Teoría de propagadores: estudio de procesos electromagnéticos y débiles

Teor´ıa de propagadores Estudio de procesos electromagn´eticos y d´ebiles Jes´us Aguado L´opez Tutores: Juan Antonio Caballero Carretero y Guillermo D. Meg´ıas V´azquez Trabajo de fin de grado realizado para la obtenci´on del t´ıtulo Doble Grado en F´ısica y Matem´aticas Departamento de F´ısica At´omica, Molecular y Nuclear Universidad de Sevilla Agradecimientos A mis tutores por su apoyo y gu´ıa, tanto aqu´ı como en la distancia. A Pedro, por hablarme de neutrinos y propagadores desde hace ya tiempo. A mi madre, a mi padre y a mi hermano, por ser gente maravillosa. Y a Luc´ıa, por su cari˜no. i Teor´ıa de propagadores Estudio de procesos electromagn´eticos y d´ebiles Jes´us Aguado L´opez Abstract Los propagadores son una herramienta matem´atica central en numerosas ramas de la f´ısica ya que permiten la resoluci´on de algunas ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) de gran inter´es. En el contexto de la mec´anica cu´antica relativista y la teor´ıa cu´antica de campos los propagadores fueron interpretados de manera novedosa asoci´andolos a part´ıculas mediadoras de interacci´on. Dicha interpretaci´on ha trascendido este campo y se habla de part´ıculas virtuales (fonones, plasmones) en otras ´areas: todas estas interpretaciones tienen la base com´un en que tienen una EDP que caracteriza la din´amica del problema. Este trabajo presenta una naturaleza dual debida a la doble titulaci´on en la que ha sido desarrollada. En el primer cap´ıtulo se introduce la base matem´atica para una aproximaci´on al estudio de propagadores bas´andose en herramientas del an´alisis funcional. El objetivo de dicho cap´ıtulo es construir un formalismo que permita llegar a expresar la probabilidad de transici´on de un estado (vector de un espacio de Hilbert de funciones) a otro a trav´es de un operador de evoluci´on (matriz S), bas´andose en el c´alculo de propagadores para las ecuaciones de onda relativista que procedan seg´un el tipo de part´ıcula. Los cap´ıtulos dos y tres est´an enteramente dedicados a la aplicaci´on de las herramientas matem´aticas al caso de interacci´on electromagn´etica y d´ebil. Se estudia la dispersi´on el´astica electr´on-prot´on en el marco de la electrodin´amica cu´antica de Feynman y St¨uckelberg, empleando diversas aproximaciones que incorporan el hecho de que el prot´on tiene estructura interna. Para terminar, se estudia el proceso d´ebil en el que un neutrino (o antineutrino) interacciona con un neutr´on (prot´on) a trav´es de la corriente d´ebil cargada W±, modelando la estructura d´ebil del nucle´on para ello. El caso de dispersi´on electr´on-prot´on ha sido elegido para su estudio ya que permite una introducci´on escalonada en complejidad a la teor´ıa de dispersi´on cu´antica. Adem´as, se enlazan los resultados anal´ıticos obtenidos con el problema abierto de la determinaci´on experimental del radio de carga del prot´on. El estudio de la interacci´on neutrino-nucle´on est´a motivado por el inter´es de la determinaci´on de sus propiedades en distintos experimentos en los que los neutrinos inciden sobre n´ucleos a distintas energ´ıas en el rango del GeV. En ambos casos, el estudio experimental de las secciones eficaces permite un conocimiento m´as profundo de la estructura hadr´onica ya sea mediante sondas d´ebiles (neutrinos) o electromagn´eticas (electrones). ii ´ Indice general 1. Introducci´on a la teor´ıa de propagadores 1 1.1. Herramientasmatem´aticas....................................... 1 1.1.1. Soluci´on fundamental de una ecuaci´on en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Soluci´on fundamental al problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Propagador libre G0.......................................... 3 1.2.1. Propagador libre para la ecuaci´on de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Propagador libre para la ecuaci´on de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Propagadorconinteracci´on ...................................... 6 1.4. MatrizS................................................. 8 1.5. MatrizSparalaQED ......................................... 9 2. Interacci´on electr´on-prot´on 12 2.1. Dispersi´oncoulombiana ........................................ 12 2.2. Dispersi´on electr´on-prot´on sin estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. F´ormula de Rosenbluth y factores de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Elradiodelprot´on........................................... 22 3. Interacci´on d´ebil 26 3.1. Matriz S para procesos d´ebiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. C´alculo de la amplitud invariante en νe+n→e−+p....................... 29 3.3. Secci´oneficazdiferencial........................................ 31 3.4. Secci´on eficaz para el proceso con antineutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5. Factoresdeformahadr´onicos ..................................... 32 3.6. Resultados................................................ 34 4. Conclusiones 39 A. Ecuaci´on de Dirac 41 A.1.Solucioneslibres ............................................ 42 A.2.TransformacionesdeLorentz ..................................... 42 B. C´alculos de trazas y amplitudes invariantes 43 B.1.Covariantesbilineales ......................................... 43 B.2.Teoremasdetraza ........................................... 43 B.3. M´as propiedades del ´algebra de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 B.4. Sumas de amplitudes sobre polarizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 iii C. C´alculo de tensores lept´onico y hadr´onico 48 C.1. Tensor hadr´onico para la corriente EM del prot´on con estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 C.2. Tensor lept´onico para la corriente d´ebil ν→e−........................... 49 C.3. Tensor hadr´onico para corriente d´ebil n→p............................. 50 C.4. Contracci´on de los tensores lept´onico y hadr´onico d´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 iv Cap´ıtulo 1 Introducci´on a la teor´ıa de propagadores El objetivo en este cap´ıtulo es introducir el formalismo matem´atico necesario para estudiar procesos de dispersi´on en mec´anica cu´antica relativista. Para ello haremos uso de la imagen de la Electrodin´amica Cu´antica desarrollada por Feynman y St¨uckelberg. Este procedimiento, a´un no siendo tan general como el lenguaje de la teor´ıa cu´antica de campos en el que se introducen operadores de campo no conmutativos y se construye el espacio de Fock, resulta m´as intuitivo y permite realizar c´alculos de inter´es para procesos diversos. En este trabajo nos restringimos a la formulaci´on de Feynman-St¨uckelberg, que est´a basada en la herramienta de los propagadores, y que sigue un paralelismo con la teor´ıa cu´antica de dispersi´on no relativista. Como primer paso calcularemos los propagadores para las ecuaciones cu´anticas de inter´es. En el caso de dispersi´on electr´on-prot´on que consideramos en el siguiente cap´ıtulo, usaremos la ecuaci´on de Dirac para part´ıculas cargadas con esp´ın 1/2. No obstante, todo el desarrollo es an´alogo para cualquier tipo de ecuaci´on lineal. En l´ıneas generales, un propagador Ges un operador que permite calcular la funci´on de onda en una posici´on e instante concretos a partir de la funci´on de onda en un instante anterior (propagador) o posterior (retardador) de la siguiente manera: ψ(x0, t0) = iZR3 G(x0, t0;x, t)ψ(x, t)d3x. 1.1. Herramientas matem´aticas Comenzamos en esta secci´on construyendo formalmente el marco matem´atico general en que plantear y resolver las ecuaciones de la mec´anica cu´antica relativista. El espacio usual de funciones de cuadrado integrable sobre el espacio de Minkowski es demasiado r´ıgido. Conviene ampliar nuestro espacio de funciones a uno m´as general, de distribuciones. Las distribuciones se definen como aplicaciones duales actuando sobre las funciones. Sea por ejemplo D(R4) el espacio de funciones infinitamente diferenciables sobre R4de soporte compacto (i.e. que se anulan fuera de una regi´on compacta acotada). Se dice que Tes una distribuci´on sobre D(R4) si es lineal T[αφ +βψ] = αT [φ] + βT[ψ]∀α, β ∈C, φ, ψ ∈ D(R4) y continua T[ l´ım n→∞φn] = l´ım n→∞T[φn]. Aunque el espacio D(R4) puede usarse como espacio de funciones dando lugar a las distribuciones D0(R4), podemos usar un espacio de funciones m´as grande, el conocido como espacio de Schwartz de funciones que van suficientemente r´apido a cero, tanto ellas como todas sus derivadas: S(R4) = {f∈C∞(R4) : l´ım |x|→∞|xm k∂|α| αf|= 0 ∀m∈N, α multi-´ındice, k = 1, ..., 4}. 1 Las aplicaciones lineales y continuas sobre S(R4) son las llamadas distribuciones temperadas, denotadas por S0(R4). Este es el espacio considerado en el estudio que sigue sobre las ecuaciones de la teor´ıa cu´antica relativista. Un ejemplo paradigm´atico de distribuci´on es la ubicua delta de Dirac. Esta se define por su actuaci´on como δ(ψ) = ψ(0). Es evidentemente lineal sobre las funciones y continua. Sin embargo, no es una funci´on en el sentido cl´asico: las distribuciones son m´as generales que las funciones. Es importante se˜nalar que las funciones son asimismo distribuciones: si tenemos una funci´on (localmente integrable) f, podemos definir su actuaci´on como distribuci´on sobre otra funci´on a trav´es de la integral: f[ψ] = ZR4 f∗ψd4x. Una propiedad clave que mantienen las distribuciones es la derivaci´on. El concepto de derivada d´ebil extiende la diferenciaci´on de funciones a distribuciones. Restringida a las distribuciones que s´ı son funciones, la derivada d´ebil coincide con la cl´asica. Su definici´on: ∂µT[φ] = −T[∂µφ]. Con esta definici´on es posible calcular la derivada d´ebil de la funci´on escal´on en una dimensi´on, entendida como distribuci´on: ∂xθ(x)[φ] = θ(x)[−∂xφ] = −Z+∞ −∞ θ(x)∂µφdx=−Z+∞ 0 ∂xφdx=φ(0) −  φ(+∞) = δ[φ]. Luego la derivada de la funci´on escal´on de Heaviside coincide con la delta de Dirac, en el sentido de las distribuciones. Un concepto importante en la teor´ıa de distribuciones que ponemos en uso es el producto de convoluci´on. Para funciones φ, ψ, se define como: (φ?ψ)(y) := ZR4 φ(y−x)ψ(x)d4x. Esta definici´on se extiende para convolucionar distribuciones Tcon funciones fde la manera siguiente: T ? f[ψ] := T[ˆ Pf ? ψ], donde ˆ Pf(x) = f(−x), el operador paridad. Con estas herramientas es posible hablar de soluciones fundamentales de ecuaciones en derivadas parciales, lo que nos permitir´a calcular propagadores de una manera especialmente sencilla, gracias a la transformada de Fourier. Una serie de propiedades ser´an clave en el desarrollo: δ ? f =f∀ffunci´on, donde δes la delta de Dirac. ∂µ(T ? f) = ∂µT ? f para toda Tdistribuci´on, ffunci´on. 1.1.1. Soluci´on fundamental de una ecuaci´on en derivadas parciales Buscamos aplicar la teor´ıa de distribuciones a la resoluci´on de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) de nuestro inter´es: las ecuaciones de onda relativista. Consideraremos en general soluciones a la ecuaci´on que no sean necesariamente funciones sino distribuciones. En lo sucesivo, ˆ L(D) ser´a un operador diferencial de coeficientes constantes. Un ejemplo ser´ıa ˆ L(D) = −1 i~ ~ 2m∇2correspondiente al operador diferencial espacial 2 en la ecuaci´on de Schr¨odinger. Otro, correspondiente a la ecuaci´on de Dirac, ser´ıa ˆ L(D) = −1 i~i~c α ·∇. Consideremos la siguiente ecuaci´on diferencial: ˆ L(D)ψ=ρ. Se dice que una distribuci´on Ees una soluci´on fundamental a dicha ecuaci´on si cumple la ecuaci´on (enti´endanse las derivadas en el sentido distribucional): ˆ L(D)E=δ. (1.1) Una vez que se obtiene una soluci´on fundamental, es inmediato obtener la soluci´on a la ecuaci´on en ψv´ıa el producto de convoluci´on. El resultado nos lo proporciona el siguiente teorema. La soluci´on fundamental estar´a intimamente ligada con el propagador Gque buscamos para construir la teor´ıa de dispersi´on cu´antica. Teorema 1.1. Sea Euna soluci´on fundamental de la ecuaci´on ˆ L(D)ψ=ρ. Entonces, ψ=E ? ρ es soluci´on de la ecuaci´on. Cuando la distribuci´on Esea una funci´on, el producto de convoluci´on anterior es simplemente (E ? ρ)(y) = RR4E(x−y)ρ(y)d4x. La base de la demostraci´on es la propiedad ya enunciada: δ ? f =f∀f. Este resultado puede consultarse en [1], referencia en la que se construye la teor´ıa de distribuciones y desarrolla las aplicaciones en mec´anica cu´antica. 1.1.2. Soluci´on fundamental al problema de Cauchy Usualmente es m´as conveniente separar la dependencia temporal de la ecuaci´on de la parte espacial. Un ejemplo es en la ecuaci´on de Schr¨odinger, que se resuelve calculando el propagador en la secci´on 1.2.1. El siguiente teorema extiende el resultado anterior para el caso de ecuaciones de evoluci´on con condiciones iniciales (problema de Cauchy). Teorema 1.2. Sea Euna distribuci´on que satisface:    ∂tE−ˆ L(D)E= 0 ∀t > 0 E(x, t = 0) = δ(x). Entonces ψ(x0, t0) = RRnd3xE(x0−x, t0−t)f(x)es soluci´on del problema:    ∂tψ−ˆ L(D)ψ= 0 ∀t > 0,x∈Rn ψ(x, t = 0) = f(x). La demostraci´on de este teorema puede consultarse en [1], p´agina 58 (fundamental solution for Cauchy problems). 1.2. Propagador libre G0 Los resultados anteriores permiten demostrar la existencia de propagadores para ecuaciones de onda lineales. Como consecuencia inmediata del teorema 1.2 tenemos la ecuaci´on integral que buscamos. Si fijamos el tiempo inicial ty consideramos t0> t, podemos dar como condici´on inicial la funci´on de onda ψ(x, t). En tal caso, tenemos que la convoluci´on RR3d3xE(x0−x, t0−t)ψ(x, t) es precisamente la soluci´on de la ecuaci´on de onda considerada, evaluada en x0, t0. Es decir: ψ(x0, t0) = Zd3xE(x0−x, t0−t)ψ(x, t). 3 Basta definir G0(x0, t0;x, t) = −iE(x0−x, t0−t) y obtenemos la ecuaci´on cl´asica del propagador libre: ψ(x0, t0) = iZd3xG0(x0, t0;x, t)ψ(x, t).(1.2) Podemos ya poner en marcha esta maquinaria para calcular los propagadores libres para las ecuaciones de onda que nos interesan. 1.2.1. Propagador libre para la ecuaci´on de Schr¨odinger Partimos de la ecuaci´on de Schr¨odinger con condici´on inicial para la funci´on de onda escalar ψ:    i~∂tψ=−~2 2m∇2ψ ψ(x, t = 0) = ψ0(x). Escrita en la forma del teorema, la EDP es: ∂tψ−i~ 2m∇2ψ= 0. La ecuaci´on an´aloga para E: ∂tE−i~ 2m∇2E= 0, y tomando la transformada de Fourier respecto de las variables espaciales, ˜ E=F(E), obtenemos ∂t˜ E+i~k2 2m˜ E= 0, que tiene por soluci´on inmediata: ˜ E=c(k)e−i~k2 2mt. El coeficiente c(k) se obtiene de la condici´on inicial: c(k) = ˜ E|t=0 =F(E|t=0) = F(δ)=1. Haciendo la transformada de Fourier inversa se obtiene: E(x, t) = 1 (2π)3ZR4 d3k e−i~k2t 2me+ik·x=1 (2π)32mπ i~t3/2 exp imx2 2~t=m 2πi~t3/2exp imx2 2~t. El propagador que se obtiene es, para t0> t: G0(x0, t0;x, t)+=−im 2πi~(t0−t)3/2 exp im|x0−x|2 2~(t0−t).(1.3) 1.2.2. Propagador libre para la ecuaci´on de Dirac Podemos desarrollar un procedimiento similar para calcular el propagador libre para la ecuaci´on de Dirac: i~/ ∂ψ −mcψ = 0. Para la distribuci´on E:   (i~/ ∂−mc)E=~δ4(x) E(x, t = 0) = δ3(x). (1.4) En tal caso, la convoluci´on de Econ la funci´on de onda de Dirac en el instante inicial es soluci´on de la ecuaci´on: E ?xψ|t=0(x0, t0) = ZR3 E(x0−x, t0)ψ(x, t = 0)d3x. 4 Usualmente trabajaremos a primer orden, con lo que nos basta con la expresi´on: Sfi ≈ ∓ie ~ZR4 d4y φf(y)/ A(y)φi(y) (1.28) donde ahora s´ı tenemos el estado entrante φi. 11 Cap´ıtulo 2 Interacci´on electr´on-prot´on En este cap´ıtulo calcularemos secciones eficaces de procesos de dispersi´on de electrones contra protones. El proceso queda esquem´aticamente representado en la Figura 2.1. En primer lugar consideramos el prot´on como un centro de fuerza coulombiano, fijado en su posici´on. Despu´es consideraremos el prot´on como part´ıcula de Dirac sin estructura, lo que introducir´a la posibilidad de retroceso en el mismo. Para terminar, modelaremos el prot´on como una part´ıcula con estructura interna, a trav´es de los factores de forma. Esto permitir´a deducir una secci´on eficaz que ser´a v´alida para reg´ımenes de energ´ıas m´as altas. Estos resultados se relacionar´an con un problema abierto de f´ısica actual, la determinaci´on del radio del prot´on, ya que el proceso de dispersi´on electr´on-prot´on es uno de los medios experimentales para acceder a dicho radio. e− e− γ p p Figura 2.1: Diagrama de Feynman de un proceso de dispersi´on e−−p 2.1. Dispersi´on coulombiana Empezamos estudiando la dispersi´on de un electr´on contra un potencial coulombiano. Siendo e < 0 la carga elemental del electr´on, el potencial coulombiano corresponde a: Φ(x) = −Ze 4π0|x|,A=0, Aµ≡1 cΦ(x),0=⇒/ A=−Ze 4π0c 1 |x|γ0. Este proceso puede ser representado con el diagrama de Feynman de la Figura 2.2. 12 e− e− γ Figura 2.2: Diagrama de Feynman de un proceso de dispersi´on e−con un potencial de Coulomb A partir de la ecuaci´on (1.28) podemos calcular la secci´on eficaz del proceso a primer orden. Los estados asint´oticos entrante y saliente con momento, energ´ıa y polarizaci´on correspondientes pi, Ei, si;pf, Ef, sfson: ψi=smc2 EiVu(pi, si) exp(−ipµ ixµ/~) ψf=smc2 EfVu(pf, sf) exp(−ipµ fxµ/~). El elemento de la matriz de amplitud Ses: Sfi =−ie ~ZR4 d4yψf(y)/ Aψi(y) = + iZe2 4π0~cZR4 d4ymc2 V 1 pEiEf ufγ0uiexp −i(pi−pf)µyµ ~. Podemos identificar inmediatamente la constante de estructura fina: α=e2 4π0~c≈1 137 . La integral en y0 contribuye a una delta en la energ´ıa, lo que est´a relacionado con la conservaci´on de la energ´ıa en el proceso: Z+∞ −∞ dy0exp[+i(Ef−Ei)y0/~c] = ~cZ+∞ −∞ d(t/~) exp[+i(Ef−Ei)t/~]=2π~c δ(Ef−Ei). La integral en el espacio puede hacerse por integraci´on por partes dos veces teniendo en cuenta que no hay frontera. Para ello definimos el momento transferido q=pf−pi, y deducimos: exp[−iq·y/~] = −~2 |q|2∇2exp[−iq·y/~]. Con la expresi´on anterior y usando ∇2(1/|x|2) = −4πδ3(x) obtenemos: ZR3 d3yexp h−iq·y ~i1 |y|=−~2 |q|2ZR3 d3y∇2(e−iq·y ~)1 |y|=−~2 |q|2ZR3 d3ye−iq·y ~∇21 |y|=4π~2 |q|2ZR3 d3ye−iq·y ~δ3(y). El elemento de matriz queda expresado de la siguiente manera: Sfi =iZα mc2 V√EiEF 2π~c δ(Ef−Ei)4π~2 |q|2ufγ0ui.(2.1) La probabilidad de tr´ansito del estado ψial estado ψfes el m´odulo al cuadrado de dicho elemento de matriz: |Sfi|2= (4πα)2m2c4 V2EiEf|ufγ0ui|2(2π~c δ(Ef−Ei))2~ |q|24 . Como nos interesa medir la probabilidad de que el estado final tenga un momento lineal pf, hay que multiplicar esta probabilidad por la densidad de estados en momento final, que es: dNf=V (2π~)3d3pf. 13 La densidad de probabilidad de transici´on del estado ψia un estado con momento pfes: |Sfi|2dNf= (4πα)2m2c4 V2EiEf|ufγ0ui|2(2π~c δ(Ef−Ei))2~ |q|24V (2π~)3d3pf. Formalmente, el cuadrado de la delta en energ´ıa es complicado de evaluar. A trav´es de un proceso de paso al l´ımite se puede justificar el cambio: (2π~c δ(Ef−Ei))2= 2π~c2Tδ(Ef−Ei), donde Tes el tiempo en el cual se produce el proceso. Esto est´a justificado para el l´ımite T→+∞lo cual est´a en consonancia con la f´ısica del proceso: estamos comparando estados muy alejados en el tiempo. El c´alculo a trav´es de un proceso de l´ımite puede consultarse en el cap´ıtulo 3 de la referencia [2]. La secci´on eficaz diferencial se define como la probabilidad de transici´on por unidad de tiempo y corriente. Calculamos la corriente para cualquier elecci´on de la polarizaci´on, tomando sin p´erdida de generalidad el eje z): Jµ i=cψγµψ=⇒J3 i=cψγ3ψ=cmc2 EiVuiγ3ui=cmc2 EiV Ei+mc2 2mc2 pc Ei+mc2=cpc EiV=v V. La secci´on eficaz diferencial se expresa entonces como sigue: dσ=|Sfi|2dNf JT =4Z2α2m2c4 vEiEf|ufγ0ui|2~c2 Tδ(Ef−Ei)  T~ |q|4d3p ~3.(2.2) Un an´alisis dimensional permite comprobar que las unidades de dσson de ´area, tal y como corresponde. Dividiendo por la unidad de ´angulo s´olido sabiendo que d3pf=|pf|2d|pf|dΩ ≡p2 fdpfdΩ, tenemos: dσ dΩ =4Z2α2m2c4(~c)2 EiEfvi|q|4δ(Ef−Ei)|ufγ0ui|2p2 fdpf.(2.3) Considerando la ecuaci´on relativista para energ´ıa y momento E2 f=c2p2 f+m2c4=⇒pfdpf=EfdEfpodemos llevar a cabo la integral evaluando la delta que impone la conservaci´on de la energ´ıa: Z+∞ 0 δ(Ef−Ei)p2 f EfEivi dpf=Z+∞ 0 δ(Ef−Ei)pf Ei  Efvi dEf c2=1 c2 pi Eivi =1 c2. Por tanto: dσ dΩ =4Z2α2(mc2)2(~c)2 |cq|4|ufγ0ui|2.(2.4) Solo resta evaluar el factor de los espinores. Usualmente se suele promediar en las polarizaciones iniciales ya que no se prepara el estado inicial en ninguna direcci´on preferente. En los estados finales se detectan todas las posibles polarizaciones. Por tanto podemos reemplazar: |ufγ0ui|2→1 2X si,sf|u(pf, sf)γ0u(pi, si)|2. La evaluaci´on de una suma de este tipo puede realizarse con los teoremas de traza. Los detalles del c´alculo se basan en los resultados expuestos en el ap´endice B.2. En general, se tiene: |ufΓui|2= (ufΓui)(uiΓui). con Γ = γ0Γ†γ0. El resultado final para nuestra suma en polarizaciones es: 1 2X si,sf|u(pf, sf)γ0u(pi, si)|2=E2+c2pi·pf+ (mc2)2 (mc2)2. Con el ´angulo de dispersi´on θpodemos expresar el momento transferido en funci´on del momento inicial: |q|= 2|p|sin(θ/2). La expresi´on que queda para la secci´on eficaz coulombiana es: dσ dΩ =4Z2α2  (mc2)2(~c)2 16|cp|4sin4(θ/2) E2+c2pi·pf+ (mc2)2   (mc2)2=Z2α2(~c)2 |cp|4sin4(θ/2)E2(1 −β2sin2(θ/2)). 14 La expresi´on simplificada, con el factor relativista β=v/c: dσ dΩMott =Z2α2(~c)2 4β2|cp|2sin4θ 21−β2sin2θ 2.(2.5) Este resultado se conoce como secci´on eficaz diferencial de Mott. Podemos compararla con la secci´on eficaz diferencial de Rutherford: dσ dΩRuth =Z2α2(~c)2 4β2|cp|2sin4θ 2.(2.6) La secci´on de Mott generaliza a la de Rutherford, tratando el esp´ın de los electrones de una manera intr´ınsecamente relativista a trav´es de las funciones de onda de Dirac. Puede observarse que la secci´on de Mott tiene la de Rutherford como l´ımite no relativista. Para el l´ımite ultrarrelativista tenemos que β→1, Ei≈c|pi|y la secci´on eficaz para este l´ımite se aproxima por: dσ dΩMott =Z2α2(~c)2cos2(θ/2) 4E2 isin4(θ/2) .(2.7) 2.2. Dispersi´on electr´on-prot´on sin estructura Estudiamos ahora el caso de dispersi´on de un electr´on y un prot´on libres. Nos interesa obtener la secci´on eficaz del proceso en la escala de altas energ´ıas, y es por ello que tomaremos el l´ımite ultrarrelativista para el electr´on a la hora de obtener la amplitud del proceso de dispersi´on. En este caso ya no tenemos un potencial de Coulomb fijo, y esperamos encontrar una contribuci´on significativa del retroceso del prot´on. Nuestra aproximaci´on consiste en modelar el prot´on como un fermi´on de esp´ın 1/2 sin estructura, descrito por la ecuaci´on de Dirac. Para calcular el proceso a primer orden partimos del elemento de matriz S: Sfi =−ie ZR4 d4y ψi(y)/ A(y)ψf(y). Conocer la corriente que induce el prot´on requiere resolver formalmente las ecuaciones de Maxwell. Por comodidad elegimos el gauge de Lorenz. En esta secci´on adoptamos el sistema natural de unidades, donde ~=c= 1. En el gauge seleccionado obtenemos: ∂µFµν = 4πJν=⇒∂µ∂µAν−∂µ  ∂νAν= 4πJν. Aplicando las t´ecnicas desarrolladas para soluciones fundamentales de EDPs obtenemos la ecuaci´on para el propagador DF, que resolvemos en el espacio de momentos a trav´es de la transformada de Fourier: ∂µ∂µDF= 4πδ =⇒ −qµqµ˜ DF= 4π=⇒˜ DF=−4π qµqµ=⇒DF(x) = 1 (2π)4ZR4 d4q e−iqµxµ−4π qµqµ. El potencial creado por la corriente es por tanto: Aµ(x) = (DF? Jµ)(x) = ZR4 d4y DF(x−y)Jµ(y). Obtenemos as´ı el elemento de matriz en t´erminos de las llamadas corrientes de transici´on: Sfi =−iZR4×R4 d4xd4yeψfγµψi(x)DF(x−y)Jµ(y). Si consideramos el electr´on como el creador de la corriente y el prot´on como estado entrante y saliente encontramos una expresi´on completamente an´aloga. El t´ermino eψfγµψi(x) es la corriente de transici´on del electr´on. La forma final que usaremos para calcular el elemento de matriz la obtenemos introduciendo la corriente del prot´on, que por simetr´ıa ha de tener la misma forma que la del electr´on: Jµ p(y)=(−e)ΨfγµΨi(y). Introducimos la representaci´on en el espacio de momentos del propagador: Sfi =−iZR4×R4×R4 d4xd4q (2π)4d4y Jl µ(x)˜ Df(q)Jµ p(y)eiq·(x−y).(2.8) 15 Para esclarecer la notaci´on usamos min´usculas para las variables asociadas al electr´on y may´usculas para las del prot´on. Las funciones de onda para el prot´on: Ψi(y) = rM EiVU(Pi, Si) exp[−iPµ iyµ] Ψf(y) = sM EfVU(Pf, Sf) exp[−iPµ fyµ]. Las funciones de onda del electr´on: ψi(x) = rm iVu(pi, si) exp[−ipµ ixµ] ψf(x) = rm fVu(pf, sf) exp[−ipµ fxµ]. Por simplificar la notaci´on, abreviaremos los espinores de la siguiente manera: U(Pf, Sf) = UfU(Pi, Si) = Uiu(pf, sf) = ufu(pi, si) = ui. El elemento de matriz, sustituyendo las corrientes y el propagador fot´onico ˜ DF: Sfi =ie2mM (2π)4V2pifEiEfZR4×R4×R4 d4xd4yd4q(ufγµui)(UfγµUi)−4π q2ei(pf−pi−q)µxµei(Pf−Pi+q)µyµ =ie2mM V2pifEiEf (ufγµui)(UfγµUi)(2π)4ZR4 d4q δ4(pf−pi−q)δ4(Pf−Pi+q)−4π q2 =ie2 V2 mM pifEiEf (ufγµui)(UfγµUi)(2π)4−4π (pf−pi)2δ4(Pf+pf−Pi−Pi). Aqu´ı la variable q=pf−pi=Pi−Pf= (ω, q) se denominda 4-momento transferido, que transfiere el fot´on virtual mediador del electr´on al prot´on. Puede comprobarse que la energ´ıa ωy momento qtransferidos por el fot´on virtual satisfacen ω < |q|. N´otese que para un fot´on real se verifica q2=ω2− |q|2= 0. Las deltas aseguran la conservaci´on del 4-momento total para el sistema completo electr´on y prot´on. Para calcular la secci´on eficaz del proceso, calculamos la probabilidad de transici´on entre los estados por unidad de tiempo y volumen (Wfi =|Sfi|2/(V T)) y multiplicamos por la densidad de estados finales. Llamamos amplitud invariante a la magnitud: Mfi = (ufγµui)4πeep q2(UfγµUi).(2.9) Para el cuadrado de la distribuci´on delta hacemos una sustituci´on similar a la que hicimos en el caso de dispersi´on con potencial coulombiano: [(2π)4δ4(Pf+pf−pi−Pi)]2→TV (2π)4δ4(Pf+pf−pi−Pi). As´ı, la probabilidad de transici´on por unidad de tiempo y volumen queda: Wfi = (2π)4δ4(Pf+pf−pi−Pi)m2M2 V4ifEiEf|Mfi|2,(2.10) siendo la densidad de estados finales: dNf=V2d3pf (2π)3 d3Pf (2π)3. Finalmente, para obtener la secci´on eficaz hay que dividir por el flujo de eventos: dσ=m i M Ei 1 |J|V|Mfi|2(2π)4δ4(Pf+pf−pi−Pi)md3pf f(2π)3 Md3Pf Ef(2π)3.(2.11) 16 El t´ermino entre corchetes es conocido como factor de flujo Fy tiene en cuenta la cantidad de eventos de colisi´on que hay por unidad de tiempo. El t´ermino |Mfi|2es el que describe la interacci´on en el proceso m´as all´a de la pura cinem´atica. La delta asegura la conservaci´on del momento total, y los ´ultimos factores son la versi´on invariante de la densidad de estados finales. Desarrollaremos cada uno de estos factores citados en distintos pasos. Densidad de estados La densidad de estados finales del prot´on admite una reescritura que hace m´as f´acil la integraci´on respecto Pfusando la funci´on escal´on de Heaviside θ: Md3Pf Ef = 2MZ+∞ −∞ d4Pfδ(P2 f−M2)θ(P0 f). Con el cambio de variable d3pf=|pf|2d3|pf|dΩ = |pf|fdfdΩ e integrando (2.11) sobre el momento final del prot´on y la energ´ıa del electr´on: dσ dΩ =FZ∞ 0 dfZR4 d4Pf 2M (2π)2|Mfi|2δ(Pf+pf−pi−Pi)|pf|δ(P2 f−M2)θ(P0 f) =FM 2π2Z∞ 0 df|Mfi|2|pf|θ(P0 i+p0 i−p0 f)δ((Pi+pi−pf)2−M2) =FM 2π2ZM+i m df|Mfi|2δ(2m2−2M(f−i)−2if+ 2|pi||pf|cos(θ)). En los l´ımites de integraci´on hemos usado la funci´on escal´on para el l´ımite superior, y sabiendo que siempre f≥m. Tras un c´alculo cuidadoso con la delta que se obtiene, la expresi´on resultante es: dσ dΩ =FmM 4π2|pf||Mfi|2 M+i−f|pi| |pf|cos(θ).(2.12) La condici´on de conservaci´on de energ´ıa de la delta implica que: f(M+i)−|pi||pf|cos(θ) = iM+m2.(2.13) Amplitud invariante Calculamos ahora el factor |Mfi|2. Normalmente no se conocen las polarizaciones iniciales ni se miden las polarizaciones finales. Por tanto lo usual es promediar en si, Siy sumar en sf, Sf, obteniendo as´ı: |Mfi|2→ |Mfi|2=1 4X si,sf,Si,Sf|(ufγµui)4πeep q2(UfγµUi)|2=(4π)2e2e2 p (q2)2LµνHµν, donde Lµν yHµν son los tensores lept´onico y hadr´onico. Se puede demostrar calculando la suma anterior (ver teorema B.11 en el ap´endice B.4) que en el caso de electr´on y prot´on sin estructura los tensores se escriben como: Lµν =1 2Tr / pf+m 2mγµ/ pi+m 2mγν, Hµν =1 2Tr / Pf+M 2Mγµ / Pi+M 2Mγν. Con los teoremas de traza se obtiene, tras algunas manipulaciones, que: Lµν =1 2m2hpµ ipν f+pµ fpν i−gµν(pi·pf−m2)i,(2.14) Hµν =1 2M2hPµ iPν f+Pµ fPν i−gµν(Pi·Pf−M2)i.(2.15) 17 La contracci´on de estos dos tensores es un c´alculo largo pero sencillo, que resulta en una expresi´on para |Mfi|2 una vez se realiza la contracci´on aplicando linealidad: |Mfi|2=4πe2 mMq221 2(pi·Pi)(pf·Pf)+(pf·Pi)(pi·Pf)−(pi·pf)M2−(Pi·Pf)m2+ 2m2M2.(2.16) Esta amplitud invariante la vamos a evaluar en el sistema de referencia en el que el prot´on constituye un blanco en reposo, es decir:                Pi= (M, 0), pi= (i,pi), pf= (f,pf), Pf=Pi+pi−pf= (M+i−f,pi−pf). Relacionemos el momento transferido con los anteriores: q2= (pf−pi)2= 2m2−2pf·pi= 2(m2−fi−pf·pi) = 2(m2−fi−|pf||pi|cos(θ)).(2.17) Desarrollando los productos de los cuadrivectores momento en este sistema de referencia, el corchete en (2.16) resulta: |Mfi|2∝iMpf·(Pi+pi−pf) + fMpi·(Pi+pi−pf)−M2(pi·pf)−m2M(M+i−f)+2m2M2 =iM(fM+pi·pf−m2) + fM(iM+m2−pi·pf)−M2pi·pf−m2M2−m2Mi+m2Mf+ 2M2M2 = [2ifM2−pi·pf(M2+M(f−i)) + 2m2M(f−i)], de donde obtenemos: |Mfi|2=4πe2 q21 2m2M22ifM2−pi·pf(M2+M(f−i)) + 2m2M(f−i). Esta expresi´on puede ponerse en t´erminos de q2, ya que de (2.17) se deduce pf·pi=m2−q2/2, resultando: |Mfi|2=4πe2 q2ff m21 + q2 4fi1 + f−i M−m2 2fi f−i M. Ahora tomamos el l´ımite ultrarrelativista en la energ´ıa del electr´on incidente, en el cual: |pf| |pi|→f i . El momento transferido simplifica: q2= 2(m2−fi−|pf||pi|cos(θ)) ≈ −2fi(1 −cos(θ)) = −4fisin2(θ/2). Luego en el l´ımite ultrarrelativista para el electr´on:    q2≈ −4fisin2(θ/2), pf·pi≈ −q2 2. La condici´on de conservaci´on de la energ´ıa (2.13) simplifica dr´asticamente: f(M+i)−|pf||pi|cos(θ) = iM+m2 fi−|pf||pi|cos(θ)−m2= (i−f)M fi(1 −cos(θ)) ≈(i−f)M f−i M≈ −2fi M2sin2(θ/2) ≈q2 2M2.(2.18) 18 En particular, se deduce la importante relaci´on: i=f+ 2if Msin2(θ/2) =⇒i f = 1 + 2i Msin2(θ/2).(2.19) Basta sustituir las expresiones de q2yf−i Men |Mfi|2para obtener, despreciando el t´ermino proporcional a m2/M2: |Mfi|2=4πe2 q22fi m2"1 + q2 4fi−q2 M2sin2(θ/2) +   m2 M2sin2(θ/2)# ≈4πe2 q22fi m21−sin2(θ/2) −q2 M2sin2(θ/2) =4πe2 q22fi m2cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2)(2.20) ≈4πe2 −4ifsin2(θ/2)2fi m2cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2) =π2e4 fisin4(θ/2) 1 m2cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2).(2.21) Factor de flujo Bajo la hip´otesis de colisi´on colineal se obtiene una expresi´on sencilla para el factor de flujo (v´ease [2], ecuaci´on 3.78) a partir de la expresi´on J=|vi−Vi| Ven funci´on de la velocidad relativa entre ambas part´ıculas: F=mM p(pi·Pi)2−m2M2. Esta expresi´on es invariante Lorentz y puede evaluarse en el mismo sistema de referencia que elegimos anteriormente, en el que el prot´on es el blanco en reposo, resultando: F=mM p2 iM2−m2M2=m |pi|.(2.22) Secci´on eficaz diferencial Haciendo uso de los resultados anteriores puede obtenerse la expresi´on de la secci´on eficaz diferencial en la aproximaci´on ultrarrelativista para el electr´on. Insertamos la amplitud invariante (2.20), el factor de flujo (2.22) en la expresi´on con la densidad de estados ya integrada (2.12): dσ dΩ =m2M 4π2|pf| |pi| 1 M+i−f|pi| pfcos(θ) π2e4 fisin4(θ/2) 1 m2cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2) ≈M 4 f i 1 M+i(1 −cos(θ)) α2 fisin4(θ/2) cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2) =α2 42 isin4(θ/2) hcos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2)i 1+2i Msin2(θ/2) .(2.23) Comparando con la secci´on eficaz de Mott se observa la aparici´on de un factor en el denominador. Teniendo en cuenta la relaci´on entre energ´ıa incidente y saliente del electr´on dada por (2.19) identificamos este factor como el retroceso frec ≡i/f, que cuantifica cu´anto momento se lleva el prot´on blanco. La secci´on eficaz diferencial que resulta es: dσ dΩ =α2 42 isin4(θ/2)f−1 rec cos2(θ/2) −q2 2M2sin2(θ/2).(2.24) Para rescatar las unidades en el sistema internacional bastar´ıa multiplicar por (~c)2y obtener as´ı dimensiones de ´area. Adem´as de un t´ermino de retroceso que no aparec´ıa cuando model´abamos el prot´on como un centro 19 coulombiano, el t´ermino en corchete es debido a que ambas part´ıculas en colisi´on son fermiones con esp´ın: a altas velocidades el esp´ın de una es sentido por la otra como un campo magn´etico que act´ua sobre una carga en movimiento, y de ah´ı la nueva dependencia angular. 2.3. F´ormula de Rosenbluth y factores de forma El anterior resultado tiene limitaciones: para electrones de altas energ´ıas, comienza a jugar un papel importante la estructura interna del prot´on, que en nuestro tratamiento hemos considerado una part´ıcula de Dirac sin estructura. Para enfrentarnos a ese problema, modelaremos la corriente del prot´on de una manera m´as general, introduciendo los llamados factores de forma del prot´on. Estos describen la distribuci´on de carga y magnetizaci´on del nucle´on, introduciendo t´erminos adicionales de interacci´on con el electr´on incidente que modifican la secci´on eficaz para los rangos de energ´ıas superiores. Comenzamos proponiendo un cambio en la corriente: Jµ p=epU(Pf, Sf)γµU(Pi, Si) =⇒Jµ p=epU(Pf, Sf)ΓµU(Pi, Si). Imponiendo condiciones de covarianza Lorentz, hermiticidad e invariancia gauge de la corriente, obtenemos que la expresi´on m´as general que existe para el operador de v´ertice Γµes: Γµ=γµF1+i 2MF2σµνqν,(2.25) donde qνes el 4-momento transferido. Los factores F1(q2) y F2(q2) son los llamados factores de forma de Pauli y Dirac, respectivamente, y dependen del escalar q2=qµqµ, el ´unico escalar cinem´atico independiente. A pesar de que no lo hagamos expl´ıcito, tanto F1, F2, como Γ dependen de q2. El uso de factores de forma fue introducido por R. Hofstader [3] precisamente para explicar los resultados experimentales de la dispersi´on de electrones con n´ucleos. A pesar de haber cambiado el operador espinorial de la corriente, la misma derivaci´on para el elemento de matriz Sfi que se hizo en la secci´on 2.2 es v´alida aqu´ı, con la conveniente sustituci´on UfγµUi=⇒UfΓµUi: Sfi =ie2 V2 mM pifEiEf (ufγµui)(UfΓµUi)(2π)4−4π q2δ4(Pf+pf−Pi−Pi). De hecho, el ´unico t´ermino que se ve modificado en la f´ormula para la secci´on eficaz diferencial dada por (2.12) es la amplitud invariante Mfi, que es donde est´a contenida la evaluaci´on de los covariantes bilineales. De nuevo, esta amplitud invariante la promediaremos sobre los estados de polarizaci´on entrantes y la sumaremos sobre los estados de polarizaci´on salientes: |Mfi|2=1 4X si,sf,Si,Sfufγµui 4πe2 q2UfΓµUi 2 .(2.26) Gracias a la descomposici´on de Gordon (B.1) podemos utilizar una expresi´on equivalente para Ufˆ ΓµUiy eliminar σµν: UfΓµUi=UfγµF1+i 2MF2σµνqν=Ui=Uf(F1+F2)γµ−F2 2M(Pf+Pi)µUi. Por tanto, podemos reescribir el operador Γ como: Γµ= (F1+F2)γµ−F2 2m(Pf+Pi)µ 1 . 20 3.1. Matriz S para procesos d´ebiles A lo largo de este cap´ıtulo nos centraremos en procesos de interacci´on de neutrinos con nucleones mediados por corrientes cargadas. Esto implica que las part´ıculas entrantes y salientes del proceso no son las mismas. El ejemplo con el que empezaremos est´a representado en la Figura 3.1: un neutrino incide sobre un neutr´on y como producto resultan un lept´on del mismo sabor y un prot´on. M´as adelante particularizaremos para el caso de neutrinos electr´onicos, lo que permitir´a simplificar las expresiones bajo un l´ımite ultrarrelativista que est´a justificado en el caso electr´onico pero no mu´onico. Tambi´en consideraremos el proceso en el cual un antineutrino incide sobre un prot´on y se obtiene un neutr´on y un antilept´on como productos. l− νl W p n Figura 3.1: Diagrama de Feynman de un proceso de dispersi´on νlcon neutr´on En el cap´ıtulo 1 dedujimos una expresi´on para el elemento de matriz S a primer orden en teor´ıa de perturbaciones, dado por (1.28): Sfi ≈ ∓iZR4 d4y φf(y)/ A(y)φi(y). En el cap´ıtulo 2, dependiendo del proceso, desarrollamos el t´ermino potencial bien en t´erminos de la expresi´on coulombiana o en t´erminos de la corriente de la otra part´ıcula puesta en juego en el proceso, a trav´es del propagador fot´onico DF(x−y). Este propagador lo obten´ıamos a trav´es de una transformada de Fourier y una convoluci´on: Dµν(x−y) = gµν (2π)4ZR4 d4q eiq·(x−y)−4π q2. La expresi´on que obten´ıamos para el elemento de matriz era: Sfi =−iZR4×R4×R4 d4xd4q (2π)4d4y Jµ l(x)˜ Dµν(q)Jν p(y)eiq·(x−y).(3.1) En este cap´ıtulo seguimos un procedimiento similar para el campo de interacci´on d´ebil. Al igual que en el caso electromagn´etico, tendremos un bos´on mediador, tambi´en asociado a un campo vectorial. De modo similar al fot´on γ, asociado al campo electromagn´etico Aµ, en el caso de interacci´on d´ebil, tenemos el bos´on W±asociado al campo complejo W± µ=q1 2W1 µ∓iW2 µ. Siendo bosones vectoriales, ambos tienen esp´ın 1. No obstante, en el caso de la interacci´on d´ebil, el bos´on es masivo, con MW= 80,379(12) GeV/c2. En el caso electromagn´etico, interacci´on con an´alogo cl´asico, pudimos expresar el campo a trav´es de la corriente resolviendo las ecuaciones de Maxwell para obtener el propagador fot´onico. La expresi´on para el propagador del bos´on W es algo m´as complicada, resultando finalmente (detalles sobre la deducci´on del propagador d´ebil pueden encontrarse en [19]): ˜ Dαβ(q) = −gαβ +qαqβ/M2 W q2−M2 W . En nuestro caso de inter´es, las energ´ıas involucradas son significativamente menores que la masa del bos´on W; por consiguiente, el propagador puede aproximarse por la expresi´on (l´ımite est´atico): Dαβ(q)≈gαβ M2 W .(3.2) La enorme masa del bos´on W es la que determina la baja intensidad de la interacci´on d´ebil, as´ı como su corto alcance. Si bien es cierto que la constante de acoplo d´ebil ges mucho mejor que la constante electromagn´etica, 27 si esta fuese la ´unica diferencia ambas interacciones se har´ıan comparables a energ´ıas superiores a la masa del bos´on W. Puede consultarse m´as informaci´on referente a la teor´ıa de interacci´on d´ebil en los cap´ıtulos [20]. Procedemos ahora a fijar la notaci´on para los 4-momentos puestos en juego en nuestro proceso. Por simplicidad suponemos casi iguales las masas del neutr´on y del prot´on: mp≈mn≡M                Neutrino: kνl= (νl,kνl). Neutr´on: Pn= (En,Pn). Prot´on: Pp= (Ep,Pp). Lept´on: kl= (l,kl). De nuevo el 4-momento transferido es q=kνl−kl. El papel de la carga del electr´on lo juega la constante de acoplo d´ebil gque introduciremos como factor de proporcionalidad para las corrientes d´ebiles. Si bien las corrientes en electrodin´amica son puramente vectoriales (dependencia con γµ) las corrientes d´ebiles presentan una parte vectorial y otra axial (dependencia con γµγ5). La introducci´on de este t´ermino axial es crucial en la interacci´on d´ebil pues lleva a la rotura de simetr´ıa que involucra la violaci´on de la paridad y de la conjugaci´on de carga. La demostraci´on experimental de la violaci´on de paridad tuvo lugar en 1956 en un experimento en el que se estudiaba la distribuci´on angular de los electrones emitidos por decaimiento βdel 60Co. Se observ´o una fuerte asimetr´ıa en el ´angulo que forman el momento de los electrones emitidos y la orientaci´on del momento angular del n´ucleo padre, polarizado por un campo magn´etico intenso [21]. Las expresiones que usaremos para la corriente lept´onica y hadr´onica se pueden consultar en Quarks and leptons [20] cap´ıtulo 12: (Jα l)†(x) = g 2√2ψl(x)γα(1 −γ5)ψνl(x).(3.3) Esta corriente se dice charge-raising pues aumenta la carga del estado final con respecto del inicial, y de ah´ı el s´ımbolo †. Usamos para los ´ındices de Lorentz las letras αyβpara no confundir el neutrino νcon ning´un ´ındice tensorial. Podemos desarrollar las funciones de onda del neutrino y el lept´on y obtener: (Jα l)†(x) = g 2V√2rmlmνl lνlu(kl, sl)γα(1 −γ5)u(kνl, sνl)†ei(kl−kνl)·x.(3.4) Esta corriente lept´onica modela los leptones entrantes y salientes como part´ıculas puntuales y sin estructura. Esto no ser´ıa adecuado para modelar los nucleones involucrados en el proceso, y an´alogamente a c´omo procedimos en la secci´on 2.3 introducimos factores de forma para parametrizar el desconocimiento exacto de la estructura interna d´ebil de prot´on y neutr´on: Jβ N(y) = g 2√2Ψp(y)ΓβΨn(y).(3.5) La funci´on del v´ertice hadr´onico la expresamos en t´erminos de los factores de forma vector FV 1, FV 2, axial GA y pseudoescalar GP: Γβ=FV 1γβ+iFV 2 2Mσβλqλ | {z } Γβ V +GAγµγ5+GP 2Mqβγ5 | {z } Γβ A .(3.6) Esta corriente tambi´en podemos desarrollarla en t´erminos de espinores de Dirac y obtener: Jβ N(y) = g 2V√2 M pEpEn Up(Pp, Sp)ΓβUn(Pn, Sn)ei(Pn−Pp)·y.(3.7) Ahora insertamos las corrientes lept´onica (3.4) y hadr´onica (3.7) en la expresi´on para el elemento de matriz 28 (3.1) junto con el propagador del bos´on W(3.2): Sfi =−iZd4xd4q (2π)4d4yg2M 8V2rmlmνl νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†gαβ M2 WUpΓβUnei(kl−kνl+q)·xei(Pp−Pn−q)·y =−iZd4q (2π)4 g2M 8M2 WV2rmlmνl νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†UpΓαUn(2π)4δ4(kl−kνl+q)(2π)4δ4(Pp−Pn−q) =−ig2M 8M2 WV2rmlmνl νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†UpΓαUn(2π)4δ4(Pp−Pn−kνl+kl). Podemos reescribirlo usando la constante de Fermi introducida en su teor´ıa de la desintegraci´on beta (GF √2= g2 8M2 W ): Sfi =−iGFM V2√2rmlmνl νllEpEnulγα(1 −γ5)uνl†UpΓαUn(2π)4δ4(Pp−Pn−kνl+kl). 3.2. C´alculo de la amplitud invariante en νe+n→e−+p Nos centramos en lo que sigue en los procesos con sabor electr´onico. Para no sobrecargar la notaci´on, entendemos tanto aqu´ı como en los ap´endices referenciados que la etiqueta νidentifica siempre a neutrinos electr´onicos (y νa antineutrinos electr´onicos). Debido a la baja masa del lept´on saliente (el electr´on), podremos tomar un l´ımite ultrarrelativista en la regi´on cinem´atica que nos interesa simplificando considerablemente los c´alculos. Obtendremos la secci´on eficaz diferencial a partir de Sfi, calculando primero la probabilidad de transici´on por unidad de volumen y tiempo, desarrollando el cuadrado de la delta con el mismo razonamiento que en el cap´ıtulo anterior: |(2π)4δ4|2→(2π)4V Tδ4. Wfi =|Sfi|2 V T =G2 FM2mνml 2νlEpEnV4(2π)4δ4(Pp−Pn−kν+kl)ulγα(1 −γ5)uν†UpΓαUn 2.(3.8) El producto de espinores conforma la amplitud invariante Mfi. Siguiendo un procedimiento similar al usado en la descripci´on del proceso de dispersi´on e−p, promediamos su cuadrado sobre las polarizaciones entrantes y sumamos sobre las polarizaciones salientes. El resultado es la ya conocida contracci´on de tensores lept´onico y hadr´onico tal y como demuestra el teorema B.12 del ap´endice B.4. Esta secci´on est´a dedicada al c´alculo de esta amplitud invariante a trav´es de la determinaci´on de los tensores lept´onico y hadr´onico y su posterior contracci´on. M´as detalles sobre los c´alculos se muestran en el ap´endice C. El promedio de la amplitud se expresa como: |Mfi|2→ |Mfi|2=1 4X sν,sl,Sp,Snulγα(1 −γ5)uν†UpΓαUn 2=˜ LαβHαβ La expresi´on de los tensores lept´onico y hadr´onico los da el mismo teorema donde tenemos que tener cuidado de usar el adjunto de Dirac de los operadores de corriente. Absorbiendo las masas de los leptones dentro del tensor lept´onico, y teniendo en cuenta que γα(1 −γ5) = γα(1 −γ5), tenemos: Lαβ =mlmν˜ Lαβ =mlmν 2Tr / kl+ml 2ml γα(1 −γ5)/ kν+mν 2mν γβ(1 −γ5)=1 8Tr[(/ kl+ml)γα(1−γ5)( / kf+mf)γβ(1−γ5)]. El desarrollo del tensor lept´onico se detalla en el ap´endice C.2, resultando: Lαβ =kl αkν β+kl βkν α−kl·kνgαβ +iαβλρkλ lkρ ν.(3.9) Podemos demostrar que la contracci´on del tensor lept´onico con el 4-momento transferido qαLαβ tiende a cero en el l´ımite ultrarrelativista. Por tanto, t´erminos proporcionales a qαen la corriente hadr´onica no contribuir´an 29 a la contracci´on LαβHαβ. As´ı pues, el t´ermino GP 2Mqβγ5en (3.6) no contribuir´a si consideramos el lept´on saliente ultrarrelativista. La contracci´on se descompone en dos partes de simetr´ıa definida: qαLαβ =qαkl αkν β+qαkν αkl β−kl·kνgαβqα | {z } Parte sim´etrica +iαβλρkλ lkρ νqα | {z } Parte antisim´etrica . La parte antisim´etrica es inmediatamente nula, ya que el tensor de Levi Civita se anula cuando se contrae con vectores linealmente dependientes. Este es el caso, ya que q=kν−kl. La parte sim´etrica la calculamos usando la definici´on de q: qαLαβ =q·klkν β+q·kνkl β−kl·kνqβ = (kν−kl)·klkν β+ (kν−kl)·kνkl β−(kl·kν)qβ = (kν·kl)kν β−k2 lkν β+k2 νkl β−(kl·kν)kl β−(kl·kν)qβ =−m2 lkν β+m2 νkl β+ (kν·kl)(kν β−kl β)−(kl·kν)qβ =m2 νkl β−m2 lkν β. En el proceso considerado en este trabajo, el electr´on se describe en el l´ımite ultrarrelativista, despreciando su masa frente a las energ´ıas y momentos involucrados. Por otra parte, los neutrinos los describimos como part´ıculas de masa nula. As´ı pues, qαLαβ ≈0. Teniendo en cuenta el resultado previo, el estudio que sigue se centra en el c´alculo del tensor hadr´onico eliminando el t´ermino pseudoescalar, usando el operador de v´ertice: Γβ=FV 1γβ+iFV 2 2Mσβλqλ+GAγµγ5+  GP 2Mqβγ5. Los c´alculos se desarrollan en el ap´endice C.3 debido a su longitud. Algunos aspectos claves en el desarrollo son las propiedades de las matrices gamma y los teoremas de traza que se exponen en el ap´endice B.2, adem´as del c´alculo efectivo del adjunto de Dirac para los t´erminos vectoriales y axiales, tales y como se detallan en el lema B.4. El tensor hadr´onico resultante es: Hαβ =−W1gαβ +W2 Pα nPβ n M2+iW3αβρλPn ρqλ+W4qαqβ+W5 Pα nqβ+Pβ nqα 2M2,(3.10) donde los coeficientes (que dependen del 4-momento transferido) son: W1=|q2| 4M2(FV 1+FV 2)2+G2 A+G2 A W2= (FV 1)2+|q2| 4M2(FV 2)2+G2 A W3= 2GA(FV 1+FV 2) W4=FV 2 4M2|q2| 4M2−1−FV 1FV 2 2M2+G2 A |q2|+ 2 GA M2(FV 1+FV 2) W5= (FV 1)2+|q2| 4M2(FV 2)2+G2 A.(3.11) La contracci´on de los tensores permite calcular la amplitud invariante necesaria para proseguir en el c´alculo de la secci´on eficaz. Este desarrollo se detalla en el ap´endice C.4. De la ecuaci´on (C.6) obtenemos: mlmν|Mfi|2= 2W1lν(1 −cos(θ)) + W2lν(1 + cos(θ)) −W3 l+ν M(lν)(1 −cos(θ)), donde las funciones Wi(q2) son las recogidas en (3.11). Usando las relaciones del ´angulo mitad tenemos: mlmν|Mfi|2= 2lν2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) −W3 l+ν Msin2(θ/2)(3.12) 30 3.3. Secci´on eficaz diferencial A partir de la amplitud invariante podemos calcular la secci´on eficaz diferencial. Partiendo de la tasa de transici´on por unidad de volumen (3.8): Wfi =|Sfi|2 V T =G2 FM2mνml 2νlEpEnV4(2π)4δ4(Pp−Pn−kν+kl)|Mfi|2, la secci´on eficaz diferencial se calcula como: dσ=|Sfi|2 TV |{z} Wfi V J V (2π)3d3kl V (2π)3d3Pp, donde Jes el flujo incidente. Introduciendo la tasa de transici´on anterior Wfi se obtiene: dσ=G2 F 2 1 4π2δ4(Pp−Pn−kν+kl)1 V Jνl mlmν|Mfi|2M2d3kl l d3Pp Ep .(3.13) Tal y como se dedujo en el estudio del proceso electromagn´etico, el factor de flujo puede reescribirse de una manera sencilla bajo la hip´otesis de colisi´on colineal: 1 V Jνl≈1 √kν·Pn−mνM2≈1 Mν . Hemos hecho uso de la aproximaci´on mν≈0 para la masa del neutrino, y hemos usado de forma expl´ıcita la forma del momento del neutr´on en el sistema laboratorio, en el que est´a en reposo Pn= (M, 0). De esta forma: dσ=G2 F 2 1 4π2δ4(Pp−Pn−kν+kl)1 Mν mlmν|Mfi|2M2 lEp d3kld3Pp.(3.14) Esta expresi´on es totalmente an´aloga a la derivada en el caso de dispersi´on electr´on-prot´on. Es necesario integrar la delta que implica la conservaci´on de la energ´ıa global en el proceso, y tomar el l´ımite ultrarrelativista para el neutrino y el electr´on saliente: dσ dΩ =G2 F 8π2 1 Mν mνmlM2|Mfi|2|kl| M+ν−l|kν| |kl|cos(θ) ≈G2 F 8π2 l ν mνml|Mfi|2M M+ν−νcos(θ).(3.15) Para proseguir debemos considerar las polarizaciones. La part´ıcula que es detectada en este proceso es usualmente el lept´on saliente. Por tanto promediamos sobre su polarizaci´on y promediamos sobre el resto. La consecuencia es reemplazar mlmν|Mfi|2por mlmν|Mfi|2, t´ermino que fue calculado por el m´etodo de las trazas como contracci´on del tensor hadr´onico y el lept´onico. As´ı, tenemos la secci´on eficaz diferencial escrita de forma compacta: dσ dΩ =G2 F 8π2 l ν LαβHαβ M M+ν−νcos(θ).(3.16) La contracci´on de los tensores lept´onico y hadr´onica fue ya calculada (3.12) y podemos introducirla llegando as´ı a una expresi´on cerrada para la secci´on eficaz diferencial para el proceso νl+n→l+p dσ dΩ =G2 F2 l 4π2 M M+ν−νcos(θ)2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) −W3 l+ν Msin2(θ/2).(3.17) Recordamos que solo dos de las tres variables cinem´aticas (ν, l, θ) son independientes: est´an ligadas por la mismas relaciones cinem´aticas que expon´ıamos en el estudio de la dispersi´on electr´on-prot´on, que recogemos a continuaci´on: l≈ν 1+2ν Msin2(θ/2) q2=−2Mω = 2M(l−ν)≈ −4νlsin2(θ/2). 31 Podemos adem´as identificar el factor de retroceso f−1 rec =ν/ly escribir la secci´on eficaz de la manera compacta: dσ dΩ =G2 F2 l 4π2f−1 rec LαβHαβ νlq2=−2Mω.(3.18) 3.4. Secci´on eficaz para el proceso con antineutrinos Resulta interesante considerar qu´e modificaciones ser´ıan necesarias para el proceso con antineutrinos, en cuyo caso los papeles de nucleones inicial y final deben intercambiarse para respetar la conservaci´on de la carga. La reacci´on ser´ıa: νe+p→n+e+ La corriente hadr´onica no se ver´ıa modificada ya que los factores de forma isovectores (de los que hablaremos en detalla en la siguiente secci´on) son iguales para ambos nucleones. Sin embargo, la corriente lept´onica ha de verse modificada teniendo en cuenta la proyecci´on en helicidad positiva, para antineutrinos: (Jα l)†(x) = g 2√2ψl(x)γα(1 + γ5)ψν(x). Implementando esta sustituci´on del signo a lo largo del c´alculo del tensor lept´onico se observa que s´olo afecta a la parte antisim´etrica del tensor: Lαβ =kl αkν β+kl βkν α−kl·kνgαβ ±iαβλρkλ lkρ ν. Aqu´ı + es el signo para el proceso con neutrinos y −es el signo para el proceso con antineutrinos. En la amplitud invariante, este cambio en la parte antisim´etrica solo influye a la hora de contraer con la parte antisim´etrica del tensor hadr´onico, que es el que est´a expresado en t´erminos de la funci´on W3(q2). As´ı, la ´unica diferencia en la secci´on eficaz diferencial es el intercambio de signo en W3. Llegamos por tanto a la expresi´on m´as general posible en la aproximaci´on ultrarrelativista: dσ dΩ =G2 F2 l 4π2f−1 rec 2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) ±W3 l+ν Msin2(θ/2).(3.19) 3.5. Factores de forma hadr´onicos Para proseguir en el an´alisis de las secciones eficaces de ambos procesos es necesario el conocimiento de la estructura d´ebil del nucle´on. En el cap´ıtulo 3 de [17] se exponen de manera detallada varias parametrizaciones de los factores de forma del nucle´on FV 1, FV 2yGAbasados en resultados experimentales. En este trabajo optamos por una parametrizaci´on sencilla que es v´alida para valores no muy altos del 4-momento transferido: la parametrizaci´on dipolar. No obstante, se˜nalamos aqu´ı que otras parametrizaciones m´as complejas son posibles permitiendo extender de manera m´as consistente los resultados a reg´ımenes de energ´ıa y 4-momento transferido m´as altos. Para los factores isovectores usamos la siguiente representaci´on en t´erminos de los factores de forma electromagn´eticos del prot´on y del neutr´on GEyGM. Denotando τ=|q2| 4M2:    FV 1Q2=1 1+τ[(Gp E−Gn E) + τ(Gp M−Gn M)] FV 2Q2=1 1+τ[(Gp M−Gn M)−(Gp E−Gn E)] . (3.20) Es la llamada conservaci´on de la corriente vector la que permite expresar los factores de forma vectoriales d´ebiles en t´erminos de los electromagn´eticos. La conservaci´on de la corriente electromagn´etica implica la conservaci´on de la parte vectorial de la corriente d´ebil, y esto permite relacionar la estructura vectorial d´ebil con 32 la electromagn´etica. Para los factores de Sachs utilizamos nuevamente la parametrizaci´on dipolar: GD(q2) = 1 1 + |q2| Q22, con Q2= 0,71 GeV2. Los factores de forma el´ectrico y magn´etico del prot´on fueron ya utilizados en el cap´ıtulo 2. Para el neutr´on, anulamos el factor el´ectrico y normalizamos el magn´etico al momento magn´etico del neutr´on. Tomando los valores de los momentos magn´eticos µn=−1,913, µp= 2,793 tenemos:    Gp E(q2) = GD(q2)Gn E(q2) = 0 Gp M(q2) = µpGD(q2)Gn M(q2) = µnGD(q2). (3.21) 33 3.6. Resultados Fijadas las parametrizaciones a usar podemos representar gr´aficamente la secci´on eficaz diferencial frente a ´angulo para neutrinos y antineutrinos. Para ello se han tomado distintas energ´ıas del neutrino incidente, motivadas por las energ´ıas relevantes en varios experimentos de neutrinos: MiniBooNE [22],[23] (0.7 GeV), T2K [24] (1 GeV), MINERνA [25](3 GeV) y el futuro experimento DUNE [26] (7 GeV). Una diferencia crucial frente a los experimentos de dispersi´on de electrones es que el haz de neutrinos incidentes presenta una distribuci´on en energ´ıas y que, al contrario de lo que pasa con las part´ıculas cargadas, no se puede seleccionar una energ´ıa concreta. Por ello, nuestros resultados son una primera aproximaci´on a un estudio espec´ıfico que requiere convolucionar la secci´on eficaz que hemos obtenido con la distribuci´on en energ´ıas que ofrece cada distinto experimento para as´ı poder comparar con los datos experimentales, as´ı como considerar los efectos asociados al medio nuclear. Los resultados para la dispersi´on el´astrica neutrino-nucle´on se recogen en la Figura 3.2, representando la secci´on eficaz diferencial frente al ´angulo de dispersi´on a distintas energ´ıas. Se aprecia que la secci´on eficaz para neutrinos es siempre mayor que para antineutrinos, si bien tienen a igualarse conforme crece la energ´ıa ν. (a) ν= 0.7 GeV (b) ν= 1 GeV (c) ν= 3 GeV (d) ν= 7 GeV Figura 3.2: Secci´on eficaz diferencial para distintas energ´ıas del neutrino incidente. La asimetr´ıa entre neutrinos y antineutrinos se hace patente si representamos el cociente R=dσ dΩ ν/dσ dΩ ν. Los resultados para las distintas energ´ıas de inter´es se pueden observar en la Figura 3.3. Observamos que esta 34 asimetr´ıa decrece conforme aumenta la energ´ıa de la part´ıcula incidente. El t´ermino axial que cambia de signo en la secci´on eficaz diferencial es W3(q2)ν+l Msin2(θ/2) y su dependencia en |q2|se representa en la Figura 3.4, donde se observa que efectivamente esta funci´on es menor para valores crecientes de la energ´ıa de incidencia ν. Teniendo en cuenta las expresi´on general de la secci´on eficaz diferencial (3.19) podemos escribir el cociente de asimetr´ıa: R= dσ dΩ ν dσ dΩ ν =2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) −W3l+ν Msin2(θ/2) 2W1sin2(θ/2) + W2cos2(θ/2) + W3l+ν Msin2(θ/2),(3.22) donde recordamos que las funciones W1, W2yW3dependen del ´angulo a trav´es de q2. Es el factor proporcional aW3y su cambio de signo relativo el responsable de esta diferencia. Recordamos que dicho cambio de signo est´a ligado al hecho de que la corriente del neutrino se expresa con el operador γµ(1 −γ5) proyectando en helicidades negativas y la corriente del antineutrino proyecta en helicidades positivas a trav´es del operador γµ(1 + γ5). Para ´angulos pr´oximos a cero obtenemos R= 1, ya que en (3.22) se anular´ıan los t´erminos que van con el seno, en particular el t´ermino axial que lleva W3y es el responsable de la asimetr´ıa. (a) ν= 0.7 GeV (b) ν= 1 GeV (c) ν= 3 GeV (d) ν= 7 GeV Figura 3.3: Cociente entre las secciones eficaces diferenciales de neutrino y antineutrino para distintas energ´ıas de incidencia ν. 35 Figura 3.4: Dependencia en |q2|del t´ermino axial para distintas energ´ıas de incidencia ν. La secci´on eficaz total o integrada puede obtenerse a partir de la diferencial integrando en todo el ´angulo s´olido: σ=ZS2 dσ dΩdΩ = 2πZπ 0 dσ dΩ sin(θ)dθ. A partir de la dependencia angular de la secci´on eficaz diferencial es f´acil integrar num´ericamente y obtener secciones eficaces totales en el rango de energ´ıas de inter´es. Algunos valores para las energ´ıas recalcadas anteriormente se recogen en el Cuadro 3.6. La representaci´on en un rango amplio de energ´ıas de la secci´on diferencial integrada se muestra en la Figura 3.5. De nuevo observamos c´omo la secci´on eficaz para el proceso con neutrinos es mayor que la correspondiente para antineutrinos, si bien ambos valores se aproximan conforme nos movemos a cinem´aticas m´as altas, ya que el t´ermino axial decrece para energ´ıas m´as altas, como muestra la Figura 3.4. ν[GeV] 0.7 1.0 3.0 7.0 σ(ν) [10−13 fm2] 5.39 5.80 5.55 5.20 σ(ν) [10−13 fm2] 1.68 2.20 3.69 4.317 Cuadro 3.1: Secci´on eficaz total para neutrinos y antineutrinos a distintas energ´ıas de incidencia. Figura 3.5: Secci´on eficaz integrada en el rango de energ´ıas de incidencia 0 - 7 GeV para neutrinos y antineutrinos. 36 Ap´endice B C´alculos de trazas y amplitudes invariantes En los c´alculos de secciones eficaces es siempre indispensable calcular t´erminos de la forma espinor ×matriz ×espinor, calcular m´odulos al cuadrado y promediar sobre las polarizaciones. En este ap´endice se detallan los desarrollos matem´aticos necesarios para efectuar estos c´alculos de manera efectiva. B.1. Covariantes bilineales Los observables que pueden construirse a partir de los espinores son del tipo ψΓψy son catalogados de forma completa a trav´es del teorema fundamental de Pauli, que puede consultarse en [33]. Escalar: ΓS= 1 . Vector: Γµ V=γµ. Tensorial: Γµν T=σµν =i 2[γµ, γν]. Pseudoescalar: ΓP=γ5:= iγ0γ1γ2γ3. Pseudovector o axial: Γµ A=γ5γµ. Los nombres que reciben responden a la transformaci´on que corresponde a cada operador cuando se realizan transformaciones de Lorentz sobre la cantidad ψΓψ. Mientras que en los tres primeros casos el observable se transforma como escalar, vector y tensor respectivamente, en los dos ´ultimos casos hay un cambio de signo para el caso de transformaciones de Lorentz impropias (de determinante −1), como por ejemplo bajo transformaci´on de paridad o de inversi´on temporal. La descomposici´on de Gordon nos permite relacionar la evaluaci´on de las γµcon la de las σµν: u(p0)γµu(p) = 1 2m(p+p0)µu(p0)u(p) + i 2m(p−p0)νu(p0)σµνu(p) (B.1) B.2. Teoremas de traza Estos resultados nos permiten calcular f´acilmente trazas de observables tales como: / a1/ a2··· / andonde ai son 4-vectores. Teorema B.1. La traza de un n´umero impar de matrices γes nulo. 43 Teorema B.2. Tr[/ a/ b]=4aµbµ≡4a·b. Teorema B.3. Tr[/ a1···/ an] = a1·a2Tr[/ a3···/ an]−a1·a3Tr[/ a2/ a4···/ an] + . . . a1·anTr[/ a2···/ an−1]. Teorema B.4. Tr[γ5] = 0. Teorema B.5. Tr[γ5/ a/ b/ c/ d] = −4iαβµνaαbβcµdν= +4iαβγδaαbβcγdδ. Teorema B.6. Tr[/ a1···/ a2n] = Tr[/ a2n···/ a1]. Teorema B.7. Se cumplen las siguientes identidades: 1. γµγµ= 4 · 1 . 2. γµ/ aγµ=−2/ a. 3. γµ/ a/ bγµ= 4a·b 1 . 4. γµ/ a/ b/ cγµ=−2/ c/ b/ a. 5. γµ/ a/ b/ c/ dγµ= 2/ d/ a/ b/ c+ 2/ c/ b/ a/ d. Teorema B.8. Tr[σµλσνρ]=4gµνgλρ −4gµρgλν. Teorema B.9. Tr[γασµνγβ] = 4i(gαµgνβ −gανgµβ). B.3. M´as propiedades del ´algebra de Dirac De las propiedades del ´algebra de las matrices gamma se deducen una serie de consecuencias que nos facilitar´an los c´alculos evaluando covariantes bilineales espinoriales. Recordemos que {γµ, γν}= 2gµν ,{γµ, γ5}= 0 para demostrar los siguientes resultados. Lema B.1. (a) (γ0γµ)†=γ0γµ. (b) (γ5γi)†=γ5γi. (c) (γ5γ0)†=−γ5γ0. Demostraci´on. (a): lo hacemos por casos. Si µ= 0, ya sabemos que γ0es herm´ıtica luego (γ0γ0)†=γ0γ0. Si µ=i∈ {1,2,3}, entonces usamos que γ0γi=−γiγ0y que γies antiherm´ıtica para deducir (γ0γi)†= (γi)†γ0=−γiγ0=γ0γi. (b) Sabiendo γµγ5=−γ5γµ, tenemos (γ5γi)†= (γi)†(γ5)†=−γiγ5=γ5γi. (c) Tanto γ0como γ5son herm´ıticas y anticonmutan. Entonces: (γ5γ0)†= (γ0)†(γ5)†=γ0γ5=−γ5γ0 Es de inter´es saber calcular |uΓv|2para cualquier operador Γ. Esta clase de c´alculos es recurrente en el desarrollo de amplitudes invariantes. Los dos siguientes resultados van en esta direcci´on. 44 Lema B.2. Sea Γun operador espinorial cualquiera, entonces se tiene: (uΓv)∗=vΓu donde Γ = γ0Γ†γ0. Esta operaci´on es la llamada conjugaci´on de Dirac para operadores, generalizando el complejo-conjugado †al espacio de espinores. Demostraci´on. (uΓv)∗= (u†γ0Γu)†=v†(γ0Γ)†u=v†γ0γ0 |{z} 1 Γ (γ0)† |{z} γ0 u=vΓu Lema B.3. Sea Γun operador espinorial cualquiera, entonces se tiene: |uΓv|2= (uΓv)(vΓu) Demostraci´on. Basta usar que |z|2=zz∗y utilizar el lema anterior: |uΓv|2= (uΓv)(uΓv)∗= (uΓv)(vΓu) A la vista de estos lemas, resulta imprescindible conocer los adjuntos de Dirac de diversos operadores. Esto queda recogido en el siguiente resultado. Lema B.4. (a) γµ=γµ. (b) γ5=−γ5. (c) Γ1Γ2= Γ2Γ1. (d) / a/ b . . . / z=/ z . . . / b/ a. (e) σµν =σµν. Demostraci´on. (a) De nuevo por casos. Si µ= 0 =⇒γ0=γ0(γ0)†γ0=γ0γ0γ0=γ0. Si µ=ktenemos antihermiticidad y γk=γ0(γk)†γ0=−γ0γkγ0= +γkγ0γ0=γk. (b) Por definici´on: γ5=iγ0γ1γ2γ3por tanto γ5=iγ0γ1γ2γ3=−iγ0(γ3)†(γ2)†(γ1)†(γ0)†γ0= +iγ0γ3γ2γ1  γ0γ0= −iγ0γ1γ2γ3=−γ5gracias a la anticonmutaci´on de γi, γj. (c) Γ1Γ2=γ0(Γ1Γ2)†γ0=γ0Γ† 2Γ† 1γ0=γ0Γ† 2γ0γ0Γ† 1γ0= Γ2Γ1. (d) Podemos demostrarlo para dos elementos y luego iterar: / a/ b=aµbνγµγν=aµbνγνγµ=aµbνγνγµ=/ b/ a. (e) Usamos la definici´on de σµν =i 2[γµ, γν] =⇒σµν =i 2(γµγν−γνγµ) = −i 2(γνγµ−γµγν) = −i 2(γνγµ−γµγν) = σµν. B.4. Sumas de amplitudes sobre polarizaciones Los teoremas de traza y las propiedades anteriores deducidas para matrices y covariantes bilineales pueden utilizarse para calcular sumas de la forma Psi,sf|ufˆ Γui|2, que son usuales en el c´alculo de amplitudes invariantes de procesos donde no medimos las polarizaciones iniciales ni finales. Exponemos aqu´ı tres resultados que nos permiten expresar las sumas de amplitudes al cuadrado sobre polarizaciones en t´erminos de trazas (que se identificar´an con los tensores lept´onico y hadr´onico en cada caso). Este primer resultado es la versi´on b´asica para calcular dichas sumas. 45 Teorema B.10. X si,sf|ufΓui|2= Tr "Γ/ pic+mc2 2mc2Γ/ pfc+mc2 2mc2#. Demostraci´on. Usaremos las expresiones para los proyectores Psu(p, s)u(p, s) = / p+m 2m X si,sf|ufΓui|2=X si,sf (ufΓui)(ufΓui)†=X si,sf (ufΓui)(uiΓuf) = X sf ufΓ X si uiui!Γuf =X sf ufΓ/ pi+m 2mΓuf=X sf ufΓ/ pi+m 2mΓuf=X sf Γ/ pi+m 2mΓufuf =X sfΓ/ pi+m 2mΓαβ (ufuf)βα =Γ/ pi+m 2mΓαβ / p+m 2mβα = Tr Γ/ pi+m 2mΓ/ pf+m 2m. Sin embargo, a veces estamos interesados en sumas sobre polarizaciones donde el covariante bilineal es vectorial (como en el caso de interacci´on electr´on-prot´on sin estructura). Esto implica una suma sobre los ´ındices de Lorentz dentro del cuadrado del m´odulo, que requiere una descomposici´on cuidadosa antes de factorizar como el producto de dos trazas. Usaremos de manera crucial los lemas B.2 y B.4. Teorema B.11. X si,sf,Si,Sf|(u(pf, sf)γµu(pi, si)(U(Pf, Sf)γµUi(Pi, Si)|2= 4LµνHµν , donde los tensores lept´onicos y hadr´onicos se calculan como:    Lµν =1 2Tr h/ pi+m 2mγµ/ pf+m 2mγνi Hµν =1 2Tr h/ Pi+M 2Mγµ/ P+M 2Mγνi. Demostraci´on. X si,sf,Si,Sf|(ufγµui)(UfγµUi)|2=X si,sf,Si,Sf(ufγµui)(UfγµUi)†(ufγνui)(UfγνUi) =X si,sf,Si,SfuiγµufUiγµUfufγνuiUfγνUi =X si,Si uiγµ X sf ufuf γνuiUiγµ X Sf UfUf γνUi =X si,Siuiγµ/ pf+m 2mγνuiUiγµ / P+M 2MγνUi ="X si (uiui)αβ γµ/ pf+m 2mγνβα#"X Si (UiUi)αβ γµ / P+M 2Mγνβα# = Tr / pi+m 2mγµ/ pf+m 2mγνTr / Pi+M 2Mγµ / P+M 2Mγν= 2Lµν2Hµν. Para terminar, calculamos la suma en polarizaciones cuando tenemos un covariante verticial con un ´ındice de Lorentz como el de Rosenbluth o para neutrinos, conteniendo t´erminos vectoriales, axiales y pseudoescalares. 46 Del lema B.4 se deduce que operadores vectoriales, tensoriales y axiales son autoadjuntos de Dirac, mientras que los pseudoescalares no. Consideramos que un operador es axial si es proporcional a γµγ5, mientras que los del tipo Aµγ5con Aµun cuadrivector, se transforma como pseudoescalar al tener el ´ındice no espinorial. Se tiene:                γµ=γµ σµν =σµν γµγ5=γ5γµ=−γ5γµ= +γµγ5 γ5=−γ5 =⇒                Γµ V= Γµ V Γµν T= Γµν T Γµ A= Γµ A ΓP=−ΓP El siguiente resultado resuelve de manera completa el problema, englobando los casos de corriente tanto electromagn´etica como d´ebil para leptones y nucleones. Teorema B.12. Sean dos operadores verticiales con un ´ındice de Lorentz, Γµ 1,Γν 2actuando sobre estados lept´onicos (inicial y final, en general distintos quiz´as incluso en masa) y estados hadr´onicos (tambi´en posiblemente distintos). Se tiene entonces: X si,sf,Si,Sf|(ufΓµ 1ui)(UfΓ2,µUi)|2= Tr / pf+mf 2mf Γµ 1 / pi+mi 2mi Γµ 1×Tr / Pf+Mf 2Mf Γ2,µ / Pi+Mi 2Mi Γ2,ν. Demostraci´on. Usaremos el resultado B.2 para calcular los conjugados. Tenemos: X si,sf,Si,Sf|ufΓµ 1uiUfΓ2νUi|2=X si,sf,Si,SfufΓµ 1UfΓ2,µUiufΓµ 1UfΓ2,µUi† =X si,sf,Si,SfufΓµ 1UfΓ2,µUihuiΓµ 1UiΓ2,µUfi = X sf ufΓµ 1 X si uiui!Γν 1uf  X Sf UfΓ2,ν X Si UiUi!Γ2,νUf  = X sf ufΓµ 1 / pi+mi 2mi Γν 1uf  X Sf UfΓ2,ν / Pi+Mi 2Mi Γ2,νUf  = X sf (ufuf)λδ Γµ 1 / pi+mi 2mi Γν 1δλ  X Sf (UfUf)βα Γ2,ν / Pi+Mi 2Mi Γ2,ναβ  = Tr / pf+mf 2mf Γµ 1 / pi+mi 2mi Γµ 1×Tr / Pf+Mf 2Mf Γ2,µ / Pi+Mi 2Mi Γ2,ν. 47 Ap´endice C C´alculo de tensores lept´onico y hadr´onico Recogemos aqu´ı los c´alculos relacionados con la determinaci´on de los tensores hadr´onico y lept´onico en los casos de corriente electromagn´etica y d´ebil. C.1. Tensor hadr´onico para la corriente EM del prot´on con estructura Partimos de la expresi´on para el tensor hadr´onico del prot´on con estructura, tal y como est´a expuesto en la secci´on 2.3. Hµν =1 8M2Tr (/ Pi+M)(F1+F2)γµ−F2 2M(Pf+Pi)µ(/ Pf+M)(F1+F2)γν−F2 2M(Pf+Pi)ν. Desarrollamos usando la linealidad de la traza. Teniendo en cuenta las propiedades de las matrices de Dirac B.2, solo tenemos que hacer trazas de un n´umero par de matrices gamma. Luego la mitad de los 16 t´erminos que surgen del producto de los 4 binomios se anulan. El desarrollo resulta: 8M2Hµν = (F1+F2)2Tr[/ Piγµ/ Pfγν] + F2 2M2 (Pf+Pi)µ(Pf+Pi)νTr[/ Pi/ Pf] −F2 2M(Pf+Pi)µM(F1+F2) Tr[ / Piγν]−(F1+F2)MF2 2M(Pf+Pi)νTr[/ Piγµ] −M(F1+F2)F2 2M(Pf+Pi)νTr[γµ/ Pf] + M(F1+F2)M(F1+F2) Tr[γµγν] −MF2 2M(Pf+Pi)µTr[/ Pfγν] + M2F2 2M2 (Pf+Pi)µ(Pf+Pi)νTr[ 1 ]. Ahora calculamos las trazas con solo dos matrices involucradas. De los teoremas de traza: Tr[ / A/ B] = 4A·B≡4AµBµ Tr[ / Aγµ/ Bγν] = 4(AµBν+AνBµ−gµνA·B). 48 Ya podemos desarrollar las trazas en cada t´ermino: 8M2Hµν = = 4(F1+F2)2Pi µPf ν+Pi νPf µ−gµνPf·Pi+F2 2 4M2(Pf+Pi)µ4(Pi·Pf) −F2 2(F1+F2)(Pf+Pi)µ4Pi ν−F2 2(F1+F2)(Pf+Pi)ν4Pi µ −F2 2(F1+F2)(Pf+Pi)ν4Pf µ+ 4M2(F1+F2)2gµν −F2 2(F1+F2)(Pf+Pi)µ4Pf ν+F2 2 4(Pf+Pi)µ(Pf+Pi)ν4. Ahora se pueden agrupar los t´erminos tensorialmente semejantes. 8M2Hµν = 4(F1+F2)2Pi µPf ν+Pi νPi µ−(Pi·Pf−M2)gµν +F2 2 M2[(Pf+Pf)µ(Pi+Pf)ν] (Pi·Pf) −2F2(F1+F2)(Pi+Pf)µ(Pi+Pf)ν −2F2(F1+F2)(Pi+Pf)µ(Pi+Pf)ν +F2 2(Pf+Pi)µ(Pf+Pi)ν. Sumando obtenemos: 8M2Hµν = 4(F1+F2)2Pi µPf ν+Pi ν+Pf µ−gµν(Pi·Pf−M2) +F2 2Pi·Pf M2+ 1−4F2(F1+F2)(Pi+Pf)µ(Pi+Pf)ν. Lo que permite obtener el resultado final usado en el cap´ıtulo 2: Hµν =1 2M2(F1+F2)2Pi µPf ν+Pf µPi ν−(Pi·Pf−M2)gµν +1 8M2F2 2Pi·Pf M2+ 1−4F2(F1+F2)(Pi+Pf)µ(Pi+Pf)ν. C.2. Tensor lept´onico para la corriente d´ebil ν→e− Partimos de la expresi´on del tensor lept´onico dada por el teorema B.12. Nos preocupamos de la parte de la traza, dada por: Tr (/ kl+ml)γα(1 −γ5)(/ kν+mν)γβ(1 −γ5). En virtud de los teoremas de traza, solo consideramos trazas de n´umero par de matrices γµ. Recordamos que γ5no contabiliza para este c´omputo. As´ı, desarrollando obtenemos: Lαβ ∝Tr / klγα(1 −γ5)/ kνγβ(1 −γ5)+ Tr mlγα(1 −γ5)mνγβ(1 −γ5).(C.1) 49 Desarrollamos el primer t´ermino en (C.1). Para ello anticonmutaremos las matrices γ5con el resto de matrices involucradas. Recordemos / k=kλγλ. Denotamos Aρ=δρ α, Bλ=δλ βde tal manera que / A=γα,/ B=γβ. Tr / klγα(1 −γ5)/ kνγβ(1 −γ5)= Tr[/ klγα/ kνγβ]−Tr[/ klγαγ5/ kνγβ]−Tr[γ5/ klγα/ kνγβ] + Tr[/ klγαγ5/ kνγβγ5] = Tr[/ klγα/ kνγβ]−Tr[γ5/ klγα/ kνγβ]−Tr[/ klγα/ kνγβγ5] + Tr[/ klγα/ kνγβ * 1 γ5γ5] = 2 Tr[/ klγα/ kνγβ]−Tr[γ5/ klγα/ kνγβ] = 2 Tr[/ kl/ A/ kν/ B]−Tr[γ5/ kl/ A/ kν/ B] = 2 kl·ATr[/ kν/ B]−kl·kνTr[ / A/ B] + kl·BTr[ / A/ kν]−4iα1α2α3α4kα1 lAα2kα3 νBα4 = 2 nkl α4kν·B−kl·kν4A·B+kl βA·kν−4iα1α2α3α4kα1 lδα2 αkα3 νδα4 βo = 2 4kl αkν β−kl·kνgαβ + 4kl βkν α−4iλαρβkλ lkρ ν = 8 kl αkν β+kl βkν α−kl·kνgαβ +iαβλρkλ lkρ ν. El segundo t´ermino resultar´a ser nulo. Lo desarrollamos: Tr mlγα(1 −γ5)mνγβ(1 −γ5)=mlmνTr[γαγβ]−mlmνTr[γαγ5γβ]−mlmνTr[γαγβγ5] + mlmνTr[γαγ5γβγ5] =mlmνTr[γαγβ] + mlmνTr[γαγβγ5]−mlmνTr[γαγβγ5]−mlmνTr[γαγβ * 1 γ5γ5]=0. Concluimos que el tensor lept´onico queda determinado por: Lαβ =1 mlmνkl αkν β+kl βkν α−kl·kνgαβ +iαβλρkλ lkρ ν.(C.2) C.3. Tensor hadr´onico para corriente d´ebil n→p Calculamos ahora el tensor hadr´onico a partir de la expresi´on que nos da el teorema B.12 tal y como exponemos en la secci´on 3.2. Partimos de la corriente descartando el t´ermino pseudoescalar pues ya sabemos que su contracci´on con el tensor lept´onico no contribuir´a en el l´ımite ultrarrelativista: Γα=FV 1γα+iFV 2 2Mσαρqρ+  GP 2Mγ5qα+GAγαγ5. Dicho operador es la suma de uno con car´acter vectorial y otro axial. Adem´as podemos calcular sus adjuntos de Dirac a partir de los resultados de la secci´on B.4. Γα= Γα V+ Γα A=⇒   Γα V=FV 1γα+iF V 2 2Mσαρqρ Γα A=GAγαγ5=⇒   Γα V=FV 1γα−iF V 2 2Mσαρqρ6= Γα V Γα A=GAγαγ5= Γα A. Como el tensor hadr´onico se calcula como la traza Hαβ =1 2Tr / Pp+M 2MΓα/ Pn+M 2MΓα, podemos descomponer dicho tensor en tres t´erminos: el puramente vectorial, el puramente axial y el vectoraxial. Hαβ =Hαβ V+Hαβ A+Hαβ AV . Procedemos a calcular cada uno de ellos. Parte vectorial del tensor hadr´onico Eligiendo la parte vectorial tanto de Γαcomo de Γαobtenemos: Hαβ V=1 8M2Tr (/ Pp+M)FV 1γα+iFV 2 2Mσαρqρ(/ Pn+M)FV 1γα−iFV 2 2Mσαρqρ =1 8M2fαβ V V (FV 1)2+fαβ MM 1 4M2(FV 2)2+i 2Mfαβ V M FV 1FV 2, 50 donde introducimos las funciones auxiliares fVV, fMM, fVMque son a su vez trazas obtenibles f´acilmente con los teoremas de la secci´on B.2. fαβ V V = Tr (/ Pp+M)γα(/ Pn+M)γβ= 4[Pα pPβ n+Pβ pPα n−gαβ(Pp·Pn−M2)]. Usando el teorema de trazas para σµν y desarrollando trazas solo de n´umero par de matrices gamma obtenemos: fαβ MM = Tr[( / Pp+M)σαρqρ(/ Pn+M)σβλqλ] =−4q2(Pα pPβ n+Pβ pPα n)−Pp·q(Pα nqβ+Pβ nqα)−Pn·q(Pα pqβ+Pβ pqα) −4+qαqβ(Pp·Pn+M2) + gαβ 2Pp·qPp·q−q2Pp·Pn+M2. Para la ´ultima funci´on auxiliar se toman t´erminos mezclados de σyγ, obteniendo dos trazas muy similares entre s´ı. Adem´as usamos el teorema B.9 para trazas del tipo Tr[ / Aσαρ / B]: fαβ V M = Tr[(/ P+M)σαρqρ(/ Pn+M)γβ]−Tr[(/ Pp+M)γα(/ Pn+M)σβλqλ] = 4iM[Pα pqβ+Pβ pqα2gαβPp·q−Pα nqβ−Pβ nqα+ 2gαβPn·q]. Parte axial del tensor hadr´onico Ahora tomamos el t´ermino axial para calcular la traza. De nuevo desarrollamos solo considerando combinaciones con producto par de matrices gamma. La anticonmutaci´on de γ5con γµy por tanto con cualquier / P es usada extensivamente. Hαβ A=1 8M2Tr (/ Pp+M)GAγαγ5(/ Pn+M)GAγβγ5 =G2 A 8M2Tr[/ Ppγαγ5/ Pnγβγ5] + Tr[Mγαγ5Mγβγ5] =G2 A 8M2Tr[/ Ppγα/ Pnγβ  γ5γ5] + M2Tr[γαγ5γβγ5] =G2 A 8M24Pα pPβ n+ 4Pα pPβ n−4Pp·Pngαβ −M2Tr[γαγβ  γ5γ5] =GA 2M2Pα pPβ n+Pβ pPα n−gαβ(Pp·Pn+M2)≡GA 2M2fαβ AA. Parte axial-vector del tensor hadr´onico Consideramos ahora los t´erminos cruzados del operador vectorial con el axial conjugado y viceversa. Hαβ V A =1 8M2Tr (/ Pp+M)GAγαγ5(/ Pn+M)FV 1γβ−iFV 2 2Mσβλqλ +1 8M2Tr (/ Pp+M)FV 1γα+iFV 2 2Mσαρqρ(/ Pn+M)GAγβγ5 =1 8M2gαβ V AFV 1GA+gαβ MA iFV 2 2MGA. Calculamos las funciones auxiliares introducidas gV A, gMA. Subimos las etiquetas de los momentos del prot´on y neutr´on para que no coincidan con las etiquetas de Lorentz covariantes. Con el teorema de traza para γ5 por gammas, y conmutando signos en el tensor antisim´etrico obtenemos: gαβ V A = Tr[/ Ppγαγ5/ Pnγβ] + Tr[/ Ppγα/ Pnγβγ5] = 2 Tr[γ5/ Ppγα/ Pnγβ]=2×(−4i)α1α2α3α4Pp α1(γα)α2Pn α3(γβ)α4 =−8iα1αα3βPp α1Pn α3= +8iαβα1α3Pp α1Pn α3≡8iαβρδPp ρPn δ. 51 Para la otra funci´on auxiliar: gαβ MA =−i 2MTr[(/ Pp+M)γαγ5(/ Pn+M)σβλqλ] + i 2MTr[(/ Pp+M)σαρqρ(/ Pn+M)γβγ5] = 8M[δαβλPp ρqλ−αδβλPn δqλ] = 8M[αβλρPn λqρ+αβλρPp λqρ] = 16MαβλρPn λPp ρ. Con un cambio de variable pueden compactificarse todas las funciones auxiliares anteriormente expuestas. q=Pp−Pn=⇒Pn·q=Pn·Pp−P2 n=Pp·Pn−M2 =⇒ |q2|=−q2=−(P2 p+P2 n−2Pp·Pn) = 2(M2−Pp·Pn) =⇒Pn·q |q2|=1 2. Definimos entonces: X=Pn+Pn·q |q2|q=Pn+1 2q, y sustituyendo en las funciones auxiliares llegamos a estas nuevas expresiones: fαβ V V =−2|q2|gαβ +qαqβ |q2|+ 8XαXβ fαβ V M = 8iM|q2|gαβ +qαqβ |q2| fαβ MM =−8M2|q2|gαβ +qαqβ |q2|+ 8|q2|XαXβ fαβ AA =−2|q2|gαβ +qαqβ |q2|+ 8XαXβ−8gαβM2 gαβ V A = 8iαβρλPn ρqλ gαβ MA = 16MαβρλPn ρqλ. Unificando todos estos resultados en el tensor hadr´onico completo tenemos: Hαβ =−W1gαβ +W2 Pα nPβ n M2+iW3αβρλPn ρqλ+W4qαqβ+W5 Pα nqβ+Pβ nqα 2M2,(C.3) donde los coeficientes (que dependen del cuadrimomento transferido) son: W1=|q2| 4M2(FV 1+FV 2)2+G2 A+G2 A W2= (FV 1)2+|q2| 4M2(FV 2)2+G2 A W3= 2GA(FV 1+FV 2) W4=FV 2 4M2|q2| 4M2−1−FV 1FV 2 2M2+G2 A |q2|+ 2 GA M2(FV 1+FV 2) W5= (FV 1)2+|q2| 4M2(FV 2)2+G2 A(C.4) O de forma alternativa en t´erminos de la variable X: Hαβ =−W0 1gαβ +qαqβ |q2|+W0 2 M2XαXβ+iW0 3 M2αβρλPn ρqλ+W0 4 M2qαqβ,(C.5) 52