Grupos de Artin Virtuales

Trabajo Fin de Máster Grupos de Artin Virtuales José Gálvez Mateos Departamento de Álgebra María Cumplido Cabello Directora del trabajo Este trabajo no hubiera sido posible sin el cariño constante de Chema, la confidencia y compañía de Raul, el amor de mi querido Alonso, y sobre todo, sin la confianza de mi mentora María y el apoyo incesable de mis padres. Gracias por estar conmigo. Resumen El siguiente trabajo tiene como objetivo realizar un estudio de las propiedades de los grupos de Artin virtuales, los cuales representan una generalización de los grupos de Artin-Tits clásicos. Para comenzar, proporcionaremos una introducción histórica que nos permitirá comprender la relevancia de los grupos de Artin virtuales. Exploraremos los grupos de Coxeter, los grupos de trenzas y los grupos de Artin, estableciendo su conexión y resaltando su importancia en el ámbito de la teoría de grupos. A continuación, nos enfocaremos en el estudio de los grupos de trenzas virtuales, presentando una clasificación de ciertos homomorfismos entre estos grupos y los grupos simétricos. Este análisis nos permitirá entender las propiedades y las relaciones estructurales entre ambos tipos de grupos. Finalmente, abordaremos la definición de los grupos de Artin virtuales y nos centraremos en el cálculo de sus centros y en dar una presentación de dos de sus subgrupos más relevantes. Este paso es fundamental para comprender la estructura y el comportamiento de estos grupos, y nos brindará una visión más completa de su naturaleza algebraica. Abstract The following work aims to conduct a study of the properties of virtual Artin groups, which represent a generalization of classical Artin-Tits groups. To begin, we will provide a historical introduction that will allow us to understand the relevance of virtual Artin groups. We will explore Coxeter groups, braid groups, and Artin groups, establishing their connection and highlighting their importance in the field of group theory. Next, we will focus on the study of virtual braid groups, presenting a classification of certain homomorphisms between these groups and symmetric groups. This analysis will enable us to understand the properties and structural relationships between both types of groups. Finally, we will address the definition of virtual Artin groups and concentrate on calculating their centers, as well as presenting two of their most relevant subgroups. This step is essential for understanding the structure and behavior of these groups, providing us with a more comprehensive understanding of their algebraic nature. Índice general 1. Introducción 4 1.1. GruposdeCoxeter........................................ 4 1.2. Gruposdetrenzas ........................................ 7 1.3. GruposdeArtin-Tits....................................... 8 2. Grupo de trenzas virtuales 11 2.1. Grupodetrenzasvirtuales.................................... 11 2.2. Presentación de KBn...................................... 13 2.3. Clasificación de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1. Lemastécnicos ...................................... 20 2.3.2. Del grupo de trenzas virtuales al grupo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.3. Del grupo simétrico al grupo de trenzas virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.4. Del grupo de trenzas virtuales en sí mismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.5. El caso de V B2...................................... 39 2.3.6. Consecuencias ...................................... 41 3. Grupos de Artin virtuales 45 3.1. GruposdeArtinvirtuales .................................... 45 3.2. Trivialidaddelcentro....................................... 52 A. Sobre grupos de Coxeter 56 B. Grupos simétricos 61 B.1. Presentación de los grupos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 B.2. Automorfismos de los grupos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 C. Método de Reidemeister-Schreier 70 C.1.Procesosdereescritura...................................... 70 C.2. Método de Reidemeister-Schreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3 1|Introducción La estrecha relación entre el álgebra y la geometría se extiende a diversas áreas del conocimiento matemático, pero es en la Teoría Geométrica de Grupos donde esta interacción tiene un impacto especialmente relevante. Ésta podría describirse como el estudio de la interacción entre las propiedades algebraicas y geométricas de los grupos. Buen ejemplo de la esencia de esta disciplina son los grupos de Coxeter. Estos grupos encapsulan y generalizan el concepto de reflexión como veremos a continuación, e históricamente son el punto de partida para comprender, no solo la definición, sino la razón de ser de nuestro principal objeto de estudio: los Grupos de Artin virtuales. 1.1. Grupos de Coxeter Del estudio abstracto de las reflexiones sobre politopos, el músico y matemático Harld Scott McDonald Coxeter describió los grupos que a día de hoy llevan su nombre en el artículo [7], publicado en 1934. Estos grupos tienen muchas aplicaciones en diversos campos de las matemáticas más allá de la geometría, tales como la teoría de números, álgebras de Lie, y hasta en la física teórica, pues están relacionados con los polinomios de Hermite y de Laguerre, los cuales se usan para describir estados de energía en ciertos sistemas. Definición (Matriz de Coxeter).Sea Sun conjunto numerable. Definimos una matriz de Coxeter sobre Scomo M“ pmstqs,tPS, donde: mss “1para todo sPS. mst “mts P t2,3,...,8u. A partir de esta matriz podemos definir un grafo que nos será de gran ayuda en el estudio de los grupos de Coxeter. No hay una forma estándar de definir este grafo, pues dependiendo del objeto que se vaya a estudiar es conveniente definirlo de un modo u otro. Nosotros daremos la siguiente definición. Definición (Grafo de Coxeter).Sea Sun conjunto numerable y sea M“ pmstqs,tPS. Definimos el grafo de Coxeter Γasociado a Mcomo el grafo etiquetado que cumple: Γtiene por vértices los elementos de S. Dados s, t PSdistintos, los vértices en Γasociados a sy a tse unirán por una arista si mst ě3, y se etiquetarán si mst ě4. Definición (Grupo de Coxeter).Sea Sun conjunto numerable, Muna matriz de Coxeter sobre SyΓ el grafo de Coxeter asociado a M. Definimos el grupo de Coxeter sobre Γcomo WrΓs:“ASˇˇˇpstqmst para todo s, t PSsi mst ‰ 8E. Un ejemplo bien conocido de grupos de Coxeter son los grupos simétricos. Podemos comprobar que, en efecto, son grupos de Coxeter gracias a la presentación dada en el Apéndice B. En este caso, la matriz de Coxeter asociada a Snvendría dada por msisj“2si |i´j| ě 2ymsisj“3en caso contrario, siempre que i‰jpara todo i, j P t1, . . . , n ´1u. 4 Grupos de Coxeter Introducción Por lo tanto, el grafo de Coxeter asociado a Snes: s1s2s3s4sn´2sn´1 Γ Estos grafos tienen especial relevancia dentro del estudio de los grupos de Coxeter, pues existe una clasificación de estos que puede expresarse con sorprendente simpleza. Puede encontrarse esta clasificación en [8] en el caso de los grupos de Coxeter finitos, en [6] en el caso de grupos de Coxeter afines, y en la sección 6.9de [14] en el caso de los grupos de Coxeter hiperbólicos. La forma histórica de definir los grupos de Coxeter no fue mediante los grafos de Coxeter, pero esta definición nos será mucho más útil en lo que sigue. Un resultado fundamental, cuya prueba puede encontrarse en la referencia adjunta, es el siguiente. Teorema 1.1.1 (Corolario 1, [6]).Sea Sun conjunto numerable y sea Γun grafo de Coxeter sobre S. Consideremos XĂSy denotemos ΓXĂΓal subgrafo maximal de Γque tiene a Xpor vértices. Entonces WrΓXses un grupo de Coxeter y la inclusión de morfismos de grafos iX: ΓXÝÑ Γinduce una inyección de grupos iX:WrΓXs ÝÑ WrΓs. Pasemos a comprender la motivación geométrica de estos grupos. Definición (Raíces simples).Sea Sun conjunto numerable. Llamaremos raíces simples de Sal conjunto abstracto Π“ tαs:sPSu, el cual es biyectivo a S. En caso de tener un grupo de Coxeter WrΓsgenerado por S, podemos considerar el conjunto de raíces simples asociado a Sy construir un espacio vectorial real Vque tenga a Πpor base. Es más, podemos dotar a este espacio vectorial de una forma bilineal simétrica. Sean αs, αtPΠ, entonces definimos xαs, αty:“#´2 cos ´π mst ¯si mst ‰ 8; ´2si mst “ 8. Definición (Representación lineal canónica de un grupo de Coxeter).Sea Sun conjunto numerable, Γun grafo de Coxeter sobre SyWrΓsel grupo de Coxeter asociado a Γ. Consideremos Πel sistema de raíces simples asociado a Sy sea Vel espacio vectorial real que tiene a Πpor base, dotado de la forma bilineal simétrica antes definida. Llamaremos representación lineal canónica al homomorfismo γ:WrΓs ÝÑ GLpVq1definido como γpsqpvq:“v´ xv, αsyαs para todo sPSy para todo vPV. Se puede apreciar que estas representaciones no son más que reflexiones sobre hiperplanos de vector normal αspara cada sPS, de forma que dados s, t PS, los vectores αsyαtestén a un ángulo de π mst . Pongamos un ejemplo para visualizar esta interpretación geométrica. Consideremos el grupo de Coxeter asociado al grafo de Coxeter Γque aparece en la siguiente imagen. Podemos apreciar que WrΓs – D4 donde D4es el grupo diédrico de orden 8. Vemos que WrΓsestá generado por syt, por lo que tiene asociadas dos raíces simples αsyαt. También podemos encontrar en el siguiente dibujo dos rectas, las cuales son hiperplanos en R2, cuyo vector normal es, respectivamente, αsyαt, y donde estos están a un ángulo de π 4, puesto que mst “4. Por último, los puntos señalados representan una órbita por la acción de los elementos de WrΓs, esto es, las reflexiones de dichos puntos respecto a los dos hiperplanos. 1GLpVqdenota el grupo lineal de V, esto es, al grupo de automorfismos de espacios vectoriales de V. 5 Grupo de trenzas virtuales Grupo de trenzas virtuales Definición (Grupos de trenzas virtuales).Sea nPNmayor o igual que 2. Definimos el grupo de trenzas virtuales de ncuerdas, notado por V Bn, como el grupo generado por σ1, . . . , σn´1, τ1, . . . , τn´1y que tiene por relaciones: τ2 i“1para todo 1ďiďn´1. Para todo 1ďiăjďn´1tal que |i´j| ě 2se tiene que σiσj“σjσi, τiτj“τjτiyτiσj“σjτi. Para todo 1ďiăn´1se tiene que σiσi`1σi“σi`1σiσi`1, τiτi`1τi“τi`1τiτi`1yτiτi`1σi“σi`1τiτi`1. Los elementos σicorresponden a los cruces usuales, mientras que los elementos τirepresentan los cruces virtuales. La presentación que acabamos de dar no es la presentación que se muestra en [15]. En esta presentación, cada relación refleja las equivalencias dadas por los movimientos de Reidemeister, al igual que ocurre con la presentación que se dio en el primer capítulo del grupo de trenzas convencional. A pesar del gran interés que estos grupos generan en el estudio de la topología de baja dimensión, desde un punto de vista combinatorio poco se sabe sobre estos. Entre los pocos resultados que se conocen están la solución al problema de la palabra, dado por Paolo Bellingeri, Bruno Aarón Cisneros de la Cruz y Luis Paris en [3], y el cálculo de algunos términos de las series centrales, dado por Valerij G. Bardakov y Paolo Bellingeri en [2]; mientras que cuestiones frecuentes tales como el problema de la conjugación siguen abiertas. En este capítulo estudiaremos los resultados dados por Paolo Bellingeri y Luis Paris en [4], donde clasifican los homomorfimos entre grupos de trenzas virtuales, de los grupos de trenzas virtuales a los grupos simétricos y viceversa. Podemos apreciar que la presentación de los grupos de trenzas virtuales y la presentación de los grupos simétricos dada en el Teorema B.1.1 guardan ciertas similitudes. Esto motiva los siguientes homomorfismos: πK:V BnÝÑ SnπP:V BnÝÑ Sn σiÞÝÑ 1, σiÞÝÑ si. τiÞÝÑ siτiÞÝÑ si De las respectivas presentaciones se deduce de forma directa que ambos homomorfimos son sobreyectivos, pues envían generadores en generadores. Estos homomorfismos serán fundamentales en lo que sigue. Definición (Grupos de trenzas virtuales kuros y puros).Sea nPNmayor o igual que 2. Sean πKyπP los homomorfismos antes descritos. Llamaremos grupo de trenza virtual kuro 1de ncuerdas, notado por KBn, al subgrupo KBn:“ker pπKqde V Bn. Llamaremos grupo de trenza virtual puro de ncuerdas, notado por V Pn, al subgrupo V Pn:“ker pπPqde V Bn. Estos subgrupos serán de especial relevancia, puesto que nos permiten poder descomponer los grupos de trenzas virtuales como un producto semidirecto. Proposición 2.1.1. Sea nPNmayor o igual a dos. Entonces podemos descomponer V Bncomo V Bn–KBn¸SnoV Bn–V Pn¸Sn. Demostración. Sea nun número natural mayor o igual a 2. Primero, debido a que tanto KBncomo PBnestán definidos como el kernel de un homomorfismo, son subgrupos normales, por lo que tiene sentido la descomposición anterior. Consideremos la sección2ι:SnÝÑ V Bndefinida como ιpskq “ τk 1El nombre de kuro ha sido una traducción propia. El nombre original, propuesto por Bruno Aaron Cisneros de la Cruz y Luis Paris, fue kure, un juego de palabras entre kernel ypure. 2Aquí abusamos de notación, pues hablo de sección en vez de referirme a la sección de un morfismo en concreto. La sección que se define es a la vez sección de πKy de πP, esto es, πK˝ι“idSnyπP˝ι“idSn. 12 Presentación de KBnGrupo de trenzas virtuales para todo kP t1, . . . , n ´1u. Podemos apreciar que pπK˝ιq pskq “ skypπP˝ιq pskq “ skpara todo kP t1, . . . , n ´1u. Consideremos las siguientes sucesiones t1u//KBn i//V Bn πK////Sn//t1uyt1u//PBn i//V Bn πP////Sn//t1u donde ien ambos caso es la inclusión. Por construcción, estas dos sucesiones son exactas, y puesto que ι es una sección, se deduce que V Bn–KBn¸SnyV Bn–P Bn¸Sn. 2.2. Presentación de KBn En esta sección nos centraremos en el subgrupo KBn. En concreto, veremos una presentación de este, deduciendo así que tiene estructura de grupo de Artin. Para ello, usaremos el método de Reidemeister- Schreier, el cual puede encontrarse con todo detalle en el Apéndice C. Dado un nnatural mayor o igual a dos, definimos los elementos δij “τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τi, δji “τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2τj´1σj´1τj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τi con 1ďiăjďn. Además, es sencillo ver que para cualquier δij oδji anterior se tiene que πKpδijq “ πKpδjiq “ 1, por lo que son elementos de KBn. Como probamos en la sección anterior, V Bn–KBn¸Sn, por lo que existe una acción natural Sn ý KBndada por la conjugación, esto es, dado wPSnygPKBn, la acción se define como w¨g:“ιpwqgpιpwqq´1. Denotaremos de forma indiferente la acción como w¨go como wpgq, siempre que no haya ambigüedad. Lema 2.2.1. Consideremos los elementos δij yδji antes definidos. Entonces para todo wPSnse tiene que w¨δij “δwpiq,wpjqyw¨δji “δwpjq,wpiq. Demostración. Como Snestá generado por los elementos skpara todo kP t1, . . . , n ´1u, basta probarlo para estos elementos. Podemos distinguir varios casos: Supongamos que kR ti´1, i, . . . , j ´1, ju, entonces skpiq “ iyskpjq “ j. Por otro lado sk¨δij “ιpskqδij pιpskqq´1“τkδijτk“τkτiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τiτk“ “τ2 kτiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τi“τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τi“δij. Esto último se tiene puesto que para todo elemento rP ti´1, . . . , juse tiene que |k´r| ě 2, por lo que τkconmuta con cada τry con σj´1. Por lo tanto sk¨δij “δij “δskpiq,skpjq. Si k“i´1, entonces si´1piq “ i´1ysi´1pjq “ j. Al hacer actuar si´1sobre δij obtenemos si´1¨δij “τi´1τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τiτi´1“δi´1,j “δsi´1piq,si´1pjq. Si k“j, entonces sjpiq “ iysjpjq “ j`1. Al llevar acabo la acción, observamos que sj¨δij “τjτiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τiτj“τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2τjσj´1τjτj´2¨ ¨ ¨ τi`1τi. De nuevo, esto último es porque τjconmuta con todos los τrcon rP ti, . . . , j ´2u. Por las relaciones de V Bnse tiene que τjσj´1τj“τj´1σjτj´1, por lo que sj¨δij “τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2τj´1σjτj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τi“δi,j`1“δsjpiq,sjpjq. 13 Presentación de KBnGrupo de trenzas virtuales Supongamos que k“i, entonces distinguimos dos casos. Si j“i`1, entonces sipiq “ i`1y sipi`1q “ i. Podemos observar que si¨δi,i`1“τiσiτi“δi`1,i “δsipiq,sipi`1q. En caso de ser j‰i`1, entonces sipiq “ i`1ysipjq “ j. De la misma forma, observamos que si¨δij “ “1 hkkikkj τiτiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1 “1 hkkikkj τiτi“ “τi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1“δi`1,j “δsipiq,sipjq. Si k“j´1, de nuevo distinguimos dos casos. Si j“i`1lo hemos contemplado en el punto anterior. Si j‰i`1, entonces sj´1piq “ iysj´1pjq “ j´1. Ahora sj´1¨δij “τj´1τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τiτj´1“τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´1τj´2σj´1τj´2τj´1¨ ¨ ¨ τi`1τi. Notemos que τj´2σj´1τj´2“τj´1σj´2τj´1, por lo que τj´1τj´2σj´1τj´2τj´1“τ2 j´1σj´2τ2 j´1“σj´2. En consecuencia sj´1¨δij “τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´3σj´2τj´3¨ ¨ ¨ τi`1τi“δi,j´1“δsjpiq,sjpjq. Por último, si kP ti`1, . . . , j ´2u, entonces skpiq “ iyskpjq “ j. Siguiendo la dinámica de los casos anteriores, vemos que sk¨δij “τkτiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τiτk“ “τiτi`1¨ ¨ ¨ τk´2τkτk´1τk¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τkτk´1τkτk´2τ¨ ¨ ¨ τi`1τi. Como τkτk´1τk“τk´1τkτk´1, entonces sk¨δij “τiτi`1¨ ¨ ¨ τk´2τk´1τkτk´1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τk´1τkτk´1τk´2τ¨ ¨ ¨ τi`1τi. Podemos apreciar que τk´1conmuta con todo τrdonde k`1ďrďj´2y con σj´1, por lo que sk¨δij “τiτi`1¨ ¨ ¨ τk´2τk´1τk¨ ¨ ¨ τj´2τ2 k´1σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τkτk´1τk´2τ¨ ¨ ¨ τi`1τi“ “τiτi`1¨ ¨ ¨ τk´2τk´1τk¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τkτk´1τk´2τ¨ ¨ ¨ τi`1τi“δij “δskpiq,skpjq. En el caso de considerar los elementos δji el razonamiento es análogo. Se deduce así el resultado. Para dar la presentación de KBnpor el método de Reidemeister-Schreier primero necesitamos un sistema de Schreier de KBnsobre V Bn, cuya definición puede encontrarse en C.2. Lema 2.2.2. Sea nPNmayor o igual a dos. Entonces el conjunto Λn“␣pτi1τi1´1¨ ¨ ¨ τi1´r1q pτi2τi2´1¨ ¨ ¨ τi2´r2q ¨ ¨ ¨ `τipτip´1¨ ¨ ¨ τip´rp˘(Y t1u donde 1ďi1ăi2ă ¨ ¨ ¨ ă ipďn´1,1ďpďn´1y0ďrjăij, es un sistema de Schreier de KBn en V Bn. Demostración. Consideremos Wcomo el conjunto de todas las palabras que pueden escribirse a partir de tτ1, . . . , τn´1u. Es evidente que ΛnĂW. Primero veamos que las palabras de Λnes un conjunto de palabras que representa a los elementos un sistema de representantes de KBnsobre V Bn. Debido a que V Bn–KBn¸Snse tiene que V Bn{KBn–Sn, por lo que basta probar que todo elemento de Sn puede escribirse a partir de los elementos representados por las palabras de Λn. 14 Presentación de KBnGrupo de trenzas virtuales Seguiremos el procedimiento usado en la demostración del Teorema B.1.1. Consideremos el subgrupo Snde V Bngenerado por τ1, . . . , τn´1. Abusando de notación en esta demostración, denotaremos por Sq al subgrupo de Sngenerado por τ1, . . . , τq´1. En la demostración del Teorema B.1.1 se probó que dado cualquier elemento gPSnexiste un entero r1P t0, . . . , n ´2ude manera que gP`τpn´1q´r1τpn´1q´r1`1¨ ¨ ¨ τpn´1q´1τn´1˘Sn´1, esto es, pertenece a esa clase lateral a la izquierda de Sn{Sn´1. Por lo tanto, existe un elemento g1PSn´1 tal que gP`τpn´1q´r1τpn´1q´r1`1¨ ¨ ¨ τpn´1q´1τn´1˘g1. Ahora, como g1PSn´1, de nuevo, existe un g2PSn´2y un r2P t0, . . . , n ´3utal que g1“`τpn´2q´r2τpn´2q´r2`1¨ ¨ ¨ τpn´2q´1τn´2˘g2. Siguiendo este proceso obtenemos una expresión de gtal que g“`τpn´1q´r1τpn´1q´r1`1¨ ¨ ¨ τpn´1q´1τn´1˘¨ ¨ ¨ `τpn´qq´rqτpn´qq´rq`1¨ ¨ ¨ τpn´qq´1τn´q˘gq, y este proceso finaliza cuando gq“1para algún qP t1, . . . , n ´2u. Ahora, solo consideramos g´1“``τpn´1q´r1τpn´1q´r1`1¨ ¨ ¨ τpn´1q´1τn´1˘¨ ¨ ¨ `τpn´qq´rqτpn´qq´rq`1¨ ¨ ¨ τpn´qq´1τn´q˘˘´1“ “`τn´qτpn´qq´1¨ ¨ ¨ τpn´qq´rq`1τpn´qq´rq˘¨ ¨ ¨ `τn´1τpn´1q´1¨ ¨ ¨ τpn´1q´r1`1τpn´1q´r1˘. Deducimos que podemos expresar elemento de Snusando los elementos que representan las palabras de Λn. Como esta escritura se ha realizado mediante elecciones sobre clases de equivalencia, al ser estas disjuntas, cada elemento queda representado de manera única. Deducimos que Λnes un sistema de representantes a de KBnen V Bn. Es más, es un sistema de representantes de Schreier por construcción, debido a que cada τn´qτpn´qq´1¨ ¨ ¨ τpn´qq´rq`1τpn´qq´rqpertenece a Λn, por lo que es cerrado para los segmentos iniciales. Teorema 2.2.1 (Proposición 17, [2]).Sea nPNmayor o igual que 2. Entonces KBnadmite una presentación tal que KBn–Atδij, δjiu1ďiăjďn´1ˇˇˇδabδcd “δcdδab, δabδbcδab “δbcδabδbcE donde a, b, c, d P t1, . . . , nuson índices distintos dos a dos.3 Demostración. Obtendremos esta presentación a partir del método de Reidemeister-Schreier. Sea Wel conjunto de las palabras que se pueden crear a partir de tσ1, . . . , σn´1, τ1, . . . , τn´1uy sea Λnel conjunto definido en el Lema 2.2.2. En dicho lema hemos probado que ΛnĎWes un sistema de representantes de KBnen V Bn. Usaremos la misma notación que en la sección C, de forma que dada una palabra wPW denotaremos por wV Bnal elemento que representa wen V Bn. Consideremos la aplicación :WÝÑ Λn que a cada palabra de wPWlo envía a la palabra wde Λn, de forma que wV BnPKBnwV Bn. Gracias al Teorema C.1.2 sabemos que los elementos sk,a :“τ´kaka´1¯ generan KBn, donde kPΛnyaP tσ1, . . . , σn´1, τ1, . . . , τn´1u. Podemos apreciar que sk,τi“1para todo iP t1, . . . , n ´1uy todo kPΛn, puesto que cada τiPΛn y este es un sistema de Schreier, por lo que kτi“kτi. Por otro lado, se tiene que σi“1para todo iP t1, . . . , n ´1u, por lo que sk,σi“τ´kσikσi ´1¯“τ´kσik´1¯“τ`kσik´1˘. 3Este resultado fue originalmente dado por Loïc Rabenda, en su Trabajo de Fin de Master realizado en la Universidad de Borgoña, en Dijon, en el año 2003. Desgraciadamente no se encuentra disponible. 15 Presentación de KBnGrupo de trenzas virtuales Sea wPSntal que ιpwq “ kV Bn. Como σi“δi,i`1, entonces `kσik´1˘V Bn“ιpwqδi,i`1pιpwqq´1“δwpiq,wpi`1q, por lo que, abusando de notación, se tiene que τpδwpiq,wpi`1qq “ skσi. Aquí hemos usado el Lema 2.2.1. Podemos apreciar que dado σipara cierto iP t1, . . . , n ´1u, siempre existe un representante kPΛntal que sk,σi“τpδa,bqpara todo a, b P t1, . . . , nudistintos. Basta tomar un cierto wPSntal que wpiq “ a ywpi`1q “ b, y considerar el representante kPΛntal que ιpwq “ kV Bn. Deducimos que el conjunto tδij, δji : 1 ďiăjďn´1u es un conjunto de generadores de KBn, y que cada δij es reescrito por algún sk,σipara algún kPΛn. Una vez hemos obtenido los generadores pasemos a deducir las relaciones. Sabemos que las relaciones de la presentación de KBnvendrán dadas a partir de las reescrituras de las conjugaciones de las relaciones de V Bnmediante elementos de Λn. Primero, podemos apreciar que como cada sk,τi“1, las relaciones que solo involucren los elementos τide V Bnresultan triviales en esta presentación de KBn. Consideremos ahora las otras relaciones. Dado un iP t1, . . . , n ´2u, denotemos por Ri 1,k “τ`kσiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 iσ´1 i`1k´1˘. Veamos la reescritura de R1,1. Cabe remarcar que el primer 1se refiere al tipo de relación, mientras que el segundo hace referencia al elemento identidad de Λn. Entonces Ri 1,1“τ`σiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 iσ´1 i`1˘“ “τˆσiσi´1σiσi`1σiσi`1´1σiσi`1σiσiσi`1σi´1σiσi`1σiσ´1 i`1σiσi`1σiσ´1 i`1 ´1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ σiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 iσiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 i ´1 σiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 iσ´1 i`1σiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 iσ´1 i`1˙“ “s1,σisσi,σi`1sσiσi`1,σis´1 σiσi`1σiσ´1 i`1,σi`1 s´1 σiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 i,σi s´1 σiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 iσ´1 i`1,σi`1 “ “s1,σis1,σi`1s1,σis´1 1,σi`1s´1 1,σis´1 1,σi`1“ “τpδi,i`1qτpδi`1,i`2qτpδi,i`1qτpδi`1,i`2q´1τpδi,i`1q´1τpδi`1,i`2q´1. Consideremos ahora un kPΛny sea wPSntal que ιpwq “ kV Bn. Entonces `kσiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 iσ´1 i`1k´1˘V Bn“ιpwqδi,i`1δi`1,i`2δi,i`1δ´1 i`1,i`2δ´1 i,i`1δ´1 i`1,i`2pιpwqq´1“ “ιpwqδi,i`1pιpwqq´1ιpwqδi`1,i`2pιpwqq´1ιpwqδi,i`1pιpwqq´1¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ιpwqδ´1 i`1,i`2pιpwqq´1ιpwqδ´1 i,i`1pιpwqq´1ιpwqδ´1 i`1,i`2pιpwqq´1“ “δwpiq,wpi`1qδwpi`1q,wpi`2qδwpiq,wpi`1qδ´1 wpi`1q,wpi`2qδ´1 wpiq,wpi`1qδ´1 wpi`1q,wpi`2q. Por lo tanto Ri 1,k “τ`kσiσi`1σiσ´1 i`1σ´1 iσ´1 i`1k´1˘“ “τ`δwpiq,wpi`1q˘τ`δwpi`1q,wpi`2q˘τ`δwpiq,wpi`1q˘τ`δwpi`1q,wpi`2q˘´1τ`δwpiq,wpi`1q˘´1τ`δwpi`1q,wpi`2q˘´1. Pasemos la siguiente relación de V Bnque involucra los elementos σi. Dados i, j P t1, . . . , n ´1utal que |i´j| ě 2, sea Ri,j 2,k “τ`kσiσjσ´1 iσ´1 jk´1˘. Veamos primero R2,1. Entonces Ri,j 2,1“τ`σiσjσ´1 iσ´1 j˘“τˆσiσi´1σiσjσiσj´1σiσjσ´1 iσiσjσ´1 i ´1 σiσjσ´1 iσ´1 jσiσjσ´1 iσ´1 j˙“ 16 Presentación de KBnGrupo de trenzas virtuales “s1,σisσi,σjs´1 σiσjσ´1 i,σi s´1 σiσjσ´1 iσ´1 j,σj “s1,σis1,σjs´1 1,σis´1 1,σj“τpδi,i`1qτpδj,j`1qτpδi,i`1q´1τpδj,j`1q´1. Siguiendo el razonamiento anterior, dado cualquier kPΛn, tomemos wPSntal que ιpwq “ kV Bn. Entonces Ri,j 2,k “τ`δwpiq,wpi`1q˘τ`δwpjq,wpj`1q˘τ`δwpiq,wpi`1q˘´1τ`δwpjq,wpj`1q˘´1. Pasemos a la siguiente relación. Dado iP t1, . . . , n ´2usea Ri 3,k “τ`kτiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 iσ´1 i`1k´1˘. Siguiendo el mismo razonamiento anterior, veamos primero Ri 3,1. Entonces Ri 3,1“τ`τiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 iσ´1 i`1˘“ “τˆτiτi´1τiτi`1τiτi`1´1τiτi`1σiτiτi`1σi´1τiτi`1σiτ´1 i`1τiτi`1σiτ´1 i`1 ´1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ τiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 iτiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 i ´1 τiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 iσ´1 i`1τiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 iσ´1 i`1 ´1˙“ “s1,τisτi,τi`1sτiτi`1,σis´1 τiτi`1σiτ´1 i`1,τi`1 s´1 τiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 i,τi s´1 τiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 iσ´1 i`1,σi`1 . Vimos al principio que skτi“1para todo kPΛn. Por lo tanto reducimos la expresión anterior a Ri 3,1“sτiτi`1,σis´1 τiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 iσ´1 i`1,σi`1 . Podemos apreciar que τiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 iσ´1 i`1“1, pues `τiτi`1σiτ´1 i`1τ´1 iσ´1 i`1˘V Bn“1PKBn. Por otro lado, sabemos que sτiτi`1,σi“τ`δpsisi`1qpiq,psisi`1qpi`1q˘“τpδi`1,i`2q. Por lo tanto Ri 3,1“sτiτi`1,σis´1 1,σi`1“τpδi`1,i`2qτpδi`1,i`2q´1«1. Siguiendo el razonamiento anterior, dado kPΛnse tiene que Ri 3,k «1. Por último, tomemos de nuevo i, j P t1, . . . , n ´1utal que |i´j| ě 2. Sea Ri,j 4,k “τ`kτiσjτ´1 iσ´1 jk´1˘. Consideremos primero Ri,j 4,1. Entonces Ri,j 4,1“τ`τiσjτ´1 iσ´1 j˘“τˆτiτi´1τiσjτiσj´1τiσjτ´1 iτiσjτ´1 i ´1 τiσjτ´1 iσ´1 jτiσjτ´1 iσj ´1˙“ “s1,τi loomoon “1 sτi,σjs´1 τiσjτ´1 i,τi loooomoooon “1 s´1 τiσjτ´1 iσ´1 j,σj “sτi,σjs´1 τiσjτ´1 iσ´1 j,σj . De nuevo, notemos que τiσjτ´1 iσ´1 j“1. Además, se tiene que sτi,σj“τ`δsipjq,sipj`1q˘“τpδj,j`1q. Por lo tanto Ri,j 4,1“sτi,σjs´1 1,σj“τpδj,j`1qτpδj,j`1q´1«1. Por lo tanto, dado kPΛnse tiene que Ri,j 4,k «1. En resumen, el método de Reidemeister-Schreier nos asegura que KBn–Ctsk,σi, sk,τiukPΛn 1ďiďn´1ˇˇˇˇˇsk,τi, Ri 1,k, Ri,j 2,k tal que kPΛn,1ďi, j ďn´1con |i´j| ě 2G. 17 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales Ahora, debido a que cada sk,σipuede identificarse con un δij y que sk,τi“1se deduce que KBn–Atδij, δjiu1ďiăjďn´1ˇˇˇδabδcd “δcdδab, δabδbcδab “δbcδabδbcE donde a, b, c, d P t1, . . . , nuson índices distintos dos a dos. Esta presentación nos muestra algo bastante relevante. Corolario 2.2.1. Para todo nPNmayor o igual a dos se tiene que KBnes un grupo de Artin. Demostración. Se deduce de forma directa de la presentación de KBndada en el Teorema 2.2.1. 2.3. Clasificación de homomorfismos Una vez introducidos los grupos de trenzas virtuales y dos de sus subgrupos normales de mayor relevancia, procederemos a estudiar los posibles homomorfismos que pueden darse entre grupos de trenzas virtuales, entre estos grupos y los simétricos y viceversa. La clasificación de los homomorfismos de estos grupos tiene importancia, pues nos ayuda a comprender como se pueden relacionar con otros grupos. Definición (Homomorfismo abeliano).Sean GyHdos grupos y sea φ:GÝÑ Hun homomorfismo. Diremos que φes un homomorfismo abeliano si Impφq ď Hes un grupo abeliano. Definición (Abelianización).Sea Gun grupo que admite una presentación xS|Ry. Llamaremos abelianización de G, notado por Gab al grupo Gab “ xS|RY tab “ba :a, b PSuy . Lema 2.3.1. Sea nPNmayor o igual a dos. Entonces se tiene que Sab n–Z{2ZyV Bab n–ZˆZ{2Z. Demostración. Comencemos por Sn. Sabemos que para todo iP t1, . . . , n ´2use tiene que sisi`1si“si`1sisi`1. Por lo tanto, al añadir las relaciones de abelianización obtenemos s2 isi`1“s2 i`1si, y como s2 i“s2 i`1“1se tiene que si“si`1para todo iP t1, . . . , n ´2u. Deducimos que en Sab nse tiene que s1“sipara todo iP t1, . . . , n ´1u, y como s2 1“1deducimos que Sab n–@s1ˇˇs2 1D–Z{2Z. Pasemos ahora a V Bn. En este grupo tenemos la relación τiτi`1σi“σi`1τiτi`1, por lo que si abelianizamos obtenemos τiτi`1σi“τiτi`1σi`1ôσi“σi`1. Deducimos que σ1“σipara todo iP t1, . . . , n ´1u. Procediendo de manera análoga al caso de Sn deducimos que τ1“τipara todo iP t1, . . . , n ´1u, y además τ2 1“1. Por lo tanto V Bab n–@σ1, τ1ˇˇτ2 1, σ1τ1“τ1σ1D–ZˆZ{2Z. 18 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales Pasemos a dar algunos resultados previos a la clasificación de los homomorfismos, al igual que algunos conceptos que nos serán necesarios. Definición (Producto amalgamado).Sea tGiuiPIuna familia de grupos y sea Aotro grupo tal que para iPIexiste un homomorfismo inyectivo fi:AÝÑ Gi. Definimos el producto amalgamado de la familia tGiuiPIsobre Acon respecto a los homomorfimos tfiuiPI, notado como ˚AGi, como el grupo que hace que el diagrama Gisi "" A fi11 ˚AGi << sj Gj -- fj sea conmutativo, donde los homomorfismos si:GiÝÑ ˚AGison los homomorfismos canónicos, esto es, homomorfismos inyectivos. Además, ha de cumplir la propiedad universal, esto es, si existe otro grupo H y una familia de homomorfismos thi:GiÝÑ HuiPIcumpliendo las mismas propiedades, existe un único homomorfismo h:˚AGiÝÑ Hque hace que el diagrama Gi si hi ## A fi44 ˚AGi AA sj h//H << hj Gj ** fj sea conmutativo. En caso de que la familia de grupos sea finita, denotaremos indiferentemente al producto amalgamado como G1˚AG2˚A¨ ¨ ¨ ˚AGn:“ ˚AGi. Además, si A“ t1udiremos que es un producto directo y se denotará omitiendo la escritura del subgrupo, esto es, G1˚ ¨ ¨ ¨ ˚ Gn. Siguiendo la notación de la definición anterior, si cada grupo de la familia tiene una presentación Gi– xSi|Riy, es sencillo ver que una presentación del producto amalgamado es ˚AGi–Cğ iPI Siˇˇˇˇˇ˜ğ iPI Ri¸Y˜ğ i,jPI tfipaq “ fjpaq:aPAu¸G. La estructura de producto amalgamado nos será de gran utilidad, pues todo grupo de Artin admite una descomposición de este tipo como veremos a continuación. Definición (Palabra reducida).Sea Aun grupo y tGiuiPIuna familia de grupos tales que ˚AGies un producto amalgamado. Para cada iPI, elegimos un conjunto Wide representantes de las clases laterales a la derecha de Gi{Atal que 1PWi. Consideremos i“ pi1, . . . , inq, con ně1, una secuencia de elementos de Isatisfaciendo que para todo 1ďmďn´1se tiene im‰im`1. Llamaremos palabra reducida de tipo ia cualquier familia m“ pa;s1, s2, . . . , snq con aPAi,s1PWi1, . . . , snPWinysj‰1para todo j. Teorema 2.3.1 (Teorema de estructura de los productos amalgamados, Teorema 1, pg. 3, [18]).Sea G“ ˚AGi,hel homomorfismo canónico de AaG, y hiel homomorfismo canónico de GiaGpara todo iPI. Entonces, usando la notación anterior, para todo gPGexiste una secuencia isatisfaciendo las condiciones anteriores, y una palabra reducida m“ pa;s1, . . . , snqde tipo ital que g“hpaqhi1ps1q ¨ ¨ ¨ hinpsnq de manera que tanto mcomo ison únicas. De la misma forma, podemos conseguir la expresión g“hi1ps1q ¨ ¨ ¨ hinpsnqhpaq. 19 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales La prueba de este resultado puede encontrarse en la referencia adjunta. Esta prueba fue uno de los pilares fundamentales del tema tratado en mi Trabajo de Fin de Grado. Definición (Forma normal).Sea ˚AGiun producto amalgamado, y sean Wiun conjunto de representantes de clases laterales a la derecha de Gi{Atal que 1PWi. Dado gP ˚AGillamaremos forma normal de ga la izquierda a la expresión g“as1s2¨ ¨ ¨ sn siguiendo la notación del Teorema 2.3.14, la cual es única. De la misma manera, diremos que la forma normal es a la derecha si g“s1s2¨ ¨ ¨ sna. Lema 2.3.2. Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto numerable S. Sean X, Y ĂSdos subconjuntos yΓX,ΓYĂΓlos respectivos subgrafos maximales sobre Xy sobre Y. Entonces, si ΓXYΓY“Γse tiene que ArΓs – ArΓXs ˚ArΓXXΓYsArΓYs. Demostración. Consideremos la presentación ArΓs – xS|Ry. También sabemos que ArΓXs – xX|RXy yArΓYs – xY|RYypara ciertos RX, RYĂR. Debido a que ΓXYΓY“Γse deduce que XYY“S yRXYRY“R, pues los grafos de Coxeter encapsulan tanto los generadores como las relaciones del grupo. Haciendo uso del Teorema de Van der Lek (Teorema 1.3.1) sabemos que ArΓXXΓYs – xXXY|RXXRYy. Por lo tanto, si consideramos el diagrama ArΓXs !! ArΓXXΓYs .. ArΓs >> ArΓYs 00 donde las flechas representan las inclusiones canónicas, se deduce por construcción que ArΓs – ArΓXs ˚ArΓXXΓYsArΓYs. Como probamos con anterioridad, el subgrupo KBnde V Bnes un grupo de Artin. En lo que sigue, denotaremos por S“ tδij :i, j P t1, . . . , nu, i ‰jual conjunto generador de KBncon el que hemos presentado al grupo. A su vez, denotemos por ΓSel grafo de Coxeter sobre Stal que ArΓSs – KBn. Dado XĂS, consideremos ΓXel subgrafo maximal de ΓSque tenga a Xpor vértices. Denotaremos por KBnrΓXsal subgrupo de KBngenerado por X. Notemos que esta definición tiene sentido por ser KBn un grupo de Artin. 2.3.1. Lemas técnicos Procedemos a dar una serie de resultados técnicos que nos ayudarán en la clasificación de los homomorfismos de los grupos de trenzas virtuales. Lema 2.3.3 (Lema 3.6 [4]).Sean G1, G2yHgrupos tales que G“G1˚HG2es un producto amalgamado. Sea γPAutpGqun automorfismo de orden 2tal que γpG1q “ G2yγpG2q “ G1. Denotemos Gγ:“ tgPG:γpgq “ gu. Entonces GγĂH. 4Aquí abusamos de notación, puesto que en el teorema se expresa ga partir de las inclusiones canónicas de los grupos que conforman el producto amalgamado, pero por ser canónicas, no hay ambigüedad, por lo que para no cargar la notación las hemos omitido. 20 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales Demostración. Primero, notemos que, debido a que γpG1q “ G2yγpG2q “ G1, y que H“G1XG2en G, se tiene que γpHq “ H. Consideremos K1un sistema de representantes de Hen G1, y consideremos K2:“γpK1qun sistema de representantes de Hen G2. Consideremos gPGy sea g“α1α2¨ ¨ ¨ αlβla forma normal a la derecha de g. Notemos que, por elección del sistema de los sistemas de representantes se tiene que la forma normal a la derecha de γpgqes γpα1qγpα2q ¨ ¨ ¨ γpαlqγpβq. Supongamos que lě1, entonces, sin pérdida de generalidad podemos tomar α1PK1zt1u. Entonces γpα1q P K2zt1u, por lo que α1‰γpα1q, y por lo tanto g‰γpgq. Deducimos que si gPGγse tiene que l“0, esto es, gPH. Por lo tanto GγĂH. Lema 2.3.4 (Lema 3.7 [4]).Sea XĂSun subconjunto invariante por la acción de s1PSn. Consideremos el conjunto S3“ tδij , δji : 3 ďiăjďnu. Entonces KBnrΓXss1“KBnrΓXXΓS3s, donde KBnrΓXss1“ tgPKBn:s1pgq “ gu. Demostración. Sea U“ tδij PX:pi, jq R tp1,2q,p2,1quu. Notemos que KBnrΓXss1tiene sentido, puesto que Snactúa sobre KBnpor automorfismos, en particular se tiene que s1¨δij “τ1δijτ´1 1“δs1piq,s1pjq. Por lo tanto, s1¨U“U. Veamos primero que KBnrΓXss1ĎKBnrΓUs. Si XĎUno hay nada que probar. En caso contrario, debido a que XĎSy por hipótesis es invariante por la acción de s1, se deduce que X“U\tδ12, δ21u. Sea U1“U\ tδ12uyU2“U\tδ21u. Debido a que U1YU2“Xy a que U1XU2“U, usando el Lema 2.3.2 deducimos que KBnrΓXs – KBnrΓU1s ˚KBnrΓUsKBnrΓU2s. Además, podemos notar que s1¨U1“U2ys1¨U2“U1. Por lo tanto, gracias al Lema 2.3.3 se deduce que KBnrΓXss1ĎKBnrΓUs. Sea Vk“ tδij :pi, jqRt1,2u ˆ t1,2, . . . , kuu con 2ďkďn. Probemos por inducción en kque KBnrΓXss1ĎKBnrΓVks. Si k“2, entonces V2“U, por lo que ya está probado. Supongamos que kě3y tomemos como hipótesis de inducción que KBnrΓXss1ĎKBnrΓVk´1s. Si Vk´1“Vkno hay nada que probar. En caso contrario, como VkĎX, es invariante por la acción de s1. Deducimos que Vk´1“Vk\ tδ1,k, δ2,ku. Procediendo de forma análoga a lo anterior, consideremos V1 k“Vk\ tδ1kuy V2 k“Vk\ tδ2ku. Entonces V1 kYV2 k“Vk´1yV1 kXV2 k“Vk. Haciendo uso del Lema 2.3.2 se deduce que KBnrΓVk´1s – KBnrΓV1 ks ˚KBnrΓVksKBnrΓV2 ks. De nuevo, gracias al Lema 2.3.3 sabemos que KBnrΓVk´1ss1ĎKBnrΓVks, y como por hipótesis de inducción se tiene que KBnrΓXss1ĎKBnrΓVk´1s, entonces KBnrΓXss1ĎKBnrΓVk´1ss1ĎKBnrΓVks. Por último, consideremos Wk“ tδij PX:pi, jq R pt1,2uˆt1, . . . , nuq Y pt1, . . . , kuˆt1,2uqu. Veamos por inducción que KBnrΓXss1ĎKBnrΓWks. Si k“2, podemos apreciar que W2“Vn, por lo que ya está probado. Supongamos que kě3, y tomemos como hipótesis de inducción que KBnrΓXss1ĎKBnrΓWk´1s. Si Wk´1“Wkno hay nada que probar. En caso contrario, debido a que Wk´1ĎX, es invariante por la acción de s1. Por lo tanto Wk´1“Wk\ tδk1, δk2u. De nuevo, tomemos W1 k“Wk\ tδk1uyW2 k“Wk\ tδk2u. Entonces W1 kYW2 k“Wk´1yW1 kXW2 k“Wk. Usando el Lema 2.3.2 sabemos que KBnrΓWk´1s – KBnrΓW1 ks ˚KBnrΓWksKBnrΓW2 ks, y gracias al Lema 2.3.3 sabemos que KBnrΓWk´1ss1ĎKBnrΓWks. Por lo tanto, procediendo como antes deducimos que KBnrΓXss1ĎKBnrΓWks. Ahora, notemos que Wn“XXS3, por lo que KBnrΓXss1ĎKBnrΓXXΓS3s. 21 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales “βps2pβqq´1ps2s1qpβq pps2s1s2qpβqq´1ps1s2qpβq ps1pβqq´1, por lo que βcumple la ecuación del enunciado. Para concluir, consideremos W1 1“ tδij PX:pi, jq P tp1,2q,p2,3q,p3,1quu yW2 1“ tδij PX:pi, jq P tp2,1q,p3,2q,p1,3quu y definimos Gi:“KBnrΓWi 1scon iP t1,2u. Debido a que W1“W1 1\W2 1, usando el Lema 2.3.2 se tiene que KBnrΓW1s – G1˚G2. Además s1pG1q “ s2pG1q “ G2ys1pG2q “ s2pG2q “ G1. Haciendo uso del Lema 2.3.8 sabemos que existen β1, β2PKBnrΓW1stal que β“β1β2,s1pβ1q “ β1ys2pβ2q “ β2, puesto que en este caso H“ t1u. Ahora, haciendo uso del Lema 2.3.3 y usando la notación de este, sabemos que tanto KBnrΓW1ss1como KBnrΓW1ss2están contenidos en H“ t1u, por lo que su único punto fijo es el elemento neutro, esto es, β1“β2“1, y por lo tanto, β“1. Deducimos que g“g1g2, que es lo que queríamos probar. 2.3.2. Del grupo de trenzas virtuales al grupo simétrico Una vez dados los resultados anteriores estamos preparados para clasificar los homomorfismos entre los grupos de trenzas virtuales y los grupos simétricos. Antes de dar el resultado de esta sección, es necesario entender el comportamiento de los homomorfismos entre los grupos simétricos. Proposición 2.3.1. Sean n, m PNtales que ně5,mě2yněm, y sea φ:SnÝÑ Smun homomorfismo. Entonces, salvo conjugación, φcumple alguna de las siguientes posibilidades: 1. φes abeliano. 2. n“myφ“idSn. 3. n“m“6yφ“ν6, donde ν6es el automorfismo exótico descrito en la prueba del Teorema B.2.1. Demostración. En las condiciones del enunciado, sea φ:SnÝÑ Smun homomorfismo. Como ně5, es bien conocido que los únicos subgrupos normales de Snson t1u,SnyAn, donde Anes el grupo alternado, por lo que ker pφq P tt1u, An,Snu. Si ker pφq“t1use tiene que φes inyectiva, y como něm, esto solo puede ocurrir cuando n“m. Haciendo uso del Primer Teorema de Isomorfía, se deduce que Impφq – Sn{ker pφq – Sn, por lo que φes un automorfismo. Gracias a la Proposición B.2.2 y al Teorema B.2.1 sabemos que si n‰6, entonces AutpSnq – InnpSnq – Sn, por lo que φserá un homomorfismo conjugado de idSn. En caso de ser n“6se tiene que φserá conjugado de idSno de φ“ν6, gracias de nuevo al Teorema B.2.1. Supongamos que ker pφq “ An. De nuevo, haciendo uso del Primer Teorema de Isomorfía sabemos que Impφq – Sn{ker pφq – Sn{An–Z{2Z, por lo que φes abeliano. Por último, supongamos que ker pφq “ Sn. Esto solo puede ocurrir si φ“1, por lo que Impφq“t1u, y por ende, φes abeliano. Teorema 2.3.2 (Teorema 2.1 [4]).Sean n, m PNtales que ně5,mě2yněm, y sea ψ:V BnÝÑ Sm un homomorfismo. Entonces, salvo conjugación, se tiene una de las siguientes posibilidades: 28 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales 1. ψes abeliano. 2. n“myψP tπK, πPu. 3. n“m“6yψP tν6˝πK, ν6˝πPu. Donde πkyπPson los homomorfismos sobreyectivos descritos en la Sección 2.1. Demostración. En las condiciones del enunciado, sea ψ:V BnÝÑ Smun homomorfismo. Consideremos ι:SnÝÑ V Bnla sección tal que ιpskq “ τkpara todo kP t1, . . . , n´1u. Consideremos el homomorfismo ψ˝ι:SnÝÑ Sm. Haciendo uso de la Proposición 2.3.1 sabemos que ψ˝ιo es abeliano, o n“myψ˝ι es conjugado de la identidad o n“m“6yψ˝ιes conjugado de ν6. Supongamos que ψ˝ιes abeliano. Gracias al Lema 2.3.1 sabemos que Impψ˝ιq ď Sab m–Z{2Z. Por lo tanto, existe un w1PSmtal que w1“ pψ˝ιq psiq “ ψpτiqpara todo iP t1, . . . , n ´1u. Además se tiene que w2 1“1por lo anterior. Sea w2“ψpσ1q. Consideremos la relación τiτi`1σi“σi`1τiτi`1 para todo iP t1, . . . , n ´2u, entonces, aplicando ψse tiene que ψpτiτi`1σiq “ w2 1ψpσiq “ ψpσiq “ ψpσi`1τiτi`1q “ ψpσi`1qw2 1“ψpσi`1q. Por lo tanto, para todo iP t1, . . . , n ´1use tiene que w2“ψpσiq. Por último, como τ1σ3“σ3τ1se tiene que w1w2“w2w1, por lo que ψes abeliano. Supongamos que n“myψ˝ι“idSn. Entonces, para todo iP t1, . . . , n ´1use tiene que pψ˝ιqpsiq “ ψpτiq “ si. Gracias a la relación σ1τi“τiσ1para todo iP t3, . . . , n ´1use deduce que ψpσ1qpertenece al centralizador de H:“ xs3, . . . , sn´1ySn, esto es, al conjunto de elementos de Sn que conmutan con todos los posibles elementos del subgrupo H. Llamemos CSnpHqal centralizador de Hen Sn. Si gPCSnpHq, entonces para todo elemento de wPHse tiene que gw “wg por definición, y como todo elemento de Hestá generado por s3, . . . , sn´1, nos basta comprobar que gconmuta con los generadores. Sea g“si1si2¨ ¨ ¨ sikun elemento de CSnpHqescrito de forma reducida. Entonces, para todo rP t3, . . . , n ´1use tiene que gsr“srg, o lo que es lo mismo si1si2¨ ¨ ¨ siksr“srsi1si2¨ ¨ ¨ sik. Para que esto ocurra, se ha de tener que siksr“srsik, por lo que ikR t1, . . . , r ´2, r `2, . . . , n´1u. Como esto ha de ser cierto para todo rP t3, . . . , n ´1use deduce que ik“1. Por lo tanto, se concluye que CSnpHq“xs1ySn. Debido a que ψpσ1q P CSnpHqse tiene que ψpσ1qPt1, s1u. •Si ψpσ1q “ 1, debido a que en V Bnse tiene la relación τiτi`1σi“σi`1τiτi`1, o de forma equivalente, τiτi`1σiτi`1τi“σi`1, observamos que todos los σison conjugados. Por lo tanto, ψpσiq “ 1para todo iP t1, . . . , n ´1u, por lo que ψ“πK. •Supongamos que ψpσ1q “ s1. Veamos por inducción en ique ψpσiq “ sipara todo iP t1, . . . , n ´1u. Si i“1se tiene por hipótesis. Supongamos que es cierto hasta algún iě2, entonces como τi´1τiσi´1“σiτi´1τi, se tiene que σi“τi´1τiσi´1τiτi´1se deduce que ψpσiq “ ψpτi´1qψpτiqψpσi´1qψpτiqψpτi´1q “ si´1sisi´1sisi´1“si. Deducimos que ψpτiq “ ψpσiq “ si, y por lo tanto, ψ“πP. Por último, supongamos que n“m“6y que ψ˝ι“ν6. Entonces, por ser ν6automorfismo se tiene que ν´1 6˝ψ˝ι“idS6. Gracias al apartado anterior sabemos que ν´1 6˝ψP tπK, πPu. Se deduce así que ψP tν6˝πK, ν6˝πPu. 29 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales 2.3.3. Del grupo simétrico al grupo de trenzas virtuales Procedemos a dar clasificar los homomorfismos entre los grupos simétricos y los grupos de trenzas virtuales. Para ello, nos apoyaremos en el Teorema 2.3.2 y en el siguiente lema. Lema 2.3.10 (Lema 5.1 [4]).Sea nPNcon ně3, y sea φ:SnÝÑ V Bnun homomorfismo tal que πK˝φ“idSn. Entonces φes un homomorfismo conjugado de ι. Demostración. Partimos de que πk˝φ“idSn, por lo que para todo iP t1, . . . , n´1uha de existir un αiP KBntal que φpsiq “ αiτi. Probemos por inducción en kque existe un homomorfismo rφ:SnÝÑ V Bn conjugado con φtal que πK˝rφ“idSnyrφpsiq “ τipara todo iP t1, . . . , ku, esto es, se comporta como ιpara estos elementos. En lo que sigue, denotemos por κg:V BnÝÑ V Bnal homomorfismo de conjugación por gtal que κgphq “ ghg´1. Supongamos que k“1. Entonces 1“ pφps1qq2“α1τ1α1τ1“α1τ1α1τ1 loomoon “s1pα1q τ2 1“α1s1pα1q. Por lo que s1pα1q “ α´1 1. Gracias al Lema 2.3.7 sabemos que existe un elemento β1PKBntal que α1“β1ps1pβ1qq´1. Por lo tanto φps1q “ α1τ1“β1ps1pβ1qq´1τ1“β1τ1β´1 1τ2 1“β1τ1β´1 1. Definamos rφ:“κβ´1 1˝φ. Entonces rφes un homomorfismo conjugado de φ,rφps1q “ τ1yπk˝rφ“idSn, puesto que β1PKBn. Sea ahora k“2. Podemos tomar φps1q “ τ1gracias al párrafo anterior. Como en Snse tiene la relación s1s2s1“s2s1s2, se deduce que φps1qφps2qφps1q “ τ1α2τ2τ1“φps2qφps1qφps2q “ α2τ2τ1α2τ2. De las relaciones de Snse tiene que τ2τ1“τ1τ2τ1τ2, por lo que τ1α2τ2τ1“τ1α2τ1τ2τ1τ2“s1pα2qτ2τ1τ2. Entonces, como τ1α2τ2τ1“α2τ2τ1α2τ2, multiplicando por τ2τ1τ2a la derecha a ambos lados de la igualdad se deduce que s1pα2q “ α2τ2τ1α2τ2 2τ1τ2“α2τ2τ1α2τ1τ2“α1ps2s1qpα2q. Por otro lado se tiene que pφps2qq2“1“α2τ2α2τ2“α2s2pα2q, por lo haciendo uso de nuevo del Lema 2.3.7 sabemos que existe un elemento β2PKBntal que α2“β2ps2pβ2qq´1. Sustituyendo en la igualdad s1pα2q “ α1ps2s1qpα2qse obtiene la expresión s1´β2ps2pβ2qq´1¯“β2ps2pβ2qq´1ps2s1q´β2ps2pβ2qq´1¯, o de forma equivalente β2ps2pβ2qq´1ps2s1qpβ2qpps2s1s2qpβqq´1ps1s2qpβ2qps1pβ2qq´1“1. Podemos observar que β2cumple todos los requisitos del Lema 2.3.9, por lo que existen β1 2, β2 2PKBn tales que β2“β1 2β2 2,s1pβ1 2q “ β1 2ys2pβ2 2q “ β2 2. Por lo tanto φps2q “ α2τ2“β2ps2pβ2qq´1τ2“β1 2β2 2`s2pβ1 2β2 2q˘´1τ2“β1 2β2 2`s2pβ2 2q˘´1`s2pβ1 2q˘´1τ2“ “β1 2β2 2pβ2 2q´1`s2pβ1 2q˘´1τ2“β1 2τ2pβ1 2q´1τ2 2“β1 2τ2pβ1 2q´1. 30 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales Definamos rφ“κpβ1 2q´1˝φ, entonces rφes un homomorfismo conjugado de φ,πk˝rφ“idSn, puesto que β1 2PKBn,rφps2q “ τ2por construcción y r φps1q“pβ1 2q´1φps1qβ1 2“ pβ1 2q´1τ1β1 2“ pβ1 2q´1τ1β1 2τ1τ1“ pβ1 2q´1s1pβ1 2qτ1“τ1, puesto que s1pβ1 2q “ β1 2. Supongamos que kě3y que φpsiq “ τipara todo iP t1, . . . , k ´1u. Sea lP t1, . . . , k ´2u. Debido a que |k´l| ě 2se tiene que sksl“slsk, por lo que αkτkτl“φpskqφpslq “ φpslqφpslq “ τlαkτk. Debido a que τlτk“τkτl, podemos reescribir la relación anterior como τlαkτl“αk, o de forma equivalente slpαkq “ αk. Haciendo uso del Corolario 2.3.1 sabemos que αkPKBnrΓUls, donde Ul“ tδij PS:i, j R tl, l `1uu. Definimos el conjunto Sk:“ tδij, δji PS:kďiăjďnu. Entonces, podemos apreciar que č 1ďlďk´2 Ul“Sk. Haciendo uso del Teorema de Van der Lek (Teorema 1.3.1) sabemos que αkPč 1ďlďk´2 KBnrΓUls “ KBn«č 1ďlďk´2 ΓUlff“KBnrΓSks. Ahora, gracias a la relación sk´1sksk´1“sksk´1skse tiene que τk´1αkτkτk´1“φpsk´1qφpskqφpsk´1q “ φpskqφpsk´1qφpskq “ αkτkτk´1αkτk. Manipulando la expresión de forma análoga a lo anterior se obtiene sk´1pαkq “ αkpsksk´1qpαkq. Por otro lado, como antes, de la relación pφpskqq2“1y gracias al Lema 2.3.7 sabemos que existe βkPKBnrΓSks tal que αk“βkpskpβkqq´1. Por lo tanto, sustituyendo esto en la igualdad sk´1pαkq “ αkpsksk´1qpαkqse obtiene sk´1`βkpskpβkqq´1˘“βkpskpβkqq´1psksk´1q`βkpskpβkqq´1˘q, o de forma equivalente βkpskpβkqq´1psksk´1qpβkqppsksk´1skqpβkqq´1psk´1skqpβkqpsk´1pβkqq´1“1. Cabe notar que tal cual no podemos usar el Lema 2.3.9, puesto que Skno es invariante por la acción de sk´1. Sin embargo, Sk´1sí lo es, y SkĂSk´1, por lo que podemos aplicar dicho lema en este contexto. Por lo tanto, gracias al Lema 2.3.9 existen β1 k, β2 kPKBnrΓSk´1stal que βk“β1 kβ2 k,sk´1pβ1 kq “ β1 ky skpβ2 kq “ β2 k. En resumen, se tiene que φpskq “ αkτk“βkpskpβkqq´1τk“β1 kβ2 kpskpβ1 kβ2 kqq´1τk“β1 kβ2 kpskpβ2 kqq´1pskpβ1 kqq´1τk“ “β1 kβ2 kpβ2 kq´1pskpβ1 kqq´1τk“β1 kτkpβ1 kq´1τ2 k“β1 kτkpβ1 kq´1. Si definimos rφ“κpβ1 kq´1˝φ, obtenemos un homomorfismo conjugado de φtal que rφpskq “ τkyπK˝rφ“φ, pues β1 kPKBn. Ahora, como sk´1pβ1 kq “ β1 k, gracias al Corolario 2.3.1 se tiene que β1 kPKBnrΓUk´1s, usando la notación del párrafo anterior. Debido a que β1 ktambién pertenece a KBnrΓSk´1sySk´1XUk´1“Sk`1, usando el Teorema de Van der Lek (Teorema 1.3.1) se deduce que β1 kPKBnrΓSk`1s. Debido a que Sk`1 es invariante por la acción de sipara todo iP t1, . . . , k ´1u, se deduce que, dado iP t1, . . . , k ´1use tiene que r φpsiq“pβ1 kq´1φpsiqβ1 k“ pβ1 kq´1τiβ1 k“ pβ1 kq´1τiβ1 kτiτi“ pβ1 kq´1sipβ1 kqτi“ pβ1 kq´1β1 kτi“τi. Por inducción se tiene para todo kP t1, . . . , n ´1u. El caso k“n´1termina la prueba. 31 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales Teorema 2.3.3 (Teorema 2.2 [4]).Sean n, m PNtal que ně5,mě2yněn, y sea φ:SnÝÑ V Bm un homomorfismo. Entonces, salvo conjugación, se tiene una de las siguientes posibilidades: 1. φes abeliano. 2. n“myφ“ι. 3. n“m“6yφ“ι˝ν6. Demostración. En las condiciones del enunciado, consideremos φ:SnÝÑ V Bmun homomorfismo. Consideremos πk˝φ:SnÝÑ Sm. Entonces, gracias a la Proposición 2.3.1 sabemos que, salvo conjugación, πk˝φes abeliano, o n“myπk˝φ“idSn, o n“m“6yπk˝φ“ν6. Supongamos que πk˝φes abeliano. Gracias al Lema 2.3.1 sabemos que Sab m–Z{2Z, por lo que Impπk˝φqha de ser un subgrupo de Z{2Z. Por lo tanto, existe un wPSmtal que w2“1y pπk˝φqpsiq “ wpara todo iP t1, . . . , n´1u. Sea β0“ιpwq P V Bm. Ahora, como V Bn–KBn¸Sn, para todo iP t1, . . . , n ´1uexiste αiPKBntal que φpsiq “ αiβ0. Notemos que, como w2“1se tiene que β2 0“1. Por lo tanto, para todo iP t1, . . . , n ´1use tiene que 1“φpsiq “ αiβ0αiβ0, por lo que multiplicando por β0α´1 ia la derecha se tiene que αiβ0“β0α´1 i. Sea iP t2, . . . , n ´1u. Notemos que φps1siq “ α1β0αiβ0“α1β2 0α´1 i, y como tanto α1como αison elementos de KBm, se tiene que α1α´1 iPKBm. Además, debido a que s1sies de orden finito, se tiene que α1α´1 itambién lo es. Haciendo uso del Lema 2.3.6 sabemos que KBmes libre de torsión, por lo que α1α´1 i“1, esto es, α1“αipara todo iP t2, . . . , n ´1u. Se deduce que φpsiq “ α1β0para todo iP t1, . . . , n ´1u, por lo que Impφqes un grupo cíclico, y por ende abeliano. Supongamos que n“my que πK˝φ“idSm. Entonces, gracias al Lema 2.3.10 sabemos que φes un homomorfismo conjugado de ι. Supongamos que n“m“6y que πK˝φ“ν6. Debido a que ν6es automorfismo, existe ν´1 6. Componiendo por ν´1 6a la derecha se tiene que πK˝φ˝ν´1 6“idS6. Haciendo uso del Lema 2.3.10 sabemos que φ˝ν´1 6es un homomorfismo conjugado de ι. Sea gPV B6tal que φ˝ν´1 6“κg˝ι, donde κgdenota el homomorfismo conjugación por g. Entonces φ“κg˝ι˝ν6, por lo que φes un homomorfismo conjugado de ι˝ν6. 2.3.4. Del grupo de trenzas virtuales en sí mismo Ya estamos preparados para dar una clasificación de los homomorfismos entre los grupos de trenzas virtuales. Para ello, necesitaremos varios resultados, comenzando por un teorema de gran relevancia dentro de la combinatoria de los grupos de Artin6, del cual no daremos la prueba, pues esta difiere del contexto de este trabajo. Pueden encontrarse todos los detalles en la referencia adjunta. Teorema 2.3.4 (Teorema 1 [9]).Sea Γun grafo de Coxeter sobre el conjunto S. Para cada sPS, sea ηsPNtal que ηsě2yqs“sηs, y consideremos Ω“ tqs:sPSu. Entonces el subgrupo de ArΓsgenerado por Ωadmite una presentación xΩ|qsqt“qtqssi mst “2y. Lema 2.3.11 (Lema 6.1 [4]).Sea nPNcon ně3y tomemos i, j, k P t1, . . . , nudistintos dos a dos. Consideremos η1, η2PZ. Entonces δη1 ij δη2 jk “1si y solo si η1“η2“0. De forma similar, se tiene que δη1 ji δη2 kj “1si y solo si η1“η2“0. 6Este resultado no solo resuelve, sino que generaliza la conjetura de Tits sobre los subgrupos de un grupo de Artin generados por potencias de los generadores. 32 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales Demostración. Supongamos que η1“η2“0, entonces es evidente que δη1 ij δη2 jk “1. Supongamos ahora que δη1 ij δη2 jk “1. Consideremos t1, t2PZyε1, ε2P t0,1utal que η1“2t1`ε1yη2“2t2`ε2. Recordemos que πPpσiq “ πPpτiq “ sipara todo iP t1, . . . , n ´1u. Por lo tanto, si iăjse tiene que πPpδijq “ πPpτiqπPpτi`1q ¨ ¨ ¨ πPpτj´2qπPpσj´1qπPpτj´2q ¨ ¨ ¨ πPpτi`1qπPpτiq “ “sisi`1¨ ¨ ¨ sj´2sj´1sj´2¨ ¨ ¨ si`1si“ pi, jq, y por otro lado πPpδjiq “ πPpτiqπPpτi`1q ¨ ¨ ¨ πPpτj´1qπPpσj´1qπPpτj´1q ¨ ¨ ¨ πPpτi`1qπPpτiq “ “sisi`1¨ ¨ ¨ sj´1sj´1sj´1¨ ¨ ¨ si`1si“sisi`1¨ ¨ ¨ sj´2sj´1sj´2¨ ¨ ¨ si`1si“ pi, jq. Entonces 1“πP´δη1 ij δη2 jk ¯“ pi, jq2t1`ε1pj, kq2t2`ε2“ pi, jqε1pj, kqε2, puesto que las trasposiciones son de orden 2. Ahora, debido a que i,jykson distintos dos a dos, se tiene que ε1“ε2“0. Por lo tanto `δ2 ij˘t1´δ2 jk¯t2 “1. Notemos que, gracias a la presentación dada en el Teorema 2.2.1 sabemos que δij yδjk tiene relación 3en KBn, el cual es un grupo de Artin. Sea Aijk “ tδij, δjkuy consideremos el subgrupo KBnrΓAijk sde KBn. Haciendo uso del Teorema 2.3.4, sabemos que el subgrupo de KBnrΓAijk sgenerado por tδ2 ij, δ2 jkues el grupo libre de rango 2generado por tδ2 ij, δ2 jku. Por lo tanto, `δ2 ij˘t1´δ2 jk¯t2 “1si y solo si t1“t2“0. Deducimos que η1“η2“0. El caso δη1 ij δη2 kj “1si y solo si η1“η2“0se deduce de forma análoga. Lema 2.3.12 (Lema 6.2 [4]).Consideremos el automorfismo exótico ν6de S6, y para cada siPS6sea ui“ν6psiqpara todo iP t1,...,5u. Sea Hun subgrupo de S6y definamos KBH 6:“ tgPKB6:wpgq “ gpara todo wPHu. Entonces, si tomamos H“ xu3, u4, u5yS6se tiene que KBH 6“ t1u. Demostración. Recordemos que u3“ν6ps3q“p1,3qp2,4qp5,6q, u4“ν6ps4q“p1,2qp3,5qp4,6qyu5“ν6ps5q “ p2,3qp1,4qp5,6q. Sea U“ tu3, u4, u5, u3u4u3, u4u5u4, u3u4u5u4u3u. De forma explícita, estos elementos son los tres anteriores junto con u3u4u3“ p1,6qp2,5qp3,4q, u4u5u4“ p1,5qp2,6qp3,4q, u3u4u5u4u3“ p1,2qp3,6qp4,5q. Sean i, j tal que 1ďiăjď6y tomemos Uij :“Sztδij , δjiu. Si consideramos U1 ij “Uij Y tδijuy U2 ij “Uij Y tδjiuse tiene que U1 ij YU2 ij “SyU1 ij XU2 ij “Uij. Haciendo uso del Lema 2.3.2 se tiene que KB6–KB6rΓU1 ij s ˚KB6rΓUij sKB6rΓU2 ij s. Por otro lado, es sencillo observar que para cualquier pi, jqexiste al menos un elemento wPUque lo contiene como ciclo en su descomposición en ciclos disjuntos. Para dicho wse tiene que wpδijq “ δji ywpδjiq “ δij, por lo que wpU1 ijq “ U2 ij ywpU2 ijq “ U1 ij. Haciendo uso del Lema 2.3.3 sabemos que KBw 6ĎKB6rΓUij s, y por otro lado es evidente que KBH 6ĎKBw 6, pues wPH. Ahora, esto ha de ser cierto para cada par pi, jqtal que 1ďiăjď6, y č 1ďiăjď6 Uij “ H. Haciendo uso del Teorema de Van der Lek (Teorema 1.3.1) y de lo anterior se deduce que KBH 6Ďč 1ďiăjď6 KB6rΓUij s – KB6«č 1ďiăjď6 ΓUij ff–KB6rHs “ t1u, por lo que KBH 6“ t1u. 33 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales Lema 2.3.13. Sean δij , δji PKBntal que 1ďiăjďn. Consideremos F2“ xx, y | y el grupo libre de rango 2generado por x, y y sea φij :F2ÝÑ KBnel homomorfismo dado por φijpxq “ δij yφijpyq “ δji. Dado wPF2, definamos wij :“φijpwq. Entonces, dados i, j, k P t1, . . . , nudistintos dos a dos y siguiendo la notación anterior se tiene lo siguiente: 1. Supongamos que wijwikwjk “wjkwikwij , entonces w“1. 2. Supongamos que wijwjkwij “wjkwij wjk, entonces wP␣x, x´1, y, y´1,1(. Demostración. Sean i, j, k P t1, . . . , nudos a dos distintos. Definimos los conjuntos: W“ tδij, δji, δik, δki, δjk, δkj u, W1“ tδij, δki, δjkuyW2“ tδji, δik, δkju. Entonces W1YW2“WyW1XW2“ H. Haciendo uso del Lema 2.3.2 se tiene que KBnrΓWs – KBnrΓW1s ˚ KBnrΓW2s. Por lo tanto, los elementos de KBnrΓW1sno comparten relaciones con los elementos de KBnrΓW2s. Sea wPF2. Entonces existen rk, tkPZpara todo kP t1, . . . , mutal que w“xr1yt1xr2yt2¨ ¨ ¨ xrm´1ytm´1xrmytm de forma reducida. Tomemos g“xr2yt2xr3yt3¨ ¨ ¨ xrm´2ytm´2xrm´1ytm´1, de forma que w“xr1yt1gxrmytm. Fijada la notación, procedemos por inducción en men ambos casos. 1. Supongamos que wijwikwjk “wjkwikwij , entonces wijwikwjkw´1 ij w´1 ik w´1 jk “1. Si m“1, entonces w“xr1yr1, por lo tanto 1“wijwikwjkw´1 ij w´1 ik w´1 jk “δr1 ij δt1 ji δr1 ik loomoon X1 δt1 kiδr1 jk loomoon X2 δt1 kjδ´t1 ji loomoon X3 δ´r1 ij δ´t1 ki looomooon X4 δ´r1 ik δ´t1 kj looomooon X5 δ´r1 jk “ “δr1 ij X1X2X3X4X5δ´r1 jk . Podemos apreciar que δr1 ij , X2, X4, δ´r1 jk PKBnrΓW1syX1, X3, X5PKBnrΓW2s, por lo que no tienen relaciones entre sí como vimos al comienzo de la prueba. Por lo tanto, debido a que la expresión anterior es igual a 1se deduce que δr1 ij “X1“X2“X3“X4“X5“δ´r1 jk “1, en concreto, δr1 ij “1, por lo que r1“0. Por otro lado, debido a que X1“1se tiene que 1“X1“δt1 ji δr1 ik “δt1 ji , por lo que t1“0. Concluimos que w“1. Supongamos que el resultado es cierto hasta un cierto m´1. Entonces, reemplazando obtenemos 1“wijwikwjkw´1 ij w´1 ik w´1 jk “ “δr1 ij δt1 ji gijδrm ij δtm ji δr1 ik δt1 kigikδrm ik δtm ki δr1 jkδt1 kjgjkδrm jk δtm kj δ´tm ji ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ δ´rm ij g´1 ij δ´t1 ji δ´r1 ij δ´tm ki δ´rm ik g´1 ik δ´t1 ki δ´r1 ik δ´tm kj δ´rm jk g´1 jk δ´t1 kj δ´r1 jk . 34 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales Para aliviar la notación, consideremos Z1“δt1 ji gijδrm ij , Z2“δt1 kigikδrm ik , Z3“δt1 kjgjkδrm jk , X1“δtm ji δr1 ik , X2“δtm ki δr1 jk, X3“δtm kj δ´tm ji , X4“δ´r1 ij δ´tm ki ,yX5“δ´r1 ik δ´tm kj . Así, podemos reescribir la expresión anterior como 1“δr1 ij Z1X1Z2X2Z3X3Z´1 1X4Z´1 2X5Z´1 3δ´r1 jk . De nuevo, notemos que X2, X4PKBnrΓW1syX1, X3, X5PKBnrΓW2s. Además podemos apreciar que cada Zicon iP t1,2,3ulo conforman elementos alternados de KBnrΓW1syKBnrΓW2s, por lo que son irreducibles. Como la expresión anterior da como resultado la unidad, se tiene que δr1 ij “Z1“Z2“Z3“X1“X2“X3“X4“X5“δ´r1 jk “1. Debido a que δr1 ij “1se tiene que r1“0. Por otro lado se tiene que 1“X1“δtm ji δr1 ik “δtm ji de donde se deduce que tm“0. Ahora, también sabemos que 1“Z1“δt1 ji gijδrm ij , o de forma equivalente, δrm ij δt1 ji gij “1. Esto se consigue multiplicando primero a la derecha por δ´rm ij y luego a la izquierda por δrm ij . Haciendo uso de la hipótesis de inducción se tiene que rm“t1“0y que rk“tk“0para todo kP t2, . . . , m ´1u. Por lo tanto w“1. 2. Pasemos al caso en el que wij wjkwij “wjkwij wjk y procedemos con un razonamiento similar. Primero, expresamos la relación anterior como wijwjkwijw´1 jk w´1 ij w´1 jk “1, y razonamos por inducción en m. Supongamos que m“1, entonces 1“wijwjkwijw´1 jk w´1 ij w´1 jk “δr1 ij δt1 ji δr1 jkδt1 kjδr1 ij loooooooomoooooooon Z1 δt1 ji δ´t1 kj loomoon X1 δ´r1 jk δ´t1 ji δ´r1 ij δ´t1 kj δ´r1 jk looooooooooooomooooooooooooon Z2 “Z1X1Z2. Notemos que tanto Z1como Z2son palabras formadas por elementos alternados de KBnrΓW1sy KBnrΓW2s, por lo que son irreducibles. Por otro lado, vemos que X1PKBnrΓW2s. Supongamos que |t1| ě 2, entonces gracias al Teorema 2.3.4 sabemos que el subgrupo de KBnrΓW2sgenerado por !δ|t1| ji , δ|t1| kj )es libre, y por ende, no tiene relaciones. Debido a que Z1yZ2son irreducibles y por lo anterior, X1también, se tiene que Z1X1Z2‰1, lo cual es absurdo. Se deduce que |t1| ď 1, esto es, t1P t´1,0,1u, puesto que t1es un entero. Si t1“0, entonces X1“1, por lo que Z1Z2“1. Desarrollando obtenemos que 1“Z1Z2“δr1 ij δr1 jkδr1 ij δ´r1 jk δ´r1 ij δ´r1 jk . Usando de nuevo el Teorema 2.3.4 se tiene que si |r1| ě 2, el subgrupo generado por !δ|r1| ij , δ|r1| jk ) es libre, por lo que Z1Z2‰1, por lo que este caso no puede darse. Por lo tanto r1P t´1,0,1u. Si r1“0la relación se tiene de forma evidente. Si r1“1, gracias a las relaciones de KBn se tiene que δijδjkδij “δjkδij δjk, por lo que la se obtiene que Z1Z2en efecto es igual a 1. Si r1“ ´1se sigue el mismo razonamiento. Concluimos que si t1“0se tiene que r1P t´1,0,1u, por lo que wP t1, x, x´1u. Si t1“1obtenemos la expresión 1“δr1 ij δjiδr1 jkδkj δr1 ij δjiδ´1 kj δ´r1 jk δ´1 ji δ´r1 ij δ´1 kj δ´r1 jk . Multiplicando a la derecha por el inverso de δ´1 kj δ´r1 jk δ´1 ji δ´r1 ij δ´1 kj δ´r1 jk y luego a la izquierda por esta expresión sin invertir se obtiene que 1“δ´1 kj δ´r1 jk δ´1 ji δ´r1 ij δ´1 kj looooooooooomooooooooooon A1 δ´r1 jk δr1 ij loomoon X2 δjiδr1 jkδkj δr1 ij δji looooooomooooooon A2 “A1X2A2. 35 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales Siguiendo los mismos razonamientos que antes se deduce que r1P t´1,0,1u. Si r1“0, gracias a las relaciones de KBnse cumple la igualdad. En caso de ser r1‰0, para que se cumpla la relación se ha de dar que δr1 ij A2“δr1 jkA´1 1, pero esto es imposible, puesto que δr1 ij A2es un producto alternado de elementos de KBnrΓW1syKBnrΓW2s, por lo que no comparten relaciones, y por ende, no puede transformarse en δr1 jkA´1 1. Concluimos que si t1“1se tiene que r1“0, y por lo tanto, w“y. Para terminar, si t1“ ´1se sigue un razonamiento análogo el del apartado anterior, donde se obtiene que r1“0, por lo que w“y´1. En resumen, wP t1, x, x´1, y, y´1u. Veamos que para que se tenga la relación que hemos supuesto es necesario que m“1. Supongamos que m“2, entonces 1“wijwjkwijw´1 jk w´1 ij w´1 jk “ “δr1 ij δt1 ji δr2 ij δt2 ji δr1 jkδt1 kjδr2 jkδt2 kjδr1 ij δt1 ji δr2 ij looooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooon Z1 δt2 ji δ´t2 kj loomoon X1 δ´r2 jk δ´t1 kj δ´r1 jk δ´t2 ji δ´r2 ij δ´t1 ji δ´r1 ij δ´t2 kj δ´r2 jk δ´t1 kj δ´r1 jk looooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooon Z2 “ “Z1X1Z2. Como antes, Z1yZ2son irreducibles y X1PKBnrΓW2s. Además, razonando de forma similar sabemos que t2P t´1,0,1u. Si t2‰0, entonces se ha de tener que Z1δt2 ji “Z´1 2δt2 kj, pero esto es imposible, puesto que Z1es irreducible y δji no comparte relaciones con Z1, por lo que no podemos transformarlo en Z´1 2δt2 kj. Se deduce que t2“0. Sustituyendo t2“0en la expresión anterior obtenemos 1“δr1 ij δt1 ji δr2 ij δr1 jkδt1 kjδr2 jkδr1 ij δt1 ji loooooooooooooomoooooooooooooon Z3 δr2 ij δ´r2 jk loomoon X2 δ´t1 kj δ´r1 jk δ´r2 ij δ´t1 ji δ´r1 ij δ´r2 jk δ´t1 kj δ´r1 jk loooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooon Z4 “Z3X2Z4. Razonando de la misma manera se obtiene que r2“0, por lo que llegamos a una expresión donde m“1. Supongamos la hipótesis de inducción hasta un cierto m´1. Entonces reemplazando obtenemos 1“wijwjkwijw´1 jk w´1 ij w´1 jk “ “δr1 ij δt1 ji gij δrm ij δtm ji δr1 jkδt1 kjgjkδrm jk δtm kj δr1 ij δt1 ji gij δrm ij δtm ji ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ δ´tm kj δ´rm jk g´1 jk δ´t1 kj δ´r1 jk δ´tm ji δ´rm ij g´1 ij δ´t1 ji δ´r1 ij δ´tm kj δ´rm jk g´1 jk δ´t1 kj δ´r1 jk . Tomemos Z1“δr1 ij δt1 ji gijδrm ij δtm ji δr1 jkδt1 kjgjkδrm jk δtm kj δr1 ij δt1 ji gij δrm ij , Z2“δ´rm jk g´1 jk δ´t1 kj δ´r1 jk δ´tm ji δ´rm ij g´1 ij δ´t1 ji δ´r1 ij δ´tm kj δ´rm jk g´1 jk δ´t1 kj δ´r1 jk , yX1“δtm ji δ´tm kj . Entonces 1“Z1X1Z2. Usando esta descomposición y razonando como en el párrafo anterior se deduce que tm“0, y repitiendo este proceso una vez sustituido tm“0se obtiene que rm“0. Se obtiene así una palabra con índices hasta m´1. Por hipótesis de inducción, se tiene que m“1. En conclusión, wP t1, x, x´1, y, y´1u. Teorema 2.3.5 (Teorema 2.3 [4]).Sean n.m PNtal que ně5,mě2yněm. Sea ψ:V BnÝÑ V Bm un homomorfismo. Entonces, salvo conjugación se tiene una de las siguientes posibilidades: 1. ψes abeliano. 2. n“myψP tι˝πK, ι ˝πPu. 3. n“m“6yψP tι˝ν6˝πK, ι ˝ν6˝πPu. 36 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales 4. n“myψP tidV Bn, ζ1, ζ2, ζ1˝ζ2u. donde ζ1yζ2son los homomorfismos definidos por ζ1pσiq “ τiσiτi, ζ1pτiq “ τi, ζ2pσiq “ σ´1 iyζ2pτiq “ τi para todo iP t1, . . . , n ´1u. Demostración. En las condiciones del enunciado sea ψ:V BnÝÑ V Bmun homomorfismo. Consideremos el homomorfismo ψ˝ι:SnÝÑ V Bm. Gracias al Teorema 2.3.3 sabemos que, salvo conjugación, o ψ˝ι es abeliano, o n“myψ˝ι“ι, o n“m“6yψ˝ι“ι˝ν6. Supongamos que ψ˝ιes abeliano. Gracias al Lema 2.3.2 sabemos que V Bab m–ZˆZ{2Z, por lo que Impψ˝ιq ď ZˆZ{2Z. Sea β1“ pψ˝ιqps1q “ ψpτ1q. Por la abelianidad de ψ˝ιy de la relación sisi`1si“si`1sisi`1para todo iP t1, . . . , n ´2use deduce que β1“ψpτiqpara todo iP t1, . . . , n ´1u. Sea β2“ψpσ1q. Usando la relación τiτi`1σi“σi`1τiτi`1para todo iP t1, . . . , n ´2use tiene que ψpτiqψpτi`1qψpσiq “ β2 1ψpσiq “ ψpσi`1qψpτiqψpτi`1q “ ψpσi`1qβ2 1. Por ser β1la imagen de s1se tiene que β2 1“1, por lo que ψpσiq “ β2para todo iP t1, . . . , n ´1u. Ahora, de la relación τ1σ3“σ3τ1se obtiene que β1β2“β2β1. Se deduce que ψes abeliano. Supongamos que n“myψ˝ι“ι. Notemos que para todo iP t1, . . . , n ´1use tiene que pψ˝ιqpsiq “ ψpτiq “ ιpsiq “ τi. Debido a que V Bn–KBn¸Snsabemos que para cada iP t1, . . . , n ´1uexisten αiPKBny wiPSntal que ψpσiq “ αiιpwiq. Notemos que para todo iP t3, . . . , n ´1use tiene que siw1“ pπk˝ψqpτiσ1q“pπk˝ψqpσ1τiq “ w1si, por lo que w1es un elemento del centralizador de xs3, . . . , sn´1ySn, el cual comprobamos que era t1, s1uen la prueba del Teorema 2.3.2. •Supongamos que w1“s1, esto es, ψpσ1q “ α1τ1. Notemos que para cada kP t3, . . . , n ´1use tiene que α1τ1τk“ψpσ1τkq “ ψpτkσ1q “ τkα1τ1. Debido a que τ1τk“τkτ1, multiplicando a la derecha por τ1se obtiene que α1τk“τkαk, o lo que es lo mismo, τkα1τk“α1, por lo que skpα1q “ α1. Haciendo uso del Corolario 2.3.1 sabemos que α1PKBnrΓUksdonde Uk“ tδij PS:i, j R tk, k `1uu. Debido a que esto es cierto para todo kP t3, . . . , n ´1uy puesto que č 3ďkďn´1 Uk“ tδ12, δ21u, haciendo uso del Teorema de Van der Lek (Teorema 1.3.1) se tiene que α1PKBnrΓtδ12 ,δ21us, el cual es un grupo libre de rango 2. Sea F2el grupo libre de rango 2generado por x, y y consideremos φ12 :F2ÝÑ KBnrΓtδ12 ,δ21usdado por φ12pxq “ δ12 yφ12pyq “ δ21. Siguiendo la notación del Lema 2.3.13, dado wPF2, denotemos w12 :“φ12pwq. Entonces, debido a que KBnrΓtδ12 ,δ21uses un grupo libre de rango 2existe un único elemento wPF2tal que α1“w12. Notemos que tenemos la relación τ2τ1σ2“τ1τ2σ1en KBn, o de forma equivalente, σ2“τ1τ2σ1τ2τ1, por lo que ψpσ2q “ ψpτ1qψpτ2qψpσ1qψpτ2qψpτ1q “ τ1τ2ψpσ1qτ2τ1“τ1τ2α1τ1τ2τ1. Debido a que α1“w12 y a que τ1τ2τ1“τ2τ1τ2se tiene que ψpσ2q “ τ1τ2w12τ2τ1τ2“ ps1s2qpw12qτ2. 37 Clasificación de homomorfismos Grupo de trenzas virtuales “τiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σ´1 j´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τi“ pτiτi`1¨ ¨ ¨ τj´2σj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1τiq´1“δ´1 ij . De forma similar, ζ2pδjiq “ δ´1 ji . Por el mismo motivo, ζ2pKBnq “ KBn. Pasemos a comprobarlo para V Pn. En la Sección 5del [2] Valerij G. Bardakov y Paolo Bellingeri dan una presentación de V Pn. Es este artículo se prueba que V Pnestá generado por λi,i`1“τiσ, iλi`1,i “σiτi, λij “τj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1λi,i`1τi`1¨ ¨ ¨ τj´2τj´1, λji “τj´1τj´2¨ ¨ ¨ τi`1λi`1,iτi`1¨ ¨ ¨ τj´2τj´1, donde i, j P t1, . . . .n ´1uyiăj. Sea iP t1, . . . , n ´1u. Entonces ζ1pλi,i`1q “ ζ1pτiσiq “ τ2 iσiτi“σiτi“λi`1,i, ζ1pλi`1,iq “ ζ1pσiτiq “ τiσiτ2 i“τiσi“λi,i`1, ζ2pλi,i`1q “ ζ2pτiσiq “ τiσ´1 i“ pσiτiq´1“λ´1 i`1,i, ζ2pλi`1,iq “ ζ1pσiτiq “ σ´1 iτi“ pτiσiq´1“λ´1 i,i`1. Por lo que dados i, j P t1, . . . , n ´1utal que i‰jse tiene que ζ1pλijq “ λji yζ2pλijq “ λ´1 ji . Debido a que envía generadores en generadores se tiene que ζ1pV Pnq “ V Pnyζ2pV Pnq “ V Pn. Concluimos que V PnyKBnson subgrupos característicos. Proposición 2.3.7. Los subgrupos V P2yKB2no son subgrupos característicos de V B2. Demostración. Veamos que V P2no es un subgrupo característico. Notemos que σ1τ1PV P2, pues πPpσ1τ1q “ s2 1“1. Sin embargo ζ1pσ1τ1q “ σ1RV P2. Razonando de forma análoga, podemos comprobar que σ1PKB2, pero ζ1pσ1q “ σ1τ1RKB2. 44 3|Grupos de Artin virtuales 3.1. Grupos de Artin virtuales Al igual que los grupos de Artin han sido históricamente la generalización natural de los grupos de trenzas, los grupos de Artin virtuales serán una generalización de los grupos de trenzas virtuales. Esta generalización, definida en 2021 por Paollo Bellingeri, Luis Paris y Anne-Laure Thiel en [5], pretende imitar la acción que tienen los cruces virtuales sobre los cruces convencionales en los grupos de trenzas virtuales, permitiendo extender varios de los resultados que se han obtenido para estos grupos a si generalización. En la fecha en la que se está escribiendo este trabajo, este es el único artículo escrito sobre estos grupos, por lo que se tiene poca aunque muy relevante información sobre estos. En este capítulo definiremos y estudiaremos la estructura de estos grupos, observando la fuerte relación que tienen con los grupos de Coxeter y su relevancia en el estudio de los grupos de Artin. Definición (Grupos de Artin virtuales).Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S. Consideremos los conjuntos S“ tσs:sPSuyT“ tτs:sPSu, los cuales serán biyectivos a S. Llamaremos grupo de Artin virtual asociado a Γ, notado por V ArΓs, al grupo generado por S\Ty que tiene por relaciones: ProdRpσt, σs, mstq “ ProdRpσs, σt, mstqpara todo s, t PStal que s‰tymst ‰ 8. ProdRpτt, τs, mstq “ ProdRpτs, τt, mstqpara todo s, t PStal que s‰tymst ‰ 8. τ2 s“1para todo sPS. ProdRpτs, τt, mst ´1qσs“σxProdRpτs, τt, mst ´1qpara todo s, t PStal que s‰tymst ‰ 8, y donde •x“ssi mst es par. •x“tsi mst es impar. Hemos usado la notación introducida en el Capítulo 1. Al igual que ocurre con los grupos de trenzas virtuales, la primera relación representa al grupo de Artin asociado a Γ, mientras que la segunda y la tercera representa al grupo de Coxeter asociado a Γ. También podemos definir dos proyecciones que serán relevantes para el estudio de estos grupos. Definición (Grupo de Artin virtual kuro y puro).Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S, y sean V ArΓsyWrΓsel grupo de Artin virtual y el grupo de Coxeter asociado a Γ. Consideremos los homomorfismos πK:V ArΓs ÝÑ WrΓsπP:V ArΓs ÝÑ WrΓs σsÞÝÑ 1, σsÞÝÑ s . τsÞÝÑ s τsÞÝÑ s Llamaremos grupo de Artin virtual kuro asociado a Γ, notado por KV ArΓs, a KV ArΓs:“ker pπKq. Llamaremos grupo de Artin virtual puro asociado a Γ, notado por P V ArΓs, a P V ArΓs:“ker pπPq. Análogo al caso de los grupos de trenzas virtuales, estos subgrupos nos permiten descomponer los grupos de Artin virtuales como un producto semidirecto. 45 Grupos de Artin virtuales Grupos de Artin virtuales Proposición 3.1.1. Proposición 2.1, [5] Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S. Entonces podemos descomponer V ArΓscomo un producto semidirecto tal que V ArΓs – KV ArΓs ¸ WrΓso V ArΓs – PV ArΓs ¸ WrΓs. Demostración. Consideremos ιW:WrΓs ÝÑ V ArΓsdada por ιWpsq “ τspara todo sPS. Por la definición tanto de πKcomo de πPse tiene que πK˝ιW“πP˝ιW“idWrΓs, por lo que ιWes una sección de ambos homomorfismos. Consideremos las siguientes sucesiones t1u//KV ArΓsi//V ArΓsπK//WrΓs//t1u, t1u//PV ArΓsi//V ArΓsπP//WrΓs//t1u, donde idenota la inclusión en ambos casos. Por como se han definido los subgrupos KV ArΓsyPV ArΓs, esta sucesión es exacta, y debido a que existe una sección en cada caso, de la primera sucesión deducimos que V ArΓs – KV ArΓs¸WrΓs, mientras que de la segunda se obteiene que V ArΓs – P V ArΓs¸WrΓs. En uso de esta descomposición, debido a que los grupos de Coxeter son bien conocidos, nos centraremos en estudiar los subgrupos KV ArΓsyPV ArΓspara poder estudiar el grupo V ArΓs. Por poder descomponerse en un producto semidirecto, en ambos casos tenemos una acción natural de WrΓssobre ambos subgrupos dada por la conjugación. Esta acción será de gran importancia, pues será la clave para comprender tanto los generadores como las relaciones de KV ArΓsy de P V ArΓs. Recordemos de la Sección 1.1 del Capítulo 1que dado un grafo de Coxeter Γsobre un conjunto S existe un espacio vectorial real Vgenerado por un conjunto abstracto ΠS“ tαs:sPSu, al que llamamos raíces simples, y sobre el cual se puede definir un producto escalar que hace que WrΓsse inyecte sobre GLpVqmediante el homomorfismo γdefinido por γpsqpvq “ v´ xv, αsyαs para todo vPVysPS. Además, podíamos definir el sistema de raíces ΦrΓs, que no es más que el conjunto formado por todas las posibles acciones de los elementos de WrΓssobre las raíces simples. Notemos que hemos definido dos acciones de WrΓs, a saber, sobre los subgrupos kuro y puro del grupo de Artin virtual asociado a Γ, actuando por conjugación; y sobre el sistema de raices simples asociada a Γ mediante el homomorfismo γ. Para evitar confusión, denotaremos la acción de WrΓssobre los elementos de KV ArΓsyP V ArΓspor ¨, mientras que si este actúa sobre el sistema de raíces simples, denotaremos la acción con paréntesis. Lema 3.1.1. Sea Γun conjunto de Coxeter sobre S. Consideremos ℓ:WrΓs ÝÑ NY t0ula función longitud sobre S. Entonces se tienen los siguientes resultados: Sea wPWrΓsys, t PScon s‰ttal que ℓpwsq “ ℓpwtq “ ℓpwq ´ 1. Entonces mst ‰ 8 y ℓ`wProdRpt, s, mstq´1˘“ℓpwq ´ mst. Sean s, t PScon s‰ty tal que mst ‰ 8. Entonces ProdRps, t, mst ´1qpαsq “ αx, donde x“ssi mst es par o x“tsi mst es impar. Demostración. Supongamos que dado wPWrΓsys, t PScon s‰tse tiene que ℓpwsq “ ℓpwtq “ ℓpwq´1. Debido a que tanto scomo treducen la longitud de w, existen rwPWrΓsy un cierto qPNcon qďmst tal que w“rwProdRps, t, qqde forma que r wno termine ni en sni en t. Entonces ℓpwq “ ℓprwq ` ℓpProdRps, t, qqq. Notemos que del hecho de que tanto con scomo con treduzca la longitud de la palabra se deduce de forma directa que mst ‰ 8, pues en caso contrario o ws owt aumentaría de longitud. Por otro lado tenemos que ℓpwsq “ ℓpwtq “ ℓpwq ´ 1, por lo que ℓprwq ` ℓpProdRps, t, qqsq “ ℓprwq ` ℓpProdRps, t, qqtq “ ℓprwq ` ℓpProdRps, t, qqq ´ 1. 46 Grupos de Artin virtuales Grupos de Artin virtuales De forma equivalente ℓpProdRps, t, qqsq “ ℓpProdRps, t, qqtq “ ℓpProdRps, t, qqq ´ 1, por lo que q“mst. Deducimos que ℓ`wProdRps, t, mstq´1q˘“ℓprwq “ ℓprwq ` ℓpProdRps, t, mstqq ´ ℓpProdRps, t, mstqq “ ℓpwq ´ mst. Supongamos ahora s, t PStal que s‰tymst ‰ 8. Haciendo uso de las representaciones matriciales dadas en la prueba del Teorema 1.1.2 sabemos que si mst es par, entonces ProdRps, t, mstqpαsq “ ´αs, mientras que si mst es impar se tiene que ProdRps, t, mstqpαsq “ ´αt. Supongamos que mst es par, entonces ProdRps, t, mst ´1qpαsq “ psProdRps, t, mstqq pαsq“´spαsq “ αs. Por último, si suponemos que mst es impar obtenemos que ProdRps, t, mst ´1qpαsq “ ptProdRps, t, mstqq pαsq“´tpαtq “ αt. Lema 3.1.2 (Lema 2.2, [5]).Sea Γun grafo de Coxeter sobre S. Consideremos u, v PWrΓsys, t PS. Si upαsq “ vpαtqentonces u¨σs“v¨σten KV ArΓsyu¨ pτsσsq “ v¨ pτtσtqen PV ArΓs. Demostración. Probaremos la igualdad u¨σs“v¨σt, puesto que la otra relación se deduce de forma análoga. En las condiciones del enunciado podemos tomar v“1, pues siempre podemos actuar por v´1 en ambos lados de la igualdad. Entonces, supongamos que upαsq “ αt. Vamos a probar que u¨σs“σt por inducción en la longitud de u. Si ℓpuq “ 0, entonces u“1, por lo que αs“αt, de donde se obtiene que s“t, y por ende, σs“σt. Supongamos que es cierto para ℓpuq ě 1y que se cumple la hipótesis de inducción. Como upαsq “ αt, se tiene que usu´1“t, por lo que us “tu. Es más, debido a que αttiene coeficientes positivos, gracias al Teorema 1.1.2 se tiene que ℓpusq “ ℓpuq ` 1. Consideremos w“us “tu y tomemos xPStal que ℓpuxq “ ℓpuq ´ 1. Podemos apreciar que x‰s, puesto que ℓpuxq “ ℓpuq ´ 1por elección, mientras que ℓpusq “ ℓpuq ` 1. Ahora, notemos que ℓpwsq “ ℓpuq “ ℓpwq ´ 1yℓpwxq “ ℓptuxq “ ℓptuq ´ 1“ℓpwq ´ 1. Haciendo uso del primer apartado del Lema 3.1.1 sabemos que msx ‰ 8 y que ℓprwq “ ℓpwq ´ msx donde r w“wProdRps, x, msxq´1. Tomemos q“ssi mxs es par y q“xsi mxs es impar. Notemos que, w“us “rwProdRps, x, msx ´1qs, por lo que u“rwProdRps, x, msx ´1q. Entonces αt“upαsq“prwProdRps, x, msx ´1qqqpαsq “ rwpαqq, lo cual es cierto gracias al segundo apartado del Lema 3.1.1. Ahora ℓprwq “ ℓpwq ´ mxs ďℓpwq ´ 2ăℓpwq ´ 1“ℓpuq, por lo que gracias a la hipótesis de inducción se tiene que rw¨σx“σs. Por otro lado se tiene que ProdRps, x, msx ´1q ¨ σs“ProdRpτs, τx, msx ´1qσsProdRpτs, τx, msx ´1q´1“σq, lo cual es cierto gracias a las relaciones en V ArΓs. Por lo tanto u¨σs“rwProdRps, x, mxs ´1q ¨ σs“rw¨σq“σt. Este lema nos permite definir uno de los objetos que mayor relevancia tendrá en este capítulo, pues el resto de los resultados se basan en él. En concreto, el lema asegura la buena definición de este. 47 Grupos de Artin virtuales Grupos de Artin virtuales Definición (Grafo gorrito asociado a un grafo de Coxeter).Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S, y sea ΦrΓsel sistema de raíces asociado a Γ. Consideremos la matriz de Coxeter x M“ p pmβ,γ qβ,γPΦrΓs definida como sigue: p mβ,β “1para todo βPΦrΓs. Dados β, γ PΦrΓsdistintos, si existe wPWrΓsys, t PStal que β“wpαsq,γ“wpαtqymst ‰ 8, tomamos pmβ,γ “ms,t. En caso contrario, tomamos pmβ,γ “ 8. Definimos el grafo gorrito1asociado a Γ, notado por p Γ, como el grafo de Coxeter asociado a x M. Proposición 3.1.2. Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S. Entonces p Γestá bien definido. Demostración. Para comprobar que la definición es correcta basta ver que dados β, γ PΦrΓsdistintos, pmβ,γ no depende de la elección de w,so de t. Sean w, w1PWrΓsys, t, s1, t1PStal que mst ‰ 8, ms1t1‰ 8,β“wpαsq “ w1pαs1qyγ“wpαtq “ w1pαt1q. Entonces xβ, γy“´2 cos ˆπ mst ˙“ ´2 cos ˆπ ms1t1˙, por lo que mst “ms1t1, puesto que estos coeficientes son positivos. Se tiene así que la definición es correcta. Debido a que p Γes un grafo de Coxeter podemos definir tanto el grupo de Coxeter como el grupo de Artin asociado a este grafo. Denotaremos por !p δβ:βPΦrΓs)el conjunto generador estándar de Arp Γs. Teorema 3.1.1 (Teorema 2.3, [5]).Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S. Para cada βPΦrΓs tomemos wPWrΓsysPStal que β“wpαsq. Definimos δβ“w¨σs. Entonces la aplicación !p δβ:βPΦrΓs)ÝÑ tδβ:βPΦrΓsu definida como p δβÞÝÑ δβinduce un isomorfismo φ:Arp Γs ÝÑ KV ArΓs. Demostración. La prueba consistirá en varios pasos. Primero veremos que tδβ:βPΦrΓsu es un sistema generador de KV ArΓs. Acto seguido veremos que la aplicación definida en el enunciado induce un homomorfismo entre Arp ΓsyKV ArΓs, para concluir con que dicho homomorfismo es un isomorfismo. Procedamos a comprobar que tδβ:βPΦrΓsu es un sistema generador de KV ArΓs. Sea gPKV ArΓs, entonces existen w0, . . . , wpPWrΓs,s1, . . . , spPSyε1, . . . , εpP t˘1utal que g“ιWpw0qσε1 s1ιWpw1q ¨ ¨ ¨ σεp spιWpwpq, donde ιWes la sección definida en la Proposición 3.1.1. De hecho, esto es cierto para cualquier elemento de V ArΓs. Para cada iP t1, . . . , putomemos βi:“ pw0w1¨ ¨ ¨ wi´1qpαsiqy sea w“w0w1¨ ¨ ¨ wp. Entonces g“ιWpw0qσε1 s1ιWpw1q ¨ ¨ ¨ σεp spιWpwpq “ ιWpw0qσε1 s1pιWpw0qq´1ιWpw0w1q ¨ ¨ ¨ σεp spιWpwpq “ “δε1 β1ιWpw0w1q ¨ ¨ ¨ σεp spιWpwpq “ ¨ ¨ ¨ “ δε1 β1δε2 β2¨ ¨ ¨ δεp βpιWpwq. Ahora, debido a que gPKV ArΓs, por definición se tiene que 1“πKpgq “ πK´δε1 β1δε2 β2¨ ¨ ¨ δεp βpιWpwq¯“ pπK˝ιWq pwq “ w. Podemos apreciar que πKpδβiq “ 1, puesto que es una conjugación de σsi, el cual está en KV ArΓs. Concluimos que w“1y por lo tanto g“δε1 β1δε2 β2¨ ¨ ¨ δεp βp. Esto prueba que KV ArΓses generado por el conjunto tδβ:βPΦrΓsu. 1El nombre de “grafo gorrito” ha sido puesto por mí, puesto que en el artículo este grafo no tiene nombre. 48 Grupos de Artin virtuales Grupos de Artin virtuales Pasemos a probar que existe un homomorfismo φ:Arp Γs ÝÑ KV ArΓstal que φpp δβq “ δβpara todo βPΦrΓs. Tomemos β, γ PΦrΓsdistintos tal que pmβ,γ ‰ 8. Entonces, por definición, existe wPWrΓsy s, t PStal que wpαsq “ β,wpαtq “ γyp mβ,γ “mst. Por lo tanto ProdRpδγ, δβ,pmβ,γ q “ ProdR`ιWpwqσspιWpwqq´1, ιWpwqσtpιWpwqq´1, mst˘“ “ιWpwqProdRpσs, σt, mstqιWpwq´1. Por las relaciones de V ArΓssabemos que ProdRpσs, σt, mstq “ ProdRpσt, σs, mstq, por lo que ιWpwqProdRpσs, σt, mstqιWpwq´1“ιWpwqProdRpσt, σs, mstqιWpwq´1“ProdRpδβ, δγ,pmβ,γq. Concluimos que φes un homomorfismo. Notemos que este es sobreyectivo, puesto que sabemos que los elementos δβgeneran KV ArΓs. Pasemos a probar que es inyectivo, concluyendo que φes un isomorfismo. Consideremos la acción de WrΓssobre !p δβ:βPΦrΓs)definida como w¨p δβ:“p δwpβq. Esta acción se extiende a Arp Γs, puesto que los elementos sobre los que WrΓsactúa son un sistema generador de Arp Γs. Debido a que tenemos una acción de WrΓssobre Arp Γs, podemos tomar el grupo G“Arp Γs ¸ WrΓsdado por la acción que acabamos de definir. De la misma manera, podemos definir un homomorfismo r φ:GÝÑ V ArΓsinducido por φy por ιW. En efecto, sea wPWrΓsyp δβPArp Γs. Definimos rφpwq “ ιWpwqyrφpp δβq “ φpp δβq. Para comprobar la buena definición nos basta ver que φpw¨p δβq “ ιWpwqφpp δβqpιWpwqq´1. Notemos que w¨p δβ“p δwpβq, por lo que φpw¨p δβq “ φpp δwpβqq “ δwpβq“ιWpwqδwpβqpιWpwqq´1“δwpβq“ιWpwqφpp δwpβqqpιWpwqq´1. Se tiene así la buena definición de rφ. Definimos ahora la aplicación ψ:S\TÝÑ G, como ψpσsq “ p δαsyψpτsq “ spara todo sPS, donde S\Tes el conjunto de generadores de V ArΓs. Veamos que esta aplicación induce un homomorfismo ψ:V ArΓs ÝÑ G. Para ello, basta comprobar que se cumplen las relaciones. Sean s, t PSdistintos tal que mst ‰ 8. Entonces ProdRpψpσtq, ψpσsq, mstq “ ProdR´p δαt,p δαs,pmαs,αt¯“ “ProdR´p δαs,p δαt,pmαs,αt¯“ProdRpψpσsq, ψpσtq, mstq. También se tiene que ProdRpψpτtq, ψpτsq, mstq “ ProdRpt, s, mstq “ ProdRps, t, mstq “ ProdRpψpτsq, ψpτtq, mstq. Es evidente que pψpτsqq2“s2“1para todo sPS. Nos queda por comprobar la relación que mezcla los σscon los τt. Sean s, t PSdistintos tal que mst ‰ 8. Fijemos x“ssi mst es par y x“tsi mst es impar. Tomemos w“ProdRps, t, mst ´1q P WrΓs. Sabemos gracias al Lema 3.1.1 que wpαsq “ αx. Entonces ProdRpψpτsq, ψpτtq, mst ´1qψpσsq “ ProdRps, t, mst ´1qp δαs“wp δαs“p δwpαsqw“ “p δαxProdRps, t, mst ´1q “ ψpσxqProdRpψpτsq, ψpτtq, mst ´1q. Concluimos que ψinduce un homomorfismo entre V ArΓsyG. Veamos que ψ˝rφ“idG. Sea sPS. Entonces pψ˝rφqpsq “ ψpτsq “ s. Ahora, sea βPΦrΓs. Tomemos wPWrΓsysPStal que β“wpαsq. Entonces pψ˝rφqpp δβq “ ψpδβq “ ψpδwpαsqq “ ψpιWpwqσspιWpwqq´1q “ wp δαsw´1“ “w¨p δαs“p δwpαsq“p δβ. Debido a que SY!p δβ:βPΦrΓs)genera a Gpor construcción, se tiene que ψ˝rφ“idG. Notemos que esto implica que r φes inyectiva, y por ser este homomorfismo una extensión de φ, se deduce que φes inyectiva. En resumen, φes inyectiva y sobreyectiva, por lo que es isomorfismo. 49 Grupos de Artin virtuales Grupos de Artin virtuales Este resultado prueba que KV ArΓses un grupo de Artin. En lo que sigue identificaremos KV ArΓs con Arp Γs. Sin embargo KV ArΓs fl ArΓssalvo en el caso trivial, pues para cada vértice sde Γse tiene que αsPΦrΓsy puesto que spαsq“´αsse tiene que ´αsPΦrΓs, por lo que p Γcontendrá más del doble de vértices de los que tiene Γ. Aunque KV ArΓsno sea isomorfo a Arp Γs, siguiendo el razonamiento anterior podemos observar que Γpuede inyectarse como grafo en p Γ, puesto que la orbita de la identidad de WrΓses isomorfo a Γ. Esto motiva el siguiente resultado. Corolario 3.1.1 (Corolario 2.4, [5]).Sea Γun grafo de Coxeter sobre S. Entonces el homomorfismo ιA:ArΓs ÝÑ V ArΓsdefinido como ιApsq “ σses inyectivo. Demostración. Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S. Dado XĂSdenotaremos por ΓXal subgrafo maximal de Γque tenga a Xpor vértices. Gracias al Teorema de Van der Lek se tiene que el homomorfismo ιX:ArΓXs ÝÑ ArΓsinducido por la inclusión es inyectivo. Sea Π“ tαs:sPSuel conjunto de las raíces simples de Γ. Notemos que la aplicación SÝÑ Π definida como sÞÝÑ αsinduce un isomorfismo entre Γyp ΓΠ, y por el Teorema de Van der Lek, induce también un isomorfismo entre ArΓsyArp ΓΠs. Considerando la siguiente composición de homomorfismos ArΓs–//Arp ΓΠsιΠ//Arp Γs–//KV ArΓsi//V ArΓs donde ies la inclusión canónica, se obtiene que ArΓsse inyecta en V ArΓsmediante ιA, homomorfismo que resulta de las composiciones anteriores. Pasemos a dar una presentación de P V ArΓs. Para ello definiremos la siguiente notación. Consideremos el conjunto abstracto !p ζβ:βPΦrΓs), que será biyectivo a ΦrΓs. Tomemos β, γ PΦrΓsdistintos tal que p mβ,γ ‰ 8, y sea m“p mβ,γ ‰ 8 para aliviar la notación. Definimos las raíces β1, . . . , βmPΦrΓsde la siguiente tal que β1“β, y para todo kP t2, . . . , mutomamos βk“#ProdRprγ, rβ, k ´1q pγqsi kes par, ProdRprβ, rγ, k ´1q pβqsi kes impar, donde rqpvq:“v´xv, qyqpara todo q, v P tβ, γu, y donde abusamos de notación denotando por producto a la composición de estos automorfismos. Una vez definidos los elementos βk, sea Zpγ, β, pmβ,γ q “ p ζβm¨ ¨ ¨ p ζβ2p ζβ1, elemento que entenderemos como una palabra sobre el conjunto !p ζβ:βPΦrΓs). Denotaremos por { PV ArΓsal grupo generado por !p ζβ:βPΦrΓs)y que tiene por relaciones Zpγ, β, pmβ,γ q “ Zpβ, γ, pmβ,γ q para todo β, γ PΦrΓsdistintos tal que pmβ,γ ‰ 8. Este grupo nos ayudará a dar una presentación de PV ArΓs. Teorema 3.1.2 (Teorema 2.6, [5]).Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S. Para cada raíz βPΦrΓssea wPWrΓsysPStal que β“wpαsq. Definimos ζβ“w¨ pτsσsq. Entonces la aplicación !p ζβ:βPΦrΓs)ÝÑ tζβ:βPΦrΓsu definida como p ζβÞÝÑ ζβinduce un isomorfismo entre { PV ArΓsy el grupo de Artin virtual puro PV ArΓs. Demostración. Esta prueba será similar a la prueba del Teorema 3.1.1. La haremos también en tres pasos. Primero, probaremos que el conjunto tζβ:βPΦrΓsu es un conjunto de generadores de P V ArΓs. Acto seguido probaremos que la aplicación del enunciado induce un homomorfismo, y por último comprobaremos que dicho homomorfismo es un isomorfismo. 50 Grupos de Artin virtuales Grupos de Artin virtuales Procedemos a comprobar que tζβ:βPΦrΓsu es un conjunto de generadores de PV ArΓs. Tomemos gPPV ArΓs, entonces existen w0, . . . , wpPWrΓs,s1, . . . , spPSyε1, . . . , εpP t˘1utal que g“ιWpw0q pτs1σs1qε1ιWpw1q ¨ ¨ ¨ `τspσsp˘εpιWpwpq, donde ιWes la sección definida en la Proposición 3.1.1. De nuevo, cualquier elemento de V ArΓspuede escribirse de esta forma. Para cada iP t1, . . . , putomemos βi:“ pw0¨ ¨ ¨ wi´1qpαsiqyw“w0¨ ¨ ¨ wp. Entonces g“ιWpw0q pτs1σs1qε1ιWpw1q ¨ ¨ ¨ `τspσsp˘εpιWpwpq “ “ιWpw0q pτs1σs1qε1pιWpw0qq´1ιWpw0w1q ¨ ¨ ¨ `τspσsp˘εpιWpwpq “ “ζε1 β1ιWpw0w1q ¨ ¨ ¨ `τspσsp˘εpιWpwpq “ ¨ ¨ ¨ “ ζε1 β1¨ ¨ ¨ ζεp βpιWpwq. Como gPPV ArΓsse tiene que 1“πPpgq “ πP´ζε1 β1¨ ¨ ¨ ζεp βpιWpwq¯“ pπP˝ιWqpwq “ w, por lo que w“1. Obtenemos que g“ζε1 β1¨ ¨ ¨ ζεp βp, y por la arbitrariedad de gdeducimos que tζβ:βPΦrΓsu es un conjunto de generadores de P V ArΓs. Veamos que la aplicación definida en el enunciado induce un homomorfismo φ:{ PV ArΓs ÐÝ P V ArΓs. Sean β, γ PΦrΓsdistintos tal que pmβ,γ ‰ 8. Entonces existe wPWrγsys, t PStal que β“wpαsq, γ“wpαtqypmβ,γ “mst. Para aliviar la notación sea m“mst “pmβ,γ . Tomemos las raíces β1, . . . , βmP ΦrΓstal que β1“βy para todo kP t2, . . . , musea βk“#ProdRprγ, rβ, k ´1q pγqsi kes par, ProdRprβ, rγ, k ´1q pβqsi kes impar. Entonces Zpγ, β, pmβ,γ q “ p ζβm¨ ¨ ¨ p ζβ1, pues es la definición que dimos antes del comiendo de esta prueba. Podemos apreciar que rβpαqq “ pwsw´1qpαqqyrγpαqq“pwtw´1qpαqqpara todo qPS, pues β“wpαsq yγ“wpαtq. Sea kP t1, . . . , mu. Si kes impar, entonces βk“ProdRprβ, rγ, k ´1q pβq “ ProdR`wsw´1, wtw´1, k ´1˘pwpαsqq “ “`wProdRps, t, k ´1qw´1w˘pαsq “ pwProdRps, t, k ´1qq pαsq. Por lo tanto ζβk“ ppwProdRps, t, k ´1qq ¨ ζαs“ “ιWpwqProdRpτs, τt, k ´1qpτsσsqProdRpτs, τt, k ´1q´1pιWpwqq´1“ “ιWpwqProdRpτt, τs, kqσsProdRpτs, τt, k ´1q´1pιWpwqq´1. De forma análoga, se prueba que si kes par se tiene que ζβk“ιWpwqProdRpτs, τt, kqσtProdRpτt, τs, k ´1q´1pιWpwqq´1. Por lo tanto Zpγ, β, pmβ,γ q “ ζβm¨ ¨ ¨ ζβ2ζβ1“ιWpwqProdLpτs, τt, mqProdRpσt, σs, mqpιWpwqq´1. Siguiendo el mismo procedimiento con Zpβ, γ, pmβ,γ qse obtiene que Zpβ, γ, pmβ,γ q “ ζγm¨ ¨ ¨ ζγ2ζγ1“ιWpwqProdLpτs, τt, mqProdRpσt, σs, mqpιWpwqq´1. Concluimos que Zpβ, γ, pmβ,γ q “ Zpγ, β, pmβ,γ q, por lo que φes un homomorfismo. Procedamos a comprobar que es un isomorfismo. Por la forma de φsabemos que es sobreyectiva, puesto que el conjunto tζβ:βPΦrΓsu genera a P V ArΓs. Definimos la acción de WrΓssobre el conjunto 51 Trivialidad del centro Grupos de Artin virtuales !p ζβ:βPΦrΓs)como w¨p ζβ:“p ζwpβq. Esta acción se extiende a una acción de WrΓssobre { PV ArΓs. Gracias a esta acción, podemos construir el grupo G“{ PV ArΓs ¸ WrΓs. Veamos que los homomorfismos φ:{ PV ArΓs ÝÑ P V ArΓs Ă V ArΓseιW:WrΓs ÝÑ V ArΓsinducen un homomorfismo rφ:GÝÑ V ArΓs. Notemos que basta verificar que φ´w¨p ζβ¯“ιWpwqφpp ζβqpιWpwqq´1para cualquier βPΦrΓsywPWrΓs. En efecto φ´w¨p ζβ¯“φ´p ζwpβq¯“ζwpβq“ιWpwqζβpιWpwqq´1“ιWpwqφ´p ζβ¯pιWpwqq´1. Consideremos la aplicación ψ:S\TÝÑ Gdefinida como ψpσsq “ sp ζαsyψpτsq “ spara todo sPS. Veamos que ψinduce un homomorfismo ψ:V ArΓs ÝÑ G. Sea s, t PSdistintos tal que mst ‰ 8. Entonces ProdRpψpτsq, ψpτtq, mstq “ ProdRps, t, mstq “ ProdRpt, s, mstq “ ProdRpψpτtq, ψpτsq, mstq. De la misma forma ψpτsq2“s2“1para todo sPS. Para las últimas dos relaciones tomemos m“mst yβ1, . . . , βmPΦrΓsdefinidos como β1“αsy para todo kP t2, . . . , muconsideramos βk“#ProdRpt, s, k ´1qpαtqsi kes par, ProdRps, t, k ´1qpαsqsi kes impar. Entonces ProdRpψpσsq, ψpσtq, mstq “ ¨ ¨ ¨ sp ζαstp ζαtsp ζαs“ProdRpt, s, mstqp ζβm¨ ¨ ¨ p ζβ1“ “ProdRpt, s, mstqZpαt, αs,pmαs,αtq. De forma análoga se comprueba que ProdRpψpσtq, ψpσsq, mstq“ProdRps, t, mstqZpαs, αt,p mαs,αtq. Por la definición de { PV ArΓssabemos que Zpαt, αs,pmαs,αtq “ Zpαs, αt,pmαs,αtq, y por las relaciones de WrΓsse tiene que ProdRps, t, mstq “ ProdRpt, s, mstq, por lo que ProdRpψpσtq, ψpσsq, mstq “ ProdRpψpσsq, ψpσtq, mstq. Por último, sea w“ProdRpt, s, mstq. Además, tomemos x“ssi mst es par o x“tsi mst es impar. Entonces ProdRpψpτsq, ψpτtq, mst ´1qψpσsq “ ProdRps, t, mst ´1qsp ζαs“wp ζαs“ “p ζwpαsqw“p ζwpαsqProdRpt, s, mstq “ p ζwpαsqxProdRps, t, mst ´1q “ “xp ζpxwqpαsqProdRps, t, mst ´1q “ ψpσxqProdRpψpτsq, ψpτtq, mst ´1q. Aquí hemos usado el Lema 3.1.1, pues pxwqpαsq “ ProdRps, t, mst ´1qpαsq “ αx. Concluimos que ψinduce un homomorfismo entre V ArΓsyG. Por último, un cálculo análogo al de la prueba del Teorema 3.1.1 muestra que ψ˝rφ“idG. Por lo tanto, rφes inyectiva, y por ser este homomorfismo una extensión de φ, se deduce que φes inyectivo, y por ende, un isomorfismo. 3.2. Trivialidad del centro En esta sección probaremos, como el título sugiere, que el centro de los grupos de Artin virtuales es trivial. Este resultado tiene bastante relevancia, pues el cálculo del centro para los grupos de Artin en general es un problema abierto y, sin embargo, para su generalización virtual se ha podido calcular. Comencemos dando algunos resultados sobre los grupos de Coxeter. 52 Trivialidad del centro Grupos de Artin virtuales Proposición 3.2.1 (Lema 4.6.1, [10]).Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S. Entonces existe un elemento w0PWrΓstal que las siguientes condiciones con equivalentes: Para todo uPWrΓsse tiene que ℓpw0q “ ℓpuq ` ℓpu´1w0q. Para todo sPSse tiene que ℓpw0q ą ℓpsw0q. Es más, este elemento w0existe si y solo si WrΓses un grupo finito, y en caso de existir cumple las siguientes propiedades: w0es único. w2 0“1. w0Sw0“S. Para todo sPSse tiene que w0pαsq“´αs. Puede encontrarse la prueba de esta proposición en la referencia adjunta. Definición. Palabra de mayor longitud en un grupo de Coxeter Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S. Si WrΓses finito, llamaremos palabra de mayor longitud al único elemento que cumple las propiedades de la Proposición 3.2.1. Proposición 3.2.2 (Teorema 2.3, [13]).Sea Γun grafo de Coxeter conexo sobre un conjunto S. Entonces: Si WrΓses infinito se tiene que ZpWrΓsq “ t1u. Si WrΓses finito, sea w0PWrΓsla palabra de mayor longitud. Entonces ZpWrΓsq “ t1, w0usi w0 es central o ZpWrΓsq “ t1uen caso contrario. De nuevo, puede encontrarse la prueba de este resultado en la referencia adjunta. Procedemos a probar la trivialidad del centro. Para ello, el siguiente resultado será esencial. Teorema 3.2.1 (Teorema 3.3, [5]).Sea Γun grafo de Coxeter sobre un conjunto S. Consideremos el WrΓscomo subgrupo de V ArΓsmediante la inmersión ιW:WrΓsãÑV ArΓs. Entonces CV ArΓspWrΓsq – ZpWrΓsq, donde CV ArΓspWrΓsq denota al centralizador de WrΓsen V ArΓs. Demostración. En esta prueba, dado XĂΦrΓsdenotaremos por p ΓXal subgrafo maximal de p Γque tiene aXpor vértices. Por el Teorema de Van der Lek sabemos que Arp ΓXses un subgrupo de Arp Γs, y gracias al Teorema 3.1.1 sabemos que Arp Γs – KV ArΓs, por lo que podemos identificar Arp ΓXscomo un subgrupo de KV ArΓsgenerado por tδβ:βPXuusando la notación definida en el Teorema 3.1.1. Es más, de nuevo, gracias al Teorema de Van der Lek, dada cualquier familia tXiuiPItal que XiĂΦrΓsse tiene que č iPI Arp ΓXis – A«č iPIp ΓXiff–A”p ΓŞiPIXiı. Procedamos con la prueba. Lo probaremos por doble inclusión. Notemos que ZpWrΓsq Ď CV ArΓspWrΓsq, pues si un elemento es central en WrΓsconmutará con los elementos en su imagen por cualquier homomorfismo. Veamos la inclusión contraria. Sea gPCV ArΓspWrΓsq. Como V ArΓs – KV ArΓs ¸ WrΓs existirán hPKV ArΓsywPWrΓstal que g“hw. Como ges un elemento del centralizador de WrΓsen V ArΓsyπKpgq “ w,westará en el centro de WrΓs, por lo que hPCV ArΓspWrΓsq. Dado βPΦ`rΓs, consideremos X` β:“ΦrΓszt´βu,X´ β:“ΦrΓsztβueYβ“ΦrΓsztβ, ´βu. Podemos apreciar que X` βYX´ β“ΦrΓsyX` βXX´ β“Yβ, por lo que gracias al Lema 2.3.2 sabemos que KV ArΓs – Arp Γs – Arp ΓX` βs ˚Arp ΓYβsArp ΓX´ βs. 53 Sobre grupos de Coxeter •En caso de ser mimpar, todo lo anterior sigue siendo cierto, solo que la cota de nserá hasta m´1 2. En cualquier caso, vXpαsqtendrá todos sus coeficientes no negativos, y por lo tanto, wpαsqtambién. Probemos la otra implicación por reducción al absurdo. Recordemos que dado sPSywPWrΓs, consideramos wpαsq “ ÿ rPS λrαr con λrPRpara todo rPS. Supongamos que λrě0para todo rPSy que ℓpwsq ‰ ℓpwq ` 1. Puesto que ℓpsq “ 1, necesariamente se tiene que ℓpwsq ă ℓpwq. Como al multiplicar por sa la derecha se reduce la longitud de la palabra, existe una expresión reducida de wque tiene a spor letra final. Sea rwPWrΓs una palabra reducida tal que w“rws y tomemos rwpαsq “ ÿ rPSr λrαr con r λrPRpara todo rPS. Entonces ÿ rPS λrαr“wpαsq“prwsqpαsq“´rwpαsq“´ÿ rPSr λrαr. Aquí hemos usado que spαsq “ ´αs. Por lo tanto λr“ ´r λrpara todo rPS, y puesto que cada λrě0 por hipótesis, se tiene que r λrď0. Por otro lado, podemos apreciar que ℓprwsq “ ℓpwq ě ℓprwq, puesto que rwes una subpalabra de w. Por lo tanto, ℓprwsq “ ℓprwq ` 1. Hemos encontrado un elemento rwPWrΓstal que ℓprwsq “ ℓprwq ` 1de forma que los coeficientes de rwpαsqson no positivos, y esto es absurdo por las deducciones anteriores. Sea ahora wPWrΓXstal que ℓpwsq “ ℓpwq ´ 1, entonces ℓppwsqsq “ ℓpwsq ` 1. Por lo anterior, sabemos que pwsqpαsqtiene todos sus coeficientes no negativos, y como spαsq“´αs, se tiene que wpαsq ha de tener todos sus coeficientes no positivos. Razonando de forma análoga en el sentido contrario y puesto que todo elemento wPWrΓXscumple que ℓpwsq “ ℓpwq ˘ 1, hemos probado el resultado. 60 B|Grupos simétricos En esta sección probaremos algunos resultados sobre los grupos simétricos que se han usado en este trabajo y que son bien conocidos, aunque no del todo obvios de probar. Daremos una presentación de estos grupos y veremos la estructura de sus grupos de automorfismos. B.1. Presentación de los grupos simétricos Definición (Grupo simétrico).Sea Xun conjunto. Definimos el grupo simétrico sobre X, notado SX, como el grupo formado por todas las biyecciones de Xen sí mismo junto con la operación de composición usual. Proposición B.1.1. Dado un conjunto X,SXestá bien definido y tiene estructura de grupo. Demostración. Sean f, g PSXdos biyecciones, entonces, tanto f˝gcomo g˝fson biyecciones, por lo que f˝g, g ˝fPSX. Es evidente que la aplicación identidad idXPSXy además conmuta con cualquier otra biyección. Por otro lado, por ser biyecciones, para todo fPSXexiste f´1tal que f˝f´1“f´1˝f“idX, por lo que f´1PSX. Por último, como la operación es la composición de aplicaciones, esta es asociativa. Se deduce de lo anterior que SXestá bien definido y tiene estructura de grupo. Proposición B.1.2. Sean XeYdos conjuntos y sea f:XÝÑ Yuna biyección. Entonces SX–SY. Demostración. Sea φ:SXÝÑ SYdefinido como φpgq “ f˝g˝f´1. Notemos que por ser funa biyección, φestá bien definido, y además es un homomorfismo de grupos, pues es una conjugación. Veamos que es φes un isomorfismo. Primero, veamos que es inyectiva. Sea gPker pφq, entonces φpgq “ f˝g˝f´1“idY. Componiendo a la izquierda con f´1y a la derecha con fdeducimos que g“idY. Por lo tanto ker pφq “ tidYu, de donde se deduce que φes inyectiva. Consideremos ahora hPSY. Podemos apreciar que tomando g“f´1˝h˝fPSXse tiene que φpgq “ h, por lo que φes sobreyectiva, y por ende, isomorfismo. En lo que sigue nos centraremos en los casos en los que Xsea finito. Si |X| “ ně1, donde |X|denota el cardinal de X; notaremos el grupo por Sn. Además, en el caso de que |X| “ n, podemos considerar X“ t1, . . . , nu, lo cual no afecta al grupo gracias a la Proposición B.1.2. En lo que sigue, todo elemento de Snserá escrito en forma de ciclos y usaremos la notación multiplicativa por aliviar la notación. Lema B.1.1. Sea nPNy sea Sn. Consideremos si“ pi, i `1q P Snpara todo 1ďiďn´1. Entonces los elementos sigeneran a Sn. Demostración. Partimos de que todo elemento gPSnpuede expresarse como g“c1c2¨ ¨ ¨ crdonde cada ckes un ciclo y de manera que cicj“cjcipara todo dos a dos. Sea gun ciclo, entonces g“ pa1, a2, . . . , arq. Es sencillo comprobar que g“ pa1, a2qpa2, a3q¨¨¨par´2, ar´1qpar´1, arq, 61 Presentación de los grupos simétricos Grupos simétricos pues solo hay que multiplicar. Vemos así que todo elemento puede ser expresado como producto de trasposiciones. Consideremos una trasposición pi, jq, entonces pi, jq “ sisi`1¨ ¨ ¨ sj´2sj´1sj´2¨ ¨ ¨ si`1si. Esto, de nuevo, es una simple comprobación. Por lo tanto, todo elemento gPSnpuede expresarse a partir de los elementos si, y por ende, tsiun´1 i“1genera a Sn. Lema B.1.2. Sea nPN, entonces |Sn| “ n!. Demostración. Consideremos fPSn, entonces fp1qtiene nposibles imágenes que puede tomar, esto es, fp1qPt1, . . . , nu. Ahora, como fp2q ‰ fp1qpor ser una biyección, tiene n´1posibles imágenes que tomar. Siguiendo el mismo razonamiento, dadas las imágenes hasta k´1ďn, el elemento kva a tener n´k`1posibles imágenes por f. Por lo tanto, la cantidad de biyecciones que se pueden crear serán: |Sn| “ n ź k“1 pn´k`1q “ n!. Teorema B.1.1. Sea nPN, entonces Sn–As1, . . . , sn´1ˇˇˇs2 i,psisi`1q3,psisjq2si |i´j| ě 2para todo 1ďi, j ďn´1E. Demostración. Procederemos por inducción en n. Si n“1, solo hay una posible biyección, por lo que S1“␣idt1u(– t1u. Tomemos nuestro caso base con n“2. Notemos que si n“2, entonces solo podemos obtener dos biyecciones, idt1,2uyp1,2q “ s1. Además s2 1“idt1,2u. En consecuencia, S2–Z{2Z, y por lo tanto S2– xs1|s2 1y. Tomemos por hipótesis de inducción que el resultado es cierto hasta n, esto es, que Sn–As1, . . . , sn´1ˇˇˇs2 i,psisi`1q3,psisjq2si |i´j| ě 2para todo 1ďi, j ďn´1E, y consideremos Sn`1. Sabemos que Sn`1está generado por ts1, . . . , snuy, además, podemos apreciar que s2 n“idt1,...,n`1u,snsk“sksnsi |k´n| ě 2ysnsn´1sn“sn´1snsn´1, o de forma análoga, psn´1snq3“ psksnq2“s2 n“idt1,...,n`1u si |k´n| ě 2. Llamemos Rna las relaciones de la presentación de Snque tenemos a partir de la hipótesis de inducción, y consideremos R:“RnY␣s2 n,psn´1snq3,psksnq2si |k´n| ě 2(. Sea G:“ xs1,...sn|Ryy sea el homomorfismo de grupos φ:GÝÑ Sn`1definido como φpsiq “ sipara todo 1ďiďn. Debido a que las trasposiciones sigeneran a Sn`1el homomorfismo es sobreyectivo. Veamos que es inyectivo. Notemos que por el Lema B.1.2 sabemos que |Sn`1|“pn`1q!y por el Primer Teorema de Isomorfía es Impφq – G{ker pφq – Sn`1. Asumamos que Ges finito, entonces, haciendo uso del Teorema de Lagrange se tiene que |Impφq| “ |Sn`1|“pn`1q!“|G| |ker pφq|, por lo que para ver que φes inyectiva nos basta comprobar que |G|“pn`1q!. Primero, sabemos que Gtiene un subgrupo H–Sn, que es el generado por tsiun´1 i“1por construcción. Consideremos las clases laterales a la izquierda de Gsobre H. Veamos que G{H“ tH, snH, psn´1snqH, . . . , ps1¨ ¨ ¨ snqHu. 62 Presentación de los grupos simétricos Grupos simétricos Primero comprobemos que estas clases son distintas. Supongamos que existen dos elementos psksk`1¨ ¨ ¨ snq ypsrsr`1¨ ¨ ¨ snqdistintos que representan a la misma clase, entonces existe un hPHtal que sksk`1¨ ¨ ¨ sn“srsr`1¨ ¨ ¨ snh. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que kăr, pues en caso contrario solo multiplicamos por h´1a la derecha. Ahora, podemos reescribir la igualdad como psnsn´1¨ ¨ ¨ sr`1srq psksk`1¨ ¨ ¨ sn´1snq “ h. Como hPHse tiene que φphqpn`1q “ n`1. Entonces, si vemos la imagen de esa igualdad por φy evaluamos como permutación φphqen pn`1q, podemos apreciar que φphqpn`1q “ rpsnsn´1¨ ¨ ¨ sr`1srq psksk`1¨ ¨ ¨ sn´1snqs pn`1q “ “ rsnsn´1¨ ¨ ¨ sr`1srspkq “ k. Esto último se tiene porque kăr. Por lo tanto φphq R φpHq, y por ser φsobreyectiva, hRH, lo cual es absurdo. Por lo tanto, las cases son distintas. Veamos que, en efecto, no hay más clases. Para ello veamos que todo elemento gPSno está en Ho puede escribirse como g“srsr`1¨ ¨ ¨ snhpara cierto rP t1, . . . , nuy un hPH. Veámoslo de manera algorítmica. Supongamos que tenemos gPGtal que g“si1si2¨ ¨ ¨ sir, entonces: 1. Si gPHhemos terminado. 2. En caso contrario, sea k“m´ax tq:iq“nu. Entonces, podemos escribir g“si1si2¨ ¨ ¨ sik´1snh1, donde h1“sik`1¨ ¨ ¨ sirPHpor como se ha tomado k. Llamaremos bloque a sny cadena a si1si2¨ ¨ ¨ sik´1. Por lo tanto g“si1si2¨ ¨ ¨ sik´1 looooooomooooooon Cadena sn loomoon Bloque h1. La idea será ir comprobando el último elemento de la cadena y e ir añadiendo lo que sea posible al bloque de manera que quede en la forma deseada. 3. Consideremos el último elemento de la cadena, esto es, sik´1. Tenemos tres posibilidades: a) Si ik´1“n, entonces sik´1sn“1, por lo que gse reduce. En este caso, volvemos al paso 1q. b) Si ik´1“n´1, introducimos el elemento en el bloque y pasamos al paso 4q. c) En caso contrario, por las relaciones de G,sik´1conmuta con sn, por lo que tomamos el elemento h2“sik´1h1y reescribimos g“si1si2¨ ¨ ¨ sik´2snh2. Una vez reescrito, volvemos al paso 3q. 4. Llegados a este punto, procedemos de forma iterativa hasta que no nos queden más elementos en la cadena. En el paso m, supongamos que tenemos por bloque srsr`1¨ ¨ ¨ sn. Entonces tenemos g reescrito como g“si1si2¨ ¨ ¨ sim loooooomoooooon Cadena srsr`1¨ ¨ ¨ sn loooooomoooooon Bloque hm. Consideremos el último elemento de la cadena sim, entonces tenemos las siguientes posibilidades: a) Si im“r, entonces reducimos tanto la cadena como el bloque y seguimos. b) Si im“qcon r`1ďqďn, entonces sqsrsr`1¨ ¨ ¨ sn“srsr`1¨ ¨ ¨ sq´2 “sq´1sqsq´1 hkkkikkkj sqsq´1sqsq`1¨ ¨ ¨ sn“ “srsr`1¨ ¨ ¨ sq´2sq´1sqsq´1sq`1¨ ¨ ¨ sn“srsr`1¨ ¨ ¨ snsq´1. Definimos hm`1“sq´1hmy seguimos. 63 Presentación de los grupos simétricos Grupos simétricos c) Si im“r´1, añadimos simal bloque y seguimos. d) En caso contrario, simconmuta con el bloque, por lo que definimos hm`1“simhmy seguimos. Notemos que el algoritmo es finito, pues gestá expresado con una cantidad finita de generadores, y se obtiene como resultado una expresión de gtal que, o gPHog“sr¨ ¨ ¨ snhpara un cierto rP t1, . . . , nu yhPH. Por lo tanto, todo elemento de Hestá en una única clase de tH, snH, psn´1snqH, . . . , ps1¨ ¨ ¨ snqHu, de donde se deduce que, en efecto, G{H“ tH, snH, psn´1snqH, . . . , ps1¨ ¨ ¨ snqHu. Ahora, debido a que Hes finito, al igual que las clases laterales a la izquierda, se deduce que Ges finito. Usando el Teorema de Lagrange, tenemos que |G|“rG:Hs|H|, donde rG:Hsindica el índice de Hen G, y sabemos que |H| “ n!yrG:Hs “ n`1, pues hemos calculado las clases laterales. Por lo tanto |G| “ pn`1qn!“ pn`1q!. Concluimos que φes inyectiva, y por ende, isomorfismo. Se deduce así que Ges una presentación de Sn`1. Cabe notar que en la anterior prueba se ha hecho un abuso de notación, pues estamos representando por side igual manera tanto a los generadores de Sncomo a los generadores de la presentación. En caso que se desee, puede implementarse el algoritmo anterior en SageMath mediante el siguiente código: 1def Clase(L,N): 2n = N-1 3if (L.count(n) == 0): 4return [] 5else: 6s = len(L)-1 7while (-1 < s): 8if (L[s] == n): 9break 10 else: 11 s = s-1 12 if (s == 0): 13 return [n] 14 else: 15 C = [] 16 B = [n] 17 for k in [0..s-1]: 18 C = C + [L[k]] 19 while (0 < len(C)): 20 a = C[-1] 21 if (len(B) == 1): 22 if (a == n): 23 C.pop(-1) 24 Clase(C,n) 25 continue 26 if (a == n-1): 27 C.pop(-1) 28 B = [a] + B 29 continue 30 else: 31 C.pop(-1) 32 else: 33 if (a == B[0]): 34 C.pop(-1) 35 B.pop(0) 64 Presentación de los grupos simétricos Grupos simétricos 36 continue 37 if (a+1 == B[0]): 38 C.pop(-1) 39 B = [a] + B 40 continue 41 else: 42 C.pop(-1) 43 return B Este algoritmo toma como entrada una lista L, donde se introducirán los subíndices iken los que se ha escrito g, y la segunda entrada indica en qué grupo simétrico estamos trabajando. Para mayor comodidad, si tuviésemos una permutación f, dejo el código para poder calcular la lista que requiere la el código Clase. Este algoritmo tiene como entradas a una permutación fynindica en qué grupo simétrico estamos trabajando; y devuelve una lista con los índices de los sien los que se descompone fen orden. 44 def Indices(f,n): 45 L = [1..n] 46 P = [] 47 x = L[0] 48 Q = [] 49 s=x 50 while (len(L) > 0): 51 if (f(s) == x): 52 if (len(Q) > 0): 53 L.pop(L.index(s)) 54 Q = Q + [s] 55 P = P + [Q] 56 Q = [] 57 if (len(L) > 0): 58 x = L[0] 59 s=x 60 else: 61 break 62 else: 63 L.pop(L.index(s)) 64 Q = [] 65 if (len(L) > 0): 66 x = L[0] 67 s=x 68 else: 69 break 70 else: 71 L.pop(L.index(s)) 72 Q = Q + [s] 73 s = f(s) 74 def EnPermu(L): 75 def DivideTras(L): 76 Q = [] 77 q = len(L)-1 78 for k in [0..q-1]: 79 Q = Q + [[L[k],L[k+1]]] 80 return Q 81 def Acomoda(L): 82 Q = [] 83 for R in L: 65 Automorfismos de los grupos simétricos Grupos simétricos 84 i = min(R[0],R[1]) 85 j = max(R[0],R[1]) 86 if (i+1 == j): 87 Q = Q + [i] 88 else: 89 C = [i..j-2] 90 C.reverse() 91 Q = Q + [i..j-1] + C 92 return Q 93 P = [] 94 for R in L: 95 P = P + Acomoda(DivideTras(R)) 96 return P 97 return EnPermu(P) B.2. Automorfismos de los grupos simétricos En esta sección discutiremos la estructura de los automorfismos de Sn, resultado bien conocido. Lema B.2.1. Sea nPNy consideremos Sn. Definimos Tn k:“ tgPSn:gpuede escribirse como ktrasposiciones disjuntasu, Entonces |Tn k| “ n! 2kpn´2kq!k!. Demostración. Notemos que la primera trasposición podemos tomarla de `n 2˘formas si no tenemos en cuenta el orden, la segunda, de `n´2 2˘formas, y en general, la r´ésima, de `n´2r 2˘formas, puesto que en cada trasposición anterior hemos fijado dos elementos. Ahora, al no haber tenido en cuenta el orden, estamos considerando como distintas cualquier permutación de las trasposiciones de cada palabra, por lo que hemos de dividir entre k!, esto es, el total de las posibles posiciones de más que hemos tomado. Por lo tanto |Tn k| “ 1 k! k ź r“0ˆn´2r 2˙“1 k! k ź r“0 pn´2rq! 2pn´2r´2q!“1 2kk! k ź r“0 pn´2rq! pn´2r´2q!“ “1 2kk! k ź r“0 pn´2rqpn´2r´1q “ n! 2kpn´2kq!k!. Lema B.2.2. Sea nPN. Entonces, si n‰6,|Tn 1|“|Tn k|si y solo si k“1. Si n“6, entonces se tiene también para k“3. Demostración. Haciendo uso del Lema B.2.1, basta ver cuando n! 2pn´2q!“n! 2kpn´2kq!k!. Supongamos que k‰1. Si reescribiendo la expresión, obtenemos 2k´1k!“pn´2q! pn´2kq!“pn´2q! ppn´2q´p2k´2qq!“ p2k´2q!ˆn´2 2k´2˙. De nuevo, podemos seguir reescribiendo tal que 2k´1“p2k´2q! k!ˆn´2 2k´2˙“p2k´2q! pp2k´2q´pk´2qq!ˆn´2 2k´2˙“ pk´2q!ˆ2k´2 k´2˙ˆn´2 2k´2˙. 66 Automorfismos de los grupos simétricos Grupos simétricos Hemos obtenido un producto de tres números enteros que operados igualan 2k´1, por lo que existen q1, q2, q3PNY t0utales que q1`q2`q3“k´1y de manera que pk´2q!“2q1,`2k´2 k´2˘“2q2 y`n´2 2k´2˘“2q3. Primero, notemos que pk´2q!“2q1, entonces k“2,3,4. Supongamos que k“2, entonces q1“0. Por otro lado, tenemos `4´2 2´2˘“`2 0˘“1, por lo que q2“0. Obtenemos que 22´1“2“ˆn´2 4´2˙“ˆn´2 2˙“pn´2qpn´3q 2, lo cual es imposible, pues nes natural. Supongamos que k“3, entonces q1“0. Por otro lado, `6´2 3´2˘“`4 1˘“4, por lo tanto q2“2. Esto nos deja con la única posibilidad de que 1“ˆn´2 6´2˙“ˆn´2 4˙, y esto ocurre si y solo si n´2“4, o lo que es lo mismo, si n“6. Supongamos que k“4, entonces `8´2 4´2˘“`6 2˘“15, pero esto es absurdo, pues 15 no es una potencia de 2. Por lo tanto este caso no puede darse. Deducimos que, si n‰6, la igualdad se da solo si k“1, mientras que en el caso de que n“6, la igualdad se da cuando k“1yk“3. Lema B.2.3. Sea nPNy consideremos g, r PSn. Sea h“rgr´1, entonces hygtienen la misma estructura de ciclos disjuntos, esto es, las representaciones de estos elementos como ciclos tienen la misma cantidad de ciclos de la misma longitud. Demostración. Primero, si h“rgr´1, entonces hr “rg, por lo que dado iP t1, . . . , nu, si gpiq “ j, entonces phrqpiq “ rpjq. Se deduce que gyhtienen la misma estructura de ciclos. Proposición B.2.1. Sea nPN, entonces ZpSnq“t1usi n‰2yZpS2q “ S2, donde ZpSnqdenota el centro de Sn. Demostración. Si n“1el resultado es obvio. Si n“2, entonces S2–Z{2Z, que es abeliano, por lo que ZpS2q “ S2. Supongamos que ně3y sea X“ t1, . . . , nu. Tomemos hPZpSnq, entonces gh “hg para todo gPSn. Dado un xPX, tomemos gP pSnqx, donde pSnqxdenota el estabilizador de xrespecto a la acción natural de Snsobre X. Notemos que, al tenerse hPZpSnq, se tiene que gphpxqq “ pghqpxq“phgqpxq “ hpgpxqq “ hpxq. Deducimos que gP pSnqhpxq, y por lo tanto pSnqxď pSnqhpxqpara todo xPX. Sea gP pSnqhpxqcon ně3, entonces gphpxqq “ hpxq, pero como hes un elemento del centro se tiene que hpxq“pghqpxq“phgqpxq por lo que gpxq “ x. Deducimos que pSnqx“ pSnqhpxqpara todo xPX, esto es, hpxq “ xpara todo xPX. Puesto que la única permutación que fija todos los elementos de Xes la identidad, se concluye que h“1. Proposición B.2.2. Sea nPN. Entonces InnpSnq – Snsi n‰2yInnpS2q–t1u, donde InnpSnq denota el grupo de los automorfismos internos de Sn. Demostración. Primero, si n“1el resultado es evidente. Si n“2, entonces AutpS2q “ tidS2u, pues S2–Z{2Z. Como InnpS2q ď AutpS2q, se tiene que InnpS2q–t1u. Supongamos ahora que ně3. Dado rPSn, denotemos φral automorfismo definido como φrpgq “ rgr´1para todo gPSn. Entonces, InnpSnq “ tφr:rPSnu. Sea ψ:SnÝÑ InnpSnqel homomorfismo definido como ψprq “ φr. Notemos 67 Automorfismos de los grupos simétricos Grupos simétricos que este, en efecto, ψes un homomorfismo, pues dados r1, r2PSnse tiene que ψpr1r2q “ φr1r2, y tomando gPSnpodemos observar que φr1r2pgq“pr1r2qgpr1r2q´1“r1`r2gr´1 2˘r´1 1“r1φr2pgqr´1 1“ pφr1˝φr2qpgq, por lo que ψpr1r2q “ ψpr1q ˝ ψpr2q, de donde se concluye que está bien definido. Por la definición de InnpSnqes evidente que ψes sobreyectivo. Veamos que es inyectivo. Sea rPSn tal que ψprq “ φr“idSn. Entonces, para todo gPSnha de ser φrpgq “ rgr´1“g, por lo que rg “gr, y por lo tanto rPZpSnq. Gracias a la Proposición B.2.1 sabemos que, si ně3, entonces ZpSnq“t1u, de donde se concluye que r“1, y por ende, ψes inyectiva. Deducimos que InnpSnq – Snsi ně3. Teorema B.2.1. Sea nPN, entonces AutpSnq – $ ’ ’ & ’ ’ % t1usi n“2 Snsi n‰2,6 S6¸Z{2Zsi n“6 donde AutpSnqdenota el grupo de automorfismos de Sn. Demostración. Es evidente que AutpS1q–t1u, y puesto que S2–Z{2Z, se tiene que AutpS2q–t1u. Supongamos en lo que sigue que ně3. Para obtener los automorfismos de Snharemos uso de los conjuntos Tn kdefinidos en el Lema B.2.1. Veamos por inducción que si ψPAutpSnqentonces ψpTn 1q “ Tn k para algún k. Recordemos que Tn 1es el conjunto de todas las trasposiciones. Supongamos que ψps1q P Tn k para un cierto k. Entonces, puesto que en Snse tiene la relación s1s2s1“s2s1s2, se ha de dar la igualdad ψps1qψps2qψps1q “ ψps2qψps1qψps2q. Gracias al Lema B.2.3 sabemos que ψps1qyψps2qψps1qψps2qtienen la estructura en ciclos disjuntos, pues son conjugados. De la igualdad anterior y puesto que ψps2qes conjugado de ψps1qψps2qψps1q, se deduce que ψps1qyψps2qtienen la misma estructura de ciclos disjuntos, y por lo tanto, ψps2q P Tn k. Repitiendo este proceso iterativamente deducimos que ψpsiq P Tn kpara todo iP t1, . . . , n ´1u. Por último, como se muestra en la demostración del Lema B.1.1, toda trasposición es conjugada de algún sipara cierto iP t1, . . . , n ´1u, por lo que, de nuevo, gracias al Lema B.2.3 sabemos que la imagen por ψde cualquier trasposición estará en Tn k. Concluimos que ψpTn 1q “ Tn k. Ahora, puesto que ψes un automorfismo se ha de tener que |Tn 1|“|Tn k|. Gracias a esto podemos distinguir dos casos. Supongamos que nPNzt1,2,6u. Entonces gracias al Lema B.2.2 sabemos que |Tn 1|“|Tn k|si y solo si k“1, esto es, cualquier automorfismo ψenvía trasposiciones en trasposiciones. Puesto que se preserva la estructura de ciclos disjuntos, estos automorfismos son conjugados de la identidad, y por lo tanto ψPInnpSnq. Deducimos que AutpSnq “ InnpSnq, y por la Proposición B.2.2 sabemos que InnpSnq – Sn. Supongamos que n“6. De nuevo, por el Lema B.2.2 sabemos que |Tn 1|“|Tn k|si y solo si k“1 ok“3. Sea ψun automorfismo tal que ψpT6 1q “ T6 1, entonces razonando de forma análoga a la anterior se deduce que ψPInnpS6q. Supongamos ahora que ψes un automorfismo tal que ψpT6 1q “ T6 3. Notemos que existe al menos un automorfismo que cumple esta condición. Basta considerar el automorfismo ν6definido por ν6ps1q “ p1,2qp3,4qp5,6q, ν6ps2q“p2,3qp1,5qp4,6q, ν6ps3q “ p1,3qp2,4qp5,6q, ν6ps4q“p1,2qp3,5qp4,6q, ν6ps5q“p2,3qp1,4qp5,6q. Se puede verificar que es, en efecto, un automorfismo. Es más, se puede comprobar que es el único automorfismo, salvo conjugación, con estas características. También podemos apreciar que ν6RInnpS6q, puesto que no puede ser conjugado de la identidad por el Lema B.2.2. Deducimos 68 Automorfismos de los grupos simétricos Grupos simétricos que ν6POutpS6q1. Veamos que AutpS6q – InnpS6q ¸ OutpS6q. Recordemos que, por definición, OutpS6q – AutpS6q{InnpS6q. Consideremos la sucesión t1u//InnpS6qi//AutpS6qπ////OutpS6q//t1u donde idenota la inclusión canónica y πla proyección natural. Por construcción, es inmediato comprobar que esta sucesión es exacta. Por otro lado, tomemos ρ:OutpS6q ÝÑ AutpS6qdefinido como ρpψq “ ψpara todo ψPOutpS6q. Notemos que estamos abusando de notación, puesto que ψPOutpS6qdenota el representante de la clase de equivalencia al que pertenece. Entonces se tiene que π˝ρ“idOutpS6q, esto es, ρes una sección de π. Como hemos obtenido una sucesión exacta corta y una sección, se deduce que AutpS6q – InnpS6q ¸ OutpS6q. Por último, gracias a la Proposición B.2.2 sabemos que InnpS6q – S6. Haciendo uso de los resultados previos sabemos que OutpS6qestá generado por ν6, y puesto que ν2 6“idS6deducimos que OutpS6q – Z{2Z. Se concluye que AutpS6q – S6¸Z{2Z. 1Al automorfismo externo ν6se le conoce como el automorfismo exótico de S6. 69 Método de Reidemeister-Schreier Método de Reidemeister-Schreier deduciéndose lo mismo. Consideremos h1, h2PWSde manera que ph1qG,ph2qGPHyh1“aε1 n1¨ ¨ ¨ aεr nryh2“aγ1 m1¨ ¨ ¨ aγq mq, donde ani, amiPSyεi, γi“ ˘1para todo i. Entonces h1h2“aε1 n1¨ ¨ ¨ aεr nraγ1 m1¨ ¨ ¨ aγq mq. Siguiendo el proceso de reescritura de Reidemeister sabemos que τph1h2q “ sε1 W1,an1 sε2 W2,an2 ¨ ¨ ¨ sεr Wr,anr sγ1 Wr`1,am1 sγ2 Wr`2,am2 ¨ ¨ ¨ sγq Wr`q,amq , donde cada Wison los segmentos iniciales de h1h2. Podemos apreciar que para todo iP t1, . . . , quse tiene que Wr`i“aε1 n1¨ ¨ ¨ aεr nr loooomoooon h1 aγ1 m1¨ ¨ ¨ aγi´1 mi´1“h1aγ1 m1¨ ¨ ¨ aγi´1 mi´1, y como ph1qGPH, para cualquier gPWSse tiene que h1g“g, pues hemos tomado las clases a la derecha. Deducimos que Wr`i“aε1 n1¨ ¨ ¨ aεr nraγ1 m1¨ ¨ ¨ aγi´1 mi´1“aγ1 m1¨ ¨ ¨ aγi´1 mi´1“:Qi, por lo que podemos reescribir la expresión anterior como τph1h2q “ sε1 W1,an1 sε2 W2,an2 ¨ ¨ ¨ sεr Wr,anr sγ1 Q1,am1 sγ2 Q2,am2 ¨ ¨ ¨ sγq Qq,amq . Debido a que Wison los segmentos iniciales de h1yQison los segmentos iniciales de h2, se tiene que τph1h2q “ τph1qτph2q, lo cual deriva de forma directa de la primera relación. Por último, consideremos RµPRywPWS. Por las relación de la presentación de Hque obtenemos a partir del Teorema C.1.1 sabemos que τ`wRµw´1˘“1en H. Entonces 1“τ`wRµw´1˘“τ´ww´1wRµ`ww´1w˘´1¯“τ´`ww´1˘wRµw´1`ww´1˘´1¯. Haciendo uso de que τph1h2q “ τph1qτph2qse deduce que 1“τ´`ww´1˘wRµw´1`ww´1˘´1¯“τ`ww´1˘τ`wRµw´1˘τ`ww´1˘´1, lo cual ocurre si y solo si τ`wRµw´1˘“1, por lo que podemos reducir la cuarta relación a partir de la primera. Concluimos que H–Btsk,aiuˇˇˇˇsk,ai“τ´kaikai ´1¯, τ `kRµk´1˘para todo kPK, aiPS, RµPRF. Corolario C.2.1. Sea Gun grupo finitamente presentado y HďGun subgrupo de índice finito en G. Entonces Hes finitamente presentado. Demostración. Como Ges finitamente presentado tiene una cantidad finita de generadores y de relaciones, y como el índice de Hen Ges finito, cualquier sistema de representantes de G{Htiene una cantidad finita de elementos. Haciendo uso del Teorema C.2.1 se deduce que Hadmite una presentación finita, puesto que tanto los generadores como las relaciones dependen de los generadores y las relaciones de G y de los elementos de un sistema de representantes de G{H, los cuales son finitos. Podemos notar que la presentación obtenida mediante el método de Reidemeister es más amena que la dada en el Teorema C.1.1, pero aún podemos seguir reduciendo la cantidad de relaciones. Notemos que la idea para reducir la presentación ha sido hacer una elección de los generadores. La idea para reducirlo aún más será hacer una elección del sistema de representantes. 76 Método de Reidemeister-Schreier Método de Reidemeister-Schreier Definición (Sistema de representantes de Schreier).Sea Gun grupo generado por S,HďGun subgrupo yKun conjunto de palabras escritas a partir de Sque representan a los elementos de un sistema de representantes de G{Hque contiene al 1. Diremos que Kes un sistema de representantes de Schreier de G{Hsi es cerrado para los segmentos iniciales. Esto es, cualquier segmento inicial de un representante es de nuevo un representante. Definición (Longitud de una clase).Sea Gun grupo generado por SyHďGun subgrupo. Consideremos la aplicación ℓ:WSÝÑ NY t0ulongitud en G. Dado gPG, llamaremos longitud de la clase Hg a ℓpHgq:“m´ın tℓpwq:wPWStal que wGPHgu. Lema C.2.2 (Lema 2.2[16]).Sea Gun grupo y HďGun subgrupo. Entonces existe un sistema de representantes de Schreier de G{H. Demostración. Supongamos que Gestá generado por un conjunto de elementos S. Procederemos por inducción en la longitud de las clases. Primero, como 1GPHvisto como clase, entonces ℓpHq “ ℓp1q “ 0, pues es el que tiene longitud mínima. Tomamos como representante de Ha1. Supongamos que H1es una clase de G{Htal que ℓpH1q “ 1, entonces tomamos como representante a cualquier elemento de longitud 1. Sea H2una clase de G{Htal que ℓpH2q “ 2. Tomemos x1, x2PWStal que px1x2qGPH2de manera que x1yx2sean generadores de Go el inverso de alguno de estos. Como px1x2qGPH2, entonces px1x2qGPH2. Haciendo uso del Lema C.1.2 se tiene que px1x2qGPH2, y por lo tanto px1x2qGPH2. Debido a que ℓpH2q “ 2se tiene que ℓpx1x2q ě 2. Ahora, por la aditividad de ℓse tiene que 2ďℓpx1x2q “ ℓpx1q ` ℓpx2q “ ℓpx1q ` 1, por lo que ℓpx1q ě 1. Por otro lado, como ℓpx1q “ 1, se tiene que ℓpx1q ď ℓpx1q “ 1. Deducimos que ℓpx1q “ 1, y por lo tanto, ℓpx1x2q “ 2. Como ℓpx1q “ 1, ya es representante de alguna clase de longitud 1, pues las hemos tomado con anterioridad, y vemos que px1x2qGPH2tiene longitud 2, por lo que tomamos este elemento como representante de H2, pues cumple las condiciones de un sistema de representantes de Schreier. Como hipótesis de inducción, supongamos que podemos escoger un representante de cada clase de la misma longitud de la clase de manera que formen un sistema de representantes de Schreier hasta clases de longitud n´1, y sea Hnuna clase tal que ℓpHnq “ n. Tomemos x1, . . . , xnPWSde manera que px1x2¨ ¨ ¨ xnqGPHny tal que xies un generador de Go la inversa de uno de estos para todo iP t1, . . . , nu. Como px1x2¨ ¨ ¨ xnqGPHn, también estará px1x2¨ ¨ ¨ xnqGPHn. Haciendo de nuevo uso del Lema C.1.2 se deduce que px1x2¨ ¨ ¨ xn´1xnqGPHn, y por ende, px1x2¨ ¨ ¨ xn´1xnqGPHn. Como ℓpHnq “ n, se tiene que nďℓpx1x2¨ ¨ ¨ xn´1xnq “ ℓpx1x2¨ ¨ ¨ xn´1q ` ℓpxnq “ ℓpx1x2¨ ¨ ¨ xn´1q ` 1. Por lo tanto ℓpx1x2¨ ¨ ¨ xn´1q ě n´1, pero por otro lado ℓpx1x2¨ ¨ ¨ xn´1q ď ℓpx1x2¨ ¨ ¨ xn´1q “ n´1 por aditividad. Deducimos que ℓpx1x2¨ ¨ ¨ xn´1q “ n´1. Por hipótesis de inducción ya hemos elegido x1x2¨ ¨ ¨ xn´1y es un representante en el sistema de representantes de Schreier. Por otro lado, como ℓpx1x2¨ ¨ ¨ xn´1q “ n´1se tiene que lpx1x2¨ ¨ ¨ xn´1xnq “ n, por lo que podemos tomar x1x2¨ ¨ ¨ xn´1xn como representante de Hn. Deducimos que existe un sistema de representantes de Schreier de G{H. Definición (Proceso de reescritura de Reidemeister-Schreier).Sea Gun grupo y HďGun subgrupo. Llamaremos proceso de reescritura de Reidemeister-Schreier de Hsobre Gal proceso de reescritura de Reidemeister de Hsobre Gobtenido a partir de un sistema de representantes de Schreier de G{H. Teorema C.2.2 (Método de Reidemeister-Schreier, Teorema 2.9[16]).Sea Gun grupo con una presentación xS|Ry, y sea HďGun subgrupo. Sea Kun sistema de representantes de Schreier de G{H. Si τ es un proceso de reescritura de Reidemeister-Schreier de Hsobre G, entonces Hadmite una presentación tal que H–Btsk,aiuˇˇˇˇsm,aλ, τ `kRµk´1˘F, donde kPK,aiPS,RµPRymPKyaλPStales que maλ«maλ. 77 Método de Reidemeister-Schreier Método de Reidemeister-Schreier Demostración. Primero, como τes un proceso de reescritura de Reidemeister-Schreier, en concreto es un proceso de reescritura de Reidemeister. Haciendo uso del Teorema C.2.1, sabemos que Hadmite una presentación tal que H–Btsk,aiuˇˇˇˇsk,ai“τ´kaikai ´1¯, τ `kRµk´1˘para todo kPK, aiPS, RµPRF. Consideremos mPKyaλPStal que maλ«maλ. Entonces maλmaλ´1«1, por lo que sm,aλ“τ`maλmaλ´1˘“τp1q “ 1. Supongamos que tenemos ahora kPKyaiPScualesquiera. Entonces, procediendo de forma análoga que en la prueba del Teorema C.2.1 sabemos que podemos expresar τ´kaikai ´1¯como producto de elementos de la forma sm,aλos´1 ma´1 λ,aλ, donde mes un segmento inicial de k. En el primer caso, como m es un segmento inicial de k, también lo será maλ, y como Kes un sistema de representantes de Schreier se tiene que maλ“maλ. Para el segundo caso, siguiendo el mismo razonamiento se tiene que ma´1 λaλ“m“m«ma´1 λaλ. Deducimos que la relación sk,ai“τ´kaikai ´1¯se deduce de sk,ai“sk,ai, la cual, por razones obvias, no se incluye. Para ver el método en práctica, veamos un ejemplo sencillo. Consideremos D4el grupo diédrico de orden 8, esto es, el grupo de simetrías del cuadrado. Es bien conocido que este grupo admite una presentación D4–@a, b |a4, b2,pabq2D. Es fácil ver que D4es un grupo finito, de hecho D4“ t1, a, a2, a3, b, ba, ba2, ba3u. Consideremos VďD4el grupo de Klein, que tiene por elementos V“ t1, a2, b, ba2u. Haciendo uso del método de Reidemeister-Schreier vamos a obtener una presentación de V. Primero necesitamos conocer las clases de equivalencia de D4{V. Gracias al Teorema de Lagrange sabemos que rD4:Vs “ 2, y un simple cálculo muestra que D4{V“␣t1, a2, b, ba2u,ta, a3, ba, ba3u(. Para no sobrecargar la notación, abusaremos de esta denotando de la misma forma en este caso a los elementos de Gcomo a las palabras que podemos escribir a partir de ta, bu, puesto que no hay ambigüedad. Notemos que ℓ`t1, a2, b, ba2u˘“0, pues contiene a 1. Tomamos 1como representante de dicha clase. Por otro lado ℓ`ta, a3, ba, ba3u˘“1, donde el elemento de longitud mínima es a, por lo que tomaremos a como representante de esta clase. Deducimos que un sistema de representantes de Schreier es K“ t1, au. Consideremos los símbolos s1,a,s1,b,sa,a ysa,b, los cuales se obtienen del proceso de reescritura de Reidemeister-Schreier. Buscamos ahora elementos de mPKtales que ma «ma omb «mb. Podemos apreciar que 1¨a“a“a“1¨a, 1¨b“b‰b“1,yaa “a2‰a2“1. En el caso de ab, haciendo uso de las relaciones de D4sabemos que ab “ pabq´1“b´1a´1“ba3, por lo que ba3‰ba3“a. Las igualdades que hemos usado se refieren a igualdad como elemento del grupo. Notemos que si dos elementos no son iguales como elemento del grupo, no pueden ser libremente 78 Método de Reidemeister-Schreier Método de Reidemeister-Schreier iguales. Por último, nos falta calcular las relaciones que se obtienen de conjugar las restricciones de la presentación de D4: 1“τ`1¨a4¨1´1˘“τ`a4˘“τ`a2˘2“τ´1¨a¨1¨a´1¨1¨a¨a¨1¨a¨a´1¯2 “ ps1,asa,aq2. 1“τ`1¨b2¨1´1˘“τ`b2˘“τpbq2“τ´1¨b¨1¨b´1¯2 “s2 1,b. 1“τ`1¨ pabq2¨1´1˘“τ`pabq2˘“τpababq “ “τ´1¨a¨1¨a´1¨1¨a¨b¨1¨a¨b´1¨1¨a¨b¨a¨1¨a¨b¨a´1¨1¨a¨b¨a¨b¨1¨a¨b¨a¨b´1¯“ “s1,asa,bsa,as1,b. 1“τ`a¨a4¨a´1˘“τ`a4˘“ ps1,asa,aq2. 1“τ`a¨b2¨a´1˘“τ`abba´1˘“ “τ´1¨a¨1¨a´1¨1¨a¨b¨1¨a¨b´1¨1¨a¨b¨b¨1¨a¨b¨b´1¨1¨a¨b¨b¨a´1¨1¨a¨b¨b¨a´1´1¯“ “s1,asa,bsa,bs´1 1,a “s1,as2 a,bs´1 1,a. 1“τ`a¨ pabq2¨a´1˘“τpaababa´1q “ “τ´1¨a¨1¨a´1¨1¨a¨a¨1¨a2´1¨1¨a2¨b¨1¨a2¨b´1¨1¨a2¨b¨a¨1¨a2¨b¨a´1¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 1¨a2¨b¨a¨b¨1¨a2¨b¨a¨b´1¨1¨a2¨b¨a¨b¨a´1¨1¨a2¨b¨a¨b¨a´1´1¯“ “s1,asa,as1,bs1,asa,bs´1 1,a. Por lo tanto, una presentación de Vvendría dada por V–As1,a, s1,b, sa,a, sa,b |s1,a,ps1,asa,aq2, s2 1,b, s1,asa,bsa,as1,b, s1,as2 a,bs´1 1,a, s1,asa,as1,bs1,asa,bs´1 1,aE. Ahora solo basta con eliminar expresiones redundantes. Primero, como s1,a “1podemos eliminar dicho generador, pues es trivial. Eso nos deja con la expresión V–@s1,b, sa,a, sa,b |s2 a,a, s2 1,b, sa,bsa,as1,b, s2 a,b, sa,as1,bsa,bD. Pare terminar, basta notar que, como sa,bsa,as1,b “1, entonces s1,b “s´1 a,as´1 a,b, por lo que el generador s1,b es redundante. En conclusión, obtenemos la presentación V–Asa,a, sa,b |s2 a,a,psa,asa,bq2, s2 a,bE–@x, y |x2, y2,pxyq2D. 79 Bibliografía [1] E. Artin,Theory of braids, Annals of Mathematics, 48 (1947), pp. 101–126. [2] V. G. Bardakov and P. Bellingeri,Combinatorial properties of virtual braids, 2006. [3] P. Bellingeri, B. A. C. de La Cruz, and L. Paris,A simple solution to the word problem for virtual braid groups, 2016. [4] P. Bellingeri and L. Paris,Virtual braids and permutations, 2018. [5] P. Bellingeri, L. Paris, and A.-L. Thiel,Virtual artin groups, 2021. [6] N. Bourbaki,Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4-6, no. partes 4-6 in Elements de mathematique [series], Springer Berlin Heidelberg, 2008. [7] H. S. M. Coxeter,Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (1934), pp. 588–621. [8] H. S. M. Coxeter,The complete enumeration of finite groups of the form ri2=(rirj)kij=1, Journal of the London Mathematical Society, s1-10 (1935), pp. 21–25. [9] J. Crisp and L. Paris,The solution to a conjecture of tits on the subgroup generated by the squares of the generators of an artin group, Inventiones Mathematicae, 145 (2001), pp. 19–36. [10] M. Davis,The Geometry and Topology of Coxeter Groups, L.M.S. monographs, Princeton University Press, 2008. [11] E. Godelle and L. Paris,kpπ, 1qand word problems for infinite type artin-tits groups, and applications to virtual braid groups, 2010. [12] J. Gonzalez-Meneses,Basic results on braid groups, 2010. [13] T. Hosaka,On the center of a coxeter group, 2005. [14] J. E. Humphreys,Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 1990. [15] L. H. Kauffman and S. Lambropoulou,Virtual braids, 2004. [16] W. Magnus, A. Karrass, and D. Solitar,Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations, Dover books on mathematics, Dover Publications, 2004. [17] L. Paris,kpπ, 1qconjecture for artin groups, 2012. [18] J. Stilwell and J. Serre,Trees, Springer Monographs in Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 2002. [19] J. Tits,Normalisateurs de tores i. groupes de coxeter étendus, Journal of Algebra, 4 (1966), pp. 96– 116. 80 BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA [20] H. van der Lek,The homotopy type of complex hyperplane complements, Katholieke Universiteit te Nijmegen, 1983. 81