Estudio comparativo de potenciales interatómicos para el sistema Fe-He
Abstract
El estudio de las interacciones a nivel atómico del hierro y el helio en forma de potenciales y fuerzas se realiza como antesala de aplicaciones de difusión de dinámica molecular con el objetivo de aumentar el alcance y magnitud de los modelos. A través de este estudio, se reproducirá el impacto del Helio resultante de la reacción de fusión nuclear del deuterio y tritio, sobre los átomos de hierro que conforman la microestructura de las paredes de acero del reactor. Se estudiarán modelos de diferentes autores con el objetivo de obtener los potenciales atómicos basados en el Método del Átomo Embebido.
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Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Proyecto Fin de Máster Ingeniería Industrial Estudio comparativo de potenciales interatómicos para el sistema Fe-He. Autor: Guillermo Hidalgo González Tutor: María del Pilar Ariza Moreno Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021
Proyecto Fin de Máster Ingeniería Industrial Estudio comparativo de potenciales interatómicos para el sistema Fe-He. Autor: Guillermo Hidalgo González Tutor: María del Pilar Ariza Moreno Catedrático de Universidad Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021
Proyecto Fin de Máster: Estudio comparativo de potenciales interatómicos para el sistema Fe-He. Autor: Guillermo Hidalgo González Tutor: María del Pilar Ariza Moreno El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha:
Agradecimientos Tras un largo camino recorrido, este trabajo pone fin a la etapa de formación académica como ingeniero industrial en aras de dedicar los próximos años a la investigación. Con esto presente, debo agradecer en primer lugar a mi tutora, María del Pilar que ha compartido sus profundos conocimientos y experiencia, aportándome indicaciones y herramientas con premura y claridad. Gracias a su ayuda me ha sido posible guiarme a través de este mundo de la investigación, algo que ha pasado a convertirse en una de mis prioridades a futuro personal. También me gustaría dedicar unas palabras a todos los profesores tanto del Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales, así como del Máster universitario de Ingeniería Industrial de la universidad de Sevilla, cuyas enseñanzas a través de estos años me han aportado un gran abanico de recursos y lecciones. A mis compañeros de carrera, que además de amistad y trabajo en equipo me han aportado esos descansos y experiencias gracias a los cuales se obtiene la energía suficiente para seguir. Y quisiera finalizar este apartado, dando las gracias a mi padre, mi madre y mi hermana, cuyo apoyo durante estos años han sido esenciales para llegar a donde estoy. Guillermo Hidalgo González Ingeniero Industrial Sevilla, 2021 I
Resumen El estudio de las interacciones a nivel atómico del hierro y el helio en forma de potenciales y fuerzas se realiza como antesala de aplicaciones de difusión de dinámica molecular con el objetivo de aumentar el alcance y magnitud de los modelos. A través de este estudio, se reproducirá el impacto del Helio resultante de la reacción de fusión nuclear del deuterio y tritio, sobre los átomos de hierro que conforman la microestructura de las paredes de acero del reactor. Se estudiarán modelos de diferentes autores con el objetivo de obtener los potenciales atómicos basados en el Método del Átomo Embebido. III
2Capítulo 1. Introducción La tecnología de fisión nuclear se encuentra hoy día más desarrollada, donde la mayoría de las centrales nucleares operativas están basadas en esta tecnología. Durante el proceso de fisión de núcleos pesados se liberan unas grandes cantidades de energía, a través de un proceso exotérmico que libera radiación gamma y energía cinética de los átomos y elementos que participan. Aún con la gran cantidad de energía que se genera con esta tecnología, el principal problema son los residuos radiactivos productos de la reacción. El tratamiento y almacenaje de estos residuos cuestan grandes cantidades de dinero ya que se deben guardar en contenedores de hormigón bajo tierra en cementerios nucleares durante mucho tiempo. Además son muy peligrosos para cualquier forma de vida que se exponga a ellos sin protección. Dicha problemática sin embargo, no existe en la tecnología de fusión nuclear. Este proceso es el contrario a la fisión, que consiste en unir dos átomos ligeros para que formen un átomo más pesado. En la Figura (1.2) se muestra un esquema de la reacciones atómicas de fisión y fusión. El combustible empleado en la reacción de fusión es el Hidrógeno, un recurso natural abundante y que no entraña peligro. El resultado de la reacción de fisión es un átomo de Helio, un neutrón y mucha energía, eliminando así la producción de residuos peligrosos. Figura 1.2 Esquemas atómicos de las reacciones de fisión y fusión. Actualmente el desarrollo de la energía de fusión se encuentra en estado experimental, debido a las condiciones de operación a grandes temperaturas y presiones debido a las cuales se debe evaluar la resistencia del reactor que las contiene y donde se producen estas reacciones. En general estos reactores están construidos con acero, formado por aleaciones de Hierro y Carbono (2%), además de otros materiales como silicio, fósforo, azufre y oxígeno, o Cromo para constituir acero inoxidable. Como cada año, muchas centrales de fisión nucleares se están cerrando debido al fin de su vida útil, así como a la falta de rentabilidad, se está invirtiendo cada vez más recursos en el desarrollo de las tecnologías de fisión. En la Tabla (1.1) se muestran algunas de las principales características de ambas tecnologías nucleares. Tabla 1.1 Comparación entre la tecnología de fisión y fusión nuclear. Tecnología nuclear Fisión Fusión Estado de la tecnología Primera central desde 1951 Experimental, ITER Potencia generación 1.500 [MW] 500 [MW] Residuos generados No gases dañinos, pero si residuos radiactivos (30 años) Átomo de Helio, no residuos radiactivos Inversión por central 15.000 - 13.000 [M€] 18.000 [M€] En conclusión, para estudiar los reactores hay que evaluar el impacto del producto de la fusión nuclear, el Helio (He), con el material del que está constituido el reactor, que se reducirá a Hierro (Fe) para los primeros estudios. Se recurrirá a los modelos de dinámica molecular.
1.1 Hierro 3 1.1 Hierro El hierro, mostrado en la Figura (1.3) es un elemento químico, denotado por el símbolo Fe, que posee un número atómico de 26 y un peso atómico de 55,847 [g/mol] . Ocupa el 5% de la corteza terrestre del planeta, siendo así el cuarto elemento más abundante en el planeta [26]. Figura 1.3 Mineral de Hierro. Se encuentra presente en muchos minerales, siendo algunos de ellos: •Hematita, Fe2O3. •Limonita, Fe2O33H2O. •Pirita, FeS2. •Cromita, Fe(CrO2)2. •Además de en la hemoglobina roja de la sangre. En la historia del ser humano el hierro tiene un peso muy importante. Existen indicios de que aproximadamente 4 milenios antes de Cristo, el hierro era empleado por las civilizaciones sumeria y egipcia, con carácter ceremonial, debido a la dificultad de su procesamiento a altas temperaturas [ 15 ]. Sus principales características físicas y químicas se muestran en la Tabla (1.2) Tabla 1.2 Propiedades del Hierro. Propiedad Valor Unidades Número atómico 26 [−] Masa atómica 55.847 [g/mol] Radio atómico 1.26 [˙ A] Electronegatividad 1.8[−] Configuración electrónica [Ar]3d64s2[−] Densidad 7.86 [g/mol] Más tarde, con su expansión a Oriente Medio y Europa Central, debido a sus altas propiedades de dureza, maleabilidad y alta densidad, se comenzaron a diseñar herramientas y armas de hierro. Esto supuso el reemplazo del bronce por el hierro.
4Capítulo 1. Introducción Siglos más tarde, durante la Revolución Industrial, el hierro adquirió un carácter fundamental. En los siglos XVIII-XIX se cambió el combustible de los hornos del carbón vegetal al coque, con mayor poder calorífico, que permitió producir de forma masiva hierro colado, más elástico y fuerte que el forjado. A finales del siglo XIX se comenzó a tratar el acero, una aleación de Hierro y Cromo, como elemento estructural de puentes, o edificios. Estos materiales fueron claves en la costrucción de estructuras como los puentes colgantes, o algunas construcciones de renombre hechas enteramente con hierro tales como la Torre Eiffel, en París o el Palacio de Cristal, en Londres. En la industria, el uso del hierro colado y el acero permitió el desarrollo de buques y trenes de vapor, así como las vías de los trenes o el progreso de la maquinaria textil. Y más tarde, durante la Primera Guerra Mundial, en el siglo XX se avanzó en la siderúrgica notablemente con el acero inoxidable, y el horno de arco eléctrico, que alcanza temperaturas de 1.800 ◦Ca bajo coste. 1.2 Helio El Helio es un gas noble que se encuentra en la atmósfera terrestre el cual posee una densidad menor que la del aire. El número atómico del Helio es 2 y es denotado por el símbolo He. Su peso atómico es de 4,0026 [g/mol] y a diferencia del Hidrógeno, al tener el nivel de energía completo se recoge en el grupo 18 de la tabla periódica. Su estructura electrónica está compuesta por dos electrones, dos neutrones y dos protones como se muestra en la Figura (1.4). Figura 1.4 Estructura de un átomo de Helio. Es el segundo elemento conocido más ligero y el segundo elemento más abundante en el universo, al constituir el 25 % de la masa de cuerpos presentes en la galaxia, principalmente en estrellas, como el sol, o planetas gaseosos, como Júpiter [ 25 ] [ 11 ]. Las propiedades físicas y químicas del Helio vienen enumeradas en la Tabla (1.3). Tabla 1.3 Propiedades del helio. Propiedad Valor Unidades Número atómico 2[−] Masa atómica 4.0026 [g/mol] Radio atómico −[˙ A] Electronegatividad −[−] Configuración electrónica 1s2[−] Densidad 0.126 [g/mol]
1.3 Reactores de fusión DT 5 Se trata de un gas inerte, lo que implica que no es: 1. Tóxico. 2. Corrosivo. 3. Inflamable. 4. Comburente. En la aplicación de la mecánica cuántica, el Helio es el átomo más fácil de analizar tras el hidrógeno, al estar constituido por dos electrones en órbita de un núcleo con dos protones, y dependiendo del isotopo que se trate, uno o dos neutrones. Para obtener los niveles de energía del átomo del Helio se empleará la teoría funcional de la densidad, junto con el método de Hartree-Fock. 1.3 Reactores de fusión DT La tecnología de los reactores de fusión se encuentra en la actualidad en estado de investigación, con proyectos como el ITER de Europa. Éste se basa la reacción de fusión DT, la más eficiente conocida hasta ahora en términos de energía liberada. La reacción de fusión DT genera energía a razón de 450:1 con respecto a la energía aportada por el combustible [9]. Las siglas DT indican los componentes de la reacción de fusión, los isótopos del Hidrógeno Deuterio y Tritio. Se presentan a continuación descripción de los tres isótopos posibles del Hidrógeno. • Protio. Configuración del Hidrógeno sin formar moléculas de H2 . Compuesto por un protón y un electrón. • Deuterio, D . Isótopo estable del Hidrógeno, también llamado "Hidrógeno pesado" o Hidrógeno - 2. Se trata de un hidrógeno natural H–con un neutrón adicional. • Tritio, T . Isótopo radiactivo del Hidrógeno, también llamado Hidrógeno - 3. Se trata de un hidrógeno natural H–con dos neutrones adicionales. Atendiendo a esta descripción, se muestran las configuraciones electrónicas de los átomos que configuran los isótopos del hidrógeno. 1.3.1 Obtención Deuterio - Tritio El proceso de fusión nuclear más eficiente es la del Deuterio - Tritio. Esto es debido a que el combustible que emplea la reacción son los isótopos del Hidrógeno el cual constituye cerca del 75 % de la materia del universo. Las configuraciones de los isótopos del Helio se muestran en la Figura (1.5). (a) (b) (c) Figura 1.5 Estructura de los átomos de Hidrógeno o Protio, H– (1.5a) y sus isótopos Deuterio, H (1.5b) y Tritio, H+(1.5c). Aun estando presente en grandes cantidades en la naturaleza, el Hidrógeno se encuentra combinado con otros elementos como el Oxígeno formando agua H2O . Para obtener Hidrógeno como tal en moléculas H2 , puesto que no se puede tomar directamente de la naturaleza, hay que "fabricarlo", constituyendo un combustible o vector energético.
6Capítulo 1. Introducción Los procesos para obtener Hidrógeno pasan por emplear una fuente de energía, que puede ser totalmente renovable, nuclear o por combustibles fósiles [24]. La obtención de estos isótopos se realiza mediante: •Termólisis, a partir de agua H2O se obtiene Hidrógeno y Oxígeno mediante energía térmica. •Electrólisis , a partir de agua H2O se obtiene Hidrógeno y Oxígeno mediante energía eléctrica. • Reformado y gasificación, por reacciones químicas convierten combustibles orgánicos y fósiles en Hidrógeno. Requiere de almacenamiento de CO2. El deuterio se obtiene mediante el proceso de electrólisis del agua pesada. También denominada Óxido de Deuterio, el agua pesada posee una composición similar al agua normal, pero donde los dos átomos de protio que constituyen el agua H2O son sustituidos por dos átomos de deuterio D2O p 2H2O. El agua pesada adquiere este nombre, debido a su densidad, mayor que la del agua normal. •Agua pesada, densidad ρ=1,1[kg/l]. •Agua normal, densidad ρ=0,997[kg/l]. En la naturaleza es posible encontrar agua pesada bajo una proporción de 1,5 litros de agua pesada por cada 10.000 litros de agua normal. Por ello, para trabajar en la industria se obtiene mediante el proceso de "Intercambio Isotópico Monotérmico Amoníaco-Hidrógeno", donde se ponen en contacto el Amoníaco en fase líquida y el hidrógeno en fase gaseosa, donde el producto de deuterio se genera en fase preferencialmente líquida. El agua pesada no es radiactiva. Su principal aplicación ha sido en los procesos de fisión nuclear, donde en los reactores actúa como moderador de neutrones. Absorbe y frena los neutrones de forma que facilite la reacción del uranio-235 (isótopo fisible), reduciendo los tiempos de producción de los materiales radiactivos. La obtención del isótopo Tritio es más compleja como se desarrolla en [ 8 ], ya que de forma natural se encuentra en una proporción de 1 átomo de tritio por cada 1017 átomos de hidrógeno, formado en reacciones nucleares producidas por rayos cósmicos en la atmósfera superior. Su escasa presencia se debe a su vida media de tan solo 12,3 años. Para su producción industrial hay que bombardear Litio con neutrones de baja energía en reactores de fisión, cuya reacción química se expresa en la reacción (1.1) De esta reacción se produce Helio, Tritio y radiación gamma, 6 3Li +1 0n→4 2He +3 1H(tritio)+ γ.(1.1) El tritio emite radiación β de baja energía 0,018[MeV ] , que no presenta apenas radiotoxicidad. Por la baja energía de descomposición del tritio, se pueden detener los electrones emitidos por barreras simples. Sin embargo, supone un peligro de radiación al inhalarse, o siendo absorbido con alimentos y a través de la piel. 1.3.2 Fusión nuclear Deuterio - Tritio El proceso de fusión nuclear a través de los isótopos del hidrógeno, el deuterio y tritio queda recopilado en la reacción (1.2), donde el producto resultante es un átomo de Helio y un neutrón libre. Este proceso se ha representado en la Figura (1.6), donde el orden de la energía resultante se presenta en la Tabla (1.4). 2 1H(deuterio)+3 1H(tritio)→4 2He +1 0n.(1.2) Tabla 1.4 Orden de energías resultantes de los productos de la fusión. Producto de la fusión DT Energía Helio 3.5 [MeV] Neutrón 14.1 [MeV]
1.3 Reactores de fusión DT 7 Figura 1.6 Gráfico de la reacción de fusión DT con las estructuras atómicas de los productos y reactivos. 1.3.3 Impacto del Helio en las paredes del Reactor DT Los materiales del reactor son irradiados por neutrones con alta energía, acompañados de un aumento en la producción de átomos de impurezas, debido a las reacciones de transmutación nuclear en la Fusión, como se desarrolla en [23]. El Helio (gas inerte) adquiere un gran interés para su estudio, debido a la influencia que tiene el helio en la evolución de la microestructura de los materiales irradiados. Un ejemplo práctico es la primera pared estructural, en un reactor de fusión DT, más cercano al plasma. Esta primera pared está expuesta a un espectro de neutrones, el cual conduce a velocidades de desplazamiento atómico entre 10−7−10−6 desplazamientos por átomo [dpa]por segundo. La relación entre el Helio transmutante y la producción de desplazamiento, la relación He/dpa, se obtiene del orden de 10 −20 appm He/dpa, donde: •dpt, "displacements per atom". •appm, "atomics parts per million". Los factores que impulsan la evolución dependiente del tiempo de la microestructura son los flujos de defectos puntuales inducidos por radiación, que vienen determinados por: •dpa/s, "displacement rate". Tasa de desplazamiento. Indica el ratio de daño. • appm He/pda, "the rate of recombination". Tasa de generación del Helio. Indica los cambios considerables en la microestructura debidas al Helio. •Estructura de sumidero, "the sink structure", en inglés. En los metales irradiados por reacción DT, se producen los siguientes defectos en la microestructura: •Cavidad, "cavity". •Burbuja, "bubble". •Vacante o hueco, "void". El término de cavidad se refiere a cualquier inclusión hueca, "hollow" en el material. El término burbuja se emplea para denotar una cavidad estabilizada por la presión del gas interna, cuya presión cumple la ecuación (1.3), P≈2∗γ r.(1.3) El término vacante se emplea para las cavidades que no se encuentran estabilizadas cuya presión cumple la ecuación (1.4), P<< 2∗γ r.(1.4) De los parámetros de estas ecuaciones, P es la presión interna del gas, γ es la energía libre de superficie, y res el radio de la cavidad evaluada.
8Capítulo 1. Introducción Se produce la nucleación de burbujas del gas, el cual es un proceso lento, donde se acumulan átomos de Helio y huecos (vacantes). Este proceso se rige por la ecuación (1.5), la cual describe el aumento del radio crítico, hasta que la burbuja se convierte en vacío, el cual crece a mayor velocidad absorbiendo vacantes. r∗ c=f(ln(φ))∗γ∗Ω k∗T∗ln(φ)(1.5) Donde el radio crítico viene determinado por φ la sobresaturación de vacantes efectiva, T la temperatura de irradiación, γ es la energía libre de superficie y Ω el volumen atómico. Derivando el radio crítico se obtiene la expresión que determina el número crítico de átomos de gas , n∗ g , correspondientes al radio crítico. Cuando falta un átomo de la estructura principal, por ejemplo, un átomo de hierro (Fe) de la red {BCC} , se crea un hueco individual en la celda. Si en la estructura hay varios defectos de este tipo, donde la estructura está formada por numerosas celdas de material, la estructura se reorganiza y como ya no es perfecta, generará cavidades de distinto tamaño y localización. Las cavidades son los resultados de la recombinación de una supercelda ante un número de defectos de la red perfecta, que pasa a ser imperfecta. En la cavidad habrá átomos de gas (Helio) y espacio sin ocupar (huecos), donde si se alcanza un determinado nivel de gas (aumentando la presión) se considerará una burbuja. 1.4 Objetivos del estudio de los potenciales del hierro y helio Se ha presentado el principal interés de estudio del potencial interatómico del sistema de Helio y Hierro como la evaluación del desgaste producido en las centrales DT de fusión, debido a los defectos puntuales causados por el Helio resultante de la reacción en el reactor formado por acero, el cual es una aleación constituida principalmente por Hierro. Debido a lo cual, en este Trabajo Final de Máster se va a estudiar la relación interatómica entre el hierro (Fe), en estructura bcc, con un átomo de Helio (He) gaseoso, mediante el método del átomo embebido. Se procede a plantear un sistema en condiciones periódicas con el que ajustar y operar las funciones recopiladas del potencial interatómico de distintos artículos, para posteriormente proceder a comparar sus resultados. •Para el Hierro: –Finnis y Sinclair. –Extended Finnis y Sinclair. –Ackland y Bacon. –Ackland y Mendelev •Para el Helio: –Aziz et al. ∗HFDEH2 ∗HFD-B ∗HFD-B2 ∗HFD-B3 •Para la interacción He-Fe. –Potencial de cohesión, Gao et al. – Potencial de repulsión de 2 cuerpos He- Fe. – Potencial de repulsión de 3 cuerpos He- Fe-Fe. Finalmente, se calcularán la energía de formación para distintos defectos de la red perfecta: •Helio sustitutivo. •Helio ocupando un intersticio octaédrico. •Helio ocupando un intersticio tetraédrico.
2 Sistema cristalino del Hierro Fe En este apartado se procede a describir y presentar las estructuras atómicas del sistema de Hierro y Helio, a través de las cuales se van a ajustar las fórmulas de los potenciales y fuerzas entre He-Fe. Se profundizará en las condiciones de contorno que afectan a estas estructuras Para aplicar los modelos matemáticos del cálculo de potenciales interatómicos, hay que desarrollar un sistema donde se encuentren recogidas las posiciones de los átomos de Hierro y Helio. Se presentan las microestructuras cristalinas con las que se va a trabajar los diferentes artículos propuestos. A lo largo del capítulo se va a analizar con detalle la composición de la celda computacional del Hierro, puesto que será la base estructural del sistema, cómo están distribuidos los átomos de Hierro y su distribución en el espacio. Además, puesto que se va a trabajar con el método del átomo embebido desarrollado con el sistema, se ha diseñado y posteriormente analizado una celda computacional bajo condiciones de contorno periódicas, desarrollada a partir de la celda básica del Hierro BCC. 2.1 Celda unidad del Hierro El hierro en estado atómico forma sistemas de redes cristalinas que se construye partiendo de la repetición en el espacio de la estructura elemental paralelepipédica denominada la celda unidad del cristal que conforma la unidad básica del sistema. Existen 7 sistemas cristalinos, que conforman diferentes poliedros los cuales son capaces de completar un espacio tridimensional a partir de la repetición de las celdas básicas. Los sistemas cristalinos están definidos por los parámetros reticulares que son las constantes de red (las longitudes de los lados o ejes del paralelepípedo) y ángulos interaxiales. Sean los distintos sistemas cristalinos, cúbico, hexagonal, tetragonal, trigonal, rómbico, monoclínico y triclínico. •Cúbico. –Simple, cs. –Centrada en cuerpo o centro, cccu. –Centrada en las caras. •Hexagonal, h. •Tetragonal. –Simple, ts. –Centrada en el cuerpo. •Trigonal, tri. •Rómbico, u ortorrómbica. –Simple. –Centrada en el cuerpo. –Centrada en las bases. –Centrada en las caras. •Monoclínico. –Simple. –Centrada en las bases. •Triclínico. 9
10 Capítulo 2. Sistema cristalino del Hierro Fe En 1848 Auguste Bravais, físico francés, descubrió que sólo hay 14 redes únicas en los sistemas cristalinos tridimensionales, a partir de las cuales se pueden obtener el resto. Todas estas combinaciones son denominadas redes de Bravais, como se muestra en la Figura (2.1). Para que las estructuras cristalinas sean determinadas completamentes, se debe establecer las posiciones en la celda de los átomos o moléculas del sistema cristalino, denominados los puntos reticulares: •P, celda simple o primitiva, donde los puntos reticulares ocupan los vértices del paralelepípedo. • F, celda centrada en las caras, donde los puntos reticulares ocupan el centro de las caras y los vértices del paralelepípedo. Dependiendo de las caras que contienen dos puntos reticulares, se emplean las letras A, B y C. • I, celda centrada en el cuerpo, donde los puntos reticulares ocupan el centro de la celda y los vértices del paralelepípedo. • R, celda hexagonal doblemente centrada en el cuerpo y los vértices. También puede ser una celda primitiva con ejes y ángulos iguales. Figura 2.1 Redes de Bravais [16]. De entre estas redes de Bravais se encuentra la estructura atómica del Hierro del sistema a analizar, siendo esta la celda cúbica centrada en cuerpo o interior. 2.1.1 Estructura cristalina del Hierro La estructura cristalina del hierro del modelo a estudiar corresponde a la cúbica centrada en el centro, o "body center cubic, {BCC} ", en inglés, donde en el trabajo a partir de este momento se va a referir con estas siglas. Como se muestra en la Figura (2.2), los átomos de Hierro están distribuidos por el espacio de la celda básica ocupando los vértices del paralelepípedo, además de un átomo ocupando la posición central del cubo. Se representan los átomos como esferas sólidas con dos configuraciones, ambas equivalentes. •Apilamiento real en la red, Figura (2.2a). •Composición geométrica, Figura (2.2b). Se trabaja con la composición geométrica para una visualización con más detalle.
2.1 Celda unidad del Hierro 11 (a) (b) Figura 2.2 Modelos de redes cristalinas del hierro {BCC}en perspectiva real (2.2a) y geométrica (2.2b). 2.1.2 Huecos intersticiales A continuación, hay que localizar las posiciones que pueden tomar los átomos de Helio en la red cristalina del Hierro. Estas posiciones, son denominadas huecos o intersticios y constituyen los espacios libres de la celda. Hay dos tipos de intersticios mostrados en la Figura (2.3), el intersticio octaédrico de la Figura (2.3a), donde el átomo intersticial está rodeado de 8 átomos de la estructura principal de la celda cristalina, el Hierro en este caso. En la Figura (2.3b) se presentan diferentes espacios intersticiales tetraédricos, donde el átomo de Helio se encuentra rodeado por 4 átomos de Hierro. (a) (b) Figura 2.3 Espacios intersticiales octaédricos (2.3a) y tetraédricos (2.3b) de la estructura cristalina Cúbica Centrada en el centro [18]. Mediante el programa de visualización gráfica Ovito se construyen los sistemas de redes cristalinas que se quieren analizar, donde en la Figura (2.4), se muestran todas las posiciones intersticiales que pueden ocupar los átomos de Helio en la celda unidad de Hierro {BCC}. Como se puede observar en la Figura (2.4a), existen un total de 18 intersticios octaédricos en la celda unidad de Hierro, donde el Helio puede ocupar una posición de arista de la celda básica, sumando un total de 12 posiciones, además de las 6 posiciones del centro de cada cara de la celda. En la Figura (2.4b) se representan el total de posiciones tetraédricas, donde existen un total de 24 posiciones tetraédricas, 4 en cada cara de la celda. Se define el parámetro o constante de red del sistema, como a , que representa la dimensión de la celda. Si se trabaja en 3 dimensiones, con los ejes cartesianos {x,y,z} el parámetro de red queda definido por tres constantes {a,b,c}donde además si la estructura es cúbica se cumplirá que coinciden los tres parámetros: a=b=c(2.1)
18 Capítulo 2. Sistema cristalino del Hierro Fe Figura 2.14 Sistema proyectado de 1D con posiciones duplicadas. Esto a la hora de la programación se traduce en que el sistema tiene dos átomos diferentes en la misma posición, por lo que los cálculos sobre este sistema que dependan de condiciones periódicas, como los potenciales interatómicos son erróneos. La solución a este problema se presenta en la Figura (2.15) es tomar una posición dentro de la celda computacional donde no haya ningún átomo. Se trata de definir un espacio vacío donde al proyectar la celda se ocupe por uno de los átomos proyectados. Figura 2.15 Sistema periódico de 1D. ¿Qué ocurre en este caso al proyectar la celda computacional? La Figura (2.16) muestra como en este caso como en la posición 4 de la celda computacional hay un hueco, al proyectar la celda el átomo de la posición 1 ocupa dicho hueco, generando a su vez otra posición hueca para otras proyecciones. Figura 2.16 Sistema proyectado de 1D sin posiciones duplicadas. Estos ejemplos se han supuesto para un tipo de átomo, por lo cual, si el sistema está compuesto de más de una especie, hay que tener en cuenta la posición de cada átomo. Por ejemplo, para un sistema periódico donde haya un átomo de la especie azul entre dos átomos de la especie naranja, hay que dejar un hueco en la posición 5 como se muestra en la Figura (2.17). Figura 2.17 Celda computacional periódica de 1D con dos especies de átomos. Proyectando, se observa en la Figura (2.18) como ahora cada átomo de la especie triangular (azul) se encuentra rodeada por dos átomos de la especie naranja o verde (celda computacional o proyectada). Figura 2.18 Sistema proyectado de 1D de dos especies de átomos.
2.2 Celda computacional bajo condiciones de contorno periódicas 19 Analizado las condiciones periódicas en una dimensión, se analiza en la Figura (2.19) un sistema bajo condiciones de contorno periódicas en dos dimensiones compuesto por dos especies distintas de átomos. Puesto es un sistema en más de una dimensión, el conjunto de átomos de la celda computacional debe poder proyectarse en las direcciones, en este caso del plano. Figura 2.19 Celda computacional periódica de 2D con dos especies de átomos. Se procede a proyectar en los ejes horizontal y vertical la celda computacional cuyo resultado se muestra en la Figura (2.20). La celda computacional se ha ampliado en estos casos en el sentido positivo de unos ejes cartesianos que siguen el plano donde se alojan los átomos. ¿Son esas las únicas proyecciones posibles de este sistema? Figura 2.20 Sistema proyectado de 2D de dos especies de átomos.
20 Capítulo 2. Sistema cristalino del Hierro Fe En el sistema de 2 dimensiones hay un total de 8 proyecciones básicas alrededor de la celda computacional, formadas bajo la combinación de valores de los dos ejes principales. En la Figura (2.21) se muestran las primeras proyecciones, representadas con color verde y segundas proyecciones de color azul de la celda computacional en el plano, y en la Tabla (2.2) se muestran las coordenadas de las primeras proyecciones con respecto de los ejes del plano. Es necesario tener estos conceptos claros, ya que al pasar al sistema real de 3 dimensiones, será más difícil visualizar los conjuntos de átomos. Figura 2.21 Conjunto de primeras y segundas proyecciones de una celda computacional bajo condiciones de contorno periódicas en 2D. Tabla 2.2 Coordenadas de las primeras proyecciones de la celda computacional en 2 dimensiones. Celda proyectada Coordenadas (x,y) 1 (0, 1) 2 (1, 1) 3 (1, 0) 4 (-1, 1) 5 (-1, 0) 6 (-1, -1) 7 (0, -1) 8 (1, -1) Una vez analizadas estas condiciones, se diseña la celda computacional del hierro que cumpla las condiciones periódicas. Gracias al programa OVITO se permite visualizar la celda básica diseñada, la cual se procede a describir concretando tanto su diseño como sus características. La celda computacional diseñada para las condiciones periódicas de este proyecto se representa en la Figura (2.22) se representa la celda completa. •La celda básica de hierro {BCC}. •Los átomos extra (de hierro) necesarios para la celda periódica.
2.2 Celda computacional bajo condiciones de contorno periódicas 21 (a) (b) (c) (d) Figura 2.22 Celda computacional de Hierro {BCC} periódica (2.22a) y proyecciones en ejes (x, y) (2.22b), en ejes (x, z) (2.22c) y en ejes (y, z) (2.22d). Para una mejor visualización de la celda computacional, se han mantenido los colores de la celda {BCC} incluida, y se han resaltado los átomos adicionales en la Figura (2.23), (a) (b) (c) (d) Figura 2.23 Átomos extra de celda computacional Hierro {BCC} periódica (2.23a) y proyecciones en ejes (x, y) (2.23b), en ejes (x, z) (2.23c) y en ejes (y, z) (2.23d).
22 Capítulo 2. Sistema cristalino del Hierro Fe La celda computacional se diseña con un parámetro de red equivalente al doble de la celda {BCC} del hierro, l=2∗a . Como muestra en la Figura (2.22) se toma el origen de coordenadas en uno de los vértices de la celda computacional, construyéndose la celda cúbica centrada en el centro a partir de ese punto, donde estos átomos se han representado de un color naranja. Para completar la celda computacional, a los 9 átomos que conforman la celda {BCC}en 1/4 del espacio total, hay que añadir un total de 7 átomos adicionales. Estos átomos se encuentran representados de un color amarillo, aunque no varían de tipo respecto a los naranjas, ocupan las posiciones del átomo central de la configuración {BCC}en los 8 cuadrantes formados en la celda computacional. Son 7 átomos extra y no 8, ya que una posición se encuentra ocupada por el átomo central de la celda {BCC}, por lo que ya se encuentra en la configuración. Figura 2.24 Conjunto de primeras proyecciones de la celda computacional en 3 dimensiones. Finalmente, para comprobar la funcionalidad y el cumplimiento de las condiciones periódicas de la celda computacional que se ha generado, se procede a replicar el esquema de la Figura (2.20) en tres dimensiones, reduciendo el sistema a las primeras proyecciones. Puesto que el sistema es ahora de 3 dimensiones, a diferencia del sistema de 2 dimensiones que poseía 8 proyecciones, el nuevo sistema suma un total de 8+9+9=26 proyecciones como se muestra en la Figura (2.24). Se han recopilado las coordenadas de cada proyección respecto a los ejes (x, y, z) donde el eje de coordenadas se sitúa en el vértice de la celda computacional, y se representan en la Tabla (2.3). Tabla 2.3 Coordenadas de las primeras proyecciones de la celda computacional en 3 dimensiones. Celda proyección Coordenadas (x,y,z) Celda proyección Coordenadas (x,y,z) 1 (1, 0, 0) 14 (-1, 0, -1) 2 (1, 1, 0) 15 (-1, -1, -1) 3 (0, 1, 0) 16 (0, -1, -1) 4 (-1, 1, 0) 17 (1, -1, -1) 5 (-1, 0, 0) 18 (0, 0, 1) 6 (-1, -1, 0) 19 (1, 0, 1) 7 (0, -1, 0) 20 (1, 1, 1) 8 (1, -1, 0) 21 (0, 1, 1) 9 (0, 0, -1) 22 (-1, 1, 1) 10 (1, 0, -1) 23 (-1, 0, 1) 11 (1, 1, -1) 24 (-1, -1, 1) 12 (0, 1, -1) 25 (0, -1, 1) 13 (-1, 1, -1) 26 (1, -1, 1)
2.2 Celda computacional bajo condiciones de contorno periódicas 23 Se introduce este sistema en OVITO procediendo a representar las proyecciones en cada eje como se muestra en la Figura (2.25), donde los átomos de color naranja representan la celda computacional, y los átomos de color verde corresponden a las proyecciones periódicas. (a) celda computacional. (b) Proyección en el eje x. (c) Proyección en el eje y. (d) Proyección en el eje z. Figura 2.25 Proyecciones en condiciones periódicas de la celda computacional. En este punto hay que aclarar un aspecto. Las proyecciones de la celda computacional no aumentan el tamaño ni el número de átomos del sistema. Para el análisis molecular, el sistema se considera como el de la celda computacional, con 16 átomos en este caso. Al tener condiciones de contorno periódicas, implica que los átomos no están aislados, sino que se encuentran rodeados de átomos dispuestos según la periodicidad del sistema. Dependiendo del radio de corte de las funciones, se trabaja con los primeros, segundos, o más lejanos vecinos del átomo. Esta es la base de las superceldas periódicas, que se generarán para evaluar los potenciales de la celda computacional. Aumentando el tamaño de la supercelda, o de la misma celda computacional, sirve para evaluar si los sistemas planteados cumplen la regla de la convergencia, la cual será desarrollada más tarde. (a) Supercelda de primeras proyecciones. (b) Vista de la supercelda en ejes x - y. Figura 2.26 Supercelda generada con las primeras proyecciones de la celda computacional.
3 Potenciales Interatómicos del sistema Los potenciales interatómicos son las herramientas básicas para establecer modelos matemáticos con el objetivo de analizar y diseñar algoritmos de simulación. Esto es gracias a que los potenciales modelan el comportamiento de los cuerpos. Estos potenciales pueden clasificarse según el número de átomos que intervienen así como de las fuerzas que actúan. Para el cálculo matemático de los potenciales hay que entender el sistema donde se produce la interacción. •Potenciales de repulsión o de pares. •Potenciales de cohesión o de muchos cuerpos. En la Figura (3.1) se representan los dos tipos de interacciones que se producen en un sistema constituido por dos átomos, indicando el sentido de cohesión o repulsión de los potenciales. (a) (b) Figura 3.1 Interacciones de los potenciales en sistema de 2 átomos, (3.1a) potencial de Repulsión o de pares entre dos átomos y (3.1b) potencial de Cohesión o de muchos cuerpos entre dos átomos. Los potenciales de repulsión, representado en la Figura (3.1a) representan la energía que empuja a los átomos a romper su estado de equilibrio. El potencial de cohesión, representado en la Figura (3.1b), por el contrario es la energía que obliga al sistema a mantener la posición y el equilibrio, por lo que matemáticamente, el potencial de repulsión tendrá signo positivo (+) y el potencial de cohesión será negativo (−) . Mientras el potencial de cohesión sea mayor que el potencial de repulsión, el sistema se encontrará en equilibrio. Estos potenciales para el hierro han sido estudiados por numerosos científicos los cuales han construido unos modelos matemáticos, entre ellos Finnis y Sinclair [ 12 ] o Ackland y Mendelev [ 2 ] entre otros para calcular los potenciales de pares y muchos cuerpos del Hierro. También se van a analizar diversos potenciales del Helio, así como la interacción entre el Helio y el Hierro [ 22 , 20 ], donde además de un potencial par de dos cuerpos, se añade un término de potencial par de tres cuerpos para mayor precisión [22, 19]. 25
26 Capítulo 3. Potenciales Interatómicos del sistema A lo largo de este capítulo se van a desarrollar las expresiones de los modelos interatómicos elaborados por diferentes autores, debido a que son capaces de predecir con una precisión aceptable las relaciones energéticas entre los átomos de Hierro y Helio. 3.1 Método del Átomo Embebido, EAM El Método del Átomo Embebido se va a referenciar por EAM, las siglas en inglés (Embedded Atom Method). La mejora de las computadoras y ordenadores a finales de los años 70, supuso un gran desarrollo en el tratamiento matemático de procesos que trabajan con un gran número de elementos. Este es el caso de los modelos atómicos, donde el avance tecnológico permitió emplear modelos de potencial más complejos a la hora de simular materiales con un gran número de átomos y moléculas. Durante los años 80, Foiles, Baskes y Daw desarrollaron el EAM con el objetivo de desarrollar potenciales de muchos cuerpos aplicados a la simulación de metales [ 13 ]. Este método se fundamenta en la teoría de la densidad funcional (density-functional theory), la cual establece que se puede representar la energía total del sistema mediante un único funcional de la densidad electrónica. El modelo se constituye por dos potenciales. El potencial de cohesión o de muchos cuerpos que puede ser calculado como la energía debida a la densidad electrónica que envuelve al átomo que se toma de referencia. Viene representado por la función Fi(ρi) , cuya dependencia de la densidad no es lineal. La expresión del potencial EAM también incluye un término de repulsión de átomos o de pares, que mide la energía repulsiva producida por la interacción de dos átomos, que viene representada como φi j(ri j). La energía total de un sistema de átomos se representa mediante el EAM como la suma de energía de todos los átomos que componen el sistema Nque viene determinado por la ecuación (3.1), Etot = N ∑ i Fi(ρh,i)+ 1 2 N ∑ i N ∑ j6=i φi j(Ri j),(3.1) donde si se precisa conocer la energía por átomo se recurre a la ecuación (3.2), Eatom =1 N∗Etot .(3.2) En la expresión (3.1), el término ρh,i representa la densidad electrónica del átomo i con respecto al resto de átomos del sistema N , Fi es la energía de embebimiento causada por introducir el átomo i en dicha densidad electrónica, φi j corresponde al par de interacción de corto alcance entre los átomos i y j , separados una distancia Ri j. Mientras que la dependencia del par de repulsión φi j depende de los pares de átomos i y j , la dependencia de la energía de embebimiento Fi depende del átomo i . Sin embargo, la energía de muchos cuerpos depende de la densidad electrónica del átomo i, representada por la ecuación (3.3), ρh,i=∑ j6=i ρa j(Ri j),(3.3) donde ρa j(Ri j) representa la contribución de la energía electrónica de un átomo j al átomo de referencia i situado a una distancia j. Demostrándose que la dependencia del término de muchos cuerpos no es únicamente del átomo i , sino que depende de la distancia entre este átomo con su alrededor ∑N if(Ri j). Para poder desarrollar este potencial EAM, se requiere en primer lugar, los potenciales de pares o repulsión: •Par de interacción φi j(Ri j), función de la distancia atómica entre elementos del sistema (Ri j): –Hierro con Hierro, i=j=Fe. –Helio con Helio, i=j=He. •Par de interacción cruzada φi j(Ri j), función de la distancia atómica (Ri j)de átomos diferentes: –Helio con Hierro i=He ,j=Fe.
3.2 Formulación completa del problema 27 •Par de interacción de tres cuerpos. El cual se desarrollará más adelante. El potencial de cohesión o de muchos cuerpos viene determinado por: •Energía de embebimiento Fi(ρ), función de la densidad electrónica ρ, para los átomos de: –Hierro, i=Fe. –Helio, i=He. • Densidad electrónica ρi(Ri j) , función de la distancia atómica entre los elementos del sistema (Ri j) entre los átomos de: –Hierro con Hierro, i=j=Fe. –Helio con Helio, i=j=He. –Helio con Hierro, o viceversa i=He ,j=Fe. En los siguientes apartados se presentan y desarrollan todas las expresiones, analizando diferentes los modelos de diferentes autores. 3.2 Formulación completa del problema Para el estudio de potencial del sistema de Hierro y Helio mediante el método EAM, el modelo construido por Foiles, Baskes y Daw [ 13 ] recopila la mayoría de las funciones descritas anteriormente, reproduciendo con exactitud diversas propiedades del sistema. Por esto, el sistema que se plantea en este trabajo parte del modelo matemático descrito, el cual establece que la energía total de un cristal de Hierro (Fe) con defectos de Helio (He) se calcula mediante la ecuación (3.4), Utot = IFe ∑ i=1 UFe(ρi)+ IFe−1 ∑ i+1 ∑ j=i+1 UFeFe(Ri j)+ IHe−1 ∑ i=1 IHe ∑ j=i+1 UHeHe(Ri j) + IHe ∑ i=1 IFe ∑ j=1 UHeFe(Ri j )+ IHe ∑ i=1 IFe−1 ∑ j=1 IFe ∑ k=j+1 UHeFeFe(Ri j,Rik,θjik).(3.4) Los dos primeros términos del sumatorio corresponden al potencial de átomo embebido del hierro puro. Se han estudiado cuatro modelos de potencial del hierro incluyendo el potencial de Finnis y Sinclair [ 12 ], el potencial extendido de Finnis y Sinclair [ 10 ], el potencial de Ackland y Bacon, 1997 [ 1 ] y el potencial de Ackland y Mendelev, 2004 [2]. El tercer término de la ecuación (3.4) describe la interacción entre dos átomos de Helio mediante el potencial de par o repulsión de diversos modelos [ 3 , 6 , 4 , 5 ], incluyendo los potenciales de repulsión de los sistemas HFDHE2, HFD-B, HFD-B2 y HFD-B3. Cabe destacar que en el modelo planteado no incluye potencial de cohesión del Helio. Esto es debido a la densidad electrónica del Helio, que al formar defectos puntuales y no estructuras, su concentración es muy inferior a la red electrónica del sistema, por lo que su valor tiende a ser despreciable. Los últimos términos de la ecuación (3.4) corresponden al potencial cruzado entre átomos de Helio y Hierro, comenzando por el potencial de interacción de dos cuerpos Helio - Hierro según modelo de Seletskaia et al. [ 20 , 19 ]. Como el Helio se encuentra en un nivel de concentración baja tiende a despreciarse, para mayor exactitud en el modelo de este trabajo se desarrollará. El último término hace referencia a la interacción de tres cuerpos Hierro - Helio - Hierro, descrito también en el modelo de Seletskaia et al. [19]. En los siguientes apartados se desarrollan los elementos atendiendo a los diferentes modelos diseñados por los autores mencionados, comparando los resultados obtenidos entre todos los autores.
34 Capítulo 3. Potenciales Interatómicos del sistema Sin embargo, no representa las propiedades de los defectos correctamente. Algunos trabajos "ab-initio" más recientes indican que a altas densidades, la resistencia a la compresión del término potencial de muchos cuerpos (energía cinética de los electrones) supera la repulsión del término de pares. Por lo tanto, se va a trabajar con la ecuación (3.31) que incorporar el efecto de la energía cinética, Fi(x) = −√x+a2∗x2+a4∗x4.(3.31) La función de densidad electrónica φ(x)en función de la distancia de átomos Ri j se expresa mediante la expresión (3.32) que como se observa es similar a la de Ackland y Bacon (3.21), φri j=∑ k Ak∗(Rk−r)3∗H(Rk−r),(3.32) siendo H(x)la función de Heaviside. Los valores de los parámetros de la componente de muchos cuerpos se expresan en la Tabla (3.7), Tabla 3.7 Valores de los parámetros del potencial de cohesión de Ackland y Mendelev. Parámetro Valor R1[˙ A]2.4 R2[˙ A]3.2 R3[˙ A]4.2 A1[eV/˙ A32]11.686859407970 A2[eV/˙ A32]−0.01471074009883 A3[eV/˙ A32]0.47193527075943 a2−6.7314115586063 ∗10−4 a47.6514905604792 ∗10−8 Para el potencial de repulsión, se emplea la ecuación de proyección electrostática (3.33) de Biersack y Ziegler [7], V(r) = ∑ k ak(r−Rk)nk∗H(Rk−r)∗H(r−r2) +H(r2−r)∗H(r−r1)∗exp(B0+B1∗r+B2∗r2+B3∗r3) +H(r1−r)∗Qi∗Qj r∗ε(r/rs),(3.33) donde Qi y Qj son las cargas nucleares, que se calculan como la carga elemental de un electrón e multiplicado por el número atómico del elemento Zi, siendo el del hierro ZFe =26, Qi=e∗Zi,(3.34) siendo longitud de proyección rs, rs=0.4683766 Q2/3 i+Q2/3 j ,(3.35) y la función de proyección ε(x), que equivale a la función ya descrita (3.26), ε(x) = 0.1818 ∗e−3.2x+0.5099 ∗e−0.9423x+0.2802 ∗e−0.429x+0.02817 ∗e−0.2016x.(3.36) En la Tabla (3.8), se especifican los valores de los parámetros del modelo de Ackland y Mendelev.
3.4 Potencial del Helio 35 Tabla 3.8 Parámetros del potencial de repulsión de Ackland y Mendelev. Parámetro Valor r1[˙ A]1.0 Q2 Fe [eV ∗˙ A]9734.2365892908 r2[˙ A]2.05 B0[−]−7.4122709384068 B1[˙ A−1]−0.64180690713367 B2[˙ A−2]−2.6043547961722 B3[˙ A−3]0.6262539393123 R1[˙ A]2.2 R2[˙ A]2.3 R3[˙ A]2.4 R4[˙ A]2.5 R5[˙ A]2.6 R6[˙ A]2.7 R7[˙ A]2.8 R8[˙ A]3.0 R9[˙ A]3.3 R10 [˙ A]3.7 R11 [˙ A]4.2 R12 [˙ A]4.7 R13 [˙ A]5.3 a1[eV/˙ A3]−27.444805994228 a2[eV/˙ A3]15.738054058489 a3[eV/˙ A3]2.2077118733936 a4[eV/˙ A3]−2.4989799053251 a5[eV/˙ A3]4.2099676494795 a6[eV/˙ A3]−0.77361294129713 a7[eV/˙ A3]0.80656414937789 a8[eV/˙ A3]−2.3194358924605 a9[eV/˙ A3]2.6577406128280 a10 [eV/˙ A3]−1.0260416933564 a11 [eV/˙ A3]0.35018615891957 a12 [eV/˙ A3]−0.058531821042271 a13 [eV/˙ A3]−0.0030458824556234 3.4 Potencial del Helio El siguiente paso en el desarrollo del modelo es el potencial del Helio, para el cual se trabaja con los modelos de diversos artículos, regidos por la ecuación (3.37), Utot =UHe−He coh +UHe−He rep .(3.37) El modelo del potencial del Helio no se rige por la regla del potencial EAM. Esto se debe a que el Helio, al ser átomos de gas que se incrustan en las estructuras atómicas de hierro, su densidad electrónica es muy pequeña. Por eso a la hora de calcular el término del potencial de muchos cuerpos o de cohesión del Helio se
36 Capítulo 3. Potenciales Interatómicos del sistema toma como nulo, quedando como resultado la ecuación (3.38), Utot =UHe−He rep .(3.38) Por lo tanto, la aportación de interacción entre átomos de Helio se reduce a calcular el potencial de repulsión entre pares de Helio. 3.4.1 Potenciales de repulsión HFD Para las interacciones de moléculas de Helio muchos autores proceden a calcularlo por los cálculos de "ab initio", un método químico cuántico en el ámbito de la química computacional que como su nombre "desde el principio", implica que las entradas al sistema son constantes. Este tipo de métodos [3, 6, 4, 5] resuelven la ecuación de Shrödinger una vez dadas las posiciones de los núcleos de los electrones, obteniendo información de la densidad de electrones entre átomos. El método más simple, ab initio es "HF", el esquema de "Hartree - Fork", en el que no se tiene en cuenta para los cálculos la repulsión electrón - electrón instantánea de Coulomb. Para este trabajo, se van a aplicar los modelos "HFD" o "Hartree-Fork Dispersión", que desarrollan distintos autores. El primer potencial del Helio que se desarrolla es el de Ahlrichs et al [ 3 ], el cual se basa en una combinación de los cálculos de ab initio, el potencial de repulsión de campo de Hartree-Fock una estimación empírica de la energía de correlación y unos coeficientes de dispersión determinados semi-empíricamente, V(R) = ε∗V∗(x),(3.39) V∗(x) = A∗exp(−α∗x)−C6 x6+C8 x8+C10 x10 ∗F(x),(3.40) donde x=R/rmy la función F(x), F(x) = (exph−D x−12ipara x<D, 1para x≥D.(3.41) En la Tabla (3.9) se muestran los valores de los parámetros de las ecuaciones (3.39, 3.40, 3.41), Tabla 3.9 Valores de los parámetros del potencial HFDHE2 del Helio. Parámetro Valor ε/KB[K]10.8 rm[˙ A]2.9673 A[−]0.5448504 ∗106 α[−]13.353384 C6[−]1.37732412 C8[−]0.4253785 C10 [−]0.1781 D[˙ A]1.241314 Para los estudios de muchos cuerpos, el potencial HFDHE2 ha servido como un excelente y efectivo potencial de pares (repulsión) en el tratamiento por pares de los átomos en la fase condensada, ignorando los efectos de muchos cuerpos. Como resultado el modelo predice las propiedades de la fase condensada razonablemente bien. Sin embargo, hay que emplear métodos más actuales aumentar la precisión de los cálculos y obtener una buena representación de las fuerzas de repulsión en corto y largo rango.
3.4 Potencial del Helio 37 En el artículo [ 6 ], se presenta una nueva forma del potencial empírico HFD-B, que reproduce de forma precisa las propiedades del Helio. La forma del potencial escogido para representar la interacción He-He es similar al modelo HFDHE2. El potencial HFD-B se representa mediante las ecuaciones (3.42, 3.43), V(R) = ε∗V∗(x),(3.42) V∗(x) = A∗∗exp−α∗∗x+β∗∗x2−F(x)∗ 2 ∑ j=0 c2j+6 xe j+6,(3.43) donde x=r/rmyF(x)es similar a la ecuación (4.13). Los valores de los parámetros quedan recogidos en la Tabla (3.10), Tabla 3.10 Parámetros del modelo de potencial del Helio HFD-B. Parámetro Valor ε/KB[K]10.948 rm[˙ A]2.963 A[−]0.18443101 ∗106 α[−]10.43329537 β[−]−2.27965105 C6[−]1.36745214 C8[−]0.42123807 C10 [−]0.17473318 D[˙ A]1.4826 Estudios posteriores como el de Aziz y Slaman [ 4 ], que diseña un modelo más preciso (HFD-B2) partir de cálculos cuánticos de los coeficientes del segundo virial para 3He y 4He basado en potencial interatómico. Este modelo está basado en los cálculos ab initio desarrollados a partir de el sistema de Hartree-Fock. Las ecuaciones son similares a (3.42) y (3.43), cuyos parámetros se reflejan en la Tabla (3.11), Tabla 3.11 Valores de los parámetros del potencial HFD-B2 del Helio. Parámetro Valor ε/KB[K]10.94 rm[˙ A]2.970 A[−]0.19221529 ∗106 α[−]10.73520708 β[−]−1.89296514 C6[−]1.34920045 C8[−]0.41365922 C10 [−]0.17078164 D[˙ A]1.4132 El último modelo del Helio que se va a desarrollar, es el diseñado por Aziz, Janzen y Moldover [ 5 ] que mejora aun más la precisión de los cálculos de las propiedades del transporte y los coeficientes del virial basados en potenciales ab initio. El modelo adquiere la nomenclatura HFD-B3-FCI1, donde FCI son las siglas de "Full Configuration Interaction", una variación lineal del modelo gracias a la cual se obtienen soluciones de bastante exactitud a las ecuaciones electrónicas de Schrödinger, siendo no relativista e independiente del tiempo.
38 Capítulo 3. Potenciales Interatómicos del sistema El modelo también emplea las ecuaciones (3.42) y (3.43), cuyos parámetros se reflejan en la Tabla (3.12). Tabla 3.12 Valores de los parámetros del potencial HFD-B3-FCI1 del Helio. Parámetro Valor ε/KB[K]10.956 rm[˙ A]2.9683 A[−]0.186924404 ∗106 α[−]10.5717543 β[−]−2.07758779 C6[−]1.35186623 C8[−]0.41495143 C10 [−]0.17151143 D[˙ A]1.438 3.5 Potencial de interacción Helio - Hierro Hasta ahora se han desarrollado las componentes del potencial del Método del Átomo Embebido de las interacciones de átomos de la misma especie para el sistema de Hierro y Helio (Fe - He). En este punto se desarrollan los potenciales cruzados de los átomos de distintas especie, es decir, entre un átomo de Helio que se introduce en la estructura de Helio (en posición intersticial, sustitucional entre otras) y los átomos de Hierro que tiene en su entorno. Para la interacción de los átomos de Hierro y Helio se va a modelar como una función de densidad entre un átomo de Helio y Hierro, un potencial de repulsión por pares entre un átomo de Helio y Hierro y por último un potencial de repulsión entre tres átomos formado por un átomo de Helio, y los dos átomos de Hierro más cercanos. 3.5.1 Función de densidad Helio - Hierro Para el potencial de muchos cuerpos, o de cohesión entre un átomo de Helio y Hierro cabe destacar que como se está evaluando la fuerza atractiva entre un átomo (individual) de Helio en una red de Hierro, se espera que este potencial sea pequeño en redes donde la cantidad de Helio sea baja (pudiendo llegar a niveles despreciables). El potencial de cohesión entre átomos de Helio y Hierro se ha determinado mediante cálculos ab initio. Gao et al [ 14 ] determina un potencial de cohesión basado en la hibridación electrónica entre las bandas electrónicas de el Hierro (electrones - d) y el Helio (electrones - s). En la tabla (3.13) se muestran los orbitales atómicos. Tabla 3.13 Orbitales atómicos. 1s2 2s22p6 3s23p63d10 4s24p64d10 4f14 5s25p65d10 5f14 6s26p66d10 6f14 7s27p6 Los orbitales de los átomos de Helio y Hierro son, He =1s2, Fe =1s22s22p63s23p64s23d6.(3.44)
3.5 Potencial de interacción Helio - Hierro 39 Hasta este artículo, se habían desarrollado modelos puramente repulsivos para las interacciones de Helio y Hierro, donde los resultados varían en cuanto a la posición del Helio más estable, siendo para Wilson y Johnson [ 17 ] la octaédrica, y según cálculos ab initio [ 21 ] la tetraédrica. Los cálculos del potencial WJ más precisos que los del ab initio. Se determina, con estudios más recientes, que el Helio intersticial y los primeros átomos vecinos de Hierro están polarizados, en los orbitales s (helio) y d (hierro), aun siendo la hibridación del helio débil, al tener el orbital completo. El potencial se modela mediante unos cálculos ab initio y una estructura basada en la Teoría Funcional de Densidad. El modelo de orbital-s desarrollado se compone de dos elementos, U= N−1 ∑ i=1 N ∑ j=i+1 Vri j+ N ∑ i=1 Fs(ρs),(3.45) donde el primer término hace referencia al potencial de repulsión entre átomos de Helio e Hierro que será desarrollado en los siguientes apartados. El segundo término de la ecuación (3.45) hace referencia a la interacción de muchos cuerpos, que indica la contribución de la densidad electrónica del orbital-s que se modela mediante la ecuación, Fs(ρs) = b1∗√ρs+b2∗ρ2 s+b3∗ρ4 s,(3.46) la cual se observa que tiene la misma forma que la ecuación (3.31) para el término de cohesión entre átomos Fe-Fe. La densidad total electrónica de un átomo calculado con el modelo de orbital-s viene dada por la ecuación, ρs=∑φFeHe s.(3.47) La función de densidad mixta (para pareja de átomos), se desarrolla a partir de dos funciones Staler, de tipo 1s para el Helio y 4s para el Hierro. X1s=N1s∗exp(−ξ1s∗R), X4s=N4s∗R3∗exp(−ξ4s∗R),(3.48) que proporcionan la función total, φHeFe s=−Ns∗R3∗exp(−2∗ξs∗R).(3.49) Los parámetros de este potencial se incluyen en la Tabla (3.14), Tabla 3.14 Parámetros del modelo de orbital-s para el potencial de cohesión entre He-Fe. Parámetro Valor b1[eV/˙ A]0.220813420485 b2[eV/˙ A4]1.367508764130 b3[eV/˙ A8]3.382256025271 Ns[˙ A−1]20.0 εs[˙ A−1]2.893629507149 rcut [˙ A]4.1 bf[˙ A−1]10.0 rf[˙ A]0.25
40 Capítulo 3. Potenciales Interatómicos del sistema 3.5.2 Potencial de repulsión Helio - Hierro Para potencial de repulsión entre un átomo de Helio y un átomo de Hierro se va a modelar mediante los sistema definidos por [ 20 , 22 ] y por la función universal de Biesack - Zeigler [ 7 ]. En primer lugar, se trabaja con el modelo de, cuyo sistema se modela mediante la ecuación (3.50), UHe−Fe = expb1+b2∗Ri j +b3∗R2 i j +b4∗R3 i j +b5∗R4 i jpara Ri j <1.6[˙ A], a1+a2∗Ri j +a3∗R2 i j +a4∗R3 i j +a5∗R4 i j +a6∗R5 i j para 1.6≤Ri j <2.2, p1∗exp−p4∗Ri j p3−1 para 2.2≤Ri j <4.1, p1∗exp−p4∗Ri j p3−1∗(1−λ)3∗1+3∗λ+6∗λ2para 4.1≤Ri j <4.4, (3.50) siendo el parámetro λ, λ=Ri j −rb rc−rb .(3.51) Los valores de los parámetros de la ecuación (3.50) y (3.51) se muestran en la Tabla (3.15), Tabla 3.15 Valores de los parámetros del potencial de repulsión cruzada entre Helio y Hierro. Parámetro Valor b1[−]−2.142600207811 b2[˙ A−1]32.965470333178 b3[˙ A−2]−52.893449935488 b4[˙ A−3]30.970079966695 b5[˙ A−4]−6.398785336260 a1[eV]−285.7450302953 a2[eV/˙ A]794.5913355517 a3[eV/˙ A2]−856.9376372455 a4[eV/˙ A3]452.5323035795 a5[eV/˙ A4]−117.6519447529 a6[eV/˙ A5]12.0878858024 p1[eV]0.167753 p2[−]0.0 p3[˙ A]2.432258 p4[−]3.727249 rb[˙ A]4.1 rc[˙ A]4.4 A continuación se desarrolla el potencial de interacción entre un átomo de Helio y Hierro mediante la función universal de Biersack-Zeigler (3.33), que proporciona datos precisos para modelo de alta dispersión de átomos en sólidos. El potencial de repulsión se desarrolla a partir de la ecuación (3.52), V(R) = VR(R)∗F(R) +VBZ (R)∗[1−F(R)],(3.52) donde VRes el potencial de pares representado como, VR(R) = 7 ∑ k=1 ak∗(rk−R)3∗H(rk−R),(3.53)
3.5 Potencial de interacción Helio - Hierro 41 siendo H(rk−R) la función salto de Heaviside. El término VBZ (R) es la función de Biersack-Zeigler (3.33) yF(R)es la función de Fermi, expresada como, F(R) = 1 1+exp−bf∗R−rf.(3.54) Los parámetros de este potencial vienes representados en la Tabla (3.16), Tabla 3.16 Valores de los parámetros del potencial de repulsión cruzada entre Helio y Hierro basado en la función de Biersack - Zeigler. Parámetro Valor a1[eV/˙ A3]−45.916354995728 a2[eV/˙ A3]35.550312671661 a3[eV/˙ A3]164.319865173340 a4[eV/˙ A3]−1.727464405060 a5[eV/˙ A3]0.106771826237 a6[eV/˙ A3]0.073715269849 a7[eV/˙ A3]0.038235287677 r1[˙ A]1.6155 r2[˙ A]1.6896 r3[˙ A]1.8017 r4[˙ A]2.0482 r5[˙ A]2.3816 r6[˙ A]3.5067 r7[˙ A]3.9028 bf[˙ A−1]10.0 rf[˙ A]0.25 3.5.3 Potencial de 3 cuerpos He - Fe - Fe Finalmente, se añade un término de repulsión entre tres cuerpos donde se evalúa el potencial que ejercen dos átomos de Hierro a un átomo de Helio. En la Figura (3.2) se muestran los parámetros del modelo del potencial entre tres átomos estándar. Figura 3.2 Parámetros del potencial de repulsión en un sistema de 1 átomo de Helio y dos de Hierro, siendo Ri j , Rik las distancias entre el átomo de Helio (i) y los átomos de Hierro en las posiciones(j,k) y el ángulo entre los dos vectores de distancia θjik.
42 Capítulo 3. Potenciales Interatómicos del sistema Este potencial se modela mediante los artículos [22, 19] con la ecuación, UHeFeFe Ri j,Rik,θjik=fRi j∗f(Rik)∗cos2θjik −X,(3.55) donde Ri j y Rik son la distancia entre el átomo de Helio en la posición i , respecto a los átomos de Hierro en las posiciones j y k , como se muestra en la ecuación (3.56), siendo el ángulo entre los dos vectores del conjunto de tres átomos modelado por la ecuación (3.57), Ri j =qxj−xi2+yj−yi2+zj−zi2, Rik =q(xk−xi)2+(yk−yi)2+ (zk−zi)2, (3.56) θjik =arccos xj−xi∗(xk−xi) +yj−yi∗(yk−yi) +zj−zi∗(zk−zi) Ri j ∗Rik !.(3.57) La función f(R)viene modelada por las ecuaciones, f(R) = (αpara R≤rb3, α∗(1−∆)3∗1+3∗∆+6∗∆2para rb3<R≤rc3,(3.58) donde, ∆=R−rb3 rc3−rb3.(3.59) Los parámetros del modelo vienen indicados en la Tabla (3.17). Tabla 3.17 Valores de los parámetros del potencial de repulsión de tres cuerpos entre Helio y Hierro. Parámetro Valor α[−]0.7 rb3[˙ A]1.75 rc3[˙ A]2.2 X[rad]0.44
4 Aplicaciones del potencial En este apartado se van a representar los cálculos y resultados obtenidos a partir de diversos experimentos evaluando diferentes sistemas de átomos con el objetivo de comparar los resultados obtenidos con los de otros autores. Se va a trabajar tanto con los potenciales como con las fuerzas de los modelos. Una vez se han desarrollado las estructuras de los átomos de Hierro en configuración Cúbica Centrada en el cuerpo bajo condiciones periódicas, así como se han expresado los modelos matemáticos que evalúan el potencial del conjunto de átomos del sistema, se procede a realizar una serie de cálculos con el objetivo de validar los modelos. Se van a representar las curvas de la energía para comparar los resultados entre autores y los propios, tras lo cual se estimará el parámetro de red para el cual la red alcanza el equilibrio energético. Tras esto se procede a desarrollar matemáticamente las fórmulas de las fuerzas interatómicas a partir de los modelos, representándolas gráficamente. Por último se calcularán los potenciales de formación de defectos sustitucional, y en intersticios ocupando posiciones octaédricas y tetraédricas. Para comprobar la validez de estos resultados se procede a aplicar el método de la convergencia, con el cual tras una serie de iteraciones se comprueba que los resultados tienden al valor teórico. 4.1 Comparación entre los distintos potenciales En este apartado se procede a evaluar los modelos de potencial de los diferentes autores con el objetivo de comparar los resultados. Los resultados se van a organizar por conjunto de modelos de cada sistema comenzando por el Hierro, Helio y las distintas interacciones cruzadas entre Hierro y Helio. Posteriormente se va a calcular el parámetro de red más óptimo para el sistema de átomos de Hierro en la configuración {BBC} usando los cuatro modelos para el Hierro, y mostrando una comparativa entre la evolución dependiente del parámetro de red de los diferentes sistemas. 4.1.1 Potencial de los elementos Se procede a presentar los resultados obtenidos de desarrollar las ecuaciones de los potenciales de los modelos, aplicando estas ecuaciones a un dímero, cuya energía depende de la distancia Ri j a la que se encuentren los dos átomos. Las curvas y gráficas mostradas se han desarrollando a través de la herramienta visual OriginPro 9, con los resultados obtenidos de la implementación en código C de los modelos. Modelos del Hierro Se procede a calcular y representar los potenciales de los modelos analizados del Hierro donde, como se muestra en la Figura (4.1), en primer se ha desarrollado la densidad electrónica eV2 entre dos átomos de Hierro en función de la distancia que existe entre dichos átomos ˙ A. 43
50 Capítulo 4. Aplicaciones del potencial (a) (b) Figura 4.14 Potenciales totales por átomo según los modelos[ 12 , 10 , 1 , 2 ] (4.14a), en el rango de distancia interatómica entre 2.0−4.0[˙ A](4.14b). Tabla 4.1 Comparación entre los potenciales de este trabajo y los modelos teóricos. Modelo Este trabajo Resultados teóricos a0[˙ A]E[eV/atom]a0[˙ A]E[eV/atom] Finnis y Sinclair 2.87 −4.279944 2.8665 −4.28 Finnis y Sinclair Extendido 2.87 −4.273437 2.87 −4.273 Ackland y Bacon 2.87 −4.315913 2.8665 −4.316 Ackland y Mendelev 2.86 −4.012826 2.86 −4.013 4.2 Desarrollo de las fuerzas En esta sección se procede a desarrollar las ecuaciones de fuerza de los modelos del potencial desarrollados en este trabajo. La energía potencial equivale al trabajo que debe hacer una fuerza para trasladar un objeto desde una referencia (r=0) hasta una posición (r=p) . La fuerza es la derivada con respecto del vector posición del potencial, por lo que siempre tiende a la menor energía posible reduciendo la energía potencial, ∂W=~ F∗d~r=−dU,(4.1) Wpos re f =Zpos re f ~ F∗d~r=−Upos −Ure f =−∆U.(4.2) 4.2.1 Modelos de fuerzas Se desarrollan los modelos matemáticos de la fuerza a partir de las ecuaciones de potencial, U, ~ F=−∂U ∂r∗~r=∂U ∂r∗~ur.(4.3) Para la notación se toma, •UN, para el potencial de cohesión del modelo. •FN, para la fuerza de cohesión del desarrollada. •UP, para el potencial de repulsión del modelo. •FP, para la fuerza de repulsión del desarrollada.
4.2 Desarrollo de las fuerzas 51 Modelos de Fuerza del Hierro En primer lugar se desarrollan las fuerzas derivadas de los modelos del hierro, comenzando en la ecuación (4.4) con la fuerza de cohesión desarrollada del potencial de Finnis y Sinclair [12], ~ FN=−∂UN ∂r∗~ur=A∗ ∑j2∗ri j −2∗d+β∗(3∗r2 i j−4∗ri j+2∗d) d 2∗s∑jri j −d2+β∗(ri j−d)3 d∗~ur.(4.4) y la fuerza repulsiva del modelo de Finnis y Sinclair queda modelada por la ecuación (4.5) desarrollada a continuación, ~ FP=−∂UP ∂r∗~r=−ri j ∗2∗c0+3∗ri j +4∗c2∗r2 i j∗~ur+c2∗c1+2∗c2∗ri j∗~ur −2∗c∗c0+2∗c1∗ri j +3∗c2∗r2 i j∗~ur,(4.5) Puesto que la función de densidad electrónica del potencial extendido de Finnis y Sinclair [ 10 ] coincide con el modelo no extendido, se tiene que la fuerza de cohesión se rige por la misma ecuación (4.4). Sea la fuerza repulsiva del modelo de Finnis y Sinclair la ecuación (4.6) desarrollada, ~ FP=−∂UP ∂r∗~r=−ri j ∗2∗c0+3∗ri j +4∗c2∗r2 i j +5∗c3∗r3 i j +6∗c4∗r4 i j∗~ur +c2∗c1+2∗c2∗ri j +3∗r2 i j +4∗c4∗r3 i j∗~ur −2∗c∗c0+2∗c1∗ri j +3∗c2∗r2 i j +4∗c3∗r3 i j +5∗c4∗r4 i j∗~ur.(4.6) El siguiente modelo cuya fuerza se muestra es el de Ackland y Bacon [ 1 ], cuya fuerza de cohesión se desarrolla en la ecuación (4.7), ~ FN=−∂UN ∂r∗~ur=−∑2 k=1Ak∗HRk−ri j∗−3∗r2 i j +6∗Rk∗ri j −3∗Rk 2∗q∑2 k=1Ak∗HRk−ri j∗Rk−ri j3∗~ur.(4.7) La fuerza de repulsión del modelo de Ackland y Bacon queda representada con las ecuaciones (4.8, 4.10, 4.11), ya que se desarrolla por partes. En primer lugar en el intervalo ri j <x1, ~ FP=−∂UP ∂r∗~ur=−"−ZA∗ZB∗e2 r2 i j ∗φri j asZA∗ZB∗e2 ri j ∗∂φ ∂rri j as#∗~ur,(4.8) donde, ∂φ ∂r(x) = −0.58176 ∗exp(−3.2∗x)−0.48048 ∗exp(−0.9423 ∗x) −0.120206 ∗exp(−0.429 ∗x)−0.005679 ∗exp(−0.2016 ∗x).(4.9) El segundo intervalo corresponde a x1≤ri j ≤x2, ~ FP=−∂UP ∂r∗~ur=−B1+2∗B2∗ri j +3∗B3∗r2 i j∗expB0+B1∗ri j +2∗B2∗r2 i j +3∗B3∗r3 i j∗~ur. (4.10) Finalmente para el intervalo, ri j >x2, ~ FP=−∂UP ∂r∗~ur=−"6 ∑ k=1 ak∗Hrk−ri j∗−3∗r2 i j +6∗rk∗ri j −3∗rk#∗~ur.(4.11)
52 Capítulo 4. Aplicaciones del potencial Finalmente el último modelo del potencial de Hierro del que se ha obtenido las ecuaciones de las fuerzas es el de Ackland y Mendelev [ 2 ], donde la fuerza de repulsión posee la misma estructura que el modelo de Ackland y Bacon, por lo que se rige por las ecuaciones (4.8, 4.10, 4.11), con los respectivos valores de los parámetros del modelo. La fuerza de cohesión en cambio si varía, debido a la expresión de la densidad electrónica de la ecuación (3.31), por lo tanto se desarrolla la ecuación (4.12), ~ FN=−∂UN ∂r∗~ur=− − ∂ρ ∂ri j 2√ρ−2∗a2∗∂ρ ∂ri j ∗ρ+4∗a4∗10−8∗∂ρ ∂ri j ∗ρ3 ∗~ur.(4.12) Modelos de Fuerza del Helio Desarrollados los modelos del hierro, se procede a desarrollar la fuerza repulsiva del Helio, ya que como se desarrolló no hay potencial de cohesión. Se definen dos intervalos teniendo en cuenta que x=ri j/rm , que se desarrollan en las ecuaciones (4.13,4.14, 4.15), ~ FP=−∂UN ∂r∗~ur=−ε∗∂V ∂r∗~ur.(4.13) Sea en el intervalo x≤D, ∂V ∂r=A rm∗(−α+2∗x)∗exp−α∗x+β∗x2 + 6∗C6 x6∗ri j +8C8 x8∗ri j +10 ∗C10 x10 ∗ri j !∗exp"−D x−12# −C6 x6+C8 x8+C10 x10 ∗ −2∗D2 x2∗ri j −2∗D x∗ri j !∗exp"−D x−12#.(4.14) En el intervalo x>D, ∂V ∂r=A rm∗(−α+2∗x)∗exp−α∗x+β∗x2+ 6∗C6 x6∗ri j +8C8 x8∗ri j +10 ∗C10 x10 ∗ri j !.(4.15) Modelos de Fuerza cruzados entre Hierro y Helio En este apartado se van a desarrollar las fuerzas correspondientes a la interacción del Helio siendo estas, •Fuerza de cohesión de Gao et al [14]. •Fuerza de repulsión de Stoller [23]. •Fuerza de repulsión basado en Biersack-Zeigler [7]. •Fuerza de repulsión de tres cuerpos de Stoller [23]. Comenzando por la fuerza de cohesión entre un átomo de Helio y Hierro, se tiene que la derivada de la densidad electrónica total de un átomo (3.46), es equivalente a la fuerza desarrollada en la ecuación (4.12). Por tanto, sólo hay que desarrollar la derivada de la función de densidad mixta (3.49), ∂ρ ∂r=−Ns∗3∗R2∗exp(−2∗ξs∗R)−2∗ξ2∗R3∗exp(−2∗ξs∗R).(4.16) La fuerza de repulsión par de Stoller et al se define en los intervalos expresados por las ecuaciones (4.17, 4.18, 4.19, 4.20).
4.2 Desarrollo de las fuerzas 53 Para ri j <1.6, ~ FP=−∂UP ∂r∗~ur=−b2+2∗b3∗ri j +3∗b4∗r2 i j +4∗b5∗r3 i j ∗expb1+b2∗ri j +b3∗r2 i j +b4∗r3 i j +b5∗r4 i j∗~ur.(4.17) Para 1.6≤ri j <2.2, ~ FP=−∂UP ∂r∗~ur=−a2+2∗a3∗ri j +3∗a4∗r2 i j +4∗a5∗r3 i j +5∗a6∗r4 i j∗~ur.(4.18) Para 2.2≤ri j <4.1, ~ FP=−∂UP ∂r∗~ur=−p1∗−p4 p3∗exp−p4∗Ri j p3−1∗~ur.(4.19) Finalmente, para 4.1≤ri j <4.4, ~ FP=−∂UP ∂r∗~ur=−exp−p4∗Ri j p3−1 ∗−p4 p3∗−λ3+3∗λ2−3∗λ+1+3 rc−rb∗−3∗λ2+2∗λ−1∗~ur.(4.20) La fuerza del modelo de Biersack-Zeigler se desarrolla en la ecuación (4.21), donde los elementos de dicha ecuación se han desarrollado en otros casos anteriores, y el único elemento nuevo es la derivada de la función de Fermi desarrollada en la ecuación (4.22), ~ FP=−∂UP ∂r∗~ur=−∂VR ∂r∗F+VR∗∂F ∂r+∂VBZ ∂r∗(1−F)−VBZ ∗∂F ∂r∗~ur,(4.21) ∂F ∂r=−−bf∗1+exp−bf∗R−rf 1+exp−bf∗R−rf2.(4.22) La última fuerza que queda por desarrollar de los modelos es la del potencial de repulsión de tres cuerpos entre un átomo de Helio y dos de Hierro. Esta fuerza es compleja y se ha desarrollado en las siguientes ecuaciones, ~ FHeFeFe =−∂UHeFeFe ∂ri j ∗~uri j −∂UHeFeFe ∂rik ∗~urik ,(4.23) donde cada elemento derivado del potencial equivale a, ∂UHeFeFe ∂ri j =∂fri j ∂ri j ∗f(rik)∗cos2θjik −X +∂f(rik) ∂ri j ∗fri j∗cos2θjik −X+cos2θjik −X ∂ri j ∗fri j∗(rik).(4.24) En este momentose desarrollan los dos tipos de derivadas que presenta la ecuación de la fuerza, comenzando por la derivada de ∂fri jque corresponde a, ∂fri j ∂ri j =∂ ∂ri j ∗α∗−∆3+3∗∆2−3∗∆+1.(4.25) Dependiendo del valor de las distancias ri j y rik , estas derivadas pueden tomar diversos valores, por lo que se presenta los diferentes casos:
54 Capítulo 4. Aplicaciones del potencial Para ri j ≤rb3, ∂fri j ∂ri j =0; ∂f(rik) ∂ri j =0.(4.26) Para rik ≤rb3, ∂fri j ∂rik =0; ∂f(rik) ∂rik =0.(4.27) Para rb3<ri j ≤rc3, ∂fri j ∂ri j =α rc3−rb3∗−3∗∆2+6∗∆−3;∂f(rik) ∂ri j =0.(4.28) Pararb3<rik ≤rc3, ∂fri j ∂rik =0; ∂f(rik) ∂rik =α rc3−rb3∗−3∗∆2+6∗∆−3.(4.29) Desarrollando la derivada del cos2θjik −X, cos2θjik −X ∂ri j =2∗"cosθjik −X ∂ri j #,(4.30) cosθjik −X ∂ri j =−cosθjik −X ri j .(4.31) Por lo tanto, cos2θjik −X ∂ri j =−2 ri j ∗cos2θjik −X.(4.32) 4.2.2 Curvas de las fuerzas Una vez obtenidas las fórmulas matemáticas de las fuerzas de todos los modelos, se procede a representarlas gráficamente, en primer lugar se muestran las fuerzas de los modelos del Hierro en la Figura (4.15). Además se ha incluido en la Figura (4.16) una gráfica de cada modelo donde se ha representado al mismo tiempo la curva del potencial y de la fuerza. Figura 4.15 Curvas de fuerza obtenidas al desarrollar las ecuaciones de los potenciales.
4.3 Cálculo del potencial de formación de los defectos en la estructura 55 (a) (b) (c) (d) Figura 4.16 Curvas de losotenciales y fuerzas totales por átomo del modelo [ 12 ] de Finnis y Sinclair (4.16a), el modelo extendido [ 10 ] de Finnis y Sinclair (4.16b), el modelo [ 1 ] de Ackland y Bacon (4.16c) y el modelo [2] de Ackland y Mendelev (4.16d). 4.3 Cálculo del potencial de formación de los defectos en la estructura En este apartado se desarrolla el cálculo de los defectos simples del Helio en la estructura estudiada de Hierro {BBC} de un único átomo de Helio en las posiciones sustitutiva e intersticial. En la estructura {BBC} , la posición de un átomo sustitutivo es equivalente en cualquier posición bajo condiciones periódicas. Sin embargo, existen dos posibles posiciones intersticiales estables, la posición tetraédrica y la posición octaédrica. Estos sistemas se han representado previamente en las Figuras (2.5, 2.4) respectivamente. Para calcular el potencial de formación de defectos del Helio, conocer el entorno alrededor del átomo del defecto es básico. Esto incluye el número de átomos primeros y segundos vecinos, dependiendo de la distancia a la que se encuentren, siendo a0la longitud del parámetro de red. • Cuando el átomo de Helio se encuentra en una posición sustitutiva, se encuentra rodeado por ocho átomos de Hierro primeros vecinos a una distancia de √3/2∗a0. • Cuando el átomo de Helio se encuentra en una posición intersticial tetraédrica, se encuentra rodeado por cuatro átomos primeros vecinos a una distancia de √5/4∗a0. • Cuando el átomo de Helio se encuentra en una posición intersticial octaédrica, se encuentra rodeado dos átomos primeros vecinos a una distancia de 1/2∗a0 y cuatro átomos segundos vecinos a una distancia de √2/2∗a0. En la Tabla (4.2) se cuantifican las distancias de cada defecto, así como la distancia de los primeros y segundos vecinos de cada defecto, donde el volumen libre del átomo defecto es mayor en la posición sustitutiva que en las intersticiales. Analizando las posiciones intersticiales, el volumen libre del átomo es mayor en la posición octaédrica que en la tetraédrica.
56 Capítulo 4. Aplicaciones del potencial Tabla 4.2 Información de los átomos vecinos del defecto. Defecto sustitutivo Defecto octaédrico Defecto tetraédrico Número de primeros vecinos 8 2 4 Distancia a los primeros vecinos [˙ A]0.866925 ∗a00.5∗a00.559017 ∗a0 Número de segundos vecinos 6 4 2 Distancia a los segundos vecinos [˙ A]a00.707107 ∗a00.90139 ∗a0 El sistema que se plantea es la estructura cristalina de hierro en configuración {BBC} sujeta a condiciones de contorno periódicas, para lo cual se emplea la celda computacional diseñada previamente mostrada en la Figura (2.25a). En esta estructura se introducirá un átomo de Helio en una de las tres posiciones de defectos descritas. Se evaluar el potencial de formación de los defectos en unas estructuras estáticas. Esta estructuras tras el impacto del defecto tienden a variar su estructura y sus posiciones hasta una posición de relajación. Para evaluar los potenciales finales de las estructuras relajadas hay que recurrir a la dinámica molecular lo cual sobrepasa el alcance de este trabajo. La energía de formación de los defectos se van a evaluar bajo dos modelos, empleando la ecuación (4.33) para calcular el defecto sustitucional, y la ecuación (4.34) para calcular el potencial de los defectos intersticiales. Esus de f ecto =ENFe,MHe −N∗EFe −M∗EHe.(4.33) donde ENFe,MHe , es la energía de la celda computacional o supercelda evaluada, N y M son los átomos de Hierro y Helio respectivamente de la celda computacional, EFe es la energía total de un átomo de Hierro en configuración {BCC}perfecta y EHe es la energía de un átomo de Helio aislado, Eint de f ecto =EFe,He −Eredper f ecta,(4.34) donde EFe,He , es la energía de la celda computacional evaluada como la mostrada en Figura (4.17b) y Eredper f ecta es la energía de una celda perfecta sin defectos. El potencial de la red perfecta se calcula a partir de una celda computacional compuesta únicamente por átomos de Hierro, por lo que no hay los átomos intersticiales ni sustitutivos de Helio en la red perfecta como se muestra en la Figura (4.17a). (a) (b) Figura 4.17 Celda computacional perfecta (4.17a) frente a una celda computacional con un defecto tetraédrico (4.17b). Con el objetivo de comprobar la veracidad de los cálculos, se procede a aplicar el método de la convergencia gracias al cual se pretende demostrar que los resultados obtenidos no dependen de la herramienta usada, sino que tras varios experimentos los resultados tienden al valor que deben. Aplicado al cálculo del potencial de formación de los defectos el método de convergencia se van a plantear tres celdas computacionales. • En primer lugar se calcula el potencial de formación de defectos con la celda computacional constituida por 16 átomos de Hierro {BCC}como la mostrada en la Figura (4.17b).
4.3 Cálculo del potencial de formación de los defectos en la estructura 57 • Tras esto se genera una supercelda ampliando la celda computacional, para asegurar la convergencia se plantean dos superceldas. – Una supercelda de tamaño doble a la celda computacional, donde ahora el número de átomos de Hierros {BCC}asciende a 128 como se muestra en la Figura (4.18a). – Una supercelda de tamaño doble a la celda computacional, donde ahora el número de átomos de Hierros {BCC}asciende a 432 como se muestra en la Figura (4.18b). (a) (b) Figura 4.18 Superceldas de trabajo (4.18a) de dimensiones (2x2x2) y (4.18b) de dimensiones (3x3x3) con un defecto tetraédrico. Estas superceldas se etiquetan con la nomenclatura a x a x a , la cual indica con el índice a las celdas periódicas a las que equivalen. Por ejemplo, la supercelda (1x1x1) equivale a la celda computacional mientras que la supercelda (2x2x2) equivale a una supercelda periódica, cuyo tamaño equivale a una estructura con el doble de longitud en los tres ejes que la celda computacional básica. A todas estas estructuras se introduce el átomo de Helio en las posiciones de defecto que se evaluan. La convergencia se asegura, ya que al proyectar bajo condiciones periódicas de estas superceldas, la concentración de Helio total disminuye aumentando la precisión de los cálculos. Esto se puede observar comparando la Figura (4.19), donde en primer lugar se ha representado la celda computacional proyectada bajo las condiciones periódicas con la Figura (4.18b) se representa la supercelda básica previa a representar las proyecciones periódicas. En dos celdas de tamaño similar se observa que la concentración de defectos tetraédricos en la estructura es mucho menor. Figura 4.19 Celda computacional con defecto tetraédrico proyectada bajo condiciones periódicas. El procedimiento para el cálculo de los potenciales de formación de los defectos se basa en la aplicación de todos los modelos de potencial desarrollados en este trabajo del Hierro y Helio, para comparar los resultados obtenidos.
58 Capítulo 4. Aplicaciones del potencial 4.3.1 Defecto Sustitutivo Se estima el potencial de formación de defectos para la celda computacional {BCC} con un átomo sustitutivo a través de las estructuras de átomos representadas en la Figura (4.20, 4.21, 4.22). (a) (b) Figura 4.20 Supercelda computacional (1x1x1)con defecto sustitutivo (4.20a) y proyección (4.20b). (a) (b) Figura 4.21 Supercelda computacional (2x2x2)con defecto sustitutivo (4.21a) y proyección (4.21b). (a) (b) Figura 4.22 Supercelda computacional (3x3x3)con defecto sustitutivo (4.22a) y proyección (4.22b).
4.3 Cálculo del potencial de formación de los defectos en la estructura 59 Para calcular el potencial de formación del defecto sustitutivo se emplea la ecuación (4.34), donde en la Tabla (4.3) se presentan los resultados obtenidos aplicando los diferentes modelos desarrollados a las superceldas descritas. Tabla 4.3 Potencial de formación del defecto sustitutivo. Esus de f F. S. [12] E.F.S. [10] A.B. [1] A.M. [2] Valores teóricos [20] 3.98 −3.82 3.74 Supercelda (1x1x1) [eV]3.69729 3.68532 3.801484 3.85512 Supercelda (2x2x2) [eV]3.68659 3.77058 3.80544 3.87611 Supercelda (3x3x3) [eV]3.68659 3.77119 3.80594 3.79607 4.3.2 Defecto Octaédrico En este apartado se procede a mostrar los resultados del potencial de formación de defecto de un átomo en una posición intersticial octaédrica para la celda computacional {BCC} . Puesto que existen dos posiciones intersticiales octaédricas, una en la arista de la celda básica, y otra en el centro de la cara de una celda básica como se muestra en la Figura (4.23), se han calculado ambas estructuras por separado, con el objetivo de comprobar que el resultado del potencial no varía. (a) (b) Figura 4.23 Superceldas de trabajo con un defecto intersticial octaédrico en arista (4.23a) y cara (4.23b). Las estructuras de átomos representadas en las Figuras (4.24, 4.25, 4.26) se emplean para calcular el potencial de formación de un defecto intersticial octaédrico en una arista de la celda básica. (a) (b) Figura 4.24 Supercelda computacional (1x1x1) con defecto intersticial octaédrico (4.24a) y proyección (4.24b).
Apéndice B Tablas de resultados de los potenciales de las celdas computacionales perfectas Tabla B.1 Resultados de una Supercelda de Hierro CCI perfecta (1x1x1). Modelo F. S. [12] E.F.S. [10] A.B. [1] A.M. [2] Parámetro de red ˙ A2.87 2.87 2.87 2.86 Potencial de cohesión [eV]−81.63572 −78.75827 −79.04123 −88.05708 Potencial de repulsión [eV]12.9929 10.2965 9.91962 23.21300 Potencial total [eV]−68.6428 −68.46169 −69.12161 −64.8441 Potencial de átomo [eV]−4.2902 −4.2788 −4.32010 −4.05275 Potencial teórico [eV]−4.2799 −4.2734 −4.3159 −4.0128 Error [%]0.2385 0.1266 0.09693 0.9852 Tabla B.2 Resultados de una Supercelda de Hierro CCI perfecta (2x2x2). Modelo F. S. [12] E.F.S. [10] A.B. [1] A.M. [2] Parámetro de red ˙ A2.87 2.87 2.87 2.86 Potencial de cohesión [eV]−653.08577 −630.0662 −632.3298 −704.45669 Potencial de repulsión [eV]105.08928 82.9796 79.82605 187.28153 Potencial total [eV]−547.9965 −547.0866 −552.5038 −517.1752 Potencial de átomo [eV]−4.2812 −4.2741 −4.3164 −4.0404 Potencial teórico [eV]−4.2799 −4.2734 −4.3159 −4.0128 Error [%]0.0298 0.0158 0.0121 0.6832 67
68 Apéndice B. Tablas de resultados de los potenciales de las celdas computacionales perfectas Tabla B.3 Resultados de una Supercelda de Hierro CCI perfecta (3x3x3). Modelo F. S. [12] E.F.S. [10] A.B. [1] A.M. [2] Parámetro de red ˙ A2.87 2.87 2.87 2.86 Potencial de cohesión [eV]−2204.1644 −2126.4734 −2134.1133 −2377.89723 Potencial de repulsión [eV]355.0651 280.2621 269.7206 633.7142 Potencial total [eV]−1849.0993 −1846.2114 −1864.5412 −1744.183 Potencial de átomo [eV]−4.2803 −4.2736 −4.3160 −4.0128 Potencial teórico [eV]−4.2799 −4.2734 −4.3159 −4.0128 Error [%]0.0088 0.0047 0.0035 0.61
Índice de Figuras 1.1 Fotografía de unas torres de refrigeración de una Central Nuclear 1 1.2 Esquemas atómicos de las reacciones de fisión y fusión 2 1.3 Mineral de Hierro 3 1.4 Estructura de un átomo de Helio 4 1.5 Estructura de los átomos de Hidrógeno o Protio, H– (1.5a) y sus isótopos Deuterio, H (1.5b) y Tritio, H+(1.5c) 5 1.6 Gráfico de la reacción de fusión DT con las estructuras atómicas de los productos y reactivos 7 2.1 Redes de Bravais [16] 10 2.2 Modelos de redes cristalinas del hierro {BCC}en perspectiva real (2.2a) y geométrica (2.2b) 11 2.3 Espacios intersticiales octaédricos (2.3a) y tetraédricos (2.3b) de la estructura cristalina Cúbica Centrada en el centro [18] 11 2.4 Conjunto de posiciones intersticiales octaédricas (2.4a) y tetraédricas (2.4b) de la estructura cristalina Cúbica Centrada en el Centro {BCC}12 2.5 Átomo de Helio sustitucional 12 2.6 Ejemplos de planos de Miller en la celda cúbica básica 14 2.7 Origen y ejes de coordenadas de las estructuras cristalinas mediante los índices de Miller de una red cristalina perfecta (2.7a), una red cristalina con defecto sustitutivo (2.7b), una red cristalina con defecto en posición intersticial octaédrica (2.7c), y en posición intesticial tetraédrica (2.7d) 14 2.8 Celda bajo condiciones de contorno no periódicas 15 2.9 Problemática de las condiciones de contorno no periódicas en los casos donde el contorno se amplia siguiendo al átomo (2.9a), donde el átomo rebota en contorno (2.9b) o donde se pierde el átomo al salir de la celda (2.9c) 15 2.10 Celda computacional bajo condiciones de contorno periódicas 16 2.11 Seguimiento del átomo al salir de la celda computacional 16 2.12 Distancia entre átomos bajo condiciones de contorno periódicas 17 2.13 Sistema no periódico de 1D 17 2.14 Sistema proyectado de 1D con posiciones duplicadas 18 2.15 Sistema periódico de 1D 18 2.16 Sistema proyectado de 1D sin posiciones duplicadas 18 2.17 Celda computacional periódica de 1D con dos especies de átomos 18 2.18 Sistema proyectado de 1D de dos especies de átomos 18 2.19 Celda computacional periódica de 2D con dos especies de átomos 19 2.20 Sistema proyectado de 2D de dos especies de átomos 19 2.21 Conjunto de primeras y segundas proyecciones de una celda computacional bajo condiciones de contorno periódicas en 2D 20 2.22 Celda computacional de Hierro {BCC} periódica (2.22a) y proyecciones en ejes (x, y) (2.22b), en ejes (x, z) (2.22c) y en ejes (y, z) (2.22d) 21 2.23 Átomos extra de celda computacional Hierro {BCC} periódica (2.23a) y proyecciones en ejes (x, y) (2.23b), en ejes (x, z) (2.23c) y en ejes (y, z) (2.23d) 21 2.24 Conjunto de primeras proyecciones de la celda computacional en 3 dimensiones 22 69
70 Índice de Figuras 2.25 Proyecciones en condiciones periódicas de la celda computacional 23 2.26 Supercelda generada con las primeras proyecciones de la celda computacional 23 3.1 Interacciones de los potenciales en sistema de 2 átomos, (3.1a) potencial de Repulsión o de pares entre dos átomos y (3.1b) potencial de Cohesión o de muchos cuerpos entre dos átomos 25 3.2 Parámetros del potencial de repulsión en un sistema de 1 átomo de Helio y dos de Hierro, siendo Ri j , Rik las distancias entre el átomo de Helio (i) y los átomos de Hierro en las posiciones(j,k) y el ángulo entre los dos vectores de distancia θjik 41 4.1 Densidad electrónica eV2 de los modelos del Hierro [ 12 , 10 , 1 , 2 ] en función de la distancia ˙ A entre dos átomos de Hierro (4.1a) y en un rango de distancia interatómica de 2.5a4.5[˙ A](4.1b) 44 4.2 Curvas de los potenciales del modelo de Finnis y Sinclair (4.2a) y del modelo extendido de Finnis y Sinclair (4.2b) aplicados a un dímero de Hierro a una distancia Ri j 44 4.3 Curvas de los potenciales del modelo de Ackland y Bacon (4.3a) en un rango de distancias interatómico de de 2.5a4.5[˙ A](4.3b) aplicados a un dímero de Hierro a una distancia Ri j 44 4.4 Curvas de los potenciales del modelo de Ackland y Mendelev (4.4a) en un rango de distancias interatómica de 2.5a4.5[˙ A](4.4b) aplicados a un dímero de Hierro a una distancia Ri j 45 4.5 Curvas de potenciales en representación logarítmica (4.5a) de una dímera de Helio en unidades de temperatura [K] de los modelos [ 3 , 6 , 4 , 5 ] en los rangos de distancia interatómica, entre 0.0 y 2.0 [˙ A](4.5b), 1.5y3.0[˙ A](4.5c) y entre 2.0y5.0[˙ A](4.5d) 45 4.6 Curvas de potenciales en representación logarítmica (4.6a) de una dímera de Helio en unidades de energía [eV] de los modelos [ 3 , 6 , 4 , 5 ] en los rangos de distancia interatómica, entre 0.0 y 2.0[˙ A] (4.6b), 1.5y3.0[˙ A](4.6c) y entre 2.0y5.0[˙ A](4.6d) 46 4.7 Curva de la función de densidad (4.7a) y curva del potencial de cohesión (4.7b) en función de la distancia entre dos átomos de Hierro y Helio 46 4.8 Curvas de potencial de repulsión (4.8a) de los modelos [ 22 , 14 ] entre un átomo de Helio y un átomo de Hierro entre los rangos de distancia interatómica 1.0y5.0[˙ A](4.6c) 47 4.9 Potencial de repulsión desde dos perspectivas (4.9a, 4.9b) de una ternia de átomos He-Fe-Fe de los modelos [22, 19] como función del ángulo entre átomos θjik y la distancia Rik donde Ri j =1.8[˙ A]47 4.10 Energía de un átomo de Hierro en configuración {BCC}mediante el modelo de Finnis y Sinclair [12] 48 4.11 Energía de un átomo de Hierro en configuración {BCC} mediante el modelo extendido de Finnis y Sinclair [10] 48 4.12 Energía de un átomo de Hierro en configuración {BCC}mediante el modelo de Ackland y Bacon [1] 49 4.13 Energía de un átomo de Hierro en configuración {BCC}mediante el modelo de Ackland y Mendelev [2] 49 4.14 Potenciales totales por átomo según los modelos[ 12 , 10 , 1 , 2 ] (4.14a), en el rango de distancia interatómica entre 2.0−4.0[˙ A](4.14b) 50 4.15 Curvas de fuerza obtenidas al desarrollar las ecuaciones de los potenciales 54 4.16 Curvas de losotenciales y fuerzas totales por átomo del modelo [ 12 ] de Finnis y Sinclair (4.16a), el modelo extendido [ 10 ] de Finnis y Sinclair (4.16b), el modelo [ 1 ] de Ackland y Bacon (4.16c) y el modelo [2] de Ackland y Mendelev (4.16d) 55 4.17 Celda computacional perfecta (4.17a) frente a una celda computacional con un defecto tetraédrico (4.17b) 56 4.18 Superceldas de trabajo (4.18a) de dimensiones (2x2x2) y (4.18b) de dimensiones (3x3x3) con un defecto tetraédrico 57 4.19 Celda computacional con defecto tetraédrico proyectada bajo condiciones periódicas 57 4.20 Supercelda computacional (1x1x1)con defecto sustitutivo (4.20a) y proyección (4.20b) 58 4.21 Supercelda computacional (2x2x2)con defecto sustitutivo (4.21a) y proyección (4.21b) 58 4.22 Supercelda computacional (3x3x3)con defecto sustitutivo (4.22a) y proyección (4.22b) 58 4.23 Superceldas de trabajo con un defecto intersticial octaédrico en arista (4.23a) y cara (4.23b) 59 4.24 Supercelda computacional (1x1x1)con defecto intersticial octaédrico (4.24a) y proyección (4.24b) 59 4.25 Supercelda computacional (2x2x2)con defecto intersticial octaédrico (4.25a) y proyección (4.25b) 60 4.26 Supercelda computacional (3x3x3)con defecto intersticial octaédrico (4.26a) y proyección (4.26b) 60 4.27 Supercelda computacional (1x1x1)con defecto tetraédrico (4.27a) y proyección (4.27b) 61 4.28 Supercelda computacional (2x2x2)con defecto tetraédrico (4.28a) y proyección (4.28b) 61 4.29 Supercelda computacional (3x3x3)con defecto tetraédrico (4.29a) y proyección (4.29b) 61
Índice de Tablas 1.1 Comparación entre la tecnología de fisión y fusión nuclear 2 1.2 Propiedades del Hierro 3 1.3 Propiedades del helio 4 1.4 Orden de energías resultantes de los productos de la fusión 6 2.1 Posiciones intersticiales en la celda básica 13 2.2 Coordenadas de las primeras proyecciones de la celda computacional en 2 dimensiones 20 2.3 Coordenadas de las primeras proyecciones de la celda computacional en 3 dimensiones 22 3.1 Parámetros del modelo de potencial interatómico de Finnis y Sinclair 29 3.2 Parámetros del modelo de potencial interatómico de Finnis y Sinclair extendido 30 3.3 Parámetros ajustados del potencial interatómico de Ackland y Bacon 32 3.4 Valores de los parámetros de la función de proyección de Coulomb para el Hierro 33 3.5 Valores de los parámetros del potencial por pares en el intervalo x1<x<x233 3.6 Diferentes intervalos y ecuaciones del potencial de repulsión Vdel modelo de Ackland y Bacon 33 3.7 Valores de los parámetros del potencial de cohesión de Ackland y Mendelev 34 3.8 Parámetros del potencial de repulsión de Ackland y Mendelev 35 3.9 Valores de los parámetros del potencial HFDHE2 del Helio 36 3.10 Parámetros del modelo de potencial del Helio HFD-B 37 3.11 Valores de los parámetros del potencial HFD-B2 del Helio 37 3.12 Valores de los parámetros del potencial HFD-B3-FCI1 del Helio 38 3.13 Orbitales atómicos 38 3.14 Parámetros del modelo de orbital-s para el potencial de cohesión entre He-Fe 39 3.15 Valores de los parámetros del potencial de repulsión cruzada entre Helio y Hierro 40 3.16 Valores de los parámetros del potencial de repulsión cruzada entre Helio y Hierro basado en la función de Biersack - Zeigler 41 3.17 Valores de los parámetros del potencial de repulsión de tres cuerpos entre Helio y Hierro 42 4.1 Comparación entre los potenciales de este trabajo y los modelos teóricos 50 4.2 Información de los átomos vecinos del defecto 56 4.3 Potencial de formación del defecto sustitutivo 59 4.4 Potencial de formación del defecto octaédrico 60 4.5 Potencial de formación del defecto tetraédrico 62 B.1 Resultados de una Supercelda de Hierro CCI perfecta (1x1x1)67 B.2 Resultados de una Supercelda de Hierro CCI perfecta (2x2x2)67 B.3 Resultados de una Supercelda de Hierro CCI perfecta (3x3x3)68 71
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