Fonctions zêta ℓ-modulaires

FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES par Alberto M´ınguez A la m´emoire de Hiroshi Saito R´esum´e. — Soient F un corps commutatif localement compact non archim´edien, de caract´eristique r´esiduelle not´ee p, et D une F-alg`ebre `a division centrale de dimension finie. Soit `un nombre premier diff´erent de p. Dans cet article, g´en´eralisant les r´esultats de [GJ], on associe `a chaque repr´esentation `-modulaire lisse irr´eductible πde GLm(D), deux invariants L(T, π), ε(T, π, ψ) o`u Test une variable et ψest un caract`ere non trivial de F. Abstract. — Let F be a non-Archimedean locally compact field, of residual characteristic p, and D be a finite dimensional central division F-algebra. Let `be a prime number different from p. In this article, generalizing the results of [GJ], we associate to each `-modular smooth irreducible representation πof GLm(D), two invariants L(T, π), ε(T, π, ψ), where T is an indeterminate and ψis a non-trivial character of F. Introduction Soient F un corps commutatif localement compact non archim´edien, de corps r´esiduel kF,pla caract´eristique de kF,qson cardinal, et D une alg`ebre `a division de centre F et de rang fini d2sur F. Soit R un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique `diff´erente de p. Une R-repr´esentation πd’un groupe G est une repr´esentation de G dans un R-espace vectoriel (quand R est F`une clˆoture alg´ebrique de F`, le corps fini `a `´el´ements, on dit aussi que πest une repr´esentation `-modulaire). Dans cet article on associe `a chaque F`-repr´esentation lisse irr´eductible πde G = GLm(D) deux invariants : d’une part une Classification math´ematique par sujets (2000). — 11S40 – 22E50. Mots clefs. — Fonction L, fonction zˆeta, repr´esentation `-modulaire. L’auteur est partiellement financ´e par ANR-10-BLANC 0114, EPSRC grant EP/G001480/1, MTM2010- 19298 et FEDER. 2ALBERTO M´ INGUEZ fonction L, not´ee L(T, π), qui est une fraction rationnelle de la forme 1 P(T)o`u P∈F`[T] est un polynˆome de degr´e au plus mtel que P(0) = 1; d’une autre part un facteur epsilon, not´e ε(T, π, ψ), d´ependant d’un caract`ere non trivial ψ: F →R×, qui est un monˆome de la forme ATk, avec A∈F× `et k∈Z Pour R = C, les fonctions zˆeta et les fonctions Lfurent introduites par Godement et Jacquet dans [GJ] et elles g´en´eralisent les fonctions Lde Tate [Tat] pour m= 1 et D = F et les fonctions Ld´efinies dans [JL,§13] pour md = 2. Pr´ecisons : notons SR(Mm(D)) le R-espace vectoriel des fonctions de Mm(D) (l’espace des matrices `a mlignes et mcolonnes `a coefficients dans D) `a valeurs dans R, localement constantes et `a support compact. Notons aussi ν=|Nrd|F, la valeur absolue normalis´ee de la norme r´eduite et µ×une mesure de Haar sur G `a valeurs dans R. Soit πune R-repr´esentation lisse irr´eductible de G. Pour tout coefficient fde π, toute fonction Φ∈SR(Mm(D)) et tout N∈Z, l’int´egrale : ZG,ν(x)=q−N Φ (x)f(x)dµ×(x), est bien d´efinie. On peut alors d´efinir la somme formelle (la fonction zˆeta) : Z (Φ, T, f) = X N∈ZZG,ν(x)=q−N Φ (x)f(x)dµ×(x)TN `a coefficients dans R. L’avantage principal qu’il y a `a consid´erer les fonctions zˆeta en tant que s´eries formelles vient de ce que les probl`emes de convergence et les difficult´es `a prouver le prolongement analytique sont, en partie, mis de cˆot´e. Dans cet article, on montre que les fonctions zˆeta sont des fractions rationnelles v´erifiant une certaine ´equation fonctionnelle. Ceci est d´ej`a connu (cf. [GJ]) pour R = C. Cette preuve ne s’adapte pas, en g´en´eral, au cas o`u R n’est pas de caract´eristique nulle. En effet, si P est un sous-groupe parabolique de G et K un sous-groupe compact maximal de G, une mesure `a valeurs dans R semi-invariante sur P\G n’´equivaut pas toujours, si ` > 0, `a une mesure de Haar sur K. La m´ethode d’induction de [GJ] n’est donc valable que si le corps R est de caract´eristique banale, c’est-`a-dire, quand `ne divise pas le cardinal de GLm(kD) (voir [Mi2,§5]). Ici on utilise un argument de rel`evement `a la caract´eristique 0. Toute F`-repr´esentation irr´eductible de G est un sous-quotient de la r´eduction modulo `d’une Q`-repr´esentation irr´eductible enti`ere de G (cf. [Dat] ou [MS]). La th´eorie des fonctions zˆeta est valable FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 3 pour des Q`-repr´esentations grˆace `a [GJ] et on montre que cela suffit pour ´etendre la th´eorie au cas des F`-repr´esentations. Deux des int´erˆets de la th´eorie de fonctions zˆeta proviennent des faits suivants : (1) L’´equation fonctionnelle des fonctions zˆeta est ´etroitement li´ee `a l’existence de la correspondance thˆeta locale pour la paire (GLm(D),GLm(D)) (cf. [Wei], [Mi1]). Le but original de la construction des fonctions zˆeta `-modulaires ´etait pour nous de comprendre le comportement de la correspondance thˆeta modulo `. Dans la section 3, on calcule les fonctions Ldes caract`eres de GL1(F) et on remarque que les arguments utilis´es dans [Kud] pour prouver l’´equation fonctionnelle ne sont pas valables si q≡1 mod l. On en d´eduit que la correspondance thˆeta locale n’est plus bijective pour des F`-repr´esentations. (2) Les fonctions Let les facteurs epsilon de paires apparaissent dans la caract´erisation [He1] de la correspondance de Langlands [He2] [HT] pour R = C. Si m≥2, toute C- repr´esentation irr´eductible πde GLm(F) est d´etermin´ee par la connaissance des fonctions : L(T, π ×ρ) ε(T, π ×ρ, ψ) pour toute repr´esentation irr´eductible ρde GLm0(F) avec m0< m. Si m= 2 et m0= 1 ces fonctions co¨ıncident avec les fonctions L(T, ρπ) et ε(T, ρπ, ψ) respectivement, o`u ρπ d´enote la repr´esentation (ρ◦det) ⊗πde GL2(F) (ρ´etant ici un caract`ere de GL1(F) = F×). Si R = F`, on montre que les fonctions Let εde paires ne suffisent pas `a caract´eriser les repr´esentations irr´eductibles `-modulaires comme dans le cas complexe. Plus pr´ecis´ement, on donne un exemple, dans la section 6, de deux F`-repr´esentations irr´eductibles π1et π2de GL2(F) non isomorphes telles que pour tout caract`ere χde GL1(F) on ait : L(T, χπ1) = L(T, χπ2),et ε(T, χπ1, ψ) = ε(T, χπ2, ψ). Une fois d´efinie la fonction L(T, π), il est int´eressant de la calculer explicitement si possible en fonction de param´etrisations de la repr´esentation π. Dans le cas o`u R = C ceci est fait dans [Ja2] o`u l’auteur la calcule en termes de la classification `a la Langlands des repr´esentations irr´eductibles de G. Dans le cas o`u R = F`, on ne dispose d’une telle 4ALBERTO M´ INGUEZ classification que dans le cas o`u πest un repr´esentation dite banale (voir le paragraphe 5.1.2 pour la d´efinition; c’est le cas, en particulier, si `ne divise pas l’ordre de GLn(kD)). Si πest une repr´esentation banale, on explicite dans le th´eor`eme 5.7, la fonction L(T, π). Cette classification permet d’´etudier le comportement de la r´eduction de la correspondance thˆeta dans le cas banal. Remerciements. — Je voudrais particuli`erement remercier Guy Henniart pour ses nombreux conseils et id´ees `a propos de cet article qui, dans une version simplifi´ee, faisait partie de ma th`ese sous sa direction. Je remercie aussi Vincent S´echerre et Shaun Stevens pour les remarques et corrections int´eressantes qu’ils m’ont sugg´er´ees. 1. Notations et conventions 1.1. Soit F un corps commutatif localement compact non archim´edien, de caract´eristique r´esiduelle not´ee p. Si E est une extension finie de F, ou plus g´en´eralement une alg`ebre `a division sur une extension finie de F, on note OEson anneau d’entiers, pE=$EOEson id´eal maximal, $Eune uniformisante et kEson corps r´esiduel. Soit R un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique `diff´erente de pet soit G le groupe des points sur F d’un groupe r´eductif connexe d´efini sur F. Par R-repr´esentation lisse de G on entend la donn´ee d’un R-espace vectoriel V et d’un homomorphisme de groupes de G dans AutR(V) tel que, pour tout vecteur v∈V, le stabilisateur de vdans G soit ouvert. Dans cet article, toutes les repr´esentations sont suppos´ees lisses. Une repr´esentation de G sur un R-espace vectoriel V est admissible si, pour tout sousgroupe ouvert H de G, l’espace VHde ses vecteurs H-invariants est de dimension finie. Un R-caract`ere de G est un homomorphisme de G dans R×de noyau ouvert. Si πest une R-repr´esentation de G, on d´esigne par π∨sa contragr´ediente. Si en outre χest un R-caract`ere de G, on note χπ ou πχ la repr´esentation tordue g7→ χ(g)π(g). S’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, on ´ecrira caract`ere et repr´esentation plutˆot que R-caract`ere et R-repr´esentation. Toute R-repr´esentation irr´eductible de G est admissible et admet un caract`ere central [Vi1, II.2.8]. Si σest une R-repr´esentation de longueur finie de G, on note [σ]sa classe d’isomorphie. 1.1.1. On choisit une fois pour toutes une racine carr´ee q1/2dans Rdu cardinal du corps r´esiduel de F.Si M est un sous-groupe de Levi de G et P un sous-groupe parabolique FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 5 de G dont M est un facteur de Levi, ce choix d´efinit un caract`ere non ramifi´e : (1.1) δ1/2 P: M →R× dont le carr´e est le module de P. On note rG Ple foncteur de restriction parabolique normalis´e (relativement `a (1.1)) et iG Pson adjoint `a droite, c’est-`a-dire le foncteur d’induction parabolique normalis´e lui correspondant. Ces foncteurs sont exacts, et pr´eservent l’admissibilit´e et le fait d’ˆetre de longueur finie. Une R-repr´esentation irr´eductible de G est dite cuspidale si son image par rG Pest nulle pour tout sous-groupe parabolique strict P de G, c’est-`a-dire si elle n’est isomorphe `a aucun quotient (ou, de fa¸con ´equivalente, `a aucune sous-repr´esentation) d’une induite parabolique stricte. Elle est dite supercuspidale si elle n’est isomorphe `a aucun sous-quo- tient d’une induite parabolique stricte. 1.2. Formes int´erieures de GLnsur F. — Dans ce paragraphe, on fixe une alg`ebre `a division D de centre F et de degr´e r´eduit not´e d. Pour tout entier m⩾1, on d´esigne par Mm(D) la F-alg`ebre des matrices de taille m×m`a coefficients dans D et par Gm= GLm(D) le groupe de ses ´el´ements inversibles. 1.2.1. Soit Nrd la norme r´eduite de Mm(D) sur F. On note q=qFle cardinal du corps r´esiduel de F et | |Fla valeur absolue normalis´ee de F, c’est-`a-dire la valeur absolue donnant `a une uniformisante de F la valeur q−1. Puisque l’image de qdans R est inversible, elle d´efinit un R-caract`ere de F×not´e | |F,R. L’application g7→ |Nrd(g)|F,Rest un R-caract`ere de Gm, qu’on notera νm,Rou simplement νsi le contexte le permet. 1.2.2. Si α= (m1, . . . , mr) est une famille d’entiers positifs dont la somme est ´egale `a m, il lui correspond le sous-groupe de Levi standard Mαde Gmconstitu´e des matrices diagonales par blocs de tailles m1, . . . , mrrespectivement, que l’on identifie naturellement au produit Gm1× · · · × Gmr. On note Pαle sous-groupe parabolique de Gmde facteur de Levi Mαform´e des matrices triangulaires sup´erieures par blocs de tailles m1, . . . , mr respectivement, et on note Uαson radical unipotent. Si, pour chaque i∈ {1, . . . , r}, on a une R-repr´esentation πide Gmi, il est aussi commode de noter : (1.2) π1× · · · × πr=iGm Pα(π1⊗ · · · ⊗ πr). 1.2.3. ´ Etant donn´e un ensemble X, un multi-ensemble sur X est l’ensemble des fonctions m: X →N`a support fini. On pourra le voir comme l’ensemble X avec ses ´el´ements compt´es avec des multiplicit´es. Etant donn´e une R-repr´esentation irr´eductible πde Gn, il 6ALBERTO M´ INGUEZ existe un unique multi-ensemble ρ1, . . . , ρrde R-repr´esentations cuspidales tel que, quitte `a r´earranger les ρi,πsoit un quotient de ρ1× · · · × ρr. On dit que ρ1, . . . , ρrest le support cuspidal de π. Pour une preuve de l’unicit´e du support cuspidal, on renvoie `a [MS, Th´eor`eme 2.1], voir aussi [Vi1, II.2.20]. 1.3. Pour tout anneau commutatif E on notera SE(Mm(D)) le E-module des fonctions Φ de Mm(D) dans E, localement constantes et `a support compact. Fixons ψ: F →R× un caract`ere non trivial de F. Soit µune mesure de Haar sur Mm(D) `a valeurs dans R et µ×une mesure de Haar sur G `a valeurs dans R (voir [Vi1, I.2.4]). Pour toute fonction Φ∈SR(Mm(D)), on note b Φ (x) = RMm(D) Φ (y)ψtrMm(D)/F(xy)dµ(y) sa transform´ee de Fourier. Comme dans le cas complexe, pour toute fonction Φ ∈SR(Mm(D)), on a b Φ∈SR(Mm(D)) et Φ 7→ b Φ d´efinit un automorphisme de SR(Mm(D)). On supposera que la mesure est auto-duale, c’est-`a-dire, on choisira µpour que : (1.3) bb Φ(x) = Φ(−x). Remarque 1.1. — La mesure µn’est pas unique mais on peut imposer µ(OF) = q1 2r, o`u rest le niveau de ψ. 1.4. On fixe un nombre premier `6=p. On note Q`une clˆoture alg´ebrique du corps de nombres `-adiques, Z`l’anneau des entiers de Q`et F`son corps r´esiduel, qui est un clˆoture alg´ebrique du corps premier F`. On pose r`:Z`→F`la projection canonique. 1.4.1. Une repr´esentation π†de Gmsur un Q`-espace vectoriel V est dite enti`ere si elle est admissible et si elle admet une structure enti`ere, c’est-`a-dire un sous-Z`-module de V stable par G et engendr´e par une base de V sur Q`. Par exemple, une Q`-repr´esentation cuspidale est enti`ere si, et seulement si, son caract`ere central est `a valeurs dans Z`et une Q`-repr´esentation irr´eductible est enti`ere si, et seulement si, son support cuspidal est form´e de Q`-repr´esentations cuspidales enti`eres (cf. [Vi1, II.4.13] et [Dat, Proposition 6.6]). Si vest une structure enti`ere de π†, la repr´esentation de Gmsur le F`-espace vectoriel v⊗F`est de longueur finie et sa semi-simplification ne d´epend pas du choix de la structure enti`ere d’apr`es [Vi1, II.5.11]. On note r`(π†) cette semi-simplifi´ee, qu’on appelle la r´eduction de π†et qui ne d´epend que de sa classe d’isomorphisme [π†](on commet ainsi un l´eger abus de notation, puisque r`d´esigne aussi l’homomorphisme de r´eduction d´efini au d´ebut du paragraphe 1.4). FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 7 On appelle rel`evement d’une F`-repr´esentation irr´eductible πde Gmune Q`-repr´esentation enti`ere π†de Gmtelle que [π]=r`(π†). Si un tel rel`evement existe, on dit que π se rel`eve. Par exemple, dans [MS, Th´eor`eme 4.24] on prouve que toute F`-repr´esentation supercuspidale se rel`eve. 1.4.2. On suppose que les choix de racines carr´ees de qdans Q`et dans F`(paragraphe 1.1.1) sont compatibles, c’est-`a-dire que la seconde est la r´eduction modulo `de la premi`ere. Si π†est une Q`-repr´esentation enti`ere de M, et si ven est une structure enti`ere, le sous-espace iG P(v) des fonctions `a valeurs dans vest une structure enti`ere de iG P(π†) et la repr´esentation iG P(v)⊗F`est isomorphe `a iG P(v⊗F`). Si en outre π†est de longueur finie, ceci implique que r`([iG P(π†)]) = [iG P(r`(π†))]. On renvoie `a [Vi1, II.4.14]. 1.4.3. Soit (π†,V†) une repr´esentation admissible enti`ere de Gmet vune structure enti`ere de π†. Alors le sous–Z`-module v∨de (π†∨,V†∨) des v∨∈V†∨tels que π†(g)v, v∨∈Z`, pour tout g∈G et tout v∈v, est une structure enti`ere de π†∨ (cf. [Vi1, I.9.7]). De plus : v∨⊗F`≃(v⊗F`)∨. 2. Le th´eor`eme principal On fixe une alg`ebre `a division D de centre F et degr´e r´eduit not´e det R un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique diff´erente de p. On fixe aussi un entier m⩾1 et on d´esigne par G le groupe Gm= GLm(D). On note finalement n=md. 2.1. Soit N∈Z. Posons iNla fonction caract´eristique de l’ensemble : {x∈G : ν(x) = q−N}. Pour toute fonction Φ ∈SR(Mm(D)) notons ΦN=iNΦ. Lemme 2.1. — Soient Φ∈SR(Mm(D)) et N∈Z. Alors la fonction ΦNappartient `a SR(G) et elle est nulle si N << 0. D´emonstration. — La fonction ΦNest localement constante. Prouvons que son support est compact. Soit K0= GLm(OD). Consid´erons l’ensemble des m-uplets (a1, a2, . . . , am) 8ALBERTO M´ INGUEZ tels que a1≤a2≤ · · · ≤ amet : supp(Φ) ∩K0      $a1 D $a2 D... $am D      K06=∅. Cette derni`ere condition implique que les entiers a1, a2, . . . , amsont born´es inf´erieurement. Si de plus on suppose que a1+a2+· · · +am=Nil n’y a qu’un nombre fini de tels m-uplets. On d´eduit que supp(ΦN) n’intersecte qu’un nombre fini de K-double classes contenues dans G ce qui montre le lemme. 2.2. Soit πune repr´esentation admissible de G dans un R-espace vectoriel V. On rappelle qu’un coefficient de πest une fonction f: G →R de la forme fv,v∨(x) = hπ(x)v, v∨io`u v∈V, v∨∈V∨sont fix´es, ou une combinaison lin´eaire de telles fonctions. On note ˇ fle coefficient de π∨d´efini par ˇ f(g) = f(g−1). Pour tout coefficient f: G →R de π, toute fonction Φ ∈SR(Mm(D)) et tout N∈Z l’int´egrale : ZG,ν(x)=q−N Φ (x)f(x)dµ×(x) = ZG ΦN(x)f(x)dµ×(x) est bien d´efinie. En effet l’int´egrand appartient `a SR(G) d’apr`es le lemme 2.1. On peut alors d´efinir la somme formelle : Z (Φ, T, f) = X N∈ZZG,ν(x)=q−N Φ (x)f(x)dµ×(x)TN. De plus, par le lemme 2.1, pour Nassez petit on a : ZG,ν(x)=q−N Φ (x)f(x)dµ×(x) = 0, et donc Z (Φ, T, f)∈R ((T)). Remarque 2.2. — Quand R = C, Z (Φ, T, f) co¨ıncide avec la fonction zˆeta d´efinie en [GJ], avec T=q−s. FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 9 2.3. Comme dans le paragraphe 1.4, on fixe un nombre premier `6=p. On note Q`une clˆoture alg´ebrique du corps de nombres `-adiques, Z`l’anneau des entiers de Q`et F`son corps r´esiduel, qui est un clˆoture alg´ebrique du corps premier F`. Le symbole R d´esignera dans la suite un corps de caract´eristique nulle ou F`avec `6=p. Le th´eor`eme suivant ´etend [GJ] au cas des R-repr´esentations : Th´eor`eme 2.3. — Soit Run corps alg´ebriquement clos de caract´eristique nulle ou bien isomorphe `a F`. Soit (π, V) une R-repr´esentation irr´eductible de GLm(D). Alors : (1) Il existe P0(π, T)∈R [T]tel que, pour tout coefficient fde πet toute fonction Φ∈SR(Mm(D)) : Z (Φ, T, f)P0(π, T)∈RT, T−1. (2) Il existe γ(T, π, ψ)∈R (T)tel que, pour tout coefficient fde πet toute fonction Φ∈SR(Mm(D)) : (2.1) Z b Φ, q−1 2(n+1)T−1,ˇ f=γ(T, π, ψ) Z Φ, q−1 2(n−1)T, f. La preuve sera faite dans la section 4. 2.4. Avant de prouver le th´eor`eme, d´emontrons quelques cons´equences directes. Corollaire 2.4. — Notons Z(π)le sous-R-espace vectoriel de R (T)engendr´e par les fonctions ZΦ, Tq1−n 2, fquand fparcourt l’ensemble de coefficients de πet Φparcourt SR(Mm(D)) .Alors Z(π)est un id´eal fractionnaire de R [T, T−1]contenant les constantes. Il admet un unique g´en´erateur de la forme : 1 P1(π, T) avec P1(π, T)∈R [T]et P1(π, 0) = 1. D´emonstration. — Avant tout, remarquons que 1 ∈Z(π) : il suffit de prendre le coefficient associ´e `a un vecteur vquelconque et `a v∨tel que v∨(v) = 1 et Φ = µ×(K)−11Ko`u K est un sous groupe compact de G de mesure inversible dans R (par exemple un voisinage ouvert pro-pde l’´el´ement neutre) et qui laisse invariant vet v∨. Soit Q(T)∈Z(π), r ∈Z. Montrons que Q(T)Tr∈Z(π). On peut supposer qu’il existe fun coefficient de πet Φ ∈SR(Mm(D)) tels que : Q(T) = Z Φ, Tq1−n 2, f. 16 ALBERTO M´ INGUEZ D´emonstration. — Soient Φ ∈SF`(Mm(D)) et fun coefficient de v⊗Z`F`. Notons v∨la structure enti`ere (voir paragraphe 1.4.1) de π†∨ des v∨∈V†∨tels que π†(g)v, v∨∈Z`, pour tout g∈G, et tout v∈v. On peut supposer que fest de la forme fv,v∨avec vet v∨deux vecteurs dans v⊗Z`F` et v∨⊗Z`F`respectivement. Soient v†∈vet v†∨ ∈v∨des rel`evements de vet v∨, c’est- `a-dire, des vecteurs tels que v†=vmod `et v†∨ =v∨mod `. Notons f†=fv†,v†∨ le coefficient correspondant. Par construction, il est `a valeurs dans Z`et r`(f†) = f. Relevons aussi Φ ∈SF`(Mm(D)) en une fonction Φ†∈SZ`(Mm(D)). Ainsi ZΦ†, T, f†∈Z`[[T]] [T−1]. Puisque le th´eor`eme 2.3 est vrai pour π†(paragraphe 4.1), il existe P†(Φ†, T, f†)∈ Q`[T, T−1] tel que : (4.2) Z Φ†, T, f†P† 0π†, T=P†(Φ†, T, f†). De plus, par 4.2.1, on peut supposer P† 0(π†, T)∈Z`[T] et P† 0π†,0= 1 et donc : P†(Φ†, T, f†)=ZΦ†, T, f†P† 0π†, T∈Z`[[T]] T−1∩Q`T, T−1. On en d´eduit que, en fait : P†(Φ†, T, f†)∈Z`T, T−1. Par construction, on a Z (Φ, T, f) = r`ZΦ†, T, f†dans F`((T)). Mais, d’apr`es l’´equation (4.2), on a r`ZΦ†, T, f†r`P† 0π†, T=r`P†Φ†, T, f†. Puisque P† 0π†,0= 1 on a r`P† 0π†, T6= 0 d’o`u : Z (Φ, T, f) = r`ZΦ†, T, f†=r`P†Φ†, T, f† r`P† 0(π†, T), qui appartient bien `a F`(T). Cela d´emontre (1). Montrons (2). Soient Q†,Q0† ∈Z`[T] premiers entre eux tels que γT, π†, ψ†=Q†(T) Q0†(T). Alors pour toute Φ†∈SZ`(Mm(D)) et tout coefficient f†comme ci-dessus, on a : Zc Φ†, q−1 2(n+1)T−1,ˇ f†Q0†(T)=ZΦ†, q−1 2(n−1)T, f†Q†(T). FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 17 On choisit Φ†∈SZ`(Mm(D)) et f†coefficient de π†`a valeurs dans Z`tels que r`ZΦ†, q−1 2(n−1)T, f†6= 0. On d´eduit que r`(Q0†)6= 0. Il suffit alors de prendre : (4.3) γT, v⊗Z`F`, ψ=r`γT, π†, ψ†:= r`Q†(T) r`(Q0†(T)). 4.2.3. La preuve du th´eor`eme 4.1 implique : Corollaire 4.2. — (1) P1T, v⊗Z`F`divise r`P1T, π†dans l’anneau F`[T]. (2) La fonction γT, v⊗Z`F`, ψsatisfait l’´equation suivante : (4.4) γT, v⊗Z`F`, ψ=r`(ε(T, π, ψ)) r`(L(q−1T−1, π∨)) r`(L(T, π)) . En g´en´eral on n’a pas une ´egalit´e dans (1) (comme on vient de montrer dans le cas de GL1(D), voir section 6 pour d’autres contre-exemples). Pourtant, l’´egalit´e est satisfaite pour les repr´esentations banales (voir section 5). Preuve du th´eor`eme 2.3. — Soit πune F`-repr´esentation irr´eductible. D’apr`es [Dat, Lemma 6.8.i)] ou [MS, Proposition 4.23], il existe π†une Q`-repr´esentation irr´eductible enti`ere et vune structure enti`ere de π†telle que πsoit un sous-quotient de v⊗Z`F`. Les assertions (1) et (2) du th´eor`eme 2.3 sont vraies, d’apr`es le th´eor`eme 4.1, pour la repr´esentation v⊗Z`F`. Elles sont aussi vraies pour la F`-repr´esentation πd’apr`es la proposition 2.5. 5. Classification des fonctions Ldans le cas banal Dans cette section on calcule les fonctions Lpour les F`-repr´esentations de GLm(D) dites banales. Ces repr´esentations satisfont deux conditions qui sont importantes pour nous : d’abord il existe une classification `a la Langlands (voir ci-dessous) qui permet de les param´etrer; ensuite, elles se rel`event en caract´eristique 0 5.1. Les repr´esentations banales. — Dans ce paragraphe on fixe R un corps de caract´eristique 0 ou bien R = F`avec `6=p. On rappelle bri`evement la classification des R-repr´esentations banales de Gm, on renvoie `a [MS2] pour plus de d´etails. 18 ALBERTO M´ INGUEZ 5.1.1. Soit un entier n⩾0, soit ρune R-repr´esentation irr´eductible cuspidale de Gn. Dans [MS,§7.1], on lui associe un caract`ere non ramifi´e νρtel que, pour toute repr´esentation cuspidale ρ0, la repr´esentation induite ρ×ρ0est r´eductible si et seulement si ρ0est isomorphe `a ρνρou ρν−1 ρ. Par exemple, si D = F, alors νρest ind´ependant de ρ et vaut |det |F. On note Zρl’ensemble de classes d’´equivalence des R-repr´esentations de la forme ρνi ρavec i∈Z. Dans le cas o`u R = F`, cet ensemble est fini. 5.1.2. Soit un entier n⩾0, soit ρune R-repr´esentation irr´eductible cuspidale de Gn et soient a, b ∈Zdes entiers tels que a⩽b. Un segment est une suite finie de la forme : ∆ = ρνa ρ, ρνa+1 ρ, . . . , ρνb ρ. Un tel segment sera aussi not´e [a, b]ρ. On note : (5.1) n(∆) = b−a+ 1, a(∆) = ρνa ρ, b(∆) = ρνb ρ, respectivement la longueur et les extr´emit´es de ∆. Un multisegment est un multi-ensemble (cf. 1.2.3) de segments de la forme pr´ec´edente. Son support est un multi-ensemble de R-repr´esentations cuspidales : si ρest une repr´esentation cuspidale, la multiplicit´e de ρdans le support d’un multisegment mest le nombre de fois que cette repr´esentation apparaˆıt dans les diff´erents segments de m. Un multisegment mest dit banal si pour toute repr´esentation cuspidale ρ, l’ensemble Zρn’est pas inclus dans le support de m. D´efinition 5.1. — On dira qu’une R-repr´esentation πest banale si son support cuspidal est banal. En particulier, toute R-repr´esentation de Gmest banale si Gmest un groupe banal pour R, c’est-`a-dire si R est un corps de caract´eristique 0 ou bien R = F`avec `ne divisant pas le cardinal du groupe fini GLm(kD), o`u kDest le corps r´esiduel de D. 5.1.3. Soient ∆ = [a, b]ρet ∆0= [a0, b0]ρ0des segments. On dit que ∆ pr´ec`ede ∆0si l’on peut extraire de la suite : (ρνa ρ, . . . , ρνb ρ, ρ0νa0 ρ0, . . . , ρ0νb0 ρ0) une sous-suite qui est un segment de longueur strictement sup´erieure `a n(∆) et n(∆0). Soit ∆ = [a, b] un segment banal. On pose : (5.2) I(∆) = ρνa ρ× · · · × ρνb ρ. FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 19 La repr´esentation I(∆) poss`ede (cf. [MS2, Proposition 3.8]) un unique quotient irr´eductible, not´e h∆i. Dans [MS2, Th´eor`eme 0.3], on montre le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 5.2. — (1) Soient ∆1,...,∆rdes segments tels que, pour tous i < j, le segment ∆ine pr´ec`ede pas ∆jet tels que le multisegment m= ∆1+· · · + ∆rsoit banal. Alors : (5.3) h∆1i×···×h∆Ni admet un unique quotient irr´eductible, ne d´ependant que de met not´e hmi. Il est banal et sa multiplicit´e comme facteur de (5.3) est ´egale `a 1. (2) L’application m7→ hmid´efinit une bijection entre multisegments banals et classes d’isomorphisme de repr´esentations irr´eductibles banales de Gm, pour m≥0. Remarque 5.3. — Ces repr´esentations sont not´ees L (∆1,...,∆N) dans [MS2]. Pour ´eviter une confusion avec les fonctions L, on a pr´ef´er´e d’utiliser ici la notation h∆1,...,∆Ni. 5.2. On suppose ici R = F`. Soit ∆1+· · · + ∆Nun multisegment banal. Supposons, pour fixer les notations, que ∆i= [ai, bi]ρi, 1 ≤i≤N. Alors d’apr`es [MS2,§5], il existe des Q`-repr´esentations cuspidales enti`eres ρ† iqui rel`event ρi, pour 1 ≤i≤N, telles que h∆1,...,∆Nisoit exactement la r´eduction modulo `de D∆† 1,...,∆† NE, avec ∆† i= [ai, bi]ρ† i. 5.3. On va calculer la fonction Lsucessivement pour une repr´esentation cuspidale, une repr´esentation de la forme h∆iet finalement, par r´ecurrence, une repr´esentation de la forme h∆1,...,∆Niavec Nquelconque. 5.3.1. On commence avec le cas d’une F`-repr´esentation cuspidale. Proposition 5.4. — Soit ρune F`-repr´esentation cuspidale de Gm. Alors L(T, ρ)=1 sauf si m= 1,qd6≡ 1 mod let ρest le caract`ere χ◦Nrd, avec χun caract`ere non ramifi´e de F×. Dans ce cas : L(T, χ ◦Nrd) = Lq1−d 2T, χ=1 1−χ($F)q1−d 2T. D´emonstration. — Si m= 1, c’est le th´eor`eme 3.1 (attention `a la normalisation de la fonction L!). Supposons m > 1. Alors il existe une Q`-repr´esentation cuspidale enti`ere ρ†(cf [MS, Proposition 4.23]) telle que ρsoit un sous-quotient irr´eductible de r`(ρ†). La 20 ALBERTO M´ INGUEZ proposition est donc une cons´equence du corollaire 4.2 et du paragraphe 4.1 (voir [Mi2, §5.3] pour une preuve directe). 5.3.2. Soient ρ†une Q`-repr´esentation cuspidale de Gret ∆†= [a, b]ρ†un segment. Proposition 5.5. — La fonction L(T, ∆†)vaut 1sauf si ρ†est une repr´esentation de GL1(D) de la forme χ†◦Nrd, avec χ†un Q`-caract`ere non ramifi´e de F×, et dans ce cas : (5.4) LT, ∆†=1 1−χ†($F)q−bd+1−d 2T. D´emonstration. — D’abord, si ρ†n’est pas une repr´esentation de GL1(D) de la forme χ†◦Nrd, avec χ†un Q`-caract`ere non ramifi´e de F×, alors d’apr`es la proposition 5.4, L(T, ρ†) = 1. On d´eduit de 4.1(2) que LT, ρνa ρ× · · · × ρνb ρ= 1 et de la proposition 2.5 que LT, ∆†= 1. Supposons que ρ†est une repr´esentation de GL1(D) de la forme χ†◦Nrd, avec χ†un Q`-caract`ere non ramifi´e de F×, c’est-`a-dire ∆†est une repr´esentation de Steinberg tordue. On peut alors supposer que χ†est le Q`-caract`ere trivial de F×. La preuve de la proposition dans le cas des C-repr´esentations, quand F = D est faite dans [GJ, Proposition 7.11] et elle est valable pour D quelconque (voir aussi [Bad, Theorem 6.1.(b)]). Mais la repr´esentation de Steinberg est d´efinie sur Qet donc, par extension des scalaires `a Q`on trouve le r´esultat pour des Q`-repr´esentations. Soient ρune F`-repr´esentation cuspidale de Gret ∆ = [a, b]ρun segment banal (en particulier qd6≡ 1 mod l). Proposition 5.6. — La fonction L(T, h∆i)vaut 1sauf si ρest une repr´esentation de GL1(D) de la forme χ◦Nrd, avec χun F`-caract`ere non ramifi´e de F×, et dans ce cas : (5.5) L(T, h∆i) = 1 1−χ($F)q−bd+1−d 2T. D´emonstration. — Par la proposition 5.5 et le corollaire 4.2, il suffit de traiter le cas o`u ρest de la forme χ◦Nrd, avec χun caract`ere non ramifi´e de F×. Notons ρ†une Q`-repr´esentation cuspidale enti`ere de Grqui rel`eve ρet ∆†le segment [a, b]ρ†. Supposons par l’absurde que l’´egalit´e (5.5) n’a pas lieu. Alors, par (5.4) et le corollaire 4.2, L(T, h∆i) = 1. Mais dans ce cas, par (2.3) : (5.6) γ(T, h∆i, ψ)∈F`T, T−1. FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 21 Puisque le segment est banal, r`LT, ∆†−1et r`LT−1q−1,∆†∨−1sont premiers entre eux dans F`[T, T−1]. En effet : r`LT, ∆†−1= 1 −χ($F)q−bd+1−d 2T, et r`LT−1q−1,∆†∨−1=T−1T−χ($−1 F)qad+1−d 2−1 =−T−1χ($−1 F)qad+1−d 2−11−χ($F)q−ad−1−d 2+1. Or l’´egalit´e : 1−χ($F)q−bd+1−d 2T= 1 −χ($F)q−ad−1−d 2+1 est satisfaite si, et seulement si, qd(−b+a−1) = 1, ce qui est impossible puisqu’on a suppos´e le segment banal. Or, par (4.4), γ(T, h∆i, ψ) = r`γT, ∆†ψ/∈F`[T, T−1] ce qui contredit (5.6). 5.3.3. La fonction Ld’une R-repr´esentation de la forme D∆† 1,...,∆† NE,N≥2, est calcul´ee dans [Ja2, Theorem 3.4]. Le calcul est fait pour des C-repr´esentations, quand F = D, mais il est valable pour des repr´esentations de GLm(D) sur un corps R alg´ebriquement clos de caract´eristique 0 quelconque. Elle vaut : LT, D∆† 1,...,∆† NE=Y 1≤i≤N LT, D∆† iE. Th´eor`eme 5.7. — Pour toute repr´esentation banale h∆1,...,∆Ni: L(T, h∆1,...,∆Ni) = Y 1≤i≤N L(T, h∆ii). La condition de banalit´e, comme on l’a mentionn´e plus haut, est utilis´ee de deux fa¸cons diff´erentes : d’abord, si la repr´esentation est banale alors elle s’´ecrit sous la forme d´ecrite dans le th´eor`eme 5.2 (on ne dispose pas, pour l’instant, d’un th´eor`eme similaire dans le cas g´en´eral); ensuite toute repr´esentation banale se rel`eve ce qui nous permet de relever tout coefficient (et cela est faux dans le cas g´en´eral). Ce serait int´eressant de trouver une preuve directe, sans utiliser d’argument de rel`evement (voir [Mi2,§5.6] dans le cas o`u le groupe Gmest banal). Pour prouver le th´eor`eme fixons quelques notations : on fixe l’entier mtel que π= h∆1,...,∆Nisoit une F`-repr´esentation de Gm. Soient ∆† 1,...,∆† Ndes segments comme dans le paragraphe 5.2 tels que la r´eduction modulo `de π†=D∆† 1,...,∆† NE 22 ALBERTO M´ INGUEZ soit h∆1,...,∆Ni. Quitte `a r´earranger les indices 1 ≤i≤N, on supposera que, pour tous 1 ≤i < j ≤N, ∆ine pr´ec`ede pas ∆jet ∆† ine pr´ec`ede pas ∆† j(on peut le supposer puisque le multi-segment ∆1+· · · + ∆Nest banal). Soit k≤Ntel que b∆† i=b∆† 1(cf. (5.1)) si, et seulement si, i≤k. Notons m1 l’entier tel que h∆1,...,∆kisoit une repr´esentation de Gm1et m2=m−m1. On note σ1=h∆1,...,∆kiet σ2=h∆k+1,...,∆Ni. On posera finalement σ† 1=D∆† 1,...,∆† kEet σ† 2=D∆† k+1,...,∆† NE. Lemme 5.8. — Pour toute fonction Φ† 2∈SZ`(Mm2(D)) et tout coefficient f† 2de σ† 2`a valeurs dans Z`, il existe Φ†∈SZ`(Mm(D)) et f†coefficient de π†`a valeurs dans Z`tels que : (5.7) Z Φ†, Tq1−n 2, f†= Z Φ† 2, Tq1−dm2 2, f† 2. D´emonstration. — La construction de Φ†et f†`a partir de Φ† 2et f† 2pour qu’ils satisfassent l’´equation (5.7) est faite dans [Ja2, 3.5.]. On v´erifie que la fonction Φ†ainsi construite est un produit des fonctions `a valeurs enti`eres et f†est d´efini par une int´egrale (donn´ee par une mesure `a valeurs dans Z`) de fonctions `a valeurs enti`eres. (Etant en caract´eristique 0, la condition de banalit´e n’est pas utilis´ee ici.) Preuve du th´eor`eme 5.7. — On rappelle qu’on note Z(π) le sous-F`-espace vectoriel de F`(T) engendr´e par les fonctions Z Φ, Tq1−n 2, favec fcoefficient de π, Φ ∈SF`(Mm(D)) et n=md. On veut montrer que Q 1≤i≤N L(T, h∆ii)∈Z(π).On le montre par r´ecurrence sur N, le cas N= 1 ´etant la proposition 5.6. Puisque pour tout i<j, ∆ine pr´ec`ede pas ∆jet que les segments sont banales, Q 1≤i≤k L(T, h∆ii)−1est premier `a Q 1≤i≤N LT−1q−1,h∆ii∨−1dans F`[T, T−1]. Le mˆeme raisonnement que dans la preuve de la proposition 5.6 nous montre que : Y 1≤i≤k L(T, h∆ii)∈Z(π). Or le polynˆome Q 1≤i≤k L(T, h∆ii)−1est aussi premier au produit Q k+1≤i≤N L(T, h∆ii)−1 dans F`[T]. Il suffit donc de montrer que : Y k+1≤i≤N L(T, h∆ii)∈Z(π). FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 23 Par hypoth`ese de r´ecurrence, on peut supposer qu’il existe un ensemble fini Jet, pour tout j∈J, une fonction Φ(j) 2∈SF`(Mm2(D)) et un coefficient f(j) 2de σ2tels que : X j∈J ZΦ(j) 2, Tq1−dm2 2, f(j) 2=Y k+1≤i≤N L(T, h∆ii). Pour tout j∈J, on rel`eve Φ(j) 2en Φ(j)† 2fonction `a valeurs dans Z`, et f(j) 2en f(j)† 2 coefficient de σ† 2`a valeurs dans Z`. Par le lemme 5.8, il existe Φ(j)†∈SZ`(Mm(D)) et f(j)†coefficient de π†`a valeurs dans Z`tels que, pour tout j∈J: ZΦ(j)†, Tq1−n 2, f(j)†= Z Φ(j)† 2, Tq1−dm2 2, f(j)† 2. Notons Φ(j)et f(j)leur r´eduction modulo `. On a : X j∈J ZΦ(j), Tq1−n 2, f(j)=Y k+1≤i≤N L(T, h∆ii), ce qui finit la preuve du th´eor`eme. 6. Un exemple dans le cas non banal On suppose ici que R = F`avec `6=p. Proposition 6.1. — Notons 12la F`-repr´esentation triviale de GL2(F). Alors : L(T, 12) =        1si q≡1 mod l 1 1−q1/2Tsi q≡ −1 mod let l6= 2 1 1−q1/2T 1 1−q−1/2Tsi q26≡ 1 mod l(i.e. `banal). D´emonstration. — Si `est banal c’est une cons´equence de la section pr´ec´edente. Supposons q2≡1 mod let fixons la mesure de Haar sur GL2(F) telle que µ×(1 + M2(OF)) = 1. On rappelle que SF`(M2(F)) est engendr´e par S0l’ensemble des fonctions caract´eristiques des ensembles de la forme a+$nM2(OF) avec a∈M2(F) et n∈N. Faisons agir GL2(OF) `a droite et `a gauche sur S0: un choix de repr´esentants de l’ensemble quotient est l’ensemble des fonctions caract´eristiques des ensembles de la 24 ALBERTO M´ INGUEZ forme a+$nM2(OF) avec a= $α0 0$β!, α ≤β < n,(6.1) a= $α0 0 0 !, α < n,(6.2) a= 0 0 0 0 !.(6.3) Il suffit donc de calculer Z 1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12pour ces choix de matrices a. En effet, pour tous k, k0∈GL2(OF), on a Z (Φ(k·k0), T, 12) = Z (Φ(·), T, 12) et donc Z(12) est le F`[T, T−1]-module engendr´e par les fonctions zˆeta Z 1a+$nM2(O), Tq−1/2,12avec a de la forme ci-dessus. Si aest de la forme (6.1), alors 1a+$nM2(OF)∈SF`(GL2(F)) et donc la fonction zˆeta Z1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12∈F`[T, T−1], pour tout n. Si aest de la forme (6.3) : Z1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12=µ×(GL2(OF)) Tn1−q−1/2T−11−q1/2T−1= 0, pour tout n, parce que, comme q2≡1 mod l, le volume du sous-groupe compact maximal GL2(OF) est 0. Si aest de la forme (6.2), Z 1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12=P m≥n umTmq−m/2, o`u : um=Za,b,c,d∈pn,($α+a)d−bc∈pm−pm+1 dµ×(g) =Za,b,c,d∈pn,($α+a)d−bc∈pm−pm+1 q2mdµ(g). Calculons le volume de l’ensemble des a, b, c, d ∈pn, tels que ($α+a)d−bc ∈pm−pm+1. Posons u= ($α+a)d−bc,i.e. d= (u+bc)($α+a)−1. Si m≥n+αalors a, b, c ∈ pn, u ∈pm−pm+1 et dest fix´e donc ce volume vaut : q−3n(q−1)q−mq2m=q−3n+m(q−1). Or, q−3n+m(q−1) = 0, dans F`, si q≡1 mod l. Sinon, Z 1a+$nM2(OF), Tq−1/2,12est une s´erie g´eom´etrique de raison Tq1/2, d’o`u la proposition. FONCTIONS Zˆ ETA `-MODULAIRES 25 Remarque 6.2. — On s’attendait `a ce r´esultat. En effet, si q≡ −1 mod let l6= 2, la F`-repr´esentation triviale de GL2(F) est un sous-quotient de la r´eduction modulo `de (−1)vFSt2(St2est la repr´esentation de Steinberg de GL2(F)) qui a comme fonction L: L(T, (−1)vFSt2) = 1 1−q1/2T. Dans ce cas l’inverse de la fonction `devait ˆetre un polynˆome de degr´e 0 ou 1. Remarque 6.3. — Supposons `= 2. Soit Φ ∈SF`(M2(F)). Notons B le sous-groupe de Borel de GL2(F) et soit V l’induite parabolique de B `a GL2(F) de la repr´esentation triviale de B. Alors V est compos´ee (cf. [Vi2]) de la repr´esentation triviale, qui apparaˆıt avec multiplicit´e 2, et d’une repr´esentation cuspidale, Sp2dite sp´eciale. Cette repr´esentation sp´eciale, ´etant cuspidale, v´erifie L(T, χSp2) = 1 pour tout caract`ere χde F×. D’apr`es le calcul pr´ec´edent L(T, χ12) = 1 (c’est clair si χest non-ramifi´e et s’il est ramifi´e on utilise le th´eor`eme 5.7 et le corollaire 4.2). Puisque la repr´esentation triviale et Sp2sont deux sous-quotients de V, par la proposition 2.5, elles ont les mˆemes facteurs gamma et puisque leurs fonction Lrespectives sont ´egales, elles ont, par (2.3), les mˆemes facteurs epsilon. Il est de mˆeme pour les repr´esentations χSp2et χ12, pour tout caract`ere χde F×. Dans le cas des coefficients complexes, on dispose d’un th´eor`eme de r´eciprocit´e qui nous dit que les fonctions Let les facteurs epsilon des repr´esentations de la forme χπ pour χ un caract`ere, d´eterminent toute repr´esentation irr´eductible πde GL2(F) (cf. [JL] dans le cas de GL2(F), [He1] dans le cas g´en´eral). Ceci n’est donc plus vrai dans le cas non banal. R´ef´erences [Bad] A. I. Badulescu, Global Jacquet-Langlands correspondence, multiplicity one and classification of automorphic representations. With an appendix by Neven Grbac. Invent. Math. 172 (2008), no. 2, 383–438. [BH] C.J. Bushnell, G. Henniart, The local Langlands conjecture for GL(2) Springer, Volume 335. (2006). [Dat] J.-F. Dat, ν-tempered representations of p-adic groups I :`-adic case. Duke Math. J., 126(3) : 397-469, 2005. [GJ] R. Godement, H. Jacquet, Zeta functions of simple algebras, Lectures Notes in Math. vol. 260, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1972. [Ja1] H. Jacquet, Zeta functions of simple algebras (local theory), Harmonic Analysis on Homogeneous spaces, Mem. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1973,381-386.