Superficies con una dirección principal canónica

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Facultad de Matem´aticas Grado en Matem´aticas Superficies con una direcci´on principal can´onica Realizado por: Sergio Gonz´alez Padilla Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtenci´on del t´ıtulo de Grado en Matem´aticas por la Universidad de Sevilla. ´ Indice general Abstract 1 Resumen 1 1. Introducci´on 2 2. Fundamentos de Geometr´ıa Local 6 3. Parametrizaci´on de superficies DPC 11 3.1. Construcci´on ............................. 11 3.2. Observaciones............................. 15 3.3. Interpretaci´on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3.1. Superficie parametrizada con gconstante . . . . . . . . . . 18 3.3.2. Superficie parametrizada con γuna recta . . . . . . . . . . 18 3.3.3. Superficie parametrizada con γuna circunferencia . . . . . 19 4. Teorema de Clasificaci´on para Superficies DPC con Curvatura Media fijada 23 4.1. Superficies capilares DPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2. Solitones λ-trasladados DPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3. Superficies λ-contra´ıdas DPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5. Ap´endice: Idea de c´omo se generaliza el problema para las hipersuperficies de Rn31 Referencias 33 1 Abstract We say that a regular surface in a Euclidean space has a canonical principal direction with respect to a fixed direction if its tangent part is a principal direction along the surface. Based on the article [12], the objective of this work is to classify those surfaces with a canonical principal direction which prescribed mean curvature is given by one of the following affine functions: height, angle and support. Resumen Se dice que una superficie regular en un espacio eucl´ıdeo tiene una direcci´on principal can´onica respecto a una direcci´on fija si su componente tangente es una direcci´on principal a lo largo de la superficie. Bas´andose en el art´ıculo [12], el objetivo de esta memoria es clasificar aquellas superficies con una direcci´on principal can´onica cuya curvatura media venga dada por una de las siguientes funciones afines: altura, ´angulo y soporte. Cap´ıtulo 1 Introducci´on Una superficie angular constante en R3es una superficie orientable cuya aplicaci´on de Gauss forma un ´angulo constante con un vector director fijo d. En particular, la proyecci´on de dsobre el plano tangente a la superficie es una direcci´on principal y su correspondiente curvatura principal es cero. En [1] se generaliz´o este concepto sin la necesidad de tener curvatura principal cero. Definici´on 1.1. Sea d∈R3un vector unitario. Una superficie Men R3tiene una direcci´on principal can´onica con respecto a dsi la componente tangente de da lo largo de Mes una direcci´on principal. Lo abreviaremos diciendo que M es una superficie DPC cuando se sobrentienda la direcci´on tomada. El problema que trataremos consiste en clasificar un grupo espec´ıfico de superficies DPC, aquellas cuya curvatura media viene dada por una de las siguientes funciones lineales: funci´on altura f(p) = hp, vi, funci´on ´angulo f(p) = hN(p),vi, funci´on soporte f(p) = hN(p), pi. Aqu´ı, v∈R3es un vector fijo y N:M→S2es la aplicaci´on de Gauss sobre M. La clasificaci´on es uno de los problemas fundamentales de las Matem´aticas. Poder clasificar conceptos y objetos, en nuestro caso superficies, significa que tenemos la capacidad de conocer y diferenciar aquello con lo que trabajamos, asociando cada uno de ellos a un grupo u otro seg´un sus caracter´ısticas y propiedades y as´ı con cada nuevo elemento que obtengamos. Hay una infinidad de maneras de clasificar, cada una con un prop´osito dependiendo del propio estudio y de los elementos que se manejen. En los ´ultimos a˜nos, la teor´ıa de superficies ha sido uno de los campos de la Geometr´ıa Diferencial m´as desarrollados. Muchos de estos estudios se han 3 centrado en las superficies angulares constantes en diferentes espacios [1, 2, 7, 13] y, por tanto, la clasificaci´on de estas superficies se hace necesaria. El inter´es que tiene este tipo de clasificaci´on determinada por la curvatura media viene por su relaci´on con las superficies el´asticas. La curvatura media de una superficie en un punto se define como la semisuma de las curvaturas principales. Este concepto lo introdujo Thomas Young en 1805 como herramienta para el desarrollo de c´alculos en la teor´ıa de superficies capilares. Cuantific´o el cambio de presi´on a trav´es de una superficie mediante la f´ormula: ∆p= 2σH, con σla tensi´on de la superficie [5]. Por otro lado, tambi´en tiene un papel importante en las memorias que Sophie Germain present´o a la Academia de Ciencias de Par´ıs en 1811, 1813 y 1815 sobre el estudio de las superficies el´asticas. A partir de los trabajos de Euler, Recherches sur la courbure des surfaces (1760) donde introdujo las direcciones y curvaturas principales, Sophie Germain enunciar´ıa en su primera memoria una hip´otesis sobre la relaci´on entre la fuerza el´astica y las curvaturas principales: “La fuerza el´astica en un punto de una superficie es proporcional a la curvatura media de la superficie en dicho punto”. Adem´as, siguiendo con el estudio de las superficies el´asticas, surge un procedimiento para dar una expresi´on matem´atica a la noci´on de deformaci´on de la superficie como la suma de todas las curvas de las diferentes secciones planas de la superficie. Sophie Germain postula que este c´alculo integral ser´a proporcional a la curvatura media (ver [14]). Con respecto a las funciones altura, ´angulo y soporte que definir´an la curvatura media, seguir´an modelos y comportamientos de fluidos representados por las superficies DPC correspondientes. 1. Funci´on altura: Una superficie cuya curvatura media H(p) satisface H(p) = λhp, vi+µ, λ, µ ∈R,(1.1) sigue el modelo de un fluido cayendo, donde la direcci´on de la gravedad est´a indicada por v, la constante λsolo depende de las propiedades f´ısicas del fluido y µes un volumen limitado. Este tipo de superficies se denominan superficies capilares y describen la zona de contacto entre dos materiales adyacentes que no se mezclan [5, 6]. 2. Funci´on ´angulo: Una superficie cuya curvatura media H(p) satisface H(p) = λhN(p),vi+µ, λ, µ ∈R,(1.2) se denomina solit´on λ-trasladado. Los solitones son un tipo de ondas que se propagan sin deformarse y que podemos encontrar como soluciones de 4 EDOs no lineales. El caso de los solitones trasladados aparecen en la teor´ıa del flujo de la curvatura media [10, 11, 15]. 3. Funci´on soporte: Una superficie cuya curvatura media H(p) satisface H(p) = λhN(p), pi+µ, λ, µ ∈R,(1.3) se llamar´a superficie λ-contra´ıda. Esto generaliza el concepto de autoexpansiva (λ > 0) y autocontra´ıda (λ < 0). Ambos tipos aparecen tambi´en en el estudio del flujo de la curvatura media como soluciones en modelos del comportamiento de fluidos, donde Mno cambia de forma, pero es contra´ıda (autocontra´ıda) o dilatada (autoexpansiva) por el fluido [4, 9, 11]. Para abordar este problema empezaremos por introducir en el Cap´ıtulo 2 las herramientas de Geometr´ıa Local con las que trabajaremos. Continuaremos en el Cap´ıtulo 3 viendo que las superficies DPC se pueden parametrizar como x(s, t) = γ(s) + f(t)n(s) + g(t)d,(1.4) lo que explicaremos con detalle en su momento, adem´as de algunos resultados que se deducen a partir de esta parametrizaci´on. El Cap´ıtulo 4 se centrar´a en demostrar el siguiente teorema de clasificaci´on espec´ıficamente para cada superficie DPC cumpliendo (1.1), (1.2) ´o (1.3): Teorema 1.1. Sea Muna superficie DPC con respecto a un vector unitario d∈R3parametrizada como (1.4). Si Msatisface (1.1), (1.2) ´o (1.3), entonces M es una de las siguientes superficies: 1. Una superficie cil´ındrica donde la directriz es α(t) = f(t)n+g(t)d,n es constante, las generatrices son ortogonales a dyαsatisface el caso unidimensional de (1.1), (1.2) ´o (1.3). 2. Una superficie de revoluci´on generada por αcuyo eje de rotaci´on es paralelo ad. La curva αsatisface una EDO de segundo orden dependiendo de las condiciones de (1.1), (1.2) ´o (1.3). 3. Una superficie cil´ındrica donde la directriz es γa(s) = γ(s) + an(s), que satisface el caso unidimensional de (1.1), (1.2) ´o (1.3) y las generatrices son paralelas a d. Nota 1.1. Si suponemos que x:U⊆R2→Mes una parametrizaci´on de M y dado un punto p∈M, se tendr´a que p=x(s, t) para alg´un (s, t)∈U. Por tanto, las tres expresiones definidas en (1.1), (1.2) y (1.3) son ecuaciones de dos variables. Las curvas param´etricas α(t) y γa(s) est´an contenidas en M, luego sus puntos tambi´en verifican (1.1), (1.2) y (1.3). Para los casos en el que Msea una 5 superficie cil´ındrica, se demostrar´a que la expresi´on de H(p) para los puntos de α(t) ´o γa(s) solo depender´a de t´o s, respectivamente, es decir, se reducir´an a ecuaciones de una variable que ser´an estos casos unidimensionales. Finalmente, en el Cap´ıtulo 5, veremos una generalizaci´on para hipersuperficies de Rny podremos deducir, al igual que en el Cap´ıtulo 3 para las superficies, una parametrizaci´on que nos defina las hipersuperficies DPC. 12 (a) Curva plana β(t)=(f(t), g(t)). (b) Curva plana γ(s) contenida en P. Figura 3.1: Ejemplo para las curvas βyγ. Figura 3.2: Representaci´on de la curva α(t). 13 Figura 3.3: Superficie generada por αa lo largo de γ. Notas 3.1. 1. Para diferenciar mejor las curvas γyβas´ı como sus componentes y derivadas, se utilizar´a el punto para las derivaci´on de γy la comilla para β. Puesto que las dos est´an parametrizadas naturalmente es importante recordar que |˙γ(s)|=|β0(t)|= 1, para cualesquiera (s, t)∈I×J. 2. Para simplificar la notaci´on, supondremos que t=t(s) y n=n(s) son los vectores tangente y normal de γpara cada s∈I. Consideremos la funci´on definida en (1.4), x:U⊆R2→x(U)⊆R3, con U=I×Jabierto de R2, tal que: x(s, t) = γ(s) + f(t)n(s) + g(t)d. Sea M=x(U) la superficie parametrizada por x. Para ver que Mes regular habr´a que demostrar que xes una parametrizaci´on local. Puesto que, por hip´otesis, M=x(U), solo necesitamos comprobar que xsatisface las condiciones de diferenciabilidad y regularidad: 1. x∈ C∞). La condici´on de diferenciabilidad se cumplir´a si existen sus derivadas parciales de todos los ´ordenes. Si tenemos en cuenta que tanto γ(s) como β(t) son diferenciables por definici´on, es inmediato que las funciones f(t), g(t) y ntambi´en lo son. Las parciales de orden nquedan: ∂nx ∂sn=γn)(s) + f(t)nn)(s), n ≥1, ∂nx ∂tn=fn)(t)n(s) + gn)(t)d, n ≥1, 14 ∂nx ∂sn1∂tn2=fn2)(t)nn1)(s), n =n1+n2≥2, n1, n2>0. Teniendo en cuenta que tanto γ(s) como β(t) son diferenciables por definici´on, es inmediato que las funciones f(t), g(t) y n(s) tambi´en lo son, luego existen las derivadas parciales de cualquier orden. 2. X1×X26= 0, en todo U. Para la condici´on de regularidad calculamos los vectores X1yX2derivando respecto a syt, respectivamente. X1=t(s) + f(t)˙ n(s) = t(s) + f(t)(−k(s)t(s)) = (1 −f(t)k(s))t(s), X2=f0(t)n(s) + g0(t)d. Para el c´alculo de X1hemos usado las ecuaciones de Frenet-Serret y que γ(s) es plana, luego su torsi´on es cero. Notemos que el vector binormal de γ(s) es el propio vector dy puesto que {t(s),n(s),d}es una base ortonormal, obtenemos que X1yX2son ortogonales y, por tanto, X1×X26= 0, para cualquier punto de U. El siguiente paso ser´a probar que Mes una superficie DPC con respecto a d. Tomamos los vectores unitarios de X1yX2: X1 |X1|=(1 −f(t)k(s))t(s) (1 −f(t)k(s)) =t(s), X2 |X2|=X2 p(f0(t))2+ (g0(t))2=X2 |β0(t)|=X2. Ahora podemos calcular la proyecci´on de dsobre el plano tangente a Men cada punto p=x(s, t), (s, t)∈U. hd,t(s)it(s) + hd,X2iX2=hd,X2iX2 =hd, f0(t)n(s) + g0(t)diX2 =hd, f0(t)n(s)iX2+hd, g0(t)diX2 =g0(t)hd,diX2 =g0(t)X2. Supongamos g0(t)6= 0. Vamos a probar que X2es una direcci´on principal y, por tanto, Mes una superficie DPC con respecto a la direcci´on d. Un campo vectorial unitario normal a Mviene dado por 15 N(s, t) = t×X2 |t×X2|=−g0(t)n(s) + f0(t)d |−g0(t)n(s) + f0(t)d|=−g0(t)n(s) + f0(t)d,(3.1) ya que |β0(t)|= 1, y desarrollando su parcial respecto a t, ∂N ∂t =N2=−g00(t)n(s) + f00(t)d. De nuevo, gracias a que (f0(t))2+(g0(t))2= 1, tenemos que 2f00f0+2g00g0= 0, entonces f00f0=−g00g0y aplic´andolo a N2: N2=1 g0(t)(−g00(t)g0(t)n(s) + f00(t)g0(t)d) =1 g0(t)(f00(t)f0(t)n(s) + f00(t)g0(t)d) =f00(t) g0(t)(f0(t)n(s) + g0(t)d) = f00(t) g0(t)X2. Y de aqu´ı deducimos que X2es autovector del endomorfismo de Weingarten, es decir, direcci´on principal. Si g0(t) = 0, la proyecci´on de dsobre el plano tangente de Mes cero. Es decir, des ortogonal a Tp(M) en todos los puntos de M, pero como des constante, entonces todos los puntos de Mcomparten el mismo plano tangente y se deduce que Tp(M) = M, luego Mes un plano y para cada punto p∈Mse tiene que k1(p) = k2(p) = 0 y, por tanto, todas las direcciones son principales en p, en particular, X2. 3.2. Observaciones Acabamos de probar que las superficies DPC se pueden parametrizar por (1.4). Lo interesante de esta parametrizaci´on es que nos dar´a buenas condiciones para clasificar cada superficie. Adem´as, obtendremos expresiones de las curvaturas principales y, por consiguiente, de la curvatura media, que ser´an clave en el Cap´ıtulo 4 para desarrollar las demostraciones. Proposici´on 3.1. Sea Muna superficie DPC parametrizada por: x(s, t) = γ(s) + f(t)n(s) + g(t)d. Entonces: 16 1. Se tiene que 1−f(t)k(s)6= 0, para todo (s, t)∈U. 2. Si ges constante, entonces Mes un plano ortogonal a d. 3. Si γes una recta, entonces Mes una superficie cil´ındrica y sus generatrices son ortogonales a d. 4. Si γes una circunferencia, entonces Mes una superficie de revoluci´on cuyo eje de rotaci´on es paralelo a d. Demostraci´on. 1. Por la regularidad de M, sabemos que X1×X26= 0, para cualquier punto de U, luego X1= (1 −f(t)k(s))t(s)6= 0 y se concluye que 1−f(t)k(s)6= 0. 2. Si g(t) = aconstante, g0(t) = 0 y como se razon´o en la secci´on anterior, Mes un plano ortogonal a d. Visto de otro modo, al despejar fde (f0(t))2+ (g0(t))2= 1, se tiene f(t) = εt +bcon b∈R,ε∈ {−1,1}. La parametrizaci´on queda: x(s, t) = γ(s)+(εt +b)n(s) + ad= (γ(s) + ad)+(εt +b)n(s). El primer sumando, γ(s) + ad, es una curva plana paralela a γy las diferentes curvas α(t) = (εt +b)n(s) del segundo sumando son segmentos de recta coplanarios a γ. Por tanto, Mes la superficie plana formada por las curvas αa una distancia ade γen la direcci´on dque es ortogonal a γ, luego tambi´en a M. 3. Si γes una recta, entonces t(s) y n(s) son constante. Si definimos la curva plana α(t) = f(t)n+g(t)d, entonces x(s, t) = α(t) + st, es decir, Mes una superficie cil´ındrica con directriz αy generatrices las rectas paralelas aγque cortan a α(t), para cada t∈J, las cuales son ortogonales a d. 4. Si γes una circunferencia, bajo una reparametrizaci´on adecuada, supongamos γ(s)=(rcos(s), r sen(s),0) y d= (0,0,1). Calculamos el vector n(s) como n(s) = d×t(s) = (−rcos(s),−rsen(s),0) = −γ(s), y sustituyendo en la parametrizaci´on (1.4), se tiene x(s, t) = (r(1 −f(t)) cos(s), r(1 −f(t)) sen(s), g(t)), lo que prueba que Mes una superficie de revoluci´on y su eje de rotaci´on est´a sobre d. Proposici´on 3.2 (Curvaturas principales).Sea Muna superficie DPC. Dada la aplicaci´on de Gauss definida en (3.1), N(s, t) = −g0(t)n(s) + f0(t)d. Si 17 Mno es un plano ortogonal a d, entonces sus curvaturas principales respecto a Nson: k1=g0(t)k(s) 1−f(t)k(s), k2=f00(t) g0(t).(3.2) Demostraci´on. Sabemos que X2es una direcci´on principal, su autovalor asociado da una expresi´on para la curvatura principal de Men esta direcci´on, es decir, N2=k2X2, y como se calcul´o en la secci´on anterior, k2=f00(t) g0(t). Por otro lado, al ser ortogonal a X1, esta tambi´en es direcci´on principal y del mismo modo podemos obtener su curvatura principal asociada N1=−g0(t)˙ n(s) = g0(t)k(s)t(s) = g0(t)k(s) 1−f(t)k(s)X1 y puesto que N1=k1X1, entonces: k1=g0(t)k(s) 1−f(t)k(s). Proposici´on 3.3 (Curvatura media).Sea Muna superficie DPC. Dada la aplicaci´on de Gauss N(s, t) = −g0(t)n(s)+f0(t)d, si Mno es un plano ortogonal ad, entonces su curvatura media Hrespecto a Nes: H(x(s, t)) = 1 2f00(t) g0(t)+g0(t)k(s) 1−f(t)k(s).(3.3) Demostraci´on. Es inmediato a partir de (3.2) y la definici´on de curvatura media, H=k1+k2 2. Como estamos suponiendo que Mno es un plano ortogonal a d, en virtud de la Proposici´on 3.1,gno es constante, luego g0no se anula. 3.3. Interpretaci´on geom´etrica Para finalizar este cap´ıtulo, expondremos algunos ejemplos de superficies DPC para cada caso estudiado en la Proposici´on 3.1 y as´ı tener una idea m´as pr´actica de sus demostraciones. Para mayor comodidad, en los siguientes ejemplo, supondremos que la curva plana γest´a contenida en el plano z= 0 y que d= (0,0,1). 18 3.3.1. Superficie parametrizada con gconstante Tal y como se vio en la demostraci´on de la Proposici´on 3.1, si suponemos g(t) = aconstante, la parametrizaci´on (1.4) se puede escribir como x(s, t) = (γ(s) + ad)+(εt +b)n(s), con a, b ∈Ryε∈ {−1,1}. La interpretaci´on es simple. Consiste en trasladar la curva γa un plano paralelo en la direcci´on de dy a una distancia a. Despu´es, tomar un segmento en la direcci´on de n(s) para alg´un s∈I. Finalmente, deslizarlo a lo largo de γpara obtener una superficie plana. En la Figura 3.4, podemos ver un peque˜no ejemplo de esta parametrizaci´on para γ(s) = senh(s), d= (0,0,1) y (f(t), g(t)) = (t, 2), es decir, x(s, t)=(γ(s)+2d) + tn(s). Figura 3.4: Ejemplo de superficie DPC con g(t) constante. 3.3.2. Superficie parametrizada con γuna recta Volviendo a la Proposici´on 3.1, si nos paramos en el caso donde la curva γes una recta, la expresi´on (1.4) queda x(s, t) = α(t) + γ(s), 19 con α(t) = f(t)n+g(t)dla directriz de esta superficie reglada. Por otro lado, sus generatrices son las rectas paralelas a γque pasan por α(t0) para cada t0∈J. En la Figura 3.5, podemos ver c´omo se genera la superficie tomando, por ejemplo, γparalela al eje X y β(t)=(t, 2cos(2t)). Figura 3.5: Ejemplo de superficie DPC con γuna recta. 3.3.3. Superficie parametrizada con γuna circunferencia Este ejemplo se desarrollar´a de modo diferente. Esta vez adem´as de suponer que γes una circunferencia, vamos a imponer que Msea una superficie m´ınima como restricci´on adicional. La raz´on la veremos al final del ejemplo. Para simplificar los c´alculos, supongamos γ(s) = (cos(s),sen(s),0) la circunferencia unidad. Adem´as, Por la Proposici´on 3.1, sabemos que Mes una superficie de revoluci´on. Con estos datos vamos a calcular las funciones f(t) y g(t) de la curva β(t) para obtener la parametrizaci´on de Mcomo x(s, t) = ((1 −f(t)) cos(s),(1 −f(t)) sen(s), g(t)). Por ser γ(s) la circunferencia unidad, se deduce que k(s)≡1 y como Mes m´ınima, H≡0. Sustituyendo estos valores en la expresi´on de la curvatura media dada en (3.3), obtenemos la ecuaci´on: f00(t) g0(t)+g0(t) 1−f(t)= 0. Primero, despejamos g0(t), (g0(t))2=−f00(t)(1 −f(t)), y gracias a que (f0(t))2+ (g0(t))2= 1, podemos sustituir (g0(t))2y reordenar la ecuaci´on, f00(t)(1 −f(t)) −(f0(t))2+ 1 = 0.(3.4) 20 As´ı lo que nos queda es una EDO de segundo orden. El primero paso ser´a reducir el grado con el cambio u=f0(t) = df dt,(3.5) y, a partir de aqu´ı, deducir f00(t) como: f00(t) = u0=du dt =du df df dt =udu df . Por tanto, la ecuaci´on (3.4) pasa a ser: udu df (1 −f)−u2+ 1 = 0. Ahora podemos resolverla por el m´etodo de separaci´on de variables. Tras despejar, se tiene: u u2−1du =1 1−fdf. Integramos cada lado: 1 2log |u2−1|=−log |1−f|+C1. Despejamos uy cambiamos e2C1por C1, quedando: u=pC1+ (1 −f)2 1−f.(3.6) Deshacemos el cambio dado en (3.5) y volvemos a repetir el m´etodo despejando de nuevo las variables: 1−f pC1+ (1 −f)2df =dt. Integramos ambos lados y queda: −pC1+ (1 −f)2=t+C2. Por ´ultimo, despejamos f, f(t)=1−p(t+C2)2−C1. 21 Si ahora multiplicamos y dividimos dentro de la ra´ız por −C1, queda f(t)=1−p−C1s(t+C2)2−C1 −C1 , es decir, f(t)=1−p−C1st+C2 √−C12 + 1. Podemos aplicar la igualdad trigonom´etrica cosh(arcsenh(x)) = √x2+ 1, lo que implica que f(t) = 1 −p−C1cosh arcsenh t+C2 √−C1. Adem´as, teniendo en cuenta que cosh(x) es una funci´on par y que arcsenh(x) es impar, si cambiamos −√−C1por C1, podemos escribir f(t) como: f(t) = 1 + C1cosh arcsenh t+C2 C1.(3.7) Para el c´alculo de g(t), sustituiremos f0, obtenida en (3.6), en la igualdad (f0(t))2+ (g0(t))2= 1 y resolveremos la ecuaci´on: (g0)2= 1 −C1+ (1 −f)2 (1 −f)2. Operando a la derecha y despejando g0, obtenemos g0=√−C1 1−f, que combinada con (3.7) y el cambio −√−C1por C1, queda: g0=1 cosh arcsenh t+C2 C1. Para acabar, usando que d dxarcsenh(x) = 1 √x2+ 1, 28 Como ya se demostr´o en la Proposici´on 3.1, esto prueba que Mes una superficie cil´ındrica y su directriz es la curva plana γa(s) = γ(s) + an(s) y sus generatrices paralelas a d. La ecuaci´on (4.4) se reescribe como: k(s) 1−ak(s)=−2λhn(s), vi+ 2εµ. De nuevo, el miembro izquierdo es la curvatura de γay se satisface el caso unidimensional de (1.2). 4.3. Superficies λ-contra´ıdas DPC Sea Muna superficie DPC. Supongamos que su curvatura media H(p) satisface (1.3): H(p) = λhN(p), pi+µ, λ, µ ∈R, λ 6= 0. Utilizaremos el mismo procedimiento para hallar hN(p), piy la nueva expresi´on de (1.3). Para hN(p), pi, tenemos la aplicaci´on de Gauss definida en (3.1) y junto a la parametrizaci´on (1.4) para el punto p, se tiene: hN(p), pi=h−g0(t)n(s) + f0(t)d, γ(s) + f(t)n(s) + g(t)di =−g0(t)hn(s), γ(s)i−f(t)g0(t) + f0(t)g(t). Una vez calculado y usando la expresi´on de Hen (3.3), la ecuaci´on (1.3) queda: f00(t) g0(t)+g0(t)k(s) 1−f(t)k(s)=−2λg0(t)hn(s), γ(s)i−2λf(t)g0(t)+2λf0(t)g(t)+2µ. (4.7) Ahora podemos dividir por g0(t), obteniendo: f00(t) g0(t)2+k(s) 1−f(t)k(s)=−2λhn(s), γ(s)i−2λf(t)+2λf0(t)g(t) g0(t)+ 2 µ g0(t). El miembro de la derecha es una suma de funciones que dependen o solo de so solo de t, as´ı que al derivar respecto a sy luego respecto a tse anular´a. Por otro lado, el miembro de la izquierda tras derivar en el mismo orden nos queda: 2k(s)˙ k(s)f0(t) (1 −f(t)k(s))3=(k2(s))0f0(t) (1 −f(t)k(s))3= 0. An´alogamente a la Secci´on 4.2 para los solitones, (k2(s))0f0(t) = 0 y tenemos dos casos seg´un el valor de f0(t): 29 1. f0(t0)6= 0, para alg´un t0∈J. Entonces kes constante y nos encontramos, de nuevo, en los dos ´ultimos puntos de la Proposici´on 3.1 concluyendo que la superficie Mser´a una superficie cil´ındrica con generatrices ortogonales ad, si γes una recta, o una superficie de revoluci´on con eje paralelo a d, si γes una circunferencia. a) Si k= 0, γes una recta y entonces, tynson constantes, coplanarios y ortogonales. Sea la curva plana α(t) = f(t)n+g(t)d, su normal principal es Nα(t) = −g0(t)n+f0(t)dy su curvatura kα(t) = f00 (t) g0(t). Ahora la ecuaci´on (4.7) se escribe: kα(t) = 2λhNα(t), γ(s) + α(t)i+ 2µ= 2λhNα(t), α(t)i+ 2µ. Observemos que hNα(t), γ(s)i= 0 para todo s∈Iporque γes ortogonal a dpor definici´on y, al ser una recta, tambi´en lo es a n, as´ı que αsatisface el caso unidimensional de (1.3). b) Si k6= 0, entonces γes una circunferencia. Si derivamos la ecuaci´on (4.7) respecto a s, se tiene: hγ(s),n(s)i0= 0. Desarrollando la derivada, obtenemos que hγ(s),n(s)i0=hγ(s),˙ n(s)i=−khγ(s),t(s)i= 0 y de aqu´ı se deduce que hγ(s),t(s)i= 0, por lo que γes una circunferencia centrada en el origen. Si volvemos a derivar, hγ(s),t(s)i0=hγ(s),¨γ(s)i+ht(s),t(s)i=khγ(s),n(s)i+ 1 = 0. Por consiguiente, hγ(s),n(s)i=−1 k y la generatriz α(t) = f(t)n+g(t)dsatisface la EDO obtenida al sustituir en (4.7): f00(t) g0(t)+g0(t)k 1−f(t)k=2 kλg0(t)−2λf(t)g0(t)+2λf0(t)g(t)+2µ. 2. f0(t) = 0, para todo t∈J. Entonces f(t) = a,a∈Ryg(t) = εt +b,b∈R. La parametrizaci´on de Mqueda: x(s, t) = γ(s) + an(s)+(εt +b)d. 30 Tal y como se demostr´o en la Proposici´on 3.1,Mes una superficie cil´ındrica con directriz γa(s) = γ(s)+an(s) y generatrices paralelas a d. Finalmente, la ecuaci´on (4.7) se escribe: k(s) 1−ak(s)=−2λhn(s), γ(s)i−2λa + 2εµ. Si sustituimos γ(s) por γa(s)−an(s), k(s) 1−ak(s)= 2λhn(s), γa(s)i+ 2εµ. De nuevo, como kγa=k(s) 1−ak(s), entonces γasatisface el caso unidimensional de (1.3). Cap´ıtulo 5 Ap´endice: Idea de c´omo se generaliza el problema para las hipersuperficies de Rn Como cierre a este trabajo sobre la clasificaci´on de superficies con una direcci´on principal can´onica, cabe mencionar que este problema se podr´ıa generalizar a hipersuperficies en Rn. Sin entrar en muchos detalles, podemos dar un desarrollo an´alogo al obtenido en el Cap´ıtulo 3. Para ello, en [8], se definen los campos vectoriales conformes cerrados. Una de las propiedades m´as interesantes que se deducen de ellos es que para cualquier campo vectorial conforme cerrado Yen Rn+1, existe una hipersuperficie ortogonal a Yen todos sus puntos. Sea Yun campo vectorial conforme cerrado unitario en Rn+1, podemos suponer Nuna hipersuperficie ortogonal a Yen todos sus puntos. Sea una hipersuperficie (n−1)-dimensional de Nparametrizada por γ=γ(x1, . . . , xn−1) y n=n(x) el vector normal a γen el punto x= (x1, . . . , xn−1). Y como ya se us´o, tomemos β(t) = (f(t), g(t)) una curva plana parametrizada naturalmente. Definimos la hipersuperficie Mde Rn+1 parametrizada como: x(x, t) = γ(x) + f(t)n(x) + g(t)Y(x). Si calculamos todas sus derivadas parciales, obtenemos: X1=γ1+f(t)n1+g(t)Y1=γ1+f(t)n1+g(t)φγ1, . . . Xn−1=γn−1+f(t)nn−1+g(t)φγn−1, Xt=f0(t)n+g0(t)Y, con φuna funci´on diferenciable en Rn+1 (ver [8]). Por otro lado, como hY, γii= 0 32 para todo i= 1, . . . , n −1, se tiene: hY, Xii=f(t)hY, nii=−f(t)hYi,ni=−f(t)φhγi,ni= 0, para cada i= 1, . . . , n −1. De aqu´ı, podemos deducir que la proyecci´on de Y sobre el espacio tangente de Men cada punto queda, hY, X1iX1+···+hY, Xn−1iXn−1+hY, XtiXt=hY, XtiXt, que podemos desarrollar, dando: hY, XtiXt=hY, f0(t)n+g0(t)YiXt =f0(t)hY, niXt+g0(t)hY, Y iXt =g0(t)Xt. Tal y como razonamos en el caso de las superficies, supondremos una proyecci´on no nula, es decir, g0(t)6= 0. Del mismo modo, se tiene el campo vectorial normal a Mcomo N=−g0(t)n+f0(t)Y, que derivando respecto a t, queda: Nt=f00(t) g0(t)Xt. De esta manera, se demuestra que Xtes una direcci´on principal y, por consiguiente, que Mes una hipersuperficie con una direcci´on principal can´onica con respecto a Y. Referencias [1] Dillen, F., Fastenakels, J., Van der Veken, J. :Surfaces in S2×R with a canonical principal direction. Ann. Glob. Anal. Geom. 35, 381-396 (2009). 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