Representaciones de Galois asociadas a curvas elípticas

Representaciones de Galois asociadas a curvas elípticas Miguel Pineda Martín Representaciones de Galois asociadas a curvas elípticas Miguel Pineda Martín Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Máster Universitario en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Prof. Jose María Tornero Sánchez Prof. Sara Arias de Reyna Dominguez Índice general Abstract / Resumen 1 1. Preliminares 3 1.1. Teoría infinita de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Propiedades de los grupos asociados a los grupos formales . . . . . . 8 1.2.1. El diferencial invariante de un grupo formal . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Grupos formales en característica 𝑝............... 13 1.2.3. Grupos asociados a grupos formales . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Subgrupos de GL2(𝔽𝑝)........................... 16 1.3.1. Subgrupos de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2. Subgrupos de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3. Criterios de sobreyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. Curvas elípticas 29 2.1. TeoríaGeneral............................... 29 2.1.1. Operación de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Torsión y representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1. ElmódulodeTate......................... 34 ii representaciones de galois asociadas a curvas elípticas 2.2.2. El pairing de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. El grupo formal de una curva elíptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1. Desarrollo alrededor de .................... 40 2.4. Curvas elípticas sobre cuerpos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.1. Ecuación mínima de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.2. Reducción modulo 𝜋....................... 47 2.4.3. La acción del grupo de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.4. Buena y mala reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5. Multiplicación compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3. Representaciones de curvas elípticas sobre un cuerpo local 61 3.1. InerciaModerada ............................. 61 3.1.1. GruposdeGalois......................... 61 3.1.2. Estructura del grupo de inercia moderada . . . . . . . . . . . 62 3.1.3. Representaciones de 𝐺en característica 𝑝........... 66 3.1.4. Caracteres de 𝐼𝑡.......................... 67 3.1.5. Representación de 𝐺en 𝛼∕+ 𝛼............... 68 3.1.6. Representación de 𝐺definida por un grupo formal (caso 𝑒= 1) 71 3.2. Torsión de curvas elípticas sobre un cuerpo local . . . . . . . . . . . . 75 3.2.1. Representación de 𝐺definida sobre una curva elíptica con buena reducción de altura 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.2. Representación de 𝐺definida sobre una curva elíptica con buena reducción de altura 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2.3. Reducción multiplicativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ÍNDICE GENERAL iii 4. Resultado Principal 89 4.1. Representaciones locales y globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2. Reducción al caso semiestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3. Teoremaprincipal............................. 92 A. Apéndice 97 A.1. Valoraciones y normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A.2. Completaciones .............................. 105 A.3. Cuerpos henselianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 A.4. Extensiones no ramificadas y moderadamente ramificadas . . . . . . 117 A.5. Extensión de Valoraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 A.6. Teoría de Galois de valoraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 A.6.1. Inercia y ramificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Abstract / Resumen Abstract J.P Serre made, in his article ’Proprietes galoisiénnés des points d’ordre fini des courbes elliptiques’ published in 1972 [9], an study about the image of Galois representations attached to the 𝑙-torsion points of elliptic curves without complex multiplication defined over a number field. The purpose of this project is to develop the tools needed to understand the mentioned article and to present most of the results presented on it. We will pay special attention to the image of representations attached to the 𝑙-torsion of an elliptic curves defined over a local field. Lastly, we will present the main theorem of the article and the main ideas of its proof. Teorema 0.1. Let 𝐸be an elliptic defined over a number field 𝐾, without complex multiplication over 𝐾. Then, for almost every prime 𝑙, the representation 𝜌𝑙∶ Gal(𝐾∕𝐾)←→ Aut(𝐸[𝑙]) ≃ GL2(𝔽𝑙) attached to the 𝑙-torsión points is surjective. Resumen J.P. Serre realizó, en su artículo ’Proprietes galoisiénnés des points d’ordre fini des courbes elliptiques’ publicado en 1972 [9], un estudio de las imágenes de las representaciones de Galois del grupo los puntos de 𝑙-torsión de una curva elíptica sin multiplicación compleja definida sobre un cuerpo de números. 8representaciones de galois asociadas a curvas elípticas 1.2 Propiedades de los grupos asociados a los grupos formales Como se verá más adelante, a cada curva elíptica podemos asociar lo que se conoce como grupo formal. En esta sección vamos a desarrollar las propiedades generales de los grupos formales que necesitaremos en este trabajo. En el capítulo siguiente integraremos esta teoría con la de las curvas elípticas. Comenzamos definiendo grupo formal conmutativo. Definición 1.2. Un grupo formal conmutativo 𝐹(𝑋, 𝑌 )es una serie de potencias sobre un anillo 𝑅(conmutativo y con elemento unidad) en dos variables 𝑋, 𝑌 verificando las siguientes propiedades: a) 𝐹(0, 𝑋) = 𝑋=𝐹(𝑋, 0). b) 𝐹(𝐹(𝑋, 𝑌 ), 𝑍) = 𝐹(𝑋, 𝐹(𝑌 , 𝑍)). c) 𝐹(𝑋, 𝑌 ) = 𝐹(𝑌 , 𝑋). Observación 1.2.Se comprueba fácilmente usando las condiciones anteriores que: 𝐹(𝑋, 𝑌 ) = 𝑋+𝑌+∑ 𝑖≥1,𝑗≥1 𝑐𝑖𝑗𝑋𝑖𝑌𝑗, 𝑐𝑖𝑗 ∈𝑅. Observación 1.3.Sean 𝐺, 𝐻 ∈𝑅J𝑋, 𝑌 K, la primera propiedad de la definición nos da la siguiente equivalencia: 𝐺=𝐻⇐⇒ 𝐹(𝐺, 0) = 𝐹(𝐻, 0) ⇐⇒ 𝐹(0, 𝐺) = 𝐹(0, 𝐻). Esto es el equivalente a la propiedad cancelativa de grupos. Vamos a probar ahora la existencia de elemento inverso, para ello llamaremos 𝐼 al ideal generado por 𝑋e𝑌en 𝑅J𝑋, 𝑌 K. Proposición 1.3.Sea 𝐹∈𝑅J𝑋, 𝑌 Kun grupo formal. Existe un único 𝑖(𝑋) ∈ 𝑅J𝑋, 𝑌 K tal que 𝐹(𝑋, 𝑖(𝑋)) = 0. Demostración. Como hemos dicho antes 𝐹es de la siguiente forma: 𝐹(𝑋, 𝑌 ) = 𝑋+𝑌+∑ 𝑖≥1,𝑗≥1 𝑐𝑖𝑗𝑋𝑖𝑌𝑗, para unos ciertos 𝑐𝑖𝑗 ∈𝑅. Vamos a construir el inverso iterativamente. En primer lugar, ponemos 𝑔1= −𝑇. Así, 𝐹(𝑇 , 𝑔1) = 𝑇−𝑇+∑ 𝑖≥1,𝑗≥1 𝑐𝑖,𝑗𝑇𝑖(−𝑇)𝑗=∑ 𝑖≥1,𝑗≥1 𝑐𝑖,𝑗𝑇𝑖(−𝑇)𝑗∈𝐼2. 1. preliminares 9 Ponemos ahora 𝑔2=𝑇+𝑏2𝑇2con 𝑏2a elegir. Evaluando de nuevo, 𝐹(𝑇 , 𝑔2) = 𝑏2𝑇2+∑ 𝑖≥1,𝑗≥1 𝑐𝑖,𝑗𝑇𝑖(−𝑇+𝑏2𝑇2)𝑗. Si elegimos ahora 𝑏2=𝑐1, los términos de grado 2se anulan y 𝐹(𝑇 , 𝑔2) ∈ 𝐼3. Podemos continuar de esta forma y construir una sucesión {𝑔𝑖}tal que 𝐹(𝑇 , 𝑔𝑖) ∈ 𝐼𝑖+1. La sucesión construida es una sucesión de Cauchy en el anillo de las series formales 𝑅J𝑇Ky su límite es la inversa 𝑖(𝑇)que buscábamos. Por construcción verifica que 𝐹(𝑇 , 𝑖(𝑇)) = 0. Además también cumple 𝐹(𝑖(𝑇), 𝑇 )=0, por la conmutatividad. La unicidad del inverso se demuestra igual que en teoría de grupos. Sea 𝑗(𝑇)una serie de potencias tal que 𝐹(𝑇 , 𝑗(𝑇)) = 0. Entonces, 𝑖(𝑇) = 𝐹(0, 𝑖(𝑇)) = 𝐹(𝐹(𝑖(𝑇), 𝑇 ), 𝑖(𝑇)) = 𝐹(𝑖(𝑇), 𝐹(𝑇 , 𝑖(𝑇))) =𝐹(𝑖(𝑇),0) = 𝐹(𝑖(𝑇),0) = 𝐹(𝑖(𝑇), 𝐹(𝑇 , 𝑗(𝑇))) =𝐹(𝐹(𝑖(𝑇), 𝑇 ), 𝑗(𝑇)) = 𝐹(0, 𝑗(𝑇)) = 𝑗(𝑇). Seguimos ahora con la definición de homomorfismo de grupos formales. Definición 1.3. Sean 𝐹, 𝐺 ∈𝑅J𝑋, 𝑌 Kdos grupos formales. Un homomorfismo 𝑓∶ 𝐹←→ 𝐺es una serie de potencias 𝑓∈𝑅J𝑇Ktal que 𝑓(𝐹(𝑋, 𝑌 )) = 𝐺(𝑓(𝑋), 𝑓(𝑌)) Observación 1.4.Si 𝑓∶𝐹←→ 𝐺es un homomorfismo de grupos formales, entonces 𝑓(0) = 0. En efecto, 0 = 𝐺(𝑓(0), 𝑖(𝑓(0))) = 𝐺(𝐺(𝑓(0), 𝑓(0)), 𝑖(𝑓(0))) =𝐺(𝑓(0), 𝐺(𝑓(0), 𝑖(𝑓(0)))) = 𝐺(𝑓(0),0) = 𝑓(0) Sea 𝐹un grupo formal. Podemos definir una familia de endomorfismos de 𝐹, {[𝑛]𝑇}por inducción de la siguiente manera, a) [0](𝑇) ∶= 0. b) [𝑛+ 1](𝑇) ∶= 𝐹([𝑛](𝑇), 𝑇 ). 10 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas También podemos definir [𝑚](𝑇)cuando 𝑚es un entero negativo. En efecto, ya tenemos definido [0](𝑇), y se define inductivamente como [𝑚](𝑇) = 𝐹([𝑚+ 1](𝑇), 𝑖(𝑇)). Lema 1.1.Sea 𝑎∈𝑅∗y sea 𝑓(𝑇) ∈ 𝑅J𝑇Kuna serie de potencias de la forma 𝑓(𝑇) = 𝑎𝑇 +términos de orden superior. Entonces, existe una única serie de potencias 𝑔(𝑇) ∈ 𝑅J𝑇Ktal que 𝑓(𝑔(𝑇)) = 𝑇 . Además, dicha serie también satisface que 𝑔(𝑓(𝑇)). Demostración. Basta que construyamos una sucesión de polinomios 𝑔𝑛(𝑇) ∈ 𝑅(𝑇) tal que 𝑓(𝑔𝑛(𝑇)) ≡𝑇m od 𝑇𝑛+1 y𝑔𝑛+1(𝑇)≡𝑔𝑛(𝑇) m  od 𝑇𝑛+1, ya que en ese caso el límite de la sucesión existe en 𝑅J𝑇Ky claramente cumple 𝑓(𝑔(𝑇)) = 𝑇. Para construir la sucesión, ponemos 𝑎1=𝑎−1𝑇y supongamos que hemos construido 𝑔𝑛−1(𝑇)con las propiedades anteriores. Ponemos 𝑔𝑛(𝑇) = 𝑔𝑛−1(𝑇) + 𝜆𝑇 𝑛. Buscamos un 𝜆adecuado. Usando la hipótesis de inducción tenemos que 𝑓(𝑔𝑛(𝑇)) = 𝑓(𝑔𝑛−1(𝑇) + 𝜆𝑇 𝑛) ≡𝑓(𝑔𝑛−1(𝑇)) + 𝑎𝜆𝑇 𝑛m od 𝑇𝑛+1 ≡𝑇+𝑏𝑇 𝑛+𝑎𝜆𝑇 𝑛m od 𝑇𝑛+1, para algún 𝑏∈𝑅. Basta tomar 𝜆= −𝑎−1𝑏. Siguiendo el mismo procedimiento tenemos que existe ℎ(𝑇)tal que 𝑔(ℎ(𝑇)) = 𝑇. Tenemos, por tanto, que: 𝑔(𝑓(𝑇)) = 𝑔(𝑓(𝑔(ℎ(𝑇)))) = 𝑔(𝑓◦𝑔(ℎ(𝑇))) = 𝑔(ℎ(𝑇)) = 𝑇 . Pasamos a probar la unicidad, supongamos que existe 𝐺(𝑇) ∈ 𝑅J𝑇Ktal que 𝑓(𝐺(𝑇)) = 𝑇. Se tiene que: 𝑔(𝑇) = 𝑔(𝑓(𝐺(𝑇))) = (𝑔◦𝑓)(𝐺(𝑇)) = 𝐺(𝑇). Por tanto, hemos probado la unicidad de 𝑔. 1. preliminares 11 Proposición 1.4.Sea 𝐹un grupo formal sobre un anillo 𝑅y sea 𝑚∈ℤ. Se tienen: a) [𝑚](𝑇) = 𝑚𝑇 +términos de orden superior. b) Si 𝑚∈𝑅∗, entonces [𝑚] ∶ 𝐹←→ 𝐹es un isomorfismo. Demostración. La primera afirmación es trivial y la segunda se deduce del lema anterior. 1.2.1 El diferencial invariante de un grupo formal Sea, de nuevo, 𝐹un grupo formal sobre un anillo 𝑅arbitrario. En este contexto, llamaremos forma diferencial formal a expresiones de la forma 𝑃(𝑇)𝑑𝑇 con 𝑃(𝑇) ∈ 𝑅J𝑇K. Definición 1.4. Un diferencial invariante sobre 𝐹∕𝑅es una forma diferencial 𝜔(𝑇) = 𝑃(𝑇)𝑑𝑇 ∈𝑅J𝑇K𝑑𝑇 tal que 𝜔◦𝐹(𝑇 , 𝑆) = 𝜔(𝑇). Esto último significa que 𝑃(𝐹(𝑇 , 𝑆))𝐹𝑋(𝑇 , 𝑆) = 𝑃(𝑇), donde 𝐹𝑋denota la derivada formal con respecto a la primera variable. Por último, diremos que dicho diferencial está normalizado si 𝑃(0) = 1. Proposición 1.5.Sea 𝐹∕𝑅un grupo formal. Existe un único diferencial invariante normalizado para dicho grupo formal. Además viene dado por la siguiente fórmula: 𝜔=𝐹𝑋(0, 𝑇 )−1𝑑𝑇 . Además, todo diferencial invariante sobre 𝐹∕𝑅es de la forma 𝑎𝜔 para algún 𝑎∈𝑅. Demostración. Supongamos que 𝑃(𝑇)𝑑𝑇 es un diferencial invariante sobre 𝐹∕𝑅, este debe cumplir 𝑃(𝐹(𝑇 , 𝑆))𝐹𝑋(𝑇 , 𝑆) = 𝑃(𝑇). Si ponemos 𝑇= 0, como 𝐹(0, 𝑆) = 𝑆obtenemos lo siguiente: 𝑃(𝑆)𝐹𝑋(0, 𝑆) = 𝑃(0). 12 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Como 𝐹𝑋(0, 𝑆) = 1 + ⋯, la ecuación nos dice que 𝑃(𝑆)está completamente determinado por el valor 𝑃(0). Además, esto implica que todo diferencial invariante es de la forma 𝑎𝜔 con 𝑎∈𝑅y 𝜔=𝐹𝑋(0, 𝑇 )−1𝑑𝑇 . Como el diferencial 𝜔está normalizado solo queda ver que 𝜔así definido es, en efecto, invariante. Es decir, vamos a probar que 𝐹𝑋(0, 𝐹(𝑇 , 𝑆))−1𝐹𝑋(𝑇 , 𝑆) = 𝐹𝑋(0, 𝑇 )−1. Para probar esto, vamos a derivar con respecto a 𝑈la igualdad que nos da la propiedad asociativa 𝐹(𝑈, 𝐹 (𝑇 , 𝑆)) = 𝐹(𝐹(𝑈, 𝑇 ), 𝑆). De esta manera, obtenemos 𝐹𝑋(𝑈, 𝐹 (𝑇 , 𝑆)) = 𝐹𝑋(𝐹(𝑈, 𝑇 ), 𝑆)𝐹𝑋(𝑈, 𝑇 ). Basta poner ahora 𝑈= 0. Corolario 1.1.Sean 𝐹∕𝑅y𝐺∕𝑅dos grupos formales con diferenciales invariantes 𝜔𝐹y𝜔𝐺respectivamente. Sea 𝑓∶𝐹←→ 𝐺un homomorfismo. Entonces, 𝜔𝐺◦𝑓=𝑓′(0)𝜔𝐹. Donde 𝑓′denota la derivada formal de la serie formal 𝑓. Demostración. Comenzamos haciendo el siguiente cálculo, (𝜔𝐺◦𝑓)(𝐹(𝑇 , 𝑆)) = 𝜔𝐺(𝐺(𝑓(𝑇), 𝑓(𝑆))) = 𝜔𝐺(𝑓(𝑇)) = (𝜔𝐺◦𝑓)(𝑇), donde la última igualdad se deduce de la invariancia de 𝜔𝐺. Por tanto, 𝜔𝐺◦𝑓es un diferencial invariante para 𝐹. Esto implica que es de la forma 𝑎𝜔𝐹. Basta hacer ahora comprobar en la igualdad que 𝑓′(0) = 𝑎. Corolario 1.2.Sea 𝐹∕𝑅un grupo formal y sea 𝑝∈ℤun primo. Existen series de potencias 𝑓(𝑇), 𝑔(𝑇) ∈ 𝑅J𝑇Ktales que 𝑓(0) = 𝑔(0) = 0 y tales que: [𝑝](𝑇) = 𝑝𝑓(𝑇) + 𝑔(𝑇𝑝). Demostración. Sea 𝜔(𝑇)el diferencial invariante normalizado de 𝐹. Como [𝑝]′(0) = 𝑝, el corolario anterior nos dice que 𝑝𝜔(𝑇)=(𝜔◦[𝑝])(𝑇) = (1 + ⋯)[𝑝]′(𝑇)𝑑𝑇 . La última igualdad se deduce de la regla de la cadena y de que 𝜔está normalizada. La serie (1 + ⋯)es invertible en 𝑅J𝑇K, de lo que se sigue que [𝑝]′(𝑇) ∈ 𝑝𝑅J𝑇K. Por tanto, cada término 𝑎𝑇 𝑛en la serie [𝑝](𝑇)cumple que 𝑎∈𝑝𝑅 o que 𝑝|𝑛. 1. preliminares 13 1.2.2 Grupos formales en característica 𝑝 En este apartado 𝑅será un anillo de característica 𝑝 > 0. Definición 1.5. Sean 𝐹∕𝑅y𝐺∕𝑅grupos formales y 𝑓∶𝐹←→ 𝐺un homomorfismo de grupos formales definido sobre 𝑅. Llamamos altura de 𝑓, y la denotamos ht(𝑓)al mayor entero tal que 𝑓(𝑇) = 𝑔(𝑇𝑝ℎ), para alguna serie 𝑔(𝑇) ∈ 𝑅J𝑇K(si 𝑓= 0, entonces ht(𝑓) = ∞). Se llama altura del grupo formal 𝐹a la altura del homomorfismo [𝑝]. Proposición 1.6.Sean 𝐹∕𝑅y𝐺∕𝑅dos grupos formales y sea 𝑓∶𝐹←→ 𝐺un homomorfismo de grupos formales definido sobre 𝑅. Entonces, a) Si 𝑓′(0) = 0, entonces 𝑓(𝑇) = 𝑓1(𝑇𝑝)para algún 𝑓1∈𝑅J𝑇K. b) Si ponemos 𝑓(𝑇) = 𝑔(𝑇𝑝ht(𝑓)), entonces 𝑔′(0) ≠0. Demostración. a) Sean 𝜔𝐹y𝜔𝐺los diferenciales invariantes normalizados de 𝐹 y𝐺respectivamente. Como 𝑓′(0) = 0, se tiene que 0 = 𝑓′(0)𝜔𝐹(𝑇) = 𝜔𝐺(𝑓(𝑇)) = (1 + ⋯)𝑓′(𝑇)𝑑𝑇 . Por tanto, 𝑓′(𝑇)=0, luego 𝑓(𝑇) = 𝑓1(𝑇𝑝). b) Sea 𝑞=𝑝ℎ𝑡(𝐹)y𝐹(𝑋, 𝑌 ) = ∑𝑎𝑖𝑗𝑋𝑖𝑌𝑗. Llamemos 𝐹(𝑞)(𝑋, 𝑌 ) = ∑𝑎(𝑞) 𝑖𝑗 𝑋𝑖𝑌𝑗. Es fácil comprobar, usando que la característica de 𝑅es 𝑝, que 𝐹(𝑞)define otro grupo formal. Vamos a probar que 𝑔es un homomorfismo de grupos formales de 𝐹(𝑞)a𝐺. Llamando 𝑆𝑞=𝑋y𝑇𝑞=𝑌, se tiene que: 𝑔(𝐹(𝑞)(𝑋, 𝑌 )) = 𝑔(𝐹(𝑆, 𝑇 )𝑞) = 𝑓(𝐹(𝑆, 𝑇 )) = 𝐺(𝑓(𝑆), 𝑓(𝑇)) =𝐺(𝑔(𝑆𝑞), 𝑔(𝑇𝑞)) = 𝐺(𝑔(𝑋), 𝑔(𝑌)). Ahora por reducción al absurdo supongamos que 𝑔′(0) = 0. Por el apartado anterior, 𝑓(𝑇) = 𝑔(𝑇𝑝ht(𝐹))=𝑔1(𝑇𝑝ht(𝐹)+1 ). Esto contradice la maximalidad de ht(𝑓). Probamos ahora que la altura tiene un buen comportamiento con la composición. 14 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Proposición 1.7.Sean 𝐹∕𝑅, 𝐺∕𝑅y𝐻∕𝑅grupos formales. Consideramos una cadena de homomorfismos 𝐹𝑓 ←←←←←←→ 𝐺𝑔 ←←←←←→ 𝐻 definidos sobre 𝑅. Entonces, ht(𝑔◦𝑓) = ht(𝑔) + ht(𝑓) Demostración. Escribimos 𝑓(𝑇) = 𝑓1(𝑇𝑝ht(𝑓))y𝑔(𝑇) = 𝑔1(𝑇𝑝ht(𝑔)). Entonces, (𝑔◦𝑓)(𝑇) = 𝑔1(𝑓1(𝑇𝑝ht(𝑓))𝑝ht(𝑔))=𝑔1( 𝑓1(𝑇𝑝ht(𝑓)+ht(𝑔))) donde  𝑓1se obtiene de 𝑓1elevando cada término a 𝑝ht(𝑔). Por el segundo apartado de la proposición anterior sabemos que los términos lineales de 𝑓1y𝑔1son no nulos, por tanto, lo mismo ocurre con la composición. De esto se deduce la maximalidad de ht(𝑓) + ht(𝑔), i.e. ht(𝑔◦𝑓) = ht(𝑔) + ht(𝑓). 1.2.3 Grupos asociados a grupos formales Sea (𝐾, 𝑣)un cuerpo dotado de una valoración con cuerpo residual finito, característica residual 𝑝y anillo de valoración . Sea 𝐾𝑠la clausura separable de 𝐾, la valoración 𝑣se puede extender de manera única a 𝐾𝑠( ver A.3). Denotamos por 𝑣𝑠a la valoración extendida, por 𝑠al anillo de valoración de 𝑣𝑠y por 𝑠a su ideal maximal. En esta situación, si 𝑓(𝑇) = ∑𝑖≥0𝑎𝑖𝑇𝑖∈J𝑇Kes una serie formal, denotamos por 𝑓(𝑇)a la serie obtenida reduciendo los coeficientes de 𝑓módulo . En este contexto es habitual hablar de la altura de un grupo formal refiriéndonos en realidad a la altura sobre el cuerpo residual. Definición 1.6. En las condiciones anteriores, sean 𝐹, 𝐺 dos grupos formales sobre y𝑓∶𝐹←→ 𝐺un homomorfismo definido sobre . En esta situación, definimos 1. preliminares 15 a) La altura de 𝑓, denotada ht(𝑓), se define como el mayor entero ℎtal que la reducción de 𝑓puede expresarse como 𝑓(𝑇) = 𝑔(𝑇𝑝ℎ) para alguna serie formal 𝑔∈∕J𝑇K. Si 𝑓= 0, entonces ht(𝑓)=∞. b) La altura de 𝐹, denotada por ht(𝐹), la definimos como la altura de la aplicación [𝑝] ∶ 𝐹←→ 𝐹. Vamos a ver ahora cómo asociar grupos a los grupos formales. Definición 1.7. Sea 𝐹(𝑋, 𝑌 ) ∈ J𝑋, 𝑌 K. El grupo asociado a 𝐹(𝑋, 𝑌 )sobre 𝑠, que denotaremos 𝐹(𝑠), es el conjunto 𝑠, con las operaciones de grupo: a) 𝑥 ⊕𝐹𝑦∶= 𝐹(𝑋, 𝑌 )para 𝑥, 𝑦 ∈𝑠. b) ⊖𝐹𝑥∶= 𝑖(𝑥)para 𝑥∈𝑠. Observación 1.5.Las operaciones anteriores están bien definidas, ya que como los coeficientes de 𝐹están en 𝐾, la convergencia se da en una extensión finita de 𝐾(en 𝐾(𝑥, 𝑦)para el caso de la suma y en 𝐾(𝑥)para el caso del inverso), que es un cuerpo completo. Proposición 1.8.Sea 𝐹∕𝑅un grupo formal, se tienen los siguientes: a) Para cada 𝑛≥1, la aplicación 𝐹(𝑛) 𝐹(𝑛+1)←→ 𝑛 𝑛+1 inducida por la identidad entre los conjuntos es un isomorfismo de grupos. b) Todo elemento de orden finito de 𝐹()tiene orden una potencia de 𝑝. Demostración. a) Basta notar que 𝑥 ⊕𝐹𝑦=𝑥+𝑦+términos de orden superior ≡𝑥+𝑦m od 2𝑛 b) Basta ver que no hay ningún elemento de torsión de orden coprimo con 𝑝. Por reducción al absurdo supongamos que existen 𝑚∈ℕy𝑥∈𝐹()tales que [𝑚](𝑥)=0, 16 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas y𝑝∤𝑚. Notemos que cuando pasamos al cuerpo residual 𝑚no se anula porque no es múltiplo de 𝑝. Por tanto, 𝑚∉, por lo que 𝑚∈𝑅∗. Se ha visto que si 𝑚∈𝑅∗, entonces [𝑚] ∶ 𝐹()←→  es un isomorfismo de grupos formales. En particular, su kernel es {0}. 1.3 Subgrupos de GL2(𝔽𝑝) El resultado principal del trabajo consiste en que ciertas representaciones de dimensión 2sobre 𝔽𝑙son sobreyectivas. Por ello, vamos a estudiar en esta sección algunos subgrupos de GL2(𝔽𝑙)importantes que nos aparecerán más adelante. Además, daremos algunos criterios de sobreyectividad relacionados con estos subgrupos. En lo que sigue, 𝑉será un espacio vectorial de dimensión 2sobre el cuerpo 𝔽𝑝∶= ℤ∕𝑝ℤ. 1.3.1 Subgrupos de Cartan Los subgrupos de Cartan pueden definirse en un contexto muy amplio. No obstante, en este trabajo seguiremos la exposición que da Serre en ([9] 2), dando la definición solo para el caso de GL2(𝔽𝑝). Dividiremos el estudio de los subgrupos de Cartan en dos casos: los subgrupos de Cartan escindidos y los no escindidos. Sin embargo, antes de dar la definición precisa de dichos subgrupos, vamos a motivar su estudio. Consideremos el álgebra de endomorfismos de 𝑉, que denotaremos End(𝑉). Dado 𝑠∈ End 𝑉, el teorema de Hamilton-Cayley nos dice que 𝑠cumple la ecuación: 𝑥2− tr(𝑠)𝑥+ det(𝑠)=0,(1.1) donde estamos identificando 𝜆∈𝔽𝑝con las matrices (𝜆0 0𝜆). La ecuación anterior también se puede estudiar sobre 𝔽𝑝, en cuyo caso sólo tenemos dos posibilidades: a) La ecuación (1.1) no tiene raíces en 𝔽𝑝. En ese caso, si consideramos 𝑘=𝔽𝑝[𝛼]el cuerpo 𝔽𝑝al que hemos añadido una raíz 𝛼del polinomio característico anterior. 1. preliminares 17 Tenemos así una inclusión canónica (como álgebras): 𝑘→ End(𝑉) 𝛼←→ 𝑠, definida por el principio de sustitución. De esta manera, 𝑘∗es un subgrupo multiplicativo de End(𝑉). Este tipo de grupos será lo que llamaremos un subgrupo de Cartan escindido. b) La ecuación (1.1) tiene dos raíces 𝑎, 𝑏 ∈𝔽𝑝. Tenemos entonces que 𝑠anula el polinomio (𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏). Sin embargo, esto no implica que 𝑠=𝑎o𝑠=𝑏, ya que End(𝑉)no es un cuerpo. Esto es lo que va a dar lugar a los subgrupos de Cartan escindidos. Damos ya las definiciones precisas. Definición 1.8. Sea 𝐶 ⊂ GL(𝑉)es un subgrupo de Cartan escindido si existen dos subespacios distintos 𝐷1, 𝐷2⊂ 𝑉 de dimensión 1, que llamaremos rectas, tales que: 𝐶= {𝑠∈ GL(𝑉) ∶ 𝑠𝐷1⊂ 𝐷1y𝑠𝐷2⊂ 𝐷2}. Definición 1.9. Sea 𝐶 ⊂ GL(𝑉), diremos que 𝐶es un subgrupo de Cartan no escindido si existe un cuerpo 𝑘 ⊂ End(𝑉)de cardinal 𝑝2de manera que 𝐶∗=𝑘. Observación 1.6.Sea 𝐶un subgrupo de Cartan escindido, y sean 𝐷1,𝐷2las rectas correspondientes. Si tomamos por base un punto de 𝐷1y otro en 𝐷2, entonces, 𝐶 puede expresarse como (∗ 0 0 ∗) Por tanto, este grupo es un producto de grupos cíclicos y su orden es (𝑝− 1)2. Observación 1.7.Si 𝐶es un subgrupo de Cartan no escindido, por definición es el grupo multiplicativo de un cuerpo de 𝑝2elementos . Por tanto, 𝐶es un grupo cíclico de orden 𝑝2− 1. Definición 1.10. Diremos que un subgrupo de 𝐶 ⊂ GL(𝑉)es un subgrupo de Cartan si es un subgrupo de Cartan escindido o no escindido. Una propiedad de los subgrupos de Cartan que nos será de gran utilidad es que en cierto sentido estos subgrupos constituyen un buen recubrimiento de los subgrupos de GL(𝑉)de orden 𝑝. 24 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas a) Para cada elemento 𝑥∈𝐺de orden 𝑝, la recta 𝐷𝑥es la misma. Llamaremos 𝐷a dicha recta. El orden de GL(𝑉)es 𝑝(𝑝+ 1)(𝑝− 1)2. Por tanto, los 𝑝-grupos de Sylow de 𝐺son de orden 𝑝. Por los teoremas de Sylow, todos los elementos de orden 𝑝de 𝐺son conjugados. Esto implica que si 𝑥∈𝐺es un elemento de orden 𝑝, entonces ∀𝜎∈𝐺, (𝜎−1𝑥𝜎)(𝐷) = 𝐷, por hipótesis. Esto implica que: ∀𝜎∈𝐺, 𝑥(𝜎(𝐷)) = 𝜎(𝐷). Como la única recta que deja fija 𝑥es 𝐷, tenemos que 𝜎(𝐷) = 𝐷para cada 𝜎∈𝐺. Luego 𝐺está contenido en el subgrupo de Borel determinado por 𝐷. b) Hay, al menos, dos rectas distintas. En ese caso si tomamos a dos de los generadores de dichas rectas como base, tenemos que el grupo 𝐺contiene a los elementos del subgrupo ⟨(1𝑎 0 1),(1 0 𝑏1)⟩. Basta ahora comprobar que ⟨(1𝑎 0 1),(1 0 𝑏1)⟩= SL2(𝔽𝑝). Para probar el último resultado de este capítulo necesitamos los siguientes lemas que daremos sin demostración, pues su prueba, aunque no es difícil, requiere un desarrollo demasiado extenso y que no aporta a los propósitos del trabajo: Lema 1.2.Sea 𝑘un cuerpo y sea 𝐻≤PGL2(𝑘)un subgrupo finito de orden coprimo con char(𝑘). Supongamos además que 𝐻no es cíclico ni diedral . Entonces, 𝐻es isomorfo a uno de los grupos 𝔸4,𝕊4o𝔸5 Demostración. [9] Prop. 16 Lema 1.3.Sean 𝐶un subgrupo de Cartan y 𝑋∈𝐶una matriz no escalar, i.e. no es una homotecia. Si 𝐴∈ GL2(𝔽𝑙)es una matriz tal que 𝐴𝑋𝐴−1 ∈𝐶, entonces 𝐴 pertence al normalizador de 𝐶. 1. preliminares 25 Demostración. Distinguimos dos casos: Supongamos primero que C es un grupo de Cartan escindido. Eligiendo una base adecuada, podemos escribir C como el grupo: 𝐶={(𝑥0 0𝑦)∶𝑥≠0, 𝑦 ≠0}. Sea 𝐴=(𝑎 𝑏 𝑐 𝑑)∈ GL2(𝔽𝑙)y𝑋=(𝑥0 0𝑦)∈𝐶no escalar, i.e. 𝑥≠𝑦. Se tiene que: 𝐴𝑋𝐴−1 =1 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 (𝑎𝑑𝑥 −𝑏𝑐𝑦 𝑎𝑏(−𝑥+𝑦) 𝑐𝑑(𝑥−𝑦) −𝑏𝑐𝑥 +𝑎𝑑𝑦)∈𝐶⇐⇒ 𝑎𝑏(𝑦−𝑥) = 𝑐𝑑(𝑥−𝑦)=0. Como 𝑥≠𝑦, se tiene que 𝑎𝑏 =𝑐𝑑 = 0. Se comprueba fácilmente que estas condiciones implican que 𝐴pertenece al normalizador de 𝐶. Supongamos ahora que 𝐶es un subgrupo de Cartan escindido. Sea 𝜀el entero más pequeño que genera 𝔽𝑙. Eligiendo una base adecuada de 𝐶, tenemos que 𝐶es de la forma: 𝐶={(𝑥 𝜀𝑦 𝑦 𝑥 )∶ (𝑥, 𝑦)≠(0,0)}. Sea 𝐴=(𝑎 𝑏 𝑐 𝑑)∈ GL2(𝔽𝑙)y𝑋=(𝑥 𝜀𝑦 𝑦 𝑥 )una matriz no escalar, i.e. 𝑦≠0. Se tiene que la matriz 𝐴𝑋𝐴−1 =1 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 (−𝑎𝑐𝑦𝜀 −𝑏𝑐𝑥 +𝑎𝑑𝑥 +𝑏𝑑𝑦 𝑎2𝑦𝜀 −𝑏2𝑦 −𝑐2𝑦𝜀 +𝑑2𝑦 𝑎𝑐𝑦𝜀 −𝑏𝑐𝑥 +𝑎𝑑𝑥 −𝑏𝑑𝑦) pertence a 𝐶si, y sólo si, ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ −𝑎𝑐𝑦𝜀 −𝑏𝑐𝑥 +𝑎𝑑𝑥 +𝑏𝑑𝑦 −𝑏𝑐 +𝑎𝑑 =𝑎𝑐𝑦𝜀 −𝑏𝑐𝑥 +𝑎𝑑𝑥 −𝑏𝑑𝑦 −𝑏𝑐 +𝑎𝑑 , 𝑎2𝑦𝜀 −𝑏2𝑦 −𝑏𝑐 +𝑎𝑑 =𝜀(−𝑐2𝑦𝜀 +𝑑2𝑦) −𝑏𝑐 +𝑎𝑑 y ambas cantidades son no nulas. Teniendo en cuenta que 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ≠0≠𝑦, podemos simplificar el sistema anterior, de manera que 𝐴𝑋𝐴−1 ∈𝐶si, y sólo si, ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑎𝑐𝜀 =𝑏𝑑, 𝑐2𝜀2+ (𝑎2−𝑑2)𝜀−𝑏2= 0 e𝑦(−𝑎𝑐+𝑏𝑑)𝜀−𝑥(𝑏𝑐−𝑎𝑑)≠0o𝑑2≠−𝑐2𝜀. En primer lugar, notemos que la segunda ecuación siempre se da porque 𝜀no es un cuadrado. Distinguimos ahora dos casos: 26 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas a) Caso en que 𝑏= 0. En este caso, 𝑎𝑐𝜀 = 0,𝜀≠0y como 𝐴es invertible 𝑎≠0. Por tanto, 𝑐= 0. De la segunda ecuación se deduce que 𝑎2−𝑏2=, con lo cual 𝑎= ±𝑏. De esta manera, la matriz 𝐴es de la forma: (𝑎0 0 ±𝑎) y se comprueba fácilmente que 𝐴está en el normalizador del subgrupo de Cartan. b) Caso en que 𝑏≠0. En este caso, podemos despejar 𝑑=𝑎𝑐𝜀∕𝑏y sustituyendo se obtiene: 𝑐2𝜀2+ (𝑎2− (𝑎𝑐𝜀∕𝑑)2)𝜀−𝑏2= 0. Esta ecuación se puede factorizar como: (𝑎2𝜀−𝑏2)(𝑏2−𝑐2𝜀2)=0. El primer término no puede ser 0porque 𝜀no es un cuadrado. Por tanto, 𝑏= ±𝑐𝜀 y𝑑= ±𝑒. En este caso, un simple cálculo permite probar que 𝐴𝑋𝐴−1 ∈𝐶. Proposición 1.14.Sea 𝐺un subgrupo de GL(𝑉)distinto del total. Entonces, a) Si 𝐺contiene a un subgrupo de Cartan no escindido, entonces o bien 𝐺está contenido en un subgrupo de Borel, o bien 𝐺está contenido en el normalizador de un subgrupo de Cartan. b) Si 𝐺contiene a un semi-subgrupo de Cartan escindido y 𝑝≠5, entonces o bien 𝐺está contenido en un subgrupo de Borel, o bien 𝐺está contenido en el normalizador de un subgrupo de Cartan. Demostración. Dividimos la prueba en dos casos: 1. 𝑝divide a |𝐺|. En este caso, la proposición anterior nos dice que 𝐺está contenido en un subgrupo de Borel o 𝐺contiene a SL2(𝑉). En este segundo caso, tanto si 𝐺contiene a un subgrupo de Cartan no escindido como si contiene a un semi-subgrupo de Cartan escindido, se comprueba fácilmente que la aplicación det ∶ 𝐺←→ 𝔽∗ 𝑝es sobreyectiva. Ahora bien, como SL(𝑉)⊂ 𝐺, esto implica que 𝐺= GL(𝑉), lo cual es una contradicción. 1. preliminares 27 2. El orden de 𝐺es coprimo con 𝑝. Aplicando ahora el lema anterior para el cuerpo 𝔽𝑝y llamando 𝐻a la imagen de 𝐺en PGL(𝑉), obtenemos la posibilidades siguientes: i) 𝐻es cíclico y está contenido en la imagen de algún subgrupo de Cartan, por la proposición 2. Por tanto, 𝐺está contenido en algún subgrupo de Cartan. ii) 𝐻es diedral, i.e. contiene un subgrupo normal cíclico 𝐶′no trivial de índice 2. En este caso, 𝐺está contenido en el normalizador de un subgrupo de Cartan. Para probar esto, nos basta probarlo para 𝜋−1(𝐻), con 𝜋∶ GL(𝑉)←→ PGL(𝑉)la proyección natural. Como 𝜋es homomorfismo de grupos, 𝜋−1(𝐶′)⊲𝜋−1(𝐻). Es fácil comprobar que como (𝑝, |𝐺|)=1, el grupo 𝜋−1(𝐶′)es cíclico de orden coprimo con 𝑝y, por la proposición 2, está contenido en algún subgrupo de Cartan 𝐶. Por tanto, como 𝜋−1(𝐶′)es un subgrupo normal de 𝜋−1(𝐻), entonces 𝜋−1(𝐻)está contenido en el normalizador 𝑁de 𝐶. En efecto, consideremos 𝐴∈𝐺y𝜋(𝐴) ∈ 𝜋(𝐺) = 𝐻. Por tanto, para toda matriz 𝑋∈ GL2(𝔽𝑙)tal que 𝜋(𝑋) ∈ 𝐶′, 𝜋(𝐴𝑋𝐴−1) = 𝜋(𝐴)𝜋(𝑋)𝜋(𝐴−1) ∈ 𝐶′, ya que 𝐶′⊲𝐻. Luego 𝐴𝑋𝐴−1 ∈𝜋(𝐶′)⊂ 𝐶. En particular, podemos escoger un elemento 𝑋1∈𝐶′, distinto de la identidad, y un elemento 𝑋∈𝜋−1(𝐶′)tal que 𝜋(𝑋) = 𝑋1. Además, 𝑋no es una matriz escalar porque su imagen no es la identidad. Basta ahora aplicar el lema 1.3. iii) 𝐻es isomorfo a 𝔸4,𝕊4o𝔸5. Esto no puede darse si 𝑝= 2,3. Estamos suponiendo que 𝑝≠5y la imagen de 𝐶es un grupo cíclico de orden 𝑝±1 ≥6y los grupos 𝔸4,𝕊4,𝔸5no contienen elementos de orden superior a5. Por tanto, este caso no puede darse. 2 Curvas elípticas Durante todo este capítulo 𝐾será un cuerpo perfecto, i.e. toda extensión algebraica de 𝐾es separable, y 𝐾denotará su clausura algebraica. Trabajaremos siempre sobre el plano proyectivo ℙ2(𝐾)sobre el cuerpo 𝐾. Por simplicidad en la notación escribiremos ℙ2cuando estemos trabajando sobre 𝐾. Daremos por conocidas las nociones de variedad algebraica (proyectiva e irreducible), curva, morfismo entre variedades algebraicas, aplicaciones racionales y cuerpo de funciones racionales asociadas a una variedad (todo esto se puede encontrar en los capítulos I y II de [10]). Ocasionalmente necesitaremos usar algunos resultados de geometría algebraica, cuando esto suceda los enunciaremos brevemente, junto con una referencia de su prueba. 2.1 Teoría General El objeto sobre el que basaremos nuestro estudio serán las curvas elípticas. Definición 2.1. Una curva elíptica es un par (𝐸, ), donde 𝐸es una curva algebraica no singular de género 1sobre 𝐾yes un punto de dicha curva. Generalmente, denotaremos por 𝐸a la curva elíptica omitiendo . Diremos que la curva elíptica 𝐸está definida sobre 𝐾, lo cual será denotado por 𝐸∕𝐾, si lo está como curva algebraica y el punto tiene coordenadas en 𝐾. Sea una curva elíptica 𝐸∕𝐾. Haciendo uso del teorema de Riemann-Roch se puede probar que 𝐸es isomorfa (sobre 𝐾) a una curva de ℙ2dada por una ecuación de la forma: 𝑦2+𝑎1𝑥𝑦 +𝑎3𝑦=𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎4𝑥+𝑎6 con 𝑎1,…, 𝑎6∈𝐾y siendo el punto del infinito de la curva [0∶1∶0]. A las curvas de este tipo se les dice que están en forma de Weierstrass. Gracias a esto, para 30 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas estudiar las curvas elípticas nos basta estudiar las curvas no singulares de este tipo, a pesar de que una misma curva puede tener varios modelos de este tipo. Si la característica del cuerpo es distinta de 2, se puede simplificar la ecuación, mediante el cambio de variables 𝑦←→ 1 2(𝑦−𝑎1𝑥−𝑎3), obteniendo así una curva en forma: 𝐸∶𝑦2= 4𝑥3+𝑏2𝑥2+ 2𝑏4𝑥+𝑏6, donde 𝑏2=𝑎2 1+ 4𝑎2, 𝑏4= 2𝑎4+𝑎1𝑎3, 𝑏6=𝑎2 3+ 4𝑎6. Los nombres asignados a estas cantidades no son arbitrarios y los reservaremos durante todo el trabajo para dichas cantidades. Además, definimos también las siguientes cantidades 𝑐4=𝑏2 2− 24𝑏4, 𝑐6= −𝑏3 2+ 36𝑏2𝑏4− 216𝑏6, Δ = −𝑏2 2𝑏8− 8𝑏3 4, 𝑗=𝑐3 4∕Δ. Estas cantidades tienen cada una un significado en términos de propiedades de la curva. Más adelante, vamos a mostrar algunos de ellos, para un estudio más detallado ver ([10] III.1). Por último, la curva se puede reducir aún más cuando la característica del cuerpo es distinta de 2y3. En dicho caso, el cambio de variables (𝑥, 𝑦)←→ (𝑥− 3𝑏2 36 ,𝑦 108) nos da una curva de la forma 𝐸∶𝑦2=𝑥3− 27𝑐4𝑥− 54𝑐6. La cantidad Δse llama discriminante y nos ayuda a saber si una curva dada en forma de Weierstrass tiene o no puntos singulares. 2. curvas elípticas 31 Definición 2.2. Sea 𝐶una curva en ℙ2dada por un polinomio homogéneo 𝐹(𝑋, 𝑌 , 𝑍). Sea 𝑃∈𝐶, se dice que el punto 𝑃es singular si 𝜕𝐹 𝜕𝑋 (𝑃) = 𝜕𝐹 𝜕𝑌 (𝑃) = 𝜕𝐹 𝜕𝑍 (𝑃)=0. Se dice que la curva es no singular si todos sus puntos son no singulares. Proposición 2.1.Una curva dada por una ecuación de Weierstrass es no singular si, y sólo si, Δ≠0. En caso de que la curva sea singular, esta sólo tiene un punto singular. La singularidad en ese punto tiene dos tipos posibles: a) El punto singular es un nodo (las tangentes en el punto son distintas) si, y sólo si, Δ=0y𝑐4≠0. b) El punto singular es una cúspide (las tangentes en el punto son iguales) si, y sólo si, Δ = 𝑐4= 0. Demostración. ([10] III.1.4) 2.1.1 Operación de grupo Sea 𝐸∕𝐾una curva no singular en forma de Weierstrass, 𝑦2+𝑎1𝑥𝑦 +𝑎3𝑦=𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎4𝑥+𝑎6. Denotaremos por 𝐸=𝐸(𝐾)al conjunto de puntos [𝑥∶𝑦∶ 1] ∈ ℙ2que cumple la ecuación, junto con el punto del infinito = [0 ∶ 1 ∶ 0]. Dados dos puntos de 𝑃, 𝑄 ∈𝐸(𝐾) ∶= ℙ2(𝐾) ∩ 𝐸y una recta 𝐿que pase por ellos, se comprueba, usando las fórmulas de Cardano-Vieta, que 𝐿corta en un tercer punto a 𝐸(𝐾)y en ningún otro, contados con multiplicidad. A este tercer punto lo denotamos 𝑃∗𝑄. De esta manera, hemos definido una operación dentro de la curva, pero esta no da estructura de grupo a los puntos de 𝐸(𝐾), principalmente por la falta de un elemen- to neutro. Sin embargo, podemos usar esta operación y el punto para dar a 𝐸(𝐾) estructura de grupo. Definición 2.3. Definimos la "ley de grupo" de una curva elíptica 𝐸∕𝐾como : ⊕∶𝐸(𝐾) × 𝐸(𝐾)←→ 𝐸(𝐾) (𝑃, 𝑄)←→ ∗ (𝑃∗𝑄). 32 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Proposición 2.2.Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica, se tienen: a) (𝐸(𝐾), ⊕)es un grupo abeliano y es el elemento neutro de la operación. b) (𝑃 ⊕ 𝑄)⊕(𝑃∗𝑄) = . c) La operación ⊕∶𝐸(𝐾) × 𝐸(𝐾)←→ 𝐸(𝐾) (𝑃, 𝑄)←→ ∗ (𝑃∗𝑄) es un morfismo entre variedades algebraicas. Demostración. Las pruebas de a) y b) se pueden encontrar en ([10] III.2.2) y la de c) en ([10] III.3.6) De esta manera, ya podemos decir que la "ley de grupo de una curva elíptica" es una verdadera ley de grupo. En lo que sigue a la operación de la curva la denotaremos por +en lugar de ⊕. De esta manera, denotaremos por −𝑃al opuesto de 𝑃por la operación de grupo. Definición 2.4. Sean 𝐸1∕𝐾y𝐸2∕𝐾dos curvas elípticas y 𝜙∶𝐸1(𝐾)←→ 𝐸2(𝐾) un morfismo entre curvas. Diremos que 𝜙es una isogenia si 𝜙() = . Como la ley de grupo de la curva es un morfismo podemos definir la isogenia: [𝑛] ∶ 𝐸(𝐾)←→ 𝐸(𝐾) 𝑃←→ 𝑃+⋯+𝑃 ⏟⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏟ 𝑛veces Observación 2.1.Las operaciones anteriores las hemos definido sobre 𝐸(𝐾), en caso de que no especifiquemos el cuerpo y solo escribamos 𝐸, nos estaremos refiriendo a 𝐸(𝐾). Buena parte de este trabajo va a consistir en estudiar la relación que hay entre una curva elíptica definida sobre un cuerpo 𝐾junto con su estructura de grupo y el grupo de Galois Gal(𝐾∕𝐾). Comenzamos haciendo un primer análisis. Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica, dada por una ecuación de Weierstrass: 𝑦2+𝑎1𝑥𝑦 +𝑎3𝑦=𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎4𝑥+𝑎6. 2. curvas elípticas 33 Para un punto 𝑃= (𝑥0∶𝑦0∶ 1) ∈ 𝐸, tenemos la relación 𝑦2 0+𝑎1𝑥0𝑦0+𝑎3𝑦0=𝑥3 0+𝑎2𝑥2 0+𝑎4𝑥0+𝑎6. Consideramos ahora 𝜎∈ Gal(𝐾∕𝐾)y lo aplicamos a ambos lados de la ecuación. Obtenemos 𝜎(𝑦0)2+𝑎1𝜎(𝑥0)𝜎(𝑦0) + 𝑎3𝜎(𝑦0) = 𝜎(𝑥0)3+𝑎2𝜎(𝑥0)2+𝑎4𝜎(𝑥0) + 𝑎6. Por tanto, 𝑃𝜎∶= (𝜎(𝑥0) ∶ 𝜎(𝑦0) ∶ 1) ∈ 𝐸. Además, 𝜎=. Por tanto, el grupo Gal(𝐾∕𝐾)actúa sobre 𝐸. Más aún, se tiene el siguiente resultado. Proposición 2.3.Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica, se tiene que: ∀𝜎∈ Gal(𝐾∕𝐾) ∀𝑃, 𝑄 ∈𝐸(𝑃+𝑄)𝜎=𝑃𝜎+𝑄𝜎. Demostración. Si fijamos una ecuación en forma de Weierstass para la curva, la expresión de las coordenadas del punto suma se pueden escribir como funciones racionales en las coordenadas de los sumandos. Esto se debe a que calcular la suma en una curva elíptica consiste en cortar ciertas rectas con una cúbica en ℙ2. Por tanto, la acción de Gal(𝐾∕𝐾)conmuta con la suma. Estudiar como actúa Gal(𝐾∕𝐾)sobre una curva elíptica es un problema demasiado complicado. Para relajar el problema se puede estudiar como actúa Gal(𝐾∕𝐾) sobre algún subgrupo. En nuestro caso, vamos a estudiar como actúa el grupo de Galois sobre la torsión de 𝐸. 2.2 Torsión y representaciones En lo que sigue del trabajo haremos la siguiente simplificación en la notación, 𝐺𝐾∶= Gal(𝐾∕𝐾). Además, en caso de que no haya dudas con respecto a qué cuerpo nos estamos refiriendo, el grupo de Galois será denotado simplemente por 𝐺. Comenzamos definiendo los distintos grupos de torsión. Definición 2.5. Sea 𝐸una curva elíptica y 𝑚∈ℤ. Denotamos su grupo de 𝑚-torsión por: 𝐸[𝑚]={𝑃∈𝐸∶ [𝑚]𝑃=}. 40 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas 2.3.1 Desarrollo alrededor de  Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica. En este apartado vamos a estudiar cómo se comporta nuestra curva y la operación en un entorno de . Para ello, hacemos el siguiente cambio de variables (transformación birracional afín): 𝑧= −𝑥 𝑦, 𝑤 = −1 𝑦. Con estas coordenadas el punto es ahora el (0,0). Además la función 𝑧(𝑥, 𝑦) − 𝑥∕𝑦 tiene un cero de orden 1 en , esto es, en el anillo local 𝐾[𝐸]la función 𝑧es un parámetro de uniformización. De esta manera, la ecuación de Weierstrass ahora se convierte en 𝑤=𝑧3+𝑎1𝑧𝑤 +𝑎2𝑧2𝑤+𝑎3𝑤2+𝑎4𝑧𝑤2+𝑎6𝑤3=∶ 𝑓(𝑧, 𝑤). Gracias a esta ecuación podemos sustituir la expresión de 𝑤en ella misma de manera iterada. Una primera iteración nos lleva a: 𝑤=𝑧3+𝑎1𝑧4+ (𝑎2 1+𝑎2)𝑧5+ (𝑎3 1+ 2𝑎1𝑎2+𝑎3)𝑧6 + (𝑎4 1+ 3𝑎2 1𝑎2+ 3𝑎1𝑎3+𝑎2 2+𝑎4)𝑧7+⋯ Si seguimos iterando vamos obteniendo una expresión de la forma 𝑤=𝑧3(1 + 𝐴1𝑧+ 𝐴2𝑧2+⋯), donde los 𝐴𝑛∈ℤ[𝑎1,…, 𝑎6]. Por supuesto, hay que comprobar que 𝑤(𝑧) tiene sentido en ℤ[𝑎1,…, 𝑎6]J𝑧Ky que se tiene la igualdad 𝑤(𝑧) = 𝑓(𝑧, 𝑤(𝑧)) en el mismo anillo de series formales. Una descripción más precisa del procedimien- to anterior sería la siguiente. Consideramos la sucesión de polinomios definida por inducción como sigue: {𝑓1(𝑧, 𝑤) = 𝑓(𝑧, 𝑤) 𝑓𝑛(𝑧, 𝑤) = 𝑓𝑛−1(𝑧, 𝑓(𝑧, 𝑤)). Queremos definir 𝑤(𝑧) ∶= l ım 𝑛𝑓𝑛(𝑧, 0). Vamos a ver que este límite tiene sentido en ℤ[𝑎1,…, 𝑎6]J𝑧K. Proposición 2.6.Se tienen: a) El límite l ım𝑛𝑓𝑛(𝑧, 0) existe, i.e. es un elemento de ℤ[𝑎1,…, 𝑎6]J𝑧K. 2. curvas elípticas 41 b) La serie formal 𝑤(𝑧)es la única serie de potencias de ℤ[𝑎1,…, 𝑎6]J𝑧Kque cumple que: 𝑤(𝑧)=0 y𝑤(𝑧) = 𝑓(𝑧, 𝑤(𝑧)). c) Si el anillo de polinomios ℤ[𝑎1,…, 𝑎6]lo convertimos en un anillo graduado poniendo los pesos wt(𝑎𝑖) = 𝑖, cada coeficiente de 𝐴𝑛de la serie de potencias 𝑤(𝑧)es un polinomio homogéneo de peso 𝑛. Para probar esto necesitamos una versión del lema de Hensel (en el apéndice hemos dado una versión más general, ver A.2), que enunciamos a continuación. Teorema 2.2 (Lema de Hensel). Sea 𝑅un anillo de valoración discreta completo e 𝐼= (𝜋)su ideal primo. Sea 𝐹(𝑤) ∈ 𝑅[𝑤]un polinomio. Supongamos que existen 𝑛∈ℕ y𝑎∈𝑅tales que 𝐹(𝑎) ∈ 𝐼𝑛y𝐹′(𝑎) ∈ 𝑅∗. Entonces, para cada 𝛼∈𝑅∗tal que 𝐹′(𝑎)≡𝛼m od 𝐼, la sucesión 𝑤0=𝑎, 𝑤𝑚+1 =𝑤𝑚−𝐹(𝑤𝑚) 𝛼 converge a un 𝑏∈𝑅tal que 𝐹(𝑏)=0y 𝑏≡𝑎m od 𝐼𝑛. Si además 𝑅es un dominio de integridad, dicho 𝑏está determinado de manera única. Demostración (del Lema de Hensel).Sea 𝛼tal que 𝐹′(𝑎)≡𝛼m od 𝐼. En particular, 𝛼∈𝐹′(𝛼) + 𝐼 ⊂ 𝑅∗+𝐼=𝑅∗(1 + 𝐼) = 𝑅∗, donde la última igualdad se da porque 1 + 𝐼=𝑅∗(si 1 + 𝑢𝜋 =𝑢′𝜋𝑛, entonces 1 ∈ 𝐼y esto es una contradicción). Por tanto, 𝛼es una unidad. Por simplicidad con la notación, vamos a hacer la prueba con 𝑤0= 0, 𝐹(0) ∈ 𝐼𝑛, 𝐹′(0) ≡1 m od 𝐼, 𝑤𝑚+1 =𝑤𝑚−𝐹(𝑤𝑚). En caso de que esto no sea así basta hacer el cambio 𝐹(𝑤)←→ 𝐹(𝑤+𝑎)∕𝛼. Como 𝑤0= 0 y𝐹(0) ∈ 𝐼𝑛, ∀𝑚≥0, 𝑤𝑚∈𝐼𝑛⇒𝑤𝑚−𝐹(𝑤𝑚) ∈ 𝐼𝑛. Por tanto, ∀𝑚≥0, 𝑤𝑚∈𝐼𝑛. 42 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Probamos ahora por inducción que ∀𝑚≥0, 𝑤𝑚≡𝑤𝑚+1 m od 𝐼𝑚+𝑛. Para 𝑚= 0, ya lo hemos visto. Supongamos ahora que el resultado es cierto para todos los enteros estrictamente menores que 𝑚. Es fácil comprobar la factorización siguiente: 𝐹(𝑋) − 𝐹(𝑌)=(𝑋−𝑌)(𝐹′(0) + 𝑋𝐺(𝑋, 𝑌 ) + 𝑌 𝐻(𝑋, 𝑌 )), donde 𝐻, 𝐺 ∈𝑅[𝑋, 𝑌 ]. Entonces, 𝑤𝑚+1 −𝑤𝑚=𝑤𝑚−𝐹(𝑤𝑚) − 𝑤𝑚−1 +𝐹(𝑤𝑚−1) =𝑤𝑚−𝑤𝑚−1 +𝐹(𝑤𝑚−1) − 𝐹(𝑤𝑚) = (𝑤𝑚−𝑤𝑚−1)(1 − 𝐹′(0) − 𝑤𝑚𝐺(𝑤𝑚, 𝑤𝑚−1) −𝑤𝑚−1𝐻(𝑤𝑚, 𝑤𝑚−1)) ∈ 𝐼𝑛+𝑚. La última línea se tiene porque por hipótesis de inducción 𝑤𝑚−𝑤𝑚−1 ∈𝐼𝑛+𝑚−1, por la hipótesis de que 𝐹′(0) ≡1 m od 𝐼y por la hipótesis de que 𝑤𝑚, 𝑤𝑚−1 ∈𝐼𝑛. Con esto hemos probado que la sucesión {𝑤𝑚}es de Cauchy, pues hemos visto que: 𝑤𝑚+1 −𝑤𝑚∈𝐼𝑛+𝑚. Por la completitud de 𝑅, existe 𝑏∈𝑅tal que 𝑏= l ım 𝑤𝑚. Además, como todos los 𝑤𝑚∈𝐼𝑛,𝑏∈𝐼𝑛. Si tomamos límite ahora en la definición por recurrencia de los 𝑤𝑚, obtenemos 𝑏=𝑏−𝐹(𝑏). Por tanto, 𝐹(𝑏)=0. Por último, vamos a probar la unicidad. Supongamos que existe 𝑐∈𝐼𝑛tal que 𝐹(𝑐) = 0. Entonces, 0 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑐)=(𝑏−𝑐)(𝐹′(0) + 𝑏𝐺(𝑏, 𝑐) + 𝑐𝐻(𝑏, 𝑐)). Si 𝑏≠𝑐, entonces 𝐹′(0) + 𝑏𝐺(𝑏, 𝑐) + 𝑐𝐻(𝑏, 𝑐)=0. Ahora bien, esto implica que 𝐹′(0) ∈ 𝐼, lo que contradice que 𝐹′(0) ≡1 m od 𝐼. Demostración (de la proposición 2.6).Los apartados 1.y2.se deducen directamente del lema de Hensel poniendo 𝑅=ℤ[𝑎1,…, 𝑎6]J𝑧K,𝐼= (𝑧),𝐹(𝑤) = 𝑓(𝑧, 𝑤) − 𝑤, 2. curvas elípticas 43 𝑎= 0 y𝛼= −1. Veamos el tercer apartado, asignando los pesos wt(𝑧) = −1 ywt(𝑤) = −3,𝑓(𝑧, 𝑤)es un polinomio homogéneo de peso −3 del anillo graduado ℤ[𝑎1,…, 𝑎6, 𝑧, 𝑤]y es fácil ver que los 𝑓𝑚cumplen la misma propiedad. En particular, 𝑓𝑚(𝑧, 0) = 𝑧3(1 + 𝐵1𝑧+𝐵2𝑧2+⋯+𝐵𝑁𝑧𝑁) es homogéneo de peso −3. Por tanto, wt(𝐵𝑛) = 𝑛y, tomando límite los 𝐴𝑛tienen la misma propiedad. De esta manera, hemos desarrollado en serie de potencias las funciones coordenadas. Recuperando las coordenadas 𝑥, 𝑦 obtenemos el siguiente desarrollo en serie de Laurent, 𝑥(𝑧) = 𝑧 𝑤(𝑧)=1 𝑧2−𝑎1 𝑧−𝑎2−𝑎3𝑧− (𝑎4+𝑎1𝑎3)𝑧2−⋯ 𝑦(𝑧) = − 1 𝑤(𝑧)= − 1 𝑧3+𝑎1 𝑧2+𝑎2 𝑧+𝑎3+ (𝑎4+𝑎1𝑎3)𝑧+⋯ Notemos que los coeficientes de la inversa de una serie formal se pueden calcular. De la misma manera, podemos invertir 2𝑦(𝑧)+𝑎1𝑥(𝑧)+𝑎3admitiendo una cantidad finita de términos 1∕𝑧𝑛. Por tanto, podemos desarrollar el diferencial invariante como 𝜔(𝑧) = 𝑑𝑥(𝑧) 2𝑦(𝑧) + 𝑎1𝑥(𝑧) + 𝑎3 = (1 + 𝑎1𝑧+ (𝑎2 1+𝑎2)𝑧2+ (𝑎3 1+ 2𝑎1𝑎2+ 2𝑎3)𝑧3 +(𝑎4 1+ 3𝑎2 1𝑎2+ 6𝑎1𝑎3+𝑎2 2+ 2𝑎4)𝑧4+⋯)𝑑𝑧 Con todo esto, las series (𝑥(𝑧), 𝑦(𝑧)) son una solución formal a la ecuación de Weiestrass: 𝐸∶𝑦2+𝑎1𝑥𝑦 +𝑎3𝑦=𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎4𝑥+𝑎6. Sería interesante poder generar puntos de 𝐸evaluando en 𝑧. Sin embargo, no hay una manera natural de asociar elementos de 𝐾a cada 𝑧. Sin embargo, si suponemos que 𝐾es un cuerpo local completo, con 𝑅su anillo de valoración, su ideal maximal y suponemos además que 𝑎1,…, 𝑎6∈𝑅, las series 𝑥(𝑧)e𝑦(𝑧)convergen para todo 𝑧∈y, por tanto, (𝑥(𝑧), 𝑦(𝑧)) ∈ 𝐸(𝐾). Esto nos da una aplicación ←→ 𝐸(𝐾), 𝑧←→ (𝑥(𝑧), 𝑦(𝑧)). 44 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Dicha aplicación es inyectiva porque −𝑥(𝑧)∕𝑦(𝑧) = 𝑧nos da la inversa. Esta aplicación será clave cuando estudiemos las curvas elípticas sobre cuerpos locales. Volvamos por ahora a seguir trabajando de manera formal, vamos a ver como se comporta la suma de las curvas elípticas en términos de las series formales. Sean 𝑧1y𝑧2 variables independientes para las series formales, llamemos 𝑤1=𝑤(𝑧1)y𝑤2=𝑤(𝑧2). Si llamamos (𝑧3, 𝑤3)=(𝑧1, 𝑤1)+(𝑧2, 𝑤2), donde la suma es la suma de las curvas elípticas en el plano (𝑧, 𝑤), vamos a escribir 𝑧3como una serie formal en 𝑧1y𝑧2. Es un ejercicio de cómputo comprobar que 𝑧3(𝑧1, 𝑧2) =∶ 𝐹(𝑧1, 𝑧2)es un grupo formal (ver 1.2), los detalles acerca de esto se pueden encontrar en ([10] IV.1). Terminamos la sección con un resultado que nos relaciona la altura de los morfismos entre los grupos formales de curvas elípticas con los morfismos entre dichas curvas. Para dar dicho resultado, tenemos que desarrollar algunos conceptos de geometría algebraica antes. Notación 2.1.Sean 𝑉1∕𝐾y𝑉2∕𝐾dos variedades proyectivas algebraicas sobre 𝐾 y𝜙∶𝑉1←→ 𝑉2un morfismo entre dichas curvas definido sobre 𝐾. Este morfismo induce una inyección en los cuerpos de funciones: 𝜙∗∶𝐾(𝑉2)→ 𝐾(𝑉1) 𝑓←→ 𝑓◦𝜙 Aunque no es trivial en el caso de que las variedades anteriores sean curvas, la extensión de cuerpos que induce el morfismo 𝜙siempre es una extensión finita, lo cual motiva la siguiente definición. Definición 2.7. Sea 𝜙∶𝐶1←→ 𝐶2un morfismo de curvas. Definimos el grado de 𝜙 como: deg 𝜙= [𝐾(𝐶1) ∶ 𝐾(𝐶2)] De la misma manera, se define el grado de inseparabilidad de 𝜙,deg𝑖𝜙(resp. el grado de separabilidad, deg𝑠𝜙) como el de la extensión asociada a 𝜙. Teorema 2.3. Sean 𝐾un cuerpo de característica positiva, 𝐸1∕𝐾y𝐸2∕𝐾curvas elípticas y 𝜙∶𝐸1←→ 𝐸2una isogenia no nula definida sobre 𝐾. Esta induce un homomorfismo de grupos formales 𝑓∶ 𝐸1←→  𝐸2. Entonces, deg𝑖(𝜙) = ht(𝑓) 2. curvas elípticas 45 Demostración. Consideramos 𝜙∶𝐸1∕𝐾←→ 𝐸2∕𝐾una isogenia. Si 𝜙es el 𝑝𝑟-ésimo morfismo de Frobenius, i.e. el morfismo 𝜙∶𝐸1←→ 𝐸(𝑞) 1dado por: [𝑥∶𝑦∶𝑧]←→ [𝑥𝑞∶𝑦𝑞∶𝑧𝑞], donde 𝑞=𝑝𝑟y𝐸(𝑞) 1es la curva dada por la misma ecuación que 𝐶pero con sus coeficientes elevados a 𝑞. Este morfismo es puramente inseparable, i.e. su extensión asociada es puramente inseparable. Por tanto, deg 𝜙= deg𝑖𝜙=𝑝𝑟y𝑓(𝑇) = 𝑇𝑝𝑟. Por tanto, ht(𝜙) = 𝑝𝑟. Si 𝜙es un morfismo separable, denotemos por 𝜔al diferencial invariante de 𝐸2y 𝜔(𝑇)el diferencial invariante del grupo formal  𝐸2. Como 𝜙es separable, 𝜙∗𝜔≠0([10] II.4.2). Por tanto, (𝜔◦𝑓)(𝑇) = 𝑓′(0)𝜔(𝑇)≠0. De lo que se sigue que 𝑓′(0) ≠0, y, por tanto, ht(𝑓)=0. Por otro lado, toda isogenia se puede escribir como composición de un morfismo de Frobenius y un morfismo separable ([10] II.2.12). Así que, habida cuenta de la proposición 1.7 y los dos casos anteriores, hemos probado el resultado. Corolario 2.1.Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica definida sobre un cuerpo de característica positiva. Entonces, el grupo formal asociado a la curva tiene altura 1o2. Demostración. La prueba de esto consiste en recordar que la aplicación 𝜙= [𝑝]tiene grado 𝑝2. 2.4 Curvas elípticas sobre cuerpos locales En el capítulo anterior hemos desarrollado la teoría de grupos formales y en la sección anterior hemos visto como obtener una ley de grupo formal asociada a las curvas elípticas. También hemos sacado algunas consecuencias geométricas gracias a ese desarrollo. Se ha visto que se le puede sacar mucho partido a las leyes de grupos formales cuando sabemos que las series de potencias convergen. El sitio más propicio para explotar este punto parecen ser los cuerpos locales completos. Esto es lo que motiva este capítulo. Presentamos la notación que vamos a seguir durante el capítulo. Sea 𝐾un cuerpo 46 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas local completo con respecto a una valoración 𝑣. Denotaremos por 𝑅a su anillo de valoración, por su ideal de valoración, por 𝜋un parámetro de uniformización de 𝑅y por 𝑘=𝑅∕el cuerpo residual. 2.4.1 Ecuación mínima de Weierstrass Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica y sea 𝐸∶𝑦2+𝑎1𝑥𝑦 +𝑎3𝑦=𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎4𝑥+𝑎6 una ecuación de Weierstrass para 𝐸. Las transformaciones (𝑥, 𝑦)←→ (𝑢−2𝑥, 𝑢−3𝑦)mantienen la forma de la ecuación y cambian los coeficientes 𝑎𝑖←→ 𝑢𝑖𝑎𝑖. Si elegimos 𝑢como una potencia suficientemente grande de 𝜋, podemos hacer que los coeficientes estén en 𝑅. En ese caso, se cumple 𝑣(Δ) ≥0. Definición 2.8. Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica, una forma de Weierstrass asociada a dicha curva con 𝑎𝑖∈𝑅se dice mínima si de entre la formas que cumplen que sus coeficientes están en 𝑅,𝑣(Δ) alcanza el mínimo. Proposición 2.7.Se tienen las siguientes propiedades asociadas a las formas mínimas de Weierstrass. a) Toda curva elíptica 𝐸∕𝐾tiene una ecuación mínima de Weierstrass asociada. b) Una ecuación mínima de Weierstrass es única salvo un cambio de coordenadas de la forma: 𝑥=𝑢2𝑥′+𝑟, 𝑦 =𝑢3𝑦′+𝑢2𝑠𝑥′+𝑡. con 𝑢∈𝑅∗y𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈𝑅. c) El diferencial invariante 𝜔=𝑑𝑥 2𝑦+𝑎1𝑥+𝑎3 asociado a una forma de Weierstrass mínima es única salvo multiplicación por una unidad, i.e. un elemento de 𝑅∗. Demostración. La prueba de esto es bastante fácil conociendo cómo cambian los coeficientes mediante los cambios que preservan las formas de Weierstrass, una referencia es ([10] VII.1). 2. curvas elípticas 47 2.4.2 Reducción modulo 𝜋 Dentro del cuerpo 𝐾tenemos la aplicación natural siguiente que se suele llamar reducción, 𝑅←→ 𝑅∕𝜋𝑅 =𝑘 𝑡←→  𝑡 Queremos tener una aplicación de este tipo sobre las curvas. Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica. Si elegimos una ecuación mínima de Weierstrass para esa curva, podemos aplicar la reducción en los coeficientes para obtener una nueva curva (posiblemente no singular) de la forma,  𝐸∶𝑦2+𝑎1𝑥𝑦 +𝑎3𝑦=𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎4𝑥+𝑎6. A la curva  𝐸∕𝑘la llamaremos reducción módulo 𝜋de 𝐸. De la misma manera si 𝑃= [𝑥0,…, 𝑥𝑛] ∈ ℙ𝑛podemos encontrar un representante para este punto tales que 𝑥0,…, 𝑥𝑛∈𝑅y, al menos, alguna de las coordenadas esté en 𝑅∗. Así, podemos definir una aplicación de reducción ℙ𝑛(𝐾)←→ ℙ𝑛(𝑘) que viene dada por, [𝑥0,…, 𝑥𝑛]←→ [𝑥0,…, 𝑥𝑛] De esta manera, podemos mandar un punto 𝑃∈𝐸(𝐾)a un punto  𝑃∈ 𝐸(𝑘). Denotaremos por  𝐸𝑛𝑠(𝑘)al conjunto de puntos de  𝐸(𝑘)que son no singulares. Se puede comprobar mediante cálculos elementales que este conjunto tiene estructura de grupo ([10] III.2.5). Definición 2.9. Definimos los siguientes subconjuntos 𝐸0(𝐾) ∶= {𝑃∈𝐸(𝐾) ∶  𝑃∈ 𝐸𝑛𝑠(𝑘)}, 𝐸1(𝐾) ∶= {𝑃∈𝐸(𝐾) ∶  𝑃= 𝑂}. El siguiente paso es probar que estos subconjuntos son grupos y ver qué relación tienen con el grupo  𝐸𝑛𝑠(𝑘). La siguiente proposición nos da mucha información a este respecto. Proposición 2.8.Existe una sucesión exacta de grupos abelianos 0←→ 𝐸1(𝐾)←→ 𝐸0(𝐾)←→  𝐸𝑛𝑠(𝑘)←→ 0, donde la aplicación de la derecha es la reducción módulo 𝜋. 48 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Demostración. Comenzamos probando que la reducción es sobreyectiva. En primer lugar, sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2+𝑎1𝑥𝑦 +𝑎3𝑦−𝑥3−𝑎2𝑥2−𝑎4𝑥−𝑎6= 0 una ecuación mínima de Weierstrass para 𝐸. Denotamos por  𝑓(𝑥, 𝑦)al polinomio reducido. Sea  𝑃= (𝛼,  𝛽) ∈  𝐸𝑛𝑠(𝑘)un punto. Como es no singular, se tiene que o bien 𝜕 𝑓 𝜕𝑥 (𝛼,  𝛽)=0,o bien, 𝜕 𝑓 𝜕𝑦 (𝛼,  𝛽)=0. Sin pérdida de generalidad suponemos que estamos en el segundo caso. Elegimos 𝑥0∈𝑅tal que 𝑥0=𝛼 y buscamos una solución de la ecuación 𝑓(𝑥0, 𝑦)=0. Si reducimos módulo 𝜋esa ecuación,  𝛽es una raíz que es simple por la condición de ser no singular. Ahora bien, por el lema de Hensel (ver A.2) podemos levantar a un 𝑦0= 𝛽que cumpla la ecuación. De esta manera, la aplicación es sobreyectiva. Lo siguiente que vamos a hacer es probar que 𝐸0(𝐾)es subgrupo de 𝐸(𝐾)y la aplicación de reducción es un homomorfismo de grupos 𝐸0(𝐾)←→  𝐸𝑛𝑠(𝑘). Notemos que si probamos esto la exactitud de la sucesión es trivial. Las operaciones de grupo de 𝐸(𝐾)y 𝐸𝑛𝑠(𝑘)vienen dadas por la intersección de la curva con rectas de ℙ2. Sea 𝐿∕𝐾una recta de ℙ2, siempre podemos encontrar una ecuación de la forma 𝐴𝑥 +𝐵𝑦 +𝐶𝑧 = 0 con 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈𝑅y, al menos, alguno de los coeficientes en 𝑅∗. De esta manera, la recta reducida viene dada por la ecuación  𝐿∶ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0. Sean 𝑃1, 𝑃2∈𝐸0(𝐾)y𝑃3∈𝐸(𝐾)tres puntos tales que 𝑃1+𝑃2+𝑃3=. Sea 𝐿la recta que pasa por los tres puntos 𝑃1, 𝑃2y𝑃3, contandos con multiplicidad. Basta probar que  𝐿corta a  𝐸en  𝑃1, 𝑃2, 𝑃3con las mismas multiplicidades, ya que esto implica que 𝑃3∈𝐸0y que  𝑃1+ 𝑃2+ 𝑃3= . La prueba no es difícil pero requiere una casuística extensa y no aporta demasiado a desarrollar las ideas principales del trabajo por ello damos la referencia ([10] VII.2.1). Observación 2.2.El resultado anterior nos se sigue cumpliendo si cambiamos el cuerpo 𝐾por cualquier otro cuerpo henseliano (ver A.3). 2. curvas elípticas 49 Bien, notemos ahora que si 𝑣(Δ) = 0 entonces 𝑣( Δ) ≠0. En particular,  𝐸es no singular. Por tanto,  𝐸= 𝐸𝑛𝑠 y𝐸0(𝐾) = 𝐸(𝐾). En ese caso, la sucesión exacta nos dice que 𝐸(𝐾)está hecho de dos piezas, los puntos reducidos y los puntos que se anulan mediante la reducción. El estudio de uno de los pedazos consiste en estudiar la curva sobre 𝑘, que habitualmente es un cuerpo finito. En cuanto al otro pedazo, es un objeto conocido como afirma el siguiente resultado. Proposición 2.9.Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica dada por una ecuación mínima de Weierstrass, sea  𝐸∕𝑅el grupo formal asociado a la curva y sea 𝑤(𝑧) ∈ 𝑅J𝑧Kla serie que obtuvimos en la proposición 2.6. Entonces,  𝐸()←→ 𝐸1(𝐾) 𝑧←→ (𝑧 𝑤(𝑧),−1 𝑤(𝑧)) es un isomorfismo de grupos (se entiende que 0va a ). Demostración. En primer lugar, el punto (𝑧 𝑤(𝑧),−1 𝑤(𝑧))satisface la ecuación de Weierstrass como serie formal. Además, 𝑤(𝑧) = 𝑧3(1 + ⋯) ∈ 𝑅J𝑧K por lo que es convergente para todo 𝑧∈. Por tanto, (𝑧 𝑤(𝑧),−1 𝑤(𝑧))∈𝐸(𝐾). Más aún, como 𝑣(−1∕𝑤(𝑧)) = −3𝑣(𝑧)<0para 𝑧∈, el punto debe estar en 𝐸1(𝐾). Por tanto, la aplicación está bien definida. Como la ley de grupo formal se obtiene a partir de la operación de la curva, la aplicación es un homomorfismo de grupos. Además, es inyectivo, ya que 𝑤(𝑧)=0sólo si 𝑧= 0. Sólo queda ver la sobreyectividad. Sea (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸1(𝐾), como la reducción de este punto es el punto del infinito  𝑂, se tiene que cumplir que 𝑣(𝑥), 𝑣(𝑦)<0. Si tomamos valoración en la ecuación de Weierstrass, obtenemos lo siguiente: 3𝑣(𝑥)=2𝑣(𝑦) = −6𝑟, para algún entero 𝑟≥1. Por tanto, 𝑣(−𝑥∕𝑦) = 𝑣(𝑥) − 𝑣(𝑦)>0y la aplicación, 𝐸1(𝐾)←→  𝐸(𝐾) (𝑥, 𝑦)←→ −𝑥∕𝑦, está bien definida, es homomorfismo de grupos y además es inyectiva. Como las composiciones dan la identidad, hemos probado que es un isomorfismo. 56 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas elípticas tienen estructura de grupo, Hom(𝐸1, 𝐸2)tiene estructura de grupo. El caso que nos interesa es cuando 𝐸1=𝐸2=∶ 𝐸. En dicho caso, denotamos por End(𝐸) ∶= Hom(𝐸1, 𝐸2) al anillo de endomorfismos de la curva 𝐸, donde el producto viene dado por la composición. Vamos a dar algunos resultados a continuación sobre la estructura de End(𝐸). Proposición 2.14.a) Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica y sea 𝑚∈ℤno nulo. Entonces, la aplicación [𝑚] ∶ 𝐸←→ 𝐸 es no constante. b) Sea 𝐸una curva elíptica. Entonces, el anillo de endomorfismos End(𝐸)es un anillo (no necesariamente conmutativo) de característica 0sin divisores de 0. Demostración. ([10] III.4.2) Observación 2.3.La proposición anterior nos proporciona la siguiente aplicación inyectiva [⋅] ∶ ℤ←→ End(𝐸), 𝑚←→ [𝑚]. Definición 2.13. Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica, si el anillo de endomorfismos de 𝐸es estrictamente mayor que ℤ, diremos que la curva tiene multiplicación compleja. El siguiente resultado motiva el nombre que hemos dado a la propiedad anterior. Proposición 2.15.Sean 𝐾un cuerpo de característica 0y𝐸∕𝐾una curva elíptica con multiplicación compleja. Entonces, End(𝐸) ≃ ℤ(√𝐷)con 𝐷 < 0. Demostración. ([10] III.9.4) Vamos a ver ahora como influye la multiplicación compleja en el comportamiento de las representaciones 𝜌𝑙. Sea 𝑙un primo y sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica, definida sobre un cuerpo de números 𝐾, que supondremos con multiplicación compleja en lo que sigue. Llamemos = End(𝐸). Consideremos la aplicación ←→ End(𝐸[𝑙]) 𝜙←→ 𝜙|𝐸[𝑙], 2. curvas elípticas 57 donde End(𝐸[𝑙]) es el anillo de endomorfismos de 𝐸[𝑙]como grupos abelianos. Notemos que 𝜙pertenece al núcleo de esta aplicación si, y sólo si, ker[𝑙]⊂ker 𝜙. Ahora bien, se puede probar que esta última condición implica que exisite 𝑔∈ End(𝐸)tal que 𝑓= [𝑙]◦𝑔(ver [10] III.4.11). Por tanto, el núcleo de la aplicación anterior son exactamente las isogenias de [𝑙]◦, con lo cual tenemos la inclusión  [𝑙]◦→ End(𝐸[𝑙]) ≃ (2,𝔽𝑙), donde (2,𝔽𝑙)son las matrices cuadradas 2×2sobre 𝔽𝑙. Vamos a suponer en primer lugar que todo 𝑓∈está definido sobre 𝐾, entonces ∀𝜎∈ Gal (𝐾|𝐾),∀𝑓∈,∀𝑃∈𝐸, 𝜎(𝑓(𝑃)) = 𝑓(𝜎(𝑃)), lo cual implica que 𝜌𝑙(Gal (𝐾|𝐾))⊂( [𝑙]◦), donde ( [𝑙]◦)es el centralizador de  [𝑙]◦, i.e. el conjunto de elementos de (2,𝔽𝑙)que conmutan con todos los de  [𝑙]◦. Lema 2.2.Sea 𝐴∈(2,𝔽𝑙)una matriz, entonces ({𝐴}) tiene dimensión 2o4 como espacio vectorial sobre 𝔽𝑙. Demostración. La prueba de este hecho se deduce de un cálculo directo, aunque tedioso, al imponer que 𝐴𝑋 =𝑋𝐴 para una matriz 𝐴fija y una matriz 𝑋arbitraria del centralizador de 𝐴. Lema 2.3.El centralizador de  [𝑙]◦es  [𝑙]◦. Demostración. Llamemos 𝐻= [𝑙]◦. Se tiene que (𝐻) = ⋂ 𝐴∈𝐻 ({𝐴}). Como la curva tiene multiplicación compleja 𝐻tiene dimensión 2y es un grupo abeliano. Por tanto, 𝐻 ⊂ ({𝐴}), para cada 𝐴∈𝐻. Además, por el lema anterior ({𝐴}) tiene dimensión 2, en cuyo caso 𝐻=({𝐴}) o({𝐴}) tiene dimensión 4, en cuyo caso es el espacio entero. Ahora bien, las únicas matrices que conmutan con todas las demás son los múltiplos de la identidad y como 𝐻tiene dimensión 2,𝐻 debe contener alguna matriz que no sea de este tipo. Por tanto, 𝐻=(𝐻). 58 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Los lemas anteriores implican que 𝜌𝑙(Gal (𝐾|𝐾))⊂( [𝑙]◦)∗ , ya que 𝜌𝑙(Gal(𝐾|𝐾)) ⊂Aut(𝐸[𝑙]). Esto es una restricción al tamaño de la imagen del grupo de Galois. Dependiendo del comportamiento de 𝑙en , tenemos la siguiente casuística: ( [𝑙]◦)∗ =⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝔽∗ 𝑙×𝔽∗ 𝑙si 𝑙se descompone como producto de primos distintos, 𝔽∗ 𝑙2si 𝑙es inerte, i.e. no se descompone, (𝔽𝑙[𝜀])∗si 𝑙ramifica, donde 𝜀cumple 𝜀2= 0. Los dos primeros casos coinciden con un subgrupo de Cartan escindido y no escindido respectivamente. El tercer caso es un subgrupo de un subgrupo de Borel. Pasamos ahora a estudiar el caso en que no todos los endomorfismos de 𝐸están definidos sobre 𝐾. En este caso, tenemos la siguiente aplicación natural dada por la restricción Gal(𝐾|𝐾)←→ Aut(). Los automorfismos de solo pueden ser la identidad o la conjugación compleja. Esto implica que si fijamos 𝜎∈ Gal(𝐾|𝐾),𝑓∈y𝑃∈𝐸se da una de las siguientes ecuaciones: a) 𝑓(𝑃) = 𝜎−1(𝑓(𝜎𝑃)). b) 𝑓(𝑃) = 𝜎−1(𝑓(𝜎𝑃)). Por tanto, la imagen del grupo de Galois cumple que 𝜌𝑙(Gal(𝐾|𝐾)) ⊂Norm [(  [𝑙]◦)∗], donde Norm[⋅]denota el normalizador. Ya hemos visto qué posibles grupos puede ser ( [𝑙]◦)∗ , por lo que 𝜌𝑙(Gal(𝐾|𝐾)) está contenido en el normalizador de un Cartan 2. curvas elípticas 59 o en el normalizador de (𝔽𝑙[𝜀])∗que se comprueba mediante un cálculo directo que es un subgrupo de Borel. Acabamos de ver como la multiplicación compleja limita el tamaño que puede tener la imagen del grupo de Galois mediante la representación 𝜌𝑙. La siguiente pregunta que surge de manera natural es: ¿qué sucede cuando la curva no tiene multiplicación compleja? La respuesta a esta pregunta nos la da el teorema de Serre, el cual nos dice que cuando eliminamos el impedimento de la multiplicación compleja la imagen de 𝜌𝑙es tan grande como puede ser para casi todos los primos. En el siguiente capítulo vamos a presentar y desarrollar las herramientas que necesitaremos para presentar la prueba de Serre. 3 Representaciones de curvas elípticas sobre un cuerpo local 3.1 Inercia Moderada En esta sección vamos a seguir la siguiente notación: a) 𝐾será un cuerpo de característica 0y completo para una valoración discreta 𝑣. En particular, 𝐾es un cuerpo perfecto, i.e. toda extensión algebraica de 𝐾es separable. b) Denotaremos por 𝑅al AVD asociado, por al ideal maximal, por 𝑈al grupo de unidades y por 𝑘=𝑅∕al cuerpo residual. Además también supondremos que char(𝑘) = 𝑝 > 0. 3.1.1 Grupos de Galois Sea 𝐾la clausura algebraica de 𝐾. La valoración 𝑣se extiende de manera única a𝐾y el cuerpo residual 𝑘corresponde a una clausura algebraica de 𝑘. Tenemos la siguiente cadena de extensiones, 𝐾 ⊃ 𝐾𝑡⊃ 𝐾𝑛𝑟 ⊃ 𝐾, donde 𝐾𝑛𝑟 es la extensión maximal no ramificada de 𝐾y𝐾𝑡es la extensión maximal moderadamente ramificada de 𝐾. Hay una identificación canónica entre los cuerpos residuales 𝑘𝑛𝑟, 𝑘𝑡y la clausura separable 𝑘𝑠de 𝑘en 𝑘. En lo que sigue usaremos la 62 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas notación, 𝐺∶= Gal(𝐾|𝐾), 𝐼 ∶= Gal(𝐾|𝐾𝑛𝑟)y𝐼𝑝∶= Gal(𝐾|𝐾𝑡) Tenemos 𝐺 ⊃ 𝐼 ⊃ 𝐼𝑝. Sabemos que 𝐼(resp. 𝐼𝑝) es el grupo de inercia (resp. el 𝑝grupo de inercia) del grupo de Galois 𝐺. Además, sabemos que es un subgrupo normal cerrado y que se tiene la identificación canónica: Gal(𝐾𝑛𝑟|𝐾) ≅ 𝐺𝑘= Gal(𝑘|𝑘) Llamaremos grupo de inercia moderada al cociente 𝐼𝑡=𝐼∕𝐼𝑝= Gal(𝐾𝑡|𝐾𝑛𝑟), que sabemos que es isomorfo a ∏𝑞≠𝑝primo ℤ𝑞. Este grupo jugará un papel esencial en lo que sigue. 3.1.2 Estructura del grupo de inercia moderada En este apartado vamos a estudiar la estructura del grupo de inercia moderada 𝐼𝑡=𝐺(𝐾𝑡|𝐾𝑛𝑟). En primer lugar, como 𝐾es un anillo de valoración discreta y 𝐾𝑛𝑟 es una extensión no ramificada, 𝐾𝑛𝑟 también es un anillo de valoración discreta (ver sección A.3). Denotaremos por 𝑣a la única extensión a 𝐾𝑛𝑟 de la valoración de 𝐾. Vamos a construir unas extensiones intermedias 𝐾𝑛𝑟 ⊂ 𝐾𝑑⊂ 𝐾𝑡, para cada 𝑑∈ℕcoprimo con 𝑝. Como veremos más adelante, dichas extensiones generan la extensión 𝐾𝑡|𝐾𝑛𝑟. Sean 𝜋un parámetro de uniformización de 𝐾𝑛𝑟 y𝑑≥1un entero coprimo con 𝑝. Definimos 𝐾𝑑=𝐾𝑛𝑟(𝜋1∕𝑑). Notemos que dicha extensión no depende de la elección del parámetro de uniformización. En efecto, si 𝜋′es otro parámetro de uniformización, existe una unidad 𝜀una unidad del anillo de valoración de 𝐾𝑛𝑟 tal que 𝜋′=𝜀𝜋, con lo cual (𝜋′)1∕𝑑=𝜀1∕𝑑𝜋1∕𝑑. Como 𝜀1∕𝑑es una raíz de 𝑋𝑑−𝜀y su polinomio reducido es 𝑋𝑑− 1, el cual factoriza en sus factores lineales en 𝑘𝑠. Por tanto, el lema de Hensel (ver A.2) nos garantiza que 𝜀1∕𝑑∈𝐾𝑛𝑟. Luego 𝐾𝑑no depende de la elección del parámetro de uniformización. 3. representaciones de curvas elípticas sobre un cuerpo local 63 Lema 3.1.Se verifica 𝐾𝑡=⋃ 𝑝∤𝑑 𝐾𝑑. Demostración. Para cada 𝑑coprimo con 𝑝, se tiene que 𝐾𝑑es una extensión moderadamente ramificada de 𝐾𝑛𝑟. Por tanto, 𝐾𝑑⊂ 𝐾𝑡. Recíprocamente, sea 𝑥∈𝐾𝑡, entonces 𝐾𝑛𝑟(𝑥)es moderadamente ramificada (ver proposición A.3). Por tanto, por la caracterización de las extensiones moderadamente ramificadas (ver la proposción A.12), tenemos que 𝐾(𝑥)𝐾𝑛𝑟 =𝐾𝑛𝑟 (𝑎1∕𝑚𝑖 1,…, 𝑎1∕𝑚𝑟 𝑟), para algunos 𝑎1,…, 𝑎𝑟∈𝐾𝑛𝑟 y𝑚1,…, 𝑚𝑟enteros coprimos con 𝑝. Ahora bien, podemos escribir cada 𝑎𝑖como 𝑎𝑖=𝜀𝑖𝜋𝑒𝑖 con 𝜋un parámetro de uniformización de 𝐾𝑛𝑟 y𝜀𝑖una unidad. Por tanto, 𝑎1∕𝑚𝑖 𝑖= 𝜀1∕𝑚𝑖𝜋𝑒𝑖∕𝑚𝑖∈𝐾𝑛𝑟(𝜋1∕𝑚𝑖). En particular, 𝐾(𝑥)⊂ 𝐾𝑛𝑟 (𝜋1∕𝑚1)⋯𝐾𝑛𝑟 (𝜋1∕𝑚𝑟). Podemos usar las extensiones 𝐾𝑑para caracterizar el grupo de inercia moderada, ya que el lema anterior implica que 𝐼𝑡= Gal(𝐾𝑡|𝐾𝑛𝑟) = lim ←←←←←←←←←←← 𝑑 Gal(𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟). Con este propósito, vamos estudiar los grupos de Galois Gal(𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟). Para ello, necesitamos el siguiente lema que generaliza el criterio de Eisenstein. Lema 3.2.Sea 𝑓(𝑋) = 𝑋𝑛+𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑋+𝑎0∈𝑅[𝑋]un polinomio tal que 𝑎𝑖∈, para 𝑖= 0,…, 𝑛 − 1, y 𝑎0∉2, entonces 𝑓es irreducible. Demostración. ([3] I.6.Theorem 1) Denotemos por 𝜇𝑑al grupo de las raíces 𝑑-ésimas de la unidad, para cada entero 𝑑coprimo con 𝑝. Proposición 3.1.La extensión 𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟 es de Galois y su grupo de Galois es isomorfo a𝜇𝑑. Demostración. Por definición, 𝜋1∕𝑑cumple la ecuación 𝑋𝑑−𝜋= 0. Este polinomio es irreducible por lema anterior. Por tanto, [𝐾𝑑∶𝐾𝑛𝑟] = 𝑑. Además, ya hemos visto que 64 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas el polinomio 𝑋𝑑−𝜋se descompone completamente en 𝐾𝑑. Luego, 𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟 es de Galois. Consideremos ahora la aplicación 𝜃𝑑∶ Gal(𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟)←→ 𝜇𝑑 𝜎←→ 𝜃𝑑(𝜎), donde 𝜃𝑑(𝜎)es la raíz de la unidad tal que 𝜎(𝜋1∕𝑑)=𝜃𝑑(𝜎)𝜋1∕𝑑. Esta aplicación no depende de la elección del parámetro de uniformización. En efecto, si 𝜋′=𝜀𝜋 es otro parámetro de uniformización, tenemos que 𝜎(𝜋′1∕𝑑)=𝜎(𝜀1∕𝑑𝜋1∕𝑑)=𝜀1∕𝑑𝜎(𝜋) = 𝜀1∕𝑑𝜃𝑑(𝜎)𝜋1∕𝑑=𝜃𝑑(𝜎)𝜋′1∕𝑑. Esta aplicación es claramente un homomorfismo inyectivo de grupos. Como 𝑑= # Gal(𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟)=#𝜇𝑑,𝜃𝑑es un isomorfismo. Corolario 3.1.Los isomorfismos 𝜃𝑑inducen un isomorfismo 𝜃∶𝐼𝑡←→ lim ←←←←←←←←←←← 𝜇𝑑 Demostración. La prueba es inmediata por la propiedad universal del límite inverso. Observación 3.1.También tenemos el siguiente isomorfismo no canónico: 𝐼𝑡≃ lim ←←←←←←←←←←← 𝜇𝑑≃ lim ←←←←←←←←←←← ℤ∕𝑑ℤ≃∏ 𝑞≠𝑝 ℤ𝑞. Podemos refinar el corolario anterior. Sea 𝑞una potencia de 𝑝y denotemos por 𝔽𝑞al subcuerpo de 𝑘𝑠con 𝑞elementos. Se tiene que 𝔽∗ 𝑞=𝜇𝑞−1, ya que el polinomio 𝑥𝑞−1 − 1 es separable y, por el lema de Hensel, 𝜇𝑞−1 son todas las raíces de la unidad. Los números de la forma 𝑞−1 son cofinales en el conjunto de los enteros coprimos con 𝑝ordenados por divisibilidad. En efecto, si 𝑑es un entero de este tipo, sabemos por el teorema de Euler que existe un 𝑛tal que 𝑝𝑛≡1 m od 𝑑. Así, el sistema proyectivo (𝜇𝑑)es equivalente al formado por los 𝔽∗ 𝑞y las aplicaciones 𝑁∶𝔽∗ 𝑞𝑚←→ 𝔽∗ 𝑞 𝛼←→ 𝛼1+𝑞+⋯+𝑞𝑚−1 Por tanto, la proposición anterior equivale a: 3. representaciones de curvas elípticas sobre un cuerpo local 65 Proposición 3.2.Los isomorfismos 𝜃𝑞−1 inducen un isomorfismo: 𝜃∶𝐼𝑡←→ lim ←←←←←←←←←←← 𝔽∗ 𝑞, donde 𝔽𝑞recorre los subcuerpos finitos de 𝑘𝑠. Además, este isomorfismo tiene la siguiente propiedad de funtorialidad. Proposición 3.3.Sea 𝐾′un subcuerpo cerrado y no discreto de 𝐾. Si llamamos 𝐼𝑡,𝐾 (resp. 𝐼𝑡,𝐾′) al grupo de inercia moderada de 𝐾(resp. 𝐾′). Entonces tenemos el siguiente diagrama conmutativo, 𝐼𝑡,𝐾 lim ←←←←←←←←←←← 𝜇𝑑 𝐼𝑡,𝐾′lim ←←←←←←←←←←← 𝜇𝑑 ∼ ∼ 𝑒(𝐾∕𝐾′) Demostración. Sea 𝑑≥1coprimo con 𝑝. Fijamos 𝑥y𝑥′parámetros de uniformización de 𝐾𝑛𝑟 y𝐾′ 𝑛𝑟 respectivamente. Por definición del índice de ramificación 𝑥′=𝑥𝑒. Ponemos 𝐾𝑑=𝐾𝑛𝑟(𝑥1∕𝑑)y𝐾′ 𝑑=𝐾′ 𝑛𝑟(𝑥1∕𝑑)y llamamos 𝜃𝑑y𝜃′ 𝑑a los isomorfismos correspondientes. Con esta notación, tenemos la aplicación natural inducida por la restricción 𝑟𝐾′∶ Gal(𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟)←→ Gal(𝐾′ 𝑑|𝐾′ 𝑛𝑟). De esta manera, si fijamos 𝑠∈ Gal(𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟), tenemos que 𝜃𝑑(𝑠) = 𝑠(𝑥1∕𝑑) 𝑥1∕𝑑, y que 𝜃′ 𝑑(𝑟𝐾′(𝑠)) = 𝑟𝐾′(𝑠)(𝑥′1∕𝑑) 𝑥′1∕𝑑=𝑠(𝑥𝑒∕𝑑) 𝑥𝑒∕𝑑=𝜃𝑑(𝑠)𝑒. Por tanto, el diagrama Gal(𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟)𝜇𝑑 Gal(𝐾𝑑|𝐾𝑛𝑟)𝜇𝑑 ∼ ∼ 𝑒(𝐾∕𝐾′) es conmutativo para cada 𝑑≥1coprimo con 𝑝. El resultado se deduce ahora de la propiedad universal del límite inverso. 72 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas a la multiplicación por 𝑝con respecto a la ley 𝐹. Supondremos además que que 𝐹es de altura ℎ, esto es, si ponemos 𝑞=𝑝ℎla ley 𝐹cumple que, 𝑎𝑖≡0 m od ∀𝑖<𝑞 y𝑎𝑞≢0 m od . De esta manera, la reducción módulo de [𝑝]comienza por un término en 𝑋𝑞. Denotamos por 𝑉al kernel de [𝑝], i.e. 𝑉= {𝑥∈∶ [𝑝](𝑥) = 0}. Así, 𝑉es un 𝔽𝑝-espacio vectorial donde la suma viene definida por la operación del grupo formal ⊕𝐹y el producto escalar viene definido por 𝑎⋅𝑥∶= [𝑎]𝑥. La dimensión de este espacio se puede calcular a partir de la ley de grupo formal. Para ello vamos a necesitar el siguiente resultado. Teorema 3.1 (de preparación de Weiestrass). Sea 𝐴un anillo local completo. Si 𝑓∈𝐴J𝑋Kes una serie de potencias tal que uno de sus coeficientes es una unidad de 𝐴, entonces existe una única unidad 𝑢∈𝐴J𝑋Ky un único polinomio distinguido 𝑔∈𝐴[𝑋], i.e. de la forma 𝑎0+𝑎1𝑋+⋯+𝑎𝑞−1𝑋𝑞−1 +𝑋𝑞,con los 𝑎𝑖∈, tales que 𝑓=𝑢𝑔. Demostración. La prueba se puede encontrar en ([4] IV.2). Teorema 3.2. 𝑉es un espacio vectorial de dimensión igual a la altura del grupo formal 𝐹(𝑋, 𝑌 ). Demostración. Podemos aplicar el teorema de preparación de Weiestrass para 𝑅𝐾. De manera que existen una única unidad 𝑢(𝑋) ∈ 𝑅𝐾J𝑋Ky un único polinomio distinguido 𝑔(𝑋) ∈ 𝑅𝐾[𝑋]tales que: [𝑝](𝑋) = 𝑢(𝑋)𝑔(𝑋). Esto implica que 𝑉y{𝑥∈𝐾∶𝑔(𝑥) = 0} coinciden. En efecto, si 𝑥∈y[𝑝](𝑥)=0, necesariamente 𝑢(𝑥)⋅𝑔(𝑥)=0. Pero 𝑢(𝑥)es siempre una unidad 𝑅𝐾pues es la suma del término independiente y de un elemento de . Luego, 𝑢(𝑥)≠0, y por tanto 𝑔(𝑥)=0. Recíprocamente, sea 𝑥∈𝐾tal que 𝑔(𝑥)=0. Como 𝑔(𝑋)es distinguido, es de la forma 𝑎0+𝑎1𝑋+⋯+𝑎𝑞−1𝑋𝑑−1 +𝑋𝑑,con los 𝑎𝑖∈. 3. representaciones de curvas elípticas sobre un cuerpo local 73 Además, tenemos que 𝑥𝑑= −(𝑎𝑑−1𝑥𝑑−1 +⋯+𝑎0) ∈ . Por tanto, 𝑥∈. Por otro lado, trivialmente [𝑝](𝑥)=0. Además, el grado del polinomio 𝑔(𝑋)es 𝑝ht(𝐹). En efecto, 𝑝ht(𝐹)es el grado del primer monomio nonulo cuando vemos [𝑝](𝑋)en el cuerpo residual. Como [𝑝] = 𝑢𝑔 y𝑢 es una unidad, al pasar al cociente el primer término no nulo de [𝑝]tiene que coincidir en grado con el primer término no nulo de 𝑔, pero 𝑔es un polinomio distinguido por lo que dicho término es 𝑋𝑑. Basta ahora probar que 𝑉tiene cardinal 𝑝ht(𝐹). Para ello, basta ver que 𝑔tiene 𝑝ht(𝐹) raíces en 𝐾, i.e. 𝑔no tiene raíces dobles. De esta manera, supongamos que 𝑔(𝑥)=0, y veamos que 𝑔′(𝑥)≠0. Derivando [𝑝]′(𝑋) = 𝑢′(𝑋)𝑔(𝑋) + 𝑢(𝑋)𝑔′(𝑋), y, por tanto, tenemos que [𝑝]′(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑔′(𝑥). Como [𝑝]es un morfismo de grupos formales,se tiene que [𝑝](𝐹(𝑋, 𝑌 )) = 𝐹([𝑝](𝑋),[𝑝](𝑌)). Derivando respecto a 𝑌esta expresión obtenemos, [𝑝]′(𝐹(𝑋, 𝑌 ))𝐹𝑌(𝑋, 𝑌 ) = 𝐹𝑌([𝑝](𝑋),[𝑝](𝑌))[𝑝]′(𝑌). Ponemos 𝑋=𝑥e𝑌= 0 y obtenemos, [𝑝]′(𝑋)𝐹𝑌(𝑥, 0) = 𝐹𝑌([𝑝](𝑥),[𝑝](0))[𝑝]′(0). Además, tenemos que [𝑝](0) = 0 y, como 𝑔(𝑥)=0,[𝑝](𝑥)=0. Por tanto, [𝑝]′(𝑥)𝐹𝑌(𝑥, 0) = 𝐹𝑌(0,0)[𝑝]′(0) = [𝑝]′(0) = 𝑝≠0, luego [𝑝]′(𝑥)≠0. De esta manera, podemos dotar a 𝑉de una estructura de 𝔽𝑝-espacio vectorial de dimensión ℎ. Además, 𝐺actúa de manera natural sobre 𝑉, por lo que estamos en la misma situación del apartado 3.1.3. Proposición 3.9.Existe una estructura para 𝑉de 𝔽𝑞-espacio vectorial de dimensión 1tal que tiene las siguientes propiedades: 74 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas a) Sean 𝜎∈𝐺,𝜎∈ Gal(𝑘𝑠|𝑘)su reducción y 𝜎𝑞la restricción de 𝜎a𝔽𝑞. El automorfismo de 𝑉definido por 𝜎es 𝜎𝑞-lineal. b) El grupo 𝐼𝑝actúa trivialmente sobre 𝑉y el grupo 𝐼𝑡=𝐼∕𝐼𝑝actúa mediante el carácter fundamental 𝜃𝑞−1 ∶𝐼𝑡←→ 𝔽∗ 𝑞de nivel ℎ. Demostración. Sea 𝑥un elemento no nulo de 𝑉. Este cumple, 𝑝+𝑎2𝑥+⋯+𝑎𝑞𝑥𝑞−1 +⋯= 0. Además, 𝑣(𝑥)>0y como los 𝑎𝑖∈𝑅, ∀1 < 𝑖 < 𝑞, 𝑣(𝑎𝑖)≥1, ∀𝑖≥𝑞, 𝑣(𝑎𝑖) = 0. La valoración del sumando con coeficiente 𝑎𝑞es estrictamente superior a la de los sumandos siguientes. Como la suma es 0este término debe cancelarse con alguno de los 𝑞− 1 sumandos anteriores anteriores. Ahora bien, el primer sumando tiene una valoración menor que los 𝑞− 2 siguientes, por lo que no puede cancelar con ninguno de ellos. De lo que se deduce que 𝑣(𝑝) = 𝑣(𝑎𝑞𝑥𝑞−1), ya que en caso contrario 1 = 𝑣(𝑝)≥𝑞𝑣(𝑥), lo cual implica (𝑞− 1)𝑣(𝑥)<1y esto es imposible pues entonces el sumando 𝑎𝑞𝑥𝑞−1 no cancelaría. Por tanto, 𝑣(𝑥) = 1∕𝑞− 1. Ponemos ahora 𝛼= 1∕𝑞− 1 y consideramos la aplicación 𝑉 ⊂ 𝛼←→ 𝑉𝛼=𝛼∕+ 𝛼 𝑥←→ 𝑥++ 𝛼. Esta es inyectiva, pues acabamos de ver que si 𝑥∈𝑉, su valoración es 𝑣(𝑥) = 𝛼. Además, la aplicación es un homomorfismo de grupos, ya que la ley de grupo formal era de la forma 𝐹(𝑋, 𝑌 ) = 𝑋+𝑌+términos de grado ≥2. Por tanto, si 𝑥, 𝑦 ∈𝑉, 𝐹(𝑥, 𝑦)≡𝑥+𝑦m od + 𝛼. Además, se tiene de manera inmediata que este homomorfismo conmuta con la acción de 𝐺, por lo que 𝐼𝑝actúa trivialmente sobre 𝑉. Así, identificando 𝑉con su imagen en 𝑉𝛼la proposición 3.7 nos prueba que 𝐼𝑡actúa sobre 𝑉mediante ∀𝑠∈𝐼𝑡,∀𝑥∈𝑉 𝑠(𝑥) = 𝜃𝑞−1(𝑠)𝑥. Como 𝜃𝑞−1 ∶𝐼𝑡←→ 𝔽𝑞es sobreyectiva, 𝑉queda fijo mediante la multiplicación por elementos de 𝔽∗ 𝑞. Por tanto, 𝑉es un 𝔽∗ 𝑞-subespacio vectorial de 𝑉𝛼. Además, sabíamos 3. representaciones de curvas elípticas sobre un cuerpo local 75 que #𝑉=𝑞, por lo que 𝑉es de dimensión 1. En esta situación el primer apartado se deduce de 3.6 y el segundo de 3.7. Corolario 3.3.La imagen de 𝐼𝑡en GL(𝑉)está formada por las homotecias {𝑥→ 𝜆𝑥 ∶ 𝜆∈𝔽∗ 𝑞}y es un grupo cíclico de orden 𝑞− 1 Demostración. Se deduce del resultado anterior y de que 𝜃𝑞−1 ∶𝐼𝑡←→ 𝔽∗ 𝑞es sobreyectivo. Para el siguiente corolario recordamos la definición de aplicación semilineal. Definición 3.3. Sea 𝑇∶𝑉←→ 𝑊una aplicación entre dos 𝐹-espacios vectoriales con 𝐹un cuerpo. Decimos que 𝑇es semilineal si existe 𝜎∈ Aut(𝐹)tal que: a) ∀𝑣, 𝑣′∈𝑉 𝑇 (𝑣+𝑣′) = 𝑇(𝑣) + 𝑇(𝑣′) b) ∀𝜆∈𝐹, ∀𝑣∈𝑉 𝑇 (𝜆⋅𝑣) = 𝜎(𝜆)⋅𝑇(𝑣) Corolario 3.4.Supongamos que 𝑘=𝔽𝑝. La imagen de 𝐺en GL(𝑉)está formada por todos los automorfismos semilineales del 𝔽𝑞-espacio vectorial 𝑉, es decir, la imagen es el normalizador de un subgrupo de Cartan. Demostración. Sabemos que 𝑞=𝑝𝑟, por la proposición anterior sabemos que si 𝜎∈ 𝐺,𝑥∈𝑉,𝜆∈𝔽𝑝2, 𝜎(𝜆𝑥) = 𝜎(𝜆)𝜎(𝑥), donde 𝜎∈ Gal(𝑘|𝑘)es la reducción de 𝜎. Sabemos que los automorfismos de 𝔽𝑞son el grupo generado por el automorfismo de Frobenius 𝜙𝑞. De manera que si 𝜎∈𝐺, entonces 𝜎(𝜆𝑥) = 𝜆𝑞𝑖𝑥con 𝑖∈ {1,…, 𝑟}, con 𝑟tal que 𝑝𝑟=𝑞. Como la reducción al cuerpo residual es sobreyectiva, hemos terminado. 3.2 Torsión de curvas elípticas sobre un cuerpo local En esta sección supondremos además que 𝐾es un cuerpo de característica 0. Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica, en esta sección vamos a estudiar la imagen del grupo de inercia por la representación del grupo de Galois sobre los puntos de 𝑙-torsión. Para empezar, podemos hacer algunas observaciones generales sin necesidad de suponer que la curva tiene buena reducción. 76 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Como ya vimos en el capítulo 2, 𝐸[𝑝] ≅ ℤ∕𝑝ℤ×ℤ∕𝑝ℤ Por tanto, 𝐸[𝑝]es un 𝔽𝑝-espacio vectorial de dimensión 2sobre el que actúa el grupo 𝐺, lo que da lugar a la representación 𝜌𝑝. Una primera observación que podemos hacer es la siguiente: Por la linealidad del pairing de Weil 𝑒𝑝, tenemos que: ∀𝑃, 𝑄 ∈𝐸[𝑝]𝑒𝑝(𝜌𝑝(𝜎)(𝑃), 𝜌𝑝(𝜎)(𝑄))=𝑒(𝑃 , 𝑄)det(𝜌𝑝(𝜎)). Pero, por la compatibilidad de la acción de 𝐺con el pairing de Weil, ∀𝑃, 𝑄 ∈𝐸[𝑝]𝜎(𝑒𝑝(𝑃 , 𝑄)) = 𝑒𝑝(𝜌𝑝(𝜎)(𝑃), 𝜌𝑝(𝜎)(𝑄))=𝑒(𝑃, 𝑄)det(𝜌𝑝(𝜎)) El pairing de Weil, 𝑒𝑝∶𝐸[𝑝] × 𝐸[𝑝]←→ 𝜇𝑝 es sobreyectivo por ser no degenerado. Por tanto, si denotamos por 𝜁𝑝a una raíz primitiva 𝑝-ésima de la unidad, 𝜎(𝜁𝑝) = 𝜁det(𝜌𝑝(𝜎)) 𝑝, Por tanto, el carácter dado por la acción natural de 𝐺sobre 𝜇𝑝viene dado por el determinante del pairing de Weil. Si consideramos la restricción de este carácter a 𝐼𝑡, por la proposición 3.8, es la potencia 𝑒-ésima de 𝜃𝑝−1, el carácter fundamental de nivel 1. Añadimos ahora la hipótesis de que 𝐸tiene buena reducción sobre 𝑅𝐾. En primer lugar el criterio de Néron-Ogg-Shafarevich (2.11) nos dice que la imagen del grupo de inercia es trivial para las representaciones asociadas los primos 𝑙≠𝑝. Por tanto, nos podemos centrar solo en el caso 𝑙=𝑝. Como la curva tiene buena reducción podemos elegir un modelo de Weiestrass de la forma: 𝑦2+𝑎1𝑥𝑦 +𝑎3𝑦=𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎4𝑥+𝑎6, con 𝑎𝑖∈𝑅, y Δ = Δ(𝑎1,⋯, 𝑎6) ∈ 𝑅∗. Como la curva es de buena reducción, tenemos que 𝐸0=𝐸y 𝐸𝑛𝑠(𝑘) =  𝐸(𝑘)Recordemos que en estas condiciones, tenemos la sucesión exacta 0←→ 𝐸1←→ 𝐸←→  𝐸←→ 0. 3. representaciones de curvas elípticas sobre un cuerpo local 77 Además esta sucesión exacta es compatible con la acción del grupo de Galois. En efecto, si [𝑥∶𝑦∶𝑧] ∈ 𝐸cumple que las tres coordenadas están en el anillo de valoración y al menos una es una unidad, el punto 𝑃𝜎= [𝜎(𝑥) ∶ 𝜎(𝑦) ∶ 𝜎(𝑧)] cumple la misma propiedad, debido a que como 𝐾es completo el grupo de Galois respeta la valoración (proposicón A.17). De esta manera, podemos reducir los puntos aplicando la reducción a las coordenas, i.e.  𝑃𝜎= [  𝜎(𝑥) ∶  𝜎(𝑦) ∶  𝜎(𝑧)], 𝑃= [𝑥 ∶𝑦 ∶𝑧]. Por tanto, si denotamos por 𝜎∈𝐺𝑘a la reducción de 𝜎, se tiene que:  (𝑃𝜎) =  𝑃𝜎 El siguiente resultado nos permite dividir nuestro estudio según si el grupo formal de la curva tiene altura 1o2. Proposición 3.10.Sea 𝐾un cuerpo local de característica residual 𝑝y𝐸∕𝐾una curva elíptica. Si llamamos 𝑘al cuerpo residual, se tienen que: a) Los siguientes son equivalentes a) 𝐸([𝑝𝑟]=0para cada 𝑟≥1. b) La altura del grupo  𝐸∕𝐾es 2. b) Si alguno de los puntos anteriores no se da, entonces  𝐸[𝑝𝑟] ≅ ℤ∕𝑝ℤ y el grupo formal  𝐸∕𝐾tiene altura 1. Demostración. La prueba de este resultado requiere presentar una gran cantidad de herramientas que no vamos a añadir por cuestiones de espacio. La prueba se puede encontrar en ([10] V.3.1). 3.2.1 Representación de 𝐺definida sobre una curva elíptica con buena reducción de altura 1 En este apartado supondremos que el grupo formal de la curva tiene altura 1. En este caso, el grupo de puntos de 𝑝-torsión de la curva es cíclico de orden 𝑝por la proposición 3.11. Vamos a estudiar como actúa el grupo de inercia sobre los puntos de 𝑝-torsión se la curva. Sea 𝜎∈𝐼. Sea 𝑃= (𝑥∶𝑦∶𝑧) ∈ 𝐸. Por definición del grupo 78 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas de inercia 𝑣(𝜎(𝑥) − 𝑥), 𝑣(𝜎(𝑦) − 𝑦), 𝑣(𝜎(𝑧) − 𝑧)>0. Por tanto,  𝜎(𝑥) = 𝑥,  𝜎(𝑦) = 𝑦 y  𝜎(𝑧) = 𝑧. Por otro lado, si el punto 𝑃se reduce a , entonces para cada 𝜎∈𝐺el punto 𝑃𝜎 también. En efecto, que 𝑃se reduzca al origen significa que 𝑣(𝑥), 𝑣(𝑧)>0y𝑣(𝑦)=0. Ahora bien, como 𝐾es completo 𝑣(𝜎(𝑥)) = 𝑣(𝑥), 𝑣(𝜎(𝑦)) = 𝑣(𝑦)y𝑣(𝜎(𝑧)) = 𝑣(𝑧), por la proposición A.17, 𝑃𝜎también se reduce al punto . Hemos probado que el grupo de puntos que se reducen al origen es estable por la acción del grupo de Galois. Podemos restringir la aplicación de reducción a los grupos de 𝑝-torsión, 𝐸[𝑝]←→  𝐸[𝑝]. Sin embargo, no es evidente que esta aplicación siga siendo sobreyectiva. El siguiente resultado nos prueba que sí y además nos permitirá entender mucho mejor la acción del grupo de inercia. Proposición 3.11.Sea 𝐾un cuerpo local de característica residual 𝑝, y sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica con buena reducción de altura 1. Entonces tenemos una sucesión exacta 0←→ 𝑋𝑝←→ 𝐸[𝑝]←→  𝐸[𝑝]←→ 0 donde 𝑋𝑝⊂ 𝐸[𝑝]es un grupo (cíclico) de orden 𝑝. Demostración. Es suficiente probar que la aplicación, 𝐸[𝑝]←→  𝐸[𝑝]. es sobreyectiva, ya que en ese caso 𝑋𝑝es el núcleo de esta aplicación. Por reducción al absurdo vamos a suponer que no es sobreyectiva. Como  𝐸[𝑝]es cíclico de orden 𝑝, todos sus elementos salvo el neutro son generadores. Por tanto, como estamos suponiendo que la reducción no es sobreyectiva, todos los puntos de 𝑝-torsión se reducen al punto  . Tenemos, por tanto, que 𝐸[𝑝]⊂ 𝐸1(ver la definición 2.1). Ahora bien, sabemos por la proposición 2.9 que  𝐸() ≅ 𝐸1. Este isomorfismo induce un isomorfismo entre 𝐸[𝑝]y𝑉= ker[𝑝]⊂ 𝐸(). Por tanto, #(𝑉) = |𝐸[𝑝]|=𝑝2, pero el cardinal de 𝑉es 𝑝elevado a la altura del grupo, por la proposición 3.2. Por tanto, la altura del grupo formal es 2y estamos suponiendo que era 1, lo cual es una contradicción. Este resultado nos permite deducir de manera inmediata los siguientes corolarios. 3. representaciones de curvas elípticas sobre un cuerpo local 79 Corolario 3.5.En las hipótesis de la proposición anterior, se puede elegir una base de 𝐸[𝑝] ≅ ℤ∕𝑝ℤ×ℤ∕𝑝ℤde forma que el primer punto de dicha base pertenezca a 𝑋𝑝y la imagen de 𝐺por 𝜌𝑝está contenida en un subgrupo de la forma: (∗ ∗ 0 ∗) Demostración. Este resultado se deduce de la proposición anterior y de que la acción del grupo de Galois es estable en 𝐸1. En particular si 𝑃∈𝑋𝑝, entonces 𝑃𝜎∈𝑋𝑝. Corolario 3.6.De nuevo, en las hipótesis de la proposición anterior, podemos elegir una base de de 𝐸[𝑝] ≅ ℤ∕𝑝ℤ×ℤ∕𝑝ℤde forma que el primer punto de dicha base pertenezca a 𝑋𝑝y la imagen del grupo de inercia por 𝜙𝑝esté contenida en un subgrupo de la forma: (∗ ∗ 0 1) Demostración. Este resultado se deduce de que, como hemos visto antes, el grupo de inercia actúa trivialmente sobre  𝐸(𝑘)y la sucesión exacta nos da que  𝐸(𝑘) ≅ 𝐸[𝑝]∕𝑋𝑝. Por último, también podemos decir algo sobre la imagen del grupo de inercia salvaje 𝐼𝑝. Corolario 3.7.De nuevo, en las hipótesis de la proposición anterior, podemos elegir una base de de 𝐸[𝑝] ≅ ℤ∕𝑝ℤ×ℤ∕𝑝ℤde forma que el primer punto de dicha base pertenezca a 𝑋𝑝y la imagen del grupo de inercia salvaje está contenida en un subgrupo de la forma: (1 ∗ 0 1) Demostración. Como el grupo de inercia salvaje o grupo de ramificación es el único 𝑝-grupo de Sylow de 𝐼(ver A.21), la imagen por 𝜙𝑝es un 𝑝-grupo finito. Sea 𝜎∈𝐼𝑝, eligiendo la base como en la hipótesis tenemos que: 𝜌𝑝(𝜎) = (𝑎 𝑏 0 1) y su orden es una potencia de 𝑝, de lo que se deduce el resultado inmediatamente. 80 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Acabamos de ver que las imagénes de los grupos 𝐺, 𝐼 e𝐼𝑝no pueden ser muy grandes. Además, al principio de la sección hemos visto, usando el pairing de Weil, un resultado que nos dice que la imagen no puede ser trivial. De hecho, uniendo los resultados anteriores sabemos que eligiendo adecuadamente una base y suponiendo que 𝑒=𝑣(𝑝)=1, tenemos que la imagen del grupo de inercia está contenida en: (𝜃𝑝−1 ∗ 0 1). Más aún, bajo estas hipótesis podemos determinar completamente la imagen del grupo de inercia. Proposición 3.12.Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica definida sobre un cuerpo local de característica residual 𝑝con buena reducción de altura 1. Supongamos además que 𝑣(𝑝)=1. Entonces, se tiene una y sólo una de las siguientes posibilidades: a) 𝐼𝑝actúa trivialmente sobre 𝐸[𝑝], y la imagen de 𝐼tiene cardinal 𝑝−1. Eligiendo una base conveniente se tiene que: 𝜌𝑝(𝐼) ≃ (∗ 0 0 1). b) 𝐼𝑝no actúa trivialmente sobre 𝐸[𝑝]. Entonces, la imagen de 𝐼𝑝es un grupo cíclico de orden 𝑝, que eligiendo una base conveniente se puede representar como: 𝜌𝑝(𝐼𝑝) ≃ (1 ∗ 0 1). Además, en este caso la imagen de 𝐼tiene cardinal 𝑝(𝑝− 1), y se puede representar como 𝜌𝑝(𝐼) ≃ (∗ ∗ 0 1). Demostración. Supongamos primero que 𝐼𝑝actúa trivialmente. Entonces, 𝜌𝑝(𝐼)no tiene elementos de orden 𝑝porque 𝐼𝑝es el único 𝑝-grupo de Sylow de 𝐼. Por lo visto en los corolarios anteriores |𝜌𝑝(𝐼)|divide a 𝑝(𝑝− 1) y como no tiene elementos de orden 𝑝, tiene que dividir a 𝑝− 1. Ahora, bien el determinante de esta representación restringido al grupo de inercia es 𝜃𝑝−1 que es sobreyectivo. Por tanto, |𝜌𝑝(𝐼)|tiene orden 𝑝− 1. A partir de esto obtener la expresión matricial es inmediato. Supongamos ahora que 𝐼𝑝no actúa trivialmente. Por los corolarios anteriores su imagen por 𝜌𝑝tiene que ser un grupo de orden 𝑝. El hecho de que la imagen del determinante de la representación sea sobreyectivo implica que el orden de la imagen del 3. representaciones de curvas elípticas sobre un cuerpo local 81 grupo de inercia tiene que ser divisible por 𝑝− 1. Por tanto, la imagen del grupo de inercia es todo el grupo: (∗ ∗ 0 1). 3.2.2 Representación de 𝐺definida sobre una curva elíptica con buena reducción de altura 2 Suponemos ahora que la altura del grupo formal de la curva es 2. En este caso, la proposición 3.10 nos dice que  𝐸[𝑝]=0. En este caso, el isomorfismo 𝐸1←→  𝐸() induce un isomorfismo entre 𝐸[𝑝]←→ 𝑉= ker[𝑝]. Además la acción del grupo sobre la curva y el grupo formal es compatible con el isomorfismo. Luego todo lo que sabemos sobre representaciones de un grupo formal lo podemos aplicar aquí. La siguiente proposición encapsula la información que el apartado 3.1.6 nos proporciona. Proposición 3.13.En las hipótesis de este apartado, si suponemos que 𝑒=𝑣(𝑝) = 1. Se tiene que: a) La acción de 𝐼𝑝sobre 𝐸[𝑝]es trivial. b) Existe sobre 𝐸[𝑝]una estructura de 𝔽𝑝2-espacio vectorial de dimensión 1tal que la acción de 𝐼𝑡viene dada por el carácter fundamental de 𝜃𝑝2−1 de nivel 2. c) La imagen de 𝐼en GL(𝐸[𝑝]) es un grupo cíclico 𝐶de orden 𝑝2− 1 (subgrupo de Cartan no escindido). d) La imagen de 𝐺en GL(𝐸[𝑝]) es igual a 𝐶o al normalizador 𝑁de 𝐶, dependiendo de si 𝑘contiene o no contiene a 𝔽𝑝2. Demostración. El resultado se deduce de la proposición 3.9 y los corolarios 3.3 y 3.4. 88 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Además en este caso 𝜌𝑝(𝐼)tiene orden 𝑝(𝑝−1) y, eligiendo una base conveniente, se tiene que 𝜌𝑝(𝐼) ≃ (∗ ∗ 0 1). 4 Resultado Principal En este capítulo vamos a presentar el resultado principal del artículo [9] de Serre y algunas de las ideas principales de la prueba. Para ello, necesitaremos los algunos resultados auxiliares. En lo que sigue 𝐾será un cuerpo de números y 𝐸∕𝐾será una curva elíptica sin multiplicación compleja. Vamos a probar que las representaciones 𝜌𝑙∶ Gal(ℚ∕𝐾)←→ Aut(𝐸[𝑙]) son sobreyectivas salvo para una cantidad finita de primos 𝑙. 4.1 Representaciones locales y globales En esta primera sección vamos a detallar cómo usar los resultados del capítulo anterior sobre cuerpos locales. Lo más importante es que, dado 𝑣un lugar finito de 𝐾, i.e. una clase de equivalencia de las valoraciones no arquimedianas definidas sobre 𝐾, y 𝑤una valoración sobre 𝐾que extienda a 𝑣, se tiene una inmersión Gal(𝐾𝑣∕𝐾𝑣)→ Gal(𝐾∕𝐾) Los resultados que vamos a usar en lo que sigue están probados en las secciones A.5 y A.6 del apéndice. Además, vamos a usar la misma notación de la sección A.5. Es decir, denotaremos por 𝑣a la extensión canónica de la valoración de 𝐾a su completación 𝐾𝑣y por 𝑣a la única extensión de 𝑣desde 𝐾𝑣hasta 𝐾𝑣. El teorema de extensión de valoraciones (ver A.6) nos dice que 𝑤=𝑣◦𝜏para alguna 𝐾-inmersión 𝜏∶𝐾←→ 𝐾𝑣. Dicha inmersión nos da el siguiente diagrama 90 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas conmutativo: 𝐾 𝐾𝑣 𝐾 𝐾𝑣 𝜏 𝜏 Este diagrama induce un morfismo 𝜏∗∶ Gal(𝐾𝑣∕𝐾𝑣)←→ Gal(𝐾∕𝐾), 𝜎←→ 𝜏−1𝜎𝜏. Se puede probar que esta aplicación es una inclusión. Por tanto, es un isomorfismo con su imagen, la cual coincide con el grupo de descomposición: Gal(𝐾𝑣∕𝐾𝑣) ≃ 𝐺𝑤(𝐾∕𝐾) = {𝜎∈ Gal(𝐾∕𝐾)∶∀𝑥∈𝐾, 𝑤(𝑥) = 𝑤(𝜎(𝑥))}, donde 𝑤es la extensión que induce la inmersión 𝜏. Vamos a usar la inmersión anterior para relacionar las representaciones sobre los cuerpos locales y sobre los cuerpos de números. Fijemos 𝑙un primo, 𝑣un lugar finito de 𝐾y𝑤una valoración sobre 𝐾que extiende a 𝑣. Entonces, tenemos la representación 𝜌𝑙∶ Gal(𝐾∕𝐾)←→ Aut(𝐸(𝐾)[𝑙]). Hemos visto que hay una inmersión Gal(𝐾𝑣∕𝐾𝑣)→ Gal(𝐾∕𝐾)., por tanto podemos restringir la representación a Gal(𝐾𝑣∕𝐾𝑣)y obtenemos: 𝜌𝑙∶ Gal(𝐾∕𝐾)←→ Aut(𝐸(𝐾)[𝑙]). Por otro lado, podemos ver 𝐸como una curva elíptica definida sobre 𝐾𝑣. Esto proporciona las representaciones que hemos estudiado en el capítulo anterior y que denotaremos por: 𝜌′ 𝑙∶ Gal(𝐾𝑣∕𝐾𝑣)←→ Aut(𝐸(𝐾𝑣)[𝑙]). La pregunta natural que surge en esta situación es si 𝜌′ 𝑙y𝜌𝑙|Gal(𝐾𝑣∕𝐾𝑣)coinciden. Denotemos por 𝜏∶𝐾←→ 𝐾𝑣 a la inmersión que determina la valoración 𝑤. Dicha inmersión nos permite definir la aplicación de 𝐸(𝐾)a𝐸(𝐾𝑣)que a cada punto 𝑃= (𝑥, 𝑦)le asocia el punto 4. resultado principal 91 𝑃𝜏= (𝜏(𝑥), 𝜏(𝑦)). Esta aplicación es inyectiva y se puede restringir a 𝐸(𝐾)[𝑙]y a 𝐸(𝐾𝑣)[𝑙]. Estos dos conjuntos son finitos y tienen el mismo cardinal, por el teorema 2.1. Por tanto, como la aplicación 𝜏es inyectiva necesariamente es un isomorfismo entre 𝐸(𝐾)[𝑙]y𝐸(𝐾𝑣)[𝑙]. Tenemos, por tanto, el siguiente diagrama: Gal(𝐾∕𝐾) Aut(𝐸(𝐾)[𝑙]) Gal(𝐾𝑣∕𝐾𝑣) Aut(𝐸(𝐾𝑣)[𝑙]) 𝜌𝑙 𝜏 𝜌′ 𝑙 𝜏 donde la aplicación vertical de la derecha es un isomorfismo. Veamos que el diagrama conmuta. Sea 𝑃∈𝐸(𝐾)[𝑙]y𝜎∈𝐺𝑤(𝐾∕𝐾) = Im(𝜏)(ver A.6), se tiene que: 𝜌′ 𝑙(𝜏𝜎𝜏−1)(𝑃𝜏)=(𝜏(𝜎(𝑥)), 𝜏(𝜎(𝑦))) = (𝜎(𝑥), 𝜎(𝑦))𝜏=𝜌𝑙(𝜎)(𝑃)𝜏, por lo que el diagrama conmuta. Esto nos permite identificar las representaciones 𝜌′ 𝑙y𝜌𝑙|Gal(𝐾𝑣|𝐾𝑣), y en lo que sigue así lo haremos. De esta manera, los resultados del capítulo anterior se pueden ver como un estudio de la imagen por las representaciones de 𝜌𝑙de ciertos subgrupos de Gal(𝐾∕𝐾). 4.2 Reducción al caso semiestable Todo lo que queda de capítulo será dedicado a dar la prueba del teorema principal de Sere en [9]. En primer lugar, vamos a ver que nos podemos reducir al caso en que la curva tiene reducción semiestable. Proposición 4.1.Sea 𝐾un cuerpo de números y 𝐸∕𝐾una curva elíptica. Entonces, existe una extensión finita de Galois 𝐿|𝐾tal que la curva tiene reducción semiestable sobre 𝐿. Demostración. Como estamos en característica 0, podemos expresar 𝐸mediante un modelo de Weierstrass de la forma 𝑦2=𝑥(𝑥− 1)(𝑥−𝜆), con 𝜆∈ℚ. Supondremos que 𝜆∈𝐾, en caso contrario lo añadiremos a la extensión finita que vamos a construir. En primer lugar, notemos que si 𝜆está en 𝐾, el anillo 92 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas de enteros de 𝐾y𝑣(Δ) = 0, entonces 𝐸tiene buena reducción en 𝑣. Esto se debe a que, si vemos la ecuación anterior sobre 𝐾𝑣, esta tiene coeficientes en el anillo de valoración de 𝐾𝑣y como 𝑣(Δ) = 0, entonces la curva tiene buena reducción en 𝑣. Veamos cuándo se tiene que 𝜆∈𝐾y que 𝑣(Δ) = 0. Por un lado, 𝜆se puede escribir como 𝜇∕𝑛con 𝜇∈𝐾y𝑛∈ℤ≥0. Por tanto, si 𝑣(𝜆)<0, entonces 𝑣(𝑛)>0y los lugares finitos donde se cumple esto último son una cantidad finita. Por otro lado, el discriminante del modelo de Weiestrass que hemos elegido es Δ = 16𝜆2(𝜆− 1)2. Luego, si 𝜆∈𝐾tenemos que 𝑣(Δ) ≥0. De nuevo, existe 𝑚∈ℤtal que 𝜆∕𝑚∈∗ 𝐾y, por tanto, 𝑣(𝜆) = 𝑣(𝑚). Los lugares finitos en los que 𝑚o2tienen valoración positiva son solo una cantidad finita. Por tanto, 𝜆∈𝐾y𝑣(Δ) = 0 en todos los lugares finitos 𝑣de K salvo en una cantidad finita. Luego, en todos los lugares finitos de 𝐾salvo en una cantidad finita, la curva 𝐸tiene buena reducción. Ahora bien, en cada uno de estos casos la proposición 2.12 nos permite considerar una extensión finita 𝐿|𝐾 sobre la cual la reducción sea semiestable. Además, como estamos en característica 0 podemos suponer que 𝐿|𝐾es de Galois. Observación 4.1.Notemos que en la prueba anterior hemos usado implícitamente que toda extensión finita de ℚ𝑝es la completación de una extensión finita de ℚ. Esto es una consecuencia del lema de Krasner, la prueba se puede encontrar en [5] 7.62. La proposición anterior nos permite reducirnos al caso en que la curva tenga reducción semiestable, pues si 𝐿|𝐾es una extensión finita de Galois, Gal(ℚ∕𝐿)⊂Gal(ℚ∕𝐾), y para probar que 𝜌𝑙es sobreyectiva, basta probar que la restricción de 𝜌𝑙aGal(ℚ∕𝐿) es sobreyectiva. Esta es la razón por la cual en el capítulo anterior sólo hemos estudiado curvas sobre cuerpos locales con buena reducción o con reducción multiplicativa. 4.3 Teorema principal Para empezar, en el capítulo anterior hemos usado como hipótesis que 𝑣(𝑝) = 1. Sin embargo, si tomamos 𝑣una valoración cualquiera sobre 𝐾, normalizada, no es cierto en general que 𝑣(𝑝) = 1 para cada primo. De hecho, esto se da si, y sólo si, el índice de ramificación de la valoración con respecto a la valoración 𝑝-ádica en ℚes 1. Ahora bien, sólo una cantidad finita de ideales primos ramifican en la extensión finita 4. resultado principal 93 𝐾|ℚ. Por tanto, si suponemos que el primo 𝑝es suficientemente grande, cualquier valoración 𝑣que extienda a la valoración 𝑝-ádica será no ramificada, i.e. 𝑣(𝑝)=1. Proposición 4.2.Sea 𝐸una curva elíptica definida sobre un cuerpo de números 𝐾, con reducción semiestable. Sea 𝑙un primo ≥7y suficientemente grande según la observación anterior. Entonces, si 𝜌𝑙no es sobreyectiva, se verifica una de las dos posibilidades siguientes: a) 𝜌𝑙(Gal(𝐾|𝐾)) está contenido en un subgrupo de Borel. b) 𝜌𝑙(Gal(𝐾|𝐾)) está contenido en el normalizador de algún subgrupo de Cartan Demostración. Sea 𝑙≥7un primo suficientemente grande como en la hipótesis. Se tiene que 𝜌𝑙(Gal(𝐾∕𝐾)) contiene un subgrupo de Cartan o un semisubgrupo de Cartan escindido. En efecto, si en 𝑙hay buena reducción de altura 2, entonces 𝜌𝑙(𝐼𝑙)es un grupo de Cartan no escindido, por la proposición 3.13, y si en 𝑙hay reducción de tipo multiplicativa o buena reducción de altura 1, entonces 𝜌𝑙(𝐼𝑙)contiene a un semisubgrupo de Cartan escindido por la proposición 3.22 y la proposición 3.12 respectivamente. Por último, como 𝑙≥7, podemos aplicar la proposición 1.14 para concluir que la imagen 𝜌𝑙(Gal(𝐾∕𝐾)) está contenido en un subgrupo de Borel o en el normalizador de un subgrupo de Cartan. Vamos a estudiar si puede darse el segundo caso. En las hipótesis del teorema anterior, supongamos que la imagen de 𝜙𝑙está contenida en el normalizador 𝑁de un subgrupo de Cartan 𝐶. Podemos considerar la composición: Gal(𝐾∕𝐾)𝑁 𝑁∕𝐶≃ {±1} 𝜌𝑙𝜋 𝜀𝑙 Si consideramos 𝑁y𝑁∕𝐶con la topología discreta, todos los morfismos anteriores son continuos. En particular, ker(𝜀𝑙)es un abierto y por el teorema de correspondencia de Galois (Teorema 1.1) existe una extensión 𝐿|𝐾finita y de Galois tal que ker(𝜀𝑙) = Gal(𝐾∕𝐿). Por el primer teorema de isomorfía: Gal(𝐿∕𝐾) ≃ Gal(𝐾∕𝐾) Gal(𝐾∕𝐿) ≤𝑁∕𝐶≃ {±1}. Por tanto, 𝐿es una extensión, a lo más, cuadrática. Además, podemos probar lo siguiente. 94 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Lema 4.1.En las hipótesis anteriores la extensión 𝐿|𝐾es no ramificada en todos los lugares finitos de 𝐾. Demostración. Fijemos 𝑣un lugar finito de 𝐾con característica residual 𝑝. Consideramos los siguientes casos: a) Caso en que 𝑝≠𝑙y hay buena reducción módulo 𝑣. En este caso por el criterio de Nerón-Ogg-Shafarevich (Teorema 2.4) 𝜌𝑙(𝐼𝑣) = {Id}. b) Caso en que 𝑝≠𝑙y hay buena reducción multiplicativa en 𝑣. En este caso, la proposición 𝑙≠𝑝nos dice que 𝜌𝑙(𝐼𝑣)es cíclico de orden 𝑙o trivial. Ahora bien, el caso en que 𝜌𝑙(𝐼𝑣)sea cíclico no puede darse. En efecto, 𝜌𝑙(𝐼𝑣)⊂ 𝑁. Por tanto, 𝑙|#𝑁y #𝑁=⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2(𝑙− 1)2si 𝐶es escindido 2(𝑙2− 1) si 𝐶es no escindido. En ambos casos hemos llegado a una contradicción. c) Caso en que 𝑙=𝑝. La proposición 3.22 nos dice que 𝜌𝑙(𝐼𝑣)es un subgrupo de Cartan no escindido, un semisubgrupo de Cartan escindido o un subgrupo de matrices de la forma (∗ ∗ 0 1). Este último caso no puede darse porque el orden de 𝑁es coprimo con 𝑙. En los otros casos 𝜌𝑙(𝐼𝑣)⊂ 𝐶. Luego, 𝜀𝑙(𝐼𝑣) = {Id} Observación 4.2.Si 𝐾fuera el cuerpo de los números racionales, este lema nos permitiría deducir que la imagen de 𝜌𝑙estaría contenida en 𝐶, pues no hay ninguna extensión finita de ℚno ramificada en todos los primos (ver [6] teorema 2.18). En el caso de 𝐾cuerpo de números, la cantidad de primos 𝑙para los que la imagen de 𝜌𝑙está contenida en 𝑁y no 𝐶es finita. Sin embargo, la prueba de este resultado requiere de técnicas en teoría algebraica de números que se escapan al alcance de este trabajo (ver [9] página 296). Terminamos el capítulo dando algunas de las ideas principales de la demostración del Teorema de Serre, en la que usaremos los resultados probados en este capítulo. Teorema 4.1 (Serre). Sea 𝐸∕𝐾una curva elíptica definida sobre un cuerpo de números 𝐾, sin multiplicación compleja sobre 𝐾. Entonces, para todo 𝑙salvo un número finito, la representación: 𝜌𝑙∶ Gal(𝐾∕𝐾)←→ Aut(𝐸[𝑙]) es sobreyectiva. 4. resultado principal 95 Demostración. En primer lugar, gracias a la proposición 4.1 podemos suponer que la curva 𝐸tiene reducción semiestable en todos los lugares finitos de 𝐾. Procederemos por reducción al absurdo. Supongamos que existen una cantidad infinita de primos 𝑙tales que la representación 𝜌𝑙asociada a los puntos de 𝑙-torsión de 𝐸, no es sobreyectiva. Llamamos al conjunto formado por dichos primos. De esta manera, si 𝑙∈entonces, por la proposición 4.2: a) 𝜌𝑙(Gal(𝐾∕𝐾)) está contenido en un subgrupo de Borel. b) 𝜌𝑙(Gal(𝐾∕𝐾)) está contenido en el normalizador de un subgrupo de Cartan. Ahora bien, el lema anterior junto con la observación que lo sigue nos permite suponer, sin pérdida de generalidad (tal vez eliminando una cantidad finita de primos de ), que para todo 𝑙∈𝜌𝑙(Gal(𝐾∕𝐾)) está contenido en un subgrupo de Borel o en un subgrupo de Cartan. En este caso se puede probar que, para todo 𝑙∈, la representación 𝜑𝑙asociada al módulo de Tate 𝑇𝑙(𝐸)tiene imagen abeliana ([9] 4.2-(e)). Que la representación 𝜑𝑙sea abeliana implica que el álgebra de Lie asociada a la imagen de 𝜑𝑙no es la total. Ahora bien, si esto ocurre 𝐸tiene multiplicación compleja ([7] IV.2.2 página IV-11), lo cual es una contradicción. A Apéndice Vamos a dedicar este apéndice a desarrollar en profundidad los conceptos de teoría algebraica de números y teoría de valoraciones que se usan durante todo el trabajo. A.1 Valoraciones y normas Al igual que para construir los números reales, completamos ℚcon la norma del valor absoluto, podemos generalizar ese procedimiento para otras normas Definición A.1. Sea 𝐾un cuerpo, decimos que una aplicación |⋅|∶𝐾←→ ℝ es una norma sobre 𝐾si se cumplen las condiciones siguientes: a) |𝑥|≥0, con |𝑥|= 0 ⇐⇒ 𝑥= 0. b) |𝑥𝑦|=|𝑥|⋅|𝑦|. c) |𝑥+𝑦|≤|𝑥|+|𝑦|. En lo que sigue excluiremos el caso en que |⋅|sea constantemente 1en 𝐾∗. Como es habitual, una vez que tenemos una norma definida sobre un cuerpo, podemos definir una distancia 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥−𝑦|. De esta manera damos topología al cuerpo 𝐾. Definición A.2. Sea 𝐾un cuerpo, decimos que dos normas sobre 𝐾son equivalentes si definen la misma topología sobre 𝐾. 104 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas con 𝜋un parámetro de uniformización, i.e. 𝑣(𝜋)=1. Además se tiene el siguiente isomorfismo 𝔭𝑛∕𝔭𝑛+1 ≅∕𝔭. Demostración. Sea 𝔞≠0un ideal de y𝑥≠0un elemento de dicho ideal con valoración mínima (que existe por ser discreta la valoración). Llamando 𝑛=𝑣(𝑥), hemos visto que 𝑥=𝑢𝜋𝑛con 𝑢∈∗. Por tanto, 𝜋𝑛⊂𝔞. Recíprocamente, si 𝑦=𝜀𝜋𝑚∈𝔞con 𝜀∈∗y𝑚=𝑣(𝑦)≥𝑛. Por tanto, 𝑦= (𝜀𝜋𝑚−𝑛)𝜋𝑛∈𝜋𝑛 de forma que 𝔞=𝜋𝑛. Por último, el isomorfismo 𝔭𝑛∕𝔭𝑛+1 ≅∕𝔭. viene dado por 𝑎𝜋𝑛←→ 𝑎m od 𝔭. En un cuerpo 𝐾sobre el que tenemos definida una valoración discreta 𝑣, tenemos la siguiente cadena de ideales ⊃𝔭⊃𝔭2⊃𝔭3⊃⋯, que forma una base de entornos del elemento cero del cuerpo para la topología que induce la norma inducida por la valoración. En efecto, si |⋅|=𝑞−𝑣(⋅), entonces 𝔭𝑛={𝑥∈𝐾∶|𝑥|<1 𝑞𝑛−1 }. De la misma manera, una base de entornos del elemento unidad de 𝐾∗, viene dada por la siguiente cadena de subgrupos ∗=𝑈(0) ⊃ 𝑈(1) ⊃ 𝑈(2) ⊃⋯, donde, 𝑈(𝑛)= 1 + 𝔭𝑛={𝑥∈𝐾∗∶|1 − 𝑥|<1 𝑞𝑛−1 },para 𝑛 > 0. Proposición A.5.Se tienen los isomorfismos a) ∗∕𝑈(𝑛)≅ (∕𝔭𝑛), para 𝑛≥1. b) 𝑈(𝑛)∕𝑈(𝑛+1) ≅∕𝔭, para 𝑛≥1. a. apéndice 105 Demostración. El primer isomorfismo viene inducido por el homomorfismo sobreyectivo ∗←→ (∕𝔭𝑛)∗ 𝑢←→ 𝑢m od 𝔭𝑛, cuyo núcleo es 𝑈(𝑛). El segundo isomorfismo viene inducido, una vez elegimos un parámetro de uniformización 𝜋, por 𝑈(𝑛)= 1 + 𝜋𝑛←→ ∕𝔭 1 + 𝜋𝑛𝑎←→ 𝑎m od 𝔭, cuyo núcleo es 𝑈(𝑛+1). Estos resultados nos aportan mucha información acerca de la estructura de los cuerpos sobre los que hemos definido una valoración discreta. En la siguiente sección vamos a usar esta misma herramienta para obtener más información aún gracias a la topología natural de estos cuerpos. A.2 Completaciones Sea 𝐾un cuerpo sobre el que hemos definido una valoración. El procedimiento por el que se construye ℝ, completando ℚcon la norma del valor absoluto, es inmediatamente generalizable al caso que nos ocupa. Definición A.8. Sea {𝑎𝑛}⊂ 𝐾 una sucesión. Decimos que es de Cauchy si para cada 𝜀 > 0existe un 𝑛0tal que ∀𝑛, 𝑚 ≥𝑛0,|𝑎𝑛−𝑎𝑚|< 𝜀. Diremos que 𝐾es completo con respecto a su norma si toda sucesión de Cauchy {𝑎𝑛}es convergente, i.e. existe 𝑎∈𝐾tal que l ım |𝑎−𝑎𝑛|= 0. En general, dado un cuerpo 𝐾con una valoración asociada siempre podemos construir su completación, que denotaremos  𝐾. Este es el cuerpo completo más pequeño que contiene a 𝐾, respetando su norma. 106 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas La construcción del cuerpo  𝐾es completamente análoga a la construcción del cuerpo de los números reales. Se considera el anillo 𝑅de todas las sucesiones de Cauchy sobre 𝐾y el ideal maximal 𝔪de las sucesiones de Cauchy con límite 0. Ponemos así,  𝐾=𝑅∕𝔪. Podemos incluir 𝐾en  𝐾mediante la aplicación que manda 𝑎∈𝐾a la sucesión constante {𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑎, … }. Si 𝑎= {𝑎𝑛} ∈  𝐾, la norma se extiende como |𝑎|= l ım 𝑛|𝑎𝑛|. Se puede comprobar que este procedimiento hace que  𝐾sea completo y la norma anterior extiende a la de partida. Además, esta construcción es única salvo isomorfismo. Observación A.4.En el caso de que consideremos la completación de ℚcon la norma 𝑝-ádica denotaremos por ℚ𝑝a ℚy lo llamaremos el cuerpo de los números 𝑝-ádicos. Los primeros ejemplos en los que se piensa cuando a hablamos de cuerpos completos son ℝyℂ. De hecho, son los únicos cuerpos completos con una norma arquimediana. Teorema A.1 (Ostrowski). Sea 𝐾un cuerpo completo con respecto a una norma arquimediana |⋅|. Entonces existe un isomorfismo 𝜎de 𝐾aℝo a ℂtal que |𝑎|=|𝜎𝑎|𝑠∀𝑎∈𝐾, para algún 𝑠∈ (0,1] fijo. Demostración. ([6] II.4.2) Habida cuenta de este teorema, nos centraremos en estudiar los cuerpos completos cuya norma sea no arquimediana. Los principales ejemplos en este caso son los cuerpos 𝑝-ádicos. Sea 𝑣una valoración no arquimediana sobre un cuerpo 𝐾. Dicha valoración se prolonga canónicamente a una valoración 𝑣 sobre  𝐾poniendo 𝑣(𝑎)=l ım 𝑛𝑣(𝑎𝑛), con los 𝑎𝑛∈𝐾tales que 𝑎𝑛←→ 𝑎∈ 𝐾. Una primera observación interesante es que la sucesión {𝑣(𝑎𝑛)} es estacionaria. En efecto, para un 𝑛≥𝑛0se tiene que 𝑣(𝑎𝑛−𝑎)> 𝑣(𝑎), por tanto, 𝑣(𝑎𝑛) = 𝑣(𝑎𝑛−𝑎+𝑎)=m ın{𝑣(𝑎𝑛−𝑎), 𝑣(𝑎)} = 𝑣(𝑎). a. apéndice 107 De esto se sigue que 𝑣(𝐾∗) = 𝑣 ( 𝐾∗). En particular, si 𝑣es discreta y normalizada su prolongación también lo es. Más aún, para probar que una sucesión es {𝑎𝑛}es de Cauchy basta probar que 𝑎𝑛−𝑎𝑛+1 tiende a cero, ya que 𝑣(𝑎𝑛−𝑎𝑚)≥m ın{𝑣(𝑎𝑖+1 −𝑎𝑖)}. En particular, tenemos que∑𝑎𝑛converge ⇐⇒ 𝑎𝑛←→ 0. Proposición A.6.Sean (𝐾, 𝑣)y( 𝐾, 𝑣)un cuerpo y su completación. Denotamos por ⊂ 𝐾 y ⊂ 𝐾los anillos de valoración con respecto a 𝑣y𝑣 respectivamente. De la misma manera, llamamos 𝔭y 𝔭a los ideales maximales correspondientes. Entonces, se tiene  ∕ 𝔭≅∕𝔭. Si además 𝑣es discreta, también tenemos que:  ∕ 𝔭𝑛≅∕𝔭𝑛para 𝑛≥1. Demostración. Consideramos la aplicación, ←→  ∕ 𝔭 𝑥←→ 𝑥m od  𝔭. Es inmediato que el núcleo de esta aplicación es 𝔭, de manera que basta comprobar que es sobreyectiva para comprobar que existe el isomorfismo deseado. Sea [𝑎] ∈  ∕ 𝔭 con 𝑎∈ . Como 𝐾es denso en  𝐾, por continuidad, existe 𝑥∈tal que |𝑥−𝑎|<1, i.e. 𝑥−𝑎∈ 𝔭. De manera que 𝑥≡𝑎m od  𝔭 Por tanto, la aplicación es sobreyectiva. El otro isomorfismo para el caso en que la valoración sea discreta, se construye de manera análoga. En lo que sigue 𝐾será un cuerpo sobre el que tenemos definida una valoración discreta 𝑣y( 𝐾, 𝑣)su completación Proposición A.7.Sea 𝑅un sistema de representantes de 𝑘=∕𝔭tal que 0 ∈ 𝑅, y sea 𝜋∈un parámetro de uniformización. Entonces para cada 𝑥≠0en  𝐾hay una única serie convergente: 𝑥=𝜋𝑚(𝑎0+𝑎1𝜋+𝑎2𝜋2+⋯) con 𝑎𝑖∈𝑅, 𝑎0≠0, 𝑚 ∈ℤ. 108 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Demostración. Sea 𝑥=𝜋𝑚𝑢con 𝑢∈ ∗. Como  ∕ 𝔭≅∕𝔭, la clase de 𝑢+ 𝔭tiene un único representante 𝑎0∈𝑅. De esta manera, 𝑢=𝑎0+𝜋𝑏1 para algún 𝑏1∈ . Supongamos ahora que tenemos 𝑎0,…, 𝑎𝑛−1 ∈𝑅, tales que 𝑢=𝑎0+𝑎1𝜋+⋯+𝑎𝑛−1𝜋𝑛−1 +𝜋𝑛𝑏𝑛. para algún 𝑏𝑛∈ , de manera que la ecuación anterior los determina de manera única. En esas condiciones el representante 𝑎𝑛∈𝑅de 𝑏𝑛+ 𝔭también está determinado de manera única. Tenemos, por tanto, 𝑏𝑛=𝑎𝑛+𝜋𝑏𝑛+1, para algún 𝑏𝑛+1 ∈ . Sustituyendo esto en la ecuación anterior: 𝑢=𝑎0+𝑎1𝜋+⋯+𝑎𝑛−1𝜋𝑛−1 +𝑎𝑛𝜋𝑛+𝜋𝑛+1𝑏𝑛+1. La serie construida de esta manera es única y converge porque el término general tiende a 0. El resultado anterior recuerda a la estructura de los enteros 𝑝-ádicos ℤ𝑝, que se pueden escribir como series de potencias en 𝑝con coeficientes en {0,1,…, 𝑝 − 1}. Los enteros 𝑝-ádicos también se pueden identificar con el límite inverso lim ←←←←←←←←←←← ℤ∕𝑝𝑛ℤ, y esta construcción se puede hacer en un contexto más general. Para aliviar la notación vamos a suponer que 𝐾es completo. Tenemos los morfismos canónicos, ←→ ∕𝔭𝑛 que son compatibles con los morfismos: ∕𝔭𝜆1 ←←←←←←←←← ∕𝔭2𝜆2 ←←←←←←←←← ∕𝔭3𝜆3 ←←←←←←←←← ⋯ La propiedad universal del límite inverso nos da un morfismo ←→ lim ←←←←←←←←←←← 𝑛 ∕𝔭𝑛. Proposición A.8.La aplicación canónica ←→ lim ←←←←←←←←←←← ∕𝔭𝑛 es un isomorfismo de anillos y un homeomorfismo. a. apéndice 109 Demostración. La aplicación canónica viene dada por mandar al cociente en cada coordenada. Por tanto, el núcleo de esa aplicación es ⋂𝑛𝔭𝑛= {0}, de lo que se deduce que la aplicación es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, fijamos un parámetro de uniformización 𝜋y𝑅unos representantes de cada elemento de ∕𝔭. Todo elemento de ∕𝔭𝑛se puede escribir de manera única de la forma 𝑎0+𝑎1𝜋+⋯+𝑎𝑛−1𝜋𝑛−1. con los 𝑎𝑖∈𝑅. De esta manera, dado un elemento en el límite, el elemento 𝑥= ∑∞ 𝑖=0 𝑎𝑖𝜋𝑖es su preimagen. Para ver que es homeomorfismo, la aplicación es continua porque respeta los límites de las sucesiones y, además, es abierta. Esto último se comprueba gracias a que la aplicación manda la base de entornos {𝔭𝑛}de 0a la base de entornos de 0en el límite que consiste en {∏ 𝑛>𝜈 ∕𝔭𝑛∩ lim ←←←←←←←←←←← ∕𝔭𝑛}. Por tanto, la aplicación es un isomorfismo y un homeomorfismo. Además, induce otro homeomorfismo e isomorfismo en el grupo de las unidades: ∗≅(lim ←←←←←←←←←←← ∕𝔭𝑛)∗ ≅ lim ←←←←←←←←←←←(∕𝔭𝑛)∗≅ lim ←←←←←←←←←←← (∗∕𝑈(𝑛)). En este trabajo nos interesa particularmente el estudio de las raíces y factorización de polinomios sobre cuerpos completos con respecto a una valoración. Para ello, una herramienta fundamental es el lema de Hensel. Para enunciarlo necesitamos la siguiente definición que generaliza un concepto ya conocido. Definición A.9. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0∈[𝑥]un polinomio. Decimos que es primitivo si 𝑓(𝑥)≢0 m od 𝔭, i.e. si |𝑓|∶= m ax{|𝑎0|,…,|𝑎𝑛|}=1. Teorema A.2 (Lema de Hensel). Sea 𝑓∈[𝑥]un polinomio primitivo tal que admite una factorización en el cuerpo residual, 𝑓(𝑥)≡𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) m od 𝔭, en polinomios 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝑘coprimos entre sí. Entonces, 𝑓admite una factorización 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) 110 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas con 𝑔, ℎ ∈[𝑥]tales que deg(𝑔) = deg( 𝑔)y 𝑔(𝑥)≡𝑔(𝑥) m  od 𝔭, ℎ(𝑥)≡ ℎ(𝑥) m od 𝔭 Demostración. Pongamos 𝑑= deg(𝑓)y𝑚= deg( 𝑔). Por hipótesis, 𝑑−𝑚≥deg( ℎ). Vamos a construir una sucesión de polinomios en [𝑥]y los límites van a ser los polinomios que buscamos. Comenzamos con 𝑔0, ℎ0∈[𝑥]unos polinomios que cumplan que 𝑔0≡𝑔 m od 𝔭ℎ0≡ ℎm od 𝔭 y tales que deg(𝑔0) = 𝑚ydeg(ℎ0)≤𝑑−𝑚. Por otro lado, como 𝑘[𝑥]es un dominio euclídeo, y (𝑔,  ℎ)=1tenemos identidad de Bezout, esto es, existen polinomios 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) ∈ [𝑥]tales que 𝑎𝑔0+𝑏ℎ0≡1 m od 𝔭 De esta manera, los polinomios 𝑓−𝑔0ℎ0y𝑎𝑔0+𝑏ℎ0− 1 ∈ 𝔭[𝑥]. Llamamos 𝜋al coeficiente de menor valoración de los polinomios anteriores. La estrategia de la prueba consiste en buscar polinomios 𝑔yℎde la forma 𝑔=𝑔0+𝑔1𝜋+𝑔2𝜋2+⋯, ℎ=ℎ0+ℎ1𝜋+𝑔2𝜋2+⋯ con los 𝑝𝑖, 𝑔𝑖∈[𝑥]polinomios de grado < 𝑚 y≤𝑑−𝑚respectivamente. Para hacer esto, vamos a construir unos polinomios 𝑔𝑛−1 =𝑔0+𝑔1𝜋+𝑔2𝜋2+⋯+𝑝𝑛−1𝜋𝑛−1, ℎ𝑛−1 =ℎ0+ℎ1𝜋+𝑔2𝜋2+⋯+𝑞𝑛−1𝜋𝑛−1, de manera que, 𝑓≡𝑔𝑛−1ℎ𝑛−1 m od 𝜋𝑛. Así al tomar límite vamos a obtener polinomios con coeficientes en tales que 𝑓= 𝑔ℎ. De esta manera, hemos visto que si somos capaces de construir una sucesión en las condiciones anteriores hemos probado el teorema. Procedemos a construir la sucesión por inducción. Para 𝑛≥1se cumple la congruencia por la elección que hemos hecho de 𝜋. Supongamos ahora que la congruencia se cumple para algún 𝑛≥1. De esta manera, ponemos 𝑔𝑛=𝑔𝑛−1 +𝑝𝑛𝜋𝑛, ℎ𝑛=ℎ𝑛−1 +𝑞𝑛𝜋𝑛, a. apéndice 111 donde tenemos que elegir 𝑝𝑛y𝑞𝑛. Las condiciones que hay que imponer sobre estos polinomios se reducen a 𝑓−𝑔𝑛−1ℎ𝑛−1 ≡𝜋𝑛(𝑔𝑛−1𝑞𝑛+ℎ𝑛−1𝑝𝑛) m od 𝜋𝑛+1. Dividiendo por 𝜋𝑛, esto se traduce a 𝑔𝑛−1𝑞𝑛+ℎ𝑛−1𝑝𝑛≡𝑔0ℎ𝑛+ℎ0𝑝𝑛≡𝑓𝑛m od 𝜋, donde 𝑓𝑛=𝜋−𝑛(𝑓−𝑔𝑛−1ℎ𝑛−1) ∈ [𝑥]. Como 𝑔0𝑎+𝑏ℎ0≡1 m  od 𝜋, tenemos que 𝑔0𝑎𝑓𝑛+𝑏ℎ0𝑓𝑛≡𝑓𝑛m od 𝜋. Ahora tenemos la tentación de poner 𝑞𝑛=𝑎𝑓𝑛y𝑝𝑛=𝑏𝑓𝑛, pero los grados podrían salir demasiado grandes. Por ello dividimos, 𝑏(𝑥)𝑓𝑛(𝑥) = 𝑞(𝑥)ℎ0(𝑥) + 𝑝𝑛(𝑥) con deg(𝑝𝑛)< 𝑚. Como 𝑔0≡𝑔 m od 𝔭ydeg(𝑔0) = 𝑚, el coeficiente líder de 𝑔0es una unidad y, por tanto, 𝑞(𝑥) ∈ [𝑥]. Sustituyendo en la congruencia que teníamos llegamos a que: 𝑔0(𝑎𝑓𝑛+ℎ0𝑞) + ℎ0𝑝𝑛≡𝑓𝑛m od 𝜋. Si ahora quitamos de 𝑎𝑓𝑛+ℎ0𝑞los monomios con coeficientes divisibles por 𝜋, obtenemos un polinomio 𝑞𝑛tal que 𝑔0𝑞𝑛+ℎ0𝑝𝑛≡𝑓𝑛m od 𝜋 con grado ≤𝑑−𝑚. Esto último se deduce de que deg(𝑓𝑛)≤𝑑, deg(𝑔0) = 𝑚y deg(ℎ0𝑝𝑛)< 𝑑 −𝑚+𝑚. Ejemplo A.1.El polinomio 𝑥𝑝−1 − 1 ∈ ℤ𝑝[𝑥]tiene todas sus raíces en 𝔽𝑝y, por tanto, factoriza en factores lineales. Aplicando reiteradamente el lema de Hensel, llegamos a que ℚ𝑝contiene a las raíces (𝑝− 1)-ésimas de la unidad. Corolario A.1.Todo polinomio irreducible 𝑓(𝑥) = 𝑎0+𝑎1𝑥+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛∈𝐾[𝑥]tal que 𝑎0𝑎𝑛≠0, cumple que m ax{|𝑎0|,|𝑎𝑛|} = |𝑓|. En particular, si 𝑎𝑛= 1 y𝑎0∈, entonces necesariamente 𝑓∈[𝑥]. Demostración. Después de multiplicar por un elemento apropiado de 𝐾podemos asumir que 𝑓∈[𝑥]y que |𝑓|= 1. Sea 𝑎𝑟el primer coeficiente tal que |𝑎𝑟|= 1, i.e. |𝑎𝑖|<1para 𝑖≤𝑟− 1. Tenemos que 𝑓(𝑥)≡𝑥𝑟(𝑎𝑟+𝑎𝑟+1𝑥+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛−𝑟)m od 𝔭. Si tuvieramos m ax{|𝑎0|,|𝑎𝑛|}<1, entonces 0< 𝑟 < 𝑛 y la congruencia anterior junto a la irreducibilidad de 𝑓contradiría el lema de Hensel. 112 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Ahora estamos en condiciones de probar el siguiente teorema de extensión de valoraciones, para el que necesitaremos algunos conceptos procedentes de la teoría de enteros algebraicos. Definición A.10. Sea 𝐿|𝐾una extensión de cuerpos y sea 𝑥∈𝐿. Definimos el siguiente endomorfismo de 𝐾-e.v., 𝑇𝑥∶𝐿←→ 𝐿, 𝑇𝑥(𝛼) = 𝑥𝛼, y la traza y la norma de 𝑥como tr𝐿|𝐾(𝑥) = tr(𝑇𝑥), 𝑁𝐿|𝐾(𝑥) = det(𝑇𝑥). Teorema A.3. Sean 𝐾un cuerpo completo con respecto a una norma |⋅|y𝐿|𝐾una extensión algebraica (posiblemente infinita). Entonces, |⋅|se extiende de manera única a𝐿. En caso de que 𝐿sea una extensión de grado 𝑛 < ∞, la extensión de la valoración viene dada por |𝛼|=𝑛 √|𝑁𝐿|𝐾(𝛼)|. Además, en este caso la extensión es completa. Demostración. El caso de que la norma sea arquimediana, se restringe a los casos ℝ yℂpor el teorema de Ostrowski. En estas condiciones, el único caso no trivial es 𝑁ℂ|ℝ(𝑧) = 𝑧𝑧 =|𝑧|2, lo cual es un resultado conocido de análisis. Suponemos entonces que |⋅|es no arquimediana. Como toda extensión algebraica es la unión de sus subextensiones finitas, podemos asumir que 𝐿|𝐾es finita de grado 𝑛. Comenzamos probando que la norma se puede extender. Denotaremos por 𝐾y𝐿 al anillo de valoración de 𝐾(su anillo de enteros) y a la clausura entera de 𝐾sobre 𝐿. Se tiene que 𝐿={𝛼∈𝐿∶𝑁𝐿|𝐾(𝛼) ∈ 𝐾}.(2) La contención de izquierda a derecha es un resultado sencillo de teoría algebraica de números ([6] I,pág 12). Recíprocamente, sea 𝛼∈𝐿∗tal que 𝑁𝐿|𝐾(𝛼) ∈ 𝐾. Consideramos 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑑+𝑎𝑑−1𝑥𝑑−1 +⋯+𝑎0∈𝐾[𝑥] el polinomio mínimo de 𝛼sobre 𝐾. Entonces, 𝑁𝐿|𝐾(𝛼) = ±𝑎𝑚 0∈𝐾([6] I.2.6). Por tanto, |𝑎0|≤1, i.e. 𝑎0∈𝐾. El corolario anterior implica que 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], i.e. a. apéndice 113 𝛼∈𝐿. Vamos a comprobar que la norma que nos da el teorema, efectivamente es una norma sobre 𝐿y extiende a la de 𝐾. En primer lugar, las condiciones 𝛼= 0 ⇐⇒ |𝛼|= 0 𝑦|𝛼𝛽|=|𝛼||𝛽| son triviales. La desigualdad triangular fuerte |𝛼+𝛽|≤m ax{|𝛼|,|𝛽|} se reduce, dividiendo por 𝛼o𝛽, a probar la implicación |𝛼|≤1⇐⇒ |𝛼+ 1|≤1. Ahora bien, esto equivale a la implicación 𝛼∈𝐿⇐⇒ 𝛼+ 1 ∈ 𝐿, lo cual es trivialmente cierto, por (2). La restricción de esta norma a 𝐾es la norma |⋅|y el anillo de valoración de la norma extendida es . Pasamos a probar la unicidad, sea |⋅|′otra extensión de la valoración con anillo de valoración ′ 𝐿. Sean 𝔭y𝔭′los ideales maximales de los anillos de valoración 𝐿y ′ 𝐿respectivamente. Vamos a probar que 𝐿⊂′ 𝐿. Por reducción al absurdo, supongamos que existe 𝛼∈𝐿⧵′ 𝐿y sea 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑑+𝑎1𝑥𝑑−1 +⋯+𝑎𝑑 el polinomio mínimo de 𝛼sobre 𝐾. Por definición de 𝐿, se cumple que 𝑎1,…, 𝑎𝑑∈ 𝐾. Además, como ′es un anillo de valoración 𝛼−1 ∈𝔭′, de lo que se deduce que 1=−𝑎1𝛼−1 −⋯−𝑎𝑑(𝛼−1)𝑑∈𝔭′y esto es una contradicción. Por tanto, ⊂′. Dicho de otra forma hemos probado que: |𝛼|≤1⇐⇒ |𝛼|′≤1. Esto implica que las normas son equivalentes, ya que si no lo fueran el lema de aproximación (A.1) nos permite encontrar 𝛼∈𝐿tal que |𝛼|≤1y|𝛼|′>1. Además, |⋅| y|⋅|′son iguales porque ambas coinciden en 𝐾, que es denso. Este teorema también nos dice que dado un cuerpo 𝐾completo con respecto a una valoración 𝑣y𝐿|𝐾una extensión algebraica, la valoración se extiende de manera única a una valoración 𝑤sobre 𝐿. Además, la extensión viene dada por 𝑤(𝛼) = 1 𝑛𝑣(𝑁𝐿|𝐾(𝛼)) si 𝑛= [𝐿∶𝐾]<∞. 120 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Proposición A.12.Sea 𝐿|𝐾una extensión finita. Dicha extensión es moderadamente ramificada si, y sólo si, la extensión 𝐿|𝑇es de la forma 𝐿=𝑇(𝑎1∕𝑚1 1,…, 𝑎1∕𝑚𝑟 𝑟) con (𝑚𝑖, 𝑝)=1para todo 𝑖. En dicho caso, siempre se da la igualdad [𝐿∶𝐾] = 𝑒𝑓 Demostración. Podemos suponer que 𝐾=𝑇porque 𝐿|𝐾es moderadamente ramificada si, y sólo si, 𝐿|𝑇es moderadamente ramificada. Además, en este último caso, la proposición A.11 nos dice que [𝑇∶𝐾]=[𝜆∶𝑘] = 𝑓. De esta manera, supongamos que 𝐿|𝐾es una extensión moderadamente ramificada con 𝐾=𝑇. En particular, tenemos que 𝜆=𝑘y que ([𝐿∶𝐾], 𝑝)=1. En primer lugar, vamos a probar que 𝑒= 1 implica que 𝐿=𝐾. Sea 𝛼∈𝐿⧵𝐾, llamamos 𝛼=𝛼1,…, 𝛼𝑚a los conjugados de 𝛼,𝑎∶= tr(𝛼) = ∑𝑚 𝑖=1 𝛼𝑖y𝛽∶= 𝛼−1 𝑚𝑎∈𝐿⧵𝐾. Notemos que, tr(𝛽) = 𝑎−1 𝑚 𝑚 ∑ 𝑖=1 tr(𝛼𝑖) = 𝑎−𝑎= 0. Como 𝑣(𝐾∗) = 𝑤(𝐿∗), podemos encontrar un 𝑏∈𝐾∗tal que 𝑣(𝑏) = 𝑤(𝛽). De esta manera, 𝜀∶= 𝛽∕𝑏∈𝐿⧵𝐾es una unidad con traza ∑𝑚 𝑖=1 𝜀𝑖= 0. Ahora bien, los conjugados 𝜀𝑖tienen todos la misma clase residual, pues estamos suponiendo que 𝜆=𝑘. Reduciendo la ecuación ∑𝑚 𝑖=1 𝜀𝑖= 0 obtenemos: 0 = 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝜀𝑖=𝑚𝜀. Como 𝜀es una unidad, esto implica que 𝑝|𝑚, pero 𝑚|[𝐿∶𝐾]lo cual contradice que la extensión sea moderadamente ramificada. Sean ahora 𝜔1,…, 𝜔𝑟∈𝜔(𝐿∗)un sistema de representantes para el grupo cociente 𝑤(𝐿∗)∕𝑣(𝐾∗)y𝑚𝑖el orden de 𝜔𝑖m od 𝑣(𝐾∗). Si llamamos 𝑛= [𝐿∶𝐾], tenemos que 𝑤(𝐿∗) = 1 𝑛𝑣(𝑁𝐿|𝐾(𝐿∗)) ⊂1 𝑛𝑣(𝐾∗). Por tanto, 𝑚𝑖|𝑛, lo cual implica que (𝑚𝑖, 𝑝)=1. Sea 𝛾𝑖∈𝐿∗tal que 𝑤(𝛾𝑖) = 𝜔𝑖, por definicón de los 𝑚𝑖tenemos que 𝑤(𝛾𝑚𝑖 𝑖) = 𝑐𝑖con los 𝑐𝑖∈𝐾. Tenemos, por tanto, que 𝛾𝑚𝑖 𝑖=𝑐𝑖𝜀𝑖para alguna unidad 𝜀𝑖∈𝐿. Como 𝜆=𝑘podemos escribir 𝜀𝑖=𝑏𝑖𝑢𝑖 a. apéndice 121 con 𝑏𝑖∈𝐾y𝑢𝑖una unidad de 𝐿que se reduce a 1en 𝜆. Aplicando ahora el lema de Hensel a la ecuación 𝑥𝑚𝑖−𝑢𝑖= 0 obtenemos 𝛽𝑖∈𝐿una solución para dicha ecuación. Poniendo 𝛼𝑖=𝛾𝑖𝛽−1 𝑖∈𝐿, tenemos que 𝑤(𝛼𝑖) = 𝜔𝑖y que: 𝛼𝑚𝑖=𝑎𝑖, 𝑖 = 1,…, 𝑟, donde, los 𝑎𝑖=𝑐𝑖𝑏∈𝐾, i.e. tenemos que 𝐾(𝑎1∕𝑚1 1,…, 𝑎1∕𝑚𝑟 𝑟)⊂ 𝐿. Ahora bien, el índice de ramificación de esta última extensión es 1por construcción. Así que como vimos al principio de la prueba tenemos que 𝐿=𝐾(𝑎1∕𝑚1 1,…, 𝑎1∕𝑚𝑟 𝑟). La igualdad [𝐿∶𝐾] = 𝑒la probaremos por inducción en 𝑟usando que sabemos que [𝐿∶𝐾]≥𝑒. Sea 𝐿1=𝐾(𝑎1∕𝑚1 1), entonces 𝜔1∈𝑤(𝐿∗ 1). Luego, 𝑒(𝐿1|𝐾)=(𝑤(𝐿∗ 1) ∶ 𝑣(𝐾∗)) ≥𝑚1≥[𝐿1∶𝐾] Además, 𝑒(𝐿|𝐿1)≥[𝐿∶𝐿1], ya que 𝑤(𝐿∗)∕𝑤(𝐿∗ 1)está generado por 𝜔2,…, 𝜔𝑟. Entonces, 𝑒=𝑒(𝐿|𝐿1)𝑒(𝐿1|𝐾)≥[𝐿∶𝐿1][𝐿1∶𝐾]=[𝐿∶𝐾]. Recíprocamente, vamos a probar que la extensión 𝐿=𝐾(𝑎1∕𝑚1 1,…, 𝑎1∕𝑚𝑟 𝑟)es moderadamente ramificada. Para ello, basta probarlo para 𝑟= 1 y aplicarlo iterativamente. Además, nos podemos reducir al caso en que el cuerpo residual es separablemente cerrado. En efecto, si consideramos 𝐾1=𝐾𝑛𝑟, cuyo cuerpo residual es 𝑘1=𝑘𝑠la clausura separable de 𝑘. Obtenemos, así el siguiente diagrama: 𝐿 𝐿1 𝐾 𝐾1 donde 𝐿∩𝐾1=𝑇=𝐾y𝐿1=𝐾1(𝑎1∕𝑚). Si suponemos que 𝐿1|𝐾1es moderadamente ramificada, entonces 𝜆1|𝑘1es separable, luego 𝜆1=𝑘1y𝑝∤ [𝐿1∶𝐾1]=[𝐿∶ 𝐾]=[𝐿∶𝑇]. Por tanto, 𝐿|𝐾también es moderadamente ramificada. Sea ahora 𝛼=𝑎1∕𝑚. Podemos suponer que [𝐿∶𝐾] = [𝐾(𝑎1∕𝑚)∶𝐾]=𝑚. En efecto, si 𝑑es el mayor divisor de 𝑚tal que 𝑎=𝑎′𝑑para algún 𝑎′∈𝐾∗, y si 𝑚′=𝑚∕𝑑, 122 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas entonces 𝛼=𝑎′1∕𝑚′y[𝐾(𝑎′1∕𝑚′) ∶ 𝐾]=𝑚′. Pongamos 𝑛= ord(𝑤(𝛼) m  od 𝑣(𝐾∗)). Como 𝑚𝑤(𝛼) = 𝑣(𝑎) ∈ 𝑣(𝐾∗), podemos escribir 𝑚=𝑛𝑑. Por otro lado, existe 𝑏∈𝐾∗tal que 𝑤(𝛼𝑛) = 𝑣(𝑏). Además, 𝑣(𝑏𝑑) = 𝑤(𝛼𝑚) = 𝑣(𝑎), de lo que se deduce que existe una unidad 𝜀de K tal que: 𝛼𝑚=𝑎=𝜀𝑏𝑑. Como (𝑑, 𝑝) = 1, la ecuación 𝑥𝑑−𝜀= 0 tiene todas sus raíces en 𝑘, por ser seprablemente cerrado. Por tanto, por el lema de Hensel la ecaución 𝑥𝑑−𝜀= 0 también tiene todas sus raíces sobre 𝐾. Por tanto, podemos elegir 𝑏∈𝐾∗de manera que 𝛼𝑚=𝑏𝑑=𝑎. Como 𝑥𝑚−𝑎es irreducible, tenemos que 𝑑= 1, y, por tanto, 𝑚=𝑛. Luego, 𝑒≥𝑛= [𝐿∶𝐾]≥𝑒𝑓 ≥𝑒. Es decir, 𝑓= 1, luego 𝜆=𝑘y𝑝∤𝑛=𝑒. Por tanto, 𝐿|𝐾es moderadamente ramificada. Corolario A.3.Sea 𝐿|𝐾y𝐾′|𝐾dos extensiones dentro de la clausura algebraica 𝐾|𝐾, y 𝐿′=𝐿𝐾′. Entonces, 𝐿|𝐾es moderadamente ramificada ⇐⇒ 𝐿′|𝐾′es moderadamente ramificada. En particular, toda subextensión de una extensión moderadamente ramificada es moderadamente ramificada. Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la extensión 𝐿|𝐾 es finita. Consideramos el diagrama 𝐿 𝐿′ 𝑇 𝑇 ′ 𝐾 𝐾′ donde la inclusión 𝑇 ⊂ 𝑇 ′se deduce de la proposición A.10. Si 𝐿|𝐾es moderadamente ramificada, entonces 𝐿=𝑇(𝑎1∕𝑚1 1,…, 𝑎1∕𝑚𝑟 𝑟)con (𝑚𝑖, 𝑝)=1. Por tanto, 𝐿′=𝐿𝐾′=𝐿𝑇 ′=𝑇′(𝑎1∕𝑚1 1,…, 𝑎1∕𝑚𝑟 𝑟). Luego el resultado anterior nos dice que 𝐿′|𝐾′es moderadamente ramificada. La afirmación relacionada con las subextensiones se prueba igual que en el caso no ramificado. a. apéndice 123 Corolario A.4.La extensión generada por otras dos extensiones moderadamente ramificadas (el composite) es moderadamente ramificada. Demostración. De nuevo, la prueba es análoga al caso no ramificado. Definición A.16. Sea 𝐿|𝐾una extensión algebraica. Entonces, la unión 𝑉|𝐾de todas las subextensiones moderadamente ramificadas se denomina la subextensión maximal moderadamente ramificada de 𝐿|𝐾. Denotemos por 𝑤(𝐿∗)(𝑝)al subgrupo de los elementos 𝜔∈𝑤(𝐿∗)tal que 𝑚𝜔 ∈ 𝑣(𝐾∗)para algún 𝑚coprimo con 𝑝. De esta manera, el cociente 𝑤(𝐿∗)(𝑝)∕𝑣(𝐾∗)son los elementos de 𝑤(𝐿∗)∕𝑣(𝐾∗)de orden coprimo con 𝑝. Se tiene el siguiente resultado: Proposición A.13.La extensión maximal moderadamente ramificada 𝑉|𝐾de 𝐿|𝐾 cumple que 𝑤(𝑉∗) = 𝑤(𝐿∗)(𝑝)y que su cuerpo residual es igual a la clausura separable 𝜆𝑠de 𝑘en 𝜆|𝑘. Demostración. Nos podemos restringir al caso en que 𝐿|𝐾es una extensión finita. Pasando de 𝐾a la subextensión maximal no ramificada, podemos suponer que 𝜆𝑠=𝑘. Como 𝑝∤𝑒(𝑉|𝐾) = #𝑤(𝑉∗)∕𝑣(𝐾∗), tenemos que 𝑤(𝑉∗)⊂ 𝑤(𝐿∗)(𝑝). Recíprocamente, si seguimos la prueba de la proposición A.12, dado 𝜔∈𝑤(𝐿∗)(𝑝)podemos econtrar 𝛼=𝑚 √𝑎∈𝐿tal que 𝑎∈𝐾,(𝑚, 𝑝)=1y𝑤(𝛼) = 𝜔. Como 𝛼∈𝑉, hemos acabado. Los resultados obtenidos en esta sección se pueden resumir como sigue: 𝐾 ⊂ 𝑇 ⊂ 𝑉 ⊂ 𝐿 𝑘 ⊂ 𝜆𝑠=𝜆𝑠⊂ 𝜆 𝑣(𝐾∗) = 𝑤(𝑇∗)⊂ 𝑤(𝐿∗)(𝑝)⊂ 𝑤(𝐿∗) Si 𝐿|𝐾es una extensión finita y 𝑒=𝑒′𝑝𝑎con (𝑒′, 𝑝)=1, entonces [𝑉∶𝑇] = 𝑒′. Diremos que la extensión 𝐿|𝐾es totalmente ramificada si 𝑇=𝐾y salvajemente ramificada si no es moderadamente ramificada, i.e. 𝑉≠𝐿. Aunque, hasta ahora hemos desarrollado la teoría en un contexto muy general, el caso que nos interesa es el de 𝐾un cuerpo completo con respecto a una valoración con cuerpo residual finito, i.e 𝑘=𝔽𝑞con 𝑞=𝑝𝑟. Proposición A.14.Sea 𝜁una raíz 𝑛-ésima de la unidad. Pongamos 𝐿=𝐾(𝜁)y sean 𝐿|𝐾, resp. 𝜆|𝑘, la extensión de anillos de valoración, resp. de cuerpos residuales, de 𝐿|𝐾. Supongamos que (𝑛, 𝑝)=1. Entonces, se tienen: a) La extensión 𝐿|𝐾es no ramificada de grado 𝑓, con 𝑓el menor numero natural tal que 𝑞𝑓≡1 m od 𝑛. 124 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas b) El grupo de Galois Gal(𝐿|𝐾)es canónicamente isomorfo a Gal(𝜆|𝑘)y está generado por el automorfismo 𝜑∶𝜁←→ 𝜁𝑞. c) 𝐿=𝐾[𝜁]. Demostración. Sea 𝜙(𝑥)el polinomio mínimo de 𝜁sobre 𝐾. La reducción 𝜙(𝑥)es el polinomio mínimo de 𝜁≡𝜁m od 𝔭𝐾sobre 𝑘. En efecto, el 𝜙(𝑥)tiene que ser un divisor del polinomio 𝑥𝑛− 1 y, como (𝑛, 𝑝)=1, dicho polinomio tiene que ser separable. Si 𝜙(𝑥)no es irreducible, 𝜙(𝑥)tampoco, por el lema de Hensel, lo cual es una contradicción. Por tanto, 𝜙y𝜙tienen el mismo grado, de lo que deducimos que [𝐿∶𝐾]=[𝐾(𝜁) ∶ 𝐾]=[𝜆∶𝑘] = 𝑓. Luego, 𝐿|𝐾es no ramificada. El polinomio 𝑥𝑛− 1 se descompone en sus factores lineales sobre 𝐿y, por tanto, sobre 𝜆, por ser separable. Por tanto, 𝜆=𝔽𝕢𝕗está contiene a 𝜇𝑛el grupo de raíces de la unidad y está generado por ellas. Por tanto, 𝑓es el menor entero tal que 𝜇𝑛⊂𝔽𝑞𝑓. De esto se deducen los dos primeros puntos. Como 𝐿|𝐾es no ramificado, tenemos que 𝔭𝐾=𝔭𝐿y como 1, 𝜁, …, 𝜁𝑓−1 es una base de 𝜆|𝑘, tenemos que 𝐿=𝐾[𝜁] + 𝔭𝐾. Luego, 𝐿=𝐾[𝜁]por el lema de Nakayama. A.5 Extensión de Valoraciones En la sección anterior hemos visto que si 𝐾es un cuerpo henseliano la valoración se extiende de manera única a toda extensión algebraica. En esta sección vamos a estudiar el problema de extender una valoración 𝑣sobre un cuerpo 𝐾a una extensión algebraica de este en general. Para cada valoración 𝑣de 𝐾, denotaremos por 𝐾𝑣a la completación de 𝐾con respec- to a 𝑣y por 𝐾𝑣a la clausura algebraica de 𝐾𝑣. A la extensión canónica de 𝑣desde 𝐾a 𝐾𝑣, la seguiremos denotando por 𝑣, mientras que a la extensión única de 𝑣desde 𝐾𝑣 hasta 𝐾𝑣la denotaremos por 𝑣. Sea 𝐿|𝐾una extensión algebraica. Si elegimos una 𝐾-inmersión 𝜏∶𝐿←→ 𝐾𝑣, a. apéndice 125 podemos restringir la valoración 𝑣a𝜏𝐿, para obtener una extensión de 𝑣a𝐿. Si llamamos 𝑤a dicha extensión, esta viene definida por 𝑤=𝑣◦𝜏. Con respecto a estas valoraciones, la inmersión 𝜏∶𝐿←→ 𝐾𝑣 es continua por construcción. Si la extensión 𝐿|𝐾es finita, entonces 𝜏se extiende de manera única a un homomorfismo 𝜏∶𝐿𝑤←→ 𝐾𝑣. Dicha extensión se hace por continuidad y está bien definida porque la completación de 𝜏𝐿 es una extensión finita de 𝐾𝑣y, por tanto, está contenida en 𝐾𝑣. En el caso en que la extensión 𝐿|𝐾sea infinita, también podemos extender la inmersión a 𝜏∶𝐿𝑤←→ 𝐾𝑣. Sin embargo, en este caso 𝐿𝑤no denota la completación de 𝐿con respecto a 𝑤, ya que en ese caso la aplicación anterior no está bien definida. El objeto apropiado para definir la extensión anterior es 𝐿𝑤=⋃ 𝑖 𝐿𝑖,𝑤, donde 𝐿𝑖,𝑤 recorre las completaciones de las subextensiones finitas de 𝐿|𝐾. Esta unión se denomina la localización de 𝐿en 𝑤. De esta manera, tenemos el siguiente diagrama compatible con la extensión de valoraciones: 𝐿 𝐿𝑤 𝐾 𝐾𝑣 Este diagrama es de vital importancia en teoría de números. En cierta forma, representa el principio local-global, es decir, nos permite pasar problemas en extensiones globales 𝐿|𝐾a extensiones locales 𝐿𝑤|𝐾𝑣. En la siguiente sección veremos como relacionar las extensiones locales con las globales mediante los grupos de Galois. Acabamos de ver que cada 𝐾-inmersión 𝜏∶𝐿←→ 𝐾𝑣nos da una extensión 𝑤=𝑣◦𝜏 126 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas de la valoración 𝑣de 𝐾. Para cada 𝜎∈ Gal(𝐾), tenemos una nueva 𝐾-inmersión dada por la composición 𝐿 𝐾𝑣𝐾𝑣, 𝜏 𝜎 es decir, 𝜏′=𝜎◦𝜏. Llamaremos conjugadas a las 𝐾-inmersiones que están relacionadas por un 𝐾-automorfismo de 𝐾𝑣. El siguiente resultado nos da una descripción completa de las extensiones de 𝑣a𝐿. Teorema A.6 (de extensión de valoraciones). Sea 𝐿|𝐾una extensión algebraica de cuerpos y 𝑣una valoración definida sobre 𝐾. Entonces, tenemos que: i) Cada extensión 𝑤de la valoración 𝑣es de la forma 𝑤=𝑣◦𝜏para alguna inmersión 𝜏∶𝐿←→ 𝐾𝑣. ii) Dos extensiones 𝑣◦𝜏y𝑣◦𝜏′son iguales si, y sólo si, 𝜏y𝜏′son conjugados. Demostración. i) Sea 𝑤una extensión de 𝑣a𝐿y sea 𝐿𝑤la localización de 𝐿con respecto a 𝑤. A la extensión canónica de 𝑤a𝐿𝑤, la seguiremos denotando 𝑤. Por el teorema A.3, hay una única extensión de 𝑣desde 𝐾𝑣a𝐿𝑤. Si elegimos 𝜏∶𝐿𝑤←→ 𝐾𝑣una 𝐾𝑣-inmersión cualquiera, la cual existe porque 𝐿𝑤|𝐾𝑣es una extensión algebraica, tenemos que 𝑣◦𝜏debe coincidir con 𝑤por la unicidad. Ahora bien, la restricción 𝜏∶𝐿←→ 𝐾𝑣es una 𝐾-inmersión que cumple 𝑤= 𝑣◦𝜏. ii) Sean 𝜏y𝜎𝜏 dos 𝐾-inmersiones de L conjugadas, con 𝜎∈ Gal(𝐾𝑣|𝐾𝑣). Como 𝑣es la única extensión de 𝑣desde 𝐾𝑣a𝐾𝑣, se tiene que 𝑣=𝑣◦𝜎y, por tanto, 𝑣◦𝜏=𝑣◦(𝜎◦𝜏). Por tanto, las extensiones de 𝑣inducidas por 𝜏y𝜎◦𝜏son la misma. Recíprocamente, sea 𝜏, 𝜏′∶𝐿←→ 𝐾𝑣dos 𝐾-inmersiones tales que 𝑣◦𝜏=𝑣◦𝜏′. Sea 𝜎∶𝜏𝐿 ←→ 𝜏′𝐿el 𝐾-isomorfismo dado por 𝜎=𝜏′◦𝜏−1. Este isomorfismo se puede extender a un 𝐾𝑣-isomorfismo 𝜎∶𝜏𝐿 ⋅𝐾𝑣←→ 𝜏′𝐿⋅𝐾𝑣 por continuidad, ya que 𝜏𝐿 es denso en 𝜏𝐿 ⋅𝐾𝑣. Extendiendo ahora 𝜎a un 𝜎 ∈ Gal(𝐾𝑣|𝐾𝑣), tenemos que 𝜏=𝜎◦𝜏, como queríamos demostrar. a. apéndice 127 A.6 Teoría de Galois de valoraciones En esta sección vamos a considerar 𝐿|𝐾una extensión de Galois y vamos a estudiar como el grupo de Galois actúa sobre las valoraciones 𝑤que extienden a 𝑣. Para hacer este estudio vamos a necesitar usar los resultados principales de la teoría de Galois, no solo finita , sino también la infinita. Por ello, comenzaremos la sección dando los principales resultados de esta A.6.1 Inercia y ramificación Sea 𝐿|𝐾una extensión de Galois arbitraria con grupo de Galois 𝐺= Gal(𝐿|𝐾). Si 𝑣es una valoración sobre 𝑣y𝑤es una valoración sobre 𝐿que extiende a 𝑣, entonces 𝑤◦𝜎también extiende a 𝑣, para cada 𝜎∈𝐺. Por tanto, el grupo 𝐺actúa sobre el conjunto de extensiones 𝑤|𝑣. Proposición A.15.El grupo 𝐺actúa transitivamente sobre el conjunto de las extensiones 𝑤|𝑣, i.e. dos extensiones cualesquiera son conjugados. Demostración. Sean 𝑤y𝑤′dos extensiones de 𝑣sobre 𝐿. En primer lugar, supongamos que 𝐿|𝐾es finita. Si 𝑤y𝑤′no son conjugados, entonces los conjuntos {𝑤◦𝜎∶𝜎∈𝐺}y{𝑤′◦𝜎∶𝜎∈𝐺} son disjuntos. Por el lema de aproximación (lema A.1), existe 𝑥∈𝐿tal que |𝜎𝑥|𝑤<1y|𝜎𝑥|′ 𝑤>1 para todo 𝜎∈𝐺. Si ponemos ahora 𝛼∶= 𝑁𝐿|𝐾(𝑥) = ∏ 𝜎∈𝐺 𝜎𝑥, entonces, |𝛼|𝑣=∏ 𝜎∈𝐺|𝜎𝑥|𝑤<1. De manera análoga, podemos probar que |𝛼|𝑣>1, lo cual es una contradicción. Supongamos ahora que 𝐿|𝐾es infinita y consideremos los conjuntos 𝑋𝑀= {𝜎∈𝐺∶𝑤◦𝜎|𝑀=𝑤′ |𝑀} 128 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas con 𝑀|𝐾variando entre las extensiones finitas de Galois. Ya hemos visto que los 𝑋𝑀 son no vacíos. Además, son cerrados, ya que si 𝜎∈𝐺⧵𝑋𝑀entonces, el entorno abierto 𝜎Gal(𝐿|𝑀)⊂ 𝐺 ⧵𝑋𝑀. Además, ⋂𝑋𝑀≠∅, pues en caso contrario, por la compacidad de 𝐺tendríamos que ⋂𝑟 𝑖=1 𝑋𝑀𝑖= ∅ para una cantidad finita de 𝑀𝑖. Sin embargo, esto es una contradicción, ya que 𝑋𝑀=⋂𝑟 𝑖=1 𝑋𝑀𝑖con 𝑀=𝑀1⋯𝑀𝑟. Por tanto, hemos probado que existe 𝜎∈𝐺tal que 𝑤◦𝜎=𝑤′. Definición A.17. El grupo de descomposición de una extensión 𝑤de 𝑣sobre 𝐿se define como 𝐺𝑤=𝐺𝑤(𝐿|𝐾)={𝜎∈ Gal(𝐿|𝐾) ∶ 𝑤◦𝜎=𝑤}. En caso de que 𝑣sea una valoración no arquimediana, podemos encontrar dos subgrupos canónicos más. Recuperamos la notación 𝑣,𝔭𝑣, 𝑘, 𝑤,𝔭𝑤, 𝜆. Definición A.18. El grupo de inercia de 𝑤|𝑣se define como 𝐼𝑤=𝐼𝑤(𝐿|𝐾) = {𝜎∈𝐺𝑤∶ ∀𝑥∈𝑤, 𝜎𝑥 ≡𝑥m od 𝔭𝑤} y el grupo de ramificación se define como 𝑅𝑤=𝑅𝑤(𝐿|𝐾) = {𝜎∈𝐺𝑤∶ ∀𝑥∈𝐿∗,𝜎𝑥 𝑥≡1 m od 𝔭𝑤}. Observación A.7.Es importante notar que si 𝜎∈𝐺𝑤, la igualdad 𝑤◦𝜎=𝑤implica que 𝜎𝑤=𝑤y∀𝑥∈𝐿∗, 𝜎𝑥∕𝑥∈𝑤. Además, se tiene que 𝑅𝑤⊂ 𝐼𝑤⊂ 𝐺𝑤. Los subgrupos 𝐺𝑤, 𝐼𝑤, 𝑅𝑤de 𝐺= Gal(𝐿|𝐾)son canónicos en el sentido de que son cerrados para la topología de Krull. La prueba de esto es rutinaria. Vamos a dar la prueba para el grupo de descomposición para ilustrar el tipo de argumentos que se usan. Sea 𝜎∈ Gal(𝐿|𝐾)un elemento en la clausura de 𝐺𝑤. Esto quiere decir que para cada 𝑀|𝐾subextensión finita de Galois de 𝐿|𝐾el entorno 𝜎∈ Gal(𝐿|𝑀)contiene algún elemento 𝜎𝑀∈𝐺𝑤. Como 𝜎𝑀∈𝜎Gal(𝐿|𝑀), se tiene que 𝜎𝑀|𝑀=𝜎|𝑀, y 𝑤◦𝜎𝑀=𝑤implica que 𝑤◦𝜎|𝑀=𝑤◦𝜎𝑀|𝑀=𝑤|𝑀 Como 𝐿es la unión de todos los 𝑀, hemos probado que 𝑤◦𝜎=𝑤y, por tanto, 𝜎∈𝐺𝑤. a. apéndice 129 Los subgrupos 𝐺𝑤, 𝐼𝑤, 𝑅𝑤contienen mucha información acerca de cómo se extiende la valoración 𝑣de 𝐾a𝐿. Sin embargo, antes de adentrarnos en esto vamos a ver las propiedades funtoriales de estos grupos. Consideremos dos extensiones de Galois 𝐿|𝐾y𝐿′|𝐾′y un diagrama conmutativo de la forma: 𝐿 𝐿′ 𝐾 𝐾′ 𝜏 𝜏 con 𝜏un homomorfismo. Esta situación induce un homomorfismo 𝜏∗∶ Gal(𝐿′|𝐾′)←→ Gal(𝐿|𝐾) 𝜎′←→ 𝜏(𝜎′) = 𝜏−1𝜎′𝜏 Notemos que como la extensión 𝐿|𝐾es normal, la extensión 𝜏𝐿|𝜏𝐾 también lo es. Por tanto, 𝜎′𝜏𝐿 ⊂ 𝜏𝐿. Luego la definición anterior tiene sentido. Proposición A.16.Sea 𝑤′una valoración sobre 𝐿′y𝑤una valoración sobre 𝐿tales que 𝑣′=𝑤′|𝐾, 𝑣 =𝑤|𝐾y𝑤=𝑤′◦𝜏. Entonces, 𝜏∗induce homomorfismos: 𝐺𝑤′(𝐿′|𝐾′)←→ 𝐺𝑤(𝐿|𝐾) 𝐼𝑤′(𝐿′|𝐾′)←→ 𝐼𝑤(𝐿|𝐾) 𝑅𝑤′(𝐿′|𝐾′)←→ 𝑅𝑤(𝐿|𝐾), donde, en los dos últimos casos, estamos suponiendo que 𝑣es no arquimediana. Demostración. Sean 𝜎′∈𝐺𝑤′(𝐿′|𝐾′)y𝜎=𝜏∗(𝜎′). Si 𝑥∈𝐿, entonces se tiene que: |𝑥|𝑤◦𝜎=|𝜎𝑥|𝑤=|𝜏−1𝜎′𝜏𝑥|𝑤=|𝜎′𝜏𝑥|𝑤′=|𝜏𝑥|𝑤′=|𝑥|𝑤. Por tanto, 𝜎∈𝐺𝑤(𝐿|𝐾). Supongamos ahora que 𝜎′∈𝐼𝑤′(𝐿′|𝐾′)y𝑥∈𝐿, entonces 𝑤(𝜎𝑥 −𝑥) = 𝑤(𝜏−1(𝜎′𝜏𝑥 −𝜏𝑥)) = 𝑤′(𝜎′(𝜏𝑥)−(𝜏𝑥)) >0, luego 𝜎∈𝐼𝑤(𝐿|𝐾). Por último supongamos que 𝜎′∈𝑅𝑤(𝐿|𝐾)y𝑥∈𝐿∗, entonces 𝑤(𝜎𝑥 𝑥− 1)=𝑤(𝜏−1(𝜎′𝜏𝑥 𝜏𝑥 − 1)) = 𝑤′(𝜎′𝜏𝑥 𝜏𝑥 − 1) >0. Por tanto 𝜎∈𝑅𝑤(𝐿|𝐾). 136 representaciones de galois asociadas a curvas elípticas Como 𝑇𝑤|𝐾es la subextensión maximal no ramificada de 𝑉𝑤|𝐾,𝑉𝑤|𝑇𝑤tiene grado de inercia 1. Por tanto, por el teorema A.12 se cumple la igualdad [𝑉𝑤∶𝑇𝑤] = #(𝑤(𝑉∗ 𝑤)∕𝑤(𝑇∗ 𝑤)). También sabemos que 𝑤(𝑇𝑤) = 𝑣(𝐾∗) =∶ Γ. Si ahora llamamos Λ = 𝑤(𝐿∗), también hemos probado que 𝑤(𝑉∗ 𝑤)∕𝑣(𝐾∗)≅Δ(𝑝)∕Γ ≤Δ∕Γ. Luego, [𝑉𝑤∶𝑇𝑤] = #(Δ(𝑝)∕Γ). Como 𝜆∗no tiene elementos de orden divisible por 𝑝, tenemos que 𝜒(𝐿|𝐾) = Hom(Δ∕Γ, 𝜆∗) = Hom(Δ(𝑝)∕Γ, 𝜆∗). Además, 𝜆∗contiene una raíz 𝑚-ésima siempre que Δ(𝑝)∕Γ contenga un elemento de orden 𝑚, ya que en ese caso hay una subextensión de Galois de 𝑉𝑤|𝑇𝑤de la forma 𝑇𝑤(𝑚 √𝑎)|𝑇𝑤por el teorema A.12. Por tanto, [𝑉𝑤∶𝑇𝑤] = #(Δ(𝑝)∕Γ) = 𝜒(𝐿|𝐾). Bibliografía [1] Michael F. Atiyah; Ian G. Mcdonald , ‘Introducción al Álgebra Conmutativa’. Reverté (1978). [2] Sara Arias-de-Reyna ‘DEA: Representaciones de Galois asociadas a los puntos de torsión de una curva’ elíptica’. Barcelona (Spain), (Junio 2006). [3] J.W.S. Cassels, A. Frölich ‘Algebraic Number Theory’. Thompson Book Company INC (1967). [4] A. Frölich ‘Formal groups’. Springer (1968). [5] J.S. Milne ‘Algebraic Number Theory’. 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