La funcion de Takagi
Abstract
Takagi’s function is defined, using modern notation as τ(x) = X∞ n=0 1 2 n ϕ(2 n x), where ϕ(x) = dist(x, Z), the distance from x to the nearest integer. This function was introduced by Teiji Takagi (1875–1960) in 1903. Takagi is famous for his work in number theory. He proved the fundamental theorem of Class Field Theory (1920, 1922). He was sent to Germany 1897-1901. He visited Berlin and Gottingen, saw Hilbert. Takagi ´ (1903) showed that the function τ(x) is continuous on [0, 1] and has no derivative at each point x ∈ [0, 1] on either side. Van der Waerden (1930) discovered the base 10 variant, proved nondifferentiability. De Rham (1956) also rediscovered the Takagi function. The Takagi function has been extensively studied in all sorts of ways, during its 100 year history, often in more general contexts. It has some surprising connections with number theory and (less surprising) with probability theory. We present below a brief summary of the content of this work. We start by studying the p-base development of a real number. In the case of binary expansions, we introduce the functions “digit sums” and “deficient digit function”, that Takagi handles them in the original definition of τ(x) In chapter 2 we present three definitions of Takagi function. For the first one, we consider the absolute value function, h(x) = |x| in the interval [−1, 1] and its periodical extension to all R. The Takagi function is g(x) = X∞ n=0 hn(x) 2 n , where hn(x) = h(2 n x). More common is to define the Takagi function using the nearest integer distance function that we denote ϕ(x), and we get the definition given at the beginning. The relationship between this two functions is τ(x) = 1 2 g(2x). Using the functions digit sum and deficient digit function we present the Takagi original definition. In this chapter we also study the maximum of the Takagi function, and we prove that the set where it reaches that maximum is perfect and of Lebesgue zero measure. We end this chapter by demonstrating some functional equations that verify the Takagi function (it is the only one that verifies certain equations) and proving that it takes rational into rational, and in particular, dyadics into dyadics. In the third chapter we study two properties of the Takagi function. On the one hand, continuity in Holder’s sense and on the other, its differentiability. We show that it is Holder continuous of class ¨ α para todo α ∈ (0, 1) and we present three demonstrations that the Takagi function does not admit a derivative (neither finite nor infinite) at any point in the interval [0, 1]. Even that it does not have a finite lateral derivative at any point of the interval [0, 1] We finish this work studying the theorem of Banach-Mazurkiewicz. For this purpose, we need Baire’s theorem, of which we give a proof. In 1929, the problem on the massiveness of the set of non-differentiable functions in the space of continuous functions was formulated by Steinhaus. In 1931, this problem was solved independently and by different ways by Banach and Mazurkiewicz. They proved that the set of non-differentiable functions in the space C([0, 1]) of functions, that are continuous on [0, 1], with the uniform metric is a set of the second category.
Full text
Facul ad de Ma em´
a icas
Dp o. de An´
alisis Ma em´
a ico
La unci´
on de Takagi
Miguel ´
Angel Cejas Pel´
aez
T abajo Fin de G ado
Cu so acad´
emico 2019/2020
Tu o : Jos´
e A. Facenda Agui e
´
Indice gene al
Lis a de igu as
Abs ac ii
In oducci´
on ix
1. P elimina es 1
1.1. Rep esen aci´
on de un n´
ume o en base p..................... 1
1.2. Desa ollosbina ios................................ 5
1.3. Funciones suma de d´
ıgi osbina ios........................ 6
1.4. La unci´
on dis ancia al en e o m´
as p ´
oximo ................... 7
2. La unci´
on de Takagi 13
2.1. Cons ucci´
on de la unci´
on de Takagi a pa i de unciones lineales a ozos . . 13
2.2. La unci´
on de Takagi a pa i de la unci´
on dis ancia al en e o m´
as ce cano . . . 16
2.3. De inici´
ono iginaldeTakagi........................... 24
2.4. Valo m´
aximo................................... 26
2.5. Ecuaciones uncionales.............................. 30
2.6. La unci´
on de Takagi sob e los acionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3. Con inuidad en el sen ido de H¨
olde y di e enciabilidad 39
3.1. Con inuidad en el sen ido de H¨
olde ....................... 39
3.2. Di e enciabilidad de la unci´
ondeTakagi .................... 43
3.2.1. P ueba de Billingsley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2. Segunda demos aci´
on .......................... 45
3.2.3. Te ce a demos aci´
on........................... 56
3.3. O den del cocien e inc emen al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. El eo ema de Banach-Mazu kiewicz 61
4.1. El eo emadeBai e................................ 61
4.2. El eo ema de Banach-Mazu kiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Bibliog a ´
ıa 69
´
Indice de igu as
2.1. Ex ensi´
on pe i´
odica de h(x) = |x|,x∈[−1, 1]................... 13
2.2. Ex ensi´
on pe i´
odica de h1. ............................ 14
2.3. G ´
a ica de la suma pa cial g1(x).......................... 15
2.4. G ´
a ica de la suma pa cial g2(x).......................... 15
2.5. G ´
a ica de la suma pa cial g3(x).......................... 15
2.6. G ´
a ica de la suma pa cial g4(x).......................... 15
2.7. Funci´
on de Takagi cons uida a pa i de la ex ensi´
on pe i´
odica de |x|en [−1, 1]. 16
2.8. Ex ensi´
on pe i´
odica de ϕ(x)............................ 17
2.9. Funci´
on ϕ(8x)en [0, 1]............................... 17
2.10. G ´
a ica de las unciones ϕ(2kx)/2kpa a k=0,1,2,3. ............. 18
2.11. Suma pa cial τ4de la unci´
ondeTakagi...................... 20
2.12. Sumas pa ciales τ1,τ2yτ3de la unci´
on de Takagi. . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.13. Funciones gyτ................................... 21
2.14. Ilus aci´
on de la elaci´
on τ(x) = τm−1(x) + τ(2mx)/2mpa a m=1 y m=2. . 22
2.15. Pas el ´
ıpico“blancmange”............................. 24
2.16. G ´
a ica de ϕ(x) + ϕ(2x)/2. ........................... 27
2.17. G ´
a icas de ϕ2yϕ3................................. 28
2.18. Conjun os A1,A2yA3. .............................. 28
3.1. G ´
a ica de ϕ(x) = dis (x,Z)en el in e alo [2ji/2k, 2j(i+1)/2k]. ...... 57
4.1. Funci´
on con inua y poligonal insc i a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Abs ac
Takagi’s unc ion is de ined, using mode n no a ion as
τ(x) =
∞
X
n=0
1
2nϕ(2nx),
whe e ϕ(x) = dis (x,Z), he dis ance om x o he nea es in ege .
This unc ion was in oduced by Teiji Takagi (1875–1960) in 1903. Takagi is amous o
his wo k in numbe heo y. He p o ed he undamen al heo em o Class Field Theo y (1920,
1922).
He was sen o Ge many 1897-1901. He isi ed Be lin and G´
o ingen, saw Hilbe . Takagi
(1903) showed ha he unc ion τ(x)is con inuous on [0, 1]and has no de i a i e a each poin
x∈[0, 1]on ei he side. Van de Wae den (1930) disco e ed he base 10 a ian , p o ed non-
di e en iabili y. De Rham (1956) also edisco e ed he Takagi unc ion.
The Takagi unc ion has been ex ensi ely s udied in all so s o ways, du ing i s 100 yea
his o y, o en in mo e gene al con ex s. I has some su p ising connec ions wi h numbe heo y
and (less su p ising) wi h p obabili y heo y.
We p esen below a b ie summa y o he con en o his wo k.
We s a by s udying he p-base de elopmen o a eal numbe .
In he case o bina y expansions, we in oduce he unc ions “digi sums” and “de icien
digi unc ion”, ha Takagi handles hem in he o iginal de ini ion o τ(x)
In chap e 2 we p esen h ee de ini ions o Takagi unc ion.
Fo he i s one, we conside he absolu e alue unc ion, h(x) = |x|in he in e al [−1, 1]
and i s pe iodical ex ension o all R. The Takagi unc ion is
g(x) =
∞
X
n=0
hn(x)
2n, whe e hn(x) = h(2nx).
Mo e common is o de ine he Takagi unc ion using he nea es in ege dis ance unc ion
ha we deno e ϕ(x), and we ge he de ini ion gi en a he beginning. The ela ionship
be ween his wo unc ions is
τ(x) = 1
2g(2x).
Using he unc ions digi sum and de icien digi unc ion we p esen he Takagi o iginal
de ini ion.
iii Abs ac
In his chap e we also s udy he maximum o he Takagi unc ion, and we p o e ha he
se whe e i eaches ha maximum is pe ec and o Lebesgue ze o measu e. We end his
chap e by demons a ing some unc ional equa ions ha e i y he Takagi unc ion (i is
he only one ha e i ies ce ain equa ions) and p o ing ha i akes a ional in o a ional,
and in pa icula , dyadics in o dyadics.
In he hi d chap e we s udy wo p ope ies o he Takagi unc ion. On he one hand,
con inui y in H¨
olde ’s sense and on he o he , i s di e en iabili y.
We show ha i is H¨
olde con inuous o class αpa a odo α∈(0, 1)and we p esen
h ee demons a ions ha he Takagi unc ion does no admi a de i a i e (nei he ini e
no in ini e) a any poin in he in e al [0, 1]. E en ha i does no ha e a ini e la e al
de i a i e a any poin o he in e al [0, 1]
We inish his wo k s udying he heo em o Banach-Mazu kiewicz. Fo his pu pose, we
need Bai e’s heo em, o which we gi e a p oo .
In 1929, he p oblem on he massi eness o he se o non-di e en iable unc ions in he
space o con inuous unc ions was o mula ed by S einhaus. In 1931, his p oblem was
sol ed independen ly and by di e en ways by Banach and Mazu kiewicz. They p o ed
ha he se o non-di e en iable unc ions in he space C([0, 1]) o unc ions, ha a e
con inuous on [0, 1], wi h he uni o m me ic is a se o he second ca ego y.
In oducci´
on
Has a el siglo XIX se c e´
ıa que cualquie unci´
on con inua ca ec´
ıa de de i adas en no m´
as
de un n´
ume o ini o de pun os, como le sucede a la unci´
on alo absolu o. Pe o en 1872,
Ka l Weie s ass dio un con aejemplo con una unci´
on con inua en odo su dominio pe o no
de i able, echazando as´
ı es a conje u a.
Unos ein a a˜
nos despu´
es, en 1903, el japon´
es Teiji Takagi encon ´
o o o ejemplo de unci´
on
de es e ipo, con con inuidad en [0, 1], y pa a su de inici´
on hizo uso de expansiones bina ias.
Dicha unci´
on, usando e minolog´
ıa ac ual, se de ine de la siguien e o ma:
τ(x) =
∞
X
k=0
ϕ(2kx)
2k,
donde ϕ(x) = dis (x,Z)es la unci´
on dis ancia al en e o m´
as p ´
oximo.
Como e emos en es e abajo, Takagi de ini´
o su unci´
on de una mane a di e en e y es o,
en combinaci´
on con el aislamien o que su ´
ıa Jap´
on a comienzos del siglo XX, puede se una
az´
on de po qu´
e se pas´
o po al o es a unci´
on en occiden e. A di e encia de lo que sucede con
el ejemplo de Weie s ass, es ´
acil p oba que la unci´
on de Takagi no iene en ning´
un pun o
de i ada ini a.
La unci´
on de Takagi ue edescubie a independien emen e po o os ma em´
a icos, como
po ejemplo Knopp en 1918, Van de Wae den en 1930, usando la base 10 y Hildeb and en
1933, que us´
o desa ollos bina ios llegando as´
ı a la de inici´
on o iginal de Takagi ( ´
ease [10],
[25] y[8], espec i amen e). En el a ´
ıculo ci ado de Hildeb and , el edi o de la e is a a˜
nade
una no a en la que pone de mani ies o la sencillez del ejemplo dado en ese a ´
ıculo y p opone
la cues i´
on (in e esan e y p obablemen e no muy di ´
ıcil) de sabe en qu´
e pun os, si exis en, la
unci´
on de inida po Hildeb and iene de i ada in ini as. So p enden emen e, se a d´
o 77 a˜
nos
en con es a es a p egun a co ec amen e, quiz´
as po que la espues a no es an ´
acil de adi ina .
Rham ([16]) ambi´
en la es udi´
o en 1957.
En 1939, el ma em´
a ico no uego Ralph Tambs-Lyche ([22]) edescub i´
o ambi´
en la unci´
on
de Takagi, mo i ado po el deseo de da “un ejemplo ´
acil de en ende pa a los p incipian es
en el es udio del An´
alisis” e inspi ado po el a ´
ıculo de Van de Wae den. Tambs-Lyche us´
o
un ´
o mula dis in a de la dada al p incipio de es a in oducci´
on y de la o iginal de Takagi pa a
de ini la unci´
on. Fue el p ime o en publica un g ´
a ico, dibujado a mano pe o con una p ecisi´
on
y un ni el de de alle asomb osos.
En 1957, una ez m´
as, un ma em´
a ico ol i´
o a ija su a enci´
on en la unci´
on de Takagi; es a
ez, ue de Rham, apa en emen e inconscien e de los abajos de Hildeb and y Tombs-Lysche,
quien dio un g an paso pa a ayuda a conoce en m´
as p o undidad es a unci´
on, con ibuyendo a
iden i ica la como miemb o de una clase de unciones m´
as gene al, que son soluci´
on de cie as
ecuaciones uncionales, si hablamos con el lenguaje ma em´
a ico ac ual.
41. P elimina es
A pa i de aho a, solo conside a emos in e alos semiabie os a la de echa.
Pa a sabe c´
omo es la ep esen aci´
on en base pde cualquie ∈Z, es udiamos p ime o el
caso de los en e os posi i os.
Teo ema 1.2. Sea ∈Z.Dado un p ≥1en e o posi i o, en onces exis en un n ∈Ny en e os
b1,b2,· · · ,bn∈ {0, 1, 2, ...,p−1} ales que
=
n
X
i=0
bipi. (1.2)
Demos aci´on. Si di idimos en e p, eniendo en cuen a el algo i mo de Euclides, exis en
en e os q0,b0 ales que
=q0p+b0,b0∈ {0, 1, ...,p−1}.
A con inuaci´
on, di idimos el cocien e q0en e py del algo i mo de la di isi´
on de Euclides,
ob enemos la igualdad
q0=q1p+b1,b1∈ {0, 1, ...,p−1}.
Repe imos el mismo p ocedimien o pa a cada cocien e qiy ob enemos las siguien es igualdades
q1=q2p+b2,b2∈ {0, 1, 2, ...,p−1}
.
.
.
qn−3=qn−2p+bn−2,bn−2∈ {0, 1, 2, ...,p−1}
qn−2=qn−1p+bn−1,bn−1∈ {0, 1, 2, ...,p−1}.
Como es l´
ogico, con o me ayamos di idiendo cada cocien e qien e p, qi+1se ´
a es ic amen e
meno que su an eceso y cuando lleguemos a uno que sea meno que p, end emos qn−1=bn.
As´
ı, sus i uyendo el alo de qn−1en la igualdad an e io , ob enemos
qn−2=bnp+bn−1.
Asimismo, sus i uyendo el alo de qn−2en la igualdad an e io , ob enemos
qn−3=bnp2+bn−1p+bn−2.
Repi iendo el p ocedimien o sucesi amen e, consegui emos una ep esen aci´
on de en un-
ci´
on de los coe icien es biy en po encias de p:
.
.
.
q1=bnpn−2+bn−1pn−3+· · · +b3p+b2,
q0=bnpn−1+bn−1pn−2+· · · +b3p2+b2p+b1,
=bnpn+bn−1pn−1+· · · +b2p2+b1p+b0.
Desa ollos bina ios 5
Si es un en e o nega i o, ambi´
en admi i ´
a una ep esen aci´
on en la base p, siendo la
demos aci´
on de es e suceso an´
aloga a la del eo ema 1.2, con la sal edad de que los bi∈
{−(p−1),· · · ,−2, −1, 0}. De es a o ma, enemos una ep esen aci´
on en base ppa a cualquie
∈Z. Adem´
as, hay que des aca que odo en e o end ´
a una ep esen aci´
on ini a en la base p.
Si x∈R, lo podemos esc ibi como
x= +α, ∈Z,α∈[0, 1].
G acias a lo is o con an e io idad, ob enemos el siguien e esul ado.
Teo ema 1.3. Sean x ∈Ry p ∈N, se cumple que exis en exac amen e una sucesi´on (ai),
n∈Ny en e os b0,b1,...,bn, ales que ai∈ {0, ...,p−1}pa a odo i ≥1y b0,b1,...,bn∈
{0, 1, ...,p−1}y se iene que
x=
n
X
i=0
bipi+
∞
X
i=0
ai
pi.
1.2. Desa ollos bina ios
A con inuaci´
on nos cen a emos en la ep esen aci´
on en la base p=2, ambi´
en conocida
como ep esen aci´
on bina ia. Es a secci´
on nos ayuda ´
a en la cons ucci´
on de la unci´
on de
Takagi, as´
ı como a demos a algunas de sus pa icula es p opiedades.
Dado x∈[0, 1], exis e una ´
unica sucesi´
on ai∈ {0, 1} al que
x=
∞
X
i=1
ai
2i, (1.3)
excep o pa a los pun os de la o ma x=k
2k, donde k∈Zyl∈N, que poseen dos ep esen a-
ciones.
Los pun os de la o ma p
2l, llamados di´
adicos, son muy impo an es, pues o que la unci´
on
de Takagi, que es udia emos en es e abajo, cumple cie as p opiedades exclusi as pa a es os
n´
ume os. Nos cen a emos en los in e alos semiabie os po la de echa.
Como ya imos en la secci´
on an e io , los n´
ume os en e os poseen una ep esen aci´
on en
base p; po ende, es o es cie o pa a el caso en el que p=2, donde enemos que si ∈Z, su
ep esen aci´
on bina ia es
=
n
X
i=0
bi2i, (1.4)
donde bi∈ {0, 1}.
Sabemos que cualquie n´
ume o x∈Rse puede esc ibi de la o ma
x= +α, ∈Z,α∈[0, 1].
Haciendo uso de las ep esen aciones dadas en (1.3) y (1.4) , llegamos a que
x=
n
X
i=0
bi2i+
∞
X
i=1
ai
2i,
61. P elimina es
donde ai,bi∈ {0, 1}.
Adem´
as de la exp esi´
on dada en (1.3), ha emos uso de la exp esi´
on que apa ece a con inua-
ci´
on pa a ep esen a un n´
ume o x∈[0, 1]en base 2:
x=
∞
X
i=1
ai
2i=0.a1a2a3. . . (1.5)
con ai∈ {0, 1}, que nos se i ´
a en el p ´
oximo cap´
ı ulo pa a simpli ica algunos esul ados.
1.3. Funciones suma de d´
ıgi os bina ios
Teiji Takagi cons uy´
o la unci´
on de Takagi a pa i de una unci´
on que med´
ıa el n´
ume o de
unos o ce os que hay an es de un de e minado d´
ıgi o en la ep esen aci´
on bina ia de un n´
ume o
x∈[0, 1]. Es a unci´
on se conoce como la unci´
on suma de d´
ıgi os bina ios y es ´
a de inida an o
pa a n´
ume os en e os como pa a n´
ume os que pe enecen al in e alo [0, 1].
Cabe des aca que, debido al hecho de que los n´
ume os que pe enecen al in e alo [0, 1]
ienen in ini os ´
e minos en su ep esen aci´
on bina ia, la unci´
on solo con a ´
a la can idad de
d´
ıgi os que hay en los p ime os n ´
e minos de su ep esen aci´
on. Como los acionales di´
adicos
(pun os de la o ma k/2l) ienen dos ep esen aciones bina ias, las unciones asociadas se ´
an
dependien es del ipo de ep esen aci´
on que se u ilice. Con odo es o, noso os u iliza emos la
ep esen aci´
on que e mina en ce os.
De inici´
on 1.4. Sea ∈Z+, cuya ep esen aci´on en base 2 iene dada en (1.4). Se de ine la
unci´on suma de d´ıgi os bina ios como sigue
s( ) =
n
X
i=0
bi. (1.6)
Es a unci´
on simplemen e cuen a el n´
ume o de d´
ıgi os bi=1 que iene el n´
ume o en su
ep esen aci´
on bina ia. Y dependiendo de la pa idad del n´
ume o podemos ca ac e iza es a
unci´
on, como emos a con inuaci´
on.
P oposici´
on 1.5. La unci´on suma de d´ıgi os bina ios e i ica las siguien es p opiedades
s(2 ) = s( )(1.7)
s(2 +1) = s( ) + 1 (1.8)
Demos aci´on. Sea ∈N∪ {0}cuya ep esen aci´
on bina ia es =
n
X
i=0
2ibi. En onces, 2 end ´
a
la siguien e ep esen aci´
on en base 2:
2 =2
n
X
i=0
2ibi=
n
X
i=0
2i+1bi=
n+1
X
i=1
2ibi−1,
y, po an o,
s(2 ) =
n+1
X
i=1
bi−1=
n
X
i=0
bi=s( ).
La unci´on dis ancia al en e o m´as p ´oximo 7
Asimismo, la ep esen aci´
on bina ia de 2 +1 iene dada como
2 +1=
n+1
X
i=1
2ibi−1+1
y, po an o,
s(2 +1) =
n+1
X
i=1
bi−1+1=s( ) + 1.
Como los n´
ume os pe enecien es al in e alo [0, 1] ienen una ep esen aci´
on bina ia con
una can idad in ini a de ´
e minos, la unci´
on suma de d´
ıgi os solo o ece ´
a el n´
ume o de ce os
o unos que haya en los p ime os n ´
e minos de la ep esen aci´
on.
De inici´
on 1.6. Dado x ∈[0, 1] al que su desa ollo bina io es el siguien e
x=
∞
X
i=1
ai
2i=0.a1a2a3...,
con ai∈ {0, 1}, de inimos pa a odo i ≥1las siguien es unciones con alo es en e os:
1. La unci´on suma de d´ıgi os
N1
n(x) = a1+a2+. . . +an, (1.9)
la cual de e mina la can idad de unos en los p ime os n ´e minos de la expansi´on bina ia
de x.
2. La unci´on suma de ce os
N0
n(x) = n−N1
n(x). (1.10)
En es e caso, la ecuaci´on de e mina el n´ume o de ce os en los p ime os n ´e minos de la
expansi´on bina ia de x.
3. La unci´on suma de d´ıgi os de icien e, que iene dada po la siguien e exp esi´on:
Dn(x) = N0
n(x)−N1
n(x) = n−2N1
n(x) = n−2(a1+a2+· · · +an)(1.11)
En es e caso, es a unci´on hace un balance en e el n´ume o de ce os y unos que hay en los
p ime os n ´e minos, de o ma que se ´a posi i a si hay m´as ce os que unos. Se ´a nega i a,
si se da el caso opues o.
1.4. La unci´
on dis ancia al en e o m´
as p ´
oximo
Con mo i o de ob ene de una mane a m´
as simple cie os esul ados sob e la unci´
on de
Takagi, e emos una unci´
on que mide la dis ancia de un n´
ume o xal en e o m´
as ce cano. De
es a o ma, y a pa i de ella, pod emos da una cons ucci´
on al e na i a de la unci´
on del nip´
on.
De inici´
on 1.7. Dado un x ∈R, se de ine la unci´on dis ancia al en e o m´as ce cano como
ϕ(x) = ´
ın
m∈Z
|x−m|.
81. P elimina es
P oposici´
on 1.8. La unci´on ϕgoza de las siguien es p opiedades:
1. Si x ∈[0, 1), en onces enemos
ϕ(x) =
x,si x ∈"0, 1
2!,
1−x,si x ∈"1
2, 1!.
(1.12)
2. Si x ∈R, en onces enemos
ϕ(2nx) =
2nx− ,si x ∈"2
2n+1,2 +1
2n+1!, ∈Z,
−2nx,si x ∈"2 −1
2n+1,2
2n+1!, ∈Z.
(1.13)
Demos aci´on. 1. Podemos exp esa el in e alo [0, 1]como una pa ici´
on:
[0, 1] = "0, 1
2!∪"1
2, 1!.
As´
ı, si x∈h0, 1
2, enemos que
´
ın
m∈Z
|x−m|=|x−0|=x.
Asimismo, si x∈h1
2, 1, enemos que
´
ın
m∈Z
|x−m|=|x−1|=1−x,
po lo que llegamos a (1.12).
2. Po o a pa e, dado un en e o n≥0 ijado, podemos pa iciona el conjun o de los n´
ume-
os eales de la mane a siguien e:
R=[
∈Z "2 −1
2n+1,2
2n+1!∪"2
2n+1,2 +1
2n+1!!.
Po an o, exis e un ´
unico 0 al que
x∈"2 0−1
2n+1,2 0
2n+1!∪"2 0
2n+1,2 0+1
2n+1!.
Aho a bien
x∈"2 0−1
2n+1,2 0
2n+1!⇒2nx∈"2 0−1
2, 0!,
po lo que
ϕ(2nx) = ´
ın
m∈Z
|2nx−m|=|2nx− 0|= 0−2nx.
La unci´on dis ancia al en e o m´as p ´oximo 9
Y en el o o caso,
x∈"2 0
2n+1,2 0+1
2n+1!⇒2nx∈" 0,2 0+1
2!,
po lo que
ϕ(2nx) = ´
ın
m∈Z
|2nx−m|=|2nx− 0|=2nx− 0.
De aqu´
ı, deducimos (1.13).
En el siguien e esul ado emos c´
omo de ini la unci´
on dis ancia al en e o m´
as p ´
oximo
usando los desa ollos bina ios.
P oposici´
on 1.9. Sea x ∈[0, 1] al que x =
∞
X
i=1
ai
2i=0.a1a2. . ., con ai∈ {0, 1}. Se iene lo
siguien e:
1.
ϕ(x) =
0.a1a2a3...,si a1=0,
0.¯a1¯a2¯a3...,si a1=1. (1.14)
2.
ϕ(2nx) =
0.an+1an+2an+3. . . ,si an+1=0,
0.¯an+1¯an+2¯an+3. . . ,si an+1=1. (1.15)
Siendo ¯a=1−a pa a a =0o a =1el complemen o del d´ıgi o bina io.
Demos aci´on. 1. Al igual que en la demos aci´
on de la p oposici´
on an e io , exp esa emos
el in e alo [0, 1]como una pa ici´
on:
[0, 1] = "0, 1
2!∪"1
2, 1!.
As´
ı, si x∈h0, 1
2, i.e. a1=0, se cumple
ϕ(x) = ´
ın
m∈Z
|x−m|=|x−0|=x=
∞
X
i=1
ai
2i=0.a1a2. . .
Asimismo, si x∈"1
2, 1!(i.e. a1=1), enemos que
ϕ(x) = ´
ın
m∈Z
|x−m|=|x−1|=1−x=
∞
X
i=1
1
2i−
∞
X
i=1
ai
2i=
∞
X
i=1
¯a
2i=0.¯a1¯a2¯a3. . .
Con lo que hemos p obado (1.14).
10 1. P elimina es
2. Asimismo, dado un n≥0 ijado, podemos pa iciona el in e alo [0, 1]de la mane a
siguien e:
[0, 1] =
2n−1
[
=0 " 2
2n+1,2 +1
2n+1!∪"2 +1
2n+1,2 +2
2n+1!!.
Pa a un pun o x∈[0, 1], el ´
e mino an+1de su ep esen aci´
on bina ia se ´
a
0, si x∈"2
2n+1,2 +1
2n+1!,
1, si x∈"2 +1
2n+1,2 +2
2n+1!.
Po an o, si x∈[0, 1], exis e un ´
unico 0∈ {0, 1, ..., 2n−1} al que
x∈"2 0
2n+1,2 0+1
2n+1!∪"2 0+1
2n+1,2 0+2
2n+1!.
y, po an o,
2nx∈"2 0
2,2 0+1
2!∪"2 0+1
2,2 0+2
2!.
Si 2nx∈"2 0
2,2 0+1
2!, enemos que
ϕ(2nx) = ´
ın
m∈Z
|2nx−m|=2nx− 0=
∞
X
i=0
2nai
2i− 0
=
n
X
i=0
2n−iai+
∞
X
i=n+1
2n−iai− 0
=
∞
X
i=n+1
2n−iai− 0=0.an+1an+2. . .
Pe o si 2nx∈"2 0+1
2,2 0+2
2!, en onces
ϕ(2nx) = ´
ın
m∈Z
|2nx−m|= 0+1−2nx= 0+1−
∞
X
i=0
2nai
2i
= 0+1−
n
X
i=0
2n−iai−
∞
X
i=n+1
2n−iai
=1−
∞
X
i=n+1
2n−iai=
∞
X
i=1
1−ai
2i
=
∞
X
i=1
¯ai
2i=0.¯an+1¯an+2. . .
Y hemos p obado (1.15).
La unci´on dis ancia al en e o m´as p ´oximo 11
Cabe des aca o a o ma de exp esi´
on de la unci´
on dis ancia que es amos iendo pa a un
x∈[0, 1]:
ϕ(x) =
∞
X
i=1
ai(1−a1) + (1−ai)a1
2i(1.16)
y
ϕ(2nx) =
∞
X
i=1
an+i(1−an+1) + (1−an+i)an+1
2i, (1.17)
con ai∈ {0, 1}.
Pues en el p ime caso, si a1=0 la igualdad de (1.16) se educe a
ϕ(x) =
∞
X
i=1
ai
2i
mien as que si a1=1, es
ϕ(x) =
∞
X
i=1
¯ai
2i,
y es o no es m´
as que lo p obado en (1.14). De igual modo, de (1.15) se deduce (1.17).
CAP´
ITULO 2
La unci´
on de Takagi
Vamos a e en es e cap´
ı ulo dos cons ucciones habi uales de la unci´
on de Takagi, la
p ime a usando unciones lineales a ozos y la segunda con la unci´
on dis ancia al en e o m´
as
p ´
oximo. Tambi´
en e emos la cons ucci´
on o iginal del p opio Takagi.
2.1. Cons ucci´
on de la unci´
on de Takagi a pa i de uncio-
nes lineales a ozos
Pa amos de la unci´
on h(x) = |x|en [−1, 1]y omemos su ex ensi´
on pe i´
odica de pe iodo
2, poniendo h(x+2) = h(x), pa a odo x∈R. Dicha ex ensi´
on pe i´
odica iene ep esen ada a
con inuaci´
on:
-6-4-2 2 4 6
1
Figu a 2.1: Ex ensi´
on pe i´
odica de h(x) = |x|,x∈[−1, 1].
Es sencillo e que
h(x) =
x−2 , si x∈[2 , 2 +1], ∈Z,
2 −x, si x∈[2 −1, 2 ], ∈Z.(2.1)
Tenemos que hes una unci´
on pa y adem´
as, h(2 ) = 0 y h(2 −1) = 1, pa a odo ∈Z.
Vamos a conside a las unciones
hn(x) = 1
2nh(2nx),x∈R, (2.2)
pa a cada n≥0 en e o.
Veamos c´
omo se compo a h1(x) = 1
2h(2x)en el in e alo [−2, 2]. Pues o que es amos
duplicando el a gumen o de la unci´
on h, el dominio se con ae en 1
2y, po an o, h1es o a
unci´
on pe i´
odica, aunque de pe iodo 1 en es e caso. Como mul iplicamos h(2x)po 1
2, las
al u as omadas po hse e ´
an con a´
ıdas en 1
2. En la siguien e igu a emos ep esen ada la
unci´
on h1en [−2, 2].
20 2. La unci´on de Takagi
Las sumas pa ciales de la se ie que de ine τson
τn(x) =
n
X
k=0
ϕ(2kx)
2k.
Es as sumas pa ciales son simila es a las gnque imos en la secci´
on an e io . Son unciones
lineales a ozos (poligonales) en las que cada sumando se asemeja a un dien e de sie a, con
´
e ices en los n´
ume os di´
adicos k/2ncon 1 ≤k≤2n−1. Todos los segmen os que la compo-
nen iene pendien es en e as, que oscilan en e −nyn. La pendien e m´
axima +nse alcanza en
el in e alo "0, 1
2n#
y la m´
ınima −nen
"1−1
2n, 1#.
En la igu a 2.11 emos la suma pa cial τ4donde apa ecen indicadas las pendien es de los
segmen os. Es as sumas pa ciales τncoinciden con τen odos los di´
adicos acionales k/2n. Y
los alo es que alcanzan en los di´
adicos es as sumas pa ciales pe manecen ya cons an es, es
deci ,
τn k
2n!=τn+j k
2n!.
01
16
3
16
5
16
7
16
9
16
11
16
13
16
15
16
1
1
2
2
3
4
2
22
0
0 0
0
−2−2
−2
−4
Figu a 2.11: Suma pa cial τ4de la unci´
on de Takagi.
Como consecuencia,
τ k
2n!=τn k
2n!.
En la igu a 2.12 se obse a es e compo amien o.
La unci´on de Takagi a pa i de la unci´on dis ancia al en e o m´as ce cano 21
01
8
1
4
3
8
1
2
5
8
3
4
7
8
1
1
2
2
3
Figu a 2.12: Sumas pa ciales τ1,τ2yτ3de la unci´
on de Takagi.
La sucesi´
on (τn)es no dec ecien e y a ap oximando a la unci´
on de Takagi. Es deci , se
cumple que
τ1(x)≤τ2(x)≤τ3(x)≤ · · · .
N´
o ese que τy la unci´
on gdada en la de inici´
on (2.1) no son exac amen e iguales, sino que
τp esen a una con acci´
on en 1/2 del dominio g(y, po ende, es de pe iodo 1) y una con acci´
on
de 1/2 en las al u as. Vemos a con inuaci´
on en la igu a 2.13 las g ´
a icas de ambas unciones.
01
2
13
2
2
1
4
3
Figu a 2.13: Funciones gyτ.
Es habi ual encon a en la li e a u a ac ual el ´
e mino “blancmange unc ion (cu a del
manja blanco)” e i i´
endose a la unci´
on de Takagi. Tall ([20]) lo p opone en su a ´
ıculo de
1982, donde da la “ ece a” pa a cons ui la, aunque le a ibuye el nomb e a un colega suyo, John
Mills que io la g ´
a ica de es a unci´
on de o ma simila a un pud´
ın ingl´
es hecho de gela ina
de leche, ´
ease la igu a 2.15. El p opio Tall cuen a la an´
ecdo a ( ´
ease [21]) de que la palab a
22 2. La unci´on de Takagi
inglesa “blancmange” se compone de dos palab as ancesas “blanc” (blanco) y “mange” (co-
me ). Cuando es a unci´
on se p esen ´
o po p ime a ez a los acad´
emicos y p o eso es anceses
en un semina io en Pa ´
ıs, la audiencia qued´
o muy pe pleja. ¿Qu´
e es es a comida blanca?, se
p egun a on. Se explic´
o el o igen del nomb e y los anceses queda on sa is echos. Es lo que
los anceses llaman un “pud´
ın”. Como siemp e, los anceses y los ingleses ienen algunas
di icul ades pa a en ende se en e s´
ı, en es e caso po que los ingleses usan el ´
e mino anc´
es
“blancmange” y los anceses usan el ´
e mino ingl´
es “pudding”.
⌧(2x)/2
<la exi sha1_base64="Dz4CYbzk +ua zRAjTJ MJqjscw=">AAACGXicdVC7TgJBFJ3FF+IL bSZCCbY4M6aCHREG0 M5JGwhMwOA0yc WTm pFs+A0bC/0VO2N 5Z9YOouYiNFTnX Pubn3Hi+SQoN 1uZpeWV1bXsem5jc2 7J7+719Jh Bh slCGquNRzaUIeBMESN6JFKe+J3nbu7lI9 Y V1qEwTVMI 7z6SgQQ8EomJZbdIHGJe u+MQp9 MFu2zbNiEEp4RUzmxDa WqQ6qYpJJBAc3R6Oc/3EHIYp8HwCTVuk sCHoJVSCY5NOcG2seUXZDR7x aEB9 n J7OYpPhqGCsOY41n905 QX+uJ7xmPT2Gs 2 p8y+ G8Ow2k EEMXAA2YsRh GEkOI09 xQCjOQE4MoUwJcyVmY6ooAxPQwpaRo FYML3wQ6JCMKkFo2nORPWdB/6 JwyOS07V06h j4PLYsO0CEqIYIqqI4uUQM1EUMRukeP6Ml6sJ6 F+ 1y5qx5jP7aAHW2ycYUqC4</la exi >
1
2
1
2
1
2
1
2
⌧(x)=
<la exi sha1_base64=" uZX6 W1pS5j SigePYQA3dw1A4=">AAACF3icbVA9TwJBEN3DL8Q 1NJmI5hgQ+6w0MaEaGOJiXxEuJC9Ze/YsLd32Z0zkg /wsZC/4qdsbX0n1i64BUC u N DeZme Fgmuw7S8 7K6 6R3yxsbe/s7hX3D1o6ShRlTRqJSHU8opngkjWBg2CdWDESeoK1 dH1VG8/MKV5JO9gHDM3JIHkPqcETOu+3AOSVB5PL8 9Ysmu2jPgZeJkpIQyNP F794goknIJFBB O46dgxuShRwK ik0Es0iwkdkYB1DZUkZNpNZxdP8Ik KQxDhm 1X29KQq3HoWc8IYGhX Smz +0bgL+hZ yGS AJDUWo/mJwBDh6eN4wBWjIMaGEKq4uRLTIVGEgolnbkugSDzkVM/9kKoITGYymBRMVM5iMMukVas6Z9Xaba1U 8pCy6MjdIwqyEHnqI5uUAM1EUUSPaEX9Go9W2/Wu/Xxa81Z2cwhmoP1+QPkEqAY</la exi >
'0(x)
<la exi sha1_base64="J 67c Z o3X8pNMz 5IepJVX +Q=">AAACG3icdVC7TsMwFHV4l IqMLJY EhliZK0as WwcJYJPqQ2lA5 pNYdR6ynYoq6n+wMMC sCFWB 6EEacUiSI40/E5x7 3HidmVEjDeNdWV WNzZzW/n nd29/cLBYUdECcekjSMW8Z6DBGE0JG1JJSO9mBMUOIx0n Fl5ncnhAsahTdyGhM7QF5IXYqRVNJ aTBBPPbp0Cj nZWGhaKhnzdqV UGDd0w6qZlZsSqVy VaColQxEs0BoWPgajCCcBCSVmSIi+acTSThGXFDMyyw8SQWKEx8gj UVDFBBhp/O Z/DUjTiUPoHz989sigIhpoGjMgGS j ZeJ Xj+RbsNOaRgnkoRYRZTnJgzKCGbHwxHlBEs2VQRhT WWEPuIIyxVRU TPI5ULVgs3ZDySK eQm+WV1V99wH/Jx1LNyu6dW0VmxeL0nLgGJyAMjBBHTTBFWiBNsCAg3 wCJ60B+1Ze9Fe 6I 2uLPEViC9 YJkR+iFA==</la exi >
+
<la exi sha1_base64="GoQ83HQX F4qSD ELZX31oY23Bw=">AAACEHicbVC7TgMxEPTxDOEVoKSxSJCQkKK7UEAZQUMZBHlIySnyOc6dFZ99s eQolM+gYYC oUO0 IH/AklT iCJEw1uzO 3Z0gEdyA6345K6 6xubha3i9s7u3n7p4LBlVKopa1IllO4ExDDBJWsCB8E6iWYkDgR B6Obqd5+ZNpwJR9gnDA/JqHkQ04J2NZ95bzSL5XdqjsDXiZeTsooR6N +u4NFE1jJoEKYkzXcxPwM6KBU8EmxV5qWELoiISsa6kkMTN+Nj 1gk+HSmOIGJ7V 70ZiY0Zx4H1xAQis6hNm/9p3RSGV37GZZICk9Ra DZMBQaFpx/jAdeMghhbQqjm9kpMI6IJBZ L3JZQkyTi1Mz9kGkFNiwZToo2Km8xmGXSqlW9i2 lauX+ehFdAxOkFnyEOXqI5uUQM1EUUhekI 6NV5d 6cd+ j17 i5DNHaA7O5w+njp1R</la exi >
⌧(2x)/2
<la exi sha1_base64="Dz4CYbzk +ua zRAjTJ MJqjscw=">AAACGXicdVC7TgJBFJ3FF+IL bSZCCbY4M6aCHREG0 M5JGwhMwOA0yc WTm pFs+A0bC/0VO2N 5Z9YOouYiNFTnX Pubn3Hi+SQoN 1uZpeWV1bXsem5jc2 7J7+719Jh Bh slCGquNRzaUIeBMESN6JFKe+J3nbu7lI9 Y V1qEwTVMI 7z6SgQQ8EomJZbdIHGJe u+MQp9 MFu2zbNiEEp4RUzmxDa WqQ6qYpJJBAc3R6Oc/3EHIYp8HwCTVuk sCHoJVSCY5NOcG2seUXZDR7x aEB9 n J7OYpPhqGCsOY41n905 QX+uJ7xmPT2Gs 2 p8y+ G8Ow2k EEMXAA2YsRh GEkOI09 xQCjOQE4MoUwJcyVmY6ooAxPQwpaRo FYML3wQ6JCMKkFo2nORPWdB/6 JwyOS07V06h j4PLYsO0CEqIYIqqI4uUQM1EUMRukeP6Ml6sJ6 F+ 1y5qx5jP7aAHW2ycYUqC4</la exi >
⌧(x)=⌧0(x)+⌧(2x)/2
2
1
2
1
2
⌧(4x)/4
<la exi sha1_base64="22aZQjK7qw +2NGE9GFZ0Diez0c=">AAACGXicdVA9TwJBEN3DL8Q 1NJmI5hgg7cnEeiINpaYCJIAIX LAh 2P I7ZyQX/oaNh 4VO2N 5T+xdA8xEaO ejP TWbmuaEUGmz73Uo La+s qXXMxubW9s72d29pg4ixXiDBTJQLZdqLoXPGyBA8laoOPVcyW/c8UWi39xypUXgX8Mk5F2PDn0xEIyCaXXyHaBRoXR3 FLK97I5u2jbNiEEJ4SUz2xDq WKQyqYJJJBDs1R72U/O 2ARR73gUmqdZ YIXRjqkAwyaeZTqR5SNmYDnnbUJ96XH j2c1T DQIFIYRx7P6pzemn YTzzUej8JI/9aS5l9aO4JBpRsLP4yA+8xYjDaIJIYAJ6/j lCcgZwYQpkS5k MRlRRBiaghS1DRcORYH hh1gFYFLzh9OMieo7D/w/aTpFclp0 pxc7XweWhodoENUQASVUQ1dojpqIIZCdI8e0ZP1YD1bL9b lzVlzW 20QKs 08 BqC8</la exi >
⌧1(x)
<la exi sha1_base64="uAI4Khu RDRXzVxlgWaNxSw3qCQ=">AAACGHicdVC7TgJBFJ31i hCLW0mggk2ZHchgB3RxhITeSRAyOwwwITZnc3MXSPZ8Bk2F o dsbWzj+xdBYxEaOnOnPOmdx7jxcK sG2362V1bX1jc3UVnp7Z3d P3Nw2NQyUpQ1qBRS T2imeABawAHwdqhYsT3BG 5k8 Eb90ypbkMbmAasp5PRgE ck ASJ1cF0jUd/J3Z7l+JmsXzq l 1TGdsG2K47 JMS lIol7BglQRY UO9nP oDSSO BUAF0b j2CH0YqKAU8Fm6W6kWUjohIxYx9CA+Ez34 nKM3w6lA DmOH5+2c2J 7WU98zGZ/AWP/2E E xPBsNqLeRBGwAJqIsYbRgKDxMnleMAVoyCmhhCquNkS0zFRhILpZ2nKSJFwzKleuiFWEkxpwWiWNlV994H/J0234BQL7 Wb V0sSkuhY3SC8shBFVRDV6iOGogiie7RI3qyHqxn68V6/YquWIs/R2gJ1 snAKig w==</la exi >
+
<la exi sha1_base64="GoQ83HQX F4qSD ELZX31oY23Bw=">AAACEHicbVC7TgMxEPTxDOEVoKSxSJCQkKK7UEAZQUMZBHlIySnyOc6dFZ99s eQolM+gYYC oUO0 IH/AklT iCJEw1uzO 3Z0gEdyA6345K6 6xubha3i9s7u3n7p4LBlVKopa1IllO4ExDDBJWsCB8E6iWYkDgR B6Obqd5+ZNpwJR9gnDA/JqHkQ04J2NZ95bzSL5XdqjsDXiZeTsooR6N +u4NFE1jJoEKYkzXcxPwM6KBU8EmxV5qWELoiISsa6kkMTN+Nj 1gk+HSmOIGJ7V 70ZiY0Zx4H1xAQis6hNm/9p3RSGV37GZZICk9Ra DZMBQaFpx/jAdeMghhbQqjm9kpMI6IJBZ L3JZQkyTi1Mz9kGkFNiwZToo2Km8xmGXSqlW9i2 lauX+ehFdAxOkFnyEOXqI5uUQM1EUUhekI 6NV5d 6cd+ j17 i5DNHaA7O5w+njp1R</la exi >
⌧(x)=
<la exi sha1_base64=" uZX6 W1pS5j SigePYQA3dw1A4=">AAACF3icbVA9TwJBEN3DL8Q 1NJmI5hgQ+6w0MaEaGOJiXxEuJC9Ze/YsLd32Z0zkg /wsZC/4qdsbX0n1i64BUC u N DeZme Fgmuw7S8 7K6 6R3yxsbe/s7hX3D1o6ShRlTRqJSHU8opngkjWBg2CdWDESeoK1 dH1VG8/MKV5JO9gHDM3JIHkPqcETOu+3AOSVB5PL8 9Ysmu2jPgZeJkpIQyNP F794goknIJFBB O46dgxuShRwK ik0Es0iwkdkYB1DZUkZNpNZxdP8Ik KQxDhm 1X29KQq3HoWc8IYGhX Smz +0bgL+hZ yGS AJDUWo/mJwBDh6eN4wBWjIMaGEKq4uRLTIVGEgolnbkugSDzkVM/9kKoITGYymBRMVM5iMMukVas6Z9Xaba1U 8pCy6MjdIwqyEHnqI5uUAM1EUUSPaEX9Go9W2/Wu/Xxa81Z2cwhmoP1+QPkEqAY</la exi >
unciones de Takagi educidas 1/4
<la exi sha1_base64="bUkP CRFwZU85w6j689 s1XCL7I=">AAACPXicdVDLTh BEJwlD4jzMnDkMoqJlANydhwE5obgwpFIGJC8l U722uPmJ1dz Qi JX/gq/JhQP8BB/ADXENR2aJI8VRUqeaqhp1d8WFVo7C8DZYePHy1e FpTeN +/e /jYXF45dnlpJ Zk nN7GoND Qz2SJHG08IiZLHGk/hs /ZPz E6lZsjmhQ4yGBkVKokkJeGz Z6RHhBVVoa6QV0PEF+BGcwU xiUkqVgJ GG9EGF18314 NV gOw1AIwWsi dCT3Z2uh3R5aK2PFpshsNh8zFKcllmaEhqcK4 woIGFVhSUuO0EZUOC5B+H Y9NZChG1TPd0355zS3nMbIn99/Zi InJ ksc9kQGP3 1eL//L6JaXdQaVMURIa6SPeS0 NKed1PTxRFiXpiScg JbcjkGC5J8iXNTRhaKsZJu7obK5uSbNaNpw1 1uw/+ 3LcaY 7c73Tm 3b1baEl jn9gXJ g222UH7JD1mGSX7Ae7Zj BVXAX3AcP 6ILwezPKp D8PMJVlS EA==</la exi >
Figu a 2.14: Ilus aci´
on de la elaci´
on τ(x) = τm−1(x) + τ(2mx)/2mpa a m=1 y m=2.
En el a ´
ıculo de di ulgaci´
on [13], se explica la complejidad del g ´
a ico de la unci´
on de
Takagi de una mane a muy sencilla que exponemos a con inuaci´
on. Es ´
acil e que si m≥1 es
na u al, se cumple
τ(x) = τm−1(x) + τ(2mx)
2m.
Pues bas a obse a que
τ(x) =
∞
X
n=0
ϕ(2nx)
2n=τm−1(x) +
∞
X
n=m
ϕ(2nx)
2n=τm−1(x) + 1
2m
∞
X
n=m
ϕ(2nx)
2n−m
La unci´on de Takagi a pa i de la unci´on dis ancia al en e o m´as ce cano 23
=τm−1(x) + 1
2m
∞
X
k=0
ϕ(2m+kx)
2k=τm−1(x) + 1
2mτ(2mx).
As´
ı que en cada in e alo "k
2m,k+1
2m#
con ken e o, la g ´
a ica de τ(x) iene dada po una pa e ini a m´
as una copia simila a oda la
g ´
a ica de τ(x)en [0, 1]pe o educida po un ac o 1/2m.
Es a elaci´
on, que emos en la igu a 2.14 pa a m=1 y m=2, nos dice que la unci´
on de
Takagi es ´
a o mada po una in inidad de minicopias a odas las escalas de s´
ı misma. As´
ı que al
hace una ampliaci´
on en un en o no de un pun o no encon a emos que la g ´
a ica no se pa ece a
una ec a, sino a copias de la g ´
a ica zigzaguean e inicial.
La unci´
on τ iene las p opiedades an´
alogas a g is as en la p oposici´
on 2.3.
P oposici´
on 2.8. La unci´on τ iene las siguien es p opiedades.
1. La unci´on τes pe i´odica de pe iodo 2.
2. La unci´on τes pa .
3. La unci´on τes con inua.
Demos aci´on. Las p opiedades se˜
naladas son consecuencia de esul ados an e io es, en con-
c e o del eo ema 2.7 y la p oposici´
on 2.3.
1. Tenemos que
τ(x+1) = 1
2g(2(x+1)) = 1
2g(2x+2)
y, como ges pe i´
odica de pe iodo 2,
τ(x+1) = 1
2g(2x) = τ(x).
2. Ya imos que ges una unci´
on pa , luego τ ambi´
en lo es, pues
τ(−x) = 1
2g(2(−x)) = 1
2g(−2x) = 1
2g(2x) = τ(x).
3. Po ´
ul imo, τes con inua, ya que las unciones ϕ(2nx)
2n!son con inuas y la se ie
∞
X
n=0
ϕ(2nx)
2n
con e ge uni o memen e a τ.
Una gene alizaci´
on inmedia a de la unci´
on de Takagi es conside a , dado ∈N, ≥2, la
unci´
on
τ (x) =
∞
X
n=0
ϕ( nx)
n.
La unci´
on que de ini´
o Van de Wae den ( ´
ease [25]) ue τ10. P ob´
o que no e a di e enciable en
ning´
un pun o.
24 2. La unci´on de Takagi
Figu a 2.15: Pas el ´
ıpico “blancmange”.
2.3. De inici´
on o iginal de Takagi
Las ep esen aciones m´
as comunes de la unci´
on de Takagi son las que ya hemos is o en
(2.8) y en (2.10). Vamos a e en es a secci´
on la de inici´
on o iginal de Takagi, publicada en su
a ´
ıculo de 1903, ´
ease [19]. Takagi de ini´
o su unci´
on a pa i de las unciones sumas de d´
ıgi os
bina ios que imos en el p ime cap´
ı ulo.
El siguien e eo ema se debe a Laga ias y Maddock ( ´
ease [11]). En ´
el se p ueba que la
de inici´
on o iginal de Takagi ([19]) coincide con la unci´
on τque imos en la secci´
on an e io .
Teo ema 2.9. Si x =
∞
X
i=1
ai
2i=0.a1a2a3. . . la unci´on de Takagi iene dada po
τ(x) =
∞
X
m=1
`m
2m, (2.12)
donde 0≤`m=`m(x)≤m es el n´ume o de d´ıgi os que hay an es del ´e mino que se encuen a
en la posici´on m y son di e en es a es e, es deci ,
`m(x) = #{i:1≤i<m,ai,am}1.
En ´e minos de la unci´on suma de d´ıgi os ( ´ease la de inici´on (1.6), p´agina 7), se iene que
`m(x) =
N1
m−1(x),si am=0,
N0
m−1(x),si am=1.
Equi alen emen e,
`m(x) = amN0
m−1(x) + (1−am)N1
m−1(x).
1Como es habi ual, #A ep esen a el ca dinal del conjun o A.
De inici´on o iginal de Takagi 25
Demos aci´on. Pa a e que las unciones de inidas en (2.10) y (2.12) son la misma amos a
usa la igualdad dada en (1.17) que imos al inaliza el p ime cap´
ı ulo. De ella deducimos que
ϕ(2nx)
2n=
∞
X
i=1
an+i(1−an+1) + (1−an+i)an+1
2n+1, (2.13)
as´
ı que sus i uyendo es a exp esi´
on en (2.10), enemos que
τ(x) =
∞
X
n=0
ϕ(2nx)
2n=
∞
X
n=0
∞
X
i=1
an+i(1−an+1) + (1−an+i)an+1
2n+i,
que poniendo m=n+inos da
τ(x) =
∞
X
n=0
∞
X
m=n+1
am(1−an+1) + (1−am)an+1
2m,
e in e cambiando las se ies,
τ(x) =
∞
X
m=1
m−1
X
n=0
am(1−an+1) + (1−am)an+1
2m
=
∞
X
m=1
am
2m
m−1
X
n=0
(1−an+1)
+(1−am)
2m
m−1
X
n=0
an+1
=
∞
X
m=1
am
2m
m
X
n=1
(1−an)
+(1−am)
2m
m
X
n=1
an
. (2.14)
Obse emos que en (2.14) end emos una con ibuci´
on de 1
2msiemp e que an=0 y am=1;
y po o a pa e, la suma
m
X
n=1
annos da una con ibuci´
on de 1
2msiemp e que an=1 y am=0.
Es deci , cada una de es as sumas pa ciales cuen a el n´
ume o de ancon 1 ≤n<mque ienen
alo con a io a amy si am=0 la suma
m
X
n=1
ancuen a la can idad de unos que hay an es de am.
En de ini i a, en ´
e minos de las unciones suma de d´
ıgi os y sumas de ce os se iene que
τ(x) =
∞
X
n=0
ϕ(2nx)
2n
=
∞
X
m=1
am
2m
m
X
n=1
(1−an)
+(1−am)
2m
m
X
n=1
an
=
∞
X
m=1
amN0
m−1(x) + (1−am)N1
m−1(x)
2m
=
∞
X
m=1
`m
2m.
26 2. La unci´on de Takagi
2.4. Valo m´
aximo
Vamos a e que la unci´
on de Takagi es aco ada. En conc e o, amos a es udia el m´
aximo
de la unci´
on de Takagi. Es cla o que como el m´
aximo de ϕ(x) = dis (x,Z)es 1/2, se iene
que
τ(x) =
∞
X
k=0
1
2kϕ(2kx)≤1
2
∞
X
k=0
1
2k=1.
Jean Pie e Kahane ([9]) p ob´
o que el m´
aximo de la unci´
on de Takagi es 2/3. Vamos a
p oba es e hecho siguiendo las ideas de [2] y [6].
Teo ema 2.10. Se cumple que 0≤τ(x)≤2/3.
Demos aci´on. Es cla o que el m´
ınimo de la unci´
on de Takagi es 0, alo es que alcanza en los
pun os 0 y 1.
Veamos en p ime luga que si x∈[0, 1]yk≥1 es
ϕ(22k−2x)
22k−2+ϕ(22k−1x)
22k−1≤2
4k. (2.15)
Equi alen emen e,
ϕ(22k−2x) + 1
2ϕ(22k−1x)≤1
2. (2.16)
Como ϕes pe i´
odica de pe iodo 1, la desigualdad an e io equi ale a
ϕ(x) + 1
2ϕ(2x)≤1
2,∀x∈[0, 1]. (2.17)
Reco demos que
ϕ(x) =
x, 0 ≤x≤1/2
1−x, 1/2≤x≤1
x−1, 1 ≤x≤3/2
2−x, 3/2≤x≤2,
lo que implica que
ϕ(2x) =
x, 0 ≤x≤1/4
1/2−x, 1/4≤x≤1/2
x−1/2, 1/2≤x≤3/4
1−x, 3/4≤x≤1,
y, po an o,
ϕ(x) + 1
2ϕ(2x) =
2x, 0 ≤x≤1/4
1/2, 1/4≤x≤3/4
2−2x, 3/4≤x≤1.
Es ob io que se cumple (2.17) ( ´
ease la igu a 2.16). De la pe iodicidad de ϕdeducimos (2.15).
Valo m´aximo 27
1
4
3
41
1
2
Figu a 2.16: G ´
a ica de ϕ(x) + ϕ(2x)/2.
Usamos (2.15) pa a ob ene
τ(x) = ϕ(x) + 1
2ϕ(2x) + 1
22ϕ(22x) + 1
23ϕ(23x) + · · ·
= ϕ(x) + 1
2ϕ(2x)!+ 1
22ϕ(22x) + 1
23ϕ(23x)!+· · ·
=
∞
X
k=1 1
22k−2ϕ(22k−2x) + 1
22k−1ϕ(22k−1x)!
≤
∞
X
k=1
2
4k=2
3.
As´
ı pues, τ(x)≤2/3. Veamos que exis en x ales que τ(x) = 2/3. Es os xdeben sa is ace
la igualdad en (2.15) pa a odo k.
Vamos a busca los xde modo que (2.16) sea una igualdad. Pa a ello, esc ibimos
ϕk(x) = ϕ(22k−2x) + 1
2ϕ(22k−1x)
y obse amos que
ϕk 1
4k−1+x!=ϕ 22k−2 1
4k−1+x!!+1
2ϕ 22k−1 1
4k−1+x!!
=ϕ(1+22k−2x) + 1
2ϕ(2+22k−1x)
=ϕ(22k−2x) + 1
2ϕ(22k−1x) = ϕk(x).
N´
o ese que hemos usado la pe iodicidad de ϕ, es deci , ϕ(x+1) = ϕ(x).
Po an o, ϕkes pe i´
odica con pe iodo 1/4k−1y la g ´
a ica de ϕkes la uni´
on de 4k−1“copias”
de ϕ1con la misma al u a 1/2, pe o con anchu a 1/4k−1.
28 2. La unci´on de Takagi
1
4
1
2
3
41
1
2
1
4
1
2
3
41
1
2
Figu a 2.17: G ´
a icas de ϕ2yϕ3.
En la igu a 2.16 emos la g ´
a ica de ϕ1y en la igu a 2.17 emos las g ´
a icas de ϕ2yϕ3. Se
ap ecia la pe iodicidad que hemos p obado an e io men e. Obse emos que ϕkes igual a 1/2
en la uni´
on de 4k−1subin e alos de [0, 1]cada uno de longi ud 2/4k.
As´
ı que de inimos
A1="1
4,3
4#
y, pa a cada k≥1 cons uimos Ak+1como la uni´
on de los 2ksubin e alos de longi ud 2/4k+1
donde ϕk+1es igual a 1/2 y que es ´
en con enidos en Ak. Po ejemplo,
A2="5
16,7
16#∪"9
16,11
16#
y
A3="21
64,23
64#∪"25
64,27
64#∪"37
64,39
64#∪"41
64,43
64#.
En la igu a 2.18 emos los es p ime os conjun os cons uidos de es a mane a.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
01
1
43
4
5
16 7
16 9
16 11
16
A1
A2
A3
Figu a 2.18: Conjun os A1,A2yA3.
Tenemos una sucesi´
on (Ak)de conjun os compac os encajados que po el eo ema de in e -
secci´
on de Can o debe ene in e secci´
on no ac´
ıa, es deci , exis e
x∈
∞
k=1
Ak.
Tal xde la in e secci´
on cumple τ(x) = 2/3.
Valo m´aximo 29
Se pueden ca ac e iza los pun os del conjun o Ausando la expansi´
on cua e na ia (es deci ,
en base 4) de sus pun os, pues de la cons ucci´
on del conjun o Ase deduce que
A=
∞
X
i=1
ai
4i:ai=1, 2
.
Po ejemplo.
1
3=
∞
X
i=1
1
4i,
luego 1/3∈Ay es τ(1/3) = 2/3.
El conjun o Aes pe ec o de medida ce o. En e ec o, es pe ec o po que odos los pun os de
Ason de acumulaci´
on pues si x∈Ay
x=
∞
X
i=1
ai
4i;ai∈ {1, 2}
en onces
xn=x+3−2an
4n∈A
po que la di e encia es que hemos in e cambiado los d´
ıgi os 1 y 2 y se cumple que xn→x. Po
´
ul imo, iene medida ce o po que la ep esen aci´
on de x∈Ano con iene al menos un d´
ıgi o, en
es e caso el 0 y el 3.
Se puede demos a que Aes homeomo o al conjun o de Can o , aunque en la cons ucci´
on
del conjun o Acada in e alo disjun o de la k-´
esima e apa es eescalado con ac o 1/4 pa a
despu´
es se duplicado.
Es e conjun o A ambi´
en iene o a p opiedad. Y es que es au osimila . Reco demos que
un conjun o compac o Ken un espacio m´
e ico Xse dice au osimila si exis en con acciones
1,..., N:X→Xde modo que
K= 1(K)∪. . . ∪ N(K).
Po ejemplo en Rsi I= [0, 1] enemos que
I= 1(I)∪ 2(I),
donde
1(x) = 1
2x, 2(x) = 1
2(x+1).
Vol iendo a nues o conjun o A, podemos esc ibi
A=
∞
X
i=1
ai
4i:i=1, 2
=
1
4+
∞
X
i=2
ai
4i:i=1, 2
∪
2
4+
∞
X
i=2
ai
4i:i=1, 2
=
1
4+1
4
∞
X
i=1
ai
4i:i=1, 2
∪
1
2+1
4
∞
X
i=1
ai
4i:i=1, 2
.
36 2. La unci´on de Takagi
2.6. La unci´
on de Takagi sob e los acionales
Vamos a es udia el compo amien o de la unci´
on de Takagi sob e los acionales. En con-
c e o, que lle a acionales a acionales. El esul ado es el siguien e ( ´
ease [14]).
Teo ema 2.14. Si x ∈ Q en onces τ(x)∈ Q.
Demos aci´on. Reco demos que
τ(x) =
∞
X
k=0
ϕ(2kx)
2k,
siendo ϕ(x) = dis (x,Z)la unci´
on dis ancia al en e o m´
as p ´
oximo. Es ob io que si x∈ Q
en onces ϕ(x)∈ Q. Vamos a dis ingui dos casos.
Caso 1. Supongamos que xes un acional di´
adico. En onces, pa a nsu icien emen e g ande, se
iene que 2nxes en e o, po lo que ϕ(2nx) = 0, as´
ı que
τ(x) =
∞
X
k=0
ϕ(2kx)
2k=
N
X
k=0
ϕ(2kx)
2k.
Pe o cualquie a que sea k, como xes acional, ambi´
en lo es ϕ(2kx)y la suma an e io es
po an o un n´
ume o acional.
Caso 2. Si xes acional no di´
adico, podemos esc ibi su desa ollo bina io como
x=0.b1bb. . . bnbn+1...bn+m...bn+1...bn+m. . . =0.b1bb...bnbn+1...bn+m.
Es o implica que m>1, po que los di´
adicos son los ´
unicos n´
ume os acionales en los que
se epi e un d´
ıgi o en el desa ollo bina io. En onces,
τ(x) =
∞
X
k=0
ϕ(2kx)
2k=
n−1
X
k=0
ϕ(2kx)
2k
| {z }
acional
+
∞
X
k=n
ϕ(2kx)
2k,
as´
ı que bas a demos a que el segundo sumando es acional. Aho a bien,
∞
X
k=n
ϕ(2kx)
2k=1
2n
∞
X
k=0
ϕ(2kx0)
2k,
donde x0=0.bn+1...bn+m. En de ini i a, podemos supone que que x=0.b1...bm.
Cualesquie a que sean los en e os kyk0se iene po la pe iodicidad de ϕque
ϕ(2mk+k0x) = ϕ(2mk ·2k0x) = ϕ(2k0x),
po lo que
τ(x) =
∞
X
k=0
ϕ(2kx)
2k=
∞
X
j=0
m−1
X
k=0
ϕ(2k+jmx)
2k+jm
La unci´on de Takagi sob e los acionales 37
=
∞
X
j=0
m−1
X
k=0
ϕ(2kx)
2k+jm
=
∞
X
j=0
Sm
2jm =Sm·
∞
X
j=0
1
2jm ,
donde
Sm=
m−1
X
k=0
ϕ(2kx)
2k.
Aho a bien, ∞
X
j=0
1
2jm =1
1−2−m
es acional po que −m<−1<0 y Smes una suma ini a de acionales y, po an o,
acional. En de ini i a, τ(x)∈ Q.
Co ola io 2.15. La unci´on de Takagi ans o ma di´adicos en di´adicos.
Demos aci´on. Bas a e el p ime caso del eo ema an e io ; si xes di´
adico, τ(x)es una suma
ini a de di´
adicos. Po an o, τ(x)es di´
adico.
El ec´
ıp oco de es e co ola io es also, po ejemplo
τ 1
6!=1
2.
Si bien la unci´
on de Takagi lle a acionales a acionales, el ec´
ıp oco es un p oblema abie o, es
deci , no se sabe si dado un acional 0 ≤ ≤2/3, exis e o o acional 0de modo que τ( 0) = .
Tambi´
en es ´
a abie o el siguien e p oblema. ¿Exis e un di´
adico acional y=`/2kcon
0<y<2/3 de modo que no exis a di´
adico acional xcon τ(x) = y?
CAP´
ITULO 3
Con inuidad en el sen ido de H¨
olde y
di e enciabilidad
En es e cap´
ı ulo amos a e que la unci´
on de Takagi es con inua en el sen ido de H¨
olde y
que no es di e enciable en ning´
un pun o del in e alo [0, 1]. De es a ´
ul ima a i maci´
on da emos
dos p uebas.
3.1. Con inuidad en el sen ido de H¨
olde
Comenzamos eco dando el concep o de unci´
on con inua en el sen ido de H¨
olde .
De inici´
on 3.1. Sea :[a,b]→R. Decimos que es con inua en el sen ido de H¨olde de clase
αen [a,b]si exis en cons an es C >0yα∈(0, 1) ales que
| (x1)− (x2)| ≤ C|x1−x2|α
pa a cualesquie a x1,x2∈[a,b].
La con inuidad en el sen ido de H¨
olde implica la con inuidad uni o me pues dado que
α < 1, se cumple
| (x1)− (x2)| ≤ C|x1−x2|α≤C|x1−x2|.
Tambi´
en es ´
acil e que si se sa is ace la condici´
on de H¨
olde pa a un exponen e α > 1 la
unci´
on es cons an e. Pues dados x,yen el in e alo [a,b], di idimos el in e alo [x,y]en n
subin e alos de longi ud 1
n· |x−y|. La con inuidad de H¨
olde nos p opo ciona la co a
C 1
n· |x−y|!α
en cada subin e alo y la desigualdad iangula nos indica que
| (x)− (y)| ≤ nC 1
n· |x−y|!α
=C|x−y|α·1
nα−1.
Bas a hace n→ ∞ pa a conclui que es cons an e.
Dado que pa a es udia la con inuidad de H¨
olde de τnecesi a emos e alua |τ(x)−τ(y)|,
amos a e p ime o c´
omo maneja di e encias del ipo |ϕ(2nx)−ϕ(2ny)|, que es lo que amos
a hace en el siguien e lema.
40 3. Con inuidad en el sen ido de H¨olde y di e enciabilidad
Lema 3.2. Pa a odo x,y∈[0, 1]y n ≥0se cumple que
|ϕ(2nx)−ϕ(2ny)| ≤ 2n|x−y|.
Demos aci´on. Sea n≥0 y x,y∈[0, 1]. Sea k∈Zel en e o m´
as ce cano a 2ny. En onces,
ϕ(2nx) = ´
ın
m∈Z
|2nx−m|≤|2nx−k|≤|2nx−2ny|+|2ny−k|
=2n|x−y|+ϕ(2ny).
As´
ı que hemos p obado
ϕ(2nx)−ϕ(2ny)≤2n|x−y|.
Pe o de modo o almen e an´
alogo podemos p oba ambi´
en que
ϕ(2ny)−ϕ(2nx)≤2n|x−y|,
as´
ı que en de ini i a enemos lo que que emos,
|ϕ(2nx)−ϕ(2ny)| ≤ 2n|x−y|.
Pasamos en onces a enuncia y p oba el esul ado p incipal de es a secci´
on ( ´
ease [18]).
Teo ema 3.3. La unci´on de Takagi es con inua en el sen ido de H¨olde de clase αpa a odo
α∈(0, 1).
Demos aci´on. Sea α < 1. Sean x, ∈Rcon ,0. Supongamos p ime o que 0 <| | ≤ 1. Sea
n∈Z,n≥0 al que
1
2n+1<| | ≤ 1
2n.
En pa icula ,
| |1−α≤ 1
2n!1−α
,
o lo que es igual,
| | ≤ 1
2n(1−α)| |α. (3.1)
Po el lema an e io y (3.1)
n−1
X
k=0
ϕ(2k(x+ ))
2k−ϕ(2kx)
2k
≤
n−1
X
k=0
| |=n| | ≤ n1
2n(1−α)| |α. (3.2)
Dado que
0≤ϕ(2kx)
2k≤1
2k+1,∀k≥0, ∀x∈R,
se sigue que cualquie a que sea k≥0 es
ϕ(2k(x+ ))
2k−ϕ(2kx)
2k
≤1
2k+1.
Con inuidad en el sen ido de H¨olde 41
Po an o, ∞
X
k=n
ϕ(2k(x+ ))
2k−ϕ(2kx)
2k
≤
∞
X
k=n
1
2k+1=1
2n≤2| | ≤ 2| |α, (3.3)
donde hemos usado que dada la elecci´
on de n,
1
2n+1<| | ⇒ 1
2n<2| |.
De (3.1) y (3.3) podemos deduci que
|τ(x+ )−τ(x)| ≤
∞
X
n=0
ϕ(2n(x+ ))
2n−ϕ(2nx)
2n
≤n1
2n(1−α)| |α+2| |α
= 2+n
2n(1−α)!| |α.
Como
l´
ım
n→∞ 2+n
2n(1−α)!=2,
es a sucesi´
on es ´
a aco ada. Si Mαes al que
2+n
2n(1−α)≤Mα,∀n∈N,
luego
|τ(x+ )−τ(x)| ≤ Mα| |α
siemp e que 0 <| | ≤ 1.
Veamos qu´
e sucede si | |>1. Sabemos que
0≤τ(x) =
∞
X
k=0
ϕ(2kx)
2k≤
∞
X
k=0
1
2k+1=1
y cualquie a que sea | | ≥ 1 es o implica
|τ(x+ )−τ(x)| ≤ 1≤ | |α.
Eligiendo la cons an e Mαci ada an es concluimos que
|τ(x+ )−τ(x)| ≤ Mα| |α
pa a odo y es o p ueba la con inuidad en el sen ido de H¨
olde de τen R.
De acue do con lo que amos a demos a en la siguien e secci´
on, que τno es de i able en
ning´
un pun o, es e esul ado que acabamos de demos a es el mejo posible. No podemos ene
α=1, pues si no, τse ´
ıa absolu amen e con inua y, po an o, de i able en casi odo pun o.
En [24] Luciano de Vi o da una demos aci´
on de que la unci´
on de Takagi, que Geo ges de
Rham p ob´
o en [16] que no es de i able en ning´
un pun o, es sin emba go de clase H¨
olde de
g ado αpa a cualquie α∈(0, 1).
42 3. Con inuidad en el sen ido de H¨olde y di e enciabilidad
Reco demos que es a unci´
on es
ϕ(x) = dis (x,Z) =
x−"x+1
2#
,
donde [ ]es la pa e en e a de .
Es a unci´
on iene las dos siguien es p opiedades.
Dado que 0 ≤ϕ(x)≤1
2se sigue que
|ϕ(x)−ϕ(y)| ≤ 1
2. (3.4)
Po o a pa e, ambi´
en cumple que
|ϕ(x)−ϕ(y)|≤|x−y|. (3.5)
La desigualdad es de hecho una igualdad si x,y∈"0, 1
2#o bien x,y∈"1
2, 1#. En el caso
que queda, supongamos po ejemplo que x∈"0, 1
2#ey∈"1
2, 1#; enemos que
|ϕ(x)−ϕ(y)|=|x−(1−y)|=|x+y−1|.
Si |x+y−1|=x+y−1 se cumple que x+y−1≤y−x=|y−x|po que es a
desigualdad es equi alen e a que 2x≤1. Mien as que si ue a |x+y−1|=1−x−y
ambi´
en es 1 −x−y≤y−xpo que es a desigualdad es equi alen e a que 2y≥1.
De aqu´
ı deducimos usando (3.4) y (3.5) que cualquie a que sea α∈(0, 1),
|ϕ(x)−ϕ(y)|=|ϕ(x)−ϕ(y)|1−α|ϕ(x)−ϕ(y)|α≤2α−1|x−y|α. (3.6)
Obse emos que en (3.6) la igualdad se alcanza con x=0 e y=1
2, as´
ı que la cons an e 2α−1
no puede sus i ui se po una meno .
Po (3.6) enemos en onces que
|τ(x)−τ(y)| ≤
∞
X
k=0
ϕ(2kx)
2k−ϕ(2kx)
2k
≤
∞
X
k=0
1
2k2α−1|2kx−2ky|α
=2α−1|x−y|α
∞
X
k=0
(2α−1)k
=2α−1
1−2α−1|x−y|α.
Di e enciabilidad de la unci´on de Takagi 43
3.2. Di e enciabilidad de la unci´
on de Takagi
En es a secci´
on amos a da es demos aciones del siguien e eo ema.
Teo ema 3.4. La unci´on de Takagi no es de i able en ning´un pun o.
Se han publicado a ias demos aciones de es e esul ado. El p opio Takagi lo p ob´
o ([19]),
as´
ı como po ejemplo Hildeb and ([8]) y de Rham ([16]). La demos aci´
on de Van de Wae den
([25]) pa a la unci´
on que ´
el cons uy´
o no se adap a au om´
a icamen e al caso de Takagi. La
p ueba que dio Billingsley ([3]) es quiz´
as la m´
as na u al y es la p ime a que p esen amos en
es a secci´
on.
Comenzamos con un lema que nos se ´
a de u ilidad.
Lema 3.5. Sea a <an<x<bn<b pa a odo n ∈Ny supongamos que an→x y bn→x. Sea
:[a,b]→Runa unci´on con inua al que 0(x)exis e. En onces,
l´
ım
n→∞
(bn)− (an)
bn−an
= 0(x).
Demos aci´on. Dado que
bn−x
bn−an≤bn−an
bn−an
=1,
x−an
bn−an≤bn−an
bn−an
=1,
deducimos que
(bn)− (an)
bn−an
− 0(x)
=
bn−x
bn−an (bn)− (x)
bn−x− 0(x)!+x−an
bn−an (an)− (x)
an−x− 0(x)!
≤
(bn)− (x)
bn−x− 0(x)
+
(an)− (x)
an−x− 0(x)
→0 cuando n→ ∞.
As´
ı que
l´
ım
n→∞
(bn)− (an)
bn−an
= 0(x).
3.2.1. P ueba de Billingsley
Vamos a e aho a la demos aci´
on de la no de i abilidad de la unci´
on de Takagi debida a
Billingsley ([3]).
P ime a demos aci´on del eo ema 3.4. Sea x∈Ra bi a io. Supongamos que exis e τ0(x)y
es ini o. De acue do con el lema an e io , si un≤x≤ n(con un< n) y n−un→0 en onces
τ( n)−τ(un)
n−un
→τ0(x).
Vamos a cons ui dos sucesiones (un)y( n)y llega emos a una con adicci´
on pa a e que
nues a hip´
o esis inicial es alsa.
44 3. Con inuidad en el sen ido de H¨olde y di e enciabilidad
Reco demos que
τ(x) =
∞
X
k=0
1
2kϕ(2kx),
donde ϕ(x) = dis (x,Z)es la unci´
on dis ancia al en e o m´
as p ´
oximo.
Sea D={i2−n:i,n∈Z}el conjun o de los di´
adicos acionales. Si u∈Des de o den n,
en onces pa a odo en e o k≥nse cumple que 2ku∈Z. Luego ya que ϕ(p) = 0 pa a p∈Z,
enemos que
τ(u) =
n−1
X
k=0
1
2kϕ(2ku).
Sean un, n∈Dn´
ume os sucesi os de o den n ales que un≤x< n. En onces
n−un=i2−n−(i−1)2−n=2−n
y adem´
as,
τ( n)−τ(un)
n−un
=
n−1
X
k=0
1
2k
ϕ(2k n)−ϕ(2kun)
n−un
.
La unci´
on ϕ(x)es lineal si x∈[2kun, 2k n]po que
[2kun, 2k n] = "i−1
2l,i
2l#,
donde l=n−k∈N. Luego si 0 ≤k<n,
1
2k
ϕ(2k n)−ϕ(2kun)
n−un
=±2−l
2−l=±1,
lo que nos conduce a que
τ( n)−τ(un)
n−un
=
n−1
X
k=0
±1.
cuando n→ ∞ la se ie de la de echa no con e ge. Es o con adice la hip´
o esis de exis encia de
τ0(x). Dado que x∈Res a bi a io, hemos p obado que la unci´
on de Takagi no iene de i ada
en ning´
un pun o.
Ca e ([4]) p ob´
o incluso que la unci´
on τno iene de i ada la e al ini a en ning´
un pun o.
Teo ema 3.6. La unci´on de Takagi no iene de i ada la e al ini a en ning´un pun o.
Demos aci´on. Supongamos que po ejemplo exis ie a τ0
+(x) = `∈Rpa a alg´
un x∈R. Pa a
cada na u al nsean
un=i
2n, n=i+1
n, donde i−1
2n≤x<i
2n.
Conside emos a con inuaci´
on nysn ales que
τ(un)−τ(x) = (`+ n)(un−x),
Di e enciabilidad de la unci´on de Takagi 45
τ( n)−τ(x) = (`+sn)( n−x).
En onces,
τ( n)−τ(un) = (τ( n)−τ(x))−(τ(un)−τ(x))
= (`+sn)( n−x)−(`+ n)(un−x)
=`( n−un) + sn( n−x)− n(un−x)
=2−n`+sn( n−x)− n(un−x)
y ambi´
en
(τ( n)−τ(u))=`+2nsn( n−x)−2n n(un−x).
Dado que enemos
0<un−x<1
2n, 0 < n−x<1
2n−1,
concluimos que
|2n(τ( n)−τ(u))−`|≤| n|+2|sn|.
Se sigue que
l´
ım
n→∞ n=l´
ım
n→∞ sn=0,
po lo que
l´
ım
n→∞ 2n(τ( n)−τ(u))=`.
Pe o
2n(τ( n)−τ(u))=
∞
X
k=1
2n(ϕk( n)−ϕk(un)).
Dado que ϕkes lineal en el in e alo [un, n]si 1 ≤k<nyϕk(un) = ϕk( n) = 0 si k>n,
concluimos
2n(τ( n)−τ(u))=
n−1
X
k=1
(ϕk)0
+(un),
donde (ϕk)0
+indica la de i ada la e al a la de echa de ϕk. Pe o (ϕk)0
+=±1, as´
ı que
2n(τ( n)−τ(u))
es pa o impa dependiendo de la pa idad de n. Y es o es imposible. An´
alogamen e sucede con
la de i ada la e al a la izquie da (o ambi´
en podemos usa la elaci´
on τ(x) = τ(1−x)).
3.2.2. Segunda demos aci´
on
Como ya hemos comen ado, exis en a ias demos aciones de la no di e enciablidad de la
unci´
on de Takagi. En es a secci´
on amos a p esen a o a, siguiendo las ideas expues as en [1]
(p´
ag. 144 y siguien es).
Hemos de menciona ambi´
en que usa emos la ep esen aci´
on de la unci´
on de Takagi que
imos en p ime luga , dada en la de inici´
on (2.1),
g(x) =
∞
X
n=0
h(2nx)
2n=l´
ım
N→∞
N
X
n=0
h(2nx)
2n=l´
ım
N→∞ gN(x).
Reco demos que su g ´
a ica la podemos e en la igu a 2.7.
52 3. Con inuidad en el sen ido de H¨olde y di e enciabilidad
exis e un ´
unico j∈ {1, · · · ,k−1} al que p∈h2j, 2j+1y, po an o,
2j+n−k≤2np
2k<2j+n−k+1.
Po lo que si n≤k−j−1, en onces j+n−k+1≤0 y
0≤2np
2k<20=1.
As´
ı,
h 2np
2k!=2np
2k.
Si n≥k, se da ´
a que 2 di ide a 2np
2ky, po ende,
h 2np
2k!=0.
Aho a bien, si n≥k−j, o lo que es lo mismo, j+n−k≥0, en onces
1=20<2np
2k.
Cuando ocu e es o, si k−j≤n<k, no pod emos da el alo expl´
ıci o de h(2np
2k),
pues o que hdepende de la pa idad de p. As´
ı, si pes impa , hdesc ibe una ec a de
pendien e nega i a, mien as que si pes pa , desc ibi ´
a una ec a con pendien e posi i a.
M´
as adelan e e emos que no hace al a calcula lo. Finalmen e llegamos a que
gNp
2k=
k−j−1
X
n=0
1
2nh 2np
2k!+
k
X
n=k−j
1
2nh 2np
2k!+
N
X
n=k
1
2nh 2np
2k!
=
k−j−1
X
n=0
1
2n 2np
2k!+
k
X
n=k−j
1
2nh 2np
2k!
= (k−j)p2−k+
k
X
n=k−j
1
2nh 2np
2k!.
Aho a, haciendo N→ ∞,
gp
2k=l´
ım
N→∞ (k−j)p2−k+
k
X
n=k−j
1
2nh 2np
2k!= (k−j)p2−k+
k
X
n=k−j
1
2nh 2np
2k!.
Veamos el alo de gp
2k+xm. Si N>m, se da que
gNp
2k+xm=
N
X
n=0
1
2nh2np
2k+2−m=
N
X
n=0
1
2nh2n−kp+2n−m
=
k−j−1
X
n=0
1
2nh2n−kp+2n−m+
k
X
n=k−j
1
2nh2n−kp+2n−m
Di e enciabilidad de la unci´on de Takagi 53
+
m
X
n=k+1
1
2nh2n−kp+2n−m+
N
X
n=m+1
1
2nh2n−kp+2n−m. (3.15)
Si 0 ≤n≤k−j−1, en onces 2np
2k<1 y po la p opiedad A quimediana, exis e un
m∈N al que
2n
2m<1−2np
2k,
po lo que
2np
2k+2n
2m<1.
Luego, pa a msu icien emen e g ande,
h 2np
2k+2n
2m!=2np
2k+2n
2m.
Si k+1≤n≤m, en onces 2np
2kes m´
ul iplo de 2 y 2n
2m<1; como hes pe i´
odica, enemos
que
h 2np
2k+2n
2m!=h 2n
2m!=2n
2m.
Si m+1≤n≤N, en onces 2np
2k+2n
2mes m´
ul iplo de 2 y po ello
h 2np
2k+2n
2m!=0.
Pa a el caso que nos queda (k−j≤n≤k) no podemos da el alo expl´
ıci o de
h 2np
2k+2n
2m!, debido a que depende de py end emos una ec a, bien de pendien e po-
si i a, bien de pendien e nega i a, seg´
un el alo escogido. Aho a, si sus i uimos en la
ecuaci´
on (3.15) y hacemos N→ ∞, se iene que pa a un mlo su icien emen e g ande
gp
2k+xm=l´
ım
N→∞
k−j−1
X
n=0
1
2n 2np
2k+2n
2m!+
k
X
n=k−j
1
2nh 2np
2k+2n
2m!+
m
X
n=k+1
1
2n
2n
2m
=(k−j)p
2k+k−j
2m+
k
X
n=k−j
1
2nh 2np
2k+2n
2m!+m−k
2m.
El cocien e inc emen al pa a es udia la de i ada en es e pun o di´
adico se ´
a
gp
2k+xm−gp
2k
2np
2k+xm−2np
2k
=
(k−j)p
2k+k−j
2m+
k
X
n=k−j
1
2nh 2np
2k+2n
2m!+m−k
2m−(k−j)p2−k+
k
X
n=k−j
1
2nh 2np
2k!
1
2m
54 3. Con inuidad en el sen ido de H¨olde y di e enciabilidad
=
m−j
2m+
k
X
n=k−j
1
2n"h 2np
2k+2n
2k!−h 2np
2m!#
1
2m
. (3.16)
Pa a esc ibi es a suma de una o ma m´
as sencilla, conside a emos la siguien e pa ici´
on
[1, ∞)=
∞
[
l=1
[l,l+1).
Pa a k−j≤n≤kse iene que exis e un ´
unico l0∈N al que
2np
2k∈[l0,l0+1),
po lo que pa a un mlo su icien emen e g ande conseguimos que
2np
2k+2n
2m∈[l0,l0+1).
Si l0es pa , pa iendo de la ecuaci´
on (2.1) enemos que
h 2np
2k!=2np
2k−l.
Asimismo,
h 2np
2k+2n
2m!=2np
2k+2n
2m−l
y, po an o,
h 2np
2k+2n
2m!−h 2np
2k!=2n
2m.
En cambio, si l0es impa , pa iendo de nue o de la ecuaci´
on (2.1) enemos que
h 2np
2k!=l+1−2np
2k.
Asimismo,
h 2np
2k+2n
2m!=l+1−2np
2k−2n
2m
y, po an o,
h 2np
2k+2n
2m!−h 2np
2k!=−2n
2m.
De es a o ma, pa a cualquie a de los dos casos
h 2np
2k+2n
2m!−h 2np
2k!=εn
2n
2m,
Di e enciabilidad de la unci´on de Takagi 55
donde εn=±1. Sus i uyendo la exp esi´
on que acabamos de e en la ecuaci´
on (3.16),
llegamos a que
gp
2k+xm−gp
2k
2np
2k+xm−2np
2k
=
m−j
2m+
k
X
n=k−j
1
2nεn
2n
2m
1
2m
=m−j+
k
X
n=k−j
εn(3.17)
y omando m→ ∞, enemos que xm+p
2k→p
2k, de donde
g0p
2k=l´
ım
m→∞
m−j+
k
X
n=k−j
εn
y se deduce que g0(p
2k)no exis e.
Pa a inaliza la demos aci´
on, usa emos el lema 3.5 y p oba emos que gno es di e en-
ciable pa a n´
ume os no di´
adicos, omando un x∈[0, 1]cualquie a.
Si xno es di´
adico, ijado m≥0 el n´
ume o xes ´
a en e dos di´
adicos consecu i os, es deci ,
p
2m<x<p+1
2m.
De inamos
xm=p
2m,ym=p+1
2m.
Repi iendo es e p oceso pa a cada mpodemos cons ui dos sucesiones (xm)e(ym) ales
que
l´
ım
m→∞ xm=l´
ım
m→∞ ym=x,xm<x<ym.
Supongamos que g0(x)exis e y conside emos las sucesiones (xm)e(ym)que acabamos
de menciona . Se iene que es as sucesiones cumplen las hip´
o esis del lema 3.5, luego
l´
ım
m→∞
g(ym)−g(xm)
ym−xm
=g0(x).
An es hemos is o que pa a k>mse cumple que h2kym=h2kxm=0, as´
ı que nos
queda emos con el caso 0 ≤k≤m. Po la de inici´
on de hn, es a unci´
on es lineal en los
in e alos cuyos ex emos son n´
ume os acionales di´
adicos. Adem´
as, si ≤l, se da que
1
2l≤1
2 ⇒"p1
2l,p1+1
2l#⊆"p0
2 ,p0+1
2 #.
Luego pa a k<m
[xm,ym] = "pm
2m,pm+1
2m#⊆"j
2k,j+1
2k#
56 3. Con inuidad en el sen ido de H¨olde y di e enciabilidad
pa a cie o j∈Z. De es o ob enemos que (xm)e(ym)es ´
an sob e la misma ec a, po lo
que ienen la misma pendien e. De (2.1) se deduce que
h2kym−h(2nxm)=1
2 , si pes pa
h2kym−h(2nxm)=−1
2 , si pes impa ,
siendo =m−k. Po ende,
g(ym)−g(xm)
ym−xm
=
n
X
k=0
1
2k
h(2kyn)−h(2nxn)
yn−xn
=
n
X
k=0
±2−l
2−l=
n
X
k=0
±1.
Si hacemos n→ ∞, la se ie di e ge y de aqu´
ı concluimos que g0(x)no exis e. As´
ı, hemos
p obado que gno es di e enciable en ning´
un x∈R.
3.2.3. Te ce a demos aci´
on
Veamos po ´
ul imo la e ce a demos aci´
on, siguiendo [6].
Te ce a demos aci´on del eo ema 3.4. Comenzamos es udiando el compo amien o de τen los
n´
ume os di´
adicos de la o ma i/2k, 0 ≤i≤2k−1, pa a kconsecu i os. La unci´
on ϕse anula
en los en e os, as´
ı que
ϕ2ji
2k=0, ∀j≥k.
Po an o,
τi
2k=
k−1
X
j=0
1
2jϕ2ji
2k, (3.18)
dado que el es o de sumandos es ce o.
Aho a bien,
k>j
i<2k−j−1⇒
2ji
2k=i
2k−j∈"0, 1
2#
2ji+1
2k=i+1
2k−j∈"0, 1
2#
Si i≥2k−j−1en onces
2ji
2k, 2ji+1
2k∈"1
2, 1#.
Reco demos que ϕes lineal en cada uno de es os in e alos ( ´
ease la igu a 3.1, a la de echa
se e el caso i<2k−j−1y a la izquie da el caso i≥2k−j−1); el alo de ϕen el pun o medio de
2ji
2ky 2ji+1
2k
que es
2i+1
2k−j+1
Di e enciabilidad de la unci´on de Takagi 57
es la media de ϕen ambos, es deci ,
ϕ 2i+1
2k−j+1!=1
2 ϕ 2ji
2k!+ϕ 2j(i+1)
2k!!.
2ji
2k
2ji
2k
2ji
2k
2ji
2k
2j(i+1)
2k2j(i+1)
2k
2j(i+1)
2k
2j(i+1)
2k
Figu a 3.1: G ´
a ica de ϕ(x) = dis (x,Z)en el in e alo [2ji/2k, 2j(i+1)/2k].
Po an o, si 0 ≤i≤2k−1, enemos que usando 3.18, podemos esc ibi
τ 2i+1
2k+1!=
k
X
j=0
1
2jϕ 2j2i+1
2k+1!
=
k−1
X
j=0
1
2j·1
2 ϕ 2ji
2k!+ϕ 2j(i+1)
2k!!+1
2k+1
=1
2
k−1
X
j=0
1
2jϕ 2ji
2k!+
k−1
X
j=0
1
2jϕ 2j(i+1)
2k!
+1
2k+1
=1
2 τi
2k+τ i+1
2k!!+1
2k+1.
As´
ı que ob enemos las igualdades
τ 2i+1
2k+1!−τi
2k=1
2 τ i+1
2k+1!−τi
2k!+1
2k+1(3.19)
y
τ i+1
2k!−τ 2i+1
2k+1!=1
2 τ i+1
2k!−τi
2k!−1
2k+1. (3.20)
Dado cualquie x∈[0, 1]esc ibimos su desa ollo bina io
x=
∞
X
j=1
aj
2j
58 3. Con inuidad en el sen ido de H¨olde y di e enciabilidad
simplemen e como .a1a2..., donde cada aj∈ {0, 1}, y sus sumas pa ciales
k
X
j=1
aj
2j
como .a1a2...ak. Tambi´
en esc ibimos .a1a2. . . (ak+1)pa a deno a al n´
ume o
k
X
j=1
aj
2j+1
2k.
Si esc ibimos
x=
k
X
j=1
aj
2j+
∞
X
j=k+1
aj
2j,
obse amos que
k
X
j=1
aj
2j≤x≤
k
X
j=1
aj
2j+
∞
X
j=k+1
1
2j=
k
X
j=1
aj
2j+1
2k,
as´
ı que cualquie a que sea k, se cumple
.a1a2...ak≤x≤.a1a2. . . (ak+1).
Vamos a llega a una con adicci´
on suponiendo que τes di e enciable en x. En ese caso, el
l´
ımi e
l´
ım
k→∞
τ(.a1a2. . . (ak+1)) −τ(.a1a2...ak)
2−k
debe exis i y se τ0(x). Si de inimos po an o
k=τ(.a1a2. . . (ak+1)) −τ(.a1a2...ak)
2−k,
enemos que ( k)es una sucesi´
on con e gen e y, en pa icula , de Cauchy.
La elaci´
on en e ky k+1depende del alo de ak+1.
ak+1=0⇒
.a1a2...akak+1=.a1a2...ak
.a1a2...ak(ak+1+1) = .a1a2...ak1.
Dado que .a1a2...ak1 es el pun o medio en e .a1a2...aky .a1a2. . . (ak+1), de (3.19) dedu-
cimos que
k+1= k+1.
Po o a pa e,
ak+1=1⇒
.a1a2...akak+1=.a1a2...ak1
.a1a2...ak(ak+1+1) = .a1a2. . . (ak+1),
as´
ı que de (3.20) deducimos que
k+1= k−1.
En conclusi´
on,
| k+1− k|=1,
lo que nos indica que ( k)no puede se una sucesi´
on de Cauchy. Es o con adice la exis encia
de τ0(x)y, po an o, τno es di e enciable en x.
O den del cocien e inc emen al 59
3.3. O den del cocien e inc emen al
Que la unci´
on de Takagi no sea de i able signi ica que el cocien e
τ(x)−τ(y)
x−y(3.21)
ca ece de l´
ımi e cuando x→y. De hecho, es e cocien e ni siquie a es ´
a aco ado. Po ejemplo,
omando x=0 e y=2−Ncon Nna u al enemos que τ(0) = 0 y
τ(2−N) =
∞
X
k=0
ϕ(2k·2−N)
2k=
N−1
X
k=0
2k·2−N
2k=N2−N,
pues ϕ(x) = xen [0, 1/2]yϕ(x) = 0 en los en e os. En conclusi´
on,
τ(2−N)−τ(0)
2−N−0
=N,
lo que p ueba que el cocien e (3.21) no es ´
a aco ado cuando y→x.
No obs an e, podemos e que la elaci´
on en e el denominado , 2−N, y el cocien e, N, es
loga ´
ı mica pues |log 2−N|=Nlog 2. Es o es de hecho “lo peo ” que puede sucede pa a los
cocien es, a la is a del siguien e esul ado.
Teo ema 3.7. Exis e una cons an e A >0 al que pa a odos x,y∈[0, 1]con x ,y es
τ(x)−τ(y)
x−y
≤Alog 1
|x−y|!.
Demos aci´on. Dados x,y∈[0, 1]con x,y, sea Nel n´
ume o na u al al que
2−N≤ |x−y|<2−N+1.
En onces,
|τ(x)−τ(y)|=
∞
X
k=0
ϕ(2kx)−ϕ(2ky)
2k
≤
N
X
k=0
|ϕ(2kx)−ϕ(2ky)|
2k+
N
X
k=N+1
|ϕ(2kx)−ϕ(2ky)|
2k
y de las es imaciones
|ϕ(2kx)−ϕ(2ky)| ≤
2k|x−y|,k≤N,
1, k>N,
deducimos que
|τ(x)−τ(y)| ≤
N
X
k=0
2k|x−y|
2k+
∞
X
k=N+1
1
2k
= (N+1)|x−y|+1
2N≤(N+2)|x−y|,
60 3. Con inuidad en el sen ido de H¨olde y di e enciabilidad
donde hemos usado que 2−N≤ |x−y|. Como ambi´
en es |x−y|<2−N+1, se iene que 2N|x−y|<
2 y, en conclusi´
on,
Nlog 2 +log |x−y|<log 2.
En onces,
N+2<3+1
log 2 log 1
|x−y|!≤Alog 1
|x−y|!,
pa a una cons an e ap opiada A. As´
ı que
|τ(x)−τ(y)| ≤ Alog 1
|x−y|!|x−y|.
CAP´
ITULO 4
El eo ema de Banach-Mazu kiewicz
Vamos a e mina es e abajo iendo en es e cap´
ı ulo que la unci´
on de Takagi pe ene-
ce a un conjun o “g ande” en el espacio de las unciones con inuas en el in e alo [0, 1], que
ep esen amos po C([0, 1]).
4.1. El eo ema de Bai e
El eo ema de las ca ego ´
ıas de Bai e u o su o igen en 1897, cuando Osgood p ob´
o que la
in e secci´
on de una sucesi´
on de subconjun os abie os densos de Res densa en R. Dos a˜
nos
despu´
es, Bai e se pe ca ´
o de que el mismo esul ado segu´
ıa cumpli´
endose pa a Rny se si i´
o de
es e hecho en su es udio de las unciones que se ob ienen como l´
ımi es pun uales de sucesiones
de unciones con inuas (llamadas unciones de la p ime a clase de Bai e). En 1914, Hausdo
ex endi´
o el esul ado a los espacios comple amen e me izables y un poco m´
as a de, Banach
ad i i´
o que el mencionado esul ado de Osgood y Bai e no s´
olo e a cie o en Rnsino ambi´
en,
con la misma demos aci´
on de Bai e, en cualquie espacio m´
e ico comple o y en cualquie
espacio opol´
ogico de Hausdo localmen e compac o, dando de es e modo la o ma de ini i a a
lo que conocemos hoy d´
ıa como el eo ema de ca ego ´
ıa de Bai e pa a ambas clases de espacios.
En an´
alisis, la alidez de muchos eo emas impo an es depende de la comple i ud de los
sis emas que in e ienen. Es o explica la insu iciencia del sis ema de los n´
ume os acionales y
de la in eg al de Riemann (po menciona s´
olo dos de los ejemplos m´
as conocidos) y el ´
exi o
log ado po sus sus i u os, el sis ema de los n´
ume os eales y la in eg al de Lebesgue. El eo ema
de las ca ego ´
ıas de Bai e en espacios m´
e icos comple os es la he amien a b´
asica en es e ´
a ea.
Pa a p oba el esul ado undamen al de es e cap´
ı ulo necesi amos el eo ema de las ca e-
go ´
ıas de Bai e. Comenzamos con la siguien e de inici´
on.
De inici´
on 4.1. Sea X un espacio m´e ico y A ⊂X.
Se dice que A es a o (o denso en ninguna pa e) en X si su cie e, A, iene in e io ac´ıo.
Se dice que A es de p ime a ca ego ´ıa (o mag o) en X si es uni´on nume able de conjun os
a os en X.
Se dice que A es de segunda ca ego ´ıa en X si no es de p ime a ca ego ´ıa.
Se dice que A es esidual si su complemen o es de segunda ca ego ´ıa en X.
El eo ema de las ca ego ´
ıas de Bai e es el siguien e.
Teo ema 4.2 (Bai e).Sea X un espacio m´e ico comple o, X ,∅. En onces X es de segunda
ca ego ´ıa. Po an o, si
X=
∞
[
k=1
Ak,Akconjun os ce ados,
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