Fonctions zêta ℓ-modulaires

FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES pa Albe o M´ınguez A la m´emoi e de Hi oshi Sai o R´esum´e. — Soien F un co ps commu a i localemen compac non a chim´edien, de ca ac- ´e is ique ´esiduelle no ´ee p, e D une F-alg`eb e `a di ision cen ale de dimension inie. Soi `un nomb e p emie di ´e en de p. Dans ce a icle, g´en´e alisan les ´esul a s de [GJ], on associe `a chaque ep ´esen a ion `-modulai e lisse i ´educ ible πde GLm(D), deux in a ian s L(T, π), ε(T, π, ψ) o`u Tes une a iable e ψes un ca ac `e e non i ial de F. Abs ac . — Le F be a non-A chimedean locally compac ield, o esidual cha ac e is ic p, and D be a ini e dimensional cen al di ision F-algeb a. Le `be a p ime numbe di e en om p. In his a icle, gene alizing he esul s o [GJ], we associa e o each `-modula smoo h i educible ep esen a ion πo GLm(D), wo in a ian s L(T, π), ε(T, π, ψ), whe e T is an inde e mina e and ψis a non- i ial cha ac e o F. In oduc ion Soien F un co ps commu a i localemen compac non a chim´edien, de co ps ´esiduel kF,pla ca ac ´e is ique de kF,qson ca dinal, e D une alg`eb e `a di ision de cen e F e de ang ini d2su F. Soi R un co ps alg´eb iquemen clos de ca ac ´e is ique `di ´e en e de p. Une R- ep ´esen a ion πd’un g oupe G es une ep ´esen a ion de G dans un R-espace ec o iel (quand R es F`une clˆo u e alg´eb ique de F`, le co ps ini `a `´el´emen s, on di aussi que πes une ep ´esen a ion `-modulai e). Dans ce a icle on associe `a chaque F`- ep ´esen a ion lisse i ´educ ible πde G = GLm(D) deux in a ian s : d’une pa une Classi ica ion ma h´ema ique pa suje s (2000). — 11S40 – 22E50. Mo s cle s. — Fonc ion L, onc ion zˆe a, ep ´esen a ion `-modulai e. L’au eu es pa iellemen inanc´e pa ANR-10-BLANC 0114, EPSRC g an EP/G001480/1, MTM2010- 19298 e FEDER. 2ALBERTO M´ INGUEZ onc ion L, no ´ee L(T, π), qui es une ac ion a ionnelle de la o me 1 P(T)o`u P∈F`[T] es un polynˆome de deg ´e au plus m el que P(0) = 1; d’une au e pa un ac eu epsilon, no ´e ε(T, π, ψ), d´ependan d’un ca ac `e e non i ial ψ: F →R×, qui es un monˆome de la o me ATk, a ec A∈F× `e k∈Z Pou R = C, les onc ions zˆe a e les onc ions L u en in odui es pa Godemen e Jacque dans [GJ] e elles g´en´e alisen les onc ions Lde Ta e [Ta ] pou m= 1 e D = F e les onc ions Ld´e inies dans [JL,§13] pou md = 2. P ´ecisons : no ons SR(Mm(D)) le R-espace ec o iel des onc ions de Mm(D) (l’espace des ma ices `a mlignes e mcolonnes `a coe icien s dans D) `a aleu s dans R, localemen cons an es e `a suppo compac . No ons aussi ν=|N d|F, la aleu absolue no malis´ee de la no me ´edui e e µ×une mesu e de Haa su G `a aleu s dans R. Soi πune R- ep ´esen a ion lisse i ´educ ible de G. Pou ou coe icien de π, ou e onc ion Φ∈SR(Mm(D)) e ou N∈Z, l’in ´eg ale : ZG,ν(x)=q−N Φ (x) (x)dµ×(x), es bien d´e inie. On peu alo s d´e ini la somme o melle (la onc ion zˆe a) : Z (Φ, T, ) = X N∈ZZG,ν(x)=q−N Φ (x) (x)dµ×(x)TN `a coe icien s dans R. L’a an age p incipal qu’il y a `a consid´e e les onc ions zˆe a en an que s´e ies o melles ien de ce que les p obl`emes de con e gence e les di icul ´es `a p ou e le p olongemen analy ique son , en pa ie, mis de cˆo ´e. Dans ce a icle, on mon e que les onc ions zˆe a son des ac ions a ionnelles ´e i ian une ce aine ´equa ion onc ionnelle. Ceci es d´ej`a connu (c . [GJ]) pou R = C. Ce e p eu e ne s’adap e pas, en g´en´e al, au cas o`u R n’es pas de ca ac ´e is ique nulle. En e e , si P es un sous-g oupe pa abolique de G e K un sous-g oupe compac maximal de G, une mesu e `a aleu s dans R semi-in a ian e su P G n’´equi au pas oujou s, si ` > 0, `a une mesu e de Haa su K. La m´e hode d’induc ion de [GJ] n’es donc alable que si le co ps R es de ca ac ´e is ique banale, c’es -`a-di e, quand `ne di ise pas le ca dinal de GLm(kD) ( oi [Mi2,§5]). Ici on u ilise un a gumen de el`e emen `a la ca ac ´e is ique 0. Tou e F`- ep ´esen a ion i ´educ ible de G es un sous-quo ien de la ´educ ion modulo `d’une Q`- ep ´esen a ion i ´educ ible en i`e e de G (c . [Da ] ou [MS]). La h´eo ie des onc ions zˆe a es alable FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 3 pou des Q`- ep ´esen a ions g ˆace `a [GJ] e on mon e que cela su i pou ´e end e la h´eo ie au cas des F`- ep ´esen a ions. Deux des in ´e ˆe s de la h´eo ie de onc ions zˆe a p o iennen des ai s sui an s : (1) L’´equa ion onc ionnelle des onc ions zˆe a es ´e oi emen li´ee `a l’exis ence de la co espondance hˆe a locale pou la pai e (GLm(D),GLm(D)) (c . [Wei], [Mi1]). Le bu o iginal de la cons uc ion des onc ions zˆe a `-modulai es ´e ai pou nous de comp end e le compo emen de la co espondance hˆe a modulo `. Dans la sec ion 3, on calcule les onc ions Ldes ca ac `e es de GL1(F) e on ema que que les a gumen s u ilis´es dans [Kud] pou p ou e l’´equa ion onc ionnelle ne son pas alables si q≡1 mod l. On en d´edui que la co espondance hˆe a locale n’es plus bijec i e pou des F`- ep ´esen a ions. (2) Les onc ions Le les ac eu s epsilon de pai es appa aissen dans la ca ac ´e isa ion [He1] de la co espondance de Langlands [He2] [HT] pou R = C. Si m≥2, ou e C- ep ´esen a ion i ´educ ible πde GLm(F) es d´e e min´ee pa la connaissance des onc ions : L(T, π ×ρ) ε(T, π ×ρ, ψ) pou ou e ep ´esen a ion i ´educ ible ρde GLm0(F) a ec m0< m. Si m= 2 e m0= 1 ces onc ions co¨ınciden a ec les onc ions L(T, ρπ) e ε(T, ρπ, ψ) espec i emen , o`u ρπ d´eno e la ep ´esen a ion (ρ◦de ) ⊗πde GL2(F) (ρ´e an ici un ca ac `e e de GL1(F) = F×). Si R = F`, on mon e que les onc ions Le εde pai es ne su isen pas `a ca ac ´e ise les ep ´esen a ions i ´educ ibles `-modulai es comme dans le cas complexe. Plus p ´ecis´emen , on donne un exemple, dans la sec ion 6, de deux F`- ep ´esen a ions i ´educ ibles π1e π2de GL2(F) non isomo phes elles que pou ou ca ac `e e χde GL1(F) on ai : L(T, χπ1) = L(T, χπ2),e ε(T, χπ1, ψ) = ε(T, χπ2, ψ). Une ois d´e inie la onc ion L(T, π), il es in ´e essan de la calcule explici emen si possible en onc ion de pa am´e isa ions de la ep ´esen a ion π. Dans le cas o`u R = C ceci es ai dans [Ja2] o`u l’au eu la calcule en e mes de la classi ica ion `a la Langlands des ep ´esen a ions i ´educ ibles de G. Dans le cas o`u R = F`, on ne dispose d’une elle 4ALBERTO M´ INGUEZ classi ica ion que dans le cas o`u πes un ep ´esen a ion di e banale ( oi le pa ag aphe 5.1.2 pou la d´e ini ion; c’es le cas, en pa iculie , si `ne di ise pas l’o d e de GLn(kD)). Si πes une ep ´esen a ion banale, on explici e dans le h´eo `eme 5.7, la onc ion L(T, π). Ce e classi ica ion pe me d’´e udie le compo emen de la ´educ ion de la co espondance hˆe a dans le cas banal. Reme ciemen s. — Je oud ais pa iculi`e emen eme cie Guy Hennia pou ses nomb eux conseils e id´ees `a p opos de ce a icle qui, dans une e sion simpli i´ee, aisai pa ie de ma h`ese sous sa di ec ion. Je eme cie aussi Vincen S´eche e e Shaun S e ens pou les ema ques e co ec ions in ´e essan es qu’ils m’on sugg´e ´ees. 1. No a ions e con en ions 1.1. Soi F un co ps commu a i localemen compac non a chim´edien, de ca ac ´e is ique ´esiduelle no ´ee p. Si E es une ex ension inie de F, ou plus g´en´e alemen une alg`eb e `a di ision su une ex ension inie de F, on no e OEson anneau d’en ie s, pE=$EOEson id´eal maximal, $Eune uni o misan e e kEson co ps ´esiduel. Soi R un co ps alg´eb iquemen clos de ca ac ´e is ique `di ´e en e de pe soi G le g oupe des poin s su F d’un g oupe ´educ i connexe d´e ini su F. Pa R- ep ´esen a ion lisse de G on en end la donn´ee d’un R-espace ec o iel V e d’un homomo phisme de g oupes de G dans Au R(V) el que, pou ou ec eu ∈V, le s abilisa eu de dans G soi ou e . Dans ce a icle, ou es les ep ´esen a ions son suppos´ees lisses. Une ep ´esen a ion de G su un R-espace ec o iel V es admissible si, pou ou sous- g oupe ou e H de G, l’espace VHde ses ec eu s H-in a ian s es de dimension inie. Un R-ca ac `e e de G es un homomo phisme de G dans R×de noyau ou e . Si πes une R- ep ´esen a ion de G, on d´esigne pa π∨sa con ag ´edien e. Si en ou e χes un R-ca ac `e e de G, on no e χπ ou πχ la ep ´esen a ion o due g7→ χ(g)π(g). S’il n’y a pas d’ambigu¨ı ´e, on ´ec i a ca ac `e e e ep ´esen a ion plu ˆo que R-ca ac `e e e R- ep ´esen a ion. Tou e R- ep ´esen a ion i ´educ ible de G es admissible e adme un ca ac `e e cen al [Vi1, II.2.8]. Si σes une R- ep ´esen a ion de longueu inie de G, on no e [σ]sa classe d’isomo phie. 1.1.1. On choisi une ois pou ou es une acine ca ´ee q1/2dans Rdu ca dinal du co ps ´esiduel de F.Si M es un sous-g oupe de Le i de G e P un sous-g oupe pa abolique FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 5 de G don M es un ac eu de Le i, ce choix d´e ini un ca ac `e e non ami i´e : (1.1) δ1/2 P: M →R× don le ca ´e es le module de P. On no e G Ple onc eu de es ic ion pa abolique no malis´e ( ela i emen `a (1.1)) e iG Pson adjoin `a d oi e, c’es -`a-di e le onc eu d’induc ion pa abolique no malis´e lui co espondan . Ces onc eu s son exac s, e p ´ese en l’admissibili ´e e le ai d’ˆe e de longueu inie. Une R- ep ´esen a ion i ´educ ible de G es di e cuspidale si son image pa G Pes nulle pou ou sous-g oupe pa abolique s ic P de G, c’es -`a-di e si elle n’es isomo phe `a aucun quo ien (ou, de a¸con ´equi alen e, `a aucune sous- ep ´esen a ion) d’une indui e pa abolique s ic e. Elle es di e supe cuspidale si elle n’es isomo phe `a aucun sous-quo- ien d’une indui e pa abolique s ic e. 1.2. Fo mes in ´e ieu es de GLnsu F. — Dans ce pa ag aphe, on ixe une alg`eb e `a di ision D de cen e F e de deg ´e ´edui no ´e d. Pou ou en ie m⩾1, on d´esi- gne pa Mm(D) la F-alg`eb e des ma ices de aille m×m`a coe icien s dans D e pa Gm= GLm(D) le g oupe de ses ´el´emen s in e sibles. 1.2.1. Soi N d la no me ´edui e de Mm(D) su F. On no e q=qFle ca dinal du co ps ´esiduel de F e | |Fla aleu absolue no malis´ee de F, c’es -`a-di e la aleu absolue donnan `a une uni o misan e de F la aleu q−1. Puisque l’image de qdans R es in e - sible, elle d´e ini un R-ca ac `e e de F×no ´e | |F,R. L’applica ion g7→ |N d(g)|F,Res un R-ca ac `e e de Gm, qu’on no e a νm,Rou simplemen νsi le con ex e le pe me . 1.2.2. Si α= (m1, . . . , m ) es une amille d’en ie s posi i s don la somme es ´egale `a m, il lui co espond le sous-g oupe de Le i s anda d Mαde Gmcons i u´e des ma ices diagonales pa blocs de ailles m1, . . . , m espec i emen , que l’on iden i ie na u ellemen au p odui Gm1× · · · × Gm . On no e Pαle sous-g oupe pa abolique de Gmde ac eu de Le i Mα o m´e des ma ices iangulai es sup´e ieu es pa blocs de ailles m1, . . . , m espec i emen , e on no e Uαson adical unipo en . Si, pou chaque i∈ {1, . . . , }, on a une R- ep ´esen a ion πide Gmi, il es aussi commode de no e : (1.2) π1× · · · × π =iGm Pα(π1⊗ · · · ⊗ π ). 1.2.3. ´ E an donn´e un ensemble X, un mul i-ensemble su X es l’ensemble des onc- ions m: X →N`a suppo ini. On pou a le oi comme l’ensemble X a ec ses ´el´emen s comp ´es a ec des mul iplici ´es. E an donn´e une R- ep ´esen a ion i ´educ ible πde Gn, il 6ALBERTO M´ INGUEZ exis e un unique mul i-ensemble ρ1, . . . , ρ de R- ep ´esen a ions cuspidales el que, qui e `a ´ea ange les ρi,πsoi un quo ien de ρ1× · · · × ρ . On di que ρ1, . . . , ρ es le sup- po cuspidal de π. Pou une p eu e de l’unici ´e du suppo cuspidal, on en oie `a [MS, Th´eo `eme 2.1], oi aussi [Vi1, II.2.20]. 1.3. Pou ou anneau commu a i E on no e a SE(Mm(D)) le E-module des onc ions Φ de Mm(D) dans E, localemen cons an es e `a suppo compac . Fixons ψ: F →R× un ca ac `e e non i ial de F. Soi µune mesu e de Haa su Mm(D) `a aleu s dans R e µ×une mesu e de Haa su G `a aleu s dans R ( oi [Vi1, I.2.4]). Pou ou e onc ion Φ∈SR(Mm(D)), on no e b Φ (x) = RMm(D) Φ (y)ψ Mm(D)/F(xy)dµ(y) sa ans o m´ee de Fou ie . Comme dans le cas complexe, pou ou e onc ion Φ ∈SR(Mm(D)), on a b Φ∈SR(Mm(D)) e Φ 7→ b Φ d´e ini un au omo phisme de SR(Mm(D)). On suppose a que la mesu e es au o-duale, c’es -`a-di e, on choisi a µpou que : (1.3) bb Φ(x) = Φ(−x). Rema que 1.1. — La mesu e µn’es pas unique mais on peu impose µ(OF) = q1 2 , o`u es le ni eau de ψ. 1.4. On ixe un nomb e p emie `6=p. On no e Q`une clˆo u e alg´eb ique du co ps de nomb es `-adiques, Z`l’anneau des en ie s de Q`e F`son co ps ´esiduel, qui es un clˆo u e alg´eb ique du co ps p emie F`. On pose `:Z`→F`la p ojec ion canonique. 1.4.1. Une ep ´esen a ion π†de Gmsu un Q`-espace ec o iel V es di e en i`e e si elle es admissible e si elle adme une s uc u e en i`e e, c’es -`a-di e un sous-Z`-module de V s able pa G e engend ´e pa une base de V su Q`. Pa exemple, une Q`- ep ´esen a ion cuspidale es en i`e e si, e seulemen si, son ca - ac `e e cen al es `a aleu s dans Z`e une Q`- ep ´esen a ion i ´educ ible es en i`e e si, e seulemen si, son suppo cuspidal es o m´e de Q`- ep ´esen a ions cuspidales en i`e es (c . [Vi1, II.4.13] e [Da , P oposi ion 6.6]). Si es une s uc u e en i`e e de π†, la ep ´esen a ion de Gmsu le F`-espace ec o iel ⊗F`es de longueu inie e sa semi-simpli ica ion ne d´epend pas du choix de la s uc- u e en i`e e d’ap `es [Vi1, II.5.11]. On no e `(π†) ce e semi-simpli i´ee, qu’on appelle la ´educ ion de π†e qui ne d´epend que de sa classe d’isomo phisme [π†](on comme ainsi un l´ege abus de no a ion, puisque `d´esigne aussi l’homomo phisme de ´educ ion d´e ini au d´ebu du pa ag aphe 1.4). FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 7 On appelle el`e emen d’une F`- ep ´esen a ion i ´educ ible πde Gmune Q`- ep ´esen- a ion en i`e e π†de Gm elle que [π]= `(π†). Si un el el`e emen exis e, on di que π se el`e e. Pa exemple, dans [MS, Th´eo `eme 4.24] on p ou e que ou e F`- ep ´esen a ion supe cuspidale se el`e e. 1.4.2. On suppose que les choix de acines ca ´ees de qdans Q`e dans F`(pa a- g aphe 1.1.1) son compa ibles, c’es -`a-di e que la seconde es la ´educ ion modulo `de la p emi`e e. Si π†es une Q`- ep ´esen a ion en i`e e de M, e si en es une s uc u e en i`e e, le sous-espace iG P( ) des onc ions `a aleu s dans es une s uc u e en i`e e de iG P(π†) e la ep ´esen a ion iG P( )⊗F`es isomo phe `a iG P( ⊗F`). Si en ou e π†es de longueu inie, ceci implique que `([iG P(π†)]) = [iG P( `(π†))]. On en oie `a [Vi1, II.4.14]. 1.4.3. Soi (π†,V†) une ep ´esen a ion admissible en i`e e de Gme une s uc- u e en i`e e de π†. Alo s le sous–Z`-module ∨de (π†∨,V†∨) des ∨∈V†∨ els que π†(g) , ∨∈Z`, pou ou g∈G e ou ∈ , es une s uc u e en i`e e de π†∨ (c . [Vi1, I.9.7]). De plus : ∨⊗F`≃( ⊗F`)∨. 2. Le h´eo `eme p incipal On ixe une alg`eb e `a di ision D de cen e F e deg ´e ´edui no ´e de R un co ps alg´eb iquemen clos de ca ac ´e is ique di ´e en e de p. On ixe aussi un en ie m⩾1 e on d´esigne pa G le g oupe Gm= GLm(D). On no e inalemen n=md. 2.1. Soi N∈Z. Posons iNla onc ion ca ac ´e is ique de l’ensemble : {x∈G : ν(x) = q−N}. Pou ou e onc ion Φ ∈SR(Mm(D)) no ons ΦN=iNΦ. Lemme 2.1. — Soien Φ∈SR(Mm(D)) e N∈Z. Alo s la onc ion ΦNappa ien `a SR(G) e elle es nulle si N << 0. D´emons a ion. — La onc ion ΦNes localemen cons an e. P ou ons que son suppo es compac . Soi K0= GLm(OD). Consid´e ons l’ensemble des m-uple s (a1, a2, . . . , am) 8ALBERTO M´ INGUEZ els que a1≤a2≤ · · · ≤ ame : supp(Φ) ∩K0      $a1 D $a2 D... $am D      K06=∅. Ce e de ni`e e condi ion implique que les en ie s a1, a2, . . . , amson bo n´es in ´e ieu emen . Si de plus on suppose que a1+a2+· · · +am=Nil n’y a qu’un nomb e ini de els m-uple s. On d´edui que supp(ΦN) n’in e sec e qu’un nomb e ini de K-double classes con enues dans G ce qui mon e le lemme. 2.2. Soi πune ep ´esen a ion admissible de G dans un R-espace ec o iel V. On appelle qu’un coe icien de πes une onc ion : G →R de la o me , ∨(x) = hπ(x) , ∨io`u ∈V, ∨∈V∨son ix´es, ou une combinaison lin´eai e de elles onc ions. On no e ˇ le coe icien de π∨d´e ini pa ˇ (g) = (g−1). Pou ou coe icien : G →R de π, ou e onc ion Φ ∈SR(Mm(D)) e ou N∈Z l’in ´eg ale : ZG,ν(x)=q−N Φ (x) (x)dµ×(x) = ZG ΦN(x) (x)dµ×(x) es bien d´e inie. En e e l’in ´eg and appa ien `a SR(G) d’ap `es le lemme 2.1. On peu alo s d´e ini la somme o melle : Z (Φ, T, ) = X N∈ZZG,ν(x)=q−N Φ (x) (x)dµ×(x)TN. De plus, pa le lemme 2.1, pou Nassez pe i on a : ZG,ν(x)=q−N Φ (x) (x)dµ×(x) = 0, e donc Z (Φ, T, )∈R ((T)). Rema que 2.2. — Quand R = C, Z (Φ, T, ) co¨ıncide a ec la onc ion zˆe a d´e inie en [GJ], a ec T=q−s. FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 9 2.3. Comme dans le pa ag aphe 1.4, on ixe un nomb e p emie `6=p. On no e Q`une clˆo u e alg´eb ique du co ps de nomb es `-adiques, Z`l’anneau des en ie s de Q`e F`son co ps ´esiduel, qui es un clˆo u e alg´eb ique du co ps p emie F`. Le symbole R d´esigne a dans la sui e un co ps de ca ac ´e is ique nulle ou F`a ec `6=p. Le h´eo `eme sui an ´e end [GJ] au cas des R- ep ´esen a ions : Th´eo `eme 2.3. — Soi Run co ps alg´eb iquemen clos de ca ac ´e is ique nulle ou bien isomo phe `a F`. Soi (π, V) une R- ep ´esen a ion i ´educ ible de GLm(D). Alo s : (1) Il exis e P0(π, T)∈R [T] el que, pou ou coe icien de πe ou e onc ion Φ∈SR(Mm(D)) : Z (Φ, T, )P0(π, T)∈RT, T−1. (2) Il exis e γ(T, π, ψ)∈R (T) el que, pou ou coe icien de πe ou e onc ion Φ∈SR(Mm(D)) : (2.1) Z b Φ, q−1 2(n+1)T−1,ˇ =γ(T, π, ψ) Z Φ, q−1 2(n−1)T, . La p eu e se a ai e dans la sec ion 4. 2.4. A an de p ou e le h´eo `eme, d´emon ons quelques cons´equences di ec es. Co ollai e 2.4. — No ons Z(π)le sous-R-espace ec o iel de R (T)engend ´e pa les onc ions ZΦ, Tq1−n 2, quand pa cou l’ensemble de coe icien s de πe Φpa cou SR(Mm(D)) .Alo s Z(π)es un id´eal ac ionnai e de R [T, T−1]con enan les con- s an es. Il adme un unique g´en´e a eu de la o me : 1 P1(π, T) a ec P1(π, T)∈R [T]e P1(π, 0) = 1. D´emons a ion. — A an ou , ema quons que 1 ∈Z(π) : il su i de p end e le coe i- cien associ´e `a un ec eu quelconque e `a ∨ el que ∨( ) = 1 e Φ = µ×(K)−11Ko`u K es un sous g oupe compac de G de mesu e in e sible dans R (pa exemple un oisinage ou e p o-pde l’´el´emen neu e) e qui laisse in a ian e ∨. Soi Q(T)∈Z(π), ∈Z. Mon ons que Q(T)T ∈Z(π). On peu suppose qu’il exis e un coe icien de πe Φ ∈SR(Mm(D)) els que : Q(T) = Z Φ, Tq1−n 2, . 16 ALBERTO M´ INGUEZ D´emons a ion. — Soien Φ ∈SF`(Mm(D)) e un coe icien de ⊗Z`F`. No ons ∨la s uc u e en i`e e ( oi pa ag aphe 1.4.1) de π†∨ des ∨∈V†∨ els que π†(g) , ∨∈Z`, pou ou g∈G, e ou ∈ . On peu suppose que es de la o me , ∨a ec e ∨deux ec eu s dans ⊗Z`F` e ∨⊗Z`F` espec i emen . Soien †∈ e †∨ ∈ ∨des el`e emen s de e ∨, c’es - `a-di e, des ec eu s els que †= mod `e †∨ = ∨mod `. No ons †= †, †∨ le coe icien co espondan . Pa cons uc ion, il es `a aleu s dans Z`e `( †) = . Rele ons aussi Φ ∈SF`(Mm(D)) en une onc ion Φ†∈SZ`(Mm(D)). Ainsi ZΦ†, T, †∈Z`[[T]] [T−1]. Puisque le h´eo `eme 2.3 es ai pou π†(pa ag aphe 4.1), il exis e P†(Φ†, T, †)∈ Q`[T, T−1] el que : (4.2) Z Φ†, T, †P† 0π†, T=P†(Φ†, T, †). De plus, pa 4.2.1, on peu suppose P† 0(π†, T)∈Z`[T] e P† 0π†,0= 1 e donc : P†(Φ†, T, †)=ZΦ†, T, †P† 0π†, T∈Z`[[T]] T−1∩Q`T, T−1. On en d´edui que, en ai : P†(Φ†, T, †)∈Z`T, T−1. Pa cons uc ion, on a Z (Φ, T, ) = `ZΦ†, T, †dans F`((T)). Mais, d’ap `es l’´equa ion (4.2), on a `ZΦ†, T, † `P† 0π†, T= `P†Φ†, T, †. Puisque P† 0π†,0= 1 on a `P† 0π†, T6= 0 d’o`u : Z (Φ, T, ) = `ZΦ†, T, †= `P†Φ†, T, † `P† 0(π†, T), qui appa ien bien `a F`(T). Cela d´emon e (1). Mon ons (2). Soien Q†,Q0† ∈Z`[T] p emie s en e eux els que γT, π†, ψ†=Q†(T) Q0†(T). Alo s pou ou e Φ†∈SZ`(Mm(D)) e ou coe icien †comme ci-dessus, on a : Zc Φ†, q−1 2(n+1)T−1,ˇ †Q0†(T)=ZΦ†, q−1 2(n−1)T, †Q†(T). FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 17 On choisi Φ†∈SZ`(Mm(D)) e †coe icien de π†`a aleu s dans Z` els que `ZΦ†, q−1 2(n−1)T, †6= 0. On d´edui que `(Q0†)6= 0. Il su i alo s de p end e : (4.3) γT, ⊗Z`F`, ψ= `γT, π†, ψ†:= `Q†(T) `(Q0†(T)). 4.2.3. La p eu e du h´eo `eme 4.1 implique : Co ollai e 4.2. — (1) P1T, ⊗Z`F`di ise `P1T, π†dans l’anneau F`[T]. (2) La onc ion γT, ⊗Z`F`, ψsa is ai l’´equa ion sui an e : (4.4) γT, ⊗Z`F`, ψ= `(ε(T, π, ψ)) `(L(q−1T−1, π∨)) `(L(T, π)) . En g´en´e al on n’a pas une ´egali ´e dans (1) (comme on ien de mon e dans le cas de GL1(D), oi sec ion 6 pou d’au es con e-exemples). Pou an , l’´egali ´e es sa is ai e pou les ep ´esen a ions banales ( oi sec ion 5). P eu e du h´eo `eme 2.3. — Soi πune F`- ep ´esen a ion i ´educ ible. D’ap `es [Da , Lemma 6.8.i)] ou [MS, P oposi ion 4.23], il exis e π†une Q`- ep ´esen a ion i ´educ ible en i`e e e une s uc u e en i`e e de π† elle que πsoi un sous-quo ien de ⊗Z`F`. Les asse ions (1) e (2) du h´eo `eme 2.3 son aies, d’ap `es le h´eo `eme 4.1, pou la ep ´esen a ion ⊗Z`F`. Elles son aussi aies pou la F`- ep ´esen a ion πd’ap `es la p oposi ion 2.5. 5. Classi ica ion des onc ions Ldans le cas banal Dans ce e sec ion on calcule les onc ions Lpou les F`- ep ´esen a ions de GLm(D) di es banales. Ces ep ´esen a ions sa is on deux condi ions qui son impo an es pou nous : d’abo d il exis e une classi ica ion `a la Langlands ( oi ci-dessous) qui pe me de les pa am´e e ; ensui e, elles se el`e en en ca ac ´e is ique 0 5.1. Les ep ´esen a ions banales. — Dans ce pa ag aphe on ixe R un co ps de ca ac ´e is ique 0 ou bien R = F`a ec `6=p. On appelle b i`e emen la classi ica ion des R- ep ´esen a ions banales de Gm, on en oie `a [MS2] pou plus de d´e ails. 18 ALBERTO M´ INGUEZ 5.1.1. Soi un en ie n⩾0, soi ρune R- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de Gn. Dans [MS,§7.1], on lui associe un ca ac `e e non ami i´e νρ el que, pou ou e ep ´esen a ion cuspidale ρ0, la ep ´esen a ion indui e ρ×ρ0es ´educ ible si e seulemen si ρ0es isomo phe `a ρνρou ρν−1 ρ. Pa exemple, si D = F, alo s νρes ind´ependan de ρ e au |de |F. On no e Zρl’ensemble de classes d’´equi alence des R- ep ´esen a ions de la o me ρνi ρa ec i∈Z. Dans le cas o`u R = F`, ce ensemble es ini. 5.1.2. Soi un en ie n⩾0, soi ρune R- ep ´esen a ion i ´educ ible cuspidale de Gn e soien a, b ∈Zdes en ie s els que a⩽b. Un segmen es une sui e inie de la o me : ∆ = ρνa ρ, ρνa+1 ρ, . . . , ρνb ρ. Un el segmen se a aussi no ´e [a, b]ρ. On no e : (5.1) n(∆) = b−a+ 1, a(∆) = ρνa ρ, b(∆) = ρνb ρ, espec i emen la longueu e les ex ´emi ´es de ∆. Un mul isegmen es un mul i-ensemble (c . 1.2.3) de segmen s de la o me p ´ec´eden e. Son suppo es un mul i-ensemble de R- ep ´esen a ions cuspidales : si ρes une ep ´esen a ion cuspidale, la mul iplici ´e de ρdans le suppo d’un mul isegmen mes le nomb e de ois que ce e ep ´esen a ion appa aˆı dans les di ´e en s segmen s de m. Un mul isegmen mes di banal si pou ou e ep ´esen a ion cuspidale ρ, l’ensemble Zρn’es pas inclus dans le suppo de m. D´e ini ion 5.1. — On di a qu’une R- ep ´esen a ion πes banale si son suppo cuspidal es banal. En pa iculie , ou e R- ep ´esen a ion de Gmes banale si Gmes un g oupe banal pou R, c’es -`a-di e si R es un co ps de ca ac ´e is ique 0 ou bien R = F`a ec `ne di isan pas le ca dinal du g oupe ini GLm(kD), o`u kDes le co ps ´esiduel de D. 5.1.3. Soien ∆ = [a, b]ρe ∆0= [a0, b0]ρ0des segmen s. On di que ∆ p ´ec`ede ∆0si l’on peu ex ai e de la sui e : (ρνa ρ, . . . , ρνb ρ, ρ0νa0 ρ0, . . . , ρ0νb0 ρ0) une sous-sui e qui es un segmen de longueu s ic emen sup´e ieu e `a n(∆) e n(∆0). Soi ∆ = [a, b] un segmen banal. On pose : (5.2) I(∆) = ρνa ρ× · · · × ρνb ρ. FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 19 La ep ´esen a ion I(∆) poss`ede (c . [MS2, P oposi ion 3.8]) un unique quo ien i ´e- duc ible, no ´e h∆i. Dans [MS2, Th´eo `eme 0.3], on mon e le h´eo `eme sui an : Th´eo `eme 5.2. — (1) Soien ∆1,...,∆ des segmen s els que, pou ous i < j, le segmen ∆ine p ´ec`ede pas ∆je els que le mul isegmen m= ∆1+· · · + ∆ soi banal. Alo s : (5.3) h∆1i×···×h∆Ni adme un unique quo ien i ´educ ible, ne d´ependan que de me no ´e hmi. Il es banal e sa mul iplici ´e comme ac eu de (5.3) es ´egale `a 1. (2) L’applica ion m7→ hmid´e ini une bijec ion en e mul isegmen s banals e classes d’isomo phisme de ep ´esen a ions i ´educ ibles banales de Gm, pou m≥0. Rema que 5.3. — Ces ep ´esen a ions son no ´ees L (∆1,...,∆N) dans [MS2]. Pou ´e i e une con usion a ec les onc ions L, on a p ´e ´e ´e d’u ilise ici la no a ion h∆1,...,∆Ni. 5.2. On suppose ici R = F`. Soi ∆1+· · · + ∆Nun mul isegmen banal. Supposons, pou ixe les no a ions, que ∆i= [ai, bi]ρi, 1 ≤i≤N. Alo s d’ap `es [MS2,§5], il exis e des Q`- ep ´esen a ions cuspidales en i`e es ρ† iqui el`e en ρi, pou 1 ≤i≤N, elles que h∆1,...,∆Nisoi exac emen la ´educ ion modulo `de D∆† 1,...,∆† NE, a ec ∆† i= [ai, bi]ρ† i. 5.3. On a calcule la onc ion Lsucessi emen pou une ep ´esen a ion cuspidale, une ep ´esen a ion de la o me h∆ie inalemen , pa ´ecu ence, une ep ´esen a ion de la o me h∆1,...,∆Nia ec Nquelconque. 5.3.1. On commence a ec le cas d’une F`- ep ´esen a ion cuspidale. P oposi ion 5.4. — Soi ρune F`- ep ´esen a ion cuspidale de Gm. Alo s L(T, ρ)=1 sau si m= 1,qd6≡ 1 mod le ρes le ca ac `e e χ◦N d, a ec χun ca ac `e e non ami i´e de F×. Dans ce cas : L(T, χ ◦N d) = Lq1−d 2T, χ=1 1−χ($F)q1−d 2T. D´emons a ion. — Si m= 1, c’es le h´eo `eme 3.1 (a en ion `a la no malisa ion de la onc ion L!). Supposons m > 1. Alo s il exis e une Q`- ep ´esen a ion cuspidale en i`e e ρ†(c [MS, P oposi ion 4.23]) elle que ρsoi un sous-quo ien i ´educ ible de `(ρ†). La 20 ALBERTO M´ INGUEZ p oposi ion es donc une cons´equence du co ollai e 4.2 e du pa ag aphe 4.1 ( oi [Mi2, §5.3] pou une p eu e di ec e). 5.3.2. Soien ρ†une Q`- ep ´esen a ion cuspidale de G e ∆†= [a, b]ρ†un segmen . P oposi ion 5.5. — La onc ion L(T, ∆†) au 1sau si ρ†es une ep ´esen a ion de GL1(D) de la o me χ†◦N d, a ec χ†un Q`-ca ac `e e non ami i´e de F×, e dans ce cas : (5.4) LT, ∆†=1 1−χ†($F)q−bd+1−d 2T. D´emons a ion. — D’abo d, si ρ†n’es pas une ep ´esen a ion de GL1(D) de la o me χ†◦N d, a ec χ†un Q`-ca ac `e e non ami i´e de F×, alo s d’ap `es la p oposi ion 5.4, L(T, ρ†) = 1. On d´edui de 4.1(2) que LT, ρνa ρ× · · · × ρνb ρ= 1 e de la p oposi ion 2.5 que LT, ∆†= 1. Supposons que ρ†es une ep ´esen a ion de GL1(D) de la o me χ†◦N d, a ec χ†un Q`-ca ac `e e non ami i´e de F×, c’es -`a-di e ∆†es une ep ´esen a ion de S einbe g o due. On peu alo s suppose que χ†es le Q`-ca ac `e e i ial de F×. La p eu e de la p oposi ion dans le cas des C- ep ´esen a ions, quand F = D es ai e dans [GJ, P oposi ion 7.11] e elle es alable pou D quelconque ( oi aussi [Bad, Theo em 6.1.(b)]). Mais la ep ´esen a ion de S einbe g es d´e inie su Qe donc, pa ex ension des scalai es `a Q`on ou e le ´esul a pou des Q`- ep ´esen a ions. Soien ρune F`- ep ´esen a ion cuspidale de G e ∆ = [a, b]ρun segmen banal (en pa iculie qd6≡ 1 mod l). P oposi ion 5.6. — La onc ion L(T, h∆i) au 1sau si ρes une ep ´esen a ion de GL1(D) de la o me χ◦N d, a ec χun F`-ca ac `e e non ami i´e de F×, e dans ce cas : (5.5) L(T, h∆i) = 1 1−χ($F)q−bd+1−d 2T. D´emons a ion. — Pa la p oposi ion 5.5 e le co ollai e 4.2, il su i de ai e le cas o`u ρes de la o me χ◦N d, a ec χun ca ac `e e non ami i´e de F×. No ons ρ†une Q`- ep ´esen a ion cuspidale en i`e e de G qui el`e e ρe ∆†le segmen [a, b]ρ†. Supposons pa l’absu de que l’´egali ´e (5.5) n’a pas lieu. Alo s, pa (5.4) e le co ollai e 4.2, L(T, h∆i) = 1. Mais dans ce cas, pa (2.3) : (5.6) γ(T, h∆i, ψ)∈F`T, T−1. FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 21 Puisque le segmen es banal, `LT, ∆†−1e `LT−1q−1,∆†∨−1son p e- mie s en e eux dans F`[T, T−1]. En e e : `LT, ∆†−1= 1 −χ($F)q−bd+1−d 2T, e `LT−1q−1,∆†∨−1=T−1T−χ($−1 F)qad+1−d 2−1 =−T−1χ($−1 F)qad+1−d 2−11−χ($F)q−ad−1−d 2+1. O l’´egali ´e : 1−χ($F)q−bd+1−d 2T= 1 −χ($F)q−ad−1−d 2+1 es sa is ai e si, e seulemen si, qd(−b+a−1) = 1, ce qui es impossible puisqu’on a suppos´e le segmen banal. O , pa (4.4), γ(T, h∆i, ψ) = `γT, ∆†ψ/∈F`[T, T−1] ce qui con edi (5.6). 5.3.3. La onc ion Ld’une R- ep ´esen a ion de la o me D∆† 1,...,∆† NE,N≥2, es calcul´ee dans [Ja2, Theo em 3.4]. Le calcul es ai pou des C- ep ´esen a ions, quand F = D, mais il es alable pou des ep ´esen a ions de GLm(D) su un co ps R alg´eb iquemen clos de ca ac ´e is ique 0 quelconque. Elle au : LT, D∆† 1,...,∆† NE=Y 1≤i≤N LT, D∆† iE. Th´eo `eme 5.7. — Pou ou e ep ´esen a ion banale h∆1,...,∆Ni: L(T, h∆1,...,∆Ni) = Y 1≤i≤N L(T, h∆ii). La condi ion de banali ´e, comme on l’a men ionn´e plus hau , es u ilis´ee de deux a¸cons di ´e en es : d’abo d, si la ep ´esen a ion es banale alo s elle s’´ec i sous la o me d´ec i e dans le h´eo `eme 5.2 (on ne dispose pas, pou l’ins an , d’un h´eo `eme similai e dans le cas g´en´e al); ensui e ou e ep ´esen a ion banale se el`e e ce qui nous pe me de ele e ou coe icien (e cela es aux dans le cas g´en´e al). Ce se ai in ´e essan de ou e une p eu e di ec e, sans u ilise d’a gumen de el`e emen ( oi [Mi2,§5.6] dans le cas o`u le g oupe Gmes banal). Pou p ou e le h´eo `eme ixons quelques no a ions : on ixe l’en ie m el que π= h∆1,...,∆Nisoi une F`- ep ´esen a ion de Gm. Soien ∆† 1,...,∆† Ndes segmen s comme dans le pa ag aphe 5.2 els que la ´educ ion modulo `de π†=D∆† 1,...,∆† NE 22 ALBERTO M´ INGUEZ soi h∆1,...,∆Ni. Qui e `a ´ea ange les indices 1 ≤i≤N, on suppose a que, pou ous 1 ≤i < j ≤N, ∆ine p ´ec`ede pas ∆je ∆† ine p ´ec`ede pas ∆† j(on peu le suppose puisque le mul i-segmen ∆1+· · · + ∆Nes banal). Soi k≤N el que b∆† i=b∆† 1(c . (5.1)) si, e seulemen si, i≤k. No ons m1 l’en ie el que h∆1,...,∆kisoi une ep ´esen a ion de Gm1e m2=m−m1. On no e σ1=h∆1,...,∆kie σ2=h∆k+1,...,∆Ni. On pose a inalemen σ† 1=D∆† 1,...,∆† kEe σ† 2=D∆† k+1,...,∆† NE. Lemme 5.8. — Pou ou e onc ion Φ† 2∈SZ`(Mm2(D)) e ou coe icien † 2de σ† 2`a aleu s dans Z`, il exis e Φ†∈SZ`(Mm(D)) e †coe icien de π†`a aleu s dans Z` els que : (5.7) Z Φ†, Tq1−n 2, †= Z Φ† 2, Tq1−dm2 2, † 2. D´emons a ion. — La cons uc ion de Φ†e †`a pa i de Φ† 2e † 2pou qu’ils sa is assen l’´equa ion (5.7) es ai e dans [Ja2, 3.5.]. On ´e i ie que la onc ion Φ†ainsi cons ui e es un p odui des onc ions `a aleu s en i`e es e †es d´e ini pa une in ´eg ale (donn´ee pa une mesu e `a aleu s dans Z`) de onc ions `a aleu s en i`e es. (E an en ca ac ´e is ique 0, la condi ion de banali ´e n’es pas u ilis´ee ici.) P eu e du h´eo `eme 5.7. — On appelle qu’on no e Z(π) le sous-F`-espace ec o iel de F`(T) engend ´e pa les onc ions Z Φ, Tq1−n 2, a ec coe icien de π, Φ ∈SF`(Mm(D)) e n=md. On eu mon e que Q 1≤i≤N L(T, h∆ii)∈Z(π).On le mon e pa ´ecu ence su N, le cas N= 1 ´e an la p oposi ion 5.6. Puisque pou ou i<j, ∆ine p ´ec`ede pas ∆je que les segmen s son banales, Q 1≤i≤k L(T, h∆ii)−1es p emie `a Q 1≤i≤N LT−1q−1,h∆ii∨−1dans F`[T, T−1]. Le mˆeme aisonnemen que dans la p eu e de la p oposi ion 5.6 nous mon e que : Y 1≤i≤k L(T, h∆ii)∈Z(π). O le polynˆome Q 1≤i≤k L(T, h∆ii)−1es aussi p emie au p odui Q k+1≤i≤N L(T, h∆ii)−1 dans F`[T]. Il su i donc de mon e que : Y k+1≤i≤N L(T, h∆ii)∈Z(π). FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 23 Pa hypo h`ese de ´ecu ence, on peu suppose qu’il exis e un ensemble ini Je , pou ou j∈J, une onc ion Φ(j) 2∈SF`(Mm2(D)) e un coe icien (j) 2de σ2 els que : X j∈J ZΦ(j) 2, Tq1−dm2 2, (j) 2=Y k+1≤i≤N L(T, h∆ii). Pou ou j∈J, on el`e e Φ(j) 2en Φ(j)† 2 onc ion `a aleu s dans Z`, e (j) 2en (j)† 2 coe icien de σ† 2`a aleu s dans Z`. Pa le lemme 5.8, il exis e Φ(j)†∈SZ`(Mm(D)) e (j)†coe icien de π†`a aleu s dans Z` els que, pou ou j∈J: ZΦ(j)†, Tq1−n 2, (j)†= Z Φ(j)† 2, Tq1−dm2 2, (j)† 2. No ons Φ(j)e (j)leu ´educ ion modulo `. On a : X j∈J ZΦ(j), Tq1−n 2, (j)=Y k+1≤i≤N L(T, h∆ii), ce qui ini la p eu e du h´eo `eme. 6. Un exemple dans le cas non banal On suppose ici que R = F`a ec `6=p. P oposi ion 6.1. — No ons 12la F`- ep ´esen a ion i iale de GL2(F). Alo s : L(T, 12) =        1si q≡1 mod l 1 1−q1/2Tsi q≡ −1 mod le l6= 2 1 1−q1/2T 1 1−q−1/2Tsi q26≡ 1 mod l(i.e. `banal). D´emons a ion. — Si `es banal c’es une cons´equence de la sec ion p ´ec´eden e. Supposons q2≡1 mod le ixons la mesu e de Haa su GL2(F) elle que µ×(1 + M2(OF)) = 1. On appelle que SF`(M2(F)) es engend ´e pa S0l’ensemble des onc ions ca ac ´e is iques des ensembles de la o me a+$nM2(OF) a ec a∈M2(F) e n∈N. Faisons agi GL2(OF) `a d oi e e `a gauche su S0: un choix de ep ´esen an s de l’ensemble quo ien es l’ensemble des onc ions ca ac ´e is iques des ensembles de la 24 ALBERTO M´ INGUEZ o me a+$nM2(OF) a ec a= $α0 0$β!, α ≤β < n,(6.1) a= $α0 0 0 !, α < n,(6.2) a= 0 0 0 0 !.(6.3) Il su i donc de calcule Z 1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12pou ces choix de ma ices a. En e e , pou ous k, k0∈GL2(OF), on a Z (Φ(k·k0), T, 12) = Z (Φ(·), T, 12) e donc Z(12) es le F`[T, T−1]-module engend ´e pa les onc ions zˆe a Z 1a+$nM2(O), Tq−1/2,12a ec a de la o me ci-dessus. Si aes de la o me (6.1), alo s 1a+$nM2(OF)∈SF`(GL2(F)) e donc la onc ion zˆe a Z1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12∈F`[T, T−1], pou ou n. Si aes de la o me (6.3) : Z1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12=µ×(GL2(OF)) Tn1−q−1/2T−11−q1/2T−1= 0, pou ou n, pa ce que, comme q2≡1 mod l, le olume du sous-g oupe compac maximal GL2(OF) es 0. Si aes de la o me (6.2), Z 1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12=P m≥n umTmq−m/2, o`u : um=Za,b,c,d∈pn,($α+a)d−bc∈pm−pm+1 dµ×(g) =Za,b,c,d∈pn,($α+a)d−bc∈pm−pm+1 q2mdµ(g). Calculons le olume de l’ensemble des a, b, c, d ∈pn, els que ($α+a)d−bc ∈pm−pm+1. Posons u= ($α+a)d−bc,i.e. d= (u+bc)($α+a)−1. Si m≥n+αalo s a, b, c ∈ pn, u ∈pm−pm+1 e des ix´e donc ce olume au : q−3n(q−1)q−mq2m=q−3n+m(q−1). O , q−3n+m(q−1) = 0, dans F`, si q≡1 mod l. Sinon, Z 1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12es une s´e ie g´eom´e ique de aison Tq1/2, d’o`u la p oposi ion. FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 25 Rema que 6.2. — On s’a endai `a ce ´esul a . En e e , si q≡ −1 mod le l6= 2, la F`- ep ´esen a ion i iale de GL2(F) es un sous-quo ien de la ´educ ion modulo `de (−1) FS 2(S 2es la ep ´esen a ion de S einbe g de GL2(F)) qui a comme onc ion L: L(T, (−1) FS 2) = 1 1−q1/2T. Dans ce cas l’in e se de la onc ion `de ai ˆe e un polynˆome de deg ´e 0 ou 1. Rema que 6.3. — Supposons `= 2. Soi Φ ∈SF`(M2(F)). No ons B le sous-g oupe de Bo el de GL2(F) e soi V l’indui e pa abolique de B `a GL2(F) de la ep ´esen a ion i iale de B. Alo s V es compos´ee (c . [Vi2]) de la ep ´esen a ion i iale, qui appa aˆı a ec mul iplici ´e 2, e d’une ep ´esen a ion cuspidale, Sp2di e sp´eciale. Ce e ep ´esen a ion sp´eciale, ´e an cuspidale, ´e i ie L(T, χSp2) = 1 pou ou ca - ac `e e χde F×. D’ap `es le calcul p ´ec´eden L(T, χ12) = 1 (c’es clai si χes non- ami i´e e s’il es ami i´e on u ilise le h´eo `eme 5.7 e le co ollai e 4.2). Puisque la ep ´esen a ion i iale e Sp2son deux sous-quo ien s de V, pa la p opo- si ion 2.5, elles on les mˆemes ac eu s gamma e puisque leu s onc ion L espec i es son ´egales, elles on , pa (2.3), les mˆemes ac eu s epsilon. Il es de mˆeme pou les ep ´esen a ions χSp2e χ12, pou ou ca ac `e e χde F×. Dans le cas des coe icien s complexes, on dispose d’un h´eo `eme de ´ecip oci ´e qui nous di que les onc ions Le les ac eu s epsilon des ep ´esen a ions de la o me χπ pou χ un ca ac `e e, d´e e minen ou e ep ´esen a ion i ´educ ible πde GL2(F) (c . [JL] dans le cas de GL2(F), [He1] dans le cas g´en´e al). Ceci n’es donc plus ai dans le cas non banal. R´e ´e ences [Bad] A. I. Badulescu, Global Jacque -Langlands co espondence, mul iplici y one and clas- si ica ion o au omo phic ep esen a ions. Wi h an appendix by Ne en G bac. In en . Ma h. 172 (2008), no. 2, 383–438. [BH] C.J. Bushnell, G. Hennia , The local Langlands conjec u e o GL(2) Sp inge , Volume 335. (2006). [Da ] J.-F. Da , ν- empe ed ep esen a ions o p-adic g oups I :`-adic case. Duke Ma h. J., 126(3) : 397-469, 2005. [GJ] R. Godemen , H. Jacque , Ze a unc ions o simple algeb as, Lec u es No es in Ma h. ol. 260, Sp inge -Ve lag, Be lin and New Yo k, 1972. [Ja1] H. Jacque , Ze a unc ions o simple algeb as (local heo y), Ha monic Analysis on Homogeneous spaces, Mem. Ame . Ma h. Soc., P o idence, R.I., 1973,381-386.