Estimadores de estado en redes de distribución: revisión del estado del arte
Abstract
La Estimación de Estado en Sistemas de Distribución está llegando a ser un elemento esencial de los sistemas de gestión de la distribución, sirviendo como base de numerosas aplicaciones dirigidas a las redes inteligentes o, también conocidas como SMART GRIDS. En este documento se va a tratar la evolución de este método desde su origen hasta la actualidad. Se describirán las distintas metodologías de resolución de esta problemática, se mostrarán las topologías existentes realizando una clasificación según las características propias de cada modelo de estimación que se presentarán en los puntos de este proyecto.
Full text
Trabajo Fin de Máster Máster en Sistemas de Energía Eléctrica Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte Autora: Mª Ángeles Gámiz Juárez Tutores: Dña. Esther Romero Ramos D. Antonio de la Villa Jaén. Dep. Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016
2 Trabajo Fin de Máster Máster en Sistemas de Energía Eléctrica Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte Autor: Mª de los Ángeles Gámiz Juárez Tutores: Dña. Esther Romero Ramos D. Antonio de la Villa Jaén Dep. Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016
3 “A mi abuelo, Don José Gámiz Matas”
4 AGRADECIMIENTOS Hoy, seis años después de mi primer día en la Escuela, solo tengo palabras de agradecimiento y buenos recuerdos al haber alcanzado al fin este sueño. Gracias a mi mentora y amiga Dña. Esther Romero Ramos. Eres especial como profesora, pero aún más como persona. Nunca podré agradecerte lo vivido estos años. Gracias a Don Antonio de la Villa Jaén por ser el gran profesor que todo alumno en esta escuela querría tener. Gracias a todos los profesores, en especial a los del Departamento de Ingeniería Eléctrica. Soy muy afortunada por tener unos padres que me han proporcionado todo lo necesario para estudiar y alcanzar mis metas. El apoyo y la confianza que ellos y mi hermano me han mostrado día tras día durante toda mi vida son algo incalculable, y estoy enormemente agradecida por todo lo que han hecho por mí. Gracias por ser una vez más, partícipes de uno de los capítulos más importantes de mi vida. Gracias a mis padrinos y demás familiares por amarme incondicionalmente y por interesarse por mí en cada momento. Este logro también es vuestro. Gracias Alfonso, por ser tan especial y por dejarme compartir contigo mis sueños. Gracias a los amigos que siempre estuvieron, a los de toda la vida, y gracias a los que vinieron, porque con ellos he sido muy feliz, y sé, que aunque pasen los años y estemos lejos, siempre estarán para mí como yo lo estaré para ellos.
5 RESUMEN La Estimación de Estado en Sistemas de Distribución está llegando a ser un elemento esencial de los sistemas de gestión de la distribución, sirviendo como base de numerosas aplicaciones dirigidas a las redes inteligentes o, también conocidas como SMART GRIDS. En este documento se va a tratar la evolución de este método desde su origen hasta la actualidad. Se describirán las distintas metodologías de resolución de esta problemática, se mostrarán las topologías existentes realizando una clasificación según las características propias de cada modelo de estimación que se presentarán en los puntos de este proyecto.
6 ABSTRACT State Estimation in Distribution Systems is becoming an essential element of many distribution management systems (DMS), serving as the basis for numerous applications targeting smart grids. This paper discusses the development of this method from its origins to today. The different methodologies of resolution of this problem will be described, existing topologies are shown performing a classification according to the characteristics of each estimation model to be presented at the points of this project features.
7 Índice de Ilustraciones Ilustración 1. Esquema de funcionamiento del estimador de estado ........................................ 17 Ilustración 2 ................................................................................................................................. 28 Ilustración 3 ................................................................................................................................. 28 Ilustración 4 ................................................................................................................................. 29 Ilustración 5 ................................................................................................................................. 31 Ilustración 6 ................................................................................................................................. 36 Ilustración 7. Sección de línea trifásica ....................................................................................... 66 Ilustración 8. Circuito equivalente de sección de línea trifásica ................................................. 66 Ilustración 9. Modelo de línea ..................................................................................................... 72 Ilustración 10. Circuito equivalente de una fase de un fragmento de línea ............................... 84 Ilustración 11. Diagrama ilustrativo sobre las medidas de inyección de potencia en un nudo k 87 Ilustración 12. Diagrama de línea para ilustrar las magnitudes de tensión ................................ 89 Ilustración 13. Estructura general de red de distribución radial ............................................... 109
8 Índice AGRADECIMIENTOS....................................................................................................................... 4 RESUMEN ...................................................................................................................................... 5 ABSTRACT ...................................................................................................................................... 6 Índice de Ilustraciones .................................................................................................................. 7 1. Objetivos y Alcance del Proyecto ........................................................................................ 12 2. Estimador de Estado Convencional ..................................................................................... 15 2.1. Situación histórica ....................................................................................................... 15 2.2. Características generales............................................................................................. 16 2.3. Formulación del problema de estimación de estado .................................................. 19 2.3.1. Modelo de la red. Tratamiento del sistema de medidas ........................................ 20 2.4. Solución mediante las ecuaciones normales. ............................................................. 24 2.5. Principio de Observabilidad ........................................................................................ 27 2.5.1. Análisis numérico de observabilidad ....................................................................... 31 2.5.2. Análisis topológico de observabilidad ..................................................................... 33 2.6. Detección e identificación de medidas erróneas ........................................................ 34 2.6.1. Prefiltrado ............................................................................................................... 35 2.6.2. Detección/Identificación ......................................................................................... 36 2.6.2.1. Clasificación de las medidas ................................................................................ 38 2.6.2.2. Propiedades de los residuos de medidas ............................................................ 39 2.6.2.3. Detección de datos erróneos .............................................................................. 40 Test para detección de medidas erróneas ........................................................................ 40 2.6.2.4. Identificación de datos erróneos ........................................................................ 40 Test del mayor residuo normalizado ( ) .............................................................................. 41 Datos erróneos múltiples ........................................................................................................ 41 Identificación mediante Test de Hipótesis .............................................................................. 42 3. Metodologías de resolución del Estimador de Estado ........................................................ 45 3.1. Introducción ................................................................................................................ 45 3.2. Mínimos Cuadrados Ponderados ................................................................................ 47 3.3. Ecuaciones Normales con Restricciones ..................................................................... 50 3.4. Transformaciones Ortogonales ................................................................................... 51 3.5. Método Híbrido ........................................................................................................... 52 3.6. Método de la Matriz Aumentada de Hatchel.............................................................. 53 3.7. Método de Pseudoinversas ......................................................................................... 54
9 3.8. Método de la Matriz Aumentada por Bloques ........................................................... 56 3.9. Mínimos Absolutos ...................................................................................................... 57 3.10. Mínima Mediana de Cuadrados .............................................................................. 59 3.11. Conclusiones ............................................................................................................ 60 4. Evolución de los estimadores de estado en redes de distribución ..................................... 63 4.1. Estimador de estado con restricciones de igualdad ................................................... 63 4.1.1. Introducción ............................................................................................................ 63 4.1.2. Variables de Estado ................................................................................................. 64 4.1.3. Formulación general: Ecuaciones normales con restricciones de igualdad ............ 64 4.1.4. Modelo de línea empleado ..................................................................................... 65 4.1.5. Formulación del algoritmo ...................................................................................... 66 4.1.6. Tratamiento de las medidas de inyección nulas ..................................................... 68 4.1.7. Desacoplado rápido ................................................................................................. 69 4.2. Estimador de estado basado en intensidades de rama (I) .......................................... 70 4.2.1. Introducción ............................................................................................................ 70 4.2.2. Formulación genérica del problema de estimación de estado ............................... 70 4.2.3. Modelo de línea empleado ..................................................................................... 71 4.2.4. Método de estimación basado en la tensión de los nudos ..................................... 72 4.2.5. Variables de estado ................................................................................................. 72 4.2.6. Funciones de medidas .................................................................................... 73 4.2.7. Método de estimación de estado basado en la Intensidad de rama ...................... 75 4.2.8. Estimación de estado de redes débilmente malladas ............................................. 77 4.3. Estimador de estado basado en intensidades de rama (II) ......................................... 78 4.3.1. Introducción ............................................................................................................ 78 4.3.2. Modelo de estimación de estado basada en intensidades de rama ....................... 78 4.3.3. Mejora del algoritmo de estimación ....................................................................... 81 4.4. Estimador de estado basado en intensidades de rama (III). Influencia de la localización de las medidas ..................................................................................................... 83 4.4.1. Introducción ............................................................................................................ 83 4.4.2. Modelo de línea empleado ..................................................................................... 84 4.4.3. Variables de Estado ................................................................................................. 85 4.4.4. Entradas de la matriz Jacobiana .............................................................................. 85 4.4.5. Método de estimación ............................................................................................ 90 4.4.6. Influencia del emplazamiento de las medidas ........................................................ 91
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 16 Se puede decir que la investigación sobre la estimación de estado en redes de distribución se inició hace poco más de dos décadas, y es ahora cuando más se está desarrollando. Además, la evolución tecnológica que se ha producido hasta ahora con la aparición de los contadores inteligentes (Smart Meters en inglés), el abaratamiento de la electrónica, los avances en estudios realizados para alcanzar una mejor estimación y el conocimiento en más profundidad sobre el comportamiento del sistema, llaman a la búsqueda de modelos que se van mejorando unos a otros. Una de las principales razones para estudiar este tema es que se está intentando modernizar las redes de distribución considerando el mejor ratio de coste/beneficio. Además, podría ser necesario desarrollar estimadores específicos para los sistemas de distribución, con soluciones innovadoras para los estimadores de estado del futuro teniendo en cuenta los posibles avances tecnológicos que se irán produciendo. 2.2. Características generales Los principales objetivos que busca el Estimador de Estado son: - Monitorizar la operación del Sistema Eléctrico - Obtener el estado del Sistema Eléctrico buscando que el resto de herramientas que operan en el sistema, puedan trabajar de manera óptima. En general, el Estimador de Estado comprende básicamente las siguientes funciones principales [1]: 1) Prefiltrado de las medidas: se llevan a cabo un conjunto de comprobaciones rudimentarias para detectar y descartar mediciones que son claramente erróneas (magnitudes de tensión negativas, de rangos de los flujos de potencia, etc.). 2) Procesar la Topología de la Red: Sobre la base del estado de los dispositivos de conmutación y la disposición física de las subestaciones, la estructura del modelo eléctrico de red (nodos eléctricos, conectividad, islas energizadas, etc.). 3) Análisis de Observabilidad: determina si el estado del sistema se puede obtener usando las medidas disponibles para toda la red. Si sólo un subconjunto de nodos es observable, a continuación, se identifican las islas observables. 4) Estimación del Estado: Calcula el estado de la red estadísticamente óptima, o el estado que mejor adapte las medidas capturadas de forma remota para un conjunto dado de parámetros de red y conectividad de la misma. Como un subproducto, proporciona también las medidas estimadas y las matrices de covarianza asociadas. 5) Detección de errores: Sobre la base de ciertas propiedades estadísticas de la estimación, esta función detecta la presencia de posibles errores no gaussianos en el conjunto de medidas. Si la redundancia es adecuada, estas medidas no deseadas pueden identificarse y eliminarse. Los estimadores modernos
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 17 también son capaces de detectar errores de topología y la sospechosa estimación de valores mejorados de parámetros de la red, tales como las tomas de los transformadores. Estas funciones pueden verse reflejadas en el esquema que se muestra en la Ilustración 1 [1]: Ilustración 1. Esquema de funcionamiento del estimador de estado La estimación de estado (SE) procesa un conjunto de medidas a estimar el estado del sistema de potencia existente. Hay tres tipos de conjuntos de medidas: 1) Telemedidas: toda lectura del consumo eléctrico realizada a distancia, es decir, sin tener que pasar a leer el contador físicamente. Son las que se obtienen en tiempo real desde las remotas de las subestaciones a través del SCADA. Los datos típicos que se incluyen son tensiones e inyecciones de activa y reactiva en los nudos y flujos de potencia activa y reactiva en las líneas (actuales PMUs). 2) Pseudomedidas: son valores obtenidos basándose en los datos históricos existentes por lo que tienen menos precisión que si fuesen medidos; por ejemplo, la potencia generada en las centrales o la demanda de las subestaciones. 3) Virtuales: Son aquellas que no requieren ser medidas, como por ejemplo la inyección nula en las subestaciones de transporte. La información de esa
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 18 medida aporta error nulo. La información de un cero podría ser utilizada en SE como una medida exacta que no necesita ser medida, pero cuya información está siempre disponible. Para tratar con la inyección nula en las medidas, se emplean una serie de métodos como son [3]: 1. La eliminación directa de variables usando las igualdades asociadas a estas medidas exactas 2. La consideración de pesos altos en estas medidas exactas. 3. El método de los multiplicadores de Lagrange. En la práctica, se observa que los datos telemedidos contienen errores debido a la inexactitud de la calibración de los aparatos, el ruido existente en los canales de comunicación, el desequilibrio que hay entre las fases, etc. Pero esto no resulta un gran problema, ya que como se ha podido ver antes, el Estimador de Estado emplea un bloque de limpieza de errores debido a que las medidas están relacionadas entre sí mediante las leyes que gobiernan los circuitos eléctricos. Si existiera redundancia en el conjunto de medidas existente (mayor número de medidas de las necesarias para para determinar la condición de la red), se podría emplear un procedimiento sistémico que corrigiera los errores. La exactitud de las medidas no sólo dependerá del transformador de medida, sino también de los transductores y convertidores y se tendrá que considerar como error de las medidas un único valor que sea conjunción de la suma acumulativa de los errores en los dispositivos que intervienen en todo el proceso. Los parámetros que determinan el nivel de exactitud de la medida son los siguientes [2]: Clase: Se considera el error máximo que el aparato de medida puede tener, tomando en tanto por ciento, con respecto al valor de fondo de escala o señal nominal de salida, en unas condiciones definidas por normas nacionales o internacionales. Linealidad: El error de linealidad es el error relativo en tanto por ciento, con respecto al valor de fondo de escala, es decir, ajustado de manera que a la entrada nominal le correspondiese exactamente la salida nominal. Reproductibilidad o Histéresis: El error de histéresis es el error que puede darse por diferencia de los valores obtenidos en un convertidor de medida a igualdad de condiciones ambientales, de temperatura, etc., pero repitiendo las medidas en condiciones dinámicas diferentes, es decir, aumentando la medida en un momento y disminuyéndola en otro momento. Derivada térmica: Es el error que puede producirse por variación de la temperatura en el medio ambiente en que se encuentra el instrumento de
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 19 medida, con respecto a la medida que tiene a una temperatura de referencia. Esta diferencia de valor que se toma también en tanto por ciento con respecto al fondo de escala, puede ser de cero, es decir, de la salida que da el aparato de medida para una entrada que por su ajuste debiera dar salida igual a cero, o bien puede ser de plena escala, es decir, de la salida que da el aparato de medida para la entrada nominal. Este error se suele dar en tanto por ciento por cada diez grados centígrados. Otros: Existen otros parámetros o magnitudes, tales como la frecuencia de red, tensión de alimentación, impedancia de carga, que pudieran tener algún pequeño efecto sobre el aparato de medida y sobre su precisión, por lo que en algunos de ellos se suele expresar la influencia de dichas magnitudes. Destacar que la clase es el parámetro más influyente [2]. 2.3. Formulación del problema de estimación de estado El estado de un sistema de potencia se encuentra definido por un conjunto de fasores compuesto por las tensiones complejas de los nudos. Para un primer análisis general, se asume implícitamente que la topología y los parámetros de la red, son conocidos, por lo que no forman parte del estado. El objetivo principal de lo que se conoce como estimación de estado estática es estimar las tensiones complejas en todos los nudos eléctricos de un sistema dado. Esto se consigue procesando las medidas que se encuentran disponibles y la información sobre el estado de algunos dispositivos instalados en el sistema objeto de estudio como son los interruptores, seccionadores y tomas de transformadores, así como los parámetros de líneas, bancos de condensadores, transformadores y reactancias. El número de medidas, así como su ubicación, tipo y precisión dependen de cada sistema en concreto. Por motivos económicos, sólo los sistemas de transporte a muy alta tensión están dotados de un sistema de medidas completo y adecuado para la estimación de estado. En los niveles de distribución de mayor tensión y responsabilidad (antiguamente llamados de “reparto”) el sistema de medidas también permite llevar a cabo el proceso de estimación, aunque con ciertas limitaciones y consideraciones que se verán más adelante en este documento. Los siguientes tipos de medidas son los más empleados en el problema de estimación: 1. Flujos: Flujos de potencia activa y reactiva medidos en ambos extremos de líneas y transformadores. 2. Inyecciones: Potencia neta activa y reactiva inyectada en los nudos. Estas inyecciones suelen ser a su vez flujos de potencia por elementos que caen fuera
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 20 del ámbito del estimador, normalmente transformadores generación/ transporte o transporte/ distribución. 3. Módulos de tensiones: Lecturas de voltímetros en los embarrados. Pueden haber varias medidas en un mismo nudo eléctrico compuesto por varios embarrados acoplados por interruptores. 4. Módulos de intensidades: Lecturas de amperímetros en ambos extremos de líneas y transformadores. Cabe destacar que, por su propia naturaleza, los dos primeros tipos de medidas llevan consigo un determinado signo, mientras que los dos últimos tipos son siempre positivos (valores eficaces o rms) [2]. 2.3.1. Modelo de la red. Tratamiento del sistema de medidas El estimador de estado debe monitorizar la operación del sistema en funcionamiento normal mientras la carga y la generación varían lentamente. En esta situación, se puede suponer que el sistema se encuentra en un estado idílico cuasi-permanente y equilibrado (líneas perfectamente traspuestas), por lo que puede utilizarse un circuito monofásico equivalente de secuencia directa para formular el problema. Dado el modelo de la red, las medidas existentes comentadas anteriormente pueden expresarse como funciones generalmente no lineales del estado del sistema. Estas expresiones no tienen en cuenta los posibles errores de las medidas, que deben modelarse como un término adicional. Si se considera un vector compuesto por medidas, éstas pueden ser expresadas en función de las componentes del vector de estado como sigue a continuación ( , siendo el número de nudos): [ ] [ ] [ ] ( 1 ) donde : [ ]. es la función no lineal que relaciona la medida i con el vector de estado . [ ] es el vector de estado. [ ] es el vector de errores asignado a las medidas empleadas. Como ocurre con el flujo de cargas, para trabajar con variables reales en lugar de complejas, cada fasor tensión se expresa en coordenadas polares (lo más común) o
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 21 cartesianas. Además, el vector de medidas está compuesto por términos reales correspondientes a flujos o inyecciones de potencia activa o reactiva, o magnitudes de tensiones y corrientes. En realidad, como se verá a continuación, en las funciones que relacionan el estado con las medidas sin errores aparecen también los parámetros y la topología de la red empleada, implícitos en dichas ecuaciones, pues según el modelo de la red que se considere, las ecuaciones serán de una manera u otra. Sin embargo, en base a la suposición de que estos datos se conocen perfectamente con total precisión, tan solo el vector de estado aparece en la dependencia funcional. El estimador de estado convencional emplea coordenadas polares para las tensiones, y cartesianas para los elementos de la matriz de admitancias de nudos, de modo que las funciones relativas a las medidas de potencia son las siguientes: Medidas de inyección neta en el nudo : ∑ ( ) ( 2 ) ∑ ( ) ( 3 ) Medidas de flujo a través de una línea o transformador del nudo al : ( ) ( 4 ) ( ) ( 5 ) siendo los módulos de las tensiones en los nudos y respectivamente. el desfase entre los nudos y . el elemento de la matriz de admitancias de nudos. la admitancia paralelo del modelo en π de la línea que une con . Las medidas de tensión tienen una gran relación con la variable de estado respectiva. Como se sabe, las medidas de intensidad no son frecuentes en redes de transporte pero sí pueden ser conocidas en las redes de distribución.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 22 Resulta habitual, aunque no siempre justificable, hacer las siguientes suposiciones sobre las propiedades estadísticas de los errores de las medidas [1]: Los errores siguen una distribución normal. El valor esperado de todos los errores es nulo, es decir, Los errores son independientes, es decir, [ ] Entonces, [ ] { } ( 6 ) La desviación típica de cada medida se calcula para reflejar la precisión esperada de los aparatos de medida involucrados. Es importante destacar que el fundamento de la formulación del problema de estimación de estado está en el concepto de estimación de máxima verosimilitud, que se va a explicar muy brevemente a continuación. El estimador de máxima verosimilitud de una variable aleatoria maximiza una función de probabilidad que se define en base a las hipótesis realizadas para el problema en cuestión. Así, las formulaciones basadas en hipótesis distintas darán resultados distintos. El desarrollo que sigue es el más común, y se basa en las hipótesis sobre los errores de medidas enunciadas anteriormente. La primera suposición es que los errores siguen una distribución normal si su función de densidad de probabilidad viene dada por: √ , - ( 7 ) donde : variable aleatoria : valor medio o esperado de : desviación típica de Mediante la realización del cambio de variable que aparece a continuación, se obtiene una distribución normal estandarizada, , con lo que solo es preciso considerar una única distribución normal. Sea , entonces √ ( 8 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 23 La segunda suposición se incorpora fácilmente haciendo cero el valor esperado de los errores en las expresiones anteriores. La tercera suposición implica que la función de probabilidad del conjunto de medidas se obtiene simplemente tomando el producto de las funciones correspondientes a cada medida, es decir, ( 9 ) Para simplificar la aritmética, se usa el logaritmo de dicha función, que se expresa como: ∑ ∑( ) ∑ ( 10 ) Se define el residuo como ( 11 ) donde y es la función que relaciona el vector de estado con las medidas. Con la notación y variables anteriormente introducidas, el estimador de máxima verosimilitud puede formularse como el siguiente problema de optimización: ∑ ( 12 ) La solución de este problema se conoce como el Estimador de Mínimos Cuadrados Ponderados (WLS) de . Hay que decir que este método de resolución para la estimación de estado empleado en el estimador convencional es el más utilizado, debido a que las variables estadísticas empleadas le permiten ser un método computacionalmente eficiente y que posee baja dificultad de implementación en comparación con otros métodos existentes.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 24 Obsérvese que la función objetivo del problema de optimización anterior se deduce directamente de la elección de la función de probabilidad. 2.4. Solución mediante las ecuaciones normales. Como acabamos de ver, la estimación de estado cuando los errores en las medidas son independientes y siguen una distribución normal, consiste en resolver el problema de mínimos cuadrados dado por la Ecuación ( 12 ), cuya función objetivo se puede reescribir del modo: [ ] [ ] ∑[ ] ( 13 ) donde . En el mínimo, deben cumplirse las condiciones de optimalidad de primer orden, que en ese caso son [ ] ( 14 ) donde ( 15 ) es la matriz jacobiano del vector , de dimensión . Se trata de encontrar el valor que satisface la ecuación no lineal ( 14 ). Como ocurre con el problema del flujo de cargas, la forma más eficaz de resolver esta ecuación es mediante el método iterativo de Newton-Raphson (NR), que converge cuadráticamente a la solución. Si se desprecian los términos donde aparecen segundas derivadas de , el sistema lineal de ecuaciones, denominadas ecuaciones normales, que debe resolverse en cada iteración es el siguiente: [ ] ( 16 ) donde denota el valor de en la iteración y
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 25 ( 17 ) se conoce como matriz de ganancia. Si es de rango completo entonces la matriz simétrica es definida positiva, y el sistema ( 16 ) tiene solución única. Una vez resuelto el sistema, el vector de estado debe actualizarse para la siguiente iteración: ( 18 ) Ignorando por simplicidad de notación la dependencia de respecto a , el procedimiento completo puede resumirse en los siguientes pasos: 1. Tomar perfil plano como valor inicial para ( ). Hacer . 2. Calcular los residuos 3. Obtener H y calcular . 4. Resolver el sistema ( 19 ) aprovechando la estructura dispersa de y . Para ello se realiza la ordenación óptima de las filas de (esto es sólo necesario la primera vez) y se lleva a cabo su descomposición triangular G= seguido de los procesos de eliminación hacia delante y sustitución hacia atrás. 5. Actualizar el vector de estado y hacer . 6. Si alguno de los elementos de es mayor que una determinada tolerancia, volver al paso 2. En caso contrario, o si k excede un valor prefijado, detener el proceso. Los términos del Jacobiano correspondientes a medidas de flujo e inyección se plantean a continuación (los términos debidos a medidas de tensión son todos nulos excepto el de la columna que corresponde a la tensión de medida que vale 1). A continuación se presentan los distintos elementos que conformarían la matriz Jacobiana si se consideran como variables de estado las tensiones y las fases de las tensiones en los nudos de la red: Inyección
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 32 donde: es el vector de flujos de potencia activa en continua por las ramas. C es la matriz de incidencias ramas-nudos reducida (excluyendo el nudo de referencia). es el vector de ángulos de fase de las tensiones de nudos. La observabilidad numérica se basa en la observación de que si todas las medidas son nulas, todos los flujos por las ramas deben ser nulos en la red observable (40,41). Si algún flujo no es nulo, entonces la rama correspondiente no es observable. Este requisito puede comprobarse fácilmente con el modelo desacoplado activo en continua ( 41 ) Cuya solución WLS, , viene dada por: ( 42 ) Tomando un vector nulo, la estimación deberá conducir, si es de rango completo, a flujos estimados nulos, es decir, 0. Si se denomina estado no observable. Las ramas , con , serán las mismas ramas no observables del sistema. Estas ramas dividen al sistema completo en islas observables. Si una rama no tiene medidas incidentes (flujos o inyecciones en los extremos), entonces el estado estimado es independiente de los parámetros de dicha rama y de su estado (desconectada o en servicio). Por tanto, tales ramas pueden ignorarse en el análisis de observabilidad (ramas irrelevantes). Entonces, se considera de nuevo el modelo desacoplado linealizado: ( 43 ) ( 44 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 33 Si no es singular, el sistema será completamente observable, sin embargo, si es singular, entonces las filas y columnas de la matriz pueden permutarse y reagruparse como sigue: [ ]0 1 * + ( 45 ) donde es la submatriz no singular de . Asignando valores arbitrarios pero diferentes a los elementos de , obteniendo una de las infinitas soluciones posibles para : ( 46 ) Los flujos por las ramas correspondientes a esta solución ( pueden obtenerse de: ( 47 ) Aquellas ramas con serán identificadas como no observables. El algoritmo de análisis numérico de observabilidad está compuesto por los siguientes pasos: 1. Las ramas que no tienen medidas adyacentes (flujo o inyección en sus extremos) son no observables y deben ser eliminadas. Son ramas irrelevantes cuyos parámetros no intervienen en el proceso de estimación. 2. Formar la matriz de ganancia y triangulizar. 3. Eliminar todas las medidas de inyección incidentes en nudos extremos de ramas no-observables. 4. Obtener las ramas no observables y eliminarlas. 5. Volver al paso 1 si se han eliminado ramas en el paso 4. 2.5.2. Análisis topológico de observabilidad Puede mostrarse que existe una correspondencia biunívoca entre un conjunto de columnas linealmente independientes de la matriz de coeficientes, y un árbol del grafo de la red formado por asignación de medidas a ramas. Dicha asignación se realiza mediante las siguientes reglas: - Una medida de flujo se asigna a la propia rama cuyo flujo se mide.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 34 - Una medida de inyección se asigna a alguna de las ramas incidentes al nudo cuya inyección se mide. - Una rama solo puede asociarse a una única medida. En base a las reglas anteriormente mostradas se pueden desarrollar distintos procedimientos heurísticos para construir progresivamente un árbol maximal cuyas ramas llevan asociadas medidas distintas. Los pasos básicos del proceso son los siguientes: 1. En primer lugar, asignar las medidas de flujo a sus ramas respectivas. Esto da lugar a varias “islas de flujo” desconexas entre sí que constituyen los fragmentos iniciales del árbol que se están buscando (en el hipotético caso de que existiese una sola isla de flujo que abarcase toda la red, esta sería observable incluso sin medidas de inyección). Los flujos que en esta fase den lugar a bucles son redundantes. 2. Asignar las medidas de inyección a sus ramas en una secuencia arbitraria. El objetivo es que esta nueva rama haga crecer uno de los fragmentos de árbol o bien que interconecte dos de ellos de forma que constituyan uno solo. Una asignación inadecuada de estas medidas puede obligar después de deshacer parte del árbol para construirlo de otro modo. Si no hay forma de conseguir que una inyección haga crecer los fragmentos del árbol, esta será declarada como redundante e ignorada en lo sucesivo. Si, una vez procesadas todas las medidas, se consigue un árbol conexo que incluya todos los nudos, la red es completamente observable. En otro caso, hay que identificar las islas observables, lo cual se consigue con un proceso iterativo de la siguiente forma: 1. Descartar las inyecciones que tienen al menos una rama incidente sin asignar cuyos nudos extremos pertenezcan a fragmentos de árbol distintos (es decir, que no formen bucle en un mismo subárbol). Estas inyecciones no pueden ser utilizadas por el estimador, al relacionar variables de estado de islas distintas. 2. Actualizar los subárboles eliminando las ramas afectadas y repetir el paso 1 hasta que no se quiten más inyecciones. 2.6. Detección e identificación de medidas erróneas La precisión y fiabilidad del estimador de estado depende de las telemedidas recibidas en el centro de control para su posterior procesado. A los errores asociados a los dispositivos de medida, analógicos o digitales, se suman también los originados en los canales de comunicaciones. Hay casos en los que, tras una labor de mantenimiento o reparación en la subestación, las conexiones de un medidor, o su calibración, pueden cambiarse inadvertidamente sin que exista constancia en el centro de control. Este
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 35 tipo de incidentes ocurren rutinariamente en la operación de los sistemas de potencia y generan un conjunto de medidas contaminado por datos incorrectos. A menos que estos datos erróneos sean detectados e identificados, el estado estimado en base a tales conjuntos de medidas será localmente deficiente. Los estimadores de estado disponen de filtros previos que descartan inconsistencias obvias en el conjunto de medidas, sobre todo signos cambiados o valores fuera de rango. Sin embargo, muchos errores no gaussianos escapan a este filtrado [1]. El estimador de mínimos cuadrados ponderados, que a su vez, es de los más utilizados como se argumentará en el siguiente capítulo, utiliza procedimientos que se ejecutan tras la estimación, basados en los residuos de las medidas, para detectar e identificar datos erróneos. Otros tipos de estimadores intentan eliminar dichos errores durante el proceso de estimación. El modelo empleado para las medidas es . El error de una medida sigue una distribución normal de media nula y desviación típica de . En entornos reales el valor exacto no es posible conocerlo. Como valor exacto se adopta el valor estimado de la medida. Los tipos de errores analógicos según su magnitud son: 1. Errores normales (<3 ) RUIDO. No es necesario adoptar acciones correctoras. 2. Errores extremos (>20 ) PREFILTADO 3. Errores grandes (3… 20 ) DETECCIÓN/IDENTIFICACIÓN. Es necesario adoptar acciones correctoras. 2.6.1. Prefiltrado Con el prefiltrado se evalúan errores en medidas antes del proceso de estimación, siendo identificados los errores directamente a partir del valor de la medida. Los ejemplos que se pueden poner al respecto serían: - Tensiones nulas. - Intensidades negativas. - Consumos en instalaciones generadoras. - Generación en instalaciones consumidoras. - Coherencia en potencias en los extremos de líneas o transformadores (solamente con posibles pérdidas).
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 36 Algunos estimadores utilizan técnicas elaboradas para detectar este tipo de errores. Además, es posible implementar un proceso de estimación con modelos lineales aproximados de la red. Las ventajas del prefiltrado son: - Menor tiempo utilizado en la eliminación que en fases posteriores empleando el estado estimado. - Mejora la convergencia. 2.6.2. Detección/Identificación Cuando se realiza el análisis de medidas erróneas de Detección/Identificación se siguen una serie de etapas que son las que se muestran a continuación en la siguiente Ilustración: Ilustración 6 La detección e identificación de medidas erróneas requiere redundancia que puede ser: - Global: (m/n) (medidas/estados) Siendo m el número de medidas y n el número de estados. - Local (proximidades de la medida errónea) Tener en cuenta que los errores en las medidas críticas no son detectables. En el análisis de las medidas erróneas, la información disponible es el valor de las medidas , el estado estimado , las medidas estimadas , el residuo de las medidas y las desviaciones típicas de las medidas . Los residuos de las medidas en términos absolutos no son un buen indicativo de análisis de medidas erróneas.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 37 La detección es posible realizarla mediante las propiedades estadísticas de la función de error: ∑ ( 48 ) donde: - el valor de la medida i-ésima es: - la medida iésima estimada es: = - el residuo de las medida iésima es: - la varianza de la medida iésima es: Esta función sigue una distribución Chi-cuadrado con m-n grados de libertad, obteniéndose el valor correspondiente a una probabilidad (por ejemplo 95%) en una distribución Chi-cuadrado con grados de libertad: . ( 49 ) Se realiza un test de hipótesis. Si entonces hay medidas erróneas. En la identificación de medidas erróneas, según sea el criterio seleccionado para comparar el orden de magnitud el residuo se diferencian dos tipos de residuos: A. Residuos Ponderados: son aquellos que utilizan la calidad (desviación típica) de las medidas. Comparan el residuo con la calidad de la medida: | | | | . ( 50 ) Sus ventajas son las siguientes: - Su cálculo no conlleva elevados tiempos de computación. - Criterio empleado en Estimador de Huber. Entre sus inconvenientes el más relevante es que no se compara el residuo con su propia desviación típica. B. Residuos Normalizados: son los que emplean la calidad (desviación típica) de los residuos.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 38 Con los residuos normalizados, la identificación es posible realizarla mediante las propiedades estadísticas de los residuos ( 51 ) Las propiedades serían: - Valor medio nulo: . - Covarianzas: . La matriz de covarianzas se formula a partir de un conjunto de n variables aleatorias , y mide la relación entre las variables aleatorias. A continuación se muestra un ejmeplo de cómo sería una matriz de covarianzas: [ ] Es un matriz cuadrada y simétrica. El elemento de la diagonal es la varianza de cada variable , y si es una matriz diagonal, las variables aleatorias son independientes. La función que define al residuo normalizado es la que aparece a continuación: √ ( 52 ) donde el residuo de la medida es Raíz del elemento correspondiente de la diagonal de la matriz de covarianzas de los residuos: √ . 2.6.2.1. Clasificación de las medidas A partir de las medidas obtenidas, se puede realizar una clasificación, diferenciando entre: - Medida crítica: Aquella cuya eliminación del conjunto de medidas hace al sistema no observable. La fila/columna correspondiente de la matriz de sensibilidad es nula.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 39 Su residuo es siempre nulo, por este motivo no es posible detectar un error. - Medida no crítica: Solamente en este tipo es posible detectar un error. No es una condición suficiente. 2.6.2.2. Propiedades de los residuos de medidas Considérese la estimación obtenida con el modelo WLS linealizado, ( 53 ) Y el valor estimado : ( 54 ) donde . Los residuos de las medidas pueden expresarse en términos de los errores de las medidas como sigue: [ ] ( 55 ) denominando a la matriz S, matriz de sensibilidad residual. Suponiendo que la matriz de covarianzas de los errores de medidas, R, se conoce, la matriz de covarianzas de los residuos puede expresarse como se indica: [ ] [ ] ( 56 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 40 La distribución del error de las medidas se supone normal con medida nula y matriz de covarianzas diagonal R, y se denota por: Además, la distribución de los errores de los residuos será también normal, con los siguientes parámetros: 2.6.2.3. Detección de datos erróneos Como se ha indicado anteriormente, los residuos pueden usarse para decidir si debe o no sospecharse la existencia de datos erróneos en el conjunto de medidas. Para ello se emplearán dos test: el test y el test del mayor residuo normalizado ( ). Mientras que el primero es estrictamente un test de detección, el segundo sirve también para identificar el dato erróneo. Test para detección de medidas erróneas La suma de cuadrados de variables aleatorias independientes con distribución normal sigue una distribución . Considérese la función objetivo del estimador WLS dada por la ecuación ( 12 ). Puesto que los residuos de las medidas siguen una distribución normal por las hipótesis realizadas, puede mostrarse que la función objetivo obedece a una distribución con m-n grados de libertad. El test se realiza como sigue: - Resolver el estimador WLS y calcular la función objetivo J( ), donde es el estado estimado. - Buscar en la tabla de distribución para m-n grados de libertad el valor correspondiente a la probabilidad p (por ejemplo 95%). Sea este valor, donde ). - Comprobar si .Si la respuesta es afirmativa, se concluye que hay algún dato erróneo. En caso contrario, las medidas no son sospechosas de contener tales errores. 2.6.2.4. Identificación de datos erróneos La identificación de datos erróneos se refiere a la selección de la medida incorrecta de entre el conjunto de medidas, cuando se sospecha que existen tales datos. Los dos métodos de identificación revisados en este texto son los siguientes:
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 41 - Test de residuos normalizados , que es fácil de implantar y funciona satisfactoriamente, a menos que haya ciertas combinaciones de datos erróneos múltiples. - Identificación mediante test de hipótesis, que es más complicado pero más fiable que el test . A continuación, se revisan detalladamente ambos métodos. Test del mayor residuo normalizado ( ) Normalizando el residuo de medida se obtiene: √ √ ( 57 ) Por tanto, los residuos normalizados son N(0,1). Puede demostrarse que si hay una sola medida errónea no crítica el mayor residuo normalizado corresponde precisamente a esa medida [1]. Además, este resultado se aplica a múltiples medidas erróneas siempre que la interacción entre las mismas sea despreciable. Los pasos del test de residuos normalizados para detectar e identificar errores simples o múltiples sin interacción son los que se describen: 1. Resolver el estimador WLS y obtener los elementos del vector de residuos: ( 58 ) 2. Calcular los residuos normalizados: | | √ ( 59 ) 3. Encontrar el mayor residuo normalizado 4. Si , entonces la medida k-ésima se considera errónea. En caso contrario, parar (no existen medidas erróneas). 5. Eliminar la medida sospechosa de los datos de entrada y volver al paso 1. Datos erróneos múltiples Como ya se ha mencionado, el test funciona correctamente en presencia de una sola medida errónea que no sea crítica. Si existen varias medidas erróneas pueden
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 48 ∑[ ] ( 66 ) siendo la función objetivo. Como en este caso el estimador de máxima verosimilitud minimiza el error cuadrático ponderado con la exactitud de las medidas, éste es el estado estimado de mínimos cuadrados ponderados. La solución del problema de mínimos cuadrados ponderados a la que se llega con la ecuación ( 65 ), proporciona el estado estimado de que satisface la siguiente condición de optimización: [ ] ( 67 ) donde ( 68 ) es la matriz Jacobiano. Independientemente de la visión estadística de la función es posible dar otra interpretación geométrica de dicha elección. Por analogía con mínimos cuadrados lineales se puede decir que minimizar dicha función es encontrar el estado que hace que la distancia desde las medidas obtenidas a las medidas estimadas sea mínima. La solución de de la ecuación no lineal ( 67 ) se puede obtener mediante un método iterativo en el que el vector de estado en la iteración k-ésima es y en cada iteración se resuelve la ecuación lineal: [ ] ( 69 ) y de la que se obtiene la corrección . En la Ecuación ( 69 ) es una matriz no singular que depende del método utilizado y mientras que la secuencia de puntos generada por el método iterativo converja, convergerá a la solución de la Ecuación ( 67 ). La dependencia de se omitirá en lo sucesivo para simplificar la notación.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 49 Un método que garantiza convergencia cuadrática local es el método iterativo de Newton, para el cual la matriz viene dada por: ( 70 ) siendo el elemento ij-ésimo de : . / [ ] ( ) . / ( 71 ) El método de Newton ignora los términos de derivadas segundas quedando: ( 72 ) por lo que la Ecuación ( 69 ) se transforma en: [ ] ( 73 ) donde ( 74 ) es la matriz de ganancia. Esta matriz posee las características de ser dispersa, definida positiva y simétrica, lo que asegura la observabilidad del sistema. La expresión de ( 73 ) son las ecuaciones normales del problema de mínimos cuadrados ponderados que se resuelven mediante factorización triangular de la matriz de ganancia ( 75 ) siendo U una matriz triangular superior. A continuación se resuelve mediante eliminación hacia delante y sustitución hacia atrás de ( 76 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 50 siendo . 3.3. Ecuaciones Normales con Restricciones Cuando existen medidas virtuales que representan relaciones matemáticas exactas, éstas se pueden incorporar directamente en la formulación de mínimos cuadrados asignándoles un factor de peso elevado, si bien, y como se ha comentado anteriormente, esto puede provocar mal condicionamiento. Debido a esto, lo que se propone en [2] es dividir el conjunto de medidas en: ( 77 ) Por lo que la matriz Jacobiano se divide en y siendo la submatriz Jacobiano de las telemedidas solamente y la de las medidas virtuales. Si es la relación entre los factores de peso de las medidas virtuales y las telemedidas, entonces, de las ecuaciones normales ( 73 ) se obtiene * + * +* + * + * +* + ( 78 ) siendo . Para valores de muy elevados, el término es dominante en la matriz, sin embargo, no suele haber suficientes medidas virtuales como para que la sea de rango completo y por tanto sea observable la red. Por lo tanto, para valores de grandes, la matriz de coeficientes en ( 78 ) tiende a ser singular causando problemas de mal condicionamiento. Se propone entonces separar las medidas virtuales de las telemedidas, de forma que aquellas se tratan como restricciones de igualdad, y evitar así el problema del mal condicionamiento. De este modo, solamente incluirá las telemedidas y las pseudomedidas. Ahora, el problema se centra en encontrar una solución que minimice la función objetivo cumpliendo las restricciones de igualdad. ∑[ ] ( 79 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 51 Es común, para resolver este problema, emplear los multiplicadores de Lagrange, obteniendo el estimado en un procedimiento iterativo en el que la ecuación linealizada que se resuelve en cada iteración es: * +* + * + ( 80 ) siendo [ ] ( 81 ) Se realiza la factorización triangular ( 82 ) y mediante eliminación hacia delante y sustitución hacia atrás de * + [ ] ( 83 ) se obtiene . 3.4. Transformaciones Ortogonales La función objetivo del problema de mínimos cuadrados en cada iteración resulta ser en [2]: ( ) ( ) ‖ ‖ ( 84 ) donde ( 85 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 52 ( 86 ) Siendo la matriz unitaria, sea una matriz ortogonal, es decir , y tal que * + ( 87 ) Entonces se tiene: ( ) ( ) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ( 88 ) donde [ ] [ ] ( 89 ) El mínimo de la ecuación ( 88 ) ocurre cuando ( 90 ) es decir, ( 91 ) y de esta ecuación, aplicando resolución hacia atrás, se obtiene . El método comienza realizando la transformaciones ortogonales ( 87 ) y ( 89 ) de y y a continuación se resuelve ( 90 ) mediante la sustitución hacia atrás. De esta manera se evita tener que construir , si bien es más densa. Por ello, para la obtención de se utiliza la transformación de Givens [2]. 3.5. Método Híbrido Teniendo en cuenta ( 87 ) se obtiene:
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 53 ( 92 ) El método híbrido resuelve las ecuaciones normales utilizando ( 93 ) Los puntos principales de este método son la transformación ortogonal ( 87 ) de , con lo que se evita la necesidad de utilizar , y la resolución de las ecuaciones normales ( 93 ) mediante eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás sin necesidad de tener que almacenar [2]. 3.6. Método de la Matriz Aumentada de Hatchel Para resolver el problema de minimización con restricciones de se utiliza el método de la matriz aumentada de Hachtel [2] en el que las ecuaciones se aumentan con el vector de residuos y se resuelven en cada iteración las siguientes ecuaciones: [ ][ ] [ ] ( 94 ) siendo: ( 95 ) es el multiplicador de Lagrange y es un parámetro utilizado para controlar la estabilidad numérica. Las variables que se calculan en cada iteración son, además de : ( 96 ) ( 97 ) Definiendo
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 54 [ ] ( 98 ) Se realiza la factorización triangular ( 99 ) y mediante eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás de [ ] [ ] ( 100 ) se obtienen las correcciones. En el caso particular de que no existan restricciones de igualdad las ecuaciones a resolver son: * +* + * + ( 101 ) Este método tiene el inconveniente de destruir la simetría de la matriz debido a los pivotamientos. 3.7. Método de Pseudoinversas Este método, reconocido también con el nombre de Peters y Wilkinson, realiza la minimización del error de mínimos cuadrados mediante la siguiente transformación del problema original (se inicia igual que el método de las transformaciones ortogonales) [2]: ( 102 ) ( 103 ) con lo que el problema queda reducido a:
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 55 ( 104 ) siendo ( 105 ) Factorizando de manera que: ( 106 ) siendo una matriz triangular inferior y U una matriz triangular superior, y definiendo: ( 107 ) Entonces, el problema se reduce a: . ( 108 ) De este problema transformado se obtiene de la ecuación: ⌈ ⌉ ( 109 ) no siendo tan mal condicionado como y obteniéndose la solución del problema original mediante la resolución del sistema triangular superior de ecuaciones: . ( 110 ) La resolución con restricciones se puede expresar como: * + * + ( 111 ) realizándose la misma factorización que el método sin restricciones. Se crea una matriz triangular superior no singular y una triangular inferior , teniendo ésta la siguiente estructura:
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 56 [ ] ( 112 ) La resolución se realiza calculando previamente una variable intermedia de mediante eliminación hacia delante. Seguidamente se obtiene otra variable intermedia de: ( 113 ) mediante factorización dispersa. Por último se resuelve: * + ( 114 ) y se obtiene mediante sustitución hacia atrás. 3.8. Método de la Matriz Aumentada por Bloques Este método se fundamenta básicamente en organizar la formulación del método de la matriz aumentada de Hachtel como una submatriz con estructura de bloques que se ajuste a la forma de la matriz de incidencias de la red y de esta manera queda como una matriz dispersa [2]. Se agrupa en flujos toda la información asociada a las medidas, incluyendo tensiones, e inyecciones eliminándose toda la formulación explícita de los flujos en la resolución del sistema. Las únicas restricciones que se consideran están asociadas a inyecciones y todas ellas son, por tanto, informaciones nodales. Separando en la Ecuación ( 94 ) la información en inyección (subíndice ) o de flujo y tensiones (subíndice ) y haciendo por claridad, se obtiene: [ ] [ ] [ ] ( 115 ) Seguidamente, permutando en la matriz de información las filas y las columnas que involucran a las restricciones y eliminando de ella :
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 57 [ ] [ ] [ ] ( 116 ) En ( 116 ) se observa que la ecuación asociada a los residuos de las medidas de flujos queda desacoplada del resto del sistema, por lo que la ecuación matricial que se tiene que resolver es: [ ][ ] [ ] ( 117 ) El sistema debe ser reordenado para obtener una estructura particionada en bloques de manera que la factorización obtenida evite pivotes pequeños o nulos que puedan provocar una eliminación ineficiente e inestable. El modelo de ( 117 ) tiene una estructura intermedia entre ( 80 ) y ( 94 ), siendo un subconjunto de la matriz de admitancia nodal y estando todas las variables de ( 117 ) relacionadas con los nodos de la red. 3.9. Mínimos Absolutos El modelo del sistema que relaciona las medidas con los estados que se van a estimar es , que linealizando en torno al punto de operación es: ( 118 ) donde ( 119 ) | ( 120 ) . ( 121 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 64 Según Lin y Teng el primer método puede afectar a la dispersión del sistema. El segundo método, de fácil implementación y que asigna pesos altos a las medidas virtuales y bajos a las pseudomedidas se descarta, ya que esa asignación de los pesos puede llevar al mal condicionamiento del modelo. El último método es el que resulta de interés para estos autores, por ser el más novedoso hasta el momento y estar alcanzando gran importancia en los sistemas de distribución. A continuación se va a describir la metodología que propusieron estos investigadores, las variables de estado que emplean en su formulación, el modelo y algunos detalles de su algoritmo [3]. 4.1.2. Variables de Estado Como variables de estado, Lin y Teng escogen las tensiones de los nudos, siendo éstas en su forma polar, y en su forma cartesiana. 4.1.3. Formulación general: Ecuaciones normales con restricciones de igualdad Dada la siguiente ecuación ( 129 ) donde : vector de medidas : vector de estado : vector de funciones de las medidas : vector de ruido de las medidas. Asumiendo que el vector de ruido de las medidas se obtiene a partir de una distribución gaussiana. Si son los pesos asociados a cada medida, es la varianza de la medida y es el peso asociado a la misma. De esta manera, las restricciones de igualdad asociadas a las inyecciones nulas se pueden expresar como: ( 130 ) Así, la función objetivo queda
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 65 [ ] [ ] ∑[ ] ( 131 ) sujeto a la Ecuación ( 130 ). Los multiplicadores de Lagrange se emplean como forma de resolver el problema de optimización equivalente [ ] [ ] ( 132 ) donde es el vector de los multiplicadores de Lagrange. Las derivadas parciales de ( 132 ) con respecto a y quedan [ ] ( 133 ) ( 134 ) siendo ⁄ y ⁄ las matrices Jacobianas. Las Ecuaciones ( 133 ) y ( 134 ) pueden resolverse iterativamente mediante el método de Newton. En cada iteración se resuelve: * +* + * + ( 135 ) donde . 4.1.4. Modelo de línea empleado Los autores de esta metodología emplean la Ilustración 7 como modelo de línea para el estudio que llevan a cabo. Las constantes de la línea podrían obtenerse por el método de Carson y Lewis según se argumenta en [3]. La Ilustración 8 muestra un circuito equivalente de la Ilustración 7.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 66 Ilustración 7. Sección de línea trifásica Ilustración 8. Circuito equivalente de sección de línea trifásica El modelo de línea de la Ilustración 8 puede escribirse como [ ] [ ][ ] ( 136 ) donde es la admitancia de línea del nudo al . 4.1.5. Formulación del algoritmo Para una pareja de medidas de inyección de potencia en el nudo , los términos del Jacobiano con respecto a las variables de estado quedan [ ] [ ] ( 137 ) según estén las variables en polares o cartesianas.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 67 Como se ha comentado en un principio, Lin y Teng apuestan por utilizar medidas equivalentes de intensidad. Un algoritmo de estimación de estado basado en intensidades convierte las medidas a medidas de intensidad equivalentes en cada iteración. A continuación se muestra la estructura del Jacobiano en este caso: [ ] ( 138 ) Siendo la inyección de intensidad en el nudo expresada en cartesianas. A partir de la Ilustración 7, y teniendo en cuenta las medidas equivalentes de intensidad aplicando la ecuación anterior, los autores muestran una matriz Jacobiana como sigue: [ ] [ ] [ ] ( 139 ) Las líneas bifásicas y monofásicas pueden procesarse de manera similar pero con una estructura matricial de respectivamente. De manera general, se puede expresar como: * + ( 140 ) Si las medidas son flujos de potencia, las intensidades equivalentes a estas medidas quedan [3]: 0 1 ( ) ( ) ( 141 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 68 donde es la tensión del nudo k. Los flujos de intensidad calculados son dados por: ∑ ( ) ( ) ( 142 ) La intensidad residual puede expresarse como ( ) ( ) ( ) ( ) ( 143 ) Las medidas de inyección de potencia en los nudos, de magnitud de tensión y de magnitud de intensidad, también pueden convertirse a medidas equivalentes de intensidad [3]. Lin y Teng poponen que: [ ] ( 144 ) y * + [ ] ( 145 ) donde donde 4.1.6. Tratamiento de las medidas de inyección nulas En este apartado, los autores explican una de las bases de su método. Como se ha comentado en la Introducción del método, estas medidas serán introducidas como restricciones de igualdad del problema de optimización de manera que a partir de la Ecuación ( 139 ) se puede extraer
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 69 [ ] ( 146 ) donde contiene las entradas de contiene las entradas de . Sustituyendo las ecuaciones ( 144 ), ( 145 ) y ( 146 ) en ( 135 ) y reordenando las filas se obtiene ( 147 ): [ ] [ ] [ ] ( 147 ) 4.1.7. Desacoplado rápido Los autores del modelo ofrecen un desacoplado rápido para aquellos modelos de distribución en los que se cumple que . De este modo, descomponen la Ecuación ( 147 ) en dos: [ ][ ] [ ] * + ( 148 ) y [ ][ ] [ ] [ ] ( 149 ) donde [ ] ( 150 ) Así, el algoritmo de estimación de desacoplado rápido con restricciones de igualdad se puede resumir en los siguientes pasos: 1) Datos de entrada. 2) Obtener la forma matricial de a partir de ( 144 ) y ( 145 ). 3) Obtener C(x) a partir de ( 146 ) para medidas de inyección nulas.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 70 4) Obtener la submatriz de ganancia F(x). 5) Factorizar F(x). 6) Obtener las medidas equivalentes de intensidad. 7) Resolver el sistema y actualizar las variables. 8) Si ir a 6. 9) En caso contrario, parar. 4.2. Estimador de estado basado en intensidades de rama (I) 4.2.1. Introducción Este método desarrollado por Baran y Kelly en 1995 [4], está basado en el método de WLS empleando como variables de estado las corrientes de las ramas. El modelo puede aplicarse a redes radiales y débilmente malladas (con pocos lazos creados por interruptores de la red). Además, sus autores defienden que el método es computacionalmente más eficiente y menos susceptible a los parámetros de la línea que el convencional basado en tensiones de los nudos de la red de estudio. Esta mejora viene principalmente del hecho de que la formulación empleada desacopla el problema del estimador de estado en tres subproblemas, cada uno para una fase. Estos investigadores se plantearon como un reto el nuevo modelo, ya que entre sus desafíos estaban la incorporación de cargas desequilibradas propias de las redes de distribución, la escasez de medidas en tiempo real y el hecho de que las medidas fueran las amplitudes de la intensidad por las ramas, las cuales no se incluían normalmente en el método convencional. 4.2.2. Formulación genérica del problema de estimación de estado Tanto este método como el convencional están basados en el método de WLS. Este método resuelve el siguiente problema de mínimos cuadrados para obtener una estimación del punto de operación del sistema definido por el estado del sistema : ∑ [ ] [ ] ( 151 ) Donde son los pesos de las medidas y es el vector de las funciones de medidas asociadas a las medidas .
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 71 Para la solución de este problema, el método iterativo convencional está adaptado para resolver las ecuaciones normales de cada iteración para computar , y así quedaría [ ] [ ] ( 152 ) donde ( 153 ) es la matriz de ganancia y es el Jacobiano de la función de medidas . 4.2.3. Modelo de línea empleado En general, las líneas principales de una red de distribución son trifásicas, sin embargo, pueden existir líneas bifásicas o monofásicas. Las cargas pueden ser trifásicas, bifásicas o monofásicas (como es el caso de las cargas de uso residencial). Además, es deseable emplear un modelo trifásico también recomendado para el análisis de flujo de potencia de las líneas. Un modelo trifásico tiene en cuenta el acoplamiento magnético entre las fases de las líneas, y si se toma una sección se podría ver: [ ] [ ] [ ][ ] ( 154 ) donde es la matriz de impedancia, es la longitud de la línea y representa el segmento de la línea de estudio. Tener en cuenta que la ecuación anterior está redactada en función del segmento de línea considerado que se muestra a continuación:
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 72 Ilustración 9. Modelo de línea 4.2.4. Método de estimación basado en la tensión de los nudos Baran y Kelley hacen un breve repaso del método convencional de estimación [4]. Los métodos convencionales de estimación toman como variables de estado las tensiones de los nudos, es decir, la amplitud y la fase de la tensión de cada nudo de la red de estudio. Estos métodos han sido extendidos para análisis trifásicos, sin embargo, el acoplamiento entre las fases aumenta la dimensión del modelo y disminuye la dispersión de su matriz de ganancia , y la complejidad del método es comparada con el de las redes de transporte que emplea un modelo monofásico. Sin embargo, el método propuesto tiene la ventaja de que se puede encargar de líneas con diferentes topologías (radial y mallada), aunque en la práctica las líneas son predominantemente radiales, excepto algunos casos en los que una red se convierta en mallada por el cierre de alguno de sus interruptores. 4.2.5. Variables de estado En los siguientes puntos de este modelo se va a demostrar que escoger intensidades de ramas como variables de estado simplifica las ecuaciones de las medidas e incluso reduce la complejidad computacional del problema del estimador de estado, especialmente para redes radiales. Para introducir el método, primero se considera una red radial y se escogen las corrientes por las ramas tal que ( 155 ) donde representa las tres fases de la red de estudio. Como variables de estado se tiene
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 73 [ ] [ ] ( 156 ) Como se ha podido observar en la ecuación anterior, se han tomado como variables de estado las intensidades por las ramas. Realizando un flujo de cargas las tensiones de los nudos se pueden conocer a partir de estas intensidades. Tomando la barra de la subestación como nudo de referencia, el procedimiento de un barrido hacia delante puede encontrar las tensiones de los nudos comenzando en la subestación y moviéndose hacia abajo en la línea, pasando por las ramas y actualizando las tensiones de los nudos. Además, las intensidades de las cargas se pueden calcular mediante la Ley de Kirchhoff de las intensidades para cada fase de cada nudo. Por ejemplo, para el nudo de la Ilustración 9 quedaría: ( 157 ) 4.2.6. Funciones de medidas Para emplear las intensidades de las ramas como variables de estado en el estimador, se deben determinar en primer lugar las funciones de las medidas para cada medida . Si todas las medidas fueran intensidades complejas de las ramas e inyecciones de intensidad en los nudos, entonces las funciones de medidas serían lineales como las Ecuaciones ( 155 ) y ( 157 ), e incluso el estimador podría ser simple. Baran y Kelley explotan esta idea de linealidad del modelo de estimación, de manera que proponen la conversión de todas las medidas existentes a medidas equivalentes de intensidad. A continuación se explica este planteamiento para los casos en que se tengan medidas de potencia o medidas de tensión: i) Medidas de Potencia Se suponen que pueden estar disponibles dos tipos de medidas de potencia. Por un lado estarían las medidas de flujo de potencia reales y, por otro, las pseudomedidas obtenidas a partir de datos históricos. Estas medidas de potencia se convierten a medidas equivalentes de intensidad, que son calculadas en cada iteración empleando las estimaciones de las tensiones disponibles. Por ejemplo, la medida equivalente de intensidad para el flujo de potencia en el extremo emisor del segmento de línea en la Ilustración 9 es: ( 158 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 80 y ( 176 ) son los residuos de las medidas de intensidad equivalentes y los flujos de intensidad de las ramas respectivamente. La matriz de pesos es . Las ecuaciones normales pueden desacoplarse en las fases simples además de en sus partes real e imaginaria. La matriz de Ganancia constante tiene valores +1 y -1 como elementos distintos de cero. B.2) las medidas de intensidad pueden escribirse como ( ) √( ) ( ) ( 177 ) donde es el índice de la fase. Y la contribución a la matriz de Ganancia es [ ] ( 178 ) donde . Tener en cuenta que la linealidad se pierde al introducir la Ecuación ( 178 ). Además, a) Para un sistema con medidas de magnitud de intensidad la matriz de Ganancia no es constante, luego se necesita actualizar y factorizar en cada iteración; b) Las partes real e imaginaria tienen que emplearse juntas (por parejas) para resolver la Ecuación ( 178 ); c) Para redes débilmente malladas, el modelo de estimación necesita resolver una matriz de Ganancia completamente acoplada como [ ] ( 179 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 81 donde son subganancias de las tres fases. son introducidas por el uso de los multiplicadores de Lagrange para redes malladas. Las ecuaciones normales llegan a ser muy complicadas para resolver las mallas de la red. C) Tensión en la i-ésima iteración Después de que sean resueltas las intensidades de rama, se puede emplear un procedimiento de barrido hacia delante para determinar las tensiones de los nudos del circuito. ( 180 ) donde : tensión del nudo receptor : tensión del nudo emisor : impedancia de línea 4.3.3. Mejora del algoritmo de estimación Analizando la metodología comentada sobre la estimación basada en intensidades de rama [5], se observan una serie de problemas que se resumen en los puntos siguientes: - De la Ecuación ( 178 ) se muestra un modelo complicado de senos y cosenos. La estructura constante de +/- 1 de la Ecuación ( 173 ) podría destruirse. Además la conversión del seno y del coseno consume mucha capacidad de computación. - A pesar de la insensibilidad de la línea, la matriz de Ganancia es dependiente del estado y no constante. Los ángulos de fase necesitan actualizarse en cada iteración, y por otro lado el número de las iteraciones podría aumentar si se escoge el uso de una matriz de Ganancia constante aproximada. - La propuesta de excluir las medidas de magnitud de intensidad en la primera o sucesivas iteraciones, parece no ser una buena elección debido a que puede afectar a la observabilidad del problema de estimación. El problema está en que incluir medidas de intensidad puede causar inestabilidad numérica a la hora de resolver la estimación de estado.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 82 - La matriz Jacobiana mostrada anteriormente, tiene una estructura muy lineal por contener términos +/-1 solamente. La observación de los circuitos trifásicos muestra que la matriz Jacobiana es una estructura de 6 bloques con 2 bloques por fase (correspondientes a su parte real e imaginaria). Así la estructura podía ser desacoplada en fases, además de en sus partes real e imaginaria. Sin embargo, la estructura súper lineal que se ha mencionado, podría verse arriesgada al introducirse términos correspondientes a medidas de magnitud de intensidad. Entonces a partir de lo comentado, los autores de este modelo establecen que: 1) Para redes radiales, las magnitudes de intensidad producen términos de acoplamiento mutuo entre las partes real e imaginaria. La estimación de estado basada en las intensidades de rama no será desacoplada en las partes real e imaginaria, pero sí en sus fases. 2) Para redes débilmente malladas, los términos de acoplamiento entre fases se producen por las mallas de la estructura. La matriz de Ganancia en este caso llega a ser una matriz acoplada completamente, como se muestra en la Ecuación ( 179 ). Debido a la escasez de información de la fase, las magnitudes de intensidad podrían procesarse mediante la multiplicación de la magnitud con el ratio del fasor en su valor absoluto. Esto es | |. | |/ ( 181 ) A) Términos del Jacobiano Teniendo ( 182 ) quedando la matriz Jacobiana como * + ( 183 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 83 B) Inicialización Para la inicialización de su modelo propuesto ellos emplean ( 184 ) ( 185 ) ( 186 ) ( 187 ) suponiendo que los ángulos de la tensión son cero, ( 188 ) Los autores de este modelo plantean diversas vías y las llevan a cabo, para mejorar el modelo de estimación de Baran y Kelley, de manera que el modelo propuesto contendría lo siguiente [5]: 1) Desarrollo de una matriz Jacobiana constante que sea insensible a las líneas e independiente del estado. La factorización LU debería llevarse a cabo una sola vez. 2) Desarrollo de un desacoplado que se mantenga tanto en redes radiales como malladas. Además, desarrollan un desacoplado de fases y de las partes real e imaginaria. 3) El fundamento original de la estimación de estado basada en las intensidades de rama debe mantenerse, obteniendo un estimador robusto y con menos necesidad de almacenamiento en la computación. 4) El tratamiento de las intensidades hace que se obtenga un Jacobiano más constante. 5) Este modelo mejora los resultados en redes malladas. 4.4. Estimador de estado basado en intensidades de rama (III). Influencia de la localización de las medidas 4.4.1. Introducción Wang y Schulz definen en 2004 [6] un estimador de estado para sistemas de distribución trifásicos basado en las intensidades que circulan por las ramas, empleando como método de resolución los mínimos cuadrados ponderados.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 84 El estimador que aquí se va explicar propone como variables de estado las amplitudes y las fases de las corrientes de las ramas. Además, se emplean pseudomedidas con motivo de que el número de medidas en tiempo real pueda ser insuficiente y exista la posibilidad de que el estimador se vea limitado a la hora de la convergencia de su modelo matemático. Además de esto, los autores analizan la importancia del emplazamiento de los aparatos de medida. También abordan la importancia de los sistemas de lectura de medidas automáticos, conocidos como AMR en inglés (Automated Meter Reading), ya que ha aumentado su uso considerablemente en las últimas décadas. Que estos sistemas estén bien localizados en la red puede favorecer el suministro de información de importancia relacionada con el corte y la reposición de las líneas, además de las propias medidas del sistema. 4.4.2. Modelo de línea empleado Wang y Schulz emplean como modelo de línea un circuito equivalente en π como se muestra en la Ilustración 10 [6]. La capacidad shunt de la línea se divide en dos partes iguales, una colocada en la parte del emisor y otra en la del receptor de la línea. Ilustración 10. Circuito equivalente de una fase de un fragmento de línea A continuación se van a definir las magnitudes que serán empleadas para explicar esta metodología: : Sistema de variables de estado : Nudos del sistema : Diferentes fases empleadas en el análisis : Potencia activa inyectada en el nudo de la fase : Potencia reactiva inyectada en el nudo de la fase
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 85 : Flujo de potencia activa del nudo al en la fase : Flujo de potencia reactiva del nudo al en la fase : Tensión compleja en la fase del nudo , : Flujo de la intensidad compleja (intensidad compleja de rama) en la fase del nudo al , : Impedancia de rama entre las fases y del nudo al , : Conjugado de la tensión compleja , : Conjugado de la intensidad compleja en la fase del nudo al 4.4.3. Variables de Estado Las variables de estado empleadas por estos autores en su algoritmo son las magnitudes y los ángulos de las fases de las intensidades que circulan por las ramas. Cuando una línea es un poco más larga, el efecto de las capacidades shunt provoca un cambio en la corriente de la línea. Las corrientes del emisor son las que se consideran variables de estado para este modelo ( ). En el circuito equivalente existen tres intensidades diferentes, la del emisor (nudo ), la del receptor (nudo ) y la que va del nudo al . 4.4.4. Entradas de la matriz Jacobiana En este algoritmo se incorporan las medidas más utilizadas en los sistemas de distribución, como son la potencia activa y reactiva de las líneas, la magnitud de la intensidad de rama, las inyecciones de potencia y la amplitud de la tensión de los nudos del sistema. Las entradas de la matriz Jacobiana son derivadas parciales de las funciones de las medidas con respecto a las variables de estado utilizadas. Los autores de este modelo de estimación se centran en plantear las entradas de la matriz para poder demostrar la linealidad del sistema. Las medidas y las entradas de la matriz Jacobiana se definen a continuación. 1) Medidas de potencia por las ramas La potencia de la fase del nudo al nudo se puede mostrar como: ( ) [ ( ) ( )] ( 189 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 86 Así, las correspondientes entradas a la matriz Jacobiana son: 1.1) Cuando los nudos y las fases , o lo que es lo mismo, que las medidas y las variables de estado están en el mismo segmento de línea resulta: ( 190 ) ( 191 ) ( 192 ) ( ) ( 193 ) 1.2) Por otro lado, cuando las medidas y las variables de estado no están en el mismo segmento de la línea, todas las entradas relacionadas a las las medidas de potencia de rama son cero. 2) Medidas de la amplitud de la intensidad La intensidad de la fase del nudo al nudo puede ser expresada como: ( 194 ) Así que las entradas de la matriz Jacobiana son: { ( 195 ) ( 196 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 87 3) Medidas de inyección de potencia A continuación se muestra un diagrama ilustrativo de las medidas de inyección de potencia en un nudo . Considérese que la inyección de potencias se encuentra en el nudo , que hay nudos conectados al nudo , que hay flujos de intensidad de los nudos al nudo , y del nudo a los nudos como se muestra en la siguiente Ilustración: Ilustración 11. Diagrama ilustrativo sobre las medidas de inyección de potencia en un nudo k De acuerdo a la Ilustración 11 y la Ilustración 10, la inyección de potencia en el nudo de la fase puede expresarse como: (∑ ∑ ) ( 197 ) De este modo, las entradas de la matriz Jacobiana se pueden dividir en tres categorías: 3.1) Cuando el segmento de la línea objeto de estudio está conectado al nudo donde se inyecta la potencia, y las variables de estado relacionadas están aguas arriba de las medidas, existen dos condiciones: i. Las medidas y las variables de estado están en la misma fase, quedando: ( 198 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 88 ( ) ( 199 ) ( 200 ) ( ) ( 201 ) ii. Las medidas y las variables de estado no están en la misma fase: las entradas a la matriz Jacobiana son cero. 3.2) Cuando el segmento de línea en estudio está conectado al nudo al que se inyecta potencia y las variables de estado relacionadas están aguas abajo de las medidas, existen dos condiciones también: i. Las medidas y las variables de estado están en la misma fase: ( 202 ) ( ) ( 203 ) ( 204 ) ( ) ( 205 ) ii. Las medidas y las variables de estado no están en la misma fase: las entradas de la matriz Jacobiana son nulas.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 89 3.3) Cuando la línea no está conectada al nudo en el que se inyecta la potencia, las entradas de la matriz Jacobiana también son nulas. 4) Medidas de amplitud de la tensión Supóngase que la medida de la tensión está realizada en el nudo , y hay ramas conectadas al nudo desde un inicio que sería el nudo 0, y todas las corrientes de las ramas están fluyendo como se muestran en la siguiente Figura: Ilustración 12. Diagrama de línea para ilustrar las magnitudes de tensión Con la notación utilizada se podría tener la siguiente ecuación: ∑∑ ( 206 ) Las entradas correspondientes de la matriz Jacobiana se dividen en las siguientes categorías: 4.1) Cuando el segmento de la línea de estudio está en el camino del nudo cuya amplitud de tensión está siendo medida, se pueden apreciar las siguientes ecuaciones: ( ) ( ) ( 207 ) ( ) ( ) ( 208 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 96 segura para el caso de redes activas, donde la calidad de las estimaciones puede verse influenciada por la generación del sistema. El procedimiento está diseñado para usar medidas en tiempo real y todas las pseudomedidas disponibles. Además, se añade la tensión del slack al estado de las corrientes por las ramas para determinar el conocimiento de la tensión de la red de estudio, ya que esta información es fundamental porque cada tensión influye en todo el perfil de tensiones y puede verse afectado por un imprevisto. Si el valor de la tensión de la red de estudio no es correcto, todas las estimaciones se ven afectadas, y en particular, la estimación del estado de la tensión que proviene del barrido hacia delante de la estimación de las corrientes. El que se añadan variables nuevas al vector de estado, impacta sobre el Jacobiano obtenido de las derivadas de las funciones de medidas con respecto al vector de estado. Para esta metodología, como se ha mencionado anteriormente, se han considerado las coordenadas rectangulares y polares para la descripción del estado. A continuación se va a exponer una serie de análisis que los autores de esta metodología llevaron a cabo teniendo en cuenta escenarios con y sin PMUs, y si la red era débilmente mallada. A. No hay PMU disponibles en la red. Cuando la medida de la fase no está disponible, los ángulos de fase de la red tienen que ser considerados como diferencias de fases con una referencia común. Esto es que el nudo slack es comúnmente escogido como el nudo de referencia y solo la amplitud de su tensión puede incluirse en el estado estimado. Si se considera el vector de estado en coordenadas rectangulares [ ] ( 226 ) En cada iteración se tiene | ∑ | [ ∑ ] ∑( ) ( 227 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 97 ∑( ) donde es el ángulo de fase la tensión de referencia en el paso correspondiente a la iteración anterior, es la impedancia de rama, la corriente de la rama , y es el conjunto de ramas que comprende el camino desde el nudo de referencia. Al emplear el vector de estado algunos de los términos de la matriz Jacobiana quedan como sigue: ( 228 ) Así la fila correspondiente al elemento de la tensión quedaría: 0 1 ( 229 ) donde para una rama contenida en el camino : ( 230 ) ( 231 ) Cuando se emplea las coordenadas polares, las ecuaciones anteriores se puede expresar de la siguiente forma: ∑ Donde es la impedancia de rama y es su fase. Así la fila correspondiente a la tensión en la matriz Jacobiana sería 0 1
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 98 Está claro que las medidas de tensión añaden términos no constantes en el Jacobiano, y de hecho, la solución del término de WLS requiere una nueva factorización de la matriz de ganancia en cada iteración. B. Al menos una PMU en la red Cuando al menos una PMU está disponible, es posible estimar todos los ángulos de fase con respecto a la UTC de referencia. Considérese el análisis con coordenadas cartesianas, así como el vector de estado incluyendo variables reales e imaginarias de la Ecuación ( 226 ). El nudo slack ya no representa la referencia para los ángulos de fase y se incluye en el estado únicamente para mejorar la fiabilidad de la estimación. En el caso de medias de tensión tradicionales, los nuevos términos del Jacobiano son los siguientes: ( ) ( 232 ) ( ) ( 233 ) De estos términos queda claro que la magnitud de tensión impacta tanto en la parte real como imaginaria de la tensión del slack. En caso de que la medida fasorial sea realizada por la PMU, ambas, tensiones e intensidades medidas pueden ser expresadas en su parte real e imaginaria. Entonces para cada medida sincronizada se deben añadir dos filas a . Para medidas sincronizadas de tensión el nudo h por ejemplo, las filas añadidas al Jacobiano son las siguientes:
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 99 [ ] ( 234 ) con j=1,…, . Los términos anteriores quedan como: ( 235 ) ( 236 ) ( 237 ) ( 238 ) Las cuatro últimas ecuaciones son nulas cuando es la rama que parte del nudo slack. Viendo las ecuaciones resultantes, se concluye que los términos del Jacobiano son constantes en este caso y, por tanto, se mantienen así durante las iteraciones del algoritmo, dando lugar a una computación más rápida. La precisión de las PMUs está dada en términos de magnitud y ángulo de fase con las covarianzas de las medidas de amplitud y fase de la tensión respectivamente. Los pesos obtenidos en el procedimiento de WLS en las PMUs se obtienen de la inversa de la matriz de covarianzas. Para el caso de las medidas sincronizadas de intensidad en la rama h, las filas añadidas a la matriz Jacobiana serían:
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 100 [ ] ( 239 ) Quedando como términos del Jacobiano: ( 240 ) ( 241 ) , ( 242 ) , ( 243 ) Cabe destacar que para el caso de las medidas de las corrientes en cartesianas los términos del Jacobiano vuelven a ser constantes, pero en el caso de la formulación polar no lo son. Cuando las corrientes por las ramas son expresadas en forma polar, no es posible encontrar términos constantes en el Jacobiano, incluso para medidas de unidades sincronizadas de tensión, lo contrario a lo que ocurre cuando el estado se encuentra en coordenadas rectangulares. A continuación se muestra la no linealidad de las ecuaciones en caso de emplear el modelo de coordenadas polares para este caso: ( 244 ) ( 245 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 101 ( 246 ) ( 247 ) ( 248 ) ( 249 ) ∑ ( 250 ) Todo lo anterior demuestra que las medidas sincronizadas pueden impactar significativamente en la exactitud de las estimaciones, en particular para redes con generación distribuida. C. Redes débilmente malladas Las redes de distribución, como se conoce, pueden presentar mallas pequeñas. Esas mallas añaden restricciones por la correspondiente Ley de Kirchhoff de las tensiones: ∑ ( 251 ) Donde es el conjunto de ramas de la malla y, e son la impedancia y el fasor de la corriente de la rama j-ésima. puede ser +1 ó -1 dependiendo de la referencia de la dirección de la malla respecto de la dirección de la rama. En esta metodología, las inyecciones nulas son tratadas como medidas virtuales de alto peso en WLS. Este enfoque permite mantener una baja dimensión del sistema de ecuaciones. 4.5.5. Pruebas y resultados realizados en la teoría estudiada A continuación se va a explicar de manera resumida las conclusiones a las que se llega una vez se estudian algunos ejemplos:
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 102 En la primera serie de pruebas, para destacar mejor el rendimiento del estimador, se considera la red sin presencia de generación distribuida. Destacar que la presencia de las medidas de tensión en la estimación es relevante. El estado polar es más eficiente que el estado en cartesianas ya que el tratamiento de la amplitud de la intensidad llega a ser lineal, sin embargo, el tiempo de ejecución promedio se ve afectado por los términos más pesados del Jacobiano correspondientes a la inyección de pseudomedidas. Por otro lado, empleando la forma rectangular, el algoritmo de la estimación en presencia de las medidas sincronizadas tiene un coste computacional reducido debido a que la matriz del Jacobiano está diseñada para ser constante. Por lo comentado antes, resulta de mayor interés el formato del estimador en cartesianas. El impacto de la DG es evidente. El porcentaje de error cuadrático medio en la estimación con presencia de pseudomedidas aumenta. Ante el caso de que no se tengan pseudomedidas, este problema puede ser parcialmente afrontado usando más medidas de intensidad por las ramas o simultáneamente, medidas de flujo de potencia activa y reactiva. En el caso de la red trifásica, las ecuaciones se amplían calculando las correspondientes a otras fases. Las impedancias mutuas determinarían los acoplamientos entre las diferentes fases para el caso de que se usen tanto medidas no sincronizadas como sincronizadas. Este estimador permite obtener una versión desacoplada del paso correspondiente al WLS pasando por alto las impedancias mutuas ya que son de un valor considerablemente inferior a las propias. Entonces, en este paso, el estado de cada fase puede ser considerado por separado, y el WLS puede ser desarrollado por la solución de tres sistemas de ecuaciones más pequeños. Cabe destacar en este caso, que el estimador completamente acoplado da mayor exactitud en los resultados de la estimación, pero que el desacoplado obtiene menores tiempos de ejecución, ya que este modelado es más rápido. 4.6. Estimador de estado lineal 4.6.1. Introducción En este apartado se presenta un modelo de estimador lineal propuesto en 2013 por Daniel A. Haughton y Thomas Heydt para topologías de red trifásicas y monofásicas, donde se admiten casos desequilibrados [8]. Lo que pretenden con esta metodología es conseguir un proceso lineal no iterativo, con bajo coste computacional, en el que las operaciones sean directas.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 103 4.6.2. Formulación lineal Para la formulación de este modelo, las medidas se recogen en el vector , y se relacionan con el estado del sistema a través del vector de funciones de las medidas como sigue ( 252 ) donde es un vector de términos de ruido (error). El vector de medidas incorpora ruido y se reescribe como: ( 253 ) Se propone linealizar sobre un punto de operación esperado, obteniendo ( 254 ) donde la notación indica la relación lineal entre la matriz del proceso y el vector de estado. Tener en cuenta que y son vectores mientras que es una matriz. La Ecuación ( 254 ) es la base del estimador propuesto. La estimación es el resultado de la minimización de la norma Euclídea del vector ( 255 ) Siguiendo las ecuaciones, la función objetivo se escribe como ∑( ) ( 256 ) donde es una medida arbitraria y es el número de medidas. El mínimo de se encuentra cuando [∑ ] ( 257 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 104 Tener en cuenta que el escalar es la suma de los cuadrados de los residuos para cada medida. El estimado se encuentra cuando [ ] ( 258 ) Donde se refiere a la pseudoinversa de la matriz , es decir, el producto de . Los pesos se obtienen en esta metodología con la inversa de las varianzas, teniendo en cuenta que los datos con bajas varianzas tendrán elevados pesos. De esta manera la ( 258 ) queda como sigue: [ ] . ( 259 ) Si se tiene en cuenta que la función de las medidas es lineal obtenida mediante la linealización anterior, el proceso de resolución puede obtenerse mediante cálculo directo. 4.6.3. Formulación lineal trifásica El diseño básico del estimador es no iterativo, puramente real, linealizado y con el detalle completo de las fases. En la formulación que se muestra a continuación, los datos se representan en complejos (en cartesianas y polares). Las tensiones trifásicas desequilibradas y las medidas de intensidad se visualizan con las medidas del flujo de potencia activa y reactiva de alguna rama. Así, la Ecuación ( 255 ) se reescribe como sigue ( 260 ) donde hace referencia a la parte real e a la parte imaginaria. El vector de residuos puede ser separado en parte real e imaginaria como se muestra a continuación * + [ ] ( 261 ) Operando y empleando el cálculo de la normal queda ( 262 )
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 105 donde hace referencia a la operación hermitiana la cual es una trasposición seguida de una conjugación compleja. Además se tiene ( 263 ) Tener en cuenta que y son variables independientes. Dada una tensión del vector de estado para una red de distribución, podría resultar práctico asumir que las desviaciones de las fases de las tensiones de los nudos son pequeñas para pequeños cambios en el sistema. El vector de residuos podría separarse en parte real e imaginaria como se muestra [ ]* + * + ( 264 ) Entonces, el estimador se resuelve para el estado estimado [ ] [ ] * + ( 265 ) Las ecuaciones del estimador lineal se desarrollan como: [[ ] [ ] [ ]] [[ ] [ ] [ ]] [ ] ( 266 ) donde : matriz identidad : matriz de coeficientes de medida de línea : modelo de admitancia del sistema : Vectores de medidas en coordenadas cartesianas : cargas e inyecciones de medidas y supuestos.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 112 4.7.6. Formulación del estimador para sistemas débilmente mallados Esta formulación está preparada para ser aplicada a sistemas débilmente mallados. En este caso, la matriz TRX y la ecuación de la diferencia de tensiones dada en la Ecuación ( 276 ) deberían modificarse para poder incluir las ecuaciones adicionales correspondientes a la existencia de mallas en la red. Se define ( 287 ) donde es matriz de impedancia general medida, es la matriz triangular superior de conectividad de las medidas y es la impedancia modificada. Entonces, la ecuación de la caída de tensiones queda como sigue: * + [ ] ( 288 ) estando estructurada como se indica: * + ( 289 ) Aplicando la reducción de Kron a , la ecuación de las tensiones modificada para este caso puede expresarse como ( 290 ) donde: . Todas las entradas a las ecuaciones que se han mostrado anteriormente corresponden a matrices y vectores con números complejos. De acuerdo a aplicar el modelo para sistemas de distribución, las ecuaciones deberían expresarse en valores reales. [ ] [ ] [ ] ( 291 ) quedando como una matriz cuasi-simétrica
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 113 [ ] ( 292 ) donde { } { }. Finalmente, con vistas a incluir redes con numerosas medidas en este modelo, ( 276 ) debería ser sustituida por la siguiente expresión: ( 293 ) Destacar que con esta metodología al reducir el modelo de optimización, se reduce los tiempos de computación, lo cual resulta muy interesante a futuro para redes de distribución, ya que en estas redes la dimensión del problema aumenta, de manera que si se puede reducir la ejecución del proceso de optimización, se puede alcanzar un importante ahorro computacional. Por otro lado, como se comentó al principio, con esta metodología se pueden tratar tanto redes radiales como redes débilmente malladas.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 114 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 115 5. Conclusiones Desde el desarrollo inicial del concepto de Estimación de Estado en la década de 1970, la problemática se ha convertido en una parte crítica de la operación y gestión de los sistemas eléctricos en todo el mundo. Como se mencionó al principio de este documento, hasta hace poco el tema de la Estimación de Estado en redes de distribución estaba totalmente paralizado, pues no había ni interés ni medios para abarcar este tema en profundidad. Además de esto, cabe decir que las redes de distribución se han diseñado y operado como sistemas pasivos, donde los flujos de energía son unidireccionales y relativamente fáciles de predecir. Sin embargo, las redes de distribución están viendo cada vez mayores penetraciones de los recursos energéticos distribuidos de manera que el problema ha ido captando la atención de numerosos investigadores. El objetivo de este documento era tratar la evolución de este problema desde que surgió su interés hasta el momento y mostrar las topologías más relevantes de estimadores de estado, evaluando así las diferentes metodologías aplicadas para su resolución (tratando las convencionales también empleadas en la estimación en redes de transporte y otras más novedosas aplicadas para optimizar el proceso de optimización). En la primera parte de este proyecto, se ha mostrado un análisis en profundidad de la formulación general del estimador de estado y sus características más relevantes. Para ello, se ha partido de la base de la estimación de estado en redes de transporte, ya que el fundamento global es el mismo para ambos planteamientos. No obstante, como se dijo al principio de este documento, las diferencias existentes son tan amplias que no es posible trasladar fundamentos y modelos de transporte a distribución. Aunque los estudios sobre esta temática aún son escuetos y bastante escasos en cuanto a contenidos que presenten novedades o diferencias con respecto a otros más longevos en el tiempo, se ha podido establecer un análisis que aporta las características generales y relevantes que se precisan para alcanzar un conocimiento más en detalle sobre lo que implica la estimación en redes que son cada vez más complejas, y donde están presentes los desequilibrios, como son las de distribución. Además, en este documento, la atención se ha centrado no solo en analizar los principios de la estimación de estado en sí, sino también, otro objetivo ha sido el buscar novedades en la algoritmia que proporcionaran avances, ventajas de unos modelos frente a otros, de unos sistemas frente a otros de manera que se abrieran futuras líneas de investigación que proporcionen avances y mejoras con respecto a lo ya existente.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 116 De manera global, estableciendo un análisis resumido de este documento y en base a la teoría que ha sido analizada para llevarlo a cabo, destacar que pese a que existen numerosos métodos de resolución de la estimación, en casi todos los modelos se emplean los mismos. Así, se ha podido corroborar que la mayoría de los modelos propuestos emplean las técnicas de mínimos cuadrados ponderados y la de ecuaciones normales con restricciones. En base al planteamiento realizado, teniendo en cuenta que se trata de una red con múltiples medidas (muchas de ellas tomadas con aparatos diferentes) de las cuales cada una posee cierta distorsión y, que lógicamente no es la misma para todas ellas, muchos modelos se apoyan en la estimación basada en WLS. Destacar que está muy bien considerada debido a sus ventajosas características estadísticas y a la facilidad de su implementación computacional. Sin embargo, esa metodología puede producir mal condicionamiento de la matriz de Ganancia, con lo que se recurre a otras metodologías, como por ejemplo, las ecuaciones normales con restricciones. A partir de estos modelos presentados, se ha dejado abierta la puerta a analizar otras vías en la estimación de estado. Así, paralelamente a este Proyecto, se ha realizado otro cuya base está en la investigación de una nueva metodología que proporcione avances en el proceso de optimización, planteándose el problema desde otra perspectiva [12]. Este nuevo planteamiento consiste en emplear modelos eléctricos más lineales para determinar la estimación de estado en redes de distribución equilibradas. Lo que se trata es de utilizar un vector de estado mejor para las medidas que se encuentran disponibles en las redes de distribución. Este nuevo modelo puede aplicarse sobre redes radiales y débilmente malladas de media/baja tensión.
Estimadores de Estado en Redes de Distribución: Revisión del Estado del Arte 117 Referencias Bibliográficas [1] Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica. Antonio Gómez Expósito. [2] Estimación de estado y parámetros. Pedro Zarco y Antonio Gómez Expósito. [3] State estimation for distribution systems with zero-injection constraints. W.-M. Lin and J.- H. Teng, IEEE Trans. Power Syst., vol. 11, no. 1, pp. 518524, Feb. 1996. [4] A branch-current-based state estimation method for distribution systems. M. E. Baran and A.W. Kelley, IEEE Trans. Power Syst., vol. 10, pp.483–491, Feb. 1995. [5] A highly efficient algorithm in treating current measurementsfor the branch-current-based distribution state estimation. LinW-M, Teng J-H, Chen S.J: IEEE Trans. on Power Del. Vol. 16(3), 433439 (2001). [6] A Revised Branch Current-Based Distribution System State Estimation Algorithm and Meter Placement Impact. Haibin Wang, Student Member, IEEE, and Noel N. Schulz, Senior Member, IEEE. IEEE TRANSACTIONS ON POWER SYSTEMS, VOL. 19, NO. 1, FEBRUARY 2004. [7] Efficient Branch-Current-Based Distribution System State Estimation Including Synchronized Measurements. IEEE TRANSACTIONS ON INSTRUMENTATION AND MEASUREMENT, VOL. 62, NO. 9, SEPTEMBER 2013. Marco Pau, Paolo Attilio Pegoraro, Member, IEEE, and Sara Sulis, Member, IEEE. [8] A Linear State Estimation Formulation for Smart Distribution Systems. Daniel A. Haughton, Student Member, IEEE, and Gerald Thomas Heydt, Life Fellow, IEEE. IEEE TRANSACTIONS ON POWER SYSTEMS, VOL. 28, NO. 2, MAY 2013 [9] Distribution System State Estimation Model Using a Reduced Quasi-Symmetric Impedance Matrix. P.M. De Oliveira-De Jesus, Senior Member, IEEE, and Andrés A. Rojas Quintana. IEEE Trans. Power Syst., vol. 30, no. 6, 2015. [10] Power System State Estimation: Theory and Implementation. A. Abur and A. Gómez Expósito. New York: Marcel Dekker, 2004. [11] State Estimator for Real-Time Monitoring of Distribution Systems. M. E. Baran and A.W. Kelley. IEEE PES 1994 Winter Meeting paper No 94 WM 235-2 PWRS. [12] Estimador de estado nodal aumentado. Mª Angeles Gámiz Juárez, 2016.