Mathematicae quaedam selectae propositiones ex Euclidis Boëtij & antiquorum aliorum libris decerptae ...

MATHEMATICAE Q_VAEDAM SELECTAE PRO- politiones, ex EucIi<JiSjBoetij,& antiquorum alio rUin libris dccerpra:,quibiis liberales difcipli-- in compendium quoddam rcdaftie ''1 non magno negotio peruice ^addifccntibus erunt. (Vf/CauZ-d-oJ- .. In eorum^nttitcm qmgruuionbusJMijs occufuti mtegros uutores euoluere nequeunt. AloanneScguraDodtorcCoraplutcnfi, Collega Diui Illcfonfi, luciilentilTime expolita:.' Qj^usAcceJ?it'\>tiUfmum Arithmettas Geometrica^; jtraxis compendium. cOMPLVTI, Excudebat Andreas de Angulo . %-i-# ELB^EY. POR. quanto por patre de vos el Doftor Segura Cittedatico de Mathematicas en la vniu cthdad de Alcala ,meaddo hecha relacion quevos aueys fechoycoinpucfto vn libro en latindelos principies de Mathematicas el qual era rauy viil yprouechofo fuplicandorae vos dieiTeliccncia paraque voso la petionaque vos nombrafTedeSjy nootrapetlbna algu na pudieucdesimprimirj vendet eldicho libro ocomo lanueftramercedfueflc.Eyo touelopotbie,ypqt la prefetedoy liccciayijcult ad alios il dicho Doiftor SegJta.oaquien vropoder huuiere paraquepor iicmpodeochoanos.pri meros liguientesquefequenten defde cl diadclafccha deftamicedula,en a delante vos el dicho Doilor Segnra, ola perfona que vos nombraredes ,o vuefttopoder huuiete.y no otro puedan imprimit yvendet eldicho libro en edos mis reynos fo pena que.la perfona opetfonas que fin tener vuedro poder Io imprimieren, ovendieren, ohizieren imprimit ovender,o traxe rende fuera parteimpreiTo pierdan Ia imprefsion ylos moldesy aparejos con que los hizieren yincutran tnas cada vno dellos en pena dctreynta mi] marauedisXa qual dichapena fe reparta cnefta mancra la teteia parte para la perfona qiie!oacufare,y laotraterciapattepara nueftracamatayy fifco ylaotratercia parte paca eljuez que lofentenciare con tanto que defpues dcimpreiTolo traygays atafaralnueftro confejo.y mando alos dei mi conlejo pr elidente yoydores dclas mis audiendas alcaldes algu aziles de la mi calay cottCjy atodos los corregidores afsiftente goucrnadorcs alcaldes alguazilcsy otras qualefquier juft ictas dellos mis reynos, que os guardeny ciimplafl yhagan guardary cumplir eda micedula, ycontra loencllaconte nido, no vayan ni pallcn en tiempo algu no, ni poralguna mancra .Fecha enel efcurial, aquatotzedias dei mes de 0(Sabte,demily quinientosy fer fentay cincoaiios., Yoel Rey. Por tnandado de fu Magcftad Pedro de Hoyos Inter Mathernaticasfdentias primo loco Arithmeticanonineptecollocatur, eo quod eius cognitio ad reliquas neceflfaria fit: quam fequiturgeometria, niagnitudines.n.dequibus geometria agitnumeros praefupponere non eildubiu; figurae fiquidcm vna v-el pluribus lineis fiuefuperficiebuscotinentur,vnii autem &plura ad multitudine pertinet,<& fic ad A- rithmetica :reliquas autem perlpeftiua.fi& Mufica ad has etiam reduci planum eft ,vnde &ordine pofteriores funt . Huius Arithmeticae Compendium tribus partibus breuilsimc comprehenditur ;quarum prinaa agit de quibufdam proprietatibus quae conueniuntnumeris in feipfis: fecunda vero de proprieta te proportionis quae conuenitfingulis numerisnon in fejfedper relpedum ad alios. In tertia vero parte pauca quaedamde figuris,tam planis quam folidistra duntur :&non nihil demedietatibus, fiue proportionalitatibus. Az DE NVMERIS. Definitiones. Vnitas efl qm qudihet res vm dicitur. ISfumerus ejl multitudo ex \nitdtihus collegia. Pars efl numerus minor,qui alfluoties fumatus conficit maiorem numerum. Totum fiuemultijplex, efl numerus tllemaior,quiconficiturex minore. Nutnerusparefl qui hifariam diuiditur . Impar vero^qui bifariam non diuiditur.Vel qui vnitate differt anu mero pari . Variterpar numerus efl, quempar numerus metiturper numeruparem tantum . Pariterimpar, quem parmetiturper imparem , Qcundumparem ,qui Primusnumerus efl,quemfola vnitas metitur- Compofitus numerus efl ,quem numerus aliquis metitur. Primi interjefiunt numeri, quorumfiola \nttas efl menfiura comunis. Compofitiintprfe fiunt numeri, qui habent numerum quempiampro commuiifmenfiura. Tsfumerus numerum multiplicat ,cum toties efl multiplicatus inproduflo ,quoties ynitas in mulfifllicante . TJumerus quiproducitur ex.mu!ltplicatiotie HuQrurri numeroru diciturplanusiilli autem ex quoru multiplicationeproducitur,fiunt latera eius. Impariterpar,&impar,quem. quidampar dam Vero metiunturfiecundum imparem Numerus DENVMERIS. 5 Numemquij^roducitur ex multiplicatione trium numerorum, diciturfolidusimultiplicantesveroJunt latera ipfttts. Omdratusnumeru6 efl,qui ex duBu duorum §qualium numeroru. Velex eodem in feipfoproducitur. Cuhus numerus,quiJitextnhusgqualthus,Velexeodem infeipfi his multiplicato. Mumeriproportionalesfunt, quando fe hahetprimus adfecudum,fi cut tertius ad quartum ,in gqualitate Vel inaqualitate. Similes numerifuntplani &/olidi, hahetes latera proportionalia. PerfeBus numerus ejl ,qui omnibus fuis partibusfmulfumptisejl aqualis, Petitiones. Cuilibet numeropo/fefumi quotlibet numeros aquales . Dato numero,maiorem quantumltbet numerum claripojf Seriem numerorum terminum cre/cendo non habere. Communes fententia’.. Omnispars ejl minorfio toto.. Qmcunq; numeri eidemfuenntaquemultiplices,Velfuhmultiplices,funt aquales. Vnitasejl pars cuiusuis numeri denominata ab illo. Afaiorpars minorem habet denominationem ,&econuerjo : Numerus qui ejlpars aliquorum numerorum,eritpars compofiti ex illis: &-qui ejl parstotius C^detraBi, erit &pars refdui. As DE NVMERIS. pra ttipattiens quartas;^ eodem modo de reliquis.Iflsverb tres ipecies appellantur fimplices,poteft.n.adhucmaiotquantitas c6 tin ere minorem plus quam fcmcl &vnam cius parte; &tue proportioeritmulciplcx fuperparticularis ,denominata amultiplici &1'uperpariiculariex quibus componitur, vt diipla fcfquialtera, dupla felqui tertiartripla fefqui altera, tripla fefqui tertia; Vel con tinere minorem iterum plufquam femel, &plures cius partes no componentes vn,a:& tuncdicitur proportio multiplexfuperpar tiens ,denominata amultiplici &fuperpartientecoponentibus. vt dupla fupra bipartiens tertias inter. 8. }-. tripla lupra tripartieus quartas inter.iy.&.4.vndefulficientirsimequinq; illa genera proportionum continentomnesproportiones tationalesmon. n. aliter febaberc poliunt duo in squales numeri quam vno ex illis quinq; modfs. Eli tamen aduertendum quod contingiteopa.- rare maiorem quantitatem ad minore ,8c tunc proportio dicitur maioris in.rqualitatis &talcsfuntfpeciesfupradidi.-e; Si ame minorem admaiorem compares,appcllacurproportio minoris in^- qtialitatis; &ifla h.ibct totidem fpecies ,&eifdem nominibus dc nominatas praqaofita prspofitionefubtvt fub dupla jfubicfquiar. tcva,.iub,fupra bipartiens tertia.; &.c.. Prima Propofitio . Quiushhet^roponionisfddta. numeros minimos ajfignare-- Demultiplici proportione: hoc cft facillimum ,quonia illius minor extremitas femper cft vnitas ;maior vero numerus de nominans porportionem: vt diiplsporportionis,minor, extremitas eftynitas; maior binarius ;tripi? minor eadem vnitas ,,maior tet natius;& hoc modo deomnibus tilijs-. Super particularium etiam facili* inuenies minimos numeros ; lemper.Ui denominator proportionis eft.minor illius terminus: fi ue extremitas qusca maiocopee vnitatem fuperatur.v.ndefiin natu ralifctie capias binos immediatos numeros.habcbis omnes fpe cies proportionis fu per particularis in minimis numeris: vtin tcr.j &.1; fc(quialtcra:inter. 4. &.5iferquitcrtiam ;& ita de reliquis. Super partientium verb habebis minimos numeros, fipro minori extremo capias numerum, denominantem partes ;promaiorcauteincompofitumeximinore& numeron partium. vt pro ruperbipartiente tertias jteft minus extremum: cui ii addas bina- DE NVMERIS. 7 rium numerum partium habebis quinarium maius exrrcmum. Vnde minimi in fupra bipartiente tertias funt.j.&,3, In fupra iripartiente autem quartas, eadem raiione.4.eftminus extremum: cui.i-additus componit.7. maius extremu &ita in omnibus ali)s. Pro multiplici fuperparticulari cape denoroinatorem fuper particularis pro minore,eundem multiplicaper denominatorem multiplicis,produ£i;oadde vnit^tem prouenict numerus maior, vrin triplici fefquialtera binarius denominatorfuperparticu laris efl minor,qui duiftus in ternarium denominatorem multiplicis producit fenarium,cui adiundla vnitas componit.7. maiorem nu merum talis tripi® fefquialtera:.ptoportionis:& fic. y.Si. z. fune in illa minimi. Siautem multiplicis fuperpartientis volucris habere minimos numeros,denominator partium erit minus cxircmumrquo duiio in denominatorem multiplicis, fi produdloiungas numerum pat tium,Conficies maius extremurvt in proportione dupla fupra tripartiente quintas, j. erit minus cxtreraum,quidu(£lusin. a.produ cit.io.cui. 3, numerus partium additus conficit, ij. maius extremum,&fic.ij.vSc.f .funt numeri minimiin illaproportione. Qixod fidatisduobus numeris ingqualibus cognofccte volue tisquam habeantinterreproportioncm,videprimo an illi fintin ter fc primi modofuperius traditosquia tunc illi erant in fuapro portione. minimi,vt fupra didlum eft:Qi^odfi non furir primino ta communem numerum numerantem eosdem, &vide quoties ille continetur in maiori,& etiam quoties continetur in minore, nam numeri quotietes erunt minimiin proportione quatflta. Vt fi vellctn cognofcereproportioncm.30.ad.18. fubtrahominorem ex maiQreremanct.ii.huncex minore manet, d.huncex relifto fcilicet.ia.nihil relinquitur. erat igitur. 6.maximus componens. 3o.&,i8at. tj. in maiore continetur quinquies, in minorevero tcr.5. igitur &.3.erantminimiin illa proportionc& fic.30.ad. 18. eft fupra bipartiens tertias. Secunda Propofitio. Numeros, quotlibuerk inuenire in data proportione minimos.. Hoceftinuenifetres vel plurcs numerosequorum fi primus ad fecundum fc habet in datapropottionc,fecudus ad tertium,fe ha B3 DENVMERIS. •j. i-bcitin eadem& tertius ad quaitu&c.Etifiifint minimi velprio 9.iS'.4rcs quitot fintin talicontinuataproportionc.Suptisigiturduo- ^7. iS. biis minimis in data proportione, per procedentem multiplica pri mum in leipCuni ,&euiidcm in fecundum, fecundum autem in fciprunithabebis tres numeros prodiidfos,qiii criitin tali propor rionemiiiimi.Si autem qtiatuor volueris ,duc primum duorum minimorum in tresiam inueniO!,& fecudum duorum in vltimu triu; habebis quatuor quatfitos. Q_uod fi volucris pltires, eodem modo procede ducendo primum duorum in omnesiam inuetos: &fecundum in vltimu;& fic iniicniescxquatuotquinque, &cx quiu que fex, &inde quot libuerit. Tertia Propofitio. Omnisproportio extremorum componitur ex proportiom- 'hus meer mediorum, Idefl.fieft aliqua proportio inter ciiiusextrcma fit aliquod me diu ra, talis proportio componitur ex proportione prioris extremi ad mediii,& proportione medijad reliquu extremum. Hocatiie patebit, fi addas duas illas proportionestaddes autem fi ducas pri,- muni extremum vniusinprimualtcriust&fecundum vniusin fc eundum alterius: habcbuccnim feprodiKSi numeri in proportio necopofiraqua: erit cade cum proportione qua: erat inter extre- 4•ama.vt inter. 4.&.i. mediat.j.pcoportio igitur. 4. ad. a. componi- 43tur ex propottionibus.4 ad. 3.&.3,ad.a.du<5liis.n. 4.in.3. piodii- _j__x_cii.ii*8c.j.du£tus in.i.ptoducit.ff.quiprodudlifcilicet. u. 5f. (T. la .(T fehabentin eadem proportioncinqua.4.&.a.quia in dupla. .Ncefolura (lextremaadinter medium c6parcs,conficies pro- ^‘^‘portionem extremorum cx addicioneproporrionum extremoru cura medio.Tcd etiam fi pro medio accipias quemlibet numerum ^xtra(vt Ptolcm.Tus in li. AliTiag.)vt fi inter. 4. &.a. accipias, 7. ex propor. 4, ad.7. 5c. 7. ad.X. conficitur eadem proportio vr pater. Vnuin tamen notandum ell, quod fiaddas proportiones ioris ina:qu alitatis :compofita erit maior quacunq;componetc:fi aurem fintnimorisin.Tqualitatis,compofita cft minor quacunq; jc6mponcnte:Si autem altera cfl: maioris &reliqua minoris, proj_^dudla efl minor illa qua; erat maioris in.xqualitatis. Vt fifcfquial 'j» '8" ^®ti;.addas fubfefquicertia.prodiiciturfefqUioflaua qup minor cfl: fefquialtcta per fefquitertlam. ,. DENVMERIS. 8 Quarta Ptopofitio. Qmnttim excedit proportio primiddfecundum,proportionemeertijddqtianmr.tdntum proportioprimi ad tertium,proportionemfecundi ad qudrtum\& quarti adtertium,proportionemfecundi adprimum . Adcogiiofcendum exccfTum vnius proportionis fuper aliam, oportet rubtraherevnam proportionem ex aliatipod fiet.tl politis extremis lubtrahcnd^jfub exrremis eius aqua fiibrralicda eft, ducamus primum illius aqua in fecundum lubtrahcnda:,habebimus inde primum exrremumceliduifiuecxceflus.& dudlofecun do extremo proportionis aqua in primo fubtrabed^, habebimus fecundum extremum exceffus-Vnde ad cognofecdum cxcellum 5•* fcfquialteracptoportionisfupcrlcfquitertiam.difponominimos 4•j numeros, &ternarium primum ieujuialtera: ducoin ternarium- 9•8 fecundum felquitettiatfit.p.Bc binarium fccundumextrcmufcf-, j.q. quialters duco in quaternarium primum fcfquitettK-E, fit. 8, &ita.- ,.j S.&ci. fun,l:extretna exceffus: fiquidem fefquialtera excedit fof- “^^8^ quitertiam per fcfquiodlauam proportionem. Horc dodirina dc ' fubtradiione &additione ptoportionu necelfatia tflprointclligentia libri M,.igna: conftrudtionis Ptolem.an. lain faciledcmonftratur propofitio: Nam fi proportio primi .id fecundum cfl fef- ^‘^ qiiialtcra ;dc proportio tettijad quartum fcfquiterci.r: cxccfius proportionis primi ad fccundu m, iuper proportionem tertij ^^ quartum en:fefquiodiaua:& eadem fcfquiotffaua efi: excelTus pro portionis primi ad tertium, fu per proportionem fecundi ad quar eadem quarti ad tertium, fuper proportionem fecundi ad primumtquod &in omnibus alijs proportionibus facile parebit operado.Idem enim numerus producitur ex dudtu quarti in pri mum ,&primi in quartum :firnilitcr idem ex dudlu fecundi iix tertium Se tertijinfecundum. Quinta Propofitio. Si idem numerus adduos inaquales comparatur.hahet ipfc maioremproportionem adminorem illorum ,quam ad ma ioremmaior tamen adillum maiorem,quam minor. B4 DE NVMERIS In definitione fimilium vclatqualium proportionum diifium eft.qubd ili? proportiones dicutur fimiles vel acqualeSjquq liabec eandem denominationem,vtdusdupla:;non enim maior propor tioefl:inter,ioo.& jo.qiiam inter.io.&.f.Inaiquales autem appel lantur proportiones diuerfarum denominationum :&iUaeftma ior altera, cuius primum extremum magis excedit fecundu fiiunt maioris intequalitatisivel minus exccditurafeeundo,fi funt mi/ norisiniqualitatis.vtfcfquialtera eft maior proportio quam fefquitertia, quia in fefquialtera maius extremum excedit minusme dietate minoris: in rcfquitertia autem maius excedit minus parte tertiatmaior autem excedus efi medietas quam tertia pars. Econuerfo autem maior c(l fubfeiquitcrtia qua rubfefquialtera, quia in fubfefquitertia primum extremum cxcedituta fecundo per ter riam fui partem, in fubfefquialtcra verb per medietatem: minor autem cxceiTus efl tertia pars quam medictat, vndefiue ille qui c6 paratur ad ina;qua!es fit maior quolibet illorum, fiue minor, fine altero maior &altero ininorincccfiarib habebit ad minorem maiorem, &ad maiore mniorem proportionem; Excedit enim minorem magis quam maiorem,&excedetur minus aminore qua amaiore.Qjibdfi jlliinajqualesad ipfum comparentur: cum cxf iroportione maioris in.-cqualitatis fiatproportio minoris in.i:qua icatis &cconuerfo,patet qubd proportiones Ce habent oppofito modojid eft,quKerac maior fit minor,&qu? minor maior. Sexta Propofitio. Si fuerint quatuor numeriJ^roportionales :erum conaer- Jim l?ermutatim coniunflim atque diuifmproportionales. Cum dii.T; proportiones funt fimiles, extrema illarum dicuntur proportionali.i:& fic numen' proportionales funt,quiido ficut pri mus vnius proportionis ad fecudum ciufdcm,itafc habet primus alterius ad fecundum:intecduas aiic proportiones fimiles habitu do appclficur ab aliquibus ptoportionaliras:quo nomineSc nos in fcqiientibus vcemur difiindiionis gratia. Sit ergo proportionali tas fituilitudo proportionum: &quanticatcs.ptoportionalcsextre ma proportionum fimilium. Proportionalitas qugdam eft continua, &efi quando ficut primus numerus ad fecundum,fic fecundus ad tertium,&tertius adquartum DE NVMERIS. quarcuiTijVt i. 4.8. Kj-Sr 4.(1.5.6: hxe poteft cflTe inter tres terminos,qivorum medius fupplcat vicem duorum. Alia proportio - nalitas eddifeontinua, in quafunt neccllatij quatuor tetmini: quia licet primus adfecundumfe habeat ficu ttertius ad quartu, iccundus tamen ad tertium fe habet in dmerfaptopotiioneivt ficut.8.ad.4.fic.^.ad.5.Iam vero fiueproportionalirasfit continua iiue dilcontinnaj inter extrema femper erunt proportioualitates: de quibus in propofitione dicitur. Conuerfim enim erunt proportionales termini, vt quia primus fehabctad fccundu ficut tertius ad quartnmjfiet fi ecouer (0 compareSjfecundus ad primufe habeat ficut quartus ad terti u. Erunt enim fecundo comparati in conuerla proportione, id cfl fi primo proportiones erant maiorisinatqualitatis, fecundo erunt minoris inicqualitatis eiufdem dcnominationis;& fi primo mino ris.fccundomaiotisiquare erunt conuerfim proportionales .Vt quia.y.ad.j.fehabet ficut.io.ad.tJ.in proportione fuprabipartien te tertias, j. ad. f.fc habebit ficut.tf.ad.io. hoceft in proportione fub fuprabipartiente tertias. Pennutatim erunt etiam proportionales,vt fificut. j.ad.i.ita 5.ad. <j .fehabentinfefqmaltcra propottionciita fiprimu ad tertium compares.f ?. ad <j fc habebit ficut fecundus ad quartu m:fci licet.i.ad.tT.in fubtripla ptoportione.Nam maior extremitas pro portionishabetfeveluttotum,tninorautcm ficut pars ,fcu partes. At quemadmodum feh.abcnt duo tota, eodem modo &partes fimiles illorum ,vt medietates tertia: &c. Eftenim permutata proportionalitas qiiandocomparamus exqiiatuor proportionalibus primum ad tertium,qui folcnt.nppcllati antecedent es,&fccundum ad quartum quiappellantur confequentes. Argumenta tur fi quidem in his proportionalitaiibus,atq;idco primos extremos proportionum appellant antecedentes :&fecundos confe- }•J to .G )c' G. IO quentes. Coniunfta proportionalitas etl, quando primum &fecundum extrema vnius proportionis ,fimulcomparantur ad fecundum extremum eiufdem; Se tertium Sc quartu m,fimul ad quartum.vt inter hos proportion.alcs numerosi. 48, itT .quia ficut. i. ad. 4. fic. 8..id.iff quia vtrobiq; fubdupla erit coniunSlimificut. i.Se 4. fimul.icilicct.ij .ad. 4.fecundum extremum prioris, fic. S.Sc 16 . fim il,f.i4.ad.iff.vltimu exttemu quia vttobiq; fefquialtcra. C\| co DE NVMERIS. Diuifa vero proporiionahtas cft, quando oppofito modo diei rur, fi prima quantitas &fecunda fimul fc habent ad (ecundam, fient tertia &quarta fimiil ad quartam,habebit (e prima ad feCun dam,ficui tertia ad quartam. Quod ei fuperiori' exemplo facili patet. ^^Eft &alius modus argumentandi in proportibnalitatibus, gjgqua: appellatur cuerla proportionalitastquanaofcilicetd.atisqua ^tuorproportionalibus, comparantur primum &fecundum ad j^piimn m.fir enim eadem proportio, fi tertium &quartum compa resad tertium. Item, in pluribus quatuor terminis proportionalibus inueni • tiir .vqua proportionalttastin quaargumentantur dicenies.Si fu e rint quotlibei numeriin vno ordine totidem in alio ordine; diredtd fiueindiredie proportionales,qua: fuerit proportio inter extrema vniusordinis.eadein erit inter extrema alterius ordinis. .jj vt fi fumas in vno or din ctres niim eros. C. 4.1. &in alio. 11. 8.4, ,j. _gqui dircdfe furit proportionalestficut enim primusad fecundum ».in priori ordine.ficprimus ad fecundum in fecundo, quia vtrobi que rerquialtera;& ficu tfecundus ad tertium in primo, fic fecundus ad tertium in Iccundo.quia duplatergo finit extrema prioris ordinis iunt in tripla, fic &exrrema fccundi.Hatcdiredia propottion alitas ab aliquibus appellatur ordinata, addifteFcntiam indirodla; qu.r; &penurbata fiue inordinata diciiur'.& eft, quando fictu primus adiGCundum in primo ordine, fic fecundus ad tertiu in fecundot&ficu tfecundus ad tertium in primo,fic primus ad fe 18 .Seundum in (ecundo.vt fi in priori otdinefiiu illi tres numeii. iS; •45.<J.in alrero.15.4 .i-.cft indircctai&raine coderamodointer ex- 6,tcrema vtriufqueordinis efl tripla proportio. Septima Propofitio. Sifuerint quamornumenpropomonales,J>ro-ilHtius ex duBuextremorum ,cequalis eJl^roduBo ex duBu interme diorum- Qmdftres numenfunttn cmnua.frofortionali tate,quadratus intermedq ejl aqualisj^duBo ex extremis. Huicpropoficioniinnitituraurca illa regula trium numerorum,dequain Arithmetica praxi.fimigitur qtiatuor numeri pro ponionales.j. i.().4.dicoqubd prod udius ex. j. in. 4. xqualis eft produdlo ex.i. in. Er licccin numeris Aatim parear vcricas de- DENVMERISlo Rionftrationis ,qumtimen tenet etiam in continuaquantirate, probatur et hoc quod vnus aliquis nuniiotus ad vetumq; produ- (Sborum habet eandem proportionem :quod niii clTeru .equales, fieri non polTet .Q_ui enim producitur ex primo in fecundo m,ad illura quiexprimoin-quarium,eandem habet proportionem qua fecundus ad quartum iquoniam multiplicati (tcundus &quartus per primum ,producunt a;q«J multiplices ad fecundum & quartumtmultiplicium autem &fubmuIHpliciu mcade cft proportio. Atveroidem numerus producitur exduiftu fecundi in primum, qui ex du(5lu primiin fecundum :&illcad produdium ex fecundo in tertium,eaiidcm proportionem habet qua primus ad tertium eadem rationeipropottio autem primi ad tertium, per permutatam proportionalitatemcfi eadem cum proportione fe eundi ad quartum;&(vt didlu eft)vnius numeri produfli ex primo in fecundupiivel ex fecundoin primum,habet ad altcru pro-, dudtuin proportionem fecundi ad quartuin;& ad reliquu,propor - tione priiqiinl certiumtergo fcdmdcim ad vtrumqj ,quod demonftraircoportuit. Ir. ii -itr,-. ..o Secunda p-ars propofitionisfacfteipateTicfimin-tribus -quantitari bus continueproportionahbusinturmedius fupple.it vicem fecu di &tertij. Vnde diidtus in fe ip£um ,Si Sic quadratus,produ cet ecqualem produdloicx extrcmisper-praiocdentia, Odlaua Propofitio. Datis trihis numeris iscjUdllhus ,vxillis adinuenire tetide in multiplici &in relipnsfj/eciehusproportionis. Haic propofitio ad dudia clipyt-apputeai aniiqiiotum in iiume. ris curiofitasiEt tft ihUDniricmdducx wi)neris,aiquia)ibiis:it)..Tqua lesex additione quad.icaliter procreandi.vt in.Tqu.iIes fe in proportione habeant multiplici, &exiliis aljps iptidc in alia;& fcru.a to eode additionis modo,fpccicsom nes propdriioni.'! inxquiliia ris repcrire.Id autem fit hoc patfto. Sume tres vnitates(iiam idem contingit de numeris omnibus) fub prima pone,Tqu.ilcm prim^, fiib fecuda icqualem prima- &fccunda;,fub tertia aquale piima-, dnplu fecunda-,&a:qnal.cm tqct-iaiih.ihchis enim tres imiiicios in dupla proportione: quod fi his fuhfcribas eodem modo operadi tres alios ,illi er utmtripla pr,oportiond.:& ex illis qui in tripi a, habebis tres in quadrupla; &eadciji arte omnes multiplices. Ci ‘ S i•» C. 4 11 .I I. I. 7. 1.5.4. Il-S>- 1.4. icr. DE NVMERIS. 4. ».IEx multiplicibus autem conucrfo modo pofitis creabis omnes 4.iS -S? fuperpaiticuUres; fcilicetextribus qui erant in dupla,ponedo ma P.jTiTximum pro primo, &minimum proteitio fefquial teram; &ex ilp.i 1.1(7 lisquiin tripla refquitertiam,& ita in omnibus reliquis.- 4.0. lara vero ex (uper particularibusjcodcm ordinenunt multipli. 4,io.if cor fuperparticulares eti.ini omnes.vt ex fefquialtera, dupla icfqui alteratScex ill,i,cripla fefquialtcra:& ficreliqux.Ex refquiter.riadu plafefquitertia, tripla fefquitertia &c.Otdincaiite conuerfbfiunt ruperparticntes :vt ex fcrqui.altera fuperbipartiens tertias:exl'cfquitercia,fupratripartiens quartaSiCX iftis autem eodetii ordine fiunt multiplices fuperpartientcstvt ex fuprabiparriente tertias diipia fupcabipartienstcrti.is:exifta,iripla fu prabipartiens tertias; ex fupra tripartiente quartas, dupla fupra tripsrtiens quartas; cx illa, tripla fupra tripartiens qiiart.is :&ita de reliquis. Er hoc modo cx tribus xqualibus fiunt Omnesfpecies inxqualium proportionum, vtdjdtum efl:. -u.- i: -. Quod fi ecomierfo volueris eafdem inxqualitatisiproportioncs reducere vfquead xqualiracem, vnica etiam regula id efficies,. qu;c talis eft.Collocatis tribus numeris in aliqua proportionefe ba bentibus,.fub primo pprie atqualem illbifecundo aufer primum, &refiduum pcmefubfectihJoiatertio aufer ,priroumi& duplum illius qui fub fecunda,i!efidu't^m poneCub tertiofEC hac vnica regula fubtradlionis fcruata,im mutan.do ordinem dum opus fuerit, fictif ex tribusxqualibus failqfuntfpccics omnesinxqualitaiis,fic ex vnaproportioneinxqualium habebis aliam, quoufque perucnias ad tres numeros squ.iles.Vr cx multiplici fu perpartiente fit fuperpartiens, cx fuperpartiontefuperparticuiatis,ex fub fuperparticulati multiplex,exfub multiplice aqualis. Tertia^ars defiguris in mwerisi Definitiones. Superficialis numerusefi qui duobusdaterihus continetur:. Solidus Vero qui contineturtribus laterihus.- Confiderarunt antiqui fapientes etiami in numeris figuras, de quibus pauca quxdam diccndafunc:Et in primis notandum,qu6d. DE NVMERIS. n ex numeris figurae fient, fi pro vilitatibus globulos, vel aliquid liu ius modi habeas,quos in data figura difponas. Porri figuras illas in numeris tantum modo confidcramus,qu.T habent latera a-qua liaraiqualia vero latera habebunt,quando numerus vnitatum vni us latcris,ell.Tqualis numero vnitatum cuiufuis alterius. Aligentur autem figurc.fi fingulis lateribus addas vniratem, vcl pliires vnirates.Vniras tamen ipfa habet vicem, &efi principium omnium figurarum,tam fuperficialium quam Iblidatlim: vnde pun £luin cft,& linea,triangulus,quadrarum,cubus,fpbatra. S.'c. Q.ui aurem fint numeri fiiigulas cofti tu entes figuras, hoc padlo inucnicur,fi ordinem redii linearum figurarum at tendas :vr prima fit triangulus, fecundaquadtatum,tertia pentagonus &c.Pro primafiguradebesadderenumeros vnitate maiores; pro Cccunda numeros binario maiorestpro tertia numeros ternario maio - ros;& ficinreliqaiis. '1 Vt fi vis inuenirenumerosomnes triagitlares,vnitatifqita; pri>- mus efltriangulusjaddc binarium vnitate maiorem, habebis triangulum binas in fingulis lateribus habentem vnira'ies; ciiififeratarium addas,habes etiam triangulum trinarum vrtfatum iit fili gulis larctibustcui addito quaternario, manet eadem figura au<Si'i per vniratem in quolibet lateic;& hoc modo figura illa potcfl in immenfum augeri. Hineparet no omnes numeros oflc triangula reSjfcd illos tatura quifiunt cx additione pra'di<5fa:vt vnitas, ternarius,fena ius 'Jcc. Quadratos vero numeros omnes Habebis, fi primo quadraro (fcilicct vnitatijaddas ternarium binario maiorem vnitate, &fic fiat quaternarius: cui fi addas quinarium (qui maior cfl: ternario) per binarium habebis. 51. etiam quadratum: cui fi addas. 7. fit. iif. etiam qiiadratus:liuic.idde.5. fit. af.&c. Pentagoniautem omnes hoc padloinucniunturtvnitati adde quaternarium, fit quinarius quiefi: fecundus pentagonus. cui.y, fit. 11. rcrtiu,s pentagonus :Si ifto ordineaddendo femper numerum ternario maiorem ,habes omnes pentagonos'Et ita fiet in reliquis figuris fupcrficjalibuspla nis,vndcquadoindefinitionedicimus,fuperficialc nuqicru duobus lateribus contineri,non cfl dicere quod fuperficialcs habent tanrum duplateratfed eftidem qubdfupradimnitunj cll, numerum qui fit ex miiltiplicationeduoriimefrc planum.. Solidi etiam appellantur numeri quidam ex denominatione fics GEOMETRICA ELEMENTA. ItemfuperdaiHmpm^umadcj^uodcunc^uef^dtitimy defcnbi^offjcirculum. Omnes Mgulos reSlosejf?gquales. Si linea refla duas reflasfecuerit ,&ex 'nna parte duos angulosfecerit interiores minores duobus reflis, ex lUa parteprgdiflas lineas ^protrahantur tande cocurrere,- Communesfententia:. Qjpevniteniofunt§qmliafunt etiam gqualia interp. ^4equalia aqualibus addita,gqualta etiam componunt. ,^Aequalia ab gqualihus dempta,relinquunt etia aqualia. Qugeidemfunt gquemultiplicia ,interfefuntgqualia. Qiueciufdemfuntmedietates,funt inuicem gqualia . Omnetotum Maiusejlfiia parte. Duo: reflg linea non clauduntfuperficiem. Diio priora portulata facile fu ailcntur. fi intelligas lineas reflas imaginari indiffinit^magnicuilinisivt in ailronomia imaginatur, liacam reflam acentro mundi per centrufolis ad primum vfque &fuprcmu orbem produci. Similiter de circulis femidiametros habentes indcfinitij magnitudinis: Imaginantur fiquidem ijdcni Artrologi, lineam rupcrccntromiindi perpendicularem cum axe vna ctjlireuolutiono circulum ijquinofliialem deferibere, &hoc pafloplures alios circulos tam maiores, appellatos qua minores imaginantur^Qjrodaiite omnes anguli refli fint ^qualcs.indcpo tefi fuaderitquia inclinatio illa linearum confiicuctium angulum, ex cuius diuerfitate anguli funt inxquales,in reflis femper efl: ea dom.Confucuerunt tamen praflici.quantitatem anguloru ex nii mero partium pcriplieri.T; circuli ftipra contaflum linearum angu Ium confiituciitium dudti,inter caitlem lineas incltifarum venari :vnde cum linea: angnlum redtum confiituentes perpendiculares fintinterfo,fcmper intercipiunt quartam partem periphe ri;E circuli prediflitobtufi autem anguli linea: maiorem partem GEOMETRICA ELEMENTA. ly quamficcjujrta,acuti vero minore.Vnde dtuifo circulo coinniu ni Aftrologoru diuifionein .jiTo .partes &e.quia tantus dicitur angulus quatus arcus inter luas lineas intercepiustRedlus veroan gulusfempercfl:. 50. partium fit vt omnes tales fint atquales. Vltimum pofiulatu fic fuadebitur: dui' ill.xlinc.a; foperquas tertia cades illas facar, fi ex altera parte duos, angulos interiores minores duobus redlis caufardllE dua; line-e verfus fe inuicem inclinantur; quod fi protra hantur ex illa parrecrelcet inclinatio &appropinquabunt miitub: vnde tandem neceflatib concurrent. Prima Pr6pofitio.& cfl Eucbai. Tritingiilum conflituere ex tribus reflis lineis qug pnt tribus datis lineis ai^ualesydum modo dug lUarumfnt maio^ res reliqua. Ha:c propofitio qUsapud^Euclidem efi- 11.docet triangulum conftituere cuius latera atqualia fint tribus datis lineis ..Sint ergo tres linea: data:. a.bic. capio lineam indefinic.\' magnitudinis, vtpo tc.d.o ex qua tres abfein do portiones immediatas, quarum prima fit a:qualis.a. fecunda.b,tertia. c. & ex termino linc.-e prim.-c ad quantitatem ipfitisduco circulum.'&code modo ex termino tertia: ad quantitatem ipfius, duco alium circulum: ita vt duo illi fe interfecet,quod ne celTarib euenicr (modo centra fine pundla quibus prima Sc tertia portiones continuantur cum fecunda) fi duritiarum fint maiores reliqua, ’.jj alias impofsibileeflex cis fieri ttian gulum. Ad pundum igitur intetfcdionispcripbcriarum ducantur ex centris duotumcirculorumdu,T:linc3:,qu!c cum inter mcdiacaufabunt triangulum talem,qu.alis proponebatiir:Siquidcm illa qua; icentro prioris circuli dudla eft a;qualis cfl: Unca;, a. quia Dj A GEOMETRICA ELEMENTA. ert jiqualisprioripoctioni.funt enim fcmiJiamctri eiufdein circuli. ii militer qua acentro al tetius, §qualiseft line.a:.c. eadem rati onc.lincaverbinccr duoccntra aqualis poiicacft linea, b. vndc tria latera trianguliaqualia funt tribus datis lineis, quod erat pro pofitum. Propo/itio fecunda.EucI.vero. 4. Sifuerint duo trianguli, quorum duo latera 'vnius duohut lateribus alteriusfuerint aqualia, anguli aquis lateribus contenti aquales-erit hafs 'vnius baji alterius gqualtsi^j)^ re liqui angulireliquis angulis :^totus triangulus toti triangulo. Propofiiiohacex aqualium definitione probatur. Sunt enim dua magnitudines aquales,quarti fi vna altcrifuperponitur ,nec exccditillam,necexceditur abilla.Sint ergoduo trianguli, a.c.f. &b.d.e.fitque.a.c.larus vnius,aquale.a.d.laterialtcrius:&lafus. a. filateri.b. e.angulufque.a. angulo. b. dicoqubdbafis.c.f.cft equalisbafi. d.e.& angulus. c.angulo. d. &angulus, f. angulo, e. &totus triangulus toti triangulo.Ponatur latus. a.c. fupet latus.b.d. delatus.a.f.fupcr latusb.c.qutequoniam pofitafunt aqua- ]i.i, non excedunt, neque excedentur afe inuicem :&quoniam angulus. a. aqualis cfl: angulo.b. aqualis efi inclinatio laterum vtrobiqjivn denon magis diftabunt termini laterum vnius qu.\m termini lare rum alteriustdiftantia autem illa cfl quantitas bafium.vndenccef farib bafesfunt aquales 5&fic reliqui anguli reliquis anguli.s ,SC totus triangulus toti triangulo.Qqibd fi bafis vnius cfl: aqualis ba fi alterius in ciidem,erit aqualis angulus.a. angulo.b.cum fit ^qiia lis inclinatio laterum aqualium- TertiaPropofitio.& Eucl.y. Si duo latera alicuius triangulifuerinta:qualia,angu!i qui fk^ra hajim,erunt gquales.Qmdjilateraprotrahantur,an GEOMETRICA ELEMENTA, guli emmquifuh buf^emmgquales. Sit triangulus.a.b.c.cuius latus .a.b.fitacqualelateri. a. c. dico qubdangulus.b.eftatqualis angulb.c.protrahantut duo lia'C late raaqualiter vfquead. d. &.e.& producantur.d.c.&’. b. e.intclligo duos ttiangulos.a.c.d.&.a.b.e.quotu quilibet copofitus eftex fuperiorijSc altero eorum qui fubbafi: hi fc habent fecundum difpofitionem procedentis. Latus enim.a.d.lateti.a.c.eftoqua l'e;fimilirerl3tus.a.b.latcri.a.c.& angulus. a. conitnimis: igitur, d.c &. b. e.bafcsajqualesfunt.-St duo anguli.a.b.e.&.a.c.d. etiam qquales. Rurfus trianguli qui fubbaiim,eodcm modo le habent: nam pOc tio.d.b.ajqualis cft portioni.c.e.&linea.d.c.oftenfa ert-icqualis li nc.'c,b.c.&: angulus.dangulo. e. vnde& angulus. d.b.c-oqualis eft angulo.b.c. e. qu» eft fecunda pars ptopofitionis.Itera angulus, b. c.d.aiqualis angulo.c.b. e. quibus demptis ex angulis a.b.e.&.a.c. dlxqua!ibus,rem.anentanguli.3.b,c.&.a.c.b.oquales,quo eratpri mapropofitionis pars. Charta Propofiiio.Eucl. vcro.ij. Exgunflo in data lineuf gnato conflitum angulum', dato angulo gqualem- Sit data linea Stpundlum in ea Cig natura. a. angulus vero datus. b.dua.. bus igitur lineis continentibus angu lura.b.addotcriiara perficientem tri angulum quomodocunque coiningattexprodielaaurem linea, a. capio tres portiones a:quales tribus lineis triangulum conftituentibustita vtin ' pundto.a. terminenrurdua: squales duobus conftituentibus angulum .b.&per dodlrinam prims huius coplcatur triangulus,qui ncccilarib per pr.scedente fecun dam,eritoqualis cum triangulo.b.&quia finguia latera lingulis 1a teribus,angulifinguli lingulis etia angulis squales fic angulus. D4 k B/ GEOMETRICA ELEMENTA., a.angulo.b.cqualis eritiper conucrfam fecunda:. Quinta Propofitioqu^ Eucl.p. Angulum datumper gquaha diuidere. Sil. .a, angulus pei' a;qiialu diuidendus. Dua: linea continentes angulum fecentiiv atqualiter vna tertia, qua fit.b.c.fupct hanc(vt bafim)conftituo perprimam triagulum a:quilaterum.b. d.c.&apuniSo.d. ad pundium.a. duco redlatn per primum poftulaiu.qu^diuidet.-ingulum.a.in duos angulos cquales;fiquidem &totam quadrilateram in duos ijqualcs ,&equiangulos triangulos (vt patet)per fecundam hii ius. SextaPropofitio.Eucl.verb.iT.Si.tJ. Super datam lineamperpendicularem Ineam erigere. Sit linca.a.b.fuperquam perpendicularis e!l:erigenda:& primo propo. natur, perpedicularem apundlofignatoin eadem(putiipundfo.c )erigi debcre:capio cx illa .a pfidlo illo duas aquales portiones vttinq;,fuper quas (vt bafim)coii Eituo triangulum ^qui laterum :Et.n puiidlo. c. ad angulum oppolitum duco lineam rc<5t,im, illa efl: perpedicularis. Siquidem duo tri • anguli, in quos diuiditur .tquilater, h.ibet latcr.1 vnius aqualia lateribus alteriusiScdc fingulos angulos vnius lingulis angulis alterilB; quofit ,vt duo qui fiint ad.c.fintequales,& pro' iiidc redliiS: liclinea perpedicularis. _ Qu,i>d fi .1 pII ndlo extra lineam talis perpendicularis debet duci vt cx .d. fiat portio circuli.apiindlo iilo inter lecanspradidlam lineam induas par C? ELEMENTA. GEOMETRIC^^ 17 res,proJii(5li eadem flopus ffierit; Sili pOntdo extra lineam ad in torfeiitiones peripherice ducantur dua; ic(3a;;& angulus.d.diuida tucperpricedentem in diibsqualia: linea enim diuidens erit cjii^ /ita perpendiculatis.-lunt enini duo anguli, quos cum priori linea Cauiat aquales ,&.fic redii :riain duo trianguli in quos diuidituc prior,,T:qualium laterum lunt &aqualiuin angulorum adinuice; vt patet. . Septima Propofitio. Eucl.vcro.i j. Si linea reBafk^eraliam refiam ceciderit :duo anguli ab illis conjlituti,aqualcs erunt duobus reflis. Ha:cpi'Opoficio cx cjuantiratc angulorum cft manifcn:a:cum cnim(vt di*5luiii cfl) quantitas vnius rci^ii fit quarta pars circuli ,duorum redtoru erit femicirculu,c.‘duo aurcni anguli pca;dii5bl (quomodocunqjlincafupra lineam cadat) quantitatem Rdcirculi:.qi^pd;/i dicglarireV qdic jmaniFcfti fy ntiqguli rc(5H ;in aurctn, qui illoriiin obruTus efl, tantum exccdicre(5lum quantum acutus exceditur a re<5lo. Q^o.d facile oflendi tu r,dii<q:a perpcndiciil.iri apunconra(5lus linearuin;cfl.n.exccfrus idem vt vj/u patGt. Oifliaua propoficio. Eucl. 1?. '* Dug linegJe mutuofecantes, caufantAnguloscontra gpjitoscquales^ 5tntdua:linex rcintcffecarcs, «Sr co’n Aitucte.s quatuor angujos, fu pariore &infcrioremjdcxcni &finiAiuidico qubd fuperior xquahs cA inf.-riorirfi inilitcr flniAer dextro. Si quidcittfuperior cum dextro per prxcedcntcm «quales funt duobus retiis: fimiliter dexter cum infcriorixqnalcs duobus ‘re‘<itis: vndcli dexrrum communem auferas ,remanent aequales fuperior &infenor :dc codetn modo probabis dedextro 6c finiat GEOMETRICA ELEMENTA: ftro:fc tales fuutquicon trapofiti appellantur^ Nona Propofitio. EucLia, ' Si linea reflapiper duas aque dtflantes ceciderit, coalterni anguli erunt aquales: &exmnfecus gqualU intrinfecoft ht oppofto:& duo intrinfeci ex Mnaparte, duobus reflii gquales- , . Q^od vitimo proponitur in bac .. propofitionc ex diffinitione atque di ftaniiu li ieaaucu vltinjopoftulato, Z' eft manifertuf Na fi diio i!lnnttinfe_ ciangulinofitntatqualesduobus re dfisjcit vna parte maiores ,&ex alia erunt minores.Vnde lincte ili? con- — currerent taiidemi& fienoneflent ^uc dirtarifesiqiie taiiien pofiire fut ?quHiftare, funt igitur duo anguli infer atque difiantes cornprehen fi ,ex altera parte ?quales duobus retStis :tuiTus in partedextfaexttinfeoas firperibrangultiscliin firo cbtirettniqali iptrinfecosacquiales efiani funt duObusyedtis perTepHtnam pratccdenrem: vnde fi prcdidlam fiipericremintrinfecurn auferas» remanet ille exttinfecus fuprernus fqualis in trin feto inferiori, qui cft fibioppofitustitem extriiifecus idemfupremus pe.rpr?ccdcntcm eftat4 qualiiinfrfiifeco nnifiio fitii conrra pofitotAr ilieeft coalternos in feriori dextro, erit igitur illi ?qualis: per illam communenvfenteliam, qu?funt ?qualia vni cectio,runc?qua1iamtccre. ., ** VPteima Propofiiio, Eucl.jx. Si trianguli lamprotrahatur,fietangulus exteriorduolut; internis &opppfitis gqualtsiymde tres tntermangult, du» hus reflisfiunt gquales. : ' Latus.b.c.triagufi ab.c.protrabaruridicoqnod angulus. cqui ' extra triangulum coufiAitieft ?qualis duobus angulis.a. & GEOMETRICA ELEMENTA. i8 inna triangulum funt fibioppofiti. Et puntac. ducatur lineaeque ditlans. a. b.qu^diuidet pr^didlum angulu-c.externu in duos; quorualtijr qui coniUndus cfttriagulo, eftcoalternus angulo a.dc.fic illi aqualis per precedentem !reliquus vero eil extrinfecus &OppO' /itus angulo, b. &fic illi ^qualis per eandem. Etcilm tptus.clextetiorcu angulo. c.intctiorf yaleant duos re- <Sospcr.7. patet corollatiumfquod tres anguli trianguli valent duos rc dbos. Inde etiamfequitur, cuiuslibet figura multorum angulorum omnes angulos fimulfumpios tot aquales el!erodtis,quoc ipfi /uc duplicati.deptis fcper quatuori.vt tria guli Ites anguli duplicati fiu nt. S,',deptis. 4. remanent duo*. Quadrilateri , quatuor duplicari funr.S.dcmptis. 4 . remaneri t. 4. Pentagoni quinque du~ .plicati funt.io.^qualibiis deptis.4 re manent. (J.5cfic de cjceris. Nam apu ftoin medio figur^ad omnes angulos fi duc,is lingulas lineas; tot conficies triangulos quot erant anguli: Sc cuiuslibet triangulorum tres anguli aquales iunr duobus rediis; demptis igitur in qualibet figura illariim. 4. quos valent omnej fimulqui funt ad punftum in medio figui;, relinquuntur luptadidti. Prstereareqtiicur, omnes fiinul an culos externos cuiuslibet figi' re redii linee squales efle quatuor redlis prae . cife :cum enim externus cuminter-r^l no femper equiualear duabus redlis; &omnes interni (vt didliim efl )valeant fingiili binos redlos minus. 4,rc linquitur,omnes extetnos necertarib quatuor redlis effe equales. Qubd/i GEOMETRICA ELEMENTA. Utera figur^ multorum angulorum adeo protrahantur, vt feeul. do concurrant (vt in pentagonis.Sc plurium laterum figuris con, tingit:) tunc anguli qui ex concurfu,fecundo fiunt, qui Sc egredie tes appellantur, fcruant fimilem in quantitate habitudinem tvtCcilicet prima: figur? cgrcJientium angulo rum, quinque anguli duobusredlis fine Jtquales &inde proquolihet angulo addantur duo reili; tjuem admodum in angulis ptiinis d((5um efi:, 1’roBatur hgc In penTagono.a, b. C.d.e.capc triangulum, a.f g. an^ gulus.f efi exterior ib triaiigulo.f.c. c. vndeequalis.c.&. e. angulus ite. g.exterior eftin ttiangulo.g,b-d.& fic.g.xqua!is,b.:?c.d.at.f.& g. cu m.a.xqitalesfunt dtiobiis rcilis.igitur quinque illi egredientes duobus, rcilis funt^xqualcs'. Sic, 6.anguli egredientes c.xagoni uattior rc(fi:is:ji.tt fepttm heptagonifex reblis equ ales futi tfife coem modo de reliquis. Q^bd fi tenid lineas concurrere continjgat (,quod primum in ' figura leprem laterum dontingitifcptcm afiguli fecundi ordinis egredientium valent duos re£tos: &ficin ali;s figuris pro quoli, bec angulo addendi funt duo tcdli;eodcm medo de tertio &quar to ordine egredientium. Sed de his plufquam fatis :^arum enim vtilicatis habet harum figurarum confideratio. Vndecima Propofitio.Eucl.jf. Omm<tpAralldogriimma,fiijter eandem hapm,'\>elfufer<i~ quales hafes pcSt* inter lineas aque dijlames conjijientia; funtaqualia.- Parallelogrammafunt figur^quadrilaterx.qux angulos oppo fitos &latera oppofita habent xqualia: fint ergo intctduas, ?que diflantcs:ab.& c.d &lupereandem bafim dusfigurx parallelo, - gtammx, quarum alterafit tciftangula.alterafit thomboidcs:du>- G£0METRICA ELEMENTA. ip (ftiscx duobus ^nglllisq^iinblfi^el^llngu!a: duabus lineis paralie lis, qCiie quidem vno;ex tribus modis contingit vife habeant cum lateribus primae Hgura: reftangulx: V\quia latus rhomboidis quod exangu \\x, lo. c. vel non attingit latus redlan- \\N\lguli oppolitum. vcl tangit tantum A>1 in angulo oppoiiio veliplum interfe li-ii»i II 1»" cat,quomodocunquecontingat, di- \\lrciSlangulum a;quale rhomboidi. \In prima fiquidein figurationcdiio ,y--^quifiunt trianguli funt iquales :& '•jj irregularis figura(qua: cfl inter illos) communis vtrique :vnde addita illis remanent figur^irquales. Probatur autem quod trianguli fune aquales :duK enim linea: perpendiculares aequales funt quialatec ra parallelogrammiebafes etiam .Tquales funt, quia ex duobus a:- quilibus lateribus pafallelogtammorum ablato quod incer illas bafes intereft, neceiTatib remanentsquales :fed &anguli aequis lateribus contenti funt rctflitotus ergotriangulus toti triangulo xqualis.Si verb latus quod erigitur pro rhomboideex.c. contingat oppofitum latus rcdlanguli in angulo oppolito ,tum elatius patet ;fiquidem tota figura diuidirur in tres triangulos a:qualcs: in quorum.vno communicant duo illa parallclogtamma, &cuilibet rellat alius peculiaris: funt igitur a:qualia; quoniam a-quali- busidemcommuneaddimus. In tertia vetb figuratione eodem modo patet, nam duo latera rhomboidis cum perpendicularibus redianguli ,caufant duos n:qualcs triangulos communicantes in alio triangulo :quo fublato ,remanent dua: irregulares figurae xquales ex triangulis: quibus fi addas triangulum aliu in quocorhmunicant teilangulum 8crhomboidea, remanent aequalia eadem parallelogcamum 5crh6boides:quod erat probandum. Inde facilecolliges.fuper atquales bafes in ter aeque diilantcs lineas, parallelograrama cn'ea;qualia;vt redlangulum.b.re(51angii lo.c. funt enim aequales vni tertio fcilicct thoinboidi. Duodecima Propofitio.Eucl. 41. \It) ELEMENTA GEOMETRICA. Sit linea.a.b.qu.tefl: latus quadrati maiotistqua: diuidenda eft vt hxc propofitio aderit :&fiat quadratum exilia: latus quadrati infimum diuidatur in duas medietates in pundlo c.^uo ad angu Ium dextrum ftipcriorem ducatur lincatad' cuius squalitatem pto trahatur latus illud infimum ,ab eo dem pundlo.c.in dircdlumtremanec neccflario portio qusdarti irtius line? extra quadratum :fuper quam portionem conficio quadratu extra qua dratuin prius;&: latus Tuperius illius quadrati fecabit lineam priorem in pundlo.d. illud pundifi eft quod qu^ rebam. Protradlo. n. latere illo fuperiori minoris quadrati vfq; ad latus oppofitum maioris,diuidetut quadrarum maius in diioparallelogramma :quorum fuperius eft 'a-qual equadrat oparuo. Quod ita probatur ;intelligatur infima il la linea.b- e.diu-ifa per medium in pundlo.c.8f illi addita pars qu^ eft latus quadrati parui erit per. j. prarcedentem :quod fit ex tota in iftara additam cum quadrato medietatis: tcqualecompofiioei inediet:tte &add ita; Sc inde quadrato illitis qua:a punifto.e.adan gulum dutfta eft; &per vltimam primi iftiusiquadratis duarum li ncarum.c.c. &.f. e. continentium angulum tcdlum triangulicxpr.Tdidlafadli. Vndefi vtrinque auferas quadratum medietatis fu pradidlum remanentaqualia, quadratum prioris linca:,& patallelogrammum compofitum ex paruo quadrato &inferiori parat, lelogrammo. Et fi ab hisatqualibus demas praefatum inferius paxalle!ogrammuin:aqualia manent parallelogtaminum fuperius quod ex tota linea. a. b. in partem fuperiorem, &quadratum partis inferioristquod erat dcmonftrandum. Hicin nurocrisnon o. ftenditur;erit tamen ncceftaria in fcquentibus:quia diuiditur hac diuifione linea fecundum rationem habentem medium &duo extrema .. SextaPropofitio.Eucl.iil Jw mdnTulis ohtufan^ulii, quadratum lateris oj^j^ojltiangu lo ohtufo matus ejlduohtts quadratis reliquorum lateru, ^erduoqiarallelogramma quafiunt exym illorum late- ELEMENTA GEOMETRICA. 23 rum, in lineam tjHaJthi dditinfia adperpendicularem , ab ohmfo anguloprotrahitur. Sit inpr^fcnti triangulo .angulus a. obtufus. &linea. b.c. illi, oppo/iiaadc)atut^;linceb.a.in coiinuualia linea :ad quaexputo. e. perpendicularis ducat ur.c.d.Iam linca.b.d.perpriinaiftius tjue Euclidis eft.4.diuidirur in pundio.a. &per eandem quadratum ipiius valet quantum duo quadrata fuatum partium, &lius duo pa rallelogramma e.x vna parte in alteram: fcd per vltimam primi praicedentis, latus. b.c.poteft quantum.b. d.&.d. c. eo quoo angulus. d. eftrcdtus ;erit igitur quadratum lineai.b. c..'equ ale tribus quadratis linearum. b.a.&.a.d.&.d.c.&pr?tereaduobus parallelograrrmis ex.b.a.in.a.d. At vetb pereandemvltimam primiqua dratum lateris.a.c.v,alet duo quadrata lincarum.a.d. dt.d.c. Qn.i dratum ergo linea;. b.c. valet quantum duo quadrata linearum. ..b.a.&:.a.c,& vitra duo parallelogramraa ex.b.a.in.a.d, quod erat probandum.. Septima Propofitio.Eucl.ij. Latus quod opponitur angulo acuto cuiuslibet trianguli tanto minuspbtejl reliquis acutum continentibus ;quan tum eft quodfit ex Vno illorum bis duBo in illamfuipar temqua efl interacutum angulum &perpendicularem ab oppofito ^bi angulo dudlam. Haic propofitio. 13. fecundi Eucl. tenet tam in ortHogonijs qua in ambligoni;s &oxigoni)s triangulis, quilibet enim ttiagulus ad minus habet duos angulos acutos. vnde ad latus ejuod commune G3 ELEMENTA GEOMETRICA.' ertJuobus acutis :perpendicularis ex oppofito angulo dutfta; neceffario cadit intra triangulum, &(ic(i't inpradlica Geometrica di ceturjomnes trianguli hac demon (Irationc metiuntur, (it itaque in triangulo.a.b.c.angulus-c.acutus latus.a.b. illi oppoiitus : cuius quadratum dico minus ede duobus reliquorum laterum quadratis: per duo parallelogrammaex. b.c.in. d.c. Quoniam enim linea.b.c.diuifa eft vt cunqs in pudlo.d.erit per quar tam procedente qua: eft.y.Eucl. qua dratum totius.b.c. cu quadrato par tis.d.c atquale duobus parallclogramisquatextota.b c. in eandem parrem.d.c.dc quadrato reliqux partis, b.d. quibus squalibus fi addas communcquadrarurn .a. d.remanebiinc ex vna parte tria quadracalincarum.b.c.5c.d.c.&.a.d.& ex altera duo quadrata li iiearum.a.d.&.b.d.Sr duoparallelogrammapratdidia squalia,at quadratum lines. a. c. per vitimam primi: squum ed duobus qua dratis.a.d.&.d.c.ponaturigiturlocoi!lorum:& erunt duo quadrata duoturalatcrura.a.c.&.b.c.squalia duobus quadratis.a.d. &.b.d.(imulcum duobus parallelo grammis fupradidtis ,per ean dem vero Vltimam primi quadratum lateris. a. b. squale ed duobus. a. d. &.b.d.fupcratur ergo aduobus quadratis reliquorum laterum per duo parallelogramma ex.b.c.in.d.c.confetda; quod erat dem ondrandu m. Finii Secundi Elementi- 24 Elementa Geometrica. Elementum Tertium. Definitiones. Circuli quorum diametri junt aquales ,funt i^Jt aquales: Cir cuius diameter maior, eJl maior: cum 'fero mi- nor, minor. Linea dicitur contingere circulum quatangens :vtrinque produLla ipjum nonfecat. Circuli etiamfe tangente^ erunf.cum fe tangentes non fecant. SeBio/tueportio circuli efl: qua reBa linea intra circulum , quacorda.ajspellatur cy ^arte circumferentia qua arcus dicitur continkur. ..Angulusjgortionu efl, qui alineis qua exterminis corda in aliquoguriBo arcusproducuntur caufatur. SeBorcirculi eflfigura, qua duahus acentro ad circunfere tiam lineis reBis 6" parteperipheria continetur. . Similesfuntportiones:quorum angultfiunt aquales. Prima Propofltio. Dataperipheriafimeparteperpheria circulr.inuenire cen~ trum .. Huieprime Eucl. vifum efl iungere. 15. eiufdcm :fafile enim confequituripfam, fit ergo primo peripheria totius circuli data: cuius centru inquirimus, huic apto lin cara redlam vt intra circu- GEOMETRICA ELEMENTA.’ Ium quoinodocunq; cadat: &eias extrema /Int in circunfcrcntiaivtlinca.a.b.hJcdimdopet aiqualiain pundto.c.atq; inde erigo perpendicularem ftipcripfam; qua: vtiinq; protraftaeritdiame. ter circuli:&itadiuii'a pcra:qualia Iiabctiii medio certum. Quod enim in nullo aliopiinfto pofsit effcccncrura p.atet, namin oade ]inc.inon:quia femi diametri non ef fent xqualct. i..icentroad circunferenti.ira; quod cft contra definitione circulijfcd neqi extra lineam :natn (i eiTet vtin puiidio. d. ducam lineasa terminis prioris linea::5c amedietate ipiiits ad prasdidtum pundium .d. erunt duo trianguli quotum latera vnius ,lateribus alterius elTcnt Kqua lia.vnde &: anguli etiam «cquales. vn de &anguli qui ad. c. atquales., &ile teiili: fed quifiebant ci linea perpendiculari etiam erant retSii, & iunt refpedlu illorum pars St totumifequercrur igitur quod pars edet teqti alis totiquodeftimpoffibile, nam oes anguli redii funt tequales. Hincfacile patet; fiue toti periphlstii fiuc cuilibet cius parti duas rcdlas applices :5c cx medicta7 te illarum erigas perpendicularcstcu in vtraqjfitcentrujcirencceffarib in pudlo interfedlionis illaru.vtin figu rapatetiatq; hinc habetur mod’ per ficiendi in cuplctu citculu. Inde etia paret,per quscuqj tria pudla qua; ta men non fint.in eadem linearcdla, poiTenosdefcribecedrculum.-nara cx medietate cuiuslibet duarum linearum quae aduobus illotum ad tertiam diicunturtpoffunt duci duo perpendiculares ad eandem partem :qua: fe in terfecabunt in puiidlo quod erit centrum, vt nfint tria pundta. a. b. c.ab.a.&.b.ad c.ducanturline^&amcdictateiliartim verfus. d. perpendiculares fupra ipfas oftendunt centrum, d. peripheris qutrlitae. Secunda. ELEMENTA GEOMETHICA. Secunda Propofitio.Eiicl.y. Si intra circulum ajignatopmlio extra centrum linea du cantur ad berifheriam iquaper centrum tranjtt erit omnium longiflima ,qua cum illa complet diametrum erit omnium breui^ima '.qua ah hii aqui diflanterunt aqualesIqua autem magis appropinquant longijlima funt longiores, cjr qu^ appropinquant hreuifstmgfunt breuiores. Hiccpropofitiolic probatur, apundto.d. extra centrum in circulo praticntiducantur ad circumferentiam lineae. vt.d, a, &. d. b. St. d, c. afTerit Iikc propoiitio quod linea, d.a.longior eft quam linea.d.b.& linea, d.b, quam linca.d c.Probaturhocquoniam II excentro.c. ducaturadpunifta.b.& c.linex facient triangulos cum prx> didfis &portione quz eft inter cen. trum circuli St pundlum. d.at duo latera trianguli.e. b.d.fcilicct.c.d. e. b.fimul longiora funr.b.dfdidtura eff enim in prima propofitione primi procedentis non pofTe fieri triangulum ex tribus lineis nifi duxillaru fint longiores reliqua) &eade.n duolatera funtiqualia.d. a. cu c. a.dc.e.b.fintfemidiaracrri &.d.c.&.e.a. fint partes linex. d. a. illa igitur longior efl: quam.d.b. Item in triangulo.c,e.d.duolate ra.C.d.&d.e.funt xqualiaduobus latcribui.b.e.&.e.d.trianguli.b e.d. angulus tamen mcentro trianguli, c. e. d. minor efl angulo qui in centro trianguli.b.e.d.vnde^cbafis.d c. minor bafi. d.b. ex maiori inclinatione laterum xqualiu. Item probo quod minor fit linea. dg.quam linea. d.f.qux.d. g. complet diamctril cu longifsima, nam.c.f.&.e.g.xqualesfuntquiaacentro. .Sed. de. Sc.d.f.fimul maiores funt quam.e.f.etgo maiores quam c.g non autem in portione.e.d.comuni ergo.d.f.maior eft.d.g.qux autem ®quc diftantalongifsiraa flue breuifsima ex dialis ptoba tut xquales vndenon indigent alia probatione. ELEMENTA GEOMETRICA.: Tertia Propofitio. EucI.S. Si apun0o extya circulum ad^eripheridm circuli ducant tur^lures lineg intra, eundem ,qu§ tranftt per centrum ejl omnium longijtima :ex reliquis vero,qu^ magis appropinquantlongifsimgfurit longiores ,portionesvero illarum qug manentextra circulum ,econuerfo fe hahenf.vt dlius qugpercentrumjtthreuifsima :&illipro pinquiores hreuiores. Eodem modo probatur ifta quo fupcriorrnamapundlo. a. extra circulum dudiis lincis.a.b.&c.a.c.cV.a.d. ad peripheriam in tra circulum J(i, acentro ducas liheam,e.c»eriinc in triangulo, a^ e.c,dun latera. a. c. &,e.c. fimul fu mpta longiora, a. c, &tame duo illa crar ^qualialinejc.a.b.quia. c.b.-sV .e.c.{un11'e midiamerritiufd c circuli ^i7c.^’quales; linea. a. e. ca dcmdgirur.a.b.Ion gior.a.c.Item an gulus quieftadccntrum in triangulo, a. e. c. maior e.flr angulo qui ad cen trum in triangulo. a. e.d.quiacontinet ipfum aliquid aliud, ergo bafis. a. c, maior cflbali..a.d. Qjabdau temin portionibus qua? funt extra circulum fit ^conuerfo, eodem modo probatur :fi ab eodem centro. e. ad interfedliones cum peripheria ducxintur Tinea; vr. c.f.e.g.in triangulo enim.a.e.g. duo ia tera.a*g.«5c.g.e.ruc longiora latere. a.c. at portio linee, a.e.fcilicec e. h.asquali.s eft lateri. e.g quia acentio ad circum fereria, ergo.g. a.inaior efl: h.a.Ite quiaad latera.a.e.Sr^c.g.funt aqualia duobus lareribiis.a.c.&.e.f.& in centro angulus. f.e.a.cfl maiorquaangultis.g.e.a.ericbafis.f.a.maioi bafi.g. a. Quarta Propofitio.Eucl.i 8. Si intra circulum in eademportionefiant duo anguli,Vnus ad centrum &alius adcircumferentiam:qui adcentru duplus ejl reliquo. ELEMENTA GEOMETRICA, Sit in prajfenti circulo in portione in.riori aterminis Iinc.i;.d. e.chorda:illiusportionis»nguIusin cerro.o.dicoillum elTe duplum angulo quolibet ejfirtcntc in peripheria; qui .-ib eifde chordx terminis produdlis lineis fiat. &primo dico quod cft duplus angulb.a. Ducatur enim linea. a. bi Sc intclligo angubim. o.diuifum. in duos angulos quorum vterqs dupl’ • cftracdietateanguli.a ergo totus.b.- " toti.a.fiquidera linex.o.a.&.o.e.a:'- quales fut, quia lemidiametri: arigu li igitur fu per lineam.a. e. xqu ales, & cum medietas dextra aiiguli.o. fit in illo ttiangulo angulus ‘eitrrihfccus; eft atqualis vttiqiie, ergo duplus .id quemlibet illorum .eodem modo dicediim de reliqua 'medietate ;totus.crgoangulus.o. duplus efi: angulo.a, Quod aate fitduplus angnlo.b. facile etiam patet, nam duo latera. o,b.&.o.'e.a:q'ualia fu nt quia femidiaraeiritergo an^tilifupra bafim.b.e.tcquales.Sc rotus angulus. o. efi: extrinfe cusfergb squalis vtrifq;; &fic duplus ad quemliber illorum Sc fic ad'.b'»Se'd &angulo. c. etiam duplus probatur,fl ducas diametrum. f.o.e.funt.n.tcqualia latera, o. e, &. o. c.ergo angulus. t.o. e.duplus ad torum angulum .c.compofitum ex priori &illo qui fit propter.f.c.&.d.c.fed angulus quietiamin centro addirus eft proprcrprtediiftain diametrum ,cftduplus illi qui in circunferentiam propter eandem diametrum addcbiitur angulo, c.eb quod ille efl cxtrinfecus in triangulo. d.o.c. rclidnu in ergo anguli.o.eric duplum fefiduo anguli, c. Remanet ergo angulus, o. prior qui ad centrum in pottionecuiuscliorda.d.e. duplus cui libctjn circunferentia ciurdem portionis :quod erat oftendqndum/ /.\ ' .i-, Qmn'fa Propofitio.Eucl.io. Omnesmtnih 'm circiinferentia emfdemportionis aquales funtadinuiceml '/ Hxceftqiiafi corollarium eorum qutedidla.funr iuiptaicede te: nam fi angulus in centro ell dupliis.id q.uencumque.in cir- Cunferentia .illiOllihes acCcifarib ftint tequales :quia medietates eiuldcm. Gi ELEMENTA geometrica; Sexta propofitio. Eucl.ix. Siin circulo quadriUterum injcnhamr.habec htnos anga los oppojltos aquales duobus reSlis. In circulo prxlente fit quadrilateruiti c^uomodocunqi.a.b, G.d.dc ducantur dux linex ab angulis.a.&.b. ad oppofuos ,iam intelligo triagulum.a.b.d. cuius tres anguli pcr.io.primi prscedctis qu* a.Eucl.xqualcs funt duobus re dlis.-fcd &angulut quieftad.c.elljqualis duobus illius trianguli angU' lis. Vtpote.b. c.a. xqualis efl: an gulo, a.d.b.quia fuper chordara.b.a. in ea dem portione fimiliterangulus.b.c. d. angulo, d, a.b.quiafuperchorda. bd.efi Igitur totus.c^qualis.b.a. d,&.b.d,a.& eiufdem xquilatcti xquales duobus rcdlis. Septima Ptopofitio.EucI.31. Injemicirculo mgulus qui adcircunferentiam ,reflus ejl: inportione maiorefemicirculoie^ acutus: in portione ve rominoreyohtujus. .luc Irvprxfentifiguraangulujremicitcuricft anguliis.d.a. c. que probo redlum cb quod aiqualis anguioextriDrcco,qui exprodu»- dtionelincw c.a.cauraiur, ^quodfii il:i «qualis probatunangulus. a. cs trinfccu scft aequalis duobus.d.&.c.pcr.io.primiqu^ clt 32.Eucl.red du(5la linea ^centro ad. a. angulus, a. intrinfecus coponicur cx duob us* fciliccc .d. a.e. «qu al c. c. d. a. &.e.a.c. aquale. c.c.a*pcr tertia huius quae Eucl. igituraqualis j cfl angulus.a.intrinfecusanguid.a.j extrtnlccoj .& fic vterqj. rcflus,pct’^ definirion em anguli rcAi; at tam an gulus.d.quaangulus.c. quia in por lione maiore femicirculb minor cft icdOjquiapcr.io.fupradi<5taomiies tres iimuj «quanturduo» ELEMENTA GEOMETRICA, zy bus reffis, cum ergo vnus cftreiSus quilibet reliquorum minor cftreiSlo. Qjuod autem angulus, b. in portione minore fit maior rcijla, patet ex prarcedente.namin quadtrlatcro.d.c.b.a.duoarguliop ofiri.d.&.b.aquales funt duobus rc<Sis;fcd angulus.d. (vt proatum cft) minor eft reflo tergo angulus b.erit maior reflo. Oflaua propofitio.Eud.j 4 . Si dug Itneg reSlgJe intrd circulumfecuermf.reEiangulum i^uodfith duabusgartibus 'vnius illarum continetur, g- ^ualeefl reSlangulofubgartihusalterius contento. Duarlinea: rn circulo feinterfecantes.autamba: per centri! tranfibuntj aut altera, aut neutra: fi amba, cum vtriufqypanes fintxquales (quia femidiametri) clarum efi: quod quadrata crut zqualia:fia!tcra tantum tranfitper centrum,vel fccataliam in partes quales, vel ina:quales :fi In xqualcs (vtin prima figura) ducam acentro a.lincam:a.b.erit (pcrfccundam fecundi prxcedentis qux cfi. Eucof.) quod fit cx.e.c.in.c. d. cum quadr.a- to .a.c.a:qualequadrato.a.d.&fic quadrato.a.b.& per vltimam ptimi procedentis quadratis duarum linerum.a.c.&.c.b. Deptoigitur vcrini qjquadrato.a.c.remancr parallelogrammum ex.e.c.in.d.c.iqualcqiiadrato.c.b.quxcfi medietas totius linex.f.b. Qubd fi per inxqualia intcrfecet ,vt in fecunda figura inter fecatdiameter.g.a.f.lineam.c.b. ducatur ex centro ad. b. c. perpendicularis.a. d.&’. per eandem fecundam frcuiidi pra-ceden- tis, quod fit ex.g.e.in.e.f.cum quadrato.a.e.& per vhim.ani primi cum quadratis.a.d,& .d. e. erir aquale quadrato.a.f.&: fic qua diaco.a.b.&per eandem vltimam duobus quadratis. a. d.&.d.b. G3 c ELEMENTA GEOMETRICA. Sit in pracfenti circulo linea.a.b. latus triaDguliiquilateri,& linea, a. c .latus pentagoni etiam icquilateri .arcus, a.b. excedit arcum, a. c. per duas tertias, a. c. Di uidc igitur arcum, b. c. per a:qua. lia ,duiifo angulo in centro quierat ex femidiametris .d.c.&. d. b.&duc chordas in pr.T:di£las diuifiones ,eft enim quatlibetdiuilio illarum quindecimapars totius circunferentia:: lam apta squales illis in tota circunferentia, proueniet quindecagonuspropofitus xquilater &fiesqui angulus . Ptoleitieusin primo magn.!: conftrudlionis ,ex proportione laterum figurarum circulo inferiptarum docet per chordas in uenirearcus, &econucrfo: quodlibet latus quantumcunqj paruumin duo squalia diuidit 2quod &nos facilefacicrausdiuifo anguloin centro per ajqualia: &inde habentur in circulo inferiptiones figurarum duplorum laterum ad eas quas docuimus inferibere .Cattcriimquouiam angulum in tres-equales Euclides non diuidit, &Ptolemams ncg.it poiTediuidi (quam Ilis archiincdcsipfum diuidat )ireliquatum inferiptione liiper fedendum cft. Quarti Elementi Finis. 3« Elementa Geometrica. Elementum Qjunmm. DcSniiioaes. Proportio ejl duarum magnitudinum eiufdem genensad inuicem hahimdo quadam. Progortionahtas ejljimilitudogrogortionum. Eandem dicuntur habere gorgortionem grima magnitudo adfecundam ,quam tertia ad quartam :quando aquemultigliciagrma &tertia,ad aquemultigli ciafeunda &quarta eodem modofi habuerintin §- qualitate "vel inaqualitate. Qmndo tres magnitudines continue grogortionales fuerint, grogortiogrima ad tertiam ejlduglagrogortione grimaadfecundam. Quando vero quatuormagnitudinesfuerint continuegro gortionales,grogortiogrimg ad quarta ejl trigla ad gro gortionemgrima adfecundam. Quoniam cum cJe numeris tradlaremus diximus id quod vi debatur ad introdudiionem pro rationali proportione pertinere, pauca nunc quidam propter irrationalem proportionem atl denda funtipertinet enim quicquid didlu cftin proportione numerorum ad quantitatem etiam continuamivnde non oportet illud repetere. In his autem principias notandum eft, quod qua do dicimus eandem proportionem dicuntur habere &c.deiini« tio eft magnitudinum proportionalium ;& quoniam definiuntur per proportiones aqu^ multiplicium ,qmquidem velm»’ ELEMENTA GEOMETRICA.’ gis vclarquefuntincognicar, intelligaraus oportet definitionem dari vnili trfalem de proportionalibus quantitatibus tam rationali quam irrationali proportione,&quodpernullos terminos clariores potuit definiri ptoportionalit3s,quhn per multiplices. Quamuis enim reuera multiplicium &fubmultipliciu eadem fit proportio ,tamc etiam fi diuerfa fint multiplicia deprimi ter tij amultiplicibus fecudi &quarti,femper eadem erit proportio in magnitudinibus proportionalibusiquod non contingit in im proportionalibus; &ficnon omnino inepta efl definitio. °•Etlicet conueniat omnibus tam rationalibus quam irrationa i•^libus, non tamen erit in conueniens Cclatitatis gratia exempta ponamus in numetis,& ficin rationali propottionetdum modo iS .i<S- intelligas dpdlrinam vniucrfaliotera quam qusnumeris coprobenditur, Sintqtiatuorquantitates proportionales, ita vt prima ad fecundam fe habeat in fefquialtera proportione vt. 5. ad.». & in eadem tertia ad quartam vt.tT.ad. 4. multiplico per ternariu primam &tertiam, fiunt.n.&.iS.Mulciplicopctquatcrnatium iecund.ani &quartam, fiunt.S, &.!(?. Multiplex ptim.x’ (fcilicet. 5.) fe habet ad.8. multiplicem fecundsin fefquiodlaua proportione multiplex tertis (fcilicet. 18. ad. 16. multiplicem quart.T:in eadefefquioi5laua;vndeilla:quatuor quantitates eratpto- ^rtiohales. «n IO. Quod fi quatuot quantitates non proportionales fumas, fit }. »• primsadfecundam itidem fefquialtctaitertis veto ad quartam 4-?iefqui tertia ;ad primum &tertium fu mantu rmultiplices fecujz. J). dum ternarium :adfccundumautem &quartum fecundfi quinarium :eft multiplex primz ad multiplexrecundsinfubfefqui nona proportione; multiplex autem terti jad multiplicem qtiar ts in fubfefquiquarta proportione tifttcenim quatuorprima quantitates iraproporrionales funt. Quod autem dicitur, qubdin tribusquantitatibus continue proportionalibus proportio primi ad vltimum eft diipiapropor tioncprimiad fecundum, facildintelliges verum efle, fi memini fti proportionem extremorum confurgere cx proportionibus in termedijs ;fi enim iungas duas .squales proportiones ,qiizcon. furget dupla erit adquamlibcr earum.& hoc contingit in tribus continiieproportionalibus, eadem enim eft proportio primi ad medium, qusmedij ad vltimum. vndeinillaquseft primi ad ELEMENTA GEOMETRICA. 32 vitimum eftbis eadem proportio, &ideo duplaad vnam illaru. 3.6. vt fihos tres ter minos in nniiicris.i).6'.4. (quifunt in continua <5.4. fefquialtera proportione) iungas, conficitur dupla fefquiquar- 54.14 ta, qiiffi cfl:inter.i).&.4.diipla adfcfqui alteram. Eodem modofaciU intcUigcs, quomodoin quatuor proportionales terminos proportio primiad vitimum cft tripla ad proportionem primi ad fecundumrfi attenderis quod proportio pri mi adfecunduro, efl ter inter illos cxtremosiin numeris enim facile cft hoc videre, vt in figura prafenti paret :vbi quatuor nu 4• meri in dupla proportione.i.a.4.8.conficiut odluplam ,qua; tti“ 4• pia eft ad dupla m;quia in odlupla ter continetur dupla,v tpatet. PrimaPropofitio.Eucl.y. ^ St duis quantitates aquales adMnamaltam comparentur^ eademerttproportio &cuiuslibet earum ad illam,-& illtus ad quamlthet diarum- Haicconclufio adeb facilis eft &plana,vt fere innotefeat eius veritas ex cognitione terminorum .Nam dute quantitates squa les ad vnam tertiam ,eodem modo fehabebue in atqualitate vel inacqualirate-. ita quod fi vna excedit, excedet &reliqua: &fi ex ceditur vna, exceditur &a!ia:& femper eodem exceflu: vndeno eft opus demonftrationealiqita. Secunda Propofitio.Eucl.8. Si dua quantitates maqualesad Mnam tertiam comparentur, maiortllarum maiorem ad tllam habebitproportionem, quam minor.illa Meroadeafdem ex oppojtto, admaiorem minoremproportionem: quam admi norem • Hacpropofidofqua; in numcrispofitaeftquinta) repetitur folumodo, vt intelligamus habere veritatem in omnibus quan titatibus :fi quidem (vt ibidem oftenfum cft) in proportionibus maioris inxqualitatis illa eft maior altera, cuius maior extremitas magis excedit minore:in proportionevetb minoris in.-rqua- litatisiTlaeft maior .iltera, cuius minor extremitas minus exceditur amaiore Exempla vtriufq; funt ibidem clariora, qua qn.T hk debeant iterum adduci. IJ. 4 ELEMENTA GEOMETRICA; TectiiPropolitioEucl .if. Plines eodem modo multi^hcium eandem hahenrcumil~ lisproportionem. Alio modo folet hoc idem dicirfcilicet multiplicium &fubmultiplicium eadem eft proportio. Sc hac etiam de fe eft mani-i fcfta terminis intellcdiis: nam quis non videat eandem efleporportionem inter. too.Sf. 50. quam inter.io.Sc. j. iiquidem vtto. biq; maior continet minorem bis;&per queracunq-, numerum multipIicenturquantitates,fcmpcrptodu(5ta habebunt eandem rationera:quia ficutvnum totum adfuam medietatem, ita dece talia tota ad decem tales medietates. Et iflra propoiitio qux necef faria eft ad pluta in fcquentibus ,tamen potuit aiTumi tanquam per fe nota :& ita aliquomodo pr?fupponiturad defimttoncs proportionalium,& inapropottionalium quantitatum. Quinti Elementi Finis. Elementum Sextum. Definitiones. Similesfigurafunt, qua hahentfingulos angulosvniusfm gulis angulis alterius aquales: latera illos contmen - tiaproportionalia. Linea dicitur diuidi ,fecundum proportionem hahentem medium &duo extrema: quando eadem efl proportio torusad maiorempartem,qua maioris adminore. t^hitudofigura eflperpendicularis dMertice ad hajim e~ duBa . Proportio componiturexproportionibus quarefultam ex multiplicatione earum quantitatum, quatales proporrioirs co.nBituehant. Simi- ELEMENTA GEOMETRICA: 35 Similitudo figurarum in duobus confidit.-quod fcilicetan. gulifint ajqualcs, &latera proportionaliaudcft, ficu tduo latera continentia angulum in vna figura, ita duo continentia angulu illi aqualem in reliqua.Porportio coponitur &c.quia(vt in numeris didtum cft) proportio extremorum confurgit ex propoc. tionibus intermediorum :vndeadconiiingendas plures propoc tiones(vt dicebamus) multiplicamus ad inuicem priores fiue an recedentes quantiratcs;&in alio ordine fecundas fiueconfequc res ;coufurgunt.n.cx tali multiplicationequantitates in prdpor tioneillacompofita. Hoc tamen aduertendum cft in multiplicatione tam antecedentium,quam confequentium: qubd fi fue ; rint plures quam du.i;,oportctraultiplicati primum per fecundum, &prodadlum per tertium :&fi plures fuerint, produdlu ex tribus per quartum ;&ficconfequenter .Vr in praifenti figu ra duco. f.in.4.fit.io.ipfum in.j.fit.tfo.quiin.i. fit. lao. eodem modo deconfequcntibus.j.ducoinj.fir.»?. quiin.i.fit.iS.quiin vnitatem remanctidem iS.vnde dicemus quod proportio. no. ad.iS.fidcftfexcuplafuprabipartiens tertias) coponitur exqua ruor proportionibus. Dupla,fefquialtera,fefquitertia,& fuprabi partiens tertias. Propofitio prima. Trimguli&‘j?ardllelogramma eiufiem altitudinis ,halentadinuicem diam ^roj>omonem quam earundem ''es. Sipara! lelogram ma funt e iufdem al titudinis, polTut po ni inter li nc.is para llclas.finr ergo. a. b. j. parallelogrammum vnu.&.c.d, aliud, &b.ifis.c.b.fir adbafim. f. d.in aliqua proportione :dico quod in eadem fe habet par,tlle- / i. t) i. X. 4•} !• ?• lao. iS* ELEMENTA GEOMETRICA: logramroum. a. b. ad parallelogrammum. c. d. produco bafim vtriufq; dc fiimoiii linca.b.h.duas partes squal es. c.b.in quibus compleo parallelogramma (erunt enim tria a’qualia}in linea au tem.f. g. fumo vnam aqualem, f. d.& compleo parallelograminum ,erunt ergo duo aqualia.Sicut ergo tres portiones aquales in linea. li.b. ad portionem. e.b. ita parallelogrammum compofitum ex tribus illis ad parallelogrammu.a.b.& ficut tota.f.g. ad partem, f.d. ita totum parallelogranimum.c. g. ad. parallelo, grararo um.c.d. erant igitur per definitionem proportionalium quantitatum bafes ¶llelogramma proportionalia; ficut ba fis ad bafim, fic parallelogrammum ad parallelogram um. Detriangulis-iutem idipfura patetrciim dcmonftratum fit inter parallelas lineas efie medietates parallelogram morum: vn deqiiia (vt fupra didium efi) medietatum St: fuorum multipli, dum eadem efl: proportio,facile patet triangulos fe habere ficut bales, filunt eiufdem altitudinis. Secunda Propofitio. Si in triangulo clueatur linea tcque diflans "vni ex lateribus,ficabit duo reliqua lateraprojiortionahter. •Sic, vt intra triangalum.a.b.c.ducatur Hnea.d.e.aique diftas lineaj.b.c.dicoipfam inteifccarclatera.a.b.&.a.c.proportionalirer :ita vt ficut. a. d. ad.d.b.fic*a.e. ad e. c. ducam lineas. b.c.&. e. C.quibusculinea.d.e. inrclligo duos triagulos.d.c.b.&.c.d^e.qui cum fint in tcrlincas qquediftnntcs,vV in eadem bafi crtinr equales.vnde per primam quinti prxccdentis (qua: en-.7.Eu cL) eadem efl proportio cuiusvis illoru ad triangulum. a*d. e- Sed per pra’cc dentem bafis.a.d.ad.bafim.d.b.fcha bet ficut triangulus.a.e.d.ad triangu Jum.d.c.b.quia funt eiufdem altitu.dinisjfcilicet adpiincflum vf' q;.e Et per cande.a.c.&.e.c. ficut triangulus.a.d. e. ad triangulu. c.d.c.trianguloru aurem fub.d.c.erat eadem proportioad triaa gulum.a.d.e.ig(tur& laterum inierfedorum eadem erit.. ELEMENTA GEOMETRICA. 34 Terti» Propofitio. Eucl.4. Si duo trianguli fuerint §qui anguli jUtera aquosangulos continentia eruntproportionalia. Sintduo trianguli, a.b.c.&.d. e. f.aqui anguli ,in vr quilibet angulus vnius habeatin altera angulum .tqualem jponam eofdem fuper eandem lineam rcdbam vt fuper.b.h.ita vt angulus.b. &angulus .d.squales fintinprsdidlalinea ,fimiliter angulus, c.&angulus.d. etiam squales ,iun goq; angui um.c.angulo.d.cuenict vt quia angulus, d. efl: extrinfecus ti oppofirus angulo.b. lines, a. b. &.f.d.fint sque diftantes. Protrahantur.a.b.&.c. f. quoufq; conciir rantin pumilo, g. fictparallelogra raum sque diflantium &squalju laterum .'&fit triangulus. b.g.e. in quofecunduin difpofitioncm prscedentis, linea a. d. fecar latera, b. g.&.b.e. ^que didans bafi.g.c.& linea.d.f.latera.e.g.&.e.b.eque diftaiisbafi.b.g.V nde per eandem pra-cedentem ficut.g.f. ad. f. c.fic.b.c.ad.c.e.&fictit.b.c.ad.d.e nc.b.a.ad.a.g.fed.g.f.eil ?qua lis.a.c. &.g.a.squalis.f.d eadem igitur eftproportio.b.c.ad.d.e. que.a.d.ad.f.e.&.b.a.ad.£d.quod etatdemonftrandum, Propofitio Qjiarta.Eucl.8. Si ah. angulo reflo alicuius trianguli ducatur perpendi - culans ad latus oppoftum‘.diuidet totum in duos trian gulos, &Jibimuicem& totifimiles . Sictriangulus.a.b.c.cuius angtilus.a.redlus,,! quoad.b.c.du co perpendicu larem. a. d. dico quod duo trianguli. ab.d. &.a.d. c.funrsqui anguli, &cum toto &interfe. Primo funt cum to I1 ELEMBNTA. GEOMETRICA to xqui anguli,nam in triangulo.a.b.d.angulus. d.rcdlus efl ;qua lis angulo.a.totali ISc angulus, b. communis :ergo reliquus qui ad.a.reliquo fcilicet.c.eftsE- qualis. Item in triangulo.a. d. c. angulus. d.reftus.angu Ius. c.communis, ergo rcliquus qui ad. a. aqualis angulo. b. tres igitur trianguliliit atqui anguli;& per pratccde tcra latera illorum proporrionalia :talis fuit definitio figurarum fimilium. PropoCtio Qiiinta,Eucl.<).alias.r5. Dmis dmhm lineis, inuenke inter easlineam mediapro~ portionalem. Iunge datas lineas vt fiat vna redia ,fuper quam per mediit diuifam ducat urperipheria fcmicirculi.cuiuspracdiiSlacorapofitafit diameter:apun£io autem c6 iundlionis erigatur perpendiculatiSjqUEprodudlavfqueadpcriphe p riam eft illa quam qu .trimus .Vtin " prslcn ti figura, lin ea .b.d.eft. media ^ ptoportionalisinter.a.b.&.b.c.ducanturcnim.a»d.&.d. c. &perpra: cedentem ,quia angulus .d. redlus vt pote femicirciili, duo trianguli funt atqui anguli :latera igitur, a. b. &.b.d. Itera.b.d’.&.b.c,i'unt proportionalia; quiaficut. a.b.ad. b.d.fic.b.d.ad. d.c.quoderat demonfirandum. Propofitio Sexta.Eucl.il. Duakts lineis datis, tertiam addere in eadem propor-- tione. ELEMENTA GEOMETRICA: 3^ Cum duabus lineis vis addere tcrtiim in continua proportionalitate, iunge eafdem ad angulum qualitercuque.&r comple cura eis trianguluindudialinea tettia, deindeprocrahe alteram duarum ad quantitatem alterius cui visinuentre proportionalem, &itermino illius ducatqucdiftantctn cumbafi trianguli, &comple triangulum, nam illa cu qua illu petfccilRcft quaquae lis. vtnduabuslincis.a.&. b.in aliqua fehabentibus proportione vis adderetertiara, ad quam linea b.fe habeat quemadmodum ad illam fe habet linea, a. iungo.c.d. atqualem.a.&.e.d.tequalera.b.ad angulum.d.qualirercunq;,5: duco.c.e.vtfiat triangulus.c.d.e. linea: vero. c.d.addo.c.g qqualem. e.d. &ex pumilo, g. diico.g. fi seque dillantem.c.e.&compleo.e. £quam dico elTc lineam quqfitii: nam per fecundam huius latera. g.d.&.f.d.diuiduntur propor.i tionaliter alinea.c.c.vndeficut.c.d.ad.c.g.fic.d.e.ad.e.f. fed. d. c.aqualis efl.b.funt igitur in eadem proportione Continua.a.&r. b.&.f.e.quod erat probandum. PropofitioSeptima.Eucl.il. Trihm datis lineis quarum proportionalem inuenire- Sint duailinea in aliqua proportione, &fit tertia quantacunqucjfiue fit proportionalis cura duabus prioribus ,fiuc non :volo habere quartam quarfitad tertiam, ficut fccundaad primam tcoiungoprimam qua; fit.a.& tertiam qu.i: fit.c.ad angulum quomodocunque,& perficio triangulum dudla bafi, deinde line.!? l.iungo in direiftum lineam fccun- PERSPECT1VA. Licet in vifionequatpcireflas lineas fit, minus contingat vifiim decipittamen funt plurcs deceptionis caufat etiam in ifta vifionc, ex quibus pauca adducemus. Vifio (vt diflum cft) fit per hoc,quod linea; vifualcs are vifa ad oculum perucniunt,ve!cco ueifo,& hoc ad modum pyramidis vndein centro oculi cauCaretur angulus, qui quidem vertex elTet talis pyramidistnifi. propter diuerfitate humotura oculum conftituetium, tales radij iiicutuarentur ;manent tamen radii inclinati aefi angulum efient perfefluti .Cim autemfecu ' oum quod linee maiorem angulum efient caufatura:, maiorem partem occupent oculi: hinc fit, vt qu? per maiorem angulum videntur, maiora appareant; Sc quae per minorem, minora.vnde (idua; quantitates.b.c.& .d e.xqu.alcs in- .•cqualiter difient ab oculo.a.necefTarib inaiquales caulabunt in illo puntlo oculi angulos: at qj diflantior minorem: &propinquior maiorem. Angulus enim .1: a.c.continet angulum.da.c.tanqi fuain partem ;apparebit igitur m; ior quan.titas.b.cjquam.d. e. Hir etiam fi longam fpefles viam inti line.as ,v.c-1 parietes aque diflantct quo longius procedit angurtior a| paret: quod latis patet experienti Hinc eti.im in eadem linea refla quales portiones inaiqualcs apparent propi er insqu alitat em angulorum:& minores remotiores; maiores vero propinquiores. Imb hinc etiam non difficile erit intelligcre, in plano .xquali(quod fub oculis iacet) partes temotiores apparercfublimiores propinquioribus:&infupranospo fito, partes remotiores apparere humiliores :propinquiores vero al tiores. Si quidem radi; ad oculum concurrentes, ex diuerfi tate angulorum diuerfamrcprtcfeiitantquantitatcm &fublitni, tatem, etiam iiia'quali &plano. 39 PERSPECTIVA, Q_uintapropofitio. ExintemjjerMaproportione circmjldnmrum rei yifibUis (y^Vifui/olet decipi videns. In vifione qUEper reftas lineas fir, multis de caiifis contin - git deceptio: &ex parte organi vifusj &etiam ex parte rei vifa:, ex parte etiam medij. Si quidem oculus oportet fitfaiius, &virtutem habear proportionatam vifibili, (cctidum magnitudinem &di dantia; funtenim oculi, quiad maiorem didantiam clariiis quam ad minorem, Sc ceonuerfo quiad minorem elatius quam ad maiotcra vident. Ex parte etiam rei videnda: oportet fit debi ta proportio ,nefit adeo parua res ,vt angulum in organo noti cauTec; tunc enim non videbit ur,_ Item oportet vrfit res folida, nam fimedium in foliditatenon fuperct ,non diftiuguetur ab illo. Diaphanum enim non retinet colores., neque !ucem;& licet aliqiro.modo vifu peteipiafur (ctirn didantiam etiam vifu de prebcndanius)tamen quteper medium diaphanum.videdafunc alium oportet colorem habeant. Ex parte medi; requiritur debita illuminatio: maxima enim lux impedit vifum.v.t patet exintuentibusfolem.; dcb.d.is ictiapi lux non fufflcit .id colores educendos .Item debita didantiatfi enim vifu fuperponatur res videnda, non videbitur .‘item fi nimis elongetur, caufabit angulum ndcb acutum ,vt fubillono.n cotingat aliqua diftindio .Requiritur adhuc debitus fitusinam fi plana ftiperficies adeo inclinata obiiciatur vt apparear linca,ni hil videbitur eorum quar in illa fuperficic continentur..Sed &c tc poris proportio conueniens fit oportet :adeb enim cito aliqua tranfeunt, vt vifu meffugiant: &ca qutc vclociflimi &circulari tcrmouenturmultoties vifiim dseipiunt . Siquidem linea: vlfualcs non aliquantulupermanetes,dere vifa rcdinudicare non permiiiunc .Patet igitur experientia, quod ex intemperata ac indebita proportione harum 6c buiufinodi circunftantiarum contin git deceptio. Ita enim quod fphs ikum cft( vt fol&luna) apparet planum :non enim in tanta dii PERSPECTIV^A. flanti» cognofccrepolTumus quantitates tadioru, diinJe figuras difVanciutn rerum percipere nequimus. Sed &qua: quadrata funt,appatent obl6ga;& qu:E afperalaruia: &huiufmodi mul ta: funt deceptiones, quas quilibet attendens experitur. Primse partis Perfpedliua: finis. Pro B^flexis lineis, Seemdd^ars. Definitiones. Saeculum dicitur corduspolmm natura velarte. Linea incidentia dicitur radius vijitalis fpeculo incidens: B^ftexa vero, qux afu^erjictef^ecdi ad oculumferuenit. Cathetus diciturferfendicularisfufra[feculifuferficiem cadens . PofluUta. n' Q^fUferjiciemJfeculi conjficit, nonvidet omnia ejua in illo refrafentanmr' Multa Videnturinffeculo, qua oculus direflo ajfeflu no videret . De his qua: accidunt vifui per lineas redlas, pauca quidam di Aa funttnunc autem pauciora dicenda funt de accidentibus eidem, chm per reflexas lineas figuram rei contemplatur. Speculum notifsiraa res eft, tam quodnatura,qua quod ars fabricauiefiunt em multa naturalia corpora,in quorufupetficie figun obieftaiu rctuapparet.vt de aqua experientia nos docet, &de gemmis quibufdam :qui ali® clarius, alia: obfcutius imagines reddunt, vnde& hominum folertia naturam imitata,corporadenfiora tergere, Scplanaleniaq; reddere, vtfettumargen PERSPECTIVA. 40 tum &huiufmodi :icemdiaphanum.vt vitrum, cryftallum, Sr alia plumbo velaliocorporcopacoobrurarecurauit, vt inde lu cidirsimafpcculatiobis offerret. Oportecautem (peculacorpora ciTcdenla, ne propter poros r.idij rcflediinequeanr :oportet etiam effe terfa atq; polita, vt omnis afpctitas amoueatur. vnde necreftacea, nec linea poiTumus habere fpecula; &cum recipiat color es omnes, colorem ipfaconuenit expolitura debilem habeant :inde enim minus perfcdle percipimus rerum figuras pcc reflexos radios, quam per diredios ;quonia reflexi mifccntur dirc(fl:s,& fimul (peculutn cum imagin erepr^fen tata percipimus. Linea incidentiat) diximus fupcrihs,axem pyramidis radiof^ confideraria nobis taquam praecipuam linearum arcvifaad oculum dedulfiarum: nucetiamcum cfpecularicorpore reflefta tur totapyramis,derdla ilia linea agi mus nomine omnium aliarum. H^c quidem in vifione reflexa fit duo, are vifain fuperficiem rpeculi diciiurincidensiarupcrficic autem fpeculi ad ocu Ium reflexa. Cathetus) in omni vifione reflexa confideramosi tres lineas redfas.tar.quam latera trianguliredii linei: quarum vna ert linea incidenti.i:{dequadidl'um eft)aliaen: portio illius, qua: ab oculo in fuperficiem (pecu li reflexa dicitur, 8: procedit vfqucadcon CLirfuin cum tertia in continuum &direAum ,vrque.td locum in quo res vi detur, de quo flatim dicendum efl::& porrioillaappellaturbafis trianguli. Tertia eftquarapuntfloreivifjc, ad fuperficiem fpeculi perpcdiciilariter ducitur :& ifta efl: qutecathe tosappellatur.Etin planis fpeculis perpehdicularisiflacftfuper’ fuperficie protratfla verfus rem vifamiincucuisaiicem arcui- : fa tendit ad centrum fpeculi. i- 1r 1 Prima Propofitio. In omni reflexione radmcauftt cumfpeculo duos aquales angulos. Hecpropofitio ab omnibus incundtanrer recipitur tdemond liratur veto ab Eucl.fuppofitoquod nO videtur res in fpcculo, nifi fuerit proportio diflantia: videntis ad locum incidentiar, Sc ^4 PERSP ECTIVa: reflexionis in fpcculo, ad diftantiam ciufdcm lodinfpeculo.ad lineam perpendiciklarefn': qUKeftareuifa in bafim trianguli (de quofuperius didtum efl:) eadem inquam proportio, qua: cftcle. uationis vifusfuper planum lpeculi,adcleuationem rei vifefu. per eundem planum. Vr fires yifa fitin.b.fupcrficies fpeculi, in linea, e. c.oculus,in. d. radius incidens.b.a.&indereflexus. a. d. cft inquit ,propor-' B tip.c.a.ad.a.e. eadem cu pro / partione.b.c.adid.e>quiaa- ^ lias res non videbitut.Ettiic y (inquit) manifeftu eft.qubd U/ duo ifti trianguli futfimiles, St y ergo arqui anguli; ergo angu 'VA lus.b.a.c.asqualisangulo. d. a, e. Principium huius demo fttatioiiis experientia: innititur, vndequidam naturalem ratio» nem addunt ;QuodIcilicet linea vifualis efl: linea naturalis, & Itcagit eodetn modo,(lue cadendo fiue tefiliendo ;vndc dicunt, eundem angulum caiiCat cum fupctficie cdrn re9ei5litur,que cau fatct fl tranfiret !fed fi ttaniiret caufatet cpntrapofitum ,& fic ajqualem per. ij.Eucbatqueadcb dicunt, neccfiecfi angulos in cidentia: &reflexioH is efle xquales. Reuera experientia ita videtur ,attamen difficultatem habet: quiaradius reflexus (vt communiter conceditur )debilior eftquaiwdireiSliUS :vndc videtur, quod non eadem virtute fucgat qua ceciditu& fi medium dicamus aliquo modo rcGfierc, magis refillet reflexo quam diteilo ;At fiifti anguli xquales no funt, inxqualitas tamen non eftfcnfu perceptibilis. Sccundapropofitio. Inplanis /pecnlis celjttudines &crapimdines contserfe apparent.-. .-• Corollaric aliquo modo fequitut bscex pracedente: m?gis; eleuata perspectiva: leuata enim res jppinquiot videbitur, (ide(l)a propinquiore nobis punfto reflefti tur radius illius .Qnod ciii eft in. a.reflciSitur cx pun- <5lo. C.& quod in.b. ex pun- «ilo.f.vtin pracfenti figura pa ter ;quod ergo fubliiniiis efar, videbitur humilius; Sc e conuerfo . Tertia Propofitio. Loa^sdpl^arens imaginis rei inplanofpecidoJpe5lata, ejl inperpendiculari dre \>ijd ad fuperficiemjpecuU. Sit fijperficies plana fpeculi in linea. d.c. res vifain,a. oculus in. c.ex.g.rcfledlatur imago, a.ad.c.v, dicit hac pro politio qubd appares locus imaginis.a.efb in linea, a. e. b.. Hkc ex prascedentibus taliter demonfiratuna.non tefledlitur cx.g. nili ad punitu m.c.quia non caufaret angulos xquales:funt ergo in ea dem plana fuperficie.a/g.,^.c. &in t eadem eft totalinea.a.b. ergo in il-_ Ia apparet imago: &cum vifus in di redtum tendat, erit locus.bvbiilla perpendicularis cum vifualico currit. H.ec ex Eucl. Vitellioni placet addere ratione, quate locus, apparens imaginis cfl incocurfu vifualiscum c.itheto(vc ipfeloquicur)Dicitq;non folum vi,, fu percipitur res colorata.fed etiam medium diapbamTmtpolTu mus enim imaginari, nosfemperviru pyraraidem percipere rata: magnitudinis, quanta comprchendipotcfl: radijs ,quiacen- L perspectiva: tro primo oculi per peripheriam for3miniadu(Sli,a(3obiefla cot pora perueiiiant. Partes autem ipfius pyramidis(rcilicet baiisiS: quaecuqi in cafunt colorata) in acie pyramidis:& ficin oculoeo delitu &figura repra:fematur,qcufunt niterfe. Vndede propin quiora propinquius, &remotiora remotius ,&qu^ fublimiora lublirai’,infei iora inferius,& qua in parte dextra &qua in finiftra collocata funt, eodem modo,ordine &litu vidontur;5t hoc vilionedirciSa.Cuautepradiilia pyramis cfpcculo refleflitur, oportet tota refledl:atur;& omnes eius partes Cetuantes fitum Sc figuram inter('e,qua feruaret in vifione dire<5ta,praterqiia quod conuerfa apparent.vt quod altius eft apparet inferius, &quod dextrum finiftrum.Cum ergo nonfolum rem ipfam, fcd mediu &omnes partes tatn in medio quam in bafi pyramidis ,fpcculii nobis reddat in ordine, figura, atq',(itu:neceffe efi, vt &loca rei vifa (fecundum quod atalibus radijs reprefentari poflbnt) refpeflu litus firarum partium, cadiuerlitate quam in medio, vel bafi pyramidis fortiunrur, nobis reprafentet. Atloca litus.&or dinem prarditftum partium totius pyramidis reqiiirunturjVt pyramis pcrfedla reprafentetut: terminus aurem cius Sc partium , non alibi terminantur, quam in pratdidfo concurfu :nam cum vilus reflexionem non percipiat, &fecundum breuifsimam lineam videat, &perpendicularis are vifa ad fupctficicm fit breuirsimatilla termineroporret vifionem. Ex pra;di£tis fequitur, fidiioin eodem fpeculo vnam aliqua rem contemplentur, videreillos diuetlasimiigines,&in diiicrfis locis. Nam non poteftabecdem pundlofupctficici fpeculi, ad duopunulain qua funt oculi,idcm radius rcflcdli: &cum fint di ucrfa pun(fla,& diu etfis in locis oculi,erunt diuei firluperficics: &ficdiucrfa’ perpendiculares, in quibus loca imaginum. Quarta Propoifitio. In f^eculiifphmcktam conuexh quam concauk,apparet imago in linea are 'vifa adcentrumfpeculi, Figur® fpeculi diucrfa:, neccireeft diuerfas faciant eatunde leruminiagines; &licctpolfint fpccula fieriinnumeris modi* PERSPECTIVA. 41 diiierfain figura ,dc regularibus figuris tantummodo tradlant perfipediui; regulares autem appellant, cjua; per totum habent vnifoimcm fuperficiem ;talia funtfpecukplana, St fphairica c6uexa, fpharrica concaua, columnaria &pyramidalia: arq;cxhis plana, conuexa, &concaua prarcipue confidcrantur.mam co lumnatia &pyran)idalia (quoniam ex rciilo&curuofunr compofita) habebunt conditiones partimplanorum, partim fpliari eorum ;conuexorum, ficonuexa: &concauorum ,fi fuerint concaua . Seruatis igiturin vniuerfis fpeculis duobus illis, qii$ fuperius didiia Se aliquo modo probata lunt, fcilicet quod anguli incidentia: Sc reflexionis aiquales funt ,Sc locus vifionis in linea perpendiculari: fequuntur plura infpectilis conuexis.pluva ctia in con callis, &plurima in columnaribus &pyramidalibus circalocum Sc fitum imaginis in Qieculo tifie, qus quidem videntur contraria, vel certd diucrfa abhisqure contingunt viflonedi redta, &etiam vifione reflexa in planis. Atque primo in loco appa rencis imaginis ,apparet enim in i concurfu vifualisfcinpenn dire A- / dlumtendcntis cum perpendicu ^f lari, are ipfa cuius imago Cpedlatur adliiperficiem fpeculi.pcrpe- /X. diculartsautemadfphicricam fu- / perficiem, ellfola ilia qu ead cen //1 trum redit: vn de in illa oportet ap I ,f-»| pareatlocus imaginis.Hincfit,vt aliquando intus in fpcculo nideatuc locus figurs ;altquan do in ipfa fupetficiefpeculuali quandoextrafpeculum. Vtfi ^ in his tribusfigutis fit res vifa C in.b.oculusin.a.pudlus rcflcxionis in.c.locusapparentisi- Jr maginis femper neceflarib e- /y\ rit in d. in prima intus infpea fEy \ culo .'infecunda in ipfa fuper ... ^...i.i .£ perspectiva: ficie fpcculi :in tertia extrafpccu ium ipfum. Necefiatib inde lequitur,ineo uexis fpcculis no percipere nos iJiftantiam rcivifx afuperficie fpecu li.ficut contingebat in planis ;in quibuslineavifualis afuperficie fpcculi adconcurfuin cu perpendiculai i, erat aqualis cum linea are vifa ad pundlum reflexio Ilis ::n his autem fati5patct,qubd vt in pluiimum minor eft illa. Sequitur etiam in eifdem connexis femper imagines rerum ap. parere minores, quam apparerent in planis. Nam linea in oculo concurrentes vel quali concurrentes, qua imaginem copre* hendunt, minores cum fint apundlo reflexionis ,minoremc6- prebendent imaginem rei vifa: cuius cau (a eft propinquior c6- curfus cum cathecis ad centrum tcndcntibus>& inde anguftior locus imaginis. In concauis autem fpcculis,licet aliquando contingat vifualera radium cum perpendiculari non concurrereitamc vt in plu limum concurrunt. Vndemirabiliora contingtintin loco,litu, &figuraapparentium imaginumipoteft.n.in aliquo fitu oculus (dcpracipuc intrafpcculumipfiimjconftitui, vnde appareant imagines rerum, quadam intra fpeculum: quadam extra, fc in ipfa fuperficie :irob &in oculo, &pone oculum . Apparet etiam aliquando res maioris quantitatis ,quam fit: aliquando niinotis:aliquandoconuctfa;aliquando dircdi:a;& ali quando vnius reipluies itnaginesCmul, vel certe eadem in diuerfis locis. De quibus omnibus, cum non tradlatum fedcom pendium feriberefit animus ,vnum aut alteru adducam exempluin ;curiofis relinquens ea qua pulchra quidem, fcd no adeovtilia, vt in his multum temporis qui ad altiora properatu,infulu ere debeant. PERSPECTIVA. 43 Si in hac prima figura fitcon - cauum fpeculum ,!c ab omnibus punflis. f. refleiSanturadoculum- a. raidij, loca rerum vifarum erunt femperin pundlis.d.vbivifiialescu pctpendiculariconcurrent,& quadores vifa; ponuntur in vna diametro, omnes perpendiculares tenduc ad centruin.b.& ficlocafunt in ea. dem diametro ,prster vnam tcque diftantem. Quod fi ex terminoreliqu^ diametri,putaex.h.refledlaturliueain pudo.g.ad vifuin„' locus erit oculus ipfe . In fecunda figura fi oculus fit. s. res autem vifa.c.poteft refledli ex quatuor pundlis .b .d.e. f. quoniam anguli incidentia; &reflexionis aquales funt in omnibus illis pil diis: vt pote anguli xqualium portionum eiufdem circuli. Qxiinta Propofitio. Columnam &J^yramidaUajfecula diuerfo modo 'tma~ gines reddmt)^udmglana &fgharica . Superficies pyramidalium &columnarium fpeculorum, c6 pofitaefunc (vt lupradidfum cftjex linea rcdla in !ongitudine,& curuain aliis dimenfionibus,vndecx hoc quod anguli incidentia &reflexionis fint a;quales, ficur in omni reflexione contingere didtum eft, fequitur quod rerum imagines ncceflarib iu his fintdiuerfa: ab eifdeii),in alijs fpcculisinaminfphirticis vriu eft MVsIca: lofophus iiitrodudlion es ludere non eft dedignatus. Qua: omnia ad commendationem diuinae artis fufiicete debent .Qjaoniam tamen huienegotio {icut,&alijs Mathematicis difciplinis, tempus non fu ppetit:ad alias feientias (qui’grauiotes cett^ vtiliores videntur )properantibus> ptincipiatantum modoeaque quam fieri pot efl: dcDreuilsiuiJi &clarilsime(qiiantum cum bie uitate claritas in haere copularipoteft) tradere conati fumus. Pro definitionibus notandum, quod confiftit mufica in diuerfitate &fimilitudine fonorum '.quadiucrfitas &fimilitudo (licet fit inter res diuetfatfpecieiab ali)s c6tinuis& difcretisjquo niam tamen raenfurabilisomnino videtur, dc illa phiiofophamur,quafi’de diuerfitate aliarum quantitatum.vndc diucrfitatem iftam &fimilitudinem (quemadmodum in alijs quantitati bus) rationem fiu eproportionem appellamus :&inde non ine pie poflemus exponere interuallum ,proportionem inatqualita tis:graue.n.& acutum in fono fehabent ,ficut maior tjuantitas &minor: Ita vt grauefitmaius: acutum minus. Quemadmodum ergo dicebamus, proportionem efieinter duas eiufdem ge neris quantitates, habitudinem quadam fecundum atqualitaie velinarqualitatem :eodemmodo dicimus, intcruallum habitudinem eife inter fonum grauem Sc acutum,quafiimcrduas qua titates inxquales eiufdem genetis. TONVS.Quemadmodum pundlum in magnitudine, &vniras in multitudine, ita &tonus fupponitur principium in confonanti;s;diiFcrt tamen ab illis, quia tonus diuifibilis eft: piindum vero &vnitas minime. Et quoniam in (onis tonus dicirurproucnireei fcfquioiftaua proportione,notand5 eftqubd iuteruallum fiu eproportio inttrionos,eft illa habitudo inarqua litaris qua grau eacutum excedit: cxcclTus aute iftcdiiietfis modis contingit, adeo vt non folum rationales ibidem inuei)i.imui proportiones, ficut in numeris :fed etiam irrationales ,ficutin continua quantitate. Expetimur fi quidem, tam in voce quam in fono chordarum &alijs,continuiratem quandam foniex gra ui in acutum afcendentistvt quando chordam in inftrumento paulatim extendimus, vt acutiorem efficiat fonum. Etlicetita fir,qubd ha;c tendentia agrau iin acu tum,naturam continuipo tiiis quam difercti habere videatur :philofopliantes potius voluerunt, muficum negotium ad difcieram quam ad continuam MVSICA. 47 quintitatern refetrc: quoniam inter fonos prKcipuum (voccni .{.humanam Sc. fic orationem )quanritatem e(redircrctain(Mufi co forlan fpiritu dudli) definicrunr. Vndeinterualla omnia Sc fic proportiones granis ad acutum, rationales (ac fi vnius numc ri ad alium numerum efient) confiderarunt. Quando igitur dicimus tonum cofiftcrein fefquioilaua proportione, perinde cft acfidiceremus ;inter duos fonos illos eft iftud intcruallum to- ni,quorumgrauiaeft vtnou em,acutus vero vt odlo,quicquidiI la fint qua: fonos ediderunt. Vtexempli gratiafonus chorda: ex tenfa; nouem palmorum, ad portionem eiufdem odio palmo, rum :&eodemmodo deaercin cantu,&in reliquis. CONSONANTIA. In ter mirabilia natura:, Aequorum ratio non fatis nobis eflraanifefta, vnu efl :quod cu duo fo nixqudgraues videantur vnum, fi tamen illorum alter inaciitiemafeendat reliquo inuariato,{latim grauitet offendunt audi tum :qubdfi pcrgatafccndens, tandem cueniet vt confonet cu priori .audiiuq; demulceat. Si autem indcptofedlns adhuc alce dat, iterum aures olFendit ,donec ad aliud in teruallum perueiiiat, in quo iterum iocundepermiiccatur priori: &tandem fa: piusin (uoafcenru audientes offendens, inrerualla certis limitibusdetcrminatainucniat, in quibus cum priori &inuariato fonofuauiter,& quafi vniformiter auribus incidat audientium. DIATESSARON. Confonantiaergo erit inter graue &acutum fonura quoties luauitermifcentur.Et quoniam anriquoru autoiiras &experientia, fine ex Pythagoricis malleis fiu» certe ex chordis &ali;s inftrumentis, quinq; prxcipiieiiitcrualla in quibus duo Ioni confonantiam faciant, rnuenitide his quinqj tantummodo diirerunr.Efligiturdiatcflaron taleintcruallu, in quo graue fitvtquatuor,acutum vero vtrE!a;& fic eft inter hxc ptopprtiofefquitertiateodemmododereliquis.Diapcnte. n.gra uehabecvt.j-acutum vtduoidifFeruntautcm hxdux confona tix per tonum.i.fefquiodlaiiam ptoportioncm,atqi ill^coplcnt diapafon.i.duplam proportionem :de c.Tteris p.itet. DATA AEQ_yALI. Hxc petitio fenfui eftmanifefta. Et quonia(rerte Boetio) hicfc-nfusinhuiufmodi multipliciter deci pitutrrationi etiam confonat. Quo.n.maiorcn:chorda(in aquali extenfione) grauius edit fonu:c6uenics igitur cft,vt in eade proportione fonus acutiemacquirat,in qua chorda minuitur. Mi MVsIca: TOTVM AD SVAM. Hec adeo fenfui manifefta cfl, vt nulla rationencgaripofsit. Prima propofitio. Tonorum quotcunq; continuatorumproportionem in mi-~ nimii numeris reperire. In Arithmeticis proportionibus docebamus inucnire quot cunq-, numeros in data propottioneminimos.lndehabes (fi vo lueris)duorum tonorum continuatorum proportionem in minimis numeris, quo padlotres numeros in fefquioi5laua propor tione minimos inucnias ;ducendo, p. maiorem numerum in fe &in. 8. &. 8. in fe,fient.8i.7i.(r4.tres minimi numeri in fefqui odtaua proportione: &inde habes.quod proportio qu.i; componitur ex duobus tonis, efiilla qua:en:.Si.ad.(S’4 .qui cum fine numeri contra fe primi. erunt mininiiinfua proportione. Eodem modo fi quatuor numeros in eadem proportione cotinuarc volueris. duc.iJ.in tres iam inuetos.f.Si.pa.tf 4.&.8. in vltiraum ,f.<> 4.inuenies quatuornumeros.f.7is.<r4 S.fyr.. jii. ha bentes fe in eadem fefquioftaua proportione. Et quoniam(vt in e.idem Arithmetica oftenfum e(t) proportio extremorum confurgit ex proportionibus intermediorum; habes inde quod pro portio gtauioris ad acutiorem horum,efl vt proportio.715). ad. 51 a.qui numeri contrafe primi cum fint, minimi funt in fua pro portione. Eadem artepotes.a.j.iS. &pluces fi volucris tonos continuarctducendo.p.in omnes inucntos.&.S.in vltimum eo rum,conficies ex trihus,4.ex.4.quinq;;& ficdcinceps.vtin pte fenti figura confpicere licet. P. 8. Duo toni. 81. 71. (>4, Trestoni. yrp. 6'48. 575;. ^11. Quatuortoni. jSja. 5184, 4tfoS. 4095. Quinq; toni. 59049. ja 488. 46^5 (T. 41 471.3 6864.32768. Secunda propofitio. MVSICA. 48 Intemullum duorum tonorum ,minus ejl Interuallo dia,- teffdron,]jane toni qua minorejl eius medietate: ynde joarsillafemttonium minus a^^ellamr. Proportionum additio &diuifioprscipuj muficoliegotio deferuif.cum.n.fvt di(5tura eft)mterualla mufica fecundum ra tionem numerorficonfiderenturj& prxcipuaintcrualla.f.con • fonantis, rationales proportiones habere dicantur,oportet om nem additionem &diuifioneminteruallotu per rationales proportiones fieri. Diuifioautemproportiontim rationrdiu(fi per rationales proportiones fiat) non poteft eifeiri quotlibtierit pro portiones: ficut continua quantitas diuiditurin quotlibet atqiia Ies partestfed habent proportiones fingulatfuas partes ,in quas &non in alias diuidi poiTunt .'quemadmodum &numeri fu as habent fignatas partes ,in quas &non in altas diuiduntur.V tbi narius, qui duiiditur tantummodo in duas medietates; nec vllam habet aliam partem :Si ternarius medietate carens, diuidi tur in tres folii mmodo tertias ;&itarcliqui. Eodem modo de proportionibus dicendum cfl. ,Sunt. n. aliqua: proportiones qua' medietarera non habent, i. qua’ non pof ftint diuidi in duas proportiones rationales ^qualcsivt efi dupla cum pl^tifqueex multiplicibus: &funt omnes fu per particulares; de reliquis.n. no attinet ad prafens negotium. Inde eil qiibd neqitontis,neq;diatefIaron, diapente vel diapafon ,habent medietatem :&fic illo rura diuifiofempcr cflin partes, i. in prop or tionesinatqtiales. Vnde tonus, cum interuallum fit in fuperpar ticulari proportionG,diuidi non potefl: in duo aqualia femiton/a ac proinde diuiditut in duo inatqualiainterualla,. Sed quoniam in inatqualiadiucrfis modis poiTit diuidi,quando quidem diuidi rurinomnes proportiones cxquibuscomponiturfcoraponitur autem ex proportionibus intermediorum ,qux pofTunt efle in numera) tamen ex totafefquiodlauaaflumptaeftpars ill.i, Cjiix cum duobus tonis complet fcfquitettiam ;&cum tribus feiqui alteram ;& inde cum quinq; tonis bis fu mpta compleat duplam proportionem .Portionem autem ifiam ideo femitonium minus appellant, qtiia minor proportio efl: qu.im reliqua qua cum ilkcomplct tonum.Sunt.n.numeri inter quos cadit ifla propor *\ MVsIca: tio minimi. 143. inter quos proportiointer ferquidcciraa oilauam, &fefquidccimam nonam conditura eft. Minimi aure tcrminifcmitoni) maiorisfunr.2i87.&.io48.qui etiaminter feprimiruntjScfic minimiin fua proportione. Porporcioautc ida inter fefquidecimaro quintam &fefquidccimam quarta con fidit :vndemaiorcftquainfemitonium minus .Vtautcmhatc omnia demondrenrur ita effc) duobus tonis in minimis numeris iungarur femitanium minus :ficur docebamus in arithmeticis proportionibus :duido errremo maiori femitonij iii e. 'trrcmum maius duorum chiunidorum tonorum, &etiam minoreexteemo femi toni) in minus duoru tonorum .Sicut in pratfenti figura numerus.c. multiplicatus per nu merum.a. producit numerum,e. & iiiimerus.d.multiplicatus per numerum, b. producit numerum. f.inter. e. autem & f. fcfquitertia pioportiocft. Sienim anumero.e. auferas numerum. f. relinquitur numerus.g. tertia pars ipfius.f. C2_uodfaci leinuenies fi per ternarium diuiferis.f. erit.n.uumorus quoties .g. Idem facilius ptobaueris ,fi ex fcfquitcrtia proportioe fubduxetis duas fefquiodiauas, relinquitur.n.idem femitoniura minus, vtfint. a. St.b.cxtrcmaCefquitcrtiar. c. &,d. extrema duorum tonorum c6tinuatorum:du (do.a.in.d.fit.e.&dudto.c.in.b.fir.f.cxrre ma eiufdem minoris femironi),quod erat demondrandum . Qjiod fi ex periri libet: an etiam eu mtribus tonis idem femitoniumfefquialteram conficiat proporfionem :aufer ex fefqnt altera tres felquiodlauas proportiones, &inuenies eandem .Vt fi ex numeris.a.Sc.b. extremis fefquialtcra: proportionis, auferrre volueris extrema trium continuatorum tonorum.c.&.d. ex duidu.a.in.d .conficies, c. &. ex dudlu .b. in. e,conficies, f. qua etiam funt extrema feraitoni); habent, n.fein fefcuplapro portione ad minimos terminos femitonij: multiplicium autem &fub- A* b. 81. (^ 4. 243 - c. d. i07 } C. f. ao7;tT. jI84. 1I. f. g- I' 84- a. 4.ib. C.81. ^4.d. e. X)S’. 24J.f. a, 5.a.b. c. 725. Jia. d. e. 10S. 1454. f. MVSICa: 4<) &rubmultipliciu eadem ell proportio, vt patuit ex tjuinto geo. metrico Elemento. Tertia Ptopofitio . In data chorda tonum coUocare:atqi eidem ynum Velplu res quot Ithuerit adiungere . Sit linea, a. b. chorda ^uaccunq; cxtenrafupcr datum inftrtimentutn,inqualitpropolitura inuenircinteruallum toni: diuidam totum fpatinm extenfionis chordx in."). partes atqu ales: & llgnabo vnam ex diis, &in termino illius partis aliquid appona; quo cum voluero impediam ne tota chorda fonet, fed tantummodo.8. ex. p. panibus: dico qubdinucniinteruallu toni .Tota .n.chordaad portionem.8. partiu fe habet in fcfquioflaua pto portione: Si iicut proportio chorda ad chordam, itafoniadfonum :fonus igitur totius ad fonutn. 8, partium erit in fefquiodla ua proportione &fic tonus, conus, c. AITITTT11 TTB. Quod li huic primo cono.a.c. volueris aliuiu conum lubiua gere: portionem illam. 8*partium diuidcin .5. jequales partes, &in termino prioris &:immcdiat^ poli tonum appone fignuin, erit. n. eadem ratione interuallum toni inter prius fignu bc iftud fecundo locopofirum. Qjiod (i tertium adiungere volueris ia reliqua portione cliordaB,codemm odo opcrare:diuidcndo illam in.p. parces ajqualcs vnam illarum qua: immediata fit tonis iam fumptis aiTumendo ,erit interuallum toni :&/ic poteris quot libuerit aflamere: fcquens tamen incerualli fpatium femper minus cft priori. ro to to to Ai IIT 1^ Qjjarca propofitio. Semitonium minus duobus tonii in data chordaj^TiX^onere,pofl ponere. Vel intergonere . C.ipcin data chorda per pr-ircedentem duos continuatos tonos, quieti minus (liuquam lefquitertia proportio per interual N MVSICA. Ium femitonij: fi totam chordam diu ifcris in quatuor partes a:- quales,& vnam illarum fumpfcris in qua defianatum crar inter iiallum duorum ronorum, inucnies intcruallum femitonij interduos illos tonos;& pundiu illius quartie portionis, vt in chot da.a.b interuallura.a.c.eft tonus. c.d. etiam tonus,quarta autem pars totius chorda: efl: .a. c. vnde intcruallum femitonij erit, d.c. poftpofitum duobus tonis, to to fe At. t1I (ipuod Ii idern intcruallum prarportere volueris duobus tonis ;diuide prius totam chordam in quatuor arquales partes, tres autem illius fimuLdiuidein.S.acquales, &de reliqua quarta par te accipe portionem aqualem vni cx.S.pra'didlis,& iterum c6- pofiiu ex,9his partibu sdiuidein.li,a:qualcs:& de reliquo pras' dicl.c quartx caperequalcin vni exhis odlauis, nam duarifl? por tiones fic fupri' minus fur quam pr^didla quarta per idefemitonij fp.itiu.vt in linea.a.b. tres illius quartai.c.b .diuidaiiir in.S.m quart i.lutem.a.c.pars. d.c.fitarqualis vniillarum ,&flarim tota.d.b.dimdatur in.S.xqualcSjVni autem illarum fit aqualis. e. d, manifefliim eil igitur quod.a.e.efl intcruallum fiucfpatium femiconij ;&efl in chorda pripofitum duobus tonis.. fc tb to ^.I ._J II -B. Si autem libet interponere prxdiflii intcruallum interduos tonos ;facileexduabusprioribus operationibus patetquomodo fieri debeat. Diui .ie prius totam chordam in, 9. squales partes, &eandem in. 4.&in priori quarta cape vnam ex noue par tibus fignato eius termino, habes alterum tonorumitres autem alias quartas partes diuidein.8.a:quales,&a termino trium illlrura in prioriquarracape portionem a:qualem vni ex .8. prirdi' dlis.qus erit etiam tonustinrerhos igiturduos tonos necciTatiorclinquiturfpa.tiuminteruallifemitonij',vr fupradidlum efl. Quinta Propofitio. ConJonantidS omnes in data chorda ordine collocare finfupo^intexperiri,. MVSICA. jo Non erit difficile fpatitim fuper quod extenfa eft chorda diui derejtalicer.vt il apponamus aliquid quodimpediat foniim par tis chords quam voluerimus,efficiamus vt totius chorda: fonus grauis ad fignatac partis acutiorem Tonum,inrerualluin confona tia; habear. Si.n.prxdidlumfpatium in quatuor xquales parces diuifcrimus, atqi inde vnaraafTumamustSc in termino illius im nediens apponatur :tota chorda ad tres eius partes quartas haa betfein Tefquitertia proportione. Et quoniam per primam petitionem, qua; eff proportio fpatij ad fpatium ,eadem cft Sc Toni ad fonum;& diatcflaron confonantia cofiflitin fefquitertia pro portioncjcrit fonus totius chordae ad Tonum portionis triu quar tarum, in eadem TeTquitertiaproportione SrdiatefTaron . Si autem pra:didlum Tpatium in tres aquales partes diuiTeris, Sc intermino prioris rertite impediens appoTuetis ,erit propter eandem rationem, Toni totius ad Tonum portionis duarum tertiarum TeTquialtera proportio: &ideo diapente conTonantia. Si autem totum Tpatium induas a:quas partes diuidatur,pro portio totius chorda: ad Tuam medietatem eff dupla:arque adeo Toni totius adTonum medietatis diapaTon conTonantia. Si autem duastertiasafruropTeriSjerit Tpatiu totius ad Tpatiu vnius terti® tripla:tres,n tertis ad vnam tertiam habent tripla; &cum tripla proportio componaturcxduplacumTeTquialtera, erit Toni totius ad Tonum portionis tertis partis diap.iTon cii diapentetqus conTonantia vt didfum efl.conTiftit in tripla porportione. Si autem ex toto TpatioalTumpTcris tres quartas partes ,erit proportiototiusad vnam eius quartam quadrupla. Et quia qua druplaproporrioexduabusduplisconTurgit, interu alium Toni totius ad Ionum quarts partis erit bis diapaTon. ConTiffit. n, dis diapaton (vt Tupta diftum cft)in quadrupla proportione. Sexta Propofitio. DifferentidS confonamiammJtc in chordapoftarum in - uenire . Differunt conTonanti® itis, quoniam diapente excedit diatefTaron tono ;eft.n. TeTquialtera maior TeTquitertia per TcTquioiSfauam. DiapaTon maior eft qua diateCTaron per diapente.-quia dupjaTefquitertiamperTeTquialtcramTuperat ,DiapaTon cu N» MVsIca: diapente excedit diateflaron intcruallo non conTono :fiquidem bis diapente, &fic bisfefquialtera.facitduplam fcfquiquartam in taliaucctn proportionenulla cftcofonanda.Bis diapalon excedit diateflaron pet diapafon cura diapente . Diapafon excedit diapenteperdiateflarS: diapafon cum dia pente, per diapafon.'dis diapafon autefuperat diapente per diapafon cum diatcflaronrquod interuallum licet fuauiter fonans flt.tamen confonantianon eft. Addunt.n. in definitioneconfo nantia; muficiiquod confiflat in proportione multiplici aut fuperpatticul ari, quod hic non contingiticonficitur.n.ex dupla & fefquitertia, dupla fuprabiparties tertias. Qua etiam ratione fefqu itonus.t.interuallum vnius tonicum femitonio minore ,licet vnifotmem babeatfonum, non tamen dicitur confonantia. Diapafon fu peratur adiapafon cum diapente per diapente, vtpatct;& abis diapafon perfemctipfum. Hinc patet, qucddiuiCochord® flue fpatijextenfionis eius, 'fer^ feni per fit per in^qualia: &qubd nulla confonantiapratter dis diapafon, diuifibilis eft in duas proportiones aiquales. Vt.n. fuperius dicebamus, proportiones miifica: fcqtiuntur potius c6 ditionem numerorura, quaoi quantitatis continua;; &fle licet inter duas datas lineas liceat feropet inueniremedium propora tionaletn, vt ex. 9.fcxtiEucl.didlumeft,in geometticistinnume ris tamen ratbinueniuntur, vt pote inter duos quadratos nume ros (vt in Arithmeticis patuit) &in ali)s nbadeo multis :&ideo licet proportio quaicunquc facile diuidi pofsitinduas proportiones atquales ,fi quantitates inter quas funt proportiones illa: fuerint continua;, tamen proportiones illa; raro erunt ratio naies. Irrationales autem proportiones qu.Tneq; numerum habere, neq; ad genera aliquot reduci pofTunt.ab arre funt merito aliena: :vnde antiqui mufici videntur rationabilius in imi ficis modulationibus ,proportiones numerorum(quain ar. tem facile rediguntur) confiderafie, qu4m proportiones continuorum, qUK (vt diiftum eft) quandam habent diuetfitatura in finitatem difificilimilad arrem reducibilem.In intcruallis. nfo- norum, quamuisfvt fuperius didfum eft)roni videantur habere rationem continui, &fle interualla fonorum :quemadmodum &fpatia &partes chorda: fint diuifibiliaadmoducontinutequa titatisjcongrucniius tamen diuidencur diuifionc numeratura MVSICA. V quam continuorum ;omne.n. continuum diui(ibilceft,(icut nu incti:& nobilior diuifio videtur illa,qu.-i; vtriq; quantitati conuc nit. Vndecum mufica modubatio t.im fit fecundum naturam, &natiita femper quod melius eft operetur, &raaximeratione fequatur ,&artem ex fui imitatione perficiat.-proportiones ifl? muficarumconfonantiarum congruentius afsignat® fu nt rationales quam irrationales. De melodiarum fpeciebus. Diatonicum genus melos efl cuius pmrtitioJjerjemitoniu minus duos tonos continueprocedit. Chromaticum Vero quodper duo maqualiafemitonia & trihemitonium confeendit. Enarmonteum autem quod per duas tetrarmeriasfue diejes&ditonum confeendit- ^ Exdiuerfomodo diuid.epdj fpatium cbotdatin inftrumento, diuerfa genera melorum (vtipfi dicunt) adinuenetunt antiqui; Tolunt.n.fpatium chordae in quolibetinftr umento ita dtuidere, vr in eo interualla inueniantur quinqs ptrrdidtarum confonantiaru atono ad dis diapafon :quod.n. acutius fonare potefl:, potius indicarunt firidorem quam vocem .Diuetfuas autem talis diuifioniseftjVtfpatium quod diuiditur fecundum genus di.atonicum.pcrfemitonium minus &tonum &tonum,ad conficien dum proprium diapafon diuidatur.Vt in fequentilinea,primu. n.fpatium cfl: vnus,fequitur femitonium, tertium tonus.Ita vt. ae.ad.a.b. fit diatclTaronifEqiiitur tonus fcmitonium:^& duo to ni vfq;ad. c. &fic diapente; &cuin diateiTaton primum diapafon. Sequitur tonus femitonium ,&r duo toni vfq;ad. d.aliuddiapente: vnde diapafon cum diapente,t.rndemfcmitonium & duo toni confici entes diateffaton &perficientes dis diapafon. Et ha-cdiiiifio cfl: qua: dicitur in genere diatonico. to fe to to fc to to to fe to tq fe to to Ai fTT1IT 1 TTT1T 1 iB- Diatcilaton Diapente Diapente Diateflaron. Diapafon, Diapafon. N3 A. B. ARITHMETICA PRAXIS. inultipIicans.<>.duco.(r.fcilicet.4.in. f. prouenit.io.qui cum atticulusfic feruoduas vniti- i. f. A. tes lungcndas numeroqui producetur cx miil tiplicatione eiufdem .4.multiplicantis per.i. ioo. multiplicaiidi,& fub raultiplicante.4,pono.o. &duco. 4. in. 1. fit. 8. adiungoilli.i.feruatum fit 10. qui cum articulus fit etiam ,refpedlu fecund? litera: multiplicadi, ponetur, o.lub 1&in alio ordine articulor u.i.& ficerit.ioo.numerus.c. quxfitus. In fecundo exemplo fit numeriis.a.multiplicandus,&.b. mul tiplicans.duco. 4.digitum multiplicantis in. S. priorem literani multiplicandi.producetur. {alcuius digitum fuo loco appono.&.j. articulum feruotduco ifS. iterum. 4. in fecundam multiplicantisfit. 10. ;4: cuiadiungo.3.fcruatuni fit.ij.cuius.j.acfi di e}1. gitus effer apponoinloco primorum articu- 474. lotii, &.i.feruoprofequcntij tandem. 4.in j57"i. C. vltimam multiplicadi duco, quae cum fit vni tas temanet.4.cuiadiun<5lo.z.feruatofit.<;"quem pono in loco articulorum fecundi ordinis, f.centenariorutn. Eodemmodo cu .;. fecunda litera multiplicantis operandum eff, appofitis produ (ffis ordine congruo vt fu pra didtumeft.additifq; duobus,proue ni t.c. numerus produdius ex multiplicatione. DuoprEcipuein ueniunturin iffa fpecienumetationis, qua: difficilem aliquo mo do illam reddut, &nondum fatis exercitatos remorari poffunr, Q_uorum primu eff,non haberein promptu numenimquecuqj pro dudlu exdudtunu metoru .Proquo impedimento auferendo, inhoclo co Arithmetici ta bulam fiue mefulampythagoream »1. 9 appellatam, ktyronibus huius difciplins edifcendam,,affcrreio,- Unt.-ea eff huiufinodi.. I. X.. I- 4-Ji. 6^. 7-8. 5- I. 1.4-" e. 7-8.S>. I 4-6.8.I0. Jl. 14. 16. 18, 1 2:, 12. '!• 21. 24. 17. 3 10. iT a8. 3^. 4 M' 30. .ILi ARITHMETICA PRAXIS. 55 Cum ergo raultiplicandonumcros omnespro digitis rcputc mus, (aris ert Gprodudlii ex quibutcumj; digitis cognouerimus. Vndead inueniendum tale produdlum, fume digitum multipli candum in capite tabella:, multiplicantem in laterevel econucr fo:in angulo.n. communi reperics produdlum qua-fitum. Et quoniam vfqucad fenarium facile etiam rudiores quicuqueinuenirepotetunt produdfum :pro maioribus duobus digi tis multiplicandis, efto regula. Pone vnum illorum fubaltero, &eregionecuiuflibet eorum ponenumerum per quod denari’ excedit illum, illos duos exceilus multiplica, &quod prouenit ferua.Iam vero exceflTum fecundiillotum priorum numerorum aufer .1 prirao.vel exceffum primiafecundo (idem.n.eueniet) Sc habebis articulum iungendum ptoduiSo ex excefsibus, Sc fetu a to.V tin exemplo, volo noiTeprodudfum ex.S.in.y.fub.S pono. y.eregione. S.pono.a quo S.exceditur adenario^ regione. y. ter narium,quo etiam adcnario.y. exceditur, multiplico.i. per.t, fit.ff.fub linea pro digito ponendus,&ex. 8. aufe S*• ro.3. vel ex. y. binarium ,remanet, y. pro articulo vnde 7i- fepties.S.fiunr.f^.Sc eodem modo dealijs. y<r. Aliudquod remorari folct multiplicantes eft, qubd cum ex dudlu duorum numerorum producatur vt in plurimG numerus compofitus ex digito &articulo, fubfctipro digito, du inu eftigare contendunt alterum producSfum.obliuifcuntur articuli feruatiivnde plu res adinucnerunt modos vtrunqi.f.atticulu &digitum fubfcribcndi ,ex quibus tibi faciliorem trade inus:is eft huiufmodi. Volo multiplicare.j.yy.per.y.y.S. conftruo figuram huiefigura: fimilem: &alteru numerorum in capit etotiu sfigurq colloco.alterum in latere: Si pro qualibet litera vtriufque ipatia quadrata in figura con y" ficio.qu? etiam diuido fingu X/Jr I Iis diametris: iaduco in pr^. fenti figura fuperiorem lateralis numeri, qui &maior eft articu2 Ius in digitum multiplicadi numeri in capite figura; pofiti.Sc quo OJ^ r- ‘ ARITHMETICA PRAXIS.* niim quinquicsquinq; facit. numerum compoficum .infcriJ bc digitum 1'ub djametro quadrati ad vtrumq; numerum pertinetis. f. ad. p. multiplicantis. &ad. j. multiplicandi, articulfi au te fupra eande diametrum intra quadratum ,&hoc modo procede multiplicans per lingulas litcras,& produdlainfcribcs in qua drato communi multiplicanti &multiplicando, vt facile eft videre in figura: Poftea vero addcndifunt numen fecundu quod inter diametros inueniuntur ,nam diametri continuata: offendunt differentiam articuloru, quod exercitio facilliaiu,euadcc. Diuiderccffnumerum inucnire qui totapars firdiuidcndi, quota eft vnicas diuiforis.Id cfl: datis duobus numeris, quorum alterum diuidere volu mus per reliquum, inuenirc tertium numerum,per quem diuifus ille qui diuidendus erat ,lequas illius toc partes faciat,quod vnitates habet diuifor. Diuidendus autc numerus dicitur ille, cuius partes cognofcere volumus quanta: (ini. Diuifor autem ille, qui partes numerat quot funt .Tertius autem num erus qui quoties appellatur ,clt qui partiu mmagnitudinem offeridit-Vt fi,ii'pcr.4.diuirerimus ,vt coficiamus ter narium tu iic.ii. erat diuidchdus.4.diuiror,j. quoties. Nam ternarius tota pafs(.f.quarta)elf.U.diuidendi, quota vnitas quater nari; diu ifbris. Diuidemiis ergontimerum datum hoc padlo: difponantur di uidendus &diuifor, ira vt diuidendus fit iupradiuiforem intercidente linea, ve! fi volueris inter illos relinque fpatium pro nu mero quotiente ir.ucniendo ,priraa tamen diuiforislitera fub prima diuidendifemper cfl collocanda,quamuisliteradiuiforis fit fuperioris ordinis articulus ,dum tamen totus diuifor minor vel aiqualis fit tot literis diuidcdi numeri cx prioribus, quot fune in ipfo diuiforc: "ies diuifor cotinctur in literis diuidcdi qua: funt fupra ipfum ,notetur per numeru, ve! inter ipfos diui dedu &diuifor em, vel alibi fi libuerit fcribcndum.-numerusifle quoties appellatus multiplicetur per totum diuiforem ;quod in de prouemr .inferatur ex litetis diuidendi fupra diuiforem confit tutis, fffupd fi,idhucremaner in diuidendo maior numerus qii.i fit diuifor, diuifor ipfefub remanentibus iterum deferibatunita ARITHMETICA PRAXIS. vtpervnicum locum liteca: omnes diuiforis. verfusdigitu diiiiuidendirautentut :& iterum redeat prior opetatiomec dcfiftedum quoufcjueex toto ditiidendo partem fiiic quoti entem numerum inuenias. Quod fi aliquando mutans diuilorem ,literas fupraipfum inuenias minus quam diuiior valentes ;loco partis appone.o.&iterum mutadiuiforcm. Oportet. n.diuifotem mu rare querendo partem, quoufque digitus diuiforis fit ftibdigito diuidendi. Quod fialiquid completaoperationefupcrfuerir diuidedum (quod fempcrelTe debet minus diuiforc) totumilludfraifiio appellatur, de nominanda adiuiforc.Vt finumerum.fpj. ' pcr.f.diuidcrc vis, fubfcribe.j.fub prima diu i(oris:& quia femel continetur in illa, figna vnitatem pro parte fine quotiente: quae multiplicata per ipfum diuiforera, relinquit eundem.5. Dele ergo. diuidendi, Jc rurfus mutato diuiforem fubfecu- a da diuidendi litera.f.7.& quoniam. f. femel tantilcop7 tinctur in .7. fume etiam vnitatem pro partc;& mul- 1 'i4 tiplicatam per. y. aufer ex. 7. remanet. i.Rurfus muta- 7TT* to diuiforc fu b. 3. vltima diuidendi, inucniflifupra ip- 1 fum.ij.in quibus. 3. continetur quater. Sumpto igitur.4.pro par tcfiuequoticnte.multiplicaipfum per diuiforem.p. fit.ao.auferendus a.rj.vnde remanet, j. qui cu minor fit diuiforc, erit par- ' tes ipfius diuiforis. f. tres quints. Habes igitur. 114. qiiiinterpra:- didlos, diuidcndtim &diuiforem, pro quotientequaifito.Sumc &-a!iud excmplumific numerus diuidendiis.ppjS.diuiforautc. 34.(quoniadiiiifor duas habet literas) fubfcribe ipfum fub duo bus prioribus diuidendi numcri.f.7. &. 5. &quoniam bis tantu cotinetur. 34,,jn.75i.noto.i.proquotieto, quo 11 raultiplicatoin4liuiforcmfit.fi'S.quca.75.(ub iij traho, remanent.ii.fupradclctos.75.,fcriben 7j> 3^(^34 hendifiam muto diuiforem, vt. 4.eius fit fub. 3444, 3.diuidendi,fupra diuiforem funt.113. in quib’ 33. diuifor continetur tcr,& fic. 3. proquotiente notaro multiplico ipfum in diuilorem ,fit. lozquem aufero cx. 113 remaner. 13. Muto iteru diuiforem ,& digitus eius eftfub digito diiiidedijfunt igiturfupradiuiforcm.ijtT. in quibus diuifor continetur quater,&: ideo. 4. in quotiente appofitum duco in di niforcm.fit.iiff.a-qualis diuidendojqu.-iteinifta operatione nihil relinquitur indiuifuratnuraerus veto tpoties crt.134. ARITHMETitA PRAXIS- Quod fi tertium volueris exemplumtfitdiuidendus numerus. 17187 f.diuifot vero.37 y. (quoniam tres liters diuiforis maiores funt tribus prioribus diuidendi) oportet diuiforem ante operationem mutare, ita vt tertia diuiforis fit fub quarta diui dcndi:&quoniam tue fu pra diuiforem funr/ 18 »7 1S. continetur diuilor in illis fepties:vnde si pars erit.7.quidu(;iusin diuiforem.producit 1S7j(7if i^iy.quo ex fuperiore ablato,remanet. p.J.Sf 57 j. y. mutatodiuiforefunt fupraipfum.pjy.inquo 377. diuifor bis continetur, &fic.i.pro parte.figna j. to (Scduiloin diuifore, facit. 7y. qui ex. 937. ablatus relinquit. 187. murato tandem diuifore .iterum funtfupraipfum.i87y.in quibus diuifor continetur quinquies praei feivnde.y.ellquoties.&dudlusin diuiforem facit eundem numerum. i87y.qui ablatus ex fu per io re nihil relinquit ;eil igitur quatfitus numerus quoties. 7ay. Ex.amen multiplicationis eftdiuifio, diuifionis autem multiplicatio .Habes.n. ex fpeculatiuaanthmeticaifi numerus aliquis alium raultiplicet.atqjidem produtflum diuidat, redire multiplicatu; vnde econuerfo fi numerus numerum diuidat, idemq; ducatur in quotienre redibit diiiidendus. Irem multiplicando &diuidendo fitrcduiffio diuerii valotis nummorumtfi.n, roaio tisvalotisnumos ad minores reducere volueris, multiplica valorem vnius maiorum per numerum illorum maiorum,producetur numerus minorum qusfitus, vt fi volueris reducere, iyS. regales argenteos nurooshifpanos ad maraucdinos minuta numifmata hifpatia,duc.34. valore vnius argetei in numeru lyS. ' numorum argenteorum,fit. y37i.valor.f.illorum7iy8. argenteo rum regalium: vt habes in fecundo exemplo multiplicationis. Eo demrnodo in tertio exemplo multiplicationis habes redudlione aureorum, ducatorumtduximus.ni yjS. per. 37y. valorem vnius ducati,vndeprodu£l:usf.ioi7yo.efl: valor. 358. ducat orum. Si autem numos minoris valoris ad numos maioris valoris re ducere vis: diuide fumma minorum per valorem vnius maioris: "ies erit fummatalium maiorum numorum.Vt in fecundo exemplo diuifionisfummam.79 y6,diuifi per. 54. valorem vniusargentei regalis :pro quotientebabui.i34. numerum arge leorum rcquiualentiumprEdidlsfummx. Etin tertio exemplo s-:. diuifi. ARITHMETICA PRAXIS. 57 d(ui(i.t7i87y.per valorem vnius ducati aurei,inueni./iy.nume, ruin ducatorum xquiualentium eidem fummac. Trium mmmmmRegula. Quauisiadicuquadrataru &cubicarQ inuetio (vtpotefpecies diui(ionis)liunc1ocum poflularc videbatur, quoniam ca' men necelTc eft vtarithmetici exerceanturin diuifionc5c multiplicatione, priusiianc afferre vifunieft regulam, qua: docet in ueftigarequariu proportionalem numeru datis tribui alijs: quo niam hac vtiliisimacum fit.pet multiplicatione &diuifionem procedit. Datis igitur duobus numeris in aliqua proportione,& dato tertio numero, fiinucnire volueris quartu proportionale .i.quife habeat ad tettium ficut fecundus adptimu.multiplicatis fecundo &tertio fi produdlusdiuidatur per priinu, pars fiue quoties numerus exdiuifioneconfurgens, eftquartus qui quxrcbatur.Vt.n«in.7. propofitionefecundie partis arithmetica: di dfum clf, datis. 4. proportionalibus numeris, quifit ex dutdu fecundi in tcttium,e(l aequalis illi qui ex dudlu primi in quartum. Cum ergo ex multiplicatione fecuntii in tertium, habeamus numeru, qui produceretur,ex primo cognito in quartu incognitu: diuifo numeroillopcrprimum, quoties eritquartus. Vt.n.fepe didfutp ell) fi numerus numerum multiplicct,& ptodudum di uidatjConficiet multiplicatum. Modus vero operationis cfttVtprimus numerus qui Sc diuifot cfl:,&femper ciufdem fpeciei& rationis cum tertio, ponatur in primo locojfecundus autem(cuius ad pcitnu proportio notacft) fit in fecundo loco :tetrius verb (cuius comes in data proportio neqUirritUr) fit in tertio Io.co;vt fi fic inquiras. Alicuidebebatur pro mercedevnius anni decem M.quotapars debeturprofepte menfibusVRediicprimu.fiannuro ad mefcs,&fic.ii. menfes efl primus numerus, qui ad dece M.fc habet in proportione aliqua: &ficdcceni M.eft fecundus:foptem vero la, mefes eft tertius nu:T)crus.Q^xritur quis numerusfe habet ad.7'ficut.ioooo.ad difpono igitur tres prasdiiStos numeros vt diiftu eft.ia,ioooo.7.duco.7. in.ioooo.fit yoooo.qui diuifuspet.u.habet propar 4 te. ySjj.f .numeru quifitujin eade. n. ii P ARITHMETICA PRAXIS. 4 proportionefehAbet.ii.addecem M,^in<jua.7.ad,58j3. u Compliira exempla qu^hicfacil^, adduci poliunt relinquimus, omnia. n. eodem modo piiocediint» fi redl^ cognoucris qui fune rerminiquidebcntrauhiplicari, &quis diuifor }(n hoc.ii. folce elTe aliqua difficultas. Et primo com munirer inter mercatores, qttiplures conuenirefolent&pccunram conferunt, vt proportionecuiufqjpecuniaclucrum de negotiatione accipiant .In hoc cafu totapecuniafimul gerit vicem primi numeri ,&fic diuiCorisitotuni lucrum cil fecudus numerus: pro tertioautem debet fumiilla pars, quam attulit iliccuius pprtionem lucrifeire cupimus quanta fit . Vt exempipinauison-uifa mefcibtis^appulicpiiiftuiiquas eunt vnus mercator non jioflSit emere] cdquenitcum alijs duobus vc omnes fimul merces emerent, &qudd (fe illis lucium proueniret diu iderent fecundum portiofrem' cuiufq; pecu ni.riitaqs vnus attulit. 2300.alter. i<)OOo, tertius. jtToo. omnes fimul. Sooo. poli: annum lucrati funi ex illis mercibus. 14 jo.cum ergo quiris quii tum ex pr^didfo lucro debeat quilibet illorum habere, fac primu &diuiforem numerum. Sooolftcundum veajoo. rb.14 fo.tcrtium vniim extrib*'allatis:quod S0000.74 fo.i^oo. .f.illecuitis partem cbgnofcere visattulir.Vt jtfoo.. volo nolle quantum deberiir illi qui attulit'. 2500. fit tertius nitra erus, apoo.qut multiplicat uspeffccii fidum, f. 14fo. producit. jCiyooo.qure fumma.diuifaper primum.f. 8000. conficit. 4f J. Iparte.f.illius qtii.j foo.adduxcrar. .Sunt, niSooo. ad. 14^0. fi- Scof.2300.aJ, 4fj.ciim vnac£fauavnius;eodem modo multi plica, tsoo. per totum locrum.f.2430.reperies. 2733000. qui diuifus per. 8000. conficit.’} 44. cum tribus odfauis ;pars. f. illius qui.1900. attulit. Tertio multiplica. }Goo. quod vltimus attulit per idem lucrum. 1430. producitur. 3:1000. quidiuifus per eundem primum &c diuiforem conficiet. i5'52. cum quatuor o£lauis, refiduum totiuslucri: &hocmodo operaberis in omnibus fimilibus. Addunt in hoclocoaritlimetici modum inueniendidiuifore, quando contigerit praididfos inercatoresqiii focictatem iniciut, non arqual itempore pecuniam fuam habuiflenegoiio expofita ; tunc n.aliter &diuiforem &fecundum numerum qiii multiplf candus eftcutn lucro, venari oportet. Vtfijn exemplo fu pexiori. arithmetica PRAXI5.58 ille qui attulctat.3<joo.voluicaufcri:e.iooo.peir aliquot menfcs ance diuiifo nem lucnitunc.nj/pinus lucrari debet ,quam fi wto tempore habuiflec totam pecunia expofita! vnde tunc pro parte pecunisadduiitaeyniufcuiufqi.junuiciplicetur tempus quo habuit expofitam pecuniam, per numcru pecuni® quam habuit illo tempore, &reliquam perreliquuin tempus; quodfiplurics etiam ilie variauit iummam pec.uni®,plures multiplicationes huiufmodi fiant; quod inde prouenerit, fit pars illius: ptojtertionumeto ,&pto.reliquis eodemmqdo fiat multiplicatio vel multiplicationes; &tunc demum addito quod ex omnibus miil tipltcationibus prouenerit, illudeft primus numerus qui &diui for.ducrum autem iemper erirrecundus numerus; pro tertio au tcni vnicuiq; illotum cuius pirtem quEtimus ,multiplicacionu ptodudlurn adducemus, &operabimur vt fupra. Notandum taraenquodaligHando contingit,,quod qub raa ior efi; aliquis numerus horutp, diminuit,reliquum :&quo mir noraugerreliquum.llcomifeiu ypliextremum proportionis, vc folct adduci exeniplmq dajpbfefsis &frumento; quo. n. plures fuerintobfefshmiu.Us Mit fcfnpus.qup ali pplTuntfrutnenrp, & alijs cibis feruatis. Item eftpxemplumsiic trimodio (vulgp fanega) critici,fupppofito quod bina libra: (pondus y.ulgatum panis) vendantur epdem pretio, &vhcia: ponderis panis proportione Oaloris trimodi; dfibeant vjriifi- Probis &fimiltbus, quoniam videtur eu.crfa propprtip,;debet eire& auerfa operatio.f. quod primus 5c fecundus numerus multiplicentur adinuicem: tertius autem fit diuifor, , E?;epiplp,,j()q,5j9ijCc;(j&.ppg(>,hpmiiuj.ii) ,,vii3:itin habent fufflcieof-cm pro f;Ouem nien fibps ,n,gp: nCperan tvfque ad. if . meqirem:ab oijfidioneiib,ei;,afi,yolpnt,noflV, quot ali poflu nt illis, ip.m en fibusfru rnpnroillo;quo. n.p.lut es Cunt menfes paucio res polTun^ali militps- Multiplica ergp.quinque.M.per.p.habe,- bif.45000.qU4e-diuifa per.ij.relinqpuint.jooo.tot milites ali ppf funt .if .raenfibus. Ille modus operandi folct appellati rcgtda trium cuerfa. Sunt permulta, qua: per illam trium numerorum regulam adinueniti: pqiruiit:vnde meritb Geber acptilsimus a» ftroldgus, loannes etiam de Motoregio infignis Mfthematicusi omnia qua:cunq; Pcolemsiis per illam fex proportionum regus iain demonilcat, ad hahe reducere curarunt.’ P1. 'ARITHMETICA PRAXIS. ,Falji. Sed ®ulam falC appellatam ad hanc eriam reducere cona tifuntquidam.nec inepti vtftatrm videbimus:efl,n. h^c regula falfi modus quidam inueniendi humerum aliquem ignotum per alium vel alios notos.Vt fi inquiras quatus ficnumerus, quo aliquis emere volens pullos, fiprofinguHsfoluat. fi. remaneret fibi.ffS.fi autem pro fingulis.tfS.folueret,deficeret illi. liff.Ignoi! ronuraerum pccuniarquam afferebat ipfc ,Sc numerum pullorum quos emere voluit, quos per hanc falfi regulam inuenire potero, vt ftatira patebit. Item funt tres focij habentes finguli nirmerum quempiam pecuhix nobis ignotum, fiimma Vero omnium fit nota: nouerrmus tamenfeeundum haberetti^um illoquod habet primus: &p!us .5. tertium vero habere quantum primus &fecundus, &plus. totum autem efir.6^7.Hia;qua:fti6hes di per multK alia: per banefalfi regulam abfoluuntiinqu^ idebfalfinoraen haber, quia fupponimus numerum quempiam efie talem qualis illequi queritur ,qui vt in plurimum non ell talis :at mediante iilo' Sc quod deefi: vel fuperabundar, deuenimusih notitiam quarfith Modus operandi in pt-imo ejtemplo eft, ytquiras quis nume rus multiplicatusperiyi.i&r ptodiliStSidditis'. B?'.; tft atqUalis illi qui multiplicatnspcr. egiWablattserfprddodfo.yjiP. remanent atquales produdflrpotth adilibituhi f5f^idt'fl*e.’81fs per.‘5‘|. mulfrplicatus producit.408.cui fi addas.<58> fit .471?. Idem antera. 8. niultiplicatiispcr.<f8,facit.p44. aquo fi auferas. 13 iS. remanent, 4o8.Atdcberente(re.47ff.vte(reta-qHaIis primo produiSlo eu fuo addito, non cratergo. 8. numerus qua:fitus:decfi:. n. 6S .ex multiplicatione fecunda ab! atisqui eriint alifcrendi.Vndepofitionem illam numeri. S.figno, it fub tpfo^appono. h8. cufigno minus,quia minus habui in operationc.&fiimam’ alium numerum pro libird maiorem uel minoremj vtputa.5.qui 8. <>, 'duftusin.ti.ficit.4f9,&cum.ff8.ya7:duca’m eudem mi mi 5.in.ir8.fit.<)n.aufero.i}6^.raaner.47(J quiadhucin ijS. pi. aequalis eft priori, &mmortlloipet.ft.noto eodemmodo. 9. &. fi.ficut prius cu notominus.Tuncquiavtrobfq; 104. inueni minus, auferam minorem differentiam 408 amaioti.f.pi.a.dStmanet.iy.Etptiraampoficio S.. ARITHMETICA PRAXIS. jp liem.f.S .ducatn in fecundam differentiam. f.ji.fccun mi mi dam autem pofitionem.<j. duco in primam differen- (JS. 51. tia.68.ex priori ptoducitur. 400. ex fecunda. (ii>. au 17. feram minorem deminore remanet.10+. diuidendus per.17. dif ferentiam duarum differentiaru, ex qua diuifionefir. it. numet' quEfitUi:ifte.r..eftnumeruspul!orum quos emere Habcbatille cuius pecuniam ignorabamus :qui dudlusper^ji. &additis. S8. produci t. 6^80.cui atqualiseft, qui fit exduiiu. u. per. <58 .iidnde auferas, i}() .habebat igitur. 6So. Efi notandum, quod fi operantes inueniamus differenthis in vtraqvoperationcminores.f.qiiod inueniamus minusquam pofitum erat, vt in prtediflo exeraplotvclin vtraque maiorcs:tunc fempet minora maiori auferturad habendum diuiforem;& ex duobus produtffis ex multiplicationibus pofitionum in differen ti;s, minusprodu<ffura aufertur amaiori pro numeri diuidedi in ucntiofic .Si autem in vna operatione differentia minor eft, & in altera maior, tunc adduntur differentia: prodiuifore, &duo produiffi pro diuidendo.V t fi in pra:dt<ff oexemplo cum fecSdo loco fumpfinouem-funvpfiffera.l.y.ex dutffu.y i.in.ip. cu. dS.fif. Stj. ex.d'u(5lu autem.ly.in.fiS.abktis ex produ- 1428. (Sio. I3<>, remanent. 884 qui maior numeruseft 408. 1020". quam-Sij.vndediffctentia debetappeni cum ti "Ty. tulo plus,Sr additis duabus differentijs fit.115.. di m} p.. uifor ;additis .lutem duobus produtSlis.f. 408. &1010. fit.1418.diuidendus per. np.diuiforciii, ij vtmaneat.ia .quietatnunierusquieCtusv.t di- (Sium eff. In fecundo exemplo, pone primum habere, y. fecundus habe* feriis. tetrius. aS.omnes fimul.f,i. deberent autem cfTe.ej. vnde differentiaeft. 1(7. Jc minor ponenda cumtitulo,rai: &quianon euenit quteficus, pono. S. fecundo locO'pro primo:babcret fccun dus. 17. tertius aurem .40. omnes fimul.7y. deberent autem effe. <r7. vnde differentia eft maior &Cc titulus plus. Eft autem differentia. S.addcnda priori.f.i(5..& fic a4.dmifor:pro 1(78 . dutSliautcmpriraac pofitionis per differentiam fe- 40- iiS. eundam. 40.fecuda: per ptimam.-iaS. additi faeiut y. 8. T(>S quidiuifusper.i4.facicpartcmfiuequQtiencc. mi. pl. 7;qui quErebatutttantumin.habcBatprimus. i<>. 8, Pi ARITHMETICA PRAXIS. li vnaefTet tertiam :&cum aggregato triu quartam; &fle de reliquis.VC JaLt. reduc pri t. fladdas. 34 5mura. 34ii j“ 133 &fic deinceps. Pro redudlioneautem fradionum non fimpliciiim.i, quan.. doparseftnon totiusalicuius ,fed alterius partis (vt fiqutcras quomodo reducetur medietas vniiis quarts,vel tertia pars vni’ quintae adfimplicem fradlionem) du cnumeratores in fcinuiccj Sc denominatores etiam in reinuicem: &habebis redudiionem quatfltam.hocpadlo. Scribefradfionem illam,ponedo denominarorefub nlimeratcire lineainteriedkavr in fimplicibus :&par tefcu partes cuius feuquaru illa eft pars feu partes,coni equeter nota diftindlionis gratia fineiqteriedlionclinea; ,vt pro duabus tettijs' vnius &pro tribus quartis Ducendo igi quint?. 35- duarum quintarum. 45- tur numeratores, l.bis vnum ell: duo, fit numerus fradVionu finiplicium ,ad quas reducebaturiila fradlio fradlionis: ducedo autem denominatores. f. ter quinquefit denominator.f.i y. illatum partiu redudtarum.Dua;.n.tertiacvnius quinta valcr duas quindecimas vniiis integti. Eodem modo in fecundo exemplo, dudti denomi rores. 4.&.f.in feinuice faciunt.10.&dudlis etiam in inuice numeratoribus.f.j.&. afitfenarins numerator; ide «_ .n. valent ircsquartx duarum quintarum quod, ao Non difsimilitcr fit multiplicatio fradlionum :cbm.n.vnam fradlionem in aliam ducere volueris,duc numeratorem vnius in numeratorem alterius:& denominatorera vnius,in denominatorem alterius ;quod inde produ citu r.eftfradlio coni urgens ex multiplicatione. 3_in^ fiunt Diuifio fradlionu fit,finu- Vtducendo. 452,0 nicratorediuidcndipcr de nominatorem diuiforis n'iultiplicaueris,fit.n. numerator; cconuerfoautem,cxdu(3u denomii aoris diuidendi in numeratore diuiforis proucnit deno ^per4^duc.i.in.5.fit.Jo.&.3.in. r£^ minator. Vt fi diuida». 354,fit.ia.vndcquotics erit ,Ja. Compluracompediainuenies profraillionuin tradlatu ,qua: quoniam exercitio facile confcqui.pofiunt volentes ,libenter prattereo , P. HSIC ARVMverb fta(Jlion«m(quatu vfus in afito-- AK7THMETICA PRAXIS. 6) noinicis multus eft)ftcilis eft ars, quantum fatis efl ad tabularii exercitium pro quofuntinuenra:. Procedunt fiquidcm aftrologi per fexagenariain &diuifionem Sc multiplicatione, propter. tfo. numeri commoditatemdta vt.tTo. partes minoris denominationis conficiat vnain partem immediate maiotis denominationis, tam in tempore quam in fpatio motus orbium . In tempore.n.vnum integrum (puta diem) diuidunt in. 6o. partes, qusfcrupulafiu eminuta appellantur: &quamlibe tifta rum in. fio. partes ;qUK quoniam fu nt partes prima: partis,iecu da; appellantur :&qualibet fecudafradlio diuiditurin. 6o,par tes tcrtiasj&qu^libet tertia in. 60. quartast& fic deinceps quatu libet procedendo in diuifionc. Sed &.6o.dies appellant fecunT dum nonfradionis fed multiplicationis,&.(jo.illorum fecudorurafaciunt vn ii tertium,tertiorum aut em. (5o. conficiunt quae tumi& ita in multiplicatione ficut in fradione pro Itbito procedunt. In fpatio autem (quoniam demotu circulatiagunt,qui circtt lo completur) circulum quemlibet diuiduntin.jfiq.aiquales par tcs,qua:& gradus appellantur;&ipfenumerus.3ffo.fit ex fexies tfo.quanilibet autem illaru partium diuiduntin.^o.fcrupulos fi ue minuta, &quodlibet minutum in ffo.fecunda, &quod libet fecundum in. (Jo, tertia; &ficvfqi quo libuerit ficu tde temporis diuifionedidum cfi. Pro numeratione vetb illarum fradionum ,oportet quamli betftadionem fecundum ordinem fuarum denominationum aptari incipiendo amaioribus fiue partibus fiue integris; fine etia qui cx multiplicatione fiunt numeris ,more noAro afiniflra in dexteram. Vt fi ex multiplicatione dierum, habeamus fecunda tertia &quarta;prius quarta ScAatiro tertia: confequentet fecu da Scinde dies qui.i. notantur: poAeafradioncs.m.a .^.4 .Scc. quod libet in fuo ordine, pro quolibctduas tantum literas appo nendo, fecundum exigetiam numeri illius dcnominationis.qui feper minor eA.^o.vt fi dicas pto redudionedieru ab incarnationeadhanc horam,duas haberequartas Ip.s.i.T.tn. 1.3 .4. multiplicationis. 38. tertia. 17. fecundas.7. a.3ii.i7.7i5i.iy.o.or dics,&diuifionis.yi.minuta. IS. fecunda. Pro fpatioautem maxima denominatiocA lignorum :figna autem dupliciter accipiuntur, dicunt, n.lignum pbyficum clFe Q_ 5." arithmetica praxis. fextam panem totius circuli,&ficc(ant>incre.ffo.partes Teu gradus circuli:communc aurem fignum duodecima pars cft totius circuli, &gradus conti net.^o.fra<iiioiies vero (ilcut fuptadiftu cft) per fexagenariam diuiGonem continui procedunt :vndeiti numeratione, prius ponenda funt figna:iiatim gradusStu minu ta:fecuda, tertia, &c.qIiischara(ilcrib*nota s.g. TO.s.5.4 mr.s.figna.g.grad’.in.niiruta.s.fccuda ,&c. j/. 49.^5,41.10 Pro additione aute fi habueris plures addedas adde eiufde de nominationis digitosrfi refulcetc6pofitus,appone fuo ordino di gitu: &cu articulo adde reliquos articulos eiufde denominatio nisSanumerorefultatefubrrahc.tJ.qHOiies poteris,& fi c].drcraa net pone loco articuli: " fenarios fubtraxilii, tot vnitates iiabes addendas digitis maioris &c, 5^if, JJ4' immediate fequentis fradiionis :8cJ—— ; r ? A- }47 ?4 3i Itcut in vna tractione operatus es, ,.h o.1- .rj/- o49 3“i4ao 10 Ita &in reliquis, quo viqucad agna ^g hetucnies; qu® fi fuerint phyfica &; ^-r'c '•ja49 i» 3ii fa 34 plura quam .(i .lemper abqcienaa aur..—?—1—jjr funtqu^ per fenarium diuidipoiTunrifiquidcm fex fignatotum complcntcirculumvtdiiaum eff :quod autem fupcreft reicdiis fenarijs fubtitulo s.fcrua,fiautefignac6muniahabuerisfecun du exigctlatuaru tabularii,tqc ex fignisreijcc.i'a.& reliqua ferua Pro fubtradlione aute, fubtrahe digitum vnius ftadiionis ex digito fradlionb eiufde denominationis ,fi potes :fin aute cSple dcnarij5(vt in integris diCfu e(l:)Sc pro refiduo ponequod deerat denario :Miquis digitus eratin fuperiori aquoextrahebas, & Cu vnitatefidenariu c6 plelli,ex articulo illi’denominationis fub trahe copoficu ex vuitate&articiilofubttahedo fi potcsiqubd fi n6,quia vel nullus eft articulus vndefubcrahatut,vel minor qua fubttahendus:euncc6ple no den.iriii, -s 3. "4. ,fed fenarium vice denari quod dee- ^-"^^^'“--^”"0' far fenario, cura articulo fuperiori (fi ^ — quis erat) pone prorefijuojferuando l——i£_I — vnifatem pro digitis fcquentis ordinis :?i i 00 34 op quae omnia facillimb vfu confequeris,funt. n.frequentifsimaa* ftrologis. Eli tamen aduettendum, quod multoties oportetextraberc maiorem arcum de minori;& tunc minori arcuiaddun. tuc.fi.fignaflue totuscirculus, vt in praifentiexeplo cofpicitur. GEOMETHICA PRAXI5.64. Pro multiplicatione autem &diuifioneiftaiimi phyficaium fra<3ionum(quoniaadhabendaspartes proportionales palTim nece(Tecratmultipllcarcatq;diuidcrc, idq; non fine tsdio &la bore, quo nos liberat tabula qua: pro habenda parte proportionali tabulis eft annexa) habeamus illi gratias oportet: &multi» plicationem &diuifionem &radicum extraiftione relinquamus a!i;s,quieopiofius &fufiis quantum fatis eftde arithmetica feri pfcrut ,"idiefcribunt:chm nos compendium pro occupa tiiTimisingrauioribus fcientijs tradcrcdecrcueriraus.'monentes tantummodo, quod facile reducendo omnes iftas fradliones cu fuis integris ad minimas fradiiones per fupetius traditam dodiri na m,poter ut multiplica re &diuidere, &alia omnia in his exercere quE in integris fccecunt. Arithmetic®ptadlica:iinis. De Geometrica, Praxi. Qnemadmoduro trina eft quanr/tatisdimcnilofcCBrrdirlon gum.f latum Si profundum, ita triplex cftmenfor3:qua:daqu,5 longitudinem metitur, quadam vetb qua: fuperiaclem ,qua:- dam vero qua metitur corpus;& cu mlongitudo iit prior, &fuo modo menfura aliarum (longitudine.n.cettificaraur non folura quan ta fit longitu do, fed quanta latitudo,&quanta etiam profundi casieft.n. linea qu^ folam longitudinem habet latus tara fil perficieiquam corporis) oportet cognofeamus prius mcnfuram line?: per illam em facile cognofccncur& relique . Eft vfitatifsimum fumerc menfurani cx membris humanis, vt digito,palmo,pede.paflu &c. quamuis fem per, ficu t&nunc, diuerfeapud diuerfos fuerint menfuri. Vnde &geomotdeipe desdiucrfam apuddiuerfbs habere longitudinem compertu eft: .ac proinde (ladia &milliariainequalia inueniuntur .Sit tamen gratia exempli pes communis.f.tcrtiapars vlns menfori£E,men lural6gitudinis;quqtame diuidatur inquatuor partes ?quales, qua: palmi appe!latur:palmiaure in quaternos digitosrdigiti autem diuidanturin latum quaternorum hordcigranorum:mu!ti.' plicetur verbpes in. pvt fiat pa(rus:& paflTusin.iaf. vt fiat ftadiS ftadiuro verbin.S.vtfiat Milliare: Milliaria autem multiplicata ofiendant longitudines, i.dirtantias locorum oppidorum.f.Sc liuiufmodi:Pruminotc.autcm.lbngitudlne vtemuralijs. ARITHMETICA PRAXIS. De longitudine aut em folent tria inquiri: primum quanta fit fublimitas alicuius teieleuats fuper tetrat vt de tutre,& de qua uis alia re in Oiblimipofica etiam Tupra montem,& de fiin ilibus: poteftfecundo inquiri, quatumdiftetvna aliqua res abalia per lineam rci5lam in aliquo plano: !ctectio,quata fit profunditas alicuius rei qux fit fub terra:vt putei vel alterius huiufmodi .Et quoniam non femper licet pedibus, chorda, vel alijs menfuris certificari de tali longitudine. Geometra: artem metiendi inuencrunradiutorio proportionum, &mediantibus inftrumentis, vrabra &alijs de quibus ftatim dicemus. Altitudinem rcifuptatctraraeleuata:cognofcemus,fidiftan tiam radicis eius aloco vbinos fumus prius habuerimus explora tam:& prxtercaproportionemquxeliinterdifiantiam &altitu dmem .Diftantiam autem oportet metiri funiculo vel pedibus fidetur:proportio verb cognofeitur fi habueris triangulu, cuius lacera vel duo illorum nota finttiquiangulu triangulo cuius bafis fit dilHtia,cathetus vero fublimitas reicleuatx.vndecuxqui angulorum latera fint proportionalia, &habeamus vniusilloru nota duo latera continentia aiigulu re£l:ura:habebimus &jppor tionem notam duorum alterius continentia etiam angulum redfum: cuius vnum extremum nobis cft notum.f.diftantia.Vnde per regulam triumi numerorum in Arithmetica traditam inueniemus quartum proportionalem, quxeif altitudo quxfiia. Triangulu aute iftu,cuius duo latera circa redlum angulu c6- fidentia nobis nota eiredebenr,vatij5 modis tradunt geometri: omnes tamen in idemconueniunt, nara fcalaaltimetra (quxap pellatur)&: cft qUadtatum in dorfo Aftrolabij,8c eadem in quadrate &in quadrato Sc in pluribus alijs inftrumcntisinihil aliud quam triangulum illum metientibus oftendit: cuius vnum latus femper indiuifum notum eft raetienti. ii. vel. ^o. partium: vel in alio aliquo numero notoialiud au temdiuifum cft in totide parces:ex quibus non femper omnes, fed vt in plurimu aliquam partem illarum fecat mobilis linea, qu 5.acetro inftrumenticum 'prxdiiftis locum tenens hipotenufxcaufat triangulum. Semper igitur erunt noti, linea indiuifaqu^ cum diuifacaufat angulum redliim, &pars diuifxquxeft inter angulum redium &lineam illam mobilem:5f cum eadem fitproportio diftantii dcaltitudi nis, qui iftarum duarum in triangulo ledlu angulu continetiu: cognita PRAXIs; tffGEOMETRICA tiumcognicadi ftancia, cognofcetur& altitudo &ccontra: Vt fi raetieda ef , fet altitudo.a.b. V oportet mcnforem habere diilantia. b. c. notam :&praiterea trianguli, d. c. c.quieftin inftrumento co. gnicalatcra.c.d. 6c. d. e. ficut.n. fe habet. c.d. ad. d. e.continentia angulum te(5lu, ficfe habet, c.b. difiatia ad. a. b> altitudine: fune .n .tequianguli triangulus, a.b. C.& triangulus, d.e.c.fi ergo po namus difiantia c. b. lo. pedum &latus.c.d. II. partium.d’e.vero, 8.erunt ficut.n.ad.S.fic.ro. ad,altitudinc:vn de dudlis.S.iu.ao.produtit.KJo.quidiuifusper.ir.facit. 13 .cura vnatertia,tanta eft.aliitudoqua:fita. , Potes& per vmbramcognofcere altitudinem rei perpendi culariter fupra terram crefta:, fi metiaris longitudine vmbraiin pUnu extenTa:, &alicuius altcriusrci puta baculi vel virg? qua pcrpendiculariter fuper planu erigas vmbram :&longitudir nis virgarillius ad fuam vmbrain cognoueris proportioncm:eadem.n.eritproportio virgxad fuam vmbrami qua: turris ycl cu. iufpis alterius rcieleuata: adfuam.V tfi altitudine ynius pytara^ R- geometrica PRAXIS. dum sgyptiarum quis metiri vellet, habeni virgam in manibus quameleuat perpcndicularitetfupra planum :Siinucniat vinbtam virgaeduplam effe longitudini virgae, judicabit vmbram pyramidis duplam altitudini pyraiuidis:& altitudineeiTe dimidium vmbra;: fiunt enim xquianguli trianguli ex altitudine& diftantia pyramidis &virgie cum radio luminofo terminante vmbram; vndeSc latera angulum reiSum ambientia ptopottionaliafunt. GEOMETRICA PRAXIS. per eandem regulam trium numerorum .VndeiI cures in planofpeculiimita aptare, vta:qualis fit diftantia tua afpcculo altitudini tui vifus;& illum ponas in loco vndetibi fummitas tur ris in fpeculo appareat :dices altitudinem turris eiTc a;qualcra diftahtia; turris i(peculo: &ficut deaiqualitate, itadequacunquealia proportioneiudicabis. A.b.altitudo.pytamis .foo .paffuum.b.c.quantitas vmbrae. m.pafsuum.d.e. virga perpendicularis. lo. palmorum. e.f.vmbra virgi‘.io.palraorum.c. fpeculu. g.h. altitudo vifus duorum pairuum.g.c>diilantia ridentis afpe culo quatuot paiTuum, Dealtitudine rei cuius dijlantiam non pojJ'umus prius habere . Contingit multoties,vt alicuius rei altitudo inquirenda fir, ad cuius radicem non facile patet acceilus: ac proinde non poffuraus ex dirtantia habere altitudinem :vnde quando huiufmodireialtitudinem voluerimus habere, oportet vtin aliquo plano in quo fit fpatium notabile, &vndcbisconfpiciamus (umitatem reimetiend^in eadem linea redfa verfus metiendam rem bis confideremus per inftrumentum altitudinem eius: modo fu pradidlo: &videamus quot puniflaex linea diuifa inftrumenti fecentur: Si ifta pundlaquotaparsfint totius linea;:& quoniam duarum confiderationum diuerfaeruntpundla, &fic diucrfae partes :auferatur denominator minoris adenorainatore maioris ,& per refiduum ditiidaturfpatiuminterduo loca duarum confiderationum :nam quoties erit numerus altitudinisquaifita:. Vtfiin prima confiderationepiindla elTent. 4.& totum. 1a. efientpundla tertia pars totius denominata iternario, &fi in fccundaconfiderationepundlaeffent. 6.eiTet medietas deno minata abinario. Igitur fubtrafto binario aternario remanet vnitas per quam diuidenda erat diftantia inter duas confiderationes: &quoniam vnitas nec multiplicando auget, nec diuidcdo minuit ,tanta etjt altitudo rei metiendi quantum fpatium interprx didas confiderationes. R» GEOMETRICA PRAXIS. <^7 Demenfura diflantU rerum inplanoj^ojitarum. Sicut media proportionelatecUm triangulorum, cognita di' flantia venimus in cognitionem altitudinis, facil6 vice verfa ex altitudine cognita deueniemus in cognitionem diflantite: atque hoc padko planum metiunturc6muniter.Qu,oniaro tamen non’ adeo magna «ft diftantia quaiinftrumentis menfuraripotefl.a-' liam faciliorem &vtiliotem viampro maiori diflantia tradunt’ &eft talis. Si cognofcc re vis dilTatiam alicuius rei vi ' f;, attende ex a liquo plano re viiara ,&iigiia locum: vtfi vcl lem cognofccre diflantiam ali* cuius loci qui flt in.a.ex loco. b.ideftiongitu dine.a.b. fignatopundio. b. fu per eandem Ii. neam ad angulum tedlum vel alium angulum notum ,fumo ex ipatio plano lineam.b.c. qua titatis nota:, pu ta .foo .paiTuu &ligno locum. c. exquoeridm confpiciatuc.a. &tunc (x linea b.a. capio patte notam vt, aoo, palTuumapun. K3 GEOMETRICA PRAXIS. Vndepro habenda area dati circuli metirediametrumieft.n. proportio eius ad peripheriam ficu t. 7. ad. la.fer vnde per diametrum cognofces quanta fit circii ferentiatvtriufq; accipe medietates, ininuice multiplicandas, pro haben da area circuli .Vt fi diameter prafentis circuli fit.i4.pedum, erit peripheri.a. 44.vnde medietas diametri. f. 7. per medietatem circunferentia:. f. per. 11. multiplicata facit .if4.tanta cil area totius circuli. Qubdfi fcmicirculi arcam volueris, duc prtedidiam femidia metrum in medietatem Peripherie femicirculi. i.in quartam to tius peripheria: partem rhabebis quantitatem femicirciili, vt .7. per.n.fiunt.77.ranra cft area femicirciili. Qjrbd fi ft<5loris cuius piam volueris arcam habere ,duc etiam femidiametrum 111 medietatem arcus peripheriiV illius fedloris :habebis aream illius. Vt fi fedloris. a.b.c.cuius i duofemidiaraetri haberet feptenosi pedes, arcus verb.b.c.talium effer. 8. ' qualium tota peripheria, 44.du dia femidiametro. f. 7in.4. producerer, iS. tanta efl aria praididle fediotis. Q^hd fi portiones circuli per chordam diuifi metiri libet, vtin prtefenti circulo quem chorda, b.c. diuidit in duas portiones; tunc.1ce tro.a. ducanturlineatad terminos. / b.c. quzeaufabunt cum arcii.b. c. fedtorem, &cum chorda triangulumimetircergrvfedlore vt fupra, aquofubtrahe triangulum, rema- Bcbit portio minor femicirculo: GEOMETRICA PR AXIS. 71 qua 3toto circulo fublata, remanet portio maior femicirculo . Vt il fitfemidiametcr.a.b,7.arcus.b.c.it). erit fedor. f6'. fi tau te triangulus, jf. remanet areaportionis minoris .ai. qua ex toto circulo.f.if 4.ablata remanent, ij J.quantitas portionis maioris femicirculi. Et cum figura oualis appellata fint dua: portiones minores femicirculo fimulconiuncft^.facilA ex illotum me fura habebimus menfuram oualis: fi .n .qua;libet illarum cft ficur praccdens.ai.pedam,erunifimul. 41. Sed &lenticularem arcam, qi ex duobus femicifculis Sc paralL logrammo rcdlangulo comple -' tur, metiri facili poflumus, eum duobus femicirculis addidetiin* parallelogrammum. Vt fifinguli femicirculi habeant.77.' latera pa rallelogrammi minora ternos pe des m.tiora quaterdenos, erit parallelogcammum. 41. pedum ma gnitudinis :quicum.ij 4.duoru femicirculoru,conficiet.! 5(T.pro area totius lenticularis figurx. Pro menfhra joMorum. Ouem admodum menfura linearum line.!, &fu perficierura cll 1uperfici es, fic folidi menfura folidum fit oportet. Eftq; inter folidasfigiiras cubus menfuta omnium reliquariuti :quia omnes fuperficies, omnia latera, &omnes angulos habet aquales, fupetficies omnes quadratas, &angulos redlos, Menfuraautem cuborum diuerlaeritexdiucrficate longitu dinis laterum cius, vtin quadratis didlum eft: fit tam en latus 53 GEOMETRICA .PRAXIS. quodlibet in exemplis fequentibuis vnius ped is, erit nobis meniura cubus (iolidum. C. corpus,) habensin longum vnum pedem ,& tantundem in latuin.tantundcmquein ptofuiidum . Primam autemfolidaruin( f. cubum) fi raeiin volueris, duc vnumlatusinreipfum, &idem latus in produiiliim: habebis magnitudinem cubinoram.Vtfivnum la tus liabct.j.pedes.tcrnarioinredu dio producitur.<?.in quodudlus ite tum ternarius producit.zy.tot pedes cubicos habet magnitudo, talis cubi: cqnficietut. enim ptxciie.ex. 17. cubis pedalibus. Qubdfialter.a parte longiorem folidum metiri vis:cogncfce longitudinem, latitedinem ,Sc ptofiin ditat em :num.ctos haru trium dimenfionum multiplica primum per fecundum ,&pro du(5lum per ter tium(ncc refert quem facias pri mum,feeundu, vel tertiujquod prouenit ell nu metus pedu c6 tentorum in ta lialtcra partelo giori. Vtmunis vel paries in Ion gitudine.io.pe. dum in.latirudi rte.S.in ccafsitie .j.MiiItiplica.j. per.S.fir. i4.huncpcr. ro. fit. I40 .tot cubici pedes funt in tali muro. Quod fiturrem folidam^voliieris metiri,duc praididlo modolongiiudinem in latitudinem, dcptodudlum in altitudinem: habes quot cubos coiicincttucris. geometrica PRAXIS. 71 Eodemmodo metiri poteris omniafolida qua: altitudinem habuerint regularem, fiue colu mna: laterata; fiue rotunda fue-i rinr,fiueafl’ercs, fiueprifms, vel ferratiliacorpora. Sicnim ba fim cuiufqj illorum ducas in altitudinem, ptouenict quantitas Iblida talis corporis . Quod fi non folida fedcaua fuerint, vt turres laterat.e vel rotunda folent;tunc meti re totum acfie(retfolidum,& quantitatem feruarS: fuperficieni concauiduc inaltitudinem:ptodu£lum fubrrahe ex toto folido,remanet Canum. Vtfifit turris cuius logitudo. 5-pediim,latitudo.S. altitudo 4o,du£):a logitudine in latitu dinc fit. /i.quiin altitudine. iSSo .lam vero ex longitudine aufer. procrafsirudine duorum parietum ,remanet. 3. ex latitudine auferetiam. S. pro parietibus remanet. 1. duc.i.in.j.fit.tf.qui in. 40. fit 140. ablato cx.aSSoitemanet aff4 0.pedescubi in tali turri exiilentes. Si etiam cylindri cxcauatibafis totius are.im duxeris in altitudinem, habes cylindri quantitatem aefi folidus edet: auferes tamen cylindrum cauiratis ex folido, vt habeasquantitarem ex Cauari. Vt fit turris cylin drica, cuius bafis circulus, 4. bafis au rem coc.iuitatis. 77.& fit altitudo. 10. duco 154. in. 20. fit. 5080. tanta effer quantitasillius fi folida effet. Ducoitem. 77. circularem bafimin.io.aIt/tudinem,fit.i J40.quicx. 3080. ablati re! in - qtiut. rf40i tanta efirnagnitudocylindri fiue rotundacolum- S4 GEOMETRICA nsexcauata;. At fiquantitatem pyramidum volueris explorata habete ;duc pyramidis bafim in axem ipfius, ptodudliaccipeter tiam partem, tanta erir pyramis pra:di(5la:vel duc eandem bafim in tertiam partem axis &idem producetur. Axe vero habebis, ii vnam lineam in lupetficiea fu mitatead bafim ,qus locum ha beat hypotcnufxm fe ipfamdii xeris ,&iprodudlo fubtraxeris quadratum lines atermi no i . rtius in bafiad centrum ipfius ba fis ;quadrati numeri remanetis radix erit logitudo axis, per vir. primielemen. Vt flbafis circularis pyramidis erit. 5 if, longitudo axis. IO. tota pyramis erit. Iio.fi quidem coluranaad py ramidem eiufdem altitudinis ell tripla, ex archimede. Q^odfi pyramis non fic integra fed curta, vteflfigura laterats pyramidis tmetire prius totam aefi integra efler, &partem qus deficit aefi effet alia pyramis ,& fubtrahe ex integra partem; remanebit quantitas curts pyramidis. PRAXIS. C3u,bd fi excauats elTent pyramides ,ficut dc columnis & corporibus alijs lateratis didlum c[l,funt raeticnd.x’. Hinc facile habebis quantitatem cocaui cuiufcunqi corporis excauati, imo puteorum Arcellarum capacitatem,,fi ad cubicam menfuram re duxeris menfuras liquoris, frumenti, &alias huiiifmodi. Spe- GEOMETRICA PRAXIS. 73 Sphera; aurem metiri quaotiraie non difficile ert, fi noftiproportio nemcyiindri cniusbafis maximus circul* fphera:, altitudo vero diame ter ipfius,ad ipfam fj.licram :ea ex archimedecfi lefquialtera, vndcfi aream maximi circuli in totam dia mettum ducas, &produdi capias duas tertias partes .habebis quanti ratem fphirra: quaifitam.V tfi pra;- fentis IphsrK maximus circulus fit If 4. diameter, i4,dudba diametro in aream fit. njiJ. cuius duie tertia: funt.i 4j7.cum ena tcrtiaitanta efl: magnitudo totius rph3:r.-e.Medieta tis autem ipfius habebis menfura, ex multiplicatione maximi circuli per medietatem diametri, fumptis ex produdlo duabus tertijs. Habebimus &fpheroydalium figurarum menftiram, qua: apyramidibus differunt in hoc quod line? avcrticead bafim fuc curua:, qua; in pyramidibus funt redlK .Habebimus inquam illius menTurani, cognita proportionepyramidis ciufdem altitudinis ad (pbcroydem.ea efl ex demonftratis archimedis.li. deco iioydaIibus& fphcroydalibus fubdupla. Vndecnm pyramide GEOMETRICA PRAXIS. eiufdetn altitudinis metieris, duplica pyramidis quantitatem &habebis quantitatem fphetoidis. Hacaneiniicnies capacitatem vinarij vafisfiucdolip. qui vt in plurimum figura habet ex duobus fphetoidibusper bafesco iunftis compofitam, licet decurtatis. Cuius fi vis habe re menfu rani, imaginare me dium totius vatis eirculum, qui bafis fit ytriut"- que fpberoidis :fupctficicra iflius circuli multi plica per altitudine axis ,produtSlicapeduas tertias partes, &numerum fcrua:dein.deab illo auferes dccurtationesqu.T: ad verticem fu nt, reni anebit capacitas totius vafis quxftta. Portiones autem fefliorium fpheroidu qui ad verticem non menfutatur ficut pyramidum curtarum portiones ,non.n. (ficut tota fphetoides figura ad pyr-rmideni) habent duplam proportionemtcft.n.icdiionis fphetoidis ad fedbionem pyramidisproportiofercfuprabipartiens tcvriastvndc habita portionepyramidis, poteris habere fine adeo notabili e« rrore portionem fphetoidis. FINIS. COMPLV Tl. Excudebat Andreas de Angulo. I5(J 6. Errata. FoI.4.pag.i.Iib.i.fi duas 8.m.4.1egein-.4-.nnei r7.ibipor medietatem tege per medietatem.fol.tf.pag.i. linea lo.fecundumquam lege fecundu- ^ucm.pag.2.. lin.pcnultima numeron lege numero.fol.^ margine vb.3.3.1ege5.3.& vbi 3.<5.1ege^,tf.foI. lo.pag.i.inmargi. vbiit.i, lege ix.ii,pag.j..lin.io.ibi minore lege maiorem, fol.ii. in figura lin. i.vbi 143. lege X45. fol.14. pag.i»hncax4.procj^uotlibcd lege quodlibec. fol. 15. in 1. figura in terminis diametri pone d.e. in x.pag. in figura pane in tribus angulis vnius trianguli a.c.f.& intrib® rcliqui.b .d.c.in ilngu lis angulis fingu) as literas.fol.i^.pag.i.in figura apt.i literasfigur^fccu dum quod in litera ordinantur, linea.itf.ibi b.c.lcgc b.c.fol.iS.pag.i.li. Ao.ibiarqualibuslcge e-quibus.folj^itpag. i.Iin.5. ibilo. C.pro c. lege d.fol.io.pag.i.li.2.3. pro fit medietas leg-ecftn:«dietas.fol.i3.pag.L.li. x.ibi geometricalege geometri*.fol. 14. pag.x.lin. 17. ibi in curapletu lege in completum, f0l.x5.pag.i.in figura vMeft.g. pone.b. g. vero inter lineas in-code Io co,lin.i8. ibi qui.i ad latera lege quia laterafol.xtf . pag.i.li. XX. ibi £o.c.lege.f.o.c.fol.x7.pag. i.li.xf. ibi verina leg. vtrin. pa,x.li.5.ibi ex c.b.le.c.e.fol.xS.ga.i.Ii.io.ibi vtriufque lege vcnfque.li. xo.ibi xqn.ale linejcjege xqualequadrato linea:. fol. 15. pa. i. li. pen ultima ibi munire lege iniicnirc.pa.i.H.io.ibi duftaadde, remanettriangu-» Ius qualis proponitur. £0130. pa.i.li. 8. ibi arqualiter lege a:q^uilatcr.fo.3i. pa.i. Ii. (f.ibi porporcioncmlege proportionem,pag.i.Un.tf. ibi &pnmi tercij lege primi Sc terti;, lin.ii. ibi exempta lege exempla.fol. 31. pa. 1. li.tf.ibiporlege pro,fol.33.pag.i.li.4.ibiporportsi©legc proportio. p.ig. X..U X3.ibi b.e.& e.c.le.& d.e.li.34.ibi.& e. c. lege add.c.fol .37.pa.i.liu. x.ibi contingataddedccepcio-.pa.i.li.io.ibicabitoidem le, calato ydem, xi. conordalis le.conoydalis.fol.38.pa.i.Ii.a,d.ibi quando lege quoni.im. fo.4o.pa.i.li.(> ibilinealcgclignca.fol.47.pa.x.li.x8.ibi5,7^.le.576.fo. 4S.pa.i.lin 3i.ibinunicralcg,eniimcra:.fol.50.pa.i.,li.i 3. ibidiuifeir x. lege diuiferiv.pa.i.li.xr.ibi medium lege mediam.fol. 5i.pa.i.li. 14. :bi vniis le.tonus. fol. 54.pag.x.li.i. ibi multiplicans e.duco e. lege multiplicans b.duco b.fo.55.fig«ras exemplorum quoni.im non Tatis aptati Tunt in illis numeri tu ipfe ex litera aptius appone fuis locis. fol.57,pa:i. lin, penul. auTcr.4..vlttmaliceram.&: dcvltimalinca aufer ix, qua: non funt infuislociSjiu eademvlt{m-aibi5.833 adde 4- Xpig.li. itf. ibi 19000.Ic.ijoo.lin.xy.ibi iT X450.legc1450di11.30.1bi 5xxooo.lcgC5xxoo oo.foI.59.pa.i.li.4. fbi mf norem lege maiorem,pa.i.li.xi. ibi proportione lege propoficionc. foL 6'o.p'.ig,i.li.3.ibi cuius ic. quis, &figuram numerorum quia inepte funt colloc.iti cmcnd.iper. litcram.pag.x.li.vltimaibi ex iS.adc x.fol.iJi.pa.i Un.io.ibitcrcialcgc ter tria.pa.x.lin.tOvibix4.1egei7,fol.(5x.pa.x.lin^ 33. ibi 3.m.lc.3.in.fid.<?3.pa.x.lin.i3.ibi &.c. aufer c.fol.<f4.p.ig.i.li. x^T. ibi geometrici Icgc geometricos.foLyo pag.1.lin. xS.ibiaria lege ar.ca.. fol.7i.p.ag.x,Ii.X9.ibilaticudinc,lcgcalcitudine. cisoppjpsojiBtDebpdtiflywsie^.A^sa^t^souiMdtif^ojbsoiciejinccJcd^onS aus30](^do^43^4opwnb3qfec9Ui?p3q3K)OtDjye4cd(^pi63#ipj3tiqp^ iaa^e epq oiBcteyaeojjtiedojeopepi&biojjpttgapcobj/miimojuiiojBJoiupw 9QptKt^3W:>lBBC0t«^ ^e3Q(i:i^ll3QOU^O}(^ ^4Bflll360Sltjmi3S01B^ •sjjctiiujciseioiiite