Aplicación de filtro de Kalman a la estimación de parámetros térmicos en transformadores de aceite

i Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo de fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales Aplicación de filtro de Kalman a la estimación de parámetros térmicos en transformadores de aceite Autor: Fernando Quintanilla López-Manzanares Tutores: José Antonio Rosendo Macías Miguel Ángel González Cagigal Dpto. Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 ii iii Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Aplicación de filtro de Kalman a la estimación de parámetros térmicos en transformadores de aceite Autor: Fernando Quintanilla López-Manzanares Tutores: José Antonio Rosendo Macías Catedrático de Universidad Miguel Ángel González Cagigal Doctor Ingeniero Industrial Dpto. de Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 iv v Trabajo Fin de Grado: Aplicación de filtro de Kalman a la estimación de parámetros térmicos en transformadores de aceite Autor: Fernando Quintanilla López-Manzanares Tutores: José Antonio Rosendo Macías Miguel Ángel González Cagigal El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de Sevilla, 2021 El Secretario del Tribunal vi vii A mi familia A mis maestros viii ix Resumen Dada la importancia operativa y económica que supone la continuidad del servicio de los transformadores de gran potencia, y observando que los parámetros de los modelos térmicos no se ajustan con propiedad a los de los equipos en planta o no se conocen, se ve necesario determinar una manera de caracterizarlos bien. Este trabajo presenta la aplicación de un estimador dinámico de parámetros aplicado al modelo térmico de transformadores de aceite. La implementación del estimador y del modelo de simulación se ha realizado en Matlab. A partir de una estimación inicial del estado, y suponinendo conocido el perfil de carga variable con el tiempo, la temperatura ambiente y una medida de la evolución de la temperatura del transformador, es posible aproximarse a los parámetros que mejor se adaptan al comportamiento real, empleando filtros de Kalman. Se mostrarán el modelo estudiado, las bases teóricas del filtro empleado, su aplicación para estimar los parámetros, y las simulaciones y estimaciones realizadas. xvi xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1: Parámetros del modelo de prueba 8 Tabla 2: Covarianzas a priori iniciales 21 Tabla 3: Valores de la diagonal de la matriz de ruido 21 Tabla 4: Valores de la inicialización de la simulación y la estimación de Δθor 23 Tabla 5: Valores de la inicialización de la simulación y la estimación de Ta 24 Tabla 6: Valores de la inicialización de la simulación y la estimación de x 26 Tabla 7: Valores de la inicialización de la simulación y la estimación de R 27 Tabla 8: Escenarios de estimación de todos los parámetros 29 Tabla 9: Escenarios de estimación de R junto a otro parámetro más 30 Tabla 10: Escenarios de estimación por tramos 31 Tabla 11: Error relativo en la estimación por tramos 32 Tabla 12: Escenario de estimación de Δθor, Ta y x en conjunto 32 xviii xix ÍNDICE DE ECUACIONES Ec. 1: Ecuación de estado del modelo propuesto por la norma 7 Ec. 2: Ecuación de estado del modelo propuesto por la norma 7 Ec. 3: Ecuación de estado del modelo propuesto por la norma 7 Ec. 4: Ecuación de estado del modelo propuesto por la norma 7 Ec. 5: Ecuación de estado del modelo propuesto por la norma 7 Ec. 6: Ecuación de estado lineal genérica (ruido de proceso aditivo) 11 Ec. 7: Ecuación de medida genérica(ruido muestral aditivo) 11 Ec. 8: Ecuación de ganancia de Kalman en filtro básico 12 Ec. 9: Ecuación de actualización de estado en filtro básico 12 Ec. 10: Ecuación de actualización de covarianza en filtro básico 12 Ec. 11: Ecuación de extrapolación de estado en filtro básico 12 Ec. 12: Ecuación de extrapolación de covarianza en filtro básico 12 Ec. 13: Ecuación de estado no lineal genérica (ruido de proceso aditivo) 12 Ec. 14: Linealización de la ecuación de estado genérica 12 Ec. 15: Definición de matriz jacobiana 12 Ec. 16: Predicción de estado en EKF 13 Ec. 17: Predicción de la covarianza en EKF 13 Ec. 18: Ecuación de ganacia de Kalman en EKF 13 Ec. 19: Ecuación de actualización de estado en EKF 13 Ec. 20: Ecuación de actualización de covarianza en EKF 13 Ec. 21: Ecuación de estado de un depósito que se vacía 13 Ec. 22: Aplicación de la función de medida sobre la nube de puntos extrapolados 15 Ec. 23: Media de las medidas sobre la nube de puntos extrapolados 15 Ec. 24: Covarianza de las medidas de la nube de puntos extrapolados 15 Ec. 25: Covarianza cruzada de a nube de puntos extrapolada y sus medidas 15 Ec. 26: Ecuación de la ganancia de Kalman en UKF 15 Ec. 27: Ecuación de actualización de estado en UKF 15 Ec. 28: Ecuación de actualización de la covarianza en UKF 15 Ec. 29: Generación de la nube de puntos sigma 15 Ec. 30: Generación de la nube de puntos sigma 15 Ec. 31: Generación de la nube de puntos sigma 15 Ec. 32: Predicción del estado en UKF 15 Ec. 33: Predicción de covarianza en UKF 15 xx Ec. 34: Integración de ecuaciones de estado de la norma 17 Ec. 35: Integración de ecuaciones de estado de la norma 17 Ec. 36: Integración de ecuaciones de estado de la norma 17 Ec. 37: Integración de ecuaciones de estado de la norma 17 Ec. 38: Definición de constante de tiempo Ta 18 Ec. 39: Ecuación de predicción de la temperatura del aceite empleada en la estimación 19 Ec. 40: Ecuación de predicción de Δθor empleada en la estimación 19 Ec. 41: Ecuación de predicción de Ta empleada en la estimación 20 Ec. 42: Ecuación de predicción de x empleada en la estimación 20 Ec. 43: Ecuación de predicción de R empleada en la estimación 20 Ec. 44: Valor inicial de la temperatura del aceite estimada 20 Ec. 45: Matriz genérica de covarianza a priori inicial 20 Ec. 46: Matriz genérica de ruido de proceso 21 xxi Notación A Matriz de función de transición de estado B Matriz de control c Factor de carga del transformador f Función de transición de estado h Función de observación H Matriz de función de observación I Matriz unidad J Jacobiano de la función de transición de estado K Ganancia de Kalman k Número de iteración k11 Constante del modelo térmico 1 k12 Constante del modelo térmico 2 k22 Constante del modelo térmico 3 P0 Covarianza a priori inicial Pk Covarianza a posteriori Pk-1 Covarianza a priori pu Por unidad R Relación entre pérdidas en carga a corriente asignada y pérdidas en vacío rm Desviación típica del ruido muestral t Tiempo uk Entrada al sistema vk Ruido muestral wk Ruido del proceso x0 Vector estimación inicial xk Vector de estimación en la iteración k y Potencia exponencial de la corriente en relación al calentamiento de los arrollamientos. (exponente de los arrollamientos) Δt Paso de tiempo en simulación Δθhr Gradiente del punto caliente con relación al aceite superior en la cuba, para la corriente asignada xxii Δθor Calentamiento del aceite en régimen permanente para las pérdidas asignadas θa Temperatura del ambiente θh Temperatura del punto caliente θo Temperatura del aceite medio en la cuba θw Temperatura del arrollamiento τ0 Constante de tiempo del aceite medio τw Constante de tiempo de los arrollamientos φ Vector de estados χ Potencia exponencial de las pérdidas totales en relación al calentamiento del aceite superior en la cuba. (exponente del aceite) Ω Vector de parámetros a estimar 1 1 INTRODUCCIÓN l modelado de los componentes de una instalación es de gran utilidad para conocer las respuestas del sistema, y poder operarlo con seguridad, fiabilidad, y a máximo rendimiento. En el caso de los transformadores de aceite, que constituyen un activo valioso e importante en una instalación eléctrica, es importante conocer su estado ante distintos puntos de funcionamiento, concretamente la temperatura del punto caliente, determinante en la degradación del equipo. Todo modelo físico-matemático de un sistema funciona empleando cálculos con las variables del mismo, las entradas y los parámetros conocidos. Sin embargo, es posible que los parámetros del equipo dados por el fabricante o por la norma de referencia no se correspondan con los que caracterizan en planta al sistema por muchos motivos: el envejecimiento de los materiales o ciertas condiciones externas que influyen sobre el comportamiento de los equipos puede invalidar los modelos propuestos. El objetivo de este trabajo es mostrar cómo empleando filtros de Kalman, [1], dada una estimación inicial de los parámetros característicos, suponiendo conocidas las entradas, y unas lecturas del estado del transformador, es posible proporcionar una estimación de los parámetros que se aproxima más a la realidad, aunque las medidas sean ruidosas. 1.1 Motivación El presente trabajo puede responder al interés de las empresas en la gestión de sus activos: el transformador de potencia es un equipo susceptible de calentarse si se sobrecarga o no tiene una refrigeración adecuada, como cualquier máquina eléctrica. Conocer bien el modelo térmico del transformador en planta -y más allá del papelpermite establecer el estado de carga máximo para que el usuario pueda afinar en la planificación de su instalación, evaluar la vida útil del transformador, o cuantificar las pérdidas. Las normas de referencia o los parámetros indicados por el fabricante no siempre caracterizan con fidelidad el comportamiento del transormador. La presión y la humedad del aire, la incidencia de la radiación, tratamientos recibidos, histórico de perfiles de carga irregulares o no considerados en el estudio del fabricante, la propia disposición y arquitectura de la instalación pueden ser factores que hagan que el equipo tenga un comportamiento térmico distinto al observado en laboratorio. De hecho, es posible que el mismo fabricante se permita dar holgura entre el factor de carga límite y el nominal, solo para garantizar que la empresa no reciba demandas por los clientes, cuando realmente el transformador puede soportar cargas mucho mayores. Este hecho ya se observado en [2], que asegura que siguiendo los parámetros ofrecidos por la norma [3], la simulación y la medida de la temperatura del aceite difieren en 12ºC . El autor del artículo afirma que el error es reducido hasta 3ºC, empleando una estimación basada en el estimador de Levenberg- E Introducción 2 2 Marquardt. Fig. 1-1: Error de la norma en la asignación de parámetros. [2] 1.2 Objetivos del trabajo Este trabajo tiene como finalidad proponer un método de estimación del estado del modelo térmico de transformadores de aceite, basado en filtros de Kalman. La propia estimación de los parámetros requiere conocer el estado del equipo, concretamente la temperatura del aceite superior en la cuba y la del punto caliente. Como resulta interesante realizar un seguimiento de la temperatura del punto caliente por seguridad y para evaluar la pérdida de vida útil [3], este filtro puede servir de ayuda para quienes estuvieran interesados en la estimación de estado, aunque el objetivo principal del trabajo es la estimación de los parámetros. 1.3 Revisión del estado del arte En una revisión de los estimadores dinámicos, se han observado distintos artículos: Un trabajo análogo a este es el que realizan Zhu y otros en [4], en el que se aplica con éxito el filtro de Kalman sobre el modelo térmico de un motor de imanes permantentes. Las transferencias de calor se modelan como la diferencia de temperaturas entre superficies, dividido entre una resistencia térmica. Así, el sistema se puede caracterizar linealmente. Sin embargo, el modelo que se tratará en este trabajo no es lineal. Resulta especialmente interesante este trabajo el artículo de S. Najar [5], donde se emplea el algoritmo de Levenberg-Marquardt para estimar la temperatura y los parámetros de trafos de aceite, según el modelo de la misma norma. M. Abdelwanis y otros [6] exponen la aplicación de un algoritmo de optimización basado en el comportamiento de los coyotes y su organización social (COA o Coyote optimization algorithm). En el artículo referenciado se emplea satisfactoriamente para estimar parámetros eléctricos de transformadores monofásicos y trifásicos. R.J. Pérez y otros [7] emplean algoritmos genéticos sobre el modelo térmico de transformadores, y Z. Liu y otros [8] emplean algoritmos coevolucionarios con GPUs en paralelo para determinar los parámetros del modelo térmico de motores síncronos de imanes permanentes. Por otro lado, en un artículo J. Pantoja y otros [9] presentan la aplicación de la misma variante del estimador aquí empleado en la estimación de parámetros eléctricos de un generador síncrono, de su excitador y del controlador. 3 Estudiando otras variantes del filtro de Kalman de las que aquí se proponen, en [10] M.Á. González Cagigal y otros presentan una comparativa interesante entre EKF, UKF, CKF y EnKF (Respectivamente extended, unscented, cubature y ensemble Kalman filter) en distintas aplicaciones. En [11] los mismos autores, proponen aplicar distintos filtros de Kalman en el estudio de redes de distribución, concretamente en la identificación de las fases a las que se conectan los consumidores. Llega a la conclusión que en el caso del modelo que emplea para el sistema, de los estimadores estudiados, el mejor es EnKF, seguido de CKF y UKF. En otra comparación que hacen en la estimación de parámetros de una turbina eólica [12], se emplea satisfactoriamente CKF, revelando que trabaja mejor que UKF en esa aplicación, y por supuesto que el filtro de Kalman extendido. 1.4 Estructura del trabajo En la Sección 2, se presentará el modelo que propone la norma para determinar el estado de los transformadores de aceite. Se explicarán sus ecuaciones, las temperaturas que entran en juego y los parámetros, que son el objetivo del trabajo. En la Sección 3, se describe el filtro de Kalman, que es la herramiena de estimación para los parámetros aplicada en este trabajo y dos variantes. En la Sección 4 se describe cómo se lleva a cabo la aplicación del filtro En la Sección 5 se muestran los resultados y por último, en la Sección 6 se presentan las conclusiones y propuestas de trabajo. 11 3 FILTRO DE KALMAN l filtro de Kalman [1] es un estimador dinámico de estado ideado por Rudolf E. Kalman en 1960, usado hoy en día en aplicaciones para navegación, procesamiento de señales, econometría, predicción del tiempo o realidad virtual [14], del que se ha servido este trabajo como herramienta para realizar las estimaciones. Este capítulo se centrará en la descripción genérica del estimador, así como de tres de sus variantes: el Filtro de Kalman Extendido (EKF), el Filtro de Kalman Unscented (UKF), 3.1 Filtro de Kalman original Un estimador dinámico es una herramienta que permite en tiempo real conocer aproximadamente un estado oculto mediante mediciones, si el modelo de ecuaciones que define el sistema es conocido. A diferencia de otros estimadores, como el observador de Luenberger, el filtro de Kalman se puede emplear aunque la medida sea ruidosa (pero no sesgada). Sin embargo, se verá que es necesario aplicar variaciones para trabajar modelos no lineales. Sea un sistema dinámico multidimensional, cuya función de estado es lineal, expresado como: 𝑥𝑘=𝐴·𝑥𝑘−1+𝐵·𝑢𝑘−1+𝑤𝑘 Ec. 6 Y una ecuación de medida: 𝑧𝑘=𝐻𝑥𝑘+𝑣𝑘 Ec. 7 donde 𝑥 k es el estado en el instante k, 𝑥 k-1 y uk-1 son, respectivamente, los valores del estado y las entradas en el instante anterior, y 𝑤 k es el ruido del proceso. Como es un sistema lineal, puede representarse con una ecuación tan sencilla como la mostrada, donde A es la matriz de transición de estado, y B es la matriz de control. zk es la medida que se tiene del estado, y H la matriz de observación del mismo. El sistema puede estimarse, pese a tener de él sólo unas medidas limitadas y ruidosas de algunas de las variables de estado, si se conoce un modelo que lo caracterice correctamente. La estimación del estado del sistema se realizará por una combinación lineal de los datos de la medida y la extrapolación de las ecuaciones de estado, y el peso que tenga la medida frente a la predicción en la estimación vendrá dada en función de la incertidumbre de la medición y de la misma estimación. La dinámica del proceso requiere de dos pasos: en primer lugar, una predicción del estado en el instante siguiente, y en segundo lugar una actualización en función de las medidas y la incertidumbre. En la siguiente figura se muestra un esquema: E Filtro de Kalman 12 12 Fig. 3-1: Esquema del filtro de kalman lineal. El estimador requiere de una estimación inicial x0 y P0, las ecuaciones se nombran como sigue: (1) Ecuación de predicción de estado. (2) Ecuación de predicción de covarianza/ incertidumbre, donde Q es una matriz diagonal relativa al ruido del proceso. (3) Ecuación de la ganancia de Kalman, donde es H es la matriz llamada de observación. (4) Ecuación de actualización de estado. (5) Ecuación de actualización de estado, donde R es una matriz diagonal relativa al ruido muestral. El filtro puede aplicarse para estimar parámetros considerándolos como un conjunto de incógnitas más, adaptando la función de extrapolación de estado. De tratarse de un sistema estático la ecuación correspondiente a los parámetros sería trivial: el parámetro permanece constante durante la etapa de predicción. 3.2 Filtro de Kalman extendido (EKF) Como la formulación anterior está limitada a funciones lineales, para tratar funciones que no lo sean con la formulación anterior es necesario adaptar la predicción de la estimación: 𝑥𝑘=𝑓(𝑥𝑘−1,𝑢𝑘−1)+𝑤𝑘 Ec. 13 𝑥𝑘≅𝜕𝑓(𝑥,𝑢) 𝜕𝑥 𝑥𝑘−1+𝜕𝑓(𝑥,𝑢) 𝜕𝑢 𝑢𝑘−1+𝑤𝑘 Ec. 14 A la matriz de las derivadas de la función de la extrapolación (jacobiano) se la denominará por J: 𝐽𝑖𝑗=𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑥𝑗 Ec. 15 Ec. 11 Ec. 12 Ec. 8 Ec. 9 Ec. 10 13 Ahora, si la linealización de la función de transición no da errores numéricos graves, el filtro de Kalman puede emplearse como sigue: Fig. 3-2: Esquema del filtro de kalman extendido. Cada ecuación conserva el mismo nombre que en la versión básica del filtro. Obsérvese que la única diferencia con el filtro básico está en (2). Por ejemplo, este algoritmo se ha aplicado en la estimación de los parámetros de un depósito prismático que se vacía por gravedad este es un sistema sencillo con la altura de la superficie como variable de estado: ℎ=ℎ0−𝐴𝑠 𝐴𝑑√2𝑔∫√ℎ 𝑑𝑡 Ec. 21 Los parámetros a estimar del modelo del depósito son el área del depósito y la sección de salida, si se tiene por conocida la gravedad. Sin embargo, los resultados de la simulación sólo son aceptables si se toma como parámetro a estimar la relación entre áreas. Es por lo que se dice que ambos parámetros no son observables por separado, o según Keesman [15], no son identificables. Las siguientes figuras muestran los resultados de simular el sistema y la estimación para distintos valores de la estimación inicial de 𝐴𝑠𝐴𝑑 ⁄. Aunque son muy lejanos del valor real, la convergencia se da muy pronto. Ec. 16 Ec. 17 Ec. 18 Ec. 19 Ec. 20 Filtro de Kalman 14 14 Fig. 3-3: Estimación por EKF de la relación de áreas Se trata de un método que llega pronto a un régimen que oscila en torno al valor deseado, pese a comenzar con valores iniciales alejados. La simulación del mismo sistema se realizó varias veces, pero tratando de estimar por separado ambas áreas, sin resultado. 3.3 Filtro de Kalman Unscented (UKF) El filtro de Kalman con la transformación Unscented (UT) es una propuesta de Julier y Uhlmann [16] del 2004 que permite realizar la estimación de un sistema no lineal, con mayor precisión que el EKF, y a un coste computacional equivalente. En el caso de este método, los pasos de la predicción y la actualización se hacen sobre una nube de puntos determinada, tal que la media de cada punto coincida con el estado anterior, y la covarianza muestral que se lee de la nube coincide con la covarianza a priori. Trabajar con la transformación que proponen Julier y Uhlmann permitirá propagar la covarianza con mayor fidelidad en las ecuaciones no lineales. La matriz de covarianza que se extraiga de los puntos escogidos y transformados por la función de estado, la covarianza de los puntos resultantes de aplicar la función de observación a la estos últimos, y la covarianza cruzada entre los puntos transformados y sus medidas se emplearán para calcular la ganancia de Kalman, que servirá para actualizar el estado y la covarianza. En la siguiente figura se muestra un esquema del procedimiento: 15 Fig. 3-4: Esquema del UKF En este estimador, las ecuaciones se nombran como sigue: (1) Generación del primer punto de la nube sigma. (2) Generación de una mitad de los puntos de la nube de puntos sigma. (3) Generación de la otra mitad de los puntos de la nube de puntos sigma. (4) Media ponderada de la nube de puntos extrapolada. (5) Covarianza de la nube de puntos extrapolada más el ruido de proceso. (6) Aplicación de la función de medida sobre la nube de puntos. (7) Media ponderada de la medida de la nube de puntos. (8) Covarianza de la medida de la nube de puntos. (9) Covarianza cruzada de la medida de la nube de puntos y la extrapolación de la nube de puntos. Ec. 29 Ec. 30 Ec. 31 Ec. 32 Ec. 33 Ec. 22 Ec. 23 Ec. 24 Ec. 25 Ec. 26 Ec. 27 Ec. 28 Filtro de Kalman 16 16 (10) Cálculo de la ganancia de Kalman. (11) Actualización de estado. (12) Actualización de ganancia. A diferencia del EKF, que para cada iteración es necesario calcular la matriz jacobiana de la función de transición de estado, y puede hacerse en términos de computación muy costoso, la operación del UKF es más ligera. No ofrece los resultados más precisos, pero es el método más empleado si hay exigencias de procesamiento. Como curiosidad, el nombre Unscented no guarda relación con la descripción del filtro ni con nada del campo de la estimación. De hecho, cuenta el autor en una entrevista que trabajando cuando no quedaba nadie en el departamento, vio un bote de desodorante, y le llamó la atención el término “Unscented”, que literalmente significa “Sin perfume”. El autor afirma que el título es absurdo, y que se llama así como podría llamarse de cualquier otro modo: «“Simplemente la gente acepta los términos técnicos como términos técnicos: por ejemplo, ¿alguien se ha preguntado porqué se llaman árboles a los árboles?». [11] 17 4 APLICACIÓN DEL FILTRO na vez descrito el filtro, se desarrollará cómo emplearlo en la estimación de los parámetros del modelo térmico del que se ha hablado anteriormente. En primer lugar, se describirá el proceso de análisis del modelo, por el que se ha enfocado qué parámetros modelo se pueden estimar. Luego, se describirá el conjunto de estados y parámetros que conforman el vector de estimación. Se detallarán cuáles son los valores iniciales del vector de estimación inicial, así como la covarianza a priori y la matriz del ruido del proceso. 4.1 Medida del estado La norma propone emplear medidas directas sobre los bobinados [3], de manera que el punto caliente se estime como la temperatura tomada más un factor H · gr extra, característico del equipo. Sin embargo, este estudio se ha realizado considerando que las medidas se tomarían directamente sobre el aceite, ya que supone una intervención menos invasiva. En la simulación, se ha modelado la medida como equivalente al valor de la temperatura del aceite más un ruido blanco de desviación rm = 1 K. 4.2 Análisis del modelo El modelo frecuencial de la figura es expresable en el dominio del tiempo en las siguientes ecuaciones. Para integrarlas se ha empleado la formulación de Euler progresivo, y el resultado es el que sigue: θo𝑘=θo𝑘−1+Δt1+𝑐2𝑅 1+𝑅 χΔθ𝑜𝑟−θo𝑘−1+θa𝑘−1 𝑘11 τ𝑜 Ec. 34 Δθ1𝑘=Δθ1𝑘−1+Δt𝑘21 Δθℎ𝑟 𝑐𝑦−Δθ1𝑘−1 𝑘22τ𝑤 Ec. 35 Δθ2𝑘=Δθ2𝑘−1+Δt(𝑘21−1)Δθℎ𝑟 𝑐𝑦−Δθ2𝑘−1 τ0𝑘22 ⁄ Ec. 36 θℎ𝑘=Δθ1𝑘−Δθ2𝑘+θ𝑜𝑘 Ec. 37 Sin embargo, la medida que se toma del equipo es sólo la temperatura del aceite θo, lo que hace que estimar cualquier parámetro fuera de la Ec. 34 sea imposible. Cualquier variación dentro de lo razonable en los parámetros {Δθhr, k21, k22, τ w, y} no implica ningún cambio en cómo evoluciona la temperatura del aceite. Eso hace que no haya manera de estimarlos, si no se tienen medidas de la temperatura de las bobinas. Por lo tanto, la única ecuación de estado relativa a las temperaturas reales del transformador que se usará en la aplicación del filtro es la Ec. 34 Para comprobar qué posibilidades hay en la estimación de cada parámetro se ha llevado a cabo un análisis de sensibilidad. En él, se simula el modelo con varias configuraciones en los parámetros. Cada una U Aplicación del filtro 18 18 conserva igual todos los parámetros salvo uno de ellos, que varía un porcentaje. Así, de tener casos en que la variable de estado medida, que es θo, permanece indiferente a los cambios de un parámetro, éste queda señalado como imposible de determinar por estimación dinámica El análisis de sensibilidad infiere en que los parámetros que no se encuentran en la Ec. 34 no afectan a la temperatura del aceite. Tiene sentido, si la temperatura del aceite sólo se calcula en una ecuación en que no aparecen Δθ1. Δθ2, ni θh. Fig. 4-1: Análisis de sensibilidad del modelo Por otro lado, se observa que en la ecuación de estado que se usará hay un par de parámetros que aparecen juntos en un producto. No son estimables por separado, por lo que los trataremos como un conjunto: 𝑇a=k11·τ𝑜 Ec. 38 Las variaciones del parámetro R también hacen que la temperatura del aceite no cambie apenas, aunque aparezca en la función. Evaluando la estructura de la Ec. 34, concretamente el término en que R juega su papel, se llega a la conclusión de que numerador y denominador cancelan buena parte de las variaciones del parámetro. En la siguiente figura se ilustra el valor del término para distintos valores del índice de carga y de R. Obsérvese que, para valores aceptables de c, el término es constante para todo el rango R esperado: 19 Fig. 4-2: Valor del término relativo a R de la función de estado Se explica por segunda vez que la variación de R no tiene efecto sobre la temperatura del aceite. Se ha llevado a cabo la estimación de R aparte, dando por conocidos el resto de parámetros, con resultados satisfactorios. Sin embargo, la poca sensibilidad de la temperatura del aceite frente a cambios en R hace que cualquier error en la estimación del resto de parámetros desbarate la estimación, convergiendo R a valores aleatorios en torno a la estimación inicial, mientras que el resto de parámetros se establecían en valores cercanos a sus respectivos valores reales. En la siguiente sección se mostrarán los resultados de la estimación. Como conclusión, el número de parámetros a estimar es tres: Ω=[Δθ𝑜𝑟 𝑇𝑎 χ] 4.3 Vector de estados ampliado Tras el análisis del modelo cara al filtro, el vector de estados ampliado queda como sigue: 𝑥=[ 𝜑 Ω ]=[θ𝑜 Δθ𝑜𝑟 𝑇𝑎 χ] Donde sólo θo es una componente del estado del sistema. 4.4 Ecuaciones de estado A continuación, se presenta el conjunto de ecuaciones de estado empleadas en la aplicación del filtro. Como se trata de un modelo en el que los parámetros son constantes, las ecuaciones relativas a qué valor tienen los parámetros en el instante siguiente son tan sencillas como atribuir el mismo valor que en la estimación del parámetro a posteriori. Sólo se emplea una ecuación para predecir el estado de la temperatura del aceite. 𝜃𝑜,𝑘=𝜃𝑜,𝑘−1+Δt 1+𝑐2𝑅 1+𝑅 𝑥Δθ𝑜𝑟−𝜃𝑜,𝑘−1+𝜃𝑎,𝑘 𝑇𝑎 Ec. 39 Δ𝜃𝑜𝑟,𝑘=Δ𝜃𝑜𝑟,𝑘−1 Resultados de las estimaciones 26 26 5.1.3 Estimación de χ Representación Valor real Estimación inicial Covarianza inicial Configuración 1 Config. 2 Config. 3 θo 343 K 353 K 353 K 353 K 1e-4 Δθor 43 K - - - - Ta 6300 seg - - - - χ 0.8 2 0.1 8 1e-8 R 6 - - - - Error de estimación [pu] - 1,08e-2 4,56e-2 3,22e-2 Color Azul Naranja Verde Morado Tabla 6: Valores de la inicialización de la simulación y la estimación de x Fig. 5-5: Estimaciones de la temperatura del aceite, para distintos valores de inicialización de x 27 Fig. 5-6: Estimaciones de x para distintos valores de inicialización de x 5.1.4 Estimación de R Como ya se había visto, este parámetro da más que habar porque el análisis de sensibilidad muestra una peor respuesta de la temperatura del aceite, que es el valor sobre el que hace la medida, ante las variaciones de R. Se había demostrado gráficamente la influencia en la función de estado por los cambios del parámetro en la Fig. 4-2. Sin embargo, se ha hecho un estudio aparte como con el resto de parámetros, y los resultados son muy semejantes. Se verá más tarde que estimar en conjunto R con el resto de valores no es tan sencillo, y de hecho, no es posible con los métodos empleados. Representación Valor real Estimación inicial Covarianza inicial Configuración 1 Config. 2 Config. 3 θo 343 K 353 K 353 K 353 K 1e-4 Δθor 43 K - - - - Ta 6300 seg - - - - χ 0.8 - - - - R 6 9 1.2 30 1e-8 Error de estimación [pu] - 3.67e-2 5.02e-2 1.37e-2 Color Azul Naranja Verde Morado Tabla 7: Valores de la inicialización de la simulación y la estimación de R Resultados de las estimaciones 28 28 Fig. 5-7: Estimación de la temperatura del aceite, para distintos valores de inicialización de R Fig. 5-8: Estimaciones de R para distintos valores de inicialización de R 5.2 Estimación de parámetros en conjunto Ésta es la estimación más aproximada a la realidad: el fabricante propone como parámetros unos valores que tal vez no se correspondan con la realidad. Se quiere comprobar que todos son aproximados, y si no lo son, encontrar los que mejor se adapten. Las simulaciones mostradas arriba se hacen sólo si se conocen el resto de parámetros, en este apartado se tomará un valor desviado de cada parámetro y se aplica el filtro para un vector de estimación mayor. 29 5.2.1 Estimación de los cuatro parámetros a la vez En primer lugar, se ejecuta el algoritmo para unos valores iniciales de los parámetros: Representación Valor real Estimación inicial Covarianza inicial Configuración 1 Config. 2 Config. 3 θo 343 K 353 K 353 K 353 K 1 Δθor 43 K 34 K 51,6 K 51,6 K 10 Ta 6300 seg 813 seg 8190 seg 6930 seg 2e7 χ 0.8 0.64 1.04 0.64 10 R 6 6.2 3.8 5.6 10 Error de estimación de Δθor [pu] - 3,49e-2 9,61e-2 1,55e-2 Error de estimación de Ta [pu] - 8,17e-2 4,77e-2 5,32e-2 Error de estimación de χ [pu] - 2,11e-3 1,24e-3 4,39e-3 Error de estimación de R [pu] - 3,36e-1 1,55e-1 4,05e-1 Color Azul Naranja Verde Morado Tabla 8: Escenarios de estimación de todos los parámetros Fig. 5-9: Estimación de todos los parámetros a la vez Resultados de las estimaciones 30 30 La estimación no arroja datos completamente satisfactorios: El parámetro R no converge en el valor real, porque un pequeño error en cualquiera de los demás parámetros hacen que se complique la estimación. El siguiente escenario lo muestra: Representación Valor real Estimación inicial Covarianza inicial Configuración 1 Config. 2 Config. 3 θo 343 K 353 K 353 K 353 K 1 Δθor 43 K 47,3 K 43 K 43 K 10 Ta 6300 seg 6300 seg 6930 seg 6300 seg 2e7 χ 0.8 0.8 0.8 0.88 10 R 6 6.6 6.6 6.6 10 Color Azul Amarillo Verde Morado Tabla 9: Escenarios de estimación de R junto a otro parámetro más Fig. 5-10: Estimaciones de R Sobre estas líneas, esta figura representa la estimación de R para un caso en que los parámetros Δθor, Ta, χ y R son en la estimación un 10% más que en la simulación del transformador del que se toman las medidas, en las curvas amarilla, verde y morada, respectivamente. Una solución que se ha planteado es emplear el mismo algoritmo para estimar todos los parámetros salvo R, y una vez estimados, trabajar con ellos como valor sobre el que comenzar a calcular R: 31 Representación Valor real Estimación inicial Covarianza inicial Configuración 1 Config. 2 Config. 3 Tramo I Tramo II θo 343 K 353 K 353 K 353 K 1 1e-7 Δθor 43 K 51,6 K 43 K 51.6 K 10 1e-7 Ta 6300 seg 6300 seg 6930 seg 6300 seg 2e7 1e-7 χ 0.8 0.8 0.8 0.8 10 1e-7 R 6 6.6 6.6 6.6 1e-7 1 Color Azul Naranja Verde Morado Tabla 10: Escenarios de estimación por tramos Fig. 5-11: Estimación de todos los parámetros por tramos El primer tramo emplea como valores iniciales una aproximación de cada uno de los valores, pero no se trabaja sobre R. Eso se puede configurar dando un valor muy pequeño (1e-7) a la covarianza inicial relativa al parámetro. Llegado un punto en que la estimación se ha estabilizado, se toma como covarianza a priori para la siguiente iteración una matriz diagonal de valores muy pequeños (1e-7), salvo para la componente del vector de estimación del parámetro R, que es un valor mucho mayor. Así, en este segundo tramo de la Resultados de las estimaciones 32 32 estimación, se mantienen fijos todos los valores del vector de estimación relativos a los parámetros que no son R. El resultado no es bueno, porque la estimación de Δθor, Ta y de x no es tan fina como para que R pueda calcularse. Parámetro estimado Valor real Error de estimación [pu] Configuración 1 Config. 2 Config. 3 Δθor 43 K 2,23e-3 2,05e-2 4,65e-2 Ta 6300 seg 1,36e-2 4,55 e-2 1,04 e-1 χ 0.8 8,87e-3 6,24e-3 4,54e-3 R 6 5,66e-1 4,24e-1 6,78e-1 Tabla 11: Error relativo en la estimación por tramos 5.2.2 Estimación de Δθor, Ta y x Como se ha visto que no es posible estimar R si no es teniendo el valor exacto de los otros tres parámetros haremos la estimación considerando R como conocido: Representación Valor real Estimación inicial Covarianza inicial Configuración 1 Config. 2 Config. 3 θo 343 K 353 K 353 K 353 K 1 Δθor 43 K 64.5 K 21,5 K 43 K 10 Ta 6300 seg 9450 seg 9450 seg 6300 seg 2e7 χ 0.8 0.6 1,6 0.88 10 R 6 - - - - Error de estimación de Δθor [pu] - 3,49e-2 2,45e-2 6,84e-2 Error de estimación de Ta [pu] - 8,54e-3 1,84e-2 2,59e-2 Error de estimación de χ [pu] - 4,95e-4 2,45e-4 9,66e-4 Color Azul Naranja Verde Morado Tabla 12: Escenario de estimación de Δθor, Ta y x en conjunto 33 Fig. 5-12: Estimación satisfactoria de Δθor, Ta y x Resultados de las estimaciones 34 34 35 6 CONCLUSIONES Y PROPUESTAS DE TRABAJO e este trabajo se infiere que el filtro de Kalman es aplicable al modelo térmico de transformadores de aceite que propone la norma UNE-IEC 60076-7, en el seguimiento de la temperatura y tres de los parámetros de las ecuaciones que caracterizan al transformador. Respecto a los trabajos de estimación de parámetros térmicos que se han hecho sobre el modelo propuesto, la aplicación del filtro de Kalman que aquí presenta una mejoría en la estimación de los parámetros. Si en el artículo referenciado en [5] se acierta a estimar la temperatura tal que el error baje de 12ºC a 3ºC, aquí se ha conseguido que el error baje hasta 0.5ºC. Fig. 6-1: Comparación de estimación de θo por aplicación de UKF Fig. 6-2: Comparación de los errores de estimación de θo en la aplicación de UKF D