Hiperciclicidad e hiperciclicidad frecuente

Trabajo Fin de Grado HIPERCICLICIDAD E HIPERCICLICIDAD FRECUENTE 22 de junio de 2022 Pablo Acuaviva Huertos Universidad de Sevilla Departamento de An´alisis Matem´atico Directores: Mar´ıa del Carmen Calder´on Moreno Jos´e Antonio Prado Bassas ´ Indice general Introducci´on 3 1. Preliminares 7 1.1. Propiedades topol´ogicas b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. EspaciosdeBaire......................... 9 1.3. Espacios de Fr´echet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. El espacio H(C) y el teorema de Runge . . . . . . . . . . . . . 21 1.5. Espacios de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. Sistemas din´amicos e hiperciclicidad 25 2.1. Sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Hiperciclicidad y sucesiones de operadores . . . . . . . . . . . 28 2.3. Aplicaciones transitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4. Transitividad en sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5. Introducci´on al Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Hiperciclicidad lineal 39 3.1. Sistemas din´amicos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2. Transitividad en sistemas din´amicos lineales . . . . . . . . . . 42 3.3. Propiedades de los sistemas din´amicos lineales . . . . . . . . . 45 3.3.1. Independencia en vectores hiperc´ıclicos . . . . . . . . . 51 4. Criterios de hiperciclicidad 53 4.1. Primeros Criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 iii iv ´ INDICE GENERAL 4.2. Criterio de Hiperciclicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3. Hiperciclicidad para sucesiones de operadores . . . . . . . . . 60 5. Operadores frecuentemente hiperc´ıclicos 63 5.1. Introducci´on............................ 63 5.2. Criterio de Hiperciclicidad Frecuente . . . . . . . . . . . . . . 67 5.3. Similitudes y diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3.1. Similitudes ........................ 74 5.3.2. Diferencias......................... 76 Bibliograf´ıa 79 Abstract This work serves as an introduction to hypercyclicity, focusing on hypercyclicity in linear dynamical systems, with a detour to chaotic systems and hypercyclicity for sequences. We include a compendium of some of the most relevant developments in the field. The work finishes with a brief overview of frequent hypercyclicity, its similarities and differences with the original concept of hypercyclicity. Resumen Este trabajo sirve como introducci´on a la hiperciclicidad de aplicaciones, centr´andose principalmente en el caso de sistemas lineales y con un breve resumen de sistemas ca´oticos e hiperciclicidad en sucesiones de funciones. Se incluye una recopilaci´on de algunos de los resultados m´as importantes en esta rama. Para finalizar, se introduce el concepto de hiperciclicidad frecuente y se estudian las similitudes y diferencias con la hiperciclicidad. Introducci´on “Chaos theory, a more recent invention, is equally fertile ground for those with a bent for abusing sense. It is unfortunately named, for ‘chaos’ implies randomness. Chaos in the technical sense is not random at all. It is completely determined, but it depends hugely, in strangely hard-to-predict ways, on tiny differences in initial conditions.” (Richard Dawkins [23]— Science in the Soul: Selected Writings of a Passionate Rationalist) El caos en un sistema implica que este se comporta de manera irregular y dif´ıcil de predecir. Su comportamiento se ve alterado en gran medida por peque˜nas perturbaciones. Uno de los elementos m´as importantes del caos es la existencia de puntos hiperc´ıclicos, es decir, puntos que visitan todo el espacio. Generalmente el caos ha sido relacionado con sistemas no lineales, ya que se ha pensado que los sistemas lineales se comportan de manera simple y f´acil de predecir. Sin embargo, hoy sabemos que dicha afirmaci´on es falsa. En 1929 G.D. Birkhoff [13] obtuvo una funci´on entera en el plano complejo tal que su conjunto de trasladadas es denso en el espacio de funciones enteras. Posteriormente, en 1952, MacLane [40] obtuvo un resultado similar para el operador derivada y, en 1969, S. Rolewicz [48] prob´o otro resultado semejante para shifts lineales. En efecto, los sistemas lineales exhib´ıan una de las condiciones principales para el caos. En 1991 G. Godefroy y J.H. Shapiro [30] propusieron la defi- 3 4INTRODUCCI´ ON nici´on de Devaney para caos y probaron que los tres operadores anteriores eran, de hecho, ca´oticos en este sentido. Desde entonces, el estudio de la hiperciclicidad y el caos en sistemas lineales ha experimentando una gran explosi´on, dando lugar a resultados sorprendentes. En este trabajo nos centraremos principalmente en uno de los aspectos necesarios del caos, la hiperciclicidad. El Cap´ıtulo 1 servir´a para tratar las herramientas necesarias a lo largo del trabajo. Recordaremos algunos resultados elementales de Topolog´ıa y An´alisis Complejo. Adem´as, se introducir´an los conceptos de An´alisis Funcional necesarios para el resto de cap´ıtulos. En el Cap´ıtulo 2, nos encaminamos al trabajo propiamente dicho. Introducimos los conceptos de hiperciclicidad, tanto en sistemas din´amicos como en un ´ambito general para sucesiones de aplicaciones. Se expondr´a brevemente la noci´on de transitividad y su relaci´on con la hiperciclicidad, obteniendo as´ı un primer criterio para la hiperciclicidad. Finalmente, se tratar´a la definici´on de caos de Devaney y se dar´an algunos ejemplos de sistemas ca´oticos. A partir del Cap´ıtulo 3, nos centraremos en sistemas din´amicos lineales. Introduciremos el concepto y veremos c´omo los tres operadores cl´asicos son hiperc´ıclicos. Se estudiar´an diversas propiedades de los sistemas din´amicos lineales, llegando, entre otros resultados, al celebrado Teorema de Ansari. Asimismo, probaremos que, en sistemas lineales, la hiperciclicidad y, por tanto, el caos, son fen´omenos exclusivos de los espacios infinito-dimensionales. Continuamos en el Cap´ıtulo 4 con los distintos criterios existentes para la hiperciclicidad en el caso lineal. Seguiremos una l´ınea ligeramente distinta al desarrollo hist´orico, que nos servir´a para encajar adecuadamente los criterios y ver como estos pueden surgir uno tras otro. Comenzaremos con el criterio de Godefroy-Saphiro y seguiremos por los diferentes criterios hasta alcanzar el famoso Criterio de Hiperciclicidad en una de sus versiones m´as conocidas. Finalmente, para concluir el trabajo, en el Cap´ıtulo 5 se dar´an unas peque˜nas pinceladas sobre hiperciclicidad frecuente. Propiedad que indica que existen puntos en el sistema que no solamente visitan el espacio al completo, INTRODUCCI´ ON 5 sino que lo hacen frecuentemente. Veremos que los tres operadores cl´asicos son, de hecho, frecuentemente hiperc´ıclicos. Se expondr´a el Criterio de Hiperciclicidad Frecuente como an´alogo al Criterio de Hiperciclicidad previamente estudiado. Para concluir, se mencionaran brevemente algunas similitudes y diferencias entre ambos conceptos. 12 1.2. ESPACIOS DE BAIRE Lema 1.2.8 (Cantor).Sea Xun espacio m´etrico completo, y F1⊇F2⊇. . . una sucesi´on decreciente de cerrados no vac´ıos. Tal que D(Fi):= sup{d(x, y):x, y ∈Fi} → 0 (i→ ∞). Entonces existe x∈Xtal que T∞ i=1 Fi={x}. Demostraci´on. Primero notamos que la intersecci´on puede ser a lo sumo un ´unico elemento, ya que, en caso contrario, tendr´ıamos d(x1, x2)>0, en contra de la suposici´on D(Fi)→0. Basta ver que la intersecci´on es no vac´ıa. Seleccionamos xi∈Fi, claramente la sucesi´on es de Cauchy ya que para i, j ≥Nse tiene d(xi, xj)≤D(FN)→0 porque xi, xj∈FN. Por tanto, la sucesi´on es convergente a cierto x, pero como xi∈Fjpara todo i≥jyFj es cerrado tenemos que x∈Fjpara todo jcon lo que x∈T∞ i=1 Fi. Ya podemos probar el teorema. Teorema 1.2.9 (Teorema de Categor´ıa de Baire).Sea Xun espacio m´etrico completo, entonces Xes de Baire. Demostraci´on. Primero vamos a ver que las caracterizaciones enunciadas anteriormente son equivalentes. Sea (An) una sucesi´on de conjuntos diseminados. Se tiene que (An) es un sucesi´on de cerrados diseminados, por lo que es suficiente probar que toda uni´on cerrada de conjuntos diseminados tiene interior vac´ıo. Tomando complementarios esto es equivalente a probar que la intersecci´on de abiertos densos es densa. Vamos a probar que la intersecci´on de abiertos densos es densa. Sea (Un) una sucesi´on de abiertos densos y sea V⊂Xun abierto no vac´ıo cualesquiera. Consideramos una sucesi´on (an) que tienda a 0. Tenemos U1∩Ves un abierto no vac´ıo y podemos encontrar B(x1, r1)⊂U1∩Vpara cierto x1∈Xy 0< r1< a1. De la misma forma, B(x1, r1)∩U2es no vac´ıo por lo que podemos encontrar B(x2, r2)⊂B(x1, r1)∩U2para cierto x2∈Xy 0 < r2< a2. Siguiendo este procedimiento podemos encontrar una sucesi´on (B(xn, rn)) con rn→0. Aplicando el lema de Cantor existe x∈T∞ n=1 B(xn, rn) o, lo que es lo mismo, la intersecci´on V∩T∞ n=1 Unes no vac´ıa. 1.3. ESPACIOS DE FR´ ECHET 13 Para la elecci´on de las bolas estamos utilizando una versi´on d´ebil del Axioma de Elecci´on, el Axioma de Elecci´on Dependiente. De hecho, se ha probado que en teor´ıa de conjuntos con los axiomas de Zermelo–Fraenkel (ZF) este axioma es equivalente al teorema de Categor´ıa de Baire. Sin embargo, existe una prueba que no requiere de este axioma si se pide adem´as que X sea separable, como sucede en nuestro caso. 1.3. Espacios de Fr´echet Para los sistemas que estudiaremos posteriormente ser´a necesario ampliar m´as all´a de los espacios de Banach y Hilbert. En particular, necesitaremos hacer uso de espacios de Fr´echet, que permiten definir topolog´ıas sobre espacios vectoriales m´as generales. Comenzamos definiendo la noci´on de seminorma. Definici´on 1.3.1. Sea una funci´on p:X→R+sobre un espacio vectorial Xsobre K. Se dice que pes una seminorma si: (a) p(x+y)≤p(x) + p(y)∀x, y ∈X, (b) p(λx) =|λ|p(x)∀x∈X, ∀λ∈K. Definici´on 1.3.2. Sea Xun espacio vectorial y (pn)una familia de seminormas, decimos que (pn)es creciente si pm(x)≥pn(x)para todo m≥n y todo x∈X. Decimos adem´as que la familia es separadora si pn(x) = 0 para todo n∈Nimplica x= 0. Notemos que dada cualquier familia de seminormas (pn) siempre podemos suponer que sea creciente sin m´as que tomar pn= m´axk≤npn. Con esto ya podemos definir nuestro nuevo tipo de espacio. Definici´on 1.3.3. Un espacio de Fr´echet es un espacio vectorial X, con una familia de seminormas (pn)creciente y separadora, cuya topolog´ıa est´a generada por la m´etrica dada por d(x, y) = ∞ X n=1 1 2nm´ın(1, pn(x−y)), x, y ∈X. 14 1.3. ESPACIOS DE FR´ ECHET Se puede demostrar que Xes completo y localmente convexo a partir de la m´etrica dada. A efectos de este trabajo procederemos asumiendo que este el caso. Est´a claro que la m´etrica definida es invariante por traslaciones, es decir, d(x, y) = d(x+z, y +z) para todo x, y, z ∈X. Veamos algunas propiedades de estos espacios. Proposici´on 1.3.4. Sea Xun espacio de Fr´echet. Sean (xk)⊂X,x∈X. Se tiene: (a) xk→xsi y solo si pn(xk−x)→0cuando k→ ∞ para todo n≥1. (b) (xk)es de Cauchy si y solo si pn(xk−xl)→0cuando k, l → ∞ para todo n≥1. Demostraci´on. (a) Sabemos que xk→x. Pero esto es equivalente a d(xk, x)→0, lo que ocurre si y solo si P∞ n=1 1 2nm´ın(1, pn(xk−x)) →0 si y solo si pn(xk−x)→ 0 para todo n≥1. (b) Sabemos que (xk) es Cauchy. Equivalentemente d(xk, xl)→0, que se tiene si y solo si P∞ n=1 1 2nm´ın(1, pn(xk−xl)) →0 si y solo si pn(xk−xl)→ 0 para todo n≥1. Definici´on 1.3.5. Sea Xun espacio de Fr´echet. Definimos la n-bola,n≥1 de radio ε > 0como la bola generada por la seminorma pn, es decir, Bn(x, ε):={y∈X:pn(y−x)< ε}. 1.3. ESPACIOS DE FR´ ECHET 15 Proposici´on 1.3.6. Sea Xun espacio de Fr´echet y dado ε > 0se tiene: (a) Bn(x, ε)⊂Bm(x, ε)si n≥m, (b) T∞ n=1 Bn(x, ε)⊆B(x, ε), (c) Existe ε1>0yn≥1tal que Bn(x, ε1)⊂B(x, ε), (d) Dado n≥1existe ε2>0tal que B(x, ε2)⊂Bn(x, ε). Demostraci´on. Las dos primeras proposiciones son inmediatas a partir de las definiciones. Las dos siguientes son consecuencia de las posibles cotas a la distancia d(x, y) = ∞ X j=1 1 2jm´ın(1, pj(y−x)). Para (c), dividiendo, se tiene d(x, y) = n X j=1 1 2jm´ın(1, pj(y−x)) + ∞ X j=n+1 1 2jm´ın(1, pj(y−x)), que podemos acotar d(x, y)≤pn(y−x) + 1 2n, de donde dado ε > 0 existe n≥1 tal que 1 2n< ε/2 y, tomando ε1=ε/2, se tiene Bn(x, ε/2) ⊆B(x, ε). Para (d), dividiendo, se obtiene d(x, y) = n−1 X j=1 1 2jm´ın(1, pj(y−x)) + ∞ X j=n 1 2jm´ın(1, pj(y−x)), que podemos acotar d(x, y)≥0 + 1 2nm´ın(1, pn(y−x)), dado ε > 0, n ≥1 podemos seleccionar ε2= m´ın( ε 2n+1 ,1 2n+1 ) con lo que d(x, y)<1 2nsi y∈B(x, ε2) y tenemos d(x, y)≥1 2npn(y−x), con lo que B(x, ε2)⊆B(x, ε). 16 1.3. ESPACIOS DE FR´ ECHET Proposici´on 1.3.7. Sea Xun espacio de Fr´echet, un punto x∈X, y un abierto no vac´ıo U⊂X. Entonces Ues un entorno de xsi y solo si existe n≥1yε > 0tal que Bn(x, ε)⊂U. Demostraci´on. Ues un entorno si y solo si existe ε > 0 tal que B(x, ε)⊂U. Pero esto es inmediato a partir de las dos ´ultimas proposiciones. Nos interesa, adem´as, poder tratar de manera similar estos espacios a los espacios de Banach, con los que existe mayor familiaridad. Por tanto, definiremos los siguientes conceptos. Definici´on 1.3.8. Sea Xun espacio de Fr´echet, definimos su F-norma como ∥x∥:=∞ X n=1 1 2nm´ın(1, pn(x)), x ∈X, con lo que d(x, y) =∥x−y∥y∥x∥=d(x, 0). Este operador sobre Xno es una norma como solemos entenderla en espacios de Banach, sin embargo, presenta propiedades muy similares que nos permiten trabajar en muchas ocasiones como si tuvi´esemos una norma. Proposici´on 1.3.9. Sea Xun espacio de Fr´echet, y sean x, y ∈X,λ∈K. Se tiene para su F-norma (a) ∥x+y∥ ≤∥x∥+∥y∥, (b) ∥λx∥ ≤∥x∥si |λ| ≤ 1, (c) l´ımλ→0∥λx∥= 0, (d) ∥x∥= 0 si y solo si x= 0. 1.3. ESPACIOS DE FR´ ECHET 17 Demostraci´on. (a) Tenemos que ∥x+y∥=∞ X n=1 1 2nm´ın(1, pn(x+y)) ≤∞ X n=1 1 2nm´ın(1, pn(x) + pn(y)) ≤∞ X n=1 1 2n(m´ın(1, pn(x)) + m´ın(1, pn(y))) ≤∞ X n=1 1 2nm´ın(1, pn(x)) + ∞ X n=1 1 2nm´ın(1, pn(y)) =∥x∥+∥y∥. (b) Si |λ| ≤ 1 operando ∥λx∥=∞ X n=1 1 2nm´ın(1, pn(λx)) =∞ X n=1 1 2nm´ın(1,|λ|pn(x)) ≤∞ X n=1 1 2nm´ın(1, pn(x)) =∥x∥. (c) Basta notar que todos los sumandos en la expresi´on anterior tienden a 0 si λ→0 y ver que es posible cambiar l´ımites. (d) Es inmediato del hecho de que la familia de seminormas es separadora. Tenemos, adem´as, la siguiente proposici´on, que nos permite acotar por la F-norma de una manera parecida a las cotas con la norma. Proposici´on 1.3.10. Sea Xun espacio de Fr´echet, y sean x∈X,λ∈Kse tiene ∥λx∥ ≤ (1 +|λ|)∥x∥. 18 1.3. ESPACIOS DE FR´ ECHET Demostraci´on. Sea λ=reθπi podemos escribir λ=eθπi +···+eθπi | {z } ⌊r⌋ +(r−⌊r⌋)eθπi. Con lo que tenemos ∥λx∥=  ((eθπi +···+eθπi)+(r−⌊r⌋)eθπi)x   ≤(∥x∥+···+∥x∥) +∥x∥= (1 + |λ|)∥x∥ ≤(1 +|λ|)∥x∥. Nos interesar´a estudiar aplicaciones en estos espacios. En particular, nos interesan aplicaciones lineales. Definici´on 1.3.11. Sea Xun espacio de Fr´echet, diremos que T:X→X es un operador si Tes una aplicaci´on lineal y continua. Queremos ahora una caracterizaci´on que nos permita distinguir operadores. La siguiente proposici´on es una extensi´on natural de la caracterizaci´on para espacios de Banach e Hilbert. Proposici´on 1.3.12. Sean XeYdos espacios de Fr´echet con familias de seminormas (pn)y(qm)respectivamente. Una aplicaci´on lineal T:X→Y es un operador si y solo si para todo m≥1existe ny un M > 0tal que qm(Tx)≤Mpn(x), x ∈X. Demostraci´on. Veamos primero que la condici´on es suficiente, sea (xk) una sucesi´on tal que xk→x. Fijemos m≥1, tenemos que existe N≥1 y Mtal que qm(Txk−Tx)≤Mpn(xk−x) pero entonces para todo n≥N, al ser la familia de seminormas creciente qm(Txk−Tx)≤Mpn(xk−x)→0 (k→ ∞) 1.3. ESPACIOS DE FR´ ECHET 19 con lo que Txk→Tx en Y. Veamos ahora que la condici´on es necesaria. Sea m≥1, consideramos la bola Bm(0,1), por continuidad debe existir un entorno del 0 ∈U⊂Xtal que T(U)⊂Bm(0,1), o lo que es lo mismo, existe n≥1 y ε > 0 tal que si x∈Bn(0, ε) entonces Tx ∈Bm(0,1). Sea x∈X, entonces para cualquier δ > 0 se tiene ε pn(x) + δx∈Bn(0, ε), y, por tanto, qm(Tx)<pn(x) + δ ε, ya que δes arbitrario, basta tomar M= 1/ε. Para finalizar esta secci´on, notar que existen espacios m´as generales a los que podr´ıamos extender nuestros resultados. Definici´on 1.3.13. Un espacio vectorial topol´ogico es un espacio vectorial Xdotado de una topolog´ıa Ttal que: 1. Todo punto x∈Xes cerrado. 2. Las operaciones del espacio (suma y producto por escalar) son continuas respecto de la topolog´ıa. Para poder hablar de los distintos tipos de espacios vectoriales topol´ogicos debemos introducir primero las siguientes definiciones. Definici´on 1.3.14. Sea Xun espacio vectorial topol´ogico. Un subconjunto E⊂Xse dice que es o est´a acotado si para todo entorno Udel 0 existe s > 0tal que E⊆tU para todo t>s. Definici´on 1.3.15. Sea Xun espacio vectorial topol´ogico. Una base local de Xes una familia Bde entornos del 0 tal que todo entorno del 0 contiene a un elemento de B. 20 1.3. ESPACIOS DE FR´ ECHET Notemos que en caso de que Xtenga una base local Blos abiertos de la topolog´ıa se corresponden con uniones de traslaciones de elementos de la base local B. Recordamos ahora que un conjunto C⊂Xse dice convexo si λC + (1 − λ)C⊆Cpara todo λ∈[0,1]. Definici´on 1.3.16. Sea Xun espacio vectorial topol´ogico. Diremos que X es localmente convexo si existe una base local Bcuyos miembros son convexos. Definici´on 1.3.17. Sea Xun espacio vectorial topol´ogico. Diremos que X es localmente acotado si el 0 contiene un entorno acotado. Definici´on 1.3.18. Sea Xun espacio vectorial topol´ogico. Diremos que X es localmente compacto si el 0 contiene un entorno cuya clausura es compacta. Definici´on 1.3.19. Sea Xun espacio vectorial topol´ogico. Diremos que X es metrizable si existe una m´etrica dque genere la topolog´ıa de X. Ya podemos concretar donde se encuentran los espacios de Fr´echet en el campo m´as general de espacios vectoriales topol´ogicos. Definici´on 1.3.20. Sea Xun espacio vectorial topol´ogico con topolog´ıa T. Diremos: 1. Xes un F-espacio si la topolog´ıa Test´a inducida por una m´etrica invariante por traslaciones. 2. Xes un espacio de Fr´echet si Xes un F-espacio localmente convexo. Se pueden caracterizar los F-espacios por la existencia de una F-norma tal que cumpla la Proposici´on 1.3.9. Asimismo, es posible demostrar que la equivalencia entre ambas definiciones de espacios de Fr´echet (generados por una familia creciente de seminormas o como F-espacios localmente convexos). Para m´as informaci´on sobre este tipo de espacios nos referimos a [35] o al libro Functional Analysis de Walter Rudin [50]. 1.4. EL ESPACIO H(C) Y EL TEOREMA DE RUNGE 21 Para finalizar, remarcar que algunos de los resultados de este trabajo pueden llegar a extenderse sin problema a estos espacios. Sin embargo, por simplicidad, generalmente nos limitaremos a enunciar los resultados en espacios de Fr´echet. 1.4. El espacio H(C)y el teorema de Runge Vamos a dar una breve introducci´on del espacio de funciones enteras en el plano complejo, que utilizaremos en numerosas ocasiones a lo largo del trabajo. En este caso, la noci´on natural de convergencia es la convergencia uniforme en todo conjunto compacto. Por tanto, no vamos a poder tener un espacio de Banach, sino que debemos definir nuestra convergencia a trav´es de una familia de seminormas, por ejemplo, mediante discos cerrados centrados en el origen. Tenemos as´ı la siguiente definici´on. Definici´on 1.4.1. Definimos el espacio de funciones enteras H(C):={f:C→C:fes entera}. Que es un espacio vectorial con la suma de funciones usual. Donde la topolog´ıa viene generada por la familia creciente de seminormas pn(f):= sup |z|≤nf(z). Ser´a necesario tambi´en el siguiente teorema de aproximaci´on [33, Anexo A]. Teorema 1.4.2 (teorema de Runge).Sea K⊂Cun compacto y Aun conjunto que contenga al menos un punto de cada componente conexo de ˆ C\K, donde ˆ C=C∪{∞}. Dada una funci´on entera fen un entorno de K, para todo ε > 0existe una funci´on racional hcon polos exclusivamente en puntos de Atal que sup z∈Kf(z)−h(z)< ε. 28 2.2. HIPERCICLICIDAD Y SUCESIONES DE OPERADORES Demostraci´on. Basta considerar x∈Xtal que Orb(x, T) sea densa, por la proposici´on anterior Orb(x, T)⊂HC(T) con lo que HC(T) es denso. Finalizamos la secci´on con un ´ultimo ejemplo. Ejemplo 2.1.8. Queremos encontrar una aplicaci´on Thiperc´ıclico tal que T2 no sea hiperc´ıclica. Consideramos el sistema (S1⊔S2, T)con S1=S2=S1,      T(s1) = (s1)2, s1∈S1, T(s2) = (Rα(s2))1, s2∈S2. Donde (·)iindica que se manda el elemento a la circunferencia Si. Tomamos αtal que Tes hiperc´ıclico, por ejemplo α=√2π. Es f´acil verificar que T2no puede ser hiperc´ıclico, ya que cualquier punto se mantiene en su componente conexa. 2.2. Hiperciclicidad y sucesiones de operadores Nada nos impide extender las nociones de sistemas din´amicos a un contexto m´as general. Podemos as´ı prescindir del requisito de que el espacio de partida y llegada sea al mismo. Debido a este requerimiento, es necesario cambiar el uso de una aplicaci´on Tpor el de una sucesi´on de aplicaciones (Tn). Definici´on 2.2.1. Dados dos espacios topol´ogicos XeYy una sucesi´on de aplicaciones continuas Tn:X→Y,n∈N0, se define la ´orbita de xcomo Orb(x, (Tn)) = {Tnx:n∈N0}. Diremos que xes hiperc´ıclico para la sucesi´on (Tn)si Orb(x, (Tn)) es denso en Y. Denotaremos por HC((Tn)) al conjunto de elementos hiperc´ıclicos de X, esto es, HC((Tn)) = {x∈X:Orb(x, (Tn)) es densa en Y}. 2.3. APLICACIONES TRANSITIVAS 29 Si HC((Tn)) es no vac´ıo diremos que la sucesi´on (Tn)es hiperc´ıclica. Notar que en este caso la Proposici´on 2.1.6 no es cierta, es decir, existen sucesiones hiperc´ıclicas tales que su conjunto de elementos hiperc´ıclicos no es denso. De hecho, podemos encontrar un contraejemplo f´acilmente. Ejemplo 2.2.2. Consideremos X=N0yT(n) = n+ 1 ∀n∈N. Est´a claro que x= 0 es hiperc´ıclico, pues Tn0 = n. Sin embargo, Tm(0) = m no es hiperc´ıclico para ning´un mya que nunca va a contener en su ´orbita a {0, . . . , m −1}. Veamos ahora algunos ejemplos. Ejemplo 2.2.3. (a) Tomemos X=Y=S1yT0=I,Tn=R2π/nTn−1, n≥1. Se puede ver que Tnno es hiperc´ıclico para ning´un npor el mismo razonamiento que el Ejemplo 2.1.4, pero la sucesi´on (Tn)es hiperc´ıclica ya que la suma 1 nes divergente. (b) En esta misma l´ınea, si X=Y=R, consideramos una numeraci´on {qn:n∈N)de Qy tomamos Tn(x) = qnest´a claro que Tnno es hiperc´ıclico para ning´un npero (Tn)s´ı lo es. En la siguiente secci´on veremos qu´e, pidiendo m´as estructura en nuestro espacio X, se pueden obtener condiciones adicionales sobre HC(T). Es m´as, sobre HC((Tn)) para una sucesi´on arbitraria. 2.3. Aplicaciones transitivas Proseguimos nuestro estudio con el concepto de transitividad que veremos que guarda una relaci´on estrecha con la hiperciclicidad. Definici´on 2.3.1. Sea Tn:X→Y,n∈N0, una sucesi´on de aplicaciones continuas entre espacios topol´ogicos. La sucesi´on (Tn)se dice que es topol´ogicamente transitiva o simplemente transitiva si para cualquier par de abiertos no vac´ıos U⊂XyV⊂Yexiste n≥0tal que Tn(U)∩V=∅. 30 2.3. APLICACIONES TRANSITIVAS Veamos ahora un resultado b´asico de las aplicaciones transitivas. Proposici´on 2.3.2. Sean X, Y dos espacios topol´ogicos y Tn:X→Y, n∈N0, una sucesi´on de aplicaciones continuas. Son equivalentes: (a) (Tn)es topol´ogicamente transitiva. (b) Para todo abierto no vac´ıo Ude Xel conjunto S∞ n=0 Tn(U)es denso. (c) Para todo abierto no vac´ıo Vde Yel conjunto S∞ n=0 T−1 n(V)es denso. Demostraci´on. (a) =⇒(b) Sea V⊂Xun abierto no vac´ıo, tiene que existir un n≥0 tal que Tn(U)∩V=∅con lo que S∞ n=0 Tn(U)∩V=∅. An´alogamente (b) =⇒(a). Para (c) basta observar que Tn(U)∩V=∅es equivalente a U∩T−1 n(V)= ∅y procedemos an´alogamente. Vamos a probar un primer criterio de hiperciclicidad para aplicaciones (y sucesiones de aplicaciones) transitivas. Teorema 2.3.3. Sea Xun espacio topol´ogico, Y un espacio topol´ogico segundo numerable, y una sucesi´on Tn:X→Y,n∈N0, de aplicaciones continuas. Se tiene que HC((Tn)) es un Gδ. Si Xes de Baire, son equivalentes las siguientes afirmaciones: (a) (Tn)es topol´ogicamente transitiva. (b) HC((Tn)) es un Gδdenso, en particular, (Tn)es hiperc´ıclica. (c) El conjunto {(x, Tnx):x∈X, n ∈N0}es denso en X×Y. Si adem´as Xes primer numerable, tambi´en son equivalentes: (d) Para cada x∈Xey∈Y, existe una sucesi´on (xk)en Xy una sucesi´on de enteros positivos (nk)tales que xk→xyTnkxk→ycuando k→ ∞. (e) Existen D⊂XyD′⊂Ydensos tales que para cada d∈D,d′∈D′ existe una sucesi´on (xk)y una sucesi´on de enteros positivos (nk)tales que xk→dyTnkxk→d′cuando k→ ∞. 2.3. APLICACIONES TRANSITIVAS 31 Demostraci´on. Comenzamos probando la primera parte del enunciado, sabemos que existe una base numerable {Vk}k≥0de la topolog´ıa de Y. Por consiguiente podemos escribir HC((Tn)) = ∞ \ k=0 ∞ [ n=0 T−1 n(Vk) = ∞ \ k=0 Hk, con Hk=S∞ n=0 T−1 n(Vk) abiertos, por lo que HC((Tn)) es un Gδ. Vamos a probar las 3 primeras equivalencias. (b) ⇐⇒ (a) Vemos primero (b) =⇒(a). Fijados U⊂XyV⊂Y, como HC((Tn)) es denso existe x∈U∩HC((Tn)) con lo que hay un ntal que Tnx∈Vy se tiene (a). Supongamos ahora que se cumple (a). Como antes escribimos, HC((Tn)) = ∞ \ k=0 Hk. Sabemos que cada conjunto Hkes abierto y denso. Como Xes de Baire tenemos que HC(T) es un Gδdenso. (b) ⇐⇒ (c) Supongamos (b). Fijado W⊂X×Yabierto, tenemos que existen U⊂X,V⊂Yabiertos tales que U×V⊂W. Al ser HC((Tn)) denso, existe x∈U∩H(Tn). Como x∈HC((Tn)) existe ntal que Tnx∈V, por lo que (x, Tnx)∈U×V⊂Wy el conjunto {(x, Tnx):x∈X, n ∈N} es denso. Supongamos ahora (c). Como Xes de Baire, basta probar que cada Hk es denso. Sea U⊂Xabierto, tenemos que U×Vk⊂X×Yes un abierto, por lo que podemos encontrar un x∈Xy un n≥0 tal que (x, Tnx)∈U×Vk, lo que implica que Hkes denso, es decir, tenemos (b). En cuanto a las ´ultimas equivalencias, es inmediato que se tienen las implicaciones (c) =⇒(d) =⇒(e). Falta probar (e) =⇒(a). Para ello, es suficiente probar que cada Hkes denso. Fijado U⊆Xun abierto, existen d∈D∩U, d′∈D′∩Vkcon lo que existe l∈N0tal que xl∈UyTnlxl∈Vk. As´ı, xl∈Uyxl∈Hk. Por tanto U∩Hk=∅y el conjunto Hkes denso. 32 2.3. APLICACIONES TRANSITIVAS En el Cap´ıtulo 4 profundizaremos en mayor medida en los diferentes criterios que se han establecido en las ´ultimas d´ecadas para tratar la hiperciclicidad en el ´ambito particular de las aplicaciones lineales. Cuando Y=Xpodemos obtener un resultado que nos liga directamente la transitividad y la hiperciclicidad. Teorema 2.3.4. Sean Xun espacio de Baire, segundo numerable y una sucesi´on de aplicaciones Tn:X→X,n∈N0, continuas que conmutan (i.e, TnTm=TmTn,n, m ≥1) con rango denso en X. Son equivalentes: (a) (Tn)es topol´ogicamente transitiva. (b) (Tn)es hiperc´ıclica. Demostraci´on. Est´a claro que (a) =⇒(b) por el resultado anterior. Supongamos ahora que se cumple (b), es decir, HC((Tn)) =∅. Sea x∈ HC((Tn)). Por ser Tkde rango denso y conmutar las aplicaciones se tiene Tk(Orb(x, Tn)) = {TkTnx:n≥0}=Orb(Tkx, Tn) es denso para todo k≥0. Es decir, Tkx∈HC((Tn)) para todo k≥01. Fijados ahora U, V abiertos no vac´ıos. Sabemos que debe existir n≥0 tal que Tnx∈U, pero como Tnxtambi´en es un vector hiperc´ıclico, se debe tener que existe un k≥0 tal que Tk(Tnx)∈Vy ya hemos terminado pues entonces Tk(U)∩V=∅. Corolario 2.3.5. Supongamos Xde Baire y segundo numerable. Si las aplicaciones Tn,n∈N0, conmutan y son invertibles, entonces (Tn)es hiperc´ıclica si y solo si (T−1 n)lo es. Demostraci´on. Basta observar que por la Proposici´on 2.3.2, (Tn) es transitiva si y solo si (T−1 n) tambi´en lo es, y aplicar el resultado. 1Notar que tenemos una especie de an´alogo m´as general a la Proposici´on 2.1.6, este hecho se cumple bajo las mismas condiciones para cualquier elemento Tn, cuando consideramos la sucesi´on de aplicaciones hiper´ındice. 2.4. TRANSITIVIDAD EN SISTEMAS DIN´ AMICOS 33 Para ilustrar la importancia del resultado anterior, vamos a terminar la secci´on con un ejemplo de una sucesi´on hiperc´ıclica que no es transitiva. Ejemplo 2.3.6. Sea (xn)una sucesi´on densa en R2y sea yn∈R2, n ≥1, vector de norma nortogonal a xn. Tomemos las aplicaciones Tn:R2→R2 dadas por Tn(α, β) = αxn+βyn. Est´a claro que los puntos de la forma (α, 0) son hiperc´ıclicos por construcci´on. Adem´as, son los ´unicos puntos hiperc´ıclicos posibles, ya que tan pronto β= 0 se tiene  Tn(α, β) =∥αxn+βyn∥=|α|∥xn∥+|β|∥yn∥→∞porque ∥yn∥ → ncuando n→ ∞ y son ortogonales. Por consiguiente HC((Tn)) = {(α, 0) :α∈R}y(Tn)es hiperc´ıclica y su conjunto de vectores hiperc´ıclicos en R2no es denso, luego no es transitiva. 2.4. Transitividad en sistemas din´amicos Consideremos ahora sistemas din´amicos. En este caso, el teorema anterior nos asegura el siguiente resultado. Teorema 2.4.1 (Teorema de Transitividad de Birkhoff).Sea (X, T)un sistema din´amico con Xun espacio T1segundo numerable, de Baire y sin puntos aislados. Son equivalentes: (a) Tes topol´ogicamente transitiva. (b) Tes hiperc´ıclica. Demostraci´on. Basta aplicar el resultado anterior a Tn=Tn, teniendo en cuenta que claramente conmutan y tienen rango denso (al no existir puntos aislados y ser T1). Una prueba alternativa puede conseguirse usando el Teorema 2.3.3 junto con la Proposici´on 2.1.6 siguiendo [9]. Al igual que con las sucesiones que conmutan, la hiperciclicidad se conserva a trav´es de la inversa. 34 2.5. INTRODUCCI´ ON AL CAOS Corolario 2.4.2. Bajo las condiciones anteriores, Tes hiperc´ıclica si y solo si T−1lo es. 2.5. Introducci´on al Caos Nos centramos ahora en la idea de caos. Utilizaremos la noci´on de caos introducida por Devaney en 1986 [25], que recoge las ideas que generalmente se entienden por dicho concepto. Para ello, debemos reducir nuestro estudio a sistemas din´amicos en espacios m´etricos sin puntos aislados. Comenzamos con la idea de efecto mariposa, es decir, que peque˜nos cambios en las condiciones iniciales pueden llevar a grandes cambios en las ´orbitas. “The flapping of a single butterfly’s wing today produces a tiny change in the state of the atmosphere. Over a period of time, what the atmosphere actually does diverges from what it would have done.” (Ian Steward [53]— Does God Play Dice?) Lo que motiva la siguiente definici´on. Definici´on 2.5.1. Sea (X, d)un espacio m´etrico sin puntos aislados. El sistema din´amico T:X→Xse dice que es sensible a las condiciones iniciales, o simplemente que es sensible, si existe δ > 0tal que para todo x∈Xy todo ε > 0, existe y∈Xtal que d(x, y)< ε pero d(Tnx, Tny)> δ para cierto n≥0. Denotaremos por δa la constante de sensibilidad. La siguiente condici´on es que la funci´on Tsea transitiva, lo que transmite la idea intuitiva de que el sistema sea irreducible, es decir, no se pueda separar ninguna parte del sistema. La ´ultima condici´on es que el sistema tenga un gran n´umero de ´orbitas peri´odicas, presentando as´ı dos comportamientos contrapuestos, por un lado, tiene puntos con comportamiento irregular y, por otro, tiene puntos con un comportamiento regular. Vamos a formalizar esta idea. 2.5. INTRODUCCI´ ON AL CAOS 35 Definici´on 2.5.2. Sea (X, T)un sistema din´amico. (a) Un punto x∈Xes un punto fijo si Tx =x. (b) Un punto x∈Xes peri´odico si existe un n≥1tal que Tnx=x. Llamamos per´ıodo de xal menor n∈Nque cumpla esta propiedad. El conjunto de puntos peri´odicos se denotar´a como Per(T). Ejemplo 2.5.3. (a) Tomando (X, Id)donde Id denota la identidad se tiene Per(Id) = X. (b) Si consideramos el sistema din´amico (S1, Rπ/2)es f´acil ver Per(Rπ/2) = S1. Ya tenemos todos los ingredientes para dar la definici´on de caos. Definici´on 2.5.4 (Caos de Devaney [25]).Sea (X, d)un espacio m´etrico sin puntos aislados. El sistema din´amico T:X→Xse dice que es ca´otico (en el sentido de Devaney) si satisface las siguientes condiciones: (a) Tes sensible a las condiciones iniciales. (b) Tes transitiva. (c) Ttiene un conjunto denso de puntos peri´odicos. Uno de los mayores problemas con esta definici´on es que la sensibilidad a las condiciones iniciales es, en un principio, dependiente de la m´etrica subyacente, incluso para m´etricas equivalentes. Ejemplo 2.5.5. Tomemos el sistema din´amico T:(1,∞)→(1,∞)dado por Tx = 2x. Si consideramos la distancia eucl´ıdea, tenemos que si x=y entonces |Tnx−Tny|= 2n|x−y| → ∞, por lo que tenemos sensibilidad a las condiciones iniciales. Sin embargo, si consideramos la m´etrica equivalente d(x, y) =log(x)−log(y)entonces d(Tnx, Tny) =log(2nx)−log(2ny)= log(x)−log(y)=d(x, y), y no tenemos sensibilidad a las condiciones iniciales. 36 2.5. INTRODUCCI´ ON AL CAOS Afortunadamente, la sensibilidad a las condiciones iniciales es redundante ya que puede ser deducida de las otras dos. Este sorprendente resultado fue probado en 1992 por los matem´aticos J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis y P. Stacey [2]. Comenzamos probando el siguiente lema auxiliar. Lema 2.5.6. Sea Xun espacio m´etrico sin puntos aislados y sea T:X→X una aplicaci´on continua con un conjunto denso de puntos peri´odicos. Existe un η > 0tal que para todo x∈Xexiste un punto peri´odico p∈Per(T)tal que d(x, Tnp)> η para cualquier n∈N. Demostraci´on. Como Xes un espacio m´etrico sin puntos aislados debe ser infinito. Por tanto podemos encontrar dos puntos p1, p2peri´odicos con ´orbitas disjuntas. Seleccionamos ηtal que 2η < m´ın{d(Tnp1, Tmp2):m, n ∈N}, que sabemos que existe ya que estamos considerando un conjunto finito de distancias. Sea ahora n∗, m∗∈Ntales que d(x, Tn∗p1) = m´ın{d(Tn∗p1, x):n∈N} y d(x, Tm∗p2) = m´ın{d(x, Tm∗p2):m∈N}. Si d(Tn∗p1, x)≤ηyd(x, Tm∗p2)≤η. Por la desigualdad triangular, d(Tn∗p1, Tm∗p2)≤d(Tn∗p1, x) + d(x, Tm∗p2)≤2η, lo que no es posible, por tanto o bien d(Tn∗p1, x) o d(x, Tm∗p2) es mayor que η, lo que concluye la prueba. Teorema 2.5.7 (Banks–Brooks–Cairns–Davis–Stacey).Sea Xun espacio m´etrico sin puntos aislados y sea T:X→Xuna aplicaci´on continua, transitiva y con un conjunto denso de puntos peri´odicos. Entonces Tes sensible a las condiciones iniciales para cualquier m´etrica que genere la topolog´ıa de X. 2.5. INTRODUCCI´ ON AL CAOS 37 Demostraci´on. Sea ηdel lema anterior. Vamos a demostrar que tenemos sensibilidad respecto a las condiciones iniciales con δ=η/4. Sea x∈Xy ε > 0. Como Per(T) es denso tenemos que existe q∈Per(T) tal que d(x, q)<m´ın(ε, δ). Denotemos por Nal per´ıodo de q. Adem´as, por el lema anterior, existe p∈Per(T) tal que d(x, Tnp)> η = 4δ;n∈N0. Como Tes continua existe un entorno Vabierto tal que d(Tnp, Tny)< δ;n= 0,1, . . . , N, y ∈V y al ser Ttransitiva tenemos que existen z∈X,k∈N0tal que d(x, z)< ε yTkz∈V. Sea j∈N0tal que k≤jN < k +N. Aplicando ahora la desigualdad triangular se tiene que d(TjN q, TjN z) = d(q, TjN−kTkz) ≥d(x, TjN−kp)−d(TjN−kp, TjN−kTkz)−d(x, q) >4δ−δ−δ= 2δ, con lo que d(TjN x, q)> δ od(TjN x, TjN z)> δ. Pero ambos tienen distancia menor que εaxcon lo que hemos terminado. A la luz del resultado anterior, est´a claro que nuestra definici´on de caos puede prescindir de la condici´on de sensibilidad a las condiciones iniciales, ya que se deduce de las otras dos. Observemos que toda aplicaci´on ca´otica es hiperc´ıclica por definici´on, pero no al rev´es. Vamos a finalizar con alg´un ejemplo. Ejemplo 2.5.8. (a) El sistema (S1, R√2π)no es ca´otico ya que no tiene puntos peri´odicos, pero la aplicaci´on R√2πs´ı es hiperc´ıclica por el Ejemplo 2.1.4. 44 3.2. TRANSITIVIDAD EN SISTEMAS DIN´ AMICOS LINEALES Teorema 3.2.3. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal tal que Tsea invertible. Son equivalentes: (a) Tes hiperc´ıclico. (b) Existe un vector x∈HC(T)∩HC(T−1). (c) Existe un vector x∈Xtal que Orb(x, T)∪Orb(x, T−1) = X. Demostraci´on. (b) =⇒(a) es por definici´on. (a) =⇒(b) es directo de la prueba del Teorema de Transitividad de Birkhoff notando que la intersecci´on de conjuntos Gδdensos sigue siendo densa. Es evidente que (a) =⇒(c). Queda ´unicamente por probar (c) =⇒(a). Asumiendo (c), existe x∈X tal que X=Orb(x, T)∪Orb(x, T−1). Por el teorema de Categor´ıa de Baire o bien Orb(x, T) o Orb(x, T−1) deben tener interior no vac´ıo. Si Orb(x, T) es diseminado, entonces Orb(x, T−1) = X yT−1ser´ıa hiperc´ıclico lo que no es posible. Podemos asumir que el interior de Orb(x, T) es no vac´ıo. Definimos nuevamente L={y∈X:Trix→ypara sucesi´on alguna (ri)∈Ncreciente} que, igual que antes, es un cerrado no vac´ıo Tinvariante. Claramente, debe existir un p≥1 y un δ > 0 tal que B(Tpx, δ)⊆Orb(x, T) de donde debe existir un sucesi´on (ri) tal que Trix→Tpx con lo que Tpx∈L. Ya que Les invariante para T−1tenemos que T−pTpx= x∈Ly, por tanto, X=Orb(x, T)∪Orb(x, T−1)⊆L⊆Orb(x, T), con lo que Tes hiperc´ıclico. En particular, la propiedad (b) se tiene para sistemas din´amicos en general. M´as adelante veremos que este resultado se puede obtener inmediatamente como consecuencia directa del Teorema de Bourdon-Feldman (Teorema 3.3.10). 3.3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DIN´ AMICOS LINEALES 45 3.3. Propiedades de los sistemas din´amicos lineales Vamos ahora a estudiar algunas propiedades particulares de los sistemas din´amicos lineales. Para las primeras propiedades, nos deberemos restringir a espacios m´as espec´ıficos de Hilbert y Banach. Recordemos que dado un operador Ten un espacio de Banach, se define su adjunto T∗como el ´unico operador T∗:X∗→X∗, donde X∗denota el dual de X, que satisface T∗(ϕ)x=ϕ(Tx)∀x∈X, ∀ϕ∈X∗. Proposici´on 3.3.1. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal sobre un espacio de Banach, tal que Tes hiperc´ıclico. Entonces el operador adjunto T∗no tiene autovalores. Demostraci´on. Supongamos que existe un autovalor λ∈Kde T∗, es decir, existe ϕ∈X∗\{0}tal que T∗ϕ=λϕ. Tomemos x∈HC(T), tenemos ϕ(Tnx) = ((T∗)nϕ)(x) = λnx, con lo que ϕ((Orb(x, T)) = {λnϕ(x):n∈N0} es densa lo cual es una contradicci´on pues implicar´ıa {λn:n∈N0}es denso en K. Proposici´on 3.3.2. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal sobre un espacio de Banach. Si Tes hiperc´ıclico entonces ∥T∥>1. Demostraci´on. Basta notar que si ∥T∥ ≤ 1 entonces se debe tener para x∈X hiperc´ıclico que ∥Tnx∥ ≤∥T∥n∥x∥ ≤∥x∥, lo que es absurdo. Veamos ahora propiedades que se cumplen en el ´ambito m´as general de espacios de Fr´echet. Proposici´on 3.3.3. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal tal que Tes hiperc´ıclico. Entonces todo vector x∈Xse puede escribir como la suma de dos vectores hiperc´ıclicos. 46 3.3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DIN´ AMICOS LINEALES Demostraci´on. Sabemos que HC(T) es un Gδdenso, por tanto x−HC(T) tambi´en lo es. Por el teorema de Categor´ıa de Baire (Teorema 1.2.9) sabemos la intersecci´on es no vac´ıa con lo que x∈HC(T) + HC(T). Proposici´on 3.3.4. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal tal que Tes hiperc´ıclico. Entonces T−λI es denso para todo λ∈K. Demostraci´on. Procedemos por reducci´on al absurdo, supongamos que existe λ∈Ktal que Q= (T−λI)(X)⊂Xestrictamente. Entonces el cociente, X/Q, es un espacio vectorial no trivial. Sea π:X→X/Q,π(x) = x+ Qla aplicaci´on cociente. Notar que π((T−λI)x) = 0 para todo x∈X de donde se deduce inmediatamente π(Tx) = π(λx) = λπ(x), con lo que π(Tnx) = λnπ(x) para n∈N. Tomando ahora x∈HC(T) tenemos que π(Orb(x, T)) = {λnπ(x):n∈N0}debe ser densa en Qlo que es imposible ya que {λn:n∈N0}no puede ser denso en Kpara ning´un λ. Se˜nalamos que esta prueba se puede extender m´as all´a de espacios de Fr´echet de manera inmediata[6]. Gracias a esta proposici´on, podemos probar uno de los teoremas fundamentales para sistemas din´amicos lineales. La prueba original de este resultado fue aportada por Bourdon [18] para el caso complejo y extendida por B`es [11] para el caso real. Nuestra demostraci´on est´a basada en la dada por Mart´ınez [41]. Nos limitaremos a la prueba del caso complejo (la extensi´on al caso real es sencilla pero requiere de algunos resultados y definiciones adicionales). Para probar ambos casos simult´aneamente nos referimos a [6, p´ags 15-16]. Teorema 3.3.5 (Bourdon[18]).Sea (X, T)un sistema din´amico lineal con Thiperc´ıclico. Entonces p(T)es de rango denso para todo p∈K[z]\{0}. Demostraci´on. Sea p(z) = PM i=0 aizicon aM= 0, M≥1. Basta tener en cuenta que podemos factorizar p(T) = aM(T−λ1I). . . (Y−λMI), λk∈C,1≤k≤M, y aplicar la proposici´on anterior. 3.3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DIN´ AMICOS LINEALES 47 El teorema anterior nos permite, adem´as, demostrar el siguiente resultado [18] y [36]. Teorema 3.3.6 (Herrero-Bourdon).Sea (X, T)un sistema din´amico lineal con Thiperc´ıclico. Si x∈HC(T), entonces {p(T)x:pes un polinomio}\{0} es un conjunto denso de vectores hiperc´ıclicos. En particular cualquier operador hiperc´ıclico admite un subespacio invariante formado por vectores hiperc´ıclicos (excepto por el 0). Demostraci´on. Sea x∈HC(T), tenemos que M:={p(T)x:pes un polinomio}=span(Orb(x, T)) es claramente T-invariante y denso. Sea y∈M\{0}, entonces y=p(T)xy Tny=Tnp(T)x=p(T)Tnx. Como p(T) tiene rango denso y Orb(x, T) es densa, Orb(y, T) es densa. Por tanto, yes hiperc´ıclico. Corolario 3.3.7. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal con Thiperc´ıclico. Entonces HC(T)es un conjunto conexo. Demostraci´on. Siguiendo la demostraci´on anterior, obtenemos que dim(M)≥ 1, ya que en caso contrario xser´ıa un autovector, lo cual no es posible al ser su ´orbita densa. Claramente M\{0}es conexo y como M\{0} ⊆ HC(T)⊆M\{0}=X tenemos que HC(T) es conexo. Para finalizar esta secci´on, vamos a ilustrar c´omo estos teoremas pueden ser eficaces a la hora de obtener resultados sobre operadores hiperc´ıclicos. En particular, vamos a demostrar que toda potencia de un operador hiperc´ıclico es hiperc´ıclico. Utilizaremos la prueba de Ansari [1], notando que puede ser extendida sin problemas a espacios de Fr´echet. 48 3.3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DIN´ AMICOS LINEALES Teorema 3.3.8 (Ansari).Sea (X, T)un sistema din´amico lineal con Tun operador hiperc´ıclico. Entonces (X, Tn),n∈N, es un sistema din´amico lineal con Tnhiperc´ıclico. Demostraci´on. Sea x∈HC(T) sabemos que V:={p(T)x:pes un polinomio} es un conjunto denso de vectores hiperc´ıclicos (excepto 0), T-invariante y conexo. En particular, si denotamos R=T|Vtenemos que todo vector de Ves hiperc´ıclico para R. Sea m∈N, queremos ver que S:=Orb(x, Rn) = {Rnmx:m∈N0}cumple SV=V. Definimos los conjuntos Sk=[ 0≤i1<...<ik≤n−1{Ri1SV∩···∩RikSV},1≤k≤n. Est´a claro que Skes cerrado para cada k. Vamos a probar (a) Skes R-invariante, (b) 0 ∈Sn, (c) Sn= V. Con lo que habremos terminado, ya que Sn⊆R0SV=SV. Probemos cada uno de estos puntos. (a) Sea 0 ≤i1≤ ··· ≤ ik≤n−1 y denotemos jl=     il+ 1, il=n−1 0, il=n−1 1≤l≤k est´a claro que 0 ≤j1< . . . < jl≤n−1 y R(Ri1SV∩···∩RikSV)⊆Ri1+1SV∩···∩Rik+1SV ⊆Rj1SV∩···∩RjkSV⊆Sk. 3.3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DIN´ AMICOS LINEALES 49 (b) Tenemos S1=R0SV∪···∪Rn−1SV=Orb(x, R)V=V, en particular, debe existir i∈ {0,1, . . . , n−1}tal que 0 ∈RiSV. Notando que R(RiSV)⊆ Ri+1SVyRnSV⊆SVtenemos que 0 ∈R0SV∩···∩Rn−1SV=Sn. (c) Vamos a proceder por inducci´on. Sabemos que S1=V, supongamos que Sk=V, veamos que Sk+1 =V. Supongamos que Sk+1 =V. Como todo vector es hiperc´ıclico para VySk+1 es R-invariante debemos tener Sk+1 ={0}. Si (i1, . . . , ik)= (j1,...jk) entonces Ri1SV∩···∩RikSV∩Rj1SV∩···∩RjkSV⊂Sk+1, con lo que Ri1SV∩···∩RikSV\{0}∩Rj1SV∩···∩RjkSV\{0}=∅. De donde Sk\{0}es una uni´on finita de conjuntos disjuntos cerrados (en V), como Sk\{0}=V\{0}es conexo todos los conjuntos son vac´ıos salvo uno. Siguiendo el argumento de (a) se debe tener que R(V\{0}) = ∅pero esto no es posible ya que debe ser denso en V. Y ya hemos terminado. Ejemplo 3.3.9. (a) Ampliamos nuestra definici´on del operador de Rolewicz como Bλ,b((x1, x2, x3, . . . )) = λ(xb+1, xb+2, xb+3, . . . ), λ ∈K, b ∈N, donde bdenota el n´umero de pasos hacia atr´as a dar. Se puede comprobar que Bλ=Bλ,1. Adem´as, es f´acil verificar que Bλ1,b1Bλ2,b2=Bλ1λ2,b1+b2, en particular Bn λ,b =Bλn,nb. A partir del resultado anterior podemos deducir que Bλ,b es hiperc´ıclico si y solo si |λ|>1para cualquier b∈N. Es m´as, si tenemos Bλ1,b1, . . . , Bλm,bnsabemos que si Qm i=1 λi>1entonces la composici´on es hiperc´ıclica. (b) Volvemos a ampliar nuestra definici´on de operador de Rolewicz como Bλ,b,s,d((x1, x2, x3, . . . )) = =λ(x1, x2, . . . , xd, xd+1+bs, xd+2, . . . , xd+s, xd+1+(b+1)s, sd+s+2, . . . ) 50 3.3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DIN´ AMICOS LINEALES λ∈K, b ∈N, s ∈N, d ∈N0. Donde sdenota cada cuanto se debe dar el paso backwards y del delay. Notar que Bλ,b =Bλ,b,1,0y por notaci´on usaremos Bλ,b,s =Bλ,b,s,0. Est´a claro que si d > 0os > 1entonces el operador no puede ser hiperc´ıclico. Ahora bien, si consideramos Bλ1,1,2,0yBλ2,1,2,1tenemos que su composici´on es Bλ1λ2,2que si |λ1λ2|>1es hiperc´ıclica, mientras que ninguno de los operadores iniciales lo era. Adem´as, usando las ideas de la prueba anterior, es posible llegar a probar el siguiente resultado [19] para espacios de Fr´echet. Teorema 3.3.10 (Bourdon-Feldman).Sea (X, T)un sistema din´amico lineal yx∈X. Si Orb(x, T)es no diseminada, entonces es densa. La mayor´ıa de estos resultados, pueden ser extendido a espacios vectoriales topol´ogicos, para el interesado nos referimos a [54]. Como consecuencia directa podemos obtener el siguiente teorema. Notar que este teorema es anterior hist´oricamente a Bourdon-Feldman (Teorema 3.3.10) y fue uno de los impulsores de su descubrimiento [44], [22]. Teorema 3.3.11 (Costakis-Peris).Sea (X, T)un sistema din´amico lineal, y x1, . . . , xn∈X. Si tenemos que n [ i=1 Orb(xi, T) es densa en X, entonces al menos un xies un vector hiperc´ıclico y, por tanto, Tes hiperc´ıclico. Demostraci´on. Por hip´otesis tenemos X= n [ i=1 Orb(xi, T) = n [ i=1 Orb(xi, T) de donde alguna de las ´orbitas debe ser no diseminada. Por el Teorema de Bourdon-Feldman (Teorema 3.3.10) dicha ´orbita es densa y por tanto Tes hiperc´ıclico. 3.3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DIN´ AMICOS LINEALES 51 Podemos ver que el Teorema de Ansari (Teorema 3.3.8) es entonces inmediato. Teorema 3.3.12 (Ansari).Sea (X, T)un sistema din´amico lineal con T un operador hiperc´ıclico. Entonces (X, Tn),n∈N, es un sistema din´amico lineal con Tnhiperc´ıclico y HC(T) = HC(Tn). Demostraci´on. Sea x∈HC(T), y sea n∈N. Tenemos Orb(x, T) = n−1 [ j=0 Orb(Tjx, Tn) que sabemos que es denso en Xy por Costakis-Peris sabemos que Tjxes un vector hiperc´ıclico de Tnpara cierto j. Como Tn−jtiene rango denso, tenemos Tn−jOrb(Tjx, Tn)⊂Orb(x, Tn), por lo que x∈HC(Tn). 3.3.1. Independencia en vectores hiperc´ıclicos Vamos ahora a ver que no pueden existir sistemas din´amicos lineales con operadores hiperc´ıclicos en dimensi´on finita, para ello, primero necesitaremos el siguiente resultado auxiliar. Proposici´on 3.3.13. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal con dim(X)< ∞. Supongamos que Tes hiperc´ıclico y sea x∈Xun vector hiperc´ıclico. Dado N∈N0tal que dim(X)≥Nel conjunto {x, Tx, . . . , TN−1x}es linealmente independiente. Demostraci´on. Operemos por reducci´on a lo absurdo. Supongamos que existen α0, . . . , αN−1∈K, no todos nulos, tal que α0x+···+αN−1TN−1x= 0. Sin p´erdida de generalidad podemos asumir que αN−1= 0. Tenemos entonces αN−1TN−1x=−α0x−···−αN−2TN−2x 52 3.3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DIN´ AMICOS LINEALES con lo que TN−1x∈span({x, . . . , TN−2x}). Aplicando T, tenemos que TNx∈ span({Tx, . . . , TN−1x} ⊆ span({x, . . . , TN−2x}) y si continuamos aplicando Tse obtiene TN−1+jx∈span({x, . . . , TN−2x}) para todo j≥0, con lo que tenemos X=span(Orb(x, T)) = span({x, . . . , TN−2x}) pero esto no es posible ya que dim(span({x, . . . , TN−2x})) = N−1< N ≤dim(X). Ya podemos probar el resultado para hiperciclicidad en un espacio finito. Teorema 3.3.14. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal con dim(X) = N < ∞, entonces Tno puede ser hiperc´ıclico. Demostraci´on. Operemos por reducci´on a lo absurdo. Fijemos α∈K, y tomemos x∈Xun vector hiperc´ıclico y una sucesi´on (nk) tal que Tnkx→ αx. Tenemos entonces Tnk(Tix) = Ti(Tnkx)→Ti(αx) = αTixpara todo 0≤i<N. Como {x, . . . , TN−1x}es una base se tiene Tnkz→αz para todo z∈Xcon lo que Tnk→αI ydet(Tnk)→det(αI) = |α|N. Tomando ahora β=det(T), esto implica que {βn:n∈N}es denso en Klo cual es una contradicci´on. Adem´as el resultado anterior nos permite extender la independencia en las ´orbitas a cualquier espacio de Fr´echet independientemente de la dimensi´on. Proposici´on 3.3.15. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal con Thiperc´ıclico. Sea x∈HC(T)un vector hiperc´ıclico. Entonces Orb(x, T)es un conjunto linealmente independiente. Demostraci´on. Por reducci´on a lo absurdo. Si existiese un Ntal que TN+1x=α0x+. . . αNTNx, entonces tenemos que S=span({x, . . . , TN+1x}) es un conjunto invariante por T. Como xes hiperc´ıclico en X, se tiene que tambi´en lo es para T|Spero esto no es posible al ser Sde dimensi´on finita. Cap´ıtulo 4 Criterios de hiperciclicidad “The elegance of a mathematical theorem is directly proportional to the number of independent ideas one can see in the theorem and inversely proportional to the effort it takes to see them.” (George Polya [45]— Mathematics discovery: An understanding, learning, and teaching problem solving) 4.1. Primeros Criterios Estamos interesados en criterios que nos permitan deducir la hiperciclidad de un operador sin la necesidad de probarlo directamente a partir de la definici´on (o de su reformulaci´on equivalente por transitividad). Los primeros criterios de este tipo fueron encontrados independientemente por Kitai [38] y Gethner y Shapiro [29]. El Criterio de Hiperciclicidad, en su versi´on general, es debido a B`es y Peris. [12]1. No seguiremos un procedimiento hist´orico, que implicar´ıa empezar con el Criterio de Kitai [38], sino que trataremos de relajar y modificar progresivamente las condiciones de los criterios que vayamos viendo hasta llegar a los 1Realmente los criterios que veremos implican una condici´on m´as fuerte que la hiperciclidad, y, para cada criterio, relajamos ligeramente la condici´on que se obtiene. Todas estas implican a su vez hiperciclicidad, que es lo ´unico que usaremos a efecto de este trabajo. 53 60 4.3. HIPERCICLICIDAD PARA SUCESIONES DE OPERADORES Nuevamente, la prueba es esencialmente la misma simplemente con las condiciones relajadas convenientemente donde ha sido posible. Es posible demostrar que, de hecho, el Criterio de Gethner-Shapiro (Teorema 4.2.1) y el Criterio de Hiperciclicidad (Teorema 4.2.2) son equivalentes. Para una prueba puede consultarse [33, p´ag 81]. 4.3. Hiperciclicidad para sucesiones de operadores En esta secci´on vamos a extender los resultados anteriores al caso de sucesiones de operadores. Es importante remarcar que las pruebas aportadas se mantienen igual si en vez de utilizar las potencias Tnkde un operador estas se sustituyen por un operador arbitrario Tnken una sucesi´on de operadores (Tn). De esta forma se obtiene autom´aticamente el Criterio de Hiperciclicidad para sucesiones de operadores. Teorema 4.3.1 (Criterio de Hiperciclicidad para sucesiones ).Sean X, Y dos espacios de Fr´echet, y sea (Tn)una sucesi´on de operadores. Supongamos que existen X0⊆X,Y0⊆Ydensos, una sucesi´on (nk)de enteros positivos con una sucesi´on de aplicaciones Snk:Y0→Xtal que para todo x∈X0, y ∈Y0 se tiene: (a) Tnkx→0 (k→ ∞), (b) Snky→0 (k→ ∞), (c) TnkSnky→y(k→ ∞). Entonces la sucesi´on (Tn)es hiperc´ıclica. En este caso, es posible encontrar f´acilmente un ejemplo de sucesi´on de operadores hiperc´ıclica que no cumplan el Criterio de Hiperciclicidad para sucesiones (Teorema 4.3.1). 4.3. HIPERCICLICIDAD PARA SUCESIONES DE OPERADORES 61 Ejemplo 4.3.2. Retomemos el Ejemplo 2.3.6. Sea (xn)una sucesi´on densa en R2y sea yn∈R2, n ≥1vectores de norma nortogonales a xn. Tomemos las aplicaciones Tn:R2→R2dadas por Tn(α, β) = αxn+βyn. Sabemos que esta sucesi´on es hiperc´ıclica. Sin embargo, para cualquier β= 0 se tiene que  Tn(α, β) → ∞ cuando n→ ∞. Es decir, no puede existir un conjunto denso que satisfaga la propiedad (a) del Criterio de Hiperciclicidad para sucesiones. Sin embargo, durante muchos a˜nos, se ha tratado de dilucidar si el Criterio de Hiperciclicidad (Teorema 4.2.2) es una caracterizaci´on de la hiperciclicidad de un operador, es decir, ver si solamente es una condici´on suficiente o si tambi´en es necesaria. En 20062, de la Rosa y Read [24] proporcionaron un espacio de Banach con un contraejemplo de un operador hiperc´ıclico que no cumpliese el Criterio de Hiperciclicidad, dando as´ı una respuesta negativa a la pregunta. Pronto, en 2007 Bayart y Matheron simplificaron el espacio y el operador, ofreciendo ejemplos en espacios ℓp[5]. De hecho, el Criterio de Hiperciclicidad es una caracterizaci´on de una propiedad ligeramente m´as fuerte que la hiperciclicidad, la de ser un operador d´ebilmente mezclante (weakly mixing) [12]. El ejemplo de la Rosa y Read consiste en encontrar un operador hiperc´ıclico que no posea esta propiedad. Para el interesado sobre m´as criterios para sucesiones de operadores puede consultarse [10], [7] y [51]. 2Se˜nalar que el art´ıculo sali´o en preprint en 2006 y fue publicado en 2009. Eso explica el siguiente contraejemplo de Bayart y Matheron que fue publicado en 2007, aparentemente antes del ejemplo original de la Rosa y Read. Cap´ıtulo 5 Operadores frecuentemente hiperc´ıclicos “It is not knowledge, but the act of learning, not possession but the act of getting there, which grants the greatest enjoyment. When I have clarified and exhausted a subject, then I turn away from it, in order to go into darkness again.” (Carl Friedrich Gauss [28]— Letter to Bolyai, 1808) 5.1. Introducci´on Un operador es hiperc´ıclico cuando existe un vector que visita a todos los abiertos de la topolog´ıa, es decir, cuando existe x∈Xtal que para cualquier abierto no vac´ıo Ude Xse tiene U∩Orb(x, T)=∅. Nos interesamos ahora por aquellos operadores que tienen vectores que no s´olo visitan los abiertos, sino que, adem´as, lo hacen frecuentemente. Para ello, primero debemos introducir nociones que nos permitan entender a qu´e nos referimos con frecuentemente. Comenzaremos con una definici´on que nos permite formalizar esta idea. Definici´on 5.1.1. Sea A⊆N0, se define dens(A)la densidad inferior 63 64 5.1. INTRODUCCI´ ON de Acomo dens(A) = l´ım inf N→∞ card{0≤n≤N:n∈A} N+ 1 . De la misma forma se define la densidad superior de Acomo dens(A) = l´ım sup N→∞ card{0≤n≤N:n∈A} N+ 1 . En caso de que ambas coincidan diremos que la densidad de Aes dens(A) = dens(A) = dens(A). Estos conceptos nos permiten tener una idea de tama˜no dentro del conjunto de los n´umeros naturales. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 5.1.2. (a) Fijemos n∈Ny consideramos nN:={n, 2n, . . . }. Se tiene dens(nN) = dens(nN) = dens(nN) = 1/n. As´ı por ejemplo, dens(2N)=1/2ydens(3N)=1/3. (b) Sea A⊂Nfinito, est´a claro que dens(A) = dens(A) = dens(A) = 0. (c) Dada una sucesi´on (xk)estrictamente creciente, definimos el conjunto Sxk:={n∈N:∃m∈Ntal que x2m−1< n ≤x2m}. Es decir, nos quedamos con los n´umeros naturales que se vayan encontrando entre cada par de coeficientes de forma alternada. Por ejemplo, tomemos xk= 2k. Tenemos S2k={3,4,7,8,11,12,15,16, . . . }con dens(S2k) = 1/2. (d) Consideremos la sucesi´on xk= 22k. Vamos a ver que: (i) dens(S22k)=1, (ii) dens(S22k)=0. Consideremos la sucesi´on dada por los t´erminos pares de (xk). Se tiene dens(S22k)≥l´ım l→∞ card{0≤n≤222l:n∈S22k} 222l+ 1 ≥l´ım l→∞ 222l−22(l−1) 22l+ 1 = 1. De forma an´aloga, considerando los t´erminos impares, dens(S22k)=0. 5.1. INTRODUCCI´ ON 65 Notar que podemos ordenar los elementos de A, con lo que A={nk:k≥ 1}con nk+1 > nk. Tenemos as´ı una forma sencilla de calcular la densidad inferior. Proposici´on 5.1.3. Sea A⊆N0, escribimos A={nk:k≥1}creciente, se tiene que dens(A) = l´ım infk→∞ k nk. Demostraci´on. Basta notar que si tomamos nk≤N < nk+1 se tiene card{0≤n≤N:n∈A}=k, con lo que k nk+1 ≤card{0≤n≤N:n∈A} N+ 1 <k nk , y ya hemos terminado. Notar que dens(A)>0 si y solo si l´ım infk→∞ k nk>0 si y solo si l´ım infk→∞ nk k est´a acotado, es decir, si y solo si nk=O(k). Ya podemos definir a qu´e nos referimos con operadores con vectores que visitan frecuentemente a los abiertos de la topolog´ıa. Definici´on 5.1.4. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal, se dice que Tes frecuentemente hiperc´ıclico si existe x∈Xtal que para todo abierto U⊆no vac´ıo X se tiene dens({n∈N0:Tnx∈U})>0. En dicho caso, diremos que xes un vector frecuentemente hiperc´ıclico de T. Al conjunto de vectores frecuentemente hiperc´ıclicos lo denotaremos como FHC(T). Claramente si Tes frecuentemente hiperc´ıclico y tomamos x∈FHC(T) entonces Orb(x, T)visita a todos los abiertos Ude Xcon lo que la ´orbita es densa y Tes hiperc´ıclico, es m´as, FHC(T)⊆HC(T). Es posible introducir un concepto an´alogo utilizando la densidad superior en vez de la densidad inferior en la definici´on, teniendo as´ı la noci´on de operadores U-frecuentemente hiperc´ıclicos, introducidos por Shkarin [52]. Para m´as informaci´on puede consultarse [17]. 66 5.1. INTRODUCCI´ ON Adem´as, a trav´es de la proposici´on anterior, es inmediato que tenemos una caracterizaci´on equivalente. Proposici´on 5.1.5. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal y sea x∈X. Entonces xes frecuentemente hiperc´ıclico para Tsi y solo si existe una suce- si´on creciente (nk)k≥1de enteros positivos, con nk=O(k), tal que para todo k≥1tenemos Tnkx∈U. Demostraci´on. Inmediato a partir de la Proposici´on 5.1.3. Notar que xser´a hiperc´ıclico para Tsi y solo si el resultado anterior es cierto para cualquier sucesi´on (nk)k≥1no necesariamente para una de orden O(k). Otra caracterizaci´on equivalente es la siguiente [4]. Recordemos que Xes un espacio de Fr´echet con F-norma ∥·∥. Proposici´on 5.1.6. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal y sea x∈X. Son equivalentes: (a) xes un vector frecuentemente hiperc´ıclico. (b) Para todo y∈Xyε > 0se tiene que el conjunto App(T, x, y, ε):={n∈N0:∥Tnx−y∥< ε} tiene densidad positiva. Demostraci´on. Inmediata a partir de las definiciones. En comparaci´on, xser´a hiperc´ıclico para Tsi y solo si el conjunto anterior es no vac´ıo. 5.2. CRITERIO DE HIPERCICLICIDAD FRECUENTE 67 5.2. Criterio de Hiperciclicidad Frecuente Queremos encontrar un criterio que nos permita determinar operadores frecuentemente hiperc´ıclicos de manera similar al caso de operadores hiperc´ıclicos [3] y [4]. Daremos aqu´ı una prueba siguiendo [15], [16], que utiliza el m´etodo constructivo que emple´o Kitai [38] para su criterio. Este mismo m´etodo se puede emplear para dar una demostraci´on alternativa del Criterio de Kitai (Teorema 4.1.4) y, m´as importante, una prueba del Criterio de Hiperciclicidad (Teorema 4.2.2), consultar [33, p´ag 75] . Recordemos que Xes un espacio de Fr´echet separable. Sea x∈X, como Xes separable podemos encontrar una familia (yl)l≥1de elementos distintos densa en Xy existe una familia de subconjuntos A(l, ν), l ≥1, ν ≥1 de N0 tal que si n∈A(l, ν) se tiene ∥Tnx−yl∥ ≤ 1 ν. Est´a claro que si tomamos A(l, ν) y A(k, µ) con l=k, podemos seleccionar νyµlo suficientemente grandes tal que A(l, ν)∩A(k, µ) = ∅. Veamos que podemos encontrar conjuntos con propiedades m´as estrictas de separaci´on. Lema 5.2.1. Existe una familia de subconjuntos A(l, ν) (l≥1, ν ≥1) de N0, disjuntos dos a dos que cumple: (a) Para todo n∈A(l, ν)ym∈A(k, µ)se tiene que n≥νy |n−m| ≥ ν+µ. (b) dens(A(l, ν)) >0para todo l≥1, ν ≥1. Demostraci´on. Primero necesitamos escribir los n´umeros naturales con su representaci´on di´adica, es decir, para n∈Nnos referimos n=∞ X j=0 aj2j= (a0, a1, . . . ). 68 5.2. CRITERIO DE HIPERCICLICIDAD FRECUENTE Para cada l≥1, ν ≥1 definimos el conjunto I(l, ν) = {(0, . . . 0 |{z} l−1 ,1, . . . 1 |{z} ν ,0,∗):∗sucesi´on cualesquiera}. Es evidente que los conjuntos I(l, ν) forman una partici´on de N. Luego, para cada kpodemos definir δk=νsi k∈I(l, ν) y consideramos la sucesi´on (nk) dada por nk:= 2 k−1 X i=1 δi+δk, k ≥1, que claramente es creciente. Definimos ahora A(l, ν) = {nk:k∈I(l, ν)}, l ≥1, ν ≥1. Veamos que este es el conjunto que est´abamos buscando. Sea nk∈A(l, ν). Entonces nk≥δk=ν. Si nj∈A(l, ν) y nm∈A(k, µ) (podemos asumir que j > m), tenemos nj−nm=δm+ 2 j−1 X i=m+1 +δj≥µ+ν. De donde, adem´as, podemos ver que los conjuntos A(l, ν) son disjuntos. Solo nos quedar´ıa por probar que los conjuntos A(l, ν) tienen densidad inferior positiva. Primero vamos a ver que existe M > 0 tal que nk≤Mk, k ≥1. Es suficiente probarlo para k= 2N(N≥1) ya que entonces dado cualquier k∈Nexiste N≥1 tal que 2N−1≤k < 2Ny tenemos nk≤n2N≤M2N≤2Mk. Sea k= 2N. Si l+ν≤N+ 2, entonces I(l, ν) contiene como m´aximo 2N+2−l−νelementos menores o iguales a 2N. Si l+ν > N + 2 no contiene ning´un elemento menor o igual a 2N. Por tanto tenemos n2N≤2 2N X i=1 δi≤2X l+ν≤N+2 2N+2−l−νν≤8X l,ν≥1 ν 2l+ν2N, 5.2. CRITERIO DE HIPERCICLICIDAD FRECUENTE 69 con lo que podemos tomar M= 8 Pl,ν≥1 ν 2l+ν. Sea ahora l≥1, ν ≥1 y escribimos I(l, ν) = {kj:j≥1}creciente. Sabemos que I(l, ν) tiene densidad inferior positiva, con lo que existe una constante K > 0 tal que kj≤Kj, j ≥1, de donde se sigue que A(l, ν) = {nkj:j≥1}y nkj≤Mkj≤MKj, j ≥1. Por tanto, A(l, ν) tiene densidad inferior positiva. Vamos a enunciar el Criterio de Hiperciclicidad Frecuente. Pero antes, recordemos que significa que una serie sea incondicionalmente convergente. Se dice que una serie P∞ n=0 xnes incondicionalmente convergente si para cualquier biyecci´on π:N→Nse tiene que P∞ n=1 xπ(n)es convergente. Teorema 5.2.2 (Criterio de Hiperciclicidad Frecuente ).Sea (X, T)un sistema din´amico lineal. Supongamos que existe un subconjunto X0⊆Xdenso y una aplicaci´on S:X0→X0tal que para todo x∈X0se tiene: (a) P∞ n=0 Tnxconverge incondicionalmente, (b) P∞ n=0 Snxconverge incondicionalmente, (c) TSx =x. Entonces Tes frecuentemente hiperc´ıclico. Demostraci´on. Al ser Xseparable podemos escoger una sucesi´on (yj) de X0 densa en X. Sea ∥·∥ la F-norma que define la topolog´ıa en X. Por (a) y (b) existen Nl∈N(l≥1) tales que para cualquier j≤ly cualquier conjunto finito F⊂ {Nl+m:m∈N}se tiene      X n∈F Tnyj      <1 l2l,     X n∈F Snyj      <1 l2l. 76 5.3. SIMILITUDES Y DIFERENCIAS As´ı n∈App(T, y, v, ε) con lo que este conjunto tiene densidad inferior positiva y por tanto y∈FHC(T). Adem´as, podemos obtener un resultado an´alogo a Bourdon-Feldman (Teorema 3.3.10)[31]. Teorema 5.3.3. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal. Si existe un vector x∈Xy un conjunto U⊆Xabierto no vac´ıo tal que dens({n∈N0: Tnx∈V})>0para todo abierto Vno vac´ıo de U, entonces xes un vector frecuentemente hiperc´ıclico de T. Demostraci´on. Aplicando Bourdon-Feldman (Teorema 3.3.10) sabemos que Tes hiperc´ıclico y por tanto topol´ogicamente transitivo. Sea Wun abierto cualesquiera de X, debe existir un N∈Ntal que TN(U)∩W=∅por lo que existe un abierto no vac´ıo V⊆Utal que TN(V)⊆W, con lo que tenemos dens({n∈N0:Tnx∈W})≥dens({N+n∈N0:Tnx∈V})>0, con lo que xes un vector frecuentemente hiperc´ıclico. 5.3.2. Diferencias Comenzaremos viendo que el tama˜no del conjunto de vectores frecuentemente hiperc´ıclicos es, bajo condiciones m´ınimas, mucho menor que el conjunto de vectores hiperc´ıclicos en la mayor´ıa de situaciones. Proposici´on 5.3.4. Sea (X, T)un sistema din´amico lineal. Si existe un conjunto denso X0tal que Tnx→0para todo x∈X0, entonces FHC(X)es un conjunto de primera categor´ıa. Demostraci´on. Sea δ > 0 tal que el conjunto {x∈X:∥x∥> δ}sea no vac´ıo. Entonces tenemos que E:={x∈X:dens({n∈N0:∥Tnx∥ ≥ δ})>0} 5.3. SIMILITUDES Y DIFERENCIAS 77 contiene a todos los vectores frecuentemente hiperc´ıclicos. Adem´as, podemos escribir E=[ k≥1[ M≥1 Ek,M , con Ek,M :=\ N≥Mx∈X:card{n≤N:∥Tnx∥ ≥ δ} ≥ N+ 1 k. Por continuidad, X\Ek,M =[ N≥Mx∈X:card{n≤N:∥Tnx∥< δ}>(N+ 1)(1 −1 k), es denso y contiene a X0con lo que Ek,M es diseminado y Ees de primera categor´ıa. Notar que como caso particular, cualquier operador que cumpla el Criterio de Hiperciclicidad Frecuente (Teorema 5.2.2) tiene un conjunto de vectores frecuentemente hiperc´ıclicos de primera categor´ıa. Tampoco es posible obtener un an´alogo directo para Costakis-Peris (Teorema 3.3.11), consultar [32, p´agina 255]). Sabemos que si (X, T) es un sistema din´amico lineal y Tes hiperc´ıclico e invertible, entonces T−1debe ser hiperc´ıclico. Una pregunta natural es si sucede lo mismo en el caso de operadores frecuentemente hiperc´ıclicos. Por desgracia, este no es el caso, los contraejemplos son relativamente elaborados, para el interesado referirse a [42]. Bibliograf´ıa [1] S.I. Ansari. ((Hypercyclic and Cyclic Vectors)). En: Journal of Functional Analysis 128.2 (1995), p´ags. 374-383. [2] J. Banks y col. ((On Devaney’s Definition of Chaos)). En: The American Mathematical Monthly 99.4 (1992), p´ags. 332-334. [3] F. Bayart y S. Grivaux. ((Hypercyclicit´e: le rˆole du spectre ponctuel unimodulaire)). En: Comptes Rendus Mathematique 338.9 (2004), p´ags. 703-708. [4] F. Bayart y S. Grivaux. ((Frequently hypercyclic operators)). En: Transactions of the American Mathematical Society 358.11 (2006), p´ags. 5083-5117. [5] F. Bayart y ´ E. Matheron. ((Hypercyclic operators failing the Hypercyclicity Criterion on classical Banach spaces)). En: Journal of Functional Analysis 250.2 (2007), p´ags. 426-441. [6] F. Bayart y E. Matheron. Dynamics of Linear Operators. 2009. isbn: 978-0-521-51496-5. [7] T. Berm´udez, A. Bonilla y A. Peris. ((On hypercyclicity and supercyclicity criteria)). En: Bulletin of the Australian Mathematical Society 70.1 (2004), p´ags. 45-54. [8] L. Bernal-Gonz´alez. ((Hypercyclic Sequences of Differential and Antidifferential Operators)). En: Journal of Approximation Theory 96.2 (1999), p´ags. 323-337. [9] L. Bernal-Gonz´alez. Curso de Doctorado - Universalidad y Caos. 2003. 79 80 BIBLIOGRAF´ IA [10] L. Bernal-Gonz´alez y K.G. Grosse-Erdmann. ((The hypercyclicity criterion for sequences of operators)). En: Studia Mathematica 157 (2003), p´ags. 17-32. [11] J.P. B`es. ((Invariant manifolds of hypercyclic vectors for the real scalar case)). En: Proc. Amer. Math. Soc (1999), p´ags. 1801-1804. [12] J.P. B`es y A. Peris. ((Hereditarily hypercyclic operators)). En: Journal of Functional Analysis 167.1 (1999), p´ags. 94-112. [13] G.D. Birkhoff. ((Demonstration d’un theoreme elementaire sur les fonctions entieres)). En: C. R. Acad Sci. Paris Ser. I Math. 189 (1929), p´ags. 473-475. [14] C. Blair y L.A. Rubel. ((A triply universal entire function)). En: Enseign. Math 30.3-4 (1984), p´ags. 269-274. [15] A. Bonilla y K.G. Grosse-Erdmann. ((Frequently hypercyclic operators and vectors)). En: Ergodic theory and dynamical systems 27.2 (2007), p´ags. 383-404. [16] A. Bonilla y K.G. Grosse-Erdmann. ((Frequently hypercyclic operators and vectors–ERRATUM)). En: Ergodic Theory and Dynamical Systems 29.6 (2009), p´ags. 1993-1994. [17] A. Bonilla y K.G. Grosse-Erdmann. Upper frequent hypercyclicity and related notions. 2016. [18] P.S. Bourdon. ((Invariant Manifolds of Hypercyclic Vectors)). En: Proceedings of the American Mathematical Society 118.3 (1993), p´ags. 845-847. [19] P.S. Bourdon y N.S. Feldman. ((Somewhere dense orbits are everywhere dense)). En: Indiana University mathematics journal (2003), p´ags. 811-819. [20] J.B. Conway. Functions of one complex variable. Springer, 1978. [21] N.G. Cooper, R. Eckhardt y N. Shera. From Cardinals to Chaos: Reflection on the Life and Legacy of Stanislaw Ulam. Los Alamos science, 1987. BIBLIOGRAF´ IA 81 [22] G. Costakis. ((On a conjecture of D. Herrero concerning hypercyclic operators)). En: Comptes Rendus de l’Acad´emie des Sciences-Series I- Mathematics 330.3 (2000), p´ags. 179-182. [23] R. Dawkins. Science in the Soul: Selected Writings of a Passionate Rationalist. Random House, 2017. isbn: 978-0631232513. [24] M. De la Rosa y C.J. Read. ((A Hypercyclic operatos whose direct sum T⊕Tis not Hypercyclic)). En: Journal of Operator Theory 61.2 (2009), p´ags. 369-380. (Visitado 10-06-2022). [25] L.R. Devaney. An introduction to chaotic dynamical systems. 2.aed. 1986. isbn: 978-0813340852. [26] P. Enflo. ((On the invariant subspace problem for Banach spaces)). En: Acta Mathematica 158.none (1987), p´ags. 213-313. [27] C.F. Gauss. Carta a Sophie Germain, Braunschweig, 30 de abril de 1807. 1807. (Visitado 11-06-2021). [28] C.F. Gauss. Carta a Wolfgang Bolyai, G¨ottingen, 2 de septiembre de 1808. 1808. (Visitado 11-06-2021). [29] R.M. Gethner y J.H. Shapiro. ((Universal vectors for operators on spaces of holomorphic functions)). En: Proceedings of the American Mathematical Society 100.2 (1987), p´ags. 281-288. [30] G. Godefroy y J.H. Shapiro. ((Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds)). En: Journal of Functional Analysis 98.2 (1991), p´ags. 229-269. [31] K.G. Grosse-Erdmann y A. Peris. ((Frequently dense orbits)). En: Comptes Rendus Mathematique 341.2 (2005), p´ags. 123-128. [32] K.G. Grosse-Erdmann y A. Peris. ((Corrigendum to the note “Frequently dense orbits)). En: no aceptado en C. R. Math. Acad. Sci. Paris (2008). [33] K.G. Grosse-Erdmann y A. Peris. Linear Chaos. Universitext. Springer, 2011. isbn: 978-1-4471-2169-5. 82 BIBLIOGRAF´ IA [34] G. H. Hardy. A Mathematician’s Apology. Cambridge University Press, 1940. [35] K. Harwani. Topological vector space and its properties. 2019. [36] D.A. Herrero. ((Hypercyclic operators and chaos)). En: Journal of Operator Theory 28.1 (1992), p´ags. 93-103. [37] D.A. Herrero y C. Kitai. ((On Invertible Hypercyclic Operators)). En: Proceedings of the American Mathematical Society 116.3 (1992), p´ags. 873-875. (Visitado 15-04-2022). [38] C. Kitai. ((Invariant Closed Sets for Linear Operators. University of Toronto)). Tesis doct. thesis, 1982. [39] J.C. Lagarias. The ultimate challenge: The 3x+ 1 problem. American Mathematical Soc., 2010. [40] G.R. MacLane. ((Sequences of derivatives and normal families)). En: Journal d’Analyse Math´ematique 2.1 (dic. de 1952), p´ags. 72-87. [41] F. Mart´ınez-Gim´enez. ((Operadores hiperc´ıclicos en espacios de Fr´echet)). En: Revista Colombiana Matem´aticas 33 (1999), p´ags. 51-76. [42] Q. Menet. ((Inverse of frequently hypercyclic operators)). En: Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu (feb. de 2021), p´ags. 1-20. [43] J. C. Oxtoby. Measure and Category. 1.aed. Graduate Texts in Mathematics. Springer, 1971. isbn: 978-1-4615-9964-7. [44] A. Peris. ((Multi-hypercyclic operators are hypercyclic)). En: Mathematische Zeitschrift 236.4 (2001), p´ags. 779-786. [45] G. Polya. Mathematics discovery: An understanding, learning, and teaching problem solving (combined edition). New York: John Wiley & Son, 1981. [46] C.J. Read. ((A Solution to the Invariant Subspace Problem)). En: Bulletin of the London Mathematical Society 16.4 (jul. de 1984), p´ags. 337-401. BIBLIOGRAF´ IA 83 [47] C.J. Read. ((The invariant subspace problem for a class of Banach spaces, 2: Hypercyclic operators)). En: Israel Journal of Mathematics 63 (1988), p´ags. 1-40. [48] S. Rolewicz. ((On orbits of elements)). En: Studia Mathematica 32.1 (1969), p´ags. 17-22. [49] W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill, 1987. [50] W. Rudin. Functional Analysis. International series in pure and applied mathematics. McGraw-Hill, 1991. isbn: 9780070542365. [51] F.L. Saavedra y V. M¨uller. ((Hypercyclic sequences of operators)). En: Studia Math 175.1 (2006), p´ags. 1-18. [52] S. Shkarin. ((On the spectrum of frequently hypercyclic operators)). En: Proceedings of the American Mathematical Society 137.1 (2009), p´ags. 123-134. [53] I. Stewart. Does God Play Dice? 2.aed. 1989. isbn: 978-0631232513. [54] J. Wengenroth. ((Hypercyclic operators on non-locally convex spaces)). En: Proceedings of the American Mathematical Society 131.6 (2003), p´ags. 1759-1761.