Anillos de origami

ANILLOS DE ORIGAMI Ana Gautier Flores ANILLOS DE ORIGAMI Ana Gautier Flores Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Prof. Alberto Castaño Domínguez Resumen En este trabajo vamos a estudiar las construcciones de origami, que son conjuntos de puntos del plano complejo que se obtienen de forma análoga a la de los puntos de corte entre dos pliegues en una figura de origami. La idea es partir de un conjunto de direcciones dadas y dos puntos, que suelen ser 0y1, e ir intersecando rectas que pasen por tales puntos con los ángulos de esas direcciones para construir puntos nuevos y luego poder usarlos en la obtención de otros posteriores. El objetivo principal de la memoria será probar que este tipo de conjunto de puntos es un anillo en diversas situaciones. Para ello, vamos estudiar las propiedades y resultados que caracterizan a los puntos que lo forman. Además, distinguiremos diferentes casos según el cardinal del conjunto de direcciones o las propiedades algebraicas de tal conjunto, que nos llevarán a ver qué tipo de estructura algebraica o geométrica caracteriza a la construcción de origami en esos casos. Veremos que los anillos ciclotómicos y de enteros cuadráticos son dos ejemplos de anillos conocidos a los que podemos llegar partiendo de una construcción de origami, y que, además, en algunos casos concretos de direcciones también podremos partir de anillos de enteros cuadráticos y obtener los de origami. English Abstract The goal of this memory is to focus on origami constructions, which are sets of points on the complex plane that are obtained in an analogous way to the intersection points between two folds in an origami figure. The idea is to start from a set of given directions and two points, which are usually 0and 1, and intersect lines that pass through such points with those angles to construct new points and then be able to use them to obtain subsequent ones. The main objective of the work will be to prove that this type of set of points is a ring in different situations. To do this, we are going to study the properties and results that characterize the points that form it. Furthermore, we will see different cases according to the number of possible directions or its algebraic properties, which will lead us to endow origami rings with an algebraic or geometric structure in those cases. We will see that cyclotomic and quadratic integer rings are two examples of known rings that we can get from an origami construction. In addition, in some specific cases of possible directions we will be able to start from the ring of integers of an imaginary quadratic number field and obtain an origami ring. Índice general Introducción 2 1. Construcciones de origami 3 1.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Estructura de anillo de R(U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. ¿Qué ocurre si U no es un semigrupo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Densidad con al menos cuatro direcciones . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Anillos ciclotómicos 29 3. Anillos de enteros cuadráticos 37 Índice de figuras 48 Bibliografía 49 6anillos de origami Proyección:𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 0) es una proyección del punto 𝑝sobre la recta {𝑟𝑣 ∶𝑟∈ℝ} en la dirección 𝑢2. Linealidad:𝐼𝑢,𝑣(𝑝+𝑞, 0) = 𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 0) + 𝐼𝑢,𝑣(𝑞, 0), y para 𝑟∈ℝ,𝐼𝑢,𝑣(𝑟𝑝, 0) = 𝑟𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 0). Convexidad:𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 𝑞)tiene la forma 𝐴𝑝+𝐵𝑞 donde 𝐴y𝐵definen aplicaciones ℝ-lineales del plano complejo que cumplen 𝐴+𝐵=𝐼2. Rotación: Para 𝑤∈T,𝑤𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 𝑞) = 𝐼𝑤𝑢,𝑤𝑣(𝑤𝑝, 𝑤𝑞). (a) Reducción. (b) Proyección. (c) Linealidad. Figura 1.1: Propiedades. Demostración. Vamos a ir probando todas las propiedades enunciadas, aunque todas ellas son triviales excepto la de convexidad: Simetría: es evidente por la propia definición. Reducción: Tenemos 𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 0) + 𝐼𝑢,𝑣(0, 𝑞) = 𝑢 𝑝𝑣 −𝑢𝑝𝑣 𝑠𝑢,𝑣 +−𝑣 𝑞𝑢 +𝑣𝑞𝑢 𝑠𝑢,𝑣 =𝑢 𝑝𝑣 −𝑢𝑝𝑣 −𝑣 𝑞𝑢 +𝑣𝑞𝑢 𝑠𝑢,𝑣 =𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 𝑞). Geométricamente, podemos comprobar que esto se tiene gracias a la ley de los paralelogramos, como muestra la figura 1.1a. Proyección: Esta propiedad se obtiene de forma directa, pues 𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 0) es el único punto que está en la recta 𝑝+⟨𝑢⟩y en la recta 0 + ⟨𝑣⟩por definición. 2La proyección de 𝑝sobre una recta 𝐿en la dirección 𝑢es el punto de la forma 𝑝+𝑟𝑢 que está en 𝐿. 1. construcciones de origami 7 Linealidad: Una parte de esta propiedad y la anterior también se reflejan en la figura 1.1, de hecho, esta es consecuencia de la anterior. Analíticamente, haciendo uso de la expresión (1.1) en cada caso a probar tenemos que: 𝐼𝑢,𝑣(𝑝+𝑞, 0) = 𝑠𝑢,𝑝+𝑞 𝑠𝑢,𝑣 𝑣, y para 𝑟∈ℝ, 𝐼𝑢,𝑣(𝑟𝑝, 0) = 𝑠𝑢,𝑟𝑝 𝑠𝑢,𝑣 𝑣. Y como el operador 𝑠(∙,∙) es ℝ-bilineal, la prueba es directa en ambos casos. Convexidad: Sean 𝑃 , 𝑄 dos puntos del plano y 𝑢, 𝑣 dos direcciones distintas tal que 𝑢=𝑒𝑖𝛼 y𝑣=𝑒𝑖𝛽, con 𝛼≠±𝛽m od 2𝜋. Construimos ahora las rectas 𝑟∶= 𝑃+<𝑢>y𝑠∶= 𝑄+<𝑣>que, por definición, tendrán distintas pendientes. Llamemos 𝑅al punto de corte de ambas, y veamos que puede expresarse como combinación convexa de dos matrices por cada uno de los puntos iniciales. Como el argumento de la prueba es independiente al sistema de referencia usado, tomaremos el siguiente sistema de referencia para que la prueba sea más sencilla: = {𝑄,  𝑄𝑃 , 𝑣}, el cual se considera bajo ciertas hipótesis: • 𝑄𝑃 ≠ 0(pues 𝑃≠𝑄). •𝑣∉< 𝑄𝑃 > (de lo contrario existirían infinitos puntos de intersección). Notemos que al considerar cualquier otro sistema de referencia, estaríamos multiplicando por una matriz invertible y su inversa, a izquierda y derecha de 𝐴y 𝐵, respectivamente. Por tanto, el hecho de que 𝐴y𝐵sumen la identidad no se ve alterado. Si definimos 𝑅∶= 𝑄+𝜇𝑣, (1.2) queremos que: 𝑅=𝐴(𝑝1 𝑝2)+𝐵(𝑞1 𝑞2)tal que 𝐴+𝐵=𝐼2, donde (𝑝1, 𝑝2),(𝑞1, 𝑞2)son las coordenadas de 𝑃 , 𝑄 respectivamente. Tomemos ahora 𝐴=(𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22)por determinar y 𝐵=𝐼2−𝐴. 8anillos de origami Entonces, el punto 𝑅usando la expresión inicial y esta consideración podría expresarse como sigue: 𝑅=𝐼2(𝑞1 𝑞2)+𝐴(𝑝1−𝑞1 𝑝2−𝑞2)=𝑄+𝐴⋅ 𝑄𝑃 . Y teniendo en cuenta que ( 𝑄𝑃 )= (1,0), nos queda 𝐴⋅ 𝑄𝑃 = (𝑎11, 𝑎21). Eso unido a la expresión del punto 𝑅en (1.2) nos lleva a buscar los coeficientes de la matriz 𝐴de tal forma que: 𝐴⋅ 𝑄𝑃 =𝜇 𝑣= (0, 𝜇), de donde se tiene que: 𝐴=(0𝑎12 𝜇 𝑎22)por lo que 𝐵=(1 −𝑎12 −𝜇1 − 𝑎22). Es posible concluir entonces la prueba de esta propiedad. Destacamos además que no es necesario que las matrices sean regulares, sino que con tener rango 1es suficiente. De hecho, en la referencia [3], encontramos un ejemplo de tales matrices usando argumentos trigonométricos en los que se da este hecho. En nuestro caso, tomando 𝜇≠0,𝑎22 = 1 y𝑎12 = 0 tenemos un ejemplo válido en el que tanto A como B tendrían rango 1y seguirían cumpliendo la propiedad. Se denomina convexidad porque como la matriz 𝐵=𝐴−𝐼2, podríamos verlo como una analogía de la combinación convexa en espacios vectoriales reales. Rotación: Al igual que otras anteriores, esta propiedad es evidente. Basta con observar que multiplicar por 𝑤∈𝑇es equivalente, geométricamente, a rotar un ángulo igual a su argumento. Una vez definidos los conjuntos con los que trabajaremos y algunas características de los elementos que lo forman, vamos a ver en la siguiente sección qué estructura tiene 𝑅(𝑈)bajo ciertas condiciones sobre 𝑈. 1.2 Estructura de anillo de R(U) En esta sección 𝑈será un semigrupo de direcciones fijadas y veremos que 𝑅(𝑈) forma un subanillo de ℂ, siempre y cuando 𝑈contenga al 1y determine, al menos, 1. construcciones de origami 9 tres direcciones distintas. Es más, es el mínimo número de direcciones a considerar si se pretende tener puntos de corte de la forma 𝐼𝑢,𝑣(0,1) en 𝑅(𝑈), distintos de los triviales, de lo contrario solo estaría formado por los puntos 0y1. Pasamos entonces al estudio de tal conjunto, para el cual previamente vamos a introducir nuevos conceptos que nos ayudarán en algunas de las pruebas: Definición 1.2.1. Un punto 𝑝se dice monomio primitivo si puede ser construido en un solo paso a partir del 0y del 1, es decir 𝑝=𝐼𝑢,𝑣(1,0) 𝑢, 𝑣 ∈𝑈. En general, decimos que un punto 𝑝en 𝑅(𝑈)es un monomio (o U-monomio) si puede construirse comenzando en 1usando solo intersecciones de la forma 𝐼𝑢,𝑣(∙,0), es decir, aquellas en las que la segunda recta pasa por el origen. Observación 1.2.2.El punto 1se considera también un monomio, que podríamos llamar monomio trivial. De la definición anterior se deduce que los monomios pueden formar una sucesión de la forma 𝑝1=𝐼𝑢1,𝑣1(1,0), 𝑝2=𝐼𝑢2,𝑣2(𝑝1,0), 𝑝3=𝐼𝑢3,𝑣3(𝑝2,0),… Si 𝑝=𝑝𝑘=𝐼𝑢𝑘,𝑣𝑘(𝑝𝑘−1,0) es el 𝑘-ésimo elemento de una sucesión de monomios, diremos que es un monomio de longitud a lo sumo 𝑘. Relacionando este nuevo concepto con la definición 1.1.3, tenemos que todo monomio construido de esta forma está en 𝑀𝑘. Pasamos ahora a enunciar algunas propiedades de tales elementos. Cabe destacar que en el siguiente resultado hemos relajado las hipótesis de que 𝑈sea grupo para una de las pruebas, mientras que en la referencia [3] son más estrictos con este aspecto. Lema 1.2.3.El producto de dos monomios es un monomio. Si además 𝑈es un grupo, cualquier monomio es producto de monomios primitivos. Demostración. Dados 𝑢y𝑣en 𝑈, sea 𝐼𝑢,𝑣(1,0) = 𝑠𝑢,1 𝑠𝑢,𝑣 𝑣usando la expresión (1.1), donde tomaremos 𝑟∈ℝcomo 𝑟=𝑠𝑢,1 𝑠𝑢,𝑣 . Veamos primero que el producto de dos monomios primitivos es un monomio, para lo cual consideramos el producto de dos monomios primitivos con distintas di- 10 anillos de origami recciones, y desarrollamos la expresión: 𝐼𝑢,𝑣(1,0)𝐼𝑢′,𝑣′(1,0) = 𝑟𝑣 𝐼𝑢′,𝑣′(1,0), teniendo en cuenta las propiedades de rotación por el elemento 𝑣y linealidad por ser 𝑟∈ℝ, llegamos a: 𝑟𝑣 𝐼𝑢′,𝑣′(1,0) = 𝐼𝑣𝑢′,𝑣𝑣′(𝑟𝑣, 0) = 𝐼𝑣𝑢′,𝑣𝑣′(𝐼𝑢,𝑣(1,0),0). Por tanto, tenemos entonces una expresión que antes definíamos como monomio, hemos probado que el producto de dos monomios primitivos es un monomio. Nótese que las nuevas direcciones siguen estando en 𝑈gracias a ser este un semigrupo. A continuación, vamos a probar la primera tesis del lema. Consideramos para ello las sucesiones que dan lugar a dos monomios con los que trabajaremos: 𝑃1=𝐼𝑢1,𝑣1(1,0) 𝑃2=𝐼𝑢2,𝑣2(𝑃1,0) … 𝑃𝑘=𝐼𝑢𝑘,𝑣𝑘(𝑃𝑘−1,0). 𝑄1=𝐼𝑢′ 1,𝑣′ 1(1,0) 𝑄2=𝐼𝑢′ 2,𝑣′ 2(𝑄1,0) … 𝑄𝑙=𝐼𝑢′ 𝑙,𝑣′ 𝑙(𝑄𝑙−1,0). Entonces 𝑃𝑘=𝐼𝑢𝑘,𝑣𝑘(𝑃𝑘−1,0) y𝑄𝑙=𝐼𝑢′ 𝑙,𝑣′ 𝑙(𝑄𝑙−1,0) son dos monomios de longitud a lo sumo 𝑘y𝑙, respectivamente. Tendremos en cuenta que cualquier monomio de la forma 𝐼𝑢,𝑣(∙,0) puede expresarse como 𝑠𝑢,∙ 𝑠𝑢,𝑣 𝑣=𝑟𝑣, donde 𝑟∈ℝsería el módulo de tal punto. Como el producto es conmutativo en ℂ,𝑃𝑘𝑄𝑙=𝑄𝑙𝑃𝑘. Por tanto, podemos desarrollar la expresión y aplicar a ella propiedades que ya conocemos: 𝑄𝑙𝑃𝑘=𝐼𝑢′ 𝑙,𝑣′ 𝑙(𝑄𝑙−1,0)𝐼𝑢𝑘,𝑣𝑘(𝑃𝑘−1,0) =𝑟𝑣′ 𝑙𝐼𝑢𝑘,𝑣𝑘(𝑃𝑘−1,0) =𝐼𝑣′ 𝑙𝑢𝑘,𝑣′ 𝑙𝑣𝑘(𝑟𝑣′ 𝑙𝑃𝑘−1,0) =𝐼𝑣′ 𝑙𝑢𝑘,𝑣′ 𝑙𝑣𝑘(𝑟𝑣′ 𝑙𝐼𝑢𝑘−1,𝑣𝑘−1 (𝑃𝑘−2,0),0) =𝐼𝑣′ 𝑙𝑢𝑘,𝑣′ 𝑙𝑣𝑘(𝐼𝑣′ 𝑙𝑢𝑘−1,𝑣′ 𝑙𝑣𝑘−1 (𝑟𝑣′ 𝑙𝑃𝑘−2,0),0) =…=𝐼𝑣′ 𝑙𝑢𝑘,𝑣′ 𝑙𝑣𝑘(𝐼𝑣′ 𝑙𝑢𝑘−1,𝑣′ 𝑙𝑣𝑘−1 (… (𝐼𝑣′ 𝑙𝑢1,𝑣′ 𝑙𝑣1(𝑟𝑣′ 𝑙,0) … ,0),0). De esta forma, teniendo en cuenta que 𝑟𝑣′ 𝑙=𝐼𝑢′ 𝑙𝑣′ 𝑙(𝑄𝑙−1,0) es un monomio, el producto 𝑄𝑙𝑃𝑘también lo será por definición, como queríamos probar. Si en vez de 1. construcciones de origami 11 un par de monomios consideramos el producto de un número mayor de ellos, basta considerar productos de dos sucesivamente usando la asociatividad del producto de ℂ, y así probaríamos que también es un monomio. Para terminar la demostración nos falta ver que en caso de que 𝑈sea grupo, cualquier monomio puede expresarse como una multiplicación de monomios primitivos. Para ello, operamos con un monomio de longitud a lo sumo 2: 𝐼𝑢2,𝑣2(𝐼𝑢1,𝑣1(1,0),0) = 𝐼𝑢2,𝑣2(𝑟𝑣1,0) = 𝑟𝐼𝑢2,𝑣2(𝑣1,0) = 𝑟𝑣1𝐼𝑣−1 1𝑢2,𝑣−1 1𝑣2(1,0), donde la primera igualdad se tiene por definición del operador intersección, la segunda gracias a la propiedad de linealidad y la última por reducción. Dado que 𝑈es un grupo, existe el inverso multiplicativo de 𝑣1. En consecuencia, al ser 𝑟𝑣1un monomio primitivo e 𝐼𝑣−1 1𝑢2,𝑣−1 1𝑣2(1,0) otro, tenemos que cualquier monomio puede expresarse como producto de dos monomios primitivos. Si el monomio es de longitud a lo sumo 𝑘≥3, se puede argumentar de manera similar por inducción, usando de nuevo la asociatividad. Cabe mencionar que en las pruebas basta con considerar que 𝑈sea un semigrupo, pues la única propiedad que usamos es que el producto sea cerrado. Veamos ahora el resultado principal de esta sección: Teorema 1.2.4. Si 𝑈es un monoide3de direcciones que determinan al menos tres pliegues, entonces 𝑅(𝑈)es el conjunto de combinaciones lineales enteras de 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 y, por tanto, es un subanillo de ℂ. Demostración. Para probar que 𝑅(𝑈)es un subanillo necesitaríamos ver que es un grupo tanto con la suma como con el producto. Lo vemos a continuación: Grupo abeliano con la suma Primero, veamos que 2 y -1 están en 𝑅(𝑈). Como hay al menos tres rectas determinadas a partir de las direcciones en 𝑈, existen direcciones 𝑢y𝑣de tal forma que son distintas entre ellas y de 1. Usamos 𝑢y𝑣para construir el punto 𝑝1=𝐼𝑢,𝑣(0,1) , que estará fuera del eje horizontal. Podemos considerar entonces 𝑝2=𝐼𝑢,1(1, 𝑝1)sobre una recta horizontal que pasa por 𝑝1. En esta situación se puede verificar algebraica (y geométricamente) 3Un monoide es un semigrupo con elemento neutro. 12 anillos de origami que 2 = 𝐼1,𝑣(0, 𝑝2). Figura 1.2: Construcción del punto 2. De forma similar, si 𝑝3∶= 𝐼𝑣,1(0, 𝑝1)entonces se prueba que −1 = 𝐼1,𝑢(0, 𝑝3). Figura 1.3: Construcción del punto -1. A continuación, veamos que si 𝑝está en 𝑅(𝑈), entonces 𝑝+ 1 también. Para ello, aplicamos los pasos que usamos para construir 𝑝, pero en vez de empezar con los puntos 0y1, lo hacemos con los puntos 1y2, y llegamos a 𝑝+1. Esto es consecuencia de la linealidad y la reducción, pues 𝐼𝑢,𝑣(𝑝+𝑟, 𝑞+𝑟) = 𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 𝑞)+𝐼𝑢,𝑣(𝑟, 𝑟) = 𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 𝑞)+𝑟. Los tres puntos anteriores nos servirán para probar que si 𝑝y𝑞están en 𝑅(𝑈), entonces también está la suma de ambos. Basta repetir los pasos para construir 𝑞, empezando en 0y1, pero esta vez empezando en 𝑝y𝑝+ 1, y llegamos a 𝑝+𝑞. 1. construcciones de origami 13 Finalmente, por linealidad vemos que si 𝑝está en 𝑅(𝑈), entonces los mismos pasos que usamos para construir 𝑝a partir de 0y1, nos valen para llegar a −𝑝pero partiendo de 0y−1. Con todo ello, concluimos que en este caso 𝑅(𝑈)es un grupo con la suma, por ser ésta una operación cerrada para todo punto de 𝑅(𝑈). Además, se ha probado que contiene a los opuestos y eso es suficiente, porque como está en ℂla asociatividad se tiene por ser también una propiedad de ℂ. Cabe mencionar que hasta el momento no hemos usado que 𝑈sea un semigrupo, y por tanto 𝑅(𝑈)siempre es un subgrupo de ℂcon la suma, independientemente de las direcciones que consideremos, siempre y cuando U contenga al 1. Grupo con el producto Para este apartado necesitaremos ver que, dados dos puntos cualesquiera de 𝑅(𝑈), el producto es una operación interna. Lo primero que haremos será probar que 𝑅(𝑈)es el conjunto de combinaciones lineales enteras de monomios, que denotaremos por 𝑆. Se tiene que 𝑆es un grupo con la suma, ya que las combinaciones lineales de un conjunto de generadores son cerradas porque solo sumamos los respectivos coeficientes. Es más, como el producto de monomios es un monomio por el lema 1.2.3, 𝑆es un anillo. Veamos ahora que este conjunto coincide con 𝑅(𝑈)por doble inclusión. 𝑆 ⊂ 𝑅(𝑈)Como 𝑅(𝑈)contiene a todos los monomios y es un grupo con la suma, en particular, contiene a 𝑆. 𝑅(𝑈)⊂ 𝑆 Para probar esta inclusión usaremos los 𝑀𝑗de la definición 1.1.3 y tendremos en cuenta que si 𝑝es un punto de 𝑅(𝑈)entonces es de la forma 𝑝=𝐼𝑢,𝑣(𝑞, 𝑟). Por otro lado, tenemos que el conjunto 𝑆puede expresarse como: 𝑆={∑𝜆𝑖𝑚𝑖|𝜆𝑖∈ℤ, 𝑚𝑖monomio}. Usaremos un argumento de inducción sobre los subíndices 𝑗de esos 𝑀𝑗: Comenzamos por el caso base 𝑗= 0, que serían los puntos {0,1}, que están en 𝑆, pues las combinaciones lineales de monomios contienen, en particular, a todo ℤ. Tomamos como hipótesis de inducción que si un punto 𝑝∈𝑀𝑗, entonces 𝑝∈𝑆. Veamos entonces lo que ocurre si tomamos un punto 𝑝∈𝑀𝑗+1, que será de la forma 𝐼𝑢,𝑣(𝑞, 𝑟)donde 𝑞, 𝑟 ∈𝑀𝑗, los cuales están en 𝑆por hipótesis. 14 anillos de origami Gracias a las propiedades del operador 𝐼, podemos expresar el punto 𝑝como 𝑝=𝐼𝑢,𝑣(𝑞, 0) + 𝐼𝑣,𝑢(𝑟, 0), donde 𝑞, 𝑟 ∈𝑆, por lo que se tiene la siguiente equivalencia: 𝑝=𝐼𝑢,𝑣(𝑟 ∑ 𝑖=1 𝛼𝑖𝑚𝑖,0)+𝐼𝑣,𝑢(𝑠 ∑ 𝑘=1 𝛽𝑘𝑚𝑘,0), en la cual 𝛼, 𝛽 ∈ℤy𝑚𝑖, 𝑚𝑘son los monomios que aparecen en la combinación lineal de 𝑝, 𝑞 como elementos de 𝑆. Por último, gracias a la linealidad del operador llegamos a: 𝑝= 𝑟 ∑ 𝑖=1 𝛼𝑖𝐼𝑢,𝑣(𝑚𝑖,0) + 𝑠 ∑ 𝑘=1 𝛽𝑘𝐼𝑣,𝑢(𝑚𝑘,0). Podemos concluir entonces que 𝑝∈𝑆, debido a que cada uno de los sumandos son combinaciones lineales de monomios. Al ser 𝑝un punto cualquiera de 𝑅(𝑈), se tiene la contención que se quería probar. Observamos entonces que se da la igualdad entre ambos 𝑅(𝑈)y𝑆, por lo que podemos afirmar que en ese caso los puntos son combinaciones lineales de monomios. En consecuencia, el producto de dos puntos cualesquiera de 𝑅(𝑈)es cerrado, pues el producto de monomios vimos antes que también era cerrado. De esta forma, tenemos que, al ser un subgrupo con la suma y cerrado para el producto (teniendo en cuenta que 1pertenece a 𝑅(𝑈)por asunción), 𝑅(𝑈)es un subanillo de ℂ. Hasta aquí ya habríamos probado que si 𝑈es un subconjunto cualquiera de 𝑇∕{±1} que contiene a la unidad, 𝑅(𝑈)es grupo con la suma. Si además de ello, se tiene que 𝑈 es un semigrupo, entonces 𝑅(𝑈)es un subanillo de ℂque coincide con el de combinaciones lineales de monomios. Concluimos que no es necesaria la condición de grupo sobre 𝑈como se refleja en el artículo [3], sino que es suficiente imponer que sea un monoide y que tenga al menos tres elementos para que se cumpla el teorema anterior. De hecho, si 𝑈es un grupo, recordamos que entonces se pueden descomponer los monomios como producto de monomios primitivos, con lo cual, los elementos de 𝑅(𝑈)son polinomios en varias variables de coeficientes enteros evaluados en los monomios primitivos. Más aún, el cardinal de las variables es el de dichos monomios. 1. construcciones de origami 15 1.3 ¿Qué ocurre si U no es un semigrupo? Hasta ahora hemos estado considerando un semigrupo de direcciones 𝑈, pero cabe plantearnos qué estructura tendría 𝑅(𝑈)en el caso de que 𝑈no fuese siquiera un semigrupo. Este enfoque se trabaja en la referencia [5] con algunos ejemplos y resultados de interés. A continuación, se muestra un conjunto de direcciones 𝑈para los cuales 𝑅(𝑈)es un anillo incluso cuando 𝑈no es semigrupo. Este ejemplo aparece en la referencia [5], aunque se ha completado con información de la referencia [4]: Ejemplo 1.3.1.Sea 𝑈= {1, 𝑒𝜋𝑖∕4, 𝑖}, el cual no es un semigrupo, pues 𝑒𝜋𝑖 4𝑖=𝑒3𝜋𝑖 4∉𝑈. Se tiene que, partiendo de los puntos {0,1}, el conjunto 𝑅(1, 𝑒𝜋𝑖∕4, 𝑖)coincide con el anillo ℤ[𝑖]. Es fácil ver que esto ocurre en la figura 1.4, donde, tras varias iteraciones, observamos que los puntos construidos son de la forma 𝑎+𝑏𝑖 con 𝑎, 𝑏 ∈ℤ. De hecho, veremos en el Capítulo 3 que esta construcción de origami genera los enteros de Gauss, que son un subanillo de ℂ, sin necesidad de que 𝑈sea un semigrupo. Sin embargo, este y otros son algunos casos concretos pero no tenemos un resultado general que nos permita discernir la estructura de 𝑅(𝑈). Podríamos suponer que 𝑅(𝑈)es siempre un anillo, pero veremos que esto no se da necesariamente incluso si 𝑈posee tres direcciones, una de las cuales es 1. Resulta útil recordar para esta sección la fórmula (1.1): 𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 𝑞) = 𝑠𝑢,𝑝 𝑠𝑢,𝑣 𝑣+𝑠𝑣,𝑞 𝑠𝑣,𝑢 𝑢. (1.3) Comenzamos enunciando entonces los resultados de interés introducidos anteriormente: Teorema 1.3.2. Sea 𝑈= {1, 𝑢, 𝑣}con 𝑢=𝑒𝑖𝛼 y𝑣=𝑒𝑖𝛽 dados, donde 0≠𝛼≠𝛽≠0 m od 𝜋. Sea 𝑧∶= 𝐼𝑢,𝑣(0,1) = 𝑠𝑣,1 𝑠𝑣,𝑢 𝑢=𝐼𝑣,𝑢(1,0). Entonces se tiene que 𝑅(𝑈) = ℤ+ℤ𝑧. Demostración. Como 1, 𝑧 están en el grupo aditivo 𝑅(𝑈), tenemos entonces que ℤ+ℤ𝑧⊆𝑅(𝑈). 22 anillos de origami que pueden observarse con ayuda de la figura 1.10. Figura 1.10: Construcción del punto 𝑧a partir de 𝛼y𝛽. Despejando 𝐼𝑚(𝑧)en cada caso e igualando ambas expresiones llegamos a que: 𝑅𝑒(𝑧) = cos 𝛼sin 𝛽 sin(𝛽−𝛼), y en consecuencia, 𝐼𝑚(𝑧) = sin 𝛼sin 𝛽 sin(𝛽−𝛼). Teniendo en cuenta todo lo anterior, 𝑅(𝑈)será un anillo bajo las siguientes condiciones: 𝑘= 2𝑅𝑒(𝑧)=2sin 𝛽cos 𝛼 sin(𝛽−𝛼)∈ℤ, 𝑚=|𝑧|2=sin2𝛽 sin2(𝛽−𝛼)∈ℤ. Si las relacionamos entre ellas, tenemos que 𝑘∕2 = 𝑅𝑒(𝑧) = cos 𝛼√𝑚, o lo que es lo mismo, cos 𝛼=𝑘 2√𝑚. En tal situación, debe ocurrir que cos2𝛼=𝑘2 4𝑚sea un número racional. Por tanto, si 𝑅(𝑈)es anillo, cos2𝛼∈ℚ, y por simetría, cos2𝛽∈ℚ. 1. construcciones de origami 23 Sin embargo, no es una propiedad suficiente para probar que 𝑅(𝑈)es anillo. Un claro contraejemplo es el caso de 𝑅(1, 𝑒𝜋𝑖∕3, 𝑒5𝜋𝑖∕6), donde 𝑧=1 4+√3 4𝑖. Observamos que cos 𝜋∕3 = 1 2, pero 𝑘=1 2∉ℤ. Si endurecemos un poco la condición a que cos 𝛼∈ℚ, entonces es suficiente para afirmar que, en tal caso, existe un ángulo 𝛽tal que el 𝑅(𝑈)correspondiente es un anillo. Veamos ese resultado: Proposición 1.3.5.Para infinitos pares 𝑢, 𝑣 de direcciones el conjunto 𝑅(1, 𝑢, 𝑣)es un anillo. Demostración. Para probarlo, suponemos que cos 𝛼=𝑠 𝑡y sin pérdida de generalidad 𝑠, 𝑡 ∈ℤprimos relativos. Sea entonces 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑠y|𝑧|=𝑡, con 𝑡 > 0. Es posible expresar 𝑧como 𝑧=𝑠+𝑖√𝑡2−𝑠2, usando la construcción de 𝑧de la figura 1.11 y el Teorema de Pitágoras. Figura 1.11: Construcción del punto 𝑧. Además, como 𝛽y𝛽′son suplementarios, tienen tangentes opuestas. Por lo que si tan(𝛽′) = √𝑡2−𝑠2 1−𝑠, llegamos a que 𝛽′= arctan(√𝑡2−𝑠2 1−𝑠), y por tanto, 𝛽= − arctan(√𝑡2−𝑠2 1−𝑠)= arctan(√𝑡2−𝑠2 𝑠−1 ). Luego para todo 𝛼tal que cos 𝛼∈ℚpodemos encontrar 𝛽tal que 𝑅(1, 𝑢 =𝑒𝑖𝛼, 𝑣 =𝑒𝑖𝛽 )es un anillo, pues en este contexto, 𝑧verifica una ecuación de grado 2cuyos coeficientes son enteros, por la discusión posterior al teorema 1.3.2. Nótese que si sólo se cumple la condición de que cos 𝛼sea racional, entonces no tendremos una condición suficiente para que 𝑅(1, 𝑢, 𝑣)sea un anillo, basta volver al 24 anillos de origami contraejemplo anterior a esta proposición para comprobarlo. En el caso de que 𝑠, 𝑡 no sean primos relativos, solo obtendríamos un subanillo de ℤ+ℤ𝑧. Presentamos un ejemplo en el que ello ocurre: Ejemplo 1.3.6.Supongamos que 𝑚𝑐𝑑(𝑠, 𝑡)=2, lo que nos daría lugar a la situación descrita en la figura 1.12. Figura 1.12: Caso de 𝑠y𝑡no coprimos. Es posible tomar entonces 𝑠′=𝑠∕2 y𝑡′=𝑡∕2 y tendríamos que cos 𝛼=𝑠 𝑡=𝑠′ 𝑡′. Evidentemente, 𝑧′∈ℤ+ℤ𝑧, por tanto, obtenemos un subanillo de ℤ+ℤ𝑧. Es más, cada forma de expresar el cociente 𝑠 𝑡nos daría un subanillo también. Por último, cabe destacar que hasta ahora hemos trabajado con conjuntos 𝑈de tres elementos. Resulta interesante preguntarnos qué ocurre si 𝑈está formado por cuatro o más direcciones, otro de los enfoques de la referencia [5] que se trata a continuación. 1.4 Densidad con al menos cuatro direcciones De nuevo, salvo una transformación lineal, podemos suponer que estamos trabajando con un conjunto 𝑅(1, 𝑢, 𝑣, 𝑤)con todas sus direcciones diferentes entre ellas. Además, podemos tomar 𝑢, 𝑣, 𝑤 tales que 𝑢=𝑒𝑖𝛼,𝑣=𝑒𝑖𝛽 y𝑤=𝑒𝑖𝛾 con 0< 𝛼 < 𝛽 < 𝛾 < 𝜋. Sea 𝑝∶= 𝐼𝑢,𝑤(0,1) 𝑦 𝑟 ∶= 𝐼1,𝑣(𝑝, 0). 1. construcciones de origami 25 Observamos que en la recta horizontal que pasa por 𝑝, denotada por 𝐿1(𝑝), se tiene que 𝑟<𝑝teniendo en cuenta la parte real de cada punto. De ahí deducimos que, al ser 𝐿𝑤(𝑟)y𝐿𝑤(𝑝) = 𝐿𝑤(1) paralelas, el punto 𝐼1,𝑤(0, 𝑟)es menor que 1. De hecho, como 𝛽 < 𝛾, encontramos que 𝐼1,𝑤(𝑝, 0) < 𝑟 en 𝐿1(𝑝). Esto, unido a lo anterior, nos lleva a que 𝐼1,𝑤(𝑝, 0) < 𝑟 < 𝑝 en esa recta. Usando que el menor de los tres puntos anteriores está también en la recta 𝐿𝑤(0), y que esta es paralela a 𝐿𝑤(𝑟), llegamos a que 𝐼1,𝑤(0, 𝑟)>0. Todos estos puntos y rectas hasta ahora construidos los adjuntamos en el siguiente gráfico: Figura 1.13: Construcción de los puntos principales. Si nos fijamos en la figura anterior, resulta fácil comprobar que el triángulo 0𝑝1 es semejante al 0𝑝1𝑠1, donde 𝑝1∶= 𝐼𝑢,𝑤(0, 𝑟)𝑦 𝑠1∶= 𝐼1,𝑤(0, 𝑟). Tal punto 𝑠1es el que, en párrafos anteriores, vimos que estaba entre 0y1, por lo que 𝑝1∈ (0, 𝑝)y𝑠1∈ (0,1). Usando el punto 𝑝1, somos capaces de construir otro punto en 𝐿𝑣(0), que será 𝑟1∶= 𝐼1,𝑣(𝑝1,0). Además, 𝑟1∈ (0, 𝑟), pues 𝑝1∈ (0, 𝑝). Es entonces cuando, gracias a las direcciones y puntos anteriores, podemos construir también 𝑝2∶= 𝐼𝑢,𝑤(0, 𝑟1)𝑦 𝑠2∶= 𝐼1,𝑤(0, 𝑟1), donde 𝑝2∈ (0, 𝑝1), 𝑠2∈ (0, 𝑠1). 26 anillos de origami Si repetimos de nuevo el proceso, creamos nuevos puntos de forma iterativa. Gracias a ello, somos capaces de formar las sucesiones {𝑝𝑖}𝑖≥0y{𝑠𝑖}𝑖≥0(además de la {𝑟𝑖}𝑖≥0auxiliar) cuyos términos se detallan a continuación: 𝑝𝑖∶= 𝐼𝑢,𝑤(0, 𝑟𝑖−1), 𝑠𝑖∶= 𝐼1,𝑤(0, 𝑟𝑖−1), 𝑟𝑖−1 ∶= 𝐼1,𝑣(𝑝𝑖−1,0). Para cada 𝑖= 1,2,3 …, tenemos que los triángulos 0𝑝𝑖𝑠𝑖y0𝑝1son semejantes, y además, se van haciendo cada vez más pequeños en módulo. Los puntos de cada sucesión son diferentes entre ellos porque se encuentran en direcciones distintas del plano, por lo que están bien definidos. Por último, es fácil ver que las tres sucesiones de puntos convergen a 0, aunque realmente las que más nos interesan son las dos primeras. Adjuntamos una figura obtenida a partir de la anterior, con algunas iteraciones más, donde podemos ver gráficamente lo que acabamos de explicar: Figura 1.14: Construcción de las sucesiones. Acabamos de ver entonces que existen dos sucesiones convergentes en dos direcciones linealmente independientes en 𝑅(𝑈), lo cual volveremos a usar más adelante. Veamos ahora que en estas condiciones, tendremos que 𝑅(1, 𝑢, 𝑣, 𝑤)es denso en ℝ2. Para que eso ocurra, necesitamos probar que la clausura topológica de 𝑅(𝑈), que podemos denotar por 𝑋, coincide con el propio ℝ2. El siguiente lema de la referencia [6, 8.6, p. 83] nos propicia tal resultado: Lema 1.4.1.Sea 𝑋un subgrupo cerrado de ℝ2, que no esté contenido en una recta. 1. construcciones de origami 27 Entonces existe una base 𝑏, 𝑏′de ℝ2tal que 𝑋coincide con uno de los tres conjuntos siguientes: 1. ℝ𝑏+ℝ𝑏′=ℝ2. 2. ℝ𝑏+ℤ𝑏′. 3. ℤ𝑏+ℤ𝑏′. Teorema 1.4.2. La clausura topológica de 𝑅(𝑈)coincide con ℝ2. En consecuencia, 𝑅(1, 𝑢, 𝑣, 𝑤)es denso en ℝ2. Demostración. Suponiendo que 𝑋=𝑅(𝑈)cumple las hipótesis del lema anterior, intentaremos ver cuál de las tres opciones de dicho lema se corresponde con tal clausura. Si 𝑋fuese ℤ𝑏+ℤ𝑏′, tendríamos un conjunto de puntos discretos, con lo cual habría entornos de 0sin otros elementos de 𝑋(y de 𝑅(𝑈), por tanto). Esto hace que no contemplemos entonces este caso, ya que anteriormente hemos visto que en cualquier entorno de 0podemos encontrar infinitos elementos de 𝑅(𝑈), pues existen dos sucesiones convergentes a tal punto. Podría darse que 𝑋coincidiera con ℝ𝑏+ℤ𝑏′, pero solo en el caso de que ambas sucesiones convergiesen a 0y sus términos fuesen linealmente dependientes, es decir, se encontraran en la misma dirección. Sin embargo, tampoco se da tal situación, dado que antes comentamos que los elementos de cada una estaban en rectas independientes entre ellas. Finalmente, concluimos que necesariamente 𝑋debe ser ℝ2. Falta entonces ver que estamos en las hipótesis del lema. Sabemos que, por definición, 𝑋es topológicamente cerrado. Además, no está contenido en una recta porque tenemos tres puntos que originan las sucesiones que no son colineales. Finalmente, aunque es conocido que la clausura de un subgrupo de un grupo topológico sigue siendo un grupo, en este caso podemos probarlo de una forma más sencilla: En ℝ2, la clausura son los puntos límite de sucesiones cuyos términos pertenecen a ciertos grupos, en este caso, a 𝑅(𝑈). Entonces, como es no vacía, tendríamos que ver que la diferencia de esos puntos límite pertenece a la clausura y así tendríamos que 𝑋es un grupo con la suma, al igual que 𝑅(𝑈). Sean entonces 𝑌 , 𝑍 ∈𝑋los puntos límite de las sucesiones {𝑌𝑛}𝑛≥1,{𝑍𝑛}𝑛≥1, respectivamente, cuyos términos están en 𝑅(𝑈). Dado que sabemos que restar ambas sucesiones equivale a restar sus términos, 28 anillos de origami al ser 𝑅(𝑈)grupo, tendremos que la sucesión {𝑌𝑛−𝑍𝑛}𝑛≥1está en 𝑅(𝑈). Esto nos lleva a que entonces, su punto límite, que es 𝑌−𝑍, estará en 𝑋. Concluimos que se cumplen todas las hipótesis, y que, en consecuencia, 𝑅(1, 𝑢, 𝑣, 𝑤) es denso en ℝ2como queríamos probar. De hecho, el lema anterior nos da la existencia de una base 𝑏, 𝑏′de ℝ2, y al ser los vectores 0𝑠1y0𝑝1independientes, podríamos tomarlos como base para ver un caso particular de los elementos de 𝑋si lo deseamos. Damos por finalizado entonces este primer capítulo introductorio a nuestro objeto de estudio y pasamos entonces a ver algunos casos particulares interesantes en los siguientes. 2 Anillos ciclotómicos Ahora vamos a considerar el caso en el que 𝑈es, al menos, un semigrupo de direcciones de cardinal finito. Concretamente, trabajaremos con el grupo cíclico de direcciones generado por 𝑒𝑖𝜋∕𝑛, denotado por 𝑈𝑛. Nótese que para este desarrollo nos basaremos en la referencia [3] de nuevo. Además, introducimos un resultado que nos será de ayuda en este capítulo: Lema 2.0.1.𝑅(𝑈)es el menor subanillo de ℂque contiene todos los elementos de la forma 1 − 𝑎 1 − 𝑏 donde 𝑎, 𝑏 son elementos de 𝑈2no triviales. Además, todos los monomios son invertibles. Demostración. Consideramos la definición de monomio primitivo y desarrollamos la expresión usando (1.1): 𝐼𝑢,𝑣(1,0) = 𝑠𝑢,1 𝑠𝑢,𝑣 𝑣=𝑢−𝑢 𝑢 𝑣 −𝑢𝑣𝑣=(𝑢−𝑢)|𝑣| 𝑢(𝑣)2−𝑢|𝑣|=𝑢−𝑢 𝑢(𝑣)2−𝑢 =𝑢2−|𝑢| 𝑢2(𝑣)2−|𝑢|=𝑢2− 1 (𝑢∕𝑣)2− 1. Dado que 𝑢, 𝑣 son elementos de 𝑈, sus cuadrados lo son de 𝑈2. Por tanto, tenemos que los monomios primitivos pueden expresarse como 1−𝑎 1−𝑏con 𝑎, 𝑏 ∈𝑈2. Es más, dado que en este caso 𝑅(𝑈)se construye a partir de los monomios primitivos (como comentamos al final de la Sección 1.2), cualquier anillo que los contenga contendrá a𝑅(𝑈)también. De este modo, 𝑅(𝑈)es el anillo más pequeño que contiene a los elementos de esta forma. Por otro lado, si cambiamos 𝑎por 𝑏en el cociente anterior obtenemos el inverso de tal elemento. Esto nos lleva a que los monomios primitivos son unidades en 𝑅(𝑈). 30 anillos de origami Además, como cualquier monomio es producto de monomios primitivos por definición y el producto de unidades es una unidad, cualquier monomio es una unidad. Recordamos ahora que la extensión ciclotómica ℚ(𝜁𝑛)es el menor subcuerpo de ℂque contiene la raíz primitiva 𝑛-ésima de la unidad 𝜁𝑛∶= 𝑒2𝜋𝑖∕𝑛. En estos términos, tomamos ahora el grupo 𝑈(que es subgrupo de 𝑇∕{±1}) como 𝑈𝑛, el generado por 𝜁2𝑛=𝑒𝑖𝜋∕𝑛. En consecuencia, 𝑈2 𝑛tendría como generador 𝜁𝑛= 𝑒2𝜋𝑖∕𝑛. Como ese grupo 𝑈𝑛tendrá al menos tres direcciones, por el teorema 1.2.4, sabemos que 𝑅(𝑈𝑛)en este caso es un anillo de ℂy podemos relacionarlo con ℚ(𝜁𝑛)mediante el siguiente resultado. Proposición 2.0.2.El anillo 𝑅(𝑈𝑛)es un subanillo de ℚ(𝜁𝑛). Demostración. Como ambos son anillos, solo será necesario probar que los elementos de 𝑅(𝑈𝑛)pueden expresarse como polinomios en 𝜁𝑛con coeficientes racionales. En particular, dado que al ser 𝑈𝑛un grupo sabemos que 𝑅(𝑈𝑛)está generado como anillo por los monomios primitivos, basta comprobar que estos están en ℚ(𝜁𝑛). Usando el lema 2.0.1, y sabiendo que los elementos de 𝑈2 𝑛están generados por 𝜁𝑛 como comentábamos anteriormente, tenemos lo que queremos. Esto se debe a que al ser 𝜁𝑛una raíz de la unidad, 1 1−𝜁𝑛 es un polinomio en 𝜁𝑛. Vamos a ver ahora que además 𝑅(𝑈𝑛)tiene una expresión concreta como subanillo de ℚ(𝜁𝑛), según 𝑛sea primo o no. Para ello, vamos a usar el lema 2.0.1 y consideraremos los monomios primitivos de 𝑅(𝑈𝑛)como cocientes de la forma 𝑚𝑎,𝑏 ∶= (1 − 𝜁𝑎 𝑛) (1 − 𝜁𝑏 𝑛), los cuales además son ejemplos de unidades ciclotómicas de ℚ(𝜁𝑛). Observación 2.0.3.Recordamos que, dado que tenemos la igualdad: 𝑋𝑛− 1 = 𝑛−1 ∏ 𝑘=0 (𝑋−𝜁𝑘 𝑛), 2. anillos ciclotómicos 31 es posible llegar a la expresión: 𝑛= 𝑛−1 ∏ 𝑘=1 (1 − 𝜁𝑘 𝑛)(2.1) simplemente dividiendo lo anterior por 𝑋− 1 y tomando 𝑋igual a 1. Veamos entonces el teorema que nos da las expresiones explícitas antes comentadas. Teorema 2.0.4. Sea 𝑛≥3, y sean 𝑈=𝑈𝑛y𝜁=𝜁𝑛. Se tiene: 1. El anillo 𝑅(𝑈)contiene a 𝜁. 2. Cualquier elemento del anillo 𝑅(𝑈)está en el anillo ℤ[𝜁, 1∕𝑛]. 3. Si 𝑛es primo, entonces 𝑅(𝑈) = ℤ[𝜁]. 4. Si 𝑛no es primo, entonces 𝑅(𝑈) = ℤ[𝜁, 1∕𝑛]. Demostración. En primer lugar, vamos a probar que ℤ[𝜁]⊂ 𝑅(𝑈). Como ℤ⊂ 𝑅(𝑈) (pues 0,1 ∈ 𝑅(𝑈)por definición) y además 𝑅(𝑈)es un anillo, basta ver que −𝜁o𝜁 está en 𝑅(𝑈). Para ello, usaremos que −1 ∈ 𝑅(𝑈)y que 1 − 𝜁 1 − 𝜁−1 =1 − 𝜁 𝜁−1 𝜁 = −𝜁∈𝑅(𝑈). A continuación, veremos que 𝑅(𝑈)⊂ℤ[𝜁, 1∕𝑛]. Si consideramos la expresión (2.1), observamos que se tiene que 1 − 𝜁𝑎divide a 𝑛si 𝑎no es congruente con 0 módulo 𝑛. Si tomamos entonces un monomio primitivo de 𝑅(𝑈)de la forma 𝑚𝑎,𝑏 y despejamos el denominador en una expresión como la (2.1), llegamos a que: 1 − 𝜁𝑏=𝑛 ∏𝑛−1 𝑘=1,𝑘≠𝑏(1 − 𝜁𝑘) , y sustituyendo en 𝑚𝑎,𝑏 tendremos entonces que: 𝑚𝑎,𝑏 =1 − 𝜁𝑎 𝑛 ∏𝑛−1 𝑘=1,𝑘≠𝑏(1−𝜁𝑘) = (1 − 𝜁𝑎)∏𝑛−1 𝑘=1,𝑘≠𝑏(1 − 𝜁𝑘) 𝑛. Es decir, cualquier monomio primitivo de 𝑅(𝑈)puede escribirse como un polinomio en 𝜁con coeficientes enteros dividido por 𝑛. En consecuencia, como cualquier elemento de 𝑅(𝑈)es un polinomio de coeficientes enteros en los monomios primitivos, tenemos la inclusión buscada. 38 anillos de origami Luego cualquier polinomio con coeficientes enteros que tenga a 𝛿como raíz, también tendrá a  𝛿. En particular, 𝑠∶= 𝛿+ 𝛿y𝑝∶= 𝛿 𝛿también están en ℤ ℚ(√𝑑), que es como denotamos a la clausura entera de ℤen ℚ(√𝑑)2. De hecho, tenemos que 𝑠= 2𝑎, 𝑝 =𝑎2−𝑏2𝑑. Por otro lado, 𝛿y 𝛿verifican la ecuación 𝑡2−𝑠𝑡 +𝑝= 0, la cual, a priori, tiene sus coeficientes en ℚ. Luego 𝑠, 𝑝 ∈ℚ. Gracias a los dos párrafos anteriores, nos encontramos ante la siguiente situación que concluye la prueba de este lema: 𝑠, 𝑝 ∈ℚ∩ℤ ℚ(√𝑑)=ℚ∩ℤ ℚ=ℤ.(3.1) Observación 3.0.2.Nótese que el resultado que nos proporciona la última igualdad de (3.1) podemos encontrarlo en [2, Example 5.0], aunque incluimos la breve prueba a continuación: Si un número racional 𝑥=𝑟∕𝑠, con 𝑟, 𝑠 coprimos, es entero sobre ℤ, por definición sabemos que satisface una ecuación de esta forma: 𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +…+𝑎𝑛= 0, donde los 𝑎𝑖son enteros. Sustituyendo la expresión de 𝑥y multiplicando por 𝑠𝑛tenemos equivalentemente 𝑟𝑛+𝑎1𝑟𝑛−1𝑠+…+𝑎𝑛𝑠𝑛= 0. Por tanto, 𝑠divide a 𝑟𝑛, es decir 𝑠= ±1, y 𝑥∈ℤ. En conclusión, los racionales que son enteros sobre ℤson, en concreto, enteros. Del lema anterior, en particular, se puede deducir que el polinomio mínimo de 𝛿 y 𝛿sobre ℚrealmente tiene coeficientes enteros, es decir, coincide con el que nos da la relación de dependencia entera. Las posibilidades para 𝑎y𝑏dependen de las congruencias de 𝑑módulo 4, como veremos en la siguiente proposición. Aunque este resultado es muy conocido (véase, por ejemplo, [1, Prop.13.1.6]), hemos optado por incluir una prueba para hacer la memoria más autocontenida. 2La clausura entera de ℤen ℚ(√𝑑)es el anillo que contiene los elementos de ℚ(√𝑑)que son enteros sobre ℤ. 3. anillos de enteros cuadráticos 39 Proposición 3.0.3.Sea 𝑑un entero libre de cuadrados. Entonces el anillo de enteros algebraicos de ℚ(√𝑑)es: (ℚ(√𝑑)) = {ℤ+ℤ√𝑑 𝑑 ≢1 m od 4 ℤ+ℤ1+√𝑑 2𝑑≡1 m od 4. Demostración. Comencemos por ver la contención más sencilla, es decir, veamos que los elementos de ℤ[√𝑑]yℤ[1+√𝑑 2]son enteros algebraicos sobre ℤ. Si 𝑧∈ℤ[√𝑑]es de la forma 𝑝+𝑞√𝑑(con 𝑝, 𝑞 ∈ℤy𝑞≠0), su polinomio mínimo es 𝑥2−2𝑝𝑥+𝑝2−𝑞2𝑑. Observamos que todos los coeficientes son enteros, y por tanto 𝑧es un entero algebraico sobre ℤ. Si, por el contrario, 𝑧=𝑝+𝑞(1+√𝑑 2)∈ℤ[1+√𝑑 2], su polinomio mínimo será 𝑥2− (2𝑝+𝑞)𝑥+𝑝2+𝑝𝑞 −𝑞2(1−𝑑 4). En este caso, como estamos suponiendo que 𝑑≡1 m od 4,𝑧vuelve a ser un entero algebraico. Por tanto, tenemos que ℤ[√𝑑]yℤ[1+√𝑑 2] están en el anillo de enteros algebraicos. Recíprocamente, supongamos que tenemos un entero algebraico 𝛿=𝑎+𝑏√𝑑, con 𝑎, 𝑏 ∈ℚ. Por el lema 3.0.1, podemos partir de que 2𝑎y𝑎2−𝑏2𝑑∈ℤ. Sea entonces 𝑎=𝑎1 𝑎2 , con 𝑎1, 𝑎2enteros. Como 2𝑎=2𝑎1 𝑎2 es entero, suponiendo que el cociente que define a 𝑎es irreducible, llegamos a que debe ocurrir que 𝑎2∣ 2 para que se sigan teniendo esas condiciones. De ahí deducimos que, o bien 𝑎2= 1, o bien 𝑎2= 2. Si 𝑎2= 1, es claro que 𝑎∈ℤ. Nos falta entonces exigir que también se cumpla que 𝑎2−𝑏2𝑑∈ℤ, lo cual equivale a que 𝑏2𝑑∈ℤ. De nuevo, si 𝑏=𝑏1 𝑏2 , debe ocurrir que 𝑏2𝑑=𝑑𝑏2 1 𝑏2 2 ∈ℤ. Al ser 𝑏1y𝑏2coprimos, necesariamente 𝑏2∣𝑑, y como 𝑑es libre de cuadrados, la única opción es que 𝑏2= 1. Luego 𝑏∈ℤ, es decir, tanto 𝑎como 𝑏 son enteros. Si contemplamos ahora el caso en el que 𝑎2= 2, entonces 𝑎=𝑎1 2. De nuevo, exigimos que 𝑎2+𝑏2𝑑sea entero. Para ello, tomamos 𝑏=𝑏1 𝑏2 , y por la expresión anterior nos queda que 𝑎2−𝑏2𝑑=𝑎2 1 4−𝑏2 1𝑑 𝑏2 2 =𝑎2 1𝑏2 2− 4𝑏2 1𝑑 4𝑏2 2 (3.2) 40 anillos de origami que debe ser entero. Por un lado, el término 𝑏2 2debe ser divisor de 4𝑏2 1𝑑. De donde, al ser 𝑏1coprimo con 𝑏2, necesariamente 𝑏2 2divide a 4𝑑. Y como 𝑑es libre de cuadrados, 𝑏2debe ser 1 o2. Esto nos lleva a otros dos casos según el valor de 𝑏2: Si 𝑏2= 1, de 3.2 tenemos que 𝑎2 1−4𝑏2 1𝑑 4debe ser entero, y como 4divide a 4𝑏2 1𝑑, entonces solo habría que imponer que 𝑎2 1fuese múltiplo de 4. Esto equivale a que entonces 𝑎1debería ser múltiplo de 2. No tiene sentido considerar tal caso, porque 𝑎1y𝑎2, son coprimos. Si 𝑏2= 2, usando 3.2 llegamos a que 𝑎2 1−𝑏2 1𝑑 4debe ser entero. Siguiendo el razonamiento anterior, tendría que ocurrir que 𝑎2 1−𝑏2 1𝑑fuese múltiplo de 4. Además, tanto 𝑎1como 𝑏1son impares (de ser pares estaríamos en casos anteriores). Es- to nos lleva a que 𝑎2 1, 𝑏2 1≡1 m od 4, y en consecuencia, 1 − 𝑑tendría que ser múltiplo de 4para terminar con nuestra prueba. De ahí que, necesariamente debamos tomar 𝑑≡1 m od 4. En ese caso, 𝑏=𝑏1∕2. Entonces, dado que 𝑎1y𝑏1 deben tener la misma paridad, es equivalente escribir ese anillo como ℤ[1+√𝑑 2]. Es más, de ser 𝑎1y𝑏1pares, este anillo incluye a ℤ[√𝑑]. Concluimos que entonces si 𝑑≡1 m od 4, los enteros algebraicos serán de la forma ℤ[1+√𝑑 2]; y por el contrario, si 𝑑≢1 m od 4, serán elementos de ℤ[√𝑑]. De esta forma tenemos que los enteros algebraicos están contenidos en (ℚ(√𝑑)), terminando así la demostración. Una vez recopilada la información anterior, la pregunta que cabe hacerse es qué relación existe entre tales subanillos del plano complejo y los anillos de origami. La respuesta a ello nos la proporciona el resultado principal de este capítulo: Teorema 3.0.4. Sea 𝑑 < 0un entero libre de cuadrados, y sea 𝜃=𝑎𝑟𝑔(1 + √𝑑). Entonces, el anillo de enteros cuadrático de ℚ(√𝑑)coincide con 𝑅(𝑈), donde 1. 𝑈= {1, 𝑖, 𝑒𝑖𝜃}si 𝑑≡2𝑜3 m  od 4. 2. 𝑈= {1, 𝑒𝑖𝜃, 𝑒𝑖(𝜋−𝜃)}si 𝑑≡1 m  od 4 Demostración. Vamos a dividir la prueba en dos partes, una para cada posible conjunto de direcciones 𝑈: 3. anillos de enteros cuadráticos 41 𝑈= {1, 𝑖, 𝑒𝑖𝜃} En este caso, dado que 𝑑≡2𝑜3 m od 4, tenemos que (ℚ(√𝑑)) = ℤ[√𝑑]por la proposición 3.0.3. Veamos en primer lugar que 𝑅(𝑈)⊆ℤ[√𝑑], es decir, que 𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 𝑞) ∈ ℤ[√𝑑]para cualesquiera 𝑢, 𝑣 ∈𝑈y𝑝, 𝑞 ∈ℤ[√𝑑]. Como hay tres direcciones posibles, tenemos 6casos a considerar. Sean 𝑝=𝑎+ 𝑏√𝑑y𝑞=𝑐+𝑒√𝑑. Nos fijamos en que podemos remitirnos a la prueba del teorema 1.3.2, y tomar 𝑧=𝐼𝑖,𝑒𝑖𝜃 (0,1) = 𝑠𝑣,1 𝑠𝑣,𝑢 𝑖=𝑣−𝑣 𝑢𝑣−𝑢 𝑣 𝑖=𝑣−𝑣 −𝑖𝑣−𝑖 𝑣 𝑖=2𝑖sin 𝜃 −2𝑖cos 𝜃𝑖= −𝑖tan 𝜃= −𝑖√−𝑑= −√𝑑, con 𝑑 < 0un entero libre de cuadrados. De esta forma, tendríamos que 𝑅(𝑈)está en ℤ[√𝑑], siendo 𝑈= {1, 𝑖, 𝑒𝑖𝜃}en nuestro caso. Es más, por el mismo teorema tendríamos que no solo se da tal contención, sino también la igualdad. Además, como en este caso 𝑧es un entero de grado 2, tenemos que es un anillo. Aunque en el párrafo anterior ya podríamos terminar la demostración de este caso, veamos desde el punto de vista de la referencia [4] una prueba de la contención contraria, es decir, que ℤ[√𝑑]⊆ 𝑅(𝑈). Para ello, tomamos 𝑎+𝑏√𝑑∈ℤ[√𝑑], y veamos que podemos llegar a tal punto comenzando en {0,1} e intersecando las direcciones de 𝑈. Esta demostración podemos reducirla a probar que, dados dos puntos {𝑛+𝑘√𝑑, 𝑛 +1+𝑘√𝑑}, podemos construir también 𝑛−1+𝑘√𝑑, 𝑛 + (𝑘+ 1)√𝑑, 𝑛 + 1 + (𝑘+ 1)√𝑑, 𝑛+2+𝑘√𝑑, 𝑛 + 1 + (𝑘− 1)√𝑑, 𝑛 + (𝑘− 1)√𝑑. En realidad, lo que estamos haciendo es una una inducción doble sobre las componentes reales e imaginarias de un entero arbitrario construido. El objetivo es probar que para cualquier par de puntos consecutivos, podemos construir puntos cuyas coordenadas enteras con respecto a la base {1,√𝑑}difieren en una unidad respecto a ellos en todas las direcciones posibles. Notemos que, en tal caso, hablamos de un total de seis puntos alrededor de los que partimos, los cuales se hallan como se explica a continuación: Comenzamos en los dos puntos de partida y con las direcciones distintas de 1, construimos el siguiente punto usando las fórmulas del teorema 1.3.2 junto con las propiedades del operador 𝐼vistas en la proposición 1.1.5. Hacemos el primero de 42 anillos de origami ellos con más detalle: 𝐼𝑖,𝑒𝑖𝜃 (𝑛+𝑘√𝑑, 𝑛 +1+𝑘√𝑑) = 𝐼𝑖,𝑒𝑖𝜃 (𝑛, 𝑛 + 1) + 𝑘√𝑑 =𝑠𝑖,𝑛 𝑠𝑖,𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝜃 +𝑠𝑒𝑖𝜃,𝑛+1 𝑠𝑒𝑖𝜃,𝑖 𝑖+𝑘√𝑑 =2𝑖𝑛 𝑖(2 cos 𝜃)𝑒𝑖𝜃 +(2𝑖sin 𝜃)(𝑛+ 1) (−𝑖)(2 cos 𝜃)𝑖+𝑘√𝑑 =𝑛(cos 𝜃+𝑖sin 𝜃)−(𝑛+ 1)𝑖sin 𝜃 cos 𝜃+𝑘√𝑑 =𝑛−𝑖tan 𝜃+𝑘√𝑑=𝑛−√𝑑+𝑘√𝑑 =𝑛+ (𝑘− 1)√𝑑. Tomamos este nuevo punto y el anterior y hallamos 𝐼𝑖,1(𝑛+1+𝑘√𝑑, 𝑛 + (𝑘− 1)√𝑑) = 𝑛+ 1 + (𝑘− 1)√𝑑, que es otro punto de debajo de los dos iniciales. Por último, ayudándonos del que acabamos de construir, conseguimos 𝐼1,𝑒𝑖𝜃 (𝑛+1+𝑘√𝑑, 𝑛 + 1 + (𝑘− 1)√𝑑) = 𝑛+2+𝑘√𝑑. Para simplificar la notación en la prueba, cuando escribamos los puntos (𝑎, 𝑏)nos referiremos a 𝑎+𝑏√𝑑. Observemos la imagen 3.1 para tener una idea geométrica de cuál sería el razonamiento de la prueba (hasta ahora solo habríamos construido los verdes). Por otro lado, para los puntos de arriba, empezamos tomando 𝐼𝑒𝑖𝜃,𝑖(𝑛+𝑘√𝑑, 𝑛 +1+𝑘√𝑑) = 𝑛+ 1 + (𝑘+ 1)√𝑑. A continuación, usando este último, podemos construir 𝐼𝑖,1(𝑛+𝑘√𝑑, 𝑛 + 1 + (𝑘+ 1)√𝑑) = 𝑛+ (𝑘+ 1)√𝑑. Por último, nos ayudamos de nuevo del anterior y de uno de los iniciales y construimos: 𝐼1,𝑒𝑖𝜃 (𝑛+𝑘√𝑑, 𝑛 + (𝑘+ 1)√𝑑) = 𝑛−1+𝑘√𝑑. Hemos probado entonces que ℤ[√𝑑]⊆ 𝑅(𝑈), completando así la prueba de igualdad entre ambos. 3. anillos de enteros cuadráticos 43 Figura 3.1: Construcción de puntos alrededor de los iniciales. 𝑈= {1, 𝑒𝑖𝜃, 𝑒𝑖(𝜋−𝜃)} Para este apartado usaremos la misma estrategia que para el anterior pero con una sutil diferencia dada por la estructura del anillo, ya que al ser 𝑑≡1 m od 4, el anillo (ℚ(√𝑑)) se corresponde con ℤ[1+√𝑑 2]por la proposición 3.0.3. Comenzaremos la prueba viendo que 𝑅(𝑈)⊆ℤ[1+√𝑑 2], lo que se traduce en ver que cada punto de la forma 𝐼𝑢,𝑣(𝑝, 𝑞), con 𝑢, 𝑣 ∈𝑈y𝑝, 𝑞 ∈(ℚ(√𝑑)), está en ese anillo de enteros cuadrático. De nuevo, podemos usar la prueba del teorema 1.3.2, pues en este caso 𝑧=𝐼𝑒𝑖𝜃,𝑒𝑖(𝜋−𝜃)(0,1) = 1+√𝑑 2. Para hallar este punto, usamos que 𝜃=𝑎𝑟𝑔(1+√𝑑)y que el triángulo formado por 0,1, 𝑧 es isósceles (porque los argumentos de las dos direcciones son ángulos suplementarios). Por tanto, 𝑧es el punto medio del segmento entre 0y1 + √𝑑. De esta forma, razonando como en el caso anterior tenemos que no solo 𝑅(𝑈)⊆ℤ[1+√𝑑 2], sino que coinciden, siendo además ambos anillos por ser 𝑧un entero de grado 2. Ya tendríamos terminada la prueba, aunque incluimos el enfoque iterativo de la referencia [4] para ver que ℤ[1+√𝑑 2]⊆ 𝑅(𝑈), para lo cual tomamos un elemento 𝑎+𝑏√𝑑 2 de ℤ[1+√𝑑 2]y, como en la prueba anterior, veremos que se puede obtener mediante intersecciones cuyos puntos de partida son {0,1}. 44 anillos de origami Como antes, podemos reducir este razonamiento a ver que dados los puntos {𝑛+𝑘√𝑑 2,𝑛+2+𝑘√𝑑 2} podemos construir 𝑛+ 1 + (𝑘+ 1)√𝑑 2,𝑛+ 3 + (𝑘+ 1)√𝑑 2,𝑛+4+𝑘√𝑑 2, 𝑛+ 1 + (𝑘− 1)√𝑑 2,𝑛− 1 + (𝑘− 1)√𝑑 2,𝑛−2+𝑘√𝑑 2 tal como se ilustra a continuación. Esta vez, cuando escribamos (𝑎, 𝑏)nos referiremos a(𝑎+𝑏√𝑑)∕2: Figura 3.2: Construcción de puntos alrededor de los iniciales. Notemos que, en realidad, la prueba trata de ver que los seis puntos de alrededor (en el sentido de la prueba anterior) pueden obtenerse. Comenzamos utilizando los puntos iniciales y las direcciones distintas de 1para el primer punto: 𝐼𝑒𝑖𝜃,𝑒𝑖(𝜋−𝜃)(𝑛+𝑘√𝑑 2,𝑛+2+𝑘√𝑑 2)=𝑛+ 1 + (𝑘+ 1)√𝑑 2. A partir de este y uno inicial, construimos 𝐼1,𝑒𝑖𝜃 (𝑛+ 1 + (𝑘+ 1)√𝑑 2,𝑛+2+𝑘√𝑑 2)=𝑛+ 3 + (𝑘+ 1)√𝑑 2. 3. anillos de enteros cuadráticos 45 Para terminar los puntos de la parte superior, hallamos 𝐼1,𝑒𝑖(𝜋−𝜃)(𝑛+2+𝑘√𝑑 2,𝑛+ 3 + (𝑘+ 1)√𝑑 2)=𝑛+4+𝑘√𝑑 2. Ahora, todo es simétrico respecto del punto 𝑛+1+𝑘√𝑑 2, pues, de los puntos iniciales pero con las direcciones intercambiadas llegamos a 𝐼𝑒𝑖(𝜋−𝜃),𝑒𝑖𝜃 (𝑛+𝑘√𝑑 2,𝑛+2+𝑘√𝑑 2)=𝑛+ 1 + (𝑘− 1)√𝑑 2. Usando tal punto junto a uno de los iniciales 𝐼1,𝑒𝑖𝜃 (𝑛+ 1 + (𝑘− 1)√𝑑 2,𝑛+𝑘√𝑑 2)=𝑛− 1 + (𝑘− 1)√𝑑 2. Finalmente, desde ese y otro de los de partida obtenemos el punto que nos queda: 𝐼1,𝑒𝑖(𝜋−𝜃)(𝑛+𝑘√𝑑 2,𝑛− 1 + (𝑘− 1)√𝑑 2)=𝑛−2+𝑘√𝑑 2. Con esto finaliza la segunda parte de la prueba y tenemos que entonces para ciertos 𝑈, el anillo de enteros cuadrático ℤ[1+√𝑑 2]coincide con 𝑅(𝑈), que era el objetivo principal de este capítulo. Para finalizar, podríamos ir un poco más allá y comentar que el resultado [5, Theorem 8] podría verse como un caso particular de este anterior. Índice de figuras 1.1. Propiedades................................. 6 1.2. Construcción del punto 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Construcción del punto -1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Construcción iterativa de 𝑀4. ...................... 16 1.5. Construcción del punto 𝑧. ........................ 17 1.6. Construcción de 𝐼𝑢,𝑣(𝑠, 0).......................... 18 1.7. Construcción de 𝐼1,𝑢(𝑠, 0). ........................ 19 1.8. Puntos 𝑧imaginarios puros para cualquier valor de 𝑣.......... 20 1.9. Valor de 𝑟usando el Teorema de Pitágoras. . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10. Construcción del punto 𝑧a partir de 𝛼y𝛽................ 22 1.11. Construcción del punto 𝑧. ........................ 23 1.12. Caso de 𝑠y𝑡nocoprimos. ........................ 24 1.13. Construcción de los puntos principales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.14. Construcción de las sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1. Construcción iterativa de puntos de 𝑅(𝑈). ............... 35 3.1. Construcción de puntos alrededor de los iniciales. . . . . . . . . . . . 43