Iluminación y vigilancia de museos: lección inaugural de la E.T.S. de Ingemiería edificación. Universidadde Sevilla. Curso académico 2011-2012

ILUMINACIÓN Y VIGILANCIA DE MUSEOS LECCIÓN INAUGURAL DE LA E.T.S. DE INGENIERÍA DE EDIFICACIÓN UNIVERSIDAD DE SEVILLA Curso Académico 2011-2012 M. ÁNGELES GARRIDO VIZUETE EDITORIAL UNIVERSIDAD DE SEVILLA Índice colección BiografÍa M. Ángeles Garrido Vizuete Dra. en Ciencias Matemáticas Titular de Universidad Departamento de Matemática Aplicada I ILUMINACIÓN Y VIGILANCIA DE MUSEOS Lección Inaugural leída en la Apertura del Curso Académico 2011-2012 en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación. Universidad de Sevilla Sevilla 2015 Portada Índice colección BiografÍa Colección: Textos Institucionales Núm.: 53 © EDITORIAL UNIVERSIDAD DE SEVILLA 2015 C/ Porvenir, 27 - 41013 Sevilla Tfnos.: 954 487 447; 954 487 451; Fax: 954 487 443 Correo electrónico: [email protected] Web: http://www.editorial.us.es © M. ÁNGELES GARRIDO VIZUETE 2015 ISBNe: 978-84-472-1671-0 Edición digital: Dosgraphic, s. l. < www.dosgraphic.es > Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación, sin permiso escrito de la Editorial Universidad de Sevilla. Edición digital de la primera edición impresa de 2011 Comité editorial: Antonio Caballos Rufino (Director de la Editorial Universidad de Sevilla) Eduardo Ferrer Albelda (Subdirector) Manuel Espejo y Lerdo de Tejada Juan José Iglesias Rodríguez Juan Jiménez-Castellanos Ballesteros Isabel López Calderón Juan Montero Delgado Lourdes Munduate Jaca Jaime Navarro Casas Mª del Pópulo Pablo-Romero Gil-Delgado Adoración Rueda Rueda Rosario Villegas Sánchez Portada Índice Señor Rector Magnífico de la Universidad de Sevilla, Señor Director de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación de la Universidad de Sevilla, Señor Presidente del Consejo General de la Arquitectura Técnica de España, Señor Presidente del Consejo Andaluz de Colegios Oficiales de Aparejadores, Arquitectos Técnicos e Ingenieros de Edificación, Autoridades Académicas, Profesores, Personal de Administración y Servicios, Alumnos, Señoras y Señores 9 Portada Índice Un matemático, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos. Si sus modelos son más duraderos que los de estos últimos, es debido a que están hechos de ideas. Los modelos del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser hermosos. La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para unas matemáticas feas. A Mathematician’s Apology, G.H. Hardy (1877-1947)1 Matemáticas. Esta ciencia tan amada por unos y tan odiada por otros. No me he fijado como objetivo hacer de esta lección una apología sobre las Matemáticas; cada uno de nosotros, con nuestra experiencia, fabricaremos nuestra propia apología de esta gran ciencia. Cuando me propusieron la autoría de esta lección inaugural para el curso académico 2011-12 en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación, no lo dudé, tenía claro el tema que quería compartir: La Galería de Arte. Y ustedes se preguntarán, ¿qué tienen que ver los museos con las matemáticas? Pues tendremos que esperar al segundo capítulo de este trabajo para responder a esta pregunta, pero como siempre, hay 1 G.H. Hardy, A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, Londres, 1940. 10 Portada Índice que empezar por una correcta definición: ¿qué son las matemáticas?, ¿qué estudian las matemáticas? La A.M.S. (American Mathematical Society) realiza una clasificación distinguiendo más de 5.000ramas en esta ciencia, ramas que se han ido consolidando con las investigaciones realizadas a lo largo del tiempo. Para el lector más interesado y como obras generales, podemos hacer referencia a la Enciclopedia de las Matemáticas2 o a las controvertidas obras de Nicolás Bourbaki, Elementos de Matemáticas y Elementos de Historia de las Matemáticas3. En el contexto en el que nos encontramos, la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación, nuestros alumnos estudian, en el marco de asignaturas obligatorias, materias como álgebra lineal, geometría analítica, cálculo diferencial e integral, o estadística. Ahora, en la titulación de Grado podemos encontrar una asignatura optativa sobre optimización continua. Y si leemos un poquito sobre el contenido de los diversos Másteres que oferta la escuela, podemos encontrar lecciones sobre esas otras ramas de las matemáticas, hasta ahora, menos conocidas en nuestro ámbito de trabajo y estudio. Entonces, dedicamos el primer capítulo de esta lección a presentaros dos disciplinas como son la teoría de grafos y la geometría computacional, mediante sendas situaciones de aplicación en nuestro ámbito. El segundo y último capítulo es el que da nombre a este trabajo y contiene la resolución de un problema básico de vigilancia 2 VV.AA., Enciclopedia de las Matemáticas, Mir/Rubiños-1860, 1993. 3 N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Springer, 1987-2008; N. Bourbaki, Elementos de Historia de las Matemáticas, Alianza Editorial, 1976. 11 Portada Índice o iluminación, haciendo uso de herramientas y resultados proporcionados tanto por la teoría de grafos, como por la geometría computacional. Y, ¿saben ustedes por qué tenía tan claro que quería compartir La Galería de Arte? Pues porque con este tema me inicié4 en mi andadura investigadora en la Universidad de Sevilla, estuvo presente en aquella oposición que realicé a Titular de Universidad y hoy en día forma parte de mi docencia. Sin más preámbulo, entramos en materia. Espero que les “enganche” la lectura. 4 M.A. Garrido, El problema de la galería de arte, Tesina de Licenciatura, Universidad de Sevilla, 1995; J.C. Dana, M.A. Garrido y A. Márquez, “Visibilidad con obstáculos en el cilindro”, VI Encuentros de Geometría Computacional, Barcelona, 1995. 13 Portada Índice UN ACERCAMIENTO A ESAS “OTRAS” MATEMÁTICAS He dudado sobre cómo introducir este capítulo, si anteponer en la frase los procesos prácticos diseño en planta y modelado de terrenos, o por el contrario, comenzar con las disciplinas teoría de grafos y geometría computacional. He llegado a la conclusión de que, en este caso, aunque no siempre, el orden de los factores no altera el producto. Este acercamiento comienza con la teoría de grafos, cuyo origen situaremos en la historia y plasmaremos cómo se modelizarían mediante un grafo las especificaciones de la distribución de una posible vivienda. Mostraremos un diseño en planta rectangular acorde con la vivienda considerada pero sin incluir los detalles del proceso de obtención. En segundo lugar, lo cual no tiene nada que ver con la importancia entre la teoría de grafos y la geometría computacional, abordamos el tema del modelado digital de terrenos y las herramientas que ésta proporciona para ello. Diseño en planta y teoría De grafos Grafos. Debemos remontarnos al siglo XVIII y transportarnos a la ciudad de Königsberg (Prusia Oriental) para conocer 14 Portada Índice cómo surgió el germen de la estructura que hoy conocemos como grafo o gráfica. Esta ciudad se encontraba dividida en cuatro regiones por el río Pregel, siendo necesario cruzar alguno de sus siete puentes para ir de unas zonas a otras. Este hecho geográfico llevó a sus habitantes a plantearse un entretenido rompecabezas, conocido como el problema de los puentes de Königsberg y que consistía en encontrar un camino que, comenzando en un punto cualquiera de la ciudad, recorriera una única vez cada puente y volviera al punto de partida. En la figura 1 (izquierda) se muestra un mapa de la ciudad en el que se resaltan en celeste el recorrido del río y en verde sus puentes. Figura 1. Mapa de la ciudad de Königsberg (izquierda) y grafo que modeliza la división de la ciudad por el río Pregel en cuatro regiones conectadas por siete puentes (derecha). Fuente: Wikipedia (problema de los puentes de Königsberg). Entonces, pensemos un poco, ¿era posible realizar tal recorrido por Königsberg? En 1736, L. Euler (1707-1782) dio la solución5, modelizando las relaciones entre las regiones y los puentes mediante el grafo mostrado en la figura 1 (derecha). Nosotros reservamos 5 L. Euler, “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis”, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 8 (1736), 128-140. 21 Portada Índice Antes de volver al problema que nos ocupa sobre la obtención de redes irregulares trianguladas, incluimos algunos textos9 generales sobre geometría computacional que le serán de utilidad al interesado lector. Por tanto, una vez expuesto el procedimiento general para la obtención de redes irregulares trianguladas como modelos digitales de terrenos, hay que plantearse si dicha representación es realmente una aproximación del terreno y, por tanto, es adecuada para estimar las cotas de nuevas localizaciones sobre él. La bondad de esta estimación depende de varios factores. Por una parte, es la topografía la disciplina encargada de elegir de manera apropiada las observaciones de campo para que se refleje la orografía del terreno. 9 M. de Berg, M. van Kreveld, M. Overmars y O. Schwarzkopf, Computational geometry: algorithms and applications, Springer-Verlag, 1987; J. O’Rourke, Computational geometry in C, Cambridge University Press, 1994; F.P. Preparata y M.I. Shamos, Computational geometry: an introduction, Springer-Verlag, New York, 1985. Figura 4. Dos triangulaciones de la misma nube de puntos. La mostrada a la derecha es su triangulación de Delaunay, la cual ha sido generada con el programa de libre distribución GeoGebra. 22 Portada Índice Por otra parte, el ejemplo que presentamos a continuación pone de manifiesto que no puede ser aleatoria la elección de la triangulación para la nube de puntos bidimensionales (en general, un conjunto de puntos admite un número exponencial de triangulaciones), y que dicha elección influye en la calidad del modelo del terreno generado. 4 6 10 19 16 20 34 25 0 01360 1034 970 950 870 910 4 6 10 19 16 20 34 25 0 01360 1034 970 950 870 22 4 6 10 19 16 20 34 25 0 01360 1034 970 950 870 Figura 5. Puntos bidimensionales y sus cotas asociadas. Estimación de la cota para el punto mostrado en rojo (arriba). Dos triangulaciones de la nube de puntos que dan lugar a estimaciones muy diferentes (izquierda y derecha). En la figura 5 (arriba) se muestra un conjunto de puntos (grises) con sus correspondientes cotas (información recogida mediante el levantamiento taquimétrico) y un punto destacado, 23 Portada Índice en rojo, cuya cota se necesita estimar. Notemos que los puntos “centrales” presentan una altura mucho más elevada que las “bandas laterales”. Este hecho hace pensar que se trata de una cadena montañosa central y dos valles. Se han considerado dos triangulaciones de la nube de puntos en gris, mostradas en la figura 5 (izquierda y derecha), cuya diferencia radica en la forma de triangular el cuadrilátero formado por los puntos de alturas 10, 870, 34 y 950, considerando una de sus diagonales o la otra. En ambos casos, la localización roja es el punto medio de ambas diagonales, por lo que, realizando una sencilla interpolación lineal obtenemos como estimación de su cota el valor 910 en el caso de la izquierda y 22 en el de la derecha. Es evidente que una altitud de 22 para el punto rojo no es coherente con la supuesta orografía del terreno y las causas geométricas de esta contradicción radican en que los valores utilizados para dicha estimación, 10 y 34, corresponden a puntos muy alejados entre sí, esto es, a diagonales de gran longitud o, equivalentemente, a ángulos muy pequeños en la triangulación. Entonces, ¿qué triangulación se debe considerar? Está probado que el T.I.N. que mejor aproxima el terreno es aquel que procede de la triangulación que hace máximo el menor de los ángulos interiores, es decir, que el ángulo más pequeño contenido en la triangulación sea lo más grande posible, o equivalentemente, que el lado de mayor longitud de la triangulación sea lo más corto posible. Y esta propiedad lleva a una única triangulación que es la de Delaunay; podemos volver a la figura4 y fijarnos en el tamaño de los ángulos interiores de los triángulos en ambos casos y, en consecuencia, en la 24 Portada Índice regularidad de los triángulos correspondientes a la triangulación de Delaunay. En los textos citados anteriormente sobre geometría computacional podemos consultar varios algoritmos que calculan la triangulación de Delaunay de una nube de puntos dada. Solamente indicar que la consecución de dicha triangulación se basa en la correcta realización de flips o intercambio entre las diagonales de un cuadrilátero, tal y como analizamos en la figura5. Además, es fácil obtener de Internet mucha información sobre el tema, además de gran cantidad de programas que generan dicha triangulación (escribir, por ejemplo, Delaunay y applet). Llegados a este punto, hemos puesto de manifiesto la aplicabilidad de la geometría computacional mediante la triangulación de Delaunay en el modelado de terrenos. El modelo así construido permite realizar estimaciones fiables de cotas para otros puntos (sin necesidad de más mediciones), proceso para el cual es necesario determinar en qué triángulo se encuentra el nuevo punto, por ejemplo, mediante el método de las bandas (volvemos a remitir al curioso lector a los textos citados). Posteriormente se realiza una interpolación lineal multiparamétrica teniendo en cuenta las coordenadas tridimensionales de los vértices del triángulo en cuestión y la posición del nuevo punto. A modo de ejemplo, si consideramos el triángulo mostrado en la figura6, la función lineal a considerar en la interpolación es z = f(x,y) = –6.471 x + 6.981 y + 1123.962, obteniéndose para los nuevos puntos, las cotas indicadas. 25 Portada Índice Figura 6. Estimación de cotas para nuevos puntos mediante interpolación lineal multiparamétrica en triángulos del T.I.N. 0 0 20 30 40 50 60 70 80 (50,21) cota = 947 (30,43) cota = 1230 Cotas estimadas A 1139,613 B 1043,568 C 1138,242 A = (17, 18) B = (34, 20) C = (28, 28) (10,13) cota = 1150 10 10 20 30 40 50 Concluimos esta sección añadiendo algunas referencias10 sobre el estudio específico del modelado de terrenos. 10 M. de Berg y K.T.G. Dobrindt, “On Levels of Detail in Terrains”, Graphical Models and Image Processing, 40 (1) (1998), 1-12; Y. Li y L. Yang, “Based on Delaunay Triangulation DEM of Terrain Model”, Computer and Information Science, 2 (2) (2009), 137-140; J.E. Priego de los Santos y M.J. Porres de la Haza, “La Triangulación de Delaunay Aplicada a los Modelos Digitales de Terreno”, X Congreso de Métodos Cuantitativos, Sistemas de Información Geográfica y Teledetección, 2002, ISBN: 84-87528-47-3. 27 Portada Índice GALERÍA DE ARTE E ILUMINACIÓN ¿Cuántos guardianes son suficientes y ocasionalmente necesarios para vigilar el interior de una galería de arte? Esta pregunta fue formulada por Victor Klee a la comunidad científica en 1973 y marcó el origen de lo que hoy en día se conoce como Problemas de Galería de Arte, área que se enmarca dentro de la geometría combinatoria y computacional y que hace uso de la teoría de grafos en su estudio y resolución. La solución a la cuestión planteada por Klee no se hizo esperar, y dos años después V. Chvátal resolvió el problema dando una demostración que distinguía una amplia casuística. El tema atrajo a muchos investigadores y comenzaron a surgir multitud de preguntas que dieron lugar a diversas variantes al problema original. Dejaremos para el último apartado de este trabajo, el hablar un poquito de ellas. Pero aún resuelto, se siguió estudiando el problema original y en 1978, S. Fisk sorprende dando unas sencillas técnicas de resolución, además de intuitivas y elegantes. En la siguiente sección aplicaremos estas técnicas para resolver el problema sobre la primera planta del museo Guggenheim de Bilbao. Una formulación alternativa en términos de visibilidad sería determinar el mínimo número de focos que hay que situar en 28 Portada Índice una galería de arte poligonal de n lados, para que queden iluminados todos sus cuadros. En esta línea, podemos mencionar aplicaciones como robótica, planificación de trayectorias, gráficos y arquitectura asistida por ordenador… Queremos con este capítulo acercarnos a este tipo de cuestiones, mostrando el modelo y las técnicas de resolución para el problema original dadas por S. Fisk y comentando ligeramente algunas de las principales variantes que han ido surgiendo en estos temas. Para una lectura más en profundidad, el sugestionado lector puede consultar los textos11 de O’Rourke o Urrutia, clásicos en el tema. probleMa original aplicaDo al Museo guggenheiM De bilbao Tradicionalmente las plantas de los edificios han sido mayoritariamente rectangulares o elípticas, pero también han tenido un papel importante en la arquitectura las plantas poligonales. Hoy en día, una extraordinaria muestra de ello la podemos encontrar en el museo Guggenheim de Bilbao, obra del arquitecto Frank O. Gehry, en el que la forma de sus tres plantas es a cuál más original. Este hecho nos ha llevado a elegirlo como ejemplo para resolver en él el problema original de la galería de arte, considerando diáfano el espacio interior de su primera planta y modelizándola 11 J. O’Rourke, Art Gallery Theorems and Algorithms, Oxford University Press, 1987; J. Urrutia, “Art Gallery and Illumination Problems”, en Handbook on Computational Geometry, Elsevier, 1999. 29 Portada Índice mediante un polígono (en la siguiente sección trataremos modelos más generales). No daremos definiciones formales, ni abordaremos resultados técnicos detallados, sino que, de manera intuitiva aplicaremos paso a paso la prueba dada por Fisk12, la cual es de gran belleza y elegancia. Sin más dilación entramos en materia, haciéndose necesario concretar el concepto de visibilidad entre puntos, ya sea bajo el planteamiento de iluminación o vigilancia. Para ello mostramos en la figura 7 varios puntos sobre la frontera o interior de un polígono y sus correspondientes relaciones de visibilidad. Figura 7. Relaciones de visibilidad entre puntos en polígonos. Los puntos A y D no son visibles entre sí porque el segmento que los une intersecta al exterior del polígono. A B C D E A continuación enumeramos los pasos a seguir en el proceso para elegir el número y posición de los guardianes o focos que vigilen o iluminen la planta del museo: 1. Modelización de la planta mediante un polígono de n vértices. 12 S. Fisk, “A Short Proof of Chvátal’s Watchman Theorem”, Journal of Combinatorial Theory, serie B, 24 (1978), 374. 30 Portada Índice 2. Triangulación del polígono mediante la adicción de diagonales internas. 3. Coloreado del grafo resultante (los vértices son los del polígono y sus aristas las del polígono junto con las diagonales añadidas) con tres colores. 4. Elección del color menos frecuente, situando los guardianes o focos sobre los vértices así coloreados. Bien. Aunque seguro que ya tenéis la idea del proceso, lo aplicamos a continuación a la primera planta del museo elegido, de esta forma se asimilará mucho mejor y podremos hacer comentarios para garantizar que el algoritmo es factible. En la figura 8 se muestra el plano de la primera planta del museo Guggenheim, y a continuación, una posible modelización mediante un polígono de 56 vértices. Para el paso 2, triangulación del polígono mediante la adicción de diagonales internas, necesitamos saber que una diagonal en un polígono es aquel segmento que une dos vértices de él, y que queda completamente contenido en su interior. Las diagonales a considerar no se pueden intersectar entre ellas, en puntos que no sean vértices, y sabemos que este proceso siempre es posible realizarlo para cualquier polígono de n vértices añadiendo n-3 diagonales internas. Y seguro que el término triangulación no os ha dejado indiferente, ya que hemos trabajado con triangulaciones de puntos en el modelado de terrenos, y ahora surge de nuevo para polígonos. La idea, en un caso u otro, es subdividir una estructura en triángulos que sólo compartan vértices o aristas, pero con intersección no nula entre sus interiores. 31 Portada Índice Entonces, es posible triangular cualquier polígono de n vértices en n-2 triángulos, mediante la adicción de n-3 diagonales internas (remitimos a los textos referenciados sobre geometría computacional para más detalles). La figura 9 muestra la triangulación del polígono que representa la planta considerada. Tenemos así un grafo (los vértices son los del polígono y sus aristas las del polígono junto con las diagonales añadidas) en Figura 8. Plano de la primera planta del museo Guggenheim de Bilbao (fuente: http://www.guggenheim-bilbao.es/) y su modelización mediante un polígono (paso 1). M. ÁNGELES GARRIDO VIZUETE M. Ángeles Garrido Vizuete nació en La Puebla de los Infantes (Sevilla) en 1971. Comenzó sus estudios de matemáticas en la Universidad de Sevilla (licenciada en 1994 y doctora en Ciencias Matemáticas en 1997) para continuar con su labor docente e investigadora en ella. Actualmente es Titular de Universidad en el departamento de Matemática Aplicada I. Su docencia ha sido variada entre las distintas materias que ha impartido el departamento en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación en sus diferentes planes de estudio y titulaciones, contando con publicaciones docentes. Su investigación se enmarca en áreas de las matemáticas como la Teoría de Grafos o Geometría Computacional, y más específicamente, en la representación de grafos o etiquetado de mapas. Posee colaboraciones con investigadores de universidades como New Brunswick (Canadá), La Sapienza (Italia) o Karlsruhe (Alemania). Portada Índice colección A favor del ingenio Curso Académico 2012-2013 Santiago Llorens Corraliza Iluminación y vigilancia de museos Curso Académico 2011-2012 M. Ángeles Garrido Vizuete La curiosidad y el universo Curso Académico 2010-2011 Adán Cabello Quintero Pasado, presente y futuro del ingeniero de edificación Curso Académico 2009-2010 Antonio Ramírez de Arellano Agudo La luz y el color de Sevilla Curso Académico 2008-2009 María Dolores Robador González Symboleion. Símbolos y ritos del construir Curso Académico 2007-2008 Amparo Graciani García LECCIONES INAUGURALES DE LA E.T.S. DE INGENIERÍA DE EDIFICACIÓN. UNIVERSIDAD DE SEVILLA Catálogo completo de nuestras publicaciones en la página web <http://www.editorial.us.es> Para ir al libro pulsar en la línea ☞ Portada Índice BiografÍa