Modelado y recreación virtual con CATIA V5 de varios mecanismos para el trazado de elipses

Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales Modelado y recreación virtual con CATIA V5 de varios mecanismos para el trazado de elipses Autor: María del Valle Delgado Jiménez Tutor: D. Francisco Andrés Valderrama Gual Dpto. de Ingeniería Gráfica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 2 | Proyecto Fin de Grado Proyecto Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales Modelado y recreación virtual con CATIA V5 de varios mecanismos para el trazado de elipses Autor: María del Valle Delgado Jiménez Tutor: D. Francisco Andrés Valderrama Gual Profesor titular Dpto. de Ingeniería Gráfica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 3 | Proyecto Fin de Grado Proyecto Fin de Grado: Modelado y recreación virtual con CATIA V5 de varios mecanismos para el trazado de elipses Autor: María del Valle Delgado Jiménez Tutor: D. Francisco Andrés Valderrama Gual El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal 4 | Proyecto Fin de Grado Agradecimientos Me gustaría agradecer las oportunidades que me ha brindado la Escuela en estos años, no solo como fuente de conocimiento, sino que allí he conocido amigos con los que he aprendido, he disfrutado y han sido un apoyo fundamental cuando se hacía más duro, al fin y al cabo, son ellos los que han vivido la experiencia desde el mismo punto de vista. También mi agradecimiento a mi tutor D. Francisco A. Valderrama, ya que ha sido quien me ha guiado y ayudado en el desarrollo del Proyecto. Finalmente, gracias a mi familia, por creer siempre en mí, especialmente a mis padres quienes se esfuerzan día a día para que sea feliz. 5 | Proyecto Fin de Grado Resumen En el presente estudio se desarrolla el modelado y la posterior recreación virtual de varios mecanismos cuyo último fin es describir una elipse. Todos ellos proceden de la recopilación titulada Mecanismos de la Técnica Moderna cuyo autor es I.I. Artobolevski, la cual se considera la obra más completa en cuanto a mecanismos. Debido a que el documento fuente ofrece una información muy escueta, se ha hecho uso de los fundamentos teóricos de la Teoría de Máquinas y Mecanismos, para completar las posibles carencias a la hora de desarrollar los diferentes mecanismos. Por ello, previamente a su modelado, se ha realizado un análisis cinemático para visualizar un probable funcionamiento de los mismos. Partiendo de los diversos datos al alcance, se han modelado todos los elementos que conforman los mecanismos, para posteriormente ensamblarlos y darle forma al conjunto que configuran. Tras el desarrollo del Proyecto, se concluye que cuatro de los seis mecanismos modelados, realizan la función para la que han sido definidos y solo de ellos, se ha configurado una animación de su funcionamiento. Sin embargo, los otros dos mecanismos presentan problemas debido a colisiones en su funcionamiento o a la incorrecta descripción de su trayectoria, la elipse que debe describir. Además se han realizado ampliaciones de las aplicaciones de estos mecanismos, ya sea para el caso particular de circunferencias o para la descripción de elipses de diversos tamaños. Cabe destacar que para el desarrollo de este Proyecto, se ha utilizado una herramienta fundamental en la Ingeniería actual, el programa informático de diseño y fabricación asistido por ordenador, CATIA V5. 6 | Proyecto Fin de Grado Índice Agradecimientos ...................................................................................................... 4 Resumen .................................................................................................................. 5 Índice ....................................................................................................................... 6 Índice de Figuras ...................................................................................................... 8 1. Introducción .................................................................................................... 11 1.1. Antecedentes ..................................................................................................... 11 1.2. Planteamiento y objetivos del Proyecto ............................................................... 12 2. Herramienta .................................................................................................... 14 2.1. CAD/CAM ........................................................................................................... 14 2.2. CATIA V5 ............................................................................................................ 16 2.2.1. Mechanical Design .............................................................................................. 16 2.2.2. Digital Mockup .................................................................................................... 19 2.2.3. Infrastructure ...................................................................................................... 21 3. Desarrollo del Proyecto ................................................................................... 22 3.1. Fundamento teórico ........................................................................................... 22 3.1.1. Teoría de Máquinas y Mecanismos ..................................................................... 22 3.1.2. Elipse ................................................................................................................... 23 3.2. Mecanismo 1043................................................................................................. 25 3.2.1. Documento .......................................................................................................... 25 3.2.2. Análisis del mecanismo ....................................................................................... 26 3.2.3. Modelado ............................................................................................................ 26 3.2.3.1. Diseño .............................................................................................................. 26 3.2.3.2. Ensamblaje y funcionamiento ........................................................................ 28 3.2.4. Resultado final ..................................................................................................... 30 3.3. Mecanismo 1046................................................................................................. 34 3.3.1. Documento .......................................................................................................... 34 3.3.2. Análisis del mecanismo ....................................................................................... 35 3.3.3. Modelado ............................................................................................................ 35 3.3.3.1. Diseño .............................................................................................................. 35 3.3.3.2. Ensamblaje y funcionamiento ........................................................................ 38 3.3.4. Resultado final ..................................................................................................... 43 7 | Proyecto Fin de Grado 3.4. Mecanismo 1051................................................................................................. 45 3.4.1. Documento .......................................................................................................... 45 3.4.2. Análisis del mecanismo ....................................................................................... 46 3.4.3. Modelado ............................................................................................................ 46 3.4.3.1. Diseño .............................................................................................................. 46 3.4.3.2. Ensamblaje y funcionamiento ........................................................................ 51 3.4.4. Resultado final ..................................................................................................... 53 3.5. Mecanismo 1057................................................................................................. 55 3.5.1. Documento .......................................................................................................... 55 3.5.2. Análisis del mecanismo ....................................................................................... 56 3.5.3. Modelado ............................................................................................................ 56 3.5.3.1. Diseño .............................................................................................................. 56 3.5.3.2. Ensamblaje y funcionamiento ........................................................................ 62 3.5.4. Resultado final ..................................................................................................... 68 3.6. Mecanismo 1059................................................................................................. 69 3.6.1. Documento .......................................................................................................... 69 3.6.2. Análisis del mecanismo ....................................................................................... 70 3.6.3. Modelado ............................................................................................................ 70 3.6.3.1. Diseño .............................................................................................................. 70 3.6.3.2. Ensamblaje y funcionamiento ........................................................................ 76 3.6.4. Resultado final ..................................................................................................... 82 3.7. Mecanismo 1117................................................................................................. 87 3.7.1. Documento .......................................................................................................... 87 3.7.2. Análisis del mecanismo ....................................................................................... 88 3.7.3. Modelado ............................................................................................................ 88 3.7.3.1. Diseño .............................................................................................................. 88 3.7.3.2. Ensamblaje y funcionamiento ........................................................................ 96 3.7.4. Resultado final ................................................................................................... 100 4. Conclusiones ................................................................................................. 101 5. Estudios futuros............................................................................................. 102 6. Bibliografía .................................................................................................... 103 8 | Proyecto Fin de Grado Índice de Figuras Figura 2.1: Ciclo de vida del producto particularizado CAD/CAM [3] ......................................... 14 Figura 2.2: Itinerario de acceso al Part Design en CATIA V5 ....................................................... 16 Figura 2.3: Itinerario de acceso al Assembly Design en CATIA V5 ............................................. 18 Figura 2.4: Itinerario para insertar piezas en el módulo de Assembly Design ............................ 18 Figura 2.5: Itinerario de acceso al DMU Kinematics en CATIA V5 ............................................... 20 Figura 2.6: Kinematics Joints (Barra de herramientas) ............................................................... 20 Figura 2.7: Ventana de Edit Simulation del módulo de DMU Kinematics ................................... 21 Figura 2.8: Itinerario de acceso al Photo Studio en CATIA V5 ..................................................... 21 Figura 3.1: Parámetros de la Elipse ............................................................................................. 24 Figura 3.2: Esquema del Mecanismo 1043 [4] ............................................................................ 25 Figura 3.3: Eje base del Mecanismo 1043 ................................................................................... 27 Figura 3.4: Alzado de la barra 2 del Mecanismo 1043 ................................................................ 27 Figura 3.5: Planta de la barra 2 del Mecanismo 1043 ................................................................. 27 Figura 3.6: Barra 2 del Mecanismo 1043 .................................................................................... 28 Figura 3.7: Corredera 5 del Mecanismo 1043 ............................................................................. 28 Figura 3.8: Corredera 6 del Mecanismo 1043 ............................................................................. 28 Figura 3.9: Restricciones de movimiento del Mecanismo 1043 ................................................. 29 Figura 3.10: Perfil del Mecanismo 1043 ...................................................................................... 29 Figura 3.11: Alzado del Mecanismo 1043 ................................................................................... 29 Figura 3.12: Mecanismo 1043 ..................................................................................................... 30 Figura 3.13: Alzado del Mecanismo 1043 y elipse que describe. ............................................... 31 Figura 3.14: Alzado del Mecanismo 1043 Múltiple ..................................................................... 31 Figura 3.15: Mecanismo 1043 Múltiple Configuración 1 ............................................................ 32 Figura 3.16: Mecanismo 1043 Múltiple Configuración 2 ............................................................ 33 Figura 3.17: Esquema del Mecanismo 1046 [4] .......................................................................... 34 Figura 3.18: Eje base del Mecanismo 1046 ................................................................................. 36 Figura 3.19: Barra 1 del Mecanismo 1046 .................................................................................. 36 Figura 3.20: Palanca acodillada 2 del Mecanismo 1046 ............................................................. 37 Figura 3.21: Detalle de la cabeza de la palanca acodillada 2 del Mecanismo 1046 ................... 37 Figura 3.22: Corredera 3 del Mecanismo 1046 ........................................................................... 38 Figura 3.23: Restricciones de movimiento del Mecanismo 1046 ............................................... 39 Figura 3.24: Mecanismo 1046 ..................................................................................................... 39 Figura 3.25: Perfil del Mecanismo 1046 ..................................................................................... 40 Figura 3.26: Alzado del Mecanismo 1046 .................................................................................. 40 Figura 3.27: Base del Mecanismo ............................................................................................... 41 Figura 3.28: Mecanismo 1046 incorporado a la base ................................................................ 41 Figura 3.29: Mecanismo 1046 para ϕ= 20 ° ................................................................................ 42 Figura 3.30: Mecanismo 1046 para ϕ= 45 ° ................................................................................ 42 Figura 3.31: Mecanismo 1046 para ϕ= 90 ° ................................................................................ 43 Figura 3.32: Mecanismo 1046 y elipse que describe en la posición 1 ........................................ 44 Figura 3.33: Mecanismo 1046 y elipse que describe en la posición 2 ........................................ 44 Figura 3.34: Esquema del Mecanismo 1051 [4] .......................................................................... 45 9 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.35: Eje Base Extralargo (A) del Mecanismo 1051 .......................................................... 47 Figura 3.36: Eje Base (B) del Mecanismo 1051 ........................................................................... 47 Figura 3.37: Barra 1 del Mecanismo 1051 .................................................................................. 47 Figura 3.38: Barra 2 del Mecanismo 1051 .................................................................................. 48 Figura 3.39: Barra 4 del Mecanismo 1051 .................................................................................. 48 Figura 3.40: Escuadra del Mecanismo 1051................................................................................ 49 Figura 3.41: Detalle de la escuadra del Mecanismo 1051 .......................................................... 50 Figura 3.42: Corredera Cruciforme del Mecanismo 1051 ........................................................... 50 Figura 3.43: Corredera Cruciforme del Mecanismo 1051 (Vista transversal) ............................. 51 Figura 3.44: Restricciones de movimiento del Mecanismo 1051 ............................................... 51 Figura 3.45: Mecanismo 1051 ..................................................................................................... 52 Figura 3.46: Particularización del Mecanismo 1051 para el caso de circunferencias ................. 53 Figura 3.47: Mecanismo 1051 y las elipses que describe en la posición 1 ................................. 54 Figura 3.48: Mecanismo 1051 y las elipses que describe en la posición 2 ................................. 54 Figura 3.49: Esquema del Mecanismo 1057 [4] .......................................................................... 55 Figura 3.50: Eje Base del Mecanismo 1057 ................................................................................. 57 Figura 3.51: Barra 1 del Mecanismo 1057 .................................................................................. 57 Figura 3.52: Palanca acodada del Mecanismo 1057 ................................................................... 58 Figura 3.53: Detalle de la cabeza de la palanca acodada del Mecanismo 1057 ......................... 59 Figura 3.54: Corredera Cruciforme (Elemento 2) del Mecanismo 1057 ..................................... 59 Figura 3.55: Extremo de la Barra-Corredera 4 del Mecanismo 1057 .......................................... 60 Figura 3.56: Barra-Corredera 4 del Mecanismo 1057 ................................................................. 60 Figura 3.57: Corredera 5 del Mecanismo 1057 ........................................................................... 61 Figura 3.58: Corredera 6 del Mecanismo 1057 ........................................................................... 61 Figura 3.59: Barra 7 del Mecanismo 1057 .................................................................................. 62 Figura 3.60: Restricciones de movimiento del Mecanismo 1057 ............................................... 62 Figura 3.61: Base del Mecanismo 1057....................................................................................... 63 Figura 3.62: Parte del mecanismo 1057 y base........................................................................... 63 Figura 3.63: Alzado del Mecanismo 1057 ................................................................................... 63 Figura 3.64: Perfil del Mecanismo 1057 ...................................................................................... 64 Figura 3.65: Mecanismo 1057 ..................................................................................................... 64 Figura 3.66: Parte del Mecanismo 1057 Configuración 1 ........................................................... 65 Figura 3.67: Detalle del Mecanismo 1057 Configuración 1 (colisión) ......................................... 65 Figura 3.68: Mecanismo 1057 Configuración 2 ........................................................................... 65 Figura 3.69: Detalle del Mecanismo 1057 Configuración 2 (colisión) ......................................... 66 Figura 3.70: Mecanismo 1057 Configuración 3 ........................................................................... 66 Figura 3.71: Detalle del Mecanismo 1057 Configuración 3 (colisión) ......................................... 67 Figura 3.72: Alzado Mecanismo 1057 Configuración 1 (sobrepaso del tramo Gn) .................... 67 Figura 3.73: Mecanismo 1057 y la elipse que describe .............................................................. 68 Figura 3.74: Esquema del Mecanismo 1059 [4] .......................................................................... 69 Figura 3.75: Soporte 1 del Mecanismo 1059 .............................................................................. 71 Figura 3.76: Soporte 1 del Mecanismo 1059 (Vista posterior) ................................................... 72 Figura 3.77: Anillo 2 del Mecanismo 1059 .................................................................................. 72 Figura 3.78: Corredera Corona 4 del Mecanismo 1059 .............................................................. 73 Figura 3.79: Planta de la Corredera Corona 4 del Mecanismo 1059 .......................................... 73 16 | Proyecto Fin de Grado 2.2. CATIA V5 Es uno de los programas CAD/CAM más potentes de la industria actual, de ahí la elección del mismo para el desarrollo del trabajo. Aunque en sus inicios fue creado con fines aeronáuticos, éste se ha extendido a multitud de disciplinas, por lo que desenvolverse en su utilización es un recurso necesario en la actualidad, de manera que ésta era una buena oportunidad de iniciarme en su manejo. Este programa ha evolucionado a pasos agigantados desde su origen en 1975, cuando fue desarrollado por la empresa de aviación Dassault Aviation bajo el nombre de DRAPO. En 1981, sería cuando pasaría a llamarse CATI pero está vez bajo la responsabilidad de la empresa de programas informáticos Dassault Systèmes, la cual se encarga del desarrollo y comercialización del programa desde entonces. Desde su primera versión como CATIA en el año 1982, la cual ya fue producida para el diseño 3D, modelados de superficie y programación de control numérico, han desarrollado varias versiones a lo largo de las últimas décadas. Actualmente, han alcanzado la V6, sin embargo, la utilizada en este Proyecto será la V519 la cual se comercializó en el siglo XXI y es la más utilizada en el ámbito académico. A pesar de los numerosos grupos de trabajo de los que dispone CATIA V5, para alcanzar los objetivos propuestos tan solo han sido necesario tres de ellos, los cuales se cometan a continuación tanto en forma como en aplicación. 2.2.1. Mechanical Design Es el bloque fundamental para el diseño y el modelado tanto de las piezas, guardadas como archivos CatPart, como de los mecanismos que éstas conforman, guardados como archivos CatProduct. Para obtener las diferentes piezas que componen cada mecanismo, dentro de Mechanical Design, se utilizó el módulo de Part Design, el cual te permite realizar el modelo 3D de cualquier producto. Figura 2.2: Itinerario de acceso al Part Design en CATIA V5 17 | Proyecto Fin de Grado A partir del Sketcher [ ], herramienta fundamental de este módulo, se realizaban los bocetos 2D de cada uno de los elementos que forman el mecanismo, los cuales están numerados y denominados en mayor medida como se referencia a cada uno de ellos en el documento fuente. Para realizar dichos bocetos, se utilizaron de manera recurrente las siguientes operaciones: - Profile [ ]: para trazar perfiles con líneas. - Rectangle [ ]: para trazar perfiles rectangulares. - Circle [ ]: para trazar perfiles circulares. - Ellipse [ ]: para trazar elipses. - Line [ ] : para trazar líneas rectas. - Constraint [ ]: para acotar perfiles. - Quick Trim [ ]: para eliminar cualquier tipo de trazado. - Mirror [ ]: para realizar el perfil simétrico de un boceto respecto a un eje de simetría. - Corner [ ]: para redondear esquinas. Una vez finalizado el perfil plano deseado, se sale del Workbench [ ], de manera que puedes convertir a 3D el perfil previamente trazado. Para ello, se hace uso del comando Pad [ ], el cual te permite protusionar el perfil. Una vez definido el sólido 3D, a este también se le pueden realizar numerosas operaciones: - Pocket [ ]: para sustraer material sólido, que es previamente perfilado en un sketcher. - Shaft [ ]: permite realizar sólidos a partir de perfiles de revolución alrededor de un eje. - Groove [ ]: es la operación contraria a la anterior, como Pocket pero con perfiles de revolución. - Rib [ ]: para crear sólidos a partir de una sección plana transversal, y una línea continua por la que se extiende dicha sección. - Slot [ ] : sirve para sustraer de un sólido una sección plana trasnsersal por todo la guía realizada por una guía continua. 18 | Proyecto Fin de Grado - Multi-sections Solid [ ]: para extruir sólidos a partir de varias secciones planas que lo delimitan transversalmente. - Mirror [ ]: para crear sólidos simétricos a partir de algún plano. - Edge Fillet [ ]: para redondear aristas. Concluido el modelado de todas las piezas que forman el mecanismo, se puede abrir el módulo Assembly Design, también del Mechanical Design. Figura 2.3: Itinerario de acceso al Assembly Design en CATIA V5 Con el fin de ensamblar el conjunto, se comienzan a insertar piezas. Figura 2.4: Itinerario para insertar piezas en el módulo de Assembly Design 19 | Proyecto Fin de Grado Al objeto de establecer una pieza base, la primera de ellas (la pieza base) en todos los mecanismos se anclaba [ ], para a partir de ella construir el sistema. Los demás componentes, se insertan igual, pero a cada uno de ellos se le aplicaría la relación correspondiente con las piezas anteriores dispuestas, utilizando las órdenes con sus siguientes aplicaciones y, haciendo uso de los comandos de manipulación y visualización: - Coincidence Constraint [ ]: restricción para hacer coincidir ejes de revolución. - Contact Constraint [ ]: restricción para fijar el contacto entre dos superficies. - Offset Constraint [ ]: restricción que fija la distancia entre dos superficies. - Angle Constraint [ ]: restricción para fijar el ángulo entre dos superficies. - Fix Together [ ]: restricción para fijar elementos entre ellos, convirtiéndolos en uno solo. Concluido el ensamblaje del mecanismo y una vez verificado que ninguna pieza intersecta con otra durante el recorrido que éste debe realizar y que además, funciona con respecto a las expectativas previas, o sea, describiendo el elemento de salida (considerado trazador o contorneador dependiendo del caso) una elipse, se procede a recrear virtualmente la trayectoria que los mecanismos ejecutan. Sin embargo, para llevarlo a cabo es necesario cambiar de bloque, al Digital Mockup. Cabe destacar, que se ha usado un criterio común de colores, con el fin de identificar con mayor facilidad los elementos cuya función en cierta manera es relevante. Así pues, la base de los elementos será de color granate, mientras que la barra de entrada azul turquesa. También se han querido distinguir, aquellos elementos que han sido modificados con respecto a la interpretación intuitiva del esquema gráfico del documento fuente, a éstos se le ha asignado un tono anaranjado. El resto de elementos, mantendrán el color de construcción propio de CATIA V5. Además comentar, que en cierta forma se ha intentado seguir una línea de diseño común en todos los mecanismos, es decir, mantener iguales en la medida de lo posible aquellas dimensiones que no tienen relevancia para el funcionamiento del conjunto. 2.2.2. Digital Mockup En este bloque, se tiene que acceder al módulo DMU Kinematics, con el archivo CatProduct (resultado de la fase de ensamblaje) abierto. 20 | Proyecto Fin de Grado Figura 2.5: Itinerario de acceso al DMU Kinematics en CATIA V5 Con el comando de Assembly Constraints Conversion [ ], se crea el mecanismo que se va a dinamizar, para ello solo puede tener un grado de libertad (D.O.F), lo cual se observa en la pestaña de aplicación del árbol del archivo. En el caso de que haya que añadir más restricciones, hay dos caminos, volver a la fase previa o, completar las restricciones necesarias con las relaciones dentro del Kinematics Joints, las cuales se identifican con los diferentes pares cinemáticos existentes. Figura 2.6: Kinematics Joints (Barra de herramientas) Una vez resueltas las relaciones de modo que el mecanismo tiene solo un grado de libertad, se restringe el mismo determinando su movimiento. En todos los casos, la barra que tiene el grado de libertad gira entorno a un eje, por lo que se limita su rotación entre 0 ° y 360 °, de manera que todas las posiciones del mecanismos quedan completamente predeterminadas, permitiendo al programa que las calcule y genere el movimiento adecuado. Para animarlo, se hace uso del comando Simulation [ ], dentro del cual se abre automáticamente una ventana que te permite variar las condiciones de esta animación, desde repetirla tantas veces como se desee a variar la velocidad de la simulación. 21 | Proyecto Fin de Grado Figura 2.7: Ventana de Edit Simulation del módulo de DMU Kinematics Finalmente, tras comprobar mediante un análisis de golpes [ ] las posibles ocurrencias que pudieran darse entre elementos, se puede grabar y guardar [ ] en formato de video la animación realizada. 2.2.3. Infrastructure Dentro de este bloque, el módulo utilizado en el Proyecto es el Photo Studio, ya que éste te permite acondicionar la pantalla con más luminosidad global, direccional o puntual, así como capturar la imagen de lo que se va desarrollando con el programa enfocándolo desde cualquier perspectiva del producto realizado. Figura 2.8: Itinerario de acceso al Photo Studio en CATIA V5 22 | Proyecto Fin de Grado 3. Desarrollo del Proyecto 3.1. Fundamento teórico 3.1.1. Teoría de Máquinas y Mecanismos Con el objeto de facilitar la comprensión de los razonamientos realizados, se van a explicitar algunos conceptos básicos relacionados con esta materia. Toda la información aquí mostrada, proviene literalmente del libro de la asignatura de Teoría de Máquinas y Mecanismos del grado de Tecnologías Industriales de la Universidad de Sevilla [1]. En primer lugar, se puede definir una máquina como una combinación de sólidos resistentes, agrupados y conectados de tal modo que tienen entre sí movimientos relativos determinados y transmiten fuerzas desde una fuente de energía a una resistencia a vencer, realizando un trabajo. Por otro lado, se define cadena cinemática como sistema formado por varios cuerpos conectados y con movimiento relativo entre ellos. Denominándose mecanismo, una cadena cinemática con al menos uno de los cuerpos sin movimiento, llamado soporte, bastidor o bancada. De modo que, la principal diferencia entre máquina y mecanismo es que la máquina se asocia a un trabajo, mientras que el mecanismo se asocia a movimientos. La máquina se considera como una caja negra con una relación entrada/salida mientras que en el mecanismo cobra especial importancia el movimiento relativo entre elementos que lo componen. Además, una máquina podría estar compuesta por uno o varios mecanismos, o sea, un mecanismo es una parte de la máquina. El mecanismo más sencillo es el cuadrilátero articulado, de gran aplicación en todo tipo de máquinas. Sin embargo, existen infinidad de mecanismos, desde los más simples a los más sofisticados. Los mecanismos elementales cuya combinación apropiada constituyen uno complejo, se pueden agrupar en:  Mecanismos de levas  Mecanismos de engranajes  Mecanismos de tornillo  Mecanismos con elementos flexibles  Mecanismos con elementos fluidos  Mecanismos de barras Con todo, los mecanismos que atañen a este Proyecto pertenecen al grupo más amplio y con aplicaciones muy variadas, los mecanismos de barras. Los cuales están formados por elementos sólidos, generalmente de forma alargada, enlazados entre sí. Cada elemento, denominado eslabón o barra tiene movimiento relativo respecto a los otros que constituyen el mecanismo. Éstos se pueden clasificar por la función que realizan dentro del mecanismo en: eslabón de entrada o conductor, eslabón transmisor o acoplador y eslabón de salida o conducido. También, asumiendo que son mecanismos planos, ya que todos los sólidos se mueven en planos paralelos a diferencia de los espaciales que se pueden mover en diversas posiciones en el espacio, se pueden distinguir cada eslabón según el movimiento que realiza en: 23 | Proyecto Fin de Grado - Manivela: realiza un movimiento circular alrededor de un punto fijo. - Balancín: realiza un movimiento circular oscilante alrededor de un punto fijo entre dos posiciones extremas. - Corredera: realiza un movimiento a lo largo de una línea predeterminada. - Biela o acoplador: realiza un movimiento combinado de rotación y traslación. - Eslabón fijo, soporte o bastidor: no tiene ningún movimiento y sirve como sujeción del mecanismo. Adicionalmente, se define el par cinemático como la unión de dos o más barras con capacidad de movimiento relativo entre ellas. Existen numerosos tipos de pares cinemáticos, cada uno de ellos restringiendo el movimiento relativo entre las dos barras de una forma diferente. A continuación se muestran los pares cinemáticos que nos encontramos en los mecanismos que se modelan: - Par de rotación (de revolución o articulación): este par permite únicamente la rotación de un sólido respecto al otro alrededor de un eje común. - Par prismático: permite una traslación relativa entre dos eslabones a lo largo de un eje común. Por último, en virtud de que los análisis cinemáticos realizados se fundamentan en el cálculo de grados de libertad (G), término que indica las variables independientes que son necesarias conocer para que queden exactamente posicionados todos los eslabones de dicho mecanismo, se calcula el mismo para cada mecanismo. En el caso de un sólido con movimiento dentro de un plano, los grados de libertad son tres, dos coordenadas de un punto y un ángulo de una recta sólida, de lo que se deduce que un mecanismo con N eslabones tiene G=3N en el plano, si se consideran los eslabones de forma individual. Pero cuando los eslabones se conectan mediante pares se introducen restricciones a estas libertades de forma que disminuye G. Ello depende del tipo de pares cinemáticos que se utilicen y de su número. Particularizando los pares cinemáticos que nos podemos encontrar, éstos solo serán de clase I, los cuales permiten un grado de libertad en el movimiento relativo. Una vez identificados los elementos y pares, se calcula G siguiendo esta ecuación, la cual ha sido particularizada para los mecanismos que atañen al Proyecto: = 3−1−2  Conocida como la ecuación de Grübler , la cual refleja como en un mecanismo de N eslabones el número de eslabones móviles es (N-1), ya que debe existir siempre un eslabón fijo, y por tanto el número máximo de grados de libertad con todos los eslabones desligados es de 3(N-1), valor que disminuirá el doble del número de pares de clase I que se introduzcan. Cabe destacar, que el número de grados de libertad de un mecanismo es independiente del hecho de que el mecanismo pueda tener diversas configuraciones. Además, se denomina inversión de un mecanismo a los distintos mecanismos que pueden formarse a partir de la misma cadena cinemática con el único cambio de cuál es el eslabón que se mantiene fijo. Por tanto hay tantas inversiones como eslabones tenga la cadena, y cada una de ellas da lugar a mecanismos completamente diferentes pues los movimientos absolutos de los mismos difieren en cada caso, por el contrario, el movimiento relativo entre eslabones no cambia en inversiones diferentes. 3.1.2. Elipse Como se ha especificado, el fin último de todos los mecanismos a modelar, es la descripción de una elipse. Ésta es una figura geométrica plana y cerrada, con dos ejes perpendiculares 24 | Proyecto Fin de Grado desiguales que a su vez son ejes de simetría de la misma y que resulta de cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría de éste con un ángulo mayor que el de la generatriz respecto al eje de revolución. Existen muchas definiciones de esta figura, sin embargo, todos los puntos se caracterizan por sumar una distancia constante (eje mayor) a otros dos puntos fijos, denominados focos. Estos dos puntos, representan la relación de dos semiejes concretos, de manera que la posición de ellos y el valor de uno de los semiejes serían suficientes para definirla. Centrándonos en esta definición, los parámetros característicos de la elipse serían: a : Semieje mayor b : Semieje menor c : Semidistancia focal Figura 3.1: Parámetros de la Elipse Como se refleja en la Figura 3.1, la semidistancia focal y el semieje menor forman los lados de un triángulo rectángulo, mientras que el semieje mayor es la hipotenusa del mismo, de manera que por el Teorema de Pitágoras, se puede hallar la subsecuente relación: += Esta expresión matemática va a resultar clave en el dimensionamiento de los elementos, como por ejemplo la longitud de ciertas barras. De hecho, a pesar de que los mecanismos son genéricos y deberían ser válidos para cualquier elipse, para cada uno de ellos, se han fijado unos valores concretos de parámetros característicos de forma que se conozca el resultado previamente y, se pueda dimensionar el mecanismo por el método inverso. Es decir, que el primer paso de la fase de modelado, será determinar el resultado que se quiere obtener. Cabe destacar, que el modelado de todos los mecanismos se ha realizado de manera adimensional, debido a que se podría fabricar cualquiera de ellos, en principio, de cualquier tamaño, pues tienen numerosas aplicaciones y, sería el ámbito de aplicación del mismo el que delimitaría dicho factor. 25 | Proyecto Fin de Grado 3.2. Mecanismo 1043 3.2.1. Documento ELIPSÓGRAFO DE PALANCAS Y COLISA DE ARTOBOLEVSKI Figura 3.2: Esquema del Mecanismo 1043 [4] La base del mecanismo es el antiparalelogramo ABCD con el elemento pequeño fijo al que está unido un grupo de dos órganos de arrastre compuesto por dos correderas 5 y 6 articuladas en el punto E. El mecanismo está destinado para trazar elipses. Las articulaciones A y D se encuentran en los focos de la elipse. El punto trazador se encuentra en el centro de la articulación E. Se pueden obtener elipses con parámetros diferentes eligiendo correspondientemente las longitudes de los elementos 1,2 ,3 y 4, cosa que se logra desplazando las articulaciones B, C y D en las ranuras F, G, H y K de los elementos 1, 2, 3 y 4 [4]. 32 | Proyecto Fin de Grado Sin embargo, debido a las longitudes extras de las barras con el motivo de extender el tamaño de elipses que pueden describir, al realizar su trayectoria, la barra 2 (naranja) intersecta con las correderas y la barra fija. Figura 3.15: Mecanismo 1043 Múltiple Configuración 1 Se intenta solucionar este problema, con un cambio de plano de los elementos que conforman el mecanismo, pero de nuevo, al verificar su funcionamiento observamos como una de las barras cruzadas atraviesa el eje de unión entre la otra barra cruzada y la barra 2, lo cual es físicamente imposible. 33 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.16: Mecanismo 1043 Múltiple Configuración 2 De manera que se puede concluir, que un mecanismo múltiple como el sugerido en el documento fuente no sería de utilidad, debido a los fallos en su funcionamiento. Así pues, el desarrollo del Mecanismo 1043, se limitaría a la descripción de una sola elipse predeterminada. 34 | Proyecto Fin de Grado 3.3. Mecanismo 1046 3.3.1. Documento MECANISMO DE PALANCAS Y COLISA DE ARTOBOLEVSKI PARA CONTORNEAR ELIPSES Figura 3.17: Esquema del Mecanismo 1046 [4] El elemento 1, que gira alrededor del eje fijo A, forma el par de rotación M con el elemento 2 en forma de palanca acodillada con el ángulo dMf igual a . El lado Md del elemento 2 se desliza en la corredera 3 que gira alrededor del eje fijo F. Si el centro F se dispone en uno de los focos de la elipse, el centro A se sitúa sobre el eje Oy, que pasa por el centro O de la elipse a la distancia AO igual a =   Y la longitud AM del elemento 1 se elige igual a =   , donde a es el semieje mayor de la elipse, entonces, cuando el elemento 1 gira alrededor del eje A, la recta Mf contorneará la elipse q-q [4]. 35 | Proyecto Fin de Grado 3.3.2. Análisis del mecanismo Tal y como en el mecanismo anterior, se comprobaron cuáles eran los grados de libertad del mismo. Dado que el mecanismo tiene 3 elementos descontando la barra fija AF, supuestamente tendría nueve grados de libertad que sustrayéndole las restricciones de movimiento de los pares de rotación entre la barra 1 y la palanca acodillada 2, la barra 1 y la barra fija y, la corredera 3 y la barra fija, así como el par prismático entre la corredera 3 y la barra acodillada 2, resulta en que el movimiento del sistema está limitado a un grado de libertad, que se ha asignado como se observa en la Figura 3.17, a la rotación de la barra 1 entorno al eje fijo A. Por otro lado, cabe destacar la relevancia del ángulo ϕ, ya que las dimensiones de las barras dependen de éste. Observando las fórmulas es sencillo determinar que los posibles ángulos son aquellos limitados al primer cuadrante, es decir entre 0 ° y 90 °. Además, hay que señalar que el caso límite inferior (0 °) no es posible de materializar, y que el límite superior (90 °) supondría la alineación de los ejes fijos en una recta. Para una mayor comprensión del mecanismo, se mostrarán diversos casos variando el valor del ángulo. 3.3.3. Modelado 3.3.3.1. Diseño El dimensionamiento del mecanismo comienza con la determinación de la elipse a contornear, para este caso se ha escogido la misma elipse con la que se ha desarrollado el anterior sistema: semieje mayor igual a 50, semieje menor igual a 30 y por tanto una semidistancia focal igual a 40. Por otro lado, como se ha comentado, se variará el ángulo ϕ, analizando sus consecuencias en el siguiente apartado, mientras tanto ϕ será igual a 45 °. Los elementos que conforman este sistema son:  Eje base Este elemento tan sencillo, conformará la base de soporte del mecanismo. Su mayor ventaja, es la mínima interacción que tiene con el conjunto, limitándose su relación a la interacción exclusiva con el elemento que soporta. En este caso, la barra 1 y la corredera 3. 36 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.18: Eje base del Mecanismo 1046  Barra 1 La longitud de esta barra depende de la relación =   , como el semieje mayor a es 50, su longitud solo queda en función de ϕ. Sus otras dimensiones no son determinantes, de modo que se ha escogido un criterio común para todos los elementos con un ancho de 5 y un espesor de 1.5. Figura 3.19: Barra 1 del Mecanismo 1046  Palanca acodillada 2 Este elemento no tiene ninguna restricción de longitud, tan solo la suficiente extensión para que siempre se mantenga en el interior de la guía ejercida por la corredera 3. Sin embargo, un parámetro característico es el ángulo entre sus dos ramas, el cual es ϕ. 37 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.20: Palanca acodillada 2 del Mecanismo 1046 Por otro lado, con el fin de materializar el mecanismo en 3D, en la cabeza de la unión de ambas ramas, se ha añadido un suplemento (0.5) en el espesor para ajustar la disposición de los planos del conjunto, tal y como se observará en el siguiente apartado. Además, sobre este suplemento, se ha extruido un saliente cilíndrico, que conforma el par de rotación del punto M (Figura 3.17), entre la barra 1 y la palanca acodillada. Figura 3.21: Detalle de la cabeza de la palanca acodillada 2 del Mecanismo 1046 38 | Proyecto Fin de Grado  Corredera 3 El último componente es la corredera 3, la cual es la guía de la rama dM de la palanca acodillada. Para su dimensionamiento, simplemente se ha diseñado un perfil rectangular sencillo para acoger esta barra. Su longitud tampoco es determinante, por lo que se ha establecido un valor suficiente desde un punto de vista estructural de la pieza así como funcional con el resto del conjunto. Ya que éste será un elemento clave en la fijación del mecanismo a la base, se ha añadido partiendo de una idea visual de la imagen del documento fuente (Figura 3.17), una corona que funcionará de alojamiento del eje base sobre el que la corredera tiene el par de rotación. Figura 3.22: Corredera 3 del Mecanismo 1046 3.3.3.2. Ensamblaje y funcionamiento Tras diseñar todos los elementos que forman el conjunto, se ensambla el mecanismo, para ello principalmente se utilizan las relaciones entre barras determinadas al comprobar el grado de libertad y algunas relaciones más, relacionadas con el contacto de caras y la disposición de los planos. 39 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.23: Restricciones de movimiento del Mecanismo 1046 Figura 3.24: Mecanismo 1046 Sobre la disposición de los elementos en los diferentes planos, hay que resaltar que basta con sobredimensionar el espesor de la palanca acodillada tal y como se ha reflejado anteriormente con el fin de que exista un contacto entre este elemento y la barra 1. Además, cabe indicar que los ejes bases sobre los que se apoyará el mecanismo, se encuentran en diferentes planos, pero consecutivos. 40 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.25: Perfil del Mecanismo 1046 Figura 3.26: Alzado del Mecanismo 1046 Por otro lado, para facilitar el montaje del conjunto se ha diseñado una base para posicionar correctamente los ejes base. El dimensionamiento de la estructura base, está supedidato a la elipse que se quiere contornear. De modo que sigue las relaciones determinadas en el documento fuente para determinar los lados del triángulo AOF. 41 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.27: Base del Mecanismo Figura 3.28: Mecanismo 1046 incorporado a la base Finalmente, como anteriormente se ha comentado, el ángulo ϕ es clave en el dimensionamiento del mecanismo, de modo que se analiza a continuación la influencia de éste en tres casos, con distintos valores: 20 °, 45 ° y 90°. 48 | Proyecto Fin de Grado Debido a la diferencia de planos entre los elementos, habrá que añadir un suplemento cilíndrico en el extremo que corresponde con el par de rotación A entre las barras 1 y 2, al objeto de hacer materializable físicamente el mecanismo. Figura 3.38: Barra 2 del Mecanismo 1051  Barra 4 Respecto a la barra 4, lo único que hay que destacar, es que su longitud sea lo suficientemente extensa como para que permanezca en el interior de la guía ejercida por la corredera cruciforme durante todo el recorrido de contorneo. La morfología es similar a las barras anteriores, exceptuando la forma del extremo libre, resuelto tal y como se observa en la Figura 3.34. Figura 3.39: Barra 4 del Mecanismo 1051 49 | Proyecto Fin de Grado  Escuadra A diferencia de la palanca acodillada del mecanismo anterior, este mecanismo requiere que el ángulo entre sus dos ramas sea recto. Ambas ramas contornearán simultáneamente las dos elipses, la rama Eq contorneará la elipse menor mientras que la rama tE realizará la mayor. Ambas ramas se han definido con la misma longitud. Sin embargo, su longitud no está preestablecida, tan solo que sea apropiada para poder contornear en cualquier punto del recorrido, y que como la barra 4, permanezca dentro del par prismático durante toda la trayectoria. Figura 3.40: Escuadra del Mecanismo 1051 En la cabeza de la escuadra, nexo de las dos ramas, es necesario añadir un suplemento con el fin de compensar la diferencia de planos entre los elementos. Sobre este, además, se extruye el eje cilíndrico del par de rotación E (Figura 3.34) entre la barra 1 y la escuadra. 50 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.41: Detalle de la escuadra del Mecanismo 1051  Corredera Cruciforme Este elemento en la Figura 3.34, puede llevar a confusión, no obstante tras el análisis del funcionamiento se determina que las guías son perpendiculares, pero pertenecen a diferentes planos, ya que un par prismático de una cruceta resultaría imposible. De hecho, tal y como se observa en la misma Figura la barra 4 y la rama tE son identificadas independientemente. La geometría de las correderas es rectangular, con las dimensiones exactas para alojar las barras y, una longitud mínima para guiarlas adecuadamente. Finalmente, ambas correderas están separadas por una protusión cilíndrica, correspondiente al par de rotación B (Figura 3.34) entre la barra 2 y la corredera cruciforme. Este cambio de configuración, será justificado en el siguiente apartado. Figura 3.42: Corredera Cruciforme del Mecanismo 1051 51 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.43: Corredera Cruciforme del Mecanismo 1051 (Vista transversal) 3.4.3.2. Ensamblaje y funcionamiento Para ensamblar las piezas de este mecanismo, como en los anteriores, se parte de una estructura base sobre la que se disponen los ejes base, que como se observa en la Figura 3.34, su longitud será igual a la semidistancia focal de ambas elipses. A partir de ella, respetando los pares de rotación y prismáticos anteriormente expuestos, se conforma el conjunto. Figura 3.44: Restricciones de movimiento del Mecanismo 1051 52 | Proyecto Fin de Grado De manera que el resultado será: Figura 3.45: Mecanismo 1051 Se destaca, la modificación de la disposición de las barras del mecanismo con respecto a la Figura 3.34. Este cambio, reside en la colocación del par de rotación B entre las correderas, ya que si se dispusiera externo tal y como se refleja en el documento fuente, la barra 4 al girar colisionaría con el eje base común de las barras 2 y 1 (A). Por ello, se ha resuelto este defecto con el cambio de diseño de la corredera cruciforme. De modo, que el orden de barras en la corredera sería barra 5, barra 4 y barra 2, comenzando la enumeración en el plano más lejano. Para el caso particular en el que, en lugar de realizar elipses se contorneasen dos circunferencias, la distancia focal es nula, por lo que la disposición del conjunto varía con respecto al caso de descripción de elipses, ya que la barra 4 también estará fijada con respecto al eje A. De manera que ya no importaría la disposición de la barra 2 sobre la corredera cruciforme 3, o en el plano intermedio de ambas correderas como en el caso de elipses. Además, tampoco existe la dificultad de buscar relaciones de confocalidad entre las circunferencias, de modo que el mecanismo sería válido para cualquier relación que exista entre ellas, exceptuando la unicidad de sus centros. 53 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.46: Particularización del Mecanismo 1051 para el caso de circunferencias 3.4.4. Resultado final Tras el ensamblaje y el análisis del funcionamiento, realizando las modificaciones necesarias, se puede concluir que el Mecanismo de Palancas y Colisa de Artobolevski para contornear Elipses Confocales, es ejecutable, ya que no hay colisión entre los diversos elementos del conjunto durante todo el recorrido y además, cumple con su función, pues contornea ambas elipses simultáneamente, como se puede observar a continuación. No obstante, como se ha explicitado anteriormente, el encontrar elipses confocales es una tarea compleja, por el contrario, particularizando el mecanismo para describir circunferencias, la versatilidad del mismo sería mayor. Finalmente, se ha realizado la animación del mismo recogiéndola en un vídeo que no se ha podido adjuntar al documento. 54 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.47: Mecanismo 1051 y las elipses que describe en la posición 1 Figura 3.48: Mecanismo 1051 y las elipses que describe en la posición 2 55 | Proyecto Fin de Grado 3.5. Mecanismo 1057 3.5.1. Documento MECANISMO DE PALANCAS Y COLISA DE ARTOBOLEVSKI PARA TRAZAR Y CONTORNEAR ELIPSES Figura 3.49: Esquema del Mecanismo 1057 [4] El elemento 1, que gira alrededor de eje fijo G, forma el par de rotación M con el elemento 3, el cual tiene forma de una palanca acodada dMf con el ángulo igual a . El lado Md del elemento 3 se desliza en la corredera 4 que gira alrededor del eje fijo F; el lado Mf del elemento 3 se desliza en la corredera cruciforme 2, los ejes de cuyas guías son perpendiculares entre sí. Las correderas 5 y 6, que forman el par de rotación P se deslizan por las direcciones Fm y Gn de los elementos 4 y 1. Si el centro F se dispone en uno de los focos de la elipse, y el centro G se sitúa sobre el eje Oy que pasa por el centro O de la elipse en la intersección GO con el eje Fx, que es igual a =    y la longitud GM del elemento 1 se toma igual a =  %&'  Donde a es el semieje mayor de la elipse, entonces, cuando el elemento 1 gira alrededor del eje G, la recta Mf contorneará la elipse q-q, y el punto B de la corredera 2, que se encuentra en la intersección de las direcciones Pp y Mf, contorneará la elipse q-q [4]. 56 | Proyecto Fin de Grado 3.5.2. Análisis del mecanismo Al objeto de comprender la cinemática del mecanismo, se estudia, en primer lugar los grados de libertad del mismo. Puesto que, descontando la barra fija, el conjunto está compuesto por 7 elementos, se parte de 21 grados de libertad. Sin embargo, estos se ven reducidos a causa de los pares de rotación y prismáticos entre los diversos elementos. Existen pares de rotación de la barra fija con la barra 1 y la corredera 4, también entre la Barra 1 y la 3, la corredera 5 y la corredera 6 y, la corredera 6 y la barra 7. Del mismo modo, los pares prismáticos entre la corredera 2 con la barra 3 y la barra 7, la corredera 6 con la barra-corredera 4, la barra 1 y la corredera 5 y, la barra-corredera 4 con la barra 3, también restringen el movimiento. Por lo que, los grados de libertad del mecanismo se reducen a uno, que se le asigna a la rotación de la barra 1 entorno al eje fijo G (Figura 3.49). Además, como se puede observar en la Figura 3.49, el mecanismo es muy similar al de la Figura 3.17. De hecho, las relaciones de las barras descritas en el documento fuente son idénticas. Debido a esta similitud, se va a desarrollar el mecanismo, entorno a la misma figura geométrica para apreciar con mayor exactitud las diferencias entre ambos. 3.5.3. Modelado 3.5.3.1. Diseño Tal y como se ha comentado, la elipse sobre la que se va a basar el mecanismo es aquella cuyo semieje mayor es igual a 50, su semieje menor es igual a 30 y por tanto, la semidistancia focal es 40. Al igual que para el mecanismo 1046, el ángulo ϕ es determinante en el dimensionamiento de los elementos, por ello, tras el análisis de dependencia hecho en el mecanismo previo entorno a este parámetro, se ha decidido desarrollar el mecanismo que ahora concierne con un ϕ igual a 45 °. Los elementos que conforman este conjunto, son los siguientes:  Eje base Como en los casos anteriores, la base del mecanismo, serán dos ejes fijos, diseñados con una geometría cilíndrica, que soportarán en este caso, la barra 1 y la corredera 4. Ambos ejes no están situados en el mismo plano como se comprobará en el ensamblaje. También en el siguiente apartado se comentará un elemento que facilitará la disposición de los ejes. 57 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.50: Eje Base del Mecanismo 1057  Barra 1 La dimensión característica de esta barra, es su longitud. Parte de ella, está determinada por la relación =    del documento fuente, mientras que la otra, se extiende hasta asegurar que la barra no sale de la guía en todo el recorrido. Sus otras dimensiones, son comunes al resto de barras, y no tienen relevancia con respecto al movimiento del sistema. Figura 3.51: Barra 1 del Mecanismo 1057 64 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.64: Perfil del Mecanismo 1057 Figura 3.65: Mecanismo 1057 A pesar de que la Figura que muestra el alzado del mecanismo resulta bastante similar a la imagen del documento fuente y, de que en el perfil se observa la distribución de los elementos en diferentes planos, tras la comprobación del funcionamiento del mismo, se puede visualizar como en diversos instantes de la trayectoria que realiza el mecanismo, los elementos colisionan. 65 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.66: Parte del Mecanismo 1057 Configuración 1 Figura 3.67: Detalle del Mecanismo 1057 Configuración 1 (colisión) Debido al problema anterior, se estudió la posibilidad de variar la distribución de los planos en los que se sitúan los elementos, cambiando su orden, se han probado diversas combinaciones, sin embargo, ninguna de ellas resuelve el problema de colisiones. Figura 3.68: Mecanismo 1057 Configuración 2 66 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.69: Detalle del Mecanismo 1057 Configuración 2 (colisión) Figura 3.70: Mecanismo 1057 Configuración 3 67 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.71: Detalle del Mecanismo 1057 Configuración 3 (colisión) Además, se puede observar como el movimiento de la corredera 5 no se limita al tramo Gn de la barra 1 (Figura 3.49), tal y como se indica en la descripción del documento fuente. Figura 3.72: Alzado Mecanismo 1057 Configuración 1 (sobrepaso del tramo Gn) 68 | Proyecto Fin de Grado 3.5.4. Resultado final Por tanto, teniendo en cuenta el estudio hecho del mecanismo, y a pesar de que la siguiente imagen puede confundir la realidad del funcionamiento, se concluye que la construcción del Mecanismo de Palancas y Colisa de Artobolevski para trazar y contornear Elipses no es útil, debido a que las colisiones entre los elementos que lo componen durante su trayectoria no permiten al sistema realizar la función para la que ha sido diseñado. Figura 3.73: Mecanismo 1057 y la elipse que describe Debido a las colisiones durante su funcionamiento, no se ha desarrollado una animación virtual de este mecanismo, ya que carecería de sentido llevarla a cabo debido a la imposibilidad de su movimiento completo físicamente. 69 | Proyecto Fin de Grado 3.6. Mecanismo 1059 3.6.1. Documento ELIPSÓGRAFO DE COLISA DE LEONARDO DE VINCI Figura 3.74: Esquema del Mecanismo 1059 [4] Al soporte 1, que tiene las ranuras a, está fijado por medio de los tornillos b, el anillo 2, el cual puede ser situado en cualquier lugar de las ranuras a. El lugar del anillo 2 se determina por la coordenada x igual a AO, donde O es el centro del anillo 2. Alrededor del eje fijo A gira la corredera 3 dispuesta en la ranura dd del plato 5. La corredera 4, fabricada en forma de un anillo que abraza el anillo fijo 2, posee los salientes c situados en la ranura f-f del plato 5. Los ejes de las ranuras d-d y f-f son mutuamente perpendiculares. Cuando la corredera 3 gira, el lápiz fijado en el soporte 1 traza una elipse sobre el plato 5 que gira alrededor del eje A y se desliza a lo largo de los ejes de las ranuras d-d y f-f. Los parámetros de dicha elipse dependen del valor x ajustado previamente [4]. 70 | Proyecto Fin de Grado 3.6.2. Análisis del mecanismo Al objeto de visualizar la cinemática del mecanismo, es conveniente calcular los grados de libertad del mismo, ya que esta información es muy relevante para ello. En primer lugar, se contabilizan el número de elementos que conforman el conjunto. En este caso, son 5, sin embargo tal y como se reseña en la descripción del documento fuente, tanto el soporte 1 como el anillo son elementos fijos. Por ello, se puede partir de 9 supuestos grados de libertad, debido a que quedarían otros 3 elementos libres en su movimiento en el plano. No obstante, a esta cantidad se le deben sustraer las restricciones de movimiento causadas por los pares entre los tres componentes. De hecho, existen por un lado, pares prismáticos entre la corredera 4 y la corredera 2, los salientes de la corredera 4 y la guía f-f del plato 5 y, la barra 3 y la guía d-d del plato 5. Y por otro lado, tan solo un par de rotación entre la barra 3 y el soporte 1. En definitiva, el mecanismo tiene un solo grado de libertad, que se ha asignado a la rotación de la barra 3 en el punto A (Figura 3.74) sobre el soporte 1. 3.6.3. Modelado 3.6.3.1. Diseño Con una primera idea de cómo se mueve el mecanismo, habría que dimensionarlo, para poder verificar su funcionamiento. Puesto que el texto del documento fuente no es muy explicativo con respecto a estas relaciones y, vista la geometría del sistema, en concreto los puntos O y A (Figura 3.74), en un primer momento, se identificaron estos puntos con el centro de la elipse y un foco respectivamente, es decir, que la distancia x sería la semidistancia focal. Partiendo de esta idea, se preestableció una elipse cuyos parámetros característicos fueran un semieje mayor de 50, un semieje menor de 30 y por tanto, una semidistancia focal de 40. Seguidamente se especifican los diferentes elementos que componen el mecanismo:  Soporte 1 Como su nombre indica, este elemento tan solo sirve como soporte del conjunto, en la Figura 3.74, aparecen unas ranuras (a) para regular el anillo 2, sin embargo éste se ha modelado para una sola posición del anillo. Para fijar el anillo en la posición correcta, se han extruido unos salientes cilíndricos mientras que para acoger el eje del par de rotación A con la barra 3, se ha diseñado un agujero. Por lo demás, la geometría del soporte es similar a la del documento fuente. 71 | Proyecto Fin de Grado En primera instancia, se pensó que la distancia entre los salientes que soportarían el anillo 2 debía ser el eje mayor, no obstante, después se comentará que no tiene por qué coincidir con este parámetro. Figura 3.75: Soporte 1 del Mecanismo 1059 72 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.76: Soporte 1 del Mecanismo 1059 (Vista posterior)  Anillo 2 Del mismo modo, partiendo del hecho de que x es la semidistancia focal, se extrapola que el diámetro del anillo, será el semieje mayor de la elipse. Esta suposición se realiza observando la disposición de los tornillos b en la Figura 3.74. Respecto al modelado, es una geometría sencilla, a la cual se le ha dado un espesor aleatorio pero coherente, y en la cual se han abierto dos agujeros para alojar los salientes cilíndricos del soporte 1, que fijarán el anillo 2. Figura 3.77: Anillo 2 del Mecanismo 1059  Corredera Corona 4 Tal y como se observa en la Figura 3.74, la corredera 4 abraza el anillo 2 y además, tiene unos salientes c-c que serán la corredera de la guía f-f del plato 5. De modo, que se ha extruido una corona circular con idéntico espesor al anillo 2, al objeto de que éste se encuentre perfectamente encajado en la corredera 4. Además, se ha modelado siguiendo el perfil que se especifica en el documento fuente de este elemento. 73 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.78: Corredera Corona 4 del Mecanismo 1059 En la siguiente imagen, se observan como los salientes son más extensos que la corona, con el fin de que se alojen en la guía del plato 5, que se encontrará en un plano consecutivo a la corona. Figura 3.79: Planta de la Corredera Corona 4 del Mecanismo 1059  Corredera 3 Esta pieza, está conformada por dos partes, un perfil rectangular que irá alojado en la guía d-d del plato 5, sobre la que se ha extruido un perfil cilíndrico, eje del par de rotación A con el soporte 1. En esta parte, se distinguen dos espesores, la de menor diámetro correspondiente a dicho par y la de mayor, cuya función es separar las piezas, ya que no se encuentran en los mismos planos. La longitud de la barra no está preestablecida, se le ha dado una dimensión extensa, ya que a ella se le asigna el grado de libertad y facilitará el movimiento. 80 | Proyecto Fin de Grado En definitiva, el modelado de las piezas anteriormente hecho es correcto, a diferencia del significado que se le ha otorgado a la distancia x, la cual ha sido corregida en el párrafo anterior. Podría variarse el diámetro del anillo 2, ya que su valor, como se ha comentado, no tiene influencia directa con respecto al tamaño de la elipse, sino la distancia que existe entre el punto A y el centro O del anillo. No obstante, como el elemento 2 tiene un tamaño aceptable, se va a mantener tal y como se ha modelado. Finalmente, se comprueba como el mecanismo describe la elipse preestablecida. Cabe destacar, que el elemento sobre el que se describe la elipse, en este caso, una tabla rectangular, tiene que estar fijada al plato 5, es decir, seguirá su mismo movimiento. Por otro lado, se indica que el eje menor de la elipse, estará alineado con el eje de corredera 3 (o lo que es lo mismo con el eje de la guía d-d). También, para que se visualice mejor la descripción de la elipse, se ha resaltado un punto rojo sobre el soporte 1, que será el punto donde se encontrará el lápiz que describirá la elipse. La elipse preestablecida ha sido la definida por un semieje mayor igual a 50 y un semieje menor igual a 30, de manera que la distancia x es 20. Figura 3.90: Alzado del Mecanismo 1059 y la elipse que describe en la posición 1 81 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.91: Alzado del Mecanismo 1059 y la elipse que describe en la posición 2 82 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.92: Alzado del Mecanismo 1059 y la elipse que describe en la posición 3 3.6.4. Resultado final Se puede concluir, que el Elipsógrafo de Colisa de Leonardo De Vinci es realizable físicamente y, que funciona como se indica describiendo una elipse determinada. Dada la versatilidad de este mecanismo, ya que con unos mismos elementos, variando la disposición de los mismos, es decir la distancia x, se trazan elipses de tamaños diversos, se ha extendido el diseño del soporte 1 de manera que se puedan abarcar la descripción de otras elipses. De manera que el soporte 1 sería: 83 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.93: Detalle del Soporte 1 Ampliado del Mecanismo 1059 Se va a comprobar, para el caso de semieje mayor 80 y semieje menor 10, ya que se ha escogido una distancia x igual a 70 (50 del radio del anillo 2 más la distancia entre el anillo y el punto A) . Figura 3.94: Alzado del Mecanismo 1059 para una elipse mayor 84 | Proyecto Fin de Grado Además, a pesar de que las figuras mostradas en el apartado anterior sobre el funcionamiento del mecanismo son muy clarificadoras, no son reales, ya que el lápiz o la herramienta que vaya a describir la elipse aunque tiene que estar a la altura del punto A del soporte 1, no se encontrará sobre el soporte 1, sino en algún soporte externo, de modo que se ha modelado un prototipo de lo que podría ser el conjunto más cercano a la realidad, donde el trazador tiene la capacidad de ajustarse a la elipse que se quiere trazar. De hecho, con una misma distancia x, se pueden trazar elipses de diferentes tamaños variando tan solo la posición del trazador. Por otro lado, para el caso extremo de elipses, es decir, circunferencias, es aplicable el mecanismo. De hecho, se puede realizar con los mismos elementos, solo habría que modificar la distancia x, la cual tendrá que ser nula (el centro del anillo y el punto A de la Figura 3.74 coinciden), puesto que los dos semiejes son iguales. También, se obtendrían circunferencias de diversos tamaños variando la posición del punto trazador del soporte 1. Figura 3.95: Vista del Conjunto basado en el Mecanismo 1059 85 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.96: Vista Posterior del Conjunto basado en el Mecanismo 1059 86 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.97: Perfil del Conjunto basado en el Mecanismo 1059 Finalmente, siendo propicio su funcionamiento, se ha desarrollado una recreación virtual del mismo a través del módulo DMU Kinematics, el cual ha sido recogido en un vídeo que no ha sido posible adjuntar al documento. 87 | Proyecto Fin de Grado 3.7. Mecanismo 1117 3.7.1. Documento CONICÓGRAFO DE PALANCAS Y COLISA DE KAMISNKI Figura 3.98: Esquema del Mecanismo 1117 [4] El mecanismo se basa en el sistema de cuatro elementos articulados OABG. La corredera 1, que forma los pares de rotación B con los elementos 6 y 7, se desliza en la ranura p del elemento 3. Con el elemento 3 está rígidamente unida a la corredera a, cuyo eje de deslizamiento es perpendicular al eje de la ranura p. La corredera a del elemento 3 se desliza a lo largo de la ranura q del elemento 2 que gira alrededor del eje fijo G. El elemento 2 forma un par de traslación con la corredera 8, la cual forma el par de rotación A con el elemento 5 que gira alrededor del eje fijo O. El elemento 3 forma el par de rotación E con la corredera 4 que se desliza en la ranura r del elemento 5. El punto E del mecanismo describe una sección cónica, cuya ecuación es /= 0 1+& 1% donde /= 0=  +  −  −  2 y &=  88 | Proyecto Fin de Grado El punto E describe una elipse, si e < 1; una parábola, si e = 1; una hipérbola, si e > 1. El eje de la guía p del elemento 3 es siempre tangente a la sección cónica que se describe. La regulación se efectúa variando la longitud OA del elemento 5, cosa que se logra desplazando la articulación A a lo largo de la guía r y fijándola en la posición elegida [4]. 3.7.2. Análisis del mecanismo En primer lugar, para facilitar la comprensión de la cinemática del movimiento, se calculan los grados de libertad del sistema como en los casos anteriores. Este conjunto, está formado por 8 elementos descontando la barra fija, por ello, se parten de 24 grados de libertad en el plano. Aplicando las restricciones de movimiento causadas por los pares de rotación de la barra fija con la barra 5, la barra 7 y 2, además de los existentes entre partes móviles como la barra 5 y 6, la barra 5 y la corredera 8, la barra 7 y 6, la barra 7 y la corredera 1 y, la barra 3 y la corredera 4. Así como, las limitaciones consecuencia de los pares prismáticos entre la barra 2 y la corredera 8, la corredera 1 y la barra 3, la barra 3 y la barra 2 y, la barra 5 y la corredera 4. Se puede concluir que el mecanismo pierde en su totalidad todos los grados de libertad, convirtiéndose en un conjunto rígido, es decir, con ausencia de movimiento. Dado que en el mecanismo fuente, se hace explícito la necesidad de que el mecanismo tenga un grado de libertad, otorgado a la rotación del elemento 5 y, teniendo en cuenta, que el cuatro barras base del mecanismo en el texto del documento fuente resulta escaso en definición, se ha decidido añadir un elemento más al conjunto. Ese elemento, será denominado barra 5, mientras que el elemento 5 como tal reflejado en la Figura 3.98, será la guía 5. Este nuevo elemento tendrá la misma longitud que el anterior pero solo la correspondiente a la distancia OA (Figura 3.98). Esta adición, repercutirá en el mecanismo original en los pares que forma con el resto del conjunto, ya que el par de rotación del sistema original entre la barra 6, el elemento 5 y la corredera 8 en el punto A (Figura 3.98) se verá fragmentado de la siguiente manera: la nueva barra 5 formará el par de rotación con la barra 6, mientras el par de rotación de la corredera 8 será con la guía 5. De este modo, el mecanismo resultante con 9 elementos, descontando la barra fija, tendrá un grado de libertad asignado a la guía 5. 3.7.3. Modelado 3.7.3.1. Diseño El diseño de este mecanismo en particular ha tenido mayor complejidad, dado que además de la escasez de relaciones geométricas de los diversos elementos, es necesario poner en práctica otra definición de la elipse, diferente a la usada hasta ahora. 89 | Proyecto Fin de Grado Esta definición, como se refleja en el texto del documento fuente, requiere también la explicación de un parámetro característico de esta familia de cónicas, la excentricidad (e). Este parámetro determina la forma de la elipse, y se define como el cociente entre la semidistancia focal (c) y el semieje mayor (a). De hecho, dependiendo del valor de este parámetro se pueden distinguir diversas secciones cónicas, tal y como se expresa en el texto. - Si &=0 la cónica es una circunferencia - Si 0<&<1 la cónica es una elipse - Si &=1 la cónica es una parábola - Si &>1 la cónica es una hipérbola Realizada la distinción entorno a la excentricidad, existe una definición en polares de una sección cónica que utiliza este parámetro y que es similar a las identidades del texto fuente, la cual es la siguiente: Con el origen en el foco 2 5 += 1−&   1+&cos+ Figura 3.99: Definición de elipse en polares Por lo tanto, vista la similitud entre esta definición y la relación ofrecida en el documento fuente, se ha decidido reconocer ambas como iguales. Y de ellas, se hará uso para dimensionar el mecanismo, identificando el punto O (Figura 3.98) como centro de la elipse, y el G como foco de la misma. Se ha realizado el modelado de los siguientes elementos que conforman el mecanismo, con el fin de describir una elipse de semieje mayor 50, semieje menor 30 y por tanto, una semidistancia focal de 40.  Eje base Este elemento, a diferencia de los mecanismos anteriores, se ha modelado como una corona circular, ya que requiere ser a su vez eje y alojamiento de los pares de rotación G y O (Figura 3.98), en cualquier caso, será la pieza que de soporte al mecanismo y que por tanto tendrá movimiento de sólido rígido, es decir, la barra fija. 96 | Proyecto Fin de Grado 3.7.3.2. Ensamblaje y funcionamiento Concluido el modelado de todas las piezas que conforman el conjunto, se tienen que ensamblar, para ello, partiendo de los ejes base y haciendo uso de los pares que restringen el movimiento de cada pieza, se han dispuesto las barras consecutivamente tomando como plano base la guía 5, anterior a ella, las barras 2 y 3 respectivamente y, posterior a ella las tres barras que forman el cuadrilátero junto a los ejes base. Figura 3.108: Restricciones de movimiento del Mecanismo 1117 De este modo, el mecanismo resultante sería: 97 | Proyecto Fin de Grado Figura 3.109: Alzado del Mecanismo 1117 Figura 3.110: Mecanismo 1117 98 | Proyecto Fin de Grado Se puede observar como la imagen del alzado es similar a la Figura 3.98 del documento fuente. Sin embargo, al visualizar su funcionamiento, se comprueba que su cinemática no es la que debería ser, ya que no describe una elipse ni semejante. El punto trazador es el punto rojo de la corredera 4 que aparece en las siguientes imágenes, cuyo recorrido, no es el mismo que el de la elipse que debe describir. Figura 3.111: Mecanismo 1117 y elipse que debía describir Figura 3.112: Mecanismo 1117 y elipse que debía describir 99 | Proyecto Fin de Grado Al no funcionar con la elipse, se intenta también el mismo mecanismo para una parábola (cuya excentricidad es la unidad), localizando el punto O (Figura 3.98), en el extremo de la parábola y, el punto G en el foco de la misma. No obstante, tampoco se conoce como definir las longitudes de la barra 6 y 7, por lo que se estiman sabiendo que el numerador de su ecuación en polares es igual a la distancia focal de la parábola (a). Tras modelarlo y ensamblarlo, igualmente no describe la parábola predeterminada (comparar el punto rojo y la parábola que debía describir). Figura 3.113: Mecanismo 1117 (e = 1) y parábola que debía describir 100 | Proyecto Fin de Grado 3.7.4. Resultado final Tras modelar el mecanismo tanto para el caso de elipse como de parábola, tomando las decisiones que se han creído oportunas, se puede concluir que el Conicógrafo de Palancas y Colisa de Kaminski tal y como se especifica en el texto fuente, no supone un resultado aceptable. Ya que, a pesar de poder ser en cierta manera diseñado y ensamblado, no realiza la función para la que es construido. Este hecho, principalmente se cree que es consecuencia del dimensionamiento del cuatro barras base, ya que éste es el responsable en mayor medida del accionamiento del resto del mecanismo y por tanto, el conjunto no realiza la trayectoria oportuna. 101 | Proyecto Fin de Grado 4. Conclusiones Tras el análisis, desarrollo y animación de los seis mecanismos propuestos, se puede concluir que no todos ellos pueden ser modelados a la perfección a partir de la escueta información proveniente del documento fuente. De hecho, se ha comprobado como sí cumplirían su funcionalidad los Mecanismos 1043, 1046, 1051 y 1059; por el contrario, se observan dificultades en el funcionamiento de los Mecanismo 1057 y 1117 por diferentes motivos. Desde en un principio, se concebía la posibilidad de que estos mecanismos fueran aplicables en la industria como guiadores mecánicos de herramientas dispuestas en los puntos trazadores, sin embargo, se ha percibido la inexactitud y falta de precisión de sus movimientos debido a la exactitud necesaria de determinadas dimensiones de los elementos principales propulsores de la acción descriptiva de la figura geométrica. Por lo que, para evitar los posibles errores generados por la automatización y posibilitar la fiabilidad propia de estos mecanismos, la acción trazadora de manera exacta de estos mecanismos, estaría supeditada a una precisión dimensional igual o menor de los elementos que conforman los sistemas. No obstante, el desarrollo de estos mecanismos también puede resultar de utilidad en ámbitos menos precisos o incluso, en el didáctico o del entretenimiento infantil, ya que son sistemas de fácil manejo, cuya construcción podría realizarse con materiales económicos, y cuyo resultado, sería llamativo y curioso desde estas perspectivas. Por otro lado, tanto el conocimiento teórico fundamentalmente de disciplinas mecánicas como el práctico estrechamente relacionado a la iniciación en el uso del programa CATIA V5, han supuesto un enriquecimiento académico sin precedentes, que ha fomentado el desarrollo de otras habilidades de cara al mundo laboral además de una visión real de las implicaciones que conllevaría un proyecto ingenieril en cierta medida. 102 | Proyecto Fin de Grado 5. Estudios futuros En este último apartado, se conciben algunas direcciones en las que este Trabajo podría evolucionar. En primer lugar, una posibilidad sería tratar de reinterpretar los mecanismos que han resultado en un funcionamiento negativo, ya que en este Proyecto se ha tratado de buscar soluciones manteniendo la configuración en mayor medida. También, se podrían modelar todos los conjuntos de una manera más realista, es decir, con un aspecto externo y una configuración de elementos reales, partiendo de la base establecida por los modelos sencillos de este Proyecto. Relacionado con lo anterior, se podrían llevar a la práctica la construcción de dichos modelos, construyendo prototipos de los mismos por medio de una impresora 3D. Lo cual utilizando los materiales adecuados, resultaría económico y curioso en su resultado. Finalmente, se podría ampliar el estudio hecho a otros mecanismos incluidos en dichos volúmenes al objeto de preservar el conocimiento de esta joya, como es considerada la obra de I.I. Artobolevski. 103 | Proyecto Fin de Grado 6. Bibliografía [1] J. Domínguez Abascal, Teoría de máquinas y mecanismos. Universidad de Sevilla, 2016. [2] “cinematica - Buscar con Google.” [Online]. Available: https://www.google.com/search?ei=3GYcXY7RAdLB8gLD4ITwCg&q=cinematica+&oq=ci nematica+&gs_l=psyab.3..35i39j0i67j0l2j0i67j0j0i67j0l3.2802.2802..3023...0.0..0.96.96.1......0....1..gwswiz.......0i71.s-tIN_VH77g. [Accessed: 03-Jul-2019]. [3] Knowledge based Engineering, “Aplicación al diseño de engranajes de ejes paralelos con Catia v5 Aplicación al diseño de engranajes de ejes paralelos con Catia v5,” Introd. Al Cad/Cam. [4] I.I.Artobolevski, MECANISMOS EN LA TECNICA MODERNA.Volumen 2.Primera parte., Segunda ed. Moscú: Editorial MIR, 1983. [5] “Matematicas Visuales | Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses.” [Online]. Available: http://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/elipses/trammel.html. [Accessed: 26-Jun-2019].