Espacios de Hardy desde una perspectiva de la ingeniería

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE MATEM´ ATICA APLICADA II ESPACIOS DE HARDY DESDE UNA PERSPECTIVA DE LA INGENIER´ IA Por Francisco Jos´e Cruz Zamorano Dirigido por D. Manuel Domingo Contreras M´arquez Trabajo para optar al M´aster en Matem´aticas A la persona que ha cuidado de la familia mientras yo estudiaba: mi tata. Resumen En este trabajo se pretende estudiar algunos de los resultados m´as cl´asicos de la teor´ıa de los espacios de Hardy vistos con una perspectiva de la Ingenier´ıa. Para ello se introducen dos herramientas fundamentales en este ´area: las se˜nales y los sistemas. Con cierta naturalidad se pueden relacionar algunos espacios de se˜nales con espacios de Hardy, as´ı como sistemas con operadores sobre estos espacios. Esto lleva a formular conceptos propios de la Ingenier´ıa en t´erminos puramente matem´aticos. De hecho, desde este punto de vista se motivan muchos de los resultados que conforman los cimientos de los espacios de Hardy: teorema de Beurling, factorizaci´on interior-exterior, problema de interpolaci´on de Pick... Esta visi´on tambi´en resulta fruct´ıfera para introducir varias nociones novedosas, las cuales conducen a conexiones con otros objetos: operadores de multiplicaci´on, de Hankel, de Toeplitz... Abstract The aim of this work is to study some of the classical results in the theory of Hardy spaces seen from an Engineering perspective. In order to do that, two main tools are introduced: signals and systems. Some spaces of signals can be naturally related to Hardy spaces, as systems do with operatos on such spaces. This leads to the formulation of concepts that are purely based on Engineering in terms of mathematical ideas. Indeed, this point of view can be used to motivate some of the results in the core of Hardy spaces: Beuling’s theorem, inner-outer factorization, Pick’s interpolation problem... This vision can also be useful to present new notions, leading to connections with other objects: multiplication operators, Hankel and Toeplitz operators... ´ Indice Resumen Abstract Introducci´on 1. Preliminares 1 1.1. EspaciosdeHardy ........................ 1 1.2. Algunos resultados de factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Operadores de evaluaci´on y sus n´ucleos . . . . . . . . . . . . . 6 2. Se˜nales y sistemas 9 2.1. Se˜nales............................... 9 2.1.1. En Ingenier´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2. En Matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. Sistemas.............................. 10 2.2.1. En Ingenier´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2. En Matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Un enfoque anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4. Representaci´on de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5. Sistemas invariantes en `c(Z)................... 20 2.6. Estabilidad en `c(Z) ....................... 22 3. Se˜nales de cuadrado sumable 27 3.1. Sistemas en `p(Z)......................... 27 3.2. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3. Estabilidad en `2(Z) ....................... 36 3.4. TransformadaZ.......................... 38 3.5. Causalidad en `2(Z)........................ 44 3.6. Sistemas en `2(N)......................... 49 3.7. Nuevos conceptos sobre operadores . . . . . . . . . . . . . . . 54 Cap´ıtulo 1 Preliminares En este primer cap´ıtulo del trabajo trataremos de dar algunas “pinceladas” sobre aquellos conceptos y aquellas ideas que se usar´an a lo largo del mismo de manera frecuente, dotando al lector de un documento de referencia para consultar los resultados que sean necesarios posteriormente. De hecho, el contenido de este cap´ıtulo forma parte del programa de la asignatura “Variable Compleja y Operadores”, impartida en el M´aster en Matem´aticas de la Universidad de Sevilla. Es por ello que este es el ´unico cap´ıtulo en el que omitimos las pruebas de los correspondientes resultados. Una referencia adecuada donde estas se pueden consultar es [4]. 1.1. Espacios de Hardy Comenzaremos esta introducci´on preliminar con el concepto central sobre el que se pretende profundizar en el trabajo: los espacios de Hardy. Estos son espacios de funciones holomorfas. No obstante, como se ver´a, estos espacios est´an ´ıntimamente ligados con los espacios de Lebesgue. Es por ello que, de alguna manera, estos espacios ligan la variable compleja y la teor´ıa de la medida. Su construcci´on suele abordarse de la siguiente manera: Definici´on 1.1.1. Sea 1≤p < ∞cualquiera, y denotemos por H(D)al conjunto de todas las funciones holomorfas definidas sobre el disco unidad del plano complejo. Se define la aplicaci´on Mp: [0,1)×H(D)→Rdada por Mp(r, f) := 1 2πZ2π 0freitpdt1/p . 1 Para p=∞, se define la aplicaci´on M∞: [0,1) ×H(D)→Rdada por M∞(r, f) := sup |z|≤r |f(z)|. Usando esta aplicaci´on, se puede dar la siguiente definici´on de los espacios de Hardy. Definici´on 1.1.2. Sea 1≤p≤ ∞. Se denota por el espacio de Hardy Hp(D) al conjunto de funciones holomorfas f:D→C, de manera que sup 0≤r<1 Mp(r, f)<∞. Los espacios de Hardy resultan ser espacios de Banach de funciones holomorfas cuando se los dota de una topolog´ıa de la siguiente manera. Teorema 1.1.3. Sea 1≤p≤ ∞. Definamos la aplicaci´on k·kHp(D)de Hp(D) en Rdada por kfkHp(D):= sup 0≤r<1 Mp(r, f). Se verifica que k·kHp(D)es una norma sobre el espacio vectorial Hp(D)que lo dota de la estructura de un espacio de Banach. Es importante destacar que, para 1 ≤p≤ ∞, la funci´on Mpes creciente en su primer argumento. Es decir, para toda funci´on f∈Hp(D) se cumple que Mp(r1, f)≤Mp(r2, f),si 0 ≤r1≤r2<1. Esto permite justificar que, para toda funci´on f∈Hp(D), se cumple kfkHp(D)= l´ım r→1−Mp(r, f). Una de las razones por las que esta topolog´ıa se vuelve crucial en los espacios de Hardy es porque “respeta” la convergencia uniforme en compactos. Es decir, si {fn} ⊂ Hp(D) es una sucesi´on convergente a cierta f∈Hp(D) en la norma anterior, entonces fnconverge a funiformemente en cada compacto de D. Los espacios de Hardy se relacionan entre s´ı, como muestra el siguiente resultado: Proposici´on 1.1.4. Sean 1≤p<q≤ ∞. Se cumple que Hq(D)⊆Hp(D). 2 Los aspectos m´as relevantes de estos espacios, los cuales ser´an usados numerosas veces durante el trabajo, se dan en el siguiente resultado, donde denotamos por Ta la frontera de D, como es habitual. Teorema 1.1.5. Sean 1≤p≤ ∞ yf∈Hp(D). Se verifican las siguientes propiedades: (a) La funci´on fposee l´ımite no tangencial en casi todo ξ∈T. Es decir, para todo ξ∈Tsalvo en un conjunto de medida de Lebesgue nula, y para todo α > 1, existe f∗(ξ) := l´ım z→ξ z∈Γα(ξ) f(z), donde Γα(ξ) := {z∈D:|z−ξ|< α (1 − |z|)}, yf∗(ξ)es independiente de α(ver Figura 1.1.6). En particular, para todo ξ∈Tsalvo en un conjunto de medida de Lebesgue nula, existe el l´ımite radial de fen ξ, cumpliendo f∗(ξ) = l´ım r→1−f(rξ). (b) La funci´on f∗definida en casi todo ξ∈T(en el sentido de la medida de Lebesgue) pertenece a Lp(T). A´un m´as, se cumple que l´ım r→1−ZTf(reit)−f∗(eit)pdt = 0. En particular, kf∗kLp(T)=kfkHp(D). (c) Se verifica que log |f∗| ∈ L1(T). En particular, si f∗se anula en un subconjunto de Tcon medida de Lebesgue no nula, entonces f es id´enticamente nula sobre T. (d) Si la funci´on fviene dada por la serie de Taylor f(z) = ∞ X n=0 anzn, entonces se tiene que an=1 2πZT f∗(ξ)ξndm(ξ) = b f∗(n),para n= 0,1,..., donde b f∗(n)en el n-´esimo coeficiente de Fourier de f∗. 3 Figura 1.1.6: Ilustraci´on de la regi´on Γα(ξ) para α= 2 y ξ= 1 inscrita en D. La existencia de l´ımite no tangencial puede utilizarse para definir el siguiente espacio. Definici´on 1.1.7. Sea 1≤p≤ ∞. Se denota por el espacio de Hardy Hp(T) al conjunto de funciones medibles f:T→Cde manera que existe g∈Hp(D) tal que fes el l´ımite no tangencial de gen casi todo punto de T, es decir, f=g∗. Los espacios Hp(T) pueden verse como subespacios de Lp(T), heredando su norma y topolog´ıa. En este sentido es de destacar el siguiente resultado. Teorema 1.1.8. Sean 1≤p≤ ∞ y una funci´on f∈Lp(T). Entonces f pertenece a Hp(T)si y solo si los coeficientes de Fourier ˆ f(n)se anulan para todo entero n < 0. 1.2. Algunos resultados de factorizaci´on Las funciones de los espacios de Hardy tienen una cierta propiedad de factorizaci´on. Esta pone de manifiesto algunas propiedades de dichas funciones (entre otras, la distribuci´on de sus ceros), las cuales pueden usarse posteriormente en otros ´ambitos, tal y como haremos nosotros. Para introducir esto, tenemos que comenzar hablando de: 4 Definici´on 1.2.1. Dado a∈D, notamos por φa:D→Dal factor de Blaschke dado por φa(z) :=    |a| a a−z 1−¯az,si a6= 0, z, si a= 0, z∈¯ D. Los factores de Blaschke cumplen las siguientes propiedades: Proposici´on 1.2.2. Sea φa:D→Dun factor de Blaschke. Entonces φa es un automorfismo de D, es decir, una funci´on holomorfa y biyectiva. M´as a´un, |φa|= 1 sobre T. La propiedad enunciada en la proposici´on anterior para los factores de Blaschke ser´a fundamental en lo venidero. Es por ello que damos la siguiente definici´on: Definici´on 1.2.3. Se dice que ψ∈H∞(D)es una funci´on interior si es no constante y su l´ımite radial cumple |ψ∗|= 1 en casi todo T. Los factores de Blaschke pueden combinarse, dando lugar a los conocidos como productos de Blaschke: Teorema 1.2.4. Sea {aj}j∈J⊂N⊂D(con posibles elementos repetidos). Entonces, el producto de Blaschke B:D→Ddado por B(z) := Y j∈J φaj(z), z ∈D, converge a una funci´on holomorfa y no nula sobre Dsi y solo si X j∈J (1 − |aj|)<∞. M´as a´un, en ese caso, la convergencia es uniforme en compactos de D. Adem´as, B(z) = 0 si y solo si existe j∈Jtal que z=aj. De hecho, en ese caso, el orden de zcomo cero de Bcoincide con el n´umero de elementos de {aj}que coinciden con z. Tambi´en se verifica que Bes una funci´on interior. Los productos de Blashcke son ejemplos de funciones internas. Estos cobran relativa importancia a trav´es de la siguiente factorizaci´on de funciones. Teorema 1.2.5. Sean 1≤p≤ ∞ yh∈Hp(D)no id´enticamente nula. 5 (a) Sea {aj}j∈J⊂N⊂Dla sucesi´on de ceros de h, repetidos tantas veces como indique el orden de ajcomo cero de h, y de manera que |aj| ≤ |aj+1|. Entonces se verifica que X j∈J (1 − |aj|)<∞. (b) Sea Bel producto de Blashcke asociado a los ceros de h. Entonces se verifica que g=h/B ∈Hp(D)es una funci´on sin ceros en D, con kgkHp(D)=khkHp(D). Tambi´en existe un concepto “opuesto” al de funci´on interna, el cual damos a continuaci´on. Definici´on 1.2.6. Sea u∈H1(D). Se dice que ues una funci´on exterior si es de la forma u(z) = exp 1 2πZT 1 + ¯ ξz 1−¯ ξzdµ(ξ), z ∈D, donde µes una medida sobre T, boreliana, real y absolutamente continua respecto de la medida Lebesgue. Son las funciones interiores y exteriores las que permiten dar el siguiente resultado de factorizaci´on para funciones en espacios de Hardy: Teorema 1.2.7. Sea h∈H1(D). Entonces htiene una ´unica factorizaci´on h= Θu, donde Θes una funci´on interior, y ues la funci´on exterior dada por u(z) = exp 1 2πZ2π 0 1 + e−itz 1−e−itzlog f∗(eit)dt, z ∈D. M´as a´un, si h∈Hp(D)para alg´un 1≤p≤ ∞, entonces khkHp(D)=kukHp(D). A la factorizaci´on que se da en el teorema anterior se le conoce como factorizaci´on interior-exterior de h. 1.3. Operadores de evaluaci´on y sus n´ucleos En general, dado Hun espacio de Hilbert de funciones definidas sobre un conjunto A, tiene inter´es considerar los operadores lineales Ta:H→C, donde a∈A, dados por Ta(f) = f(a), f ∈H. 6 Cuando los operadores anteriores son, adem´as, continuos, el teorema de representaci´on de Riesz asegura que, para cada a∈A, existe cierta funci´on ka∈H, de manera que hka|fi=f(a) = Ta(f), f ∈H. Al conjunto de funciones {ka:a∈A}se les conoce como n´ucleos de H. En esta secci´on queremos poner de manifiesto que esta misma situaci´on se produce en H2(D). Para ello, damos el siguiente resultado. Lema 1.3.1. Sea f:D→Cuna funci´on holomorfa dada por f(z) = ∞ X n=0 anzn, z ∈D. Entonces, para todo 0< r < 1se verifica que M2(r, f)2= ∞ X n=0 |an|2r2n. A partir de la igualdad anterior puede probarse que H2(D) es un espacio de Hilbert, como muestra el siguiente resultado. Teorema 1.3.2. Sea f:D→Cuna funci´on holomorfa dada por f(z) = ∞ X n=0 anzn, z ∈D. Entonces, f∈H2(D)si y solo si ∞ X n=0 |an|2<∞. M´as a´un, la aplicaci´on hf|gi= ∞ X n=0 anbn, donde f(z) = ∞ X n=0 anzn, g(z) = ∞ X n=0 bnzn, z ∈D, es un producto escalar sobre H2(D)que verifica que kfk2 H2(D)=hf|fi= ∞ X n=0 |an|2. 7 Visto esto, queremos hallar los n´ucleos de H2(D). Para ello, definimos las siguientes funciones. Definici´on 1.3.3. Sea w∈D. Se define el n´ucleo kw:D→Dcomo kw(z) := 1 1−wz = ∞ X n=0 wnzn, z ∈D. Las funciones anteriores no solo son funciones de H2(D), como sugiere el siguiente resultado. Lema 1.3.4. Sea w∈D. Se verifica que kw∈H∞(D). Se puede verificar que las aplicaciones definidas anteriormente son, de hecho, los n´ucleos de H2(D). Teorema 1.3.5. Sean w∈Dyf∈H2(D). Se tiene que hkw|fi=f(w). M´as a´un, el operador de evaluaci´on Tw:H2(D)→Cdado por Tw(f) = f(w), f ∈H2(D), es lineal y continuo, verificando kTwk2=hkw|kwi=1 1− |w|2. 8 Cap´ıtulo 2 Se˜nales y sistemas En este cap´ıtulo haremos una breve introducci´on a la teor´ıa de se˜nales y sistemas, ´area que nos proporcionar´a el objeto matem´atico de estudio en este trabajo. Aunque esta es un ´area propia de la Ingenier´ıa, su versatilidad hace que sea de inter´es tambi´en en otros ´ambitos. Nuestro objetivo ser´a ofrecer una presentaci´on suficientemente abstracta, de manera que posteriormente podamos relacionar los conceptos que aqu´ı abordamos con ideas matem´aticas conocidas. 2.1. Se˜nales 2.1.1. En Ingenier´ıa En el lenguaje de la Ingenier´ıa, una se˜nal no es m´as que una magnitud que var´ıa con el tiempo. Esta magnitud puede, incluso, ser una magnitud f´ısica real. Por ejemplo, podr´ıamos considerar como se˜nal a la diferencia de potencial entre los bornes de un condensador enmarcado en un cierto circuito. En realidad, este ´ultimo ejemplo corresponde a lo que rigurosamente llamamos “se˜nal de tiempo continuo”. Existe tambi´en la idea de “se˜nal de tiempo discreto”. Este ´ultimo tipo de se˜nales puede obtenerse a trav´es de la medida peri´odica de una se˜nal de tiempo continuo, o a trav´es de magnitudes intr´ınsecamente discretas. 2.1.2. En Matem´aticas Para nosotros, solo ser´an de inter´es las se˜nales de tiempo discreto. Con el objetivo de tratarlas matem´aticamente, damos la siguiente definici´on abs- 9 Por otro lado, supongamos que Xes bi-invariante y que Tes invariante. Resta probar que si Tcumple la propiedad del enunciado, entonces es causal. Para ello, sea Tun sistema con la propiedad de que dada cualquier se˜nal φ∈Xcumpliendo que φ(n) = 0 para todo n∈Zcon n < 0 se tiene que (T(φ))(n) = 0 para todo n∈Zcon n < 0. Sean ψ1, ψ2∈Xdos se˜nales. Supongamos que existe un entero N∈Zde manera que ψ1(n) = ψ2(n),para todo n∈Zcon n≤N. En ese caso, definimos la se˜nal ψ:Z→Cdada por ψ(n) := ψ1(n+N)−ψ2(n+N), n ∈Z. Es decir ψ=τ−N 1(ψ1−ψ2), donde τ−N 1denota a la composici´on de τ−1 1consigo mismo Nveces. Es claro, por el car´acter bi-invariante de X, as´ı como por sus estructura de espacio vectorial, que ψ∈X. N´otese que, por construcci´on, se tiene que ψ(n) = 0 para todo n∈Zcon n≤0. En ese caso, por hip´otesis, se tiene que (T(ψ))(n) = (T(τ−N 1(ψ1−ψ2)))(n) = 0 para todo n∈Zcon n≤0. Pero, dado que Tes lineal e invariante, en virtud de la aplicaci´on reiterada del Lema 2.3.7, esto significa que (τ−N 1(T(ψ1)))(n)=(τ−N 1(T(ψ2)))(n) para todo n∈Zcon n≤0. Es decir (T(ψ1))(n+N)=(T(ψ2))(n+N) para todo n∈Zcon n≤0, o equivalentemente, (T(ψ1))(n) = (T(ψ2))(n) para todo n∈Zcon n≤N. En particular, (T(ψ1))(N)=(T(ψ2))(N), lo que muestra que Tes causal. Una vez visto este resultado, y para seguir con nuestro objetivo, introducimos la siguiente definici´on: 16 Definici´on 2.4.2. Dadas dos se˜nales φ1, φ2:Z→C, se define su convoluci´on como la se˜nal φ=φ1∗φ2:Z→Cdada por φ(n) := X m∈Z φ1(n−m)φ2(m), n ∈Z. N´otese que, a priori, la convoluci´on de dos se˜nales no tiene por qu´e estar bien definida: la serie de la definici´on anterior puede no ser convergente para ciertos valores de n∈Z. No obstante, existen espacios bien conocidos de se˜nales donde la convoluci´on est´a siempre bien definida. En estos casos, se puede comprobar lo siguiente: Lema 2.4.3. Sean dos se˜nales φ1, φ2:Z→Cde manera que las convoluciones φ1∗φ2yφ2∗φ1est´an bien definidas. En ese caso, se tiene que φ1∗φ2=φ2∗φ1. Demostraci´on. El resultado se deduce sin m´as que hacer un simple reordenamiento en la serie que define una convoluci´on. A saber, dado n∈Z, se tiene: (φ1∗φ2)(n) = X m∈Z φ1(n−m)φ2(m) =X m0∈Z m0=n−m φ1(m0)φ2(n−m0) = (φ2∗φ1)(n). La importancia de la convoluci´on de dos se˜nales radica en los siguientes resultados: Lema 2.4.4. Sea Xun espacio de se˜nales invariante y T:X→Xun sistema. Supongamos que existe una se˜nal k:Z→Cde manera que T(φ) = k∗φ, φ ∈X. En ese caso, Tes invariante. 17 Demostraci´on. Dado φ∈Xyn∈Z, se tiene (τ1(T(φ)))(n)=(τ1(k∗φ))(n) = (k∗φ)(n−1) =X m∈Z k(n−1−m)φ(m) =X m0∈Z m0=m+1 k(n−m0)φ(m0−1) =X m0∈Z k(n−m0)(τ1(φ))(m0) = (k∗(τ1(φ)))(n) = (T(τ1(φ)))(n). Por tanto, Tes invariante. En algunos espacios, como veremos a lo largo del trabajo, todos los operadores lineales y continuos que adem´as son invariantes son de tipo convoluci´on, como en el lema anterior. Lema 2.4.5. Sean Xun espacio de se˜nales invariante y T:X→Xun sistema. Supongamos que δ0∈Xy que existe una se˜nal k:Z→Cde manera que T(φ) = k∗φ, φ ∈X. En ese caso, k=T(δ0). M´as a´un, si Tes causal, entonces k(n) = 0 para todo n∈Zcon n < 0. Adem´as, si Xes bi-invariante, entonces Tes causal si y solo si k(n)=0 para todo n∈Zcon n < 0. Demostraci´on. Supongamos que Xes invariante. Comenzamos notando que, en virtud del Lema 2.4.4, se tiene que Tes invariante. Por otro lado, dado n∈Z, n´otese que (T(δ0))(n) = (k∗δ0)(n) =X m∈Z k(m)δ0(n−m) =k(n). Por tanto, se deduce que k=T(δ0) necesariamente. 18 Por otro lado, supongamos que Tes causal. En ese caso, en virtud de la Proposici´on 2.4.1, dado n∈Zcon n < 0, se tiene que k(n) = (T(δ0))(n) = 0. Supongamos, ahora, que Xes bi-invariante y que k(n) = 0 para todo n∈Zcon n < 0. En ese caso, dada cualquier se˜nal φ∈X, se tiene que (T(φ))(n)=(k∗φ)(n) =X m∈Z k(m)φ(n−m) =X m∈Z m≥0 k(m)φ(n−m), n ∈Z. Si adem´as se cumple que φ(n) = 0 para todo n∈Zcon n < 0 entonces (T(φ))(n) = X m∈Z m≥0 k(m)φ(n−m) =X m∈Z 0≤m≤n k(m)φ(n−m). En ese caso, si n < 0, se tiene que (T(φ))(n) = 0. Esto prueba, en virtud de la Proposici´on 2.4.1, que Tes causal. Se puede caracterizar tambi´en la causalidad de un sistema sin hacer uso expl´ıcito de su forma funcional (i.e., cuando no sabemos si se trata de un operador de tipo convoluci´on). Para ello, damos la siguiente definici´on: Definici´on 2.4.6. Denotamos por `(N)al conjunto de se˜nales φ:Z→C cumpliendo φ(n) = 0 para todo n∈Zcon n < 0. Usando el concepto anterior podemos ver el siguiente resultado: Lema 2.4.7. Sea Xun espacio de se˜nales y sea T:X→Xun sistema. Sea C=X∩`(N). Si Tes causal, entonces T(C)⊂C. M´as a´un, si Xes bi-invariante, y Tes invariante, entonces Tes causal si y solo si T(C)⊂C. Demostraci´on. Sea φ∈C. En ese caso, para todo N∈Zcon N < 0 se tiene que φ(n) = 0 si n≤N. Por causalidad, T(φ)(N) = 0. Por tanto, T(φ)∈C. 19 Como φ∈Ces arbitaria, esto demuestra que T(C)⊂C. En el caso de que Xsea bi-invariante y Tinvariante, resta demostrar que Tes causal si T(C)⊂C. De hecho, para verlo, probaremos el contrarrec´ıproco. Supongamos Tno es causal, es decir, que existen φ, ϕ ∈XyN∈Z con φ(n) = ϕ(n) para todo n≤N, pero T(φ)(N)6=T(ϕ)(N). Sea la se˜nal ψ=τ−N−1 1(φ−ϕ). N´otese que ψ∈X, puesto que Xes bi-invariante. Adem´as, por construcci´on, ψ∈C, pero T(ψ)(−1) = τ−N−1 1(T(φ−ϕ))(−1) =T(φ−ϕ)(N)6= 0, luego T(ψ)6∈ C, donde hemos usado que Tes invariante. Por tanto, se deduce que T(C)6⊂ C. 2.5. Sistemas invariantes en `c(Z) Una vez presentada la teor´ıa de se˜nales y sistemas en un espacio general, podemos pasar a trabajar con un espacio de se˜nales bien conocido, como el que definimos a continuaci´on: Definici´on 2.5.1. Sea `c(Z)el conjunto de se˜nales φ:Z→Ccon soporte compacto, es decir, tal que existe N∈Zde manera que φ(n) = 0,para n∈Zcon |n| ≥ N. La introducci´on de este espacio se debe a un doble prop´osito. Por un lado, servir´a como un primer acercamiento de la teor´ıa que hemos desarrollado hasta ahora a los espacios `p(Z). Por otro lado, el espacio tiene inter´es en s´ı mismo, puesto que muchas de las se˜nales reales son de soporte compacto en el tiempo. N´otese que `c(Z), independientemente de la norma con la que se le dote, es un espacio de se˜nales bi-invariante en el sentido de la Definici´on 2.3.2. Sobre ´el tenemos el siguiente resultado: Teorema 2.5.2. Sea T:`c(Z)→`c(Z)un sistema lineal. Entonces Tes invariante si y solo si es de la forma T(φ) = k∗φ, para toda se˜nal φ∈`c(Z), 20 donde k=T(δ0). Demostraci´on. Comenzamos notando que la convoluci´on k∗φpara φ∈`c(Z) est´a bien definida. Esto de debe a que, al ser φde soporte compacto, la serie que define dicha convoluci´on es, de hecho, una suma con un n´umero finito de t´erminos no nulos. Hecha esta salvedad t´ecnica, apreciamos que si que existe una se˜nal k:Z→Cde manera que T(φ) = k∗φ, para toda se˜nal φ∈`c(Z), entonces el Lema 2.4.4 asegura que Tes invariante. M´as a´un, dado que δ0∈`c(Z), el Lema 2.4.5 asegura que k=T(δ0). Rec´ıprocamente, sea φ∈`c(Z) cualquiera. Notemos que, dado n∈Z, puede expresarse φ(n) = X m∈Z φ(m)δm(n) = X m∈Z φ(m)(τm 1(δ0))(n), donde τm 1denota la composici´on del sistema τ1consigo mismo mveces. N´otese, adem´as, que la serie anterior solo posee un n´umero finito de t´erminos no nulos. En ese caso, como Tes lineal, se tiene que (T(φ))(n) = X m∈Z φ(m)(T(τm 1(δ0)))(n). M´as a´un, si Tes invariante, se tiene que (T(φ))(n) = X m∈Z φ(m)(τm 1(T(δ0)))(n) =X m∈Z φ(m)(T(δ0))(n−m) = (T(δ0)∗φ)(n). Por tanto, se deduce que Tes de la forma T(φ) = k∗φ, φ ∈`c(Z), para k=T(δ0). N´otese que el teorema anterior puede interpretarse como el rec´ıproco del Lema 2.4.4. 21 2.6. Estabilidad en `c(Z) Hasta ahora no hemos abordado el car´acter estable de un sistema. Para comenzar dando caracterizaciones de esta propiedad mostramos el siguiente resultado, donde dotamos a `c(Z) de la norma del supremo: Teorema 2.6.1. Sea Tun sistema lineal e invariante sobre `c(Z), y sea k:Z→Cla se˜nal de forma que T(φ) = k∗φpara toda se˜nal φ∈`c(Z). Entonces Tes ∞-estable si y solo si k∈`1(Z). Adem´as, en ese caso, se cumple que sup φ∈`c(Z) φ6=0 kT(φ)k`∞(Z) kφk`∞(Z) =kkk`1(Z). Demostraci´on. Recordamos que la se˜nal kdel enunciado viene dada por el Teorema 2.5.2. Supongamos que k∈`1(Z). En ese caso, obs´ervese que, dado φ∈`c(Z) y n∈Z, se tiene que |(T(φ))(n)|=|(k∗φ)(n)| ≤X m∈Z |φ(n−m)| |k(m)| ≤ kφk`∞(Z)X m∈Z |k(m)| =kφk`∞(Z)kkk`1(Z). Por tanto, tomando supremo, se tiene que sup φ∈`c(Z) φ6=0 kT(φ)k`∞(Z) kφk`∞(Z) ≤ kkk`1(Z)<∞.(2.1) Es decir, Tes ∞-estable. Por otro lado, supongamos ahora que Tes ∞-estable. Escojamos N∈Z cualquiera con N≥0. Definamos una se˜nal φN∈`c(Z) dada por φN(n) :=    k(−n) |k(−n)|,si |n| ≤ Nyk(−n)6= 0, 0,en otro caso, n∈Z. 22 En ese caso, se tiene que |(T(φN))(0)|=|(k∗φN)(0)| =X m∈Z k(m)φN(−m) = N X m=−N |k(m)| = N X m=−N |k(m)|. Adem´as, n´otese que si k6= 0, y N∈Zcon N≥0 es suficientemente grande, entonces se tiene que kφNk`∞(Z)= 1. Por tanto, como Tes ∞-estable, se tiene que N X m=−N |k(m)|=|(T(φN))(0)| ≤kT(φN)k`∞(Z) kφNk`∞(Z) ≤sup φ∈`c(Z) φ6=0 kT(φ)k`∞(Z) kφk`∞(Z) <∞.(2.2) Esto implica que k∈`1(Z). Adem´as, n´otese que las desigualdades dadas en las Ecuaciones (2.1) y (2.2) justifican que sup φ∈`c(Z) φ6=0 kT(φ)k`∞(Z) kφk`∞(Z) =kkk`1(Z). Podemos tambi´en analizar la estabilidad en sistemas causales. Para ello, damos la siguiente definici´on: Definici´on 2.6.2. Denotaremos por `c(N)al conjunto `c(Z)∩`(N). N´otese que el Lema 2.4.5 viene a decir que, bajo ciertas condiciones, la causalidad de un sistema Tse relaciona con el hecho de que T(δ0) = k∈`(N). Usando las ideas anteriores, podemos deducir el siguiente resultado: 23 Corolario 2.6.3. Sea T:`c(Z)→`c(Z)un sistema lineal, invariante y causal, y sea k∈`(N)la se˜nal de forma que T(φ) = k∗φpara toda se˜nal φ∈`c(Z). Entonces Tes ∞-estable si y solo si k∈`1(Z). Adem´as, en ese caso, la estabilidad de Tdepende solo de su acci´on sobre `c(N), es decir, se cumple que sup φ∈`c(N) φ6=0 kT(φ)k`∞(Z) kφk`∞(Z) =kkk`1(Z)= sup φ∈`c(Z) φ6=0 kT(φ)k`∞(Z) kφk`∞(Z) . Demostraci´on. Recordamos que la se˜nal kdel enunciado viene dada por el Teorema 2.5.2, que acabamos de reescribir. De hecho, el Lema 2.4.5 asegura que k=T(δ0)∈`c(N). Adem´as, la equivalencia entre la estabilidad del sistema y la sumabilidad de kes consecuencia directa del Teorema 2.6.1, donde tambi´en se justifica que sup φ∈`c(Z) φ6=0 kT(φ)k`∞(Z) kφk`∞(Z) =kkk`1(Z). Nos encaminamos, entonces, a probar la otra igualdad dada. Para ello, suponemos que Tes estable. Comenzamos observando que, como k∈`1(Z), la desigualdad dada en la Ecuaci´on (2.1) implica, en particular, que sup φ∈`c(N) φ6=0 kT(φ)k`∞(Z) kφk`∞(Z) ≤ kkk`1(Z). Para deducir la igualdad, escogemos N∈Zcualquiera con N≥0, y definimos (por analog´ıa con la demostraci´on del Teorema 2.6.1) la se˜nal dada por ψN:= τN 1(φN), donde φN(n) :=    k(−n) |k(−n)|,si |n| ≤ Nyk(−n)6= 0, 0,en otro caso, n∈Z, yτN 1denota la composici´on de τ1consigo mismo Nveces. N´otese que ψN 24 pertenece a `c(N). Adem´as, como Tes invariante, se tiene que |(T(ψN))(N)|=(T(τN 1(φN)))(N) =(τN 1(T(φN)))(N) =|(T(φN))(0)| =|(k∗φN)(0)| =X m∈Z k(m)φN(−m) = N X m=−N |k(m)| = N X m=−N |k(m)|. N´otese, adem´as, que si k6= 0 y N∈Zcon N≥0 es suficientemente grande, entonces kψNk`∞(Z)= 1. Por tanto, sin m´as que tomar l´ımite, se tiene que l´ım N→∞ kT(ψN)k`∞(Z) kψNk`∞(Z) =kkk`1(Z). Esto prueba, por tanto, que sup φ∈`c(N) φ6=0 kT(φ)k`∞(Z) kφk`∞(Z) =kkk`1(Z). 25 se consigue una condici´on suficiente y otra necesaria para la p-estabilidad. Es natural, entonces, preguntarse si existen sistemas T:`p(Z)→`p(Z), de la forma T(φ) = k∗φpara alguna se˜nal k:Z→C, y que sean p-estables, aunque k6∈ `1(Z). La b´usqueda de respuesta a esta pregunta en el caso p= 2 es la que nos gu´ıa en este cap´ıtulo, dando lugar al Teorema 3.3.1, al Teorema 3.5.1 y al Ejemplo 3.5.2. 3.2. Transformada de Fourier Para seguir con el estudio de sistemas sobre `2(Z) es conveniente introducir las siguientes ideas, que vienen dadas por la analog´ıa con el an´alisis de Fourier: Definici´on 3.2.1. Sea φ∈`2(Z)una se˜nal. Se llama transformada de Fourier de φa la funci´on ˆ φ:T→Cdada por ˆ φ(ξ) := X m∈Z φ(m)ξm, ξ ∈T. N´otese que la idea detr´as de la definici´on anterior es asociarle a cada se˜nal una funci´on, de manera que los coeficientes de Fourier de dicha funci´on vengan descritos por la propia se˜nal. En este punto, conviene recordar que L2(T) es un espacio de Hilbert bajo el producto escalar dado por hf|gi:= 1 2πZ2π 0 f(eiθ)g(eiθ)dθ, f, g ∈L2(T). Puede comprobarse que, entonces, el conjunto {fm} ⊂ L2(T) dado por fm(ξ) := ξm, ξ ∈T, m ∈Z, es un conjunto ortonormal. M´as a´un, es conocido que es un conjunto completo, es decir, el espacio vectorial que genera es denso en L2(T). Visto lo anterior, y para darle solidez a la ´ultima definici´on, damos el siguiente resultado: Teorema 3.2.2. Sean φ∈`2(Z)una se˜nal y ˆ φ:T→Csu transformada de Fourier. Se cumple que 32 (a) La funci´on ˆ φes de cuadrado integrable, es decir, ˆ φ∈L2(T). (b) Las normas de φyˆ φcoinciden, es decir, kφk2 `2(Z)=X m∈Z |φ(m)|2=1 2πZ2π 0 |ˆ φ(eiθ)|2dθ =kˆ φk2 L2(T). (c) La se˜nal φcoincide con los coeficientes de Fourier de ˆ φ, es decir, φ(n) = 1 2πZ2π 0 ˆ φ(eiθ)e−niθdθ, n ∈Z. Demostraci´on. (a) Por completitud, basta ver que la sucesi´on ˆ φN(ξ) := N X m=−N φ(m)ξm, ξ ∈T, N ∈Z, N ≥0, es una sucesi´on de Cauchy. Para verlo, sean 0 ≤N < M. N´otese que ˆ φM−ˆ φN2 L2(T)=hˆ φM−ˆ φN|ˆ φM−ˆ φNi =X m∈Z N<|m|≤MX m0∈Z N<|m|≤M φ(m)φ(m0)hξm|ξm0i =X m∈Z N<|m|≤M |φ(m)|2 ≤X m∈Z N<|m| |φ(m)|2. N´otese que l´ım N→+∞X m∈Z N<|m| |φ(m)|2= 0, al ser el resto de una serie convergente. Esto prueba lo requerido. 33 (b) Puesto que el conjunto {fm} ⊂ L2(T) dado por fm(ξ) := ξm, ξ ∈T, m ∈Z, es un conjunto ortonormal y completo, la igualdad entre normas se deduce de la conocida igualdad de Parseval para espacios de Hilbert. (c) De nuevo, al ser {fm}un conjunto ortonormal y completo, se tiene que la descomposici´on ˆ φ=X m∈Z hfm|ˆ φifm es ´unica. En ese caso, recordando la definici´on de ˆ φ, y por comparaci´on entre ambas expresiones, ha de ser φ(n) = hfn|ˆ φi=1 2πZ2π 0 ˆ φ(eiθ)e−niθdθ, n ∈Z. Adem´as, la transformada de Fourier se relaciona con la convoluci´on de dos se˜nales de manera an´aloga a la convoluci´on de dos funciones integrables: Lema 3.2.3. Sean φ∈`2 c(Z)yψ∈`2(Z)dos se˜nales. Entonces [ φ∗ψ(ξ) = ˆ φ(ξ)ˆ ψ(ξ), ξ ∈T. Demostraci´on. Sea N∈Ntal que φ(n) = 0 si |n|> N. Dado ξ∈T, se tiene 34 que [ φ∗ψ(ξ) = X n∈Z (φ∗ψ)(n)ξn =X n∈ZX m∈Z φ(m)ψ(n−m)ξn =X n∈Z N X m=−N φ(m)ψ(n−m)ξn = N X m=−NX n∈Z φ(m)ψ(n−m)ξn =X m∈ZX n∈Z φ(m)ψ(n−m)ξn =X m∈ZX n∈Z φ(m)ψ(n−m)ξn−mξm =X m∈Z φ(m)ˆ ψ(ξ)ξm =ˆ ψ(ξ)X m∈Z φ(m)ξm =ˆ ψ(ξ)ˆ φ(ξ). N´otese que los dos resultados anteriores inducen la siguiente relaci´on entre ambos espacios: Teorema 3.2.4. La aplicaci´onˆ ·:`2(Z)→L2(T)es un isomorfismo isom´etrico. Demostraci´on. N´otese que la aplicaci´on es trivialmente lineal. Adem´as, el Teorema 3.2.2 indica que dicha aplicaci´on est´a bien definida y es una isometr´ıa (y, por tanto, es inyectiva). Entonces, para ver que es un isomorfismo isom´etrico entre dichos espacios de Banach, basta ver que es sobreyectiva. Para comprobarlo, sea f∈L2(T), y sea φla sucesi´on de coeficientes de Fourier de f, es decir, φ(n) := 1 2πZ2π 0 f(eiθ)e−inθdθ =hfn|fi, n ∈Z, donde {fn} ⊂ L2(T) es el conjunto ortonormal y completo definido por fn(ξ) := ξn, ξ ∈T. 35 En ese caso, al ser f∈L2(T), es conocido que φ∈`2(Z). Adem´as, por las propiedades de {fn}, se tiene que f=X n∈Z hfn|fifn=X n∈Z φ(n)fn. Esta ´ultima igualdad es equivalente, como quer´ıamos, a ˆ φ=f. Nota 3.2.5. Durante el desarrollo del trabajo habr´a numerosas ocasiones donde nos interese ver a la transformada de Fourier como un operador (as´ı como en el Teorema 3.2.4). Donde sea necesario por claridad, usaremos F(φ) (y no ˆ φ) para referirnos a la transformada de Fourier de φ∈`2(Z), o bien usaremos Fpara referirnos al operador ˆ ·:`2(Z)→L2(T). 3.3. Estabilidad en `2(Z) N´otese que `2(Z) es un espacio de se˜nales bi-invariante, en el sentido de la Definici´on 2.3.2. Por tanto, como ya hicimos en el Cap´ıtulo 2, podemos estudiar c´omo caracterizar algunas de las propiedades que pueden poseer los sistemas sobre este espacio. Esto es de lo que trata el siguiente resultado, en el que cobra sentido la presentaci´on de la transformada de Fourier que realizamos anteriormente: Teorema 3.3.1. Sea T:`2(Z)→`2(Z)un sistema. Entonces Tes lineal, invariante y 2-estable si y solo si el sistema Tes de la forma T(φ) = k∗φ para todo φ∈`2(Z), con k=T(δ0)∈`2(Z)tal que ˆ k∈L∞(T). M´as a´un, en ese caso, se tiene que sup φ∈`2(Z) φ6=0 kT(φ)k`2(Z) kφk`2(Z) = sup f∈L2(T) f6=0 kˆ kfkL2(T) kfkL2(T) =kˆ kkL∞(T). Demostraci´on. Supongamos que Tes lineal, invariante y 2-estable. En ese caso, por el Teorema 3.1.2, sabemos que T(φ) = k∗φpara todo φ∈`2(Z), con k=T(δ0)∈`2(Z). Por tanto, dado φ∈`2 c(Z), se tiene que kT(φ)k`2(Z)=kk∗φk`2(Z)=kˆ kˆ φkL2(T), donde se han usado el Teorema 3.2.2 y el Lema 3.2.3. Entonces es claro, por densidad, y usando el Teorema 3.2.4, que sup φ∈`2(Z) φ6=0 kT(φ)k`2(Z) kφk`2(Z) = sup f∈L2(T) f6=0 kˆ kfkL2(T) kfkL2(T) . 36 Veamos ahora que, puesto que Tes 2-estable, ha de ser que ˆ k∈L∞(T). Para ello, procedemos por reducci´on al absurdo. N´otese que, por definici´on, ˆ k∈L2(T), por lo que ˆ kes un funci´on medible. Por tanto, consideremos los conjuntos medibles Ωn:= {ξ∈T:ˆ k(ξ)> n}, n > 0. Si ˆ k6∈ L∞(T), entonces la medida Lebesgue de Ωnha de ser estrictamente positiva para todo n > 0. Adem´as, se satisface que |ˆ k(ξ)|χΩn(ξ)≥nχΩn(ξ), ξ ∈T, n > 0, donde χAdenota la funci´on indicatriz de A⊂T. Por tanto, kˆ kχΩnkL2(T)≥nkχΩnkL2(T), n > 0. Es decir, kˆ kχΩnkL2(T) kχΩnkL2(T) ≥n, n > 0. N´otese que χΩn∈L2(T), por tanto lo anterior contradice la 2-estabilidad de T. Por consiguiente, ˆ k∈L∞(T). Veamos ahora que, de hecho, la norma del operador Ten `2(Z) es mayor que la norma de ˆ ken L∞(T). Para ello, tomemos 0 <<kˆ kkL∞(T). Consideremos el conjunto medible dado por Ω := {ξ∈T:kˆ kkL∞(T)− < |ˆ k(ξ)|}. N´otese que Ω tiene medida Lebesgue estrictamente positiva (si tuviese medida nula, entonces ˆ kestar´ıa esencialmente acotado por kˆ kkL∞(T)− < kˆ kkL∞(T)). Con esto en mente, observamos que (kˆ kkL∞(T)−)kχΩkL2(T)=k(kˆ kkL∞(T)−)χΩkL2(T) ≤ kˆ kχΩkL2(T). Por tanto, kˆ kkL∞(T)−≤kˆ kχΩkL2(T) kχΩkL2(T) ≤sup f∈L2(T) f6=0 kˆ kfkL2(T) kfkL2(T) . 37 Como lo anterior es cierto para arbitrariamente peque˜no, se deduce que kˆ kkL∞(T)≤sup f∈L2(T) f6=0 kˆ kfkL2(T) kfkL2(T) . Rec´ıprocamente, repitiendo los argumentos anteriores, n´otese que si se tiene que T(φ) = k∗φ, para k=T(δ0)∈`2(Z), tal que ˆ k∈L∞(T), entonces, usando argumentos de densidad, se tiene que sup φ∈`2(Z) φ6=0 kT(φ)k`2(Z) kφk`2(Z) = sup f∈L2(T) h6=0 kˆ kfkL2(T) kfkL2(T) ≤ kˆ kkL∞(T). En ese caso, Tes 2-estable. N´otese que este resultado supone una mejora, en el caso p= 2, a lo ya probado en el Teorema 3.1.2. La herramienta que, de hecho, nos ha ayudado a conseguir un resultado “m´as fuerte” es la transformada de Fourier en `2(Z). 3.4. Transformada Z Gracias a las ideas presentadas en la Secci´on 3.2 hemos podido dar, hasta ahora, una caracterizaci´on completa de los sistemas lineal, invariantes y 2-estables en `2(Z) (a saber, Teorema 3.3.1). No obstante, a´un no hemos podido hablar de la causalidad de un sistema, obteniendo resultados parecidos al Corolario 2.6.3. Para seguir trabajando en ello definimos el siguiente espacio, por analog´ıa con la Definici´on 2.6.2: Definici´on 3.4.1. Denotaremos por `2(N)al conjunto `2(Z)∩`(N). Nos interesa ahora definir una nueva transformada sobre este espacio: Definici´on 3.4.2. Sea φ∈`2(N). Definimos la transformada Zde φcomo la funci´on Zφ:D→Cdada por Zφ(z) := X m∈N φ(m)zm, z ∈D. Por claridad, cuando las expresiones lo requieran, notaremos por Z(φ) a la funci´on Zφ. 38 Observaci´on 3.4.3. En algunos textos es usual, dada φ∈`2(N), definir su transformada Zcomo la funci´on dada por Zφ(z) := X n∈N φ(n)1 zn,|z|>1. N´otese la analog´ıa de este concepto con el que nosotros hemos definido. El motivo de adoptar la Definici´on 3.4.2 es puramente t´ecnico: favorece la introducci´on de los espacios de Hardy, como se ve en el Teorema 3.4.4. Lo ´util de esta transformada es que, en alg´un sentido, generaliza a la transformada de Fourier de se˜nales de `2(N), aportando m´as informaci´on para el estudio de estas se˜nales. En particular, se verifican las siguientes propiedades: Teorema 3.4.4. Sean φ∈`2(N)yZφ su transformada Z. Entonces Zφ es una funci´on holomorfa en D, y la serie que define a Zφ converge uniformemente sobre compactos de D. M´as a´un, Zφ ∈H2(D). Adem´as, se tiene que l´ım r→1−Z2π 0ˆ φ(eit)−Zφ(reit)2dt = 0, es decir, l´ım r→1−kˆ φ−ZφrkL2(T)= 0, siendo Zφr(ξ) = Zφ(rξ), ξ ∈T. Demostraci´on. Comenzamos definiendo la sucesi´on de funciones dada por ZNφ(z) := N X m=0 φ(m)zm, z ∈D. N´otese que, fijado z∈D, se tiene que si 0 ≤N < M, entonces |ZMφ(z)−ZNφ(z)|2= M X m=N+1 φ(m)zm 2 ≤ M X m=N+1 |φ(m)|2· M X m=N+1 |z|2m = M X m=N+1 |φ(m)|2·|z|2N+2 1− |z|2, 39 donde hemos hecho uso de la desigualdad de H¨older. Esta desigualdad muestra que, si z∈D, la sucesi´on anterior es de Cauchy, y por tanto, convergente (en C). En ese caso, vemos que ZNφconverge puntualmente en DaZφ. M´as a´un, observamos lo siguiente: |Zφ(z)−ZNφ(z)|2= ∞ X m=N+1 φ(m)zm 2 ≤ ∞ X m=N+1 |φ(m)|2· ∞ X m=N+1 |z|2m = ∞ X m=N+1 |φ(m)|2·|z|2N+2 1− |z|2. En ese caso, para cada 0 < r < 1, se tiene que |Zφ(z)−ZNφ(z)|2≤r2N+2 1−r2 ∞ X m=N+1 |φ(m)|2,|z| ≤ r. Esto muestra que, la convergencia de ZNφaZφ es uniforme en compactos de D. Tomemos ahora, para cada 0 < r < 1, la funci´on Zφr(ξ) = Zφ(rξ) = X m∈N φ(m)rmξm, ξ ∈T. N´otese que Zφr∈L2(T). M´as a´un, la igualdad de Parseval establece que 1 2πZ2π 0Zφr(eit)2dt =X m∈N |φ(m)rm|2. En ese caso, n´otese que sup 0<r<1 1 2πZ2π 0Zφr(eit)2dt ≤X m∈N |φ(m)|2<∞. Por tanto, por definici´on, se tiene que Zφ ∈H2(D). Una vez visto esto, el Teorema 1.1.5 asegura que Zφ posee l´ımite no tangencial en casi todo T. Este l´ımite viene descrito por la funci´on l´ım r→1−Zφ(rξ) = X m∈N φ(m)ξm=ˆ φ(ξ), ξ ∈T. 40 Adem´as, se tiene la convergencia en norma cuadr´atica de Zrφaˆ φcuando r→1−. Esto finaliza la prueba. Lema 3.4.5. Sean φ, ψ ∈`2(N)dos se˜nales. Supongamos que φ∗ψ∈`2(Z). Entonces, φ∗ψ∈`2(N). Adem´as, se satisface que Z(φ∗ψ)(z) = Z(φ)(z)Z(ψ)(z), z ∈D. En particular, si φ∈`2(N)es tal que Zφ ∈H∞(D), entonces Z(φ∗ψ)(z) = Z(φ)(z)Z(ψ)(z), z ∈D, para toda se˜nal ψ∈`2(N). Demostraci´on. Comenzamos notando que, si n∈Z, entonces (φ∗ψ)(n) = X m∈Z φ(n−m)ψ(m) =X m∈N φ(n−m)ψ(m) = n X m=0 φ(n−m)ψ(m). Por tanto, si n < 0, es claro que (φ∗ψ)(n) = 0. De esta forma, si asumimos que φ∗ψ∈`2(Z), se tiene que φ∗ψ∈`2(N). M´as a´un, dado z∈D, tiene sentido calcular Z(φ∗ψ)(z) = X n∈N (φ∗ψ)(n)zn =X n∈NX m∈Z φ(m)ψ(n−m)zn =X n∈N n X m=0 φ(m)ψ(n−m)zn =X m∈N ∞ X n=m φ(m)ψ(n−m)zn =X m∈N ∞ X n=m φ(m)ψ(n−m)zn−mzm =X m∈N φ(m)Z(ψ)(z)zm =Z(ψ)(z)X m∈N φ(m)zm =Z(ψ)(z)Z(φ)(z). 41 invariante, 2-estable y causal. Por tanto, para ver que la condici´on suficiente del Teorema 3.1.2 no es necesaria, hemos de encontrar un ejemplo tal que k6∈ `1(N). Abordaremos esta b´usqueda de manera indirecta: Supongamos que k∈`1(N)∩`2(N). N´otese que, entonces Zk puede extenderse a T, de manera que Zk resulte holomorfa en Dy continua en D. Para verlo, basta tomar z∈Darbitrario y notar que |Zk(z)|=X n∈N k(n)zn ≤X n∈N |k(n)| |z|n ≤X n∈N |k(n)|<∞, pues k∈`1(N). Por tanto, por el Teorema M de Weiertrass, se tiene que la sucesi´on de sumas parciales SN(z) = N X n=0 k(n)zn, z ∈D, N ∈N, converge uniformemente en D. Dado que la convergencia uniforme preserva la continuidad, se verifica lo que hemos afirmado. Visto esto, supongamos hallado h∈H∞(D) tal que hno posee una extensi´on continua a todo D(notar que s´ı existe, por supuesto, una extensi´on no tangencial salvo un conjunto de medida nula sobre T, siento esta exten- si´on medible). En cualquier caso, dado que H∞(D)⊂H2(D), se tiene que h∈H2(D). Por tanto, tiene sentido tomar k=Z−1(h)∈`2(N). Por construcci´on, ha de ser que k6∈ `1(N). Sin embargo, por el Teorema 3.5.1, el sistema T:`2(Z)→`2(Z) dado por T(φ) = k∗φpara todo φ∈`2(Z) es lineal, 2-estable, invariante y causal. Basta, entonces, dar un ejemplo expl´ıcito de una funci´on h∈H∞(D) que no posea una extensi´on continua a todo D. Por ejemplo, h(z) = exp −1 + z 1−z, z ∈D. Es claro que hes holomorfa sobre D. M´as a´un, n´otese que h(z) = exp(Ψ(z)), z ∈D, 48 donde Ψ: D→Ces la transformaci´on de M¨obius dada por Ψ(z) = −1 + z 1−z, z ∈D. Usando las propiedades de estas transformaciones (entre otras, que lleva circunferencias generalizadas en circunferencias generalizadas) es f´acil ver que Ψ(D) = {z∈C: Re(z)<0}. Por tanto, |h(z)|=|exp(Ψ(z))|= exp(Re(Ψ(z))) ≤exp(0) = 1. As´ı, h∈H∞(D). Adem´as, se tiene que l´ım r→1−h(r) = l´ım r→1−exp −1 + r 1−r= exp(−∞)=0. Si embargo, sea C:= z∈C:z−1 2=1 2⊂D. N´otese que 1 ∈C. De nuevo, por las propiedades de las transformaciones de M¨obius, se puede comprobar que Ψ(C) = {z∈C: Re(z) = −1}. Por tanto, l´ım z→1 z∈C |h(z)|= l´ım z→1 z∈C exp(Re(Ψ(z))) = e−1. Esto implica que l´ım z→1 z∈C h(z)6= 0, lo que muestra que hno puede extenderse de manera continua a todo T (puesto que no puede extenderse en 1 de manera continua). 3.6. Sistemas en `2(N) As´ı como hemos tratado especialmente los sistemas sobre `2(Z), cobran especial inter´es los sistemas definidos sobre `2(N). N´otese que estos sistemas son muy diferentes: unos est´an definidos sobre un espacio bi-invariante, mientras que otros lo est´an sobre uno simplemente invariante. No obstante, podemos dar caracterizaciones de los sistemas sobre `2(N), donde vuelve a ser fruct´ıfero el concepto de transformada Z(lo que muestra que estos sistemas, de nuevo, est´an relacionados con el espacio H2(D)). 49 Teorema 3.6.1. Sea T:`2(N)→`2(N)un sistema. Entonces Tes lineal, invariante y 2-estable si y solo si el sistema Tes de la forma T(φ) = k∗φ para todo φ∈`2(N), con k=T(δ0)∈`2(N)tal que Z(k)∈H∞(D). M´as a´un, en ese caso, se tiene que sup φ∈`2(N) φ6=0 kT(φ)k`2(N) kφk`2(N) = sup f∈H2(D) f6=0 kZ(k)fkH2(D) kfkH2(D) =kZ(k)kH∞(D). Demostraci´on. Supongamos que Tes un sistema de la forma T(φ) = k∗φ para todo φ∈`2(N), con k=T(δ0)∈`2(N) tal que Z(k)∈H∞(D). En ese caso, es claro que Tes lineal e invariante (por el Lema 2.4.4). M´as a´un, usando las propiedades de la transformada Z, se tiene que para toda φ∈`2(N) se cumple kT(φ)k`2(N)=kk∗φk`2(N) =kZ(k)Z(φ)kH2(D) ≤ kZ(k)kH∞(D)kZ(φ)kH2(D) =kZ(k)kH∞(D)kφk`2(N). Por tanto, Tes tambi´en 2-estable. Adem´as, se cumple sup φ∈`2(N) φ6=0 kT(φ)k`2(N) kφk`2(N) ≤ kZkkH∞(D). Rec´ıprocamente, supongamos que Tes lineal, invariante y 2-estable. Sea φ∈`2(N). Recu´erdese que el conjunto de se˜nales {δm:m∈N}es completo en `2(N). En ese caso, n´otese que para cada φ∈`2(N) podemos escribir φ=X m∈N φ(m)δm, indicando que la sucesi´on de sumas parciales de la serie anterior converge, en norma, a φ. Para ver esto, escogemos N∈N, y definimos φN:= N X m=0 φ(m)δm. En ese caso, si 0 ≤M < N, se tiene que kφM−φNk2 `2(N)= N X m=M+1 φ(m)δm 2 `2(N) = N X m=M+1 |φ(m)|2. 50 Por tanto, {φN}es una sucesi´on de Cauchy, cuyo l´ımite (que existe por completitud) es φ. En ese caso, si Tes lineal y 2-estable (es decir, continuo), podemos expresar T(φ) = X m∈N φ(m)T(δm) =X m∈N φ(m)T(τm 1(δ0)). En ese caso, si Tes adem´as invariante, se tiene que T(φ) = X m∈N φ(m)τm 1(T(δ0)). Por tanto, fijado n∈N, se tiene que (T(φ))(n) = X m∈N φ(m)(τm 1(T(δ0)))(n) =X m∈N φ(m)(T(δ0))(n−m) = (T(δ0)∗φ)(n). Por tanto, Tes de forma T(φ) = k∗φpara φ∈`2(N), donde k=T(δ0). Veamos ahora, puesto que Tes 2-estable, que Zk ∈H∞(D). Para ello, fijado z∈D, definimos el operador δz:H2(D)→Cdado por δz(f) := f(z), f ∈H2(D). N´otese que δzes un operador lineal. Adem´as, es continuo. Para ver esto, tomemos f∈H2(D) dada por f(w) := ∞ X k=0 akwk, w ∈D. Se verifica |δzf|=|f(z)| = ∞ X k=0 akzk ≤ ∞ X k=0 |ak|2 1/2 ∞ X k=0 |z|2k 1/2 =kfkH2(D) q1− |z|2, 51 donde hemos usado la desigualdad de Cauchy-Schwartz en `2(N). Por tanto, kδzk(H2(D))∗= sup f∈H2(D) f6=0 |δz(f)| kfkH2(D) ≤1 q1− |z|2. M´as a´un, si definimos la funci´on g:D→Cdada por g(w) := q1− |z|2 1−¯zw =q1− |z|2 ∞ X k=0 ¯zkwk, w ∈D, es f´acil ver que ges continua en todo el disco unidad cerrado. Por tanto, g∈H2(D). De hecho, se puede calcular que kgk2 H2(D)= (1 − |z|2) ∞ X k=0 |z|2k= 1. Adem´as, n´otese que |δz(g)|=q1− |z|2 ∞ X k=0 |z|2=1 q1− |z|2. Por tanto, esto demuestra que kδzk(H2(D))∗=1 q1− |z|2. Con esto en mente, notemos que al ser Zun isomorfismo isom´etrico entre `2(N) y H2(D), podemos ver que dado φ∈`2(Z) se tiene que kT(φ)k`2(N)=kk∗φk`2(N)=kZ(k∗φ)kH2(D)=kZkZφkH2(D), donde hemos usado el Lema 3.4.5. Ahora bien, tomemos ϕ∈`2(N) tal que Zϕ =g(n´otese que tal se˜nal existe y tiene norma unidad, puesto que Zes una isometr´ıa sobreyectiva). En ese caso, se cumple que |δz(ZkZϕ)|=|δz(Zkg)| =|Zk(z)g(z)| =|Zk(z)| q1− |z|2. 52 Sin embargo, usando la acotaci´on de δzyT, tambi´en puede verse que |δz(ZkZϕ)|=|δz(Zkg)| ≤C1kZkgkH2(D) =C1kk∗ϕk`2(N) =C1kT(ϕ)k`2(N) ≤C1C2kϕk`2(Z) ≤C1C2, donde C1:= 1 q1− |z|2, C2:= sup φ∈`2(N) φ6=0 kT(φ)k`2(N) kφk`2(N) . En definitiva, se deduce que |Zk(z)| ≤ C2<∞. Como lo anterior es cierto para z∈Dcualquiera, se deduce que Zk es un funci´on acotada. Por tanto, Zk ∈H∞(D). De hecho, kZ(k)kH∞(D)≤sup φ∈`2(N) φ6=0 kT(φ)k`2(N) kφk`2(N) . Esto termina la demostraci´on. A partir del resultado anterior puede darse una relaci´on entre los sistemas lineales, estables e invariantes sobre `2(N) con los causales. Corolario 3.6.2. Sea T:`2(N)→`2(N)un sistema lineal, 2-estable e invariante. Entonces es causal. Demostraci´on. Por el Teorema 3.6.1, Tes de la forma T(φ) = k∗φpara todo φ∈`2(N), con k=T(δ0)∈`2(N) tal que Z(k)∈H∞(D). Con lo anterior en mente, sean φ, ϕ ∈`2(N). Supongamos que existe N∈Ntal que φ(n) = ϕ(n),para todo n∈Ncon n≤N. 53 En ese caso, se tiene que T(φ)(N) = (k∗φ)(N) = N X n=0 k(N−n)φ(n) = N X n=0 k(N−n)ϕ(n) = (k∗ϕ)(N) =T(ϕ)(N), N´otese que esto significa, por definici´on, que Tes causal. El resultado anterior no es cierto para sistemas sobre `2(Z). Basta pensar en el inverso del operador shift, τ−1 1, que es lineal, 2-estable e invariante, pero no es causal. Para verlo, es suficiente ver que si Θ ∈`2(Z) es la se˜nal nula, entonces Θ(n) = δ1(n) = 0, n ≤0. Sin embargo, τ−1 1(Θ)(0) = Θ(1) = 0 6=1=δ1(1) = τ−1 1(δ1)(0). 3.7. Nuevos conceptos sobre operadores Hasta el momento hemos utilizado tres isomorfismos isom´etricos de origen cl´asico: F:`2(Z)→L2(T),F:`2(N)→H2(T), Z :`2(N)→H2(D). Estos isomorfismos relacionan los espacios de se˜nales que hasta ahora estamos estudiando con espacios propios del An´alisis Matem´atico. Lo que queremos ahora es usar estos isomorfismos para relacionar, no los espacios en s´ı mismos, sino las aplicaciones entre ellos: los sistemas y los operadores sobre los espacios que nos conciernen. Esto puede realizarse a trav´es de la siguiente idea: Teorema 3.7.1. Sea I:X→Yun isomorfismo isom´etrico entre dos espacios de Banach. Notemos por B(X)al espacio de Banach definido por los operadores lineales y continuos de Xen s´ı mismo, dotado de la norma usual, y an´alogamente para B(Y). Entonces, la aplicaci´on Λ: B(X)→B(Y)dada por Λ(T) = ITI−1, T ∈B(X) es un isomorfismo isom´etrico entre los espacios de operadores anteriores. 54 Demostraci´on. Comenzamos notando que Λ est´a bien definido, puesto que ITI−1∈B(Y) para todo T∈B(X). Es f´acil comprobar que esta aplicaci´on es lineal. Adem´as, tambi´en es sobreyectiva: si S∈B(Y), entonces T=I−1SI ∈B(X) con Λ(T) = S. Resta ver que es una isometr´ıa (y, por tanto, es una aplicaci´on inyectiva). Para ello, puesto que Ies biyectivo, notamos que sup y∈Y y6=0 kITI−1ykY kykY = sup x∈X yx6=0 kITxkY kIxkY . Pero, como Ies una isometr´ıa, se tiene que kITxkY kIxkY =kTxkX kxkX , x ∈X, x 6= 0. Por tanto, sup y∈Y y6=0 kITI−1ykY kykY = sup x∈X x6=0 kTxkX kxkX =kTkB(X). Es decir, kΛTkB(Y)=ITI−1B(Y)=kTkB(X). En ese caso, puesto que Λ act´ua entre espacios de Banach, es claro que es un isomorfismo isom´etrico. Intentemos, ahora, identificar el operador shift τ1:`2(Z)→`2(Z) en L2(T). Para ello, siguiendo el Teorema anterior, hacemos uso del isomorfismo isom´etrico dado por I:= ˆ ·:`2(Z)→L2(T). En concreto, se tiene que (Λ(τ1))(f) = [ τ1(φ), donde f∈L2(T) y φ∈`2(Z) es tal que ˆ φ=f(i.e., φes la imagen inversa de fa trav´es de ˆ ·). M´as detalladamente, si f(ξ) = X n∈Z ˆ f(n)ξn, ξ ∈T, entonces (Λ(τ1))(f)(ξ) = X n∈Z ˆ f(n−1)ξn=X n∈Z ˆ f(n)ξn+1 =ξf(ξ), ξ ∈T. 55 Por tanto, se tiene que Λ(τ1) es un operador de tipo multiplicaci´on. M´as concretamente, Λ(τ1)(f) = idTf, f ∈L2(T). En base a este c´alculo, definimos lo siguiente: Definici´on 3.7.2. Llamamos operador shift en L2(T)al operador ˆτ1:L2(T)→ L2(T)dado por ˆτ1(f) = idTf, f ∈L2(T). Es claro, entonces, que los conceptos propios de los sistemas (invariancia, causalidad) pueden “traducirse” a operadores sobre L2(T) a trav´es de estas idea. En base a esto, definimos lo siguiente: Definici´on 3.7.3. Sea Ψ: L2(T)→L2(T)un operador. Sea Tel sistema asociado a Ψv´ıa el Teorema 3.7.1 con ˆ ·como isomorfismo isom´etrico. Diremos que Ψes invariante (causal) si Tes invariante (causal). Estas definiciones, aunque naturales, pueden resultar demasiado indirectas. Es por ello que damos el siguiente resultado de caracterizaci´on: Teorema 3.7.4. Sea Ψ: L2(T)→L2(T)un operador lineal. Se verifica: (a) Ψes invariante si y solo si conmuta con ˆτ1. (b) Ψes invariante y continuo si y solo si es un operador de tipo multiplicaci´on con s´ımbolo en L∞(T), es decir, es de la forma Ψ(f) = gf, f ∈L2(T), para cierta funci´on g∈L∞(T). (c) Ψes causal si y solo si para f, g ∈L2(T)dadas por f(ξ) = X n∈Z anξn, g(ξ) = X n∈Z bnξn, ξ ∈T, y Ψ(f)(ξ) = X n∈Z cnξn,Ψ(g)(ξ) = X n∈Z dnξn, ξ ∈T, se cumple que si existe N∈Zcon an=bnpara todo n∈Zcon n≤N, entonces cN=dN. (d) Si Ψes invariante, entonces Ψes causal si y solo si Ψ(H2(T)) ⊂ H2(T). 56 (e) Ψes invariante, causal y continuo si y solo si es un operador de tipo multiplicaci´on con s´ımbolo en H∞(T), es decir, es de la forma Ψ(f) = hf, f ∈L2(T), para cierta funci´on h∈H∞(T). Demostraci´on. (a) Por comodidad, denotemos por F(y no por ˆ ·) a la transformada de Fourier, es decir, F(φ) = ˆ φ, φ ∈`2(Z). Sea el sistema T=F−1ΨFsobre `2(Z). Se verifica: Ψ es invariante ⇐⇒ Tes invariante ⇐⇒ Tτ1=τ1T ⇐⇒ F−1ΨFτ1=τ1F−1ΨF ⇐⇒ ΨFτ1=Fτ1F−1ΨF ⇐⇒ ΨFτ1F−1=Fτ1F−1Ψ. Pero, por definici´on, se tiene que ˆτ1=Fτ1F−1. Por tanto Ψ es invariante ⇐⇒ Ψ ˆτ1= ˆτ1Ψ. (b) Con las notaciones anteriores, y usando el Teorema 3.3.1, se tiene que el sistema Tes de la forma T(φ) = k∗φ, φ ∈`2(Z), para k=T(δ0)∈`2(Z) con ˆ k∈L∞(T). En ese caso, dado f∈L2(T), se tiene que Ψ(f) = F(T(F−1(f))) = [ k∗φ=ˆ kf, donde φ∈`2(Z) es tal que ˆ φ=f. (c) Con las notaciones anteriores, recu´erdese que Ψ es causal si y solo si Tes causal. Pero Tes causal si y solo si para φ, ϕ ∈`2(Z) tales que existe N∈Zcon φ(n) = ϕ(n) para todo n≤Nse cumple que T(φ)(N) = T(ϕ)(N). Ahora bien, como Fes una biyecci´on, lo anterior es equivalente a pedir que si f, g ∈L2(T), definidas por f(z) = X n∈Z anξm, g(z) = X n∈Z bnξn, ξ ∈T, 57 subespacios de L2(T) de la siguiente manera: Lema 4.2.1. Sea Xun subespacio vectorial de `2(Z). Entonces Xes un subespacio de se˜nales bi-invariante (invariante) si y solo si ˆ Xes un subespacio vectorial bi-invariante (invariante) para el operador ˆτ1:L2(T)→L2(T), es decir, si y solo si ˆ X:= {ˆ φ∈L2(T) : φ∈X} cumple ˆτ1(ˆ X) = ˆ X( ˆτ1(ˆ X)⊂ˆ X), donde ( ˆτ1(f))(ξ) := ξf(ξ), f ∈L2(T), ξ ∈T. Demostraci´on. Comenzamos notando que el operador ˆτ1est´a bien definido, es decir, n´otese que dada f∈L2(T) se tiene que |ˆτ1(f)|=|ξf(ξ)|=|f(ξ)|, ξ ∈T. Por tanto, kˆτ1(f)kL2(T)=kfkL2(T). M´as a´un, notemos que el operador τ1:`2(Z)→`2(Z) viene dado como τ1(φ) = k∗φ, φ ∈`2(Z), donde k=δ1:Z→C. En ese caso, dado φ∈X, n´otese que [ τ1(φ) = \ δ1∗φ=ˆ δ1ˆ φ, donde ˆ δ1(ξ) = X m∈Z δ1(m)ξm=ξ, ξ ∈T. Por tanto, τ1(X) = X⇐⇒ {δ1∗φ:φ∈X}=X ⇐⇒ { ˆ δ1ˆ φ:φ∈X}=ˆ X ⇐⇒ ˆτ1(ˆ X) = ˆ X, (an´alogamente con la contenci´on en el caso de la invariancia) donde se ha usado la biyectividad del operador ˆ ·:`2(Z)→L2(T) dada por el Teorema 3.2.2. Esto justifica el resultado. 64 Acabamos de reducir el problema de hallar los subespacios de se˜nales invariantes y bi-invariantes de `2(Z) a hallar ciertos subespacios de L2(T). Estos subespacios, de hecho, son bien conocidos. Antes de caracterizarlos, necesitamos presentar el siguiente resultado: Lema 4.2.2. Sea Xun espacio de Hilbert. Sean N⊂M⊂Xdos subespacios vectoriales cerrados. En ese caso, se verifica que M∩N⊥={0}si y solo si M=N, donde N⊥={x∈X:hx|ni= 0 para todo n∈N}. Demostraci´on. Es claro que, si M=N, entonces M∩N⊥={0}. Rec´ıprocamente, sea x∈Mcualquiera. Sea P:X→Nla proyecci´on ortogonal de Xsobre N. Notemos n:= P(x). En ese caso, x−n∈N⊥, por construcci´on. M´as a´un, n´otese que x−n∈M, pues que x∈Myn∈N⊂M. En ese caso, x−n∈M∩N⊥={0}. Por tanto, x=n. Se deduce que x∈N. Lo anterior muestra que M⊂N, lo que implica que M=N. Ahora estamos en posici´on de caracterizar los subespacios vectoriales cerrados de L2(T) que son bi-invariantes: Teorema 4.2.3. Sea M⊂L2(T)un subespacio vectorial cerrado. En ese caso, Mes bi-invariante para el operador ˆτ1:L2(T)→L2(T)(es decir, M cumple ˆτ1(M) = M) si y solo si M=χL2(T), donde χ:T→ {0,1}es la funci´on caracter´ıstica de alg´un subconjunto medible de T. Demostraci´on. Comenzamos notando que todo subespacio cerrado de la forma M=χL2(T) es bi-invariante para ˆτ1. Para verlo, notamos que ˆτ1(f)∈L2(T)⇐⇒ f∈L2(T). En ese caso, se tiene que f∈ˆτ1(M)⇐⇒ f(ξ) = ξχ(ξ)g(ξ), ξ ∈T, g ∈L2(T) ⇐⇒ f(ξ) = χ(ξ)( ˆτ1(g))(ξ), ξ ∈T, g ∈L2(T) ⇐⇒ f(ξ) = χ(ξ)˜g(ξ), ξ ∈T,˜g∈L2(T) ⇐⇒ f∈M. 65 Esto muestra que Mes bi-invariante para ˆτ1. Rec´ıprocamente, supongamos que Mes bi-invariante para ˆτ1. En ese caso, sea 1:T→Cla funci´on definida por 1(ξ) := 1 para todo ξ∈T. Notemos, adem´as, que 1∈L2(T). Sea, tambi´en, la proyecci´on ortogonal P:L2(T)→M. A trav´es de ella, definamos χ:= P(1). N´otese que χ∈M, por definici´on. Como Mes bi-invariante para ˆτ1, esto significa que ˆτ1n(χ)∈Mpara todo n∈Z. Por tanto, por ortogonalidad, se cumple que h1−χ|ˆτ1n(χ)i= 0, n ∈Z. Es decir, 1 2πZ2π 0χ(eit)−χ(eit)2eintdt = 0, n ∈Z. En otras palabras, todos los coeficientes de Fourier de la funci´on χ− |χ|2son nulos. Esto implica que la funci´on χ−|χ|2es nula en casi todo. Por tanto, en casi todo, la funci´on χsolo toma el valor 0 o 1. Se deduce que χes la funci´on caracter´ıstica de alg´un subconjunto medible de T. Definamos, ahora, el conjunto N:= χL2(T). Notemos que Nes un subespacio vectorial. Adem´as, ya probamos que N, as´ı definido, es bi-invariante para ˆτ1. Por otro lado, n´otese que el espacio vectorial que genera {ˆτ1n(1) : n∈Z} es denso en L2(T) (el conjunto anterior es el famoso sistema trigonom´etrico). En ese caso, es f´acil ver que el espacio vectorial que genera {ˆτ1n(χ) : n∈Z} es denso en N=χL2(T). Pero {ˆτ1n(χ) : n∈Z} ⊂ M, y Mes cerrado. Por tanto N= span{ˆτ1n(χ) : n∈Z} ⊂ M, donde ¯ ·denota el cierre del conjunto en la topolog´ıa de L2(T). Visto esto, sea λ∈M∩N⊥. N´otese que, entonces, λes ortogonal a N, por construcci´on. En ese caso, dado que {ˆτ1n(χ) : n∈Z} ⊂ N, se tiene que 1 2πZ2π 0 ¯ λ(eit)χ(eit)eintdt = 0, n ∈Z. Por tanto, todos los coeficientes de Fourier de la funci´on ¯ λχ son nulos. Esto implica que la funci´on ¯ λχ es nula en casi todo. 66 Por otro lado, n´otese que como λ∈M, y Mes bi-invariante para ˆτ1, entonces {ˆτ1n(λ) : n∈Z} ⊂ M. En ese caso, 1−χes ortogonal a ˆτ1n(λ) para cada n∈Z. Es decir, 1 2πZ2π 0 ¯ λ(eit)(1 −χ(eit))e−intdt = 0, n ∈Z. De nuevo, esto quiere decir que todos los coeficientes de Fourier de la funci´on ¯ λ(1−χ) son nulos. Esto implica que la funci´on ¯ λ(1−χ) es nula en casi todo. Como tanto ¯ λχ como ¯ λ(1−χ) son funciones nulas en casi todo, se deduce que ¯ λ(y, por tanto, λ) es una funci´on nula en casi todo. Esto implica que M=N, en virtud del Lema 4.2.2. Existe un resultado an´alogo al anterior para subespacios invariantes de L2(T). Teorema 4.2.4. Sea M⊂L2(T)un subespacio vectorial cerrado. En ese caso, Mes invariante y no bi-invariante para el operador ˆτ1:L2(T)→L2(T) (es decir, Mcumple ˆτ1(M)(M) si y solo si M=ψH2(T), donde ψes una funci´on medible con |ψ|= 1 en casi todo T. Demostraci´on. Comenzamos probando que si Mes de la forma M=ψH2(T) para ψuna funci´on medible con |ψ|= 1 en casi todo T, entonces ˆτ1(M)(M. Para verlo, sea f∈M, es decir, f=ψh para cierta h∈H2(T). En ese caso, ˆτ1(f) = ˆτ1(ψh) = ψˆτ1(h)∈M, pues ˆτ1(h)∈H2(T). Por tanto, ˆτ1(M)⊂M. Sin embargo, sea ahora f∈L2(T) dada por f(ξ) = ψ¯ ξpara todo ξ∈T. N´otese que f6∈ M(pues ξ∈T7→ ¯ ξ∈Cno es una funci´on de H2(T)). Sin embargo, ˆτ1(f) = ψ∈M(pues ξ∈T7→ 1∈Cs´ı es una funci´on de H2(T)). Es decir, ˆτ1(f)∈M\ˆτ1(M). Por tanto, ˆτ1(M)(M. Rec´ıprocamente, supongamos que Mes un subespacio cerrado tal que ˆτ1(M)(M. En ese caso, notamos que ˆτ1(M)(M⇒ˆτ12(M)(ˆτ1(M)(M. Iterando el resultado anterior, se tiene que {ˆτ1n(M) : n∈Z, n > 0}es una sucesi´on decreciente de subespacios contenidos en M, pero distintos de M. 67 M´as a´un, todos son subespacios cerrados, pues ˆτ1es una aplicaci´on cerrada (ya que es un isomorfismo isom´etrico de L2(T) en s´ı mismo). Visto esto, sea ψ∈M∩[ ˆτ1(M)]⊥. N´otese, puesto que ˆτ1(M)(M, que el Lema 4.2.2 asegura que podemos tomar ψ6= 0. M´as a´un, las contenciones comentadas anteriormente aseguran que ψ∈M∩[ ˆτ1n(M)]⊥para todo n∈Z con n > 0. En ese caso, por ortogonalidad, n´otese que para todo n∈Zcon n > 0 se tiene que Z2π 0ψ(eit)2eintdt =hψ|ˆτ1n(ψ)i= 0. Esto quiere decir que los coeficientes de Fourier con ´ındice positivo de |ψ|2 son nulos. De la misma forma, dado m∈Zcon m > 0, n´otese que Z2π 0ψ(eit)2e−imtdt =Z2π 0 |ψ(eit)|2eimtdt =hψ|ˆτ1m(ψ)i= 0. Esto quiere decir que los coeficientes de Fourier con ´ındice negativo de |ψ|2 son nulos. En definitiva, se tiene que el ´unico coeficiente de Fourier no nulo de |ψ|2 es el de ´ındice nulo. Eso implica que |ψ|2(y, por tanto, |ψ|) es constante en casi todo T. M´as a´un, normalizando si es necesario, podemos suponer que |ψ|= 1 en casi todo T. Notemos, entonces, que ψH2(T) = span{ˆτ1n(ψ) : n∈Z, n ≥0}. Denotemos S= span{ˆτ1n(ψ) : n∈Z, n ≥0}. N´otese que, por linealidad, como ˆτ1n(ψ)∈Mpara todo n≥0, entonces S⊂M. M´as a´un, como Mes cerrado, se tiene que ψH2(T) = S⊂M. Por otro lado, notemos que (ψH2(T))⊥= span{ˆτ1−m(ψ) : m∈Z, m > 0}. Para ver esto, basta notar que dado n, m ∈Ncon n≥0 y m > 0 se verifica que hˆτ1−m(ψ)|ˆτ1n(ψ)i=hψ|ˆτ1n+m(ψ)i= 0, 68 pues n+m > 0. En ese caso, si denotamos ˜ S={ˆτ1−m(ψ) : m∈Z, m > 0}, entonces es claro que S⊥˜ S(i.e., hs|˜si= 0 para todo s∈Sy ˜s∈˜ S). Pero entonces, dado que el producto escalar es continuo, ha de ser que ψH2(T) = S⊥˜ S. Esto prueba que ˜ S⊂(ψH2(T))⊥. M´as a´un, n´otese que {ˆτ1n(ψ) : n∈Z}es un conjunto ortonormal y completo de L2(T). Por tanto, ψH2(T) + ˜ S=L2(T). As´ı, no queda m´as remedio que ˜ S= (ψH2(T))⊥. Ahora bien, es claro que ˜ S⊂M⊥. Para verlo, basta notar que, si h∈M ym∈Zcon m > 0, entonces se verifica que hˆτ1−m(ψ)|hi=hψ|ˆτ1m(h)i= 0, pues ψ∈( ˆτ1m(M))⊥. Generalizando esto, por linealidad, a cualquier ˜s∈˜ S, se sigue la afirmaci´on anterior. M´as a´un, procediendo por argumentos de continuidad como anteriormente, y dado que M⊥es cerrado, ha de ser que (ψH2(T))⊥=˜ S⊂M⊥. Visto esto, se deduce que ψH2(T) es un subespacio cerrado de Mcon M∩[ψH2(T)]⊥⊂M∩M⊥={0}. As´ı, usando el Lema 4.2.2, se comprueba que ψH2(T) = M. 4.3. Subespacios bi-invariantes de `2(Z) Ya estamos en posici´on de caracterizar los subespacios de se˜nales biinvariantes de `2(Z): Teorema 4.3.1. Sea X⊂`2(Z)un subespacio vectorial cerrado. Entonces Xes un subespacio de se˜nales bi-invariante si y solo si es de la forma X=k∗`2(Z) := {k∗φ:φ∈`2(Z)}, donde k∈`2(Z)es una se˜nal tal que ˆ kes la funci´on caracter´ıstica de un subconjunto medible de T. Demostraci´on. Obs´ervese que, en combinaci´on del Lema 4.2.1 y el Teorema 4.2.3, Xes un subespacio de se˜nales bi-invariante si y solo si ˆ Xes de la forma χL2(T), donde χes la funci´on caracter´ıstica de un subconjunto medible de T. En ese caso, invirtiendo la acci´on del operador ˆ ·, n´otese que ˆ X=χL2(T) si y solo si X=k∗`2(Z), con ˆ k=χ. 69 4.4. Subespacios invariantes de `2(Z) En el caso de los subespacios invariantes, podemos afirmar lo siguiente: Teorema 4.4.1. Sea X⊂`2(Z)un subespacio vectorial cerrado. Entonces Xes un subespacio de se˜nales invariante (y no bi-invariante) si y solo si es de la forma X=k∗`2(N) := {k∗φ:φ∈`2(N)}, donde k∈`2(Z)es una se˜nal tal que |ˆ k|= 1 en casi todo T. Demostraci´on. De nuevo, combinando el Lema 4.2.1 y el Teorema 4.2.4, se tiene que Xes un subespacio de se˜nales invariante (y no bi-invariante) si y solo si ˆ Xes de la forma ψH2(T), donde |ψ|= 1 en casi todo T. En ese caso, invirtiendo la acci´on del operador ˆ ·, n´otese que ˆ X=ψH2(T) si y solo si X=k∗`2(N), con ˆ k=ψ. 4.5. Subespacios invariantes de `2(N) En este cap´ıtulo, hasta ahora, solo hemos tratado con subespacios de se˜nales de `2(Z), que es un espacio de se˜nales bi-invariante. Este no es el caso del espacio `2(N), que es un espacio de se˜nales invariante pero no biinvariante. En esta secci´on estamos, por tanto, interesados en caracterizar sus subespacios invariantes (obs´ervese que el ´unico subespacio bi-invariante que contiene es el trivial). Para ello, bas´andonos de nuevo en el Lema 4.2.1, damos el siguiente resultado, donde se torna fundamental la Definici´on 1.2.3: Teorema 4.5.1 (Beurling).Sea M⊂H2(T)un subespacio cerrado no trivial. Entonces Mes invariante para el operador ˆτ1:H2(T)→H2(T)(es decir, Mcumple ˆτ1(M)⊂M) dado por ( ˆτ1(f))(ξ) = ξf(ξ), f ∈H2(T), ξ ∈T, si y solo si Mes de la forma M=ψH2(T), donde ψes el l´ımite radial de una funci´on interior. Demostraci´on. Para comenzar, notamos que los subespacios de la forma M=ψH2(T), donde ψes el l´ımite radial de una funci´on interior, son todos invariantes. Esto se deduce de que si f∈M, entonces f=ψh para cierta h∈H2(T). En ese caso, dado ξ∈T, se tiene que ( ˆτ1(f))(ξ) = ξψ(ξ)h(ξ) = ψ(ξ)(ξh(ξ)). Pero, entonces ˆτ1(f) = ψ˜ h, con ˜ h(ξ) = ξh(ξ). Notemos, ahora, que h∈H2(T) implica que ˜ h∈H2(T). En ese caso, ˆτ1(f)∈M. Esto muestra 70 que Mes, efectivamente, invariante. Rec´ıprocamente, sea Mun subespacio cerrado no trivial de H2(T) que es invariante para ˆτ1. N´otese que, al ser no trivial, no puede ser bi-invariante. En ese caso, puesto que M⊂L2(T), el Teorema 4.2.4 afirma que M=ψH2(T) para cierta funci´on ψmedible con |ψ|= 1 en casi todo T. Pero n´otese que ψ∈M⊂H2(T) (puesto que la funci´on ξ∈T7→ 1∈Ces de H2(T)). En ese caso, ha de existir f∈H2(D) tal que ψsea el l´ımite radial de f, por definici´on. Como |ψ|= 1 en casi todo T, se deduce que f∈H∞(D). Por tanto, se tiene que ψes el l´ımite radial de una funci´on interior. Estamos ya en posici´on de caracterizar los subespacios invariantes de `2(N). Teorema 4.5.2. Sea X⊂`2(N)un subespacio cerrado. Entonces Xes un espacio de se˜nales invariante si y solo si es de la forma X=k∗`2(N) := {k∗φ:φ∈`2(N)}, donde k∈`2(N)es una se˜nal tal que Zk es una funci´on interior. Demostraci´on. Comenzamos notando que, como X⊂`2(N)⊂`2(Z), entonces ˆ X⊂H2(T)⊂L2(T). En ese caso, por el Lema 4.2.1, Xes un subespacio de se˜nales invariante si y solo si ˆ Xes invariante para ˆτ1. Pero esto ´ultimo es cierto, por el Teorema 4.5.1, si y solo si ˆ X=ψH2(T), con ψ∈H∞(T) el l´ımite radial de una funci´on interior. En ese caso, invirtiendo la acci´on del operador ˆ ·, n´otese que ˆ X=ψH2(T) si y solo si X=k∗`2(N), con k∈`2(N) de manera que ˆ ksea el l´ımite radial de una funci´on interior, es decir, de manera que Zk sea una funci´on interior. 4.6. Subespacios invariantes minimales Ahora que hemos hallado la “estructura” de algunos subespacios de se˜nales invariantes nos interesamos por un nuevo concepto. M´as concretamente, queremos dar una descripci´on de cu´al es el subespacio de se˜nales invariante “m´as peque˜no” que contiene a una cierta se˜nal dada. Para ello, definimos con precisi´on este concepto: Definici´on 4.6.1. Sea Xun espacio de se˜nales invariante. Sea φ∈Xuna se˜nal. Supongamos que M⊂Xes un subespacio de se˜nales invariante y cerrado que contiene a φ. En ese caso, Mse dice el subespacio de se˜nales invariante minimal cerrado generado por φsi dado cualquier otro subespacio de se˜nales invariante N, con φ∈N, se tiene que M⊂N. 71 Podemos dar una primera caracterizaci´on algebraica del subespacio de se˜nales invariante minimal cerrado generado por cierta se˜nal. Lema 4.6.2. Sea Xun espacio de se˜nales invariante. Sea φ∈X, y sea [φ] el subespacio de se˜nales invariante minimal cerrado generado por φ. En ese caso, se tiene [φ] = \ M∈M M, donde Mes el conjunto formado por todos los subespacios de se˜nales invariantes y cerrados de Xque contienen a φ. Demostraci´on. Para comenzar, notemos que Mno es vac´ıo, puesto que X∈ M. En ese caso, escribamos Y:= \ M∈M M. Para comenzar, es claro que [φ]∈M, luego Y⊂[φ]. M´as a´un, n´otese que Yes un subespacio de se˜nales invariante y cerrado que contiene a φ(puesto todo M∈Mtienen estas propiedades, que se conservan por intersecci´on). En ese caso, puesto que [φ] es minimal, se tiene por definici´on que [φ]⊂Y. Esto concluye la demostraci´on. Una vez visto esto nos encaminamos a caracterizar los subespacios [φ] en el caso en el que φ∈`2(N). Para ello nos resultar´a ´util la factorizaci´on interior-exterior de los espacios de Hardy (Secci´on 1.2). De hecho, el siguiente resultado muestra la conexi´on entre el subespacio invariante minimal cerrado generado por una se˜nal y estos espacios: Lema 4.6.3. Sea φ∈`2(N). Sea X⊂`2(N)un subespacio de se˜nales invariante y cerrado con φ∈X. Entonces Xes el subespacio invariante minimal cerrado generado por φsi y solo si ˆ Xes el subespacio invariante minimal cerrado generado por ˆ φpara el operador ˆτ1:H2(T)→H2(T), es decir, si y solo si ˆ Xes cerrado e invariante para ˆτ1, y cualquier otro espacio subespacio invariante para ˆτ1que contiene a ˆ φcontiene a todo ˆ X. Demostraci´on. Por un lado, recu´erdese que `2(N)⊂`2(Z) y H2(T)⊂L2(T) son subespacios invariantes para τ1y ˆτ1, respectivamente. Por tanto, el Lema 4.2.1 justifica que Xes invariante si y solo si ˆ Xlo es. M´as a´un, en cuanto a la propiedad de minimalidad, n´otese que si Y⊂ `2(N) es un subespacio de se˜nales invariante con φ∈Y, entonces X⊂Y⇐⇒ ˆτ1(X)⊂ˆτ1(Y). Por tanto, Xes minimal si y solo si ˆτ1(X) lo es. 72 Visto el lema anterior, es claro que, de manera an´aloga a lo que hicimos con los subespacios invariantes y bi-invariantes de L2(T), es interesante caracterizar los espacios invariantes minimales de H2(T). Teorema 4.6.4. Sea h∈H2(T). Sea H∈H2(D)de manera que hes el l´ımite no tangencial de Hsobre T. Sea H=uΘla factorizaci´on interiorexterior de H(v´ease el Teorema 1.2.7), y sea θ∈H∞(T)el l´ımite no tangencial de Θsobre T. En ese caso, el subespacio invariante minimal para ˆτ1:H2(T)→H2(T)generado por hviene dado por [h] = θH2(T). Demostraci´on. Comenzamos notando que, puesto que si u∗es el l´ımite de usobre T, entonces u∗∈H2(T) con h=θu∗. En ese caso, es claro que h∈θH2(T). M´as a´un, este espacio es invariante (como se ha visto en el Teorema 4.5.1). Resta ver, por tanto, que es minimal. Para ello, sabemos por el Teorema 4.5.1 que [h] = fH2(T) para cierta funci´on f, que ha de ser el l´ımite radial de una funci´on interior. Puesto que h∈[h], habr´ıa entonces de existir cierta g∈H2(T) de manera que h=θu∗=fg. Pero si tomamos la factorizaci´on interior-exterior de g, dada en el Teorema 1.2.7, como g=gigopara giuna funci´on interior y gouna funci´on exterior, entonces h=θu∗=fgigo. Puesto que el factor exterior solo depende de |h|=|go|=|u∗|(las igualdades anteriores se dan en casi todo T, pues gi,fyθson interiores), se tiene que u∗=go. Por tanto, ha de ser que θ=fgi. N´otese que, entonces, dado w∈H2(T) cualquiera, se tiene que θw =f˜w, donde ˜w=giw∈H2(T), puesto que gies el l´ımite radial de una funci´on interior. Esto justifica que θH2(T)⊂fH2(T)=[h]. N´otese que, entonces θH2(T)=[h]. 73 (b) Basta notar que Bφ(f, g) = hzφ |fgi =h ∞ X k=−∞ ˆ φ(k)z−k−1| ∞ X n=0 ˆ f(n)ξn ∞ X m=0 ˆg(m)ξmi = ∞ X k=−∞ ∞ X m=0 ∞ X n=0 ˆ φ(k)ˆ f(n)ˆg(m)hz−k−1|zm+ni = ∞ X m=0 ∞ X n=0 ˆ φ(−n−m−1) ˆ f(n)ˆg(m) = ∞ X m=0 ∞ X n=0 α(n+m)ˆ f(n)ˆg(m) = ∞ X m=0 Γα(ˆ f)(m)ˆg(m) =hˆg|Γα(ˆ f)i. Estamos ahora en posici´on de probar el resultado que relaciona a los operadores de Hankel con la aproximaci´on de sistemas no causales: Teorema 5.1.6. Sean φ∈L∞(T)yα∈`2(Z)dada por α(k) := ˆ φ(−k−1), k ∈N. Se verifica: kBφk=kHφk=kΓαk=d(φ, H∞(T)), donde las normas se deben entender como normas asociadas a operadores lineales o bilineales, cada una en su correspondiente espacio. Nota 5.1.7. Como veremos en la demostraci´on, dado φ∈L∞(T), la distancia de φaH∞(T)se alcanza, es decir, existe h∈H∞(T)tal que kφ−hkL∞(T)=d(φ, H∞(T)). Demostraci´on. La igualdad entre las normas de todos los operadores se deduce de la Proposici´on 5.1.5. Veamos c´omo: 80 Comenzamos notando que, dados f, g ∈H2(T), se satisface que |Bφ(f, g)|=|hzg |Hφ(f)i| ≤ kzgkL2(T)kHφ(f)kL2(T) =kgkH2(T)kHφ(f)kL2(T) ≤ kHφk kgkH2(T)kfkH2(T). Por tanto, kBφk≤kHφk. Por otro lado, sea  > 0, y sea f∈H2(T) tal que kHφ(f)kL2(T)≥(kHφk − )kfkH2(T). Sea g=zHφ(f). N´otese que g∈H2(T), puesto que Hφ(f)∈(H2(T))⊥. En ese caso, podemos ver que Bφ(f, g) = hzg |Hφ(f)i =hzzHφ(f)|Hφ(f)i =hHφ(f)|Hφ(f)i =kHφ(f)k2 L2(T) ≥(kHφk − )kfkH2(T)kHφ(f)kL2(T) = (kHφk − )kfkH2(T)zHφ(f)L2(T) = (kHφk − )kfkH2(T)kgkH2(T). Por tanto, kBφk ≥ kHφk − . Pero como  > 0 es arbitrario, se deduce que kBφk≥kHφk. Ahora notemos que, como `2(N) es un espacio de Hilbert, este se identifica con su dual. Por tanto, kφk`2(N)= sup ϕ∈`2(N) kϕk`2(N)=1 |hϕ|φi| , φ ∈`2(N). 81 Con esto en mente, se tiene que kBφk= sup f,g∈H2(T) kfkH2(T)=kgkH2(T)=1 |Bφ(f, g)| = sup f,g∈H2(T) kfkH2(T)=kgkH2(T)=1 hˆg|Γα(ˆ f)i = sup φ,ϕ∈`2(N) kφk`2(N)=kϕk`2(N)=1 |hφ|Γα(ϕ)i| = sup ϕ∈`2(N) kϕk`2(N)=1 kΓα(ϕ)k =kΓαk. Resta relacionar las normas de estos operadores con d(φ, H∞(T)). Para ello, sea θ∈L∞(T). Notamos que Hθ= (I−P)Mθ, donde Ies la identidad sobre L2(T), Pes la proyecci´on ortogonal sobre H2(T) yMθes el operador de tipo multiplicaci´on con s´ımbolo θ, es decir, Mθ(h) = θh, h ∈H2(T). Con esto en mente, n´otese que kBθk=kHθk=k(I−P)Mθk≤kI−Pk kMθk≤kθkL∞(T), donde kI−Pk= 1, al ser la proyecci´on sobre (H2(T))⊥, y kMθk≤kθkL∞(T). Por otro lado, sea h∈H∞(T). N´otese que Bφ−h(f, g) = ∞ X n=0 ∞ X m=0 \ φ−h(−n−m−1) ˆ f(n)ˆg(m), f, g ∈H2(T), como ya vimos. Pero −n−m−1≤ −1 si n, m ∈N. Por tanto, como h∈H∞(T), se tiene que \ φ−h(−n−m−1) = ˆ φ(−n−m−1) −ˆ h(−n−m−1) =ˆ φ(−n−m−1), n, m ∈N. 82 As´ı, se deduce que Bφ−h(f, g) = ∞ X n=0 ∞ X m=0 ˆ φ(−n−m−1) ˆ f(n)ˆg(m) =Bφ(f, g), f, g ∈H2(T). Es decir, dado φ∈L∞(T), acabamos de demostrar que Bφ−h=Bφ, h ∈H∞(T). Por tanto, usando lo anterior, se tiene que kBφk ≤ ´ınf h∈H∞(T)kφ−hkL∞(T)=d(φ, H∞(T)). Para demostrar la igualdad, basta hallar h∈H∞(D) tal que kBk=kφ−hkL∞(T). Para ello, observamos la siguiente construcci´on: sea h∈H1(D), factorizada como h= Θu, donde Θ es una funci´on interior y ues una funci´on exterior. N´otese que, en particular, uno se anula en D. En ese caso, existe una determinaci´on holormorfa de la raiz de u, digamos v, tal que v2=u. As´ı, hpuede factorizarse como h=vw, donde w:= vΘ. N´otese que, por construcci´on, v∈H2(D). Pero, como Θ∈H∞(D), entonces w∈H2(D). Por tanto, lo anterior representa una factorizaci´on de hpor funciones de H2(D). M´as a´un, n´otese que kvk2 H2(D)= l´ım r→1− 1 2πZT |v(rξ)|2dξ = l´ım r→1− 1 2πZT |u(rξ)|dξ =kukH1(D). Como Θ es interior, se puede ver de la misma manera que kwk2 H2(D)=Θ2uH1(D)=kukH1(D)=kvk2 H2(D). Por tanto, la factorizaci´on anterior respeta la norma, es decir, se tiene que khkH1(D)=kukH1(D)=kvkH2(D)kwkH2(D). 83 En base a esto, definimos Ψ: H1(T)→Cdado por Ψ(h) := hzφ |hi. N´otese que, haciendo uso de la descomposici´on comentada anteriormente, se tiene que Ψ(h) = hzφ |hi=hzφ |vwi=Bφ(v, w). Por tanto, |Ψ(h)|=|Bφ(v, w)|≤kBφk kvkH2(T)kwkH2(T)=kBφk khkH1(T). As´ı se deduce que kΨk≤kBφk. Ahora bien, supongamos que existe 0 < C < kBφktal que |Ψ(h)| ≤ CkhkH1(T), h ∈H1(T). Sean f, g ∈H2(T). N´otese que, como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwartz, se verifica que fg ∈H1(T). Por tanto, se deducir´ıa que |Bφ(f, g)|=|Ψ(fg)| ≤ CkfgkH1(T)≤CkfkH2(T)kgkH2(T), f, g ∈H2(T), donde de nuevo se ha usado la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Pero hemos visto que toda funci´on de H1(T) se factoriza como el producto de dos funciones de H2(T), por lo que se tendr´ıa que kBφk ≤ C < kBφk, lo cual es un absurdo. Esto demuestra que kΨk=kBφk. Visto esto, apreciamos que por el teorema de Hahn-Banach podemos extender Ψ a un operador Φ: L1(T)→Cde manera que Ψ(h) = Φ(h), h ∈H1(T), y kΨk=kΦk. Como el dual de L1(T) se identifica con L∞(T), ha de existir k∈L∞(T) tal que Φ(f) = hk|fi, f ∈L1(T), 84 de manera que kkkL∞(T)=kΦk=kΨk=kBφk. Dado n∈N, definimos en∈H1(T) dada por en(ξ) := ξn, ξ ∈T. N´otese que Ψ y Φ coinciden sobre en, por tanto c zφ(n) = hzφ |eni= Ψ(en) = Φ(en) = hk|eni=ˆ k(n). Entonces, c zφ(n) = ˆ k(n), es decir, los coeficientes de Fourier de kyzφ coinciden para ´ındices nonegativos. Sea, ahora, h:= φ−zk. N´otese que h∈L∞(T). Adem´as, dado n∈Zcon n < 0, se tiene que ˆ h(n) = \ φ−zk(n) =ˆ φ(n)−c zk(n) =ˆ φ(−n)−c zk(−n) =1 2πZT (φ(ξ)ξn−ξk(ξ)ξn)dξ =1 2πZT (ξφ(ξ)ξn+1 −k(ξ)ξn+1)dξ =c zφ(−n−1) −ˆ k(−n−1) = 0, puesto que −n−1≥0. Esto demuestra que h∈H∞(T). De hecho, kφ−hkL∞(T)=zkL∞(T)=kkkL∞(T)=kBφk. Esto termina la demostraci´on. 5.2. Un nuevo concepto de invariancia Dedicamos, al inicio del trabajo, cierto esfuerzo a introducir el concepto de invariancia. Incluso demostramos, en el Lema 2.3.7, que en espacios de se˜nales bi-invariantes se puede definir la invariancia de un sistema usando, no el operador shift, si no su inverso. 85 Es pura manipulaci´on algebraica ver que, dados Xun espacio de se˜nales bi-invariante y un sistema T:X→X, es equivalente decir que Tes invariante y que Tcumple τ−1 1Tτ1=T. Ahora bien, si el espacio es invariante pero no bi-invariante, lo anterior carece de sentido: el operador shift no ser´ıa invertible. En el caso en el que X=`2(Z), se puede ver que, dados φ, ϕ ∈`2(Z) se verifica que hτ−1 1φ|ϕi=X m∈Z τ−1 1(φ)(m)ϕ(m) =X m∈Z φ(m+ 1)ϕ(m) =X m∈Z φ(m)ϕ(m−1) =X m∈Z φ(m)τ1(ϕ)(m) =hφ|τ1ϕi. Por tanto, τ−1 1es no solo el operador inverso de τ1, sino tambi´en su operador adjunto. Por tanto, si denotamos por T∗al adjunto de un operador T, entonces lo que enunciamos anteriormente, para el caso de `2(Z), es que un sistema T:`2(Z)→`2(Z) es invariante si y solo si Tcumple τ∗ 1Tτ1=T. En esta secci´on queremos dar un nuevo concepto de invariancia, o m´as bien, un concepto de invariancia “d´ebil” a trav´es de la idea anterior. M´as espec´ıficamente, notamos lo siguiente: Lema 5.2.1. Sea τ1:`2(N)→`2(N). Su operador adjunto es τ∗ 1:`2(N)→ `2(N), dado por τ∗ 1(φ)(n) := 0,si n < 0, φ(n+ 1),si n≥0,φ∈`2(N). 86 Demostraci´on. Basta ver que, dados φ, ϕ ∈`2(N), se tiene que hτ∗ 1φ|ϕi=X m∈N τ∗ 1(φ)(m)ϕ(m) =X m∈N φ(m+ 1)ϕ(m) = ∞ X m=1 φ(m)ϕ(m−1) = ∞ X m=1 φ(m)τ1(ϕ)(m). Pero τ1(ϕ)(0) = ϕ(−1) = 0, luego hτ∗ 1φ|ϕi= ∞ X m=0 φ(m)τ1(ϕ)(m) =hφ|τ1ϕi. Estamos, ahora, en posici´on de introducir la siguiente definici´on: Definici´on 5.2.2. Sea T:`2(N)→`2(N). Se dice que Tes d´ebilmente invariante si se verifica que τ∗ 1Tτ1=T, donde τ1:`2(N)→`2(N)es el operador shift y τ∗ 1es su operador adjunto. Para poder trabajar con este nuevo concepto ser´an ´utiles las siguientes igualdades. Lema 5.2.3. Sea τ1:`2(N)→`2(N)el operador shift, y sea τ∗ 1su operador adjunto. Dado φ∈`2(N), se verifica: (a) τ∗ 1τ1φ=φ. (b) τ1τ∗ 1φ=φ−φ(0)δ0. Demostraci´on. (a) Dado n∈N, se tiene que τ∗ 1(τ1(φ))(n) = τ1(φ)(n+ 1) = φ(n+ 1 −1) = φ(n). 87 (b) N´otese que τ1(τ∗ 1(φ))(0) = τ∗ 1(φ)(−1) = 0, ya que τ∗ 1(φ)∈`2(N). Sin embargo, si n∈Ncon n > 0, entonces τ1(τ∗ 1(φ))(n) = τ∗ 1(φ)(n−1) = φ(n−1 + 1) = φ(n), donde hemos usado que n−1≥0. Como hemos adelantado en la introducci´on de esta secci´on, este nuevo concepto de invariancia es “m´as d´ebil” que el original (de ah´ı su nombre), seg´un se desprende del siguiente resultado. Proposici´on 5.2.4. Sea T:`2(N)→`2(N)un sistema. Si Tes invariante, entonces tambi´en es d´ebilmente invariante. Demostraci´on. Si Tes invariante, entonces conmuta con τ1. En ese caso, se verifica que τ∗ 1Tτ1=τ∗ 1τ1T=T, donde se ha usado el Lema 5.2.3. N´otese que el rec´ıproco de la proposici´on anterior no es cierto: τ∗ 1es d´ebilmente invariante pero no invariante, como se deduce del Lema 5.2.3. Una vez m´as, usando la transformada Z, este nuevo concepto de invariancia puede extenderse a los operadores sobre el espacio H2(D). Para ello, damos la siguiente definici´on: Definici´on 5.2.5. Sean el operador Ψ: H2(D)→H2(D)y su correspondiente sistema T=Z−1ΨZ:`2(N)→`2(N). Se dir´a que Ψes d´ebilmente invariante si Tes d´ebilmente invariante. Como es usual, el concepto anterior puede definirse, de manera equivalente, sin hacer uso del espacio `2(N), como sugiere el siguiente resultado. Proposici´on 5.2.6. Sea Ψ: H2(D)→H2(D). Entonces Ψes d´ebilmente invariante si y solo si se verifica que ˆτ1∗Ψ ˆτ1= Ψ, donde ˆτ1:H2(D)→H2(D)es el correspondiente operador shift, y ˆτ1∗es su adjunto. 88 Demostraci´on. Sea T=Z−1ΨZ:`2(N)→`2(N) el correspondiente sistema. Se tiene que Ψ es d´ebilmente invariante ⇐⇒ Tes d´ebilmente invariante ⇐⇒ τ∗ 1Z−1ΨZτ1=Z−1ΨZ ⇐⇒ Zτ∗ 1Z−1ΨZτ1Z−1= Ψ. Ahora bien, Zτ1Z−1= ˆτ1. Por tanto, para demostrar el resultado basta ver que Zτ∗ 1Z−1= ˆτ1∗. Para comprobar esto ´ultimo, denotamos Φ = Zτ∗ 1Z−1. N´otese que si f∈H2(D) viene dada por f(z) = X n∈N fnzn, z ∈D, se tiene que Φ(f) = X n∈N fn+1zn, z ∈D. Visto esto, es f´acil comprobar que si g∈H2(D) viene dada por g(z) = X n∈N gnzn, z ∈D, se tiene que hΦ(f)|gi=X n∈N fn+1gn = ∞ X n=1 fngn−1 =hf|ˆτ1(g)i. Se deduce as´ı, tal y como se quer´ıa, que Φ = ˆτ1∗. La utilidad de este concepto de invariancia d´ebil para operadores sobre espacios de Hardy se pondr´a de manifiesto en la siguiente secci´on. 5.3. Operadores de Toeplitz Sea Hun espacio de Hilbert separable y sea {en:n∈N} ⊂ Huna base hilbertiana de Hque sea, adem´as, ortonormal. En ese caso, la igualdad de Paserval justifica que h=X n∈N hen|hien, h ∈H. 89 donde a∈Des arbitrario. N´otese que kaes una funci´on holomorfa sobre D, y adem´as kkak2 H2(D)=X n∈N |an|2=X n∈Na2n=1 1− |a|2<∞, por lo que se deduce que ka∈H2(D). Esto justifica que hk∗ a|gk∗ aiL2(T)=X n∈Z ˆ ka(n)c gk∗ a(n) =X n∈N ˆ ka(n)c gk∗ a(n) =hk∗ a|P(gk∗ a)iH2(T), donde P:L2(T)→H2(T) es la correspondiente proyecci´on ortogonal. En particular, hka|Tg(ka)iH2(D)=hka|ZF−1P(gk∗ a)iH2(D) =hk∗ a|P(gk∗ a)iH2(T) =hk∗ a|gk∗ aiL2(T) =1 2πZT g(ξ)|k∗ a(ξ)|2dξ =1 2πZT g(ξ)1 |1−az|2dξ =1 1− |a|2 1 2πZT g(ξ)1− |a|2 |1−az|2dξ =kkak2 H2(D)P(g)(a), donde Pdenota la transformada de Poisson. Recordando ahora que H2(D) 96 se identifica con su dual, se tiene que kTgk= sup f∈H2(D) f6=0 kTg(f)kH2(D) kfkH2(D) = sup f∈H2(D) f6=0   1 kfkH2(D) sup h∈H2(D) h6=0 |hh|Tg(f)i| khkH2(D)   ≥sup f∈H2(D) f6=0 1 kfkH2(D) sup a∈D |hka|Tg(f)i| kkakH2(D)! ≥sup b∈D 1 kkbkH2(D) sup a∈D |hka|Tg(kb)i| kkakH2(D)! ≥sup a∈D |hka|Tg(ka)i| kkak2 H2(D) = sup a∈D |P(g)(a)| =kgkL∞(T). (b) N´otese que Tges un operador lineal. En (a) se demuestra que, adem´as, es continuo. Por tanto, por el Teorema 5.3.2, para ver que Tges d´ebilmente invariante basta ver que Tges de diagonales constantes. Para ello, sea f∈H2(D). Supongamos que f(z) = X n∈N fnzn, z ∈D. Supongamos, tambi´en, que g(ξ) = X m∈Z gmξm, ξ ∈T. En ese caso, gf∗(ξ) = X m∈ZX n∈N gmfnξn+m =X l∈ZX n∈N (gl−nfn)ξl, ξ ∈T. 97 Por tanto, P(gf∗)(ξ) = X l∈NX n∈N (gl−nfn)ξl, ξ ∈T. En particular, sea j∈N, y tomemos f(z) := zj, z ∈D. En ese caso, P(gf∗)(ξ) = X l∈NX n∈N (gl−nδn,j)ξl =X l∈N gl−jξl, ξ ∈T. Es f´acil ver, entonces, que Tg(zj) = X l∈N gl−jzl. Estamos ahora en posici´on de calcular hzi|Tg(zj)i=X l∈N δi,lgl−j=gi−j. Esto muestra, como quer´ıamos, que Tges de diagonales constantes. Resta ver que todo operador continuo y d´ebilmente invariante es un operador de Toeplitz. Para ello, denotemos por T:H2(D)→H2(D) a un operador con estas propiedades. El Teorema 5.3.2 asegura que Tes diagonales constantes. Por tanto, dados i, j ∈N, definamos la sucesi´on α(i−j) := hzi|T(zj)i. Dado N∈N, denotamos αN(n) := α(n), n ≥ −N, 0, n < −N, n∈N. 98 N´otese que kαNk2 `2(Z)= ∞ X n=−N |αN(n)|2 = ∞ X n=−Nhzn+N|T(zN)i2 =X m∈Nhzm|T(zN)i2 =T(zN)2 H2(D) ≤ kTk2 H2(D)→H2(D). Por tanto, para cada N∈Nse tiene que αN∈`2(Z). M´as a´un, siguiendo argumentos similares puede comprobarse que la sucesi´on {αN:N∈N}es de Cauchy. Por tanto, α∈`2(Z). Sean, por tanto, g∈L2(T) con g= ˆαyf∈H2(D) dada por f(z) = X n∈N fnzn, z ∈D. Se satisface que T(f) = X n∈N fnT(zn) =X n∈NX m∈N fnhzm|T(zn)izm =X n∈NX m∈N fnα(m−n)zm =ZF−1P(gf∗). Siguiendo los razonamientos dados en (a), se verifica que, como Tes continuo, ha de ser que g∈L∞(T). Por tanto, con la igualdad anterior, se demuestra que T=Tg. En algunas ocasiones son de especial inter´es los operadores de Toeplitz con s´ımbolo holomorfo, es decir, los operadores Tgcon g∈H∞(T). N´otese que acabamos de probar que estos operadores son d´ebilmente invariantes. M´as a´un, n´otese que si f∈H2(D), entonces gf∗∈H2(T), por lo que P(gf∗) = gf∗. En ese caso, se tiene que Tg(f) = ZF−1(g)f, f ∈H2(D). 99 Es decir, Tg(f) = hf, f ∈H2(D), donde h∈H∞(D) es tal que h∗=g. Pero entonces, ya probamos en el Teorema 3.7.7 que estos operadores son invariantes. De hecho, el siguiente resultado afirma que todos los operadores de Toeplitz invariantes son de este tipo. Proposici´on 5.3.7. Sea g∈L∞(T). Sea Tg:H2(D)→H2(D). Se verifica que Tges invariante si y solo si g∈H∞(T). En ese caso, dado h∈H∞(D)con h∗=g, se verifica que Tgcoincide con el operadores de multiplicaci´on con s´ımbolo h, es decir, Tg(f) = hf, f ∈H2(D). Demostraci´on. Con lo comentado en la introducci´on de este resultado, basta ver que si Tes invariante, entonces g∈H∞(T). Para ello, notamos que Tges un operador lineal y continuo, como asegura el Teorema 5.3.6. En ese caso, el Teorema 5.3.4 afirma, en particular, que la matriz asociada a Tges triangular inferior. Con esto en mente, supongamos que gviene dada por g(ξ) = X n∈Z gnξn, ξ ∈T. En la demostraci´on del Teorema 5.3.6 se comprob´o que, entonces, se verifica que hzi|Tg(zj)i=gi−j, i, j ∈N. En particular, tomando i= 0, se tiene que g−j= 0, j ∈N, j > 0, puesto que hz0|Tg(zj)i= 0, dado que la matriz asociada a Tges de triangular inferior. Se deduce, as´ı, que g∈H∞(T). 100 Cap´ıtulo 6 Modelado y Aproximaci´on de Dispositivos Ya hemos justificado numerosas veces a lo largo del trabajo que, desde el punto de vista de la Ingenier´ıa, los sistemas de mayor inter´es son los lineales, estables, invariantes y causales. Recu´erdese, adem´as, que algunos casos la causalidad del sistema est´a asegurada si el sistema es lineal, estable e invariante (como en el Corolario 3.6.2). En la pr´actica, es usual tratar no solo con sistemas aislados, sino con una cantidad numerosa de sistemas, todos ellos interconectados entre s´ı. Esta imagen sugiere un nuevo concepto a tratar: un dispositivo, visto como una colecci´on de sistemas. Por ejemplo, es muy clarificador pensar en el ´area de la Electr´onica, donde cada componente de un dispositivo electr´onico puede ser pensado como un sistema, todos ellos interconectados f´ısicamente por conductores. 6.1. Conexi´on entre sistemas: loops De nuevo, desde la Ingenier´ıa, podemos pensar en c´omo un dispositivo “transforma” una se˜nal de salida en un se˜nal de entrada. En particular, si tomamos una colecci´on de sistemas interconectados, es natural que la se˜nal de entrada de un cierto sistema sea, a su vez, la de salida de otro de ellos. De manera esquem´atica, esto puede hacerse de m´ultiples formas, dependiendo del n´umero de sistemas que conforme nuestro dispositivo. Por simplicidad, supongamos que estamos conectando dos de ellos. En los venideros 101 ejemplos explicitamos algunas formas de llevar a cabo esta conexi´on. Ejemplo 6.1.1. Sean T1, T2:`2(N)→`2(N) dos sistemas lineales, 2-estables e invariantes. A partir de T1yT2podemos construir un dispositivo, conocido como dispositivo en serie, cuya idea esquem´atica es la siguiente: T1τ1T2 φiφ1φ2φo Figura 6.1.1: Esquema de un dispositivo en serie. La idea detr´as del dispositivo anterior es el c´alculo secuencial (en serie, de hecho) de las correspondientes acciones de los sistemas T1yT2. Es decir, dada la entrada φi∈`2(N), se calcula φ1=T1(φi). Este c´alculo, en un modelo realista, consume cierto tiempo (digamos, de procesado computacional, por ejemplo). Esto es lo que simboliza la presencia del operador shift τ1, que da lugar a la se˜nal φ2=τ1(φ1). Posteriormente, se computa la acci´on de T2, resultando φo=T2(φ2). En definitiva, la acci´on “global” del dispositivo viene dada por φo=T2(τ1(T1(φi))), φi∈`2(N). Es decir, un dispositivo en serie es, esencialmente, un sistema de la forma T:`2(N)→`2(N) dado por T=T2τ1T1. N´otese que Ttambi´en es lineal, 2-estable e invariante. El ejemplo anterior es un caso sencillo en el que la se˜nal de entrada de T2 es, en esencia, la se˜nal de salida de T1. Ejemplo 6.1.2. Sean T1, T2:`2(N)→`2(N) dos sistemas lineales, 2-estables e invariantes. A partir de T1yT2podemos construir un dispositivo, conocido como dispositivo en paralelo, cuya idea esquem´atica es la siguiente: T1 T2 + φi φ1 φ2 φo Figura 6.1.2: Esquema de un dispositivo en paralelo. 102 La idea detr´as del dispositivo anterior es el c´alculo simult´aneo (en paralelo, de hecho) de las correspondientes acciones de los sistemas T1yT2. Es decir, dada la entrada φi∈`2(N), se calculan φ1=T1(φi) y φ2=T2(φi). Posteriormente, se a´unan ambas se˜nales, resultando φo=φ1+φ2. En definitiva, la acci´on “global” del dispositivo viene dada por φo=T1(φi) + T2(φi), φi∈`2(N). Es decir, un dispositivo en paralelo es, esencialmente, un sistema de la forma T:`2(N)→`2(N) dado por T=T1+T2. N´otese que Ttambi´en es lineal, 2-estable, invariante y causal. Los dos ejemplos de dispositivos hasta ahora introducidos (serie y paralelo) son relativamente sencillos: pueden verse como un nuevo sistema, algo m´as complejo que los originales. Este no es el caso, en general, del siguiente tipo de dispositivo. Ejemplo 6.1.3. Sean T1, T2:`2(N)→`2(N) dos sistemas lineales, 2-estables e invariantes. A partir de T1yT2podemos construir un dispositivo, conocido como loop, cuya idea esquem´atica es la siguiente: + T2φ2 τ1 T1 φiφ1φo φ3 Figura 6.1.3: Esquema de un dispositivo loop. La idea detr´as del dispositivo anterior es la de “retroalimentar” (del ingl´es, feedback) las correspondientes acciones de los sistemas T1yT2. Es decir, dada la entrada φi∈`2(N), esta se a´una con la se˜nal de salida φ3de T2 para dar φ1=φi+φ3. Esta se˜nal es la se˜nal de entrada de T1, cuya acci´on es φo=T1(φ1). Este c´alculo, en un modelo realista, consume cierto tiempo (digamos, de procesado computacional, por ejemplo). Esto es lo que simboliza la presencia del operador shift τ1, que da lugar a la se˜nal φ2=τ1(φo), siendo esta la se˜nal de entrada de T2, por lo que φ3=T2(φ2). En definitiva, la acci´on “global” del dispositivo viene dada por        φ1=φi+φ3, φo=T1(φ1), φ2=τ1(φo), φ3=T2(φ2). 103 En particular, φo=T1(φ1) = T1(φi+φ3) = T1(φi+T2(φ2)) = T1(φi+T2(τ1(φo))), es decir, la se˜nal de salida φoes la soluci´on de (I−T1T2τ1)(φo) = T1(φi), φi∈`2(N), donde Idenota el operador identidad. Concretamente, si el operador I−T1T2τ1es invertible, entonces el loop se reduce de nuevo a un sistema de la forma T:`2(N)→`2(N) dado por T= (I−T1T2τ1)−1T1. Merece la pena dar un ejemplo expl´ıcito de un loop. Ejemplo 6.1.4. Consideremos el loop formado a partir de los sistemas T1=T2=I:`2(N)→`2(N), el operador identidad. Con las notaciones del problema anterior, dado una se˜nal de entrada φi∈`2(N) cualquiera, la se˜nal de salida φoviene descrita por la ecuaci´on (I−τ1)φo=φi. Es decir,    φo(n) = 0, n < 0, φo(0) = φi(0), φo(n)−φo(n−1) = φi(n), n > 0. N´otese que el sistema anterior corresponde a lo que, en dimensi´on finita, conocemos por sistema triangular: posee una ecuaci´on inicial f´acilmente resoluble (n= 0), y el resto pueden resolverse de manera iterativa, con un algoritmo en cascada (la ecuaci´on (n+ 1)-´esima es f´acil de resolver si se ha resuelto la n-´esima). Se puede dar, tambi´en, una visi´on de este loop gracias al espacio H2(D). Para ello, identificamos a los sistemas involucrados en el loop con sus correspondientes sistemas sobre H2(D). Dado que todos ellos son sistemas lineales, 2-estables, invariantes y causales, vienen dados por operadores de multiplicaci´on, como indica el Teorema 3.6.1. En particular, (1 −z)ho(z) = hi(z), z ∈D, donde ho=Zφoyhi=Zφi. Entonces ho(z) = hi(z) 1−z, z ∈D. 104 Por tanto, hoes una funci´on holomorfa sobre D. En ese caso, si hoviene dada por ho(z) = X n∈N anzn, z ∈D, entonces φo(n) = an, n ∈N. Por ejemplo, por explicitar a´un m´as la situaci´on, supongamos que φi=δ0. En ese caso, hi(z) = 1 para z∈D. Por tanto, ho(z) = 1 1−z=X n∈N zn, z ∈D. As´ı, φo(n) = 1, n ∈N. Visualmente, φi= (. . . , 0,0,1,0,0,0,0,0, . . .), φo= (. . . , 0,0,1,1,1,1,1,1. . .), donde hemos puesto en una “caja” la coordenada que ocupa el lugar cero de cada sucesi´on. En particular, n´otese que, en este caso, φo6∈ `2(N). Esto es consecuencia de que I−τ1no es invertible como operador de `2(N) en s´ı mismo (es inyectivo, como demuestra el sistema triangular hallado, pero no es sobreyectivo, como demuestra el ´ultimo ejemplo propuesto). Esta es, en general, la situaci´on que concierne a los loops. El ejemplo anterior, aunque sencillo de formular, reproduce de manera fiel el caso general de los loops. Para verlo, sean T1, T2:`2(N)→`2(N) dos sistemas lineales, 2-estables e invariantes cualesquiera. Sea T=I−T1T2τ1el operador generado por el loop de los sistemas anteriores. Como hemos visto en el ejemplo anterior, si consideramos Tcomo un operador de `2(N) en s´ı mismo, puede que, dado φi∈`2(N), no exista φo∈`2(N) que sea soluci´on de Tφo=T1φi. Para definir, entonces, la se˜nal de salida de un loop se hace uso de H2(D). En concreto, n´otese que todos los operadores que dan lugar a Tson lineales, 2-estables e invariantes. Por tanto, Ttambi´en lo es. Con esto en mente, sea Ψ: H2(D)→H2(D) dado por Ψ = ZTZ−1. N´otese que, por construcci´on, Ψ tambi´en es lineal, continuo e invariante. Por tanto, en virtud del Teorema 105 invertible si y solo si su s´ımbolo est´a inferiormente acotado sobre D. En ese caso, Ψ−1(f) = 1 1−h1h2zf, f ∈H2(D). Definamos ahora el operador dado por Ψl=ZTlZ−1=ZT−1Z−1ZT1Z−1= Ψ−1Ψ1. N´otese que Ψles un operador de multiplicaci´on dado por Ψl(f) = h1 1−h1h2zf, f ∈H2(D). En concreto, si h1yh2son polinomios, entonces el s´ımbolo de Ψles una funci´on racional. Por tanto, bajo las condiciones anteriores, Tles un operador racional. M´as a´un, n´otese que los ceros de h1en Cno son ceros de 1 −h1h2z. Por tanto, el s´ımbolo de Ψlnunca puede ser un polinomio. Se justifica, as´ı, que Tlnunca es polin´omico. 6.3. Teor´ıa de Pick El objetivo de las secciones anteriores a esta era, en definitiva, mostrar la noci´on de operador racional, su relaci´on con los dispositivos loops, y la naturalidad con la que estos surgen en el ´area de la Ingenier´ıa. Las propiedades de estos operadores son interesantes desde el punto de vista de la aproximaci´on, tal y como nos enfocamos a ver en esta secci´on. Concretamente, supongamos dados dos dispositivos D1yD2, vistos como sistemas de `2(N) en s´ı mismos (i.e., pueden ser dispositivos en serie, en paralelo, o loops en el caso invertible). Supongamos que tenemos la posibilidad de dise˜nar un tercer dispositivo D, visto una vez m´as como un sistema de `2(N) en s´ı mismo, de manera que el sistema D1DD2sea “lo m´as parecido posible” a un sistema objetivo, digamos, T. Es decir, buscamos resolver el problema de m´ınimos dado por m´ın DkT−D1DD2k, donde la norma utilizada ha de ser una norma de un espacio de operadores convenientemente escogida, de manera que se pongan de manifiesto las propiedades de los sistemas involucrados. 112 En concreto, queremos afrontar el problema anterior cuando todos los sistemas involucrados sean lineales, 2-estables e invariantes, siendo D1yD2 operadores racionales. En ese caso, la norma con la que se resuelve el problema anterior puede tomarse, con la formulaci´on adecuada, como la de H∞(D). Es decir, definamos el operador ˆ T=ZTZ−1:H2(D)→H2(D), y notemos que el Teorema 3.6.1 muestra que este es un operador de tipo multiplicaci´on con s´ımbolo, digamos, hT∈H∞(D). Algo an´alogo ocurre con los operadores D1,D2yD, siendo adem´as hD1yhD2funciones racionales. En ese caso, el problema anterior puede reformularse como m´ın hD∈H∞(D)khT−hD1hDhD2kH∞(D). En general, este ´ultimo problema no posee soluci´on (i.e., el m´ınimo puede no existir). No obstante, es f´acil obtener una condici´on necesaria para la existencia del m´ınimo, basado, de nuevo, en las propiedades de las funciones en espacios de Hardy. Para verlo, observamos lo siguiente: N´otese que hD1hD2∈H∞(D) es una funci´on racional. Sea, por tanto, hD1hD2=Bg su factorizaci´on a trav´es de su factor de Blashcke B, donde g∈H∞(D) no se anula en D(v´ease el Teorema 1.2.5). Notar que, por construcci´on, el producto de Blashcke Bes un producto de Blaschke finito. Digamos que λ1, . . . , λn∈Dson los ceros de B. Definamos, adem´as, h=hT−hD1hDhD2=hT−Bf ∈H∞(D), donde f=hDg∈H∞(T). Obs´ervese que h(λj) = hT(λj), j = 1, . . . , n. Por tanto, definimos µj:= hT(λj), j = 1, . . . , n. Con estas notaciones, se puede probar el siguiente resultado. Lema 6.3.1. Se verifica la siguiente igualdad entre conjuntos: {hT−Bu :u∈H∞(D)}={v∈H∞(D) : v(λj) = µj}. En particular, suponiendo que los siguientes m´ınimos existen, se verifica que m´ın u∈H∞(D)khT−BukH∞(D)= m´ın v∈H∞(D){kvkH∞(D):v(λj) = µj}. 113 Demostraci´on. N´otese que el hecho de que ambos m´ınimos (si existen) son iguales es consecuencia de que los conjuntos sobre los que se minimiza la norma son los mismos, como queremos probar. Para ello, definamos A:= {hT−Bu :u∈H∞(D)}, B := {v∈H∞(D) : v(λj) = µj}. El resultado se sigue si vemos que A=B. Sea h∈A. En ese caso, ha de existir u∈H∞(D) con h=hT−Bu. N´otese que h∈H∞(D), pues este espacio es estable por sumas y multiplicaciones (recu´erdese que, por construcci´on, todos los factores que aparecen son de H∞(D)). Adem´as, como todo λjes un cero de B(y, por tanto, de Bu), se tiene que h(λj) = hT(λj) = µj. N´otese que de aqu´ı se sigue que h∈B. Rec´ıprocamente, sea v∈B. Sea h=hT−v. N´otese que, de nuevo, h∈H∞(D). M´as a´un, todo λjes un cero de h, por construcci´on. Pero estos son todos los ceros de Bsobre el plano complejo. En ese caso, la funci´on u=h/B es holomorfa y acotada sobre D(pues hyBlo son, Bsolo se anula un n´umero finito de veces en D, y precisamente hse anula sobre los ceros de B, con un orden mayor o igual). Es decir, u∈H∞(D). Adem´as, n´otese que puede escribirse que v=hT−h=hT−Bu. Esto justifica que h∈A. En el lema anterior hemos reducido el problema del dise˜no ´optimo del dispositivo Da un problema de minimizaci´on de la norma de una funci´on de H∞(D) que tiene algunos ceros prefijados. En particular, si ˜ hes la soluci´on de este ´ultimo problema, entonces el dispositivo Dse relaciona con la funci´on hD=˜ h/g. Como gno tiene ceros en D, entonces hDes holomorfa en D. Sin embargo, en general esta funci´on no est´a acotada en D, como ya adelantamos. En lo que resta de cap´ıtulo veremos que la existencia de los m´ınimos del lema anterior garantiza su acotaci´on. El nuevo problema de interpolaci´on que surge es, precisamente, el conocido como problema de Pick, el cual posee, como ya dijimos, una condici´on suficiente de existencia de soluci´on, la cual presentamos en la siguiente definici´on. 114 Definici´on 6.3.2. Se dice que λ1, µ1, . . . , λn, µn∈Dcumplen la propiedad de Pick si la matriz A= (aij : 1 ≤i, j ≤n)dada por aij =kλj(λi)(1 −µiµj) es semidefinida positiva, donde dado w∈D, se define kw∈H2(D)dada por kw(z) = 1 1−wz , z ∈D. Bas´andonos en la definici´on anterior, podemos dar el siguiente resultado. Proposici´on 6.3.3. Sean λ1, . . . , λn∈Dy sean µ1, . . . , µn∈C. Supongamos que f∈H∞(D)es la soluci´on de m´ın h∈H∞(D){khkH∞(D):h(λj) = µj}. Sea R≥ kfkH∞(D). Entonces λ1, µ0 1, . . . , λn, µ0 nsatisfacen la propiedad de Pick, donde µ0 j=µj R, j = 1, . . . , n. Demostraci´on. Definamos h=f/R. N´otese que h∈H∞(D) con khk∞≤1. Sea T:H2(D)→H2(D) el operador de tipo multiplicaci´on con s´ımbolo h, es decir, T(g) = hg, g ∈H2(D). Es f´acil ver que kTk≤khk∞≤1. En particular, si notamos por T∗al operador adjunto de T, se tiene que kT∗k=kTk ≤ 1. M´as a´un, n´otese que dado g∈H2(D) arbitraria y w∈D, se verifica que hT∗kw|gi=hkw|Tgi =hkw|hgi =h(w)g(w) =h(w)hkw|gi =hh(w)kw|gi, donde hemos usado el Teorema 1.3.5. Se deduce, as´ı, que T∗(kw) = h(w)kw. 115 Ahora, sean a1, . . . , an∈D. Sea g=a1kλ1+· · ·+ankλn∈H∞(D). Usando las propiedades anteriores, n´otese que kT∗(g)k2≤ kgk2. Pero T∗(g) = n X j=1 ajT∗(kλj) = n X j=1 ajh(λj)kλj = n X j=1 aj f(λj) Rkλj = n X j=1 aj µj Rkλj. Por tanto, se verifica que 0≤ kgk2 2− kT∗(g)k2 2 = n X j=1 ajkλj 2 2 − n X j=1 aj µj Rkλj 2 2 = n X j=1 n X i=1 aiajhkλi|kλji − aiµiajµj R2hkλi|kλji = n X j=1 n X i=1 aiajhkλi|kλji1−µiµj R2 = n X j=1 n X i=1 aiajkλj(λi)1−µiµj R2 = n X j=1 n X i=1 aiajkλj(λi)1−µ0 iµ0 j N´otese que, como a1, . . . , anera complejos cualesquiera, la desigualdad anterior muestra que λ1, µ0 1,· · · , λn, µ0 nsatisfacen la propiedad de Pick. La relevancia de la teor´ıa de Pick radica en que la condici´on necesaria para la existencia del m´ınimo vista en la proposici´on anterior es tambi´en una condici´on suficiente, como se deduce del siguiente resultado. 116 Teorema 6.3.4 (Teorema de Pick).Sean λ1, µ1, . . . , λn, µn∈D. Son equivalentes: (a) Existe una soluci´on f∈H∞(D)del problema m´ın h∈H∞(D){khkH∞(D):h(λj) = µj}. Adem´as, kfkH∞(D)≤1. (b) Existe una soluci´on racional r∈H∞(D)del problema m´ın h∈H∞(D){khkH∞(D):h(λj) = µj}. Adem´as, krkH∞(D)≤1. (c) λ1, µ1, . . . , λn, µnsatisfacen la propiedad de Pick. Demostraci´on. Es claro que la condici´on (b) implica la condici´on (a). Adem´as, en la Proposici´on 6.3.3 hemos visto que la condici´on (a) implica la condici´on (c). Por tanto, para demostrar el teorema ser´a suficiente ver que la condici´on (c) implica la condici´on (b). Para ello, definamos el conjunto A:= {h∈H∞(D) : khkH∞(D)≤1, h(λj) = µj, j = 1, . . . , n}. N´otese que el problema dado en (a) es equivalente al dado por m´ın h∈AkhkH∞(D). Supongamos que Ano es vac´ıo. En ese caso, Aes una familia de funciones holomorfas uniformemente acotada en todo D. Por tanto, el Teorema de Montel (puede consultarse en el Teorema 14.6 de [8]) asegura que Aes una familia normal. En particular, tomando una sucesi´on minimizante de Aque converja a ´ınf h∈AkhkH∞(D), podemos escoger una subsucesi´on convergente (en la topolog´ıa que da la convergencia uniforme en compactos). Es un argumento est´andar ver que, entonces, la funci´on holomorfa a la que converge dicha subsucesi´on es una soluci´on de (a). Esto demuestra que el problema dado en (a) posee soluci´on si y solo si Aes no vac´ıo. 117 M´as a´un, vamos a ver que, bajo las condiciones de (c), hay al menos una funci´on racional en Aque es soluci´on del problema dado en (b). Esto mostrar´a justo lo que queremos. La prueba de esto ´ultimo es extensa, por lo que damos algunas indicaciones previas. Vamos a comenzar viendo que, efecticamente, Aes no vac´ıo. De hecho, vamos a ver que contiene al menos una funci´on racional. Para hacer esto, vamos a relacionar el conjunto Acon otro conjunto A0donde, formalmente, se asume que µn= 0. Esto permite relacionar el conjunto Acon otro conjunto A∗donde solo se prefijan n−1 valores de las funciones de H∞(D). Veremos que, a partir de una funci´on racional de A∗, puede construirse otra de A, que tambi´en es racional. Por tanto, la prueba de que hay al menos una funci´on racional en A(y, por tanto, este conjunto es no vac´ıo) se seguir´a con un simple argumento de inducci´on sobre n. As´ı, mostramos que se verifica (a). Posteriormente, un argumento de normalizaci´on sobre el valor del m´ınimo dado en (a) nos llevar´a a ver que se verifica (b). Comenzamos, entonces, suponiendo que n= 1. Obs´ervese que λ1, µ1∈D siempre cumplen la propiedad de Pick, puesto que kλi(λi)(1 −µiµi) = 1− |µi|2 1− |λi|2>0. M´as a´un, dado a∈D, denotemos por φa:D→Duno de los automorfismos de Dque lleva aen 0, por ejemplo, φa(z) = z−a 1−az, z ∈D. Recu´erdese, adem´as, que φ−1 a=φ−a. En ese caso, es claro que si tomamos h=φ−µ1◦φλ1se tiene que hes holomorfa sobre D, con khkH∞(D)≤1, y cumpliendo h(λ1) = µ1. Por tanto, h∈A. M´as a´un, la funci´on hes racional. En definitiva, para n= 1, se verifica que (c) es cierto y Acontiene una funci´on racional. Tomemos, ahora n > 1. Vamos a reducir la demostraci´on al caso en el que λn=µn= 0. Para ello, con las notaciones anteriores, definimos λ0 j=φλn(λj), µ0 j:= φµn(µj), j = 1, . . . , n. 118 Supongamos que existe h∈H∞(D) con khkH∞(D)≤1 satisfaciendo que h(λj) = µj, j = 1, . . . , n. Definamos g:D→Ddada por g:= φµn◦h◦φ−λn. N´otese que ges holomorfa con kgkH∞(D)≤1. Adem´as, g(λ0 j)=(φµn◦h◦φ−λn)(λ0 j) = (φµn◦h◦φ−λn)(φλn(λj)) =φµn(h(λj)) =φµn(µj) =µ0 j, j = 1, . . . , n. Como las funciones φapara a∈Dson biyecciones, lo anterior muestra que existe soluci´on para el problema de interpolaci´on relacionado con λ1, µ1, . . . , λn, µnsi y solo si existe soluci´on para el problema an´alogo con λ0 1, µ0 1, . . . , λ0 n, µ0 n, donde λ0 n=µ0 n= 0. En definitiva, esto justifica que el conjunto Aes no vac´ıo si y solo si el conjunto A0:= {h∈H∞(D) : khkH∞(D)≤1, h(λ0 j) = µ0 j, j = 1, . . . , n}. es no vac´ıo. M´as a´un, si A0contiene una funci´on racional, entonces Atambi´en, puesto que cada φaes racional. Podemos ver que se tiene, de la misma forma, una equivalencia an´aloga a la anterior para la propiedad (c). En particular, sea A= (aij : 1 ≤i, j ≤n) la matriz dada por aij =kλj(λi)(1 −µiµj). Recu´erdese que se dice que λ1, µ1, . . . , λn, µnsatisfacen la propiedad de Pick si Aes semidefinida positiva. Por analog´ıa con lo realizado hasta ahora, sea A0= (a0 ij : 1 ≤i, j ≤n) la matriz dada por a0 ij =kλ0 j(λ0 i)(1 −µ0 iµ0 j). Vamos a ver que Aes semidefinida positiva si y solo si A0lo es. Para ello, 119 apreciamos que: 1−λ0 jλ0 k 1−λjλk =1−φλn(λj)φλn(λk) 1−λjλk = 1−λj−λn 1−λnλj λk−λn 1−λnλk 1−λjλk =(1 −λnλj)(1 −λnλk)−(λj−λn)(λk−λn) (1 −λnλj)(1 −λnλk)(1 −λjλk) =1 + λjλk|λn|2−λjλk− |λn|2 (1 −λnλj)(1 −λnλk)(1 −λjλk) =(1 − |λn|2)(1 −λjλk) (1 −λnλj)(1 −λnλk)(1 −λjλk) =1− |λn|2 (1 −λnλj)(1 −λnλk),1≤j, k ≤n. Por tanto, si definimos αj:= q1− |λn|2 1−λnλj 6= 0, j = 1, . . . , n, se tiene que 1−λ0 jλ0 k 1−λjλk =αjαk. An´alogamente, si definimos βj:= q1− |µn|2 1−µnµj 6= 0, j = 1, . . . , n, se tiene que 1−µ0 jµ0 k 1−µjµk =βjβk. 120 Con lo anterior en mente, sea γ= (γi: 1 ≤i≤n)∈Cn. Se verifica que γ∗A0γ= n X i,j=1 1−µ0 iµ0 j 1−λ0 iλ0 j γiγj = n X i,j=1 1−µ0 iµ0 j 1−µiµj 1−µiµj 1−λiλj 1−λiλj 1−λ0 iλ0 j γiγj = n X i,j=1 1−µiµj 1−λiλj βiβ0 j αiαj γiγj = n X i,j=1 1−µiµj 1−λiλjβi αi γiβj αj γj =γ0∗Aγ0, donde γ0= (βiα−1 iγi: 1 ≤i≤n)∈Cn. Como la aplicaci´on T:Cn→Cndada por T(γ) = γ0es una biyecci´on, se tiene lo que ya adelantamos: Aes semidefinida positiva si y solo si A0lo es. Lo probado hasta ahora permite reducir la demostraci´on al caso en el que λn=µn= 0. Por inducci´on, sabemos que el conjunto A∗:= {h∈H∞(D) : khkH∞(D)≤1, h(λ∗ j) = µ∗ j, j = 1, . . . , n −1} es no vac´ıo para cualquier colecci´on {λ∗ 1, µ∗ 1, . . . , λ∗ n−1, µ∗ n−1} ⊂ Dque satisfaga la propiedad de Pick. Notemos que existe f:D→Dholomorfa con f(0) = 0, f(λj) = µj, j = 1, . . . , n −1, si y solo si existe g:D→Dholomorfa con g(λj) = µj λj , j = 1, . . . , n −1. Para verlo, basta dar la relaci´on f(z) = zg(z). N´otese que fes racional si y solo si lo es g. Por tanto, ver que Acontiene una funci´on racional se reduce a ver que λ1, µ1λ−1 1, . . . , λn−1, µn−1λ−1 n−1satisfacen (c). Pero esto es sencillo de compro- 121