Un análisis fractal del IBEX-35

``Un análisis ac al del IBEX-35´´ Bus o Gue e o, Ja ie ([email p o ec ed]) Uni e sidad de Se illa Delgado González, Lo e o ([email p o ec ed]) Uni e sidad de Se illa Muñoz San Miguel, Jesús ([email p o ec ed]) Uni e sidad de Se illa Palab as cla e: F ac ales, exponen e de Hu s (H), ango eescalado (R/S), camino alea o io, dependencia a la go plazo, IBEX-35. Resumen: En es a comunicación se ealiza un es udio empí ico de una se ie empo al del IBEX-35, en el que se in en a de e mina si la se ie de di e encias loga í micas es udiada p esen a una es uc u a ac al u ilizando el análisis R/S, c eado po Hu s y popula izado po Mandelb o y Pe e s, que es capaz de de ec a la es uc u a ac al y la p esencia de dependencia a la go plazo en e las obse aciones, median e el cálculo del exponen e de Hu s , pues su alo pe mi e dis ingui en e un camino alea o io (H=0.5) y un camino alea o io sesgado (an i-pe sis en e, 0<H<0.5, o pe sis en e, 0.5<H<1). Al de e mina si en la se ie exis e dependencia a la go plazo en e las obse aciones, se es udia además la exis encia y du ación media de los ciclos no pe iódicos donde es a dependencia se pie de. 1. -In oducción: El obje i o de es e abajo es analiza , median e la se ie de cie es dia ios del IBEX-35 du an e la década de los no en a (desde 2-01-1991 has a 29-12-2000), alguno de los modelos que se han p opues o den o de la li e a u a pa a explica la o mación y e olución del compo amien o de los p ecios den o del me cado y en pa icula del índice IBEX-35. Ve emos así que uno de los modelos más popula es, el modelo de camino alea o io, no pa ece adecuado pa a desc ibi el compo amien o del IBEX-35 pues al aplica a la se ie de inc emen os loga í micos de sus cie es dia ios el análisis R/S, se 2 ob iene un alo pa a el exponen e de Hu s que no es compa ible con el alo que co esponde ía al modelo. Es udia emos pues dos de sus gene alizaciones, caminos alea o ios sesgados y p ocesos es ables de Pa e o-Lé y, que al compa i como ca ac e ís icas la au o-a inidad de sus ayec o ias nos pe mi en inclui los en una ca ego ía más amplia, los p ocesos ac ales, ca ac e izados po que la dimensión del p oceso ( ayec o ias y/o egis os empo ales) no es necesa iamen e en e a; es a dimensión se es udia á al aplica el análisis R/S a los egis os empo ales del índice IBEX-35. Es as gene alizaciones se dis inguen p incipalmen e en el compo amien o de sus inc emen os, así los caminos alea o ios sesgados p esen an dependencia de los inc emen os a la go plazo y los p ocesos es ables de Pa e o-Lé y ienen inc emen os independien es. En nues o es udio e emos que, a pesa de no dispone de da os su icien es pa a de e mina cual de las gene alizaciones es la más adecuada a nues o caso, sí se puede a i ma que nos encon amos an e un p oceso ac al dis in o al camino alea o io clásico. Es e abajo es á es uc u ado en seis secciones, incluyendo como p ime a es a in oducción, en la segunda se en los an eceden es en el a amien o del p oblema, pa a pasa a la e ce a donde se desc iben los dis in os aspec os eó icos, an o de los p ocesos es udiados como de las he amien as u ilizadas; en la cua a sección se pasa al es udio especí ico del índice, mos ando en la quin a los esul ados empí icos ob enidos; en la sex a y úl ima sección se es ablece án las co espondien es conclusiones. 2. -An eceden es: A la ho a de analiza el compo amien o de una se ie empo al de p ecios den o del me cado de capi ales una de las ap oximaciones u ilizadas es supone que el me cado es e icien e ([1], [6]), hipó esis que se no a á po EMH (“E icien Ma ke Hypo hesis”). La o mulación más simple de la EMH básicamen e consis e en supone que los p ecios ac uales e lejan oda la in o mación an e io y que los cambios en los p ecios sólo son p oduc o de la llegada de nue a in o mación. Como la in o mación no puede se an icipada en e un pe iodo y el siguien e, los cambios en los p ecios se án independien es. Si asumimos que es os cambios es án idén icamen e dis ibuidos, con media y a ianza ini a, el eo ema cen al del lími e es ablece que es a dis ibución se á 3 no mal. Si además suponemos que la a ianza es p opo cional al inc emen o empo al se ob iene que los p ecios se mue en siguiendo un camino alea o io o mo imien o B owniano que es el modelo más u ilizado den o de la EMH ([1], [6]). La EMH y el modelo de camino alea o io han ecibido di e sas c í icas ([2], [3], [5], [6], [7]), en e ellas des acamos dos, la no no malidad de la dis ibución de los inc emen os y la no independencia de és os. La c í ica a la no malidad de la dis ibución se basa p incipalmen e en que los da os empí icos mues an que en las colas de la dis ibución exis e un núme o excesi o de obse aciones, incluso más a la izquie da que a la de echa, y que el pico al ededo de la media es ambién mayo que el que co esponde ía a la no mal, obse ándose además ines abilidad en la a ianza debido a la apa ición de nume osos alo es anómalos (“ou lie s”). Pa a modeliza es a ci cuns ancia, man eniendo la hipó esis de independencia de los inc emen os, Mandelb o p opuso la u ilización de una dis ibución más gene al ([6]), que ecibe el nomb e de dis ibución es able de Pa e o- Lé y e incluye a la no mal (y a la dis ibución de Cauchy) como un caso pa icula , pudiendo ene an o media como a ianza no ini a. La independencia de los inc emen os ambién es pues a en cues ión pues la EMH es ablece que los p ecios ac uales e lejan oda la in o mación an e io y que los in e so es, odos y cada uno, sólo eaccionan an e nue a in o mación y de o ma inmedia a a és a, de o ma que el cambio en los p ecios sólo se p oduce en es a ci cuns ancia, haciendo que el pasado y p esen e no in luyan en el u u o; pe o es o no iene po qué se cie o ya que el in e so puede espe a la con i mación de la in o mación y obse a si se p esen a una endencia an es de ac ua p oduciendo un sesgo. La modi icación del camino alea o io donde los inc emen os ya no son independien es a a da luga a o o modelo, el camino alea o io acciona io o sesgado, que sin emba go man iene la no malidad de los inc emen os. Ambas modi icaciones del modelo de camino alea o io, ausencia de no malidad en la dis ibución de los inc emen os siendo es os independien es y no malidad de la dis ibución pe o dependencia a la go plazo de és os, ienen una ca ac e ís ica común: la exis encia de au o-a inidad es adís ica en el p oceso. Es a ca ac e ís ica hace que podamos engloba ambas gene alizaciones den o del ma co de la geome ía ac al, ya que el p oceso esul an e iene una dimensión ac al no necesa iamen e en e a ([2], [3]). 4 Es as modi icaciones del modelo son cohe en es con la hipó esis de me cado ac al ([8]), que se no a po FMH (“F ac al Ma ke Hypo hesis”) y consis e básicamen e en conside a que el me cado es á compues o po nume osos in e so es con di e en es ho izon es de in e sión, de o ma que la in o mación que es ele an e pa a cada uno de ellos es di e en e; de es a o ma, mien as el me cado man iene la es uc u a ac al sin un ho izon e empo al p e e en e pe manece es able y cuando un ho izon e de in e sión p edomina sob e los demás el me cado pasa a se ines able, pues odos los in e so es se basan en el mismo conjun o de in o mación. 3. -Aspec os eó icos: En es a sección amos a mos a los dis in os p ocesos que pueden se u ilizados den o de la FMH pa a desc ibi el compo amien o de una se ie de p ecios. En pa icula e emos que odos ienen en común una ca ac e ís ica, la exis encia de au o- a inidad es adís ica, que pe mi e engloba los den o del ma co de la geome ía ac al, ya que sus egis os empo ales ienen una dimensión no necesa iamen e en e a. Comenza emos analizando el modelo clásico de camino alea o io, pa a pos e io men e es udia sus gene alizaciones a camino alea o io sesgado y p ocesos es ables; segui emos con el concep o de dimensión ac al, en conc e o e emos la de inición de dimensión de ecuen o po cajas (“box-coun ing”) y examina emos la elación en e los exponen es ca ac e ís icos de los p ocesos an e io es y la dimensión de sus egis os empo ales. Finaliza emos con el análisis R/S que pe mi e el cálculo de la dimensión median e la de e minación del exponen e de Hu s y la elación que és e iene con ella. ♦ Un camino alea o io (o mo imien o B owniano) es un p oceso es ocás ico, {B( ), ≥0}, con inuo casi po odo y que casi segu o comienza en el o igen (B(0)=0) e i icando: B( +d )-B( ) ~ N(0,σd ) ∀ ≥0 ∀d >0. 5 Una de las p opiedades undamen ales, que se puede deduci de la de inición, es la independencia de es os inc emen os1 y es la que ha hecho, jun o con la no malidad de la dis ibución, que sea omado como modelo de compo amien o pa a nume osos p ocesos económicos. O a ca ac e ís ica de es e p oceso, que pe mi e inclui lo den o de los p ocesos ac ales, es la au o-a inidad es adís ica de las ayec o ias de o ma que {B( ), ≥0} y {a-1/2B(a ), ≥0} ienen la misma dis ibución es adís ica con a≥0 ([4]). ♦ Un camino alea o io sesgado (o mo imien o B owniano acciona io) es la gene alización de un camino alea o io, donde se supone que los inc emen os son idén icamen e dis ibuidos según una no mal, pe o donde la a ianza es p opo cional a una po encia del inc emen o empo al, Va [L( +h)-L( )]~ h2H. Es deci , un camino alea o io sesgado de exponen e H2, 0<H<1, es un p oceso es ocás ico, {BH( ), ≥0}, con inuo casi po odo y que casi segu o comienza en el o igen (BH(0)=0) e i icando: BH( +d )-BH ( ) ~ N(0,σ2Hd 2H) ∀ ≥0 ∀d >0 Aunque es os inc emen os son es aciona ios pues su dis ibución es independien e de “ ” y dependen sólo del lapso empo al “d ”, sólo son independien es cuando H=1/2, coincidiendo en es e caso con un camino alea o io clásico([4], [6]). Si 1>H>1/2 hay una dependencia posi i a en e los inc emen os, de o ma que ienden a se posi i os en el u u o si en el pasado lo han sido y a se nega i os si lo han sido en el pasado, compo amien o que ecibe el nomb e de pe sis encia; en el caso de se 0<H<1/2 la dependencia es nega i a, endiendo a se posi i os en el u u o si en el pasado han sido nega i os y a se nega i os si en el pasado han sido posi i os, es e compo amien o ecibe el nomb e de an i-pe sis encia ([4], [6]). Es e p oceso man iene espec o al camino alea o io clásico la au o-a inidad es adís ica de las ayec o ias de o ma que {BH( ), ≥0} y {a-H BH(a ), ≥0} ienen la misma dis ibución es adís ica con a≥0 ([4]). 1 Nó ese que es os inc emen os son es aciona ios, pues su dis ibución es independien e de “ ” y depende sólo del lapso empo al “d ”. 2 No amos es e exponen e po H ya que coincide con el exponen e de Hu s que e emos pos e io men e. 6 ♦ Un p oceso es ocás ico es able de Pa e o-Lé y es la gene alización del camino alea o io clásico, en la que se supone que aunque los inc emen os son independien es e idén icamen e dis ibuidos, la dis ibución no es necesa iamen e no mal sino que co esponde a una dis ibución más gene al, que ecibe el nomb e de dis ibución es able de Pa e o-Lé y y iene a la no mal como caso pa icula , coincidiendo en es e caso con un camino alea o io ([4]) . La dis ibución es able de Pa e o-Lé y, Sα,β(µ,σ), es una dis ibución dependien e de 4 pa áme os α∈(0,2] (exponen e ca ac e ís ico), β∈[-1,1] (pa áme o de asime ía), µ∈(-∞,+∞) (pa áme o de localización) y σ∈[0,+∞) (pa áme o de escala). De o ma que si α∈(0,1) la dis ibución iene media y a ianza in ini a, α∈[1,2) la dis ibución iene media ini a pe o a ianza in ini a y si α=2 iene an o media como a ianza ini a. Cuando β=0 la dis ibución es simé ica y pa a α=2 la dis ibución coincide con la no mal eniendo a µ como media ([1], [6]). Así, un p oceso es able de Pa e o-Lé y es un p oceso es ocás ico, {Lα( ), ≥0}, que casi segu o comienza en el o igen (Lα(0)=0) e i icando: Lα ( +d )- Lα ( ) ~ Sα,β(0,d 1/α) ∀ ≥0 ∀d >0 Al igual que en el camino alea o io clásico es os inc emen os son es aciona ios e independien es, man eniendo la semejanza es adís ica en e las ayec o ias cuando la dis ibución es simé ica (β=0), de o ma que {Lα( ), ≥0} y {a-1/α Lα(a ), ≥0} con a≥0 ienen la misma dis ibución es adís ica ([4]). En es e caso se iene además que el exponen e de Hu s , que e emos pos e io men e, es á elacionado con α siendo H=1/ α ([7]). ♦ La dimensión de ecuen o po cajas (“box-coun ing dimension”) es una de las dimensiones ac ales más u ilizadas, an o po su comodidad de cálculo como po la sencillez de su de inición y ca ac e iza la mane a que un conjun o iene de llena el espacio. En el caso pa icula de un g a o la dimensión se á un alo en e 1, que co esponde ía a una ec a (o al g a o de una unción di e enciable), y 2, que co esponde ía al plano comple o. La dimensión in e media, 1.5, se iene en los egis os empo ales de un camino alea o io o mando el g a o de una unción no 7 di e enciable con i egula idades, de es a o ma, g a os con dimensiones meno es se án menos i egula es y con una dimensión mayo más i egula es. La de inición o mal de la dimensión de ecuen o po cajas de un conjun o F (compac o no acío) se ob iene al es udia la elación exis en e en e el núme o mínimo de conjun os de un diáme o de e minado necesa ios pa a ecub i el conjun o, N(δ), con espec o a es e diáme o, δ. Es a elación pa a alo es dec ecien es de δ es de ipo exponencial, N(δ)~δ-d, y depende de un exponen e “d” que co esponde á a la dimensión. Si omamos loga i mos y pos e io men e el lími e3 cuando δ iende a ce o del cocien e log[N(δ)]/-log(δ) ob enemos el alo del exponen e ([4]). Así, se de ine la dimensión: d= 0log[()]limlog[]N δ δδ → . Los egis os empo ales de los dos p ocesos es udiados, el camino alea o io sesgado y los p ocesos es ables de Pa e o-Lé y, ienen dimensiones no necesa iamen e en e as y és as es án elacionadas con sus exponen es ca ac e ís icos ([4]). En el caso del camino alea o io sesgado la elación es d=2-H y en el caso de los p ocesos es ables es d=máx{1, 2-1/α}, con lo que en gene al se iene: d=máx{1, 2-H}. ♦ El análisis R/S de una se ie empo al, c eado po Hu s y popula izado po Mandelb o y Pe e s ([1], [5], [6]), es á basado en el es udio del ango de las des iaciones acumuladas de la media eescalado (di idido) po su des iación es ánda . Es deci , dado un conjun o de alo es {x1, x2, . . . ,xn} con media x y des iación ípica S, conside amos sus des iaciones de la media acumuladas {y1, y2, . . . ,yn} con )x (xy k 1i ik ∑ = −= y el ango de és as R=Máx{y1, y2, . . . ,yn}-Mín{y1, y2, . . . ,yn} eescalado po la des iación ípica, ob eniendo un alo R/S. 3 Si el lími e no exis e se oma el lími e supe io . 8 Al conside a una se ie empo al {x1, x2, . . . ,xN} y di idi la en subse ies de longi ud “n” {x1, x2, . . . ,xn}, {xn+1, xn+2, . . . ,x2n}, . . ., calculamos los alo es R/S de cada una de ellas y pos e io men e su media, que no a emos po (R/S)n pa a indica median e el subíndice que se ha calculado pa a subse ies de longi ud “n”. En los p ocesos es udiados el alo de (R/S)n aumen a con n según la siguien e ley po encial ([6]): (R/S)n = c nH donde c es una cons an e y H ecibe el nomb e de exponen e de Hu s . Pa a calcula el alo de H oma emos loga i mos en la ecuación an e io log(R/S)n = log(c)+H log(n) y calcula emos la ec a de eg esión de mínimos cuad ados de los alo es de log(n) en e a los alo es de log[(R/S)n], ob eniendo H como su pendien e. 4.-Es udio del IBEX35: Al es udia el compo amien o de la se ie empo al de alo es del IBEX-35 se abaja con la se ie de sus loga i mos, pues es la o ma ma emá icamen e con enien e de es udia las a iaciones po cen uales del índice, que son los alo es ealmen e manejados po los in e so es. Desde el pun o de is a ma emá ico, la hipó esis de me cado e icien e aplicada al compo amien o del IBEX-35 consis e en a i ma que la se ie de sus loga i mos sigue un camino alea o io, es deci , sus inc emen os son independien es e idén icamen e dis ibuidos según una no mal con a ianza p opo cional al inc emen o empo al. En nues o abajo mos a emos que es a hipó esis no es compa ible con los esul ados ob enidos al aplica el análisis R/S, ya que se obse a que el alo del exponen e de Hu s ob enido es signi ica i amen e dis in o de 0.5, que es el que co esponde ía a un me cado e icien e. Debido a es e esul ado, inclui emos el compo amien o de la se ie de inc emen os loga í micos del IBEX-35 den o de la hipó esis de me cado ac al, pues los modelos que és a aba ca son más adecuados pa a desc ibi el compo amien o del índice y son compa ibles con los esul ados ob enidos. 9 5.-Resul ados empí icos: En p ime luga calculamos la di e encia de los loga i mos de los alo es de los cie es dia ios y hallamos la di e encia p ime a pa a ob ene los inc emen os loga í micos de la se ie. Al aplica el análisis R/S a la se ie de inc emen os se ob iene pa a alo es ag upados semanalmen e (n=5), quincenalmen e (n=10) y mensualmen e (n=20): n R/S Log(n) Log(R/S) 5 1.95269 1.60944 0.669208 10 3.16876 2.30259 1.15334 20 4.81399 2.99573 1.57153 Tabla 1: Algunos alo es del ango eescalado. Los alo es an e io es se mues an aquí como ejemplo po se ag upaciones ípicas, sin emba go, en el análisis ealizado se u ilizan alo es de “n” de mane a que al ag upa los da os se use el mayo núme o posible de ellos y además haya un núme o mínimo de ag upaciones, que noso os hemos ijado en 20. Al ep esen a g á icamen e los loga i mos de los alo es de “n” en e a los loga i mos de los co espondien es “(R/S)n” y calcula la pendien e de la ec a de eg esión se ob iene pa a “H” un alo de 0.613120 que es cla amen e supe io al alo 0.5 que co esponde ía a un camino alea o io clásico. Análisis R/S del IBEX-35 (H=0.613120)