Soluciones utilitarias de compromiso en problemas multi-objetivo con información parcial

Rec @ Vol 10 Diciemb e 2009. Pp 179 - 195 Recibido 30/10/2009 Re isado 23/11/2009 Acep ado 4/12/2009 Soluciones u ili a ias de comp omiso en p oblemas mul i-obje i o con in o mación pa cial Hinojosa, M. A. (*) Má mol A. M. (**) (*)Uni e sidad Pablo de Ola ide. Se illa (**)Uni e sidad de Se illa. RESUMEN En es e abajo se analizan p oblemas de op imización mul i-obje i o en si uaciones en que las p e e encias del agen e deciso pueden ep esen a se po unciones adi i as y solo se dispone de in o mación pa cial sob e los pesos de impo ancia de los obje i os. Es e análisis puede in e p e a se ambién en é minos de decisión en g upo, cuando dis in os agen es p opo cionan pesos dis in os pa a los obje i os, y a pa i de ahí hay que llega a un consenso sob e la solución a elegi . En es e con ex o de in o mación pa cial se in oduce una clase de soluciones que pueden conside a se un comp omiso en e las soluciones del ipo maximin y las soluciones u ili a ias. También se analizan algunas de sus p incipales p opiedades Palab as cla es: P oblemas mul i-obje i o, pesos de impo ancia, in o mación pa cial, concep os de solución. ABSTRACT We analyze mul iple objec i e op imiza ion p oblems in si ua ions in which he p e e ences o he decision make can be ep esen ed by addi i e unc ions and only pa ial in o ma ion abou he impo ance o he objec i es is a ailable. This analysis can also be in e p e ed in e ms o g oup decision-making when di e en agen s p o ide di e en weigh s o he objec i es, and a consensus abou he solu ion o choose has o be eached. In his con ex o pa ial in o ma ion we in oduce a class o solu ions ha can be conside ed as a comp omise be ween he solu ions based on a maxmin c i e ion and he u ili a ian solu ions. We also analyze some o hei main p ope ies. Keywo ds: Mul i-objec i e p oblems, impo ance weigh s, pa ial in o ma ion, solu ion concep s Hinojosa M.A., M´a mol, A.M. 1.- In oducci´on Con obje o de mo i a el an´alisis del p oblema mul i-obje i o y las soluciones que se p esen an a con inuaci´on, comenzamos es e abajo con un ejemplo ilus a i o. Ejemplo 1: Un modelo de p oducci´on con ince idumb e sob e los p ecios. Conside emos una emp esa que ab ica dos p oduc os, Z1yZ2, de acue do a una ecnolog´ıa que le pe mi e p oduci en un conjun o de p oducci´on posible (CPP) como el ep esen ado en la Figu a 1. Figu a 1: CPP en un ejemplo con dos p oduc os. Z1 Z2 CPP Supond emos que el CPP es compac o (las p oducciones es ´an aco adas y adem´as las combinaciones de p oduc os en la on e a del CPP son p oducibles en la ec- nolog´ıa conside ada), comp ehensi o (si la combinaci´on de p oduc os z=(z1,z 2) se puede p oduci , ambi´en se puede p oduci cualquie combinaci´on z=(z 1,z 2), con z 1≤z1yz 2≤z2)ycon exo (cualquie combinaci´on con exa de dos posibles pun os en el CPP pe enece ambi´en al CPP). Es os supues os son habi uales en dis in os modelos de negociaci´on y de p oducci´on exis en es en la li e a u a. El p oblema que se plan ea es elegi , de en e las al e na i as en el CPP, la p oducci´on que maximice una de e minada unci´on de u ilidad que es ´a basada en los p ecios. Si se conocie an los m´aximos p ecios, λ1yλ2, que el me cado es capaz de abso be pa a los p oduc os Z1yZ2 espec i amen e, la p oducci´on ´op ima es a ´ıa au om´a icamen e de e minada al maximiza la unci´on de u ilidad (z)=λ1z1+λ2z2. Es a soluci´on es conocida en la li e a u a como la soluci´on u ili a ia. La deno amos po Suy la ep esen amos en la Figu a 2. Figu a 2: Soluci´on u ili a ia. Z1 Z2 CPP Su=z∗=(z∗ 1,z∗ 2) λ=(λ 1 ,λ 2 ) λ1z1+λ2z2=K Rec @181 Vol.10 (2009) Soluciones u ili a ias de comp omiso ... No malmen e es di ´ıcil p edeci los p ecios que el me cado abso be ´a, pe o, en muchos casos s´ı se puede asumi cie a in o maci´on imp ecisa sob e dichos p ecios. En es e ejemplo supond emos que se sabe que el p oduc o Z1es m´as ca o o a lo sumo iene el mismo p ecio que el p oduc o Z2y que, po o o lado, el p ecio del p oduc o Z1alom´as duplica el p ecio del p oduc o Z2.1 En es e abajo, con la in o maci´on imp ecisa acili ada, defini emos una nue a soluci´on que llama emos soluci´on u ili a ia de comp omiso (SUC) y deno e amos po Suc. Es ´a basada en un p incipio conse ado seg´un el cual, se asigna a cada combinaci´on de p oduc os ac ible la peo de las alo aciones posibles, eniendo en cuen a odos los p ecios admisibles incluidos en el conjun o de in o maci´on, y se elige en onces, la p oducci´on que maximiza es as peo es alo aciones.2 G ´aficamen e, la SUC en es e ejemplo, conside ando la in o maci´on mencionada, se ep esen a en la Figu a 3. Figu a 3: CPP con in o maci´on imp ecisa sob e los p ecios. Z1 Z2 CPP Suc =z∗=(z∗ 1,z∗ 2) El nomb e de soluci´on u ili a ia de comp omiso se jus ifica po que puede se conside ada un comp omiso en e la soluci´on u ili a ia, Su, de la Figu a 2 y la soluci´on maximin basada en un p incipio iguali a io (Rawls, 1971), que aconseja p oduci la misma can idad de cada p oduc o. Si los p ecios que el me cado es capaz de abso be son conocidos, la SUC coincide con la soluci´on u ili a ia; en cambio, si no hay ninguna in o maci´on sob e dichos p ecios hay que conside a como polied o de in o maci´on odo el simplex y la SUC coincide con la soluci´on maximin, que deno amos po Sm. En la Figu a 4 se ep esen an, pa a el ejemplo conside ado, las es soluciones: La soluci´on maximin, la SUC y la soluci´on u ili a ia. 1Si los p ecios los suponemos no malizados pa a pe enece al simplex ∆1={λ=(λ1,λ 2)|λ1≥ 0,λ 2≥0,λ 1+λ2=1}, la in o maci´on imp ecisa disponible en es e caso puede ep esen a se median e el polied o Λ = {λ∈∆1|λ1≥λ2,λ 1≤2λ2}, que llama emos polied o de in o maci´on. Los pun os ex emos de es e polied o de in o maci´on son λ1=(1/2,1/2) y λ2=(2/3,1/3). 2Un pun o z=(z1,z 2) del CPP es p e e ido a o o z=(z 1,z 2), con espec o al polied o de in o maci´on Λ, si minλ∈Λλ1z1+λ2z2≥minλ∈Λλ1z 1+λ2z 2. Es o es equi alen e a impone la desigualdad pa a los pun os ex emos de Λ, es deci , 1/2z1+1/2z2≥1/2z 1+1/2z 2y2/3z1+1/3z2≥ 2/3z 1+1/3z 2. Rec @182 Vol.10 (2009) Hinojosa M.A., M´a mol, A.M. Figu a 4: SUC, soluci´on u ili a ia y soluci´on maximin. Z1 Z2 CPP Suc Sm Su Obs´e ese que a medida que se inco po a in o maci´on sob e los p ecios la SUC se adap a mejo a la ecnolog´ıa de cada p oblema, es deci , oma en conside aci´on la o ma que iene el CPP. En los dos ejemplos que se ep esen an en la Figu a 5, la soluci´on maximin no iene en cuen a la capacidad que iene la emp esa de p oduci de un p oduc o m´as que del o o. Sin emba go, con la in o maci´on sob e los p ecios acili ada, la SUC iene en cuen a que en es os p oblemas es posible una peque˜na disminuci´on en la ab icaci´on de un p oduc o a cambio de un inc emen o mayo en la p oducci´on del o o. Figu a 5: SUC en dos CPP co espondien es a ecnolog´ıas di e en es. Z1 Z2 CPP Suc CPP Z2 Z1 Suc En es e Ejemplo 1, con el que hemos decidido comenza la edacci´on del abajo, es amos igno ando el an´alisis econ´omico del p oblema, cen ´andonos en en p oblema ma em´a ico de maximizaci´on de ambas p oducciones (obje i os) den o de un con- jun o ac ible y u ilizando los p ecios como pesos de impo ancia de los dos obje i os conside ados que se ag egan en una unci´on de u ilidad lineal a ozos. Es e es el ma co en el que se desa olla el abajo: p oblemas de decisi´on mul i- obje i o en si uaciones en las que las p e e encias del agen e deciso pueden ep e- sen a se po unciones adi i as, y donde se pe mi e imp ecisi´on en los pesos de los obje i os; m´as conc e amen e, se dispone de in o maci´on pa cial sob e los pesos de los obje i os que se o maliza po medio de es icciones lineales. El an´alisis que se p esen a en es e abajo puede in e p e a se ambi´en en ´e minos de decisi´on en g upo, cuando un g upo de agen es deciso es iene que esol e un Rec @183 Vol.10 (2009) Soluciones u ili a ias de comp omiso ... p oblema mul i-obje i o y cada uno de ellos p opo ciona un ec o de pesos di e - en e, la al a de consenso en es as si uaciones puede in e p e a se como in o maci´on pa cial sob e la impo ancia de los obje i os. Los abajos p e ios sob e el a amien o de p oblemas mul i-obje i o con in- o maci´on pa cial a an p incipalmen e de la educci´on del conjun o de soluciones Pa e o-´op imas, de acue do con la in o maci´on disponible ( ´ease, po ejemplo, We- be (1987), Ca izosa e al. (1995), M´a mol e al. (2002)). Hay ambi´en bas an e li e a u a sob e p oblemas lineales mul i-obje i o en los que los coeficien es de la unci´on obje i o no es ´an pe ec amen e de e minados, sino que ienen dados po in e alos o po medio de elaciones lineales ( po ejemplo, M´a mol y Pue o (1997), Hansen y o os (1989) y Wendell (1985, 2004)). La mayo ´ıa de es os abajos se cen- an en analiza la sensibilidad de una soluci´on dada an e cambios ac ibles en los pa ´ame os. En un sen ido di e en e Hinojosa y M´a mol (2009) in es igan las solu- ciones que su gen pa a p oblemas de decisi´on mul i-obje i o con in o maci´on pa cial cuando las p e e encias del agen e deciso se ep esen an po unciones u ili a ias o iguali a ias y es udian los p incipios de acionalidad que los sus en an. En el p esen e abajo se supone que las p e e encias del agen e deciso pueden ep esen a se median e una unci´on adi i a y desde un pun o de is a conse ado , se p oponen la soluciones u ili a ias de comp omiso (SUC) pa a p oblemas mul i- obje i o con in o maci´on pa cial. En nues o modelo, la in o maci´on pa cial se ep esen a median e un conjun o de in o maci´on poli´ed ico o mado po los pesos de los obje i os que se pueden conside a en la unci´on u ili a ia. P esen amos ambi´en la ca ac e izaci´on de la SUC pa a p oblemas lineales mul i- obje i o median e la esoluci´on de un p oblema escala lineal. El es o del abajo se es uc u a como sigue: En la Secci´on 2 se o maliza el modelo lineal con inuo de op imizaci´on mul i-objec i o y se definen o malmen e las soluciones SUC. En la Secci´on 3 se es udian algunas p opiedades que cumple dicha soluci´on. Finalizamos el abajo con unos comen a ios a modo de conclusiones. 2.- Soluciones u ili a ias de comp omiso en p oble- mas mul i-obje i o con in o macion pa cial Conside emos un p oblema de op imizaci´on con sobje i os que eflejan los p op´osi os di e en es del agen e deciso . Es e p oblema lo ep esen amos en su o ma gene al como sigue: max z = (x)=[ 1(x),... , (x),... , s(x)] s. :x∈Ω donde Ω es el conjun o ac ible en el espacio de decisi´on, Ω ⊆IR n, que conside amos compac o, comp ehensi o y con exo, y es una unci´on, :IR n→IR s, donde , =1,2,... ,s, son unciones obje i o con inuamen e di e enciables. Asumimos, sin p´e dida de gene alidad, que odos los obje i os son de maximizaci´on. Si conside - amos p oblemas lineales mul i-obje i o, en onces , =1,2,... ,s, son unciones lineales de xyΩy (Ω) = {z∈IR s|z= (x),x∈Ω}son conjun os poli´ed icos. Rec @184 Vol.10 (2009) Hinojosa M.A., M´a mol, A.M. Un p oblema mul i-obje i o (PMO) lo deno amos po un pa (Ω, ). Un pun o x∈Ω se denomina una soluci´on ac ible del p oblema. Se a a de selecciona un subconjun o de soluciones ac ibles (p e e iblemen e una ´unica) que sea conside ada deseable po el agen e deciso o po el g upo de agen es deciso es. El equisi o de Pa e o-op imalidad es b´asico pa a las soluciones en los p oblemas mul i-obje i o. Una soluci´on ac ible es Pa e o-´op ima si los alo es de los obje i os no pueden mejo a se componen e a componen e.3 Definici´on 2.1. Una soluci´on ac ible x∗∈Ω es Pa e o-´op ima o eficien e si no exis e o a, x∈Ω, al que (x)> (x∗) pa a odo =1,... ,s. Una soluci´on ac ible x∗∈Ω es ue emen e Pa e o-´op ima o ue emen e eficien e si no exis e ninguna o a soluci´on ac ible , x∈Ω, al que (x)≥ (x∗) pa a odo =1,... ,s, con al menos una desigualdad es ic a. Pa a cada PMO (Ω, ), el conjun o de soluciones Pa e o-´op imas ( ue emen e Pa e o-´op imas) lo deno amos po PO(Ω, )(FPO(Ω, )). En la li e a u a hay dis in os p ocedimien os pa a gene a soluciones eficien es ( e , po ejemplo, Chankong y Haimes(1983) y Yano y Sakawa(1989)). La escala - izaci´on median e una suma ponde ada es uno de los mas ex endidos. No obs an e, en la p ´ac ica, el conjun o de soluciones eficien es de un PMO suele con ene de- masidas al e na i as pa a pe mi i al agen e deciso ealiza la elecci´on de la m´as p e e ida. En nues o con ex o, asumi emos inicialmen e que las p e e encias del agen e deciso (o agen es deciso es) se pueden ep esen a po una unci´on adi- i a4,λ· (x)=s =1 λ (x), y po lo an o, es posible selecciona soluciones eficien es maximizando una unci´on lineal de las unciones obje i o. En es e caso, los pa ´ame os, λ , se pueden in e p e a como pesos de impo ancia de los obje i os y el conjun o comple o de soluciones Pa e o-op imas puede gene a se conside ando odos los pesos en el IRs-simplex ∆s−1=λ∈IR s +|s =1 λ =1 . Cuando se puede de e mina un ´unico ec o de pesos, λ∈∆s−1,elPMO es un p oblema con in o maci´on comple a y se ep esen a po la e na (Ω, ,λ). Resol iendo el p oblema ponde ado co espondien e se ob iene un subconjun o de pun os eficien es (en muchos casos un ´unico pun o). La soluci´on ob enida, que se define o malmen e a con inuaci´on, se denomina soluci´on u ili a ia. Definici´on 2.2. La soluci´on u ili a ia, Su, selecciona pa a cada p oblema (Ω, ,λ) el conjun o Su(Ω, ,λ) = a g max x∈Ωλ· (x). Ejemplo 2: Conside emos dos p oblemas bi-obje i o con in o maci´on comple a, (Ω, ,λ 1)y(Ω, ,λ 2). En el p ime o, el p ime obje i o se conside a el doble de impo an e que el segundo, es deci , λ1=(2/3,1/3) , y en el segundo se da la misma impo acia a ambos obje i os, es deci , λ2=(1/2,1/2) . En onces 3Usa emos el ´e mino Pa e o-´op imo y ambi´en el ´e mino eficien e pa a e e i nos a las solu- ciones en el espacio de decisi´on, Ω. Cuando no haya luga a con usi´on, usa emos ambi´en el ´e mino eficien e pa a e e i nos a los co espondien es alo es en el espacio de obje i os. 4Dados z1,z 2∈IR s, deno amos po z1·z2al p oduc o escala de z1yz2, es deci , z1·z2= s =1 z1 z2 . Rec @185 Vol.10 (2009) Soluciones u ili a ias de comp omiso ... Su(Ω, ,λ 1) = a g max x∈Ω{(2/3) 1(x)+(1/3) 2(x)}, Su(Ω, ,λ 2) = a g max x∈Ω{(1/2) 1(x)+(1/2) 2(x)}. En la Figu a 6 se ep esen an las soluciones a dichos p oblemas en el espacio de obje i os. 2 1(x)+ 2(x)=K 1(x) (Ω) Su(Ω, ,(2/3,1/3)) Su(Ω, ,(1/2,1/2)) 1+ 2=T Figu a 6: Soluci´on u il a ia. 2(x) Sin emba go, el p oblema de la de e minaci´on de los pesos dis a bas an e de se i ial. De aho a en adelan e amos a conside a si uaciones en las que la impo an- cia de los obje i os no es a es ablecida de mane a p ecisa, pe o el agen e deciso es capaz de p opo ciona un conjun o de in o maci´on en el que deben es a los pesos de los obje i os. Sea Λ un polied o de pesos que ep esen a la in o maci´on disponible sob e la impo ancia de los obje i os, Λ ⊆∆s−1.Unp oblema mul i-obje i o con in o maci´on pa cial es una e na (Ω, ,Λ). En es e ipo de p oblemas con in o maci´on pa cial, amos a ex ende la noci´on de soluci´on u ili a ia definiendo una soluci´on de comp omiso, que es ´a basada en la siguien e elaci´on de dominancia en el espacio de obje i os. Definici´on 2.3. Dados z1,z2∈IR s,z1domina a z2con espec o a la elaci´on de dominancia Λ,z1Λz2,simin λ∈Λλ·z1>minλ∈Λλ·z2. Definici´on 2.4. El pun o z∗∈ (Ω) es no dominado espec o a Λsi no exis e o o, z∈ (Ω), que lo domine con espec o a dicha elaci´on. Definici´on 2.5. La soluci´on u ili a ia de comp omiso, Suc, selecciona pa a cada p oblema (Ω, ,Λ) los pun os ac ibles co espondien es a las soluciones no domi- nadas espec o de Λ, es deci , Suc(Ω, ,Λ) = a g max x∈ΩmΛ(x), donde mΛ(x) = minλ∈Λλ· (x). Sean λ1,λ 2, ... ,λ k,los pun os ex emos del polied o Λ. En el siguien e esul ado se p ueba que la elaci´on de dominancia Λpuede es ablece se en unci´on de los pun os ex emos del polied o Λ. P oposici´on 2.6. z1Λz2si, y solo si, minh=1,... ,k{λh·z1}>minh=1,... ,k{λh·z2}. Rec @186 Vol.10 (2009) Hinojosa M.A., M´a mol, A.M. Demos aci´on: Vamos a p oba que minh=1,... ,k{λh·z}= minλ∈Λλ·z. En p ime luga , es ´acil e que minh=1,... ,k{λh·z}≥minλ∈Λλ·z. Sea aho a λ∗∈Λ, al que λ∗·z= minλ∈Λλ·z. Se cumple λ∗=k i=1 αiλi, con 0 ≤αi≤1y k i=1 αi= 1. Po an o, λ∗·z=k  i=1 αiλi·z= k  i=1 αiλi·z≥ k  i=1 αimin h=1,... ,k{λh·z}= min h=1,... ,k{λh·z}. De donde se sigue la igualdad. ✷ Como consecuencia, se ob iene una ep esen aci´on al e na i a de la unci´on mΛ, como mΛ(x) = min{λ1· (x),λ 2· (x),... ,λ k· (x)}. Como se comen ´o en el Ejemplo 1, en el caso de m´axima in o maci´on sob e los pesos de impo ancia de los obje i os, cuando el conjun o de in o maci´on consis e en un ´unico ec o de pesos, la SUC coincide con la soluci´on u ili a ia. En el caso en que no hay ninguna in o maci´on sob e dichos pesos de impo ancia, el conjun o de in o maci´on consis e en odos los pesos posibles en el simplex s-dimensional, ya que la ausencia de in o maci´on no pe mi e desca a ninguno. En es e caso la SUC coincide con la soluci´on maxim´ın del p oblema mul iobje i o. En es e sen ido la SUC se conside a un comp omiso en e la soluci´on u ili a ia y la noci´on iguali a ia que subyace en la soluci´on maximin. Obs´e ese que dicho comp omiso puede o za se pa a que sea un comp omiso en e la soluci´on maximin ponde ada po el ec o py la soluci´on u ili a ia. Es e ec o p ep esen a la di- ecci´on que di ige la soluci´on maximin ponde ada con la que coincide la SUC en ausencia de in o maci´on. Puede conside a se como una ponde aci´on a p io i que de e mina el ayo en el que confluyen las cu as de ni el lineales a ozos que di igen la SUC. Dado un ec o de componen es es ic amen e posi i as, p, que llama e- mos de ponde aci´on a p io i, el concep o de soluci´on u ili a ia de comp omiso puede gene aliza se de la siguien e o ma: Definici´on 2.7. La soluci´on u ili a ia de comp omiso con ponde aci´on a p io i p, que deno amos po Sp uc(Ω, ,Λ), es pa a cada p oblema (Ω, ,Λ) Sp uc(Ω, ,Λ) = a g max x∈Ωmp Λ(x), donde mp Λ(x) = min λ1· (x) λ1·p,λ2· (x) λ2·p,... ,λk· (x) λk·p. Ejemplo 1 (Con inuaci´on): Supongase que en el modelo de p oducci´on con ince - udumb e sob e los p ecios del Ejemplo 1, el agen e deciso quie e que la p oducci´on se man enga en el a io que se iene haciendo en campa˜nas an e io es, dos unidades del p oduc o 1 po cada unidad p oducida del p oduc o 2, a no se que la in o - maci´on imp ecisa sob e los p ecios de me cado aconseje o a cosa. Po an o, la a io p=(2,1) se conside a una ponde aci´on a p io i, que debe espe a se en ausen- cia de in o maci´on. En la Figu a 7 se obse a c´omo con el mismo conjun o de in o maci´on p opues o en el Ejemplo 1, que ep esen a los posibles p ecios que el me cado puede abso be , la u ilizaci´on de la SUC no aconseja modifica , en es e ejemplo, el a io de p oducci´on p=(2,1). Rec @187 Vol.10 (2009) Soluciones u ili a ias de comp omiso ... ac ibles poli´ed icos y unciones obje i o lineales, la SUC se ob iene simplemen e me- dian e la esoluci´on de un p oblema lineal uni-obje i o. En pa icula , la u ilizaci´on de es as soluciones apun an en ajas en los modelos de An´alisis En ol en e de Da os (DEA) de ca a a es ablece pun os de e e encia mas ealis as que engan en cuen a las p e e encias pa cialmen e especificadas po un deciso o po los miemb os de un g upo de deciso es. En e los incon enien es de la SUC, amos a des aca que es a soluci´on, al igual que el es o de las soluciones basadas en nociones u ili a ias, no cumple una p opiedad deseable en de e minadas si uaciones, la Mono on´ıa. Es a p opiedad e- quie e que si se ampl´ıa el conjun o ac ible en un PMO, en la soluci´on del p oblema con egi´on ac ible mayo debe ´ıan pode se encon a soluciones ac ibles con o- dos los obje i os mejo es o iguales. La Figu a 8 ilus a el hecho de que la SUC no sa is ace la p opiedad de mono on´ıa. Obs´e ese que cuando el conjun o ac ible se ampl´ıa, el segundo obje i o alcanza alo es mas bajos en odos los pun os que p opo ciona la SUC. Sp uc(Ω, ,Λ) Figu a 14: Sp uc no es mon´o ona 1(x) Sp uc(Ω, ,Λ) p (Ω) 2(x) Ag adecimien os: Es a in es igaci´on ha sido pa cialmen e financiada po el p oyec o SEJ2007-62711 del Minis e io de Ciencia y Tecnolog´ıa y po el p oyec o de la Con- seje ´ıa de Inno aci´on de la Jun a de Andaluc´ıa P06-SEJ-01801. 5.- Re e encias •Ca izosa E., Conde E., Fe n´andez F.R., Pue o J.(1995). Mul i-c i e ia analy- sis wi h pa ial in o ma ion abou he weigh ing coefficien s. Eu opean Jou nal o Ope a ional Resea ch Vol. 81, n.22, pp. 291-301. •Chankong V., Haimes Y.Y. 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