ as amplio de soluciones posibles en el espacio de las matrices definidas positivas. Algoritmo del cono complementario: Tambi´ en se puede adaptar el procedimiento (ver El Ghaoui et al. (1997)), en el que se aborda la no linealidad P−1introduciendo nuevas variables y restricciones. La adaptaci´ on del algoritmo al problema que nos ocupa es trivial y se ha omitido en este trabajo. Su uso permite resolver el problema propuesto en el Teorema 1 sin a˜ nadir conservadurismo, al coste de incrementar el coste computacional. Observaci´ on 1. El m´ etodo de dise˜ no que se deriva del Teorema 1 puede resolverse fuera de l´ ınea de forma centralizada. Para ello precisa de informaci´ on global del sistema: topolog´ ıa de la red, matrices de salida Ciy entrada Bide cada agente, etc. Sin embargo, una vez que los observadores y los controladores se dise˜ nen, su implementaci´ on es completamente distribuida y s´ olo requiere informaci´ on disponible localmente en cada nodo. Observaci´ on 2. El planteamiento que se hace en este trabajo conlleva la resoluci´ on de un problema de optimizaci´ on sujeto aLMIs. Esto proporciona un m´ etodo de dise˜ no num´ ericamente eficiente y permite explotar todos los grados de libertad en el dise˜ no. Esta flexibilidad se consigue, sin embargo, a costa de aumentar la carga de c´ alculo, que aumenta con el n´ umero de nodos y la dimensi´ on del sistema. Los m´ etodos de dise˜ no descentralizados o distribuidos constituyen todav´ ıa un problema abierto para este tipo de sistemas de gran escala. Observaci´ on 3. El caso de diferentes tiempos de muestreo de los agentes, es un trabajo en desarrollo actual por los autores y que implica una mayor complejidad. El caso de muestreos m´ ultiplos exactos de un muestreo com´ un a todos es directamente abordable con la soluci´ on propuesta, ya que ser´ ıa modificar la matrices A,ByCide la ecuaci´ on (6) para adaptarlas al caso. 5. Caso de muestreo basado en eventos En la arquitectura de control propuesta en el apartado anterior, los agentes peri´ odicamente intercambian las estimaciones del estado de la planta con sus vecinos. En esta secci´ on se extiende el resultado anterior a un esquema de comunicaci´ on por eventos, persiguiendo un ahorro de energ´ ıa y de ancho de banda mediante la activaci´ on de las transmisiones s´ olo en instantes de tiempo espec´ ıficos, cuando existe informaci´ on relevante que transmitir, Dormido et al. (2008), Heemels et al. (2008). Se define el ´ ındice temporal lj(k) como el instante de tiempo m´ as reciente (m´ as pr´ oximo ak) en el que el agente jenvi´ o sus estimaciones a sus vecinos. La regla que activa los eventos de comunicaci´ on se detalla a continuaci´ on. Regla de activaci´ on: Dado un umbral δω>0, en el instante k, el agente jdifunde sus estimaciones a todos sus vecinos i: j∈N i,s ´ ıys ´ olo s´ ı ˆxj(lj(k)) −ˆxj(k)≥δω,para k>lj(k),(19) es decir, env´ ıa la informaci´ on cuando la diferencia entre el estado actual yel´ ultimo enviado supera cierto umbral. Desde el punto de vista de modelado, la principal diferencia entre el sistema peri´ odicamente muestreado y el paradigma orientado a eventos es el patr´ on no uniforme de transmisi´ on de la informaci´ on. Esto modifica el comportamiento de los agentes, cuya din´ amica viene ahora determinada por: ˆxi(k+1) =Aˆxi(k)+Bˆ Ui(k)+Mi(yi(k)−Ciˆxi(k)) + j∈Ni Nji(ˆxj(lj(k)) −ˆxi(k)).(20) La ecuaci´ on (20) tiene en cuenta la comunicaci´ on no peri´ odica a trav´ es del ´ ındice temporal lj(k), que puede ser diferente para cada agente j∈V. El efecto que este tipo de comunicaci´ on produce sobre la din´ amica puede asimilarse al efecto de unas perturbaciones. Para mostrar esto, consid´ erese la siguiente ecuaci´ on, que reescribe la din´ amica de los observadores dada en (20) para esta situaci´ on: ˆxi(k+1) =Aˆxi(k)+BUi(k)+Mi(yi(k)−Ciˆxi(k)) + j∈Ni Nji(ˆxj(k)−ˆxi(k)) + j∈Ni Njiωj(k),(21) donde ωj(k)=ˆxj(lj(k)) −ˆxj(k).(22) Comparando (21) con (6), puede observarse que la din´ amica de los agentes en el caso de la comunicaci´ on basada en eventos s´ olo difiere de aquella con comunicaci´ on peri´ odica en los F.R. Rubio et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377–388 383 t´ erminos ωj(k). El t´ ermino ωj(k) puede ser interpretado como una perturbaci´ on externa debida al flujo discontinuo de informaci´ on entre los vecinos, que se pone a cero en cada instante de transmisi´ on. De esta manera, cada vez que el agente jtransmite su estado a sus vecinos, se tiene que ωj(k)=0. Vale la pena destacar que la perturbaci´ on que cada agente j induce a sus vecinos es desconocida por ellos, pero puede ser monitorizada localmente por el agente j. La evoluci´ on del estado del sistema y del vector de error se presentan en el siguiente resultado, que es equivalente a la Proposici´ on 2 para el caso de comunicaci´ on por eventos. Debido a sus similitudes, se omite su demostraci´ on. Proposici´ on 5. Sea ωT(k)=ωT 1(k)... ω T p(k). Para el caso de muestreo basado en eventos la evoluci´ on del estado x(k)viene dado por la Proposici´ on 1, y la din´ amica del error de estimaci´ on e(k)viene dada por e(k+1) =(Φ(M)+Ψ(K)+Λ(N))e(k)−Γ(N)ω(k),(23) donde las funciones Φ(M),Ψ(K),Λ(N)est´ an definidas igual que en la Proposici´ on 2, y Γ(N)= (j,i)∈E Ψ(Nji), siendo Ψ(Nji)= col.ij ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 0··· 0··· 0··· 0 . . .. . .. . .. . . 0··· 0··· Nji ··· 0 . . .. . .. . .. . . 0··· 0··· 0··· 0 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ filai 5.1. Propiedades de estabilidad En t´ erminos de estabilidad, el muestreo basado en eventos que se propone impide alcanzar la estabilidad asint´ otica. Pi´ ensese que podr´ ıa darse el caso de que hubiese un error en r´ egimen permanente peque˜ no que, debido a que no produce eventos, nunca llegar´ ıa a anularse. Otros autores han propuesto diferentes reglas de ejecuci´ on de eventos que consiguen estabilidad asint´ otica. Por ejemplo, en Yue et al. (2013) se introduce un regla que activa eventos cuando la diferencia porcentual con respecto al valor medido supera cierto umbral. El comportamiento asint´ otico se consigue a base de enviar muestras a´ un estando cerca del punto de equilibrio, lo que aumenta el tr´ afico por la red comparado con al soluci´ on aqu´ ı propuesta. A continuaci´ on se muestra que el enfoque presentado presenta estabilidad pr´ actica, quedando el estado de la planta y los errores de observaci´ on acotados. Utilizando notaci´ on internacional, el sistema es GUUB (Globally Uniformly Ultimately Bounded), es decir, el sistema es atra´ ıdo y queda confinado dentro de una regi´ on arbitrariamente peque˜ na alrededor del punto de equilibrio. Escogiendo la misma funci´ on de Lyapunov, el incremento ΔV(k) incluye ahora t´ erminos adicionales debido a la presencia del vector ω(k): ΔV(k)=ξT(k)ΩTPΩ−Pξ(k)+2ξT(k)ΩTP¯ Γω(k) +ωT(k)¯ ΓTP¯ Γω(k), donde ¯ Γ0 Γ(N). Utilizando un conjunto de controladores y observadores que satisfagan el problema propuesto en el Teorema 1, se consigue que el primer t´ ermino sea negativo. El resto de los elementos pueden no ser negativos, debido a la presencia de ω(k). Sin embargo, es f´ acil mostrar1que el incremento es negativo para valores del vector de estado aumentado cuya norma supere cierto umbral: ΔV(k)<0,si ξ(k)>a, donde atoma el valor a=ΩTP¯ Γ+ΩTP¯ Γ2+λm´ ın(Ω)¯ ΓTP¯ Γ1/2 λm´ ın(Ω) Una vez se tiene acotada la norma de ξ(k), es inmediato demostrar que el estado del sistema x(k) tambi´ en permanece acotado. Para ello hay que tener en cuenta que, para aquellos vectores para los que el incremento de la funci´ on de Lyapunov pueda ser positivo (los que ya est´ an cerca del equilibrio), la evoluci´ on a un paso no los puede llevar arbitrariamente lejos de la regi´ on, debido a que las perturbaciones ω(k) est´ an acotadas por definici´ on. Para un sistema completamente discreto, en el que no tiene sentido hablar del tiempo entre instantes de muestreo, ω(k) siempre est´ a acotada por δω. Si la planta proviene de la discretizaci´ on de un sistema continuo, entonces hay que tener precauci´ on. Aunque en kse cumpla que est´ a acotado y en k+1 valga cero, podr´ ıa ocurrir que en un instante intermedio supere dicho valor. Sin embargo, este inconveniente es f´ acil de salvar si se incluye alg´ un tipo de restricci´ on al sistema, como condiciones de tipo Lipschitz, de forma que no pueda crecer sin l´ ımites entre tiempos de muestreo. Es de suponer que al discretizar la planta, el periodo de muestreo se ha escogido convenientemente. Adem´ as, para sistemas lineales con se˜ nales de control provenientes de un ZOH, existe siempre dicha constante de Lipschitz. Si el lector quiere encontrar una prueba completa para el caso de comunicaci´ on entre s´ olo dos agentes, se recomienda el art´ ıculo de los mismos autores Orihuela et al. (2013). 6. Ejemplo de aplicaci´ on En esta secci´ on se presentan una serie de resultados experimentales al objeto de ilustrar la aplicaci´ on y demostrar el 1Al tomar normas, se obtiene una ecuaci´ on cuadr´ atica en ξ(k), con coeficiente negativo del t´ ermino de segundo grado. De las dos soluciones, s´ olo una es positiva. Para valores mayores de dicha soluci´ on, el incremento de la funci´ on de Lyapunov es negativo. 384 F.R. Rubio et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377–388 Tabla 1: Notaci´ on relativa a la planta Descripci´ on hiNivel de agua del tanque i viVoltaje de entrada a la bomba i h0 iNivel de referencia del tanque i v0 iVoltaje de referencia a la bomba i ΔhiIncremento de nivel hicon respecto a h0 i ΔviIncremento de voltaje vicon respecto a v0 i sSalida del sistema rReferencia a seguir ΔhrNivel de referencia con respecto a h0 ΔvrVoltaje de referencia con respecto a v0 funcionamiento del m´ etodo propuesto en este art´ ıculo. Se aplicar´ a el dise˜ no del sistema de control y observaci´ on distribuido aun equipo consistente en cuatro tanques acoplados, concretamente el equipo 33-041 de Feedback, (ver Instruments (2012)). 6.1. Descripci´ on de la planta La planta, una variante del proceso de tanques que se propuso originalmente en Johansson (2000), es un modelo de un fragmento de una planta qu´ ımica. Se compone de cuatro tanques, cada uno equipado con un sensor de presi´ on para medir el nivel de agua. Los acoplamientos entre los tanques se pueden cambiar utilizando siete v´ alvulas manuales para modificar la din´ amica del sistema. El agua se suministra a los tanques por dos bombas sumergidas controladas de forma independiente. La notaci´ on relacionada con la planta se da en el Cuadro 1. La planta se controla utilizando Simulink y una tarjeta de interfaz PCI1711. Para los experimentos se ha elegido la siguiente configuraci´ on: El agua de entrada se suministra a los dep´ ositos superiores. La bomba 1 alimenta el dep´ osito 1 y la bomba 2 el dep´ osito 3. Los dep´ ositos 1y3est ´ an acoplados mediante la apertura de la v´ alvula correspondiente. Aunque la planta es una plataforma educativa, representa de forma realista algunos de los elementos relevantes de una planta controlada de forma distribuida. El esquema de control distribuido propuesto en este trabajo se aplica a la planta considerando una red con cuatro agentes, dos de los cuales aplican se˜ nales de control (ver figura 2). Cada agente ha sido etiquetado de 1 a 4 de acuerdo con el n´ umero de dep´ osito cuyo nivel est´ a midiendo. El agente 1 (respectivamente 3) aplica la se˜ nal de control a la bomba 1 (2). La topolog´ ıa del grafo es: 2 ⇔1⇔3⇔4. El objetivo de los experimentos es doble. En primer lugar, los cuatro estados de la planta deben ser estimados por cada agente. En segundo lugar, el nivel de agua de los dos dep´ ositos inferiores debe ser controlado. Con esta configuraci´ on, los agentes de control (agentes 1 y 3) no tienen medici´ on directa de las variables que se controlan (los niveles en los tanques 2 y 4). La regla de activaci´ on de los eventos elegida (ecuaci´ on 19), dispara el evento cuando se tiene una diferencia entre la estimaci´ on actual y la anterior enviada a los vecinos. En el caso de los 4 3 2 1 Figura 2: Esquema de control distribuido con 4 agentes. tanques implica que se activan los eventos cuando la estimaci´ on de nivel difieren en una cantidad. 6.2. Modelado de la planta El sistema de tanques acoplados admite el siguiente modelo no lineal: dh1(t) dt =−a1 S2gh1(t)+ηv1(t)−a13 S2g(h1(t)−h3(t)), dh2(t) dt =a1 S2gh1(t)−a2 S2gh2(t), dh3(t) dt =−a3 S2gh3(t)+ηv2(t)+a13 S2g(h1(t)−h3(t)), dh4(t) dt =a3 S2gh3(t)−a4 S2gh4(t), donde hi(t)(i=1,...,4) indica el nivel de agua en el dep´ osi- to correspondiente y vi(i=1,2) es la tensi´ on aplicada a la bomba i.ai(i=1,...,4)esel´ area de salida de cada tanque, a13 es el ´ area de la tuber´ ıa de interconexi´ on entre los tanques 1 y3;ηes una constante que relaciona la tensi´ on de control de la bomba y el flujo de agua, Ses el ´ area de la secci´ on transversal de los tanques, y ges la constante gravitacional. Este sistema se linealiza alrededor del punto de equilibrio dado por h0 iyu0 i, obteni´ endose Δ˙ h(t)=AΔh(t)+BΔv(t),(24) donde Δh(t)=h1(t)−h0 1... h4(t)−h0 4T yΔv(t)=v1(t)−v0 1v2(t)−v0 2T. Las matrices AyBen (25) (p´ agina siguiente), se han obtenido mediante un desarrollo de Taylor de las ecuaciones no lineales del modelo en el punto de equilibrio. Discretizando este modelo con periodo de muestro T, se tiene Δh(k+1) =ADΔh(k)+BDΔv(k),(26) donde Δh(k)=h1(k)−h0 1... h4(k)−h0 4T yΔv(k)=v1(k)−v0 1v2(k)−v0 2T. Las matrices ADyBDson las matrices discretas correspondientes de AyB. F.R. Rubio et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377–388 385 A= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ −a1g S√2gh0 1−a13g S√2g(h0 1−h0 3)0a13g S√2g(h0 1−h0 3)0 a1g S√2gh0 1−a2g S√2gh0 2 00 a13g S√2g(h0 1−h0 3)0−a3g S√2gh0 3−a13g S√2g(h0 1−h0 3)0 00 a3g S√2gh0 3−a4g S√2gh0 4 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ,B=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ η0 00 0η 00 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (25) Tabla 2: Par´ ametros de la planta. Valor Unidades Descripci´ on hi0-25 cm Nivel en el tanque i vi0-5 V Voltaje en al bomba i S 0.01389 m2´ Area de la secci´ on ai50.265e-6 m2´ Area de salida del tanque i a13 50.265e-6 m2´ Area de salida entre los tanques 1 y 3 η2.2e-3 m V.sConstante que relaciona voltaje y caudal h0 19.8 cm Nivel de equilibrio en el tanque 1 h0 217.4 cm Nivel de equilibrio en el tanque 2 h0 37.5 cm Nivel de equilibrio en el tanque 3 h0 413.6 cm Nivel de equilibrio en el tanque 4 v0 13.3 cm Voltaje de equilibrio en la bomba 1 v0 22.6 cm Voltaje de equilibrio en la bomba 2 T2.0 segundos Tiempo de muestreo El objetivo no es s´ olo estabilizar la planta alrededor del pun- to de operaci´ on o punto de linealizaci´ on, sino tambi´ en seguir referencias. Para ello, la salida del sistema est´ a establecida como, s(k)CrΔh(k), donde Cres una matriz que selecciona el nivel de agua de los tanques 2 y 4. Las referencias est´ an dadas por el vector r(k). En los puntos de equilibrio, se debe verificar s(k)≃r(k)yΔh(k+1) ≃Δh(k)≃Δhr(k). Para llevar a cabo la tarea de seguimiento, los puntos de equilibrio incrementales (Δhr(k),Δvr(k)) asociados con la referencia r(k) se relacionan como sigue. Δhr(k)=ADΔhr(k)+BDΔvr(k), r(k)=CzΔhr(k). Reescribiendo la ecuaci´ on en forma de bloques se tiene, 0 r(k)=AD−IB D Cz0Δhr(k) Δvr(k), de modo que el punto de equilibrio incremental asociado con r(k) puede obtenerse como Δhr(k) Δvr(k)=AD−IB D Cz0−10 r(k). Se asume que las referencias son alcanzables por el sistema, es decir, la inversa anterior existe. Finalmente, para el seguimiento de referencias, se debe estabilizar el sistema siguiente: x(k+1) =ADx(k)+BDu(k),(27) donde x(k)Δh(k)−Δhryu(k)Δv(k)−Δvr. Obs´ ervese que este sistema tiene la misma estructura que el descrito en (3). 6.3. Resultados experimentales El rendimiento del m´ etodo de control distribuido propuesto ha sido probado experimentalmente en el sistema de control de 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 5 10 15 20 tiempo (s) nivel (cm) h1 h2 h3 h4 h4 h2 h1 h3 Figura 3: Seguimiento de referencias con muestreo peri´ odico. Las referencias est´ an con l´ ıneas de trazos. nivel de cuatro tanques, con los par´ ametros identificados de la planta que se muestran en el Cuadro 2. Se ha realizado una comparaci´ on de los dos esquemas de comunicaci´ on entre los agentes, comunicaci´ on peri´ odica y comunicaci´ on por eventos. En primer lugar, se llev´ o a cabo el dise˜ no de los controladores y observadores distribuidos de acuerdo al Teorema 1, eligiendo las siguientes matrices de ponderaci´ on (8) como Qx=diag(0,1 100 0,1 100) Q1=diag(1 10 1 0,1) Q2=10−2·diag(1111) Q3=diag(1 0,1 1 10) Q4=10−2·diag(1111) R=10−6·I2 La figura 3 muestra el comportamiento del sistema propues- to de control distribuido. Puede observarse un seguimiento satisfactorio de las referencias en los tanques2y4.Losefectos de las matrices de ponderaci´ on elegidas se evidencian en la sobreoscilaci´ on de los tanques 1 y 3, cuya finalidad es la de realizar un seguimiento r´ apido de las referencias en los dep´ ositos inferiores. El tiempo de respuesta promedio es de alrededor de 100 segundos, aproximadamente un tercio de la constante de tiempo natural del sistema de bucle abierto. Los niveles de agua se muestran en la figura 4, junto con las estimaciones de estos niveles por parte del agente 1. Vale la pena se˜ nalar que el agente no tiene acceso directo a las medicio-