Estimación bayesiana del modelo de costes half-normal con frontera determinista

ESTIMACIÓN BAYESIANA DEL MODELO DE COSTES HALF-NORMAL CON FRONTERA DETERMINISTA Jesús Basul o San os Depa amen o de Economía Aplicada I Uni e sidad de Se illa e-mail: basu[email p o ec ed] Fco. Ja ie O ega I izo Depa amen o de Economía Aplicada I Uni e sidad de Se illa e-mail: [email p o ec ed] Resumen El modelo Hal -No mal (µ,σ) es un ejemplo de modelo no egula en el pa áme o µ, que puede se aplicado a mues as homogénea de emp esas, con ou pu iguales, que busquen minimiza sus cos os, es deci a modelos homogéneos de cos os con on e a de e minis a. La al a de egula idad del pa áme o µ iene dos consecuencias: (i) que su es imado máximo e osimili ud no se compo a, pa a g andes mues as como la eo ía sos iene e (ii) la aplicación de la egla de Je eys, usada pa a calcula dis ibuciones no in o ma i as, no puede se u ilizada en es e caso. En el p esen e abajo aplicamos una egla gene alizada de Je eys, que es ambién álida pa a el caso no egula , al modelo Hal -No mal (µ,σ), que nos pe mi e da una solución al p oblema de es ima los pa áme os (µ,σ) desde la ap oximación Bayesiana. Ilus amos el abajo con un p ime ejemplo sob e el po cen aje de g asa co po al en una mues a de a le as y un segundo ejemplo sob e el mínimo cos o po unidad de ou pu en una mues a de emp esa suminis ado as de elec icidad en Es ados Unidos (G eene, 1990). Palab as cla e: Dis ibución a p io i no in o ma i a, In e encia Bayesiana, Modelo Hal -No mal, Modelo no egula , Modelo de cos es con on e a de e minis a. 1. In oducción. Si Z es una a iable alea o ia no mal ipi icada, que lo indicamos po la exp esión de que , di emos que la a iable alea o ia ( 0,1ZN ) XZ= sigue una dis ibución hal -no mal ipi icada. La dis ibución hal -no mal ipi icada es una dis ibución uncada de la a iable Z a la que exigimos que sea no nega i a. Una gene alización de la a iable X es la a iable alea o ia YX µ σ =+ , que denomina emos a iable alea o ia hal -no mal con pa áme os µ y σ . La densidad de p obabilidad de la a iable alea o ia Y, es () () 2 2 2 /, exp 2 2 y y µ µσ σ σπ ⎛⎞ − =− ⎜⎟ ⎟⎜ ⎝⎠ y , µ ≥, (1) donde 0 σ > y µ −∞ < < ∞ . Vamos a ep esen a a la dis ibución hal -no mal (1) po ( ,YHN ) µ σ  . La a iable alea o ia * YX µ σ =− sigue una dis ibución hal -no mal nega i a y p o iene de unca una a iable no mal, ( ) ,N µ σ , con * Y µ ≤ . Si conside amos la a iable alea o ia , en onces es ácil p oba que se a a de una dis ibución hal - no mal (1) con pa áme os * Y− ( ) , µ σ − ,es deci , ( ) * ,YHN µ σ −− . En consecuencia, su análisis puede se in es igado a pa i de la hal -no mal (1). La dis ibución hal -no mal (1) es un modelo unimodal, siendo el alo de la moda igual a µ , con asime ía a la de echa. Una aplicación de g an in e és de la dis ibución hal -no mal es a los p oblemas de on e as de e minis as o es ocás icas en economía (Fo sund e al, 1980). En el caso de supone que la on e a es de e minis a, el p oblema consis e en minimiza , pa a una población de unidades de p oducción homogéneas, los cos os pa a un ou pu ijo. Las unidades de p oducción con el mismo ou pu y que sus cos os sean supe io es a los de unidades de p oducción con igual ou pu y el meno cos o, se dice en onces que son unidades menos e icien es. Si aho a suponemos que los cos os de las unidades de p oducción 2 pa en de un mínimo, donde se concen an las unidades más e icien es, con una ecuencia máxima, y suponiendo que los cos os an aumen ando a medida que las unidades p oduc i as son menos e icien es, y las ecuencias de las unidades p oduc i as an disminuyendo has a anula se, en onces podemos in en a modela es a si uación con un modelo hal -no mal. También, el modelo (1) con µ =0 ha sido usado pa a es ima los amaños de poblaciones de animales en á eas ce adas po medio de diseños mues ales del ipo “Line T ansec ” en Rohana e al (1995). El modelo hal -no mal (1) es un ejemplo de modelo no egula pa a el pa áme o µ y egula pa a el pa áme o σ (O ega y Basul o, 2003). La exis encia de no egula idad en el p ime pa áme o conduce a que el es imado máximo e osímil no se compo e, pa a g andes mues as, como la eo ía indica (Roha gi, 1976; página 384); ambién la aplicación de la egla de Je eys, pa a calcula las dis ibuciones no in o ma i as de la in e encia Bayesiana, no puede se u ilizada, en gene al, en el caso de no egula idad. Aho a bien, en O ega (2001) y en O ega y Basul o (2003), se p opone una gene alización de la egla de Je eys, pa a el caso de un pa áme o unidimensional no egula . Así, en el p esen e abajo, aplica emos es a egla gene alizada de Je eys pa a es ima los pa áme os del modelo hal -no mal ( ) , µ σ po medio de la in e encia Bayesiana. Da emos in e alos p obabilís icos a pa i de las dis ibuciones a pos e io es de cada uno de los pa áme os, comp obando como es os in e alos ienen buenos compo amien os en epe iciones de mues as alea o ias, es deci se án in e alos de con ianza, lo que se á de g an u ilidad, ambién, pa a aquellos in es igado es que hacen uso de los mé odos de in e encia clásicos. A pa i de aquí, en la sección 2, de e minamos la dis ibución a p io i conjun a pa a el modelo (1) po medio de la egla de Je eys gene alizada. En la sección 3, calculamos las dis ibuciones a pos e io es pa a cada uno de los pa áme os. En la sección 4, ob enemos in e alos p obabilís icos en cada una de las dis ibuciones ma ginales. En la sección 5 apo amos e idencia de que los in e alos p obabilís icos se compo an como in e alos de con ianza. El abajo se ilus a, en la 3 sección 6, con una p ime a aplicación sob e el po cen aje de g asa co po al en una mues a de a le as y, una segunda aplicación, sob e la es imación del mínimo cos e en emp esas suminis ado es de elec icidad en Es ados Unidos. Po úl imo, discu imos los esul ados del abajo en la sección 7. Todos los cálculos se han ealizado con el p og ama Ma hema ical 4. 2. Función de Ve osimili ud, dis ibución a p io i no in o ma i a y dis ibución conjun a a pos e io i. Dada una mues a alea o ia y = ( ) 12 , ,... n yy y de n obse aciones que p o iene del modelo ( ,HN ) µ σ , se sigue de (1) que la unción de e osimili ud pa a los pa áme os ( , ) µ σ , es () () () 2 2 22 1 1 ,/ exp exp 22 n ns n y Ly µ µσ σσ σ ⎛⎞ ⎛⎞ −− ⎛⎞ ∝− − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ , () 1 y µ ≤ , 0 σ > , (1) donde ()() 2 2 1 /1 n i i syyn = =− − ∑ , y es la media a i mé ica de los da os e el alo mínimo de los da os mues ales. Los alo es de los pa áme os que maximizan es a unción de e osimili ud, denominados es imado es máximos e osímiles, son () 1 y () 1 ˆy µ = y () () 1 2 2 1 1 ˆ/ n i i yy n σ = ⎛ =− ⎜ ⎝⎠ ∑⎞ ⎟ . El es udio del compo amien o de es os es imado es puede e se en Pewsey (2002, 2004). Un es adís ico su icien e pa a el ec o pa amé ico ( ) , µ σ es () ( ) 1 ,,ysy . Con lo que los es imado es máximos e osímiles, ( ) ˆˆ , µ σ no son su icien es pa a el ec o pa amé ico ( ) , µ σ . La elación de los es imado es máximos e osímiles con el es adís ico , es 2 s () ( 2 22 ˆˆ 1 n s n σµ =−− − ) y . Y si conside amos el es adís ico auxilia , de inido po , () ( ) 1 yy n s − =, 4 en onces el es adís ico ( ,,ys ) es su icien e pa a ( ) , µ σ . La elación del es adís ico con los es imado es y 2 s 2 ˆ σ es () 2 2 2 ˆ1 n n s σ = −−. Pa a aplica la egla de Je eys gene alizada amos a calcula las unciones de e osimili udes condicionadas a cada pa áme o, pa a así abaja con pa áme os unidimensionales. Cuando suponemos que σ es conocido, en onces la unción de e osimili ud pa a el pa áme o µ , es () () 2 2 /, exp 2 ny Ly µ µσ σ ⎛⎞ − ∝− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ , () 1 y µ ≤ . En es e caso los angos de la a iable alea o ia Y es án encajados unos den o de o os, lo que acili a la aplicación de la egla gene alizada de Je eys. En O ega y Basul o (2003) p obamos que en es e caso la dis ibución no in o ma i a pa a el pa áme o µ se ob iene po la ó mula siguien e, () () /log/, E Ly πµσ µσ µ ⎡ ⎤ ∂ ∝ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦, (2) donde denominando al loga i mo nepe iano de la unción de e osimili ud po la unción , ob enemos ( /,l µσ ) y ()() 2 /,ly µσ µ −−y , y aplicando la ó mula (2), esul a la siguien e dis ibución no in o ma i a, ( ) /1 πµσ ∝ . Bajo el supues o de conside a σ conocido, las dis ibución a pos e io i de µ es, 5 () () () () 2 2 1 1exp 2 2 /, 1 ny n yyy n µ σσ π πµσ σ ⎛⎞ − − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ =⎛⎞ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎜⎟ −Φ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ () 1 y , µ ≤ , (3) donde es la unción de dis ibución de un modelo () .Φ ( ) 0,1N . Vemos que (3) es una dis ibución no mal con pa áme os y y n σ que es uncada en el in e alo . () ( 1 ,y⎤ −∞ ⎦ Cuando suponemos que µ es conocido, en onces la unción de e osimili ud pa a el pa áme o σ , es () () () 22 1 1 /, exp /2 nn i i Ly y σµ µ σ σ = ⎛⎞ ⎛⎞ ∝−− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∑ , 0 σ > . Al se aho a el pa áme o σ egula , la egla in oducida po O ega y Basul o (2003) pa a gene a no in o ma i as se educe en es e caso a la egla de Je eys, cuya ó mula es () () 2 /log/,ELy πσ µ σ µ σ ⎛⎞ ∂ ⎡ ⎤ ∝⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎜⎟ ∂ ⎣ ⎦ ⎝⎠ , que ope ando se ob iene como dis ibución no in o ma i a, () 1 / πσ µ σ ∝ Bajo el supues o de conside a µ conocido, las dis ibución a pos e io i de σ es, () () () () 12 22 2 11 2 11 /, exp /2 2 2 n nnn ii nii yy n πσ µ µ σ µ σ + == ⎛⎞⎡ ⎛⎞ =−− ⎜⎟ ⎜⎟ y ⎤ − ⎢ ⎥ ⎛⎞ ⎝⎠ ⎝⎠⎣ ⎛⎞ Γ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∑∑ ⎦ , (4) 6 es deci , se a a de una dis ibución Gamma In e ida con pa áme os 2n y () 2 1 2/ n i i y µ = − ∑ . Aho a la dis ibución conjun a de ( ) , µ σ a pos e io i puede calcula se po la exp esión: ( ) ( ) ( ) ,/ /, /yy πµσ πσµ πµ =y ) ) , donde es á calculada en (4), mien as que la ma ginal la ob enemos po medio de la siguien e exp esión (A nold e al, 1999): ( /,y πσ µ ( /y πµ () () () () 2 2 1 0 1 //, /, n n i i yy yd y πµ µ πσ µ σ πµσ − ∞= ⎡ ⎤ =∝− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∫ . Como consecuencia de es os úl imos esul ados, ob enemos que la dis ibución conjun a a pos e io i, es () () () 2 12 22 1 1 ,/ exp exp 22 n ns n y y µ πµσ σσ σ + ⎛⎞ ⎛⎞ −− ⎛⎞ ∝− − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ () 1 y ,, 0 σ > (5) µ ≤ que al compa a la con la unción de e osimili ud (1), emos que la dis ibución no in o ma i a conjun a pa a los pa áme os ( ) , µ σ , es la unción () 1 , πµσ σ ∝ . La dis ibución conjun a a pos e io i (5) es siemp e es p opia, ya que se a a de una dis ibución no mal-gamma uncada a que () 1 y µ ≤ . 3. Dis ibuciones ma ginales a pos e io es de los pa áme os () , µ σ . La dis ibución a pos e io i ma ginal del pa áme o µ es la siguien e: 7 () ( ) () () 22 2 2 2 1 /1 1 n n n i i ny yy ns µ πµ µ − − = ⎡ ⎤ − ⎡⎤ ∝−∝+ ⎢ ⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑, () 1 y µ ≤ , (6) donde la moda, ,es p ecisamen e el es imado máximo e osímil. Es a dis ibución ma ginal de () 1 y µ sigue una dis ibución uncada de un modelo T de S uden con espe anza igual a y, p ecisión 2 hns= y g ados de libe ad (n-1). Si aho a hacemos la ans o mación ( ) y n µ =− s, ob enemos, () () () () 22,1 ,1 /111 n Tn Tn g y nG π − − − ⎡⎤ ∝+ ∝ ⎢⎥ −− ⎣⎦ , > , (7) donde () () 1 yy n=− ses el es adís ico auxilia in oducido en la sección an e io , que además depende de la a iable alea o ia Z  ( ) 0,1N y es la unción de densidad de una T de S uden con espe anza ce o, p ecisión unidad y con n-1 g ados de libe ad. La dis ibución a pos e io i (7) es un modelo uncado de una a iable alea o ia T de S uden con espe anza ce o, p ecisión unidad y con n-1 g ados de libe ad, con T > . () ,1Tn g − La longi ud del in e alo () * 1 ,yy ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ , que con iene a µ con p obabilidad 1 α − , es de la o ma: () * ** 1 ()()( s s s yyy y nnn =−=− −− = −) ⎤ ⎦ , donde el in e alo con iene a la a iable alea o ia * , ⎡ ⎣ ν (7) con p obabilidad 1 α − , y es unción del es adís ico auxilia . El alo espe ado de la longi ud del in e alo , condicionado al es adís ico auxilia , es de la o ma: * () * 1 ,yy ⎡ ⎣⎤ ⎦ 8 [] () * // s E E n σσ ⎡⎤ = − ⎢⎥ ⎣⎦ . Vemos que la longi ud espe ada del in e alo () * 1 ,yy ⎡ ⎤ ⎣ ⎦, condicionado al es adís ico , depende de ( ) * −, que disminuye cuando aumen a, y de / s E n σ ⎡ ⎢ ⎣⎦ ⎤ ⎥ , que ambién disminuye cuando aumen a, pa a cualquie alo de σ . En esumen, el alo espe ado de la longi ud espe ada del in e alo () * 1 ,yy ⎡ ⎤ ⎣ ⎦, condicionado al es adís ico , disminuye cuando el es adís ico auxilia aumen a. Pa a un amaño de n =50, y con 5000 epe iciones, ecogemos en el siguien e g á ico la elación en e / s E n σ ⎡ ⎢ ⎣⎦ ⎤ ⎥ y el es adís ico auxilia , 8 9 10 11 12 0.075 0.085 0.09 0.095 G á ico 1: Relación en e ( ) ()Es n σ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y el es adís ico auxilia donde hemos es imado las espe anzas ma emá icas po simulación pa a in e alos de anchu a 0.05 de los alo es del es adís ico auxilia , en e los alo es de 7 a 11. Vemos que el g á ico con i ma la disminución de la espe anza / s E n σ ⎡ ⎢ ⎣⎦ ⎤ ⎥ cuando aumen a el es adís ico auxilia . La dis ibución a pos e io i ma ginal del pa áme o σ es la siguien e: 9 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 G á ico 3. Ajus e a un modelo uni o me. n = 4, m = 300. el alo de la p ueba de Kolmogo o -Smi no es, KS = 0.0548, que sus en a la hipó esis de uni o midad (0,1) al es a po debajo del alo de 0.061 (5%). Recogemos en la Tabla 3 los alo es de la p ueba de Kolmogo o -Smi no pa a dis in os m y n. Tabla 3. Valo es del es adís ico de Kolmogo o -Smi no (KS) m n 3 4 8 15 20 50 5% 300 0.0542 0.0548 0.0385 0.0379 0.0550 0.0420 0,0785 500 0.0438 0.0221 0.0236 0.0397 0.0418 0.0200 0,061 1000 0.0286 0.0200 0.0263 0.0255 0.0289 0.0362 0,043 En la úl ima columna de la abla 3 ecogemos los alo es eó icos del la p ueba pa a un ni el de signi icación del 5%. Vemos que en odos los casos acep amos la hipó esis de uni o midad (0,1). A con inuación, ecogemos en la Tabla 4 los alo es de la p ueba Kolmogo o -Smi no sob e la hipó esis de que la a iable alea o ia (15) condicionada al es adís ico () ( ) 1 yy n=− s, sigue un modelo uni o me (0,1). La Tabla 4 ecoge pa a una mues a de in e alos de alo es del es adís ico , el alo de la p ueba de Kolmogo o -Smi no (KS) pa a n = 6 y m = 300. En la Tabla 4 ecogemos las ma cas de clase de los in e alos del es adís ico cuyas ampli udes se han omado igual a 0.02. Tabla 4. Valo es del es adís ico de Kolmogo o -Smi no (KS) In e alos de KS In e alos de KS 1.16 0.0702 2.16 0.0353 1.26 0.0629 2.26 0.0461 1.36 0.0614 2.36 0.0584 1.40 0.0400 2.46 0.0305 1.46 0.0329 2.50 0.0441 1.50 0.0568 2.56 0.0617 16 1.56 0.0440 2.62 0.0381 1.62 0.0540 2.66 0.0557 1,86 0.0586 3,10 0,0481 1.96 0.0473 3,20 0,0747 2,00 0.0597 3,30 0,0496 2.02 0.0332 3,40 0,0457 2.06 0.0770 3,50 0,0406 2.76 0.0386 3,60 0,0626 2.86 0.0378 3,70 0,0357 2.92 0.0421 3,80 0,0443 2.96 0.0536 4,00 0,0468 3,00 0.0502 4,5 0,0413 6. Un p ime ejemplo ilus a i o. Los da os que amos a analiza co esponden a n = 102 a le as, que han sido en enados po el Ins i u o Aus aliano de Depo es, y la a iable de in e és mide el po cen aje de g asa co po al de cada uno de los a le as. Lo da os han sido omados del lib o de Cook y Weisbe g (1994). En la Tabla 5 hemos ecogido los es adís icos que se án necesa ios en nues o análisis. Tabla 5 Es adís icos Valo es y 9,25088 % () 1 y 5,63 % s 3,1846 % ˆ σ 4,8118 % 11,4833 A pa i de simula 3000 mues as del modelo (1) con 0 µ = y 1 σ = es imamos el eco ido del es adís ico auxilia como (10,49; 16,94), obse ando que la p obabilidad de que el es adís ico auxilia sea meno que 11,4833 es 0,025, un alo pequeño que nos hace duda sob e la hipó esis de que los da os siguen el modelo (1). La Dis ibución a pos e io i (6) pa a µ , es 17 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 2 ´ 10 -20 4 ´ 10 -20 6 ´ 10 -20 8 ´ 10 -20 1 ´ 10 -19 1.2 ´ 10 -19 G á ico 4. Dis ibución a Pos e io i de µ (ejemplo 1) que se a a de una T de S uden , con espe anza 9,25088%, p ecisión igual a 10,0575 y g ados de libe ad 101, uncada en el in e alo ( − ∞ ,5,63]. Un in e alo p obabilís ico, con p obabilidad igual a 0.95, es [5,441, 5.63]. Es deci , el po cen aje de g asa co po al mínimo eó ico, pa a es os a le as, es á en e 5,441% y 5,63%, con una p obabilidad del 95%. Es e in e alo ambién se puede conside a como un in e alo de con ianza con un coe icien e de con ianza del 95%. El in e alo de con ianza, [5,41 ; 5,63], calculado po Pewsey (2002, 2004), es p ác icamen e igual al calculado po noso os, aunque un poco más amplio. Pa a n = 102, y con una simulación de 576 mues as, hemos es imado la espe anza / 11,4833 0,0649628 102 s E σ ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ , pa a alo es del es adís ico auxilia en el in e alo [11,4333; 11,5333]. Los alo es obse ados del es adís ico 102 s σ han oscilado en e 0,050634 a 0,0810704. El alo espe ado de la longi ud del in e alo p obabilís ico , condicionado a que = 11,4833 (que pe enezca al in e alo [11,4333; 11,5333]), es en el p esen e ejemplo, () * 1 ,yy ⎡⎤ ⎣⎦ [] () * / / 0,0649628.0,59938 0,03893 s E E n σσ σ ⎡⎤ =−= = ⎢⎥ ⎣⎦  σ , 18 donde emos que es una unción del pa áme o σ que es ima emos a pa i de la es imación de σ . La Dis ibución a pos e io i (8) pa a σ , es 3.5 44.5 55.5 66.5 7 2´10 -94 4´10 -94 6´10 -94 8´10 -94 G á ico 5. Dis ibución a Pos e io i de σ (ejemplo 1) donde un in e alo p obabilís ico cen ado, con p obabilidad igual a 0.95, es [4,269 ; 5.64]. Es deci , el pa áme o σ es á en e 4,269% y 5,64%, con una p obabilidad del 95%. Es e in e alo ambién se puede conside a como un in e alo de con ianza con un coe icien e de con ianza del 95%. El in e alo de con ianza, [4,25 ; 5,61], calculado po Pewsey (2002,2004), es p ác icamen e igual al calculado po noso os. La moda de es a dis ibución a pos e io i es 4,84 %, que es p ác icamen e igual al es imado máximo e osímil 4,8118 %. Aho a, un in e alo p obabilís ico pa a [ ] / 11,4833E = , es [0,1662; 0,2196], que con iene la ampli ud obse ada 0,180 del in e alo bayesiano [5,441, 5.63] de µ . Vemos que además de que el alo del es adís ico auxilia =11,4833 es pequeño, cuando se compa a con su máximo obse ado de 16,94, ambién, pa a es e alo de , el alo obse ado de la ampli ud del in e alo [5,441, 5.63] pod ía habe sido más pequeño, ya que pod íamos habe obse ado un alo an pequeño como 0,146 (es e alo ha sido es imado po el p oduc o 4,8118 *0,050634*0,59938, es imando σ po 4,8118 y omando el alo más pequeño obse ado de 102 s σ en las mues as gene adas con =11,4833 o con mayo p ecisión, con pe enecien e al in e alo [11,4333; 11,5333] ). 19 Un análisis, que nos in o ma sob e la alidez de la hipó esis de que los da os siguen el modelo (1), es el p opo cionado po el siguien e g á ico Q-Q: 5,5 7,5 9,5 11,5 13,5 15,5 17,5 19,5 21,5 00,511,522,53 G á ico 6. Ajus e Q-Q de los da os al modelo Hal -No mal (ejemplo 1) donde obse amos que el ajus e se de e io a pa a alo es g andes de la a iable, con lo que el modelo (1) no ajus a odo el eco ido de la a iable conside ada. El g á ico Q-Q nos in o me de que los da os ienen la cola de la de echa del his og ama empí ico po debajo de la cola eó ica del modelo (1). 7. Un segundo ejemplo ilus a i o. Los da os que amos a analiza co esponden a una mues a de 119 emp esas suminis ado as de elec icidad en Es ados Unidos. Lo da os han sido omados del a ículo de G eene, W. H. (1990), donde de sus 123 emp esas hemos eliminado 4 emp esas. La a iable Y bajo es udio es ln[C/p ]-ln[Q], donde C son los cos es (10^6 $), p es el p ecio del uel y Q es la can idad de oupu (10^6 Kwh). Suponemos que los cos es po unidad de ou pu , la a iable Y, siguen un modelo () ,HN µ σ . En la Tabla 6 hemos ecogido los es adís icos que se án necesa ios en nues o análisis. Tabla 6 Es adís icos Valo es y -8,6145 () 1 y -9,0769 s 0,23663 ˆ σ 0,501902 21,3185 20 El alo an ele ado del es adís ico nos lle a a sospecha de que el modelo (1) no es muy adecuado en es e ejemplo. La Dis ibución a pos e io i pa a µ , es -9.11 -9.105 -9.1 -9.095 -9.09 -9.085 -9.08 50 100 150 200 G á ico 7. Dis ibución a Pos e io i de µ (ejemplo 2) que como sabemos es una de S uden uncada, con espe anza -8,6145 , p ecisión 2121,24 y g ados de libe ad 118. Un in e alo Bayesiano con p obabilidad del 95% de con ene µ es [-9,091;-9,076]. La Dis ibución a pos e io i pa a σ , es 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 1´10 6 2´10 6 3´10 6 4´10 6 G á ico 8. Dis ibución a Pos e io i de σ (ejemplo 2) donde la moda es 0,521, que es á p óxima al alo del es imado máximo e osímil ˆ σ =0,501902. Un in e alo simé ico con p obabilidad 0,95 de con ene σ es [0,464; 0,6001]. Un análisis, que nos in o ma sob e la alidez del modelo (1) , es el p opo cionado po el siguien e g á ico Q-Q: 21 -9,3 -9,1 -8,9 -8,7 -8,5 -8,3 -8,1 -7,9 00,511,522,5 G á ico 9. Ajus e Q-Q de los da os al modelo Hal -No mal (ejemplo 2) donde obse amos que el ajus e se de e io a pa a alo es g andes y pequeños de la a iable, con lo que el modelo (1) no ajus a odo el eco ido de la a iable conside ada. El g á ico Q-Q nos in o ma de que los da os ienen la cola de la de echa del his og ama empí ico po debajo de la cola eó ica del modelo (1), en cambio la cola de la izquie da es á po encima del modelo eó ico. 8. Discusión. En el p esen e abajo hemos es imado los pa áme os del modelo Hal -No mal (1) po medio de la in e encia Bayesiana. Al se el pa áme o µ no egula , hemos aplicado la egla de Je eys gene alizada (O ega y Basul o, 2003) pa a ob ene una dis ibución no in o ma i a pa a el ec o de pa áme os ( ) , µ σ . A pa i de calcula las dis ibuciones a pos e io es de cada uno de los pa áme os, hemos ob enido in e alos de p obabilidad pa a cada pa áme o, apo ando e idencia sob e el compo amien o de es os in e alos como in e alos de con ianza en mues as epe idas. En el p oceso de nues o análisis hemos encon ado un es adís ico auxilia , que jun o con los es imado es máximos e osímiles, de inen un es adís ico su icien e pa a el ec o de pa áme os ( ) , µ σ . Es e es adís ico auxilia lo hemos usado pa a c i ica la alidez del modelo (1), así como pa a e alua la impo ancia de cada mues a sob e la p ecisión con que hemos es imado cada uno de los pa áme os. También, es e es adís ico auxilia ha sido usado pa a es udia el compo amien o de 22 los in e alos p obabilís icos cuando se condicionado a un alo obse ado de dicho es adís ico. El modelo Hal -No mal (1) admi e gene aliza lo a un modelo no homogéneo al in oduci a iables explica i as elacionadas con la espe anza ma emá ica de la a iable Y, po ejemplo, x µ αβ = + de ine la pa e de e minis a de un modelo de eg esión con pe u baciones del ipo ( ) 0,HN σ . O a gene alización del modelo (1) es el modelo uncado de la o ma ( ) ,YN µ σ  con Y λ ≥ , y cuando el pa áme o 0 λ = en onces se educe al modelo (1). Cuando λ µ ≤ , en onces el modelo uncado iene una moda igual a λ , y así el compo amien o de la unción de densidad a anca de un alo , a la izquie da de λ , has a alcanza un máximo en el alo de λ pa a comenza , a con inuación, a disminui . El modelo uncado ha sido p opues o po S e enson (1980) pa a modela la on e a de e minis a o es ocás ica en p oblemas de es imación de la e iciencia económica en mues as de emp esas. Po úl imo, el modelo Hal -No mal (1) es usado en p oblemas de on e a es ocás ica (Fo sund e al, 1980), que pa a nues o caso homogéneo (1) (un modelo de on e a es ocás ica) se ía de la o ma YZ µεσ =++ , donde . Una hipó esis es supone que las a iables alea o ias ( 0,1ZN ) ε y Z son independien es, donde la a iable alea o ia ε es de la o ma ( ) 0,N ε ω  , siendo ω su a ianza. Es e úl imo modelo pe mi e que odos sus pa áme os sean egula es y, así, se e i a el p oblema del es imado máximo e osímil an e la no egula idad. Aho a bien, es e nue o modelo p esen a el p oblema de cómo sepa a los e ec os de las a iables alea o ias ε y Z (Fo sund e al, 1980) sob e la a iable dependien e. Bibliog a ía. 1. A nold, B.R.; Cas illo, E. and Sa abia, J.M. (1999), Condi ional Speci ica ion o S a is ical Models. Sp inge Se ies in S a is ics, Sp inge .Ve lag, New Yo k. 2. Cook, R.D. and Weisbe g, S. (1994), An In oduc ion o Reg ession G aphics. Wiley: New Yo k. 23 3. G eene, W. H. (1990), A Gamma-Dis ibu ed S ochas ic F on ie Model. Jou nal o Econome ic. 46, 141-163. 4. Fo sund, F.R.; Nnox Lo ell, C.A. and Schmid , P. (1980), A Su ey o F on ie P oduc ion Func ion and o Thei Rela ionship o E iciency Measu emen . Jou nal o Econome ics, 13, 5-25. 5. O ega, F.J. (2001), Ob ención de Dis ibuciones a P io i In oma i as Usando Medidas de In o mación. Aplicación a la E aluación de la Re is as Cien í icas. Tesis Doc o al Uni e sidad de Se illa. Spain. 6. O ega, F.J. y Basul o, J. 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